हल

दिया गया, निर्देशांक हैं

(i) $(1,-1,3)$

(ii) $B(-1,2,4)$

(iii) $C(-2,-4,-7)$

(iv) $D(-4,2,-5)$

X-वृद्धि $=Y$-वृद्धि $=Z$-वृद्धि $=1$

हल

(i) बिंदु $(1,2,3)$ पहले अक्षांश में स्थित है।

(ii) $(4,-2,3)$ चौथे अक्षांश में है।

(iii) $(4,-2,-5)$ आठवें अक्षांश में है।

(iv) $(4,2,-5)$ पांचवें अक्षांश में है।

(v) $(-4,2,5)$ दूसरे अक्षांश में है।

(vi) $(-3,-1,6)$ तीसरे अक्षांश में है।

(vii) $(2,-4,-7)$ आठवें अक्षांश में है।

(viii) $(-4,2,-5)$ छठे अक्षांश में है।

हल

$A, B$ और $C$ के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

(i) $A(3,0,0), B(0,4,0), C(0,0,2)$

(ii) $A(4,0,0), B(0,-3,0), C(0,0,-5)$

(iii) $A(-5,0,0), B(0,3,0), C(0,0,7)$

Solution

हम जानते हैं कि, $X Y$-समतल पर $z=0$, $YZ$-समतल पर $x=0$ और $ZX$-समतल पर $y=0$ होता है। इसलिए, $A, B$ और $C$ के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

(i) $A(3,4,0), B(0,4,5), C(3,0,5)$

(ii) $A(-5,3,0), B(0,3,7), C(-5,0,7)$

(iii) $A(4,-3,0), B(0,-3,-5), C(4,0,-5)$

Thinking Process

दो बिंदुओं $(x_1, y_1, z_1)$ और $(x_2, y_2, z_2)$ के बीच दूरी

$ d=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}+(z_1-z_2)^{2}} $

Solution

दिए गए बिंदु, $A(2,0,0)$ और $B(-3,0,0)$

$ A B=\sqrt{(2+3)^{2}+0^{2}+0^{2}}=5 $

Solution

उत्सर्जन से बिंदु $(6,6,7)$ की दूरी

$ \begin{aligned} & =\sqrt{(0-6)^{2}+(0-6)^{2}+(0-7)^{2}} \qquad\big[\because d=\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}+(z_1-z_2)^{2}}\big] \\ \\ & =\sqrt{36+36+49} \\ \\ & =\sqrt{121}=11 \end{aligned} $

Solution

दिया गया है, $x^{2}+y^{2}=1$

$\therefore \quad$ बिंदु $(x, y, \sqrt{1-x^{2}-y^{2}})$ की उत्सर्जन से दूरी निम्नलिखित है

$ \begin{aligned} d & =|\sqrt{x^{2}+y^{2}+(\sqrt{1-x^{2}-y^{2}})^{2}}| \\ \\ & =|\sqrt{x^{2}+y^{2}+1-x^{2}-y^{2}}|=1 \end{aligned} $

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

Solution

दिए गए बिंदु, $A(1,-1,3), B(2,-4,5)$ और $C(5,-13,11)$।

$ \begin{aligned} A B & =\sqrt{(1-2)^{2}+(-1+4)^{2}+(3-5)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14} \\ \\ B C & =\sqrt{(2-5)^{2}+(-4+13)^{2}+(5-11)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+81+36}=\sqrt{126} \\ \\

हल

दिया गया है कि, त्रिभुज $ \triangle ABC $ के शीर्ष $ A(0,4,1), B(2,3,-1) $ और $ C(4,5,0) $ हैं। अब,

$$ \begin{aligned} AB & =\sqrt{(0-2)^{2}+(4-3)^{2}+(1+1)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{4+1+4}=3 \\ \\ BC & =\sqrt{(2-4)^{2}+(3-5)^{2}+(-1-0)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{4+4+1}=3 \\ \\ AC & =\sqrt{(0-4)^{2}+(4-5)^{2}+(1-0)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{16+1+1}=\sqrt{18} \end{aligned} $$

$$ \begin{matrix} \because & AC^{2}=AB^{2}+BC^{2} \\ \\ \end{matrix} $$

इसलिए, त्रिभुज $ \triangle ABC $ समकोण त्रिभुज है।

\Rightarrow & 18=9+9 \end{matrix} $

अतः, शीर्ष $\triangle A B C$ एक समकोण त्रिभुज है।

चिंतन प्रक्रिया

$\triangle A B C$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं, तो केंद्रक $G$ के निर्देशांक $\dfrac{x_1+x_2+x_3}{3}, \dfrac{y_1+y_2+y_3}{3}, \dfrac{z_1+z_2+z_3}{3}$ होते हैं।

