हल

28 तत्वों वाले मैट्रिक्स के संभावित क्रम हैं $\lbrace 28 \times 1,1 \times 28,2 \times 14,14 \times 2,4 \times 7,7 \times 4 \rbrace $. 13 तत्वों वाले मैट्रिक्स के संभावित क्रम हैं $\lbrace 1 \times 13,13 \times 1 \rbrace $.

हल

(i) दिए गए मैट्रिक्स $A$ का क्रम $3 \times 3$ है

(ii) मैट्रिक्स $A$ में तत्वों की संख्या $3 \times 3=9$ है

(iii) $a _{i j}=$ $i^{\text{th }}$ पंक्ति और $j^{\text{th }}$ स्तम्भ के तत्व हैं।

इसलिए, $a _{23}=x^{2}-y, a _{31}=0, a _{12}=1$।

हल

मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \end{bmatrix} _{2 \times 2}$

(i) दिया गया है कि $\quad a _{i j}=\dfrac{(i-2 j)^{2}}{2}$

$a _{11}=\dfrac{(1-2 \times 1)^{2}}{2}=\dfrac{1}{2} ; \quad a _{12}=\dfrac{(1-2 \times 2)^{2}}{2}=\dfrac{9}{2}$

$a _{21}=\dfrac{(2-2 \times 1)^{2}}{2} =0 ; \quad a _{22}=\dfrac{(2-2 \times 2)^{2}}{2}=2$

इसलिए, मैट्रिक्स $A= \begin{bmatrix} \dfrac{1}{2} & \dfrac{9}{2} \\ \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $

(ii) दिया गया है कि $a _{ij}=|-2 i+3 j|$

$ \begin{aligned} & a _{11}=|-2 \times 1+3 \times 1|=1 ; \quad a _{12}=|-2 \times 1+3 \times 2|=4 \\ & a _{21}=|-2 \times 2+3 \times 1|=1 ; \quad a _{22}=|-2 \times 2+3 \times 2|=2 \end{aligned}

$

अतः, आव्यूह $A= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} $

हल

मान लीजिए

$ A= \begin{bmatrix} a _{11} & a _{12} \\ a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{bmatrix} _{3 \times 2} $

दिया गया है कि $a _{i j}=e^{i x} \sin j x$

$ \begin{bmatrix} a _{11}=e^{x} \sin x & a _{12}=e^{x} \sin 2 x \\ \\ a _{21}=e^{2 x} \sin x & a _{22}=e^{2 x} \sin 2 x \\ \\ a _{31}=e^{3 x} \sin x & a _{32}=e^{3 x} \sin 2 x \end{bmatrix} $

अतः, आव्यूह $A= \begin{bmatrix} e^{x} \sin x & e^{x} \sin 2 x \\ \\ e^{2 x} \sin x & e^{2 x} \sin 2 x \\ \\ e^{3 x} \sin x & e^{3 x} \sin 2 x \end{bmatrix} $

हल

दिया गया है कि $A=B$

$ \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} a+4 & 3 b \\ \\ 8 & -6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 a+2 & b^{2}+2 \\ \\ 8 & b^{2}-5 b \end{bmatrix} $

संगत तत्वों के बराबर करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & a+4=2 a+2, \quad 3 b=b^{2}+2 \quad \text{ और } \quad b^{2}-5 b=-6 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 a-a=2, \quad b^{2}-3 b+2=0, \quad b^{2}-5 b+6=0 \\ \\ & \therefore \quad a=2 \\ \\ & \therefore \quad b^{2}-3 b+2=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad b^{2}-2 b-b+2=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad b(b-2) -1 (b-2) = 0 \\ \\ & \Rightarrow \quad (b-2) (b-1) = 0 \\ \\ & \therefore \quad b = 1,2 \\ \\ & \therefore \quad b^{2}-5 b+6=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad b^{2}-3 b-2 b+6=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad b(b-3)-2(b-3)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad(b-2)(b-3)=0 \\ \\ & \therefore \quad b=2,3 \end{aligned} $

लेकिन यहाँ 2 सामान्य है।

अतः, $a=2$ और $b=2$ के मान हैं।

हल

मैट्रिक्स $A=2 \times 2$ के क्रम और मैट्रिक्स $B=2 \times 3$ के क्रम है। मैट्रिक्स के जोड़ केवल उनके समान क्रम होने पर संभव है। अतः $A+B$ संभव नहीं है।

हल

दिया गया है $X= \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & -2 & -3\end{bmatrix} $ और $Y= \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 7 & 2 & 4 \end{bmatrix} $

(i) $ \quad X+Y= \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & -2 & -3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 7 & 2 & 4 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.9cm} = \begin{bmatrix} 3+2 & 1+1 & -1-1 \\ 5+7 & -2+2 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 & -2 \\ 12 & 0 & 1 \end{bmatrix} $

(ii) $2 X-3 Y=2 \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & -2 & -3\end{bmatrix} -3 \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 7 & 2 & 4 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.8cm} \begin{aligned} & = \begin{bmatrix} 2 \times 3 & 2 \times 1 & -2 \times 1 \\ 2 \times 5 & -2 \times 2 & -2 \times 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 \times 2 & 1 \times 3 & -1 \times 3 \\ 3 \times 7 & 3 \times 2 & 3 \times 4 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 6 & 2 & -2 \\ 10 & -4 & -6 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 3 & -3 \\ 21 & 6 & 12 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 6-6 & 2-3 & -2+3 \\ 10-21 & -4-6 & -6-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -11 & -10 & -18 \end{bmatrix} \end{aligned} $

(iii) $X+Y+Z=0$

$\quad\Rightarrow \begin{bmatrix} 3 & 1 & -1 \\ 5 & -2 & -3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 \\ 7 & 2 & 4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} $ जहाँ $\mathbf{Z}= \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} \Rightarrow & { \begin{bmatrix} 3+2+a & 1+1+b & -1-1+c \\ 5+7+d & -2+2+e & -3+4+f \end{bmatrix} } & = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ \Rightarrow & { \begin{bmatrix} 5+a & 2+b & -2+c \\ 12+d & e & 1+f \end{bmatrix} } & = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} $

संगत तत्वों के तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है

$5+a=0 \Rightarrow a=-5, \quad 2+b=0 \Rightarrow b=-2, \quad-2+c=0 \Rightarrow c=2$

$12+d=0 \Rightarrow d=-12, \quad e=0, \quad 1+f=0 \Rightarrow f=-1$

इसलिए, आव्यूह $Z= \begin{bmatrix} -5 & -2 & 2 \\ -12 & 0 & -1 \end{bmatrix} $

हल

दी गई समीकरण को लिखा जा सकता है

$ \begin{aligned} & { \begin{bmatrix} 2 x^{2} & 2 x \\ 3 x & x^{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 16 & 10 x \\ 8 & 8 x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 x^{2}+16) & 48 \\ 20 & 12 x \end{bmatrix} } \\ \\ & \quad \begin{bmatrix} 2 x^{2}+16 & 12 x \\ 3 x+8 & x^{2}+8 x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 x^{2}+16 & 48 \\ 20 & 12 x \end{bmatrix} \end{aligned} $

संगत तत्वों के तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & 12 x=48, \quad 3 x+8=20, \\ \\ & x^{2}+8 x=12 x \\ \\ & \therefore \quad x=\dfrac{48}{12}=4, \quad 3 x=20-8=12, \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{2}=12 x-8 x=4 x \\ \\ & \therefore \quad x=4, \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{2}-4 x=0 \\ \\ & \qquad x=0, x=4 \end{aligned} $

इसलिए, $x$ के शून्य नहीं होने वाले मान $4$ है।

हल

दिया गया है $\quad A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1\end{bmatrix} \quad $ और $ \quad B= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} & A+B= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad A+B= \begin{bmatrix} 0+0 & 1-1 \\ 1+1 & 1+0 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad A+B= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ & A-B= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad A-B= \begin{bmatrix} 0-0 & 1+1 \\ 1-1 & 1-0 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow\quad A-B= \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \therefore \quad (A+B) \cdot(A-B)= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0+0 & 0+0 \\ 0+0 & 4+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \\ \\ \begin{aligned} \text{ अब, } \ \ \text{ दाहिना ओर } & =A^{2}-B^{2} \\ \\ & =A \cdot A-B \cdot B \\ \\ & = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 0+1 & 0+1 \\ 0+1 & 1+1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 0-1 & 0+0 \\ 0+0 & -1+0 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 1-0 \\ 1-0 & 2+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} \end{aligned} $

इसलिए, $ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 5\end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $

इसलिए, $(A+B) \cdot(A-B) \neq A^{2}-B^{2}$

हल

दिया गया है $ \begin{bmatrix} 1 & x & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 5 & 1 \\ 15 & 3 & 2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ x \end{bmatrix} =O$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 1+2 x+15 & 3+5 x+3 & 2+x+2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ x \end{bmatrix} =O \\ & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 2 x+16 & 5 x+6 & x+4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ x \end{bmatrix} =O \\ \\ & \Rightarrow \quad [2 x+16+10 x+12+x^{2}+4 x]=0 ; \quad \Rightarrow x^{2}+16 x+28=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{2}+14 x+2 x+28=0 ; \quad \Rightarrow x(x+14)+2(x+14)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad(x+2)(x+14)=0 ; \quad x+2=0 \quad \text{ or } \quad x+14=0 \\ \\ & \therefore \quad x=-2 \text{ or } x=-14 \end{aligned} $

अतः, $x$ के मान -2 और -14 हैं ।

हल

दिया गया है $A= \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} A^{2} & =A \cdot A \\ & = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 25-3 & 15-6 \\ -5+2 & -3+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 & 9 \\ -3 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$A^{2}-3 A-7 I=O$ के लिए सिद्ध करें

$\text{L.H.S.} = A^{2}-3 A-7 I=O$

$ \begin{bmatrix} 22 & 9 \\ -3 & 1\end{bmatrix} -3 \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2\end{bmatrix} -7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 & 9 \\ -3 & 1\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & 9 \\ -3 & -6\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} $

$\hspace{5.8cm} = \begin{bmatrix} 22-15-7 & 9-9-0 \\ -3+3-0 & 1+6-7\end{bmatrix} $

$\hspace{5.8cm} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \text{R.H.S.}$

अतः $A^{2}-3 A-7 I=O$

हमें दिया गया है $A^{2}-3 A-7 I=O$

$\Rightarrow \quad A^{-1}[A^{2}-3 A-7 I]=A^{-1} O$

[दोनों ओर $A^{-1}$ से प्रारंभिक गुणा करते हुए]

$\Rightarrow \quad A^{-1} A \cdot A-3 A^{-1} \cdot A-7 A^{-1} I=O$

$[A^{-1} O=O]$

$\Rightarrow \quad I \cdot A-3 I-7 A^{-1} I=O$

$\Rightarrow \quad A-3 I-7 A^{-1}=O$

$\Rightarrow \quad-7 A^{-1}=3 I-A$

$\Rightarrow \quad A^{-1}=\dfrac{1}{-7}[3 I-A]$

$\Rightarrow \quad A^{-1}=\dfrac{1}{-7}\left[3\left(\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \right)-\left(\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2\end{bmatrix} \right)\right]$

$\hspace{1.5cm} =\dfrac{1}{-7}\left[\left(\begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 3\end{bmatrix} \right)-\left(\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ -1 & -2\end{bmatrix} \right)\right]$

$\hspace{1.5cm} =\dfrac{1}{-7} \begin{bmatrix} 3-5 & 0-3 \\ 0+1 & 3+2\end{bmatrix} =\dfrac{1}{-7} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} $

$\text{अतः},\quad A^{-1}=-\dfrac{1}{7} \begin{bmatrix} -2 & -3 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} $

हल

$\text{मान लीजिए},\quad A= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} _{2 \times 2}$

$ \begin{aligned} { \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} _{2 \times 2} \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} _{2 \times 2} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} _{2 \times 2} } = \begin{bmatrix} \\ 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} _{2 \times 2} \\ \\ \Rightarrow \qquad \ \qquad \begin{bmatrix} 2 a+c & 2 b+d \\ 3 a+2 c & 3 b+2 d \end{bmatrix} _{2 \times 2} \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ 5 & -3 \end{bmatrix} _{2 \times 2} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} _{2 \times 2} \\ \\ \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} -6 a-3 c+10 b+5 d & 4 a+2 c-6 b-3 d \\ -9 a-6 c+15 b+10 d & 6 a+4 c-9 b-6 d \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $

संगत तत्वों के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$-6 a-3 c+10 b+5 d =1 \qquad \ldots (1)$

$-9 a-6 c+15 b+10 d =0 \qquad \ldots (2)$

$4 a+2 c-6 b-3 d =0 \qquad \ldots (3)$

$6 a+4 c-9 b-6 d =1 \qquad \ldots (4)$

समीकरण (1) को 2 से गुणा करके समीकरण (2) को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$ \begin{bmatrix} -12 a-6 d+20 b+10 d=2 \\ 9 a-6 c+15 b+10 d=0 & \\ (+)\quad(+)\quad(-)\quad(-)\quad(-) \\ \hline \\ -3a\qquad +5b\qquad =2 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} & -3 a+5 b=2 \qquad\ldots \text{(5)} \end{aligned} $

अब, समीकरण (3) को 2 से गुणा करके समीकरण (4) को घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{bmatrix} 8 a+4 c /-12 b-6 d /=0 \\ 6 a+4 d-9 b-6 d=1 \\ (-) \quad(-) \quad(+) \quad(+)\quad (-) \\ \hline \\ 2 a \qquad-3 b\qquad=-1 \\ 2 a-3 b=-1 \quad … \text{6} \end{bmatrix} $

समीकरण (5) और (6) को हल करने पर, अर्थात,

$ \begin{aligned} & \qquad -3 a+5 b =2 \\ \\ & \qquad \quad 2 a-3 b =-1 \\ \\ & \Rightarrow \quad-6 a+10 b =4 \\ \\ & \Rightarrow \quad 6 a-9 b =-3 \\ \\ & \text{ Adding } \quad b =1 \end{aligned} $

$ \begin{bmatrix} 2 \times(-3 a+5 b=2) & \Rightarrow & -6 a+10 b= 4 \\ \\ 3 \times(2 a-3 b=-1) & \Rightarrow & 6 a-9 b=-3 \end{bmatrix} $

बी के मान को समीकरण (6) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$ 2 a-3 \times 1=-1 $

$\Rightarrow 2 a-3=-1 $

$\Rightarrow 2 a=3-1 $

$\Rightarrow 2 a=2$

$\therefore \quad a=1$

अब, a और b के मान को समीकरण (1) और (3) में रखने पर

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad -6 \times 1-3 c+10 \times 1+5 d=1 \\ \\ & \Rightarrow \quad-6-3 c+10+5 d=1 \\ \\ & \Rightarrow \quad-3 c+5 d+4=1 \\ \\
& \Rightarrow\quad -3 c+5 d=-3 \qquad \ldots \text{(7)} \end{aligned} $

$\text{और समीकरण (3) से}$

$ \begin{aligned} 4 \times 1+2 c-6 \times 1-3 d & =0 ; \quad \Rightarrow \quad 4+2 c-6-3 d=0 \qquad \ldots \text{(8)} \\ \\ -2+2 c-3 d & =0 \quad \Rightarrow \quad 2 c-3 d=2 \end{aligned} $

समीकरण (7) और (8) को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$ \begin{bmatrix} 2 \times(-3 c+5 d=-3) & \Rightarrow & -6 c+10 d=-6 \qquad \ldots \text{(9)} \\ \\ 3 \times(2 c-3 d=2) & \Rightarrow & 6c - 9d = 6 \qquad \ldots \text{(10)} \end{bmatrix} $

समीकरण (9) और (10) को जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं, $d=0$

$d$ के मान को समीकरण (8) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$ 2 c-3 \times 0=2 \quad \Rightarrow \quad 2 c=2 \quad \Rightarrow \quad c=1 $

इसलिए, $A= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $.

