सोचने की प्रक्रिया

यहाँ, सूत्रों का उपयोग करें अर्थात् $\sec ^{2} A-\tan ^{2} A=1$ और $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ उपरोक्त समस्या को हल करने के लिए।

हल

$ \begin{aligned}\text{L.H.S.} & =\dfrac{\tan A+\sec A-1}{\tan A-\sec A+1} \\ \\ & =\dfrac{\tan A+\sec A-(\sec ^{2} A-\tan ^{2} A)}{(\tan A-\sec A+1)} \qquad \bigg[\because \ \sec ^{2} A-\tan ^{2} A=1\bigg] \\ \\ & =\dfrac{(\tan A+\sec A)-(\sec A+\tan A)(\sec A-\tan A)}{(1-\sec A+\tan A)} \\ \\ & =\dfrac{(\sec A+\tan A)(1-\sec A+\tan A)}{1-\sec A+\tan A} \\ \\ & =\sec A+\tan A=\dfrac{1}{\cos A}+\dfrac{\sin A}{\cos A} \\ \\ & =\dfrac{1+\sin A}{\cos A} \\ \\ & =\text{R.H.S.} \end{aligned} $

$ \text { सिद्ध कर दिया। }$

हल

दिया गया है, $\dfrac{2 \sin \alpha}{1+\cos \alpha+\sin \alpha}=y$

$\text { अब, }$

$ \begin{aligned} \dfrac{1-\cos \alpha+\sin \alpha}{1+\sin \alpha} & =\dfrac{(1-\cos \alpha+\sin \alpha)}{(1+\sin \alpha)} \cdot \dfrac{(1+\cos \alpha+\sin \alpha)}{(1+\cos \alpha+\sin \alpha)} \\ \\ & =\dfrac{{(1+\sin \alpha)-\cos \alpha}}{(1+\sin \alpha)} \cdot \dfrac{{(1+\sin \alpha)+\cos \alpha}}{(1+\cos \alpha+\sin \alpha)} \\ \\ & =\dfrac{(1+\sin \alpha)^{2}-\cos ^{2} \alpha}{(1+\sin \alpha)(1+\sin \alpha+\cos \alpha)} \\ \\ & =\dfrac{(1+\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha)-\cos ^{2} \alpha}{(1+\sin \alpha)(1+\sin \alpha+\cos \alpha)} \\ \\ & =\dfrac{1+\sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha-1+\sin ^{2} \alpha}{(1+\sin \alpha)(1+\sin \alpha+\cos \alpha)} \\ \\ & =\dfrac{2 \sin ^{2} \alpha+2 \sin \alpha}{(1+\sin \alpha)(1+\sin \alpha+\cos \alpha)} \\ \\ `

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{2 \sin \alpha(1+\sin \alpha)}{(1+\sin \alpha)(1+\sin \alpha+\cos \alpha)} \\ \\ & =\dfrac{2 \sin \alpha}{1+\sin \alpha+\cos \alpha}=y \end{aligned} $$

इसलिए सिद्ध किया गया है।

हल

$\text{दिया गया है,}$

$m \sin \theta =n \sin (\theta+2 \alpha) $

$\therefore \ \ \dfrac{\sin (\theta+2 \alpha)}{\sin \theta}=\dfrac{m}{n}$

सम्पोषण और विभाजन का प्रयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$\dfrac{\sin (\theta+2 \alpha)+\sin \theta}{\sin (\theta+2 \alpha)-\sin \theta}=\dfrac{m+n}{m-n}$

$\Rightarrow \quad \dfrac{2 \sin \left(\dfrac{\theta+2 \alpha+\theta}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{\theta+2 \alpha-\theta}{2}\right)}{2 \cos \left(\dfrac{\theta+2 \alpha+\theta}{2}\right) \cdot \sin \left(\dfrac{\theta+2 \alpha-\theta}{2}\right)}=\dfrac{m+n}{m-n}$

$\Rightarrow \quad\bigg[\because \ \ \sin x+\sin y=2 \sin \left(\dfrac{x+y}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{x-y}{2}\right) \text { और } \sin x-\sin y=2 \cos \left(\dfrac{x+y}{2}\right) \sin \cdot \left(\dfrac{x-y}{2}\right)\bigg]$

$\Rightarrow \quad \dfrac{\sin \left(\theta+\alpha\right) \cdot \cos \alpha}{\cos \left(\theta+\alpha\right) \cdot \sin \alpha}=\dfrac{m+n}{m-n}$

$\Rightarrow\quad\tan (\theta+\alpha) \cdot \cot \alpha =\dfrac{m+n}{m-n} $

$ \text { इसलिए सिद्ध किया गया है। }$

हल

दिया गया है,

$ \cos (\alpha+\beta)=\dfrac{4}{5} \text { और } \sin (\alpha-\beta)=\dfrac{5}{13} $

$\Rightarrow \sin (\alpha+\beta)=\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{9}{25}}= \pm \dfrac{3}{5}$

$\therefore \ \ \sin (\alpha+\beta)=\dfrac{3}{5} \ $ $\text { और } \cos (\alpha-\beta)=\sqrt{1-\dfrac{25}{169}}=\sqrt{\dfrac{144}{169}}= \pm \dfrac{12}{13}$

$\therefore \ \cos (\alpha-\beta)=\dfrac{12}{13}$

$\text { अब, } \quad \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\sin (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)} \qquad$ $\bigg[\text { क्योंकि, } \alpha\text { 0 और } \dfrac{\pi}{4}\text { के बीच है } \bigg]$

$ \hspace{3.2cm} =\dfrac{\dfrac{3}{5}}{\dfrac{4}{5}}=\dfrac{3}{4}\quad$ $ \text { और } \quad \tan (\alpha-\beta) $

$ \hspace{3.2cm} =\dfrac{\sin (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha-\beta)}=\dfrac{\dfrac{5}{13}}{\dfrac{12}{13}}=\dfrac{5}{12} $

$ \therefore \quad \tan 2 \alpha =\tan (\alpha+\beta+\alpha-\beta)$

$ \hspace{1.8cm} =\dfrac{\tan (\alpha+\beta)+\tan (\alpha-\beta)}{1-\tan (\alpha+\beta) \cdot \tan (\alpha-\beta)} \quad \bigg[ \because \tan (x \pm y)=\dfrac{\tan x \pm \tan y}{1 \mp \tan x \cdot \tan y} \bigg]$

$ \hspace{1.8cm} =\dfrac{\dfrac{3}{4}+\dfrac{5}{12}}{1-\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{5}{12}}=\dfrac{\dfrac{9+5}{12}}{\dfrac{16-5}{16}}$

$ \hspace{1.8cm}=\dfrac{14 \times 16}{12 \times 11}=\dfrac{56}{33} $

चिंतन प्रक्रिया

पहले दिए गए व्यंजक को परिशोधित करें और सूत्र $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$ का उपयोग करें।

हल

दिया गया है, $\quad \tan x=\dfrac{b}{a}$

$ \therefore \quad \sqrt{\dfrac{a+b}{a-b}}+\sqrt{\dfrac{a-b}{a+b}} =\dfrac{\sqrt{(a+b)^{2}}+\sqrt{(a-b)^{2}}}{\sqrt{(a-b)(a+b)}} $

$\hspace{3.7cm}=\dfrac{(a+b)+(a-b)}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}=\dfrac{2 a}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}}$

$\hspace{3.7cm}=\dfrac{2 a}{a \sqrt{1-\dfrac{b}{a}}} \quad \bigg[\because \dfrac{b}{a}=\tan x \bigg]$

$\hspace{3.7cm}=\dfrac{2}{\sqrt{1-\tan ^{2} x}}=\dfrac{2 \cos x}{\sqrt{\cos ^{2} x-\sin ^{2} x}} \quad \bigg[\because \cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x\bigg]$

$ \hspace{3.7cm} =\dfrac{2 \cos x}{\sqrt{\cos 2 x}} $

हल

$$ \begin{aligned} \text{बायां पक्ष } & =\cos \theta \cos \dfrac{\theta}{2}-\cos 3 \theta \cos \dfrac{9 \theta}{2} \\ \\ & =\dfrac{1}{2}\left( 2 \cos \theta \cdot \cos \dfrac{\theta}{2}-2 \cos 3 \theta \cdot \cos \dfrac{9 \theta}{2}\right) \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \cos \left(\theta+\dfrac{\theta}{2}\right)+\cos \left(\theta-\dfrac{\theta}{2}\right)-\cos 3 \left(\theta+\dfrac{9 \theta}{2}\right)-\cos 3 \left(\theta-\dfrac{9 \theta}{2}\right) \\ \\ & =\dfrac{1}{2}\left(\cos \dfrac{3 \theta}{2}+\cos \dfrac{\theta}{2}-\cos \dfrac{15 \theta}{2}-\cos \dfrac{3 \theta}{2}\right) \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \left(\cos \dfrac{\theta}{2}-\cos \dfrac{15 \theta}{2} \right) \\ \\ & =-\dfrac{1}{2}\times 2 \sin \left(\dfrac{\theta+15 \theta}{2}\right) \cdot \sin \left(\dfrac{\theta-15 \theta}{2} \right) \qquad\bigg[\because \cos x-\cos y=-2 \sin \left(\dfrac{x+y}{2}\right)\cdot \sin \left(\dfrac{x-y}{2}\right)\bigg] \\ \\ & =+(\sin 8 \theta \cdot \sin 7 \theta)=RHS \\ \end{aligned} $$

$$ \therefore \quad \text { बायां पक्ष }=\text { दायां पक्ष } $$

इसलिए सिद्ध किया गया है

हल

दिया गया है,

और

$a \cos \theta+b \sin \theta=m \qquad\ldots\mathrm{(i)}$

$a \sin \theta-b \cos \theta=n \qquad\ldots\mathrm{(ii)}$

समीकरण $\mathrm{(i)}$ और $\mathrm{(ii)}$ के वर्ग करके जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

$ m^{2}+n^{2}=(a \cos \theta+b \sin \theta)^{2}+(a \sin \theta-b \cos \theta)^{2} $

$\qquad \qquad = a^{2} \cos ^{2} \theta+b^{2} \sin ^{2} \theta+2 a b \sin \theta \cdot \cos \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta+b^{2} \cos ^{2} \theta -2 a b \sin \theta \cdot \cos \theta$

$ m^{2}+n^{2}=a^{2}(\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta)+b^{2}(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta) $

$ m^{2}+n^{2}=a^{2}+b^{2} $

इसलिए सिद्ध किया गया है। $

हल

$\text { मान लीजिए, }\theta =45^{\circ} $

$\text { हम जानते हैं कि, } $

$ \tan \left(\dfrac{\theta}{2}\right) =\dfrac{\sin \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{\cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}=\dfrac{2 \sin \left(\dfrac{\theta}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{\theta}{2}\right)}{2 \cos ^{2} \left(\dfrac{\theta}{2}\right)} $

$\Rightarrow \ \ \ \qquad \tan \dfrac{\theta}{2}=\dfrac{\sin \theta}{1+\cos \theta} $

$\therefore \quad \tan 22^{\circ} 30^{\prime} =\dfrac{\sin 45^{\circ}}{1+\cos 45^{\circ}} \quad\bigg[\because \theta=45^{\circ}\bigg]$

$ \hspace{2.3cm} =\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}}{1+\dfrac{1}{\sqrt{2}}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}+1} $

चिंतन प्रक्रिया

यहाँ, सूत्र का उपयोग करें अर्थात $\sin 2 x=2 \sin x \cos x$ और $\cos 2 x=\cos ^{2} x-\sin ^{2} x$

हल

$\text{L.H.S.} =\sin 4 A $

$ \qquad \quad =2 \sin 2 A \cdot \cos 2 A $

$ \qquad \quad =2(2 \sin A \cdot \cos A)(\cos ^{2} A-\sin ^{2} A) $

$\qquad \quad =4 \sin A \cdot \cos ^{3} A-4 \cos A \sin ^{3} A $ $\quad \bigg[\because \ \cos 2 A=\cos ^{2} A-\sin ^{2} A \quad \text { और } \sin 2 A=2 \sin A \cdot \cos A\bigg]$

$\therefore \quad \mathrm{LHS = RHS} $

$ \text{इतना ही सिद्ध हुआ} $

हल

अब,

दिया गया है,

$ \tan \theta+\sin \theta =m \qquad\ldots\mathrm{(i)} $

$ \text {और} \quad \tan \theta-\sin \theta =n \qquad\ldots\mathrm{(ii)}$

$ \text {अब,} \quad m+n =\tan \theta+\sin \theta+\tan \theta-\sin \theta $

$ m+n =2 \tan \theta \qquad\ldots\mathrm{(iii)} $

$\text {इसके अलावा,} \quad m-n =\tan \theta+\sin \theta-\tan \theta+\sin \theta $

$ m-n =2 \sin \theta \qquad\ldots\mathrm{(iv)} $

समीकरणों $\mathrm{(iii)}$ और $\mathrm{(iv),}$

$ \begin{aligned} (m+n)(m-n) & =4 \sin \theta \cdot \tan \theta \\ \\ m^{2}-n^{2} & =4 \sin \theta \cdot \tan \theta \\ \\ \text{अतः सिद्ध किया गया है} \end{aligned} $

हल

दिया गया है कि $ \quad \tan (A+B)=p \qquad\ldots\mathrm{(i)}$

और $\quad \tan (A-B)=q \qquad\ldots\mathrm{(ii)}$

$\therefore \quad \tan 2 A=\tan (A+B+A-B)$

$\hspace{1.8cm}=\dfrac{\tan (A+B)+\tan (A-B)}{1-\tan (A+B) \tan (A-B)} \quad\bigg[ \because \tan (x+y)=\dfrac{\tan x+\tan y}{1-\tan x \tan y}\bigg]$

$\hspace{1.8cm}=\dfrac{p+q}{1-p q} $ $\qquad$ $\bigg[$ समीकरणों $\mathrm{(i)}$ और $\mathrm{(ii)}$ से $\bigg]$

हल

दिया गया है कि,

$\qquad \ \ \cos \alpha+\cos \beta=0=\sin \alpha+\sin \beta$

$\Rightarrow \quad(\cos \alpha+\cos \beta)^{2}-(\sin \alpha+\sin \beta)^{2}=0$

$\Rightarrow \quad \cos ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta+2 \cos \alpha \cos \beta-\sin ^{2} \alpha-\sin ^{2} \beta-2 \sin \alpha \sin \beta=0$

$\Rightarrow \quad \cos ^{2} \alpha-\sin ^{2} \alpha+\cos ^{2} \beta-\sin ^{2} \beta=2(\sin \alpha \sin \beta-\cos \alpha \cos \beta)$

$\Rightarrow \quad \cos 2 \alpha+\cos 2 \beta=-2 \cos (\alpha+\beta)$

अतः सिद्ध किया गया है।

हल

दिया गया है कि, $\dfrac{\sin (x+y)}{\sin (x-y)}=\dfrac{a+b}{a-b}$

सम्पोषण और विभाजन के नियम का उपयोग करते हुए,

$ \Rightarrow \ \dfrac{\sin (x+y)+\sin (x-y)}{\sin (x+y)-\sin (x-y)}=\dfrac{a+b+a-b}{a+b-a+b} $

