ऐसे प्रश्नों को हल करने के लिए हमें डॉट उत्पाद या क्रॉस उत्पाद के सूत्र का उपयोग करना पड़ता है।

उत्तर (b) दिया गया है, $\mathbf{A}=\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}$

$\mathbf{B}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$

हम जानते हैं कि

$ \begin{gathered} A \cdot B=|A||\mathbf{B}| \cos \theta \\ \Rightarrow \quad(\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}) \cdot(\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}})=(\sqrt{1+1})(\sqrt{1+1}) \cos \theta \end{gathered} $

जहाँ $\theta$ वेक्टर $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के बीच कोण है

$ \begin{aligned} \Rightarrow & & \cos \theta & =\dfrac{1-0+0-1}{\sqrt{2} \sqrt{2}}=\dfrac{0}{2}=0 \\ \Rightarrow & & \theta & =90^{\circ} \end{aligned} $

• विकल्प (a) $45^{\circ}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि वेक्टर $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के बीच डॉट उत्पाद शून्य होता है, जिससे उनके बीच कोण के कोसाइन शून्य होता है। $45^{\circ}$ के कोसाइन $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ होता है, न कि शून्य।

• विकल्प (c) $-45^{\circ}$: यह विकल्प विकल्प (a) के लिए उतना ही गलत है। $-45^{\circ}$ के कोसाइन भी $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ होता है, न कि शून्य। डॉट उत्पाद की गणना दिखाती है कि कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए, जहाँ कोसाइन शून्य होता है।

• विकल्प (d) $180^{\circ}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $180^{\circ}$ के कोसाइन $-1$ होता है। डॉट उत्पाद की गणना दिखाती है कि वेक्टर $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के बीच कोण के कोसाइन शून्य होता है, न $-1$। इसलिए, कोण $180^{\circ}$ नहीं हो सकता।

Answer (d) एक सदिश राशि दिशा से स्वतंत्र होती है इसलिए अक्षों के अलग-अलग झुकाव वाले प्रेक्षकों के लिए इसका मान समान रहता है।

• (a) एक सदिश राशि एक प्रक्रिया में आवश्यक रूप से संरक्षित नहीं होती। संरक्षण एक गुण है जो कुछ भौतिक राशियों (जैसे ऊर्जा या संवेग) के लिए लागू होता है लेकिन सभी सदिश राशियों के लिए नहीं।

• (b) एक सदिश राशि नकारात्मक मान ले सकती है। उदाहरण के लिए, सेल्सियस या फ़ारेनहाइट में तापमान नकारात्मक हो सकता है और विद्युत विभव भी नकारात्मक हो सकता है।

• (c) एक सदिश राशि अंतरिक अंतर के बिंदुओं में बदल सकती है। उदाहरण के लिए, तापमान और दबाव ऐसी सदिश राशियाँ हैं जो एक स्थान से दूसरे स्थान तक बदल सकती हैं।

इस प्रश्न में चित्र के अनुसार हमें दी गई सदिश के घटकों का निर्णय लेना होगा।

Answer (b) स्पष्ट रूप से चित्र से, $\mathbf{u}=a \hat{\mathbf{i}}+b \hat{\mathbf{j}}$

क्योंकि $u$ पहले चतुर्थांश में है, इसलिए दोनों घटक $a$ और $b$ धनात्मक होंगे।

$\mathbf{v}=p \hat{\mathbf{i}}+q \hat{\mathbf{j}}$ के लिए, चूंकि यह धनात्मक $x$-दिशा में है और नीचे स्थित है, इसलिए $x$-घटक $p$ धनात्मक होगा और $y$-घटक $q$ नकारात्मक होगा।

• विकल्प (a): यह विकल्प बताता है कि (a) और (p) धनात्मक हैं जबकि (b) और (q) ऋणात्मक हैं। यह गलत है क्योंकि (b) धनात्मक है क्योंकि (u) पहले चतुर्थांश में है, जहाँ दोनों घटक (a) और (b) धनात्मक होते हैं।

• विकल्प (c): यह विकल्प बताता है कि (a), (q) और (b) धनात्मक हैं जबकि (p) ऋणात्मक है। यह गलत है क्योंकि (q) ऋणात्मक है क्योंकि (v) चौथे चतुर्थांश में है, जहाँ (y)-घटक (q) ऋणात्मक होता है।

• विकल्प (d): यह विकल्प बताता है कि (a), (b), (p) और (q) सभी धनात्मक हैं। यह गलत है क्योंकि (q) ऋणात्मक है क्योंकि (v) चौथे चतुर्थांश में है, जहाँ (y)-घटक (q) ऋणात्मक होता है।

उत्तर (b) मान लीजिए $r$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta$ बनाता है, तो $r$ के $X$-अक्ष के अनुदिश घटक

जैसे कि

$r_{x} =|\mathbf{r}| \cos \theta $

$(r_{x}) _{\text{महत्तम }} =|\mathbf{r}|(\cos \theta) _{\text{महत्तम }} $

$=|r| \cos 0^{\circ}=|r| \quad(\because \cos \theta \text{ का महत्तम मान } \theta=0^{\circ})$

$ \theta = 0^o$ $r$ धनात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश होता है।

• (a) यदि $r$ धनात्मक $Y$-अक्ष के अनुदिश हो, तो $r$ और $X$-अक्ष के बीच कोण $\theta$ $90^{\circ}$ होता है। चूंकि $( \cos 90^{\circ} = 0 )$, $r$ के $X$-अक्ष के अनुदिश घटक शून्य होता है, जो महत्तम मान नहीं है।

• (c) यदि $r$ $X$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता हो, तो $r$ के $X$-अक्ष के अनुदिश घटक $\left( |\mathbf{r}| \cos 45^\circ = |\mathbf{r}| \dfrac{1}{\sqrt{2}} \right)$ होता है। यह मान $|\mathbf{r}|$ से कम होता है, इसलिए यह महत्तम मान नहीं है।

• (d) यदि $r$ ऋणात्मक $Y$-अक्ष के अनुदिश हो, तो $r$ और $X$-अक्ष के बीच कोण $\theta$ $90^\circ$ होता है। चूंकि $( \cos 90^\circ = 0 )$, $r$ के $X$-अक्ष के अनुदिश घटक शून्य होता है, जो महत्तम मान नहीं है।

उत्तर (c) हम जानते हैं कि

जहाँ $\theta$ प्रक्षेपण कोण है

दिया गया है,

$ \theta=15^{\circ} \text { और } R=50 मीटर $

$ \text { परास, } R=\dfrac{u^{2} \sin 2 \theta}{g} $

सूत्र में दिए गए सभी मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$50=\dfrac{u^{2} \sin (2 \times 15^{\circ})}{g}$

$50 \times g=u^{2} \sin 30^{\circ}=u^{2} \times \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow u^{2} = 50 \times g \times 2$

$\Rightarrow u^{2} =50 \times 9.8 \times 2=100 \times 9.8=980 $

$\Rightarrow u =\sqrt{980}=\sqrt{49 \times 20}=7 \times 2 \times \sqrt{5} मीटर/सेकंड$

$ =14 \times 2.23 मीटर/सेकंड=31.304 मीटर/सेकंड $

$\text { जब } \theta =45^{\circ} ; R=\dfrac{u^{2} \sin 2 \times 45^{\circ}}{g}=\dfrac{u^{2}}{g} (\because \sin 90^{\circ}=1)$

$\Rightarrow R =\dfrac{(14 \sqrt{5})^{2}}{g}=\dfrac{14 \times 14 \times 5}{9.8}=100 मीटर$

• विकल्प (a) $60 मीटर$: यह विकल्प गलत है क्योंकि समान प्रारंभिक वेग के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर फायर किए गए प्रक्षेप्य की परास $60 मीटर$ नहीं होती। $45^{\circ}$ के कोण पर परास अधिकतम होती है और यह $15^{\circ}$ के कोण पर परास $50 मीटर$ से अधिक होनी चाहिए। सही गणना दर्शाती है कि परास $100 मीटर$ है।

• विकल्प (b) $71 मीटर$: यह विकल्प गलत है क्योंकि समान प्रारंभिक वेग के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर फायर किए गए प्रक्षेप्य की परास $71 मीटर$ नहीं होती। $45^{\circ}$ के कोण पर परास अधिकतम होती है और यह $15^{\circ}$ के कोण पर परास $50 मीटर$ से अधिक होनी चाहिए। सही गणना दर्शाती है कि परास $100 मीटर$ है।

• विकल्प (d) $141 मीटर$: यह विकल्प गलत है क्योंकि समान प्रारंभिक वेग के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर फायर किए गए प्रक्षेप्य की परास $141 मीटर$ नहीं होती। $45^{\circ}$ के कोण पर परास अधिकतम होती है और यह $15^{\circ}$ के कोण पर परास $50 मीटर$ के ठीक दोगुना होनी चाहिए। सही गणना दर्शाती है कि परास $100 मीटर$ है।

