हल

दिया गया व्यंजक $=(1-i)^{n} (1-\dfrac{1}i)^{n}$

$ \begin{aligned} & =(1-i)^{n}(i-1)^{n} \cdot i^{-n}=(1-i)^{n}(1-i)^{n}(-1)^{n} \cdot i^{-n} \\ \\ & =[(1-i)^{2}]^{n}(-1)^{n} \cdot i^{-n}=(1+i^{2}-2 i)^{n}(-1)^{n} i^{-n} \\ \\ & =(1-1-2 i)^{n}(-1)^{n} i^{-n} \quad[\because i^{2}=-1] \\ \\ &=(-2)^{n} \cdot i^{n}(-1)^{n} i^{-n} \\ \\ & =(-1)^{2 n} \cdot 2^{n}=2^{n} \end{aligned} $

चिंतन प्रक्रिया

इसे हल करने के लिए $i^{2}=-1, i^{4}=(-1)^{2}=1, i^{3}=-i \text {, और } i^{5}=i$ का उपयोग करें।

हल

दिया गया है, $\displaystyle \sum_{n=1}^{13}(i^{n}+i^{n+1}), n \in N$

$=(i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}+i^{9}+i^{10}+i^{11}+i^{12}+i^{13}) $

$\quad+(i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}+i^{9}+i^{10}+i^{11}+i^{12}+i^{13}+i^{14}) $

$=(i+2 i^{2}+2 i^{3}+2 i^{4}+2 i^{5}+2 i^{6}+2 i^{7}+2 i^{8}+2 i^{9}+2 i^{10}+2 i^{11}+2 i^{12}+2 i^{13}+i^{14}) $

$=i-2-2 i+2+2 i+2(i^{4}) i^{2}+2(i)^{4} i^{3}+2(i^{2})^{4}+2(i^{2})^{4} i+2(i^{2})^{5} $

$\quad+2(i^{2})^{5} \cdot i+2(i^{2})^{6}+2(i^{2})^{6} \cdot i+(i^{2})^{7} $

$=i-2-2 i+2+2 i-2-2 i+2+2 i-2-2 i+2+2 i-1$

$=-1+i$

वैकल्पिक विधि

$ \begin{aligned} & \sum_{n=1}^{13}(i^{n}+i^{n+1}), n \in N=\sum_{n=1}^{13} i^{n}(1+i) \\ \\ & =(1+i)[i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+i^{5}+i^{6}+i^{7}+i^{8}+i^{9}+i^{10}+i^{11}+i^{12}+i^{13}] \\ \\ & =(1+i)[i^{13}] \quad[\because i^{n}+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0, \text { where } n \in N \text { i.e., } \sum_{n=1}^{12} i^{n}=0] \\ \\ & =(1+i) i \quad [\because i^{13}=(i^4)^3 . i = i] \\ \\ & =(i^{2}+i)=i-1 \end{aligned} $

सोचने की प्रक्रिया

यदि दो समिश्र संख्याएँ $z_1=x_1+i y_{1}$ और $z_2=x_2 +iy_{2}$ समान हों

$ \text { अर्थात, } \quad z_1=z_2 \Rightarrow x_1+i y_1=x_2+i y_2 \text {, तो } x_1=x_2 \text { और } y_1=y_2 \text {. } $

हल

दिया गया है, $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{3}-\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^{3}=x+i y \quad \ldots (i)$

$ \begin{aligned} \therefore \quad \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^3 & =\dfrac{1+i^{3}+3 i(1+i)}{1-i^{3}-3 i(1-i)}=\dfrac{1-i+3 i+3 i^{2}}{1+i-3 i+3 i^{2}} \\ \\ & =\dfrac{2 i-2}{-2 i-2}=\dfrac{i-1}{-i-1}=\dfrac{1-i}{1+i} \\ \\ & =\dfrac{(1-i)}{(1+i)} \dfrac{(1-i)}{(1-i)}=\dfrac{1+i^{2}-2 i}{1+1}=\dfrac{1-1-2 i}{2} \end{aligned} $

$\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{3}=-i \quad \ldots (ii)$

उसी तरह, $\quad \left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^3=\dfrac{1+i}{1-i}=\dfrac{2i}{2}=i \quad \ldots (iii)$

समीकरण (ii) और (iii) को समीकरण (i) में उपयोग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} -i-i & =x+i y \\ \\ \Rightarrow -2 i & =x+i y \end{aligned} $

समिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ x=0 \text { और } y=-2 $

इसलिए, $ \quad (x, y)=(0,-2)$

हल

दिया गया है, $ \dfrac{(1+i)^{2}}{2-i}=x+i y $

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \dfrac{(1+i^{2}+2 i)}{2-i}=x+i y \\ \\ \Rightarrow & \dfrac{2 i}{2-i}=x+i y \\ \\ \Rightarrow & \dfrac{2 i(2+i)}{(2-i)(2+i)}=x+i y \\ \\ \Rightarrow & \dfrac{4 i+2 i^{2}}{4-i^{2}}=x+i y \end{matrix} $

$\Rightarrow \quad \dfrac{4 i-2}{4+1}=x+i y \\ \\Rightarrow \quad \dfrac{-2}{5}+\dfrac{4 i}{5}=x+i y$

समिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ x=-\dfrac{2}{5} \Rightarrow y=\dfrac{4}{5} $

$ \Rightarrow \quad x+y=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{4}{5}=\dfrac{2}{5} $

हल

दिया गया है, $\left(\dfrac{1-i}{1+i}\right)^{100}=a+i b$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad \left[\dfrac{(1-i)}{(1+i)} \cdot \dfrac{(1-i)}{(1-i)}\right]^{100}=a+i b \\ \\ & \Rightarrow \quad {\left(\dfrac{1+i^{2}-2 i}{1-i^{2}}\right)}^{100}=a+i b \\ \\ & \Rightarrow \quad \left(\dfrac{-2 i}{2}\right)^{100}=a+i b \quad[\because i^{2}=-1] \\ \\ & \Rightarrow \quad(i^{4})^{25}=a+i b \\ \\ & \Rightarrow \quad 1=a+i b \quad[\because i^{4}=1] \end{aligned} $

कम्प्लेक्स संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \quad a=1 \text { और } b=0 \\ \\ & \therefore \quad(a, b)=(1,0) \end{aligned} $

चिंतन प्रक्रिया

उपरोक्त समस्या को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय सूत्र का उपयोग करें

$\cos \theta=2 \cos ^{2} \theta /2$ $-1=1-2 \sin ^{2} \theta / 2$ और $\sin \theta=2 \sin \theta / 2 \cdot \cos \theta / 2$।

हल

दिया गया है, $a=\cos \theta+i \sin \theta$

$ \begin{aligned} \therefore \quad \dfrac{1+a}{1-a} & =\dfrac{1+\cos \theta+i \sin \theta}{1-\cos \theta-i \sin \theta} \\ \\ & =\dfrac{1+2 \cos ^{2} \theta / 2-1+2 i \sin \theta / 2 \cdot \cos \theta / 2}{1-1+2 \sin ^{2} \theta / 2-2 i \sin \theta / 2 \cdot \cos \theta / 2}=\dfrac{2 \cos \theta / 2(\cos \theta / 2+i \sin \theta / 2)}{2 \sin \theta / 2(\sin \theta / 2-i \cos \theta / 2)} \\ \\ & =-\dfrac{2 \cos \theta / 2(\cos \theta / 2+i \sin \theta / 2)}{2 i \sin \theta / 2(\cos \theta / 2+i \sin \theta / 2)}=-\dfrac{1}{i} \cot \theta / 2 \\ \\ & =\dfrac{i^{2}}{i} \cot \theta / 2 \quad \left[\because \dfrac{-1}{i}=\dfrac{i^{2}}{i}\right] \\ \\ & =i \cot \theta / 2 \end{aligned} $

हल

हमें, $(1+i) z=(1-i) \bar{z} $ दिया गया है

$\Rightarrow \dfrac{z}{\bar{z}}=\dfrac{(1-i)}{(1+i)}$

$\Rightarrow \dfrac{z}{\bar{z}}=\dfrac{(1-i)}{(1+i)} \dfrac{(1-i)}{(1-i)} $

$\Rightarrow \dfrac{z}{\bar{z}}=\dfrac{1+i^{2}-2 i}{1-i^{2}} \quad {[\because i^{2}=-1]} $

$\Rightarrow \dfrac{z}{\bar{z}}=\dfrac{1-1-2 i}{2}$

$ \Rightarrow \dfrac{z}{\bar{z}}=-i $

$\therefore \quad z=-i \bar{z}$

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

हल

दिया गया है, $z=x+iy$

तब, $\bar{z} = x-iy$

अब, $ z \bar{z}+2(z+\bar{z})+b=0$

$\Rightarrow \quad(x+i y)(x-i y)+2(x+i y+x-i y)+b=0$

$\Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}+4 x+b=0$, जो एक वृत्त का समीकरण है।

हल

मान लीजिए $\quad z =x+i y $ और $\bar{z} = x-iy$

अब, $\quad \dfrac{\bar{z}+2}{\bar{z}-1} =\dfrac{x-i y+2}{x-i y-1} $

$=\dfrac{[(x+2)-i y][(x-1)+i y]}{[(x-1)-i y][(x-1)+i y]} $

$=\dfrac{(x-1)(x+2)-i y(x-1)+i y(x+2)+y^{2}}{(x-1)^{2}+y^{2}} $

$ =\dfrac{(x-1)(x+2)+y^{2}+i[(x+2) y-(x-1) y]}{(x-1)^{2}+y^{2}} \quad[\because-i^{2}=1]$

प्रश्न के अनुसार, हमें वास्तविक भाग $=4$ है

$\therefore \quad \dfrac{(x-1)(x+2)+y^{2}}{(x-1)^{2}+y^{2}}=4$

$\Rightarrow \quad x^{2}-x+2 x-2+y^{2}=4(x^{2}-2 x+1+y^{2})$

$\Rightarrow \quad 3 x^{2}+3 y^{2}-9 x+6=0$, जो एक वृत्त को निरूपित करता है।

इसलिए, $z$ वृत्त पर स्थित है।

चिंतन प्रक्रिया

पहले उपयोग करें, $\arg \left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)=\arg (z_1)-\arg (z_2)$.

