हल

एक भारित पासा उछाला जाता है जिसके निम्नलिखित प्रायिकताएँ हैं:

$P(1)=P(2)=0.2, P(3)=P(5)=P(6)=0.1$ और $P(4)=0.3$ और पासा दो बार उछाला जाता है। दिया गया है कि:

$A =$ हर बार समान संख्या और

$B =$ कुल अंक 10 या अधिक है।

$ \begin{aligned} & \text{ इसलिए, } P(A)=[P(1,1)+P(2,2)+P(3,3)+P(4,4)+P(5,5)+P(6,6)] \\ & =P(1) \cdot P(1)+P(2) \cdot P(2)+P(3) \cdot P(3)+P(4) \cdot P(4) \\ & +P(5) \cdot P(5)+P(6) \cdot P(6) \\ & =0.2 \times 0.2+0.2 \times 0.2+0.1 \times 0.1+0.3 \times 0.3+0.1 \times 0.1 \\ & +0.1 \times 0.1 \\ & =0.04+0.04+0.01+0.09+0.01+0.01=0.20 \end{aligned} $

अब $B=[(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)]$

$P(B)=[P(4) \cdot P(6)+P(6) \cdot P(4)+P(5) \cdot P(5)+P(5) \cdot P(6)$ $+P(6) \cdot P(5)+P(6) \cdot P(6)$

$=0.3 \times 0.1+0.1 \times 0.3+0.1 \times 0.1+0.1 \times 0.1+0.1 \times 0.1$ $+0.1 \times 0.1$

$=0.03+0.03+0.01+0.01+0.01+0.01=0.10$

$A$ और $B$ दोनों घटनाएँ स्वापेक्ष घटनाएँ होंगी यदि

$$ \begin{equation*} P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) \ldots(i) \end{equation*} $$

यहाँ,

$ (A \cap B)={(5,5),(6,6)} $

$ \therefore \quad P(A \cap B)=P(5,5)+P(6,6)=P(5) \cdot P(5)+P(6) \cdot P(6) $

$ =0.1 \times 0.1+0.1 \times 0.1=0.02 $

$L.H.S=P(A \cap B)=0.02\\ $ $R.H.S=P(A).P(B)=0.20 \times 0.10 = 0.02\\ $ $\therefore L.H.S=R.H.S\\ $ $\therefore P(A \cap B)=P(A).P(B)$

$ \begin{aligned} & 0.02=0.20 \times 0.10 \\ & 0.02=0.02 \end{aligned} $

इसलिए, $A$ और $B$ स्वापेक्ष घटनाएँ हैं।

हल

प्रश्न 1 के हल के अनुसार, हमारे पास है

$A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}$

$\therefore n(A)=6$ और $n(S)=6 \times 6=36$

इसलिए, $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$

और $\quad B={(4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)}$

$n(B)=6$ और $n(S)=36$

$\therefore \quad P(B)=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{6}{36}=\dfrac{1}{6}$

$A \cap B={(5,5),(6,6)}$

$\therefore P(A \cap B)=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18}$

इसलिए, यदि $A$ और $B$ स्वाधीन घटनाएं हैं, तो

$P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B)$

$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{18} \neq \dfrac{1}{6} \times \dfrac{1}{6} \Rightarrow \dfrac{1}{18} \neq \dfrac{1}{36}$

इसलिए, $A$ और $B$ स्वाधीन घटनाएं नहीं हैं।

हल

हम जानते हैं कि:

$A \cup B$ यह दर्शाता है कि कम से कम एक घटना घटित होती है और $A \cap B$ यह दर्शाता है कि दोनों घटनाएं एक साथ घटित होती हैं।

$ \begin{matrix} \text{ इसलिए, } P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \Rightarrow 0.6 =P(A)+P(B)-0.3 \\ \Rightarrow 0.9 =P(A)+P(B) \\ \Rightarrow 0.9 =1-P(\overline{A})+1-P(\overline{B}) \\ \Rightarrow P(\overline{A})+P(\overline{B}) =2-0.9=1.1 \end{matrix} $

इसलिए, अभीष्ट उत्तर 1.1 है।

हल

लाल गेंद को $R$ और काली गेंद को $B$ से निरूपित करें। यदि तीन गेंदों में से कम से कम एक गेंद काली हो और पहली गेंद लाल है, तो निम्नलिखित तीन संभावित स्थितियाँ हो सकती हैं।

(i) $E_1$ : दूसरी गेंद काली है और तीसरी गेंद लाल है

(ii) $E_2$ : दूसरी गेंद काली है और तीसरी गेंद भी काली है

(iii) $E_3:$ दूसरा गेंद लाल और तीसरा काला है

$ \begin{aligned} & \therefore \quad P(E_1)=P(R_1) \cdot P(B_1 / R_1) \cdot P(R_2 / R_1 B_1)=\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{4}{6}=\dfrac{60}{336}=\dfrac{5}{28} \\ & \quad P(E_2)=P(R_1) \cdot P(B_1 / R_1) \cdot P(B_2 / R_1 B_1)=\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6}=\dfrac{30}{336}=\dfrac{5}{56} \\ & \text{ और } P(E_3)=P(R_1) \cdot P(R_2 / R_1) \cdot B(B_1 / R_1 R_2)=\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6}=\dfrac{60}{336}=\dfrac{5}{28} \\ & \therefore \quad P(E)=P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)=\dfrac{5}{28}+\dfrac{5}{56}+\dfrac{5}{28}=\dfrac{25}{56} \end{aligned} $

इसलिए अभीष्ट प्रायिकता $\dfrac{25}{56}$ है।

हल

दो पासे एक साथ फेंके जाते हैं

$\therefore n(S)=36$

$E=\text{ कुल } 4={(2,2),(1,3),(3,1)} \\ \therefore n(E)=3$

$F=\text{ कुल } 9 \text{ या अधिक } $

$={(3,6),(6,3),(5,4),(4,5),(5,5),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6)}$

$\therefore n(F)=10 ;\\ G=\text{ कुल } 5 \text{ से विभाज्य } ={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(4,6),(6,4),(5,5)} \\ \therefore n(G)=7$

यहाँ, हम देखते हैं कि $(E \cap F)=\phi$ और $(E \cap G)=\phi$

और $ (F \cap G)={(4,6),(6,4),(5,5)} $

$ \begin{aligned} \therefore \quad n(F & \cap G)=3 \text{ और } (E \cap F \cap G)=\phi \\ \therefore \quad P(E) & =\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12} \\ P(F) & =\dfrac{n(F)}{n(S)}=\dfrac{10}{36}=\dfrac{5}{18} ; P(G)=\dfrac{n(G)}{n(S)}=\dfrac{7}{36} \\ P(F \cap G) & =\dfrac{3}{36}=\dfrac{1}{12} \text{ और } P(F) \cdot P(G)=\dfrac{5}{18} \cdot \dfrac{7}{36}=\dfrac{35}{648} \end{aligned} $

क्योंकि, $P(F \cap G) \neq P(F) . P(G)$

इसलिए, कोई भी स्वतंत्र घटनाओं के युग्म नहीं है।

हल

हम जानते हैं कि यदि यादृच्छिक चर $X$ मान $0,1,2,3, \ldots, n$ ले लेता है और यदि यह प्रायिकता $P(X=r)={ }^{n} C_r p^{r} q^{n-r}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $q=1-p$ और $r=0,1,2,3, \ldots$ है, तो $X$ द्विपद वितरण के रूप में कहलाता है।

इसी तरह, एक सिक्का तीन बार उछालने के मामले में,

$n=3$ और $X$ के मान $0,1,2,3$ होते हैं, जहाँ $p=\dfrac{1}{2}, q=\dfrac{1}{2}$ है।

इसलिए, इसे द्विपद वितरण के रूप में कहा जाता है।

हल

हम जानते हैं $P(A)=\dfrac{1}{2}, P(B)=\dfrac{1}{3}$ और $P(A \cap B)=\dfrac{1}{4}$

$ \begin{aligned} P(A^{\prime}) & =1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}, P(B^{\prime})=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} \\ P(A^{\prime} \cap B^{\prime}) & =1-P(A \cup B)=1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)] \\ & =1-[\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}]=1-[\dfrac{6+4-3}{12}]=1-\dfrac{7}{12}=\dfrac{5}{12} \end{aligned} $

(i) $P(A / B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{1 / 4}{1 / 3}=\dfrac{3}{4}$

(ii) $P(B / A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=\dfrac{1 / 4}{1 / 2}=\dfrac{1}{2}$

(iii) $P(A^{\prime} / B)=\dfrac{P(A^{\prime} \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B)-P(A \cap B)}{P(B)}$

$ =1-\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=1-\dfrac{1 / 4}{1 / 3}=1-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4} $

(iv) $P(A^{\prime} / B^{\prime})=\dfrac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}=\dfrac{5 / 12}{2 / 3}=\dfrac{5}{12} \times \dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{8}$

हल

हमें $P(A)=\dfrac{2}{5}, P(B)=\dfrac{1}{3}$ और $P(C)=\dfrac{1}{2}$ दिया गया है

$ \begin{aligned} & P(A \cap C)=\dfrac{1}{5} \text{ और } P(B \cap C)=\dfrac{1}{4} \\ & \therefore \quad P(C / B)=\dfrac{P(B \cap C)}{P(B)}=\dfrac{1 / 4}{1 / 3}=\dfrac{3}{4} \\ & P(A^{\prime} \cap C^{\prime})=1-P(A \cup C) \\ & =1-[P(A)+P(C)-P(A \cap C)] \end{aligned} $

$ =1-[\dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{5}]=1-\dfrac{7}{10}=\dfrac{3}{10} $

हल

यहाँ,

$ P(E_1)=p_1 \text{ और } P(E_2)=p_2 $

(i)

$ p_1 p_2=P(E_1) \cdot P(E_2)=P(E_1 \cap E_2) $

इसलिए, $E_1$ और $E_2$ दोनों घटित होते हैं।

(ii)

$ (1-p_1) \cdot p_2=P(E_1)^{\prime} \cdot P(E_2)=P(E_1^{\prime} \cap E_2) $

इसलिए, $E_1$ नहीं घटित होता लेकिन $E_2$ घटित होता है।

(iii) $1-(1-p_1)(1-p_2)=1-P(E_1)^{\prime} P(E_2)^{\prime}=1-P(E_1^{\prime} \cap E_2^{\prime})$

$ =1-[1-P(E_1 \cup E_2)]=P(E_1 \cup E_2) $

इसलिए, $E_1$ या $E_2$ या दोनों घटनाएँ घटित होती हैं।

(iv)

$ \begin{aligned} p_1+p_2-2 p_1 p_2 & =P(E_1)+P(E_2)-2 P(E_1) \cdot P(E_2) \\ & =P(E_1)+P(E_2)-2 P(E_1 \cap E_2) \\ & =P(E_1 \cup E_2)-2 P(E_1 \cap E_2) \end{aligned} $

इसलिए, $E_1$ या $E_2$ घटित होता है लेकिन दोनों नहीं।

हल

एक संभावना वितरण के लिए, हम जानते हैं कि यदि $P_i \geq 0$

(i) $\sum _{i=1}^{n} P_i=1 \Rightarrow k+k^{2}+2 k^{2}+k=1$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad 3 k^{2}+2 k-1=0 \Rightarrow 3 k^{2}+3 k-k-1=0 \\

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad 3 k(k+1)-1(k+1)=0 \Rightarrow(3 k-1)(k+1)=0 \\ & \therefore \quad k=\dfrac{1}{3} \text{ और } k=-1 \end{aligned} $$

लेकिन $k \geq 0 \quad \therefore k=\dfrac{1}{3}$

(ii) वितरण का माध्य

$$ \begin{aligned} E(X)&=\sum _{i=1}^{n} X_i P_i=0.5 k+1 . k^{2}+1.5(2 k^{2})+2 k\\ & =\dfrac{k}{2}+k^{2}+3 k^{2}+2 k=4 k^{2}+\dfrac{5}{2} k \\ & =4(\dfrac{1}{3})^{2}+\dfrac{5}{2}(\dfrac{1}{3})=\dfrac{4}{9}+\dfrac{5}{6}=\dfrac{23}{18} \end{aligned} $$

हल

(i) सिद्ध करना है: $P(A)=P(A \cap B)+P(A \cap \overline{B})\$ दाहिना हाथ की ओर $=P(A \cap B)+P(A \cap \bar{{}B})$

$$ \begin{aligned} & =P(A) \cdot P(B)+P(A) \cdot P(\overline{B})=P(A)[P(B)+P(\overline{B})] \\ & =P(A) \cdot 1 \\ & =P(A)=\text{ बाईं हाथ की ओर। इसलिए सिद्ध कर दिया। } \end{aligned} $$

(ii) सिद्ध करना है: $P(A \cup B)=P(A \cap B)+P(A \cap \overline{B})+P(\overline{A} \cap B)$

दाहिना हाथ की ओर $=P(A) \cdot P(B)+P(A) \cdot P(\bar{{}B})+P(\bar{{}A}) \cdot P(B)$

$$ \begin{aligned} & =P(A) \cdot P(B)+P(A)[1-P(B)]+[1-P(A)] \cdot P(B) \\ & =P(A) \cdot P(B)+P(A)-P(A) \cdot P(B)+P(B)-P(A) \cdot P(B) \\ & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ & =P(A \cup B)=\text{ बाईं हाथ की ओर। इसलिए सिद्ध कर दिया। } \end{aligned} $$

हल

दिया गया है: $X=0,1,2,3$

$\therefore P(X=r)={ }^{n} C_r p^{r} q^{n-r}$

जहाँ $n=3, p=\dfrac{1}{2}, q=\dfrac{1}{2}$ और $r=0,1,2,3$

$P(X=0)=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8} ; P(X=1)=3 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8}$

$P(X=2)=3 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{8} ; P(X=3)=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{8}$

प्रायिकता वितरण तालिका निम्नलिखित है:

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \ \hline P(X) & \dfrac{1}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{3}{8} & \dfrac{1}{8} \ \hline \end{array}$

$ \begin{aligned} & E(X)=0+1 \times \dfrac{3}{8}+2 \times \dfrac{3}{8}+3 \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{6}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{12}{8}=\dfrac{3}{2} \\ & E(X^{2})=0+1 \times \dfrac{3}{8}+4 \times \dfrac{3}{8}+9 \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8}+\dfrac{12}{8}+\dfrac{9}{8}=\dfrac{24}{8}=3 \end{aligned} $

हम जानते हैं कि $Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=3-(\dfrac{3}{2})^{2}=3-\dfrac{9}{4}=\dfrac{3}{4}$

$\therefore$ मानक विचलन $=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$।

हल

मान लीजिए $X$ प्रत्येक फेंक में लाभ के यादृच्छिक चर है।

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline X & -1 & 1 & 4 \ \hline P(X) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{6} \ \hline \end{array}$

क्योंकि, वह 2, 4, 5 पर आने पर ₹ 1 हानि उठाती है।

इसलिए, $P(X=-1)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

$ \begin{matrix} P(X=1)=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} & (\because \text{ पासा पर } 1 \text{ या } 6 \text{ आना}) \\ P(X=4)=\dfrac{1}{6} & (\because \text{ पासा पर केवल } 3 \text{ आना}) \end{matrix} $

खिलाड़ी का अपेक्षित लाभ $=\sum p_1 x_i$

$ =-1 \times \dfrac{1}{2}+1 \times \dfrac{1}{3}+4 \times \dfrac{1}{6}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{2}=₹ 0.50 $

हल

पासा तीन बार फेंका जाता है

$\therefore$ नमूना अंतर $n(S)=(6)^{3}=216$

मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जब पासों पर संख्याओं का योग 6 होता है और $E_2$ वह घटना है जब तीनों पासों पर 2 आते हैं।

$ \begin{aligned} &\Rightarrow E_1={(1,1,4),(1,2,3),(1,3,2),(1,4,1),(2,1,3),(2,2,2),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(4,1,1)}\\ & E_2={(2,2,2)} \end{aligned} $

$\begin{aligned}\Rightarrow n(E_1)=10 \text{ and } n(E_2)=1\end{aligned}$

$\begin{aligned}\therefore P(E_2 / E_1)=\dfrac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)}=\dfrac{1 / 216}{10 / 216}=\dfrac{1}{10} . \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $X$ एक यादृच्छिक चर है जहाँ $X=0,500,2000$ और 3000

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline X & 0 & 500 & 2000 & 3000 \ \hline P(X) & \dfrac{9995}{10000} & \dfrac{3}{10000} & \dfrac{1}{10000} & \dfrac{1}{10000} \ \hline \end{array}$

$E(X)=\sum X \cdot P(X) =0 \times \dfrac{9995}{10000} + 500 \times \dfrac{3}{10000} + 2000 \times \dfrac{1}{10000}+ 3000 \times \dfrac{1}{10000} = 0.65 $

इसलिए, आशा की कीमत 0.65 रुपये है।

हल

मान लीजिए $W_1$ और $W_2$ दो बैग हैं जो क्रमशः (4 सफेद, 5 काले) और (9 सफेद, 7 काले) गेंद रखते हैं।

मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें गेंद पहले बैग $W_1$ से दूसरे बैग $W_2$ में सफेद गेंद के रूप में स्थानांतरित होती है और $E_2$ वह घटना है जिसमें गेंद पहले बैग $W_1$ से दूसरे बैग $W_2$ में काली गेंद के रूप में स्थानांतरित होती है।

और $E$ वह घटना है जिसमें दूसरे बैग से निकाली गई गेंद सफेद होती है।

$ \begin{aligned} \therefore P(E / E_1) & =\dfrac{10}{17}, \quad P(E / E_2)=\dfrac{9}{17} \\

P(E_1) & =\dfrac{4}{9} \text{ और } P(E_2)=\dfrac{5}{9} \\ \therefore \quad P(E) & =P(E_1) \cdot P(E / E_1)+P(E_2) \cdot P(E / E_2) \\ & =\dfrac{4}{9} \times \dfrac{10}{17}+\dfrac{5}{9} \times \dfrac{9}{17}=\dfrac{40}{153}+\dfrac{45}{153}=\dfrac{85}{153}=\dfrac{5}{9} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{5}{9}$।

हल

दिया गया है $ \text{बॉक्स}\ I={3 B, 2 W}$ और $\quad$ बॉक्स II $={2 B, 4 W}$

मान लीजिए $E_1=$ घटना कि बॉक्स I चुना गया है

$ E_2=\text{ घटना कि बॉक्स II चुना गया है } $

और $E=$ घटना कि एक काली गेंद चुनी गई है

$ \begin{aligned} \therefore \quad P(E_1) & =\dfrac{1}{2}, P(E_2)=\dfrac{1}{2}, P(E {/} E_1)=\dfrac{3}{5} \text{ और } P(E_2 E_2)=\dfrac{1}{3} \\ P(E) & =P(E_1) \cdot P(E / E_1)+P(E_2) \cdot P(E / E_2) \\ & =\dfrac{1}{2} \times \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{10}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{9+5}{30}=\dfrac{14}{30}=\dfrac{7}{15} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{7}{15}$।

हल

दिया गया है कि बॉक्स में 5 बूंद और 4 लाल गेंद हैं।

मान लीजिए $E_1$ घटना है कि पहली गेंद बूंद है $E_2$ घटना है कि पहली गेंद लाल है

और $E$ घटना है कि दूसरी गेंद बूंद है।

$ \begin{aligned} \therefore \quad P(E) & =P(E_1) \cdot P(E / E_1)+P(E_2) \cdot P(E / E_2) \\ & =\dfrac{5}{9} \times \dfrac{4}{8}+\dfrac{4}{9} \times \dfrac{5}{8}=\dfrac{20}{72}+\dfrac{20}{72}=\dfrac{40}{72}=\dfrac{5}{9} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{5}{9}$।

हल

मान लीजिए $E_1, E_2, E_3$ और $E_4$ क्रमशः पहले, दूसरे, तीसरे और चौथे कार्ड किंग होने के घटनाएं हैं।

$\therefore P(E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap E_4)$

$=P(E_1) \cdot P(E_2 / E_1) \cdot P[\dfrac{E_3}{(E_1 \cap E_2)}] \cdot P[\dfrac{E_4}{(E_1 \cap E_2 \cap E_3 \cap E_4)}]$

$=\dfrac{4}{52} \times \dfrac{3}{51} \times \dfrac{2}{50} \times \dfrac{1}{49}=\dfrac{24}{52 \cdot 51 \cdot 50 \cdot 49}=\dfrac{1}{13 \cdot 17 \cdot 25 \cdot 49}=\dfrac{1}{27075}$

इसलिए, अभीष्ट प्रायिकता $\dfrac{1}{27075}$ है।

हल

यहाँ, $p=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2} \Rightarrow q=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ और $n=5$

$ \begin{aligned} \therefore \quad P(x & =r)={ }^{n} C_r p^{r} q^{n-r} \\ & ={ }^{5} C_3(\dfrac{1}{2})^{3}(\dfrac{1}{2})^{5-3}=\dfrac{5 !}{3 ! 2 !} \cdot(\dfrac{1}{2})^{3} \cdot(\dfrac{1}{2})^{2}=10 \cdot \dfrac{1}{8} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{16} \end{aligned} $

इसलिए, अभीष्ट प्रायिकता $\dfrac{5}{16}$ है।

हल

यहाँ, $n=10, p=\dfrac{1}{2}, q=-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

$ \begin{aligned} & P(X \geq 8)=P(x=8)+P(x=9)+P(x=10) \\ & ={ }^{10} C_8(\dfrac{1}{2})^{8}(\dfrac{1}{2})^{10-8}+{ }^{10} C_9(\dfrac{1}{2})^{9}(\dfrac{1}{2})^{10-9}+{ }^{10} C _{10}(\dfrac{1}{2})^{10}(\dfrac{1}{2})^{0} \\ & =\dfrac{10 !}{8 ! 2 !} \cdot(\dfrac{1}{2})^{8} \cdot(\dfrac{1}{2})^{2}+\dfrac{10 !}{9 ! 1 !}(\dfrac{1}{2})^{9}(\dfrac{1}{2})+(\dfrac{1}{2})^{10} \\ & =45 \cdot(\dfrac{1}{2})^{10}+10 \cdot(\dfrac{1}{2})^{10}+(\dfrac{1}{2})^{10}=(\dfrac{1}{2})^{10} \cdot(45+10+1) \\

$$ =56(\dfrac{1}{2})^{10}=56 \times \dfrac{1}{1024}=\dfrac{7}{128} $$ $$ \end{aligned} $$

अतः, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{7}{128}$।

हल

यहाँ $n=7, \quad p=0.25=\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4} \quad$ और $q=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

$$ \begin{aligned} P(X \geq 2) & =1-[P(X=0)+P(X=1)] \\ & =1-[{ }^{7} C_0(\dfrac{1}{4})^{0}(\dfrac{3}{4})^{7}+{ }^{7} C_1(\dfrac{1}{4})^{1}(\dfrac{3}{4})^{6}] \\ & =1-[(\dfrac{3}{4})^{7}+\dfrac{7}{4}(\dfrac{3}{4})^{6}]=1-(\dfrac{3}{4})^{6}(\dfrac{3}{4}+\dfrac{7}{4}) \\ & =1-(\dfrac{3}{4})^{6}(\dfrac{10}{4})=1-\dfrac{729}{4096} \times \dfrac{10}{4}=1-\dfrac{7290}{16384} \\ & =\dfrac{16384-7290}{16384}=\dfrac{9094}{16384}=\dfrac{4547}{8192} \end{aligned} $$

अतः, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{4547}{8192}$।

हल

100 घड़ियों में खराब घड़ियों की प्रायिकता $=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$।

यहाँ, $n=8, p=\dfrac{1}{10}$ और $q=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$ और $r \geq 1$

$P(X \geq 1)=1-P(X=0)=1-{ }^{8} C_0(\dfrac{1}{10})^{0}(\dfrac{9}{10})^{8-0}=1-(\dfrac{9}{10})^{8}$

अतः, आवश्यक प्रायिकता है $1-(\dfrac{9}{10})^{8}$।

हल

यहाँ, हमारे पास है

$$ \begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline x & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \ \hline y & 0.1 & 0.25 & 0.3 & 0.2 & 0.15 \

\hline \end{array}$

$V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$

जहाँ $E(X)=\sum _{i=1}^{n} x_i p_i$ और $E(X^{2})=\sum _{i=1}^{n} p_i x_i^{2}$

$\therefore \quad E(X)=0 \times 0.1+1 \times 0.25+2 \times 0.3+3 \times 0.2+4 \times 0.15$

$ \qquad\quad\quad=0+0.25+0.6+0.6+0.6=2.05$

$E(X^{2})=0 \times 0.1+1 \times 0.25+4 \times 0.3+9 \times 0.2+16 \times 0.15$

$\quad\qquad=0+0.25+1.2+1.8+2.40=5.65$

(i) $V(\dfrac{X}{2})=\dfrac{1}{4} V(X)=\dfrac{1}{4}[5.65-(2.05)^{2}]=\dfrac{1}{4}[5.65-4.2025]$

$\qquad\qquad=\dfrac{1}{4} \times 1.4475=0.361875$

$[\because V(\dfrac{X}{2})=\dfrac{1}{4} V(X)]$

(ii)

$V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=1.4475$

हल

(i) हम जानते हैं कि $P(0)+P(1)+P(2)+P(3)=1$

$ \begin{matrix} \Rightarrow k+\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{4}+\dfrac{k}{8} =1 \\ \Rightarrow \quad \dfrac{8 k+4 k+2 k+k}{8} =1 \Rightarrow 15 k=8 \\ \therefore \quad k =\dfrac{1}{15} \end{matrix} $

(ii)

$ \begin{aligned} P(X \leq 2) & =P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) \\ & =k+\dfrac{k}{2}+\dfrac{k}{4}=\dfrac{7 k}{4}=\dfrac{7}{4} \times \dfrac{8}{15}=\dfrac{14}{15} \end{aligned} $

और $P(X>2)=P(X=3)=\dfrac{k}{8}=\dfrac{1}{8} \times \dfrac{8}{15}=\dfrac{1}{15}$

(iii) $P(X \leq 2)+P(X>2)=\dfrac{14}{15}+\dfrac{1}{15}=\dfrac{14+1}{15}=\dfrac{15}{15}=1$.

हल

हम जानते हैं कि: मानक विचलन (S.D.) $=\sqrt{\text{ विचलन }}$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2} \\

& E(X)=2 \times 0.2+3 \times 0.5+4 \times 0.3=0.4+1.5+1.2=3.1 \\ & E(X^{2})=4 \times 0.2+9 \times 0.5+16 \times 0.3=0.8+4.5+4.8=10.1 \\ & V(X)=10.1-(3.1)^{2}=10.1-9.61=0.49 \\ & \therefore \quad \text{ S.D. }=\sqrt{Var(X)}=\sqrt{0.49}=0.7 \end{aligned} $

Solution

यहाँ, यादृच्छिक चर $X=0,1,2$

$ \begin{aligned} P(4) & =\dfrac{1}{10}, P(\overline{4})=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10} \\ P(X=0) & =P(\overline{4}) \cdot P(\overline{4})=\dfrac{9}{10} \times \dfrac{9}{10}=\dfrac{81}{100} \\ P(X=1) & =P(\overline{4}) \cdot P(4)+P(4) \cdot P(\overline{4})=\dfrac{9}{10} \times \dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10} \times \dfrac{9}{10}=\dfrac{18}{100} \end{aligned} $

$P(X=2)=P(4) \cdot P(4)=\dfrac{1}{10} \times \dfrac{1}{10}=\dfrac{1}{100}$

$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline X & 0 & 1 & 2 \ \hline P(X) & \dfrac{81}{100} & \dfrac{18}{100} & \dfrac{1}{100} \ \hline \end{array}$

हम जानते हैं कि $V(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$

$ \begin{aligned} E(X) & =0 \times \dfrac{81}{100}+1 \times \dfrac{18}{100}+\dfrac{2}{100}=\dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5} \\ E(X^{2}) & =0 \times \dfrac{81}{100}+1 \times \dfrac{18}{100}+4 \times \dfrac{1}{100}=\dfrac{22}{100}=\dfrac{11}{50} \\ \therefore \quad Var(X) & =\dfrac{11}{50}-(\dfrac{1}{5})^{2}=\dfrac{11}{50}-\dfrac{1}{25}=\dfrac{9}{50}=0.18 \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक विचलन $=0.18$।

Solution

यहाँ, हमें $X=0,1,2,3 \quad[\because$ पासा तीन बार फेंका जाता है] और $p=\dfrac{1}{6}, q=\dfrac{5}{6}$ है

$\therefore P(X=0)=P(not\ 2) \cdot P(not\ 2) \cdot P(not\ 2)=\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6}=\dfrac{125}{216}$

$P(X=1)=P(2) \cdot P(not\ 2) \cdot P(not\ 2)+P(not\ 2) \cdot P(2) \cdot P(not\ 2)$

$+P( नहीं 2) . P(नहीं 2) \cdot P(2) $

$=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6}+\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{25}{216}+\dfrac{25}{216}+\dfrac{25}{216}=\dfrac{75}{216}$

$P(X=2)=P(2) \cdot P(2) \cdot P(नहीं 2)+P(2) \cdot P(नहीं 2) \cdot P(2)$

$ +P( नहीं 2) \cdot P(2) \cdot P(2) $

$=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{216}+\dfrac{5}{216}+\dfrac{5}{216}=\dfrac{15}{216}$

$P(X=3)=P(2) \cdot P(2) \cdot P(2)=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{216}$

अब $E(X)=\sum _{i=1}^{n} p_i x_i$

$ \begin{aligned} & =0 \times \dfrac{125}{216}+1 \times \dfrac{75}{216}+2 \times \dfrac{15}{216}+3 \times \dfrac{1}{216} \\ = & 0+\dfrac{75}{216}+\dfrac{30}{216}+\dfrac{3}{216}=\dfrac{75+30+3}{216}=\dfrac{108}{216}=\dfrac{1}{2} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक आशा मूल्य है $\dfrac{1}{2}$।

हल

दिया गया है: पहले पासे के लिए $P(6)=\dfrac{1}{2}$ और $P(\overline{6})=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow P(1)+P(2)+P(3)+P(4)+P(5)=\dfrac{1}{2}$

लेकिन $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)$

$\therefore 5 . P(1)=\dfrac{1}{2} \Rightarrow P(1)=\dfrac{1}{10}$ और $P(\overline{1})=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$

दूसरे पासे के लिए $P(1)=\dfrac{2}{5}$ और $P(\overline{1})=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}$

मान लीजिए $X$ एक के देखे गए संख्या है

$ \begin{aligned} \therefore X=0,1,2 \\ \Rightarrow \quad \begin{aligned} P(X=0) =P(\overline{1}) \cdot P (\overline{1})=\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{27}{50}=0.54 \\ P(X=1) =P(\overline{1}) \cdot P(1)+P(1) \cdot P {(\overline{1})} \\

=\dfrac{9}{10} \cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{18+3}{50}=\dfrac{21}{50}=0.42 \\ P(X=2) =\underset{ \hspace{2mm} }{P(1) \cdot P(1)}=\dfrac{1}{10} \cdot \dfrac{2}{5}=\dfrac{2}{50}=0.04 \end{aligned} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता बटुए के वितरण है

$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline X & 0 & 1 & 2 \ \hline P(X) & 0.54 & 0.42 & 0.04 \ \hline \end{array}$

हल

पहला प्रायिकता वितरण नीचे दिया गया है

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline X & 0 & 1 & 2 & 3 \ \hline P(X) & \dfrac{1}{5} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{1}{5} \ \hline \end{array}$

हम जानते हैं कि, $E(X)=\sum _{i=1}^{n} P_i X_i$

$\Rightarrow E(X)=0 \cdot \dfrac{1}{5}+1 \cdot \dfrac{2}{5}+2 \cdot \dfrac{1}{5}+3 \cdot \dfrac{1}{5}=0+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}=\dfrac{7}{5}$

दूसरे प्रायिकता वितरण के लिए,

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|} \hline Y & 0 & 1 & 2 & 3 \ \hline P(Y) & \dfrac{1}{5} & \dfrac{3}{10} & \dfrac{2}{5} & \dfrac{1}{10} \ \hline \end{array}$

$ \begin{aligned} E(Y^{2}) & =0 \cdot \dfrac{1}{5}+1 \cdot \dfrac{3}{10}+4 \cdot \dfrac{2}{5}+9 \cdot \dfrac{1}{10} \\ & =0+\dfrac{3}{10}+\dfrac{8}{5}+\dfrac{9}{10}=\dfrac{28}{10}=\dfrac{14}{5} \end{aligned} $

अब $E(Y^{2})=\dfrac{14}{5}$ और $2 E(X)=2 \cdot \dfrac{7}{5}=\dfrac{14}{5}$

इसलिए, $E(Y^{2})=2 E(X)$।

हल

मान लीजिए $X$ एक चर जो एक बल्ब के खराब होने को दर्शाता है।

यहाँ, $n=10, p=\dfrac{1}{50}, q=1-\dfrac{1}{50}=\dfrac{49}{50}$

हम जानते हैं कि $P(X=r)={ }^{n} C_r p^{r} q^{n-r}$

(i) कोई भी बल्ब खराब नहीं है, अर्थात $r=0$

$ P(X=0)={ }^{10} C_0(\dfrac{1}{50})^{0}(\dfrac{49}{50})^{10-0}=(\dfrac{49}{50})^{10} $

(ii) ठीक दो बल्ब खराब हैं

$ \begin{aligned} \therefore \quad P(X=2) & ={ }^{10} C_2(\dfrac{1}{50})^{2}(\dfrac{49}{50})^{10-2} \\ & =45 \cdot \dfrac{(49)^{8}}{(50)^{10}}=45 \times(\dfrac{1}{50})^{10} \times(49)^{8} \end{aligned} $

