हल

$\bar{x}=\dfrac{\sum f _ {i} x _ {i}}{\sum f _ {i}}=\dfrac{433}{20}=21.65$

$MD=\dfrac{\sum f _ {i}\left|x _ {i}-\bar{x}\right|}{\sum f _ {i}}=\dfrac{25}{20}=1.25$

हल

$ M _ {e}=\left(\dfrac{20+1}{2}\right)^{th}\ \text{पद }=\dfrac{21}{2}=10.5^ {th} \text { पद } $

$ \therefore \quad M _ {e}=12 $

$ \therefore \quad M D=\dfrac{\sum f _ {i} d _ {i}}{\sum f _ {i}}=\dfrac{25}{20}=1.25$

हल

$ n $ एक विषम संख्या होने पर पहले प्राकृतिक संख्याओं को विचार करें, अर्थात् 1, 2, 3, 4, … $n$, [विषम]।

$ \text { Mean } \bar{x} =\dfrac{1+2+3+\ldots+n}{n}=\dfrac{n(n+1)}{2 n}=\dfrac{n+1}{2} \qquad\left[\because \quad \text { sum of first } n \text { natural numbers }=\dfrac{n(n+1)}{2}\right] $

$\therefore \quad \mathrm{MD} =\dfrac{\left|1-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|2-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|3-\dfrac{n+1}{2}\right|+\cdots+\left|n-\dfrac{n+1}{2}\right|}{n} $

$=\dfrac{\left|-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|2-\dfrac{n+1}{2}\right|+\cdots+\left|\dfrac{n-1}{2}-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|\dfrac{n+1}{2}-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|\dfrac{n+3}{2}-\dfrac{n+1}{2}\right| \cdots+\left|\dfrac{2 n-2}{2}-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|n-\dfrac{n+1}{2}\right|}{n}$

$=\dfrac{2}{n}\left[1+2+\ldots+\dfrac{n-3}{2}+\dfrac{n-1}{2} \right] $

$=\dfrac{2}{n} \left[\dfrac{\left(\dfrac{n-1}{2}\right) \left(\dfrac{n-1}{2}+1\right)}{2}\right] $

$=\dfrac{2}{n} \cdot \dfrac{1}{2} \left[\left(\dfrac{n-1}{2}\right) \left(\dfrac{n+1}{2}\right)\right]=\dfrac{1}{n} \left(\dfrac{n^{2}-1}{4}\right)=\dfrac{n^{2}-1}{4 n} $

हल

मान लीजिए पहले $n$ प्राकृतिक संख्याएं हैं, जब $n$ एक सम संख्या हो, अर्थात $1,2,3,4, \ldots \ldots . n$।

$ \begin{aligned} \therefore \quad \text { Mean } \bar{x} & =\dfrac{1+2+3+\ldots+n}{n}=\dfrac{n(n+1)}{2 n}=\dfrac{n+1}{2} \\ \\ MD & =\dfrac{1}{n}\Bigg[\left|1-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|2-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|3-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|\dfrac{n-2}{2}-\dfrac{n+1}{2}\right|+\left|\dfrac{n}{2}-\dfrac{n+1}{2}\right| +\left|\dfrac{n+2}{2}-\dfrac{n+1}{2}\right|+\ldots+\left|n-\dfrac{n+1}{2}\right|\Bigg] \\ \\ & =\dfrac{1}{n}\Bigg[\left|\dfrac{1-n}{2}\right|+\left|\dfrac{3-n}{2}\right|+\left|\dfrac{5-n}{2}\right|+\ldots .+\left|\dfrac{-3}{2}\right|+\left|\dfrac{1}{2}\right|+\ldots+\left|\dfrac{n-1}{2}\right|\Bigg] \\ \\ & =\dfrac{2}{n} \Bigg[\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2}+\ldots .+\dfrac{n-1}{2}\Bigg] \\ \\ `

& =\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{n^{2}}{2} \quad[\because \quad \text { पहले } n \text { विषम प्राकृतिक संख्याओं का योग }=n^{2}] \\ \\ & =\dfrac{1}{n} \cdot \dfrac{n^{2}}{4}=\dfrac{n}{4} \end{aligned} $

हल

$ \begin{aligned} \Sigma x _ {i} & =1+2+3+4+\ldots+n=\dfrac{n(n+1)}{2} \\ \\ \text { और } \quad \sum x _ i^{2} & =1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6} \\ \\ \text { अब, }\quad SD & =\sqrt{\dfrac{\sum x _ i^{2}}{N}-(\dfrac{\sum x _ {i}{ }}{N})^{2}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6 n}-\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4 n^{2}}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{(n+1)(2 n+1)}{6}-\dfrac{(n+1)^{2}}{4}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{2(2 n^{2}+3 n+1)-3(n^{2}+2 n+1)}{12}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{4 n^{2}+6 n+2-3 n^{2}-6 n-3}{12}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{n^{2}-1}{12}} \end{aligned} $

हल

दिया गया है,

$n _ {i} =25, \bar x _ i=18.2, \sigma _ 1=3.25 \\ \\ $

$n _ 2 =15, \sum _ {i=1}^{15} x _ {i}=279 \text { और } \sum _ {i=1}^{15} x _ i^{2}=5524 $

पहले सेट के लिए,

$ \begin{aligned} \sum x _ {i} & =25 \times 18.2=455 \\ \\ \sigma _ 1^{2} & =\dfrac{\sum x _ i^{2}}{25}-(18.2)^{2} \\ \\ 25^{2} & =\dfrac{\sum x _ i^{2}}{25}-331.24 \\ \\

