सोचने की प्रक्रिया

अनुत्क्रमणीय प्रक्रम के वक्र के ढलान अधिक होता है, अर्थात वक्र तीव्र होता है। अनुत्क्रमणीय प्रक्रम के $p-V$ वक्र का ढलान $=\gamma(p / V)$ होता है, जबकि ऊष्मायन प्रक्रम के वक्र का ढलान $=-p / v$ होता है।

उत्तर (c) वक्र 4 के लिए दबाव स्थिर है, इसलिए यह एक नियत दबाव प्रक्रम है।

वक्र 1 के लिए आयतन स्थिर है, इसलिए यह एक नियत आयतन प्रक्रम है। वक्र 3 और 2 के बीच, वक्र 2 तीव्र है, इसलिए यह अनुत्क्रमणीय है और वक्र 3 ऊष्मायन है।

नोट: हम ऊष्मायन और अनुत्क्रमणीय वक्र के बीच अंतर करते समय सावधान रहना चाहिए क्योंकि ये वक्र एक दूसरे से बहुत मिलत-जुलत दिखते हैं।

• विकल्प (a) 4: दबाव स्थिर है, इसलिए यह एक नियत दबाव प्रक्रम है।
• विकल्प (b) 3: वक्र 2 के तुलना में कम तीव्र है, इसलिए यह एक ऊष्मायन प्रक्रम है।
• विकल्प (d) 1: आयतन स्थिर है, इसलिए यह एक नियत आयतन प्रक्रम है।

उत्तर (a) प्रति मिनट वाष्पित होने वाले अपसार की मात्रा

$$ \begin{aligned} & =\frac{\text { प्रति मिनट उत्पन्न अपसार }}{\text { वाष्पीकरण के लिए आवश्यक कैलोरी / किग्रा }} \\ & =\frac{\text { जॉगिंग में प्रति मिनट उत्पन्न ऊष्मा }}{\text { अवाप्श्येत ऊष्मा (कैलोरी / किग्रा में) }} \\ & =\frac{14.5 \times 10^{3}}{580 \times 10^{3}}=\frac{145}{580}=0.25 \text{ किग्रा} \end{aligned} $$

• विकल्प (b) $2.25 \text{ किग्रा}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि प्रति मिनट वाष्पित होने वाले अपसार की मात्रा गणना के मुकाबले बहुत अधिक है। दिए गए ऊष्मा उत्पादन और वाष्पीकरण की अवाप्श्येत ऊष्मा के आधार पर सही गणना 0.25 किग्रा देती है, न कि 2.25 किग्रा। 2.25 किग्रा का मान दिए ऊर्जा खर्च के लिए असंभव अपसार वाष्पीकरण का अर्थ होता है।

• विकल्प (c) $0.05 \text{ किग्रा}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि प्रति मिनट वाष्पित होने वाले अपसार की मात्रा कम है। सही गणना दिखाती है कि प्रति मिनट 0.25 किग्रा अपसार वाष्पित होता है, न कि 0.05 किग्रा। यह मान दिए गए ऊर्जा खर्च के बहुत कम हो सकता है।

• विकल्प (d) $0.20 \text{ किग्रा}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि प्रति मिनट वाष्पित होने वाले अपसार की मात्रा थोड़ी कम है। दिए गए ऊर्जा खर्च और वाष्पीकरण की अवाप्श्येत ऊष्मा के आधार पर सही गणना 0.25 किग्रा देती है, न कि 0.20 किग्रा। इस अंतर के कारण गणना में त्रुटि या वाष्पीकरण के लिए आवश्यक ऊर्जा के बारे में गलत धारणा हो सकती है।

उत्तर (c) प्रश्न के अनुसार, $p V=$ स्थिरांक दिया गया है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि गैस एक आइसोथर्मल प्रक्रम में जा रही है।

स्पष्ट रूप से, ग्राफ से प्रक्रम 1 और 2 के बीच तापमान स्थिर है और गैस विस्तार होती है और दबाव कम होता है, अर्थात $p_2 < p_1$ जो आरेख (iii) के संगत है।

• विकल्प (i): यह आरेख तापमान (T) और दबाव (p) के बीच रैखिक संबंध दिखाता है, जो एक आइसोचोरिक प्रक्रम (स्थिर आयतन) की विशेषता है। हालांकि, दिया गया प्रक्रम आइसोथर्मल (स्थिर तापमान) है, इसलिए यह विकल्प गलत है।

• विकल्प (ii): यह आरेख तापमान (T) और दबाव (p) के बीच सीधे समानुपातिकता दिखाता है, जो एक आइसोचोरिक प्रक्रम (स्थिर आयतन) की विशेषता है। कारण यह प्रक्रम आइसोथर्मल है, इसलिए यह विकल्प सही संबंध को नहीं दिखाता है।

• विकल्प (iv): यह आरेख तापमान (T) और दबाव (p) के बीच व्युत्क्रम संबंध दिखाता है, जो एक अधिगामी प्रक्रम (ऊष्मा आदान-प्रदान नहीं होता) की विशेषता है। दिया गया प्रक्रम आइसोथर्मल है, इसलिए यह विकल्प गलत है।

