हल

दिया गया है: $Z=11 x+7 y$ और संरेखण $2 x+y \leq 6, x \leq 2$,

$x \geq 0, y \geq 0$

मान लीजिए $2 x+y=6$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 3 \\ \hline y & 6 & 0 \\ \hline \end{array}$

छायांकित क्षेत्र OABC वह उपयोग्य क्षेत्र है जो संरेखण द्वारा निर्धारित किया गया है

$2 x+y \leq 6, x \leq 2, x \geq 0, y \geq 0$

उपयोग्य क्षेत्र सीमित है।

इसलिए, अधिकतम मान उपयोग्य क्षेत्र के कोने के बिंदु पर होगा।

कोने बिंदु $ (0,0),(2,0),(2,2) $ और $ (0,6) $ हैं।

अब, $Z$ के मान का मूल्यांकन करते हैं, हमें प्राप्त होता है

इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान 42 है जो $ (0,6) $ पर है।

हल

दिया गया है: $Z=3 x+4 y$ और संरेखण $x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$

मान लीजिए

$ x+y=1 $

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 1 & 0 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$

छायांकित क्षेत्र $OAB$ वह उपयोग्य क्षेत्र है जो $x+y \leq 1, x \geq 0, y \geq 0$ द्वारा निर्धारित किया गया है।

उपयोग्य क्षेत्र सीमित है। इसलिए, अधिकतम मान उपयोग्य क्षेत्र के कोने बिंदुओं $O(0,0)$, $A(1,0), B(0,1)$ पर होगा।

अब, $Z$ के मान का मूल्यांकन करते हैं, हमें प्राप्त होता है

अतः, $Z$ का अधिकतम मान 4 है, जो $(0,1)$ पर है।

हल

छायांकित क्षेत्र संरेखण $x \leq 3, y \leq 2$, $x \geq 0, y \geq 0$ द्वारा निर्धारित योग्य क्षेत्र है।

योग्य क्षेत्र चार कोनों $O(0,0), A(3,0), B(3,2)$ और

$C(0,2)$ द्वारा बंद है।

अतः, $Z$ का अधिकतम मान किसी भी कोने पर हो सकता है।

मान लीजिए $Z$ का मान।

अतः, फलन $Z$ का अधिकतम मान 47 है, जो $(3,2)$ पर है।

हल

दिया गया है: $Z=13 x-15 y$ और संरेखण $x+y \leq 7,2 x-3 y+6 \geq 0, x \geq 0, y \geq 0$

मान लीजिए $x+y=7$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 7 \\ \hline y & 7 & 0 \\ \hline \end{array}$

मान लीजिए $2 x-3 y+6=0$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & -3 \\ \hline y & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$

छायांकित क्षेत्र संरेखण $x+y \leq 7,2 x-3 y+6 \geq 0, x \geq 0, y \geq 0$ द्वारा निर्धारित है

संभाव्य क्षेत्र चार कोनों से घिरा हुआ है

$O(0,0), A(7,0), B(3,4), C(0,2)$

इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान किसी भी कोने पर हो सकता है।

हम $Z$ के मान का मूल्यांकन करते हैं।

इसलिए, $Z$ का न्यूनतम मान -30, $(0,2)$ पर है।

हल

जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, OAED संभाव्य क्षेत्र है।

$\therefore 2 x+y=104$

A पर, $y=0 $

$\Rightarrow x=52$

जो कोने बिंदु $A=(52,0)$ देता है

$\therefore x+2 y=76$

D पर, $x=0 \Rightarrow y=38$

जो कोने बिंदु $D=(0,38)$ देता है

अब दिए गए समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \quad x + 2y = 76 \ & \quad 2x + y = 104 \ & \quad 2x + 4y = 152 \quad \text{…….(1)} \ & \quad 2x + y = 104 \quad \text{…….(2)} \ \end{aligned} $

(1) और (2) से, हम प्राप्त करते हैं

$3y= 48 \Rightarrow y=16$

(2) में $y=16$ रखने पर

$2x+16=104$

$\Rightarrow \quad x =44$

इसलिए, कोने बिंदु $E=(44,16)$ है

संभाव्य क्षेत्र चार कोनों से घिरा हुआ है।

$O(0,0),A(52,0),E(44,16),D(0,38)$

इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान किसी भी कोने पर हो सकता है।

$Z$ के अधिकतम मान का मूल्यांकन करते हैं, हम प्राप्त करते हैं

इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान 196, $(44,16)$ पर है।

हल

$OABC$ एक सीमित संभाव्य क्षेत्र है जिसके कोने बिंदु $O(0,0), A(7,0), B(3,4)$ और $C(0,2)$ हैं।

इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान किसी भी कोने पर हो सकता है।

$Z$ के मान का मूल्यांकन करने पर, हमें प्राप्त होता है

इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान $(3,4)$ पर 43 है।

हल

दिए गए चित्र के अनुसार, ABCA संभाव्य क्षेत्र है। कोने बिंदु $C(0,3), B(0,5)$ और $A$ के लिए हमें समीकरणों को हल करना होगा