इसके अलावा उपयोग करें $\arg (z)=\theta=\tan ^{-1} (\dfrac{y}{x})$, जहाँ $z=x+i y$

और फिर गुणधर्म $\tan ^{-1} x-\tan ^{-1} y=\tan ^{-1} \left(\dfrac{x-y}{1+x y}\right)$ का उपयोग करें।

हल

मान लीजिए $\quad z =x+i y $

दिया गया है, $\quad \arg \left(\dfrac{z-1}{z+1}\right) =\dfrac{\pi}{4}$

$\Rightarrow \arg (z-1)-\arg (z+1)=\dfrac{\pi}{4} $

$\Rightarrow \arg (x+i y-1)-\arg (x+i y+1)=\dfrac{\pi}{4} $

$\Rightarrow \arg (x-1+i y)-\arg (x+1+i y)=\dfrac{\pi}{4}$

$\Rightarrow \tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x-1}\right)-\tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x+1}\right)=\dfrac{\pi}{4} $

$\Rightarrow \tan ^{-1} \left[\dfrac{\dfrac{y}{x-1}-\dfrac{y}{x+1}}{1+\left(\dfrac{y}{x-1} \right)\left(\dfrac{y}{x+1}\right)}\right]=\dfrac{\pi}{4} $

$\Rightarrow \dfrac{y \left[\dfrac{x+1-x+1}{x^{2}-1}\right]}{\dfrac{x^{2}-1+y^{2}}{x^{2}-1}}=\tan \left(\dfrac{\pi}{4}\right) $

$\Rightarrow \dfrac{2 y}{x^{2}+y^{2}-1}=1 $

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-1=2 y $

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}-2 y-1=0,$ जो एक वृत्त को प्रस्तुत करता है।

हल

दी गई समीकरण $|z|=z+1+2 i \quad \ldots (i)$

मान लीजिए $\quad z=x+i y$

समीकरण (i) से, $\quad|x+i y|=x+i y+1+2 i$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & \sqrt{x^{2}+y^{2}}=x+i y+1+2 i & [\because|z|+\sqrt{x^{2}=y^{2}}] \\ \\ \Rightarrow & \sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x+1)+i(y+2) & \end{matrix} $

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$x^{2}+y^{2}=(x+1)^{2}+i^{2}(y+2)^{2}+2 i(x+1)(y+2) $

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=x^{2}+2 x+1-y^{2}-4 y-4+2 i(x+1)(y+2)$

वास्तविक और काल्पनिक भाग की तुलना करने पर,

$x^{2}+y^{2} =x^{2}+2 x+1-y^{2}-4 y-4 $

अर्थात, $\quad 2y^2 = 2x-4y-3\quad \ldots (ii)$

और $\quad 2(x+1)(y+2) =0$

$(x+1)=0 \text { या }(y+2) =0$

$\Rightarrow x=-1, \text { या } y=-2$

$ x= -1 $ के लिए, $ 2y^2 = -2-4y-3 $

$2y^2+ 4y + 5 =0 \qquad$ [समीकरण (ii) का उपयोग करते हुए]

$\Rightarrow y =\dfrac{-4 \pm \sqrt{16-2 \times 4 \times 5}}{4} $

$y =\dfrac{-4 \pm \sqrt{-24}}{4} \notin R$

$ y=-2 $ के लिए,

$2(-2)^{2} =2 x-4(-2)-3 \qquad$ [समीकरण (ii) का उपयोग करते हुए]

$\Rightarrow 8 =2 x+8-3$

$\Rightarrow 2 x =3 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2}$

$\therefore \quad z= x+iy=\dfrac{3}{2}-2i$

हल

दिया गया है,

$|z+1| =z+2(1+i) \quad \ldots {(i)}$

मान लीजिए, $z =x+i y$

तब,

$ |x+i y+1|=x+i y+2(1+i) $

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad|x+1+i y|=(x+2)+i(y+2) \\ \\ & \Rightarrow \quad \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}=(x+2)+i(y+2) \end{aligned} $

अनुपातिक वास्तविक और काल्पनिक भाग की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\sqrt{(x+1)^2+y^2} = (x+2) \quad \ldots (ii)$

और $y+2 = 0$

$\Rightarrow y=-2$

समीकरण (ii) से

$\sqrt{(x+1)^2+(-2)^2} = (x+2)$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \quad (x+1)^2+4 = x^2+4x+4$

$\Rightarrow \quad x^2+2x+1+4 = x^2+4x+4$

$\Rightarrow \quad -2x+1=0$

$\Rightarrow \quad x=\dfrac{1}{2}$

$\therefore \quad z=x+iy = \dfrac{1}{2}-2i$

हल

दिया गया है, $\arg (z-1)=\arg (z+3 i)$

$\text{और } \quad \text { मान लीजिए } z =x+i y$

$\text{अब } \quad \arg (z-1) =\arg (z+3 i) $

$\Rightarrow \arg (x+i y-1) =\arg (x+i y+3 i) $

$\Rightarrow \arg (x-1+i y) =\arg [x+i(y+3)] $

$ \Rightarrow\tan ^{-1} \left(\dfrac{y}{x-1} \right) =\tan ^{-1} \left(\dfrac{y+3}{x} \right)$

$\Rightarrow \dfrac{y}{x-1} =\dfrac{y+3}{x} $

$\Rightarrow x y=(x-1)(y+3) $

$\Rightarrow x y =x y-y+3 x-3 $

$\Rightarrow 3 x-3=y$

$\Rightarrow \dfrac{3(x-1)}{y}=1 $

$\Rightarrow \dfrac{x-1}{y}=\dfrac{1}{3} $

$\therefore (x-1): y=1: 3$

चिंतन प्रक्रिया

हम जानते हैं कि एक वृत्त के सामान्य समीकरण $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ होता है, जिसका केंद्र $(-g,-f)$ और त्रिज्या $=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}$ होती है।

हल

मान लीजिए $z=x+i y$

दिया गया समीकरण $\left|\dfrac{z-2}{z-3}\right|=2 $

$\Rightarrow \quad \left|\dfrac{x+i y-2}{x+i y-3}\right|=2$

$\Rightarrow \quad|x-2+i y|=2 | x-3+i y |$

$\Rightarrow \quad \sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=2 \sqrt{(x-3)^{2}+y^{2}} \quad [\because|x+i y|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}]$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & & x^{2}-4 x+4+y^{2} & =4(x^{2}-6 x+9+y^{2}) \\ \\ \Rightarrow & & 3 x^{2}+3 y^{2}-20 x+32 & =0 \\ \\

\Rightarrow & & x^{2}+y^{2}-\dfrac{20}{3} x+\dfrac{32}{3} & =0 \end{aligned} $

ऊपर के समीकरण को $x^{2}+y^{2}+2 g x+2 f y+c=0$ के साथ तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \quad 2 g=\dfrac{-20}{3} \Rightarrow g=\dfrac{-10}{3} $

और $\quad 2 f=0 \Rightarrow f=0 \text { और } c=\dfrac{32}{3} $

$\therefore \quad \text { केंद्र }=(-g,-f)=\left(\dfrac{10}{3},0 \right)$

इसके अतिरिक्त, $\quad \text { त्रिज्या }(r)=\sqrt{\left(\dfrac{10}{3}\right)^{2}+0-\dfrac{32}3} \qquad[\because r=\sqrt{g^{2}+f^{2}-c}] $

$\qquad \qquad \qquad =\dfrac{1}{3} \sqrt{(100-96)}=\dfrac{2}{3}$

चिंतन प्रक्रिया

यदि $z=x +iy$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है, तो इसके वास्तविक भाग शून्य होना चाहिए, अर्थात $x=0$,

हल

मान लीजिए $z =x+i y $

$\dfrac{z-1}{z+1} =\dfrac{x+i y-1}{x+i y+1}, z \neq-1 $

$=\dfrac{x-1+i y}{x+1+i y}=\dfrac{(x-1+i y)(x+1-i y)}{(x+1+i y)(x+1-i y)}$

$ =\dfrac{(x^{2}-1)+i y(x+1)-i y(x-1)-i^{2} y^{2}}{(x+1)^{2}-(i y)^{2}} $

$\Rightarrow \quad \dfrac{z-1}{z+1} =\dfrac{(x^{2}-1)+y^{2}+i[y(x+1)-y(x-1)]}{(x+1)^{2}+y^{2}}$

दिया गया है कि, $\dfrac{z-1}{z+1}$ एक शुद्ध काल्पनिक संख्या है।

तब, $\quad \dfrac{(x^{2}-1)+y^{2}}{(x+1)^{2}+y^{2}}=0$

$\Rightarrow x^{2}-1+y^{2}=0 \Rightarrow x^{2}+y^{2}=1 $

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{1} $

$\Rightarrow|z|=1 \quad {[\because|z|=\sqrt{x^{2}+y^{2}}]}$

हल

मान लीजिए $z_1=r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)$ और $z_2=r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)$ दो कम्प्लेक्स संख्याएं हैं।

दिया गया है कि, $\quad |z_1| =|z_2| $

और $\quad \arg (z_1)+\arg (z_2) =\pi $

यदि $\quad |z_1| =|z_2| $

$\Rightarrow r_1 =r_2 $

और यदि $\quad \arg (z_1)+\arg (z_2) =\pi $

$\Rightarrow \theta_1+\theta_2 =\pi$

$\Rightarrow \theta_1 =\pi-\theta_2$

अब $\quad z_1=r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)$

$\Rightarrow z_1=r_2(\cos (\pi-\theta_2)+i \sin (\pi-\theta_2)] \quad [\because r_1=r_2 \text { और } \theta_1=(\pi-\theta_2)] $

$\Rightarrow z_1=r_2(-\cos \theta_2+i \sin \theta_2) $

$\Rightarrow z_1=-r_2(\cos \theta_2-i \sin \theta_2) $

$\Rightarrow z_1=-[r_2(\cos \theta_2-i \sin \theta_2)] \quad {[\because \bar{z}_2=r_2(\cos \theta_2-i \sin \theta_2)]} $

$\Rightarrow z_1=-\bar{z}_2 $

हल

मान लीजिए $z_1 =x+i y $

$\Rightarrow |z_1| =\sqrt{x^{2}+y^{2}}=1 \qquad [\because |z_1| = 1, \text{दिया गया}] \quad \ldots (i)$

अब, $z_2 =\dfrac{z_1-1}{z_1+1}=\dfrac{x+i y-1}{x+i y+1} $

$=\dfrac{x-1+i y}{x+1+i y}=\dfrac{(x-1+i y)(x+1-i y)}{(x+1+i y)(x+1-i y)} $

$=\dfrac{x^{2}-1+i y(x+1)-i y(x-1)-i^{2} y^{2}}{(x+1)^{2}-i^{2} y^{2}} $

$=\dfrac{x^{2}-1+i x y+i y-i x y+i y+y^{2}}{(x+1)^{2}+y^{2}}$

$=\dfrac{x^{2}+y^{2}-1+2 i y}{(x+1)^{2}+y^{2}}=\dfrac{1-1+2 i y}{(x+1)^{2}+y^{2}} \quad[\because x^{2}+y^{2}=1] $

$=0+\dfrac{2 y i}{(x+1)^{2}+y^{2}}$

इसलिए, $z_2$ का वास्तविक भाग शून्य है।

चिंतन प्रक्रिया

पहले मान लीजिए $z=r(\cos \theta+i \sin \theta)$, तो $z$ का संयुग्मी, $\bar{z}=r(\cos \theta-i \sin \theta)$ होता है।

