9.1 परिचय

इस अध्याय में हम द्रव और गैसों के कुछ सामान्य भौतिक गुणों के बारे में अध्ययन करेंगे। द्रव और गैस बह सकते हैं और इसलिए इन्हें द्रव कहा जाता है। यह गुण द्रव और गैस को ठोस से मूल रूप से अलग बनाता है।

द्रव हमारे आसपास हर जगह मौजूद हैं। पृथ्वी के आसपास हवा का एक आवरण है और इसकी सतह के दो तिहाई भाग पानी से ढका है। पानी हमारे जीवन के लिए आवश्यक है; प्रत्येक मानव शरीर मुख्य रूप से पानी से बना होता है। सभी प्रकार के जीवन क्रियाएं जिसमें पौधों के भी शामिल हैं, द्रवों के माध्यम से होती हैं। इसलिए द्रवों के व्यवहार और गुणों के बारे में जानना महत्वपूर्ण है।

द्रव किस प्रकार ठोस से अलग हैं? द्रव और गैस में क्या सामान्य है? ठोस के विपरीत, द्रव के अपने आप के निश्चित आकार के अभाव में होते हैं। ठोस और द्रव के निश्चित आयतन होता है, जबकि गैस अपने बर्तन के पूरे आयतन को भर देती है। हम पिछले अध्याय में सीख चुके हैं कि ठोस के आयतन को तनाव द्वारा बदला जा सकता है। ठो या गैस के आयतन के लिए उस पर लगाए गए तनाव या दबाव पर निर्भर करता है। जब हम ठोस या द्रव के निश्चित आयतन के बारे में बात करते हैं, तो हम उसके वातावरणीय दबाव पर आयतन को ताकत देते हैं। गैस और ठोस या द्रव के बीच अंतर यह है कि ठोस या द्रव के बाहरी दबाव के परिवर्तन के कारण आयतन में परिवर्तन बहुत कम होता है। अन्य शब्दों में, ठोस और द्रव की तुलना में गैस की संपीडनशीलता बहुत कम होती है।

कटाक्ष तनाव एक ठोस के आकार को बदल सकता है लेकिन उसका आयतन निर्विवाद रहता है। तरल पदार्थ की मुख्य विशेषता यह है कि वे कटाक्ष तनाव के साथ बहुत कम प्रतिरोध प्रदान करते हैं; बहुत हल्के कटाक्ष तनाव के अनुप्रयोग से उनका आकार बदल जाता है। तरल पदार्थ के कटाक्ष तनाव ठोस के तनाव के मिलियन गुना कम होता है।

9.2 दबाव

एक तीखी नाखून जब हमारे त्वचा पर दबाया जाता है तो वह उसे छेद देती है। हालांकि, एक चौड़े क्षेत्र के अनुप्रयोग (जैसे एक चम्मच के पीछे) के साथ एक बेल बर्बाद करने पर हमारी त्वचा अपरिवर्तित रहती है। यदि एक हाथी एक व्यक्ति के छाती पर चले तो उसके रीढ़ के बीच टूट जाएंगे। एक चर्चा कलाकार जिसके छाती पर एक बड़ा, हल्का लेकिन मजबूत लकड़ी का टुकड़ा रखा गया हो वह इस दुर्घटना से बच जाता है। ऐसे दैनिक अनुभव हमें यह बताते हैं कि बल और उसके क्षेत्र के कवरेज दोनों महत्वपूर्ण होते हैं। बल के कार्य करने वाले क्षेत्र के छोटा होने पर बल का प्रभाव अधिक होता है। इस प्रभाव को दबाव कहा जाता है।

जब कोई वस्तु एक शांत तरल में डूब जाती है, तो तरल उसके सतह पर बल लगाता है। यह बल हमेशा वस्तु के सतह के लंबवत होता है। इसका कारण यह है कि यदि सतह के समानांतर बल का घटक होता, तो वस्तु तरल पर उसी दिशा में बल लगाती; न्यूटन के तीसरे कानून के कारण। यह बल तरल को सतह के समानांतर बहाने के लिए कारण बनता है। चूंकि तरल शांत है, इस घटना के घटना नहीं हो सकती। इसलिए, शांत तरल द्वारा लगाए गए बल के लिए सतह के लंबवत होना आवश्यक है। यह चित्र 9.1 (ए) में दिखाया गया है।

चित्र 9.1 (a) बरतन में तरल पदार्थ द्वारा डूबे वस्तु या दीवारों पर लगाए गए बल के लिए सभी बिंदुओं पर बल अभिलम्ब (लंब) दिशा में होता है। (b) दबाव मापने के एक आदर्शी उपकरण का चित्र।

एक बिंदु पर तरल द्वारा लगाए गए अभिलम्ब बल को मापा जा सकता है। एक ऐसे उपकरण के आदर्शी रूप को चित्र 9.1(b) में दिखाया गया है। इसमें एक वायुरहित कमरा होता है जिसमें एक स्प्रिंग होता है जो बर्तन पर लगाए गए बल को मापने के लिए कैलिब्रेट किया गया है। यह उपकरण तरल के भीतर एक बिंदु पर रखा जाता है। तरल द्वारा बर्तन पर लगाए गए आंतरिक बल को बाहरी स्प्रिंग बल द्वारा संतुलित किया जाता है और इस प्रकार यह मापा जाता है।

यदि $F$ बर्तन के क्षेत्रफल $A$ पर लगाए गए अभिलम्ब बल के माप को निरूपित करता है, तो औसत दबाव $P_{a v}$ को इकाई क्षेत्रफल पर लगाए गए अभिलम बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।

$$ \begin{equation*} P_{a v}=\frac{F}{A} \tag{9.1} \end{equation*} $$

सिद्धांत रूप में, पिस्टन क्षेत्रफल को अपरिमित रूप से छोटा बनाया जा सकता है। तब दबाव को एक सीमांत अर्थ में परिभाषित किया जाता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

$$ \begin{equation*} P=\lim _{\Delta A \rightarrow 0} \frac{\Delta F}{\Delta A} \tag{9.2} \end{equation*} $$

दबाव एक अदिश राशि है। हम वाचक को यह याद रखने के लिए यह बताते हैं कि यह ध्यान देने वाले क्षेत्र के लंब दिशा में बल के घटक के बराबर होता है और न कि अंश में बल (सदिश) जो समीकरण (9.1) और (9.2) में दिखाई देता है। इसकी विमाएं $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ होती हैं। दबाव की SI इकाई $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ होती है। इसे पास्कल $(\mathrm{Pa})$ के नाम से जाना जाता है, जो फ्रांसीसी वैज्ञानिक ब्लैज पास्कल (1623-1662) के सम्मान में नामकरण किया गया है, जिन्होंने तरल पदार्थ के दबाव पर प्रारंभिक अध्ययन किए थे। दबाव की एक सामान्य इकाई हवा के बर्बादी (atm) होती है, अर्थात समुद्र तल पर हवा द्वारा लगाए गए दबाव $\left(1 \mathrm{~atm}=1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}\right)$ होता है।

दूसरी राशि, जो तरल पदार्थ के वर्णन में अक्षय होती है, घनत्व $\rho$ है। एक द्रव के द्रव्यमान $m$ जो आयतन $V$ द्वारा घेरा गया है,

$$ \begin{equation*} \rho=\frac{m}{V} \tag{9.3} \end{equation*} $$

घनत्व के आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ हैं। इसका SI इकाई $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3}$ है। यह एक धनात्मक सदिश मात्रा है। एक तरल बहुत कम दबाव पर संपीड़नीय होता है और इसलिए इसका घनत्व सभी दबाव पर लगभग स्थिर रहता है। गैसें, दूसरी ओर, दबाव के साथ घनत्व में बहुत बड़ा विचलन दिखाती हैं।

$4^{\circ} \mathrm{C}(277 \mathrm{~K})$ पर पानी का घनत्व $1.0 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है। एक पदार्थ के सापेक्ष घनत्व इसके घनत्व का अनुपात होता है $4^{\circ} \mathrm{C}$ पर पानी के घनत्व के साथ। यह एक आयामहीन धनात्मक सदिश मात्रा है। उदाहरण के लिए, एल्यूमीनियम के सापेक्ष घनत्व 2.7 है। इसका घनत्व $2.7 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है। कुछ सामान्य तरल पदार्थों के घनत्व तालिका 9.1 में दिखाए गए हैं।

तालिका 9.1 कुछ सामान्य तरल पदार्थों के घनत्व (STP* पर)

| समुद्र के पानी | $1.03 \times 10^{3}$ | | जल | $13.6 \times 10^{3}$ | | एथिल अल्कोहल | $0.806 \times 10^{3}$ | | पूर्ण रक्त | $1.06 \times 10^{3}$ | | हवा | $1.29$ | | ऑक्सीजन | $1.43$ | | हाइड्रोजन | $9.0 \times 10^{-2}$ | | अंतरग्रहीय अंतराकाश | $\approx 10^{-20}$ |

उदाहरण 9.1 दो ऊपरी अंग बोन (फीमर) प्रत्येक के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र $10 \mathrm{~cm}^{2}$ है जो एक मनुष्य के शरीर के ऊपरी हिस्से के भार को समर्थन करते हैं जिसका द्रव्यमान 40 किग्रा है। फीमर द्वारा समर्थित औसत दबाव का अनुमान लगाएं।

उत्तर फीमर के कुल क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र $A=2 \times 10 \mathrm{~cm}^{2}=20 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2}$ है। उन पर कार्य कर रहे बल $F=40 \mathrm{~kg}$ बल $=400 \mathrm{~N}$ (गुरुत्व त्वरण $g=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ के अनुमान पर) है। यह बल ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है और इसलिए फीमर पर लंबवत कार्य करता है। इसलिए, औसत दबाव है

$$ P_{a v}=\frac{F}{A}=2 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} $$

9.2.1 पास्कल का नियम

फ्रांसीसी वैज्ञानिक ब्लैज पास्कल ने देखा कि एक तरल में शांति के दबाव के सभी बिंदुओं पर एक ही होता है यदि वे एक ही ऊंचाई पर हों। इस तथ्य को एक सरल तरीके से दिखाया जा सकता है।

चित्र 9.2 पास्कल के नियम के साबित करना। ABC-DEF एक तरल पदार्थ में शांत अंतर्गत एक तत्व है। इस तत्व के रूप में एक समकोणीय प्रिज्म है। तत्व बहुत छोटा है ताकि गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव नगण्य हो सके, लेकिन आस्तु अंतर्गत स्पष्टता के लिए इसे बड़ा कर दिया गया है।

चित्र 9.2 में एक तरल पदार्थ में शांत अंतर्गत एक तत्व दिखाया गया है। इस तत्व $\mathrm{ABC}-\mathrm{DEF}$ के रूप में एक समकोणीय प्रिज्म है। सिद्धांत रूप में, इस प्रिज्म तत्व काफी छोटा होता है ताकि इसके प्रत्येक हिस्सा को तरल सतह से समान गहराई पर माना जा सके और इसलिए, इन सभी बिंदुओं पर गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव समान होता है। लेकिन स्पष्टता के लिए हमने इस तत्व को बड़ा कर दिया है। इस तत्व पर बल तरल के बाकी हिस्से द्वारा लगाए गए होते हैं और इन बलों को ऊपर चर्चा किए गए अनुसार तत्व के सतहों पर अभिलम्ब रूप से होते हैं। इसलिए, तरल इस तत्व पर क्षेत्रफल के अनुरूप दबाव $P_{\mathrm{a}}, P_{\mathrm{b}}$ और $P_{\mathrm{c}}$ लगाता है जो अभिलम्ब बल $F_{\mathrm{a}}, F_{\mathrm{b}}$ और $F_{\mathrm{c}}$ के अनुरूप होते हैं जैसा कि चित्र 9.2 में बिंदु BEFC, ADFC और ADEB पर दिखाया गया है जिन्हें क्रमशः $A_{a}, A_{b}$ और $A_{c}$ द्वारा निरूपित किया गया है। फिर,

$F_{\mathrm{b}} \sin \theta=F_{\mathrm{c}}, \quad F_{\mathrm{b}} \cos \theta=F_{\mathrm{a}} \quad$ (संतुलन द्वारा)

