उत्तर (d) यदि हम पृथ्वी को समघनत्व वाले गोले के रूप में मान लें, तो इसे इसके केंद्र पर स्थित एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में व्यवहार किया जा सकता है। इस स्थिति में गुरुत्वीय त्वरण $g=0$, केंद्र पर होगा।

यदि पृथ्वी को एक असमघनत्व वाले गोले के रूप में माना जाए, तो इस स्थिति में विभिन्न बिंदुओं पर $g$ का मान अलग-अलग होगा और किसी भी बिंदु पर शून्य नहीं हो सकता।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि यदि घनत्व असमान है, तो गुरुत्वीय त्वरण के मान और दिशा दोनों में भिन्नता होगी और सतह पर सभी स्थानों पर केंद्र की ओर दिशा में नहीं होगा।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि यदि घनत्व असमान है, तो सतह पर विभिन्न बिंदुओं पर गुरुत्वीय त्वरण के मान भिन्न होंगे और सभी स्थानों पर समान मान नहीं रखेगा।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि यदि घनत्व असमान है, तो सतह पर सभी बिंदुओं पर गुरुत्वीय त्वरण के मान एक समान नहीं होंगे, भले ही यह केंद्र की ओर दिशा में हो।

Answer (c) पृथ्वी से देखे जाने पर, सूर्य लगभग वृत्ताकार कक्षा में घूमता प्रतीत होता है। पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करता है।

पृथ्वी और पारा के बीच संबंधित गति के कारण, पारा की कक्षा, पृथ्वी से देखे जाने पर लगभग वृत्ताकार नहीं होगी, क्योंकि पारा पर प्रमुख गुरुत्वाकर बल सूर्य से होता है।

• (a) यह विकल्प गलत है क्योंकि पृथ्वी से देखे जाने पर पारा की गति सूर्य की गति के समान नहीं होती। पारा की कक्षा सूर्य के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा बहुत प्रभावित होती है, जिसके कारण पृथ्वी से देखे जाने पर एक अधिक जटिल पथ प्रतीत होता है।

• (b) यह विकल्प गलत है क्योंकि पृथ्वी और पारा के बीच बल व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करता है। हालांकि, पारा पर प्रमुख गुरुत्वाकर्षण प्रभाव सूर्य से होता है, नहीं पृथ्वी से।

• (d) यह विकल्प गलत है क्योंकि पारा पर प्रमुख बल गुरुत्वाकर्षण होते हैं। हालांकि, अन्य बलों से छोटा प्रभाव हो सकता है, लेकिन यह सूर्य और एक हद तक पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बलों की तुलना में नगण्य होता है।

Answer

(a) पृथ्वी सूर्य के गुरुत्वाकर्षण के कारण एक वृत्ताकार गति में घूम रही है। आकर्षण बल त्रिज्या के रूप में होगा, अर्थात, स्थिति सदिश $r$ और बल $F$ के बीच कोण शून्य है। अतः बलाघूर्ण $=|\tau|=|\mathbf{r} \times \mathbf{F}|=r F \sin 0^{\circ}=0$

• (b) बलाघूर्ण पृथ्वी के घूमने के कारण है: यह गलत है क्योंकि पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण के कारण बलाघूर्ण शून्य है, जैसा कि बताया गया है। पृथ्वी के घूमने के मुख्य कारण इसके निर्माण के समय उसकी प्रारंभिक कोणीय संवेग है, न कि सूर्य के गुरुत्वाकर्षण के कारण कोई बलाघूर्ण।

• (c) ठोस वस्तु के परिणाम लागू नहीं हो सकते क्योंकि पृथ्वी ठोस वस्तु नहीं है: यह गलत है क्योंकि पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल और उसके परिणामी बलाघूर्ण के विश्लेषण के लिए पृथ्वी को ठोस वस्तु के रूप में अपेक्षित किया जा सकता है। पृथ्वी के आंतरिक विकृतियाँ उस बलाघूर्ण के विश्लेषण में बहुत कम प्रभाव डालती हैं।

• (d) बलाघूर्ण पृथ्वी के सूर्य के चारों ओर घूमने के कारण है: यह गलत है क्योंकि पृथ्वी की सूर्य के चारों ओर गति गुरुत्वाकर्षण बल के केंद्रापसारक बल के कारण होती है, न कि कोई बलाघूर्ण के कारण। बलाघूर्ण शून्य होने के कारण सूर्य-पृथ्वी प्रणाली में गुरुत्वाकर्षण बल के कारण कोई घूर्णन प्रभाव नहीं होता।

Answer (c) पृथ्वी उपग्रह बंधन वाले प्रणाली की कुल ऊर्जा नकारात्मक होती है $(\frac{-G M}{2 a})$, जहाँ, $a$ उपग्रह की त्रिज्या है और $M$ पृथ्वी के द्रव्यमान है।

उपग्रह पर कार्य करने वाले चिपचिपाता बल के कारण ऊर्जा निरंतर घटती जाती है और उपग्रह के कक्षा की त्रिज्या या ऊंचाई धीरे-धीरे कम हो जाती है।

• (अ) उपग्रहों में सौर सेल और बैटरी खत्म हो जाने पर उपग्रह के कार्य करने और संचार करने की क्षमता प्रभावित होगी, लेकिन यह उपग्रह के पृथ्वी पर गिरने के लिए बर्बाद नहीं करेगा। उपग्रह तब तक निरंतर निर्धारित कक्षा में घूमते रहेंगे जब तक अन्य बल, जैसे वायुमंडलीय घर्षण, इसे नीचे नहीं ले जाते।

• (ब) गुरुत्वाकर्षण के नियम पूर्वानुमान करते हैं कि उपग्रहों के स्थायी कक्षा होते हैं, न कि एक आंतरिक घूमते हुए पथ। एक स्थायी कक्षा में घूमते उपग्रह केवल अन्य बल, जैसे वायुमंडलीय घर्षण या टकराव के कारण ही उस कक्षा में बचे रह सकते हैं।

• (द) अन्य उपग्रहों से टकराव उपग्रह के कक्षा को बदल सकता है और अपशिष्ट पदार्थ उत्पन्न कर सकता है, लेकिन यह अधिकांश उपग्रहों के ऊंचाई में धीरे-धीरे कमी के मुख्य कारण नहीं है। मुख्य कारण वायुमंडलीय घर्षण का निरंतर प्रभाव है, विशेष रूप से निम्न भू-कक्षा में।

उत्तर (ब) सूर्य से देखे जाने पर चांद पर दो प्रकार के बल कार्य कर रहे हैं - एक चांद और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण के कारण और दूसरा पृथ्वी और चांद के बीच गुरुत्वाकर्षण के कारण। इसलिए, चांद पर कुल बल केंद्रीय नहीं है।

