हल

$A= \lbrace -1,2,3 \rbrace $ और $B= \lbrace 1,3 \rbrace $

(i) $A \times B= \lbrace (-1,1),(-1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,3) \rbrace $

(ii) $B \times A= \lbrace (1,-1),(1,2),(1,3),(3,-1),(3,2),(3,3) \rbrace $

(iii) $B \times B= \lbrace (1,1),(1,3),(3,1),(3,3) \rbrace $

(iv) $A \times A= \lbrace (-1,-1),(-1,2),(-1,3),(2,-1),(2,2),(2,3),(3,-1),(3,2),(3,3) \rbrace $

हल

हम जानते हैं, $ \ P = \lbrace x: x<3, x \in N \rbrace = \lbrace 1,2 \rbrace \ $ और $ \ Q = \lbrace x: x \leq 2, x \in W \rbrace = \lbrace 0,1,2 \rbrace $

अब, $ \ P \cup Q = \lbrace 0,1,2 \rbrace \text { और } P \cap Q= \lbrace 1,2 \rbrace $

$(P \cup Q) \times(P \cap Q) = \lbrace 0,1,2 \rbrace \times \lbrace 1,2 \rbrace $

$\hspace{3cm}= \lbrace (0,1),(0,2),(1,1),(1,2),(2,1),(2,2) \rbrace $

$ \therefore \quad P \cup Q= \lbrace 0,1,2 \rbrace \ \text { और } \ P \cap Q= \lbrace 1,2 \rbrace $

हल

हम जानते हैं,

$A = \lbrace x: x \in W, x<2 \rbrace = \lbrace 0,1 \rbrace $,

$B = \lbrace x: x \in N, 1<x<5 \rbrace $ $ = \lbrace 2,3,4 \rbrace $

और $C= \lbrace 3,5 \rbrace $

(i) $A \times(B \cap C)$

$B \cap C= \lbrace 3 \rbrace $

$\therefore \quad A \times(B \cap C)= \lbrace 0,1 \rbrace \times \lbrace 3 \rbrace = \lbrace (0,3),(1,3) \rbrace $

(ii) $\quad A \times(B \cup C)$

$\because\quad(B \cup C)= \lbrace 2,3,4,5 \rbrace $

$ \begin{aligned} \therefore \quad A \times(B \cup C) & = \lbrace 0,1 \rbrace \times \lbrace 2,3,4,5 \rbrace \\ \\ & = \lbrace (0,2),(0,3),(0,4),(0,5),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5) \rbrace \end{aligned} $

Solution

(i) हमें, $(2a+b, a-b)=(8,3)$ दिया है

$ \Rightarrow \quad 2 a+b=8 \text { और } a-b=3 $

[क्योंकि, दो क्रमित युग्म बराबर होते हैं, यदि उनके संगत पहले और दूसरे तत्व बराबर होते हैं]

$ b=a-3 $ को $2 a+b=8$ में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\quad \ \ 2a+a-3 =8 \\ \\ \Rightarrow 3 a-3=8 \\ \\
\Rightarrow 3a =11 \\ \\ \Rightarrow a=\dfrac{11}{3} $

$ \text {पुनः, } a = \dfrac{11}{3} \ \text{को } b=a-3 \ \text{में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है}$

$b=\dfrac{11}{3}-3=\dfrac{11-9}{3}=\dfrac{2}{3} $

$\therefore \ a=\dfrac{11}{3} \ \text{और b}=\dfrac{2}{3}$

(ii) हमें, $\quad \begin{pmatrix} \dfrac{a}{4}, a-2b\end{pmatrix}=(0,6+b) $ दिया है

$\Rightarrow \dfrac{a}{4} =0 \Rightarrow a=0 $

और $\quad a-2 b =6+b $

$\Rightarrow \quad 0-2 b =6+b $

$\Rightarrow \quad -3 b =6 $

$\therefore \quad b =-2 $

$\therefore \quad a =0, b=-2$

Solution

हमें, $A= \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace \ $ और $ \ S= \lbrace (x, y): x \in A, y \in A \rbrace $ दिया है

(i) $x+y=5$ को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्मों का समुच्चय है

$ \lbrace (1,4),(2,3),(3,2),(4,1) \rbrace $

(ii) $x+y<5$ को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्मों का समुच्चय है

$ \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1) \rbrace $

(iii) $x+y>8$ को संतुष्ट करने वाले क्रमित युग्मों का समुच्चय है

$ \lbrace (4,5),(5,4),(5,5) \rbrace $

$ \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1) \rbrace $

(iii) ऐसे क्रमित युग्मों के समुच्चय जो $x+y>8$ को संतुष्ट करते हैं:

$ \lbrace (4,5),(5,4),(5,5) \rbrace $

चिंतन प्रक्रिया

पहले, संबंध को रोस्टर रूप में लिखें, फिर $R$ के डोमेन और रेंज ज्ञात करें।

हल

हमारे पास,

$ \begin{aligned} R & = \lbrace (x, y): x, y \in W, x^{2}+y^{2}=25 \rbrace \\ \\ & = \lbrace (0,5),(3,4),(4,3),(5,0) \rbrace \end{aligned} $

$R$ के डोमेन $=$ क्रमित युग्मों में पहले तत्व के समुच्चय $= \lbrace 0,3,4,5 \rbrace $

$R$ के रेंज $=$ क्रमित युग्मों में दूसरे तत्व के समुच्चय $= \lbrace 5,4,3,0 \rbrace $

हल

हमारे पास,

$R_1 = \lbrace (x, y) \mid y=2 x+7, \text { जहाँ } x \in R \text { और }-5 \leq x \leq 5 \rbrace $

$\text { डोमेन आf } R_1 = \lbrace -5 \leq x \leq 5, x \in R \rbrace =[-5,5] $

$R_1$ के रेंज के लिए, $ \ \ y =2 x+7 $

$\text { जब } x=-5 \text {, तो } $ $y =2(-5)+7=-3 $

$ \text { जब } x=5 \text {, तो } $ $y =2(5)+7=17 $

$\therefore \ $ $R_1$ के रेंज $= \lbrace -3 \leq y \leq 17, y \in R \rbrace =[-3,17]$

हल

हमारे पास, $R_2= \lbrace (x, y) \mid x$ और $y$ पूर्णांक हैं और $x^{2}+y^{2}=64 \rbrace $

