सोचने की प्रक्रिया

दिए गए समीकरण को हल करें और $x$ का मान प्राप्त करें।

हल

(i) हमें दिया गया है,

$A =\lbrace x: x \in R, 2 x+11=15\rbrace$

$\therefore\quad 2 x+11 =15$

$\Rightarrow 2 x =15-11 $

$\Rightarrow 2 x=4$

$\Rightarrow x =2$

$\Rightarrow A =\lbrace 2\rbrace$

$\text{(ii) हमें दिया गया है},$

$ B =\lbrace x \mid x^{2}=x, x \in R\rbrace$

$x^{2} =x$

$\Rightarrow x^{2}-x =0$

$ \Rightarrow x(x-1) =0$

$\Rightarrow x =0,1$

$\therefore\quad B =\lbrace 0,1\rbrace$

(iii) हमें दिया गया है, $C=\lbrace x \mid x$ एक अभाज्य संख्या $p$ का धनात्मक गुणनखंड है $\rbrace$.

क्योंकि, एक अभाज्य संख्या के धनात्मक गुणनखंड 1 और संख्या खुद होते हैं।

$ \therefore\quad C=\lbrace1, p\rbrace $

सोचने की प्रक्रिया

दिए गए समीकरण को हल करें और संगत चर का मान प्राप्त करें।

हल

(i) हमें दिया गया है,

$\text { हमें दिया गया है, } D =\lbrace t \mid t^{3}=t, t \in R\rbrace $

$\therefore\quad t^{3} =t $

$\Rightarrow t^{3}-t =0 $

$\Rightarrow t(t^{2}-1)=0 $

$\Rightarrow t(t-1)(t+1) =0$

$ \Rightarrow t=0,1,-1 $

$\therefore\quad D =\lbrace-1,0,1\rbrace $

(ii) $ \ \text { हमें दिया गया है, } $

$ \begin{aligned} & E =\left\lbrace w \vert\ \dfrac{w-2}{w+3}=3, w \in R\right\rbrace \\ \\ & \therefore\quad \dfrac{w-2}{w+3}=3 \\ \\ & \Rightarrow \quad w-2=3 w+9 \Rightarrow w-3 w=9+2 \\ \\

& \Rightarrow \quad-2 w=11 \quad \Rightarrow \quad w=\dfrac{-11}{2} \\ \\ & \therefore\quad E=\bigg\lbrace \dfrac{-11}{2} \bigg\rbrace \end{aligned} $

(iii) हमारे पास,

$ F=\lbrace x \mid x^{4}-5 x^{2}+6=0, x \in R\rbrace $

$ \therefore\quad x^{4}-5 x^{2}+6 =0 $

$ \Rightarrow x^{4}-3 x^{2}-2 x^{2}+6 =0 $

$ \Rightarrow x^{2}(x^{2}-3)-2(x^{2}-3) =0 $

$ \Rightarrow (x^{2}-3)(x^{2}-2) =0 $

$ \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}, \pm \sqrt{2} $

$ \therefore\quad F =\lbrace -\sqrt{3},-\sqrt{2}, \sqrt{2}, \sqrt{3}\rbrace $

रोस्टर रूप में, तत्वों के व्यवस्था के क्रम के महत्व नहीं होता। इसलिए, हम इस प्रकार लिख सकते हैं $F=\lbrace-\sqrt{3}, \sqrt{2},-\sqrt{2}, \sqrt{3}\rbrace$।

चिंतन प्रक्रिया

पहले, $2^{p-1}$ के सभी गुणनखंड लिखिए, जहाँ $p=1,2,3, \ldots, p$ और फिर $Y$ को प्राप्त करें।

हल

$Y=\lbrace x \mid x.$ संख्या $2^{p-1}(2^{p}-1)$ का धनात्मक गुणनखंड है, जहाँ $2^{p}-1$ एक अभाज्य संख्या है $\rbrace$.

इसलिए, $2^{p-1}$ के गुणनखंड $1,2,2^{2}, 2^{3}, \ldots, 2^{p-1}$ हैं।

$ \therefore\quad Y=\lbrace1,2,2^{2}, 2^{3}, \ldots, 2^{p-1}, 2^{p}-1\rbrace $

हल

(i) क्योंकि, 35 के गुणनखंड $1,5,7$ और 35 हैं। इसलिए, कथन (i) सत्य है।

(ii) क्योंकि, 128 के गुणनखंड 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 और 128 हैं।

$ \begin{aligned}

\therefore\quad \text { गुणनखंडों का योग } & =1+2+4+8+16+32+64+128 \\ & =255 \neq 2 \times 128 \end{aligned} $

इसलिए, कथन $\mathrm{(ii)}$ गलत है।

(iii) हमारे पास,

$ x^{4}-5 x^{3}+2 x^{2}-112 x+6=0 $

$\therefore\quad $ जब $x=3$,

$\Rightarrow \quad 81-135+18-336+6=0$

$\Rightarrow\quad-346=0$

जो सत्य नहीं है।

इसलिए, कथन $\mathrm{(iii)}$ सत्य है।

(iv) $\quad\because \quad 496=2^{4} \times 31$

इसलिए, $496$ के गुणनखंड $1,2,4,8,16,31,62,124,248$ और $496$ हैं।

$\therefore\quad $ गुणनखंडों का योग $=1+2+4+8+16+31+62+124+248+496$

$ \hspace{2.7cm}=992=2(496) $

इसलिए, $496 \in\lbrace y \mid$ $y$ के सभी धनात्मक गुणनखंडों का योग $2 y$ है $\rbrace$।

इसलिए, कथन $\mathrm{(iv)}$ गलत है।

हल

दिया गया है, $\quad L=\lbrace1,2,3,4\rbrace, M=\lbrace3,4,5,6\rbrace$ और $N=\lbrace1,3,5\rbrace$

$\therefore\quad M \cup N=\lbrace1,3,4,5,6\rbrace$

$ L-(M \cup N)=\lbrace2\rbrace $

अब,

$ L-M=\lbrace1,2\rbrace, L-N=\lbrace2,4\rbrace $

$\therefore\quad (L-M) \cap(L-N)=\lbrace2\rbrace$

इसलिए, $\quad L-(M \cup N)=(L-M) \cap(L-N)$।

हल

(i) मान लीजिए $ x \in A $

$\Rightarrow \quad x \in A$ या $x \in B $

$\Rightarrow \quad x \in A \cup B$

इसलिए, $A \subset A \cup B$

(ii) मान लीजिए $x \in A \cup B$

$\Rightarrow \quad x \in A$ या $x \in B$

$\because \quad A \subset B, \ \ \text{तब}, \ \ x \in B$

$\Rightarrow \quad A \cup B \subset B \qquad\ldots\mathrm{(i)}$

$\text{अब}, \ B \subset A \cup B \qquad\ldots\mathrm{(ii)}$

समीकरण $\mathrm{(i)}$ और $\mathrm{(ii)}$ से, हम प्राप्त करते हैं

$A\cup B = B$

अब, मान लीजिए $y \in A$

$\Rightarrow \quad y \in A \cup B$

क्योंकि, $A \cup B = B,$ हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \quad y \in B$