$A_{\mathrm{b}} \sin \theta=A_{\mathrm{c}}, \quad A_{\mathrm{b}} \cos \theta=A_{\mathrm{a}}^{\mathrm{a}}$ (ज्यामिति द्वारा)

इसलिए,

$$ \begin{equation*} \frac{F_{b}}{A_{b}}=\frac{F_{c}}{A_{c}}=\frac{F_{a}}{A_{a}} ; \quad P_{b}=P_{c}=P_{a} \tag{9.4} \end{equation*} $$

इसलिए, एक अपस्थैतिक द्रव में दबाव सभी दिशाओं में समान होता है। यह फिर से हमें याद दिलाता है कि अन्य प्रकार के तनाव के जैसे दबाव एक सदिश राशि नहीं होता। इसमें कोई दिशा निर्धारित नहीं की जा सकती। एक अपस्थैतिक द्रव में दबाव वाले किसी भी क्षेत्र के विरुद्ध बल क्षेत्र के लंब दिशा में होता है, चाहे क्षेत्र की दिशा कैसी हो।

अब एक क्षैतिज बार के रूप में एक द्रव तत्व की विचार करें जो समान क्रॉस-सेक्शन के रूप में है। बार संतुलन में है। इसके दोनों सिरों पर लगने वाले क्षैतिज बल संतुलित होने चाहिए या दोनों सिरों पर दबाव समान होना चाहिए। यह सिद्ध करता है कि एक द्रव के संतुलन में एक क्षैतिज समतल में सभी बिंदुओं पर दबाव समान होता है। मान लीजिए कि द्रव के विभिन्न भागों में दबाव असमान है, तो द्रव में प्रवाह होगा क्योंकि द्रव पर कुछ शुद्ध बल कार्य करता है। इसलिए, प्रवाह की अनुपस्थिति में द्रव के एक क्षैतिज समतल में दबाव सभी बिंदुओं पर समान होना चाहिए।

9.2.2 गहराई के साथ दबाव के परिवर्तन

एक तरल पदार्थ के एक बर्तन में शांति में रहे तरल पदार्थ को विचार करें। चित्र 9.3 में बिंदु 1, बिंदु 2 के ऊपर $h$ की ऊंचाई पर है। बिंदु 1 और 2 पर दबाव क्रमशः $P_{1}$ और $P_{2}$ है। एक बेलनाकार तरल पदार्थ के तत्व को विचार करें जिसका आधार क्षेत्रफल $A$ और ऊंचाई $h$ है। जब तरल पदार्थ शांति में होता है, तो संतुलन के लिए कुल क्षैतिज बल शून्य होने चाहिए और कुल ऊर्ध्वाधर बल तत्व के भार को संतुलित करे। ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करने वाले बल ऊपरी सतह पर तरल के दबाव $P_{1} A$ द्वारा नीचे की ओर तथा निचली सतह पर तरल के दबाव $P_{2} A$ द्वारा ऊपर की ओर होते हैं। यदि बेलन में तरल का भार $m g$ हो तो हमारे पास है

$$ \begin{equation*} \left(P_{2}-P_{1}\right) A=m g \tag{9.5} \end{equation*} $$

अब, यदि $\rho$ तरल का द्रव्यमान घनत्व हो, तो तरल के द्रव्यमान को $m=\rho V=\rho h A$ होगा ताकि

$$ \begin{equation*} P_{2}-P_{1}=\rho g h \tag{9.6} \end{equation*} $$

चित्र 9.3 गुरुत्वाकर्षण अंतर्गत द्रव। गुरुत्वाकर्षण का प्रभाव एक ऊर्ध्वाधर बेलनाकार स्तंभ पर दबाव के माध्यम से दिखाया गया है।

दबाव के अंतर के लिए बिंदु (1 और 2) के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी $h$, द्रव के द्रव्यमान घनत्व $\rho$ और गुरुत्वाकर्षण के त्वरण $g$ पर निर्भर करता है। यदि चर्चा के बिंदु 1 को द्रव (जैसे, पानी) के ऊपरी सतह पर ले जाया जाता है, जो वायुमंडलीय वातावरण में खुला होता है, तो $\mathrm{P}_1$ को वायुमंडलीय दबाव $\left(\mathrm{P}_a\right)$ से बदल दिया जा सकता है और हम $\mathrm{P}_2$ को $P$ से बदल दें। तब समीकरण (9.6) द्वारा:

$$ \begin{equation*} P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h \tag{9.7} \end{equation*} $$

इस प्रकार, द्रव के सतह से नीचे के गहराई पर दबाव $P$, वायुमंडलीय दबाव से $\rho g h$ अधिक होता है। गहराई $h$ पर दबाव के अतिरिक्त, $P-P_{\mathrm{a}}$, उस बिंदु पर गेज दबाव कहलाता है।

समीकरण (9.7) में अभिलक्षणीय दबाव के व्यंजक में बेलन के क्षेत्रफल का उल्लेख नहीं होता है। इसलिए, द्रव स्तंभ की ऊंचाई महत्वपूर्ण होती है और न कि क्रॉस-सेक्शन या आधार क्षेत्रफल या बर्तन के आकार। द्रव का दबाव समान सतह पर सभी बिंदुओं में समान होता है (समान गहराई)। इस परिणाम को हाइड्रोस्टैटिक विरोधाभास के माध्यम से समझा जा सकता है। तीन बर्तनों A, B और C [चित्र 9.4] के अलग-अलग आकार हो सकते हैं। वे नीचे के भाग पर एक क्षैतिज पाइप के माध्यम से जुड़े होते हैं। पानी भरने पर तीन बर्तनों में तल समान होता है, हालांकि वे अलग-अलग मात्रा में पानी रखते हैं। यह इसलिए होता है कि बर्तन के प्रत्येक खंड के नीचे वाले बिंदु पर पानी का दबाव समान होता है।

चित्र 9.4 हाइड्रोस्टैटिक परावलोम की व्याख्या। तीन बर्तन A, B और C अलग-अलग मात्रा में तरल पदार्थ रखते हैं, जो सभी एक ही ऊंचाई तक होते हैं।

उदाहरण 9.2 एक तैरते हुए व्यक्ति के दबाव की गणना करें जो झील के सतह से $10 \mathrm{~m}$ नीचे हो।

उत्तर

यहाँ,

$h=10 \mathrm{~m}^{2}$ और $\rho=1000 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$।

ले corner $\mathrm{g}=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$

समीकरण (9.7) से,

$P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h$

$=1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}+1000 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \times 10 \mathrm{~m}$

$=2.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$

$\approx 2 \mathrm{~atm}$

यह सतह के स्तर से दबाव में $100 %$ की वृद्धि है। $1 \mathrm{~km}$ की गहराई पर दबाव में $100 \mathrm{~atm}$ की वृद्धि होती है! उपयोगित जहाज ऐसे विशाल दबाव के विरुद्ध टिके रहने के लिए डिज़ाइन किए जाते हैं।

9.2.3 वायुमंडलीय दबाव और गैजेट दबाव

किसी बिंदु पर वायुमंडल का दबाव उस बिंदु से वायुमंडल के शीर्ष तक फैले एक इकाई क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के हवा के स्तंभ के भार के बराबर होता है। समुद्र तल पर, यह $1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \mathrm{(1} \mathrm{atm).} \mathrm{Italian} \mathrm{scientist}$ Evangelista Torricelli (1608-1647) ने पहली बार वायुमंडलीय दबाव मापने की विधि बनाई। एक लंबे कांच के ट्यूब को एक छोर बंद कर दिया जाता है और इसे पारित रासायनिक तेल के एक गड्डी में उलट कर रखा जाता है जैसा कि चित्र 9.5 (a) में दिखाया गया है। यह उपकरण ‘मरकरी बारोमीटर’ के रूप में जाना जाता है। ट्यूब में मरकरी स्तंभ के ऊपर बर्तन में केवल मरकरी वाष्प होता है जिसका दबाव $P$ इतना कम होता है कि इसे नगण्य माना जा सकता है। इसलिए, बिंदु $\mathrm{A}$ पर दबाव $\mathrm{A}=0$ होता है। बिंदु B पर स्तंभ के अंदर दबाव बिंदु $\mathrm{C}$ पर दबाव के बराबर होना चाहिए, जो वायुमंडलीय दबाव, $\mathrm{P}_{a}$ होता है।

$$ \begin{equation*} P_{\mathrm{a}}=\rho g h \tag{9.8} \end{equation*} $$

$$

जहाँ $\rho$ पारा का घनत्व है और $h$ नली में पारा के स्तंभ की ऊँचाई है।

प्रयोग में पाया गया है कि समुद्र तल पर बारोमीटर में पारा के स्तंभ की ऊँचाई लगभग $76 \mathrm{~cm}$ होती है, जो एक वायुमंडलीय दबाव (1 atm) के बराबर होती है। इसे समीकरण (9.8) में $\rho$ के मान का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है। दबाव को आमतौर पर $\mathrm{cm}$ या $\mathrm{mm}$ पारा $(\mathrm{Hg})$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। $1 \mathrm{~mm}$ के दबाव को टॉर नामक इकाई कहते हैं (टॉरिसेली के नाम पर)।

1 टॉर $=133 \mathrm{~Pa}$।

$\mathrm{mm}$ ऑफ $\mathrm{Hg}$ और टॉर चिकित्सा और शारीरिकी में उपयोग किए जाते हैं। मौसम विज्ञान में एक सामान्य इकाई बार और मिलीबार होती है।

1 बार $=10^{5} \mathrm{~Pa}$

एक खुले नली वाला मैनोमीटर दबाव के अंतर को मापने के लिए एक उपयोगी उपकरण है। इसका निर्माण एक U-नली जिसमें उपयुक्त तरल (जैसे तेल) होता है, जो छोटे दबाव अंतर को मापने के लिए होता है और एक उच्च घनत्व वाला तरल (जैसे पारा) जो बड़े दबाव अंतर को मापने के लिए होता है। नली का एक सिरा वायुमंडल के साथ खुला रहता है और दूसरा सिरा वह प्रणाली से जुड़ा रहता है जिसके दबाव को मापना होता है [चित्र 9.5 (b) देखें]। बिंदु A पर दबाव $P$ बिंदु B पर दबाव के बराबर होता है। हम आमतौर पर गेज दबाव मापते हैं, जो $P-P_{\mathrm{a}}$ होता है, जो समीकरण (9 बी) द्वारा दिया गया है और इसके साथ मैनोमीटर की ऊँचाई $h$ के समानुपाती होता है।

चित्र 9.5 (a) पारा बारोमीटर।

(b) खुला ट्यूब मैनोमीटर

चित्र 9.5 दो दबाव मापन उपकरण।

U-ट्यूब में तरल के दोनों तरफ एक ही स्तर पर दबाव समान होता है। तरलों के लिए, दबाव और तापमान के विस्तार के बीच घनत्व में बहुत कम परिवर्तन होता है और हम अपने वर्तमान उद्देश्यों के लिए इसे सुरक्षित रूप से एक नियत राशि के रूप में ले सकते हैं। विपरीत, गैसों में दबाव और तापमान में परिवर्तन के साथ घनत्व में बड़े परिवर्तन होते हैं। गैसों के विपरीत, तरल अधिकांशतः अपस्थायी (incompressible) माने जाते हैं।

उदाहरण 9.3 समुद्र तल पर वायुमंडल का घनत्व 1.29 किग्रा/मी³ है। मान लीजिए कि ऊंचाई के साथ यह नहीं बदलता है। तो वायुमंडल कितना ऊंचा फैला होगा?

