हल

मान लीजिए एक समांतर श्रेणी का सार्व अंतर $d$ है। प्रश्न के अनुसार,

$S _ {p}=0$

$\Rightarrow\quad \dfrac{p}{2}[ 2 a+(p-1) d] =0 \qquad [\because\quad S _ n = \dfrac{n}{2}{2a+(n-1)d}]$

$\Rightarrow\quad 2 a+(p-1) d =0 $

$\therefore\quad d= \dfrac{-2 a}{p-1} $

$\text { अब,}$

$\text { अगले } q \text { पदों का योग } =S _ {p+q}-S _ {p}$

$ \hspace{3.3cm}=S _ {p+q}-0 $

$ \hspace{3.3cm}= \dfrac{p+q}{2}[2 a+(p+q-1) d] $

$\hspace{3.3cm} = \dfrac{p+q}{2}[2 a+(p-1) d+q d] $

$ \hspace{3.3cm}= \dfrac{p+q}{2} \left[2 a+(p-1) \cdot \dfrac{-2 a}{p-1}+\dfrac{q(-2 a)}{p-1}\right] $

$ \hspace{3.3cm}=\dfrac{p+q}{2} \left[2 a+(-2 a)-\dfrac{2 a q}{p-1}\right] $

$\hspace{3.3cm} = \dfrac{p+q}{2} \left[\dfrac{-2 a q}{p-1}\right] $

$ \hspace{3.3cm}= \dfrac{-a(p+q) q}{(p-1)} $

$ \hspace{3.3cm}= \dfrac{p}{2}\left[2 a+(p-1) d\right]=0 \qquad \left[\because\quad S _ {n}=\dfrac{n}{2} \lbrace 2 a+(n-1) d \rbrace\right] $

हल

मान लीजिए पहले वर्ष में बचाया गया राशि a रुपये है। चूंकि प्रत्येक अगले वर्ष में 200 रुपये की वृद्धि होती है, इसलिए यह एक समांतर श्रेणी (AP) का निर्माण करता है जिसके

पहला पद $=a$, सार्व अंतर $(d)=200$ और $n=20$ वर्ष है

$ \begin{aligned} & \therefore\quad \quad S _ {20}=\dfrac{20}{2}[2 a+(20-1) d] \quad[\because\quad S _ {n}=\dfrac{n}{2} \lbrace 2 a+(n-1) d \rbrace] \\ \\ & \Rightarrow\quad 66000=10[2 a+19 d] \\ \\ & \Rightarrow\quad 66000=20 a+190 d \\ \\ & \Rightarrow\quad 66000=20 a+190 \times 200 \\ \\ & \Rightarrow\quad 20 a=66000-38000 \\ \\ `

& \Rightarrow\quad 20 a=28000 \\ \\ & \therefore\qquad \ a=\dfrac{28000}{20}=1400 \end{aligned} $

इसलिए, उसने पहले वर्ष में $Rs. \ 1400$ की बचत की।

हल

क्योंकि, व्यक्ति को प्रत्येक महीने रु. 320 की स्थिर वृद्धि मिलती है। इसलिए, यह एक AP बनाता है जिसका पहला पद $=5200$ और सार्व अंतर $(d)=320$ है।

(i) दसवें महीने का वेतन अर्थात $n=10$ के लिए,

$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad a _ {10} & =a+(n-1) d \\ \\ \Rightarrow\quad a _ {10} & =5200+(10-1) \times 320 \\ \\ \therefore\quad a _ {10} & =5200+9 \times 320 \\ \\ \therefore\quad a _ {10} & =5200+2880 \\ \\ a _ {10} & =8080 \end{aligned} $

(ii) पहले वर्ष के दौरान कुल कमाई।

एक वर्ष में 12 महीने होते हैं अर्थात $n=12$,

$ \begin{aligned} S _ {12} & =\dfrac{12}{2}[2 \times 5200+(12-1) 320] \\ \\ & =6[10400+11 \times 320] \\ \\ & =6[10400+3520]=6 \times 13920=83520 \end{aligned} $

हल

मान लीजिए GP का पहला पद और सार्व गुणक क्रमशः $a$ और $r$ हैं।

प्रश्न के अनुसार, $p$ वां पद $=q$

$\Rightarrow \quad a \cdot r^{(p-1)}=q \quad \quad …(i)$

और $q$ वां पद $=p$

$ a r^{(q-1)}=p \quad \quad …(ii) $

समीकरण (i) को समीकरण (ii) से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \dfrac{a r^{(p-1)}}{a r^{(q-1)}}=\dfrac{q}{p} \\ \\ & \Rightarrow \quad r^{(p-1-q+1)}=\dfrac{q}{p} \\ \\ & \Rightarrow \quad r^{(p-q)}=\dfrac{q}{p} \\ \\ & \Rightarrow r=\left(\dfrac{q}p\right)^{({1}/{p-q})}

\end{aligned} $

$ r $ के मान को समीकरण (i) में बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & a \left(\dfrac{q}p\right)^{({p-1}/{p-q})}=q \\ \\ & \Rightarrow\quad a=\dfrac{q}{\left(\dfrac{q}p\right)^{({p-1}/{p-q})}}=q \cdot \left(\dfrac{p}q\right)^{({p-1}/{p-q})} \\ \\ \end{aligned} $

अब, $ (p+q) $ वां पद अर्थात,

$ \begin{aligned} a _ {p+q} & =a r^{(p+q-1)} \\ \\ & =q \cdot \left(\dfrac{p}q\right)^{({p-1}/{p-q})} \cdot \left(\dfrac{q}p\right)^{({p+q-1}/{p-q})} \\ \\ & =q \cdot \dfrac{q ^{{(p+q-1-p+1}/{p-q})}}{p ^{({p+q-1-p+1}/{p-q})}}=q \cdot \left(\dfrac{q^{({q}/{p-q})}}{p^{({q}/{p-q})}}\right) \end{aligned} $

Solution

यहाँ, $a=5$ और $d=2$

मान लीजिए वह $n$ दिन में काम पूरा कर लेता है।

तब,

$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad & S _ {n}=192 \\ \\ \Rightarrow\quad & S _ {n}=\dfrac{n}{2}[2 a+(n-1) d] \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad & 192=\dfrac{n}{2}[2 \times 5+(n-1) 2] \\ \\ \Rightarrow\quad & 192=\dfrac{n}{2}[10+2 n-2] \end{aligned} $

$\Rightarrow\quad$ 192 $=\dfrac{n}{2}[8+2 n]$

$\Rightarrow\quad$ 192 $=4 n+n^{2}$

$\Rightarrow\quad$ $n^{2}+4 n-192$ $=0$

$\Rightarrow\quad$ $(n-12)(n+16)$ $=0$

$\Rightarrow\quad$ $n$ $=12,-16$

$\Rightarrow\quad$ $n$ $=12$

Solution

हम जानते हैं कि, $n$ भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $ (2n - 4) \times 90^{\circ} = (n - 2) \times 180^{\circ} $ होता है। 3 भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $180^{\circ}$ है।

4 भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों का योग $ (4 - 2) \times 180^{\circ} = 360^{\circ} $ है।

अत: एक बहुभुज के आंतरिक कोणों के योगफल, जिसकी भुजाएँ $5,6,7 \ldots$ हों, क्रमशः $540^{\circ}, 720^{\circ}, 900^{\circ}, \ldots$ होंगे।

श्रेणी इस प्रकार होगी $180^{\circ}, 360^{\circ} 540^{\circ}, 720^{\circ}, 900^{\circ}, .$.