उत्तर (b) हम जानते हैं कि आवेग $J=F$. $\Delta t=\Delta p$, जहाँ $F$ बल है, $\Delta t$ समय अंतराल है और $\Delta p$ संवेग के परिवर्तन है। क्योंकि $\Delta p$ एक वेक्टर मात्रा है, इसलिए आवेग भी एक वेक्टर मात्रा है। कभी-कभी क्षेत्रफल को भी एक वेक्टर के रूप में विचार किया जा सकता है।

• विकल्प (a) आवेग, दबाव और क्षेत्रफल: दबाव एक अदिश मात्रा है, न कि वेक्टर। यह बल प्रति इकाई क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित है और इसमें दिशा के साथ संबंध नहीं होता।

• विकल्प (c) क्षेत्रफल और गुरुत्वीय संभावना: गुरुत्वीय संभावना एक अदिश मात्रा है, न कि वेक्टर। यह गुरुत्वीय क्षेत्र में एक बिंदु पर इकाई द्रव्यमान के लिए संभावना ऊर्जा को प्रदर्शित करता है और इसमें दिशा के साथ संबंध नहीं होता।

• विकल्प (d) आवेग और दबाव: जैसा कि पहले बताया गया है, दबाव एक अदिश मात्रा है और वेक्टर नहीं है।

क्योंकि वेग एक अदिश मात्रा है, इसलिए यह पथ लंबाई (एक अदिश मात्रा) से संबंधित होता है।

उत्तर (d) हम जानते हैं कि

$ \text { वेग, } v_0=\dfrac{\text { कुल तय की गई दूरी }}{\text { लिया गया समय }} $

इसलिए, कुल तय की गई दूरी $=$ पथ लंबाई $=$ वेग $\times$ लिया गया समय

ध्यान दें: हमें यह बात बहुत सावधानी से ध्यान में रखनी चाहिए कि वेग केवल कुल तय की गई दूरी से संबंधित होता है, न कि विस्थापन से।

• (a) कोई भी समय पर औसत वेग शून्य नहीं होता : यह गलत है क्योंकि औसत वेग को कुल विस्थापन के लिए कुल समय के अनुपात में परिभाषित किया गया है। दो आयामी गति में, यदि वस्तु अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस आ जाती है, तो विस्थापन शून्य हो जाता है, जिसके कारण उस समय अंतराल में औसत वेग शून्य हो सकता है।

• (ब) औसत त्वरण हमेशा शून्य होता है : यह गलत है क्योंकि औसत त्वरण को वेग में परिवर्तन के बराबर समय के अनुपात में परिभाषित किया गया है। यहां तक कि तात्कालिक गति स्थिर हो सकती है, वेग सदिश की दिशा बदल सकती है, जिसके परिणामस्वरूप औसत त्वरण शून्य नहीं हो सकता।

• (स) समान समय अंतराल में विस्थापन समान होता है : यह गलत है क्योंकि विस्थापन एक सदिश राशि है जो गति के मापदंड और दिशा दोनों पर निर्भर करता है। द्विविमीय गति में, गति की दिशा बदल सकती है, जिसके परिणामस्वरूप समान समय अंतराल में विस्थापन भिन्न हो सकता है, भले ही गति स्थिर हो।

उत्तर (c) दिया गया गति द्विविमीय गति है और दिया गया कि तात्कालिक गति $v_0$ धनात्मक स्थिर है। त्वरण वेग (तात्कालिक गति) के परिवर्तन की दर होता है, इसलिए यह अवश्य गति के तल में होगा।

• (a) कण का त्वरण शून्य है: यह गलत है क्योंकि एक कण के गति की दिशा बदल रही हो तो भी उसकी गति स्थिर हो सकती है। उदाहरण के लिए, समान वृत्तीय गति में गति स्थिर होती है लेकिन वेग की दिशा निरंतर बदलती रहती है, जिसके परिणामस्वरूप त्वरण शून्य नहीं होता।

• (b) कण का त्वरण सीमित है: यह अवश्य सत्य नहीं है क्योंकि प्रश्न कथन में त्वरण के सीमा या सीमा के बारे में कोई जानकारी नहीं दी गई है। त्वरण बदलते बलों के अनुसार असीमित हो सकता है।

• (d) कण एक समान वृत्तीय गति में हो रहा है: यह गलत है क्योंकि द्विविमीय गति में गति की स्थिरता समान वृत्तीय गति का अवश्य निर्देश नहीं होती। कण कोई भी पथ पर गति कर सकता है जहां गति स्थिर रहे, जैसे कि सीधी रेखा या कोई अन्य वक्र पथ, जब तक गति बदल न जाए।

इस प्रश्न को हल करने के लिए प्रत्येक विकल्प के अलग-अलग अध्ययन करें।

उत्तर $(b, d)$

दिया गया है $A+B+C=0$

इसलिए, हम कह सकते हैं कि $A, B$ और $C$ एक तल में हैं और एक त्रिभुज के तीन भुजाओं के रूप में एक क्रम में निरूपित करते हैं। अब प्रत्येक विकल्प के अलग-अलग अध्ययन करें।

(a) हम लिख सकते हैं

$B \times(A+B+C) =B \times 0=0 $

$\Rightarrow B \times A+B \times B+B \times C=0 $

$\Rightarrow B \times A+0 + B \times C=0 $

$\Rightarrow B \times A=-B \times C $

$\Rightarrow A \times B=B \times C $

$\therefore (A \times B) \times C =(B \times C) \times C$

यह शून्य नहीं हो सकता।

यदि $B | C$, तो $B \times C=0$, तब $(B \times C) \times C=0$।

(b) $(A \times B) \cdot C=(B \times AC) \cdot C=0$ अगर $A, B$ और $C$ के स्थिति के अतिरिक्त हो। यदि $B | C$, तो $B \times C=0$, तब $(B \times C) \times C=0$।

(c) $(A \times B)=X=AB \sin \theta X$। $X$ की दिशा $A$ और $B$ के तल के लंबवत होती है। $(A \times B) \times C=X \times C$। इसकी दिशा $A, B$ और $C$ के तल में होती है।

(d) यदि $C^{2}=A^{2}+B^{2}$, तो $A$ और $B$ के बीच कोण $90^{\circ}$ होता है

$ \begin{aligned} (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \cdot C & =(A B \sin 90^{\circ} \mathbf{X}) \cdot \mathbf{C}=A B(X \cdot C) \\ & =A B C \cos 90^{\circ}=0 \end{aligned} $

• विकल्प (a): प्रदान की गई तर्क से दिखाया गया है कि $((\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C})$ शून्य नहीं होता अगर $\mathbf{B}$ और $\mathbf{C}$ समानांतर नहीं हों। इसके कारण $(\mathbf{A} + \mathbf{B} + \mathbf{C} = 0)$ अर्थात $\mathbf{A}, \mathbf{B}$ और $\mathbf{C}$ एक ही तल में होते हैं और यदि $\mathbf{B}$ और $\mathbf{C}$ समानांतर हों तो $\mathbf{B} \times \mathbf{C}=0$ होता है। इसलिए, यह विकल्प सही है और गलत नहीं है।

• विकल्प (c): प्रदान किया गया तर्क दर्शाता है कि $((\mathbf{A} \times \mathbf{B}) \times \mathbf{C})$ द्वारा परिभाषित तल में स्थित होता है। इसका कारण यह है कि $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$, $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ द्वारा परिभाषित तल के लंबवत होता है और इस परिणाम के साथ $\mathbf{C}$ का क्रॉस गुणनफल मूल तल में होता है। इसलिए, यह विकल्प सही है और गलत नहीं है।

• विकल्प (d): प्रदान किया गया तर्क दर्शाता है कि यदि $(C^2 = A^2 + B^2)$, तो $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के बीच कोण $90^\circ$ होता है। इसका अर्थ है कि $\mathbf{A} \times \mathbf{B} \cdot \mathbf{C}$ शून्य होना चाहिए क्योंकि $\mathbf{A} \times \mathbf{B}$ द्वारा प्राप्त लंबवत सदिश और तल में सदिश $\mathbf{C}$ के बीच डॉट गुणनफल शून्य होता है। इसलिए, यह विकल्प जैसा कहा गया है गलत है।

उत्तर ( $a, b$ )

दिया गया है कि

$ |\mathbf{A}+\mathbf{B}|=|\mathbf{A}| \text { या }|\mathbf{A}+\mathbf{B}|^{2}=|\mathbf{A}|^{2} $

$ \Rightarrow \quad|\mathbf{A}|^{2}+|\mathbf{B}|^{2}+2|\mathbf{A}||\mathbf{B}| \cos \theta=|\mathbf{A}|^{2} $

जहाँ $\theta$ द्वारा $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के बीच कोण है।

$ \begin{aligned} \Rightarrow & & |\mathbf{B}|(|\mathbf{B}|+2|\mathbf{A}| \cos \theta) & =0 \\ \Rightarrow & & |\mathbf{B}| & =0 \text { या }|\mathbf{B}|+2|\mathbf{A}| \cos \theta=0 \\ \Rightarrow & & \cos \theta & =-\dfrac{|\mathbf{B}|}{2|\mathbf{A}|} \end{aligned} $