$\Rightarrow \ \dfrac{2 \sin \left(\dfrac{x+y+x-y}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{x+y-x+y}{2}\right)}{2 \cos \left(\dfrac{x+y+x-y}{2}\right) \cdot \sin \left(\dfrac{x+y-x+y}{2}\right)}=\dfrac{2 a}{2 b}$

$\bigg[ \because \sin x+\sin y=2 \sin \left(\dfrac{x+y}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{x-y}{2} \right)\text { and } \sin x-\sin y=2 \cos \left(\dfrac{x+y}{2}\right) \cdot \sin \left(\dfrac{x-y}{2}\right)\bigg] $

$\Rightarrow \ \dfrac{\sin x \cdot \cos y}{\cos x \cdot \sin y}=\dfrac{a}{b} $

$\Rightarrow \ \dfrac{\tan x}{\tan y}=\dfrac{a}{b} $

हल

दिया गया है,

$\Rightarrow \quad \tan \theta=\dfrac{\sin \alpha-\cos \alpha}{\sin \alpha+\cos \alpha}$

$ \begin{matrix} \Rightarrow \quad \tan \theta=\dfrac{\cos \alpha(\tan \alpha-1)}{\cos \alpha(\tan \alpha+1)} & \\ \\ \Rightarrow \quad \tan \theta=\dfrac{\tan \alpha-\tan \dfrac{\pi}{4}}{1+\tan \dfrac{\pi}{4} \cdot \tan \alpha} & \bigg[\because \tan \dfrac{\pi}{4}=1\bigg] \end{matrix} $

त्रिकोणमितीय फलन

$ \Rightarrow \quad \tan \theta=\tan \left(\alpha-\dfrac{\pi}{4}\right) $

$\Rightarrow \quad \theta=\alpha-\dfrac{\pi}{4} $

$\Rightarrow\quad \alpha=\theta+\dfrac{\pi}{4} $

$\therefore \quad \sin \alpha+\cos \alpha=\sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos \left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)$

$\hspace{2.7cm}=\sin \theta \cdot \cos \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\cos \theta \cdot \sin \dfrac{\pi}{4}+\cos \theta \cdot \cos \dfrac{\pi}{4}-\sin \theta \cdot \sin \dfrac{\pi}{4} $

$\hspace{2.7cm}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta-\dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta \quad \bigg[\because \sin \dfrac{\pi}{4}=\cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\bigg]$

$\hspace{2.7cm} =\dfrac{2}{\sqrt{2}} \cdot \cos \theta=\sqrt{2} \cos \theta $

चिंतन प्रक्रिया

यदि $\sin \theta=\sin \alpha$, तो $\theta=n \pi+(-1)^{n} \cdot \alpha$, दी गई समीकरण के सामान्य हल को देता है।

हल

दिया गया है, $\sin \theta+\cos \theta=1$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cdot \cos \theta =1 $

$\Rightarrow \quad 1+2 \sin \theta \cdot \cos =1 \qquad \bigg[\because \ \ \sin 2 x=2 \sin x \cos x\bigg] $

$\Rightarrow \quad \sin 2 \theta =0 $

$\Rightarrow \quad 2 \theta=n \pi+(-1)^{n} \cdot 0 $

$ \therefore \qquad \theta =\dfrac{n \pi}{2}$

अल्टरनेट विधि

$ \sin \theta+\cos \theta=1 $

$ \Rightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}} $

$\Rightarrow \sin \theta \cdot \cos \dfrac{\pi}{4}+\cos \theta \cdot \sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \qquad \bigg[ \because \ \sin \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\cos \dfrac{\pi}{4}\bigg] $

$ \Rightarrow \quad \sin \left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin \dfrac{\pi}{4} \qquad\bigg[\because \sin (x+y)=\sin x \cdot \cos y+\cos x \cdot \sin y\bigg] $

$ \Rightarrow \quad \theta+\dfrac{\pi}{4}=n \pi+(-1)^{n} \dfrac{\pi}{4} $

$ \therefore \quad \quad \theta=n \pi+(-1)^{n} \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{4} $

हल

दिए गए समीकरण हैं

$ \tan \theta=-1 \qquad\ldots\mathrm{(i)} $

$ \text { और } \quad \cos \theta=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \qquad\ldots\mathrm{(ii)} $

$ \text { समीकरण (i) से, } \quad \tan \theta=-\tan \dfrac{\pi}{4} $

$ \Rightarrow \quad \tan \theta=\tan( 2 \pi-\dfrac{\pi}{4}) \quad$

$\Rightarrow\quad \tan \theta=\tan \dfrac{7 \pi}{4} $

$ \therefore \qquad \theta=\dfrac{7 \pi}{4}$

समीकरण $\mathrm{(ii)}$ से,

$ \Rightarrow \quad \cos \theta=\cos (2 \pi-\dfrac{\pi}{4}) $

$\Rightarrow \quad \cos \theta=\cos \dfrac{7 \pi}{4} $

$\therefore \qquad \theta=\dfrac{7 \pi}{4}$

इसलिए, $\theta$ का सबसे सामान्य मान है, अर्थात $\theta=2 n \pi+\dfrac{7 \pi}{4}$।

हल

दिया गया है, $\quad \cot \theta+\tan \theta=2 \text{ cosec } \theta$

$ \Rightarrow \dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}+\dfrac{\sin \theta}{\cos \theta}=\dfrac{2}{\sin \theta} $

$\Rightarrow \dfrac{\cos ^{2}+\sin ^{2} \theta}{\sin \theta \cdot \cos \theta} =\dfrac{2}{\sin \theta} $

$\Rightarrow \dfrac{1}{\cos \theta} =2 \qquad \bigg[\because \ \ \sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1\bigg] $

$\Rightarrow \cos \theta =\dfrac{1}{2} $

$\Rightarrow \cos \theta=\cos \dfrac{\pi}{3} $

$\therefore \qquad \theta =2 n \pi \pm \dfrac{\pi}{3} $

हल

दिया गया है, $\quad 2 \sin^{2} \theta = 3 \cos \theta $

$ \Rightarrow \quad 2-2 \cos ^{2} \theta=3 \cos \theta $

$\Rightarrow \quad 2 \cos ^{2} \theta+3 \cos \theta-2=0 $

$\Rightarrow \quad 2 \cos ^{2} \theta+4 \cos \theta-\cos \theta-2=0 $

$ \Rightarrow \quad 2 \cos \theta(\cos \theta+2)-1(\cos \theta+2)=0 $

$\Rightarrow \quad (\cos \theta+2)(2 \cos \theta-1)=0 $

$\Rightarrow \quad \cos \theta=-2 \quad \text{संभव नहीं} \qquad \bigg[\because -1 \leq \cos \theta \leq 1 \bigg] $

$\Rightarrow \quad 2 \cos \theta=1 $

$\Rightarrow \quad \cos \theta=\dfrac{1}{2} $

$\Rightarrow \quad \cos \theta=\cos \dfrac{\pi}{3} $

$\therefore \quad\qquad \theta=\dfrac{\pi}{3} $

$\text{इसके अतिरिक्त,} $

$ \Rightarrow \quad \cos \theta=\cos\left(2 \pi -\dfrac{\pi}{3}\right) $

$\Rightarrow \quad \cos \theta =\cos \dfrac{5 \pi}{6} $

$\therefore \qquad \theta=\dfrac{5 \pi}{6}$

इसलिए, $\theta$ के मान $\dfrac{\pi}{3}$ और $\dfrac{5 \pi}{6}$ हैं।

हल

दिया गया है, $\quad \sec x \cos 5 x+1=0$

$\dfrac{\cos 5 x}{\cos x}+1=0 \Rightarrow \cos 5 x+\cos x=0 $

$ \Rightarrow \quad 2 \cos\left( \dfrac{5 x+x}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{5 x-x}{2}\right)=0$ $\qquad \bigg[\because \ \cos x+\cos y=2 \cos \dfrac{x+y}{2} \cdot \cos \dfrac{x-y}{2}\bigg] $

$ \Rightarrow \quad 2 \cos 3 x \cdot \cos 2 x=0 $

$ \Rightarrow \quad \cos 3 x=0 \text { या } \cos 2 x=0 $

$ \Rightarrow \quad \cos 3 x=\cos \dfrac{\pi}{2} \text { या } \cos 2 x=\cos \dfrac{\pi}{2} $

$ \therefore \ \quad 3 x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow 2 x=\dfrac{\pi}{2} $

$ \qquad \ x=\dfrac{\pi}{6} \ \ \Rightarrow \ x=\dfrac{\pi}{4} $

इसलिए, हल हैं $\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{4}$ और $\dfrac{\pi}{6}$।

हल

दिया गया है, $\sin (\theta+\alpha)=a \qquad\ldots\mathrm{(i)}$

और

$\sin (\theta+\beta)=b \qquad\ldots\mathrm{(ii)}$

$\therefore \quad \cos (\theta+\alpha)=\sqrt{1-a^{2}}$ और $\cos (\theta+\beta)=\sqrt{1-b^{2}}$

$\therefore \quad \cos (\alpha-\beta)=\cos {(\theta+\alpha)-(\theta+\beta)}$

$ \hspace{2.4cm}=\cos (\theta+\beta) \cos (\theta+\alpha)+\sin (\theta+\alpha) \sin (\theta+\beta) $

$\hspace{2.2cm} \begin{aligned} & =\sqrt{1-a^{2}} \sqrt{1-b^{2}}+a \cdot b=a b+\sqrt{(1-a^{2})(1-b^{2})} \\ \\ & =a b+\sqrt{1-a^{2}-b^{2}+a^{2} b^{2}} \end{aligned} $

और

$ \cos (\alpha-\beta) =a b+\sqrt{1-a^{2}-b^{2}+a^{2} b^{2}} $

$\hspace{1.7cm} =\cos 2(\alpha-\beta)-4 a b \cos (\alpha-\beta) $

$\hspace{1.7cm} =2 \cos ^{2}(\alpha-\beta)-1-4 a b \cos (\alpha-\beta) $

$\hspace{1.7cm} =2 \cos (\alpha-\beta)(\cos \alpha-\beta-2 a b)-1 $

$\hspace{1.7cm} =2(a b+\sqrt{1-a^{2}-b^{2}+a^{2} b^{2}})(a b+\sqrt{1-a^{2}-b^{2}+a^{2} b^{2}}-2 a b)-1 $

$\hspace{1.7cm} =2\bigg[(\sqrt{1-a^{2}-b^{2}+a^{2} b^{2}+a b})(\sqrt{1-a^{2}-b^{2}+a^{2} b^{2}}-a b)\bigg]-1 $

$\hspace{1.7cm} =2\bigg[1-a^{2}-b^{2}+a^{2} b^{2}-a^{2} b^{2}\bigg]-1 $

$\hspace{1.7cm} =2-2 a^{2}-2 b^{2}-1 $

$ \hspace{1.7cm} =1-2 a^{2}-2 b^{2} $

$\text{अतः} \quad \text{सिद्ध } $

हल

दिया गया है,

$ \begin{aligned} & \cos (\theta+\varphi)=m \cos (\theta-\varphi) \\ \\ &\Rightarrow \quad \dfrac{\cos (\theta+\varphi)}{\cos (\theta-\varphi)}=\dfrac{m}{1} \end{aligned} $

सम्पोषण एवं विभाजन नियम का उपयोग करते हुए,

$ \dfrac{\cos (\theta-\varphi)-\cos (\theta+\varphi)}{\cos (\theta-\varphi)+\cos (\theta+\varphi)} =\dfrac{1-m}{1+m} $

$\Rightarrow \dfrac{-2 \sin \left(\dfrac{\theta-\varphi+\theta+\varphi}{2}\right) \cdot \sin \left(\dfrac{\theta-\varphi-\theta-\varphi}{2}\right)}{2 \cos \left(\dfrac{\theta-\varphi+\theta+\varphi}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{\theta-\varphi-\theta-\varphi}{2}\right)} =\dfrac{1-m}{1+m} $

$\Rightarrow \quad \dfrac{\sin \theta \cdot \sin \varphi}{\cos \theta \cdot \cos \varphi} =\dfrac{1-m}{1+m} \qquad \bigg[\because \sin(-\theta)= -\sin \theta और \cos (-\theta)=\cos \theta\bigg] $

$\Rightarrow \quad \tan \theta \cdot \tan \varphi =\dfrac{1-m}{1+m} $

$\Rightarrow \quad \tan \theta = \left(\dfrac{1-m}{1+m}\right) \cot \varphi $

हल

$\text{दिया गया व्यंजक,}$

$3 \bigg[\sin ^{4} \left(\dfrac{3 \pi}{2}-\alpha\right)+\sin ^{4}\left(3 \pi+\alpha\right)\bigg]-2 \bigg[\sin ^{6} \left(\dfrac{\pi}{2}+\alpha\right)+\sin ^{6}(5 \pi-\alpha)\bigg] $

$ =3\bigg[\cos ^{4} \alpha+\sin ^{4}(\pi+\alpha)\bigg]-2\bigg[\cos ^{6} \alpha+\sin ^{6}(\pi-\alpha)\bigg] $

$ =3\bigg[\cos ^{4} \alpha+\sin ^{4} \alpha\bigg]-2\bigg[\cos ^{6} \alpha+\sin ^{6} \alpha\bigg]$

उपयोग करते हुए पहचान:

$ \cos ^4 \alpha+\sin ^4 \alpha=1-2 \cos ^2 \alpha \sin ^2 \alpha $

$ \cos ^6 \alpha+\sin ^6 \alpha=1-3 \cos ^2 \alpha \sin ^2 \alpha$

$\Rightarrow \ \ 3-2=1$

हल

दिया गया है, $a \cos 2 \theta+b \sin 2 \theta=c$

$ \Rightarrow \quad a \left(\dfrac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right)+b\left(\dfrac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right)=c \quad $ $\bigg[\because \ \sin 2 \theta=\dfrac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta} \text { और } \cos 2 \theta=\dfrac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\bigg] $

$ \Rightarrow \quad a(1-\tan ^{2} \theta)+2 b \tan \theta=c(1+\tan ^{2} \theta) $

$ \Rightarrow \quad a-a\tan ^{2} \theta+2 b \tan \theta=c+c \tan ^{2} \theta $

$ \Rightarrow \quad(a+c) \tan ^{2} \theta-2 b \tan \theta+c-a=0 $

क्योंकि, यह समीकरण $\tan \alpha$ और $\tan \beta$ के मूल हैं।

$ \because \quad \tan \alpha+\tan \beta=\dfrac{-(-2 b)}{a+c}=\dfrac{2 b}{a+c} $

हल

दिया गया है, और $x=\sec \varphi-\tan \varphi \qquad\ldots\mathrm{(i)}$

अब, $ \ \ y=cosec \varphi+\cot \varphi \qquad\ldots\mathrm{(ii)}$

$\Rightarrow \quad x y=\sec \varphi \cdot cosec \varphi-cosec \varphi \cdot \tan \varphi+\sec \varphi \cdot \cot \varphi-\tan \varphi \cdot \cot \varphi$

