इस समस्या में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन एक-दूसरे के बल के प्रभाव में गति कर रहे हैं, इसलिए वे एक दूसरे के बीच रेखा के मध्य बिंदु के चारों ओर वृत्ताकार गति करेंगे।

उत्तर

(b) इसका कारण यह है कि चुंबकीय बल आवेशित कणों के वेग के लंबवत कार्य करता है, जिसके कारण कणों पर कोई कार्य नहीं होता। इसलिए, चुंबकीय बल प्रणाली की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के लिए योगदान नहीं देता। बजाय इसके, मुख्य ध्यान आवेशीय बल पर होता है, जो कार्य करता है और कणों की गतिज ऊर्जा पर प्रभाव डालता है।

• (a) दो चुंबकीय बल बराबर और विपरीत होते हैं, लेकिन उनके कार्य के लिए वे बराबर नहीं होते क्योंकि कार्य बल के दिशा और विस्थापन पर निर्भर करता है, बल के आकार पर नहीं।
• (c) चुंबकीय बल प्रत्येक कण पर कार्य नहीं करते क्योंकि बल गति की दिशा के लंबवत होता है, इसलिए कोई कार्य नहीं होता।
• (d) चुंबकीय बल आवश्यक रूप से नगण्य नहीं होते; वे गति के लंबवत होते हैं, जिसके कारण कोई कार्य नहीं होता।

उत्तर

(c) दो प्रोटॉन के बीच बल प्रोटॉन और पॉजिट्रॉन के बीच बल के समान है।

पॉजिट्रॉन प्रोटॉन से कहीं भी हल्का होता है, इसलिए इसके द्वारा अधिक दूर तक गति होती है।

हम जानते हैं कि कार्य $ W = बल \times दूरी $ होता है। जबकि प्रोटॉन और पॉजिट्रॉन के मामले में बल समान होता है, लेकिन पॉजिट्रॉन द्वारा गति की दूरी अधिक होती है, इसलिए कार्य अधिक होता है।

• (a) दोनों प्रयोगों में कार्य समान नहीं होता क्योंकि, बल नियम समान होता है, लेकिन पॉजिट्रॉन के कम द्रव्यमान के कारण इसके द्वारा अधिक दूर तक गति होती है, जिसके कारण पॉजिट्रॉन पर अधिक कार्य किया जाता है।
• (b) पॉजिट्रॉन के मामले में कार्य कम नहीं होता। यह वास्तव में सच है कि पॉजिट्रॉन तेजी से दूर जाता है और बल कमजोर हो जाता है, लेकिन कार्य के संबंध में बल और गति की दूरी दोनों के आधार पर निर्भर करता है। चूंकि पॉजिट्रॉन अधिक दूर तक गति करता है, इसलिए कार्य वास्तव में अधिक होता है।
• (d) आवेशित कण द्वारा स्थिर प्रोटॉन पर किया गया कार्य गतिशील कणों पर किये गए कार्य के समान नहीं होता। स्थिर प्रोटॉन गति नहीं करता, इसलिए इस पर कोई कार्य नहीं किया जाता। गतिशील कणों पर किया गया कार्य उनके गति की दूरी पर निर्भर करता है, जो पॉजिट्रॉन के मामले में अधिक होती है।

उत्तर

(d) जब आदमी जमीन पर बैठा होता है तो वह थोड़ा झुका होता है, इसलिए इस मामले में उसके भार के अलावा घर्षण बल के संतुलन के लिए भी ध्यान देना पड़ता है।

$R=$ प्रतिक्रिया बल $=$ घर्षण + $m g$

$\Rightarrow \quad R>m g$

जब व्यक्ति उस स्थिति में ऊपर खड़ा हो जाता है तब घर्षण $\approx 0$

$\Rightarrow \quad$ प्रतिक्रिया बल $\approx m g$

• (a) जमीन के व्यक्ति पर प्रतिक्रिया बल नियत नहीं होता और इसका परिमाण $ mg $ बराबर नहीं होता क्योंकि जब व्यक्ति बैठकर फिर खड़ा होता है तो उस पर कार्य करने वाले बल में परिवर्तन होता है। प्रारंभ में प्रतिक्रिया बल न केवल उसके भार को बल बराबर करे बल्कि उसके गति के कारण अतिरिक्त बलों को भी बराबर करे, जिसके कारण यह चर बल होता है और नियत नहीं होता।

• (b) जमीन के व्यक्ति पर प्रतिक्रिया बल नियत नहीं होता और इसका परिमाण $ mg $ से अधिक होता है क्योंकि प्रतिक्रिया बल प्रक्रिया के दौरान बदलता रहता है। जब व्यक्ति ऊपर तेजी से चलता है तब यह बल $ mg $ से अधिक होता है लेकिन जब वह खड़ा हो जाता है तब यह बल $ mg $ के बराबर हो जाता है।

• (c) जमीन के व्यक्ति पर प्रतिक्रिया बल हमेशा $ mg $ से अधिक नहीं होता क्योंकि जब व्यक्ति खड़ा हो जाता है और तेजी नहीं लगाता है तब प्रतिक्रिया बल $ mg $ के बराबर हो जाता है। इसलिए, यह हमेशा $ mg $ से अधिक नहीं होता; यह केवल ऊपर तेजी के चरण में अधिक होता है।

इस समस्या में घर्षण के कारण ऊर्जा खो जाती है।

Answer

(c) यहाँ, घर्षण बल द्वारा साइकिल पर कार्य किया जाता है

W = $200 \times 10=-2000 J$.

क्योंकि सड़क गतिशील नहीं है, इसलिए साइकिल द्वारा सड़क पर किया गया कार्य = शून्य।

Note: हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि साइकिल चालक की ऊर्जा गति के दौरान घर्षण के रूप में ऊष्मा के रूप में खो जाती है।

• विकल्प (a) +2000 जूल: यह विकल्प गलत है क्योंकि घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य नकारात्मक होता है, क्योंकि यह गति के विपरीत होता है। इसलिए, कार्य धनात्मक नहीं हो सकता।

• विकल्प (ब) -200 जूल: यह विकल्प गलत है क्योंकि घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य बल के बराबर दूरी के गुणनफल के रूप में गणना किया जाता है, जो $200 N \times 10 m = 2000 J$ होता है। सही मान $-2000 J$ होना चाहिए, न कि $-200 J$।

• विकल्प (डी) $-20,000$ जूल: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह घर्षण बल द्वारा किये गए कार्य का अतिक्रमण करता है। सही गणना $200 N \times 10 m = 2000 J$ होती है, इसलिए कार्य $-2000 J$ होना चाहिए, न कि $-20,000 J$।

उत्तर

(c) जब वस्तु गुरुत्वाकर्षण के कारण स्वतंत्र रूप से गिर रही है, तो स्थितिज ऊर्जा घटती जाती है और किण्वी ऊर्जा बढ़ती जाती है, लेकिन वस्तु और पृथ्वी के प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा ( $P E+K E$ ) स्थिर रहती है क्योंकि प्रणाली पर बाहरी बल शून्य होते हैं।

• (a) किण्वी ऊर्जा: वस्तु गिरते समय इसकी किण्वी ऊर्जा बढ़ती जाती है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण इसकी चाल बढ़ती है।

• (b) स्थितिज ऊर्जा: वस्तु गिरते समय इसकी स्थितिज ऊर्जा घटती जाती है क्योंकि इसकी जमीन से ऊंचाई कम होती जाती है।

• (d) कुल रैखिक संवेग: वस्तु गिरते समय इसका कुल रैखिक संवेग बढ़ता जाता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण इसकी चाल बढ़ती है।

दो वस्तुओं के बीच अप्रत्यावर्ती संघटन के कारण कुछ विकृति होती है, ऊर्जा ध्वनि और गर्मी के रूप में खो जाती है।

उत्तर

(c) जब हम दो वस्तुओं को प्रणाली के रूप में लेते हैं तो प्रणाली पर कुल बाहरी बल शून्य होते हैं।

अतः, प्रणाली के कुल रेखीय संवेग के संरक्षण होता रहता है।

• (a) कुल कार्यशक्ति: अप्रत्यास्थ संघटन में, कार्यशक्ति के कुछ भाग अन्य रूपों में बदल जाते हैं, जैसे कि ऊष्मा, ध्वनि या विकृति ऊर्जा। अतः, कुल कार्यशक्ति संरक्षित नहीं रहती।

