हल

मान लीजिए $x$ और $y$ एक दिए गए आयत $ABCD$ की लंबाई और चौड़ाई हैं, जैसा कि प्रश्न में बताया गया है, आयत को भुजा $AD$ के चारों ओर घुमाया जाता है जो एक बेलन बनाता है जिसकी त्रिज्या $x$ और ऊंचाई $y$ होती है।

$\therefore$ बेलन का आयतन $V=\pi r^{2} h$

$$ \begin{equation*} \Rightarrow \quad V=\pi x^{2} y \qquad…(i) \end{equation*} $$

अब आयत का परिमाप $P=2(x+y) \Rightarrow 36=2(x+y)$

$\Rightarrow \quad x+y=18 \Rightarrow y=18-x \qquad…(ii)$

समीकरण (i) में $y$ के मान को रखने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} & V =\pi x^{2}(18-x) \\ \Rightarrow \quad & V =\pi(18 x^{2}-x^{3}) \end{aligned} $$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} \dfrac{d V}{d x}=\pi(36 x-3 x^{2}) \qquad…(iii) \end{equation*} $$

स्थानीय उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ के लिए $\dfrac{d V}{d x}=0$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad \pi(36 x-3 x^{2})=0 \Rightarrow 36 x-3 x^{2}=0 \\ & \Rightarrow \quad 3 x(12-x)=0 \\ & \Rightarrow \quad x \neq 0 \quad \therefore \quad 12-x=0 \Rightarrow x=12 \end{aligned} $

समीकरण (ii) से $y=18-12=6$

समीकरण (iii) को $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर हमें प्राप्त होता है

$\dfrac{d^{2} V}{d x^{2}}=\pi(36-6 x)$

$ \text{ जब } x=12 \quad \begin{aligned} \dfrac{d^{2} V}{d x^{2}} & =\pi(36-6 \times 12) \\ & =\pi(36-72)=-36 \pi<0 \text{ (उच्चिष्ठ) } \end{aligned} $

अब बने हुए बेलन का आयतन $=\pi x^{2} y$

$ =\pi \times(12)^{2} \times 6=\pi \times 144 \times 6=864 \pi cm^{3} $

इसलिए, आवश्यक आयाम $12 cm$ और $6 cm$ हैं और अधिकतम आयतन $864 \pi cm^{3}$ है।

32. $AB$ एक वृत्त का व्यास है और $C$ वृत्त पर कोई बिंदु है। दिखाइए कि त्रिभुज $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल जब त्रिभुज समद्विबाहु होता है तब अधिकतम होता है।

उत्तर दिखाएँ

हल

मान लीजिए $AB$ व्यास है और $C$ एक वृत्त पर कोई बिंदु है जिसकी त्रिज्या $r$ है।

$\angle ACB=90^{\circ}$ [अर्धवृत्त में कोण $90^{\circ}$ होता है ]

मान लीजिए $AC=x$

$\therefore \quad BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}$

$\Rightarrow BC=\sqrt{(2 r)^{2}-x^{2}} \quad \Rightarrow BC=\sqrt{4 r^{2}-x^{2}} \qquad…(i)$

अब त्रिभुज $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल, $A=\dfrac{1}{2} \times AC \times BC$

$ \Rightarrow \quad A=\dfrac{1}{2} x \cdot \sqrt{4 r^{2}-x^{2}} `

$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

मान लीजिए $A^{2}=Z$

$ A^{2}=\dfrac{1}{4} x^{2}(4 r^{2}-x^{2}) $

$\therefore \quad Z=\dfrac{1}{4} x^{2}(4 r^{2}-x^{2}) \quad \Rightarrow Z=\dfrac{1}{4}(4 x^{2} r^{2}-x^{4})$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} \dfrac{d Z}{d x}=\dfrac{1}{4}[8 x r^{2}-4 x^{3}] \qquad…(ii) \end{equation*} $$

स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए $\dfrac{d Z}{d x}=0$

$\therefore \quad \dfrac{1}{4}[8 x r^{2}-4 x^{3}]=0 \Rightarrow x[2 r^{2}-x^{2}]=0$

$x \neq 0 \quad \therefore \quad 2 r^{2}-x^{2}=0$

$\Rightarrow \quad x^{2}=2 r^{2} \Rightarrow x=\sqrt{2} r=AC$

अब समीकरण (i) से हमें प्राप्त होता है

$ BC=\sqrt{4 r^{2}-2 r^{2}} \Rightarrow BC=\sqrt{2 r^{2}} \Rightarrow BC=\sqrt{2} r $

इसलिए

$ AC=BC $

इसलिए, $\triangle ABC$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

समीकरण (ii) को $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\dfrac{d^{2} Z}{d x^{2}}=\dfrac{1}{4}[8 r^{2}-12 x^{2}]$

$x=\sqrt{2} r$ रखें

$ \begin{aligned} \therefore \quad \dfrac{d^{2} Z}{d x^{2}} & =\dfrac{1}{4}[8 r^{2}-12 \times 2 r^{2}]=\dfrac{1}{4}[8 r^{2}-24 r^{2}] \\ & =\dfrac{1}{4} \times(-16 r^{2})=-4 r^{2}<0 \quad \text{ (उच्चिष्ठ) } \end{aligned} $

इसलिए, $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल जब यह एक समद्विबाहु त्रिभुज होता है तब अधिकतम होता है।

33. एक धातु के बक्से के आधार वर्गाकार है और ऊर्ध्वाधर भुजाएँ हैं जो $1024 cm^{3}$ के आयतन को समाहिल करते हैं। आधार और तल के लिए सामग्री की लागत ₹ $5 / cm^{2}$ है और भुजाओं के लिए सामग्री की लागत $₹ 2.50 / cm^{2}$ है। बक्से की सबसे कम लागत ज्ञात कीजिए।

उत्तर दिखाएँ

हल

मान लीजिए $x$ वर्ग आधार की भुजा है और $y$ ऊर्ध्वाधर भुजाओं की लंबाई है।

आधार और तल का क्षेत्रफल $=2 x^{2} cm^{2}$

$\therefore$ सामग्री की लागत $=₹ 5 \times 2 x^{2}$

$ =₹ 10 x^{2} $

चार भुजाओं का क्षेत्रफल $=4 x y cm^{2}$

$\therefore \quad$ चार ओरों के लिए सामग्री की लागत

कुल लागत

$$ \begin{align*} & =₹ 2.50 \times 4 x y=₹ 10 x y \\ C & =10 x^{2}+10 x y \qquad…(i) \end{align*} $$

बॉक्स का नया आयतन $=x \times x \times y$

$$ \begin{matrix} \Rightarrow & 1024 =x^{2} y \\ \therefore & y =\dfrac{1024}{x^{2}} \qquad…(ii) \end{matrix} $$

समीकरण (i) में $y$ के मान को रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$ C=10 x^{2}+10 x \times \dfrac{1024}{x^{2}} \Rightarrow C=10 x^{2}+\dfrac{10240}{x} $

$ x $ के सापेक्ष दोनों ओर अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \dfrac{d C}{d x}=20 x-\dfrac{10240}{x^{2}} \qquad…(iii) \end{equation*} $$

स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय न्यूनतम के लिए $\dfrac{d C}{d x}=0$

$ \begin{aligned} 20-\dfrac{10240}{x^{2}} & =0 \\ \Rightarrow \quad 20 x^{3}-10240 & =0 \quad \Rightarrow x^{3}=512 \quad \Rightarrow \quad x=8 cm \end{aligned} $

अब समीकरण (ii) से

$ y=\dfrac{10240}{(8)^{2}}=\dfrac{10240}{64}=16 cm $

$\therefore$ उपयोग की गई सामग्री की लागत $C=10 x^{2}+10 x y$

$ =10 \times 8 \times 8+10 \times 8 \times 16=640+1280=1920 $

अब समीकरण (iii) के अवकलज करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \dfrac{d^{2} C}{d x^{2}}=20+\dfrac{20480}{x^{3}} $

$ x=8 $ रखने पर

$ =20+\dfrac{20480}{(8)^{3}}=20+\dfrac{20480}{512}=20+40=60>0 \text{ (न्यूनतम) } $

इसलिए, आवश्यक लागत $₹ 1920$ है जो न्यूनतम है।

34. एक आयताकार समानांतर चतुर्फलक जिसकी भुजाएँ $x, 2 x$ और $\dfrac{x}{3}$ हैं और एक गोले के सतह क्षेत्रफल के योग को निर्धारित किया गया है। सिद्ध करें कि उनके आयतन के योग न्यूनतम होगा, यदि $x$ गोले की त्रिज्या के तीन गुना हो। इसके आयतन के योग के न्यूनतम मान को भी ज्ञात करें।

वस्तुनिष्ठ प्रश्न

35. एक समबाहु त्रिभुज की भुजाएँ $2 cm / sec$ की दर से बढ़ रही हैं। जब भुजा $10 cm$ होती है तो क्षेत्रफल की वृद्धि दर क्या होती है?

