उत्तर (d) एक बंगला एक वलय के रूप में होता है जैसा कि आसन्न चित्र में दिखाया गया है। केंद्र द्रव्यमान वलय के केंद्र पर होता है, जो वस्तु (सीमा) के बाहर होता है।

• (a) एक कलम: कलम के केंद्र द्रव्यमान अपने शरीर में होता है, आमतौर पर अपनी लंबाई के मध्य बिंदु पर, माना जाता है कि इसका घनत्व समान है।

• (b) एक शॉटपुट: शॉटपुट के केंद्र द्रव्यमान, जो एक ठोस गोला होता है, इसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है, जो वस्तु के भीतर होता है।

• (c) एक पासा: पासा के केंद्र द्रव्यमान, जो एक ठोस घन होता है, इसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है, जो वस्तु के भीतर होता है।

सोचने की प्रक्रिया

कणों के एक तंत्र में, एक वस्तु के केंद्र द्रव्यमान भारी द्रव्यमान या द्रव्यमानों के पास होता है।

उत्तर (d) चित्र में दिखाए गए तंत्र के केंद्र द्रव्यमान की संभावित स्थिति निर्धारित करने के लिए हमें खोखले गोले और रेत के द्रव्यमान वितरण को ध्यान में रखना होगा।

खोखला गोला: खोखला गोला ऊपरी आधा हवा से भरा होता है और इसका द्रव्यमान इसकी दीवारों में केंद्रित होता है। खोखले गोले के केंद्र द्रव्यमान इसके ज्यामितीय केंद्र पर होता है, जो गोले के केंद्र पर होता है।

रेत: रेत के गोले के नीचले आधा हिस्सा में स्थित है। क्योंकि रेत नीचले आधे हिस्से में फैली हुई है, इसके द्रव्यमान केंद्र गोले के केंद्र के नीचे होगा।

दिया गया है कि रेत द्रव्यमान रखती है और गोले के नीचले आधे हिस्से में स्थित है, इसलिए इसके केंद्र द्रव्यमान पूरे प्रणाली के नीचे खिसकेगा।

अब, हम बिंदु A, B, C और D के बारे में विश्लेषण करते हैं:

• बिंदु A: ऊपरी आधा में स्थित है (हवा)।
• बिंदु B: ऊपरी आधा में स्थित है (हवा)।
• बिंद यु: हवा और रेत के बीच सीमा पर स्थित है।
• बिंदु D: नीचले आधा में स्थित है (रेत)।

क्योंकि रेत के द्रव्यमान अधिक है और नीचले आधे हिस्से में स्थित है, द्रव्यमान केंद्र गोले के नीचले आधे हिस्से के करीब होगा। इसलिए, पूरे प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र के सबसे संभावित स्थान गोले के केंद्र के नीचे होगा।

बिंदु A, B, C और D में से, बिंदु C सीमा पर है और बिंदु D रेत में है। द्रव्यमान के वितरण के आधार पर, द्रव्यमान केंद्र बिंदु C के बजाए बिंदु D के करीब होगा।

इसलिए, प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र के संभावित स्थान बिंदु D है।

सोचने की प्रक्रिया

अप्रत्यासत टकराव में प्रणाली की कार्य-ऊर्जा संरक्षित रहती है। इसलिए, गेंद उतनी ही चाल $v$ से वापस लौटेगी लेकिन विपरीत दिशा में अर्थात ऋणात्मक $y$-अक्ष के समानांतर।

उत्तर (b) एक द्रव्यमान $m$ के कण के कोणीय संवेग में परिवर्तन के विश्लेषण के लिए हम निम्नलिखित कारकों को ध्यान में रखेंगे:

मूल स्थितियाँ: कण $ \mathbf{v} = v \hat{e}_y $ के समान वेग से गति कर रहा है और यह $ z $-अक्ष को $ z = a $ पर काटता है। इसलिए, इसकी मूल स्थिति को $ \mathbf{r}_i = (0, y_0, a) $ के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है, जहाँ $ y_0 $ कण की मूल $ y $-निर्देशांक है।

कोणीय संवेग: कोणीय संवेग $ \mathbf{L} $ के बारे में एक कण के उत्पति के बारे में निम्नलिखित दिया गया है: $$ \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} $$ जहाँ $ \mathbf{p} = m \mathbf{v} $ कण के रैखिक संवेग है।

मूल कोणीय संवेग: टकराव से पहले कण के उत्पति के बारे में कोणीय संवेग निम्नलिखित है: $$ \mathbf{L}_i = \mathbf{r}_i \times (m \mathbf{v}) = (0, y_0, a) \times (0, mv, 0) $$ क्रॉस उत्पाद की गणना निम्नलिखित है: $$ \mathbf{L}_i = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & y_0 & a \ 0 & mv & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(y_0 \cdot 0 - a \cdot mv) - \hat{j}(0 \cdot 0 - a \cdot 0) + \hat{k}(0 \cdot mv - 0 \cdot y_0) $$ इसे सरल करने पर: $$ \mathbf{L}_i = -a mv \hat{i} $$