• (b) कुल यांत्रिक ऊर्जा: कार्यशक्ति और स्थितिज ऊर्जा दोनों के योग के रूप में कुल यांत्रिक ऊर्जा, अप्रत्यास्थ संघटन में संरक्षित नहीं रहती क्योंकि कुछ यांत्रिक ऊर्जा ऊष्मा या ध्वनि जैसे अन्य रूपों में बदल जाती है।

• (d) प्रत्येक वस्तु की चाल: अप्रत्यास्थ संघटन के दौरान, संघटित वस्तुओं के बीच संवेग और ऊर्जा के परिवर्तन के कारण प्रत्येक वस्तु की चाल बदल जाती है। अतः, प्रत्येक वस्तु की चाल संरक्षित नहीं रहती।

Answer

(c) चूंकि दिए गए पथ घर्षण रहित हैं, अतः यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण होता है। दोनों पथों की एक ही ऊँचाई, $h$ है।

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के अनुसार,

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} m v^{2} & =m g h \quad \text { (दोनों पथों $\mathbf{I}$ और $\mathbf{II}$ के लिए) } \\ v & =\sqrt{2 g h}

\end{aligned} $$

इसलिए, दोनों पत्थरों के लिए वेग समान है।

पत्थर $\mathbf{I}$ के लिए, $a_1=g \sin \theta_1$

उसी तरह, पत्थर $\mathbf{II}$ के लिए, $a_2=g \sin \theta_2$

क्योंकि $\theta_2>\theta_1$ इसलिए, $a_2>a_1$.

और पथ $\mathbf{II}$ की लंबाई भी कम है इसलिए, पत्थर $\mathbf{II}$ पत्थर $\mathbf{I}$ से पहले तल पर पहुँच जाएगा।

• विकल्प (a): यह विकल्प गलत है क्योंकि यद्यपि दोनों पत्थर यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के कारण तल पर समान वेग के साथ पहुँचेंगे, लेकिन वे एक ही समय पर तल पर नहीं पहुँचेंगे। ढलान वाले पथ पर (पत्थर $\mathbf{II}$) एक बड़ा त्वरण और छोटा पथ होने के कारण यह पहले तल पर पहुँच जाएगा।

• विकल्प (b): यह विकल्प गलत है क्योंकि यह ठीक रूप से बताता है कि दोनों पत्थर एक ही वेग के साथ तल पर पहुँचेंगे, लेकिन यह गलत रूप से बताता है कि पत्थर $\mathbf{I}$ पत्थर $\mathbf{II}$ से पहले तल पर पहुँचेगा। वास्तव में, ढलान वाले पथ पर (पत्थर $\mathbf{II}$) एक बड़ा त्वरण और छोटा पथ होने के कारण यह पहले तल पर पहुँच जाएगा।

• विकल्प (d): यह विकल्प गलत है क्योंकि यह बताता है कि दोनों पत्थर अलग-अलग समय और अलग-अलग वेग के साथ तल पर पहुँचेंगे। हालांकि, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के कारण दोनों पत्थर एक ही वेग के साथ तल पर पहुँचेंगे। अंतर केवल तल पर पहुँचने के समय में है, जहां पत्थर $\mathbf{II}$ पत्थर $\mathbf{I}$ से पहले तल पर पहुँच जाएगा।

उत्तर

(b) कुल ऊर्जा $E=PE+KE$ है

जब कण $x=x_{m}$ पर होता है, अर्थात अतिरिक्त स्थिति पर होता है, वह वापस लौटता है। अतः, $x=x_{m}$ पर; $x=0 ; KE=0$

समीकरण (i) से $\quad E=P E+0=P E=V(x_{m})=\frac{1}{2} k x_m^{2}$

• विकल्प (a) $V=0, \quad K=E$: यह विकल्प गलत है क्योंकि अतिरिक्त स्थिति $x = \pm x_m$ पर, संभाव्य ऊर्जा $V$ अपने अधिकतम मान पर होती है, न कि शून्य। इस बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K$ शून्य होती है क्योंकि कण दिशा बदलने से पहले एक क्षण रुक जाता है।

• विकल्प (c) $V<E, \quad K=0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि अतिरिक्त स्थिति $x = \pm x_m$ पर, संभाव्य ऊर्जा $V$ कुल ऊर्जा $E$ के बराबर होती है, न कि $E$ से कम। गतिज ऊर्जा $K$ वास्तव में शून्य होती है, लेकिन संभाव्य ऊर्जा कुल ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए।

• विकल्प (d) $V=0, \quad K<E$: यह विकल्प गलत है क्योंकि अतिरिक्त स्थिति $x = \pm x_m$ पर, संभाव्य ऊर्जा $V$ शून्य नहीं होती; यह कुल ऊर्जा $E$ के बराबर होती है। इस बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K$ शून्य होती है, न कि कुल ऊर्जा से कम।

उत्तर

(b) जब दो समान द्रव्यमान के वस्तुएं अतिरिक्त टकराती हैं, तो उनके वेग आपस में बदल जाते हैं।

जब गेंद $1$ गेंद $2$ के संघट्ट करती है, तो गेंद $1$ की गति, $v_1$ शून्य हो जाती है और गेंद $2$ की गति, $v_2$ $v$ बन जाती है, अर्थात इसी तरह।

जब गेंद 2 संघट्ट करती है तो गेंद $3$ के संघट्ट के बाद $v_2=0, v_3=v$ होता है

• विकल्प (a): यह विकल्प संघट्ट के बाद तीनों गेंदों के समान गति के साथ गतिमान होने को दर्शाता है। यह गलत है क्योंकि, समान द्रव्यमान वाले गेंदों के बीच एक आदर्श संघट्ट में गतियों का आदान-प्रदान होता है, न कि सभी गेंदों में समान रूप से वितरित होता है।

• विकल्प (c): यह विकल्प प्रवेश करने वाली गेंद रुक जाती है और दो आरंभिक रूप से स्थिर गेंदों के बराबर और विपरीत गति से दूर जाने को दर्शाता है। यह गलत है क्योंकि, एक आदर्श संघट्ट में प्रवेश करने वाली गेंद की गति एक आरंभिक रूप से स्थिर गेंद को स्थानांतरित होती है, न कि उनके बीच बांट दी जाती है।

• विकल्प (d): यह विकल्प प्रवेश करने वाली गेंद अपनी गति के साथ आगे बढ़ती रहती है जबकि दो आरंभिक रूप से स्थिर गेंदों के स्थिर रहने को दर्शाता है। यह गलत है क्योंकि, एक आदर्श संघट्ट में प्रवेश करने वाली गेंद की गति एक आरंभिक रूप से स्थिर गेंद को स्थानांतरित होती है, जिसके कारण यह गति लेती है।

उत्तर

दिया गया, $v = a x^{3 / 2}, m = 0.5$ किग्रा, $a = 5 m^{-1 / 2} s^{-1}$

त्वरण

$$ \begin{aligned} a_0 & =\frac{d v}{d t}\\ & = \left(\dfrac{dv}{dx}\right) \cdot \left(\dfrac{dx}{dt}\right) \\ &=v \frac{d v}{d x}=a x^{3 / 2} \frac{d}{d x}(a x^{3 / 2}) \\ & =a x^{3 / 2} \times a \times \frac{3}{2} \times x^{1 / 2}\\ &a_0=\frac{3}{2} a^{2} x^{2} \end{aligned} $$

$$ \text { बल }=m a_0=m \frac{3}{2} a^{2} x^{2} $$

$$ \text{कार्य किया गया} =\int_{x=0}^{x=2} F d x=\int_0^{2} \frac{3}{2} m a^{2} x^{2} d x$$

$$ \begin{aligned} & =\frac{3}{2} m a^{2} \times(x^{3} / 3)_0^{2} \\ & =\frac{1}{2} m a^{2} \times 8=\frac{1}{2} \times(0.5) \times(25) \times 8=50 J

\end{aligned} $$

• विकल्प (a) $1.5 J$ गलत है क्योंकि दिए गए पैराग्राफ और बल के विस्थापन पर समाकलन के आधार पर गणना किए गए कार्य का मूल्य $50 J$ है, न कि $1.5 J$। गणितीय चरण और समाकलन स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि कार्य $1.5 J$ से बहुत अधिक है।

• विकल्प (c) $10 J$ गलत है क्योंकि, विकल्प (a) के जैसे, $x=0$ से $x=2$ तक बल के विस्थापन पर समाकलन के परिणाम $50 J$ है। $10 J$ का मूल्य दिए गए समीकरणों और नियतांकों से निर्णय लेने वाले परिणाम से मेल नहीं खाता है।