हल

मान लीजिए $\triangle A B C$ के तीसरे शीर्ष $A(x, y, z)$ है।

$(2,4,6)$

दिया गया है कि केंद्रक $G$ के निर्देशांक $(0,0,0)$ हैं।

$\because \quad \begin{aligned} 0 & =\dfrac{x+2+0}{3} \Rightarrow x=-2 \\ \\ 0 & =\dfrac{y+4-2}{3} \Rightarrow y=-2 \\ \\ 0 & =\dfrac{z+6-5}{2} \Rightarrow z=-1\end{aligned}$

अतः, त्रिभुज के तीसरे शीर्ष $(-2,-2,-1)$ है।

हल

दिया गया है कि भुजाओं के मध्य बिंदु $D(1,2,-3), E(3,0,1)$ और $F(-1,1,-4)$ हैं।

मान लीजिए $\triangle A B C$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_3)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।

तो, $B C$ के मध्य बिंदु $(1,2,-3)$ हैं।

$ \begin{aligned} 1 & =\dfrac{x_2+x_3}{2} \Rightarrow x_2+x_3=2\qquad\ldots\mathrm{(i)} \\ \\ 2 & =\dfrac{y_2+y_3}{2} \Rightarrow y_2+y_3=4\qquad\ldots\mathrm{(ii)} \\ \\ -3 & =\dfrac{z_2+z_3}{2} \Rightarrow z_2+z_3=-6\qquad\ldots\mathrm{(iii) } \end{aligned} $

इसी तरह भुजाओं $A B$ और $A C$ के लिए,

$ \begin{matrix} \Rightarrow & -1=\dfrac{x_1+x_2}{2} \Rightarrow x_1+x_2=-2\qquad\ldots\mathrm{(iv)} \\ \\

\Rightarrow & 1=\dfrac{y_1+y_2}{2} \Rightarrow y_1+y_2=2\qquad\ldots\mathrm{(v)} \\ \\ \Rightarrow & -4=\dfrac{z_1+z_2}{2} \Rightarrow z_1+z_2=-8\qquad\ldots\mathrm{(vi)} \\ \\ \Rightarrow & 3=\dfrac{x_1+x_3}{2} \Rightarrow x_1+x_3=6\qquad\ldots\mathrm{(vii)} \\ \\ \Rightarrow & 0=\dfrac{y_1+y_3}{2} \Rightarrow y_1+y_3=0\qquad\ldots\mathrm{(viii)} \\ \\ \Rightarrow & 1=\dfrac{z_1+z_3}{2} \Rightarrow z_1+z_3=2 \qquad\ldots\mathrm{(ix) } \end{matrix} $

Eqs. $\mathrm{(i)}$ और $\mathrm{(iv)}$ को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं

$ x_1+2 x_2+x_3=0\qquad\ldots\mathrm{(x) } $

Eqs. $\mathrm{(ii)}$ और $\mathrm{(v)}$ को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं

$ y_1+2 y_2+y_3=6\qquad\ldots\mathrm{(xi)} $

Eqs. $\mathrm{(iii)}$ और $\mathrm{(ix)}$ को जोड़ने पर हम प्राप्त करते हैं

$ z_1+2 z_2+z_3=-14\qquad\ldots\mathrm{(xii)} $

Eqs. $\mathrm{(vii)}$ और $\mathrm{(x)}$ से,

$ 2 x_2=-6 \Rightarrow x_2=-3 $

यदि $x_2=-3$, तो $x_3=5$

यदि $x_3=5$, तो $x_1=1, x_2=-3, x_3=5$

Eqs. $\mathrm{(xi)}$ और $\mathrm{(viii)}$ से,

$ 2 y_2=6 \Rightarrow y_2=3 $

यदि $y_2=3$, तो $y_1=-1 $

यदि $y_1=-1$, तो $y_3=1, \quad y_2=3, y_3=1$

Eqs. $\mathrm{(xii)}$ और $\mathrm{(ix)}$ से,

$ \begin{gathered} 2 z_2=-16 \Rightarrow z_2=-8 \\ \\ z_2=-8, \text { तो } z_1=0 \\ \\ z_1=0, \text { तो } z_3=2 \\ \\ z_1=0, z_2=-8, z_3=2 \end{gathered} $

