सोचने की प्रक्रिया

उच्च रैखिक विस्तार गुणांक $(\alpha_{\text {Al }})$ वाली धातु पट्टी अधिक विस्तार करेगी।

उत्तर (d) क्योंकि $\alpha_{\text {Al }}>\alpha$ स्टील, एल्यूमीनियम अधिक विस्तार करेगा। इसलिए, इसका वक्रता त्रिज्या बड़ा होगा। इसलिए, एल्यूमीनियम उत्तल ओर होगा।

• (a) सीधी रहेगी: यह विकल्प गलत है क्योंकि दो धातुओं के थर्मल विस्तार गुणांक अलग हैं। गरम करने पर वे अलग-अलग मात्रा में विस्तार करेंगी, जिसके कारण पट्टी मुड़ जाएगी न कि सीधी रहे।

• ((b) घुम जाएगी: यह विकल्प गलत है क्योंकि घुमाव का अर्थ असमान विस्तार या कोई घूर्णन तनाव होना होता है, जो यहाँ नहीं है। विस्तार गुणांक के अंतर के कारण पट्टी एक समान रूप से मुड़ेगी।

• (c) एल्यूमीनियम अवतल ओर होकर मुड़ जाएगी: यह विकल्प गलत है क्योंकि एल्यूमीनियम का रैखिक विस्तार गुणांक स्टील की तुलना में अधिक है। इसलिए, एल्यूमीनियम अधिक विस्तार करेगा और उत्तल ओर होगा, न कि अवतल ओर।

उत्तर (ब) छड़ को गर्म करते समय यह फैलती है। प्रणाली पर कोई बाह्य बलआघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहेगा।

$$ \begin{aligned} & \quad L=\text { कोणीय संवेग }=I \omega=\text { स्थिर } \\ & \Rightarrow \quad I_1 \omega_1=I_2 \omega_2 \end{aligned} $$

छड़ के फैलने के कारण $I_2>I_1$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & \frac{\omega_2}{\omega_1}=\frac{I_1}{I_2}<1 \\ \Rightarrow & \omega_2<\omega_1 \end{matrix} $$

इसलिए, कोणीय वेग (घूर्णन की गति) कम हो जाता है।

• विकल्प (अ) इसकी घूर्णन गति बढ़ जाती है: यह गलत है क्योंकि जब छड़ को गर्म करके फैलाया जाता है, तो इसका जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है। प्रणाली पर कोई बाह्य बलआघूर्ण कार्य नहीं कर रहा है, इसलिए कोणीय संवेग संरक्षित रहेगा। जड़त्व आघूर्ण के बढ़ने के कारण कोणीय वेग कम हो जाता है, न कि बढ़ता है।

• विकल्प (स) इसकी घूर्णन गति समान रहती है: यह गलत है क्योंकि गर्मी के कारण छड़ के फैलने से इसका जड़त्व आघूर्ण बदल जाता है। कोणीय संवेग संरक्षित रहता है और जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है, इसलिए कोणीय वेग कम हो जाता है ताकि कोणीय संवेग के संरक्षण के नियम का पालन हो सके।

• विकल्प (द) इसकी गति बढ़ जाती है क्योंकि इसका जड़त्व आघूर्ण बढ़ जाता है: यह गलत है क्योंकि जड़त्व आघूर्ण के बढ़ने के कारण कोणीय वेग कम हो जाता है जब कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। यह संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है, न कि सीधे समानुपाती होता है।

उत्तर (b) ग्राफ से स्पष्ट है कि मापन तापमान $A$ के निम्न निश्चित बिंदु $30^{\circ}$ है और मापन तापमान $B$ के निम्न निश्चित बिंदु $0^{\circ}$ है। मापन तापमान $A$ के उच्च निश्चित बिंदु $180^{\circ}$ है और मापन तापमान $B$ के उच्च निश्चित बिंदु $100^{\circ}$ है। अतः सही संबंध है

$\Rightarrow \frac{t_{A}-30}{180-30}=\frac{t_{B}-0}{100-0}$

$\Rightarrow \quad \frac{t_{A}-30}{150}=\frac{t_{B}}{100}$

जहाँ, LFP $\rightarrow$ निम्न निश्चित बिंदु

UFP $\rightarrow$ उच्च निश्चित बिंदु

• विकल्प (a): समीकरण $\frac{t_{A}-180}{100}=\frac{t_{B}}{150}$ गलत है क्योंकि इसमें मापन तापमान $A$ के निम्न निश्चित बिंदु को $180^{\circ}$ मान लिया गया है और मापन तापमान $B$ के निम्न निश्चित बिंदु को $0^{\circ}$ मान लिया गया है। सही निम्न निश्चित बिंदु मापन तापमान $A$ के लिए $30^{\circ}$ है, न कि $180^{\circ}$।

• विकल्प (c): समीकरण $\frac{t_{B}-180}{150}=\frac{t_{A}}{100}$ गलत है क्योंकि इसमें मापन तापमान $B$ के निम्न निश्चित बिंदु को $180^{\circ}$ मान लिया गया है। सही निम्न निश्चित बिंदु मापन तापमान $B$ के लिए $0^{\circ}$ है, न कि $180^{\circ}$।

