हल

यहाँ,

$ R=\lbrace (a, a),(b, c),(a, b) \rbrace $

स्वतुल्यता के लिए हमें जोड़ना होगा; $(b, b),(c, c)$ और संक्रमणता के लिए हमें जोड़ना होगा; $(a, c)$

इसलिए, आवश्यक क्रमित युग्म $(b, b),(c, c)$ और $(a, c)$ हैं

हल

यहाँ, $f(x)=\sqrt{25-x^{2}}$

$ f(x) $ के वास्तविक मान के लिए, $ 25-x^{2} \ge 0 $

$\Rightarrow \quad -x^{2} \ge-25 $

$\Rightarrow \quad x^{2} \le 25 $

$\Rightarrow \quad -5 \le x \le 5$

इसलिए, $D \in-5 \le x \le 5$ या $[-5,5]$

हल

यहाँ, $f(x)=2 x+1$ और $g(x)=x^{2}-2$

$ \begin{aligned} \therefore \quad gof & =g[f(x)] =[2 x+1]^{2}-2 \\ \\
& =4 x^{2}+4 x+1-2 \\ \\ & =4 x^{2}+4 x-1 \end{aligned} $

इसलिए, $g o f=4 x^{2}+4 x-1$

हल

$\text{यहाँ,} \quad f(x)=2 x-3$

$\text{मान लीजिए,} \quad f(x)=y=2 x-3 $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \quad y+3=2 x \\ \\ & \Rightarrow \quad x=\dfrac{y+3}{2} \\ \\ & \therefore \quad f^{-1}(y)=\dfrac{y+3}{2} \text{ या } f^{-1}(x)=\dfrac{x+3}{2} \end{aligned} $

हल

$ \begin{aligned} \text{मान लीजिए}\quad y & =f(x) \quad \therefore x=f^{-1}(y) \\ \\ \therefore \quad \text{यदि} \quad f & =\lbrace (a, b),(b, d),(c, a),(d, c) \rbrace \\ \\ \text{तो}\quad f^{-1} & =\lbrace (b, a),(d, b),(a, c),(c, d) \rbrace \end{aligned} $

हल

यहाँ, $f(x)=x^{2}-3 x+2$

$\begin{aligned} \therefore \quad f(f(x)) & =(f(x))^{2}-3 f(x)+2 \\ \\ & =(x^{3}-3 x+2)^{2}-3(x^{2}-3 x+2)+2 \\ \\ & =x^{4}+9 x^{2}+4-6 x^{3}+4 x^{2}-12 x-3 x^{2}+9 x-6+2 \\ \\ & =x^{4}-6 x^{3}+10 x^{2}-3 x \end{aligned} $

अतः, $f(f(x))=x^{4}-6 x^{3}+10 x^{2}-3 x$

हल

हाँ, $g=\lbrace (1,1),(2,3),(3,5),(4,7) \rbrace $ एक फलन है।

यहाँ, $g(x)=\alpha x+\beta$

$ (1,1)$ के लिए,

$g(1)=\alpha .1+\beta$

$1=\alpha+\beta$

$ (2,3)$ के लिए, $g(2)=\alpha .2+\beta \quad \text{…(1)}$

$\hspace{2.2cm} 3=2 \alpha+\beta \quad \text{…(2)}$

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर, $\alpha=2, \beta=-1$

हल

(i) यह एक फलन को दर्शाता है। $x$ के अलग-अलग तत्वों के तहत $f$ के प्रतिचित्र अलग-अलग नहीं हैं। अतः, यह सूच्य नहीं है लेकिन अपरिमित है।

(ii) यह एक फलन नहीं दर्शाता है क्योंकि प्रत्येक प्रांत के तहत प्रतिचित्र एक अद्वितीय नहीं है।

हल

$ \begin{aligned} f \circ g & =f[g(x)] \\ \\ & =f[g(2)]=f(3)=5 \\ \\ & =f[g(5)]=f(1)=2 \\ \\ & =f[g(1)]=f(3)=5 \end{aligned} $

इसलिए, $\quad f o g=\lbrace (2,5),(5,2),(1,5) \rbrace $

हल

यहाँ,

$ \begin{aligned} f(1) & =|1|=1 \\ \\ f(-1) & =|-1|=1 \\ \\ f(1) & =f(-1) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{ यहाँ, } f(z) & =|z| \quad \forall\ z \in \text{ C } \\ \\ f(1) & =|1|=1 \\ \\ f(-1) & =|-1|=1 \\ \\ f(1) & =f(-1) \\ \\ \text{ लेकिन } \quad 1 & \ne-1 \end{aligned} $

इसलिए, यह एक-एक नहीं है।

अब, मान लीजिए $f(z)=y=|z|$. यहाँ, नकारात्मक संख्याओं के कोई प्रतिचित्र नहीं है। इसलिए, यह आच्छादक नहीं है।

हल

यहाँ,

$ f(x)=\cos x\ \forall\ x \in R $

मान लीजिए $\quad \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2} \right ] \in f(x)$

$ \begin{aligned} & f \left (-\dfrac{\pi}{2} \right )=\cos \left (-\dfrac{\pi}{2} \right )=\cos \dfrac{\pi}{2}=0 \\ \\ & \cos \left (\dfrac{\pi}{2} \right )=\cos \dfrac{\pi}{2}=0 \\ \\ & f \left (-\dfrac{\pi}{2} \right )=f \left (\dfrac{\pi}{2} \right )=0 \end{aligned} $

लेकिन, $ -\dfrac{\pi}{2} \ne \dfrac{\pi}{2} $

इसलिए, दिया गया फलन एक-एक नहीं है। इसके अलावा, यह आच्छादक फलन नहीं है क्योंकि कोई वास्तविक संख्या के प्रतिचित्र क्षेत्र $\cos x$ के अंतर्गत नहीं है, अर्थात $[-1,1]$ के अंतर्गत नहीं है।

हल

यहाँ दिया गया है कि $X=\lbrace 1,2,3 \rbrace , Y=\lbrace 4,5 \rbrace $

$\therefore X \times Y=\lbrace (1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5) \rbrace $

(i) $f=\lbrace (1,4),(1,5),(2,4),(3,5) \rbrace $

$f$ एक फलन नहीं है क्योंकि $f$ के तहत क्षेत्र के प्रत्येक अवयव के अद्वितीय प्रतिबिम्ब नहीं है।

(ii) $g=\lbrace (1,4),(2,4),(3,4) \rbrace $

हाँ, $g$ एक फलन है क्योंकि इसके क्षेत्र के प्रत्येक अवयव के अद्वितीय प्रतिबिम्ब है।

(iii) $h=\lbrace (1,4),(2,5),(3,5) \rbrace $

हाँ, यह एक फलन है क्योंकि इसके क्षेत्र के प्रत्येक अवयव के अद्वितीय प्रतिबिम्ब है।

(iv) $k=\lbrace (1,4),(2,5) \rbrace $

स्पष्ट रूप से $k$ एक फलन भी है।

हल

मान लीजिए $x_1, x_2 \in$ gof

$ gof\lbrace f(x_1) \rbrace =gof\lbrace f(x_2) \rbrace $

$ \Rightarrow \quad g(x_1)=g(x_2) \qquad[\because g \circ f=I_A] $

$ \therefore \qquad x_1=x_2$

अतः, $f$ एक-एक है। लेकिन $g$ परिसर वाला नहीं है क्योंकि $g$ के तहत $A$ के कोई प्रतिबिम्ब $B$ में नहीं है।

हल

दिया गया फलन $f(x)=\dfrac{1}{2-\cos x},\ \forall\ x \in R$ है।

$\cos x$ का परिसर $[-1,1]$ है।

मान लीजिए $\quad f(x)=y=\dfrac{1}{2-\cos x}$

$\Rightarrow \quad \quad 2 y-y \cos x=1 $

$ \Rightarrow \quad \quad y \cos x=2 y-1$

$\Rightarrow \quad \quad \cos x=\dfrac{2 y-1}{y}=2-\dfrac{1}{y}$

अब $\quad -1 \le \cos x \le 1$

$\Rightarrow \quad \quad-1 \le 2-\dfrac{1}{y} \le 1 $

$\Rightarrow \quad -1-2 \le-\dfrac{1}{y} \le 1-2$

$\Rightarrow \quad \quad-3 \le-\dfrac{1}{y} \le-1 $

$\Rightarrow \quad 3 \ge \dfrac{1}{y} \ge 1 $

$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{3} \le y \le 1$

अतः, $f$ का परिसर $\left[\dfrac{1}{3}, \mathbf{1}\right]$ है।

हल

यहाँ, $\forall\ a, b \in Z$ और $a R b$ अगर और केवल अगर $a-b$ $n$ द्वारा विभाज्य हो। दी गई संबंध एक तुल्यता संबंध होगा यदि यह स्व-संबंधी, सममिति और संक्रमणीय हो।