Solution

$ \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 3\end{bmatrix} $ की कोटि $3 \times 1$ है और $ \begin{bmatrix} -4 & 8 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix} $ की कोटि $3 \times 3$ है।

इसलिए, मैट्रिक्स $A$ की कोटि $1 \times 3$ होनी चाहिए।

मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} _{1 \times 3}$

$ \begin{aligned} { \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix} _{3 \times 1} \begin{bmatrix} a & b & c \end{bmatrix} _{1 \times 3} } & = \begin{bmatrix} -4 & 8 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix} _{3 \times 3} \\ \\ \begin{bmatrix} 4 a & 4 b & 4 c \\ a & b & c \\ 3 a & 3 b & 3 c \end{bmatrix} & = \begin{bmatrix} -4 & 8 & 4 \\ -1 & 2 & 1 \\ -3 & 6 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$a, b$ और $c$ के मान प्राप्त करने के लिए संगत तत्वों के बराबर करें:

$ \begin{aligned} & 4 a=-4, \quad 4 b=8, \quad 4 c=4 \\ & \therefore \quad a=-1 \quad \therefore \quad b=2 \quad \therefore c=1 \end{aligned} $

Solution

यहाँ, $\quad B= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{bmatrix} _{2 \times 3}$ और $A= \begin{bmatrix} 3 & -4 \\ 1 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} _{3 \times 2}$

$\therefore \quad BA= \begin{bmatrix} 6+1+4 & -8+1+0 \\ 3+2+8 & -4+2+0\end{bmatrix} _{2 \times 2} $

$\Rightarrow\quad BA= \begin{bmatrix} 11 & -7 \\ 13 & -2 \end{bmatrix} $

$\text{L.H.S.} = (BA)^{2}=(BA) \cdot(BA)= \begin{bmatrix} 11 & -7 \\ 13 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 11 & -7 \\ 13 & -2 \end{bmatrix} $

$\quad \qquad = \quad \begin{bmatrix} 121-91 & -77+14 \\ 143-26 & -91+4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 & -63 \\ 117 & -87 \end{bmatrix} $

$\text{दायां ओर भाग} = B^{2}=B \cdot B= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{bmatrix} _{2 \times 3} \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} _{2 \times 3}$

यहां, पहले के स्तम्भों की संख्या अर्थात 3, दूसरे आव्यूह के पंक्तियों की संख्या अर्थात 2 के बराबर नहीं है।

इसलिए, $\text{बायां ओर भाग} \neq \text{दायां ओर भाग} B^{2}$ संभव नहीं है। इसी तरह, $A^{2}$ भी संभव नहीं है।

इसलिए, $(BA)^{2} \neq B^{2} A^{2}$

हल

$ \quad \begin{aligned} B A & = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 2
\end{bmatrix} _{3 \times 2} \begin{bmatrix}
2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix} _{2 \times 3} \\ \\ B A & = \begin{bmatrix}
8+1 & 4+2 & 8+4 \\ 4+3 & 2+6 & 4+12 \\ 2+2 & 1+4 & 2+8 \end{bmatrix} _{3 \times 3}= \begin{bmatrix}
9 & 6 & 12 \\ 7 & 8 & 16 \\ 4 & 5 & 10 \end{bmatrix} _{3 \times 3} \end{aligned} $

अब $A B= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 4\end{bmatrix} _{2 \times 3} \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} _{3 \times 2} $

$\hspace{1.4cm} = \begin{bmatrix} 8+2+2 & 2+3+4 \\ 4+4+4 & 1+6+8 \end{bmatrix} _{2 \times 2}= \begin{bmatrix} 12 & 9 \\ 12 & 15 \end{bmatrix} _{2 \times 2} $

इसलिए, $\quad BA= \begin{bmatrix} 9 & 6 & 12 \\ 7 & 8 & 16 \\ 4 & 5 & 10\end{bmatrix} $ और $AB= \begin{bmatrix} 12 & 9 \\ 12 & 15 \end{bmatrix} $।

हल

मान लीजिए $A= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix} $ और $B= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} \\ & \Rightarrow \quad AB= \begin{bmatrix}

1 & -1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad AB= \begin{bmatrix} 1-1 & 1-1 \\ -1+1 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} =O \\ \end{aligned} $

इसलिए, $\quad A= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1\end{bmatrix} $ और $B= \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $।

हल

यहाँ, $A= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 9 & 6\end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 8 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} AB & = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 9 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 8 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 2+8+0 & 8+32+0 \\ 3+18+6 & 12+72+18 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 40 \\ 27 & 102 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\text{L.H.S.}\quad (A B)^{\prime}= \begin{bmatrix} 10 & 27 \\ 40 & 102 \end{bmatrix} $

$\text{अब}, \quad B= \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 8 \\ 1 & 3\end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad B^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 8 & 3 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.2cm} A= \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 \\ 3 & 9 & 6 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad A^{\prime}= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 9 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} $

$\text{R.H.S.}\quad B^{\prime} A^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 4 & 8 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 9 \\ 0 & 6 \end{bmatrix} $

$ \hspace{2.2cm} = \begin{bmatrix} 2+8+0 & 3+18+6 \\ 8+32+0 & 12+72+18 \end{bmatrix} \\ \\ \hspace{2.2cm}= \begin{bmatrix} 10 & 27 \\ 40 & 102 \end{bmatrix} =\text{ L.H.S. } $

$\text{इसलिए, } \ \text{ L.H.S. } = \text{ R.H.S.}$

हल

दिया गया है: $x \begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix} +y \begin{bmatrix} 3 \\ 5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 \\ 11 \end{bmatrix} \\ $

$\text{बाईं ओर} = x \begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix} +y \begin{bmatrix} 3 \\ 5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 \\ -11 \end{bmatrix} = O \\ $

$\Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 2 x \\ x\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 3 y \\ 5 y\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 \\ -11\end{bmatrix} =O \\ \\ \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 2 x+3 y-8 \\ x+5 y-11\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $

दोनों ओर के संगत तत्वों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & 2 x+3 y-8=0 \quad \Rightarrow \quad 2 x+3 y=8 \qquad \ldots \text{(1)} \\ \\ & x+5 y-11=0 \quad \Rightarrow \quad x+5 y=11 \qquad \ldots \text{(2)} \end{aligned} $

समीकरण (1) को 1 से गुणा करें और समीकरण (2) को 2 से गुणा करें, फिर घटाने पर हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} 2 x+3 y=8 \\ 2 x+10 y=22 \\ (-) \quad(-) \quad(-) \\ \hline \\ -7y =-14 \end{aligned} $

$\therefore \quad y=2$

$y=2$ को समीकरण (2) में रखने पर हमें प्राप्त होता है,

$\Rightarrow \quad x+5 \times 2=11 $

$\Rightarrow \quad x+10=11$

$ \therefore \quad x=11-10=1 $

इसलिए, $x$ और $y$ के मान क्रमशः 1 और 2 हैं।

हल

दिया गया है:

$ \begin{aligned} & 2 X+3 Y= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \qquad \ldots \text{(1)}\\ \\ & 3 X+2 Y= \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -5 \end{bmatrix} \qquad \ldots \text{(2)} \end{aligned} $

समीकरण (1) को 3 से गुणा करें और समीकरण (2) को 2 से गुणा करें, तो हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & 3[2 X+3 Y]=3 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \qquad \Rightarrow \quad 6 X+9 Y= \begin{bmatrix}

6 & 9 \\ 12 & 0 \end{bmatrix} \qquad \ldots \text{(3)}\\ \\ & 2[3 X+2 Y]=2 \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ 1 & -5 \end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad 6 X+4 Y= \begin{bmatrix} -4 & 4 \\ 2 & -10 \end{bmatrix} \qquad \ldots \text{(4)} \end{aligned} $

अगर समीकरण (3) से समीकरण (4) को घटाएं तो हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & 5 Y= \begin{bmatrix} 6+4 & 9-4 \\ 12-2 & 0+10 \end{bmatrix} \\ \\ & 5 Y= \begin{bmatrix} 10 & 5 \\ 10 & 10 \end{bmatrix} \\ \\ & \ Y = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned} $

अब, समीकरण (1) में $Y$ का मान रखने पर हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & 2 X+3 \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & \ 2 X+ \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & \ 2 X= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 6 & 6 \end{bmatrix} \\ \\ & \ 2 X= \begin{bmatrix} 2-6 & 3-3 \\ 4-6 & 0-6 \end{bmatrix} \\ \\ & \ 2 X= \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ -2 & -6 \end{bmatrix} \\ \\ & \ \ X=\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} -4 & 0 \\ -2 & -6 \end{bmatrix} \\ \\ & \ \ \ X= \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -1 & -3 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए, $X= \begin{bmatrix} -2 & 0 \\ -1 & -3\end{bmatrix} $ और $Y= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} $।

हल

दिया गया है: $A= \begin{bmatrix} 3 & 5\end{bmatrix} _{1 \times 2}, \ B= \begin{bmatrix} 7 & 3 \end{bmatrix} _{1 \times 2}$

$\text{मान लीजिए},$

$ \begin{aligned} C & = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} _{2 \times 1} \\ \\ AC & = \begin{bmatrix} 3 & 5 \end{bmatrix} _{1 \times 2} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} _{2 \times 1}=[3 \alpha+5 \beta] \\ \\ BC & = \begin{bmatrix}

7 & 3 \end{bmatrix} _{1 \times 2} \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} _{2 \times 1}=[7 \alpha+3 \beta] \\ \\ AC & =BC \end{aligned} $

$ \begin{bmatrix} \Rightarrow & {[3 \alpha+5 \beta]=[7 \alpha+3 \beta]} \\ \Rightarrow & 3 \alpha+5 \beta=7 \alpha+3 \beta \end{bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} \Rightarrow & 3 \alpha-7 \alpha & =3 \beta-5 \beta \\ \\ \Rightarrow & -4 \alpha & =-2 \beta \\ \\ & \therefore & \dfrac{\alpha}{\beta} & =\dfrac{1}{2} \end{bmatrix} $

इसलिए, मान लीजिए $\alpha=k$ और $\beta=2 k$, $k$ कोई वास्तविक संख्या है।

इसलिए, मैट्रिक्स $C= \begin{bmatrix} k \\ 2 k\end{bmatrix} _{2 \times 1} \quad $ या $ \quad \begin{bmatrix} k & k \\ 2 k & 2 k \end{bmatrix} _{2 \times 2}$ आदि है।

Solution

$\text{मान लीजिए},\quad A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} , \quad B= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0\end{bmatrix} $ और $C= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \\ $

$ \begin{aligned} & AB= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & AB= \begin{bmatrix} 1+0 & 2+0 \\ 0+0 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & AC= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+0 & 2+0 \\ 0+0 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए, मैट्रिक्स $A$ गैर-शून्य है और $B \neq C$ होने पर $A B=A C$ है।

Solution

दिया गया है कि $A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1\end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -4\end{bmatrix} $ और $C= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $

(i) सत्यापित करें: $(AB) C=A(BC)$

$ AB= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2+6 & 3-8 \\ -4+3 & -6-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -5 \\ -1 & -10 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} \\ \text{L.H.S.} = (A B) C & = \begin{bmatrix} 8 & -5 \\ -1 & -10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8+5 & 0+0 \\ -1+10 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 0 \\ 9 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ BC & = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2-3 & 0+0 \\ 3+4 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 7 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$ \text{R.H.S. } = A(BC)= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ 7 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1+14 & 0+0 \\ 2+7 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 0 \\ 9 & 0 \end{bmatrix} $

$\text{L.H.S. } = \text{ R.H.S.}$

इसलिए, $(AB) C=A(BC)$

(ii) सत्यापित करें: $\quad A(B+C)=AB+AC$

$\text{L.H.S. }\quad B+C= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -4\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} $

$\hspace{2.4cm} = \begin{bmatrix} 2+1 & 3+0 \\ 3-1 & -4+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} $

$\text{L.H.S.}\quad A (B+C)= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} $

$ \hspace{3cm} = \begin{bmatrix} 3+4 & 3-8 \\ -6+2 & -6-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -5 \\ -4 & -10 \end{bmatrix} $

$\text{R.H.S.} \quad AB= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 3 & -4 \end{bmatrix} $

$\hspace{2cm} = \begin{bmatrix} 2+6 & 3-8 \\ -4+3 & -6-4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & -5 \\ -1 & -10 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.4cm} \begin{aligned} AC & = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ `

& = \begin{bmatrix} 1-2 & 0+0 \\ -2-1 & 0+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -3 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\text{R.H.S.}\quad AB+AC= \begin{bmatrix} 8 & -5 \\ -1 & -10\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -3 & 0\end{bmatrix} \\ \\ \hspace{2.8cm} = \begin{bmatrix} 8-1 & -5+0 \\ -1-3 & -10+0 \end{bmatrix} \\ \\ \hspace{2.8cm} = \begin{bmatrix} 7 & -5 \\ -4 & -10 \end{bmatrix} $

$\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$

अतः, $A(B+C)=AB+AC$

हल

दिया गया है: $P= \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{bmatrix} $ और $Q= \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} $

$PQ= \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \end{bmatrix} $

$PQ= \begin{bmatrix} x a+0+0 & 0+0+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+y b+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+z c \end{bmatrix} $

$PQ= \begin{bmatrix} x a & 0 & 0 \\ 0 & y b & 0 \\ 0 & 0 & z c \end{bmatrix} $

अब QP $= \begin{bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & 0 & 0 \\ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & z \end{bmatrix} $

$QP= \begin{bmatrix} x a+0+0 & 0+0+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+y b+0 & 0+0+0 \\ 0+0+0 & 0+0+0 & 0+0+z c \end{bmatrix} $

$QP= \begin{bmatrix} x a & 0 & 0 \\ 0 & y b & 0 \\ 0 & 0 & z c \end{bmatrix} $

अतः, $PQ=QP$.