$\Rightarrow \quad A \subset B$

इसलिए, $A \subset B \Leftrightarrow A \cup B = B$

(iii) मान लीजिए $x \in A \cap B$

$\Rightarrow \quad x \in A$ और $x \in B$

$\Rightarrow \quad x \in A$

इसलिए, $A \cap B \subset A$

Solution

हमारे पास,

$ N=\lbrace1,2,3,4, \ldots, 100\rbrace $

(i) आवश्यक उपसमुच्चय $=\lbrace2,4,6,8, \ldots, 100\rbrace$

(ii) आवश्यक उपसमुच्चय $=\lbrace1,4,9,16,25,36,49,64,81,100\rbrace$

Solution

दिया गया है,

$ X=\lbrace1,2,3\rbrace $

(i) $\lbrace4 n \mid n \in X\rbrace=\lbrace4,8,12\rbrace$

(ii) $\lbrace n+6 \mid n \in X\rbrace=\lbrace7,8,9\rbrace$

(iii) $\bigg\lbrace \dfrac{n}{2} \vert n \in X \bigg\rbrace = \bigg\lbrace \dfrac{1}{2}, 1, \dfrac{3}{2} \bigg\rbrace$

(iv) $\lbrace n-1 \mid n \in X\rbrace=\lbrace0,1,2\rbrace$

Solution

दिया गया है,

$ Y=\lbrace 1,2,3, \ldots, 10\rbrace $

(i) $\lbrace a: a \in Y$ और $a^{2} \notin Y\rbrace=\lbrace4,5,6,7,8,9,10\rbrace$

(ii) $\lbrace a: a+1=6, a \in Y\rbrace=\lbrace5\rbrace$

(iii) $\lbrace a:a \ \text{is less than} 6, a \in Y \rbrace = \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace$

हल

हल

चिंतन प्रक्रिया

इसे सिद्ध करने के लिए हमें दिखाना होगा कि $(A-B) \cap(A-C) \subseteq A-(B \cup C)$ और $A-(B \cup C) \subseteq(A-B) \cap(A-C)$

हल

$\text{मान लीजिए,} \quad x \in(A-B) \cap(A-C)$

$\Rightarrow \quad x \in(A-B)$ और $x \in(A-C)$

$\Rightarrow \quad(x \in A$ और $x \notin B)$ और $(x \in A$ और $x \notin C)$

$\Rightarrow \quad x \in A$ और $(x \notin B$ और $x \notin C)$

$\Rightarrow \quad x \in A$ और $x \notin(B \cup C)$

$\Rightarrow \quad x \in A-(B \cup C)$

$\Rightarrow \quad(A-B) \cap(A-C) \subset A-(B \cup C) \quad \ldots {(i)}$

अब, मान लीजिए $\quad y \in A-(B \cup C)$

$\Rightarrow$ $\quad y \in A$ और $y \notin(B \cup C)$

$\Rightarrow \quad y \in A$ और $(y \notin B$ और $y \notin C)$

$\Rightarrow \quad(y \in A$ और $y \notin B)$ और $(y \in A$ और $y \notin C)$

$\Rightarrow \quad y \in(A-B)$ और $y \in(A-C)$

$\Rightarrow \quad y \in(A-B) \cap(A-C)$

$\Rightarrow \quad A-(B \cup C) \subset(A-B) \cap(A-C) \quad \ldots {(ii)}$

समीकरणों $\mathrm{(i)}$ और $\mathrm{(ii)}$ से,

$A-(B \cup C)=(A-B) \cap(A-C)$

चिंतन प्रक्रिया

उपरोक्त समस्या को हल करने के लिए समुच्चयों पर वितरण नियम का उपयोग करें

अर्थात, $\quad A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$।

हल

$ \begin{aligned} LHS & =(A-B) \cup(A \cap B) \\ & =[(A-B) \cup A] \cap[(A-B) \cup B] \\ & =A \cap(A \cup B)=A=RHS \end{aligned} $

इसलिए, दिया गया कथन सत्य है।

हल

नीचे दिए गए वेन आरेखों को देखें, जहां छायांकित भाग $A-(B-C)$ और $(A-B)-C$ को प्रतिनिधित्व करते हैं।

स्पष्ट रूप से, $A-(B-C)\neq (A-B)-C$

इसलिए, दिया गया कथन असत्य है।

हल

मान लीजिए $x \in A \cap C$

$\Rightarrow \quad x \in A$ और $x \in C$

$\Rightarrow \quad x \in B$ और $x \in C \quad [\because A \subset B]$

$\Rightarrow \quad x \in(B \cap C)$

$ \Rightarrow\quad(A \cap C) \subset(B \cap C)$

इसलिए, दिया गया कथन सत्य है।

हल

$\text{मान लीजिए,} \quad x \in A \cup C$

$\Rightarrow\quad$ $x \in A$ या $x \in C$

$\Rightarrow \quad x \in B$ या $x \in C \quad[\because A \subset B]$

$\Rightarrow \quad x \in B \cup C $

$\Rightarrow \quad A \cup C \subset B \cup C$

इसलिए, दिया गया कथन सत्य है।

हल

$\text{मान,}\quad x \in A \cup B$

$\Rightarrow\quad$ $x \in A$ और $x \in B$

$\Rightarrow \quad x \in C$ और $x \in C\quad$ $[\because A \subset C$ और $B \subset C]$

$\Rightarrow$ $x \in C \Rightarrow A \cup B \subset C$

इसलिए, दिया गया कथन सत्य है।

चिंतन प्रक्रिया

उपरोक्त समस्या को हल करने के लिए, वितरण नियम का उपयोग करें, अर्थात, $A \cup(B \cap C)=(A \cup B) \cap(A \cup C)$।

हल

$\text{LHS} = A \cup(B-A)=A \cup(B \cap A^{\prime})\qquad \left[\because A-B=A \cap B^{\prime}\right]$

$\qquad =(A \cup B) \cap(A \cup A^{\prime}) $

$\qquad=(A \cup B) \cap U \qquad{[\because A \cup A^{\prime}=\cup]} $

$\qquad=A \cup B \qquad {[\because A \cap U=A]} $

$\qquad=R H S$

हल

$ \begin{aligned} LHS & =A-(A-B)=A-(A \cap B^{\prime}) \\ \\ & =A \cap(A \cap B^{\prime})^{\prime}\\ \\ & =A \cap[A^{\prime} \cup(B^{\prime})^{\prime}] \\ \\ & =A \cap(A^{\prime} \cup B) \\ \\ & =(A \cap A^{\prime}) \cup(A \cap B)\\ \\ & =\phi \cup(A \cap B) \\ \\ & =A \cap B=RHS \end{aligned} $

हल

$ \begin{aligned} LHS & =A-(A \cap B)=A \cap(A \cap B)^{\prime} \qquad [\because A-B=A \cap B^{\prime}]\\ \\ & =A \cap(A^{\prime} \cup B^{\prime}) \qquad [\because (A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}] \\ \\ & =(A \cap A^{\prime}) \cup(A \cap B^{\prime})=\phi \cup(A \cap B^{\prime}) \qquad [\because(A^{\prime})^{\prime}=A]\\ \\ `

& =A \cap B^{\prime} \\ \\ & =A-B=RHS \end{aligned} $

हल

$ \begin{aligned} LHS & =(A \cup B)-B=(A \cup B) \cap B^{\prime}\quad [\because A-B=A \cap B^{\prime}] \\ \\ & =(A \cap B^{\prime}) \cup(B \cap B^{\prime})=(A \cap B^{\prime}) \cup \phi \quad [\because B \cap B^{\prime}=\phi] \\ \\ & =A \cap B^{\prime} \quad [\because A \cup \phi=A] \\ \\ & =A-B=RHS \end{aligned} $

