उत्तर

(c) एकसमान अनुसूचीय गति में, गेंद के सभी भागों के वेग (मात्रा और दिशा) समान होते हैं और यह वेग स्थिर होता है।

नीचे दिए गए आरेख में एक वस्तु

$A$ एकसमान अनुसूचीय गति में है।

• विकल्प (a) गलत है: यदि गेंद विराम में होती, तो वह एक भी गति नहीं करती, और एक भी एकसमान अनुसूचीय गति में नहीं होती। एकसमान अनुसूचीय गति का अर्थ है एक नियत वेग से गति करना, न कि विराम की अवस्था।

• विकल्प (b) गलत है: हालांकि पथ वास्तव में सीधी या वृत्ताकार हो सकता है, एकसमान अनुसूचीय गति के लिए आवश्यक है कि गेंद के सभी भागों के वेग (मात्रा और दिशा) समान हों। यह विकल्प गेंद के सभी भागों के वेग के समान होने की आवश्यकता को नहीं बताता है।

• विकल्प (d) गलत है: यह विकल्प बताता है कि गेंद के केंद्र के वेग स्थिर है जबकि गेंद अपने केंद्र के चारों ओर घूमती है। यह एकसमान अनुसूचीय गति नहीं है, बल्कि अनुसूचीय और घूर्णन गति के संयोजन है। एकसमान अनुसूचीय गति में घूर्णन नहीं होता; गेंद के सभी भाग एक ही वेग से गति करते हैं।

उत्तर

(b) इस प्रश्न को हल करने के लिए हमें बल और संवेग में परिवर्तन के संदर्भ में न्यूटन के द्वितीय गति कानून को लागू करना होगा।

हम जानते हैं कि

$ F=\dfrac{d p}{d t} $

दिया गया है कि मीटर स्केल एकसमान वेग से गति कर रही है, इसलिए, $d p=0$

$ \text { बल }=F=0 \text {. } $

क्योंकि स्केल के सभी हिस्से एकसमान वेग से गति कर रहे हैं और कुल बल शून्य है, इसलिए बलाघूर्ण भी शून्य होगा।

• विकल्प (a): स्केल पर लगने वाला बल शून्य है, लेकिन द्रव्यमान केंद्र के संबंध में एक बलाघूर्ण कार्य कर सकता है। गलत है क्योंकि यदि स्केल पर बलाघूर्ण कार्य करता है, तो घूर्णन त्वरण होगा, जो एकसमान वेग की स्थिति के विरोधाभास होगा।

• विकल्प (c): इस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य आवश्यक नहीं है लेकिन इस पर बलाघूर्ण शून्य है। गलत है क्योंकि यदि कुल बल शून्य नहीं होता, तो संवेग में परिवर्तन होगा, जो एकसमान वेग की स्थिति के विरोधाभास होगा।

• विकल्प (d): न तो बल और न ही बलाघूर्ण शून्य होना आवश्यक है। गलत है क्योंकि यदि न तो बल और न ही बलाघूर्ण शून्य नहीं होते, तो स्केल पर रैखिक और घूर्णन त्वरण होगा, जो एकसमान वेग की स्थिति के विरोधाभास होगा।

उत्तर

(c) दिया गया है,

$\mathbf{u}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}) m / s~~$ और $~~\mathbf{v}=-(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}) m / s$

गेंद का द्रव्यमान $=150 g=0.15 kg$

$\Delta p=$ संवेग में परिवर्तन

$ \begin{aligned} & =\text { अंतिम संवेग }- \text { प्रारंभिक संवेग } \\ & =m \mathbf{v}-m \mathbf{u} \\ & =m(\mathbf{v}-\mathbf{u})=(0.15)[-(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}})-(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}})] \\ & =(0.15)[-6 \hat{\mathbf{i}}-8 \hat{\mathbf{j}}] \\ & =-[0.15 \times 6 \hat{\mathbf{i}}+0.15 \times 8 \hat{\mathbf{j}}] \\ & =-[0.9 \hat{\mathbf{i}}+1.20 \hat{\mathbf{j}}] \\ \Delta \mathbf{p} & =-[0.9 \hat{\mathbf{i}}+1.2 \hat{\mathbf{j}}] \end{aligned} $

इसलिए,

• विकल्प (a) शून्य: यह विकल्प गलत है क्योंकि संवेग में परिवर्तन शून्य नहीं है। प्रारंभिक और अंतिम वेग एक समान नहीं हैं, जिसका अर्थ है कि संवेग में परिवर्तन होता है। प्रारंभिक संवेग धनात्मक दिशा में है, जबकि अंतिम संवेग ऋणात्मक दिशा में है, जिसके कारण संवेग में गैर-शून्य परिवर्तन होता है।

• विकल्प (b) $-(0.45 \hat{\mathbf{i}}+0.6 \hat{\mathbf{j}})$: यह विकल्प गलत है क्योंकि गणना किए गए संवेग में परिवर्तन $-(0.9 \hat{\mathbf{i}}+1.2 \hat{\mathbf{j}})$ है। इस विकल्प में दिए गए मान सही मान के आधा हैं, जिससे गणना में त्रुटि होती है।

• विकल्प (d) $-5(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}) \hat{\mathbf{i}}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह संवेग में परिवर्तन को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं करता है। व्यंजक $-5(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}) \hat{\mathbf{i}}$ आयाम एक से असंगत है और सही गणना किए गए संवेग में परिवर्तन $-(0.9 \hat{\mathbf{i}}+1.2 \hat{\mathbf{j}})$ के बराबर नहीं है।

उत्तर

(c) पिछले समाधान से $\Delta p=-(0.9 \hat{\mathbf{i}}+1.2 \hat{\mathbf{j}})$

$ \begin{aligned} \text { मापदंड } & =|\Delta \mathbf{p}|=\sqrt{(0.9)^{2}+(1.2)^{2}} \\ & =\sqrt{0.81+1.44}=1.5 ~\text{kg-m s}^{-1} \end{aligned} $

• विकल्प (a) शून्य: यह गलत है क्योंकि हिट के दौरान संवहन किया गया संवेग शून्य नहीं है। गणना दर्शाती है कि संवेग में परिवर्तन शून्य नहीं है।

• विकल्प (b) $0.75 \ \text{kg-m s}^{-1}$: यह गलत है क्योंकि संवहन के संवेग के मापदंड, गणना के अनुसार, $1.5 \ \text{kg-m s}^{-1}$ है, न कि $0.75 \ \text{kg-m s}^{-1}$।

• विकल्प (d) $14 \ \text{kg-m s}^{-1}$: यह गलत है क्योंकि संवहन के संवेग के मापदंड बहुत छोटा है, विशेष रूप से $1.5 \ \text{kg-m s}^{-1}$ है, न कि $14 \ \text{kg-m s}^{-1}$।