यहाँ, $\quad a=180^{\circ}$

और $\quad d=360^{\circ}-180^{\circ}=180^{\circ}$

क्योंकि, श्रेणी के दो क्रमागत पदों के बीच सार्व अंतर समान है।

अतः, यह एक समांतर श्रेणी (AP) बनाती है।

हमें एक 21 भुजाओं वाले बहुभुज के आंतरिक कोणों के योगफल ज्ञात करना है।

इसका अर्थ है कि हमें उपरोक्त श्रेणी के 19वें पद को ज्ञात करना है।

$ \begin{aligned} \therefore\quad \quad a _ {19} & =a+(19-1) d \\ \\ & =180+18 \times 180=3420 \end{aligned} $

हल

समबाहु त्रिभुज $\triangle A B C$ की भुजा $20 cm$ है। इस त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाकर हमें एक अन्य समबाहु त्रिभुज प्राप्त होता है, जिसकी भुजा पहले त्रिभुज की भुजा की लंबाई के आधा होती है।

इस प्रकार जारी रखते हुए, हमें एक श्रेणी प्राप्त होती है, जिसकी भुजा पहले त्रिभुज की भुजा की लंबाई के आधा होती है।

$\therefore\quad \quad$ पहले त्रिभुज की परिसीमा $=20 \times 3=60 cm$

दूसरे त्रिभुज की परिसीमा $=10 \times 3=30 cm$

तीसरे त्रिभुज की परिसीमा $=5 \times 3=15 cm$

अब, श्रेणी इस प्रकार होगी $60,30,15, \ldots$

यहाँ,

$ a=60 $

$\therefore\quad \quad r=\dfrac{30}{60}=\dfrac{1}{2} \qquad \left[\because\quad \dfrac{\text { second term }}{\text { first term }}=r\right]$

हमें छठे अंतर्निहित त्रिभुज की परिसीमा ज्ञात करनी है। यह श्रेणी का छठा पद है।

$\therefore\quad a _ 6 =a r^{6-1}$

$\qquad\quad =60 \times \dfrac{1}2^{5}=\dfrac{60}{32}=\dfrac{15}{8} cm \qquad {[\because\quad a _ {n}=a r^{n-1}] }$

हल

दिए गए जानकारी के अनुसार, हमें निम्नलिखित आरेख है।

पहले अंगूठे के लेवा दूरी $=24+24=2 \times 24=48 मीटर$

दूसरे अंगूठे के लेवा दूरी $=2(24+4)=2 \times 28=56 मीटर$

तीसरे अंगूठे के लेवा दूरी $=2(24+4+4)=2 \times 32=64 मीटर$

तो, दूरियों की श्रेणी $48,56,64, \ldots$ है।

यहाँ,

$ \begin{aligned} & a=48 \\ \\ & d=56-48=8 \quad\text { और } \quad n=20 \end{aligned} $

सभी अंगूठों के लेवा कुल दूरी ज्ञात करने के लिए, हमें उपरोक्त श्रेणी के 20 पदों के योग की गणना करनी होगी।

$ \begin{aligned} \therefore\quad \quad S _ {20} & =\dfrac{20}{2}[2 \times 48+19 \times 8] \quad \left[\because\quad S _ {n}=\dfrac{n}{2} \lbrace 2 a+(n-1) d \rbrace\right] \\ \\ & =10[96+152] & \\ \\ & =10 \times 248=2480 मीटर \end{aligned} $

हल

मान लीजिए पहले स्थान वाली टीम को रु. a मिलता है।

क्योंकि, पुरस्कार राशि अगले स्थानों के लिए समान मात्रा बढ़ती है। इसलिए श्रेणी एक समांतर श्रेणी (AP) है।

मान लीजिए स्थिर मात्रा $d$ है।

यहाँ, $l = 275, n = 16$ और $S _ {16} = 8000$

$\therefore\quad l = a+(n-)d$

$\Rightarrow\quad l = a+(16-1)(-d) $

[हम उभयनिष्ठ अंतर (−ve) लेते हैं क्योंकि श्रेणी घटती है]

$\Rightarrow\quad 275 = a-15d\qquad\ldots\mathrm{(i)}$

और

$\Rightarrow\quad 8000=8[2 a+(16-1)(-d)]$

$\Rightarrow\quad 8000=8[2 a-15 d]$

$\Rightarrow\quad 1000=2 a-15 d\qquad\ldots\mathrm{(ii)}$

समीकरण $\mathrm{(i)}$ को समीकरण $\mathrm{(ii)}$ से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

$(2 a-15 d)-(a-15 d) =1000-275 $

$\Rightarrow\quad 2 a-15 d-a+15 d =725 $

$\therefore\quad a =725 $

इसलिए, पहले स्थान टीम को $Rs. \ 725$ मिलता है।

हल

क्योंकि, $ \ \ a _ 1, a _ 2, a _ 3, \ldots, a _ {n}$ AP में है।

$ \begin{aligned} & \Rightarrow\quad a _ 2-a _ 1=a _ 3-a _ 2=\ldots=a _ {n}-a _ {n-1}=d \quad \text { [सामान्य अंतर] } \\ \\ & \text { यदि }\quad a _ 2-a _ 1=d \text {, तो }(\sqrt{a _ 2})^{2}-(\sqrt{a _ 1})^{2}=d \\ \\ & \Rightarrow\quad (\sqrt{a _ 2}-\sqrt{a _ 1})(\sqrt{a _ 2}+\sqrt{a _ 1})=d \\ \\ & \Rightarrow\quad \dfrac{1}{\sqrt{a _ 1}+\sqrt{a _ 2}}=\dfrac{\sqrt{a _ 2}-\sqrt{a _ 1}}{d} \\ \\ & \Rightarrow\quad \dfrac{1}{\sqrt{a _ 2}+\sqrt{a _ 3}}=\dfrac{\sqrt{a _ 3}-\sqrt{a _ 2}}{d} \\ \\ & \Rightarrow\quad \dfrac{1}{\sqrt{a _ {n-1}}+\sqrt{a _ {n}}}=\dfrac{\sqrt{a _ {n}}-\sqrt{a _ {n-1}}}{d} \end{aligned} $

