सोचने की प्रक्रिया

$(x-a)^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T _ {r+1}={ }^{n} C _ {r}(x)^{n-r}(-a)^{r}$ होता है। $x$ के स्वतंत्र पद के लिए $n-r=0$ रखें, तो हमें $r$ का मान प्राप्त होता है।

हल

दिया गया विस्तार $\left(\dfrac{3 x^{2}}{2}-\dfrac{1}{3 x}\right)^{15}$ है।

मान लीजिए $T _ {r+1}$ सामान्य पद है।

तब,

$ \begin{aligned} T _ {r+1} & ={ }^{15} C _ {r}\left({\dfrac{3 x^{2}}{2}}\right)^{15-r}\left(-\dfrac{1}{3 x}\right)^{r} \\ \\ & ={ }^{15} C _ {r} (3)^{15-r} (x)^{30-2 r} (2)^{r-15}(-1)^{r} \cdot (3)^{-r} \cdot (x)^{-r} \\ \\ & ={ }^{15} C _ {r}(-1)^{r} (3)^{15-2 r} (2)^{r-15} (x)^{30-3 r} \end{aligned} $

$ x $ के स्वतंत्र पद के लिए,

$30-3 r =0 $

$3 r =30 \Rightarrow r=10 $

$\because \ T _ {r+1} =T _ {10+1}=11^{\text{th}} \text { पद } x $ के स्वतंत्र है।

$\therefore \ T _ {10+1} ={ }^{15} C _ {10}(-1)^{10} (3)^{15-20} (2)^{10-15} $

$ \quad \quad \quad \quad ={ }^{15} C _ {10} (3)^{-5} (2)^{-5} $

$ \quad \quad \quad \quad ={ }^{15} C _ {10}(6)^{-5} $

$ \quad \quad \quad \quad ={ }^{15} C _ {10} \left(\dfrac{1}{6}\right)^5 $

हल

दिया गया विस्तार $\left(\sqrt{x}-{\dfrac{k}{x^{2}}}\right)^{10}$ है।

मान लीजिए $T _ {r+1}$ सामान्य पद है।

तब,

$ \begin{aligned} T _ {r+1} & ={ }^{10} C _ {r}(\sqrt{x})^{10-r} \left(\dfrac{-k}{x^{2}}\right)^{r} \\ \\ & ={ }^{10} C _ {r}(x)^{[({1}/{2})(10-r)]}(-k)^{r} \cdot (x)^{-2 r} \\ \\ & ={ }^{10} C _ {r} (x)^{(5-({r}/{2}))}(-k)^{r} \cdot (x)^{-2 r} \\ \\ & ={ }^{10} C _ {r} (x)^{(5-({r}/{2})-2 r)}(-k)^{r} \\ \\

& ={ }^{10} C _ {r} (x)^{({10-5 r}/{2})}(-k)^{r} \end{aligned} $

$x$ से मुक्त, $\dfrac{10-5 r}{2}=0$

$\Rightarrow \ 10-5 r=0 \Rightarrow r=2$

क्योंकि, $T _ {2+1}=T _ 3$ $x$ से मुक्त है।

$ \therefore \ T _ {2+1} ={ }^{10} C _ 2(-k)^{2}=405 $

$\Rightarrow \dfrac{10 \times 9 \times 8 !}{2 ! \times 8 !}(-k)^{2} =405 $

$\Rightarrow 45 k^{2} =405 $

$\Rightarrow k^{2}=\dfrac{405}{45}=9 $

$\therefore \ k = \pm 3$

हल

दिया गया व्यंजक $ \ (1-3 x+7 x^{2})(1-x)^{16}$ है।

$ \begin{aligned} & =(1-3 x+7 x^{2})[{ }^{16} C _ 0 (1)^{16}-{ }^{16} C _ 1 (1)^{15} (x)^{1}+{ }^{16} C _ 2 (1)^{14} (x)^{2}+\ldots+{ }^{16} C _ {16} (x)^{16}] \\ \\ & =(1-3 x+7 x^{2})(1-16 x+120 x^{2}+\ldots) \end{aligned} $

$\therefore \ $ $x$ का गुणांक $-3-16=-19$

चिंतन प्रक्रिया

$(x-a)^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद, अर्थात $T _ {r+1}={ }^{n} C _ {r}(x)^{n-r}(-a)^{r}$ है।

हल

दिया गया व्यंजक $\left(3 x-{\dfrac{2}{x^{2}}}\right)^{15}$ है।

मान लीजिए $T _ {r+1}$ सामान्य पद है।

$ \begin{aligned} \therefore \ T _ {r+1} & ={ }^{15} C _ {r}(3 x)^{15-r} \left(\dfrac{-2}{x^{2}}\right)^{r}\\ \\ &={ }^{15} C _ {r}(3 x)^{15-r}(-2)^{r} (x)^{-2 r} \\ \\ & ={ }^{15} C _ {r} (3)^{15-r} (x)^{15-3 r}(-2)^{r} \end{aligned} $

$x$ से स्वतंत्र होने के लिए, $15-3 r=0 \Rightarrow r=5$

क्योंकि, $T _ {5+1}=T _ 6$ $x$ से स्वतंत्र है।

$ \begin{aligned} \therefore \quad T _ {5+1} & ={ }^{15} C _ 5 (3)^{15-5}(-2)^{5} \\ \\ & =-\dfrac{15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 \times 10 !}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 10 !} \cdot 3^{10} \cdot 2^{5} \\ \\ & =-3003 \cdot 3^{10} \cdot 2^{5} \end{aligned} $

सोचने की प्रक्रिया

$(a+b)^{n}$ के विस्तार में, यदि $n$ सम हो, तो इस विस्तार में केवल एक मध्य पद होता है, अर्थात, $\left(\dfrac{n}{2}+1\right)^{\text{वां}}$ पद मध्य पद होता है और यदि $n$ विषम हो, तो इस विस्तार में दो मध्य पद होते हैं, अर्थात, $\left(\dfrac{n+1}{2}\right)^{\text{वां}}$ और $\left(\dfrac{n+1}{2}+1\right)^{\text{वां}}$ दोनों मध्य पद होते हैं।

हल

(i) दिया गया व्यंजक $\left(\dfrac{x}{a}-\dfrac{a}{x}\right)^{10}$ है।

यहाँ, द्विपद की घात, अर्थात, $n=10$ सम है।

चूंकि इसके एक मध्य पद होता है, अर्थात, $\left(\dfrac{10}{2}+1\right)^{\text{वां}}$ पद, अर्थात, $6^{\text{वां}}$ पद होता है।

