हल

मान लीजिए कथन $P(n): 3 n < n !$

$ n=1 $ के लिए, $ 3 \times 1 < 1! $ $ [असत्य] $

$ n=2 $ के लिए, $ 3 \times 2 < 2! $ $ \Rightarrow 6 < 2 $ $ [असत्य] $

$ n=3 $ के लिए, $ 3 \times 3 < 3! $ $ \Rightarrow 9 < 6 $ $ [असत्य] $

$ n=4 $ के लिए, $ 3 \times 4 < 4! $ $ \Rightarrow 12 < 24 $ $ [सत्य] $

$ n=5 $ के लिए, $ 3 \times 5 < 5! $ $ \Rightarrow 15 < 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \Rightarrow 15 < 120 $ $ [सत्य] $

हल

मान लीजिए कथन

$P(n): 1^{2}+2^{2}+3^{2}+\ldots+n^{2} =\dfrac{n(n+1)(2 n+1)}{6} $

$ \text { जब } \ n \ =1, =\dfrac{1(1+1)(2 \times 1+1)}{6} $

$\Rightarrow\quad 1 =\dfrac{2(3)}{6} $

$\Rightarrow\quad 1=1 $

$ \text { जब } \ n \ =2, 1+2^{2} =\dfrac{2(2+1)(4+1)}{6} $

$\Rightarrow\quad 5=\dfrac{30}{6} $

$\Rightarrow\quad 5=5 $

$ \text { जब } \ n \ =3, 1+2^{2}+3^{2} =\dfrac{3(3+1)(7)}{6}$

$\Rightarrow\quad 1+4+9 =\dfrac{3(4)(7)}{6}$

$\Rightarrow\quad 14 = 14$

अतः, दिए गए कथन सभी $n$ के लिए सत्य है।

सोचने की प्रक्रिया

पहले चरण में $n=1$ रखें, प्राप्त परिणाम 3 से विभाज्य होना चाहिए। दूसरे चरण में $n=k$ रखें और $P(k)$ को 3 के गुणज के रूप में ले लीजिए, जहाँ गैर-शून्य अचर निर्दिष्ट कहे गए $q$ के बराबर हो। तीसरे चरण में $n=k+1$ रखें और कथन में समाधान तक ले जाएं जब तक यह 3 के गुणज बन जाए।

हल

मान लीजिए $P(n): 4^{n}-1$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए 3 से विभाज्य है।

चरण I: अब, हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

$ P(1)=4^{1}-1=3 $

स्पष्ट रूप से 3, 3 से विभाज्य है।

अतः, $P(1)$ सत्य है।

चरण II: मान लीजिए, $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

$P(k): 4^{k}-1$ 3 से विभाज्य है

$ \qquad \quad 4^{k}-1=3 q $

चरण III: अब, सिद्ध करें कि $P(k+1)$ सत्य है।

$ \begin{aligned} P(k+1) & : 4^{k+1}-1 \\ \\ & =4^{k} \cdot 4-1 \\ \\ & =4^{k} \cdot 3+4^{k}-1 \\ \\ & =3 \cdot 4^{k}+3 q \\ \\ & =3(4^{k}+q) \end{aligned} $

अतः, $P(k+1)$ तब सत्य है जब $P(k)$ सत्य हो।

अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए सत्य है।

हल

मान लीजिए $P(n): 2^{3 n}-1$ सभी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए 7 से विभाज्य है।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

$ P(1): 2^{3 \times 1}-1=2^{3}-1=8-1=7 $

स्पष्ट रूप से $P(1)$ सत्य है।

चरण II: अब, मान लीजिए $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है,

$P(k): 2^{3 k}-1$ 7 से विभाज्य है ।

$ \Rightarrow \quad 2^{3 k}-1=7 q $

चरण III: अब, सिद्ध करें $P(k+1)$ सत्य है।

$ \begin{aligned} P(k+1) :\quad 2^{3(k+1)}-1 & =2^{3 k} \cdot 2^{3}-1 \\ \\ & =2^{3 k}(7+1)-1 \\ \\ & =7 \cdot 2^{3 k}+2^{3 k}-1 \\ \\ & =7 \cdot 2^{3 k}+7 q \\ \\ & =7(2^{3 k}+q) \end{aligned} $

अतः, $P(k+1)$ तब सत्य है जब $P(k)$ सत्य हो।

अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए सत्य है।

हल

मान लीजिए $P(n): n^{3}-7 n+3$ सभी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए 3 से विभाज्य है।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

अतः, $P(1)$ सत्य है।

$ \begin{aligned} P(1) & =(1)^{3}-7(1)+3 \\ \\ & =1-7+3 \\ \\ & =-3, \text { जो } 3 \text{ से विभाज्य है} \end{aligned} $

चरण II: अब, मान लीजिए $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

$ \therefore \quad P(k)=k^{3}-7 k+3=3 q `

$

चरण III: $P(k+1)$ के सत्य होने का साबित करना

$ \begin{aligned} P(k+1) & :(k+1)^{3}-7(k+1)+3 \\ \\ & =k^{3}+1+3 k(k+1)-7 k-7+3 \\ \\ & =k^{3}-7 k+3+3 k(k+1)-6 \\ \\ & =3 q+3[k(k+1)-2] \quad \text {[चरण II से]} \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ के सत्य होने का आवश्यकता होती है जब $P(k)$ सत्य हो।

इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार $P(n)$ : सभी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए सत्य है।

हल

मान लीजिए $P(n): 3^{2 n}-1$ सभी प्राकृतिक संख्या के लिए 8 से विभाज्य है।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

$ \begin{aligned} P(1): 3^{2(1)}-1 & =3^{2}-1 \\ \\ & =9-1=8, \text { जो 8 से विभाज्य है }. \end{aligned} $

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$ $n=k$ के लिए सत्य है।

$ P(k): 3^{2 k}-1=8 q $

चरण III: अब, $P(k+1)$ के सत्य होने का साबित करना है।

$ \begin{aligned} P(k+1) & : 3^{2(k+1)}-1 \\ \\ & =3^{2 k} \cdot 3^{2}-1 \\ \\ & =3^{2 k} \cdot(8+1)-1 \\ \\ & =8 \cdot 3^{2 k}+3^{2 k}-1 \\ \\ & =8 \cdot 3^{2 k}+8 q \quad [\text{चरण II से}] \\ \\ & =8(3^{2 k}+q) \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ के सत्य होने का आवश्यकता होती है जब $P(k)$ सत्य हो।

इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए सत्य है।

हल

दिए गए कथन को विचार करें

$P(n): 7^{n}-2^{n}$ 5 से विभाज्य है, कोई भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

$ P(1)=7^{1}-2^{1}=5 \text {, जो 5 से विभाज्य है } \text {. } $

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$ $n=k$ के लिए सत्य है।

$ P(k)=7^{k}-2^{k}=5 q $

चरण III: अब, $P(k+1)$ के सत्य होने का साबित करना है,

$ \begin{aligned} P(k+1): 7^{k+1}-2^{k+1} & =7^{k} \cdot 7-2^{k} \cdot 2 \\ \\ & =7^{k} \cdot(5+2)-2^{k} \cdot 2 \\ \\ & =7^{k} \cdot 5+2 \cdot 7^{k}-2^{k} \cdot 2 \\ \\ & =5 \cdot 7^{k}+2(7^{k}-2^{k}) \text { [चरण II से] } \\ \\ & =5 \cdot 7^{k}+2(5 q)

\end{aligned} $

$ \Rightarrow\quad 5(7^{k}+2 q) \text {, जो } 5 \text { से विभाज्य है } $

इसलिए, जब $P(k)$ सत्य होता है, तो $P(k+1)$ भी सत्य होता है।

अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार, कोई भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $P(n)$ सत्य होता है।

हल

मान लीजिए $P(n): x^{n}-y^{n}$, $x-y$ से विभाज्य होता है, जहाँ $x$ और $y$ कोई भी पूर्णांक हैं जिनमें $x \neq y$ है।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

$ P(1): x^{1}-y^{1}=x-y $

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

$\quad P(k): x^{k}-y^{k}$, $x-y$ से विभाज्य है।

$\therefore \quad x^{k}-y^{k}$ = q(x-y)

चरण III: अब, $P(k+1)$ के सत्य होने की जांच करें।

$ \begin{aligned} P(k+1) & : x^{k+1}-y^{k+1} \\ \\ & =x^{k} \cdot x-y^{k} \cdot y \\ \\ & =x^{k} \cdot x-x^{k} \cdot y+x^{k} \cdot y-y^{k} \cdot y \\ \\ & =x^{k}(x-y)+y(x^{k}-y^{k}) \\ \\ & =x^{k}(x-y)+y q(x-y) \\ \\ & =(x-y)[x^{k}+y q], \text { जो } (x-y) \text { से विभाज्य है } . \quad \text { [चरण II से] } \end{aligned} $

अतः, जब $P(k)$ सत्य होता है, तो $P(k+1)$ भी सत्य होता है। इसलिए, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार, कोई भी प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए $P(n)$ सत्य होता है।

चिंतन प्रक्रिया

चरण I में $n=2$ रखें, प्राप्त परिणाम 6 से विभाज्य होना चाहिए। फिर, प्रश्न संख्या 4 की तरह समान प्रक्रिया अपनाएं।

हल

मान लीजिए $P(n): n^{3}-n$ 6 से विभाज्य होता है, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n \geq 2$ के लिए।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(2)$ सत्य है। $P(2):(2)^{3}-2$

$\Rightarrow \qquad 8-2=6 \text {, जो } 6 \text { से विभाज्य है } \text {. } $

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

$ P(k): k^{3}-k \text {, } 6 \text { से विभाज्य है } . $

$ \therefore \quad k^{3}-k=6 q $

चरण III: $P(k+1)$ के सत्य होने की जांच करें

$ \begin{aligned} P(k & +1):(k+1)^{3}-(k+1) \\ \\ & =k^{3}+1+3 k(k+1)-(k+1) \\ \\

& =k^{3}+1+3 k^{2}+3 k-k-1 \\ \\ & =k^{3}-k+3 k^{2}+3 k \\ \\ & =6 q+3 k(k+1) \quad [\text {स्टेप II से}] \end{aligned} $

हम जानते हैं कि, $3 k(k+1)$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n=k$ के लिए 6 से विभाज्य है।

इसलिए, $P(k+1)$ सत्य है। अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार $P(n)$ सत्य है।

हल

मान लीजिए $P(n): n(n^{2}+5)$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $n$ के लिए 6 से विभाज्य है।