सोचने की प्रक्रिया

एक गैस द्वारा एक प्रक्रम में किया गया कार्य $p$ - $V$ आरेख के क्षेत्रफल द्वारा गणना किया जा सकता है।

उत्तर (b) प्रश्न में दिए गए $p$ - $V$ आरेख को ध्यान में रखें।

प्रक्रम $A B C D$ में किया गया कार्य = आयत $A B C D A$ का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & =(A B) \times B C=(3 V_0-V_0) \times(2 p_0-p_0) \\ & =2 V_0 \times p_0=2 p_0 V_0

\end{aligned} $$

क्रमिक रूप से प्रक्रम विपरीत घड़ी की दिशा में हो रहा है, इसलिए गैस में नेट संपीड़न होता है। इसलिए, गैस द्वारा किया गया कार्य $=-2 p_0 V_0$ होता है।

• विकल्प (a) $6 p_0 V_0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि आयत $A B C D A$ के क्षेत्रफल की गणना $2 p_0 V_0$ के रूप में की जाती है, न कि $6 p_0 V_0$। आयत के आयाम $ (3 V_0 - V_0) $ आयतन में और $ (2 p_0 - p_0) $ दबाव में होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप क्षेत्रफल $2 p_0 V_0$ होता है।

• विकल्प (c) $+2 p_0 V_0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि भले ही कार्य के परिमाण $2 p_0 V_0$ हो, लेकिन प्रक्रम विपरीत घड़ी की दिशा में हो रहा है, जो नेट संपीड़न को दर्शाता है। इसलिए, गैस द्वारा किया गया कार्य नकारात्मक होता है, न कि धनात्मक।

• विकल्प (d) $+4 p_0 V_0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि आयत $A B C D A$ के क्षेत्रफल $2 p_0 V_0$ होता है, न कि $4 p_0 V_0$। इसके अतिरिक्त, प्रक्रम विपरीत घड़ी की दिशा में हो रहा है, जो नेट संपीड़न को दर्शाता है, इसलिए गैस द्वारा किया गया कार्य नकारात्मक होता है, न कि धनात्मक।

उत्तर (a) कंटेनर $A$ (आइसोथर्मल) और कंटेनर $B$ (एडियाबैटिक) के लिए $p-V$ आरेख को देखें।

कंटेनर $A$ (आइसोथर्मल)

Container $B$ (अनुतापीय)

दोनों प्रक्रमों में गैस के संपीड़न की बात है।

तापीय अपरिवर्ती प्रक्रम (गैस $A$ ) (जब $1 \rightarrow 2$ )

$ p_1 V_1 =p_2 V_2 $

$\Rightarrow p_0(2 V_0) =p_2(V_0) $

$\Rightarrow p_2 =2 p_0$

अनुतापीय प्रक्रम के लिए, (गैस $B$ ) (जब $1 \rightarrow 2$ ) $$ \begin{array}{rlrl} p_1 V _1 ^\gamma & =p _2 V _2 ^\gamma \\ \Rightarrow & p _0\left(2 V_0\right)^\gamma =p_2\left(V_0\right)^\gamma \\ \Rightarrow & p _2 =\left(\frac{2 V _0}{V _0}\right)^\gamma p_0=(2)^\gamma p _0 \end{array} $$

अतः, $\frac{\left(p_2\right) _B}{\left(p _2\right)_A}=$ अंतिम दबाव का अनुपात $=\frac{(2)^\gamma p_0}{2 p _0}=2^{\gamma-1}$, जहाँ, $\gamma$ गैस के विशिष्ट ऊष्मा अनुपात का अनुपात है।

• विकल्प (b) $(\frac{1}{2})^{\gamma-1}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ यह होता है कि बर्तन B में गैस के अंतिम दबाव को बर्तन A में गैस के अंतिम दबाव के तुलना में $(\frac{1}{2})^{\gamma-1}$ गुना कम होता है। हालांकि, अनुतापीय प्रक्रम के कारण गैस पर किए गए अतिरिक्त कार्य के कारण अंतिम दबाव तापीय अपरिवर्ती प्रक्रम के अंतिम दबाव की तुलना में अधिक होता है। अतः, अनुपात 1 से अधिक होना चाहिए, न कि 1 से कम।

• विकल्प (c) $(\frac{1}{1-\gamma})^{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें अनुतापीय और तापीय अपरिवर्ती प्रक्रमों में दबावों के बीच संबंध को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं किया गया है। अभिव्यक्ति $(\frac{1}{1-\gamma})^{2}$ अनुतापीय संपीड़न के भौतिक सिद्धांतों के साथ मेल नहीं खाती है, जहाँ दबाव आरंभिक दबाव के तुलना में $2^\gamma$ गुना बढ़ जाता है।

