हल

पहले महिलाएँ $1$ से $4$ तक की कुर्सियों में से चुनाव करती हैं। अर्थात, कुल कुर्सियों की संख्या $4$ है। चूंकि, दो महिलाएँ हैं, इसलिए व्यवस्था की संख्या $={ }^{4} P_2$ तरीकों से होती है।

अब, पुरुषों को शेष $6$ कुर्सियों में से चुनाव करना है।

चूंकि, $3$ पुरुष हैं, इसलिए व्यवस्था की संख्या ${ }^{6} P_3$ तरीकों से होती है।

$\therefore$ संभावित कुल व्यवस्थाओं की संख्या $={ }^{4} P_2 \times{ }^{6} P_3$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{4 !}{4-2 !} \times \dfrac{6 !}{6-3 !} \\ & =\dfrac{4 !}{2 !} \times \dfrac{6 !}{3 !} \\ & =\dfrac{4 \times 3 \times 2 !}{2 !} \times \dfrac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 !} \\ & =4 \times 3 \times 6 \times 5 \times 4=1440 \end{aligned} $

हल

शब्द ‘$\mathrm{RACHIT}$’ के अक्षर वर्णक्रम में $\mathrm{A}$, $\mathrm{C}$, $\mathrm{H}$, $\mathrm{I}$, $\mathrm{R}$ और $\mathrm{T}$ हैं।

अब, $A$ से शुरू होने वाले शब्द $=5!$

$C$ से शुरू होने वाले शब्द $=5!$

$H$ से शुरू होने वाले शब्द $=5!$

$I$ से शुरू होने वाले शब्द $=5!$

$R$ से शुरू होने वाले शब्द अर्थात $\mathrm{RACHIT}$ $=1$

$\therefore \quad$ शब्द ‘$\mathrm{RACHIT}$’ की शब्दकोश में स्थिति $=5! \times 5! \times 5! \times 5!+1$

$=4 \times 5 ! +1=4 \times 120+1$

$ =480+1=481 $

हल

क्योंकि, उम्मीदवार को किसी भी समूह से अधिक तीन से अधिक प्रश्न हल नहीं करने की अनुमति है।

इसलिए, उम्मीदवार को किसी भी समूह से न्यूनतम दो प्रश्न हल करने की अनुमति है।

प्रत्येक समूह से हल किए गए प्रश्नों की संख्या निम्नलिखित तालिका में दी गई है

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{समूह I} & 5 & 4 & 3 & 2 \\ \hline \text{समूह II} & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \end{array}$

क्योंकि, प्रत्येक समूह में 6 प्रश्न हैं और कुल हल किए गए प्रश्न 7 हैं।

$\therefore \ $ कुल संभावित तरीकों की संख्या $={ }^{6} C_5 \times{ }^{6} C_2+{ }^{6} C_4 \times{ }^{6} C_3+{ }^{6} C_3 \times{ }^{6} C_4+{ }^{6} C_2 \times{ }^{6} C_5$

$ \begin{aligned} & =2[{ }^{6} C_5 \times{ }^{6} C_2+{ }^{6} C_4 \times{ }^{6} C_3] \\ \\ & =2[6 \times 15+15 \times 20] \\ \\ & =2[90+300] \\ \\ & =2 \times 390=780 \end{aligned} $

हल

कुल बिंदुओं की संख्या $=18$

जिनमें से 5 बिंदु संरेख हैं, हमें किसी भी दो बिंदुओं को जोड़कर एक सीधी रेखा प्राप्त होती है।

$\therefore \ $ 18 बिंदुओं को दो दो करके जोड़कर बनाई गई सीधी रेखाओं की संख्या $={ }^{18} C_2$

और 5 बिंदुओं को दो दो करके जोड़कर बनाई गई सीधी रेखाओं की संख्या $={ }^{5} C_2$

लेकिन 5 संरेख बिंदुओं को दो दो करके जोड़ने से केवल एक रेखा प्राप्त होती है।

$\therefore \ $ आवश्यक सीधी रेखाओं की संख्या $={ }^{18} C_2-{ }^{5} C_2+1$

$ =153-10+1=144 $

$

हल

कुल व्यक्तियों की संख्या $=8$

चुने जाने वाले व्यक्तियों की संख्या $=6$

दिया गया है कि, यदि $A$ चुना जाता है तो, $B$ अवश्य चुना जाना चाहिए।

इसलिए, निम्नलिखित मामले उत्पन्न हो सकते हैं।

केस I जब $A$ चुना जाता है, तो $B$ अवश्य चुना जाना चाहिए

चुनाव के तरीके $={ }^{8-2} C_{6-2}={ }^{6} C_4$

केस II जब $A$ नहीं चुना जाता है।

तब, $B$ चुना जा सकता है।

$\therefore \ $ चुनाव के तरीके $={ }^{8-1} C_6={ }^{7} C_6$

इसलिए, आवश्यक चुनाव के तरीके $={ }^{6} C_4+{ }^{7} C_6$

$ =15+7=22 $

हल

$\because \ $ कुल व्यक्तियों की संख्या $=12$

और चुने जाने वाले व्यक्तियों की संख्या $=5$

12 व्यक्तियों में से एक चायरमैन का चयन $={ }^{12} C_1=12$ तरीकों से किया जा सकता है

अब, शेष 4 व्यक्तियों का चयन 11 व्यक्तियों में से किया जाता है।

$\therefore$ चुनाव के तरीके $={ }^{11} C_4=330$

$\therefore$ 5 व्यक्तियों के समिति के बनाने के कुल तरीके $=12 \times 330=3960$

हल

26 अंग्रेजी वर्ण और 10 अंक (0 से 9 तक) होते हैं।

दिया गया है कि प्रत्येक प्लेट में दो अलग-अलग अक्षर और तीन अलग-अलग अंक हों।

$\therefore \ $ 26 अक्षरों में से 2 अक्षर लेने के व्यवस्था के तरीके $={ }^{26} P_2=\dfrac{26 !}{24 !}=26 \times 25=650$

और 10 अंकों में से तीन अंक लेने के व्यवस्था के तरीके $={ }^{10} P_3=10 \times 9 \times 8=720$ तरीके

$\therefore$ कुल लाइसेंस प्लेट की संख्या $=650 \times 720=468000$

हल

दिया गया है कि बैग में 5 काले और 6 लाल गेंद हैं।

इसलिए, 2 काली गेंद 5 काली गेंदों से ${ }^{5} C_2$ तरीकों से चुनी जा सकती है।

और 3 लाल गेंद 6 लाल गेंदों से ${ }^{6} C_3$ तरीकों से चुनी जा सकती है।

$\therefore$ 2 काली और 3 लाल गेंद चुने जाने के कुल तरीके $={ }^{5} C_2 \times{ }^{6} C_3$

$=10 \times 20=200$ तरीके

हल

कुल वस्तुओं की संख्या $=n$

हमें $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को व्यवस्थित करना है, जिनमें 3 वस्तुएँ हमेशा एक साथ आएँ।

इसलिए, $n$ वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के संयोजन, जिनमें 3 वस्तुएँ हमेशा आएँ:

$ ={ }^{n-3} C_{r-3} $

यदि 3 वस्तुएँ एक साथ आएँ, तो इन्हें एक समूह मान लिया जाता है।

इन तीन वस्तुओं की व्यवस्था $=3!$

अब, हमें $=r-3+1=(r-2)$ वस्तुओं को व्यवस्थित करना है।

$\therefore$ $(r-2)$ वस्तुओं की व्यवस्था $=r-2!$

$\therefore$ कुल व्यवस्था की संख्या $={ }^{n-3} C_{r-3} \times (r-2) ! \times 3!$

हल

शब्द ‘TRIANGLE’ में अक्षरों की संख्या $=8$, जिनमें 5 व्यंजन और 3 स्वर हैं।

यदि स्वर एक साथ न हों, तो निम्नलिखित व्यवस्था होगी।

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{V} & \text{C} & \text{V} & \text{C} & \text{V} & \text{C} & \text{V} & \text{C} & \text{V} & \text{C} & \text{V} \\ \hline \end{array}$