(a) $10 cm^{2} / s$

(b) $\sqrt{3} cm^{2} / s$

(c) $10 \sqrt{3} cm^{2} / s$

(d) $\dfrac{10}{3} cm^{2} / s$

36. एक सीढ़ी, $5 मीटर$ लंबी, एक क्षैतिज फर्श पर खड़ी होकर एक ऊर्ध्वाधर दीवार के सहारे झुकी हुई है। यदि सीढ़ी के ऊपरी सिरे के नीचे गिरते हुए गति की दर $10 सेमी/सेकंड$ है, तो जब सीढ़ी के निचले सिरे दीवार से 2 मीटर दूर हो, तो फर्श और सीढ़ी के बीच कोण की गति की दर क्या होगी?

(a) $\dfrac{1}{10}\ radian / sec$

(c) $20\ radian / sec$

(d) $10\ radian / sec$

(b) $\dfrac{1}{20}\ $ radian $/ sec$

Solution

सीढ़ी की लंबाई $=5 मीटर$

मान लीजिए $AB=y मीटर$ और $BC=x मीटर$

$\therefore$ समकोण $\triangle ABC$ में,

$ A B^{2}+BC^{2}=A C^{2} $

$\Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}=(5)^{2} \Rightarrow x^{2}+y^{2}=25$

दोनों ओर के संबंध के संबंध में अवकलन करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} 2 x \cdot \dfrac{d x}{d t}+2 y \cdot \dfrac{d y}{d t} & =0 \\ \Rightarrow \quad x \dfrac{d x}{d t}+y \cdot \dfrac{d y}{d t} & =0 \\ \Rightarrow \quad 2 \cdot \dfrac{d x}{d t}+y \times(-0.1) & =0 \\ \Rightarrow \quad 2 \cdot \dfrac{d x}{d t}+\sqrt{25-x^{2}} \times(-0.1) & =0 \\ \Rightarrow \quad 2 \cdot \dfrac{d x}{d t}+\sqrt{25-4} \times(-0.1) & =0 \\ \Rightarrow \quad 2 \cdot \dfrac{d x}{d t}-\dfrac{\sqrt{21}}{10} & =0 \Rightarrow \dfrac{d x}{d t}=\dfrac{\sqrt{21}}{20} \end{aligned} $

अब $\cos \theta=\dfrac{BC}{AC}$

$\Rightarrow$ $\cos \theta=\dfrac{x}{5}$

दोनों ओर के संबंध के संबंध में अवकलन करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \dfrac{d}{d t} \cos \theta & =\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{d x}{d t} \Rightarrow-\sin \theta \cdot \dfrac{d \theta}{d t}=\dfrac{1}{5} \cdot \dfrac{\sqrt{21}}{20} \\ \Rightarrow \quad \dfrac{d \theta}{d t} & =\dfrac{\sqrt{21}}{100} \times(-\dfrac{1}{\sin \theta})=\dfrac{\sqrt{21}}{100} \times-(\dfrac{1}{\dfrac{AB}{AC}}) \\ & =-\dfrac{\sqrt{21}}{100} \times \dfrac{AC}{AB}=-\dfrac{\sqrt{21}}{100} \times \dfrac{5}{\sqrt{21}}=-\dfrac{1}{20} \text{ radian/sec } \\

$$ \text{ संकेत } (-) \text{ कोण के परिवर्तन के घटने को दर्शाता है।} $$ $$ \end{aligned} $$ $$ $ $$

अतः, आवश्यक दर $=\dfrac{1}{20}\ radian / sec$

अतः, सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{10}\ radian / sec$: यह विकल्प गलत है क्योंकि कोण के परिवर्तन की गणनात्मक दर, $\dfrac{d \theta}{d t}$, $\dfrac{1}{20}\ radian / sec$ है। $\dfrac{1}{10}\ radian / sec$ का मान सही दर के दोगुना है, जो अवकलन या बीजगणितीय संचालन में त्रुटि को दर्शाता है।

• विकल्प (c) $20 radian / sec$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह सही दर $\dfrac{1}{20}\ radian / sec$ की तुलना में बहुत अधिक है। ऐसी उच्च दर के लिए समस्या के पैरामीटर और गणनात्मक मूल्यों के आधार पर असंभव है।

• विकल्प (d) $10\ radian / sec$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह भी सही दर $\dfrac{1}{20}\ radian / sec$ की तुलना में बहुत अधिक है। इससे लadder के स्थिति के परिवर्तन और कोण के परिवर्तन के बीच संबंध के गलत समझ या गणना के अंतर को दर्शाता है।

हल

वक्र का समीकरण $y=x^{1 / 5}$ है

x के संबंध में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{5} x^{-4 / 5}$

$ \begin{aligned} (\text{जब } x=0) \quad \dfrac{d y}{d x} & =\dfrac{1}{5}(0)^{-4 / 5}=\dfrac{1}{5} \times \dfrac{1}{0}=\infty \\ \dfrac{d y}{d x} & =\infty \end{aligned} $

$\therefore \quad$ स्पर्शरेखा y-अक्ष के समांतर है।

अतः, सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) एक समतल स्पर्शरेखा (x-अक्ष के समांतर): एक समतल स्पर्शरेखा का अर्थ है कि स्पर्शरेखा की ढलान शून्य होती है। हालांकि, अवकलज $\dfrac{d y}{d x} = \dfrac{1}{5} x^{-4 / 5}$ जब $x$ शून्य के निकट होता है तो अपरिमित रूप से बढ़ता है, जो एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा को दर्शाता है न कि एक समतल स्पर्शरेखा।

• विकल्प (c) एक झुकी स्पर्शरेखा: एक झुकी स्पर्शरेखा की ढलान एक अंतिम, शून्य नहीं होती। चूंकि अवकलज $\dfrac{d y}{d x}$ जब $x = 0$ होता है तो अपरिमित रूप से बढ़ता है, ढलान अंतिम नहीं होती, जो झुकी स्पर्शरेखा के संभावना को नकारात्मक करती है।

• विकल्प (d) कोई स्पर्शरेखा नहीं: $\dfrac{d y}{d x}$ का मान $x = 0$ पर अपरिमित होता है, जो एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा की उपस्थिति को दर्शाता है। अतः, $(0,0)$ पर कोई स्पर्शरेखा नहीं होने का कथन गलत है।

हल

दिए गए वक्र का समीकरण $3 x^{2}-y^{2}=8$ है

दोनों ओर के संबंध के संबंध में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ 6 x-2 y \cdot \dfrac{d y}{d x}=0 \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{3 x}{y} $

$\dfrac{3 x}{y}$ वक्र की स्पर्शरेखा की ढलान है

$ \therefore \quad \text{ लम्ब की ढलान }=\dfrac{-1}{\dfrac{d y} {d x}}=\dfrac{-y}{3 x} $

अब $x+3 y=8$ लम्ब के समानांतर है

दोनों ओर के संबंध के संबंध में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} 1+3 \dfrac{d y}{d x}=0 \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{1}{3} \\ \therefore \dfrac{-y}{3 x}=-\dfrac{1}{3} & \Rightarrow y=x \end{aligned} $

समीकरण (i) में $y=x$ रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$3 x^{2}-x^{2}=8 \Rightarrow 2 x^{2}=8 \Rightarrow x^{2}=4$

$\therefore x= \pm 2 \text{ और } y= \pm 2$

अतः बिंदु $(2,2)$ और $(-2,-2)$ हैं।

दिए गए वक्र के बिंदु $(2,2)$ पर लम्ब का समीकरण है

$ \begin{aligned} y-2 & =-\dfrac{1}{3}(x-2) \\ \Rightarrow \quad 3 y-6 & =-x+2 \Rightarrow x+3 y-8=0 \end{aligned} $

बिंदु $(-2,-2)$ पर लम्ब का समीकरण है

$ \begin{aligned} y+2 & =-\dfrac{1}{3}(x+2) \\ \Rightarrow \quad 3 y+6 & =-x-2 \Rightarrow x+3 y+8=0 \end{aligned} $