$ \text{ और } \quad \begin{aligned} x+3 y & =9 \\ x+y & =5 \end{aligned} $

जो $x=3, y=2$ देता है

अर्थात, $A(3,2)$

संभाव्य क्षेत्र चार कोनों से घिरा हुआ है

$ A(3,2), B(0,5), C(0,3)$

इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान किसी भी कोने पर हो सकता है

$Z$ के मान का मूल्यांकन करने पर, हमें प्राप्त होता है

इसलिए, $Z$ का न्यूनतम मान $(0,3)$ पर 21 है।

हल

$Z$ के मान के मूल्यांकन तालिका के अनुसार, $Z$ का अधिकतम मान $(3,2)$ पर 47 है।

हल

दिए गए चित्र के अनुसार, $A B C$ संभाव्य क्षेत्र है जो खुला असीमित है।

यहाँ हमारे पास है

$$ \begin{align*} x+y & =3 \tag{i}\\ \text{ और } x+2 y & =4 \tag{ii}\\ Z & =4 x+y \end{align*} $$

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$x=2$ और $y=1$

इसलिए, कोने बिंदु $A(4,0), B(2,1)$ और $C(0,3)$ हैं

हम $Z$ के मूल्य का मूल्यांकन करते हैं

अब, $Z$ का न्यूनतम मूल्य 3 है $(0,3)$ पर लेकिन क्योंकि संभाव्य क्षेत्र असीमित है, इसलिए यह न्यूनतम मूल्य हो सकता है या नहीं।

इसलिए, ऐसी स्थिति के लिए हम $4 x+y<3$ के ग्राफ को खींचते हैं

यदि खुले अर्ध-तल और संभाव्य क्षेत्र के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु हो तो न्यूनतम मूल्य नहीं होता।

यदि खुले अर्ध-तल और संभाव्य क्षेत्र के बीच कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं हो तो न्यूनतम मूल्य कोने बिंदुओं से आता है।

ग्राफ से हम निष्कर्ष निकालते हैं कि संभाव्य क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

अतः, $Z$ का न्यूनतम मूल्य 3 है $(0,3)$ पर।

हल

यहाँ कोने के बिंदु निम्नलिखित हैं:

$ R(\frac{7}{2}, \frac{3}{4}), Q(\frac{3}{2}, \frac{15}{4}), P(\frac{3}{13}, \frac{24}{13}) \text{ और } S(\frac{18}{7}, \frac{2}{7}) \text{। } $

संभाव्य क्षेत्र सीमित है

इसलिए, $Z$ के अधिकतम और न्यूनतम मान कोई भी कोने पर हो सकते हैं।

अब, संभाव्य क्षेत्र RQPS के लिए $Z$ के मान का मूल्यांकन करते हैं।

इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान 9 $(\frac{3}{2}, \frac{15}{4})$ पर है और $Z$ का न्यूनतम मान $\frac{22}{7}$ $(\frac{18}{7}, \frac{2}{7})$ पर है।

हल

मान लीजिए $x$ इकाई प्रकार A और $y$ इकाई प्रकार B विद्युत परिपथ निर्माता द्वारा उत्पादित होते हैं।

दिए गए जानकारी के आधार पर, हम निम्नलिखित तालिका बनाते हैं:

अब, हमें रुपए में कुल लाभ $Z=50 x+60 y$ को अधिकतम करना है जो निम्नलिखित संरक्षण के अधीन है

$20 x+10 y \leq 200 \Rightarrow 2 x+y \leq 20$ …(i);

$10 x+20 y \leq 120 \Rightarrow x+2 y \leq 12$…(ii)

$10 x+30 y \leq 150 \Rightarrow x+3 y \leq 15$ …(iii);

$ x \geq 0, y \geq 0$…(iv)

अतः, आवश्यक LPP है

$Z=50 x+60 y$ को अधिकतम करें

जबकि सीमा शर्तें हैं

$2 x+y \leq 20 ; $

$ x+2 y \leq 12$

$ x+3 y \leq 15 $

और $x \geq 0, y \geq 0$

हल

मान लीजिए $x$ और $y$ क्रमशः बड़े और छोटे वैन की संख्या है। दी गई जानकारी के आधार पर, हम निम्नलिखित संबंध बनाते हैं;

अब न्यूनतम लागत के लक्ष्य फ़ंक्शन है

$ Z=400 x+200 y $

सीमा शर्तें हैं;

$$ \begin{equation*} 200 x+80 y \geq 1200 \Rightarrow 5 x+2 y \geq 30 \tag{i} \end{equation*} $$

$$ \begin{align*} 400 x+200 y & \leq 3000 \Rightarrow 2 x+y \leq 15 \tag{ii}\\ x & \leq y \tag{iii} \end{align*} $$

और $\quad x \geq 0, y \geq 0$ (अपरिवर्तनीय शर्तें)

अतः, आवश्यक LPP है न्यूनतम करें $Z=400 x+200 y,$ जबकि:

