हल

हम जानते हैं कि $\frac{5 \pi}{6} \notin(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ और $\frac{13 \pi}{6} \notin[0, \pi]$

$\therefore \tan ^{-1}(\tan \frac{5 \pi}{6})+\cos ^{-1}(\cos \frac{13 \pi}{6})$

$=\tan ^{-1}[\tan (\pi-\frac{\pi}{6})]+\cos ^{-1}[\cos (2 \pi+\frac{\pi}{6})]$

$=\tan ^{-1}[\tan (-\frac{\pi}{6})]+\cos ^{-1}(\cos \frac{\pi}{6})$

$=\tan ^{-1}(-\tan \frac{\pi}{6})+\cos ^{-1}(\cos \frac{\pi}{6})$

$=-\tan ^{-1}(\tan \frac{\pi}{6})+\cos ^{-1}(\cos \frac{\pi}{6}) \quad[\because \tan ^{-1}(-x)=-\tan ^{-1} x]$

$=-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{6}=0$

अतः, $\tan ^{-1}(\tan \frac{5 \pi}{6})+\cos ^{-1}(\cos \frac{13 \pi}{6})=0$

हल

$\cos [\cos ^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{2})+\frac{\pi}{6}]$

$=\cos [\pi-\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\pi}{6}][\because \cos ^{-1}(-x)=\pi-\cos ^{-1} x]$

$=\cos [\pi-\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}]=\cos \pi=-1$

$ \text{ अतः, } \cos [\cos ^{-1}(\frac{-\sqrt{3}}{2})+\frac{\pi}{6}]=-1 \text{. } $

हल

बायां पक्ष $\cot (\frac{\pi}{4}-2 \cot ^{-1} 3)$

$=\cot [\tan ^{-1}(1)-2 \tan ^{-1} \frac{1}{3}] \quad[\because \cot ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{1}{x}]$

$=\cot [\tan ^{-1}(1)-\tan ^{-1} \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^{2}}][\because 2 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}]$

$=\cot [\tan ^{-1}(1)-\tan ^{-1} \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}]$

$=\cot [\tan ^{-1}(1)-\tan ^{-1} \frac{3}{4}]$

$=\cot [\tan ^{-1}(\frac{1-\frac{3}{4}}{1+1 \times \frac{3}{4}})]=\cot [\tan ^{-1}(\frac{\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}})]$

$=\cot [\tan ^{-1} \frac{1}{7}] \quad[\because \tan ^{-1} \frac{1}{x}=\cot ^{-1} x]$

$=\cot [\cot ^{-1}(7)]=7$ R.H.S.

अतः सिद्ध कर दिया गया है।

हल

$\tan ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})+\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})+\tan ^{-1}[\sin (\frac{-\pi}{2})]$ $=-\tan ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})+\tan ^{-1}(\sqrt{3})+\tan ^{-1}(-1)$

$ \begin{bmatrix} \because \tan ^{-1}(-x)=-\tan ^{-1} x \\ \tan ^{-1} x=\cot ^{-1}(\frac{1}{x}) \\ \sin (\frac{-\pi}{2})=-1 \end{bmatrix} $

$ =-\frac{\pi}{6}+\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{4}=\frac{-\pi}{12} \quad[\because \tan ^{-1}(-1)=\frac{-\pi}{4}] $

अतः $\tan ^{-1}(\frac{-1}{\sqrt{3}})+\cot ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{3}})+\tan ^{-1}[\sin (\frac{-\pi}{2})]=\frac{-\pi}{12}$

हल

हम जानते हैं कि $\frac{2 \pi}{3} \notin[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

$ \begin{aligned} \therefore \tan ^{-1}(\tan \frac{2 \pi}{3}) & =\tan ^{-1}[\tan (\pi-\frac{\pi}{3})]=\tan ^{-1}(-\tan \frac{\pi}{3}) \\ & =-\tan ^{-1}(\tan \frac{\pi}{3})[\because \tan ^{-1}(-x)=-\tan ^{-1} x] \\ & =-\frac{\pi}{3} \in[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] \end{aligned} $

अतः $\tan ^{-1}(\tan \frac{2 \pi}{3})=\frac{-\pi}{3}$.

हल

L.H.S. $2 \tan ^{-1}(-3)=-2 \tan ^{-1}(3)$

$ \begin{aligned} & =-\cos ^{-1}[\frac{1-(3)^{2}}{1+(3)^{2}}][\because 2 \tan ^{-1} x=\cos ^{-1}(\frac{1-x^{2}}{1+x^{2}})] \\ & =-\cos ^{-1}(\frac{1-9}{1+9})=-\cos ^{-1}(\frac{-8}{10}) \\ & =-\cos ^{-1}(\frac{-4}{5})=-[\pi-\cos ^{-1}(\frac{4}{5})]=-\pi+\cos ^{-1} \frac{4}{5} \\ & =-\pi+\tan ^{-1}(\frac{3}{4}) \quad[\because \cos ^{-1} \frac{4}{5}=\tan ^{-1} \frac{3}{4}] \end{aligned} $

$ \begin{matrix}

=-\pi+\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1}(\frac{3}{4}) & {[\tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x]} \\ =\frac{-\pi}{2}-\cot ^{-1}(\frac{3}{4}) & {[\because \tan ^{-1} x=\cot ^{-1} \frac{1}{x}]} \\ =\frac{-\pi}{2}-\tan ^{-1}(\frac{4}{3}) & \\ =\frac{-\pi}{2}+\tan ^{-1}(-\frac{4}{3}) \text{ R.H.S. } & \end{matrix} $

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

हल

$\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{2}$

$ \text{ मान लीजिए } \quad \theta=\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1} $

$\therefore \quad \sin \theta=\sqrt{x^{2}+x+1}$

$\Rightarrow \tan \theta=\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{\sqrt{-x^{2}-x}} \Rightarrow \theta=\tan ^{-1}(\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}}{\sqrt{-x^{2}-x}})$

$\Rightarrow \sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\tan ^{-1}(\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{-x^{2}-x}})$

इसलिए, $\tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\tan ^{-1}(\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{-x^{2}-x}})=\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{\sqrt{x(x+1)}+\sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{-x(x+1)}}}{1-\sqrt{x(x+1)} \times \sqrt{\frac{x^{2}+x+1}{-x(x+1)}}}]=\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{\frac{x(x+1)+\sqrt{-(x^{2}+x+1)}}{\sqrt{x(x+1)}}}{1-\sqrt{-(x^{2}+x+1)}}]=\frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \frac{x^{2}+x-\sqrt{-(x^{2}+x+1)}}{[1-\sqrt{-(x^{2}+x+1)}] \sqrt{x^{2}+x}}=\tan \frac{\pi}{2}=\frac{1}{0}$ $\Rightarrow[1-\sqrt{-(x^{2}+x+1)}] \sqrt{x^{2}+x}=0$ $\Rightarrow[1-\sqrt{-(x^{2}+x+1)}]=0$ या $\sqrt{x^{2}+x}=0$

यहाँ, $\sqrt{-(x^{2}+x+1)} \notin R$

$\therefore \sqrt{x^{2}+x}=0$

$\Rightarrow \quad x^{2}+x=0 \Rightarrow x(x+1)=0$

$\Rightarrow \quad x=0$ या $x+1=0 \Rightarrow x=0$ या $x=-1$

इसलिए वास्तविक हल $x=0$ और $x=-1$ हैं।

विकल्प विधि

$ \begin{aligned} & \tan ^{-1} \sqrt{x(x+1)}+\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}=\frac{\pi}{2} \\ & \Rightarrow \tan ^{-1} \sqrt{x^{2}+x}=\frac{\pi}{2}-\sin ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1} \\ & \Rightarrow \tan ^{-1} \sqrt{x^{2}+x}=\cos ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1}[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}] \\

