हल

शब्द ‘ALGORITHM’ के अक्षरों की संख्या $=9$

यदि ‘GOR’ एक साथ रहे, तो इसे $1$ समूह के रूप में लें।

$\therefore\quad$ अक्षरों की संख्या $=6+1=7$

यदि ‘GOR’ एक साथ रहे, तो शब्दों की संख्या $=7!$

शब्द ‘ALGORITHM’ के अक्षरों से बने शब्दों की कुल संख्या $=9!$

$\therefore \quad$ आवश्यक संभावना $=\dfrac{7 !}{9 !}=\dfrac{1}{72}$

हल

मान लीजिए कि युगल आसन्न डेस्कों पर बैठे हैं, उन दो को $1$ मान लीजिए।

उनके बाद $(4+1)$ अर्थात $5$ व्यक्तियों को नियुक्त करना होगा।

$\therefore \quad$ इन पांच व्यक्तियों के नियुक्त करने के तरीके $=5 ! \times 2 !$

6 व्यक्तियों के नियुक्त करने के कुल तरीके $=6 !$

$\therefore \quad$ युगल के आसन्न डेस्कों की संभावना $=\dfrac{5 ! \times 2 !}{6 !}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$

विवाहित युगल के असंगत डेस्कों की संभावना $=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

हल

1 से 1000 तक 2 के गुणज $2, 4, 6, 8, .., 1000 $ हैं।

मान लीजिए $n$ उपरोक्त श्रेणी के पदों की संख्या है।

$\therefore \quad n^{th}$ पद $=1000$

$\Rightarrow \quad 2+(n-1) 2=1000$

$\Rightarrow \quad 2+2 n-2=1000$

$\Rightarrow \quad 2 n=1000$

$\therefore \quad n=500$

कारण, 2 के गुणजों की संख्या $500$ है।

तो, 9 के गुणज $9,18,27, \ldots, 999$ हैं

मान लीजिए $m$ उपरोक्त श्रेणी में पदों की संख्या है।

$\therefore \quad m^{th}$ पद $=999$

$\Rightarrow \quad 9+(m-1) 9=999$

$\Rightarrow \quad 9+9 m-9=999$

$\Rightarrow \quad 9 m=999$

$\therefore \quad m=111$

क्योंकि, 9 के गुणज की संख्या 111 है। इसलिए, 2 और 9 दोनों के गुणज $18,36, \ldots$, 990 हैं

मान लीजिए $p$ उपरोक्त श्रेणी में पदों की संख्या है।

$\therefore \quad$ pth पद $=990$

$\Rightarrow \quad 18+(p-1) 18=990$

$\Rightarrow \quad 18+18 p-18=990$

$\Rightarrow \quad 18 p=990$

$\therefore \quad p=\dfrac{990}{18}=55$

क्योंकि, 2 और 9 दोनों के गुणज की संख्या 55 है।

$\therefore \quad$ 2 या $9$ के गुणज की संख्या $=500+111-55=556$

$\therefore\quad$ अभीष्ट प्रायिकता $=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{556}{1000}=0.556$

हल

एक पासा उछालने पर 6 नमूना बिंदु होते हैं।

(i) यदि पासा के $k$ वें उछाल में 2 आए।

तो, पहले $(k-1)^{th}$ उछाल में प्रत्येक 5 नतीजे होते हैं और $k$ वें उछाल में 2 आए जाते हैं, अर्थात 1 नतीजा होता है।

$\therefore\quad$ पासा के $k$ वें उछाल में 2 आने वाले घटना के नमूना अंश के तत्वों की संख्या $=5^{k-1}$

(ii) यदि हम विचार करते हैं कि पासा के $k$ वें उछाल में 2 आने वाले घटना के नमूना अंश के तत्वों की संख्या है, तो यह संभव है कि पहले उछाल में 2 आए, अर्थात 1 नतीजा होता है।

यदि पहले उछाल में 2 नहीं आए, तो नतीजे 5 होंगे और दूसरे उछाल में 2 आए, अर्थात 1 नतीजा होता है, संभावित नतीजे $=5 \times 1=5$

इसी तरह, यदि दूसरे उछाल में 2 नहीं आए और तीसरे उछाल में 2 आए।

$\therefore \quad$ संभावित नतीजे $=5 \times 5 \times 1$

$ \begin{aligned} \text {दिया गया श्रेणी } & =1+5+5 \times 5+5 \times 5 \times 5+\ldots+5^{k-1} \\ \\

& =1+5+5^{2}+5^{3}+\ldots+5^{k-1} \\ \\ & =\dfrac{1(5^{k}-1)}{5-1}=\dfrac{5^{k}-1}{4} \end{aligned} $

हल

दिया गया है कि, $2 \times$ सम संख्या की प्रायिकता $=$ विषम संख्या की प्रायिकता

$\Rightarrow \quad P(O)=2 P(E) $

$\Rightarrow \quad P(O): P(E)=2: 1 $

$\therefore\quad$ विषम संख्या के आने की प्रायिकता, $P(O)=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}$

और सम संख्या के आने की प्रायिकता, $ P(E)=\dfrac{1}{2+1}=\dfrac{1}{3} $

अब, $G$ वह घटना है जहाँ एक फेंक में पासे पर संख्या 3 से बड़ी आए।

इसलिए, संभावित परिणाम 4, 5 और 6 हैं, जिनमें से दो सम और एक विषम हैं।

$\therefore \quad$ आवश्यक प्रायिकता $=P(G)=2 \times P(E) \times P(O)=2 \times \dfrac{1}{3} \times \dfrac{2}{3}=\dfrac{4}{9}$

हल

मान लीजिए $E_1$ वह घटना है जहाँ परिवार रंगीन टेलीविज़न सेट के मालिक है और $E_2$ वह घटना है जहाँ परिवार काला-सफ़ेद टेलीविज़न सेट के मालिक है।