$5 x+2 y \geq 30;$

$2 x+y \leq 15;$

$ x \leq y$

और $x \geq 0, y \geq 0$।

हल

मान लीजिए कंपनी $x$ बॉक्स टाइप A स्क्रू और $y$ बॉक्स टाइप B स्क्रू बनाती है।

दिए गए जानकारी के आधार पर, हम निम्नलिखित तालिका बना सकते हैं।

उपरोक्त तालिका में जानकारी के आधार पर, अधिकतम लाभ के लक्ष्य फ़ंक्शन $Z=100 x+170 y$ है।

संकर्षण के अधीन

$$ \begin{align*} 2 x+8 y & \leq 3600 \Rightarrow x+4 y \leq 1800 \tag{i}\\ 3 x+2 y & \leq 3600 \tag{ii}\\ x & \geq 0, y \geq 0 \end{align*} $$

इसलिए, आवश्यक एलपीपी निम्नलिखित है:

अधिकतम करें $\quad Z=100 x+170 y$ जबकि:

$x+4 y \leq 1800;$

$3 x+2 y \leq 3600;$

और $ x \geq 0, y \geq 0$।

हल

मान लीजिए $x$ और $y$ क्रमशः प्रकार A और प्रकार B के स्वेटर की संख्या है।

दिए गए जानकारी के आधार पर, हम निम्नलिखित संकर्षण लेते हैं।

$360 x+120 y \leq 72000 \Rightarrow 3 x+y \leq 600$

$x+y \leq 300 \quad \ldots$ (ii); $x+100 \geq y \Rightarrow y \leq x+100$

लाभ $\quad(Z)=200 x+120 y$

इसलिए, लाभ के अधिकतमीकरण के लिए आवश्यक LPP है:

अधिकतम करें $Z=200 x+120 y$ , जबकि:

$3 x+y \leq 600;$

$ x+y \leq 300;$

$ y \leq x+100;$

और $ x \geq 0, y \geq 0$.

हल

मान लीजिए आदमी 50 $km / hr$ की गति से $x km$ तय करता है और 80 $km / hr$ की गति से $y km$ तय करता है।

इसलिए, पेट्रोल की लागत $=2 x+3 y$

आदमी को पेट्रोल पर ₹ 120 के अधिकतम खर्च करना है

$\therefore \quad 2 x+3 y \leq 120$

अब, आदमी के पास केवल $1 घंटा$ समय है

$$ \begin{gather*} \therefore \quad \frac{x}{50}+\frac{y}{80} \leq 1 \Rightarrow 8 x+5 y \leq 400 \tag{ii}\\ x \geq 0, y \geq 0 \end{gather*} $$

अधिकतम दूरी $Z=x+y$ होगी।

इसलिए, अधिकतम दूरी तय करने के लिए आवश्यक LPP है

अधिकतम करें $Z=x+y$, जबकि संरचनाओं के अधीन

$2 x+3 y \leq 120;$

$8 x+5 y \leq 400;$

और $ x \geq 0, y \geq 0$.

हल

प्रश्न संख्या 11 के हल के अनुसार, हम अधिकतम करें $Z=50 x+60 y$ जबकि संरचनाओं के अधीन $2 x+y \leq 20 \ldots(i) ; x+2 y \leq 12 \ldots$… (ii); $x+3 y \leq 15 \ldots(i i i) ; x \geq 0, y \geq 0 \ldots$… (iv)

मान लीजिए ऊपरी बयानों के लिए एक तालिका बनाएं

(i) के लिए तालिका

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 10 \\ \hline y & 20 & 0 \\ \hline \end{array}$

(ii) के लिए तालिका

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 12 \\ \hline y & 6 & 0 \\ \hline \end{array}$

तालिका (ii) के लिए

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 15 \\ \hline y & 5 & 0 \\ \hline \end{array}$

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$x=\frac{28}{3}, y=\frac{4}{3} $

$\therefore B(\frac{28}{3}, \frac{4}{3})$ शीर्ष बिंदु है

समीकरण (ii) और (iii) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$x=6, y=3 $

$ \therefore C(6,3)$ शीर्ष बिंदु है

समीकरण (i) और (iii) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$x=9, y=2 \quad$ (संभाव्य क्षेत्र में शामिल नहीं है)

यहाँ, $OABCD$ संभाव्य क्षेत्र है।

अतः, शीर्ष बिंदु $O(0,0), A(10,0), B(\frac{28}{3}, \frac{4}{3}), C(6,3)$

और $D(0,5)$ हैं।

संभाव्य क्षेत्र $O(0,0), A(10,0), B(\frac{28}{3}, \frac{4}{3}), C(6,3)$

और $D(0,5)$ द्वारा सीमित है।

अतः, अधिकतम मान कोई भी शीर्ष बिंदु पर हो सकता है।

मान लीजिए $Z$ के मान की गणना करें

चूंकि, उत्पादन के लिए दो प्रकार के सर्किट $A$ और $B$ के उत्पादन की आवश्यकता है, इसलिए भाग, ट्रांजिस्टर और कैपेसिटर के घर्षण के बारे में नहीं कहा जा सकता है।

अतः, निर्माता के अधिकतम लाभ ₹ 480 है, जो $(6,3)$ पर है। प्रकार $A=6$ और प्रकार $B=3$ है।