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \cos ^{-1}[\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}+x}}]=\cos ^{-1} \sqrt{x^{2}+x+1} \\ & \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{x^{2}+x+1}}=\sqrt{x^{2}+x+1} \quad[\because \tan ^{-1} x=\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}] \\ & \Rightarrow \quad x^{2}+x+1=1 \quad \Rightarrow x^{2}+x=0 \\ & \Rightarrow \quad x(x+1)=0 \quad \Rightarrow x=0 \text{ or } x+1=0 \\ & \therefore \quad x=0, x=-1 \end{aligned} $$

हल

$$ \sin (2 \tan ^{-1} \frac{1}{3})+\cos (\tan ^{-1} 2 \sqrt{2}) $$

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \sin [\tan ^{-1}(\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-(\frac{1}{3})^{2}})]+\cos [\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+(2 \sqrt{2})^{2}}}] \\ & {[\because \tan ^{-1} x=\cos ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}})]} \\ & \Rightarrow \sin [\tan ^{-1}(\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}})]+\cos [\cos ^{-1}(\frac{1}{3})] \\ & .\Rightarrow \sin [\tan ^{-1}(\frac{3}{4})]+\frac{1}{3} \Rightarrow \sin ^{-1}(\frac{3}{5})]+\frac{1}{3} \\ & \Rightarrow \frac{3}{5}+\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{14}{15} \\ & \text{ अतः } \sin (2 \tan ^{-1} \frac{1}{3})+\cos (\tan ^{-1} 2 \sqrt{2})=\frac{14}{15} . \end{aligned} $$

हल

$$ 2 \tan ^{-1}(\cos \theta)=\tan ^{-1}(2 \text{ cosec } \theta) $$

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2 \cos \theta}{1-\cos ^{2} \theta})=\tan ^{-1}(2 \text{ cosec } \theta) \\ & \Rightarrow \quad[\because 2 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}] \\ & \Rightarrow \quad \frac{2 \cos \theta}{1-\cos ^{2} \theta}=2 \text{ cosec } \theta \Rightarrow \frac{2 \cos \theta}{\sin ^{2} \theta}=\frac{2}{\sin \theta} \\ & \Rightarrow \quad \cos \theta \sin \theta-\sin ^{2} \theta=0 \Rightarrow \sin \theta(\cos \theta-\sin \theta)=0 \\ & \Rightarrow \quad \sin \theta=0 \text{ या } \quad \cos \theta-\sin \theta=0 \\

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \sin \theta=0 \quad \text{ या } \quad 1-\tan \theta=0 \\ & \Rightarrow \quad \theta=0 \text{ या } \quad \tan \theta=1 \\ & \Rightarrow \quad \theta=0^{\circ} \text{ या } \quad \theta=\frac{\pi}{4} \text{ सिद्ध कर दिया गया है। } \end{aligned} $$

हल

बायां पक्ष (L.H.S.) $\cos (2 \tan ^{-1} \frac{1}{7})$

$ \begin{aligned} & =\cos [\cos ^{-1} \frac{1-\frac{1}{49}}{1+\frac{1}{49}}] \quad[\because 2 \tan ^{-1} x=\cos ^{-1} \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}] \\ & =\cos [\cos ^{-1} \frac{48}{50}]=\cos [\cos ^{-1} \frac{24}{25}]=\frac{24}{25} \end{aligned} $

दायां पक्ष (R.H.S.) $\sin [4 \tan ^{-1} \frac{1}{3}]$

$ \begin{aligned} & =\sin [2 \tan ^{-1}(\frac{2 \times \frac{1}{3}}{1-\frac{1}{9}})][\because 2 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}] \\ & =\sin [2 \tan ^{-1}(\frac{\frac{2}{3}}{\frac{3}{9}})]=\sin [2 \tan ^{-1} \frac{3}{4}] \\ & =\sin [\sin ^{-1} \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1+\frac{9}{16}}][\because 2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}] \\ & =\sin [\sin ^{-1} \frac{24}{25}] \Rightarrow \frac{24}{25} \end{aligned} $

L.H.S. = R.H.S. सिद्ध कर दिया गया है।

हल

दिया गया है कि $\cos (\tan ^{-1} x)=\sin (\cot ^{-1} \frac{3}{4})$

$ \begin{aligned} \Rightarrow \cos [\cos ^{-1} \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}]=\sin [\sin ^{-1} \frac{4}{5}] \\ { \begin{bmatrix} \because \tan ^{-1} x=\cos ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}) \\ \cot ^{-1} x=\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}) \end{bmatrix} } \end{aligned} $

$ \Rightarrow \quad \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}=\frac{4}{5} $

दोनों ओर वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} & \frac{1}{1+x^{2}}=\frac{16}{25} \Rightarrow 1+x^{2}=\frac{25}{16} \\ & \Rightarrow \quad x^{2}=\frac{25}{16}-1=\frac{9}{16} \Rightarrow x= \pm \frac{3}{4} \\ & \text{ अतः } \quad x=\frac{-3}{4}, \frac{3}{4} \text{। } \end{aligned} $$

\end{aligned} $

हल

बायां पक्ष (L.H.S.) $\tan ^{-1}[\frac{\sqrt{1+x^{2}}+\sqrt{1-x^{2}}}{\sqrt{1+x^{2}}-\sqrt{1-x^{2}}}]$

मान लीजिए $x^{2}=\cos \theta \quad \therefore \theta=\cos ^{-1} x^{2}$

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{\sqrt{1+\cos \theta}+\sqrt{1-\cos \theta}}{\sqrt{1+\cos \theta}-\sqrt{1-\cos \theta}}]$

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{\sqrt{2 \cos ^{2} \theta / 2}+\sqrt{2 \sin ^{2} \theta / 2}}{\sqrt{2 \cos ^{2} \theta / 2}-\sqrt{2 \sin ^{2} \theta / 2}}] \begin{cases} \because 1+\cos \theta=2 \cos ^{2} \theta / 2 \\ 1-\cos \theta=2 \sin ^{2} \theta / 2 \end{cases} $

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{\cos \theta / 2+\sin \theta / 2}{\cos \theta / 2-\sin \theta / 2}]$

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{1+\tan \theta / 2}{1-\tan \theta / 2}] \quad$ [अंश और हर को $\cos \theta / 2$ से विभाजित करके]

$\Rightarrow \tan [\tan (\frac{\pi}{4} \quad \frac{\theta}{2})] \quad[\because \frac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}=\tan (\frac{\pi}{4}+\theta)]$

$\Rightarrow \frac{\pi}{4}+\frac{\theta}{2} \Rightarrow \frac{\pi}{4}+\frac{1}{2} \cos ^{-1} x^{2}$ दायां पक्ष (R.H.S.) $\quad$ [मान लीजिए $\theta=\cos ^{-1} x^{2}$ ]

इसलिए सिद्ध कर दिया।

हल

दिया गया है $\cos ^{-1}(\frac{3}{5} \cos x+\frac{4}{5} \sin x)$

मान लीजिए $\quad \frac{3}{5}=\cos y$

$\therefore \quad \sqrt{1-\cos ^{2} y}=\sin y \Rightarrow \sqrt{1-\frac{9}{25}}=\sin y \Rightarrow \frac{4}{5}=\sin y$