प्रतिक्रिया के बाद की स्थितियाँ: टकराव के बाद $ y = \text{constant} $ पर दीवार के साथ अपवर्जन के बाद $ y $-अक्ष के घटक के वेग की दिशा उलट जाती है, जबकि $ z $-अक्ष के घटक अपरिवर्तित रहता है। इसलिए, नए वेग के रूप में: $$ \mathbf{v}’ = -v \hat{e}_y $$

अंतिम कोणीय संवेग: टकराव के बाद कोणीय संवेग निम्नलिखित है: $$ \mathbf{L}_f = \mathbf{r}_f \times (m \mathbf{v}’) $$ टकराव के बाद कण की स्थिति $ z $-अक्ष के दिशा में अपरिवर्तित रहती है, इसलिए हम अभी भी $ \mathbf{r}_f = (0, y_0, a) $ का उपयोग कर सकते हैं: $$ \mathbf{L}_f = (0, y_0, a) \times (0, -mv, 0) $$ इस क्रॉस उत्पाद की गणना निम्नलिखित है: $$ \mathbf{L}_f = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ 0 & y_0 & a \ 0 & -mv & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(y_0 \cdot 0 - a \cdot (-mv)) - \hat{j}(0 \cdot 0 - a \cdot 0) + \hat{k}(0 \cdot (-mv) - 0 \cdot y_0) $$ इसे सरल करने पर:

$$ \mathbf{L}_f = a mv \hat{i} $$

अंगुलीय संवेग में परिवर्तन: अंगुलीय संवेग में परिवर्तन $ \Delta \mathbf{L} $ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है: $$ \Delta \mathbf{L} = \mathbf{L}_f - \mathbf{L}_i = (a mv \hat{i}) - (-a mv \hat{i}) = a mv \hat{i} + a mv \hat{i} = 2a mv \hat{i} $$

इस प्रकार, कण दीवार से अप्रतिस्थापित प्रतिध्वनि के दौरान मूल बिंदु के संबंध में अंगुलीय संवेग में परिवर्तन है: $$ \boxed{2m v a \hat{\mathbf{e}}_{x}} $$

• विकल्प (a) $m v a \hat{\mathbf{e}}_{x}$:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि यह अप्रतिस्थापित प्रतिध्वनि के कारण वेग में परिवर्तन के कारण उत्पन्न गुणांक 2 को गणना में नहीं लेता है। सही अंगुलीय संवेग में परिवर्तन में प्रारंभिक और अंतिम वेग के अंतर के कारण गुणांक 2 आता है।

• विकल्प (c) $y m v \hat{\mathbf{e}}_{x}$:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें चर $y$ के बजाय $a$ का उपयोग गलत है। अंगुलीय संवेग में परिवर्तन वह स्थिति पर निर्भर करता है जहां पथ $z$-अक्ष को काटता है, जो $z = a$ दिया गया है।

• विकल्प (d) $2 y m v \hat{\mathbf{e}}_{x}$:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें चर $y$ के बजाय $a$ का उपयोग गलत है। अंगुलीय संवेग में परिवर्तन के सही व्यंजक में $z = a$ पर वह स्थिति शामिल होनी चाहिए जहां पथ $z$-अक्ष को काटता है।

उत्तर (d) हम जानते हैं कि आवर्त त्वरण

$$ \alpha=\frac{d \omega}{d t} \text {, दिया गया } \omega=\text { constant } $$

जहां $\omega$ डिस्क का आवर्त वेग है

$$ \Rightarrow \quad \alpha=\frac{d \omega}{d t}=\frac{0}{d t}=0 $$

इसलिए, आवर्त त्वरण शून्य होता है।

• (a) घूर्णन की दिशा समान रहती है: यह कथन सही है क्योंकि यदि डिस्क समान आवर्त वेग से घूमती है, तो घूर्णन की दिशा बदलती नहीं है।

• (ब) घूर्णन अक्ष की दिशा समान रहती है: यह कथन सत्य है क्योंकि एक डिस्क एकसमान कोणीय वेग से घूम रही है, तो घूर्णन अक्ष की दिशा स्थिर रहती है।

• (स) घूर्णन की गति शून्य नहीं है और समान रहती है: यह कथन सत्य है क्योंकि एकसमान कोणीय वेग का अर्थ है कि घूर्णन गति नियत और शून्य नहीं होती है।

सोचने की प्रक्रिया

दो वस्तुओं के लिए यदि द्रव्यमान समान हो, तो वह वस्तु जिसका द्रव्यमान अक्ष से अधिक दूरी पर वितरित होता है, उसका जड़त्व आघूर्ण अधिक होता है।

उत्तर (ब) दिए गए चित्र में, जब छोटे टुकड़े $Q$ को हटा लिया जाता है और इसे प्लेट के केंद्र में जोड़ दिया जाता है, तो द्रव्यमान $z$-अक्ष के निकट आ जाता है, इसलिए जड़त्व आघूर्ण घट जाता है।

• विकल्प (ए) बढ़ जाएगा: यह गलत है क्योंकि द्रव्यमान को घूर्णन अक्ष (जो $z$-अक्ष है) के निकट ले जाने से जड़त्व आघूर्ण कम हो जाता है। जड़त्व आघूर्ण घूर्णन अक्ष के संबंध में द्रव्यमान के वितरण पर निर्भर करता है, और द्रव्यमान को अक्ष के निकट ले जाने से यह कम हो जाता है।

