उत्तर (b) दिया गया, $y=3 \cos (\frac{\pi}{4}-2 \omega t)$

कण का वेग

$$ \begin{aligned} v & =\frac{d y}{d t}=\frac{d}{d t}[3 \cos (\frac{\pi}{4}-2 \omega t)] \\ & =3(-2 \omega)[-\sin (\frac{\pi}{4}-2 \omega t)] \\ & =6 \omega \sin (\frac{\pi}{4}-2 \omega t) \\ \text { त्वरण, } a & =\frac{d v}{d t}=\frac{d}{d t}[6 \omega \sin (\frac{\pi}{4}-2 \omega t)] \\ & =6 \omega \times(-2 \omega) \cos (\frac{\pi}{4}-2 \omega t)=-12 \omega^{2} \cos (\frac{\pi}{4}-2 \omega t) \\ & =-4 \omega^{2}[3 \cos (\frac{\pi}{4}-2 \omega t)] \\ \Rightarrow \quad a & =-4 \omega^{2} y \\ \Rightarrow \text { त्वरण, } a \propto & -y \end{aligned} $$

इसलिए, ऋणात्मक चिह्न के कारण गति सरल आवर्त गति (SHM) है।

स्पष्ट रूप से, समीकरण से

$$ \begin{aligned} & \omega^{\prime}=2 \omega \\ & \Rightarrow \quad \frac{2 \pi}{T^{\prime}}=2 \omega \Rightarrow T^{\prime}=\frac{2 \pi}{2 \omega}=\frac{\pi}{\omega} \quad \text { [और दिया गया समीकरण } y=3 \cos (-2 \omega t+\frac{\pi}{4}) \text { ] } \end{aligned} $$

इसलिए, गति आवर्त गति है जिसका आवर्तकाल $\frac{\pi}{\omega}$ है।

• विकल्प (a): विकल्प (a) में दिया गया आवर्तकाल $ \frac{2\pi}{\omega} $ है। हालांकि, दिए गए समीकरण $ y = 3 \cos \left( \frac{\pi}{4} - 2\omega t \right) $ से, कोणीय आवृत्ति $ 2\omega $ है। इसलिए, आवर्तकाल $ T $ की गणना $ T = \frac{2\pi}{2\omega} = \frac{\pi}{\omega} $ के रूप में की जाती है, न कि $ \frac{2\pi}{\omega} $।

• विकल्प (c): समीकरण $ y = 3 \cos \left( \frac{\pi}{4} - 2\omega t \right) $ द्वारा वर्णित गति सरल आवर्त गति (SHM) है क्योंकि इसे $ y = A \cos (\omega’ t + \phi) $ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $ A $ आयाम है, $ \omega’ $ कोणीय आवृत्ति है और $ \phi $ चरण स्थिरांक है। इसलिए, यह बस आवर्त नहीं है, बल्कि विशेष रूप से सरल आवर्त गति है।

• विकल्प (d): दी गई समीकरण $ y = 3 \cos \left( \frac{\pi}{4} - 2\omega t \right) $ एक आवर्ती फलन को प्रस्तुत करती है, क्योंकि यह नियमित अंतराल पर दोहराती है। इसके कारण यह आवर्ती है और एक सरल आवर्त गति (SHM) के रूप का अनुसरण करती है, इसलिए इसे गैर-आवर्ती गति के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है।

उत्तर (b) दी गई गति के समीकरण है

$$ \begin{aligned} & y = \sin ^{3} \omega t \\ &=(3 \sin \omega t-4 \sin 3 \omega t) / 4 \quad[\because \sin 3 \theta=3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta] \\ & \Rightarrow \quad \frac{d y}{d t}=[\frac{d}{d t}(3 \sin \omega t)-\frac{d}{d t}(4 \sin 3 \omega t)] / 4 \\ & \Rightarrow \quad 4 \frac{d y}{d t}=3 \omega \cos \omega t-4 \times[3 \omega \cos 3 \omega t] \\ & \Rightarrow \quad 4 \times \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-3 \omega^{2} \sin \omega t+12 \omega \sin 3 \omega t \\ & \Rightarrow \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-\frac{3 \omega^{2} \sin \omega t+12 \omega^{2} \sin 3 \omega t}{4} \\ & \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \text { व्युत्पन्न } y \text { के समानुपाती नहीं है।} \\ & \text { अतः, गति सरल आवर्त गति नहीं है।} \end{aligned} $$

क्योंकि व्यंजक में साइन फलन शामिल है, इसलिए यह आवर्ती होगा।

• (a) गति गैर-आवर्ती नहीं है क्योंकि दी गई समीकरण $ y = \sin^3(\omega t) $ त्रिकोणमितीय फलनों को शामिल करती है, जो मूल रूप से आवर्ती होते हैं। अतः, गति आवर्ती होना चाहिए।

• (c) गति $ 2\pi / \omega $ आवर्तकाल के साथ सरल आवर्त गति नहीं है क्योंकि सरल आवर्त गति (SHM) के लिए त्वरण (विस्थापन का द्वितीय अवकलज) विस्थापन के समानुपाती होना चाहिए और विपरीत दिशा में होना चाहिए। दी गई समीकरण इस शर्त को संतुष्ट नहीं करती है।

• (d) गति $ \pi / \omega $ आवर्तकाल के साथ सरल आवर्त गति नहीं है, कारण विकल्प (c) के जैसे ही है। त्वरण विस्थापन के समानुपाती नहीं है, जो SHM के लिए आवश्यक है।

उत्तर (d) गति सरल आवर्त गति होने के लिए कण के त्वरण को विस्थापन के ऋणात्मक अनुपात में होना चाहिए।

अर्थात, $\quad a \propto-(y$ या $x)$

हम यह स्पष्ट रूप से जानते हैं कि $y$ रैखिक होना चाहिए।

• (a) $a_{x}=+2 x$: त्वरण विस्थापन के सीधे अनुपात में है, लेकिन यह ऋणात्मक नहीं है। सरल आवर्त गति में त्वरण विस्थापन के ऋणात्मक अनुपात में होना चाहिए।

• (b) $a_{x}=+2 x^{2}$: त्वरण विस थापन के वर्ग के अनुपात में है, न कि विस्थापन के स्वयं के। इसके अतिरिक्त, यह धनात्मक है, न कि ऋणात्मक। सरल आवर्त गति में त्वरण विस्थापन के ऋणात्मक अनुपात में होना चाहिए।

• (c) $a_{x}=-2 x^{2}$: त्वरण विस्थापन के वर्ग के अनुपात में है, न कि विस्थापन के स्वयं के। भले ही यह ऋणात्मक है, सरल आवर्त गति के लिए संबंध रैखिक होना चाहिए।

उत्तर (c) चित्र को ध्यान में रखते हुए विचार करें जिसमें एक द्रव स्तंभ दोलन करता है। इस स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण के कारण द्रव पर एक पुनर्स्थापन बल कार्य करता है। द्रव स्तंभ के त्वरण को पुनर्स्थापन बल के आधार पर गणना किया जा सकता है।

पुनर्स्थापन बल

$f=$ ऊंचाई $2 y$ के द्रव स्तंभ के भार

$\Rightarrow \quad f=-(A \times 2 y \times \rho) \times g=-2 A \rho g y$

$\Rightarrow f \propto-y \Rightarrow$ गति $k=2 A \rho g$ बल नियतांक के साथ SHM है।

$\Rightarrow$ समय अवधि

$$ \begin{aligned} & T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}=2 \pi \sqrt{\frac{A \times 2 h \times \rho}{2 A \rho g}}=2 \pi \sqrt{\frac{h}{g}} \\ & T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}, \text { जहाँ } l=h \end{aligned} $$

जो द्रव के घनत्व से स्वतंत्र है।

• (a) आवर्ती लेकिन निम्न अवस्था गति नहीं: यह विकल्प गलत है क्योंकि U-नली में द्रव के स्तंभ की गति एक पुनरावर्ती बल द्वारा नियंत्रित होती है जो विस्थापन के सीधे अनुपाती होता है, जो सरल अवस्था गति (SHM) की विशेषता है। अतः, गति न केवल आवर्ती है बल्कि सरल अवस्था गति भी है।

• (b) अआवर्ती: यह विकल्प गलत है क्योंकि U-नली में द्रव के स्तंभ की गति आवर्ती होती है। द्रव एक नियमित, पुनरावर्ती पैटर्न में आगे-पीछे झूलता है, जो आवर्ती गति की परिभाषा है।

• (d) सरल अवस्था गति और समय अवधि द्रव के घनत्व के सीधे अनुपाती है: यह विकल्प गलत है क्योंकि झूले के समय अवधि द्रव के घनत्व से स्वतंत्र होती है। झूले के समय अवधि $ T $ द्वारा दी गई है $ T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} $, जहाँ $ l $ द्रव के स्तंभ की लंबाई है और $ g $ गुरुत्वीय त्वरण है। द्रव के घनत्व का इस व्यंजक में कोई भूमिका नहीं है, जो इसके समय अवधि पर कोई प्रभाव नहीं डालता है।

Thinking Process

हमें $x$ और $y$-अक्ष के घटकों को जोड़कर परिणामी विस्थापन ज्ञात करना होगा। $x$ और $y$ के विचरण के आधार पर पथ का अनुमान लगाया जाएगा।