हल

दिया गया है: $ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} =A$

L.H.S. $\quad \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3\end{bmatrix} _{1 \times 3} \begin{bmatrix} -1 & 0 & -1 \\ -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix} _{3 \times 3} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} _{3 \times 1}$

$ \begin{bmatrix} \Rightarrow & { \begin{bmatrix} -2-1+0 & 0+1+3 & -2+0+3 \end{bmatrix} _{1 \times 3} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} _{3 \times 1}} \\ \Rightarrow & { \begin{bmatrix} -3 & 4 & 1 \end{bmatrix} _{1 \times 3} \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} _{3 \times 1}} \\ \Rightarrow \quad & {[-3+0-1] _{1 \times 1}=[-4] _{1 \times 1}} \end{bmatrix} $

इसलिए, आव्यूह $A=[-4]$

हल

दिया गया है: $A= \begin{bmatrix} 2 & 1\end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6\end{bmatrix} $ और $C= \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} $।

$\text{L.H.S.}\quad(B+C)= \begin{bmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} $

$\hspace{2.7cm} = \begin{bmatrix} 5-1 & 3+2 & 4+1 \\ 8+1 & 7+0 & 2+6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 5 \\ 9 & 7 & 8 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} A(B+C) & = \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} _{1 \times 2} \begin{bmatrix} 4 & 5 & 5 \\ 9 & 7 & 8 \end{bmatrix} _{2 \times 3} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 8+9 & 10+7 & 10+8 \end{bmatrix} _{1 \times 3} \\ \\ A(B+C) & = \begin{bmatrix} 17 & 17 & 18 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\text{R.H.S.}\quad A B= \begin{bmatrix} 2 & 1\end{bmatrix} _{1 \times 2} \begin{bmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 8 & 7 & 6 \end{bmatrix} _{2 \times 3} \\ \\ \begin{aligned} &\hspace{1.7cm} = \begin{bmatrix} 10+8 & 6+7 & 8+6 \end{bmatrix} _{1 \times 3}= \begin{bmatrix} 18 & 13 & 14 \end{bmatrix} _{1 \times 3} \\ \\ `

& AC= \begin{bmatrix} 2 & 1 \end{bmatrix} _{1 \times 2} \begin{bmatrix} -1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \end{bmatrix} _{2 \times 3} \\ \\ &\quad \ = \begin{bmatrix} -2+1 & 4+0 & 2+2 \end{bmatrix} _{1 \times 3}= \begin{bmatrix} -1 & 4 & 4 \end{bmatrix} _{1 \times 3} \\ \\ & AB+AC= \begin{bmatrix} 18 & 13 & 14 \end{bmatrix} _{1 \times 3}+ \begin{bmatrix} -1 & 4 & 4 \end{bmatrix} _{1 \times 3} \\ \\ &\hspace{1.5cm} = \begin{bmatrix} 18-1 & 13+4 & 14+4 \end{bmatrix} _{1 \times 3} \\ \\ & AB+AC= \begin{bmatrix} 17 & 17 & 18 \end{bmatrix} _{1 \times 3} \\ \\ & \text{ L.H.S. = R.H.S. } \end{aligned} $

हल

दिया गया है: $ \ A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} A^{2} & =A \cdot A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ & \hspace{1.3cm} = \begin{bmatrix} 1+0+0 & 0+0-1 & -1+0-1 \\ 2+2+0 & 0+1+3 & -2+3+3 \\ 0+2+0 & 0+1+1 & 0+3+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 4 & 4 & 4 \\ 2 & 2 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\text{L.H.S.}\quad A^{2}+A= \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 4 & 4 & 4 \\ 2 & 2 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} $

$\hspace{2.5cm}= \begin{bmatrix} 1+1 & -1+0 & -2-1 \\ 4+2 & 4+1 & 4+3 \\ 2+0 & 2+1 & 4+1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 6 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix} $

$\text{R.H.S.}\quad A(A+I)= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} \right)$

$\hspace{2.9cm}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 2 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} $

$\hspace{2.9cm}= \begin{bmatrix} 2+0+0 & 0+0-1 & -1+0-2 \\ 4+2+0 & 0+2+3 & -2+3+6 \\ 0+2+0 & 0+2+1 & 0+3+2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & -3 \\ 6 & 5 & 7 \\ 2 & 3 & 5 \end{bmatrix} $

$\text{L.H.S. } =\text{ R.H.S.}$

$A^{2}+A=A(A+I)$.

Hence verified.

Solution

दिया गया है: $A= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -4\end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} $

(i)

$ \begin{aligned} A^{\prime} & = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -4 \end{bmatrix} _{2 \times 3}^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} _{3 \times 2} \\ \\ (A^{\prime})^{\prime} & = \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} _{3 \times 2}^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -4 \end{bmatrix} _{2 \times 3}=A \end{aligned} $

अतः, $(A^{\prime})^{\prime}=A$

(ii) $\text{L.H.S.}\quad AB= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -4\end{bmatrix} _{2 \times 3} \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 6 \end{bmatrix} _{3 \times 2}$

$\hspace{2.3cm}= \begin{bmatrix} 0-1+4 & 0-3+12 \\ 16+3-8 & 0+9-24\end{bmatrix} _{2 \times 2}= \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 11 & -15 \end{bmatrix} _{2 \times 2}$

$\qquad (A B)^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 11 \\ 9 & -15 \end{bmatrix} _{2 \times 2}$

$\text{R.H.S.} \quad B^{\prime}= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 3 \\ 2 & 6\end{bmatrix} ^{\prime}= \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 6 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.3cm}A^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -4\end{bmatrix} ^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} $

$\hspace{1cm}B^{\prime} A^{\prime}= \begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & 6\end{bmatrix} _{2 \times 3} \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 3 \\ 2 & -4 \end{bmatrix} _{3 \times 2}$

$\hspace{1.9cm}= \begin{bmatrix} 0-1+4 & 16+3-8 \\ 0-3+12 & 0+9-24\end{bmatrix} _{2 \times 2}= \begin{bmatrix} 3 & 11 \\ 9 & -15 \end{bmatrix} _{2 \times 2}$

$\text{ल.ह.स. } = \text{ र.ह.स.}$

इसलिए, $(A B)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$ की जांच की गई है।

(iii) $\text{ल.ह.स.}\quad k A=k \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -k & 2 k \\ 4 k & 3 k & -4 k \end{bmatrix} $

$\hspace{1.5cm} (k A)^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 4 k \\ -k & 3 k \\ 2 k & -4 k \end{bmatrix} $

$\text{ल.ह.स.}\quad k A^{\prime}=k \begin{bmatrix} 0 & -1 & 2 \\ 4 & 3 & -4\end{bmatrix} ^{\prime}=k \begin{bmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 3 \\ 2 & -4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 4 k \\ -k & 3 k \\ 2 k & -4 k \end{bmatrix} $

इसलिए, $\text{ल.ह.स.} = \text{र.ह.स.}$

$(k A)^{\prime}=(k A^{\prime})$ की जांच की गई है।

हल

दिया गया है: $A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ 5 & 6\end{bmatrix} $ और $B= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3 \end{bmatrix} $

(i) जांच करें कि: $ \ (2 A+B)^{\prime}=2 A^{\prime}+B^{\prime}$

$ \begin{aligned} & \text{ ल.ह.स.} = (2 A+B)^{\prime}= \left(2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3 \end{bmatrix} \right)^{\prime} = \left( \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 2 \\ 10 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3 \end{bmatrix} \right)^{\prime} \\ \\ &\hspace{1.2cm} = \begin{bmatrix} 2+1 & 4+2 \\ 8+6 & 2+4 \\ 10+7 & 12+3 \end{bmatrix} ^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 14 & 6 \\ 17 & 15 \end{bmatrix} ^{\prime}= \begin{bmatrix} 3 & 14 & 17 \\ 6 & 6 & 15 \end{bmatrix} \\ \\ & \text{ र.ह.स. } = 2 A^{\prime}+B^{\prime}=2 \begin{bmatrix}

1 & 2 \\ 4 & 1 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} ^{\prime}+ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3 \end{bmatrix} ^{\prime} \\ \\ & \hspace{1.1cm} =2 \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 6 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ &\hspace{1.1cm} = \begin{bmatrix} 2 & 8 & 10 \\ 4 & 2 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ & \hspace{1.1cm} = \begin{bmatrix} 2+1 & 8+6 & 10+7 \\ 4+2 & 2+4 & 12+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 14 & 17 \\ 6 & 6 & 15 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए, $\quad \text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$

$ (2 A+B)^{\prime}=2 A^{\prime}+B^{\prime} \text{ सत्यापित किया गया है। } $

(ii) सत्यापित करें कि: $ \ (A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$

$\text{L.H.S.}\quad (A-B)^{\prime}=\left[\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ 5 & 6\end{bmatrix} \right)-\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3\end{bmatrix} \right)\right]^{\prime}$

$\hspace{2.7cm}= \begin{bmatrix} 1-1 & 2-2 \\ 4-6 & 1-4 \\ 5-7 & 6-3\end{bmatrix} ^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ -2 & -3 \\ -2 & 3\end{bmatrix} ^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} $

$\text{L.H.S.}\quad A^{\prime}-B^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \\ 5 & 6\end{bmatrix} ^{\prime}- \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 6 & 4 \\ 7 & 3\end{bmatrix} ^{\prime}= \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 1 & 6\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 6 & 7 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} $

$\hspace{2.5cm}= \begin{bmatrix} 1-1 & 4-6 & 5-7 \\ 2-2 & 1-4 & 6-3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2 & -2 \\ 0 & -3 & 3 \end{bmatrix} $

इसलिए, $\quad \text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$

$(A-B)^{\prime}=A^{\prime}-B^{\prime}$ सत्यापित किया गया है।

हल

$\text{माना},\quad P=A^{\prime} A$

$ \begin{bmatrix} \Rightarrow & P^{\prime}=(A^{\prime} A)^{\prime} \\ \\

\Rightarrow & P^{\prime}=A^{\prime}(A^{\prime})^{\prime} \\ \\ \Rightarrow & P^{\prime}=A^{\prime} A \\ \\ \Rightarrow & P^{\prime}=P \end{bmatrix} $

इसलिए, $A^{\prime} A$ एक सममिति आव्यूह है।

$\text{अब, मान लीजिए}$

$Q=AA^{\prime}$

$ \quad \Rightarrow \quad Q^{\prime}=(AA^{\prime})^{\prime}$

$ \ \begin{bmatrix} \Rightarrow & Q^{\prime}=(A^{\prime})^{\prime} A^{\prime} \\ \\ \Rightarrow & Q^{\prime}=AA^{\prime} \\ \\ \Rightarrow & Q^{\prime}=Q\end{bmatrix} $

इसलिए, $AA^{\prime}$ भी एक सममिति आव्यूह है।

हल

दिया गया है कि $A$ और $B$ क्रम $3 \times 3$ के आव्यूह हैं।

$ \begin{aligned} (AB)^{2} & =AB \cdot AB \\ \\ & =AA \cdot BB \\ \\ & =A^{2} \cdot B^{2} \end{aligned} $

इसलिए, $\quad(A B)^{2}=A^{2} B^{2}$

हल

सिद्ध करें कि $(A+B)^{2}=A^{2}+2 A B+B^{2}$

$\begin{bmatrix} \text{ बाईं ओर } \quad(A+B)^{2} & =(A+B) \cdot(A+B) & \left[\because \quad A^{2}=A \cdot A\right]\end{bmatrix} $

इसलिए, $\quad$ $\text{बाईं ओर} = \text{दाईं ओर}$

हल

(a) सिद्ध करें कि: $A+(B+C)=(A+B)+C$

$\text{बाईं ओर} \quad A+(B+C)=\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} \right)+\left[\left(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} \right)+\left(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2\end{bmatrix} \right)\right]$

$\hspace{3.4cm}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4+2 & 0+0 \\ 1+1 & 5-2 \end{bmatrix} $

$\hspace{3.4cm}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} $

$\hspace{3.4cm}= \begin{bmatrix} 1+6 & 2+0 \\ -1+2 & 3+3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} $

$\text{R.H.S.}\quad (A+B)+C=\left[\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} \right)+\left(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} \right)\right]+\left(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2\end{bmatrix} \right)$

$\hspace{3.4cm}= \begin{bmatrix} 1+4 & 2+0 \\ -1+1 & 3+5\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} $

$\hspace{3.4cm}= \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 8\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} $

$\hspace{3.4cm}= \begin{bmatrix} 5+2 & 2+0 \\ 0+1 & 8-2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 1 & 6 \end{bmatrix} $

$\text{Hence}, \quad \text{L.H.S.}= \text{R.H.S.}$

$A+(B+C)=(A+B)+C$ Hence proved. (b) To prove that: $A(BC)=(AB) C$

$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. } A(B C) & = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \left[\left(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5 \end{bmatrix} \right)\left(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \right)\right] \\ \\ & = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8+0 & 0+0 \\ 2+5 & 0-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 7 & -10 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 8+14 & 0-20 \\ -8+21 & 0-30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 & -20 \\ 13 & -30 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\text{R.H.S. }\quad (AB) C=\left[\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} \right)\left(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} \right)\right] \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} $

$\hspace{2.6cm} = \begin{bmatrix} 4+2 & 0+10 \\ -4+3 & 0+15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 `

\end{bmatrix} $

$\hspace{2.5cm} \begin{aligned} & = \begin{bmatrix} 6 & 10 \\ -1 & 15 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 12+10 & 0-20 \\ \\ -2+15 & 0-30 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 22 & -20 \\ \\ 13 & -30 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\text{अतः}, \quad \text{बाईं ओर के व्यंजक (L.H.S.) } = \text{दाईं ओर के व्यंजक (R.H.S.) }$

$ A(B C)=(A B) C \quad \text{ अतः सिद्ध कर दिया गया है। } $

(c) सिद्ध करें कि: $(a+b) B=a B+b B$

यहाँ, $a=4$ और $b=-2$

$\text{बाईं ओर के व्यंजक (L.H.S.) }\quad(a+b) B=(4-2) \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} =2 \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 2 & 10 \end{bmatrix} $

$\text{दाईं ओर के व्यंजक (R.H.S.) }\quad a B+b B=4 \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} -2 \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 0 \\ 4 & 20\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 2 & 10 \end{bmatrix} $

$\hspace{3cm} = \begin{bmatrix} 16-8 & 0-0 \\ 4-2 & 20-10 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 2 & 10 \end{bmatrix} $