व्यंजन $=5 !$ तरीकों से व्यवस्थित किए जा सकते हैं $=120$ तरीके और स्वर 6 स्थानों में बैठ सकते हैं।

3 स्वर 6 स्थानों में ${ }^{6} P_3$ तरीकों से बैठ सकते हैं $=\dfrac{6 !}{6-3 !}=\dfrac{6 !}{3 !}$

$ =\dfrac{6 \times 5 \times 4 \times 3 !}{3 !}=120 $

कुल व्यवस्था की संख्या $=120 \times 120=14400$

हल

हम जानते हैं कि एक संख्या 5 से विभाज्य होती है, यदि संख्या के इकाई के स्थान पर 0 या 5 हो।

हमें 4-अंकीय संख्या बनानी है जो 6000 से बड़ी और 7000 से कम हो। इसलिए, इकाई के स्थान पर 2 तरीकों से भरा जा सकता है।

क्योंकि, पुनरावर्तन अनुमत नहीं है। इसलिए, दहाई के स्थान पर 7 तरीकों से भरा जा सकता है, इसी तरह सैकड़ा के स्थान पर 8 तरीकों से भरा जा सकता है।

लेकिन हमें 6000 से बड़ी और 7000 से कम संख्या बनानी है।

इसलिए, हजार के स्थान पर केवल 1 तरीका है।

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{स्थान} & \text{हजार} & \text{सैकड़ा} & \text{दहाई} & \text{इकाई} \\ \hline \text{तरीके} & 1 & 8 & 7 & 2 \\ \hline \end{array} $

$\therefore \ $ कुल संख्या के अंक $=1 \times 8 \times 7 \times 2$

$ \hspace{3.7cm}=14 \times 8=112 $

हल

दिया गया है, $P_1, P_2, \ldots, P_{10}$, 10 व्यक्ति हैं, जिनमें से 5 व्यक्तियों को व्यवस्थित करना है लेकिन $P_1$ अवश्य शामिल हो जाए जबकि $P_4$ और $P_5$ कभी शामिल नहीं हों।

$\therefore$ चयन केवल 10-3=7 व्यक्तियों पर निर्भर करता है

क्योंकि, हमें पहले से ही $P_1$ शामिल है, इसलिए हमें 7 व्यक्तियों में से केवल 4 व्यक्तियों का चयन करना है।

चयन की संख्या $={ }^{7} C_4=\dfrac{7 !}{4 !(7-4) !}=\dfrac{7 !}{4 ! 3 !}=\dfrac{5040}{24 \times 6}=35$

$\therefore \ $ 5 व्यक्तियों की आवश्यक व्यवस्था की संख्या $=35 \times 5 !=35 \times 120=4200$

सोचने की प्रक्रिया

हॉल को जलाने के तरीकों की संख्या $ n $ अलग-अलग चीजों में से एक या अधिक चीजों के चयन के तरीकों के बराबर होती है

$$ { }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3+\ldots+{ }^{n} C_{n}=2^{n}-1 $$

उत्तर

कम से कम एक बल्ब चालू रखना है।

$\therefore \ $ कुल तरीकों की संख्या $={ }^{10} C_1+{ }^{10} C_2+{ }^{10} C_3+{ }^{10} C_4+{ }^{10} C_5+{ }^{10} C_6+\ldots+{ }^{10} C_{10}$

$$ \begin{aligned} & =2^{10}-1 \quad[\because{ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots=2^{n}] \\ & =1024-1=1023 \end{aligned} $$

उत्तर

2 सफेद, तीन काले और चार लाल गेंद हैं।

हमें 9 गेंदों में से 3 गेंद निकालनी है, जिनमें कम से कम एक काली गेंद शामिल हो।

इसलिए, हम गेंदों को निम्नलिखित तरीकों से चुन सकते हैं।

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \text{काली गेंदें} & 1 & 2 & 3 \\ \hline \text{अन्य} & 2 & 1 & 0 \\ \hline \end{array} $$

$\therefore \ $ आवश्यक चयन की संख्या $={ }^{3} C_1 \times{ }^{6} C_2+{ }^{3} C_2 \times{ }^{6} C_1+{ }^{3} C_3 \times{ }^{6} C_0$

$$ \begin{aligned} & =3 \times 15+3 \times 6+1 \\ & =45+18+1=64 \end{aligned} $$

उत्तर

दिया गया है, ${ }^n C_{r-1} = 36 \quad \ldots (i)$

$\Rightarrow { }^n C_r = 84 \quad \ldots (ii)$

$\Rightarrow { }^n C_{r+1} = 126 \quad \ldots (iii)$

Eq. (i) को Eq. (ii) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\dfrac{{ }^{n} C_{r-1}}{{ }^{n} C_{r}} =\dfrac{36}{84} $

$\dfrac{n!}{(r-1)![n-(r-1)!]} \cdot \dfrac{r!(n-r)!}{n!} = \dfrac{3}{7} \quad $ $\Big[\because{ }^{n} C_{r}=\dfrac{n !}{(n-r ! r !)} \Big]$

$\Rightarrow \ \dfrac{1}{(r-1)!(n-r+)!} \cdot \dfrac{r(r-1)!(n-r)!}{1} = \dfrac{3}{7} \quad \Big[ \because n !=n(n-1) !\Big]$

$\Rightarrow \ \dfrac{r(n-r)!}{(n-r+1)(n-r)!} = \dfrac{3}{7}$

$\Rightarrow \ \dfrac{r}{n-r+1} = \dfrac{3}{7}$

$\Rightarrow \ 7r = 3n-3r+3$

$\Rightarrow \ 10r-3n = 3 \quad \ldots (iv)$

Eq. (ii) को Eq. (iii) से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\dfrac{{}^nC_r}{{}^nC_{r+1}} = \dfrac{84}{126}$

$\Rightarrow \ \dfrac{n!}{r!(n-r)!} \cdot \dfrac{(r+1)![n-(r+1)]!}{n!} = \dfrac{84}{126} =\dfrac{14}{21}$

$\Rightarrow \ \dfrac{1}{r!(n-r)!} \cdot \dfrac{(r+1)r!(n-r-1)!}{1} = \dfrac{14}{21}$

$\Rightarrow \ \dfrac{1}{(n-r)(n-r-1)!} \cdot \dfrac{(r+1)(n-r-1)!}{1} = \dfrac{2}{3}$

$\Rightarrow \ \dfrac{n-r}{r+1} = \dfrac{3}{2}$

$\Rightarrow \ 2n-2r = 3r+1$

$\Rightarrow \ 2n-5r= 3 \quad \ldots (v)$

समीकरण (iv) को 2 से गुणा करने और समीकरण (v) को 3 से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$20r-6n = 6$

और $6n-15r = 9$

इन दो समीकरणों को जोड़ने पर

$5r=15$

$\Rightarrow \ r=3$

$\therefore \ {}^rC_2 = {}^3C_2 = \dfrac{3!}{2! \times 1!} = 3$

हल

यहाँ, हमें 3, 5, 7, 8 और 9 अंकों के साथ 7000 से बड़ी संख्याओं की संख्या ज्ञात करनी है। इन अंकों के साथ हम अधिकतम 5 अंकीय संख्या बना सकते हैं क्योंकि दोहराव नहीं हो सकता।

अब, सभी 5 अंकीय संख्याएँ 7000 से बड़ी होती हैं।

5 अंकीय संख्या बनाने के तरीकों की संख्या $=5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=120$

and all the four-digit numbers greater than 7000 can be formed in following manner.

Thousand place can be filled in 3 ways. Hundred place can be filled in 4 ways. Tenth place can be filled in 3 ways. Units place can be filled in 2 ways.