$\therefore$ वक्र के लम्ब के समीकरण हैं

$ x+3 y \pm 8=0 $

अतः सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $3 x - y = 8$: इस विकल्प का अस्तित्व नहीं है क्योंकि रेखा $3 x - y = 8$ की ढलान $3$ है, जो दिए गए वक्र के लम्ब की ढलान $-\dfrac{1}{3}$ के समान नहीं है। वक्र के लम्ब की ढलान $-\dfrac{1}{3}$ है, जो $3 x - y = 8$ की ढलान $3$ के समान नहीं है।

• विकल्प (b) $3 x + y + 8 = 0$: इस विकल्प का अस्तित्व नहीं है क्योंकि रेखा $3 x + y + 8 = 0$ की ढलान $-3$ है, जो दिए गए वक्र के लम्ब की ढलान $-\dfrac{1}{3}$ के समान नहीं है। वक्र के लम्ब की ढलान $-\dfrac{1}{3}$ है, जो $3 x + y + 8 = 0$ की ढलान $-3$ के समान नहीं है।

• विकल्प (d) $x + 3 y = 0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि रेखा $x + 3 y = 0$ की ढलान $-\dfrac{1}{3}$ है, जो अभिलम्ब रेखा की ढलान के साथ मेल खाती है, लेकिन यह वक्र से निर्मित बिंदुओं $(2,2)$ या $(-2,-2)$ से गुजरती नहीं है। इसलिए, यह दिए गए वक्र के अभिलम्ब रेखा का सही समीकरण नहीं है।

हल

दिए गए वक्रों के समीकरण $a y+x^{2}=7 \qquad…(i)$

और $\quad x^{3}=y \qquad…(ii)$

समीकरण (i) को $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & a \dfrac{d y}{d x}+2 x=0 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{2 x}{a} \\ & \therefore \quad m_1=-\dfrac{2 x}{a} \quad(m_1=\dfrac{d y}{d x}) \end{aligned} $

अब समीकरण (ii) को $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ 3 x^{2}=\dfrac{d y}{d x} \Rightarrow m_2=3 x^{2} \quad(m_2=\dfrac{d y}{d x}) $

दो वक्र एक दूसरे के लंबकर काटे जाने कहलाते हैं यदि उनके प्रतिच्छेद बिंदु पर स्पर्श रेखाओं के बीच कोण $90^{\circ}$ हो।

$ \begin{aligned} & \therefore \quad m_1 \times m_2=-1 \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{-2 x}{a} \times 3 x^{2}=-1 \Rightarrow \dfrac{-6 x^{3}}{a}=-1 \Rightarrow 6 x^{3}=a \end{aligned} $

$(1,1)$ दोनों वक्रों के प्रतिच्छेद बिंदु हैं।

$ \begin{aligned} \therefore \quad & 6(1)^{3} & =a \\ \text{ इसलिए } & \quad a &=6 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि जब हम समीकरण $ 6x^3 = a $ में $ x = 1 $ को समान्य करते हैं, तो हमें $ 6(1)^3 = 6 $ प्राप्त होता है, न कि 1। इसलिए, $ a $ 1 नहीं हो सकता।

• विकल्प (b) 0: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $ a = 0 $, तो समीकरण $ 6x^3 = a $ का अर्थ होता है $ 6(1)^3 = 0 $, जो सत्य नहीं है। इसलिए, $ a $ 0 नहीं हो सकता।

• विकल्प (c) -6: यह विकल्प गलत है क्योंकि जब हम समीकरण $ 6x^3 = a $ में $ x = 1 $ को समान्य करते हैं, तो हमें $ 6(1)^3 = 6 $ प्राप्त होता है, न कि -6। इसलिए, $ a $ -6 नहीं हो सकता।

हल

दिया गया है $y=x^{4}-10$

$ \begin{aligned} \dfrac{d y}{d x} & =4 x^{3} \\ \Delta x & =2.00-1.99=0.01 \\ \therefore \quad \Delta y & =\dfrac{d y}{d x} \cdot \Delta x=4 x^{3} \times \Delta x \\ & =4 \times(2)^{3} \times 0.01=32 \times 0.01=0.32 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) 0.032: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ y $ में गणना किया गया परिवर्तन $ 0.32 $ है, न कि $ 0.032 $. $ x = 2 $ पर अवकलज $ \dfrac{dy}{dx} = 4x^3 $ का मान $ 32 $ होता है, और $ x $ में परिवर्तन ($ 0.01 $) के साथ गुणा करने पर $ 0.32 $ प्राप्त होता है।

• विकल्प (c) 5.68: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह $ y $ में परिवर्तन को बहुत अधिक अनुमानित करता है। सही गणना दिखाती है कि $ y $ में परिवर्तन $ 0.32 $ है, न कि $ 5.68 $।

• विकल्प (d) 5.968: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह भी $ y $ में परिवर्तन को बहुत अधिक अनुमानित करता है। सही परिवर्तन $ 0.32 $ है, न कि $ 5.968 $।

हल

दिया गया है $y(1+x^{2})=2-x \qquad…(i)$

यदि यह $x$-अक्ष को काटता है, तो $y$-निर्देशांक शून्य होता है।

$ \therefore \quad 0(1+x^{2})=2-x \Rightarrow x=2 $

समीकरण $(i)$ में $x=2$ रखें

$ y(1+4)=2-2 \Rightarrow y(5)=0 \Rightarrow y=0 $

संपर्क बिंदु $=(2,0)$

समीकरण (i) को $x$ के संदर्भ में अवकलज करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & y \times 2 x+(1+x^{2}) \dfrac{d y}{d x}=-1 \\ \Rightarrow & 2 x y+(1+x^{2}) \dfrac{d y}{d x}=-1 \Rightarrow(1+x^{2}) \dfrac{d y}{d x}=-1-2 x y \\ \therefore \quad & \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-(1+2 x y)}{(1+x^{2})} \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-1}{(1+4)}=\dfrac{-1}{5} \end{aligned} $

स्पर्श रेखा का समीकरण $y-0=-\dfrac{1}{5}(x-2)$ है

$ \Rightarrow \quad 5 y=-x+2 \Rightarrow x+5 y=2 $

$

अतः, सही विकल्प (a) है।

• विकल्प (b) $x-5y=2$ गलत है क्योंकि अवकलन से प्राप्त स्पर्श रेखा की ढलान $-\dfrac{1}{5}$ है, जिसका अर्थ है कि स्पर्श रेखा के समीकरण को $x + 5y = 2$ के रूप में व्यवस्थित करने पर $y$ के लिए धनात्मक गुणांक होना चाहिए।

• विकल्प (c) $5x-y=2$ गलत है क्योंकि अवकलन से प्राप्त स्पर्श रेखा की ढलान $-\dfrac{1}{5}$ है, जिसका अर्थ है कि $x + 5y = 2$ के रूप में व्यवस्थित करने पर $x$ के गुणांक $-1$ होना चाहिए।

• विकल्प (d) $5x+y=2$ गलत है क्योंकि अवकलन से प्राप्त स्पर्श रेखा की ढलान $-\dfrac{1}{5}$ है, जिसका अर्थ है कि $x + 5y = 2$ के रूप में व्यवस्थित करने पर $x$ के गुणांक $-1$ और $y$ के गुणांक $5$ होना चाहिए।

हल

दिया गया है $y=x^{3}-12 x+18$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\Rightarrow \quad \dfrac{d y}{d x}=3 x^{2}-12$

क्योंकि स्पर्श रेखाएँ $x$-अक्ष के समांतर हैं, तो $\dfrac{d y}{d x}=0$

$ \begin{matrix} \therefore \qquad 3 x^{2}-12 =0 \Rightarrow x= \pm 2 d x \\ \therefore \qquad y _{x=2} =(2)^{3}-12(2)+18=8-24+18=2 \\ y _{x=-2} =(-2)^{3}-12(-2)+18=-8+24+18=34 \end{matrix} $

$\therefore \quad$ बिंदु $(2,2)$ और $(-2,34)$ हैं

अतः, सही विकल्प (d) है।

• विकल्प (a): दिए गए बिंदु $(2,-2)$ और $(-2,-34)$ गलत हैं क्योंकि जब $x=2$ होता है, तो संगत $y$ मान $2$ होता है, न कि $-2$। इसी तरह, जब $x=-2$ होता है, तो संगत $y$ मान $34$ होता है, न कि $-34$।

• विकल्प (b): दिए गए बिंदु $(2,34)$ और $(-2,0)$ गलत हैं क्योंकि जब $x=2$ होता है, तो संगत $y$ मान $2$ होता है, न कि $34$। इसी तरह, जब $x=-2$ होता है, तो संगत $y$ मान $34$ होता है, न कि $0$।