• (अ) चांद की कक्षा अतिपरावर्ती नहीं होगी क्योंकि पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल भी चांद पर प्रभाव डालता है, जिसके कारण चांद पर कुल बल गैर-केंद्रीय हो जाता है।
• (स) चांद की कक्षा आवश्यक रूप से एक बंद वक्र नहीं होगी क्योंकि सूर्य और पृथ्वी के संयुक्त गुरुत्वाकर्षण प्रभाव एक अधिक जटिल पथ के निर्माण के लिए जिम्मेदार हो सकते हैं।
• (द) अन्य ग्रहों के प्रभाव के कारण अतिपरावर्ती कक्षा से विचलन चांद के लिए पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव की तुलना में बहुत कम है।

उत्तर (d) अस्तरोइड भी केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा कार्य करते हैं, इसलिए वे ग्रहों के जैसे वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं और केपलर के कानूनों का पालन करते हैं।

• (a) यह विकल्प गलत है क्योंकि किसी वस्तु के द्रव्यमान के आधार पर यह निर्धारित नहीं किया जा सकता कि वह सूर्य के चारों ओर घूमेगी। सूर्य द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल सभी वस्तुओं पर कार्य करता है, जिसके कारण वे सूर्य के चारों ओर घूमते हैं।

• (b) यह विकल्प गलत है क्योंकि अस्तरोइड की गति सूर्य के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा नियंत्रित होती है, जो उन्हें स्थिर कक्षाओं में रखता है। उनके छोटे द्रव्यमान के कारण वे बाहरी अंतरिक्ष में चले जाते हैं, बजाए इसके कि वे सूर्य के चारों ओर अनुमानित पथों में घूमते हैं।

• (c) यह विकल्प गलत है क्योंकि अस्तरोइड, ग्रहों के जैसे, गुरुत्वाकर्षण बल के अधीन होते हैं और इसलिए केपलर के ग्रहण गति के कानूनों का पालन करते हैं। वे सूर्य के चारों ओर अतिवृत्तिय कक्षाओं में घूमते हैं, जैसे कि ग्रह घूमते हैं।

उत्तर (द) प्रोटॉन के गुरुत्वीय द्रव्यमान के अपने अभिनत द्रव्यमान के समान होता है और आसपास के भारी वस्तुओं की उपस्थिति से स्वतंत्र होता है।

• (अ) यह विकल्प वास्तव में सही है। अभिनत द्रव्यमान बाह्य बल द्वारा त्वरण के विरुद्ध प्रतिरोध को मापता है, जबकि गुरुत्वीय द्रव्यमान एक वस्तु के द्वारा दूसरे द्रव्यमान के कारण अनुभव किए गए गुरुत्वीय बल को निर्धारित करता है।

• (ब) यह विकल्प भी सही है। गुरुत्वीय द्रव्यमान और अभिनत द्रव्यमान के समानता एक प्रयोगात्मक अवलोकन है, जो गैलीलियो द्वारा और बाद में ईओट्वॉस द्वारा किए गए प्रयोगों द्वारा प्रसिद्ध रूप से पुष्टि किया गया है।

• (क) यह विकल्प भी सही है। गुरुत्व त्वरण के कारण सभी वस्तुओं के लिए समान होता है, चाहे उनका द्रव्यमान कितना भी हो, यह गुरुत्वीय और अभिनत द्रव्यमान के समानता के परिणाम है।

सोचने की प्रक्रिया

बिंदु $B$ द्वारा $A$ और $C$ द्वारा लगाए गए बलों के बीच बड़े बल की ओर गति करेगा।

उत्तर (क) $B$ पर $A$ द्वारा बल $F_{BA} = \frac{G(2 M m)}{(AB)^{2}}$ $BA$ की ओर होगा

$B$ पर $C$ द्वारा बल $F_{BC} = \frac{G M m}{(BC)^{2}}$ $BC$ की ओर होगा

जैसे कि,

$(BC) = 2 AB$

$\Rightarrow \quad F_{BC} = \frac{G M m}{(2 AB)^{2}} = \frac{G M m}{4 (AB)^{2}} < F_{BA}$

अतः, $m$ $BA$ की ओर गति करेगा (अर्थात, $2 M$ की ओर)

• (अ) $m$ विराम में रहेगा: यह गलत है क्योंकि $2M$ और $M$ द्वारा $m$ पर लगाए गए गुरुत्वीय बल संतुलित नहीं हैं। $2M$ द्वारा लगाए गए बल $M$ द्वारा लगाए गए बल से अधिक है, जिसके कारण $m$ $2M$ की ओर गति करेगा।

• (ब) $m$ $M$ की ओर गति करेगा: यह गलत है क्योंकि $2M$ द्वारा $m$ पर लगाए गए बल के तुलना में $M$ द्वारा $m$ पर लगाए गए बल कम है। क्योंकि $F_{BA} > F_{BC}$, $m$ $2M$ की ओर गति करेगा न कि $M$ की ओर।

• (ड) $m$ दोलन गति करेगा: यह गलत है क्योंकि दोलन गति के लिए एक बल विपरीत दिशा में लगाए जाने की आवश्यकता होती है। $m$ पर शुद्ध बल $2M$ की ओर दिशा में होता है, जिसके कारण एक दिशा में गति होती है न कि दोलन।

सोचने की प्रक्रिया

गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के सतह पर अधिकतम होता है, यह ऊपर जाने या गहराई में जाने के दोनों मामलों में कम होता है।

उत्तर $(a, c, d)$

ऊंचाई $h$ पर गुरुत्वीय त्वरण, $g_{h}=\frac{g}{(1+h / R)^{2}} \approx g(1-\frac{2 h}{R})$

गहराई $d$ पर,

$$ g_{d}=g(1-\frac{d}{R}) $$

दोनों मामलों में $h$ और $d$ के बढ़ने के साथ $g$ कम होता है।

अक्षांश $\phi$ पर, $g_{\phi}=g-\omega^{2} R \cos ^{2} \phi$

जैसे $\phi$ बढ़ता है $g_{\phi}$ बढ़ता है।

सूत्रों से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि यह पृथ्वी के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि गुरुत्वीय त्वरण गहराई के बढ़ने के साथ कम होता है। सूत्र $ g_d = g(1 - \frac{d}{R}) $ दिखाता है कि जब गहराई $ d $ बढ़ती है, तो $ g_d $ कम होता है।

उत्तर (a, c)

यदि गुरुत्वाकर्षण कानून एक व्युत्क्रम घन कानून बन जाए, तो हम एक ग्रह के द्रव्यमान $m$ के चारों ओर घूमते हुए सूर्य के द्रव्यमान $M$ के लिए लिख सकते हैं,

$$ \begin{aligned} & \qquad F=\frac{G M m}{a^{3}}=\frac{m v^{2}}{a} \quad \text { (जहाँ $a$ ग्रह के कक्षीय त्रिज्या है) } \\ & \Rightarrow \quad v=\text { कक्षीय गति }=\frac{\sqrt{G M}}{a} \Rightarrow v \propto \frac{1}{a} \\ & \text { ग्रह के कक्षीय चक्र काल } T=\frac{2 \pi a}{v}=\frac{2 \pi a}{\frac{\sqrt{G M}}{a}}=\frac{2 \pi a^{2}}{\sqrt{G M}} \\ & \Rightarrow \quad T^{2} \propto a^{4} \end{aligned} $$

