हल

हम जानते हैं कि कथन एक वाक्य होता है जो सत्य या असत्य हो सकता है लेकिन दोनों एक साथ नहीं।

(i) यह एक कथन है। यह सत्य कथन है क्योंकि, परिभाषा के अनुसार, एक त्रिभुज हमेशा तीन भुजाओं से बना होता है।

(ii) यह एक कथन है। यह सत्य कथन है। यह सत्य है क्योंकि समिश्र संख्या के समुच्चय में सभी वास्तविक संख्याएँ शामिल होती हैं, और $0$ एक वास्तविक संख्या है।

(iii) यह एक कथन है। यह आमतौर पर गलत होता है क्योंकि आकाश आमतौर पर नीला होता है, हालाँकि सूर्योदय या सूर्यास्त के समय यह लाल दिखाई दे सकता है।

(iv) यह एक कथन है। यह गलत है क्योंकि अपरिमित समुच्चय नहीं होते, जैसे कि केवल संखा $1$ के समुच्चय ${1}$।

(v) यह एक कथन है। यह गलत है क्योंकि $15 + 8 = 23,$ जो $23$ से अधिक नहीं है।

(vi) यह एक कथन नहीं है क्योंकि इसमें एक चर शामिल है। $y$ के एक विशिष्ट मान के बिना, इसे सत्य या असत्य निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

(vii) यह एक कथन नहीं है क्योंकि यह एक प्रश्न है, न कि एक घोषणात्मक वाक्य।

(viii) यह एक कथन है। यह सत्य है क्योंकि वर्ग आयत के सभी मानकों को पूरा करता है (चार समकोण और विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं)।

(ix) यह एक कथन है। यह चक्रीय चतुर्भुज के गुण के अनुसार सत्य है।

(x) यह एक कथन है। यह गलत है क्योंकि, किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए, $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

हल

(i) $p$ : संख्या $7$ अभाज्य है।
$q$ : संख्या $7$ विषम है।

(ii) $P$ : चेन्नई भारत में है।
$q$ : चेन्नई तमिल नाडु की राजधानी है।

(iii) $p: 100$ $3$ से विभाज्य है।
$q: 100$ $11$ से विभाज्य है।
$r: 100$ $5$ से विभाज्य है।

(iv) $p$ : चंदिगढ़ हरियाणा की राजधानी है।
$q$ : चंदिगढ़ उत्तर प्रदेश की राजधानी है।

(v) $p: \sqrt{7}$ एक परिमेय संख्या है।
$q: \sqrt{7}$ एक अपरिमेय संख्या है।

(vi) $p: 0$ प्रत्येक धनात्मक पूर्ण संख्या से कम है।
$q: 0$ प्रत्येक नकारात्मक पूर्ण संख्या से कम है।

(vii) $p$ : पौधे प्रकाश संश्लेषण के लिए सूर्य के प्रकाश का उपयोग करते हैं।
$q$ : पौधे प्रकाश संश्लेषण के लिए पानी का उपयोग करते हैं।
$r$ : पौधे प्रकाश संश्लेषण के लिए कार्बन डाइऑक्साइड का उपयोग करते हैं।

(viii) $p$ : एक तल में दो रेखाएं एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
$q$ : एक तल में दो रेखाएं समांतर होती हैं।

(ix) $p:$ एक आयत एक चतुर्भुज है।
$q$ : एक आयत एक 5-भुजा वाला बहुभुज है।

हल

(i) दिया गया संयुक्त कथन ’ $p \vee q$ ’ के रूप में है। चूंकि, कथन ’ $p \vee q$ ’ के सत्य मान $T$ होता है जब भी $p$ या $q$ या दोनों के सत्य मान $T$ होते हैं।

तो, यह एक सत्य कथन है।

इसके घटक कथन हैं

$p: 57$ के द्वारा $2$ से विभाजित होता है। [असत्य]

$q: 57$ के द्वारा $3$ से विभाजित होता है। [सत्य]

(ii) दिया गया संयुक्त कथन ’ $p \wedge q$ ’ के रूप में है। कथन ’ $p \wedge q$ ’ के सत्य मूल्य $T$ होता है जब दोनों $p$ और $q$ के सत्य मूल्य $T$ होते हैं।

इसलिए, यह एक सत्य कथन है।

इसके घटक कथन हैं

$p: 24$ के द्वारा $4$ से विभाजित होता है [सत्य]

$q: 24$ के द्वारा $6$ से विभाजित होता है। [सत्य]

(iii) यह एक असत्य कथन है। कथन ’ $p \wedge q$ ’ के सत्य मूल्य $F$ होता है जब या तो $p$ या $q$ या दोनों के सत्य मूल्य $F$ होते हैं।

इसके घटक कथन हैं

$p$ : सभी जीवित वस्तुएं दो आंखों से लैस होती हैं। [असत्य]

$q$ : सभी जीवित वस्तुएं दो पैरों से लैस होती हैं। [असत्य]

(iv) यह एक सत्य कथन है।

इसके घटक कथन हैं

$p: 2$ एक सम संख्या है। [सत्य]

$q: 2$ एक अभाज्य संख्या है। [सत्य]