• विकल्प (c): दिए गए बिंदु $(0,34)$ और $(-2,0)$ गलत हैं क्योंकि जब $x=0$ होता है, तो संगत $y$ मान $18$ होता है, न कि $34$। इसके अतिरिक्त, जब $x=-2$ होता है, तो संगत $y$ मान $34$ होता है, न कि $0$।

हल

वक्र का समीकरण $y=e^{2 x}$ है

स्पर्श रेखा की प्रवणता $\dfrac{d y}{d x}=2 e^{2 x} \Rightarrow \dfrac{d y}{d x _{(0,1)}}=2 \cdot e^{0}=2$

$\therefore \quad$ बिंदु $(0,1)$ पर वक्र की स्पर्श रेखा का समीकरण है

$ y-1=2(x-0) $

$ \Rightarrow \quad y-1=2 x \Rightarrow y-2 x=1 $

क्योंकि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को जहाँ $y=0$ पर मिलती है

$ \therefore \quad 0-2 x=1 \quad \Rightarrow \quad x=\dfrac{-1}{2} $

अतः बिंदु $(-\dfrac{1}{2}, 0)$ है

इसलिए, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) $(0,1)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि बिंदु $(0,1)$ वक्र पर स्पर्श रेखा के स्पर्श बिंदु है, न कि $x$-अक्ष के साथ कटान बिंदु। इस बिंदु पर स्पर्श रेखा का अलग $x$-अक्ष कटान बिंदु है।

• विकल्प (c) $(2,0)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि स्पर्श रेखा के समीकरण $y - 2x = 1$ में $x=2$ को बदलने पर समीकरण को संतुष्ट नहीं करता। विशेष रूप से, यदि $x=2$, तो $y - 2(2) = 1$ अर्थात $y - 4 = 1$ जो $y = 5$ देता है, जो $0$ नहीं है।

• विकल्प (d) $(0,2)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह बताता है कि स्पर्श रेखा $x$-अक्ष को $x=0$ पर काटती है, जो संभव नहीं है। बिंदु $(0,2)$ $x$-अक्ष पर नहीं है, और स्पर्श रेखा के समीकरण $y - 2x = 1$ इस बिंदु से गुजरता नहीं है।

हल

दिया गया वक्र है

$x=t^{2}+3 t-8$ और $y=2 t^{2}-2 t-5$

$ \begin{matrix} \dfrac{d x}{d t}=2 t+3 \text{ और } \dfrac{d y}{d t}=4 t-2 \\ \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{\dfrac{d y}{d t}}{\dfrac{d x}{d t}}=\dfrac{4 t-2}{2 t+3} \end{matrix} $

अब $(2,-1)$ वक्र पर स्थित है

$ \begin{matrix} \therefore 2=t^{2}+3 t-8 \Rightarrow t^{2}+3 t-10=0 \\

\Rightarrow t^{2}+5 t-2 t-10=0 \\ \Rightarrow t(t+5)-2(t+5)=0 \\ \Rightarrow \quad(t+5)(t-2)=0 \\ \therefore t=2, t=-5 \text{ and }-1=2 t^{2}-2 t-5 \\ \Rightarrow 2 t^{2}-2 t-4=0 \\ \Rightarrow t^{2}-t-2 =0 \Rightarrow t^{2}-2 t+t-2=0 \\ \Rightarrow t(t-2)+1(t-2) =0 \Rightarrow(t+1)(t-2)=0 \\ \Rightarrow t =-1 \quad \text{ and } t=2 \end{matrix} $

तो $t=2$ सामान्य मान है

$ \therefore \quad \text{ Slope } \dfrac{d y}{d x}|_{x=2}=\dfrac{4 \times 2-2}{2 \times 2+3}=\dfrac{6}{7} $

इसलिए, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{22}{7}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $t=2$ पर ढलान $\dfrac{d y}{d x}$ की गणना $\dfrac{6}{7}$ देती है, न कि $\dfrac{22}{7}$. जब $t=2$ होता है, तो ढलान के सूत्र $\dfrac{4t-2}{2t+3}$ के अंश और हर क्रमशः 22 और 7 नहीं होते हैं।

• विकल्प (c) $-\dfrac{6}{7}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $t=2$ पर सही ढलान की गणना एक धनात्मक मान $\dfrac{6}{7}$ देती है, न कि एक नकारात्मक मान। जब $t=2$ होता है, तो ढलान के सूत्र $\dfrac{4t-2}{2t+3}$ के अंश और हर दोनों धनात्मक रहते हैं।

• विकल्प (d) -6: यह विकल्प गलत है क्योंकि $t=2$ पर ढलान की गणना एक पूर्णांक मान नहीं देती है। सही ढलान $\dfrac{6}{7}$ है, जो एक भिन्न है, न कि एक पूर्णांक जैसे -6 है।

हल

दिए गए वक्र $x^{3}-3 x y^{2}+2=0 \qquad…(i)$

$$ \begin{equation*} \text{ और } \qquad 3 x^{2} y-y^{3}-2=0 \qquad…(ii) \end{equation*} $$

समीकरण (i) को $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & 3 x^{2}-3(x \cdot 2 y \dfrac{d y}{d x}+y^{2} \cdot 1)=0 \\ & \Rightarrow \quad x^{2}-2 x y \dfrac{d y}{d x}-y^{2}=0 \Rightarrow 2 x y \dfrac{d y}{d x}=x^{2}-y^{2} \\ & \therefore \quad \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2 x y} \\

$$ m_1=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2 x y} $$ $$ \end{aligned} $$

$$ $ $$

$$ \begin{aligned} 3[x^{2} \dfrac{d y}{d x}+y \cdot 2 x]-3 y^{ 2} \cdot \dfrac{d y}{d x} & =0 \\ x^{2} \dfrac{d y}{d x}+2 x y-y^{2} \dfrac{d y}{d x} & =0 \Rightarrow(x^{2}-y^{2}) \dfrac{d y}{d x}=-2 x y \\ \dfrac{d y}{d x} & =\dfrac{-2 x y}{x^{2}-y^{2}} \end{aligned} $$

$$ $

अतः वक्र के ढलान $m_2=\dfrac{-2 x y}{x^{2}-y^{2}}$

अब

$$ m_1 \times m_2=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{2 x y} \times \dfrac{-2 x y}{x^{2}-y^{2}}=-1 $$

अतः वक्रों के बीच कोण $\dfrac{\pi}{2}$ है।

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{\pi}{4}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दोनों वक्रों के ढलानों का गुणनफल $-1$ है, जो इस बात को दर्शाता है कि वक्र एक लंब बिंदु पर मिलते हैं (90 डिग्री या $\dfrac{\pi}{2}$)। $\dfrac{\pi}{4}$ (45 डिग्री) के कोण के लिए ढलानों के बीच अलग संबंध होना आवश्यक होता है।

• विकल्प (b) $\dfrac{\pi}{3}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दोनों वक्रों के ढलानों का गुणनफल $-1$ है, जो इस बात को दर्शाता है कि वक्र एक लंब बिंदु पर मिलते हैं। $\dfrac{\pi}{3}$ (60 डिग्री) के कोण के लिए ढलानों के बीच अलग संबंध होना आवश्यक होता है।

• विकल्प (d) $\dfrac{\pi}{6}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दोनों वक्रों के ढलानों का गुणनफल $-1$ है, जो इस बात को दर्शाता है कि वक्र एक लंब बिंदु पर मिलते हैं। $\dfrac{\pi}{6}$ (30 डिग्री) के कोण के लिए ढलानों के बीच अलग संबंध होना आवश्यक होता है।

हल

दिया गया फलन $f(x)=2 x^{3}+9 x^{2}+12 x-1$

$$ f^{\prime}(x)=6 x^{2}+18 x+12 $$

बढ़ते और घटते के लिए $f^{\prime}(x)=0$

$$ \begin{matrix} \therefore x^{2}+18 x+12 =0 \\ \Rightarrow x^{2}+3 x+2 =0 \Rightarrow x^{2}+2 x+x+2=0 \\ \Rightarrow x(x+2)+1(x+2) =0 \Rightarrow(x+2)(x+1)=0 \\ \Rightarrow x =-2, x=-1 \end{matrix} $$

संभावित अंतराल $(-\infty,-2),(-2,-1),(-1, \infty)$ हैं

अब

$ f^{\prime}(x)=(x+2)(x+1) $

$ \begin{matrix} \Rightarrow & f^{\prime}(x) _{(-\infty,-2)}=(-)(-)=(+) \text{ बढ़ रहा है } \\ \Rightarrow & f^{\prime}(x) _{(-2,-1)}=(+)(-)=(-) \text{ घट रहा है } \\ \Rightarrow & f^{\prime}(x) _{(-1, \infty)}=(+)(+)=(+) \text{ बढ़ रहा है } \end{matrix} $