उत्तर हम समीकरण (9.7) का उपयोग करते हैं

$\rho g h=1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{2} \times h \mathrm{~m}=1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$

$\therefore h=7989 \mathrm{~m} \approx 8 \mathrm{~km}$

वास्तविकता में हवा का घनत्व ऊंचाई के साथ घटता है। इसी तरह $g$ का मान भी घटता है। वायुमंडलीय परिवेश $100 \mathrm{~km}$ तक घटते दबाव के साथ फैलता है। हम यह भी ध्यान रखना चाहिए कि समुद्र तल पर वायुमंडलीय दबाव हमेशा $760 \mathrm{~mm}$ एचजी के बराबर नहीं होता। एचजी के स्तर में $10 \mathrm{~mm}$ या उससे अधिक कमी एक आगंतुक तूफान के आने का संकेत होती है।

उदाहरण 9.4 एक समुद्र में $1000 \mathrm{~m}$ की गहराई पर (a) अवस्थापक दबाव क्या होगा? (b) आयुक्त दबाव क्या होगा? (c) इस गहराई पर एक आपाती निर्माण के खिड़की के क्षेत्रफल $20 \mathrm{~cm} \times 20 \mathrm{~cm}$ पर कार्य करने वाले बल की गणना कीजिए, जिसके आंतरिक भाग समुद्र तल पर वायुमंडलीय दबाव के समान बनाए रखे जाते हैं। (समुद्री जल का घनत्व $1.03 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है, $g=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ है।)

उत्तर

यहाँ $h=1000 \mathrm{~m}$ और $\rho=1.03 \times 10^3 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है। (a) समीकरण (9.6) से, अंतरिक दबाव

$$ \begin{aligned} P= & P_{\mathrm{a}}+\rho g h \ = & 1.01 \times 10^5 \mathrm{~Pa} \ & +1.03 \times 10^3 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \times 1000 \mathrm{~m} \ = & 104.01 \times 10^5 \mathrm{~Pa} \ \approx & 104 \mathrm{~atm} \end{aligned} $$

(b) आंतरिक दबाव $P-P_{\mathrm{a}}=\rho g h=P_{\mathrm{g}}$

$$ \begin{aligned} P_{\mathrm{g}} & =1.03 \times 10^3 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~ms}^2 \times 1000 \mathrm{~m} \ & =103 \times 10^5 \mathrm{~Pa} \ & \approx 103 \mathrm{~atm} \end{aligned} $$

(c) सबमरीन के बाहर दबाव $P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h$ है और इसके अंदर दबाव $P_{\mathrm{a}}$ है। इसलिए, खिड़की पर कार्य करने वाला शुद्ध दबाव, आंतरिक दबाव $P_{\mathrm{g}}=\rho g h$ है। चूंकि खिड़की का क्षेत्रफल $A=0.04 \mathrm{~m}^2$ है, इस पर कार्य करने वाला बल है

$$ F=P_{\mathrm{g}} A=103 \times 10^5 \mathrm{~Pa} \times 0.04 \mathrm{~m}^2=4.12 \times 10^5 \mathrm{~N} $$

9.2.4 तरल यांत्रिक युक्तियाँ

अब हम एक बर्तन में समाधान किए गए तरल पर दबाव को बदलने पर क्या होता है, इस पर विचार करें। एक क्षैतिज सिलेंडर लें जिसमें पिस्टन हो और तीन ऊर्ध्वाधर नलिकाएँ अलग-अलग बिंदुओं पर हो [चित्र 9.6 (a)]। क्षैतिज सिलेंडर में दबाव को ऊर्ध्वाधर नलिकाओं में तरल के स्तंभ की ऊंचाई द्वारा दर्शाया जाता है। यह सभी में एक समान होता है। यदि हम पिस्टन को धकेलते हैं, तो सभी नलिकाओं में तरल के स्तर में वृद्धि होती है, फिर भी प्रत्येक नलिका में एक समान स्तर तक पहुँचता है।

चित्र 9.6 (a) जब किसी बर्तन में तरल के किसी भी हिस्से पर बाहरी दबाव लगाया जाता है, तो यह सभी दिशाओं में समान रूप से प्रसारित होता है।

यह दर्शाता है कि जब सिलेंडर पर दबाव बढ़ाया गया था, तो यह सभी भागों में समान रूप से वितरित हो गया था। हम कह सकते हैं जब किसी बर्तन में समाधान किए गए तरल के किसी भी हिस्से पर बाहरी दबाव लगाया जाता है, तो यह सभी दिशाओं में अपरिवर्तित रूप से प्रसारित होता है। यह पास्कल के नियम के एक अन्य रूप है और यह दैनिक जीवन में कई अनुप्रयोगों में उपयोगी है।

कई उपकरण, जैसे हाइड्रोलिक लिफ्ट और हाइड्रोलिक ब्रेक, पास्कल के नियम पर आधारित होते हैं। इन उपकरणों में, दबाव के संचार के लिए तरल पदार्थ का उपयोग किया जाता है। हाइड्रोलिक लिफ्ट में, चित्र 9.6 (b) में दिखाया गया है, दो पिस्टन एक तरल भरे अंतर के द्वारा अलग होते हैं। एक छोटे क्रॉस-सेक्शन के पिस्टन $A_{1}$ का उपयोग तरल पदार्थ पर एक बल $F_{1}$ लगाने के लिए किया जाता है। दबाव $P=\frac{F_{1}}{A_{1}}$ तरल में विस्तारित किया जाता है और बड़े सिलेंडर में जो एक बड़े क्षेत्र के पिस्टन $A_{2}$ के साथ जुड़ा होता है, जिसके परिणामस्वरूप ऊपर की ओर बल $P \times A_{2}$ उत्पन्न होता है। इसलिए, पिस्टन एक बड़े बल (जैसे एक कार या ट्रक के भार) को समर्थन करने में सक्षम होता है $F_{2}=P A_{2}=\frac{F_{1} A_{2}}{A_{1}}$। $A_{1}$ पर बल को बदलकर, प्लेटफॉर्म को ऊपर या नीचे ले जाया जा सकता है। इस प्रकार, आवेशित बल को $\frac{A_{2}}{A_{1}}$ के गुणक द्वारा बढ़ा दिया जाता है और इस गुणक को उपकरण की यांत्रिक लाभ कहा जाता है। नीचे दिया गया उदाहरण इसे स्पष्ट करता है।

चित्र 9.6 (b) हाइड्रोलिक लिफ्ट के सिद्धांत को दर्शाने वाला एक आरेख, जो भारी भारों को उठाने के लिए उपयोग किया जाने वाले एक उपकरण को दर्शाता है।

उदाहरण 9.5 दो विभिन्न क्रॉस-सेक्शन के सिरिंज (नोजल बिना) जो जल से भरे हों, एक तन्तु नली से जुड़े हैं जो जल से भरी हो। छोटे पिस्टन और बड़े पिस्टन के व्यास क्रमशः $1.0 \mathrm{~cm}$ और $3.0 \mathrm{~cm}$ हैं। (a) छोटे पिस्टन पर $10 \mathrm{~N}$ के बल के अनुप्रयोग पर बड़े पिस्टन पर लगाया गया बल ज्ञात कीजिए। (b) यदि छोटे पिस्टन को $6.0 \mathrm{~cm}$ आगे धकेला जाता है, तो बड़े पिस्टन कितना आगे बाहर आएगा?

उत्तर

(a) क्योंकि द्रव में दबाव अपरिवर्तित रूप से प्रसारित होता है,

$$ \begin{aligned} F_{2}=\frac{A_{2}}{A_{1}} F_{1}= & \frac{\pi\left(3 / 2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}}{\pi\left(1 / 2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}} \times 10 \mathrm{~N} \\ & =90 \mathrm{~N} \end{aligned} $$

(b) जल को पूर्ण रूप से अकम्पनीय माना जाता है। छोटे पिस्टन के आगे धकेलने से कवर किए गए आयतन के बराबर बड़े पिस्टन के कारण बाहर आए आयतन होता है।

$$ \begin{aligned} & L_{1} A_{1}=L_{2} A_{2} \\ & \begin{aligned} L_{2}=\frac{A_{1}}{A_{2}} L_{1} & =\frac{\pi\left(1 / 2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}}{\pi\left(3 / 2 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}} \times 6 \times 10^{-2} \mathrm{~m} \\ & \simeq 0.67 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=0.67 \mathrm{~cm} \end{aligned} \end{aligned} $$

ध्यान दें, वायुमंडलीय दबाव दोनों पिस्टन के लिए सामान्य है और नगण्य मान लिया गया है।

उदाहरण 9.6 एक कार उठाने वाले उपकरण में, संपीड़ित हवा छोटे पिस्टन पर $F_{1}$ बल डालती है, जिसकी त्रिज्या $5.0 \mathrm{~cm}$ है। इस दबाव को एक दूसरे पिस्टन जिसकी त्रिज्या $15 \mathrm{~cm}$ है, पर संचारित कर दिया जाता है (चित्र 9.7)। यदि उठाने के लिए कार का द्रव्यमान $1350 \mathrm{~kg}$ है, तो $F_{1}$ की गणना कीजिए। इस कार्य के लिए आवश्यक दबाव क्या है? $\left(g=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}\right)$।

उत्तर

क्योंकि दबाव द्रव में अपरिवर्तित रूप से संचारित होता है,

$$ \begin{gathered} F_{1}=\frac{A_{1}}{A_{2}} F_{2}=\frac{\pi\left(5 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}}{\pi\left(15 \times 10^{-2} \mathrm{~m}\right)^{2}}\left(1350 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) \\

=1470 \mathrm{~N} \\ \approx 1.5 \times 10^{3} \mathrm{~N} \end{gathered} $$

इस बल को उत्पन्न करने वाली हवा के दबाव के बारे में है

$$ P=\frac{F_{1}}{A_{1}}=\frac{1.5 \times 10^{3} \mathrm{~N}}{\pi\left(5 \times 10^{-2}\right)^{2} \mathrm{~m}}=1.9 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} $$

इसके लगभग दोगुना हवा के दबाव है।

गाड़ियों में हाइड्रोलिक ब्रेक भी इसी सिद्धांत पर काम करते हैं। जब हम अपने पैर से पेडल पर थोड़ा बल लगाते हैं तो मास्टर पिस्टन मास्टर सिलेंडर में आंतरिक रूप से गति करता है और ब्रेक तेल के माध्यम से ब्रेक तेल के माध्यम से बड़े क्षेत्र के पिस्टन पर लगाया जाता है। पिस्टन पर एक बड़ा बल लगता है और ब्रेक शू को ब्रेक लाइनिंग के खिलाफ फैलाकर धकेलता है। इस तरह, पेडल पर छोटा बल वाहन के वाहन के पहिये पर बड़ा ब्रेकिंग बल उत्पन्न करता है। प्रणाली का एक महत्वपूर्ण लाभ यह है कि पेडल के दबाने से बने दबाव को सभी चार पहियों के संलग्न सिलेंडर में समान रूप से वितरित किया जाता है ताकि सभी पहियों पर ब्रेकिंग बल समान हो।

9.3 प्रवाह धारा

अब तक हम शांत तरल पदार्थों के अध्ययन का अध्ययन कर चुके हैं। गतिमान तरल पदार्थों के अध्ययन को तरल यांत्रिकता कहते हैं। जब एक पानी की नल को धीरे-धीरे खोला जाता है, तो पहले पानी का प्रवाह चलता है, लेकिन जब बाहर निकलने वाले पानी की गति बढ़ जाती है तो यह चलता हुआ प्रवाह अस्थिर हो जाता है। तरल पदार्थ के गति के अध्ययन में हम एक विशेष समय पर एक विशेष स्थान पर विभिन्न तरल कणों पर हो रही घटनाओं का ध्यान केंद्रित करते हैं। यदि किसी भी बिंदु पर प्रत्येक गुजरते हुए तरल कण की गति समय के साथ स्थिर रहती है, तो तरल के प्रवाह को स्थिर कहा जाता है। इसका अर्थ यह नहीं है कि अंतरिक्ष में विभिन्न बिंदुओं पर गति समान होती है। एक विशिष्ट कण की गति उसके एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक जाने पर बदल सकती है। अर्थात, कुछ अन्य बिंदु पर वह कण एक अलग गति के साथ हो सकता है, लेकिन जो भी कण दूसरे बिंदु से गुजरते हैं, वे पहले गुजरे हुए कण के ठीक उसी तरह व्यवहार करते हैं। प्रत्येक कण एक सुगम पथ अपनाता है, और कणों के पथ एक दूसरे को काट नहीं लेते।