Solution

(i) संख्या $17$ अभाज्य नहीं है।

(ii) $2+7 \neq 6$।

(iii) वियोलेट नीले नहीं हैं।

(iv) $\sqrt{5}$ एक परिमेय संख्या नहीं है।

(v) $2$ एक अभाज्य संख्या है।

(vi) सभी वास्तविक संख्याएं एक अपरिमेय संख्या नहीं हैं।

(vii) गाय चार पैरों से लैस नहीं होती है।

(viii) एक लीप वर्ष में $366$ दिन नहीं होते हैं।

(ix) कुछ समान त्रिकोण जो समान नहीं होते हैं।

(x) एक वृत्त का क्षेत्रफल उसके परिधि के समान नहीं होता है।

उत्तर

(i) $p$ : राहुल हिंदी में पास हुआ।

$q$ : राहुल अंग्रेजी में पास हुआ।

$p \wedge q$ : राहुल हिंदी और अंग्रेजी में पास हुआ।

(ii) $p: x$ एक सम पूर्णांक है।

$q: y$ एक सम पूर्णांक है।

$p \cap q: x$ और $y$ एक सम पूर्णांक हैं।

(iii) $p: 2$ के 12 के गुणक है।

$q: 3$ के 12 के गुणक है।

$r: 6$ के 12 के गुणक है।

$p \wedge q \wedge r: 2,3$ और $6$ के 12 के गुणक हैं।

(iv) $p: x$ एक विषम पूर्णांक है।

$q:(x+1)$ एक विषम पूर्णांक है।

$p \vee q$ : या तो $x$ या $(x+1)$ एक विषम पूर्णांक है।

(v) $p:$ एक संख्या $2$ से विभाज्य है।

$q$ : एक संख्या $3$ से विभाज्य है।

$p \vee q$ : एक संख्या या तो $2$ से विभाज्य है या $3$ से विभाज्य है।

(vi) $p: x=2$ समीकरण $3 x^{2}-x-10=0$ का मूल है।

$q: x=3$ समीकरण $3 x^{2}-x-10=0$ का मूल है।

$p \vee q$ : या तो $x=2$ या $x=3$ समीकरण $3 x^{2}-x-10=0$ का मूल है।

(vii) $p$ : छात्र हिंदी को वैकल्पिक विषय के रूप में ले सकते हैं।

$q$ : छात्र अंग्रेजी को वैकल्पिक विषय के रूप में ले सकते हैं।

$p \vee q$ : छात्र हिंदी या अंग्रेजी को वैकल्पिक विषय के रूप में ले सकते हैं।

चिंतन प्रक्रिया

उपयोग करें

(i) $\sim(p \wedge q)=\sim p ~ \vee \sim q$

(ii) $\sim(p \vee q)=\sim p ~ \wedge \sim q$

हल

(i) मान लीजिए $p:$ सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक हैं।

$q$ : सभी परिमेय संख्याएँ जटिल हैं।

$\sim p$ : सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक नहीं हैं।

$\sim q$ : सभी परिमेय संख्याएँ जटिल नहीं हैं।

$\sim(p \wedge q)$ : सभी परिमेय संख्याएँ वास्तविक नहीं हैं या जटिल नहीं हैं। $\quad[\because ~ \sim(p ~ \wedge q)=\sim p ~ \vee \sim q]$

(ii) मान लीजिए $p:$ सभी वास्तविक संख्याएँ परिमेय हैं।

$q$ : सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं।

उपरोक्त कथन के नकारात्मक कथन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\sim(p \vee q)$ : सभी वास्तविक संख्याएँ परिमेय नहीं हैं और सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय नहीं हैं।

$[\because \sim(p \vee q)=\sim p \wedge \sim q]$

(iii) मान लीजिए $p: x=2$ द्विघात समीकरण $x^{2}-5 x+6=0$ का मूल है।

$q: x=3$ द्विघात समीकरण $x^{2}-5 x+6=0$ का मूल है।

उपरोक्त कथन के संयोजन के नकारात्मक कथन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\sim(p \wedge q): x=2$ द्विघात समीकरण $x^{2}-5 x+6=0$ का मूल नहीं है या $x=3$ द्विघात समीकरण $x^{2}-5 x+6=0$ का मूल नहीं है।

(iv) मान लीजिए $p:$ एक त्रिभुज में $3$ भुजाएँ होती हैं।

$q$ : एक त्रिभुज में $4$ भुजाएँ होती हैं।

उपरोक्त कथन के समुच्चय के नकारात्मक कथन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\sim(p \vee q)$ : एक त्रिभुज में न तो $3$ भुजाएँ होती हैं और न ही $4$ भुजाएँ होती हैं।

(v) मान लीजिए $p: 35$ एक अभाज्य संख्या है।

$q: 35$ एक संयोजित संख्या है।

उपरोक्त कथन के समुच्चय के नकारात्मक कथन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\sim(p \vee q): 35$ एक अभाज्य संख्या नहीं है और यह एक संयोजित संख्या भी नहीं है।

(vi) मान लीजिए $p:$ सभी अभाज्य पूर्णांक सम हैं।

$q:$ सभी अभाज्य पूर्णांक विषम हैं।

उपरोक्त कथन के समुच्चय के नकारात्मक कथन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\sim(p \vee q)$ : सभी अभाज्य पूर्णांक सम नहीं हैं और सभी अभाज्य पूर्णांक विषम नहीं हैं।

(vii) मान लीजिए $p:|x|$ बराबर $x$ है।

$q:|x|$ बराबर $-x$ है।

उपरोक्त कथन के समुच्चय के नकारात्मक कथन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\sim(p \vee q):|x|$ बराबर $x$ नहीं है और यह $-x$ भी नहीं है।

(viii) मान लीजिए $p: 6$ 2 से विभाज्य है।

$q: 6$ 3 से विभाज्य है।

उपरोक्त कथन के संयोजन के नकारात्मक कथन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$\sim(p \wedge q) : 6$ 2 से विभाज्य नहीं है या यह 3 से विभाज्य नहीं है