दिया गया है कि,

$P(E_1)=0.87$

$ P(E_2)=0.36 $

और $ P(E_1 \cap E_2)=0.30 $

हमें ज्ञात करना है कि एक परिवार के दोनों प्रकार के कम से कम एक सेट के मालिक होने की प्रायिकता अर्थात $P(E_1 \cup E_2)$।

$ \begin{aligned} \text {अब,}\ P(E_1 \cup E_2) & =P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2) \quad \text { [जोड़ के प्रमेय द्वारा] } \\ \\ & =0.87+0.36-0.30 \\ \\ & =0.93 \end{aligned} $

हल

चूंकि, यह दिया गया है कि, $A$ और $B$ परस्पर अपवादी घटनाएँ हैं।

$\therefore\quad$ $P(A \cap B)=0$ और $P(A)=0.35, P(B)=0.45 \qquad [\because A \cap B=\phi]$

(i) $P(A^{\prime})=1-P(A)=1-0.35=0.65$

(ii) $P(B^{\prime})=1-P(B)=1-0.45=0.55$

(iii) $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)=0.35+0.45-0=0.80$

(iv) $P(A \cap B)=0$

(v) $P(A \cap B^{\prime})=P(A)-P(A \cap B)=0.35-0=0.35$

(vi) $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=P(A \cup B)^{\prime}=1-P(A \cup B)=1-0.8=0.2$

हल

मान लीजिए $E_1, E_2, E_3, E_4$ और $E_5$ घटनाएँ हैं जिनके अंतर्गत सर्जिकी क्रमशः अत्यधिक जटिल, जटिल, सामान्य, सरल या अत्यधिक सरल रेट की गई हैं, क्रमशः।

$\therefore \quad P(E_1)=0.15,\quad P(E_2)=0.20,\quad P(E_3)=0.31,\quad P(E_4)=0.26, P(E_5)=0.08$

$ \begin{aligned} \mathrm{(i)}\quad P (\text{जटिल या अत्यधिक जटिल}) & =P(E_1 या E_2) \\ \\ & =P(E_1 \cup E_2)=P(E_1)+P(E_2)-P(E_1 \cap E_2) \\ \\ & =0.15+0.20-0\qquad\left[P(E_1 \cap E_2)=0 \text { क्योंकि सभी घटनाएँ स्वतंत्र हैं }\right] \\ \\ & =0.35 \quad \end{aligned} $

$\mathrm{(ii)}\quad P (\text{न तो अत्यधिक जटिल और न ही अत्यधिक सरल}),$

$ \begin{aligned} P(E_1^{\prime} \cap E_5^{\prime})& =P(E_1 \cup E_5)^{\prime} \\ \\ & =1-P(E_1 \cup E_5) \\ \\ & =1-[P(E_1)+P(E_5)] \\ \\ & =1-(0.15+0.08) \\ \\ & =1-0.23 \\ \\ & =0.77 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \mathrm{(iii)} \quad P (\text{सामान्य या जटिल}) & =P(E_3 \cup E_2)=P(E_3)+P(E_2) \\ \\

& =0.31+0.20=0.51 \\ \\ \mathrm{(iv)}\quad P (\text{routine or simple}) & =P(E_3 \cup E_4)=P(E_3)+P(E_4) \\ \\ & =0.31+0.26=0.57 \end{aligned} $

हल

दिया गया है कि $A$ के चयन की संभावना $D$ के चयन की संभावना के दोगुनी है।

$ \begin{aligned} & P(A)=2 P(B) \\ \\ & \dfrac{P(A)}{2}=P(B) \end{aligned} $

जबकि $C$ के चयन की संभावना $D$ के चयन की संभावना के दोगुनी है।

$ \begin{aligned} P(C) =2 P(D) \quad\Rightarrow \quad P(B)=2 P(D) \\ \\ \dfrac{P(A)}{2} =2 P(D)\quad \Rightarrow \quad P(D)=\dfrac{P(A)}{4} \end{aligned} $

$B$ और $C$ के चयन की संभावना लगभग समान है $P(B)=P(C)$

अब,

$ \text { संभावना का योग }=1 $

$P(A)+P(B)+P(C)+P(D) =1 $

$P(A)+\dfrac{P(A)}{2}+P \dfrac{(A)}{2}+\dfrac{P(A)}{4} =1 $

$\Rightarrow \quad \dfrac{4 P(A)+2 P(A)+2 P(A)+P(A)}{4} =1 $

$\Rightarrow \quad 9 P(A) =4 $

$\Rightarrow\quad P(A)=\dfrac{4}{9} $

$ \begin{aligned} \text { (i) }\quad P(C \text { will be selected })&=P(C)=P(B)= \dfrac{P(A)}{2} \\ \\ & =\dfrac{4}{9 \times 2} =\dfrac{2}{9} \end{aligned} $

(ii) $P(A$ will not be selected $)=P(A^{\prime})=1-P(A)=1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}$

हल

$\text{माना},$

$ \begin{aligned} E_1 & =\text { John promoted } \\ \\ E_2 & =\text { Rita promoted } \\ \\ E_3 & =\text { Aslam promoted } \\ \\ E_4 & =\text { Gurpreet promoted } \end{aligned} $

दिया गया है, नमूना अंतरिक्ष, $S=\lbrace$ John promoted, Rita promoted, Aslam promoted, Gurpreet promoted $\rbrace$

अर्थात, $\quad S=\lbrace E_1, E_2, E_3, E_4\rbrace$

दिया गया है कि, John के प्रोमोट होने की संभावना Gurpreet के प्रोमोट होने की संभावना के समान है।

