हल

दिया गया अवकल समीकरण है

चरों को अलग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \frac{d y}{d x}=2^{y-x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{2^{y}}{2^{x}} $

$ \frac{d y}{2^{y}}=\frac{d x}{2^{x}} \Rightarrow 2^{-y} d y=2^{-x} d x $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \int 2^{-y} d y & =\int 2^{-x} d x \\ & \\ \frac{-2^{-y}}{\log 2} & =\frac{-2^{-x}}{\log 2}+c \quad \Rightarrow-2^{-y}=-2^{-x}+c \log 2 \\ \Rightarrow \quad-2^{-y}+2^{-x} & =c \log 2 \\ \Rightarrow \quad 2^{-x}-2^{-y} & =k \quad \quad \quad \text{जहाँ} \quad c \log 2=k \end{aligned} $

हल

सभी ऊर्ध्वाधर रेखाओं का समीकरण $y=m x+c$ है

$ x $ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है $\frac{d y}{d x}=m$

फिर दोबारा $ x $ के संदर्भ में अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$

इसलिए, अभीष्ट समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$ है।

हल

दिया गया समीकरण है

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x} & =e^{-2 y} \end{aligned} $

चरों को अलग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad \frac{d y}{e^{-2 y}} & =d x \Rightarrow e^{2 y} \cdot d y=d x \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \int e^{2 y} d y=\int d x \Rightarrow \frac{1}{2} e^{2 y}=x+c $

$y=0$ और $x=5$ (दिया गया) रखने पर

$\Rightarrow \frac{1}{2} e^{0}=5+c \Rightarrow c=\frac{1}{2}-5=-\frac{9}{2}$

$\therefore$ समीकरण बनता है $\frac{1}{2} e^{2 y}=x-\frac{9}{2}$

अब $y=3$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \frac{1}{2} e^{6}=x-\frac{9}{2} \Rightarrow x=\frac{1}{2} e^{6}+\frac{9}{2} $

इसलिए, अभीष्ट $x$ का मान $x=\frac{1}{2}(e^{6}+9)$ है।

हल

दी गई अवकल समीकरण है

$ (x^{2}-1) \frac{d y}{d x}+2 x y=\frac{1}{x^{2}-1} $

$(x^{2}-1)$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \frac{d y}{d x}+\frac{2x y}{x^{2}-1}=\frac{1}{(x^{2}-1)^{2}} $

यह एक प्रथम घात और प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ, $ P=\frac{2 x}{x^{2}-1}$ और $Q=\frac{1}{(x^{2}-1)^{2}}$

समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2 x}{x^{2}-1} d x}=e^{\log |(x^{2}-1)|}=(x^{2}-1) , ((x^{2}-1)>0)$

$\therefore$ समीकरण का हल है

$ \begin{aligned} & y \times \text{ I.F. }=\int Q \times \text{ I.F. } d x+\text{ C } \\ & \Rightarrow y \times(x^{2}-1)=\int \frac{1}{(x^{2}-1)^{2}} \times(x^{2}-1) d x+\text{ C } \\ & \Rightarrow y(x^{2}-1)=\int \frac{1}{x^{2}-1} d x+C \end{aligned} $

$ \Rightarrow y(x^{2}-1)=\frac{1}{2} \log (|\frac{x-1}{x+1}|)+C$

अतः अभीष्ट हल $y(x^{2}-1)=\frac{1}{2} \log (|\frac{x-1}{x+1}|)+C$ है।

हल

दी गई समीकरण $\frac{d y}{d x}+2 x y=y$ है।

$ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=y-2 x y \quad \Rightarrow \frac{d y}{d x}=y(1-2 x) \\ \Rightarrow \frac{d y}{y}=(1-2 x) d x $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \int \frac{d y}{ y}=\int(1-2 x) d x \Rightarrow \log |y|=x-2 \cdot \frac{x^{2}}{2}+\log |c| \\ & \Rightarrow \quad \log |y|=x-x^{2}+\log |c| \Rightarrow \log |y|-\log |c|=x-x^{2} \\ & \Rightarrow \quad \log |\frac{y}{c}|=x-x^{2} \Rightarrow |{y}|=|{c}|e^{x-x^{2}} \\ \Rightarrow {y}=\pm {c}e^{x-x^{2}} \\ & \therefore \quad y=C \cdot e^{x-x^{2}} (where \quad C=\pm c) \end{aligned} $

अतः अभीष्ट हल $y=C \cdot e^{x-x^{2}}$ है।

हल

दी गई समीकरण है $\frac{d y}{d x}+a y=e^{m x}$.

यहाँ, $P=a$ और $Q=e^{m x}$

$\therefore$ I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int a \cdot d x}=e^{a x}$.

समीकरण का हल $y \times$ I.F $=\int Q \times $ I.F. $d x+c$

$ \begin{matrix} \Rightarrow \quad y \cdot e^{a x}=\int e^{m x} \cdot e^{a x} d x+c \Rightarrow y \cdot e^{a x}=\int e^{(m+a) x} d x+c \\ \Rightarrow \qquad y \cdot e^{a x}=\frac{e^{(m+a) x}}{(m+a)}+c \Rightarrow y=\frac{e^{(m+a) x}}{(m+a)} \cdot e^{-a x}+c \cdot e^{-a x} \\ \therefore \qquad y=\frac{e^{m x}}{(m+a)}+c \cdot e^{-a x} \end{matrix} $

$ \Rightarrow (m+a)y = e^{mx}+ c(m+a)e^{-ax}$

$ \Rightarrow (m+a)y = e^{mx}+ Ce^{-ax} (where \quad C= c(m+a))$

इसलिए अभीष्ट हल है $ (m+a)y = e^{mx}+ Ce^{-ax}$

हल

दिया गया है: $\frac{d y}{d x}+1=e^{x+y}$

$ x+y=t $ रखें

दोनों ओर x के सापेक्ष अवकलन करें, (हम प्राप्त करते हैं)

$ \begin{matrix} \therefore & 1+\frac{d y}{d x} & =\frac{d t}{d x} \\ \therefore & \frac{d t}{d x} & =e^{t} \Rightarrow \frac{d t}{e^{t}}=d x \\ \Rightarrow e^{-t} d t=d x \end{matrix} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{gathered} \int e^{-t} d t=\int d x \Rightarrow-e^{-t}=x+c \\ \Rightarrow \quad-e^{-(x+y)}=x+c \Rightarrow \frac{-1}{e^{x+y}}=x+c \Rightarrow(x+c) e^{x+y}=-1 \end{gathered} $

इसलिए, अभीष्ट हल है $(x+c) \ e^{x+y} \ +1=0$.

हल

दी गई समीकरण है $y d x-x d y=x^{2} y d x$.

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad y d x-x^{2} y d x=x d y \\ & \Rightarrow \quad y(1-x^{2}) d x=x d y \\ & \Rightarrow \quad(\frac{1-x^{2}}{x}) d x=\frac{d y}{y} \Rightarrow(\frac{1}{x}-x) d x=\frac{d y}{y} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \int(\frac{1}{x}-x) d x=\int \frac{d y}{y} \\ \Rightarrow & \log |x|-\frac{x^{2}}{2}=\log |y|+\log |c| \end{aligned}

$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \log |x|-\frac{x^{2}}{2}=\log |y c| \Rightarrow \log |x|-\log |y c|=\frac{x^{2}}{2} \\ & \Rightarrow \log |\frac{x}{y c}|=\frac{x^{2}}{2} \Rightarrow |\frac{x}{y c}|=e^\frac{x^{2}}{2} \\ & \Rightarrow \quad \frac{x}{y c}=\pm e^{x^{2} / 2} \Rightarrow \frac{y c}{x}=\mp e^{-x^{2} / 2} \Rightarrow y c=\mp x e^{-x^{2} / 2} \\ & \therefore \quad y=\mp \frac{1}{c} \cdot x e^{-x^{2} / 2} \Rightarrow y=k x e^{-x^{2} / 2} \quad[जहाँ \quad k=\mp \frac{1}{c}] \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक हल है $y=k x e^{-x^{2} / 2}$।

हल

दी गई समीकरण है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =1+x+y^{2}+x y^{2} \\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x} & =1(1+x)+y^{2}(1+x) \\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x} & =(1+x)(1+y^{2})\\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{1+y^{2}}=(1+x) d x \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \int \frac{d y}{1+y^{2}}=\int(1+x) d x \Rightarrow \tan ^{-1} y=x+\frac{x^{2}}{2}+c $

$ x=0 $ और $ y=0 $ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं $ \tan ^{-1}(0)=0+0+c \Rightarrow c=0 $

$\therefore \quad \tan ^{-1} y=x+\frac{x^{2}}{2} \Rightarrow y=\tan (x+\frac{x^{2}}{2})$

इसलिए, आवश्यक हल है $y=\tan (x+\frac{x^{2}}{2})$।

हल

दी गई समीकरण है $(x+2 y^{3}) \frac{d y}{d x}=y$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x+2 y^{3}} \Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{x+2 y^{3}}{y} \\ & \Rightarrow \quad \frac{d x}{d y}=\frac{x}{y}+\frac{2 y^{3}}{y} \Rightarrow \frac{d x}{d y}-\frac{x}{y}=2 y^{2} \end{aligned} $

यह एक प्रथम कोटि और प्रथम डिग्री का रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ $P=-\frac{1}{y}$ और $Q=2 y^{2}$ है।

$\therefore$ समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d y}=e^{\int-\frac{1}{y} d y}=e^{-\log |y|}=e^{\log \frac{1}{|y|}}=\frac{1}{|y|}, \quad (y \neq 0)$

$ y > 0 $ के लिए

इस समीकरण का समाधान है

$ \begin{aligned} x \times I . F . & =\int Q \times \text{ I.F. } d y+c \\ x \cdot \frac{1}{y} & =\int 2 y^{2} \cdot \frac{1}{y} d y+c \\ \Rightarrow \quad \frac{x}{y} & =2 \int y d y+c \Rightarrow \frac{x}{y}=2 \cdot \frac{y^{2}}{2}+c \Rightarrow \frac{x}{y}=y^{2}+c \end{aligned} $

इसलिए $x=y(y^{2}+c)$

$ y < 0 $ के लिए

इस समीकरण का समाधान है

$ \begin{aligned} x \times I . F . & =\int Q \times \text{ I.F. } d y+k \\ x \cdot \frac{1}{-y} & =\int 2 y^{2} \cdot \frac{1}{-y} d y+k \\ \Rightarrow \quad \frac{x}{y} & =2 \int y d y-k \Rightarrow \frac{x}{y}=2 \cdot \frac{y^{2}}{2}-k \Rightarrow \frac{x}{y}=y^{2}-k \end{aligned} $

इसलिए $x=y(y^{2}-k)$

इसलिए, आवश्यक समाधान है $x=y(y^{2}+C)$.