• विकल्प (d) $100 J$ गलत है क्योंकि विस्थापन के गणना के माध्यम से कार्य $50 J$ है। $100 J$ का मूल्य सही उत्तर के दोगुना है, जो समस्या के समाधान प्रक्रिया में संभावित गलत समझ या गणना त्रुटि को दर्शाता है।

Answer

(b) दिया गया है, शक्ति = स्थिर

हम जानते हैं कि शक्ति $P$

$$ P=\frac{d W}{d t}=\frac{F \cdot d s}{d t}=\frac{F d s}{d t} \quad(\because \text { वस्तु एक दिशा में गति कर रही है }) $$

अतः,

$$ F \cdot d s=F d s \cos 0^{\circ} $$

$$ P=\frac{F d s}{d t}=\text { स्थिर } \quad(\because P=\text { स्थिर }) $$

अब, आयाम लिखें

$ {[F][v]} =\text{ स्थिर } $

$\Rightarrow {[MLT^{-2}][LT^{-1}]} =\text{ स्थिर } $

$\Rightarrow L^{2} T^{-3} =\text{ स्थिर } (\because \text{ द्रव्यमान स्थिर है })$

$\Rightarrow L \propto T^{3 / 2} \Rightarrow \text{ विस्थापन }(d) \propto t^{3 / 2}$

• विकल्प (a): यह विकल्प विस्थापन और समय के बीच रैखिक संबंध दिखाता है, जो एक नियत वेग को दर्शाता है। हालांकि, शक्ति नियत है और नहीं वेग, इसलिए विस्थापन समय के साथ रैखिक नहीं हो सकता।

• विकल्प (c): यह विकल्प विस्थापन और समय के बीच एक परबोलिक संबंध दिखाता है, जिससे एक स्थिर त्वरण की उपस्थिति का अर्थ होता है। हालांकि, स्थिर शक्ति के साथ त्वरण स्थिर नहीं होता; बजाए इसके, वेग समय के वर्गमूल के रूप में बढ़ता है, जिसके परिणामस्वरूप विस्थापन-समय संबंध $ t^{3/2} $ होता है।

• विकल्प (d): यह विकल्प विस्थापन और समय के बीच एक अपसारी संबंध दिखाता है, जिससे वेग के अपसारी रूप से बढ़ने का अर्थ होता है। हालांकि, स्थिर शक्ति के साथ वेग समय के वर्गमूल के रूप में बढ़ता है, जिसके परिणामस्वरू विस्थापन-समय संबंध $ t^{3/2} $ होता है, न कि अपसारी।

उत्तर (d) जब पृथ्वी सूर्य से सबसे करीब होती है, तब पृथ्वी की गति सबसे अधिक होती है, इसलिए गतिज ऊर्जा अधिकतम होती है। जब पृथ्वी सूर्य से सबसे दूर होती है, तब गति न्यूनतम होती है, इसलिए गतिज ऊर्जा न्यूनतम होती है लेकिन शून्य और नकारात्मक नहीं होती।

इस परिवर्तन को विकल्प (d) द्वारा सही तौर पर दर्शाया गया है।

• विकल्प (a): यह विकल्प एक स्थिर गतिज ऊर्जा दिखाता है, जो गलत है क्योंकि पृथ्वी की गतिज ऊर्जा अपनी अतिरिक्त कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमते हुए बदलती रहती है। पृथ्वी की गति बदलती रहती है, जिसके कारण गतिज ऊर्जा में परिवर्तन होता रहता है।

• विकल्प (b): यह विकल्प गतिज ऊर्जा के रूप में एक रेखीय वृद्धि और घटना दिखाता है, जो गलत है क्योंकि गतिज ऊर्जा में परिवर्तन रेखीय नहीं होता। पृथ्वी के सूर्य के करीब होने पर गतिज ऊर्जा तेजी से बदलती है और दूर होने पर धीरे-धीरे बदलती है।

• विकल्प (c): यह विकल्प गतिज ऊर्जा शून्य हो जाने को दिखाता है, जो गलत है क्योंकि पृथ्वी की गति अपनी कक्षा में सूर्य के चारों ओर घूमते हुए कभी शून्य नहीं होती। गतिज ऊर्जा हमेशा धनात्मक होती है और शून्य तक पहुंच नहीं जाती।

उत्तर (c) जब एक लोलक हवा में आवर्त गति करता है, तो यह हवा के प्रतिरोध के कारण ऊर्जा के निरंतर नुकसान के कारण अपनी कुल यांत्रिक ऊर्जा को निरंतर कम करता रहता है। अतः, लोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा समय के साथ निरंतर घटती रहती है।

कुल यांत्रिक ऊर्जा के परिवर्तन को वक्र (c) द्वारा सही रूप से प्रस्तुत किया गया है।

• विकल्प (a): यह चित्र समय के साथ निरंतर कुल यांत्रिक ऊर्जा को दर्शाता है, जो गलत है क्योंकि हवा में आवर्त गति करते हुए एक लोलक के ऊर्जा का नुकसान हवा के प्रतिरोध के कारण होता है, जिसके कारण इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा निरंतर घटती रहती है।

• विकल्प (b): यह चित्र समय के साथ निरंतर बढ़ती कुल यांत्रिक ऊर्जा को दर्शाता है, जो गलत है क्योंकि हवा में आवर्त गति करते हुए एक लोलक अपनी ऊर्जा के निरंतर नुकसान के कारण ऊर्जा नहीं ले सकता है।

• विकल्प (d): यह चित्र समय के साथ कुल यांत्रिक ऊर्जा के आवर्त परिवर्तन को दर्शाता है, जो गलत है क्योंकि हवा में आवर्त गति करते हुए एक लोलक की कुल यांत्रिक ऊर्जा निरंतर घटती रहती है, जिसके कारण हवा के प्रतिरोध के कारण ऊर्जा नुकसान होता है, न कि आवर्त रूप से परिवर्तित होती है।

उत्तर

(a) दिया गया है, द्रव्यमान $m=5 kg$

$ \begin{aligned} \omega & =300 ~rev / min \\ & =(300 \times 2 \pi) rad / min \\ & =(300 \times 2 \times 3.14) rad / 60 s \\ & =\frac{300 \times 2 \times 3.14}{60} ~rad / s=10 \pi ~rad / s \\ \quad \text { रेखीय वेग } & =v=\omega R \\ & =(\frac{300 \times 2 \pi}{60})(1) \\ & =10 \pi m / s \\

KE & =\frac{1}{2} m v^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 5 \times(10 \pi)^{2} \\ & =100 \pi^{2} \times 5 \times \frac{1}{2} \\ & =250 \pi^{2} J \end{aligned} $

• विकल्प (b) $100 \pi^{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह किणेटिक ऊर्जा को अति अल्प अनुमानित करता है। सही गणना दर्शाती है कि किणेटिक ऊर्जा $250 \pi^{2}$ जूल है, न कि $100 \pi^{2}$ जूल। यह त्रुटि संभवतः किणेटिक ऊर्जा सूत्र के अशुद्ध अनुप्रयोग या रैखिक वेग के गलत गणना से आई हो सकती है।

• विकल्प (c) $5 \pi^{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह किणेटिक ऊर्जा को बहुत अधिक अल्प अनुमानित करता है। सही किणेटिक ऊर्जा $250 \pi^{2}$ जूल है। इस बड़े अंतर के कारण गणना प्रक्रिया में मूलभूत त्रुटि हो सकती है, संभवतः कोणीय वेग के रैखिक वेग में परिवर्तन के दौरान या किणेटिक ऊर्जा सूत्र के अशुद्ध अनुप्रयोग के कारण।

• विकल्प (d) 0: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि द्रव्यमान कोई भी किणेटिक ऊर्जा नहीं रखता है। चूंकि द्रव्यमान एक वृत्तीय पथ पर गति कर रहा है और इसका वेग शून्य नहीं है, इसलिए इसके पास किणेटिक ऊर्जा होना आवश्यक है। सही किणेटिक ऊर्जा $250 \pi^{2}$ जूल है, न कि शून्य।

हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए, प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहेगी।

Answer

(d) दिया है, $h=1.5 m, v=1 m / s, m=10 kg, g=10 ms^{-2}$

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के अनुसार।

$$ \begin{aligned} & (PE)_i+(KE)_i=(PE)_f+(KE)_f \\ & \Rightarrow \quad m g h+\frac{1}{2} m v^{2}=0+(KE)_f \\ & \Rightarrow \quad(KE)_f=m g h+\frac{1}{2} m v^{2} \\ & \Rightarrow \quad(KE)_f=10 \times 10 \times 1.5+\frac{1}{2} \times 10 \times(1)^{2} \\ $$