$ \begin{aligned} \therefore \quad T _ 6 & =T _ {5+1}={ }^{10} C _ 5 \left(\dfrac{x}a \right)^{10-5} \left(\dfrac{-a}{x}\right)^5 \\ \\ & =-{ }^{10} C _ 5 \left(\dfrac{x}a \right)^{5} \left(\dfrac{a}x\right)^{5} \\ \\ & =-\dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{5 ! \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \ \left(\dfrac{x}{a}\right)^5 \ \left(\dfrac{x}{a}\right)^{-5} \\ \\ & =-9 \times 4 \times 7=-252 \end{aligned} $

(ii) दिया गया व्यंजक $\left(3 x-\dfrac{x^{3}}{6}\right)^{9}$ है।

यहाँ, $n=9 \quad$ [विषम]

चूंकि, द्विपद विस्तार में दो मध्य पद होते हैं, अर्थात, $\left(\dfrac{9+1}{2}\right)^{\text{वां}}$ और $\left(\dfrac{9+1}{2}+1\right)^{\text{वां}}$ अर्थात, $5^{\text{वां}}$ पद और $6^{\text{वां}}$ पद होते हैं।

$ \begin{aligned} \therefore \quad T _ 5 & =T _ {(4+1)}={ }^{9} C _ 4(3 x)^{9-4}\left(-\dfrac{x^{3}}{6}\right)^4 \\ \\ & =\dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 !} 3^{5} x^{5} x^{12} 6^{-4} \\ \\ & =\dfrac{7 \times 6 \times 3 \times 3^{1}}{2^{4}} x^{17}=\dfrac{189}{8} x^{17} \end{aligned} $

$ \begin{aligned} \therefore \quad T _ 6 & =T _ {5+1}={ }^{9} C _ 5(3 x)^{9-5}\left(-\dfrac{x^{3}}{6}\right)^5 \\ \\ & =-\dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{5 ! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \cdot 3^{4} \cdot x^{4} \cdot x^{15} \cdot 6^{-5} \\ \\

& =\dfrac{-21 \times 6}{3 \times 2^{5}} x^{19}=\dfrac{-21}{16} x^{19} \end{aligned} $

हल

दिया गया व्यंजक $(x-x^{2})^{10}$ है।

मान लीजिए $T _ {r+1}$ सामान्य व्यंजक है।

$ \begin{aligned} \therefore \quad T _ {r+1} & ={ }^{10} C _ {r} \cdot (x)^{10-r} \cdot (-x^{2})^{r} \\ \\ & =(-1)^{r} \cdot{ }^{10} C _ {r} \cdot (x)^{10-r} \cdot (x)^{2 r} \\ \\ & =(-1)^{r} \cdot { }^{10} C _ {r} \cdot (x)^{10+r} \end{aligned} $

$ x^{15} $ के गुणांक के लिए,

$ 10+r =15 \Rightarrow r=5 $

$ T _ {5+1} =(-1)^{5} \cdot { }^{10} C _ 5 \cdot (x)^{15} $

$\therefore \ \text { } x^{15} $ का गुणांक $ =(-1)^5 \cdot {}^{10} C _ 5 =(-1) \times \dfrac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 !}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \times 5 !} $

$ =-3 \times 2 \times 7 \times 6=-252$

चिंतन प्रक्रिया

इस प्रकार के प्रश्नों में सबसे पहले विस्तार $(x-y)^{n}$ में सामान्य व्यंजक $T _ {r+1}={ }^{n} C _ {r} x^{n-r}(-y)^{r}$ का उपयोग करके सामान्य व्यंजक ज्ञात करें और फिर $n-r$ को अभीष्ट $x$ के घात के बराबर रखें जिसके गुणांक को ज्ञात करना है।

हल

दिया गया व्यंजक $\left(x^{4}-{\dfrac{1}{x^{3}}}\right)^{15}$ है।

मान लीजिए $T _ {r+1}$ में $\dfrac{1}{x^{17}}$ का गुणांक है अर्थात $x^{-17}$ है।

$\therefore \ T _ {r+1} ={ }^{15} C _ {r}(x^{4})^{15-r} \left(-\dfrac{1}{x^{3}}{ }\right)^{r}$

$ ={ }^{15} C _ {r} (x)^{60-4 r}(-1)^{r} (x)^{-3 r} $

$={ }^{15} C _ {r} (x)^{60-7 r}(-1)^{r}$

$ x^{-17} $ के गुणांक के लिए,

$ 60-7 r=-17 $

$ 7 r=77 \Rightarrow r=11 $

अब, $ \ T _ {11+1}={ }^{15} C _ {11} \cdot (x)^{60-77} \cdot (-1)^{11} $

$\therefore \ \text { } x^{-17} $ का गुणांक $ =(-1)^{11} \cdot {}^{15} C _ {11} =\dfrac{-15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11 !}{11 ! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} $

$ =-15 \times 7 \times 13=-1365$

हल

दी गई अभिव्यक्ति $(y^{({1}/{2})}+x^{({1}/{3})})^{n}$ है।

इस विस्तार का छठा पद है

$ T _ 6=T _ {5+1}={ }^{n} C _ 5 \cdot (y^{({1}/{2})})^{n-5} \cdot (x^{({1}/{3})})^{5} \quad \ldots (i) $

अब, दिया गया है कि अंत से तीसरे पद का द्विपद गुणांक 45 है।

हम जानते हैं कि, अंत से तीसरे पद का द्विप कुणांक $=$ आरंभ से तीसरे पद का द्विपद गुणांक $={ }^{n} C _ 2$

$ \begin{aligned} & \because \ { }^{n} C _ 2=45 \\ \\ & \Rightarrow \ \dfrac{n(n-1)(n-2) !}{2 !(n-2) !}=45 \\ \\ & \Rightarrow \ n(n-1)=90 \\ \\ & \Rightarrow \ n^{2}-n-90=0 \\ \\ & \Rightarrow \ n^{2}-10 n+9 n-90=0 \\ \\ & \Rightarrow \ n(n-10)+9(n-10)=0 \\ \\ & \Rightarrow \ (n-10)(n+9)=0 \\ \\ & \Rightarrow \ (n+9)=0 \text { or }(n-10)=0 \\ \\ & \therefore \ n=10 \quad[\because n \neq-9] \end{aligned} $