(i) स्व-संबंधी:

$a R a \Rightarrow \quad (a-a)=0$ $n$ द्वारा विभाज्य है

इसलिए, $R$ स्व-संबंधी है।

(ii) सममिति:

$a R b = b R a \quad \forall\ a, b \in Z$

$a-b$ $n$ द्वारा विभाज्य है (दिया गया)

$\Rightarrow \quad -(b-a)$ $n$ द्वारा विभाज्य है

$\Rightarrow \quad b-a$ $n$ द्वारा विभाज्य है

$\Rightarrow \quad b R a$

इसलिए, $R$ सममिति है।

(iii) संक्रमणीय:

$a R b$ और $b R c \quad \Leftrightarrow \quad a R c \quad \forall\ a, b, c \in Z$

$a-b$ $n$ द्वारा विभाज्य है

$b-c$ भी $n$ द्वारा विभाज्य है

$\Rightarrow \quad (a-b)+(b-c)$ $n$ द्वारा विभाज्य है

$\Rightarrow \quad (a-c)$ $n$ द्वारा विभाज्य है

इसलिए, $R$ संक्रमणीय है।

इसलिए, $R$ एक तुल्यता संबंध है।

हल

दिया गया है $A=\lbrace 1,2,3,4 \rbrace $

$\therefore \quad ARA=\lbrace (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(1,2),(1,3),(1,4),(2,3)$,

$ (2,4),(3,4),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2),(4,3) \rbrace $

(a) मान लीजिए $R_1=\lbrace (1,1),(2,2),(1,2),(2,3),(1,3) \rbrace $

इसलिए, $R_1$ स्व-संबंधी और संक्रमणीय है लेकिन सममिति नहीं है।

(b) मान लीजिए $R_2=\lbrace (2,3),(3,2) \rbrace $

इसलिए, $R_2$ केवल सममिति है।

(c) मान लीजिए $R_3=\lbrace (1,1),(1,2),(2,1),(2,4),(1,4) \rbrace $

इसलिए, $R_3$ स्व-संबंधी, सममिति और संक्रमणीय है।

हल

दिया गया है $x \in N, y \in N$ और $2 x+y=41$

$\therefore \quad $ $R$ के डोमेन $=\lbrace 1,2,3,4,5, \ldots, 20 \rbrace $

और $\quad $ परिसर $=\lbrace 39,37,35,33,31, \ldots, 1 \rbrace $

यहाँ, $\quad (3,3) \notin R$

क्योंकि $\quad 2 \times 3+3 \ne 41$

इसलिए, $R$ स्व-संबंध नहीं है।

$R$ सममिति नहीं है क्योंकि $(2,37) \in R$ लेकिन $(37,2) \notin R$

$R$ संक्रमण नहीं है क्योंकि $(11,19) \in R$ और $(19,3) \in R$

लेकिन $(11,3) \notin R$।

इसलिए, $R$ न तो स्व-संबंध है, न ही सममिति और न ही संक्रमण है।

हल

यहाँ, $A=\lbrace 2,3,4 \rbrace $ और $B=\lbrace 2,5,6,7 \rbrace $

(i) मान लीजिए $f: A \to B$ $A$ से $B$ के फलन है

$f=\lbrace (x, y): y=x+3 \rbrace $

$\therefore\quad f=\lbrace (2,5),(3,6),(4,7) \rbrace $ जो $A$ से $B$ के एकैकी फलन है।

(ii) मान लीजिए $g: A \to B$ $A$ से $B$ के फलन है जो $g=\lbrace (2,5),(3,5),(4,2) \rbrace $ जो एकैकी नहीं फलन है।

(iii) मान लीजिए $h: B \to A$ $B$ से $A$ के फलन है

$h=\lbrace (y, x): x=y-2 \rbrace $

$h=\lbrace (5,3),(6,4),(7,3) \rbrace $ जो $B$ से $A$ के फलन है।

हल

(i) मान लीजिए $f: N \to N$ द्वारा $f(x)=x^{2}$

मान लीजिए $x_1, x_2 \in N$ तब $f(x_1)=x_1^{2}$ और $f(x_2)=x_2^{2}$

अब, $f(x_1)=f(x_2) $

$\Rightarrow \quad x_1^{2}=x_2^{2}$

$\Rightarrow \quad x_1^{2}-x_2^{2}=0$

$ \Rightarrow \quad (x_1+x_2)(x_1-x_2)=0 $

क्योंकि $x_1, x_2 \in N$, इसलिए $x_1+x_2=0$ संभव नहीं है।

$ \begin{matrix} \therefore & x_1-x_2=0 & \Rightarrow \quad x_1=x_2 \\ \\ \therefore & f(x_1)=f(x_2) & \Rightarrow \quad x_1=x_2

\end{matrix} $

इसलिए, $f(x)$ एक एक फलन है।

अब, मान लीजिए $f(x)=5 \in N$

तो $\quad x^{2}=5 \Rightarrow \quad x= \pm \sqrt{5} \notin N$

इसलिए, $f$ आधिकारिक नहीं है।

अतः, $f(x)=x^{2}$ एक एक लेकिन आधिकारिक नहीं है।

(ii) मान लीजिए फलन $ f: N \rightarrow \quad N $, जो $ f(1)=f(2)=1 $ द्वारा परिभाषित है।

यहाँ, $ f(x)=f(1)=1 $ और

$ \Rightarrow \quad f(x)=f(2)=1 $

क्योंकि, अलग-अलग तत्व 1,2 के एक ही प्रतिबिम्ब 1 है,

$ \therefore f $ एक एक नहीं है।

मान लीजिए $ f(x)=y $, जहाँ $ y \in N $

यहाँ, $ y $ एक प्राकृतिक संख्या है और प्रत्येक $ y $ के लिए एक $ x $ का मान है जो प्राकृतिक संख्या है।

अतः $ f $ आधिकारिक है।

इसलिए, फलन $ f: N \rightarrow \quad N $, जो $ f(1)=f(2)=1 $ द्वारा परिभाषित है, एक एक नहीं लेकिन आधिकारिक है।

(iii) मान लीजिए $f: R \to R$ जो $f(x)=x^{2}$ द्वारा परिभाषित है।

मान लीजिए $x_1=2$ और $x_2=-2$

$ \begin{aligned} & f(x_1)=x_1^{2}=(2)^{2}=4 \\ \\ & f(x_2)=x_2^{2}=(-2)^{2}=4 \\ \\ & f(2)=f(-2) \quad \text{ लेकिन } 2 \ne-2 \end{aligned} $

इसलिए, यह एक एक फलन नहीं है।

मान लीजिए $f(x)=-2 $

$\Rightarrow \quad x^{2}=-2 $

$\therefore \quad x= \pm \sqrt{-2} \notin R$

जो संभव नहीं है, इसलिए $f$ आधिकारिक नहीं है।

अतः, $f$ न तो एक एक न ही आधिकारिक है।

हल

यहाँ, $A \in R-\lbrace 3 \rbrace , B=R-\lbrace 1 \rbrace $

दिया गया है कि $f: A \to B$ जो $f(x)=\dfrac{x-2}{x-3}\ \forall\ x \in A$ द्वारा परिभाषित है।

मान लीजिए $x_1, x_2 \in f(x)$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad f(x_1)=f(x_2) \\ \\ & \Rightarrow \quad \quad \dfrac{x_1-2}{x_1-3}=\dfrac{x_2-2}{x_2-3} \\ \\ & \Rightarrow \quad \quad (x_1-2)(x_2-3)=(x_2-2)(x_1-3) \\ \\ & \Rightarrow \quad \quad {\not x_1 \not x_2}-3 x_1-2 x_2+\not 6=\not x_1 \not x_2-3 x_2-2 x_1+\not 6 \\ \\ & \Rightarrow \quad \quad -x_1=-x_2 \Rightarrow \quad x_1=x_2 \end{aligned} $