• विकल्प (d): समीकरण $\frac{t_{B}-40}{100}=\frac{t_{A}}{180}$ गलत है क्योंकि इसमें मापन तापमान $B$ के निम्न निश्चित बिंदु को $40^{\circ}$ मान लिया गया है। सही निम्न निश्चित बिंदु मापन तापमान $B$ के लिए $0^{\circ}$ है, न कि $40^{\circ}$। इसके अतिरिक्त, इसमें मापन तापमान $A$ के उच्च निश्चित बिंदु को $180^{\circ}$ मान लिया गया है जबकि मापन तापमान $A$ के निम्न निश्चित बिंदु को सही तौर पर ध्यान में नहीं लिया गया है।

सोचने की प्रक्रिया

पानी का घनत्व $4^{\circ} C$ पर अधिकतम होता है, इसके कारण पानी के असामान्य विस्तार होता है।

उत्तर (a) मान लीजिए गोले का आयतन $V$ और घनत्व $\rho$ है, तो हम उत्थान बल को इस तरह लिख सकते हैं

$\begin{aligned} & F=V \rho G \quad(g=\text { गुरुत्वाकर्षण त्वरण }) \\ & \Rightarrow \quad F \propto \rho \quad(\because V \text { और } g \text { लगभग निरंतर हैं }) \\ & \Rightarrow \quad \frac{F_{4 C}}{F_{0 C}}=\frac{\rho_{4 C}}{\rho_{0 C}}>1 \quad\left(\because \rho_{4 C}>\rho_{0 C}\right) \\ & \Rightarrow \quad F_{4 C}>F_{0 C} \\ \end{aligned}$

इसलिए, $0^{\circ} C$ के पानी में उत्थान बल $4^{\circ} C$ के पानी में उत्थान बल से कम होगा।

• (b) $0^{\circ} C$ के पानी में उत्थान बल $4^{\circ} C$ के पानी में उत्थान बल से अधिक होगा: यह गलत है क्योंकि $4^{\circ} C$ पर पानी का घनत्व $0^{\circ} C$ पर घनत्व से अधिक होता है। उत्थान बल तरल के घनत्व के सीधे अनुपात में होता है, इसलिए $4^{\circ} C$ के पानी में उत्थान बल अधिक होगा।

• (c) $0^{\circ} C$ के पानी में उत्थान बल $4^{\circ} C$ के पानी में उत्थान बल के समान होगा: यह गलत है क्योंकि पानी का घनत्व तापमान पर बदलता है। पानी का घनत्व $4^{\circ} C$ पर अधिकतम होता है, इसलिए $0^{\circ} C$ और $4^{\circ} C$ पर उत्थान बल समान नहीं होगा।

• (d) $4^{\circ} C$ के पानी में उत्थान बल स्फेयर के त्रिज्या पर निर्भर करके अधिक या कम हो सकता है: यह गलत है क्योंकि उत्थान बल विस्थापित तरल के आयतन और तरल के घनत्व पर निर्भर करता है, न कि स्फेयर के त्रिज्या पर। $4^{\circ} C$ पर पानी का घनत्व $0^{\circ} C$ पर घनत्व से अधिक होता है, इसलिए स्फेयर के त्रिज्या के अधिक या कम होने पर भी $4^{\circ} C$ पर उत्थान बल हमेशा अधिक होगा।

Answer (a) जब तापमान बढ़ाया जाता है तो पेंडुलम की लंबाई बढ़ जाती है। हम जानते हैं कि पेंडुलम के आवर्तकाल $T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

$$ \Rightarrow \quad T \propto \sqrt{L} \text {, जैसे } L \text {, बढ़ता है। } $$

इसलिए, आवर्तकाल $(T)$ भी बढ़ जाता है।

• (b) पेंडुलम के आवर्तकाल कम नहीं होता है जब इसकी प्रभावी लंबाई बढ़ जाती है। सूत्र $ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $ के अनुसार, आवर्तकाल $ T $ लंबाई $ L $ के वर्गमूल के सीधे अनुपात में होता है। इसलिए, यदि लंबाई बढ़ जाती है, तो आवर्तकाल भी बढ़ जाता है, न कि कम होता है।

• (c) पेंडुलम के आवर्तकाल के बढ़ने के कारण प्रभावी लंबाई के बढ़ना होता है, न कि गुरुत्व केंद्र के बोब के केंद्र के नीचे विस्थापित होना। बोब के गुरुत्व केंद्र अपने स्थान पर रहता है और आवर्तकाल के बढ़ने के कारण केवल प्रभावी लंबाई के बढ़ना ही होता है।

• (d) यदि प्रभावी लंबाई समान रहती है तो पेंडुलम के आवर्तकाल कम नहीं होता। सूत्र $ T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} $ दिखाता है कि आवर्तकाल लंबाई $ L $ पर निर्भर करता है। यदि लंबाई बदल नहीं तो आवर्तकाल भी बदल नहीं। इसके अतिरिक्त, बोब के केंद्र के ऊपर गुरुत्व केंद्र के विस्थापन पेंडुलम के आवर्तकाल पर प्रभाव नहीं डालता।