चिंतन प्रक्रिया

पहले दिए गए समीकरण को हल करें और $x$ का मान प्राप्त करें।

हल

$\text{क्योंकि}$

$ \begin{aligned} T=\bigg\lbrace x \bigg\vert, \dfrac{x+5}{x-7}-5 =\dfrac{4 x-40}{13-x} \bigg\rbrace \qquad \left[\because \dfrac{x+5}{x-7}-5 =\dfrac{4 x-40}{13-x}\right] \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \dfrac{x+5-5(x-7)}{x-7}=\dfrac{4 x-40}{13-x} \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{x+5-5 x+35}{x-7}=\dfrac{4 x-40}{13-x} \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{-4 x+40}{x-7}=\dfrac{4 x-40}{13-x} \\ \\ & \Rightarrow \quad-(4 x-40)(13-x)=(4 x-40)(x-7) \\ \\ & \Rightarrow \quad(4 x-40)(x-7)+(4 x-40)(13-x)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad(4 x-40)(x-7+13-x)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad 4(x-10) 6=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad 24(x-10)=0 \\ \\ & \Rightarrow \quad x=10 \\ \\ & \therefore\quad T=\lbrace10\rbrace \end{aligned} $

इसलिए, $T$ एक खाली समुच्चय नहीं है।

हल

$\text{मान लीजिए,} \ \ x \in A \cap (B \cup C)$

$\Rightarrow x \in A$ और $x \in(B \cup C)$

$\Rightarrow x \in A$ और $(x \in B$ या $x \in C)$

$\Rightarrow (x \in A$ और $x \in B)$ या $(x \in A$ और $x \in C)$

$\Rightarrow x \in A \cap B$ या $x \in A \cap C$

$\Rightarrow x \in(A \cap B) \cup(A \cap C)$

$\Rightarrow A \cap(B \cup C) \subset(A \cap B) \cup(A \cap C) \quad \qquad\ldots\mathrm{(i)}$

पुनः, $\ \text{let}$

$\Rightarrow y \in(A \cap B) \cup(A \cap C)$

$\Rightarrow y \in(A \cap B)$ या $y \in(A \cap C)$

$\Rightarrow (y \in A$ और $y \in B)$ या $(y \in A$ और $y \in C)$

$\Rightarrow y \in A$ और $(y \in B$ या $y \in C)$

$\Rightarrow y \in A$ और $y \in B \cup C$

$\Rightarrow y \in A \cap(B \cup C)$

$\Rightarrow (A \cap B) \cup(A \cap C) \subset A \cap(B \cup C) \qquad \qquad\ldots\mathrm{(ii)}$

समीकरण (i) और (ii) से

$A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$

Solution

मान लीजिए कि कुल छात्रों की संख्या $=U$

मान लीजिए कि अंग्रेजी में पास हुए छात्रों की संख्या $=E$

मान लीजिए कि गणित में पास हुए छात्रों की संख्या $=M$

मान लीजिए कि विज्ञान में पास हुए छात्रों की संख्या $=S$

कुल छात्रों की संख्या $n(U)= 100$

अंग्रेजी में पास हुए छात्रों की संख्या $n(E)=15$

गणित में पास हुए छात्रों की संख्या $n(M)=12$

विज्ञान में पास हुए छात्रों की संख्या $n(S)=8$

अंग्रेजी और गणित में पास हुए छात्रों की संख्या $n(E \cap M)=6$

गणित और विज्ञान में पास हुए छात्रों की संख्या $n(M \cap S)=7$

अंग्रेजी और विज्ञान में पास हुए छात्रों की संख्या $n(E \cap S)=4$

सभी तीन में पास हुए छात्रों की संख्या $n(E \cap M \cap S )=4$

$n(M \cap S \cap E) = e =4$

$n(M \cap S) = e+d =7$

$\Rightarrow \quad 4+d =7$

$\Rightarrow \quad d =3$

अब, $ \ n(M \cap E) = b+e =6$

$\Rightarrow \quad b+4 = 6$

$\Rightarrow \quad b= 2$

साथ ही, $ \ n(S \cap E) = e+f =4$

$\Rightarrow \quad 4+f =4$

$\Rightarrow \quad f= 0$

अब, $ \ n(M) = b+c+e+d =12$

$\Rightarrow \quad 2+c+4+3=12$

$\Rightarrow \quad c=3$

$n(E) = a+b+e+f =15$

$\Rightarrow \quad a+2+4+0 =15$

$\Rightarrow \quad a =9$

$n(S) = f+e+d+g =8$

$\Rightarrow \quad 0+4+3+g =8$

$\Rightarrow \quad g=1$

(i) विषयों में से अंग्रेजी और गणित में पास हुए लेकिन विज्ञान में नहीं हुए छात्रों की संख्या $=b=2$

(ii) विषयों में से गणित और विज्ञान में पास हुए लेकिन अंग्रेजी में नहीं हुए छात्रों की संख्या $=d=3$

(iii) केवल गणित में पास हुए छात्रों की संख्या $=c=3$

(iv) एक से अधिक विषयों में पास हुए छात्रों की संख्या

$ \begin{aligned} & =b+e+d+f \\ \\ & =2+4+3+0=9 \end{aligned} $

वैकल्पिक विधि

मान लीजिए $E$ अंग्रेजी में पास हुए छात्रों के समुच्चय को दर्शाता है। $M$ गणित में पास हुए छात्रों के समुच्चय को दर्शाता है। $S$ विज्ञान में पास हुए छात्रों के समुच्चय को दर्शाता है।

अब,

$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad n(U) & =100, n(E)=15, n(m)=12, n(S)=8 \\ \\ n(E \cap M) & =6, n(M \cap S)=7 \\ \\ n(E \cap S) & =4, n(E \cap M \cap S)=4 \end{aligned} $

(i) अंग्रेजी और गणित में पास हुए लेकिन विज्ञान में नहीं हुए छात्रों की संख्या

$ \text { अर्थात, } \quad \begin{aligned} n(E \cap M \cap S^{\prime}) & =n(E \cap M)-n(E \cap M \cap S) \quad[\because A \cap B^{\prime}=A-(A \cap B)] \\ & =6-4=2 \end{aligned} $

(ii) गणित और विज्ञान में पास हुए लेकिन अंग्रेजी में नहीं हुए छात्रों की संख्या।

$ \text { अर्थात, } \quad n(M \cap S \cap E^{\prime})=n(M \cap S)-n(M \cap S \cap E) $

$ \hspace{3.4cm}=7-4=3 $

(iii) केवल गणित में पास हुए छात्रों की संख्या

$ \text { अर्थात, } \quad \begin{aligned} n(M \cap S^{\prime} \cap E^{\prime}) & =n(M)-n(M \cap S)-n(M \cap E)+n(M \cap S \cap E) \\ & =12-7-6+4=3 \end{aligned} $

(iv) एक से अधिक विषयों में पास हुए छात्रों की संख्या (केवल)

$ \text { अर्थात, } \quad \begin{aligned} n(E \cap M)+n(M & \cap S)+n(E \cap S)-3 n(E \cap M \cap S)+n(E \cap M \cap S) \\ & =6+7+4-4 \times 3+4 \\ & =17-12+4=5+4=9 \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $C$ वह समुच्चय है जो क्रिकेट खेलने वाले छात्रों को दर्शाता है और $T$ वह समुच्चय है जो टेनिस खेलने वाले छात्रों को दर्शाता है। तब

$ n(U)=60, n(C)=25, n(T)=20 \text {, और } n(C \cap T)=10 $

$ \begin{aligned} \therefore\quad n(C \cup T) & =n(C)+n(T)-n(C \cap T) \\ & =25+20-10=35 \end{aligned} $

$\therefore\quad $ जो छात्र न तो क्रिकेट न ही टेनिस खेलते हैं $=n(U)-n(C \cup T)$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =60-35=25 $

चिंतन प्रक्रिया

इस समस्या को हल करने के लिए, तीनों विषयों के लिए सूत्र का उपयोग करें

$n(A \cup B \cup C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C)-n(C \cap A)+n(A \cap B \cap C)$।