$\Rightarrow \quad x y=\sec \varphi \cdot cosec \varphi-\dfrac{1}{\cos \varphi}+\dfrac{1}{\sin \varphi}-1$

$\Rightarrow \quad 1+x y=\sec \varphi cosec \varphi-\sec \varphi+cosec \varphi \qquad ..(iii)$

समीकरणों $\mathrm{(i)}$ और $\mathrm{(ii),}$ से हमें प्राप्त होता है

$\qquad x-y=\sec \varphi-\tan \varphi-cosec \varphi-\cot \varphi $

$\Rightarrow \quad x-y=\sec \varphi-cosec \varphi-\dfrac{\sin \varphi}{\cos \varphi}-\dfrac{\cos \varphi}{\sin \varphi} $

$\Rightarrow \quad x-y=\sec \varphi-cosec \varphi-(\dfrac{\sin ^{2} \varphi+\cos ^{2} \varphi}{\sin \varphi \cdot \cos \varphi}) $

$ \Rightarrow \quad x-y=\sec \varphi-cosec \varphi-\dfrac{1}{\sin \varphi \cdot \cos \varphi}$

$ \Rightarrow \quad x-y=\sec \varphi-cosec \varphi-cosec \varphi \cdot \sec \varphi $

$ \Rightarrow \quad x-y=-(\sec \varphi \cdot cosec \varphi-\sec \varphi+cosec \varphi) $

$ \Rightarrow \quad x-y=-(x y+1) $

$ \Rightarrow \quad x y+x-y+1=0 \quad \bigg[\text{from Eq.} (iii){\bigg]}$ Hence proved

Solution

दिया गया है,

$ \Rightarrow \quad \sin \theta=\sqrt{\dfrac{289-64}{289}}$

$\Rightarrow \quad \sin \theta= \pm \dfrac{15}{17} $

$\Rightarrow \quad \sin \theta=\dfrac{15}{17} \qquad \bigg[\text {Since,} \ \theta \ \text {lies in first quadrant }\bigg] $

$\text { Now, } \cos (30^{\circ}+\theta)+ \cos (45^{\circ}-\theta)+\cos (120^{\circ}-\theta) $

$= \quad \cos (30^{\circ}+\theta)+\cos (45^{\circ}-\theta)+\cos (90^{\circ}+30^{\circ}-\theta) $

$= \quad \cos (30^{\circ}+\theta)+\cos (45^{\circ}-\theta)-\sin (30^{\circ}-\theta) $

$= \quad \cos 30^{\circ} \cos \theta-\sin 30^{\circ} \sin \theta+\cos 45^{\circ} \cos \theta+\sin 45^{\circ} \sin \theta $

$= \quad \dfrac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta-\dfrac{1}{2} \sin \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cos \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \sin \theta-\dfrac{1}{2} \cos \theta \dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta $

$= \quad \dfrac{\sqrt{3}}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2} \cos \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta $

$= \quad \dfrac{\sqrt{6}+2-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \cos \theta+\dfrac{2-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}} \sin \theta $

$= \quad \dfrac{\sqrt{6}+2-\sqrt{2}}{2 \sqrt{2}} \times \dfrac{8}{17}+\dfrac{2-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2 \sqrt{2}} \times \dfrac{15}{17} $

$ \begin{aligned} & = \quad \dfrac{1}{17(2 \sqrt{2})}(8 \sqrt{6}+16-8 \sqrt{2}+30-15 \sqrt{2}+15 \sqrt{6}) \\ \\ & = \quad \dfrac{1}{17(2 \sqrt{2})}(23 \sqrt{6}-23 \sqrt{2}+46) \\ \\ & = \quad \dfrac{23 \sqrt{6}}{17(2 \sqrt{2})}-\dfrac{23 \sqrt{2}}{17(2 \sqrt{2})}+\dfrac{46}{17(2 \sqrt{2})} \\ \\ & = \quad \dfrac{23 \sqrt{3}}{17(2)}-\dfrac{23}{17(2)}+\dfrac{23}{17 \sqrt{2}} \\ \\ & = \quad \dfrac{23}{17} \left(\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{aligned} $

Solution

दिया गया व्यंजक, $ \ \ \cos ^{4} \dfrac{\pi}{8}+\cos ^{4} \dfrac{3 \pi}{8}+\cos ^{4} \dfrac{5 \pi}{8}+\cos ^{4} \dfrac{7 \pi}{8}$

$ \begin{aligned} & =\cos ^{4} \dfrac{\pi}{8}+\cos ^{4} \dfrac{3 \pi}{8}+\cos ^{4} \left(\pi-\dfrac{3 \pi}{8}\right)+\cos ^{4} \left(\pi-\dfrac{\pi}{8}\right) \\ \\ & =\cos ^{4} \dfrac{\pi}{8}+\cos ^{4} \dfrac{3 \pi}{8}+\cos ^{4} (\dfrac{3 \pi}{8})+\cos ^{4} (\dfrac{\pi}{8}) \\ \\ & =2 \bigg[\cos ^{4} \dfrac{\pi}{8}+\cos ^{4} \dfrac{3 \pi}{8}\bigg] \\ \\ & =2 \bigg[\cos ^{4} \dfrac{\pi}{8}+\cos ^{4} (\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{8})\bigg] \\ \\ & =2 \bigg[\cos ^{4} \dfrac{\pi}{8}+\sin ^{4} \dfrac{\pi}{8}\bigg] \\ \\ & =2\bigg[ \cos ^{2} \dfrac{\pi}{8}+\sin ^{2} \dfrac{\pi^{2}}{8}-2 \cos ^{2} \dfrac{\pi}{8} \cdot \sin ^{2} \dfrac{\pi}{8}\bigg] \\ \\ & =21-2 \cos ^{2} \dfrac{\pi}{8} \cdot \sin ^{2} \dfrac{\pi}{8} \\ \\ & =2-2 \sin \dfrac{\pi}{8} \cdot \cos \dfrac{\pi^{2}}{8} \\ \\ & =2-\sin (\dfrac{2 \pi}{8})^{2}=2-(\dfrac{1}{\sqrt{2}}) \\ \\ & =2-\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2} \end{aligned} $

हल

$\text{दिया गया समीकरण,}$

$\Rightarrow \quad 5 \cos ^{2} \theta+7 \sin ^{2} \theta-6 =0 $

$\Rightarrow \quad 5 \cos ^{2}+7(1-\cos ^{2} \theta)-6 =0 $

$\Rightarrow \quad 5 \cos ^{2} \theta+7-7 \cos ^{2} \theta-6 =0 $

$\Rightarrow \quad 5 \cos ^{2} \theta+7-7 \cos ^{2} \theta-6 =0 $

$\Rightarrow \quad -2 \cos ^{2} \theta+1=0 $

$\Rightarrow \quad 2 \cos ^{2} \theta-1 =0 \qquad \bigg[\because \ \ \cos ^{2} \theta=\cos ^{2} \alpha\bigg] $

$\Rightarrow \quad \cos ^{2} \theta =\dfrac{1}{2} $

$\Rightarrow \quad \cos ^{2} \theta =\cos ^{2} \dfrac{\pi}{4} $

$\Rightarrow \quad \theta =n \pi \pm \dfrac{\pi}{4} \qquad \bigg[\therefore \ \theta=n \pi \pm \alpha \bigg] $

हल

दिया गया समीकरण, $\sin x-3 \sin 2 x+\sin 3 x=\cos x-3 \cos 2 x+\cos 3 x$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad 2 \sin \left(\dfrac{x+3 x}{2} \right)\cdot \cos \left(\dfrac{3 x-x}{2}\right)-3 \sin 2 x \\ \\ & = \quad 2 \cos \left(\dfrac{3 x+x}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{3 x-x}{2}\right)-3 \cos 2 x \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 \sin 2 x \cos x-3 \sin 2 x=2 \cos 2 x \cdot \cos x-3 \cos 2 x \\ \\ & \Rightarrow \quad \sin 2 x(2 \cos x-3)=\cos 2 x(2 \cos x-3) \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{\sin 2 x}{\cos 2 x}=1 \\ \\ & \begin{matrix} \Rightarrow & \ \tan 2 x=1 \end{matrix} \\ \\ & \Rightarrow \quad \tan 2 x=\tan \dfrac{\pi}{4} \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x=n \pi+\dfrac{\pi}{4} \\ \\ & \therefore \quad x=\dfrac{n \pi}{2}+\dfrac{4}{8} \end{aligned} $

हल

$\text{दिया गया समीकरण है,}$

$ (\sqrt{3}-1) \cos \theta+(\sqrt{3}+1) \sin \theta=2 \qquad\ldots\mathrm{(i)}$

$ \begin{aligned} & \text { Put } \quad \sqrt{3}-1=r \sin \alpha \quad \text { and } \quad \sqrt{3}+1=r \cos \alpha \\ \\ & \therefore \quad r^{2}=(\sqrt{3}-1)^{2}+(\sqrt{3}+1)^{2} \\ \\ & \Rightarrow \quad=3+1-2 \sqrt{3}+3+1+2 \sqrt{3} \\ \\ & \Rightarrow \quad r^{2}=8 \\ \\ & \therefore \quad r=2 \sqrt{2} \\ \\ & \text { now, } \quad \tan \alpha=\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{3}-\tan \dfrac{\pi}{4}}{1+\tan \dfrac{\pi}{3} \cdot \dfrac{\pi}{4}} \\ \\ & \Rightarrow \quad \tan \alpha=\tan \left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) \\ \\ & \Rightarrow \quad \tan \alpha=\tan \dfrac{\pi}{12} \\ \\ & \therefore \quad \alpha=\dfrac{\pi}{12} \end{aligned} $

समीकरण (i) से, $r \sin \alpha \cos \theta+r \cos \alpha \sin \theta=2$

$\Rightarrow \ r\bigg[\sin (\theta+\alpha)\bigg] =2 $

$\Rightarrow \ \sin (\theta+\alpha) =\dfrac{2}{2 \sqrt{2}} $

$\Rightarrow \ \sin (\theta+\alpha) =\dfrac{1}{\sqrt{2}} $

$\Rightarrow \ \sin (\theta+\alpha) =\sin \dfrac{\pi}{4} \theta+\alpha=n \pi+(-1)^{n} \dfrac{\pi}{4} $

$\Rightarrow \ \theta =n \pi+(-1)^{n} \cdot \dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{12}$

अल्टरनेट विधि

$(\sqrt{3}-1) \cos \theta+(\sqrt{3}+1) \sin \theta =2 $

$\text{Put}\quad \sqrt{3}-1 =r \cos \alpha \ \text { and } \ \sqrt{3}+1=r \sin \alpha$

$\therefore \quad r =2 \sqrt{2}$

अब,$\quad \tan \alpha=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}=\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-\dfrac{1}{\sqrt{3}}}$

$\begin{aligned} &\Rightarrow \tan \alpha=\dfrac{\tan \dfrac{\pi}{4}+\tan \dfrac{\pi}{6}}{1-\tan \dfrac{\pi}{4} \cdot \tan \dfrac{\pi}{6}} \\ \\ &\Rightarrow \tan \alpha=\tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{6}\right) \\ \\ & \Rightarrow \tan \alpha=\tan \dfrac{5 \pi}{12} \end{aligned}$

$ \ \Rightarrow \alpha=\dfrac{5 \pi}{12}$

समीकरण (i) से, $r \cos \alpha \cos \theta + r \sin \alpha \sin \theta =2$

$\qquad r\bigg[\cos(\theta - \alpha)\bigg]$

$\Rightarrow \quad \cos(\theta - \alpha) = \dfrac{2}{2 \sqrt{2}} $

$\Rightarrow \quad \cos(\theta - \alpha) = \dfrac{1}{ \sqrt{2}} $

$ \Rightarrow \quad \cos(\theta - \alpha) = \cos \dfrac{\pi}{4}$

$\Rightarrow \quad \theta - \alpha = 2n \pi \pm \dfrac{\pi}{4}$

$\therefore \qquad \theta = 2n \pi \pm \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{5 \pi}{12}$

हल

(c) दिया गया है, $\sin \theta+cosec \theta=2$

$\Rightarrow \quad \sin ^{2} \theta+cosec^{2} \theta+2 \sin \theta \cdot cosec \theta=4$

$\Rightarrow \quad \sin ^{2} \theta+cosec^{2} \theta=4-2$

$\Rightarrow \quad \sin ^{2} \theta+cosec^{2} \theta=2$

• विकल्प (a) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $(\sin \theta + \text{cosec} \ \theta = 2),$ तो $(\sin^2 \theta + \text{cosec} \ ^2 \theta)$ 1 नहीं हो सकता। दिए गए समीकरण से $(\sin^2 \theta + \text{cosec} \ ^2 \theta = 2)$ प्राप्त होता है, न कि 1।

• विकल्प (b) 4: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिए गए समीकरण $\left(\sin \theta + \text{cosec} \ \theta = 2\right)$ सरलीकृत करने पर $\left(\sin^2 \theta + \text{cosec} \ ^2 \theta = 2\right)$ प्राप्त होता है, न कि 4।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं: यह विकल्प गलत है क्योंकि सही उत्तर विकल्प (c) में दिया गया है, जो 2 है। अतः “इनमें से कोई नहीं” लागू नहीं हो सकता।

हल

(d) दिया गया है, $f(x)=\cos ^{2} x+\sec ^{2} x$

हम जानते हैं कि, $A M \geq G M$

$ \dfrac{\cos ^{2} x+\sec ^{2} x}{2} \geq \sqrt{\cos ^{2} x \cdot \sec ^{2} x} $

$\Rightarrow$ $\cos ^{2} x+\sec ^{2} x \geq 2$ $\qquad\bigg[\because \ \cos x \cdot \sec x=1\bigg]$

$\Rightarrow \quad f(x) \geq 2$

• (a) $f(x)<1$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\cos^2 x$ और $\sec^2 x$ दोनों गैर-ऋणात्मक होते हैं और $\sec^2 x$ हमेशा 1 से अधिक या बराबर होता है। अतः उनका योग 1 से कम नहीं हो सकता।

• (ब) $f(x)=1$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\sec^2 x$ हमेशा 1 से बड़ा या बराबर होता है, और $\cos^2 x$ हमेशा 1 से छोटा या बराबर होता है। $\cos^2 x + \sec^2 x$ के योग के लिए 1 बराबर नहीं हो सकता क्योंकि $\sec^2 x$ अकेले भी 1 से अधिक होता है।

• (स) $2<f(x)<1$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह तार्किक रूप से असंगत है। एक मान एक ही समय दोनों 2 से बड़ा और 1 से कम नहीं हो सकता। इसके अतिरिक्त, समाधान में दिखाया गया है कि $f(x) \geq 2$।

समाधान

(द) दिया गया है,

$\text { अब, } \tan (\theta+\varphi)=\dfrac{\tan \theta+\tan \varphi}{1-\tan \theta \cdot \tan \varphi} $