उत्तर (a) हम जानते हैं कि तापमान बढ़ने पर अणुओं के अपने औसत स्थिति के आसपास कंपन बढ़ता है, इसलिए अणुओं के यादृच्छिक गति के साथ संबंधित किनेटिक ऊर्जा बढ़ती है।

• (b) अणुओं के क्रमबद्ध गति की किनेटिक ऊर्जा: ऊष्मा अणुओं के क्रमबद्ध गति से संबंधित नहीं होती है। क्रमबद्ध गति का संदर्भ एक समान या संरचित गति को दर्शाता है, जो मैक्रोस्कोपिक वस्तुओं की गति की विशेषता होती है, जबकि ऊष्मा अणुओं के यादृच्छिक गति के कारण होती है।

• (c) अणुओं के यादृच्छिक और क्रमबद्ध गति की कुल किनेटिक ऊर्जा: ऊष्मा केवल अणुओं के यादृच्छिक गति के कारण होने वाली किनेटिक ऊर्जा को संदर्भित करती है। इस विकल्प में क्रमबद्ध गति के समावेश के कारण यह गलत है क्योंकि ऊष्मा क्रमबद्ध गति के कारण होने वाली किनेटिक ऊर्जा को नहीं लेती है।

• (d) कुछ मामलों में अणुओं के यादृच्छिक गति की किनेटिक ऊर्जा और अन्य मामलों में अणुओं के क्रमबद्ध गति की किनेटिक ऊर्जा: ऊष्मा हमेशा अणुओं के यादृच्छिक गति के साथ संबंधित होती है। यह अपने मामले के आधार पर यादृच्छिक और क्रमबद्ध गति के बीच बदल नहीं सकती। इस विकल्प के अनुसार एक अस्थिरता के बारे में बताया गया है जो ऊष्मा के परिभाषा में नहीं होती है।

उत्तर (d) मान लीजिए गोले की त्रिज्या $R$ है। जब तापमान बढ़ता है तो गोले की त्रिज्या बढ़ती है जैसा कि दिखाया गया है।

$ \text { अंतरिक आयतन } V_0=\frac{4}{3} \pi R^{3} $

रैखिक प्रसार गुणांक $=\alpha$

$\therefore \quad$ आयतन प्रसार गुणांक $=3 \alpha$

$\therefore \quad \frac{1}{V} \frac{d V}{d T}=3 \alpha \Rightarrow d V=3 V \alpha d t=4 \pi R^{3} \alpha \Delta T$

$=$ आयतन में वृद्धि

• विकल्प (a): $2 \pi R \alpha \Delta T$

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि आयतन में वृद्धि तापमान परिवर्तन के साथ रैखिक संबंध है। हालांकि, गोले के आयतन प्रसार के लिए घन संबंध होता है, न कि रैखिक। सही गुणांक में $R^3$ के बजाए $R$ का उपयोग नहीं होना चाहिए।

• विकल्प (b): $\pi R^{2} \alpha \Delta T$

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि आयतन में वृद्धि तापमान परिवर्तन के साथ द्विघात संबंध है। गोले के आयतन प्रसार के लिए घन संबंध होता है, न कि द्विघात। सही गुणांक में $R^3$ के बजाए $R^2$ का उपयोग नहीं होना चाहिए।

• विकल्प (c): $4 \pi R^{3} \alpha \Delta T / 3$

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि यह आयतन में वृद्धि को 3 के गुणक द्वारा अंतरिक बना देता है। आयतन प्रसार गुणांक $3\alpha$ होता है, और जब इसे मूल आयतन $\frac{4}{3} \pi R^3$ पर लागू किया जाता है, तो सही आयतन में वृद्धि $4 \pi R^3 \alpha \Delta T$ होती है, न कि $\frac{4 \pi R^3 \alpha \Delta T}{3}$।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या में ठंडा रूप से विकिरण के रूप में होता है, जो स्टेफ़ैन के नियम के अनुसार होता है। इसलिए, उत्सर्जन शक्ति सतह के साथ अनुक्रमानुपाती होती है। दिए गए आयतन के लिए, गोला सबसे कम सतह क्षेत्र के साथ होता है और वृताकार पट्टी सबसे अधिक सतह क्षेत्र के साथ होती है।

उत्तर (c) चित्र में सभी तीन वस्तुओं को समान तापमान $T$ तक गरम किया जाता है। हम जानते हैं कि घनत्व, $\rho=\frac{\text { द्रव्यमान }}{\text { आयतन }}$ जैसे कि $\rho$ सभी तीन वस्तुओं के लिए समान है, इसलिए आयतन भी समान होगा।

गोला

घन

पट्टी

क्योंकि पट्टी की मोटाई सबसे कम है, इसलिए पट्टी का सतह क्षेत्रफल सबसे अधिक होगा।

हम जानते हैं कि, ऊष्मा हानि के लिए स्टेफ़न के नियम के अनुसार $H \alpha A T^{4}$ जहाँ, $A$ वस्तु के सतह क्षेत्रफल है और $T$ तापमान है।

इसलिए,

$$ \begin{aligned} & H_{\text {गोला }}: H_{\text {घन }}: H_{\text {पट्टी }} \\ = & A_{\text {गोला }}: A_{\text {घन }}: A_{\text {पट्टी }} \end{aligned} $$