Solution

हम जानते हैं कि, सशर्त कथन $p \rightarrow q$ के कुछ सामान्य व्यक्तियों होते हैं

(a) यदि $p$, तो $q$

(b) $q$ यदि $p$

(c) $p$ केवल यदि $q$

(d) $p$ के लिए $q$ पर्याप्त है

(e) $q$ के लिए $p$ आवश्यक है

(f) $\sim q$ तो $\sim p$ के अर्थ होते हैं

इसलिए, उपरोक्त जानकारी का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करें

(i) यदि संख्या एक विषम संख्या है, तो इसका वर्ग एक विषम संख्या होता है।

(ii) यदि आप भोजन लेंगे, तो आप एक मीठा भोजन प्राप्त करेंगे।

(iii) यदि आप अध्ययन न करेंगे, तो आप असफल हो जाएंगे।

(iv) यदि एक पूर्णांक $5$ से विभाज्य हो, तो इसके इकाई अंक $0$ या $5$ होते हैं।

(v) यदि संख्या अभाज्य है, तो इसका वर्ग अभाज्य नहीं होता।

(vi) यदि $a, b$ और $c$ AP में हों, तो $2 b=a+c$ होता है।

Solution

(i) $p \leftrightarrow q$ : एक पूर्णांक के इकाई अंक शून्य होते हैं, यदि और केवल यदि यह $5$ से विभाज्य हो।

(ii) $p \leftrightarrow q$ : एक प्राकृतिक संख्या विषम होती है, यदि और केवल यदि यह 2 से विभाज्य नहीं होती।

(iii) $p \leftrightarrow q$ : एक त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज होता है, यदि और केवल यदि त्रिभुज के तीनों भुजाएँ समान होती हैं।

सोचने की प्रक्रिया

हम जानते हैं कि, कथन $(\sim q) \rightarrow(\sim p)$ कथन $p \rightarrow q$ के विपरीत कथन कहलाता है।

उत्तर

(i) यदि $x \neq 3$, तो $x \neq y$ या $y \neq 3$।

(ii) यदि $n$ एक पूर्णांक नहीं है, तो यह एक प्राकृतिक संख्या नहीं है।

(iii) यदि त्रिभुज समबाहु नहीं है, तो त्रिभुज के तीनों भुजाएँ समान नहीं हैं।

(iv) यदि $x y$ एक धनात्मक पूर्णांक नहीं है, तो $x$ या $y$ एक नकारात्मक पूर्णांक नहीं है।

(v) यदि प्राकृतिक संख्या $n$ 2 या 3 से विभाज्य नहीं है, तो $n$ 6 से विभाज्य नहीं है।

(vi) यदि बर्फ नहीं पड़ती है, तो मौसम ठंडा नहीं होगा।

(vii) यदि $x^{2} \nless 1$, तो $x$ एक वास्तविक संख्या नहीं है जो $0 < x < 1$ के बराबर है।

सोचने की प्रक्रिया

हम जानते हैं कि, कथन " $p \to q$ " के विलोम कथन " $(q) \to(p)$ " होता है।

उत्तर

(i) यदि इस आयत ’ $R$ ’ एक समचतुर्भुज है, तो यह एक वर्ग है।

(ii) यदि कल मंगलवार है, तो आज सोमवार है।

(iii) यदि आप ताज महल का दर्शन करना चाहते हैं, तो आप आगरा जाते हैं।

(iv) यदि त्रिभुज समकोण है, तो त्रिभुज के दो भुजाओं के वर्गों का योग तीसरी भुजा के वर्ग के बराबर होता है।

(v) यदि त्रिभुज समबाहु है, तो त्रिभुज के सभी तीन कोण बराबर होते हैं।

(vi) यदि $2 x=3 y$, तो $x: y=3: 2$

(vii) यदि चतुर्भुज के विपरीत कोण संपूरक होते हैं, तो $S$ एक वृत्तीय चतुर्भुज होता है।

(viii) यदि $x$ धनात्मक नहीं और न ही ऋणात्मक हो, तो $x$ शून्य होता है।

(ix) यदि दो त्रिभुजों की संगत भुजाओं के अनुपात बराबर हों, तो त्रिभुज समरूप होते हैं।

उत्तर

क्वांटिफायर वे वाक्य भाग होते हैं जैसे ‘एक ऐसा है’ और ‘सभी’, ‘प्रत्येक’ आदि।

(i) एक ऐसा है

(ii) सभी

(iii) एक ऐसा है

(iv) प्रत्येक

(v) सभी

(vi) एक ऐसा है

(vii) सभी

(viii) एक ऐसा है

(ix) एक ऐसा है

(x) एक ऐसा है

सोचने की प्रक्रिया

हम जानते हैं कि, सीधे विधि के माध्यम से एक कथन को सत्य दिखाने के लिए, यदि $p$ तो $q$ सत्य है, तो हम $p$ के सत्य मान की धारणा करते हैं और $q$ के सत्य होने को दिखाते हैं अर्थात $p \to q$।

उत्तर

यहाँ दो मामले उत्पन्न होते हैं

मामला I: जब $n$ सम हो,

$$ \begin{aligned} \text{माना,}\quad n & =2 K, K \in N \\ \\ n^3-n & =(2 K)^{3}-(2 K)=2 K(4 K^{2}-1) \\ \\ & =2 \lambda \text {, जहाँ } \lambda=K(4 K^{2}-1) \end{aligned} $$

इसलिए, $n$ सम होने पर $(n^{3}-n)$ सम होता है।

मामला II: जब $n$ विषम हो,

$$ \begin{aligned} \text{माना,}\quad n & =2 K+1, K \in N \\ \\ n^{3}-n & =(2 K+1)^{3}-(2 K+1) \\ \\ & =(2 K+1)[(2 K+1)^{2}-1] \\ \\ & =(2 K+1)[4 K^{2}+1+4 K-1] \\ \\ & =(2 K+1)(4 K^{2}+4 K) \\ \\ & =4 K(2 K+1)(K+1) \\ \\ & =2 \mu, \text { जब } \mu=2 K(K+1)(2 K+1) \end{aligned} $$