संवेग के संरक्षण के लिए हमें देखना होता है कि एक प्रणाली पर कुल बाह्य बल कार्य कर रहा है या नहीं।

उत्तर

(d) हम जानते हैं कि एक प्रणाली के लिए $\quad F_{\text {ext }}=\dfrac{d p}{d t} \quad$ (न्यूटन के दूसरे नियम से) यदि $F_{\text {ext }}=0, d p=0 \Rightarrow p=$ स्थिर

अतः यदि प्रणाली पर बाह्य बल शून्य हो तो प्रणाली के संवेग के संरक्षण होगा।

टकराव के मामले में न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार प्रत्येक कण पर समान और विपरीत बल कार्य करेंगे।

अतः प्रणाली पर कुल बल शून्य होगा।

नोट: हम प्रणाली और व्यक्तिगत कण के बीच भ्रम नहीं करना चाहिए। दोनों कणों की प्रणाली पर कुल बल शून्य होता है लेकिन व्यक्तिगत कण पर बल कार्य करता है।

• (a) ऊर्जा के संरक्षण: ऊर्जा के संरक्षण संवेग के संरक्षण के अत्यधिक निर्देश नहीं करता। ऊर्जा गतिज ऊर्जा के अतिरिक्त रूपों में भी संरक्षित हो सकती है, जैसे कि स्थितिज ऊर्जा और इसके अतिरिक्त निर्देश नहीं करती।

• (ब) न्यूटन के पहले नियम केवल: न्यूटन के पहले नियम कथन है कि एक वस्तु शांति में रहेगी या एकसमान गति में चलती रहेगी जब तक बाह्य बल न लगे। यह टक्कर के दौरान बल और संवेग में परिवर्तन के बीच सीधा संबंध प्रदान नहीं करता।

• (ग) न्यूटन के दूसरे नियम केवल: न्यूटन के दूसरे नियम बल को संवेग में परिवर्तन की दर से संबंधित करता है, लेकिन इस एकाकी नियम के द्वारा टकराने वाले कणों के बीच परस्पर बल के बारे में खास ख्याल नहीं लिया जाता। न्यूटन के तीसरे नियम, जो कहता है कि प्रत्येक क्रिया के बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया होती है, टक्कर में संवेग के संरक्षण को पूरी तरह समझने के लिए आवश्यक है।

उत्तर

(ग) देखें आसन्न चित्र

खिलाड़ी के उत्तर दिशा में प्रारंभिक संवेग $~~ OA = p_1$

खिलाड़ी के पश्चिम दिशा में अंतिम संवेग $~~ AB = p_2=$

संवेग में परिवर्तन $= p_2 - p_1$

$AB - OA = AB + (-OA)$ स्पष्ट रूप से परिणामी $\mathbf{A R}$ दक्षिण-पश्चिम दिशा में होगा।

• (ए) पश्चिम दिशा में घर्षण बल: यह विकल्प गलत है क्योंकि घर्षण बल गति के विपरीत दिशा में कार्य करता है। चूंकि खिलाड़ी पश्चिम दिशा में बदल रहा है, घर्षण बल पूर्व दिशा में कार्य करेगा, न कि पश्चिम दिशा में।

• (ब) दक्षिण दिशा में मांसपेशियों का बल: यह विकल्प गलत है क्योंकि उत्तर दिशा से पश्चिम दिशा में दिशा बदलने के लिए आवश्यक मांसपेशियों का बल शुद्ध दक्षिण दिशा में नहीं होगा। इसमें पश्चिम दिशा के घटक की आवश्यकता होगी ताकि बदलाव हो सके।

• (d) दक्षिण-पश्चिम दिशा में मांसपेशियों के बल: यह विकल्प गलत है क्योंकि मांसपेशियों का बल गति परिवर्तन के लिए प्राथमिक बल नहीं है। खिलाड़ी के बर्फ पर उसके बर्फ जूतों के बीच घर्षण बल ही खिलाड़ी के दिशा परिवर्तन की अनुमति देता है, मांसपेशियों के बल अकेले नहीं।

हमें त्वरण की गणना करने के लिए अवकलन का उपयोग करना होगा और फिर न्यूटन के द्वितीय नियम का उपयोग करेंगे।

उत्तर

(a) दिया गया, द्रव्यमान $=2 kg$

$ \begin{aligned} x(t) & =p t+q t^{2}+r t^{3} \\ v & =\dfrac{d x}{d t}=p+2 q t+3 r t^{2} \\ a & =\dfrac{d v}{d t}=0+2 q+6 r t \newline \\ \text { जब } t & =2 s \\ & a=2 q+6 \times 2 \times r \\ & =2 q+12 r \\ & =2 \times 4+12 \times 5 \\ & =8+60=68 ~m / s^2 \newline \\ \text { बल } & =F=m a \\ & =2 \times 68=136 N \end{aligned} $

• विकल्प (b) $134 N$ गलत है क्योंकि दिए गए मानों और सही सूत्र के उपयोग से गणना किए गए बल का मान $136 N$ है, न कि $134 N$।
• विकल्प (c) $158 N$ गलत है क्योंकि दिए गए मानों और सही सूत्र के उपयोग से गणना किए गए बल का मान $136 N$ है, न कि $158 N$।
• विकल्प (d) $68 N$ गलत है क्योंकि यह मान $t=2 s$ पर त्वरण ($a$) का प्रतिनिधित्व करता है, न कि बल। बल की गणना द्रव्यमान $2 kg$ को त्वरण $68~ m/s^2$ से गुणा करके की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप $136 N$ होता है।

उत्तर

(b) दिया गया, द्रव्यमान $=m=5 kg$

Acting force $=\mathbf{F}=(-3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}) N$

Initial velocity at $t=0, \mathbf{u}=(6 \hat{\mathbf{i}}-12 \hat{\mathbf{j}}) m / s$

Retardation, $\hat{\mathbf{a}}=\dfrac{\mathbf{F}}{m}=\left(-\dfrac{3 \hat{\mathbf{i}}}{\mathbf{5}}+\dfrac{4 \hat{\mathbf{j}}}{5}\right) m / s^{2}$

As final velocity is along $Y$-axis only, its $x$-component must be zero.