अतः, कक्षा अतिपरवलयी नहीं होगी। [अतिपरवलयी कक्षा के लिए $T^{2} \propto a^{3}$ ]

अब बल $F$,

$$ \begin{aligned} F & =(\frac{G M}{a^{3}}) m=g^{\prime} m \\ g^{\prime} & =\frac{G M}{a^{3}} \end{aligned} $$

क्योंकि $g^{\prime}$, गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण नियत रहता है, अतः एक प्रक्षेप्य के द्वारा अनुसरित पथ लगभग परवलयी होगा। (क्योंकि $T \propto a^{2}$ )

• (b) ग्रहों के वृत्ताकार कक्षा संभव नहीं हो सकते: यह विकल्प गलत है क्योंकि वृत्ताकार कक्षा एक व्युत्क्रम घन कानून के तहत भी संभव है। कक्षा की प्रकृति (वृत्ताकार या अतिपरवलयी) गति के प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करती है, न कि केवल गुरुत्वाकर्षण कानून के रूप पर। व्युत्क्रम घन कानून गोलीय पैरामीटर के बीच संबंध को बदल देगा, लेकिन इसके अंतर्गत वृत्ताकार कक्षा को अप्रत्यक्ष रूप से रोकने के लिए आवश्यक नहीं है।

• (d) एक समान घनत्व के गोलीय खोल के भीतर गुरुत्वाकर्षण बल नहीं होगा: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह कथन व्युत्क्रम वर्ग कानून के लिए सत्य होता है (शेल प्रमेय के अनुसार), लेकिन व्युत्क्रम घन कानून के लिए नहीं। व्युत्क्रम घन कानून के अंतर्गत, एक समान घनत्व के गोलीय खोल के भीतर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य नहीं होगा। शेल प्रमेय विशेष रूप से व्युत्क्रम वर्ग कानून के लिए लागू होता है, और अलग-अलग गुरुत्वाकर्षण कानून खोल के भीतर बल के वितरण के अलग-अलग परिणाम देते हैं।

उत्तर $(a, c, d)$

दिया गया है, $\quad G^{\prime}=10 G$

निरीक्षण करें आसन्न चित्र।

पृथ्वी द्वारा वस्तु पर बल $=\frac{G^{\prime} M_{e} m}{R^{2}}=\frac{10 G M_{e} m}{R^{2}} \quad[\because G^{\prime}=10 G$ (दिया गया) $]$

$$ \begin{aligned} & =10(\frac{G M_{e} m}{R^{2}}) \\ & =(10 g) m=10 mg \quad[\because g=\frac{G M_{e}}{R^{2}}] \end{aligned} $$

सूर्य द्वारा वस्तु पर बल $F=\frac{G M_s^{\prime} m}{r^{2}}$

$$ =\frac{G(M_{s}) m}{10 r^{2}} \quad[\because M_s^{\prime}=\frac{M_{s}}{10} \text { (दिया गया) }] $$

जैसे $r \gg R$ (पृथ्वी की त्रिज्या) $\Rightarrow F$ बहुत छोटा होगा।

इसलिए, सूर्य के प्रभाव को नगण्य मान लिया जाएगा।

अब, जैसे $g^{\prime}=10 g$

इसलिए, व्यक्ति का भार $=m g^{\prime}=10 mg$

[समीकरण (i) से]

अर्थात, व्यक्ति पर गुरुत्वीय आकर्षण बढ़ जाएगा। इस कारण, जमीन पर चलना अधिक कठिन हो जाएगा।

क्रिटिकल वेग, $v_{c}$, $g$ के समानुपाती है अर्थात,

जैसे,$ v_{c} \propto g $

$\Rightarrow$ $ g^{\prime}>g $

इसलिए, बरसात के बूंद बहुत तेजी से गिरेंगे।

पृथ्वी के बढ़े हुए गुरुत्वीय बल को दूर करने के लिए, विमानों को बहुत तेजी से यात्रा करनी पड़ेगी।

• (b) पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण बदलेगा नहीं

  यह विकल्प गलत है क्योंकि पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण, $g$ के रूप में दर्शाया जाता है, जो गुरुत्वीय नियतांक $G$ के सीधे अनुपात में होता है। दिया गया है कि $G$ का मान दस गुना बढ़ जाता है, तो नए गुरुत्वीय त्वरण $g’$ भी दस गुना बढ़ जाएगा। इसलिए, $g’ = 10g$ होगा, जिसका अर्थ है कि पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण बदल जाएगा।

सोचने की प्रक्रिया

दो विपरीत चार्जों के बीच विद्युत आकर्षण बल कार्य करता है।

उत्तर $(a, c, d)$

सूर्य और पृथ्वी पर भारी मात्रा में विपरीत चार्ज होने के कारण विद्युत आकर्षण बल बहुत बड़ा होगा। गुरुत्वाकर्षण बल भी आकर्षण प्रकृति का होता है, इसलिए दोनों बलों का योग होगा।

दोनों बल व्युत्क्रम वर्ग नियम के अनुसार और केंद्रीय बल होते हैं। चूंकि दोनों बल समान प्रकृति के हैं, इसलिए केप्लर के सभी तीन कानून वैध रहेंगे।

• विकल्प (b) गलत है: तीसरा कानून बताता है कि ग्रह की कक्षा के आवर्त काल का वर्ग उसकी कक्षा के अर्ध अक्ष के घन के समानुपाती होता है। यह कानून केंद्रीय बल के व्युत्क्रम वर्ग नियम की प्रकृति से निहित होता है, जो गुरुत्वाकर्षण और विद्युत आकर्षण बल दोनों के लिए लागू होता है। इसलिए, यह एकमात्र वैध कानून नहीं है; सभी तीन केप्लर के कानून दोनों बलों के प्रभाव में वैध रहेंगे।

• विकल्प (c) सही है: दूसरा कानून बताता है कि ग्रह और सूर्य के बीच रेखा द्वारा बराबर समय अंतराल में बराबर क्षेत्रफल तय किया जाता है। यह कोणीय संवेग के संरक्षण के परिणामस्वरूप होता है। चूंकि गुरुत्वाकर्षण और विद्युत आकर्षण बल दोनों केंद्रीय बल हैं, इनके केंद्र द्रव्यमान के संबंध में कोई बल矩 नहीं होता, इसलिए दूसरा कानून अपरिवर्तित रहेगा। इसलिए, यह एकमात्र वैध कानून नहीं है; सभी तीन केप्लर के कानून दोनों बलों के प्रभाव में वैध रहेंगे।