यदि $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ विपरीत दिशा में हैं, तो $\theta=180^{\circ}$

इसलिए, समीकरण (i) से

$ -1=-\dfrac{|\mathbf{B}|}{2|\mathbf{A}|} \Rightarrow|\mathbf{B}|=2|\mathbf{A}| $

इसलिए, सही उत्तर या तो $|\mathbf{B}|=0$ होगा या $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ विपरीत दिशा में होंगे जबकि $|\mathbf{B}|=2|\mathbf{A}|$

• विकल्प (c): A, B लम्ब एक-दूसरे पर हैं

  यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि सदिश $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ लम्ब एक-दूसरे पर हैं, तो उनके बीच कोण ($\theta$) $90^\circ$ होगा। इस स्थिति में, $\cos \theta = 0$ होता है। समीकरण $(|\mathbf{A}+\mathbf{B}|^2 = |\mathbf{A}|^2 + |\mathbf{B}|^2 + 2|\mathbf{A}||\mathbf{B}|\cos \theta)$ में $\cos \theta = 0$ को समावेश करने पर, $(|\mathbf{A}+\mathbf{B}|^2 = |\mathbf{A}|^2 + |\mathbf{B}|^2)$ प्राप्त होता है, जो दिए गए शर्त $|\mathbf{A}+\mathbf{B}| = |\mathbf{A}|$ को संतुष्ट नहीं करता है।

• विकल्प (d): $(\mathbf{A} . \boldsymbol{B} \leq 0)$

  यह विकल्प गलत है क्योंकि शर्त $\mathbf{A} . \mathbf{B} \leq 0$ यह दर्शाती है कि $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के बीच बिंदु गुणनफल गैर-धनात्मक है, जिसका अर्थ है कि उनके बीच कोण $\theta$ $90^\circ$ (लम्ब) या उससे अधिक (अधिक कोण) हो सकता है। हालांकि, दिए गए शर्त $(|\mathbf{A}+\mathbf{B}| = |\mathbf{A}|)$ विशिष्ट रूप से $\mathbf{B} = 0$ या $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ एक-दूसरे के विपरीत दिशा में हों जहां $|\mathbf{B}| = 2|\mathbf{A}|$ के लिए जाती है। शर्त $(\mathbf{A} . \mathbf{B} \leq 0)$ इन विशिष्ट स्थितियों को गारंटी नहीं देती है।

इस समस्या में हमें अधिकतम ऊँचाई तक पहुंच के समीकरण का उपयोग करना होता है $H=$ $\dfrac{u^{2} \sin ^{2} \theta}{2 g}$, जहां $\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $u$ प्रक्षेप्य के प्रक्षेपण वेग है।

उत्तर

$(a, b, c)$

हम जानते हैं कि एक प्रक्षेप्य द्वारा पहुंची गई अधिकतम ऊँचाई,

$ \begin{aligned} & H=\dfrac{u^{2} \sin ^{2} \theta}{2 g} \\ & H_1=\dfrac{v_0^{2} \sin ^{2} \theta_1}{2 g} \quad \text { (पहले कण के लिए) } \\

& H_2=\dfrac{v_0^{2} \sin ^{2} \theta_2}{2 g} \quad \text { (दूसरे कण के लिए) } \end{aligned} $

प्रश्न के अनुसार, हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} & \qquad \quad H_1>H_2 \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{v_0^{2} \sin ^{2} \theta_1}{2 g}>\dfrac{v_0^{2} \sin ^{2} \theta_2}{2 g} \\ & \Rightarrow \quad \sin ^{2} \theta_1>\sin ^{2} \theta_2 \\ & \Rightarrow \quad \sin ^{2} \theta_1-\sin ^{2} \theta_2>0 \\ & \Rightarrow \quad(\sin \theta_1-\sin \theta_2)(\sin \theta_1+\sin \theta_2)>0 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text { इसलिए, या तो } \\ & \Rightarrow \quad \sin \theta_1+\sin \theta_2>0 \\ & \Rightarrow \quad \sin \theta_1-\sin \theta_2>0 \\ & \Rightarrow \quad \sin \theta_1>\sin \theta_2 \\ & \Rightarrow \quad \theta_1>\theta_2 \\ & T=\dfrac{2 u \sin \theta}{g}=\dfrac{2 v_0 \sin \theta}{g} \\ & T_1=\dfrac{2 v_0 \sin \theta_1}{g} \\ & T_2=\dfrac{2 v_0 \sin \theta_2}{g} \end{aligned} $

क्योंकि,

इसलिए, (यहाँ, $T_1=$ पहले कण के लिए उड़ान काल और $T_2=$ दूसरे कण के लिए उड़ान काल है।)

$ \sin \theta_1>\sin \theta_2 $

$ T_1>T_2 $

हम जानते हैं कि

दिया गया है,

$\Rightarrow \quad \dfrac{R_1}{R_2}=\dfrac{\sin 2 \theta_1}{\sin 2 \theta_2}>1$

$\Rightarrow \quad R_1>R_2$

पहले कण के लिए कुल ऊर्जा,

$ \begin{aligned} & U_1=K E+P E=\dfrac{1}{2} m_1 v_0^{2} \quad \text { (यह मान यात्रा के दौरान स्थिर रहेगा) } \\ & U_2=K E+P E=\dfrac{1}{2} m_2 v_0^{2} \quad \text { (दूसरे कण के लिए कुल ऊर्जा) } \end{aligned} $

दूसरे कण के लिए कुल ऊर्जा यदि,

$ \begin{aligned} & m_1=m_2 \text { तो } U_1=U_2 \\ & m_1>m_2 \text { तो } U_1>U_2 \\ & m_1<m_2, \text { तो } U_1 < U_2 \end{aligned} $

• विकल्प (d) कुल ऊर्जा $( U_1 > U_2 )$: एक प्रक्षेप्य की कुल यांत्रिक ऊर्जा इसकी किणेतज ऊर्जा (KE) और स्थितिज ऊर्जा (PE) के योग द्वारा दी जाती है। दोनों कणों के लिए कुल ऊर्जा $U = \dfrac{1}{2} m v_0^2 $ द्वारा दी जाती है। चूंकि दोनों कणों के लिए वेग $v_0$ समान है और मान लें कि द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ समान है, तो कुल ऊर्जा $U_1$ और $U_2$ समान होंगे। अतः, $U_1$ अपेक्षाकृत $U_2$ से अधिक नहीं हो सकता जब तक द्रव्यमान अलग न हो, जो प्रश्न में निर्दिष्ट नहीं है। अतः, विकल्प (d) गलत है।

इस प्रकार के प्रश्न में, पथ की प्रकृति बहुत महत्वपूर्ण होती है, क्योंकि इस पथ में घर्षण नहीं होता, इसलिए कण की कुल ऊर्जा पूरे यात्रा के दौरान स्थिर रहती है।

उत्तर (c)

दिए गए पथ $y=x^{2}$ एक घर्षणरहित पथ है, इसलिए कण की कुल ऊर्जा (KE + PE) पूरे यात्रा के दौरान समान रहेगी।

इसलिए, बिंदु $A$ पर कुल ऊर्जा = बिंदु $P$ पर कुल ऊर्जा। बिंदु $B$ पर कण केवल KE के साथ होता है, लेकिन बिंदु $P$ पर कुछ KE PE में बदल जाता है।

इसलिए, $(KE)_B > (KE)_P$

बिंदु $A$ पर कुल ऊर्जा = PE = बिंदु $B$ पर कुल ऊर्जा = KE

$ \begin{aligned} & =\text { कुल ऊर्जा बिंदु } P \\ & =PE+KE \end{aligned} $

बिंदु $A$ पर स्थितिज ऊर्जा, बिंदु $P$ पर KE और PE में बदल जाती है, इसलिए

$ (PE)_P < (PE)_A $

इसलिए,

$ \text { (ऊंचाई)}_P < \text { (ऊंचाई)}_A $

क्योंकि, बिंदु $P$ की ऊंचाई < बिंदु $A$ की ऊंचाई

इसलिए, पथ लंबाई $AB >$ पथ लंबाई $BP$

इसलिए, बिंदु $A$ से $B$ तक यात्रा के समय ≠ बिंदु $B$ से $P$ तक यात्रा के समय।

• (a) $KE$ बिंदु $P$ पर = $KE$ बिंदु $B$ पर

  यह विकल्प गलत है क्योंकि बिंदु $B$ पर कण केवल गतिज ऊर्जा (KE) के साथ होता है जबकि बिंदु $P$ पर कण अपने प्रक्षेप्य गति के अधिकतम बिंदु पर होता है, जिसका अर्थ है कि कुछ गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में बदल जाती है। इसलिए, बिंदु $P$ पर गतिज ऊर्जा बिंदु $B$ पर गतिज ऊर्जा से कम होती है।

