हल

दिया गया है

$ \begin{aligned} \vec{a} & =2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k} \text{ और } \vec{b}=2 \hat{j}+\hat{k} \\ \vec{a}+\vec{b} & =(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})+(2 \hat{j}+\hat{k})=2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned} $

$\therefore \quad$ $\vec{a}+\vec{b}$ की दिशा में एकक सदिश $=\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{|\vec{a}+\vec{b}|}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{(2)^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}}}=\dfrac{2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{4+1+4}} \\ & =\dfrac{2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{9}}=\dfrac{2 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}}{3}=\dfrac{2}{3} \hat{i}+\dfrac{1}{3} \hat{j}+\dfrac{2}{3} \hat{k} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक एकक सदिश $\dfrac{2}{3} \hat{i}+\dfrac{1}{3} \hat{j}+\dfrac{2}{3} \hat{k}$ है।

हल

दिया गया है $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$

(i) $6 \vec{b}=6(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})=12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}$

$\therefore \quad$ $6 \vec{b}$ की दिशा में एकक सदिश $=\dfrac{6 \vec{b}}{|6 \vec{b}|}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}}{\sqrt{(12)^{2}+(6)^{2}+(-12)^{2}}}=\dfrac{12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}}{\sqrt{144+36+144}} \\ & =\dfrac{12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}}{\sqrt{324}}=\dfrac{12 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}}{18} \\ & =\dfrac{6}{18}(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})=\dfrac{1}{3}(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}) \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक एकक सदिश $\dfrac{1}{3}(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$ है।

(ii) $2 \vec{a}-\vec{b}=2(\hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k})-(2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k})$

$ =2 \hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k}-2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}=\hat{j}+6 \hat{k} $

$\therefore \quad$ दिशा में एक इकाई सदिश $2 \vec{a}-\vec{b}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{2 \vec{a}-\vec{b}}{|2 \vec{a}-\vec{b}|}=\dfrac{\hat{j}+6 \hat{k}}{\sqrt{(1)^{2}+(6)^{2}}}=\dfrac{\hat{j}+6 \hat{k}}{\sqrt{1+36}} \\ & =\dfrac{\hat{j}+6 \hat{k}}{\sqrt{37}}=\dfrac{1}{\sqrt{37}}[\hat{j}+6 \hat{k}] \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक इकाई सदिश है $\dfrac{1}{\sqrt{37}}[\hat{j}+6 \hat{k}]$.

हल

दिए गए निर्देशांक $P(5,0,8)$ और $Q(3,3,2)$ हैं

$\therefore \quad \overrightarrow{{}PQ}=(3-5) \hat{i}+(3-0) \hat{j}+(2-8) \hat{k}=-2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$

$\therefore \quad$ $\overrightarrow{{}PQ}$ की दिशा में इकाई सदिश $=\dfrac{\overrightarrow{{}PQ}}{|\overrightarrow{{}PQ}|}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{-2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{(-2)^{2}+(3)^{2}+(-6)^{2}}}=\dfrac{-2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{4+9+36}}=\dfrac{-2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}}{\sqrt{49}} \\ & =\dfrac{-2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}}{7}=\dfrac{1}{7}(-2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}) \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक इकाई सदिश है $\dfrac{1}{7}(-2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k})$.

हल

मान लीजिए $\vec c$ बिंदु $C$ का स्थिति सदिश है

दिया गया है

$ \begin{matrix} BC =1.5 BA \\ \Rightarrow \quad \dfrac{BC}{BA} =1.5=\dfrac{3}{2} \\ \Rightarrow \quad \dfrac{\vec{c}-\vec{b}}{\vec{a}-\vec{b}} =\dfrac{3}{2} \\ \Rightarrow 2 \vec{c}-2 \vec{b} =3 \vec{a}-3 \vec{b} \Rightarrow 2 \vec{c}=3 \vec{a}-3 \vec{b}+2 \vec{b} \Rightarrow 2 \vec{c}=3 \vec{a}-\vec{b} \\

अतः, आवश्यक सदिश है $\vec{c}=\dfrac{3 \vec{a}-\vec{b}}{2}$।

हल

मान लीजिए दिए गए बिंदु $A(k,-10,3), B(1,-1,3)$ और $C(3,5,3)$ हैं

$ \begin{aligned} \overrightarrow{{}AB} & =(1-k) \hat{i}+(-1+10) \hat{j}+(3-3) \hat{k} \\ \overrightarrow{{}AB} & =(1-k) \hat{i}+9 \hat{j}+0 \hat{k} \\ \therefore \quad \mid \overrightarrow{{}AB} \mid & =\sqrt{(1-k)^{2}+(9)^{2}}=\sqrt{(1-k)^{2}+81} \\ \overrightarrow{{}BC} & =(3-1) \hat{i}+(5+1) \hat{j}+(3-3) \hat{k}=2 \hat{i}+6 \hat{j}+0 \hat{k} \\ \therefore \quad \mid \overrightarrow{{}BC} \mid & =\sqrt{(2)^{2}+(6)^{2}}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2 \sqrt{10} \\ \overrightarrow{{}AC} & =(3-k) \hat{i}+(5+10) \hat{j}+(3-3) \hat{k}=(3-k) \hat{i}+15 \hat{j}+0 \hat{k} \\ \therefore \quad|\overrightarrow{{}AC}| & =\sqrt{(3-k)^{2}+(15)^{2}}=\sqrt{(3-k)^{2}+225} \end{aligned} $

यदि $A, B$ और $C$ संरेख हों, तो

$ \begin{aligned} |\overrightarrow{{}AB}|+|\overrightarrow{{}BC}| & =|\overrightarrow{{}AC}| \\ \sqrt{(1-k)^{2}+81}+\sqrt{40} & =\sqrt{(3-k)^{2}+225} \end{aligned} $