क्योंकि, 64, 0 और $\pm 8$ के वर्गों के योग है।

जब $x=0$, तो $y^{2}=64 \Rightarrow y= \pm 8$

$x=8$, तो $y^{2}=64-8^{2} \Rightarrow 64-64=0$

$x=-8$, तो $y^{2}=64-(-8)^{2}=64-64=0$

$\therefore \quad R_2= \lbrace (0,8),(0,-8),(8,0),(-8,0) \rbrace $

हल

हमारे पास है

$R_3= \lbrace (x,|x|) \mid x \text { एक वास्तविक संख्या है } \rbrace $

स्पष्ट रूप से, $R_3$ के डोमेन $R$ है

क्योंकि, $R_3$ के तहत किसी वास्तविक संख्या के प्रतिबिम्ब धनात्मक वास्तविक संख्या या शून्य होते हैं।

$ \therefore \quad \text { } R_3 \text{ के परिसर }=R^{+} \cup \lbrace 0 \rbrace \text { या }[0, \infty) $

हल

(i) हमारे पास है, $h= \lbrace (4,6),(3,9),(-11,6),(3,11) \rbrace $

क्योंकि, $3$ के दो प्रतिबिम्ब $9$ और $11$ हैं, इसलिए यह एक फलन नहीं है।

(ii) हमारे पास है, $f= \lbrace (x, x) \mid x$ एक वास्तविक संख्या है $ \rbrace $

हम देखते हैं कि, डोमेन में प्रत्येक तत्व के अद्वितीय प्रतिबिम्ब है। इसलिए, यह एक फलन है।

(iii) हमारे पास है, $g=\bigg \lbrace \left(n, \dfrac{1}{n} \right)\mid n $ $\text{एक धनात्मक पूर्णांक है }\bigg \rbrace $

प्रत्येक $n$ के लिए, यह एक धनात्मक पूर्णांक है और $\dfrac{1}{n}$ अद्वितीय और भिन्न है। इसलिए, डोमेन में प्रत्येक तत्व के अद्वितीय प्रतिबिम्ब है। इसलिए, यह एक फलन है।

(iv) हमारे पास है, $s= \lbrace (n, n^{2}) \mid n$ एक धनात्मक पूर्णांक है $ \rbrace $

क्योंकि, किसी भी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग अद्वितीय होता है। इसलिए, डोमेन में प्रत्येक तत्व के अद्वितीय प्रतिबिम्ब है। इसलिए, यह एक फलन है।

(v) हमारे पास है, $t= \lbrace (x, 3) \mid x$ एक वास्तविक संख्या है $ \rbrace $

क्योंकि, डोमेन में प्रत्येक तत्व के प्रतिबिम्ब 3 है। इसलिए, यह एक स्थिर फलन है।

हल

दिया गया है, $f$ और $g$ वास्तविक फलन हैं जो $f(x)=x^{2}+7$ और $g(x)=3 x+5$ द्वारा परिभाषित हैं।

(i) $f(3)=(3)^{2}+7=9+7=16 \ $ और $ \ g(-5)=3(-5)+5=-15+5=-10$

$\therefore\quad f(3)+g(-5)=16-10=6$

(ii) $f \left(\dfrac{1}{2}\right)=\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+7=\dfrac{1}{4}+7=\dfrac{29}{4} \ $ और $ \ g(14)=3(14)+5=42+5=47$

$\therefore \quad f \left(\dfrac{1}{2}\right)\times g(14)=\dfrac{29}{4} \times 47=\dfrac{1363}{4}$

(iii) $f(-2)=(-2)^{2}+7=4+7=11 \ $ और $ \ g(-1)=3(-1)+5=-3+5=2$

$\therefore \quad f(-2)+g(-1)=11+2=13$

(iv) $f(t)=t^{2}+7 \ $ और $ \ f(-2)=(-2)^{2}+7=4+7=11$

$ \therefore \quad f(t)-f(-2)=t^{2}+7-11=t^{2}-4 $

(v) $f(t)=t^{2}+7 \ $ और $ \ f(5)=5^{2}+7=25+7=32$

$ \therefore \quad \dfrac{f(t)-f(5)}{t-5}, \text { यदि } t \neq 5 $

$ \qquad \ =\dfrac{t^{2}+7-32}{t-5} $

$ \qquad \ =\dfrac{t^{2}-25}{t-5}=\dfrac{(t-5)(t+5)}{(t-5)} $

$\qquad \ =t+5 $

हल

हमारे पास,

$ f(x)=2 x+1 \text { और } g(x)=4 x-7 $

$\text { (i) } \because \quad f(x)=g(x) $

$\Rightarrow \quad 2 x+1=4 x-7 $

$\Rightarrow \quad 2 x=8 $

$\therefore \quad x=4 $

$\text { (ii) } \because \quad f(x)<g(x) $

$\Rightarrow \quad 2 x+1<4 x-7 $

$\Rightarrow \quad 1+7 < 4x-2x$

$\Rightarrow \quad 8 < 2x$

$\therefore \quad x>4$

हल

हमारे पास, $f(x)=2 x+1$ और $g(x)=x^{2}+1$

(i) $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=2 x+1+x^{2}+1=x^{2}+2 x+2$

(ii) $(f-g)(x)=f(x)-g(x)=(2 x+1)-(x^{2}+1)=2 x+1-x^{2}-1=2 x-x^{2}=x(2-x)

$

(iii) $(f g)(x)=f(x) \cdot g(x)=(2 x+1)(x^{2}+1)=2 x^{3}+2 x+x^{2}+1=2 x^{3}+x^{2}+2 x+1 $

**

(iv) $ \ \dfrac{f}{g}(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{2 x+1}{x^{2}+1}$