$\text{अतः},\quad \text{बाईं ओर के व्यंजक (L.H.S.) } = \text{दाईं ओर के व्यंजक (R.H.S.) }$

$ (a+b) B=a B+b B \quad \text{ अतः सिद्ध कर दिया गया है। } $

(d) सिद्ध करें कि: $ \ a(C-A)=a C-a A$

$\text{बाईं ओर के व्यंजक (L.H.S.)}\quad a(C-A)=4\left[\left(\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2\end{bmatrix} \right)-\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} \right)\right]$

$\hspace{2.8cm} =4 \begin{bmatrix} 2-1 & 0-2 \\ 1+1 & -2-3 \end{bmatrix} =4 \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & -5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -8 \\ 8 & -20 \end{bmatrix} $

$\text{दाईं ओर के व्यंजक (R.H.S.) }\quad a C-a A=4 \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2\end{bmatrix} -4 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} $

$\hspace{2.7cm} \begin{aligned} & = \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -8 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 8 \\ -4 & 12 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 8-4 & 0-8 \\ 4+4 & -8-12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -8 \\ 8 & -20 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\text{अतः}, \quad \text{बाईं ओर के व्यंजक (L.H.S.)} = \text{दाईं ओर के व्यंजक (R.H.S.)}$

$ a(C-A)=a C-a A \quad \text{ अतः सिद्ध कर दिया गया है। } $

$

(e) सिद्ध करें कि: $(A^{T})^{T}=A$

$\text{L.H.S.}$

$ \begin{aligned} A^{T} & = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ (A^{T})^{T} & = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} =A \quad \text{ R.H.S. } \end{aligned} $

$\text{इसलिए}, \quad(A^{T})^{T}=A$

(f) सिद्ध करें कि: $(b A)^{T}=b A^{T}$

$\text{L.H.S.}$

$(b A)^{T}=\left[-2\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} \right)\right]^{T}= \begin{bmatrix} -2 & -4 \\ 2 & -6\end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} $

$\text{R.H.S.}$

$ b A^{T}=-2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} ^{T}=-2 \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 & 2 \\ -4 & -6 \end{bmatrix} $

$\text{इसलिए}, \quad \text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$

$ (b A)^{T}=b A^{T} \quad \text{ इसलिए सिद्ध कर दिया। } $

(g) सिद्ध करें कि: $ \ (A B)^{T}=B^{T} A^{T}$

$\text{L.H.S.}$

$(A B)^{T}=\left[\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} \right)\left(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} \right)\right]^{T}$

$\hspace{1.1cm} = \begin{bmatrix} 4+2 & 0+10 \\ -4+3 & 0+15 \end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} 6 & 10 \\ -1 & 15 \end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ 10 & 15 \end{bmatrix} $

$\text{R.H.S.}$

$B^{T} A^{T}= \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} ^{T} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix} ^{T}$

$\hspace{1.1cm} = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4+2 & -4+3 \\ 0+10 & 0+15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -1 \\ 10 & 15 \end{bmatrix} $

$\text{इसलिए}, \quad \text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$

$(A B)^{T}=B^{T} A^{T}$ इसलिए सिद्ध कर दिया। (h) सिद्ध करें कि: $ \ (A-B) C=AC-BC$

$\text{L.H.S.}$

$(A-B) C=\left[\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} \right)-\left(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} \right)\right] \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.7cm}= \begin{bmatrix} 1-4 & 2-0 \\ -1-1 & 3-5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.7cm}= \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -2\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.7cm}= \begin{bmatrix} -6+2 & 0-4 \\ -4-2 & 0+4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -6 & 4 \end{bmatrix} $

$\text{दाहिना ओर}$

$AC-BC= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.6cm}= \begin{bmatrix} 2+2 & 0-4 \\ -2+3 & 0-6\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8+0 & 0+0 \\ 2+5 & 0-10 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.6cm}= \begin{bmatrix} 4 & -4 \\ 1 & -6\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 7 & -10 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.6cm}= \begin{bmatrix} 4-8 & -4-0 \\ 1-7 & -6+10\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -4 & -4 \\ -6 & 4 \end{bmatrix} $

$\text{इसलिए}, \quad \text{बाईं ओर} = \text{दाहिना ओर}$

$ (A-B) C=A C-B C $

(i) सिद्ध करें कि: $(A-B)^{T}=A^{T}-B^{T}$

$\text{बाईं ओर}$

$\quad(A-B)^{T}=\left[\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} \right)-\left(\begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} \right)\right]^{T}$

$\hspace{2cm} = \begin{bmatrix} 1-4 & 2-0 \\ -1-1 & 3-5 \end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -2 & -2 \end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} $

$\text{दाहिना ओर}$

$A^{T}-B^{T}= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 3\end{bmatrix} ^{T}- \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 5\end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 3\end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $

$\hspace{1.5cm} = \begin{bmatrix} 1-4 & -1-1 \\ 2-0 & 3-5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -2 \\ 2 & -2 \end{bmatrix} $

$\text{इसलिए}, \quad \text{बाईं ओर} = \text{दाहिना ओर}$

$ (A-B)^{T}=A^{T}-B^{T} \text{ सिद्ध कर दिया गया है। } $

हल

दिया गया है

$ \begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} \cos q & \sin q \\ -\sin q & \cos q \end{bmatrix} \\ \\ A^2=A \cdot A & = \begin{bmatrix} \cos q & \sin q \\ -\sin q & \cos q \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos q & \sin q \\ -\sin q & \cos q \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} \cos ^{2} q-\sin ^{2} q & \cos q \sin q+\sin q \cos q \\ \sin q \cos q-\cos q \sin q & -\sin ^{2} q+\cos ^{2} q \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} \cos 2 q & \sin 2 q \\ -\sin 2 q & \cos 2 q \end{bmatrix} \\ \\ & \begin{bmatrix} \because \cos ^{2} A-\sin ^{2} A=\cos 2 A \\ 2 \sin A \cos A=\sin 2 A \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

हल

दिया गया है: $A= \begin{bmatrix} 0 & -x \\ x & 0\end{bmatrix} $ और $B= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $

$\text{लेफ्ट हैंड साइड (L.H.S.)}$

$ (A+B)^{2}=(A+B) \cdot(A+B)$

$\hspace{1.3cm} \begin{aligned} & = \left( \begin{bmatrix} 0 & -x \\ x & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right) \cdot \left(\begin{bmatrix} 0 & -x \\ x & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right) \\ \\ & = \begin{bmatrix} 0+0 & -x+1 \\ x+1 & 0+0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0+0 & -x+1 \\ x+1 & 0+0 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 0 & -x+1 \\ x+1 & 0 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 0 & -x+1 \\ x+1 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 0+(-x+1)(x+1) & 0+0 \\ 0+0 & (x+1)(-x+1)+0 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 1-x^{2} & 0 \\ 0 & 1-x^{2} \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\text{रखें} \quad x^{2}=-1$

$ \text{राइट हैंड साइड (R.H.S.)} = \begin{bmatrix} 1+1 & 0 \\ 0 & 1+1

\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} $

$\text{(दिया गया)}$

$ \begin{aligned} A^{2}+B^{2} & =A \cdot A+B \cdot B \\ & = \begin{bmatrix} 0 & -x \\ x & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -x \\ x & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 0-x^{2} & 0+0 \\ 0+0 & -x^{2}+0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0+1 & 0+0 \\ 0+0 & 1+0 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} -x^{2} & 0 \\ 0 & -x^{2} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -x^{2}+1 & 0+0 \\ 0+0 & -x^{2}+1 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} -x^{2}+1 & 0 \\ 0 & -x^{2}+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+1 & 0 \\ 0 & 1+1 \end{bmatrix} [\because x^{2}=-1] \\ \\ & = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए,

$\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$

$ (A+B)^{2}=A^{2}+B^{2} $

हल

दिया गया है: $A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \end{bmatrix} $

$\text{L.H.S.}$

$A^{2}=A \cdot A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} & \quad= \begin{bmatrix} 0+4-3 & 0-3+3 & 0+4-4 \\ 0-12+12 & 4+9-12 & -4-12+16 \\ 0-12+12 & 3+9-12 & -3-12+16 \end{bmatrix} \\ \\ & \quad = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =I \quad \text{ R.H.S. } \end{aligned} $

इसलिए, $A^{2}=I$ की सत्यापन किया गया है।

हल

सिद्ध करना है कि $(A^{\prime})^{n}=(A^{n})^{\prime}$

मान लीजिए $P(n):(A^{\prime})^{n}=(A^{n})^{\prime}$

स्टेप 1: $n=1, P(1): A^{\prime}=A^{\prime} \quad$ जो $n=1$ के लिए सत्य है

स्टेप 2: $\quad$ $n=k, P(k):(A^{\prime})^{k}=(A^{k})^{\prime} \quad$ $n=k$ के लिए सत्य मान लें

स्टेप 3: $\quad$ $n=k+1, P(k+1):(A^{\prime})^{k+1}=(A^{k+1})^{\prime}$

बायां पक्ष

$ \begin{aligned} (A^{\prime})^{k+1} & =(A^{\prime})^{k} \cdot(A^{\prime}) \\ \\ & =(A^{k})^{\prime} \cdot(A^{\prime}) \\ \\ & =(A^{k} \cdot A)^{\prime} \\ \\ & =(A^{k+1})^{\prime} \quad \text{ दायां पक्ष } \end{aligned} $

(स्टेप 2 से)

जब $P(k)$ के लिए कथन सत्य होता है, तो $P(k+1)$ के लिए भी दिया गया कथन सत्य होता है, जहां $k \in N$ है।

हल

(i) मान लें

$ \begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 7 \end{bmatrix} \\ \\ |A| & =1 \times 7-(-5) \times 3=7+15=22 \neq 0 \end{aligned} $

इसलिए, $A$ व्युत्क्रमणीय है।

मान लें

$A=IA$

$ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} A $

$R_2 \to R_2+5 R_1$

$\Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 22\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} A$

$R_2 \to \dfrac{1}{22} R_2$

$\Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \dfrac{5}{22} & \dfrac{1}{22} \end{bmatrix} A$

$R_1 \to R_1-3 R_2$

$\Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dfrac{7}{22} & \dfrac{-3}{22} \\ \dfrac{5}{22} & \dfrac{1}{22} \end{bmatrix} A$

इसलिए

$ A^{-1}= \begin{bmatrix} \dfrac{7}{22} & \dfrac{-3}{22} \\ \dfrac{5}{22} & \dfrac{1}{22} \end{bmatrix} \Rightarrow \dfrac{1}{22} \begin{bmatrix} 7 & -3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} $

इसलिए, $ \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ -5 & 7\end{bmatrix} $ का व्युत्क्रम $\dfrac{1}{22} \begin{bmatrix} 7 & -3 \\ 5 & 1 \end{bmatrix} $ है।

(ii) $\text{मान लीजिए},$

$ \begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{bmatrix} \\ \\ |A| & =1 \times 6-(-3)(-2)=6-6=0 \\ \\ |A| & =0 \text{ इसलिए } A \text{ उलटनीय नहीं है। } \end{aligned} $

इसलिए, $ \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ -2 & 6 \end{bmatrix} $ का व्युत्क्रम संभव नहीं है।

हल

दिया गया है: $ \begin{bmatrix} x y & 4 \\ z+6 & x+y\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & w \\ 0 & 6 \end{bmatrix} $

संगत तत्वों के बराबर करने पर,

$\Rightarrow \quad x y=8, w=4, z+6=0 $

$\Rightarrow \quad z=-6, x+y=6$

अब, $x+y=6$ को हल करते हैं

और

$x y=8$

समीकरण (i) से, $\quad y=6-x$

समीकरण (ii) में $y$ के मान को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं,

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad x(6-x)=8 \\ \\ & \Rightarrow \quad 6 x-x^{2}=8 \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{2}-6 x+8=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{2}-4 x-2 x+8=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x(x-4)-2(x-4)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad (x-4)(x-2)=0 \\ \\ & \therefore \quad \quad x=4,2 \end{aligned} $

हल

मैट्रिक्स $A$ और $B$ की कोटि $2 \times 2$ है।

$\therefore\quad$ मैट्रिक्स $C$ की कोटि भी $2 \times 2$ होनी चाहिए।

$ \begin{aligned} & \text{ मान लीजिए },\quad C= \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad 3 \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 7 & 12 \end{bmatrix} +5 \begin{bmatrix} 9 & 1 \\ 7 & 8 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 3 & 15 \\ 21 & 36 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 45 & 5 \\ 35 & 40 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix}

2 a & 2 b \\ 2 c & 2 d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 3+45+2 a & 15+5+2 b \\ 21+35+2 c & 36+40+2 d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 48+2 a & 20+2 b \\ 56+2 c & 76+2 d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

संगत तत्वों के तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & 48+2 a=0 \Rightarrow 2 a=-48 \Rightarrow a=-24 \\ \\ & 20+2 b=0 \Rightarrow 2 b=-20 \Rightarrow b=-10 \\ \\ & 56+2 c=0 \Rightarrow 2 c=-56 \Rightarrow c=-28 \\ \\ & 76+2 d=0 \Rightarrow 2 d=-76 \Rightarrow d=-38 \\ \\ & C= \begin{bmatrix} -24 & -10 \\ -28 & -38 \end{bmatrix} \end{aligned} $

हल

दिया गया है: $\quad A= \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} A^{2}=A \cdot A & = \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 9+20 & -15-10 \\ -12-8 & 20+4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix} \\ \\ \therefore \quad A^{2}-5 A-14 I & = \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix} -5 \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} -14 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 15 & -25 \\ -20 & 10 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 14 & 0 \\ 0 & 14 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$\hspace{2.9cm} \begin{aligned} & = \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 29-29 & -25+25 \\ -20+20 & 24-24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} `

$

$\text{इसलिए},\quad A^{2}-5 A-14 I=O$

अब, दोनों ओर को A से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & A^{2} \cdot A-5 A \cdot A-14 IA=OA \\ \\ & \Rightarrow \quad A^{3}-5 A^{2}-14 A=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad A^{3}=5 A^{2}+14 A \\ \\ & \Rightarrow \quad A^{3}=5 \begin{bmatrix} 29 & -25 \\ -20 & 24 \end{bmatrix} +14 \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ -4 & 2 \end{bmatrix} \\ \\ &\hspace{1.3cm} = \begin{bmatrix} 145 & -125 \\ -100 & 120 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 42 & -70 \\ -56 & 28 \end{bmatrix} \\ \\ &\hspace{1.3cm} = \begin{bmatrix} 145+42 & -125-70 \\ -100-56 & 120+28 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 187 & -195 \\ -156 & 148 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए, $A^{3}= \begin{bmatrix} 187 & -195 \\ -156 & 148 \end{bmatrix}$

हल

दिया गया है: $ \quad 3 \begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & 6 \\ -1 & 2 d\end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4 & a+b \\ c+d & 3 \end{bmatrix} $