$\Rightarrow\quad \tan (\theta+\varphi)=\dfrac{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{3}} $

$\Rightarrow\quad \tan (\theta+\varphi)=\dfrac{\dfrac{3+2}{\dfrac{6}{6}}}{\dfrac{6-1}{6}}=\dfrac{5}{5}=1 $

$\Rightarrow\quad \tan (\theta+\varphi)=\tan \dfrac{\pi}{4} $

$\therefore \ \ \theta+\varphi=\dfrac{\pi}{4}$

• विकल्प (ए) $\dfrac{\pi}{6}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $\theta + \varphi = \dfrac{\pi}{6}$, तो $\tan(\theta + \varphi) = \tan \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. हालांकि, $\tan \theta = \dfrac{1}{2}$ और $\tan \varphi = \dfrac{1}{3}$ के दिए गए मानों से हमने $\tan(\theta + \varphi) = 1$ की गणना की, जो $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ के बराबर नहीं है।

• विकल्प (ब) $\pi$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $\theta + \varphi = \pi$, तो $\tan(\theta + \varphi) = \tan \pi = 0$. हालांकि, $\tan \theta = \dfrac{1}{2}$ और $\tan \varphi = \dfrac{1}{3}$ के दिए गए मानों से हमने $\tan(\theta + \varphi) = 1$ की गणना की, जो 0 के बराबर नहीं है।

• विकल्प (स) 0: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $\theta + \varphi = 0$, तो $\tan(\theta + \varphi) = \tan 0 = 0$. हालांकि, $\tan \theta = \dfrac{1}{2}$ और $\tan \varphi = \dfrac{1}{3}$ के दिए गए मानों से हमने $\tan(\theta + \varphi) = 1$ की गणना की, जो 0 के बराबर नहीं है।

हल

(c) हम जानते हैं कि, $\sec \theta$ की श्रेणी $R-(-1,1)$ होती है।

अतः, $\sec \theta$ के बराबर $\dfrac{1}{2}$ नहीं हो सकता।

• (a) $\sin \theta=-\dfrac{1}{5}$: यह गलत है क्योंकि $\sin \theta$ की श्रेणी $\bigg[-1, 1\bigg]$ होती है, और $-\dfrac{1}{5}$ इस श्रेणी में आता है। अतः, यह विकल्प वास्तव में सही है।

• (b) $\cos \theta=1$: यह गलत है क्योंकि $\cos \theta$ की श्रेणी $\bigg[-1, 1\bigg]$ होती है, और $1$ इस श्रेणी में आता है। अतः, यह विकल्प वास्तव में सही है।

• (d) $\tan \theta=20$: यह गलत है क्योंकि $\tan \theta$ की श्रेणी सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं, इसलिए $20$ $\tan \theta$ के लिए एक मान्य मान है। अतः, यह विकल्प वास्तव में सही है।

हल

(b) दिया गया व्यंजक, $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$

$ \begin{aligned} & =\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \ldots \tan 45^{\circ} \cdot \tan (90^{\circ}-44^{\circ}) \tan (90^{\circ}-43^{\circ}) \ldots \tan (90^{\circ}-1^{\circ}) \\ \\ & =\tan 1^{\circ} \cdot \cot 1^{\circ} \cdot \tan 2^{\circ} \cdot \cot 2^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ} \cdot \cot 89^{\circ} \\ \\ & =1 \cdot 1 \ldots 1 \cdot 1=1 \end{aligned} $

• विकल्प (a) 0: $\left(1^\circ\right)$ से $\left(89^\circ\right)$ तक के टैंजेंट मानों के गुणनफल शून्य नहीं हो सकता क्योंकि इस श्रेणी में कोई भी टैंजेंट मान शून्य नहीं होता। टैंजेंट फलन केवल $\left(180^\circ\right)$ के पूर्ण गुणजों पर शून्य होता है, जो दी गई श्रेणी में शामिल नहीं हैं।

• विकल्प (c) $\left(\dfrac{1}{2}\right)$: $\left(1^\circ\right)$ से $\left(89^\circ\right)$ तक के टैंजेंट मानों के गुणनफल $\left(\dfrac{1}{2}\right)$ के बराबर नहीं हो सकता। विलोपन के अनुसार, जैसा कि हल में दिखाया गया है, इसका सही सरलीकरण 1 होता है क्योंकि $\left(\tan x\right)$ और $\left(\cot x\right)$ के युग्म एक दूसरे के साथ 1 का गुणनफल देते हैं।

• विकल्प (d) अनिर्धारित: $\left(1^\circ\right)$ से $\left(89^\circ\right)$ तक के स्पर्शज्या मानों के गुणनफल का मान निर्धारित है। इस परिसर में प्रत्येक स्पर्शज्या मान सीमित और शून्य नहीं है, और उनका गुणनफल ठीक परिभाषित है और 1 के बराबर है।

हल

(c) दिया गया व्यंजक, $\dfrac{1-\tan ^{2} 15^{\circ}}{1+\tan ^{2} 15^{\circ}}$

$\text { मान लीजिए } \theta=15^{\circ} $

$ \text { हम जानते हैं कि, } \cos 2 \theta=\dfrac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta} $

$ \therefore \quad \cos 30^{\circ}=\dfrac{1-\tan ^{2} 15^{\circ}}{1+\tan ^{2} 15^{\circ}} $

$ \Rightarrow \quad \dfrac{1-\tan ^{2} 15^{\circ}}{1+\tan ^{2} 15^{\circ}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \bigg[\because \cos 30^{\circ}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\bigg]$

• विकल्प (a) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\left(\dfrac{1-\tan^2 15^\circ}{1+\tan^2 15^\circ}\right)$ का मान 1 के बराबर नहीं है। व्यंजक $\left(\cos 30^\circ\right)$ के बराबर होता है, जो $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ होता है, न कि 1।

• विकल्प (b) $\left(\sqrt{3}\right)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\left(\cos 30^\circ\right)$ $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ होता है, न कि $\left(\sqrt{3}\right)$. दिया गया व्यंजक $\left(\dfrac{1-\tan^2 15^\circ}{1+\tan^2 15^\circ}\right)$ $\left(\cos 30^\circ\right)$ के बराबर होता है, जो $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ होता है।

• विकल्प (d) 2: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\left(\cos 30^\circ\right)$ का मान $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ होता है, न कि 2। व्यंजक $\left(\dfrac{1-\tan^2 15^\circ}{1+\tan^2 15^\circ}\right)$ $\left(\cos 30^\circ\right)$ के बराबर होता है, जो $\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)$ होता है।

हल

(b)

दिया गया व्यंजक, $\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ} \cos 3^{\circ} \ldots \cos 179^{\circ}$

$ \begin{aligned} & =\cos 1^{\circ} \cos 2^{\circ} \ldots \cos 90^{\circ} \ldots \cos 179^{\circ} \quad\bigg[\because \cos 90^{\circ}=0\bigg] \\ \\ & =0 \end{aligned} $

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$ गलत है क्योंकि $1^\circ$ से $179^\circ$ तक के कोसाइन के गुणनफल में $\cos 90^\circ$ शामिल है, जो 0 होता है। अतः, पूरा गुणनफल 0 होता है, न कि $\dfrac{1}{\sqrt{2}}$।

• विकल्प (c) 1 गलत है क्योंकि, जैसा कि उल्लेख किया गया है, गुणनफल में $\cos 90^\circ$ शामिल है, जो 0 होता है। अतः, गुणनफल 1 नहीं हो सकता।

• विकल्प (d) -1 गलत है क्योंकि गुणनफल में $\cos 90^\circ$ शामिल है, जो 0 होता है। अतः, गुणनफल -1 नहीं हो सकता।

हल

(c)

$ \text {दिया गया है,} \tan \theta=3 $

$ \Rightarrow \quad \sec ^{2} \theta=1+\tan ^{2} \theta $

$\Rightarrow \quad \sec \theta=\sqrt{1+9}= \pm \sqrt{10}$

$\Rightarrow \quad \sec \theta=-\sqrt{10}$

$\Rightarrow \quad \cos \theta=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$

$\Rightarrow \quad \sin \theta= \pm \sqrt{1-\dfrac{1}{10}}= \pm \sqrt{\dfrac{9}{10}}= \pm \dfrac{3}{\sqrt{10}}$ $\qquad\bigg[$ क्योंकि, $\theta$ तीसरे चतुर्थांश में है $\bigg]$

$\therefore \quad \sin \theta=-\dfrac{3}{\sqrt{10}}$

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में दोनों साइन और कोसाइन फलन नकारात्मक होते हैं। चूंकि $\sin \theta$ तीसरे चतुर्थांश में नकारात्मक होता है, $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$ $\sin \theta$ के लिए एक वैध मान नहीं है।

• विकल्प (b) $-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसके बीच $\sin \theta$ और $\tan \theta$ के संबंध को संतुष्ट नहीं करता। दिया गया $\tan \theta = 3$, हमें $\sin \theta = -\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ होता है और नहीं $-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$।

• विकल्प (d) $\dfrac{3}{\sqrt{10}}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि तीसरे चतुर्थांश में साइन फलन नकारात्मक होता है। इसलिए, $\sin \theta$ धनात्मक नहीं हो सकता, और $\dfrac{3}{\sqrt{10}}$ $\sin \theta$ के लिए एक वैध मान नहीं है।

हल

(a) दिया गया व्यंजक,

$ \begin{aligned} \tan 75^{\circ}-\cot 75^{\circ} & =\dfrac{\sin 75^{\circ}}{\cos 75^{\circ}}-\dfrac{\cos 75^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} \\ \\ & =\dfrac{\sin ^{2} 75^{\circ}-\cos ^{2} 75^{\circ}}{\sin 75^{\circ} \cdot \cos 75^{\circ}} \\ \\ & =\dfrac{-2 \cos 150^{\circ}}{\sin 150^{\circ}} \\ \\ & =\dfrac{-2 \cos (90^{\circ}+60^{\circ})}{\sin (90^{\circ}+60^{\circ})} \\ \\ & =\dfrac{+2 \sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} \\ \\ & =\dfrac{2 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2}}{\dfrac{1}{2}}=2 \sqrt{3} \end{aligned} $

• विकल्प (b) $2+\sqrt{3}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\tan 75^{\circ} - \cot 75^{\circ}$ के सही सरलीकरण के परिणाम $2\sqrt{3}$ होता है, न कि $\sqrt{3}$ के योग में व्यक्त किया गया है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण एक ऐसे व्यंजक के रूप में $2 + \sqrt{3}$ नहीं देते हैं।

• विकल्प (c) $2-\sqrt{3}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\tan 75^{\circ} - \cot 75^{\circ}$ के सही सरलीकरण के परिणाम $2\sqrt{3}$ होता है, न कि $\sqrt{3}$ के अंतर में व्यक्त किया गया है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण एक ऐसे व्यंजक के रूप में $2 - \sqrt{3}$ नहीं देते हैं।

• विकल्प (d) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\tan 75^{\circ} - \cot 75^{\circ}$ के सही सरलीकरण के परिणाम $2\sqrt{3}$ होता है, न कि एक सरल पूर्णांक जैसे 1। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ और सरलीकरण एक मान 1 के रूप में नहीं देते हैं।

हल

(b)

हम जानते हैं कि, यदि $\theta$ बढ़ रहा है, तो $\sin \theta$ भी बढ़ रहा है।

$\therefore \quad \sin 1^{\circ}<\sin 1 \qquad \bigg[\because 1 rad = 57.3^{\circ}\bigg]$

• विकल्प (a): $\sin 1^{\circ}>\sin 1$ गलत है क्योंकि, $0$ डिग्री से $90$ डिग्री के कोण के बीच, साइन फ़ंक्शन बढ़ता है। क्योंकि $1$ डिग्री $1$ रेडियन (लगभग $57.3$ डिग्री) से काफी छोटा है, इसलिए $\sin 1^{\circ}$ $\sin 1$ से कम होगा।

• विकल्प (c): $\sin 1^{\circ}=\sin 1$ गलत है क्योंकि $1$ डिग्री और $1$ रेडियन एक ही माप नहीं है। $1$ रेडियन लगभग $57.3$ डिग्री होता है, इसलिए $\sin 1^{\circ}$ और $\sin 1$ बराबर नहीं हो सकते।

• विकल्प (d): $\sin 1^{\circ}=\dfrac{\pi}{18^{\circ}} \sin 1$ गलत है क्योंकि $\dfrac{\pi}{18^{\circ}}$ के आयामी तौर पर अर्थ नहीं रखता। साइन फ़ंक्शन में कोण के रूप में इनपुट लिया जाता है, और $\dfrac{\pi}{18^{\circ}}$ एक वैध कोण माप नहीं है। इसके अलावा, इस प्रकार के $\sin 1^{\circ}$ और $\sin 1$ के बीच कोई ज्ञात त्रिकोणमितीय पहचान नहीं है।

हल

(d)

दिया गया है कि, $\tan \alpha=\dfrac{m}{m+1}$ और $\tan \beta=\dfrac{1}{2 m+1}$

अब, $\qquad \tan(\alpha + \beta) = \dfrac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \cdot \tan \beta}$

$\Rightarrow \quad \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\dfrac{m}{m+1}+\dfrac{1}{2 m+1}}{1-\dfrac{m}{m+1} \dfrac{1}{2 m+1}} $

$\Rightarrow \quad \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{m(2 m+1)+m+1}{(m+1)(2 m+1)-m} $

$\Rightarrow \quad \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{2 m^{2}+m+m+1}{2 m^{2}+2 m+m+1-m} $

$\Rightarrow \quad \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{2 m^{2}+2 m+1}{2 m^{2}+2 m+1}$

$ \Rightarrow \quad \tan (\alpha+\beta)=1 $

$\therefore \quad \alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$

• विकल्प (a) $\dfrac{\pi}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{2}$, तो $\tan(\alpha + \beta)$ अनिर्धारित हो जाएगा (क्योंकि $\tan(\dfrac{\pi}{2})$ अनिर्धारित होता है)। हालांकि, दिए गए हल में $\tan(\alpha + \beta) = 1$ है, जो एक निर्धारित मान है।

• विकल्प (b) $\dfrac{\pi}{3}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{3}$, तो $\tan(\alpha + \beta) = \sqrt{3}$. हालांकि, दिए गए समाधान में $\tan(\alpha + \beta) = 1$, जो $\sqrt{3}$ के बराबर नहीं है।

• विकल्प (c) $\dfrac{\pi}{6}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{6}$, तो $\tan(\alpha + \beta) = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$. हालांकि, दिए गए समाधान में $\tan(\alpha + \beta) = 1$, जो $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ के बराबर नहीं है।

सोचने की प्रक्रिया

अभिव्यक्ति $A \cos \theta+B \sin \theta$ के लिए, न्यूनतम मान $-\sqrt{A^{2}+B^{2}}$ होता है।