दोनों ओर वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है

${[\sqrt{(1-k)^{2}+81}+\sqrt{40}]^{2}=[\sqrt{(3-k)^{2}+225}]^{2}}$

$\Rightarrow (1-k)^{2}+81+40+2 \sqrt{40} \sqrt{(1-k)^{2}+81}=(3-k)^{2}+225$

$\Rightarrow 1+k^{2}-2 k+121+2 \sqrt{40} \sqrt{1+k^{2}-2 k+81} =9+k^{2}-6 k+225$

$\Rightarrow 122-2 k+2 \sqrt{40} \sqrt{k^{2}-2 k+82}=234-6 k$

2 से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{matrix} \Rightarrow & 61-k+\sqrt{40} \sqrt{k^{2}-2 k+82}=117-3 k \\ \Rightarrow & \sqrt{40} \sqrt{k^{2}-2 k+82}=117-61-3 k+k \\ \Rightarrow & \sqrt{40} \sqrt{k^{2}-2 k+82}=56-2 k \Rightarrow 2 \sqrt{10} \sqrt{k^{2}-2 k+82}=56-2 k \\ \Rightarrow & \sqrt{10} \sqrt{k^{2}-2 k+82}=28-k \quad \text{ (2 से विभाजित करने पर)} \end{matrix} $

दोनों ओर वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad 10(k^{2}-2 k+82)=784+k^{2}-56 k \\ & \Rightarrow \quad 10 k^{2}-20 k+820=784+k^{2}-56 k \\ & \Rightarrow \quad 10 k^{2}-k^{2}-20 k+56 k+820-784=0 \\ & \Rightarrow 9 k^{2}+36 k+36=0 \Rightarrow k^{2}+4 k+4=0 \Rightarrow(k+2)^{2}=0 \end{aligned} $

$ \Rightarrow \quad k+2=0 \quad \Rightarrow k=-2 $

इसलिए, अभीष्ट मान $k=-2$ है

हल

क्योंकि, सदिश $\vec{r}$ अक्षों के समान कोण बनाता है, इनके दिशा अनुपात समान होने चाहिए

$\therefore \quad l=m=n$

हम जानते हैं कि $\quad l^{2}+m^{2}+n^{2}=1 \quad \Rightarrow \quad l^{2}+l^{2}+l^{2}=1$

$ \begin{matrix} \Rightarrow \quad 3 l^{2}=1 \Rightarrow l^2=\dfrac{1}{3} \Rightarrow l=\pm \dfrac{1}{\sqrt {3}} \\ \quad \hat{r}= \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{ i }\pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{j} \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \hat{k} \Rightarrow \hat{r}= \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \\ \end{matrix} $

हम जानते हैं कि $\vec{r}=(\hat{r})|\vec{r}|$

$ = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}}(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) 2 \sqrt{3}= \pm 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) $

इसलिए, अभीष्ट $\vec{r}$ का मान $\pm 2(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ है।

हल

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन सदिश हैं जैसे कि $\vec{a}=2 k, \vec{b}=3 k$ और $\vec{c}=-6 k$

यदि $l, m$ और $n$ सदिश $\vec{r}$ के दिशा अनुपात हैं, तो

$ \begin{aligned} l & =\dfrac{\vec{a}}{|\vec{r}|}=\dfrac{2 k}{14}=\dfrac{k}{7} \\ m & =\dfrac{\vec{b}}{|\vec{r}|}=\dfrac{3 k}{14} \text{ और } n=\dfrac{\vec{c}}{|\vec{r}|}=\dfrac{-6 k}{14}=\dfrac{-3 k}{7} \end{aligned} $

हम जानते हैं कि $l^{2}+m^{2}+n^{2}=1$

$ \begin{matrix} \therefore & \dfrac{k^{2}}{49}+\dfrac{9 k^{2}}{196}+\dfrac{9 k^{2}}{49}=1 \\ \Rightarrow & \dfrac{4 k^{2}+9 k^{2}+36 k^{2}}{196}=1 \Rightarrow 49 k^{2}=196 \Rightarrow k^{2}=4 \\ \therefore & k= 2 \text{ and } l=\dfrac{k}{7}=\dfrac{2}{7} \\ & m=\dfrac{3 k}{14}=\dfrac{3 \times 2}{14}=\dfrac{3}{7} \text{ and } n=\dfrac{-3 k}{7} \dfrac{-3 \times 2}{7}=\dfrac{-6}{7} \\ & \hat{r}= \pm(\dfrac{2}{7} \hat{i}+\dfrac{3}{7} \hat{j}-\dfrac{6}{7} \hat{k}) \end{matrix} $

$ \begin{aligned} \hat{r} & =\hat{r}|\vec{r}| \\ \Rightarrow \quad \vec{r} & = \pm(\dfrac{2}{7} \hat{i}+\dfrac{3}{7} \hat{j}-\dfrac{6}{7} \hat{k}) \cdot 14= \pm(4 \hat{i}+6 \hat{j}-12 \hat{k}) \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक दिशा अनुपात हैं $\dfrac{2}{7}, \dfrac{3}{7}, \dfrac{-6}{7}$ और $\vec{r}$ के घटक हैं $4 \hat{i}, 6 \hat{j}$ और $-12 \hat{k}$।

हल

मान लीजिए $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=4 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$

हम जानते हैं कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लंबवत एक इकाई वेक्टर $\dfrac{(\vec{a} \times \vec{b})}{|\vec{a} \times \vec{b}|}$ होता है

$ \begin{aligned} \vec{a} \times \vec{b} & = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -1 & 2 \\ 4 & -1 & 3 \end{vmatrix} \\ & =\hat{i}(-3+2)-\hat{j}(6-8)+\hat{k}(-2+4)=-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k} \end{aligned} $

$\therefore \quad|\vec{a} \times \vec{b}|=\sqrt{(-1)^{2}+(2)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{1+4+4}=\sqrt{9}=3$

इसलिए, $\quad \dfrac{(\vec{a} \times \vec{b})}{|\vec{a} \times \vec{b}|}=\dfrac{-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}}{3}=\dfrac{1}{3}(-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$

अब परिमाण 6 के वेक्टर के लिए $\dfrac{1}{3}(-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k}) \cdot 6$

$ =2(-\hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})=-2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k} $

इसलिए, आवश्यक वेक्टर $-2 \hat{i}+4 \hat{j}+4 \hat{k}$ है।

हल

मान लीजिए $\vec{a}=2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=3 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k}$

और मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच है।

$ \begin{aligned} \therefore \quad \cos \theta & =\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \cdot(3 \hat{i}+4 \hat{j}-\hat{k})}{\sqrt{4+1+1} \cdot \sqrt{9+16+1}} \\ & =\dfrac{6-4-1}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{26}} \Rightarrow \dfrac{1}{2 \sqrt{3} \cdot \sqrt{13}}=\dfrac{1}{2 \sqrt{39}} \\ \therefore \quad \theta & =\cos ^{-1} \dfrac{1}{2 \sqrt{39}} \Rightarrow \theta=\cos ^{-1} (\dfrac{1}{\sqrt{156}}) \end{aligned} $

इसलिए, $\theta$ का अभीष्ट मान $\cos ^{-1}(\dfrac{1}{\sqrt{156}})$ है।

हल

दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$

इसलिए, $\qquad \vec{a} \times(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) =\vec{a} \times 0$

$\Rightarrow \qquad \vec{a} \times \vec{a}+\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c} =0 $

$\Rightarrow \qquad \vec{o}+\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{c}=0 \qquad (\vec{a} \times \vec{a}=0)$

$\Rightarrow \qquad \vec{a} \times \vec{b}-\vec{c} \times \vec{a}=0 \qquad (\vec{a} \times \vec{c}=-\vec{c} \times \vec{a})$

$\Rightarrow \qquad \vec{a} \times \vec{b}=\vec{c} \times \vec{a} \qquad \ldots(i)$

अब $\qquad \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=0$

$\Rightarrow \qquad \vec{b} \times(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\vec{b} \times 0$

$\Rightarrow \qquad \vec{b} \times \vec{a}+\vec{b} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}=0$

$\Rightarrow \qquad \vec{b} \times \vec{a}+\vec{o}+\vec{b} \times \vec{c}=0 \qquad (\because \quad \vec{b} \times \vec{b}=0)$

$\Rightarrow \qquad -(\vec{a} \times b)+\vec{b} \times \vec{c} =0$

$\Rightarrow \qquad \vec{b} \times \vec{c} =\vec{a} \times \vec{b} \qquad $……(ii)

समीकरण (i) और (ii) से हम प्राप्त करते हैं $\vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}$. सिद्ध कर दिया गया है।

ज्यामितीय अर्थ

चित्र के अनुसार, हम लेते हैं

समान आधार और समान समानांतर रेखाओं के बीच बने समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल बराबर होते हैं

$\therefore|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{b} \times \vec{c}|=|\vec{c} \times \vec{a}|$

$\Rightarrow \vec{a} \times \vec{b}=\vec{b} \times \vec{c}=\vec{c} \times \vec{a}$.

हल

दिया गया है $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k}$ और $\vec{b}=2 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$

हम जानते हैं कि $|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta$

$ \begin{aligned} \therefore \quad \vec{a} \times \vec{b} & = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & -2 & 4 \end{vmatrix} \\ & =\hat{i}(4+4)-\hat{j}(12-4)+\hat{k}(-6-2) \\ & =8 \hat{i}-8 \hat{j}-8 \hat{k} \\ |\vec{a} \times \vec{b}| & =\sqrt{(8)^{2}+(-8)^{2}+(-8)^{2}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & =\sqrt{64+64+64}=\sqrt{192}=\sqrt{64 \times 3}=8 \sqrt{3} \\ |\vec{a}| & =\sqrt{(3)^{2}+(1)^{2}+(2)^{2}}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14} \\ |\vec{b}| & =\sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}+(4)^{2}}=\sqrt{4+4+16} \\ & =\sqrt{24}=2 \sqrt{6} \\ \therefore \quad \sin \theta & =\dfrac{|\vec{a} \times \vec{b}|}{|\vec{a}||\vec{b}|}=\dfrac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{14} \cdot 2 \sqrt{6}} \\ \Rightarrow \quad & \dfrac{4 \sqrt{3}}{\sqrt{84}}=\dfrac{4 \sqrt{3}}{2 \sqrt{21}}=\dfrac{2}{\sqrt{7}} \\ `

\text{ अतः, } \sin \theta & =\dfrac{2}{\sqrt{7}} . \end{aligned} $

हल

यहाँ, $A$ का स्थिति सदिश $\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$ है

$B$ का स्थिति सदिश $2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k}$ है

$C$ का स्थिति सदिश $2 \hat{i}-3 \hat{k}$ है

$D$ का स्थिति सदिश $3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k}$ है

$\overrightarrow{{}AB} = P.V. $ of $B - P.V. $ of $A$ $=(2 \hat{i}-\hat{j}+3 \hat{k})-(\hat{i}+\hat{j}-\hat{k})=\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$

$\overrightarrow{{}CD}=$ P.V. of D - P.V. of C $=(3 \hat{i}-2 \hat{j}+\hat{k})-(2 \hat{i}-3 \hat{k})=\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$

$\overrightarrow{{}AB}$ के $\overrightarrow{{}CD}$ पर प्रक्षेप $=\dfrac{\overrightarrow{{}AB} \cdot \overrightarrow{{}CD}}{|\overrightarrow{{}CD}|}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}) \cdot(\hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}+(4)^{2}}} \\ & =\dfrac{1+4+16}{\sqrt{1+4+16}}=\dfrac{21}{\sqrt{21}}=\sqrt{21} \end{aligned} $

अतः, अभीष्ट प्रक्षेप $=\sqrt{21}$।

हल

दिया गया है $A(1,2,3), B(2,-1,4)$ और $C(4,5,-1)$

$ \begin{aligned} & \qquad \begin{aligned} & \overrightarrow{{}AB}=(2-1) \hat{i}+(-1-2) \hat{j}+(4-3) \hat{k} \\ & \begin{aligned} \overrightarrow{{}AB}=\hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k} \end{aligned} \\ & \begin{aligned} \overrightarrow{{}AC}=(4-1) \hat{i}+(5-2) \hat{j}+(-1-3) \hat{k}=3 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k} \end{aligned} \\ & \text{ त्रिभुज } ABC का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}AC}|=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -3 & 1 \\ 3 & 3 & -4