Answer (c) दिया गया है,

$$ \begin{gathered} x=a \cos \omega t \\ y=a \sin \omega t \end{gathered} $$

समीकरण (i) और (ii) को वर्ग करके जोड़ने पर,

$$ \begin{matrix} a^{2} \Rightarrow y^{2} & =a^{2} & (\cos ^{2} \omega t+\sin ^{2} \omega t) \\ x^{2}+y^{2} & =a^{2} & {[\because \cos ^{2} \omega t+\sin ^{2} \omega t=1]} \end{matrix} $$

यह एक वृत्त का समीकरण है

स्पष्ट रूप से, बिंदु का बिंदुपथ एक अचर त्रिज्या a के वृत्त का है।

• विकल्प (a) एक अतिपरवलय: समीकरण $x = a \cos \omega t$ और $y = a \sin \omega t$ एक वृत्त को वर्णित करते हैं, न कि एक अतिपरवलय। एक अतिपरवलय के लिए, $\cos \omega t$ और $\sin \omega t$ के गुणांक अलग-अलग होने चाहिए, अर्थात, $x = a \cos \omega t$ और $y = b \sin \omega t$ जहाँ $a \neq b$ हो।

• विकल्प (b) एक परवलय: दिए गए समीकरण एक परवलय नहीं बनाते हैं। एक परवलयीय पथ आमतौर पर $x$ और $y$ के बीच द्विघातीय संबंध के रूप में होता है, जैसे $y = kx^2$ या $x = ky^2$। दिए गए समीकरण एक वृत्तीय गति को वर्णित करते हैं, न कि परवलयीय गति।

• विकल्प (d) एक सीधी रेखा: समीकरण $x = a \cos \omega t$ और $y = a \sin \omega t$ एक वृत्तीय गति को वर्णित करते हैं, न कि एक रेखीय गति। एक सीधी रेखा के लिए $x$ और $y$ के बीच रेखीय संबंध होना चाहिए, जैसे $y = mx + c$।

उत्तर (d) प्रश्न के अनुसार, विस्थापन

$$ \begin{aligned} & \text { मान लीजिए, } \\ & y=a \sin \omega t+b \cos \omega t \\ & \text { मान लीजिए, } \\ & a=A \sin \phi \text { और } b=A \cos \phi \\ & \quad \text { अब, } \quad a^{2}+b^{2}=A^{2} \sin ^{2} \phi+A^{2} \cos ^{2} \phi \\ & =A^{2} \Rightarrow A=\sqrt{a^{2}+b^{2}} \\ & y=A \sin \phi \cdot \sin \omega t+A \cos \phi \cdot \cos \omega t \\ & =A \sin (\omega t+\phi) \\ & \frac{d y}{d t}=A \omega \cos (\omega t+\phi) \\ & \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=-A \omega^{2} \sin (\omega t+\phi)=-A y \omega^{2}=(-A \omega^{2}) y \\

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \frac{d^{2} y}{d t^{2}} \propto(-y) \end{aligned} $$

इसलिए, यह एक सरल आवर्त गति (SHM) के समीकरण है जिसका आयाम $A=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ है।

• (a) गति आवर्त है लेकिन निश्चित आवर्त गति नहीं: दी गई विस्थापन समीकरण $ y = a \sin \omega t + b \cos \omega t $ को $ y = A \sin (\omega t + \phi) $ के रूप में लिखा जा सकता है, जो सरल आवर्त गति (SHM) के मानक रूप है। इसलिए, गति वास्तव में एक SHM है, बस आवर्त नहीं।

• (b) गति आवर्त गति है और आयाम $ a + b $ है: SHM के आयाम को वैकल्पिक तर्क और कोज्या पदों के गुणांक के परिणाम के रूप में निर्धारित किया जाता है, जो $ \sqrt{a^2 + b^2} $ द्वारा दिया जाता है। योग $ a + b $ गति के आयाम को सही रूप से प्रस्तुत नहीं करता है।

• ((c) गति आवर्त गति है और आयाम $ a^2 + b^2 $ है: SHM के आयाम को वैकल्पिक तर्क और कोज्या पदों के गुणांक के वर्ग के योग के वर्गमूल के रूप में निर्धारित किया जाता है, जो $ \sqrt{a^2 + b^2} $ है। व्यंजक $ a^2 + b^2 $ आयाम के वर्ग को प्रस्तुत करता है,

Through the elastic support the disturbance is transferred to all the pendulums.

$A$ and $C$ are having same length, hence they will be in resonance, because their time period of oscillation.

$$ T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} $$
and hence, frequency is same.

So, amplitude of $A$ and $C$ will be maximum.

Note: In this problem, we have assumed that the support is perfectly elastic and there is no damping. Hence, oscillation is considered as undamped.

• Option (a) is incorrect: Pendulum $D$ has a different length compared to $A$. Since the time period of oscillation depends on the length of the pendulum, $D$ will not be in resonance with $A$. Therefore, $D$ will not vibrate with maximum amplitude.

• Option (c) is incorrect: Pendulum $B$ has a shorter length than $A$. This difference in length means that $B$ will have a different time period of oscillation and will not be in resonance with $A$. Consequently, $B$ will not vibrate with maximum amplitude.

• Option (d) is incorrect: The pendulums have different lengths, which means they have different time periods of oscillation. Only pendulums with the same length (and thus the same time period) will resonate and have maximum amplitude. Therefore, not all four pendulums will oscillate with equal amplitude.

उत्तर

(a) मान लीजिए कण के वृत्तीय गति के दौरान कोणीय वेग $\omega$ है और जब यह $Q$ पर होता है तो यह चित्र में दिखाए गए कोण $\theta$ बनाता है।

स्पष्ट रूप से,

$\theta=\omega t$

अब, हम लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} & O R=O Q \cos (90-\theta) \\ & =O Q \sin \theta=O Q \sin \omega t \\ & =r \sin \omega t \quad[\because O Q=r] \\ & {[\because r=B]} \\ & =B \sin \frac{2 \pi}{T} t=B \sin (\frac{2 \pi}{30} t) \end{aligned} $$

$$ \Rightarrow \quad x=r \sin \omega t=B \sin \omega t $$

स्पष्ट रूप से, यह समीकरण एक सरल आवर्त गति को प्रस्तुत करता है।

• विकल्प (b): $x(t)=B \cos (\frac{\pi t}{15})$

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें कोसाइन फलन का उपयोग किया गया है जबकि सही फलन साइन होना चाहिए। कण के $t=0$ पर अंतिम धनात्मक विस्थापन एक्स-अक्ष के अनुदिश होता है, जो शून्य से शुरू होने वाले साइन फलन के संगत है। इसके अतिरिक्त, कोणीय आवृत्ति $\frac{\pi}{15}$ सही कोणीय आवृत्ति $\frac{2\pi}{30}$ के आधा है।

• विकल्प (c): $x(t)=B \sin (\frac{\pi t}{15}+\frac{\pi}{2})$

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें $\frac{\pi}{2}$ के फेज विस्थापन का उपयोग किया गया है, जो सही समीकरण में नहीं है। फेज विस्थापन का अर्थ होता है कि कण के प्रारंभिक स्थिति अलग है, जो यहां नहीं है। इसके अतिरिक्त, कोणीय आवृत्ति $\frac{\pi}{15}$ सही कोणीय आवृत्ति $\frac{2\pi}{30}$ के आधा है।

• विकल्प (d): $x(t)=B \cos (\frac{\pi t}{15}+\frac{\pi}{2})$

  • यह विकल्प दो कारणों से गलत है: इसमें कोसाइन फलन का उपयोग किया गया है जबकि सही फलन साइन होना चाहिए, और इसमें $\frac{\pi}{2}$ के फेज विस्थापन का उपयोग किया गया है। कोसाइन फलन के $\frac{\pi}{2}$ के फेज विस्थापन के साथ एक अपरिवर्तित साइन फलन हो सकता है, लेकिन कोणीय आवृत्ति $\frac{\pi}{15}$ अभी भी गलत है क्योंकि यह सही कोणीय आवृत्ति $\frac{2\pi}{30}$ के आधा है।

उत्तर (c) चूंकि दिया गया समीकरण

$$ x=a \cos (\alpha t)^{2} $$

एक कोसाइन फलन है। इसलिए, यह एक दोलन गति है।

अब, $t+T$ के स्थान पर $t$ रखें

$$ \begin{aligned} x(t+T) & =a \cos [\alpha(t+T)]^{2} \quad[\because x(t)=acos(\alpha t)^{2}] \\ & =a \cos [\alpha t^{2}+\alpha T^{2}+2 \alpha t T] \neq x(t) \end{aligned} $$

जहाँ, $T$ फलन $\omega(t)$ की आवर्तकाल मान लिया गया है।

इसलिए, यह आवर्ती नहीं है।

• (a) आवर्ती लेकिन दोलन गति नहीं: दिया गया समीकरण $ x = a \cos (\alpha t)^2 $ एक दोलन गति को व्यक्त करता है क्योंकि इसमें एक कोसाइन फलन है, जो दोलन को प्रतिनिधित करता है। इसलिए, गति आवर्ती लेकिन दोलन गति नहीं हो सकती।

• (b) आवर्ती और दोलन गति: हालांकि कोसाइन फलन के कारण गति दोलन गति है, लेकिन यह आवर्ती नहीं है। इसका कारण यह है कि समीकरण में $ t + T $ के स्थान पर $ t $ रखने पर फलन $ x(t) $ के समान नहीं प्राप्त होता, जिससे यह स्पष्ट होता है कि कोई निश्चित आवर्तकाल $ T $ नहीं है जिसके कारण गति दोहराई जा सके।