$\therefore \cos ^{-1}[\frac{3}{5} \cos x+\frac{4}{5} \sin x]=\cos ^{-1}[\cos y \cos x+\sin y \sin x]$

$=\cos ^{-1}[\cos (y-x)]=y-x$

$=\tan ^{-1} \frac{4}{3}-x$

हल

L.H.S. = $\sin ^{-1} \frac{8}{17}+\sin ^{-1} \frac{3}{5}$

$ \begin{aligned} & \text{ उपयोग करते हुए } \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=\sin ^{-1}[x \sqrt{1-y^{2}}+y \sqrt{1-x^{2}}] \\ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \sin ^{-1} \frac{8}{17}+ & \sin ^{-1} \frac{3}{5}=\sin ^{-1}[\frac{8}{17} \cdot \sqrt{1-(\frac{3}{5})^{2}}+\frac{3}{5} \cdot \sqrt{1-(\frac{8}{17})^{2}}] \\ & =\sin ^{-1}[\frac{8}{17} \cdot \sqrt{1-\frac{9}{25}}+\frac{3}{5} \cdot \sqrt{1-\frac{64}{289}}] \\ & =\sin ^{-1}[\frac{8}{17} \cdot \sqrt{\frac{16}{25}}+\frac{3}{5} \cdot \sqrt{\frac{225}{289}}] \\ & =\sin ^{-1}[\frac{8}{17} \cdot \frac{4}{5}+\frac{3}{5} \cdot \frac{15}{17}]=\sin ^{-1}[\frac{32}{85}+\frac{45}{85}] \\ & =\sin ^{-1} \frac{77}{85} = \text{ R.H.S. } \\ \text{ अतः सिद्ध किया गया है। } \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $\sin ^{-1} \frac{5}{13}=x \quad \Rightarrow \quad \sin x=\frac{5}{13}$

$\Rightarrow \quad \tan x=\frac{5}{12}$

मान लीजिए $\cos ^{-1} \frac{3}{5}=y \quad \Rightarrow \quad \cos y=\frac{3}{5}$

$\Rightarrow \quad \tan y=\frac{4}{3}$

अब $\quad \tan (x+y)=\frac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}$

$\Rightarrow \quad \tan (x+y)=\frac{\frac{5}{12}+\frac{4}{3}}{1-\frac{5}{12} \times \frac{4}{3}}=\frac{\frac{15+48}{36}}{\frac{36-20}{36}}=\frac{63}{16}$

$\Rightarrow \quad x+y=\tan ^{-1} \frac{63}{16}$

$\therefore \sin ^{-1} \frac{5}{13}+\cos ^{-1} \frac{3}{5}=\tan ^{-1} \frac{63}{16}$

अतः सिद्ध किया गया है।

हल

LHS = $\tan ^{-1} \frac{1}{4}+\tan ^{-1} \frac{2}{9}=\tan ^{-1}[\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4} \times \frac{2}{9}}]$

$[\because \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\tan ^{-1}(\frac{x+y}{1-x y})]$

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{\frac{9+8}{36}}{\frac{36-2}{36}}]=\tan ^{-1}[\frac{17}{34}]$

Let $\quad \tan ^{-1}[\frac{17}{34}]=x$

$\therefore \quad \tan x=\frac{17}{34}=\frac{1}{2}$

$ \begin{aligned} \sin x & =\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \therefore \quad \tan ^{-1} \frac{1}{2} & =\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}} = \text{ R.H.S. } \end{aligned} $

Hence, $\tan ^{-1} \frac{1}{4}+\tan ^{-1} \frac{2}{9}=\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{5}}$

Solution

$4 \tan ^{-1} \frac{1}{5}-\tan ^{-1} \frac{1}{239}$

$\Rightarrow 2 \cdot(2 \tan ^{-1} \frac{1}{5})-\tan ^{-1} \frac{1}{239}$

$\Rightarrow 2[\tan ^{-1} \frac{2 \times \frac{1}{5}}{1-\frac{1}{25}}]-\tan ^{-1} \frac{1}{239} \quad[2 \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}]$

$\Rightarrow 2 \tan ^{-1} \frac{5}{12}-\tan ^{-1} \frac{1}{239} \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{2 \times \frac{5}{12}}{1-\frac{25}{144}})-\tan ^{-1}(\frac{1}{239})$

$\Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{120}{119})-\tan ^{-1}(\frac{1}{239})$

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{\frac{120}{119}-\frac{1}{239}}{1+\frac{120}{119} \times \frac{1}{239}}][\because \tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y=\tan ^{-1} \frac{x-y}{1+x y}]$

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{120 \times 239-119}{119 \times 239+120}] \Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{28680-119}{28441+120}]$

$\Rightarrow \tan ^{-1}[\frac{28561}{28561}]=\tan ^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$

Solution

सिद्ध करें कि $\tan (\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4})=\frac{4-\sqrt{7}}{3}$

मान लीजिए $\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}=\tan ^{-1} \theta$

$[\therefore \tan (\tan ^{-1} \theta)=\theta]$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \sin ^{-1} \frac{3}{4}=2 \tan ^{-1} \theta \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{3}{4}=\sin ^{-1}(\frac{2 \theta}{1+\theta^{2}}) \\ & {[\because 2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}]} \\ & \Rightarrow \quad \frac{2 \theta}{1+\theta^{2}}=\frac{3}{4} \Rightarrow 3+3 \theta^{2}=8 \theta \\

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad 3 \theta^{2}-8 \theta+3=0 \\ & \Rightarrow \quad \theta=\frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^{2}-4 \times 3 \times 3}}{2 \times 3} \\ & =\frac{8 \pm \sqrt{64-36}}{6}=\frac{8 \pm \sqrt{28}}{6}=\frac{8 \pm 2 \sqrt{7}}{6}=\frac{2(4 \pm \sqrt{7})}{6} \\ & \Rightarrow \quad \theta=\frac{4 \pm \sqrt{7}}{3} \\ & \therefore \quad \theta=\frac{4+\sqrt{7}}{3} \text{ या } \frac{4-\sqrt{7}}{3} \\ & \theta=\frac{4+\sqrt{7}}{3} \text{ अग्रेषित कर दिया जाता है। } \\ & \text{ क्योंकि } \frac{-\pi}{2} \leq \sin ^{-1} \frac{3}{4} \leq \frac{\pi}{2} \\ & \Rightarrow \frac{-\pi}{4} \leq \frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4} \leq \frac{\pi}{4} \\ & \Rightarrow \tan (\frac{-\pi}{4}) \leq \tan (\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}) \leq \tan (\frac{\pi}{4}) \\ & \Rightarrow-1 \leq \tan (\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{3}{4}) \leq 1 \end{aligned} $$

हल

यदि $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n$ एक समांतर श्रेणी के पद हैं $\therefore d=a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3 \ldots$

$$ \begin{matrix} \therefore \tan [\tan ^{-1}(\frac{a_2-a_1}{1+a_1 a_2})+\tan ^{-1}(\frac{a_3-a_2}{1+a_2 a_3})+\tan ^{-1}(\frac{a_4-a_3}{1+a_3 a_4})+\ldots. \\ .\ldots+\tan ^{-1}(\frac{a_n-a _{n-1}}{1+a _{n-1} \cdot a_n})] \\ \Rightarrow \tan [(\tan ^{-1} a_2-\tan ^{-1} a_1)+(\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2)+(\tan ^{-1} a_4-\tan ^{-1} a_3). \\ .+\ldots+(\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a _{n-1})] \\ \Rightarrow \tan [\tan ^{-1} a_2-\tan ^{-1} a_1+\tan ^{-1} a_3-\tan ^{-1} a_2+\tan ^{-1} a_4-\tan ^{-1} a_3. \\ \quad[\because \tan ^{-1} \frac{x-y}{1+x y}=\tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y] \\ \Rightarrow \tan [\tan ^{-1} a_n-\tan ^{-1} a_1] \quad \quad[\because \tan (\tan ^{-1} x)=x] \\ $$