गुणधर्म $\arg (\dfrac{z_1}{z_2})=\arg (z_1)-\arg (z_2)$ का उपयोग करें।

हल

मान लीजिए $z_1=r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)$,

तो, $\quad z_2=\bar{z}_1=r_1(\cos \theta_1-i \sin \theta_1)=r_1[\cos (-\theta_1)+\sin (-\theta_1)]$

इसके अतिरिक्त, $\quad$ मान लीजिए $\quad z_3=r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)$,

तो, $\quad z_4=\bar{z}_3=r_2(\cos \theta_2-i \sin \theta_2)=r_2 [\cos (- \theta _2)+i \sin (- \theta _2)]$

$ \begin{aligned}

\arg \dfrac{z_1}{z_4}+\arg \dfrac{z_2}{z_3} & =\arg (z_1)-\arg (z_4)+\arg (z_2)-\arg (z_3) \\ \\ & =\theta_1-(-\theta_2)+(-\theta_1)-\theta_2 \quad[\because \arg (z)=\theta] \\ \\ & =\theta_1+\theta_2-\theta_1-\theta_2=0 \end{aligned} $

हल

दिया गया है,

$ |z_1| =|z_2|=\cdots=|z_{n}|=1 $

$\Rightarrow |z_1|^{2} =|z_2|^{2}=\cdots=|z_{n}|^{2}=1$

$\Rightarrow z_1 \bar z_1 =z_2 \bar z_2=z_3 \bar z_3=\cdots=z_{n} \bar z_n=1 $

$\Rightarrow z_1 =\dfrac{1}{\bar z_1}, z_2=\dfrac{1}{\bar z_2}=\cdots=z_{n}=\dfrac{1}{\overline{z_n}}$

अब, $|z_1+z_2+z_3+z_4+\cdots+z_{n}|$

$=|\overline{z_1+z_2+z_3+ \ldots + z_n}| \quad [\because |z|=|\bar{z}|]$

$=|\bar{z_1}+\bar{z_2}+\bar{z_3}+ \ldots + \bar{z_n}|$

$=\left|\dfrac{1}{z_1}+\dfrac{1}{z_2}+\dfrac{1}{z_3}+ \ldots +\dfrac{1}{z_n}\right|$

इसलिए, सिद्ध कर दिया गया।

हल

मान लीजिए $ \ z_1=r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)$

और $\ z_2=r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)$

$\Rightarrow \arg (z_1)=\theta_1 \text { और } \arg (z_2)=\theta_2$

दिया गया है, $\ \arg (z_1) - \arg(z_2) = 0$

$ \theta_1-\theta_2=0 \Rightarrow \theta_1=\theta_2 $

$ z_2=r_2(\cos \theta_1+i \sin \theta_1) $

$ z_1-z_2=(r_1 \cos \theta_1-r_2 \cos \theta_1)+i(r_1 \sin \theta_1-r_2 \sin \theta_1) $

$ \begin{aligned} |z_1-z_2| & =\sqrt{(r_1 \cos \theta_1-r_2 \cos \theta_1)^{2}+(r_1 \sin \theta_1-r_2 \sin \theta_1)^{2}} \\ \\ & =\sqrt{r_1^{2}+r_2^{2}-2 r_1 r_2 \cos ^{2} \theta_1-2 r_1 r_2 \sin ^{2} \theta_1} \\ \\ & =\sqrt{r_1^{2}+r_2^{2}-2 r_1 r_2(\sin ^{2} \theta_1+\cos ^{2} \theta_1)} \\ \\ & =\sqrt{r_1^{2}+r_2^{2}-2 r_1 r_2}=\sqrt{(r_1-r_2)^{2}} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \Rightarrow |z_1-z_2| & =r_1-r_2 \\ \\ & =|z_1|-|z_2| \end{aligned} $

हल

दिया गया है, $\ Re(z^{2})=0,|z|=2$

मान लीजिए $z=x+iy$

$ \begin{matrix} \because & \sqrt{x^{2}+y^{2}}=2 \\ \\ \Rightarrow & x^{2}+y^{2}=4 \quad \ldots (i) \end{matrix} $

और $\ Re(z)=x$

इसके अतिरिक्त, $\ z=x+i y$

$\Rightarrow z^{2}=x^{2}+2 i x y-y^{2}$

$\Rightarrow z^{2}=(x^{2}-y^{2})+2 i x y$

$\Rightarrow Re(z^{2})=x^{2}-y^{2}$

$\Rightarrow x^{2}-y^{2}=0$ $\qquad [\because Re(z^{2})=0]$ $\quad \ldots (ii)$

समीकरण (i) और (ii) से,

$ x^{2}+x^{2} =4 $

$\Rightarrow 2 x^{2} =4 \Rightarrow x^{2}=2 $

$\Rightarrow x = \pm \sqrt{2} $

$\therefore y = \pm \sqrt{2} $

$\because z =x+i y $

$\Rightarrow z =\sqrt{2} \pm i \sqrt{2},-\sqrt{2} \pm i \sqrt{2}$

हल

दिया गया समीकरण $\ z+\sqrt{2}|(z+1)|+i=0$

मान लीजिए $\ z=x+iy$

$\Rightarrow \quad x+i y+\sqrt{2}|x+i y+1|+i=0$

$\Rightarrow \quad x+i(1+y)+\sqrt{2} \sqrt{(x+1)^{2}+y^{2}}=0$

$\Rightarrow \quad x+i(1+y)+\sqrt{2} \sqrt{(x^{2}+2 x+1+y^{2})}=0$

$\Rightarrow \quad x+\sqrt{2} \sqrt{(x^2+2x+1+y^2)}+i (1+y)=0 \quad \ldots (i)$

तुलना करते हुए वास्तविक और काल्पनिक भाग, हम प्राप्त करते हैं

$\Rightarrow \quad x+\sqrt{2} \sqrt{x^{2}+2 x+1+y^{2}}=0$

$\Rightarrow \quad x^{2}=2(x^{2}+2 x+1+y^{2})$

$\Rightarrow \quad x^{2}+4 x+2 y^{2}+2=0 \quad \ldots (ii)$

और $ \ 1+y=0 $

$\Rightarrow \quad y=-1$

$ \ y=-1, \quad x^{2}+4 x+2+2=0 \qquad$ [समीकरण (ii) का उपयोग करते हुए]

$\Rightarrow \quad x^{2}+4 x+4=0 \Rightarrow(x+2)^{2}=0$

$\Rightarrow \quad x+2=0 \Rightarrow x=-2$

$\therefore \quad z=x+i y=-2-i$

हल

दिया गया है, $z=\dfrac{1-i}{\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)}=\dfrac{-\sqrt{2} \left[\dfrac{-1}{\sqrt{2}}+i \dfrac{1}{\sqrt{2}}\right]}{\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)}$

$=\dfrac{-\sqrt{2}\left[\cos \left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)+i \sin \left(\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)\right]}{\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)}$

$=\dfrac{-\sqrt{2}\left[\cos \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)+i \sin \left(\dfrac{3 \pi}{4}\right)\right]}{\cos \left(\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{3}\right)}$

$=-\sqrt{2} \left[\cos \left(\dfrac{3 \pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}\right)+i \sin \left(\dfrac{3 \pi}{4}-\dfrac{\pi}{3}\right)\right]$

$=-\sqrt{2} \left[\cos \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right)+i \sin \left(\dfrac{5 \pi}{12}\right)\right]$

हल

मान लीजिए $\ z=r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1) \ $ और $ \ w=r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)$

इसके अतिरिक्त, $\ |z w|=|z||w|=r_1 r_2=1$

$\therefore \ r_1 r_2=1$

इसके अतिरिक्त, $\ \arg (z)=\theta_1 \ $ और $ \ \arg (w)=\theta_2$

लेकिन $\ \arg (z)-\arg (w) =\dfrac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \quad \theta_1-\theta_2 =\dfrac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \quad \arg (\dfrac{z}{w}) =\dfrac{\pi}{2} $

अब, सिद्ध करना है कि $\ \bar{z} w =-i $

$\text { LHS } =\bar{z} w $

$=r_1(\cos \theta_1-i \sin \theta_1) r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2) $

$=r_1 r_2[\cos (\theta_2-\theta_1)+i \sin (\theta_2-\theta_1)] $

$=r_1 r_2[\cos (-\pi / 2)+i \sin (-\pi / 2)] $

$=1[0-i] $

$=-i=\text{RHS}$

सिद्ध कर दिया।

हल

(i) $|a z_1-b z_2|^{2}+|b z_1+a z_2|^{2}$

$ \begin{aligned} & =|a z_1|^{2}+|b z_2|^{2}-2 Re(a z_1 \cdot b \bar{z}_2)+|b z_1|^{2}+|a z_2|^{2}+2 Re(a z_1 \cdot b \bar{z}_2) \\ \\ & =(a^{2}+b^{2})|z_1|^{2}+(a^{2}+b^{2})|z_2|^{2} \\ \\ & =(a^{2}+b^{2})(|z_1|^{2}+|z_2|^{2}) \end{aligned} $

(ii) $\sqrt{-25} \times \sqrt{-9}=i \sqrt{25} \times i \sqrt{9}=i^{2}(5 \times 3)=-15$

(iii) $\dfrac{(1-i)^{3}}{1-i^{3}}=\dfrac{(1-i)^{3}}{(1-i)(1+i+i^{2})}$

$ =\dfrac{(1-i)^{2}}{i}=\dfrac{1+i^{2}-2 i}{i}=\dfrac{-2 i}{i}=-2 $

(iv) $i+i^{2}+i^{3}+\ldots$ लगातार 1000 पदों तक $=i+i^{2}+i^{3}+i^{4}+\ldots i^{1000}=0$

$\displaystyle [\because i^{n}+i^{n+1}+i^{n+2}+i^{n+3}=0 \text {, जहाँ } n \in N \ i . e ., \sum_{n=1}^{1000} i^{n}=0] $

(v) $1+i$ का गुणनाधिकरण प्रतिलोम $\dfrac{1}{1+i}=\dfrac{1-i}{1-i^{2}}=\dfrac{1}{2}(1-i)$

(vi) मान लीजिए $z_1=x_1+i y_1$ और $z_2=x_2+i y_2$

$z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)$, जो वास्तविक है।

यदि $\quad z_1+z_2$ वास्तविक है, तो $y_1+y_2=0$

$\Rightarrow \quad y_1=-y_2$

$\because \quad z_2=x_2-i y_1$

$\Rightarrow \quad z_2=\bar{z}_1 \quad$ [जब $x_1=x_2$ ]

(vii) $\arg (z)+\arg (\bar{z}),(\bar{z} \neq 0)$

$\Rightarrow \quad \theta+(-\theta)=0$

(viii) दिया गया है, $|z+4| \leq 3$

सबसे बड़े मान के लिए $|z+1|$ के लिए।

$ \begin{aligned} \Rightarrow \quad|z+1| & =|z+4-3| \\ \\ & \leq|z+4|+|-3| \\ \\ & \leq 3+3 \\ \\ & \leq 6 \end{aligned} $