• (d) न तो आवर्ती न ही दोलन गति: गति दोलन गति है क्योंकि इसमें एक कोसाइन फलन है, जो दोलन को प्रतिनिधित करता है। इसलिए, गति को न तो आवर्ती न ही दोलन गति के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता।

उत्तर (a) एक SHM के समीकरण को $y=a \sin \omega t$ द्वारा प्रस्तुत किया जाता है

v =$\frac{d y}{d t}=a \omega \cos \omega t $

$\Rightarrow \quad(v)_{\max } =a \omega=30 $

$\text { त्वरण }(A) =\frac{d x^{2}}{d t^{2}}=-a \omega^{2} \sin \omega t $

$A_{\max } =\omega^{2} a=60 $

$\text { समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं } \omega(\omega a) =60 \Rightarrow \omega(30)=60 $

$\Rightarrow \quad \omega =2 rad / s $

$\Rightarrow \quad \frac{2 \pi}{T} =2 rad / s \Rightarrow T=\pi sec$

• विकल्प (b) $\frac{\pi}{2}$ sec गलत है क्योंकि दोलन की आवधिकता $T$ द्वारा दी गई है $T = \frac{2\pi}{\omega}$. दिया गया $\omega = 2 , \text{rad/s}$, सही आवधिकता $T = \pi , \text{sec}$ है, नहीं $\frac{\pi}{2} , \text{sec}$.

• विकल्प (c) $2 \pi$ sec गलत है क्योंकि, उसी सूत्र $T = \frac{2\pi}{\omega}$ का उपयोग करते हुए और दिया गया $\omega = 2 , \text{rad/s}$, आवधिकता $T = \pi , \text{sec}$ है, नहीं $2 \pi , \text{sec}$.

• विकल्प (d) $\frac{\pi}{t}$ sec गलत है क्योंकि इसके द्वारा दी गई $\omega = 2 , \text{rad/s}$ के लिए एक वैध आवधिकता प्रदान नहीं की जाती है। सही आवधिकता $T = \pi , \text{sec}$ है, और $\frac{\pi}{t}$ इस मान के साथ मेल नहीं खाता है।

सोचने की प्रक्रिया

इस प्रश्न को हल करने के लिए, हमें जब द्रव्यमान को बीच में जोड़ा जाता है तब प्रणाली के समतुल्य स्प्रिंग नियतांक को खोजना होता है।

उत्तर (b)

चित्र को ध्यान में रखते हुए, दो स्प्रिंगों को समानांतर में ले सकते हैं।

इसलिए,

$$ \begin{aligned} k_{eq} & =\text { समतुल्य स्प्रिंग नियतांक } \\ & =k_1+k_2 \end{aligned} $$

स्प्रिंग ब्लॉक-सिस्टम के दोलन काल

$$ \begin{aligned} T & =2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_{\text {eq }}}}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k_1+k_2}} \\ \Rightarrow \quad v & =\frac{1}{T}=\frac{1}{2 \pi} \times \sqrt{\frac{k_1+k_2}{m}} \\ & =\text { समतुल्य दोलन आवृत्ति। } \end{aligned} $$

जब द्रव्यमान को दो स्प्रिंगों के अलग-अलग संयोजन से जोड़ा जाता है

$$ \begin{aligned} & v_1=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_1}{m}} \\ & v_2=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k_2}{m}} \end{aligned} $$

समीकरण (i), (ii) और (iii) से,

$$ \begin{aligned} & v=\frac{1}{2 \pi}[\frac{k_1}{m}+\frac{k_2}{m}]^{1 / 2} \\ & =\frac{1}{2 \pi}[\frac{4 \pi^{2} v_1^{2}}{1}+\frac{4 \pi^{2} v_2^{2}}{1}]^{1 / 2} \\ & {[\because \text { समीकरण (ii) से } \frac{k_1}{m}=4 \pi^{2} v_1^{2} \text { और समीकरण (iii) से } \frac{k_2}{m}=4 \pi^{2} v_2^{2}]} \\ & =\frac{2 \pi}{2 \pi}[v_1^{2}+v_2^{2}]^{1 / 2} \Rightarrow v=\sqrt{v_1^{2}+v_2^{2}} \end{aligned} $$

नोट: स्प्रिंग के समानांतर और श्रेणीक्रम संयोजन के साथ गलत समझ न करें।

• विकल्प (a) $v_1 + v_2$: यह विकल्प गलत है क्योंकि जब दो स्प्रिंग समानांतर में संयोजित होते हैं तो दोलन आवृत्तियों को सरल रूप से जोड़ा नहीं जाता। सही तरीका संयोजित स्प्रिंग नियतांक और परिणामी आवृत्ति को ध्यान में रखते हुए अपनाया जाता है, जो व्यक्तिगत आवृत्तियों के वर्गों के योग के वर्गमूल से निर्मित होता है।

• विकल्प (c) $(\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})^{-1}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह श्रेणीक्रम में आवृत्तियों को संयोजित करने के सूत्र को दर्शाता है, न कि समानांतर में। जब स्प्रिंग श्रेणीक्रम में होते हैं, तो प्रभावी स्प्रिंग नियतांक अलग होता है, और परिणामी आवृत्ति की गणना अलग तरीके से की जाती है।

• विकल्प (d) $\sqrt{v_1^2 - v_2^2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि आवृत्तियों के वर्गों के अंतर के वर्गमूल द्वारा संयोजित प्रणाली के सही भौतिक संबंध को दर्शाया नहीं जाता। सही सूत्र व्यक्तिगत आवृत्तियों के वर्गों के योग के वर्गमूल को दर्शाता है, न कि उनके अंतर के वर्गमूल।

उत्तर $(a, c)$

पृथ्वी के अपने अक्ष के चारों ओर घूर्णन आवर्त है क्योंकि यह एक नियत समय अंतराल के बाद दोहराई जाती है।

पृथ्वी की घूर्णन एक निश्चित बिंदु के आसपास आगे-पीछे गति के रूप में स्पष्ट रूप से नहीं है, इसलिए इसकी गति एसएचएम नहीं है।

• विकल्प (b) सरल अथवा वृत्तीय गति: पृथ्वी के अपने अक्ष के चारों ओर घूर्णन सरल अथवा वृत्तीय गति नहीं है क्योंकि सरल अथवा वृत्जीय गति एक ऐसी गति होती है जिसमें एक वस्तु संतुलन स्थिति के आसपास आगे-पीछे गति करती है। पृथ्वी की घूर्णन एक सतत वृत्तीय गति है, न कि आवर्त गति।

• विकल्प (d) अनावर्त गति: पृथ्वी के अपने अक्ष के चारों ओर घूर्णन अनावर्त गति नहीं है क्योंकि यह नियमित अंतराल पर होती है। अनावर्त गति नियमित अंतराल पर दोहराई नहीं जाती, जबकि पृथ्वी की घूर्णन प्रतिदिन 24 घंटे के बाद दोहराई जाती है।

उत्तर $(a, c)$

एक स्मूथ वक्र बाउल में गेंद के अंदर गति के बारे में सोचें।

छोटे कोणीय विस्थापन या छोटे से छोड़े गए गति के लिए, इसे एक कोणीय SHM के रूप में ले लिया जा सकता है।

जब गेंद को एक कोण $\theta$ पर रखा जाता है तो वापसी बल $(g \sin \theta) m$ कार्य करता है जैसा कि दिखाया गया है।

$$ \begin{aligned} \because & m a =m g \sin \theta \\ \Rightarrow & a =g \sin \theta \end{aligned} $$

$$ \Rightarrow \quad \frac{d^{2} x}{d t^{2}}=-g \sin \theta=-g \times \frac{x}{R} \quad[\therefore \sin \theta \simeq \theta=x / R] $$

अतः, गति सरल वृत्तीय गति (SHM) है

$$ \begin{matrix} \Rightarrow d^{2} x / d t^{ 2} \propto(-x) \\ \Rightarrow \omega =\sqrt{g / R} \\ \text { समय अवधि } T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g} .} . \end{matrix} $$

क्योंकि गति सरल वृत्तीय गति (SHM) है, अतः यह आवर्ती होना चाहिए।

• (b) अनावर्ती गति: गोलीय गति के अंदर एक चिकनी वक्र बर्तन में गोली की गति आवर्ती है क्योंकि यह एक निश्चित समय अंतराल के बाद दोहराई जाती है। अनावर्ती गति नियमित समय अंतराल पर दोहराई नहीं जाती, जो यहाँ पर नहीं है।

• (d) आवर्ती लेकिन $SHM$ नहीं: छोटे कोणीय विस्थापन के लिए, गोली की गति को सरल वृत्तीय गति (SHM) के रूप में अपेक्षित किया जा सकता है। बहाव बल विस्थापन के अनुपाती होता है, जो SHM की विशेषता है। अतः, गति न केवल आवर्ती है बल्कि यह भी SHM है।

Answer $(b, d)$

कक्षा के वक्र से स्पष्ट है कि $t=2 s$ और $t=6 s$ के बिंदु एक समय अवधि के दूरी के बराबर है। अतः, ये बिंदु एक ही चरण में होना चाहिए।

अतः, $t=1 , \text{s}$ और $t=5 , \text{s}$ पर बिंदुओं के बीच एक समय अंतर है, इसलिए ये एक चरण में होना चाहिए।

