सोचने की प्रक्रिया

जब पत्थर ऊपर से गिराया जाता है, तो एक चर बल, जिसे चिकना बल कहा जाता है, कार्य करता है जो गति के वेग के बढ़ने के साथ बढ़ता है। और संतुलन की स्थिति में यह वेग स्थिर बन जाता है।

उत्तर (c) जब पत्थर चिकने तेल में गिरता है तो चिकना बल होता है

$$ F=6 \pi \eta r v $$

जहाँ $r$ पत्थर की त्रिज्या है, $v$ तात्कालिक वेग है, $\eta$ चिकनता गुणांक है। चूंकि बल चर है, इसलिए त्वरण भी चर होता है इसलिए $v$ - $t$ ग्राफ सीधी रेखा नहीं होगा। पहले वेग बढ़ता है और फिर स्थिर वेग बन जाता है जिसे समाप्ति वेग कहते हैं।

• विकल्प (a): यह ग्राफ वेग के समय के साथ रैखिक वृद्धि को दिखाता है, जो एक स्थिर त्वरण को दर्शाता है। हालांकि, चिकने तेल में गिरते हुए पत्थर के मामले में त्वरण स्थिर नहीं होता है क्योंकि चिकना बल गति के विरुद्ध बढ़ता है। इसलिए वेग रैखिक रूप से बढ़ेगा।

• विकल्प (ब): यह ग्राफ समय के साथ वेग में परबोलिक वृद्धि दिखाता है, जो बढ़ती त्वरण की संभावना दिखाता है। वास्तविकता में, त्वरण समय के साथ कम होता जाता है क्योंकि चिपचिप बल बढ़ता जाता है, अंततः एक स्थिर अंतिम वेग के रूप में जाता है। इसलिए, यह ग्राफ स्थिति को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं करता है।

• विकल्प (डी): यह ग्राफ समय के साथ वेग में वृद्धि और फिर घटना को दिखाता है। चिपचिप तेल में एक पत्थर गिरते समय, वेग अंतिम वेग तक बढ़ता रहता है। वेग अपने अधिकतम मान तक पहुँचने के बाद घटना नहीं चाहिए, इसलिए यह ग्राफ गलत है।

उत्तर (डी) धारा प्रवाह में किसी भी दिए गए बिंदु पर, प्रत्येक पारित द्रव कण के वेग स्थिर रहते हैं। यदि हम एक काट क्षेत्र को ध्यान में रखें, तो क्षेत्र के किसी बिंदु पर एक ही समय में विभिन्न वेग नहीं हो सकते, इसलिए दो धारा रेखाएँ एक दूसरे को काट नहीं सकती हैं।

• (अ) चित्र धारा रेखाओं को समानांतर दिखाता है जो एक दूसरे को काटती नहीं है, जो धारा प्रवाह की विशेषता है। धारा प्रवाह में, द्रव कण संतरे के तहत धुन वाले पथों का अनुसरण करते हैं और ये पथ एक दूसरे को काटते नहीं हैं।

• (ब) चित्र में वक्र रेखाएँ दर्शाई गई हैं जो कि एक दूसरे को काटती नहीं हैं। यह स्ट्रीमलाइन प्रवाह की एक विशेषता भी है, जहाँ द्रव के कण चलते हैं बिना एक दूसरे को काटते हुए चलते हैं।

• (स) चित्र में वक्र रेखाएँ एक दूसरे की ओर जा रही हैं लेकिन एक दूसरे को काटती नहीं हैं। स्ट्रीमलाइन प्रवाह में वक्र रेखाएँ एकत्रित या विस्तारित हो सकती हैं, लेकिन एक दूसरे को काटती नहीं हैं, जो स्ट्रीमलाइन प्रवाह के व्यवहार के साथ संगत है।

उत्तर (ब) हम जानते हैं कि एक द्रव के स्ट्रीमलाइन प्रवाह में, एक निश्चित काट के लिए प्रत्येक कण की गति निरंतर रहती है क्योंकि $A v =$ निरंतर (तीव्रता के नियम) दो काट के बीच एक प्रवाह नली के बीच।

• (ए) एक स्ट्रीमलाइन के अनुदिश द्रव के कण की गति निरंतर रहती है क्योंकि गति की दिशा बदल सकती है भले ही चाल निरंतर रहती हो।

• (स) एक दिए गए क्षण पर सभी द्रव कणों की गति निरंतर रहती है क्योंकि एक ही क्षण विभिन्न स्ट्रीमलाइन विभिन्न गति के साथ हो सकती हैं।

• (द) एक स्ट्रीमलाइन के अनुदिश द्रव के कण की चाल आवश्यक रूप से निरंतर रहती है क्योंकि चाल बदल सकती है जब प्रवाह के काट क्षेत्रफल में परिवर्तन होता है।

