हल

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} x^{2}-x+1 & x-1 \\ x+1 & x+1\end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} C_1 \to C_1 -C_2 & = \begin{vmatrix} x^{2}-2 x+2 & x-1 \\ 0 & x+1 \end{vmatrix} \\ \\ & =(x+1)(x^{2}-2 x+2)-0 \\ \\ & =x^{3}-2 x^{2}+2 x+x^{2}-2 x+2 \\ \\ & =x^{3}-x^{2}+2 \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} a+x & y & z \\ x & a+y & z \\ x & y & a+z\end{vmatrix} $

$ C_1 \to C_1+C_2+C_3 = \begin{vmatrix} a+x+y+z & y & z \\ a+x+y+z & a+y & z \\ a+x+y+z & y & a+z \end{vmatrix} \\ \\ \hspace{3cm}=(a+x+y+z) \begin{vmatrix} 1 & y & z \\ 1 & a+y & z \\ 1 & y & a+z \end{vmatrix} $

(सामान्य रूप से $a+x+y+z$ लेकर)

$ R_1 \to R_1-R_2, R_2 \to R_2-R_3=(a+x+y+z) \begin{vmatrix} 0 & -a & 0 \\ 0 & a & -a \\ 1 & y & a+z \end{vmatrix} $

$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर $(a+x+y+z)|1(a^{2}-0)|=a^{2}(a+x+y+z)$

हल

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} 0 & x y^{2} & x z^{2} \\ x^{2} y & 0 & y z^{2} \\ x^{2} z & z y^{2} & 0\end{vmatrix} $

$C_1, C_2$ और $C_3$ से क्रमशः $x^{2}, y^{2}$ और $z^{2}$ लेकर $=x^{2} y^{2} z^{2} \begin{vmatrix} 0 & x & x \\ y & 0 & y \\ z & z & 0\end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} \text{ पंक्ति } R_1 \text{ के अनुदिश विस्तार करने पर } & =x^{2} y^{2} z^{2}\left[0 \begin{vmatrix} 0 & y \\ z & 0 \end{vmatrix} -x \begin{vmatrix} y & y \\ z & 0 \end{vmatrix} +x \begin{vmatrix} y & 0 \\ z & z \end{vmatrix} \right] \\ \\ & =x^{2} y^{2} z^{2}[-x(0-y z)+x(y z-0)] \\ \\ & =x^{2} y^{2} z^{2}(x y z+x y z) \\ \\

& =x^{2} y^{2} z^{2}(2 x y z) \\ \\ & =2 x^{3} y^{3} z^{3} \end{aligned} $

समाधान

Let $\Delta= \begin{vmatrix} 3 x & -x+y & -x+z \\ x-y & 3 y & z-y \\ x-z & y-z & 3 z\end{vmatrix} \\ $

$C _ 1 \to C _ 1+C _ 2 +C _ 3=\begin{vmatrix} x+y+z & -x+y & -x+z \\ x+y+z & 3 y & z-y \\ x+y+z & y-z & 3 z\end{vmatrix} \\ $

Taking $(x+y+z)$ common from $C_1$ $ =(x+y+z) \begin{vmatrix} 1 & -x+y & -x+z \\ 1 & 3 y & z-y \\ 1 & y-z & 3 z \end{vmatrix} \\ $

$R_1 \to R_1-R_2, R_2 \to R_2-R_3$ $=(x+y+z) \begin{vmatrix} 0 & -x-2 y & -x+y \\ 0 & 2 y+z & -y-2 z \\ 1 & y-z & 3 z\end{vmatrix} \\ $

$ \begin{aligned} \text{Expanding along } C _ 1& =(x+y+z) \left(1 \begin{vmatrix} -x-2 y & -x+y \\ 2 y+z & -y-2 z \end{vmatrix} \right) \\ \\ & =(x+y+z)[(-x-2 y)(-y-2 z)-(2 y+z)(-x+y)] \\ \\ & =(x+y+z)(x y+2 z x+2 y^{2}+4 y z+2 x y-2 y^{2}+z x-z y) \\ \\ & =(x+y+z)(3 x y+3 z x+3 y z) \\ \\ & =3(x+y+z)(x y+y z+z x) \end{aligned} $

समाधान

Let $\Delta= \begin{vmatrix} x+4 & x & x \\ x & x+4 & x \\ x & x & x+4\end{vmatrix} \\ $

$ \begin{aligned} C_1 \to C_1 & +C_2+C_3 & = \begin{vmatrix} 3 x+4 & x & x \\ 3 x+4 & x+4 & x \\ 3 x+4 & x & x+4 \end{vmatrix} \end{aligned} $

$ \text{Taking } (3 x+4) \text{ common from } C _ 1=(3 x+4) \begin{vmatrix} 1 & x & x \\ 1 & x+4 & x \\ 1 & x & x+4 \end{vmatrix} \\ $

$ R_1 \to R_1-R_2, R_2 \to R_2-R_3 $ $ =(3 x+4) \begin{vmatrix} 0 & -4 & 0 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & x & x+4 \end{vmatrix} \\ $

Expanding along $C_1$ $ =(3 x+4)\left[1 \begin{vmatrix} -4 & 0 \\ 4 & -4 \end{vmatrix} \right] \\ \\ \hspace{2.6cm}=(3 x+4)(16-0)=16(3 x+4) $

हल

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} a-b-c & 2 a & 2 a \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b\end{vmatrix} \\ $

$ \begin{aligned} & R_1 \to R_1+R_2+R_3 &= \begin{vmatrix} a+b+c & a+b+c & a+b+c \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b \end{vmatrix} \\ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text{स्तंभ } R _ 1 से (a+b+c) लेकर & =(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 b & b-c-a & 2 b \\ 2 c & 2 c & c-a-b \end{vmatrix} \\ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} C_1 \to C_1-C_2, C_2 & \to C_2-C_3 =(a+b+c) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ b+c+a & -(b+c+a) & 2 b \\ 0 & a+b+c & c-a-b \end{vmatrix} \\ \end{aligned} $

स्तंभ $C_1$ और $C_2$ से $(b+c+a)$ लेकर $ =(a+b+c)^{3} \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & -1 & 2 b \\ 0 & 1 & c-a-b \end{vmatrix} \\ $

स्तंभ $R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर $ =(a+b+c)^{3} \left( 1 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \right)=(a+b+c)^{3} $

निर्णय के गुणों का उपयोग करते हुए अभ्यास 7 से 9 के प्रश्नों को सिद्ध करें:

हल

$\text{L.H.S.} = \begin{vmatrix} y^{2} z^{2} & y z & y+z \\ \\ z^{2} x^{2} & z x & z+x \\ \\ x^{2} y^{2} & x y & x+y\end{vmatrix} \\ $

$R_1 \to x R_1, R_2 \to y R_2, R_3 \to z R_3$ और निर्णय को $x y z$ से विभाजित करें।

$ =\dfrac{1}{x y z} \begin{vmatrix} x y^{2} z^{2} & x y z & x y+z x \\ y z^{2} x^{2} & y z x & y z+x y \\ z x^{2} y^{2} & z x y & z x+z y \end{vmatrix} $

$C_1$ और $C_2$ से $x y z$ लेकर

$ =\dfrac{x y z \cdot x y z}{x y z} \begin{vmatrix} y z & 1 & x y+z x \\ z x & 1 & y z+x y \\ x y & 1 & z x+z y \end{vmatrix} $

$ C_3 \to C_3+C_1=x y z \begin{vmatrix} y z & 1 & x y+y z+z x \\ z x & 1 & x y+y z+z x \\ x y & 1 & x y+y z+z x \end{vmatrix} $

$C_3$ से $(x y+y z+z x)$ लेकर

$ \begin{aligned} & =(x y z)(x y+y z+z x) \begin{vmatrix}

y z & 1 & 1 \\ z x & 1 & 1 \\ x y & 1 & 1 \end{vmatrix} \\ \\ & =(x y z)(x y+y z+z x) \begin{vmatrix} y z & 1 & 1 \\ z x & 1 & 1 \\ x y & 1 & 1 \end{vmatrix} =0 \\ \\ & {[\because \quad C_2 \text{ and } C_3 \text{ are identical }]} \end{aligned} $

$\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$ Hence proved.

समाधान

$\text{L.H.S.} = \begin{vmatrix} y+z & z & y \\ z & z+x & x \\ y & x & x+y\end{vmatrix} $

$ C_1 \to C_1-(C_2+C_3)= \begin{vmatrix} 0 & z & y \\ \\ -2 x & z+x & x \\ \\ -2 x & x & x+y \end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} \text{Taking -2 common from} C_1 & =-2 \begin{vmatrix} 0 & z & y \\ x & z+x & x \\ x & x & x+y \end{vmatrix} \\ \\ R_2 \to R_2 -R_3 & =-2 \begin{vmatrix} 0 & z & y \\ 0 & z & -y \\ x & x & x+y \end{vmatrix} \end{aligned} $ $ \begin{aligned} \text{Expanding along } C_1 & =-2(x(-z y-z y)) \\ \\ & =-2(-2 x y z) \\ \\ & =4 x y z = \text{R.H.S.} \end{aligned} $ $\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$

Hence, proved.

समाधान

L.H.S. $= \begin{vmatrix} a^{2}+2 a & 2 a+1 & 1 \\ 2 a+1 & a+2 & 1 \\ 3 & 3 & 1\end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} R_1 \to R_1-R_2, R_2 \to R_2-R_3 &= \begin{vmatrix} a^{2}-1 & a-1 & 0 \\ 2 a-2 & a-1 & 0 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} \\ \\ & = \begin{vmatrix} (a+1)(a-1) & a-1 & 0 \\ 2(a-1) & a-1 & 0 \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} \end{aligned} $

Taking $(a-1)$ common from $C_1$ and $C_2$

$ \begin{aligned} \text{ Expanding along } C_3=(a-1)(a-1) \begin{vmatrix} a+1 & 1 & 0 \\ \\ 2 & 1 & 0 \\ \\ 3 & 3 & 1 \end{vmatrix} & =(a-1)^{2} \left(1 \begin{vmatrix} a+1 & 1 \\ \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \right) \\ \\ & =(a-1)^{2}(a+1-2) \\ \\ & =(a-1)^{2}(a-1) \\ \\ & =(a-1)^{3} = \text{ R.H.S. }

\end{aligned} $

L.H.S. $=$ R.H.S.