इसलिए, बिंदु $A(1-1,0), B(-3,3,-8)$ और $C(5,1,2)$ हैं।

$\therefore$ त्रिभुज का केंद्रक $G \left(\dfrac{1-3+5}{3}, \dfrac{-1+3+1}{3}, \dfrac{0-8+2}{3}\right)$ अर्थात $G(1,1,-2)$

हल

मान लीजिए त्रिभुज $\triangle ABC$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं, तो $BC$ का मध्य बिंदु $(5,7,11)$ है।

$ \begin{aligned} & 5=\dfrac{x_2+x_3}{2} \Rightarrow x_2+x_3=10 \qquad\ldots\mathrm{(i)} \\ \\ & 7=\dfrac{y_2+y_3}{2} \Rightarrow y_2+y_3=14 \qquad\ldots\mathrm{(ii)} \\ \\ & 11=\dfrac{z_2+z_3}{2} \Rightarrow z_2+z_3=22\qquad\ldots\mathrm{(iii)} \end{aligned} $

इसी तरह भुजाओं $AB$ और $AC$ के लिए,

$ \begin{gathered} 2=\dfrac{x_1+x_2}{2} \Rightarrow x_1+x_2=4 \qquad\ldots\mathrm{(iv)} \\ \\ 3=\dfrac{y_1+y_2}{2} \Rightarrow y_1+y_2=6 \qquad\ldots\mathrm{(v)} \\ \\ -1=\dfrac{z_1+z_2}{2} \Rightarrow z_1+z_2=-2 \qquad\ldots\mathrm{(vi)} \\ \\ 0=\dfrac{x_1+x_3}{2} \Rightarrow x_1+x_3=0 \qquad\ldots\mathrm{(vii)} \\ \\ 8=\dfrac{y_1+y_3}{2} \Rightarrow y_1+y_3=16 \qquad\ldots\mathrm{(viii)} \\ \\ 5=\dfrac{z_1+z_3}{2} \Rightarrow z_1+z_3=10\qquad\ldots\mathrm{(ix)} \end{gathered} $

समीकरणों $\mathrm{(i)}$ और $\mathrm{(iv)}$ से,

$ x_1+2 x_2+x_3=14\qquad\ldots\mathrm{(x)} $

समीकरणों $\mathrm{(ii)}$ और $\mathrm{(v)}$ से,

$y_1+2 y_2+y_3=20\qquad\ldots\mathrm{(xi)}$

समीकरणों $\mathrm{(iii)}$ और $\mathrm{(vi)}$ से,

$z_1+2 z_2+z_3=20\qquad\ldots\mathrm{(xii)}$

समीकरणों $\mathrm{(vii)}$ और $\mathrm{(x)}$ से,

$ \begin{aligned} 2 x_2 & =14 \Rightarrow x_2=7 \\ \\ x_2 & =7, \text { तब, } x_3=10-7=3 \\ \\ x_3 & =3, \text { तब, } x_1=-3 \\ \\ x_1 & =-3, x_2=7, x_3=3 \end{aligned} $

समीकरणों $(viii)$ और $(xi)$ से,

$ \begin{aligned} 2 y_2 & =4 \Rightarrow y_2=2 \\ \\ y_2 & =2, \text { तब, } y_1=4 \\ \\ y_1 & =4, \text { तब, } y_3=12 \\ \\ y_1 & =4, y_2=2, y_3=12 \end{aligned} $

समीकरणों $\mathrm{(ix)}$ और $(xii)$ से,

$ \begin{aligned} 2 z_2 & =10 \Rightarrow z_2=5 \\ \\ z_2 & =5, \text { तब } z_1=-7 \\ \\ z_1 & =-7, \text { तब } z_3=17 \\ \\ z_1 & =-7, z_2=5, z_3=17 \end{aligned} $

इसलिए, शीर्ष हैं $A(-3,4,-7), B(7,2,5)$ और $C(3,12,17)$।

Thinking Process

एक समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक ही शीर्षों के होते हैं। इस गुण का उपयोग करके समस्या को हल करें।

हल

मान लीजिए समांतर चतुर्भुज $A B C D$ के चौथे शीर्ष $D(x, y, z)$ है।

तो, $A C$ के मध्य बिंदु हैं

$ P\left( \dfrac{1+2}{2}, \dfrac{2+3}{2}, \dfrac{3+2}{2}\right) \text { अर्थात } \ P\left( \dfrac{3}{2}, \dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2} \right) $