1.24 & =\dfrac{\sum x _ i^{2}}{25} \\ \\ \Sigma x _ i^{2} & =25 \times(10.5625) \\ \\ & =25 \times 341.8025 \\ \\ & =8545.0625 \end{aligned} $

$ \begin{matrix} \therefore \quad & \sigma _ 1^{2}=\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{25}-(18.2)^{2} \\ \\ \Rightarrow & (3.25)^{2}=\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{25}-331.24 \\ \\ \Rightarrow & 10.5625+331.24=\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{25} \\ \\ \Rightarrow & \Sigma x _ i^{2}=25 \times(10.5625+331.24) \end{matrix} $

40 अवलोकनों के संयोजित मानक विचलन के लिए $n=40$,

$ \begin{aligned} \text { अब } \quad \Sigma x _ i^{2} & =5524+8545.0625=14069.0625 \\ \\ \text { और } \quad \Sigma x _ {i} & =455+279=734 \\ \\ \therefore \quad SD &=\sqrt{\dfrac{14069.0625}{40}-(\dfrac{734}{40})^{2}} \\ \\ & =\sqrt{351.726-(18.35)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{351.726-336.7225} \\ \\ & =\sqrt{15.0035}=3.87 \end{aligned} $

हल

दिया गया है: $ n _ {1} $ अवलोकनों के एक सेट के माध्य और मानक विचलन क्रमशः $ \bar{x} _ {1} $ और $ s _ {1} $ हैं, जबकि $ n _ {2} $ अवलोकनों के दूसरे सेट के माध्य और मानक विचलन क्रमशः $ \bar{x} _ {2} $ और $ s _ {2} $ हैं।

मान लीजिए $ s $ संयोजित सेट का मानक विचलन और $ \bar{x} $ संयोजित सेट का माध्य है।

$ \bar{x}=\dfrac{n _ {1} \bar{x} _ {1}+n _ {2} \bar{x} _ {2}}{n _ {1}+n _ {2}} \qquad…(1) $

यदि $ d _ {1}=\bar{x} _ {1}-\bar{x} $ और $ d _ {2}=\bar{x} _ {2}-\bar{x} $ है तो

$ s^{2}=\dfrac{1}{n _ {1}+n _ {2}}\left[n _ {1}\left(s _ {1}^{2}+d _ {1}^{2}\right)+n _ {2}\left(s _ {2}^{2}+d _ {2}^{2}\right)\right] \qquad…(2)

$

अब,

$d _ {1}^{2}=\left(\bar{x} _ {1}-\bar{x}\right)^{2}=\left\lbrace \bar{x} _ {1}-\dfrac{n _ {1} \bar{x} _ {1}+n _ {2} \bar{x} _ {2}}{n _ {1}+n _ {2}}\right\rbrace^{2}$

$ d _ {1}^{2}=\dfrac{n _ {1}^{2}\left(\bar{x} _ {1}-\bar{x} _ {2}\right)^{2}}{\left(n _ {1}+n _ {2}\right)^{2}}\qquad…(3) $

और $ d _ {2}^{2}=\left(\bar{x} _ {2}-\bar{x}\right)^{2} =\left\lbrace \bar{x} _ {2}-\dfrac{n _ {1} \bar{x} _ {1}+n _ {2} \bar{x} _ {2}}{n _ {1}+n _ {2}}\right\rbrace^{2}$

$ \qquad\quad=\dfrac{n _ {2}^{2}\left(\bar{x} _ {2}-\bar{x} _ {1}\right)^{2}}{\left(n _ {1}+n _ {2}\right)^{2}}=\dfrac{n _ {1}^{2}\left(\bar{x} _ {1}-\bar{x} _ {2}\right)^{2}}{\left(n _ {1}+n _ {2}\right)^{2}} \qquad…(4) $

(2), (3) और (4) से हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{array}{l} s^{2}=\dfrac{1}{n _ {1}+n _ {2}} {\left[n _ {1}\left\lbrace s _ {1}^{2}+\dfrac{n _ {2}^{2}\left(\bar{x} _ {1}-\bar{x} _ {2}\right)^{2}}{\left(n _ {1}+n _ {2}\right)^{2}}\right\rbrace+n _ {2}\left\lbrace s _ {2}^{2}+\dfrac{n _ {1}^{2}\left(\bar{x} _ {1}-\bar{x} _ {2}\right)^{2}}{\left(n _ {1}+n _ {2}\right)^{2}}\right\rbrace\right]} \end{array} $

$ s^{2}=\dfrac{1}{n _ {1}+n _ {2}}\left[n _ {1} s _ {1}^{2}+n _ {2} s _ {2}^{2}+\dfrac{\left(\bar{x} _ {1}-\bar{x} _ {2}\right)^{2}}{\left(n _ {1}+n _ {2}\right)^{2}}\left(n _ {1} n _ {2}^{2}+n _ {2} n _ {1}^{2}\right)\right] $

$ s^{2}=\dfrac{1}{n _ {1} n _ {2}}\left[n _ {1} s _ {1}^{2}+n _ {2} s _ {2}^{2}+\dfrac{n _ {1} n _ {2}}{\left(n _ {1}+n _ {2}\right)}\left(\bar{x} _ {1}-\bar{x} _ {2}\right)^{2}\right] $

$ s=\sqrt{\dfrac{n _ {1} s _ {1}^{2}+n _ {2} s _ {2}^{2}}{n _ {1}+n _ {2}}+\dfrac{n _ {1} n _ {2}}{\left(n _ {1}+n _ {2}\right)^{2}}\left(\bar{x} _ {1}-\bar{x} _ {2}\right)^{2}} $ सिद्ध किया गया है।

हल

दिया गया है, $n _ 1=20, \sigma _ 1=5, \bar x _ 1=17$ और $n _ 2=20, \sigma _ 2=5, \bar x _ 2=22$