हल

दिया गया समीकरण है

$ \begin{aligned} & (\frac{2+\sin x}{1+y}) \frac{d y}{d x}=-\cos x \\ \Rightarrow &(\frac{2+\sin x}{\cos x}) \frac{d y}{d x}=-(1+y)\\ \Rightarrow \frac{d y}{(1+y)}=-(\frac{\cos x}{2+\sin x}) d x \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{1+y} & =-\int \frac{\cos x}{2+\sin x} d x \\ \log |1+y| & =-\log |2+\sin x|+\log |c| \\ \Rightarrow \log |1+y|+\log |2+\sin x| & =\log |c| \\ \Rightarrow \quad \log |(1+y)(2+\sin x)| & =\log |c| \Rightarrow |(1+y)(2+\sin x)|=|c| \\ \Rightarrow (1+y)(2+\sin x)=\pm c \\ \Rightarrow (1+y)(2+\sin x)= C, \quad (where \quad C =\pm c) \end{aligned} $

$ x=0 $ और $ y=1 $ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$(1+1)(2+\sin 0)=C \Rightarrow 4=C$

$\therefore$ समीकरण है $(1+y)(2+\sin x)=4$

अब $ x=\frac{\pi}{2} $ रखने पर

$ \begin{aligned} & \therefore \quad(1+y)(2+\sin \frac{\pi}{2})=4 \\ & \Rightarrow \quad(1+y)(2+1)=4 \Rightarrow 1+y=\frac{4}{3} \Rightarrow y=\frac{4}{3}-1 \Rightarrow y=\frac{1}{3} \end{aligned} $

इसलिए, $y(\frac{\pi}{2})=\frac{1}{3}$

इसलिए, आवश्यक समाधान $y(\frac{\pi}{2})=\frac{1}{3}$ है।

हल

दी गई समीकरण है

$ (1+t) \frac{d y}{d t}-t y=1 \Rightarrow \frac{d y}{d t}-(\frac{t}{1+t}) y=\frac{1}{1+t} $

यह एक प्रथम कोटि और प्रथम डिग्री का रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ, $P=\frac{-t}{1+t}$ और $Q=\frac{1}{1+t}$

$\therefore$ समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d t}=e^{\int \frac{-t}{1+t} d t}=e^{-\int \frac{1+t-1}{1+t} d t}$

$ \begin{aligned} & I.F. =e^{-\int(1-\frac{1}{1+t}) d t}=e^{-[t-\log |(1+t)|]} \\ & =e^{-t+\log |(1+t)|}=e^{-t} \cdot e^{\log (1+t)} , \quad ((1+t)>0) \end{aligned} $

$\therefore$ I.F. $=e^{-t} \cdot(1+t)$

दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है

$ \begin{matrix} y \times \text{ I.F. } =\int \text Q \times {I.F. } d t+c \\ \Rightarrow \qquad y \cdot e^{-t}(1+t) =\int \frac{1}{(1+t)} \cdot e^{-t} \cdot(1+t) d t+c \\ \Rightarrow \qquad y \cdot e^{-t}(1+t) =\int e^{-t} d t+c \\ \Rightarrow \qquad y \cdot e^{-t}(1+t) =-e^{-t}+c \end{matrix} $

$ \begin{aligned} & \text{ रखें } t=0 \text{ और } y=-1 , [\because y(0)=-1] \\ & \Rightarrow \quad-1 \cdot e^{0} \cdot 1=-e^{0}+c \\ & \Rightarrow \quad-1=-1+c \Rightarrow c=0 \end{aligned} $

इसलिए समीकरण बन जाती है

$ y e^{-t}(1+t)=-e^{-t} $

अब $t=1$ रखें

$\therefore \quad y \cdot e^{-1}(1+1)=-e^{-1}$

$\Rightarrow \quad 2 y=-1 \Rightarrow y=-\frac{1}{2}$

इसलिए $y(1)=-\frac{1}{2}$ की जांच की गई है।

हल

दी गई समीकरण है $y=(\sin ^{-1} x)^{2}+A \cos ^{-1} x+B$

$ \frac{d y}{d x}=2 \sin ^{-1} x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}+A \cdot(\frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}) $

अब दोनों ओर को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \sqrt{1-x^{2}} \cdot \frac{d y}{d x} = 2 \sin ^{- $$

$ \sqrt{1-x^{2}} \frac{d y}{d x}=2 \sin ^{-1} x-A $

पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x} \cdot \frac{1 \times(-2 x)}{2 \sqrt{1-x^{2}}}=\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}} \\ \Rightarrow \quad & \sqrt{1-x^{2}} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \frac{d y}{d x}=\frac{2}{\sqrt{1-x^{2}}} \end{aligned} $

दोनों ओर को $\sqrt{1-x^{2}}$ से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \Rightarrow \quad(1-x^{2}) \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-x \frac{d y}{d x}-2=0 $

जो अभीष्ट अवकल समीकरण है।

हल

मूल बिंदु से गुजरते हुए और जिनके केंद्र $y$-अक्ष पर स्थित होते हैं वाले वृत्त का समीकरण है

$$(x-0)^{2}+(y-a)^{2} =a^{2}$$

$$\Rightarrow \qquad x^{2}+y^{2}+a^{2}-2 a y =a^{2}$$

$$\Rightarrow \qquad x^{2}+y^{2}-2 a y =0 \tag{i}$$

$ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\Rightarrow \quad 2 x+2 y \cdot \frac{d y}{d x}-2 a \cdot \frac{d y}{d x}=0$

$\Rightarrow \quad x+y \frac{d y}{d x}-a \cdot \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow x+(y-a) \cdot \frac{d y}{d x}=0$

$ y-a=\frac{-x}{d y / d x} $

$ \therefore \quad a=y+\frac{x}{d y / d x} $

समीकरण (i) में $a$ के मान को रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & x^{2}+y^{2}-2(y+\frac{x}{d y / d x}) y=0 \\ & \Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}-2 y^{2}-\frac{2 x y}{\frac{d y}{d x}}=0 \Rightarrow x^{2}-y^{2}=\frac{2 x y}{\frac{d y}{d x}} \\ & \therefore \quad(x^{2}-y^{2}) \frac{d y}{d x}-2 x y=0 \end{aligned} $

इसलिए, अभीष्ट अवकल समीकरण है

$ (x^{2}-y^{2}) \frac{d y}{d x}-2 x y=0 $

हल

दी गई समीकरण है

$$ \begin{aligned} & (1+x^{2}) \frac{d y}{d x}+2 x y=4 x^{2} \\ & \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}+\frac{2 x}{1+x^{2}} \cdot y=\frac{4 x^{2}}{1+x^{2}} \end{aligned} $$

यह एक प्रथम कोटि और प्रथम डिग्री की रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ, $P=\frac{2 x}{1+x^{2}}$ और $Q=\frac{4 x^{2}}{1+x^{2}}$

समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}=e^{\log |(1+x^{2})|}=|(1+x^{2})| = (1+ x^{2} ) , \quad (\because \quad (1+ x^{2} ) \quad धनात्मक है) $

$\therefore$ हल है

$$ \begin{align*} & y \times \text{ I.F. }=\int Q \times \text{ I.F. } d x+c \\ & \Rightarrow y(1+x^{2})=\int \frac{4 x^{2}}{1+x^{2}} \times(1+x^{2}) d x+c \\ & \Rightarrow \quad y(1+x^{2})=\int 4 x^{2} d x+c \\ & \Rightarrow \quad y(1+x^{2})=\frac{4}{3} x^{3}+c \tag{i} \end{align*} $$

क्योंकि वक्र मूलबिंदु (0,0) से गुजरता है

$\therefore$ समीकरण (i) में $y=0$ और $x=0$ रखें

$0(1+0)=\frac{4}{3}(0)^{3}+c \Rightarrow c=0$

$\therefore$ समीकरण है $y(1+x^{2})=\frac{4}{3} x^{3} \Rightarrow y=\frac{4 x^{3}}{3(1+x^{2})}$

अतः, अभीष्ट हल $y=\frac{4 x^{3}}{3(1+x^{2})}$ है।

हल

दी गई समीकरण है $x^{2} \frac{d y}{d x}=x^{2}+x y+y^{2}$

$$ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+x y+y^{2}}{x^{2}} \quad \text{(होमोजीन अवकल समीकरण)} $$

$y=v x$ रखें

$\therefore \quad \frac{d y}{d x}=v+x \cdot \frac{d v}{d x}$

$\therefore \quad v+x \cdot \frac{d v}{d x}=\frac{x^{2}+v x^{2}+v^{2} x^{2}}{x^{2}}$

$\Rightarrow \quad v+x \cdot \frac{d v}{d x}=\frac{x^{2}(1+v+v^{2})}{x^{2}}$

$\Rightarrow \quad v+x \cdot \frac{d v}{d x}=1+v+v^{2} \Rightarrow x \cdot \frac{d v}{d x}=1+v+v^{2}-v$

$$ \Rightarrow \quad x \cdot \frac{d v}{d x}=1+v^{2}\\ \Rightarrow \frac{d v}{1+v^{2}}=\frac{d x}{x} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} \int \frac{d v}{1+v^{2}} & =\int \frac{d x}{x} \\

\Rightarrow \quad \tan ^{-1} v & =\log |x|+c \Rightarrow \tan ^{-1}(\frac{y}{x})=\log |x|+c \end{aligned} $

अतः, आवश्यक हल है $\tan ^{-1}(\frac{y}{x})=\log |x|+c$।

हल

दी गई समीकरण है

$ \begin{aligned} & (1+y^{2})+(x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow & (x-e^{\tan ^{-1} y}) \frac{d y}{d x}=-(1+y^{2}) \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{-(1+y^{2})}{x-e^{\tan ^{-1} y}} \\ \Rightarrow & \quad \frac{d x}{d y}=\frac{x-e^{\tan ^{-1} y}}{-(1+y^{2})} \Rightarrow \frac{d x}{d y}=-\frac{x}{(1+y^{2})}+\frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} \\ \Rightarrow & \frac{d x}{d y}+\frac{x}{(1+y^{2})}=\frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} \end{aligned} $

यह एक प्रथम कोटि और प्रथम डिग्री का रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ, $P=\frac{1}{1+y^{2}}$ और $Q=\frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}}$

$\therefore$ समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d y}=e^{\int \frac{1}{1+y^{2}} d y}=e^{\tan ^{-1} y}$

$\therefore$ हल है

$ \begin{aligned} & x \times \text{ I.F. }=\int Q \times \text{ I.F. } d y+c \\ \Rightarrow \quad x \cdot e^{\tan ^{-1} y} & =\int \frac{e^{\tan ^{-1} y}}{1+y^{2}} \cdot e^{\tan ^{-1} y} d y+c \end{aligned} $

मान लीजिए $e^{\tan ^{-1} y}=t$

$\therefore e^{\tan ^{-1} y} \cdot \frac{1}{1+y^{2}} d y=d t$

$\therefore \quad x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=\int t \cdot d t+c$

$\Rightarrow x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=\frac{1}{2} t^{2}+c$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=\frac{1}{2}(e^{\tan ^{-1} y})^{2}+c \\ & \Rightarrow 2 x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=(e^{\tan ^{-1} y})^{2}+2 c \\ & \Rightarrow 2 x \cdot e^{\tan ^{-1} y}=(e^{2\tan ^{-1} y})+ C, \quad (where \quad C = 2c) \end{aligned} $

अतः, यह आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दी गई समीकरण है $y^{2} d x+(x^{2}-x y+y^{2}) d y=0$.

$ \begin{matrix} \Rightarrow & y^{2} d x=-(x^{2}-x y+y^{2}) d y \\ \Rightarrow & \frac{d x}{d y}=-\frac{x^{2}-x y+y^{2}}{y^{2}} \end{matrix} $

क्योंकि यह एक एकरूप समीकरण है

$\therefore$ रखें $x=v y \Rightarrow \frac{d x}{d y}=v+y \cdot \frac{d v}{d y}$

इसलिए, $\quad v+y \cdot \frac{d v}{d y}=-(\frac{v^{2} y^{2}-v y^{2}+y^{2}}{y^{2}})$

$\Rightarrow \quad v+y \cdot \frac{d v}{d y}=-\frac{y^{2}(v^{2}-v+1)}{y^{2}}$

$\Rightarrow \quad v+y \cdot \frac{d v}{d y}=(-v^{2}+v-1) \Rightarrow y \cdot \frac{d v}{d y}=-v^{2}+v-1-v$

$\Rightarrow \quad y \cdot \frac{d v}{d y}=-v^{2}-1 \Rightarrow \frac{d v}{(v^{2}+1)}=-\frac{d y}{y}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \int \frac{d v}{(v^{2}+1)}=-\int \frac{d y}{y} \Rightarrow \tan ^{-1} v=-\log |y|+c \\ & \Rightarrow \quad \tan ^{-1}(\frac{x}{y})+\log |y|=c \end{aligned} $

इसलिए अभीष्ट समाधान है $\tan ^{-1}(\frac{x}{y})+\log |y|=c$.