क्योंकि $A_{\text {पट्टी }}$ सबसे अधिक है।

इसलिए, पट्टी सबसे तेजी से ठंडा होगी।

क्योंकि गोला का सतह क्षेत्रफल सबसे कम है, इसलिए गोला सबसे धीरे ठंडा होगा।

• विकल्प (a): पट्टी सबसे तेजी से ठंडा होगी और घन सबसे धीरे ठंडा होगा

  • गलत क्योंकि गोला घन की तुलना में छोटा सतह क्षेत्रफल रखता है। क्योंकि ठंडा होने की दर सतह क्षेत्रफल के समानुपाती होती है, घन सबसे धीरे ठंडा नहीं होगा; गोला होगा।

• विकल्प (b): गोला सबसे तेजी से ठंडा होगा और घन सबसे धीरे ठंडा होगा

  • गलत क्योंकि तीन वस्तुओं में गोला सबसे छोटा सतह क्षेत्रफल रखता है। स्टेफ़न के नियम के अनुसार, सबसे छोटा सतह क्षेत्रफल वाली वस्तु सबसे धीरे ठंडा होती है, न कि सबसे तेजी से।

• विकल्प (d): घन तेजी से ठंडा होगा और प्लेट सबसे धीरे ठंडा होगा

  • गलत कारण प्लेट के सबसे बड़ा सतह क्षेत्र है, जिसका अर्थ है कि इसके द्वारा ऊष्मा तेजी से खोई जाएगी, जो स्टेफान के नियम के अनुसार है। घन, गोले की तुलना में बड़ा सतह क्षेत्र रखता है लेकिन प्लेट की तुलना में छोटा है, इसलिए यह सबसे तेजी से ठंडा नहीं होगा।

उत्तर $(a, d)$

उष्मीय संतुलन के सिद्धांतों के आधार पर विकल्पों की सहीता की जांच करने के लिए, हम शून्य नियम के अनुसार जांच कर सकते हैं, जो कहता है कि यदि दो प्रणालियाँ एक तीसरी प्रणाली के साथ ऊष्मीय संतुलन में हों, तो वे एक दूसरे के साथ भी ऊष्मीय संतुलन में होंगी।

हम प्रत्येक विकल्प का विश्लेषण करते हैं:

(a) एक प्रणाली $X$, $Y$ के साथ ऊष्मीय संतुलन में है लेकिन $Z$ के साथ नहीं। प्रणालियाँ $Y$ और $Z$ एक दूसरे के साथ ऊष्मीय संतुलन में हो सकती हैं।

• यह कथन सही है। $Y$ एक दूसरे के साथ ऊष्मीय संतुलन में हो सकती है जबकि $X$ $Z$ के साथ ऊष्मीय संतुलन में नहीं हो।

(b) एक प्रणाली $X$, $Y$ के साथ ऊष्मीय संतुलन में है लेकिन $Z$ के साथ नहीं। प्रणालियाँ $Y$ और $Z$ एक दूसरे के साथ ऊष्मीय संतुलन में नहीं हो सकती हैं।

• यह कथन आवश्यक रूप से सही नहीं है। $Y$ और $Z$ एक दूसरे के साथ ऊष्मीय संतुलन में हो सकती हैं जबकि $X$ $Z$ के साथ ऊष्मीय संतुलन में नहीं हो।

(c) एक प्रणाली $X$, $Y$ के साथ ऊष्मीय संतुलन में नहीं है और $Z$ के साथ भी नहीं। प्रणालियाँ $Y$ और $Z$ एक दूसरे के साथ ऊष्मीय संतुलन में होनी चाहिए।

• यह कथन गलत है। बस इसलिए कि $X$ $Y$ या $Z$ के साथ तापीय संतुलन में नहीं है, इसका अर्थ यह नहीं होता कि $Y$ और $Z$ एक दूसरे के साथ तापीय संतुलन में होना चाहिए।

(d) एक प्रणाली $X$ $Y$ या $Z$ के साथ तापीय संतुलन में नहीं है। प्रणालियाँ $Y$ और $Z$ एक दूसरे के साथ तापीय संतूलन में हो सकती हैं।

• यह कथन सही है। $Y$ और $Z$ एक दूसरे के साथ तापीय संतुलन में हो सकते हैं, चाहे $X$ की स्थिति कैसी हो।

Answer $(b, c)$

छोटे गुलाब जामून कम सतह क्षेत्रफल रखते हैं, इसलिए वे पहले गरम होंगे।

छोटे गुलाब जामून के मामले में ऊष्मा का विस्तार कम होता है।

इसी तरह, छोटे पिज़्ज़ा बड़े के बाद गरम होते हैं क्योंकि उनका सतह क्षेत्रफल कम होता है।

• विकल्प (a): दोनों आकार के गुलाब जामून समान समय में गरम होंगे

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि गरम करने की दर सतह क्षेत्रफल और आयतन के अनुपात पर निर्भर करती है। छोटे गुलाब जामून के सतह क्षेत्रफल और आयतन के अनुपात बड़े गुलाब जामून के अपेक्षित अधिक होता है, जिसका अर्थ यह है कि वे तेजी से गरम होंगे।