\Rightarrow \tan [\tan ^{-1}(\frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n})] \Rightarrow \frac{a_n-a_1}{1+a_1 a_n \quad} \end{matrix} $

हल

$\cos ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $[0, \pi]$ है। अतः सही उत्तर (c) है।

• विकल्प (a) $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ गलत है क्योंकि यह $\sin^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा है, न कि $\cos^{-1} x$ की।
• विकल्प (b) $(0, \pi)$ गलत है क्योंकि $\cos^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा में 0 और $\pi$ बिंदु शामिल होते हैं, जिसके कारण यह एक बंद अंतराल $[0, \pi]$ होता है, न कि एक खुला अंतराल।
• विकल्प (d) $(0, \pi)-{\frac{\pi}{2}}$ गलत है क्योंकि $\cos^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा एक सतत अंतराल $[0, \pi]$ होती है और $\frac{\pi}{2}$ को छोड़ती नहीं है।

हल

$cosec^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]-{0}$ है क्योंकि $cosec^{-1}(0)=\infty$ (अपरिभाषित) है।

अतः सही उत्तर (d) है।

• विकल्प (a) $(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ गलत है क्योंकि यह अंतराल $-\frac{\pi}{2}$ और $\frac{\pi}{2}$ के सिरों को शामिल नहीं करता है, जो $cosec^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा के लिए आवश्यक हैं।

• विकल्प (b) $[0, \pi]-{\frac{\pi}{2}}$ गलत है क्योंकि $cosec^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा नकारात्मक मानों को भी शामिल करती है, और यह अंतराल केवल धनात्मक भाग को शामिल करता है।

• विकल्प (c) $[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ गलत है क्योंकि यह $0$ को शामिल करता है, जहां $cosec^{-1}(0)$ अपरिभाषित है।

हल

दिया गया है $3 \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\pi$

$\Rightarrow 2 \tan ^{-1} x+\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\pi$

$\Rightarrow 2 \tan ^{-1} x+\frac{\pi}{2}=\pi$

$[\because \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}]$

$\Rightarrow \quad 2 \tan ^{-1} x=\pi-\frac{\pi}{2} \quad \Rightarrow 2 \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \quad \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{4} \quad \Rightarrow \tan ^{-1} x=\tan ^{-1}(1)$

$\therefore \quad x=1$

अतः, सही उत्तर $(b)$ है।

• विकल्प (a) 0: यदि $( x = 0 )$, तो $( \tan^{-1}(0) = 0 )$ . दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $ 3 \cdot 0 + \cot^{-1}(0) = \pi )$. हालांकि, $( \cot^{-1}(0) = \frac{\pi}{2} )$, इसलिए समीकरण $( \frac{\pi}{2} \neq \pi )$ बनता है। अतः, $( x = 0 )$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

• विकल्प (c) -1: यदि $( x = -1 )$, तो $( \tan^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4} )$. दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $ 3 \cdot -\frac{\pi}{4} + \cot^{-1}(-1) = \pi )$. हालांकि, $( \cot^{-1}(-1) = \frac{3\pi}{4} )$, इसलिए समीकरण $( -\frac{3\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 0 \neq \pi )$ बनता है। अतः, $( x = -1 )$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

• विकल्प (d) $(\frac{1}{2})$: यदि $( x = \frac{1}{2} )$, तो $( \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) )$ कोई कोण $(\theta)$ है जहाँ $(\tan(\theta) = \frac{1}{2})$. दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है $ 3 \cdot \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \cot^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \pi )$. हालांकि, $(\cot^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) = \tan^{-1}(2))$, इसलिए समीकरण $( 3 \cdot \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) + \tan^{-1}(2) \neq \pi )$ बनता है। अतः, $( x = \frac{1}{2} )$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

हल

$\sin ^{-1}[\cos (\frac{33 \pi}{5})]=\sin ^{-1}[\cos (6 \pi+\frac{3 \pi}{5})]$

$ \begin{aligned} & =\sin ^{-1}[\cos \frac{3 \pi}{5}] \quad[\because \cos (2 n \pi+x)=\cos x] \\ & =\sin ^{-1}[\cos (\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{10})] \\ & =\sin ^{-1}[-\sin (\frac{\pi}{10})][\because \cos (\frac{\pi}{2}+\theta)=-\sin \theta] \\ & =\sin ^{-1}[\sin (\frac{-\pi}{10})]=\frac{-\pi}{10} \end{aligned} $

इसलिए, सही उत्तर (d) है।

• विकल्प (a) $\frac{3 \pi}{5}$ गलत है क्योंकि $\sin^{-1}[\cos(\frac{33 \pi}{5})]$ सरलीकृत करने पर $\sin^{-1}[\cos(\frac{3 \pi}{5})]$ प्राप्त होता है, जो $\frac{3 \pi}{5}$ के बराबर नहीं है क्योंकि $\cos(\frac{3 \pi}{5})$ व्युत्क्रम वृत्तीय फलन के परिसर में नहीं है।

• विकल्प (b) $\frac{-7 \pi}{5}$ गलत है क्योंकि $\sin^{-1}[\cos(\frac{33 \pi}{5})]$ सरलीकृत करने पर $\sin^{-1}[\cos(\frac{3 \pi}{5})]$ प्राप्त होता है, और $\frac{-7 \pi}{5}$ व्युत्क्रम वृत्तीय फलन के मुख्य परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में एक वैध कोण नहीं है।

• विकल्प (c) $\frac{\pi}{10}$ गलत है क्योंकि $\sin^{-1}[\cos(\frac{33 \pi}{5})]$ सरलीकृत करने पर $\sin^{-1}[\cos(\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{10})]$ प्राप्त होता है, जो आगे सरलीकृत करने पर $\sin^{-1}[-\sin(\frac{\pi}{10})]$ प्राप्त होता है। सही मान $\frac{-\pi}{10}$ है, न कि $\frac{\pi}{10}$।

हल

दिया गया फलन $\cos ^{-1}(2 x-1)$ है

मान लीजिए

$ \begin{aligned} f(x) & =\cos ^{-1}(2 x-1) \\ -1 & \leq 2 x-1 \leq 1 \Rightarrow-1+1 \leq 2 x \leq 1+1 \\ 0 & \leq 2 x \leq 2 \quad \Rightarrow 0 \leq x \leq 1 \end{aligned} $

$\therefore$ दिए गए फलन का प्रांत $[0,1]$ है।

इसलिए, सही उत्तर (a) है।

• विकल्प (b) $[-1,1]$: यह विकल्प गलत है क्योंकि फलन $\cos^{-1}(2x-1)$ के प्रांत को व्यंजक $2x-1$ के परिसर द्वारा निर्धारित किया जाता है। $2x-1$ को व्युत्क्रम वृत्तीय फलन के परिसर में होना चाहिए, इसलिए यह -1 और 1 के बीच होना चाहिए। समीकरण $-1 \leq 2x-1 \leq 1$ को हल करने पर $0 \leq x \leq 1$ प्राप्त होता है, न कि $-1 \leq x \leq 1$।