इन पदों को जोड़ने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & \Rightarrow\quad \dfrac{1}{\sqrt{a _ 1}+\sqrt{a _ 2}}+\dfrac{1}{\sqrt{a _ 2}+\sqrt{a _ 3}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{a _ {n-1}}+\sqrt{a _ {n}}} \\ \\ & \Rightarrow\quad = \dfrac{1}{d}[\sqrt{a _ 2}-\sqrt{a _ 1}+\sqrt{a _ 3}-\sqrt{a _ 2}+\ldots+\sqrt{a _ {n}}-\sqrt{a _ {n-1}}] \quad \text { [ऊपरी संबंधों का उपयोग करते हुए] } \\ \\ & \Rightarrow\quad = \dfrac{1}{d}[\sqrt{a _ {n}}-\sqrt{a _ 1}]\qquad\ldots\mathrm{(i)} \end{aligned} $

फिर,

$ a _ {n}=a _ 1+(n-1) d \quad[\because\quad T _ {n}=a+(n-1) d] $

$\Rightarrow\quad a _ {n}-a _ 1=(n-1) d $

$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad & (\sqrt{a _ {n}})^{2}-(\sqrt{a _ 1})^{2}=(n-1) d \\ \\ \Rightarrow\quad & (\sqrt{a _ {n}}-\sqrt{a _ 1})(\sqrt{a _ {n}}+\sqrt{a _ 1})=(n-1) d \\ \\ \Rightarrow\quad & \sqrt{a _ {n}}-\sqrt{a _ 1}=\dfrac{(n-1) d}{\sqrt{a _ {n}}+\sqrt{a _ 1}}

\end{aligned} $

अब इस मान को समीकरण $\mathrm{(i),}$ में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{gathered} \dfrac{1}{\sqrt{a _ 1}+\sqrt{a _ 2}}+\dfrac{1}{\sqrt{a _ 2}+\sqrt{a _ 3}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{a _ {n-1}}+\sqrt{a _ {n}}} \\ \\ =\dfrac{(n-1) d}{d(\sqrt{a _ {n}}+\sqrt{a _ 1})}=\dfrac{n-1}{\sqrt{a _ {n}}+\sqrt{a _ 1}} \end{gathered} $

हल

दी गई श्रेणी,

$(3^{3}-2^{3})+(5^{3}-4^{3})+(7^{3}-6^{3})+ =(3^{3}+5^{3}+7^{3}+\ldots)-(2^{3}+4^{3}+6^{3}+\ldots) $

मान लीजिए $T _ {n}$ श्रेणी $\mathrm{(i),}$ के $n$ वें पद हो,

तब $T _ {n}=(n.$ वें पद of $.3^{3}, 5^{3}, 7^{3}, \ldots)-(n.$ वें पद of $.2^{3}, 4^{3}, 6^{3}, \ldots)=(2 n+1)^{3}-(2 n)^{3}$

$ \begin{aligned}\qquad\quad & =(2 n+1-2 n)[(2 n+1)^{2}+(2 n+1) 2 n+(2 n)^{2}] \quad[\because\quad a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+a b+b^{2})] \\ \\ & =[4 n^{2}+1+4 n+4 n^{2}+2 n+4 n^{2}]=[12 n^{2}+6 n]+1 \end{aligned} $

(i) मान लीजिए $S _ {n}$ श्रेणी (i) के $n$ पदों के योग को निरूपित करता हो। तब,

$ \begin{aligned} S _ {n} & =\Sigma T _ {n}=\Sigma(12 n^{2}+6 n) \\ \\ & =12 \Sigma n^{2}+6 \Sigma n+\Sigma n \\ \\ & =12 \cdot \dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\dfrac{6 n(n+1)}{2}+n \\ \\ & =2 n(n+1)(2 n+1)+3 n(n+1)+n \\ \\ & =2 n(n+1)(2 n+1)+3 n(n+1)+n \\ \\ & =(2 n^{2}+2 n)(2 n+1)+3 n^{2}+3 n+n \\ \\ & =4 n^{3}+2 n^{2}+4 n^{2}+2 n+3 n^{2}+3 n+n \\ \\ & =4 n^{3}+9 n^{2}+6 n \\ \\ \text{(ii)} & \text{ 10 पदों के योग,} \\ \\ S _ {10} & =4 \times(10)^{3}+9 \times(10)^{2}+6 \times 10 \\ \\ & =4 \times 1000+9 \times 100+60 \\ \\ & =4000+900+60=4960 \end{aligned} $

हल

दिया गया है, AP के $n$ पदों का योग,

$ \begin{aligned} S _ {n} & =2 n+3 n^{2} \\ \\ T _ {n} & =S _ {n}-S _ {n-1} \\ \\

& =(2 n+3 n^{2})-[2(n-1)+3(n-1)^{2}] \\ \\ & =(2 n+3 n^{2})-[2 n-2+3(n^{2}+1-2 n)] \\ \\ & =(2 n+3 n^{2})-(2 n-2+3 n^{2}+3-6 n) \\ \\ & =2 n+3 n^{2}-2 n+2-3 n^{2}-3+6 n \\ \\ \therefore\quad & \quad =6 n-1 \\ \\ \therefore\quad & \quad \text { rवें पद } T _ {r} =6 r-1 \end{aligned} $

हल

मान लीजिए संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।

तब,

$ A=\dfrac{a+b}{2} $

$ \Rightarrow\quad 2 A=a+b $

और $G _ 1, G _ 2$ कोई दो गुणोत्तर माध्य हैं $a$ और $b$ के बीच, तो $a, G _ 1, G _ 2, b$ एक गुणोत्तर श्रेणी में हैं।

मान लीजिए $r$ सार्व अनुपात है।

$ \begin{aligned} & \text { तब, } \ \ b=a r^{4-1} \\ \\ & \Rightarrow\quad b=a r^{3} \\ \\ & \Rightarrow\quad \dfrac{b}{a}=r^{3} \\ \\ & \therefore\quad \quad r=\left(\dfrac{b}a\right)^{1 / 3} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text { अब, } & \\ \\ G _ 1 & =a r=a \left(\dfrac{b}a\right)^{1 / 3} \\ \\ \text { और } & \\ \\ G _ 2 & =a r^{2}=a \left(\dfrac{b}a\right)^{2 / 3} \\ \\ \text{R H S} & =\dfrac{G _ 1^{2}}{G _ 2}+\dfrac{G _ 2^{2}}{G _ 1}=\dfrac{ \left(a\left(\dfrac{b}a\right)^{1 / 3}\right)^2}{a\left(\dfrac{b}{a}\right)^{2/3}}+\dfrac{ \left(a\left(\dfrac{b}a\right)^{2 / 3}\right)^2}{a\left(\dfrac{b}a\right)^{1/3}} \\ \\ & =\dfrac{a^{2} \left(\dfrac{b}a\right)^{2 / 3}}{a \left(\dfrac{b}a\right)^{2/3}}+\dfrac{a^{2} \left(\dfrac{b}a\right)^{4/3}}{a \left(\dfrac{b}a\right)^{1/3}} \\ \\ & =a+a \left(\dfrac{b}a\right)^{(1/3)-(1/3)} \\ \\ & = a+a\left(\dfrac{b}{a}\right)=a+b \\ \\ & =\text{LHS} \end{aligned} $