हल

दी गई अवकल समीकरण है

$\qquad (x+y)(d x-d y) =d x+d y$

$\Rightarrow \quad (x+y) d x-(x+y) d y =d x+d y$

$\Rightarrow \quad -(x+y) d y-d y =d x-(x+y) d x$

$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad -(x+y+1) d y =-(x+y-1) d x \\ \Rightarrow \frac{d y}{d x} =\frac{x+y-1}{x+y+1} \end{aligned} $

रखें $x+y=z$

$ \begin{aligned} \therefore \quad 1+\frac{d y}{d x} & =\frac{d z}{d x} \\ \frac{d y}{d x} & =\frac{d z}{d x}-1 \end{aligned} $

इसलिए, $\quad \frac{d z}{d x}-1=\frac{z-1}{z+1}$

$\Rightarrow \quad \frac{d z}{d x}=\frac{z-1}{z+1}+1 \Rightarrow \frac{d z}{d x}=\frac{z-1+z+1}{z+1}$

$\Rightarrow \quad \frac{d z}{d x}=\frac{2 z}{z+1} \quad \Rightarrow \frac{z+1}{z} d z=2 \cdot d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \int \frac{z+1}{z} d z=2 \int d x \\ & \Rightarrow \quad \int(1+\frac{1}{z}) d z=2 \int d x \\ & \Rightarrow \quad z+\log |z|=2 x+\log |c| \\

$ x+y=C \cdot e^{x-y} $।

हल

दी गई अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} 2(y+3)-x y \cdot \frac{d y}{d x} & =0 \\ \Rightarrow \quad x y \cdot \frac{d y}{d x} & =2 y+6 \\ \Rightarrow \quad(\frac{y}{2 y+6}) d y & =\frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{1}{2}(\frac{y}{y+3}) d y=\frac{d x}{x} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \frac{1}{2} \int \frac{y}{y+3} \cdot d y=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \frac{1}{2} \int \frac{y+3-3}{y+3} d y=\int \frac{d x}{x} \\ & \Rightarrow \quad \frac{1}{2} \int(1-\frac{3}{y+3}) d y=\int \frac{d x}{x} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \frac{1}{2} \int 1 \cdot d y-\frac{3}{2} \int \frac{1}{y+3} d y=\int \frac{d x}{x} \\ & \Rightarrow \quad \frac{1}{2} y-\frac{3}{2} \log |y+3|=\log|x|+\log |c| \\ & \Rightarrow \quad \frac{1}{2} y-\frac{3}{2} \log |y+3|=\log|xc| \\ & \Rightarrow \quad y-{3} \log |y+3|=2\log|xc| \\ & \Rightarrow \quad y-{3} \log |y+3|=\log(|xc|)^{2} \\ & \Rightarrow \quad y= \log (|y+3|)^{3}+\log(|xc|)^{2} \\ & \Rightarrow \quad y= \log (|y+3|)^{3}+\log(xc)^{2} \\ & \Rightarrow \quad y= \log ((xc)^{2}(|y+3|)^{3}) \\ & \Rightarrow \quad e^{y}= ((xc)^{2}(|y+3|)^{3}) \\ & \Rightarrow \quad x^{2}|y+3|^{3}=\frac {1}{c^{2}} e^{y} \\ & \Rightarrow \quad x^{2}(y+3)^{3}=\pm \frac {1}{c^{2}} e^{y} \\ & \Rightarrow \quad x^{2}(y+3)^{3}=C e^{y},(where \quad C=\pm \frac {1}{c^{2}}) \end{aligned} `

$

$x=1, y=-2$ रखें

$ \Rightarrow \quad 1^{2}(-2+3)^{3} =C e^{-2} $

$ \Rightarrow \quad C=e^{2}$

$ \therefore$ समीकरण है

$ \Rightarrow x^{2}(y+3)^{3}=e^{y+2}$

इसलिए, अभीष्ट समाधान $x^{2}(y+3)^{3}=e^{y+2}$ है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ d y=\cos x \text{(2-y cosec x)} d x $

$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=\cos x\text {(2-y cosec x)} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 \cos x-y \cos x \cdot \frac{1}{sinx}$

$\Rightarrow \frac{d y}{d x}=2 \cos x-y \cot x \Rightarrow \frac{d y}{d x}+y \cot x=2 \cos x$

यह एक प्रथम कोटि और प्रथम डिग्री का रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ, $P=\cot x$ और $Q=2 \cos x$ हैं।

$\therefore$ समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \cot x d x}=e^{\log |\sin x|}=\sin x , \quad (\sin x>0)$

$\therefore$ अभीष्ट समाधान $y \times$ I.F $=\int Q \times$ I.F. $d x+c$ $\Rightarrow y \cdot \sin x=\int 2 \cos x \cdot \sin x d x+c$

$\Rightarrow y \cdot \sin x=\int \sin 2 x d x+c \Rightarrow y \cdot \sin x=-\frac{1}{2} \cos 2 x+c$

$x=\frac{\pi}{2}$ और $y=2$ रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} 2 \sin \frac{\pi}{2} & =-\frac{1}{2} \cos \pi+c \\ \Rightarrow \quad 2(1) & =-\frac{1}{2}(-1)+c \Rightarrow 2=\frac{1}{2}+c \Rightarrow c=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2} \end{aligned} $

$\therefore$ समीकरण $y \sin x=-\frac{1}{2} \cos 2 x+\frac{3}{2}$ है।

हल

दिया गया है $A x^{2}+B y^{2}=1$

$ x $ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\qquad 2 A \cdot x+2 B y \frac{d y}{d x} =0$

$\Rightarrow \qquad A x+B y \cdot \frac{d y}{d x} =0 \Rightarrow B y \cdot \frac{d y}{d x}=-A x$

$\therefore \qquad \frac{y}{x} \cdot \frac{d y}{d x} =-\frac{A}{B}$

$ x $ के संदर्भ में दोबारा अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned}

$$ & \frac{y}{x} \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\frac{d y}{d x}(\frac{x \cdot \frac{d y}{d x}-y \cdot 1}{x^{2}})=0 \\ \Rightarrow & \frac{y x^{2}}{x} \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \cdot(\frac{d y}{d x})^{2}-y \cdot \frac{d y}{d x}=0 \\ \Rightarrow & x y \cdot \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x \cdot(\frac{d y}{d x})^{2}-y \cdot \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow x y \cdot y^{\prime \prime}+x \cdot(y^{\prime})^{2}-y \cdot y^{\prime}=0 \end{aligned} $$

अतः, आवश्यक समीकरण है

$$ x y \cdot y^{\prime \prime}+x \cdot(y^{\prime})^{2}-y \cdot y^{\prime}=0 $$

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$$ \begin{matrix} (1+y^{2}) \tan ^{-1} x d x+2 y(1+x^{2}) d y=0 \\ \Rightarrow \qquad 2 y(1+x^{2}) d y=-(1+y^{2}) \cdot \tan ^{-1} x \cdot d x \\ \Rightarrow \qquad \frac{2 y}{1+y^{2}} d y=-\frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} \cdot d x \end{matrix} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \int \frac{2 y}{1+y^{2}} d y =-\int \frac{\tan ^{-1} x}{1+x^{2}} \cdot d x $$

$$ let \quad 1+y^{2} = t $$

$$ 2y dy = dt $$

$$ and \quad \tan ^{-1} x = k $$

$$ \frac{1} {1+x^{2}} dx = dk $$

$$ \therefore \int \frac {dt}{t} = -\int kdk $$

$$ log |t| =- \frac {k^{2}}{2} + c $$

$$ \Rightarrow \quad \log |1+y^{2}| =-\frac{1}{2}(\tan ^{-1} x)^{2}+c $$

$$ \Rightarrow \quad \frac{1}{2}(\tan ^{-1} x)^{2}+\log |1+y^{2}|=c $$

$$ \Rightarrow \quad \frac{1}{2}(\tan ^{-1} x)^{2}+\log (1+y^{2})=c, \quad (\because (1+y)^{2} \quad धनात्मक होता है) $$

इस प्रकार आवश्यक हल प्राप्त होता है।

हल

केंद्र $(1,2)$ वाले अकेंद्रिक वृत्तों के प्रणाली के लिए समीकरण है

$$ (x-1)^{2}+(y-2)^{2}=r^{2} $$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ 2(x-1)+2(y-2) \frac{d y}{d x}=0 \Rightarrow(x-1)+(y-2) \frac{d y}{d x}=0 $$

इस प्रकार आवश्यक समीकरण है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} & y+\frac{d}{d x}(x y)=x(\sin x+\log x) \\ & \Rightarrow \quad y+x \cdot \frac{d y}{d x}+y=x(\sin x+\log x) \\ & \Rightarrow \quad x \frac{d y}{d x}=x(\sin x+\log x)-2 y \\ & \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=(\sin x+\log x)-\frac{2 y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=(\sin x+\log x) \end{aligned} $

यह एक पहले कोटि और पहले डिग्री का रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ, $P=\frac{2}{x}$ और $Q=(\sin x+\log x)$

समाकल गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2}{x} d x}=e^{2 \log |x|}=e^{\log |x|^{2}}=|x|^{2}= x^{2}$

$\therefore$ हल है

$$ \begin{align*} y \times \text{ I.F. } & =\int Q \times \text{ I.F. } d x+c \\ \Rightarrow \quad y \cdot x^{2} & =\int(\sin x+\log x) x^{2} d x+c \tag{1}\\ \Rightarrow \quad y \cdot x^{2} & = \text {I +c } \end{align*} $$

मान लीजिए I

$ \begin{aligned} & =\int(\sin x+\log x) x^{2} d x \\ & =\int x^{2} \sin x d x+\int x^{2} \log x d x \\ & (Integration \quad by \quad parts) \\ & \begin{aligned} = & {[x^{2} \cdot \int \sin x d x-\int(D(x^{2}) \cdot \int \sin x d x) d x]+} {[\log x \cdot \int x^{2} d x-\int(D(\log x) \cdot \int x^{2} d x) d x] } \end{aligned} \\ & =[x^{2}(-\cos x)-2 \int-x \cos x d x]+[\log x \cdot \frac{x^{3}}{3}-\int \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{3}}{3} d x] \\ & =[-x^{2} \cos x+2(x \sin x-\int 1 \cdot \sin x d x)]+[\frac{x^{3}}{3} \log x-\frac{1}{3} \int x^{2} d x] \\ & =-x^{2} \cos x+2 x \sin x+2 \cos x+\frac{x^{3}}{3} \log x-\frac{1}{9} x^{3} \end{aligned} $

अब समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{aligned} y \cdot x^{2} & =-x^{2} \cos x+2 x \sin x+2 \cos x+\frac{x^{3}}{3} \log x-\frac{1}{9} x^{3}+c \\ \therefore \quad & y=-\cos x+\frac{2 \sin x}{x}+\frac{2 \cos x}{x^{2}}+\frac{x \log x}{3}-\frac{1}{9} x+c \cdot x^{-2} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक हल है

$ y=-\cos x+\frac{2 \sin x}{x}+\frac{2 \cos x}{x^{2}}+\frac{x \log x}{3}-\frac{1}{9} x+c \cdot x^{-2} `

$

हल

दिया गया है: $(1+\tan y)(d x-d y)+2 x d y=0$

$\Rightarrow \quad(1+\tan y) d x-(1+\tan y) d y+2 x d y=0$

$ \Rightarrow \quad(1+\tan y) d x-(1+\tan y-2 x) d y=0 $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad(1+\tan y) \frac{d x}{d y}=(1+\tan y-2 x) \Rightarrow \frac{d x}{d y}=\frac{1+\tan y-2 x}{1+\tan y} \\ & \Rightarrow \quad \frac{d x}{d y}=1-\frac{2 x}{1+\tan y} \Rightarrow \frac{d x}{d y}+\frac{2 x}{1+\tan y}=1 \end{aligned} $

यह एक प्रथम कोटि और प्रथम डिग्री का रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ, $P=\frac{2}{1+\tan y}$ और $Q=1$

समाकलन गुणक (I.F.)