• विकल्प (c) $(-1,1)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि फलन $\cos^{-1}(2x-1)$ के डोमेन में 0 और 1 दोनों सीमा बिंदु शामिल हैं। सही डोमेन $[0,1]$ है, न कि $(-1,1)$, जो सीमा बिंदुओं को छोड़ देता है।

• विकल्प (d) $[0, \pi]$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह $\cos^{-1}$ फलन के परिसर को दर्शाता है, न कि डोमेन। फलन $\cos^{-1}(2x-1)$ के डोमेन वह संख्या $x$ के समूह है जिसके लिए $2x-1$ अंतराल $[-1, 1]$ में हो, जो $[0,1]$ है।

हल

मान लीजिए

$ f(x)=\sin ^{-1} \sqrt{x-1} $

$\because \sqrt{x-1} \geq 0$ और $-1 \leq \sqrt{x-1} \leq 1$

$ \Rightarrow 0 \leq x-1 \leq 1 \Rightarrow 1 \leq x \leq 2 \Rightarrow x \in[1,2] $

इसलिए, सही उत्तर (a) है।

• विकल्प (b) $[-1,1]$: यह गलत है क्योंकि व्यंजक $\sqrt{x-1}$ एक वर्गमूल है, जो हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है। इसलिए, $x-1$ गैर-ऋणात्मक होना चाहिए, जिससे $x \geq 1$ होता है। इसके अतिरिक्त, $\sqrt{x-1}$ के वर्गीय विपर्यय फलन के परिसर में होने के लिए, $x-1$ के मान के लिए $x-1 \leq 1$ होना चाहिए, जिससे $x \leq 2$ होता है। इसलिए, $x$ का अंतराल $[1,2]$ होता है, न कि $[-1,1]$।

• विकल्प (c) $[0,1]$: यह गलत है क्योंकि $f(x) = \sin^{-1} \sqrt{x-1}$ के निर्दिष्ट होने के लिए, $\sqrt{x-1}$ के मान $[0,1]$ के बीच होना चाहिए। इसके लिए $x-1$ के मान $[0,1]$ के बीच होना चाहिए, जिससे $x$ का अंतराल $[1,2]$ होता है। अंतराल $[0,1]$ इस शर्त को संतुष्ट नहीं करता क्योंकि इसमें 1 से कम मान शामिल होते हैं, जो $\sqrt{x-1}$ के अपरिभाषित या काल्पनिक हो जाते हैं।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं: यह गलत है क्योंकि फलन $f(x) = \sin^{-1} \sqrt{x-1}$ के सही डोमेन $[1,2]$ है, जो विकल्प (a) में दिया गया है। इसलिए, विकल्प (d) लागू नहीं होता।

हल

दिया गया है कि $\cos [\sin ^{-1} \frac{2}{5}+\cos ^{-1} x]=0$

$ \begin{matrix} \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{2}{5}+\cos ^{-1} x =\cos ^{-1}(0) \\ \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{2}{5}+\cos ^{-1} x =\frac{\pi}{2} \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{2}{5}=\frac{\pi}{2}-\cos ^{-1} x \\ \Rightarrow \sin ^{-1} \frac{2}{5} =\sin ^{-1} x[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}] \\ \Rightarrow x =\frac{2}{5} \end{matrix} $

अतः, सही उत्तर (b) है।

• विकल्प (a) $\frac{1}{5}$ गलत है क्योंकि यदि $x = \frac{1}{5}$, तो $\cos^{-1} x = \cos^{-1} \frac{1}{5}$. इसे समीकरण $\cos [\sin^{-1} \frac{2}{5} + \cos^{-1} x] = 0$ में बदल देने पर समीकरण को संतुष्ट नहीं करेगा क्योंकि $\sin^{-1} \frac{2}{5} + \cos^{-1} \frac{1}{5} \neq \frac{\pi}{2}$।

• विकल्प (c) 0 गलत है क्योंकि यदि $x = 0$, तो $\cos^{-1} x = \cos^{-1} 0 = \frac{\pi}{2}$. इसे समीकरण $\cos [\sin^{-1} \frac{2}{5} + \cos^{-1} x] = 0$ में बदल देने पर $\cos [\sin^{-1} \frac{2}{5} + \frac{\pi}{2}] = 0$ प्राप्त होगा, जो सत्य नहीं है क्योंकि $\sin^{-1} \frac{2}{5} + \frac{\pi}{2}$ एक कोण नहीं है जिसका कोसाइन शून्य हो।

• विकल्प (d) 1 गलत है क्योंकि यदि $x = 1$, तो $\cos^{-1} x = \cos^{-1} 1 = 0$. इसे समीकरण $\cos [\sin^{-1} \frac{2}{5} + \cos^{-1} x] = 0$ में बदल देने पर $\cos [\sin^{-1} \frac{2}{5} + 0] = \cos [\sin^{-1} \frac{2}{5}]$ प्राप्त होगा, जो शून्य नहीं है क्योंकि $\cos [\sin^{-1} \frac{2}{5}] = \sqrt{1 - (\frac{2}{5})^2} \neq 0$।

हल

दिया गया है कि $\sin [2 \tan ^{-1}(0.75)]$

$ \begin{aligned} & =\sin [2 \tan ^{-1} \frac{3}{4}] \\ & =\sin [\sin ^{-1} \frac{2 \times \frac{3}{4}}{1+\frac{9}{16}}][\because 2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}] \\ & =\sin [\sin ^{-1} \frac{\frac{3}{2}}{\frac{25}{16}}]=\sin [\sin ^{-1} \frac{24}{25}] \\

& =\sin [\sin ^{-1}(0.96)] \end{aligned} $

$ =0.96 $

इसलिए, सही उत्तर (c) है।

• विकल्प (a) 0.75 गलत है क्योंकि $\sin [2 \tan^{-1}(0.75)]$ का मान 0.75 के बराबर नहीं होता। गणना दिखाती है कि यह 0.96 के बराबर होता है।

• विकल्प (b) 1.5 गलत है क्योंकि $\sin [2 \tan^{-1}(0.75)]$ का मान 1.5 के बराबर नहीं होता। सही मान 0.96 है।

• विकल्प (d) $\sin 1.5$ गलत है क्योंकि $\sin [2 \tan^{-1}(0.75)]$ $\sin [\sin^{-1}(0.96)]$ के बराबर होता है, जो 0.96 होता है, न कि $\sin 1.5$।

हल

$ \cos ^{-1}(\cos \frac{\pi}{2}) \neq \frac{3 \pi}{2} \quad \because \frac{3 \pi}{2} \notin[0, \pi] $

$\Rightarrow \cos ^{-1}[\cos (\pi+\frac{\pi}{2})] \Rightarrow \cos ^{-1}[-\cos \frac{\pi}{2}] \Rightarrow \cos ^{-1}[0]=\frac{\pi}{2}$

इसलिए, सही उत्तर (a) है।

• विकल्प (b) $\frac{3 \pi}{2}$ गलत है क्योंकि $\frac{3 \pi}{2}$ व्युत्क्रम कोसाइन फ़ंक्शन के मुख्य परिसर $[0, \pi]$ में नहीं है।

• विकल्प (c) $\frac{5 \pi}{2}$ गलत है क्योंकि $\frac{5 \pi}{2}$ व्युत्क्रम कोसाइन फ़ंक्शन के मुख्य परिसर $[0, \pi]$ में नहीं है।

• विकल्प (d) $\frac{7 \pi}{2}$ गलत है क्योंकि $\frac{7 \pi}{2}$ व्युत्क्रम कोसाइन फ़ंक्शन के मुख्य परिसर $[0, \pi]$ में नहीं है।