Thus, we have total number of 4-digit number $=3 \times 4 \times 3 \times 2=72$

$\therefore \ $ Total number of integers $ = 120+72=192$

Solution

It is given that no two lines are parallel means all line are intersecting and no three lines are concurrent means three lines intersect at a point.

Since, we know that for one point of intersection, we required two lines.

$\therefore \quad$ Number of point of intersection $={ }^{20} C_2=\dfrac{20 !}{2 ! 18 !}=\dfrac{20 \times 19 \times 18 !}{2 \times 1 \times 18 !}$

$ =\dfrac{20 \times 19}{2}=19 \times 10=190 $

Solution

If first two digit is 41 , the remaining 4 digits can be arranged in

$ \begin{aligned} & ={ }^{8} P_4=\dfrac{8 !}{8-4 !}=\dfrac{8 !}{4 !} \\ & =\dfrac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 !} \\ & =8 \times 7 \times 6 \times 5=1680 \end{aligned} $

Similarly, if first two digit is $42,46,62$, or 64 , the remaining 4 digits can be arranged in ${ }^{8} P_4$ ways i.e., 1680 ways.

$\therefore$ Total number of telephone numbers have all six digits distinct $=5 \times 1680=8400$

हल

दिया गया है कि 5 प्रश्नों में से 2 प्रश्न अनिवार्य हैं।

इसलिए, इन दो प्रश्नों को हमेशा चयन में शामिल कर लिया जाता है।

हम जानते हैं कि, $n$ भिन्न वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के चयन में जिनमें $p$ वस्तुएं हमेशा शामिल होती हैं, तो चयन के तरीके ${ }^{n-p} C_{r-p}$ होते हैं।

$\therefore$ कुल तरीकों की संख्या $={ }^{5-2} C_{4-2}={ }^{3} C_2$

$ =\dfrac{3 !}{2 ! 1 !}=\dfrac{3 \times 2 !}{2 !}=3 $

हल

मान लीजिए उत्तल बहुभुज की भुजाओं की संख्या $n$ है।

शीर्षों के द्वारा बने रेखाखंडों की संख्या $= {}^nC_2$

$\therefore$ विकर्णों की संख्या $={ }^{n} C_2-n$

प्रश्न के अनुसार,

${ }^{n} C_2-n =44 $

$\dfrac{n!}{2!(n-2)!} - n = 44$

$\Rightarrow \ \dfrac{n(n-1)(n-2)!}{2(n-2)!} - n = 44$

$\Rightarrow \dfrac{n(n-1)}{2}-n =44 $

$\Rightarrow n \Big[\dfrac{n-1}{2} - 1\Big] = 44 $

$\Rrightarrow n\Big (\dfrac{n-1-2}{2} \Big) = 44$

$\Rightarrow n(n-3) =44 \times 2 \Rightarrow n(n-3)=88 $

$\Rightarrow n^{2}-3 n-88 =0$

$\Rightarrow \ n^2-11n+8n-88 = 0$

$\Rightarrow(n-11)(n+8)=0 $

$\Rightarrow n =11,-8 \quad \quad [\because n \neq -8] $

$\therefore n =11 $

इसलिए, भुजाओं की संख्या $=11$

हल

दिया गया है कि 18 माउस को दो प्रयोगात्मक समूहों और एक नियंत्रण समूह में बराबर बांटा गया है अर्थात 3 समूहों में।

इसलिए, 3 समूहों के बनाने के तरीके जहां प्रत्येक समूह के आकार ‘6’ है $ ={ }^{18} C_{6}{ }^{12} C_{6}{ }^{6} C_{6}=\dfrac{18!}{6! \times 6! \times 6!} $

लेकिन इस गणना में तीन विशेष समूहों के बनाने के क्रम को भी गिन लिया गया है।

स्पष्ट रूप से, जब हम समूह बनाते हैं तो क्रम की गणना नहीं की जानी चाहिए।

अब तीन विशिष्ट समूह जब क्रम की गणना की जाती है, तो $3!$ तरीकों से हो सकते हैं।

$ \text { इसलिए, वास्तविक तरीकों की संख्या }=\dfrac{18!}{6! \times 6! \times 6! \times 3!} = \dfrac{18!}{(6!)^3 \times 3!} $

हल

कुल गोलियों की संख्या $=6$ सफेद $+5$ लाल $=11$ गोलियाँ

(a) यदि वे किसी भी रंग के हो सकते हैं, तो हमें $11$ गोलियों में से $4$ गोलियाँ चुननी होती हैं।

$\therefore \ $ आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{11} C_4$

(b) यदि दो सफेद हों, तो चयन $ { }^{6} C_2 $ होगा और दो लाल हों, तो चयन $ { }^{5} C_2 $ होगा।

$\therefore \ $ आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{6} C_2 \times{ }^{5} C_2$

(c) यदि वे सभी एक ही रंग के हों, तो $6$ सफेद गोलियों में से $4$ गोलियाँ चुनना $ { }^{6} C_4 $ होगा और $5$ लाल गोलियों में से $4$ गोलियाँ चुनना $ { }^{5} C_4 $ होगा।

$\therefore \ $ आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{6} C_4+{ }^{5} C_4$

हल

कुल खिलाड़ियों की संख्या $=16$

हमें 11 खिलाड़ियों की टीम चुननी है

(i) 2 विशिष्ट खिलाड़ियों के समावेश $={ }^{16-2} C_{11-2}={ }^{14} C_9$

[क्योंकि, $n$ वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के चयन में $p$ वस्तुएं हमेशा शामिल होती हैं, तो चयन $ \ { }^{n-p} C_{r-p}$ होता है ]

(ii) 2 विशिष्ट खिलाड़ियों के अपवाद $={ }^{16-2} C_{11}={ }^{14} C_{11}$

[क्योंकि, $n$ वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के चयन में $p$ वस्तुएं कभी शामिल नहीं होती हैं, तो चयन $ \ { }^{n-p} C_{r}$ होता है ]

हल

प्रत्येक कक्षा में कुल छात्र $=20$

हमें प्रत्येक कक्षा से कम से कम $5$ छात्र चुनना है।

इसलिए, $11$ छात्रों की खेल टीम के चयन के लिए प्रत्येक कक्षा से चयन के निम्नलिखित तालिका में दिया गया है

$\begin{array}{|c|c|c|} \hline \text{कक्षा XI} & 5 & 6 \\ \hline \text{कक्षा XII} & 6 & 5 \\ \hline \end{array}$

$\therefore \ $ $11$ खिलाड़ियों की टीम के चयन के कुल तरीके $={ }^{20} C_5 \times{ }^{20} C_6+{ }^{20} C_6 \times{ }^{20} C_5$

$ =2 \times{ }^{20} C_5 \times{ }^{20} C_6 $

हल

लड़कियों की संख्या $=4$ और लड़कों की संख्या $=7$

हमें $5$ सदस्यों की टीम के चयन करना है जो इस शर्त पर है कि

(i) टीम में कोई लड़की नहीं हो।

$\therefore \ $ आवश्यक चयन $={ }^{7} C_5=\dfrac{7 !}{5 ! 2 !}=\dfrac{7 \times 6}{2}=21$

(ii) कम से कम एक लड़का और एक लड़की

$\therefore \ $ आवश्यक चयन $={ }^{7} C_1 \times{ }^{4} C_4+{ }^{7} C_2 \times{ }^{4} C_3+{ }^{7} C_3 \times{ }^{4} C_2+{ }^{7} C_4 \times{ }^{4} C_1$

$ \begin{aligned} & =7 \times 1+21 \times 4+35 \times 6+35 \times 4 \\ & =7+84+210+140=441 \end{aligned} $

(iii) जब कम से कम तीन लड़कियाँ शामिल हों $={ }^{4} C_3 \times{ }^{7} C_2+{ }^{4} C_4 \times{ }^{7} C_1$