हल

चूंकि, $\theta _ 1, \theta _ 2, \theta _ 3, \ldots, \theta _ {n}$ AP में हैं।

$ \Rightarrow\quad \theta _ 2-\theta _ 1=\theta _ 3-\theta _ 2=\cdots=\theta _ {n}-\theta _ {n-1}=d $

$ \because\quad r=\left(\dfrac{b}a\right)^{1 / 3} $

अब, हमें सिद्ध करना है

$ \sec q _ 1 \sec q _ 2+\sec q _ 2 \sec q _ 3+\cdots+\sec q _ {n-1} \sec \theta _ {n}=\dfrac{\tan \theta _ {n}-\tan \theta _ 1}{\sin d} $

या इसे इस रूप में लिखा जा सकता है

$\sin d [\sec \theta _ 1 \sec \theta _ 2+\sec \theta _ 2 \sec \theta _ 3+\cdots+\sec \theta _ {n-1} \sec \theta _ {n}]=\tan \theta _ {n}-\tan \theta _ 1$

अब, बायें पक्ष के केवल पहले पद को लेते हैं

$ \begin{aligned} \sin d \sec \theta _ 1 \sec \theta _ 2 & =\dfrac{\sin d}{\cos \theta _ 1 \cos \theta _ 2}=\dfrac{\sin (\theta _ 2-\theta _ 1)}{\cos \theta _ 1 \cos \theta _ 2} \\ \\ & =\dfrac{\sin \theta _ 2 \cos \theta _ 1-\cos \theta _ 2 \sin \theta _ 1}{\cos \theta _ 1 \cos \theta _ 2} \\ \\ & =\dfrac{\sin \theta _ 2 \cos \theta _ 1}{\cos \theta _ 1 \cos \theta _ 2}-\dfrac{\cos \theta _ 2 \sin \theta _ 1}{\cos \theta _ 1 \cos \theta _ 2}=\tan \theta _ 2-\tan \theta _ 1 \end{aligned} $

इसी तरह, हम अन्य पदों को भी सुलझा सकते हैं जो $\tan \theta _ 3-\tan \theta _ 2, \tan \theta _ 4-\tan \theta _ 3, \cdots$ होंगे

$ \begin{aligned} \therefore\quad \quad \text{बायें पक्ष} & =\tan \theta _ 2-\tan \theta _ 1+\tan \theta _ 3-\tan \theta _ 2+\cdots+\tan \theta _ {n}-\tan \theta _ {n-1} \\ \\ & =-\tan \theta _ 1+\tan \theta _ {n}=\tan \theta _ {n}-\tan \theta _ 1 \\ \\ & =\text { दायें पक्ष } \quad \text { सिद्ध कर दिया गया है। } \end{aligned} $

हल

मान लीजिए AP का पहला पद और सार्व अंतर क्रमशः $a$ और $d$ हैं।

तब, $\quad S _ {p}=q $

$\Rightarrow\quad \dfrac{p}{2}[2 a+(p-1) d] =q $

$\Rightarrow\quad 2a+(p-1)d=\dfrac{29}{p}\qquad\ldots\mathrm{(i)}$

$\Rightarrow\quad 2 a+(p-1) d =\dfrac{2 q}{p} \ $ and $ \ S _ {q}=p$

$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad & \dfrac{q}{2}[2 a+(q-1) d] =p \\ \\ \Rightarrow\quad & 2 a+(q-1) d =\dfrac{2 p}{q}\qquad\ldots\mathrm{(ii)} \end{aligned} $

अगर समीकरण $\mathrm{(i)}$ से समीकरण $\mathrm{(ii)}$ को घटाएं, तो हमें प्राप्त होता है

$ 2 a+(p-1) d-2 a-(q-1) d =\dfrac{2 q}{p}-\dfrac{2 p}{q} $

$\Rightarrow\quad {[(p-1)-(q-1)] d} =\dfrac{2 q^{2}-2 p^{2}}{p q} $

$\Rightarrow\quad {[p-1-q+1] d} =\dfrac{2(q^{2}-p^{2})}{p q} $

$\therefore\quad d =\dfrac{-2(p+q)}{p q} $

समीकरण (i) में $d$ के मान को रखने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & 2 a+(p-1) \times \dfrac{-2(p+q)}{p q}=\dfrac{2 q}{p} \\ \\ & \Rightarrow\quad 2 a=\dfrac{2 q}{p}+\dfrac{2(p+q)(p-1)}{p q} \\ \\ & \Rightarrow\quad a=\dfrac{q}{p}+\dfrac{(p+q)(p-1)}{p q} \end{aligned} $

$ \text { अब, } $

$ \begin{aligned} S _ {p+q} & =\dfrac{p+q}{2}[2 a+(p+q-1) d] \\ \\ & = \dfrac{p+q}{2} \left(\dfrac{2 q}{p}+\dfrac{2(p+q)(p-1)}{p q}-\dfrac{(p+q-1) 2(p+q)}{p q}\right) \\ \\ & =(p+q) \dfrac{q}{p}+\dfrac{(p+q)^2(p-1)-(p+q-1)(p+q)^2}{p q} \\ \\ & =(p+q) \dfrac{q}{p}+\dfrac{(p+q)^2(p-1-p-q+1)}{p q} \\ \\ & =(p+q)\left(\dfrac{q}{p}\right)+\dfrac{\left(p+q)^2(-q\right)}{pq} \\ \\ & =(p+q)\left(\dfrac{q}{p}\right)-\dfrac{(p+q)^2}{p} \\ \\ & =(p+q)\left \lbrace \dfrac{q}{p}-\dfrac{p}{p}-\dfrac{q}{p} \right \rbrace \\ \\ S _ {p+q} & =-(p+q) \\ \\ S _ {p-q} & =\dfrac{p-q}{2}[2 a+(p-q-1) d] \\ \\ & =\dfrac{p-q}{2} \left(\dfrac{2 q}{p}+\dfrac{2(p+q)(p-1)}{p q}-\dfrac{(p-q-1) 2(p+q)}{p q}\right) \\ \\ & ={p-q} \left(\dfrac{ q}{p}+\dfrac{(p+q)(p-1)}{p q}-\dfrac{(p-q-1) (p+q)}{p q}\right) \\ \\ & =(p-q) \dfrac{q}{p}+\dfrac{p^2-q^2(p-1-p+q+1)}{p q} \\ \\ & = \dfrac{p-q}{p}(q+p+q) \\ \\ S _ {p-q} & =\dfrac{p-q}{p}(p+2q) \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $A, d$ AP के पहला पद और सार्व अंतर हैं और $x, R$ GP के पहला पद और सार्व गुणांक हैं, क्रमशः।