$ \begin{aligned} & =e^{\int \frac{2}{1+\tan y} d y}=e^{\int \frac{2 \cos y}{\sin y+\cos y} d y} \\ & =e^{\int \frac{\sin y+\cos y-\sin y+\cos y}{(\sin y+\cos y)} d y}=e^{\int(1+\frac{\cos y-\sin y}{\sin y+\cos y}) d y} \\ & =e^{\int 1 \cdot d y} \cdot e^{\int \frac{\cos y-\sin y}{\sin y+\cos y} d y} \\ & =e^{y} \cdot e^{\log |(\sin y+\cos y)|}=e^{y} \cdot(\sin y+\cos y), \quad ((\sin y+\cos y)>0) \end{aligned} $

इसलिए, हल है $\quad x \times$ I.F. $=\int Q \times$ I.F. $d y+c$

$\Rightarrow x \cdot e^{y}(\sin y+\cos y)=\int 1 \cdot e^{y}(\sin y+\cos y) d y+c$

$\Rightarrow \quad x \cdot e^{y}(\sin y+\cos y)=e^{y} \cdot \sin y+c$

$ [\because \int e^{x}[f(x)+f^{\prime}(x)] d x=e^{x} f(x)+c] $

$\Rightarrow \quad x(\sin y+\cos y)=\sin y+c \cdot e^{-y}$

इसलिए, अभीष्ट हल $x(\sin y+\cos y)=\sin y+c \cdot e^{-y}$ है।

हल

दिया गया है : $\frac{d y}{d x}=\cos (x+y)+\sin (x+y)$

मान लीजिए $\quad x+y=v$, अब $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है,

$1+\frac{d y}{d x} =\frac{d v}{d x}$

$\therefore \quad \frac{d y}{d x} =\frac{d v}{d x}-1$

$\therefore \quad \frac{d v}{d x}-1 =\cos v+\sin v$

$\Rightarrow \quad \frac{d v}{d x} =\cos v+\sin v+1$

$\Rightarrow \quad \frac{d v}{\cos v+\sin v+1} = d x $

$\Rightarrow \quad \frac{d v}{(\frac{1-\tan ^{2} \frac{v}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{v}{2}}+\frac{2 \tan \frac{v}{2}}{1+\tan ^{2} \frac{v}{2}}+1)} = d x $

$\Rightarrow \quad \frac{(1+\tan ^{2} \frac{v}{2})}{1-\tan ^{2} \frac{v}{2}+2 \tan \frac{v}{2}+1+\tan ^{2} \frac{v}{2}} d v = d x $

इन्टीग्रेट करने पर \quad दोनों \quad ओर, हम \quad पाते हैं $

$\Rightarrow \quad \int \frac{\sec ^{2} \frac{v}{2}}{2+2 \tan \frac {v}{2}} d v =\int 1 . d x $

$\text{ रखें } \quad 2+2 \tan \frac{v}{2} = t$

$2 \cdot \frac{1}{2} \sec ^{2} \frac{v}{2} d v =d t \Rightarrow \sec ^{2} \frac{v}{2} d v=d t $

$\int \frac{d t}{t} =\int 1 \cdot d x $

$\Rightarrow \quad \log |t| =x+c $

$\Rightarrow \quad \log |2+2 \tan \frac{v}{2}| =x+c $

$\Rightarrow \quad \log |2+2 \tan (\frac{x+y}{2})|=x+c \Rightarrow \log 2(|1+\tan (\frac{x+y}{2})|)=x+c $

$\Rightarrow \quad \log 2+\log (|1+\tan (\frac{x+y}{2})|) =x+c $

$\Rightarrow \quad \log (|1+\tan (\frac{x+y}{2})|) =x+c-\log 2$

इसलिए, आवश्यक समाधान है

$ \log (|1+\tan (\frac{x+y}{2})|)=x+K \quad[c-\log 2=K] $

हल

दी गई समीकरण $\frac{d y}{d x}-3 y=\sin 2 x$ है।

यह एक प्रथम कोटि और प्रथम डिग्री का रैखिक अवकल समीकरण है।

यहाँ, $P=-3$ और $Q=\sin 2 x$

$\therefore$ समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int-3 d x}=e^{-3 x}$

$\therefore$ समाधान है

$ \begin{aligned} & y \times \text{ I.F. }=\int Q \times \text{ I.F. } d x+c \\ & \Rightarrow \quad y \cdot e^{-3 x}=\int \sin 2 x \cdot e^{-3 x} d x+c \\ & \text{ रखें } \quad I=\int \sin 2 x \cdot e^{-3 x} d x \\ \text{ अंतरगत गुणन } \\ & \Rightarrow \quad I=\sin 2 x \cdot \int e^{-3 x} d x-\int(D(\sin 2 x) \cdot \int e^{-3 x} d x) d x \\ & \Rightarrow \quad I=\sin 2 x \cdot \frac{e^{-3 x}}{-3}-\int 2 \cos 2 x \cdot \frac{e^{-3 x}}{-3} d x \\ & \Rightarrow \quad I=\frac{e^{-3 x}}{-3} \sin 2 x+\frac{2}{3} \int {\cos 2 x} \cdot e^{-3 x} d x \\

& \Rightarrow \quad I=\frac{e^{-3 x}}{-3} \sin 2 x+\frac{2}{3}[\cos 2 x \cdot \int e^{-3 x} d x-\int[D (\cos 2 x) \cdot \int e^{-3 x} d x] d x] \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad I & =\frac{e^{-3 x}}{-3} \sin 2 x+\frac{2}{3}[\cos 2 x \cdot \frac{e^{-3 x}}{-3}- \int -2 \sin 2 x \cdot \frac{e^{-3 x}}{-3}] d x \\ \Rightarrow \quad I & =\frac{e^{-3 x}}{-3} \sin 2 x-\frac{2}{9} \cos 2 x \cdot e^{-3 x}-\frac{4}{9} \int \sin 2 x \cdot e^{-3 x} d x \\ \Rightarrow \quad & =\frac{e^{-3 x}}{-3} \sin 2 x-\frac{2}{9} e^{-3 x} \cos 2 x-\frac{4}{9} I \\ \Rightarrow \quad I+\frac{4}{9} I & =\frac{e^{-3 x}}{-3} \sin 2 x-\frac{2}{9} e^{-3 x} \cos 2 x \\ \Rightarrow \quad \frac{13 I}{9} & =-\frac{1}{9}[3 e^{-3 x} \sin 2 x+2 e^{-3 x} \cos 2 x] \\ \Rightarrow \quad I & =-\frac{1}{13} e^{-3 x}[3 \sin 2 x+2 \cos 2 x] \end{aligned} $

$\therefore$ समीकरण बन जाता है

$ \begin{aligned} y \cdot e^{-3 x} & =-\frac{1}{13} e^{-3 x}[3 \sin 2 x+2 \cos 2 x]+c \\ \therefore \quad y & =-\frac{1}{13}[3 \sin 2 x+2 \cos 2 x]+c \cdot e^{3 x} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक हल है

$ y=-[\frac{3 \sin 2 x+2 \cos 2 x}{13}]+c \cdot e^{3 x} $

हल

दिया गया है कि वक्र के किसी बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है

$ \frac{d y}{d x}=\frac{x^{2}+y^{2}}{2 x y} $

यह एक एकरूपता अवकल समीकरण है

इसलिए, $y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \cdot \frac{d v}{d x}$

$ v+x \cdot \frac{d v}{d x}=\frac{x^{2}+v^{2} x^{2}}{2 x \cdot v x} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad v+x \cdot \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{2 v} \\ & \Rightarrow \quad x \cdot \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}}{2 v}-v \Rightarrow x \cdot \frac{d v}{d x}=\frac{1+v^{2}-2 v^{2}}{2 v} \\ & \Rightarrow \quad x \cdot \frac{d v}{d x}=\frac{1-v^{2}}{2 v} \Rightarrow \frac{2 v}{1-v^{2}} d v=\frac{d x}{x}

\end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{gathered} \int \frac{2 v}{1-v^{2}} d v=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow-\log |1-v^{2}|=\log |x|+\log |C| \\ \Rightarrow-\log |1-\frac{y^{2}}{x^{2}}|=\log |x|+\log |C| \Rightarrow-\log |\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}}|=\log |x|+\log |C| \\ \Rightarrow \log |\frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}}|=\log |x C| \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\pm Cx \\ \Rightarrow \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}}=cx, \quad (where \quad c = \pm C) \end{gathered} $

क्योंकि, वक्र बिंदु $(2,1)$ से गुजरता है

$ \therefore \quad \frac{(2)^{2}}{(2)^{2}-(1)^{2}}=2 c \Rightarrow \frac{4}{3}=2 c \Rightarrow c=\frac{2}{3} $

इसलिए, अभीष्ट समीकरण है

$ \frac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}}=\frac{2}{3} x \Rightarrow 2(x^{2}-y^{2})=3 x $

हल

दिया गया है कि वक्र के बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा की प्रवणता है

$ \frac{d y}{d x}=\frac{y-1}{x^{2}+x} \Rightarrow \frac{d y}{y-1}=\frac{d x}{x^{2}+x} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \int \frac{d y}{y-1}=\int \frac{d x}{x^{2}+x} \\ & \Rightarrow \quad \int \frac{d y}{y-1}=\int \frac{d x}{x^{2}+x+\frac{1}{4}-\frac{1}{4}} \text{ [पूर्ण वर्ग बनाने के लिए] } \\ & \Rightarrow \quad \int \frac{d y}{y-1}=\int \frac{d x}{(x+\frac{1}{2})^{2}-(\frac{1}{2})^{2}} \end{aligned} $

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \log |y-1|=\frac{1}{2 \times \frac{1}{2}} \log |\frac{x+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{x+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}|+\log |c| \\ \Rightarrow & \log |y-1|=\log |\frac{x}{x+1}|+\log |c| \\ \Rightarrow & \log |y-1|=\log |c(\frac{x}{x+1})| \\ \therefore & |y-1|=|\frac{c x}{x+1}| \\ \therefore & y-1=\pm \frac{c x}{x+1} \\ \Rightarrow & (y-1)(x+1)=C x , \quad (where \quad C= \pm c) \end{matrix} $

क्योंकि, रेखा बिंदु $(1,0)$ से गुजरती है, तो $(0-1)(1+1)=C(1) \Rightarrow C=-2$।

$(y-1)(x+1)=-2 x$.

अतः, आवश्यक समाधान है $(y-1)(x+1)+2 x=0$.

हल

यहाँ, वक्र के स्पर्श रेखा का ढलान $=\frac{d y}{d x}$ और भुजा और कोटि के अंतर $=x-y$ है।

$\therefore$ दिए गए शर्त के अनुसार, $\frac{d y}{d x}=(x-y)^{2}$

$ x-y=v $ रखें

$ \begin{aligned} & 1-\frac{d y}{d x}=\frac{d v}{d x} \\ & \therefore \quad \frac{d y}{d x}=1-\frac{d v}{d x} \end{aligned} $

$\therefore$ समीकरण बन जाता है

$ 1-\frac{d v}{d x}=v^{2} \Rightarrow \frac{d v}{d x}=1-v^{2} \Rightarrow \frac{d v}{1-v^{2}}=d x $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{align*} \int \frac{d v}{1-v^{2}} & =\int d x \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{2} \log |\frac{1+v}{1-v}| & =x+c \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2} \log |\frac{1+x-y}{1-x+y}|=x+c \\ \Rightarrow \quad |\frac{1+x-y}{1-x+y}|=e^{2(x+c)} \\ \Rightarrow \quad |\frac{1+x-y}{1-x+y}|=e^{2c}e^{2x} \\ \Rightarrow \quad \frac{1+x-y}{1-x+y}=\pm e^{2c}e^{2x} \\ \Rightarrow \quad \frac{1+x-y}{1-x+y}=\pm e^{2c}e^{2x} \\ \Rightarrow \quad \frac{1+x-y}{1-x+y}=Ce^{2x} (where C= \pm e^{2c}) \end{align*} $$

क्योंकि, वक्र मूल बिंदु $(0,0)$ से होकर गुजरता है

$ \Rightarrow \frac{1+0-0}{1-0+0} =Ce^{ 0} $

$ \Rightarrow C=1 $

$ \begin{aligned} & \therefore & \frac{1+x-y}{1-x+y} & =e^{2 x} \\ \Rightarrow & & (1+x-y) & =e^{2 x}(1-x+y) \end{aligned} $

अतः, आवश्यक समीकरण है $(1+x-y)=e^{2 x}(1-x+y)$.