अब, $B D$ के मध्य बिंदु,

$ \begin{aligned} & \dfrac{3}{2}=\dfrac{-1+x}{2} \Rightarrow x=4 \\ \\ & \dfrac{5}{2}=\dfrac{-2+y}{2} \Rightarrow y=7 \\ \\ & \dfrac{5}{2}=\dfrac{-1+z}{2} \Rightarrow z=6 \end{aligned} $

इसलिए, चौथे शीर्ष के निर्देशांक $(4,7,6)$ हैं।

चिंतन प्रक्रिया

यदि बिंदु $P$ बिंदु $A(x_1, y_1, z_1)$ और $B(x_2, y_2, z_2)$ को $m_1: m_2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, तो $P$ के निर्देशांक हैं $\left(\dfrac{m_1 x_2+m_2 x_1}{m_1+m_2}, \dfrac{m_1 y_2+m_2 y_1}{m_1+m_2}, \dfrac{m_1 z_2+m_2 z_1}{m_1+m_2}\right)$

हल

मान लीजिए $P(x_1, y_1, z_1)$ और $Q(x_2, y_2, z_2)$ रेखाखंड $A B$ के तिसरे बराबर भागों में विभाजित करते हैं।

क्योंकि, बिंदु $P$ रेखा $A B$ को $1: 2$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है, तो

$ \begin{aligned} & x_1=\dfrac{2 \times 2+1 \times 5}{1+2}=\dfrac{9}{3}=3 \\ \\ & y_1=\dfrac{2 \times 1+1 \times(-8)}{3}=\dfrac{-6}{3}=-2 \\ \\ & z_1=\dfrac{2 \times(-3)+1 \times 3}{3}=\dfrac{-6+3}{3}=\dfrac{-3}{3}=-1 \end{aligned} $

क्योंकि, बिंदु $Q$ रेखाखंड $A B$ को $2: 1$ के अनुपात में विभाजित करता है, तो

$ \begin{aligned}

& x_2=\dfrac{1 \times 2+2 \times 5}{3}=4, \\ \\ & y_2=\dfrac{1 \times 1+(-8 \times 2)}{3}=-5 \\ \\ & z_2=\dfrac{1 \times(-3)+2 \times 3}{3}=-1 \end{aligned} $

इसलिए, $P$ के निर्देशांक $(3,-2,-1)$ हैं और $Q$ के निर्देशांक $(4,-5,1)$ हैं।

हल

दिया गया है कि मूल बिंदु त्रिभुज $ \triangle A B C $ के केंद्रक है, अर्थात $G(0,0,0)$ है।

$\begin{aligned} \because \quad 0=\dfrac{a-2+4}{3} \Rightarrow a=-2 \\ \\ 0=\dfrac{1+b+7}{3} \Rightarrow b=-8 \\ \\ \quad 0=\dfrac{3-5+c}{3} \Rightarrow c=+2 \\ \\ \therefore \quad a=-2, b=-8 \text { और } c=2 \end{aligned}$

हल

मान लीजिए $D$ के निर्देशांक $(x, y, z)$ हैं।

हमारे पास, बिंदु

$ \begin{aligned} & \mathrm{A}\left(\mathrm{x}_1, \mathrm{y}_1, \mathrm{z}_1\right)=(2,2,-3) \\ \\ & \mathrm{B}\left(\mathrm{x}_2, \mathrm{y}_2, \mathrm{z}_2\right)=(5,6,9) \\ \\ & \mathrm{C}\left(\mathrm{x}_3, \mathrm{y}_3, \mathrm{z}_3\right)=(2,7,9) \end{aligned} $

बिंदु $\mathrm{D}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})$ के निर्देशांक हैं।

इसलिए, प्रश्न के अनुसार,

$ \begin{aligned} & A B=\sqrt{(5-2)^2+(6-2)^2+(9-3)^2} \\ \\ & A B=\sqrt{9+16+149}=\sqrt{13^2}=13 \\ \\

& A C=\sqrt{(2-2)^2+(7-2)^2+(9+3)^2} \\ \\ & A C=\sqrt{0+25+144}=\sqrt{169}=13 \end{aligned} $

इसलिए $A B C$ एक समद्विबाहु त्रिभुज है जहां $A B=A C$ इसलिए, कोण समद्विभाजक $A D$ भुजा $B C$ को दो भागों में बांटता है