इसलिए, सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) $[-1, \infty)$: यह अंतराल इस बात को सुझाता है कि फलन $-1$ से $\infty$ तक घट रहा है। हालांकि, अवकलज $f’(x) = 6x^2 + 18x + 12$ अंतराल $(-1, \infty)$ में धनात्मक है, जो इस बात को संकेत करता है कि फलन इस अंतराल में बढ़ रहा है, न कि घट रहा है।

• विकल्प (c) $(-\infty, -2]$: यह अंतराल इस बात को सुझाता है कि फलन $-\infty$ से $-2$ तक घट रहा है। हालांकि, अवकलज $f’(x) = 6x^2 + 18x + 12$ अंतराल $(-\infty, -2)$ में धनात्मक है, जो इस बात को संकेत करता है कि फलन इस अंतराल में बढ़ रहा है, न कि घट रहा है।

• विकल्प (d) $[-1, 1]$: यह अंतराल इस बात को सुझाता है कि फलन $-1$ से $1$ तक घट रहा है। हालांकि, अवकलज $f’(x) = 6x^2 + 18x + 12$ अंतराल $(-1, \infty)$ में धनात्मक है, जो इस बात को संकेत करता है कि फलन इस अंतराल में बढ़ रहा है, न कि घट रहा है। इसके अलावा, फलन केवल अंतराल $(-2, -1)$ में घट रहा है, जो $1$ तक नहीं फैलता है।

हल

दिया गया है

$ \begin{aligned} f(x) & =2 x+\cos x \\ f^{\prime}(x) & =2-\sin x \\ f^{\prime}(x) & >0 \forall x \end{aligned} $

क्योंकि

इसलिए $f(x)$ एक बढ़ता फलन है।

इसलिए, सही विकल्प $(d)$ है।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि फलन $ f(x) = 2x + \cos x $ के $ x = \pi $ पर न्यूनतम नहीं होता है। चूंकि $ f’(x) = 2 - \sin x $ हमेशा धनात्मक होता है, फलन हमेशा बढ़ता होता है और किसी भी विशिष्ट बिंदु पर न्यूनतम नहीं होता।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि फलन $ f(x) = 2x + \cos x $ के लिए $ x = 0 $ पर अधिकतम नहीं होता। क्योंकि $ f’(x) = 2 - \sin x $ हमेशा धनात्मक होता है, इसलिए फलन हमेशा बढ़ता रहता है और किसी भी विशिष्ट बिंदु पर अधिकतम नहीं होता।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि फलन $ f(x) = 2x + \cos x $ एक घटता फलन नहीं है। अवकलज $ f’(x) = 2 - \sin x $ हमेशा धनात्मक होता है, जो इस बात को दर्शाता है कि फलन बढ़ता है, न कि घटता है।

हल

यहाँ $y=x(x-3)^{2}$

$ \dfrac{d y}{d x}=x \cdot 2(x-3)+(x-3)^{2} \cdot 1 \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=2 x(x-3)+(x-3)^{2} $

$ \begin{aligned} & \text{ बढ़ते और घटते के लिए } \dfrac{d y}{d x}=0 \\ & \therefore \quad 2 x(x-3)+(x-3)^{2}=0 \Rightarrow(x-3)(2 x+x-3)=0 \\ & \Rightarrow \quad(x-3)(3 x-3)=0 \Rightarrow 3(x-3)(x-1)=0 \\ & \therefore \quad x=1,3 \\ & \dfrac{d y}{d x}=(x-3)(x-1) \\ & \text{ लिए }(-\infty, 1)=(-)(-)=(+) \text{ बढ़ता } \\ & \text{ लिए }(1,3)=(-)(+)=(-) \text{ घटता } \\ & \text{ लिए }(3, \infty)=(+)(+)=(+) \text{ बढ़ता } \end{aligned} $

इसलिए फलन $(1,3)$ या $1<x<3$ में घटता है

अतः सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) $ x < 0 $: यह विकल्प गलत है क्योंकि फलन $ y = x(x-3)^2 $ के लिए $ x < 0 $ के लिए फलन घटता नहीं होता। वास्तव में, $ x < 0 $ के लिए फलन बढ़ता है, जैसा कि अवकलज के विश्लेषण से स्पष्ट है।

• विकल्प (c) $ x > 0 $: यह विकल्प गलत है क्योंकि फलन $ y = x(x-3)^2 $ के लिए $ x > 0 $ के लिए फलन घटता नहीं होता। फलन केवल अंतराल $ 1 < x < 3 $ में घटता है और $ x > 3 $ के लिए बढ़ता है।

• विकल्प (d) $ 0 < x < \dfrac{3}{2} $: यह विकल्प गलत है क्योंकि फलन $ y = x(x-3)^2 $ के लिए अंतराल $ 0 < x < \dfrac{3}{2} $ के लिए फलन घटता नहीं होता। वास्तव में, अंतराल $ 0 < x < 1 $ में फलन बढ़ता है और केवल $ x = 1 $ के बाद घटना शुरू होती है।

हल

यहाँ,

$ \begin{aligned} f(x) & =4 \sin ^{3} x-6 \sin ^{2} x+12 \sin x+100 \\ f^{\prime}(x) & =12 \sin ^{2} x \cdot \cos x-12 \sin x \cos x+12 \cos x \\ & =12 \cos x[\sin ^{2} x-\sin x+1] \\ & =12 \cos x[\sin ^{2} x+(1-\sin x)] \end{aligned} $

$\because \quad 1-\sin x \geq 0$ और $\sin ^{2} x \geq 0$

$\therefore \sin ^{2} x+1-\sin x \geq 0 \quad$ (जब $\cos x>0$ )

अतः, $f^{\prime}(x)>0$, जब $\cos x>0$ अर्थात $x \in(\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$

इसलिए, $f(x)$ बढ़ रहा है जब $x \in(\dfrac{-\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$ और $f^{\prime}(x)<0$

जब $\cos x<0$ अर्थात $x \in(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2})$

अतः, $f(x)$ घट रहा है जब $x \in(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2})$

क्योंकि $(\dfrac{\pi}{2}, \pi) \in(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2})$

इसलिए, $f(x)$ $(\dfrac{\pi}{2}, \pi)$ में घट रहा है

अतः, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) $(\pi, \dfrac{3 \pi}{2})$ में बढ़ रहा है:

  • फलन $ f(x) $ अंतराल $(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2})$ में घट रहा है क्योंकि $ f’(x) < 0 $ जब $\cos x < 0$. क्योंकि $(\pi, \dfrac{3 \pi}{2})$ $(\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3 \pi}{2})$ का एक उपसमुच्चय है, इसलिए $ f(x) $ इस अंतराल में बढ़ नहीं सकता।

• विकल्प (c) $[- \dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}]$ में घट रहा है:

  • फलन $ f(x) $ अंतराल $(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$ में बढ़ रहा है क्योंकि $ f’(x) > 0 $ जब $\cos x > 0$. इसलिए, $ f(x) $ इस अंतराल में घट नहीं सकता।

• विकल्प (d) $[0, \dfrac{\pi}{2}]$ में घट रहा है:

  • फलन $ f(x) $ अंतराल $(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$ में बढ़ रहा है क्योंकि $ f’(x) > 0 $ जब $\cos x > 0$. क्योंकि $[0, \dfrac{\pi}{2}]$ $(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2})$ का एक उपसमुच्चय है, इसलिए $ f(x) $ इस अंतराल में घट नहीं सकता।

हल

यहाँ, मान लीजिए $\quad f(x)=\cos x$; तो, $f^{\prime}(x)=-\sin x$

$ f^{\prime}(x)<0 \text{ अंतराल } (0, \dfrac{\pi}{2}) \text{ में} $

अतः

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

$ f(x)=\cos x \text{ अंतराल } (0, \dfrac{\pi}{2}) \text{ में घटता है} $

• विकल्प (a) $\sin 2x$: फलन $\sin 2x$ अंतराल $(0, \dfrac{\pi}{2})$ में घटता नहीं है। इसकी जांच करने के लिए, इसके अवकलज को देखें: $ \dfrac{d}{dx} (\sin 2x) = 2 \cos 2x $ अंतराल $(0, \dfrac{\pi}{2})$ में, $2x$ का मान $0$ से $\pi$ तक बदलता है। इस अंतराल में, $0 < x < \dfrac{\pi}{4}$ के लिए $\cos 2x$ धनात्मक होता है और $\dfrac{\pi}{4} < x < \dfrac{\pi}{2}$ के लिए ऋणात्मक होता है। अतः, $\sin 2x$ अंतराल $(0, \dfrac{\pi}{2})$ में स्थिर रूप से घटता नहीं है।