समाधान

(d) दिया गया अभिव्यक्ति, $3 \cos x+4 \sin x+8$

$\text { माने, } \quad y =3 \cos x+4 \sin x+8 $

$\Rightarrow \quad y-8 =3 \cos x+4 \sin x $

$\therefore \quad \text { } y-8 =-\sqrt{9+16} $

$\Rightarrow \quad y-8 =-5 \Rightarrow y=-5+8 $

$\therefore \quad y =3$

अतः, $3 \cos x+4 \sin x+8$ का न्यूनतम मान 3 है।

• विकल्प (a) 5: यह गलत है क्योंकि अभिव्यक्ति $3 \cos x + 4 \sin x + 8$ का न्यूनतम मान 3 है, न कि 5। गणना दिखाती है कि $3 \cos x + 4 \sin x$ का न्यूनतम मान $-5$ है, और इसमें 8 जोड़ने पर 3 प्राप्त होता है।

• विकल्प (b) 9: यह गलत है क्योंकि अभिव्यक्ति $3 \cos x + 4 \sin x + 8$ का न्यूनतम मान 3 है, न कि 9। गणना दिखाती है कि $3 \cos x + 4 \sin x$ का न्यूनतम मान $-5$ है, और इसमें 8 जोड़ने पर 3 प्राप्त होता है।

• विकल्प (c) 7: यह गलत है क्योंकि अभिव्यक्ति $3 \cos x + 4 \sin x + 8$ का न्यूनतम मान 3 है, न कि 7। गणना दिखाती है कि $3 \cos x + 4 \sin x$ का न्यूनतम मान $-5$ है, और इसमें 8 जोड़ने पर 3 प्राप्त होता है।

हल

(a)

$\text {मान लीजिए,} $ $ 3 A =A+2 A $

$\tan 3 A =\tan (A+2 A)$

$ \Rightarrow \quad \tan 3 A=\dfrac{\tan A+\tan 2 A}{1-\tan A \cdot \tan 2 A} $

$\Rightarrow \quad \tan A+\tan 2 A=\tan 3 A-\tan 3 A \cdot \tan 2 A \cdot \tan A$

$\Rightarrow \quad \tan 3 A-\tan 2 A-\tan A=\tan 3 A \cdot \tan 2 A \cdot \tan A$

• विकल्प (b): व्यंजक $-\tan 3 A \tan 2 A \tan A$ गलत है क्योंकि दिए गए त्रिकोणमितीय सर्वसमिका से निर्वचित सही व्यंजक $\tan 3 A \cdot \tan 2 A \cdot \tan A$ है जिसमें ऋणात्मक चिह्न नहीं होता। ऋणात्मक चिह्न मान को बदल देता है और निर्वचित परिणाम के साथ मेल नहीं खाता।

• विकल्प (c): व्यंजक $\tan A \tan 2 A-\tan 2 A \tan 3 A-\tan 3 A \tan A$ गलत है क्योंकि यह दिए गए व्यंजक $\tan 3 A - \tan 2 A - \tan A$ के बराबर नहीं होता। सही निर्वचित व्यंजक तीन टैंजेंट चर के गुणनफल के रूप में होता है, न कि गुणन और अंतर के संयोजन के रूप में।

• विकल्प (d): यह विकल्प गलत है क्योंकि विकल्प (a) निर्वचित उत्तर है, जैसा कि निर्वचित रूप से दिखाया गया है। अतः “उपरोक्त में से कोई नहीं” लागू नहीं होता।

सोचने की प्रक्रिया

सूत्र का उपयोग करें अर्थात, $\sin (A+B)=\sin A \cos B+\cos A \sin B$ और $\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B$।

हल

(d) दिया गया व्यंजक,

$ \begin{aligned} \sin (45^{\circ}+\theta) & -\cos (45^{\circ}-\theta) \\ \\ & =\sin 45^{\circ} \cdot \cos \theta+\cos 45^{\circ} \cdot \sin \theta-\cos 45^{\circ} \cdot \cos \theta-\sin 45^{\circ} \cdot \sin \theta \\ \\ & =\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos \left(\theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \sin \left(\theta-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \cdot \cos \left(\theta-\dfrac{1}{\sqrt{2}}\right) \sin \theta \\ \\ & =0 \end{aligned} $

• विकल्प (a) $2 \cos \theta$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिए गए व्यंजक शून्य के बराबर होता है, न कि $2 \cos \theta$। $\cos \theta$ और $\sin \theta$ के शब्द एक दूसरे को बर्बाद कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप शून्य होता है।

• विकल्प (b) $2 \sin \theta$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दी गई अभिव्यक्ति शून्य के बराबर होती है, न कि $2 \sin \theta$। $\cos \theta$ और $\sin \theta$ के पद एक दूसरे को बर्बाद कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप शून्य होता है।

• विकल्प (c) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि दी गई अभिव्यक्ति शून्य के बराबर होती है, न कि 1। $\cos \theta$ और $\sin \theta$ के पद एक दूसरे को बर्बाद कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप शून्य होता है।

चिंतन प्रक्रिया

$ \text { सूत्र का उपयोग करें अर्थात, } \left(\cot (A+B)=\dfrac{\cot A \cot B-1}{\cot A+\cot B}\right) \text { और } \cot (A-B)=\left(\dfrac{\cot A \cot B+1}{\cot A-\cot B}\right) $

हल (c)

$\text { दी गई अभिव्यक्ति,} $

$ \begin{aligned} \cot \left(\dfrac{\pi}{4}+\theta\right)\times\cot \left(\dfrac{\pi}{4}-\theta\right) & =\left(\dfrac{\cot \dfrac{\pi}{4} \cot \theta-1}{\cot \dfrac{\pi}{4}+\cot \theta}\right) \times \left(\dfrac{\cot \dfrac{\pi}{4} \cot \theta+1}{\cot \theta-\cot \dfrac{\pi}{4}}\right) \\ \\ & =\left(\dfrac{\cot \theta-1}{\cot \theta+1}\right) \times \left(\dfrac{\cot \theta+1}{\cot \theta-1}\right) \\ \\ & =1 \end{aligned} $

• विकल्प (a) -1: यह विकल्प गलत है क्योंकि दी गई अभिव्यक्ति में कोटैंजेंट फलनों के गुणनफल एक के बराबर होते हैं, न कि -1। इस संदर्भ में कोटैंजेंट फलन ऋणात्मक चिह्न नहीं लाता है।

• विकल्प (b) 0: यह विकल्प गलत है क्योंकि दी गई अभिव्यक्ति में कोटैंजेंट फलनों के गुणनफल शून्य के बराबर नहीं होते हैं। इस संदर्भ में कोटैंजेंट के मान और उनके गुणनफल शून्य के बराबर नहीं होते हैं।

• विकल्प (d) अपरिभाषित: यह विकल्प गलत है क्योंकि अभिव्यक्ति उन सभी $\left(\theta\right)$ के मानों के लिए परिभाषित होती है जहां कोटैंजेंट फलन परिभाषित होते हैं। दिए गए संदर्भ में कोई ऐसा $\left(\theta\right)$ का मान नहीं है जो अभिव्यक्ति को अपरिभाषित बनाए।

हल

(b)

दिया गया व्यंजक, $ \ \cos 2 \theta \cos 2 \varphi+\sin ^{2}(\theta-\varphi)-\sin ^{2}(\theta+\varphi)$

$ \begin{aligned} & =\cos 2 \theta \cdot \cos 2 \varphi+\sin (\theta-\varphi+\theta+\varphi) \cdot \sin (\theta-\varphi-\theta-\varphi) \\ \\ & =\cos 2 \theta \cdot \cos 2 \varphi-\sin 2 \theta \cdot \sin 2 \varphi \\ \\ & =\cos (2 \theta+2 \varphi)=\cos 2(\theta+\varphi) \end{aligned} $

• विकल्प (a) $\sin 2(\theta+\varphi)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिया गया व्यंजक एक कोसाइन फलन के रूप में सरलीकृत होता है, न कि एक साइन फलन। सरलीकरण प्रक्रिया में उपयोग किए गए त्रिकोणमितीय पहचानें एक कोसाइन शब्द के रूप में जाती हैं, विशेष रूप से $\cos 2(\theta+\varphi)$, न कि एक साइन शब्द।

• विकल्प (c) $\sin 2(\theta-\varphi)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिया गया व्यंजक कोण $\theta$ और $\varphi$ के अंतर के साइन के साथ संबंधित नहीं है। सरलीकरण प्रक्रिया दिखाती है कि व्यंजक कोणों के योग के संबंध में है, न कि उनके अंतर के संबंध में।

• विकल्प (d) $\cos 2(\theta-\varphi)$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिया गया व्यंजक $\cos 2(\theta+\varphi)$ के रूप में सरलीकृत होता है, न कि $\cos 2(\theta-\varphi)$। समाधान में उपयोग किए गए त्रिकोणमितीय पहचानें स्पष्ट रूप से दिखाती हैं कि कोणों के योग के संबंध में है, न कि उनके अंतर के संबंध में।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या को हल करने के लिए सूत्र $\cos A+\cos B=2 \cos \left(\dfrac{A+B}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{A-B}{2}\right)$ और

$\cos A-\cos B=-2 \sin \left(\dfrac{A+B}{2}\right) \cdot \sin \left(\dfrac{A-B}{2}\right)$ का उपयोग करें।

हल

दिया गया व्यंजक, $\cos 12^{\circ}+\cos 84^{\circ}+\cos 150^{\circ}+\cos 132^{\circ}$

$=\cos 12^{\circ}+\cos 150^{\circ}+\cos 84^{\circ}+\cos 132^{\circ}$

$=2 \cos \left(\dfrac{12^{\circ}+150^{\circ}}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{12^{\circ}-150^{\circ}}{2}\right)+2 \cos \left(\dfrac{84^{\circ}+132^{\circ}}{2}\right) \cdot \cos \left(\dfrac{84^{\circ}-132^{\circ}}{2}\right)$

$=2 \cos 84^{\circ} \cos 72^{\circ}+2 \cos 108^{\circ} \cdot \cos 24^{\circ}$

$=2 \cos 84^{\circ} \cos (90^{\circ}-18^{\circ})+2 \cos (90^{\circ}+18^{\circ}) \cdot \cos 24^{\circ}$

$=2 \cos 84^{\circ} \sin 18^{\circ}-2 \sin 18^{\circ} \cdot \cos 24^{\circ}$

$=2 \sin 18^{\circ}(\cos 84^{\circ}-\cos 24^{\circ})$

$=2 \sin 18^{\circ} \cdot 2 \sin (\dfrac{84^{\circ}+24^{\circ}}{2} )\cdot \sin (\dfrac{84^{\circ}-24^{\circ}}{2})$

$=-4 \sin 18^{\circ} \cdot \sin 54^{\circ} \sin 30^{\circ}$

$=-4 \left(\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\right) \cdot \cos 36^{\circ} \cdot \dfrac{1}{2}$

$=-(\sqrt{5}-1) \left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \cdot \dfrac{1}{2}=-\left(\dfrac{5-1}{8}\right)=\dfrac{-4}{8}=\dfrac{-1}{2}$

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिए गए कोसाइन मानों के योग को धनात्मक भिन्न के रूप में सरलीकृत नहीं किया जा सकता। हल के लिए उपयोग किए गए त्रिकोणमितीय संकल्पनाओं और पहचानों से स्पष्ट है कि परिणाम नकारात्मक है, विशेष रूप से $-\dfrac{1}{2}$।

• विकल्प (b) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिए गए कोसाइन मानों के योग 1 नहीं होता। हल के लिए उपयोग किए गए त्रिकोणमितीय पहचानों और गणनाओं से स्पष्ट है कि योग धनात्मक नहीं है, बल्कि नकारात्मक है और निश्चित रूप से 1 नहीं है।

• विकल्प (d) $\dfrac{1}{8}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिए गए कोसाइन मानों के योग को छोटे धनात्मक भिन्न के रूप में जैसे $\dfrac{1}{8}$ सरलीकृत नहीं किया जा सकता। विस्तारपूर्वक हल दिखाता है कि योग $-\dfrac{1}{2}$ है, जो एक नकारात्मक मान है और छोटा धनात्मक भिन्न नहीं है।

हल

(c) दिया गया है, $\tan A=\dfrac{1}{2}$ और $\tan B=\dfrac{1}{3}$

अब, $\quad \tan (2 A+B)=\dfrac{\tan 2 A+\tan B}{1-\tan 2 A \cdot \tan B}$

इसके अतिरिक्त, $\quad \tan 2 A=\dfrac{2 \tan A}{1-\tan ^{2} A}=\dfrac{2 \cdot \dfrac{1}{2}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{4}{3}$

समीकरण $\mathrm{(i),}$ से, $\quad \tan (2 A+B)=\dfrac{\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}}{\left(1-\dfrac{4}{3}\right) \cdot \left(\dfrac{1}{3}\right)}=\dfrac{\dfrac{4}{3}+\dfrac{1}{3}}{\dfrac{9-4}{9}}=\dfrac{\dfrac{5}{3}}{\dfrac{5}{9}}=3$

• विकल्प (a) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\left(\tan(2A + B)\right)$ का गणना किया गया मान 3 है, न कि 1। हल में उपयोग किए गए गणितीय संचालन और त्रिकोणमितीय पहचानें 1 नहीं देती हैं।

• विकल्प (b) 2: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\left(\tan(2A + B)\right)$ का गणना किया गया मान 3 है, न कि 2। $\left(\tan 2A\right)$ के संबंधित मध्य चरण और $\left(\tan(2A + B)\right)$ के अंतिम सूत्र के अनुसार यह 2 नहीं आता है।

• विकल्प (d) 4: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\left(\tan(2A + B)\right)$ का गणना किया गया मान 3 है, न कि 4। सही त्रिकोणमितीय पहचानों और सरलीकरण के चरणों के अनुसार यह 4 नहीं आता है।

हल

(c) दिया गया व्यंजक,

$ \begin{aligned} \sin \left(\dfrac{\pi}{10}\right) \sin \left(\dfrac{13 \pi}{10}\right) & =\sin \left(\dfrac{\pi}{10}\right) \sin \pi+\left(\dfrac{3 \pi}{10}\right) \\ \\ & =-\sin \left(\dfrac{\pi}{10}\right) \sin \left(\dfrac{3 \pi}{10}\right)=-\sin 18^{\circ} \cdot \sin 54^{\circ} \\ \\ & =-\sin 18^{\circ} \cdot \cos 36^{\circ} \\ \\ & =\left(-\dfrac{\sqrt{5}-1}{4}\right)\cdot\left(\dfrac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \quad \bigg[\text{क्योंकि, यहाँ इस मान को रखें}\bigg] \\ \\ & =-\dfrac{5-1}{16}=-\dfrac{1}{4} `

\end{aligned} $

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\sin \dfrac{\pi}{10}$ और $\sin \dfrac{13\pi}{10}$ के गुणनफल को $\dfrac{1}{2}$ तक सरलीकृत नहीं किया जा सकता। शामिल त्रिकोणमितीय पहचान और मान इस परिणाम को नहीं देते।

• विकल्प (b) $-\dfrac{1}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\sin \dfrac{\pi}{10}$ और $\sin \dfrac{13\pi}{10}$ के गुणनफल को $-\dfrac{1}{2}$ तक सरलीकृत नहीं किया जा सकता। त्रिकोणमितीय पहचान का सही सरलीकरण अलग एक मान देता है।