दिए गए शर्त के अनुसार,

और

$ \begin{aligned} A+(p-1) d & =a \qquad\ldots\mathrm{(i)} \\ \\ A+(q-1) d & =b \qquad\ldots\mathrm{(ii)} \\ \\ A+(r-1) d & =c\qquad\ldots\mathrm{(iii)} \\ \\ a & =x R^{p-1} \qquad\ldots\mathrm{(iv)} \\ \\ b & =x R^{q-1} \qquad\ldots\mathrm{(v)} \\ \\ c & =x R^{r-1}\qquad\ldots\mathrm{(vi)} \end{aligned} $

समीकरण $\mathrm{(i)}$ को समीकरण $\mathrm{(ii)}$ से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad d(p-1-q+1)=a-b $

$\Rightarrow\quad a-b=d(p-q)\qquad\ldots\mathrm{(vii)}$

समीकरण (ii) को समीकरण (iii) से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad d(q-1-r+1)=b-c $

$\Rightarrow\quad b-c=d(q-r)\qquad\ldots\mathrm{(viii)}$

समीकरण $\mathrm{(iii)}$ को समीकरण $\mathrm{(i)}$ से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

$d(r-1-p+1) =c-a $

$\Rightarrow\quad c-a =d(r-p) \qquad\ldots\mathrm{(ix)}$

अब, हमें सिद्ध करना है $a^{b-c} b^{c-a} c^{a-b}=1$

$ \text { बाईं ओर }=a^{b-c} b^{c-a} c^{a-b} $

समीकरणों $\mathrm{(iv), (v), (vi)}$ और $\mathrm{(vii), (viii), (ix)}$ का उपयोग करते हुए,

$ \begin{aligned} \text{बाईं ओर} & =(x R^{p-1})^{b-c}\cdot(x R^{q-1})^{c-a}\cdot(x R^{r-1})^{a-b} \\ \\ & =(x R^{p-1})^{{d}(q-r)}\cdot(x R^{q-1})^{{d}(r-p)}\cdot(x R^{r-1})^{d(p-q)} \\ \\ & = x^{(dq-dr+dr-dp+dp-dq)}\cdot R^{(p-1)d(q-r)+(q-1)d(r-p)+(r-1)d(p-q)} \\ \\ & =x^0\cdot R^{d(p q-p r-q+r+q r-p q-r+p+r p-r q-p+q)} \\ \\ & =x^0\cdot R^{d\times(0)} \\ \\ & =1=\text{दाईं ओर} \end{aligned} $

हल

(d) दिया गया है, $S _ {n}=3 n+2 n^{2}$

AP का पहला पद,

$ \begin{aligned} \therefore\quad \quad T _ 1 = S _ 1 & =3 \times 1+2(1)^{2} \\ \\ & =3+2=5 \\ \\ \text { और } \quad T _ 2 & =S _ 2-S _ 1 \\ \\

& =[3 \times 2+2 \times(2)^{2}]-[3 \times 1+2 \times(1)^{2}] \\ \\ & =14-5=9 \end{aligned} $

$\therefore\quad$ सामान्य अंतर $(d)=T _ 2-T _ 1=9-5=4$

हल

(c) दिया गया है कि, $T _ 3=4$

मान लीजिए $a$ और $r$ क्रमशः पहला पद और सामान्य अनुपात है।

तब,

$ a r^{2}=4 $

पहले 5 पदों का गुणनफल $=a \cdot a r \cdot a r^{2} \cdot a r^{3} \cdot a r^{4}$

$ \hspace{3cm}=a^{5} r^{10}=(a r^{2})^{5}=(4)^{5} $

हल

(a) मान लीजिए पहला पद $a$ और सामान्य अंतर $d$ है।

प्रश्न के अनुसार, $\quad 9 \cdot T _ 9=13 \cdot T _ {13}$

$ \begin{matrix} \Rightarrow\quad & 9(a+8 d) =13(a+12 d) \\ \\ \Rightarrow\quad & 9 a+72 d =13 a+156 d \\ \\ \Rightarrow\quad & (9 a-13 a) =156 d-72 d \\ \\ \Rightarrow\quad & -4 a =84 d \\ \\ \Rightarrow\quad & a =-21 d \\ \\ \Rightarrow\quad & a+21 d =0\qquad\ldots\mathrm{(i)} \\ \\ \therefore\quad & \text { 22 वां पद अर्थात, } T _ {22} =[a+21 d] \\ \\ & T _ {22} =0 \quad \text{[समीकरण (i) का उपयोग करते हुए]} \end{matrix} $

हल

(b) दिया गया है कि, $x, 2 y$ और $3 z$ AP में हैं।

तब, $ \ 2 y=\dfrac{x+3 z}{2}$

$\Rightarrow\quad y =\dfrac{x+3 z}{4} $

$\Rightarrow\quad 4 y =x+3 z\qquad\ldots\mathrm{(i)} $

और $x, y, z$ GP में हैं

$ \begin{aligned} \text { तब, } & \dfrac{y}{x}=\dfrac{z}{y}=\lambda \\ \\

\Rightarrow\quad & y=x \lambda \text { और } z=\lambda y=\lambda^{2} x \end{aligned} $

ऊपर दिए गए मान को समीकरण (i) में बदलकर, हम प्राप्त करते हैं

$ \qquad 4(x \lambda) =x+3(\lambda^{2} x) $

$\Rightarrow\quad 4 \lambda x =x+3 \lambda^{2} x $

$\Rightarrow\quad 4 \lambda =1+3 \lambda^{2} $

$\Rightarrow\quad 3 \lambda^{2}-4 \lambda+1 =0 $

$\Rightarrow\quad (3 \lambda-1)(\lambda-1) =0 $

$\therefore\quad \lambda =\dfrac{1}{3}, \lambda=1 $

Solution

(c) दिया गया है, $S _ {n}=q n^{2}$ और $S _ {m}=q m^{2}$

$ \begin{aligned} & \therefore\quad S _ 1=q, S _ 2=4 q, S _ 3=9 q \text { और } S _ 4=16 q \\ \\ & \text { अब, } \quad T _ 1=q \\ \\ & \therefore\quad T _ 2=S _ 2-S _ 1=4 q-q=3 q \\ \\ & \qquad T _ 3=S _ 3-S _ 2=9 q-4 q=5 q \\ \\ & \qquad T _ 4=S _ 4-S _ 3=16 q-9 q=7 q \end{aligned} $

इसलिए, श्रेणी $q, 3 q, 5 q, 7 q, \ \ \ldots$ है

$ \begin{aligned} \text { यहाँ, } \quad a & =q \text { और } d=3 q-q=2 q \\ \\ \therefore \quad S _ {q} & =\dfrac{q}{2}[2 \times q+(q-1) 2 q] \\ \\ & =\dfrac{q}{2} \times[2 q+2 q^{2}-2 q]=\dfrac{q}{2} \times 2 q^{2}=q^{3} \end{aligned} $