$ P(E_1)=P(E_4) $

Rita के प्रोमोट होने की संभावना John की संभावना के दुगुनी है।

$ P(E_2)=2 P(E_1) $

और Aslam के प्रोमोट होने की संभावना John की संभावना के चार गुनी है।

$ P(E_3)=4 P(E_1) $

अब, $\quad P(E_1)+P(E_2)+P(E_3)+P(E_4)=1$

$\Rightarrow \quad P(E_1)+2 P(E_1)+4 P(E_1)+P(E_1)=1$

$\Rightarrow \quad 8 P(E_1)=1$

$\therefore \quad P(E_1)=\dfrac{1}{8}$

(i) $P($ John promoted $)=P(E_1)=\dfrac{1}{8}$

$P($ Rita promoted $)=P(E_2)=2 P(E_1)=2 \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4}$

$P($ Aslam promoted $)=P(E_3)=4 P(E_1)=4 \times \dfrac{1}{8}=\dfrac{1}{2}$

$P($ Gurpreet promoted $)=P(E_4)=P(E_1)=\dfrac{1}{8}$

(ii) $A=$ John promoted या Gurpreet promoted

$ \begin{aligned} A & =E_1 \cup E_4 \\ \\ P(A)=P(E_1 \cup E_4) & =P(E_1)+P(E_4)-P(E_1 \cap E_4) \quad[\because P(E_1 \cap E_4)=0] \\ \\ & =\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}-0 \\ \\ & =\dfrac{2}{8}=\dfrac{1}{4} \end{aligned} $

हल

ऊपर के वेन आरेख से,

$ \ \text{(i)}\quad P(A)=0.13+0.07=0.20 $

$ \begin{aligned} \text{(ii)}\quad P(B \cap \bar{C}) & =P(B)-P(B \cap C) \\ \\ & =0.07+0.10+0.15-0.15 \\ \\ & =0.07+0.10=0.17 \\ \\ \text{(iii)}\quad P(A \cup B) & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \\ & =0.13+0.07+0.07+0.10+0.15-0.07 \\ \\ & =0.13+0.07+0.10+0.15=0.45 \\ \\ \text{(iv)} \quad P(A \cap \bar{B}) & =P(A)-P(A \cap B) \\ \\ & =0.13+0.07-0.07=0.13 \\ \\ \text{(v)} \quad P(B \cap C) & =0.15 \\ \end{aligned} $

$\text{(vi)} \quad P (\text{तीन में से केवल एक हो}) =0.13+0.10+0.28=0.51$

हल

दिया गया है कि दो बरतनों में से एक चुना जाता है, फिर बरतन से एक गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है, फिर उसी बरतन से दूसरी गेंद यादृच्छिक रूप से चुनी जाती है बिना पहली गेंद को वापस रखे।

(i) $\quad\therefore\quad\text{नमूना अंतरिक्ष}\ S=\lbrace B_1 B_2, B_1 W, B_2 B_1, B_2 W, W B_1, W B_2, B W_1, B W_2, W_1 B, W_1 W_2, W_2 B, W_2 W_1\rbrace$

$\therefore\quad$ कुल नमूना बिंदु $=12$

(ii) यदि दो काली गेंद चुनी जाती हैं।

इसलिए, अनुकूल घटनाएँ $B_1 B_2, B_2 B_1$ अर्थात 2

$\therefore\quad$ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{2}{12}=\dfrac{1}{6}$

(iii) यदि दो विपरीत रंग के गेंद चुने गए हैं।

इसलिए, अनुकूल घटनाएँ $B_1 W_1, B_2 W_1, W B_1, W B_2, B W_1, B W_2, W_1 B_1, W_2 B\ i . e ., 8$ हैं।

$\therefore\quad$ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}$

हल

$\because$ लाल गेंदों की संख्या $=8$

और सफेद गेंदों की संख्या $=5$

$\begin{aligned} \mathrm{(i)} \quad P(\text{ सभी तीन गेंद सफेद हैं }) & =\dfrac{{ }^{5} C_3}{{ }^{13} C_3} =\dfrac{\dfrac{5 !}{3 ! 2 !}}{\dfrac{13 !}{3 ! 10 !}} =\dfrac{5 !}{3 ! 2 !} \times \dfrac{3 ! 10 !}{13 !} \\ \\ & =\dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{2 !} \times \dfrac{10 !}{13 \times 12 \times 11 \times 10 !} \\ \\ & =\dfrac{5 \times 4 \times 3}{13 \times 12 \times 11} =\dfrac{5}{13 \times 11}=\dfrac{5}{143} \\ \\ & =\dfrac{5 \times 4 \times 3}{13 \times 12 \times 11}=\dfrac{5}{13 \times 11}=\dfrac{5}{143} \\ \\ \text{(ii)}\quad P (\text{सभी तीन गेंद लाल हैं}) & =\dfrac{{ }^{8} C_3}{{ }^{13} C_3}=\dfrac{\dfrac{8 !}{3 ! 5 !}}{\dfrac{13 !}{3 ! 10 !}}=\dfrac{8 !}{3 ! \times 5 !} \times \dfrac{3 ! 10 !}{13 !} \\ \\ & =\dfrac{8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{5 !} \times \dfrac{10 !}{13 \times 12 \times 11 \times 10 !} \\ \\ & =\dfrac{8 \times 7 \times 6}{13 \times 12 \times 11}=\dfrac{28}{143} \end{aligned} \\ $

$\begin{aligned} \text{(iii)} \quad P (\text{एक गेंद लाल और दो गेंद सफेद हैं}) & =\dfrac{{ }^{8} C_1 \times{ }^{5} C_2}{{ }^{13} C_3} \\ \\ & =\dfrac{8 \times 10}{13 \times 6 \times 11}=\dfrac{40}{143} \end{aligned} $