उत्तर (ए) एक आदर्श द्रव के एक पाइप में प्रवाह के लिए चित्र को ध्यान में रखें।

दिया गया है

$d_1=$ पहले बिंदु पर व्यास 2.5 है ।

$d_2=$ दूसरे बिंदु पर व्यास 3.75 है ।

क्रॉस-सेक्शन $A_1$ और $A_2$ के लिए अतिरिक्तता के समीकरण के लागू करना ।

$$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad A_1 v_1 & =A_2 v_2 \\ \Rightarrow \quad \frac{v_1}{v_2} & =\frac{A_2}{A_1}=\frac{\pi(r_2^{2})}{\pi(r_1^{2})}=(\frac{r_2}{r_1})^{2} \\ & =(\frac{\frac{3.75}{2}}{\frac{2.5}{2}})^{2}=(\frac{3.75}{2.5})^{2}=\frac{9}{4}[\begin{matrix} r_2=\frac{d_2}{2} \\ r_1=\frac{d_1}{2} \end{matrix} ] \end{aligned} $$

• विकल्प (b) $3: 2$: यह अनुपात गलत है क्योंकि यह पाइप के दोनों खंडों के त्रिज्याओं के वर्गीय संबंध को ध्यान में नहीं लेता है। वेग के सही अनुपात को त्रिज्याओं के अनुपात के वर्ग से निर्मित किया जाता है, न कि एक सरल रैखिक अनुपात से ।

• विकल्प (c) $\sqrt{3}: \sqrt{2}$: यह अनुपात गलत है क्योंकि यह अतिरिक्तता के समीकरण से निकलता नहीं है, जो परिच्छेद क्षेत्रफल (और इसलिए त्रिज्याओं के वर्ग) के बारे में होता है। सही वेग के अनुपात को व्यास के अनुपात के वर्ग से, न कि वर्गमूल से निर्मित किया जाना चाहिए ।

• विकल्प (d) $\sqrt{2}: \sqrt{3}$: यह अनुपात विकल्प (c) के लिए उतना ही गलत है। अतिरिक्तता के समीकरण के लिए परिच्छेद क्षेत्रफल के अनुपात की आवश्यकता होती है, जो त्रिज्याओं के वर्ग के बारे में होता है, न कि उनके वर्गमूल ।

उत्तर (c) प्रश्न के अनुसार, देखे गए वक्रता उत्तल आकार की है, जो केवल जब संपर्क कोण अधिक कोण होता है तभी संभव है। इसलिए, संयोजन पारा-कांच $(140^{\circ})$ होगा ।

• पानी: पानी-काँच के संपरक तल पर संपरक कोण $0^{\circ}$ होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अवतल छिम्सस बनता है, न कि उत्तल।

• ईथिल ऐल्कोहल: ईथिल ऐल्कोहल-काँच के संपरक तल पर संपरक कोण $0^{\circ}$ होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अवतल छिम्सस बनता है, न कि उत्त के परिणामस्वरूप एक अवतल छिम्सस बनता है, न कि उत्तल।

• मेथिल आयोडाइड: मेथिल आयोडाइड-काँच के संपरक तल पर संपरक कोण $30^{\circ}$ होता है, जो अभी भी एक न्यून कोण है और इसके परिणामस्वरूप एक अवतल छिम्सस बनता है, न कि उत्तल।

उत्तर $(b, d)$

चित्र में दो तरल के अणु दिखाए गए हैं। एक तरल के अंतर्गत है और दूसरा सतह पर है। अणु $(A)$ जो अंतर्गत है, सभी दिशाओं से समान बल अनुभव करता है, इसलिए इस पर शुद्ध बल शून्य होता है।

और तरल के सतह पर अणुओं के कुछ अतिरिक्त ऊर्जा होती है क्योंकि ये केवल तरल के नीचे भाग से घिरे होते हैं।

• (a) इस पर शुद्ध बल शून्य होता है: यह विकल्प गलत है क्योंकि सतह अणु बलों के असंतुलन का अनुभव करते हैं। एक अंतर्गत अणु के विपरीत, जो सभी दिशाओं से अणुओं के बल का अनुभव करता है जिसके कारण शुद्ध बल शून्य होता है, सतह अणु केवल तरल के नीचे भाग से घिरे होते हैं। इसके परिणामस्वरूप सतह अणु पर शुद्ध नीचे की ओर बल होता है।

• (c) संभव ऊर्जा एक अंतर्गत अणु की तुलना में कम होती है: यह विकल्प गलत है क्योंकि सतह अणुओं की संभव ऊर्जा तरल के अंतर्गत अणुओं की तुलना में अधिक होती है। तरल के अंतर्गत अणु चारों ओर अणुओं से घिरे होते हैं, जिसके कारण निम्न संभव ऊर्जा की स्थिति होती है। विपरीत, सतह अणु केवल आंशिक रूप से घिरे होते हैं, जिसके कारण उच्च संभव ऊर्जा होती है।