$ =4 \times 21+7=84+7=91 $

हल

विकल्प (a) दिया गया है,

$ { }^{n} C_{12}={ }^{n} C_8 $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \ { }^{n} C_{n-12}={ }^{n} C_8 \quad \quad {[\because{ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{n-r}]} \\ \\ & \Rightarrow \ n-12=8 \\ \\ & \Rightarrow \ n=12+8=20 \\ \\ \end{aligned} $

• विकल्प (b) 12: यदि $ n = 12 $, तो ${ }^{12} C_{12} \neq { }^{12} C_8$. विशेष रूप से, ${ }^{12} C_{12} = 1$ और ${ }^{12} C_8 = 495$, इसलिए वे बराबर नहीं हैं।

• विकल्प (c) 6: यदि $ n = 6 $, तो ${ }^{6} C_{12} $ परिभाषित नहीं है क्योंकि ${ }^{n} C_{r} $ में $ r $ का मान $ n $ से अधिक नहीं हो सकता।

• विकल्प (d) 30: यदि $ n = 30 $, तो ${ }^{30} C_{12} \neq { }^{30} C_8$. विशेष रूप से, ${ }^{30} C_{12} \approx 86493225$ और ${ }^{30} C_8 \approx 5852925$, इसलिए वे बराबर नहीं हैं।

हल

विकल्प (b) एक सिक्के को 1 बार उछालने पर परिणामों की संख्या $=2$ (शीर्ष या पैसा)

$\therefore \ $ एक सिक्के को 6 बार उछालने पर कुल संभावित परिणाम $=2^{6}=64 \quad \quad [\because 2^{n}$ या $n$ बार उछाले गए सिक्के $]$

• विकल्प (a) $36$: यह गलत है क्योंकि एक सिक्के को 6 बार उछालने पर संभावित परिणामों की संख्या $2^6$ के रूप में गणना की जाती है, न कि $6 \times 6$. मान $36$ उस स्थिति में उपयोगी होता जब प्रत्येक उछाल में 6 संभावित परिणाम होते, जो सिक्के के उछाल के लिए नहीं है।

• विकल्प (c) $12$: यह गलत है क्योंकि एक सिक्के को 6 बार उछालने पर संभावित परिणामों की संख्या $2^6$ के रूप में गणना की जाती है, न कि $2 \times 6$. मान $12$ उस स्थिति में उपयोगी होता जब प्रत्येक उछाल में 2 संभावित परिणाम होते और कुल 6 परिणाम होते, जो बहुतायुक्त उछाल के लिए नहीं है।

• विकल्प (d) $32$: यह गलत है क्योंकि एक सिक्के को 6 बार उछालने पर संभावित परिणामों की संख्या $2^6$ के रूप में गणना की जाती है, जो $64$ के बराबर होता है, न कि $32$. मान $32$ उस स्थिति में उपयोगी होता जब सिक्के को 5 बार उछाला जाता है, क्योंकि $2^5 = 32$ होता है।

हल

विकल्प (c) दिया गया, अंक $2, 3, 4$ और $7$, हमें इन अंकों का उपयोग करके चार अंकीय संख्याएं बनानी हैं।

$\therefore \ $ आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{4} P_4=4 !=4 \times 3 \times 2 !=24$

• विकल्प (a) $120$: गलत है क्योंकि यह 5 अंकों ($2, 3, 4, 7$, और एक अतिरिक्त अंक) के कुल प्रतिस्थापन की संख्या को दर्शाता है, जो $5! = 120$ होता है। हालांकि, हमें केवल 4 अंकों का उपयोग करना है।

• विकल्प (ब) $96$: गलत है क्योंकि यह $4$ अंकों में से $4$ अंकों के लिए कोई मानक परमूत्तर या संयोजन गणना से संबंधित नहीं है। यह एक गणना या समस्या के समझने में त्रुटि के परिणाम हो सकता है।

• विकल्प (द) $100$: गलत है क्योंकि यह $4$ अंकों के फैक्टोरियल गणना से मेल नहीं खाता। $4$ अद्वितीय अंकों का उपयोग करके $100$ परमूत्तर प्राप्त करने के लिए कोई गणितीय आधार नहीं है।

हल

विकल्प (ब) यदि हम $3$ को इकाई स्थान पर निश्चित कर दें।

कुल संभावित संख्या $3!$ अर्थात $6$ है।

इन सभी संख्याओं के इकाई स्थान पर अंकों के योग $= 3! \times 3$

इसी तरह, यदि हम $4, 5$ और $6$ को इकाई स्थान पर निश्चित कर दें, तो प्रत्येक मामले में कुल संभावित संख्या $3!$ होगी।

सभी ऐसी संख्याओं के इकाई अंकों के आवश्यक योग $=(3+4+5+6) \times 3!$

$ =18 \times 3! =18 \times 6=108 $

• विकल्प (a) $432$: यह विकल्प इकाई स्थान पर अंकों के योग को अधिक अनुमानित करता है। सही गणना में अंकों के योग ($3, 4, 5$, और $6$) को शेष अंकों के फैक्टोरियल ($3!$) से गुणा करना शामिल होता है, जो $108$ के बजाए $432$ नहीं होता।

• विकल्प (c) $36$: यह विकल्प इकाई स्थान पर अंकों के योग को अधिक अनुमानित करता है। सही गणना में अंकों के योग ($3, 4, 5$, और $6$) को शेष अंकों के फैक्टोरियल ($3!$) से गुणा करना शामिल होता है, जो $108$ के बजाए $36$ नहीं होता।

• विकल्प (d) $18$: यह विकल्प इकाई स्थान पर अंकों के योग को बहुत कम अनुमानित करता है। सही गणना में अंकों के योग ($3, 4, 5$, और $6$) को शेष अंकों के फैक्टोरियल ($3!$) से गुणा करना शामिल होता है, जो $108$ के बजाए $18$ नहीं होता।

हल

विकल्प (c) दिया गया है कि, कुल स्वर $=4$

और कुल व्यंजन $=5$

$2$ स्वर और $3$ व्यंजन के चयन के तरीकों की संख्या

$ \begin{aligned} & ={ }^{4} C_2 \times{ }^{5} C_3=\dfrac{4 !}{2 ! 2 !} \times \dfrac{5 !}{3 ! 2 !} \\ \\ & =\dfrac{4 \times 3 !}{2 ! 2 !} \times \dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 !}{3 ! \times 2 !}=\dfrac{4 \times 5 \times 4 \times 3}{4} \\ \\ & =5 \times 4 \times 3=60 \end{aligned} $

इन $5$ अक्षरों में से प्रत्येक को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है, अर्थात $120$।

इसलिए, कुल शब्दों की संख्या $=60 \times 120=7200$

• विकल्प (a) $60$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें केवल $2$ स्वर और $3$ व्यंजन के चयन के तरीकों की गणना की गई है, लेकिन इन $5$ अक्षरों के विभिन्न परिवर्तनों को गिना गया है जो भिन्न शब्द बनाते हैं। सही गणना में इन अक्षरों के व्यवस्थित करने के तरीकों को गुणा करना आवश्यक है, जो $5!$ द्वारा किया जाता है।

• विकल्प (b) $120$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें केवल $5$ अक्षरों के व्यवस्थित करने के तरीकों $(5!)$ की गणना की गई है, लेकिन इसमें $4$ स्वर में से $2$ स्वर के चयन और $5$ व्यंजन में से $3$ व्यंजन के चयन की गणना नहीं की गई है। सही गणना में इन चयन और व्यवस्था दोनों को शामिल करना आवश्यक है।

• विकल्प (d) $720$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह कुल शब्दों की संख्या को अधिक नहीं गिनता है। यह संभवतः केवल अक्षरों के व्यवस्थित करने $(5!)$ या चयन के कुछ हिस्से की गणना कर सकता है, लेकिन यह सही तरीके से स्वर और व्यंजन के चयन और उनकी व्यवस्था के संयोजन को गिनता है। सही कुल संख्या $7200$ होनी चाहिए।

हल

विकल्प (a) हम जानते हैं कि, एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है, जब संख्या के अंकों का योग $3$ से विभाज्य होता है।