हल

मान लीजिए $P(x, y)$ वक्र का कोई बिंदु है और $AB$ वक्र के बिंदु $P$ पर खींची गई स्पर्श रेखा है।

$P$ रेखा $AB$ का मध्य बिंदु है (दिया गया)

$\therefore$ $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(2 x, 0)$ और $(0,2 y)$ हैं।

$\therefore$ स्पर्शरेखा की प्रवणता

$ AB= $

$ \begin{aligned} & \frac{2 y-0}{0-2 x}=-\frac{y}{x} \\ & \therefore \quad \frac{d y}{d x}=-\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{y}=-\frac{d x}{x} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \int \frac{d y}{y}=-\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \log |y|=-\log |x|+\log |c| \\ & \Rightarrow \quad \log |y|+\log |x|=\log |c| \quad \Rightarrow \log |y x|=\log|c| \\ & \therefore \quad |y x|=|c| \\ & \therefore \quad y x=\pm c \\ & \therefore \quad y x=C , \quad (where \quad C = \pm c) \end{aligned} $

क्योंकि, वक्र $(1,1)$ से गुजरता है

$ \begin{aligned} \therefore & & 1 \times 1 & =C\quad \therefore \quad C=1 \\ \Rightarrow & & y x & =1 \end{aligned} $

इसलिए, अभीष्ट समीकरण $x y=1$ है।

हल

दिया गया है: $x \frac{d y}{d x}=y(\log y-\log x+1)$

$ \Rightarrow \quad x \frac{d y}{d x}=y[\log (\frac{y}{x})+1] \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}[\log (\frac{y}{x})+1] $

क्योंकि, यह एक एकरूप समीकरण है।

$\therefore$ रखें $y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \cdot \frac{d v}{d x}$

$\therefore \quad v+x \cdot \frac{d v}{d x}=\frac{v x}{x}[\log (\frac{v x}{x})+1]$

$\Rightarrow \quad v+x \cdot \frac{d v}{d x}=v[\log v+1]$

$\Rightarrow \quad x \cdot \frac{d v}{d x}=v[\log v+1]-v \Rightarrow x \cdot \frac{d v}{d x}=v[\log v+1-1]$

$\Rightarrow \quad x \cdot \frac{d v}{d x}=v \cdot \log v \Rightarrow \frac{d v}{v \log v}=\frac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad \int \frac{d v}{v \log v}=\int \frac{d x}{x} `

$

$\log v=t$ को बायां ओर लिखें।

$ \begin{matrix} \frac{1}{v} d v =dt \\ \therefore \quad \int \frac{d t}{t} =\int \frac{d x}{x} \\ \log |t| =\log |x|+\log |C| \\ \Rightarrow \quad \log |\log v| =\log |x C| \Rightarrow |\log v|=|x C| \\ \Rightarrow \quad \log (\frac{y}{x}) =\pm Cx\\ \Rightarrow \quad \log (\frac{y}{x}) =cx, \quad where \quad c = \pm C \end{matrix} $

इसलिए, अभीष्ट हल है $\log (\frac{y}{x})=x c$.

हल

दिए गए अवकल समीकरण की डिग्री अनिर्धारित है क्योंकि $\sin (\frac{d y}{d x})$ के विस्तार के दौरान मान बढ़ती शक्ति में $(\frac{d y}{d x})$ के रूप में होगा।

• विकल्प (a) 1: यह गलत है क्योंकि अवकल समीकरण की डिग्री को अवकलज के उच्चतम घात के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब तक समीकरण अवकलजों में बहुपदीय हो। इस मामले में, समीकरण में अवकलज के त्रिकोणमितीय फलन होता है, जिसके कारण यह बहुपदीय नहीं होता है।

• विकल्प (b) 2: यह गलत है क्योंकि, हालांकि दूसरे कोटि के अवकलज की उच्चतम घात 2 है, अवकलज के त्रिकोणमितीय फलन $\sin (\frac{d y}{d x})$ के कारण समीकरण अवकलजों में बहुपदीय नहीं होता है, इसलिए डिग्री अनिर्धारित है।

• विकल्प (c) 3: यह गलत है क्योंकि, हालांकि दूसरे कोटि के अवकलज की उच्चतम घात 2 है, अवकलज के त्रिकोणमितीय फलन $\sin (\frac{d y}{d x})$ के कारण समीकरण अवकलजों में बहुपदीय नहीं होता है, इसलिए डिग्री अनिर्धारित है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है

$ [1+(\frac{d y}{d x})^{2}]^{3 / 2}=(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}) `

$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें मिलता है

$ [1+(\frac{d y}{d x})^{2}]^{3}=(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2} $

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण की डिग्री 2 है ।

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

हल

दिया गया है, $\quad \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{1 / 4}=-x^{1 / 5}$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \frac{d^2 y}{d x^2}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{1 / 4}=-x^{1 / 5} \ & \Rightarrow \quad\left(\frac{d y}{d x}\right)^{1 / 4}=-\left(x^{1 / 5}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right) \end{aligned} $

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें मिलता है

$ \left(\frac{d y}{d x}\right)^{1 / 2}=\left(x^{1 / 5}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^2 $

फिर दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें मिलता है

$ \frac{d y}{d x}=\left(x^{1 / 5}+\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^4 $

क्रम $=2$, डिग्री $=4$

इसलिए, सही विकल्प $(a)$ है।

हल

दिया गया समीकरण है $y=e^{-x}(A \cos x+B \sin x)$

दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=e^{-x}(-A \sin x+B \cos x)-e^{-x}(A \cos x+B \sin x) \\ & \frac{d y}{d x}=e^{-x}(-A \sin x+B \cos x)-y \end{aligned} $

फिर दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{-x}(-A \cos x-B \sin x)-e^{-x}(-A \sin x+B \cos x)-\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-e^{-x}(A \cos x+B \sin x)-[\frac{d y}{d x}+y]-\frac{d y}{d x} \\ \Rightarrow & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-y-\frac{d y}{d x}-y-\frac{d y}{d x} \\

\Rightarrow & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-2 \frac{d y}{d x}-2 y \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \frac{d y}{d x}+2 y=0 \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प (c) है।

हल

दी गई समीकरण है : $y=A \cos \alpha x+B \sin \alpha x$ दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =-A \sin \alpha x \cdot \alpha+B \cos \alpha x \cdot \alpha \\ & =-A \alpha \sin \alpha x+B \alpha \cos \alpha x \end{aligned} $

फिर दोबारा $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-A \alpha^{2} \cos \alpha x-B \alpha^{2} \sin \alpha x \\ \Rightarrow \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\alpha^{2}(A \cos \alpha x+B \sin \alpha x) \\ \Rightarrow \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-\alpha^{2} y \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+\alpha^{2} y=0 \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प (b) है।

हल

दी गई अवकल समीकरण है

$ x d y-y d x=0 $

$ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{y}=\frac{d x}{x} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} & \qquad \int \frac{d y}{y}=\int \frac{d x}{x} \\ & \Rightarrow \quad \log |y|=\log |x|+\log|c| \Rightarrow \log |y|=\log |x c| \\ & \Rightarrow \quad |y|=|x c| \\ & \Rightarrow \quad y =\pm cx \\ & \Rightarrow \quad y =Cx \quad जहाँ \quad C = \pm c
& \text{ जो मूल बिंदु से गुजरने वाली सीधी रेखा है। } \\

& \text{ अतः, सही उत्तर है }(c) \end{aligned} $

हल

दी गई अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} \cos x \cdot \frac{d y}{d x}+y \sin x =1 \\ \Rightarrow \qquad \frac{d y}{d x}+\frac{\sin x}{\cos x} y =\frac{1}{\cos x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}+\tan x y=\sec x \end{aligned} $

यहाँ, $P=\tan x$ और $Q=\sec x$

$\therefore$ समाकलन गुणांक $=e^{\int P d x}=e^{\int \tan x d x}=e^{\log |\sec x|}=\sec x ,\quad (\sec x >0)$

अतः, सही विकल्प (c) है।

हल

दी गई अवकल समीकरण है

$ \tan y \sec ^{2} x d x+\tan x \sec ^{2} y d y=0 $

$\Rightarrow \tan x \sec ^{2} y d y=-\tan y \sec ^{2} x d x$

$\Rightarrow \quad \frac{\sec ^{2} y}{\tan y} \cdot d y=\frac{-\sec ^{2} x}{\tan x} \cdot d x$

दोनों ओर समाकरण करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \int \frac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y=\int \frac{-\sec ^{2} x}{\tan x} d x \\ & \Rightarrow \quad \log |\tan y|=-\log |\tan x|+\log |c| \\ & \Rightarrow \quad \log |\tan y|+\log |\tan x|=\log |c| \\ & \Rightarrow \quad \log |\tan x. \tan y|=\log |c| \\ & \Rightarrow \quad |\tan x. \tan y|= |c| \\ & \Rightarrow \quad \tan x. \tan y= \pm c \\ & \Rightarrow \quad \tan x. \tan y= k \quad (where \quad k = \pm c) \end{aligned} $

अतः, विकल्प (d) सही है।

हल

दी गई समीकरण है

$$ \begin{equation*} y=A x+A^{3}\tag{1}

\end{equation*} $$

दोनों ओर अवकलज लेने पर, हमें $\frac{d y}{d x}=A$ मिलता है

समीकरण 1 में A का मान रखें

$y=x \frac{dy}{dx}+ (\frac {dy}{dx})^{3}$

इसलिए, अवकल समीकरण की डिग्री 3 है ।

अतः, सही उत्तर (c) है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ x \frac{d y}{d x}-y=x^{4}-3 x \Rightarrow \frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x^{3}-3 $

यहाँ, $P=-\frac{1}{x}$ और $Q=x^{3}-3$

इसलिए, अभिनिर्देशक गुणांक $=e^{\int P d x}=e^{\int-\frac{1}{x} d x}=e^{-\log| x|}=e^{\log \frac{1}{x}}=\frac{1}{x} , (x>0) $

अतः, सही विकल्प (c) है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \frac{d y}{d x}-y=1 $

यहाँ, $P=-1, Q=1$

$\therefore$ अभिनिर्देशक गुणांक, I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int-1 d x}=e^{-x}$

इसलिए, हल है

$ \begin{aligned} & y \times \text{ I.F. }=\int Q \times \text{ I.F. } d x+c \\ & \Rightarrow \quad y \times e^{-x}=\int 1 . e^{-x} d x+c \\ & \Rightarrow \quad y \cdot e^{-x}=-e^{-x}+c \\ & \text{ Put } x=0, y=1 \\ & \Rightarrow \quad 1 \cdot e^{0}=-e^{0}+c \\ & \Rightarrow \quad 1=-1+c \quad \\ & \therefore c=2 \end{aligned} $

इसलिए समीकरण $y \cdot e^{-x}=-e^{-x}+2$ है

$ \Rightarrow \quad y=-1+2 e^{x}=2 e^{x}-1 $

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है $\frac{d y}{d x}=\frac{y+1}{x-1}$

$ \Rightarrow \quad \frac{d y}{y+1}=\frac{d x}{x-1} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें मिलता है

$\int \frac{d y}{y+1}=\int \frac{d x}{x-1}$

$\Rightarrow \log |(y+1)|=\log |(x-1)|+\log |c| $

$\Rightarrow \quad \log |(y+1)|-\log |(x-1)|=\log |c|$

$\Rightarrow \log |\frac{y+1}{x-1}|=\log |c| $

$\Rightarrow \frac{y+1}{x-1}=C \text{ Put } x=1 \text{ and } y=2 \quad where \quad C = \pm c$

$\Rightarrow \frac{2+1}{1-1}=C \quad \therefore C=\infty$

$\therefore \frac{y+1}{x-1}=\frac{1}{0} \Rightarrow x-1=0 \Rightarrow x=1$

अतः, सही विकल्प $(b)$ है।

हल

द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण $y^{\prime} y^{\prime \prime}+y=\sin x$

अतः, सही विकल्प $(b)$ है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} & (1-x^{2}) \frac{d y}{d x}-x y=1 \\ \Rightarrow \quad & \frac{d y}{d x}-\frac{x}{1-x^{2}} \cdot y=\frac{1}{1-x^{2}} \end{aligned} $