स्टेप I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

$P(1): 1(1^{2}+5)=6$, जो 6 से विभाज्य है।

स्टेप II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$ $n=k$ के लिए सत्य है।

$P(k): k(k^{2}+5)$ 6 से विभाज्य है।

$\therefore \quad k(k^{2}+5)=6 q$

स्टेप III: अब, $P(k+1)$ सत्य होने को सिद्ध करने के लिए हम निम्नलिखित लिखते हैं,

$ \begin{aligned} P(k+1): & (k+1)[(k+1)^{2}+5] \\ \\ & =(k+1)[k^{2}+2 k+1+5] \\ \\ & =(k+1)[k^{2}+2 k+6] \\ \\ & =k^{3}+2 k^{2}+6 k+k^{2}+2 k+6 \\ \\ & =k^{3}+3 k^{2}+8 k+6 \\ \\ & =k^{3}+5 k+3 k^{2}+3 k+6 \\ \\ & =k(k^{2}+5)+3(k^{2}+k+2) \\ \\ & =(6 q)+3(k^{2}+k+2) \end{aligned} $

हम जानते हैं कि, $k^{2}+k+2$ 2 से विभाज्य है, जहाँ $k$ सम या विषम हो।

क्योंकि, $P(k+1): 6 q+3(k^{2}+k+2)$ 6 से विभाज्य है। इसलिए, $P(k+1)$ $P(k)$ सत्य होने पर सत्य है।

अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार $P(n)$ सत्य है।

हल

दिए गए कथन को विचार करें

$P(n): n^{2}<2^{n}$ सभी प्राकृतिक संख्या $n \geq 5$ के लिए।

स्टेप I: हम देखते हैं कि $P(5)$ सत्य है

इसलिए, $P(5)$ सत्य है।

$ \begin{aligned} P(5) & : 5^{2}<2^{5} \\ \\ & =25<32 \end{aligned} $

स्टेप II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$ $n=k$ के लिए सत्य है।

$ P(k)=k^{2}<2^{k} \text { सत्य है। } $

स्टेप III: अब, $P(k+1)$ सत्य होने को सिद्ध करने के लिए हम दिखाना होगा कि

$ P(k+1):(k+1)^{2}<2^{k+1} $

अब,

$ \begin{aligned} k^{2}<2^{k} & \Rightarrow k^{2}+2 k+1<2^{k}+2 k+1 \\ \\ & \Rightarrow (k+1)^{2}<2^{k}+2 k+1 \ldots(i)\\ \\

\end{aligned} $

$ \text { अब, }(2 k+1)<2^{k} \quad \Rightarrow 2^{k}+2 k+1<2^{k}+2^{k}<2^{k+1}\ldots(ii) $

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

$\therefore$ $(k+1)^{2}<2^{k+1}$

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य होता है जब $P(k)$ सत्य हो। अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 5$ के लिए सत्य है।

हल

कथन को विचार करें

$P(n): 2 n<(n+2)$ ! सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए।

चरण I: हम देखते हैं कि, $P(1)$ सत्य है। $P(1): 2(1)<(1+2)$ !

$\Rightarrow \quad 2<3 ! $

$\Rightarrow \quad 2<3 \times 2 \times 1$

$ \Rightarrow\quad 2<6$

अतः, $P(1)$ सत्य है।

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$ $n=k$ के लिए सत्य है,

$P(k): 2 k<(k+2)!$ सत्य है।

चरण III: $P(k+1)$ सत्य होने के लिए, हम दिखाना होगा कि

$ \qquad \qquad \qquad P(k+1): 2(k+1)<(k+1+2) ! $

अब $\qquad \qquad 2 k \ \ <(k+2) !$

$\qquad \qquad \qquad 2 k+2 <(k+2) !+2 $

$\qquad \qquad \qquad 2(k+1) < (k+2) !+2 < (k+3) ! \qquad [\because \ \ (k+2) !+2 <(k+3) !]$

$ \therefore \quad 2(k+1)<(k+3) ! $

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य होता है जब $P(k)$ सत्य हो।

अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार $P(n)$ सत्य है।

हल

कथन को विचार करें

$P(n): \sqrt{n}<\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{n}}$, सभी प्राकृतिक संख्याओं $n \geq 2$ के लिए।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(2)$ सत्य है।

$ P(2): \sqrt{2}<\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}} \text {, जो सत्य है। } $

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$ $n=k$ के लिए सत्य है।

$ P(k): \sqrt{k}<\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{k}} \text { सत्य है। } $

चरण III: $P(k+1)$ सत्य होने के लिए, हम दिखाना होगा कि

$ P(k+1): \sqrt{k+1}<\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \text { सत्य है। }

$

दिया गया है,

$ P(k): \sqrt{k}<\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{k}} \text { सत्य है। } $

दोनों तरफ $\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} $ जोड़ने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \quad \sqrt{k}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}$

$\Rightarrow \quad \dfrac{(\sqrt{k})(\sqrt{k+1})+1}{\sqrt{k+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} \ldots(i)$

हमें सिद्ध करना है कि, $ \sqrt{k+1}<\dfrac{\sqrt{k} \sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}} $

$ अब, \quad k+1<\sqrt{k} \sqrt{k+1}+1 $

$ \sqrt{k+1}<\dfrac{\sqrt{k} \sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}\ldots(ii) $