• विकल्प (d) सही है: पहला कानून बताता है कि ग्रह की कक्षा एक अतिपरवलय होती है जिसके एक फोकस में सूर्य होता है। यह केंद्रीय बल के व्युत्क्रम वर्ग नियम की प्रकृति से निहित होता है, जो गुरुत्वाकर्षण और विद्युत आकर्षण बल दोनों के लिए लागू होता है। इसलिए, यह एकमात्र वैध कानून नहीं है; सभी तीन केप्लर के कानून दोनों बलों के प्रभाव में वैध रहेंगे।

उत्तर $(c, d)$

हम जानते हैं कि पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल,

$F_{G}=\frac{G M m}{r^{2}}$, जहाँ $M$ सूर्य के द्रव्यमान और $m$ पृथ्वी के द्रव्यमान है।

जब $G$ समय के साथ घटता है, तो पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर बल $F_{G}$ समय के साथ दुर्बल हो जाएगा। चूंकि $F_{G}$ समय के साथ बदल रहा है, इसके कारण पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमती रहेगी लेकिन सख्त रूप से बंद कक्षाओं में नहीं और त्रिज्या भी बढ़ जाएगी, क्योंकि आकर्षण बल कमजोर हो रहा है।

इसलिए, लंबे समय के बाद पृथ्वी सौर मंडल से बाहर जाएगी।

• (a) कुछ भी बदलाव नहीं होगा: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ घट जाए, तो पृथ्वी और सूर्य के बीच गुरुत्वाकर्षण बल कमजोर हो जाएगा। इस बदलाव के कारण पृथ्वी की कक्षा अस्थिर बन जाएगी और लंबे समय के बाद पृथ्वी सौर मंडल से बाहर जाएगी। इसलिए, कुछ भी बदलाव नहीं होना सही नहीं है।

• (b) अरबों वर्षों के बाद हम गर्म हो जाएंगे: यह विकल्प गलत है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ के घटने से मुख्य रूप से गुरुत्वाकर्षण बल और पृथ्वी की सूर्य के चारों ओर कक्षा में बदलाव होगा। यद्यपि कक्षा में बदलाव पृथ्वी के जलवायु पर प्रभाव डाल सकता है, लेकिन गुरुत्वाकर्षण बल कमजोर होने का प्रत्यक्ष परिणाम तापमान में वृद्धि नहीं होगी। मुख्य प्रभाव कक्षा के आकार और स्थिरता पर होगा, न कि पृथ्वी के तापमान पर।

Answer $(a, d)$

The gravitational force between two masses is always attractive, as indicated by the negative sign in the equation. The magnitude of the gravitational force depends on the distance between the two masses, as shown by the $1/r^2$ dependence in the equation.

• (a) The gravitational force between two masses is always attractive: This statement is correct. The negative sign in the equation indicates that the gravitational force is attractive, meaning that the force acts to pull the two masses together.

• (b) The gravitational force between two masses is always repulsive: This statement is incorrect. The negative sign in the equation indicates that the gravitational force is attractive, not repulsive.

• (c) The gravitational force between two masses is always zero: This statement is incorrect. The gravitational force between two masses is not always zero; it depends on the distance between the two masses and their masses.

• (d) The gravitational force between two masses depends on the distance between them: This statement is correct. The magnitude of the gravitational force between two masses is inversely proportional to the square of the distance between them, as shown by the $1/r^2$ dependence in the equation.

Answer $(a, c, d)$

दिया गया है

$F_1=-F_2=\frac{-r_{12}}{r_{12}^{3}} G M_0^{2}(\frac{m_1 m_2}{M_0^{2}})^{n} $

$r_{12}=r_1-r_2$

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, $g=\frac{|F|}{\text { mass }}$

$$ =\frac{G M_0^{2}(m_1 m_2)^{n}}{r_{12}^{2}(M_0)^{2 n}} \times \frac{1}{(\text { mass })} $$

क्योंकि, $g$ स्थिति सदिश पर निर्भर करता है, इसलिए विभिन्न वस्तुओं के लिए अलग-अलग होगा। जैसे $g$ नियत नहीं है, इसलिए केप्लर के तीसरे नियम में समानुपाती नियतांक नियत नहीं होगा। इसलिए, केप्लर के तीसरे नियम के लिए वैध नहीं होगा।

क्योंकि बल केंद्रीय प्रकृति का है।

$$ [\because \text { बल } \propto \frac{1}{r^{2}}] $$

इसलिए, केप्लर के पहले दो नियम वैध रहेंगे।

ऋणात्मक $n$ के लिए,

$$ \begin{aligned} g =\frac{G M_0^{2}(m_1 m_2)^{-n}}{r_{12}^{2}(M_0)^{-2 n}} \times \frac{1}{(\text { mass })} \\ =\frac{G M_0^{2(1+n)}}{r_{12}^{2}} \frac{(m_1 m_2)^{-n}}{(\text { mass })} \\ g =\frac{G M_0^{2}}{r_{12}^{2}}(\frac{M_0^{2}}{m_1 m_2})^{n} \times \frac{1}{\text { mass }} \\ M_0 > m_1 \text { या } m_2 \end{aligned} $$

क्योंकि $g>0$, इसलिए इस स्थिति में स्थिति उलट होगी अर्थात, पानी से हल्की वस्तु पानी में डूब जाएगी।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि केप्लर के पहले दो नियम अभी भी वैध रहेंगे। बल केंद्रीय रहेगा और दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती रहेगा, जिसका अर्थ है कि कक्षाएं अभी भी अतिपराबैंद रहेंगी (केप्लर का पहला नियम) और ग्रह और सूर्य के बीच रेखा बराबर समय में बराबर क्षेत्रफल को तय करेगी (केप्लर का दूसरा नियम)। केवल तीसरा नियम, जो कक्षा काल के वर्ग और अर्ध दीर्घाक्ष के घन के बीच संबंध बताता है, अमान्य होगा क्योंकि गुरुत्वाकर्षण त्वरण अनियमित प्रकृति का है।

उत्तर $(a, c)$

एक भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी के घूर्णन की दिशा के समान घूर्णन दिशा में घूमता है, अर्थात पश्चिम-पूर्व दिशा में।

एक ध्रुवीय उपग्रह पृथ्वी के ध्रुव के उत्तर-दक्षिण दिशा में पृथ्वी के चारों ओर घूमता है।

ध्रुवीय उपग्रह

उपग्रह

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि एक भूस्थिर उपग्रह पृथ्वी के पूर्व-पश्चिम दिशा में घूमता नहीं है। बजाए इसके, यह पृथ्वी के पश्चिम-पूर्व दिशा में घूमता है, जो पृथ्वी के घूर्णन के साथ मेल खाती है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि एक ध्रुवीय उपग्रह पृथ्वी के पूर्व-पश्चिम दिशा में घूमता नहीं है। बजाए इसके, यह पृथ्वी के उत्तर-दक्षिण दिशा में घूमता है, जो ध्रुवों पर गुजरता है।