• $t = 0 , \text{s}$ और $t = 2 , \text{s}$ पर कण अपने चक्र में अलग-अलग स्थितियों में है। $t = 0 , \text{s}$ स्थिति में अधिकतम विस्थापन है, जबकि $t = 2 , \text{s}$ स्थिति में संतुलन बिंदु है। इसलिए, इन समयों पर आवर्ती निर्माणक का चरण अलग है।

• $t = 1 , \text{s}$ और $t = 7 , \text{s}$ पर कण अपने चक्र में अलग-अलग स्थितियों में है। $t = 1 , \text{s}$ स्थिति में कण संतुलन बिंदु की ओर गति कर रहा है, जबकि $t = 7 , \text{s}$ स्थिति में कण संतुलन बिंदु से दूर गति कर रहा है। इसलिए, इन समयों पर आवर्ती निर्माणक का चरण अलग है।

सोचने की प्रक्रिया

हमें आवर्त गति के लिए समीकरण लिखना होगा और फिर विस्थापन के संगत वेग और त्वरण निकालना होगा।

उत्तर $(a, b, d)$

आवर्त गति के लिए समीकरण $x = a \sin \omega t$ है।

स्पष्ट रूप से, यह एक आवर्त गति है क्योंकि इसमें साइन फलन है।

$$ \text { वेग } v = \frac{d x}{d t} = \frac{d}{d t}(a \sin \omega t) = a \omega \cos \omega t $$

वेग भी आवर्त है क्योंकि इसमें कोसाइन फलन है।

त्वरण,

$$ A = \frac{d v}{d t} = \frac{d^{2} x}{d t^{2}} = -a \omega^{2} \sin \omega t $$

[ $\because$ त्वरण एक साइन फलन है, इसलिए यह स्थिर नहीं हो सकता]

$$ = -(\omega^{2} a) \sin \omega t = -\omega^{2} x $$

बल,

$$ \begin{aligned} F & = \text { द्रव्यमान } \times \text { त्वरण } \\ & = m A = -m \omega^{2} x \end{aligned} $$

इसलिए, कार्य कर रहे बल औसत स्थिति से विस्थापन के सीधे अनुपाती होता है और इसके विपरीत होता है।

• विकल्प (c): आवर्तक के त्वरण नियत नहीं होता। सरल आवर्त गति में त्वरण $ A = -a \omega^2 \sin \omega t $ द्वारा दिया जाता है, जो एक ज्याफलन है। चूंकि ज्याफलन समय के साथ बदलता रहता है, त्वरण नियत नहीं होता।

उत्तर

$(a, b, c)$

निरीक्षण चित्र को ध्यान में रखते हुए

दिए गए चित्र से स्पष्ट है कि

(a) $t=\frac{3 T}{4}$ पर कण का विस्थापन शून्य है। अतः कण सरल आवर्त गति कर रहा है, अतः औसत स्थिति में है अर्थात $x=0$। अतः त्वरण शून्य है तथा बल भी शून्य है।

(b) $t=\frac{4 T}{4}$ पर विस्थापन अधिकतम है अर्थात अंतिम स्थिति है, अतः त्वरण अधिकतम है।

(c) $t=\frac{T}{4}$ पर औसत स्थिति है, अतः इस स्थिति पर वेग अधिकतम होता है।

(d) $t=\frac{2 T}{4}=\frac{T}{2}$ पर अंतिम स्थिति है, अतः $KE=0$ तथा $PE=$ अधिकतम है।

• (d) के असत्य होने के कारण: $ t = \frac{T}{2} $ पर कण अंतिम स्थिति पर है। इस स्थिति पर गतिज ऊर्जा (KE) शून्य है तथा संतृप्त ऊर्जा (PE) अधिकतम है। अतः $ t = \frac{T}{2} $ पर संतृप्त ऊर्जा (PE) आवर्त गति के गतिज ऊर्जा (KE) के बराबर होने के कथन के असत्य होने के कारण यह कथन असत्य है।

उत्तर $(a, b, d)$

एक दोलन गति के समीकरण को $x=a \sin \omega t$ के रूप में प्रस्तुत करें।

मान लीजिए वस्तु का द्रव्यमान $m$ है।

(a) कोई भी समय $t$ पर वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा है

$$ E=\frac{1}{2} m \omega^{2} a^{2} $$

कोई भी समय $t$ पर किनेटिक ऊर्जा है

$$ \begin{matrix} K & =\frac{1}{2} m v^{2}=\frac{1}{2} m[\frac{d x}{d t}]^{2} & {[\because v=\frac{d x}{d t}]} \\ & =\frac{1}{2} m \omega^{2} a^{2} \cos ^{2} \omega t & {[\because x=a \sin \omega t]} \\ \Rightarrow \quad K_{\max } & =\frac{1}{2} m \omega^{2} a^{2}=E & {[\because \text { for } k_{\max }, \cos \omega t=1] \ldots \text { (ii) }} \end{matrix} $$

(b) कोई भी समय $t$ पर $KE$ है

K = $\frac{1}{2} m \omega^{2} a^{2} \cos ^{2} \omega t $

$(K_{av}) \text { एक चक्र के लिए } =\frac{1}{2} m \omega^{2} a^{2}[(\cos ^{2} \omega t)_{av}] \text { एक चक्र के लिए } $

$ =\frac{1}{2} m \omega^{2} a^{2}[\frac{0+1}{2}] $

$ =\frac{1}{4} m \omega^{2} a^{2}=\frac{K_{\max }}{2}$

[समीकरण (ii) से]

(c) वेग $=v=\frac{d x}{d t}=a \omega \cos \omega t$

पूरे चक्र के लिए, $$ \begin{aligned} v_{\text {mean }} & =\frac{v_{\text {max }}+v_{\text {min }}}{2} \\ & =\frac{a \omega+(-a \omega)}{2}=0 \end{aligned} $$

(d) $v_{\text {rms }}=\sqrt{\frac{v_{\text {max }}^{2}+v_2^{2}}{2}}=\sqrt{\frac{0+a^{2} \omega^{2}}{2}}=\frac{a \omega}{\sqrt{2}}$

$$ \Rightarrow \quad V_{rms}=\frac{V_{\max }}{\sqrt{2}} $$

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि:

  दोलन गति के पूरे चक्र में औसत वेग शून्य होता है, न कि इसके अधिकतम वेग के $\frac{2}{\pi}$ गुना। इसका कारण यह है कि वेग एक वाटिका फलन होता है जो एक पूरे चक्र में शून्य के बराबर औसत करता है।

उत्तर $(a, c, d)$

चित्र को ध्यान से देखें।

(a) जब कण $A$ से 3 सेमी दूर है और $B$ की ओर जा रहा है, तब वेग $AB$ की ओर है, अर्थात धनात्मक है।

सरल आवर्त गति में, त्वरण हमेशा मध्य स्थिति $(O)$ की ओर होता है, इसलिए यह धनात्मक है।

(b) जब कण $C$ पर है, तब वेग $B$ की ओर है, अतः धनात्मक है।

(c) जब कण $B$ से 4 सेमी दूर है और $A$ की ओर जा रहा है, तब वेग ऋणात्मक है और त्वरण मध्य स्थिति $(O)$ की ओर है, अतः ऋणात्मक है।

(d) त्वरण हमेशा मध्य स्थिति $(O)$ की ओर होता है। जब कण $B$ पर है, तब त्वरण और बल $BA$ की ओर होते हैं, अतः ऋणात्मक हैं।

• (b) जब कण $C$ पर है और $B$ की ओर जा रहा है, तब इसके वेग के चिह्न ऋणात्मक हैं

  कारण: जब कण $C$ पर है और $B$ की ओर जा रहा है, तब वेग वास्तव में धनात्मक है क्योंकि यह $A$ से $B$ की धनात्मक दिशा में गति कर रहा है। अतः, वेग के ऋणात्मक कथन गलत है।

Answer SHM में y-t ग्राफ में शून्य विस्थापन माध्य स्थिति को दर्शाता है; जहां आवर्तक कण की चाल अधिकतम होती है।

जबकि शिखर और घाट अतिरिक्त स्थितियों को दर्शाते हैं, जहां विस्थापन अधिकतम होता है और आवर्तक कण की चाल न्यूनतम होती है और शून्य होती है। अतः,

(a) $A, C, E, G$ या तो शिखर या घाट होते हैं जहां चाल शून्य होती है।

(b) माध्य स्थितियों, जो $B, D, F, H$ बिंदुओं द्वारा निरूपित होती हैं, पर चाल अधिकतम होती है।

Answer चित्र में ब्लॉक के दाईं ओर $x$ के द्वारा विस्थापन के बारे में विचार करें।

दाईं ओर का स्प्रिंग $x$ के द्वारा संपीड़ित हो जाता है जिसके कारण ब्लॉक पर बहाव बल $k x$ बाईं ओर लगता है। बाईं ओर का स्प्रिंग $x$ के द्वारा खिंच जाता है जिसके कारण ब्लॉक पर बहाव बल $k x$ बाईं ओर लगता है जैसा कि ब्लॉक के मुक्त शरीर आरेख में दिखाया गया है।

अतः, कुल बल (बहाव बल) $=(k x + k x)$ $=2 k x$ बाईं ओर $\quad[\because$ दोनों बल समान दिशा में हैं]