$\hspace{2cm} \begin{bmatrix} 3 a & 3 b \\ 3 c & 3 d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a+4 & 6+a+b \\ -1+c+d & 2 d+3 \end{bmatrix} $

संगत तत्वों के तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & 3 a=a+4 \\
& \Rightarrow 3 a-a=4 \\
& \Rightarrow 2 a=4 \\
& \Rightarrow a=2 \\ \\ & 3 b=6+a+b \\ & \Rightarrow 3 b-b-a=6 \\ & \Rightarrow 2 b-a=6 \\ & \Rightarrow 2 b-2=6 \\ & \Rightarrow 2 b=8 \\ & \Rightarrow b=4 \\ \\ & 3 c=-1+c+d \\
& \Rightarrow 3 c-c-d=-1 \\ & \Rightarrow 2 c-d=-1 \\ \\ & \text{ और } \quad 3 d=2 d+3 \Rightarrow 3 d-2 d=3 \\ \\ & \Rightarrow d=3 \\ \\ & \text{ अब }, \quad 2 c-d=-1 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad 2 c-3=-1 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 c=3-1 \\ \\ & \Rightarrow\quad 2 c=2 \\ \\ `

& \therefore \quad c=1 \\ \\ & \therefore \quad a=2, b=4, c=1 \text{ and } d=3 . \end{aligned} $

हल

आव्यूह $ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 4 \end{bmatrix} $ का क्रम $3 \times 2$ है और आव्यूह

$ \begin{bmatrix} -1 & -8 & -10 \\ 1 & -2 & -5 \\ 9 & 22 & 15 \end{bmatrix} \text{ है } 3 \times 3 $

$\therefore\quad $ आव्यूह A का क्रम $2 \times 3$ होना चाहिए

$\text{मानलो},\quad A= \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{bmatrix} _{2 \times 3}$

इसलिए,

$\begin{aligned} &{ \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \\ -3 & 4\end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b & c \\ d & e & f\end{bmatrix} } = \begin{bmatrix} -1 & -8 & -10 \\ 1 & -2 & -5 \\ 9 & 22 & 15\end{bmatrix} \\ \\ & { \begin{bmatrix} 2 a-d & 2 b-e & 2 c-f \\ a+0 & b+0 & c+0 \\ -3 a+4 d & -3 b+4 e & -3 c+4 f\end{bmatrix} } = \begin{bmatrix} -1 & -8 & -10 \\ 1 & -2 & -5 \\ 9 & 22 & 15 \end{bmatrix} \end{aligned}$

संगत तत्वों के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & 2 a-d=-1 \quad \text{ और } \quad a=1 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 \times 1-d=-1 \\ \\ & \Rightarrow \quad d=2+1 \quad \Rightarrow \quad d=3 \\ \\ & 2 b-e=-8 \quad \text{ और } \quad b=-2 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2(-2)-e=-8 \\ \\ & \Rightarrow \quad -4-e=-8 \quad \Rightarrow \quad e=4 \\ \\ & 2 c-f=-10 \quad \text{ और }\quad c=-5 \\ \\
& \Rightarrow \quad 2(-5)-f=-10 \\ \\ & \Rightarrow \quad -10-f=-10 \quad \Rightarrow \quad f=0 \\ \\ & a=1, \ b=-2, \ c=-5, \ d=3, \ e=4 \text{ और } f=0 \\ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} 1 & -2 & -5 \\ 3 & 4 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

हल

दिया गया है: $\quad A= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} A^{2}=A \cdot A & = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+8 & 2+2 \\ 4+4 & 8+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 & 4 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} \\ \\ A^{2}+2 A+7 I & = \begin{bmatrix} 9 & 4 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} +2 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} +7 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 9 & 4 \\ 8 & 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 8 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 7 & 0 \\ 0 & 7 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 9+2+7 & 4+4+0 \\ 8+8+0 & 9+2+7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 & 8 \\ 16 & 18 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए, $\quad A^{2}+2 A+7 I= \begin{bmatrix} 18 & 8 \\ 16 & 18 \end{bmatrix} $.

हल

यहाँ,

$ A= \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $

दिया गया है: $\quad A^{-1}=A^{\prime}$

दोनों ओर से $A$ से पहले गुणा करने पर

$ AA^{-1}=AA^{\prime} $

$\Rightarrow \quad I=AA^{\prime}$

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \alpha & \sin \alpha \\ -\sin \alpha & \cos \alpha\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{bmatrix} $

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos ^{2} \alpha+\sin ^{2} \alpha & -\sin \alpha \cos \alpha+\sin \alpha \cos \alpha \\ -\sin \alpha \cos \alpha+\cos \alpha \sin \alpha & \sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \alpha \end{bmatrix} $

$\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

इसलिए, यह सभी $\alpha$ के मानों के लिए सत्य है।

हल

मान लीजिए $\quad A= \begin{bmatrix} 0 & a & 3 \\ 2 & b & -1 \\ c & 1 & 0\end{bmatrix} A^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 2 & c \\ a & b & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix} $

विषम सममित आव्यूह के लिए, $A^{\prime}=-A$।

$ \begin{aligned} & { \begin{bmatrix} 0 & 2 & c \\ a & b & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix} =- \begin{bmatrix} 0 & a & 3 \\ 2 & b & -1 \\ c & 1 & 0 \end{bmatrix} } \\ & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} 0 & 2 & c \\ a & b & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -a & -3 \\ -2 & -b & 1 \\ -c & -1 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

संगत तत्वों के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है

$a=-2, b=-b \Rightarrow 2 b=0 \Rightarrow b=0$ और $c=-3$

अतः, $a=-2, b=0$ और $c=-3$।

हल

दिया गया है:

$ \begin{aligned} P(x) & = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{bmatrix} \\ \\ P(y) & = \begin{bmatrix} \cos y & \sin y \\ -\sin y & \cos y \end{bmatrix} \\ \\ P(x) \cdot P(y) & = \begin{bmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos y & \sin y \\ -\sin y & \cos y \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} \cos x \cos y-\sin x \sin y & \cos x \sin y+\sin x \cos y \\ -\sin x \cos y-\cos x \sin y & -\sin x \sin y+\cos x \cos y \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} \cos (x+y) & \sin (x+y) \\ -\sin (x+y) & \cos (x+y) \end{bmatrix} \\ \\ & =P(x+y) \end{aligned} $

$\text{अब},$

$ \begin{aligned} P(y) \cdot P(x) & = \begin{bmatrix} \cos y & \sin y \\ -\sin y & \cos y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos x & \sin x \\ -\sin x & \cos x

\end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} \cos x \cos y-\sin x \sin y & \sin x \cos y+\cos x \sin y \\ -\cos x \sin y-\cos y \sin x & -\sin x \sin y+\cos x \cos y \end{bmatrix} \end{aligned} $

$ \hspace{1.7cm} \begin{aligned} & = \begin{bmatrix} \cos (x+y) & \sin (x+y) \\ -\sin (x+y) & \cos (x+y) \end{bmatrix} \\ \\ & =P(x+y) \end{aligned} $

$\text{अतः}, \quad P(x) \cdot P(y)=P(x+y)=P(y) \cdot P(x)$.

हल

दिखाना है: $(I+A)^{3}=7 A+I$

$\text{बाएँ पक्ष }$

$(I+A)^{3}=I^{3}+A^{3}+3 I^{2} A+3 I A^{2}$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow\quad I+A^{2} \cdot A+3 IA+3 IA^{2} \\ \\ & \Rightarrow\quad I+A \cdot A+3 IA+3 IA \qquad {[\because A^{2}=A]} \\ \\ & \Rightarrow\quad I+A^{2}+3 IA+3 IA \\ \\ & \Rightarrow\quad I+A+3 IA+3 IA \quad[\because A^{2}=A] \\ \\ & \Rightarrow\quad I+A+3 A+3 A \\ \\ & \Rightarrow\quad 7 A+I \quad \text{ दाएँ पक्ष } \end{aligned} $

$\text{बाएँ पक्ष} = \text{दाएँ पक्ष}\quad \text{अतः, सिद्ध कर दिया गया है।}$

हल

दिया गया है कि $B$ एक विषम सममित आव्यूह है

$\therefore\quad B^{\prime}=-B$

$\text{माना},$

$ \begin{aligned} P & =A^{\prime} BA \\ \\ P^{\prime} & =(A^{\prime} BA)^{\prime} \\ \\ & =A^{\prime} B^{\prime}(A^{\prime})^{\prime} \\ \\ & =A^{\prime}(-B) A \\ \\ & =-A^{\prime} BA=-P \\ \\ P^{\prime} & =-P \end{aligned} $

अतः,

अतः, $A^{\prime} BA$ एक विषम सममित आव्यूह है।

हल

मान लीजिए $P(n):(AB)^{n}=A^{n} B^{n}$

चरण 1:

$ n=1 $, $ P(1): AB=AB $

चरण 2:

$ n=k $, $ P(k):(AB)^{k}=A^{k} B^{k} \quad $ (कोई भी $k \in N$ के लिए सत्य होने के लिए मान लीजिए)

स्टेप 3:

$ n = k + 1 $, $ P(k+1): (AB)^{k+1} = A^{k+1} B^{k+1} $

$\text{L.H.S.}$

$ \begin{aligned} (AB)^{k+1} & = (AB)^{k} \cdot AB \\ \\ & = A^{k} B^{k} \cdot AB \\ \\ & = A^{k+1} B^{k+1} \quad \text{ R.H.S. } \\ \\ & = A^{k} B^{k} \cdot AB \quad[\text{ from Step 2 }] \end{aligned} $

$\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$

इसलिए, यदि $P(n)$ $P(k)$ के लिए सत्य है, तो इसके लिए $P(k+1)$ भी सत्य है।

हल

दिया गया है: $\quad A= \begin{bmatrix} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix} $ और $A^{\prime}=A^{-1}$

दोनों ओर $A$ से प्री-गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & AA^{\prime}=AA^{-1} \\ \\ \Rightarrow \quad & \begin{bmatrix} 0 & 2 y & z \\ x & y & -z \\ x & -y & z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & x & x \\ 2 y & y & -y \\ z & -z & z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ \Rightarrow \quad & \begin{bmatrix} 0+4 y^{2}+z^{2} & 0+2 y^{2}-z^{2} & 0-2 y^{2}+z^{2} \\ 0+2 y^{2}-z^{2} & x^{2}+y^{2}+z^{2} & x^{2}-y^{2}-z^{2} \\ 0-2 y^{2}+z^{2} & x^{2}-y^{2}-z^{2} & x^{2}+y^{2}+z^{2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $

संगत तत्वों के तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & 4 y^{2}+z^{2}=1 \qquad \ldots \text{(i)} \\ \\ & 2 y^{2}-z^{2}=0 \qquad \ldots \text{(ii)} \end{aligned} $

( $i$ ) और (ii) को जोड़ने पर, $6 y^{2}=1 $

$\Rightarrow y^{2}=\dfrac{1}{6} \Rightarrow y= \pm \dfrac{1}{\sqrt{6}}$

समीकरण (i) से, हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & 4 y^{2}+z^{2} =1 \\ \\ & \Rightarrow\quad 4\left(\dfrac{1}{\sqrt{6}}\right)^{2}+z^{2} =1 \\ \\ & \Rightarrow\quad \dfrac{2}{3}+z^{2}=1 \\ \\ & \Rightarrow\quad z^{2}=1-\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3} \\ \\ & \therefore \quad z = \pm \dfrac{1}{\sqrt{3}} \\ \\ & x^{2}+y^{2}+z^{2} =1 \qquad \ldots \text{(iii)} \\ \\

& x^{2}-y^{2}-z^{2} =0 \qquad \ldots \text{(iv)} \end{aligned} $

(iii) और (iv) जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है,

$2 x^{2}=1 \Rightarrow x^{2}=\dfrac{1}{2} $

$\Rightarrow x= \pm \dfrac{1}{\sqrt{2}}$

इसलिए, $x= \pm \dfrac{1}{\sqrt{ 2}}, y= \pm \dfrac{1}{\sqrt{6 }} \ \text{ और } \ z= \pm \dfrac{1}{\sqrt{3 }}$.

हल

(i) यहाँ, $A= \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3 \end{bmatrix} $ मूल श्रेणी परिवर्तन के लिए हम लिखते हैं

$A=IA$

$ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -5 & 3 & 1 \\ -3 & 2 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A$

$R_2 \to R_2+R_1$

$ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 2 & 4 \\ -3 & 2 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A$

$R_3 \to R_3-R_2$

$ \begin{bmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} A$

$R_1 \to R_1+R_2$

$ \begin{bmatrix} -1 & 1 & 7 \\ -3 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} A$

$R_2 \to R_2-3 R_1$

$ \begin{bmatrix} -1 & 1 & 7 \\ 0 & -1 & -17 \\ 0 & 0 & -1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -5 & -2 & 0 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix} A$

$R_1 \to R_1+R_2$ और $R_3 \to-1 . R_3$

$ \begin{bmatrix} -1 & 0 & -10 \\ 0 & -1 & -17 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & -1 & 0 \\ -5 & -2 & 0 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} A$

$ \begin{aligned} & R_1 \to R_1+10 R_3 \text{ और } R_2 \to R_2+17 R_3 \\ \\ & { \begin{bmatrix}

-1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 9 & -10 \\ 12 & 15 & -17 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} A} \\ \\ & R_1 \to-1 \cdot R_1 \text{ और } R_2 \to-1 . R_2 \\ \\ & { \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \\ -7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} A} \\ \\ & A^{-1}= \begin{bmatrix} -7 & -9 & 10 \\ -12 & -15 & 17 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \\ \\ & A= \begin{bmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \\ \\ & \text{ रखें } \quad A=IA \\ \\ & { \begin{bmatrix} 2 & 3 & -3 \\ -1 & -2 & 2 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A} \\ \\ & R_1 \to R_1-2 R_3 \text{ और } R_2 \to R_2+R_1 \\ \\ & { \begin{bmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A} \\ \\ & R_1 \to R_1+R_2 \\ \\ & { \begin{bmatrix} \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A} \end{aligned} $

बाएँ ओर के पहला पंक्ति में सभी शून्य हैं, इसलिए दी गई मैट्रिक्स A के व्युत्क्रम नहीं है।

इसलिए, मैट्रिक्स A का व्युत्क्रम नहीं है।

(iii) यहाँ,

$ A= \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\ $

$ \begin{aligned} & \text{ रखें } \quad A=I A \\ \\ & { \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A} \\ \\ & R_1 \to 3 R_1-R_2 \\ \\ & { \begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 5 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A} \\ \\ & R_2 \to R_2-5 R_1 \\ \\ & { \begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 0 & 6 & 15 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -15 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A} \\ \\