• (ब) $P$ पर ऊँचाई = $A$ पर ऊँचाई

  इस विकल्प के अंतर्गत ऊँचाई कम होती है क्योंकि $P$ बिंदु पर ऊँचाई $A$ बिंदु पर ऊँचाई से कम होती है। जब कण घर्षण रहित पथ पर नीचे गिरता है, तो यह संभावित ऊर्जा को खो देता है और गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है। जब यह $C$ बिंदु पर पहुँचता है और एक प्रक्षेप्य के रूप में चलता है, तो ऊर्जा संरक्षण के कारण यह एक ऊँचाई पर पहुँच नहीं सकता जो $A$ बिंदु पर ऊर्जा के बराबर या उससे अधिक हो। अतः $P$ बिंदु पर ऊँचाई $A$ बिंदु पर ऊँचाई से कम होती है।

• (ग) $A$ से $B$ तक यात्रा का समय = $B$ से $P$ तक यात्रा का समय

  इस विकल्प के अंतर्गत यात्रा के समय बराबर नहीं होता क्योंकि $A$ से $B$ तक यात्रा परबोलिक पथ पर होती है, जो लंबा होता है और दिशा और गति में निरंतर परिवर्तन होता है। विपरीत, $B$ से $P$ तक यात्रा प्रक्षेप्य गति होती है, जो आमतौर पर छोटी होती है और एक अलग पथ अनुसरण करती है। अतः इन दो खंडों के यात्रा समय बराबर नहीं होते।

उत्तर (a, c)

एक वस्तु द्वारा समय $\Delta t$ में विस्थापन $\Delta r$ के लिए औसत वेग द्वारा दिया जाता है $v=\dfrac{\Delta r}{\Delta t}=\dfrac{r_2-r_1}{t_2-t_1}$; जहाँ $r_1$ और $r_2$ क्रमशः समय $t_1$ और $t_2$ के संगत स्थिति सदिश हैं।

एक वस्तु के वेग $v_1$ से $v_2$ तक बदलने पर औसत त्वरण द्वारा दिया जाता है

$ a_{av}=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}=\dfrac{v_2-v_1}{t_2-t_2} $

लेकिन, जब त्वरण असमान होता है

हम लिख सकते हैं

$ v_{av} \neq \dfrac{v_1+v_2}{2} $

$ \text { अतः } \quad \Delta r=r_2-r_1=(v_2-v_1)(t_2-t_1) $

• विकल्प (a): औसत वेग $v_{av}$ आमतौर पर आरंभिक और अंतिम वेग के अंकगणितीय औसत, $\dfrac{1}{2}[v(t_1) + v(t_2)]$ के बराबर नहीं होता, अनियमित त्वरण के अतिरिक्त नहीं होता।

• विकल्प (c): व्यंजक $r = \dfrac{1}{2}(v(t_2) - v(t_1))(t_2 - t_1)$ गलत है क्योंकि यह विस्थापन को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं करता। जब त्वरण स्थिर होता है, तो विस्थापन का सही व्यंजक $r = v_1(t_2 - t_1) + \dfrac{1}{2}a(t_2 - t_1)^2$ होता है।

• विकल्प (d): यह विकल्प सही है। औसत त्वरण $a_{av}$ को $\dfrac{v(t_2) - v(t_1)}{t_2 - t_1}$ द्वारा दिया जाता है, जो एक मानक परिभाषा है।

उत्तर $(a, b, c)$

एक कण एकसमान वृत्तीय गति कर रहा है

(i) चाल समय के साथ स्थिर रहती है।

(ii) वेग गति के बिंदु पर गति की दिशा में स्पर्शरेखीय होता है।

(iii) त्वरण $a=\dfrac{v^{2}}{r}$, हमेशा वृत्तीय पथ के केंद्र की ओर होता है।

(iv) कोणीय संवेग ( $m v r$ ) के आयाम और दिशा स्थिर रहती है और गति के तल के लंबवत होती है।

ध्यान दें एकसमान वृत्तीय गति में, वेग और त्वरण के आयाम स्थिर रहते हैं लेकिन दिशा निरंतर बदलती रहती है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि, एकसमान वृत्तीय गति में, कण के वृत्त के चारों ओर गति के साथ कोणीय संवेग वेक्टर की दिशा निरंतर बदलती रहती है। जबकि कोणीय संवेग के आयाम स्थिर रहता है, इसकी दिशा हमेशा गति के तल के लंबवत होती है और कण के स्थिति के बदलने के साथ बदलती रहती है।

उत्तर $(b, d)$

दिया गया है, $|\mathbf{A}+\mathbf{B}|=|\mathbf{A}-\mathbf{B}|$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \sqrt{|\mathbf{A}|^{2}+|\mathbf{B}|^{2}+2|\mathbf{A}||\mathbf{B}| \cos \theta}=\sqrt{|\mathbf{A}|^{2}+|\mathbf{B}|^{2}-2|\mathbf{A}||\mathbf{B}| \cos \theta} \\ \Rightarrow & |\mathbf{A}|^{2}+|\mathbf{B}|^{2}+2|\mathbf{A}||\mathbf{B}| \cos \theta=|\mathbf{A}|^{2}+|\mathbf{B}|^{2}-2|\mathbf{A}||\mathbf{B}| \cos \theta \\ \Rightarrow & 4|\mathbf{A}||\mathbf{B}| \cos \theta=0 \\ \Rightarrow & |\mathbf{A}||\mathbf{B}| \cos \theta=0 \\ \Rightarrow & |\mathbf{A}|=0 \text { या }|\mathbf{B}|=0 \text { या } \cos \theta=0 \\ \Rightarrow & \theta=90^{\circ} \end{matrix} $

जब $\theta=90^{\circ}$, हम कह सकते हैं कि $\mathbf{A} \perp \mathbf{B}$

• विकल्प (a): यह विकल्प बताता है कि $|\mathbf{A}| = |\mathbf{B}| \neq 0$. हालांकि, इस शर्त के अकेले यह निश्चित नहीं कर सकते हैं कि $|\mathbf{A} + \mathbf{B}| = |\mathbf{A} - \mathbf{B}|$। उदाहरण के लिए, यदि $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ समान्तर हैं, तो $\mathbf{A} + \mathbf{B}$ और $\mathbf{A} - \mathbf{B}$ के माप बराबर नहीं होंगे।

• विकल्प (c): यह विकल्प बताता है कि $|\mathbf{A}| = |\mathbf{B}| \neq 0$ और $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ समान्तर या विपरीत समान्तर हैं। यदि $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ समान्तर हैं, तो $|\mathbf{A} + \mathbf{B}|$ एक बार एक बराबर माप के $\mathbf{A}$ या $\mathbf{B}$ के दोगुना होगा और $|\mathbf{A} - \mathbf{B}|$ शून्य होगा, जो बराबर नहीं होंगे। यदि $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ विपरीत समान्तर हैं, तो $|\mathbf{A} + \mathbf{B}|$ शून्य होगा और $|\mathbf{A} - \mathbf{B}|$ एक बार एक बराबर माप के $\mathbf{A}$ या $\mathbf{B}$ के दोगुना होगा, जो बराबर नहीं होंगे। इसलिए, यह शर्त दिए गए समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है।

उत्तर जैसा कि आसन्न चित्र में दिखाया गया है। साइकिल चालक $O P R Q O$ पथ को तय करता है। जैसा कि हम जानते हैं, जब कोई वस्तु वृत्तीय गति करती है, त्वरण को केंद्रापगामी त्वरण कहा जाता है और यह हमेशा केंद्र की ओर दिशा में होता है।

अतः, $R$ पर त्वरण $a=\dfrac{v^{2}}{r}$ है।

$\Rightarrow \quad a=\dfrac{(10)^{2}}{1 km}=\dfrac{100}{10^{3}}=0.1 m / s^{2}$ $RO$ के अनुदिश।

जब कोई कण प्रक्षेपण गति में होता है, तो वेग के क्षैतिज घटक हमेशा स्थिर रहता है और त्वरण हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होता है और इसका मान $g$ के बराबर होता है।

उत्तर निकटतम चित्र में एक कण को कोण $\theta$ पर प्रक्षेपित किया गया है।

$v_{x}=$ अपवर्ती वेग का समतल घटक $=v \cos \theta=$ स्थिर।

$v_{y}=$ ऊर्ध्वाधर वेग का समतल घटक $=v \sin \theta$

वेग हमेशा गति की दिशा में वक्र के स्पर्शरेखा के अनुदिश होता है और त्वरण हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में होता है और इसका मान $g$ (गुरुत्वीय त्वरण) के बराबर होता है।

उत्तर नीचे दिए गए आरेख को ध्यान में रखते हुए, एक गेंद बिंदु $O$ से प्रक्षेपित होती है और यह पथ $O A B C$ तक जाती है।

(a) बिंदु $B$ पर यह गति के आरंभिक वेग $u$ के समान वेग प्राप्त करेगी और उसके बाद वेग बढ़ता जाता है और बिंदु $C$ पर पहुंचने से पहले अधिकतम हो जाएगा।

(b) $O$ से $A$ तक ऊपर की ओर यात्रा के दौरान वेग कम होता जाता है और बिंदु $A$ पर यह न्यूनतम हो जाएगा।