समीकरण (i) से,

$ T _ 6={ }^{10} C _ 5 \cdot (y)^{5 / 2} \cdot (x)^{5 / 3}=252 (y)^{5 / 2} \cdot (x)^{5 / 3} $

चिंतन प्रक्रिया

$(1+x)^{n}$ के विस्तार में $(r+1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${ }^{n} C _ {r}$ होता है। इस सूत्र का उपयोग ऊपर दिए गए समस्या को हल करने में करें।

हल

दी गई अभिव्यक्ति $(1+x)^{18}$ है।

अब, $(2 r+4)^{\text{th}}$ पद अर्थात $T _ {2 r+3+1}$ है।

$ \begin{aligned} \therefore \quad T _ {2 r+3+1} & ={ }^{18} C _ {2 r+3} \cdot (1)^{18-2 r-3} \cdot (x)^{2 r+3} \\ \\ & ={ }^{18} C _ {2 r+3} \cdot (x)^{2 r+3} \end{aligned}

$

अब, $ \ (r-2)^{\text{वां}}$ पद अर्थात, $T _ {r-3+1}$.

$ \therefore \ T _ {r-3+1} ={}^{18} C _ {r-3} \cdot (x)^{r-3} $

जैसा कि, $ \ {}^{18} C _ {2 r+3} = {}^{18} C _ {r-3} $

$\Rightarrow 2 r+3+r-3 =18 $ $\qquad [\because \ {}^nC _ x = {}^nC _ y \Rightarrow x+y=n]$

$\Rightarrow 3 r =18 $

$ \therefore \ r =6 $

चिंतन प्रक्रिया

$(x+y)^{n}$ के विस्तार में $(r+1)^{\text{वां}}$ पद का गुणांक ${ }^{n} C _ {r}$ होता है। इस सूत्र का उपयोग करके आवश्यक गुणांक प्राप्त करें।

यदि $a, b$ और $c$ A.P. में हों, तो $2 b=a+c$ होता है।

हल

दिया गया व्यंजक $(1+x)^{2 n}$ है।

अब, $2^{\text{वां}}$ पद का गुणांक $={ }^{2 n} C _ 1$

$3^{\text{वां}}$ पद का गुणांक $={ }^{2 n} C _ 2$

$4^{\text{वां}}$ पद का गुणांक $={ }^{2 n} C _ 3$

दिया गया है कि, ${ }^{2 n} C _ 1,{ }^{2 n} C _ 2$ और ${ }^{2 n} C _ 3$ A.P. में हैं।

तब, $ \ 2 \cdot{ }^{2 n} C _ 2={ }^{2 n} C _ 1+{ }^{2 n} C _ 3$

$\Rightarrow \ 2 \Big[\dfrac{2 n(2 n-1)(2 n-2) !}{2 \times 1 \times(2 n-2) !}\Big]=\dfrac{2 n(2 n-1) !}{(2 n-1) !}+\dfrac{2 n(2 n-1)(2 n-2)(2 n-3) !}{3 !(2 n-3) !}$

$\Rightarrow \ n(2 n-1)=n+\dfrac{n(2 n-1)(2 n-2)}{6}$

$\Rightarrow \ n(12 n-6)=n(6+4 n^{2}-4 n-2 n+2)$

$\Rightarrow \ 12 n-6=(4 n^{2}-6 n+8)$

$\Rightarrow \ 6(2 n-1)=2(2 n^{2}-3 n+4)$

$\Rightarrow \ 3(2 n-1)=2 n^{2}-3 n+4$

$\Rightarrow \ 2 n^{2}-3 n+4-6 n+3=0$

$\Rightarrow \ 2 n^{2}-9 n+7=0$

इस प्रकार सिद्ध कर दिया गया है।

हल

दिया गया व्यंजक $=(1+x+x^{2}+x^{3})^{11}=[(1+x)+x^{2}(1+x)]^{11}$

$ =[(1+x)(1+x^{2})]^{11}=(1+x)^{11} \cdot(1+x^{2})^{11} $

अब, उपरोक्त विस्तार बन जाता है

$ \begin{aligned} & =({ }^{11} C _ 0+{ }^{11} C _ 1 x+{ }^{11} C _ 2 x^{2}+{ }^{11} C _ 3 x^{3}+{ }^{11} C _ 4 x^{4}+\ldots)({ }^{11} C _ 0+{ }^{11} C _ 1 x^{2}+{ }^{11} C _ 2 x^{4}+\ldots) \\ \\

$$ \begin{aligned} &=(1+11 x+55 x^{2}+165 x^{3}+330 x^{4}+\ldots)(1+11 x^{2}+55 x^{4}+\ldots) \end{aligned} $$

$$ \therefore $$ Coefficient of $x^{4}=55+605+330=990$

हल

दिया गया व्यंजक $\left(\dfrac{p}{2}+2\right)^{8}$ है।

यहाँ, $n=8 \quad$ [सम]

क्योंकि, यह द्विपद विस्तार केवल एक मध्य पद रखता है, अर्थात $\left(\dfrac{8}{2}+1\right)^{\text{वां}}$ $=5^{\text{वां}}$ पद

$ T _ 5 =T _ {4+1}={ }^{8} C _ 4 \cdot \left(\dfrac{p}2\right)^{8-4} \cdot 2^{4} $

$ \Rightarrow 1120 ={ }^{8} C _ 4 \cdot (p)^{4} \cdot (2)^{-4} \cdot (2)^{4} $

$ \Rightarrow 1120 =\dfrac{8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 !}{4 ! \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times p^{4} $

$\Rightarrow 1120=7 \times 2 \times 5 \times p^{4} $

$\Rightarrow p^{4}=\dfrac{1120}{70}=16 \Rightarrow p^{4}=2^{4}$

$\Rightarrow p^{2}=4 \Rightarrow p= \pm 2$

हल

दिया गया विस्तार $\left(x-\dfrac{1}x \right)^{2 n}$ है।

यह द्विपद विस्तार के सम पावर के लिए है। इसलिए, इसमें एक मध्य पद होता है।

अर्थात, $ \ \left(\dfrac{2 n}{2}+1\right)^{\text{वां}} \text { पद }=(n+1)^{\text{वां}} \text { पद }$