\end{vmatrix} \\ &=\dfrac{1}{2}|\hat{i}(12-3)-\hat{j}(-4-3)+\hat{k}(3+9)| \\ &=\dfrac{1}{2}|9 \hat{i}+7 \hat{j}+12 \hat{k}|=\dfrac{1}{2} \sqrt{(9)^{2}+(7)^{2}+(12)^{2}} \\ &=\dfrac{1}{2} \sqrt{81+49+144}=\dfrac{1}{2} \sqrt{274} \end{aligned} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक क्षेत्रफल $\dfrac{\sqrt{274}}{2}$ है।

हल

मान लीजिए $ABCD$ और $ABFE$ दो समांतर चतुर्भुज एक ही आधार $AB$ पर और एक ही समानांतर रेखाओं $AB$ और $DF$ के बीच हैं।

मान लीजिए

$ \overrightarrow{{}AB}=\vec{a} \text{ और } \overrightarrow{{}AD}=\vec{b} $

$\therefore \quad$ समांतर चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल $|\vec{a} \times \vec{b}|$

अब समांतर चतुर्भुज $ABFE$ का क्षेत्रफल $|\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}AE}|$

$ \begin{aligned} & =|\vec{a} \times(\overrightarrow{{}AD}+\overrightarrow{{}DE})|=|\vec{a} \times(\vec{b} + K \vec{a})| \\ & =|(\vec{a} \times \vec{b})+K(\vec{a} \times \vec{a})|=|\vec{a} \times \vec{b}|+0 \quad[\because \vec{a} \times \vec{a}=0] \\ & =|\vec{a} \times \vec{b}| \end{aligned} $

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

हल

यहाँ, दिए गए चित्र में, $c$ के घटक $c \cos A$ और $c \sin A$ हैं।

$\therefore \quad \overrightarrow{{}CD}=b-c \cos A$

$\triangle BDC$ में,

$ a^{2}=CD^{2}+BD^{2} $

$\Rightarrow \quad a^{2}=(b-c \cos A)^{2}+(c \sin A)^{2}$

$\Rightarrow \quad a^{2}=b^{2}+c^{2} \cos ^{2} A-2 b c \cos A+c^{2} \sin ^{2} A$

$\Rightarrow \quad a^{2}=b^{2}+c^{2}(\cos ^{2} A+\sin ^{2} A)-2 b c \cos A$

$\Rightarrow \quad a^{2}=b^{2}+c^{2}-2 b c \cos A \Rightarrow 2 b c \cos A=b^{2}+c^{2}-a^{2}$

$\therefore \quad \cos A=\dfrac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2 b c}$

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

हल

क्योंकि, $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष हैं

$\therefore \quad \overrightarrow{{}AB}=\vec{b}-\vec{a}, \overrightarrow{{}BC}=\bar{{}c}-\vec{b}$

और $\overrightarrow{{}AC}=\vec{c}-\vec{a}$

$\therefore \quad$ त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}AC}|$

$=\dfrac{1}{2}|(\vec{b}-\vec{a}) \times(\vec{c}-\vec{a})|$

$=\dfrac{1}{2}|\vec{b} \times \vec{c}-\vec{b} \times \vec{a}-\vec{a} \times \vec{c}+\vec{a} \times \vec{a}|$

$=\dfrac{1}{2}|\vec{b} \times \vec{c}+\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}|$

$ \begin{bmatrix} \because & \vec{a} \times \vec{b}=-\vec{b} \times \vec{a} \\ & \vec{c} \times \vec{a}=-\vec{a} \times \vec{c} \\ & \vec{a} \times \vec{a}=\overrightarrow{{}0} \end{bmatrix} $

तीन सदिश समरेख होने पर त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $0$ होता है

$ \begin{aligned} \therefore \quad \dfrac{1}{2}|\vec{b} \times \vec{c}+\vec{a} \times \vec{b}+\vec{c} \times \vec{a}| & =0 \\

$$ |\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}| \quad =0 $$ $$ \end{aligned} $$

जो कि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ के सहसंयोजकता की शर्त है।

मान लीजिए $\hat{n}$ वह एक इकाई सदिश है जो $\triangle ABC$ के तल के लम्ब है।

$$ \begin{aligned} & \therefore \quad \hat{n}=\dfrac{\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}AC}}{|\overrightarrow{{}AB} \times \overrightarrow{{}AC}|} \\ & \Rightarrow \quad=\dfrac{\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}}{|\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{c}+\vec{c} \times \vec{a}|} \end{aligned} $$

हल

मान लीजिए $ABCD$ एक समांतर चतुर्भुज है जहाँ,

$$ \overrightarrow{{}AB}=\vec{p}, \overrightarrow{{}AD}=\vec{q}=\overrightarrow{{}BC} $$

$\therefore$ त्रिभुज के नियम से, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{align*} \overrightarrow{{}AC} & =\vec{a}=\vec{p}+\vec{q} \tag{i}\\ \text{ और } \overrightarrow{{}BD} & =\vec{b}=-\vec{p}+\vec{q} \tag{ii} \end{align*} $$

समीकरण (i) और (ii) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$$ \vec{a}+\vec{b}=2 \vec{q} \quad \Rightarrow \quad \vec{q}=\left(\dfrac{\vec{a}+\vec{b}}{2}\right) $$

समीकरण (i) से (ii) को घटाने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} \vec{a}-\vec{b} & =2 \vec{p} \Rightarrow \vec{p}=\left(\dfrac{\vec{a}-\vec{b}}{2}\right) \\ \therefore \vec{p} \times \vec{q} & =\dfrac{1}{4}(\vec{a}+\vec{b}) \times(\vec{a}-\vec{b})=\dfrac{1}{4}(\vec{a} \times \vec{a}-\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{a}-\vec{b} \times \vec{b}) \\ & =\dfrac{1}{4}(-\vec{a} \times \vec{b}+\vec{b} \times \vec{a}) \\

& =\dfrac{1}{4}(\vec{a} \times \vec{b}+\vec{a} \times \vec{b})=\dfrac{1}{4} \cdot 2(\vec{a} \times \vec{b})=\dfrac{(\vec{a} \times \vec{b})}{2} \end{aligned} $