इसलिए, $|z+1|$ का सबसे बड़ा मान $6$ है।

सबसे छोटे मान के लिए $|z+1|$, हम जानते हैं कि किसी भी समिश्र संख्या के माप का सबसे छोटा मान शून्य होता है। इसलिए, $|z+1|$ का सबसे छोटा मान शून्य है।

(ix) दिया गया है,

$ |\dfrac{z-2}{z+2}|=\dfrac{\pi}{6} $

$\Rightarrow \dfrac{|x+i y-2|}{|x+i y+2|}=\dfrac{\pi}{6} \Rightarrow \dfrac{|x-2+i y|}{|x+2+i y|}=\dfrac{\pi}{6} $

$\Rightarrow 6|x-2+i y|=\pi|x+2+i y| $

$\Rightarrow 6 \sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}=\pi \sqrt{(x+2)^{2}+y^{2}} $

$\Rightarrow 36[x^{2}+4-4 x+y^{2}]=\pi^{2}[x^{2}+4 x+4+y^{2}] $

$\Rightarrow(36-\pi^{2}) x^{2}+(36-\pi^{2}) y^{2}-(144+4 \pi^{2}) x+144+4 \pi^{2}=0, \text { जो कि एक वृत्त है। }$

(x) दिया गया है कि, $|z|=4$ और $\arg (z)=\dfrac{5 \pi}{6}$

$\text { मान लीजिए } z =x+i y=r(\cos \theta+i \sin \theta) $

$\Rightarrow |z| =r=4 \text { और } \arg (z)=\theta =\dfrac{5 \pi}{6}$

$\Rightarrow z =4 \left[\cos \left(\dfrac{5 \pi}{6}\right)+i \sin \left(\dfrac{ 5 \pi}{6}\right)\right]$

$\qquad =4 \left[\dfrac{-\sqrt{3}}{2}+i \dfrac{1}{2}\right]=-2 \sqrt{3}+2 i$

हल

(i) असत्य

हम दो कम्प्लेक्स संख्याओं की तुलना कर सकते हैं जब वे शुद्ध वास्तविक हों। अन्यथा कम्प्लेक्स संख्याओं की तुलना संभव नहीं है।

(ii) असत्य

$z=x+iy, \quad x > 0,y > 0$

$-iz = -i(x+iy)$

$\quad \quad =-xi +y$

(iii) सत्य

मान लीजिए $ \ z =x+i y $

$|z|+|z-1| =\sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-1)^{2}+y^{2}}$

यदि $x=0, y=0$, तो $|z|+|z-1|$ का मान 1 होता है।

(iv) सत्य

मान लीजिए $\ z =x+i y $

दिया गया है, $|z-1| =|z-i| $

तब, $ \ |x-1+i y| =|x-i(1-y)| $

$(x-1)^{2}+y^{2} =x^{2}+(1-y)^{2} $

$x^{2}-2 x+1+y^{2} =x^{2}+1+y^{2}-2 y $

$-2 x+1 =1-2 y $

$-2 x+2 y =0 $

$x-y =0 \quad \ldots (i)$

बिंदुओं $(1,0)$ और $(0,1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण,

$ \begin{aligned} & y-0=\dfrac{1-0}{0-1}(x-1) \\ \\ & \Rightarrow \quad y=-(x-1) \Rightarrow x+y=1 \qquad \ldots (ii) \end{aligned} $

जो $x-y=0$ के लंबवत है।

(v) गलत

मान लीजिए $ \ z=x+i y, z \neq 0$ और $Re(z)=0$

अर्थात, $ \ x=0$

$\therefore \quad z=i y$

$Im(z^{2})=i^{2} y^{2}=-y^{2} \neq 0$

(vi) सही

दिया गया असमिका, $ \ |z-4|<|z-2|$

मान लीजिए $ \ z=x+i y$

$\therefore \quad |x-4+i y| <|x-2+i y| $

$\Rightarrow \sqrt{(x-4)^{2}+y^{2}} <\sqrt{(x-2)^{2}+y^{2}}$

$\Rightarrow (x-4)^{2}+y^{2}<(x-2)^{2}+y^{2}$

$\Rightarrow x^{2}-8 x+16+y^{2}<x^{2}-4 x+4+y^{2}$

$\Rightarrow -8 x+16<-4 x+4$

$\Rightarrow -8 x<-4 x-12$

$\Rightarrow -4 x<-12$

$\Rightarrow 4 x>12$

$\Rightarrow x>3$

(vii) गलत

मान लीजिए $z_1=x_1+i y_1 \ \text { और } \ z_2=x_2+i y_2 $

दिया गया है, $ \ |z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$

$|x_1+i y_1+x_2+i y_2| =|x_1+i y_1|+|x_2+i y_2| $

$\Rightarrow \quad \sqrt{(x_1+x_2)^{2}+(y_1+y_2)^{2}} =\sqrt{(x_1^{2}+y_1^{2})}+\sqrt{(x_2^{2}+y_2^{2})}$

दोनों ओर वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है

$(x_1+x_2)^{2}+(y_1+y_2)^{2}=(x_1^{2}+y_1^{2})+(x_2^{2}+y_2^{2})+2 \sqrt{(x_1^{2}+y_1^{2})(x_2^{2}+y_2^{2})} $

$\Rightarrow x_1^{2}+x_2^{2}+2 x_1 x_2+y_1^{2}+y_2^{2}+2 y_1 y_2=x_1^{2}+y_1^{2}+x_2^{2}+y_2^{2}+2 \sqrt{(x_1^{2}+y_1^{2})(x_2^{2}+y_2^{2})} $

$\Rightarrow 2 x_1 x_2+2 y_1 y_2=2 \sqrt{(x_1^{2}+y_1^{2})(x_2^{2}+y_2^{2})} $

$\Rightarrow x_1 x_2+y_1 y_2=\sqrt{(x_1^{2}+y_1^{2})(x_2^{2}+y_2^{2})}$

दोनों ओर वर्ग करने पर हमें प्राप्त होता है

$x_1^{2} x_2^{2}+y_1^{2} y_2^{2}+2 x_1 x_2 y_1 y_2 =x_1^{2} x_2^{2}+y_1^{2} x_2^{2}+x_1^{2} y_2^{2}+y_1^{2} y_2^{2} $

$\Rightarrow (x_1 y_2-x_2 y_1)^{2} =0 $

$\Rightarrow x_1 y_2 =x_2 y_1 $

$\Rightarrow \dfrac{y_1}{x_1} =\dfrac{y_2}{x_2} $

$\Rightarrow \left(\dfrac{y_1}{x_1}\right)-\left(\dfrac{y_2}{x_2}\right) =0 $

$\Rightarrow \arg (z_1)-\arg (z_2) =0$

(viii) गलत

क्योंकि, प्रत्येक वास्तविक संख्या एक जटिल संख्या भी होती है।

इसलिए, 2 एक समिश्र संख्या है।

हल

(a) दिया गया है, $\ z =i+\sqrt{3}=r(\cos \theta+\sin \theta) $

$\because \quad r \cos \theta =\sqrt{3}, r \sin \theta=1$

$\Rightarrow \quad r^{2} =1+3=4 \Rightarrow r=2 \quad [\because r>0]$

$\tan \theta = \left|\dfrac{r \sin \theta}{r \cos \theta}\right|=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\Rightarrow \quad \tan \theta =\dfrac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \theta=\dfrac{\pi}{6}$

$\therefore \ \arg (z) =\theta=\dfrac{\pi}{6}$

इसलिए, $z$ का ध्रुवीय रूप $2 \left[\cos \left(\dfrac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right]$ है।

(b) मान लीजिए $ \ z=x+iy$

तो कोण $= \tan^{-1}\left(\left|\dfrac{y}{x}\right|\right)$

$\qquad = \pi- \tan^{-1}\left(\left|\dfrac{y}{x}\right|\right) \quad ( \text{जब} \ x <0, y >0)$

दिया गया है $z= -1+\sqrt{-3}$

$z=-1+i \sqrt{3}$

$\therefore \quad \text{amp}(z)= \pi- \tan^{-1} \left(\dfrac{\sqrt{3}}{1}\right)$

$\qquad =\pi- \tan^{-1}(\sqrt{3})$

$\text{amp}(z)= \pi - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2 \pi}{3}$

(c) दिया गया है, $ \ |z+2|=|z-2|$

मान लीजिए $ \ z=x+iy$

$\therefore \quad |x+2+i y| =|x-2+i y| $

$\Rightarrow (x+2)^{2}+y^{2} =(x-2)^{2}+y^{2} $

$\Rightarrow x^{2}+4 x+4 =x^{2}-4 x+4 \quad \Rightarrow \quad 8 x=0$

$\therefore x =0$

यह $y-$ अक्ष के समीकरण को प्रदर्शित करता है और यह बिंदुओं $(-2,0)$ और $(0,2)$ को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत है।

(d) दिया गया है, $ \ |z+2 i|=|z-2 i|$

मान लीजिए $ \ z=x+iy$

$\therefore \quad |x+i(y+2)| =|x+i(y-2)| $

$\Rightarrow x^{2}+(y+2)^{2} =x^{2}+(y-2)^{2} $

$\Rightarrow 4 y =0 \Rightarrow y=0$

यह $x-$ अक्ष के समीकरण को प्रदर्शित करता है और यह बिंदुओं $(0,-2)$ और $(0,2)$ को जोड़ने वाले रेखा खण्ड के लंबवत है।

(e) दिया गया है, $\quad |z+4 i| \geq 3 $

मान लीजिए $\ z=x+iy$

$\therefore \quad |x+i y+4 i| \geq 3$

$\Rightarrow \quad |x+i(y+4)| \geq 3 $

$\Rightarrow \quad \sqrt{x^{2}+(y+4)^{2}} \geq 3 $

$\Rightarrow \quad x^{2}+(y+4)^{2} \geq 9 $

$\Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}+8 y+16 \geq 9 $

$\Rightarrow \quad x^{2}+y^{2}+8 y+7 \geq 0$

यह केंद्र $(0,-4)$ और त्रिज्या 3 वाले वृत्त के बाहर या उस पर वाले क्षेत्र को प्रदर्शित करता है।

(f) दिया गया है, $ \ |z+4| \leq 3$

मान लीजिए $ \ z= x+iy$

$\therefore \quad |x+i y+4| \leq 3 $

$\Rightarrow |x+4+i y| \leq 3 $

$\Rightarrow \sqrt{(x+4)^{2}+y^{2}} \leq 3 $

$\Rightarrow (x+4)^{2}+y^{2} \leq 9 $

$\Rightarrow x^{2}+8 x+16+y^{2} \leq 9 $

$\Rightarrow x^{2}+8 x+y^{2}+7 \leq 0$

यह केंद्र $(-4,0)$ और त्रिज्या 3 वाले वृत्त के अंदर या उस पर वाले क्षेत्र को प्रदर्शित करता है।