हल

हमारे पास,

$ f: X \rightarrow R, f(x)=x^{3}+1 $

जहाँ

$X= \lbrace -1,0,3,9,7 \rbrace $

जब

$x=-1$, तो $f(-1)=(-1)^{3}+1=-1+1=0$

$x=0$, तो $f(0)=(0)^{3}+1=0+1=1$

$x=3$, तो $f(3)=(3)^{3}+1=27+1=28$

$x=9$, तो $f(9)=(9)^{3}+1=729+1=730$

$x=7$, तो $f(7)=(7)^{3}+1=343+1=344$

$f= \lbrace (-1,0),(0,1),(3,28),(9,730),(7,344) \rbrace $

$\therefore \quad$ $f$ का परिसर $ \lbrace 0,1,28,730,344 \rbrace $

हल

$ f(x)=g(x) $

$ \Rightarrow \quad 3 x^{2}-1 =3+x $

$ \Rightarrow \quad 3 x^{2}-x-4 =0 $

$ \Rightarrow \quad 3 x^{2}-4 x+3 x-4 =0 $

$ \Rightarrow \quad x(3 x-4)+1(3 x-4) =0 $

$ \Rightarrow \quad (3 x-4)(x+1) =0 $

$ \therefore \quad x =-1, \dfrac{4}{3}$

चिंतन प्रक्रिया

पहले, विभिन्न मानों के $x$ और $g(x)$ के द्वारा दो समीकरण खोजें।

हल

हमारे पास,

$ g= \lbrace (1,1),(2,3),(3,5),(4,7) \rbrace $

क्योंकि, प्रत्येक तत्व के अंतर्गत $g$ के अद्वितीय प्रतिबिम्ब होते हैं। इसलिए, $g$ एक फलन है।

अब, $ g(x) =\alpha x+\beta $

जब $x=1$, तो

$ g(1) =\alpha(1)+\beta $

$ 1 =\alpha+\beta \quad \ldots (i)$

जब $x=2$, तो

$ g(2) =\alpha(2)+\beta$

$ \Rightarrow \quad 3=2 \alpha+\beta \quad \ldots (ii)

$

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \alpha=2, \beta=-1 $

हल

(i) हमें, $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{1-\cos x}}$ दिया है

$\Rightarrow \quad -1 \leq \cos x \leq 1$

$\Rightarrow \quad -1 \leq -\cos x \leq 1$

$\Rightarrow \quad -1+1 \leq 1- \cos x \leq 1$

$\Rightarrow \quad 0 \leq 1- \cos x \leq 1$

अब, $f(x)$ के परिभाषित होने के लिए

$1-\cos x \neq 0$

$\Rightarrow \quad \cos x \neq 1$

$\Rightarrow \quad x \neq 2n \pi \quad \forall n \in Z$

$\therefore $ $f$ का प्रांत $R- \lbrace 2n \pi : n \in Z \rbrace $

(ii) हमें, $f(x) =\dfrac{1}{\sqrt{x+|x|}} $ दिया है

$x+|x| =$ $\begin{cases} x-x=0, & x<0 \\ \\ x+x=2 x, & x \geq 0 \end{cases}$

$ \because \quad x+|x|=x-x=0, x<0 $

अतः, $f(x)$ के परिभाषित होने के लिए $x>0$ होना चाहिए।

$ \therefore \quad \text { प्रांत } f=R^{+} $

(iii) हमें, $f(x)=x|x|$

स्पष्ट रूप से, $f(x)$ के परिभाषित होने के लिए कोई भी $x \in R$ अपेक्षित है।

$\therefore$ प्रांत $f=R$

(iv) हमें, $ f(x)=\dfrac{x^{3}-x+3}{x^{2}-1} $

$f(x)$ अपरिभाषित होता है, यदि

$x^{2}-1 =0 $

$(x-1)(x+1) =0 $

$x =-1,1 $

प्रांत $f =R- \lbrace -1,1 \rbrace $

(v) हमें, $ f(x)=\dfrac{3 x}{28-x} $

स्पष्ट रूप से, $f(x)$ के परिभाषित होने के लिए

$28-x \neq 0$

$\Rightarrow \quad x \neq 28$

$\therefore \quad$ प्रांत $f=R- \lbrace 28 \rbrace $

चिंतन प्रक्रिया

पहले, $y=f(x)$ के रूप में $x$ के मान को $y$ के रूप में ज्ञात कीजिए। फिर, $x$ के वास्तविक मान लेने वाले $y$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल

(i) हमें, $f(x) =\dfrac{3}{2-x^{2}} $ दिया है

$y =f(x) $

तब, $y =\dfrac{3}{2-x^{2}} $

$\Rightarrow 2-x^{2}=\dfrac{3}{y} $

$\Rightarrow \quad x^{2} =2-\dfrac{3}{y} $

$\Rightarrow \quad x=\sqrt{\dfrac{2 y-3}{y}}$

$x$ वास्तविक मान ले सकता है, यदि $2 y-3 \geq 0$ और $y>0 \Rightarrow y \geq \dfrac{3}{2}$

$ \therefore \quad \text { फलन } f के परिसर }=[\dfrac{3}{2}, \infty) $

(ii) हमें, $f(x)=1-|x-2|$

हम जानते हैं कि, $ \mid x-2 \mid \geq 0 $

$\Rightarrow \ \ -\mid x-2 \mid \leq 0$

$\Rightarrow \ \ $ $1- \mid x-2 \mid \leq 1 $

$\Rightarrow \ \ $ $f(x) \leq 1 $

$\therefore \ \ $ फलन $f$ का परिसर $(-\infty , 1] $

(iii) हमें, $f(x)=|x-3|$

हम जानते हैं कि, $ |x-3| \geq 0 $

$ \Rightarrow \ \ f(x) \geq 0 $

$ \therefore \text { फलन } f के परिसर }=[0, \infty) $

(iv) हमें, $f(x)=1+3 \cos 2 x$

हम जानते हैं कि, $-1 \leq \cos 2 x \leq 1 $

$\Rightarrow \quad -3 \leq 3 \cos 2 x \leq 3$

$\Rightarrow \quad 1-3 \leq 1 + 3 \cos 2 x \leq 1+3 \\ \\ \Rightarrow \quad -2 \leq 1+3 \cos 2 x \leq 1+3 \\ \\ \Rightarrow\quad \ -2 \leq f(x) \leq 4 $

$\therefore \text { फलन } f के परिसर }=[-2,4] $

चिंतन प्रक्रिया

पहले $|x-2|$ और $|2+x|$ के अंतराल को ज्ञात करें, फिर उस अंतराल में $f(x)$ का मान ज्ञात करें।

हल

क्योंकि, $\mid x-2 \mid = $ $\begin{cases} -(x-2), & x < 2 \\ \\ x-2, & x \geq 2 \end{cases}$

और $\mid 2+x \mid =$ $\begin{cases} -(2+x), & x < -2 \\ \\ 2+x, & x \geq -2 \end{cases} $

दिया गया है

$f(x)= \mid x-2 \mid + \mid 2+x \mid , -3 \leq x \leq 3$

$f(x)=$ $\begin{cases} -(x-2)-(2+x), & -3 \leq x < -2 \\ \\ -(x-2)+(2+x), & -2 \leq x <2 \\ \\ (x-2)+(2+x), & 2 \leq x \leq 3 \end{cases}$