• विकल्प (b) $\tan x$: फलन $\tan x$ अंतराल $(0, \dfrac{\pi}{2})$ में घटता नहीं है। इसकी जांच करने के लिए, इसके अवकलज को देखें: $ \dfrac{d}{dx} (\tan x) = \sec^2 x $ अंतराल $(0, \dfrac{\pi}{2})$ में $\sec^2 x$ हमेशा धनात्मक होता है, अतः $\tan x$ इस अंतराल में बढ़ता है।

• विकल्प (d) $\cos 3x$: फलन $\cos 3x$ अंतराल $(0, \dfrac{\pi}{2})$ में घटता नहीं है। इसकी जांच करने के लिए, इसके अवकलज को देखें: $ \dfrac{d}{dx} (\cos 3x) = -3 \sin 3x $ अंतराल $(0, \dfrac{\pi}{2})$ में, $3x$ का मान $0$ से $\dfrac{3\pi}{2}$ तक बदलता है। इस अंतराल में, $\sin 3x$ $-1$ और $1$ के बीच दोलन करता है, जिससे $-3 \sin 3x$ $-3$ और $3$ के बीच दोलन करता है। अतः, $\cos 3x$ अंतराल $(0, \dfrac{\pi}{2})$ में स्थिर रूप से घटता नहीं है।

हल

यहाँ,

$ \begin{aligned} f(x) & =\tan x-x \quad \text{ इसलिए, } f^{\prime}(x)=\sec ^{2} x-1 \\ f^{\prime}(x) & >0 \forall x \in R

\end{aligned} $

इसलिए $f(x)$ हमेशा बढ़ता है

इसलिए, सही विकल्प $(a)$ है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि अवकलज $ f’(x) = \sec^2 x - 1 $ सभी $ x \in \mathbb{R} $ के लिए हमेशा धनात्मक होता है, जो इंगित करता है कि फ़ंक्शन $ f(x) = \tan x - x $ हमेशा बढ़ता है, न कि घटता है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि फ़ंक्शन $ f(x) = \tan x - x $ धनात्मक अवकलज $ f’(x) = \sec^2 x - 1 $ के कारण बढ़ता है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि फ़ंक्शन $ f(x) = \tan x - x $ कभी बढ़ता और कभी घटता नहीं होता; यह हमेशा बढ़ता है, धनात्मक अवकलज $ f’(x) = \sec^2 x - 1 $ के कारण।

हल

मान लीजिए

$ \begin{aligned} f(x) & =x^{2}-8 x+17 \\ f^{\prime}(x) & =2 x-8 \end{aligned} $

स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय न्यूनतम के लिए, $f^{\prime}(x)=0$

$ \therefore \quad 2 x-8=0 \Rightarrow x=4 $

इसलिए, $x=4$ स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय न्यूनतम के बिंदु है।

$ \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) & =2>0 \text{ न्यूनतम बिंदु } x=4 पर \\ \therefore \quad f(x) _{x=4} & =(4)^{2}-8(4)+17 \\ & =16-32+17=33-32=1 \end{aligned} $

इसलिए फ़ंक्शन का न्यूनतम मान 1 है

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) -1: फ़ंक्शन $ f(x) = x^2 - 8x + 17 $ एक द्विघात फ़ंक्शन है जो ऊपर की ओर खुलता है (क्योंकि $ x^2 $ के गुणांक धनात्मक है)। इसलिए, इसका न्यूनतम मान नकारात्मक नहीं हो सकता। न्यूनतम मान शीर्ष के मान के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए, जो इस मामले में 1 है।

• विकल्प (b) 0: द्विघात फ़ंक्शन $ f(x) = x^2 - 8x + 17 $ का न्यूनतम मान शीर्ष पर होता है। शीर्ष मान की गणना करने पर हमें 1 मिलता है। चूंकि 0, 1 से कम है, इसलिए इसका न्यूनतम मान नहीं हो सकता।

• विकल्प (d) 2: द्विघात फ़ंक्शन $ f(x) = x^2 - 8x + 17 $ का न्यूनतम मान शीर्ष पर मूल्यांकन करके प्राप्त किया जाता है, जो हमें 1 देता है। चूंकि 2, 1 से अधिक है, इसलिए इसका न्यूनतम मान नहीं हो सकता।

हल

मान लीजिए

$ f(x)=x^{3}-18 x^{2}+96 x ; \text{ इसलिए, } f^{\prime}(x)=3 x^{2}-36 x+96 $

स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए $f^{\prime}(x)=0$

$\therefore \quad 3 x^{2}-36 x+96=0$

$\Rightarrow \quad x^{2}-12 x+32=0 \Rightarrow x^{2}-8 x-4 x+32=0$

$\Rightarrow x(x-8)-4(x-8)=0 \Rightarrow(x-8)(x-4)=0$

$\therefore \quad x=8,4 \in[0,9]$

इसलिए, $x=4,8$ स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के बिंदु हैं।

अब हम $x=0,4,8,9$ पर अंतिम उच्चिष्ठ या अंतिम निम्निष्ठ की गणना करेंगे।

$ \begin{aligned} \therefore \quad f(x) & =x^{3}-18 x^{2}+96 x \\ f(x) _{x=0} & =0-0+0=0 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} f(x) _{x=4} & =(4)^{3}-18(4)^{2}+96(4) \\ & =64-288+384=448-288=160 \\ f(x) _{x=8} & =(8)^{3}-18(8)^{2}+96(8) \\ & =512-1152+768=1280-1152=128 \\ f(x) _{x=9} & =(9)^{3}-18(9)^{2}+96(9) \\ & =729-1458+864=1593-1458=135 \end{aligned} $

इसलिए, $f$ का अंतिम निम्निष्ठ मान 0 है जो $x=0$ पर है।

अतः, सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) 126 गलत है क्योंकि फलन $ f(x) $ के कोई भी स्थानीय बिंदु या अंतिम बिंदु [0, 9] के अंतराल में 126 के मान नहीं लेता।

• विकल्प (c) 135 गलत है क्योंकि यद्यपि $ f(9) = 135 $ है, लेकिन यह फलन के अंतराल [0, 9] में सबसे छोटा मान नहीं है। सबसे छोटा मान 0 है जो $ x = 0 $ पर है।

• विकल्प (d) 160 गलत है क्योंकि $ f(4) = 160 $ है, लेकिन यह फलन के अंतराल [0, 9] में सबसे छोटा मान नहीं है। सबसे छोटा मान 0 है जो $ x = 0 $ पर है।

हल

हमारे पास है

$ \begin{aligned} f(x) & =2 x^{3}-3 x^{2}-12 x+4 \\ f^{\prime}(x) & =6 x^{2}-6 x-12 \end{aligned} $

स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय निम्निष्ठ के लिए $f^{\prime}(x)=0$

$\therefore \quad 6 x^{2}-6 x-12=0$

$\Rightarrow \quad x^{2}-x-2=0 \Rightarrow x^{2}-2 x+x-2=0$

$\Rightarrow \quad x(x-2)+1(x-2)=0 \Rightarrow(x+1)(x-2)=0$

$\Rightarrow x=-1,2$ लोकल मैक्सिमा और लोकल मिनिमा के बिंदु हैं

अब $\quad f^{\prime \prime}(x)=12 x-6$

$ \begin{aligned} f^{\prime \prime}(x) _{x=-1} & =12(-1)-6=-12-6=-18<0, \text{ (मैक्सिमा) } \\ f^{\prime \prime}(x) _{x=2} & =12(2)-6=24-6=18>0 \text{ (मिनिमा) } \end{aligned} $

इसलिए, फ़ंक्शन $x=-1$ पर मैक्सिमम है और $x=2$ पर मिनिमम है। इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) दो लोकल मैक्सिमा के बिंदु: यह गलत है क्योंकि फ़ंक्शन $ f(x) $ केवल $ x = -1 $ पर एक लोकल मैक्सिमा के बिंदु है। $ x = 2 $ पर दूसरा क्रिटिकल बिंदु एक लोकल मिनिमा के बिंदु है, न कि मैक्सिमा।