अतः सिद्ध हुआ।

हल

$ \begin{aligned} \text{L.H.S.} & = \begin{vmatrix} 1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & 1 & \cos A \\ \cos B & \cos A & 1\end{vmatrix} \end{aligned} $

$ \text{ } C_1 $ के अनुदिश विस्तार करते हैं

$ \begin{aligned} \qquad \quad & = 1 \begin{vmatrix} 1 & \cos A \\ \cos A & 1 \end{vmatrix} -\cos C \begin{vmatrix} \cos C & \cos B \\ \cos A & 1 \end{vmatrix} +\cos B \begin{vmatrix} \cos C & \cos B \\ 1 & \cos A \end{vmatrix} \\ \\ & = 1(1-\cos ^{2} A)-\cos C(\cos C-\cos A \cos B) +\cos B(\cos A \cos C-\cos B) \\ \\ & = \sin ^{2} A-\cos ^{2} C+\cos A \cos B \cos C +\cos A \cos B \cos C-\cos ^{2} B \\ \\ & = \sin ^{2} A-\cos ^{2} B-\cos ^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C \\ \\ & = -\cos (A+B) \cdot \cos (A-B)-\cos ^{2} C+2 \cos A \cos B \cos C \\ \\ & \quad[\because \quad \sin ^{2} A-\cos ^{2} B =-\cos (A+B) \cdot \cos (A-B)] \\ \\ & = -\cos (-C) \cdot \cos (A-B)+\cos C(2 \cos A \cos B-\cos C) \\ \\ & = -\cos C(\cos A \cos B+\sin A \sin B) +\cos C(2 \cos A \cos B-\cos C) \\ \\ & = -\cos C(\cos A \cos B+\sin A \sin B-2 \cos A \cos B+\cos C) \\ \\ & = -\cos C(-\cos A \cos B+\sin A \sin B+\cos C) \\ \\ & = \cos C(\cos A \cos B-\sin A \sin B-\cos C) \\ \\ & = \cos C[\cos (A+B)-\cos C] \\ \\ & = \cos C[\cos (-C)-\cos C] \\ \\ & = \cos C[\cos C-\cos C] \\ \\ & = \cos C \cdot 0=0 \text{ = R.H.S. } \end{aligned} $

$\text{L.H.S.} = \text{R.H.S.}$

$\text{अतः सिद्ध हुआ।}$

हल

त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं

$\qquad \quad =\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix} $

मान लीजिए $\Delta \ \ =\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix} \\ \\ \Rightarrow \Delta^{2}=\dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1\end{vmatrix} ^{2}$

लेकिन एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसकी भुजा ’ $a$ ’ है $=\dfrac{\sqrt{3}}{4} a^{2}$

$ \therefore \quad\left(\dfrac{\sqrt{3}}{4} a^{2}\right)^{2}=\dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} ^{2} $

$ \Rightarrow \quad \dfrac{3}{16} a^{4}=\dfrac{1}{4} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} ^{2} \\ \\ \Rightarrow \quad \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix} ^{2}=\dfrac{3}{16} a^{4} \times 4=\dfrac{3}{4} a^{4} $

इसलिए, सिद्ध कर दिया गया है।

हल

मान लीजिए $\quad A= \begin{bmatrix} 1 & 1 & \sin 3 \theta \\ -4 & 3 & \cos 2 \theta \\ 7 & -7 & -2 \end{bmatrix} =0$

$C_1 \to C_1-C_2$

$ |A|= \begin{vmatrix} 1 & 1 & \sin 3 \theta \\ -4 & 3 & \cos 2 \theta \\ 7 & -7 & -2 \end{vmatrix} =0 $

$\Rightarrow \quad \begin{vmatrix} 0 & 1 & \sin 3 \theta \\ -7 & 3 & \cos 2 \theta \\ 14 & -7 & -2\end{vmatrix} =0$

$C_1$ से 7 लेकर बाहर निकालें

$ \begin{matrix} \Rightarrow & 7 \begin{vmatrix} 0 & 1 & \sin 3 \theta \\ -1 & 3 & \cos 2 \theta \\ 2 & -7 & -2 \end{vmatrix} =0 \\ \\ \Rightarrow & \begin{vmatrix} 0 & 1 & \sin 3 \theta \\ -1 & 3 & \cos 2 \theta \\ 2 & -7 & -2 \end{vmatrix} =0 \end{matrix} $

$C_1$ के अनुदिश विस्तार करें

$ \begin{matrix} \Rightarrow & 1 \begin{vmatrix} 1 & \sin 3 \theta \\ -7 & -2 \end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix} `

1 & \sin 3 \theta \\ 3 & \cos 2 \theta \end{vmatrix} =0 \\ \\ \Rightarrow & -2+7 \sin 3 \theta+2(\cos 2 \theta-3 \sin 3 \theta)=0 \\ \\ \Rightarrow & -2+7 \sin 3 \theta+2 \cos 2 \theta-6 \sin 3 \theta=0 \\ \\ \Rightarrow & -2+2 \cos 2 \theta+\sin 3 \theta=0 \\ \\ \Rightarrow & -2+2(1-2 \sin ^{2} \theta)+3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta=0 \\ \\ \Rightarrow & -2+2-4 \sin ^{2} \theta+3 \sin \theta-4 \sin ^{3} \theta=0 \end{matrix} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad-4 \sin ^{3} \theta-4 \sin ^{2} \theta+3 \sin \theta=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad-\sin \theta(4 \sin ^{2} \theta+4 \sin \theta-3)=0 \\ \\ & \sin \theta=0 \quad \text{ or } \quad 4 \sin ^{2} \theta+4 \sin \theta-3=0 \\ \\ & \therefore \quad \theta=n \pi \quad \text{ or } \quad 4 \sin ^{2} \theta+6 \sin \theta-2 \sin \theta-3=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 \sin \theta(2 \sin \theta+3)-1(2 \sin \theta+3)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad(2 \sin \theta+3)(2 \sin \theta-1)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 \sin \theta+3=0 \quad \text{ or } \quad 2 \sin \theta-1=0 \\ \\ & \sin \theta=\dfrac{-3}{2} \quad \text{ or } \quad \sin \theta=\dfrac{1}{2} \end{aligned} $

$\sin \theta=\dfrac{-3}{2}$ असंभव है क्योंकि $-1 \leq x \leq 1$

$\therefore \quad \sin \theta=\dfrac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad \sin \theta=\sin \dfrac{\pi}{6} $

$ \Rightarrow \quad \theta=n \pi+(-1)^{n} \cdot \dfrac{\pi}{6}$

इसलिए, $\theta=n \pi \quad$ या $\quad n \pi+(-1)^{n} \dfrac{\pi}{6}$

हल

मान लीजिए $\quad A= \begin{vmatrix} 4-x & 4+x & 4+x \\ 4+x & 4-x & 4+x \\ 4+x & 4+x & 4-x \end{vmatrix} =0$

$ A= \begin{vmatrix} 4-x & 4+x & 4+x \\ 4+x & 4-x & 4+x \\ 4+x & 4+x & 4-x\end{vmatrix} =0$

$R_1 \to R_1+R_2+R_3$

$\Rightarrow \quad \begin{vmatrix} 12+x & 12+x & 12+x \\ 4+x & 4-x & 4+x \\ 4+x & 4+x & 4-x\end{vmatrix} =0$

$R_1$ से $(12+x)$ लेकर निकालें,

$ \Rightarrow \quad (12+x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4+x & 4-x & 4+x \\ 4+x & 4+x & 4-x \end{vmatrix} =0 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4+x & 4-x & 4+x \\ 4+x & 4+x & 4-x \end{vmatrix} =0 $

$ C_1 \to C_1 - C_2 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ (4+x)-(4-x) & 4-x & 4+x \\ (4+x)-(4+x) & 4+x & 4-x \end{vmatrix} =0 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2x & 4-x & 4+x \\ 0 & 4+x & 4-x \end{vmatrix} =0 $

$ R_1 \to R_1 - R_3 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2x & 4-x & 4+x \\ 0 & 4+x & 4-x \end{vmatrix} =0 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 2x & 4-x & 4+x \\ 0 & 4+x & 4-x \end{vmatrix} =0 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \left[ 0 \cdot \begin{vmatrix} 4-x & 4+x \\ 4+x & 4-x \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 2x & 4+x \\ 0 & 4-x \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2x & 4-x \\ 0 & 4+x \end{vmatrix} \right] =0 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \left[ 0 - 1 \cdot (2x(4-x) - 0) + 1 \cdot (2x(4+x) - 0) \right] =0 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \left[ -2x(4-x) + 2x(4+x) \right] =0 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \left[ -8x + 2x^2 + 8x + 2x^2 \right] =0 $

$ \Rightarrow \quad (12+x) \left[ 4x^2 \right] =0 $

$ \Rightarrow \quad 4x^2(12+x) =0 $

$ \Rightarrow \quad x^2 =0 \quad \text{ or } \quad 12+x=0 $

$ \Rightarrow \quad x=0 \quad \text{ or } \quad x=-12 $

इसलिए, $x = 0$ या $x = -12$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad(12+x) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 4+x & 4-x & 4+x \\ 4+x & 4+x & 4-x \end{vmatrix} =0 \\ \\ & C_1 \to C_1-C_2, C_2 \to C_2-C_3 \end{aligned} $

$ (12+x) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 x & -2 x & 4+x \\ 0 & 2 x & 4-x \end{vmatrix} =0 $

$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad(12+x) \left( 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 x & -2 x \\ \\ 0 & 2 x \end{vmatrix} \right)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x=-12 \text{ या } x=0 \end{aligned} $

हल

यदि $a_1, a_2, a_3, \ldots a_r$ G.P. के पद हैं, तो

$ a_n=AR^{n-1} $

(जहाँ $A$ G.P. का पहला पद है और $R$ उसका सार्व अनुपात है। )

$ \begin{aligned} a _{r+1} & =AR^{r+1-1}=AR^{r} ; a _{r+5}=AR^{r+5-1}=AR^{r+4} \\ \\ a _{r+9} & =AR^{r+9-1}=AR^{r+8} ; a _{r+7}=AR^{r+7-1}=AR^{r+6} \\ \\ a _{r+11} & =AR^{r+11-1}=AR^{r+10} ; a _{r+15}=AR^{r+15-1}=AR^{r+14} \\ \\ a _{r+17} & =AR^{r+17-1}=AR^{r+16} ; a _{r+21}=AR^{r+21-1}=AR^{r+20} \end{aligned} $

$\therefore \quad$ निर्णय बन जाता है

$ \begin{vmatrix} AR^{r} & AR^{r+4} & AR^{r+8} \\ AR^{r+6} & AR^{r+10} & AR^{r+14} \\ AR^{r+10} & AR^{r+16} & AR^{r+20} \end{vmatrix} $

$R_1, R_2$ और $R_3$ से क्रमशः $AR^{r}, AR^{r+6}$ और $AR^{r+10}$ लेकर निकालें।

$ \begin{aligned} & AR^{r} \cdot AR^{r+6} \cdot AR^{r+10} \begin{vmatrix} 1 & R^{4} & R^{8} \\ 1 & R^{4} & R^{8} \\ 1 & R^{6} & R^{10} \end{vmatrix} \\ \\ \Rightarrow \quad & AR^{r} \cdot AR^{r+6} \cdot AR^{r+10}|0| = 0 \qquad[\because \quad R_1 \text{ और } R_2 \text{ समान पंक्तियाँ हैं }] \end{aligned} $

इसलिए, दिया गया निर्णय $r$ के स्वतंत्र है।

हल

यदि दिए गए बिंदुएँ एक सीधी रेखा पर स्थित हों, तो उनके द्वारा बनाए गए त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होता है।

इसलिए, $\quad \begin{vmatrix} a+5 & a-4 & 1 \\ a-2 & a+3 & 1 \\ a & a & 1\end{vmatrix} $

$R_1 \to R_1-R_2, R_2 \to R_2-R_3$

$\Rightarrow \quad \begin{vmatrix} 7 & -7 & 0 \\ -2 & 3 & 0 \\ a & a & 1\end{vmatrix} $

$C_3$ के अनुदिश विस्तार करने पर

$ 1 \cdot \begin{vmatrix} 7 & -7 \\ -2 & 3 \end{vmatrix} =21-14=7 \text{ इकाई } $