हल

प्रश्न 12 के हल के अनुसार, हमें $Z=400 x+200 y$ दिया गया है, जो निम्नलिखित संरक्षण के अधीन है

$5 x+2 y \geq 30$ …(i)

$2 x+y \leq 15$…(ii)

$x \leq y, x \geq 0, y \geq 0$

$x-y \leq 0$ …(iii)

$2 x+y \leq 15$

मान लीजिए $5 x+2 y=30$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 15 & 0 \\

\hline \end{array}$

मान लीजिए $2 x+y=15$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 7.5 \\ \hline y & 15 & 0 \\ \hline \end{array}$

मान लीजिए $x-y=0$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 1 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$

समीकरण (i) और (iii) को हल करने पर हमें प्राप्त होता है; $x=\frac{30}{7}$ और $y=\frac{30}{7}$

और समीकरण (ii) और (iii) को हल करने पर हमें प्राप्त होता है, $x=5$ और $y=5$

यहाँ, $A B C$ छायांकित असंभव क्षेत्र है जिसके कोने बिंदु $A(\frac{30}{7}, \frac{30}{7}), B(5,5)$ और $C(0,15)$ हैं

मूल्य के मान का मूल्यांकन करते हुए, हमें प्राप्त होता है

अतः, आवश्यक न्यूनतम लागत ₹ 2571.4 है, जो $(\frac{30}{7}, \frac{30}{7})$ पर है।

हल

प्रश्न 13 के हल के अनुसार, हमें निम्नलिखित मिलता है:

अधिकतम करें $\quad Z=100 x+170 y$ जबकि:

$x+4 y \leq 1800;$ ….(i)

$3 x+2 y \leq 3600;$ ….(ii)

और $ x \geq 0, y \geq 0$।

मान लीजिए $3 x+2 y=3600$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 1200 \\ \hline y & 1800 & 0 \\ \hline \end{array}$

मान लीजिए $x+4 y=1800$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 1800 \\ \hline y & 450 & 0 \\ \hline \end{array}$

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हमें प्राप्त होता है $x=1080$ और $y=180$

$OABC$ असंभव क्षेत्र है जिसके कोने बिंदु $O(0,0)$, $A(1200,0), B(1080,180), C(0,450)$ हैं।

हम $Z$ का मान ज्ञात करें।

अतः, $Z$ का अधिकतम मान 138600 है, जो $(1080,180)$ पर है।

हल

प्रश्न 14 के हल के संदर्भ में, हम निम्नलिखित अधिकतमीकरण करते हैं:

अधिकतम करें $\quad Z=200 x+120 y$ जबकि संकर्षण निम्नलिखित हैं

$$ \begin{align*} x+y & \leq 300\tag{i}\\ 3 x+y & \leq 600 \tag{ii}\\ x-y & \geq-100 \tag{iii}\\ x & \geq 0, y \geq 0 \end{align*} $$

समीकरण (i) और (iii) को हल करने पर हमें $x=100, y=200$ मिलता है

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हमें $x=150, y=150$ मिलता है

मान लीजिए $x+y=300$

मान लीजिए $3 x+y=600 \quad$ मान लीजिए $x+y=-100$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 300 \\ \hline y & 300 & 0 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 200 \\ \hline y & 600 & 0 \\ \hline \end{array}$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & -100 \\ \hline y & 100 & 0 \\ \hline \end{array}$

यहाँ, छायांकित क्षेत्र योग्य क्षेत्र है जिसके कोने बिंदु $O(0,0), A(200,0), B(150,150), C(100,200), D(0,100)$ हैं।

हम $Z$ का मान ज्ञात करें।

अतः, $Z$ का अधिकतम मान 48000 है, जो $(150,150)$ पर है, अर्थात 150 प्रति प्रकार के स्वेटर।

हल

Q.15 के हल के संदर्भ में, हम निम्नलिखित करते हैं:

$Z=x+y$ को अधिकतम करें, जो निम्नलिखित संकर्षणों के अधीन है:

$2 x+3 y \leq 120;$ ….(i)

$8 x+5 y \leq 400;$….(ii)

और $ x \geq 0, y \geq 0$.

मान लें $2 x+3 y=120 \quad$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 60 \\ \hline y & 40 & 0 \\ \hline \end{array}$

मान लें $8 x+5 y=400$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 50 \\ \hline y & 80 & 0 \\ \hline \end{array}$

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हमें प्राप्त होता है; $x=\frac{300}{7}$ और $y=\frac{80}{7}$

यहाँ, $OABC$ योग्य क्षेत्र है जिसके कोने बिंदु $O(0,0), A(50,0), B(\frac{300}{7}, \frac{80}{7})$ और $C(0,40)$ हैं।

हम $Z$ के मान का मूल्यांकन करते हैं

अतः, आदमी के तय कर सकने वाली अधिकतम दूरी $54 \frac{2}{7} km$ है जो $(\frac{300}{7}, \frac{80}{7})$ पर है।