इसलिए, यह एकैक फलन है।

अब, मान लीजिए $\quad y=\dfrac{x-2}{x-3}$

$\Rightarrow \quad x y-3 y=x-2 $

$\Rightarrow \quad x y-x=3 y-2$

$\Rightarrow \quad x(y-1)=3 y-2 $

$\Rightarrow \quad x=\dfrac{3 y-2}{y-1}$

$ f(x)=\dfrac{x-2}{x-3}=\dfrac{\dfrac{3 y-2}{y-1}-2}{\dfrac{3 y-2}{y-1}-3} $

$\Rightarrow \quad \dfrac{3 y-2-2 y+2}{3 y-2-3 y+3} \Rightarrow \quad y$

$\Rightarrow \quad \quad f(x)=y \in B$

अतः, $f(x)$ एक सरल फलन है।

इसलिए, $f(x)$ एक आच्छादक फलन है।

हल

(i) दिया गया है कि $-1 \le x \le 1$

मान लीजिए $x_1, x_2 \in f(x)$

अतः, $f(x)$ एकैक फलन है।

$ f(x_1)=\dfrac{1}{x_1}\quad \text{ और }\quad f(x_2)=\dfrac{1}{x_2} $

$f(x_1)=f(x_2) $

$\Rightarrow \ \dfrac{1}{x_1}=\dfrac{1}{x_2} $

$ \Rightarrow \quad x_1=x_2$

मान लीजिए, $ \quad f(x)=y=\dfrac{x}{2} $

$\Rightarrow \quad \quad x=2 y $

$y=1$ के लिए, $x=2 \notin[-1,1]$

अतः, $f(x)$ आच्छादक नहीं है। इसलिए, $f(x)$ आच्छादक फलन नहीं है।

(ii) यहाँ, $ \ g(x)=|x|$

$g(x_1)=g(x_2) $

$ \Rightarrow \quad |x_1|=|x_2| $

$\Rightarrow \quad x_1= \pm x_2$

अतः, $g(x)$ एकैक फलन नहीं है।

मान लीजिए, $\quad g(x)=y=|x|$

$ \Rightarrow \quad x= \pm y \notin A\ \forall\ y \in A$

अतः, $g(x)$ आच्छादक फलन नहीं है।

इसलिए, $g(x)$ आच्छादक फलन नहीं है।

(iii) यहाँ, $ \ h(x) =x|x| $

$h(x_1) =h f(x_2)$

$ \Rightarrow \quad x_1|x_1|=x_2|x_2| $

$\Rightarrow \quad x_1=x_2 $

अतः, $h(x)$ एकैक फलन है।

अब, मान लीजिए $h(x)=y=x|x|=x^{2}$ या $-x^{2}$

$\Rightarrow \quad \quad x= \pm \sqrt{-y} \notin A\ \forall\ y \in A$

$\therefore h(x)$ आच्छादक फलन नहीं है।

इसलिए, $h(x)$ आच्छादक फलन नहीं है।

(iv) यहाँ,

$ \begin{aligned} k(x) & =x^{2} \\ \\ k(x_1) & =k(x_2) \end{aligned} $

$ \Rightarrow \quad x_1^{2}=x_2^{2} $

$\Rightarrow \quad x_1= \pm x_2 $

अतः, $k(x)$ एकैक फलन नहीं है।

अब,

मान लीजिए, $ \ k(x)=y=x^{2} $

$\Rightarrow \quad x= \pm \sqrt{y}$

यदि $y=-1 \ \Rightarrow \quad x= \pm \sqrt{-1} \notin A\ \forall\ y \in A$

$\therefore \quad k(x)$ एक आच्छादक फलन नहीं है।

अतः, $k(x)$ एक आकृति फलन नहीं है।

हल

(i) $x$ $y$ से बड़ा है, $x, y \in N$

स्व-संबंधी के लिए $x>x\ \forall\ x \in N$ जो सत्य नहीं है

अतः, यह एक अस्व-संबंधी संबंध है।

अब, $x>y$ लेकिन $y \ngtr x\ \forall\ x, y \in N$

$\Rightarrow \quad x R y$ लेकिन $y$ Z $x$

अतः, यह एक असममिति संबंध है।

संक्रमणीयता के लिए, $\quad x R y, y R z $

$\Rightarrow \quad x R z\ \forall\ x, y, z \in N$

$ \Rightarrow \quad x>y, y>z $

$\Rightarrow \quad x>z $

अतः, यह एक संक्रमणीय संबंध है।

(ii) यहाँ, $\quad R=\lbrace (x, y): x+y=10\ \forall\ x, y \in N \rbrace $

$R=\lbrace (1,9),(2,8),(3,7),(4,6),(5,5),(6,4),(7,3),(8,2),(9,1) \rbrace $

स्व-संबंधी के लिए: $5+5=10,5 R 5 $

$\Rightarrow \quad (x, x) \in R$

अतः, $R$ स्व-संबंधी है।

सममिति के लिए: $(1,9) \in R$ और $(9,1) \in R$

अतः, $R$ सममिति है।

संक्रमणीयता के लिए: $(3,7) \in R,(7,3) \in R$ लेकिन $(3,3) \notin R$

अतः, $R$ संक्रमणीय नहीं है।

(iii) यहाँ, $R=\lbrace (x, y): x y$ एक पूर्णांक का वर्ग है, $x, y \in N \rbrace $

स्व-संबंधी के लिए: $x R x=x . x=x^{2}$ एक पूर्णांक है

अतः, $R$ स्व-संबंधी है।

$[\because\quad$ पूर्णांक का वर्ग भी एक पूर्णांक होता है $]$

सममिति के लिए: $x R y=y R x\ \forall\ x, y \in \mathbf{N}$

$\therefore \quad x y=y x \quad $ (पूर्णांक)

अतः, यह सममिति है।

संक्रमणीयता के लिए: $x R y$ और $y R z \quad \Rightarrow \quad x R z$

मानलो,

$ \begin{aligned} & x y=k^{2}\quad \text{ और }\quad y z=m^{2} \\ \\ & x=\dfrac{k^{2}}{y} \quad \text{ और } \quad z=\dfrac{m^{2}}{y} \end{aligned} $

$\therefore \quad x z=\dfrac{k^{2} m^{2}}{y^{2}}$ जो एक फिर से पूर्णांक का वर्ग है।

(iv) यहाँ,

$ \begin{aligned} & R=\lbrace (x, y): x+4 y=10, x, y \in N \rbrace \\ \\ & R=\lbrace (2,2),(6,1) \rbrace \end{aligned} $

स्वतंत्रता के लिए: $(2,2) \in R$

इसलिए, $R$ स्वतंत्र है।

सममिति के लिए: $\quad (x, y) \in R$ लेकिन $(y, x) \notin R$

$ (6,1) \in R \quad \text{ लेकिन } \quad (1,6) \notin R $

इसलिए, $R$ सममिति नहीं है।

अनुवाद के लिए: $(x, y) \in R \quad \text{ लेकिन } \quad (y, z) \notin R \quad \text{ और } \quad (x, z) \in R$

इसलिए, $R$ अनुवाद नहीं है।

हल

यहाँ,

$ A=\lbrace 1,2,3, \ldots, 9 \rbrace $

और $R \to A \times A$ जिसके द्वारा $(a, b) R(c, d)$

$\quad\Rightarrow \quad a+d=b+c$

$\forall\ (a, b),(c, d) \in A \times A$

स्वतंत्रता के लिए: $(a, b) R(a, b)=a+b=b+a \quad \forall\ a, b \in A$ जो सत्य है। इसलिए, $R$ स्वतंत्र है।

सममिति के लिए: $(a, b) R(c, d)=(c, d) R(a, b)$

बाएँ पक्ष $\quad a+d=b+c$

दाएँ पक्ष $\quad c+b=d+a$

बाएँ पक्ष = दाएँ पक्ष। इसलिए, $R$ सममिति है।

अनुवाद के लिए: $(a, b) R(c, d)$ और $(c, d) R(e, f) \Leftrightarrow(a, b) R(e, f)$