क्योंकि $7 \neq 0$, इसलिए तीन बिंदुएँ किसी भी $a$ के मान के लिए सीधी रेखा पर नहीं स्थित होते।

हल

$ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1+\cos A & 1+\cos B & 1+\cos C \\ \cos ^{2} A+\cos A & \cos ^{2} B+\cos B & \cos ^{2} C+\cos C \end{vmatrix} =0 $

$C_1 \rarr C_1-C_2,C_2 \rarr C_2-C_3$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ (\cos A-\cos B) & (\cos B-\cos C) & (1+\cos C) \\ (\cos ^2 A+\cos A & (\cos ^2 B+\cos B) & (\cos ^2 C+\cos C) \\ (-\cos ^2 B-\cos B) & (-\cos ^2 C-\cos C) & \end{array}\right|=0$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ (\cos A-\cos B) & (\cos B-\cos C) & (1+\cos C) \\ (\cos ^2 A-\cos ^2 B & (\cos ^2 B-\cos ^2 C) & (\cos ^2 C+\cos C) \\ (+\cos A-\cos B) & (+\cos B-\cos C) & \end{array}\right|=0$

$\Rightarrow \left|\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 1 \\ (\cos A-\cos B) & (\cos B-\cos C) & (1+\cos C) \\ ((\cos A+\cos B) \times & ((\cos B+\cos C) \times & \\ (\cos A-\cos B) & (\cos B-\cos C) & (\cos ^2 C+\cos C) \\ +(\cos A-\cos B)) & +(\cos B+\cos C)) & \end{array}\right|=0$

$C_1$ और $C_2$ से क्रमशः $(\cos A-\cos B)$ और $(\cos B-\cos C)$ लेकर निकालें।

$\Rightarrow \quad(\cos A-\cos B)(\cos B-\cos C) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1+\cos C \\ \cos A+ & \cos B+ & \cos ^{2} C+ \\ \cos B+1 & \cos C+1 & \cos C\end{vmatrix} =0$

$R_1$ के अनुदिश विस्तार

$\Rightarrow(\cos A-\cos B)(\cos B-\cos C)\left( 1\left|\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ \cos \mathrm{A}+ & \cos \mathrm{B}+ \\ \cos \mathrm{B}+1 & \cos \mathrm{C}+1 \end{array}\right|\right)=0$

$\Rightarrow(\cos A-\cos B)(\cos B-\cos C) \begin{vmatrix} (\cos B+\cos C+1)- \\ (\cos A+\cos B+1) \end{vmatrix} =0$

$\Rightarrow(\cos A-\cos B)(\cos B-\cos C)[\cos B+\cos C+1-\cos A-\cos B-1]=0$

$\Rightarrow(\cos A-\cos B)(\cos B-\cos C)(\cos C-\cos A)=0$

$\cos A-\cos B=0$ या $\cos B-\cos C=0$

या $\cos C-\cos A=0$

$\Rightarrow \cos A=\cos B$ या $\cos B=\cos C$ या $\cos C=\cos A$

$\Rightarrow \angle A=\angle C$ या $\angle B=\angle C $

$\Rightarrow \angle A=\angle B$

इसलिए, $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

हल

यहाँ, $\quad A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} \\ |A| & =0 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} -1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\ \\ & =0-1(0-1)+1(1-0) \\ \\ & =1+1=2 \neq 0 \text{ (non-singular matrix.) } \end{aligned} $

अब, सहखण्ड,

$ \begin{aligned} & a _{11}=+ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} =-1, \quad a _{12}=- \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} =1, \quad a _{13}=+ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =1 \\ \\ & a _{21}=- \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} =1, \quad a _{22}=+ \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} =-1, \quad a _{23}=- \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =1 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & a _{31}=+ \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1, \quad a _{32}=- \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} =1, \quad a _{33}=+ \begin{vmatrix}

0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} =-1 \\ \\ & Adj(A)= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} ^{\prime}= \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \\ \\ & \therefore \quad A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} Adj(A)=\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \\ \\ & \text{ अब, } \quad A^{2}=A \cdot A= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} \\ \\ & \qquad \qquad \quad = \begin{bmatrix} 0+1+1 & 0+0+1 & 0+1+0 \\ 0+0+1 & 1+0+1 & 1+0+0 \\ 0+1+0 & 1+0+0 & 1+1+0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \\ \\ & \text{ इसलिए, } A^{2}= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} \end{aligned} $

अब, हमें सिद्ध करना है कि $A^{-1}=\dfrac{A^{2}-3 I}{2}$

$ \begin{aligned} \text{ दाहिना हाथ की ओर } & =\dfrac{ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} -3 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} }{2} \\ \\ & =\dfrac{ \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} }{2} \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \\ \\ & =A^{-1}=\text{ बाईं हाथ की ओर } \end{aligned} $

इसलिए, सिद्ध कर दिया गया है।

हल

दिया गया है

$ \begin{aligned} A & = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} \\ \\ |A| & =1 \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} +0 \begin{bmatrix}

-2 & -1 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \\ \\ & =1(-1-2)-2(-2-0)+0 \\ \\ & =-3+4=1 \neq 0 \text{ (असंगत आव्यूह।) } \end{aligned} $

अब सहखण्ड,

$ \begin{aligned} & a _{11}=+ \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} =-3, a _{12}=- \begin{vmatrix} -2 & -2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =2, a _{13}=+ \begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} =2 \\ \\ & a _{21}=- \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} =-2, a _{22}=+ \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} =1, a _{23}=- \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} =1 \\ \\ & a _{31}=+ \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ -1 & -2 \end{vmatrix} =-4, a _{32}=- \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -2 & -2 \end{vmatrix} =2, a _{33}=+ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -2 & -1 \end{vmatrix} =3 \\ \\ & Adj(A)= \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ -4 & 2 & 3 \end{bmatrix} ^{\prime}= \begin{bmatrix} -3 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ & \therefore \quad A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} Adj(A)=\dfrac{1}{1} \begin{bmatrix} -3 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad A^{-1}= \begin{bmatrix} -3 & -2 & -4 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{bmatrix} \end{aligned} $

अब, रैखिक समीकरणों के तंत्र के रूप में $x-2 y=10$, $2 x-y-z=8$ और $-2 y+z=7$ दिया गया है, जो $CX=D$ के रूप में है।

$ \\ \\ \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix} \\ $

जहाँ $C= \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & -1 & -1 \\ 0 & -2 & 1\end{bmatrix} , \quad X= \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} $ और $D= \begin{bmatrix} 10 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix} \\ $

$ \begin{aligned} & \because \quad(A^{T})^{-1}=(A^{-1})^{T} \\ \\ & \therefore \quad C^{T}= \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & -1 & -2 \\ 0 & -1 & 1 \end{bmatrix} =A \\ \\ & \therefore\quad \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =C^{-1} D \\ \\ & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix}

x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ -4 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 10 \\ 8 \\ 7 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -30+16+14 \\ -20+8+7 \\ -40+16+21 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ -5 \\ -3 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए, $x=0, y=-5$ और $z=-3$

हल

दिया गया है

$ \begin{aligned} & 3 x+2 y-2 z=3 \\ \\ & x+2 y+3 z=6 \\ \\ & 2 x-y+z=2 \\ \\ & A= \begin{bmatrix} 3 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{bmatrix} \quad \text{ और } \quad B= \begin{bmatrix} 3 \\
6 \\
2 \end{bmatrix} \\ \\ & |A|=3 \begin{vmatrix} 2 & 3 \\
-1 & 1 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 1 & 3 \\
2 & 1 \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} 1 & 2 \\
2 & -1 \end{vmatrix} \\ \\ & \quad =3(2+3)-2(1-6)-2(-1-4) \\ \\ & \quad =15+10+10=35 \neq 0 \text{ असंगत आव्यूह } \end{aligned} $

अब, सहखण्ड,

$ \begin{aligned} & a _{11}=+ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} =5, a _{12}=- \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} =5, a _{13}=+ \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} =-5 \\ \\ & a _{21}=- \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ -1 & 1 \end{vmatrix} =0, a _{22}=+ \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} =7, a _{23}=- \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} =7 \\ \\ & a _{31}=+ \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} =10, a _{32}=- \begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} =-11, a _{33}=+ \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} =4 \\ \\ & Adj(A)= \begin{bmatrix} 5 & 5 & -5 \\ 0 & 7 & 7 \\ 10 & -11 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 5 & 7 & -11 \\

-5 & 7 & 4 \end{bmatrix} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \therefore \quad A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} Adj(A)=\dfrac{1}{35} \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 5 & 7 & -11 \\ -5 & 7 & 4 \end{bmatrix} \\ \\ & \text{ अब, } X=A^{-1} B \\ \\ & \therefore\quad \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} =\dfrac{1}{35} \begin{bmatrix} 5 & 0 & 10 \\ 5 & 7 & -11 \\ -5 & 7 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 6 \\ 2 \end{bmatrix} =\dfrac{1}{35} \begin{bmatrix} 15+0+20 \\ 15+42-22 \\ -15+42+8 \end{bmatrix} =\dfrac{1}{35} \begin{bmatrix} 35 \\ 35 \\ 35 \end{bmatrix} \\ \\ & \qquad { \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix} } \end{aligned} $

अतः, $x=1, y=1$ और $z=1$।

हल

हमें, $A= \begin{bmatrix} 2 & 2 & -4 \\ -4 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 5\end{bmatrix} $ और $B= \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} $

$ \begin{aligned} \\ BA & = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 2 & -4 \\ -4 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 2+4+0 & 2-2+0 & -4+4+0 \\ 4-12+8 & 4+6-4 & -8-12+20 \\ 0-4+4 & 0+2-2 & 0-4+10 \end{bmatrix} \\ \\ & = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 6 \end{bmatrix} =6 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} =6 I \\ \\ \therefore \quad B^{-1} & =\dfrac{1}{6} A=\dfrac{1}{6} \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -4 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \end{aligned} $

दिए गए समीकरणों को निम्न प्रकार लिखा जा सकता है,

$ \begin{aligned} & x-y=3,2 x+3 y+4 z=17 \text{ और } y+2 z=7 \\ \\ & \therefore \quad \begin{bmatrix}

1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 17 \\ 7 \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} ^{-1} \begin{bmatrix} 3 \\ 17 \\ 7 \end{bmatrix} \\ \\ & \qquad \qquad =\dfrac{1}{6} \begin{bmatrix} 2 & 2 & -4 \\ -4 & 2 & -4 \\ 2 & -1 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 \\ 17 \\ 7 \end{bmatrix} \\ \\ & \qquad \qquad =\dfrac{1}{6} \begin{bmatrix} 6+34-28 \\ -12+34-28 \\ 6-17+35 \end{bmatrix} =\dfrac{1}{6} \begin{bmatrix} 12 \\ -6 \\ 24 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 4 \end{bmatrix} \end{aligned} $

इसलिए, $x=2, y=-1$ और $z=4$

हल

दिया गया है: $a+b+c \neq 0$ और $ \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} =0$

$C_1 \to C_1+C_2+C_3$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \begin{vmatrix} a+b+c & b & c \\ a+b+c & c & a \\ a+b+c & a & b \end{vmatrix} =0 \\ \\ & \Rightarrow \quad(a+b+c) \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} =0 \quad & \begin{matrix} (\text{ Taking } a+b+c \text{ common from } C_1 ) \end{matrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad a+b+c \neq 0 \\ \\ & \therefore \quad \begin{vmatrix} 1 & b & c \\ 1 & c & a \\ 1 & a & b \end{vmatrix} =0 \end{aligned} $