हल

हमें दिया गया है कि $Z=x+y$ जो निम्नलिखित संकर्षणों के अधीन है

$$ \begin{align*} x+4 y & \leq 8 \tag{i}\\ 2 x+3 y & \leq 12 \tag{ii}\\ 3 x+y & \leq 9 \tag{iii}\\ x & \geq 0, y \geq 0 \end{align*} $$

मान लें $x+4y=8$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 8 \\ \hline y & 2 & 0 \\ \hline \end{array}$

मान लें $2x+3y=12$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$

मान लें $3x+y=9$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline `

x & 0 & 3 \\ \hline y & 9 & 0 \\ \hline \end{array}$

समीकरण (i) और (iii) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$x=\frac{28}{11}$ और $y=\frac{15}{11}$

यहाँ, $OABC$ एक संभाव्य क्षेत्र है जिसके कोने बिंदु $O(0,0), A(3,0), B(\frac{28}{11}, \frac{15}{11}), C(0,2)$ हैं

मान लीजिए $Z$ का मान ज्ञात करें

अतः, $Z$ का अधिकतम मान $\frac{43}{11}$ है जो $(\frac{28}{11}, \frac{15}{11})$ पर है।

हल

मान लीजिए $x$ और $y$ निर्माता द्वारा बनाए गए स्कूटर के मॉडल की संख्या है।

दिया गया जानकारी है

मॉडल $X$ के प्रति इकाई के निर्माण में 6 मन-घंटा लगते हैं

मॉडल $Y$ के प्रति इकाई के निर्माण में 10 मन-घंटा लगते हैं

कुल मन-घंटा उपलब्ध $=450$

$\therefore \quad 6 x+10 y \leq 450 \Rightarrow 3 x+5 y \leq 225$

मॉडल $X$ और $Y$ के हाथ से बर्बादी और बिक्री की लागत क्रमशः ₹ 2,000 और ₹ 1,000 है

कुल धन उपलब्ध ₹ 80,000 प्रति सप्ताह है

$$ \begin{matrix} \therefore & 2000 x+1000 y & \leq 80,000 \\ \Rightarrow & & 2 x+y & \leq 80 \tag{ii} \end{matrix}

$$

और

$ x \geq 0, y \geq 0 $

मॉडल $X$ और $Y$ के प्रति इकाई के लाभ (Z) क्रमशः ₹ 1,000 और ₹ 500 हैं

इसलिए,

$ Z=1000 x+500 y $

आवश्यक LPP है

$Z=1000 x+500 y$ को अधिकतम करें, जबकि बाधा के अंतर्गत

$$ \begin{align*} 3 x+5 y & \leq 225 \tag{i}\\ 2 x+y & \leq 80 \tag{ii}\\ x & \geq 0, y \geq 0 \tag{iii} \end{align*} $$

मान लीजिए $3x+5y=225$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 40 \\ \hline y & 45 & 0 \\ \hline \end{array}$

मान लीजिए $2x+y=80$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 40 \\ \hline y & 80 & 0 \\ \hline \end{array}$

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हमें प्राप्त होता है,

$x=25, y=30$

यहाँ, संभाव्य क्षेत्र $OABC$ है, जिसके कोने बिंदु $O(0,0), A(40,0), B(25,30)$ और $C(0,45)$ हैं।

Z के मान का मूल्यांकन करें।

इसलिए, अधिकतम लाभ ₹ 40,000 है, जो 25 मॉडल X के साइकिल और 30 मॉडल Y के साइकिल बनाकर प्राप्त किया जा सकता है।

हल

मान लीजिए $x$ इकाइयाँ $X$ के टैबलेट और $y$ इकाइयाँ $Y$ के टैबलेट हैं। तो, दी गई जानकारी के अनुसार हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है

The price of each table of $X$ type is ₹ 2 and that of y is ₹ 1. So, the required LPP is

Minimise $Z=2 x+y$ subject to the constraints

$$ \begin{gather*} 6 x+2 y \geq 18 \quad \Rightarrow \quad 3 x+y \geq 9 \tag{i}\\ 3 x+3 y \geq 21 \quad \Rightarrow \quad x+y \geq 7 \tag{ii}\\ 2 x+4 y \geq 16 \quad \Rightarrow \quad x+2 y \geq 8 \tag{iii}\\ x \geq 0, y \geq 0 \end{gather*} $$

Let $3x+y=9$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 3 \\ \hline y & 9 & 0 \\ \hline \end{array}$

Let $x+y=7$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 7 \\ \hline y & 7 & 0 \\ \hline \end{array}$

Let $x+2y=8$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 8 \\ \hline y & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$

On solving (ii) and (iii) we get $x=6$ and $y=1$

On solving (i) and (ii) we get $x=1$ and $y=6$

From the graph, we see that the feasible region $A B C D$ is unbounded whose corner points are $A(8,0), B(6,1), C(1,6)$ and $D(0,9)$.

Let us evaluate the value of $Z$

Here, we see that 8 is the minimum value of $Z$ at $(1,6)$ but the feasible region is unbounded. So, 8 may or may not be the minimum value of $Z$.

To confirm it, we will draw a graph of inequality $2 x+y<8$ and check if it has a common point.

We see from the graph that there is no common point on the line.