उत्तर $(b, c)$

दबाव को बल के उस घटक के परिमाण और विचार किए गए क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है जो क्षेत्रफल के लम्ब दिशा में होता है।

क्योंकि घटक के परिमाण को विचार किया जाता है, इसलिए इसमें कोई दिशा नहीं होती है। इसलिए, दबाव एक अदिश राशि है।

• विकल्प (a) गलत है: दबाव बल और क्षेत्रफल के अनुपात नहीं होता है जहाँ दोनों बल और क्षेत्रफल वेक्टर के रूप में लिए जाते हैं। दबाव को बल के लम्ब घटक के परिमाण और क्षेत्रफल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है, और न कि वेक्टर राशियों के अनुपात के रूप में।

• विकल्प (d) गलत है: दबाव चयनित क्षेत्रफल के आकार पर निर्भर कर सकता है। एक दिए गए बल के लिए, यदि क्षेत्रफल छोटा होता है, तो दबाव अधिक होता है, और यदि क्षेत्रफल बड़ा होता है, तो दबाव कम होता है। इसलिए, दबाव विचार किए गए क्षेत्रफल के आकार पर निर्भर करता है।

सोचने की प्रक्रिया

जब कोई वस्तु तरल में तैरती है, तो वस्तु पर विस्थापित तरल द्वारा लगने वाले उत्थान बल के कारण वस्तु के भार के संतुलन होता है।

उत्तर $(a, b)$

जब सिक्का पानी में गिर जाता है, तो (ब्लॉक + सिक्का) प्रणाली का भार कम हो जाता है, जो पहले उत्थान बल द्वारा संतुलित था। जब प्रणाली का भार कम हो जाता है, तो उत्थान बल भी कम हो जाता है, जिसके लिए केवल $l$ कम होना संभव है।

जैसे $l$ कम होता जाता है, ब्लॉक द्वारा विस्थापित पानी का आयतन कम होता जाता है, इसलिए $h$ कम होता जाता है।

नोट: जैसे सिक्का पानी में गिरता है, इसके द्वारा विस्थापित पानी का आयतन बहुत कम होता है, इसलिए हम सिक्के के आयतन को नगण्य मान लेते हैं।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि यदि $ l $ बढ़ जाता, तो यह ब्लॉक द्वारा अधिक पानी के विस्थापन को दर्शाता है, जिसके लिए अधिक ऊपर उठाने वाला बल आवश्यक होता। हालांकि, जब सिक्का बाहर निकल जाता है तो प्रणाली का भार कम हो जाता है, इसलिए आवश्यक ऊपर उठाने वाला बल भी कम हो जाता है, जिसके कारण $ l $ कम हो जाता है।

• विकल्न (d) गलत है क्योंकि यदि $ h $ बढ़ जाता, तो यह ब्लॉक पानी में ऊपर तैर रहा होता, जिसके कारण विस्थापित पानी का आयतन कम होता। हालांकि, जब सिक्का बाहर निकल जाता है तो प्रणाली का भार कम हो जाता है, इसलिए ब्लॉक पानी में नीचे तैर रहा होता, जिसके कारण $ h $ कम हो जाता है।

उत्तर $(c, d)$

तरल पदार्थों के चिकनाई के गुणांक, $\quad \eta \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$

अर्थात, तापमान में वृद्धि के साथ $\eta$ कम हो जाता है।

गैसों के चिकनाई के गुणांक, $\quad \eta \propto \sqrt{T}$

अर्थात, तापमान में वृद्धि के साथ $\eta$ बढ़ जाता है।

• (a) गैसों के चिकनाई कम हो जाती है: यह गलत है क्योंकि गैसों के चिकनाई तापमान में वृद्धि के साथ बढ़ जाती है। इसका कारण यह है कि जब तापमान बढ़ता है, तो गैस अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है, जिसके कारण अणुओं के बीच टकराव अधिक आवर्जन और बलपूर्वक हो जाते हैं, जिससे चिकनाई बढ़ जाती है।

• (b) तरल पदार्थों के चिकनाई बढ़ जाती है: यह गलत है क्योंकि तरल पदार्थों के चिकनाई तापमान में वृद्धि के साथ कम हो जाती है। जब तापमान बढ़ता है, तो तरल के अंतराणुक बल कम हो जाते हैं, जिसके कारण अणु आसानी से गति कर सकते हैं और चिकनाई कम हो जाती है।

उत्तर (b, c)