उत्तर सरल दोलन के दो मूल गुण हैं

(i) त्वरण विस्थापन के सीधे अनुपातिक होता है।

(ii) त्वरण की दिशा हमेशा माध्य स्थिति की ओर होती है, अर्थात विस्थापन के विपरीत होती है।

उत्तर सरल लोलक के चित्र को ध्यान में रखें।

लोलक का बल्ब चित्र में दिखाए गए कोण $\theta$ द्वारा विस्थापित होता है।

स्थायी बलाघूर्ण निश्चित बिंदु $O$ के संबंध में

यदि $\theta$ रेडियन में छोटा कोण है, तो $\sin \theta \approx \theta$

हम जानते हैं, $$ \tau=-m g \sin \theta $$

$\Rightarrow \quad \tau \approx-m g \theta \Rightarrow \tau \propto(-\theta)$

अतः, छोटे कोण के दोलन के लिए सरल लोलक की गति सरल दोलन होती है।

सोचने की प्रक्रिया

हमें वेग को विस्थापन के समीकरण के अवकलज के रूप में खोजना होगा और त्वरण को वेग और समय के समीकरण के अवकलज के रूप में खोजना होगा।

उत्तर मान लीजिए $x=A \sin \omega t$ सरल दोलन का विस्थापन फलन है।

वेग,

$$ \begin{aligned} v & =\frac{d x}{d t}=A \omega \cos \omega t \\ v_{\max } & =A \omega|\cos \omega t|_{\max } \\ & =A \omega \times 1=\omega A \end{aligned} $$

$[\because|\cos \omega t|_{\max }=1] \ldots(i)$

त्वरण, $a=\frac{d v}{d t}=-\omega A \cdot \omega \sin \omega t$

$$ \begin{aligned} & =-\omega^{2} A \sin \omega t \\ |a_{\max }| & =|(-\omega^{2} A)(+1)| \\ |a_{\max }| & =\omega^{2} A \end{aligned} $$

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

$ \frac{v_{\max }}{a_{\max }}=\frac{\omega A}{\omega^{2} A}=\frac{1}{\omega} $

$\Rightarrow \frac{a_{\max }}{v_{\max }}=\omega$

Answer चित्र निम्नलिखित को दर्शाता है

$A$ और $B$ के बीच एक कण के द्वारा निर्वाचक गति करते हुए गति को।

जब यह $A$ से $B$ तक जाता है और फिर $A$ पर वापस आता है तो तय की गई कुल दूरी है

$$ \begin{aligned} & =A O+O B+B O+O A \\ & =A+A+A+A=4 A \quad[\because O A=A] \end{aligned} $$

आम्प्लीतुड $=OA=A$

अतः दूरी और आम्प्लीतुड के अनुपात $=\frac{4 A}{A}=4$

Answer जैसे संदर्भ वृत्त पर कण विपरीत घड़ी की दिशा में गति करता है। प्रक्षेपण बिंदु $P$ से $O$ की ओर बाईं ओर जाता है।

अतः दिखाए गए स्थिति में वेग $P^{\prime} \rightarrow P^{\prime \prime}$ की दिशा में है, अर्थात दाईं से बाईं ओर, अतः चिह्न नकारात्मक है।

उत्तर मान लीजिए एक सरल आवर्त गति के विस्थापन फलन के बारे में

जहाँ, $ x= a \cos \omega t $

$a =\text { गति का आयाम }$

$ \text { वेग }, v =\frac{d x}{d t} $

या

$$ \begin{aligned} \frac{d x}{d t} & =a(-\sin \omega t) \omega=-\omega a \sin \omega t \\ v & =-\omega a \sin \omega t \\ & =\omega a \cos(\frac{\pi}{2}+\omega t) \quad[\because \sin \omega t=-\cos (\frac{\pi}{2}+\omega t)] \end{aligned} $$

अब, विस्थापन के चरण $=\omega t$

वेग के चरण $=\frac{\pi}{2}+\omega t$

$\therefore$ वेग के चरण और विस्थापन के चरण के बीच अंतर

$$ =\frac{\pi}{2}+\omega t-\omega t=\frac{\pi}{2} $$

उत्तर एक सरल आवर्त गति के ential ऊर्जा (PE) होती है

$$ \begin{aligned} & PE =\frac{1}{2} k x^{2}=\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \\ k & =\text { बल नियतांक }=m \omega^{2} \end{aligned} $$

जब PE को विस्थापन $x$ के विरुद्ध आलेखित किया जाता है, तो हमें एक परवलय प्राप्त होता है।

जब $x=0, PE=0$

जब $x= \pm A, PE=$ अधिकतम

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \\ \text { एक सरल आवर्त गति के गतिज ऊर्जा } & =\frac{1}{2} m v^{2} \\ & =\frac{1}{2} m[\omega \sqrt{A^{2}-x^{2}}]^{2} \quad[\because v=\omega \sqrt{A^{2}-x^{2}}] \\ & =\frac{1}{2} m \omega^{2}(A^{2}-x^{2}) \end{aligned} $$

यह भी एक परवलय है, यदि गतिज ऊर्जा को विस्थापन $x$ के विरुद्ध आलेखित किया जाता है।

$$ \begin{matrix} \text { अर्थात, } & KE=0 \text { जब } x= \pm A \\ \text { और } & KE=\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \text { जब } x=0 \end{matrix} $$

$$ \begin{aligned} & \begin{matrix} =\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}+\frac{1}{2} m \omega^{2}(A^{2}-x^{2}) \end{matrix} \\ & =\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}+\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}-\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} \\ & TE=\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \end{aligned} $$

जो एक स्थिर राशि है और इसमें $x$ पर निर्भर नहीं होता।

ऊपर दिए गए निर्देशों के अनुसार गतिज ऊर्जा, स्थितिज ऊर्जा और कुल ऊर्जा के विस्थापन $x$ के साथ ग्राफ निम्नलिखित होता है

उत्तर एक सेकंड के सरल लोलक का अर्थ एक ऐसा सरल लोलक होता है जिसका आवर्तकाल $T=2 s$ होता है।

एक सरल लोलक के लिए, $\quad T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

जहाँ, $l=$ लोलक की लंबाई और

$g=$ पृथ्वी के सतह पर गुरुत्वीय त्वरण होता है।

$$ T_{e}=2 \pi \sqrt{\frac{l_{e}}{g_{e}}} $$

चांद के सतह पर,

$$ \begin{aligned} & T_{m}=2 \pi \sqrt{\frac{l_{m}}{g_{m}}} \\ & \frac{T_{e}}{T_{m}}=\frac{2 \pi}{2 \pi} \sqrt{\frac{l_{e}}{g_{e}}} \times \sqrt{\frac{g_{m}}{l_{m}}} \end{aligned} $$

$T_{e}=T_{m}$ के लिए सेकंड के लोलक के आवर्तकाल को बनाए रखने के लिए।

$$ \therefore \quad 1=\sqrt{\frac{l_{e}}{l_{m}} \times \frac{g_{m}}{g_{e}}} $$

लेकिन चांद पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी पर गुरुत्वीय त्वरण के $1/6$ होता है, अर्थात,

$$ g_{m}=\frac{g_{e}}{6} $$

समीकरण (iii) को वर्ग करके और इस मान को रखकर,

1 = $\frac{l_{e}}{l_{m}} \times \frac{g_{e} / 6}{g_{e}}=\frac{l_{e}}{l_{m}} \times \frac{1}{6} $

$\Rightarrow \frac{l_{e}}{6 l_{m}} =1 \Rightarrow 6 l_{m}=l_{e} $

$\Rightarrow l_{m} =\frac{1}{6} l_{e}=\frac{1}{6} \times 1=\frac{1}{6} m$

सोचने की प्रक्रिया

हमें द्रव्यमान को थोड़ा विस्थापित करके गति की प्रकृति का अनुमान लगाना होता है और वापसी बल के कारण त्वरण की गणना करनी होती है।

उत्तर गणना के उद्देश्य के लिए, इस स्थिति में हम गुरुत्वाकर्षण को नगण्य मानेंगे क्योंकि यह पूरे तंतु में स्थिर रहता है और सम्पूर्ण पुनर्स्थापन बल को प्रभावित नहीं करता है।

संतुलन स्थिति में, स्प्रिंग के एक राशि $x_0$ तक विस्तार हो जाता है।

अब, यदि द्रव्यमान को एक और $x$ राशि द्वारा नीचे विस्थापित कर दिया जाए, तो तार और स्प्रिंग दोनों की लंबाई $x$ तक बढ़ जाएगी।

लेकिन, तार विस्तार योग्य नहीं है, इसलिए स्प्रिंग ही कुल विस्तार $x+x=2x$ के लिए ज़िम्मेदार होगी, जिससे द्रव्यमान को आरंभिक संतुलन स्थिति $x_0$ से $x$ राशि द्वारा नीचे ले जाया जाएगा। इसलिए, स्प्रिंग में कुल विस्तार $(=2x + x_0)$ होगा।

अब, द्रव्यमान के बल पर बल लगता है (जब $x_0$ विस्तार के मामले में)

हालांकि,

$$ \begin{aligned} F & =2 T \\ T & =k x_0 \\ F & =2 k x_0 \end{aligned} $$

[जहां $k$ स्प्रिंग नियतांक है]