& =150+5=155 J \end{aligned} $$

नोट: हम $P E$ के संदर्भ के बारे में सावधान रहना चाहिए, यह भूमि हो सकता है या नहीं।

• विकल्प (a) $2.5 J$: यह मान बहुत कम है क्योंकि यह केवल कुल ऊर्जा के एक छोटे भाग को ध्यान में रखता है। ऊंचाई के कारण प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा के कारण गति के कारण प्रारंभिक ऊर्जा दोनों महत्वपूर्ण हैं और इनका योग $2.5 J$ से बहुत अधिक होता है।

• विकल्प (b) $5.0 J$: यह मान भी बहुत कम है। यह केवल शॉटपुट की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा ($\frac{1}{2} m v^2 = 5 J$) को ध्यान में रखता है और शॉटपुट के फेंके जाने के लिए ऊंचाई के कारण स्थितिज ऊर्जा को नगण्य मान लेता है।

• विकल्प (c) $52.5 J$: यह मान गलत है क्योंकि यह कुल ऊर्जा को अंदाजा लगाने में अपर्याप्त है। यह संभवतः केवल स्थितिज ऊर्जा के एक हिस्सा को या गणना में त्रुटि को ध्यान में रखता है। सही कुल ऊर्जा में ऊंचाई के कारण स्थितिज ऊर्जा और प्रारंभिक गतिज ऊर्जा दोनों शामिल होते हैं जो $155 J$ के योग में होते हैं।

उत्तर (ब) लौह गोली की पहली गति बढ़ती है और कुछ समय के बाद निरंतर बन जाती है, जिसे समाप्ति वेग कहते हैं। इसलिए, उसकी गतिज ऊर्जा पहले बढ़ती है और फिर निरंतर बन जाती है, जो (ब) द्वारा सबसे अच्छा प्रस्तुत किया गया है।

• विकल्प (अ): यह चित्र गतिज ऊर्जा के रूप में रेखीय वृद्धि को दिखाता है जिसमें इसके निरंतर होने के लक्षण नहीं होते। यह लौह गोली के समाप्ति वेग पहुँचने के समान दृश्य को ठीक रूप से प्रस्तुत नहीं करता है, जहाँ गतिज ऊर्जा निरंतर रहनी चाहिए।

• विकल्प (स): यह चित्र एक शुरुआती वृद्धि के बाद गतिज ऊर्जा के घटने को दिखाता है। यह गलत है क्योंकि जब लौह गोली समाप्ति वेग पहुँच जाती है, तो उसकी गतिज ऊर्जा निरंतर रहनी चाहिए, न कि घटने।

• विकल्प (द): यह चित्र शुरुआत से ही गतिज ऊर्जा के निरंतर होने को दिखाता है, जो गलत है। शुरुआत में लौह गोली की गतिज ऊर्जा बढ़ती है जब वह त्वरित होती है और केवल समाप्ति वेग पहुँच जाने के बाद ही यह निरंतर बन जाती है।

उत्तर

(स) दिया गया है,

$m=150 g=\dfrac{150}{1000} kg=\dfrac{3}{20} kg $

$\Delta t =\text { संपर्क काल }=0.001 s $

$$ \begin{aligned} u=126 km / h & =\frac{126 \times 1000}{60 \times 60} m / s=35 m / s \\ v & =-126 km / h=-35 m / s \end{aligned} $$

गेंद के संवेग में परिवर्तन

$$ \begin{aligned} \Delta p=m(v-u) & =\frac{3}{20}(-35-35) kg.m / s \\ & =\frac{3}{20}(-70)=-\frac{21}{2} \end{aligned} $$

हम जानते हैं कि बल $F=\frac{\Delta p}{\Delta t}$

$$ =\frac{-21 / 2}{0.001} N=-1.05 \times 10^{4} N $$

यहाँ, - चिह्न यह दर्शाता है कि बॉल के टकराने से पहले गति की दिशा के विपरीत बल लगेगा।

• विकल्प (a) $10.5 N$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह आवश्यक बल के मापदंड को बहुत कम मानता है। बल की गणना गति परिवर्तन के विभाजन द्वारा संपर्क के समय के आधार पर की जाती है। दिए गए द्रव्यमान और वेग के आधार पर, परिणामी बल 10.5 N से बहुत अधिक होता है।

• विकल्प (b) $21 N$: यह विकल्प भी गलत है क्योंकि यह आवश्यक बल को बहुत कम मानता है। दिए गए द्रव्यमान और वेग के आधार पर, बहुत छोटे संपर्क समय (0.001 सेकंड) के आधार पर गति परिवर्तन के विभाजन से प्राप्त बल 21 N से बहुत अधिक होता है।

• विकल्प (d) $2.1 \times 10^{4} N$: यह विकल्प भी गलत है क्योंकि यह आवश्यक बल को बहुत अधिक मानता है। दिए गए द्रव्यमान, वेग और संपर्क समय के आधार पर बल की सही गणना $1.05 \times 10^{4} N$ होती है, जो इस मान का आधा है।

उत्तर $(b, d)$

जब एक आदमी जिसका द्रव्यमान $m$ है, ऊंचाई $L$ के स्टेप के ऊपर चढ़ता है, तो आदमी पर गुरुत्वीय बल द्वारा किया गया कार्य $-mgL$ होता है और आंतरिक मांसपेशियों द्वारा किया गया कार्य $m g L$ होता है क्योंकि गति ऊर्जा में परिवर्तन लगभग शून्य होता है।

अतः, कुल कार्य $=-m g L+m g L=0$ होता है।

कार्य करने वाले बलों के अनुप्रयोग बिंदु के गति के बिना बल लगता है, अतः अभिक्रिया बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।

नोट: यहाँ घर्षण द्वारा किया गया कार्य भी शून्य होता है क्योंकि कोई ऊर्जा नष्ट नहीं होती या घर्षण नहीं होता।

• (a) सभी बलों द्वारा आदमी पर किया गया कार्य वृद्धि ऊर्जा $mgL$ के बराबर है: यह गलत है क्योंकि सभी बलों द्वारा आदमी पर किया गया कार्य शून्य है। गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य $-mgL$ है और आंतरिक मांसपेशियों द्वारा किया गया कार्य $mgL$ है, जो एक दूसरे को बरकरार रखते हैं, जिसके परिणामस्वरूप शुद्ध कार्य शून्य हो जाता है।

• (c) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा आदमी पर किया गया कार्य $mgL$ है: यह गलत है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा आदमी पर किया गया कार्य वास्तव में $-mgL$ है। गुरुत्वाकर्षण बल नीचे कार्य करता है जबकि आदमी ऊपर चलता है, जिसके परिणामस्वरूप गुरुत्वाकर्षण द्वारा नकारात्मक कार्य किया जाता है।

Answer

$(b, d, f)$

प्रश्न में दिए गए स्थिति के लिए पड़ोसी आरेख को ध्यान में रखें।

(b) स्थिति के विश्लेषण के लिए, दिए गए जानकारी को विभाजित करें और बैलेट के लक्ष्य से बाहर निकलने के बाद के संबंध में प्रत्येक कथन का मूल्यांकन करें।

प्रारंभिक गतिज ऊर्जा: बैलेट के प्रारंभिक गतिज ऊर्जा को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

Initial Kinetic Energy: The bullet has an initial kinetic energy given by:

$$ KE_i = \frac{1}{2} mv^2 $$

उप-लक्ष्य के बाद किनेटिक ऊर्जा: लक्ष्य के बाद बॉम्ब अपनी प्रारंभिक किनेटिक ऊर्जा के आधा हिस्सा के साथ बाहर आता है: $$ KE_f = \frac{1}{2} KE_i = \frac{1}{4} mv^2 $$

उप-लक्ष्य के बाद वेग: किनेटिक ऊर्जा वेग के साथ संबंधित है: $$ KE_f = \frac{1}{2} mv_f^2 $$ इसे $ KE_f $ के व्यंजक के बराबर रखने पर: $$ \frac{1}{4} mv^2 = \frac{1}{2} mv_f^2 $$ $ v_f $ के लिए हल करने पर: $$ v_f^2 = \frac{1}{2} v^2 \implies v_f = \frac{v}{\sqrt{2}} \approx 0.707v $$ इसका अर्थ है कि बॉम्ब के बाहर आने के बाद इसका वेग लगभग 70.7% अपने प्रारंभिक वेग के बराबर होता है, जो आधा से अधिक है।