• विकल्प (b) दो लोकल मिनिमा के बिंदु: यह गलत है क्योंकि फ़ंक्शन $ f(x) $ केवल $ x = 2 $ पर एक लोकल मिनिमा के बिंदु है। $ x = -1 $ पर दूसरा क्रिटिकल बिंदु एक लोकल मैक्सिमा के बिंदु है, न कि मिनिमा।

• विकल्प (d) कोई भी मैक्सिमा या मिनिमा नहीं: यह गलत है क्योंकि फ़ंक्शन $ f(x) $ के $ x = -1 $ पर एक लोकल मैक्सिमा और $ x = 2 $ पर एक लोकल मिनिमा है। इसलिए, यह लोकल मैक्सिमा और मिनिमा के बिंदु है।

हल

हम जानते हैं

$ f(x)=\sin x \cos x $

$ \begin{matrix} \Rightarrow \quad & f(x)=\dfrac{1}{2} \cdot 2 \sin x \cos x=\dfrac{1}{2} \sin 2 x \\ & f^{\prime}(x)=\dfrac{1}{2} \cdot 2 \cos 2 x \\ \Rightarrow \quad & f^{\prime}(x)=\cos 2 x \end{matrix} $

अब लोकल मैक्सिमा और लोकल मिनिमा के लिए $f^{\prime}(x)=0$

$ \begin{aligned} \therefore \quad \cos 2 x & =0 \\ 2 x & =(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}, \quad n \in I \\ \Rightarrow \quad x & =(2 n+1) \dfrac{\pi}{4} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} x & =\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3 \pi}{4} \ldots \\ f^{\prime \prime}(x) & =-2 \sin 2 x \\ f^{\prime \prime}(x) _{x=\dfrac{\pi}{4}} & =-2 \sin 2 \cdot \dfrac{\pi}{4}=-2 \sin \dfrac{\pi}{2}=-2<0 \text{ (मैक्सिमा) } \\

f^{\prime \prime}(x) _{x=\dfrac{3 \pi}{4}} & =-2 \sin 2 \cdot \dfrac{3 \pi}{4}=-2 \sin \dfrac{3 \pi}{2}=2>0 \text{ (minima) } \end{aligned} $

तो $f(x)$ का $x=\dfrac{\pi}{4}$ पर महत्तम मान होता है

$\therefore \quad$ $f(x)$ का महत्तम मान $=\sin \dfrac{\pi}{4} \cdot \cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{1}{2}$

इसलिए, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{4}$ गलत है क्योंकि $\sin x \cos x$ का महत्तम मान $\dfrac{1}{2}$ होता है, न कि $\dfrac{1}{4}$. गणना दिखाती है कि $\sin x \cos x$ का महत्तम मान $x = \dfrac{\pi}{4}$ पर प्राप्त होता है, जिसका मान $\dfrac{1}{2}$ होता है।

• विकल्प (c) $\sqrt{2}$ गलत है क्योंकि $\sin x \cos x$ का मान $\dfrac{1}{2}$ से अधिक नहीं हो सकता। त्रिकोणमितीय पहचान और गणना यह पुष्टि करती है कि महत्तम मान $\dfrac{1}{2}$ है, जो $\sqrt{2}$ से कम है।

• विकल्प (d) $2 \sqrt{2}$ गलत है क्योंकि यह $\sin x \cos x$ के संभावित अधिकतम मान से बहुत अधिक है। गणित के अनुसार, महत्तम मान $\dfrac{1}{2}$ है, जो $2 \sqrt{2}$ से बहुत कम है।

हल

हमें $f(x)=2 \sin 3 x+3 \cos 3 x$ दिया गया है

$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =2 \cos 3 x \cdot 3-3 \sin 3 x \cdot 3=6 \cos 3 x-9 \sin 3 x \\ f^{\prime \prime}(x) & =-6 \sin 3 x \cdot 3-9 \cos 3 x \cdot 3 \\ & =-18 \sin 3 x-27 \cos 3 x \\ f^{\prime \prime}(\dfrac{5 \pi}{6}) & =-18 \sin 3(\dfrac{5 \pi}{6})-27 \cos 3(\dfrac{5 \pi}{6}) \\ & =-18 \sin (\dfrac{5 \pi}{2})-27 \cos (\dfrac{5 \pi}{2}) \\ & =-18 \sin (2 \pi+\dfrac{\pi}{2})-27 \cos (2 \pi+\dfrac{\pi}{2}) \\ & =-18 \sin \dfrac{\pi}{2}-27 \cos \dfrac{\pi}{2}=-18 \cdot 1-27 \cdot 0 \\ & =-18<0 \text{ (अधिकतम) } \end{aligned} $

$x=\dfrac{5 \pi}{6}$ पर $f(x)$ का अधिकतम मान है

$ \begin{aligned} f(\dfrac{5 \pi}{6}) & =2 \sin 3(\dfrac{5 \pi}{6})+3 \cos 3(\dfrac{5 \pi}{6})=2 \sin \dfrac{5 \pi}{2}+3 \cos \dfrac{5 \pi}{2} \\

& =2 \sin (2 \pi+\dfrac{\pi}{2})+3 \cos (2 \pi+\dfrac{\pi}{2})=2 \sin \dfrac{\pi}{2}+3 \cos \dfrac{\pi}{2}=2 \end{aligned} $

इसलिए, सही विकल्प (a) है।

• विकल्प (b) न्यूनतम: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ x = \dfrac{5\pi}{6} $ पर दूसरे अवकलज परीक्षण, $ f’’(x) $, नकारात्मक है ($ f’’(\dfrac{5\pi}{6}) = -18 < 0 $), जो एक स्थानीय उच्चिष्ठ को दर्शाता है, न्यूनतम नहीं।

• विकल्प (c) शून्य: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ x = \dfrac{5\pi}{6} $ पर फलन का मान $ f(\dfrac{5\pi}{6}) = 2 $ है, न कि शून्य।

• विकल्प (d) न उच्चिष्ठ और न ही न्यूनतम: यह विकल्प गलत है क्योंकि दूसरे अवकलज परीक्षण स्पष्ट करता है कि $ x = \dfrac{5\pi}{6} $ एक स्थानीय उच्चिष्ठ बिंदु है, न कि एक बिंदु जहां फलन न उच्चिष्ठ और न ही न्यूनतम हो।

हल

दिया गया है कि $\qquad y=-x^{3}+3 x^{2}+9 x-27$

$ \dfrac{d y}{d x}=-3 x^{2}+6 x+9 $

$\therefore \quad$ दिए गए वक्र की ढलान,

$ \begin{aligned} m & =-3 x^{2}+6 x+9 \\ \dfrac{d m}{d x} & =-6 x+6 \end{aligned} $

$ (\dfrac{d y}{d x}=m) $

स्थानीय उच्चिष्ठ और स्थानीय न्यूनतम के लिए $\dfrac{d m}{d x}=0$

$ \therefore \quad-6 x+6=0 \Rightarrow x=1 $

अब

$ \dfrac{d^{2} m}{d x^{2}}=-6<0 \quad \text{ (उच्चिष्ठ) } $

$\therefore \quad$ $x=1$ पर ढलान का अधिकतम मान है

$ m _{x=1}=-3(1)^{2}+6(1)+9=-3+6+9=12 $

इसलिए, सही विकल्प (b) है।

• विकल्प (a) 0: यह गलत है क्योंकि वक्र की अधिकतम ढलान शून्य नहीं है। गणना दर्शाती है कि अधिकतम ढलान $ x = 1 $ पर होती है और इसका मान 12 है, न कि 0।

• विकल्प (c) 16: यह गलत है क्योंकि वक्र की अधिकतम ढलान, गणना के अनुसार, 12 है। मान 16 गणितीय अधिकतम ढलान के साथ मेल नहीं खाता।

• विकल्प (d) 32: यह गलत है क्योंकि वक्र की अधिकतम ढलान 12 है, न कि 32। मान 32 गणितीय अधिकतम ढलान से काफी अधिक है।

हल

हम दिया गया है

$ f(x)=x^{x} $

दोनों ओर $\log$ लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \log f(x)=x \log x $

$ x $ के संदर्भ में दोनों ओर अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \dfrac{1}{f(x)} \cdot f^{\prime}(x) & =x \cdot \dfrac{1}{x}+\log x \cdot 1 \\ \Rightarrow \quad f^{\prime}(x) & =f(x)[1+\log x]=x^{x}[1+\log x] \end{aligned} $

स्थैतिक बिंदु ज्ञात करने के लिए, $f^{\prime}(x)=0$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad x^{x}[1+\log x]=0 \\ & \because x^{x} \neq 0 \ & \therefore \quad 1+\log x=0 \\ & \Rightarrow \quad \log x=-1 \Rightarrow x=e^{-1} \Rightarrow x=\dfrac{1}{e} \end{aligned} $