हल

शब्द ‘ASSASSINATION’ में अक्षरों की कुल संख्या 13 है।

जिनमें से $3A’s, 4S’s, 2 l’s, 2 N’s, 1 T’s$ और $10$ हैं।

(i) यदि चार S’s शब्द में क्रमागत आएं, तो हम इन $4 S’s$ को $1$ समूह के रूप में लेंगे। अब, अक्षरों की संख्या $10$ है।

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline S & S & S & S & A & A & A & I & I & N & N & T & O \\ \\ \hline \end{array} $

सभी S’s एक साथ आएं तो शब्दों की संख्या $=\dfrac{10 !}{3 ! 2 ! 2 !}$

शब्द ‘ASSASSINATION’ के अक्षरों का उपयोग करके बने शब्दों की कुल संख्या $ =\dfrac{13 !}{3 ! 4 ! 2 ! 2 !}$

$ \begin{aligned} \therefore \quad \text { आवश्यक प्रायिकता } & =\dfrac{10 !}{\dfrac{3 ! 2 ! 2 ! \times 13 !}{3 ! 4 ! 2 ! 2 !}} =\dfrac{10 ! \times 4 !}{13 !}\\ \\ &=\dfrac{4 !}{13 \times 12 \times 11}=\dfrac{24}{1716}=\dfrac{2}{143} \end{aligned} $

(ii) यदि $2 l’s$ और $2 N ’s$ एक साथ आएं, तो अक्षरों की संख्या $10$ हो जाती है।

$2 I$ ’s और $2 N$ ’s एक साथ आएं तो शब्दों की संख्या $=\dfrac{10 !}{3 ! 4 !} \times \dfrac{4 !}{2 ! 2 !}$

$ \begin{aligned} \therefore \quad \text { आवश्यक प्रायिकता } & =\dfrac{\dfrac{10 ! 4 !}{3 ! 4 ! 2 ! 2 !}}{\dfrac{13 !}{3 ! 4 ! 2 ! 2 !}}=\dfrac{4 ! 10 !}{2 ! 2 ! 3 ! 4 !} \times \dfrac{3 ! 4 ! 2 ! 2 !}{13 !} \\ \\ & =\dfrac{4 ! 10 !}{13 !}=\dfrac{4 !}{13 \times 12 \times 11} \\ \\ & =\dfrac{24}{13 \times 12 \times 11}=\dfrac{2}{143} \end{aligned} $

(iii) यदि सभी $A’s$ एक साथ आएं, तो अक्षरों की संख्या $11$ हो जाती है।

सभी $A’s$ एक साथ आएं तो शब्दों की संख्या $=\dfrac{11 !}{4 ! 2 ! 2 !}$

$ \begin{aligned} \text{सभी A’s एक साथ आएं तो प्रायिकता} & =\dfrac{\dfrac{11 !}{4 ! 2 ! 2 !}}{\dfrac{13 !}{4 ! 3 ! 2 ! 2 !}} =\dfrac{11 !}{4 ! 2 ! 2 !} \times \dfrac{4 ! 3 ! 2 ! 2 !}{13 !}\\ \\ & =\dfrac{11 ! \times 3 !}{13 !}=\dfrac{6}{13 \times 12}=\dfrac{1}{26} \end{aligned} $

सभी $A’s$ एक साथ नहीं आएं तो आवश्यक प्रायिकता $=1-\dfrac{1}{26}=\dfrac{25}{26}$

(iv) यदि कोई भी दो $A$ एक साथ नहीं हों, तो सबसे पहले हम $A$ के अलावा अक्षरों को व्यवस्थित करते हैं।

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline S & S & S & S & I & N & T & I & O & N \\ \\ \hline \end{array} $

$A$ के अलावा सभी अक्षर व्यवस्थित किए जाते हैं $\dfrac{10 !}{4 ! 2 ! 2 !}$ के द्वारा।

इन अक्षरों के बीच 11 खाली स्थान होते हैं।

इसलिए, 3 A’s को 11 स्थानों में ${ }^{11} C_3$ तरीकों से रखा जा सकता है $=\dfrac{11 !}{3 ! 8 !}$

$\therefore \quad$ जब कोई भी दो $A$ एक साथ नहीं हों तो शब्दों की कुल संख्या $=\dfrac{11 !}{3 ! 8 !} \times \dfrac{10 !}{4 ! 2 ! 2 !}$

$ \begin{aligned} \text { आवश्यक प्रायिकता } & =\dfrac{11 ! \times 10 !}{3 ! 8 ! 4 ! 2 ! 2 !} \times \dfrac{4 ! 3 ! 2 ! 2 !}{13 !}=\dfrac{10 !}{8 ! \times 13 \times 12} \\ \\ & =\dfrac{10 \times 9}{13 \times 12}=\dfrac{90}{156}=\dfrac{15}{26} \end{aligned} $

हल

$\because\quad$ संभावित घटनाओं की संख्या $=52$

और अनुकूल घटनाएं $=4 \ \text{ राजा } + 13 \text{ हर्ट } + 26 \text{ लाल }-13-2=28$

$ \therefore \quad \text { आवश्यक प्रायिकता }=\dfrac{28}{52}=\dfrac{7}{13} $

हल

दिया गया है,

P(E_1) = P(E_2) = 0.08, P(E_3) = P(E_4) = P(E_5) = 0.1 P(E_6) = P(E_7) = 0.2, P(E_8) = P(E_9) = 0.07 A = {E_1, E_5, E_8}, B = {E_2, E_5, E_8, E_9}

(i) $P(A), P(B)$ और $P(A \cap B)$ की गणना कीजिए।

(ii) प्रायिकता के योग नियम का उपयोग करके $P(A \cup B)$ की गणना कीजिए।

(iii) घटना $A \cup B$ के संगठन की सूची बनाइए और प्राथमिक घटनाओं की प्रायिकता के योग द्वारा $P(A \cup B)$ की गणना कीजिए।