चित्र 9.7 धारा रेखाओं का अर्थ। (ए) एक तरल कण के आम यात्रा पथ। (ब) धारा रेखा प्रवाह क्षेत्र।

एक स्थिर प्रवाह में तरल कण के ग्रहण करने वाले पथ को धारा रेखा कहते हैं। यह एक वक्र है जिसकी कोई बिंदु पर स्पर्श रेखा उस बिंदु पर तरल के वेग की दिशा में होती है। चित्र 9.7 (ए) में दिखाए गए कण के पथ के बारे में विचार करें, वक्र दर्शाता है कि तरल कण समय के साथ कैसे गति करता है। वक्र $PQ$ तरल प्रवाह के एक स्थायी मानचित्र के रूप में होता है, जो तरल के प्रवाह के बारे में बताता है। दो धारा रेखाएँ एक दूसरे को काट नहीं सकतीं, क्योंकि यदि वे काटती हैं, तो आगे आने वाले तरल कण एक तरफ या दूसरी तरफ जा सकता है और प्रवाह स्थिर नहीं रहेगा। इसलिए, स्थिर प्रवाह में प्रवाह का मानचित्र समय के साथ स्थिर रहता है। हम घनी धारा रेखाओं को कैसे बनाते हैं? यदि हम प्रत्येक प्रवाह करने वाले कण की धारा रेखा दिखाना चाहते हैं, तो हमें एक सतत रेखाओं का बर्तन मिल जाएगा। तरल प्रवाह की दिशा के लंबवत समतलों के बारे में विचार करें, जैसे कि चित्र 9.7 (ब) में तीन बिंदुओं P, R और $\mathrm{Q}$ पर। इन समतल टुकड़ों को इस तरह चुना जाता है कि उनकी सीमाएँ एक ही सेट की धारा रेखाओं द्वारा निर्धारित होती हैं। इसका अर्थ है कि इन बिंदुओं $P, R$ और $Q$ पर संकेंद्रित सतहों के माध्यम से पार करने वाले तरल कणों की संख्या समान होती है। यदि इन बिंदुओं पर क्रॉस-सेक्शन क्षेत्रफल $A_{\mathrm{P}}, A_{\mathrm{R}}$ और $A_{\mathrm{Q}}$ हैं और तरल कणों की गति की गति $v_{\mathrm{P}}, v_{\mathrm{R}}$ और $v_{\mathrm{Q}}$ है, तो छोटे समय अंतराल $\Delta t$ में $A_{\mathrm{P}}$ पर पार करने वाले तरल के द्रव्यमान $\Delta m_{\mathrm{P}}$ के द्रव्यमान $\rho_{\mathrm{P}} A_{\mathrm{P}} V_{\mathrm{P}} \Delta t$ होता है। इसी तरह, $A_{\mathrm{R}}$ पर छोटे समय अंतराल $\Delta t$ में पार करने वाले तरल के द्रव्यमान $\Delta m_{\mathrm{R}}$ के द्रव्यमान $\rho_{\mathrm{R}} A_{\mathrm{R}} V_{\mathrm{R}} \Delta t$ होता है और $A_{\mathrm{Q}}$ पर पार करने वाले तरल के द्रव्यमान $\Delta m_{\mathrm{Q}}$ के द्रव्यमान $\rho_{Q} A_{Q} V_{Q} \Delta t$ होता है। बहने वाले तरल के द्रव्यमान के बराबर बहने वाले तरल के द्रव्यमान होता है, यह सभी स्थितियों में लागू होता है।

इसलिए,

$$\rho _{\mathrm{P}} A _{\mathrm{p}} v _{\mathrm{P}} \Delta t=\rho _{\mathrm{R}} A _{\mathrm{R}} v _{\mathrm{R}} \Delta t=\rho _{\mathrm{g}} A _{\mathrm{g}} v _{\mathrm{g}} \Delta t \tag{9.9}$$

अकम्पन्य द्रवों के प्रवाह के लिए

$$\rho_{\mathrm{P}}=\rho_{\mathrm{R}}=\rho_{\mathrm{Q}}$$

समीकरण (9.9) को निम्नलिखित रूप में सरल किया जा सकता है:

$$A _{\mathrm{P}} v _{\mathrm{P}}=A _{\mathrm{R}} v _{\mathrm{R}}=A _{\mathrm{g}} v _{\mathrm{B}}\tag{9.10}$$

जिसे सततता समीकरण कहा जाता है और इसका अर्थ अकम्पन्य द्रवों के प्रवाह में द्रव्यमान के संरक्षण के बारे में होता है। सामान्य रूप में

$A v=$ स्थिरांक

$A v$ आयतन धारा दर या प्रवाह दर को दर्शाता है और प्रवाह नली के सभी भागों में स्थिर रहता है। इसलिए, जहां धारा रेखाएं घनी तरह से विस्तारित होती हैं, वहां वेग बढ़ जाता है और उलटा भी। (चित्र 9.7b) से स्पष्ट है कि $A_{\mathrm{R}}>A_{\mathrm{Q}}$ या $v_{\mathrm{R}}<v_{\mathrm{Q}}$, द्रव $\mathrm{R}$ से $\mathrm{Q}$ तक गुजरते हुए तेजी से तेज हो जाता है। यह द्रव प्रवाह के लिए क्षैतिज नली में दबाव में परिवर्तन के साथ संबंधित है।

स्थिर प्रवाह निम्न वेग के प्रवाह में प्राप्त किया जाता है। एक सीमा मान के बाद, जिसे क्रिटिकल वेग कहा जाता है, इस प्रवाह के स्थिरता का खो जाता है और यह तूफानी बन जाता है। जब एक तेज प्रवाह वाली धार चट्टानों के आगे आती है, तो इसे देखा जा सकता है। छोटे फोमी वॉर्ल्स जैसे क्षेत्र, जिन्हें ‘सफेद पानी के तीव्र धारा’ कहा जाता है, बनते हैं।

चित्र 9.8 कुछ सामान्य प्रवाह के लिए धारा रेखाएँ दिखाता है। उदाहरण के लिए, चित्र 9.8 (a) एक लैमिनर प्रवाह का वर्णन करता है जहाँ द्रव के विभिन्न बिंदुओं पर वेग के परिमाण अलग-अलग हो सकते हैं लेकिन उनके दिशा समान होती है। चित्र 9.8 (b) एक तूफानी प्रवाह का चित्र देता है।

चित्र 9.8 (a) द्रव प्रवाह के कुछ धारा रेखाएँ। (b) एक हवा की धारा जो इसके लंबवत रखे गए एक समतल पट्टी के आगे आती है। यह एक तूफानी प्रवाह का उदाहरण है।

9.4 बर्नूली के सिद्धांत

द्रव प्रवाह एक जटिल घटना है। लेकिन हम ऊर्जा संरक्षण के आधार पर स्थिर या धारा रेखा प्रवाह के कुछ उपयोगी गुण निकाल सकते हैं।

एक तरल पदार्थ एक विस्तार वाले पाइप में गति कर रहा है। मान लीजिए पाइप चित्र 9.9 में दिखाए गए अनुसार विभिन्न ऊंचाइयों पर है। अब हम मान लेते हैं कि एक अपसारी तरल पदार्थ पाइप में स्थिर गति से बह रहा है। इसकी गति तरल के संतति समीकरण के कारण बदल जाएगी। इस त्वरण के लिए एक बल की आवश्यकता होती है, जो तरल के आसपास के बल के कारण होता है, इसलिए दबाव विभिन्न क्षेत्रों में अलग-अलग होगा। बर्नूली के समीकरण एक सामान्य समीकरण है जो पाइप में दो बिंदुओं के बीच दबाव के अंतर को गति के परिवर्तन (गतिज ऊर्जा के परिवर्तन) और ऊंचाई के परिवर्तन (स्थितिज ऊर्जा के परिवर्तन) के साथ संबंध बताता है। यह संबंध स्विट्जरलैंड के भौतिकीविद डैनियल बर्नूली ने 1738 में विकसित किया था।

दो क्षेत्रों 1 (अर्थात BC) और 2 (अर्थात DE) पर विचार करें। तरल के आरंभिक रूप से B और D के बीच विस्तार की गणना करें। एक अत्यल्प समय अंतराल Δt में, यह तरल गति करेगा। मान लीजिए v₁ बिंदु B पर गति है और v₂ बिंदु D पर गति है, तो तरल के आरंभिक रूप से B बिंदु पर गति करके बिंदु C तक चला जाएगा (v₁ Δt छोटा है ताकि बिंदु BC के लिए एक स्थिर क्रॉस-सेक्शन की गणना की जा सके)। इसी अंतराल Δt में तरल के आरंभिक रूप से D बिंदु पर गति करके बिंदु E तक चला जाएगा, जो दूरी v₂ Δt के बराबर होगी। क्षेत्र A₁ और A₂ के तल पर दबाव P₁ और P₂ कार्य करते हैं जो दो क्षेत्रों को बांधते हैं। बाएं छोर (BC) पर तरल पर कार्य किया गया है W₁ = P₁ A₁ (V₁ Δt) = P₁ ΔV। चूंकि समान आयतन ΔV दोनों क्षेत्रों से गुजरता है (संतति समीकरण से), तो दूसरे छोर (DE) पर तरल पर कार्य किया गया है W₂ = P₂ A₂ (V₂ Δ टी) = P₂ ΔV या,

द्रव पर किया गया कार्य $-P_{2} \Delta V$ है। इसलिए, द्रव पर कुल कार्य है

$$ W_{1}-W_{2}=\left(P_{1}-P_{2}\right) \Delta V $$

इस कार्य का एक हिस्सा द्रव की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन में जाता है, और एक हिस्सा गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन में जाता है। यदि द्रव का घनत्व $\rho$ है और $\Delta m=\rho A_1 V_1 \Delta t=\rho \Delta V$ समय $\Delta t$ में पाइप के माध्यम से गुजरे द्रव के द्रव्यमान को दर्शाता है, तो गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन है

$$ \Delta U=\rho g \Delta V\left(h_2-h_1\right) $$

इसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन है

$$ \Delta K=\frac{1}{2} \rho \Delta V\left(v_2^2-v_1^2\right) $$

हम इस द्रव के आयतन के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय (अध्याय 6) का उपयोग कर सकते हैं और इससे प्राप्त होता है

$$ \left(P_1-P_2\right) \Delta V=\frac{1}{2} \rho \Delta V\left(V_2^2-v_1^2\right)+\rho g \Delta V\left(h_2-h_1\right) $$

अब हम प्रत्येक पद को $\Delta V$ से विभाजित करते हैं ताकि प्राप्त होता है

$$ \left(P_1-P_2\right)=\frac{1}{2} \rho\left(v_2^2-v_1^2\right)+\rho g\left(h_2-h_1\right) $$

हम उपरोक्त शब्दों को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं ताकि प्राप्त कर सकें:

$$ P_1+\frac{1}{2} \rho v_1^2+\rho g h_1=P_2+\frac{1}{2} \rho v_2^2+\rho g h_2 $$

यह बर्नूली के समीकरण है। क्योंकि 1 और 2 पाइपलाइन के किसी भी दो स्थान को संदर्भित करते हैं, हम इस समीकरण को सामान्य रूप में लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*} P+\left(\frac{1}{2}\right) \rho v^{2}+\rho g h=\text { constant } \tag{9.13} \end{equation*} $$

चित्र 9.9 एक आदर्श द्रव के एक विभिन्न क्रॉस सेक्शन वाले पाइप में प्रवाह। एक लंबाई v1 ∆t के खंड में द्रव ∆t समय में एक लंबाई v2 ∆t के खंड में गति करता है।

शब्दों में, बर्नूली के संबंध को इस प्रकार कहा जा सकता है: एक स्ट्रीमलाइन के अनुदिश, दबाव $(P)$, इकाई आयतन पर गतिज ऊर्जा $\left(\frac{\rho v^{2}}{2}\right)$ और इकाई आयतन पर स्थितिज ऊर्जा $(\rho g h)$ के योग एक स्थिरांक रहता है।