इसलिए, समांतर चतुर्भुज ABCD का क्षेत्रफल $=|\vec{p} \times \vec{q}|=\dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$ अब वह समांतर चतुर्भुज जिसके विकर्ण $2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ और $\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ हैं, का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}|(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}) \times(\hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})|$

$ =- \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2}|\hat{i}(1-3)-\hat{j}(-2-1)+\hat{k}(6+1)|=\dfrac{1}{2}|-2 \hat{i}+3 \hat{j}+7 \hat{k}| \\ & =\dfrac{1}{2} \sqrt{(-2)^{2}+(3)^{2}+(7)^{2}}=\dfrac{1}{2} \sqrt{4+9+49} \\ & =\dfrac{\sqrt{62}}{2} \text{ वर्ग इकाई } \end{aligned} $

इसलिए, अभीष्ट क्षेत्रफल $\dfrac{\sqrt{62}}{2}$ वर्ग इकाई है।

हल

मान लीजिए $\vec{c}=c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k}$

इसके अतिरिक्त दिया गया है कि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{j}-\hat{k}$

क्योंकि,

$ \vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} $

$\therefore \quad \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{vmatrix} =\hat{j}-\hat{k}$

$ =\hat{i}(c_3-c_2)-\hat{j}(c_3-c_1)+\hat{k}(c_2-c_1)=\hat{j}-\hat{k} $

समान पदों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & c_3-c_2=0 \quad …(i)\\ & c_1-c_3=1 \quad …(ii)\\ & \text{ और } \quad c_2-c_1=-1 \quad …(iii) \\ & \text{ जबकि } \vec{a} \cdot \vec{c}=3 \\ & (\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}) \cdot(c_1 \hat{i}+c_2 \hat{j}+c_3 \hat{k})=3 \\ & \therefore \quad c_1+c_2+c_3=3 \quad …(iv) \end{aligned} $

समीकरण (ii) और (iii) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है,

$c_2-c_3=0 \quad …(v)$

समीकरण (iv) और (v) से हमें प्राप्त होता है

$c_1+2 c_2=3 \quad …(vi)$

समीकरण (iii) और (vi) से हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned}

& c_1+2 c_2=3 \\ & \underline{-c_1+c_2=-1} \\ & 3 c_2=2 \\ & \therefore c_2=\dfrac{2}{3} \\ & c_3-c_2=0 \Rightarrow c_3-\dfrac{2}{3}=0 \end{aligned} $

$ \therefore \quad c_3=\dfrac{2}{3} $

अब $\quad c_2-c_1=-1 \Rightarrow \dfrac{2}{3}-c_1=-1$

$\Rightarrow \quad c_1=1+\dfrac{2}{3}=\dfrac{5}{3}$

$\therefore \quad \vec{c}=\dfrac{5}{3} \hat{i}+\dfrac{2}{3} \hat{j}+\dfrac{2}{3} \hat{k}$

इसलिए, $\quad \vec{c}=\dfrac{1}{3}(5 \hat{i}+2 \hat{j}+2 \hat{k})$.

हल

मान लीजिए $\vec{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$

सदिश $\vec{a}$ की दिशा में एक इकाई सदिश $=\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$

$ =\dfrac{\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{(1)^{2}+(-2)^{2}+(2)^{2}}}=\dfrac{\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}}{\sqrt{1+4+4}}=\dfrac{\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}}{3} $

$\therefore \quad$ परिमाण 9 के सदिश $=\dfrac{9(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})}{3}=3(\hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k})$

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

हल

दिए गए सदिश $2 \vec{a}-3 \vec{b}$ और $\vec{a}+\vec{b}$ तथा अनुपात $3: 1$ है। $\therefore \quad$ आवश्यक बिंदु $c$ का स्थिति सदिश जो दिए गए सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के मिलन को विभाजित करता है, है

$ \vec{c}=\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2} $

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1 \cdot(2 \vec{a}-3 \vec{b})+3(\vec{a}+\vec{b})}{3+1}=\dfrac{2 \vec{a}-3 \vec{b}+3 \vec{a}+3 \vec{b}}{4} \\

& =\dfrac{5 \vec{a}}{4}=\dfrac{5}{4} \vec{a} \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (d) है।

हल

मान लीजिए A और B दो बिंदु हैं जिनके निर्देशांक क्रमशः $(2,5,0)$ और $(-3,7,4)$ हैं

$ \begin{matrix} \therefore & \overrightarrow{{}AB}=(-3-2) \hat{i}+(7-5) \hat{j}+(4-0) \hat{k} \\ \Rightarrow & \overrightarrow{{}AB}=-5 \hat{i}+2 \hat{j}+4 \hat{k} \end{matrix} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

हल

यहाँ, दिया गया है कि $|\vec{a}|=\sqrt{3},|\vec{b}|=4$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=2 \sqrt{3}$

$\therefore$ सदिश गुणन के बारे में हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} & \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & \Rightarrow \quad 2 \sqrt{3}=\sqrt{3} \cdot 4 \cdot \cos \theta \\ & \Rightarrow \quad \cos \theta=\dfrac{2 \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot 4}=\dfrac{1}{2} \\ & \therefore \quad \theta=\dfrac{\pi}{3} \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (b) है।

हल

दिया गया है कि $\vec{a}=2 \hat{i}+\lambda \hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$

क्योंकि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंबवत हैं

$ \begin{matrix} \therefore & \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \\ \Rightarrow & (2 \hat{i}+\lambda \hat{j}+\hat{k}) \cdot(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})=0

\end{matrix} $

$ \begin{aligned} \Rightarrow & 2+2 \lambda+3 & =0 \\ \Rightarrow & 5+2 \lambda & =0 \Rightarrow \lambda=\dfrac{-5}{2} \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (d) है।

हल

मान लीजिए

$ \begin{aligned} & \vec{a}=3 \hat{i}-6 \hat{j}+\hat{k} \\ & \vec{b}=2 \hat{i}-4 \hat{j}+\lambda \hat{k} \end{aligned} $