हल

$2 \sec ^{-1} 2+\sin ^{-1} \frac{1}{2}=2 \sec ^{-1}(\sec \frac{\pi}{3})+\sin ^{-1}(\sin \frac{\pi}{6})$

$ =2 \cdot \frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{2 \pi}{3}+\frac{\pi}{6}=\frac{5 \pi}{6} $

इसलिए, सही उत्तर $(b)$ है।

• विकल्प (a) $\frac{\pi}{6}$ गलत है क्योंकि व्यंजक $2 \sec^{-1} 2 + \sin^{-1} \frac{1}{2}$ का मान $\frac{5\pi}{6}$ होता है, न कि $\frac{\pi}{6}$. मान $\frac{\pi}{6}$ सही मान के तुलना में बहुत छोटा है।

• विकल्प (c) $\frac{7\pi}{6}$ गलत है क्योंकि अभिव्यक्ति $2 \sec^{-1} 2 + \sin^{-1} \frac{1}{2}$ का गणना किया गया मान $\frac{5\pi}{6}$ है, न कि $\frac{7\pi}{6}$. मान $\frac{7\pi}{6}$ सही मान के तुलना में बहुत बड़ा है।

• विकल्प (d) 1 गलत है क्योंकि अभिव्यक्ति $2 \sec^{-1} 2 + \sin^{-1} \frac{1}{2}$ का गणना किया गया मान $\frac{5\pi}{6}$ है, न कि 1। मान 1 सही मान के तुलना में एक ही रूप में नहीं है, जो $\pi$ के रूप में है।

हल

दिया गया है कि $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=\frac{4 \pi}{5}$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} x+\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} y=\frac{4 \pi}{5} \quad[\because \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}] \\ \Rightarrow & \pi-(\cot ^{-1} x+\cot ^{-1} y)=\frac{4 \pi}{5} \\ \Rightarrow & \quad \cot ^{-1} x+\cot ^{-1} y=\pi-\frac{4 \pi}{5} \\ \Rightarrow & \quad \cot ^{-1} x+\cot ^{-1} y=\frac{\pi}{5} \end{matrix} $

अतः, सही उत्तर (a) है।

• विकल्प (b) $\frac{2 \pi}{5}$ गलत है क्योंकि सही गणना दर्शाती है कि $\cot^{-1} x + \cot^{-1} y = \frac{\pi}{5}$, न कि $\frac{2 \pi}{5}$. दिया गया समीकरण $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \frac{4 \pi}{5}$ निम्नलिखित के रूप में जाता है $\pi - \frac{4 \pi}{5}$, जो सरलीकृत करने पर $\frac{\pi}{5}$ होता है।

• विकल्प (c) $\frac{3 \pi}{5}$ गलत है क्योंकि सही गणना दर्शाती है कि $\cot^{-1} x + \cot^{-1} y = \frac{\pi}{5}$, न कि $\frac{3 \pi}{5}$. दिया गया समीकरण $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \frac{4 \pi}{5}$ निम्नलिखित के रूप में जाता है $\pi - \frac{4 \pi}{5}$, जो सरलीकृत करने पर $\frac{\pi}{5}$ होता है।

• विकल्प (d) $\pi$ गलत है क्योंकि सही गणना दर्शाती है कि $\cot^{-1} x + \cot^{-1} y = \frac{\pi}{5}$, न कि $\pi$. दिया गया समीकरण $\tan^{-1} x + \tan^{-1} y = \frac{4 \pi}{5}$ निम्नलिखित के रूप में जाता है $\pi - \frac{4 \pi}{5}$, जो सरलीकृत करने पर $\frac{\pi}{5}$ होता है।

हल

$\sin ^{-1}(\frac{2 a}{1+a^{2}})+\cos ^{-1}(\frac{1-a^{2}}{1+a^{2}})=\tan ^{-1}(\frac{2 x}{1-x^{2}})$

$ \Rightarrow 2 \tan ^{-1} a+2 \tan ^{-1} a=2 \tan ^{-1} x $

$[\because 2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}=\cos ^{-1} \frac{1-x^{2}}{1+x^{2}}=\tan ^{-1} \frac{2 x}{1-x^{2}}]$

$\Rightarrow \quad 4 \tan ^{-1} a=2 \tan ^{-1} x \Rightarrow 2 \tan ^{-1} a=\tan ^{-1} x$

इसलिए, सही उत्तर (d) है।

• विकल्प (a) 0: यह गलत है क्योंकि यदि $x = 0$, तो $\tan^{-1}(0) = 0$ होता है। हालांकि, दिए गए समीकरण $\sin^{-1}(\frac{2a}{1+a^2}) + \cos^{-1}(\frac{1-a^2}{1+a^2})$ के लिए $a \in (0, 1)$ के लिए यह शून्य नहीं होता।

• विकल्प (b) $\frac{a}{2}$: यह गलत है क्योंकि यदि $x = \frac{a}{2}$, तो $\tan^{-1}(\frac{2(\frac{a}{2})}{1-(\frac{a}{2})^2}) = \tan^{-1}(\frac{a}{1-\frac{a^2}{4}})$ होता है। यह दिए गए समीकरण से निर्वचित रूप $(2 \tan^{-1} a)$ के साथ मेल नहीं खाता।

• विकल्प (c) $a$: यह गलत है क्योंकि यदि $x = a$, तो $\tan^{-1}(\frac{2a}{1-a^2})$ के बराबर होना चाहिए $2 \tan^{-1} a$। हालांकि, $\tan^{-1}(\frac{2a}{1-a^2})$ के लिए $a \in (0, 1)$ के लिए $2 \tan^{-1} a$ के बराबर नहीं होता।

हल

हमें, $\cot [\cos ^{-1}(\frac{7}{25})]$

मान लीजिए $\quad \cos ^{-1} \frac{7}{25}=\theta$

$\therefore \quad \cos \theta=\frac{7}{25} \Rightarrow \cot \theta=\frac{7}{24}$

$\therefore \cot [\cos ^{-1}(\frac{7}{25})]=\cot [\cot ^{-1}(\frac{7}{24})]=\frac{7}{24}$

इसलिए, सही उत्तर है $(d)$।

• विकल्प (a) $\frac{25}{24}$: यह विकल्प अंग के साइन के व्युत्क्रम है, न कि कोटैंजेंट। कोटैंजेंट के मान $\frac{7}{24}$ है, न कि $\frac{25}{24}$।

• विकल्प (b) $\frac{25}{7}$: यह विकल्प अंग के कोसाइन के व्युत्क्रम है, न कि कोटैंजेंट। कोटैंजेंट के मान $\frac{7}{24}$ है, न कि $\frac{25}{7}$।

• विकल्प (c) $\frac{24}{25}$: यह विकल्प अंग के टैंजेंट है, न कि कोटैंजेंट। कोटैंजेंट के मान $\frac{7}{24}$ है, न कि $\frac{24}{25}$।

हल

हमें, $\tan [\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}]$

$ \begin{aligned} & \text{ मान लीजिए } \\ & \theta=\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}} \\ & \Rightarrow \quad 2 \theta=\cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}} \Rightarrow \cos 2 \theta=\frac{2}{\sqrt{5}} \\ & \Rightarrow \quad \frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\frac{2}{\sqrt{5}} \quad[\because \cos 2 \theta=\frac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}] \\ & \Rightarrow \quad 2+2 \tan ^{2} \theta=\sqrt{5}-\sqrt{5} \tan ^{2} \theta \\ & \Rightarrow \sqrt{5} \tan ^{2} \theta+2 \tan ^{2} \theta=\sqrt{5}-2 \Rightarrow(\sqrt{5}+2) \tan ^{2} \theta=\sqrt{5}-2 \end{aligned} $