यहाँ, $P=-\frac{x}{1-x^{2}}$ और $Q=\frac{1}{1-x^{2}}$

$\therefore$ समाकलन गुणक

$ \text{ I.F. }=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{-x}{1-x^{2}} d x}=e^{\frac{1}{2} \log |(1-x^{2})|}=\sqrt{1-x^{2}}, \quad ( (1-x^{2})>0) $

अतः, सही विकल्प (c) है।

हल

दिया गया समीकरण है $\tan ^{-1} x+\tan ^{-1} y=c$

$ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \frac{1}{1+x^{2}}+\frac{1}{1+y^{2}} \cdot \frac{d y}{d x} & =0 \\ \Rightarrow \quad(\frac{1}{1+y^{2}}) \frac{d y}{d x}=-(\frac{1}{1+x^{2}}) & \Rightarrow \frac{d y}{d x}=-(\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}}) \\

\Rightarrow \quad(1+x^{2}) d y & =-(1+y^{2}) d x \\ \Rightarrow \quad(1+x^{2}) d y+(1+y^{2}) d x & =0 \end{aligned} $

अतः सही विकल्प (c) है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} y \frac{d y}{d x}+x & =c \\ \Rightarrow \quad y \frac{d y}{d x} & =c-x \quad \Rightarrow y d y=(c-x) d x \end{aligned} $

$\therefore$ दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\int y d y =\int(c-x) d x$

$\Rightarrow \frac{y^{2}}{2} =c x-\frac{x^{2}}{2}+k\Rightarrow \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{2}-c x=k$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2 c x =2 k \text{ जो एक वृत्त के परिवार को दर्शाता है। }$

अतः, सही विकल्प (d) है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ e^{x} \cos y d x-e^{x} \sin y d y=0 $

$\Rightarrow e^{x}(\cos y d x-\sin y d y)=0$

$\Rightarrow \quad \cos y d x-\sin y d y=0$

$\Rightarrow \quad \sin y d y=\cos y d x \Rightarrow \frac{\sin y}{\cos y} d y=d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \int \frac{\sin y}{\cos y} d y & =\int d x \\ \Rightarrow \quad-\log |\cos y| & =x+\log k \Rightarrow \log |\frac{1}{\cos y}|-\log k=x \\ \Rightarrow \quad \log (\frac{1}{k |\cos y|}) & =x \Rightarrow \frac{1}{k |\cos y|}=e^{x} \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{k} & =e^{x} |\cos y| \Rightarrow e^{x} \cos y= \quad \pm \frac{1}{k} \\ &\Rightarrow e^{x} \cos y= c, \quad (where \quad c = \pm \frac {1}{k} ) \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प (a) है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण की डिग्री 1 है क्योंकि सर्वोच्च कोटि की घात 1 है।

अतः, सही विकल्प $(a)$ है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है

$ \frac{d y}{d x}+y=e^{-x} $

क्योंकि, यह एक प्रथम कोटि का रैखिक अवकल समीकरण है।

$\therefore P=1$ और $Q=e^{-x}$

$\therefore$ I.F $=e^{\int 1 . d x}=e^{x}$

अतः, हल है

$ \begin{aligned} & \quad y \times \text{ I.F. }= \int Q \times \cdot \text{ I.F. } d x+c \Rightarrow y \cdot e^{x}=\int e^{-x} \cdot e^{x} d x+c \\ & \Rightarrow \quad y \cdot e^{x}=\int 1 \cdot d x+c \Rightarrow y \cdot e^{x}=x+c \\ & \text{ Put } x=0, y=0, \text{ हमें प्राप्त होता है } 0=0+c \quad \\ & \therefore c=0 \end{aligned} $

अतः, हल है $y e^{x}=x \Rightarrow y=x \cdot e^{-x}$

अतः, सही विकल्प (b) है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है

$ \frac{d y}{d x}+y \tan x-\sec x=0 \Rightarrow \frac{d y}{d x}+y \tan x=\sec x $

यहाँ, $P=\tan x$ और $Q=\sec x$

$\therefore$ I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \tan x d x}=e^{\log |\sec x|}=\sec x , (\sec x>0)$

अतः, सही विकल्प (b) है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है

$ \frac{d y}{d x}=\frac{1+y^{2}}{1+x^{2}} \Rightarrow \frac{d y}{1+y^{2}}=\frac{d x}{1+x^{2}} `

$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\int \frac{d y}{1+y^{2}} =\int \frac{d x}{1+x^{2}}$

$\Rightarrow \tan ^{-1} y =\tan ^{-1} x+c \Rightarrow \tan ^{-1} y-\tan ^{-1} x=c$

$\Rightarrow \tan^{-1}(\frac{y-x}{1+x y}) =c$

$\Rightarrow \frac{y-x}{1+x y} =\tan c \Rightarrow \frac{y-x}{1+x y}=k \quad[k=\tan c]$

$\Rightarrow y-x =k(1+x y)$

इसलिए, सही विकल्प $(b)$ है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \frac{d y}{d x}+y=\frac{1+y}{x} $

$\begin{matrix} \Rightarrow & \frac{d y}{d x}=\frac{1+y}{x}-y \\ \Rightarrow & \frac{d y}{d x}=\frac{1}{x}+y \frac{(1-x)}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}-(\frac{1-x}{x}) y=\frac{1}{x}\end{matrix} $

यहाँ, $P=-(\frac{1-x}{x})$ और $Q=\frac{1}{x}$

$\therefore$ समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{x-1}{x} d x}=e^{\int(1-\frac{1}{x}) d x}$

$ =e^{(x-\log |x|)}=e^{x} \cdot e^{-\log x}, (x>0) $

$ =e^{x} \cdot e^{\log \frac{1}{x}}=e^{x} \cdot \frac{1}{x} $

इसलिए, सही विकल्प $(b)$ है।

हल

दिया गया समीकरण है $y=a e^{m x}+b e^{-m x}$

अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं $\frac{d y}{d x}=a \cdot m e^{m x}-b \cdot m e^{-m x}$

फिर अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=a m^{2} e^{m x}+b m^{2} e^{-m x} \\ \Rightarrow & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=m^{2}(a e^{m x}+b e^{-m x}) \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=m^{2} y \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-m^{2} y=0 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण $\cos x \sin y d x+\sin x \cos y d y=0$

$\Rightarrow \quad \sin x \cos y d y=-\cos x \sin y d x$

$\Rightarrow \frac{\cos y}{\sin y} d y=-\frac{\cos x}{\sin x} d x \Rightarrow \cot y d y=-\cot x d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\Rightarrow \quad \int \cot y d y=-\int \cot x d x$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \log |\sin y|=-\log |\sin x|+\log |C| \\ & \Rightarrow \quad \log |\sin y|+\log |\sin x|=\log |C| \\ & \Rightarrow \quad \log |\sin y \cdot \sin x|=\log |C| \Rightarrow \sin x \sin y=\pm C \\ & \Rightarrow \sin x \sin y=c, \quad (where \quad c= \pm C) \end{aligned} $

अतः सही विकल्प (b) है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x}+y=e^{x}$

$\Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\frac{e^{x}}{x}$

यहाँ $P=\frac{1}{x}$ और $Q=\frac{e^{x}}{x}$

$\therefore$ समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int \frac{1}{x} d x}=e^{\log |x|}=x, (x>0)$

अतः हल है

$ \begin{aligned} y \times \text{ I.F. } & =\int Q \times \text{ I.F. } d x+k \Rightarrow y \times x=\int \frac{e^{x}}{x} \times x d x+k \\ \Rightarrow y \times x & =\int e^{x} d x+k \Rightarrow y \times x=e^{x}+k \\ \therefore y & =\frac{e^{x}}{x}+\frac{k}{x} \end{aligned} $

अतः सही विकल्प $(a)$ है।

Solution

दिए गए समीकरण है

$$ \begin{equation*} x^{2}+y^{2}-2 a y=0 \tag{1} \end{equation*} $$

$ x $ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें मिलता है

$ \begin{aligned} & 2 x+2 y \cdot \frac{d y}{d x}-2 a \frac{d y}{d x}=0 \\ & \Rightarrow \quad x+y \frac{d y}{d x}-a \frac{d y}{d x}=0 \quad \Rightarrow \quad x+(y-a) \frac{d y}{d x}=0 \\ & \Rightarrow \quad(y-a) \frac{d y}{d x}=-x \quad \Rightarrow y-a=\frac{-x}{d y / d x} \end{aligned} $

$\Rightarrow \quad a=y+\frac{x}{d y / d x} \Rightarrow a=\frac{y \cdot \frac{d y}{d x}+x}{\frac{d y}{d x}}$

समीकरण (1) में $ a $ का मान रखने पर हमें मिलता है

$ \begin{aligned} & x^{2}+y^{2}-2 y[\frac{y \frac{d y}{d x}+x}{\frac{d y}{d x}}]=0 \\ & \Rightarrow \quad(x^{2}+y^{2}) \frac{d y}{d x}-2 y(y \frac{d y}{d x}+x)=0 \\ & \Rightarrow \quad(x^{2}+y^{2}) \frac{d y}{d x}-2 y^{2} \frac{d y}{d x}-2 x y=0 \\ & \Rightarrow \quad(x^{2}+y^{2}-2 y^{2}) \frac{d y}{d x}=2 x y \Rightarrow(x^{2}-y^{2}) \frac{d y}{d x}=2 x y \end{aligned} $

$\therefore$ अतः सही विकल्प $(a)$ है।

Solution

दिए गए समीकरण है

$$ \begin{equation*} y=A x+A^{3}\tag{1} \end{equation*} $$

दोनों ओर अवकलन करने पर, हमें मिलता है $\frac{d y}{d x}=A$

A के मान को समीकरण 1 में रखने पर

$y=x \frac{dy}{dx}+ (\frac {dy}{dx})^{3}$

अतः अवकल समीकरण की कोटि 1 है ।

अतः सही विकल्प $(c)$ है।

Solution

दिए गए अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =2 x \cdot e^{x^{2}-y} \\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x} & =2 x \cdot e^{x^{2}} \cdot e^{-y} \Rightarrow \frac{d y}{e^{-y}}=2 x \cdot e^{x^{2}} d x

\end{aligned} $

इन्टीग्रल के दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \int \frac{d y}{e^{-y}}=\int 2 x \cdot e^{x^{2}} d x \Rightarrow & \int e^{y} d y=\int 2 x \cdot e^{x^{2}} d x \\ & \text{ दाहिनी ओर } x^{2}=t \therefore 2 x d x=d t \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \therefore \quad \int e^{y} d y & =\int e^{t} d t \\ \Rightarrow \quad e^{y} & =e^{t}+c \Rightarrow e^{y}=e^{x^{2}}+c \\ \Rightarrow \quad e^{y-x^{2}} = c \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

हल

क्योंकि, वक्र के स्पर्श रेखा की ढलान $=x: y$

$ \therefore \quad \frac{d y}{d x}=\frac{x}{y} \Rightarrow y d y=x d x $

दोनों ओर समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है $\int y d y=\int x d x$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{2}}{2}+c \Rightarrow y^{2}=x^{2}+2 c \\ & \Rightarrow \quad y^{2}-x^{2}=2 c=k \text{ जो आयताकार अतिपरवलय है। } \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \frac{d y}{d x}=e^{\frac{x^{2}}{2}}+x y \Rightarrow \frac{d y}{d x}-x y=e^{\frac{x^{2}}{2}} $

क्योंकि यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जहाँ $P=-x$ और $Q=e^{\frac{x^{2}}{2}}$

$\therefore$ समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int-x d x}=e^{-\frac{x^{2}}{2}}$

इसलिए, हल है

$ \begin{aligned} & y \times \text{ I.F. }=\int Q \times \text{ I.F. } d x+c \\ & \Rightarrow \quad y \times e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\int e^{\frac{x^{2}}{2}} e^{-\frac{x^{2}}{2}} d x+c \\