समीकरण (i) और (ii) से,

$ \sqrt{k+1}<\dfrac{1}{\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\ldots+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}} $

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य है जब $P(k)$ सत्य हो। अतः, $P(n)$ सत्य है।

हल

मान लीजिए $P(n): 2+4+6+\ldots+2 n=n^{2}+n$

सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

$ \begin{aligned} P(1): 2 & =1^{2}+1 \\ \\ 2 & =2, \text { जो सत्य है। } \end{aligned} $

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$ $n=k$ के लिए सत्य है।

$ \therefore \quad P(k): 2+4+6+\ldots+2 k=k^{2}+k $

चरण III: $P(k+1)$ के सत्य होने का सिद्ध करें।

$ \begin{aligned} P(k+1) & : 2+4+6+8+\ldots+2 k+2(k+1) \\ \\ & =k^{2}+k+2(k+1) \\ \\ & =k^{2}+k+2 k+2 \\ \\ & =k^{2}+2 k+1+k+1 \\ \\ & =(k+1)^{2}+k+1 \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य है जब $P(k)$ सत्य हो।

अतः, $P(n)$ सत्य है।

हल

दिए गए कथन को विचार करें

$ P(n): 1+2+2^{2}+\ldots+2^{n}=2^{n+1}-1 \text {, सभी प्राकृतिक संख्याओं } n \text { के लिए } $

चरण I: हम देखते हैं कि $P(0)$ सत्य है।

$ \begin{aligned} P(1): 1 & =2^{0+1}-1 \\ \\ 1 & =2^{1}-1 \\ \\ 1 & =2-1 \\ \\ 1 & =1, \text { जो सत्य है। } \end{aligned} `

$

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

इसलिए, $P(k): 1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}=2^{k+1}-1$ सत्य है।

चरण III: अब, $P(k+1)$ के सत्य होने का सिद्ध करना है।

$ \begin{aligned} P(k+1): & 1+2+2^{2}+\ldots+2^{k}+2^{k+1} \\ \\ & =2^{k+1}-1+2^{k+1} \\ \\ & =2 \cdot 2^{k+1}-1 \\ \\ & =2^{k+2}-1 \\ \\ & =2^{(k+1)+1}-1 \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य है जब $P(k)$ सत्य हो।

अतः, $P(n)$ सत्य है।

हल

मान लीजिए $P(n): 1+5+9+\ldots+(4 n-3)=n(2 n-1)$, सभी प्राकृतिक संख्याओं $n$ के लिए।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

$ P(1): 1=1(2 \times 1-1), 1=2-1 \text { और } 1=1 \text {, जो सत्य है। } $

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

इसलिए, $P(k): 1+5+9+\ldots+(4 k-3)=k(2 k-1)$ सत्य है।

चरण III: अब, $P(k+1)$ के सत्य होने का सिद्ध करना है।

$ \begin{aligned} P(k+1) & : 1+5+9+\ldots+(4 k-3)+4(k+1)-3 \\ \\ & =k(2 k-1)+4(k+1)-3 \\ \\ & =2 k^{2}-k+4 k+4-3 \\ \\ & =2 k^{2}+3 k+1 \\ \\ & =2 k^{2}+2 k+k+1 \\ \\ & =2 k(k+1)+1(k+1) \\ \\ & =(k+1)(2 k+1) \\ \\ & =(k+1)[2 k+1+1-1] \\ \\ & =(k+1)[2(k+1)-1] \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य है जब $p(k)$ सत्य हो, अतः $P(n)$ सत्य है।

हल

एक अनुक्रम $a_1, a_2, a_3, \ldots$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $a_1=3$ और $a_{k}=7 a_{k-1}$, सभी प्राकृतिक संख्याओं $k \geq 2$ के लिए।

मान लीजिए $\quad P(n): a_{n}=3 \cdot 7^{n-1}$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(2)$ सत्य है।

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

$ P(k): a_{k}=3 \cdot 7^{k-1} $

चरण III: अब, $P(k+1)$ के सत्य होने का सिद्ध करना है, हमें दिखाना है कि

$ \begin{aligned} P(k+1): a_{k+1} & =3 \cdot 7^{k+1-1} \\ \\ \text{अब}, \ a_{k+1} & =7 \cdot a_{k+1-1}=7 \cdot a_{k} \\ \\ & =7 \cdot 3 \cdot 7^{k-1}=3 \cdot 7^{k-1+1} \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य होगा जब $P(k)$ सत्य हो। अतः $P(n)$ सत्य है।

हल

दिए गए कथन को ध्यान में रखते हुए,

$P(n): b_{n}=5+4 n$, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए जहां $b_0=5$ और $b_{k}=4+b_{k-1}$

चरण I: $P(1)$ सत्य है।

$ P(1): b_1=5+4 \times 1=9 $

जैसे कि $\quad b_0=5, b_1=4+b_0=4+5=9 $

अतः, $P(1)$ सत्य है।

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(n)$ $n=k$ के लिए सत्य है।

$ P(k): b_{k}=5+4 k $

चरण III: अब, $P(k+1)$ सत्य होने के लिए दिखाना होगा कि

$ \begin{aligned} & \quad P(k+1): b_{k+1}=5+4(k+1) \\ \\ & b_{k+1}=4+b_{k+1-1} \\ \\ & \qquad =4+b_{k} \\ \\ & \qquad =4+5+4 k=5+4(k+1) \end{aligned} $