• विकल्प (स) समान रहेगा: यह गलत है क्योंकि द्रव्यमान के पुनर्वितरण जड़त्व आघूर्ण पर प्रभाव डालता है। एक टुकड़े को हटा लिया जाता है और फिर इसे केंद्र में जोड़ दिया जाता है, जिससे द्रव्यमान का वितरण बदल जाता है, इसलिए जड़त्व आघूर्ण बदल जाता है।

• विकल्प (द) अनुमान न लगाए बिना बदल जाएगा: यह गलत है क्योंकि जड़त्व आघूर्ण के परिवर्तन को घूर्णन गति के सिद्धांतों के आधार पर अनुमान लगाया जा सकता है। विशेष रूप से, द्रव्यमान को घूर्णन अक्ष के निकट ले जाने से जड़त्व आघूर्ण कम हो जाता है।

उत्तर (c) आकृति में दिखाए गए आसन्न चित्र में, एक विकर्ण के अनुदिश एक रेखा खींची गई है। पहले वस्तु के गुरुत्व केंद्र दृढ़ रेखा पर था और इसे केंद्र से $Q$ की ओर विस्थापित कर दिया गया है (प्रथम चतुर्थांश)।

जब द्रव्यमान हटा दिया जाता है, तो यह एक ही रेखा पर रहेगा लेकिन केंद्र से दूर और नीचे (तीसरे चतुर्थांश) विस्थापित हो जाएगा। चित्र में $X$ द्वारा गुरुत्व केंद्र की स्थिति दिखाई गई है।

• विकल्प (a) I: प्लेट के गुरुत्व केंद्र प्रथम चतुर्थांश में नहीं हो सकता क्योनकि प्रथम चतुर्थांश से द्रव्यमान हटा दिया गया है, जिसके कारण गुरुत्व केंद्र इस क्षेत्र से दूर विस्थापित हो गया है।

• विकल्प (b) II: प्लेट के गुरुत्व केंद्र द्वितीय चतुर्थांश में नहीं हो सकता क्योंकि द्रव्यमान के हटाने और गुरुत्व केंद्र के विस्थापन के कारण इस चतुर्थांश पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। विस्थापन विकर्ण रेखा के अनुदिश होता है जिसके कारण गुरुत्व केंद्र तीसरे चतुर्थांश में जाता है।

• विकल्प (d) IV: प्लेट के गुरुत्व केंद्र चतुर्थ चतुर्थांश में नहीं हो सकता क्योंकि द्रव्यमान के हटाने से गुरुत्व केंद्र विकर्ण रेखा के अनुदिश तीसरे चतुर्थांश की ओर विस्थापित हो जाता है, न कि चतुर्थ चतुर्थांश की ओर।

उत्तर (a) घनत्व निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \rho(x)=a(1+b x^{2}) $$

जहाँ $a$ और $b$ स्थिरांक हैं और $0 \leq x \leq 1$ है।

मान लीजिए $b = 0$, इस स्थिति में

$$ \rho(x)=a=\text { स्थिरांक } $$

अतः गुरुत्व केंद्र $x=0.5 m$ पर होगा। (छड़ के मध्य में)

Putting, $b=0$ सभी विकल्पों में, केवल (a) 0.5 देता है।

नोट: हमें $a=0$ के द्वारा विकल्पों की जांच नहीं करनी चाहिए, क्योंकि $a=0$ के लिए $\rho=0$ होता है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि जब $ b = 0 $, तो यह सरलीकृत होकर $\frac{4 \cdot 2}{3 \cdot 3} = \frac{8}{9} \neq 0.5$ बनता है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि जब $ b = 0 $, तो यह सरलीकृत होकर $\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 2} = \frac{9}{8} \neq 0.5$ बनता है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि जब $ b = 0 $, तो यह सरलीकृत होकर $\frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 2} = 2 \neq 0.5$ बनता है।

उत्तर (a) तंत्र पर कोई बाहरी बलआघूर्ण कार्य नहीं करता है, इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहेगा। इसलिए $$I \omega= constant$$ जहाँ, $I$ तंत्र के जड़त्व आघूर्ण है और $\omega$ तंत्र की कोणीय चाल है। समीकरण (i) से $\quad I_1 \omega_1=I_2 \omega_2$ (जहाँ $\omega_1$ और $\omega_2$ क्रमशः छलांक से पहले और छलांक के बाद कोणीय चाल हैं)

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & I \omega=\frac{I}{2} \times \omega_2 \\ \Rightarrow & \text { (जैसे द्रव्यमान आधा हो जाता है, इसलिए जड़त्व आघूर्ण भी आधा हो जाता है) } \\ & \omega_2=2 \omega \end{matrix} $$

• विकल्प (b) $\omega$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह मान लेता है कि व्यक्ति छलांक कर जाने के बाद कोणीय चाल अपरिवर्तित रहती है। हालांकि, जब व्यक्ति छलांक कर जाता है तो तंत्र के जड़त्व आघूर्ण में परिवर्तन होता है, इसलिए कोणीय चाल को अपनाए बिना कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार अपनाना पड़ता है। तंत्र के जड़त्व आघूर्ण आधा हो जाता है, इसलिए कोणीय चाल दोगुनी हो जानी चाहिए ताकि संवेग संरक्षित रहे।