$\Rightarrow \quad \quad a+d=b+c$ और $c+f=d+e$

$\Rightarrow \quad \quad a+d=b+c$ और $d+e=c+f$

$\Rightarrow \quad (a+d)-(d+e)=(b+c)-(c+f)$

$\Rightarrow \quad \quad a-e=b-f$

$\Rightarrow \quad \quad a+f=b+e$

$\Rightarrow \quad \quad (a, b) R(e, f)$

इसलिए, $R$ अनुवाद है।

इसलिए, $R$ एक तुलनात्मक संबंध है।

तुलनात्मक वर्ग $\lbrace (2,5) \rbrace $ है $\lbrace (1,4),(2,5),(3,6),(4,7),(5,8),(6,9) \rbrace $

हल

एक फलन $f: X \to Y$ उलटनीय कहलाता है यदि एक फलन $g: Y \to X$ ऐसा मौजूद हो कि $gof=I_X$ और $fog=I_Y$ हो और फिर $f$ के उलट को $f^{-1}$ द्वारा नोट किया जाता है।

एक फ़ंक्शन $f: X \to Y$ उलटने योग्य कहलाता है यदि और केवल यदि $f$ एक आच्छादक फ़ंक्शन हो।

हल

(i) $\quad fog \quad \Rightarrow \quad f[g(x)]=[g(x)]^{2}+3[g(x)]+1$

(ii) $\quad gof \quad \Rightarrow \quad g[f(x)]=2[x^{2}+3 x+1]-3$

$\hspace{3.5cm} \begin{aligned} & =(2 x-3)^{2}+3(2 x-3)+1 \\ \\ & =4 x^{2}+9-12 x+6 x-9+1=4 x^{2}-6 x+1 \\ \\ & =2[x^{2}+3 x+1]-3 \\ \\ & =2 x^{2}+6 x+2-3=2 x^{2}+6 x-1 \end{aligned} $

(iii) $\quad f \circ f \Rightarrow \quad f[f(x)]=[f(x)]^{2}+3[f(x)]+1$

$\hspace{3.5cm} \begin{aligned} & =(x^{2}+3 x+1)^{2}+3(x^{2}+3 x+1)+1 \\ \\ & =x^{4}+9 x^{2}+1+6 x^{3}+6 x+2 x^{2}+3 x^{2}+9 x+3+1 \\ \\ & =x^{4}+6 x^{3}+14 x^{2}+15 x+5 \end{aligned} $

(iv) $gog \quad \Rightarrow \quad g[g(x)]=2[g(x)]-3=2(2 x-3)-3=4 x-6-3=4 x-9$

हल

(i) $ a * b=a-b \in \quad \forall\ a, b \in . $

इसलिए, $*$ एक द्विआधारी संक्रिया है।

$a * b=a-b$ और $b * a=b-a \quad \forall\ a, b \in $

$ a-b \ne b-a $

इसलिए, $*$ सम्मिति विशिष्ट नहीं है।

(ii) $a * b=a^{2}+b^{2} \in, \ $ इसलिए $*$ एक द्विआधारी संक्रिया है।

$ a * b=b * a $

$ \Rightarrow \quad a^{2}+b^{2}=b^{2}+a^{2} \quad \forall\ a, b \in $

जो सत्य है। इसलिए, $*$ सम्मिति विशिष्ट है।

(iii) $a * b=a+a b \in $, इसलिए $*$ एक द्विआधारी संक्रिया है।

$ a * b=a+a b \text{ और } b * a=b+b a $

$a+a b \ne b+b a \Rightarrow \quad a * b \ne b * a \quad \forall\ a, b \in $.

इसलिए, $*$ सम्मिति विशिष्ट नहीं है।

(iv) $a * b=(a-b)^{2} \in $, इसलिए $*$ एक द्विआधारी संक्रिया है।

$a * b=(a-b)^{2}$ और $b * a=(b-a)^{2}$

$a * b=b * a \Rightarrow \quad (a-b)^{2}=(b-a)^{2} \quad \forall\ a, b \in $.

इसलिए, $*$ संवृत अपरिवर्तनीय है।

हल

(i): दिया गया है कि

$a * b=1+a b \quad \forall\ a, b \in R$

$b * a=1+b a \quad \forall\ a, b \in R$

$a * b=b * a=1+a b$

इसलिए, $*$ अपरिवर्तनीय है।

अब $a *(b * c)=(a * b) * c \quad \forall\ a, b, c \in R$

बायां पक्ष $a *(b * c)=a *(1+b c)=1+a(1+b c)=1+a+a b c$

दायां पक्ष $(a * b) * c=(1+a b) * c=1+(1+a b) . c=1+c+a b c$

बायां पक्ष $\ne$ दायां पक्ष

इसलिए, $*$ संयोजन नहीं है।

अतः, $*$ अपरिवर्तनीय लेकिन संयोजन नहीं है।

हल

यदि $a \cong b\ \forall\ a, b \in T$

तो $a R a \quad \Rightarrow \quad a \cong a$ जो सभी $a \in T$ के लिए सत्य है

इसलिए, $R$ स्व-संबंधी है।

अब, $a R b$ और $b R a$।

अर्थात, $a \cong b$ और $b \cong a$ जो सभी $a, b \in T$ के लिए सत्य है

इसलिए, $R$ सममिति है।

मान लीजिए $a R b$ और $b R c$।

$\Rightarrow \quad a \cong b$ और $b \cong a $

$\Rightarrow \quad a \cong c\ \forall\ a, b, c \in T$

इसलिए, $R$ संक्रमण है।

अतः, $R$ समतुल्यता संबंध है।

इसलिए, सही उत्तर (c) है।

• विकल्प (a) स्व-संबंधी लेकिन संक्रमण नहीं:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि संबंध $R$ वास्तव में संक्रमण है। यदि $a R b$ और $b R c$, तो $a \cong b$ और $b \cong c$ अर्थात $a \cong c$ जो संक्रमण गुणधर्म को संतुष्ट करता है।

• विकल्प (b) संक्रमण लेकिन सममिति नहीं:

• यह विकल्प गलत है क्योंकि संबंध $R$ सममिति का गुण रखता है। यदि $a R b$, तो $a \cong b$ के अर्थ में $b \cong a$ होता है, सममिति के गुण को संतुष्ट करता है।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि संबंध $R$ एक समतुल्यता संबंध है, जिसका अर्थ है कि यह स्व-संबंधी, सममिति और संक्रमण गुण रखता है। इसलिए, विकल्प (c) सही उत्तर है।

हल

यहाँ,

$a R b \quad \Rightarrow \quad a$ $b$ के भाई है।

$a R a \quad \Rightarrow \quad a$ $a$ के भाई है जो सत्य नहीं है।

इसलिए, $R$ स्व-संबंधी नहीं है।

$a R b \quad \Rightarrow \quad a$ $b$ के भाई है।

$b R a \quad \Rightarrow \quad $ जो सत्य नहीं है क्योंकि $b$ $a$ की बहन हो सकती है।

$\qquad\quad \Rightarrow \quad a R b \ne b R a$

इसलिए, $R$ सममिति नहीं है।

अब,

$a R b, b R c \quad \Rightarrow \quad a R c$

$\Rightarrow \quad a$ $b$ के भाई है और $b$ $c$ के भाई है।

$\therefore\quad a$ $c$ के भाई भी है।

इसलिए, $R$ संक्रमण है।

इसलिए, सही उत्तर $(b)$ है।

• विकल्प (a) सममिति लेकिन संक्रमण नहीं:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि संबंध $R$ सममिति नहीं है। यदि $a$ $b$ के भाई है, तो यह आवश्यक रूप से नहीं कहा जा सकता है कि $b$ $a$ के भाई है (क्योंकि $b$ एक बहन हो सकती है)। इसलिए, $R$ सममिति नहीं है।

• विकल्प (c) न तो सममिति न ही संक्रमण:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि संबंध $R$ संक्रमण है। यदि $a$ $b$ के भाई है और $b$ $c$ के भाई है, तो $a$ $c$ के भाई भी है। इसलिए, $R$ संक्रमण है।

• विकल्प (d) दोनों सममिति और संक्रमण:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि संबंध $R$ सममिति नहीं है। जैसा कि पहले बताया गया है, यदि $a$ $b$ के भाई है, तो यह आवश्यक रूप से नहीं कहा जा सकता है कि $b$ $a$ के भाई है (क्योंकि $b$ एक बहन हो सकती है)। इसलिए, $R$ सममिति नहीं है।