$T _ {n+1} ={ }^{2 n} C _ {n} \cdot (x)^{2 n-n} \cdot \left(-\dfrac{1}{x}{ }\right)^{n}={ }^{2 n} C _ {n} \cdot (x)^{n} \cdot (-1)^{n} \cdot (x)^{-n}$

$={ }^{2 n} C _ {n} \cdot (-1)^{n} =(-1)^{n} \cdot \dfrac{(2 n) !}{n ! n !}=\dfrac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \ldots(2 n-1)(2 n)}{n ! n !} \cdot(-1)^{n}$

$=\dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1) \cdot 2 \cdot 4 \cdot 6 \ldots(2 n)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \ldots n(n !)} \cdot (-1)^{n} $

$=\dfrac{1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1) \cdot 2^{n}(1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n)(-1)^{n}}{(1 \cdot 2 \cdot 3 \ldots n)(n !)} $

$=\dfrac{[1 \cdot 3 \cdot 5 \ldots(2 n-1)]}{n !} \cdot (-2)^{n}$

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

हल

यहाँ, द्विआधारी व्यंजक $\left(\sqrt[3]{2}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}{ }\right)^{n}$ है।

अब, आरंभ से 7वां पद $T _ 7=T _ {6+1}={ }^{n} C _ 6 \cdot (\sqrt[3]{2})^{n-6} \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{6} \quad \ldots (i)$

और अंत से 7वां पद अर्थात, $\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{2}{ }\right)^{n}$ के आरंभ से 7वां पद $T _ 7={ }^{n} C _ 6 \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{n-6}(\sqrt[3]{2})^{6}$

दिया गया है, $ \ \dfrac{{ }^{n} C _ 6 \cdot (\sqrt[3]{2})^{n-6} \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^6}{{ }^{n} C _ 6 \cdot \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{n-6}(\sqrt[3]{2})^{6}}=\dfrac{1}{6} $

$\Rightarrow \dfrac{2^{({{(n-6)}/{3}})} \cdot 3^{(-6 / 3)}}{3^{(-({n-6})/{3})} \cdot 2^{(6 / 3)}}=\dfrac{1}{6}$

$\Rightarrow \quad \bigg[ 2^{\left({(n-6)}/{3}\right)} \cdot 2^{\left({-6}/{3}\right)}\bigg] \bigg[3^{\left({-6}/{3}\right)} \cdot 3^{\left({(n-6)}/{3}\right)}\bigg]=6^{-1}$

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \quad 2^{({(n-6)}/{3}-\dfrac{6}{3})} \cdot 3^{({(n-6)}/{3}-\dfrac{6}{3})}=6^{-1} \\ \\ & \Rightarrow \quad (2 \cdot 3)^{(({n}/{3})-4)}=(2 \cdot 3)^{-1} \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{n}{3}-4=-1 \Rightarrow \dfrac{n}{3}=3 \\ \\ & \therefore \quad n=9 \end{aligned} $

हल

(i) दिया गया व्यंजक $(x+a)^{n}$ है।

$\therefore \ (x+a)^{n}={ }^{n} C _ 0 x^{n} a^{0}+{ }^{n} C _ 1 x^{n-1} a^{1}+{ }^{n} C _ 2 x^{n-2} a^{2}+{ }^{n} C _ 3 x^{n-3} a^{3}+\ldots+{ }^{n} C _ {n} a^{n}$

अब, विषम पदों का योग

अर्थात,

$ \ O={ }^{n} C _ 0 x^{n} a^0+{ }^{n} C _ 2 x^{n-2} a^{2}+{}^nC _ 4 x^{n-4} a^4 +\ldots $

और सम पदों का योग

अर्थात,

$ \ E={ }^{n} C _ 1 x^{n-1} a^1+{ }^{n} C _ 3 x^{n-3} a^{3}+{}^nC _ 5 x^{n-5} a^5+\ldots $

$\because \ (x+a)^{n}=O+E \quad \ldots (i)$

इसी तरह, $\ (x-a)^{n}=O-E \quad \ldots (ii)$

$\therefore \ (O+E)(O-E)=(x+a)^{n}(x-a)^{n}$ $\quad $ [समीकरण (i) और (ii) को गुणा करके]

$\Rightarrow \ O^{2}-E^{2}=(x^{2}-a^{2})^{n}$

इसलिए सिद्ध कर दिया।

(ii) $4 O E=(O+E)^{2}-(O-E)^{2}=[(x+a)^{n}]^{2}-[(x-a)^{n}]^{2}$

[समीकरण (i) और (ii) से]

$ 4 OE=(x+a)^{2 n}-(x-a)^{2 n} $

इसलिए सिद्ध कर दिया।

हल

दिया गया व्यंजक $\left(x^{2}+\dfrac{1}x\right)^{2 n}$ है।

मान लीजिए $x^{p}$ के प्रसार में $\left(x^{2}+\dfrac{1}x\right)^{2 n}$ में हो।

$T _ {r+1} ={ }^{2 n} C _ {r}(x^{2})^{2 n-r} \left(\dfrac{1}{x}\right)^r $

$={ }^{2 n} C _ {r} (x)^{4 n-2 r} (x)^{-r}={ }^{2 n} C _ {r} (x)^{4 n-3 r} $

मान लीजिए $\ 4 n-3 r =p$

$\Rightarrow \ 3 r =4 n-p $

$\Rightarrow \ r=\dfrac{4 n-p}{3} $

$\therefore \ \text { }x^{p}$ के गुणांक ${ }^{2 n} C _ {r}=\dfrac{(2 n) !}{r !(2 n-r) !}=\dfrac{(2 n) !}{\left(\dfrac{4 n-p}{3}\right) ! \left(2 n-\dfrac{4 n-p}{3}\right) !} $

$ =\dfrac{(2 n) !}{\left(\dfrac{4 n-p}{3}\right) ! \left(\dfrac{6 n-4 n+p}{3} \right)!}=\dfrac{(2 n) !}{\left(\dfrac{4 n-p}{3}\right) ! \left(\dfrac{2 n+p}{3}\right) !}$

हल

दिया गया व्यंजक $(1+x+2 x^{3}) \left(\dfrac{3}{2} x^{2}-\dfrac{1}{3 x}\right)^{9}$ है।