• विकल्प (d) $(\frac{1}{\gamma-1})^{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें अंतिम दबाव के अनुपात को गलत तरीके से प्रस्तुत किया गया है। सही अनुपात में $2^{\gamma-1}$ गुना का अंतर होता है, जो अनुतापीय और तापीय अपरिवर्ती प्रक्रमों में दबाव के बीच संबंध से प्राप्त होता है। अभिव्यक्ति $(\frac{1}{\gamma-1})^{2}$ अनुतापीय संपीड़न के दबाव पर प्रभाव को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं करती है।

Answer (b) मान लीजिए कि प्रणाली का संतुलन ताप $T$ है।

मान लीजिए कि $T_1, T_2<T<T_3$ है।

प्रश्न के अनुसार, वातावरण के लिए कोई शुद्ध ऊष्मा खोई नहीं जाती है।

$M_3$ द्वारा खोई गई ऊष्मा = $M_1$ द्वारा अवशोषित ऊष्मा + $M_2$ द्वारा अवशोषित ऊष्मा

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & M_3 s(T_3-T)=M_1 s(T-T_1)+M_2 s(T-T_2) \\ \Rightarrow & \quad \text { (जहाँ, s तांबे की विशिष्ट ऊष्मा है) } \\ \Rightarrow & T[M_1+M_2+M_3]=M_3 T_3+M_1 T_1+M_2 T_2 \\ \Rightarrow & T=\frac{M_1 T_1+M_2 T_2+M_3 T_3}{M_1+M_2+M_3} \end{matrix} $$

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि यह मानता है कि संतुलन ताप तीन ब्लॉकों के प्रारंभिक तापों के अंकगणितीय औसत है। यह ब्लॉकों के विभिन्न द्रव्यमान के अवलोकन को नहीं लेता है, जो प्रत्येक ब्लॉक के ऊष्मा अवशोषण या विस्तार के मात्रा को प्रभावित करता है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि यह प्रारंभिक तापों के भारित योग को तीन गुना कुल द्रव्यमान से विभाजित करता है, जो ऊष्मा संरक्षण के नियम को सही तरीके से नहीं लेता है। सही सूत्र केवल कुल द्रव्यमान से विभाजित होना चाहिए, न कि तीन गुना कुल द्रव्यमान से।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि यह अतिरिक्त रूप से विशिष्ट ऊष्मा (s) के साथ तापों के अंश में गुणा करता है। चूंकि विशिष्ट ऊष्मा (s) एक स्थिरांक है और समीकरण में विलुप्त हो जाती है, इसलिए अंतिम संतुलन ताप के सूत्र में इसकी आवश्यकता नहीं होती है।

चिंतन प्रक्रम

यदि कोई प्रक्रम वापस ले जाया जा सके जैसे कि प्रणाली और परिवेश अपने मूल अवस्था में वापस आ जाएं, और बाहर के संसार में कोई अन्य परिवर्तन न हो, तो ऐसा प्रक्रम व्युत्क्रमणीय प्रक्रम कहलाता है।

उत्तर $(a, b, d)$

(a) जब छड़ पीटी जाती है, तो छड़ पर बाहरी कार्य किया जाता है जो छड़ के तापमान को बढ़ा देता है। यह प्रक्रम अपने आप वापस नहीं ले जाया जा सकता।

(b) इस प्रक्रम में ऊष्मा के रूप में ऊर्जा छोटे बरतन में गैस को बड़े भंडार से तापमान $T_2$ पर स्थानांतरित की जाती है।

(d) जब भार $w$ के रूप में बरतन व्यवस्था में बाहरी दबाव के रूप में जोड़ा जाता है, इसलिए यह अपने आप वापस नहीं ले जाया जा सकता।

• (c) एक घर्षण रहित पिस्टन के साथ एक सिलेंडर में एक आदर्श गैस के एक अपसादी आइसोथर्मल विस्तार एक व्युत्क्रमणीय प्रक्रम है क्योंकि इसे बाहरी स्थितियों में अपरिमित छोटे परिवर्तन द्वारा व्युत्क्रमित किया जा सकता है, और प्रणाली पूरे प्रक्रम के दौरान तापीय असंतुलन में रहती है।

उत्तर $(a, d)$

एक आइसोथर्मल प्रक्रम में प्रणाली के तापमान में परिवर्तन $d T=0 \Rightarrow T=$ स्थिर।

हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए $d U=$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $=n C_{V} d T=0$

[जहाँ, $n$ मोलों की संख्या है और $C_{V}$ नियत आयतन पर विशिष्ट ऊष्माधारिता है]। प्रथम ऊष्मागतिक नियम से,

$$ \begin{aligned} d Q & =d U+d W \\ & =0+d W \Rightarrow d Q=d W \end{aligned} $$

• (b) $d Q=0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि, एक समतापी प्रक्रम में, तापमान को स्थिर रखने के लिए वातावरण के साथ ऊष्मा का आदान-प्रदान होता है। अतः $d Q$ शून्य नहीं होता; बजाय इसके, यह प्रणाली द्वारा या प्रणाली पर किए गए कार्य के बराबर होता है।