Hence, the minimum value of $Z$ is 8 at $(1,6)$.

Tablet $X=1$

Table $Y=6$.

उत्तर

मान फैक्टरी I को $x$ दिन और फैक्टरी II को $y$ दिन चलाया जाए।

फैक्टरी I में प्रतिदिन 50 मॉडल A कैल्कुलेटर बनते हैं और फैक्टरी II में प्रतिदिन 40 मॉडल A कैल्कुलेटर बनते हैं।

कंपनी के कम से कम 6400 मॉडल A कैल्कुलेटर के आदेश हैं।

$\therefore 50 x+40 y \geq 6400 \Rightarrow 5 x+4 y \geq 640$

इसके अलावा, फैक्टरी I में प्रतिदिन 50 मॉडल B कैल्कुलेटर बनते हैं और फैक्टरी II में प्रतिदिन 20 मॉडल B कैल्कुलेटर बनते हैं।

कंपनी के कम से कम 4000 मॉडल B कैल्कुलेटर के आदेश हैं।

$\therefore 50 x+20 y \geq 4000 \quad \Rightarrow \quad 5 x+2 y \geq 4000$

इसी तरह मॉडल C के लिए,

$30 x+40 y \geq 4800 \Rightarrow 3 x+4 y \geq 480$

और $x \geq 0, y \geq 0$

फैक्टरी I और II के प्रतिदिन चलाने की लागत ₹ 12,000 और ₹ 15000 है।

$\therefore$ आवश्यक LPP है

$Z=12000 x+15000 y$ को न्यूनतम करें जो निम्नलिखित संरचना के अंतर्गत है

$$ \begin{align*} 5 x+4 y & \geq 640 \tag{i}\ 5 x+2 y & \geq 400 \tag{ii}\ 3 x+4 y & \geq 480 \tag{iii}\ x & \geq 0, y \geq 0 \tag{iv} \end{align*} $$

(i) समीकरण के लिए तालिका $5 x+4 y=640$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 128 \\ \hline y & 160 & 0 \\ \hline \end{array}$

(ii) समीकरण के लिए तालिका $5 x+2 y=400$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 80 \\ \hline y & 200 & 0 \\ \hline \end{array}$

(iii) समीकरण के लिए तालिका $3 x+4 y=480$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 160 \\ \hline y & 120 & 0 \\ \hline \end{array}$

(i) और (iii) समीकरण को हल करने पर, हमें $x=80, y=60$ मिलता है

(i) और (ii) समीकरण को हल करने पर, हमें $x=32$ और $y=120$ मिलता है

ग्राफ से हम देख सकते हैं कि संभाव्य क्षेत्र $ABCD$ खुला असीमित है जिसके कोने $A(160,0), B(80,60), C(32,120)$ और $D(0,200)$ हैं।

हम $Z$ के मान ज्ञात करें।

| $B(80,60)$ | $Z=12000(80)+15000(60)=1860000$ | | $C(32,120)$ | $Z=12000(32)+15000(120)=2184000$ | | $D(0,200)$ | $Z=0+15000(200)=3000000$ |

ऊपर के तालिका से स्पष्ट है कि $Z=1860000$ के मान के लिए खुले असीमित क्षेत्र के लिए यह न्यूनतम मान हो सकता है या नहीं।

अब, इसका निर्णय लेने के लिए, हम असमिका के ग्राफ के बारे में बात करते हैं

$ 12000 x+15000 y<1860000 $

$\Rightarrow \quad 4 x+5 y<620$

और हमें यह जांच करनी होगी कि इस संभाव्य क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं।

इसलिए, ग्राफ से हम देखते हैं कि कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

$\therefore Z=12000 x+15000 y$ के मान के लिए न्यूनतम मान 1860000 है जो $(80,60)$ पर है।

कारखाना I : 80 दिन

कारखाना II: 60 दिन।

हल

दिया गया LPP है

अधिकतम और न्यूनतम $Z=3 x-4 y$ जबकि

$$ \begin{align*} & x-2 y \leq 0 \tag{i}\\ & -3 x+y \leq 4 \tag{ii} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & x-y \leq 6 \tag{iii}\\ & \text{ और } \quad x, y \geq 0 \tag{iv} \end{align*} $$

मान लीजिए $x-2y=0$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 2 \\ \hline y & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$

मान लीजिए $-3x+y=4$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & -4/3 \\ \hline y & 4 & 0 \\ \hline \end{array}$

मान लीजिए $x-y=6$

$\begin{array}{|l|l|l|} \hline x & 0 & 6 \\ \hline y & -6 & 0 \\ \hline \end{array}$

हम $Z$ के मान का मूल्यांकन करते हैं

ग्राफ से हम देखते हैं कि $AOB$ एक खुला असीमित क्षेत्र है जिसके कोने $O(0,0), A(0,4), B(12,6)$ हैं।

इस असीमित क्षेत्र के लिए, $Z$ के मान के लिए -16 हो सकता है या नहीं।

इसलिए, इसका निर्णय लेने के लिए, हम असमिका $3 x-4 y<-16$ के ग्राफ के बारे में बात करते हैं और जांच करते हैं कि खुला अर्ध-तल संभाव्य क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं।