(iii) अधिक तक 8 बल्ब सही काम करते हैं

हम कह सकते हैं कि कम से कम 2 बल्ब खराब हैं

$ P(X<2)=P(X=0)+P(X=1) $

$={ }^{10} C_0(\dfrac{1}{50})^{0}(\dfrac{49}{50})^{10}+{ }^{10} C_1(\dfrac{1}{50})^{1}(\dfrac{49}{50})^{9}=(\dfrac{49}{50})^{10}+\dfrac{1}{5}(\dfrac{49}{50})^{9}$

$ =(\dfrac{49}{50})^{9}(\dfrac{49}{50}+\dfrac{1}{5})=(\dfrac{49}{50})^{9}(\dfrac{59}{50})=\dfrac{59(49)^{9}}{(50)^{10}} . $

हल

मान लीजिए $E_1=$ घटना कि सिक्का सामान्य है

$ E_2=\text{ घटना कि सिक्का दो चाल वाला है } $

और $H=$ घटना कि उछाले गए सिक्के में सिर आता है।

$ P(E_1)=\dfrac{1}{2}, \quad P(E_2)=\dfrac{1}{2}, \quad P(H / E_1)=\dfrac{1}{2}, \quad P(H / E_2)=1 $

$\therefore$ बेयेस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} P(E_1 / H) & =\dfrac{P(E_1) \cdot P(H / E_1)}{P(E_1) \cdot P(H / E_1)+P(E_2) \cdot P(H / E_2)} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}}{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \cdot 1}=\dfrac{\dfrac{1}{4}}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{1}{3}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{1}{3} \end{aligned} $

अतः आवश्यक प्रायिकता $\dfrac{1}{3}$ है।

हल

मान लीजिए $E_1=$ एक व्यक्ति के रक्त समूह $O$ होने की घटना, $E_2=$ एक व्यक्ति के रक्त समूह अन्य होने की घटना और $H=$ चुने गए व्यक्ति के बाईं तरफ बैठे होने की घटना है

$ \begin{matrix} \therefore \quad P(E_1) =0.30 \text{ और } & P(E_2)=0.70 \\ P(H / E_1) =0.06 & P(H / E_2)=0.10 \end{matrix} $

इसलिए, बेयेस के प्रमेय से

$ \begin{aligned} & \quad P(\dfrac{E_1}{H})=\dfrac{P(E_1) \cdot P(H / E_1)}{P(E_1) \cdot P(H / E_1)+P(E_2) \cdot P(H / E_2)} \\ & =\dfrac{0.30 \times 0.06}{0.30 \times 0.06+0.70 \times 0.10}=\dfrac{0.018}{0.018+0.070}=\dfrac{0.018}{0.088}=\dfrac{9}{44} \\ & \text{ इसलिए, आवश्यक प्रायिकता } \dfrac{9}{44} \text{ है }. \end{aligned} $

हल

दिया गया है: $S={1,2,3, \ldots, n}$

$ \therefore \quad P(r \leq p / s \leq p)=\dfrac{P(p \cap S)}{P(S)}=\dfrac{p-1}{n} \times \dfrac{n}{n-1}=\dfrac{p-1}{n-1} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता $\dfrac{p-1}{n-1}$ है।

हल

मान लीजिए $X$ एक पासे को दो बार फेंकने पर प्राप्त अंक के यादृच्छिक चर है।

$X ={1,2,3,4,5,6}$ और

$ \begin{aligned} S & ={(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(1,3),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),..,(6,6)} \end{aligned} $

इसलिए, $\quad P(X=1)=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{36}$

$ \begin{aligned} & P(X=2)=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{3}{36} \\ & P(X=3)=\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{36}

\end{aligned} $

इसी तरह

$ P(X=4)=\dfrac{7}{36} ;\ P(X=5)=\dfrac{9}{36} \text{ और } P(X=6)=\dfrac{11}{36} $

इसलिए, आवश्यक वितरण है

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \ \hline P(X) & \dfrac{1}{36} & \dfrac{3}{36} & \dfrac{5}{36} & \dfrac{7}{36} & \dfrac{9}{36} &\dfrac{11}{36} \ \hline \end{array}$

अब, माध्य $E(X)=\sum _{i=1}^{n} x_i p_i$

$ \begin{aligned} & =1 \times \dfrac{1}{36}+2 \times \dfrac{3}{36}+3 \times \dfrac{5}{36}+4 \times \dfrac{7}{36}+5 \times \dfrac{9}{36}+6 \times \dfrac{11}{36} \\ & =\dfrac{1}{36}+\dfrac{6}{36}+\dfrac{15}{36}+\dfrac{28}{36}+\dfrac{45}{36}+\dfrac{66}{36}=\dfrac{161}{36} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक माध्य $=\dfrac{161}{36}$।

हल

दिया गया है: $\quad X=0,1,2$ और $X=0$ और 1 पर $P(X)$ का मान $p$ है। मान लीजिए $X=2$ पर $P(X)$ का मान $x$ है

$\Rightarrow \quad p+p+x=1 \quad \Rightarrow \quad x=1-2 p$

अब हमें निम्नलिखित वितरण मिलता है।

$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline X & 0 & 1 & 2 \ \hline P(X) & p & p & 1-2p \ \hline \end{array}$

$\therefore \quad E(X)=0 . p+1 . p+2(1-2 p)=p+2-4 p=2-3 p$

और $\quad E(X^{2})=0 . p+1 . p+4(1-2 p)=p+4-8 p=4-7 p$

दिया गया है: $\quad E(X^{2})=E(X)$

$\therefore \quad 4-7 p=2-3 p \Rightarrow 4 p=2 \Rightarrow p=\dfrac{1}{2}$

इसलिए, आवश्यक $p$ का मान $\dfrac{1}{2}$ है।

हल

हम जानते हैं कि:

$ \begin{aligned} & \text{ विचलन }(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2} \\ & E(X)=\sum _{i=1}^{n} p_i x_i \\ &=0 \times \dfrac{1}{6}+1 \times \dfrac{5}{18}+2 \times \dfrac{2}{9}+3 \times \dfrac{1}{6}+4 \times \dfrac{1}{9}+5 \times \dfrac{1}{18} \\

$$ \begin{aligned} &=0+\dfrac{5}{18}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{3}{6}+\dfrac{4}{9}+\dfrac{5}{18}=\dfrac{5+8+9+8+5}{18}=\dfrac{35}{18} \\ & E(X^{2})=0 \times \dfrac{1}{6}+1 \times \dfrac{5}{18}+4 \times \dfrac{2}{9}+9 \times \dfrac{1}{6}+16 \times \dfrac{1}{9}+25 \times \dfrac{1}{18} \\ &=\dfrac{5}{18}+\dfrac{8}{9}+\dfrac{9}{6}+\dfrac{16}{9}+\dfrac{25}{18}=\dfrac{5+16+27+32+25}{18}=\dfrac{105}{18} \\ & \therefore \text{ Var }(X)=\dfrac{105}{18}-\dfrac{35}{18} \times \dfrac{35}{18}=\dfrac{1890-1225}{324}=\dfrac{665}{324} \\ & \text{ Hence, the required variance is } \dfrac{665}{324} . \end{aligned} $$

हल

मान लीजिए $A_1$ घटना है जब 6 का कुल प्राप्त होता है

$ ={(2,4),(4,2),(1,5),(5,1),(3,3)} $

और $B_1$ घटना है जब 7 का कुल प्राप्त होता है

$ ={(2,5),(5,2),(1,6),(6,1),(3,4),(4,3)} $

मान लीजिए $P(A_1)$ घटना है जब A एक फेंक में जीतता है $=\dfrac{5}{36}$

और $P(B_1)$ घटना है जब B एक फेंक में जीतती है $=\dfrac{1}{6}$

$\therefore$ अभीष्ट जीत की प्रायिकता $A$ के अपने तीसरे फेंक में

$ =P(\overline{A}_1) \cdot P(\overline{B}_1) \cdot P(A_1)=\dfrac{31}{36} \cdot \dfrac{5}{6} \cdot \dfrac{5}{36}=\dfrac{775}{7776} . $

हल

दिया गया है:

$A={(x, y): x+y=11} \text{ और } B={(x, y): x \neq 5}$

$\therefore \quad A={(5,6),(6,5)},$

$B={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),$ $(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),$ $ (6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow n(A)=2, n(B)=30 \text{ और } n(A \cap B)=1 \\ & \therefore \quad P(A)=\dfrac{2}{36}=\dfrac{1}{18} \text{ और } P(B)=\dfrac{30}{36}=\dfrac{5}{6} \\ & \Rightarrow \quad P(A) \cdot P(B)=\dfrac{1}{18} \cdot \dfrac{5}{6}=\dfrac{5}{108} \text{ और } P(A \cap B)=\dfrac{1}{36} \end{aligned} $

क्योंकि $P(A).P(B) \neq P(P \cap B)$

अतः, A और B स्वाधीन नहीं हैं।

हल

मान लीजिए $A$ घटना है जिसमें $m$ सफेद और $n$ काले गेंद हैं

$ \begin{aligned} & E_1={\text{ पहली गेंद लाल रंग की है }} \\ & E_2={\text{ पहली गेंद काली रंग की है }}\\ & E_3={\text{ दूसरी गेंद लाल रंग की है }} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \therefore \quad P(E_1)=\dfrac{m}{m+n} \text{ और } P(E_2)=\dfrac{n}{m+n} \\ & P(E_3 / E_1)=\dfrac{m+k}{m+n+k} \text{ और } P(E_3 / E_2)=\dfrac{m}{m+n+k} \\ & \text{ अब } P(E_3)=P(E_1) \cdot P(E_3 / E_1)+P(E_2) \cdot P(E_3 / E_2) \\ &=\dfrac{m}{m+n} \times \dfrac{m+k}{m+n+k}+\dfrac{n}{m+n} \times \dfrac{m}{m+n+k} \\ &=\dfrac{m}{m+n+k}[\dfrac{m+k}{m+n}+\dfrac{n}{m+n}] \\ &=\dfrac{m}{m+n+k}[\dfrac{m+n+k}{m+n}]=\dfrac{m}{m+n} \end{aligned} $

अतः, एक सफेद गेंद खींचने की प्रायिकता $k$ पर निर्भर नहीं करती है।

हल

दिया गया है:

बैग I: 3 लाल गेंद और कोई सफेद गेंद नहीं

बैग II: 2 लाल गेंद और 1 सफेद गेंद

बैग III: कोई लाल गेंद नहीं और 3 सफेद गेंद

मान लीजिए $E_1, E_2$ और $E_3$ क्रमशः बैग I, बैग II और बैग III के चुने जाने के घटनाएँ हैं और इससे एक गेंद निकाली जाती है।

$\therefore P(E_1)=\dfrac{1}{6}, P(E_2)=\dfrac{2}{6}$ और $P(E_3)=\dfrac{3}{6}$

(i) मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें लाल गेंद चुनी जाती है

$ \begin{aligned} \therefore P(E) & =P(E_1) \cdot P(E / E_1)+P(E_2) \cdot P(E / E_2)+P(E_3) \cdot P(E / E_3) \\ & =\dfrac{1}{6} \cdot \dfrac{3}{3}+\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{2}{3}+\dfrac{3}{6} \cdot 0=\dfrac{3}{18}+\dfrac{4}{18}=\dfrac{7}{18} \end{aligned} $

(ii) मान लीजिए $F$ वह घटना है जिसमें सफेद गेंद चुनी जाती है

$ \begin{matrix} \therefore P(F) =1-P(E) & {[P(E)+P(F)=1]} \\ \qquad\qquad =1-\dfrac{7}{18}=\dfrac{11}{18} \end{matrix} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकताएँ $\dfrac{7}{18}$ और $\dfrac{11}{18}$ हैं।

हल

प्रश्न Q.41 के संदर्भ में, हम यहाँ बेयेस के प्रमेय का उपयोग करेंगे

$ \begin{aligned} \begin{aligned} \text{ (i) } P(E_2 / F) & =\dfrac{P(E_2) \cdot P(F / E_2)}{P(E_1) \cdot P(F / E_1)+P(E_2) \cdot P(F / E_2)+P(E_3) \cdot P(F / E_3)} \\ & =\dfrac{\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{3}}{\dfrac{1}{6} \cdot 0+\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{6} \cdot 1}=\dfrac{\dfrac{2}{18}}{\dfrac{2}{18}+\dfrac{3}{6}}=\dfrac{2}{11} \\ \text{ (ii) } P(E_3 / F) & =\dfrac{P(E_3) \cdot P(F / E_3)}{P(E_1) \cdot P(F / E_1)+P(E_2) \cdot P(F / E_2)+P(E_3) \cdot P(F / E_3)} \\ & =\dfrac{\dfrac{3}{6} \cdot 1}{\dfrac{1}{6} \cdot 0+\dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{1}{3}+\dfrac{3}{6} \cdot 1}=\dfrac{\dfrac{3}{6}}{\dfrac{2}{18}+\dfrac{3}{6}}=\dfrac{3}{6} \times \dfrac{18}{11}=\dfrac{9}{11} \end{aligned} \\ \text{ इसलिए, आवश्यक प्रायिकताएँ } \dfrac{2}{11} \text{ और } \dfrac{9}{11} \text{ हैं } . \end{aligned}

$

हल

दिया गया है $A_1: A_2: A_3=4: 4: 2$

$\therefore P(A_1)=\dfrac{4}{10}, P(A_2)=\dfrac{4}{10}$ और $P(A_3)=\dfrac{2}{10}$

जहाँ $A_1, A_2$ और $A_3$ तीन प्रकार के बीज हैं।

मान लीजिए $E$ एक घटना है कि बीज बीजाणु उत्पन्न करता है और $\overline{E}$ एक घटना है कि बीज बीजाणु उत्पन्न नहीं करता है

$\therefore P(\dfrac{E}{A_1})=\dfrac{45}{100}, P(\dfrac{E}{A_2})=\dfrac{60}{100}$ और $P(\dfrac{E}{A_3})=\dfrac{35}{100}$

और $P(\dfrac{\overline{E}}{A_1})=\dfrac{55}{100}, P(\dfrac{\overline{E}}{A_2})=\dfrac{40}{100}$ और $P(\dfrac{\overline{E}}{A_3})=\dfrac{65}{100}$

(i)

$ \begin{aligned} P(E) & =P(A_1) \cdot P(\dfrac{E}{A_1})+P(A_2) \cdot P(\dfrac{E}{A_2})+P(A_3) \cdot P(\dfrac{E}{A_3}) \\ & =\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{45}{100}+\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{60}{100}+\dfrac{2}{10} \cdot \dfrac{35}{100} \\ & =\dfrac{180}{1000}+\dfrac{240}{1000}+\dfrac{70}{1000}=\dfrac{490}{1000}=0.49 \end{aligned} $

(ii) $P(\overline{E} / A_3)=1-P(E / A_3)=1-\dfrac{35}{100}=\dfrac{65}{100}=0.65$

(iii) बेयेस प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & P(A_2 / \overline{E})=\dfrac{P(A_2) \cdot P(\overline{E} / A_2)}{P(A_1) \cdot P(\overline{E} / A_1)+P(A_2) \cdot P(\overline{E} / A_2)+P(A_3) \cdot P(\overline{E} / A_3)} \\ &= \dfrac{\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{40}{100}}{\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{55}{100}+\dfrac{4}{10} \cdot \dfrac{40}{100}+\dfrac{2}{10} \cdot \dfrac{65}{100}} \\ &=\dfrac{\dfrac{160}{1000}}{\dfrac{220}{1000}+\dfrac{160}{1000}+\dfrac{130}{1000}}=\dfrac{160}{220+160+130}=\dfrac{160}{510}=\dfrac{16}{51}=0.314

\end{aligned} $

अतः, आवश्यक प्रायिकता $\dfrac{16}{51}$ या 0.314 है।

हल

मान लीजिए $E_1$: घटना कि अक्षर TATANAGAR से आता है और

$E_2$: घटना कि अक्षर CALCUTTA से आता है

इसके अतिरिक्त $E_3$: घटना कि अक्षर पर दो क्रमागत अक्षर TA दिखाई देते हैं

$\therefore P(E_1)=\dfrac{1}{2}$ और $P(E_2)=\dfrac{1}{2}$ और $P(\dfrac{E_3}{E_1})=\dfrac{2}{8}$ और $P(\dfrac{E_3}{E_2})=\dfrac{1}{7}$

$[\because$ TATA NAGAR के लिए, दो क्रमागत अक्षर जो दिखाई देते हैं TA, AT, TA, AN, NA, AG, GA, AR हैं]

$\therefore P(E_3 / E_1)=\dfrac{2}{8}$ और

[CALCUTTA के लिए, दो क्रमागत अक्षर जो दिखाई देते हैं $CA, AL, LC, CU, UT, TT$ और TA हैं] इसलिए, $P(E_3 / E_2)=\dfrac{1}{7}$

अब बेयेस के प्रमेय का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ P(E_1 / E_3)=\dfrac{P(E_1) \cdot P(E_3 / E_1)}{P(E_1) \cdot P(E_3 / E_1)+P(E_2) \cdot P(E_3 / E_2)} $