अथवा, $f(x)=$ $\begin{cases} -x+2-2-x, & -3 \leq x <-2 \\ \\ -x+2+2+x, & -2 \leq x < 2 \\ \\ x-2+2+x, & 2 \leq x \leq 3 \end{cases}$

अथवा, $f(x)=$ $\begin{cases} -2x, & -3 \leq x < -2 \\ \\ 4, & -2 \leq x <2 \\ \\ 2x, & 2 \leq x \leq 3 \end{cases}$

हल

हमें दिया गया है, $\quad f(x)=\dfrac{x-1}{x+1}$

(i) $f \left(\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{\dfrac{1}{x}-1}{\dfrac{1}{x}+1}=\dfrac{(1-x) / x}{(1+x) / x}=\dfrac{1-x}{1+x}=\dfrac{-(x-1)}{x+1}=-f(x)$

(ii) $f\left(-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{-\dfrac{1}{x}-1}{-\dfrac{1}{x}+1}=\dfrac{(-1-x) / x}{(-1+x) / x}$

$ \Rightarrow f\left(-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{-(x+1)}{x-1}$

अब, $\quad \dfrac{-1}{f(x)}=\dfrac{-1}{\dfrac{x-1}{x+1}}=\dfrac{-(x+1)}{x-1}$

$\therefore \quad f\left(-\dfrac{1}{x}\right)=-\dfrac{1}{f(x)}$

हल

हमें दिया गया है, $f(x)=\sqrt{x}$ और $g(x)=x$ दो फलन हैं जो $R^{+} \cup \lbrace 0 \rbrace$ के डोमेन में परिभाषित हैं।

(i) $(f+g)(x)=f(x)+g(x)=\sqrt{x}+x$

(ii) $(f-g)(x)=f(x)-g(x)=\sqrt{x}-x$

(iii) $(f g)(x)=f(x) \cdot g(x)=\sqrt{x} \cdot x=x^{({3}/{2})}$

(iv) $\left(\dfrac{f}{g}\right)x=\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{\sqrt{x}}{x}=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$

हल

हमें दिया गया है, $\quad f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x-5}}$

$f(x)$ परिभाषित होगा, यदि $x-5>0 \Rightarrow x>5$

$\therefore \quad$ $f$ का डोमेन $(5, \infty)$ है

मान लीजिए $f(x)=y$

$\therefore \quad y=\dfrac{1}{\sqrt{x-5}} \Rightarrow \sqrt{x-5}=\dfrac{1}{y}$

$\Rightarrow \quad x-5=\dfrac{1}{y^{2}}$

$\therefore \quad x=\dfrac{1}{y^{2}}+5 $

$x \in (5, \infty )$ और $\dfrac{1}{y^2} > 0$

$\Rightarrow \quad y \in R^{+}$

अतः, $f$ का परिसर $R^{+}$ है

हल

हमारे पास, $ f(x)=y=\dfrac{a x-b}{c x-a} $

$ \begin{aligned} \therefore \quad f(y) & =\dfrac{a y-b}{c y-a}=\dfrac{a \left(\dfrac{a x-b}{c x-a}\right)-b}{c \left(\dfrac{a x-b}{c x-a}\right)-a} \\ \\ & =\dfrac{a(a x-b)-b(c x-a)}{c(a x-b)-a(c x-a)}=\dfrac{a^{2} x-a b-b c x+a b}{a c x-b c-a c x+a^{3}} \\ \\ & =\dfrac{a^{2} x-b c x}{a^{2}-b c}=\dfrac{x(a^{2}-b c)}{(a^{2}-b c)}=x \\ \\ \therefore \quad f(y) & =x \end{aligned} $

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

चिंतन प्रक्रिया

पहले $A \times B$ में तत्वों की संख्या ज्ञात करें और फिर $2^{n(A \times B)}-1$ का उपयोग करके गैर-शून्य संबंधों की संख्या ज्ञात करें।

हल

विकल्प (d): हमारे पास, $n(A) =m \text { और } n(B)=n $

अब, $n(A \times B) =n(A) \cdot n(B) $

$\qquad n(A \times B) =m n$

$\therefore \quad $ $A$ से $B$ में कुल संबंधों की संख्या $=2^{n(A \times B)}-1=2^{m n}-1$

• विकल्प (a) $ m^n $: इस विकल्प को समुच्चय $ B $ से समुच्चय $ A $ में फलनों की संख्या के रूप में दर्शाया गया है, न कि गैर-शून्य संबंधों की संख्या। एक फलन एक विशिष्ट प्रकार का संबंध होता है जहाँ $ A $ के प्रत्येक तत्व को $ B $ के केवल एक तत्व से संबंधित किया जाता है। इसलिए, यह सभी संभावित गैर-शून्य संबंधों को गिनता नहीं है।

• विकल्प (b) $ n^m - 1 $: इस विकल्प को गलत माना जाता है क्योंकि यह $ A $ से $ B $ में फलनों की संख्या को घटाकर दर्शाता है। विकल्प (a) के जैसे, यह केवल फलनों को गिनता है, न कि सभी संभावित संबंधों को।

• विकल्प (c) $ mn - 1 $: इस विकल्प को गलत माना जाता है क्योंकि यह $ A \times B $ कार्टेशियन गुणन के गैर-शून्य युग्मों की संख्या को घटाकर दर्शाता है।

चिंतन प्रक्रिया

यदि $a$ और $b$ दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक हैं और $[x]=a, b$, तो $x \in [a, a+1 )$ और $x \in [b, b+1)$।

हल

विकल्प (द): हमें, $ [x]^2 - 5[x] + 6 = 0 $ दिया गया है।

मान लीजिए, $\quad [x] = z$

$\Rightarrow \quad z^2 - 5z + 6 = 0$

$\Rightarrow \quad z^2 - 3z - 2z + 6 = 0$

$\Rightarrow \quad z(z - 3) - 2(z - 3) = 0$

$\Rightarrow \quad z = 2, 3$

$\therefore \quad [x] = 2$ और $[x] = 3$

यदि $[x] = 2$ तो $x \in [2, 3)$

यदि $[x] = 3$ तो $x \in [3, 4)$

अंतराल के संयोजन से, हम प्राप्त करते हैं

$x \in [2, 3) \cup [3, 4)$

$\Rightarrow \quad x \in [2, 4)$

• विकल्प (अ) $x \in[3,4]$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इस अंतराल के अनुसार $x$ के मान 3 से 4 तक शामिल हो सकते हैं। $x$ के मान [3,4] के अंतराल में होना असंभव है क्योंकि इसका अर्थ होगा $[x] = 4$ जो समीकरण को संतुष्ट नहीं करता।