इसलिए, गणितीय आगमन द्वारा $P(k+1)$ तब सत्य होगा जब $P(k)$ सत्य हो। अतः $P(n)$ सत्य है।

हल

मान लीजिए $P(n): d_{n}=\dfrac{2}{n !}, \forall n \in N$, दिखाइए कि $P(2)$ सत्य है।

चरण I: $\quad P(2): d_2=\dfrac{2}{2 !}=\dfrac{2}{2 \times 1}=1 $

जैसे कि दिया गया है $\quad d_1=2 $

$\Rightarrow$ $\quad d_{k}=\dfrac{d_{k-1}}{k} $

$\Rightarrow \quad d_2=\dfrac{d_1}{2}=\dfrac{2}{2}=1$

अतः, $P(2)$ सत्य है।

चरण II: अब, मान लीजिए कि $P(k)$ सत्य है।

$ P(k): d_{k}=\dfrac{2}{k !} $

चरण III: अब, $P(k+1)$ सत्य होने के लिए दिखाना होगा कि $P(k+1): d_{k+1}=\dfrac{2}{(k+1) !}$

$ \begin{aligned} d_{k+1} & =\dfrac{d_{k+1-1}}{k+1}=\dfrac{d_{k}}{k+1} \\ \\

& =\dfrac{2}{k ! (k+1)}=\dfrac{2}{(k+1) !} \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ सत्य है। अतः, $P(n)$ सत्य है।

चिंतन प्रक्रिया

इसे सिद्ध करने के लिए, सूत्र $2 \cos A \sin B=\sin (A+B)-\sin (A-B)$ का उपयोग करें और

$ \sin A- \sin =2 \cos \left(\dfrac{A+B}{2}\right ) \cdot \sin \left(\dfrac{A-B}{2} \right) $

हल

मान लें $P(n): \cos \alpha+\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+2 \beta)+\ldots+\cos [\alpha+(n-1) \beta]$

चरण I: हम देखते हैं कि,

$P(1) =\dfrac{\cos \left(\alpha+\dfrac{n-1}{2} \beta\right) \sin \dfrac{n \beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}}$

$ P(1): \cos \alpha=\dfrac{\cos \left(\alpha+\dfrac{1-1}{2} \beta\right) \sin \dfrac{\beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}}=\dfrac{\cos (\alpha+0) \sin \dfrac{\beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}} $

अतः, $P(1)$ सत्य है।

चरण II: अब, मान लें कि $P(n)$ $n=k$ के लिए सत्य है।

$ \begin{aligned} & P(k): \cos \alpha+\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+2 \beta)+\ldots+\cos [\alpha+(k-1) \beta] \\ \\ &= \dfrac{\cos \left(\alpha+\dfrac{k-1}{2} \beta\right) \sin \dfrac{k \beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}} \end{aligned} $

चरण III: अब, $P(k+1)$ सत्य होने को सिद्ध करना है, हम दिखाना होगा कि

$P(k+1): \cos \alpha+\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+2 \beta)+\ldots+\cos [\alpha+(k-1) \beta]$

$ +\cos [\alpha+(k+1-1) \beta]=\dfrac{\cos (\alpha+\dfrac{k \beta}{2}) \sin (k+1) \dfrac{\beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}} $

$\text{L.H.S} \ \ =\cos \alpha+\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+2 \beta)+\ldots+\cos [\alpha+(k-1) \beta]+\cos (\alpha+k \beta)$

$\qquad \ \quad=\dfrac{\cos (\alpha+\dfrac{k-1}{2} \beta) \sin \dfrac{k \beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}}+\cos (\alpha+k \beta)$

$\qquad \ \quad=\dfrac{\cos (\alpha+\dfrac{k-1}{2} \beta) \sin \dfrac{k \beta}{2}+\cos (\alpha+k \beta) \sin \dfrac{\beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}}$

$\qquad \ \quad=\dfrac{\sin \left(\alpha+\dfrac{k \beta}{2}-\dfrac{\beta}{2}+\dfrac{k \beta}{2}\right)-\sin \left(\alpha+\dfrac{k \beta}{2}-\dfrac{\beta}{2}-\dfrac{k \beta}{2}\right)+\sin \left(\alpha+k \beta+\dfrac{\beta}{2}\right)-\sin \left(\alpha+k \beta-\dfrac{\beta}{2}\right)}{2 \sin \dfrac{\beta}{2}}$

$\qquad \ \quad=\dfrac{\sin \left(\alpha+k \beta+\dfrac{\beta}{2}\right)-\sin \left(\alpha-\dfrac{\beta}{2}\right)}{2 \sin \dfrac{\beta}{2}}$

$\qquad \ \quad=\dfrac{2 \cos \left(\dfrac{1}{2} \alpha+\dfrac{\beta}{2}+k \beta+\alpha-\dfrac{\beta}{2}\right) \sin \left(\dfrac{1}{2} \alpha+\dfrac{\beta}{2}+k \beta-\alpha+\dfrac{\beta}{2}\right)}{2 \sin \dfrac{\beta}{2}}$