• (c) $d Q=d U$: यह विकल्प गलत है क्योंकि, आदर्श गैस के लिए एक समतापी प्रक्रम में, आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तन $d U$ शून्य होता है (क्योंकि आंतरिक ऊर्जा तापमान के फलन होती है, जो स्थिर रहता है)। अतः $d Q$ के $d U$ के बराबर होने के बजाय, यह $d W$ के बराबर होता है।

Thinking Process

आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है और गैस द्वारा किया गया कार्य एक पथ निर्भर फलन है। एक ऊष्मागतिक प्रक्रम में किया गया कार्य $p$ - $V$ वक्र के बीच क्षेत्रफल के बराबर होता है।

Answer (b, c)

अवस्था $A$ से $B$ तक के प्रक्रम में आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तन

$$ d U_{A -> B}=n C_{V} d T=n C_{V}(T_{B}-T_{A}) $$

जो केवल $A$ और $B$ पर तापमान पर निर्भर करता है।

अवस्था $A$ से $B$ तक कार्य किया गया, $d W_{A -> B}=$ $p-V$ वक्र के तल के नीचे क्षेत्रफल है जो पथ $I$ के लिए अधिकतम होता है।

• विकल्प (a): आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन एक अवस्था फलन है और यह केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है, न कि लिए गए पथ पर। अतः अवस्था परिवर्तन $A$ से $B$ तक सभी पथों (I, II, III, IV) में समान होता है। अतः यह गलत है कहना कि आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन IV और III में समान है लेकिन I और II में नहीं।

• विकल्प (d): कार्य को $p-V$ वक्र के तल के क्षेत्रफल द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। क्योंकि पथ II एक सीधी ऊर्ध्वाधर रेखा है, इसका प्रतिनिधित्व एक आयोगिक प्रक्रम (स्थिर आयतन) करता है, और आयोगिक प्रक्रम में कोई कार्य नहीं किया जाता है। अतः, प्रकरण II में कार्य शून्य है, जो वास्तव में संभव न्यूनतम है। हालांकि, यह विकल्प चयन नहीं किया जाता है क्योंकि सही उत्तर पहले प्रकरण I में अधिकतम कार्य के समावेश करता है, जो प्रश्न के अधिक संबंधित है।

उत्तर $(a, c)$

(a) दिया गया प्रक्रम एक चक्रीय प्रक्रम है, अर्थात यह वापस मूल अवस्था 1 पर लौट आता है।

अतः, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $d U=0$

$\Rightarrow \quad d Q=d U+d W=0+d W=d W$

अतः, कुल ऊष्मा आपूर्ति गैस द्वारा किए गए कार्य (यांत्रिक ऊर्जा) में बदल जाती है, जो द्वितीय नियम के अनुसार संभव नहीं है।

(c) जब गैस 2 से 3 तक अधिवृत्त विस्तार करती है, तो बिना ऊष्मा आपूर्ति के वही अवस्था में वापस नहीं लौट सकती, अतः प्रक्रम 3 से 1 अधिवृत्त नहीं हो सकता।

• (b) इस प्रक्रम में यांत्रिक ऊर्जा पूरी तरह से ऊष्मा में बदल नहीं देती है। एक चक्रीय प्रक्रम में, एक पूर्ण चक्र के लिए कुल कार्य निश्चित रूप से निश्चित ऊष्मा आपूर्ति के बराबर होता है। अतः, यांत्रिक ऊर्जा पूरी तरह से ऊष्मा में बदल देने के कथन का असत्य है।

• (d) एक अदियाबेटिक प्रक्रम और एक आइसोथर्मल प्रक्रम को निरूपित करने वाली वक्र एक दूसरे के साथ कट सकते हैं। एक आइसोथर्मल प्रक्रम एक स्थिर तापमान पर होता है, जबकि एक अदियाबेटिक प्रक्रम बिना ऊष्मा आदान-प्रदान के होता है। ये प्रक्रम एक PV आरेख पर एक ही अवस्था के बीच अलग-अलग पथों को निरूपित कर सकते हैं, इसलिए वे एक दूसरे के साथ कट सकते हैं।

Answer (a, c)

चित्र के आधार पर हम लिख सकते हैं

$$Q_1=W+Q_2$$

$$\Rightarrow W=Q _1-Q _2>0 \text { (प्रश्न के अनुसार) }$$

$$\Rightarrow Q _1>Q _2>0 (\text { यदि दोनों } Q _1 \text { और } Q _2 \text { धनात्मक हैं }) $$

$$\text { हम इसके अलावा } Q _2<Q _1<0 (\text { यदि दोनों } Q _1 \text { और } Q _2 \text { नकारात्मक हैं }). $$

• विकल्प (b) $Q_2>Q_1>0$ गलत है क्योंकि यदि $Q_2$ $Q_1$ से अधिक होता और दोनों धनात्मक होते, तो $W = Q_1 - Q_2$ नकारात्मक होता, जो प्रश्न में दिए गए शर्त $W > 0$ के विरोधाभास होता है।