जब द्रव्यमान को और भी $x$ राशि द्वारा नीचे ले जाया जाए,

$$ F^{\prime}=2 T^{\prime} $$

लेकिन नए स्प्रिंग की लंबाई $=(2x + x_0)$

$\therefore \quad F^{\prime}=2k(2x + x_0)$

सिस्टम पर पुनर्स्थापन बल।

समीकरण (i) और (ii) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं

$$ F_{\text {restoring }}=-[F^{\prime}-F] $$

$$ \begin{aligned} F_{\text {restoring }} & =-[2k(2x + x_0)-2k x_0] \\ & =-[2 \times 2k x + 2k x_0 - 2k x_0] \\ & =-4k x \end{aligned} $$

या

$$ M a=-4k x $$

जहां, $ a=\text { त्वरण } $

$\Rightarrow$ $ a=-(\frac{4k}{M}) x$
(क्योंकि, $F=m a)$

$k$, $M$ नियत रहते हैं।

$$ \therefore \quad a \propto -x $$

$$

अतः, गति सरल आवर्त गति है।

ऊपर दिए गए त्वरण के समीकरण को मानक सरल आवर्त गति के समीकरण $a=-\omega^{2} x$ के साथ तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \therefore \quad \text { समय अवधि }, T=\frac{2 \pi}{\omega}=\frac{2 \pi}{\sqrt{\frac{4 k}{M}}}=2 \pi \sqrt{\frac{M}{4 k}} $$

उत्तर हमें दिए गए दो आवर्त फलनों के संयोजन को एकल आवर्त (साइन या कोसाइन) फलन में परिवर्तित करना होगा।

दिया गया, विस्थापन फलन

$$ \begin{aligned} y & =\sin \omega t-\cos \omega t \\ & =\sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin \omega t-\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos \omega t) \\ & =\sqrt{2}[\cos (\frac{\pi}{4}) \cdot \sin \omega t-\sin (\frac{\pi}{4}) \cdot \cos \omega t] \\ & =\sqrt{2}[\sin (\omega t-\frac{\pi}{4})]=\sqrt{2}[\sin (\omega t-\frac{\pi}{4})] \end{aligned} $$

मानक समीकरण के साथ तुलना करने पर

$$ y=a \sin (\omega t+\phi), \text { हम प्राप्त करते हैं }=\omega=\frac{2 \pi}{T} \Rightarrow T=\frac{2 \pi}{\omega} $$

स्पष्ट रूप से, फलन सरल आवर्त गति को प्रस्तुत करता है जिसका आवर्तकाल $T=\frac{2 \pi}{\omega}$ है।

उत्तर मान लीजिए कि आवश्यक विस्थापन $x$ है।

$\therefore$ सरल आवर्त दोलनक की स्थितिज ऊर्जा $=\frac{1}{2} k x^{2}$

जहाँ,

$$ k=\text { बल नियतांक }=m \omega^{2} $$

$$ PE=\frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2} $$

दोलनक की अधिकतम ऊर्जा

$$ TE=\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} $$

जहाँ, $ A=\text { गति का आयाम } $

दिया गया,

$PE=\frac{1}{2} TE$

$\Rightarrow \quad \frac{1}{2} m \omega^{2} x^{2}=\frac{1}{2}[\frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}]$

$\Rightarrow \quad x^{2}=\frac{A^{2}}{2}$

या

$$ x=\sqrt{\frac{A^{2}}{2}}= \pm \frac{A}{\sqrt{2}} $$

चिह्न $\pm$ माध्य स्थिति के दोनों ओर दर्शाता है।

उत्तर दिए गए क्षेत्र से संबद्ध संभावित ऊर्जा

$$ U(x)=U_0(1-\cos \alpha x) $$

अब,

$$ \text { बल } F=-\frac{d U(x)}{d x} $$

$$ [\because \text { संरक्षित बल } f, \text { के लिए हम } f=\frac{-d u}{d x} \text { लिख सकते हैं}] $$

[हमने मान लिया कि क्षेत्र संरक्षित है]

$$ \begin{aligned} & F=-U_0 \alpha^{2} x \\ & m \omega^{2}=U_0 \alpha^{2} \\ & \omega^{2}=\frac{U_0 \alpha^{2}}{m} \text { या } \omega=\sqrt{\frac{U_0 \alpha^{2}}{m}} \\ & \text { समय आवर्तकाल } T=\frac{2 \pi}{\omega}=2 \pi \sqrt{\frac{m}{U_0 \alpha^{2}}} \end{aligned} $$

$$ F=-\frac{d}{d x}(U_0-U_0 \cos \alpha x)=-U_0 \alpha \sin \alpha x $$

$[\because$ छोटे दोलन के लिए $\alpha x$ छोटा होता है, $\sin \alpha x \approx \alpha x]$

नोट: छोटे दोलन के लिए ही गति सरल आवर्त गति होती है और इसलिए, समय आवर्तकाल केवल छोटे दोलन के मामले में मान्य है।

चिंतन प्रक्रिया

स्प्रिंग-ब्लॉक प्रणाली औसत स्थिति के आसपास सरल आवर्त गति करेगी जिसका आयाम $5 cm$ होगा।

उत्तर स्प्रिंग-ब्लॉक प्रणाली के आरेख को ध्यान में रखें। यह औसत स्थिति के आसपास $5 cm$ के आयाम के साथ सरल आवर्त गति करता है।

दिया गया है, $\quad \quad$ स्प्रिंग नियतांक $k=50 N / m$

$ m=\text { जुड़े द्रव्यमान }=2 kg $

$\therefore \quad$ कोणीय आवृत्ति $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{50}{2}}=\sqrt{25}=5 rad / s$

मान लीजिए विस्थापन फलन

$$ y(t)=A \sin (\omega t+\phi) $$

जहाँ, $\phi=$ आरंभिक कलांतर

लेकिन दिया गया है कि $t=0, y(t)=+A$

या

$$ \begin{aligned} & y(0)=+A=A \sin (\omega \times 0+\phi) \\ & \sin \phi=1 \Rightarrow \phi=\frac{\pi}{2} \end{aligned} $$

$\therefore$ अभीष्ट समीकरण $y(t)=A \sin (\omega t+\frac{\pi}{2})=A \cos \omega t$ है

मान लीजिए $A=5 cm$, $\omega=5 rad / s$

हमें प्राप्त होता है, $y(t)=5 \sin 5 t$

जहाँ, $t$ सेकंड में है और $y$ सेंटीमीटर में है।

उत्तर चित्र (i) और (ii) में दिखाए गए स्थितियों को ध्यान में रखें

(i)

(ii)

मान लीजिए दोनों पेंडुलम अपने कोणीय विस्थापन के निम्न फलनों का पालन करते हैं

और

$$ \begin{aligned} & \theta_1=\theta_0 \sin (\omega t+\phi_1) \\ & \theta_2=\theta_0 \sin (\omega t+\phi_2) \end{aligned} $$

जैसा कि दिया गया है कि आयाम और आवर्तकाल समान है लेकिन कलांतर अलग है।

अब, पहले पेंडुलम के किसी भी समय $t$ पर

समीकरण (i) से हमें प्राप्त होता है

$$ \theta_1=+\theta_0 $$

[दाहिना अतिक्रमण]

$$ \Rightarrow \begin{aligned} \theta_0 & =\theta_0 \sin (\omega t+\phi_1) \text { या } 1=\sin (\omega t+\phi_1) \\ \sin \frac{\pi}{2} & =\sin (\omega t+\phi_1) \\ (\omega t+\phi_1) & =\frac{\pi}{2}

\end{aligned} $$

$$ \Rightarrow \quad \sin \frac{\pi}{2}=\sin (\omega t+\phi_1) $$

या

समान समय $t$ पर द्वितीय सरल लोलक के लिए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$$ \theta_2=-\frac{\theta_0}{2} $$

जहाँ $\theta_0=2^{\circ}$ प्रथम लोलक का कोणीय आयाम है। द्वितीय लोलक के लिए कोणीय विस्थापन एक डिग्री है, इसलिए $\theta_2=\frac{\theta_0}{2}$ और ऋणात्मक चिह्न लेना आवश्यक है ताकि इसकी बाईं ओर स्थिति को दर्शाया जा सके।

समीकरण (ii) से, तो

$$ \begin{aligned} -\frac{\theta_0}{2} & =\theta_0 \sin (\omega t+\phi_2) \\ \sin (\omega t+\phi_2) & =-\frac{1}{2} \Rightarrow(\omega t+\phi_2)=-\frac{\pi}{6} \text { या } \frac{7 \pi}{6} \\ (\omega t+\phi_2) & =-\frac{\pi}{6} \text { या } \frac{7 \pi}{6} \end{aligned} $$

समीकरण (iv) और (iii) से, कल्पना के बीच अंतर

$$ \begin{gathered} (\omega t+\phi_2)-(\omega t+\phi_1)=\frac{7 \pi}{6}-\frac{\pi}{2}=\frac{7 \pi-3 \pi}{6}=\frac{4 \pi}{6} \\ (\phi_2-\phi_1)=\frac{4 \pi}{6}=\frac{2 \pi}{3}=120^{\circ} \end{gathered} $$

लंबा उत्तर प्रकार प्रश्न

उत्तर इस स्थिति में त्वरण अचर नहीं है। त्वरित गति में, शरीर के वजन के त्वरण के आयाम और दिशा पर निर्भर करता है जो ऊपर या नीचे की गति के लिए होता है।