$ =\dfrac{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{8}}{\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{8}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{7}}=\dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{14}}=\dfrac{\dfrac{1}{8}}{\dfrac{7+4}{56}}=\dfrac{7}{11} $

अतः, आवश्यक प्रायिकता $\dfrac{7}{11}$ है।

हल

मान लीजिए $E_1$ बैग I के चयन की घटना है और $E_2$ बैग II के चयन की घटना है

मान लीजिए $E_3$ काली गेंद के चयन की घटना है

$ \begin{aligned} \therefore \quad P(E_1) & =\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \text{ और } P(E_2)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3} \\

P(E_3 / E_1) & =\dfrac{3}{7} \text{ और } P(E_3 / E_2)=\dfrac{4}{7} \\ \therefore \quad P(E_3) & =P(E_1) \cdot P(E_3 / E_1)+P(E_2) \cdot P(E_3 / E_2) \\ & =\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{7}+\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{4}{7}=\dfrac{3+8}{21}=\dfrac{11}{21} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{11}{21}$।

हल

हमारे पास 3 बरतन हैं:

$\therefore$ किसी भी बरतन के चुने जाने की प्रायिकता है

$ P(U_1)=P(U_2)=P(U_3)=\dfrac{1}{3} $

मान लीजिए $H$ चुने गए बरतन से सफेद गेंद खींचे जाने की घटना है।

$ \begin{aligned} & \therefore P(H / U_1)=\dfrac{2}{5}, P(H / U_2)=\dfrac{3}{5} \text{ और } P(H / U_3)=\dfrac{4}{5} \\ & \therefore P(U_2 / H)=\dfrac{P(U_2) \cdot P(H / U_2)}{P(U_1) \cdot P(H / U_1)+P(U_2) \cdot P(H / U_2)+P(U_3) \cdot P(H / U_3)} \\ & \quad=\dfrac{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5}}{\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{2}{5}+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{4}{5}}=\dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{5}+\dfrac{4}{5}}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{1}{3}$।

हल

मान लीजिए $E_1$ : घटना कि एक व्यक्ति में टीबी है

$ E_2 \text{ : घटना कि एक व्यक्ति में टीबी नहीं है } $

और $H$ : घटना कि व्यक्ति के टीबी होने का निदान किया जाता है।

$ \begin{aligned} & \therefore \quad P(E_1)=\dfrac{1}{1000}=0.001, P(E_2)=1-\dfrac{1}{1000}=\dfrac{999}{1000}=0.999 \\ & P(H / E_1)=0.99, P(H / E_2)=0.001 \\ & \therefore P(E_1 / H)=\dfrac{P(E_1) \cdot P(H / E_1)}{P(E_1) \cdot P(H / E_1)+P(E_2) \cdot P(H / E_2)} \\ & =\dfrac{0.001 \times 0.99}{0.001 \times 0.99+0.999 \times 0.001}=\dfrac{0.99}{0.99+0.999} \\ & =\dfrac{0.990}{0.990+0.999}=\dfrac{990}{1989}=\dfrac{110}{221} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{110}{221}$।

हल

मान लीजिए $E_1$ : घटना कि वस्तु मशीन A द्वारा निर्मित है

$E_2$ : घटना कि वस्तु मशीन B द्वारा निर्मित है

$E_3$ : घटना कि वस्तु मशीन C द्वारा निर्मित है

मान लीजिए $H$ घटना कि चयनित वस्तु खराब है।

$\therefore$ बेयेस प्रमेय का उपयोग करते हुए,

$ \begin{aligned} & P(E_1)=\dfrac{50}{100}, P(E_2)=\dfrac{30}{100}, P(E_3)=\dfrac{20}{100} \\ & P(H / E_1)=\dfrac{2}{100}, P(H / E_2)=\dfrac{2}{100} \text{ और } P(H / E_3)=\dfrac{3}{100} \\ & \therefore P(E_1 / H)=\dfrac{P(E_1) \cdot P(H / E_1)}{P(E_1) \cdot P(H / E_1)+P(E_2) \cdot P(H / E_2)+P(E_3) \cdot P(H / E_3)} \\ & =\dfrac{\dfrac{50}{100} \times \dfrac{2}{100}}{\dfrac{50}{100} \times \dfrac{2}{100}+\dfrac{30}{100} \times \dfrac{2}{100}+\dfrac{20}{100} \times \dfrac{3}{100}} \\

& =\dfrac{100}{100+60+60}=\dfrac{100}{220}=\dfrac{10}{22}=\dfrac{5}{11} \end{aligned} $

हल

(i) यहाँ, $P(X=x)=k(x+1)$ जब $x=1,2,3,4$

इसलिए, $P(X=1)=k(1+1)=2 k ; P(X=2)=k(2+1)=3 k$

$ P(X=3)=k(3+1)=4 k ; P(X=4)=k(4+1)=5 k $

इसके अलावा, $P(X=x)=2 k x$ जब $x=5,6,7$

$ \begin{aligned} & P(X=5)=2(5) k=10 k ; P(X=6)=2(6) k=12 k \\ & P(X=7)=2(7) k=14 k \end{aligned} $

और अन्यथा यह 0 है ।

$\therefore$ प्रायिकता वितरण निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & \text{अन्यथा} \ \hline P(X) & 2k & 3k & 4k & 5k & 10k & 12k & 14k & 0 \ \hline \end{array}$

$ \begin{aligned} & \text{ हम जानते हैं कि } \sum _{i=1}^{n} P(X_i)=1 \\ & \text{ इसलिए, } 2 k+3 k+4 k+5 k+10 k+12 k+14 k=1 \\ & \Rightarrow \quad 50 k=1 \Rightarrow k=\dfrac{1}{50} \\ & \text{ अतः, } k \text{ का मान } \dfrac{1}{50} \text{ है} \end{aligned} $

(ii) अब प्रायिकता वितरण निम्नलिखित है

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \ \hline P(X) & \dfrac{2}{50} & \dfrac{3}{50} & \dfrac{4}{50} & \dfrac{5}{50} & \dfrac{10}{50} & \dfrac{12}{50} &\dfrac{14}{50} \ \hline \end{array}$

$ \begin{aligned} E(X)=1 \times \dfrac{2}{50}+2 \times \dfrac{3}{50}+3 \times \dfrac{4}{50}+4 \times \dfrac{5}{50}+5 \times \dfrac{10}{50}+ 6 \times \dfrac{12}{50} & +7 \times \dfrac{14}{50} \end{aligned} $

$ =\dfrac{2}{50}+\dfrac{6}{50}+\dfrac{12}{50}+\dfrac{20}{50}+\dfrac{50}{50}+\dfrac{72}{50}+\dfrac{98}{50}=\dfrac{260}{50}=\dfrac{26}{5}=5.2 $

(iii) हम जानते हैं कि मानक विचलन (SD) $=\sqrt{\text{ विचलन }}$ $=\sqrt {E(X^{2})-[E(X)]^{2}}$

$

\begin{aligned} & \begin{aligned} & E(X^{2})= 1 \times \dfrac{2}{50}+4 \times \dfrac{3}{50}+9 \times \dfrac{4}{50}+16 \times \dfrac{5}{50}+25 \times \dfrac{10}{50}+36 \times \dfrac{12}{50}+49 \times \dfrac{14}{50} \\ &=\dfrac{2}{50}+\dfrac{12}{50}+\dfrac{36}{50}+\dfrac{80}{50}+\dfrac{250}{50}+\dfrac{432}{50}+\dfrac{686}{50}=\dfrac{1498}{50} \end{aligned} \\ & \therefore \text{ Variance }(X)=\dfrac{1498}{50}-(\dfrac{26}{5})^{2} \\ & =\dfrac{1498}{50}-\dfrac{676}{25}=\dfrac{1498-1352}{50}=\dfrac{146}{50}=2.92 \\ & \therefore \quad \text{ S.D }=\sqrt{2.92}=1.7 \text{ (approx.) } \end{aligned} $

हल

(i) हम जानते हैं कि: $E(X)=\sum _{i=1}^{n} P_i X_i$

$ \begin{aligned} &\therefore E(X) =1 \times \dfrac{1}{2}+2 \times \dfrac{1}{5}+4 \times \dfrac{3}{25}+2 A \times \dfrac{1}{10} + 3 A \times \dfrac{1}{25}+5 A \times \dfrac{1}{25} \\ & \Rightarrow 2.94 =\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{12}{25}+\dfrac{A}{5}+\dfrac{3 A}{25}+\dfrac{A}{5} \\ &\Rightarrow 2.94 =0.5+0.4+0.48+\dfrac{13 A}{25}=1.38+\dfrac{13 A}{25} \\ &\Rightarrow 2.94 -1.38=\dfrac{13 A}{25} \Rightarrow 1.56=\dfrac{13 A}{25} \\ &\Rightarrow \quad A =\dfrac{1.56 \times 25}{13}=0.12 \times 25 \\ & \therefore \quad A =3 \end{aligned} $

(ii) अब बटुआ इस प्रकार हो जाता है

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|} \hline X & 1 & 2 & 4 & 6 & 9 & 15 \ \hline P(X) & \dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{5} & \dfrac{3}{25} & \dfrac{1}{10} & \dfrac{1}{25} & \dfrac{1}{25} \ \hline \end{array}$

$E(X^{2})=1 \times \dfrac{1}{2}+4 \times \dfrac{1}{5}+16 \times \dfrac{3}{25}+36 \times \dfrac{1}{10}+81 \times \dfrac{1}{25}+225 \times \dfrac{1}{25}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2}+\dfrac{4}{5}+\dfrac{48}{25}+\dfrac{36}{10}+\dfrac{81}{25}+\dfrac{225}{25} \\ & =0.5+0.8+1.92+3.6+3.24+9.00=19.06 \end{aligned} $

विचलन $(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$

$ =19.06-(2.94)^{2}=19.06-8.64=10.42 $

हल

दिया गया है: $\quad P(X=x)=\begin{cases} k x^{2} & \text{ जब } x=1,2,3 \\ 2 k x & \text{ जब } x=4,5,6 \\ 0 & \text{ अन्यथा } \end{cases} .$

$\therefore$ यादृच्छिक चर $X$ के प्रायिकता बटुआ निम्नलिखित है

$\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|l|l|l|} \hline X & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & \text{अन्यथा} \ \hline P(X) & k & 4k & 9k & 8k & 10k & 0 \ \hline \end{array}$

हम जानते हैं कि $\sum _{i=1}^{n} P(X_i)=1$

$\therefore k+4 k+9 k+8 k+10 k+12 k=1 \Rightarrow 44 k=1 \Rightarrow k=\dfrac{1}{44}$

(i) $E(X)=\sum _{i=1}^{n} P_i X_i=1 \times k+2 \times 4 k+3 \times 9 k+4 \times 8 k+5 \times 10 k+6 \times 12 k$ $=k+8 k+27 k+32 k+50 k+72 k=190 k$ $=190 \times \dfrac{1}{44}=\dfrac{95}{22}=4.32$ (लगभग)

(ii) $E(3 X^{2})=3[k+4 \times 4 k+9 \times 9 k+16 \times 8 k+25 \times 10 k+36 \times 12 k]$

$=3[k+16 k+81 k+128 k+250 k+432 k]=3[908 k]$

$=3 \times 908 \times \dfrac{1}{44}=\dfrac{2724}{44}=61.9$ (लगभग)

(iii) $P(X \geq 4)=P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)$

$=8 k+10 k+12 k=30 k$

$=30 \times \dfrac{1}{44}=\dfrac{15}{22}$.

हल

दिया गया है कि $n$ सिक्के दो चेहरे वाले सिक्के हैं और शेष $(n+1)$ सिक्के अच्छे सिक्के हैं।

मान लीजिए $E_1$ : घटना कि अनुचित सिक्का चुना गया है

$E_2$ : घटना कि सामान्य सिक्का चुना गया है

$E$ : घटना कि उछाल के परिणाम एक सिरा है

$\therefore \quad P(E_1)=\dfrac{n}{2 n+1}$ और $P(E_2)=\dfrac{n+1}{2 n+1}$

$P(E / E_1)=1$ (निश्चित घटना) और $P(E / E_2)=\dfrac{1}{2}$

$\therefore \quad P(E)=P(E_1) \cdot P(E / E_1)+P(E_2) \cdot P(E / E_2)$

$=\dfrac{n}{2 n+1} \cdot 1+\dfrac{n+1}{2 n+1} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2 n+1}(n+\dfrac{n+1}{2})$

$=\dfrac{1}{2 n+1}(\dfrac{2 n+n+1}{2})=\dfrac{3 n+1}{2(2 n+1)}$

लेकिन $\quad P(E)=\dfrac{31}{42}$ (दिया गया है)

$ \begin{aligned} &\therefore \dfrac{3 n+1}{2(2 n+1)}=\dfrac{31}{42} \\ &\Rightarrow \dfrac{3 n+1}{2 n+1} =\dfrac{31}{21} \\ &\Rightarrow 63 n+21 =62 n+31 \\ &\Rightarrow n =10 \end{aligned} $

इसलिए, $n$ का अभीष्ट मान 10 है।

हल

मान लीजिए $E$ एक पासे के उछाल में सम संख्या प्राप्त करने की घटना है।

$\therefore P(E)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ और $P(\overline{E})=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

यहाँ $X=0,1,2$

$ \begin{gathered} P(X=0)=P(\bar{{}E}) \cdot P(\bar{{}E})=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \\ P(X=1)=P(E) \cdot P(\bar{{}E})+P(\bar{{}E}) \cdot P(E)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4} \\ P(X=2)=P(E) \cdot P(E)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \end{gathered} $

$\therefore$ प्रायिकता बंटन सारणी है

$\begin{array}{|l|l|l|l|} \hline X & 0 & 1 & 2 \ \hline P(X) & \dfrac{1}{4} & \dfrac{2}{4} & \dfrac{1}{4} \ \hline \end{array}$

$ \begin{aligned} E(X) & =0 \times \dfrac{1}{4}+1 \times \dfrac{2}{4}+2 \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{4}+\dfrac{2}{4}=1 \\ E(X^{2}) & =0 \times \dfrac{1}{4}+1 \times \dfrac{2}{4}+4 \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{2} \end{aligned} $

$\therefore$ विचलन $(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=\dfrac{3}{2}-1=\dfrac{1}{2}=0.5$

हल

यहाँ, नमूना अंतरिक्ष $S={(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(2,3),(3,2)$, $(1,4),(4,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)$, $(3,5),(5,3),(5,4),(4,5)}$

$\therefore n(S)=20$

मान लीजिए $X$ दो कार्डों पर संख्याओं के योग को दर्शाने वाले यादृच्छिक चर है।

$ \therefore \quad X=3,4,5,6,7,8,9 $

इसलिए, $\quad P(X=3)=\dfrac{2}{20}$

$ \begin{aligned} & P(X=4)=\dfrac{2}{20} \\ & P(X=6)=\dfrac{4}{20} \\ & P(X=8)=\dfrac{2}{20} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & P(X=5)=\dfrac{4}{20} \\ & P(X=7)=\dfrac{4}{20} \\ & P(X=9)=\dfrac{2}{20} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} &\therefore \text{ माध्य, } E(X)=3 \times \dfrac{2}{20}+4 \times \dfrac{2}{20}+5 \times \dfrac{4}{20}+6 \times \dfrac{4}{20}+7 \times \dfrac{4}{20} +8 \times \dfrac{2}{20}+9 \times \dfrac{2}{20} \\ &=\dfrac{6}{20}+\dfrac{8}{20}+\dfrac{20}{20}+\dfrac{24}{20}+\dfrac{28}{20}+\dfrac{16}{20}+\dfrac{18}{20}=\dfrac{120}{20}=6 \\ &E(X^{2})=9 \times \dfrac{2}{20}+16 \times \dfrac{2}{20}+25 \times \dfrac{4}{20}+36 \times \dfrac{4}{20}+49 \times \dfrac{4}{20}+64 \times \dfrac{2}{20}+81 \times \dfrac{2}{20} \\ &=\dfrac{18}{20}+\dfrac{32}{20}+\dfrac{100}{20}+\dfrac{144}{20}+\dfrac{196}{20}+\dfrac{128}{20}+\dfrac{162}{20}=\dfrac{780}{20}=39 \\ &\therefore \text{ विचलन }(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}=39-(6)^{2}=39-36=3 \end{aligned} $

हल

दिया गया है: $P(A)=\dfrac{4}{5}$ और $P(A \cap B)=\dfrac{7}{10}$

$ \therefore \quad P(B / A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=\dfrac{7 / 10}{4 / 5}=\dfrac{7}{8} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{10}$: यह विकल्प शर्ती संभावना के सूत्र को संतुष्ट नहीं करता। $P(B / A)$ की सही गणना $P(A \cap B)/P(A)$ होती है, जो $\dfrac{7/10}{4/5} = \dfrac{7}{8}$ होती है, न कि $\dfrac{1}{10}$।

• विकल्प (b) $\dfrac{1}{8}$: यह विकल्प शर्ती संभावना के सूत्र को संतुष्ट नहीं करता। $P(B / A)$ की सही गणना $P(A \cap B)/P(A)$ होती है, जो $\dfrac{7/10}{4/5} = \dfrac{7}{8}$ होती है, न कि $\dfrac{1}{8}$।

• विकल्प (d) $\dfrac{17}{20}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें शर्ती संभावना के सही गणना के अनुसार नहीं आता है। $P(B / A)$ के सही गणना के लिए $\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}$ का उपयोग किया जाता है, जो $\dfrac{7/10}{4/5} = \dfrac{7}{8}$ के रूप में आता है, न कि $\dfrac{17}{20}$।

हल

दिया गया है: $P(A \cap B)=\dfrac{7}{10}$ और $P(B)=\dfrac{17}{20}$

$ \therefore \quad P(A / B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{7 / 10}{17 / 20}=\dfrac{14}{17} $

अतः सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) $\dfrac{17}{20}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह घटना B की संभावना को दर्शाता है, न कि शर्ती संभावना $P(A / B)$। शर्ती संभावना $P(A / B)$ की गणना सूत्र $ \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} $ का उपयोग करके की जाती है, जो $\dfrac{17}{20}$ के रूप में सरल नहीं होता।

• विकल्प (c) $\dfrac{7}{8}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह $P(A / B)$ की गणना के परिणाम के बराबर नहीं है। सही गणना $ \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{7/10}{17/20} = \dfrac{14}{17} $ है, न कि $\dfrac{7}{8}$।

• विकल्प (d) $\dfrac{1}{8}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह $P(A / B)$ की गणना के परिणाम के बराबर नहीं है। सही गणना $ \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{7/10}{17/20} = \dfrac{14}{17} $ है, न कि $\dfrac{1}{8}$।

हल

यहाँ, $P(A)=\dfrac{3}{10}, P(B)=\dfrac{2}{5}$ और $P(A \cup B)=\dfrac{3}{5}$

$ \begin{aligned} & P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{3}{5}=\dfrac{3}{10}+\dfrac{2}{5}-P(A \cap B) \\

$$ \begin{aligned} & \text{Therefore, } P(A^{\prime} / B^{\prime}) \cdot P(B^{\prime} / A^{\prime})=\dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{5}{6}=\dfrac{25}{42} \\ & \text{Hence, the correct option is } (c). \end{aligned} $$

**

• Option (a) $\dfrac{5}{6}$: This option is incorrect because it does not represent the product of $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ and $P(B^{\prime} / A^{\prime})$. The correct value is $\dfrac{25}{42}$, not $\dfrac{5}{6}$.