• विकल्प (ब) $x \in(2,3]$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $x \in (2,3]$ तो $\left[x\right]$ का मान 2 या 3 हो सकता है। जबकि $[x] = 2$ और $[x] = 3$ समीकरण के हल हैं, लेकिन अंतराल $(2,3]$ में $x = 2$ शामिल नहीं है जो एक वैध हल है। इसलिए, यह विकल्प गलत है।

• विकल्प (स) $x \in[2,3]$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $x \in [2,3]$ तो $\left[x\right]$ का मान 2 या 3 हो सकता है। जब $[x] = 3$ होता है, तो $x \in [3, 3+1)$. इसलिए, यह विकल्प गलत है।

हल

विकल्प (स): हमें, $\quad f(x)=\dfrac{1}{1-2 \cos x}$ दिया गया है।

हम जानते हैं कि, $\quad -1 \leq \cos x \leq 1$

$\Rightarrow \quad -1 \leq - \cos x \leq 1$

$\Rightarrow \quad -2 \leq -2 \cos x \leq 2$

$\Rightarrow \quad 1-2 \leq 1-2 \cos x \leq 1+2$

$\Rightarrow \quad -1 \leq 1-2 \cos x \leq 3$

$$ \because \quad \cos x \neq \dfrac{1}{2} \text{ जब } 1-2 \cos x \neq 0 $$

$$ \Rightarrow \quad -1 \leq 1- 2 \cos x <0 \text{ और } 0 < 1-2 \cos x \leq 3 $$

$$ \Rightarrow \quad -\infty < \dfrac{1}{1- 2 \cos x } \leq -1 \text{ और } \dfrac{1}{3} \leq \dfrac{1}{1-2 \cos x} < \infty $$

$$ \Rightarrow \quad - \infty < f(x) \leq 1 \text{ और } \dfrac{1}{3} \leq f(x) < \infty $$

$$ \therefore \quad \text{फलन } f \text{ के परिसर } = \left(-\infty , -1\right] \cup \left[\dfrac{1}{3}, \infty\right) $$

• विकल्प (a) $\left[\dfrac{1}{3}, 1\right]$: $\left[\dfrac{1}{3}, 1\right]$ गलत है क्योंकि $f(x)$ के परिसर में 1 शामिल नहीं है। सही परिसर $(-\infty , -1] \cup [\dfrac{1}{3}, \infty)$ है, और 1 इस अंतराल में नहीं है।

• विकल्प (b) $\left[-1, \dfrac{1}{3}\right]$: $\left[-1, \dfrac{1}{3}\right]$ गलत है क्योंकि $f(x)$ के मान $\dfrac{1}{3}$ से बहुत अधिक और $-1$ से बहुत कम हो सकते हैं।

• विकल्प (d) $\left[-\dfrac{1}{3}, 1\right]$: $\left[-\dfrac{1}{3}, 1\right]$ गलत है क्योंकि $f(x)$ के परिसर में $-\dfrac{1}{3}$ शामिल नहीं है। सही परिसर $(-\infty , -1] \cup [\dfrac{1}{3}, \infty)$ है, और $-\dfrac{1}{3}$ इस अंतराल में नहीं है।

हल

विकल्प (c): हम जानते हैं कि,

$$ \begin{aligned} f(x) & =\sqrt{1+x^{2}} \\ \\ f(x y) & =\sqrt{1+x^{2} y^{2}} \\ \\ f(x) \cdot f(y) & =\sqrt{1+x^{2}} \cdot \sqrt{1+y^{2}} \\ \\ & =\sqrt{(1+x^{2})(1+y^{2})} \\ \\ & =\sqrt{1+x^{2}+y^{2}+x^{2} y^{2}} \end{aligned} $$

$$ \begin{matrix} \because & \sqrt{1+x^{2} y^{2}} \leq \sqrt{1+x^{2}+y^{2}+x^{2} y^{2}} \\ \\ \Rightarrow & f(x y) \leq f(x) \cdot f(y) \end{matrix} $$

• विकल्प (a) $f(x y)=f(x) \cdot f(y)$: यह गलत है क्योंकि $$ f(x y) = \sqrt{1 + x^2 y^2} \quad \text{और} \quad f(x) \cdot f(y) = \sqrt{(1 + x^2)(1 + y^2)} = \sqrt{1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2} $$

$

क्योंकि $\sqrt{1 + x^2 y^2} \neq \sqrt{1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2}$, समानता सत्य नहीं है।

• विकल्प (b) $f(x y) \geq f(x) \cdot f(y)$: यह गलत है क्योंकि $ f(x y) = \sqrt{1 + x^2 y^2} \quad \text{और} \quad f(x) \cdot f(y) = \sqrt{(1 + x^2)(1 + y^2)} = \sqrt{1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2} $

क्योंकि $\sqrt{1 + x^2 y^2} \leq \sqrt{1 + x^2 + y^2 + x^2 y^2}$, असमानता $f(x y) \geq f(x) \cdot f(y)$ सत्य नहीं है।

हल

विकल्प (b): मान लीजिए $ f(x)=\sqrt{a^{2}-x^{2}} $

$f(x)$ परिभाषित होगा, यदि

$ a^{2}-x^{2} \geq 0 $

$\Rightarrow \quad x^{2}-a^{2} \leq 0 $

$\Rightarrow \quad (x-a)(x+a) \leq 0$

$\Rightarrow \quad -a \leq x \leq a$

$\therefore \quad \text {फलन }f \text{ का प्रांत }[-a, a]$

• विकल्प (a): $(-a, a)$ गलत है क्योंकि इसमें सिरेल बिंदुओं $-a$ और $a$ को छोड़ दिया गया है। फलन $\sqrt{a^2 - x^2}$, $x = -a$ और $x = a$ पर परिभाषित है क्योंकि $a^2 - (-a)^2 = 0$ और $a^2 - a^2 = 0$, जिससे शून्य के वर्गमूल की वैधता होती है।