उत्तर (d)

छोटी वस्तुओं के लिए, जैसे कि आकार कम से कम $100 m$ के हों, केंद्र द्रव्यमान वस्तु के केंद्र गुरुत्व के बहुत करीब होता है। लेकिन जब वस्तु का आकार बढ़ जाता है, तो इसका भार बदल जाता है और इसके केंद्र द्रव्यमान और $C G$ एक-दूसरे से दूर हो जाते हैं।

• (अ) द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्वीय केंद्र कभी-कभी एक ही बिंदु नहीं होते हैं, क्योंकि गुरुत्वीय बल के वितरण के लिए वस्तु के आकार और आकृति पर निर्भर करता है, विशेषकर बड़े या असममित आकार वाले वस्तुओं के लिए।

• (ब) द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्वीय केंद्र केवल गोलाकार वस्तुओं के लिए ही एक ही बिंदु नहीं होते हैं। यह विश्वास यह है कि एक समान गुरुत्वीय क्षेत्र में समान गोलाकार वस्तुओं के लिए द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्वीय केंद्र एक ही बिंदु पर होते हैं, लेकिन यह सभी गोलाकार वस्तुओं के लिए एक सामान्य नियम नहीं है, विशेषकर यदि घनत्व असमान हो या गुरुत्वीय क्षेत्र असमान हो।

• (स) द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्वीय केंद्र कुछ शर्तों के तहत एक ही बिंदु पर हो सकते हैं, जैसे कि छोटे वस्तुओं या एक समान गुरुत्वीय क्षेत्र में वस्तुओं के लिए। इसलिए, यह गलत है कहना कि वे कभी एक ही बिंदु नहीं हो सकते हैं।

• (डी) यह विश्वास यह है कि द्रव्यमान केंद्र और गुरुत्वीय केंद्र जब वस्तु को पृथ्वी के अंदर ले जाया जाता है तो गुरुत्वीय बल के वितरण के कारण बदल सकते हैं, लेकिन यह पृथ्वी के सतह पर वस्तुओं के बीच दोनों बिंदुओं के संबंध के बारे में नहीं बताता है, जो प्रश्न के संदर्भ है।

उत्तर वायुमंडल में हवा के अणु पृथ्वी के गुरुत्वीय बल द्वारा ऊपर से नीचे की ओर आकर्षित होते हैं जैसे कि एक सेब एक पेड़ से गिरता है। हवा के अणु थर्मल वेग के कारण यादृच्छिक रूप से गति करते हैं और इसलिए हवा के अणुओं की संयोजित गति ठीक ऊपर से नीचे की ओर नहीं होती।

लेकिन सेब के मामले में, केवल ऊपर से नीचे की गति प्रभुत्व रखती है क्योंकि वह हवा के अणुओं से भारी होता है। लेकिन गुरुत्वाकर्षण के कारण, पृथ्वी की सतह के पास वायुमंडल का घनत्व बढ़ जाता है।

उत्तर केंद्रीय बल के उदाहरण गुरुत्वाकर्षण बल, विद्युत बल आदि।

अकेंद्रीय बल के उदाहरण नाभिकीय बल, दो धारावाही लूप के बीच कार्य करने वाला चुंबकीय बल आदि।

उत्तर सूर्य के चारों ओर घूमते हुए ग्रह का आकृति वेग समय के साथ नियत रहता है। अतः आकृति वेग और समय के बीच ग्राफ एक सीधी रेखा (AB) होती है, जो समय अक्ष के समानांतर होती है। (केपलर का दूसरा नियम)।

उत्तर पृथ्वी के सूर्य के चारों ओर घूमते समय आकृति वेग निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$ \frac{d A}{d t}=\frac{L}{2 m} $$

जहाँ, $\mathbf{L}$ कोणीय संवेग है और $m$ पृथ्वी के द्रव्यमान है।

लेकिन कोणीय संवेग:

$$ \begin{aligned} \mathbf{L} & =\mathbf{r} \times \mathbf{p}=\mathbf{r} \times m \mathbf{v} \\ (\frac{d A}{d t}) & =\frac{1}{2 m}(\mathbf{r} \times m \mathbf{v})=\frac{1}{2}(\mathbf{r} \times \mathbf{v}) \end{aligned} $$

अतः आकृति वेग $(\frac{d A}{d t})$ की दिशा $(r \times v)$ की दिशा में होती है, अर्थात र $r$ और $v$ के तल के लंबवत तथा दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित दिशा में होती है।

उत्तर हाँ, एक वस्तु के पास जड़त्व (अर्थात द्रव्यमान) हो सकता है लेकिन भार नहीं हो सकता। सभी वस्तुएं हमेशा जड़त्व (अर्थात द्रव्यमान) के अतिरिक्त होती हैं लेकिन उनका भार $(m g)$ केंद्र भूगर्भ में ले जाए जाने पर या गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत मुक्त पतन के दौरान शून्य हो सकता है।

उदाहरण के लिए, पृथ्वी के केंद्र से गुजरने वाले छेद में वस्तु केवल जड़त्व के कारण गति करती है जबकि उसका भार शून्य हो जाता है।

उत्तर एक वस्तु को पास के पदार्थों के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचाया नहीं जा सकता, क्योंकि दो बिंदु द्रव्यमान वाली वस्तुओं के बीच गुरुत्वाकर्षण बल के बीच मध्यवर्ती माध्यम पर निर्भर नहीं करता।

उपरोक्त कारण से, हम एक वस्तु को पास के पदार्थों के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचाने के लिए एक खोखले गोले के भीतर रखकर या किसी अन्य तरीके से बचा नहीं सकते।

उत्तर पृथ्वी के चारों ओर घूमते हुए एक छोटे अंतरिक्ष यान में, गुरुत्व के कारण त्वरण के मान $g$, स्थिर माना जाता है और इसलिए अंतरिक्ष यात्री अपने भारहीनता का अनुभव करता है।

यदि पृथ्वी के चारों ओर घूमते हुए अंतरिक्ष स्टेशन का आकार बहुत बड़ा हो जाए तो ऐसी स्थिति में $g$ के मान में विभेद के कारण अंतरिक्ष यान में बैठे अंतरिक्ष यात्री गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करेगा और इसलिए गुरुत्व का अनुभव कर सकता है। उदाहरण के लिए, चांद पर बड़े आकार के कारण गुरुत्व का अनुभव किया जा सकता है।