$ \mathrm{D} \equiv\left(\dfrac{5+2}{2}, \dfrac{6+7}{2}, \dfrac{9+9}{2}\right) \equiv\left(\dfrac{7}{2}, \dfrac{13}{2}, 9\right) $

इसलिए, यह उत्तर है।

हल

दिए गए बिंदु $A(2,3,4), B(-1,2,-3)$ और $C(-4,1,-10)$ हैं।

$ \begin{aligned} \therefore \ A B & =\sqrt{(2+1)^{2}+(3-2)^{2}+(4+3)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+1+49}=\sqrt{59} \\ \\ B C & =\sqrt{(-1+4)^{2}+(2-1)^{2}+(-3+10)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+1+49}=\sqrt{59} \\ \\ A C & =\sqrt{(2+4)^{2}+(3-1)^{2}+(4+10)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{36+4+196} \\ \\ & =\sqrt{236}=2 \sqrt{59} \\ \\ A B+B C & =\sqrt{59}+\sqrt{59}=2 \sqrt{59} \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $\triangle A B C$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।

क्योंकि, भुजा $B C$ का मध्य बिंदु $D(1,5,-1)$ है।

तो,

$ \begin{aligned} & \dfrac{x_2+x_3}{2}=1 \Rightarrow x_2+x_3=2 \qquad\ldots\mathrm{(i)}\\ \\ & \dfrac{y_2+y_3}{2}=5 \Rightarrow y_2+y_3=10 \qquad\ldots\mathrm{(ii)}\\ \\ & \dfrac{z_2+z_3}{2}=-1 \Rightarrow z_2+z_3=-2\qquad\ldots\mathrm{(iii)} \end{aligned} $

इसी तरह, $A B$ और $A C$ के मध्य बिंदु $F(2,3,4)$ और $E(0,4,-2)$ हैं,

और

$ \begin{aligned} & \dfrac{x_1+x_2}{2}=2 \Rightarrow x_1+x_2=4 \qquad\ldots\mathrm{(iv)}\\ \\

$$ \begin{aligned} & \dfrac{y_1+y_2}{2}=3 \Rightarrow y_1+y_2=6 \qquad\ldots\mathrm{(v)}\\ \\ & \dfrac{z_1+z_2}{2}=4 \Rightarrow z_1+z_2=8\qquad\ldots\mathrm{(vi)} \end{aligned} $$

अब,

$$ \begin{gathered} \dfrac{x_1+x_3}{2}=0 \Rightarrow x_1+x_3=0 \qquad\ldots\mathrm{(vii)}\\ \\ \dfrac{y_1+y_3}{2}=4 \Rightarrow y_1+y_3=8 \qquad\ldots\mathrm{(viii)}\\ \\ \dfrac{z_1+z_3}{2}=-2 \Rightarrow z_1+z_3=-4\qquad\ldots\mathrm{(ix)} \end{gathered} $$

समीकरणों $\mathrm{(i)}$ और $\mathrm{(iv)}$ से,

$$ x_1+2 x_2+x_3=6\qquad\ldots\mathrm{(x)} $$

समीकरणों $\mathrm{(ii)}$ और $\mathrm{(v)}$ से,

$$ y_1+2 y_2+y_3=16\qquad\ldots\mathrm{(xi)} $$

समीकरणों $\mathrm{(iii)}$ और $\mathrm{(vi)}$ से,

$$ z_1+2 z_2+z_3=6\qquad\ldots\mathrm{(xii)} $$

समीकरणों $\mathrm{(vii)}$ और $\mathrm{(x)}$ से,

$$ \begin{aligned} 2 x_2 & =6 \Rightarrow x_2 =3 \\ \\ x_2 & =3, \ \text { तब, } \ x_3 =-1 \\ \\ x_3 & =-1 \ \text { तब, }
x_1 =1 \\ \\ \Rightarrow x_1 & =1, x_2=3, x_2=-1 \end{aligned} $$

समीकरणों $\mathrm{(viii)}$ और $\mathrm{(xi)}$ से,

$$ \begin{aligned} 2 y_2 & =8 \Rightarrow y_2=4 \\ \\ y_2 & =4 \ \text { तब, } \ y_1 =2 \\ \\ y_1 & =2 \ \text { तब, } \ y_3 =6 \\ \\ y_1 & =2, y_2=4, y_3=6 \end{aligned} $$