अब, विचार करें $\left(\dfrac{3}{2} x^{2}-\dfrac{1}{3 x}\right)^{9}$

$ \begin{aligned}

T _ {r+1} & ={ }^{9} C _ {r} \left(\dfrac{3x^{2}}{2}\right)^{9-r} \left(-\dfrac{1}{3 x}\right)^r \\ \\ & ={ }^{9} C _ {r} \left(\dfrac{3}2\right)^{9-r} (x)^{18-2 r}\left(-\dfrac{1}3\right)^{r} (x)^{-r}={ }^{9} C _ {r} \left(\dfrac{3}2\right)^{9-r}\left(-\dfrac{1}3\right)^{r} (x)^{18-3 r} \end{aligned} $

इसलिए, $(1+x+2 x^{3}) \left(\dfrac{3}{2} x^{2}-\dfrac{1}{3 x}\right)^{9}$ के विस्तार में सामान्य पद है

$ ={ }^{9} C _ {r} \left(\dfrac{3}2\right)^{9-r}\left(-\dfrac{1}3\right)^{r} (x)^{18-3 r}+{ }^{9} C _ {r} \left(\dfrac{3}2\right)^{9-r}\left(-\dfrac{1}3\right)^{r} (x)^{19-3 r}+2 \cdot{ }^{9} C _ {r} \left(\dfrac{3}2\right)^{9-r}\left(-\dfrac{1}3\right)^{r} (x)^{21-3 r} $

$ x $ के स्वतंत्र पद के लिए, $18-3 r=0,19-3 r=0$ और $21-3 r=0$ रखने पर हम प्राप्त करते हैं

$ r=6, r=\dfrac{19}{3}, r=7 $

क्योंकि, $ r $ के संभावित मान 6 और 7 हैं ।

इसलिए, दूसरा पद $ x $ के स्वतंत्र नहीं है।

$\therefore \ $ $ x $ के स्वतंत्र पद $ T _ 7+T _ 8$ है

$ \ \ ={ }^{9} C _ 6 \left(\dfrac{3}2\right)^{9-6}\left(-\dfrac{1}3\right)^{6}+2 \cdot{ }^{9} C _ 7 \left(\dfrac{3}2\right)^{9-7}\left(-\dfrac{1}3\right)^{7}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{9 \times 8 \times 7 \times 6 !}{6 ! \times 3 \times 2} \cdot \dfrac{3^{3}}{2^{3}} \cdot \dfrac{1}{3^{6}}-2 \cdot \dfrac{9 \times 8 \times 7 !}{7 ! \times 2 \times 1} \cdot \dfrac{3^{2}}{2^{2}} \cdot \dfrac{1}{3^{7}} \\ \\ & =\dfrac{84}{8} \cdot \dfrac{1}{3^{3}}-\dfrac{36}{4} \cdot \dfrac{2}{3^{5}} \\ \\ &=\dfrac{7}{18}-\dfrac{2}{27}=\dfrac{21-4}{54}=\dfrac{17}{54} \end{aligned} $

हल

विकल्प (c) मान लीजिए $(1+x)^{24}$ के विस्तार में दो क्रमागत पद $(r+1) ^{th} $ और $(r+2)^{th}$ हैं।

$ \therefore $ $ \ T _ {r+1} ={ }^{24} C _ {r} x^{r} $

और $T _ {r+2} ={ }^{24} C _ {r+1} x^{r+1} $

$\dfrac{{ }^{24} C _ {r}}{{ }^{24} C _ {r+1}} =\dfrac{1}{4} $

दिया गया है, $ \ \dfrac{\frac{(24) !}{r !(24-r) !}}{(24) !} =\dfrac{1}{4} $

$ \Rightarrow \dfrac{(r+1) !(24-r-1) !}{(r+1) r(23-r) !} =\dfrac{1}{4} $

$\Rightarrow \dfrac{(r+124-r)(23-r) !}{r 4-r} =\dfrac{1}{4} $

$\Rightarrow 4 r+4=24-r $

$\Rightarrow 5 r=20 \Rightarrow r=4 $

$ \therefore T _ {4+1} =T _ 5 \text { और } T _ {4+2}=T _ 6

$

अतः, 5वां और 6वां पद।

• विकल्प (a) 3वां और 4वां: $(1+x)^{24}$ के विस्तार में 3वें और 4वें पद के गुणांक 1:4 के अनुपात में नहीं हैं। जब हम इन पदों के गुणांक के अनुपात की गणना करते हैं, तो दिए गए शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।

• विकल्प (b) 4वां और 5वां: $(1+x)^{24}$ के विस्तार में 4वें और 5वें पद के गुणांक 1:4 के अनुपात में नहीं हैं। जब हम इन पदों के गुणांक के अनुपात की गणना करते हैं, तो दिए गए शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।

• विकल्प (d) 6वां और 7वां: $(1+x)^{24}$ के विस्तार में 6वें और 7वें पद के गुणांक 1:4 के अनुपात में नहीं हैं। जब हम इन पदों के गुणांक के अनुपात की गणना करते हैं, तो दिए गए शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।

हल

विकल्प (d) $\because \ $ $(1+x)^{2 n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक ${ }^{2 n} C _ {n}$ है और $(1+x)^{2 n-1}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक ${ }^{2 n-1} C _ {n}$ है

$ \dfrac{{ }^{2 n} C _ {n}}{{ }^{2 n-1} C _ {n}} =\dfrac{\dfrac{(2 n) !}{n ! n !}}{\dfrac{(2 n-1) !}{n !(n-1) !}} $

$ =\dfrac{(2 n) ! n !(n-1) !}{n ! n !(2 n-1) !} $

$ =\dfrac{2 n(2 n-1) ! n !(n-1) !}{n ! n(n-1) !(2 n-1) !} $

$ =\dfrac{2 n}{n}=\dfrac{2}{1}=2: 1 $

• विकल्प (a) $1: 2$: गलत है क्योंकि गुणांक के अनुपात $\dfrac{2n}{n} = 2:1$ है, न कि $1:2$।

• विकल्प (b) $1: 3$: गलत है क्योंकि गुणांक के अनुपात $\dfrac{2n}{n} = 2:1$ है, न कि $1:3$।

• विकल्प (c) $3: 1$: गलत है क्योंकि गुणांक के अनुपात $\dfrac{2n}{n} = 2:1$ है, न कि $3:1$।

हल

विकल्प (b) $(1+x)^{n}$ के विस्तार को ${ }^{n} C _ 0+{ }^{n} C _ 1 x+{ }^{n} C _ 2 x^{2}+{ }^{n} C _ 3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C _ {n} x^{n}$ के रूप में लिखा जा सकता है