(c) यात्रा के सभी दौरान त्वरण हमेशा स्थिर रहता है और इसका मान ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में $g$ के बराबर होता है।

उत्तर (a) नीचे दिए गए आरेख को ध्यान में रखते हुए, एक फुटबॉल एक ऊर्ध्वाधर दिशा में ऊपर की ओर फेंकी जाती है। फुटबॉल का त्वरण हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में होता है और इसका मान $g$ के बराबर होता है।

(b) जब फुटबॉल उच्चतम बिंदु पर पहुंचती है तो इसका वेग शून्य हो जाता है क्योंकि यह गुरुत्वीय त्वरण $g$ के कारण निरंतर धीमा होता जाता है।

उत्तर फुटपाथ पर खड़े लड़के द्वारा गेंद के गति के पारस्परिक बर्तन वक्र आकार का होता है। गेंद की क्षैतिज गति गाड़ी के वेग के समान होती है, इसलिए गेंद और गाड़ी दोनों क्षैतिज दूरी में समान दूरी तय करते हैं। गेंद के ऊर्ध्वाधर वेग के कारण गेंद वक्र आकार के पारस्परिक बर्तन के पार चलती है।

नोट: हमें ध्यान रखना चाहिए कि हम भूमि के संबंध में काम कर रहे हैं। जब हम गाड़ी के संबंध में देखते हैं तो गति केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में होती है।

उत्तर नीचे दिए गए चित्र को ध्यान से देखें

(b)

लड़का $60^{\circ}$ के कोण पर गेंद फेंकता है।

$\therefore$ वेग के क्षैतिज घटक $=u \cos \theta$

$(10 m / s) \cos 6.0^{\circ}=10 \times \dfrac{1}{2}=5 m / s .$

$\text { गाड़ी की गति } =18 km / h=5 m / s .$

क्षैतिज दिशा में गेंद और गाड़ी की गति समान है, इसलिए गाड़ी और गेंद के बीच क्षैतिज दिशा में संपर्क वेग शून्य होगा।

केवल गेंद के ऊर्ध्वाधर गति को गाड़ी में बैठे लड़के द्वारा देखा जाएगा, जैसा कि चित्र (b) में दिखाया गया है।

चिंतन प्रक्रिया

जब हवा के प्रतिरोध को शामिल कर लिया जाए तो वेग के क्षैतिज घटक नियत नहीं रहेगा और आवश्यकता होगी कि ट्रैजेक्टरी बदल जाए।

उत्तर हवा के प्रतिरोध के कारण कण की ऊर्जा और वेग के क्षैतिज घटक लगातार घटते रहते हैं, जिसके कारण गिरावट उठाव से अधिक तीव्र हो जाती है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

जब हम हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानते हैं तो पथ सममिति परबोला $(O A B)$ होता है। जब हवा के प्रतिरोध को शामिल करते हैं तो पथ असममिति परबोला $(O A C)$ होता है।

जब बम विमान से गिराया जाता है, तो बम की गति विमान के समान होती है।

उत्तर आसन्न चित्र को ध्यान में रखें। मान लीजिए एक लड़ाकू विमान, जब यह स्थिति $P$ पर होता है, तो एक बम को लक्ष्य $T$ पर गिराने के लिए गिराता है।

मान लीजिए

$ \angle P^{\prime} P T=\theta $

विमान की गति $=720 km / h=720 \times \dfrac{5}{18} m / s=200 m / s$

विमान की ऊंचाई $(P^{\prime} T)=1.5 km=1500 m$

यदि बम लक्ष्य पर $t$ समय के बाद गिरता है, तो बम द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी,

$ P P^{\prime}=u \times t=200 t \quad \text{(i)} $

बम द्वारा तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी,

$ P^{\prime} T=\dfrac{1}{2} g t^{2} \Rightarrow 1500=\dfrac{1}{2} \times 9.8 t^{2} $

$\Rightarrow \quad t^{2} =\dfrac{1500}{4.9} \Rightarrow t=\sqrt{\dfrac{1500}{4.9}}=17.49 s$

समीकरण (i) में $t$ के मान का उपयोग करते हुए,

$P P^{\prime} =200 \times 17.49 m $

$\tan \theta =\dfrac{P^{\prime} T}{P^{\prime} P}=\dfrac{1500}{200 \times 17.49}=0.4288$

$\theta = \tan^{-1} (0.4288)$

$\theta =23^{\circ} 20^{\prime}$

नोट: कोण लक्ष्य के संबंध में है। विमान में एक प्रेक्षक के लिए बम की गति विमान के नीचे ऊर्ध्वाधर नीचे जाती है।

उत्तर (a) पृथ्वी की त्रिज्या $(R)=6400 km=6.4 \times 10^{6} m$

समय अवधि $(T)=1$ दिन $=24 \times 60 \times 60 s=86400 s$

केंद्रापगार त्वरण $(a_{c})=\omega^{2} R=R\left(\dfrac{2 \pi}{T}\right)^{2}=\dfrac{4 \pi^{2} R}{T}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{4 \times(22 / 7)^{2} \times 6.4 \times 10^{6}}{(24 \times 60 \times 60)^{2}} \\ & =\dfrac{4 \times 484 \times 64 \times 10^{6}}{49 \times(24 \times 3600)^{2}} \\ & =0.034 m / s^{2} \end{aligned} $

ध्रुव पर, अक्षांश $\theta=0^{\circ}$

$ \dfrac{a_{c}}{g}=\dfrac{0.034}{9.8}=\dfrac{1}{288} $

(b) पृथ्वी के सूर्य के चारों ओर कक्षीय त्रिज्या $(R)=1.5 \times 10^{11} m$

समय अवधि $=1 वर्ष=365$ दिन

$ =365 \times 24 \times 60 \times 60 s=3.15 \times 10^{7} s $

केंद्रापगार त्वरण $(a_{c})=R \omega^{2}=\dfrac{4 \pi^{2} R}{T^{2}}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{4 \times(22 / 7)^{2} \times 1.5 \times 10^{11}}{(3.15 \times 10^{7})^{2}} \\ & =5.97 \times 10^{-3} m / s^{2} \\ \dfrac{a_{C}}{g} & =\dfrac{5.97 \times 10^{-3}}{9.8}=\dfrac{1}{1642} \end{aligned} $

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में, वेक्टर जोड़ के त्रिकोणीय नियम का उपयोग किया जाएगा।

उत्तर निर्मित आरेख में वेक्टर $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के सिरा और अंत द्वारा संशोधित किया गया है।

परिणामी वेक्टर $\mathbf{C}=\mathbf{A}+\mathbf{B}$

(a) (iv) से स्पष्ट है कि $\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b}$

(b) (iii) से $\mathbf{c}+\mathbf{b}=\mathbf{a} \Rightarrow \mathbf{a}-\mathbf{c}=\mathbf{b}$

(c) से (i) $\mathbf{b}=\mathbf{a}+\mathbf{c} \Rightarrow \mathbf{b}-\mathbf{a}=\mathbf{c}$

(d) से (ii) $-\mathbf{c}=\mathbf{a}+\mathbf{b} \Rightarrow \mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}=\mathbf{0}$

Answer दिया गया है $|\mathbf{A}|=2$ और $|\mathbf{B}|=4$

(a) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta=0 \quad \Rightarrow \quad 2 \times 4 \cos \theta=0$ $\Rightarrow \cos \theta=0=\cos 90^{\circ} \Rightarrow \theta=90^{\circ}$

$\therefore$ विकल्प (a) विकल्प (ii) के साथ मेल खाता है।

(b) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta=8 \quad \Rightarrow \quad 2 \times 4 \cos \theta=8$

$\Rightarrow \cos \theta=1=\cos 0^{\circ} \Rightarrow \quad \theta=0^{\circ}$

$\therefore$ विकल्प (b) विकल्प (i) के साथ मेल खाता है।

(c) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta=4 \quad \Rightarrow 2 \times 4 \cos \theta=4$

$\Rightarrow \cos \theta=\dfrac{1}{2}=\cos 60^{\circ} \Rightarrow \theta=60^{\circ}$

$\therefore$ विकल्प (c) विकल्प (iv) के साथ मेल खाता है।

(d) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta=-8 \quad \Rightarrow \quad 2 \times 4 \cos \theta=-8$

$\Rightarrow \cos \theta=-1=\cos 180^{\circ} \Rightarrow \quad \theta=180^{\circ}$

$\therefore$ विकल्प (d) विकल्प (iii) के साथ मेल खाता है।

Answer दिया गया है $|\mathbf{A}|=2$ और $|\mathbf{B}|=4$

(a) $|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|=A B \sin \theta=0 \quad \Rightarrow 2 \times 4 \times \sin \theta=0$

$\Rightarrow \sin \theta=0=\sin 0^{\circ} \Rightarrow \quad \theta=0^{\circ}$

$\therefore$ विकल्प (a) विकल्प (iv) के साथ मेल खाता है।

(b) $|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|=A B \sin \theta=8 \quad \Rightarrow \quad 2 \times 4 \sin \theta=8$

$\Rightarrow \sin \theta=1=\sin 90^{\circ} \Rightarrow \theta=90^{\circ}$

$\therefore$ विकल्प (b) विकल्प (iii) के साथ मेल खाता है।

(c) $|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|=A B \sin \theta=4 \quad \Rightarrow \quad 2 \times 4 \sin \theta=4$

$\Rightarrow \sin \theta=\dfrac{1}{2}=\sin 30^{\circ} \Rightarrow \quad \theta=30^{\circ}$

$\therefore$ विकल्प (c) विकल्प (i) के साथ मेल खाता है।

(d) $|\mathbf{A} \times \mathbf{B}|=A B \sin \theta=4 \sqrt{2} \quad \Rightarrow \quad 2 \times 4 \sin \theta=4 \sqrt{2}$

$\Rightarrow \sin \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\sin 45^{\circ} \Rightarrow \theta=45^{\circ}$

$\therefore$ विकल्प (d) विकल्प (ii) के साथ मेल खाता है।

Answer दिया गया है, पैकेटों की गति $=125 m / s$

ऊंचाई जिस ढलान पर चढ़ा जाता है $=500 m$.