(d) बॉम्ब के वेग $v_f$ में बदल जाता है जो $v$ से कम होता है, इसलिए अनुसरण की गई पथ बदल जाएगा और बॉम्ब बिंदु $B$ पर पहुंचेगा बजाए बिंदु $A^{\prime}$, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

(f) बॉम्ब लक्ष्य के माध्यम से गुजरते समय बॉम्ब की ऊर्जा की हानि लक्ष्य के कणों में स्थानांतरित हो जाती है। इसलिए, उनकी आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है।

• (a) बॉम्ब का वेग अपने प्रारंभिक मूल्य के आधा हो जाएगा: यह कथन गलत है क्योंकि लक्ष्य से बाहर आने के बाद बॉम्ब की किनेटिक ऊर्जा आधी हो जाती है, न कि वेग। किनेटिक ऊर्जा वेग के वर्ग के समानुपाती होती है, इसलिए किनेटिक ऊर्जा को आधा करने पर वेग को $\sqrt{2}$ के गुणक से कम कर दिया जाता है, न कि 2।

• (c) बॉम्ब लक्ष्य से बाहर आने के बाद एक ही पराबैंग बर्ताव के साथ आगे बढ़ता रहेगा: यह कथन गलत है क्योंकि बॉम्ब लक्ष्य से बाहर आने के बाद अपने वेग में परिवर्तन हो जाता है। वेग अलग होने के कारण बॉम्ब के पथ भी बदल जाएगा, जिसके कारण एक अलग पराबैंग बर्ताव होगा।

• (e) लक्ष्य के बाद बॉम्ब ऊर्ध्वाधर नीचे गिरेगा: यह कथन गलत है क्योंकि बॉम्ब लक्ष्य से बाहर आने के बाद अपने ऊर्ध्वाधर वेग के घटक को बरकरार रखता है। इसलिए, यह एक पराबैंग बर्ताव के साथ आगे बढ़ता रहेगा और ऊर्ध्वाधर नीचे गिरने के बजाए नहीं।

Answer (c) जब $M_1$ स्प्रिंग के संपर्क में आता है, तो $M_1$ को स्प्रिंग बल द्वारा धीमा कर दिया जाता है और $M_2$ को स्प्रिंग बल द्वारा तेज़ कर दिया जाता है।

• (a) जब स्प्रिंग पूरी तरह से संपीड़ित होती है तो $M_1$ की सभी गतिज ऊर्जा स्प्रिंग के विभव ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाती है: यह कथन गलत है क्योंकि, संपीड़न के अधिकतम बिंदु पर, दोनों ब्लॉक $M_1$ और $M_2$ के समान वेग होता है। इसलिए, $M_1$ की सभी गतिज ऊर्जा स्प्रिंग के विभव ऊर्जा में नहीं बदल जाती है; कुछ ऊर्जा $M_2$ की गतिज ऊर्जा में भी बदल जाती है।

• (b) जब स्प्रिंग पूरी तरह से संपीड़ित होती है तो प्रणाली के संवेग के संरक्षण नहीं होता है, हालांकि अंतिम संवेग प्रारंभिक संवेग के बराबर होता है: यह कथन गलत है क्योंकि प्रणाली के संवेग का संरक्षण हमेशा होता है, जबकि स्प्रिंग पूरी तरह से संपीड़ित होती है। संवेग के संरक्षण का सिद्धांत स्प्रिंग के संपीड़न के किसी भी अवस्था में सत्य होता है।

• (d) यदि ब्लॉक गति कर रहे हैं जिस पर घर्षण है, तो टक्कर अप्रत्यागमी नहीं हो सकती: यह कथन गलत है क्योंकि घर्षण की उपस्थिति अप्रत्यागमी टक्कर के लिए आवश्यक नहीं है। टक्कर अप्रत्यागमी हो सकती है यदि टक्कर के दौरान गतिज ऊर्जा संरक्षित रहे। घर्षण टक्कर के बाद ब्लॉक के गति पर प्रभाव डाल सकता है, लेकिन यह टक्कर की प्रकृति को आत्मसात नहीं करता है।

उत्तर नीचे दिए गए आरेख को ध्यान में रखिए। ब्लॉक $M$ आराम में है। अतः, $f=$ घर्षण बल $=M g \sin \theta$

ब्लॉक और ढलान के बीच घर्षण बल ब्लॉक के फिसलन की प्रवृत्ति के विरुद्ध कार्य करता है। चूंकि ब्लॉक गतिशील नहीं है, अतः घर्षण बल द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता है। अतः, ऊर्जा का कोई क्षय नहीं होता है।

उत्तर जब लिफ्ट नीचे जा रही है, तो विद्युत शक्ति की आवश्यकता होती है ताकि गुरुत्वाकर्षण के तहत गिरने से बचा जा सके।

साथ ही, जब लिफ्ट में भार बढ़ जाता है, तो लिफ्ट के नीचे जाने की गति बढ़ जाती है, अतः लिफ्ट में यात्रियों की संख्या के लिए एक सीमा होनी चाहिए ताकि लिफ्ट बड़ी गति से नीचे न जाए।

उत्तर (a) बल शरीर को ऊपर की दिशा में उठाने के लिए शरीर पर आरोपित किया जाता है और शरीर का विस्थापन भी ऊपर की दिशा में होता है, इसलिए आरोपित बल और विस्थापन के बीच कोण $\theta=0^{\circ}$ होता है

$\therefore$ आरोपित बल द्वारा किया गया कार्य

$ W=F s \cos \theta=F s \cos 0^{\circ}=F s \quad(\because \cos 0^{\circ}=1) $

$\text { अर्थात, } \quad W=\text { धनात्मक }$

(b) गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की दिशा में कार्य करता है और विस्थापन ऊपर की दिशा में होता है, इसलिए उनके बीच कोण $\theta=180^{\circ}$ होता है।

$\therefore$ गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य

$$ W=F s \cos 180^{\circ}=-F s $$

$(\because \cos 180^{\circ}= -1)$

उत्तर गुरुत्वाकर्षण बल कार पर ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है जबकि कार क्षैतिज सड़क पर गति करती है, अर्थात, उनके बीच कोण $90^{\circ}$ होता है।

कार द्वारा भू-गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य

$$ W=F S \cos 90^{\circ}=0 \quad(\because \cos 90^{\circ}=0) $$

उत्तर नहीं, बंद पथ के अनुदिश गति कराने में किया गया कार्य आवश्यक रूप से शून्य नहीं होता।

• एक बंद पथ के अनुदिप्त एक वस्तु के गति के दौरान कार्य शून्य होता है यदि वस्तु पर कार्य करने वाले बल संरक्षित हों।
• यदि असंरक्षित बल उपस्थित हों, तो बंद पथ पर कार्य आमतौर पर शून्य नहीं होता।

उत्तर दो बिल्लियर्ड गेंदों के बीच एक अत्यारम्भीय संघट्ट में, गेंदों के संपर्क के छोटे समय के दौरान निम्नलिखित मात्राएं संरक्यित रहती हैं:

(a) गतिज ऊर्जा: संघट्ट के दौरान संरक्षित नहीं रहती:

• कारण: एक अत्यारम्भीय संघट्ट के पूरे प्रक्रम में (संघट्ट से पहले और बाद में) गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है, लेकिन गेंदों के संपर्क के बहुत छोटे समय के दौरान यह संरक्षित नहीं रहती। संघट्ट के दौरान गेंदें थोड़ी दूर तक विकृत हो जाती हैं और इस विकृति के कारण कुछ गतिज ऊर्जा अस्थायी रूप से संपर्क के कारण विभव ऊर्जा में बदल जाती है। इस विभव ऊर्जा को गेंदों के संपर्क के दौरान अस्थायी रूप से विभव ऊर्जा के रूप में संग्रहित किया जाता है। जब वे अलग हो जाती हैं, तो यह विभव ऊर्जा फिर से गतिज ऊर्जा में बदल जाती है, जिसके कारण पूरे संघट्ट प्रक्रम में कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है, लेकिन संपर्क के दौरान नहीं।

(b) कुल रैखिक संवेग: संघट्ट के दौरान संरक्षित रहता है:

• कारण: दोनों गेंदों के बीच संघट्ट के दौरान कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है। इसका कारण यह है कि संघट्ट के दौरान गेंदों द्वारा एक दूसरे पर लगाए गए बल आंतरिक बल होते हैं। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, इन बलों के परिमाण बराबर होते हैं और दिशा विपरीत होती है। इसलिए, संघट्ट के दौरान दो गेंदों के निकाय पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य होता है। इस कारण, दो गेंदों के निकाय के कुल रैखिक संवेग पूरे संघट्ट के दौरान स्थिर रहता है, जिसमें संपर्क के दौरान भी शामिल है।