$\therefore \quad$ $2^{nd}$ पद के गुणांक $={ }^{n} C _ 1$,

$3^{rd}$ पद के गुणांक $={ }^{n} C _ 2$

और $4^{th}$ पद के गुणांक $={ }^{n} C _ 3$

दिया गया है कि, ${ }^{n} C _ 1,{ }^{n} C _ 2$ और ${ }^{n} C _ 3$ AP में हैं

$\therefore \ 2{ }^{n} C _ 2={ }^{n} C _ 1+{ }^{n} C _ 3 $

$\Rightarrow \ 2 \dfrac{(n) !}{(n-2) ! 2 !}=\dfrac{(n) !}{(n-1) !}+\dfrac{(n) !}{3 !(n-3) !} $

$\Rightarrow \ \dfrac{2 \cdot n(n-1)(n-2) !}{(n-2) ! 2 !}=\dfrac{n(n-1) !}{(n-1) !}+\dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3) !}{3 \cdot 2 \cdot 1(n-3) !} $

$\Rightarrow \ n(n-1)=n+\dfrac{n(n-1)(n-2)}{6} $

$\Rightarrow \ 6 n-6=6+n^{2}-3 n+2 $

$\Rightarrow \ n^{2}-9 n+14=0 $

$\Rightarrow \ n(n-7)-2(n-7)=0 $

$\Rightarrow \ (n-7)(n-2)=0 $

$\Rightarrow \ n=2 \text { या } n=7$

क्योंकि, $n=2$ संभव नहीं है।

$ \therefore \ n=7 $

• विकल्प (a) 2: यह विकल्प गलत है क्योंकि जब $ n = 2 $, तो $(1+x)^n$ के विस्तार में $2^{nd}$, $3^{rd}$ और $4^{th}$ पदों के गुणांक एक समांतर श्रेणी (AP) बनाते नहीं हैं। विशेष रूप से, $(1+x)^2$ के विस्तार $1 + 2x + x^2$ होता है, और इसमें $4^{th}$ पद नहीं होता। अतः, गुणांकों के AP की शर्त संतुष्ट नहीं होती।

• विकल्प (c) 11: यह विकल्प गलत है क्योंकि जब $ n = 11 $, तो $(1+x)^{11}$ के विस्तार में $2^{nd}$, $3^{rd}$ और $4^{th}$ पदों के गुणांक एक समांतर श्रेणी (AP) बनाते नहीं हैं। विशेष रूप से, गुणांक $ {}^{11}C _ 1 = 11$, $ {}^{11}C _ 2 = 55$, और $ {}^{11}C _ 3 = 165$ होते हैं। ये मान $2 \cdot {}^{11}C _ 2 = {}^{11}C _ 1 + {}^{11}C _ 3$ की शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।

• विकल्प (d) 14: यह विकल्प गलत है क्योंकि जब $ n = 14 $, तो $(1+x)^{14}$ के विस्तार में $2^{nd}$, $3^{rd}$ और $4^{th}$ पदों के गुणांक एक समांतर श्रेणी (AP) बनाते नहीं हैं। विशेष रूप से, गुणांक $ {}^{14}C _ 1 = 14$, $ {}^{14}C _ 2 = 91$, और $ {}^{14}C _ 3 = 364$ होते हैं। ये मान $2 \cdot {}^{14}C _ 2 = {}^{14}C _ 1 + {}^{14}C _ 3$ की शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।

हल

विकल्प (b) क्योंकि, $(1+x)^{2 n}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक ${ }^{2 n} C _ {n}$ है।

$\therefore \quad A={ }^{2 n} C _ {n}$

अब, $(1+x)^{2 n-1}$ के विस्तार में $x^{n}$ का गुणांक ${ }^{2 n-1} C _ {n}$ है।

$\therefore \quad B={ }^{2 n-1} C _ {n}$

अब,

$ \dfrac{A}{B}=\dfrac{{ }^{2 n} C _ {n}}{{ }^{2 n-1} C _ {n}}=\dfrac{2}{1}=2 $

• विकल्प (a) 1: यह विकल्प गलत है क्योंकि द्विपद गुणांकों के अनुपात $\dfrac{{}^{2n}C _ n}{{}^{2n-1}C _ n}$ 1 के बराबर नहीं है। समाधान में दिखाए गए अनुसार सही अनुपात 2 है।

• विकल्प (c) $\dfrac{1}{2}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि द्विपद गुणांकों के अनुपात $\dfrac{{}^{2n}C _ n}{{}^{2n-1}C _ n}$ $\dfrac{1}{2}$ के बराबर नहीं है। समाधान में दिखाए गए अनुसार सही अनुपात 2 है।

• विकल्प (d) $\dfrac{1}{n}$: यह विकल्प गलत है क्योंकि द्विपद गुणांकों के अनुपात $\dfrac{{}^{2n}C _ n}{{}^{2n-1}C _ n}$ ऐसे नहीं निर्भर करता है जिसके कारण इसका मान $\dfrac{1}{n}$ हो सके। समाधान में दिखाए गए अनुसार सही अनुपात 2 है।

हल

विकल्प (c) दिया गया विस्तार $\left(\dfrac{1}{x}+x \sin x\right)^{10}$ है।

क्योंकि, $n=10$ सम संख्या है, इसलिए इस विस्तार में केवल एक मध्य पद होता है अर्थात $6^{वीं}$ पद।

$ \begin{aligned} & \therefore \quad T _ 6=T _ {5+1}={ }^{10} C _ 5 (\dfrac{1}{x}{ })^{10-5}(x \sin x)^{5} \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{63}{8}={ }^{10} C _ 5 x^{-5} x^{5} \sin ^{5} x \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{63}{8}=\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 !}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 5 !} \sin ^{5} x \\ \\ & \Rightarrow \quad \dfrac{63}{8}=2 \cdot 9 \cdot 2 \cdot 7 \cdot \sin ^{5} x \\ \\ & \Rightarrow \quad \sin ^{5} x=\dfrac{1}{32} \\ \\ & \Rightarrow \quad \sin ^{5} x=\left(\dfrac{1}2\right)^{5} \\ \\ & \Rightarrow \quad \sin x=\dfrac{1}{2} \\ \\ & \therefore \quad x=n \pi+(-1)^{n} \dfrac{\pi}{6} \end{aligned} $