(a) अतः, आवर्तन के दौरान शरीर के वजन में परिवर्तन होता है

(b) दो अतिरिक्त स्थितियों की स्थिति को ध्यान में रखते हुए विचार करें, क्योंकि उनका त्वरण आयाम के अधिकतम मान में होता है।

हमारे पास,

$$ m g-N=m a $$

$\because$ सबसे ऊपर के बिंदु पर, प्लेटफॉर्म नीचे की ओर त्वरित हो रहा है।

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & N=m g-m a \\ \text { लेकिन } & a=\omega^{2} A \\ \therefore & N=m g-m \omega^{2} A \\ \text { जहां, } & A=\text { गति का आयाम } \\ \text { दिया गया, } & m=50 kg, \text { आवृत्ति } v=2 s^{-1} \\ \therefore & \omega=2 \pi v=4 \pi rad / s \\ \therefore & A=5 cm=5 \times 10^{-2} m \\ & N=50 \times 9.8-50 \times(4 \pi)^{2} \times 5 \times 10^{-2} \\ & =50[9.8-16 \pi^{2} \times 5 \times 10^{-2}] \\ & =50[9.8-7.89] \\ & =50 \times 1.91 \\ & =95.5 N \end{matrix} $$

$$ \begin{matrix} \text { लेकिन } & a=\omega^{2} A & \text { [मात्रा में] } \end{matrix} $$

जब प्लेटफॉर्म अपने दोलन के सबसे नीचले स्थान पर होता है,

यह औसत स्थिति की ओर त्वरित हो रहा है, जो कि ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर है।

गति के समीकरण के लिए लिखें

या

$$ N-m g=m a=m \omega^{2} A $$

$$ \begin{aligned} N & =m g+m \omega^{2} A \\ & =m[g+\omega^{2} A] \end{aligned} $$

डेटा को रखने पर

$$ \begin{aligned} N & =50[9.8+(4 \pi)^{2} \times 5 \times 10^{-2}] \\ & =50[9.8+(12.56)^{2} \times 5 \times 10^{-2}] \\ & =50[9.8+7.88] \\ & =50 \times 17.68=884 N \end{aligned} $$

अब, मशीन अभिलक्षण बल को पढ़ता है। स्पष्ट है कि

अधिकतम भार $=884 N$ (नीचले बिंदु पर)

न्यूनतम भार $=95.5 N$ (ऊपर के बिंदु पर)

सोचने की प्रक्रिया

जब हम बल के समर्थन देते हैं, तो नेट बल $=0$ और जब यह छोड़ दिया जाता है, तो इसकी सभी स्थितिज ऊर्जा $KE$ में बदल जाती है।

उत्तर (a) जब हाथ के समर्थन को हटा दिया जाता है, तो वस्तु औसत स्थिति के चारों ओर दोलन करती है।

मान लीजिए $x$ वह अधिकतम विस्तार है जब वह दोलन के सबसे नीचले बिंदु पहुँचता है।

ब्लॉक की स्थितिज ऊर्जा में क्षय $=m g x$

जहाँ,

$m=$ ब्लॉक का द्रव्यमान

स्प्रिंग की अतिरिक्त स्थितिज ऊर्जा के लाभ $ =\frac{1}{2} k x^{2} $

क्योंकि दोनों बराबर हैं, यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के अनुसार,

हम प्राप्त करते हैं,

$ m g x=\frac{1}{2} k x^{2} \text { या } x=\frac{2 m g}{k} $

अब, दोलन के औसत स्थिति होगी, जब ब्लॉक स्प्रिंग द्वारा संतुलित होता है।

यदि $x^{\prime}$ उस स्थिति में विस्तार है, तो

$$ \begin{aligned} F & =+k x^{\prime} \\ \text { हालाँकि, } F & =m g \\ \Rightarrow m g & =+k x^{\prime} \\ \text { या } x^{\prime} & =\frac{m g}{k} \end{aligned} $$

समीकरण (iii) को समीकरण (iv) से विभाजित करने पर,

$$ \begin{aligned} & & \frac{x}{x^{\prime}} & =\frac{2 m g}{k} / \frac{m g}{k}=2 \\ \Rightarrow & & x & =2 x^{\prime} \end{aligned} $$

लेकिन दिया गया है $x=4 cm$ (अनुत्तरित स्थिति से अधिकतम विस्तार)

$$ \begin{aligned} \therefore & 2 x^{\prime} & =4 \\ \therefore & x^{\prime} & =\frac{4}{2}=2 cm \end{aligned} $$

लेकिन द्रव्यमान के औसत स्थिति से स्प्रिंग के प्राकृतिक लंबाई प्राप्त करने वाली स्थिति तक विस्थापन दोलन के आयाम के बराबर होता है।

$$ \therefore \quad A=x^{\prime}=2 cm $$

जहाँ, $A=$ गति का आयाम।

(b) दोलन करते निकाय के समय अवधि द्रव्यमान और स्प्रिंग नियतांक पर निर्भर करती है, जो द्वारा दी गई है

$$ T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} $$

यह आम्प्लीतुड पर निर्भर नहीं करता।

लेकिन समीकरण (iii) से,

$ \frac{2 m g}{k} =x $

$\frac{2 m g}{k} =4 , \text{cm}=4 \times 10^{-2} , \text{m} $

$\therefore \frac{m}{k} =\frac{4 \times 10^{-2}}{2 g}=\frac{2 \times 10^{-2}}{g} $

$\therefore \frac{k}{m} =\frac{g}{2 \times 10^{-2}} $

$ \text { और } \text { (अधिकतम विस्तार) } $

$\therefore \quad \text { आवृति }=\frac{1}{T}=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}} $

$ =\frac{1}{2 \times 3.14} \sqrt{\frac{g}{2 \times 10^{-2}}} $

$ =\frac{10}{6.28} \times 2.14 \sqrt{\frac{4.9}{10^{-2}}}=\frac{1}{6.28} \times \sqrt{4.9 \times 100}$

नोट: आवर्त गति के दौरान ब्लॉक उस स्थिति से ऊपर नहीं जा सकता, क्योंकि दिया गया है कि प्रणाली या बाह्य एजेंट द्वारा ऊपर की दिशा में कोई वेग नहीं है।

सोचने की प्रक्रिया

सरल आवर्त गति के लिए समय अंतराल निकालने के लिए बेलन को संतुलन स्थिति से छोटे विस्थापन द्वारा विस्थापित करें और फिर बहाव बल को निकालें।

उत्तर चित्र को ध्यान में रखें।

मान लीजिए कि बेलन को दबाया गया है और संतुलन स्थिति में ऊर्ध्वाधर विस्थापन $x_0$ है। संतुलन में,

$$ m g=\text { उत्थान बल }=(\rho A x_0) g \quad[\because m=V \rho=(A x_0) \rho] $$

जब इसे और भी विस्थापन $x$ द्वारा विस्थापित किया जाता है, तो उत्थान बल $A(x_0+x) \rho g$ होता है

$\therefore \quad$ नेट बहाव बल $=$ उत्थान बल - भार

$$ \begin{aligned} & =A(x_0+x) \rho g-m g \\ & =(A \rho g) x \end{aligned}

$$

$$ [\because m g=\rho A x_0 g] $$

जब विस्थापन $x$ नीचे की ओर होता है और बहाव बल ऊपर की ओर होता है, हम लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} F_{\text {restoring }} & =-(A \rho g) x \\ & =-k x \\ k & =\text { constant }=A \rho g \end{aligned} $$

इसलिए, गति सरल आवर्त गति (SHM) है

अब,

$ \text { Acceleration, } a=\frac{F_{\text {restoring }}}{m}=-\frac{k}{m} x $

इसे तुलना करें

$ a=-\omega^{2} x $

$\Rightarrow$ $ \omega^{2}=\frac{k}{m} \Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{k}{m}} $

$\Rightarrow$ $ \frac{2 \pi}{T}=\sqrt{\frac{k}{m}} \Rightarrow T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} $

$\Rightarrow$ $ T=2 \pi \sqrt{\frac{m}{A \rho g}} $

Answer नीचे दिखाए गए चित्र को ध्यान में रखें

मान लीजिए कि एक अपरिमित द्रव स्तंभ के लंबाई $d x$ एक ऊंचाई $x$ पर है।

यदि $\rho=$ द्रव का घनत्व

$$ A=\text { V-नलिका का काट क्षेत्रफल } $$

एक तत्व $d x$ की स्थितिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाएगी

$$ PE=d m g x=(A \rho d x) g x \quad[\because d m=p V=p A d x] $$

जहाँ, $A \rho d x=d m=$ तत्व $d x$ के द्रव्यमान

$\therefore$ बाएँ स्तंभ की कुल स्थितिज ऊर्जा

$$ \begin{aligned} & PE_{total}=\int_0^{h_1} A \rho g x d x \\ & =A \rho g \int_0^{h_1} x d x \\ & =A \rho g|\frac{x^{2}}{2}|_0^{h_1}=A \rho g \frac{h_1^{2}}{2} \end{aligned} $$

लेकिन,

$$ \begin{aligned} h_1 & =l \sin 45^{\circ} \\ PE & =\frac{A \rho g}{2} l^{2} \sin ^{2} 45^{\circ}