इसलिए, यदि हम अंक $0,1,2,4,5$ को लें, तो $(0+1+2+4+5)=12$

हम देखते हैं कि, योग $3$ से विभाज्य है। अतः, अंकों $0,1,2,4,5$ का पांच अंकों वाली संख्या बनाने के तरीके हैं

$0,1,2,4,5=4 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=96$

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{स्थान} & \text{सहस्र} & \text{सैकड़ा} & \text{दहाई} & \text{इकाई} & \text{इकाई} \\ \hline \text{तरीके} & 4 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \hline \end{array}$

और यदि हम अंक $1,2,3,4,5$ को लें, तो $(1+2+3+4+5=15)$

इस योग के भी $3$ से विभाज्य है।

अतः, अंकों $1, 2, 3, 4, 5$ का पांच अंकों वाली संख्या बनाने के $5!$ तरीके हैं।

कुल तरीकों की संख्या $=96+5! =96+120=216$

• विकल्प (b) $600$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह पांच अंकों वाली वैध संख्याओं की संख्या को अधिक अनुमानित करता है। सही गणना में अंकों के योग के $3$ से विभाज्य होने की आवश्यकता होती है और फिर व्यवस्था की गणना की जाती है। सही कुल संख्या $216$ है, न कि $600$।

• विकल्प (c) $240$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह पांच अंकों वाली वैध संख्याओं की संख्या को अल्प अनुमानित करता है। अंकों के योग के $3$ से विभाज्य होने की आवश्यकता को ध्यान में रखते हुए ऐसी संख्याओं के बनाने के सही तरीकों की संख्या $216$ है, न कि $240$।

• विकल्प (d) $3125$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह पांच अंकों वाली वैध संख्याओं की संख्या को बहुत अधिक अनुमानित करता है। यह संभवतः अंकों के योग के $3$ से विभाज्य होने की आवश्यकता और अंकों की पुनरावृत्ति बिना किए व्यवस्था की गणना करने की आवश्यकता को ध्यान में नहीं रखता है। सही कुल संख्या $216$ है, न कि $3125$।

हल

विकल्प (b) मान लीजिए कमरे में लोगों की कुल संख्या $n$ है। हम जानते हैं कि, दो व्यक्तियों के बीच $1$ हाथ मिलान होता है।

$\therefore \ $ आवश्यक हाथ के हलके की संख्या $={ }^{n} C_2=\dfrac{n !}{2 !(n-2) !}=\dfrac{n(n-1)}{2}$

प्रश्न के अनुसार, $ \ \dfrac{n(n-1)}{2}=66$

$\Rightarrow \quad n(n-1)=132$

$\Rightarrow \quad n^{2}-n-132=0$

$\Rightarrow \quad(n-12)(n+11)=0$

$\Rightarrow \quad n=12,-11$

क्योंकि लोगों की संख्या नकारात्मक नहीं हो सकती, हम $n=-11$ को छोड़ देते हैं।

$\therefore \quad n=12$

• विकल्प (a) $11$: यदि कमरे में $11$ लोग होते, तो हाथ के हलके की संख्या $ \dfrac{11 \times 10}{2} = 55 $ की गणना की जाती। यह दिए गए $66$ हाथ के हलके की कुल संख्या के मेल नहीं खाती।

• विकल्प (c) $13$: यदि कमरे में $13$ लोग होते, तो हाथ के हलके की संख्या $ \dfrac{13 \times 12}{2} = 78 $ की गणना की जाती। यह दिए गए $66$ हाथ के हलके की कुल संख्या के मेल नहीं खाती।

• विकल्प (d) $14$: यदि कमरे में $14$ लोग होते, तो हाथ के हलके की संख्या $ \dfrac{14 \times 13}{2} = 91 $ की गणना की जाती। यह दिए गए $66$ हाथ के हलके की कुल संख्या के मेल नहीं खाती।

हल

विकल्प (d) $12$ बिंदुओं में से $3$ बिंदु लेकर बनाए गए कुल त्रिभुजों की संख्या $={ }^{12} C_3$

लेकिन $12$ बिंदुओं में से $7$ बिंदु एक सीधी रेखा पर हैं। इसलिए, इन $7$ बिंदुओं को जोड़कर कोई त्रिभुज नहीं बनेगा।

$\therefore \ $ आवश्यक त्रिभुजों की संख्या $={ }^{12} C_3-{ }^{7} C_3=220-35=185$

• विकल्प (a) $105$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह हमारी गणना के आधार पर सही नहीं है।

• विकल्प (b) $15$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह अपेक्षित संख्या से बहुत कम है और गलत है।

• विकल्प (c) $175$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह संख्या निकटतम है लेकिन गणना के परिणाम से अभी भी कम है।

हल

विकल्प (b) एक समानांतर चतुर्भुज बनाने के लिए हमें एक सेट के $4$ रेखाओं में से एक जोड़ी रेखा और दूसरे सेट के $3$ रेखाओं में से एक जोड़ी रेखा की आवश्यकता होती है।

$\therefore \ $ आवश्यक समानांतर चतुर्भुज की संख्या $={ }^{4} C_2 \times{ }^{3} C_2=6 \times 3=18$

• विकल्प (a) $6$: यह गलत है क्योंकि इसमें केवल एक रेखा सेट से संयोजन को मान लिया गया है।

• विकल्प (c) $12$: यह गलत है क्योंकि इसमें कुल समानांतर चतुर्भुज की संख्या की गलत गणना की गई है।

• विकल्प (d) $9$: यह गलत है क्योंकि इसमें समानांतर चतुर्भुज की संख्या का अंदाजा लगाने में अपर्याप्त है।

हल

विकल्प (c) कुल खिलाड़ियों की संख्या $=22$

हमें $11$ खिलाड़ियों की टीम का चयन करना होता है। $11$ खिलाड़ियों के चयन के तरीकों की संख्या जबकि 2 खिलाड़ियों को हमेशा शामिल किया जाता है और 4 खिलाड़ियों को हमेशा बाहर रखा जाता है।

कुल खिलाड़ियों की संख्या $=22-2-4=16$

$\therefore \ $ आवश्यक चयन की संख्या $={ }^{16} C_9$

• विकल्प (a) ${ }^{16} C_{11}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें $16$ खिलाड़ियों में से $11$ खिलाड़ियों के चयन के तरीकों की संख्या को दर्शाया गया है। हालांकि, हमें शामिल किए गए $2$ खिलाड़ियों और बाहर रखे गए $4$ खिलाड़ियों के बाद बचे हुए $16$ खिलाड़ियों में से केवल $9$ खिलाड़ियों के चयन की आवश्यकता होती है।

• विकल्प (b) ${ }^{16} C_5$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें $16$ खिलाड़ियों में से $5$ खिलाड़ियों के चयन के तरीकों की संख्या को दर्शाया गया है। हमें शामिल किए गए $2$ खिलाड़ियों और बाहर रखे गए $4$ खिलाड़ियों के बाद बचे हुए $16$ खिलाड़ियों में से $9$ खिलाड़ियों के चयन की आवश्यकता होती है।

• विकल्प (d) ${ }^{20} C_9$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें $20$ खिलाड़ियों में से $9$ खिलाड़ियों के चयन के तरीकों की संख्या को दर्शाया गया है। हालांकि, शामिल किए गए $2$ खिलाड़ियों और बाहर रखे गए $4$ खिलाड़ियों के बाद बचे हुए खिलाड़ियों की संख्या $16$ है, न कि $20$। इसलिए, हमें बचे हुए $16$ खिलाड़ियों में से $9$ खिलाड़ियों के चयन की आवश्यकता होती है।

हल

विकल्प (d) यदि सभी अंक दोहराए गए हों, तो 5 अंकीय टेलीफोन संख्याओं की संख्या $10^{5}$ तरीकों से बनाई जा सकती है और यदि कोई अंक दोहराए गए न हों, तो 5-अंकीय टेलीफोन संख्याओं की संख्या ${ }^{10} P_5$ तरीकों से बनाई जा सकती है।