• विकल्प (d) $Q_1<0, Q_2>0$ गलत है क्योंकि यदि $Q_1$ नकारात्मक होता और $Q_2$ धनात्मक होता, तो $W = Q_1 - Q_2$ नकारात्मक होता, जो फिर से प्रश्न में दिए गए शर्त $W > 0$ के विरोधाभास होता है।

सोचने की प्रक्रिया

हमें प्रत्येक पथ के लिए ऊष्मागतिकी के पहले नियम के अनुपालन करना होगा।

उत्तर पथ 1 के लिए, ऊष्मा दी गई $Q_1=+1000 J$, कार्य किया गया $=W_1$ (मान लीजिए)

पथ 2 के लिए,

$$ \begin{aligned} \text { कार्य किया गया }(W_2) & =(W_1-100) J \\ \text { ऊष्मा दी गई } Q_2 & =? \end{aligned} $$

दो अवस्थाओं के बीच आंतरिक ऊर्जा के परिवर्तन के लिए अलग-अलग पथों के लिए समान होता है।

$$ \begin{matrix} \therefore \Delta U =Q_1-W_1=Q_2-W_2 \\ \Rightarrow 1000-W_1 =Q_2-(W_1-100) \\ Q_2 =1000-100=900 J \end{matrix} $$

उत्तर हाँ, अनुप्रस्थ संपीड़न के दौरान गैस के तापमान में वृद्धि होती है जबकि इसमें ऊष्मा नहीं दी जाती है।

अनुप्रस्थ संपीड़न में, $\quad d Q=0$

$\therefore$ ऊष्मागतिकी के पहले नियम से, $\quad d U=d Q-d W$

$d U=-d W$

संपीड़न के दौरान गैस पर कार्य किया जाता है, अर्थात कार्य नकारात्मक होता है।

इसलिए, $\quad d U=$ धनात्मक

इसलिए, गैस की आंतरिक ऊर्जा बढ़ जाती है जिसके कारण इसका तापमान बढ़ जाता है।

उत्तर चलाने के दौरान, गैस का तापमान बढ़ जाता है जबकि इसका आयतन स्थिर रहता है।

इसलिए, चार्ल्स के नियम के अनुसार, स्थिर आयतन $(V)$ पर,

दबाव $(p) \propto$ तापमान $(T)$

इसलिए, गैस का दबाव बढ़ जाता है।

सोचने की प्रक्रिया

कार्नो इंजन की दक्षता $\eta=1-\frac{T_2}{T_1^{\prime}}$

जहाँ, $T_2$ ग्रहणक के तापमान और $T_1$ उत्सर्गक के तापमान है।

उत्तर दिया गया, उत्सर्गक का तापमान $T_1=500 K$

ग्रहणक का तापमान $T_2=300 K$

प्रति चक्र कार्य किया गया $W=1 k J=1000 J$

इंजन के द्वारा प्रति चक्र ऊष्मा स्थानांतरित की गई $Q_1=$ ?

कार्नो इंजन की दक्षता $(\eta)=1-\frac{T_2}{T_1}=1-\frac{300}{500}=\frac{200}{500}=\frac{2}{5}$

$$ \begin{matrix} \eta=\frac{W}{Q_1} \\ \Rightarrow & Q_1=\frac{W}{\eta}=\frac{1000}{(2 / 5)}=2500 J \end{matrix} $$

सोचने की प्रक्रिया

ऊँचाई $(h)$ पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा (PE) $m g h$ होती है। वसा के रूप में ऊर्जा का उपयोग व्यक्ति की स्थितिज ऊर्जा को बढ़ाने के लिए किया जाता है। इसलिए, व्यक्ति ऊपर जाते समय खपत की गई ऊर्जा $mgh$ होती है, तो समस्या के अनुसार व्यक्ति नीचे आते समय खपत की गई ऊर्जा $\frac{1}{2} m g h$ होती है।

उत्तर दिया गया,

स्टेप की ऊँचाई $=h=10 m$

$1 kg$ वसा के जलने से उत्पन्न ऊर्जा $=7000 kcal$

इसलिए, $5 kg$ वसा के जलने से उत्पन्न ऊर्जा $=5 \times 7000=35000 kcal$

$$ =35 \times 10^{6} cal $$

ऊपर और नीचे एक बार जाने पर उपयोग की गई ऊर्जा

$$ \begin{aligned} & =m g h+\frac{1}{2} m g h=\frac{3}{2} m g h \\ & =\frac{3}{2} \times 60 \times 10 \times 10 \\ & =9000 J=\frac{9000}{4.2}=\frac{3000}{1.4} cal \end{aligned} $$

इसलिए, व्यक्ति को स्टेप के ऊपर और नीचे कितनी बार जाना चाहिए

$$ \begin{aligned} & =\frac{35 \times 10^{6}}{(3000 / 1.4)}=\frac{35 \times 1.4 \times 10^{6}}{3000} \\ & =16.3 \times 10^{3} \text { times } \end{aligned} $$