समीकरणों (ix) और (xii) से,

तो,

$$ 2 z_2 =10 \Rightarrow z_2=5 $$

$$ z_1=3,z_2=5,z_3=-7 $$

इसलिए, त्रिभुज के शीर्ष $A(1,2,3), B(3,4,5)$ और $C(-1,6,-7)$ हैं।

इसलिए, त्रिभुज के केंद्रक $G\left(\dfrac{1+3-1}{3}, \dfrac{2+4+6}{3}, \dfrac{3+5-7}{3}\right)$ अर्थात $G(1,4,1 / 3)$ है।

सोचने की प्रक्रिया

पहले सभी बिंदुओं $A, B$ और $C$ के बीच दूरी के मान $AB, AC$ और $BC$ को दूरी सूत्र के उपयोग द्वारा ज्ञात करें अर्थात $\sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}+(z_1-z_2)^{2}}$, फिर दिखाएं कि $AB + BC = AC$ बिंदुओं $A, B$ और $C$ के संरेख होने के लिए।

हल

दिए गए बिंदु $A(0,-1,-7), B(2,1,-9)$ और $C(6,5,-13)$ हैं

$ \begin{aligned} & A B=\sqrt{(0-2)^{2}+(-1-1)^{2}+(-7+9)^{2}}=\sqrt{4+4+4}=2 \sqrt{3} \\ \\ & B C=\sqrt{(2-6)^{2}+(1-5)^{2}+(-9+13)^{2}}=\sqrt{16+16+16}=4 \sqrt{3} \\ \\ & A C=\sqrt{(0-6)^{2}+(-1-5)^{2}+(-7+13)^{2}}=\sqrt{36+36+36}=6 \sqrt{3} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \because \ \ A B+B C=2 \sqrt{3}+4 \sqrt{3}=6 \sqrt{3} \\ \\ & \text { इसलिए, } \ \ A B+B C=A C \\ \\ & \text { इसलिए, बिंदु } A, B \text { और } C \text { संरेख हैं। } \\ \\ & A B: A C=2 \sqrt{3}: 6 \sqrt{3}=1: 3 \end{aligned} $

इसलिए, बिंदु $A$ बिंदु $B$ और $C$ को $1: 3$ के अनुपात में बाहरी विभाजित करता है,

हल

$2$ इकाई के किनारे वाले घन के शीर्षों के निर्देशांक $(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0)$, $(0,2,2),(0,0,2),(2,0,2),(0,0,0)$ और $(2,2,2)$ हैं।

हल

(a) दिया गया, बिंदु $P(3,4,5)$ है।

$P$ की $YZ$-तल से दूरी, $\quad[\because YZ$-तल, $x=0]$

$ d=\sqrt{(0-3)^{2}+(4-4)^{2}+(5-5)^{2}}=3 $

हल

(b) हम जानते हैं कि, $Y$-अक्ष पर $x=0$ और $z=0$ होता है।

$\therefore \ \ $ बिंदु $A(0,4,0)$,

$ \begin{aligned} P A & =\sqrt{(0-3)^{2}+(4-4)^{2}+(0-5)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+0+25}=\sqrt{34} \end{aligned} $

Solution

(a) दिया गया, बिंदु $P(3,4,5)$ और $O(0,0,0)$,

$ \begin{aligned} P O & =\sqrt{(0-3)^{2}+(0-4)^{2}+(0-5)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{9+16+25}=\sqrt{50} \end{aligned} $

Solution

(b) दिया गया, बिंदु $A(a, 0,1)$ और $B(0,1,2)$ हैं।

$ \begin{aligned} \therefore \ \ & A B=\sqrt{(a-0)^{2}+(0-1)^{2}+(1-2)^{2}} \\ \\ \Rightarrow \ \ & \sqrt{27}=\sqrt{a^{2}+1+1} \\ \\ \Rightarrow \ \ & 27=a^{2}+2 \\ \\ \Rightarrow \ \ & a^{2}=25 \\ \\ \Rightarrow \ \ & a= \pm 5 \end{aligned} $

Solution

(a) हम जानते हैं कि, $X Y$ और $X Z$ समतलों पर, प्रतिच्छेदन रेखा $X$-अक्ष होती है।

• विकल्प (b) गलत है क्योंकि समतल $ YZ $ और $ ZX $ का प्रतिच्छेदन $ Z $-अक्ष होता है, न कि $ X $-अक्ष।
• विकल्प (c) गलत है क्योंकि समतल $ XY $ और $ YZ $ का प्रतिच्छेदन $ Y $-अक्ष होता है, न कि $ X $-अक्ष।
• विकल्प (d) गलत है क्योंकि विकल्प (a) सही है, इसलिए “इनमें से कोई नहीं” एक अमान्य चयन है।