Solution

(b) मान लीजिए पहला पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।

तब, $\quad S _ {n}=\dfrac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$\therefore \quad S _ {2 n}=\dfrac{2 n}{2}[2 a+(2 n-1) d]$

$\qquad S _ {2 n}=n[2 a+(2 n-1) d]$

$\qquad S _ {3 n}=\dfrac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]$

प्रश्न के अनुसार, $S _ {2 n}=3 S _ {n}$

$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad & n[2 a+(2 n-1) d] =3 \left(\dfrac{n}{2}\right)[2 a+(n-1) d] \\ \\

\Rightarrow\quad & 4 a+(4 n-2) d =6 a+(3 n-3) d \\ \\ \Rightarrow\quad & -2 a+(4 n-2-3 n+3) d =0 \\ \\ \Rightarrow\quad & -2 a+(n+1) d =0 \\ \\ \Rightarrow\quad & d =\dfrac{2 a}{n+1} \end{aligned} $

अब,

$ \begin{aligned} \dfrac{S _ {3 n}}{S _ {n}} & =\dfrac{\dfrac{3 n}{2}[2 a+(3 n-1) d]}{\dfrac{n}{2}[2 a+(n-1) d]}=\dfrac{6 a+(9 n-3) \dfrac{2 a}{n+1}}{2 a+(n-1) \dfrac{2 a}{n+1}} \\ \\ & =\dfrac{6 a n+6 a+18 a n-6 a}{2 a n+2 a+2 a n-2 a} \\ \\ & =\dfrac{24 a n}{4 a n}=\dfrac{S _ {3 n}}{S _ {n}}=6 \end{aligned} $

Solution

(b) हम जानते हैं कि,

$ AM \geq GM $

$ \begin{aligned} \Rightarrow\quad & \dfrac{4^{x}+4^{1-x}}{2} \geq \sqrt{4^{x} \cdot 4^{1-x}} \\ \\ \Rightarrow\quad & 4^{x}+4^{1-x} \geq 2 \sqrt{4} \\ \\ \Rightarrow\quad & 4^{x}+4^{1-x} \geq 2 \cdot 2 \\ \\ \Rightarrow\quad & 4^{x}+4^{1-x} \geq 4 \end{aligned} $

Solution

(a) $\quad \sum _ {r=1}^{n} \dfrac{S _ {r}}{s _ {r}}=\dfrac{S _ 1}{s _ 1}+\dfrac{S _ 2}{s _ 2}+\dfrac{S _ 3}{s _ 3}+\ldots+\dfrac{S _ {n}}{s _ {n}}$

मान लीजिए $T _ {n}$ उपरोक्त श्रेणी का $n$ वां पद है।

$ \begin{aligned} \therefore\quad \quad T _ {n} & =\dfrac{S _ {n}}{s _ {n}}=\dfrac{\dfrac{n^2(n+1)^{2}}{4}}{\dfrac{n(n+1)}{2}} \\ \\ & =\dfrac{n(n+1)}{2}=\dfrac{1}{2}[n^{2}+n] \end{aligned} $

$\therefore\quad$ उपरोक्त श्रेणी का योग $=\Sigma T _ {n}=\dfrac{1}{2}[\Sigma n^{2}+\Sigma n]$

$ \begin{aligned} \hspace{3.7cm} & =\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+\dfrac{n(n+1)}{2}\right) \\ \\

\hspace{3.7cm} & =\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac {n(n+1)}{2} \left(\dfrac{(2 n+1)}{3}+1\right) \\ \\ \hspace{3.7cm} & =\dfrac{1}{4} n(n+1) \left(\dfrac{2 n+1+3}{3}\right) \\ \\ \hspace{3.7cm} & =\dfrac{1}{4 \times 3} n(n+1)(2 n+4) \\ \\ \hspace{3.7cm} & =\dfrac{1}{12} n(n+1)(2 n+4) \\ \\ \hspace{3.7cm} & =\dfrac{1}{6} n(n+1)(n+2) \end{aligned} $

Solution

(d) मान लीजिए $S _ {n}$ श्रेणी $2+3+6+11+18+\ldots+t _ {50}$ के पदों का योग है।

$ \begin{aligned} \therefore\quad & S _ {n}=2+3+6+11+18+\ldots+t _ {50} \qquad\ldots\mathrm{(i)}\\ \\ \text { and } & S _ {n}=0+2+3+6+11+18+\ldots+t _ {49}+t _ {50}\qquad\ldots\mathrm{(ii)} \end{aligned} $

समीकरण (ii) को समीकरण (i) से घटाने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} 0 & =2+1+3+5+7+\cdots+t _ {50} \\ \\ \Rightarrow\quad t _ {50} & =2+1+3+5+7+\cdots \text { तक } 49 \text { पद } \\ \\ \therefore\quad t _ {50} & =2+[1+3+5+7+\cdots \text { तक } 49 \text { पद }] \\ \\ & =2+\dfrac{49}{2}[2 \times 1+48 \times 2] \\ \\ & =2+\dfrac{49}{2} \times[2+96] \\ \\ & =2+[49+49 \times 48] \\ \\ & =2+49 \times 49=2+(49)^{2} \end{aligned} $

Solution

(a) मान लीजिए आयताकार ठोस ब्लॉक की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः $\dfrac{a}{r}, a$ और $ar,$ है।

$ \begin{aligned} & \therefore\quad \quad \text { आयतन }=\dfrac{a}{r} \times a \times a r=216 cm^{3} \\ \\ & \Rightarrow\quad a^{3}=216 \\ \\ & \Rightarrow\quad a^{3}=6^{3} \\ \\

& \therefore\quad \quad a=6 \\ \\ & \text { सतह क्षेत्रफल }=2 \left(\dfrac{a^{2}}{r}\right)+a^{2} r+a^{2}=252 \\ \\ & \Rightarrow\quad 2 a^{2} \left(\dfrac{1}{r}+r+1\right)=252 \\ \\ & \Rightarrow\quad 2 \times 36\times \dfrac{1+r^{2}+r}{r}=252 \\ \\ & \Rightarrow\quad \dfrac{1+r^{2}+r}{r}=\dfrac{252}{2 \times 36} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow\quad 1+r^{2}+r=\dfrac{126}{36} r \\ \\ & \Rightarrow\quad 1+r^{2}+r=\dfrac{21}{6} r \\ \\ & \Rightarrow\quad 6+6 r^{2}+6 r=21 r \\ \\ & \Rightarrow\quad 6 r^{2}-15 r+6=0 \\ \\ & \Rightarrow\quad 2 r^{2}-5 r+2=0 \\ \\ & \Rightarrow\quad(2 r-1)(r-2)=0 \\ \\ & \therefore\quad \quad r=\dfrac{1}{2}, 2 \\ \\ & \text { जब } r=\dfrac{1}{2}: \quad \text { लम्बाई }=\dfrac{a}{r}=\dfrac{6 \times 2}{1}=12 \\ \\ & \text { चौड़ाई }=a=6 \\ \\ & \text { ऊँचाई }=a r=6 \times \dfrac{1}{2}=3 \\ \\ & \text { जब } r=2: \quad \text { लम्बाई }=\dfrac{a}{r}=\dfrac{6}{2}=3 \\ \\ & \text { चौड़ाई }=a=6 \\ \\ & \text { ऊँचाई }=a r=6 \times 2=12 \end{aligned} $