(g) दिया गया है,

$z =\dfrac{1+2 i}{1-i}=\dfrac{(1+2 i)(1+i)}{(1-i)(1+i)} $

$=\dfrac{1+2 i+i+2 i^{2}}{1-i^{2}}$

$=\dfrac{1-2+3 i}{1+1}=\dfrac{-1+3 i}{2}$

$ \therefore \quad \bar{z}=\dfrac{-1}{2}-\dfrac{3 i}{2} $

इसलिए, $\left(\dfrac{-1}{2}, \dfrac{-3}{2}\right)$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।

(h) दिया गया है, $z=1-i$

$\therefore \quad \dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)}$

$=\dfrac{1+i}{1-i^{2}}=\dfrac{1}{2}(1+i)$

इसलिए, $\quad \left(\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2}\right)$ प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।

इसलिए, सही मिलान हैं

(a) $\rightarrow$(v),

(b) $\rightarrow$ (iii),

(c) $\rightarrow$ (i),

(d) $\rightarrow$(iv),

(e) $\rightarrow$(ii),

(f) $\rightarrow$ (vi),

(g) $\rightarrow$(viii),

(h) $\rightarrow$(vii)

Solution

$ \begin{aligned} &\text{दिया गया है, } \ z=\dfrac{2-i}{(1-2 i)^{2}}=\dfrac{2-i}{1+4 i^{2}-4 i} \\ \\ & =\dfrac{2-i}{1-4-4 i}=\dfrac{2-i}{-3-4 i} \\ \\ & =\dfrac{(2-i)}{-(3+4 i)}=-\left[\dfrac{(2-i)(3-4 i)}{(3+4 i)(3-4 i)}\right] \\ \\ & =-\left(\dfrac{6-8 i-3 i+4 i^{2}}{9+16}\right)=-\dfrac{(-11 i+2)}{25} \\ \\ & =\dfrac{-1}{25}(2-11 i) \\ \\ & \Rightarrow z=\dfrac{1}{25}(-2+11 i) \\ \\ & \therefore \quad \bar{z}=\dfrac{1}{25}(-2-11 i)=\dfrac{-2}{25}-\dfrac{11}{25} i \end{aligned} $

Solution

दिया गया है, $ \ |z_1| =|z_2| $

मान लीजिए $ \ z_1 =x_1+i y_1 \text { और } z_2=x_2+i y_2 $

$\Rightarrow |x_1+i y_1| =|x_2+i y_2|$

$\Rightarrow x_1^{2}+y_1^{2} =x_2^{2}+y_2^{2}$

$\Rightarrow x_1^{2} =x_2^{2}, y_1^{2}=y_2^{2} $

$\Rightarrow x_1 = \pm x_2, y_1= \pm y_2 $

$\Rightarrow z_1 =x_1+i y_1 \text { या } z_1= \pm x_2 \pm i y_2$

$\therefore \quad z_1 \neq z_2$

इसलिए, आवश्यक नहीं है कि $z_1=z_2$.

Solution

दिया गया है, $\ \dfrac{(a^{2}+1)^{2}}{2 a-i}=x+i y $

दोनों ओर मापदंड लेने पर, हमें प्राप्त होता है

$\left| \dfrac{(a^2+1)^2}{2a-i} \right| = |x+iy|$

$\Rightarrow \quad \dfrac{(a^2+1)^2}{\sqrt{4a^2+1}} = \sqrt{x^2+y^2}$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\dfrac{(a^2+1)^4}{4a^2+1} = x^2+y^2$

Solution

दिया गया है $ \ |z|=4$ और $\text{arg}(z)= \dfrac{5 \pi}{6}$

मान लीजिए $\quad z= r(\cos\theta+i \sin \theta)$

$ \begin{matrix} \begin{aligned} \therefore \quad |z| & =r=4 \text { और } \theta=\dfrac{5 \pi}{6} \quad[\because \arg (z)=\theta] \\ \\ \text{अब,} & \quad z =4 \left[\cos \dfrac{5 \pi}{6}+i \sin \dfrac{5 \pi}{6}\right] \quad[\because z=r(\cos \theta+i \sin \theta)] \\ \\ & =4 \left[\cos \left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)+i \sin \left(\pi-\dfrac{\pi}{6}\right)\right] \\ \\ & =4\left[-\cos \dfrac{\pi}{6}+i \sin \dfrac{\pi}{6}\right] \\ \\ & =4\left[-\dfrac{\sqrt{3}}{2}+i \dfrac{1}{2}\right]=-2 \sqrt{3}+2 i \end{aligned} \end{matrix} $

सोचने की प्रक्रिया

पहले, दिए गए व्यंजक को $a+i b$ के रूप में बदलें, फिर $|a+i b|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ का उपयोग करें।

हल

दिया गया है, $ \ \left|(1+i) \dfrac{(2+i)}{(3+i)}\right|=\left|\dfrac{(2+i+2 i+i^{2})}{(3+i)}\right| \\ \\ = \left|\dfrac{2+3 i-1}{3+i}\right|$

$ \begin{aligned} & =\left|\dfrac{1+3 i}{3+i}\right|=\left|\dfrac{(1+3 i)(3-i)}{(3+i)(3-i)}\right| \\ \\ & =\left|\dfrac{3+9 i-i-3 i^{2}}{9-i^{2}}\right| \\ \\ &= \left|\dfrac{3+8 i+3}{9+1}\right|=\left|\dfrac{6+8 i}{10}\right| \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{6^{2}}{100}+\dfrac{8^{2}}{100}} \\ \\ &=\sqrt{\dfrac{36+64}{100}}=\sqrt{\dfrac{100}{100}}=1 \end{aligned} $

सोचने की प्रक्रिया

मान लीजिए $z=a+i b$, तो $z$ का ध्रुवीय रूप $r(\cos \theta+i \sin \theta)$ होता है, जहाँ $r=|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ और $\tan \theta=\dfrac{b}{a} \cdot$ यहाँ, $\theta$ $z$ का तर्क या आम्पलीता होता है, अर्थात $\arg (z)=\theta$। मुख्य तर्क वह एकमात्र $\theta$ का मान होता है जहाँ $-\pi \leq \theta \leq \pi$।

हल

दिया गया है,

$ \begin{aligned} & z=(1+i \sqrt{3})^{2} \\ \\ & z=1-3+2 i \sqrt{3} \\ \\ & z=-2+i 2 \sqrt{3} \end{aligned} $

$\Rightarrow \tan \alpha=\left|\dfrac{2 \sqrt{3}}{-2}\right|=\left|-\sqrt{3}\right|=\sqrt{3} \qquad \left[\because \tan \alpha = \left|\dfrac{Im(z)}{Re(z)}\right|\right] $

$\Rightarrow \tan \alpha=\tan \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \alpha=\dfrac{\pi}{3} $

$\because \quad Re(z)<0 \text { and } Im(z)>0 $

$\therefore \quad \arg (z)=\pi-\dfrac{\pi}{3} =\dfrac{2 \pi}{3}$

सोचने की प्रक्रिया

$ \begin{aligned} & \text { यदि } z_1=x_1+iy_1 \ \text { और } \ z_2=x_2+i y_2 \text {, तो }|z_1|=\sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}} \text { और }|z_2|=\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}} . \\ \\ & \text { अतः, मापांक के गुणधर्म का उपयोग करें, अर्थात, } \left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|} \end{aligned} $

हल

मान लीजिए $z=x+iy$

दिया गया है, $\quad \left|\dfrac{z-5 i}{z+5 i}\right|=\dfrac{|x+iy-i5|}{|x+iy+i5|}$

$\Rightarrow \quad \left|\dfrac{z-5 i}{z+5 i}\right|=\dfrac{|x+i(y-5)|}{|x+i(y+5)|}=1 \quad \Big[\because \left|\dfrac{z-5 i}{z+5 i} \right|=1 \Big]$

$\Rightarrow \quad \left|\dfrac{z-5 i}{z+5 i}\right|=\dfrac{\sqrt{x^{2}+(y-5)^{2}}}{\sqrt{x^{2}+(y+5)^{2}}} = 1$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$\dfrac{x^2+(y-5)^2}{x^2+(y+5)^2} =1$

$ \Rightarrow x^{2}+(y-5)^{2}=x^{2}+(y+5)^{2} $

$\Rightarrow -10 y =+10 y $

$\Rightarrow 20 y =0 $

$\therefore \quad y =0$

अतः, $z$ वास्तविक अक्ष पर स्थित है।

हल

विकल्प (d) मान लीजिए $z=\sin x+i \cos 2 x$

और $\bar{z}=\sin x-i \cos 2 x$

दिया गया है, $\bar{z}=\cos x-i \sin 2 x$

$\therefore \sin x-i \cos 2 x=\cos x-i \sin 2 x$

$\Rightarrow \sin x=\cos x$ और $\cos 2 x=\sin 2 x$

$\Rightarrow \tan x=1$ और $\tan 2 x=1$

$\Rightarrow \tan x=\tan \dfrac{\pi}{4}$ और $\tan 2 x=\tan \dfrac{\pi}{4}$

$\Rightarrow x=n \pi+\dfrac{\pi}{4}$ और $2 x=n \pi+\dfrac{\pi}{4}$

$\Rightarrow 2 x-x=0 \Rightarrow x=0$

• विकल्प (a) $ x = n\pi $: यदि $ x = n\pi $, तो $ \sin x = 0 $ और $ \cos x = (-1)^n $.
  इसके फलस्वरूप $ z = 0 + i \cos 2x $ और $ \bar{z} = 0 - i \cos 2x $ होंगे।
  हालांकि, $ \bar{z} $ के $ \cos x - i \sin 2x $ के बराबर होने के लिए $ \cos x $ और $ \sin 2x $ दिए गए शर्तों को संतुष्ट करना चाहिए, जो $ x = n\pi $ के लिए संतुष्ट नहीं होते हैं।

• विकल्प (b) $ x = (n + \dfrac{1}{2}) \dfrac{\pi}{2} $: इस व्यंजक का फॉर्मेट सही नहीं है। $ x=\left(n+\dfrac{1}{2}\right) \dfrac{\pi}{2} $ पर, पूर्णांक $ n $ के लिए $ \sin x $ और $ \cos x $ बराबर नहीं होते हैं, क्योंकि ये बिंदु $ \dfrac{\pi}{4} $ के विषम गुणक होते हैं। इन बिंदुओं पर काल्पकिक भाग $ \cos 2 x $ और $ -\sin 2 x $ भी संयुग्मी शर्त को संतुष्ट नहीं करेंगे।

• विकल्प (c) $ x = 0 $: यदि $ x = 0 $, तो $ \sin x = 0 $ और $ \cos x = 1 $.
  इसके फलस्वरूप $ z = 0 + i \cos 0 = i $ और $ \bar{z} = 0 - i \cos 0 = -i $ होंगे।
  हालांकि, $ \bar{z} $ के $ \cos x - i \sin 2x $ के बराबर होने के लिए $ \cos x $ और $ \sin 2x $ दिए गए शर्तों को संतुष्ट करना चाहिए, जो $ x = 0 $ के लिए संतुष्ट नहीं होते हैं।