$\therefore \ $ आवश्यक तरीकों की संख्या $=10^{5}-{ }^{10} P_5=100000-\dfrac{10 !}{5 !}$

$ \begin{aligned} & =100000-10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \\ \\ & =100000-30240=69760 \end{aligned} $

• विकल्प (a) $90,000$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह वह संख्या नहीं है जो 5-अंकीय टेलीफोन संख्याओं की संख्या को दर्शाती है जिनमें कम से कम एक अंक दोहराया गया हो। यह सही गणना नहीं है जो 5-अंकीय टेलीफोन संख्याओं की संख्या के लिए की जाती है जिनमें कम से कम एक अंक दोहराया गया हो। सही गणना के लिए कुल 5-अंकीय संख्याओं में से सभी अंक अद्वितीय वाली संख्याओं की संख्या घटाई जाती है।

• विकल्प (b) $10,000$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह वह संख्या नहीं है जो 5-अंकीय टेलीफोन संख्याओं की संख्या को दर्शाती है जिनमें सभी अंक समान हों। यह समस्या के लिए असंबंधित है, जो 5-अंकीय टेलीफोन संख्याओं की संख्या के लिए पूछती है जिनमें कम से कम एक अंक दोहराया गया हो।

• विकल्प (c) $30,240$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह वह संख्या नहीं है जो 5-अंकीय टेलीफोन संख्याओं की संख्या को दर्शाती है जिनमें सभी अंक अद्वितीय हों। समस्या वह संख्या पूछती है जो 5-अंकीय टेलीफोन संख्याओं की संख्या के लिए है जिनमें कम से कम एक अंक दोहराया गया हो, जो कुल 5-अंकीय संख्याओं में से सभी अंक अद्वितीय वाली संख्याओं की संख्या घटाई जाती है।

हल

विकल्प (a) $\because \ $ पुरुषों की संख्या $=4$

और महिलाओं की संख्या $=6$

दिया गया है कि समिति में दो पुरुष और ठीक तिगुना महिलाएँ पुरुषों की तुलना में हों।

इसलिए, संभावित चयन नीचे दिए गए तालिका में दिया गया है

$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{पुरुष} & \text{महिला} \\ \hline 2 & 4 \\ \hline 3 & 6 \\ \hline \end{array}$

आवश्यक समिति के गठन की संख्या $={ }^{4} C_2 \times{ }^{6} C_4+{ }^{4} C_3 \times{ }^{6} C_6$

$ =6 \times 15+4 \times 1=94 $

• विकल्प (b) $126$: गलत है क्योंकि इसकी गणना समिति के गठन के तरीकों के साथ मेल नहीं खाती है, जो $94$ है। समिति के गठन के तरीकों की गणना पुरुषों और महिलाओं के संयोजन पर आधारित है, और $126$ इन संयोजनों से प्राप्त नहीं होता है।

• विकल्प (c) $128$: गलत है क्योंकि यह भी समिति के गठन के तरीकों के साथ मेल नहीं खाता है, जो $94$ है। गणना में पुरुषों और महिलाओं के विशिष्ट संयोजन शामिल हैं, और $128$ इन संयोजनों से प्राप्त नहीं होता है।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं: गलत है क्योंकि समिति के गठन के तरीकों की गणना के अनुसार सही संख्या $94$ है, जो विकल्प (a) के साथ मेल खाती है। इसलिए, “इनमें से कोई नहीं” सही उत्तर नहीं है।

हल

विकल्प (c) हम जानते हैं कि अंकों की कुल संख्या $ =10 $

अर्थात $ \ 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 $

इनमें से $0$ पहले स्थान पर नहीं रखा जा सकता है।

इसलिए, पहले स्थान को $9$ तरीकों से भरा जा सकता है।

शेष $9$ खाली स्थान $9$ अंकों के $9!$ तरीकों से भरे जा सकते हैं

$\therefore \ $ आवश्यक तरीकों की संख्या $=9 \times 9!$

• विकल्प (a) $10!$: गलत है क्योंकि यह $10$ अंकों के कुल प्रतिस्थापन को प्रदर्शित करता है, लेकिन हमें केवल 9-अंक की संख्या चाहिए। इसके अलावा, यह $0$ के पहले स्थान पर न रखे जाने के बारे में ध्यान नहीं देता है।

• विकल्प (b) $9!$: गलत है क्योंकि यह $9$ अंकों के कुल प्रतिस्थापन की संख्या को प्रस्तुत करता है, जो $0$ के पहले अंक न हो सके इस सीमा को ध्यान में नहीं लेता है। यह यह भी नहीं ध्यान देता कि पहले अंक के लिए $9$ संभावित चयन हो सकते हैं (1-9)।

• विकल्प (d) $10 \times 10!$: गलत है क्योंकि यह गलत रूप से सुझाव देता है कि प्रत्येक अंक के लिए $10$ विकल्प होते हैं, जो वास्तव में नहीं है। यह भी $0$ के पहले अंक न हो सके इस सीमा को ध्यान में नहीं लेता है और यह यह भी नहीं ध्यान देता कि हम 9-अंकी संख्याओं के साथ काम कर रहे हैं, न कि 10-अंकी संख्याओं के साथ।

हल

विकल्प (b) ‘ARTICLE’ शब्द में कुल अक्षरों की संख्या $7$ है, जिनमें $\mathrm{A, E, I}$ स्वर हैं और $\mathrm{R, T, C, }$ व्यंजन हैं।

चूंकि दिया गया है कि स्वर विषम स्थानों पर आएं, इसलिए स्वर और व्यंजन के व्यवस्था को निम्नलिखित आरेख की सहायता से समझा जा सकता है।

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\ \hline \end{array} $

अब, स्वर $2$, $4$ और $6$ वें स्थान पर रखे जा सकते हैं।

इसलिए, व्यवस्था की संख्या $={ }^{3} P_3=3 ! =6$ तरीकों से हो सकती है

और व्यंजन $1$, $3$, $5$ और $7$ वें स्थान पर रखे जा सकते हैं।

इसलिए, व्यवस्था की संख्या $={ }^{4} P_4=4 ! =24$

$\therefore \ $ कुल शब्दों की संख्या $=6 \times 24=144$

• विकल्प (a) $1440$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह संभावित व्यवस्था की संख्या को अधिक अनुमानित करता है। स्वर और व्यंजन के अलग-अलग व्यवस्था की गणना करके फिर उन्हें संयोजित करने की गणना इतनी उच्च संख्या नहीं देती। सही गणना दिखाती है कि कुल शब्दों की संख्या $144$ है, न कि $1440$।

• विकल्प (c) $7!$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह सभी $7$ अक्षरों के कुल प्रतिस्थापन की संख्या को प्रस्तुत करता है, जिसमें कोई भी सीमा नहीं है। समस्या विशेष रूप से यह बताती है कि स्वर विषम स्थानों पर आएं, जो अतिरिक्त सीमा लगाती है जो वैध प्रतिस्थापन की संख्या को कम करती है।

• विकल्प (d) ${ }^{4} C_4 \times{ }^{3} C_3$: यह विकल्प गलत है क्योंकि इसमें संयोजन के बजाय क्रमचय का उपयोग किया गया है। समस्या में वर्णों को विशिष्ट स्थानों पर व्यवस्थित करने की आवश्यकता है, जो एक क्रमचय समस्या है, न कि संयोजन समस्या। सही दृष्टिकोण में अक्षरों के क्रमचय की गणना अलग-अलग की जाती है और फिर उन्हें गुणा कर दिया जाता है।

हल

विकल्प (b)

कम से कम एक हरा रंग चुने जा सकते हैं:

$ { }^{5} C_{1}+{ }^{5} C_{2}+{ }^{5} C_{3}+{ }^{5} C_{4}+{ }^{5} C_{5}=2^{5}-1$ तरीकों से।