• विकल्प (d): बड़े पिज़्ज़ा छोटे के बाद गरम होंगे

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि, गुलाब जामून के जैसे ही, पिज़्ज़ा के गरम करने की दर सतह क्षेत्रफल और आयतन के अनुपात पर निर्भर करती है। छोटे पिज़्ज़ा के सतह क्षेत्रफल और आयतन के अनुपात बड़े पिज़्ज़ा के अपेक्षित अधिक होता है, जिसका अर्थ यह है कि वे तेजी से गरम होंगे।

सोचने की प्रक्रिया

अवस्था परिवर्तन प्रक्रिया के दौरान प्रणाली का तापमान स्थिर रहता है।

उत्तर $(a, d)$

$A B$ प्रक्रिया में प्रणाली का तापमान $0^{\circ} C$ है। इसलिए, यह अवस्था परिवर्तन को दर्शाता है, अर्थात बर्फ से पानी में परिवर्तन होता है जबकि तापमान $0^{\circ} C$ रहता है।

$B C$ पानी के तापमान के $0^{\circ} C$ से $10,0^{\circ} C$ तक बढ़ने को दर्शाता है (जबकि $C$ पर)।

अब, पानी वाष्प में परिवर्तित होना शुरू हो जाता है जो $C D$ के रूप में दर्शाया जाता है।

• विकल्प (b): बिंदु $B$ पर पानी उबलना शुरू नहीं होता। बजाए इसके, बिंदु $B$ बर्फ से पानी में अवस्था परिवर्तन के अंत को दर्शाता है, और पानी का तापमान $0^{\circ} C$ से $100^{\circ} C$ तक बढ़ना शुरू हो जाता है।

• विकल्प (c): बिंदु $C$ पर सभी पानी वाष्प में परिवर्तित नहीं हो जाता। बिंदु $C$ पानी के उबलने के तापमान (100°C) को दर्शाता है, लेकिन पानी से वाष्प में परिवर्तन $C$ से $D$ के क्षेत्र में होता है।

उत्तर $(b, c, d)$

जब गर्म दूध टेबल पर फैलता है तो ताप चालन, संवहन और विकिरण के माध्यम से पर्यावरण में स्थानांतरित होता है।

न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार दूध के ताप में निरंतर आधार पर गिरावट नहीं होती। दूध से पर्यावरण में ताप स्थानांतरित होता है लेकिन यह पर्यावरण से दूध में ताप स्थानांतरित होने की तुलना में कम होता है।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि शीतलन की दर निरंतर नहीं होती। न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार, वस्तु (दूध) और इसके पर्यावरण के बीच तापांतर के समानुपातिक शीतलन की दर होती है। जब दूध का ताप पर्यावरण के ताप के निकट आ जाता है तो शीतलन की दर घट जाती है।

उत्तर पहले अवलोकन से $\alpha=\frac{\Delta l}{l \Delta T} \Rightarrow \alpha=\frac{4 \times 10^{-4}}{2 \times 10}=2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} C^{-1}$

दूसरे अवलोकन के लिए

$$ \begin{aligned} \Delta l & =\alpha l \Delta T \\

& =2 \times 10^{-5} \times 1 \times 10=2 \times 10^{-4} m \neq 4 \times 10^{-4} m \text { (गलत) } \end{aligned} $$

3 वें प्रेक्षण के लिए $\Delta l=\alpha l \Delta T$

$$ =2 \times 10^{-5} \times 2 \times 20=8 \times 10^{-4} m \neq 2 \times 10^{-4} m(\text { गलत }) $$

4 वें प्रेक्षण के लिए

$$ \Delta l=\alpha l \Delta T $$

$$ =2 \times 10^{-5} \times 3 \times 10=6 \times 10^{-4} m=6 \times 10^{-4} m $$

अर्थात, प्रेक्षित मान (सही)

चिंतन प्रक्रिया

किर्चहॉफ के नियम के अनुसार, अच्छे विकिरण उत्सर्जक अच्छे अवशोषक होते हैं।

उत्तर समान तापमान पर धातु बार लकड़ी के बार से गर्म दिखता है क्योंकि यह आपके त्वचा से ऊष्मा को अधिक प्रभावी रूप से बाहर ले जाता है, जिसके कारण ऊष्मा के स्थानांतरण के अधिक अनुभव के लिए जाता है। विपरीत, जब दोनों बार कमरे के तापमान से ठंडे हों तो धातु बार लकड़ी के बार से ठंडा लगता है इसी कारण से। इन अनुभवों में तापीय चालकता के अंतर इस महत्वपूर्ण कारक है।

उत्तर मान लीजिए $Q$ वह तापमान है जो सेल्सियस और फ़ेरनहाइट पैमाने पर समान मान रखता है। अब, हम लिख सकते हैं

$\frac{{ }^{\circ} F-32}{180} =\frac{{ }^{\circ} C}{100} $

$\Rightarrow \text { मान लीजिए } {F} =C=Q $

$\Rightarrow \frac{Q-32}{180} =\frac{Q}{100}=Q=-40^{\circ} C \text { या }-40^{\circ} F$