• विकल्प (c) $\frac{\omega}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह मान लेता है कि कोणीय चाल अपने मूल मान के आधा हो जाती है। यह तंत्र के कोणीय संवेग कम हो जाने के अर्थ होता है, जो कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत के विरोधाभास होता है। जड़त्व आघूर्ण आधा हो जाता है, इसलिए कोणीय चाल बढ़नी चाहिए, न कि घटनी।

• विकल्प (d) 0: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि जब व्यक्ति छोड़ जाता है तो मरी गो रोंड अपना घूर्णन पूरी तरह से बंद कर देता है। इसका अर्थ है कि प्रण विस्थापन के बिना तंत्र के कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए नहीं हो सकता। तंत्र जारी रखता है घूर्णन और कोणीय वेग बढ़ जाना चाहिए ताकि कोणीय संवेग के संरक्षण किया जा सके।

उत्तर $(a, c)$

एक सामान्य घूर्णन गति में, घूर्णन अक्ष सममित नहीं होता। कोणीय संवेग $L$ और कोणीय वेग $\omega$ समानांतर नहीं होना आवश्यक है। एक सामान्य रूप से गति में संवेग $\mathbf{p}=m \mathbf{v}$, इसलिए $\mathbf{p}$ और $\mathbf{v}$ हमेशा समानांतर होते हैं।

• विकल्प (b) के लिए: एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति में, कोणीय संवेग $\mathbf{L}$ और कोणीय वेग $\omega$ हमेशा समानांतर नहीं होते हैं। इसका कारण अक्ष के चारों ओर द्रव्यमान के वितरण के कारण कोणीय संवेग के घटक अक्ष के अक्ष के समानांतर नहीं हो सकते।

• विकल्प (d) के लिए: एक सामान्य रूप से गति में, त्वरण $\mathbf{a}$ और वेग $\mathbf{v}$ हमेशा समानांतर नहीं होते हैं। इसका कारण त्वरण के घटक वेग की दिशा को बदल सकते हैं, जैसे कि वृत्तीय गति में त्वरण वेग के लंबवत होता है।

उत्तर a, b और c

दो कणों के बारे में बिंदु (A) के संबंध में कोणीय संवेग के विश्लेषण के लिए, हम कोणीय संवेग के सूत्र $ \mathbf{I} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} $ का उपयोग कर सकते हैं, जहाँ $ \mathbf{r} $ बिंदु (A) से कण तक के स्थिति सदिश है, और $ \mathbf{p} $ कण के रैखिक संवेग है।

बिंदु A के संबंध में कण 1 के कोणीय संवेग:

बिंदु (A) से कण 1 तक के स्थिति सदिश $ \mathbf{r_1} $ है $ r_1 $। कण 1 के संवेग $ \mathbf{p_1} $ है $ mv $ जो इसके वेग की दिशा में है। कोणीय संवेग $ I_1 $ द्वारा दिया गया है: $$ I_1 = \mathbf{r_1} \times \mathbf{p_1} = r_1 \cdot m_v \cdot \sin(\theta_1) $$ यहाँ, $ \theta_1 $ $ \mathbf{r_1} $ और $ \mathbf{p_1} $ के बीच कोण है। कण संतति अक्ष के समानांतर गति कर रहे हैं और (A) गति के रेखा के ऊपर है, इसलिए $ \sin(\theta_1) = 1 $ (कोण $ 90^\circ $ है)। इसलिए, $ I_1 = mv \cdot d_1 $। निष्कर्ष: विकल्प (a) सही है।

बिंदु A के संबंध में कण 2 के कोणीय संवेग:

बिंदु (A) से कण 2 तक के स्थिति सदिश $ \mathbf{r2} $ है $ r_2 $। कण 2 के संवेग $ \mathbf{p_2} $ है $ mv $ जो इसके वेग के विपरीत दिशा में है। कोणीय संवेग $ I_2 $ द्वारा दिया गया है: $$ I_2 = \mathbf{r_2} \times \mathbf{p_2} = r_2 \cdot mv \cdot \sin(\theta_2) $$ फिर, $ \sin(\theta_2) = 1 $ क्योंकि कोण भी $ 90^\circ $ है।

अतः, $ I_2 = mv \cdot d_2 $।

निष्कर्ष: विकल्प (b) सही है।

बिंदु A के संदर्भ में प्रणाली के कुल आवेग:

कुल आवेग (I) दोनों कणों के आवेगों के योग होता है: $$ I = I_1 + I_2 = mv \cdot d_1 + mv \cdot d_2 = mv(d_1 + d_2) $$ निष्कर्ष: विकल्प (c) सही है।

कुल आवेग (d2 - d1) के संदर्भ में:

अभिव्यक्ति $ I = mv(d_2 - d_1) $ कुल आवेग को सही तौर पर प्रस्तुत नहीं करती है क्योंकि यह दोनों योगदानों के धनात्मक रूप से गिने जाने के लिए उपयोग नहीं करती है। कुल आवेग दोनों कणों के योगदानों के योग होता है, जो $ mv(d_1 + d_2) $ होता है। निष्कर्ष: विकल्प (d) गलत है।