$\Rightarrow \quad \begin{vmatrix} 0 & b-c & c-a \\ 0 & c-a & a-b \\ 1 & a & b\end{vmatrix} =0$

$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर

$ \begin{aligned} & 1 \begin{vmatrix} b-c & c-a \\ c-a & a-b \end{vmatrix} =0 \\ \\ & \Rightarrow \quad(b-c)(a-b)-(c-a)^{2}=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad a b-b^{2}-a c+b c-c^{2}-a^{2}+2 a c=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad-a^{2}-b^{2}-c^{2}+a b+b c+a c=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c=0 \\ \\

& \Rightarrow \quad 2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c=0 \end{aligned} $

(दोनों ओर 2 से गुणा करने पर )

$\Rightarrow(a^{2}+b^{2}-2 a b)+(b^{2}+c^{2}-2 b c)+(a^{2}+c^{2}-2 a c)=0$

$\Rightarrow \quad(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}=0$

केवल तब संभव है जब $(a-b)^{2}=(b-c)^{2}=(a-c)^{2}=0$

$\therefore\quad a=b=c \quad$ सिद्ध कर दिया गया है।

हल

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} b c-a^{2} & c a-b^{2} & a b-c^{2} \\ c a-b^{2} & a b-c^{2} & b c-a^{2} \\ a b-c^{2} & b c-a^{2} & a c-b^{2}\end{vmatrix} $

$C_1 \to C_1+C_2+C_3$

$\Rightarrow \quad \begin{vmatrix} a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2} & c a-b^{2} & a b-c^{2} \\ a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2} & a b-c^{2} & b c-a^{2} \\ a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2} & b c-a^{2} & a c-b^{2}\end{vmatrix} $

$C_1$ से $a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2}$ लेकर निकालें

$(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2}) \begin{vmatrix} 1 & c a-b^{2} & a b-c^{2} \\ 1 & a b-c^{2} & b c-a^{2} \\ 1 & b c-a^{2} & a c-b^{2}\end{vmatrix} $

$R_1 \to R_1-R_2$ और $R_2 \to R_2-R_3$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2})\begin{vmatrix} 0 & c a-b^{2}-a b+c^{2} & a b-c^{2}-b c+a^{2} \\ 0 & a b-c^{2}-b c+a^{2} & b c-a^{2}-a c+b^{2} \\ 1 & b c-a^{2} & a c-b^{2} \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2})\begin{vmatrix} 0 & a(c-b)+(c+b)(c-b) & b(a-c)+(a+c)(a-c) \\ 0 & b(a-c)+(a+c)(a-c) & c(b-a)+(b+a)(b-a) \\ 1 & b c-a^{2} & a c-b^{2} \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2}) \begin{vmatrix} 0 & (c-b)(a+b+c) & (a-c)(a+b+c) \\ 0 & (a-c)(a+b+c) & (b-a)(a+b+c) \\ 1 & b c-a^{2} & a c-b^{2} \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2})(a+b+c)(a+b+c) \begin{vmatrix} 0 & c-b & a-c \\

0 & a-c & b-a \\ 1 & b c-a^{2} & a c-b^{2} \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad(a+b+c)^{2}(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2})\begin{vmatrix} 0 & c-b & a-c \\ 0 & a-c & b-a \\ 1 & b c-a^{2} & a c-b^{2} \end{vmatrix} \end{aligned} $

उपस्थिति के अनुसार $C_1$

$\Rightarrow \quad (a+b+c)^{2}(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2})\left[1 \begin{vmatrix} c-b & a-c \\ a-c & b-a\end{vmatrix} \right]$

$\Rightarrow \quad (a+b+c)^{2}(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2})[(c-b)(b-a)-(a-c)^{2}]$

$\Rightarrow \quad (a+b+c)^{2}(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2})(b c-c a-b^{2}+a b-a^{2}-c^{2}+2 a c)$

$\Rightarrow \quad (a+b+c)^{2}(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2})(a b+b c+c a-a^{2}-b^{2}-c^{2})$

$\Rightarrow \quad (a+b+c)^{2}(a b+b c+a c-a^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}$

$\Rightarrow \quad (a+b+c)(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c)^{2}$

इसलिए, दिए गए सारणिक को $a+b+c$ से विभाजित किया जा सकता है और भागफल है

$ \begin{aligned} & (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c)^{2} \\ \\ \Rightarrow \quad & (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c) \\ \\ \Rightarrow \quad & (a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-a c) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad-(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c)(2 a^{2}+2 b^{2}+2 c^{2}-2 a b-2 b c-2 a c) \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{1}{2}(a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}] \end{aligned} $

हल

$\text{L.H.S.}$

$ \text{ मान लीजिए } \Delta= \begin{vmatrix} x a & y b & z c \\ y c & z a & x b \\ z b & x c & y a \end{vmatrix} $

$R_1$ के अनुसार विस्तार करने पर

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad x a \begin{vmatrix} z a & x b \\ x c & y a \end{vmatrix} -y b \begin{vmatrix} y c & x b \\ z b & y a \end{vmatrix} +z c \begin{vmatrix} y c & z a \\ z b & x c

\end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x \cdot x - 5 \cdot 8 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^{2} - 40 \\ \\ & \text{and} \\ \\ & \Rightarrow \quad \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad 6 \cdot 3 - (-2) \cdot 7 \\ \\ & \Rightarrow \quad 18 + 14 = 32 \\ \\ & \text{So,} \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^{2} - 40 = 32 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^{2} = 72 \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{2} = 36 \\ \\ & \Rightarrow \quad x = \pm 6 \end{aligned} $

Hence, the value of $x$ is $\pm 6$.

Answer: (c) $\pm 6$

समाधान

Given that

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \begin{vmatrix} 2 x & 5 \\ 8 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x \cdot x - 5 \cdot 8 = 6 \cdot 3 - (-2) \cdot 7 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^{2} - 40 = 18 + 14 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^{2} - 40 = 32 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^{2} = 72 \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{2} = 36 \\ \\ & \Rightarrow \quad x = \pm 6 \end{aligned} $

Hence, the value of $x$ is $\pm 6$.

Answer: (c) $\pm 6$

8 & x \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & -2 \\ 7 & 3 \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^{2}-40=18+14 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^{2}=32+40 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^{2}=72 \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{2}=36 \\ \\ & \therefore \quad x= \pm 6 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) 3 गलत है क्योंकि सारणिक समीकरण को हल करने पर $ x^2 = 36 $ प्राप्त होता है, जिससे $ x = \pm 6 $ प्राप्त होता है। मान 3 इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।

• विकल्प (b) $\pm 3$ गलत है क्योंकि सारणिक समीकरण को हल करने पर $ x^2 = 36 $ प्राप्त होता है, जिससे $ x = \pm 6 $ प्राप्त होता है। मान $\pm 3$ इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करते हैं।

• विकल्प (d) 6 गलत है क्योंकि हालांकि 6 समाधानों में से एक है, समीकरण $ x^2 = 36 $ के एक अन्य समाधान, जो -6 है, भी है। इसलिए, सही उत्तर में दोनों $\pm 6$ शामिल होना चाहिए।

हल

यहाँ हमें $ \begin{vmatrix} a-b & b+c & a \\ b-a & c+a & b \\ c-a & a+b & c\end{vmatrix} $ दिया गया है

$C_2 \to C_2+C_3$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow\quad \begin{vmatrix} a-b & a+b+c & a \\ b-a & a+b+c & b \\ c-a & a+b+c & c \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad(a+b+c) \begin{vmatrix} a-b & 1 & a \\ b-a & 1 & b \\ c-a & 1 & c \end{vmatrix} \quad (\text{ Taking } a+b+c \text{ common } )\\ \\ & R_1 \to R_1-R_2, R_2 \to R_2-R_3 \\ \\ & \Rightarrow \quad(a+b+c) \begin{vmatrix} 2(a-b) & 0 & a-b \\ b-c & 0 & b-c \\ c-a & 1 & c \end{vmatrix} \end{aligned} $

$R_1$ और $R_2$ से क्रमशः $(a-b)$ और $(b-c)$ लेकर निकालें

$ \Rightarrow \quad(a+b+c)(a-b)(b-c) \begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ c-a & 1 & c \end{vmatrix} $

$C_2$ के अनुदिश विस्तार करें

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad(a+b+c)(a-b)(b-c)\left[-1 \begin{vmatrix}

2 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \right] \\ \\ & \Rightarrow \quad(a+b+c)(a-b)(b-c)(-1) \\ \\ & \Rightarrow \quad(a+b+c)(a-b)(c-b) \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $a^{3}+b^{3}+c^{3}$ गलत है क्योंकि सारणिक एक रैखिक गुणनखंड के उत्पाद में सरलीकृत होता है जो $(a+b+c)$, $(a-b)$ और $(c-b)$ के संबंध में होता है, न कि घनों के योग।

• विकल्प (b) $3 b c$ गलत है क्योंकि सारणिक एक नियतांक के गुणनफल $bc$ के रूप में सरलीकृत नहीं होता। सही व्यंजक तीन रैखिक गुणनखंडों के उत्पाद में होता है।

• विकल्प (c) $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c$ गलत है क्योंकि सारणिक घनों और $abc$ के उत्पाद के बहुपद व्यंजक में सरलीकृत नहीं होता। सही व्यंजक रैखिक गुणनखंडों के उत्पाद में होता है।

हल

शीर्ष $(x_1 y_1), (x_2 y_2)$ और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल होगा:

$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad & \Delta =\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \\ x_2 & y_2 & 1 \\ x_3 & y_3 & 1 \end{vmatrix}\\ \\ \Rightarrow \quad & \Delta=\dfrac{1}{2} \begin{vmatrix} -3 & 0 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 \end{vmatrix} \\ \\ \Rightarrow \quad &\Delta =\dfrac{1}{2}\left[-3 \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ k & 1 \end{vmatrix} -0 \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & k \end{vmatrix} \right] \\ \\ \Rightarrow \quad & \Delta =\dfrac{1}{2}[-3(-k)-0+1(3 k)] \\ \\ \Rightarrow \quad & \Delta =\dfrac{1}{2}(3 k+3 k) \\ \\ \Rightarrow \quad & \dfrac{1}{2}(6 k)=3 k \end{aligned} $

$\qquad 3k=9 \Rightarrow k=3$

इसलिए, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) 9: यह विकल्प गलत है क्योंकि $k = 9$ को क्षेत्रफल सूत्र में बदलने पर क्षेत्रफल $27$ वर्ग इकाई होता है, न कि $9$ वर्ग इकाई।

• विकल्प (c) -9: यह विकल्प गलत है क्योंकि $k = -9$ को क्षेत्रफल सूत्र में बदलने पर क्षेत्रफल $27$ वर्ग इकाई होता है, न कि $9$ वर्ग इकाई।

• विकल्प (d) 6: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ k = 6 $ को क्षेत्रफल सूत्र में बदलने पर क्षेत्रफल $ 18 $ वर्ग इकाई होगा, न कि $ 9 $ वर्ग इकाई।