• Option (b) $\dfrac{5}{7}$: This option is incorrect because it only represents one of the conditional probabilities, $P(A^{\prime} / B^{\prime})$, but not the product of both probabilities.

• Option (d) 1: This option is incorrect because the product of the two conditional probabilities is not equal to 1. The correct value is $\dfrac{25}{42}$, not 1.

Solution

दिया गया है: $P(A)=\dfrac{2}{5}, P(B)=\dfrac{3}{10}$ और $P(A \cap B)=\dfrac{1}{5}$

$ \begin{aligned} & P(A^{\prime})=1-\dfrac{2}{5}=\dfrac{3}{5}, P(B^{\prime})=1-\dfrac{3}{10}=\dfrac{7}{10} \\ & \text{ और } P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=1-P(A \cup B)=1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)] \\ &=1-[\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{5}]=1-[\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}]=1-\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2} \\ & \therefore \quad P(A^{\prime} / B^{\prime})=\dfrac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}=\dfrac{1 / 2}{7 / 10}=\dfrac{5}{7} \\ & \text{ और } P(B^{\prime} / A^{\prime})=\dfrac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(A^{\prime})}=\dfrac{1 / 2}{3 / 5}=\dfrac{5}{6} \\

$$ \therefore P(A^{\prime} / B^{\prime}) \cdot P(B^{\prime} / A^{\prime})=\dfrac{5}{7} \times \dfrac{5}{6}=\dfrac{25}{42} $$ $$ \end{aligned} $$

$

अतः, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{5}{6}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह केवल $P(B^{\prime} / A^{\prime})$ के मान को दर्शाता है, न कि $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ और $P(B^{\prime} / A^{\prime})$ के गुणनफल को।

• विकल्प (b) $\dfrac{5}{7}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह केवल $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ के मान को दर्शाता है, न कि $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ और $P(B^{\prime} / A^{\prime})$ के गुणनफल को।

• विकल्प (d) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ और $P(B^{\prime} / A^{\prime})$ के गुणनफल के बराबर 1 नहीं है। सही गुणनफल $\dfrac{25}{42}$ है।

हल

दिया गया है: $P(A)=\dfrac{1}{2}, P(B)=\dfrac{1}{3}$ और $P(A / B)=\dfrac{1}{4}$

$$ \begin{aligned} P(A / B) & =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ \dfrac{1}{4} & =\dfrac{P(A \cap B)}{1 / 3} \Rightarrow P(A \cap B)=\dfrac{1}{4} \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{12} \end{aligned} $$

अब $\quad P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=1-P(A \cup B)$

$$ =1-[P(A)+P(B)-P(A \cap B)] $$

$$ =1-[\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{12}]=1-[\dfrac{5}{6}-\dfrac{1}{12}]=1-\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{12}=\dfrac{1}{4} $$

अतः, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{12}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह घटनाओं $A$ और $B$ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता ($P(A \cap B)$) को दर्शाता है, न कि उनके पूरकों के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता ($P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$) को।

• विकल्प (b) $\dfrac{3}{4}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$ की गणना के लिए सही तरीका नहीं दर्शाता है। सही गणना में $A$ और $B$ के संयोजन को 1 से घटाया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप $\dfrac{1}{4}$ होता है, न कि $\dfrac{3}{4}$।

• विकल्प (d) $\dfrac{3}{16}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह दिए गए प्रायिकताओं और $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$ के सही सूत्र से निकाला गया नहीं है। सही गणना $\dfrac{1}{4}$ देती है, नहीं $\dfrac{3}{16}$।

हल

दिया गया है: $P(A)=0.4, P(B)=0.8$ और $P(B / A)=0.6$

$ \begin{aligned} P(B / A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} & \Rightarrow 0.6=\dfrac{P(A \cap B)}{0.4} \\ \therefore \quad P(A \cap B) & =0.6 \times 0.4=0.24 \\ P(A \cup B) & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ & =0.4+0.8-0.24=1.20-0.24=0.96 \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प (d) है।

• विकल्प (a) 0.24 गलत है क्योंकि यह घटनाओं A और B के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $ P(A \cap B) $ को दर्शाता है, न कि एकत्रिति $ P(A \cup B) $ को।

• विकल्प (b) 0.3 गलत है क्योंकि यह दिए गए डेटा के अनुसार किसी भी संबंधित प्रायिकता गणना के साथ मेल नहीं खाता है। यह A, B, या उनके प्रतिच्छेदन या एकत्रिति की प्रायिकता नहीं है।

• विकल्प (c) 0.48 गलत है क्योंकि यह घटनाओं A और B के एकत्रिति के सही गणना के साथ मेल नहीं खाता है। यह एक गलत गणना या संबंधित प्रायिकता हो सकती है।

हल

दिया गया है: $A=\phi$ और $B \neq \phi$,

तो

$ P(A / B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} $

अतः, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) $P(A / B)=P(A) \cdot P(B)$: यह गलत है क्योंकि शर्ती प्रायिकता $ P(A / B) $ घटना $ A $ के घटना $ B $ के घटने के दिए गए अवस्था में घटना $ A $ के घटने की प्रायिकता को दर्शाती है। यह केवल $ A $ और $ B $ के प्रायिकताओं के गुणनफल नहीं है। शर्ती प्रायिकता का सही सूत्र $ P(A / B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} $ है।

• विकल्प (c) $P(A / B) \cdot P(B / A)=1$: यह गलत है क्योंकि $ P(A / B) $ और $ P(B / A) $ के गुणनफल के लिए आवश्यक रूप से 1 नहीं होता। इन प्रायिकताओं के सही संबंध बेयेस के प्रमेय द्वारा दिया गया है: $ P(A / B) = \dfrac{P(B / A) \cdot P(A)}{P(B)} $।

• विकल्प (d) $P(A / B)=\dfrac{P(A)}{P(B)}$: यह गलत है क्योंकि $ P(A / B) $ केवल $ A $ और $ B $ की प्रायिकताओं के अनुपात के रूप में नहीं होता। शर्ती प्रायिकता के सही सूत्र है: $ P(A / B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} $। दिया गया सूत्र केवल तभी सही होगा जब $ A $ और $ B $ स्वतंत्र घटनाएँ हों, जो समस्या में नहीं बताया गया है।

हल

दिया गया है: $P(A)=0.4, P(B)=0.3$ और $P(A \cup B)=0.5$

$ \begin{aligned} P(A \cup B) & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ 0.5 & =0.4+0.3-P(A \cap B) \\ P(A \cap B) & =0.4+0.3-0.5=0.2 \\ \therefore \quad P(B^{\prime} \cap A) & =P(A)-P(A \cap B) \\ & =0.4-0.2=0.2=\dfrac{1}{5} \end{aligned} $

अतः सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{2}{3}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $P(B^{\prime} \cap A)$ की गणना दिए गए प्रायिकताओं और सूत्र $P(B^{\prime} \cap A) = P(A) - P(A \cap B)$ के आधार पर की जाती है। सही मान 0.2 है, जो $\dfrac{2}{3}$ के बराबर नहीं है।

• विकल्प (b) $\dfrac{1}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिए गए प्रायिकताओं और उपयोग किए गए सूत्र के आधार पर $P(B^{\prime} \cap A) = 0.2$ है। मान $\dfrac{1}{2}$ (या 0.5) गणना किए गए मान 0.2 के बराबर नहीं है।

• विकल्प (c) $\dfrac{3}{10}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $P(B^{\prime} \cap A)$ की सही गणना 0.2 होती है। मान $\dfrac{3}{10}$ (या 0.3) गणना किए गए मान 0.2 के बराबर नहीं है।

हल

दिया गया है: $P(B)=\dfrac{3}{5}, P(A / B)=\dfrac{1}{2}$ और $P(A \cup B)=\dfrac{4}{5}$

हम जानते हैं कि $P(A / B)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \Rightarrow \dfrac{1}{2}=\dfrac{P(A \cap B)}{3 / 5}$

$\therefore \quad P(A \cap B)=\dfrac{3}{10}$

अब $\quad P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$ \begin{aligned} \dfrac{4}{5} & =P(A)+\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{10} \\ \Rightarrow \quad P(A) & =\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2} \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{3}{10}$ गलत है क्योंकि दिए गए प्रायिकताओं और दो घटनाओं के संयोजन के सूत्र का उपयोग करके $P(A)$ की गणना करने पर हमें $P(A) = \dfrac{1}{2}$ प्राप्त होता है, न कि $\dfrac{3}{10}$।

• विकल्प (b) $\dfrac{1}{5}$ गलत है क्योंकि $P(A)$ की गणना में $P(B)$ को घटाया जाता है और $P(A \cap B)$ को $P(A \cup B)$ में जोड़ा जाता है। इससे $P(A) = \dfrac{1}{2}$ प्राप्त होता है, न कि $\dfrac{1}{5}$।

• विकल्प (d) $\dfrac{3}{5}$ गलत है क्योंकि $P(A)$ की गणना समीकरण $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ के आधार पर की जाती है। दिए गए मानों के साथ इस समीकरण को हल करने पर $P(A) = \dfrac{1}{2}$ प्राप्त होता है, न कि $\dfrac{3}{5}$।

हल

उपरोक्त प्रश्न 64 के अनुसार, हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} & P(B)=\dfrac{3}{5}, P(A / B)=\dfrac{1}{2}, P(A \cup B)=\dfrac{4}{5} \\ & P(B / A^{\prime})=\dfrac{P(B \cap A^{\prime})}{P(A^{\prime})}=\dfrac{P(B)-P(A \cap B)}{1-P(A)}=\dfrac{\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{10}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{3}{10}}{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{3}{5} \end{aligned}

$

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{5}$ गलत है क्योंकि $P(B / A^{\prime})$ की गणना में $P(B) - P(A \cap B)$ के अंतर और $1 - P(A)$ के विभाजन की आवश्यकता होती है। सही गणना $\dfrac{3}{5}$ देती है, न कि $\dfrac{1}{5}$।

• विकल्प (b) $\dfrac{3}{10}$ गलत है क्योंकि यह $P(A \cap B)$ का मान है, न कि $P(B / A^{\prime})$। $P(B / A^{\prime})$ की सही गणना $\dfrac{3}{5}$ देती है।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{2}$ गलत है क्योंकि यह $P(B / A^{\prime})$ की गणना के परिणाम से मेल नहीं खाता। सही गणना $\dfrac{3}{5}$ देती है, न कि $\dfrac{1}{2}$।

हल

दिया गया है: $P(B)=\dfrac{3}{5}, P(A / B)=\dfrac{1}{2}$ और $P(A \cup B)=\dfrac{4}{5}$

$ \begin{aligned} P(A / B) & =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ \Rightarrow \quad \dfrac{1}{2} & =\dfrac{P(A \cap B)}{3 / 5} \Rightarrow P(A \cap B)=\dfrac{3}{10} \\ P(A \cup B) & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \dfrac{4}{5} & =P(A)+\dfrac{3}{5}-\dfrac{3}{10} \\ \therefore \quad P(A) & =\dfrac{4}{5}-\dfrac{3}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2} \end{aligned} $

अब $P(A \cup B)^{\prime}+P(A^{\prime} \cup B)$

$ \begin{aligned} & =1-P(A \cup B)+1-P(A \cap B^{\prime}) \\ & =2-\dfrac{4}{5}-P(A) \cdot P(B^{\prime}) \\ & =\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2} \cdot(1-\dfrac{3}{5})=\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{5}=\dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{5}{5}=1 \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{5}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $P(A \cup B)^{\prime} + P(A^{\prime} \cup B)$ की गणना में प्रायिकताओं को घटाया जाता है और संपूरकों को जोड़ा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप मान 1 होता है, न कि $\dfrac{1}{5}$।

• विकल्प (b) $\dfrac{4}{5}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें सही प्रायिकताओं और उनके पूरक के सही संयोजन को ध्यान में नहीं लिया गया है। सही गणना दिखाती है कि योग 1 है, न कि $\dfrac{4}{5}$।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें संयुक्त प्रायिकताओं और उनके पूरक के परिणाम को गलत तरीके से प्रस्तुत किया गया है। सही गणना एक कुल दिखाती है, न कि $\dfrac{1}{2}$।

हल

दिया गया है: $P(A)=\dfrac{7}{13}, P(B)=\dfrac{9}{13}$ और $P(A \cap B)=\dfrac{4}{13}$

$ P(A^{\prime} / B)=\dfrac{P(A^{\prime} \cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B)-P(A \cap B)}{P(B)}=\dfrac{\dfrac{9}{13}-\dfrac{4}{13}}{\dfrac{9}{13}}=\dfrac{\dfrac{5}{13}}{\dfrac{9}{13}}=\dfrac{5}{9} $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{6}{13}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें स्थिति गुणांक प्रायिकता सूत्र को ध्यान में नहीं लिया गया है। सही गणना $P(B)$ और $P(A \cap B)$ के अंतर को $P(B)$ से विभाजित करने के बराबर होती है, जो $\dfrac{5}{9}$ होती है, न कि $\dfrac{6}{13}$।

• विकल्प (b) $\dfrac{4}{13}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह $A \cap B$ की प्रायिकता को निरूपित करता है, न कि स्थिति गुणांक $P(A^{\prime} / B)$ को। $P(A^{\prime} / B)$ की सही गणना $P(B) - P(A \cap B)$ को $P(B)$ से विभाजित करने के सूत्र का उपयोग करती है।

• विकल्प (c) $\dfrac{4}{9}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें गलत गणना होती है। $P(A^{\prime} / B)$ की सही गणना $P(B) - P(A \cap B)$ को $P(B)$ से विभाजित करने के बराबर होती है, जो $\dfrac{5}{9}$ होती है, न कि $\dfrac{4}{9}$।

Solution

दिया गया है: $P(A)>0$ और $P(B) \neq 1$

$ \therefore \quad P(A^{\prime} / B^{\prime})=\dfrac{P(A^{\prime} \cap B^{\prime})}{P(B^{\prime})}=\dfrac{1-P(A \cup B)}{P(B^{\prime})} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a): $1 - P(A / B)$ गलत है क्योंकि $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ केवल $P(A / B)$ के पूरक नहीं होता। $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ और $P(A / B)$ के बीच संबंध $A$ और $B$ के संयुक्त प्रायिकताओं और उनके पूरकों पर निर्भर करता है, न कि केवल एक सीधा पूरक संचालन।

• विकल्प (b): $1 - P(A^{\prime} / B)$ गलत है क्योंकि $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ $P(A^{\prime} / B)$ के पूरक नहीं होता। घटनाओं के पूरकों वाले संतति प्रायिकताओं के बीच यह सरल पूरक नियम लागू नहीं होता।