उत्तर $(a, b, c, d)$

हम जानते हैं कि कणों के एक प्रणाली पर आघूर्ण $\tau=\mathbf{r} \times \mathbf{F}=\mathbf{F} \sin \theta \hat{\mathbf{n}}$

जहाँ, $\theta$ बिंदु $\mathbf{r}$ और $\mathbf{F}$ के बीच कोण है, और $\hat{\mathbf{n}}$ दोनों $\mathbf{r}$ और $\mathbf{F}$ के लंबवत एक एकक सदिश है।

(a) जब बल वृत्तीय रूप से कार्य करते हैं, $\theta=90^{\circ}$, $r = 0$, अतः $\tau =0$ [समीकरण (i) से]

(b) जब बल घूर्णन अक्ष पर कार्य करते हैं, $r=0,\tau =0$ [समीकरण (i) से]

(c) जब बल घूर्णन अक्ष के समानांतर कार्य करते हैं $\theta=0^{\circ},\tau =0$

(d) जब कुछ बलों द्वारा उत्पन्न आघूर्ण अन्य बलों द्वारा उत्पन्न आघूर्ण के बराबर और विपरीत होते हैं, $\tau_{\text {net }}=\tau_1-\tau_2=0$ [समीकरण (i) से]

• दिए गए उत्तर में कोई गलत विकल्प नहीं है। सभी विकल्प (a, b, c, d) एक अक्ष के संदर्भ में एक प्रणाली पर बाहरी बलों का आघूर्ण शून्य होने की शर्त के साथ संगत हैं।

उत्तर ( $b, c$ )

(a) आसन्न चित्र में विचार करें, जहां $r>r^{\prime}$

$z$-अक्ष के संबंध में बल आघूर्ण $\tau=\mathbf{r} \times \mathbf{F}$ जो $\hat{\mathbf{k}}$ के अनुदिश होता है

(b) $ \tau ^{\prime}={r}^{\prime} \times {F}$ जो $-\hat{{k}}$ के अनुदिश होता है

(c) $ \tau _{z}=F r _{\perp}=$ $z$-अक्ष के संबंध में बल आघूर्ण के माप, जहां, $r _{\perp}$ $\bar{F}$ और z-अक्ष के बीच लंब दूरी है।

स्पष्ट रूप से,

$$ |\tau | _{z ^{\prime}}=F r _{\perp} ^{\prime}$$ $$ r _{\perp}>r _{\perp} ^{\prime} \Rightarrow |\tau | _{z>} |\tau | _{z ^{\prime}}$$

(d) हम हमेशा एक सामान्य अक्ष के संबंध में परिणामी बल आघूर्ण की गणना करते हैं।

अतः, कुल बल आघूर्ण $\tau \neq \tau+\tau^{\prime}$, क्योंकि $\tau$ और $\tau^{\prime}$ सामान्य अक्ष के संबंध में नहीं हैं।

• (a) गलत कारण: बल $\mathbf{F}$ द्वारा $z$-अक्ष के संबंध में बल आघूर्ण $\tau$ के द्वारा $\mathbf{r} \times \mathbf{F}$ द्वारा दिया जाता है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार, बल आघूर्ण वेक्टर की दिशा $\hat{\mathbf{k}}$ के अनुदिश होती है, न कि $-\hat{\mathbf{k}}$। अतः, विकल्प (a) गलत है।

• (d) गलत कारण: कुल बलाघूर्ण बस $\tau$ और $\tau^{\prime}$ के योग नहीं होता क्योंकि वे अलग-अलग अक्ष $z$ और $z^{\prime}$ के बलाघूर्ण हैं। एक सामान्य अक्ष के बलाघूर्ण को ध्यान में रखकर कुल बलाघूर्ण निर्धारित किया जाता है। अतः $\tau \neq \tau + \tau^{\prime}$, जिसके कारण विकल्प (d) गलत है।

सोचने की प्रक्रिया

दो सममिति अक्षों के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण समान होते हैं। जड़त्व आघूर्ण की गणना करने के लिए सममिति के सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है।

उत्तर $(a, d)$

एक घन के जड़त्व आघूर्ण के संबंध में दिए गए कथनों का मूल्यांकन करने के लिए हम घन के गुणों और जड़त्व आघूर्ण की गणना के लिए अक्षों के बारे में ध्यान रखेंगे।

• (a) z-अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण: घन के z-अक्ष (जो घन के केंद्र से गुजरता है) के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$ I_z = I_x + I_y $$ जहाँ $I_x$ और $I_y$ क्रमशः x-अक्ष और y-अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण हैं। यह कथन सत्य है।

• (b) $z^{\prime}$-अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण: $z^{\prime}$-अक्ष z-अक्ष के समानांतर है लेकिन घन के एक फलक से दूरी $ \frac{a}{2} $ है। समानांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार: $$ I_{z’} = I_z + md^2 $$ जहाँ d द्रव्यमान केंद्र से नए अक्ष तक की दूरी है। इस मामले में $d = \frac{a}{2}$, इसलिए: $$ I_{z’} = I_z + m\left(\frac{a}{2}\right)^2 = I_z + \frac{ma^2}{4} $$ अतः कथन $I_z = I_{z’} + \frac{ma^2}{2}$ असत्य है।