• विकल्प (a) $2 n \pi+\dfrac{\pi}{6}$ : गलत है क्योंकि इसमें साइन फंक्शन की आवर्ती प्रकृति के कारण उत्पन्न विपरीत चिह्न के लिए गणना नहीं की गई है। साइन फंक्शन $\sin x = \dfrac{1}{2}$ के लिए $x = n \pi + (-1)^n \dfrac{\pi}{6}$ होता है, न कि $2 n \pi + \dfrac{\pi}{6}$ पर।

• विकल्प (b) $n \pi+\dfrac{\pi}{6}$ : गलत है क्योंकि इसमें केवल $\sin x = \dfrac{1}{2}$ के धनात्मक समाधान के लिए गणना की गई है और साइन फंक्शन की आवर्ती प्रकृति के कारण उत्पन्न विपरीत चिह्न के लिए गणना नहीं की गई है। सही सामान्य समाधान में $(-1)^n$ कारक को शामिल करना आवश्यक है ताकि धनात्मक और ऋणात्मक समाधान दोनों के लिए गणना की जा सके।

• विकल्प (d) $n \pi+(-1)^{n} \dfrac{\pi}{3}$ : गलत है क्योंकि $\sin x = \dfrac{1}{2}$ के लिए $x = n \pi + (-1)^n \dfrac{\pi}{3}$ पर नहीं होता। $\sin x = \dfrac{1}{2}$ के सही कोण $x = n \pi + (-1)^n \dfrac{\pi}{6}$ होते हैं।

चिंतन प्रक्रिया

$(1+x)^{n}$ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक ${ }^{n} C _ {n / 2}$ होता है (जब $n$ सम हो)।

हल

$ (1+x)^{30} $ के विस्तार में सबसे बड़ा गुणांक $={ }^{30} C _ {30 / 2}={ }^{30} C _ {15} $

हल

दिया गया विस्तार $ (x+y+z)^{n}=[x+(y+z)]^{n} $ है।

$ [x+(y+z)]^{n}={ }^{n} C _ 0 x^{n}+{ }^{n} C _ 1 x^{n-1}(y+z)+{ }^{n} C _ 2 x^{n-2}(y+z)^{2}+\ldots+{ }^{n} C _ {n}(y+z)^{n} $

$\therefore \quad$ पदों की संख्या $=1+2+3+\ldots+n+(n+1)$

$ =\dfrac{(n+1)(n+2)}{2} $

हल

मान लीजिए स्थिर पद $ T _ {r+1} $ है।

$\therefore T _ {r+1} ={ }^{16} C _ {r}(x^{2})^{16-r}(-\dfrac{1}{x^{2}})^r $

$ ={ }^{16} C _ {r} x^{32-2 r}(-1)^{r} x^{-2 r} $

$ ={ }^{16} C _ {r} x^{32-4 r}(-1)^{r} $

$ \text { स्थिर पद के लिए, } \quad 32-4 r =0 \Rightarrow r=8 $

$\therefore T _ {8+1} ={ }^{16} C _ 8 $

हल

दिया गया विस्तार $ \left(\sqrt[3]{2}+\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{n} $ है।

$ \therefore \quad \quad T _ 7=T _ {6+1}={ }^{n} C _ 6(\sqrt[3]{2})^{n-6} \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{6} $

क्योंकि, $T _ 7$ अंत से बराबर है $ \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{2}{ }\right)^{n} $ के $T _ 7$ आरंभ से।

फिर,

$ T _ 7={ }^{n} C _ 6 \left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{3}}\right)^{n-6}\left(\sqrt[3]{2}\right)^{6} $

दिया गया है,

$ { }^{n} C _ 6(2)^{{(n-6)}/{3}}(3)^{-6 / 3}={ }^{n} C _ 6(3)^{(-{(n-6)}/{3})} 2^{({6}/{3}) } $

$ \Rightarrow \quad \text { 2 }^ {((n-12)/{3})}={\left(\dfrac{1}{\dfrac{1}{3}}\right)}^{(({n-12})/{3})} $

जो जब वैध होता है, जब $\dfrac{n-12}{3}=0$.

$ \Rightarrow n-12=0 \Rightarrow n=12 $

चिंतन प्रक्रिया

$(x-a)^{n}$ के विस्तार में, $T _ {r+1}={ }^{n} C _ {r} x^{n-r}(-a)^{r}$

हल

दिया गया विस्तार $\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{2 b}3\right)^{10}$ है।

मान लीजिए $T _ {r+1}$ के $a^{-6} b^{4}$ का गुणांक है।

$\therefore \quad T _ {r+1}={ }^{10} C _ {r} \left(\dfrac{1}a\right)^{10-r}-\left(\dfrac{2 b}3\right)^{r}$

$ a^{-6} b^{4} $ के गुणांक के लिए, $ 10-r=6 \Rightarrow r=4 $

$ a^{-6} b^{4} $ का गुणांक $={ }^{10} C _ 4\left(\dfrac{-2}{3}\right)^{4} $

$\therefore \quad=\dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 !}{6 ! \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \dfrac{2^{4}}{3^{4}}=\dfrac{1120}{27}$

हल

दिया गया विस्तार $(a^{3}+b a)^{28}$ है।

$\because \quad n=28\ $ [सम]

$\therefore \quad$ मध्य पद $=(\dfrac{28}{2}+1)^ {th} $ पद $=15^ {th} $ पद

$\therefore \quad T _ {15}=T _ {14+1}$

$={ }^{28} C _ {14}(a^{3})^{28-14}(b a)^{14}$

$={ }^{28} C _ {14} a^{42} b^{14} a^{14}$

$={ }^{28} C _ {14} a^{56} b^{14}$

हल

दिया गया विस्तार $(1+x)^{p+q}$ है।

$\therefore$ $x^{p}$ का गुणांक $= { }^{p+q} C _ {p}$

और $x^{q}$ का गुणांक $= { }^{p+q} C _ {q}$

$\therefore$ $\dfrac{{ }^{p+q} C _ {p}}{{ }^{p+q} C _ {q}}=\dfrac{{ }^{p+q} C _ {p}}{{ }^{p+q} C _ {p}}=1: 1$

हल

दिया गया विस्तार $\left(\sqrt{\dfrac{x}{3}}+{\dfrac{3}{2 x^{2}}}\right)^{10}$ है।