$\qquad \ \quad=\dfrac{\cos (\dfrac{2 \alpha+k \beta}{2}) \sin (\dfrac{k \beta+\beta}{2})}{\sin \dfrac{\beta}{2}}=\dfrac{\cos (\alpha+\dfrac{k \beta}{2}) \sin (k+1) \dfrac{\beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}}=$ RHS

इसलिए, $P(k+1)$ सत्य है। अतः, $P(n)$ सत्य है।

हल

मान लीजिए $P(n): \cos \theta \cos 2 \theta \ldots \cos 2^{n-1} \theta=\dfrac{\sin 2^{n} \theta}{2^{n} \sin \theta}$

चरण I: $n=1$ के लिए, $P(1): \cos \theta=\dfrac{\sin 2^{1} \theta}{2^{1} \sin \theta}$

$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad =\dfrac{\sin 2 \theta}{2 \sin \theta}=\dfrac{2 \sin \theta \cos \theta}{2 \sin \theta}=\cos \theta $

जो सत्य है।

चरण II: मान लीजिए कि $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

$ P(k): \cos \theta \cdot \cos 2 \theta \cdot \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{k-1} \theta=\dfrac{\sin 2^{k} \theta}{2^{k} \sin \theta} \text { सत्य है। } $

चरण III: सिद्ध करें कि $P(k+1)$ सत्य है।

$ \begin{aligned} P(k+1): \cos \theta \cdot & \cos 2 \theta \cdot \cos 2^{2} \theta \ldots \cos 2^{k-1} \theta \cdot \cos 2^{k} \theta \\ \\ & =\dfrac{\sin 2^{k} \theta}{2^{k} \sin \theta} \cdot \cos 2^{k} \theta \\ \\ `

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{2 \sin 2^{k} \theta \cdot \cos 2^{k} \theta}{2 \cdot 2^{k} \sin \theta} \\ \\ & =\dfrac{\sin 2 \cdot 2^{k} \theta}{2^{k+1} \sin \theta}=\dfrac{\sin 2^{(k+1)} \theta}{2^{k+1} \sin \theta} \end{aligned} $$

जो सत्य है।

इसलिए, $P(k+1)$ सत्य है। अतः, $P(n)$ सत्य है।

हल

दिए गए कथन को ध्यान में रखिए

$\quad$ $P(n): \sin \theta+\sin 2 \theta+\sin 3 \theta+\ldots+\sin n \theta$

$\qquad \qquad =\dfrac{\sin \dfrac{n \theta}{2} \sin \dfrac{(n+1) \theta}{2}}{\sin \dfrac{\theta}{2}} \text {, सभी } n \in N \text{ के लिए} $

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ है

$ \begin{aligned} P(1): \sin \theta & =\dfrac{\sin \dfrac{\theta}{2} \cdot \sin \dfrac{(1+1)}{2} \theta}{\sin \dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{\sin \dfrac{\theta}{2} \cdot \sin \theta}{\sin \dfrac{\theta}{2}} \\ \\ \sin \theta & =\sin \theta \end{aligned} $

अतः, $P(1)$ सत्य है।

चरण II: मान लीजिए कि $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

$P(k): \sin \theta+\sin 2 \theta+\sin 3 \theta+\ldots+\sin k \theta$

$ =\dfrac{\sin \dfrac{k \theta}{2} \sin \dfrac{(k+1)}{2} \theta}{\sin \dfrac{\theta}{2}} \text { सत्य है। } $

चरण III: अब, $P(k+1)$ सत्य होने की आवश्यकता है।

$P(k+1): \sin \theta+\sin 2 \theta+\sin 3 \theta+\ldots+\sin k \theta+\sin (k+1) \theta$

$ \hspace{1cm}=\dfrac{\sin \dfrac{(k+1) \theta}{2} \sin \dfrac{(k+1+1)}{2} \theta}{\sin \dfrac{\theta}{2}} $

$\text{LHS} \ =\sin \theta+\sin 2 \theta+\sin 3 \theta+\ldots+\sin k \theta+\sin (k+1) \theta$

$\hspace{1cm}=\dfrac{\sin \dfrac{k \theta}{2} \sin \dfrac{(k+1)}{2} \theta}{\sin \dfrac{\theta}{2}}+\sin (k+1) \theta=\dfrac{\sin \dfrac{k \theta}{2} \sin \dfrac{(k+1)}{2} \theta+\sin (k+1) \theta \cdot \sin \dfrac{\theta}{2}}{\sin \dfrac{\theta}{2}}$

$\hspace{1cm}=\dfrac{\cos \left[\dfrac{k \theta}{2}-\dfrac{(k+1)}{2} \theta\right]-\cos \left[\dfrac{k \theta}{2}+\dfrac{(k+1)}{2} \theta\right] +\cos \left[(k+1) \theta-\dfrac{\theta}{2}\right]-\cos\left[ (k+1) \theta+\dfrac{\theta}{2}\right]}{2 \sin \dfrac{\theta}{2}}$

$\hspace{1cm}=\dfrac{\cos \dfrac{\theta}{2}-\cos k \theta+\dfrac{\theta}{2}+\cos k \theta+\dfrac{\theta}{2}-\cos k \theta+\dfrac{3 \theta}{2}}{2 \sin \dfrac{\theta}{2}}$