तब, $n$ विषम होने पर $n^{3}-n$ सम होता है

इसलिए, $n^{3}-n$ हमेशा सम होता है।

उत्तर

(i) $p: 125$ 5 और 7 से विभाज्य है।

माना $q : 125$ 5 से विभाज्य है।

$r: 125$ 7 से विभाज्य है।

$q$ सत्य है, $r$ असत्य है।

$\Rightarrow q \wedge r$ असत्य है।

[क्योंकि, $p \wedge q$ के सत्य मान $F$ (असत्य) होता है जब भी $p$ या $q$ या दोनों के सत्य मान $F$ होते हैं]

इसलिए, $p$ अवैध है।

(ii) $\quad p: 131$ 3 या 11 का गुणज है।

माना, $\quad q: 131$ 3 का गुणज है।

$r: 131$ 11 का गुणज है।

$p$ सत्य है, $r$ असत्य है।

$\Rightarrow \quad p \vee r$ सत्य है।

[क्योंकि, $p \vee q$ के सत्य मान $T$ (सत्य) होता है जब भी $p$ या $q$ या दोनों के सत्य मान $T$ होते हैं]

इसलिए, $q$ वैध है।

उत्तर

माना $p$ असत्य है अर्थात एक अपरिमेय और एक परिमेय संख्या का योग परिमेय होता है।

मान लीजिए $\sqrt{m}$ अपरिमेय है और $n$ एक परिमेय संख्या है।

$\begin{matrix} \Rightarrow & \sqrt{m}+n=r & \text { [परिमेय] } \\ \\ \Rightarrow & \sqrt{m}=r-n & \end{matrix} $

$\sqrt{m}$ अपरिमेय है, जबकि $(r-n)$ परिमेय है। यह एक विरोधाभास है।

तब, हमारी मान्यता गलत है।

अतः, $p$ सत्य है।

सोचने की प्रक्रिया

सीधे विधि में मान लीजिए $p$ सत्य है और दिखाइए कि $q$ सत्य है अर्थात $p \Rightarrow q$ होता है।

हल

मान लीजिए $p: x=y, \quad x, y \in R$

दोनों ओर वर्ग करने पर,

अतः, हमें परिणाम प्राप्त होता है।

$ \begin{gathered} x^{2}=y^{2}: q \\ \\ p \Rightarrow q \end{gathered} $

सोचने की प्रक्रिया

विपरीत निष्कर्ष विधि में मान लीजिए $\sim q$ सत्य है और दिखाइए $\sim p$ सत्य है अर्थात $\sim q \Rightarrow \sim p$ होता है।

हल

मान लीजिए $p: n^{2}$ एक सम पूर्णांक है।

$q: n$ भी एक सम पूर्णांक है।

मान लीजिए $\sim p$ सत्य है अर्थात $n$ एक सम पूर्णांक नहीं है।

$\Rightarrow n^{2}$ एक सम पूर्णांक नहीं है।

[क्योंकि, एक विषम पूर्णांक के वर्ग विषम होता है]

$\Rightarrow \sim p$ सत्य है।

अतः, $\sim q$ सत्य है $\Rightarrow \sim p$ सत्य है।

इसलिए, सिद्ध कर दिया गया है।

हल

(c) हम जानते हैं कि एक कथन एक वाक्य होता है जो सत्य या असत्य हो सकता है।

इसलिए, $6$ एक प्राकृतिक संख्या है, जो सत्य है।

अतः, यह एक कथन है।

• विकल्प (a): “$x$ एक वास्तविक संख्या है” एक कथन नहीं है क्योंकि यह एक खुला वाक्य है; इसका मूल्य $x$ पर निर्भर करता है और अतिरिक्त जानकारी के बिना निश्चित रूप से सत्य या असत्य नहीं हो सकता।

• विकल्प (b): “फैन को बंद कर दो” एक कथन नहीं है क्योंकि यह एक आज्ञाप्रदान वाक्य है, जिसे सत्य या असत्य नहीं कहा जा सकता।

• विकल्प (d) “मुझे जाने दो” एक कथन नहीं है क्योंकि यह एक अनुरोध या अनुग्रह है, और ऐसे वाक्य को सत्य या असत्य के रूप में वर्गीकृत नहीं किया जा सकता।

हल

(d) “यहां आओ” एक कथन नहीं है। क्योंकि कोई वाक्य कथन नहीं कहलाता है यदि यह एक आदेश हो।

• विकल्प (a): “धुम्रपान आरोग्य के लिए नुकसानकारी है” एक कथन है क्योंकि यह एक घोषणात्मक वाक्य है जिसे सत्य या असत्य के रूप में आकलन किया जा सकता है।

• विकल्प (b): “$2+2=4$” एक कथन है क्योंकि यह एक गणितीय समीकरण है जिसे सत्य के रूप में आकलन किया जा सकता है।

• विकल्प (c): “$2$ एकमात्र सम अभाज्य संख्या है” एक कथन है क्योंकि यह एक घोषणात्मक वाक्य है जिसे सत्य के रूप में आकलन किया जा सकता है।

हल

(b) " $2+7 > 9$ या $2+7 < 9$ " में संयोजक शब्द “या” है।

• विकल्प (a): “और” गलत है क्योंकि वाक्य में दोनों स्थितियों को जोड़ने के लिए “या” का उपयोग किया गया है, नहीं “और”।

• विकल्प (c): " > " गलत है क्योंकि यह दो मानों की तुलना करने वाला संबंधी ऑपरेटर है, नहीं संयोजक।