ध्यान दें कि ऊर्जा संरक्षण सिद्धांत के अनुप्रयोग में यह मान्यता होती है कि कोई ऊर्जा घर्षण के कारण खोई नहीं जाती। लेकिन वास्तविकता में, जब द्रव प्रवाहित होते हैं, तो कुछ ऊर्जा आंतरिक घर्षण के कारण खो जाती है। इसके पीछे कारण यह है कि द्रव प्रवाह में द्रव के विभिन्न तह विभिन्न चालों से प्रवाहित होते हैं। इन तहों के एक दूसरे पर घर्षण बल लगते हैं जिसके कारण ऊर्जा का नुकसान होता है। इस गुण को द्रव के चिपचिपापन कहते हैं और इसकी विस्तारपूर्वक चर्चा बाद में एक अनुभाग में की जाएगी। द्रव की खोई गई गतिज ऊर्जा ऊष्मा ऊर्जा में बदल जाती है। इसलिए, बर्नूली के समीकरण आदर्श रूप से शून्य चिपचिपापन या अचिपचिप द्रवों के लिए लागू होता है। बर्नूली के प्रमेय के अनुप्रयोग के एक अन्य सीमा यह है कि द्रव अपस्थापनीय होने चाहिए, क्योंकि द्रव के अतिरिक्त ऊर्जा को भी ध्यान में नहीं लिया जाता। व्यावहारिक रूप से, यह बहुत सारे उपयोगी अनुप्रयोगों के लिए उपलब्ध है और निम्न चिपचिपापन अपस्थापनीय द्रवों के लिए विभिन्न घटनाओं की व्याख्या कर सकता है। बर्नूली के समीकरण अस्थिर या अस्थायी प्रवाह के लिए भी लागू नहीं होता, क्योंकि ऐसी स्थिति में वेग और दबाव समय के साथ निरंतर बदलते रहते हैं।

जब कोई तरल विराम में होता है, अर्थात इसका वेग सभी स्थानों पर शून्य होता है, तो बर्नूली के समीकरण के रूप में होता है

$$ \begin{aligned} & P_{1}+\rho g h_{1}=P_{2}+\rho g h_{2} \\ & \left(P_{1}-P_{2}\right)=\rho g\left(h_{2}-h_{1}\right) \end{aligned} $$

जो कि समीकरण (9.6) के समान है।

9.4.1 बाहर निकलने वाले वेग: टॉर्रिसेली का नियम

“एफ्फ्लक्स” शब्द का अर्थ तरल के बाहर निकलना होता है। टॉर्रिसेली ने खोज निकाला कि खुले टैंक से बाहर निकलने वाले तरल के वेग का सूत्र एक मुक्त रूप से गिरते वस्तु के वेग के सूत्र के समान होता है। मान लीजिए कि एक टैंक में घनत्व $\rho$ के तरल है जिसकी एक छोटी छेद इसकी ओर एक ऊंचाई $y_1$ पर है (चित्र 9.10 देखें)। तरल के ऊपर वायु जो तरल के सतह के ऊपर ऊंचाई $y_2$ पर है, वह दबाव $P$ पर होती है। सततता के समीकरण [समीकरण (9.10)] से हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} & v _{1} A _{1}=v _{2} A _{2} \\ & v _{2}=\frac{A _{1}}{A _{2}} v _{1} \end{aligned} $$

चित्र 9.10 टॉर्रिसेल्ली का नियम। बर्नूली के समीकरण के अनुप्रयोग द्वारा बर्तन के एक ओर से बाहर निकलने वाली द्रव की गति, $v_1$ द्वारा दी जाती है। यदि बर्तन ऊपरी भाग से वायुमंडलीय दबाव के संपर्क में है तो $v = \sqrt{2 g h}$ होता है।

यदि बर्तन के क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र $A_{2}$, छेद $A_{1}$ के क्षेत्र की तुलना में बहुत बड़ा हो ($A_{2} » A_{1}$), तो हम बर्तन के ऊपरी भाग पर द्रव को लगभग विराम में होने के लिए मान सकते हैं, अर्थात $v_{2}=0$। अब, बिंदु 1 और 2 पर बर्नूली समीकरण के अनुप्रयोग करते हुए और छेद पर $P_{1}=P_{a}$, वायुमंडलीय दबाव के रूप में ध्यान रखते हुए, समीकरण (9.12) से हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{aligned} &P_a+\frac{1}{2} \rho v_1^2+\rho g y_1=P+\rho g y_2\ &\text { लेते हुए } y_2-y_1=h \text { हमें प्राप्त होता है }\ &\end{aligned} $$ $$ v_1=\sqrt{2 g h+\frac{2\left(P-P_a\right)}{\rho}}\tag{9.14} $$

जब $P » P_{a}$ और $2 g h$ को नगण्य माना जा सकता है, तो बाहर निकलने वाली द्रव की गति बर्तन के दबाव द्वारा निर्धारित होती है। ऐसी स्थिति रॉकेट प्रणोदन में होती है। दूसरी ओर, यदि बर्तन वायुमंडलीय दबाव के संपर्क में है, तो $P=P_{a}$ और

$$ \begin{equation*} v_{1}=\sqrt{2 g h} \tag{9.15} \end{equation*} $$

यह एक स्वतंत्र गिरते वस्तु की गति की गति भी है। समीकरण (9.15) टोर्रेली के नियम को प्रस्तुत करता है।

9.4.2 गतिमान उत्थान

गतिमान उत्थान एक वस्तु, जैसे कि विमान के वाटर फोइल या घूमते हुए गेंद, के द्वारा तरल में गति के कारण लगने वाले बल को कहते हैं। क्रिकेट, टेनिस, बेसबॉल या गॉल्फ जैसे कई खेलों में हम देखते हैं कि घूमती हुई गेंद हवा में अपने पारबोलिक पथ से विचलित हो जाती है। इस विचलन के कारण के आधार पर बर्नूली के सिद्धांत के आधार पर बड़ा भाग समझा जा सकता है।

(i) घूमे बिना गेंद की गति: आकृति 9.11(a) एक घूमे बिना गेंद के तरल में गति के आसपास के धारा रेखाओं को दर्शाती है। धारा रेखाओं के सममिति से स्पष्ट है कि गेंद के बराबर बिंदुओं पर तरल (हवा) की गति ऊपर और नीचे एक समान है, जिसके परिणामस्वरूप दबाव के अंतर शून्य हो जाता है। इसलिए, हवा गेंद पर ऊपर या नीचे कोई बल नहीं लगाती है।

(ii) घूमती हुई गेंद की गति: एक घूमती हुई गेंद वायु के साथ भी गति करती है। यदि सतह लगभग हो तो अधिक वायु खींची जाती है। आकृति 9.11(b) एक गेंद के धारा रेखाओं को दर्शाती है जो गति और घूमती हुई है। गेंद आगे बढ़ रही है और इसके संबंध में वायु पीछे बढ़ रही है। इसलिए, गेंद के ऊपर वायु की गति गेंद के संबंध में अधिक होती है और नीचे वायु की गति उतनी ही कम होती है (अनुभाग 9.3 देखें)। इसलिए, धारा रेखाएँ ऊपर घनी हो जाती हैं और नीचे बर्बाद हो जाती हैं।

इस वेग में अंतर के कारण हवा के निचले और ऊपर के तलों के बीच दबाव का अंतर होता है और गेंद पर एक शुद्ध ऊपर की बल कार्य करता है। इस गतिमान उत्थान के कारण घूमने के कारण बल को मैग्नस प्रभाव कहते हैं।

एरोफॉइल या विमान के विमान के बल: चित्र 9.11 (c) एक एरोफॉइल को दिखाता है, जो एक ठोस टुकड़ा होता है जो हवा में क्षैतिज रूप से गति करते समय ऊपर के गतिमान उत्थान को प्रदान करता है। विमान के वालों के प्रतिच्छेद अनुभाग कुछ तरह से चित्र 9.11 (c) में दिखाए गए एरोफॉइल के समान दिखते हैं जिसके आसपास धारा रेखाएँ होती हैं। जब एरोफॉइल हवा के विपरीत गति करता है, तो वाल के संबंध में धारा दिशा के संबंध में वाल के ऊपर धारा रेखाएँ नीचे वाली धारा रेखाओं की तुलना में अधिक घनी हो जाती हैं। ऊपर के वेग नीचे के वेग से अधिक होता है। इसके परिणामस्वरूप एक ऊपर की बल उत्पन्न होता है जो वालों के गतिमान उत्थान के कारण होता है और इसके द्वारा विमान के भार को संतुलित किया जाता है। नीचे दिया गया उदाहरण इसको दर्शाता है।

चित्र 9.11 (a) एक स्थिर गोले के पास तरल पदार्थ का प्रवाह। (b) एक गोले के चारों ओर तरल के लिए धारा रेखाएँ जो घड़ी के घूमते हुए हैं। (c) एक विमान के आकार के तरल के प्रवाह के लिए विमान के आकार के तरल के प्रवाह के लिए धारा रेखाएँ।

उदाहरण 9.7 एक पूरी भरे हुए बोईंग विमान का द्रव्यमान $3.3 \times 10^{5} \mathrm{~kg}$ है। इसका कुल पंख क्षेत्रफल $500 \mathrm{~m}^{2}$ है। यह स्तरीय उड़ान में $960 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ की गति से उड़ रहा है। (a) पंख के नीचले और ऊपरी सतहों के बीच दबाव के अंतर का अनुमान लगाएं (b) पंख के ऊपरी सतह पर हवा की गति के नीचले सतह के संबंध में विशिष्ट वृद्धि का अनुमान लगाएं। [हवा का घनत्व $\rho$ $=1.2 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है]

उत्तर (a) बोईंग विमान का भार दबाव के अंतर के कारण ऊपर की बल के द्वारा संतुलित होता है

$$ \begin{aligned} \Delta P \times A & =3.3 \times 10^{5} \mathrm{~kg} \times 9.8 \\ \Delta P & =\left(3.3 \times 10^{5} \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) / 500 \mathrm{~m}^{2} \\ & =6.5 \times 10^{3} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}

\end{aligned} $$

(ब) हम समीकरण (9.12) में ऊपरी और नीचली भुजाओं के बीच छोटे ऊंचाई के अंतर को नगण्य मान देते हैं। उनके बीच दबाव के अंतर होगा

$$ \Delta P=\frac{\rho}{2}\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right) $$

जहाँ $v_{2}$ ऊपरी सतह पर हवा की गति है और $v_{1}$ नीचली सतह पर हवा की गति है।

$$ \left(v_{2}-v_{1}\right)=\frac{2 \Delta P}{\rho\left(v_{2}+v_{1}\right)} $$

औसत गति लेते हुए

$$ v _{\mathrm{av}}=\left(v _{2}+v _{1}\right) / 2=960 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=267 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$$\left(v_{2}-v $$

9.5 चिपचिपापन

अधिकांश द्रव आदर्श द्रव नहीं होते और गति के विरुद्ध कुछ प्रतिरोध प्रदान करते हैं। इस प्रतिरोध के द्रव गति के लिए आंतरिक घर्षण के आकार में एक तुलना होती है जब एक ठोस सतह पर गति करता है। इसे चिपचिपापन कहते हैं। यह बल तब उपस्थित होता है जब द्रव के विभिन्न परतों के बीच संबंधित गति होती है। मान लीजिए कि हम एक तेल जैसे द्रव को दो काँच के प्लेट के बीच बंद कर रखते हैं जैसा कि चित्र 9.12 (ए) में दिखाया गया है। नीचली प्लेट स्थिर है जबकि ऊपरी प्लेट निश्चित गति $\mathbf{v}$ के साथ निश्चित प्लेट के संबंध में गति करती है। यदि तेल के स्थान पर मीठा रखा जाए तो एक ही गति के साथ प्लेट को गति कराने के लिए अधिक बल की आवश्यकता होती है। इसलिए हम कहते हैं कि मीठा तेल की तुलना में अधिक चिपचिपापन वाला होता है। एक सतह के संपर्क में रहने वाले द्रव की परत के वेग के समान होता है। इसलिए, ऊपरी सतह के संपर्क में रहने वाली द्रव की परत वेग $\mathbf{v}$ के साथ गति करती है और निश्चित सतह के संपर्क में रहने वाली द्रव की परत स्थिर होती है। द्रव की परतों के वेग नीचले से शुरू होकर ऊपर तक एक समान गति से बढ़ते हैं (नीचले पर शून्य वेग और ऊपरी पर वेग $\mathbf{v}$)। किसी भी द्रव की परत के ऊपरी परत इसे आगे खींचती है जबकि नीचली परत इसे पीछे खींचती है। इसके परिणामस्वरूप परतों के बीच बल उत्पन्न होता है। इस प्रकार के प्रवाह को लेमिनर प्रवाह कहते हैं। द्रव की परतें एक बुक के पृष्ठों की तरह एक दूसरे पर फिसलती हैं जब एक किताब एक मेज पर रखी गई हो और ऊपरी कवर पर एक क्षैतिज बल लगाया जाए। जब एक द्रव एक नली या ट्यूब में प्रवाहित होता है, तो नली के अक्ष के अनुदिश द्रव की परत के वेग अधिकतम होते हैं और जैसे-जैसे दीवार की ओर बढ़ते हैं, वेग धीरे-धीरे घटते जाते हैं और दीवार पर शून्य हो जाते हैं, चित्र 9.12 (ब) में दिखाया गया है। नली में एक बेलनाकार सतह पर द्रव के वेग स्थिर होते हैं।