हल

मान लीजिए $M$ वह समुच्चय है जो गणित अध्ययन करने वाले छात्रों को दर्शाता है, $P$ वह समुच्चय है जो भौतिक विज्ञान अध्ययन करने वाले छात्रों को दर्शाता है और $C$ वह समुच्चय है जो रसायन विज्ञान अध्ययन करने वाले छात्रों को दर्शाता है।

तब, $n(U)=200,n(M)=120,n(P)=90$

$n(C) =70, n(M \cap P)=40, n(P \cap C)=30, n(C \cap M) =50 $

और $ \quad n(M^{\prime} \cap P^{\prime} \cap C^{\prime})=20 $

$\Rightarrow \quad n(U)-n(M \cup P \cup C) =20 $

$\because \quad n(M \cup P \cup C) =200-20=180$

$\Rightarrow n(M \cup P \cup C) =n(M)+n(P)+n(C)-n(C \cap M)+n(M \cap P \cap C) $

$\Rightarrow 180 =120+90+70-40-30-50+n(M \cap P \cap C) $

$\Rightarrow n(M \cap P \cap C) =180-160=20$

तो, तीनों विषयों के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $20$ है।

हल

मान लीजिए $A$ वह समुच्चय है जो अखबार $A$ खरीदने वाले परिवारों को दर्शाता है, $B$ वह समुच्चय है जो अखबार $B$ खरीदने वाले परिवारों को दर्शाता है और $C$ वह समुच्चय है जो अखबार $C$ खरीदने वाले परिवारों को दर्शाता है।

तब,

$n(U) =10000, n(A)=40 \% n(B)=20 \% और n(C)=10 \%$

$n(A \cap B) =5 \%$

$n(B \cap C) =3 \%$

$n(A \cap C) =4 \%$

$n(A \cap B \cap C) =2 \%$

(i) केवल अखबार $A$ खरीदने वाले परिवारों की संख्या

$=n(A)-n(A \cap B)-n(A \cap C)+n(A \cap B \cap C) $

$=(40-5-4+2) \%=33 \%$

$ 10000 \times 33 / 100 =3300 $

(ii) $A, B$ और $C$ में से कोई भी अखबार नहीं खरीदने वाले परिवारों की संख्या

$=n(U)-n(A \cup B \cup C) $

$=n(U)-[n(A)+n(B)+n(C)-n(A \cap B)-n(B \cap C) -n(A \cap C)+n(A \cap B \cap C)]$

$=100-[40+20+10-5-3-4+2]=100-60 \%=40 \%$

$ =10000 \times \dfrac{40}{100}=4000 $

हल

मान लीजिए छात्रों की संख्या $=U$

मान लीजिए अंग्रेजी के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $=E$

मान लीजिए फ्रेंच के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $=F$

मान लीजिए संस्कृत के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $=S$

कुल छात्रों की संख्या $n(U)=50$

अंग्रेजी के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $n(E)=13$

फ्रेंच के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $n(F)=17$

संस्कृत के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $n(S)=15$

अंग्रेजी और फ्रेंच के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $n(E \cap F)=9$

फ्रेंच और संस्कृत के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $n(F \cap S)=5$

अंग्रेजी और संस्कृत के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $n(E \cap S)=4$

सभी तीन विषयों के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या $n(E \cap F \cap S)=3$

$n(F \cap S \cap E) =e=3$

$n(F \cap S ) = e+f=5$

$\Rightarrow \quad 3+f =5$

$\Rightarrow \quad f=2$

$n(F \cap E) = e+b =9$

$\Rightarrow \quad 3+b=9$

$\Rightarrow \quad b=6$

$n(S \cap E) = e+d =4$

$\Rightarrow \quad 3+d =4$

$\Rightarrow \quad d=1$

$n(F) = a+b+e+f=17$

$\Rightarrow \quad a+6+3+2 =17$

$\Rightarrow \quad a=17-11 = 6$

$n(E)= b+c+e+d =13$

$\Rightarrow \quad 6+c+3+1 =13$

$\Rightarrow \quad c=13-10=3$

$n(S) = f+e+d+g = 15$

$\Rightarrow \quad 2+3+1+g=15$

$\Rightarrow \quad g=15-6=9$

(i) केवल फ्रेंच के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या, $a=6$

(ii) केवल अंग्रेजी के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या, $c=3$

(iii) केवल संस्कृत के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या, $g=9$

(iv) अंग्रेजी और संस्कृत के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या जो फ्रेंच के अध्ययन न करें, $d=1$

(v) फ्रेंच और संस्कृत के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या जो अंग्रेजी के अध्ययन न करें, $f=2$

(vi) फ्रेंच और अंग्रेजी के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या जो संस्कृत के अध्ययन न करें, $b=6$

(vii) तीन भाषाओं में से कम से कम एक भाषा के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या

$ \begin{aligned} & =a+b+c+d+e+f+g \\ \\ & =6+6+3+1+3+2+9=30 \end{aligned} $

(viii) तीन भाषाओं में से कोई भी अध्ययन न करने वाले छात्रों की संख्या $=$ कुल छात्रों की संख्या - तीन भाषाओं में से कम से कम एक भाषा के अध्ययन करने वाले छात्रों की संख्या

$ =50-30=20 $

चिंतन प्रक्रिया

पहले दोनों समुच्चयों के तत्वों की कुल संख्या ज्ञात करें, फिर उन्हें तुलना करें।

हल

विकल्प (c): यदि तत्व दोहराए नहीं जाते, तो $A_1 \cup A_2 \cup A_3, \ldots \cup A_{30}$ के तत्वों की संख्या $30 \times 5$ होती है।

लेकिन प्रत्येक तत्व 10 बार उपयोग किया जाता है, इसलिए

$ \qquad S=\dfrac{30 \times 5}{10}=15 $

यदि $B_1, B_2, \ldots, B_{n}$ में तत्व दोहराए नहीं जाते, तो कुल तत्वों की संख्या $3 n$ होती है लेकिन प्रत्येक तत्व 9 बार दोहराया जाता है, इसलिए

$ \begin{aligned} & S=\dfrac{3 n}{9} \Rightarrow 15=\dfrac{3 n}{9} \\ \\ \therefore\quad & n=45 \end{aligned} $

• विकल्प (a) 15: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $ n = 15 $, तो $ B_1, B_2, \ldots, B_{15} $ में कुल तत्वों की संख्या $ 3 \times 15 = 45 $ होती है। चूंकि प्रत्येक तत्व 9 बार दोहराया जाता है, तो अद्वितीय तत्वों की संख्या $ \dfrac{45}{9} = 5 $ होती है, जो दिए गए शर्त के विपरीत है कि $ S $ में 15 अद्वितीय तत्व हैं।

• विकल्प (b) 3: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $ n = 3 $, तो $ B_1, B_2, \ldots, B_3 $ में कुल तत्वों की संख्या $ 3 \times 3 = 9 $ होती है। चूंकि प्रत्येक तत्व 9 बार दोहराया जाता है, तो अद्वितीय तत्वों की संख्या $ \dfrac{9}{9} = 1 $ होती है, जो दिए गए शर्त के विपरीत है कि $ S $ में 15 अद्वितीय तत्व हैं।

• विकल्प (d) 35: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $ n = 35 $, तो $ B_1, B_2, \ldots, B_{35} $ में कुल तत्वों की संख्या $ 3 \times 35 = 105 $ होती है। चूंकि प्रत्येक तत्व 9 बार दोहराया जाता है, तो अद्वितीय तत्वों की संख्या $ \dfrac{105}{9} \approx 11.67 $ होती है, जो पूर्णांक नहीं है और दिए गए शर्त के विपरीत है कि $ S $ में 15 अद्वितीय तत्व हैं।