उत्तर दिया गया है,

$$ \begin{aligned} \text { द्रव्यमान } & =m=100 kg \\ \text { ऊँचाई } & =h=10 m, \text { समय अवधि } t=20 s \\ \text { शक्ति } & =\text { कार्य करने की दर } \\ & =\frac{\text { स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन }}{\text { समय }}=\frac{m g h}{t} \\ & =\frac{100 \times 9.8 \times 10}{20} \\ & =5 \times 98=490 W \end{aligned} $$

उत्तर दिया गया है, मानव हृदय के एक धड़कन में औसत कार्य किया गया $=0.5 J$

72 धड़कन के दौरान कुल कार्य किया गया

$$ \begin{aligned} & =72 \times 0.5 J=36 J \\ \text { शक्ति } & =\frac{\text { कार्य किया गया }}{\text { समय }}=\frac{36 J}{60 s}=0.6 W \end{aligned} $$

उत्तर जब एक आवेशित कण एक समान अभिलम्ब चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है, तो कण के पथ के वृत्ताकार होता है, चूंकि दिया गया क्षेत्र समान है, इसलिए वृत्ताकार पथ की त्रिज्या भी स्थिर होती है।

क्योंकि बल केंद्रीय होता है और गति स्पर्शकीय होती है, इसलिए बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। चूंकि चाल भी स्थिर होती है, हम कह सकते हैं कि $\Delta K=0$।

उत्तर कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,

Change in $KE=$ Work done by the retarding force

$KE$ of the body $=$ Retarding force $\times$ Displacement

As KE of the bodies and retarding forces applied on them are same, therefore, both bodies will travel equal distances before coming to rest.

एक समान वृत्तीय गति में, कोई भी बिंदु पर वेग हमेशा गति की दिशा में स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है।

उत्तर जब बर्तन को एक ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है, तो आवश्यक केंद्रापगति बल स्ट्रिंग के तनाव से प्राप्त होता है। जब स्ट्रिंग काट दी जाती है, तो स्ट्रिंग में तनाव शून्य हो जाता है और केंद्रापगति बल प्रदान नहीं किया जाता है, इसलिए बर्तन अपने वेग की दिशा में सीधी रेखा में गति करना शुरू कर देता है।

(a) बिंदु $B$ पर, $B$ का वेग ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होता है, इसलिए जब स्ट्रिंग को $B$ पर काट दिया जाता है, तो बर्तन ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर गति करता है।

(b) बिंदु $C$ पर, वेग दाहिने ओर के क्षैतिज दिशा में होता है, इसलिए जब स्ट्रिंग को $C$ पर काट दिया जाता है, तो बर्तन दाहिने ओर क्षैतिज दिशा में गति करता है।

साथ ही, बर्तन क्षैतिज एकसमान गति के साथ गुरुत्वाकर्षण के अधीन रहता है। इसलिए, यह एक परबोलिक पथ पर गति करता है जिसका शीर्ष $C$ पर होता है।

(c) बिंदु $X$ पर, बर्तन का वेग बिंदु $X$ पर खींची गई स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है, इसलिए जब स्ट्रिंग को बिंदु $X$ पर काट दिया जाता है, तो बर्तन उस बिंदु $X$ पर खींची गई स्पर्शरेखा के अनुदिश गति करता है।

साथ ही, बर्तन क्षैतिज एकसमान गति के साथ गुरुत्वाकर्षण के अधीन रहता है। इसलिए, यह एक परबोलिक पथ पर गति करता है जिसका शीर्ष $C$ से ऊपर होता है।

चिंतन प्रक्रिया

हम बर्बादी ऊर्जा के निर्माण के लिए पूरे प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा को स्थिर मानेंगे।

उत्तर ऊर्जा विरुद्ध $x$ ग्राफ

हम जानते हैं कि कुल यांत्रिक ऊर्जा = गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा

$\Rightarrow$ $E_o = KE + V(x)$

$\Rightarrow$ $ KE = E_o - V(x)$

$x=0$ पर $A_1$ बिंदु पर $V(x)=E_0$

$\Rightarrow$ KE = $E_o - E_o$

$B_1$ पर $V(x)<E_0$

$\Rightarrow$ KE > 0

$C$ और $D_1$ पर $V(x)=0$

$\Rightarrow KE$ अधिकतम होता है $F_1$ पर $V(x)=E_0$

अतः, $KE=0$

परिवर्तन आसंजन आरेख में दिखाया गया है।

वेग विरुद्ध $x$ ग्राफ

क्योंकि

$$ KE=\frac{1}{2} m v^{2} $$

$\therefore$ $A$ और $F$ पर $KE=0, v=0$।

$C$ और $D$ पर $K E$ अधिकतम होता है। अतः, $v$ अधिकतम के $\pm$ होता है।

$KE>0$ (धनात्मक)

$B$ पर $K E$ धनात्मक होता है लेकिन अधिकतम नहीं होता।

अतः,

$v$ अधिकतम के $\pm$ कुछ मान होता है $(<\max)$।

परिवर्तन आरेख में दिखाया गया है।

उत्तर (a) मान लीजिए $v_1$ और $v_2$ दो गेंदों के टकराव के बाद वेग हैं।

अब, रैखिक संवेग के संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,

$2 m v_0 =m v_1+m v_2 $

$2 v_0 =v_1+v_2 $

$e =\frac{v_2-v_1}{2 v_0}$

$ \text { और } e =\frac{v_2-v_1}{2 v_0} $

$\Rightarrow v_2 =v_1+2 v_0 e $

$\therefore 2 v_1 =2 v_0-2 e v_0 $

$\therefore v_1 =v_0(1-e)$

क्योंकि, $e<1 \Rightarrow v_1$ के $v_0$ के समान चिह्न होता है, इसलिए, टकराव के बाद गेंद आगे बढ़ती रहती है।

(b) एक सामान्य टकराव के लिए नीचे दिए गए चित्र को ध्यान में रखिए।

रैखिक संवेग के संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,

$$ P=P_1+P_2 $$

असंतृप्त टकराव में कुछ ऊर्जा खो जाती है, इसलिए $\frac{p^{2}}{2 m}>\frac{p_1^{2}}{2 m}+\frac{p_2^{2}}{2 m}$

$\therefore \quad p^{2}>p_1^{2}+p_2^{2}$

इसलिए, $p, p_1$ और $p_2$ चित्र में दिखाए गए तरीके से संबंधित हैं।

$\theta$ एक न्यून कोण (< $90^{\circ})$ $(p^{2}=p_1^{2}+p_2^{2}$ और $\theta=90^{\circ})$

एक वस्तु के दिए गए क्षेत्र में उपस्थित नहीं हो सकती जब $K E<0$ हो।

उत्तर हम जानते हैं कि

$$ \text { कुल ऊर्जा } E=PE+KE $$

$E=V+K$

क्षेत्र $A$ में दिया गया है, $V>E$, समीकरण (i) से

$$ K=E-V $$

क्योंकि $\quad V>E \Rightarrow E-V<0$

इसलिए, $K<0$, यह संभव नहीं है।

क्षेत्र $B$ में दिया गया है, $V<E \Rightarrow E-V>0$

इसके लिए संभव है क्योंकि कुल ऊर्जा PE (V) से अधिक हो सकती है।

क्षेत्र $C$ दिया गया है, $K>E \Rightarrow K-E>0$

समीकरण (i) से $PE=V=E-K<0$

यह संभव है, क्योंकि $P E$ नकारात्मक हो सकता है।

क्षेत्र $D$ दिया गया है, $V>K$

यह संभव है क्योंकि एक प्रणाली के लिए $PE (V)$ $KE (K)$ से अधिक हो सकता है।

समान द्रव्यमान के दो वस्तुओं के बीच अस्थायी टकराव होते हैं, तो संवेग आपस में बदल जाता है। नीचले बिंदु पर, बोल्ट $A$ के पास लगभग क्षैतिज वेग होता है।

उत्तर जब गेंद $A$ नीचले बिंदु तक पहुंचती है तो इसका वेग क्षैतिज होता है, इसलिए हम क्षैतिज दिशा में रैखिक संवेग के संरक्षण को लागू कर सकते हैं। (a) दो गेंदों के समान द्रव्यमान है और उनके बीच टकराव अस्थायी है, इसलिए गेंद $A$ अपना पूरा रैखिक संवेग गेंद $B$ को स्थानांतरित कर देती है। इसलिए, टकराव के बाद गेंद $A$ विराम में आ जाएगी और बिल्कुल ऊपर नहीं उठेगी।