हल

$\text{माना},$

$ \begin{aligned} \Delta & = \begin{vmatrix} b^{2}-a b & b-c & b c-a c \\ a b-a^{2} & a-b & b^{2}-a b \\ b c-a c & c-a & a b-a^{2} \end{vmatrix} \\ \\ & = \begin{vmatrix} b(b-a) & b-c & c(b-a) \\ a(b-a) & a-b & b(b-a) \\ c(b-a) & c-a & a(b-a) \end{vmatrix} ( \text{ } (b-a) \text{ को } C_1 \text{ और } C_3 \text{ से लेकर निकाला गया है}) \\ \\ & =(b-a)^{2} \begin{vmatrix} b & b-c & c \\ a & a-b & b \\ c & c-a & a \end{vmatrix} \\ \\ C_1 \to C_1-C_3 & =(a-b)^{2} \begin{vmatrix} b-c & b-c & c \\ a-b & a-b & b \\ c-a & c-a & a \end{vmatrix} \quad (C_1 \text{ और } C_2 \text{ समान स्तंभ हैं. }) \\ \\ & =(a-b)^{2} \cdot 0 =0 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $a b c(b-c)(c-a)(a-b)$ गलत है क्योंकि सारणिक शून्य हो जाता है, न कि $a$, $b$, और $c$ के उत्पाद के साथ एक उत्पाद।
• विकल्प (b) $(b-c)(c-a)(a-b)$ गलत है क्योंकि सारणिक शून्य हो जाता है, न कि अशून्य अंतरों के उत्पाद।
• विकल्प (c) $(a+b+c)(b-c)(c-a)(a-b)$ गलत है क्योंकि सारणिक शून्य हो जाता है, न कि $a+b+c$ के योग और अंतरों के उत्पाद के साथ एक उत्पाद।

हल

दिया गया है

$ \begin{aligned} & C_1 \to C_1+C_2+C_3 \\ \\ & \end{aligned} $

$C_1$ से $2 \cos x+\sin x$ लेकर निकाला गया है

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• विकल्प (d) 6: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ k = 6 $ को क्षेत्रफल सूत्र में बदलने पर क्षेत्रफल $ 18 $ वर्ग इकाई होगा, न कि $ 9 $ वर्ग इकाई।

हल

$\text{माना},$

$ \begin{aligned} \Delta & = \begin{vmatrix} b^{2}-a b & b-c & b c-a c \\ a b-a^{2} & a-b & b^{2}-a b \\ b c-a c & c-a & a b-a^{2} \end{vmatrix} \\ \\ & = \begin{vmatrix} b(b-a) & b-c & c(b-a) \\ a(b-a) & a-b & b(b-a) \\ c(b-a) & c-a & a(b-a) \end{vmatrix} ( \text{ } (b-a) \text{ को } C_1 \text{ और } C_3 \text{ से लेकर निकाला गया है}) \\ \\ & =(b-a)^{2} \begin{vmatrix} b & b-c & c \\ a & a-b & b \\ c & c-a & a \end{vmatrix} \\ \\ C_1 \to C_1-C_3 & =(a-b)^{2} \begin{vmatrix} b-c & b-c & c \\ a-b & a-b & b \\ c-a & c-a & a \end{vmatrix} \quad (C_1 \text{ और } C_2 \text{ समान स्तंभ हैं. }) \\ \\ & =(a-b)^{2} \cdot 0 =0 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $a b c(b-c)(c-a)(a-b)$ गलत है क्योंकि सारणिक शून्य हो जाता है, न कि $a$, $b$, और $c$ के उत्पाद के साथ एक उत्पाद।
• विकल्प (b) $(b-c)(c-a)(a-b)$ गलत है क्योंकि सारणिक शून्य हो जाता है, न कि अशून्य अंतरों के उत्पाद।
• विकल्प (c) $(a+b+c)(b-c)(c-a)(a-b)$ गलत है क्योंकि सारणिक शून्य हो जाता है, न कि $a+b+c$ के योग और अंतरों के उत्पाद के साथ एक उत्पाद।

हल

दिया गया है

$ \begin{aligned} & C_1 \to C_1+C_2+C_3 \\ \\ & \end{aligned} $

$C_1$ से $2 \cos x+\sin x$ लेकर निकाला गया है

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad(2 \cos x+\sin x) \begin{vmatrix} 1 & \cos x & \cos x \\ 1 & \sin x & \cos x \\ 1 & \cos x & \sin x \end{vmatrix} =0 \\ \\ & R_1 \to R_1-R_2, R_2 \to R_2-R_3 \\ \\ & \Rightarrow(2 \cos x+\sin x) \begin{vmatrix} 0 & \cos x-\sin x & 0 \\ 0 & \sin x-\cos x & \cos x-\sin x \\ 1 & \cos x & \sin x \end{vmatrix} =0 \\ \\ & \Rightarrow(2 \cos x+\sin x)\left[1 \begin{vmatrix} \cos x-\sin x & 0 \\ \sin x-\cos x & \cos x-\sin x \end{vmatrix} \right] \\ \\ & \Rightarrow \quad(2 \cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)^{2}=0 \\ \\ & 2 \cos x+\sin x=0 \\ \\ & 2+\tan x=0 \\ \\ & \therefore \quad \tan x=-2 \\ \\ & \Rightarrow \quad \tan x=1 \\ \\ & -\dfrac{\pi}{4} \leq x \leq \dfrac{\pi}{4} \\ \\ & (\cos x-\sin x)^{2}=0 \\ \\ & \cos x-\sin x=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad \tan x=\tan \dfrac{\pi}{4} \\ \\ & \therefore \quad x=\dfrac{\pi}{4} \in\left[\dfrac{-\pi}{4}, \dfrac{\pi}{4}\right] \end{aligned} $

इसलिए, $x$ के कोई हल नहीं है। इसलिए, इसके केवल एक वास्तविक मूल होगा।

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) 0: यह गलत है क्योंकि समीकरण के एक वास्तविक मूल है। हल के प्रक्रिया से दिखाया गया है कि कम से कम एक $ x $ के मान समीकरण को संतुष्ट करता है, विशेष रूप से $ x = \dfrac{\pi}{4} $।

• विकल्प (b) 2: यह गलत है क्योंकि समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल नहीं हैं। हल के प्रक्रिया से केवल एक भिन्न वास्तविक मूल, $ x = \dfrac{\pi}{4} $ पहचाना गया है।

• विकल्प (d) 3: यह गलत है क्योंकि समीकरण के तीन भिन्न वास्तविक मूल नहीं हैं। हल के प्रक्रिया से केवल एक भिन्न वास्तविक मूल, $ x = \dfrac{\pi}{4} $ पहचाना गया है।

हल

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} -1 & \cos C & \cos B \\ \cos C & -1 & \cos A \\ \cos B & \cos A & -1\end{vmatrix} $

$C_1 \to a C_1+b C_2+c C_3$

$\Rightarrow\quad \begin{vmatrix} -a+b \cos C+c \cos B & \cos C & \cos B \\ a \cos C-b+c \cos A & -1 & \cos A \\ a \cos B+b \cos A-C & \cos A & -1\end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \begin{vmatrix} -a+a & \cos C & \cos B \\ -b+b & -1 & \cos A \\ -c+c & \cos A & -1 \end{vmatrix} \begin{bmatrix} \because \quad \text{ From projection formula } \\ a=b \cos C+c \cos B \\ b=a \cos C+c \cos A \\ c=b \cos A+a \cos B \end{bmatrix} \\ \\ & \Rightarrow\quad \begin{bmatrix} 0 & \cos C & \cos B \\ 0 & -1 & \cos A \\ 0 & \cos A & -1 \end{bmatrix} =0 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (a) है।

• विकल्प (b) -1 गलत है क्योंकि दिए गए आव्यूह के सारणिक को सरल करने पर 0 प्राप्त होता है, न कि -1। आव्यूह परिवर्तन और सरलीकरण दिखाते हैं कि पहला स्तम्भ सभी शून्य हो जाता है, जिसके कारण सारणिक 0 होता है।

• विकल्प (c) 1 गलत है क्योंकि, समाधान में दिखाया गया है, आव्यूह के सारणिक 0 होता है। आव्यूह परिवर्तन और सरलीकरण स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि सारणिक 1 नहीं हो सकता।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं गलत है क्योंकि सही उत्तर दिए गए विकल्पों में से एक है, विशेष रूप से विकल्प (a) 0। सारणिक की गणना पुष्टि करती है कि मान 0 है।

समाधान

हमें $f(t)= \begin{bmatrix} \cos t & t & 1 \\ 2 \sin t & t & 2 t \\ \sin t & t & t \end{bmatrix} $ दिया गया है

$R_1$ के अनुदिश विस्तार करते हैं

$ \begin{aligned} & =\cos t \begin{vmatrix} t & 2 t \\ t & t \end{vmatrix} -t \begin{vmatrix} 2 \sin t & 2 t \\ \sin t & t \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} 2 \sin t & t \\ \sin t & t \end{vmatrix} \\ \\ & =\cos t(t^{2}-2 t^{2})-t(2 t \sin t-2 t \sin t)+(2 t \sin t-t \sin t) \\ \\ & =-t^{2} \cos t+t \sin t \\ \\ `

$$ \begin{aligned} & \therefore \quad \dfrac{f(t)}{t^{2}}=\dfrac{-t^{2} \cos t+t \sin t}{t^{2}} \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{f(t)}{t^{2}}=-\cos t+\dfrac{\sin t}{t} \\ \\ & \Rightarrow \quad \lim _{t \to 0} \dfrac{f(t)}{t^{2}}=\lim _{t \to 0}(-\cos t)+\lim _{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t}=-1+1=0 \end{aligned} $$

अतः, सही विकल्प (a) है।

• विकल्प (b) -1:

  • सीमा के गणना के अनुसार, $\cos t$ के संबंधित पद $-1$ के अग्रिम जाता है और $\dfrac{\sin t}{t}$ के संबंधित पद $1$ के अग्रिम जाता है। अतः, उनका योग $0$ होता है, न कि $-1$।

• विकल्प (c) 2:

  • सीमा के गणना के अनुसार, मान $2$ प्राप्त नहीं होता। $t$ के अग्रिम जाते हुए $-\cos t$ और $\dfrac{\sin t}{t}$ के योग $0$ होता है, न कि $2$।

• विकल्प (d) 3:

  • सीमा के गणना के अनुसार, मान $3$ प्राप्त नहीं होता। $t$ के अग्रिम जाते हुए $-\cos t$ और $\dfrac{\sin t}{t}$ के योग $0$ होता है, न कि $3$।

हल

दिया गया है: $\Delta= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1+\sin \theta & 1 \\ 1+\cos \theta & 1 & 1\end{vmatrix} $ $C_1 \to C_1-C_2, C_2 \to C_2-C_3$

$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर:

$ \Rightarrow \Delta = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -\sin \theta & \sin \theta & 1 \\ \cos \theta & 0 & 1 \end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} \Rightarrow \Delta & =1 \begin{vmatrix} -\sin \theta & \sin \theta \\ \cos \theta & 0 \end{vmatrix} =-\sin \theta \cos \theta \\ \\ \Rightarrow \Delta & = -\dfrac{1}{2} \cdot 2 \sin \theta \cos \theta =-\dfrac{1}{2} \sin 2 \theta \end{aligned} $