विचार प्रक्रिया

हम जानते हैं कि, यदि एक समुच्चय $A$ में $n$ तत्व हो, तो $A$ के उपसमुच्चयों की संख्या $2^{n}$ के बराबर होती है।

हल

विकल्प (a): एक समुच्चय में $m$ तत्व होने पर उपसमुच्चयों की संख्या दूसरे समुच्चय में $n$ तत्व होने पर उपसमुच्चयों की संख्या से 112 अधिक होती है।

$ \because \quad 2^{m}-2^{n} =112 $

$ \Rightarrow\quad 2^{n} \cdot(2^{m-n}-1) =2^{4} \cdot 7 $

$ \Rightarrow\quad 2^{n}=2^{4} \text { और } 2^{m-n}-1 =7 $

$ \Rightarrow\quad n=4 \text { और } 2^{m-n} =8 $

$ \Rightarrow\quad 2^{m-n} =2^{3}$

$\Rightarrow\quad m-n=3 $

$ \Rightarrow\quad m-4 =3 $

$\Rightarrow\quad m=4+3 $

$ \therefore\quad m =7 $

• विकल्प (b) 7,4: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $ m = 7 $ और $ n = 4 $, तो पहले समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $ 2^7 = 128 $ होती है और दूसरे समुच्चय के उपसमुच्चयों की संख्या $ 2^4 = 16 $ होती है। उपसमुच्चयों की संख्या के बीच अंतर $ 128 - 16 = 112 $ होता है, जो दिए गए शर्त के साथ मेल खाता है। इसलिए, यह विकल्प वास्तव में सही है, न कि गलत।

• विकल्प (c) 4,4: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $ m = 4 $ और $ n = 4 $, तो दोनों समुच्चयों के उपसमुच्चयों की संख्या $ 2^4 = 16 $ होती है। उपसमुच्चयों की संख्या के बीच अंतर $ 16 - 16 = 0 $ होता है, जो दिए गए शर्त के साथ मेल नहीं खाता है।

• विकल्प (d) 7,7: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $ m = 7 $ और $ n = 7 $, तो दोनों समुच्चयों के उपसमुच्चयों की संख्या $ 2^7 = 128 $ होती है। उपसमुच्चयों की संख्या के बीच अंतर $ 128 - 128 = 0 $ होता है, जो दिए गए शर्त के साथ मेल नहीं खाता है।

हल

विकल्प (ब): हम जानते हैं कि, $(A \cap B)^{\prime}=(A^{\prime} \cup B^{\prime})$ और $(A^{\prime})^{\prime}=A$

$ \begin{aligned} \therefore\quad A & =(A \cap B^{\prime})^{\prime} \cup(B \cap C) \\ \\ & =[A^{\prime} \cup(B^\prime)^{\prime}] \cup(B \cap C) \\ \\ & =(A^{\prime} \cup B) \cup(B \cap C)=A^{\prime} \cup B \end{aligned} $

• विकल्प (अ): $A^{\prime} \cup B \cup C$ गलत है क्योंकि मूल व्यंजक $(A \cap B^{\prime})^{\prime} \cup (B \cap C)$ में $C$ के साथ गैर-संयोजन के लिए शामिल नहीं है। सही सरलीकरण केवल $A^{\prime} \cup B$ ही है।

• विकल्प (स): $A^{\prime} \cup C^{\prime}$ गलत है क्योंकि मूल व्यंजक में $C$ के पूरक के साथ कोई संबंध नहीं है। सही सरलीकरण $A^{\prime}$ और $B$ के संयोजन के लिए है, न कि $C^{\prime}$ के लिए।

• विकल्प (द): $A^{\prime} \cap B$ गलत है क्योंकि मूल व्यंजक में $A^{\prime}$ और $B$ के संयोजन के लिए है, न कि उनके कटाच। सही सरलीकरण $A^{\prime} \cup B$ है।

हल

विकल्प (द): एक तल में प्रत्येक आयत, वर्ग और वर्ग एक समांतर चतुर्भुज होते हैं लेकिन प्रत्येक ट्रेज़मियम एक समांतर चतुर्भुज नहीं होता है।

इसलिए, $F_1$ के बराबर $F_1, F_2, F_3$ और $F_4$ में से कोई एक हो सकता है।

$ \therefore\quad F_1=F_2 \cup F_3 \cup F_4 \cup F_1 $

• विकल्प (अ): $F_2 \cap F_3$: यह विकल्प गलत है क्योंकि आयतों ($F_2$) और वर्गों ($F_3$) के संयोजन का समुच्चय वर्गों ($F_4$) का समुच्चय होता है, न कि सभी समांतर चतुर्भुजों ($F_1$) का समुच्चय। सभी समांतर चतुर्भुज वर्ग नहीं होते।

• विकल्प (ब): $F_3 \cap F_4$: यह विकल्प गलत है क्योंकि वर्गों ($F_4$) और समचतुर्भुजों ($F_3$) के कटाच के समूह ($F_4$) है, न कि सभी समांतर चतुर्भुजों ($F_1$) के समूह। सभी समांतर चतुर्भुज वर्ग नहीं होते।

• विकल्प (स): $F_2 \cup F_5$: यह विकल्प गलत है क्योंकि आयतों ($F_2$) और त्रिभुजों ($F_5$) के संघ सभी समांतर चतुर्भुजों ($F_1$) को नहीं शामिल करता। विशेष रूप से, यह वह वर्ग जो आयत नहीं हैं और वह समांतर चतुर्भुज जो आयत या त्रिभुज नहीं हैं छोड़ देता है।

हल

विकल्प (स): दिए गए समुच्चयों को नीचे दिखाए गए वेन आरेख में प्रस्तुत किया जा सकता है

आरेख से स्पष्ट है कि, $S \cup T \cup C=S$।

• विकल्प (a): $S \cap T \cap C=\phi$: यह विकल्प गलत है क्योंकि त्रिभुज और वृत्त के कटाच आवश्यक रूप से खाली नहीं हो सकता। चूंकि त्रिभुज और वृत्त दोनों वर्ग में समाहित हैं, तो तीनों समुच्चय $S$, $T$, और $C$ के अंदर बिंदु भी हो सकते हैं।

• विकल्प (b): $S \cup T \cup C=C$: यह विकल्प गलत है क्योंकि वर्ग, त्रिभुज और वृत्त के संघ आवश्यक रूप से वृत्त के बराबर नहीं हो सकता। वर्ग $S$ में वृत्त के बाहर के बिंदु भी हो सकते हैं, और त्रिभुज $T$ में भी वृत्त के बाहर के बिंदु हो सकते हैं। अतः $S \cup T \cup C$ केवल $C$ से बड़ा हो सकता है।

• विकल्प (d): $S \cup T=S \cap C$: यह विकल्प गलत है क्योंकि वर्ग और त्रिभुज के संघ आवश्यक रूप से वर्ग और वृत्त के कटाच के बराबर नहीं हो सकता। संघ $S \cup T$ में वर्ग और त्रिभुज के अंदर सभी बिंदु शामिल होते हैं, जबकि कटाच $S \cap C$ में केवल वर्ग और वृत्त के अंदर बिंदु शामिल होते हैं। इन दो समुच्चयों के बराबर नहीं हो सकते।

हल

विकल्प (d): क्योंकि, $R$ एक आयत के अंतर्गत बिंदुओं के समुच्चय है।

$\therefore\quad R=\lbrace(x, y): 0<x<a$ और $0<y<b\rbrace$

• विकल्प (a): गलत है क्योंकि यह आयत के सीमा बिंदुओं को शामिल करता है, अर्थात इसमें $ x = 0 $, $ x = a $, $ y = 0 $, और $ y = b $ के बिंदु शामिल हैं। समस्या में आयत के अंतर्गत बिंदुओं का उल्लेख किया गया है, जो सीमा बिंदुओं को छोड़ देता है।