हल

दिया गया है कि, $a, b$ और $c$ एक गुणोत्तर श्रेणी में है।

$ \begin{aligned} & \text { तब, } \\ \\ & \dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}=r \\ \\ & \Rightarrow\quad b=a r \\ \\ & \Rightarrow\quad c=b r \\ \\ & \begin{aligned} \Rightarrow\quad & \dfrac{a-b}{b-c}=\dfrac{a-a r}{a r-b r}=\dfrac{a(1-r)}{r(a-b)}=\dfrac{a(1-r)}{r(a-a r)} \end{aligned} \\ \\ &\hspace{1.8cm} =\dfrac{a(1-r)}{a r(1-r)}=\dfrac{1}{r} \\ \\ & \therefore\quad \quad \dfrac{a-b}{b-c}=\dfrac{1}{r}=\dfrac{a}{b} \text { या } \dfrac{b}{c} \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $AP ~ $ है $a, a+d, a+2 d \cdots a+(n-1) d$

$ \begin{aligned} & \therefore\quad \quad a _ 1+a _ {n}=a+a+(n-1) d \\ \\

& =2 a+(n-1) d \\ \\ & a _ 2+a _ {n-1}=(a+d)+[a+(n-2) d] \\ \\ & =2 a+(n-1) d \\ \\ & a _ 2+a _ {n-1}=a _ 1+a _ {n} \\ \\ & a _ 3+a _ {n-2}=(a+2 d)+[a+(n-3) d] \\ \\ & =2 a+(n-1) d \\ \\ & =a _ 1+a _ {n} \end{aligned} $

इसलिए एक $AP$ के पहला और अंतिम पद के योग के बराबर होता है।

हल

दिया गया है, $T _ 3=4$

मान लीजिए $a$ और $r$ क्रमशः पहला पद और सार्व अनुपात हैं।

तब,

$ a r^{2}=4 \qquad\ldots\mathrm{(i)} $

पहले 5 पदों का गुणनफल $=a r \cdot a r \cdot a r^{2} \cdot a r^{3} \cdot a r^{4}$

$\hspace{3cm}=a^{5} r^{10}=(a r^{2})^{5}=(4)^{5}\qquad \text{[समीकरण (i) का उपयोग करते हुए]}$

हल

असत्य

एक AP $a, a+d, a+2 d, \ldots$ लें।

अब,

$ \dfrac{a _ 2}{a _ 1}=\dfrac{a+d}{a} \neq \dfrac{a+2 d}{a+d} $

इसलिए, AP एक GP नहीं हो सकता।

हल

सत्य

एक प्रगति $a, a+d, a+2 d, \ldots$

और अभाज्य संख्याओं की श्रेणी $2,3,5,7,11, \ldots$

स्पष्ट रूप से, प्रगति एक श्रेणी होती है लेकिन श्रेणी प्रगति नहीं हो सकती क्योंकि यह एक विशिष्ट पैटर्न का अनुसरण नहीं करती।

हल

सत्य

एक $AP$ a, a $+\mathrm{d}, \mathrm{a}+2 \mathrm{~d}, \ldots$

$\text{अब,}$

$ \begin{aligned} a _ 2+a _ 4 & =a+d+a+3 d \\ \\ & =2 a+4 d=2 a _ 3 \\ \\ a _ 3 & =\dfrac{a _ 2+a _ 4}{2} \end{aligned} $

फिर,

$\dfrac{a _ 3+a _ 5}{2}=\dfrac{a+2 d+a+4 d}{2}$

$\qquad\qquad=\dfrac{2 a+6 d}{2}=a+3 d=a _ 4$

इसलिए, कथन सत्य है।

हल

गलत

मान लीजिए दो $GP$ हैं $a, a r _ 1, a r _ 1^{2}, a r _ 2^{3}, \ldots\quad$ और $\quad b, b r _ 2, b r _ 2^{2}, b r _ 2^{3}, \ldots$

अब, दो GP के योग $a+b,(a r _ 1+b r _ 2),(a r _ 1^{2}+b r _ 2^{2}), \ldots$

अब, $\quad \dfrac{T _ 2}{T _ 1}=\dfrac{a r _ 1+b r _ 2}{a+b}\quad$ और $\quad\dfrac{T _ 3}{T _ 2}=\dfrac{a r _ 1^{2}+b r _ 2^{2}}{a r _ 1+b r _ 2}$

$\therefore\quad \quad \dfrac{T _ 2}{T _ 1} \neq \dfrac{T _ 3}{T _ 2}$

फिर, दो GP के अंतर $a-b, a r _ 1-b r _ 2, a r _ 1^{2}-b r _ 2^{2}, \ldots$

अब,

$ \dfrac{T _ 2}{T _ 1}=\dfrac{a r _ 1-b r _ 2}{a-b}\quad \text { और } \quad\dfrac{T _ 3}{T _ 2}=\dfrac{a r _ 1^{2}-b r _ 2^{2}}{a r _ 1-b r _ 2} $

$ \therefore\quad \quad \dfrac{T _ 2}{T _ 1} \neq \dfrac{T _ 3}{T _ 2} $

इसलिए, दो GP के योग या अंतर एक GP नहीं होता। इसलिए, कथन गलत है।

हल

गलत

$\text{मान लीजिए,}$

$\begin{aligned} S _ n & =a n^2+b n+c \\ \\ S _ 1 & =a+b+c \\ \\ a _ 1 & =a+b+c \\ \\ S _ 2 & =4 a+2 b+c \\ \\ a _ 2 & =S _ 2-S _ 1 \\ \\ & =4 a+4 b+c-(a+b+c)=3 a+b \\ \\ S _ 3 & =9 a+3 b+c \\ \\ a _ 3 & =S _ 3-S _ 2=5 a+b \end{aligned}$