ऊंचाई के ऊपर जाने के लिए वेग के लम्बवत घटक के पर्याप्त होना चाहिए ताकि ऐसी ऊंचाई पार कर सके।

लेकिन

$u_{y} \geq \sqrt{2 g h}$

$u_{y} \geq \sqrt{2 \times 10 \times 500} $

$u_{y} \geq 100 m / s $

$u^{2} =u_x^{2}+u_y^{2}$

$\therefore$ प्रारंभिक वेग के क्षैतिज घटक,

$ u_{x}=\sqrt{u^{2}-u_y^{2}}=\sqrt{(125)^{2}-(100)^{2}}=75 m / s $

ऊंचाई के शीर्ष तक पहुंचने में लगने वाला समय,

$ t=\sqrt{\dfrac{2 h}{g}}=\sqrt{\dfrac{2 \times 500}{10}}=10 s $

ऊंचाई के शीर्ष से जमीन तक पहुंचने में लगने वाला समय $t^{\prime}=t=10 s$। 10 सेकंड में तय की गई क्षैतिज दूरी

$ x=u_{x} \times t=75 \times 10=750 m $

$\therefore$ पैकेट के जमीन पर पहुंचने के लिए कैनन को बदलने की आवश्यक दूरी $=800-750=50 m$

कैनन के गति की गति $=2 m / s$

$\therefore \quad$ कैनन द्वारा लिया गया समय $=\dfrac{50}{2} \Rightarrow t^{\prime \prime}=25 s$

$\therefore$ पैकेट के जमीन पर पहुंचने के लिए कुल समय $=t^{\prime \prime}+t+t^{\prime}=25+10+10=45 s$

उत्तर इस समस्या को दो अलग-अलग तरीकों से दृष्टिकोण लिया जा सकता है

(i) चित्र के अनुसार, लक्ष्य $T$ क्षैतिज दूरी $x=R+\Delta x$ पर है और प्रक्षेपण बिंदु $y=-h$ के बीच में है।

(ii) चित्र में बिंदु $P$ से प्रक्षेपण वेग $v_0$ के एक कोण $\theta$ के नीचे क्षैतिज से और ऊंचाई $h$ और क्षैतिज परास $\Delta x A$ के साथ किया जाता है।

अपनाया गया विधि (i)

अधिकतम क्षैतिज परास

$R=\dfrac{v_0^{2}}{g}, \text { for } \theta=45^{\circ} \quad \text{(i)}$

मान लीजिए बंदूक जमीन से ऊंचाई $h$ तक उठाकर लक्ष्य को छू सके। मान लीजिए कि ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा धनात्मक ली जाए

प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $=v_0 \cos \theta$

प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $=-v_0 \sin \theta$

ऊर्ध्वाधर दिशा में गति के लिए, $h=(-v_0 \sin \theta) t+\dfrac{1}{2} g t^{2}$

क्षैतिज दिशा में गति के लिए

$(R+\Delta x) =v_0 \cos \theta \times t $

$\Rightarrow t =\dfrac{(R+\Delta x)}{v_0 \cos \theta}$

समीकरण (ii) में $t$ के मान को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & h=(-v_0 \sin \theta) \times(\dfrac{R+\Delta x}{v_0 \cos \theta})+\dfrac{1}{2} g(\dfrac{R+\Delta x}{v_0 \cos \theta})^{2} \\ & h=-(R+\Delta x) \tan \theta+\dfrac{1}{2} g \dfrac{(R+\Delta x)^{2}}{v_0^{2} \cos ^{2} \theta} \end{aligned} $

क्योंकि प्रक्षेपण कोण $\theta=45^{\circ}$ है, अतः

$ \begin{aligned} h & =-(R+\Delta x) \times \tan 45^{\circ}+\dfrac{1}{2} g \dfrac{(R+\Delta x)^{2}}{v_0^{2} \cos ^{2} 45^{\circ}} \\ h & =-(R+\Delta x) \times 1+\dfrac{1}{2} g \dfrac{(R+\Delta x)^{2}}{v_0^{2}(1 / 2)} \\ h & .=-(R+\Delta x)+\dfrac{(R+\Delta x)^{2}}{R} \quad \quad(\because \tan 45^{\circ}=1 \text { and } \cos 45^{\circ}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}) \quad \text { [Using Eq. (i), } R=v_0^{2} / g] \\ & =-(R+\Delta x)+\dfrac{1}{R}(R^{2}+\Delta x^{2}+2 R \Delta x) \\ & =-R-\Delta x+(R+\dfrac{\Delta x^{2}}{R}+2 \Delta x) \\ & =\Delta x+\dfrac{\Delta x^{2}}{R} \quad \text { Hence proved. } \\ h & =\Delta x \biggl (1+\dfrac{\Delta x}{R} \biggl) \quad \end{aligned} $

नोट: हमें गति की धनात्मक दिशा के साथ गलत नहीं होना चाहिए। आवश्यकता अनुसार ऊर्ध्वाधर ऊपर की दिशा या ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा को धनात्मक ले सकते हैं।

एक झुके हुए सतह पर प्रक्षेपण गति के समस्याओं को हल करने के लिए, हमें दो परस्पर लंब अक्ष चुनने होते हैं, एक झुके हुए सतह के समानांतर और दूसरा झुके हुए सतह के लंबवत।

उत्तर आकृति को ध्यान में रखें।

आकृति में परस्पर लंब अक्ष $x$ और $y$ दिखाए गए हैं।

कण को बिंदु $O$ से प्रक्षेपित किया जाता है।

बिंदु $O$ से बिंदु $P$ तक पहुंचने के लिए लिया गया समय $T$ है।

(b) बिंदु $O$ से बिंदु $P$ तक गति के लिए, ऊपर की दिशा में गति को ध्यान में रखें जो $O X$ के लंबवत है।

बिंदु $O$ से $P$ तक यात्रा के लिए:

$ y=0, u_{y}=v_0 \sin \beta, a_{y}=-g \cos \alpha, t=T $

समीकरण के अनुसार,

$ y = u_{y} t+\dfrac{1}{2} a_{y} t^{2} $

$ 0 =v_0 \sin \beta T+\dfrac{1}{2}(-g \cos \alpha) T^{2} $

$ T[v _0 \sin \beta-\dfrac{g \cos \alpha}{2} T] =0 $

$ T =0, T=\dfrac{2 v _0 \sin \beta}{g \cos \alpha} $

जैसे $T=0$, बिंदु $O$ के संगत है

अतः,

$ T=\text { उड़ान काल }=\dfrac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} $

(a) $O X$ के अनुदिश गति को ध्यान में रखें।

$x =L, u_{x}=v_0 \cos \beta, a_{x}=-g \sin \alpha$

$t =T=\dfrac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha} $

$x =u_{x} t+\dfrac{1}{2} a_{x} t^{2}$

$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad L & =v_0 \cos \beta T+\dfrac{1}{2}(-g \sin \alpha) T^{2} \\

\quad L & =v_0 \cos \beta T-\dfrac{1}{2} g \sin \alpha T^{2} \\ & =T[v_0 \cos \beta-\dfrac{1}{2} g \sin \alpha T] \\ & =T[v_0 \cos \beta-\dfrac{1}{2} g \sin \alpha \times \dfrac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha}] \\ & =\dfrac{2 v_0 \sin \beta}{g \cos \alpha}[v_0 \cos \beta-\dfrac{v_0 \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha}] \\ & =\dfrac{2 v_0^{2} \sin \beta}{g \cos ^{2} \alpha}[\cos \beta \cdot \cos \alpha-\sin \alpha \cdot \sin \beta] \\ \Rightarrow \quad L & =\dfrac{2 v_0^{2} \sin \beta}{g \cos ^{2} \alpha} \cos (\alpha+\beta) \end{aligned} $