• विकल्प (d) " < " गलत है क्योंकि यह भी दो मानों की तुलना करने वाला संबंधी ऑपरेटर है, नहीं संयोजक।

हल

(d) संयोजक शब्द “और” है।

• विकल्प (a): “या” गलत है क्योंकि वाक्य में दो विषयों को जोड़ने के लिए “और” का उपयोग किया गया है, नहीं “या”।

• विकल्प (b): “पृथ्वी” गलत है क्योंकि “पृथ्वी” वाक्य में एक नाम है, नहीं संयोजक शब्द।

• विकल्प (c): “सूर्य” गलत है क्योंकि “सूर्य” वाक्य में एक नाम है, नहीं संयोजक शब्द।

हल

(c) मान लीजिए $p$: एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है।

$\sim p$: एक वृत्त एक दीर्घवृत्त नहीं है।

• विकल्प (a): एक दीर्घवृत्त एक वृत्त है: यह कथन मूल कथन “एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है” के नकारात्मक कथन नहीं है। इसके बजाय, यह गलत रूप से यह दर्शाता है कि सभी दीर्घवृत्त वृत्त हैं, जो मूल कथन के नकारात्मक कथन के तुलना में तार्किक रूप से बराबर नहीं है।

• विकल्प (b): एक दीर्घवृत्त एक वृत्त नहीं है: यह कथन मूल कथन “एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है” के नकारात्मक कथन नहीं है। यह एक अलग कथन है जो मूल कथन के सीधे विरोधाभास नहीं है। सही नकारात्मक कथन विशेष रूप से बताना चाहिए कि एक वृत्त एक दीर्घवृत्त नहीं है।

• विकल्प (d) एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है: यह मूल कथन के स्वयं के रूप में है और इसका नकारात्मक नहीं है। इसलिए, यह मूल कथन “एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है” के नकारात्मक के रूप में नहीं कार्य करता है।

हल

(b) मान लीजिए $p: 7$ $8$ से बड़ा है।

$\sim p: 7$ $8$ से बड़ा नहीं है।

• विकल्प (a) “$7$ $8$ के बराबर है” गलत है क्योंकि “$7$ $8$ से बड़ा है” के नकारात्मक कथन के बराबर होने का अर्थ नहीं है; यह केवल यह दर्शाता है कि $7$ $8$ से बड़ा नहीं है, जो $7$ $8$ से कम हो सकता है।

• विकल्प (c) “$8$ $7$ से कम है” गलत है क्योंकि यह मूल कथन “$7$ $8$ से बड़ा है” के तुलना में तार्किक रूप से बराबर है, न कि इसका नकारात्मक है।

• विकल्प (d) “इनमें से कोई नहीं” गलत है क्योंकि विकल्प (b) मूल कथन “$7$ $8$ से बड़ा है” के नकारात्मक कथन को सही रूप से प्रस्तुत करता है।

हल

(b) मान लीजिए $p: 72$ द्वारा 2 और 3 से विभाज्य है।

मान लीजिए $q: 72$ द्वारा 2 से विभाज्य है।

$r: 72$ द्वारा 3 से विभाज्य है।

$\sim q: 72$ द्वारा 2 से विभाज्य नहीं है।

$\sim r: 72$ द्वारा 3 से विभाज्य नहीं है।

$\sim(q \wedge r): \sim q v \sim r$

$\Rightarrow 72$ द्वारा 2 से विभाज्य नहीं है या $72$ द्वारा 3 से विभाज्य नहीं है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि यह कहता है कि $72$ द्वारा 2 से विभाज्य नहीं है और $72$ द्वारा 3 से विभाज्य नहीं है, जो दोनों शर्तों के नकार का संयोजन है। “72 द्वारा 2 और 3 से विभाज्य है” के सही नकार के लिए नकार के योग की आवश्यकता होती है, न कि संयोजन।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि यह कहता है कि $72$ द्वारा 2 से विभाज्य है और $72$ द्वारा 3 से विभाज्य नहीं है। यह मूल कथन के नकार को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं करता है, क्योंकि इसमें संयोजन के एक हिस्सा का नकार किया गया है और दूसरा हिस्सा कथित किया गया है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि यह कहता है कि $72$ द्वारा 2 से विभाज्य नहीं है और $72$ द्वारा 3 से विभाज्य है। यह भी मूल कथन के नकार को सही तरीके से प्रस्तुत नहीं करता है, क्योंकि इसमें संयोजन के एक हिस्सा का नकार किया गया है और दूसरा हिस्सा कथित किया गया है।

हल

(b) मान लीजिए $p$: पौधे $CO_2$ लेते हैं और $O_2$ देते हैं।

मान लीजिए $q$: पौधे $CO_2$ लेते हैं।

$r$: पौधे $O_2$ देते हैं।

$\sim q$: पौधे $CO_2$ नहीं लेते हैं।

$\sim r$ : पौधे $O_2$ नहीं देते हैं।

$\sim(q \wedge r)$ : पौधे $CO_2$ नहीं लेते हैं या $O_2$ नहीं देते हैं।

• विकल्प (a): “पौधे $CO_2$ नहीं लेते हैं और $O_2$ नहीं देते हैं” गलत है क्योंकि यह कथन के दोनों हिस्सों के नकार को एक साथ निरूपित करता है, जो एक संयोजन $(\sim q \wedge \sim r)$ है। सही नकार एक संयोजन $(\sim q \vee \sim r)$ होना चाहिए।

• विकल्प (c): “पौधे $CO_2$ लेते हैं और $O_2$ नहीं देते हैं” गलत है क्योंकि यह कथन के दूसरे हिस्से को केवल नकार करता है जबकि पहला हिस्सा अपरिवर्तित रहता है। सही नकार पूरे संयोजन को नकार करना चाहिए, न केवल एक हिस्सा को।