Solution

(c) $Y$-अक्ष पर, $x=0$ और $z=0$ होता है।

हल

(b) बिंदु $(-2,-3,-4)$ सातवाँ आठवाँ चतुर्थक में स्थित है।

हल

(a) एक समतल $YZ$-समतल के समानांतर है, इसलिए यह $X$-अक्ष के लंब है।

हल

(a) हम जानते हैं कि, $X$-अक्ष पर समीकरण $y=0, z=0$ है। इसलिए, बिंदु के बिंदुपथ $X$-अक्ष का समीकरण है।

हल

(b) $YZ$-समतल पर $x=0$, इसलिए बिंदु के बिंदुपथ $YZ$-समतल है।

हल

(a) समांतर चतुर्भुज के दिए गए बिंदु $A(5,8,10)$ और $B(3,6,8)$ हैं।

$ \begin{aligned} \therefore \quad AB & =\sqrt{(5-3)^{2}+(6-8)^{2}+(10-8)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{4+4+4}=2 \sqrt{3} \end{aligned} $

हल

(d) हम जानते हैं कि, $XY$-समतल पर $z=0$ होता है। इसलिए, बिंदु $L$ के निर्देशांक $(3,4,0)$ हैं।

हल

(a) $X$-अक्ष पर, $y=0$ और $z=0$

अतः, आवश्यक निर्देशांक $(3,0,0)$ हैं।

हल

तीन अक्ष $O X, O Y$ और $O Z$ तीन निर्देशांक समतल निर्धारित करते हैं।

हल

तीन बिंदु

हल

दिया गया बिंदु

हल

आठ भाग

हल

हम जानते हैं कि, $YZ$-समतल पर $x=0$ होता है। अतः, आवश्यक बिंदु के निर्देशांक $(0, y, z)$ होते हैं।

हल

$YZ$-समतल का समीकरण $x=0$ है।

हल

$Z$-अक्ष पर, $x=0$ और $y=0$ होता है। अतः, आवश्यक निर्देशांक $(0,0, z)$ होते हैं।

हल

$Z$-अक्ष का समीकरण, $x=0$ और $y=0$।

हल

$z$-निर्देशांक।

हल

$y$ और $z$-निर्देशांक।

हल

$ x = a $ एक तल को निरूपित करता है जो $YZ$-तल के समानांतर है।

हल

$YZ$-तल के समानांतर तल $X$-अक्ष के लंबवत होता है।

हल

दिए गए आयाम $a=10, b=13$ और $c=8$ हैं।

$ \begin{aligned} \therefore \quad \text { आवश्यक लंबाई } & =\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}} \\ \\ & =\sqrt{100+169+64}=\sqrt{333} \end{aligned} $

हल

दिए गए बिंदु $(a, 2,1)$ और $(1,-1,1)$ हैं।

$ \begin{aligned} & \therefore \ \sqrt{(a-1)^{2}+(2+1)^{2}+(1-1)^{2}} =5 \\ \\ & \Rightarrow \ (a-1)^{2}+9+0 =25 \\ \\ & \Rightarrow \ a^{2}-2 a+1+9 =25 \\ \\ & \Rightarrow \ a^{2}-2 a-15 =0 \\ \\ & \Rightarrow \ a^{2}-5 a+3 a-15 =0 \\ \\ & \Rightarrow \ a(a-5)+3(a-5) =0 \\ \\ & \Rightarrow \ (a-5)(a+3) =0 \\ \\ & \Rightarrow \ a-5=0 \text { या } a+3 =0 \\ \\ & \therefore \ a =+5 \text { या }-3 \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $\triangle A B C$ के शीर्ष $A(x_1, y_1, z_1), B(x_2, y_2, z_2)$ और $C(x_3, y_3, z_3)$ हैं।

क्योंकि, $D$ भुजा $AB$ का मध्य-बिंदु है, तो

$ \begin{aligned} & \dfrac{x_1+x_2}{2}=1 \Rightarrow x_1+x_2=2 \qquad\ldots\mathrm{(i)} \\ \\ & \dfrac{y_1+y_2}{2}=2 \Rightarrow y_1+y_2=4 \qquad\ldots\mathrm{(ii)} \\ \\ & \dfrac{z_1+z_2}{2}=-3 \Rightarrow z_1+z_2=-6\qquad\ldots\mathrm{(iii)} \end{aligned} $