चित्र 9.12 (a) दो समानांतर काँच के प्लेटों के बीच एक तरल की परत, जहाँ नीचली प्लेट स्थिर है और ऊपरी प्लेट दाहिनी ओर वेग $\mathbf{v}$ से गति कर रही है (b) पाइप में चिपचिपी प्रवाह के लिए वेग वितरण।

इस गति के कारण, कुछ समय के अंतराल $(\Delta t)$ के बाद जब तरल के कुछ भाग के आकार $ABCD$ होता है, तो यह आकार AEFD बन जाता है। इस समय अंतराल में तरल के एक झिलमिलाव के रूप में $\Delta x / 1$ के रूप में एक झिलमिलाव होता है। क्योंकि, एक प्रवाहमान तरल में झिलमिलाव समय के साथ निरंतर बढ़ता जाता है। एक ठोस के विपरीत, यहाँ पर प्रयोग के आधार पर तनाव झिलमिलाव के दर या झिलमिलाव के दर के अनुपाती होता है, अर्थात $\Delta x /(1 \Delta t)$ या $v / 1$ बजाय झिलमिलाव के स्वयं। एक तरल के शिष्टता गुणांक (जिसे ‘एटा’ कहते हैं) को एक झिलमिलाव तनाव के झिलमिलाव दर के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।

$$ \begin{equation*} \eta=\frac{F / A}{v / l}=\frac{F l}{v A} \tag{9.16} \end{equation*} $$

ऊष्मागतिक एकांकता का SI एकांक पैस्कल (Pl) है। इसके अन्य एकांक $\mathrm{N} \mathrm{s} \mathrm{m}^{-2}$ या $\mathrm{Pa} \quad\mathrm{s}$ हैं। एकांकता के आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-1}\right]$ हैं। सामान्यतः, पतले द्रव, जैसे कि पानी, अल्कोहल आदि, मोटे द्रव, जैसे कि कोयला गोंद, रक्त, ग्लिसरीन आदि की तुलना में कम एकांकता वाले होते हैं। कुछ सामान्य द्रवों के एकांकता गुणांक तालिका 9.2 में सूचीबद्ध हैं। हम रक्त और पानी के बारे में दो बातें बताते हैं जिनके बारे में आप रुचि रख सकते हैं। तालिका 9.2 के अनुसार, रक्त पानी की तुलना में ‘मोटा’ (अधिक एकांकता वाला) होता है। इसके अतिरिक्त, रक्त की सापेक्ष एकांकता $\left(\eta / \eta_{\text {water }}\right)$ 0°C और 37°C के बीच स्थिर रहती है।

चित्र 9.13 तरल के श्यानता गुणांक के मापन

तरलों के श्यानता तापमान के साथ घटती है, जबकि गैसों के श्यानता तापमान के साथ बढ़ती है।

उदाहरण 9.8 एक धातु ब्लॉक जिसका क्षेत्रफल $0.10 \mathrm{~m}^{2}$ है, एक $0.010 \mathrm{~kg}$ द्रव्यमान के साथ एक स्ट्रिंग के माध्यम से जुड़ा है जो एक आदर्श पली (असंगत द्रव्यमान और घर्षण रहित माना जाता है) के माध्यम से गुजरती है, जैसा कि चित्र 9.13 में दिखाया गया है। ब्लॉक और टेबल के बीच एक तरल के फिल्म की मोटाई $0.30 \mathrm{~mm}$ है। जब ब्लॉक छोड़ दिया जाता है तो यह दाहिने ओर एक स्थिर गति $0.085 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ से चलता है। तरल के श्यानता गुणांक की गणना कीजिए।

उत्तर तार के तनाव के कारण धातु ब्लॉक दाहिने ओर गति करता है। तनाव $T$ लटके द्रव्यमान $\mathrm{m}$ के भार के बराबर होता है। इसलिए, बल $F$ होता है

$F=T=m g=0.010 \mathrm{~kg} \times 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}=9.8 \times 10^{-2} \mathrm{~N}$

तरल पर शीर्ष बल $=F / A=\frac{9.8 \times 10^{-2}}{0.10} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2}$

$$ \text{तनाव दर }=\frac{v}{l}=\frac{0.085}{0.30 \times 10^{-3}}$$

$$ \begin{aligned} h & =\frac{\text { तनाव }}{\text { तनाव दर }} \mathrm{s}^{-1} \\ \\ & =\frac{\left(9.8 \times 10^{-2} \mathrm{~N}\right)\left(0.30 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right)}{\left(0.085 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)\left(0.10 \mathrm{~m}^{2}\right)} \\ \\ & =3.46 \times 10^{-3} \mathrm{~Pa} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

सारणी 9.2 कुछ द्रवों के श्यानता

9.5.1 स्टोक्स का नियम

जब कोई वस्तु द्रव में गिरती है, तो इसके संपर्क में आए द्रव के आवरण को खींचती है। द्रव के विभिन्न परतों के एक आपसी गति के रूप में एक अंतर उत्पन्न होता है और, इसके परिणामस्वरूप, वस्तु पर एक विरोधी बल लगता है। बरसात के बूंद के गिरना और सरल लोलक के बल्ब के झूलना इस तरह के गति के कुछ सामान्य उदाहरण हैं। यह देखा जाता है कि श्यान बल वस्तु के वेग के समानुपाती होता है और गति की दिशा के विपरीत होता है। बल $F$ पर निर्भर अन्य राशियाँ द्रव की श्यानता $\eta$ और गोले की त्रिज्या a है। इंग्लैंड के वैज्ञानिक सर जॉर्ज जी. स्टोक्स (1819-1903) ने श्यान बल $F$ को स्पष्ट रूप से घोषित किया है:

$$ \begin{equation*} F=6 \pi \eta a v \tag{9.17} \end{equation*} $$

इसे स्टोक्स का नियम कहते हैं। हम स्टोक्स के नियम के उत्पत्ति का अवलोकन नहीं करेंगे।

इस नियम को वेग के साथ अनुपातिक विपरीत बल के एक रोचक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है। हम एक वस्तु के एक चिपचिपा माध्यम में गिरते हुए इसके परिणामों के अध्ययन कर सकते हैं। हम वायु में एक बूंद के अध्ययन करते हैं। गुरुत्वाकर्षण के कारण इसके आरंभ में त्वरण होता है। जैसे वेग बढ़ता है, विपरीत बल भी बढ़ता है। अंत में, जब चिपचिपा बल और उत्थान बल गुरुत्वाकर्षण के कारण बल के बराबर हो जाते हैं, तो नेट बल शून्य हो जाता है और त्वरण भी शून्य हो जाता है। तब गोला (बूंद) एक स्थिर वेग के साथ नीचे गिरता है। अतः, संतुलन में, इस अंतिम वेग $v_{\mathrm{t}}$ को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ 6 \pi \eta a v_{\mathrm{t}}=(4 \pi / 3) a^{3}(\rho-\sigma) g $$

जहाँ $\rho$ और $\sigma$ क्रमशः गोले और द्रव के द्रव्यमान घनत्व हैं। हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin {equation*} v_{\mathrm{t}}=2 a^{2}(\rho-\sigma) g /(9 \eta) \tag{9.18} \end{equation*} $$

अतः, अंतिम वेग $v_{\mathrm{t}}$ गोले के त्रिज्या के वर्ग के साथ अनुपातिक होता है और माध्यम के चिपचिपापन के विपरीत अनुपातिक होता है।

आप इस संदर्भ में उदाहरण 6.2 को देखने के लिए वापस जाना चाहेंगे।

उदाहरण 9.9 तेल के टैंक में 20°C पर गिरते हुए एक कॉपर के गोले के अंतिम वेग 2.0 मिमी त्रिज्या के होते हैं जो 6.5 सेमी सेकंड⁻¹ है। 20°C पर तेल के श्यानता की गणना करें। तेल का घनत्व 1.5 × 10³ किग्रा मी⁻³ है, तथा कॉपर का घनत्व 8.9 × 10³ किग्रा मी⁻³ है।

उत्तर हमारे पास $v_{\mathrm{t}}=6.5 \times 10^{-2} \mathrm{~ms}^{-1}, a=2 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$,

$g=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}, \rho=8.9 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$,

$\sigma=1.5 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है। समीकरण (9.18) से

$$ \begin{aligned} \eta & =\frac{2}{9} \times \frac{\left(2 \times 10^{-3}\right)^{2} \mathrm{~m}^{2} \times 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}}{6.5 \times 10^{-2} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}} \times 7.4 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \\ \\ & =9.9 \times 10^{-1} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-1}

\end{aligned} $$

9.6 सतह तनाव

आप निश्चित रूप से यह ध्यान देख चुके होंगे कि, तेल और पानी एक साथ नहीं मिलते; पानी आपको और मुझे लेपित करता है लेकिन डक्कों को नहीं; पारा कांच को नहीं लेपित करता लेकिन पानी इसके संपर्क में रहता है, तेल गुरुत्वाकर्षण के बावजूद एक कपास के तेल के तार पर ऊपर चढ़ जाता है, रस और पानी वृक्ष के पत्तों के शीर्ष तक जाते हैं, पेंट के कैंची के बाल शुष्क होने पर एक दूसरे से जुड़े नहीं रहते और जब भी जल में डूबे होते हैं लेकिन जब उन्हें बाहर निकाला जाता है तो वे एक छोटे से छोटे शीर्ष बनाते हैं। सभी इन अनुभवों और कई अन्य अनुभव तरल पदार्थ के मुक्त सतहों से संबंधित होते हैं। तरल पदार्थ के निश्चित आकार होता है लेकिन निश्चित आकार नहीं होता, इसलिए जब तरल पदार्थ को एक बरतन में डाला जाता है तो यह एक मुक्त सतह बन जाता है। इन सतहों में कुछ अतिरिक्त ऊर्जा होती है। इस घटना को सतह तनाव कहा जाता है और यह केवल तरल पदार्थ से संबंधित होता है क्योंकि गैसों के लिए मुक्त सतह नहीं होती। अब हम इस घटना को समझने की कोशिश करेंगे।

9.6.1 सतह ऊर्जा

तरल पदार्थ अपने अणुओं के आकर्षण के कारण एक साथ रहता है। एक अणु को तरल के बीच में ले लीजिए। अणुओं के बीच दूरी इतनी होती है कि यह सभी आसपास के अणुओं के लिए आकर्षित होता है [चित्र 9.14(a)]। इस आकर्षण के कारण अणु के लिए नकारात्मक संभावित ऊर्जा होती है, जो चुने गए अणु के आसपास अणुओं की संख्या और वितरण पर निर्भर करती है। लेकिन सभी अणुओं की औसत संभावित ऊर्जा समान होती है। इसका समर्थन यह तथ्य से होता है कि एक ऐसे अणुओं के संग्रह (तरल) को लेकर उन्हें एक दूसरे से दूर फैलाने के लिए वाष्पीकरण के लिए आवश्यक ऊष्मा बहुत बड़ी होती है। जल के लिए इसका क्रम लगभग $40 \mathrm{~kJ} / \mathrm{mol}$ होता है।