हम जानते हैं कि, $\sigma=\sqrt{\dfrac{n _ 1 s _ 1^{2}+n _ 2 s _ 2^{2}}{n _ 1+n _ 2}+\dfrac{n _ 1 n _ 2(\bar x _ 1-\bar x _ 2)^{2}}{(n _ 1+n _ 2)^{2}}}$

$ \hspace {2.2cm}=\sqrt{\dfrac{20 \times(5)^{2}+20 \times(5)^{2}}{20+20}+\dfrac{20 \times 20(17-22)^{2}}{(20+20)^{2}}}$

$ \hspace {2.2cm}=\sqrt{\dfrac{1000}{40}+\dfrac{400 \times 25}{1600}}=\sqrt{25+\dfrac{25}{4}}$

$ \hspace {2.2cm}=\sqrt{\dfrac{125}{4}}=\sqrt{31.25}=5.59$

हल

$\therefore \quad \sigma^{2}=\dfrac{\Sigma f _ {i} x _ i^{2}}{n}-\left(\dfrac{\Sigma f _ {i} x _ {i}}{n}\right)^2 $

$\Rightarrow 160=\dfrac{92 A^{2}}{7}-(\dfrac{(22 A)}{7})^{2} $

$\Rightarrow 160=\dfrac{92 A^{2}}{7}-\dfrac{484 A^{2}}{49} $

$\Rightarrow 160=(644-484) \dfrac{A^{2}}{49} $

$\Rightarrow 160=\dfrac{160 A^{2}}{49} $

$ \Rightarrow A^{2}=49 $

$\therefore \quad A=7$

हल

$\therefore \quad SD$ $ =\sqrt{\dfrac{\Sigma f _ {i} d _ i^{2}}{N}-\Big(\dfrac{\Sigma f _ {i} d _ i}{N}\Big)^{2}}$

$\qquad \qquad =\sqrt{\dfrac{137}{60}-\Big(\dfrac{37}{60}\Big)^{2}} $

$\qquad \qquad=\sqrt{2.2833-(0.616)^{2}} $

$\qquad \qquad=\sqrt{2.2833-0.3794} $

$\qquad \qquad =\sqrt{1.9037}=1.38$

हल

$\therefore \quad$ आवृत्तियों का योग,

$\begin{aligned} & x-2+x+x^2+(x+1)^2+2 x+x+1=60 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x-2+x^2+x^2+1+2 x+2 x+x+1=60 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^2+7 x=60 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^2+7 x-60=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2 x^2+15 x-8 x-60=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x(2 x+15)-4(2 x+15)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad(2 x+15)(x-4)=0 \\ \\ & \Rightarrow x=-\dfrac{15}{2}, 4 \\ \\ & \Rightarrow x=-\dfrac{15}{2} \qquad \text { [असंभव है क्योंकि x धनात्मक है ]} \\ \\ & \end{aligned}$

||||

$\begin{aligned} \text { Mean } & =A+\dfrac{\sum f _ i d _ i}{\Sigma f _ i}=3+\dfrac{-12}{60}=2.8 \\ \\ \sigma & =\sqrt{\dfrac{\sum f _ i d _ i^2}{\Sigma f _ i}-\Big(\dfrac{\sum f _ i d _ i)}{\Sigma f _ i}\Big)^2}=\sqrt{\dfrac{78}{60}-\Big(\dfrac{-12}{60}\Big)^2} \\ \\ & =\sqrt{1.3-0.04}=\sqrt{1.26}=1.12\end{aligned}$

हल

यहाँ, $n _ 1=60, \bar x _ 1=650, s _ 1=8$ और $n _ 2=80, \bar x _ 2=660, s _ 2=7$

$\therefore \quad \sigma =\sqrt{\dfrac{n _ 1 s _ 1{ }^{2}+n _ 2 s _ 2{ }^{2}}{n _ 1+n _ 2}+\dfrac{n _ 1 n _ 2(\bar x _ 1-\bar x _ 2)^{2}}{(n _ 1+n _ 2)^{2}}} $

$\hspace{1cm}=\sqrt{\dfrac{60 \times(8)^{2}+80 \times(7)^{2}}{60+80}+\dfrac{60 \times 80(650-660)^{2}}{(60+80)^{2}}} $

$\hspace{1cm}=\sqrt{\dfrac{6 \times 64+8 \times 49}{14}+\dfrac{60 \times 80 \times 100}{140 \times 140}} $

$\hspace{1cm}=\sqrt{\dfrac{192+196}{7}+\dfrac{1200}{49}}=\sqrt{\dfrac{388}{7}+\dfrac{1200}{49}} $

$\hspace{1cm}=\sqrt{\dfrac{2716+1200}{49}}=\sqrt{\dfrac{3916}{49}}$

$\hspace{1cm}=\dfrac{62.58}{7}=8.9 $

हल

$\Rightarrow \quad \dfrac{\sum \mathrm{x} _ {\mathrm{i}}}{100}=50 $

$\Rightarrow \quad \sum \mathrm{x} _ {\mathrm{i}}=5000 $

$\Rightarrow \quad \dfrac{\sum\left(\mathrm{x} _ {\mathrm{i}}-50\right)^{2}}{\mathrm{ ~ N}}=16 $

$\Rightarrow \quad \dfrac{\sum \mathrm{x} _ {\mathrm{i}}^{2}-100 \sum \mathrm{x} _ {\mathrm{i}}+2500}{100}=16 $

$\Rightarrow \quad \sum \mathrm{x} _ {\mathrm{i}}^{2}-100 \times 5000+2500=16 \times 100 $