अतः, सही विकल्प $(b)$ है।

• विकल्प (a) $ x = e $: यह गलत है क्योंकि जब $ x = e $, तो $ f’(x) = e^e (1 + \log e) = e^e (1 + 1) = 2e^e \neq 0 $. अतः, $ x = e $ एक स्थैतिक बिंदु नहीं है।

• विकल्प (c) $ x = 1 $: यह गलत है क्योंकि जब $ x = 1 $, तो $ f’(x) = 1^1 (1 + \log 1) = 1 (1 + 0) = 1 \neq 0 $. अतः, $ x = 1 $ एक स्थैतिक बिंदु नहीं है।

• विकल्प (d) $ x = \sqrt{e} $: यह गलत है क्योंकि जब $ x = \sqrt{e} $, तो $ f’(x) = (\sqrt{e})^{\sqrt{e}} (1 + \log \sqrt{e}) = (\sqrt{e})^{\sqrt{e}} (1 + \dfrac{1}{2}) = \dfrac{3}{2} (\sqrt{e})^{\sqrt{e}} \neq 0 $. अतः, $ x = \sqrt{e} $ एक स्थैतिक बिंदु नहीं है।

हल

मान लीजिए

$ f(x)=(\dfrac{1}{x})^{x} $

दोनों ओर $\log$ लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \log [f(x)] & =x \log \dfrac{1}{x} \\ \Rightarrow \quad \log [f(x)] & =x \log x^{-1} \Rightarrow \log [f(x)]=-[x \log x] \end{aligned} $

$ x $ के संदर्भ में दोनों ओर अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} \dfrac{1}{f(x)} \cdot f^{\prime}(x) =-[x \cdot \dfrac{1}{x}+\log x \cdot 1]=-f(x)[1+\log x] \\ \Rightarrow f^{\prime}(x) =-(\dfrac{1}{x})^{x}[1+\log x]

\end{aligned} $

लोकल मैक्सिमा और लोकल मिनिमा के लिए $f^{\prime}(x)=0$

$ \begin{aligned} \quad-(\dfrac{1}{x})^{x}[1+\log x]=0 \Rightarrow(\dfrac{1}{x})^{x}[1+\log x]=0 \\ (\dfrac{1}{x})^{x} \neq 0 \\ \quad \therefore 1+\log x=0 \Rightarrow \log x=-1 \Rightarrow x=e^{-1} \end{aligned} $

इसलिए, $x=\dfrac{1}{e}$ स्थैतिक बिंदु है।

अब $\quad f^{\prime}(x)=-(\dfrac{1}{x})^{x}[1+\log x]$

$ \begin{aligned} & f^{\prime \prime}(x)=-[(\dfrac{1}{x})^{x}(\dfrac{1}{x})+(1+\log x) \cdot \dfrac{d}{d x}(x)^{x}] \\ & f^{\prime \prime}(x)=-[(e)^{1 / e}(e)+(1+\log \dfrac{1}{e}) \dfrac{d}{dx}(\dfrac{1}{e})^{1 / e}] \\ & x=\dfrac{1}{e}=-e^{\dfrac{1}{e}}<0 \text{ (मैक्सिमा) } \end{aligned} $

$\therefore \quad$ फ़ंक्शन के $x=\dfrac{1}{e}$ पर मैक्सिमम मान है

$ f(\dfrac{1}{e})=(\dfrac{1}{1 / e})^{1 / e}=e^{1 / e} $

इसलिए, सही विकल्प (c) है।

• विकल्प (a) $e$: यह विकल्प गलत है क्योंकि फ़ंक्शन $(\dfrac{1}{x})^x$ कोई भी $x$ के लिए $e$ का मान नहीं ले सकता। फ़ंक्शन का अधिकतम मान $e^{1/e}$ है, न कि $e$।

• विकल्प (b) $e^{e}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $e^e$ फ़ंक्शन $(\dfrac{1}{x})^x$ के अधिकतम मान $e^{1/e}$ से बहुत अधिक है। फ़ंक्शन $x = \dfrac{1}{e}$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है, जो $e^{1/e}$ है, न कि $e^e$।

• विकल्प (d) $(\dfrac{1}{e})^{1 / e}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $(\dfrac{1}{e})^{1/e}$ सरलीकृत $e^{-1/e}$ हो जाता है, जो $e^{1/e}$ से कम है। फ़ंक्शन $(\dfrac{1}{x})^x$ का अधिकतम मान $e^{1/e}$ है, न कि $e^{-1/e}$।

हल

हमारे पास है

$$ \begin{align*} & y=4 x^{2}+2 x-8 \qquad…(i)\\ & y=x^{3}-x+13 \qquad…(ii) \end{align*} $$

समीकरण (i) को $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \dfrac{d y}{d x}=8 x+2 \Rightarrow m_1=8 x+2 $

[ $m$ वक्र (i) की ढलान है]

समीकरण (ii) को $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\dfrac{dy}{dx}=3x^2-1 \Rightarrow m_2=3x^2-1 \quad$[$m_2$ वक्र (ii) की ढलान है]

अगर दो वक्र एक दूसरे को स्पर्श करते हैं, तो $m_1=m_2$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad 8 x+2=3 x^{2}-1 \\ & \Rightarrow \quad 3 x^{2}-8 x-3=0 \Rightarrow 3 x^{2}-9 x+x-3=0 \\ & \Rightarrow \quad 3 x(x-3)+1(x-3)=0 \Rightarrow(x-3)(3 x+1)=0 \\ & \therefore \quad x=3, \dfrac{-1}{3} \end{aligned} $

समीकरण (i) में $x=3$ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ y=4(3)^{2}+2(3)-8=36+6-8=34 $

इसलिए, आवश्यक बिंदु $(3,34)$ है

अब $x=-\dfrac{1}{3}$ के लिए

$ \begin{aligned} y & =4(\dfrac{-1}{3})^{2}+2(\dfrac{-1}{3})-8=4 \times \dfrac{1}{9}-\dfrac{2}{3}-8 \\ & =\dfrac{4}{9}-\dfrac{2}{3}-8=\dfrac{4-6-72}{9}=\dfrac{-74}{9} \end{aligned} $

$\therefore \quad$ अन्य आवश्यक बिंदु $(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{-74}{9})$ है।

इसलिए, आवश्यक बिंदु $(3,34)$ और $(-\dfrac{1}{3}, \dfrac{-74}{9})$ हैं।

हल

हमें $y=\tan x$ दिया गया है। इसलिए,

$\dfrac{d y}{d x}=\sec ^{2} x$

$\therefore \quad$ अभिलम्ब की प्रवणता $=\dfrac{-1}{\sec ^{2} x}=-\cos ^{2} x$

बिंदु $(0,0)$ पर प्रवणता $=-\cos ^{2}(0)=-1$

इसलिए, बिंदु $(0,0)$ पर अभिलम्ब का समीकरण $y-0=-1(x-0)$ है

$\Rightarrow \quad y=-x \Rightarrow y+x=0$

इसलिए, आवश्यक समीकरण $y+x=0$ है।

हल

हमें $f(x)=\sin x-a x+b \quad \Rightarrow f^{\prime}(x)=\cos x-a$

फलन के बढ़ते होने के लिए $f^{\prime}(x)>0$

$\therefore \quad \cos x-a>0$

क्योंकि $\quad \cos x \in[-1,1]$

$ \therefore \quad a<-1 \Rightarrow a \in(-\infty,-1) $

इसलिए, $a$ का मान $(-\infty,-1)$ है।

हल

हमें $f(x)=\dfrac{2 x^{2}-1}{x^{4}}$ दिया गया है

$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =\dfrac{x^{4}(4 x)-(2 x^{2}-1) \cdot 4 x^{3}}{x^{8}} \\

\Rightarrow f^{\prime}(x) & =\dfrac{4 x^{5}-(2 x^{2}-1) \cdot 4 x^{3}}{x^{8}}=\dfrac{4 x^{3}[x^{2}-2 x^{2}+1]}{x^{8}}=\dfrac{4(-x^{2}+1)}{x^{5}} \end{aligned} $

कम करने के लिए फ़ंक्शन $f^{\prime}(x)<0$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad \dfrac{4(-x^{2}+1)}{x^{5}}<0 \Rightarrow-x^{2}+1<0 \quad \Rightarrow \quad x^{2}>1 \\ & \therefore \quad x> \pm 1 \Rightarrow x \in(1, \infty) \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक अंतराल है $(1, \infty)$।