स्ट्रीमलाइन प्रवाह घनत्व निम्न द्रवों के लिए अधिक संभावना होता है। हम जानते हैं कि एक द्रव के तिर्यकता गुणांक अधिक होने पर वेग अंतर अधिक होता है, इसलिए प्रत्येक प्रवाह रेखा को आसानी से अलग किया जा सकता है। तिर्यकता गुणांक अधिक होने पर रेनॉल्ड्स संख्या कम होती है, इसलिए प्रवाह स्ट्रीमलाइन प्रवाह के रूप में अधिक संभावना होती है।

• (a) उच्च घनत्व: उच्च घनत्व द्रव के जड़त्व को बढ़ा देता है, जिससे एक सुस्पष्ट, क्रमबद्ध प्रवाह को बनाए रखना कठिन हो जाता है। यह तरल प्रवाह के अस्थिरता के रूप में जा सकता है।

• (d) निम्न तिर्यकता: निम्न तिर्यकता तात्पर्य है कि द्रव के आंतरिक प्रतिरोध कम होता है, जिसके कारण वेग अधिक हो सकते हैं और तरल प्रवाह के अस्थिरता के रूप में जा सकते हैं।

उत्तर नहीं, सतह तनाव एक अदिश राशि है।

सतह तनाव $=\frac{\text { कार्य किया गया }}{\text { सतह क्षेत्रफल }}$, जहाँ कार्य किया गया और सतह क्षेत्रफल दोनों अदिश राशियाँ हैं।

उत्तर दिया गया, बर्फ का घनत्व $(\rho_{\text {ice }})=0.917 g / cm^{3}$

पानी का घनत्व $(\rho_{w})=1 g / cm^{3}$

मान लीजिए $V$ बर्फ के टुकड़े का कुल आयतन है और $V^{\prime}$ इसके आयतन का भाग पानी में डूब जाता है। तैरते हुए स्थिति में,

बर्फ के टुकड़े का भार $=$ डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित पानी का भार

या

$$ \begin{aligned} V \rho_{ice} g & =V^{\prime} \rho_{w} g \\ \frac{V^{\prime}}{V} & =\frac{\rho_{ce}}{\rho_{w}}=\frac{0.917}{1}=0.917 \quad(\because \text { भार }=m g=v \rho g)

\end{aligned} $$

उत्तर चित्र को ध्यान में रखें,

वजन मापक को शून्य पर समायोजित किया गया है, इसलिए जब ब्लॉक को स्प्रिंग के माध्यम से जल में डूबाया जाता है तो वजन मापक के पाठ ब्लॉक पर जल के कारण बल के बराबर होगा।

बल $=$ विस्थापित जल का भार

$=V \rho_{w} g$ (जहाँ $V$ ब्लॉक का आयतन है और $\rho_{w}$ जल का घनत्व है)

$$ =\frac{m}{\rho} \rho_{3} g=(\frac{\rho_{w}}{\rho}) m g $$

$(\because$ ब्लॉक का घनत्व $\rho=\frac{\text { द्रव्यमान }}{\text { आयतन }}=\frac{m}{V})$

सोचने की प्रक्रिया

जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित होती है तो ब्लॉक के संबंध में लिफ्ट के संबंध में नेट त्वरण की गणना पूर्ण बल के सिद्धांत के माध्यम से की जा सकती है।

उत्तर चित्र को ध्यान में रखें।

मान लीजिए पानी का घनत्व $\rho_{w}$ है और एक घनाकार बर्फ के ब्लॉक जिसकी भुजा $L$ है, पानी में तैर रहा है जिसकी ऊंचाई के $x$ भाग पानी में डूबा हुआ है।

$$ \begin{aligned} \text { ब्लॉक का आयतन }(V) & =L^{3} \\ \text { ब्लॉक का द्रव्यमान }(m) & =V \rho=L^{3} \rho \\ \text { ब्लॉक का भार } & =m g=L^{3} \rho g \end{aligned} $$

1 वाला मामला

घनाकार ब्लॉक के डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित पानी का आयतन।

$\therefore$ ब्लॉक के तैरते हुए स्थिति में ब्लॉक द्वारा विस्थापित पानी का भार = $x L^{2} \rho_{w} g$

ब्लॉक का भार $=$ ब्लॉक द्वारा विस्थापित पानी का भार

$$ \begin{matrix} L^{3} \rho g & =x L^{2} \rho_{w} g \\ \text { या } & \frac{x}{L}=\frac{\rho}{\rho_{w}}=x \end{matrix} $$

2 वां मामला

जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित हो रही है तथा त्वरण a है, तो प्रभावी त्वरण

तब, ब्लॉक का भार

$$ \begin{aligned} &W = m(g+a) \\ & =m(g+a) \\ & =L^{3} \rho(g+a) \\ & L^{3} \rho(g+a)=(x_1 L^{2}) \rho_{w}(g+a) \\ & \frac{x_1}{L}=\frac{\rho}{\rho_{w}}=x \end{aligned} $$