• विकल्प (c): $\left[0, a\right]$ गलत है क्योंकि इसमें अंतराल $[-a, 0)$ में नकारात्मक मानों को छोड़ दिया गया है। फलन $\sqrt{a^2 - x^2}$, अंतराल $\left[-a, a\right]$ में सभी $x$ के लिए परिभाषित है, न केवल धनात्मक भाग।

• विकल्प (d): $(-a, 0]$ गलत है क्योंकि इसमें अंतराल $(0, a]$ में धनात्मक मानों को छोड़ दिया गया है। फलन $\sqrt{a^2 - x^2}$, अंतराल $\left[-a, a\right]$ में सभी $x$ के लिए परिभाषित है, न केवल अऋणात्मक भाग।

हल

विकल्प (b): हमें दिया गया है,

$ f(x) =a x+b $

$ f(-1) =a(-1)+b $

$ -5 =-a+b \quad \ldots (i)$

$ \text{ और,} \ f(3) =a(3)+b $

$ 3 =3 a+b \quad \ldots (ii)$

(1) और (2) के समीकरणों को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ a=2 \text { और } b=-3 $

• विकल्प (a) $a=-3, b=-1$:

यदि $a = -3$ और $b = -1$, तो:

$ f(-1) = -5 $: $-3(-1) + (-1) = 3 - 1 = 2 \neq -5$

$ f(3) = 3 $: $-3(3) + (-1) = -9 - 1 = -10 \neq 3$

इसलिए, यह विकल्प दिए गए शर्तों को संतुष्ट नहीं करता है।

• विकल्प (c) $a=0, b=2$:

यदि $a = 0$ और $b = 2$, तो:

$ f(-1) = -5 $: $0(-1) + 2 = 2 \neq -5$

$ f(3) = 3 $: $0(3) + 2 = 2 \neq 3$

इसलिए, यह विकल्प दिए गए शर्तों को संतुष्ट नहीं करता है।

• विकल्प (d) $a=2, b=3$:

यदि $a = 2$ और $b = 3$, तो:

$ f(-1) = -5 $: $2(-1) + 3 = -2 + 3 = 1 \neq -5$

$ f(3) = 3 $: $2(3) + 3 = 6 + 3 = 9 \neq 3$

इसलिए, यह विकल्प दिए गए शर्तों को संतुष्ट नहीं करता है।

हल

विकल्प (a): हम जानते हैं,

$ f(x)=\sqrt{4-x}+\dfrac{1}{\sqrt{x^{2}-1}} $

$f(x)$ परिभाषित होगा, यदि

$ \begin{aligned} 4-x & \geq 0 \text { या } x^{2}-1>0 \\ \\ x-4 & \leq 0 \text { या }(x+1)(x-1)>0 \\ \\ x & \leq 4 \text { या } x<-1 \text { और } x>1 \end{aligned} $

$ \therefore \quad \text { फलन } f \text { का डोमेन }=(-\infty,-1) \cup(1,4] $

• विकल्प (b): $(-\infty,-1] \cup(1,4]$ गलत है क्योंकि $x = -1$ फलन $f(x)$ के डोमेन में नहीं है। $x = -1$ पर शब्द $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ अपरिभाषित हो जाता है क्योंकि हर शून्य हो जाता है।

• विकल्प (c): $(-\infty,-1) \cup[1,4]$ गलत है क्योंकि $x = 1$ फलन $f(x)$ के डोमेन में नहीं है। $x = 1$ पर शब्द $\dfrac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}$ अपरिभाषित हो जाता है क्योंकि हर शून्य हो जाता है।

• विकल्प (d): $(-\infty,-1) \cup[1,4)$ गलत है क्योंकि $x = 4$ फलन $f(x)$ के डोमेन में है। $x = 4$ पर शब्द $\sqrt{4 - x}$ शून्य हो जाता है, जो परिभाषित है।

सोचने की प्रक्रिया

एक फलन $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ को परिभाषित करने के लिए, $g(x) \neq 0$ होना आवश्यक है।

हल

विकल्प (c): हमारे पास,

$ f(x)=\dfrac{4-x}{x-4} $

$f(x)$ को परिभाषित करने के लिए $x-4 \neq 0$ अर्थात $x \neq 4$

$\therefore \quad$ $f$ का डोमेन $R- \lbrace 4 \rbrace $ है

मान लीजिए $\quad f(x)=y$

$ \therefore \quad y=\dfrac{4-x}{x-4} \Rightarrow x y-4 y=4-x $

$\Rightarrow \quad x y+x=4+4 y $

$\Rightarrow \quad x(y+1)=4(1+y) $

$\therefore \quad x=\dfrac{4(1+y)}{y+1}$

$x$ वास्तविक मान ले सकता है, यदि $y+1 \neq 0$ अर्थात $y \neq-1$.

$\therefore \quad$ $f$ का परिसर $R- \lbrace -1 \rbrace $ है

• विकल्प (a) डोमेन $=R$, परिसर $= \lbrace -1,1 \rbrace $: यह गलत है क्योंकि फलन $f(x)=\dfrac{4-x}{x-4}$ $x=4$ पर परिभाषित नहीं है, इसलिए डोमेन सभी वास्तविक संख्याओं $R$ के बराबर नहीं हो सकता। इसके अतिरिक्त, परिसर $ \lbrace -1, 1 \rbrace $ के बराबर नहीं है; यह सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है जो $-1$ को छोड़ देता है।

• विकल्प (b) डोमेन $=R- \lbrace 1 \rbrace $, परिसर $=R$: यह गलत है क्योंकि फलन $f(x)=\dfrac{4-x}{x-4}$ $x=4$ पर परिभाषित नहीं है, न $x=1$ पर। इसलिए, डोमेन $4$ को छोड़ना चाहिए, न $1$ को। इसके अतिरिक्त, परिसर सभी वास्तविक संख्याओं $R$ के बराबर नहीं है; यह $-1$ को छोड़ देता है।

• विकल्प (d) डोमेन $=R- \lbrace -4 \rbrace $, परिसर $= \lbrace -1,1 \rbrace $: यह गलत है क्योंकि फलन $f(x)=\dfrac{4-x}{x-4}$ $x=4$ पर परिभाषित नहीं है, न $x=-4$ पर। इसलिए, डोमेन $4$ को छोड़ना चाहिए, न $-4$ को। इसके अतिरिक्त, परिसर $ \lbrace -1, 1 \rbrace $ के बराबर नहीं है; यह सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करता है जो $-1$ को छोड़ देता है।