• (c) z′′-अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण: z′′-अक्ष भी z-अक्ष के समानांतर है लेकिन एक दूरी (a) द्वारा स्थानांतरित है (इसकी दूरी घन के केंद्र से विपरीत फलक तक है)। फिर से समानांतर अक्ष प्रमेय का उपयोग करते हुए: $$ I_{z’’} = I_z + ma^2 $$ इसलिए, कथन $I_z = I_{z’’} + \frac{ma^2}{2}$ गलत है।

• (d) जड़त्व आघूर्ण के समानता: घन के कारण इसकी सममिति के कारण x-अक्ष और y-अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण समान होते हैं: $$ I_x = I_y $$ इसलिए, कथन $I_x = I_y$ सत्य है।

सोचने की प्रक्रिया

गुरुत्व केंद्र एक दिए गए संरचना के केंद्र होता है लेकिन द्रव्यमान केंद्र एक बिंदु होता है जहां वस्तु के सभी द्रव्यमान को केंद्रित माना जा सकता है।

उत्तर जब वस्तु की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई पृथ्वी की त्रिज्या की तुलना में बहुत छोटी होती है, तो हम वस्तु को छोटी कहते हैं, अन्यथा विस्तारित कहते हैं।

(i) इमारत और तालाब छोटी वस्तुएं हैं।

(ii) गहरी झील और पर्वत विस्तारित वस्तुओं के उदाहरण हैं।

उत्तर एक वस्तु के जड़त्व आघूर्ण को $I=\Sigma m_{i} r_i^{2}$ [प्रत्येक संघटक कण के जड़त्व आघूर्ण के योग] द्वारा दिया जाता है।

एक सिलेंडर में सभी द्रव्यमान $R$ की दूरी पर अक्ष के सममिति अक्ष से होता है लेकिन एक ठोस गोले में अधिकांश द्रव्यमान $R$ से कम दूरी पर होता है।

Answer नीचे दिखाए गए चित्र को ध्यान में रखें

बल $F$ के बल का बिंदु $A$ के संदर्भ में आघूर्ण, $\tau_1=F \times a$ (वृत्तीय घूर्णन के विपरीत दिशा में)

घन के द्रव्यमान $m g$ के बल का बिंदु $A$ के संदर्भ में आघूर्ण,

घन कोई गति नहीं दिखाएगा, यदि $\quad \tau_1=\tau_2$

$(\because$ इस स्थिति में, दोनों आघूर्ण एक दूसरे के प्रभाव को विपरीत करेंगे)

$\therefore \quad F \times a=m g \times \frac{a}{2} \Rightarrow F=\frac{m g}{2}$

घन केवल घूमेगा जब, $\tau_1>\tau_2$

$$ \Rightarrow \quad F \times a>m g \times \frac{a}{2} \Rightarrow F>\frac{m g}{2} $$

मान लीजिए अभिलाक्षणिक बल बिंदु $A$ से $\frac{a}{3}$ दूरी पर कार्य करता है, तो

$$ m g \times \frac{a}{3}=F \times a \text { या } F=\frac{m g}{3} $$

(कोई गति नहीं)

जब $F=\frac{m g}{4}$ जो $\frac{m g}{3}$ से कम है।

$$ (F<\frac{m g}{3}) $$

कोई गति नहीं होगी।

$\therefore \quad$

(a) $ \rightarrow $ (ii)

(b) $ \rightarrow$ (iii)

(c) $ \rightarrow$ (i)

(d) $ \rightarrow$ (iv)

Answer चित्र में एक गोला जिसकी द्रव्यमान $m$ तथा त्रिज्या $R$ है, फर्श से $h$ ऊँचाई पर क्षैतिज रूप से प्रहार किया जाता है

जब गोला केंद्र गति के बिना घूमता है तो $\omega=\frac{v}{r}$, जहाँ, $v$ रेखीय वेग तथा $\omega$ गोले की कोणीय वेग है।

अब, गोले के केंद्र गति के बारे में आवेग के लिए

[हम घर्षण के बिना आवेग के संरक्षण के नियम को लागू कर रहे हैं]

$$ \begin{aligned} m v(h-R) & =I \omega=(\frac{2}{5} m R^{2})(\frac{v}{R}) \\ \Rightarrow \quad m v(h-R) & =\frac{2}{5} m v R \\ h-R & =\frac{2}{5} R \Rightarrow h=\frac{7}{5} R \end{aligned} $$

इसलिए, गोला केंद्र गति के बिना घूमता है तथा नियत वेग से चलता है तथा ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती, इसलिए

(d) $ \rightarrow$ (i)

आवेग के कारण लगाए गए बल $F$ के केंद्र गति के बारे में आवेग

$$ \tau=F(h-R) $$

$\tau=0$ के लिए, $h=R$, गोला केवल अनुसरण गति करता है। यह घर्षण के कारण ऊर्जा हानि होती है।

इसलिए,

$$ \text { (b) } \rightarrow \text { (iv) } $$

$$

गोला तब घड़ी के सामने घूमेगा जब $\tau>0 \Rightarrow h>R$

इसलिए,

(c) $ \rightarrow$ (ii)