( $\because$ अप्राकमिक बल नीचे की ओर होता है)

मान लीजिए $x_1$ भाग जल में डूबा हुआ है जब लिफ्ट ऊपर की ओर त्वरित हो रही है।

अब, तैरते हुए स्थिति में, ब्लॉक का भार = विस्थापित पानी का भार

या

$1^{st}$ और $2^{nd}$ मामले से,

हम देखते हैं कि ब्लॉक के जल में डूबे हुए भाग का अनुपात लिफ्ट के त्वरण से स्वतंत्र है।

नोट: हम अप्राकमिक बल के अवधारणा के साथ गलत नहीं होना चाहिए, अर्थात अप्राकमिक बल नीचे की ओर होता है, अतः बल के बढ़ने के कारण अनुपात बदल जाता है।

उत्तर दिया गया, त्रिज्या $(r)=2.5 \times 10^{-5} m$

सतह तनाव $(S)=7.28 \times 10^{-2} N / m$

संपर्क कोण $(\theta)=0^{\circ}$

कैपिलरी क्रिया के माध्यम से तंतु में तंतु के ऊपर जाने वाली अधिकतम ऊंचाई निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$$ \begin{aligned} h & =\frac{2 S \cos \theta}{r \rho g}, \text { जहां } S=\text { सतह तनाव, } \rho=\text { घनत्व, } r=\text { त्रिज्या } \\

$$ \begin{aligned} h &=\frac{2 \times 7.28 \times 10^{-2} \times \cos 0^{\circ}}{2.5 \times 10^{-5} \times 1 \times 10^{-3} \times 9.8}=0.6 m \end{aligned} $$

$$ \end{aligned} $$

यह उच्चतम ऊंचाई है जिस तक रस के कारण सतह के तनाव के कारण रस ऊपर जा सकता है। क्योंकि, कई पेड़ों की ऊंचाई इससे बहुत अधिक होती है, इसलिए केपिलर क्रिया अकेले सभी पेड़ों में पानी के उठने के लिए उत्तरदायी नहीं हो सकती।

सोचने की प्रक्रिया

जब टैंकर त्वरित होने लगता है, तो टैंकर की मुक्त सतह समतल नहीं रहेगी क्योंकि अपेक्षित बल कार्य करता है।

उत्तर एक आरेख में एक टैंकर त्वरण $a$ के साथ त्वरित हो रहा है।

एक तरल के एक तत्व के द्रव्यमान $d m$ को ध्यान में रखें।

तत्व पर टैंकर के संबंध में कार्य करने वाले बल ऊपर दिखाए गए हैं।

अब, बलों के संतुलन (क्योंकि कण संतुलन में है) के अनुदिश झुकाव के घटक के भार $=$ अपेक्षित बल के घटक $d m g \sin \theta = d m a \cos \theta$ (हम ने मान लिया है कि सतह एक कोण $\theta$ पर झुकी हुई है) जहां, $d m$ अपेक्षित बल है

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & g \sin \theta & =a \cos \theta \\ \Rightarrow & & a & =g \tan \theta \\ \Rightarrow & & \tan \theta & =\frac{a}{g}=\text { ढलान } \end{matrix} $$

सोचने की प्रक्रिया

इस प्रक्रिया में, द्रव्यमान के संरक्षण का उपयोग किया जाएगा। संकुचन से पहले और बाद में द्रव्यमान और इसलिए प्रणाली का आयतन संरक्षित रहता है।

उत्तर निम्न चित्र को ध्यान में रखें।

पारा के बूंदों की त्रिज्या

$$ \begin{aligned} & r_1=0.1 cm=1 \times 10^{-3} m \\ & r_2=0.2 cm=2 \times 10^{-3} m \end{aligned} $$

सतह तनाव $(T)=435.5 \times 10^{-3} N / m$

मान लीजिए बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है जो विस्तार के कारण बनती है।

$\therefore$ बड़ी बूंद का आयतन $=$ छोटी बूंदों के आयतन के योग

या

$$ \begin{aligned} \frac{4}{3} \pi R^{3} & =\frac{4}{3} \pi r_1^{3}+\frac{4}{3} \pi r_2^{2} \\ R^{3} & =r_1^{3}+r_2^{3} \\ & =(0.1)^{3}+(0.2)^{3} \\ & =0.001+0.008 \\ & =0.009 \end{aligned} $$