हल

विकल्प (d) हमें $f(x)=\sqrt{x-1}$ दिया गया है

फलन $f$ के लिए

$x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$

$\Rightarrow x \in [1 , \infty)$

$\therefore$ $f$ का डोमेन $=[1, \infty)$ है

$x \geq 1$ के लिए

$x-1 \geq 0 \Rightarrow \sqrt{x-1} \geq 0$

$f(x) \geq 0$

$\therefore$ $f$ का परिसर $=[0, \infty)$ है

• विकल्प (a) डोमेन $=(1, \infty)$, परिसर $=(0, \infty)$: यह गलत है क्योंकि डोमेन में 1 शामिल होना चाहिए, क्योंकि $ f(x) = \sqrt{x-1} $ के लिए $ x = 1 $ पर फलन परिभाषित है। इसलिए, डोमेन $[1, \infty)$ होना चाहिए न कि $(1, \infty)$।

• विकल्प (b) डोमेन $=[1, \infty)$, परिसर $=(0, \infty)$: यह गलत है क्योंकि परिसर $(0, \infty)$ शून्य को बाहर रखता है, लेकिन $0$ वह मान है जो $x=1$ पर फलन ले सकता है।

• विकल्प (c) डोमेन $=(1, \infty)$, परिसर $=[0, \infty)$: यह गलत है क्योंकि डोमेन में 1 शामिल होना चाहिए, क्योंकि $ f(x) = \sqrt{x-1} $ के लिए $ x = 1 $ पर फलन परिभाषित है। इसलिए, डोमेन $[1, \infty)$ होना चाहिए न कि $(1, \infty)$।

चिंतन प्रक्रिया

एक फलन $\dfrac{f(x)}{g(x)}$ को परिभाषित करने के लिए $g(x) \neq 0$ होना चाहिए।

हल

विकल्प (a) हमें, $f(x)= \dfrac{x^2+2x+1}{x^2-x-6}$ दिया गया है

फलन $f$ के लिए

$x^2-x-6 \neq 0$

$\Rightarrow \quad x^2-3x+2x-6 \neq 0$

$\Rightarrow \quad x(x-3)+2(x-3) \neq 0$

$\Rightarrow \quad x \neq 3, -2$

$\therefore$ $f$ का डोमेन $= \mathbf{R}- \lbrace -2, 3 \rbrace $

• विकल्प (b) $\mathbf{R}- \lbrace -3,2 \rbrace $: यह गलत है क्योंकि यह सुझाव देता है कि डोमेन में $x=-3 $ और $x=2$ शामिल नहीं हैं लेकिन ये मान नामांकन के शून्य नहीं बनाते।

• विकल्प (c) $\mathbf{R}-[3,-2]$: यह गलत है क्योंकि अंतराल नोटेशन एक संख्या के श्रेणी को दर्शाता है, न कि विशिष्ट बिंदुओं को।

• विकल्प (d) $\mathbf{R}-(3,-2)$: यह गलत है क्योंकि यह $3 $ से $-2$ तक के खुले अंतराल को बाहर रखने को सुझाता है। विकल्प C के समान, यह विशिष्ट बिंदुओं को बाहर रखने का सही प्रतिनिधित्व नहीं करता।

हल

विकल्प (b) हम जानते हैं, $f(x)= 2- \mid x-5 \mid$

क्योंकि, $\mid x-5 \mid $ सभी $x \in \mathbf{R}$ के लिए परिभाषित है।

$\therefore \quad f$ सभी $x \in \mathbf{R}$ के लिए परिभाषित है।

$\therefore \quad $ $f$ का डोमेन $= \mathbf{R}$।

अब, हम जानते हैं कि $\mid x-5 \mid \geq 0$

$\Rightarrow \quad - \mid x-5 \mid \leq 0$

$\Rightarrow \quad 2- \mid x-5 \mid \leq 2$

$\Rightarrow \quad f(x) \leq 2$

$\therefore \quad $ $f$ का रेंज $= (- \infty , 2 ]$।

विकल्प (a) डोमेन $=\mathbf{R}^{+}$, रेंज $=(-\infty, 1]$: यह गलत है क्योंकि यह बताता है कि फलन केवल धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। क्योंकि $ f(x) = 2 - |x - 5| $ एक अंतर्गत वैल्यू के साथ है, जो सभी वास्तविक $ x $ के लिए परिभाषित है, डोमेन वास्तविक संख्याओं के सभी के लिए होना चाहिए, $ \mathbf{R} $।

विकल्प (c) डोमेन $=\mathbf{R}$, रेंज $=(-\infty, 2)$: यह गलत है क्योंकि रेंज $(- \infty, 2)$ के रूप में दिया गया है, जो बताता है कि 2 शामिल नहीं है। हालांकि, फलन $ x = 5 $ पर 2 के अधिकतम मान को प्राप्त करता है। इसलिए, 2 को रेंज में शामिल करना चाहिए, जिससे सही रेंज $(- \infty, 2]$ हो जाती है।

विकल्प (d) डोमेन $=\mathbf{R}^{+}$, रेंज $=(-\infty, 2]$: यह गलत है क्योंकि यह बताता है कि फलन केवल धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है। क्योंकि $ f(x) = 2 - |x - 5| $ एक अंतर्गत वैल्यू के साथ है, जो सभी वास्तविक $ x $ के लिए परिभाषित है, डोमेन वास्तविक संख्याओं के सभी के लिए होना चाहिए, $ \mathbf{R} $।

हल

विकल्प (a) हमें $f(x) = 3x^2-1$ और $g(x)=3+x$ दिया गया है

$f(x) = g(x)$

$\Rightarrow \quad 3x^2-1 = 3+x$

$\Rightarrow \quad 3x^2-x-4 =0$

$\Rightarrow \quad 3x^2-4x+3x-4= 0$

$\Rightarrow \quad x(3x-4)+1(3x-4)=0$

$\Rightarrow \quad x=-1, \dfrac{4}{3}$

$\therefore \quad $ $x \in \lbrace -1, \dfrac{4}{3} \rbrace , f(x)= g(x)$

विकल्प (b) $\left[-1, \dfrac{4}{3}\right]$: यह गलत है क्योंकि यह बताता है कि बंद अंतराल $\left[-1, \dfrac{4}{3}\right]$ में सभी $x$ के लिए $ f(x) $ और $ g(x) $ समान होते हैं। हालांकि, फलन केवल विशिष्ट बिंदुओं $ x = -1 $ और $ x = \dfrac{4}{3} $ पर समान होते हैं, न कि अंतराल के सभी बिंदुओं पर।