(c) अधिकतम परास ( $L$ ) के लिए,

$\sin \beta \cdot \cos (\alpha+\beta)$ अधिकतम होना चाहिए।

$ \begin{aligned} & \quad \begin{aligned} Z & =\sin \beta \cdot \cos (\alpha+\beta) \\ & =\sin \beta[\cos \alpha \cdot \cos \beta-\sin \alpha \cdot \sin \beta) \\ & =\dfrac{1}{2}[\cos \alpha \cdot \sin 2 \beta-2 \sin \alpha \cdot \sin ^{2} \beta] \\ & =\dfrac{1}{2}[\sin 2 \beta \cdot \cos \alpha-\sin \alpha(1-\cos 2 \beta)] \\ Z & =\dfrac{1}{2}[\sin 2 \beta \cdot \cos \alpha-\sin \alpha+\sin \alpha \cdot \cos 2 \beta] \\ & =\dfrac{1}{2}[\sin 2 \beta \cdot \cos \alpha+\cos 2 \beta \cdot \sin \alpha-\sin \alpha] \\ & =\dfrac{1}{2}[\sin (2 \beta+\alpha)-\sin \alpha] \end{aligned} \end{aligned} $

$z$ के अधिकतम होने के लिए,

$ \sin (2\beta+\alpha)=1$

$\Rightarrow \quad 2 \beta+\alpha =\dfrac{\pi}{2} \text { या, } \beta=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\alpha}{2}$

जब कण अतिरिक्त रूप से प्रतिध्वनित होता है तो चाल बरकरार रहती है।

उत्तर

$ x $ और $ y $-अक्ष को आरेख में दिखाए गए अनुसार लें। $ O $ से $ A $ तक प्रक्षेप्य के गति के लिए।

$$ \begin{aligned} y & =0, u_{y}=v_0 \cos \theta \\ a_{y} & =-g \cos \theta, t=T \end{aligned} $$

गति के समीकरण के अनुसार,

$ y =u_{y} t+\dfrac{1}{2} a_{y} t^{2} $

$ 0 =v_0 \cos \theta T+\dfrac{1}{2}(-g \cos \theta) T^{2} $

$ T\left[v_0 \cos \theta-\dfrac{g \cos \theta T}{2}\right] =0 $

$ T =\dfrac{2 v_0 \cos \theta}{g \cos \theta} $

जैसे $ T=0 $, बिंदु $ O $ को संकेत करता है।

इसलिए, $ \quad T=\dfrac{2 v_0}{g} $

अब $ O X $ के अनुदिश गति को ध्यान में रखें।

$$ x=L, u_{x}=v_0 \sin \theta, a_{x}=g \sin \theta, t=T=\dfrac{2 v_0}{g} $$

गति के समीकरण के अनुसार,

$$ \begin{aligned} x & =u_{x} t+\dfrac{1}{2} a_{x} t^{2} \\ L & =v_0 \sin \theta t+\dfrac{1}{2} g \sin \theta t^{2}=(v_0 \sin \theta)(T)+\dfrac{1}{2} g \sin \theta T^{2} \\ & =(v_0 \sin \theta)(\dfrac{2 v_0}{g})+\dfrac{1}{2} g \sin \theta \times(\dfrac{2 v_0}{g})^{2} \\ & =\dfrac{2 v_0^{2}}{g} \sin \theta+\dfrac{1}{2} g \sin \theta \times \dfrac{4 v_0^{2}}{g^{2}}=\dfrac{2 v_0^{2}}{g}[\sin \theta+\sin \theta] \\ \quad L & =\dfrac{4 v_0^{2}}{g} \sin \theta \end{aligned} $$

दिए गए जानकारी के लिए सदिश आरेख बनाएं और $ a $ और $ b $ को खोजें। हम अपने संदर्भ फ्रेम के अंतर्गत सभी सदिशों को बना सकते हैं।

Answer उत्तर को $ \hat{i} $ दिशा मानें और ऊर्ध्वाधर नीचे को $ -\hat{j} $ दिशा मानें। मान लें कि बरसात की गति $ v_{r} $, $ a \hat{i}+b \hat{j} $ है।

$v_r$ = $ a \hat{i} + b \hat{j} $

केस (i)

लड़की की दी गई गति =$ v_{g}=5 \hat{i}$

मान लीजिए $v_{rg}$ = बारिश के वेग लड़की के संपार्श्व के संबंध में

$ =v_{r}-v_{g} = (a \hat{i} + b \hat{j})-5 \hat{i} $

$ =(a-5) \hat{i} + b \hat{j}$

प्रश्न के अनुसार बारिश, लड़की के लिए ऊर्ध्वाधर नीचे गिरती प्रतीत होती है।

इसलिए,

$ a-5=0 \Rightarrow a=5 $

केस (ii)

लड़की की दी गई गति, $\mathbf{v} _{g}=10\hat{i}$

$\therefore \quad v_{rg}=v_{r}-v_{g}$

$ =(a \hat{i}+b \hat{j})-10 \hat{i}=(a-10) \hat{i}+b \hat{j} $

प्रश्न के अनुसार बारिश ऊर्ध्वाधर के $45^{\circ}$ के कोण पर गिरती प्रतीत होती है, इसलिए $\tan 45^{\circ}=\dfrac{b}{a-10}=1$

$\Rightarrow \quad b=a-10=5-10=-5$

इसलिए, बारिश के वेग $=a \hat{i}+b \hat{j}$

$\Rightarrow v_r = 5 \hat{i}-5 \hat{j}$

बारिश की गति =$|v_{r}|=\sqrt{(5)^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{50}=5 \sqrt{2} m / s$

उत्तर दिया गया, नदी की गति $(v_{r})=3 m / s$ (पूर्व)

तैराक की गति $(v_{s})=4 m / s$ (पूर्व)

(a) जब तैराक उत्तर दिशा में तैरना शुरू करता है तो उसकी परिणामी गति

$ \begin{aligned} v & =\sqrt{v_r^{2}+v_s^{2}}=\sqrt{(3)^{2}+(4)^{2}} \\ & =\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5 m / s \\ \tan \theta & =\dfrac{v_{r}}{v_{s}}=\dfrac{3}{4} \\ & =0.75=\tan 36^{\circ} 54^{\prime} \\ \theta & =36^{\circ} 54^{\prime} N \end{aligned} $

इसलिए,

(b) बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए, तैराक को उत्तर की ओर एक कोण $\theta$ पर तैरना चाहिए।

तैराक की परिणामी गति

$ \begin{aligned} v & =\sqrt{v_s^{2}-v_r^{2}}=\sqrt{(4)^{2}-(3)^{2}} \\ & =\sqrt{16-9}=\sqrt{7} m / s \\ \tan \theta & =\dfrac{v_{r}}{v}=\dfrac{3}{\sqrt{7}} \\ \theta & =\tan ^{-1}(\dfrac{3}{\sqrt{7}}) \text { उत्तर की ओर } \end{aligned} $

(c) मामला (a) में,

तैराक द्वारा नदी के पार जाने का समय, $t_1=\dfrac{d}{v_{s}}=\dfrac{d}{4} s$

मामला (b) में,

तैराक द्वारा नदी के पार जाने का समय

$ \begin{aligned} & t_1=\dfrac{d}{v}=\dfrac{d}{\sqrt{7}} \\ & \dfrac{d}{4}<\dfrac{d}{\sqrt{7}}, \text { इसलिए } t_1<t_2 \end{aligned} $

इसलिए, मामला (a) में तैराक नदी के पार छोटे समय में पहुँचेगा।

उत्तर निरंतर आरेख को ध्यान में रखें।

(a) $x$-दिशा में प्रारंभिक वेग

$u_x = u+v_0 \cos \theta $

$y$-दिशा में प्रारंभिक वेग जहां प्रक्षेपण कोण $\theta$ है।

$u_{y} =v_0 \sin \theta \quad$

अब, हम लिख सकते हैं

$\tan \theta =\dfrac{u_{y}}{u_{x}}=\dfrac{u_0 \sin \theta}{u+v_0 \cos \theta}$

$\theta =\tan ^{-1}\left(\dfrac{v_0 \sin \theta}{u+v_0 \cos \theta}\right)$

(b) मान लीजिए $T$ उड़ान काल है। जब तक समय अवधि $T$ के लिए कुल विस्थापन शून्य है।

$ y=0, u_{y}=v_0 \sin \theta, a_{y}=-g, t=T $

$ y =u_{y} t+\dfrac{1}{2} a_{y} t^{2} $

$ 0 =v_0 \sin \theta T+\dfrac{1}{2}(-g) T^{2} $

$ T [v_0 \sin \theta-\dfrac{g}{2} T] =0$

$ T=0, \dfrac{2 v_0 \sin \theta}{g} $

$T =0_1, \text { corresponds to point } O . $

$T =\dfrac{2 u_0 \sin \theta}{g}$

(c) क्षैतिज परास $R=(u+v_0 \cos \theta) T=(u+v_0 \cos \theta) \dfrac{2 v_0 \sin \theta}{g}$