या

$$ R=0.21 cm=2.1 \times 10^{-3} m $$

$\therefore$ सतह क्षेत्रफल में परिवर्तन

$$ \Delta A=4 \pi R^{2}-(4 \pi r_1^{2}+4 \pi r_2^{2}) $$

$$ =4 \pi[R^{2}-(r_1^{2}+r_2^{2})] $$

$$ \begin{aligned} \therefore \quad \text { ऊर्जा विमुक्त करने के लिए } = T \cdot \Delta A \quad(\text { जहाँ } T \text { पारा का सतह तनाव है) } \\ & =T \times 4 \pi[R^{2}-(r_1^{2}+r_2^{2})] \\ & =435.5 \times 10^{-3} \times 4 \times 3.14[(2.1 \times 10^{-3})^{2}. \\ & =435.5 \times 4 \times 3.14[4.41-5] \times 10^{-6} \times 10^{-3}+4 \times 10^{-6})] \\ & =-32.23 \times 10^{-7} \quad \text { (ऋणात्मक चिह्न अवशोषण को दर्शाता है) } \end{aligned} $$

इसलिए, $3.22 \times 10^{-6} J$ ऊर्जा अवशोषित होगी।

नोट: इस प्रक्रिया में ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है। ऊर्जा विस्तार के कारण विकिरण के रूप में अवशोषित हो जाती है।

उत्तर जब एक बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ हो और वह $N$ छोटी बूंदों में टूट जाती है, जिनमें से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है, तो आयतन स्थिर रहता है।

$$ \therefore \quad \quad\text{बड़ी बूंद का आयतन} =N \times \text{प्रत्येक छोटी बूंद का आयतन}\\

$$ \frac{4}{3} \pi R^3 = N \times \frac{4}{3} \pi r^3\\ \text{या} \quad \quad R^3 =Nr^3\\ \text{या} \quad \quad N=\frac{R^3}{r^3}\\ \text{अब}, \quad \text{पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन} = 4 \pi R^2 - N4 \pi r^2\\ =4 \pi (R^2-nr^2)\\ \text{ऊर्जा विमुक्त करने के बाद} = T \times \Delta A = S \times 4 \pi (R^2 -Nr^2) \quad \quad \quad [T= \text{पृष्ठ तनाव}]$$

इस ऊर्जा के विमुक्त होने के कारण, तापमान कम हो जाता है।

यदि $\rho$ तरल का घनत्व और $s$ विशिष्ट ऊष्मा है और इसका तापमान $\Delta \theta$ कम हो जाता है, तो विमुक्त ऊर्जा $=m s \Delta \theta$ [s $=$ विशिष्ट ऊष्मा $\Delta \theta=$ तापमान में परिवर्तन]

$$ \begin{aligned} T \times 4 \pi(R^{2}-N r^{2}) & =(\frac{4}{3} \times R^{3} \times \rho) s \Delta \theta \\ \Delta \theta & =\frac{T \times 4 \pi(R^{2}-N r^{2})}{\frac{4}{3} \pi R^{3} \rho \times s} \\ & =\frac{3 T}{\rho s}[\frac{R^{2}}{R^{3}}-\frac{N r^{2}}{R^{3}}] \\ & =\frac{3 T}{\rho s}[\frac{1}{R}-\frac{(R^{3} / r^{3}) \times r^{2}}{R^{3}}] \\ & =\frac{3 T}{\rho s}[\frac{1}{R}-\frac{1}{r}] \end{aligned} $$

उत्तर दिया गया, पानी का पृष्ठ तनाव

$$ S =7.28 \times 10^{-2} N / m $$

वाष्प दबाव $(p)=2.33 \times 10^{3} Pa$

यदि पानी का दबाव वाष्प दबाव से अधिक होता है, तो बूंद वाष्प हो जाएगी।

मान लीजिए एक पानी की बूंद या त्रिज्या $R$ बिना वाष्प होए बन सकती है।

वाष्प दबाव $=$ बूंद में अतिरिक्त दबाव।

$$ \begin{matrix} \therefore \quad p=\frac{2 S}{R} \\ \text { या } \quad R =\frac{2 S}{p}=\frac{2 \times 7.28 \times 10^{-2}}{2.33 \times 10^{3}} =6.25 \times 10^{-5} m \end{matrix} $$

सोचने की प्रक्रिया

हम वायुमंडल में ऊपर जाते हैं, तो हमारे ऊपर गैस की मोटाई कम हो जाती है, इसलिए दबाव भी कम हो जाता है।

उत्तर (a) एक क्षैतिज हवा के बुनियादी ब्लॉक को विचार करें जिसका क्रॉस-सेक्शन $ A $ और ऊँचाई $ dh $ हो।

ऊपरी सतह और नीचली सतह पर दबाव $ p $ और $ p + dp $ हो। यदि ब्लॉक संतुलन में है, तो ऊपर की ओर कुल बल वजन द्वारा संतुलित होना चाहिए।

$\begin{aligned} & \text { अर्थात, } \quad(p+d p) A-p A=-\rho g A d h \quad(\because \text { वजन }=\text { घनत्व } \times \text { आयतन } \times g) \ & =-\rho \times A d h \times g \ & \Rightarrow \quad d p=-\rho g d h . \quad(\rho=\text { हवा का घनत्व }) \ & \end{aligned}$

ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि ऊँचाई के साथ दबाव कम होता है।

(b) मान लीजिए $ p_0 $ धरातल पर हवा का घनत्व है।

प्रश्न के अनुसार, दबाव $ \propto $ घनत्व

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \frac{p}{p_0}=\frac{\rho}{\rho_0} \\ & \Rightarrow \quad \rho=\frac{\rho_0}{p_0} p \\ & \therefore \quad d p=-\frac{\rho_{o} g}{p_0} p d h \quad[\because d p=-\rho g d h] \\ & \Rightarrow \quad \frac{d p}{p}=-\frac{\rho_0 g}{p_0} d h \end{aligned} $$

$$\Rightarrow \quad \int_{p _0} ^p \frac{d p}{p}=-\frac{\rho _0 g}{p _0} \int _0 ^h d h \quad \biggl[\begin{array}{l}\because \text { जब } h=0, r= p_0 \\ \text { और } \quad \text { जब } h=h, p=p\end{array} \biggl]$$

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \ln \frac{p}{p_0}=-\frac{\rho_0 g}{p_0} h \\ & \text { लघुगणक दूर करके, } \quad p=p_0 e^{(-\frac{\rho_0 g h}{p_0})} \end{aligned} $$

(c) जब $p=p_0 e^{-\frac{\rho_0 g h}{p_0}}$,

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & \ln \frac{p}{p_0} =-\frac{\rho_0 g h}{P_0} \\ & \text { प्रश्न के अनुसार, } & p & =\frac{1}{10} p_0 \\ \Rightarrow & \ln (\frac{\frac{1}{10} p_0}{p_0}) & =-\frac{\rho_0 g}{p_0} h \\ \Rightarrow & \ln \frac{1}{10} & =-\frac{\rho_0 g}{p_0} h \end{matrix} $$

(d) हम जानते हैं कि

$$ \begin{aligned} h & =-\frac{p_0}{\rho_{o} g} \ln \frac{1}{10}=-\frac{p_{o}}{\rho_{o} g} \ln (10)^{-1}=\frac{p_{o}}{\rho_{o} g} \ln 10 \\ & =\frac{p_0}{\rho_{o} g} \times 2.303 \quad \quad[\because \ln (x)=2.303 \log _{10}(x)] \\ & =\frac{1.013 \times 10^{5}}{1.22 \times 9.8} \times 2.303=0.16 \times 10^{5} m \\ & =16 \times 10^{3} m \end{aligned} $$

तापमान $(T)$ केवल पृथ्वी के सतह के पास ही स्थिर रहता है, बड़ी ऊँचाइयों पर नहीं।

उत्तर (a) दिया गया है, $L_{v}=540 kcal kg^{-1}$

$$ =540 \times 10^{3} cal kg^{-1}=540 \times 10^{3} \times 4.2 J kg^{-1} $$

$\because \quad$ $1 kg$ पानी के वाष्पीकरण के लिए आवश्यक ऊर्जा $=L_{V} kcal$

$$ \therefore \quad M_{A} kg$ पानी के लिए आवश्यक ऊर्जा $=M_{A} L_{V} kcal \quad[\because Q=m L] $$

क्योंकि, $M_{A} kg$ पानी में $N_{A}$ अणु होते हैं, इसलिए 1 अणु के वाष्पीकरण के लिए आवश्यक ऊर्जा है

$$ \begin{aligned} U & =\frac{M_{A} L_{V}}{N_{A}} J \quad[\text { जहाँ } N_{A}=6 \times 10^{26}=\text { आवोगाड्रो संख्या }] \\ & =\frac{18 \times 540 \times 4.2 \times 10^{3}}{6 \times 10^{26}} J \\ & =90 \times 18 \times 4.2 \times 10^{-23} J \\ & =6.8 \times 10^{-20} J \end{aligned} $$

(b) मान लीजिए कि पानी के अणु बिंदु हैं और एक दूसरे से $d$ की दूरी पर हैं। $N_{A}$ अणु के पानी का आयतन $=\frac{M_{A}}{\rho_{w}}$

$$ [\because V=\frac{M}{\rho}] $$

इसलिए, एक अणु के आसपास का आयतन $=\frac{M_{A}}{N_{A} \rho_{w}}$

एक अणु के आसपास का आयतन

$$ \begin{aligned} d^{3} & =(M_{A} / N_{A} \rho_{w}) \\ \therefore \quad & d=(\frac{M_{A}}{N_{A} \rho_{w}})^{1 / 3}=(\frac{18}{6 \times 10^{26} \times 10^{3}})^{1 / 3} \\ (30 \times 10^{-30})^{1 / 3} m & \approx 3.1 \times 10^{-10} m \end{aligned} $$