& R_2 \to R_2-5 R_3 \\ \\ & { \begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -15 & 6 & -5 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} A} \\ \\ & R_3 \to R_3-R_2 \\ \\ & { \begin{bmatrix} 1 & -1 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ -15 & 6 & -5 \\ 15 & -6 & 6 \end{bmatrix} A} \\ \\ & R_1 \to R_1+R_2 \\ \\ & { \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12 & 5 & -5 \\ -15 & 6 & -5 \\ 15 & -6 & 6 \end{bmatrix} A} \\ \\ & R_3 \to \dfrac{1}{3} R_3 \\ \\ & { \begin{bmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -12 & 5 & -5 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix} A} \\ \\ & R_1 \to R_1+3 R_3 \\ \\ & { \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix} A} \end{aligned} $

इसलिए,

$ A^{-1}= \begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix} $

हल

हम जानते हैं कि कोई भी वर्ग मैट्रिक्स सममित और विषम सममित मैट्रिक्स के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात $A=\dfrac{1}{2}[A+A^{\prime}]+\dfrac{1}{2}[A-A^{\prime}]$।

मान लीजिए $P=\dfrac{1}{2}[A+A^{\prime}]$ और $Q=\dfrac{1}{2}[A-A^{\prime}]$

इसलिए,

$ \begin{aligned} P & =\dfrac{1}{2}\left[\left(\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \right)+\left(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \right)\right] \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 2+2 & 3+1 & 1+4 \\ 1+3 & -1-1 & 2+1 \\ 4+1 & 1+2 & 2+2 \end{bmatrix} =\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} 4 & 4 & 5 \\ 4 & -2 & 3 \\ 5 & 3 & 4 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 5 / 2 \\

2 & -1 & 3 / 2 \\ 5 / 2 & 3 / 2 & 2 \end{bmatrix} \\ \\ P^{\prime} & = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 5 / 2 \\ 2 & -1 & 3 / 2 \\ 5 / 2 & 3 / 2 & 2 \end{bmatrix} =P \end{aligned} $

जैसा कि $P^{\prime}=P \quad \therefore P$ एक सममित आव्यूह है।

अब $Q=\dfrac{1}{2}\left[A-A^{\prime} \right ]$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2}\left[\left(\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & -1 & 2 \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} \right )-\left(\begin{bmatrix} 2 & 1 & 4 \\ 3 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \end{bmatrix} \right ) \right ] \\ \\ & =\dfrac{1}{2}\left[\left(\begin{bmatrix} 2-2 & 3-1 & 1-4 \\ 1-3 & -1+1 & 2-1 \\ 4-1 & 1-2 & 2-2 \end{bmatrix} \right ) \right ]=\dfrac{1}{2}\left[\left(\begin{bmatrix} 0 & 2 & -3 \\ -2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 0 \end{bmatrix} \right ) \right ] \end{aligned} $

$ = \begin{bmatrix} 0 & 1 & -3 / 2 \\ -1 & 0 & 1 / 2 \\ 3 / 2 & -1 / 2 & 0 \end{bmatrix} =- \begin{bmatrix} 0 & -1 & 3 / 2 \\ 1 & 0 & -1 / 2 \\ -3 / 2 & 1 / 2 & 0 \end{bmatrix} =-Q \\ $

जैसा कि $ \ Q=-Q \quad \therefore \quad Q$ एक विषम सममित आव्यूह है।

इसलिए

$ \begin{aligned} A & =P+Q \\ \\ A & = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 5 / 2 \\ 2 & -1 & 3 / 2 \\ 5 / 2 & 3 / 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 & -3 / 2 \\ -1 & 0 & 1 / 2 \\ 3 / 2 & -1 / 2 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 2+0 & 2+1 & \dfrac{5}{2}-\dfrac{3}{2} \\ \\ 2-1 & -1+0 & \dfrac{3}{2}+\dfrac{1}{2} \\ \\ \dfrac{5}{2}+\dfrac{3}{2} & \dfrac{3}{2}-\dfrac{1}{2} & 2+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ \\ 1 & -1 & 2 \\ \\ 4 & 1 & 2 \end{bmatrix} =A \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक संबंध है

$ A= \begin{bmatrix} 2 & 2 & 5 / 2 \\ 2 & -1 & 3 / 2 \\ 5 / 2 & 3 / 2 & 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 0 & 1 & -3 / 2 \\ -1 & 0 & 1 / 2 \\ 3 / 2 & -1 / 2 & 0 \end{bmatrix} $

हल

दिया गया है $P= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 0 \end{bmatrix} $

यहाँ स्तम्भों की संख्या और पंक्तियों की संख्या समान है, अर्थात 3। इसलिए, $P$ एक वर्ग आव्यूह है।

अतः सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) विकर्ण आव्यूह: एक विकर्ण आव्यूह एक वर्ग आव्यूह होता है जिसमें मुख्य विकर्ण के बाहर सभी तत्व शून्य होते हैं। दिए गए आव्यूह $\left( P \right )$ में मुख्य विकर्ण के बाहर सभी तत्व शून्य नहीं हैं, उदाहरण के लिए $\left( p_{13} = 4 \right )$, $\left( p_{31} = 4 \right )$, इसलिए यह एक विकर्ण आव्यूह नहीं है।

• विकल्प (c) इकाई आव्यूह: एक इकाई आव्यूह, जिसे भी एकता आव्यूह कहा जाता है, एक वर्ग आव्यूह होता है जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 होते हैं और अन्य सभी तत्व शून्य होते हैं। दिए गए आव्यूह $\left( P \right )$ में मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व 1 नहीं हैं (उदाहरण के लिए $\left( p_{22} = 4 \right )$, इसलिए यह एक इकाई आव्यूह नहीं है।

• विकल्प (d) कोई नहीं: यह विकल्प गलत है क्योंकि आव्यूह $\left( P \right )$ वर्ग आव्यूह है, जैसा कि दिए गए उत्तर में स्थापित किया गया है।

हल

क्रम $3 \times 3$ के सभी संभावित आव्यूहों की कुल संख्या जिनमें प्रत्येक प्रविष्टि 0 या $2=2^{3 \times 3}=2^{9}=512$ है।

अतः सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) 9 गलत है क्योंकि इसमें संयोजन के गुणवत्तापूर्ण वृद्धि को गणना नहीं की गई है। संभावित आव्यूहों की संख्या सिर्फ प्रविष्टियों की संख्या (9) नहीं है, बल्कि प्रत्येक प्रविष्टि के लिए 0 या 2 के संयोजन की संख्या है।

• विकल्प (b) 27 गलत है क्योंकि इसमें यह सुझाव देता है कि प्रत्येक प्रविष्टि केवल 3 संभावित मान रख सकती है (जो कि $3^3$ होगी एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए), लेकिन इस समस्या में प्रत्येक प्रविष्टि केवल 2 संभावित मान (0 या 2) रख सकती है।

• विकल्प (c) 81 गलत है क्योंकि इसमें यह सुझाव देता है कि प्रत्येक प्रविष्टि केवल 4 संभावित मान रख सकती है (जो कि $4^2$ होगी एक $3 \times 3$ आव्यूह के लिए), लेकिन इस समस्या में प्रत्येक प्रविष्टि केवल 2 संभावित मान (0 या 2) रख सकती है।

हल

दिया गया है: $ \begin{bmatrix} 2 x+y & 4 x \\ 5 x-7 & 4 x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 7 y-13 \\ y & x+6 \end{bmatrix} $

संगत तत्वों के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$\qquad 2 x+y=7 \quad ……(1)$

$ \begin{aligned} & \text{ और } \quad 4 x=x+6 \quad ……(2) \\ & \text{ समीकरण (2) से } \quad 4 x-x=6 \\ & 3 x=6 \\ & \therefore \quad x=2 \\ & \text{ समीकरण (1) से } 2 \times 2+y=7 \\ & 4+y=7 \quad \therefore y=7-4=3 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) $x=3, y=1$ :

  • $x=3$ और $y=1$ को पहले समीकरण $2x + y = 7$ में समान्य करने पर:
    • $2(3) + 1 = 6 + 1 = 7$ (यह सही है)
  • $x=3$ को दूसरे समीकरण $4x = x + 6$ में समान्य करने पर:
    • $4(3) = 3 + 6$
    • $12 \neq 9$ (यह गलत है)
  • इसलिए, $x=3, y=1$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

• विकल्प (c) $x=2, y=4$ :

  • $x=2$ और $y=4$ को पहले समीकरण $2x + y = 7$ में समान्य करने पर:
    • $2(2) + 4 = 4 + 4 = 8$ (यह गलत है)
  • $x=2$ को दूसरे समीकरण $4x = x + 6$ में समान्य करने पर:
    • $4(2) = 2 + 6$
    • $8 = 8$ (यह सही है)
  • इसलिए, $x=2, y=4$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

• विकल्प (d) $x=3, y=3$ :

  • $x=3$ और $y=3$ को पहले समीकरण $2x + y = 7$ में समान्य करने पर:
    • $2(3) + 3 = 6 + 3 = 9$ (यह गलत है)
  • $x=3$ को दूसरे समीकरण $4x = x + 6$ में समान्य करने पर:
    • $4(3) = 3 + 6$
    • $12 \neq 9$ (यह गलत है)
  • इसलिए, $x=3, y=3$ दोनों समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

हल

दिया गया है: $A=\dfrac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin ^{-1}\left(x \pi\right ) & \tan ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) \\ \sin ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) & \cot ^{-1}\left(\pi x\right ) \end{bmatrix} $

और

$ B=\dfrac{1}{\pi} \begin{bmatrix} -\cos ^{-1}\left(x \pi\right ) & \tan ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) \\ \sin ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) & -\tan ^{-1}\left(\pi x\right ) \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} & A-B=\dfrac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin ^{-1}\left(x \pi\right ) & \tan ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) \\ \sin ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) & \cot ^{-1}\left(\pi x\right ) \end{bmatrix} -\dfrac{1}{\pi} \begin{bmatrix} -\cos ^{-1}\left(x \pi\right ) & \tan ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) \\ \sin ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) & -\tan ^{-1}\left(\pi x\right ) \end{bmatrix} \\ \\ & =\dfrac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \sin ^{-1}\left(x \pi\right )+\cos ^{-1}\left(x \pi\right ) & \tan ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right )-\tan ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) \\ \sin ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right )-\sin ^{-1}\left(\dfrac{x}{\pi}\right ) & \cot ^{-1}\left(\pi x\right )+\tan ^{-1}\left(\pi x\right ) \end{bmatrix} \\ \\ & =\dfrac{1}{\pi} \begin{bmatrix} \dfrac{\pi}{2} & 0 \\ 0 & \dfrac{\pi}{2} \end{bmatrix} \quad \begin{bmatrix} \because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\dfrac{\pi}{2} \\ \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\dfrac{\pi}{2} \end{bmatrix} \\ \\ & =\dfrac{1}{\pi} \times \dfrac{\pi}{2} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =\dfrac{1}{2} I \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) I:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि परिणामी आव्यूह $\left( A - B \right )$ एकता आव्यूह $\left( I \right )$ नहीं है। एकता आव्यूह $\left( I \right )$ विकर्ण पर 1 और अन्य सभी स्थानों पर 0 होते हैं, लेकिन $\left( A - B \right )$ एक आव्यूह है जिसके विकर्ण पर $\left(\dfrac{1}{2}\right )$ होते हैं और अन्य सभी स्थानों पर 0 होते हैं।

• विकल्प (b) O:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि परिणामी मैट्रिक्स $\left( A - B \right )$ शून्य मैट्रिक्स $\left( O \right )$ नहीं है। शून्य मैट्रिक्स $\left( O \right )$ में सभी तत्व 0 होते हैं, लेकिन $\left( A - B \right )$ एक ऐसी मैट्रिक्स बनती है जिसके विकर्ण में $\left(\dfrac{1}{2}\right )$ होता है और अन्य सभी स्थानों पर 0 होते हैं।

• विकल्प (c) 2I:

  • यह विकल्प गलत है क्योंकि परिणामी मैट्रिक्स $\left( A - B \right )$ दोगुनी एकक मैट्रिक्स $\left( 2I \right )$ नहीं है। एकक मैट्रिक्स $\left( 2I \right )$ के विकर्ण में 2 होते हैं और अन्य सभी स्थानों पर 0 होते हैं, लेकिन $\left( A - B \right )$ एक ऐसी मैट्रिक्स बनती है जिसके विकर्ण में $\left(\dfrac{1}{2}\right )$ होता है और अन्य सभी स्थानों पर 0 होते हैं।

हल

हम जानते हैं कि दो मैट्रिक्स के जोड़ और घटाव केवल तभी संभव होते हैं जब उनका क्रम समान हो। यह भी दिया गया है कि $m=n$।

$\therefore\quad $ मैट्रिक्स $(5 A-2 B)$ का क्रम $3 \times n$ है

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $m \times 3$ : यह विकल्प गलत है क्योंकि परिणामी मैट्रिक्स $(5A - 2B)$ का क्रम मूल मैट्रिक्स $A$ और $B$ के क्रम के समान होना चाहिए, जो $3 \times n$ है। चूंकि $m = n$, परिणामी मैट्रिक्स का क्रम $m \times 3$ नहीं हो सकता।

• विकल्प (b) $3 \times 3$ : यह विकल्प गलत है क्योंकि परिणामी मैट्रिक्स $(5A - 2B)$ का क्रम मूल मैट्रिक्स $A$ और $B$ के क्रम के समान होना चाहिए, जो $3 \times n$ है। इसके लिए $n$ के 3 के बराबर होने के कोई संकेत नहीं है, इसलिए परिणामी मैट्रिक्स का क्रम $3 \times 3$ नहीं हो सकता।

• विकल्प (c) $m \times n$ : यह विकल्प गलत है क्योंकि परिणामी मैट्रिक्स $(5A - 2B)$ का क्रम मूल मैट्रिक्स $A$ और $B$ के क्रम के समान होना चाहिए, जो $3 \times n$ है। चूंकि $m = n$, परिणामी मैट्रिक्स का क्रम $m \times n$ नहीं हो सकता; यह $3 \times n$ होना चाहिए।

हल

दिया गया है $A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $

$ A^{2}=A \cdot A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0+1 & 0+0 \\ 0+0 & 1+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) : यह विकल्प बताता है कि $\left( A^2 = A \right )$. हालांकि, एक आव्यूह के वर्ग के रूप में आमतौर पर विस्थापित आव्यूह नहीं मिलता है बर्न यह एक आइडेम्पोटेंट आव्यूह होता है अर्थात $\left( A^2 = A \right )$। इस मामले में, $( A )$ आइडेम्पोटेंट नहीं है, जैसा कि गणना द्वारा दिखाया गया है $\left( A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right) $।