अब,$\quad a _ 2-a _ 1=(3 a+b)-(a+b+c)=2 a-c$

$\quad a _ 3-a _ 2=(5 a+b)-(3 a+b)=2 a$

अब,$\quad a _ 2-a _ 1 \neq a _ 3-a _ 2$

इसलिए, कथन गलत है।

हल

(i) $4,1, \dfrac{1}{4}, \dfrac{1}{16}$

$\Rightarrow\quad\dfrac{T _ 2}{T _ 1}=\dfrac{1}{4} $

$\Rightarrow\quad \dfrac{T _ 3}{T _ 2}=\dfrac{1}{4}$

$ \Rightarrow\quad \dfrac{T _ 4}{T _ 3}=\dfrac{1 / 16}{1 / 4}=\dfrac{1}{4} $

इसलिए, यह एक $GP$ है।

(ii) $2,3,5,7$

$ \begin{aligned} \because\quad & T _ 2-T _ 1=3-2=1 \\ \\ \because\quad & T _ 3-T _ 2=5-3=2 \\ \\ & T _ 2-T _ 1 \neq T _ 3-T _ 2 \end{aligned} $

इसलिए, यह एक $AP$ नहीं है।

$\text{एक बार फिर,} \ \dfrac{T _ 2}{T _ 1}=3 / 2 $

$\Rightarrow\quad \ \dfrac{T _ 3}{T _ 2}=5 / 3 $

$ \because\quad \quad \dfrac{T _ 2}{T _ 1} \neq \dfrac{T _ 3}{T _ 2} $

यह एक $GP$ नहीं है।

इसलिए, यह एक अनुक्रम है।

(iii) $13,8,3,-2,-7$

$\because\quad \quad T _ 2-T _ 1=T _ 3-T _ 2$

इसलिए, यह एक $AP$ है।

$ \begin{aligned} & T _ 2-T _ 1=8-13=-5 \\ \\ & T _ 3-T _ 2=3-8=-5 \\ \\ & T _ 2-T _ 1=T _ 3-T _ 2 \end{aligned} $

इसलिए,

$(a)\longrightarrow (iii)$

$(b)\longrightarrow (ii)$

$(c)\longrightarrow (i)$

हल

(i) $1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots+n^{2}$

समीकरण, $(k+1)^{3}-k^{3}=3 k^{2}+3 k+1$ को लें।

$ k=1,2,3, \ldots,(n-1), n $ क्रमशः रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$ \begin{aligned} & 2^{3}-1^{3}=3 \cdot 1^{2}+3 \cdot 1+1 \\ \\ & 3^{3}-2^{3}=3 \cdot 2^{2}+3 \cdot 2+1 \\ \\ & 4^{3}-3^{3}=3 \cdot 3^{2}+3 \cdot 3+1 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & n^{3}-(n-1)^{3}=3 \cdot(n-1)^{2}+3 \cdot(n-1)+1 \\ \\ & (n+1)^{3}-n^{3}=3 \cdot n^{2}+3 \cdot n+1 \end{aligned} $

स्तम्भवार जोड़ने पर, हमें प्राप्त होता है

$n^{3}+3 n^{2}+3 n=3 \quad \sum _ {r=1}^{n} r^{2}+3 \dfrac{n(n+1)}{2}+n \quad \left[\because\quad \sum _ {r=1}^{n} r^{2}=\dfrac{n(n+1)}{2}\right] \\ \\ $

$\Rightarrow\quad 3 \sum _ {r=1}^{n} r^{2}=n^{3}+3 n^{2}+3 n-\dfrac{3 n(n+1)}{2}+n \\ \\ $

$\Rightarrow\quad \sum _ {r=1}^{n} r^{2}=\dfrac{2 n^{3}+3 n^{2}+n}{2}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{2} \\ \\ $

$ \Rightarrow\quad \sum _ {r=1}^{n} r^{2}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6} $

इसलिए, $\sum _ {r=1}^{n} r^{2}=1^{2}+2^{2}+\ldots+n^{2}=\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}$

(ii) $1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots+n^{3}$

समीकरण $(k+1)^{4}-k^{4}=4 k^{3}+6 k^{2}+4 k+1$ को ध्यान में रखते हुए, हम $k=1,2,3, \cdots(n-1), n$ क्रमशः रखते हैं:

$ \begin{aligned} & 2^{4}-1^{4}=4 \cdot 1^{3}+6 \cdot 1^{2}+4 \cdot 1+1 \\ \\ & 3^{4}-2^{4}=4 \cdot 2^{3}+6 \cdot 2^{2}+4 \cdot 2+1 \\ \\ & 4^{4}-3^{4}=4 \cdot 3^{3}+6 \cdot 3^{2}+4 \cdot 3+1 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & n^{4}-(n-1)^{4}=4(n-1)^{3}+6(n-1)^{2}+4(n-1)+1 \\ \\ & (n+1)^{4}-n^{4}=4 \cdot n^{3}+6 \cdot n^{2}+4 \cdot n+1 \end{aligned} $

स्तम्भ द्वारा जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$(n+1)^{4}-1^{4}=4 \cdot(1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3})+6(1^{2}+2^{2}+3^{3}+\cdots+n^{2}) $

$+4(1+2+3+\cdots+n)+(1+1+\cdots+1) n \text { terms } $

$\Rightarrow\quad n^{4}+4 n^{3}+6 n^{2}+4 n=4 \sum _ {r=1}^{n} r^{3}+6 \sum _ {r=1}^{n} r^{2}+4 \sum _ {r=1}^{n} r+n $

$\Rightarrow\quad n^{4}+4 n^{3}+6 n^{2}+4 n=4 \sum _ {r=1}^{n} r^{3}+6 \dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6}+4 \dfrac{n(n+1)}{2}+n $

$\Rightarrow\quad \sum _ {r=1}^{n} r^{3}=\dfrac{n^{2}(n+1)^{2}}{4} $

$\Rightarrow\quad \sum _ {r=1}^{n} r^{3}=\dfrac{n(n+1)}{2}=\sum _ {r=1}^{n} r^{2} $

$\text { इसलिए, } \sum _ {r=1}^{n} r^{3}=1^{3}+2^{3}+\cdots+n^{3}=\dfrac{n(n+1)^{2}}{2}=\sum _ {r=1}^{n} r^{2} $

$ \begin{aligned} \text{(iii)} \ \ 2+4+6+\cdots+2 n & =2[1+2+3+\cdots+n] \\ \\ & =2 \times \dfrac{n(n+1)}{2}=n(n+1) \end{aligned} $

(iv) $ \ \text{माना,}$

$ S _ {n}=1+2+3+\cdots+n $

स्पष्ट रूप से, यह एक अंकगणितीय श्रेणी है जिसका पहला पद, $a=1$,

सार्व अंतर, $d=1 \ $ और अंतिम पद $=n$

$ S _ {n}=\dfrac{n}{2}(1+n)=\dfrac{n(n+1)}{2} $

$\quad 1+2+3+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}$.

$\mathrm{इसलिए, }$

$\mathrm{(a)\longrightarrow(iii)}$

$\mathrm{(b)\longrightarrow(i)}$

$\mathrm{(c)\longrightarrow(ii)}$

$\mathrm{(d)\longrightarrow(iv)}$