& \Rightarrow \quad y \times e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\int e^{0} d x+c \\ & \Rightarrow \quad y \times e^{-\frac{x^{2}}{2}}=\int 1 . d x+c \Rightarrow y \times e^{-\frac{x^{2}}{2}}=x+c \end{aligned} $

$ \therefore \quad y=(x+c) e^{\frac{x^{2}}{2}} $

अतः सही विकल्प है $(c)$।

बायां पक्ष लें

$\frac{d y}{d x} = \frac{d ((c-x) e^{\frac{x^{2}}{2}})}{d x}$

$=(c-x)\cdot e^\frac {x^{2}}{2} \cdot \frac {2x}{2}+e^\frac {x^{2}}{2} (0-1) $

$=x((c-x)e^\frac {x^{2}}{2})-e^\frac {x^{2}}{2}$

$=xy-e^\frac {x^{2}}{2}$

$\therefore $ बायां पक्ष दायां पक्ष के बराबर नहीं है।

अतः विकल्प (d) गलत है।

हल

दी गई अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} (2 y-1) d x-(2 x+3) d y & =0 \Rightarrow(2 x+3) d y=(2 y-1) d x \\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{2 y-1} & =\frac{d x}{2 x+3} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{matrix} \int \frac{d y}{2 y-1} =\int \frac{d x}{2 x+3} \\ \Rightarrow \quad \frac{1}{2} \log |2 y-1| =\frac{1}{2} \log |2 x+3|+\log c \\ \Rightarrow \quad \log |2 y-1| =\log |2 x+3|+2 \log c \\ \Rightarrow \quad \log |2 y-1|-\log |2 x+3| =\log c^{2} \\ \Rightarrow \quad \log |\frac{2 y-1}{2 x+3}| =\log c^{2} \\ \Rightarrow \quad \frac{2 y-1}{2 x+3} = \pm c^{2}\\ \Rightarrow \quad \frac{2 y-1}{2 x+3} = C , \quad जहां \quad C = \pm c^2 \\ \Rightarrow \quad \frac{2 x+3}{2 y-1}=\frac{1}{C} \\ \Rightarrow \quad \frac{2 x+3}{2 y-1} =k \text{, जहां } k=\frac{1}{C} \end{matrix} $

अतः सही विकल्प (c) है।

हल

दी गई समीकरण है

$ \begin{gathered} y=a \cos x+b \sin x \\ \frac{d y}{d x}=-a \sin x+b \cos x \end{gathered} $

$ \begin{aligned} \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-a \cos x-b \sin x \\ \Rightarrow \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}} & =-(a \cos x+b \sin x) \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-y \Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+y=0 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प है $(a)$।

हल

दी गई अवकल समीकरण है $\frac{d y}{d x}+y=e^{-x}$

क्योंकि, यह एक रैखिक अवकल समीकरण है तो $P=1$ और $Q=e^{-x}$

समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int 1 . d x}=e^{x}$

$\therefore$ हल है

$ \begin{aligned} y \times \text{ I.F. } & =\int Q \times \text{ I.F. } d x+c \\ \Rightarrow \quad y \times e^{x} & =\int e^{-x} \times e^{x} d x+c \Rightarrow y \times e^{x}=\int e^{0} d x+c \\ \Rightarrow \quad y \times e^{x} & =\int 1 . d x+c \Rightarrow y \times e^{x}=x+c \end{aligned} $

$y=0$ और $x=0$ रखें

$\therefore \quad 0=0+c \quad $

$\therefore \quad c=0$

$\therefore$ समीकरण है $y \times e^{x}=x$

इसलिए $\quad y=x \cdot e^{-x}$

इसलिए, सही विकल्प है $(d)$।

हल

दी गई अवकल समीकरण है

$ [\frac{d^{3} y}{d x^{3}}]^{2}-3 \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2(\frac{d y}{d x})^{4}=y^{4} $

यहाँ सर्वोच्च अवकलज $\frac{d^{3} y}{d x^{3}}$ है।

$\therefore$ अवकल समीकरण की कोटि 3 है और क्योंकि, सर्वोच्च अवकलज की घात 2 है

$\therefore$ इसका स्तर 2 है

इसलिए, सही विकल्प है (d)।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ [1+(\frac{d y}{d x})^{2}]=\frac{d^{2} y}{d x^{2}} $

यहाँ, सर्वोच्च अवकलज की घात 2 है,

$\therefore$ क्रम $=2$

और सर्वोच्च अवकलज की घात 1 है

$\therefore$ घात $=1$

अतः सही विकल्प (c) है।

हल

दिया गया वक्रों के परिवार का समीकरण है

$$ \begin{align*} & y^{2}=4 a(x+a) \\ \Rightarrow \quad & y^{2}=4 a x+4 a^{2} \tag{1} \end{align*} $$

दोनों ओर के संबंध के संबंध में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} 2 y \cdot \frac{d y}{d x} & =4 a \\ \Rightarrow \quad y \cdot \frac{d y}{d x} & =2 a \Rightarrow \frac{y}{2} \frac{d y}{d x}=a \end{aligned} $

अब, समीकरण (1) में $a$ के मान को रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} y^{2} & =4 x(\frac{y}{2} \frac{d y}{d x})+4(\frac{y}{2} \cdot \frac{d y}{d x})^{2} \\ \Rightarrow \quad y^{2} & =2 x y \frac{d y}{d x}+y^{2}(\frac{d y}{d x})^{2} \Rightarrow y=2 x \frac{d y}{d x}+y(\frac{d y}{d x})^{2} \end{aligned} $

$ \Rightarrow \quad 2 x \cdot \frac{d y}{d x}+y \cdot(\frac{d y}{d x})^{2}-y=0 $

अतः सही विकल्प (d) है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+y=0 $

क्योंकि उपरोक्त समीकरण द्वितीय क्रम और प्रथम घात का है

$\therefore \quad D^{2} y-2 D y+y=0$, जहाँ $D=\frac{d}{d x}$

$\Rightarrow(D^{2}-2 D+1) y=0$

$\therefore$ सहायक समीकरण है

$ m^{2}-2 m+1=0 \Rightarrow(m-1)^{2}=0 \Rightarrow m=1,1 $

यदि सहायक समीकरण के मूल वास्तविक और समान हों, जैसे $(m)$ तो $C F=(ax+b) \cdot e^{m x}$

$\therefore \quad C F=(A x+B) e^{x}$

इसलिए $y=(A x+B) \cdot e^{x}$

इसलिए, सही विकल्प है $(a)$।

हल

दी गई अवकल समीकरण है $\frac{d y}{d x}+y \tan x=\sec x$

क्योंकि, यह एक रैखिक अवकल समीकरण है

$\therefore \quad P=\tan x$ और $Q=\sec x$

समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \tan x d x}=e^{\log |\sec x|}=\sec x, (\sec x>0)$

$\therefore$ हल है

$ \begin{aligned} y \times \text{ I.F. } & =\int Q \times \text{ I.F. } d x+c \\ \Rightarrow \quad y \times \sec x & =\int \sec x \cdot \sec x d x+c \\ \Rightarrow \quad y \sec x & =\int \sec ^{2} x d x+c \Rightarrow y \sec x=\tan x+c \\ \Rightarrow y \sec x=\tan x+c \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प है (a)।

हल

दी गई अवकल समीकरण है $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x}=\sin x$

क्योंकि, यह एक रैखिक अवकल समीकरण है

$\therefore \quad P=\frac{1}{x}$ और $Q=\sin x$

समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int \frac{1}{x} d x}=e^{\log |x|}=x , (x>0)$

$\therefore$ हल है $y \times$ I.F. $=\int Q \times$ I.F. $d x+c$

$ \begin{matrix} y \times x =\int \sin x \cdot x d x+c \Rightarrow y \times x=\int x \sin x d x+c \\ y x =x \cdot \int \sin x d x-\int(D(x) \int \sin x d x) d x+c \\ \Rightarrow y x =x(-\cos x)-\int-\cos x d x \\

\Rightarrow y x=-x \cos x+\int \cos x d x \Rightarrow y x=-x \cos x+\sin x+c \\ \Rightarrow y x+x \cos x =\sin x+c \\ \Rightarrow x(y+\cos x) =\sin x+c \end{matrix} $

इसलिए, सही विकल्प है $(a)$।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} (e^{x}+1) y d y & =(y+1) e^{x} d x \\ \Rightarrow \quad \frac{y}{y+1} d y & =\frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \int \frac{y}{y+1} d y & =\int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x \\ \Rightarrow \quad \int \frac{y+1-1}{y+1} d y & =\int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x \\ \Rightarrow \quad \int 1 \cdot d y-\int \frac{1}{y+1} d y & =\int \frac{e^{x}}{e^{x}+1} d x \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad y-\log |y+1| =\log |e^{x}+1|+\log |c| \\ \Rightarrow \quad y =\log |y+1|+\log |e^{x}+1|+\log |c| \\ \Rightarrow \quad y =\log |c(y+1)(e^{x}+1)| \\ \Rightarrow \quad y =\log [k(y+1)(e^{x}+1)] , \quad (where \quad k= \pm c) \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प है (c)।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=e^{x-y}+x^{2} e^{-y} \\ & \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}=e^{x} \cdot e^{-y}+x^{2} \cdot e^{-y} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=e^{-y}(e^{x}+x^{2}) \\ & \Rightarrow \quad \frac{d y}{e^{-y}}=(e^{x}+x^{2}) d x \Rightarrow e^{y} \cdot d y=(e^{x}+x^{2}) d x \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} \int e^{y} d y & =\int(e^{x}+x^{2}) d x \\

\Rightarrow \quad e^{y} & =e^{x}+\frac{x^{3}}{3}+c \Rightarrow e^{y}-e^{x}=\frac{x^{3}}{3}+c \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प है $(b)$।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है

$ \frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}} $

क्योंकि, यह एक रैखिक अवकल समीकरण है

$ P=\frac{2 x}{1+x^{2}} \text{ और } Q=\frac{1}{(1+x^{2})^{2}} $

समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}=e^{\log |(1+x^{2})|}=|(1+x^{2})|=(1+x^{2}), \quad (\because (1+x^{2}) \quad धनात्मक होता है)
$

$\therefore$ हल $y \times$ I.F. $=\int Q \times$ I.F. $d x+c$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad y(1+x^{2})=\int \frac{1}{(1+x^{2})^{2}} \times(1+x^{2}) d x+c \\ & \Rightarrow \quad y(1+x^{2})=\int \frac{1}{(1+x^{2})} d x+c \Rightarrow y(1+x^{2})=\tan ^{-1} x+c \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प है $(a)$।

हल

(i) अवकल समीकरण $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+e^{d y / d x}=0$ की डिग्री परिभाषित नहीं है।

(ii) दिया गया अवकल समीकरण $\sqrt{1+(\frac{d y}{d x})^{2}}=x$ है। दोनों ओर वर्ग करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ 1+(\frac{d y}{d x})^{2}=x^{2} $

इसलिए, समीकरण की डिग्री 2 है।

(iii) हल में अनिश्चित अचरों की संख्या 3 है।

(iv) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{d y}{d x}+\frac{y}{x \log x}=\frac{1}{x}$ तरह के $\frac{d y}{d x}+P y=Q$ के रूप में है।

(v) $\frac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1$ तरह के अवकल समीकरण के सामान्य हल $x \times$ I.F. $=\int Q \times$ I.F. $d y+c$ द्वारा दिया जाता है

$\Rightarrow \quad x \cdot e^{\int P_1 d y}=\int Q_1 \cdot e^{\int P_1 d y} d y+c$.

(vi) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{d y}{d x}+2 y=x^{2}$

$\Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}+\frac{2}{x} y=x$.