सोचने की प्रक्रिया

प्रक्रिया में ऊष्मा का कोई आदान-प्रदान नहीं होता, इसलिए इसे एक अनुत्क्रमणीय प्रक्रिया माना जा सकता है।

उत्तर मान लीजिए, आयतन $ \Delta V $ द्वारा बढ़ जाता है और दबाव $ \Delta p $ द्वारा बढ़ जाता है।

एक चक्र के ठीक पहले और बाद में हम लिख सकते हैं:

$$ \begin{matrix} p_1 V_1^{\gamma} =p_2 V_2^{\gamma} & \\ \Rightarrow \quad p(V+\Delta V)^{\gamma} =(p+\Delta p) V^{\gamma} \\ \Rightarrow \quad p V^{\gamma}(1+\frac{\Delta V}{V})^{\gamma} =p(1+\frac{\Delta p}{p}) V^{\gamma} \\ \Rightarrow \quad p V^{\gamma}(1+\gamma \frac{\Delta V}{V}) \approx p V^{\gamma}(1+\frac{\Delta p}{p}) \quad(\because \text { आयतन स्थिर है }) \\ \Rightarrow \quad \gamma \frac{\Delta V}{V} =\frac{\Delta p}{p} \Rightarrow \Delta V=\frac{1}{\gamma} \frac{V}{p} \Delta p \\ d V =\frac{1}{\gamma} \frac{V}{p} d p \end{matrix} $$

इसलिए, दबाव $p_1$ से $p_2$ तक बढ़ने पर किया गया कार्य है:

W = $\int_{p_1}^{p_2} p d V= \int_{p_1}^{p_2} p \times \frac{1}{\gamma} \frac{V}{p} d p $

= $\frac{V}{\gamma} \int _{p _ 1}^{p _ 2} d p= \frac{V}{\gamma}(p_2-p_1) $

$W = \frac{(p_2-p_1)}{\gamma} V$

सोचने की प्रक्रिया

कार्नो इंजन दो दिए गए तापमानों के बीच कार्य करने वाला सबसे कुशल ऊष्मा इंजन है। इस कारण इसे पूर्ण इंजन के रूप में जाना जाता है। कार्नो इंजन की दक्षता है

$$ \eta=1-\frac{T_2}{T_1} $$

उत्तर दिया गया है, ताप उत्सर्जक का तापमान $27^{\circ} C$ है

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & T_1=(27+273) K=300 K \\ \text { शीतलक का तापमान } & T_2=(-3+273) K=270 K \end{matrix} $$

एक पूर्ण ऊष्मा इंजन की दक्षता द्वारा दी गई है

$$ \eta=1-\frac{T_2}{T_1}=1-\frac{270}{300}=\frac{1}{10} $$

फ्रीजर की दक्षता पूर्ण इंजन की 50% होती है

$\therefore \quad \eta^{\prime}=0.5 \times \eta=\frac{1}{2} \eta=\frac{1}{20}$

$\therefore$ फ्रीजर के प्रदर्शन गुणांक

$$ \begin{aligned} \beta & =\frac{Q_2}{W}=\frac{1-\eta^{\prime}}{\eta^{\prime}} \\ & =\frac{1-(1 / 20)}{(1 / 20)}=\frac{19 / 20}{1 / 20}=19 \\ \Rightarrow \quad Q_2 & =\beta W=19 W \\ & =19 \times(1 kW)=19 kW=19 kJ / s . \end{aligned} \quad(\because \beta=\frac{Q_2}{W}) $$

इसलिए, फ्रीजर से प्रति सेकंड $19 kJ$ ऊष्मा बाहर निकलती है।

सोचने की प्रक्रिया

एक फ्रीजर के प्रदर्शन गुणांक $(\beta)$ एक चक्र में हटाए गए ऊष्मा की मात्रा $(Q_2)$ के अनुपात में कार्य किए गए ऊष्मा की मात्रा होता है।

उत्तर दिया गया है, प्रदर्शन गुणांक $(\beta)=5$

$$ T_1=(27+273) K=300 K, T_2=? $$

प्रदर्शन गुणांक $(\beta)=\frac{T_2}{T_1-T_2}$

$$ \begin{aligned} & & 5 & =\frac{T_2}{300-T_2} \Rightarrow 1500-5 T_2=T_2 \\ \Rightarrow & & 6 T_2 & =1500 \Rightarrow T_2=250 K \\ \Rightarrow & & T_2 & =(250-273)^{\circ} C=-23^{\circ} C \end{aligned} $$

उत्तर निरीक्षण करें $p-V$ आरेख, जहां प्रत्येक प्रक्रिया के लिए परिवर्तन दिखाया गया है।

प्रक्रिया 1 नियत दबाव वाली है और प्रक्रिया 2 नियत तापमान वाली है।

कार्य किया गया $=$ $p-V$ वक्र के तल क्षेत्रफल। यहां, $p-V$ वक्र के तल क्षेत्रफल 1 अधिक है। इसलिए, जब गैस नियत दबाव प्रक्रिया में विस्तार करती है तब गैस द्वारा किया गया कार्य अधिक होता है।