• विकल्प (b): गलत है क्योंकि यह आयत के सीमा बिंदुओं को शामिल करता है जहाँ $ y = 0 $ और $ y = b $ हैं। समस्या में आयत के अंतर्गत बिंदुओं का उल्लेख किया गया है, जो सीमा बिंदुओं को छोड़ देता है।

• विकल्प (c): गलत है क्योंकि यह आयत के सीमा बिंदुओं को शामिल करता है जहाँ $ x = 0 $ और $ x = a $ हैं। समस्या में आयत के अंतर्गत बिंदुओं का उल्लेख किया गया है, जो सीमा बिंदुओं को छोड़ देता है।

हल

विकल्प (b): मान लीजिए $H$ हिंदी पढ़ने वाले लोगों का समुच्चय है और $E$ अंग्रेजी पढ़ने वाले लोगों का समुच्चय है।

तब, $n(U)=840, n(H)=450, n(E)=300, n(H \cap E)=200$

न तो हिंदी और न ही अंग्रेजी पढ़ने वाले लोगों की संख्या $=n(H^{\prime} \cap F^{\prime})$

$\hspace{4.8cm}=n(H \cup E)^{\prime}$

$\hspace{4.8cm}=n(U)-n(H \cup E)$

$\hspace{4.8cm}=840-[n(H)+n(E)-n(H \cap E)]$

$\hspace{4.8cm}=840-(450+300-200)$

$\hspace{4.8cm}=840-550=290$

• विकल्प (a) 210: यह विकल्प गलत है क्योंकि उन व्यक्तियों की संख्या जो हिंदी और अंग्रेजी दोनों के बाहर पढ़ते हैं, शामिल करने के सिद्धांत के आधार पर गणना की जाती है। सही गणना दिखाती है कि 290 व्यक्तियों ने दोनों के बाहर पढ़ाई की, न कि 210। इस विकल्प में त्रुटि संभवतः गणना में त्रुटि या सिद्धांत के गलत समझ के कारण हो सकती है।

• विकल्प (c) 180: यह विकल्प विकल्प (a) के लिए उतना ही गलत है। शामिल करने के सिद्धांत के आधार पर उन व्यक्तियों की संख्या जो हिंदी और अंग्रेजी दोनों के बाहर पढ़ते हैं, 290 है। संख्या 180 सही गणना के अनुरूप नहीं है और इसलिए गलत है।

• विकल्प (d) 260: यह विकल्प भी गलत है क्योंकि शामिल करने के सिद्धांत के आधार पर उन व्यक्तियों की संख्या जो हिंदी और अंग्रेजी दोनों के बाहर पढ़ते हैं, 290 है। संख्या 260 गलत गणना या सिद्धांत के गलत समझ के कारण हो सकती है।

सोचने की प्रक्रिया

यदि $A$ के प्रत्येक तत्व $B$ के एक तत्व है, तो $A \subseteq B$।

हल

विकल्प (a):

$ \begin{aligned} & X=\lbrace8^{n}-7 n-1 \mid n \in N\rbrace=\lbrace0,49,490, \ldots\rbrace \\ \\ & Y=\lbrace49 n-49 \mid n \in N\rbrace=\lbrace0,49,98,147, \ldots 490, \ldots\rbrace \end{aligned} $

स्पष्ट रूप से, $X$ के प्रत्येक तत्व $Y$ में है लेकिन $Y$ के प्रत्येक तत्व $X$ में नहीं है।

$ \therefore\quad X \subset Y $

• विकल्प (b): $Y \subset X$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $Y$ के प्रत्येक तत्व $X$ में नहीं है। उदाहरण के लिए, 98 $Y$ में है लेकिन $X$ में नहीं है।

• विकल्प (c): $X=Y$: यह विकल्प गलत है क्योंकि समुच्चय $X$ और $Y$ बराबर नहीं हैं। जबकि $X$ के प्रत्येक तत्व $Y$ में है, $Y$ के प्रत्येक तत्व $X$ में नहीं है। उदाहरण के लिए, 98 $Y$ में है लेकिन $X$ में नहीं है।

• विकल्प (d): $X \cap Y=\phi$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $X$ और $Y$ का उभयनिष्ठ निर्माण खाली नहीं है। उदाहरण के लिए, 0 और 49 दोनों $X$ और $Y$ में सामान्य तत्व हैं।

हल

विकल्प (c): मान लीजिए $A$ वह समुच्चय है जो उन लोगों के प्रतिशत को दर्शाता है जो एक न्यूज़ चैनल देखते हैं और $B$ वह समुच्चय है जो उन लोगों के प्रतिशत को दर्शाता है जो दूसरे चैनल देखते हैं।

$ n(A)=63 \%, \ n(B) =76 \%, \ $ और मान लीजिए $ \ n(A \cap B)=x $

$ \because\quad n(A \cup B) \leq 100 $

$ \Rightarrow\quad n(A)+n(B)-n(A \cap B) \leq 100 $

$ \Rightarrow\quad 63+76-x \leq 100 $

$\Rightarrow\quad 139-x \leq 100 $

$ \Rightarrow\quad 139-100 \leq x $

$\Rightarrow\quad 39 \leq x $

$\therefore\quad $ $x$ का न्यूनतम मान $39$ है।

इसलिए, $x$ के मान के लिए श्रेणी, $\quad 39 \leq x \leq 63$

• विकल्प (a): $x=35$: यह गलत है क्योंकि $x$ का न्यूनतम मान $39$ है, जो असमिका $139 - x \leq 100 \Rightarrow x \geq 39$ से निर्मित है।

• विकल्प (b): $x=63$: यह गलत है क्योंकि भले ही $63$ $x$ का अधिकतम संभावित मान है, लेकिन यह एकमात्र संभावित मान नहीं है। $x$ के सही श्रेणी है $39 \leq x \leq 63$।

• विकल्प (d): $x=39$: यह गलत है क्योंकि भले ही $39$ $x$ का न्यूनतम संभावित मान है, लेकिन यह एकमात्र संभावित मान नहीं है। $x$ के सही श्रेणी है $39 \leq x \leq 63$।

हल

विकल्प (c): दिया गया है, $A=\lbrace(x, y) \vert\ y=\dfrac{1}{x}, 0 \neq x \in R\rbrace \ \text{and} \ B=\lbrace(x, y) \mid y=-x, x \in R$ $\rbrace $

हम जानते हैं कि, किसी भी $x \in R$ के मान के लिए

$ \begin{matrix}
\text { } & -x \neq \dfrac{1}{x} \\ \\ \therefore\quad & A \cap B=\phi \end{matrix} $

• विकल्प (a): $A \cap B \neq A$: समुच्चय $A$ और $B$ के प्रतिच्छेदन के लिए $A$ के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि $A$ के सभी तत्व $B$ में नहीं होते हैं। विशेष रूप से, $A$ वह बिंदु होते हैं जहाँ $y = \dfrac{1}{x}$ होता है, जबकि $B$ वह बिंदु होते हैं जहाँ $y = -x$ होता है। इन दोनों स्थितियाँ आम तौर पर एक साथ संतुष्ट नहीं होती, इसलिए $A \cap B$ $A$ के बराबर नहीं हो सकता।