इसी तरह, $E$ और $F$ क्रमशः भुजा $BC$ और $AC$ के मध्य-बिंदु हैं।

$ \begin{aligned} & \dfrac{x_2+x_3}{2}=3 \Rightarrow x_2+x_3=6 \qquad\ldots\mathrm{(vi)} \\ \\ & \dfrac{y_2+y_3}{2}=0 \Rightarrow y_2+y_3=0 \qquad\ldots\mathrm{(v)} \\ \\ & \dfrac{z_2+z_3}{2}=1 \Rightarrow z_2+z_3=2 \qquad\ldots\mathrm{(vi)} \\ \\ & \dfrac{x_1+x_3}{2}=-1 \Rightarrow x_1+x_3=-2 \qquad\ldots\mathrm{(vii)} \\ \\ & \dfrac{y_1+y_3}{2}=1 \Rightarrow y_1+y_3=2 \qquad\ldots\mathrm{(viii)} \\ \\ & \dfrac{z_1+z_3}{2}=-4 \Rightarrow z_1+z_3=-8\qquad\ldots\mathrm{(ix)} \end{aligned} $

समीकरण $\mathrm{(i)}$ और $\mathrm{(iv)}$ से,

$ x_1+2 x_2+x_3=8\qquad\ldots\mathrm{(x)} $

समीकरण $\mathrm{(ii)}$ और $\mathrm{(v)}$ से,

$ y_1+2 y_2+y_3=4\qquad\ldots\mathrm{(xi)} $

समीकरण $\mathrm{(iii)}$ और $\mathrm{(ix)}$ से,

$ z_1+2 z_2+z_3=-4\qquad\ldots\mathrm{(xii)} $

समीकरण $\mathrm{(vii)}$ और $\mathrm{(x)}$ से,

$ 2 x_2=10 \Rightarrow x_2=5 $

$x_2=5$, तो $x_1=-3$

यदि $ x_1=-3, x_2=5 \Rightarrow x_3=1 $

$\because \ \ $ समीकरण $\mathrm{(viii)}$ और $\mathrm{(xi)}$ से,

$ \begin{aligned} 2 y_2 & =2 \Rightarrow y_2=1 \\ \\ y_2 & =1, \text { तो } y_3=-1 \\ \\ y_3 & =-1, \text { तो } y_1=3 \\ \\ y_1 & =3, y_2=1, y_3=-1 \end{aligned} $

समीकरण $\mathrm{(ix)}$ और $\mathrm{(xii)}$ से,

$ \begin{aligned}

2 z_2 & =4 \Rightarrow z_2=2 \\ \\ z_2 & =2, \text { तब, } z_3=0 \\ \\ z_3 & =0, \text { तब, } z_1=-8 \\ \\ z_1 & =-8, z_2=2, z_3=0 \end{aligned} $

अतः, त्रिभुज $\triangle A B C$ के शीर्ष $A(-3,3,-8), B(5,1,2)$ और $C(1,-1,0)$ हैं।

अतः, त्रिभुज $\triangle A B C$ के केंद्रक $G \left(\dfrac{-3+5+1}{3}, \dfrac{3+1-1}{3}, \dfrac{-8+2+0}{3}\right)=(1,1,-1)$ है।

अर्थात, $ \ G(1,1,-2)$।

हल

(i) $XY$-समतल में, $z$-निर्देशांक शून्य होता है।

(ii) बिंदु $(2,3,4)$ प्रथम आठवाँ में स्थित है।

(iii) $x$-निर्देशांक शून्य होने वाले बिंदुओं के बिंदुपथ $YZ$-समतल होता है।

(iv) एक रेखा $X$-अक्ष के समांतर होगी यदि और केवल यदि रेखा पर सभी बिंदुओं के $y$ और $z$-निर्देशांक समान हो।

(v) $x=0, y=0$ $Z$-अक्ष को प्रदर्शित करते हैं।

(vi) $z=c$ $XY$-समतल के समांतर समतल को प्रदर्शित करता है।

(vii) समतल $x=a, y=b$ $Z$-अक्ष के समांतर रेखा को प्रदर्शित करते हैं।

(viii) एक बिंदु के निर्देशांक उस बिंदु से मूल बिंदु तक लंब के पाद तक की दूरियाँ होती हैं।

(ix) एक गेंद एक गोले द्वारा घिरे अंतरिक अंतराल क्षेत्र को कहते हैं।

(x) एक वृत्त द्वारा घिरे तल में क्षेत्र को डिस्क कहते हैं।