कम से कम एक नीला रंग चुने जा सकते हैं:

$ { }^{4} C_{1}+{ }^{4} C_{2}+{ }^{4} C_{3}+{ }^{4} C_{4}=2^{4}-1$ तरीकों से।

कोई भी संख्या में लाल रंग चुने जा सकते हैं:

$ { }^{3} C_{0}+{ }^{3} C_{1}+{ }^{3} C_{2}+{ }^{3} C_{3}=2^{3}$ तरीकों से।

तब, कुल चयन की संख्या $=(2^{5}-1)(2^{4}-1) \times 2^{3}=3720$

• विकल्प (a) $ 3600 $: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह कुल संयोजन की सही गणना के लिए जवाब नहीं देता। सही गणना में हरे और नीले रंग के संभावित संयोजनों के कुल संभावित संयोजन से 1 घटाकर कम से कम एक हरा और एक नीला रंग चुने की आवश्यकता को सुनिश्चित करते हैं, जो $3720$ के बजाय $ 3600 $ नहीं होता।

• विकल्प (c) $ 3800 $: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह संयोजन की संख्या को अधिक अनुमानित करता है। सही गणना, जो कम से कम एक हरा और एक नीला रंग चुने की आवश्यकता को सुनिश्चित करती है, $3720$ के बजाय $3800$ नहीं होती।

• विकल्प (d) $ 3600 $: यह विकल्प विकल्प (a) के लिए उतना ही गलत है। यह कम से कम एक हरा और एक नीला रंग चुने के लिए आवश्यक घटाव के लिए सही गणना को नहीं दर्शाता है, जिसके कारण गलत कुल $3600$ के बजाय सही $3720$ प्राप्त नहीं होता।

हल

दिया गया है, ${ }^{n} P_{r}=840$ और ${ }^{n} C_{r}=35$

$\because \ { }^{n} P_{r}={ }^{n} C_{r} \cdot r !$

$\Rightarrow \ 840=35 \times r ! $

$\Rightarrow \ r !=\dfrac{840}{35}=24 $

$\Rightarrow \ r !=4 \times 3 \times 2 \times 1 $

$\Rightarrow \ r !=4 ! $

$\therefore \ r=4$

हल

${ }^{15} C_8+{ }^{15} C_9-{ }^{15} C_6-{ }^{15} C_7={ }^{15} C_{15-8}+{ }^{15} C_{15-9}-{ }^{15} C_6-{ }^{15} C_7 \quad[\because{ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{n-r}]$

$ ={ }^{15} C_7+{ }^{15} C_6-{ }^{15} C_6-{ }^{15} C_7 $

$=0$

हल

जब पुनरावृत्ति की अनुमति हो तो $n$ अलग-अलग वस्तुओं के $r$ वस्तुओं के व्यवस्थाओं की संख्या $=n^{r}$

हल

शब्द ‘INTERMEDIATE’ में कुल अक्षरों की संख्या $=12$ जिनमें $6$ व्यंजन और $6$ स्वर हैं।

इन $12$ अक्षरों के व्यवस्था के तरीकों की संख्या, जिनमें दो स्वर कभी एक साथ नहीं आएंगे, निम्नलिखित तरीके से समझा जा सकता है।

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{V} & \text{C} & \text{V} & \text{C} & \text{V} & \text{C} & \text{V} & \text{C} & \text{V} & \text{C} & \text{V} & \text{C} & \text{V} \\ \hline \end{array} $

$6$ वर्ण जिनमें $2$ एक जैसे हैं, $\dfrac{6 !}{2 !}$ तरीकों से रखे जा सकते हैं और $6$ स्वर, जिनमें $3$ E’s एक जैसे हैं और $2$ I’s एक जैसे हैं, $7$ स्थानों में ${ }^{7} P_6 \times \dfrac{1}{3 !} \times \dfrac{1}{2 !}$ तरीकों से रखे जा सकते हैं।

$\therefore \ $ कुल शब्दों की संख्या $=\dfrac{6 !}{2 !} \times{ }^{7} P_6 \times \dfrac{1}{3 !} \times \dfrac{1}{2 !}=151200$

हल

आवश्यक तरीकों की संख्या $={ }^{5} C_2 \times{ }^{7} C_1+{ }^{5} C_3 \quad $ [कम से कम दो लाल के कारण]

$ \begin{aligned} & =10 \times 7+10 \\ & =70+10=80 \end{aligned} $

हल

अंकों $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$ में स्पष्ट रूप से $1,3,5,7$ और $9$ विषम हैं।

$\therefore \ $ छह अंकों की संख्या $=5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5 \times 5=5^{6}$

हल

मान लीजिए चैंपियनशिप में भाग लेने वाली टीमों की संख्या $n$ है।

क्योंकि दिया गया है कि प्रत्येक दो टीम एक दूसरे के साथ एक मैच खेलती है।

$\therefore \ $ कुल मैच $={ }^{n} C_2$

प्रश्न के अनुसार,

${ }^{n} C_2 =153 $

$\Rightarrow \ \dfrac{n(n-1)}{2} =153 $

$\Rightarrow \ n^{2}-n =306 $

$\Rightarrow \ n^{2}-n-306 =0 $

$\Rightarrow \ (n-18)(n+17) =0 $

$\Rightarrow \ n =18,-17 $

क्योंकि टीमों की संख्या नकारात्मक नहीं हो सकती।

$\therefore \ n =18 $

हल

निम्नलिखित चित्र की सहायता से व्यवस्था समझी जा सकती है।

$$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \ - & + & - & + & - & + & - & + & - & + & - & + & - \\ \hline \end{array} $$

इस प्रकार, ‘$ +$’ चिह्न केवल $1$ तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है क्योंकि सभी समान हैं और $4$ नकारात्मक चिह्न $7$ स्थानों में ${ }^{7} C_4$ तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।

$\therefore \ $ कुल तरीकों की संख्या $={ }^{7} C_4 \times 1$

$$ \begin{aligned} & =\dfrac{7 !}{4 ! 3 !}=\dfrac{7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{3 ! \times 4 !} \\ & =\dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1}=35 \text { तरीके } \end{aligned} $$

हल

$\because \ $ कुल पुरुषों की संख्या $=10$

और कुल महिलाओं की संख्या $=7$

हमें कम से कम $3$ पुरुष और $2$ महिलाओं के साथ एक समिति बनानी है।

तरीकों की संख्या $={ }^{10} C_3 \times {}^7C_3+{ }^{10} C_4 \times {}^7C_2$

यदि दो विशेष महिलाएं हमेशा मौजूद हों,

तरीकों की संख्या $={ }^{10} C_4 \times{ }^{5} C_0+{ }^{10} C_3 \times{ }^{5} C_1$

$\therefore \ $ दो विशेष महिलाओं के कभी एक साथ नहीं होने वाली समितियों की कुल संख्या

$$ \begin{aligned} & =\text { कुल } - \text { एक साथ } \\ \\ & =({ }^{10} C_3 \times{ }^{7} C_3+{ }^{10} C_4 \times{ }^{7} C_2)-({ }^{10} C_4 \times{ }^{5} C_0+{ }^{10} C_3 \times{ }^{5} C_1) \\ \\ & =(120 \times 35+210 \times 21)-(210+120 \times 5) \\ \\

& =4200+4410-(210+600) \\ \\ & =8610-810=7800 \end{aligned} $

हल

चूंकि, बॉक्स में $2$ सफेद, $3$ काली और $4$ लाल गेंद हैं। यह दिया गया है कि निकाली गई गेंदों में कम से कम एक काली गेंद शामिल होनी चाहिए।

$\therefore \ $ आवश्यक तरीकों की संख्या

$={ }^{3} C_1 \times{ }^{6} C_2+{ }^{3} C_2 \times{ }^{6} C_1+{ }^{3} C_3$

$ \begin{aligned} & =3 \times 15+3 \times 6+1 \\ \\ & =45+18+1=64 \end{aligned} $