उत्तर तांबा स्टील की तुलना में ऊष्मा का अच्छा चालक होता है। तांबे के तल के स्टील बरतन तेजी से ऊष्मा अवशोषित करते हैं और उसे बरतन में खाने को देते हैं। इस कारण बरतन में खाना एकसमान और तेजी से गर्म हो जाता है।

सोचने की प्रक्रिया

जब तापमान बढ़ता है तो छड़ की लंबाई भी बढ़ती है, इसलिए छड़ के जड़त्व आघूर्ण भी बढ़ता है।

उत्तर मान लीजिए एक समान छड़ के द्रव्यमान और लंबाई क्रमशः $M$ और $l$ हैं।

छड़ के जड़त्व आघूर्ण के लिए इसके लंबवत अक्ष के संबंध में $(I)=\frac{M l^{2}}{12}$

जब तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है तो छड़ की लंबाई में वृद्धि निम्नलिखित होती है:

$\begin{aligned} \Delta l & =l \cdot \alpha \Delta T \\ \therefore \text { नए जड़त्व आघूर्ण के लिए छड़ } (I) & =\frac{M}{12}(l+\Delta l)^{2}=\frac{M}{12}(l^{2}+\Delta l^{2}+2 l \Delta l)\end{aligned}$

क्योंकि लंबाई में वृद्धि $\Delta l$ बहुत छोटी होती है, इसलिए $(\Delta l)^{2}$ को नगण्य मान लें, तो हम प्राप्त करते हैं:

$\therefore$ जड़त्व आघूर्ण में वृद्धि

$$ \begin{aligned} I^{\prime} & =\frac{M}{12}(l^{2}+2 l \Delta l) \\ & =\frac{M l^{2}}{12}+\frac{M l \Delta l}{6}=I+\frac{M l \Delta l}{6} \end{aligned} $$

$\Delta I=I^{\prime}-I=\frac{M l \Delta l}{6}=2 \times(\frac{M l^{2}}{12}) \frac{\Delta l}{l}$

$\Delta I=2 \cdot I \alpha \Delta T$

[समीकरण (i) का उपयोग करते हुए]

उत्तर $0^{\circ} C$ और 1 atm पर बर्फ को दबाव बढ़ाकर तरल अवस्था में बदला जा सकता है और तरल अवस्था में दबाव कम करके बर्फ की अवस्था में बदला जा सकता है।

जब बर्फ को दबाकर दबाव बढ़ाया जाता है, तो कुछ बर्फ पिघल जाती है और दबाव कम करने पर यह पुनः बर्फ में बदल जाती है जो बर्फ के टुकड़ों के बीच खाली स्थान को भर देती है और बर्फ के टुकड़ों को एक साथ बांध देती है जिसके कारण बॉल अधिक स्थायी हो जाती है।

उत्तर दिया गया, पानी का द्रव्यमान $(m)=100$

तापमान में परिवर्तन $\Delta T=0-(-10)=10^{\circ} C$

पानी की विशिष्ट ऊष्मा $(S_{w})=1 cal / g /{ }^{\circ} C$

पानी की वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा $L_{\text {fusion }}^{w}=80 cal / g$

$-10^{\circ} C$ से $0^{\circ} C$ तक अति ठंडा पानी को ठंडा करने के लिए आवश्यक ऊष्मा,

$$ \begin{aligned} Q & =m s_{w} \Delta T \\ & =100 \times 1 \times 10=1000 cal \end{aligned} $$

मान लीजिए $m$ ग्राम बर्फ पिघल जाती है।

$$ \begin{matrix} \therefore & Q=m L \\ \text { या } & m=\frac{Q}{L}=\frac{1000}{80}=12.5 g \end{matrix} $$

कम द्रव्यमान के बर्फ के टुकड़े पिघले, अतः मिश्रण का तापमान $0^{\circ} C$ बना रहेगा।

नोट: मिश्रण के तापमान को ज्ञात करने के लिए हमें दो चरणों के माध्यम से जाना पड़ता है $(Q=m s$ DT $)$ और $(Q=m L)$, हम एक ही चरण का उपयोग नहीं कर सकते।

सोच-समझ

इस समस्या में हमें न्यूटन के शीतलन के नियम के अनुसार तर्क लगाना चाहिए जो एक वस्तु के तापमान के गिरावट की दर के बारे में एक परिणाम देता है, जो वस्तु और इसके आसपास के माध्यम के तापमान के अंतर पर निर्भर करता है।

उत्तर विकल्प (ii)—काम करने के बाद बाथ लेने से पहले बचे हुए बर्तन को भर देना—पानी को अधिक गरम रखेगा। इसका कारण यह है कि गरम पानी के अपने आप अधिक समय तक अप्रभावित रहता है, जिसके कारण कुल ऊष्मा हानि तुलनात्मक रूप से कम होती है। जब अंत में ठंडा पानी मिलाया जाता है, तो तापमान का गिरावट कम होगी जो तुरंत मिश्रण करने के मुकाबले कम होगी।

उत्तर प्रश्न के अनुसार $l_{\text {लोहा }} - l_{\text {तांबा }} = 10 , \text{cm} =$ सभी तापमानों पर नियत रहता है