मान लीजिए कि हम एक अणु को सतह के पास विचार कर रहे हैं चित्र 9.14 (b)। इसके केवल नीचले आधा हिस्सा तरल अणुओं द्वारा घिरा हुआ है। इनके कारण कुछ नकारात्मक संभावना ऊर्जा होती है, लेकिन स्पष्ट रूप से यह एक अणु के लिए बुनियादी ऊर्जा के मुकाबले कम होती है, अर्थात जो अणु पूरी तरह से बुनियादी में होता है। लगभग इसकी आधी होती है। इसलिए, तरल के सतह पर अणुओं के लिए बुनियादी अणुओं के मुकाबले कुछ अतिरिक्त ऊर्जा होती है। इसलिए, तरल बाह्य परिस्थितियों द्वारा अनुमत न्यूनतम सतह क्षेत्र के लिए बर्बाद होता है। सतह क्षेत्र को बढ़ाना ऊर्जा की आवश्यकता होती है। अधिकांश सतह घटनाओं को इस तथ्य के आधार पर समझा जा सकता है। सतह पर एक अणु के लिए आवश्यक ऊर ज्ञात करें। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, लगभग इसकी आधी ऊर्जा होती है जिसके लिए इसे पूरी तरह से तरल से हटा दिया जाए, अर्थात वाष्पीकरण की ऊष्मा के आधे हिस्सा होती है।

अंत में, सतह क्या है? क्योंकि एक तरल अणुओं के घूमते हुए बना होता है, इसलिए एक पूरी तरह से तीखी सतह नहीं हो सकती। तरल अणुओं के घनत्व के लिए $z=0$ के आसपास जैसे कि चित्र 9.14 (c) में दिखाए गए दिशा में एक अणु के आकार के कुछ आकार के दूरी पर तेजी से शून्य हो जाता है।

चित्र 9.14 तरल के अणुओं का स्थानीय चित्र, सतह पर तथा बलों का संतुलन। (a) तरल के एक अणु के अंदर। अन्य अणुओं के कारण अणु पर बल दिखाए गए हैं। तीर की दिशा आकर्षण या प्रतिकर्षण को दर्शाती है। (b) सतह पर अणु के लिए समान। (c) आकर्षण (AI) और प्रतिकर्षण (R) बलों का संतुलन।

चित्र 9.15 फिल्म को खिंचाना। (ए) संतुलन में फिल्म; (ब) फिल्म को अतिरिक्त दूरी तक खिंचा गया है।

मान लीजिए कि हम चित्र में दिखाए गए तरीके से बार को छोटी दूरी $d$ द्वारा विस्थापित करते हैं। क्योंकि सतह क्षेत्रफल बढ़ जाता है, तो प्रणाली के ऊर्जा में वृद्धि हो जाती है, इसका अर्थ है कि कुछ कार्य आंतरिक बल के विरुद्ध किया गया है। मान लीजिए इस आंतरिक बल को $\mathbf{F}$ हो, तो आवेदित बल द्वारा किया गया कार्य $\mathbf{F.d}$ $=F d$ होता है। ऊर्जा संरक्षण के अनुसार, यह फिल्म में अतिरिक्त ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाता है। यदि फिल्म की सतह ऊर्जा प्रति इकाई क्षेत्रफल $S$ हो, तो अतिरिक्त क्षेत्रफल $2 d l$ होता है। एक फिल्म में दो ओर और बीच में तरल होता है, इसलिए दो सतह होती हैं और अतिरिक्त ऊर्जा होती है

$$ \begin{align*} & S(2 dl)=F d \tag{9.19}\\ & \text { या, } S=F d / 2 d l=F / 2l \tag{9.20} \end{align*} $$

इस मात्रा $S$ को सतह तनाव के परिमाण के रूप में लिया जाता है। यह तरल संपर्क सतह के प्रति इकाई क्षेत्रफल की सतह ऊर्जा के बराबर होता है और यह तरल द्वारा गतिशील बार पर लंबाई प्रति इकाई बल के बराबर भी होता है।

अब तक हम एक तरल के सतह पर चर्चा कर चुके हैं। अधिक सामान्य रूप से, हमें अन्य तरलों या ठोस सतहों के संपर्क में तरल सतह को ध्यान में रखना होगा। इस मामले में सतह ऊर्जा दोनों तरफ के पदार्थों पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, यदि पदार्थ के अणु एक दूसरे को आकर्षित करते हैं, तो सतह ऊर्जा कम हो जाती है जबकि यदि वे एक दूसरे को विकर्षित करते हैं, तो सतह ऊर्जा बढ़ जाती है। इसलिए, अधिक सही ढंग से, सतह ऊर्जा दो पदार्थों के बीच संपर्क सतह की ऊर्जा होती है और दोनों पदार्थों पर निर्भर करती है।

हम ऊपर के बारे में निम्नलिखित अवलोकन करते हैं:

(i) सतह तनाव एक इकाई लंबाई (या एक इकाई क्षेत्रफल के लिए सतह ऊर्जा) के रूप में तरल के सतह के तल और किसी अन्य पदार्थ के तल के संपर्क के तल में कार्य करने वाला बल होता है; यह तरल के अंतर्गत अणुओं की तुलना में सतह पर अणुओं के अतिरिक्त ऊर्जा के रूप में भी होता है।

(ii) किसी भी बिंदु पर संपर्क के बाहर के किसी बिंदु पर हम एक रेखा खींच सकते हैं और एक समान और विपरीत सतह तनाव बल $S$ की कल्पना कर सकते हैं जो रेखा के लंब दिशा में रेखा के इकाई लंबाई के लिए कार्य करते हैं और इसके संपर्क तल में होते हैं। रेखा संतुलन में है। अधिक विशिष्ट रूप से, कल्पना करें कि सतह पर एक परमाणु या अणु की रेखा है। बाएं ओर के परमाणु रेखा को अपनी ओर खींचते हैं; जबकि दाएं ओर के परमाणु इसे अपनी ओर खींचते हैं! इस परमाणु रेखा के तनाव के तहत संतुलन में है। यदि रेखा वास्तव में संपर्क के सीमा के अंत को दर्शाती है, जैसा कि चित्र 9.14 (a) और (b) में है, तो केवल एक इकाई लंबाई के लिए बल $S$ आंतरिक दिशा में कार्य करता है।

सामग्री 9.3 विभिन्न तरलों के सतह तनाव को दर्शाता है। सतह तनाव का मान तापमान पर निर्भर करता है। श्यानता के जैसे, तरल के सतह तनाव आमतौर पर तापमान के साथ घटता है।

सामग्री 9.3 कुछ तरलों के सतह तनाव तापमानों पर दिए गए वाष्पीकरण के ऊष्मा के साथ

एक तरल एक ठोस सतह के संपर्क में रहता है यदि तरल और ठोस के बीच सतह ऊर्जा, ठोस-हवा और तरल-हवा के बीच सतह ऊर्जा के योग से कम हो। अब ठोस सतह और तरल के बीच आकर्षण होता है। इसे आरेखीय रूप से चित्र 9.16 में दिखाए गए अनुसार प्रयोग के माध्यम से प्रत्यक्ष रूप से मापा जा सकता है। एक सीधा ऊर्ध्वाधर काँच की पट्टी, जिसके नीचे कुछ तरल के बरतन रखा गया है, विस्तार के एक भाग बनती है। पट्टी को दूसरी ओर वजनों के द्वारा संतुलित किया जाता है, जिसकी क्षैतिज किनारा पानी के ऊपर ठीक रहता है। बरतन को थोड़ा ऊपर उठाया जाता है ताकि तरल केवल काँच की पट्टी को स्पर्श करे और सतह तनाव के कारण इसे थोड़ा नीचे खींच ले। वजन जोड़े जाते हैं ताकि पट्टी जल से बिलकुल ऊपर रहे।

चित्र 9.16 सतह तनाव के मापन

मान लीजिए अतिरिक्त भार $W$ है। तब समीकरण 9.20 और उसके चर्चा से, तरल-हवा सतह के संपर्क में तनाव होगा

$$ \begin{equation*} S_{ \mathrm{la}}=(\mathrm{W} / 2 \mathrm{l})=(\mathrm{mg} / 2 \mathrm{l}) \tag{9.21} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{m}$ अतिरिक्त द्रव्यमान है और $l$ प्लेट के किनारे की लंबाई है। उपस्थिति (la) के उपसर्ग यह बताता है कि तरल-हवा सतह के तनाव की बात की जा रही है।

9.6.3 संपर्क कोण

संपर्क के तल के पास तरल के सतह के दूसरे माध्यम के साथ सामान्यतः वक्र होती है। संपर्क बिंदु पर तरल के सतह के स्पर्शरेखा और तरल के अंदर ठोस सतह के बीच कोण को संपर्क कोण कहते हैं। इसे $\theta$ से नोट किया जाता है। यह विभिन्न तरल और ठोस के युग्मों के संपर्क तलों में अलग-अलग होता है। $\theta$ के मान के आधार पर तय होता है कि तरल ठोस के सतह पर फैलेगा या उस पर बूंद बनाएगा। उदाहरण के लिए, पानी लॉटस पत्ते पर बूंद बनाता है जैसा कि चित्र 9.17 (a) में दिखाया गया है, जबकि एक साफ प्लास्टिक प्लेट पर फैल जाता है जैसा कि चित्र 9.17 (b) में दिखाया गया है।

चित्र 9.17 विभिन्न आकार के पानी के बूंद अंतरापृष्ठ तनाव के साथ (a) लॉटस पत्ते पर (b) साफ प्लास्टिक प्लेट पर।

हम तीन अंतरापृष्ठ तनावों को सभी तीन संपर्क बिंदुओं, द्रव-हवा, ठोस-हवा और ठोस-द्रव के लिए विचार करते हैं, जिन्हें क्रमशः $S_{\mathrm{la}}$, $S_{\mathrm{sa}}$ और $S_{\mathrm{sl}}$ द्वारा नोट किया जाता है, जैसा कि चित्र 9.17 (a) और (b) में दिखाया गया है। संपर्क रेखा पर, तीन माध्यमों के बीच सतह बल संतुलन में होने चाहिए। चित्र 9.17(b) से निम्नलिखित संबंध आसानी से निकाला जा सकता है।

$$ \begin{equation*} S_{\mathrm{la}} \cos \theta+S_{\mathrm{sl}}=S_{\mathrm{sa}} \tag{9.22} \end{equation*} $$

संपर्क कोण एक अधिक कोण होता है यदि $S_{\mathrm{sl}}>S_{\mathrm{la}}$ जैसा कि पानी-पत्ता संपर्क में होता है, जबकि यदि $S_{\mathrm{sl}}<S_{\mathrm{la}}$ तो यह एक न्यून कोण होता है जैसा कि पानी-प्लास्टिक संपर्क में होता है। जब $\theta$ एक अधिक कोण होता है तो द्रव के अणु अपने आपके के साथ मजबूती से आकर्षित होते हैं और ठोस के अणुओं से कम आकर्षित होते हैं, द्रव-ठोस सतह बनाने में बहुत ऊर्जा खर्च होती है, और द्रव ठोस को नहीं छूता। यह पानी के वसायुक्त या तेल वाली सतह पर और पारा के लिए होता है।

किसी भी सतह पर। दूसरी ओर, यदि तरल के अणु ठोस के अणुओं से बहुत आकर्षित होते हैं, तो इसके परिणामस्वरूप $S_{\mathrm{sl}}$ कम हो जाएगा और इसलिए, $\cos \theta$ बढ़ सकता है या $\theta$ कम हो सकता है। इस स्थिति में $\theta$ एक न्यून कोण होता है। यह जल के लिए शीशे या प्लास्टिक पर तथा केरोसिन तेल के लिए लगभग कुछ भी पर होता है (इसके बस फैलने के कारण)। साबुन, डिटर्जेंट और रंगक वस्तुएं विस्पाटिंग एजेंट होते हैं। जब इनको मिलाया जाता है तो संपर्क कोण छोटा हो जाता है ताकि ये अच्छी तरह से प्रवेश कर सकें और प्रभावी हो सकें। विपरीत रूप से, जल प्रतिरोधक एजेंट जल और रेशों के बीच बड़ा संपर्क कोण बनाने के लिए जोड़े जाते हैं।