(b) बोल्ट $B$ के गति शुरू होने की गति

$$ \begin{aligned} & =\text { बोल्ट } A \text { के बोल्ट } B \text { को टकराने की गति} \\ & =\sqrt{2 g h} \\ & =\sqrt{2 \times 9.8 \times 1} \\ & =\sqrt{19.6} \\ & =4.42 m / s \end{aligned} $$

नोट: जब बोल्ट $A$ नीचले बिंदु पर होता है, तो इसका वेग क्षैतिज होता है और बोल्ट पर बाह्य बल तनाव होता है, लेकिन इस दिशा में संवेग के संरक्षण को अभी भी ध्यान में रखा जा सकता है, क्योंकि नीचले बिंदु पर तनाव का कोई प्रभाव नहीं होता।

उत्तर दिया गया, वर्षा की बूँद का द्रव्यमान $(m)=1.00 g$

$$ =1 \times 10^{-3} kg $$

गिरावट की ऊँचाई $(h)=1 km=10^{3} m$

$ g=10 m / s^{2} $

वर्षा की बूँद की चाल $(v)=50 m / s$

(a) बूँद के ऊर्जा के नुकसान $=m g h$

$$ =1 \times 10^{-3} \times 10 \times 10^{3}=10 J $$

(b) बूँद के गतिज ऊर्जा में वृद्धि $=\frac{1}{2} m v^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \times 1 \times 10^{-3} \times(50)^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 2500 \\ & =1.250 J \end{aligned} $$

(c) नहीं, गतिज ऊर्जा में वृद्धि ऊर्जा के नुकसान के बराबर नहीं है, क्योंकि ऊर्जा का एक भाग हवा के श्यान घर्षण के खिलाफ कार्य करने में उपयोग किया जाता है।

क्योंकि टकराव बर्बाद है, तो प्रणाली की यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है। हमें ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करके दो बोल्ड के गति का वर्णन करना होगा।

उत्तर (a) आसन्न आरेख को ध्यान में रखते हुए जहाँ बोल्ड $B$ को कोण $\theta$ द्वारा विस्थापित कर दिया जाता है और छोड़ दिया जाता है।

$t=0$ के समय, मान लीजिए बोल्ड $B$ को दाईं ओर $\theta=10^{\circ}$ विस्थापित कर दिया जाता है। इसके लिए गतिज ऊर्जा $E_1=E$ होती है। ऊर्जा $A, E_2=0$ होती है।

जब $B$ छोड़ दिया जाता है, तो यह $A$ के टकराता है $t=T / 4$ के समय। $B$ और $A$ के सीधे टकराव में $B$ रुक जाता है और $A$ को $B$ की गति प्राप्त हो जाती है। इसलिए, $E_1=0$ और $E_2=E$ होता है। $t=2 T / 4$ के समय, $B$ अपने दाहिने अतिरिक्त स्थिति पहुँच जाता है जब $A$ की कार्य ऊर्जा $PE=E_2=E$ में बदल जाती है। $B$ की ऊर्जा $E_1=0$ होती है।

$t=3 T / 4$ के समय, $A$ अपने माध्य स्थिति पहुँच जाता है जब इसकी स्थितिज ऊर्जा $PE$ कार्य ऊर्जा $KE=E_2=E$ में बदल जाती है। यह $B$ के साथ एक बलपूर्वक टकराव करता है और अपनी सम्पूर्ण ऊरजा $B$ को स्थानांतरित कर देता है। इसलिए, $E_2=0$ और $E_1=E$ होता है। पूरा प्रक्रिया दोहराई जाती है।

(b) विभिन्न समय अंतरालों में $B$ और $A$ की ऊर्जा के मान यहाँ सारणी के रूप में दिए गए हैं। ऊर्जा के समय के साथ ग्राफ $0 \leq t \leq 2 T$ के लिए नीचे चित्र में $B$ और $A$ के अलग-अलग दिखाए गए हैं।

उत्तर दिया गया, बरसात के बूंद का औसत द्रव्यमान

$$ (m)=3.0 \times 10^{-5} kg $$

औसत समाप्ति वेग $=(V)=9 m / s$।

$$ \text { ऊँचाई }(h)=100 cm=1 m $$

$$ \text { पानी का घनत्व }(\rho)=10^{3} kg / m^{3}

$$

सतह का क्षेत्रफल $(A)=1 m^{2}$

बरसात के कारण पानी का आयतन $(V)=$ क्षेत्रफल $\times$ ऊंचाई

$$ \begin{aligned} & =A \times h \\ & =1 \times 1=1 m^{3} \end{aligned} $$

बरसात के कारण पानी का द्रव्यमान $(M)=$ आयतन $\times$ घनत्व

$$ \begin{aligned} & =V \times \rho \\ & =1 \times 10^{3} \\ & =10^{3} kg \end{aligned} $$

$\therefore$ सतह पर स्थानांतरित ऊर्जा $=\frac{1}{2} m v^{2}$

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} \times 10^{3} \times(9)^{2} \\ & =40.5 \times 10^{3} J=4.05 \times 10^{4} J \end{aligned} $$

उत्तर दिया गया, तंत्र का द्रव्यमान $(m)=50,000 kg$

तंत्र की गति $(v)=36 km / h$

$$ =\frac{36 \times 1000}{60 \times 60}=10 m / s $$

स्प्रिंग का संपीड़न $(x)=1.0 m$

$$ \begin{aligned} KE \text { तंत्र के } & =\frac{1}{2} m v^{2} \\ & =\frac{1}{2} \times 50000 \times(10)^{2} \\ & =25000 \times 100 J=2.5 \times 10^{6} J \end{aligned} $$

क्योंकि, तंत्र की 90% KE घर्षण के कारण खो जाती है, इसलिए, शॉक अवशोषक में स्थानांतरित ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है

$$ \begin{aligned} \Delta E & =\frac{1}{2} k x^{2}=10 % \text { कुल } KE \text { तंत्र के } \\ & =\frac{10}{100} \times 2.5 \times 10^{6} J \text { या } k=\frac{2 \times 2.5 \times 10^{6}}{10 \times(1)^{2}} \\ & =5.0 \times 10^{5} N / m \end{aligned} $$

यहाँ, उसके शरीर के गुरुत्व केंद्र का स्थानांतरण प्रत्येक स्टेप की ऊँचाई के बराबर है।

उत्तर दिया गया, वयस्क का भार $(w)=m g=600 N$

प्रत्येक स्टेप की ऊँचाई $=h=0.25 m$

प्रत्येक स्टेप की लंबाई $=1 m$

कुल तय की गई दूरी $=6 km=6000 m$

$\therefore \quad$ कुल स्टेप की संख्या $=\frac{6000}{1}=6000$

जॉगिंग में उपयोग की गई कुल ऊर्जा $=n \times m g h$

$$ =6000 \times 600 \times 0.25 J=9 \times 10^{5} J $$

क्योंकि, $\text{10%}$ आगंतुक ऊर्जा जॉगिंग में उपयोग की जाती है।

$\therefore$ कुल आगंतुक ऊर्जा $= \frac{1}{10} \times 9 \times 10^{5} J=9 \times 10^{6} J$।

उत्तर पेट्रोल द्वारा ऊर्जा के रूप में ऊष्मा देता है।

इसलिए, प्रश्न के अनुसार,

1 लीटर पेट्रोल द्वारा ऊर्जा $=3 \times 10^{7} J$

कार इंजन की दक्षता $=0.5$

$\therefore \quad$ कार द्वारा उपयोग की गई ऊर्जा $=0.5 \times 3 \times 10^{7} J$

$E=1.5 \times 10^{7} J$

कुल तय की गई दूरी $(s)=15 km=15 \times 10^{3} m$

यदि $f$ घर्षण बल है तो,

$$ \begin{aligned} & E=f \times s \quad(\because \text { ऊर्जा घर्षण के खिलाफ कार्य करने में उपयोग की जाती है }) \\ & 1.5 \times 10^{7}=f \times 15 \times 10^{3} \\ & \Rightarrow \quad f=\frac{1.5 \times 10^{7}}{15 \times 10^{3}}=10^{3} N \\ & f=1000 N \end{aligned} $$

उत्तर नीचे दिए गए आरेख को ध्यान में रखते हुए, एक बल $F$ द्वारा एक ब्लॉक को ऊपर धकेला जाता है।