(iv) $P(B)$ से $P(\bar{B})$ की गणना कीजिए, अतः $P(\bar{B})$ की गणना भी घटनाओं $\bar{B}$ के प्राथमिक घटनाओं से अप्रत्यक्ष रूप से कीजिए।

$ \begin{aligned} S & =\lbrace E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6, E_7, E_8, E_9\rbrace \\ \\ A & =\lbrace E_1, E_5, E_8\rbrace, B=\lbrace E_2, E_5, E_8, E_9\rbrace \\ \\ P(E_1) & =P(E_2)=0.08 \\ \\ P(E_3) & =P(E_4)=P(E_5)=0.1. \\ \\ P(E_6) & =P(E_7)=2, P(E_8)=P(E_9)=0.07 \end{aligned} $

(i) $P(A)=P(E_1)+P(E_5)+P(E_8) =0.08+0.1+0.07=0.25$

(ii) $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \qquad…(i) $

अब, $P(B)=P(E_2)+P(E_5)+P(E_8)+P(E_9) =0.08+0.1+0.07+0.07=0.32$

$A \cap B=\lbrace E_5, E_8\rbrace$

$P(A \cap B)=P(E_5)+P(E_8)=0.1+0.7=0.17$

(1) में इन मानों को समायोजित करने पर, हमें $P(A \cup B)=0.25+0.32-0.17=0.40$ मिलता है

(iii) $A \cup B=\lbrace E_1, E_2, E_5, E_8, E_9\rbrace$

$ \begin{aligned} P(A \cup B) & =P(E_1)+P(E_2)+P(E_5)+P(E_8)+P(E_9) \\ \\ & =0.08+0.08+0.1+0.07+0.07=0.40 \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \text { (iv) } \because P(\bar{B})&=1-P(B) =1-0.32=0.68 \text { और }\bar{B} =\lbrace E_1, E_3, E_4, E_6, E_7\rbrace \\ \\ \therefore \quad P(\bar{B})&=P(E_1)+P(E_3)+P(E_4)+P(E_6)+P(E_7) \\ \\ &=0.08+0.1+0.1+0.2+0.2=0.68 \end{aligned} $

हल

(i) जब एक डायर को फेंका जाता है तो संभावित परिणाम हैं

$S=\lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace$ जिनमें से $1,3,5$ विषम हैं,

$\therefore\quad$ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

(ii) जब एक समान सिक्के को दो बार फेंका जाता है तो नमूना अंतरिका है

$ S=\lbrace H H, H T, T H, T T\rbrace $

कम से कम एक सिर के अनुकूल तत्व $H H, H T, T H$ हैं

$\therefore\ $ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{3}{4}$

(iii) कुल कार्ड $=52$

$ \text { अनुकूल }=4 \text { राजा }+2 \text { हार्ट }+3 \text { स्पेड }=4+1+1=6 `

$

$\therefore \quad$ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{6}{52}=\dfrac{3}{26}$

(iv) जब एक जोड़ी के पास डिस फेंट होते हैं, तो कुल नमूना भाग 36 होते हैं। जिनमें से $(1,5),(5,1),(2,4)$, $(4,2)$ और $(3,3)$ होते हैं।

$\therefore \quad$ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{5}{36}$

हल

(a) गैर-लीप वर्ष में, 365 दिन होते हैं जो 52 सप्ताह और 1 दिन के होते हैं। यदि यह दिन ट्वेंसडे या वेंडेसडे हो, तो वर्ष में 53 ट्वेंसडे या 53 वेंडेसडे होते हैं।

$\therefore \quad$ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{1}{7}$

• विकल्प (b) $\dfrac{2}{7}$ गलत है क्योंकि यह प्रायिकता को अधिक अनुमानित करता है। गैर-लीप वर्ष में केवल एक अतिरिक्त दिन होता है, और इस दिन के ट्वेंसडे या वेंडेसडे होने की प्रायिकता $\dfrac{2}{7}$ होती है, लेकिन यह यह तथ्य को नहीं ध्यान में लेता है कि हम ठीक 53 ट्वेंसडे या $53$ वेंडेसडे की प्रायिकता की तलाश कर रहे हैं, न कि दोनों के लिए।

• विकल्प (c) $\dfrac{3}{7}$ गलत है क्योंकि यह प्रायिकता को बहुत अधिक अनुमानित करता है। गैर-लीप वर्ष में एक अतिरिक्त दिन केवल सप्ताह के सात दिनों में से एक हो सकता है, इसलिए इसके ट्वेंसडे या वेंडेसडे होने की प्रायिकता $\dfrac{2}{7}$ होती है, न कि $\dfrac{3}{7}$।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं गलत है क्योंकि गणना के अनुसार सही प्रायिकता वास्तव में $\dfrac{1}{7}$ है। गैर-लीप वर्ष में अतिरिक्त दिन सप्ताह के किसी भी दिन के बराबर अवसर देता है, इसलिए इसके ट्वेंसडे या वेंडेसडे होने की प्रायिकता $\dfrac{1}{7}$ होती है।

हल

$\text{सुविधाजनक मामलों की कुल संख्या, } n(E) = 18$

$\text{सभी मामलों की कुल संख्या, } n(S) = {^{20}}C_3= \dfrac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$

$\therefore\quad \text{ P(उनके क्रमागत होना) } = \dfrac{18}{1140} = \dfrac{3}{190}$

$\therefore\quad \text{ P(उनके अक्रमागत होना) } =1- \dfrac{3}{190}=\dfrac{187}{190}$

Solution(c) कार्ड के पैक में 52 कार्ड होते हैं, जिनमें 26 लाल रंग और 26 काले रंग होते हैं।