सोचने की प्रक्रिया

पहले, दिए गए व्यंजक को $a +ib$ रूप में बदलें और फिर जांच करें कि कौन सा जटिल संख्या $a +ib$ शुद्ध वास्तविक हो।

हल

विकल्प (c) दिया गया व्यंजक, $z=\dfrac{1-i \sin \alpha}{1+2 i \sin \alpha}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{(1-i \sin \alpha)(1-2 i \sin \alpha)}{(1+2 i \sin \alpha)(1-2 i \sin \alpha)} \\ \\ & =\dfrac{1-i \sin \alpha-2 i \sin \alpha+2 i^{2} \sin ^{2} \alpha}{1-4 i^{2} \sin ^{2} \alpha} \\ \\ & =\dfrac{1-3 i \sin \alpha-2 \sin ^{2} \alpha}{1+4 \sin ^{2} \alpha} \\ \\ & =\dfrac{1-2 \sin ^{2} \alpha}{1+4 \sin ^{2} \alpha}-\dfrac{3 i \sin \alpha}{1+4 \sin ^{2} \alpha}

\end{aligned} $

दिया गया है कि $z$ एक शुद्ध वास्तविक संख्या है।

$\therefore \ \dfrac{-3 \sin \alpha}{1+4 \sin ^{2} \alpha} =0 $

$\Rightarrow \ -3 \sin \alpha =0 \Rightarrow \sin \alpha=0 $

$\quad \alpha =n \pi$

• विकल्प (a) $(n+1) \dfrac{\pi}{2}$: यह विकल्प इस बात की सुचारु रूप से अनुमति देता है कि $\alpha$ के रूप में $(n+1) \dfrac{\pi}{2}$ हो। इन मानों के लिए $\sin \alpha$ 1 या -1 हो सकता है, जो शर्त $\sin \alpha = 0$ को संतुष्ट नहीं करता है। अतः व्यंजक $\dfrac{1-i \sin \alpha}{1+2 i \sin \alpha}$ शुद्ध वास्तविक नहीं होगा।

• विकल्प (b) $(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}$: यह विकल्प इस बात की सुचारु रूप से अनुमति देता है कि $\alpha$ के रूप में $(2 n+1) \dfrac{\pi}{2}$ हो। इन मानों के लिए $\sin \alpha$ 1 या -1 हो सकता है, जो शर्त $\sin \alpha = 0$ को संतुष्ट नहीं करता है। अतः व्यंजक $\dfrac{1-i \sin \alpha}{1+2 i \sin \alpha}$ शुद्ध वास्तविक नहीं होगा।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं: यह विकल्प गलत है क्योंकि वास्तव में $\alpha$ के एक सही मान है जो व्यंजक को शुद्ध वास्तविक बनाता है, जो कि $\alpha = n \pi$ है जैसा कि समाधान में दिखाया गया है।

समाधान

विकल्प (b) दिया गया है कि, $z=x+i y$ तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।

$ x<0 \ \text { और } \ y<0 \text {. } $

अब, $\quad \dfrac{\bar{z}}{z}=\dfrac{x-i y}{x+i y}=\dfrac{(x-i y)(x-i y)}{(x+i y)(x-i y)}=\dfrac{x^{2}-y^{2}-2 i x y}{x^{2}+y^{2}}$

$ \dfrac{\bar{z}}{z}=\dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}-\dfrac{2 i x y}{x^{2}+y^{2}} $

क्योंकि, $\dfrac{\bar{z}}{z}$ भी तीसरे चतुर्थांश में स्थित है।

$\therefore \quad \dfrac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}<0 \ \text { और } \ \dfrac{-2 x y}{x^{2}+y^{2}}<0 $

$x^{2}-y^{2}<0 \ \text { और } \ -2 x y<0 $

$\Rightarrow x^{2}<y^{2} \ \text { और } \ x y>0 $

$\text { इसलिए, } x<y<0$

• विकल्प (a) $x>y>0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $x$ और $y$ दोनों धनात्मक होते हैं, तो $z = x + iy$ पहले चतुर्थांश में स्थित होता, न कि तीसरे चतुर्थांश में। $z$ के तीसरे चतुर्थांश में स्थित होने के लिए, $x$ और $y$ दोनों नकारात्मक होना चाहिए।

• विकल्प (c) $y<x<0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह वही बताता है कि $x$ और $y$ दोनों नकारात्मक हैं (जिससे $z$ तीसरे चतुर्थांश में आता है), लेकिन इसकी शर्त $x^2 < y^2$ को संतुष्ट नहीं करता। यदि $y < x < 0$, तो $|y| > |x|$ होता है, जिसका अर्थ है $y^2 > x^2$, जो शर्त $x^2 < y^2$ के विपरीत है।

• विकल्प (d) $y>x>0$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $x$ और $y$ दोनों धनात्मक हैं, तो $z = x + iy$ पहले चतुर्थांश में आता है, न कि तीसरे चतुर्थांश में। तीसरे चतुर्थांश में $z$ के लिए $x$ और $y$ दोनों नकारात्मक होना चाहिए।

हल

विकल्प (a) दिया गया है, $(z+3)(\bar{z}+3)$

मान लीजिए $z = x + iy$ और $\bar{z} = x - iy$

$\therefore \quad (z+3)(\bar{z}+3) = (x + iy + 3)(x - iy + 3)$

$= (x+3)^{2} - (iy)^{2}$

$= (x+3)^{2} + y^{2}$

$= |x+3 + iy|^{2} = |z+3|^{2}$

• विकल्प (b) $|z-3|$: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यंजक $(z+3)(\bar{z}+3)$ में $z$ और 3 के योग का उल्लेख है, न कि अंतर। माप $|z-3|$ कम्प्लेक्स समतल में $z$ और 3 के बीच की दूरी को दर्शाता है, जो दिए गए व्यंजक से संबंधित नहीं है।

• विकल्प (c) $z^{2}+3$: यह विकल्प गलत है क्योंकि व्यंजक $(z+3)(\bar{z}+3)$ में $z+3$ और उसके संयुग्मी के गुणन का उल्लेख है, जो एक वास्तविक संख्या होती है। व्यंजक $z^2 + 3$ संयुग्मी को ध्यान में नहीं लेता है और इसका रूप $(z+3)(\bar{z}+3)$ के समान नहीं होता।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं: यह विकल्प गलत है क्योंकि सही उत्तर विकल्प (a) में दिया गया है, जो $|z+3|^2$ है। अतः “इनमें से कोई नहीं” लागू नहीं होता।

हल

विकल्प (b) दिया गया है, $ \ \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{x}=1$

$\Rightarrow \left[\dfrac{(1+i)(1+i)}{(1-i)(1+i)}\right]^x =1 $

$\Rightarrow \left[{\dfrac{1+2 i+i^{2}}{1-i^{2}}}\right]^{x}=1 $

$\Rightarrow \left[\dfrac{2 i}{1+1}\right]^{x} =1 $

$\Rightarrow \left[\dfrac{2 i}2\right]^{x}=1$

$\Rightarrow i^{x} =1 \Rightarrow i^{x}=(i^{4 n}) $

$\Rightarrow x =4 n \ $ जहाँ, $n \in N$

• विकल्प (a) $ x = 2n + 1 $: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ i^{2n+1} $ सभी प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए 1 नहीं होता। $ i $ के घातें प्रत्येक चार शब्दों के बाद $ i, -1, -i, 1 $ के चक्र में चलती हैं। $ i^{2n+1} $ के लिए परिणाम या तो $ i $ या $ -i $ होता है, नहीं 1।

• विकल्प (c) $ x = 2n $: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ i^{2n} $ सभी प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए 1 नहीं होता। $ i $ के घातें प्रत्येक चार शब्दों के बाद $ i, -1, -i, 1 $ के चक्र में चलती हैं। $ i^{2n} $ के लिए परिणाम या तो $ 1 $ या $ -1 $ होता है, नहीं सांतर्गत 1।

• विकल्प (d) $ x = 4n + 1 $: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ i^{4n+1} $ सभी प्राकृतिक संख्या $ n $ के लिए 1 नहीं होता। $ i $ के घातें प्रत्येक चार शब्दों के बाद $ i, -1, -i, 1 $ के चक्र में चलती हैं। $ i^{4n+1} $ के लिए परिणाम $ i $ होता है, नहीं 1।

हल

विकल्प (a) दिया गया समीकरण, $\left(\dfrac{3-4 i x}{3+4 i x}\right)=\alpha-i \beta(\alpha, \beta \in R)$

$\text { अब, } (\alpha-i \beta)=\dfrac{(3-4 i x)(3-4 i x)}{(3+4 i x)(3-4 i x)}=\dfrac{9+16 i^{2} x^{2}-24 i x}{9-16 i^{2} x^{2}} $

$\Rightarrow \alpha-i \beta=\dfrac{9-16 x^{2}-24 i x}{9+16 x^{2}} $

$\Rightarrow \alpha-i \beta=\dfrac{9-16 x^{2}}{9+16 x^{2}}-\dfrac{i 24 x}{9+16 x^{2}} \quad \ldots (i)$

$\therefore \ \alpha+i \beta=\dfrac{9-16 x^{2}}{9+16 x^{2}}+\dfrac{i 24 x}{9+16 x^{2}} \quad \ldots (ii)$

इसलिए, $ \ (\alpha -i \beta)(\alpha +i \beta) = \left(\dfrac{9-16x^2}{9+16x^2}- i \dfrac{24x}{9+16x^2}\right) \left( \dfrac{9-16x^2}{9+16x^2}+i \dfrac{24x}{9+16x^2}\right)$

$\alpha ^2+ \beta ^2 = \left(\dfrac{9-16x^2}{9+16x^2}\right)^2+ \left(\dfrac{24x}{9+16x^2}\right)^2$

$= \dfrac{(9-16x^2)^2+(24x)^2}{(9+16x^2)^2}$

$= \dfrac{81+256x^4+288x^2}{(9+16x^2)^2}$

$\alpha ^2+ \beta ^2 = \dfrac{(9+16x^2)^2}{(9+16x^2)^2} =1$

• विकल्प (b) $-1$: अभिव्यक्ति $\alpha^2 + \beta^2$ एक समिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग के वर्गों का योग दर्शाती है। यह योग हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है क्योंकि यह समिश्र संख्या के परिमाण के वर्ग होता है। अतः, $\alpha^2 + \beta^2$ नकारात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $-1$ एक संभव मान नहीं है।

• विकल्प (c) $2$: समाधान में दिखाए गए गणना से पता चलता है कि $\alpha^2 + \beta^2$ सरलीकृत करने पर $1$ हो जाता है। कोई बीजगणितीय अपवाद या $x$ के कोई मान इस परिणाम को $2$ बनाने में सक्षम नहीं हो सकते। अतः, $2$ $\alpha^2 + \beta^2$ के सही मान नहीं है।