• विकल्प (d): “पौधे $CO_2$ लेते हैं या $O_2$ नहीं देते हैं” गलत है क्योंकि यह मूल संयोजन के नकार को सही तरीके से नहीं निरूपित करता है। सही नकार दोनों हिस्सों के नकार के संयोजन होना चाहिए, न कि एक हिस्सा अपरिवर्तित रहे।

हल

(c) मान लीजिए $p$ : राजेश या राजनी बैंगलोर में रहे।

और $q$ : राजेश बैंगलोर में रहे।

$r$ : राजनी बैंगलोर में रहे।

$\sim q$ : राजेश बैंगलोर में नहीं रहे।

$\sim r$ : राजनी बैंगलोर में नहीं रहे।

$\sim(q \vee r)$ : राजेश बैंगलोर में नहीं रहे और राजनी बैंगलोर में नहीं रहे।

• विकल्प (a): “राजेश बैंगलोर में नहीं रहे या राजनी बैंगलोर में रहे” गलत है क्योंकि यह मूल कथन के नकार को निरूपित नहीं करता है। मूल कथन “राजेश या राजनी बैंगलोर में रहे” है, जिसका अर्थ है कि दोनों में से कम से कम एक बैंगलोर में रहे। नकार कथन कहना चाहिए कि दोनों में से कोई भी बैंगलोर में नहीं रहे, न कि एक नहीं रहे और दूसरा रहे।

• विकल्प (ब): “राजेश बेंगलुरू में रहता है और राजनी बेंगलुरू में नहीं रहती थी” गलत है क्योंकि यह मूल कथन के कुछ रूप से नकारात्मक है लेकिन पूरी तरह से नहीं। मूल कथन यह बताता है कि कम से कम एक व्यक्ति बेंगलुरू में रहता था। नकारात्मकता के अर्थ में यह बताना चाहिए कि दोनों में से कोई भी बेंगलुरू में नहीं रहता था, न कि एक रहता था और दूसरा नहीं।

• विकल्प (ड): “राजेश बेंगलुरू में नहीं रहता था या राजनी बेंगलुरू में नहीं रहती थी” गलत है क्योंकि यह मूल कथन के पूरी तरह से नकारात्मक नहीं है। मूल कथन “राजेश या राजनी बेंगलुरू में रहते थे” का अर्थ है कि कम से कम एक व्यक्ति बेंगलुरू में रहता था। नकारात्मकता के अर्थ में यह बताना चाहिए कि दोनों में से कोई भी बेंगलुरू में नहीं रहता था, न कि कम से कम एक व्यक्ति बेंगलुरू में नहीं रहता था।

हल

(a) मान लीजिए $p$: $101$ एक गुणज $3$ नहीं है।

$\sim p$: $101$ एक गुणज $3$ है।

• विकल्प (ब) “$101$ एक गुणज $2$ है” गलत है क्योंकि कथन “$101$ एक गुणज $3$ नहीं है” के नकारात्मक के अर्थ में यह गुणज $3$ के बारे में बताना चाहिए, न कि $2$ के बारे में। गुणज $2$ के बारे में कथन मूल कथन के संबंध में असंबंधित है।

• विकल्प (स) “$101$ एक विषम संख्या है” गलत है क्योंकि यह गुणज $3$ के बारे में बताता है। मूल कथन यह बताता है कि $101$ एक गुणज $3$ है या नहीं, और $101$ के विषम या सम होने के बारे में इससे संबंधित नहीं है।

• विकल्प (द) “$101$ एक सम संख्या है” गलत है क्योंकि यह गुणज $3$ के बारे में बताता है। मूल कथन यह बताता है कि $101$ एक गुणज $3$ है या नहीं, और $101$ के विषम या सम होने के बारे में इससे संबंधित नहीं है।

हल

(स) मान लीजिए $p: 7$ $5$ से बड़ा है।

और $q: 8$ $6$ से बड़ा है।

$\therefore p \rightarrow q$

$\sim p: 7$ $5$ से बड़ा नहीं है।

$\sim q: 8$ $6$ से बड़ा नहीं है।

$(\sim q) \rightarrow(\sim p)$ अर्थात, यदि $8$ $6$ से बड़ा नहीं है, तो $7$ $5$ से बड़ा नहीं है।

• विकल्प (अ): यह विकल्प “यदि $8$ $6$ से बड़ा है, तो $7$ $5$ से बड़ा है” कहता है। यह मूल कथन के विपरीत है, न कि विपर्यय। विपर्यय के लिए मूल कथन के परिकल्पना और निष्कर्ष दोनों को नकारात्मक करना आवश्यक है और फिर उन्हें उलट देना आवश्यक है।

• विकल्प (ब): यह विकल्प “यदि $8$ $6$ से बड़ा नहीं है, तो $7$ $5$ से बड़ा है” कहता है। यह गलत है क्योंकि विपर्यय के लिए मूल कथन के परिकल्पना और निष्कर्ष दोनों को नकारात्मक करना आवश्यक है। यहाँ केवल परिकल्पना को नकारात्मक कर दिया गया है, निष्कर्ष को नहीं।

• विकल्प (द): यह विकल्प “यदि $8$ $6$ से बड़ा है, तो $7$ $5$ से बड़ा नहीं है” कहता है। यह गलत है क्योंकि यह मूल कथन के निष्कर्ष को नकारात्मक करता है लेकिन परिकल्पना को नकारात्मक नहीं करता। विपर्यय के लिए दोनों परिकल्पना और निष्कर्ष को नकारात्मक करना आवश्यक है और फिर उन्हें उलट देना आवश्यक है।

हल

(ब) मान लीजिए

$ \begin{gathered} p: x > y \\ \\ q: x+a > y+a \\ \\ p \rightarrow q \end{gathered} $