$\therefore\quad P$ (दोनों कार्ड विपरीत रंग के) $=\dfrac{26}{52} \times \dfrac{26}{51}+\dfrac{26}{52} \times \dfrac{26}{51}=2 \times \dfrac{26}{52} \times \dfrac{26}{51}=\dfrac{26}{51}$

$\therefore\quad \text {विकल्प (c) सही है}$

Solution

(c) यदि दो व्यक्ति एक दूसरे के निकट बैठे हों, तो इन दो व्यक्तियों को एक समूह मान लीजिए। अब, हमें 6 व्यक्तियों को व्यवस्थित करना होगा।

$ \begin{aligned} & \therefore \quad \text { व्यवस्था की संख्या }=2 ! \times 6 ! \\ \\ & \text { 7 व्यक्तियों की कुल व्यवस्था }=7 ! \end{aligned} $

$ \text { आवश्यक प्रायिकता }=\dfrac{2 ! 6 !}{7 !}=\dfrac{2}{7} $

$\therefore \quad\text {विकल्प (c) सही है}$

Solution

(d) हमें 0, 2, 3 और 5 के उपयोग करके चार अंकीय संख्या बनानी है जो 5 से विभाज्य हो।

यदि $0$ इकाई के स्थान पर निश्चित है $=3 \times 2 \times 1=6$

यदि $5$ इकाई के स्थान पर निश्चित है $=2 \times 2 \times 1=4$

कुल चार अंकीय संख्याएँ जो $5$ से विभाज्य हैं $=6+4=10$

$\therefore \quad$ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{10}{18}=\dfrac{5}{9}$

$\therefore\quad \text {विकल्प (d) सही है}$

हल

(a) परस्पर अपवर्जी घटनाओं के लिए,

$ \begin{aligned} & P(A \cap B)=0 \\ \\ & P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \\ & \Rightarrow \quad P(A \cup B)=P(A)+P(B) \\ \\ & \Rightarrow \quad P(A)+P(B) \leq 1 \\ \\ & \Rightarrow \quad P(A)+1-P(\bar{B}) \leq 1 \quad[\because P(B)=1-P(\bar{B})] \\ \\ & \therefore \quad P(A) \leq P(\bar{B}) \end{aligned} $

$\therefore\quad \text {विकल्प (a) सही है}$

हल

(a) दिया गया है, $P(A \cup B)=P(A \cap B)$

$ \begin{aligned} & P(A)+P(B)-P(A \cap B)=P(A \cap B) \\ \\ & \Rightarrow \quad[P(A)-P(A \cap B)]+[P(B)-P(A \cap B)]=0 \\ \\ & \text {लेकिन } \quad P(A)-P(A \cap B) \geq 0 \\ \\ & \Rightarrow \quad P(A)-P(A \cap B)=0 \\ \\ & \text { और } \quad P(B)-P(A \cap B)=0 \end{aligned} $

$ \text { और } \quad P(B)-P(A \cap B) \geq 0 \quad[\because P(A \cap B) \leq P(A) \text { या } P(B)] $

[क्योंकि, दो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग शून्य हो सकता है केवल जब ये संख्याएँ शून्य हों]

$ \begin{matrix} \Rightarrow & P(A)=P(A \cap B) \\ \\ \text { और } & P(B)=P(A \cap B) \\ \\ \therefore & P(A)=P(B) \end{matrix}

$

$\therefore\quad \text {विकल्प (a) सही है}$

हल

(c) यदि सभी लड़कियाँ एक साथ बैठे हैं, तो उन्हें एक समूह मान लीजिए।

$\therefore\quad$ 6+1=7 व्यक्तियों की पंक्ति में व्यवस्था 7 ! है और लड़कियाँ अपने बैठक के स्थान पर 6 ! तरीकों से बदल सकती हैं।

$\therefore \quad$ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{6 ! 7 !}{12 !}=\dfrac{1}{132}$

$\therefore \quad \text {विकल्प (c) सही है}$

हल

(b) शब्द ‘probability’ में अक्षरों की कुल संख्या $=11$

$ \begin{aligned} \text { स्वरों की संख्या } & =4 \\ \\ P(\text { अक्षर स्वर है }) & =\dfrac{4}{11} \end{aligned} $

$\therefore \quad\text {विकल्प (b) सही है}$

हल

(c) दिया गया है,

$ P(A \text { असफल })=0.2 $

और

$P(B$ असफल $)=0.3$

$ \begin{aligned} \therefore\quad P(\text { या तो } A \text { या } B \text { असफल }) & \leq P(A \text { असफल })+P(B \text { असफल }) \\ \\ & \leq 0.2+0.3 \\ \\ & \leq 0.5 \end{aligned} $

$\therefore\quad \text {विकल्प (c) सही है}$

हल

(c) दिया गया है,

$ \begin{aligned}

$

$\therefore\quad \text {विकल्प (a) सही है}$

हल

(c) यदि सभी लड़कियाँ एक साथ बैठे हैं, तो उन्हें एक समूह मान लीजिए।

$\therefore\quad$ 6+1=7 व्यक्तियों की पंक्ति में व्यवस्था 7 ! है और लड़कियाँ अपने बैठक के स्थान पर 6 ! तरीकों से बदल सकती हैं।

$\therefore \quad$ आवश्यक प्रायिकता $=\dfrac{6 ! 7 !}{12 !}=\dfrac{1}{132}$

$\therefore \quad \text {विकल्प (c) सही है}$

हल

(b) शब्द ‘probability’ में अक्षरों की कुल संख्या $=11$

$ \begin{aligned} \text { स्वरों की संख्या } & =4 \\ \\ P(\text { अक्षर स्वर है }) & =\dfrac{4}{11} \end{aligned} $