• विकल्प (d) $-2$: विकल्प (b) के समान रूप से, $\alpha^2 + \beta^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है क्योंकि यह एक समिश्र संख्या के परिमाण के वर्ग को दर्शाता है। अतः, यह नकारात्मक नहीं हो सकता, इसलिए $-2$ एक संभव मान नहीं है।

समाधान

विकल्प (a) मान लीजिए $z_1=r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)$

$\Rightarrow \quad|z_1|=r_1 \quad \ldots (i)$

और $z_2=r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)$

$\Rightarrow \quad|z_2|=r_2 \quad \ldots (ii)$

अब, $\quad z_1 z_2=r_1 r_2[\cos \theta_1 \cos \theta_2+i \sin \theta_1 \cos \theta_2+i \cos \theta_1 \sin \theta_2+i^{2} \sin \theta_1 \sin \theta_2]$ $=r_1 r_2[\cos (\theta_1+\theta_2)+i \sin (\theta_1+\theta_2)]$

$\Rightarrow \quad|z_1 z_2|=r_1 r_2$

$\therefore \quad|z_1 z_2|=|z_1||z_2| \qquad$ [समीकरण (i) और (ii) का उपयोग करते हुए]

• विकल्प (b) $\arg (z_1 z_2)=\arg (z_1) \cdot \arg (z_2)$: दो समिश्र संख्याओं के गुणन के कोण दोनों कोणों के योग के बराबर होता है, न कि गुणन के बराबर। अतः, $\arg (z_1 z_2) = \arg (z_1) + \arg (z_2)$, न कि $\arg (z_1) \cdot \arg (z_2)$।

• विकल्प (c) $|z_1+z_2|=|z_1|+|z_2|$: दो सम复 संख्याओं के योग के परिमाण के लिए आवश्यक रूप से उनके परिमाणों के योग के बराबर नहीं होता। वास्तव में, $|z_1+z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ त्रिभुज असमानता के द्वारा होता है।

• विकल्प (d) $|z_1+z_2| \geq|z_1|-|z_2|$: दो सम复 संख्याओं के योग के परिमाण के संबंध में सही असमानता $|z_1+z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ होती है। दिए गए असमानता $|z_1+z_2| \geq |z_1| - |z_2|$ हमेशा सत्य नहीं होती।

सोचने की प्रक्रिया

यहाँ, $z<\alpha$ एक सम复 संख्या है, जहाँ परिमाण $r$ और त्रिज्या $(\theta+\alpha)$ है। यदि $P(z)$ घड़ी के विपरीत दिशा में कोण $\boldsymbol{\alpha}$ द्वारा घुमाया जाता है, तो इसकी नई स्थिति $z(\boldsymbol{\theta}-i \boldsymbol{\alpha})$ होगी।

हल

विकल्प (b) दिया गया है, $z=2-i$

इसे मूल बिंदु के चारों ओर $\dfrac{\pi}{2}$ कोण के घड़ी के विपरीत दिशा में घुमाया जाता है

$\therefore \quad$ नई स्थिति $=z e^{-i \pi / 2}=(2-i) e^{-i \pi / 2}$

$ \begin{aligned} & =(2-i) \left[\cos \left(\dfrac{-\pi}{2}\right)+i \sin \left(\dfrac{-\pi}{2}\right)\right]=(2-i)[0-i] \\ \\ & =-2 i-1=-1-2 i \end{aligned} $

• विकल्प (a) $1+2i$: यह विकल्प गलत है क्योंकि सम复 संख्या $(2-i)$ को $\dfrac{\pi}{2}$ कोण के घड़ी के विपरीत दिशा में घुमाने पर एक सम复 संख्या जो ऋणात्मक वास्तविक भाग और ऋणात्मक काल्पकिक भाग के साथ होनी चाहिए, न कि धनात्मक वास्तविक भाग और धनात्मक काल्पकिक भाग के साथ।

• विकल्प (c) $2+i$: यह विकल्प गलत है क्योंकि सम复 संख्या $(2-i)$ को $\dfrac{\pi}{2}$ कोण के घड़ी के विपरीत दिशा में घुमाने पर एक सम复 संख्या जो दोनों वास्तविक और काल्पकिक भाग ऋणात्मक होनी चाहिए, न कि धनात्मक वास्तविक भाग और धनात्मक काल्पकिक भाग के साथ।

• विकल्प (d) $-1+2i$: यह विकल्प गलत है क्योंकि सम复 संख्या $(2-i)$ को $\dfrac{\pi}{2}$ कोण के घड़ी के विपरीत दिशा में घुमाने पर एक सम复 संख्या जो दोनों वास्तविक और काल्पकिक भाग ऋणात्मक होनी चाहिए, न कि ऋणात्मक वास्तविक भाग और धनात्मक काल्पकिक भाग के साथ।

हल

विकल्प (d) दिया गया है कि, $x, y \in R$

तब, $x+i y$ अ-वास्तविक समिश्र संख्या होगी यदि और केवल यदि $y \neq 0$।

• विकल्प (a) x=0 : यदि $x=0,$ तो समिश्र संख्या $iy$ बन जाती है। संख्या अ-वास्तविक होगी यदि $y \neq 0$। यह विकल्प $x+iy$ के अ-वास्तविक होने की गारंटी नहीं देता बिना $y \neq 0$ के।

• विकल्प (b) $y=0$ : यदि $y=0,$ तो समिश्र संख्या $x$ बन जाती है। इसका अर्थ है कि यह एक वास्तविक संख्या है। यह विकल्प एक अ-वास्तविक समिश्र संख्या नहीं देता।

• विकल्प (c) $x \neq 0$: यदि $x \neq 0,$ तो समिश्र संख्या अभी भी वास्तविक हो सकती है यदि $y=0$। यह विकल्प अकेले संख्या के अ-वास्तविक होने की गारंटी नहीं देता।

चिंतन प्रक्रिया

दो समिश्र संख्याएँ $z_1=x_1+i y_1$ और $z_2=x_2+i y_2$ बराबर होती हैं, तो

$ |z_1|=|z_2| \Rightarrow \sqrt{x_1^{2}+y_1^{2}}=\sqrt{x_2^{2}+y_2^{2}} $

हल

विकल्प (d) दिया गया है कि,

$a+i b=c+i d $

$\Rightarrow |a+i b|=|c+i d| $

$\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{c^{2}+d^{2}}$

दोनों ओर वर्ग करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ a^{2}+b^{2}=c^{2}+d^{2} $

• विकल्प (a) $a^{2}+c^{2}=0$ गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि $a$ और $c$ दोनों शून्य होंगे, जो समीकरण $a + i b = c + i d$ के अनुसार आवश्यक नहीं है।

• विकल्प (b) $b^{2}+c^{2}=0$ गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि $b$ और $c$ दोनों शून्य होंगे, जो समीकरण $a + i b = c + i d$ के अनुसार आवश्यक नहीं है।

• विकल्प (c) $b^{2}+d^{2}=0$ गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि $b$ और $d$ दोनों शून्य होंगे, जो समीकरण $a + i b = c + i d$ के अनुसार आवश्यक नहीं है।

हल

विकल्प (b) दिया गया है, $ \ \left|\dfrac{i+z}{i-z}\right|=1$

मान लीजिए $z = x+iy$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad \left|\dfrac{x+i(y+1)}{-x-i(y-1)}\right|=1 \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{x^{2}+(y+1)^{2}}{x^{2}+(y-1)^{2}}=1 \\ \\ & \Rightarrow \quad x^{2}+(y+1)^{2}=x^{2}+(y-1)^{2} \\ \\ & \Rightarrow \quad 4 y=0 \Rightarrow y=0 \end{aligned} $

इसलिए, $z$ $X$-अक्ष (वास्तविक अक्ष) पर स्थित है।

• विकल्प (a) वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$: यह विकल्प गलत है क्योंकि शर्त $\left|\dfrac{i+z}{i-z}\right|=1$ सरलता से $y=0$ बनती है, जिसका अर्थ है कि $z$ वास्तविक अक्ष पर स्थित है। वृत्त $x^{2}+y^{2}=1$ पर बिंदु आमतौर पर शून्य नहीं होते हैं, बल्कि बिंदु $(1,0)$ और $(-1,0)$ के अलावा। हालांकि, दी गई शर्त $x$ को $\pm 1$ तक सीमित नहीं करती है, इसलिए वृत्त पर सभी बिंदु शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।

• विकल्प (c) $Y$-अक्ष: यह विकल्प गलत है क्योंकि शर्त $\left|\dfrac{i+z}{i-z}\right|=1$ सरलता से $y=0$ बनती है, जिसका अर्थ है कि $z$ वास्तविक अक्ष पर स्थित है। $Y$-अक्ष पर बिंदु $x=0$ और शून्य नहीं होते हैं, जो शर्त $y=0$ के विरोधाभास है।

• विकल्प (d) रेखा $x+y=1$: यह विकल्प गलत है क्योंकि शर्त $\left|\dfrac{i+z}{i-z}\right|=1$ सरलता से $y=0$ बनती है, जिसका अर्थ है कि $z$ वास्तविक अक्ष पर स्थित है। रेखा $x+y=1$ पर बिंदु आमतौर पर शून्य नहीं होते हैं, बल्कि बिंदु $(1,0)$ के अलावा। हालांकि, दी गई शर्त $x$ को 1 तक सीमित नहीं करती है, इसलिए रेखा पर सभी बिंदु शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।

हल

विकल्प (b) यदि $z$ एक समपद संख्या है, तो $z=x+i y$

$ \begin{aligned} & |z|=|x+i y| \text { और }|z|^{2}=|x+i y|^{2} \\ \\ & \Rightarrow \quad|z|^{2}=x^{2}+y^{2} \quad \ldots (i)\\ \\ `

$$ \begin{aligned} & \text{ और } \quad z^{2}=(x+i y)^{2}=x^{2}+i^{2} y^{2}+i 2 x y \\ \\ & z^{2}=x^{2}-y^{2}+i 2 x y \\ \\ & \Rightarrow \quad|z^{2}|=\sqrt{(x^{2}-y^{2})^{2}+(2 x y)^{2}} \\ \\ & \Rightarrow \quad|z^{2}|=\sqrt{x^{4}+y^{4}-2 x^{2} y^{2}+4 x^{2} y^{2}} \\ \\ & \Rightarrow \quad|z^{2}|=\sqrt{x^{4}+y^{4}+2 x^{2} y^{2}}=\sqrt{(x^{2}+y^{2})^{2}} \\ \\ & \Rightarrow \quad|z^{2}|=x^{2}+y^{2} \quad \ldots (ii) \end{aligned} $$

समीकरण (i) और (ii) से,

$$ |z|^{2}=|z^{2}| $$

• विकल्प (a) $|z^{2}|>|z|$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ z^2 $ के मापदंड के मान $ z $ के मापदंड के वर्ग के बराबर होता है। विशेष रूप से, $ |z^2| = |z|^2 $. क्योंकि $ |z|^2 $ आवश्यक रूप से $ |z| $ से अधिक नहीं हो सकता है (यह बराबर या कम हो सकता है, जो $ |z| $ के मान पर निर्भर करता है), इस कथन के अनुसार यह गलत है।