• विकल्प (d): $\dfrac{P(A^{\prime})}{P(B^{\prime})}$ गलत है क्योंकि $P(A^{\prime} / B^{\prime})$ $B^{\prime}$ के दिए गए $A^{\prime}$ की संतति प्रायिकता होती है, जो $A^{\prime}$ और $B^{\prime}$ के संयुक्त प्रायिकता पर निर्भर करती है। सही व्यंजक संयुक्त प्रायिकता $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$ को शामिल करता है, न कि केवल $P(A^{\prime})$ के मार्जिनल प्रायिकता।

Solution

दिया गया है: A और B स्वतंत्र घटनाएं हैं

जैसे कि

$ \begin{aligned} & P(A)=\dfrac{3}{5} \quad \therefore P(A^{\prime})=1-\dfrac{3}{5}=\dfrac{2}{5} \\ & P(B)=\dfrac{4}{9} \quad \therefore P(B^{\prime})=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9} \end{aligned} $

$ \therefore \quad P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=P(A^{\prime}) \cdot P(B^{\prime})=\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{9}=\dfrac{2}{9} $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{4}{15}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें $A$ और $B$ के पूरक की प्रायिकताओं के गुणनफल को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं किया गया है। सही गणना $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{2}{9}$ है, न कि $\dfrac{4}{15}$।

• विकल्प (b) $\dfrac{8}{45}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें $A$ और $B$ के पूरक की प्रायिकताओं के गुणनफल को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं किया गया है। सही गणना $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{2}{9}$ है, न कि $\dfrac{8}{45}$।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{3}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें $A$ और $B$ के पूरक की प्रायिकताओं के गुणनफल को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं किया गया है। सही गणना $\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{5}{9} = \dfrac{2}{9}$ है, न कि $\dfrac{1}{3}$।

हल

स्वायत्त घटनाओं $A$ और $B$ के लिए $P(A) \cdot P(B) = P(A \cap B)$

इसलिए, वे एक-दूसरे से अपवाद रहित नहीं होंगे।

यदि $P(A) + P(B) = 1$, तो वे एक-दूसरे के अपवाद रहित घटनाएँ होंगी और स्वायत्त घटनाओं $A$ और $B$ के लिए $P(A \cap B) \neq 0$ होता है।

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a): यदि दो घटनाएँ एक-दूसरे से अपवाद रहित हों, तो यह बताता है कि वे एक साथ घटित नहीं हो सकते, अर्थात $P(A \cap B) = 0$। हालाँकि, स्वायत्त घटनाओं के लिए $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ होता है। अतः, यदि $P(A) \cdot P(B) \neq 0$, तो घटनाएँ एक-दूसरे से अपवाद रहित नहीं हो सकते। इसलिए, स्वायत्तता अपवाद रहितता का अर्थ नहीं देती है।

• विकल्प (b): दो स्वायत्त घटनाओं की प्रायिकताओं का योग आवश्यक रूप से 1 के बराबर नहीं होता। दो स्वायत्त घटनाओं की प्रायिकताओं का योग घटनाओं की व्यक्तिगत प्रायिकताओं पर निर्भर करके 0 और 2 के बीच कोई भी मान हो सकता है। इसलिए, स्वायत्तता यह नहीं बताती कि $P(A) + P(B) = 1$ हो।

• विकल्प (c): चूंकि (a) और (b) दोनों गलत हैं, इसलिए यह विकल्प भी गलत है।

हल

दिया गया है: $P(A)=\dfrac{3}{8}, P(B)=\dfrac{5}{8}$ और $P(A \cup B)=\dfrac{3}{4}$

$ \begin{matrix} \therefore &P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \ &\dfrac{3}{4} =\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{8}-P(A \cap B) \\ &\Rightarrow P(A \cap B) =\dfrac{3}{8}+\dfrac{5}{8}-\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4} \end{matrix} $

$ \begin{aligned} \text{ अब } P(A / B) \cdot P(A^{\prime} / B) & =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \cdot \dfrac{P(A^{\prime} \cap B)}{P(B)} \\ & =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \cdot \dfrac{P(B)-P(A \cap B)}{P(B)} \\ & =\dfrac{\dfrac{1}{5}}{\dfrac{5}{8}} \cdot \dfrac{(\dfrac{5}{8}-\dfrac{1}{4})}{\dfrac{5}{8}}=\dfrac{2}{5} \cdot \dfrac{3}{5}=\dfrac{6}{25} \end{aligned} $

अतः सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{2}{5}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें $ P(A / B) \cdot P(A^{\prime} / B) $ के सही गणना को ध्यान में नहीं लिया गया है। सही गणना $ \dfrac{1/4}{5/8} $ के गुणनफल के रूप में $ \dfrac{(5/8 - 1/4)}{5/8} $ के रूप में होती है, जो $ \dfrac{6}{25} $ के बराबर होती है, न कि $ \dfrac{2}{5} $।

• विकल्प (b) $\dfrac{3}{8}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें संयोजी प्रायिकता के सूत्र के सही अनुप्रयोग को ध्यान में नहीं लिया गया है। $ P(A / B) $ और $ P(A^{\prime} / B) $ के सही गुणनफल $ \dfrac{6}{25} $ होता है, न कि $ \dfrac{3}{8} $।

• विकल्प (c) $\dfrac{3}{20}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें शामिल प्रायिकताओं के गलत गणना के कारण होता है। $ P(A / B) $ और $ P(A^{\prime} / B) $ के सही गुणनफल $ \dfrac{6}{25} $ होता है, न कि $ \dfrac{3}{20} $।

हल

क्योंकि $A$ और $B$ दो स्वतंत्र घटनाएँ हैं

$ \therefore \quad P(A \cap B)=P(A) \cdot P(B) $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $P(A) + P(B)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दो घटनाओं के प्रायिकता के योग उनके प्रतिच्छेद को गिनते नहीं है। स्वतंत्र घटनाओं के लिए, दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल होती है, न कि योग।

• विकल्प (b) $P(A) - P(B)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि एक घटना की प्रायिकता को दूसरी घटना की प्रायिकता से घटाना उनके प्रतिच्छेद की प्रायिकता को नहीं दर्शाता है। दो स्वतंत्र घटनाओं के प्रतिच्छेद की प्रायिकता उनकी प्रायिकताओं के गुणनफल द्वारा गणना की जाती है, न कि घटाव द्वारा।

• विकल्प (d) $\dfrac{P(A)}{P(B)}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि एक घटना की प्रायिकता को दूसरी घटना की प्रायिकता से विभाजित करना उनके प्रतिच्छेद की प्रायिकता को नहीं दर्शाता है। स्वतंत्र घटनाओं के लिए, सही संचालन गुणन होता है, न कि विभाजन।

हल

दिया गया है: $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं जैसे कि $P(E)=0.3$ और $P(E \cup F)=0.5$

$ \begin{aligned} &P(E \cup F) =P(E)+P(F)-P(E \cap F) \\ &0.5 =0.3+P(F)-P(E) \cdot P(F) \\ &\Rightarrow \quad 0.5-0.3 =P(F)[1-P(E)] \Rightarrow 0.2=P(F)(1-0.3) \\ &\Rightarrow \quad 0.2 =P(F) \cdot(0.7) \\ &\therefore \quad P(F) =\dfrac{0.2}{0.7}=\dfrac{2}{7} \\ \\ &\text{ अब } P(E / F)-P(F / E) =\dfrac{P(E \cap F)}{P(F)}-\dfrac{P(E \cap F)}{P(E)} \\ &=\dfrac{P(E) \cdot P(F)}{P(F)}-\dfrac{P(E) \cdot P(F)}{P(E)} =P(E)-P(F)=\dfrac{3}{10}-\dfrac{2}{7}=\dfrac{1}{70} \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{2}{7}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह $P(F)$ की प्रायिकता को दर्शाता है, न कि $P(E / F) - P(F / E)$ के अंतर को। गणना दिखाती है कि $P(F) = \dfrac{2}{7}$, लेकिन यह हमें खोजने वाला मान नहीं है।

• विकल्प (b) $\dfrac{3}{35}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह गणना किए गए अंतर $P(E / F) - P(F / E)$ के साथ मेल नहीं खाता। सही अंतर $\dfrac{1}{70}$ है, और $\dfrac{3}{35}$ एक अलग मान है जो दिए गए समस्या के किसी भी हिस्से से संबंधित नहीं है।

• विकल्प (d) $\dfrac{1}{7}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह $P(E / F) - P(F / E)$ के अंतर का परिणाम नहीं है। सही गणना दिखाती है कि अंतर $\dfrac{1}{70}$ है, और $\dfrac{1}{7}$ एक बड़ा मान है जो निर्मित परिणाम से मेल नहीं खाता है।

हल

दिया गया है: बैग में 5 लाल और 3 नीली गेंद हैं।

3 गेंद बिना वापस लेने के यादृच्छिक रूप से खींची जाती हैं तो ठीक एक लाल गेंद के प्राप्त होने की प्रायिकता

$=P(R) \cdot P(B) \cdot P(B)+P(B) \cdot P(R) \cdot P(B)+P(B) \cdot P(B) \cdot P(R)$

$=\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{5}{7} \cdot \dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{5}{6}=\dfrac{30}{336}+\dfrac{30}{336}+\dfrac{30}{336}=\dfrac{90}{336}=\dfrac{15}{56}$

अतः, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{45}{196}$ गलत है क्योंकि सही प्रायिकता गणना $\dfrac{15}{56}$ देती है, न कि $\dfrac{45}{196}$. 196 के अंतर्गत गेंदों के 3 गेंद खींचने के कुल तरीकों की संख्या 56 है, जो अलग है।

• विकल्प (b) $\dfrac{135}{392}$ गलत है क्योंकि सही प्रायिकता गणना $\dfrac{15}{56}$ देती है। 135 अंश और 392 हर के साथ अंतर गणना के सही मान से मेल नहीं खाते हैं।

• विकल्प (d) $\dfrac{15}{29}$ गलत है क्योंकि सही प्रायिकता गणना $\dfrac{15}{56}$ देती है। 29 के हर के साथ गेंदों के 3 गेंद खींचने के कुल तरीकों की संख्या 56 है, जो अलग है।

हल

प्रश्न 74 के अनुसार,

मान लीजिए $E_1$ घटना है जब पहली गेंद लाल हो।

$E_2$ घटना है जब तीन गेंदों में से ठीक दो गेंद लाल हों।

$\therefore \quad P(E_1)=P(R) \cdot P(R) \cdot P(B)+P(R) \cdot P(R) \cdot P(R)+P(R) \cdot P(B) \cdot P(R)$ $+P(R) \cdot P(B) \cdot P(B)$

$=\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6}+\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6}+\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6}$

$=\dfrac{60}{336}+\dfrac{60}{336}+\dfrac{60}{336}+\dfrac{30}{336}=\dfrac{210}{336}$

$P(E_1 \cap E_2)=P(R) \cdot P(B) \cdot P(R)+P(R) \cdot P(R) \cdot P(B)$

$=\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{4}{6}+\dfrac{5}{8} \cdot \dfrac{4}{7} \cdot \dfrac{3}{6}=\dfrac{60}{336}+\dfrac{60}{336}=\dfrac{120}{336}$

$\therefore P(E_2 / E_1)=\dfrac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)}=\dfrac{120 / 336}{210 / 336}=\dfrac{4}{7}$

अतः, सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{3}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि तीन गेंदों में से ठीक दो गेंद लाल हों, तथा पहली गेंद लाल होने की गणनित प्रायिकता $\dfrac{4}{7}$ है। मान $\dfrac{1}{3}$ इस प्रायिकता के बराबर नहीं है और यह दिए गए शर्तों और गणना से निकाला गया नहीं है।

• विकल्प (c) $\dfrac{15}{28}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि गणना के अनुसार सही प्रायिकता $\dfrac{4}{7}$ है। भिन्न $\dfrac{15}{28}$ अपने रूप में $\dfrac{15}{28}$ है, जो $\dfrac{4}{7}$ के बराबर नहीं है। अतः, यह सही प्रायिकता का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

• विकल्प (d) $\dfrac{5}{28}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि सही प्रायिकता $\dfrac{4}{7}$ है। भिन्न $\dfrac{5}{28}$ गणनित प्रायिकता के बराबर नहीं है और यह दिए गए शर्तों और गणना से निकाला गया नहीं है।

हल

दिया गया है: $P(A)=0.4, P(B)=0.3$ और $P(C)=0.2$

इसके अतिरिक्त $P(\overline{A})=1-0.4=0.6, P(\overline{B})=1-0.3=0.7$

और $P(\bar{{}C})=1-0.2=0.8$

$\therefore$ दो भेद करने की प्रायिकता

$=P(A) \cdot P(B) \cdot P(\overline{C})+P(A) \cdot P(\overline{B}) \cdot P(C)+P(\overline{A}) \cdot P(B) \cdot P(C)$

$=0.4 \times 0.3 \times 0.8+0.4 \times 0.7 \times 0.2+0.6 \times 0.3 \times 0.2$

$=0.096+0.056+0.036=0.188$

अतः सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) 0.024: यह मान दो भेद करने की प्रायिकता को प्रतिनिधित करने के लिए बहुत कम है। दो भेद करने की प्रायिकता की गणना लक्ष्य को भेद करने और नहीं भेद करने के विभिन्न संयोजनों के योग के रूप में होती है, और इन प्रायिकताओं के योग लगभग 0.024 से बहुत अधिक है।

• विकल्प (c) 0.336: यह मान बहुत अधिक है। सही गणना तीन अलग-अलग स्थितियों के योग के रूप में होती है, जहाँ तीन व्यक्तियों में से दो भेद करते हैं। इन प्रायिकताओं के योग 0.188 है, जो 0.336 से बहुत कम है।

• विकल्प (d) 0.452: यह मान भी बहुत अधिक है। तीन गोलीबाजों के द्वारा लक्ष्य को भेद करने और नहीं भेद करने की व्यक्तिगत प्रायिकताओं को ध्यान में रखते हुए दो भेद करने की कुल प्रायिकता 0.188 है, जो 0.452 से बहुत कम है।

हल

मान लीजिए $G$ दिए गए परिवार की लड़की को दर्शाता है और $B$ दिए गए परिवार की लड़की को दर्शाता है।

$\text{S}={(BGG),(GBG),(GGB),(GBB),(BGB),(BBG),(BBB), (GGG)}$

मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें परिवार में कम से कम एक लड़की हो।

$\therefore E_1={(BGG),(GBG),(GGB),(GBB),(BGB),(BBG),(GGG)}$

मान लीजिए $E_2$ वह घटना है जिसमें सबसे बड़ा बच्चा लड़की हो।

$ \begin{aligned} & \therefore \quad E_2={(GBG),(GGB),(GBB),(GGG)} \\ & (E_1 \cap E_2)={(GBB),(GGB),(GBG),(GGG)} \\ & \therefore P(E_2 / E_1)=\dfrac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_1)}=\dfrac{4 / 8}{7 / 8}=\dfrac{4}{7} \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह मान लेता है कि सबसे बड़े बच्चे के लड़की होने की प्रायिकता वह घटना जिसमें परिवार में कम से कम एक लड़की हो इस शर्त के अंतर्गत स्वतंत्र है। हालांकि, यह शर्त नमूना अंतरिक बदल देती है और सही प्रायिकता केवल $\dfrac{1}{2}$ नहीं है।

• विकल्प (b) $\dfrac{1}{3}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह परिवार में कम से कम एक लड़की होने के दिए गए शर्त के अंतर्गत प्रायिकता की गलत गणना करता है। सही गणना में वह नमूना अंतरिक जहां कम से कम एक लड़की हो वह शामिल होता है, जो एक अलग प्रायिकता देता है।

• विकल्प (c) $\dfrac{2}{3}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह समस्या को गलत तरीके से समझता है या प्रायिकता की गलत गणना करता है। सही तरीका घटनाओं के प्रतिच्छेदन को ढूंढना होता है और फिर कम से कम एक लड़की होने की प्रायिकता से विभाजित करना होता है, जो $\dfrac{4}{7}$ के बजाए $\dfrac{2}{3}$ नहीं होता।

हल

मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें पासे पर सम संख्या आती है। $E_2$ वह घटना है जिसमें एक चांदी का पत्ता चुना जाता है।

$\therefore P(E_1)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ और $P(E_2)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}$

So $\quad P(E_1 \cap E_2)=P(E_1) \cdot P(E_2)=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{8}$

अतः, सुधार विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{2}$ गलत है क्योंकि इसमें माना गया है कि दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता एक घटना के होने की प्रायिकता के बराबर है, जो वास्तव में नहीं है। दो स्वतंत्र घटनाओं की व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल ही सही प्रायिकता है।

• विकल्प (b) $\dfrac{1}{4}$ गलत है क्योंकि इसमें केवल एक घटना (स्पाड डिकार्ड के चयन) की प्रायिकता को ध्यान में लिया गया है और दोनों घटनाओं (डाइस पर सम संख्या आना और स्पाड डिकार्ड के चयन) की संयुक्त प्रायिकता को गणना में नहीं लिया गया है।