उपरोक्त कथन का विपर्यय है

$ q \rightarrow p $

अर्थात, यदि $x+a > y+a$, तो $x > y$।

• विकल्प (अ) गलत है क्योंकि यह “यदि $( x < y )$, तो $( x + a < y + a )$” कहता है। यह मूल कथन का विपर्यय नहीं है। बजाय इसके, यह मूल कथन के एक अन्य रूप है जहाँ $( x )$ और $( y )$ को आपस में बदल दिया गया है और असमानुपात को उलट दिया गया है, जो मूल कथन से तार्किक रूप से नहीं निकलता।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि यह विकल्प $(a)$ के समान है और इसलिए उसी समस्या से पीड़ित है। यह मूल कथन का विपरीत नहीं है बल्कि एक नए चरों के साथ उलटे असमानुपात के साथ एक फिर से व्यक्त किया गया कथन है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि यह कहता है “यदि $( x > y ),$ तो $( x + a < y + a )$”. यह मूल कथन के साथ विपरीत है, जो कहता है कि जब $( x > y )$ होता है तो $( x + a > y + a )$ होता है। इसलिए, यह मूल कथन का विपरीत नहीं है।

हल

(a) मान लीजिए $p$ : सूरज चमक नहीं रहा है।

और $q$ : आकाश बादलों से भरा हुआ है।

उपरोक्त कथन $p \rightarrow q$ का विपरीत $q \rightarrow p$ है।

यदि आकाश बादलों से भरा हुआ है, तो सूरज चमक नहीं रहा है।

• विकल्प (b): यह विकल्प “यदि सूरज चमक रहा है, तो आकाश बादलों से भरा हुआ है” कहता है। यह गलत है क्योंकि यह मूल कथन का विपरीत नहीं है बल्कि एक विपरीत है। “यदि $p,$ तो $q$” का विपरीत “यदि नहीं $p,$ तो नहीं $q$” होता है।

• विकल्प (c): यह विकल्प “यदि आकाश साफ है, तो सूरज चमक रहा है” कहता है। यह गलत है क्योंकि यह मूल कथन का विपरीत नहीं है बल्कि एक विपरीत है। “यदि $p,$ तो $q$” का विपरीत “यदि नहीं $q,$ तो नहीं $p$” होता है।

• विकल्प (d): यह विकल्प “यदि सूरज चमक नहीं रहा है, तो आकाश बादलों से भरा नहीं है” कहता है। यह गलत है क्योंकि यह मूल कथन का विपरीत नहीं है बल्कि एक विपरीत है। “यदि $p,$ तो $q$” का विपरीत “यदि $p,$ तो नहीं $q$” होता है।

Solution

(c) $p \rightarrow q$

यदि $p$, तो $q$

कथन $p \rightarrow q$ का विपर्यय $ (\sim q) \rightarrow (\sim p) $ होता है।

यदि $\sim q$, तो $\sim p$।

• विकल्प (a) “यदि $( q )$, तो $( p )$” गलत है क्योंकि यह मूल कथन $( p \rightarrow q )$ का विलोम है, न कि विपर्यय। कथन $( p \rightarrow q )$ का विलोम $( q \rightarrow p )$ होता है।

• विकल्प (b) “यदि $( p )$, तो $( \sim q )$” गलत है क्योंकि यह मूल कथन $( p \rightarrow q )$ में अंतिम भाग के नकार को प्रस्तुत करता है, जो विपर्यय के तुलना में तार्किक रूप से बराबर नहीं है। अंतिम भाग के नकार $( p \rightarrow \sim q )$ होता है।

• विकल्प (d) “यदि $( \sim p )$, तो $( \sim q )$” गलत है क्योंकि यह मूल कथन $( p \rightarrow q )$ का विपर्यय नहीं है, बल्कि इसका विलोम है। कथन $( p \rightarrow q )$ का विलोम $( \sim p \rightarrow \sim q )$ होता है।

Solution

(b) मान लीजिए $p: x^{2}$ विषम नहीं है।

और $q: x$ विषम नहीं है।

कथन $p \rightarrow q$ का विलोम $q \rightarrow p$ होता है।

अर्थात, यदि $x$ विषम नहीं है, तो $x^{2}$ विषम नहीं है।

• विकल्प (a) गलत है क्योंकि कथन “यदि $( x^2 )$ विषम है, तो $( x )$ सम है” दिए गए कथन से तार्किक रूप से संबंधित नहीं है। सही विलोम एक ही स्थिति के साथ उलटा होता है, और यह विकल्प इस शर्त के अनुरूप नहीं है।

• विकल्प (c) गलत है क्योंकि कथन “यदि $( x )$ सम है, तो $( x^2 )$ सम है” दिए गए कथन का विपर्यय है। कथन “यदि $( x^2 )$ विषम नहीं है, तो $( x )$ विषम नहीं है” का विपर्यय “यदि $( x )$ सम है, तो $( x^2 )$ सम है” होता है, जो मूल कथन के तुलना में तार्किक रूप से बराबर है, न कि इसका विलोम है।

• विकल्प (d) गलत है क्योंकि कथन “यदि $( x )$ विषम है, तो $( x^2 )$ सम है” गलत है। यदि $( x )$ विषम है, तो $( x^2 )$ भी विषम होता है, न सम। यह विकल्प दिए गए कथन से कोई तार्किक संबंध नहीं रखता है।