चूंकि दिए गए सदिश समान्तर हैं,

$\therefore$ उनके बीच कोण $0^{\circ}$ है

$ \begin{aligned} & \text{ इसलिए } \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos 0 \\ & \Rightarrow(3 \hat{i}-6 \hat{j}+\hat{k}) \cdot(2 \hat{i}-4 \hat{j}+\lambda \hat{k})=|3 \hat{i}-6 \hat{j}+\hat{k}||2 \hat{i}-4 \hat{j}+\lambda \hat{k}| \\ & 6+24+\lambda=\sqrt{9+36+1} \cdot \sqrt{4+16+\lambda^{2}} \\ & 30+\lambda=\sqrt{46} \cdot \sqrt{20+\lambda^{2}} \end{aligned} $

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$900+\lambda^{2}+60 \lambda =46(20+\lambda^{2})$

$\Rightarrow 900+\lambda^{2}+60 \lambda =920+46 \lambda^{2}$

$\Rightarrow \lambda^{2}-46 \lambda^{2}+60 \lambda+900-920 =0$

$\Rightarrow -45 \lambda^{2}+60 \lambda-20 =0$

$\Rightarrow 9 \lambda^{2}-12 \lambda+4 =0$

$\Rightarrow (3 \lambda-2)^{2} =0$

$\Rightarrow 3 \lambda-2 =0$

$\Rightarrow 3 \lambda =2$

$\therefore \lambda =2 / 3$

वैकल्पिक विधि

मान लीजिए $\quad \vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} \quad \text{ और } \quad \vec{b}=b_1 \hat{i}+b_2 \hat{j}+b_3 \hat{k}$

यदि $\quad \vec{a} | \vec{b}$

$ \begin{matrix} \therefore \qquad \dfrac{a_1}{b_1}=\dfrac{a_2}{b_2}=\dfrac{a_3}{b_3} \\ \Rightarrow \qquad \dfrac{3}{2}=\dfrac{-6}{-4}=\dfrac{1}{\lambda} \Rightarrow \dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{3}{2} \Rightarrow \lambda=\dfrac{2}{3} \end{matrix} $

इसलिए, सही विकल्प (a) है।

हल

मान लीजिए $O$ मूल बिंदु है

$ \begin{aligned} & \therefore \quad \overrightarrow{{}OA}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k} \\ & \overrightarrow{{}OB}=2 \hat{i}+3 \hat{j}+\hat{k} \end{aligned} $

$\therefore \quad$ $\triangle OAB$ का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}|\overrightarrow{{}OA} \times \overrightarrow{{}OB}|=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -3 & 2 \\ 2 & 3 & 1\end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2}|\hat{i}(-3-6)-\hat{j}(2-4)+\hat{k}(6+6)| \\ & =\dfrac{1}{2}|-9 \hat{i}+2 \hat{j}+12 \hat{k}| \\ & =\dfrac{1}{2} \sqrt{(-9)^{2}+(2)^{2}+(12)^{2}} \\ & =\dfrac{1}{2} \sqrt{81+4+144}=\dfrac{1}{2} \sqrt{229} \end{aligned} $

अतः सही विकल्प $(d)$ है।

हल

मान लीजिए

$ \vec{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} $

$\therefore \quad \vec{a} ^{2}=a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}$

अब, $\quad \vec{a} \times \hat{i}=(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \times \hat{i}$

$ \begin{aligned} & = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ 1 & 0 & 0 \end{vmatrix} \\ & =\hat{i}(0-0)-\hat{j}(0-a_3)+\hat{k}(0-a_2)=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k} \\ \therefore \quad(\vec{a} \times \hat{i})^{2} & =(a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}) \cdot(a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k})=a_3^{2}+a_2^{2} \end{aligned} $

इसी तरह

$ (\vec{a} \times \hat{j})^{2}=a_1^{2}+a_3^{2} $

और

$ (\vec{a} \times \hat{k})^{2}=a_1^{2}+a_2^{2} $

$ \begin{aligned} \therefore(\vec{a} \times \hat{i})^{2}+(\vec{a} \times \hat{j})^{2}+(\vec{a} \times \hat{k})^{2} & =a_3^{2}+a_2^{2}+a_1^{2}+a_3^{2}+a_1^{2}+a_2^{2} \\

& =2(a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2})=2 \vec{a} ^{2} \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (d) है।

हल

दिया गया है $|\vec{a}|=10,|\vec{b}|=2$ और $\vec{a} \cdot \vec{b}=12$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad \vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta \\ & \Rightarrow \quad 12=10 \cdot 2 \cdot \cos \theta \\ & \Rightarrow \quad \cos \theta=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5} \\ & \therefore \quad \sin \theta=\sqrt{1-\cos ^{2} \theta} \\ & \Rightarrow \quad \sin \theta=\sqrt{1-(\dfrac{3}{5})^{2}} \Rightarrow \sin \theta=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}} \\ & \Rightarrow \quad \sin \theta=\sqrt{\dfrac{16}{25}} \quad \Rightarrow \sin \theta=\dfrac{4}{5} \end{aligned} $

अब $\quad|\vec{a} \times \vec{b}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta$

$ =10 \cdot 2 \cdot \dfrac{4}{5}=16 $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

हल

मान लीजिए

$ \begin{aligned} \vec{a} & =\lambda \hat{i}+\hat{j}+2 \hat{k} \\ \vec{b} & =\hat{i}+\lambda \hat{j}-\hat{k} \\ \vec{c} & =2 \hat{i}-\hat{j}+\lambda \hat{k} \end{aligned} $

यदि $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ समतलीय हैं, तो

$\vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=0$

$\therefore \qquad \begin{vmatrix} \lambda & 1 & 2 \\ 1 & \lambda & -1 \\ 2 & -1 & \lambda \end{vmatrix} =0$