From $v=u+a t$, for $X$-component only, $0=6 \hat{\mathbf{i}}-\dfrac{3 \hat{\mathbf{i}}}{5} t$

$ t=\dfrac{5 \times 6}{3}=10 s $

• Option (a) never: यह विकल्प गलत है क्योंकि जब वस्तु के वेग के $X$-अक्ष के घटक शून्य हो जाएगा, तब वस्तु के वेग केवल $Y$-अक्ष के अनुदिश होगा। गणना दिखाती है कि यह घटना $t = 10$ सेकंड पर होती है, इसलिए यह “कभी नहीं” नहीं है।

• Option (c) 2 s: यह विकल्प गलत है क्योंकि, गणना के आधार पर, वेग के $X$-अक्ष के घटक शून्य होने के लिए आवश्यक समय $t = 10$ सेकंड है, न कि 2 सेकंड। $t = 2$ सेकंड पर, वेग के $X$-अक्ष के घटक अभी भी शून्य नहीं होंगे।

• Option (d) 15 s: यह विकल्प गलत है क्योंकि गणना दिखाती है कि वेग के $X$-अक्ष के घटक शून्य हो जाते हैं $t = 10$ सेकंड पर। $t = 15$ सेकंड पर, $X$-अक्ष के घटक पहले से ही 5 सेकंड से शून्य हो चुके होंगे, इसलिए यह सही समय नहीं है।

Answer

(b) दिया गया, गाड़ी का द्रव्यमान $m$

कार आरंभिक वेग से शुरू होती है, $u=0$

पूर्व दिशा में प्राप्त वेग $=v \hat{\mathbf{i}}$

अवधि $t=2 s$

$ \begin{aligned} v & =u+a t \\ v \hat{\mathbf{i}} & =0+a \times 2 \\ \mathbf{a} & =\dfrac{\mathbf{v}}{2} \hat{\mathbf{i}} \end{aligned} $

$ \mathbf{F}=m \mathbf{a}=\dfrac{\mathbf{m} \mathbf{v}}{2} \hat{\mathbf{i}} $

अतः, गाड़ी पर लगने वाला बल $\dfrac{m v}{2}$ पूर्व दिशा में है। चूंकि प्रणाली पर बाहरी बल केवल घर्षण है, इसलिए बल $\dfrac{m v}{2}$ घर्षण द्वारा लगता है। अतः, इंजन द्वारा लगने वाला बल आंतरिक बल है।

• विकल्प (a): यह विकल्प गलत है क्योंकि इसके बल को गाड़ी के इंजन के कारण लिया गया है। हालांकि, गणना किया गया बल $\dfrac{m v}{2}$ रोड के टायरों पर लगने वाली घर्षण बल के कारण है, न कि गाड़ी के इंजन द्वारा।

• विकल्प (c): यह विकल्प गलत है क्योंकि इसके बल को इंजन द्वारा लगने वाले बल के बराबर या अधिक होने के कारण लिया गया है। समस्या में दिया गया है कि गाड़ी एकसमान त्वरण से चल रही है, जिससे नेट बल $\dfrac{m v}{2}$ होता है, जो घर्षण के कारण है। इंजन द्वारा इस बल से अधिक बल लगाने के बारे में कोई संकेत नहीं है।

• विकल्प (d): यह विकल्प गलत है क्योंकि इसके बल को इंजन द्वारा लगने वाले बल के रूप में लिया गया है। हालांकि, बल $\dfrac{m v}{2}$ टायर और रोड के बीच घर्षण के कारण है, न कि इंजन द्वारा।

यहां, कण के अलग-अलग समय अंतराल के लिए स्थिति दी गई है। इसलिए, हमें अंतराल के अनुसार वेग और त्वरण खोजना होगा।

उत्तर

$(a, b, d)$

दिया गया है,

$ x(t) = \begin{cases} 0 & \text { यदि } ~t<0 s . \\ A \sin 4 \pi t & \text { यदि } ~0<t<\dfrac{1}{4} s \\ 0 & \text { यदि } ~t>\dfrac{1}{4} s \end{cases} $

$ v(t) =\dfrac{d x}{d t}=4 \pi \text { Acos } 4 \pi t $

$a(t) =\dfrac{d v(t)}{d t}=-16 \pi^{2} A \sin 4 \pi t $

$\text { जब } t =\dfrac{1}{8} s, a(t)=-16 \pi^{2} A \sin 4 \pi \times \dfrac{1}{8}=-16 \pi^{2} A $

$F =m a(t)=-16 \pi^{2} A \times m=-16 \pi^{2} Am $

$\text { आवेग } =\text { रैखिक संवेग में परिवर्तन } $

$ =F \times t=(-16 \pi^{2} Am) \times \dfrac{1}{4} $

$ =-4 \pi^{2} Am$

$ \text { जब, } 0<t<\dfrac{1}{4} s $

आवेग (रैखिक संवेग में परिवर्तन)

$ \text { जब } t=0 \text { तो उतना ही होगा, जब } t=\dfrac{1}{4} s \text {. } $

स्पष्ट रूप से, बल $A$ पर निर्भर करता है जो निरंतर नहीं है। अतः, बल भी निरंतर नहीं है।

ध्यान रखें हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि विभिन्न समय अंतरालों के लिए बल भिन्न होता है। अतः, हमें प्रत्येक अंतराल के लिए अलग-अलग अवकलन सूत्रों का उपयोग करना चाहिए।

• विकल्प (c): कण पर कोई बल नहीं लग रहा है। यह गलत है क्योंकि कण $0 < t < \dfrac{1}{4} \text{ s}$ के अंतराल में बल का अनुभव करता है। बल $F = ma(t) = -16 \pi^2 m A \sin 4 \pi t$ द्वारा दिया गया है, जो इस अंतराल में शून्य नहीं है।

इस समस्या में हमें प्रत्येक सतह पर घर्षण बल खोजना होगा और फिर अधिकतम बल के आधार पर निर्णय लेना होगा।

उत्तर

$(a, b, d)$

आकृति को ध्यान में रखें। $B$ पर घर्षण बल $f_1$ और $A$ पर घर्षण बल $f_2$ जैसे दिखाया गया है।

मान लीजिए $A$ और $B$ एक साथ गति कर रहे हैं।

$a_{\text {net }}=\dfrac{F-f_1}{m_{A}+m_{B}}=\dfrac{F-f_1}{(m / 2)+m}=\dfrac{2(F-f_1)}{3 m}$

$A$ पर आर्टिफिशियल बल $=(m_{A}) \times a_{\text {net}}$

$=m_{A} \times \dfrac{2(F-f_1)}{3 m}=\dfrac{m}{2} \times \dfrac{2(F-f_1)}{3 m}=\dfrac{(F-f_1)}{3}$

$A$ पर आर्टिफिशियल बल $=F$ के अधिकतम मान तब होगा जब $A$ पर आर्टिफिशियल बल $=A$ पर घर्षण बल होगा।