• विकल्प (b) : यह विकल्प बताता है कि $\left( A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \right )$। यह गलत है क्योंकि $\left( A^2 \right )$ की गणना मैट्रिक्स गुणन के माध्यम से की जाती है और परिणामी मैट्रिक्स इस विकल्प के साथ मेल नहीं खाता। सही परिणाम एकताकार मैट्रिक्स $\left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)$ है।

• विकल्प (c) : यह विकल्प बताता है कि $\left( A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right )$। यह गलत है क्योंकि $\left( A^2 \right )$ की गणना मैट्रिक्स गुणन के माध्यम से की जाती है और परिणामी मैट्रिक्स इस विकल्प के साथ मेल नहीं खाता। सही परिणाम एकताकार मैट्रिक्स $\left( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \right)$ है।

हल

दिया गया है: $\quad A=\left[a _{i j} \right ] _{2 \times 2}$

मान लीजिए

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} a _{11} & a _{12} \\ \\ a _{21} & a _{22} \end{bmatrix} _{2 \times 2} \\ \\ & a _{11}=0 \quad\left[\because i=j \right ] \\ \\ & a _{12}=1 \quad\left[\because i \neq j \right ] \\ \\ & a _{21}=1 \quad\left[\because i \neq j \right ] \\ \\ & a _{22}=0 \quad\left[\because i=j \right ] \end{aligned} $

$\therefore \quad A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $

अब, $A^{2}=A \cdot A= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0+1 & 0+0 \\ 0+0 & 1+0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} =I$

इसलिए, सही विकल्प (a) है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि $\left( A^2 \neq A \right )$. विशेष रूप से, $\left( A^2 = I \right )$, जो एक तत्समक आव्यूह है, न कि मूल आव्यूह $( A )$ है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि $\left( A^2 \neq 0 \right )$. $\left( A^2 \right )$ का परिणाम तत्समक आव्यूह $\left( I \right )$ है, न कि शून्य आव्यूह।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि दिए गए विकल्पों में से सही विकल्प (a) है। इसलिए, “इनमें से कोई नहीं” लागू नहीं हो सकता।

हल

मान लीजिए

$ \begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} \\ \\ A^{\prime} & = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix} =A \end{aligned} $

$A^{\prime}=A$, इसलिए $A$ एक सममित आव्यूह है।

इसलिए, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) तत्समक आव्यूह : एक तत्समक आव्यूह एक वर्ग आव्यूह होता है जिसमें मुख्य विकर्ण के सभी तत्व एक होते हैं और अन्य सभी तत्व शून्य होते हैं। दिए गए आव्यूह के विकर्ण तत्व 1, 2 और 4 हैं, जो सभी एक नहीं हैं, इसलिए यह एक तत्समक आव्यूह नहीं है।

• विकल्प (c) विषम सममिति आव्यूह : एक विषम सममिति आव्यूह एक वर्ग आव्यूह होता है जो अपने परिवर्तित के नकारात्मक के बराबर होता है, अर्थात, $\left( A’ = -A \right )$. दिए गए आव्यूह के लिए $\left( A’ = A \right )$, जो $\left(-A\right )$ के बराबर नहीं है। अतः, यह एक विषम सममिति आव्यूह नहीं है।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं : यह विकल्प गलत है क्योंकि आव्यूह वास्तव में एक सममिति आव्यूह है, जैसा कि समाधान में दिखाया गया है।

समाधान

मान लीजिए

$ \begin{aligned} & A= \begin{bmatrix} 0 & -5 & 8 \\ 5 & 0 & 12 \\ -8 & -12 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & A^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & 5 & -8 \\ -5 & 0 & -12 \\ 8 & 12 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$ \Rightarrow \quad A^{\prime}=- \begin{bmatrix} 0 & -5 & 8 \\ 5 & 0 & 12 \\ -8 & -12 & 0 \end{bmatrix} =-A $

$A^{\prime}=-A$, अतः $A$ एक विषम सममिति आव्यूह है।

अतः, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) विकर्ण आव्यूह : एक विकर्ण आव्यूह एक वर्ग आव्यूह होता है जिसमें मुख्य विकर्ण के बाहर सभी तत्व शून्य होते हैं। दिए गए आव्यूह में मुख्य विकर्ण के बाहर शून्य तत्व नहीं हैं, अतः यह एक विकर्ण आव्यूह नहीं है।

• विकल्प (b) सममिति आव्यूह : एक सममिति आव्यूह एक वर्ग आव्यूह होता है जो अपने परिवर्तित के बराबर होता है, अर्थात, $\left( A = A^{\prime} \right )$. दिए गए आव्यूह में परिवर्तित $\left( A^{\prime} \right )$ अपने आव्यूह $\left( A \right )$ के बराबर नहीं है, अतः यह एक सममिति आव्यूह नहीं है।

• विकल्प (d) अदिश आव्यूह : एक अदिश आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह होता है जिसमें मुख्य विकर्ण पर सभी तत्व बराबर होते हैं। चूंकि दिए गए आव्यूह एक विकर्ण आव्यूह भी नहीं है, इसलिए यह एक अदिश आव्यूह भी नहीं है।

Solution

मैट्रिक्स $A$ का क्रम $m \times n$ है

मान लीजिए मैट्रिक्स $B$ का क्रम $k \times P$ है

मैट्रिक्स $B^{\prime}$ का क्रम $P \times k$ है

यदि $AB^{\prime}$ परिभाषित है तो $AB^{\prime}$ का क्रम $m \times k$ होगा यदि $n=P$

यदि $B^{\prime} A$ परिभाषित है तो $B^{\prime} A$ का क्रम $P \times n$ होगा जब $k=m$

अब, मैट्रिक्स $B^{\prime}$ का क्रम $P \times k$ है

$\therefore$ मैट्रिक्स $B$ का क्रम $k \times P = m \times n \quad\left[\because k=m, P=n \right ]$

अतः सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $m \times m$ : यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $B$ का क्रम $m \times m$ होता तो $B’$ का क्रम $m \times m$ होता। $AB’$ के परिभाषित होने के लिए, $A$ के स्तंभों की संख्या (जो $n$ है) $B’$ के पंक्तियों की संख्या (जो $m$ है) के बराबर होनी चाहिए, लेकिन यह तभी सत्य हो सकता है जब $m = n$। इसके अलावा, $B’A$ के परिभाषित होने के लिए, $B’$ के स्तंभों की संख्या (जो $m$ है) $A$ के पंक्तियों की संख्या (जो $m$ है) के बराबर होनी चाहिए, जो सत्य है, लेकिन यह $AB’$ के लिए शर्त को संतुष्ट नहीं करता।

• विकल्प (b) $n \times n$ : यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $B$ का क्रम $n \times n$ होता तो $B’$ का क्रम $n \times n$ होता। $AB’$ के परिभाषित होने के लिए, $A$ के स्तंभों की संख्या (जो $n$ है) $B’$ के पंक्तियों की संख्या (जो $n$ है) के बराबर होनी चाहिए, जो सत्य है। हालांकि, $B’A$ के परिभाषित होने के लिए, $B’$ के स्तंभों की संख्या (जो $n$ है) $A$ के पंक्तियों की संख्या (जो $m$ है) के बराबर होनी चाहिए, लेकिन यह तभी सत्य हो सकता है जब $m = n$।

• विकल्प (c) $n \times m$ : यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $B$ का क्रम $n \times m$ होता तो $B’$ का क्रम $m \times n$ होता। $AB’$ के परिभाषित होने के लिए, $A$ के स्तंभों की संख्या (जो $n$ है) $B’$ के पंक्तियों की संख्या (जो $m$ है) के बराबर होनी चाहिए, लेकिन यह तभी सत्य हो सकता है जब $m = n$। इसके अलावा, $B’A$ के परिभाषित होने के लिए, $B’$ के स्तंभों की संख्या (जो $n$ है) $A$ के पंक्तियों की संख्या (जो $m$ है) के बराबर होनी चाहिए, जो सत्य है, लेकिन यह $AB’$ के लिए शर्त को संतुष्ट नहीं करता।

हल

मान लीजिए

$ \begin{aligned} P & =\left(A B^{\prime}-BA^{\prime}\right ) \\ \\ P^{\prime} & =\left(A B^{\prime}-BA^{\prime}\right )^{\prime} \\ \\ & =\left(A B^{\prime}\right )^{\prime}-\left(BA^{\prime}\right )^{\prime} \\ \\ & =\left(B^{\prime}\right ) A^{\prime}-\left(A^{\prime}\right )^{\prime} B^{\prime} \quad\left[\because\left(AB\right )^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime} \right ] \\ \\ & =BA^{\prime}-AB^{\prime} \\ \\ & =-\left(A B^{\prime}-BA^{\prime}\right )=-P \\ \\ P^{\prime} & =-P, \text{ इसलिए यह एक विषम सममित आव्यूह है। } \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) शून्य आव्यूह : शून्य आव्यूह एक ऐसा आव्यूह है जिसमें सभी तत्व शून्य हों। व्यंजक $\left(A B^{\prime} - B A^{\prime}\right )$ आम तौर पर एक शून्य आव्यूह नहीं होगा जब तक कि $A$ और $B$ ऐसे चुने गए नहीं हों कि इस स्थिति में यह सत्य हो। सामान्य रूप से, यह व्यंजक एक शून्य आव्यूह नहीं देता।

• विकल्प (c) सममित आव्यूह : एक सममित आव्यूह एक ऐसा आव्यूह है जो अपने परिवर्तित रूप के बराबर होता है, अर्थात $\left(P = P^{\prime}\right )$। हालांकि, दिए गए व्यंजक $\left(P = A B^{\prime} - B A^{\prime}\right )$ के लिए हम दिखा चुके हैं कि $\left(P^{\prime} = -P\right )$, जिसका अर्थ है कि $P$ विषम सममित आव्यूह है, न कि सममित आव्यूह। इसलिए, यह एक सममित आव्यूह नहीं हो सकता।

• विकल्प (d) एकांक आव्यूह : एकांक आव्यूह (या एकक आव्यूह) एक वर्ग आव्यूह होता है जिसमें विकर्ण पर एक और अन्य सभी स्थानों पर शून्य होते हैं। व्यंजक $(A B^{\prime} - B A^{\prime})$ आम तौर पर ऐसा आव्यूह नहीं देता। इस व्यंजक का परिणाम आव्यूह $A$ और $B$ के विशिष्ट प्रविष्टियों पर निर्भर करता है और आम तौर पर एक एकांक आव्यूह नहीं बनता।

हल

$ \begin{aligned} \left(A-I\right )^{3}+\left(A+I\right )^{3}-7 A & =A^{3}-I^{3}-3 A^{2} I+3 A I^{2}+A^{3}+I^{3}+3 A^{2} I +3 AI^{2}-7 A \\ \\ & = 2 A^{3}+6 AI-7 A \\ \\ & = 2 A \cdot A^{2}+6 AI-7 A \\ \\ & = 2 AI+6 AI-7 A \\ \\ & = 8 AI-7 A=8 A-7 A \\ \\ & = A \end{aligned} $

$ \left[A^{2}=I \right ] $

अतः, सही विकल्प (a) है।

• विकल्प (b) $I-A$ : यह गलत है क्योंकि व्यंजक $\left(A-I\right )^{3}+\left(A+I\right )^{3}-7 A$ सरलीकृत करने पर $A$ प्राप्त होता है, न कि $I-A$। विस्तारित सरलीकरण दिखाता है कि $I$ के संबंधित पद शून्य हो जाते हैं और शेष पद $A$ के रूप में सरलीकृत हो जाते हैं।

• विकल्प (c) $I+A$ : यह गलत है क्योंकि व्यंजक $\left(A-I\right )^{3}+\left(A+I\right )^{3}-7 A$ सरलीकृत करने पर $A$ प्राप्त होता है, न कि $I+A$। विस्तारित सरलीकरण दिखाता है कि $I$ के संबंधित पद शून्य हो जाते हैं और शेष पद $A$ के रूप में सरलीकृत हो जाते हैं।

• विकल्प (d) $3 A$ : यह गलत है क्योंकि व्यंजक $\left(A-I\right )^{3}+\left(A+I\right )^{3}-7 A$ सरलीकृत करने पर $A$ प्राप्त होता है, न कि $3A$। विस्तारित सरलीकरण दिखाता है कि $I$ के संबंधित पद शून्य हो जाते हैं और शेष पद $A$ के रूप में सरलीकृत हो जाते हैं।

हल

हम जानते हैं कि किन्हीं दो मैट्रिक्स $A$ और $B$ के लिए हमें $AB=BA, AB \neq BA$ और $AB=0$ हो सकता है, लेकिन यह हमेशा सत्य नहीं होता।

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $AB=BA : यह गलत है क्योंकि दो मैट्रिक्स के गुणन के लिए यह हमेशा सत्य नहीं होता। सामान्यतः मैट्रिक्स गुणन कम्यूटेटिव नहीं होता, अर्थात् $AB$ के लिए $BA$ के बराबर नहीं होता हर मैट्रिक्स $A$ और $B$ के लिए।

• विकल्प (b) $AB \neq BA : यह गलत है क्योंकि कुछ मामलों में $AB$ $BA$ के बराबर हो सकता है। यह सत्य है कि मैट्रिक्स गुणन सामान्यतः अकम्यूटेटिव होता है, लेकिन कुछ विशिष्ट मैट्रिक्स युग्मों के लिए $AB = BA$ हो सकता है।

• विकल्प (c) $AB=O :$ यह गलत है क्योंकि दो मैट्रिक्स के गुणन के शून्य मैट्रिक्स होना हमेशा सत्य नहीं होता। यहां तक कि दो गैर-शून्य मैट्रिक्स के गुणन के शून्य मैट्रिक्स हो सकता है, लेकिन यह सभी मैट्रिक्स के लिए एक सामान्य नियम नहीं है।

हल

दिया गया है: $ \begin{bmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} $

$C_2 \to C_2-2 C_1$ का उपयोग करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{bmatrix} 1 & -5 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -5 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} $

अतः सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि समीकरण के दाहिने पक्ष के मैट्रिक्स के दूसरे स्तंभ के परिणाम के साथ मेल नहीं खाता है। विशेष रूप से, दाहिने पक्ष के दूसरे मैट्रिक्स के दूसरे स्तंभ के लिए $\left(\begin{bmatrix} -5 \\ 0 \end{bmatrix} \right )$ होना चाहिए बल्कि $\left(\begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} \right )$ है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि समीकरण के दाईं ओर दिए गए मैट्रिक्स के दूसरे स्तम्भ के परिणाम के साथ मैट्रिक्स मेल नहीं खाता है। विशेष रूप से, दाईं ओर दिए गए दूसरे मैट्रिक्स के दूसरे स्तम्भ को $\left( \begin{bmatrix} -5 \\ 0 \end{bmatrix} \right )$ होना चाहिए जबकि यहां इसे $\left( \begin{bmatrix} -5 \\ 2 \end{bmatrix} \right )$ दिया गया है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि समीकरण के बाईं ओर दिए गए मैट्रिक्स के दूसरे पंक्ति के परिणाम के साथ मैट्रिक्स मेल नहीं खाता है। विशेष रूप से, बाईं ओर दिए गए मैट्रिक्स के दूसरे पंक्ति को $ \left( \begin{bmatrix} 2 & 0 \end{bmatrix} \right )$ होना चाहिए जबकि यहां इसे $ \left( \begin{bmatrix} 2 & 4 \end{bmatrix} \right )$ दिया गया है।