$\hspace{1cm}=\dfrac{\cos \dfrac{\theta}{2}-\cos\left( k \theta+\dfrac{3 \theta}{2}\right)}{2 \sin \dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{2 \sin \left[\dfrac{1}{2} \left(\dfrac{\theta}{2}+k \theta+\dfrac{3 \theta}{2}\right]\right) \cdot \sin \left[\dfrac{1}{2} \left(k \theta+\dfrac{3 \theta}{2}-\dfrac{\theta}{2}\right)\right]}{2 \sin \dfrac{\theta}{2}}$

$\hspace{1cm}=\dfrac{\sin \left(\dfrac{k \theta+2 \theta}{2}\right) \cdot \sin \left(\dfrac{k \theta+\theta}{2}\right)}{\sin \dfrac{\theta}{2}}=\dfrac{\sin \left(k+1\right) \dfrac{\theta}{2} \cdot \sin \left(k+1+1\right) \dfrac{\theta}{2}}{\sin \dfrac{\theta}{2}}$

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य होता है जब $P(k)$ सत्य हो। अतः, $P(n)$ सत्य है।

चिंतन प्रक्रिया

यहाँ, सूत्र $(a+b)^{5}=a^{5}+5 a b^{4}+10 a^{2} b^{3}+10 a^{3} b^{2}+5 a^{4} b+b^{5}$ का उपयोग करें

और $\quad (a+b)^{3}=a^{3}+b^{3}+3 a b(a+b) $

हल

दिए गए कथन को विचार करें

$P(n): \dfrac{n^{5}}{5}+\dfrac{n^{3}}{3}+\dfrac{7 n}{15}$ सभी $n \in N$ के लिए प्राकृतिक संख्या है।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है।

$P(1): \dfrac{(1)^{5}}{5}+\dfrac{1^{3}}{3}+\dfrac{7(1)}{15}=\dfrac{3+5+7}{15}=\dfrac{15}{15}=1$,

जो एक प्राकृतिक संख्या है। अतः, $P(1)$ सत्य है।

चरण II: मान लीजिए कि $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

$P(k): \dfrac{k^{5}}{5}+\dfrac{k^{3}}{3}+\dfrac{7 k}{15}$ एक प्राकृतिक संख्या है।

चरण III: अब, $P(k+1)$ के सत्य होने की आवश्यकता है।

$ \begin{aligned} & \dfrac{(k+1)^{5}}{5}+\dfrac{(k+1)^{3}}{3}+\dfrac{7(k+1)}{15} \\ \\ & =\dfrac{k^{5}+5 k^{4}+10 k^{3}+10 k^{2}+5 k+1}{5}+\dfrac{k^{3}+1+3 k(k+1)}{3}+\dfrac{7 k+7}{15} \\ \\ & =\dfrac{k^{5}+5 k^{4}+10 k^{3}+10 k^{2}+5 k+1}{5}+\dfrac{k^{3}+1+3 k^{2}+3 k}{3}+\dfrac{7 k+7}{15} \\ \\ `

& =\dfrac{k^{5}}{5}+\dfrac{k^{3}}{3}+\dfrac{7 k}{15}+\dfrac{5 k^{4}+10 k^{3}+10 k^{2}+5 k+1}{5}+\dfrac{3 k^{2}+3 k+1}{3}+\dfrac{7 k+7}{15} \\ \\ & =\dfrac{k^{5}}{5}+\dfrac{k^{3}}{3}+\dfrac{7 k}{15}+k^{4}+2 k^{3}+2 k^{2}+k+k^{2}+k+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{15} \\ \\ & =\dfrac{k^{5}}{5}+\dfrac{k^{3}}{3}+\dfrac{7 k}{15}+k^{4}+2 k^{3}+3 k^{2}+2 k+1, \text { जो एक प्राकृतिक संख्या है } \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य होता है जब $P(k)$ सत्य हो। अतः, $P(n)$ सत्य है।

हल

दिए गए कथन को विचार करें

$P(n): \dfrac{1}{n+1}+\dfrac{1}{n+2}+\ldots+\dfrac{1}{2 n}>\dfrac{13}{24}$, सभी प्राकृतिक संख्याओं $n>1$ के लिए।

चरण I: हम देखते हैं कि, $P(2)$ सत्य है,

$ \begin{aligned} P(2): \dfrac{1}{2+1}+\dfrac{1}{2+2} & >\dfrac{13}{24} \\ \\ \dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{4} & >\dfrac{13}{24} \\ \\ \dfrac{4+3}{12} & >\dfrac{13}{24} \\ \\ \dfrac{7}{12} & >\dfrac{13}{24}, \text { जो सत्य है। } \end{aligned} $

अतः, $P(2)$ सत्य है।

चरण II: अब, हम मान लेते हैं कि $P(n)$ सत्य है,

$ n=k $ के लिए,

$ P(k): \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\ldots+\dfrac{1}{2 k}>\dfrac{13}{24} $

चरण III: अब, $P(k+1)$ सत्य होने के लिए हम दिखाना होगा कि

$ \begin{aligned} & P(k+1): \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\ldots+\dfrac{1}{2 k}+\dfrac{1}{2(k+1)}>\dfrac{13}{24} \\ \\ & \text { दिया गया है, } \\ \\ & \begin{aligned} \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{k+2}+\ldots+\dfrac{1}{2 k} & >\dfrac{13}{24} \\ \\ \because \quad \dfrac{1}{k+1}+\dfrac{1}{2 k}+\dfrac{1}{2(k+1)} & >\dfrac{13}{24}+\dfrac{1}{2(k+1)} \\ \\ \dfrac{13}{24}+\dfrac{1}{2(k+1)} & >\dfrac{13}{24} \\ \\ \dfrac{1}{k+2}+\ldots+\dfrac{1}{2 k}+\dfrac{1}{2(k+1)} & >\dfrac{13}{24} \end{aligned} \end{aligned} $