$ \begin{aligned} & \dfrac{F_{\max }-f_1}{3}=\mu m_{A} g \\ & \mu m_{A} g =0.2 \times \dfrac{m}{2} \times g=0.1 mg \\ & F_{\max }=0.3 mg+f_1 \\ & F_{\max } = 0.3 mg+(0.1) \dfrac{3}{2} mg=0.45 mg \end{aligned} $

अतः, वस्तुएँ एक साथ गति करेंगी जब तक बल $F_{\max }=0.45 mg$ तक हो।

(a) अतः, जब $F=0.25 mg<F_{\max }$ हो तो वस्तुएँ एक साथ गति करेंगी।

(b) जब $F=0.5 mg>F_{\max }$ हो तो वस्तु $A$ वस्तु $B$ के संबंध में स्लिप करेगी।

(c) जब $F=0.5 mg>F_{\text {max }}$ हो तो वस्तुएँ स्लिप करेंगी।

• विकल्प (c) गलत है: जब $F = 0.5 \ mg$ हो, तो बल अधिकतम बल $F_{\text{max}} = 0.45 \ mg$ से अधिक हो जाता है जिसके कारण दोनों वस्तुएँ एक साथ गति करेंगी। अतः, वस्तुएँ एक साथ गति नहीं करेंगी, बल्कि वस्तु (A) वस्तु (B) के संबंध में स्लिप करेगी।

$ (f_1) _ {\max } $ = $\mu m_{B} g=(0.1) \times \dfrac{3}{2} m \times g=0.15 mg $

$ (f_2) _ {\max} $= $\mu m_A g=(0.2)\left(\dfrac{m}{2}\right)(g)=0.1 mg $

अतः, प्रणाली $(A+B)$ के गति के लिए आवश्यक न्यूनतम बल

$F_{\min} = (f_1) _ {\max } + (f_2)_{\max } $

$F_{\min} =0.15 mg+0.1 mg=0.25 mg$

(d) दिया गया है, बल $F=0.1 mg<F_{\text {min }}$. अतः, वस्तुएँ विराम में रहेंगी।

घर्षण बल हमेशा गति के विरुद्ध दिशा में होता है। आसन्न चित्र को ध्यान में रखें।

उत्तर

$(b, d)$

मान लीजिए $m_1$, ढलान के ऊपर चल रहा है। चित्र में शामिल विभिन्न बल नीचे दिखाए गए हैं।

$ \begin{aligned} N & =\text { अभिलम्ब प्रतिक्रिया } \\ f & =\text { घर्षण बल } \\ T & =\text { स्ट्रिंग में तनाव } \\ f & =\mu N=\mu m_1 g \cos \theta \end{aligned} $

सिस्टम $(m_1+m_2)$ के ऊपर चलने के लिए

$ \begin{matrix} & m_2 g-(m_1 g \sin \theta+\mu m_1 g \cos \theta)>0 \\ & m_2>m_1(\sin \theta+\mu \cos \theta) \end{matrix} $

अतः, विकल्प (b) सही है।

मान लीजिए वस्तु ढलान के नीचे चल रही है, इस स्थिति में $f$ ढलान के ऊपर दिशा में कार्य करता है।

अतः,

$ \begin{aligned} & m_1 g \sin \theta-f>m_2 g \\ & m_1 g \sin \theta-\mu m_1 g \cos \theta>m_2 g \\ & m_1(\sin \theta-\mu \cos \theta)>m_2 \\

& m_2<m_1(\sin \theta-\mu \cos \theta) \end{aligned} $

अतः, विकल्प (d) सही है।

• विकल्प (a): यह विकल्प बताता है कि यदि $m_2 > m_1 \sin \theta$, तो वस्तु ढलान पर ऊपर चलेगी। हालांकि, इस स्थिति में $m_1$ पर कार्य कर रहे घर्षण बल को ध्यान में नहीं लिया गया है। वस्तु ढलान पर ऊपर चलने के लिए सही स्थिति में घर्षण बल को शामिल करना आवश्यक है, इसलिए सही स्थिति $m_2 > m_1 (\sin \theta + \mu \cos \theta)$ होती है। इसलिए, विकल्प (a) गलत है क्योंकि यह घर्षण बल को नगण्य मान रहा है।

• विकल्प (c): यह विकल्प बताता है कि यदि $m_2 < m_1 (\sin \theta + \mu \cos \theta)$, तो वस्तु ढलान पर ऊपर चलेगी। हालांकि, यह स्थिति बताती है कि $m_2$ के कारण बल ढलान पर गुरुत्वाकर्षण घटक और $m_1$ पर कार्य कर रहे घर्षण बल के संयोजन को पराक्रम नहीं कर सकता है। इसलिए, इस स्थिति में वस्तु ढलान पर ऊपर चलेगी। इसलिए, विकल्प (c) गलत है क्योंकि यह वस्तु ढलान पर ऊपर चलने की स्थिति को गलत ढंग से समझता है।

उत्तर

$(b, c)$

मान लीजिए $A$ तल पर ऊपर चलता है, तो $A$ पर घर्षण बल नीचे की ओर होगा जैसा कि दिखाया गया है।

जब $A$ ऊपर चलना शुरू करता है

$m g \sin \theta_1+f =m g \sin \theta_2 $

$\Rightarrow m g \sin \theta_1+\mu m g \cos \theta_1 =m g \sin \theta_2 $

$\Rightarrow \mu =\dfrac{\sin \theta_2-\sin \theta_1}{\cos \theta_1}$

जब $A$ ऊपर चलता है

$ \Rightarrow \quad \sin \theta_2>\sin \theta_1 \Rightarrow \theta_2>\theta_1 $

• (a) A तल पर कभी ऊपर नहीं चलेगा: यह कथन गलत है क्योंकि यदि विकल्प (b) में दिए गए शर्तों को पूरा करते हैं, तो शरीर $A$ तल पर ऊपर चल सकता है, अर्थात जब घर्षण गुणांक $\mu$ के बराबर होता है $\dfrac{\sin \theta_2 - \sin \theta_1}{\cos \theta_1}$।

• (d) B हमेशा नियत गति के साथ नीचे लटकता रहेगा: यह कथन गलत है क्योंकि शरीर $B$ की गति उस पर कार्य कर रहे बलों के नेट बल पर निर्भर करती है। यदि बल संतुलित हों, तो $B$ नियत गति के साथ चल सकता है, लेकिन यदि नेट बल हो (जैसे तार में तनाव या तल पर गुरुत्वाकर्षण के घटक के कारण), तो $B$ त्वरित या धीमी गति से चल सकता है।