$\Rightarrow \quad \sum \mathrm{x} _ {\mathrm{i}}^{2}=500000-900 $

$\Rightarrow \quad \therefore \quad \sum \mathrm{x} _ {\mathrm{i}}^{2}=499100 $

हल

दिया गया है,

$ \begin{aligned} n & =18, \Sigma(x-5)=3 \text { और } \Sigma(x-5)^{2}=43 \\ \\ & =5+\dfrac{3}{18}=5+0.1666=5.1666=5.17 \\ \\ \text { SD } & =\sqrt{\dfrac{\sum(x-5)^{2}}{n}-\Big(\dfrac{\sum(x-5)}{n}\Big)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{43}{18}-\Big(\dfrac{3}{18}\Big)^2} \\ \\ & =\sqrt{2.3944-(0.166)^{2}}=\sqrt{2.3944-0.2755}=1.59 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \therefore \quad \text { माध्य }=A+\dfrac{\sum(x-5)}{18} \end{aligned} $

हल

$\therefore \quad $ माध्य $=\dfrac{\Sigma f _ {i} x _ {i}}{\Sigma f _ {i}}=\dfrac{66.5}{16}=4.15$

$ \begin{aligned} \text { विचलन } & =\sigma^{2}=\dfrac{\Sigma f _ {i} x _ i^{2}}{\Sigma f _ {i}}-\Big(\dfrac{\Sigma f _ {i} x _ {i}}{\Sigma f _ {i}}\Big)^2 \\ \\ & =\dfrac{340.25}{16}-(4.15)^{2} \\ \\ & =21.2656-17.2225=4.043 \end{aligned} $

हल

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{कक्षा अंतराल} & f _ i & x _ i & f _ i x _ i & d _ i=x _ i- \overline x \mid & f _ i d _ i \\ \hline 0-4 & 4 & 2 & 8 & 7.2 & 28.8 \\ 4-8 & 6 & 6 & 36 & 3.2 & 19.2 \\ 8-12 & 8 & 10 & 80 & 0.8 & 6.4 \\ 12-16 & 5 & 14 & 70 & 4.8 & 24.0 \\ 16-20 & 2 & 18 & 36 & 8.8 & 17.6 \\ \hline कुल & \Sigma f _ i=25 & & \Sigma f _ i x _ i=230 & & \Sigma f _ i d _ i=96 \\ \hline \end{array} $

$\begin{aligned} & \therefore \quad \text { औसत }=\dfrac{\Sigma f _ i x _ i}{\Sigma f _ i}=\dfrac{230}{25}=9.2 \\ \\ & \text { और } \quad \text { माध्य विचलन }=\dfrac{\Sigma f d _ i}{\Sigma f _ i}=\dfrac{96}{25}=3.84 \\ \\ & \end{aligned}$

हल

$N=20$ , $\dfrac{N}{2}=\dfrac{20}{2}=10$

अतः, माध्यिका वर्ग $12-18$ है।

$ \begin{aligned} \quad \text { माध्य } & =l+\dfrac{\dfrac{N}{2}-c f}{f} \times h \\ \\ & =12+\dfrac{6}{3}(10-9) \\ \\ & =12+2=14 \\ \\ MD & =\dfrac{\Sigma f _ {i} d _ {i}}{\Sigma f _ {i}}=\dfrac{140}{20}=7 \end{aligned} $

हल

$ \begin{aligned} & \therefore \quad \text { माध्य } \bar{x}=\dfrac{\Sigma f _ {i} x _ {i}}{\Sigma f _ {i}}=\dfrac{239}{40}=5.975 \approx 6 \\ \\ & \text { और } \\ \\ & \begin{aligned} \sigma & =\sqrt{\dfrac{\Sigma f _ {i} d _ i^{2}}{\Sigma f _ {i}}-\Big(\dfrac{\Sigma f _ {i} d _ i}{\Sigma f _ {i}}\Big)^{2}}=\sqrt{\dfrac{325}{40}-\Big(\dfrac{-1}{40}\Big)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{8.125-0.000625}=\sqrt{8.124375}=2.85 \end{aligned} \end{aligned} $

हल

| 202-203 | 18 | 202.5 | 0 | 0 | 0 | | 203-204 | 10 | 203.5 | 1 | 10 | 10 | | 204-205 | 1 | 204.5 | 2 | 2 | 4 | | 205-206 | 1 | 205.5 | 3 | 3 | 9 | |कुल|$\Sigma f _ {i}=70$|||$\Sigma f _ {i} d _ {i}=-38$|$\Sigma f _ {i} d _ i^{2}=102$|

अब,

$\sigma^2 ={\dfrac{\Sigma f _ {i} d _ i^{2}}{\Sigma f _ {i}}-\Big(\dfrac{\Sigma f _ {i} d _ i}{\Sigma f _ {i}}\Big)^{2}}$

$\quad =1.4571-0.2916=1.1655 \\ \\ \therefore \quad SD, \sigma =\sqrt{1.1655}=1.08 $

हल

$\sum x _ {i}=\dfrac{n}{2}[2 a+(n-1)]$

माध्य $=\dfrac{\sum x _ {i}}{n}=\dfrac{1}{n} \dfrac{n}{2}(2 a)+(n-1) d$ $=$ $a+\dfrac{(n-1)}{2} d$