मान लीजिए $l_0$ तापमान $0^{\circ} C$ पर लंबाई है और $l$ तापमान में $\Delta t$ के परिवर्तन के बाद लंबाई है।

$$ \begin{aligned} & \text { अब, हम लिख सकते हैं } \quad l_{\text {लोहा }} - l_{\text {तांबा }} = 10 , \text{cm} \text { सभी तापमानों पर } \\ & l_{\text {लोहा }}(1+\alpha_{\text {लोहा }} \Delta t) - l_{\text {तांबा }}(1+\alpha_{\text {तांबा }} \Delta t) = 10 , \text{cm} \\ & l_{\text {लोहा }} \alpha_{\text {लोहा }} = l_{\text {तांबा }} \alpha_{\text {तांबा }} \\ & \frac{l_{\text {लोहा }}}{l_{\text {तांबा }}} = \frac{1.8}{1.2} = \frac{3}{2} \\ & \frac{1}{2} l_{\text {तांबा }} = 10 , \text{cm} \\ & \Rightarrow \quad l_{\text {तांबा }} = 20 , \text{cm} \text { और } l_{\text {लोहा }} = 30 , \text{cm}

\end{aligned} $$

उत्तर पिछली समस्या में लंबाई में अंतर स्थिर रहता था। इस समस्या में आयतन में अंतर स्थिर रहता है।

स्थिति चित्र में दिखाई गई है।

मान लीजिए $V_{i o}, V_{b o}$ लोहे और तांबा बर्तन का आयतन $0^{\circ} C$ पर $V_{i,}, V_{b}$ लोहे और तांबा बर्तन का आयतन $\Delta \theta^{\circ} C$ पर हो।

$\gamma_{i}, \gamma_{b}$ लोहे और तांबा के आयतन प्रसार गुणांक हो।

प्रश्न के अनुसार, $\quad V_{i o}-V_{b o}=100 c c=V_{i}-V_{b}$

अब,

क्योंकि, $V_{i}-V_{b}=$ स्थिर।

$$ \begin{aligned} V_{i 0}-V_{b o} & =100 c c=V_{i}-V_{b} \\ V_{i} & =V_{i 0}(1+\gamma_{i} \Delta \theta) \\ V_{b} & =V_{b o}(1+\gamma_{b} \Delta \theta) \\ V_{i}-V_{b} & =(V_{i o}-V_{b o})+\Delta \theta(V_{i o} \gamma_{i}-V_{b o} \gamma_{b}) \end{aligned} $$

इसलिए,

$$ \begin{aligned} & V_{i o} \gamma_{i}=V_{b o} \gamma_{b} \\ & \frac{V_{i o}}{V_{b o}}=\frac{\gamma_{b}}{\gamma_{i}}=\frac{\frac{3}{2} \beta_{b}}{\frac{3}{2} \beta_{i}}=\frac{\beta_{b}}{\beta_{i}}=\frac{6 \times 10^{-5}}{3.55 \times 10^{-5}}=\frac{6}{3.55} \\ & \frac{V_{i o}}{V_{b o}}=\frac{6}{3.55} \end{aligned} $$

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} V_{i 0} & =244.9 cc \\ V_{bo} & =144.9 cc \end{aligned} $$

उत्तर दिया गया है, तापमान में कमी $(\Delta t)=57-37=20^{\circ} C$

रैखिक प्रसार गुणांक $(\alpha)=1.7 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$

कॉपर के आयतन प्रसार गुणांक $(B)=140 \times 10^{9} N / m^{2}$

घन प्रसार गुणांक $(\gamma)=3 \alpha=5.1 \times 10^{-5} /{ }^{\circ} C$

मान लीजिए छेद का प्रारंभिक आयतन $V$ है और तापमान में वृद्धि के कारण इसका आयतन $ \Delta V $ बढ़ जाता है। $$\begin{matrix} \therefore \Delta V=\gamma \vee \Delta t \\ \Rightarrow \frac{\Delta V}{V}=\gamma \Delta t\end{matrix} $$

तापीय तनाव उत्पन्न होता है $=B \times$ आयतन विकृति

$$ \begin{aligned} & =B \times \frac{\Delta V}{V}=B \times \gamma \Delta t \\ & =140 \times 10^{9} \times(5.1 \times 10^{-5} \times 20) \\ & =1,428 \times 10^{8} N / m^{2} \end{aligned} $$

यह वायुमंडलीय दबाव के लगभग $10^{3}$ गुना है।

उत्तर चित्र को ध्यान से देखें।

चित्र में एक समकोण त्रिभुज में पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार लगाएं।

$$ \begin{aligned} (\frac{L+\Delta L}{2})^{2} & =(\frac{L}{2})^{2}+x^{2} \\ x & =\sqrt{(\frac{L+\Delta L}{2})^{2}-(\frac{L}{2})^{2}} \\ & =\frac{1}{2} \sqrt{(L+\Delta L)^{2}-L^{2}} \\ & =\frac{1}{2} \sqrt{(L^{2}+\Delta L^{2}+2 L \Delta L)-L^{2}} \\ & =\frac{1}{2} \sqrt{(\Delta L^{2}+2 L \Delta L)} \end{aligned} $$

लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ बहुत छोटी है, इसलिए $(\Delta L)^{2}$ को नगण्य मानकर हम प्राप्त करते हैं

लेकिन

$$ \begin{aligned} x & =\frac{1}{2} \times \sqrt{2 L \Delta L} \\

$$ \Delta L & =L \alpha \Delta t \end{aligned} $$

$$ \end{aligned} $$

समीकरण (ii) के मान को समीकरण (i) में रखने पर

$$ \begin{aligned} x & =\frac{1}{2} \sqrt{2 L \times L \alpha \Delta t}=\frac{1}{2} L \sqrt{2 \alpha \Delta t} \\ & =\frac{10}{2} \times \sqrt{2 \times 1.2 \times 10^{-5} \times 20} \\ & =5 \times \sqrt{4 \times 1.2 \times 10^{-4}} \\ & =5 \times 2 \times 1.1 \times 10^{-2}=0.11 m=11 cm \end{aligned} $$

नोट: यहाँ हमने $\Delta L$ को बहुत छोटा मान लिया है ताकि इसे $L$ की तुलना में नगण्य माना जा सके।

सोचने की प्रक्रिया

जब एक छड़ का तापमान रैखिक रूप से बदलता है, तो छड़ के मध्य बिंदु का तापमान दोनों सिरों के तापमान के औसत के रूप में लिया जा सकता है।

उत्तर चित्र को ध्यान में रखते हुए

$$ \begin{gathered} \theta_1 \bigcirc \\ \theta=\frac{\theta_1+\theta_2}{2} \end{gathered} $$

मान लीजिए छड़ का तापमान इसके एक सिरे से दूसरे सिरे तक रैखिक रूप से बदलता है। मान लीजिए $\theta$ छड़ के मध्य बिंदु का तापमान है। स्थायी अवस्था में,

ऊष्मा के प्रवाह की दर,

$$ (\frac{d Q}{d t})=\frac{K A(\theta_1-\theta)}{(L_0 / 2)}=\frac{K A(\theta-\theta_2)}{(L_0 / 2)} $$

जहाँ, $K$ छड़ के ऊष्मीय चालकता गुणांक है।

या,

$\Rightarrow$ $ \theta_1-\theta=\theta-\theta_2 $

संबंध का उपयोग करते हुए,

$$ \theta=\frac{\theta_1+\theta_2}{2} $$

हमें प्राप्त होता है;

$$ \begin{aligned} & L=L_0(1+\alpha \theta) \\ & L=L_0[1+\alpha(\frac{\theta_1+\theta_2}{2})] \end{aligned} $$

उत्तर दिया गया, $\sigma=5.67 \times 10^{-8} W / m^{2} kg$

त्रिज्या, $=R=0.5 m, T=10^{6} K$ (a) स्टेफान के नियम के अनुसार उत्सर्जित शक्ति

$$ \begin{aligned} P & =\sigma A T^{4}=(4 \pi R^{2}) T^{4} \\ & =(5.67 \times 10^{-4} \times 4 \times(3.14) \times(0.5)^{2} \times(10^{6}) 4. \\ & =1.78 \times 10^{17} J / s=1.8 \times 10^{17} J / s \end{aligned} $$

(b) प्रति सेकंड उपलब्ध ऊर्जा, $U=1.8 \times 10^{17} J / s=18 \times 10^{16} J / s$

वाष्पीकरण के लिए वास्तविक ऊर्जा आवश्यकता $=10 %$ के $1.8 \times 10^{17} J / s$ के बराबर है

$$ =1.8 \times 10^{16} J / s $$

$30^{\circ} C$ से $100^{\circ} C$ तक $m kg$ पानी के तापमान को बढ़ाने और फिर $100^{\circ} C$ पर वाष्प बनाने के लिए प्रति सेकंड ऊर्जा

$$ \begin{aligned} & =m s_{w} \Delta \theta+m L_{v}=m \times 4186 \times(100-30)+m \times 22.6 \times 10^{5} \\ & =2.93 \times 10^{5} m+22.6 \times 10^{5} m=25.53 \times 10^{5} m J / s \end{aligned} $$

प्रश्न के अनुसार, $25.53 \times 10^{5} m=1.8 \times 10^{16}$

या

$$ m=\frac{1.8 \times 10^{16}}{25.33 \times 10^{5}}=7.0 \times 10^{9} kg $$

(c) इकाई समय में संवेग,

$$ p=\frac{U}{C}=\frac{U}{C}=\frac{1.8 \times 10^{17}}{3 \times 10^{8}}=6 \times 10^{8} kg-m / s^{2} \quad[\begin{matrix} P=\text { संवेग } \\ V=\text { ऊर्जा } \\ C=\text { प्रकाश की चाल } \end{matrix} ] $$

इकाई क्षेत्र के इकाई समय में संवेग

$$ p=\frac{p}{4 \pi R^{2}}=\frac{6 \times 10^{8}}{4 \times 3.14 \times(10^{3})^{2}} $$

$\Rightarrow \quad d=47.7 N / m^{2} \quad[4 \pi R^{2}=$ सतह क्षेत्रफल $]$