उत्तर

(c, $d)$

दिया गया,

प्रारंभिक वेग $(u)~ u_1=u_2=5 m / s$

अंतिम वेग $(v)~ v_1=v_2=-5 m / s$

संघटन के समय अवधि $=10^{-3} s$

रेखीय संवेग में परिवर्तन $=m(v-u) $

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{20}[-5-5]=-0.5 N-s \newline \\ \text { बल } & =\dfrac{\text { आवेग }}{\text { समय }}=\dfrac{\text { संवेग में परिवर्तन }}{10^{-3} s} \newline \\ & =\dfrac{0.5}{10^{-3}}=500 N \end{aligned} $

आवेग और बल एक दूसरे के विपरीत दिशा में होते हैं।

• विकल्प (a): प्रत्येक गेंद को दिया गया आवेग वास्तव में $0.5 \ \text{N-s}$ है, न कि $0.25 \ \text{kg-m/s}$. इसके अलावा, प्रत्येक गेंद पर बल $500 \ \text{N}$ है, न कि $250 \ \text{N}$ है।

• विकल्प (b): प्रत्येक गेंद को दिया गया आवेग $0.5 \ \text{N-s}$ है, न कि $0.25 \ \text{kg-m/s}$. इसके अलावा, प्रत्येक गेंद पर बल $500 \ \text{N}$ है, न कि $25 \times 10^{-5} \ \text{N}$ है।

• विकल्प (c): यह विकल्प सही है और इसलिए गलत नहीं है।

• विकल्प (d): यह विकल्प सही है और इसलिए गलत नहीं है।

इस समस्या में हमें दो लम्बवत सदिशों के परिणामी के बारे में अवधारणा का उपयोग करना होगा।

उत्तर

(a, c)

निम्नलिखित आरेख को ध्यान में रखिए

दिया गया,

$ \begin{aligned} \text { द्रव्यमान } & =m=10 kg \\ F_1 & =6 ~N, F_2=8 ~N \\ \text { परिणामी बल } & =F=\sqrt{F_1^{2}+F_2^{2}}=\sqrt{36+64} \\ & =10 ~N \\ a & =\dfrac{F}{m}=\dfrac{10}{10}=1 m / s^{2} ; \text { along } R . \end{aligned} $

मान लीजिए $\theta_1$ बल $R$ और $F_1$ के बीच कोण है

$ \begin{aligned} \tan \theta_1 & =\dfrac{8}{6}=\dfrac{4}{3} \\ \theta_1 & =\tan ^{-1}(4 / 3) \text { w.r.t. } F_1=6~ N \end{aligned} $

मान लीजिए $\theta_2$ वह कोण है जो $F$ और $F_2$ के बीच है

$ \begin{aligned} \tan \theta_2 & =\dfrac{6}{8}=\dfrac{3}{4} \\ \theta_2 & =\tan ^{-1}\left(\dfrac{3}{4}\right) \text { w.r.t. } F_2=8 ~N \end{aligned} $

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि गणना की गई त्वरण $1 \ \text{m/s}^2$ है न कि $0.2 \ \text{m/s}^2$। परिणामी बल $10 \ \text{N}$ है और द्रव्यमान $10 \ \text{kg}$ है, जिसके कारण त्वरण $1 \ \text{m/s}^2$ होती है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि गणना की गई त्वरण $1 \ \text{m/s}^2$ है न कि $0.2 \ \text{m/s}^2$। परिणामी बल $10 \ \text{N}$ है और द्रव्यमान $10 \ \text{kg}$ है, जिसके कारण त्वरण $1 \ \text{m/s}^2$ होती है।

इस समस्या में हमें रैखिक संवेग के संरक्षण के नियम को लागू करना होता है।

उत्तर

दिया गया, लड़की, साइकिल और पत्थर का कुल द्रव्यमान $=m_1=(50+0.5) kg=50.5 kg$।

साइकिल की गति $u_1=5 m / s$, पत्थर का द्रव्यमान $m_2=0.5 kg$

पत्थर की गति $u_2=15 m / s$, लड़की और साइकिल का द्रव्यमान $m=50 kg$

हाँ, पत्थर को फेंक देने के बाद साइकिल की गति परिवर्तित हो जाती है।

मान लीजिए पत्थर को फेंक देने के बाद साइकिल की गति $v ~\text{m / s}$ हो।

रैखिक संवेग के संरक्षण के नियम के अनुसार,

$ \begin{aligned}

m_1 u_1 & =m_2 u_2+m v \\ 50.5 \times 5 & =0.5 \times 15+50 \times v \\ 252.5-7.5 & =50 v \\ \text { या } \quad v & =\dfrac{245.0}{50} \\ v & =4.9 m / s \\ \text { वेग में परिवर्तन } & =5-4.9=0.1~ m / s . \end{aligned} $

Answer

जब एक लिफ्ट नीचे जाते हुए नीचे की ओर त्वरण $a$ के साथ गिरती है, तो द्रव्यमान $m$ के एक वस्तु का आभासी भार द्वारा दिया जाता है

$ w^{\prime}=R=m(g-a) $

व्यक्ति का द्रव्यमान $m=50 kg$

नीचे जाने का त्वरण $a=9 m / s^{2}$

गुरुत्वाकर्षण के काण त्वरण $g=10 m / s^{2}$

व्यक्ति का आभासी भार,

$ \begin{aligned} R & =m(g-a) \\ & =50(10-9) \\ & =50 N \\ \quad \text { वजन मापने वाले यंत्र का पाठ } & =\dfrac{R}{g}=\dfrac{50}{10}=5 kg \end{aligned} $

Answer

दिया गया, वस्तु का द्रव्यमान $m=2 kg$

स्थिति-समय ग्राफ से, $t=0$ पर वस्तु $x=0$ पर है, अर्थात वस्तु विराम में है।

$\therefore$ $t=0, s=0$ पर आवेग शून्य है

$t=0 s$ से $t=4 s$ तक, स्थिति-समय ग्राफ एक सीधी रेखा है, जो दर्शाता है कि वस्तु समान चाल के साथ गति कर रही है।

$t=4 s$ के बाद, ग्राफ समय अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है, अर्थात वस्तु विराम में है $v=0$

वस्तु की चाल $=$ स्थिति-समय ग्राफ की ढलान

$ =\tan \theta=\dfrac{3}{4} m / s $

आवेग (t=4 s पर) = संवेग में परिवर्तन

$ \begin{aligned} & =m v-m u \\ & =m(v-u) \\ & =2\left(0-\dfrac{3}{4}\right) \\ & =-\dfrac{3}{2} ~\text{kg-m / s}=-1.5 ~\text{kg-m / s}

\end{aligned} $

उत्तर

जब कोई व्यक्ति एक कार चला रहा है और अचानक ब्रेक लगा देता है, तो व्यक्ति के शरीर के नीचे भाग कार के साथ धीरे-धीरे धीमा हो जाता है जबकि शरीर के ऊपरी भाग गति के जड़त्व के कारण आगे बरकरार रहता है।