लेकिन $\sin 2 \theta$ का अधिकतम मान $1$ है, अतः $|-\dfrac{1}{2} \cdot 1|=\dfrac{1}{2}$

अतः, सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ गलत है क्योंकि $\Delta$ का अधिकतम मान $\sin 2\theta$ के अधिकतम मान, जो $1$ है, द्वारा निर्धारित होता है। अतः, $\Delta$ का अधिकतम मान $-\dfrac{1}{2} \cdot 1 = -\dfrac{1}{2}$ होता है और इसका अंतिम मान $\dfrac{1}{2}$ होता है, न कि $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$।

• विकल्प (c) $\sqrt{2}$ गलत है क्योंकि $\Delta$ का अधिकतम मान $-\dfrac{1}{2} \sin 2\theta$ है। क्योंकि $\sin 2\theta$ का अधिकतम मान 1 है, तो $\Delta$ का अधिकतम मान $-\dfrac{1}{2} \cdot 1 = -\dfrac{1}{2}$ है, और इसका अंतर्गत मान $\dfrac{1}{2}$ है, न कि $\sqrt{2}$।

• विकल्प (d) $\dfrac{2 \sqrt{3}}{4}$ गलत है क्योंकि $\Delta$ का अधिकतम मान $-\dfrac{1}{2} \sin 2\theta$ है। क्योंकि $\sin 2\theta$ का अधिकतम मान 1 है, तो $\Delta$ का अधिकतम मान $-\dfrac{1}{2} \cdot 1 = -\dfrac{1}{2}$ है, और इसका अंतर्गत मान $\dfrac{1}{2}$ है, न कि $\dfrac{2 \sqrt{3}}{4}$, जो सरलीकृत करने पर $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ हो जाता है।

हल

दिया गया है: $f(x)= \begin{vmatrix} 0 & x-a & x-b \\ x+a & 0 & x-c \\ x+b & x+c & 0\end{vmatrix} $

$ f(a)= \begin{vmatrix} 0 & 0 & a-b \\ 2 a & 0 & a-c \\ a+b & a+c & 0 \end{vmatrix} $

$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर $ (a-b) \begin{vmatrix} 2 a & 0 \\ a+b & a+c\end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} & =(a-b)[2 a(a+c)]=(a-b) \cdot 2 a \cdot(a+c) \neq 0 \\ \\ f(b) & = \begin{vmatrix} 0 & b-a & 0 \\ b+a & 0 & b-c \\ 2 b & b+c & 0 \end{vmatrix} \end{aligned} $

$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर

$ \begin{aligned} & -(b-a) \begin{vmatrix} b+a & b-c \\ 2 b & 0 \end{vmatrix} \\ \\ & =-(b-a)[(-2 b)(b-c)]=2 b(b-a)(b-c) \neq 0 \\ \\ f(0) & = \begin{vmatrix} 0 & -a & -b \\ a & 0 & -c \\ b & c & 0 \end{vmatrix} \end{aligned} $

$ \begin{matrix} \text{ अनुदिश } R_1=a \begin{vmatrix} a & -c \\ b & 0 \end{vmatrix} -b \begin{vmatrix} a & 0 \\ b & c \end{vmatrix} \\ \\ =a(b c)-b(a c)=a b c-a b c=0 \end{matrix} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $f(a)=0$ गलत है: $ f(a) $ के निर्णयक की गणना एक गैर-शून्य मान देती है। विशेष रूप से, यह सरलीकृत करने पर $ (a-b) \cdot 2a \cdot (a+c) $ हो जाता है, जो शून्य नहीं होता अगर $ a = b $ या $ a = -c $ नहीं हो। लेकिन इन स्थितियों को समस्या में दिया गया नहीं है।

• विकल्प (b) $f(b)=0$ गलत है: $ f(b) $ के निर्णयक की गणना भी एक गैर-शून्य मान देती है। यह सरलीकृत करने पर $ 2b(b-a)(b-c) $ हो जाता है, जो शून्य नहीं होता अगर $ b = a $ या $ b = c $ नहीं हो। लेकिन इन स्थितियों को समस्या में नहीं दिया गया है।

• विकल्प (d) $f(1)=0$ गलत है: समस्या में $ f(1) $ के लिए विशिष्ट गणना नहीं दी गई है, लेकिन $ f(a) $ और $ f(b) $ के गणना के पैटर्न के आधार पर, $ a $, $ b $, और $ c $ पर विशिष्ट शर्तों के बिना $ f(1) $ शून्य नहीं हो सकता। अतः, अतिरिक्त जानकारी के बिना, हम $ f(1) = 0 $ मान नहीं सकते।

हल

हम जानते हैं,

$ A= \begin{bmatrix} 2 & \lambda & -3 \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \end{bmatrix} \Rightarrow|A|= \begin{vmatrix} 2 & \lambda & -3 \\ 0 & 2 & 5 \\ 1 & 1 & 3 \end{vmatrix} $

$R_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर $2 \begin{vmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3\end{vmatrix} -\lambda \begin{vmatrix} 0 & 5 \\ 1 & 3\end{vmatrix} -3 \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1\end{vmatrix} $

$\hspace{2.5cm} \begin{aligned} & =2(6-5)-\lambda(0-5)-3(0-2) \\ \\ & =2+5 \lambda+6=8+5 \lambda \end{aligned} $

यदि $A^{-1}$ अस्तित्व में हो तो $|A| \neq 0$

$\therefore \quad 8+5 \lambda \neq 0$ अतः $\lambda \neq \dfrac{-8}{5}$

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $\lambda=2$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह आव्यूह $ A $ के व्युत्क्रम के अस्तित्व के लिए सामान्य शर्त को ध्यान में नहीं ले आता है। आव्यूह $ A $ के व्युत्क्रम के अस्तित्व के लिए $ A $ का निर्णयक गैर-शून्य होना आवश्यक है। $ \lambda=2 $ की शर्त निर्णयक के गैर-शून्य होने की गारंटी नहीं देती है। विशेष रूप से, $ \lambda=2 $ को निर्णयक के व्यक्तिगत व्यंजक $ 8 + 5\lambda $ में बदलने पर $ 8 + 10 = 18 $ प्राप्त होता है, जो गैर-शून्य है, लेकिन यह केवल एक विशिष्ट मामला है। सही शर्त यह है कि $ \lambda \neq -\dfrac{8}{5} $।

• विकल्प (b) $\lambda \neq 2$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ यह है कि $ A $ के व्युत्क्रम के लिए सभी $\lambda$ के मानों के लिए व्युत्क्रम अस्तित्व में होता है अपवाद के रूप में $\lambda=2$। हालांकि, $\lambda$ के किसी भी मान के लिए $\lambda = -\dfrac{8}{5}$ के अतिरिक्त निर्धारक $ 8 + 5\lambda $ शून्य नहीं होता। अतः, $\lambda \neq 2$ की शर्त $ A^{-1} $ के अस्तित्व के लिए पर्याप्त नहीं है।

• विकल्प (c) $\lambda \neq -2$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसका अर्थ यह है कि $ A $ के व्युत्क्रम के लिए सभी $\lambda$ के मानों के लिए व्युत्क्रम अस्तित्व में होता है अपवाद के रूप में $\lambda=-2$। हालांकि, $\lambda$ के किसी भी मान के लिए $\lambda = -\dfrac{8}{5}$ के अतिरिक्त निर्धारक $ 8 + 5\lambda $ शून्य नहीं होता। अतः, $\lambda \neq -2$ की शर्त $ A^{-1} $ के अस्तित्व के लिए पर्याप्त नहीं है।

हल

यदि $A$ और $B$ दो वर्गाकार वर्ग आव्यूह हैं तो

(a) $adj A=|A| \cdot A^{-1}$ सही है

(b) $det(A)^{-1}=[det(A)]^{-1}=\dfrac{1}{det(A)}$ सही है

(c) इसके अतिरिक्त, $(AB)^{-1}=B^{-1} A^{-1}$ सही है

(d) $(A+B)^{-1}=\dfrac{1}{|A+B|} \cdot adj(A+B)$

$\therefore \quad(A+B)^{-1} \neq B^{-1}+A^{-1}$

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) सही है क्योंकि एक वर्ग आव्यूह $ A $ के अद्वितीय आव्यूह (adjugate) के लिए $ \text{adj}(A) = |A| \cdot A^{-1} $ द्वारा दिया जाता है जब $ A $ वर्गाकार आव्यूह हो।

• विकल्प (b) सही है क्योंकि $ \det(A)^{-1} = [\det(A)]^{-1} = \dfrac{1}{\det(A)} $ है।

• विकल्प (c) सही है क्योंकि दो वर्गाकार आव्यूह $ A $ और $ B $ के गुणन के व्युत्क्रम के लिए $ (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} $ द्वारा दिया जाता है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि दो आव्यूह $ A $ और $ B $ के योग के व्युत्क्रम के लिए $ (A+B)^{-1} = B^{-1} + A^{-1} $ द्वारा दिया जाता है। वास्तविक व्यंजक $ A+B $ के अद्वितीय आव्यूह और निर्धारक के उपयोग के लिए $ (A+B)^{-1} = \dfrac{1}{|A+B|} \cdot \text{adj}(A+B) $ है।

समाधान

दिया गया है कि

$ \begin{vmatrix} 1+x & 1 & 1 \\ 1 & 1+y & 1 \\ 1 & 1 & 1+z \end{vmatrix} =0 $

$R_1, R_2$ और $R_3$ से क्रमशः $x, y$ और $z$ को लेकर निकालें।

$\Rightarrow \quad x y z \begin{vmatrix} \dfrac{1}{x}+1 & \dfrac{1}{x} & \dfrac{1}{x} \\ \\ \dfrac{1}{y} & \dfrac{1}{y}+1 & \dfrac{1}{y} \\ \\ \dfrac{1}{z} & \dfrac{1}{z} & \dfrac{1}{z}+1\end{vmatrix} =0$

$R_1 \to R_1+R_2+R_3$

$\Rightarrow x y z \begin{vmatrix} \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1 & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1 & \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1 \\ \\ \dfrac{1}{y} & \dfrac{1}{y}+1 & \dfrac{1}{y} \\ \\ \dfrac{1}{z} & \dfrac{1}{z} & \dfrac{1}{z}+1\end{vmatrix} =0$

$R_1$ से $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1$ को निकालें।

$\Rightarrow \quad x y z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1\right) \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ \\ \dfrac{1}{y} & \dfrac{1}{y}+1 & \dfrac{1}{y} \\ \\ \dfrac{1}{z} & \dfrac{1}{z} & \dfrac{1}{z}+1\end{vmatrix} =0$

$C_1 \to C_1-C_2, C_2 \to C_2-C_3$

$\Rightarrow \quad x y z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1\right) \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ \\ -1 & 1 & \dfrac{1}{y} \\ \\ 0 & -1 & \dfrac{1}{z}+1\end{vmatrix} =0$

$R_1$ के अनुदिश विस्तार करें

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad x y z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1\right)\left[1 \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \right]=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x y z\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1\right)(1)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}+1=0 \text{ और } x y z \neq 0 \quad\left(x \neq y \neq z \neq 0\right) \\ \\ & \therefore \quad x^{-1}+y^{-1}+z^{-1}=-1 \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) $x y z$: यह विकल्प गलत है क्योंकि समस्या में दिए गए सारणिक के शर्त के कारण समीकरण $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z} + 1 = 0$ प्राप्त होता है। इस समीकरण को हल करने पर $x^{-1} + y^{-1} + z^{-1} = -1$ प्राप्त होता है, न कि $x y z$।