उत्तर मान लीजिए $p V^{1 / 2}=$ स्थिरांक $=K, p=\frac{K}{\sqrt{V}}$

(a) अवस्था 1 से अवस्था 2 तक प्रक्रिया के लिए कार्य,

W = $\int_{V_1}^{V_2} p d V=K \int_{V_1}^{V_2} \frac{d V}{\sqrt{V}}=K[\frac{\sqrt{V}}{1 / 2}]_{V_1}^{V_2}=2 K(\sqrt{V_2}-\sqrt{V_1}) $

$ =2 p_1 V_1^{1 / 2}(\sqrt{V_2}-\sqrt{V_1})=2 p_2 V_2^{1 / 2}(\sqrt{V_2}-\sqrt{V_1})$

(b) आदर्श गैस समीकरण से,

$p V=n R T \Rightarrow T=\frac{p V}{n R}=\frac{p \sqrt{V} \sqrt{V}}{n R} $

$\text{ इसलिए, } T=\frac{K \sqrt{V}}{n R} (\text{ चूंकि, } p \sqrt{V}=K) $

$\Rightarrow T_1=\frac{K \sqrt{V_1}}{n R} \Rightarrow T_2=\frac{K \sqrt{V_2}}{n R} $

$\frac{T_1}{T_2}=\frac{\frac{K \sqrt{V_1}}{n R}}{\frac{K \sqrt{V_2}}{n R}}=\sqrt{\frac{V_1}{V_2}}=\sqrt{\frac{V_1}{2 V_1}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \quad(\because V_2=2 V_1)$

(c) दिया गया है, गैस की आंतरिक ऊर्जा $=U=(\frac{3}{2}) R T$

$$ \begin{aligned} \Delta U & =U_2-U_1=\frac{3}{2} R(T_2-T_1) \\ & =\frac{3}{2} R T_1(\sqrt{V}-1) \quad[\because T_2=\sqrt{2} T_1 \text { से (b) }] \\ \Delta W & =2 p_1 V_1^{1 / 2}(\sqrt{V_2}-\sqrt{V_1}) \\ & =2 p_1 V_1^{1 / 2}(\sqrt{2} \times \sqrt{V_1}-\sqrt{V_1}) \\ & =2 p_1 V_1(\sqrt{2}-1)=2 R T_1(\sqrt{2}-1) \\ & =\frac{3}{2} R T_1(\sqrt{2}-1)+2 R T_1(\sqrt{2}-1) \\ & =(\sqrt{2}-1) R T_1(2+3 / 2) \\ & =(\frac{7}{2}) R T_1(\sqrt{2}-1) \end{aligned} $$

यह इंजन के द्वारा आपूर्ति की गई ऊष्मा की मात्रा है।

Answer (a) प्रक्रिया $A B$ के लिए,

$$ \begin{aligned} d V & =0 \Rightarrow d W=0 \quad(\because \text { आयतन स्थिर है }) \\ \Rightarrow \quad & d Q=d U+d W=d U \\ d Q & =d U=\text { आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन। } \end{aligned}

$$

इस प्रक्रम में, आपूर्ति की गई ऊष्मा का उपयोग प्रणाली के आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि के लिए किया जाता है। क्योंकि, $p=(\frac{n R}{V}) T$, एक आयताकार प्रक्रम में, $T \propto p$। अतः प्रक्रम $A B$ में दबाव के बढ़ने के साथ-साथ तापमान बढ़ता है जो प्रणाली के आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि करता है, अर्थात, $d U>0$। इसका अर्थ है कि $d Q>0$। अतः प्रक्रम $A B$ में प्रणाली को ऊष्मा आपूर्ति की जाती है।

(b) प्रक्रम $C D$ में, आयतन स्थिर रहता है लेकिन दबाव घटता है।

इसलिए, तापमान भी घटता है तथा ऊष्मा परिवेश को दी जाती है।

(c) इंजन द्वारा एक चक्र में किए गए कार्य की गणना करने के लिए, हम प्रत्येक भाग में किए गए कार्य की गणना करते हैं।

उसी तरह, $\quad W_{D A}=\frac{p_{A} V_{A}-p_{D} V_{D}}{1-\gamma} \quad[\because B C$ एक अनुवर्ती प्रक्रम है $]$

$\because B$ और $C$ अनुवर्ती वक्र $B C$ पर स्थित हैं।

$ \therefore \quad p_{B} V_B^{\gamma}=p_{C} V_C^{\gamma} $

$ p_{C}=p_{B}(\frac{V_{B}}{V_{C}})^{\gamma}=p_{B}(\frac{1}{2})^{\gamma}=2^{-\gamma} p_{B} $ $ p_{D}=2^{-\gamma} p_{A} $

$ W=W_{A B}+W_{B C}+W_{C D}+W_{D A}=W_{B C}+W_{D A} $

$ =\frac{(p_{C} V_{C}-p_{B} V_{B})}{1-\gamma}+\frac{(p_{A} V_{A}-p_{D} V_{D})}{1-\gamma} $