$ \begin{aligned} \Sigma(x _ {i}-a) & =d[1+2+3+\ldots+(n-1) d] \\ \\ & =d \dfrac{(n-1) n}{2} \\ \\ \text { और } \quad \sum(x _ {i}-a)^{2} & =d^{2}[1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+(n-1)^{2}] \\ \\ & =\dfrac{d^{2}(n-1) n(2 n-1)}{6} \\ \\ \sigma & =\sqrt{\dfrac{\sum(x _ {i}-a)^{2}}{n}-\Big(\sum\dfrac{x _ {i}-a}{n}\Big)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{d^{2}(n-1)(n)(2 n-1)}{6 n}-\Big(\dfrac{d(n-1) n{ }}{2n }\Big)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{d^{2}(n-1)(2 n-1)}{6}-\dfrac{d^{2}{n^2}(n-1)^{2}}{4n^2}} \\ \\ & =d \sqrt{\dfrac{(n-1)(2 n-1)}{6}-\dfrac{(n-1)^{2}}{4}} \\ \\ & =d \sqrt{\dfrac{(n-1)}{2} \Big(\dfrac{2 n-1}{3}-\dfrac{n-1}{2}\Big)} \\ \\ & =d \sqrt{\dfrac{(n-1)}{2} \Big(\dfrac{4 n-2-3 n+3}{6}\Big)} \\ \\ & =d \sqrt{\dfrac{(n-1)(n+1)}{12}}=d \sqrt{\dfrac{(n^{2}-1)}{12}} \end{aligned} $

हल

रावि के लिए,

अब,

$ \begin{aligned} \sigma & =\sqrt{\dfrac{\Sigma d^{2} _ i}{n}-\Big(\dfrac{\Sigma d _ {i}{ }}{n}\Big)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{1699}{10}-\Big(\dfrac{-14}{10}\Big)^{2}}=\sqrt{169.9-1.96} \\ \\ & =\sqrt{167.94}=12.96 \\ \\ \bar{x} & =A+\dfrac{\Sigma d _ {i}}{\Sigma f _ {i}}=45-\dfrac{14}{10}=43.6 \end{aligned} $

हाशिना के लिए,

$ \begin{aligned} & \because \quad \quad \text { Mean }=55 \\ \\ & \therefore \quad \sigma=\sqrt{\dfrac{6368}{10}}=\sqrt{636.8}=25.2 \\ \\ & CV=\dfrac{\sigma}{\bar{x}} \times 100=\dfrac{12.96}{43.6} \times 100=29.72 \\ \\ & CV=\dfrac{\sigma}{\bar{x}} \times 100=\dfrac{25.2}{55} \times 100=45.89 \end{aligned} $

इसलिए, हाशिना अधिक सांतरता रखती है और अधिक बुद्धिमान है।

हल

दिया गया है, $ \quad n =100, \bar{x}=40, \sigma=10 \text { और } \bar{x}=40 $

$\therefore \quad \dfrac{\sum x _ {i}}{n} =40$

$\Rightarrow \quad \dfrac{\Sigma x _ {i}}{100}=40$

$\Rightarrow\quad \Sigma x _ {i} =4000$

$ \begin{aligned} \text { सही } \Sigma x _ {i} & =4000-30-70+3+27 \\ \\ & =4030-100=3930 \\ \\ \text { सही औसत } & =\dfrac{2930}{100}=39.3 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \sigma^{2} & =\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{n}-(40)^{2} \\ \\ 100 & =\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{100}-1600 \\ \\ \Sigma x _ i^{2} & =170000 \end{aligned} $

सही $\Sigma x _ i^{2}=170000-(30)^{2}-(70)^{2}+3^{2}+(27)^{2}$

$ \begin{aligned} & =164939 \\ \\ \text { सही } \sigma & =\sqrt{\dfrac{164939}{100}-(39.3)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{1649.39-39.3 \times 39.3} \\ \\ & =\sqrt{1649.39-1544.49} \\ \\ & =\sqrt{104.9}=10.24 \end{aligned} $

हल

$ \begin{array}{l} \operatorname{औसत}(\bar{x})=45 \\ \\ \text { विचलन }=\left(\sigma^{2}\right)=16 \\ \\ n=10 \end{array} $

हम जानते हैं, $ \operatorname{औसत}(\bar{x})=\dfrac{\sum x}{n} $

$ \Rightarrow \Sigma x=45 x _ {10}=450 $

अब, गलत पाठ 52 को 25 से बदलते हुए, हमें प्राप्त होता है,

$ \sum x(\text { सही })=450-52+25=423 $

$ \therefore \quad \text { सही औसत }(\bar{x})=\dfrac{\sum x(\text { सही })}{n}=\dfrac{423}{10} $

$ \text { सही औसत }(\bar{x})=42.3 $

अब, दिया गया विचलन $ =16 $

$ \begin{array}{l} \therefore \quad \dfrac{\sum x^{2}}{n}-\left(\dfrac{\sum x}{n}\right)^{2}=\sigma^{2}=16 \\ \\ \Rightarrow\quad \dfrac{\sum x^{2}}{10}-\left(\dfrac{450}{10}\right)^{2}=16 \\ \\ \Rightarrow\quad \sum x^{2}=20410 \end{array} $

अब, गलत पाठ 52 को 25 से बदलते हुए हमें प्राप्त होता है,

$ \begin{array}{l} \Sigma x^{2}=20410-(52)^{2}+(25)^{2} \\ \\ \Sigma x^{2}=18331 \end{array} `

$

अतः, सुधरा विचलन $ \sigma^{2}=\dfrac{\sum x^{2} \text { (सुधरा) }}{n}-\left(\dfrac{\sum x}{n}\right)^{2} $

$ \begin{aligned} & \qquad =\dfrac{18331}{10}-\left(\dfrac{423}{10}\right)^{2} \\ \\ \text { सुधरा विचलन } & =43.81 \end{aligned} $