$\therefore \quad\text {विकल्प (b) सही है}$

हल

(c) दिया गया है,

$ P(A \text { असफल })=0.2 $

और

$P(B$ असफल $)=0.3$

$ \begin{aligned} \therefore\quad P(\text { या तो } A \text { या } B \text { असफल }) & \leq P(A \text { असफल })+P(B \text { असफल }) \\ \\ & \leq 0.2+0.3 \\ \\ & \leq 0.5 \end{aligned} $

$\therefore\quad \text {विकल्प (c) सही है}$

हल

(c) दिया गया है,

$ \begin{aligned}

P(A \cup B) & =0.6 \text { and } P(A \cap B)=0.2 \\ \\ P(A \cup B) & =P(A)+P(B)-P(A \cap B) \\ \\ 0.6 & =P(A)+P(B)-0.2 \\ \\ (A)+P(B) & =0.8 \\ \\ (\bar{A})+P(\bar{B}) & =1-P(A)+1-P(B) \\ \\ & =2-[P(A)+P(B)] \\ \\ & =2-0.8=1.2 \\ \\ 0.6 & =P(A)+P(B)-0.2 \end{aligned} $

$\Rightarrow\quad P(A)+P(B) =0.8 $

$\therefore \quad P(\bar{A})+P(\bar{B}) =1-P(A)+1-P(B)$

$\therefore\quad \text {Option (c) is correct}$

Solution

(b) यदि $M$ और $N$ कोई भी दो घटनाएँ हैं।

$\therefore \quad P(M \cup N)=P(M)+P(N)-P(M \cap N)$

$\therefore \text {Option (b) is correct}$

Solution

गलत

$P$ (गिराफ देखना) $=0.72$

$P$ (बाघ देखना) $=0.84$

$P$ (गिराफ और बाघ देखना) $=0.52$

$P($ गिराफ या बाघ देखना $)=P($ गिराफ $)+P($ बाघ $)-P($ गिराफ और बाघ $)$

$\hspace{3.7cm}=0.72+0.84-0.52=1.04$

जो संभव नहीं है। अतः कथन गलत है।

• एक व्यक्ति जीवों के उद्यान में जाता है और वह गिराफ देखेगा की प्रायिकता $0.72,$ वह बाघ देखेगा की प्रायिकता $0.84,$ और वह दोनों देखेगा की प्रायिकता $0.52$ है।

कथन गलत के कारण यह है कि गिराफ या बाघ देखने की गणना की प्रायिकता 1 से अधिक है, जो प्रायिकता सिद्धांत में संभव नहीं है। विशेष रूप से:

$P($ गिराफ या बाघ देखना $) = P($ गिराफ $) + P($ बाघ $) - P($ गिराफ और बाघ $)$

$\hspace{3.5cm}= 0.72 + 0.84 - 0.52= 1.04$

क्योंकि प्रायिकता 1 से अधिक नहीं हो सकती, दी गई प्रायिकताएँ असंगत हैं, अतः कथन गलत है।

हल

गलत

मान लीजिए $\quad A=$ छात्र परीक्षा पास करेगा

$B=$ छात्र कमरे में रहेगा

$P(A)=0.73$ और $P(A$ या $B)=0.96$ और $P(B)=0.13$

$\therefore \quad P(A$ या $B)=P(A)+P(B)=0.73+0.13=0.86$

लेकिन $\quad P(A$ या $B)=0.96$

इसलिए, यह एक गलत कथन है।

• दी गई प्रायिकताएं प्रायिकता के नियमों के अनुसार सही तरीके से जोड़ नहीं रही हैं। विशेष रूप से, छात्र की या तो पास होने या कमरे में रहने की प्रायिकता व्यक्तिगत प्रायिकताओं के योग से घटाकर निकाली जानी चाहिए। उत्तर में दी गई गणना दोनों घटनाओं के बीच अतिक्रमण को ध्यान में नहीं ले रही है, इसलिए कथन गलत है।

हल

गलत

इन प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए।

$ \begin{aligned} P(0)+P(1) & +P(2)+P(3)+P(4)+P(5) \\ \\ & =0.12+0.25+0.36+0.14+0.08+0.11=1.06 \end{aligned} $

जो 1 से अधिक है,

इसलिए, यह एक गलत कथन है।

• एक वैध प्रायिकता वितरण के लिए प्रायिकताओं का योग 1 के बराबर होना चाहिए। इस मामले में, योग 1.06 है, जो 1 से अधिक है, जिससे दी गई प्रायिकताओं में त्रुटि है।

हल

गलत

यहाँ, $\quad P(A)=0.5, P(A \cap B) \leq 0.3$

अब, $\quad P(A) \times P(B) \leq 0.3$

$\Rightarrow \quad 0.5 \times P(B) \leq 0.3$

$\begin{matrix} \Rightarrow & P(B) \leq 0.6\end{matrix} $

इसलिए, यह एक गलत कथन है।

• दोनों $A$ और $B$ के चुने जाने की प्रायिकता अधिकतम 0.3 हो सकती है, जिसका अर्थ है $ P(A \cap B) \leq 0.3$. दिया गया है $P(A) = 0.5$, हम दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन के लिए सूत्र का उपयोग कर सकते हैं: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ यदि $A$ और $B$ स्वतंत्र हों। हालांकि, यदि वे स्वतंत्र नहीं हों, तो भी $P(A \cap B) \leq P(A) \times P(B)$ हो सकता है।

• $P(B) = 0.7$ की संभावना की जांच करने के लिए, हम असमानुपात $P(A \cap B) \leq 0.3$ और $P(A) = 0.5$ का उपयोग करते हैं: $P(A) \times P(B) \leq 0.3 $