• विकल्प (b): $A \cap B \neq B$: समुच्चय $A$ और $B$ के प्रतिच्छेदन के लिए $B$ के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि $B$ के सभी तत्व $A$ में नहीं होते हैं। $B$ में बिंदु $y = -x$ को संतुष्ट करते हैं, जो किसी भी $x \in R$ के लिए $y = \dfrac{1}{x}$ के बराबर नहीं होता। इसलिए, $A \cap B$ $B$ के बराबर नहीं हो सकता।

• विकल्प (d): $A \cup B \neq A$: समुच्चय $A$ और $B$ के संयोजन के लिए $A$ के बराबर नहीं हो सकता क्योंकि $B$ में $A$ में नहीं होने वाले बिंदु होते हैं। विशेष रूप से, $B$ में $y = -x$ के बिंदु होते हैं, जो $A$ में $y = \dfrac{1}{x}$ के बिंदु नहीं होते। इसलिए, $A \cup B$ $A$ के बराबर नहीं हो सकता।

हल

विकल्प (a): $\because$ $ A \cap(A \cup B)=A $

• विकल्प (b) $B$ गलत है क्योंकि $A$ के साथ $A$ और $B$ के संयोजन के प्रतिच्छेदन में केवल $A$ में तत्व होते हैं, न कि $B$ में।

• विकल्प (c) $\phi$ गलत है क्योंकि $A$ के साथ $A$ और $B$ के संयोजन के प्रतिच्छेदन कभी खाली समुच्चय नहीं होता, बर्ताव तब होता है जब $A$ खाली समुच्चय हो, जो समस्या में निर्दिष्ट नहीं है।

• विकल्प (d) $A \cap B$ गलत है क्योंकि $A$ के साथ $A$ और $B$ के संयोजन के प्रतिच्छेदन में $A$ के सभी तत्व शामिल होते हैं, न कि केवल उन तत्वों के जो $A$ और $B$ दोनों में सामान्य होते हैं।

सोचने की प्रक्रिया

इस समस्या को हल करने के लिए, वितरण नियम का उपयोग करें, अर्थात $A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C.)$

हल

विकल्प (b):

$A^{\prime} \cup (A \cup B) \cap B^{\prime} = A^{\prime} \cup [(A \cap B^{\prime} )\cup(B \cap B^{\prime})]$

$\qquad \qquad \qquad \qquad =A^{\prime} \cup (A \cap B^{\prime})\cup \phi \qquad \qquad [\because \quad B \cap B^{\prime } = \phi]$

$\qquad \qquad \qquad \qquad = A^{\prime} \cup (A \cap B^{\prime})$

$\qquad \qquad \qquad \qquad =(A^{\prime} \cup A) \cap (A^{\prime} \cup B^{\prime}) $

$\qquad \qquad \qquad \qquad = N \cup (A^{\prime} \cup B^{\prime})$

$\qquad \qquad \qquad \qquad = A^{\prime} \cup B^{\prime} $

$\qquad \qquad \qquad \qquad =(A \cap B)^{\prime } = {\phi}^{\prime} = N$

• विकल्प (a) $\phi$: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यक्तिगत $(A^{\prime} \cup(A \cup B) \cap B^{\prime})$ विस्तार समुच्चय $N$ के बराबर होता है, न कि खाली समुच्चय $\phi$। खाली समुच्चय का अर्थ होता है कि परिणामी समुच्चय में कोई भी तत्व नहीं होते, जो यहाँ पर सच नहीं है।

• विकल्प (c) A: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यक्तिगत $(A^{\prime} \cup(A \cup B) \cap B^{\prime})$ समुच्चय $A$ के बराबर नहीं होता। समुच्चय $A$ प्राकृत संख्याओं का एक विशिष्ट उपसमुच्चय है, जबकि व्यक्तिगत विस्तार समुच्चय $N$ के बराबर होता है।

• विकल्प (d) B: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यक्तिगत $(A^{\prime} \cup(A \cup B) \cap B^{\prime})$ समुच्चय $B$ के बराबर नहीं होता। समुच्चय $B$ एक अन्य विशिष्ट प्राकृत संख्याओं का उपसमुच्चय है, जबकि व्यक्तिगत विस्तार समुच्चय $N$ के बराबर होता है।

हल

विकल्प (d):

$\because \quad S=\lbrace x \mid x$ एक धनात्मक 3 का गुणज है जो 100 से कम है $\rbrace$

$\qquad S= \lbrace 3,6,9, \ldots , 99 \rbrace$

$ \therefore\quad n(S)=33 \ $ और $ \ P=\lbrace x \mid x$ एक अभाज्य संख्या है जो 20 से कम है $\rbrace$

$\qquad P= \lbrace 2,3,5,7,11,13,17,19 \rbrace$

$\therefore\quad n(P) =8$

$\qquad n(S)+n(P) =33+8=41$

• विकल्प (a) 34: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसकी धारणा है कि समुच्चय $ S $ और $ P $ में तत्वों की कुल संख्या 34 है। हालांकि, सही कुल संख्या 41 है, क्योंकि $ n(S) = 33 $ और $ n(P) = 8 $, जिससे $ n(S) + n(P) = 41 $ होता है।

• विकल्प (b) 31: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसकी धारणा है कि समुच्चय $ S $ और $ P $ में तत्वों की कुल संख्या 31 है। हालांकि, सही कुल संख्या 41 है, क्योंकि $ n(S) = 33 $ और $ n(P) = 8 $, जिससे $ n(S) + n(P) = 41 $ होता है।

• विकल्प (c) 33: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसकी धारणा है कि समुच्चय $ S $ और $ P $ में तत्वों की कुल संख्या 33 है। हालांकि, सही कुल संख्या 41 है, क्योंकि $ n(S) = 33 $ और $ n(P) = 8 $, जिससे $ n(S) + n(P) = 41 $ होता है।

हल

विकल्प (c):

$ \begin{aligned} X \cap(X \cup Y)^{\prime} & =X \cap(X^{\prime} \cap Y^{\prime}) \qquad [\because(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}]\\ & =(X \cap X^{\prime}) \cap(X \cap Y^{\prime}) \\ & =\phi \cap(X \cap Y^{\prime})=\phi \qquad [\because \phi \cap A=\phi] \end{aligned} $

• विकल्प (a) $X$: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यंजक $X \cap(X \cup Y)^{\prime}$ सरलीकृत $\phi$ होता है, न कि $X$। $X \cup Y$ का पूरक $X^{\prime} \cap Y^{\prime}$ है, और $X$ के $X^{\prime} \cap Y^{\prime}$ के साथ कटाव के परिणाम स्वरूप खाली समुच्चय $\phi$ होता है।

• विकल्प (b) $Y$: यह विकल्प गलत है क्योंकि अभिव्यक्ति $X \cap(X \cup Y)^{\prime}$ $Y$ के बराबर सरल नहीं होती। $X$ के $X \cup Y$ के पूरक के साथ कटाव के परिणाम स्वयं खाली समुच्चय $\phi$ होता है, न कि $Y$।

• विकल्प (d) $X \cap Y$: यह विकल्प गलत है क्योंकि अभिव्यक्ति $X \cap(X \cup Y)^{\prime}$ $\phi$ के बराबर सरल होती है, न कि $X \cap Y$। $X \cup Y$ का पूरक $X^{\prime} \cap Y^{\prime}$ होता है, और $X$ के $X^{\prime} \cap Y^{\prime}$ के साथ कटाव के परिणाम स्वयं खाली समुच्चय $\phi$ होता है।

हल

समुच्चय $\lbrace x \in R: 1 \leq x<2\rbrace$ को लिखा जा सकता है $[1,2)$

हल

$ \begin{aligned} A & =\phi \Rightarrow n(A)=0 \\ \\ \therefore\quad & n\lbrace P(A)\rbrace =2^{n(A)}=2^{0}=1 \end{aligned} $