इसलिए, $P(k+1)$ तब सत्य होता है जब $P(k)$ सत्य हो। अतः, $P(n)$ सत्य है।

हल

मान लीजिए $P(n)$: एक समुच्चय में $n$ अलग-अलग तत्वों के उपसमुच्चय की संख्या $2^{n}$ होती है, सभी $n \in N$ के लिए।

चरण I: हम देखते हैं कि $P(1)$ सत्य है, जब $n=1$ हो।

एक समुच्चय में 1 तत्व के उपसमुच्चय की संख्या $2^{1}=2$ होती है, जो सत्य है।

चरण II: मान लीजिए कि $P(n)$, $n=k$ के लिए सत्य है।

$P(k)$: एक समुच्चय में $k$ अलग-अलग तत्वों के उपसमुच्चय की संख्या $2^{k}$ होती है, जो सत्य है।

चरण III: $P(k+1)$ के सत्य होने को सिद्ध करना है, हमें दिखाना होगा कि

$P(k+1)$: एक समुच्चय में $(k+1)$ अलग-अलग तत्वों के उपसमुच्चय की संख्या $2^{k+1}$ होती है।

हम जानते हैं कि, समुच्चय में एक तत्व के जोड़ने से उपसमुच्चय की संख्या दोगुनी हो जाती है।

$\therefore$ एक समुच्चय में $(k+1)$ अलग-अलग तत्वों के उपसमुच्चय की संख्या $=2 \times 2^{k}=2^{k+1}$ होती है।

इसलिए, $P(k+1)$ सत्य है। अतः $P(n)$ सत्य है।

हल

(a) मान लीजिए $P(n): 10^{n}+3 \cdot 4^{n+2}+k$ 9 से विभाज्य हो, सभी $n \in N$ के लिए।

$ n=1 $ के लिए, दिया गया कथन भी सत्य है $10^{1}+3 \cdot 4^{1+2}+k$ 9 से विभाज्य हो।

$\begin{aligned} \because \quad 10^{1}+3 \cdot 4^{1+2}+k & =10+3 \cdot 64+k=10+192+k \\ \\ & =202+k\end{aligned}$

यदि $(202+k)$ 9 से विभाज्य हो, तो $k$ का न्यूनतम मान $5$ होगा।

$\because \quad 202+5=207$ 9 से विभाज्य है

$\Rightarrow \quad \dfrac{207}{9}=23$

अतः $k$ का न्यूनतम मान $5$ है।

हल

$(b, c)$

दिया गया है, $3 \cdot 5^{2 n+1}+2^{3 n+1}$

$ n=1 $ के लिए,

अब,

$ 3 \cdot 5^{2(1)+1}+2^{3(1)+1} =3 \cdot 5^{3}+2^{4}$

$ \qquad \qquad \qquad \qquad=3 \times 125+16$

$\qquad \qquad\qquad \qquad=375+16=391$

$\qquad \qquad \qquad 391 =17 \times 23$

कौन सा 17 और 23 दोनों से विभाज्य है।

समाधान

मान लीजिए $P(n): x^{n}-1$ $x-k$ से विभाज्य है।

$ n=1 $ के लिए, $x^{1}-1$ $x-k$ से विभाज्य है।

क्योंकि, यदि $x-1$ $x-k$ से विभाज्य है, तो $k$ का सबसे छोटा संभावित पूर्णांक मान 1 है।

समाधान

दिया गया है, $P(n): 2 n < n \ !, \ n\ \in N$

$ n=1 $ के लिए, $2 < 1 ! \quad$ [गलत]

$ n=2 $ के लिए, $2 \times 2 < 2 \ ! \ \Rightarrow 4<2$ $\quad$ [गलत]

$ n=3 $ के लिए, $2 \times 3 < 3 \ ! \Rightarrow$ $6<3!$

$\Rightarrow\qquad\qquad \quad 6 < 3 \times 2 \times 1$

$\Rightarrow\qquad \qquad \quad (6 < 6) \qquad$ [गलत]

$ n=4 $ के लिए, $2 \times 4 < 4 !$

$\Rightarrow \qquad\qquad \qquad 8<4 \times 3 \times 2 \times 1$ $(8<24)$ $\qquad$ [सत्य ]

$ n=5 $ के लिए, $2 \times 5<5$ !

$\Rightarrow\qquad\qquad \qquad 10<5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$\Rightarrow\qquad \qquad \qquad (10<120)$ $\qquad$ $\quad$ [सत्य]

अतः, $P(n)$ सभी $n \geq 4$ के लिए सत्य है।

सत्य/असत्य

समाधान

सत्य

दिया गया है, $P(n) \Rightarrow P(n+1)$

$ n $ को $n-1$ से बदल दें

$P(n-1) \Rightarrow P(n-1+1) $

$P(n-1) \Rightarrow P(n) $

$\Rightarrow \quad P(n)$ $(n-1)$ और $(n+1)$ दोनों के लिए सत्य है।

यह सभी $n \in N$ के लिए सत्य है।