हल

(b) दिया गया, अवलोकन $3,10,10,4,7,10$ और $5$ हैं।

यहाँ, $n=7,\bar x=\dfrac{3+10+10+4+7+10+5}{7}=7$

अब, $MD=\dfrac{\sum d _ {i}}{N}=\dfrac{18}{7}=2.57$

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि दिए गए आंकड़ों से गणना किया गया माध्य विचलन 2 नहीं है। सही माध्य विचलन 2.57 है।
• विकल्प (c) गलत है क्योंकि दिए गए आंकड़ों से गणना किया गया माध्य विचलन 3 नहीं है। सही माध्य विचलन 2.57 है।
• विकल्प (d) गलत है क्योंकि दिए गए आंकड़ों से गणना किया गया माध्य विचलन 3.75 नहीं है। सही माध्य विचलन 2.57 है।

हल

(b) $MD=\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n}|x _ {i}-\bar{x}|$

• विकल्प (a): $\sum _ {i=1}^{n}(x _ {i}-\bar{x})$ गलत है क्योंकि माध्य से विचलनों के योग हमेशा शून्य होता है। इसका कारण माध्य के गुणधर्म है, जो डेटा बिंदुओं को संतुलित करता है ताकि धनात्मक और ऋणात्मक विचलन एक दूसरे को बर्बाद कर दें।

• विकल्प (c): $\sum _ {i=1}^{n}(x _ {i}-\bar{x})^{2}$ गलत है क्योंकि यह माध्य से विचलनों के वर्गों के योग को दर्शाता है, जो विचलन के विचरण की गणना के लिए उपयोग किया जाता है, न कि माध्य विचलन।

• विकल्प (d): $\dfrac{1}{n} \sum _ {i=1}^{n}(x _ {i}-\bar{x})^{2}$ गलत है क्योंकि यह माध्य के संबंध में वर्गीकृत विचलन का औसत दर्शाता है, जो विचलन के औसत की परिभाषा नहीं है, बल्कि विचरण की परिभाषा है।

हल

(a) चूंकि, 5 बल्बों के जीवन 1357, 1090, 1666, 1494 और 1623 हैं।

$ \begin{aligned} \therefore \quad \text { माध्य } & =\dfrac{1357+1090+1666+1494+1623}{5} \\ \\ & =\dfrac{7230}{5}=1446 \end{aligned} $

• विकल्प (b) 179 गलत है क्योंकि दिए गए डेटा से गणना किए गए सही माध्य विचलन 178 है, न कि 179। माध्य से विचलन के अंतर का योग 890 है, और इसे बल्बों की संख्या (5) से विभाजित करने पर 178 प्राप्त होता है।

• विकल्प (c) 220 गलत है क्योंकि यह एक बल्ब (1666) के माध्य से अंतर को दर्शाता है, न कि सभी बल्बों के माध्य विचलन को।

• विकल्प (d) 356 गलत है क्योंकि यह एक बल्ब (1090) के माध्य से अंतर को दर्शाता है, न कि सभी बल्बों के माध्य विचलन को।

हल

(c) चूंकि, 9 छात्रों द्वारा गणित के परीक्षा में प्राप्त अंक 50, 69, 20, 33, 53, 39, 40, 65 और 59 हैं।

दिए गए डेटा को आरोही क्रम में लिखें।

$20,33,39,40,50,53,59,65,69$,

यहाँ, $n=9 \ [विषम]$

$\therefore \quad $ माध्यांक $=\dfrac{9+1}{2}$ वें अंक $=5$ वें अंक

$M _ e=50$

| $x _ i$ | $d _ i = \mid x _ i - Me \mid $ | |

| :—: | :—: | :—: | | 20 | 30 | | | 33 | 17 | | | 39 | 11 | | | 40 | 10 | | | 50 | 0 | | | 53 | 3 | | | 59 | 9 | | | 65 | 15 | | | 69 | 19 | | | | $\Sigma d _ {i}=114$ | | | MD $=\dfrac{114}{9}=12.67$ | | |

$\therefore \quad \text{विकल्प (c) सही है।}$

हल

(a) दिया गया, डेटा 6, 5, 9, 13, 12, 8 और 10 हैं।

$\begin{array}{|c|c|} \hline x _ i & x _ i^2 \\ \hline 6 & 36 \\ 5 & 25 \\ 9 & 81 \\ 13 & 169 \\ 12 & 144 \\ 8 & 64 \\ 10 & 100 \\ \hline \Sigma x _ i=6 3 & \Sigma x _ i^ 2=619 \\ \hline \end{array}$

$\begin{aligned} \therefore \quad \mathrm{SD} & =\sigma=\sqrt{\dfrac{\Sigma x _ i^2}{N}-{\Big(\dfrac{\Sigma x _ i}{N}}\Big)^2}=\sqrt{\dfrac{619}{7}-\Big(\dfrac{63}{7}\Big)^2} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{7 \times 619-3969}{49}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{4333-3969}{49}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{364}{49}}=\sqrt{\dfrac{52}{7}}\end{aligned}$

$\therefore \quad \text{विकल्प (a) सही है।}$

हल

(c) मानक विचलन द्वारा दिया गया है $ \sigma=\sqrt{\dfrac{\sum(x _ {i}-\bar{x})^{2}}{n}} $

• विकल्प (a) $\Sigma(x _ {i}-\bar{x})^{2}$ गलत है क्योंकि यह माध्य से विचलन के वर्गों के योग को दर्शाता है, न कि मानक विचलन। मानक विचलन के लिए इन वर्ग विचलनों के औसत के वर्गमूल की आवश्यकता होती है।

• विकल्प (b) $\dfrac{\Sigma(x _ {i}-\bar{x})^{2}}{n}$ गलत है क्योंकि यह विचलन के वर्ग के औसत को दर्शाता है, न कि मानक विचलन। मानक विचलन विचलन के वर्ग के औसत का वर्गमूल होता है।