यदि ड्राइवर सीट बेल्ट नहीं पहने हो, तो वह आगे गिर जाता है और अपना सिर स्टीयरिंग व्हील के संपर्क में टकराता है।

उत्तर

दिया गया, वस्तु का द्रव्यमान $m=2 kg$।

वस्तु का वेग $\mathbf{v}(t)=2 t \hat{\mathbf{i}}+t^{2} \hat{\mathbf{j}}$

$\therefore$ समय $t=2 s$ पर वस्तु का वेग

$ \mathbf{v}=2 \times 2 \hat{\mathbf{i}}+(2)^{2} \hat{\mathbf{j}}=(4 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}) $

वस्तु का संवेग $(\mathbf{p})=m \mathbf{v}$

$ =2(4 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}})=(8 \hat{\mathbf{i}}+8 \hat{\mathbf{j}}) ~\text{kg-m / s} $

वस्तु का त्वरण $\mathbf{a}=\dfrac{d v}{d t}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{d}{d t}(2 t \hat{\mathbf{i}}+t^{2} \hat{\mathbf{j}}) \\ & =(2 \hat{\mathbf{i}}+2 t \hat{\mathbf{j}}) \\ \text { At } t & =2 s \\ \mathbf{a} & =(2 \hat{\mathbf{i}}+2 \times 2 \hat{\mathbf{j}}) \\ & =(2 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}) \end{aligned} $

वस्तु पर लगने वाला बल $\mathbf{F}= m\mathbf{a}$

$ =2(2 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}) $

$ =(4 \hat{\mathbf{i}}+8 \hat{\mathbf{j}}) N $

उत्तर

लगभग ग्राफ चित्र में दिखाया गया है

घर्षण बल $f$ लम्बवत अक्ष पर दिखाया गया है और आरोपित बल $F$ क्षैतिज अक्ष पर दिखाया गया है। ग्राफ के भाग $O A$ स्थैतिक घर्षण को दर्शाता है जो स्वयं समायोजित होता है। इस भाग में $f=F$ होता है।

बिंदु $B$ सीमा घर्षण बल को दर्शाता है जो स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान होता है। $C D | O X$ गतिशील घर घर्षण को दर्शाता है, जब वस्तु वास्तव में गति शुरू करती है। गतिशील घर्षण बल आरोपित बल के साथ बढ़ता नहीं होता और यह सीमा घर्षण के थोड़ा कम होता है।

उत्तर

पोर्सेलिन वस्तुओं को पैक करने के लिए पेपर या चावल में ढक देने से वाहनों के दौरान नुकसान के अवसर कम हो जाते हैं। वाहनों के दौरान अचानक झटके या तो गिरने की स्थिति आ सकती है, तो बल पेपर या चावल के माध्यम से एक ही गति परिवर्तन के लिए बल के लिए अधिक समय लगता है जैसे $F=\dfrac{\Delta p}{\Delta t}$ और इसलिए, वस्तु पर कम बल कार्य करता है।

उत्तर

जब एक बच्चा सीमेंट फर्श पर गिरता है, तो उसका शरीर तुरंत रुक जाता है, लेकिन $F \times \Delta t=$ संवेग के परिवर्तन $=$ स्थिर। रुकने के समय $\Delta t$ कम हो जाता है, इसलिए $F$ बढ़ जाता है और इसलिए, बच्चा अधिक दर्द महसूस करता है।

जब वह बगैर बगैर गार्डन में नरम भूमि पर गिरता है तो रुकने के समय बढ़ जाता है और इसलिए, $F$ कम हो जाता है और वह कम दर्द महसूस करता है।

उत्तर

वस्तु का द्रव्यमान $(m)=500 g=0.5 kg$

वस्तु की गति $(v)=25 ~m / s$

(a) वस्तु पर आवेग = संवेग में परिवर्तन

$ \begin{aligned} & =m v-m u \\ & =m(v-u) \\ & =0.5(25-0)=12.5 ~\text{N-s} \end{aligned} $

(b) प्रतिध्वनि के बाद वस्तु की गति

$ \begin{aligned} & =-\dfrac{25}{2} m / s \\ & v^{\prime}=-12.5 m / s \\ & \therefore \quad \text { संवेग में परिवर्तन }=m(v^{\prime}-v) \\ & =0.5(-12.5-25)=-18.75 ~\text{N-s} \end{aligned} $

उत्तर

जब नीचली रस्सी $\text{CD}$ को तीव्रता से खींचा जाता है, तो रस्सी $\text{CD}$ खुद टूट जाती है। कारण यह है कि रस्सी $\text{CD}$ पर लगाया गया बल रस्सी $\text{AB}$ में तुरंत पहुंच नहीं जाता।

जब पूरे प्रणाली ऊपर की ओर त्वरित गति कर रही हो, तो हमें न्यूटन के गति के नियमों को लागू करना होता है।

उत्तर

दिया गया, $m_1=5 kg, m_2=3 kg$

$g=9.8 m / s^{2}$ और $a=2 m / s^{2}$

ऊपरी ब्लॉक के लिए

$ \begin{aligned} & T_1-T_2-5 g =5 a \\ & T_1-T_2 =5(g+a) \\ & T_1 =T_2+5(g+a) \\ & T_1=35.4+5(9.8+2)=94.4 ~N \end{aligned} $

निचले ब्लॉक के लिए

$ \begin{aligned} & T_2-3 g =3 a \\ & T_2 =3(g+a) \\ & T_2 =3(9.8+2)=35.4 ~N \end{aligned} $

उत्तर

संतुलन में, ब्लॉक $A$ पर कार्य करने वाला बल $m g \sin \theta$ तनाव के द्वारा संतुलित होना चाहिए, अर्थात,

$ \begin{aligned} & m g \sin \theta=T=F \quad \text{(i)}\quad[\because T=\text { F दिया गया }] \\ & W=T=F \quad \text{(ii)} \end{aligned} $

जहाँ, $W$ ब्लॉक $B$ का भार है।

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं,

$ \begin{aligned} W & =m g \sin \theta \\ & =100 \times \sin 30^{\circ} \\ & =100 \times \dfrac{1}{2} N=50 N \end{aligned} $

ध्यान दें: ऐसे मामलों में अभिलाक्षणिक प्रतिक्रिया की गणना करते समय हमें ध्यान रखना चाहिए, इसका मान $N=m g \cos \theta$ होगा, जहाँ $\theta$ झुकाव का कोण है।