हल

हमें, $\quad \begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 3 & 3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $

मूल श्रेणी परिवर्तन $R_1 \to R_1-3 R_2$ का उपयोग करते हुए,

$ \begin{bmatrix}

-5 & -7 \\ 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -7 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} $

इसलिए, सही विकल्प (a) है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि मैट्रिक्स गुणन $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & -3 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -5 & -7 \\ 3 & 3\end{bmatrix}$ के रूप में नहीं होता। सही गुणन एक अलग मैट्रिक्स देता है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि मैट्रिक्स $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -7\end{bmatrix}$ मूल मैट्रिक्स पर तत्क्रमी पंक्ति संचालन $R_1 \to R_1-3 R_2$ के लागू होने के बाद आवश्यक रूप से मेल नहीं खाता। इसके अलावा, मैट्रिक्स गुणन $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 1 & -7\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -5 & -7 \\ 3 & 3\end{bmatrix}$ के रूप में नहीं होता।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि मैट्रिक्स $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -5 & -7\end{bmatrix}$ मूल मैट्रिक्स पर तत्क्रमी पंक्ति संचालन $R_1 \to R_1-3 R_2$ के लागू होने के बाद प्राप्त रिजल्ट के रूप में मेल नहीं खाता। इसके अलावा, मैट्रिक्स गुणन $\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ -3 & -3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ -5 & -7\end{bmatrix}$ के रूप में नहीं होता।

हल

शून्य मैट्रिक्स अर्थात $ \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix} $ या $ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} $ एक विमें विमें सममित और विमें विमें असममित मैट्रिक्स होती है।

हल

मान लीजिए, $A$ और $B$ कोई भी दो मैट्रिक्स हैं

$\therefore\quad $ विमें विमें असममित मैट्रिक्स के लिए

$ \begin{aligned} & A=-A^{\prime} \quad …\text{(i)}\\ & B=-B^{\prime} \quad …\text{(ii)} \end{aligned} $

(1) और (2) को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

$ \Rightarrow \quad \begin{aligned}

& A+B=-A^{\prime}-B^{\prime} \\ & A+B=-\left(A^{\prime}+B^{\prime}\right ), \text{ इसलिए } A+B \text{ एक विषम सममिति आव्यूह है } \\ & \text{ आव्यूह। } \end{aligned} $

इसलिए, दो विषम सममिति आव्यूहों के योग हमेशा एक विषम सममिति आव्यूह होता है।

हल

मान लीजिए A एक आव्यूह है

$ \therefore \quad -A=-1 . A $

इसलिए, एक आव्यूह के ऋणात्मक को प्राप्त करने के लिए इसे -1 से गुणा करते हैं।

हल

मान लीजिए $A$ कोई भी आव्यूह है

$ \therefore \quad 0 \cdot A=A \cdot 0=0 $

इसलिए, कोई भी आव्यूह के सदिश $\mathbf{0}$ से गुणा करने पर शून्य आव्यूह प्राप्त होता है।

हल

एक आव्यूह जो वर्ग आव्यूह नहीं है, एक आयताकार आव्यूह कहलाता है।

हल

आव्यूह गुणन जोड़ के सापेक्ष वितरणीय होता है। मान लीजिए A, B और $C$ कोई भी आव्यूह हैं।

इसलिए, (i) $A(B+C)=AB+AC$

(ii) $(A+B) C=AC+BC$

हल

मान लीजिए $A$ एक सममिति आव्यूह है

$ \therefore \quad A^{\prime}=A $

$ \left(A^{3}\right )^{\prime}=\left(A^{\prime}\right )^{3}=A^{3} \qquad\left[\because\left(A^{\prime}\right )^{k}=\left(A^{k}\right )^{\prime} \right ] $

इसलिए, यदि $A$ एक सममिति आव्यूह है, तो $A^{3}$ एक सममिति आव्यूह होता है।

& =A^{2} \end{aligned} $

इसलिए, $A^{2}$ एक सममिति आव्यूह है।

Solution

(i) $(AB)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$

(ii) $(kA)^{\prime}=k \cdot A^{\prime}$

(iii) $\left[k\left(A-B\right ) \right ]^{\prime}=k\left(A-B\right )^{\prime}=k(A^{\prime}-B^{\prime})$

Solution

यदि $A$ एक विषम सममिति आव्यूह है

$ \begin{aligned} \therefore \quad A^{\prime} & =-A \\ \left(k A\right )^{\prime} & =k A^{\prime}=k\left(-A\right )=-k A \end{aligned} $

इसलिए, $k A$ एक विषम सममिति आव्यूह है।

Solution

(i) मान लीजिए

$ \begin{aligned} P & =(AB-BA) \\ \\ P^{\prime} & =(AB-BA)^{\prime} \\ \\ & =(AB )^{\prime}-(BA)^{\prime} \\ \\ & =B^{\prime} A^{\prime}-A^{\prime} B^{\prime} & \\ \\ & =BA-AB \qquad\left[\because(AB)^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime} \right ] \\ \\ & =-(AB-BA) \qquad {\left[\because A^{\prime}=A \text{ and } B^{\prime}=B \right ]} \\ \\ & =-P \end{aligned} $

इसलिए, $(A B-B A)$ एक विषम सममिति आव्यूह है।

(ii) मान लीजिए

$ \begin{aligned} Q & =(B A-2 A B) \\ \\ Q^{\prime} & =(B A-2 A B)^{\prime} \\ \\ & =(B A )^{\prime}-(2 A B)^{\prime} \\ \\ & =A^{\prime} B^{\prime}-2(A B )^{\prime} \quad\left[\because\left(k A\right )^{\prime}=k A^{\prime} \right ] \\ \\ & =A^{\prime} B^{\prime}-2 B^{\prime} A^{\prime} \\ \\ & =A B-2 B A \quad\left[\because A^{\prime}=A \text{ and } B^{\prime}=B \right ] \\ \\ & =-(2 B A-A B) \end{aligned} $

इसलिए, $(B A-2 A B)$ एक सममिति आव्यूह नहीं और एक विषम सममिति आव्यूह भी नहीं है।

हल

यदि $A$ एक सममित आव्यूह है

$ \therefore \quad A^{\prime}=A $

$\text{माना},$

$ \begin{aligned} P & =B^{\prime} AB \\ \\ P^{\prime} & =(B^{\prime} AB)^{\prime} \\ \\ & =B^{\prime} A^{\prime}(B^{\prime})^{\prime} & \\ \\ & =B^{\prime} AB \quad\left[\because\left(AB\right )^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime} \right ] \qquad {\left[\because A^{\prime}=A \text{ और }\left(B^{\prime}\right )^{\prime}=B \right ]} \end{aligned} $

$ \therefore \quad P^{\prime}=P $

इसलिए, $P$ एक सममित आव्यूह है।

अतः, $B^{\prime} AB$ एक सममित आव्यूह है।

हल

दिया गया है

$A^{\prime}=A$

$\text{और}$

$B^{\prime}=B$

$\text{माना},$

$ \begin{aligned} P & =AB \\ \\ P^{\prime} & =(AB)^{\prime} \\ \\ & =B^{\prime} A^{\prime} \\ \\ P^{\prime} & =BA \\ \\ & =P \end{aligned} $

$ \left[\because \quad A^{\prime}=A \text{ और } B^{\prime}=B \right ] $

अतः, $\quad AB$ सममित होगा यदि और केवल यदि $\mathbf{A B}=\mathbf{B A}$।

हल

एक या एक से अधिक पंक्ति संचालन के द्वारा $A^{-1}$ की खोज करते समय एक या एक से अधिक पंक्तियों में सभी शून्य प्राप्त करते हैं, तो $A^{-1}$ नहीं मौजूद है।

हल

गलत।

एक आव्यूह एक तत्वों, संख्याओं या फलनों की एक सारणी होती है जिसमें पंक्तियाँ और स्तंभ होते हैं।

हल

गलत।

समान क्रम वाले आव्यूह केवल जोड़े जा सकते हैं।

हल

गलत।

दो मैट्रिक्स को बराबर कहा जाता है यदि उनके संगत तत्व समान हों।

हल

सत्य।

जोड़ और घटाव के लिए, दोनों मैट्रिक्स के क्रम समान होना चाहिए।

हल

सत्य।

यदि $A, B$ और $C$ जोड़ के लिए मैट्रिक्स हों तो

$ \begin{aligned} A+\left(B+C\right ) & =\left(A+B\right )+C \quad \text{ (एसोसिएटिव) } \\ \\ A+B & =B+A \quad \text{(कम्युटेटिव) } \end{aligned} $

हल

गलत।

कारण $A B \neq B A$ यदि $A B$ और $B A$ परिभाषित हों।

हल

गलत।

कारण, एकता मैट्रिक्स में मुख्य विकर्ण के सभी तत्व एक होते हैं बाकी शून्य होते हैं।

उदाहरण के लिए, $\quad A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =I_3$

हल

सत्य।

यदि $A$ और $B$ वर्ग मैट्रिक्स हों तो उनका जोड़ कम्युटेटिव होता है अर्थात $A+B=B+A$ होता है।

हल

गलत।

कारण एक ही क्रम वाली कोई भी दो मैट्रिक्स के घटाव कम्युटेटिव नहीं होता अर्थात $A-B \neq B-A$ होता है।

हल

गलत।

कारण कोई भी दो गैर-शून्य मैट्रिक्स $A$ और $B$ के लिए $AB=0$ प्राप्त हो सकता है।

हल

गलत।

स्तम्भ आव्यूह का आवर्तन एक पंक्ति आव्यूह होता है।

उदाहरण के लिए, $\quad A= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5\end{bmatrix} _{3 \times 1} \quad \therefore\quad A^{\prime}= \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \end{bmatrix} _{1 \times 3}$

हल

गलत।

दो वर्ग आव्यूह $A$ और $B$ के लिए $AB=BA$ हमेशा सत्य नहीं होता।

हल

सत्य।

मान लीजिए $A, B$ और $C$ तीन आव्यूह हैं जो एक ही कोटि के हैं।

दिया गया है कि $A^{\prime}=A, B^{\prime}=B$ और $C^{\prime}=C$

$\text{माना},$

$ \begin{aligned} P & =A+B+C \\ \\ P^{\prime} & =\left(A+B+C\right )^{\prime} \\ \\ & =A^{\prime}+B^{\prime}+C^{\prime} \\ \\ & =A+B+C \\ \\ & =P \end{aligned} $

$ \Rightarrow \quad P^{\prime}=\left(A+B+C\right )^{\prime} $

इसलिए, $A+B+C$ एक सममित आव्यूह भी होता है।

हल

गलत।

क्योंकि $\left(A B\right )^{\prime}=B^{\prime} A^{\prime}$ होता है।

हल

सत्य।

मान लीजिए $A=\left[a _{i j} \right ] _{m \times n}$ और $B=\left[b _{i j} \right ] _{p \times q}$

$AB$ तब परिभाषित होता है जब $n=P$

$\therefore \quad$ $AB$ की कोटि $m \times q$ होती है

$\Rightarrow \quad$ $\left(AB\right )^{\prime}$ की कोटि $q \times m$ होती है

$B^{\prime}$ की कोटि $q \times p$ होती है और $A^{\prime}$ की कोटि $n \times m$ होती है

$\therefore \quad B^{\prime} A^{\prime}$ तब परिभाषित होता है जब $P=n$

और $B^{\prime} A^{\prime}$ का क्रम $q \times m$ होता है

इसलिए, $\left(A B\right )^{\prime}$ का क्रम = $B^{\prime} A^{\prime}$ का क्रम

अर्थात, $q \times m$.

Solution

गलत।

$\text{माना},\quad A= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\
0 & 0\end{bmatrix} , B= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\
2 & 0\end{bmatrix} $ और $C= \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $

$ \begin{bmatrix} \therefore \quad AB = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ AC = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} \end{bmatrix} $

यहाँ $A B=A C=0$ लेकिन $B \neq C$ है।

Solution

सही।

$\text{माना},$

$ \begin{aligned} P & =AA^{\prime} \\ \\ P^{\prime} & =\left(AA^{\prime}\right )^{\prime} \\ \\ & =\left(A^{\prime}\right )^{\prime} \cdot A^{\prime} \\ \\ & =AA^{\prime} \\ \\ & =P \end{aligned} $

इसलिए, $P$ एक सममित आव्यूह है।

इसलिए, $\quad AA^{\prime}$ हमेशा एक सममित आव्यूह होता है।

Solution

गलत। $A= \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2\end{bmatrix} $ और $B= \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} $

क्योंकि $A B$ परिभाषित है

$ \begin{aligned} \therefore \quad AB & = \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \\ \\

& = \begin{bmatrix} 4+12-2 & 6+15-1 \\ 2+16+4 & 3+20+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 20 \\ 22 & 25 \end{bmatrix} \end{aligned} $

BA भी परिभाषित है।

$ \begin{aligned} \therefore \quad BA & = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 1 & 4 & 2 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 4+3 & 6+12 & -2+6 \\ 8+5 & 12+20 & -4+10 \\ 4+1 & 6+4 & -2+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 18 & 4 \\ 13 & 32 & 6 \\ 5 & 10 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए $AB \neq BA$

हल

सत्य।

$ \begin{aligned} \left(A^{2}\right )^{\prime} & =\left(A^{\prime}\right )^{2} \\ \\ & =\left[-A \right ]^{2} \qquad {\left[\because A^{\prime}=-A \right ]} \\ \\ & =A^{2} \end{aligned} $

इसलिए, $A^{2}$ एक सममिति आव्यूह है।

हल

सत्य।

यदि $A$ और $B$ एक ही कोटि के उल्टा आव्यूह हैं

$\therefore\quad $ $(A B )^{-1}$ $=(B A)^{-1}$ $\qquad [\because A B=B A]$

लेकिन $\quad (A B)^{-1}$ $=A^{-1} B^{-1}$

$\therefore\quad $ $(B A)^{-1}$ $=B^{-1} A^{-1}$

इसलिए, $\quad A^{-1} B^{-1}$ $=B^{-1} A^{-1}$

$\therefore A$ और $B$ गुणन के संबंध में संवृत गुण को संतुष्ट करते हैं।