हल

यहाँ,

$ A=\lbrace 1,2,3 \rbrace $

समतुल्यता संबंधों की संख्या निम्नलिखित है:

$R_1=\lbrace (1,1),(1,2),(2,1),(2,3),(1,3) \rbrace $

$R_2=\lbrace (2,2),(1,3),(3,1),(3,2),(1,2) \rbrace $

$R_3=\lbrace (3,3),(1,2),(2,3),(1,3),(3,2) \rbrace $

अतः, सही उत्तर $(d)$ है

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि समुच्चय $ A = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace $ पर एक से अधिक समतुल्यता संबंध संभव हैं। विशेष रूप से, समुच्चय को समतुल्यता वर्गों में विभाजित करने के अनेक तरीके हैं।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि समुच्चय $ A = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace $ पर दो से अधिक समतुल्यता संबंध संभव हैं। समतुल्यता संबंधों की संख्या समुच्चय के विभाजन के तरीकों की संख्या के बराबर होती है, जो दो से अधिक है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि समुच्चय $ A = \lbrace 1, 2, 3 \rbrace $ पर तीन से अधिक समतुल्यता संबंध संभव हैं। सही समतुल्यता संबंधों की संख्या आकार 3 के समुच्चय के बेल संख्या के बराबर होती है, जो 5 है।

हल

दिया गया है: $R=\lbrace (1,2) \rbrace $

$a$ $\not R $ $a$, अतः यह स्वतुल्य नहीं है।

$a \mathbb{R} b$ लेकिन $b \mathbb{R} a$, अतः यह सममित नहीं है।

$a R b$ और $b R c \quad \Rightarrow \quad a R c$ जो सत्य है।

अतः, $R$ प्रतिचित है।

अतः, सही उत्तर $(b)$ है।

• स्वतुल्य: एक समुच्चय पर एक संबंध $ R $ स्वतुल्य होता है यदि प्रत्येक तत्व अपने से संबंधित हो। इस मामले में, संबंध $ R $ के लिए समुच्चय $\lbrace 1, 2, 3 \rbrace $ पर स्वतुल्य होने के लिए, यह युग्म $(1,1)$, $(2,2)$ और $(3,3)$ शामिल करना चाहिए। चूंकि $ R = \lbrace (1,2) \rbrace $ इन युग्मों को शामिल नहीं करता, इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है।

• सममिति: एक समुच्चय पर एक संबंध $ R $ सममिति कहलाता है यदि प्रत्येक युग्म $(a, b) \in R$ के लिए, युग्म $(b, a)$ भी $ R $ में हो। यहाँ, $ (1,2) \in R $ लेकिन $ (2,1) \notin R $। अतः, $ R $ सममिति नहीं है।

• इनमें से कोई नहीं: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिए गए उत्तर के अनुसार संबंध $ R $ संक्रमणीय है।

हल

यहाँ, $a R b$ यदि $a \ge b$

$ a R a \quad \Rightarrow \quad a \ge a$ जो सत्य है, अतः यह परिभाषित है।

मान लीजिए, $a R b \quad \Rightarrow \quad a \ge b$, लेकिन $b \ngeq a$, अतः $b\not Ra$

$R$ सममिति नहीं है।

अब, $a \ge b, b \ge c \quad \Rightarrow \quad a \ge c$ जो सत्य है।

अतः, $R$ संक्रमणीय है।

इसलिए, सही उत्तर $(b)$ है।

• विकल्प (a): एक तुलनीय संबंध

  एक तुलनीय संबंध अपने आप में परिभाषित, सममिति और संक्रमणीय होना चाहिए। जबकि संबंध $ R $ परिभाषित और संक्रमणीय है, लेकिन सममिति नहीं है। अतः, $ R $ एक तुलनीय संबंध नहीं है।

• विकल्प (c): सममिति, संक्रमणीय लेकिन परिभाषित नहीं

  संबंध $ R $ परिभाषित है, क्योंकि $ a \ge a $ हमेशा सत्य है। हालांकि, $ R $ सममिति नहीं है क्योंकि यदि $ a \ge b $, तो यह आवश्यक रूप से नहीं बताता कि $ b \ge a $ है। अतः, यह विकल्प गलत है।

• विकल्प (d): न तो संक्रमणीय न ही परिभाषित लेकिन सममिति

  संबंध $ R $ परिभाषित है, क्योंकि $ a \ge a $ हमेशा सत्य है, और यह संक्रमणीय है क्योंकि यदि $ a \ge b $ और $ b \ge c $, तो $ a \ge c $ होता है। हालांकि, $ R $ सममिति नहीं है। अतः, यह विकल्प गलत है।

हल

दिया गया है: $R=\lbrace (1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,3),(1,3) \rbrace $

यहाँ, $1R1, 2R2$ और $3R3$, इसलिए $R$ स्व-संबंधी है।

$1 R 2$ लेकिन $2 R^{\prime} 1$ या $2 R 3$ लेकिन $3 R^{\prime} 2$, इसलिए, $R$ सममिति नहीं है।

$1 R 1$ और $1 R 2 \quad \Rightarrow \quad 1 R 3$, इसलिए, $R$ प्रतिलोम गुण है।

इसलिए, सही उत्तर है $(a)$।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि संबंध $ R $ प्रतिलोम गुण है। उदाहरण के लिए, $ 1 R 2 $ और $ 2 R 3 $ के अर्थ वाले $ 1 R 3 $, जो $ R $ में मौजूद है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि संबंध $ R $ सममिति नहीं है। उदाहरण के लिए, $ 1 R 2 $ $ R $ में है, लेकिन $ 2 R 1 $ $ R $ में नहीं है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि संबंध $ R $ स्व-संबंधी है। उदाहरण के लिए, $ (1,1) $, $ (2,2) $ और $ (3,3) $ सभी $ R $ में हैं।

हल

दिया गया है: $a * b=\dfrac{a b}{2}\ \forall\ a, b \in -\lbrace 0 \rbrace $

मान लीजिए $e$ तत्समक तत्व है

$ \therefore \quad a * e=\dfrac{a e}{2}=a $

$\Rightarrow \quad e=2 $

इसलिए, सही उत्तर है (c)।

• विकल्प (a) 1: यदि 1 तत्समक तत्व होता, तो किसी भी $ a $ के लिए $ a * 1 = a $ होता। हालांकि, $ a * 1 = \dfrac{a \cdot 1}{2} = \dfrac{a}{2} $, जो सभी $ a $ के लिए $ a $ के बराबर नहीं होता। इसलिए, 1 तत्समक तत्व नहीं हो सकता।

• विकल्प (b) 0: यदि 0 तत्समक तत्व होता, तो किसी भी $ a $ के लिए $ a * 0 = a $ होता। हालांकि, $ a * 0 = \dfrac{a \cdot 0}{2} = 0 $, जो सभी $ a $ के लिए $ a $ के बराबर नहीं होता। इसलिए, 0 तत्समक तत्व नहीं हो सकता।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं: यह विकल्प दिए गए संक्रिया के लिए कोई तत्समक तत्व नहीं होने का सुझाव देता है। हालांकि, हम पहले से दिखाचुके हैं कि 2 तत्समक तत्व है क्योंकि $ a * 2 = \dfrac{a \cdot 2}{2} = a $ सभी $ a $ के लिए होता है। इसलिए, यह विकल्प गलत है।

हल

यदि A और B समुच्चय क्रमशः m और n तत्व रखते हैं, तो A से B तक एकैक और आच्छादक फलन की संख्या है

$ \begin{cases} n ! , \quad यदि\ m=n \ 0, \quad यदि\ m \ne n \ \end{cases} $

यहाँ,

$ \begin{aligned} m & =5 \text{ और } n=6 \\ \\ 5 & \ne 6 \end{aligned} $

इसलिए, फलन की संख्या $=0$

अतः, सही उत्तर (c) है।

हल

क्योंकि, A से B तक सरल फलन की संख्या, A से B तक फलन की संख्या में से A से B तक फलन की संख्या घटाकर प्राप्त की जाती है जो B के प्राचल उपसमुच्चय होते हैं।