उत्तर चित्र को ध्यान में रखिए, खोल का घनत्व स्थिर है। मान लीजिए यह $\rho$ है।

खोल का द्रव्यमान $=($ घनत्व $) \times($ आयतन $)$

$$ =(\rho) \times \frac{4}{3} \pi R^{3}=M $$

क्योंकि खोल का घनत्व समान है, इसे इसके केंद्र पर रखे गए बिंदु द्रव्यमान के रूप में व्यवहार किया जा सकता है। अतः $F=$ $M$ और $m$ के बीच गुरुत्वाकर्षण बल $=\frac{G M m}{r^{2}}$

$$ \begin{aligned} F & =0 \text { जब } r<R \quad \text { (अर्थात, खोल के अंदर बल शून्य होता है) } \\ & =\frac{G M}{r^{2}} \text { जब } r \geq R \end{aligned} $$

$F$ के $r$ के साथ परिवर्तन चित्र में दिखाया गया है।

नोट: जब $r$ अनंत की ओर बढ़ता है, तो बल शून्य की ओर बढ़ता है, अतः खोखले गोलीय खोल के सतह पर बल अधिकतम होता है।

उत्तर अपहेलियन पृथ्वी के ऐसे स्थान को कहते हैं जहाँ यह सूर्य से सबसे दूर होती है और पेरीहेलियन पृथ्वी के ऐसे स्थान को कहते हैं जहाँ यह सूर्य से सबसे निकट होती है।

कृतिक ग्रह के सूर्य के चारों ओर घूमने की क्षेत्रफल वेग $(\frac{1}{2} \mathbf{r} \times \mathbf{v})$ स्थिर होता है (केपलर का द्वितीय नियम)।

इसलिए, कृतिक ग्रह की गति परिहेलियन पर अपहेलियन की तुलना में अधिक होती है।

उत्तर निम्न चित्र में जियोस्टेटियोनरी और ध्रुवीय उपग्रह के समतल को दिखाया गया है।

स्पष्ट रूप से

(a) ध्रुवीय उपग्रह के भू-ध्रुवीय समतल और कक्षीय समतल के बीच कोण $90^{\circ}$ होता है।

(b) जियोस्टेटियोनरी उपग्रह के भू-ध्रुवीय समतल और कक्षीय समतल के बीच कोण $0^{\circ}$ होता है।

उत्तर नीचे दिए गए चित्र में, धरा एक सूर्य दिन में बिंदु $P$ से $Q$ तक चलती है।

प्रतिदिन धरा लगभग $1^{\circ}$ के बराबर कक्षा में आगे बढ़ती है। फिर, धरा को फिर से सूर्य को ध्रुवीय बिंदु पर लाने के लिए $361^{\circ}$ घूमना पड़ता है (जिसे हम 1 दिन के रूप में परिभाषित करते हैं)।

$\because 361^{\circ}$ के लिए $24 h$ संगत होता है।

$\therefore \quad 1^{\circ}$ के संगत $\frac{24}{361} \times 1=0.066 h=3.99 min \approx 4 min$ होता है

इसलिए, दूर के तारे प्रतिदिन 4 मिनट पहले उठेंगे।

सोचने की प्रक्रिया

संतुलन की प्रकृति का निर्धारण करने के लिए, हमें वस्तु को मध्य बिंदु से छोटी दूरी तक विस्थापित करना होगा और विस्थापित स्थिति में बल की गणना करनी होगी।

उत्तर मान लीजिए प्रत्येक समान भारी गोले के द्रव्यमान और त्रिज्या क्रमशः $M$ और $R$ हैं। एक वस्तु जिसका द्रव्यमान $m$ है, उनके केंद्रों के बीच रेखा के मध्य बिंदु $P$ पर रखी गई है।

मध्य बिंदु पर रखी वस्तु पर कार्य करने वाला बल,

$$ F_1=F_2=\frac{G M m}{(5 R)^{2}} $$

बल की दिशा विपरीत है, इसलिए वस्तु पर कार्य करने वाला नेट बल शून्य है।

संतुलन की स्थायित्व की जांच करने के लिए, हम वस्तु को छोटी दूरी $x$ के लिए गोले $A$ की ओर विस्थापित करते हैं।

अब, गोले $A$ की ओर कार्य करने वाला बल, $F_1^{\prime}=\frac{G M m}{(5 R-x)^{2}}$

गोले $B$ की ओर कार्य करने वाला बल, $F_2^{\prime}=\frac{G M m}{(5 R+x)^{2}}$

क्योंकि $F_1^{\prime}>F_2^{\prime}$, इसलिए वस्तु पर गोले $A$ की ओर एक परिणामी बल $(F_1^{\prime}-F_2^{\prime})$ कार्य करता है, इसलिए वस्तु गोले $A$ की ओर गति करने लगती है और इसलिए संतुलन अस्थायी है।

उत्तर एक चित्र में विचार करें, जहां एक उपग्रह जिसका द्रव्यमान $m$ है, पृथ्वी के चारों ओर त्रिज्या $R$ के एक वृत्तीय कक्षा में घूम रहा है।

पृथ्वी के चारों ओर घूम रहे उपग्रह की कक्षीय गति के वेग को $v_0=\sqrt{\frac{G M}{R}}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ, $M$ और $R$ पृथ्वी के द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।

(a) $\therefore$ द्रव्यमान $m$ के उपग्रह की किणेतज ऊर्जा $E_{K}=\frac{1}{2} m v_0^{2}=\frac{1 }{2} m \times \frac{G M}{R}$

$\therefore \quad E_{K} \propto \frac{1}{R}$

इसका अर्थ है कि ऊर्जा त्रिज्या के साथ अपसरण रूप से घटती है।

ऊर्जा और कक्षीय त्रिज्या $R$ के बीच ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

(b) उपग्रह की संभावित ऊर्जा $E_{P}=-\frac{G M m}{R}$

$$ E_{P} \propto-\frac{1}{R} $$

ऊर्जा और कक्षीय त्रिज्या $R$ के बीच ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

(c) उपग्रह की कुल ऊर्जा $E=E_{K}+E_{P}=\frac{G M m}{2 R}-\frac{G M m}{R}$

$$ =-\frac{G M m}{2 R} $$

कुल ऊर्जा और कक्षीय त्रिज्या $R$ के बीच ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

नोट: हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि उपग्रह-पृथ्वी प्रणाली की संभावित ऊर्जा (PE) और किणेतज ऊर्जा (KE) के योग हमेशा नकारात्मक होता है।

Answer पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के अंतर्गत एक कण के पथ को एक दीर्घवृत्तीय अथवा अतिपरवलयीय वक्र हो सकता है (पृथ्वी के बाहर गति के लिए) जिसका केंद्र पृथ्वी के केंद्र के रूप में एक फोकस होता है। केवल (c) इस आवश्यकता को पूरा करता है।

नोट: कण के पथ के बारे में उछाल के वेग पर निर्भर करता है। वेग के परिमाण और दिशा के आधार पर यह परवलयीय अथवा अतिपरवलयीय हो सकता है।

Answer एक वस्तु के द्रव्यमान $m$ को पृथ्वी के सतह से एक दूरी (ऊँचाई) पृथ्वी के त्रिज्या $R$ के बराबर तक उठाया जाता है।