विकल्प (c) $\left(-1, \dfrac{4}{3}\right)$: यह गलत है क्योंकि यह बताता है कि खुले अंतराल $(-1, \dfrac{4}{3})$ में सभी $x$ के लिए फलन समान होते हैं। हालांकि, इस अंतराल में केवल सीमा बिंदुओं पर फलन समान होते हैं, न कि अंतराल के कोई भी बिंदु पर।

विकल्प (d) $\left[-1, \dfrac{4}{3}\right)$: यह गलत है क्योंकि यह बताता है कि फलन $ x = -1 $ पर समान होते हैं और $ \dfrac{4}{3} $ से कम सभी $x$ के लिए भी समान होते हैं। फिर भी, फलन केवल विशिष्ट बिंदुओं $ x = -1 $ और $ x = \dfrac{4}{3} $ पर समान होते हैं।

चिंतन प्रक्रिया

पहले $f$ और $g$ के डोमेन ज्ञात करें। फिर,

$ \text { फलन } f \cdot g \text { के डोमेन } = \text { फलन } f \text { के डोमेन } \cap \text { फलन } g \text { के डोमेन } \text {. } $

हल

हमारे पास, $ f= \lbrace (0,1),(2,0),(3,-4),(4,2),(5,1) \rbrace $

और $g= \lbrace (1,0),(2,2),(3,-1),(4,4),(5,3) \rbrace $

$ \text { फलन } f \text { के डोमेन }= \lbrace 0,2,3,4,5 \rbrace $

और फलन $g$ के डोमेन $= \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace $

$\therefore$ फलन $(f \cdot g)$ के डोमेन = फलन $f$ के डोमेन $\cap$ फलन $g$ के डोमेन = $\lbrace 2,3,4,5 \rbrace $

हल

हमारे पास, $f= \lbrace (2,4),(5,6),(8,-1),(10,-3) \rbrace $

$\text { और } \quad g= \lbrace (2,5),(7,1),(8,4),(10,13),(11,5) \rbrace $

$\text { इसलिए, } f-g, f+g, f . g, \dfrac{f}{g} \text { के डोमेन } ( \text{फलन } f \cap \text { फलन } g $ के डोमेन $) $

$\text { अर्थात, } \lbrace 2,5,8,10 \rbrace \cap \lbrace 2,7,8,10,11 \rbrace = \lbrace 2,8,10 \rbrace $

$\text { (i) }(f-g)(2)=f(2)-g(2)=4-5=-1 $

$\quad (f-g)(8)=f(8)-g(8)=-1-4=-5 $

$\quad (f-g)(10)=f(10)-g(10)=-3-13=-16 $

$\therefore \quad f-g= \lbrace (2,-1),(8,-5),(10,-16) \rbrace $

(ii) $(f+g)(2)=f(2)+g(2)=4+5=9 $

$\quad (f+g)(8)=f(8)+g(8)=-1+4=3 $

$\quad (f+g)(10)=f(10)+g(10)=-3+13=10 $

$\therefore \quad f+g= \lbrace (2,9),(8,3),(10,10) \rbrace $

(iii) $(f \cdot g)(2)=f(2) \cdot g(2)=4 \times 5=20$

$ \begin{aligned} (f \cdot g)(8) & =f(8) \cdot g(8)=-1 \times 4=-4 \\ \\ (f \cdot g)(10) & =f(10) \cdot g(10)=-3 \times 13=-39 \\ \\ \therefore \quad f \cdot g & = \lbrace (2,20),(8,-4),(10,-39) \rbrace \end{aligned} $

(iv) $\dfrac{f}{g}(2)=\dfrac{f(2)}{g(2)}=\dfrac{4}{5}$

$\dfrac{f}{g}(8)=\dfrac{f(8)}{g(8)}=\dfrac{-1}{4}$

$\dfrac{f}{g}(10)=\dfrac{f(10)}{g(10)}=\dfrac{-3}{13}$

$\therefore \quad \dfrac{f}{g}= \bigg \lbrace \left(2, \dfrac{4}{5}\right), \left(8,-\dfrac{1}{4}\right), \left(10, \dfrac{-3}{13}\right) \bigg \rbrace $

इसलिए, सही मिलान हैं (i) $\rightarrow$ (c), (ii) $\rightarrow$ (d), (iii) $\rightarrow$ (b), (iv) $\rightarrow$ (a).

हल

असत्य

हमें, $\ R= \lbrace (x, y): y=x-5, x, y \in Z \rbrace $

यदि $\ x=5$, तो $y=5-5=0$

इसलिए, $(5, 2)$ संबंध $R$ के अंग नहीं है।

हल

असत्य

हमें, $\ P= \lbrace 1,2 \rbrace $ और $n(P)=2$

$\therefore \quad n(P \times P \times P)=n(P) \times n(P) \times n(P)=2 \times 2 \times 2=8$

लेकिन दिया गया $P \times P \times P$ में 4 अवयव हैं।

चिंतन प्रक्रिया

पहले, हम $A \times B$ और $A \times C$ खोजेंगे, फिर हम $(A \times B) \cup(A \times C)$ खोजेंगे।

हल

सत्य

हमें, $ \ A= \lbrace 1,2,3 \rbrace , B= \lbrace 3,4 \rbrace $ और $C= \lbrace 4,5,6 \rbrace $

$A \times B= \lbrace (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4) \rbrace $

$A \times C= \lbrace (1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6) \rbrace $

$(A \times B) \cup(A \times C)= \lbrace (1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5)$, $(3,6) \rbrace $

Solution

False

हमें, $ \ (x-2, y+5)=\left(-2, \dfrac{1}{3}\right)$

$\Rightarrow \quad x-2 =-2 \ \text{और} \ y+5=\dfrac{1}{3} $

$\Rightarrow \quad x=-2+2 \ \text{और} \ y=\dfrac{1}{3}-5 $

$\therefore \quad x =0 \ \text{और} \ y=\dfrac{-14}{3}$

Solution

True

हमें, $\ A \times B= \lbrace (a, x),(a, y),(b, x),(b, y) \rbrace $

$A=$ क्रमिक युग्मों में पहला तत्व के समुच्चय $A \times B$ में $ \lbrace a, b \rbrace $

$B=$ क्रमिक युग्मों में दूसरा तत्व के समुच्चय $A \times B$ में $ \lbrace x, y \rbrace $