लेकिन ग्राफ से हम देखते हैं कि यह संभव क्षेत्र के साथ उभयनिष्ठ बिंदुओं के साथ है, इसलिए इसका $Z$ का न्यूनतम मान नहीं होगा।

अर्थात, न्यूनतम मान नहीं है।

उसी तरह, अधिकतम मान के लिए, हम असमता $3 x-4 y>12$ के ग्राफ को खींचते हैं जिसमें संभव क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।

इसलिए, $Z$ का अधिकतम मान 12 है।

हल

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{कोने बिंदु} & \text{मान निकालें} Z=4 x+3 y \\ \hline(0,0) & \mathrm{Z}=0 \\ \hline(0,40) & Z=0+3(40)=120 \\ \hline(20,40) & Z=4(20)+3(40)=200 \\ \hline(60,20) & Z=4(60)+3(20)=300\rightarrow \text{अधिकतम} \\ \hline(60,0) & Z=4(60)+3(0)=240 \\ \hline \end{array}$

इसलिए, सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) गलत है: दिए गए कोने बिंदुओं से $ Z $ का अधिकतम मान 300 है, जो 325 से कम है। इसलिए, स्तंभ A में मात्रा स्तंभ B में मात्रा से अधिक नहीं है।

• विकल्प (c) गलत है: $ Z $ का अधिकतम मान 300 है, जो 325 से अलग है। इसलिए, दोनों मात्राएँ समान नहीं हैं।

• विकल्प (d) गलत है: उपलब्ध जानकारी के आधार पर मात्राओं के संबंध का निर्धारण किया जा सकता है। $ Z $ का अधिकतम मान स्पष्ट रूप से 300 है, जो 325 से कम है। इसलिए, संबंध का निर्धारण किया जा सकता है।

हल

इसलिए, सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) $(0,0)$: यह बिंदु $Z=0$ का मान देता है, जो $Z$ का न्यूनतम मान नहीं है। $Z$ का न्यूनतम मान $-32$ बिंदु $(0,8)$ पर है।

• विकल्प (c) $(5,0)$: यह बिंदु $Z=15$ का मान देता है, जो $Z$ के न्यूनतम मान से अधिक है। $Z$ का न्यूनतम मान $-32$ बिंदु $(0,8)$ पर है।

• विकल्प (d) $(4,10)$: यह बिंदु $Z=-28$ का मान देता है, जो $Z$ के न्यूनतम मान नहीं है। $Z$ का न्यूनतम मान $-32$ बिंदु $(0,8)$ पर है।

हल

प्रश्न 27 के हल के अनुसार, $Z$ का अधिकतम मान $A(5,0)$ पर 15 है।

इसलिए, सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) $(6,5)$: यह बिंदु अभ्यास 27 में निर्धारित $Z$ के अधिकतम मान को नहीं देता है। $Z$ का अधिकतम मान $(5,0)$ पर 15 है, न कि $(6,5)$ पर।

• विकल्प (c) $(6,8)$: यह बिंदु अभ्यास 27 में निर्धारित $Z$ के अधिकतम मान को नहीं देता है। $Z$ का अधिकतम मान $(5,0)$ पर 15 है, न कि $(6,8)$ पर।

• विकल्प (d) $(4,10)$: यह बिंदु अभ्यास 27 में निर्धारित $Z$ के अधिकतम मान को नहीं देता है। $Z$ का अधिकतम मान $(5,0)$ पर 15 है, न कि $(4,10)$ पर।

हल

प्र. 27 के हल के अनुसार, $Z=15$ का अधिकतम मान और $Z=-32$ का न्यूनतम मान है।

इसलिए, $Z$ के अधिकतम मान और न्यूनतम मान का योग

$ =15+(-32)=-17 $

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) 13 गलत है क्योंकि $Z$ के अधिकतम मान (15) और न्यूनतम मान (-32) का योग 13 नहीं है। सही योग -17 है।

• विकल्प (b) 1 गलत है क्योंकि $Z$ के अधिकतम मान (15) और न्यूनतम मान (-32) का योग 1 नहीं है। सही योग -17 है।

• विकल्प (c) -13 गलत है क्योंकि $Z$ के अधिकतम मान (15) और न्यूनतम मान (-32) का योग -13 नहीं है। सही योग -17 है।

हल

संभाव्य क्षेत्र चित्र में दिखाया गया है जिसके लिए उद्देश्य फलन $F=3 x-4 y$ है।

अतः, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि $ F $ का अधिकतम मान 0 नहीं है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि $ F $ का अधिकतम मान 8 नहीं है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि $ F $ का अधिकतम मान -18 नहीं है।

हल

प्र. 30 के हल के अनुसार, $F$ का न्यूनतम मान -16 है बिंदु $(0,4)$ पर।

अतः, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि $ F $ का न्यूनतम मान 0 नहीं है; यह बिंदु (0,4) पर -16 है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि $ F $ का न्यूनतम मान 12 नहीं है; बिंदु (0,4) पर यह -16 है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि $ F $ का न्यूनतम मान अस्तित्व में है और यह बिंदु (0,4) पर -16 है।