• विकल्प (d) $\sqrt{\dfrac{\sum x _ i^{2}}{n}+\bar x^{-2}}$ गलत है क्योंकि यह मानक विचलन के सूत्र को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं करता। $\bar x^{-2}$ मानक विचलन के सूत्र के हिस्सा नहीं है और सही सूत्र माध्य से विचलन के वर्ग के योग को निरपेक्ष नहीं देखता है, बल्कि अवलोकन के वर्ग के योग को अवलोकन की संख्या से विभाजित करता है।

हल

(c) दिया गया है,

$\bar{x}=50, n =100 \text { और } \sigma=5 $

$\Sigma x _ i^{2} =? $

$\bar{x} =\dfrac{\Sigma x _ {i}}{n}$

$\Rightarrow \quad 50=\dfrac{\Sigma x _ {i}}{100} $

$\therefore \quad \Sigma x _ {i}=50 \times 100=5000$

$ \begin{aligned} & \text { अब, } \\ \\ & \Rightarrow \sigma=\sqrt{\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{n}-\dfrac{\sum x _ {i}{ }^{2}}{n}} \\ \\ & \Rightarrow \sigma^{2}=\dfrac{\sum x _ i^{2}}{n}-(\bar{x})^{2} \\ \\ & \Rightarrow \quad 25=\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{100}-(50)^{2} \\ \\ & \Rightarrow 25=\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{100}-2500 \\ \\ & \Rightarrow \quad 2525=\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{100} \\ \\ & \therefore \quad \Sigma x _ i^{2}=252500 \end{aligned} $

$\therefore \quad \text{विकल्प (c) सही है।}$

हल

(a) दिए गए अवलोकन $a, b, c, d$ और $e$ हैं।

$ \begin{aligned} \text { औसत } & =m=\dfrac{a+b+c+d+e}{5} \\ \\ \Sigma x _ {i} & =a+b+c+d+e=5 m \\ \\ \text { अब, } & \\ \\ \text { औसत } & =\dfrac{a+k+b+k+c+k+d+k+e+k}{5} \\ \\ & =\dfrac{(a+b+c+d+e)+5 k}{5}=m+k \\ \\ \therefore \quad SD & =\sqrt{\dfrac{\sum(x _ {i}+k)^{2}}{n}-(m+k)^{2}} \\ \\

& =\sqrt{\dfrac{\sum(x _ i^{2}+k^{2}+2 k x _ {i})}{n}-(m^{2}+k^{2}+2 m k)} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{n}-m^{2}+\dfrac{2 k \Sigma x _ {i}}{n}-2 m k} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{n}-m^{2}+2 k m-2 m k} \quad \left[\because \quad \dfrac{\Sigma x _ {i}}{n}=m\right] \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{n}-m^{2}} \\ \\ & =s \end{aligned} $

$\therefore \quad \text{विकल्प (a) सही है।}$

हल

(c) यहाँ,

$ \begin{aligned} m & =\dfrac{\Sigma x _ {i}}{5}, s=\sqrt{\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{5}-\Big(\dfrac{\Sigma x _ {i}}{5}\Big)^2} \\ \\ SD & =\sqrt{\dfrac{k^{2} \Sigma x _ i^{2}}{5}-\Big(\dfrac{k \Sigma x _ {i}{ }}{5}\Big)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{k^{2} \Sigma x _ i^{2}}{5}-k^{2} \Big(\dfrac{\Sigma x _ i}{5})^{2}} \\ \\ & =k\sqrt{\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{5}-{\left(\dfrac{\Sigma x _ {i}}{5}\right)^{2}}}=k s \end{aligned} $

$\therefore \quad \text{विकल्प (c) सही है।}$

हल

(a) दिया गया है, $w _ {i}=x _ {i}+k, \bar x _ i=48, s x _ {i}=12, w _ {i}=55$ और $s w _ {i}=15$

तब, $\quad \bar w _ i=\bar x _ i+k $

[जहाँ, $\bar w _ i$ $w _ {i}$ का औसत है और $\bar x _ i$ $x _ {i}{ }^{\prime} s$ का औसत है ]

$\Rightarrow \quad 55=48+k \qquad…(i)$

अब, $\quad \text{SD of } w _ {i}= \text{ SD of } x _ {i}$

$\Rightarrow \quad 15=12$

$\Rightarrow \quad l=\dfrac{15}{12} =1.25\qquad…(ii) $

समीकरण (i) और (ii) से,

$k=55-1.25 \times 48=-5$

$\therefore \quad \text{विकल्प (a) सही है।}$

हल

(d) हम जानते हैं कि, पहली $n$ प्राकृतिक संख्याओं के मानक विचलन $=\sqrt{\dfrac{n^{2}-1}{12}}$

$\therefore \quad $ पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के मानक विचलन $=\sqrt{\dfrac{(10)^{2}-1}{12}}$

$ \hspace{4.6cm}=\sqrt{\dfrac{100-1}{12}}=\sqrt{\dfrac{99}{12}} $

$\hspace{4.6cm}=\sqrt{8.25}=2.87 $

• विकल्प (a) 5.5 गलत है क्योंकि पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के मानक विचलन की गणना सूत्र $\sqrt{\dfrac{n^{2}-1}{12}}$ का उपयोग करके की जाती है, जो 5.5 नहीं देता।

• विकल्प (b) 3.87 गलत है क्योंकि, पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के लिए सूत्र $\sqrt{\dfrac{n^{2}-1}{12}}$ के उपयोग से परिणाम 3.87 नहीं होता।