• विकल्प (c) $|z^{2}|<|z|^{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि, जैसा कि निर्मित किया गया है, $ |z^2| = |z|^2 $. इसलिए, $ |z^2| $ ठीक $ |z|^2 $ के बराबर होता है, न कि इससे कम होता है।

• विकल्प (d) $|z^{2}| \geq|z|^{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यह इंगित करता है कि $ |z^2| $ $ |z|^2 $ से अधिक हो सकता है। हालांकि, जैसा कि दिखाया गया है, $ |z^2| = |z|^2 $, इसलिए सही संबंध समानता है, न कि असमानता है।

हल

विकल्प (c) दिया गया है कि, $ \ |z_1+z_2|=|z_1|+|z_2| \quad \ldots (i)$

मान, $z_1= r_1(\cos \theta _1 + i \sin \theta _1)$

और $z_2 = r_2(\cos \theta _2 + i \sin \theta _2)$

अब, $|z_1|=r_1$ और $|z_2|=r_2 \quad \ldots (ii)$

$\text{arg}|z_1|= \theta _1$ और $\text{arg}|z_2|= \theta _2 \quad \ldots (iii)$

$\therefore$ समीकरण (i) से $\ |r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)+r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)|=|r_1(\cos \theta_1+i \sin \theta_1)| +|r_2(\cos \theta_2+i \sin \theta_2)|$

$\Rightarrow \ |(r_1 \cos \theta _1 + r_2 \cos \theta _2)+ i (r_1 \sin \theta _1+r_2 \sin \theta _2)| = r_1+r_2 \quad $ [समीकरण (ii) का उपयोग करते हुए]

$\Rightarrow \ \sqrt{r_1^2 \cos ^2 \theta _1+ r_2^2 \cos^2 \theta _2 +2r_1 r_2 \cos \theta _1 \cos \theta _2 + r_1^2 \sin ^2 \theta _1+ r_2^2 \sin ^2 \theta _2 + 2r_1r_2 \sin \theta _1 \sin \theta _2} = r_1+r_2$

$\Rightarrow \ \sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1r_2 [\cos \theta _1 \cos \theta _2 + \sin \theta _1 \sin \theta _2]} = r_1+r_2$

$\Rightarrow \ \sqrt{r_1^2+r_2^2+2r_1r_2 \cos (\theta _1 - \theta _2)} = r_1+r_2$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & r_1^{2}+r_2^{2}+2 r_1 r_2 \cos (\theta_1-\theta_2)=r_1^{2}+r_2^{2}+2 r_1 r_2 \\ \\ \Rightarrow & \ 2 r_1 r_2[1-\cos (\theta_1-\theta_2)] =0 \\ \\ \Rightarrow & \ 1-\cos (\theta_1-\theta_2) =0 \\ \\ \Rightarrow & \ \cos (\theta_1-\theta_2) =1 \\ \\ \Rightarrow & \ \cos (\theta_1-\theta_2) =\cos 0^{\circ} \\ \\ \Rightarrow & \ \theta_1-\theta_2 =0^{\circ} \\ \\ \Rightarrow & \ \theta_1 =\theta_2 \\ \\ \therefore & \ \arg (z_1) =\arg (z_2) \quad [\text{समीकरण (iii) का उपयोग करते हुए}] \end{aligned} $

• विकल्प (a) $z_2=\bar{z}_1$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $ z_2 = \bar{z}_1 $, तो $ z_1 + z_2 $ एक वास्तविक संख्या होगी (क्योंकि $ z_1 + \bar{z}_1 $ वास्तविक होता है)। हालांकि, $ |z_1| $ और $ |z_2| $ के मापदंड आमतौर पर $ |z_1 + z_2| $ के मापदंड के बराबर नहीं होंगे, बिना $ z_1 $ केवल काल्पक्ति हो, जो एक सामान्य मामला नहीं है।

• विकल्प (b) $z_2=\dfrac{1}{z_1}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि यदि $ z_2 = \dfrac{1}{z_1} $, तो $ z_1 z_2 = 1 $ होगा। $ |z_1| $ और $ |z_2| $ के मापदंड $ |z_1| \cdot |z_2| = 1 $ को संतुष्ट करेंगे, लेकिन यह बताता नहीं कि $ |z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| $ होगा। समान दिशा में (अर्थात, समान तर्क) होने पर $ |z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| $ के समान रहता है, जो $ z_2 = \dfrac{1}{z_1} $ द्वारा निश्चित नहीं किया जाता है।

• विकल्प (d) $|z_1|=|z_2|$: यह विकल्प गलत है क्योंकि समान मापदंड $ |z_1| = |z_2| $ के कारण $ |z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| $ आवश्यक रूप से नहीं होता। $ |z_1 + z_2| = |z_1| + |z_2| $ के लिए $ z_1 $ और $ z_2 $ समान दिशा में होना आवश्यक है (अर्थात, समान तर्क), जो केवल समान मापदंड के कारण निश्चित नहीं होता।

हल

विकल्प (c) दिया गया व्यंजक $=\dfrac{1+i \cos \theta}{1-2 i \cos \theta}=\dfrac{(1+i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta)}{(1-2 i \cos \theta)(1+2 i \cos \theta)}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1+i \cos \theta+2 i \cos \theta+2 i^{2} \cos ^{2} \theta}{1-4 i^{2} \cos ^{2} \theta} \\ \\ & =\dfrac{1+3 i \cos \theta-2 \cos ^{2} \theta}{1+4 \cos ^{2} \theta} \end{aligned} $

वास्तविक मान $\theta$ के लिए $\dfrac{3 \cos \theta}{1+4 \cos ^{2} \theta}=0$

$\Rightarrow 3 \cos \theta =0 $

$\Rightarrow \cos \theta =\cos \dfrac{\pi}{2}$

$\Rightarrow \theta =2 n \pi \pm \dfrac{\pi}{2}$

• विकल्प (a): $n \pi+\dfrac{\pi}{4}$ गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि $\cos \theta = \cos \left(n \pi + \dfrac{\pi}{4}\right)$. हालांकि, $\cos \left(n \pi + \dfrac{\pi}{4}\right)$ कोई भी पूर्णांक $n$ के लिए शून्य नहीं होता, जो दिए गए व्यंजक के वास्तविक होने की आवश्यकता के विरोधाभास है।

• विकल्प (b): $n \pi+(-1)^{n} \dfrac{\pi}{4}$ गलत है क्योंकि इसका अर्थ है कि $\cos \theta = \cos \left(n \pi + (-1)^n \dfrac{\pi}{4}\right)$. विकल्प (a) के जैसे, $\cos \left(n \pi + (-1)^n \dfrac{\pi}{4}\right)$ कोई भी पूर्णांक $n$ के लिए शून्य नहीं होता, जो आवश्यकता $\cos \theta = 0$ की उपेक्षा करता है।

• विकल्प (d): इनमें से कोई नहीं गलत है क्योंकि एक सही विकल्प दिया गया है, जो विकल्प (c) है। दिए गए व्यंजक के वास्तविक होने के लिए $\theta$ का सही मान वास्तविक रूप से $2 n \pi \pm \dfrac{\pi}{2}$ है।

हल

विकल्प (c) मान लीजिए $ \ z =x+i(0) \text { और } x<0 $

$\text{arg}(z) = \tan^{-1} \left(\dfrac{y}{x}\right)$

$\qquad = \tan^{-1} \left(\dfrac{0}{x}\right)$

$\qquad = \tan^{-1} (0)$

यदि $x <0,$ तो $\text{arg}(z)$ का मान $ \pi $ होता है क्योंकि संख्या नकारात्मक वास्तविक अक्ष पर स्थित होती है।

• विकल्प (a) 0: यह गलत है क्योंकि एक नकारात्मक वास्तविक संख्या का त्रिकोणमितीय तर्क 0 नहीं होता। त्रिकोणमितीय तर्क 0 वास्तविक अक्ष के धनात्मक ओर स्थित धनात्मक वास्तविक संख्याओं को संबोधित करता है।

• विकल्प (b) $\dfrac{\pi}{2}$: यह गलत है क्योंकि त्रिकोणमितीय तर्क $\dfrac{\pi}{2}$ धनात्मक काल्पकिक अक्ष पर शुद्ध काल्पकिक संख्याओं को संबोधित करता है, नकारात्मक वास्तविक संख्याओं को नहीं।

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं: यह गलत है क्योंकि एक सही विकल्प उपलब्ध है, जो (c) $\pi$ है। एक नकारात्मक वास्तविक संख्या का त्रिकोणमितीय तर्क वास्तविक रूप से $\pi$ होता है।

हल

विकल्प (a)

$ \begin{aligned} \text{मान लीजिए } \quad z & =1+2 i \\ \\ \Rightarrow \quad |z| & =\sqrt{1+4}=\sqrt{5} \\ \\ \text{अब, } \quad f(z) & =\dfrac{7-z}{1-z^{2}}=\dfrac{7-1-2 i}{1-(1+2 i)^{2}} \\ \\ & =\dfrac{6-2 i}{1-1-4 i^{2}-4 i}=\dfrac{6-2 i}{4-4 i} \\ \\ & =\dfrac{(3-i)(2+2 i)}{(2-2 i)(2+2 i)} \\ \\ & =\dfrac{6-2 i+6 i-2 i^{2}}{4-4 i^{2}}=\dfrac{6+4 i+2}{4+4} \\ \\ & =\dfrac{8+4 i}{8}=1+\dfrac{1}{2} i \\ \\ f(z) & =1+\dfrac{1}{2} i \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & \therefore \quad|f(z)|=\sqrt{1+\dfrac{1}{4}}=\sqrt{\dfrac{4+1}{4}}=\dfrac{\sqrt{5}}{2}=\dfrac{|z|}{2} \end{aligned} $

• विकल्प (b) $|z|$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ f(z) $ के परिमाण की गणना $ \dfrac{|z|}{2} $ निकलती है, न कि $ |z| $. गणना दिखाती है कि $ |f(z)| = \dfrac{\sqrt{5}}{2} $, जो $ |z| $ के आधा है।

• विकल्प (c) $2 |z|$: यह विकल्प गलत है क्योंकि $ f(z) $ के परिमाण $ z $ के परिमाण के दोगुना नहीं होता। $ f(z) $ का सही परिमाण $ \dfrac{|z|}{2} $ होता है, न कि $ 2|z| $.

• विकल्प (d) इनमें से कोई नहीं: इस विकल्प को सही नहीं माना जा सकता क्योंकि एक विकल्प (a) है जो $ f(z) $ के गणनात्मक मापदंड $ \dfrac{|z|}{2} $ के सही मिलान करता है। इसलिए, “इनमें से कोई नहीं” सही उत्तर नहीं है।