इसलिए, $P(A)$ में तत्वों की संख्या 1 है ।

हल

यदि $A$ और $B$ दो समाप्ति समुच्चय हैं जैसे कि $A \subset B$, तो $n(A \cup B)=n(B)$।

हल

यदि $A$ और $B$ कोई दो समुच्चय हैं, तो $A-B=A \cap B^{`}$

चिंतन प्रक्रिया

हम जानते हैं कि, शक्ति समुच्चय एक समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों के संग्रह होता है। इस समस्या को हल करने के लिए, दिए गए समुच्चय के सभी उपसमुच्चय लिखें।

हल

$\therefore\quad A=\lbrace1,2\rbrace$

तो, $A$ के उपसमुच्चय हैं $\phi , \lbrace1\rbrace,\lbrace2\rbrace$ और $\lbrace1,2\rbrace$।

$\therefore\quad P(A)=\lbrace\phi,\lbrace1\rbrace,\lbrace2\rbrace,\lbrace1,2\rbrace\rbrace$

Solution

समुच्चय $A, B$ और $C$ के सार्व समुच्चय $U=\lbrace0,1,2,3,4,5,6,8\rbrace$ द्वारा दिया गया है।

Solution

दिया गया है, $U=\lbrace1,2,3,4,5, \ldots, 10\rbrace$,

$A=\lbrace1,2,3,5\rbrace, B=\lbrace2,4,6,7\rbrace$ और $C=\lbrace2,3,4,8\rbrace$

$\therefore\quad B \cup C=\lbrace2,3,4,6,7,8\rbrace$

(i) $(B \cup C)^{\prime}=U-(B \cup C)=\lbrace1,5,9,10\rbrace$

(ii) $C-A=\lbrace4,8\rbrace$

$\therefore\quad (C-A)^{\prime}=U-(C-A)=\lbrace1,2,3,5,6,7,9,10\rbrace$

Solution

$A-(A \cap B)=A \cap B^{\prime}$

Solution

(i) $[(A^{\prime} \cup B^{\prime})-A]^{\prime}=[(A^{\prime} \cup B^{\prime}) \cap A^{\prime}]^{\prime}$ $ \qquad [\because A-B=A \cap B^{\prime}]$

$\hspace{2.8cm}=[(A \cap B)^{\prime} \cap A^{\prime}]^{\prime}$ $\qquad [\because(A \cap B)^{\prime}=A^{\prime} \cup B^{\prime}]$

$\hspace{2.8cm}=[(A \cap B)^{\prime}]^{\prime} \cup(A^{\prime})^{\prime}=(A \cap B) \cup A$

$\hspace{2.8cm}=A$

(ii) $[B^{\prime} \cup(B^{\prime}-A)]^{\prime}=[B^{\prime} \cup(B^{\prime} \cap A^{\prime})]^{\prime}$ $\qquad [\because A-B=A \cap B^{\prime}]$

$\hspace{2.8cm}=[B^{\prime} \cup(B \cup A)^{\prime}]^{\prime} $ $\qquad [\because A^{\prime} \cap B^{\prime}=(A \cup B)^{\prime}]$

$\hspace{2.8cm}=(B^{\prime})^{\prime} \cap[(B \cup A)^{\prime}]^{\prime}$ $\qquad [\because(A \cup B)^{\prime}=A^{\prime} \cap B^{\prime}]$

$\hspace{2.8cm}=B \cap(B \cup A)$ $\qquad [\because(A^{\prime})^{\prime}=A]$

$\hspace{2.8cm}=B$

(iii) $(A-B)-(B-C)=(A \cap B^{\prime})-(B \cap C^{\prime})$

$\hspace{3.5cm}=(A \cap B^{\prime}) \cap(B \cap C^{\prime})^{\prime}$

$\hspace{3.5cm}=(A \cap B^{\prime}) \cap[B^{\prime} \cup(C^{\prime})^{\prime}]$

$\hspace{3.5cm}=(A \cap B^{\prime}) \cap(B^{\prime} \cup C)$

$\hspace{3.5cm}=[A \cap(B^{\prime} \cup C)] \cap[B^{\prime} \cap(B^{\prime} \cup C)]$

$\hspace{3.5cm}=[A \cap(B^{\prime} \cup C)] \cap B^{\prime}$

$\hspace{3.5cm}=(A \cap B^{\prime}) \cap[(B^{\prime} \cup C) \cap B^{\prime}]$

$\hspace{3.5cm}=(A \cap B^{\prime}) \cap B^{\prime}=A \cap B^{\prime}=A-B$

Alternate Method

आरेख से स्पष्ट है, $(A-B)-(B-C)=A-B$

(iv) $(A-B) \cap(C-B)=(A \cap B^{\prime}) \cap(C \cap B^{\prime})$ $\qquad [\because A-B=A \cap B^{\prime}]$

$\hspace{3.5cm}= (A \cap C) \cup (B^{\prime} \cap B^{\prime })$

$\hspace{3.5cm}= (A \cap C) \cap B^{\prime }$

$\hspace{3.5cm}= \quad(A \cap C)-B$ $\qquad [\because A \cap B^{\prime}=A-B]$

(v) $A \times B \cap C=(A \times B) \cap(A \times C)$

(vi) $A \times(B \cup C)=(A \times B) \cup(A \times C)$

इसलिए, सही मिलान हैं

(i) $\rightarrow$ (b),

(ii) $\rightarrow$ (c),

(iii) $\rightarrow(a)$,

(iv) $\rightarrow$ (f),

(v) $\rightarrow(d)$,

(vi) $\rightarrow(e)$

हल

सत्य

क्योंकि, प्रत्येक समुच्चय अपने आप का उपसमुच्चय होता है।

इसलिए, कोई भी समुच्चय $A$ के लिए, $A \subset A$ होता है।

हल

गलत

$ \begin{aligned} & M=\lbrace1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace \\ \\ & B=\lbrace1,2,3,4,5,6,7,8,9\rbrace \end{aligned} $

क्योंकि, $B$ के प्रत्येक तत्व $M$ में भी हैं

$ \therefore\quad B \subset M $

हल

गलत

क्योंकि, $2 \in\lbrace1,2,3,4\rbrace$

लेकिन $2 \notin\lbrace3,4,5,6\rbrace$

$\therefore\quad $ $ \quad \lbrace1,2,3,4\rbrace \neq\lbrace3,4,5,6\rbrace$

हल

सत्य

क्योंकि, प्रत्येक पूर्णांक एक परिमेय संख्या भी होता है, तो $Z \subset Q$

जहाँ, $Z$ पूर्णांकों का समुच्चय है और $Q$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है।

$\therefore\quad $ $Q \cup Z=Q$

हल

सत्य

$ \begin{aligned} & R=\lbrace x \in Z \mid x \text { is divisible by } 2\rbrace=\lbrace\ldots-6,-4,-2,0,2,4,6, \ldots\rbrace \\ \\ & T=\lbrace x \in Z \mid x \text { is divisible by } 6\rbrace=\lbrace\ldots,-12,-6,0,6,12, \ldots\rbrace

\end{aligned} $

इसलिए, $T$ के प्रत्येक तत्व $R$ में भी है।

$\therefore\quad T \subset R$

Solution

गलत

$A=\lbrace0,1,2\rbrace \Rightarrow n(A)=3 \ $ और $ \ B =\lbrace x \in R \mid 0 \leq x \leq 2\rbrace $

इसलिए, $A$ एक समुच्चय है। क्योंकि, 0 से 2 तक के वास्तविक संख्याओं की संख्या अपरिमित है। इसलिए, $B$ अपरिमित है।

$\therefore\quad A \neq B$