$ R=\dfrac{v_0}{g}[2 u \sin \theta+v_0 \sin 2 \theta] $

(d) क्षैतिज परास के अधिकतम होने के लिए, $\dfrac{d R}{d \theta}=0$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \dfrac{v_0}{g}[2 u \cos \theta+v_0 \cos 2 \theta \times 2]=0 \\ & \Rightarrow \quad 2 u \cos \theta+2 v_0[2 \cos ^{2} \theta-1]=0 \\ & \Rightarrow \quad 4 v_0 \cos ^{2} \theta+2 u \cos \theta-2 v_0=0 \\ & \Rightarrow \quad 2 v_0 \cos ^{2} \theta+u \cos \theta-v_0=0 \\ & \Rightarrow \quad \cos \theta=\dfrac{-u \pm \sqrt{u^{2}+8 v_0^{2}}}{4 v_0} \\ & \Rightarrow \quad \theta_{\max }=\cos ^{-1}\left[\dfrac{-u \pm \sqrt{u^{2}+8 v_0^{2}}}{4 v_0}\right] \\ & =\cos ^{-1}\left[\dfrac{-u+\sqrt{u^{2}+8 v_0^{2}}}{4 v_0}\right] \end{aligned} $

(e) यदि $u=v_0$,

$ \cos \theta=\dfrac{-v_0 \pm \sqrt{v_0^{2}+8 v_0^{2}}}{4 v_0}=\dfrac{-1+3}{4}=\dfrac{1}{2} $

$

$ \Rightarrow \quad \theta=60^{\circ} $

यदि $u«v_0$, तो $8 v_0{ }^{2}+u^{2} \approx 8 v_0{ }^{2}$

$ \theta_{\max }=\cos ^{-1}\left[\dfrac{-u \pm 2 \sqrt{2} v_0}{4 v_0}\right]=\cos ^{-1}\left[\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{u}{4 v_0}\right] $

यदि $u«v_0$, तो $\quad \theta_{\max }=\cos ^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=\dfrac{\pi}{4}$

यदि $u>u_0$ और $u»v_0$

$\theta_{\max }=\cos ^{-1}\left[\dfrac{-u \pm u}{4 v_0}\right]=0 $

$\theta_{\max }=\dfrac{\pi}{2}$

(f) यदि $u=0, \theta_{\max }$

$\cos ^{-1}\left[\dfrac{0 \pm \sqrt{8 v^{2} 0}}{4 v_0}\right]=\cos ^{-1}\left(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right)=45^{\circ}$

उत्तर (a) दिया गया, इकाई सदिश

$ \begin{aligned} & \hat{r}=\cos \theta \hat{i}+\sin \theta \hat{j} \quad \text{(i)}\\ & \hat{\theta}=-\sin \theta \hat{i}+\cos \theta \hat{j} \quad \text{(ii)} \end{aligned} $

समीकरण (i) को $\sin \theta$ से गुणा करें और समीकरण (ii) को $\cos \theta$ से गुणा करें और जोड़ें

$\hat{r} \sin \theta+\hat{\theta} \cos \theta=\sin \theta \cdot \cos \theta \hat{i}+\sin ^{2} \theta \hat{j}+\cos ^{2} \theta \hat{j}-\sin \theta \cdot \cos \theta \hat{i}$

$=\hat{j}(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta)=\hat{j}$

$ \Rightarrow \quad \hat{r} \sin \theta+\hat{\theta} \cos \theta=\hat{j} $

समीकरण (i) को $\cos \theta$ से गुणा करें और समीकरण (ii) को $\sin \theta$ से गुणा करें और घटाएं

$ n(\hat{r} \cos \theta-\hat{\theta} \sin \theta)=\hat{i} $

(b) $\hat{r} \cdot \hat{\theta}=(\cos \theta \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta \hat{\mathbf{j}}) \cdot(-\sin \theta \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta \hat{\mathbf{j}})=-\cos \theta \cdot \sin \theta+\sin \theta \cdot \cos \theta=0$

$ \Rightarrow \quad \theta=90^{\circ} \text { बीच का कोण } \hat{\mathbf{r}} \text { और } \hat{\theta} \text {. } $

(c) दिया गया, $\hat{r}=\cos \theta \hat{i}+\sin \theta \hat{j}$

$ \begin{aligned} \dfrac{d \hat{\mathbf{r}}}{d t} & =\dfrac{d}{d t}(\cos \theta \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta \hat{\mathbf{j}})=-\sin \theta \cdot \dfrac{d \theta}{d t} \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta \cdot \dfrac{d \theta}{d t} \hat{\mathbf{j}} \\ & =\omega[-\sin \theta \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta \hat{\mathbf{j}}] \quad[\because \theta=\dfrac{d \theta}{d t}] \end{aligned} $

(d) दिया गया, $r=a \theta \hat{r}$, यहाँ, आयाम लिखें $[r]=[a][\theta][\hat{r}]$

$ \Rightarrow \quad L=[a] % 1 \Rightarrow[a]=L=[M^{0} L^{1} T^{0}] $

(e) दिया गया, $a=1$ इकाई

$ \begin{aligned} \mathbf{r} & =\theta \hat{\mathbf{r}}=\theta[\cos \theta \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta \hat{\mathbf{j}}] \\

\text{वेग} (V) & =\dfrac{d r}{d t}=\dfrac{d \theta}{d t} \hat{\mathbf{r}}+\theta \dfrac{d}{d t} \hat{\mathbf{r}}=\dfrac{d \theta}{d t} \hat{\mathbf{r}}+\theta \dfrac{d}{d t} \left[(\cos \theta \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta \hat{\mathbf{j}})\right] \\ & =\dfrac{d \theta}{d t} \hat{\mathbf{r}}+\theta \left[(-\sin \theta \hat{\mathbf{i}}+\cos \theta \hat{\mathbf{j}}) \dfrac{d \theta}{d t}\right] \\ & =\dfrac{d \theta}{d t} \hat{\mathbf{r}}+\theta \hat{\theta} \omega=\omega \hat{\mathbf{r}}+\omega \theta \hat{\theta} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{त्वरण} (a) & =\dfrac{d}{d t}[\omega \hat{r}+\omega \hat{\theta}]=\dfrac{d}{d t} \left[\dfrac{d \theta}{d t} \hat{\mathbf{r}}+\dfrac{d \theta}{d t}(\theta \hat{\theta})\right] \\ & =\dfrac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{r}+\dfrac{d \theta}{d t} \cdot \dfrac{d \hat{r}}{d t}+\dfrac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \theta \hat{\theta}+\dfrac{d \theta}{d t} \dfrac{d}{d t}(\theta \hat{\theta}) \\ & =\dfrac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{r}+\omega[-\sin \theta \hat{\mathbf{i}}+\sin \theta \hat{\mathbf{j}}]+\dfrac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \theta \hat{\theta}+\dfrac{\omega d}{d t}(\theta \hat{\theta}) \\ & =\dfrac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \hat{\mathbf{r}}+\omega^{2} \hat{\theta}+\dfrac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \theta \hat{\theta}+\omega^{2} \hat{\theta}+\omega^{2} \theta(-\hat{\mathbf{r}}) \\ & \left(\dfrac{d^{2} \theta}{d t^{2}}-\omega^{2}) \hat{\mathbf{r}}+(2 \omega^{2}+\dfrac{d^{2} \theta}{d t^{2}} \theta \right) \hat{\theta} \end{aligned} $

उत्तर निकटवर्ती आरेख को ध्यान में रखें।

$A$ से $C$ तक सीधी रेखा पथ $A P Q C$ के माध्यम से $S$ और गुजरते हुए समय लेना

$ \begin{aligned} T_{\text {sand }} & =\dfrac{A P+Q C}{1}+\dfrac{P Q}{v}=\dfrac{25 \sqrt{2}+2 5 \sqrt{2}}{1}+\dfrac{50 \sqrt{2}}{v} \\ & =50 \sqrt{2}+\dfrac{50 \sqrt{2}}{v}=50 \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{v}+1\right) \end{aligned} $

चित्र से स्पष्ट है कि रेत के बाहर सबसे छोटा पथ $A R C$ होगा।

$A$ से $C$ तक इस पथ के माध्यम से जाने का समय

$ T_{\text {outside }}=\dfrac{A R+R C}{1} s $

$ A R=\sqrt{75^{2}+25^{2}}=\sqrt{75 \times 75+25 \times 25} $

$ \begin{aligned} & =5 \times 5 \sqrt{9+1}=25 \sqrt{10} m \\ R C & =A R=\sqrt{75^{2}+25^{2}}=25 \sqrt{10} m \end{aligned} $

$T_{\text {outside }}=2 A R=2 \times 25 \sqrt{10} s=50 \sqrt{10} s$

$T_{\text {sand }}<T_{\text {outside }}$ के लिए

$\Rightarrow \quad 50 \sqrt{2}\left(\dfrac{1}{v}+1\right)<2 \times 25 \sqrt{10}$

$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{v}<\sqrt{5}-1$

$\Rightarrow \quad v>\dfrac{1}{\sqrt{5}-1} \approx 0.81 m / s$

$\Rightarrow \quad v>0.81 m / s$