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \tan ^{2} \theta=\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2} \\ \Rightarrow & \tan ^{2} \theta=\frac{(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}-2)}{(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)} \Rightarrow \tan ^{2} \theta=\frac{(\sqrt{5}-2)^{2}}{5-4} \\ \Rightarrow & \tan \theta= \pm(\sqrt{5}-2) \\ \Rightarrow \quad & \tan \theta=\sqrt{5}-2,[-(\sqrt{5}-2) \text{ आवश्यक नहीं है }] \end{matrix} $

$

अतः, सही उत्तर है $(b)$।

• विकल्प (a) $2+\sqrt{5}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\tan \theta$ का निर्मित मान $\sqrt{5}-2$ है, न कि $2+\sqrt{5}$। व्यंजक $\tan [\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}]$ सरलीकृत करने पर $\sqrt{5}-2$ प्राप्त होता है, जो $2+\sqrt{5}$ के बराबर नहीं है।

• विकल्प (c) $\frac{\sqrt{5}+2}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\tan \theta$ का निर्मित मान $\sqrt{5}-2$ है। व्यंजक $\tan [\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}]$ $\frac{\sqrt{5}+2}{2}$ के बराबर नहीं होता।

• विकल्प (d) $5+\sqrt{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\tan \theta$ का निर्मित मान $\sqrt{5}-2$ है। व्यंजक $\tan [\frac{1}{2} \cos ^{-1} \frac{2}{\sqrt{5}}]$ $5+\sqrt{2}$ के बराबर नहीं होता।

हल

यहाँ हमें $2 \tan ^{-1} x+\sin ^{-1}(\frac{2 x}{1+x^{2}})$ दिया गया है

$ \begin{aligned} & =2 \tan ^{-1} x+2 \tan ^{-1} x \quad[\because 2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^{2}}] \\ & =4 \tan ^{-1} x \end{aligned} $

अतः, सही उत्तर है $(a)$।

• विकल्प (b) 0: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यंजक $(2 \tan^{-1} x + \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right))$ सरलीकृत करने पर $(4 \tan^{-1} x)$ प्राप्त होता है, न कि 0। दिए गए त्रिकोणमितीय पहचानों और सरलीकरणों से 0 के परिणाम नहीं आता।

• विकल्प (c) $(\frac{\pi}{2})$: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यंजक $(2 \tan^{-1} x + \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right))$ सरलीकृत करने पर $(4 \tan^{-1} x)$ प्राप्त होता है, न कि $(\frac{\pi}{2})$। सरलीकरण की प्रक्रिया किसी भी मान $( x )$ के लिए $(\frac{\pi}{2})$ के परिणाम नहीं देती।

• विकल्प (d) $( \pi )$: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यंजक $(2 \tan^{-1} x + \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right))$ सरलीकृत करने पर $(4 \tan^{-1} x)$ प्राप्त होता है, न कि $(\pi)$। त्रिकोणमितीय पहचानों और $(x)$ के परिसर के आधार पर $(\pi)$ के परिणाम का समर्थन नहीं होता।

हल

हमें $\cos ^{-1} \alpha+\cos ^{-1} \beta+\cos ^{-1} \gamma=3 \pi$ दिया गया है

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \cos ^{-1} \alpha+\cos ^{-1} \beta+\cos ^{-1} \gamma=\pi+\pi+\pi \\ & \Rightarrow \quad \cos ^{-1} \alpha=\pi, \cos ^{-1} \beta=\pi \text{ और } \cos ^{-1} \gamma=\pi \\ & \Rightarrow \quad \alpha=\cos \pi, \beta=\cos \pi \text{ और } \gamma=\cos \pi \\ & \therefore \quad \alpha=-1, \beta=-1 \text{ और } \gamma=-1 \\ & \text{ जो कि } \alpha=\beta=\gamma=-1 \\ & \text{ इसलिए } \quad \alpha(\beta+\gamma)+\beta(\gamma+\alpha)+\gamma(\alpha+\beta) \\ & \Rightarrow \quad(-1)(-1-1)+(-1)(-1-1)+(-1)(-1-1) \\ & \Rightarrow \quad(-1)(-2)+(-1)(-2)+(-1)(-2) \Rightarrow 2+2+2 \Rightarrow 6 \end{aligned} $

इसलिए, सही उत्तर (c) है।

• विकल्प (a) 0: यह विकल्प गलत है क्योंकि $(\alpha(\beta+\gamma) + \beta(\gamma+\alpha) + \gamma(\alpha+\beta))$ के लिए $(\alpha = \beta = \gamma = -1)$ के साथ गणना 6 के बजाए 0 नहीं होती। व्यंजक सरलीकृत होता है $(2 + 2 + 2 = 6)$।

• विकल्प (b) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि $(\alpha(\beta+\gamma) + \beta(\gamma+\alpha) + \gamma(\alpha+\beta))$ के लिए $(\alpha = \beta = \gamma = -1)$ के साथ व्यंजक 1 के बजाए 6 नहीं होता। सही सरलीकरण $(2 + 2 + 2 = 6)$ है।

• विकल्प (d) 12: यह विकल्प गलत है क्योंकि $(\alpha(\beta+\gamma) + \beta(\gamma+\alpha) + \gamma(\alpha+\beta))$ के लिए $(\alpha = \beta = \gamma = -1)$ के साथ व्यंजक 12 के बजाए 6 होता है। सही गणना $(2 + 2 + 2 = 6)$ है।

हल

हमें $\sqrt{1+\cos 2 x}=\sqrt{2} \cos ^{-1}(\cos x)$ मिलता है

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \sqrt{2 \cos ^{2} x}=\sqrt{2} x \\ \Rightarrow & \sqrt{2} \cos x & =\sqrt{2} x \Rightarrow \cos x=x \end{matrix} $

इसके लिए कोई भी $x$ के मान नहीं मिलता है।

अतः सही उत्तर $(d)$ है।

• विकल्प (a) 0: यह विकल्प गलत है क्योंकि अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ में समीकरण $\cos x = x$ कोई वास्तविक हल नहीं रखता है। अतः यह कथन कि कोई हल नहीं है गलत है।

• विकल्प (b) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ में समीकरण $\cos x = x$ के ठीक एक वास्तविक हल नहीं होता है। अतः यह कथन कि एक हल है गलत है।

• विकल्प (c) 2: यह विकल्प गलत है क्योंकि अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ में समीकरण $\cos x = x$ के ठीक दो वास्तविक हल नहीं होते हैं। अतः यह कथन कि दो हल हैं गलत है।

• विकल्प (d) अनंत: यह विकल्प गलत है क्योंकि अंतराल $[\frac{\pi}{2}, \pi]$ में समीकरण $\cos x = x$ कोई वास्तविक हल नहीं रखता है। अतः यह कथन कि अनंत हल हैं गलत है।

हल

यहाँ दिया गया है कि $\cos ^{-1} x>\sin ^{-1} x$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \sin [\cos ^{-1} x]>x \\ \Rightarrow & \sin [\sin ^{-1} \sqrt{1-x^{2}}]>x \Rightarrow \sqrt{1-x^{2}}>x \\ \Rightarrow & x<\sqrt{1-x^{2}} \Rightarrow x^{2}<1-x^{2} \Rightarrow 2 x^{2}<1 \\ \Rightarrow & x^{2}<\frac{1}{2} \Rightarrow x< \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \end{matrix} $