• विकल्प (d) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\sin \dfrac{\pi}{10}$ और $\sin \dfrac{13\pi}{10}$ के गुणनफल को 1 तक सरलीकृत नहीं किया जा सकता। शामिल त्रिकोणमितीय पहचान और मान इस परिणाम को नहीं देते।

चिंतन प्रक्रिया

यहाँ, सूत्र का उपयोग करें अर्थात,

$\sin A-\sin B=2 \cos \left(\dfrac{A+B}{2}\right) \cdot \ \sin \left(\dfrac{A-B}{2}\right) \ $ भी $ \ \sin (-\theta)=-\sin \theta$

हल

(b) दिया गया व्यंजक,

$ \begin{aligned} \sin 50^{\circ}-\sin 70^{\circ}+\sin 10^{\circ} & =2 \cos \left(\dfrac{50^{\circ}+70^{\circ}}{2}\right) \cdot \ \sin \left(\dfrac{50^{\circ}-70^{\circ}}{2}\right)+\sin 10^{\circ} \\ \\ & =-2 \cos 60^{\circ} \sin 10^{\circ}+\sin 10^{\circ} \\ \\ & =-2 \cdot \dfrac{1}{2} \sin 10^{\circ}+\sin 10^{\circ}=0 \end{aligned} $

• विकल्प (a) 1: दिया गया व्यंजक $\sin 50^{\circ} - \sin 70^{\circ} + \sin 10^{\circ}$ 0 के बजाए 1 के बराबर नहीं होता। हल में उपयोग की गई त्रिकोणमितीय पहचान और सरलीकरण दिखाते हैं कि पद एक दूसरे को बर्बाद कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 0 होता है।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{2}$: दिया गया व्यंजक के सरलीकरण के परिणाम $\dfrac{1}{2}$ नहीं होता। त्रिकोणमितीय पहचान का सही सरलीकरण 0 के बजाए $\dfrac{1}{2}$ नहीं देता।

• विकल्प (d) 2: दिया गया व्यंजक $\sin 50^{\circ} - \sin 70^{\circ} + \sin 10^{\circ}$ 2 के बराबर नहीं होता। त्रिकोणमितीय पहचान और गणना दिखाते हैं कि पद एक दूसरे को बर्बाद कर देते हैं, जिसके परिणामस्वरूप 0 होता है, न कि 2।

हल

(c) दिया गया है, $\sin \theta+\cos \theta=1$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\qquad \sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta+2 \sin \theta \cdot \cos \theta =1 $

$\Rightarrow \quad 1+\sin 2 \theta =1 $

$\therefore \qquad \sin 2 \theta =0 $

• विकल्प (a) 1: यदि $\left(\sin 2\theta = 1\right)$, तो $\left(\sin \theta\right)$ और $\left(\cos \theta\right)$ के मान इस शर्त को संतुष्ट करेंगे $\left(\sin 2\theta = 2\sin \theta \cos \theta = 1\right)$. हालांकि, दिया गया है $\left(\sin \theta + \cos \theta = 1\right)$, इस शर्त को संतुष्ट नहीं किया जा सकता क्योंकि $\left(\sin \theta\right)$ और $\left(\cos \theta\right)$ का अधिकतम मान $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$ है, जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता।

• विकल्प (b) $\left(\dfrac{1}{2}\right)$: यदि $\left(\sin 2\theta = \dfrac{1}{2}\right)$, तो $\left(2\sin \theta \cos \theta = \dfrac{1}{2}\right)$. इसका अर्थ है $\left(\sin \theta \cos \theta = \dfrac{1}{4}\right)$. हालांकि, दिया गया है $\left(\sin \theta + \cos \theta = 1\right)$, इस शर्त को संतुष्ट नहीं किया जा सकता क्योंकि इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले $\left(\sin \theta\right)$ और $\left(\cos \theta\right)$ के मान $\left(\sin \theta \cos \theta = \dfrac{1}{4}\right)$ नहीं देते।

• विकल्प (d) -1: यदि $\left(\sin 2\theta = -1\right)$, तो $\left(2\sin \theta \cos \theta = -1\right)$. इसका अर्थ है $\left(\sin \theta \cos \theta = -\dfrac{1}{2}\right)$. हालांकि, दिया गया है $\left(\sin \theta + \cos \theta = 1\right)$, इस शर्त को संतुष्ट नहीं किया जा सकता क्योंकि इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले $\left(\sin \theta\right)$ और $\left(\cos \theta\right)$ के मान $\left(\sin \theta \cos \theta = -\dfrac{1}{2}\right)$ नहीं देते।

सोचने की प्रक्रिया

सूत्र i.e., $\tan (A+B)=\dfrac{\tan A+\tan B}{1-\tan A \cdot \tan B}$ का उपयोग करके इस समस्या को हल करें।

हल

(b) दिया गया है कि, $\alpha+\beta=\dfrac{\pi}{4}$

अब,

$(1+\tan \alpha)(1+\tan \beta)=1+\tan \alpha+\tan \beta+\tan \alpha \tan \beta \qquad\ldots\mathrm{(i)}$

हम जानते हैं कि,

$\quad \tan (\alpha+\beta)=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta}$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad 1=\dfrac{\tan \alpha+\tan \beta}{1-\tan \alpha \cdot \tan \beta} \qquad\ldots\mathrm{(i)}\\ \\ & \Rightarrow \quad \tan \alpha+\tan \beta=1-\tan \alpha \tan \beta \end{aligned} $

समीकरण $\mathrm{(i)}$ से,

$ \begin{aligned} (1+\tan \alpha)(1+\tan \beta) & =1+1-\tan \alpha \cdot \tan \beta+\tan \alpha \cdot \tan \beta =2 \end{aligned} $

• विकल्प (a) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यंजक $\left((1 + \tan \alpha)(1 + \tan \beta)\right)$ 2 के बराबर होता है, न कि 1। गणना दर्शाती है कि व्यंजक के अंगों का योग 2 होता है।

• विकल्प (c) -2: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यंजक $\left((1 + \tan \alpha)(1 + \tan \beta)\right)$ एक नकारात्मक मान नहीं देता। शामिल अंग धनात्मक होते हैं और उनका योग 2 होता है।

• विकल्प (d) अपरिभाषित: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यंजक $\left((1 + \tan \alpha)(1 + \tan \beta)\right)$ दिए गए स्थिति $\left(\alpha + \beta = \dfrac{\pi}{4}\right)$ के लिए परिभाषित होता है। हल के लिए उपयोग किए गए त्रिकोणमितीय पहचानें वैध हैं और एक परिभाषित संख्यात्मक परिणाम देते हैं।

सोचने की प्रक्रिया

$\cos \theta=\sqrt{1-\sin ^{2} \theta}$ और $\cos \theta=2 \cos ^{2} \dfrac{\theta}{2}-1$ का उपयोग करें।

हल

(c) दिया गया है कि, $\quad \sin \theta=\dfrac{-4}{5}$

$ \begin{aligned}

\cos \theta & =\sqrt{1-\dfrac{16}{25}}=\sqrt{\dfrac{25-16}{25}}= \pm \dfrac{3}{5} \\ \\ \cos \theta & =\dfrac{-3}{5} \quad \bigg[\text {क्योंकि, } \theta \text { तृतीय चतुर्थांश में स्थित है}\bigg] \\ \\ \Rightarrow \quad 2 \cos ^{2} \dfrac{\theta}{2}-1 & =\dfrac{-3}{5} \\ \\ \Rightarrow \quad 2 \cos ^{2} \dfrac{\theta}{2} & =1-\dfrac{3}{5} \\ \\ \Rightarrow \quad 2 \cos ^{2} \dfrac{\theta}{2} & =\dfrac{2}{5} \\ \\ \therefore \quad \cos {\dfrac{\theta}{2}} & = \pm \dfrac{1}{\sqrt{5}} \\ \\ \Rightarrow \quad \cos \dfrac{\theta}{2} & =-\dfrac{1}{\sqrt{5}} \quad \bigg[ \text { क्योंकि, } \theta \text { तृतीय चतुर्थांश में स्थित है }\bigg] \end{aligned} $

• विकल्प (a) $\dfrac{1}{5}$: यह मान गलत है क्योंकि यह दी गई त्रिकोणमितीय पहचान से निर्वचित समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है। विशेष रूप से, $\cos \dfrac{\theta}{2}$ समीकरण $2 \cos^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{2}{5}$ को संतुष्ट करना चाहिए, जो सरलीकृत करने पर $\cos^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1}{5}$ बनता है। अतः, $\cos \dfrac{\theta}{2}$ के लिए $\pm \dfrac{1}{\sqrt{5}}$ होना चाहिए, न कि $\dfrac{1}{5}$।

• विकल्प (b) $-\dfrac{1}{\sqrt{10}}$: यह मान गलत है क्योंकि यह समीकरण $2 \cos^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{2}{5}$ को संतुष्ट नहीं करता है। यदि $\cos \dfrac{\theta}{2} = -\dfrac{1}{\sqrt{10}}$, तो $\cos^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1}{10}$, जो $\dfrac{1}{5}$ के साथ मेल नहीं खाता है।

• विकल्प (d) $\dfrac{1}{\sqrt{10}}$: यह मान विकल्प (b) के लिए दिए गए कारण के लिए गलत है। यदि $\cos \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$, तो $\cos^2 \dfrac{\theta}{2} = \dfrac{1}{10}$, जो $\dfrac{1}{5}$ के साथ मेल नहीं खाता है। इसके अतिरिक्त, क्योंकि $\theta$ तृतीय चतुर्थांश में स्थित है, $\cos \dfrac{\theta}{2}$ नकारात्मक होना चाहिए, न कि धनात्मक।

हल

(c) दिया गया समीकरण,

$\Rightarrow \quad \tan +\sec x=2 \cos x$

$\Rightarrow \quad \dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{1}{\cos x}=2 \cos x$

$ \Rightarrow \quad 1+\sin x=2 \cos ^{2} x$

$\qquad 1+\sin x=2(1-\sin ^{2} x)$

$\Rightarrow \quad 1+\sin x=2-2 \sin ^{2} x$

$\Rightarrow \quad 2 \sin ^{2} x+\sin x-1=0$

$\Rightarrow \quad 2 \sin ^{2} x+2 \sin x-\sin x-1=0$

$\Rightarrow \quad 2 \sin x(\sin x+1)-1(\sin x+1)=0$

$\Rightarrow \quad(\sin x+1)(2 \sin x-1)=0$

$\Rightarrow \quad \sin x+1=0$ या $(2 \sin x-1)=0$

$\Rightarrow \quad \sin x=-1, \sin x=\dfrac{1}{2}$

$\therefore \quad x=\dfrac{3 \pi}{2}, x=\dfrac{\pi}{6}$

इसलिए, केवल दो समाधान संभव हैं।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि समीकरण $\tan x + \sec x = 2 \cos x$ के अंतराल $\bigg[0, 2\pi\bigg]$ में वास्तविक समाधान हैं। विशेष रूप से, समाधान $x = \dfrac{3\pi}{2}$ और $x = \dfrac{\pi}{6}$ हैं।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि अंतराल $\bigg[0, 2\pi\bigg]$ में समीकरण के अधिक से अधिक एक समाधान है। सही समाधान की संख्या दो है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि अंतराल $\bigg[0, 2\pi\bigg]$ में समीकरण के तीन समाधान नहीं हैं। सही समाधान की संख्या दो है।

Thinking Process

यहाँ, सूत्रों का उपयोग करें अर्थात, $\sin A+\sin B=2 \sin \dfrac{A+B}{2} \cos \dfrac{A-B}{2}$।

Solution

(a) दिया गया व्यंजक, $\sin \dfrac{\pi}{18}+\sin \dfrac{\pi}{9}+\sin \dfrac{2 \pi}{9}+\sin \dfrac{5 \pi}{18}$

$ \begin{aligned} & =\sin 10^{\circ}+\sin 20^{\circ}+\sin 40^{\circ}+\sin 50^{\circ} \\ \\ & =\sin 50^{\circ}+\sin 10^{\circ}+\sin 40^{\circ}+\sin 20^{\circ} \\ \\ & =\sin 130^{\circ}+\sin 10^{\circ}+\sin 140^{\circ}+\sin 20^{\circ} \\ \\ & =2 \sin 70^{\circ} \cos 60^{\circ}+2 \sin 80^{\circ} \cdot \cos 60^{\circ} \quad \bigg[\because \sin x+\sin y=2 \sin \dfrac{x+y}{2} \cdot \cos \dfrac{x-y}{2} \bigg]\\ \\

& =2 \cdot \dfrac{1}{2} \sin 70^{\circ}+2 \cdot \dfrac{1}{2} \sin 80^{\circ} \quad \bigg[\because \cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\bigg] \\ \\ & =\sin 70^{\circ}+\sin 80^{\circ}=\sin \dfrac{7 \pi}{18}+\sin \dfrac{4 \pi}{9} \end{aligned} $

• विकल्प (b) 1: दी गई अभिव्यक्ति $\sin \dfrac{\pi}{18}+\sin \dfrac{\pi}{9}+\sin \dfrac{2 \pi}{9}+\sin \dfrac{5 \pi}{18}$ 1 के बराबर नहीं होती। हल के लिए उपयोग किए गए त्रिकोणमितीय पहचानों और कोण योग सूत्र दिखाते हैं कि अभिव्यक्ति $\sin \dfrac{7 \pi}{18}+\sin \dfrac{4 \pi}{9}$ के रूप में सरलीकृत होती है, न कि 1।

• विकल्प (c) $\cos \dfrac{\pi}{6}+\cos \dfrac{3 \pi}{7}$: दी गई अभिव्यक्ति में केवल साइन फंक्शन होते हैं, और कोई रूपांतरण या पहचान इसे एक जैसे कोसाइन फंक्शन के योग में नहीं बदल सकती है जैसे $\cos \dfrac{\pi}{6}+\cos \dfrac{3 \pi}{7}$। मूल अभिव्यक्ति में शामिल कोण इस विकल्प में प्रदान किए गए कोसाइन पदों के कोणों से मेल नहीं खाते हैं।

• विकल्प (d) $\cos \dfrac{\pi}{9}+\sin \dfrac{\pi}{9}$: दी गई अभिव्यक्ति $\sin \dfrac{\pi}{18}+\sin \dfrac{\pi}{9}+\sin \dfrac{2 \pi}{9}+\sin \dfrac{5 \pi}{18}$ एक $\cos \dfrac{\pi}{9}$ और $\sin \dfrac{\pi}{9}$ के संयोजन में सरलीकृत नहीं होती। हल के लिए उपयोग किए गए त्रिकोणमितीय पहचान दिखाते हैं कि अभिव्यक्ति $\sin \dfrac{7 \pi}{18}+\sin \dfrac{4 \pi}{9}$ के रूप में सरलीकृत होती है, जो $\cos \dfrac{\pi}{9}+\sin \dfrac{\pi}{9}$ के रूप के मेल नहीं खाती है।