और, n तत्व वाले समुच्चय से m तत्व वाले समुच्चय में फलन की संख्या $=m^{n}$ होती है।

इसलिए, A से B तक सरल फलन की संख्या, जहाँ,

$ A=\lbrace 1,2, \ldots, n \rbrace $ और $ B=\lbrace a, b \rbrace $ है, $ 2^{n}-2\ $ होती है (क्योंकि दो फलन बहु-एक आच्छादक फलन हो सकते हैं)

अतः, सही विकल्प (b) है।

हल

दिया गया है $f(x)=\dfrac{1}{x}$

$ x=0 $ रखें $ \therefore \quad f(x)=\dfrac{1}{0}=\infty $

इसलिए, $f(x)$ परिभाषित नहीं है।

अतः, सही उत्तर $(d)$ है।

• (a) एकैक: $ f(x) = \dfrac{1}{x} $ फलन वास्तविक संख्या के सभी $ x \neq 0 $ के लिए एकैक (injective) है। हालांकि, $ f(x) $ के लिए $ x = 0 $ पर परिभाषित नहीं है, इसलिए फलन को पूरे डोमेन $ \mathbb{R} $ पर एकैक नहीं माना जा सकता।

• (ब) आधार पर: फलन $ f(x) = \dfrac{1}{x} $ सभी $ x \neq 0 $ के लिए आधार पर (सरलीकृत) है। हालांकि, क्योंकि $ f(x) $ $ x = 0 $ पर निर्धारित नहीं है, फलन को पूरे डोमेन $ \mathbb{R} $ पर आधार पर माना नहीं जा सकता।

• (स) एक-एक आधार पर: एक फलन एक-एक आधार पर (बिजेक्टिव) होता है यदि यह एक-एक और आधार पर दोनों हो। क्योंकि $ f(x) = \dfrac{1}{x} $ $ x = 0 $ पर निर्धारित नहीं है, इसलिए इसे पूरे डोमेन $ \mathbb{R} $ पर एक-एक आधार पर माना नहीं जा सकता।

हल

यहाँ, $f(x)=3 x^{2}-5$ और $g(x)=\dfrac{x}{x^{2}+1}$

$ \begin{aligned} \therefore \quad g \circ f & =gof(x)=g[3 x^{2}-5] \\ \\ & =\dfrac{3 x^{2}-5}{(3 x^{2}-5)^{2}+1}=\dfrac{3 x^{2}-5}{9 x^{4}+25-30 x^{2}+1} \\ \\ \therefore \quad gof & =\dfrac{3 x^{2}-5}{9 x^{4}-30 x^{2}+26} \end{aligned} $

इसलिए, सही उत्तर $(a)$ है।

• विकल्प (ब) गलत है क्योंकि हर के रूप में $9x^{4} - 6x^{2} + 26$ दिया गया है, लेकिन सही हर $9x^{4} - 30x^{2} + 26$ होना चाहिए।

• विकल्प (स) गलत है क्योंकि अंश के रूप में $3x^{2}$ दिया गया है, लेकिन सही अंश $3x^{2} - 5$ होना चाहिए। इसके अलावा, हर के रूप में $x^{4} + 2x^{2} - 4$ दिया गया है, जो $(3x^{2} - 5)^{2} + 1$ से निर्मित सही अभिव्यक्ति नहीं है।

• विकल्प (द) गलत है क्योंकि हर के रूप में $9x^{4} + 30x^{2} - 2$ दिया गया है, लेकिन सही हर $9x^{4} - 30x^{2} + 26$ होना चाहिए।

हल

दिया गया है कि $f: Z \to Z$

मान लीजिए $x_1, x_2 \in Z $

$\Rightarrow \quad f(x_1)=x_1+2, f(x_2)=x_2+2$

$\Rightarrow \quad f(x_1)=f(x_2) $

$\Rightarrow \quad x_1+2=x_2+2 $

$\Rightarrow \quad x_1=x_2$

इसलिए, $f(x)$ एक-एक फलन है।

अब, मान लीजिए $y=x+2 $

$\therefore \quad x=y-2 \in Z \quad \forall y \in Z$

इसलिए, $f(x)$ एक-एक-आत्मक फलन है।

$\therefore \quad f(x)$ एक-एक आत्मक फलन है।

इसलिए, सही उत्तर (b) है।

• (a) $ f(x) = x^3 $:

  • कारण: यह फलन वास्तव में एक आत्मक फलन है। कोई भी पूर्णांक $ y $ के लिए, एक अद्वितीय पूर्णांक $ x $ ऐसा होता है कि $ x^3 = y $। इसलिए, यह फलन एक-एक और आत्मक दोनों है।

• (c) $ f(x) = 2x + 1 $:

  • कारण: यह फलन भी एक आत्मक फलन है। कोई भी पूर्णांक $ y $ के लिए, एक अद्वितीय पूर्णांक $ x $ ऐसा होता है कि $ 2x + 1 = y $। इसलिए, यह फलन एक-एक और आत्मक दोनों है।

• (d) $ f(x) = x^2 + 1 $:

  • कारण: यह फलन एक आत्मक फलन नहीं है। यह एक-एक नहीं है क्योंकि $ f(x) = f(-x) $ कोई भी $ x \in Z $ के लिए होता है। उदाहरण के लिए, $ f(2) = 5 $ और $ f(-2) = 5 $। यह आत्मक भी नहीं है क्योंकि कोई भी पूर्णांक $ x $ ऐसा नहीं होता जो $ x^2 + 1 $ को कोई नकारात्मक पूर्णांक बराबर करे।

हल

दिया गया है

$ f(x)=x^{3}+5 $

मान लीजिए $\quad y=x^{3}+5 $

$\Rightarrow \quad x^{3}=y-5$

$\therefore \quad x=(y-5)^{1 / 3} $

$\Rightarrow \quad f^{-1}(x)=(x-5)^{1 / 3}$

इसलिए, सही उत्तर $(b)$ है।

• विकल्प (a) $(x+5)^{1 / 3}$ गलत है क्योंकि इसका अर्थ यह होता है कि व्युत्क्रम फलन को $ x $ के जोड़ने के बाद घनमूल लेना होता है। लेकिन सही प्रक्रिया यह है कि $ x $ से 5 घटाने के बाद घनमूल लेना होता है।

• विकल्प (c) $(5-x)^{1 / 3}$ गलत है क्योंकि इसका अर्थ यह होता है कि व्युत्क्रम फलन को $ x $ को 5 से घटाने के बाद घनमूल लेना होता है। यह वास्तविक फलन $ f(x) = x^3 + 5 $ के व्युत्क्रम को सही रूप से नहीं उलटता है।

• विकल्प (d) $5-x$ गलत है क्योंकि इसका अर्थ यह होता है कि व्युत्क्रम फलन एक रैखिक फलन है, जो वास्तविक फलन $ f(x) = x^3 + 5 $ के घनात्मक प्रकृति को सही रूप से नहीं उलटता है।

हल

यहाँ, $f: A \to B$ और $g: B \to C$

$\therefore \quad (g o f)^{-1}=f^{-1} o g^{-1}$

अतः सही उत्तर (a) है।

• विकल्प (b) $fog$ गलत है क्योंकि यह $f$ और $g$ के संयोजन को दर्शाता है, न कि संयोजन $(gof)$ के व्युत्क्रम। संयोजन का व्युत्क्रम संयोजन के समान नहीं होता।

• विकल्प (c) $g^{-1}$ of ${ }^{-1}$ गलत है क्योंकि यह एक वैध गणितीय नोटेशन नहीं है। संयोजन $(gof)$ के व्युत्क्रम के लिए सही नोटेशन $(gof)^{-1}$ होता है, जो $f^{-1} o g^{-1}$ के बराबर होता है।

• विकल्प (d) $gof$ गलत है क्योंकि यह $g$ और $f$ के संयोजन को दर्शाता है, न कि संयोजन $(gof)$ के व्युत्क्रम। संयोजन का व्युत्क्रम संयोजन के समान नहीं होता।