• विकल्प (d) $\dfrac{3}{4}$ गलत है क्योंकि इसमें दो स्वतंत्र घटनाओं की संयुक्त प्रायिकता को अधिक अनुमानित किया गया है। दोनों घटनाओं की सही संयुक्त प्रायिकता बहुत कम है, जैसा कि दोनों घटनाओं की व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल द्वारा गणना किया गया है।

हल

2 हरी गेंद और 1 नीली गेंद निकालने की प्रायिकता $=P(G) \cdot P(G) \cdot P(B)+P(G) \cdot P(B) \cdot P(G)+P(B) \cdot P(G) \cdot P(G)$

$=\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{2}{6}+\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7} \cdot \dfrac{2}{6}+\dfrac{2}{8} \cdot \dfrac{3}{7} \cdot \dfrac{2}{6}=\dfrac{12}{336}+\dfrac{12}{336}+\dfrac{12}{336}=\dfrac{36}{336}=\dfrac{3}{28}$

अतः, सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) $\dfrac{2}{21}$ गलत है क्योंकि 2 हरी गेंद और 1 नीली गेंद निकालने की प्रायिकता $\dfrac{3}{28}$ है, न कि $\dfrac{2}{21}$. मान $\dfrac{2}{21}$ सही प्रायिकता के साथ मेल नहीं खाता है, जो संयोजन और गणना से निकाली गई है।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{28}$ गलत है क्योंकि 2 हरी गेंद और 1 नीली गेंद निकालने की सही प्रायिकता $\dfrac{3}{28}$ है। मान $\dfrac{1}{28}$ बहुत कम है और सही प्रायिकता के साथ मेल नहीं खाता है, जो संयोजन और गणना से निकाली गई है।

• विकल्प (d) $\dfrac{167}{168}$ गलत है क्योंकि यह सही प्रायिकता $\dfrac{3}{28}$ की तुलना में बहुत अधिक है। मान $\dfrac{167}{168}$ लगभग 1 है, जो एक लगभग निश्चित घटना को दर्शाता है, जबकि वास्तविक प्रायिकता काफी कम है।

हल

अभीष्ट प्रायिकता $=P($ मर गई $) \cdot P($ मर गई $)$

$ =\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7}=\dfrac{3}{28} $

अतः सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{33}{56}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह 8 बैटरी में से 3 मर गई होने की प्रायिकता को सही तौर पर प्रकट नहीं करता है। सही गणना में एक बैटरी के चुने जाने की प्रायिकता और बिना प्रतिस्थापन के दूसरी बैटरी के चुने जाने की प्रायिकता को गुणा करना शामिल होता है, जो $\dfrac{3}{28}$ के बराबर होता है, न कि $\dfrac{33}{56}$।

• विकल्प (b) $\dfrac{9}{64}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह दोनों मर गई बैटरी के चुने जाने की प्रायिकता को $\dfrac{3}{8}$ और $\dfrac{3}{8}$ के गुणनफल के रूप में मानता है, जो बार बार चुने जाने के मामले में होता है। लेकिन चुने जाने के बिना प्रतिस्थापन के मामले में सही प्रायिकता $\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$ होती है।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{14}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह बिना प्रतिस्थापन के दोनों मर गई बैटरी के चुने जाने की प्रायिकता को सही तौर पर प्रकट नहीं करता है। सही प्रायिकता $\dfrac{3}{8} \cdot \dfrac{2}{7} = \dfrac{3}{28}$ होती है, जो $\dfrac{3}{28}$ के बराबर होती है, न कि $\dfrac{1}{14}$।

हल

यहाँ, $n=8, p=\dfrac{1}{2}, q=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$ और $r=3$

हम जानते हैं कि $P(x=r)={ }^{n} C_r p^{r} . q^{n-r}$

$ \begin{aligned} \therefore \quad P(x=3) & ={ }^{8} C_3(\dfrac{1}{2})^{3}(\dfrac{1}{2})^{8-3} \\ & =\dfrac{8 !}{3 ! \cdot 5 !} \cdot(\dfrac{1}{2})^{3}(\dfrac{1}{2})^{5}=56 \cdot(\dfrac{1}{2})^{8}=56 \cdot \dfrac{1}{256}=\dfrac{7}{32} \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{256}$ गलत है क्योंकि इसका अर्थ 8 सिक्कों के उछालने पर ठीक 0 सिर या 8 सिर प्राप्त करने की प्रायिकता है, न कि 3 सिर।
• विकल्प (c) $\dfrac{5}{32}$ गलत है क्योंकि यह ठीक 3 सिर प्राप्त करने की गणना की प्रायिकता $\dfrac{7}{32}$ के साथ मेल नहीं खाता।
• विकल्प (d) $\dfrac{3}{32}$ गलत है क्योंकि यह भी ठीक 3 सिर प्राप्त करने की गणना की प्रायिकता $\dfrac{7}{32}$ के साथ मेल नहीं खाता।

हल

मान लीजिए $E_1$ दो पासों पर संख्याओं के योग के 6 से कम होने की घटना है और $E_2$ दो पासों पर संख्याओं के योग के 3 होने की घटना है।

$ \begin{aligned} & \therefore \quad E_1={(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(3,1),(1,4),(4,1), \\ &(2,2),(2,3),(3,2)} \\ & \text{ और } \quad n(E_1)=10 \\ & E_2={(1,2),(2,1)} \Rightarrow n(E_2)=2 \text{ और } n(E_1 \cap E_2)=2 \end{aligned} $

$\therefore$ आवश्यक प्रायिकता

$ P(E_2 / E_1)=\dfrac{n(E_1 \cap E_2)}{n(E_1)}=\dfrac{2}{10}=\dfrac{1}{5} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{18}$ गलत है क्योंकि यह संख्याओं के योग 6 से कम होने वाले कुल परिणामों के अनुपात को सही रूप से प्रतिनिधित्व नहीं करता। सही अनुपात $\dfrac{2}{10}$ है, जो $\dfrac{1}{5}$ के रूप में सरलीकृत होता है।

• विकल्प (b) $\dfrac{5}{18}$ गलत है क्योंकि यह संभावना को अधिक अनुमानित करता है। सही संभावना $\dfrac{1}{5}$ है, जो योग 3 के अनुकूल परिणामों के अनुपात से प्राप्त की जाती है जहाँ योग 6 से कम हो।

• विकल्प (d) $\dfrac{2}{5}$ गलत है क्योंकि यह संभावना को अधिक अनुमानित करता है। सही संभावना $\dfrac{1}{5}$ है, जो योग 3 के अनुकूल परिणामों के अनुपात से प्राप्त की जाती है जहाँ योग 6 से कम हो।

हल

हम जानते हैं कि बाईनोमियल वितरण के लिए परिणाम एक दूसरे पर निर्भर नहीं करना चाहिए।

अतः सही विकल्प (c) है।

• (a) प्रत्येक प्रयोग में दो नतीजे होते हैं।

  • यह बाईनोमियल वितरण की आवश्यकता है क्योंकि प्रत्येक प्रयोग में दो संभावित नतीजों में से एक होना चाहिए, जो आमतौर पर “सफलता” और “असफलता” के रूप में चिह्नित किए जाते हैं।

• (b) प्रयोगों की एक निश्चित संख्या होती है।

  • यह बाईनोमियल वितरण की आवश्यकता है क्योंकि प्रयोगों की संख्या आगे चलकर निर्धारित और स्थिर होनी चाहिए।

• (d) सफलता की संभावना सभी प्रयोगों के लिए समान होनी चाहिए।

  • यह बाईनोमियल वितरण की आवश्यकता है क्योंकि सफलता की संभावना सभी प्रयोगों में समान रहनी चाहिए ताकि प्रयोग समान वितरण वाले हों।

हल

क्वीन प्राप्त करने की संभावना $=\dfrac{4}{52}$

तो, आवश्यक प्रायिकता

$ \begin{aligned} & =P(\text{ राजकुमारी }) \cdot P(\text{ राजकुमारी }) \\ & =\dfrac{4}{52} \cdot \dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13} \cdot \dfrac{1}{13} \quad \text{ (पुनः चयन के साथ) } \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प है $(a)$।

• विकल्प (b) $\dfrac{1}{13}+\dfrac{1}{13}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह प्रायिकताओं के योग को दर्शाता है, न कि गुणन। दो स्वतंत्र घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता की गणना करते समय, आप उनकी प्रायिकताओं को गुणा करते हैं, न कि जोड़ते हैं।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{13} \times \dfrac{1}{17}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें दूसरे कार्ड के लिए गलत प्रायिकता का उपयोग किया गया है। दोनों कार्ड के लिए राजकुमारी खींचने की प्रायिकता $\dfrac{1}{13}$ बनी रहती है क्योंकि कार्ड पुनः चयन के साथ खींचे जाते हैं, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक खींचे के बाद डेक को अपनी मूल स्थिति में वापस ले जाया जाता है।

• विकल्प (d) $\dfrac{1}{13} \times \dfrac{4}{51}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें अनुमान लगाया गया है कि कार्ड बिना पुनः चयन के खींचे जाते हैं। यदि कार्ड बिना पुनः चयन के खींचे जाते, तो दूसरे कार्ड के लिए राजकुमारी खींचने की प्रायिकता पहले कार्ड के राजकुमारी खींचने के बाद $\dfrac{3}{51}$ होती। हालांकि, समस्या में दिया गया है कि कार्ड पुनः चयन के साथ खींचे जाते हैं, इसलिए प्रत्येक खींचे के लिए प्रायिकता $\dfrac{1}{13}$ बनी रहती है।

हल

यहाँ, $n=10, p=\dfrac{1}{2}$ और $q=\dfrac{1}{2} \quad$ (सच और गलत प्रश्न के लिए) और $r \geq 8$ अर्थात $8,9,10$

$ \begin{aligned} \therefore P(X \geq 8) & =P(X=8)+P(X=9)+P(X=10) \\ & ={ }^{10} C_8(\dfrac{1}{2})^{8}(\dfrac{1}{2})^{2}+{ }^{10} C_9(\dfrac{1}{2})^{9}(\dfrac{1}{2})+{ }^{10} C _{10}(\dfrac{1}{2})^{10}(\dfrac{1}{2})^{0} \\ & =45 \cdot(\dfrac{1}{2})^{10}+10 \cdot(\dfrac{1}{2})^{10}+(\dfrac{1}{2})^{10}=(\dfrac{1}{2})^{10}(45+10+1) \\

& =56 \times \dfrac{1}{1024}=\dfrac{7}{128} \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{7}{64}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि 10 प्रश्नों में से कम से कम 8 प्रश्नों को सही तरीके से अनुमान लगाने की संभावना $\dfrac{7}{128}$ है, न कि $\dfrac{7}{64}$. मान $\dfrac{7}{64}$ सही संभावना के दोगुना है, जो गणना में त्रुटि को दर्शाता है।

• विकल्प (c) $\dfrac{45}{1024}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह केवल 10 प्रश्नों में से 8 प्रश्नों को सही तरीके से अनुमान लगाने की संभावना को दर्शाता है। समस्या में कम से कम 8 प्रश्नों को सही तरीके से अनुमान लगाने की संभावना की आवश्यकता है, जो 8, 9 और 10 प्रश्नों को सही तरीके से अनुमान लगाने की संभावना के योग को शामिल करती है।

• विकल्प (d) $\dfrac{7}{41}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसकी संभावना $\dfrac{7}{128}$ के साथ मेल नहीं खाती है। मान $\dfrac{7}{41}$ विलोमी बाइनोमियल संभावना सूत्र का उपयोग नहीं करता है जो समाधान में उपयोग किया गया है और यह सही संभावना के सरल रूप के रूप में नहीं है।

समाधान

दिया गया है: $\overline{P}=0.3 \therefore p=0.7$ और $q=1-0.7=0.3$ $n=5$ और $r=4$

हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} & P(X=r)={ }^{n} C_r(p)^{r} \cdot(q)^{n-r} \\ \therefore \quad & P(X=4)={ }^{5} C_4(0.7)^{4}(0.3)^{5-4}={ }^{5} C_4(0.7)^{4}(0.3) \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प (a) है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि यह गलत रूप से तैराक नहीं होने की संभावना (0.3) के घात 4 को दर्शाता है बल्कि तैराक होने की संभावना (0.7) के घात 4 को दर्शाना चाहिए। सही सूत्र में तैराक होने की संभावना के घात 4 होना चाहिए।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि यह गलत रूप से तैराक नहीं होने की संभावना (0.3) के घात 4 को दर्शाता है बल्कि तैराक होने की संभावना (0.7) के घात 4 को दर्शाना चाहिए। सही सूत्र में तैराक होने की संभावना के घात 4 होना चाहिए।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि इसमें द्विपद गुणांक ${ }^{5} C_4$ शामिल नहीं है, जो 5 व्यक्तियों में से 4 तैराकों के चयन के विभिन्न तरीकों की गणना करने के लिए आवश्यक है।

हल

हम जानते हैं कि $\sum _{i=1}^{n} P(X_i)=1$

$ \begin{aligned} \therefore \quad \dfrac{5}{k}+\dfrac{7}{k}+\dfrac{9}{k}+\dfrac{11}{k} & =1 \\ \dfrac{32}{k} & =1 \Rightarrow k=32 . \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) 8 गलत है क्योंकि यदि $ k = 8 $, तो प्रायिकता के योग का मान $\dfrac{5}{8} + \dfrac{7}{8} + \dfrac{9}{8} + \dfrac{11}{8} = \dfrac{32}{8} = 4 $ होगा, जो 1 के बराबर नहीं है।

• विकल्प (b) 16 गलत है क्योंकि यदि $ k = 16 $, तो प्रायिकता के योग का मान $\dfrac{5}{16} + \dfrac{7}{16} + \dfrac{9}{16} + \dfrac{11}{16} = \dfrac{32}{16} = 2 $ होगा, जो 1 के बराबर नहीं है।

• विकल्प (d) 48 गलत है क्योंकि यदि $ k = 48 $, तो प्रायिकता के योग का मान $\dfrac{5}{48} + \dfrac{7}{48} + \dfrac{9}{48} + \dfrac{11}{48} = \dfrac{32}{48} = \dfrac{2}{3} $ होगा, जो 1 के बराबर नहीं है।

हल

हम जानते हैं कि:

$ \begin{aligned} E(X) & =\sum _{i=1}^{n} X_i P_i \\ & =(-4)(0.1)+(-3)(0.2)+(-2)(0.3)+(-1)(0.2)+0(0.2) \\ & =-0.4-0.6-0.6-0.2=-1.8 \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) 0 गलत है क्योंकि $ E(X) $ की गणना $ X $ के मानों के अपने संगत प्रायिकताओं के भारित औसत के रूप में की जाती है। गणना दिखाती है कि योग $-1.8$ है, न कि 0।

• विकल्प (b) -1 गलत है क्योंकि अपेक्षित मूल्य $ E(X) $ की गणना $-1.8$ के रूप में की जाती है, न कि $-1$। प्रत्येक $ X $ के मान और उसकी प्रायिकता के उत्पादों का योग $-1$ के बराबर नहीं होता।

• विकल्प (c) -2 गलत है क्योंकि अपेक्षित मूल्य $ E(X) $ की गणना $-1.8$ के रूप में की जाती है, न कि $-2$। प्रत्येक $ X $ के मान और उसकी प्रायिकता के उत्पादों का योग $-2$ के बराबर नहीं होता।

हल

हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} E(X^{2}) & =\sum _{i=1}^{n} P_i X_i^{2} \\ & =1 \times \dfrac{1}{10}+4 \times \dfrac{1}{5}+9 \times \dfrac{3}{10}+16 \times \dfrac{2}{5} =\dfrac{1}{10}+\dfrac{4}{5}+\dfrac{27}{10}+\dfrac{32}{5}=\dfrac{28}{10}+\dfrac{36}{5}=\dfrac{100}{10}=10 \end{aligned} $

अतः सही विकल्प (d) है।

• विकल्प (a) 3: यह विकल्प गलत है क्योंकि $E(X^2)$ की गणना प्रत्येक $X$ के मान के वर्ग को गुणा करके उसकी संगत प्रायिकता से गुणा करके जोड़ने से की जाती है। इन उत्पादों का योग 3 के बराबर नहीं होता। विशेष रूप से, सही गणना के परिणाम 10 होते हैं, न कि 3।

• विकल्प (b) 5: यह विकल्प गलत है क्योंकि, विकल्प (a) के तरह, $E(X^2)$ की सही गणना प्रत्येक $X$ के मान के वर्ग को गुणा करके उसकी संगत प्रायिकता से गुणा करके जोड़ने से की जाती है। इन उत्पादों का योग 10 होता है, न कि 5।

• विकल्प (c) 7: यह विकल्प गलत है क्योंकि $E(X^2)$ की सही गणना के परिणाम 10 होते हैं। प्रत्येक $X$ के मान के वर्ग को गुणा करके उसकी संगत प्रायिकता से गुणा करके जोड़ने के उत्पादों का योग 7 के बराबर नहीं होता।