$\Rightarrow \lambda(\lambda^{2}-1)-1(\lambda+2)+2(-1-2 \lambda) =0$

$\Rightarrow \lambda^{3}-\lambda-\lambda-2-2-4 \lambda =0$

$\Rightarrow \lambda^{3}-6 \lambda-4 =0$

$\Rightarrow (\lambda-2)(\lambda^{2}-2 \lambda-2) =0$

$\Rightarrow \lambda =-2 \text{ या } \lambda^{2}-2 \lambda-2 =0$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \lambda=\dfrac{2 \pm \sqrt{4+8}}{2} \\ \Rightarrow & \lambda=\dfrac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2} \\ \therefore & \lambda=-2 \text{ or } \lambda=1 \pm \sqrt{3} \end{matrix} $

इसलिए, सही विकल्प है $(a)$।

हल

दिया गया है $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|=1$

और $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}0}$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{{}0} \cdot \overrightarrow{{}0}=0 \\ & |\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{a}+|\vec{b}|^{2}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}+\vec{c} \cdot \vec{b}+|\vec{c}|^{2}=0 \\ & \Rightarrow \quad|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=0 \\ & \Rightarrow \quad 1+1+1+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot a)=0 \\ & \Rightarrow \quad 2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=-3 \\ & \therefore \quad \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=\dfrac{-3}{2} \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

हल

$\vec{a}$ के $\vec{b}$ पर प्रक्षेप वेक्टर $(\dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|^2}) \vec{b}$ है इसलिए, सही विकल्प (a) है।

हल

दिया गया है $|\vec{a}|=2,|\vec{b}|=3,|\vec{c}|=5$,

और $ \vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\overrightarrow{{}0} $

$ (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c})=\overrightarrow{{}0} \cdot \overrightarrow{{}0}=0 $

$\Rightarrow|\vec{a}|^{2}+\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{a} \cdot \vec{c}+\vec{b} \cdot \vec{a}+|\vec{b}|^{2}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}+\vec{c} \cdot \vec{b}+|\vec{c}|^{2}=0$

$\Rightarrow \quad|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+|\vec{c}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b}+2 \vec{b} \cdot \vec{c}+2 \vec{c} \cdot \vec{a}=0$

$\Rightarrow (2)^{2}+(3)^{2}+(5)^{2}+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=0$

$\Rightarrow 4+9+25+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=0$

$\Rightarrow 38+2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=0$

$\Rightarrow 2(\vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a})=-38$

$\therefore \qquad \vec{a} \cdot \vec{b}+\vec{b} \cdot \vec{c}+\vec{c} \cdot \vec{a}=-19$

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

हल

दिया गया है $|\vec{a}|=4,-3 \leq \lambda \leq 2$

हम जानते हैं, $ |\vec{\alpha}| = 4 $ और $ -3 \leq \lambda \leq 2 $।

$ \therefore |\lambda \vec{\alpha}| = |-3| \cdot 4 = 12 \quad \text{जब} \quad \lambda = -3 $

$ |\lambda \vec{\alpha}| = |0| \cdot 4 = 0 \quad \text{जब} \quad \lambda = 0 $

$ |\lambda \vec{\alpha}| = |2| \cdot 4 = 8 \quad \text{जब} \quad \lambda = 2 $

इसलिए, $ |\lambda \vec{\alpha}| $ की श्रेणी $[0, 12]$ है।

वैकल्पिक विधि

क्योंकि, $ -3 \leq \lambda \leq 2 $,

$ 0 \leq |\lambda| \leq 3 $

$ \Rightarrow 0 \leq 4|\lambda| \leq 12 $

$ |\lambda \vec{\alpha}| \in [0, 12] $

इसलिए, सही विकल्प (c) $[0,12]$ है।

हल

सदिश $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लम्ब एवं एक इकाई लम्बाई वाले सदिशों की संख्या $\vec{c}$ (मान लीजिए)

$\therefore \quad \vec{c}= \pm(\vec{a} \times \vec{b})$

इसलिए, $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के लम्ब एवं एक इकाई लम्बाई वाले सदिशों की संख्या दो होगी।

अतः, सही विकल्प $(b)$ है।

हल

यदि सदिश $\vec{a}+\vec{b}$ असंरेखीय सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच के कोण को समद्विभाजित करती है तो $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}$ के बीच कोण $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{b}$ के बीच कोण के बराबर होता है।

इसलिए,

$ \cos \theta=\dfrac{\vec{a} \cdot(\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}||\vec{a}+\vec{b}|} \ldots (1) $

इसके साथ-साथ $\cos \theta=\dfrac{\vec{b} \cdot(\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{b}||\vec{a}+\vec{b}|} \ldots (2)$

समीकरण (1) और (2) से

$ \begin{aligned} & \frac{\vec{a} \cdot(\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{a}| \mid \overrightarrow{a^{\vec{~}}+\vec{b} \mid}}=\frac{\vec{b} \cdot(\vec{a}+\vec{b})}{|\vec{b}||\vec{a}+\vec{b}|} \\ & \Rightarrow \quad \frac{\vec{a} \cdot \vec{a}+\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}|}=\frac{\vec{b} \cdot \vec{a}+\vec{b} \cdot \vec{b}}{|\vec{b}|} \\ & \Rightarrow \quad \frac{|\vec{a}|^2}{|\vec{a}|}+\frac{|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta}{|\vec{a} |}=\frac{|\vec{b}| |\vec{a} |}{|\vec{b}|} \cos \theta+\frac{|\vec{b}|^2}{|\vec{b}|} \\ & \Rightarrow \quad|\vec{a}|+|\vec{b}| \cos \theta=|\vec{a}| \cos \theta+|\vec{b}| \\ & \begin{array}{l} \Rightarrow \quad(|\vec{a}|-|\vec{b}|)-(|\vec{a}|-| \vec{b}|) \cos \theta=0 \\ \Rightarrow \quad(|\vec{a}|-|\vec{b}|)(1-\cos \theta)=0 \end{array} \\ & \Rightarrow \quad |\vec { a }|=|\vec{b}| \end{aligned}

$

अतः, आवश्यक भरण पद $|\vec { a }|=|\vec{b}|$ है।

हल

यदि $\vec{r}$ एक गैर-शून्य सदिश है, तो $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ एक ही तल में हो सकते हैं।