$ W=\frac{1}{1-\gamma}[2^{-\gamma} p_{B}(2 V_{B})-p_{B} V_{B}+p_{A} V_{A}-2^{-\gamma} p_{B}(2 V_{B})] $

$ =\frac{1}{1-\gamma}[p_{B} V_{B}(2^{-\gamma+1}-1)-p_{A} V_{A}(2^{-\gamma+1}-1). $

$=\frac{1}{1-\gamma}(2^{1-\gamma}-1)(p_{B}-p_{A}) V_{A} $

$ ={\frac{3}{2}}[ 1-(\frac{1}{2})^(2/3](p _ B - p _ A) V _ A$

सोचने की प्रक्रिया

ताप ऊर्जा की मात्रा की गणना प्रथम ऊष्मागतिक नियम का उपयोग करके करें।

उत्तर (a) प्रक्रिया $AB$ के लिए,

आयतन नियत रहता है, इसलिए कार्य किया गया $d W=0$

अब, प्रथम ऊष्मागतिक नियम के अनुसार,

$$ \begin{aligned} d Q & =d U+d W=d U+0=d U \\ & =n C v d T=n C v(T_{B}-T_{A}) \\ & =\frac{3}{2} R(T_{B}-T_{A}) \\ & =\frac{3}{

\frac{d Q}{d V}=n C_{V} \frac{d T}{d V}+p \frac{d V}{d V}=n C_{V} \frac{d T}{d V}+p $$

$$ =\frac{n C_{V}}{n R} \times[f(V)+V f^{\prime}(V)]+p $$

$$ =\frac{C_{V}}{R}[f(V)+V f^{\prime}(V)]+f(V) $$

$ \rightarrow [\frac{dQ}{dV}] _ {V=V _ 0} $=

$ \frac{C_V}{R} $ $[ f(V_0) + (V_0) f^{\prime}]$ $(V_0)+f(V_0)$

$ f(V_0)[\frac{C_{V}}{R}+1]+V_0 f^{\prime}(V_0) \frac{C_{V}}{R} $

$\because \quad C_{V} =\frac{R}{\gamma-1} \Rightarrow \frac{C_{V}}{R}=\frac{1}{\gamma-1}$

$\Rightarrow \quad[\frac{d Q}{d V}]_{V=V_0} =[\frac{1}{\gamma-1}+1] f(V_0)+\frac{V_0 f^{\prime}(V_0)}{\gamma-1} $

$ =\frac{\gamma}{\gamma-1} p_0+\frac{V_0}{\gamma-1} f^{\prime}(V_0)$

उष्मा अवशोषित करती है जहाँ $\frac{d Q}{d V}>0$, जब गैस विस्तार करती है

इसलिए, $\gamma p_0+V_0 f^{\prime}(V_0)>0$ या $f^{\prime}(V_0)>(-\gamma \frac{p_0}{V_0})$

सोचने की प्रक्रिया

हम मान लेंगे कि पिस्टन द्रव्यमानहीन है, इसलिए संतुलन में वायुमंडलीय दबाव और आंतरिक दबाव समान होंगे।

उत्तर (a) आरंभ में पिस्टन संतुलन में है, इसलिए $p_{i}=p_{a}$

(b) ऊष्मा प्रदान करने पर, गैस $V_0$ से $V_1$ तक विस्तार होती है

$\therefore$ गैस के आयतन में वृद्धि $=V_1-V_0$

क्योंकि पिस्टन का परिच्छेद क्षेत्रफल एक इकाई है, इसलिए स्प्रिंग के विस्तार

$$ x=\frac{V_1-V_0}{\text { Area }}=V_1-V_0 $$

$\therefore \quad$ स्प्रिंग द्वारा पिस्टन पर बल

इसलिए,

$$ =F=k x=k(V_1-V_0) $$

$$ \begin{aligned} \text { अंतिम दबाव } & =p_{f}=p_{a}+k x \\ & =p_{a}+k \times(V_1-V_0) \end{aligned} $$

(c) प्रथम ऊष्मागतिक नियम से $d Q=d U+d W$

यदि $T$ गैस के अंतिम तापमान है, तो आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि

$$ d U=C_{V}(T,-T_0)=C_{V}(T,-T_0) $$

हम लिख सकते हैं,

$$ T=\frac{p_{f} V_1}{R}=[\frac{p_{a}+k(V_1-V_0)}{R}] \frac{V_1}{R} $$

गैस द्वारा किया गया कार्य $=p d V+$ स्प्रिंग के गतिज ऊर्जा में वृद्धि

$$ =p_{a}(V_1-V_0)+\frac{1}{2} k x^{2} $$

अब, हम $d Q=d U+d W$ लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} & =C_{V}(T-T_0)+p_{a}(V-V_0)+\frac{1}{2} k x^{2} \\ & =C_{V}(T-T_0)+p_{a}(V-V_0)+\frac{1}{2}(V_1-V_0)^{2} \end{aligned} $$

यह आवश्यक संबंध है।