हल

$\quad P(X=r)={ }^{n} C_r p^{r} q^{n-r}=\dfrac{n !}{r !(n-r) !} p^{r} \cdot(1-p)^{n-r}$

$ \begin{aligned} P(X=n-r) & ={ }^{n} C _{n-r} p^{n-r} \cdot(q)^{n-(n-r)}={ }^{n} C _{n-r} p^{n-r} \cdot q^{r} \\ & =\dfrac{n !}{(n-r) !(n-n+r) !} p^{n-r} q^{r}=\dfrac{n !}{(n-r) ! r !} \cdot p^{n-r} \cdot q^{r} \end{aligned} $

अब $\dfrac{P(X=r)}{P(X=n-r)}=\dfrac{\dfrac{n !}{r !(n-r) !} \cdot p^{r} \cdot(1-p)^{n-r}}{\dfrac{n !}{r !(n-r) !} \cdot p^{n-r} \cdot(1-p)^{r}}=\dfrac{(\dfrac{1-p}{p})^{n-r}}{(\dfrac{1-p}{p})^{r}}$

उपरोक्त व्यंजक $n$ और $r$ पर निर्भर नहीं होगा यदि

$ (\dfrac{1-p}{p})=1 \Rightarrow \dfrac{1}{p}=2 \Rightarrow p=\dfrac{1}{2} $

इसलिए, सही विकल्प (a) है।

• विकल्प (b) $\dfrac{1}{3}$: यदि $ p = \dfrac{1}{3} $, तो $ 1 - p = \dfrac{2}{3} $. अनुपात $\dfrac{P(X=r)}{P(X=n-r)}$ होगा $\left(\dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{1}{3}}\right)^{n-2r} = 2^{n-2r}$. यह व्यंजक $n$ और $r$ पर निर्भर है, जो शर्त के विरोधाभास है कि अनुपात $n$ और $r$ पर निर्भर नहीं होना चाहिए।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{5}$: यदि $ p = \dfrac{1}{5} $, तो $ 1 - p = \dfrac{4}{5} $. अनुपात $\dfrac{P(X=r)}{P(X=n-r)}$ होगा $\left(\dfrac{\dfrac{4}{5}}{\dfrac{1}{5}}\right)^{n-2r} = 4^{n-2r}$. यह व्यंजक $n$ और $r$ पर निर्भर है, जो शर्त के विरोधाभास है कि अनुपात $n$ और $r$ पर निर्भर नहीं होना चाहिए।

• विकल्प (d) $\dfrac{1}{7}$: यदि $ p = \dfrac{1}{7} $, तो $ 1 - p = \dfrac{6}{7} $. अनुपात $\dfrac{P(X=r)}{P(X=n-r)}$ होगा $\left(\dfrac{\dfrac{6}{7}}{\dfrac{1}{7}}\right)^{n-2r} = 6^{n-2r}$. यह व्यंजक $n$ और $r$ पर निर्भर है, जो शर्त के विरोधाभास है कि अनुपात $n$ और $r$ पर निर्भर नहीं होना चाहिए।

हल

मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें छात्र भौतिक विज्ञान में असफल होता है और $E_2$ वह घटना है जिसमें वह गणित में असफल होती है।

$\therefore \quad P(E_1)=\dfrac{30}{100}, P(E_2)=\dfrac{25}{100}$ और $P(E_1 \cap E_2)=\dfrac{10}{100}$

$\therefore P(E_1 / E_2)=\dfrac{P(E_1 \cap E_2)}{P(E_2)}=\dfrac{10 / 100}{25 / 100}=\dfrac{2}{5}$

अतः, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{10}$ गलत है क्योंकि यह घटना के शर्तीय प्रायिकता $\dfrac{2}{5}$ के साथ मेल नहीं खाता है जिसमें छात्र भौतिक विज्ञान में असफल होता है जबकि वह गणित में असफल हो चुका होता है। सही गणना $\dfrac{10/100}{25/100} = \dfrac{2}{5}$ है, न कि $\dfrac{1}{10}$।

• विकल्प (c) $\dfrac{9}{20}$ गलत है क्योंकि यह शर्तीय प्रायिकता की गणना के परिणाम नहीं है। सही प्रायिकता $\dfrac{2}{5}$ है, जो $\dfrac{4}{10}$ के रूप में सरलीकृत होता है, न कि $\dfrac{9}{20}$।

• विकल्प (d) $\dfrac{1}{3}$ गलत है क्योंकि यह सही शर्तीय प्रायिकता का प्रतिनिधित्व नहीं करता है। सही गणना $\dfrac{2}{5}$ देती है, न कि $\dfrac{1}{3}$।

हल

मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जिसमें दोनों छात्र समस्या को हल करते हैं।

$\therefore \quad P(E_1)=\dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{12}$

और $E_2$ वह घटना है जिसमें दोनों छात्र समस्या को गलत तरीके से हल करते हैं।

$\therefore \quad P(E_2)=(1-\dfrac{1}{3}) \times(1-\dfrac{1}{4})=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{2}$

मान लीजिए $H$ वह घटना है जिसमें दोनों छात्र समान उत्तर प्राप्त करते हैं।

यहाँ, $P(H / E_1)=1, P(H / E_2)=\dfrac{1}{20}$

$\therefore P(E_1 / H)=\dfrac{P(E_1) \cdot P(H / E_1)}{P(E_1) \cdot P(H / E_1)+P(E_2) \cdot P(H / E_2)}$

$=\dfrac{\dfrac{1}{12} \times 1}{\dfrac{1}{12} \times 1+\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{20}}=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{1}{12}+\dfrac{1}{40}}=\dfrac{\dfrac{1}{12}}{\dfrac{10+3}{120}}=\dfrac{1 / 12}{13 / 120}=\dfrac{10}{13}$

इसलिए, सही विकल्प (d) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{12}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह दोनों A और B के समस्या को सही तरीके से हल करने की संभावना को दर्शाता है, न कि दोनों के समान उत्तर प्राप्त करने के दिए गए शर्त पर शर्तित संभावना।

• विकल्प (b) $\dfrac{1}{40}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह दोनों A और B के सामान त्रुटि करने की संभावना को दर्शाता है, न कि दोनों के समान उत्तर प्राप्त करने के दिए गए शर्त पर शर्तित संभावना।

• विकल्प (c) $\dfrac{13}{120}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह दोनों के समस्या को सही तरीके से हल करने की संभावना और दोनों के सामान त्रुटि करने की संभावना के योग से निर्मित है, लेकिन यह दोनों के समान उत्तर प्राप्त करने के दिए गए शर्त पर शर्तित संभावना को ध्यान में नहीं लेता है।

हल

यहाँ, $n=5, p=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$ और $q=1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}$ और $r \leq 1$

हम जानते हैं कि

$ \begin{aligned} \text{ इसलिए, } P(X=r) & ={ }^{n} C_r p^{r} q^{n-r} \\ P(X \leq 1) & =P(X=0)+P(X=1) \\ & ={ }^{5} C_0(\dfrac{1}{10})^{0}(\dfrac{9}{10})^{5}+{ }^{5} C_1(\dfrac{1}{10})(\dfrac{9}{10})^{4}\\ &=(\dfrac{9}{10})^{5}+\dfrac{5}{10}(\dfrac{9}{10})^{4}=(\dfrac{9}{10})^{5}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{9}{10})^{4} \end{aligned} `

$

अतः, सही विकल्प (d) है।

• विकल्प (a) $(\dfrac{9}{10})^{5}$ गलत है क्योंकि यह केवल उस संभावना को गिनती है कि खींचे गए 5 कलम सभी अक्षम हों। यह तभी एक कलम क्षम होने के समान दृश्य को शामिल नहीं करता है।

• विकल्प (b) $\dfrac{1}{2}(\dfrac{9}{10})^{4}$ गलत है क्योंकि यह केवल एक क्षम कलम खींचने की संभावना को ध्यान में रखता है और एक भी क्षम कलम खींचने की संभावना को शामिल नहीं करता है।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{2}(\dfrac{9}{10})^{5}$ गलत है क्योंकि यह अक्षम कलम खींचने की संभावना को $\dfrac{1}{2}$ से गलत रूप से गुणा करता है, जो सही गणना के हिस्से में नहीं है।

हल

गलत

• यदि घटनाएँ $ A $ और $ B $ एक-दूसरे से अपवाद रहित होती हैं, तो इसका अर्थ है कि $ P(A \cap B) = 0 $। हालांकि, घटनाओं के स्वतंत्र होने के लिए उनके प्रतिच्छेदन की संभावना उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं के गुणनफल के बराबर होनी चाहिए, अर्थात $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $। चूंकि $ P(A) > 0 $ और $ P(B) > 0 $, तो $ P(A) \cdot P(B) > 0 $। अतः, $ P(A \cap B) $ एक समय शून्य और एक समय धनात्मक हो सकता है। अतः, घटनाएँ $ A $ और $ B $ दोनों एक-दूसरे से अपवाद रहित और स्वतंत्र नहीं हो सकते हैं।

हल

सत्य

• कथन सत्य है क्योंकि यदि $ A $ और $ B $ स्वतंत्र घटनाएँ हैं, तो उनके पूरक $ A’ $ और $ B’ $ के एक साथ होने की संभावना उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं के गुणनफल के बराबर हो सकती है। विशेष रूप से, $ P(A’ \cap B’) = P(A’) \cdot P(B’) $। यह तथ्य इस बात पर आधारित है कि $ P(A’) = 1 - P(A) $ और $ P(B’) = 1 - P(B) $, और $ A $ और $ B $ के स्वतंत्र होने के कारण $ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) $। अतः, पूरक $ A’ $ और $ B’ $ भी स्वतंत्र होते हैं।

हल

गलत

• कारण 1: परस्पर अपवादी घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हो सकते क्योंकि यदि एक घटना हो जाती है, तो दूसरी घटना के होने की प्रायिकता शून्य हो जाती है। दो घटनाएँ स्वतंत्र होने के लिए, एक घटना के होने से दूसरी घटना के होने की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ना चाहिए।

• कारण 2: परस्पर अपवादी घटनाओं A और B के लिए, P(A ∩ B) = 0 होता है। हालाँकि, स्वतंत्र घटनाओं के लिए, P(A ∩ B) P(A) * P(B) के बराबर होना चाहिए। क्योंकि परस्पर अपवादी घटनाओं के लिए P(A ∩ B) = 0 होता है, और P(A) * P(B) आमतौर पर शून्य नहीं होता बर्ताव जब तक कि एक घटना की प्रायिकता शून्य नहीं होती, परस्पर अपवादी घटनाएँ स्वतंत्र नहीं हो सकते।

• कारण 3: स्वतंत्रता का अर्थ यह है कि एक घटना के होने से दूसरी घटना के होने के बारे में कोई जानकारी नहीं होती। विपरीत, यदि घटनाएँ परस्पर अपवादी होती हैं, तो एक घटना के होने से दूसरी घटना के होने की संभावना निरस्त हो जाती है, जिसका अर्थ है कि वे स्वतंत्र नहीं हो सकते।

हल

गलत

• स्वतंत्र घटनाएँ ऐसी घटनाएँ होती हैं जिनके एक घटना के होने से दूसरी घटना के होने की प्रायिकता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता। विपरीत, परस्पर अपवादी घटनाएँ ऐसी घटनाएँ होती हैं जो एक ही समय में नहीं हो सकतीं। यदि दो घटनाएँ परस्पर अपवादी होती हैं, तो एक घटना के होने से दूसरी घटना के होने की संभावना निरस्त हो जाती है, जो स्वतंत्र घटनाओं की परिभाषा के विपरीत है। इसलिए, स्वतंत्र घटनाएँ परस्पर अपवादी नहीं हो सकतीं।

हल

सही

• कथन सही है क्योंकि, परिभाषा के अनुसार, यदि दो घटनाएँ $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं, तो दोनों घटनाओं के एक साथ होने की प्रायिकता (अर्थात $P(A \text{ और } B)$) उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं के गुणनफल के बराबर होती है, $P(A) \cdot P(B)$। यह संभावना सिद्धांत में स्वतंत्र घटनाओं की मूल गुणधर्म है।

Solution

सत्य $\qquad [\because E(X)=\sum X_i P(X_i)]$

• कथन सत्य है क्योंकि किसी प्रायिकता वितरण के अपेक्षित मान के लिए अपेक्षित मान कहा जाता है। अपेक्षित मान, $ E(X) $ से नोट किया जाता है, जो यादृच्छिक चर $ X $ के प्रत्येक संभावित मान $ X_i $ के संगत प्रायिकता $ P(X_i) $ से गुणा करके जोड़े गए होते हैं। इसे गणितीय रूप से $ E(X) = \sum X_i P(X_i) $ के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

Solution

सही विकल्प A है। सत्य

$ P\left(A^{\prime} \cup B\right)=1-P\left(A \cap B^{\prime}\right)=1-P(A) P\left(B^{\prime}\right) $

Solution

सत्य

घटना A होती है और B नहीं होती है की प्रायिकता $P(A)⋅P(B^{\prime})$ है।

घटना B होती है और A नहीं होती है की प्रायिकता $P(B)⋅P(A^{\prime})$ है।

क्योंकि घटनाएँ स्वतंत्र हैं, इन प्रायिकताओं को जोड़ सकते हैं:

$ P(\text{ठीक एक घटना } A \text{ या } B \text{ होती है}) = P(A) \cdot P(B’) + P(B) \cdot P(A’) $

Solution

गलत

$ \begin{matrix} {\because P(B / A)=\dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}=\dfrac{P(A)+P(B)-P(A \cup B)}{P(A)}}>\dfrac{1-P(A \cup B)}{P(A)} \end{matrix} $

हल

सत्य

क्योंकि $P$ (कम से कम दो में से $A, B$ और $C$ हों)

$ \begin{aligned} & =p \times p \times(1-p)+(1-p) \cdot p \cdot p+p(1-p) \cdot p+p \cdot p \cdot p \\ & =3 p^{2}(1-p)+p^{3}=3 p^{2}-3 p^{3}+p^{3}=3 p^{2}-2 p^{3} \end{aligned} $

हल

दिया गया है: $P(A)=p, P(B)=\dfrac{1}{3}$ और $P(A \cup B)=\dfrac{5}{9}$

$ \begin{aligned} &P(A / B) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}=p\\ &\Rightarrow P(A \cap B)=p \cdot P(B)=p \cdot \dfrac{1}{3} \\ &\text{ और } P(A \cup B) =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ &\dfrac{5}{9}=p+\dfrac{1}{3} -\dfrac{p}{3}\\ &\Rightarrow \dfrac{5}{9}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2 p}{3}\\ &\Rightarrow \dfrac{2}{9}=\dfrac{2 p}{3}\\ &\Rightarrow p=\dfrac{1}{3} \end{aligned} $

अतः, $p$ के बराबर $\dfrac{1}{3}$ है।

हल

यहाँ,

$ P(A^{\prime} \cup B^{\prime})=\dfrac{2}{3} \text{ और } P(A \cup B)=\dfrac{5}{9} $

$ \begin{aligned} & \therefore & 1-P(A \cap B) & =\dfrac{2}{3} \\ & \Rightarrow & P(A \cap B) & =1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} \end{aligned} $

अब $\quad P(A^{\prime})+P(B^{\prime})=1-P(A)+1-P(B)=2-[P(A)+P(B)]$

$ \begin{aligned} & =2-[P(A \cup B)+P(A \cap B)] \\ & =2-[\dfrac{5}{9}+\dfrac{1}{3}]=2-\dfrac{8}{9}=\dfrac{10}{9} \end{aligned} $

अतः, भरण पदार्थ का मान $\dfrac{10}{9}$ है।

हल

दिया गया है: $P(X=2)=9 P(X=3)$

$ \Rightarrow{ }^{5} C_2 p^{2} q^{3}=9 .{ }^{5} C_3 p^{3} q^{2} `

$

$ \begin{aligned} &\Rightarrow \dfrac{1}{9} =\dfrac{{ }^{5} C_3 p^{3} q^{2}}{{ }^{5} C_2 p^{2} q^{3}}\\ &\Rightarrow \dfrac{1}{9}=\dfrac{p}{q} \quad[\because{ }^{5} C_3={ }^{5} C_2] \\ &\Rightarrow 9 p =q \\ &\Rightarrow 9 p =1-p\\ &\Rightarrow 9 p+p=1\\ &\Rightarrow 10 p=1\\ &\therefore p=\dfrac{1}{10} \end{aligned} $

इसलिए, भरण पद का मान $\dfrac{1}{10}$ है।

हल

$\quad Var(X)=E(X^{2})-[E(X)]^{2}$

$=\sum X^{2} P(X)-[\sum X . P(X)]^{2}=\sum p_i x_i^{2}-(\sum p_i x_i)^{2}$

इसलिए, $Var(X)$ के बराबर $\sum p_i x_i^{2}-(\sum p_i x_i)^{2}$ है।

हल

$ \begin{aligned} &\because \qquad P(A / B) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ &\Rightarrow P(A) =\dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \\ &\Rightarrow P(A \cap B) =P(A) \cdot P(B) \end{aligned} $

इसलिए, $A$ $B$ से स्वाधीन है।