हल

(a) मान लीजिए $p$ : चंदिगढ़ पंजाब की राजधानी है।

और $q$ : चंदिगढ़ भारत में है।

$\sim p$ : चंदिगढ़ पंजाब की राजधानी नहीं है।

$\sim q$ : चंदिगढ़ भारत में नहीं है।

कथन $p \rightarrow q$ का विपर्यय है

यदि $(\sim q)$, तो $(\sim p)$।

यदि चंदिगढ़ भारत में नहीं है, तो चंदिगढ़ पंजाब की राजधानी नहीं है।

• विकल्प (b): यह विकल्प “यदि चंदिगढ़ भारत में है, तो चंदिगढ़ पंजाब की राजधानी है” कहता है। यह मूल कथन का संयोजक है, न कि विपर्यय। कथन $( p \rightarrow q )$ का संयोजक $( q \rightarrow p )$ होता है, जो विपर्यय के तार्किक रूप से बराबर नहीं होता।

• विकल्प (c): यह विकल्प “यदि चंदिगढ़ पंजाब की राजधानी नहीं है, तो चंदिगढ़ भारत की राजधानी नहीं है” कहता है। यह कथन “भारत की राजधानी” जैसे एक नए अवधारणा को पेश करता है, जो मूल कथन में नहीं थी। इसलिए, इसका तार्किक संबंध नहीं है और यह गलत है।

• विकल्प (d): यह विकल्प “यदि चंदिगढ़ पंजाब की राजधानी है, तो चंदिगढ़ भारत में नहीं है” कहता है। यह मूल कथन का नकार है, न कि विपर्यय। $( p \rightarrow q )$ का नकार $( p \rightarrow \sim q )$ होता है, जो विपर्यय के तार्किक रूप से बराबर नहीं होता।

हल

(c) ’ $p \rightarrow q$ ’ ’ $p$ केवल तभी $q$ है’ के समान है।

• विकल्प (a): “$q$ $p$ के लिए पर्याप्त है” गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि यदि $q$ सत्य है, तो $p$ भी सत्य होना चाहिए, जो $p \rightarrow q$ के विपरीत है।

• विकल्प (b): “$p$ $q$ के लिए आवश्यक है” गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि $q$ सत्य नहीं हो सकता जब तक $p$ सत्य नहीं हो, जो $p \rightarrow q$ के विपरीत है।

• विकल्प (d) “यदि $q$ तो $p$” गलत है क्योंकि यह $p \rightarrow q$ के विपरीत कथन को सीधे बताता है।

हल

(a) उपरोक्त कथन का नकारात्मक कथन है “3 और 4 के गुणनफल के असत्य है।”

• विकल्प (b): 3 और 4 का गुणनफल 12 है: यह कथन मूल कथन के तथ्यात्मक संशोधन है, नकारात्मक नहीं है। नकारात्मक कथन मूल कथन के असत्य होने को बताता है, न कि सही जानकारी देता है।

• विकल्प (c): 3 और 4 का गुणनफल 12 नहीं है: यह कथन गलत है क्योंकि यह एक नए गलत कथन को प्रस्तुत करता है। मूल कथन 9 के बारे में है, न कि 12 के, इसलिए यह एक उचित नकारात्मक नहीं है।

• विकल्प (d) 3 और 4 के गुणनफल के असत्य होने का कथन असत्य है: यह कथन दो बार नकारात्मक है, जो मूल कथन को पुनर्प्रमाण करता है। इसका अर्थ है कि 3 और 4 के गुणनफल के वास्तव में 9 है, जो अभीष्ट नकारात्मक नहीं है।

हल

(c) दिए गए कथन का गलत नकारात्मक बयान है “एक प्राकृतिक संख्या शून्य से बड़ी नहीं होती इसका नकारात्मक बयान है”।

• विकल्प (a) “एक प्राकृतिक संख्या शून्य से बड़ी नहीं होती” एक सही नकारात्मक बयान है क्योंकि यह मूल कथन “एक प्राकृतिक संख्या शून्य से बड़ी होती है” के विरोधाभास है।

• विकल्प (b) “एक प्राकृतिक संख्या शून्य से बड़ी होती है इसका नकारात्मक बयान है” एक सही नकारात्मक बयान है क्योंकि यह एक स्पष्ट रूप से कथन के असत्य होने को बयान करता है।

• विकल्प (d) “उपरोक्त में से कोई नहीं” गलत है क्योंकि विकल्प (a) और (b) दोनों मूल कथन के नकारात्मक बयान हैं।

हल

(d) यदि दो सरल कथन $p$ और $q$ के बीच शब्द ‘और’ द्वारा जोड़ दिया जाए, तो निर्मित संयुक्त कथन $p$ और $q$ को $p$ और $q$ के संयोजन कहा जाता है। यहाँ, दिए गए कोई भी कथन संयोजन नहीं है।

• विकल्प (a): “राम और श्याम दोस्त हैं” एक सरल कथन है, संयोजन नहीं है। यह शब्द ‘और’ के उपयोग द्वारा दो अलग-अलग कथनों को संयोजित नहीं करता है।

• विकल्प (b): “राम और श्याम दोनों लंबे हैं” दोनों व्यक्तियों की ऊँचाई के बारे में एक एकल कथन है, दो अलग-अलग कथनों के संयोजन नहीं है।

• विकल्प (c): “राम और श्याम दोनों दुश्मन हैं” दो व्यक्तियों के बीच संबंध के बारे में एक एकल कथन है, दो अलग-अलग कथनों के संयोजन नहीं है।

हल

(i) यह एक कथन है।

(ii) यह एक कथन है।

(iii) यह एक कथन नहीं है, क्योंकि यह एक विस्मय है।

(iv) यह एक कथन है।

(v) यह एक कथन नहीं है, क्योंकि यह एक प्रश्न है।

• (iii) यह एक कथन नहीं है, क्योंकि यह एक विस्मय है।

• (v) यह एक कथन नहीं है, क्योंकि यह एक प्रश्न है।