उत्तर

दिया गया, ब्लॉक का द्रव्यमान $=M$

ब्लॉक और दीवार के बीच घर्षण गुणांक $=\mu$

मान लीजिए ब्लॉक पर बल $F$ लगाकर ब्लॉक को दीवार के खिलाफ रखे रहने की कोशिश की जा रही है। बल के अभिलाक्षणिक प्रतिक्रिया $N$ हो और घर्षण बल ऊपर की ओर कार्य करता हो $f$। संतुलन में, क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बल अलग-अलग संतुलित होने चाहिए।

$$f=M g$$

और

$$F=N$$

लेकिन घर्षण बल $$f=\mu N$$

$$ f=\mu F $$

$$ \mu F = Mg$$

$$F= \dfrac{Mg}{\mu}$$

उत्तर

दिया गया, बंदूक का द्रव्यमान $m_1=100 kg$

बॉल का द्रव्यमान $m_2=1 kg$

ढेर की ऊँचाई $h=500 m$

बॉल द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x=400 m$

$ h=\dfrac{1}{2} g t^{2} \quad( \because \text {अपसारी दिशा में आरंभिक वेग शून्य है) }$

$ \begin{aligned} 500 & =\dfrac{1}{2} \times 10 t^{2} \\ t & =\sqrt{100}=10 s \\ x=u t, u & =\dfrac{x}{t}=\dfrac{400}{10}=40 m / s \end{aligned} $

यदि $v$ बंदूक का प्रतिक्षेप वेग है, तो रैखिक संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,

$ \begin{aligned} & m_1 v =m_2 u \\ & v =\dfrac{m_2 u}{m_1}=\dfrac{1}{100} \times 40=0.4 m / s \end{aligned} $

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हमें दिए गए आलेख से $x$ और समय $(t), y$ और समय (t) के बीच संबंध ज्ञात करना होगा।

उत्तर

स्पष्ट रूप से आलेख (a) से, चरण निम्नलिखित रूप में संबंधित हो सकते हैं

$ \begin{aligned} & x=t \Rightarrow \dfrac{d x}{d t}=1 m / s \\ & a_{x}=0 \\ & F_{x} =m a_{x}=0 \\ \end{aligned} $

आलेख (b) से

$ \begin{aligned} & y =t^{2} \\ & v(t) \dfrac{d y}{d t} =2 t \\ & a_{y}=\dfrac{d^{2} y}{d t^{2}}=2 m / s^{2} \\

& F_{y}=m a_{y}=500 \times 10^{-3} \times 2=1 N \\ \end{aligned} $

कुल बल $F$

$ F =\sqrt{F_x^{2}+F_y^{2}}=F_{y}=1 N \text { (y \text -अक्ष के अनुदिश}) $

उत्तर

यहाँ, सिक्के के प्रारंभिक वेग $u=20 m / s$

लिफ्ट के त्वरण $a=2 m / s^{2}$

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $g=10 m / s^{2}$

$\therefore$ प्रभावी त्वरण $a^{\prime}=g+a=10+2=12 m / s^{2} \quad$ (यहाँ, त्वरण लिफ्ट के संबंध में है)

यदि सिक्के के उठाव के समय $t$ है, तो

$ \begin{aligned} & v=u+a t \\ & 0=20+(-12) \times t \\ & t=\dfrac{20}{12}=\dfrac{5}{3} s \end{aligned} $

उठाव का समय = गिराव का समय

$\therefore$ सिक्का हाथ में वापस आने के लिए कुल समय $=\left(\dfrac{5}{3}+\dfrac{5}{3}\right) s=\dfrac{10}{3} s=3.33 s$

ध्यान रखें: नेट त्वरण की गणना करते समय हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि यदि लिफ्ट ऊपर जा रही है तो नेट त्वरण $(g+a)$ होता है और नीचे जा रही है तो नेट त्वरण $(g-a)$ होता है।

उत्तर

चित्र (a) को ध्यान में रखें

$ v_x = \begin{cases} 2t & \text { यदि } ~0<t<1 s \\ 2(2-t) & \text { यदि } ~1<t<2 s \\ 0 & \text { जबकि } t>2 s \end{cases} $

$ F_{x} =m a_{x}=m \dfrac{d v_{x}}{d t} \begin{cases} 2 & \text { यदि } ~0<t<1 s \\ -2 & \text { यदि } ~1<t<2 s \\ 0 & \text { जबकि } t>2 s \end{cases} $

चित्र (b) को ध्यान में रखें

$ v_y = \begin{cases} 1 & \text { यदि } ~0<t<1 s \\ 0 & \text { यदि } ~t>1 s \end{cases} $

$ F_{y} =m a_{y}=m \dfrac{d v_{y}}{d t} \begin{cases} t & \text { यदि } ~0<t<1 s \\ 1 & \text { यदि } ~t>1 s \end{cases} $

$F =F_{x} \hat{\mathbf{i}}+F_{y} \hat{\mathbf{j}}$

$ F = \begin{cases} 2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}} & \text { यदि }~ 0<t<1 s \\ -2 \hat{\mathbf{i}} & \text { यदि }~ 1<t<2 \\ 0 & \text { यदि }~ t>2 \end{cases} $

Thinking Process

वृत्तीय गति के लिए आवश्यक केंद्रापगांग बल घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाएगा।

Answer

केंद्रापगांग बल के लिए घर्षण बल के संतुलन करें $\dfrac{m v^{2}}{r}=f=\mu N=\mu m g$ जहाँ, $N$ अभिलम्ब प्रतिक्रिया है।

$\therefore \quad V=\sqrt{\mu r g} \quad$ (जहाँ, $r$ वृत्तीय पथ की त्रिज्या है)

पथ $A B C$ के लिए

$ \text { पथ लंबाई }=\dfrac{3}{4}(2 \pi \times 2 R)=3 \pi R=3 \pi \times 100 $

$ \begin{aligned} & =300 \pi m \\ v_1=\sqrt{\mu 2 R g} & =\sqrt{0.1 \times 2 \times 100 \times 10} \\ & =14.14 m / s \end{aligned} $

$\therefore \quad t_1=\dfrac{300 \pi}{14.14}=66.6 s$

पथ $D E F$ के लिए

$ \text { पथ लंबाई }=\dfrac{1}{4}(2 \pi R)=\dfrac{\pi \times 100}{2}=50 \pi \newline $

$ \begin{aligned} & v_2=\sqrt{\mu R g}=\sqrt{0.1 \times 100 \times 10}=10 m / s \\ & t_2=\dfrac{50 \pi}{10}=5 \pi s=15.7 s \end{aligned} $