गोला तब घड़ी के पीछे घूमेगा जब $\tau<0 \Rightarrow h<R$, (a) $ \rightarrow$ (iii)

उत्त र नहीं, आवश्यक नहीं है।

दिया गया है,

$$ \sum_{i} F_{i} \neq 0 $$

किसी निश्चित बिंदु $ O, \sum _{i} \mathbf{r} _i \times \mathbf{F}_i=0$

कोई अन्य बिंदु $O^{\prime}$ के संबंध में बलाघूर्णों के योग

यहां, दूसरा पद शून्य नहीं हो सकता।

$$ \sum_i (r_i-a) \times F_i = \sum_i r_i \times F_i-a \times \sum_i F_i $$

इसलिए, कोई भी अनुचित बिंदु के संबंध में बलाघूर्णों के योग आवश्यक रूप से शून्य नहीं हो सकता।

उत्तर चक्र एक ठोस वस्तु है। चक्र के घटक कण अपने केंद्र की ओर अभिकेंद्रीय त्वरण का अनुभव करते हैं। यह त्वरण आंतरिक तन्य बलों के कारण होता है, जो जोड़े के रूप में विपरीत दिशा में विरोध करते हैं।

एक अर्ध चक्र में, इसके केंद्र द्रव्यमान के संबंध में द्रव्यमान का वितरण सममित नहीं होता है (जिसके माध्यम से घूर्णन अक्ष गुजरता है)। इसलिए, चक्र के कोणीय संवेग की दिशा इसके कोणीय वेग की दिशा से मेल नहीं खाती है। इसलिए, अर्ध चक्र की गति को बनाए रखने के लिए बाह्य बलाघूर्ण की आवश्यकता होती है।

उत्तर चित्र में दरवाजे के भार के ऋणात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश कार्य करता है।

एक बल केवल अपने अक्ष के लंब दिशा में बल आघूर्ण उत्पन्न कर सकता है क्योंकि $\tau=\mathbf{r} \times \mathbf{F}$. इसलिए, जब दरवाजा $xy$-समतल में होता है, तो गुरुत्वाकर्षण द्वारा उत्पन्न बल आघूर्ण केवल $\pm z$ दिशा में हो सकता है, कभी भी $y$-दिशा के अक्ष के चारों ओर नहीं।

इसलिए, भार $y$-अक्ष के संदर्भ में कोई बल आघूर्ण नहीं उत्पन्न करेगा।

सोचने की प्रक्रिया

दो डिस्कों के बीच घर्षण के कारण, समय के बाद प्रणाली के सामान्य घूर्णन वेग हो जाएगा।

उत्तर नीचे दिए गए चित्र को ध्यान में रखिए

मान लीजिए प्रणाली के सामान्य घूर्णन वेग $\omega$ है।

(a) हाँ, आवर्त गति के संरक्षण के नियम को इस स्थिति में लागू किया जा सकता है। क्योंकि, दो डिस्कों के प्रणाली पर कोई बाहरी आघूर्ण नहीं है।

बाहरी बल, गुरुत्व और अभिलम्ब बल, घूर्णन अक्ष के माध्यम से कार्य करते हैं, इसलिए आघूर्ण नहीं उत्पन्न करते हैं।

(b) आवर्त गति के संरक्षण के अनुसार

$$ \begin{aligned} L_{f} =L_{i} \Rightarrow I \omega & =I_1 \omega_1+I_2 \omega_2 \\ \Rightarrow \omega & =\frac{I_1 \omega_1+I_2 \omega_2}{I}=\frac{I_1 \omega_1+I_2 \omega_2}{I_1+I_2} \quad(\because I=I_1+I_2) \end{aligned} $$

(c) $K_{f}=\frac{1}{2}(I_1+I_2) \frac{(I_1 \omega_1+I_2 \omega_2)^{2}}{(I_1+I_2)^{2}}=\frac{1}{2} \frac{(I_1 \omega_1+I_2 \omega_2)^{2}}{(I_1+I_2)}$

$$ \begin{aligned} & K_{i}=\frac{1}{2}(I_1 \omega_1^{2}+I_2 \omega_2^{2}) \\ & \Delta K=K_{f}-K_{i}=-\frac{I_1 I_2}{2(I_1+I_2)}(\omega_1-\omega_2)^{2}<0 \end{aligned} $$

(d) अतः, प्रणाली में गतिज ऊर्जा की हानि होती है। गतिज ऊर्जा की हानि मुख्य रूप से दो डिस्कों के बीच घर्षण के विरुद्ध कार्य के कारण होती है।

Answer (a) मेज के संपर्क में लाए जाने से पहले डिस्क शुद्ध घूर्णन गति में थी, इसलिए $v_{CM}=0$।

(b) जब डिस्क को मेज के संपर्क में रखा जाता है तो घर्षण के कारण वृत्तीय त्रिज्या पर एक बिंदु की चाल कम हो जाती है।

(c) घूम रही डिस्क को मेज के संपर्क में रखे जाने पर घर्षण के कारण गुरुत्व केंद्र को कुछ रेखीय चाल प्राप्त हो जाती है।