मान लीजिए स्वतंत्र पद $T _ {r+1}$ है।

तब,

$ \begin{aligned} T _ {r+1} & ={ }^{10} C _ {r} \left(\sqrt{\dfrac{x}{3}}\right)^{10-r}{\left(\dfrac{3}{2 x^{2}}\right)}^{r} \\ \\ & ={ }^{10} C _ {r} \cdot x^{\left(\dfrac{10-r}{2}\right)} \cdot 3^{\left(\dfrac{-10+r}{2}\right)} \cdot 3^{r} \cdot 2^{-r} \cdot x^{-2 r} \\ \\ & ={ }^{10} C _ {r} x^{\left(\dfrac{10-5 r}{2}\right)} 3^{\left(\dfrac{-10+3 r}{2}\right)} 2^{-r} \end{aligned} $

स्वतंत्र पद के लिए, $10-5 r=0 \Rightarrow r=2$

अतः, तीसरा पद $x$ के स्वतंत्र है।

हल

मान लीजिए

$ \begin{aligned} 25^{15} & =(26-1)^{15} \\ \\ & ={ }^{15} C _ 0 26^{15}-{ }^{15} C _ 1 26^{14}+\ldots-{ }^{15} C _ {15} \\ \\ & ={ }^{15} C _ 0 26^{15}-{ }^{15} C _ 1 26^{14}+\ldots-1-13+13 \\ \\ & ={ }^{15} C _ 0 26^{15}-{ }^{15} C _ 1 26^{14}+\ldots-13+12 \end{aligned} $

स्पष्ट रूप से, जब $25^{15}$ को 13 से विभाजित किया जाए, तो शेषफल 12 होगा।

हल

गलत

दी गई श्रेणी

$ \begin{aligned} & =\displaystyle \sum _ {r=0}^{10}{ }^{20} C _ {r}={ }^{20} C _ 0+{ }^{20} C _ 1+{ }^{20} C _ 2+\ldots+{ }^{20} C _ {10} \\ \\ & ={ }^{20} C _ 0+{ }^{20} C _ 1+\ldots+{ }^{20} C _ {10}+{ }^{20} C _ {11}+\ldots{ }^{20} C _ {20}-({ }^{20} C _ {11}+\ldots+{ }^{20} C _ {20}) \\ \\

& =2^{20}-({ }^{20} C _ {11}+\ldots+{ }^{20} C _ {20}) \end{aligned} $

अतः, दिए गए कथन गलत है।

हल

सत्य

दिया गया व्यंजक $=7^{9}+9^{7}=(1+8)^{7}-(1-8)^{9}$

$ \begin{aligned} & =({ }^{7} C _ 0+{ }^{7} C _ 1 8+{ }^{7} C _ 2 8^{2}+\ldots+{ }^{7} C _ 7 8^{7})-({ }^{9} C _ 0-{ }^{9} C _ 1 8+{ }^{9} C _ 2 8^{2} \ldots-{ }^{9} C _ 9 8^{9}) \\ \\ & =(1+7 \times 8+21 \times 8^{2}+\ldots)-(1-9 \times 8+36 \times 8^{2}+\ldots-8^{9}) \\ \\ & =(7 \times 8+9 \times 8)+(21 \times 8^{2}-36 \times 8^{2})+\ldots \\ \\ & =2 \times 64+(21-36) 64+\ldots \end{aligned} $

जो 64 से विभाज्य है

अतः, कथन सत्य है।

हल

गलत

दिया गया विस्तार $[(2 x+y^{3})^{4}]^{7}=(2 x+y^{3})^{28}$ है।

इस विस्तार में 29 पद होते हैं।

अतः, दिए गए कथन गलत है।

हल

गलत

यहाँ, द्विपद विस्तार $(1+x)^{2 n-1}$ है।

इस विस्तार में दो मध्य पद होते हैं, अर्थात $\left(\dfrac{2 n-1+1}{2}\right)^{th}$ पद और $(\dfrac{2 n-1+1}{2}+1)^{th}$ पद, अर्थात $ n ^{th}$ पद और $(n+1)^{th}$ पद।

$ \begin{aligned} \therefore \quad \text { Coefficient of } n \text {th term } & ={ }^{2 n-1} C _ {n-1} \\ \\ \text { Coefficient of }(n+1) \text { th term } & ={ }^{2 n-1} C _ {n} \\ \\ \text { Sum of coefficients } & ={ }^{2 n-1} C _ {n-1}+{ }^{2 n-1} C _ {n} \\ \\ & ={ }^{2 n-1+1} C _ {n}={ }^{2 n} C _ {n} \quad[\because{ }^{n} C _ {r}+{ }^{n} C _ {r-1}={ }^{n+1} C _ {r}] \end{aligned} $

हल

सत्य

दिया गया है, $\quad 3^{400}=9^{200}=(10-1)^{200}$

$ \begin{matrix} \Rightarrow & (10-1)^{200}={ }^{200} C _ 0 10^{200}-{ }^{200} C _ 1 10^{199}+\ldots-{ }^{200} C _ {199} 10^{1}+{ }^{200} C _ {200} 1^{200} \\ \\ \Rightarrow & (10-1)^{200}=10^{200}-200 \times 10^{199}+\ldots-10 \times 200+1 \end{matrix} $

इसलिए, स्पष्ट है कि अंतिम दो अंक 01 हैं ।

हल

गलत

दिया गया द्विआधारी विस्तार $\left(x-{\dfrac{1}{x^{2}}}\right)^{2 n}$ है।

मान लीजिए $\quad T _ {r+1}$ पद $x$ के स्वतंत्र है।

तब,

$ \begin{aligned} T _ {r+1} & ={ }^{2 n} C _ {r}(x)^{2 n-r}-{\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)}^{r} \\ \\ & ={ }^{2 n} C _ {r} x^{2 n-r}(-1)^{r} x^{-2 r}={ }^{2 n} C _ {r} x^{2 n-3 r}(-1)^{r} \end{aligned} $

$ x $ के स्वतंत्र होने के लिए,

$ \quad \begin{aligned} 2 n-3 r & =0 \\ \\ \therefore r & =\dfrac{2 n}{3}, \end{aligned} $

जो एक पूर्णांक नहीं है।

इसलिए, दिया गया विस्तार संभव नहीं है।

हल

गलत

हम जानते हैं कि, $(a+b)^{n}$ के विस्तार में पदों की संख्या, जहाँ $n \in N$, शक्ति $n$ से एक अधिक होती है।