हल

गलत

आवश्यक रेखाओं की संख्या $={ }^{12} C_2-{ }^{5} C_2+1$

हल

गलत

आवश्यक तरीकों की संख्या $=5^{3}=125$

हल

गलत

$n$ वस्तुओं के $r$ लेकर बनाए गए क्रमचयों में $m$ वस्तुएं एक साथ आएं, इसके लिए हम इन $m$ वस्तुओं को एक समूह मान लें।

$\therefore \ $ वस्तुओं की संख्या $=(r-m+1)$

क्रमचयों की संख्या $=(r-m+1)!$

अब, $n$ वस्तुओं के $r$ लेकर बनाए गए क्रमचयों में $m$ वस्तुएं एक साथ आएं $= {}^{n-m} C_{r-m}$

$\therefore \ $ आवश्यक क्रमचयों की संख्या $=(r-m+1) ! \times {}^{n-m} C_{r-m}$

हल

सत्य

$12$ पशुओं के लिए तीन प्रकार के पशु और दुकान उपलब्ध हैं।

$=$ लोड करने के तरीकों की संख्या $=3^{12}$

हल

सत्य

यदि कुछ या सभी वस्तुएं एक साथ ली जाती हैं, तो चयन की संख्या होगी

$ { }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3+\ldots+{ }^{n} C_{n}=2^{n}-1 \quad[\because{ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_{n}=2^{n}] $

हल

सत्य

कुल चयन की संख्या $=[(4+1)(5+1)-1]-5$

$ \begin{aligned} & =(5 \times 6-1)-5 \\ \\ & =(30-1)-5=24 \end{aligned} $

हल

सत्य

$4$ एक ओर और $3$ दूसरी ओर बैठाने के बाद, हमें $11$ में से $5$ एक ओर और $6$ दूसरी ओर चुनना होगा।

अब, शेष एक आधा ओर के चयन $={ }^{(18-4-3)} C_5={ }^{11} C_5$

और दूसरा आधा ओर $={ }^{(11-5)} C_6={ }^{6} C_6$

कुल व्यवस्था $={ }^{11} C_5 \times 9 ! \times{ }^{6} C_6 \times 9 !$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{11 !}{5 ! 6 !} \times 9 ! \times 1 \times 9 ! \\ \\ & =\dfrac{11 !}{5 ! 6 !} \times 9 ! \times 9 !

\end{aligned} $

हल

गलत

उम्मीदवार के प्रश्न हल करने के निम्न तरीके हो सकते हैं

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{समूह (A)} & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{समूह (B)} & 5 & 4 & 3 & 2 \\ \hline \end{array} $

$7$ प्रश्न हल करने के तरीकों की संख्या

$ \begin{aligned} & ={ }^{6} C_2 \times{ }^{6} C_5+{ }^{6} C_3 \times{ }^{6} C_4+{ }^{6} C_4 \times{ }^{6} C_3+{ }^{6} C_5 \times{ }^{6} C_2 \\ \\ & =2({ }^{6} C_2 \times{ }^{6} C_5+{ }^{6} C_3 \times{ }^{6} C_4) \\ \\ & =2(15 \times 6+20 \times 15) \\ \\ & =2(90+300) \\ \\ & =2 \times 390=780 \end{aligned} $

हल

गलत

हमें $5$ संरक्षित जाति उम्मीदवारों में से $3$ संरक्षित जाति उम्मीदवार चुनने हैं ${ }^{5} C_3$ तरीकों से।

और हमें $22$ अन्य उम्मीदवारों में से $9$ चुनने हैं ${ }^{22} C_9$ तरीकों से।

$\therefore \ $ कुल चयन की संख्या $={ }^{5} C_3 \times{ }^{22} C_9$

हल

तीन गणित के किताबें, $4$ भौतिकशास्त्र की और $5$ अंग्रेजी की हैं।

(i) प्रत्येक विषय की एक किताब $={ }^{3} C_1 \times{ }^{4} C_1 \times{ }^{5} C_1$

$ =3 \times 4 \times 5=60 $

(ii) प्रत्येक विषय की कम से कम एक किताब $=(2^{3}-1) \times(2^{4}-1) \times(2^{5}-1)$

$ =7 \times 15 \times 31=3255 $

(iii) कम से कम एक अंग्रेजी की किताब $=$ निम्न प्रकार के चयन पर आधारित

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{अंग्रेजी की किताब} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{अन्य} & 11 & 10 & 9 & 8 & 7 \\ \hline \end{array} $

$=(2^{5}-1) \times 2^{7}$

$=128 \times 31=3968$

अतः सही मिलान हैं

(i) $\longleftrightarrow $ (b), (ii) $\longleftrightarrow $ (c), (iii) $\longleftrightarrow $ (a)।

हल

(i) लड़के और लड़कियाँ एकांतर रूप से

कुल व्यवस्था $=(5 !)^{2}+(5 !)^{2}$

(ii) कोई दो लड़कियाँ एक साथ न बैठे $= 6! \times 5 !$

(iii) सभी लड़कियाँ एक साथ बैठे $= 5! \times 6!$

(iv) सभी लड़कियाँ एक साथ न बैठे $=10 !-5 ! 6!$

अतः सही मिलान हैं

(i) $\longleftrightarrow $ (c), (ii) $\longleftrightarrow $ (a), (iii) $\longleftrightarrow $ (a), (iv) $\longleftrightarrow $ (b)।

हल

(i) हमें $10$ प्रोफेसर में से $2$ चुनना है और $20$ लेक्चरर में से $3$ चुनना है $={ }^{10} C_2 \times{ }^{20} C_3$

(ii) जब एक विशिष्ट प्रोफेसर शामिल हो $={ }^{10}{ }^{-1} C_1 \times{ }^{20} C_3={ }^{9} C_1 \times{ }^{20} C_3$

(iii) जब एक विशिष्ट लेक्चरर शामिल हो $={ }^{10} C_2 \times{ }^{19} C_2$

(iv) जब एक विशिष्ट लेक्चरर बाहर रखा जाए $={ }^{10} C_2 \times{ }^{19} C_3$

इसलिए सही मिलान हैं

(i) $\longleftrightarrow $ (d), (ii) $\longleftrightarrow $ (c), (iii) $\longleftrightarrow $ (b), (iv) $\longleftrightarrow $ (a).

हल

(i) 4 अंक की संख्या बनाने के लिए $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7$ अंकों का उपयोग करना $=7 \times 6 \times 5 \times 4=840$

(ii) जब एक संख्या $2$ से विभाजित होती है। इसके इकाई के स्थान पर केवल सम अंक होते हैं। कुल संख्याएं $=4 \times 5 \times 6 \times 3=360$

(iii) एक संख्या $25$ से विभाजित होती है यदि यह $25,50,75,00$ से समाप्त होती है।

$\therefore \ $ कुल ऐसी संख्याएं $=4 \times 5 \times 2 \times 1$

(iv) एक संख्या $4$ से विभाजित होती है, यदि इसके अंतिम दो अंक $4$ से विभाजित होते हैं।

$\therefore \ $ कुल ऐसी संख्याएं $=200$

इसलिए सही मेच हैं

(i) $\longleftrightarrow $ (a), (ii) $\longleftrightarrow $ (c), (iii) $\longleftrightarrow $ (d), (iv) $\longleftrightarrow $ (b).

Solution

(i) $4$ अक्षरों का उपयोग किया जाता है $={ }^{6} P_4=\dfrac{6 !}{2 !}=6 \times 5 \times 4 \times 3=360$

(ii) सभी अक्षरों का उपयोग किया जाता है $=6 !=6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=720$

(iii) सभी अक्षरों का उपयोग किया जाता है लेकिन पहला अक्षर अकार होता है $=2 \times 5 ! =2 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1=240$

इसलिए सही मेच हैं

(i) $\longleftrightarrow $ (c), (ii) $\longleftrightarrow $ (a), (iii) $\longleftrightarrow $ (b).