(d) (b) और (c) में लिए गए प्रभावों के लिए घर्षण उत्तरदायी है।

(e) जब घूर्णन शुरू होता है $v_{CM}=\omega R$।

जहाँ $\omega$ डिस्क के घूर्णन शुरू होने के ठीक पहले डिस्क के कोणीय वेग है।
(f) घर्षण के कारण गुरुत्व केंद्र में उत्पन्न त्वरण

घर्षण के कारण बल द्वारा उत्पन्न कोणीय अवमन्दन।

$ \alpha =\frac{\tau}{I}=\frac{\mu_{k} m g R}{I} {[\because \tau=(\mu_{k} N) R=\mu_{k} m g R]} $

$\therefore v_{CM} =u_{CM}+a_{CM} t $

$\Rightarrow v_{CM} =\mu_{k} g t $

$\text { और } \omega =\omega_0+\alpha t $

$\Rightarrow \omega =\omega_0-\frac{\mu_{k} m g R}{I} t $

प्रक्षिप्त गति के बिना घूर्णन के लिए, $\frac{V_{CM}}{R}=\omega$

$$ \Rightarrow \quad \begin {aligned} \frac{v_{CM}}{R} & =\omega_0-\frac{\mu_{k} m g R}{l} t \\ \frac{\mu_{k} g t}{R} & =\omega_0-\frac{\mu_{k} m g R}{l} t \\ t & =\frac{R \omega_0}{\mu_{k} g(1+\frac{m R^{2}}{l})} \end{aligned} $$

*नोट: इस समस्या में, घर्षण बल शुद्ध घूर्णन गति को स्थापित करने में सहायता करता है।

उत्तर (a) नीचे दिखाए गए स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हमने घर्षण बलों को दिखाया है।

संपर्क बिंदु पर वेग घर्षण

$F \uparrow$ बाएं ड्रम पर बल (ऊपर)

घर्षण

$F \downarrow$ दाएं ड्रम पर बल (नीचे) (b) $F^{\prime}=F=F^{\prime \prime}$ जहां $F^{\prime}$ और $F^{\prime \prime}$ समर्थन के माध्यम से बाहरी बल हैं।

$\Rightarrow \quad F_{\text {net }}=0$

(प्रत्येक सिलिंडर पर)

बाहरी बलात्कार $=F \times 3 R$, (विपरीत घड़ी के चारों ओर)

(c) मान लीजिए $\omega_1$ और $\omega_2$ क्रमशः छोटे और बड़े ड्रम के अंतिम कोणीय वेग हैं (विपरीत घड़ी के चारों ओर और घड़ी के चारों ओर क्रमशः)

अंत में घर्षण नहीं होगा।

अतः, $\quad R \omega_1=2 R \omega_2 \Rightarrow \frac{\omega_1}{\omega_2}=2$

नोट: हम घर्षण बलों की दिशा को इंगित करते समय बहुत सावधान रहना चाहिए।

उत्तर प्रश्न के अनुसार,

वर्ग का क्षेत्रफल = आयताकार प्लेट का क्षेत्रफल

$\Rightarrow \quad c^{2}=a \times b \Rightarrow c^{2}=a b$

अब परिभाषा के अनुसार

(a)

$$ \frac{I_{x R}}{I_{x S}}=\frac{b^{2}}{c^{2}} $$

$[\because I \propto(area)^{2}]$

चित्र से $b<c$

$\Rightarrow \quad \frac{I_{x R}}{I_{x S}}=(\frac{b}{c})^{2}<1 \Rightarrow I_{x R}<I_{x S}$

(b)

$$ \frac{I_{y_{R}}}{I_{y_{S}}}=\frac{a^{2}}{c^{2}} $$

क्योंकि

$$ a>c $$

$$ \frac{I_{y_{R}}}{I_{y_{S}}}=(\frac{a}{c})^{2}>1 $$

(c) $I_{z R}-I_{z S} \propto(a^{2}+b^{2}-2 c^{2})=a^{2}+b^{2}-2 a b=(a-b)^{2} \quad[\because c^{2}=a b]$

$$ \Rightarrow \quad(I_{z R}-I_{z S})>0 \Rightarrow \frac{I_{z R}}{I_{z S}}>1 $$

चिंतन प्रक्रिया

चकती पर घर्षण बल $F$ के विपरीत दिशा में होगा और चकती के घड़ी के विपरीत दिशा में घूर्णन को समर्थन देगा।

उत्तर नीचे दिए गए चित्र को ध्यान में रखें

चकती पर घर्षण बल $(f)$, $F$ के विपरीत दिशा में कार्य करता है।

मान लीजिए चकती के गुरुत्व केंद्र के त्वरण $a$ है तो

$$ F - f = M a $$

जहाँ $M$ चकती के द्रव्यमान है

चकती का कोणीय त्वरण है

$\alpha = a / R $

$ \tau = I \alpha$

समीकरण (i) और (ii) से हम प्राप्त करते हैं

$ f = F / 3 \quad[\because N = M g] $

$\because f \leq \mu N = \mu M g $

$\Rightarrow \frac{F}{3} \leq \mu M g \Rightarrow F \leq 3 \mu M g $ $\Rightarrow F_{\max } = 3 \mu M g$