$\vec{a},\vec{b} $ और $\vec{c}$ के बीच कोण शून्य है अर्थात $\theta=0$

$\therefore \quad \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c})=0$

अतः आवश्यक मान 0 है।

हल

दिया गया है $\quad \vec{a}=3 \hat{i}-2 \hat{j}+2 \hat{k}$

और $\quad \vec{b}=-\hat{i}-2 \hat{k}$

$\therefore \quad \vec{a}+\vec{b}=2 \hat{i}-2 \hat{j}$ और $\vec{a}-\vec{b}=4 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$

मान लीजिए $\theta$ दो विकर्ण सदिशों $\vec{a}+\vec{b}$ और $\vec{a}-\vec{b}$ के बीच कोण है तो

$ \begin{aligned} \cos \theta & =\dfrac{(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}-\vec{b})}{|\vec{a}+\vec{b}||\vec{a}-\vec{b}|}=\dfrac{(2 \hat{i}-2 \hat{j}) \cdot(4 \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k})}{\sqrt{(2)^{2}+(-2)^{2}} \cdot \sqrt{(4)^{2}+(-2)^{2}+(4)^{2}}} \\ & =\dfrac{8+4}{2 \sqrt{2} \cdot 6}=\dfrac{12}{2 \sqrt{2} \cdot 6}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{aligned} $

$ \therefore \quad \theta=\dfrac{\pi}{4} $

अतः आवश्यक भरण पद का मान $\dfrac{\pi}{4}$ है।

हल

दिया गया है $|k \vec{a}|<|\vec{a}|$ और $k \vec{a}+\dfrac{1}{2} \vec{a}$ $\vec{a}$ के समान्तर है

$ \therefore|k \vec{a}|<|\vec{a}| \Rightarrow|k||\vec{a}|<|\vec{a}| \Rightarrow|k|<1 \Rightarrow-1<k<1

$

अब क्योंकि $k \vec{a}+\dfrac{1}{2} \vec{a}$, $\vec{a}$ के समान्तर है

यहाँ हम देखते हैं कि $k=-\dfrac{1}{2}$ पर, $k \vec{a}+\dfrac{1}{2} \vec{a}$ शून्य सदिश बन जाता है और फिर यह $\vec{a}$ के समान्तर नहीं होगा।

$\therefore k \vec{a}+\dfrac{1}{2} \vec{a}$, $\vec{a}$ के समान्तर होता है जब $k \in(-1,1)$ और $k \neq \dfrac{1}{2}$।

इसलिए, $k \in(-1,1)$ और $k \neq \dfrac{1}{2}$ होना आवश्यक है।

हल

$ \begin{aligned} |\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} & =(|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta)^{2}+(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^{2} \\ & =|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin ^{2} \theta+|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos ^{2} \theta \\ & =|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cdot(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta) \\ & =|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cdot 1=|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \end{aligned} $

इसलिए, भर्ती के मान का मान $|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}$ है।

हल

$ \begin{aligned} & \text{दिया गया} & |\vec{a} \times \vec{b}|^{2}+(\vec{a} \cdot \vec{b})^{2} & =144 \\ \Rightarrow & & (|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta)^{2}+(|\vec{a}||\vec{b}| \cos \theta)^{2} & =144 \\ & \Rightarrow & |\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \sin ^{2} \theta+|\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} \cos ^{2} \theta & =144 \\ \Rightarrow & & |\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2}(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta) & =144 \\ & \Rightarrow & |\vec{a}|^{2}|\vec{b}|^{2} & =144 \\ \Rightarrow & & |\vec{a}||\vec{b}| & =12 \\ & \therefore & 4 \cdot|\vec{b}| & =12 \\ & & |\vec{b}| & =3 \end{aligned} $

इसलिए, भर्ती के मान का मान 3 है।

हल

मान लीजिए

$ \begin{aligned} \vec{a} & =a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k} \\ \end{aligned} $

$ \therefore \quad \vec{a} \cdot \hat{i}=(a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}) \cdot \hat{i}=a_1 $

उसी तरह, $\vec{a} \cdot \hat{j}=a_2$ और $\vec{a} \cdot \hat{k}=a_3$

$\therefore(\vec{a} \cdot \hat{i}) \cdot \hat{i}+(\vec{a} \cdot \hat{j}) \hat{j}+(\vec{a} \cdot \hat{k}) \cdot \hat{k}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}=\vec{a}$

इसलिए, भरण पद का मान $\vec{a}$ है।

हल

कथन गलत है

मान लीजिए $ \vec{a} = \hat{i} + \hat{j}$

$\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} $

$|\vec{a}| = |\vec{b}| \text {लेकिन} \vec{a} \neq \pm \vec{b}$

इसलिए, कथन गलत है।

हल

सत्य

हल

दिया गया है कि $|\vec{a}+\vec{b}|=|\vec{a}-\vec{b}|$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{matrix} |\vec{a}+\vec{b}|^{2} =|\vec{a}-\vec{b}|^{2} \\ \Rightarrow \qquad |\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b} =|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}-2 \vec{a} \cdot \vec{b} \\ \Rightarrow \qquad 2 \vec{a} \cdot \vec{b} =-2 \vec{a} \cdot \vec{b} \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=-\vec{a} \cdot \vec{b} \\ \Rightarrow \qquad 2 \vec{a} \cdot \vec{b} =0 \Rightarrow \vec{a} \cdot \vec{b}=0 \end{matrix} $

जो कि इसका अर्थ है कि $\vec{a}$ और $\vec{b}$ लंब एक दूसरे पर होते हैं।

इसलिए दिया गया कथन सत्य है।

हल

$$ \begin{aligned} (\vec{a}+\vec{b})^{2} & =(\vec{a}+\vec{b}) \cdot(\vec{a}+\vec{b}) \\ & =|\vec{a}|^{2}+|\vec{b}|^{2}+2 \vec{a} \cdot \vec{b} \end{aligned} $$

इसलिए, दिए गए कथन गलत है।

हल

यदि $\vec{a} \cdot \vec{b}=0$ है, तो $\vec{a} \cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}| \cos 90^{\circ}$

इसलिए समचतुर्भुज के संलग्न भुजाओं के बीच कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए जो संभव नहीं है।

इसलिए, दिए गए कथन गलत है।