• विकल्प (c) 2.97 गलत है क्योंकि पहली 10 प्राकृतिक संख्याओं के लिए सूत्र $\sqrt{\dfrac{n^{2}-1}{12}}$ के उपयोग से सही परिणाम 2.87 होता है, न कि 2.97।

हल

(d) दी गई संख्याएँ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 और 10 हैं।

यदि प्रत्येक संख्या में 1 जोड़ दिया जाए, तो अवलोकन 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 और 11 होंगे।

$ \begin{aligned} \therefore \quad \sum x _ {i}& =2+3+4+\ldots+11 \\ \\ & =\dfrac{10}{2}[2 \times 2+9 \times 1]=5[4+9]=65 \\ \\ \Sigma x _ i^{2}&=2^{2}+3^{2}+4^{2}+5^{2}+\ldots+11^{2} \\ \\ & =(1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+11^{2})-(1^{2}) \\ \\ & =\dfrac{11 \times 12 \times 23}{6}-1 \\ \\ & =\dfrac{11 \times 12 \times 23-6}{6}=505 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \therefore \quad s^{2} & =\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{n}-{\Big(\dfrac{\Sigma x _ {i}}{n}\Big)}^{2}=\dfrac{505}{10}-\Big(\dfrac{65}{10}\Big)^{2} \\ \\

& =50.5-(6.5)^{2} \\ \\ & =50.5-42.25 \\ \\ & =8.25 \end{aligned} $

$\therefore \quad \text{विकल्प (d) सही है।}$

हल

(a) क्योंकि, पहले 10 धनात्मक पूर्णांक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 और 10 हैं।

प्रत्येक संख्या को -1 से गुणा करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10 $

प्रत्येक संख्या में 1 जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\therefore \quad 0,-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9 $

$0+(-1)+(-2)+(-3)………+(-8)+(-9)=-\dfrac{9 \times 10}{2}=-45 $

$\text { और } \quad \Sigma x _ i^{2}=0^{2}+(-1)^{2}+(-2)^{2}+\ldots+(-9)^{2}$

$\hspace{1.7cm}=\dfrac{9 \times 10 \times 19}{6}=285 $

$\therefore \quad SD =\sqrt{\dfrac{285}{10}-\Big(\dfrac{-45}{10}\Big)^2}=\sqrt{\dfrac{285}{10}-\dfrac{2025}{100}} $

$\hspace{1.3cm}=\sqrt{\dfrac{2850-2025}{100}}=\sqrt{8.25}$

$\text { अब, } \quad \text { विचरण } =(SD)^{2}=(\sqrt{8.25})^{2}=8.25$

$\therefore \quad \text{विकल्प (a) सही है।}$

हल

(d)

$ \text { विचरण }=\dfrac{\Sigma x _ i^{2}}{n}-\Big(\dfrac{\Sigma x _ {i}}{n}\Big)^2 $

$\hspace{1.7cm}=\dfrac{18000}{60}-\Big(\dfrac{960}{60}\Big)^{2}=300-256=44$

$\therefore \quad \text{विकल्प (d) सही है।}$

हल

(a) $\text{यहाँ},\quad CV _ 1=50, CV _ 2=60, \bar x _ 1=30 \text { और } \bar x _ 2=25$

$ \therefore \quad CV _ 1=\dfrac{\sigma _ 1}{\bar x _ 1} \times 100 $

$\Rightarrow\quad 50=\dfrac{\sigma _ 1}{30} \times 100 $

$\therefore \quad \sigma _ 1=\dfrac{30 \times 50}{100}=15 \text { और } CV _ 2=\dfrac{\sigma _ 2}{\bar x _ 2} \times 100 $

$\Rightarrow \quad 60=\dfrac{\sigma _ 2}{25} \times 100 $

$\therefore \quad \sigma _ 2=\dfrac{60 \times 25}{100}=15 $

$\text { अब, }\quad \sigma _ 1-\sigma _ 2=15-15=0 $

$\therefore \quad \text{विकल्प (a) सही है।}$

Solution

(a) दिया गया, $\quad\sigma _ {C}=5 $

$\Rightarrow\quad \dfrac{5}{9}(F-32)=C$

$ \begin{aligned} F & =\dfrac{9 C}{5}+32 \\ \\ \sigma _ {F} & =\dfrac{9}{5} \sigma _ {C}=\dfrac{9}{5} \times 5=9 \end{aligned} $

यहाँ, $\quad \sigma _ F^{2}=(9)^{2}=81 $

$\therefore \quad \text{विकल्प (a) सही है।}$

Solution

$C V=\dfrac{S D}{\text { औसत }} \times 100$

Solution

यदि $\bar{x}$, $n$ मानों $x$ का औसत है, तो $\sum _ {i=1}^{n}(x _ {i}-\bar{x})=0$ और यदि $a$ कोई भी मान है जो $\bar{x}$ से अलग है, तो $\sum _ {i=1}^{n}(x _ {i}-\bar{x})^{2}$ $\sum(x _ {i}-a)^{2}$ से कम होता है।

Solution

यदि डेटा के विचरण 121 है।

तो,

$ \begin{aligned} S D & =\sqrt{\text { विचरण }} \\ \\

& =\sqrt{121}=11 \end{aligned} $

हल

डेटा के मानक विचलन की एक परिवर्तन में मूल के बदले के लिए एक निर्भरता नहीं होती, लेकिन इसके अनुपात के परिवर्तन पर निर्भर करता है।

हल

चर के मान के विचलन के वर्गों के योग उनके अंकगणितीय औसत के संबंध में न्यूनतम होता है।

हल

डेटा के माध्य विचलन जब माध्य से मापा जाता है तो न्यूनतम होता है।

हल

मानक विचलन अंकगणितीय औसत से लिए गए माध्य विचलन के बराबर या अधिक होता है।