• विकल्प (b) $x^{-1} y^{-1} z^{-1}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $x^{-1} y^{-1} z^{-1}$, $x, y, z$ के व्युत्क्रमों के गुणनफल को दर्शाता है, जो $x, y, z$ के व्युत्क्रमों के योग से संबंधित नहीं है। सारणिक के शर्त से सही परिणाम $x^{-1} + y^{-1} + z^{-1} = -1$ है।

• विकल्प (c) $-x - y - z$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $-x - y - z$ वे चर $x, y, z$ के योग के ऋणात्मक है, न कि उनके व्युत्क्रम। सारणिक के शर्त से सही परिणाम $x^{-1} + y^{-1} + z^{-1} = -1$ है।

हल

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} x & x+y & x+2 y \\ x+2 y & x & x+y \\ x+y & x+2 y & x\end{vmatrix} $

$C_1 \to C_1+C_2+C_3= \begin{vmatrix} 3 x+3 y & x+y & x+2 y \\ 3 x+3 y & x & x+y \\ 3 x+3 y & x+2 y & x\end{vmatrix} $

$\hspace{3cm}=(3 x+3 y) \begin{vmatrix} 1 & x+y & x+2 y \\ 1 & x & x+y \\ 1 & x+2 y & x\end{vmatrix} $

[ $C_1$ से $(3 x+3 y)$ लेकर बाहर निकाला गया ]

$R_1 \to R_1-R_2, R_2 \to R_2-R_3$

$\Rightarrow 3(x+y) \begin{vmatrix} 0 & y & y \\ 0 & -2 y & y \\ 1 & x+2 y & x\end{vmatrix} $

$C_1$ के अनुदिश विस्तार करने पर

$\Rightarrow \quad 3(x+y)\left[1 \begin{vmatrix} y & y \\ -2 y & y\end{vmatrix} \right]$

$ \Rightarrow\quad 3(x+y)(y^{2}+2 y^{2}) $

$\Rightarrow\quad 3(x+y)(3 y^{2}) $

$\Rightarrow\quad 9 y^{2}(x+y) $

अतः, सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) $9 x^{2}(x+y)$ गलत है क्योंकि सारणिक के गणना में $x^2$ के पद के लिए शब्द नहीं आता है। सही गणना दिखाती है कि सारणिक $y^2$ के साथ आता है, न कि $x^2$ के साथ।

• विकल्प (c) $3 y^{2}(x+y)$ गलत है क्योंकि निर्णयक के गणना से सही गुणनखंड $9 y^2(x+y)$ है, न कि $3 y^2(x+y)$. इस विकल्प में 3 का गुणनखंड अनुपस्थित है।

• विकल्प (d) $7 x^{2}(x+y)$ गलत है क्योंकि निर्णयक के गणना में $x^2$ के संबंधित शब्द नहीं आता है, और सही गणना में 7 का गुणनखंड नहीं आता है। सही परिणाम $9 y^2(x+y)$ है।

हल

दिया गया है, $\Delta= \begin{vmatrix} 1 & -2 & 5 \\ 2 & a & -1 \\ 0 & 4 & 2 a\end{vmatrix} =86$

$C_1$ के अनुदिश विस्तार करते हैं

$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad & 1 \begin{vmatrix} a & -1 \\ 4 & 2 a \end{vmatrix} -2 \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ 4 & 2 a \end{vmatrix} +0 \begin{vmatrix} -2 & 5 \\ a & -1 \end{vmatrix} =86 \\ \\ \Rightarrow\quad & (2 a^{2}+4)-2(-4 a-20) =86 \\ \\ \Rightarrow\quad & 2 a^{2}+4+8 a+40 =86 \\ \\ \Rightarrow\quad & 2 a^{2}+8 a+4+40-86 =0 \\ \\ \Rightarrow\quad & 2 a^{2}+8 a-42 =0 \\ \\ \Rightarrow\quad & a^{2}+4 a-21 =0 \\ \\ \Rightarrow\quad & a^{2}+7 a-3 a-21 =0 \\ \\ \Rightarrow\quad & (a-7)-3(a+7) =0 \\ \\ \Rightarrow\quad & (a-3)(a+7) =0 \end{aligned} $

$\therefore \qquad a=3,-7$

अपेक्षित दो संख्याओं का योग $=3-7=-4$.

अतः, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) 4: इस विकल्प की गलती है क्योंकि निर्णयक समीकरण को संतुष्ट करने वाले $ a $ के दो मानों का योग $ 3 + (-7) = -4 $ है, न कि 4।

• विकल्प (b) 5: इस विकल्प की गलती है क्योंकि निर्णयक समीकरण को संतुष्ट करने वाले $ a $ के दो मानों का योग $ 3 + (-7) = -4 $ है, न कि 5।

• विकल्प (d) 9: इस विकल्प की गलती है क्योंकि निर्णयक समीकरण को संतुष्ट करने वाले $ a $ के दो मानों का योग $ 3 + (-7) = -4 $ है, न कि 9।

हल

हम जानते हैं कि $3 \times 3$ के क्रम की आव्यूह के लिए,

$ |kA|=k^{3}|A| $

$ \therefore \quad|3 A|=3^{3}|A|=27|\mathbf{A}| $

हल

हम जानते हैं कि किसी भी क्रम की उलटनीय आव्यूह $A$ के लिए, $|A^{-1}|=\dfrac{1}{|\mathbf{A}|}$।

हल

हमें, $ \begin{vmatrix} (2^{x}+2^{-x})^{2} & (2^{x}-2^{-x})^{2} & 1 \\ (3^{x}+3^{-x})^{2} & (3^{x}-3^{-x})^{2} & 1 \\ (4^{x}+4^{-x})^{2} & (4^{x}-4^{-x})^{2} & 1\end{vmatrix} $

$ C_1 \to C_1-C_2 $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow\quad \begin{vmatrix} (2^{x}+2^{-x})^{2}-(2^{x}-2^{-x})^{2} & (2^{x}-2^{-x})^{2} & 1 \\ (3^{x}+3^{-x})^{2}-(3^{x}-3^{-x})^{2} & (3^{x}-3^{-x})^{2} & 1 \\ (4^{x}+4^{-x})^{2}-(4^{x}-4^{-x})^{2} & (4^{x}-4^{-x})^{2} & 1 \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow\quad \begin{vmatrix} 4 \cdot 2^{x} \cdot 2^{-x} & (2^{x}-2^{-x})^{2} & 1 \\ 4 \cdot 3^{x} \cdot 3^{-x} & (3^{x}-3^{-x})^{2} & 1 \\ 4 \cdot 4^{x} \cdot 4^{-x} & (4^{x}-4^{-x})^{2} & 1 \end{vmatrix} \quad\quad[\because \quad (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4 a b ] \\ \\ & \Rightarrow\quad \begin{vmatrix} 4 & (2^{x}-2^{-x})^{2} & 1 \\ 4 & (3^{x}-3^{-x})^{2} & 1 \\ 4 & (4^{x}-4^{-x})^{2} & 1 \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad 4 \begin{vmatrix} 1 & (2^{x}-2^{-x})^{2} & 1 \\ 1 & (3^{x}-3^{-x})^{2} & 1 \\ 1 & (4^{x}-4^{-x})^{2} & 1 \end{vmatrix} \quad (\text{Taking 4 common from} ~{C_1}) \end{aligned} $

$\Rightarrow \quad 4 \cdot 0=0$

( $\because \quad C_1$ और $C_3$ समान स्तंभ हैं)

समाधान

दिया गया है: $\quad \cos 2 \theta=0$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \cos 2 \theta =\cos \dfrac{\pi}{2} \\ \\
& \Rightarrow \quad 2 \theta =\dfrac{\pi}{2} \\ \\ & \therefore \quad \theta =\dfrac{\pi}{4} \end{aligned} $

डिटरमिनेंट को लिखा जा सकता है

$ \begin{aligned} & \begin{vmatrix} 0 & \cos \dfrac{\pi}{4} & \sin \dfrac{\pi}{4} \\ \\ \cos \dfrac{\pi}{4} & \sin \dfrac{\pi}{4} & 0 \\ \\ \sin \dfrac{\pi}{4} & 0 & \cos \dfrac{\pi}{4} \end{vmatrix} ^{2} \quad = \quad \begin{vmatrix} 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\ \\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} & 0 & \dfrac{1}{\sqrt{2}} \end{vmatrix} ^{2} \\ \\ & = \left[\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ \\ 1 & 1 & 0 \\ \\ 1 & 0 & 1 \end{vmatrix} \right]^{2} \quad( \text{ Taking } \dfrac{1}{\sqrt{2}} \text{ common from } C_1, C_2 \text{ and } C_3) \\ \\ & \text{ Expanding along } C_1 \\ \\ & = \left[\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}\left(-1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \\ 0 & 1 \end{vmatrix} +1 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \\ 1 & 0 \end{vmatrix} \right)\right]^{2} = \left[\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}(-1(1)+1(0-1))\right]^{2} \\ \\ & = \left[\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}(-1-1)\right]^{2} = \dfrac{1}{8} \cdot(4)=\dfrac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}} \end{aligned} $

समाधान

किसी भी वर्ग मैट्रिक्स $A$ के लिए $ (A^{2})^{-1}=(A^{-1})^{2} $।

समाधान

मैट्रिक्स का क्रम $3 \times 3$ है

$\therefore\quad $ कुल तत्वों की संख्या $=3 \times 3=9$

इसलिए, सारणिक में छोटे तत्वों की संख्या 9 है ।

हल

किसी भी पंक्ति के तत्वों के उत्पादों के योग और संगत तत्वों के सहखण्डों के गुणनफल के योग के बराबर होता है दिए गए आव्यूह के सारणिक के मान के बराबर होता है।

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33}\end{vmatrix} $

$R_1$ के अनुसार विस्तार करें

$ \begin{aligned} & a _{11} \begin{vmatrix} a _{22} & a _{23} \\ a _{32} & a _{33} \end{vmatrix} -a _{12} \begin{vmatrix} a _{21} & a _{23} \\ a _{31} & a _{33} \end{vmatrix} +a _{13} \begin{vmatrix} a _{21} & a _{22} \\ a _{31} & a _{32} \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow\quad a _{11} M _{11}+a _{12} M _{12}+a _{13} M _{13} \end{aligned} $

$ \begin{matrix} (\text{ जहाँ } M _{11}, M _{12} \text{ और } M _{13} \text{ संगत तत्वों के छोटे तत्व हैं }) \end{matrix} $

हल

हमें, $ \begin{vmatrix} x & 3 & 7 \\ 2 & x & 2 \\ 7 & 6 & x\end{vmatrix} =0$

$R_1$ के अनुसार विस्तार करें

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad x \begin{vmatrix} x & 2 \\ 6 & x \end{vmatrix} -3 \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 7 & x \end{vmatrix} +7 \begin{vmatrix} 2 & x \\ 7 & 6 \end{vmatrix} =0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x(x^{2}-12)-3(2 x-14)+7(12-7 x)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{3}-12 x-6 x+42+84-49 x=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{3}-67 x+126=0 \quad…(1) \end{aligned} $