$P(A) = 0.5$ के लिए प्रतिस्थापन: $0.5 \times P(B) \leq 0.3 $

$P(B)$ के लिए हल करना: $P(B) \leq \dfrac{0.3}{0.5} = 0.6 $

• इसलिए, $P(B) = 0.7$ संभव नहीं है क्योंकि यह 0.6 के अधिकतम अनुमत मान से अधिक है। इसलिए, $B$ के चुने जाने की प्रायिकता 0.7 होना गलत कथन है।

हल

सत्य

$ P(A \cap B) \leq P(A) $

इसलिए, यह एक सत्य कथन है।

• “दो घटनाओं $ A $ और $ B $ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता हमेशा घटना $ A $ के प्रतिकूल घटनाओं के बराबर या अधिक होती है” यह कथन गलत है क्योंकि दो घटनाओं के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता $ P(A \cap B) $ कभी भी एक घटना के घटने की प्रायिकता से अधिक नहीं हो सकती। इसका कारण यह है कि $ P(A \cap B) $ दोनों घटनाओं के एक साथ घटने की प्रायिकता को दर्शाता है, जो एक घटना के घटने की प्रायिकता से अधिक नहीं हो सकता।

• “दो घटनाओं $ A $ और $ B $ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता हमेशा घटना $ A $ के प्रतिकूल घटनाओं के बराबर होती है” यह कथन गलत है क्योंकि $ P(A \cap B) $ केवल तभी $ P(A) $ के बराबर होता है जब घटना $ B $ एक निश्चित घटना हो (अर्थात $ P(B) = 1 $) और $ A $, $ B $ का एक उपसमुच्चय हो। सामान्यतः, $ P(A \cap B) $, $ P(A) $ से कम या बराबर होता है।

• “दो घटनाओं $ A $ और $ B $ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता हमेशा $ B $ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता से कम या बराबर होती है” यह कथन गलत है क्योंकि यह वास्तव में सच है कि $ P(A \cap B) \leq P(B) $, लेकिन यह $ P(A) $ के साथ तुलना के बारे में बताता नहीं है। मूल प्रश्न विशेष रूप से $ P(A \cap B) $ और $ P(A) $ के बीच संबंध के बारे में पूछता है, न कि $ P(B) $ के बारे में।

• “दो घटनाओं $ A $ और $ B $ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता हमेशा $ B $ के प्रतिच्छेदन की प्रायिकता से अधिक या बराबर होती है” यह कथन गलत है क्योंकि $ P(A \cap B) $ कभी $ P(B) $ से अधिक नहीं हो सकता। प्रतिच्छेदन प्रायिकता $ P(A \cap B) $ दोनों घटनाओं के घटने की प्रायिकता द्वारा सीमित होती है, इसलिए यह किसी भी व्यक्तिगत घटना की प्रायिकता से अधिक नहीं हो सकती।

Solution

गलत

यहाँ,

$ \begin{aligned} P(A) & =0.7 \\ \\ P(B) & =0.3 \\ \\ P(A \cap B) & =P(A) \times P(B) \\ \\ & =0.7 \times 0.3=0.21 \end{aligned} $

इसलिए, यह गलत कथन है।

Solution

सत्य

क्योंकि, ये दो घटनाएँ एक ही नमूना अंतरिक्ष से संबंधित नहीं हैं।

इसलिए, दो छात्रों के अंतिम परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकताओं का योग $1.2$ हो सकता है।

इसलिए, यह सत्य कथन है।

Solution

$\quad P$ (हार) $=1-(0.77+0.08)=0.15$

हल

$ P(e_1)+P(e_2)+P(e_3)+P(e_4)=1 $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow\quad 0.1+0.5+0.1+P(e_4) =1 \\ \\ & \Rightarrow\quad 0.7+P(e_4) =1 \\ \\ & \therefore\quad P(e_4) =0.3 \end{aligned} $

हल

यहाँ,

$S =\lbrace1,2,3,4,5,6\rbrace$

$E=\lbrace1,3,5\rbrace $

$\therefore\quad \bar{E}=S-E=\lbrace2,4,6\rbrace$

हल

$ \begin{aligned} P(\bar{A} \cap \bar{B}) & =P(\overline{A \cup B})=1-P(A \cup B) \\ \\ & =1-[P(A)+P(B)] \quad[\text { क्योंकि, } A \text { और } B \text { परस्पर अपवादी हैं }] \\ \\ & =1-(0.5+0.3)=1-0.8=0.2 \end{aligned} $

हल

(i) 0.95 बहुत संभावना है कि होगा, इसलिए यह 1 के निकट है।

(ii) 0.02 बहुत कम संभावना है कि होगा क्योंकि प्रायिकता बहुत कम है।

(iii) -0.3 गलत नियोजन है क्योंकि किसी भी घटना की प्रायिकता 0 और 1 के बीच होती है।

(iv) 0.5 होने और नहीं होने की समान संभावना है क्योंकि होने और नहीं होने की संभावना के योग शून्य होते हैं।

(v) 0 , घटना के घटने की कोई संभावना नहीं है।

हल

(i) यदि $E_1$ और $E_2$ दो परस्पर अपवाद घटनाएँ हैं, तो $E_1 \cap E_2=\phi$।

(ii) यदि $E_1$ और $E_2$ परस्पर अपवाद और पूरक घटनाएँ हैं, तो $E_1 \cap E_2=\phi$ और $E_1 \cup E_2=S$।

(iii) यदि $E_1$ और $E_2$ के उभयनिष्ठ नतीजे हैं, तो $(E_1-E_2) \cup(E_1 \cap E_2)=E_1$

(iv) यदि $E_1$ और $E_2$ दो घटनाएँ हैं जैसे कि $E_1 \subset E_2 \Rightarrow E_1 \cap E_2=E_1$