हल

दिया गया है कि $f(x)=\dfrac{3 x+2}{5 x-3}\ \forall\ x \ne \dfrac{3}{5}$

$ \begin{aligned} &\text{ मान लीजिए } y =\dfrac{3 x+2}{5 x-3} \\ \\ &\Rightarrow \quad y(5 x-3) =3 x+2 \\ \\ &\Rightarrow \quad 5 x y-3 y =3 x+2 \\ \\ &\Rightarrow \quad 5 x y-3 x =3 y+2 \\ \\ &\Rightarrow \quad x(5 y-3) =3 y+2 \\ \\ &\Rightarrow \quad x =\dfrac{3 y+2}{5 y-3} \\ \\ &\Rightarrow \quad f^{-1}(x) =\dfrac{3 x+2}{5 x-3} \\ \\ &\Rightarrow \quad f^{-1}(x) =f(x) \end{aligned} $

अतः सही उत्तर (a) है।

• विकल्प (b): कथन $f^{-1}(x) = -f(x)$ गलत है क्योंकि हम पहले से ही स्थापित कर चुके हैं कि $f^{-1}(x) = f(x)$. अतः $f^{-1}(x)$ $-f(x)$ के बराबर नहीं हो सकता।

• विकल्प (c): कथन $(f \circ f)(x) = -x$ गलत है। इसे सत्यापित करने के लिए हमें $(f \circ f)(x)$ की गणना करनी होगी:

$ f(f(x)) = f\left(\dfrac{3x + 2}{5x - 3}\right) = \dfrac{3\left(\dfrac{3x + 2}{5x - 3}\right) + 2}{5\left(\dfrac{3x + 2}{5x - 3}\right) - 3} $ इस व्यंजक को सरल करने पर $-x$ प्राप्त नहीं होता। अतः, $(f \circ f)(x) \neq -x$।

• विकल्प (d): कथन $f^{-1}(x) = \dfrac{1}{19} f(x)$ गलत है क्योंकि हम पहले से ही स्थापित कर चुके हैं कि $f^{-1}(x) = f(x)$. अतः, $f^{-1}(x)$ $\dfrac{1}{19} f(x)$ के बराबर नहीं हो सकता।

हल

दिया गया है कि $f:[0,1] \to[0,1]$

$\therefore \qquad f=f^{-1}$

$So, \qquad (fof)x=x \qquad \text{(इकाई तत्व)}$

अतः, सही उत्तर (c) है।

• विकल्प (a) स्थिर: यह विकल्प गलत है क्योंकि फलन $ (f \circ f)(x) $ एक स्थिर फलन नहीं है। एक स्थिर फलन का अर्थ है कि $ (f \circ f)(x) $ के सभी $ x $ के लिए समान मान होता है। हालांकि, $ (f \circ f)(x) = x $, जो $ x $ के साथ बदलता रहता है।

• विकल्प (b) $1 + x$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ (f \circ f)(x) $ $ 1 + x $ के बराबर नहीं होता। $ x $ के लिए $[0,1]$ में, $ 1 + x $ के मान $ x > 0 $ के लिए $[0,1]$ के बाहर होता है, जो संभव नहीं है क्योंकि $ f $ $[0,1]$ को $[0,1]$ में निर्देशित करता है।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर है, जो $ (f \circ f)(x) = x $ है। अतः, “इनमें से कोई नहीं” सही विकल्प नहीं है।

हल

दिया गया है कि $f(x)=x^{2}-4 x+5$

$ \begin{aligned} \text{ मान लीजिए } \quad y & =x^{2}-4 x+5 \\ \\ \Rightarrow \quad x^{2} & -4 x+5-y=0 \\ \\

\Rightarrow \quad x & =\dfrac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4 \times 1 \times(5-y)}}{2 \times 1} \\ \\ & =\dfrac{4 \pm \sqrt{16-20+4 y}}{2} \\ \\ & =\dfrac{4 \pm \sqrt{4 y-4}}{2}=\dfrac{4 \pm 2 \sqrt{y-1}}{2} \\ \\ & =2 \pm \sqrt{y-1} \end{aligned} $

$\therefore\quad$ $x$ के वास्तविक मान के लिए, $y-1 \ge 0 \quad \Rightarrow \quad y \ge 1$.

इसलिए, परिसर $[1, \infty)$ है।

अतः, सही उत्तर है $(b)$।

• विकल्प (a) $R$: यह विकल्प गलत है क्योंकि फलन $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ एक द्विघात फलन है जो ऊपर की ओर खुलता है (क्योंकि $x^2$ के गुणांक धनात्मक है)। इस फलन का न्यूनतम मान 1 है, जो $x = 2$ पर होता है। इसलिए, फलन कोई भी मान 1 से कम नहीं ले सकता, जिसके कारण परिसर सभी वास्तविक संख्याओं $R$ के बराबर नहीं हो सकता।

• विकल्प (c) $[4, \infty)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि फलन $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ का न्यूनतम मान 1 है, न कि 4। फलन $x = 2$ पर इस न्यूनतम मान को प्राप्त करता है। इसलिए, परिसर 1 से शुरू होता है, न कि 4।

• विकल्प (d) $[5, \infty)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि फलन $ f(x) = x^2 - 4x + 5 $ का न्यूनतम मान 1 है, न कि 5। फलन $x = 2$ पर इस न्यूनतम मान को प्राप्त करता है। इसलिए, परिसर 1 से शुरू होता है, न कि 5।

हल

यहाँ,

$ f(x)=\dfrac{2 x-1}{2} \text{ और } g(x)=x+2 $

$ \therefore \quad \begin{aligned} g \circ f(x) & =g[f(x)] \\ \\ & =f(x)+2 \\ \\ & =\dfrac{2 x-1}{2}+2=\dfrac{2 x+3}{2} \\ \\ gof(\dfrac{3}{2}) & =\dfrac{2 \times \dfrac{3}{2}+3}{2}=3 \end{aligned} $

अतः, सही उत्तर है $(d)$।

• विकल्प (a) 1: यह गलत है क्योंकि $ g \circ f \left( \dfrac{3}{2} \right) $ की गणना करते समय परिणाम 3 होता है, न कि 1। गणना में $ \dfrac{3}{2} $ को संयुक्त फलन $ g(f(x)) $ में प्रतिस्थापित करते हुए 3 प्राप्त होता है।

• विकल्प (b) -1: यह गलत है क्योंकि संयोजित फ़ंक्शन $ g \circ f \left( \dfrac{3}{2} \right) $ के परिणाम 3 होते हैं, न कि -1। गणना नकारात्मक मान नहीं देती है।

• विकल्प (c) $ \dfrac{7}{2} $: यह गलत है क्योंकि $ g \circ f \left( \dfrac{3}{2} \right) $ का सही मान 3 होता है, न कि $ \dfrac{7}{2} $। संयोजित फ़ंक्शन की गणना $ \dfrac{7}{2} $ नहीं देती है।

हल

दिया गया है:

$ \begin{aligned} f(x) & = \begin{cases}2 x & : x>3 \\ \\ x^{2} & : 1<x \le 3 \\ \\ 3 x & : x \le 1\end{cases} \\ \\ \therefore f(-1)+f(2)+f(4) & =3(-1)+(2)^{2}+2(4)=-3+4+8=9 \end{aligned} $

अतः, सही उत्तर $(a)$ है।

• विकल्प (b) 14 गलत है क्योंकि $ f(-1) + f(2) + f(4) $ की गणना 14 नहीं करती है। सही मान $ f(-1) = -3 $, $ f(2) = 4 $, और $ f(4) = 8 $ हैं, जो 9 के योग देते हैं, न कि 14।

• विकल्प (c) 5 गलत है क्योंकि $ f(-1) + f(2) + f(4) $ की गणना 5 नहीं करती है। सही मान $ f(-1) = -3 $, $ f(2) = 4 $, और $ f(4) = 8 $ हैं, जो 9 के योग देते हैं, न कि 5।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं गलत है क्योंकि सही उत्तर दिए गए विकल्पों में से एक है, विशेषकर विकल्प (a) 9 है।

हल

दिया गया है $f(x)=\tan x$

मान लीजिए $\quad f(x)=y=\tan x \Rightarrow \quad x=\tan ^{-1} y$

$\Rightarrow \quad \quad f^{-1}(x)=\tan ^{-1}(x)$

$\Rightarrow \quad \quad f^{-1}(1)=\tan ^{-1}(1)$

$\Rightarrow \quad \quad f^{-1}(1)=\tan ^{-1}\left[\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right]=\dfrac{\pi}{4}$