सोचने की प्रक्रिया

सूत्रों का उपयोग करें, अर्थात,

$\sec A=\sqrt{1+\tan ^{2} A} \ $ और $ \ \sin A=\sqrt{1-\cos ^{2} A},$

$ \sec A=\dfrac{1}{\cos A} \ $ और $ \ \tan A=\dfrac{1}{\cot A}$।

हल (b)

$ \begin{aligned} & \text{दिया गया समीकरण,} \quad 3 \tan A+4=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad 3 \tan A=-4 \\ \\ & \Rightarrow \quad \tan A=\dfrac{-4}{3} \\ \\

&\Rightarrow \quad \cot A=\dfrac{-3}{4} \\ \\ &\Rightarrow \quad \sec A=\sqrt{1+\dfrac{16}{9}}=\sqrt{\dfrac{25}{9}}= \pm \dfrac{5}{3} \\ \\ &\Rightarrow \quad \sec A=\dfrac{-5}{3} \quad \bigg[\text {क्योंकि, A दूसरे चतुर्थांश में है}\bigg] \\ \\ & \Rightarrow \quad \cos A=\dfrac{-3}{5} \\ \\ & \sin A=\sqrt{1-\dfrac{9}{25}}=\dfrac{\sqrt{25-9}}{25}= \pm \dfrac{4}{5} \\ \\ & \sin A=\dfrac{4}{5}\quad \bigg[\text {क्योंकि, A दूसरे चतुर्थांश में है}\bigg] \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \therefore \quad 2 \cot A-5 \cos A+\sin A & =2 \dfrac{-3}{4}-5 \dfrac{-3}{5}+\dfrac{4}{5} \\ \\ & =\dfrac{-6}{4}+3+\dfrac{4}{5} \\ \\ & =\dfrac{-30+60+16}{20}=\dfrac{46}{20} \\ \\ & =\dfrac{23}{10} \end{aligned} $

• विकल्प (a) $\dfrac{-53}{10}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $2 \cot A - 5 \cos A + \sin A$ के गणना के परिणाम ऋणात्मक मान नहीं देते। समाधान में दिखाए गए अनुसार सही मान धनात्मक है।

• विकल्प (c) $\dfrac{37}{10}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $2 \cot A - 5 \cos A + \sin A$ के गणना के परिणाम $\dfrac{23}{10}$ होते हैं, न कि $\dfrac{37}{10}$. समाधान में दिखाए गए अंकगणितीय कदम इस बात की पुष्टि करते हैं।

• विकल्प (d) $\dfrac{7}{10}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $2 \cot A - 5 \cos A + \sin A$ के गणना के परिणाम $\dfrac{23}{10}$ होते हैं, न कि $\dfrac{7}{10}$. समाधान में दिखाए गए विस्तारित कदम इस बात की पुष्टि करते हैं कि सही मान $\dfrac{23}{10}$ है।

समाधान

(a) दिया गया व्यंजक,

$ \begin{aligned} \cos ^{2} 48^{\circ}-\sin ^{2} 12^{\circ} & =\cos (48^{\circ}+12^{\circ})-\cos (48^{\circ}-12^{\circ}) \\ \\ & =\cos 60^{\circ} \cdot \cos 36^{\circ} \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}+1}{4} \\ \\ & =\dfrac{\sqrt{5}+1}{8} \end{aligned} $

• विकल्प (b) $\dfrac{\sqrt{5}-1}{8}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि दिया गया व्यंजक $\cos^2 48^\circ - \sin^2 12^\circ$ सरलीकृत करने पर $\dfrac{\sqrt{5}+1}{8}$ प्राप्त होता है, न कि $\dfrac{\sqrt{5}-1}{8}$. मान $\dfrac{\sqrt{5}-1}{8}$ निर्मित परिणाम से मेल नहीं खाता।

• विकल्प (c) $\dfrac{\sqrt{5}+1}{5}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि हर 5 है न कि 8। दिए गए व्यंजक के सही सरलीकरण के परिणाम $\dfrac{\sqrt{5}+1}{8}$ होता है, न कि $\dfrac{\sqrt{5}+1}{5}$।

• विकल्प (d) $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{2}}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि हर $2\sqrt{2}$ है न कि 8। दिए गए व्यंजक के सही सरलीकरण के परिणाम $\dfrac{\sqrt{5}+1}{8}$ होता है, न कि $\dfrac{\sqrt{5}+1}{2\sqrt{2}}$।

चिंतन प्रक्रिया

उपयोग करें $\cos 2 \alpha=\dfrac{1-\tan ^{2} \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}$ और $\sin 2 \alpha=\dfrac{2 \tan \alpha}{1+\tan ^{2} \alpha}$

हल

(b) दिया गया है,

$ \begin{aligned} \cos 2 \alpha & =\dfrac{1-\dfrac{1}{49}}{1+\dfrac{1}{49}}=\dfrac{\dfrac{48}{49}}{\dfrac{50}{49}} \\ \\ & =\dfrac{48}{50}=\dfrac{24}{25} \\ \\ \cos 2 \alpha & =\dfrac{24}{25} \qquad\ldots\mathrm{(i)} \end{aligned} $

$\text { हम जानते हैं कि, } $

$ \begin{aligned} \sin 4 \beta & =\dfrac{2 \tan 2 \beta}{1+\tan ^{2} 2 \beta} \qquad\ldots\mathrm{(ii)} \\ \\ \text { और } \\ \tan 2 \beta & =\dfrac{2 \tan ^{2}}{1-\tan ^{2} \beta}=\dfrac{2 \times \dfrac{1}{3}}{1-\dfrac{1}{9}} \\ \\ & =\dfrac{2}{\dfrac{3}{9}}=\dfrac{2 \times 9}{3 \times 8}=\dfrac{3}{4} \end{aligned} $

$ \tan =\dfrac{1}{7} \text { और } \tan \beta=\dfrac{1}{3} $

समीकरण (ii) से,

$\sin 4 \beta=\dfrac{2 \times \dfrac{3}{4}}{1+\dfrac{9}{16}}=\dfrac{\dfrac{6}{4}}{\dfrac{25}{16}}=\dfrac{6 \times 16}{4 \times 25} $

$\Rightarrow \quad \sin 4 \beta=\dfrac{24}{25} $

$\Rightarrow \quad \sin 4 \beta=\cos 2 \alpha$

$\therefore \qquad \cos 2 \alpha=\sin 4 \beta$

• विकल्प (a) $\sin 2 \beta$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\sin 2 \beta$ $\cos 2 \alpha$ के बराबर नहीं है। सही संबंध द्विघातीय सूत्र के लिए साइन के लिए निर्मित होता है, जो $\sin 2 \beta = \dfrac{2 \tan \beta}{1 + \tan^2 \beta}$ होता है। दिया गया $\tan \beta = \dfrac{1}{3}$, $\sin 2 \beta$ होगा $\dfrac{2 \times \dfrac{1}{3}}{1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{1 + \dfrac{1}{9}} = \dfrac{\dfrac{2}{3}}{\dfrac{10}{9}} = \dfrac{2}{3} \times \dfrac{9}{10} = \dfrac{3}{5}$, जो $\cos 2 \alpha = \dfrac{24}{25}$ के बराबर नहीं है।

• विकल्प (c) $\sin 3 \beta$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\sin 3 \beta$ $\cos 2 \alpha$ के बराबर नहीं है। साइन के त्रिगुणीकरण सूत्र है $\sin 3 \beta = 3 \sin \beta - 4 \sin^3 \beta$। दिया गया है $\tan \beta = \dfrac{1}{3}$, हम $\sin \beta$ को $\sin \beta = \dfrac{\tan \beta}{\sqrt{1 + \tan^2 \beta}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\sqrt{1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2}} = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{\sqrt{\dfrac{10}{9}}} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{3}{\sqrt{10}} = \dfrac{1}{\sqrt{10}}$ के उपयोग द्वारा खोज सकते हैं।

इसलिए, $\sin 3 \beta = 3 \times \dfrac{1}{\sqrt{10}} - 4 \left(\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right)^3 = \dfrac{3}{\sqrt{10}} - \dfrac{4}{10\sqrt{10}} = \dfrac{3}{\sqrt{10}} - \dfrac{2}{5\sqrt{10}} = \dfrac{15 - 2}{5\sqrt{10}} = \dfrac{13}{5\sqrt{10}}$, जो $\cos 2 \alpha = \dfrac{24}{25}$ के बराबर नहीं है।

• विकल्प (d) $\cos 2 \beta$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\cos 2 \beta$ $\cos 2 \alpha$ के बराबर नहीं है। कोसाइन के द्विगुणीकरण सूत्र है $\cos 2 \beta = \dfrac{1 - \tan^2 \beta}{1 + \tan^2 \beta}$। दिया गया है $\tan \beta = \dfrac{1}{3}$, $\cos 2 \beta = \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2}{1 + \left(\dfrac{1}{3}\right)^2} = \dfrac{1 - \dfrac{1}{9}}{1 + \dfrac{1}{9}} = \dfrac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{10}{9}} = \dfrac{8}{10} = \dfrac{4}{5}$, जो $\cos 2 \alpha = \dfrac{24}{25}$ के बराबर नहीं है।

हल

(b) दिया गया है, $\tan \theta=\dfrac{a}{b}$

$ \begin{aligned} \therefore \quad b \cos 2 \theta+a \sin 2 \theta & =b \left(\dfrac{1-\tan ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right)+a \left(\dfrac{2 \tan \theta}{1+\tan ^{2} \theta}\right) \\ \\ & =b \left(\dfrac{1-\dfrac{a^{2}}{b^{2}}}{1+\dfrac{a^{2}}{b^{2}}}\right)+a\left( \dfrac{\dfrac{2 a}{b}}{1+\dfrac{a^{2}}{b^{2}}}\right) \\ \\ & =b \left(\dfrac{b^{2}-a^{2}}{b^{2}+a^{2}}\right)+\dfrac{2 a^{2} b}{a^{2}+b^{2}} \\ \\

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{b}{a^{2}+b^{2}}\bigg[b^{2}-a^{2}+2 a^{2}\bigg]=\dfrac{(a^{2}+b^{2}) b}{(a^{2}+b^{2})} \\ \\ & =b \end{aligned} $$

• विकल्प (a): a
  इस विकल्प के लिए असत्य है क्योंकि व्यंजक $\left( b \cos 2\theta + a \sin 2\theta \right)$ सरलीकृत करने पर $\left( b \right)$ आता है और नहीं $\left( a \right)$. व्युत्पन्न दिखाता है कि $\left( a \right)$ और $\left( b \right)$ के पद इस तरह संयोजित होते हैं कि अंतिम परिणाम $\left( b \right)$ होता है।

• विकल्प (c): $\left(\dfrac{a}{b}\right)$
  इस विकल्प के लिए असत्य है क्योंकि व्यंजक $\left( b \cos 2\theta + a \sin 2\theta \right)$ $\left(\dfrac{a}{b}\right)$ के रूप में सरलीकृत नहीं होता। व्युत्पन्न स्पष्ट रूप से दिखाता है कि अंतिम परिणाम $\left( b \right)$ होता है, और $\left( b \right)$ के विभाजन के कारण $\left(\dfrac{a}{b}\right)$ नहीं होता।

• विकल्प (d): इनमें से कोई नहीं
  इस विकल्प के लिए असत्य है क्योंकि सही उत्तर दिए गए विकल्पों में से एक है, विशेष रूप से विकल्प (b)। व्युत्पन्न पुष्टि करता है कि $\left( b \cos 2\theta + a \sin 2\theta \right)$ $\left( b \right)$ के रूप में सरलीकृत होता है, जिसके कारण विकल्प (d) असत्य है।

सोचने की प्रक्रिया

एक द्विघात समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ के वास्तविक बीज होते हैं, तो $b^{2}-4 a c=0$, इस शर्त का उपयोग ऊपरी समस्या को हल करने के लिए करें।

हल

(d)

$ \begin{aligned} \text{यहाँ,} \cos \theta & =x+\dfrac{1}{x} \\ \\ \quad \cos \theta & =\dfrac{x^{2}+1}{x} \\ \\ x^{2}-x \cos \theta+1 & =0 \end{aligned} $

$ x $ के वास्तविक मान के लिए, $ (-\cos \theta)^{2}-4 \times 1 \times 1=0 $

$ \begin{aligned} \cos ^{2} \theta & =4 \\ \\ \cos \theta & = \pm 2 \end{aligned} $

जो संभव नहीं है।

$ \bigg[\because-1 \leq \cos \theta \leq 1\bigg] $

• (a) $\theta$ एक न्यून कोण है: यह विकल्प असत्य है क्योंकि $\theta$ एक न्यून कोण होने पर $\cos \theta$ के मान $0 < \cos \theta \leq 1$ के बीच होता है। हालांकि, दिए गए समीकरण $\cos \theta = x + \dfrac{1}{x}$ से $\cos \theta = \pm 2$ प्राप्त होता है, जो $\cos \theta$ के वैध मान के बाहर है।

• (ब) $\theta$ समकोण है: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\theta$ के समकोण होने के लिए $\cos \theta$ के मान 0 होना चाहिए। दिए गए समीकरण $\cos \theta = x + \dfrac{1}{x}$ के लिए कोई वास्तविक मान $x$ के लिए $\cos \theta = 0$ नहीं हो सकता।

• (स) $\theta$ एक अधिक कोण है: यह विकल्प गलत है क्योंकि $\theta$ के अधिक कोण होने के लिए $\cos \theta$ के मान के बीच $-1 \leq \cos \theta < 0$ होना चाहिए। हालांकि, दिए गए समीकरण $\cos \theta = x + \dfrac{1}{x}$ के लिए $\cos \theta = \pm 2$ प्राप्त होता है, जो $\cos \theta$ के लिए वैध श्रेणी के बाहर है।

हल

यहाँ,

$ \begin{aligned} \dfrac{\sin 50^{\circ}}{\sin 130^{\circ}} & =\dfrac{\sin (180^{\circ}-130^{\circ})}{\sin 130^{\circ}} \\ \\ & =\dfrac{\sin 130^{\circ}}{\sin 130^{\circ}}=1 \end{aligned} $

हल यहाँ,

$ \begin{aligned} k & =\sin \left(\dfrac{\pi}{18}\right) \sin \left(\dfrac{5 \pi}{18}\right) \sin \left(\dfrac{7 \pi}{18}\right) \\ \\ & =\sin 10^{\circ} \sin 50^{\circ} \sin 70^{\circ} \\ \\ & =\sin 10^{\circ} \cos 40^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ} \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \sin 10^{\circ}\bigg[2 \cos 40^{\circ} \cdot \cos 20^{\circ}\bigg] \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \sin 10^{\circ}\bigg[\cos 60^{\circ}+\cos 20^{\circ}\bigg] \quad\bigg[\because 2 \cos x \cdot \cos y=\cos (x+y)+\cos (x-y)\bigg] \\ \\ & =\dfrac{1}{2} \sin 10^{\circ} \cdot \dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2} \sin 10^{\circ} \cos 20^{\circ} \\ \\ & =\dfrac{1}{4} \sin 10^{\circ}+\dfrac{1}{4}\bigg[\sin 30^{\circ}-\sin 10^{\circ}\bigg] \\ \\ & =\dfrac{1}{8} \end{aligned} $