सामान्य प्रतिक्रिया $(N)$ और घर्षण बल $(f)$ दिखाए गए हैं।

दिया गया है, द्रव्यमान $=m=1 kg, \theta=30^{\circ}$

$F=10 N, \mu=0.1$ और $s=$ ब्लॉक द्वारा झुके सतह पर चली गई दूरी $=10 m$

(क) गुरुत्वाकर्षण के खिलाफ कार्य = ब्लॉक की स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि

$$ \begin{aligned} & =m g \times \text { ऊर्ध्वाधर दूरी } \\ & =m g \times s(\sin \theta)=(m g s) \sin \theta \\ & =1 \times 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ}=50 J \end{aligned} $$

(ख) घर्षण के खिलाफ कार्य

$$ \begin{aligned} w_f & =f \times s=\mu N \times s=\mu m g \cos \theta \times s \\ & =0.1 \times 1 \times 10 \times \cos 30^{\circ} \times 10 \\ & =10 \times 0.866=8.66 J \end{aligned} $$

(ग) स्थितिज ऊर्जा में वृद्धि $=m g h=m g(s \sin \theta)$

$$ \begin{aligned} & =1 \times 10 \times 10 \times \sin 30^{\circ} \\ & =100 \times \frac{1}{2}=50 J \end{aligned} $$

(घ) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार, हम जानते हैं कि सभी बलों द्वारा कार्य = गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

$$ \Rightarrow \quad \begin{aligned} (W) & =\Delta K \\ \Delta k & =W_{g}+W_{f}+W_{f} \\ & =-m g h-f s+F S \\ & =-50-8.66+10 \times 10 \\ & =50-8.66=41.34 J \end{aligned} $$

(ङ) आवेग बल द्वारा कार्य, $F=F S$

$$ =(10)(10)=100 J $$

उत्तर (a) गेंद 1 बिना फिसले घूम रही है, इसलिए ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होता, इसलिए कुल यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित रहती है।

गेंद 3 में फ्रिक्शन नगण्य है, इसलिए ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होता।

(b) गेंद 1 घूर्णन ऊर्जा प्राप्त करती है, गेंद 2 फ्रिक्शन के कारण ऊर्जा खो देती है। वे $C$ पर पहुँच नहीं सकती। गेंद 3 पार कर सकती है।

(c) गेंद 1 और 2 $C$ तक पहुँचने से पहले वापस आ जाती है। ऊर्जा के खोने के कारण गेंद 2 $A$ तक वापस नहीं पहुँच सकती। गेंद 1 $B$ पर पहुँचते समय घूर्णन गति की दिशा गलत होती है। इसलिए गेंद 1 ऊर्जा के खोने के कारण $A$ तक वापस नहीं लौट सकती।

जब गैस निकाली जाती है, तो रॉकेट ऊपर की ओर बल के कारण आगे की दिशा में धकेल देता है।

उत्तर मान लीजिए $M$ रॉकेट के किसी समय $t$ पर द्रव्यमान है और $v_1$ रॉकेट के उसी समय $t$ पर वेग है। मान लीजिए $\Delta m=$ समय अंतराल $\Delta t$ में निकाली गई गैस का द्रव्यमान है।

निकाली गई गैस की सापेक्ष गति $=u$ है।

समय $t+\Delta t$ पर विचार करें

$(KE)_{t}+\Delta t = KE \text{ रॉकेट } + KE \text{ गैस } $

$ =\frac{1}{2}(M-\Delta m)(v+\Delta v)^{2}+\frac{1}{3} \Delta m(v-u)^{2} $

$ =\frac{1}{2} M v^{2}+M v \Delta v-\Delta m v u+\frac{1}{2} \Delta m u^{2} $

$(KE)_{t} =KE \text { of the rocket at time } t=\frac{1}{2} M v^{2} $

$\Delta K =(KE) _{t} + \Delta t-(KE) _{t} $

$ =(M \Delta v-\Delta m u) v+\frac{1}{2} \Delta m u^{2}$

क्योंकि, क्रिया-प्रतिक्रिया बल बराबर होते हैं।

अतः,

$$ \begin{aligned} M \frac{d v}{d t} & =\frac{d m}{d t}|u| \\ M \Delta v & =\Delta m u \\ \Rightarrow \Delta K & =\frac{1}{2} \Delta m u^{2} \end{aligned} $$

अब, कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,

$$ \begin{aligned} & \Delta K = \Delta W \\ \Rightarrow & \Delta W=\frac{1}{2} \Delta m u^{2} \end{aligned} $$

उत्तर मान लीजिए

$$ \begin{aligned} & m=50 g=50 \times 10^{-3} kg \\ & \text { भुजा }=L=1 cm=0.01 m \\ & \text { चाल }=V=10 cm / s=0.1 m / s \\ & \text { यंग प्रतिबल }=Y=2 \times 10^{11} N / m^{2} \\ & \text { अधिकतम संपीड़न } \Delta L=? \end{aligned} $$

इस स्थिति में, सभी $KE$ को $PE$ में बदल दिया जाएगा। हूक के नियम के अनुसार,

$$ \frac{F}{A}=Y \frac{\Delta L}{L} $$

जहाँ $A$ सतह क्षेत्रफल है और $L$ घन के भुजा की लंबाई है। यदि $k$ विस्पति या संपीड़न नियतांक है, तो

$$ \begin{aligned} \text { बल } F & =K \Delta L \\ K & =Y \frac{A}{L}=Y L \\ \text { प्रारंभिक } K E & =2 \times \frac{1}{2} m v^{2}=5 \times 10^{-4} J \\ \text { अंतिम } P E & =2 \times \frac{1}{2} k(\Delta L)^{2} \\ \Delta L=\sqrt{\frac{K E}{K}}=\sqrt{\frac{K E}{Y L}} & =\sqrt{\frac{5 \times 10^{-4}}{2 \times 10^{11} \times 0.1}}=1.58 \times 10^{-7} m \quad[\because P E=K E] \end{aligned} $$

इस समस्या में, हवा के श्यान घर्षण को नगण्य माना जाता है, इसलिए ऊर्जा की कोई विस्तार नहीं होता।

उत्तर मान लीजिए $m=$ बैलून की द्रव्यमान

$$ \begin{aligned} V & =\text { बैलून का आयतन } \\ \rho_{\text {He }} & =\text { हीलियम का घनत्व } \\ \rho_{\text {air }} & =\text { हवा का घनत्व } \end{aligned} $$

बैलून का आयतन $V$ हवा के आयतन $V$ को विस्थापित करता है।

इसलिए,

$$ V(\rho_{\text {air }}-\rho_{He}) g=m a=m \frac{d v}{d t}=\text { ऊपर की ताकत } $$

समय $t$ के संदर्भ में समाकलन करने पर, V $$ \begin{aligned} V(\rho_{\text {air }}-\rho_{He}) g t & =m v \\ \frac{1}{2} m v^{2} & =\frac{1}{2} m \frac{V^{2}}{m^{2}}(\rho_{\text {air }}-\rho_{He})^{2} g^{2} t \\ & =\frac{1}{2 m} V^{2}(\rho_{\text {air }}-\rho_{He})^{2} g^{2} t^{2} \end{aligned} $$

$$ \Rightarrow \quad \frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m \frac{V^{2}}{m^{2}}(\rho_{\text {air }}-\rho_{He})^{2} g^{2} t^{2} $$

यदि बैलून ऊंचाई $h$ तक जाता है, तो $s=u t+\frac{1}{2} a t^{2}$ से, हम प्राप्त करते हैं;

$$ h=\frac{1}{2} a t^{2}=\frac{1}{2} \frac{V(\rho_{\text {air }}-\rho_{He})}{m} g t^{2} $$

समीकरण (iii) और (ii) से,

पदों को व्यवस्थित करने पर,

$$ \begin{aligned} \frac{1}{2} m v^{2} & =[V(\rho_{a}-\rho_{He}) g][\frac{1}{2 m} V(\rho_{\text {air }}-\rho_{He}) g t^{2}] \\ & =V(\rho_{a}-\rho_{He}) g h \end{aligned} $$

$\Rightarrow \quad \frac{1}{2} m v^{2}+V \rho_{He} g h=V_{\rho_{\text {air }}} h g$

बैलून की गतिज ऊर्जा + बैलून की स्थितिज ऊर्जा = हवा की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन।

इसलिए, जब बैलून ऊपर जाता है, तो बराबर आयतन की हवा नीचे आती है, बैलून की ऊर्जा की वृद्धि हवा की स्थितिज ऊर्जा के खर्च में होती है [जो नीचे आती है]।