इसलिए, सही उत्तर (a) है।

• विकल्प (b) $\lbrace n \pi+\dfrac{\pi}{4}: n \in Z \rbrace $ गलत है क्योंकि इसका उपयोग $\tan x = 1$ के लिए सामान्य समाधान के रूप में किया जाता है, जो $x$ के सभी संभावित मानों को शामिल करता है जहां $\tan x = 1$। हालांकि, व्युत्क्रम फलन $f^{-1}(x)$ को एक अकेले मान के रूप में परिभाषित किया गया है, जो विशेष रूप से $\tan^{-1}(1)$ के लिए मुख्य मान $\dfrac{\pi}{4}$ है।

• विकल्प (c) “मौजूद नहीं है” गलत है क्योंकि $f(x) = \tan x$ के लिए व्युत्क्रम फलन $f^{-1}(x)$ मौजूद है और $f^{-1}(1)$ विशेष रूप से मौजूद है और यह $\dfrac{\pi}{4}$ के बराबर है।

• विकल्प (d) “इनमें से कोई नहीं” गलत है क्योंकि सही उत्तर विकल्प (a) में दिया गया है, जो $\dfrac{\pi}{4}$ है।

हल

दिया गया है कि $a R b: 2 a+3 b=30$

$ \begin{matrix} &\Rightarrow \quad 3 b=30-2 a \\ \\ &\Rightarrow \quad b=\dfrac{30-2 a}{3} \\ \\ &\text{ जब } a=3, b=8 \\ \\ &a=6, b=6 \\ \\
&a=9, b=4 \\ \\
&a=12, b=2 \end{matrix} $

इसलिए, $ R=\lbrace (3,8),(6,6),(9,4),(12,2) \rbrace $

हल

दिया गया है कि $A=\lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace $ और $R=\lbrace (a, b):|a^{2}-b^{2}|<8 \rbrace $

इसलिए, स्पष्ट रूप से, $\quad R=\lbrace (1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(3,2),(4,3),$

$(3,4),(4,4),(5,5) \rbrace $

हल

यहां, $f=\lbrace (1,2),(3,5),(4,1) \rbrace $ और $g=\lbrace (2,3),(5,1),(1,3) \rbrace $

$ \begin{aligned} gof(1) & =g[f(1)]=g(2)=3 \\ \\ gof(3) & =g[f(3)]=g(5)=1 \\ \\ gof(4) & =g[f(4)]=g(1)=3 \\ \\ \therefore \quad gof & =\lbrace (1,3),(3,1),(4,3) \rbrace \\ \\

fog(2) & =f[g(2)]=f(3)=5 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} fog(5) & =f[g(5)]=f(1)=2 \\ \\ fog(1) & =f[g(1)]=f(3)=5 \\ \\ \therefore \quad fog & =\lbrace (2,5),(5,2),(1,5) \rbrace \end{aligned} $

हल

यहाँ, $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \forall x \in R$

$ \begin{aligned} & fofof(x)=fof[f(x)]=f[f\lbrace f(x) \rbrace ] \\ \\ & =f\left[f(\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}})\right]=f\left[\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{\sqrt{1+\dfrac{x^{2}}{1+x^{2}}}}\right] \\ \\ & =f\left[\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}{\dfrac{\sqrt{1+x^{2}+x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}}}\right]=f\left[\dfrac{x}{\sqrt{1+2 x^{2}}}\right] \\ \\ & =\left[\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{1+2 x^{2}}}}{\sqrt{1+\dfrac{x^{2}}{1+2 x^{2}}}}\right]=\left[\dfrac{\dfrac{x}{\sqrt{1+2 x^{2}}}}{\dfrac{\sqrt{1+2 x^{2}+x^{2}}}{\sqrt{1+2 x^{2}}}}\right]=\dfrac{x}{\sqrt{1+3 x^{2}}} \end{aligned} $

इसलिए, $fofof(x)=\dfrac{x}{\sqrt{3 x^{2}+1}}$

हल

दिया गया है, $f(x)=[4-(x-7)^{3}]$

मान लीजिए $ y=[4-(x-7)^{3}] $

$\Rightarrow \quad $ $ (x-7)^{3}=4-y $

$\Rightarrow \quad $ $ x-7=(4-y)^{1 / 3} \Rightarrow \quad x=7+(4-y)^{1 / 3} $

इसलिए, $\quad f^{-1}(x)=7+(4-x)^{1 / 3}$

हल

यहाँ, $\quad R=\lbrace (3,1),(1,3),(3,3) \rbrace $

$(3,3) \in R$, इसलिए $R$ अप्रतिचित्र है।

$(3,1) \in R$ और $(1,3) \in R$, इसलिए $R$ सममित है।

अब, $(3,1) \in R$ और $(1,3) \in R$ लेकिन $(1,1) \notin R$

इसलिए, $R$ प्रतिचित्र नहीं है।

इसलिए, कथन ‘असत्य’ है।

हल

दिया गया है: $f(x)=\sin (3 x+2) \forall x \in R$,

$f(x)$ एक-एक (one-one) नहीं है।

इसलिए, कथन “गलत” है।

हल

मान लीजिए $R$ कोई भी संबंध $A=\lbrace 1,2,3 \rbrace$ पर परिभाषित है

$ R=\lbrace (1,2),(2,1),(2,3),(1,3) \rbrace $

यहाँ, $(1,2) \in R$ और $(2,1) \in R$, इसलिए $R$ सममित है।

$(1,2) \in R,(2,3) \in R \Rightarrow \quad (1,3) \in R$, इसलिए $R$ संक्रमण है।

लेकिन $(1,1) \notin R,(2,2) \notin R$ और $(3,3) \notin R$।

इसलिए, कथन “गलत” है।

हल

$ R= \lbrace \text{(m,n)}$: m एक पूर्णांक गुणज है n \rbrace

यहाँ, $\quad m=k n$

यदि $k=1 \quad m=n$, इसलिए $R$ स्व-संबंधी है।

(जहाँ $k$ एक पूर्णांक है)

स्पष्ट रूप से $R$ सममित नहीं है लेकिन $R$ संक्रमण है।

इसलिए, कथन “गलत” है।

हल

दिया गया है $A=[0,1]$

$f(2 n-1)=0$ और $f(2 n)=1 \quad \forall\ n \in N$

इसलिए, $f: N \to A$ एक उत्पादनक फलन है।

इसलिए, कथन “सही” है।

हल

यहाँ, $\quad R\lbrace (1,1),(1,2),(2,1),(3,3) \rbrace $

यहाँ, $(1,1) \in R$, इसलिए $R$ अपने आप संबंधी है।

$(1,2) \in R$ और $(2,1) \in R$, इसलिए $R$ सममित है।

$(1,2) \in R$ लेकिन $(2,3) \notin R$

तो, $R$ अनुवांछनीय नहीं है।

इसलिए, कथन ‘गलत’ है।

हल

मान लीजिए $f(x)=x^{2}$ और $g(x)=2 x+3$

$ \begin{aligned} & fog(x)=f[g(x)]=(2 x+3)^{2}=4 x^{2}+9+12 x \\ \\ & gof(x)=g[f(x)]=2 x^{2}+3 \end{aligned} $

इसलिए,

$ fog(x) \ne gof(x) $

इसलिए, कथन ‘गलत’ है।

हल

मान लीजिए $f(x)=2 x, g(x)=x-1$ और $h(x)=2 x+3$

$ \begin{aligned} & fo\lbrace goh(x) \rbrace =fo\lbrace g(2 x+3) \rbrace \\ \\ & =f(2 x+3-1)=f(2 x+2)=2(2 x+2)=4 x+4 \\ \\ \text{और} \quad & (fog)oh(x)=(fog)\lbrace h(x) \rbrace \\ \\ & =fog(2 x+3) \\ \\ & =f(2 x+3-1)=f(2 x+2)=2(2 x+2)=4 x+4 \end{aligned} $

इसलिए, कथन ‘सत्य’ है।

हल

केवल आच्छादक फलन व्युत्क्रमणीय होते हैं।

इसलिए, कथन ‘गलत’ है।

हल

’ + ’ समुच्चय $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है लेकिन इसका कोई पहचान तत्व नहीं होता।

इसलिए, कथन ‘गलत’ है।