समाधान

$F$ का न्यूनतम मान बिंदु $(0,2)$ और $(3,0)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड पर कोई बिंदु पर होता है।

अतः सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $(0,2)$ केवल: यह विकल्प गलत है क्योंकि $F$ का न्यूनतम मान केवल बिंदु $(0,2)$ पर नहीं है। बिंदु $(0,2)$ पर $F$ का मान 12 है, लेकिन बिंदु $(3,0)$ पर भी इसी मान प्राप्त होता है। अतः न्यूनतम मान कई बिंदुओं पर होता है, न केवल $(0,2)$ पर।

• विकल्प (b) $(3,0)$ केवल: यह विकल्प गलत है क्योंकि $F$ का न्यूनतम मान केवल बिंदु $(3,0)$ पर नहीं है। बिंदु $(3,0)$ पर $F$ का मान 12 है, लेकिन बिंदु $(0,2)$ पर भी इसी मान प्राप्त होता है। अतः न्यूनतम मान कई बिंदुओं पर होता है, न केवल $(3,0)$ पर।

• विकल्प (c) बिंदु $(0,2)$ और $(3,0)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड के मध्य बिंदु केवल: यह विकल्प गलत है क्योंकि $F$ का न्यूनतम मान बिंदु $(0,2)$ और $(3,0)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड के मध्य बिंदु पर नहीं अद्वितीय है। बिंदु $(0,2)$ और $(3,0)$ को जोड़ने वाले रेखा खंड पर कोई बिंदु पर $F$ का न्यूनतम मान होता है, न केवल मध्य बिंदु पर।

हल

प्रश्न 32 के हल के अनुसार,

$F$ का अधिकतम मान - $F$ का न्यूनतम मान = 72 - 12 = 60

अतः सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) 48 गलत है क्योंकि $F$ के अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच अंतर 60 है, न कि 48।
• विकल्प (c) 42 गलत है क्योंकि $F$ के अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच अंतर 60 है, न कि 42।
• विकल्प (d) 18 गलत है क्योंकि $F$ के अधिकतम और न्यूनतम मान के बीच अंतर 60 है, न कि 18।

हल

इसलिए, $p$ और $q$ पर शर्त ताकि $Z$ का न्यूनतम मान $(3,0)$ और $(1,1)$ पर हो, है:

$p + q = 3p \Rightarrow p - 3p + q = 0 \Rightarrow p = \frac{q}{2}$.

अतः सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) $p = 2q$: यदि $p = 2q$, तो कोने बिंदुओं पर $Z$ का मान होगा:

  • $(0,3)$ पर: $Z = 3q$
  • $(1,1)$ पर: $Z = 2q + q = 3q$
  • $(3,0)$ पर: $Z = 3 \cdot 2q = 6q$ $Z$ का न्यूनतम मान $3q$ होगा, जो $(0,3)$ और $(1,1)$ पर होगा, न कि $(3,0)$ और $(1,1)$ पर।

• विकल्प (c) $p = 3q$: यदि $p = 3q$, तो कोने बिंदुओं पर $Z$ का मान होगा:

  • $(0,3)$ पर: $Z = 3q$
  • $(1,1)$ पर: $Z = 3q + q = 4q$
  • $(3,0)$ पर: $Z = 3 \cdot 3q = 9q$ $Z$ का न्यूनतम मान $3q$ होगा, जो $(0,3)$ पर होगा, न कि $(3,0)$ और $(1,1)$ पर।

• विकल्प (d) $p = q$: यदि $p = q$, तो कोने बिंदुओं पर $Z$ का मान होगा:

  • $(0,3)$ पर: $Z = 3q$
  • $(1,1)$ पर: $Z = q + q = 2q$
  • $(3,0)$ पर: $Z = 3q$ $Z$ का न्यूनतम मान $2q$ होगा, जो $(1,1)$ पर होगा, न कि $(3,0)$ और $(1,1)$ पर।

हल

रैखिक सीमाएँ।

हल

रैखिक।

हल

असीमित

हल

अधिकतम

हल

सीमित

हल

प्रतिच्छेदन

हल

उत्तल

हल

सत्य।

हल

एक रैखिक प्रोग्रामन (LPP) में, यदि उद्देश्य फलन $Z = ax + by$ के दो कोने बिंदुओं पर अधिकतम मान समान हो, तो इन दो कोने बिंदुओं को मिलाने वाले रेखा खंड पर स्थित प्रत्येक बिंदु के लिए समान अधिकतम मान होता है।

क्योंकि, इन दो कोने बिंदुओं को मिलाने वाले रेखा खंड पर स्थित बिंदुओं की संख्या अपरिमित है, इसलिए जहां $Z$ के अधिकतम मान आते हैं वहां बिंदुओं की संख्या भी अपरिमित है।

इसलिए, दिए गए कथन के अनुसार यह गलत है।

गलत।

हल

दिए गए कथन गलत है।

न्यूनतम मान हमेशा 0 होना आवश्यक नहीं होता, यह a और b के मान पर निर्भर करता है।

गलत।

हल

सत्य।