पृथ्वी के सतह पर वस्तु की संभावित ऊर्जा $=-\frac{G M m}{R}$

$P E$ वस्तु के उपर दूरी के बराबर पृथ्वी की त्रिज्या $=-\frac{G M m}{2 R}$

$\therefore \quad$ वस्तु के गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $=\frac{-G M m}{2 R}-(-\frac{G M m}{R})$

$$ \begin{aligned} & =\frac{-G M m+2 G M m}{2 R}=+\frac{G M m}{2 R} \\ & =\frac{g R^{2} \times m}{2 R}=\frac{1}{2} m g R \end{aligned} $$

उत्तर चित्र को ध्यान में रखते हुए, एक वलय तथा एक बिंदु द्रव्यमान के एक तंत्र को दिखाया गया है।

एक द्रव्यमान $m$ के वस्तु के गुरुत्वीय बल के लिए जो एक वृत्ताकार वलय के केंद्र से गुजरते अभिलम्ब के अनुदिश दूरी $h$ पर बिंदु $P$ पर रखी गई है, जिसका द्रव्यमान $M$ तथा त्रिज्या $r$ है, निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ F=\frac{G M m h}{(r^{2}+h^{2})^{3 / 2}} $$

जब द्रव्यमान को दूरी $2 h$ तक विस्थापित कर दिया जाता है, तो

$$ \begin{matrix} F^{\prime} = \frac{G M m \times 2 h}{[r^{2} + (2 h)^{2}]^{3 / 2}} & \text{[दिया है h=2r]} \
= \frac{2 G M m h}{(r^{2} + 4 h^{2})^{3 / 2}} & \ldots \text{ (ii) } \end{matrix} $$

जब $h=r$, तो समीकरण (i) से

तथा

$$ F=\frac{G M m \times r}{(r^{2}+r^{2})^{3 / 2}} \Rightarrow F=\frac{G M m}{2 \sqrt{2 r^{2}}} $$

$$ \begin{matrix} \therefore & \frac{F^{\prime}}{F}=\frac{4 \sqrt{2}}{5 \sqrt{5}} \\ \Rightarrow & F^{\prime}=\frac{4 \sqrt{2}}{5 \sqrt{5}} F \end{matrix} $$

$$ F^{\prime}=\frac{2 G M m r}{(r^{2}+4 r^{2})^{3 / 2}}=\frac{2 G M m}{5 \sqrt{5 r^{2}}} \quad \text { [समीकरण (ii) से जहाँ } h=r \text { रखे गए हैं] } $$

$$

उत्तर चित्र में एक वस्तु के स्थिति को दिखाया गया है, जो एक तारे के चारों ओर घूम रही है जिसके द्रव्यमान $ M $ है।

वस्तु का रैखिक वेग

$$ \Rightarrow \quad v \propto \frac{1}{\sqrt{r}} $$

इसलिए, जब $ r $ बढ़ता है, $ v $ घटता है।

वस्तु का कोणीय वेग

$$ v=\sqrt{\frac{G M}{r}} $$

$$ \omega=\frac{2 \pi}{T} $$

केपलर के आवर्त कानून के अनुसार,

$$ T^{2} \propto r^{3} \Rightarrow T=k r^{3 / 2} $$

जहाँ $ k $ एक स्थिरांक है

$$ \therefore \quad \omega=\frac{2 \pi}{k r^{3 / 2}} \Rightarrow \omega \propto \frac{1}{r^{3 / 2}} \quad(\because \omega=\frac{2 \pi}{T}) $$

इसलिए, जब $ r $ बढ़ता है, $ \omega $ घटता है।

वस्तु की किणेतज ऊर्जा $ K=\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m \times \frac{G M}{r}=\frac{G M m}{2 r} $

$$ \therefore \quad K \propto \frac{1}{r} $$

इसलिए, जब $ r $ बढ़ता है, किणेतज ऊर्जा घटती है।

वस्तु की गुरुत्वीय संभावना ऊर्जा,

$$ U=-\frac{G M m}{r} \Rightarrow U \propto-\frac{1}{r} $$

इसलिए, जब $ r $ बढ़ता है, संभावना ऊर्जा कम नकारात्मक हो जाती है, अर्थात बढ़ती है।

वस्तु की कुल ऊर्जा

$$ E=KE+PE=\frac{GMm}{2 r}+(-\frac{GMm}{r})=-\frac{GMm}{2 r} $$

इसलिए, जब $ r $ बढ़ता है, कुल ऊर्जा कम नकारात्मक हो जाती है, अर्थात बढ़ती है।

Angular momentum of the body $L=m v r=m r \sqrt{\frac{G M}{r}}=m \sqrt{G M r}$

$$ L \propto \sqrt{r} $$

इसलिए, जब $r$ बढ़ता है, तो आवर्त गति के संवेग $L$ बढ़ता है।

नोट: इस स्थिति में, हम सूर्य-वस्तु प्रणाली को अलग नहीं मान रहे हैं और प्रणाली पर बल शून्य नहीं है। इसलिए, आवर्त गति के संवेग के संरक्षण का नियम लागू नहीं होता।

सोचने की प्रक्रिया

अपने द्रव्यमान के परिणामी बल की गणना करने के लिए, हम सुपरपोजिशन के सिद्धांत को लागू करेंगे, अर्थात, नेट बल प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान (m) द्वारा लगे बलों के योग के बराबर होगा।

उत्तर नीचे दिए गए चित्र में, छह बिंदु द्रव्यमान छह शीर्षों $A, B, C, D, E$ और $F$ पर रखे गए हैं।

द्रव्यमान $m$ के बिंदु $A$ पर द्रव्यमान $m$ के बिंदु $B$ के कारण बल, $f_1=\frac{G m m}{l^{2}}$ $AB$ के अनुदिश है।

द्रव्यमान $m$ के बिंदु $A$ पर द्रव्यमान $m$ के बिंदु $C$ के कारण बल, $f_2=\frac{G m \times m}{(\sqrt{3} l)^{2}}=\frac{G m^{2}}{3 l^{2}}$ $AC$ के अनुदिश है।

$[\because A C=\sqrt{3 l}]$

द्रव्यमान $m$ के बिंदु $A$ पर द्रव्यमान $m$ के बिंदु $D$ के कारण बल, $f_3=\frac{G m \times m}{(2 l)^{2}}=\frac{G m^{2}}{4 l^{2}}$ $AD$ के अनुदिश है। $[\because A D=2 l]$

द्रव्यमान $m$ के बिंदु $A$ पर द्रव्यमान $m$ के बिंदु $E$ के कारण बल, $f_4=\frac{G m \times m}{(\sqrt{3} l)^{2}}=\frac{G m^{2}}{3 l^{2}}$ $AE$ के अनुदिश है।