समीकरण के मूल 126 के कारक हो सकते हैं अर्थात $2 \times 7 \times 9$ 9 दिए गए सारणिक का मूल है, $x=2$ समीकरण (1) में रखें।

$ \Rightarrow \quad (2)^{3}-67 \times 2+126 $

$\Rightarrow \quad 8-134+126=0 $

अतः, $x=\mathbf{2}$ दूसरा मूल है।

अब, समीकरण (1) में $x=7$ रखें

$ \Rightarrow\quad (7)^{3}-67(7)+126 $

$\Rightarrow\quad 343-469+126=0 $

अतः, $x=7$ निर्धारक के दूसरा मूल भी है।

हल

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} 0 & x y z & x-z \\ y-x & 0 & y-z \\ z-x & z-y & 0\end{vmatrix} $

$C_1 \to C_1-C_3$

$C_1$ से $(z-x)$ लेकर निकालें

$ \Rightarrow \Delta = \begin{vmatrix} z-x & x y z & x-z \\ z-x & 0 & y-z \\ z-x & z-y & 0 \end{vmatrix} $

$ \Rightarrow \Delta =(z-x) \begin{vmatrix} 1 & x y z & x-z \\ 1 & 0 & y-z \\ 1 & z-y & 0 \end{vmatrix} $

$ R_1 \to R_1-R_2, R_2 \to R_2-R_3 $

$ \Rightarrow \Delta =(z-x) \begin{vmatrix} 0 & x y z & x-y \\ 0 & y-z & y-z \\ 1 & z-y & 0 \end{vmatrix} $

$R_2$ से $(y-z)$ लेकर निकालें

$ \Rightarrow \Delta =(z-x)(y-z) \begin{vmatrix} 0 & x y z & x-y \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & z-y & 0 \end{vmatrix} $

$C_1$ के अनुदिश विस्तार करें

$ \Rightarrow \Delta =(z-x)(y-z)\left[1 \begin{vmatrix} x y z & x-y \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \right] $

$ \Rightarrow \Delta =(z-x)(y-z)(x y z-x+y)=(y-z)(z-x)(y-x+x y z) $

हल

दिया गया है कि

$ \begin{vmatrix} (1+x)^{17} & (1+x)^{19} & (1+x)^{23} \\ (1+x)^{23} & (1+x)^{29} & (1+x)^{34} \\ (1+x)^{41} & (1+x)^{43} & (1+x)^{47} \end{vmatrix} =A+B x+C x^{2}+\cdots $

$R_1, R_2$ और $R_3$ से क्रमशः $(1+x)^{17},(1+x)^{23}$ और $(1+x)^{41}$ लेकर निकालें

$ (1+x)^{17} \cdot(1+x)^{23} \cdot(1+x)^{41} \begin{vmatrix} 1 & (1+x)^{2} & (1+x)^{6} \\ 1 & (1+x)^{6} & (1+x)^{11} \\

1 & (1+x)^{2} & (1+x)^{6} \end{vmatrix} $

$\Rightarrow \quad(1+x)^{17} \cdot(1+x)^{23} \cdot(1+x)^{41} \cdot 0 \quad(R_1.$ और $R_3$ समान हैं $)$

$\therefore \quad 0=A+B x+C x^{2}+\ldots$

समान पदों की तुलना करने पर, हमें $A=\mathbf{0}$ प्राप्त होता है।

हल

क्योंकि $(A^{k})^{-1}=(A^{-1})^{k}$ जहाँ $k \in N$

इसलिए,

$ (A^{3})^{-1}=(A^{-1})^{3} \text{ सत्य है } $

हल

यदि $A$ एक असतत वर्ग आव्यूह है, तो किसी भी गैर-शून्य स्केलर ’ $a$ ’ के लिए, $a A$ उलटनीय होता है।

$\therefore \quad(a A) \cdot\left(\dfrac{1}{a} A^{-1}\right)=a \cdot \dfrac{1}{a} \cdot A \cdot A^{-1}=I$

इसलिए, $\quad (a A)$ का उलटा $\left(\dfrac{1}{a} A^{-1}\right)$ होता है

$\Rightarrow \quad(a A)^{-1}=\dfrac{1}{a} A^{-1}$ सत्य है।

हल

गलत।

क्योंकि एक असतत आव्यूह के लिए $|A^{-1}|=|A|^{-1}$ होता है।

हल

सत्य।

$ |3 AB|=3^{3}|AB|=27|A||B|=27 \times 5 \times 3 \quad[\because|kA|=k^{n}|A|] $

हल

सत्य।

क्योंकि $|A|=12$

यदि $A$ एक वर्ग आव्यूह है जिसका क्रम $n$ है

तो $\quad|Adj A|=|A|^{n-1}$

$\therefore \quad \mid$ Adj A $.|=| A|^{3-1}=|A|^{2}=(12)^{2}=144 \quad[n=3]$

हल

सत्य।

मान लीजिए

$ \Delta= \begin{vmatrix} x+1 & x+2 & x+a \\ x+2 & x+3 & x+b \\ x+3 & x+4 & x+c \end{vmatrix} $

$ a, b, c \text{एक समांतर श्रेणी में हैं}= \begin{vmatrix} x+1 & x+2 & x+a \\ 0 & 0 & 2 b-(a+c) \\ x+3 & x+4 & x+c \end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} \therefore\quad b-a & =c-b \\ \\ \Rightarrow \quad 2 b & =a+c \\ \\ & = \begin{vmatrix} x+1 & x+2 & x+a \\ 0 & 0 & 0 \\ x+3 & x+4 & x+c \end{vmatrix} =0 \end{aligned} $

हल

गलत।

क्योंकि $|adj A|=|A|^{n-1}$ जहाँ $n$ वर्ग आव्यूह की कोटि है।

हल

सत्य।

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} \sin A & \cos A & \sin A+\cos B \\ \sin B & \cos A & \sin B+\cos B \\ \sin C & \cos A & \sin C+\cos B\end{vmatrix} $

$\text{C}_3$ को विभाजित करने पर $ \begin{vmatrix} \sin A & \cos A & \sin A \\ \sin B & \cos A & \sin B \\ \sin C & \cos A & \sin C\end{vmatrix} + \begin{vmatrix} \sin A & \cos A & \cos B \\ \sin B & \cos A & \cos B \\ \sin C & \cos A & \cos B\end{vmatrix} $

$\hspace{2.3cm}=0+ \begin{vmatrix} \sin A & \cos A & \cos B \\ \sin B & \cos A & \cos B \\ \sin C & \cos A & \cos B\end{vmatrix} \quad[\because C_1.$ और $C_3$ समान हैं $]$

$\hspace{2.5cm}=\cos A \cos B \begin{vmatrix} \sin A & 1 & 1 \\ \sin B & 1 & 1 \\ \sin C & 1 & 1\end{vmatrix} $

[$C_2$ और $C_3$ से क्रमशः $\cos A$ और $\cos B$ लेकर] $=\cos A \cos B(0) \quad[\because C_2.$ और $C_3$ समान हैं $]$ $=0$

हल

सत्य।

मान लीजिए

$ \quad\Delta= \begin{vmatrix} x+a & p+u & l+f \\ y+b & q+v & m+g \\ z+c & r+w & n+h \end{vmatrix} $

$C_1$ को बँटाएँ

$ \Rightarrow \quad \begin{vmatrix} x & p+u & l+f \\ y & q+v & m+g \\ z & r+w & n+h \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & p+u & l+f \\ b & q+v & m+g \\ c & r+w & n+h \end{vmatrix} $

दोनों निश्चितांकों में $C_2$ को बँटाएँ

$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad & \begin{vmatrix} x & p & l+f \\ y & q & m+g \\ z & r & n+h \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} x & u & l+f \\ y & v & m+g \\ z & w & n+h \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a & p & l+f \\ b & q & m+g \\ c & r & n+h \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} a & u & l+f \\ b & v & m+g \\ c & w & n+h \end{vmatrix} \end{aligned} $

इसी तरह, प्रत्येक निश्चितांक में $C_3$ को बँटाएँ, तो हमें 8 निश्चितांक मिलेंगे।

हल

सत्य।

$ \begin{aligned} & \text{ दिया गया है: } \\ \\ & \quad \Delta= \begin{vmatrix} a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z \end{vmatrix} =16 \\ \\ & \quad \Delta_1= \begin{vmatrix} p+x & a+x & a+p \\ q+y & b+y & b+q \\ r+z & c+z & c+r \end{vmatrix} \\ \\ & C_1 \to C_1+C_2+C_3 \\ \\ & \Rightarrow \quad \Delta_1 = \begin{vmatrix} 2 p+2 x+2 a & a+x & a+p \\ 2 q+2 y+2 b & b+y & b+q \\ 2 r+2 z+2 c & c+z & c+r \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad \Delta_1 =2 \begin{vmatrix} p+x+a & a+x & a+p \\ q+y+b & b+y & b+q \\ r+z+c & c+z & c+r \end{vmatrix} \quad ( \text{ } C_1 \text{ से } 2 \text{ लेकर निकाला गया है}) \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & C_1 \to C_1-C_2 \\ \\ & \Rightarrow \quad \Delta_1 = 2 \begin{vmatrix} p & a+x & a+p \\ q & b+y & b+q \\ r & c+z & c+r \end{vmatrix} \\ \\

& C_3 \to C_3-C_1{ }\\ \\ & \Rightarrow\quad \Delta_1=2 \begin{vmatrix} p & a+x & a \\ q & b+y & b \\ r & c+z & c \end{vmatrix}\\ \\ & \text{विभाजित करते हुए} ~ C _2 \\ \\ & \Rightarrow\quad \Delta_1=2 \begin{vmatrix} p & a & a \\ q & b & b \\ r & c & c \end{vmatrix} +2 \begin{vmatrix} p & x & a \\ q & y & b \\ r & z & c \\ \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow\quad \Delta_1=2(0)+2 \begin{vmatrix} p & x & a \\ q & y & b \\ r & z & c \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow\quad \Delta_1=2 \begin{vmatrix} p & x & a \\ q & y & b \\ r & z & c \end{vmatrix} \\ \\ & \Rightarrow\quad \Delta_1= 2 \begin{vmatrix} a & p & x \\ b & q & y \\ c & r & z \end{vmatrix} \quad(C_1 \leftrightarrow C_3 \text{ और } C_2 \leftrightarrow C_3) \\ \\ & \Rightarrow\quad \Delta_1=2 \times 16=32 \end{aligned} $

हल

सत्य।

मान लीजिए $\Delta= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & (1+\sin \theta) & 1 \\ 1 & 1 & 1+\cos \theta\end{vmatrix} $

$ C_1 \to C_1-C_2, \ C_2 \to C_2-C_3 = \begin{vmatrix} 0 & 0 & 1 \\ -\sin \theta & \sin \theta & 1 \\ 0 & -\cos \theta & 1+\cos \theta \end{vmatrix} $

$ \begin{aligned} \text{विस्तार करते हुए } C_3 & =1 \begin{vmatrix} -\sin \theta & \sin \theta \\ 0 & -\cos \theta \end{vmatrix}\\ \\ &=\sin \theta \cos \theta-0\\ \\ &=\sin \theta \cos \theta \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot 2 \sin \theta \cos \theta=\dfrac{1}{2} \sin 2 \theta \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \times 1 \quad \left[\text{ } \sin 2 \theta का अधिकतम मान }1 \right ] \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \end{aligned} $