हम जानते हैं कि $-1 \leq x \leq 1$

अतः $-1 \leq x<\frac{1}{\sqrt{2}}$।

अतः सही उत्तर (c) है।

• विकल्प (a) $\frac{1}{\sqrt{2}}<x \leq 1$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि $( x )$ का मान $(\frac{1}{\sqrt{2}})$ से अधिक है। हालांकि, हल के अनुसार $( x )$ का मान $(\frac{1}{\sqrt{2}})$ से कम होना चाहिए। अतः यह अंतराल स्थिति $( \cos^{-1} x > \sin^{-1} x )$ को संतुष्ट नहीं करता है।

• विकल्प (ब) $0 \leq x<\frac{1}{\sqrt{2}}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें केवल $( x )$ के गैर-ऋणात्मक मानों को माना गया है। समाधान से प्राप्त सही अंतराल $( -1 \leq x < \frac{1}{\sqrt{2}} )$ है, जो ऋणात्मक मानों को भी शामिल करता है। अतः, यह विकल्प अत्यधिक संकीर्ण है।

• विकल्प (द) $x>0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें $( x )$ के धनात्मक मानों को ही माना गया है। हालांकि, समाधान से प्राप्त सही अंतराल $( -1 \leq x < \frac{1}{\sqrt{2}} )$ है, जो ऋणात्मक मानों को भी शामिल करता है। अतः, यह विकल्प $( x )$ के सभी वैध अंतराल को नहीं शामिल करता है।

हल

मान लीजिए $\cos ^{-1}(-\frac{1}{2})=x \quad \Rightarrow \quad \cos x=-\frac{1}{2}$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow & \cos x & =\cos (-\frac{\pi}{3}) \Rightarrow \cos x=\cos (\pi-\frac{\pi}{3})=\cos \frac{2 \pi}{3} \\ & \therefore & x & =\frac{2 \pi}{3} \in[0, \pi] \end{aligned} $

अतः, $\cos ^{-1}(-\frac{1}{2})$ का मुख्य मान $\frac{2 \pi}{3}$ है।

हल

$\quad \sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5}) \neq \frac{3 \pi}{5}$ क्योंकि $\frac{3 \pi}{5} \notin[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$

अतः $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})=\sin ^{-1} \sin (\pi-\frac{2 \pi}{5})$

$ =\sin ^{-1} \sin (\frac{2 \pi}{5})=\frac{2 \pi}{5} \in[\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}] $

अतः, $\sin ^{-1}(\sin \frac{3 \pi}{5})$ का मान $\frac{2 \pi}{5}$ है।

हल

दिया गया है कि

$ \begin{aligned} & \cos [\tan ^{-1} x+\cot ^{-1} \sqrt{3}]=0 \\ \Rightarrow & \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} \sqrt{3}=\cos ^{-1}(0) \\ \Rightarrow & \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} \sqrt{3}=\frac{\pi}{2} \\ \Rightarrow & \tan ^{-1} x=\frac{\pi}{2}-\cot ^{-1} \sqrt{3} \\ `

\Rightarrow & \tan ^{-1} x=\tan ^{-1} \sqrt{3} \Rightarrow x=\sqrt{3} \end{aligned} \quad[\because \tan ^{-1} x+\cot ^{-1} x=\frac{\pi}{2}] $

इसलिए, $x$ का मान $\sqrt{3}$ है।

हल

मान लीजिए $\sec ^{-1}(\frac{1}{2})=x \Rightarrow \sec x=\frac{1}{2}$

क्योंकि, $\sec ^{-1} x$ की डोमेन $R- (-1,1)$ है और $\frac{1}{2} \notin R-(-1,1)$।

इसलिए, $\sec ^{-1}(\frac{1}{2})$ का कोई मान का समुच्चय नहीं है।

हल

$\tan ^{-1} \sqrt{3}=\tan ^{-1}(\tan \frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{3} \in(\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$

इसलिए $\tan ^{-1} \sqrt{3}$ का मुख्य मान $\frac{\pi}{3}$ है।

हल

$\quad \cos ^{-1}(\cos \frac{14 \pi}{3})=\cos ^{-1}[\cos (5 \pi-\frac{\pi}{3})]$

$ \begin{aligned} & =\cos ^{-1}[\cos (\frac{-\pi}{3})]=\cos ^{-1}[\cos (\pi-\frac{\pi}{3})] \\ & =\cos ^{-1}[\cos \frac{2 \pi}{3}]=\frac{2 \pi}{3} \in[0, \pi] \end{aligned} $

इसलिए, $\cos ^{-1}[\cos \frac{14 \pi}{3}]=\frac{2 \pi}{3}$ का मान है।

हल

$\cos [\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x]=\cos \frac{\pi}{2}=0 \quad[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}]$ इसलिए, $\cos (\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x)=0$ का मान है।

हल

$\tan (\frac{\sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x}{2})=\tan (\frac{\pi}{4})=1[\because \sin ^{-1} x+\cos ^{-1} x=\frac{\pi}{2}]$ इसलिए, दिए गए व्यंजक का मान 1 है।

हल

$$ y=2 \tan ^{-1} x+\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right) $$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & y=2 \tan ^{-1} x+2 \tan ^{-1} x \\ \Rightarrow & y=4 \tan ^{-1} x\end{matrix} [\because \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^{2}}\right)=2 \tan ^{-1} x] $$

अब $\frac{-\pi}{2}<\tan ^{-1} x<\frac{\pi}{2}$

$$ \Rightarrow \quad-4 \times \frac{\pi}{2}<4 \tan ^{-1} x<4 \times \frac{\pi}{2} \Rightarrow-2 \pi<y<2 \pi $$

अतः, $y$ का मान $(-2 \pi, 2 \pi)$ है।

हल

दिया गया परिणाम $x y>-1$ के लिए सत्य होता है।

हल

$$ \cot ^{-1}(-x)=\pi-\cot ^{-1} x, x \in R \quad[\because \cot^{-1}(-x)=\pi-\cot ^{-1} x] $$

हल

गलत।

हम जानते हैं कि सभी व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन अपने प्रांतों पर सीमित होते हैं।

हल

गलत।

हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} x=\sec ^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) \neq \sec x$ अतः

$$ (\cos ^{-1} x)^{2} \neq \sec ^{2} x $$

हल

सत्य।

हम जानते हैं कि सभी त्रिकोणमितीय फलन अपने प्रांतों को सीमित करके उनके व्युत्क्रम फलन प्राप्त किए जा सकते हैं।

हल

सत्य है।

हल

सत्य है।

हम जानते हैं कि व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन के ग्राफ में प्रांत और परिसर उनके संगत त्रिकोणमितीय फलन के ग्राफ में आपस में बदल जाते हैं।

हल

गलत है।

दिया गया है कि $\tan ^{-1} \frac{n}{\pi}>\frac{\pi}{3}$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \frac{n}{\pi}>\tan \frac{\pi}{4} \Rightarrow \frac{n}{\pi}>1 \\ \Rightarrow & n>\pi \Rightarrow n>3.14 \end{matrix} $

अतः, $n$ का मान 4 है।

हल

सत्य है।

$ \begin{aligned} \sin ^{-1}[\cos (\sin ^{-1} \frac{1}{2})] & =\sin ^{-1}[\cos (\sin ^{-1} \sin \frac{\pi}{6})] \\ \sin ^{-1}[\cos \frac{\pi}{6}] & =\sin ^{-1}(\frac{\sqrt{3}}{2})=\sin ^{-1}(\sin \frac{\pi}{3})=\frac{\pi}{3} \end{aligned} $