\end{aligned} $$

उसी तरह,

$$ \begin{aligned} \text { दाहिने स्तंभ की स्थितिज ऊर्जा } & =\frac{A \rho g}{2} l^{2} \sin ^{2} 45^{\circ} \\ \text { कुल स्थितिज ऊर्जा } & =\frac{A \rho g}{2} l^{2} \sin ^{2} 45^{\circ}+\frac{A \rho g}{2} l^{2} \sin ^{2} 45^{\circ} \\ & =2 \times \frac{1}{2} A \rho g l^{2}(\frac{1}{\sqrt{2}})^{2}=\frac{A \rho g l^{2}}{2} \end{aligned} $$

यदि बाएं तरफ के तत्व के कारण दबाव अंतर के कारण दाएं तरफ गति होती है, तो बाएं भाग में द्रव $=l-y$

दाएं भाग में द्रव $=l+y$

$\therefore \quad$ कुल स्थितिज ऊर्जा $=A \rho g(l-y)^{2} \sin ^{2} 45^{\circ}+A \rho g(l+y)^{2} \sin ^{2} 45^{\circ}$

या

स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन $=PE _{final }-P E _{initial }$

$$ \begin{aligned} \Delta PE & =\frac{A \rho g}{2}[(l-y)^{2}+(l+y)^{2}-l^{2}] \\ & =\frac{A \rho g}{2}[l^{2}+y^{2}-2 l y+l^{2}+y^{2}+2 l y-l^{2}] \\ & =\frac{A \rho g}{2}[2(l^{2}+y^{2})] \\ & =A \rho g(l^{2}+y^{2}) \end{aligned} $$

यदि $v$ कुल द्रव स्तंभ के वेग में परिवर्तन है, तो गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

$$ \begin{aligned} \Delta KE & =\frac{1}{2} m v^{2} \\ m & =A \rho(2 l) \end{aligned} $$

$\therefore \quad \Delta KE=\frac{1}{2} A \rho 2 l v^{2}=A \rho l v^{2}$

समीकरण (iv) और (v) से,

$$ \Delta PE+\Delta KE=A \rho g(l^{2}+y^{2})+A \rho l v^{2} $$

क्योंकि, प्रणाली संरक्षित है।

$\therefore$ कुल ऊर्जा में परिवर्तन $=0$

समीकरण (vi) से,

$$ A \rho g(l^{2}+y^{2})+A \rho l v^{2}=0 $$

दोनों ओर समय $(t)$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है;

$\quad \frac{d y}{d t}=v$ और $\frac{d v}{d t}=a$ [त्वरण]

$\Rightarrow \quad A \rho g(2 y v)+A \rho l(2 v) a=0$

$\Rightarrow \quad(g y+l a) 2 A \rho v=0$

$2 A \rho v=$ स्थिरांक और $2 A \rho v \neq 0$

$\therefore \quad l a+g y=0$

$$ \begin{matrix} a+(\frac{g}{l}) y=0 \\ \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+(\frac{g}{l}) y=0 \end{matrix} $$

यह दोलन गति के रूप के मानक अवकल समीकरण है

$ \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+\omega^{2} y $ =0

$\therefore \quad =\sqrt{\frac{g}{l}} $

$T=\frac{2 \pi}{\omega} =2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

उत्तर चित्र में दिखाए गए स्थिति को ध्यान में रखें।

पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर एक कण पर गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के उस भाग से उत्पन्न होता है जो कण के स्थान से आंतरिक खोलों में होता है। बाहरी खोलें कण पर कोई बल नहीं लगाती हैं।

अधिक स्पष्ट रूप से,

मान लीजिए $g^{\prime}$ बिंदु $P$ पर त्वरण है।

इसलिए,

$g^{\prime}=g(1-\frac{d}{R})=g(\frac{R-d}{R})$

चित्र से,

$R-d=y$

$\Rightarrow$ $g^{\prime}=g \frac{y}{R}$

बिंदु $p$ पर वस्तु पर बल,

$F=-m g^{\prime}=\frac{-m g}{R} y$

$\Rightarrow$ $F \propto-y \quad$ [जहाँ, $y$ केंद्र से दूरी है]

इसलिए, गति सरल आवर्त गति है।

समय आवर्तकाल के लिए, हम समीकरण (i) को लिख सकते हैं

क्योंकि

$$ m a=-\frac{M g}{R} y \Rightarrow a=-\frac{g}{R} y $$

$ a=-\omega^{2} y $ के साथ तुलना करते हैं

$$ \begin{aligned} \omega^{2} & =\frac{g}{R} \\ \Rightarrow \quad(\frac{2 \pi}{T}) & =\frac{g}{R} \Rightarrow T=2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}} \end{aligned} $$

सोचने की प्रक्रिया

हमें $\theta=\theta_0$ को संदर्भ बिंदु के रूप में लेना होगा, अर्थात जब $\theta=\theta_0$ हो तो समय को $t=0$ मान लें। फिर, सीधी रेखा गति के समीकरण का उपयोग करेंगे।

उत्तर चित्र को ध्यान में रखें।

मान लें $t=0$ जब $\theta=\theta_0$, तो $\theta=\theta_0 \cos \omega t$

दिया गया है कि एक सेकंड का स्पर्श्रेखीय घड़ी है, $\omega=2 \pi \Rightarrow \theta=\theta_0 \cos 2 \pi t$

समय $t_1$ पर, मान लें $\theta=\theta_0 / 2$

$$ \begin{matrix} \therefore \cos 2 \pi t_1 =1 / 2 \Rightarrow t_1=\frac{1}{6} \\ \frac{d \theta}{d t} =-(\theta_0 2 \pi) \sin 2 \pi t & {[\because \cos 2 \pi t_1=\cos \frac{\pi}{3} \Rightarrow 2 \pi t_1=\frac{\pi}{3}]} \\ & \text { [समीकरण (i) से] } \end{matrix} $$

जब

$$ \begin{aligned} t & =t_1=\frac{1}{6} \\ \frac{d \theta}{d t} & =-\theta_0 2 \pi \sin \frac{2 \pi}{6}=-\sqrt{3} \pi \theta_0 \end{aligned} $$

ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि यह बाईं ओर जा रहा है।

इसलिए, रैखिक वेग है

$$ u=-\sqrt{3} \pi \theta_0 l \text { तार के लंबवत। } $$

ऊर्ध्वाधर घटक है

$$ u_{y}=-\sqrt{3} \pi \theta_0 l \sin (\theta_0 / 2) $$

और क्षैतिज घटक है

$$ u_{x}=-\sqrt{3} \pi \theta_0 l \cos (\theta_0 / 2) $$

जब यह टूटता है, तो ऊर्ध्वाधर ऊंचाई है

$$ H^{\prime}=H+l(1-\cos (\theta_0 / 2)) $$

मान लें गिरने के लिए आवश्यक समय $t$ है, तो

$$ \begin{aligned} & H^{\prime}=u_{y} t+(1 / 2) g t^{2} \quad \text { (ध्यान दें } g \text { भी नकारात्मक दिशा में है) } \\ & \text { या } \quad \frac{1}{2} g t^{2}+\sqrt{3} \pi \theta_0 l \sin \frac{\theta_{o}}{2} t-H^{\prime}=0 \\ & \therefore \quad t=\frac{-\sqrt{3} \pi \theta_0 l \sin \frac{\theta_0}{2} \pm \sqrt{3 \pi^{2} \theta_0^{2} l^{2} \sin ^{2} \frac{\theta_0}{2}+2 g H^{\prime}}}{g} \\ & =\frac{-\sqrt{3} \pi l \frac{\theta_o^{2}}{2} \pm \sqrt{3 \pi^{2}(\frac{\theta_o^{4}}{4}) l^{2}+2 g H^{\prime}}}{g}[\because \sin \frac{\theta_0}{2} \simeq \frac{\theta_0}{2} \text { छोटे कोण के लिए }] $$

\end{aligned} $$

$\theta_0$ छोटा है, इसलिए $\theta_0^{2}$ के क्रम के शब्दों को नगण्य मान लें

$$ t=\sqrt{\frac{2 H^{\prime}}{g}} $$

$$ \begin{aligned} & \text { अब, } \quad H^{\prime} \approx H+l(1-1) \quad[\therefore \cos \theta_0 / 2 \approx 1] \\ & \begin{aligned} & =H \\ \Rightarrow \quad t & =\sqrt{\frac{2 H}{g}} \end{aligned} \end{aligned} $$

$x$-दिशा में तय की गई दूरी $u_{x} t$ है, जो बोब के बर्न के स्थान से बाईं ओर है

$$ \begin{aligned} & X=U x t=\sqrt{3} \pi \theta_0 l Cos(\frac{\theta_0}{2}) \sqrt{\frac{2 H}{g}} s \\ & \text { जबकि } \theta_0 \text { छोटा है } \Rightarrow \cos (\frac{\theta_0}{ }{2}) \approx 1 \\ & X=\sqrt{3} \pi \theta_0 l \sqrt{\frac{2 H}{g}}=\sqrt{\frac{6 H}{g}} \theta_0 l \pi \end{aligned} $$

बर्न के समय, बोब $A$ से $l \sin (\theta_0 / 2) \approx l \frac{\theta_0}{2}$ की दूरी पर था।

इसलिए, जमीन पर मिलने वाले बोब की $A$ से दूरी है

$$ \begin{aligned} & =\frac{l \theta_0}{2}-X=\frac{l \theta_0}{2}-\sqrt{\frac{6 H}{g}} \theta_0 l \pi \\ & =\theta_0 l(\frac{1}{2}-\pi \sqrt{\frac{6 H}{g}}) \end{aligned} $$