पथों, $C D$ और $F A$ के लिए

$ \text { पथ की लंबाई }=R+R=2 R=200 मीटर $

$ t_3=\dfrac{200}{50}=4.0 सेकंड . $

$\therefore$ एक चक्र पूरा करने के कुल समय

$ t=t_1+t_2+t_3=66.6+15.7+4.0=86.3 सेकंड $

पथ को ज्ञात करने के लिए, हम $x$ और $y$ को नियतांक $A$ और $B$ के रूप में संबंधित करेंगे।

उत्तर

(a) द्रव्यमान $m$ के कण के विस्थापन सदिश को निम्न द्वारा दिया गया है

$ \mathbf{r}(t)=\hat{\mathbf{i}} A \cos \omega t+\hat{\mathbf{j}} B \sin \omega t $

$ x $-अक्ष के अनुदिश विस्थापन है,

$ \begin{aligned} x & =A \cos \omega t \\ \dfrac{x}{A} & =\cos \omega t \quad \text{(i)} \end{aligned} $

$ y $-अक्ष के अनुदिश विस्थापन है,

$ \begin{aligned} y & =B \sin \omega t \\ \dfrac{y}{B} & =\sin \omega t \quad \text{(ii)} \end{aligned} $

समीकरण (i) और (ii) को वर्ग करके जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \dfrac{x^{2}}{A^{2}}+\dfrac{y^{2}}{B^{2}}=\cos ^{2} \omega t+\sin ^{2} \omega t=1 $

यह एक अतिपरवलय का समीकरण है।

इसलिए, कण का पथ एक अतिपरवलय है। (b) कण का वेग

$ \begin{aligned} & \mathbf{v}=\dfrac{d \mathbf{r}}{d t}=\hat{\mathbf{i}} \dfrac{d}{d t}(A \cos \omega t)+\hat{\mathbf{j}} \dfrac{d}{d t}(B \sin \omega t) \\ & =\hat{\mathbf{i}}[A(-\sin \omega t) \cdot \omega]+\hat{\mathbf{j}}[B(\cos \omega t) \cdot \omega] \\ & =-\hat{\boldsymbol{i}} A \omega \sin \omega t+\hat{\boldsymbol{j}} B \omega \cos \omega t \\ & \mathbf{a}=-\hat{\mathbf{i}} A \omega \dfrac{d}{d}(\sin \omega t)+\hat{\mathbf{j}} B \omega \dfrac{d}{d t}(\cos \omega t) \\ & =-\hat{\mathbf{i}} A \omega[\cos \omega t] \cdot \omega+\hat{\mathbf{j}} B \omega[-\sin \omega t] \cdot \omega \\ & =-\hat{\mathbf{i}} A \omega^{2} \cos \omega t-\hat{\mathbf{j}} B \omega^{2} \sin \omega t \\ & =-\omega^{2}[\hat{\mathbf{i}} A \cos \omega t+\hat{\mathbf{j}} B \sin \omega t] \\ $

& =-\omega^{2} \mathbf{r} \end{aligned} $

$\therefore$ कण पर लगने वाला बल,

$ F=m \mathbf{a}=-\mathbf{m} \omega^{2} \mathbf{r} $

वेग के क्षैतिज घटक को गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रभावित नहीं होता।

उत्तर

(a) जब गेंद केवल क्षैतिज वेग दी जाती है तब छोड़े जाने के समय क्षैतिज वेग $(u_{x})=v_{s}$

प्रक्षेप्य गति के दौरान, क्षैतिज वेग अपरिवर्तित रहता है,

$v_{x}=u_{x}=v_{s}$

ऊर्ध्वाधर दिशा में,

$v_y^{2}=u_y^{2}+2 g H$

$ v_{y}=\sqrt{2 g H} $

$\therefore$ गेंद के नीचे बिंदु पर परिणामी वेग,

$ \begin{aligned} v & =\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}} \\ & =\sqrt{v_s^{2}+2 g H} \quad \text{(i)} \end{aligned} $

(b) जब गेंद क्षैतिज वेग और एक छोटे से नीचे की दिशा में वेग दी जाती है

मान लीजिए गेंद को एक छोटे से नीचे की दिशा में वेग $u$ दिया जाता है।

क्षैतिज दिशा में

$v_x^{\prime}=u_{x}=v_{s} $

ऊर्ध्वाधर दिशा में

$ v_y^{\prime 2}=u^{2}+2 g H \\ v_y^{\prime}=\sqrt{u^{2}+2 g H} \quad \text{(ii)} $

$\therefore$ गेंद के नीचे बिंदु पर परिणामी वेग

$ v^{\prime}=\sqrt{v_x^{\prime 2}+v_y^{\prime 2}}=\sqrt{v_s^{2}+u^{2}+2 g H} $

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं $\quad v^{\prime}>v$

बलों को संतुलन बनाने के लिए, हम दो परस्पर लंबवत दिशाओं में विभाजित करना होगा।

उत्तर

आसन्न आरेख को ध्यान में रखते हुए, जहां बल विभाजित किए गए हैं।

बलों को आयताकार घटकों में विभाजित करते हुए, संतुलन में बल $\left(F_1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) N$ के बराबर होते हैं $\sqrt{2} N$ और $F_2$ के बराबर होते हैं $\left(\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) N$।

$F_1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

$ F _1=\sqrt{2}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2-1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=0.707 N $

$F_2=\sqrt{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{2+1}{\sqrt{2}} N=\dfrac{3}{\sqrt{2}} N=2.121 N$

Answer

दिया गया, हेलिकॉप्टर का द्रव्यमान $m_1=2000 kg$

चालक बल और यात्रियों का द्रव्यमान $m_2=500 kg$

ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरण $a=15 m / s^{2}(\uparrow)$ और $g=10 m / s^{2}(\downarrow)$

(a) चालक बल और यात्रियों द्वारा हेलिकॉप्टर के फर्श पर बल

$ \begin{aligned} & m_2(g+a)=500(10+15) N \\ & 500 \times 25 N=12500 N \end{aligned} $

(b) हेलिकॉप्टर के रोटर द्वारा वातावरण पर क्रिया

$ \begin{aligned} & =(m_1+m_2)(g+a) \\ & =(2000+500) \times(10+15)=2500 \times 25 \\ & =62500 N(\text { downward }) \end{aligned} $

(c) वातावरण द्वारा हेलिकॉप्टर पर बल = हेलिकॉप्टर द्वारा लगाए गए बल का प्रतिक्रिया

$ \begin{aligned} & =62500 N \text { (ऊपर) } \end{aligned} $

नोट - हम अपने कार्य और प्रतिक्रिया बलों के संतुलन के समय बहुत स्पष्ट होना चाहिए। हमें यह जानना आवश्यक है कि कौन सा हिस्सा कार्य है और कौन सा हिस्सा कार्य के कारण प्रतिक्रिया है।