क्योंकि, यह एक रैखिक अवकल समीकरण है

$\therefore \quad P=\frac{2}{x}$ और $Q=x$

समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2}{x} d x}=e^{2 \log |x|}=e^{\log |x^{2}|}=x^{2}$

$\therefore$ हल है

$ \begin{aligned} y \times \text{ I.F. } & =\int Q \times \text{ I.F. } d x+c \\ \Rightarrow \quad y \cdot x^{2} & =\int x \cdot x^{2} d x+c \quad \Rightarrow y \cdot x^{2}=\int x^{3} d x+c \\ \Rightarrow \quad y \cdot x^{2} & =\frac{1}{4} x^{4}+c \quad \Rightarrow y=\frac{1}{4} x^{2}+c \cdot x^{-2} \end{aligned} $

इसलिए, हल $y=\frac{1}{4} x^{2}+c \cdot x^{-2}$ है।

(vii) दिया गया अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} & (1+x^{2}) \frac{d y}{d x}+2 x y-4 x^{2}=0 \\ \Rightarrow \quad & \frac{d y}{d x}+\frac{2 x y}{1+x^{2}}=\frac{4 x^{2}}{1+x^{2}} \end{aligned} $

क्योंकि यह एक रैखिक अवकल समीकरण है

$\therefore \quad P=\frac{2 x}{1+x^{2}}$ और $Q=\frac{4 x^{2}}{1+x^{2}}$

समाकलन गुणांक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int \frac{2 x}{1+x^{2}} d x}=e^{\log |(1+x^{2})|}=(1+x^{2}) , \quad (\because (1+x^{2}) \quad है \quad धनात्मक )$

$\therefore$ हल $y \times I$.F $=\int Q \times$ I.F. $d x+c$

$ \begin{aligned} \Rightarrow y \times(1+x^{2}) =\int \frac{4 x}{1+x^{2}} \times(1+x^{2}) d x+c \\ \Rightarrow y \times(1+x^{2}) =\int 4 x^{2} d x+c \Rightarrow y \times(1+x^{2})=\frac{4}{3} x^{3}+c \\ \Rightarrow y =\frac{4}{3} \frac{x^{3}}{(1+x^{2})}+c(1+x^{2})^{-1} \end{aligned} $

$\Rightarrow 3y (1+x^{2})= 4x^{3}+3c$

$\Rightarrow 3y (1+x^{2})= 4x^{3}+C , (where \quad C=3c)$

इसलिए, आवश्यक हल $ 3y (1+x^{2})= 4x^{3}+C$ है।

(viii) दिया गया अवकल समीकरण है

$ \begin{gathered} y d x+(x+x y) d y=0 \\ \Rightarrow \quad(x+x y) d y=-y d x \Rightarrow x(1+y) d y=-y d x \\ \Rightarrow \quad \frac{1+y}{y} d y=-\frac{1}{x} d x \end{gathered} $

दोनों ओर समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \int \frac{1+y}{y} d y=-\int \frac{1}{x} d x \\ & \Rightarrow \quad \int(\frac{1}{y}+1) d y=-\int \frac{1}{x} d x \\ & \Rightarrow \quad \log |y|+y=-\log |x|+\log |c| \\ & \Rightarrow \log |x|+\log |y|=\log |c|-y \\ & \Rightarrow \quad \log |x y |=\log |c|-y \\ & \Rightarrow \quad |x y |=e^{\log|c|}e^{-y} \\ & \Rightarrow \quad x y =\pm e^{\log|c|}e^{-y} \\ & \Rightarrow \quad x y =Ce^{-y} , \quad (where \quad C=\pm e^{\log|c|} )\\ \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक हल $x y=C e^{-y}$ है।

(ix) दिया गया अवकल समीकरण है $\frac{d y}{d x}+y=\sin x$

क्योंकि, यह एक रैखिक अवकल समीकरण है

$\therefore \quad P=1$ और $Q=\sin x$

समाकलन गुणांक I.F. $=e^{\int P d x}=e^{\int 1 . d x}=e^{x}$

$\therefore$ हल $y \times$ I.F. $=\int Q \times$ I.F. $d x+c$

$\Rightarrow \quad y \cdot e^{x}=\int \sin x \cdot e^{x} d x+c$

मान लीजिए $ I=\int \sin x \cdot e^{x} d x$

$ समाकलन \quad द्वारा \quad भाग \quad समाकलन $

$ \begin{aligned} & I=\sin x \cdot \int e^{x} d x-\int(D(\sin x) \cdot \int e^{x} d x) d x \\

& I=\sin x \cdot e^{x}-\int \cos x \cdot e^{x} d x \\ & I=\sin x \cdot e^{x}-[\cos x \cdot \int e^{x} d x-\int(D(\cos x) \int e^{x} d x) d x] \end{aligned} $

$ \begin{aligned} I & =\sin x \cdot e^{x}-[\cos x \cdot e^{x}-\int-\sin x \cdot e^{x} d x] \\ I & =\sin x \cdot e^{x}-\cos x \cdot e^{x}-\int \sin x \cdot e^{x} d x \\ I & =\sin x \cdot e^{x}-\cos x \cdot e^{x}-I \\ \Rightarrow I+I & =e^{x}(\sin x-\cos x) \\ \Rightarrow \quad 2 I & =e^{x}(\sin x-\cos x) \\ \therefore \quad I & =\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x) \end{aligned} $

समीकरण (1) से हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} y \cdot e^{x} & =\frac{e^{x}}{2}(\sin x-\cos x)+c \\ y & =(\frac{\sin x-\cos x}{2})+c \cdot e^{-x} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक समाधान है

$ y=(\frac{\sin x-\cos x}{2})+c \cdot e^{-x} $

(x) दिया गया अवकल समीकरण है $\cot y d x=x d y$

$ \Rightarrow \frac{d y}{\cot y}=\frac{d x}{x} \Rightarrow \tan y d y=\frac{d x}{x} $

दोनों ओर समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \quad \int \tan y d y=\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \log |\sec y|=\log |x|+\log |c| \\ \Rightarrow \quad & \log |\sec y|-\log |x|=\log |c| \\ \Rightarrow \quad & \log |\frac{\sec y}{x}|=\log |c| \\ \therefore \quad & |\frac{\sec y}{x}|=|c| \\ \therefore \quad & \frac{\sec y}{x}=\pm c \\ \therefore \quad & \frac{\sec y}{x}=C \quad ( where \quad C = \pm c)\\ \Rightarrow & \frac{x}{\sec y}=\frac{1}{C} \Rightarrow \frac{x}{\sec y}=C \\ \therefore \quad & x=C \sec y \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक समाधान है $x=C \sec y$.

$(x i)$ दिया गया अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x}+y & =\frac{1+y}{x} \\ \frac{d y}{d x}+y & =\frac{1}{x}+\frac{y}{x} \\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x}+y-\frac{y}{x} & =\frac{1}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}+(1-\frac{1}{x}) y=\frac{1}{x} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \text{ यहाँ } P=(1-\frac{1}{x}) \\ & \therefore \quad \text{ I.F. }=e^{\int P d x}=e^{\int(1-\frac{1}{x}) d x}=e^{(x-\log |x|)} \\ & =e^{x} \cdot e^{-\log |x|}=e^{x} \cdot e^{\log |\frac{1}{x}|}=\frac{e^{x}}{|x|}=\frac{e^{x}}{x},(x>0)

\end{aligned} $

अतः, आवश्यक I.F. $=\frac{e^{x}}{x}$

हल

(i) सत्य

दिए गए अवकल समीकरण का एकाधिक गुणक (I.F.)

$ \frac{d x}{d y}+P_1 x=Q \text{ है } e^{\int P_1 d y} $

(ii) सत्य

(iii) सत्य

(iv) सत्य

(v) असत्य

क्योंकि अवकल समीकरण के विशिष्ट हल में कोई अनुकूल नियतांक नहीं होता।

(vi) असत्य

हम जानते हैं कि अवकल समीकरण की कोटि अनुकूल नियतांकों की संख्या के बराबर होती है।

(vii) सत्य

दिए गए अवकल समीकरण है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =(\frac{y}{x})^{1 / 3} \\

\Rightarrow \quad \frac{d y}{d x} & =\frac{y^{1 / 3}}{x^{1 / 3}} \Rightarrow \frac{d y}{y^{1 / 3}}=\frac{d x}{x^{1 / 3}} \end{aligned} $

अतः दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\int \frac{d y}{y^{1 / 3}} =\int \frac{d x}{x^{1 / 3}} \Rightarrow \int y^{-1 / 3} d y=\int x^{-1 / 3} d x$

$\Rightarrow \frac{1}{-\frac{1}{3}+1} y^{-1 / 3+1} =\frac{1}{-1 / 3+1} \cdot x^{-1 / 3+1}+c$

$\Rightarrow \quad \frac{3}{2} y^{2 / 3} =\frac{3}{2} x^{2 / 3}+c$

$\Rightarrow \quad y^{2 / 3} =x^{2 / 3}+\frac{2}{3} c \Rightarrow y^{2 / 3}-x^{2 / 3}=k[k=\frac{2}{3} c]$

(viii) सत्य

दिया गया समीकरण है

$ y=e^{x}(A \cos x+B \sin x) $

दोनों ओर अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=e^{x}(-A \sin x+B \cos x)+(A \cos x+B \sin x) e^{x} \\ & \frac{d y}{d x}=e^{x}(-A \sin x+B \cos x)+y \end{aligned} $

फिर अवकलन करने पर $x$ के संदर्भ में, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x}(-A \cos x-B \sin x)+(-A \sin x+B \cos x) \cdot e^{x}+\frac{d y}{d x} \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-e^{x}(A \cos x+B \sin x)+\frac{d y}{d x}-y+\frac{d y}{d x} \\ & \frac{d^{2} y}{d x^{2}}=-y-y+2 \frac{d y}{d x} \quad \therefore \quad \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-2 \frac{d y}{d x}+2 y=0 \end{aligned} $

(ix) सत्य

दिया गया अवकलन समीकरण है

$ \begin{aligned} \frac{d y}{d x} & =\frac{x+2 y}{x} \\ \Rightarrow \quad \frac{d y}{d x} & =1+2 \frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}-\frac{2 y}{x}=1 \end{aligned} $

यहाँ, $P=\frac{-2}{x}$ और $Q=1$

समाकलन गुणक I.F. $=e^{\int \frac{-2}{x} d x}=e^{-2 \log |x|}=e^{\log |x|^{-2}}=\frac{1}{|x|^{2}} = \frac{1}{x^{2}}$

$\therefore$ हल है $y \times$ I.F. $=\int Q \times$ I.F. $d x+c$

$\Rightarrow y \times \frac{1}{x^{2}}=\int 1 \times \frac{1}{x^{2}} d x+c$

$\Rightarrow \quad \frac{y}{x^{2}}=\int \frac{1}{x^{2}} d x+c \Rightarrow \frac{y}{x^{2}}=-\frac{1}{x}+c$

$\Rightarrow \quad y=-x+c x^{2} \Rightarrow y+x=c x^{2}$

(x) सत्य

दिया गया अवकलन समीकरण है

$ \begin{aligned} & x \frac{d y}{d x}=y+x \tan (\frac{y}{x}) \\ & x \frac{d y}{d x}-x \tan (\frac{y}{x})=y \\ `

& \Rightarrow \frac{d y}{d x}-\tan (\frac{y}{x})=\frac{y}{x} \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\tan (\frac{y}{x}) \\ & \text{ Put } y=v x \Rightarrow \frac{d y}{d x}=v+x \frac{d v}{d x} \\ & \Rightarrow \quad v+x \cdot \frac{d v}{\text{d}x}=\frac{v x}{x}+\tan (\frac{v x}{x}) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad v+x \frac{d v}{d x}=v+\tan v \Rightarrow x \frac{d v}{d x}=\tan v \\ & \Rightarrow \quad \frac{d v}{\tan v}=\frac{d x}{x} \Rightarrow \cot v d v=\frac{d x}{x} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{matrix} \int \cot v d v =\int \frac{d x}{x} \Rightarrow \log |\sin v|=\log |x|+\log |c| \\ \Rightarrow \log |\sin \frac{y}{x}|=\log |x c| \\ \therefore \qquad \sin \frac{y}{x} =\pm cx \\ \therefore \qquad \sin \frac{y}{x} =Cx , \quad (where \quad C= \pm c) \end{matrix} $

(xi) सत्य

मान लीजिए $y=m x+c$ एक तल में अनुप्रस्थ रेखा है

$\therefore \qquad \frac{d y}{d x}=m$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=0$.