द्रव्यमान $m$ के बिंदु $A$ पर द्रव्यमान $m$ के बिंदु $F$ के कारण बल, $f_5=\frac{G m \times m}{l^{2}}=\frac{G m^{2}}{l^{2}}$ $AF$ के अनुदिश है।

$f_1$ और $f_5$ के कारण परिणामी बल, $F_1=\sqrt{f_1^{2}+f_5^{2}+2 f_1 f_5 \cos 120^{\circ}}=\frac{G m^{2}}{l^{2}}$ $AD$ के अनुदिश है।

$[\because$ $f_1$ और $f_5$ के बीच कोण $120^{\circ}$ है$]$

$f_2$ और $f_4$ के कारण परिणामी बल, $F_2=\sqrt{f_2^{2}+f_4^{2}+2 f_2 f_4 \cos 60^{\circ}}$

$$ =\frac{\sqrt{3} G m^{2}}{3 l^{2}}=\frac{G m^{2}}{\sqrt{3} l^{2}} \text { along } A D $$

$$

अतः, $A D$ के अक्ष के अनुदिश शुद्ध बल $F_1 + F_2 + F_3 = \frac{G m^{2}}{l^{2}} + \frac{G m^{2}}{\sqrt{3} l^{2}} + \frac{G m^{2}}{4 l^{2}} = \frac{G m^{2}}{l^{2}}(1 + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{1}{4})$.

सोचने की प्रक्रिया

जैसे ही पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमती है, कोणीय संवेग संरक्षित रहता है और क्षेत्रीय वेग स्थिर रहता है।

उत्तर चित्र को ध्यान में रखिए। मान लीजिए $m$ पृथ्वी की द्रव्यमान है, $v_{p}, v_{a}$ क्रमशः अपग्री और अपोग्री पर पृथ्वी की गति है। इसी तरह, $\omega_{p}$ और $\omega_{a}$ क्रमशः अपग्री और अपोग्री पर संगत कोणीय वेग हैं।

जैसे ही पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमती है, कोणीय संवेग और क्षेत्रीय वेग स्थिर रहते हैं।

अपग्री पर, $r_p^{2} \omega_{p}=r_a^{2} \omega_{a}$ अपोग्री पर

यदि $a$ पृथ्वी की कक्षा के अर्ध-मुख्य अक्ष है, तो $r_{p}=a(1-e)$ और $r_{a}=a(1+e)$

$$ \begin{matrix} \therefore & \frac{\omega_{p}}{\omega_{a}}=(\frac{1+e}{1-e})^{2}, e=0.0167 & \text { [समीकरण (i) और (ii) से] } \\

\therefore & \frac{\omega_{p}}{\omega_{a}}=1.0691 \end{matrix} $$

मान लीजिए $\omega$ एक कोणीय वेग है जो $\omega_{p}$ और $\omega_{a}$ के ज्यामितीय माध्य है और यह माध्य सूर्य दिन के संगत है,

$$ \begin{aligned} & \therefore & (\frac{\omega_{p}}{\omega})(\frac{\omega}{\omega_{a}}) & =1.0691 \\ & \therefore & \frac{\omega_{p}}{\omega} & =\frac{\omega}{\omega_{a}}=1.034 \end{aligned} $$

यदि $\omega$ $1^{\circ}$ प्रति दिन (माध्य कोणीय वेग) के संगत है, तो $\omega_{p}=1.034^{\circ}$ प्रति दिन और $\omega_{a}=0.967^{\circ}$ प्रति दिन होगा। चूंकि, $361^{\circ}=24$, माध्य सूर्य दिन, हमें $361.034^{\circ}$ प्राप्त होता है जो $24$ घंटे, $8.14^{\prime \prime}$ (8.1" अधिक) के संगत है और $360.967^{\circ}$ $23$ घंटे, $59$ मिनट, $52^{\prime \prime}$ ( $7.9^{\prime \prime}$ कम) के संगत है।

इससे वार्षिक दिन के वास्तविक विस्तार की व्याख्या नहीं होती है।

Answer दिया गया है,

$$ r_{p}=\text { पेरीहेलियन की त्रिज्या }=2 R $$

$$ r_{a}=\text { अपोहेलियन की त्रिज्या }=6 R $$

इसलिए, हम लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} & r_{a}=a(1+e)=6 R \\ & r_{p}=a(1-e)=2 R \end{aligned} $$

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \text { अपसार, } e=\frac{1}{2} $$

कोणीय संवेग के संरक्षण के अनुसार, पेरीहेलियन पर कोणीय संवेग $=$ अपोहेलियन पर कोणीय संवेग

$$ \begin{aligned} & \therefore \quad m v_p r_p=m v_a r_a \ & \therefore \quad \frac{v_a}{v_p}=\frac{1}{3} \ & \end{aligned} $$

जहां $m$ उपग्रह के द्रव्यमान है।

ऊर्जा के संरक्षण के अनुसार, पेरीहेलियन पर ऊर्जा $=$ अपोहेलियन पर ऊर्जा

$$ \frac{1}{2} m v_p^{2}-\frac{G M m}{r_{p}}=\frac{1}{2} m v_a^{2}-\frac{G M m}{r_{a}}

$$

जहाँ $M$ पृथ्वी की द्रव्यमान है।

स्थिर वृत्तीय कक्षा त्रिज्या $r$ के लिए,

$$ \begin{aligned} v_p^{2}(1-\frac{1}{9}) & .=-2 G M(\frac{1}{r_{a}}-\frac{1}{r_{p}})=2 G M(\frac{1}{r_{p}}-\frac \frac{1}{r_{a}}) \quad \text { (जहाँ } v_{a}=\frac{v_{p}}{3}) \\ v_{p} & =\frac{[2 G M(\frac{1}{r_{p}}-\frac{1}{r_{a}})]^{1 / 2}}{[1-(v_{a} / V_{p})^{2}]^{1 / 2}}=[\frac{\frac{2 G M}{R}(\frac{1}{2}-\frac{1}{6})}{(1-\frac{1}{9})}]^{1 / 2} \\ & =(\frac{2 / 3}{8 / 9} \frac{G M}{R})^{1 / 2}=\sqrt{\frac{3}{4}} \frac{G M}{R}=6.85 km / s \\ v_{p} & =6.85 km / s, v_{a}=2.28 km / s \end{aligned} $$

के लिए,

$$ \begin{aligned} v_{c} & =\text { कक्षीय वेग }=\sqrt{\frac{G M}{r}} \\ r & =6 R, v_{c}=\sqrt{\frac{G M}{6 R}}=3.23 km / s . \end{aligned} $$

अतः, अपोगीय बिंदु पर एक वृत्तीय कक्षा में पहुँचने के लिए हमें वेग में $\Delta=(3.23-2.28)=0.95 km / s$ की वृद्धि करनी होगी। इसको उपयुक्त रूप से उपग्रह से रॉकेट चलाकर किया जा सकता है।