(c) $\because 1 kg$ वाष्प के आयतन $=1601 \times 10^{-3} m^{3}$

$\therefore 18 kg$ वाष्प के आयतन $=18 \times 1601 \times 10^{-3} m^{3}$

$6 \times 10^{26}$ अणु के आयतन $=18 \times 1601 \times 10^{-3} m^{3}$

$\therefore 1$ अणु के आयतन $=\frac{18 \times 1601 \times 10^{-3}}{6 \times 10^{26}} m^{3}$

यदि $d$ अंतर-अणु दूरी है, तो

$$ \begin{aligned} d_1^{3} & =(3 \times 1601 \times 10^{-29}) m^{3} \\ d_1 & =(30 \times 1601)^{1 / 3} \times 10^{-10} m \\ & =36.3 \times 10^{-10} m \end{aligned} $$

$$ \therefore \quad d_1=(30 \times 1601)^{1 / 3} \times 10^{-10} m $$

(d) दूरी को $d$ से $d_1$ तक बदलने में किया गया कार्य $=F(d_1-d)$

इस कार्य के बराबर ऊर्जा की आवश्यकता होती है जो 1 अणु के वाष्पीकरण के लिए होती है।

$$ \begin{aligned} \therefore \quad F(d_1-d) & =6.8 \times 10^{-20} \\ \text { या } \quad F & =\frac{6.8 \times 10^{-20}}{d_1-d} \\ & =\frac{6.8 \times 10^{-20}}{(36.3 \times 10^{-10}-3.1 \times 10^{-10})} \\ & =2.05 \times 10^{-11} N \end{aligned} $$

(e) सतह तनाव $=\frac{F}{d}=\frac{2.05 \times 10^{-11}}{3.1 \times 10^{-10}}=6.6 \times 10^{-2} N / m$.

सोचने की प्रक्रिया

कक्षिका के सतह के अंदर दबाव बाहरी दबाव से अधिक होता है।

उत्तर मान लीजिए बैलून के अंदर दबाव $p_{i}$ है और बाहरी दबाव $p_0$ है, तो अतिरिक्त दबाव $p_{i}-p_0=\frac{2 S}{r}$ होता है। जहाँ, $S=$ सतह तनाव

$r=$ बैलून की त्रिज्या

हवा को आदर्श गैस मानते हुए $p_{j} V=n_{j} R T_{j}$, जहाँ, $V$ बैलून के अंदर वाली हवा का आयतन है, $n_{i}$ अंदर के मोलों की संख्या है और $T_{i}$ अंदर का तापमान है, और $p_0 V=n_0 R T_0$, जहाँ $V$ विस्थापित हवा का आयतन है और $n_0$ विस्थापित मोलों की संख्या है और $T_0$ बाहरी तापमान है।

इसलिए।

$$ n_{i}=\frac{p_{i} V}{R T_{i}}=\frac{M_{i}}{M_{A}} $$

जहाँ, $M_{i}$ अंदर के हवा का द्रव्यमान है और $M_{A}$ हवा के मोलर द्रव्यमान है

और

$$ n_0=\frac{p_0 V}{R T_0}=\frac{M_0}{M_{A}} $$

जहाँ, $M_{O}$ विस्थापित हवा का द्रव्यमान है। यदि $w$ वह भार है जिसे यह उठा सकता है, तो $w+M_{i} g=M_{o} g$

$\Rightarrow \quad W=M_0 g-M_{j} g$

वातावरण में $21 % O_2$ और $79 % N_2$ मौजूद हैं

$\therefore$ हवा का मोलर द्रव्यमान

$$ M_{i}=0.21 \times 32+0.79 \times 28=28.84 g $$

$\therefore$ गुब्बारे द्वारा उठाया गया भार

$$ \begin{aligned} W & =(M_0-M_{i}) g \\ \Rightarrow \quad W & =\frac{M_{A} V}{R}(\frac{p_0}{T_0}-\frac{p_{i}}{T_{i}}) g \\ & =\frac{0.02884 \times \frac{4}{3} \pi \times 8^{3} \times 9.8}{8.314} \quad(\frac{1.013 \times 10^{5}}{293}-\frac{1.013 \times 10^{5}}{333}-\frac{2 \times 5}{8 \times 313}) \\ & =\frac{0.02884 \frac{4}{3} \pi \times 8^{3}}{8.314} \times 1.013 \times 10^{5}(\frac{1}{293}-\frac{1}{333}) \times 9.8 \\ & =3044.2 N \end{aligned} $$

$\therefore \quad$ गुब्बारे द्वारा उठाया गया द्रव्यमान $=\frac{w}{g}=\frac{3044.2}{10} \approx 304.42 kg$. $ \approx 305 kg \text {. } $