सोचने की प्रक्रिया

$\cos \theta=1-2 \sin ^{2} \dfrac{\theta}{2}$ और $\tan 2 \theta=\dfrac{2 \tan \theta}{1-\tan ^{2} \theta}$ का उपयोग करें।

हल

दिया गया है,

$ \begin{aligned} \tan A & =\dfrac{1-\cos B}{\sin B} \\ \\ & =\dfrac{1-1+2 \sin ^{2} \dfrac{B}{2}}{2 \sin \dfrac{B}{2} \cdot \cos \dfrac{B}{2}}=\tan \dfrac{B}{2} \end{aligned} $

$\text{अब,} $

$\Rightarrow \quad\tan 2 A=\dfrac{2 \tan A}{1-\tan ^{2} A}$

$\Rightarrow \quad \tan 2 A=\dfrac{2 \cdot \tan \dfrac{B}{2}}{1-\tan ^{2} \dfrac{B}{2}}$

$\Rightarrow \quad \tan 2 A=\tan B$

हल

दिया गया है, $\sin x+\cos x=a$

दोनों ओर वर्ग करने पर,

हमें प्राप्त होता है, $\quad (\sin x+\cos x)^{2}=(a)^{2} $

$\quad \Rightarrow \quad \sin ^{2} x+ \cos ^{2} x+2 \sin x \cos x=a^{2} $

$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad \sin x \cdot \cos x & =\dfrac{1}{2}(a^{2}-1) \\ \\ \mathrm{(i)} \ \sin^{6}x + \cos^{6}x & =(sin^{2}x)^{3} + (\cos^{2}x)^3\\ \\ & =(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x)(\sin ^{4} x-\sin ^{2} x \cos ^{2} x+\cos ^{4} x) \\ \\ & =\sin ^{4} x+\cos ^{4} x-\dfrac{1}{4}(a^{2}-1)^{2} \\ \\ & =(\sin ^{2} x+\cos ^{2} x)^{2}-2 \sin ^{2} x \cos ^{2} x-\dfrac{1}{4}(a^{2}-1)^{2} \\ \\ & =1-2 \cdot \dfrac{1}{4}(a^{2}-1)^{2}-\dfrac{1}{4}(a^{2}-1)^{2}=\dfrac{1}{4}\bigg[4-3(a^{2}-1)^{2}\bigg] \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \mathrm{(ii)} \ |\sin x-\cos x| & =\sqrt{(\sin x-\cos x)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{\sin ^{2} x+\cos ^{2} x-2 \sin x \cos x} \\ \\ & =\sqrt{1-2 \dfrac{1}{2}(a^{2}-1)} \\ \\ & =\sqrt{1-a^{2}+1}=\sqrt{2-a^{2}} \end{aligned} $

हल

$\begin{aligned} & \tan A \ \text{और} \ \tan B \text { हैं } \\ \\ & \text { योग }=(\tan A+\tan B) \\ \\ & \text { गुणनफल }=\tan A \tan B \\ \\ & \angle C=90^{\circ} \\ \\ & \angle A+\angle B=90^{\circ} \\ \\ & \tan A \tan B=1 \\ \\ & \frac{\tan B=1}{\tan A} \\ \\ & x^2-(\tan A+\tan B) x+1=0 \qquad \left[\because\quad\tan A+\tan B=\tan A+\frac{1}{\tan A} =\frac{2 \tan { }^2 A+1}{2 \tan A}=\frac{2}{\sin 2 A}\right] \\ \\ & x^2 -\frac{2}{\sin 2 A} x+1=0 \qquad \left[\because\quad\sin 2 A=\frac{2 \tan A}{1+\tan ^2 A} =\sin 2 x=2 \sin x \cos x \right] \\ \\ & \Rightarrow x^2-\frac{c^2}{a b} x+1=0 \\ \\ & \Rightarrow x^2(a b)-c^2(x)+1=0 \end{aligned}$

$\because\quad $

Thinking Process

अपेक्षित सूत्रों का उपयोग करें अर्थात, $(a^{3}+b^{3})=(a+b)(a^{2}-a b+b^{2})$ और $a^{2}+b^{2}=(a+b)^{2}-2 a b$।

Solution

$ \text { मान लीजिए } $

$ \begin{aligned} 4\left(\sin ^6 x+\cos ^6 x\right) & =4\left[\left(\sin ^2 x\right)^3+\left(\cos ^2 x\right)^3\right] \\ \\ & =4\left[\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)\left(\sin ^4 x-\sin ^2 x \cos ^2 x+\cos ^4 x\right)\right] \\ \\ & =4\left[\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)^2-2 \sin ^2 x \cos ^2 x-2 \sin ^2 x \cos ^2 x\right] \\ \\ & =4\left[1-3 \sin ^2 x \cos ^2 x\right] \\ \\ & =4-12 \sin ^2 x \cos ^2 x \qquad\ldots\mathrm{(1)} \\ \\ 6(\sin x+\cos x)^2 & =6\left[\sin ^2 x+\cos ^2 x+2 \sin x \cos x\right] \\ \\ & =6[1+2 \sin x \cos x] \\ \\ & =6+12 \sin x \cos x \qquad\ldots\mathrm{(2)}\\ \\ 3(\sin x-\cos x)^4 & =3\left[(\sin x-\cos x)^2\right]^2 \\ \\ & =3\left[\sin ^2 x+\cos 2 x-2 \sin ^2 x \cos x\right]^2 \\ \\ & =3[1-2 \sin x \cos x]^2 \\ \\ & =3\left[1-4 \sin x \cos x+4 \sin ^2 x \cos ^2 x\right] \\ \\ & =3-12 \sin x \cos x+12 \sin ^2 x \cos ^2 x \qquad\ldots\mathrm{(3)} \end{aligned} $

(1), (2) और (3) को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & 3(\sin x-\cos x)^4+4\left(\sin ^6 x+\cos ^6 x\right)+6[\sin x+\cos x]^2 \\ \\

$$ \begin{aligned} & =3-12 \sin x \cos x+12 \sin ^2 x \cos ^2 x+4-12 \sin ^2 x \cos ^2 x+6+12 \sin x \cos x \\ \\ & =13 \end{aligned} $$ $

हल

दिया गया फलन,

$f(x)=-3 \cos \sqrt{3+x+x^{2}}$

$\text{हम जानते हैं कि,} $ $ \ \ -1 \leq \cos x \leq 1 $

$\Rightarrow -3 \leq 3 \cos x \leq 3$

$\Rightarrow 3 \geq-3 \cos x \geq- 3$

$\Rightarrow -3 \leq-3 \cos x \leq 3$

अतः, $f(x)$ का मान $\big[-3,3\big]$ में है

हल

दिया गया है, $y=\sqrt{3} \sin x+\cos x$

$ \begin{aligned} y & =2 \bigg[\dfrac{\sqrt{3}}{2} \sin x+\dfrac{1}{2} \cos x \bigg]\\ \\ & =2 \bigg[\sin x \cdot \cos \dfrac{\pi}{6}+\cos x \sin \dfrac{\pi}{6} \bigg]\\ \\ & =2 \sin (x+\pi / 6) \end{aligned} $

$y=2 \sin x$ के ग्राफ

अतः, अधिकतम दूरी 2 इकाई है।

चिंतन प्रक्रिया

$ \text { यदि } \tan A=\dfrac{1-\cos B}{\sin B} \text {, तो } \tan 2 A=\tan B $

हल

सत्य

$\text{दिया गया है,} $

$ \tan A=\dfrac{1-\cos B}{\sin B}=\dfrac{1-1+2 \sin ^{2} \dfrac{B}{2}}{2 \sin \dfrac{B}{2} \cdot \cos \dfrac{B}{2}}=\tan \dfrac{B}{2} $

$\text{अब,} $

$ \tan 2 A=\dfrac{2 \tan A}{1-\tan ^{2} A}=\dfrac{2 \cdot \tan \dfrac{B}{2}}{1-\tan ^{2} \dfrac{B}{2}}=\tan B$

हल

गलत

दिया गया है, $\sin A+\sin 2 A+\sin 3 A=3$

केवल तब संभव है जब $\sin A, \sin 2 A, \sin 3 A$ प्रत्येक का मान 1 हो क्योंकि $\sin A$ का अधिकतम मान किसी कोण के लिए 1 होता है। यह संभव नहीं है क्योंकि कोण अलग-अलग हैं।

हल

गलत

$ \sin 10^{\circ} =\sin (90^{\circ}-80^{\circ}) $

$ \sin 10^{\circ} =\cos 80^{\circ} $

$\because \ \ \cos 80^{\circ} <\cos 10^{\circ} $

$\text{अतः,} \ \ \sin 10^{\circ} <\cos 10^{\circ}$

हल

सत्य

$\text { बायां पक्ष } $

$ \begin{aligned} & =\cos \dfrac{2 \pi}{15} \cos \dfrac{4 \pi}{15} \cos \dfrac{8 \pi}{15} \cos \dfrac{16 \pi}{15} \\ \\ & =\cos 24^{\circ} \cos 48^{\circ} \cos 96^{\circ} \cos 192^{\circ} \\ \\ & =\dfrac{1}{16 \sin 24^{\circ}}\bigg[(2 \sin 24^{\circ} \cos 24^{\circ})(2 \cos 48^{\circ})(2 \cos 96^{\circ})(2 \cos 192^{\circ})\bigg] \\ \\ & =\dfrac{1}{16 \sin 24^{\circ}}\bigg[2 \sin 48^{\circ} \cos 48^{\circ}(2 \cos 96^{\circ})(2 \cos 192^{\circ})\bigg] \\ \\ & =\dfrac{1}{16 \sin 24^{\circ}}\bigg[(2 \sin 96^{\circ} \cos 96^{\circ})(2 \cos 192^{\circ})\bigg] \\ \\ & =\dfrac{1}{16 \sin 24^{\circ}}\bigg[2 \sin 192^{\circ} \cos 192^{\circ}\bigg] \\ \\ & =\dfrac{1}{16 \sin 24^{\circ}} \big[\sin 384^{\circ}\big] \\ \\ & =\dfrac{\sin (360^{\circ}+24^{\circ})}{16 \sin 24^{\circ}} =\dfrac{1}{16} \\ \\ & =\text{दायां पक्ष} \qquad \text { अतः सिद्ध किया गया है। } \end{aligned} $

हल

गलत

दिया गया समीकरण, $\quad \sin ^{4} \theta-2 \sin ^{2} \theta-1=0$

$\Rightarrow \quad \sin ^{2} \theta=\dfrac{2 \pm \sqrt{4+4}}{2}$

$\Rightarrow \quad \sin ^{2} \theta=\dfrac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow \quad \sin ^{2} \theta=(1+\sqrt{2})$ या $(1-\sqrt{2}) $

हम जानते हैं कि, $ \quad -1 \leq \sin \theta \leq 1$

$\Rightarrow \quad \sin ^{2} \theta \leq 1$

लेकिन, $ \qquad \sin ^{2} \theta=(1+\sqrt{2})$ या $(1-\sqrt{2}) $

जो संभव नहीं है।

Solution

True

दिया गया है,

$\Rightarrow \quad \text{cosec} \ x =1+\cot x $

$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\sin x} =1+\dfrac{\cos x}{\sin x} $

$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{\sin x+\cos x}{\sin x}$

$\Rightarrow \quad \sin x+\cos x=1$

$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin x+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos x=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \quad \sin \dfrac{\pi}{4} \sin x+\cos x \cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Rightarrow \quad \cos\left( x-\dfrac{\pi}{4}\right)=\cos \dfrac{\pi}{4}$

$ \therefore \quad x-\dfrac{\pi}{4}=2 n \pi \pm \dfrac{\pi}{4} $

$ \begin{aligned} \text{For positive sign,} & \ \ x=2 n \pi+\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=2 n \pi+\dfrac{\pi}{2} \\ \\ \text{For negative sign,} & \ \ x=2 n \pi-\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=2 n \pi \end{aligned} $

Solution

True

$ \begin{aligned} & \tan \theta+\tan 2 \theta+\sqrt{3} \tan \theta \tan 2 \theta=\sqrt{3} \\ \\ & \Rightarrow \quad \tan \theta+\tan 2 \theta=\sqrt{3}-\sqrt{3} \tan \theta \tan 2 \theta \\ \\ & \Rightarrow \quad \tan \theta+\tan 2 \theta=\sqrt{3}(1-\tan \theta \tan 2 \theta) \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{\tan \theta+\tan 2 \theta}{1-\tan \theta \tan 2 \theta}=\sqrt{3} \\ \\ `

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \tan (\theta+2 \theta)=\tan \dfrac{\pi}{3} \\ \\ & \Rightarrow \quad \tan 3 \theta=\tan \dfrac{\pi}{3} \\ \\ & \therefore \quad 3 \theta=n \pi+\dfrac{\pi}{3} \\ \\ & \qquad \theta=\dfrac{n \pi}{3}+\dfrac{\pi}{9} \end{aligned} $$

Thinking Process

सूत्रों का उपयोग करें, अर्थात, $\tan \left(\dfrac{\pi}{2}-\theta \right) =\cot \theta$ और $\cos (A-B)=\cos A \cos B+\sin A \sin B$।

Solution

सत्य

$ \text{हमें दिया गया है,} \quad \tan (\pi \cos \theta)=\cot (\pi \sin \theta) $

$ \Rightarrow \quad \tan (\pi \cos \theta)=\tan \dfrac{\pi}{2}-(\pi \sin \theta) $

$\Rightarrow \quad \pi \cos =\dfrac{\pi}{2}-\pi \sin \theta$

$\Rightarrow \quad \pi(\sin \theta+\cos \theta)=\dfrac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \quad \sin \theta+\cos \theta=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \quad \dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sin \theta+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos \theta=\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}$

$\Rightarrow \quad \sin \theta \cdot \sin \dfrac{\pi}{4}+\cos \theta \cdot \cos \dfrac{\pi}{4}=\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}$

$\therefore \quad \cos \left(\theta-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{1}{2 \sqrt{2}}$

Solution

(i) $\sin (x+y) \sin (x-y)=\sin ^{2} x-\sin ^{2} y$

(ii) $\cos (x+y) \cos (x-y)=\cos ^{2} x-\sin ^{2} y$

(iii) $\cot \left(\dfrac{\pi}{4}+\theta\right)=\dfrac{\cot \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \cot \theta-1}{\cot \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\cot \theta}$

$=\dfrac{-1+\cot \theta}{1+\cot \theta}=\dfrac{1-\tan \theta}{1+\tan \theta}$

(iv) $\tan \left(\dfrac{\pi}{4}+\theta\right)=\dfrac{\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\tan \theta}{1-\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right) \tan \theta}=\dfrac{1+\tan \theta}{1-\tan \theta}$

इसलिए, सही मेचिंग है (i) $\to$ (d), (ii) $\to$ (a), (iii) $\to$ (b), (iv) $\to$ (c)।