9.6.4 बूंदें और बुलबुले

सतह तनाव के एक परिणाम यह है कि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को नगण्य माने जाए तो मुक्त तरल बूंदें और बुलबुले गोलाकार होते हैं। आपने विशेष रूप से उच्च गति वाले धुंआ या जेट में बनी छोटी बूंदों में इसे स्पष्ट रूप से देखा होगा और बचपन में अधिकांश लोगों द्वारा फूंके गए साबुन के बुलबुले में भी। बूंदें और बुलबुले क्यों गोलाकार होते हैं? साबुन के बुलबुले क्यों स्थायी होते हैं?

$$ \begin{equation*} W=\left(P_{\mathrm{i}}-P_{\mathrm{o}}\right) 4 \pi r^{2} \Delta r \tag{9.24} \end{equation*} $$

ताकि

$$ \begin{equation*} \left(P_{\mathrm{i}}-P_{\mathrm{o}}\right)=\left(2 S_{\mathrm{la}} / r\right) \tag{9.25} \end{equation*} $$

सामान्य रूप से, तरल-गैस संपर्क सतह के लिए, उभरे हुए भाग के दबाव के तुलना में अवभरे हुए भाग के दबाव अधिक होता है। उदाहरण के लिए, तरल में एक हवा के बुलबुला के अंदर दबाव अधिक होता है। चित्र 9.18 (b) को देखें

चित्र 9.18 त्रिज्या r के बुलबुला, छेद और बूंद

एक बुलबुला चित्र 9.18 (c) में एक बूंद और एक छेद से भिन्न होता है; इसमें दो सतह होती हैं। उपरोक्त तर्क के आधार पर एक बुलबुला के लिए हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \left(P_{\mathrm{i}}-P_{\mathrm{o}}\right)=\left(4 S_{\mathrm{la}} / r\right) \tag{9.26} \end{equation*} $$

यह बहुत संभव है कि आपको एक शांत बुलबुला बनाने के लिए कड़ा बल लगाना पड़े, लेकिन बहुत अधिक नहीं। बुलबुला के अंदर थोड़ा अतिरिक्त हवा दबाव आवश्यक होता है!

9.6.5 कैपिलरी उठाव

एक वक्र तरल-हवा संपर्क सतह पर दबाव के अंतर के एक परिणाम यह है कि पानी गुरुत्वाकर्षण के बावजूद एक संकरे नली में ऊपर उठता है। “कैपिलरी” शब्द लैटिन में “बाल” का अर्थ होता है; यदि नली बाल के तीखी हो तो उठाव बहुत अधिक होता। इसे देखने के लिए, एक ऊर्ध्वाधर कैपिलरी नली (त्रिज्या a) को खुले जल भरे बर्तन में डुबोया जाता है (चित्र 9.19)। जल और काँच के बीच संपर्क कोण तीखा होता है। इसलिए जल की सतह कैपिलरी में अवतल होती है। इसका अर्थ यह है कि ऊपरी सतह के दोनों ओर दबाव के अंतर होता है। यह निम्न द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{align*} & \left(P_{i}-P_{o}\right)=(2 S / r)=2 S /(a \sec \theta) \\

& =(2 S / a) \cos \theta \tag{9.27} \end{align*} $$

इसलिए, नली के अंदर पानी के दबाव, बर्फ (हवा-पानी सतह) के ठीक बर्फ पर कम होता है वातावरण के दबाव से। चित्र 9.19(a) में दो बिंदु A और B को विचार करें। वे एक ही दबाव पर होना चाहिए, अर्थात,

$$ \begin{equation*} P_{O}+h \rho g=P_{i}=P_{A} \tag{9.28} \end{equation*} $$

जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है और $h$ को छोटी नली के उठाव कहा जाता है [चित्र 9.19(a)]। समीकरण (9.27) और (9.28) का उपयोग करके हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} h \rho g=\left(P_{i}-P_{o}\right)=(2 S \cos \theta) / a \tag{9.29} \end{equ

$$ \begin{aligned} & =2.98 \times 10^{-2} \mathrm{~m}=2.98 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

ध्यान दें कि यदि तरल के वक्रीभूत वृन्त (meniscus) उभरा हुआ है, जैसे कि पारा के लिए, अर्थात यदि $\cos \theta$ नकारात्मक है, तो समीकरण (9.28) के अनुसार, स्पष्ट है कि तरल कपिलर में नीचे होगा!

उदाहरण 9.10 एक कपिलर ट्यूब के निचले सिरे को एक बीकर में पानी के सतह से 8.00 $\mathrm{cm}$ नीचे डुबोया जाता है। ट्यूब में कितना दबाव आवश्यक है ताकि इसके सिरे पर पानी में एक अर्धगोलीय बुलबुला बनाया जा सके? प्रयोग के तापमान पर पानी की सतह तनाव $7.30 \times 10^{-2} \mathrm{Nm}^{-1}$ है। 1 वायुमंडलीय दबाव $= 1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$, पानी का घनत्व $=1000 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}$, $\mathrm{g}=9.80 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ है। अतिरिक्त दबाव भी गणना करें।

उत्तर तरल में गैस के बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $2 S / r$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $S$ तरल-गैस संपर्क सतह की सतह तनाव है। आपको ध्यान देना चाहिए कि इस मामले में केवल एक तरल सतह है। (एक गैस में तरल के बुलबुले के लिए दो तरल सतह होती हैं, इस मामले में अतिरिक्त दबाव के सूत्र $4 S / r$ होता है।) बुलबुले की त्रिज्या $r$ है। अब बुलबुले के बाहर दबाव $P_{0}$ वायुमंडलीय दबाव पर एक बाहरी दबाव के कारण बराबर होता है जो 8.00 $\mathrm{cm}$ पानी के स्तंभ के कारण होता है। अर्थात

$$ \begin{aligned} & P _{\mathrm{o}}=\left(1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}+0.08 \mathrm{~m} \times 1000 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}\right. \\ & =1.01784 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \\ & \times 9.80 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \text { ) } \end{aligned} $$

इसलिए, बुलबुले के अंदर दबाव है

$$ \begin{aligned} P_{\mathrm{i}}=P_{\mathrm{o}}+2 S / r \\ & =1.01784 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}+\left(2 \times 7.3 \times 10^{-2} \mathrm{~Pa} \mathrm{~m} / 10^{-3} \mathrm{~m}\right) \\ & =(1.01784+0.00146) \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \\ & =1.02 \times 10^{5} \mathrm{~Pa} \end{aligned} $$

जहाँ बुलबुले की त्रिज्या को छोटी नली की त्रिज्या के बराबर माना गया है, क्योंकि बुलबुला अर्धगोलीय है! (उत्तर को तीन सांख्यिकीय अंकों तक करीब ले लिया गया है।) बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $146 \mathrm{~Pa}$ है।

सारांश

1. तरल के मूल गुण यह है कि यह बह सकता है। तरल के आकार को बदलने पर कोई प्रतिरोध नहीं होता। इसलिए, तरल का आकार इसके बर्तन के आकार पर निर्भर करता है।

2. एक तरल अपरिवर्तनीय होता है और अपनी ओर से एक मुक्त सतह रखता है। एक गैस संपीड्य और विस्तारशील होती है और इसके उपलब्ध सभी स्थान घेर लेती है।

3. यदि $F$ एक तरल द्वारा क्षेत्र $A$ पर लगाए गए अभिलम्ब बल है, तो औसत दबाव $P_{\text {av }}$ बल और क्षेत्र के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है

$$ P_{a v}=\frac{F}{A} $$

4. दबाव की इकाई पास्कल (Pa) होती है। यह $\mathrm{Nm}^{-2}$ के समान है। दबाव की अन्य सामान्य इकाइयाँ हैं $1 \mathrm{~atm}=1.01 \times 10^5 \mathrm{~Pa}$ $1 \mathrm{bar}=10^3 \mathrm{~Pa}$ 1 torr $=133 \mathrm{~Pa}=0.133 \mathrm{kPa}$ 1 mm of $\mathrm{Hg}=1$ torr $=133 \mathrm{~Pa}$

5. पास्कल के नियम कहते हैं कि: शांत तरल में एक ही ऊंचाई पर सभी बिंदुओं पर दबाव समान होता है। एक बंद तरल में लगाए गए दबाव के परिवर्तन को तरल के प्रत्येक बिंदु और धारक बर्तन के दीवारों तक बिना कमी के ले जाया जाता है।

6. तरल में दबाव गहराई $h$ के अनुसार निम्न सूत्र के अनुसार बदलता है $P=P_{\mathrm{a}}+\rho g h$

जहाँ $\rho$ द्रव के घनत्व को दर्शाता है, जिसे समान मान लिया जाता है।

7. एक अद्वीच्य द्रव के आयतन के एक सेकंड में एक पाइप में एक बिंदु से गुजरने के लिए नॉन-यूनिफॉर्म क्रॉस सेक्शन के पाइप में स्थिर प्रवाह में आयतन समान होता है। $v A =$ स्थिर ( $v$ वेग है और $A$ क्रॉस सेक्शन क्षेत्रफल है) यह समीकरण अद्वीच्य द्रव प्रवाह में द्रव्यमान संरक्षण के कारण है।

8. बर्नूली के सिद्धांत के अनुसार, एक स्ट्रीमलाइन के अनुदिश गति के दौरान, दबाव ( $P$ ), इकाई आयतन पर गतिज ऊर्जा $\left(\rho v^2 / 2\right)$ और इकाई आयतन पर स्थितिज ऊर्जा ( $\rho g y$ ) के योग एक स्थिरांक होता है। $P+\rho v^2 / 2+\rho g y=$ स्थिरांक यह समीकरण आमतौर पर अतिसंवेदनशील द्रव प्रवाह के लिए ऊर्जा संरक्षण के अनुप्रयोग के रूप में है। कोई भी द्रव शून्य शिथिलता वाला नहीं होता, इसलिए उपरोक्त कथन केवल अनुमानित रूप से सत्य होता है। शिथिलता फ्रिक्शन के जैसी होती है और गतिज ऊर्जा को ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तित करती है।

9. एक द्रव में शेयर तनाव के लिए शेयर तनाव की आवश्यकता नहीं होती, लेकिन जब एक शेयर तनाव को एक द्रव पर लगाया जाता है, तो गति उत्पन्न होती है जो समय के साथ शेयर तनाव के बढ़ते हुए कारण होती है। शेयर तनाव के समय दर के अनुपात में शेयर तनाव के अनुपात को शिथिलता गुणांक, $\eta$ कहते हैं।

जहाँ चिन्हों का सामान्य अर्थ होता है और वे पाठ में परिभाषित होते हैं।

10. स्टोक्स के नियम के अनुसार, एक त्रिज्या a के गोले पर तरल पदार्थ में वेग $\mathbf{v}$ से गति करते हुए श्यान बल $\mathbf{F}$ का मान, $\mathbf{F}=6 \pi \eta a v$ होता है।

11. सतह तनाव एक इकाई लम्बाई पर बल (या एक इकाई क्षेत्रफल पर सतह ऊर्जा) के रूप में तरल और बाँधने वाली सतह के संपर्क समतल में कार्य करता है। यह तरल के संपर्क सतह पर अंतर्गत अणुओं के तुलना में अतिरिक्त ऊर्जा होती है।

ध्यान देने वाले बिंदु

1. दबाव एक अदिश राशि है। “एक इकाई क्षेत्रफल पर बल” के रूप में दबाव की परिभाषा एक गलत भ्रम उत्पन्न कर सकती है कि दबाव एक सदिश है। परिभाषा में अंश में “बल” वह बल होता है जो उस क्षेत्रफल पर लगाए गए बल के लम्ब घटक के बराबर होता है। तरल के रूप में तरल के अवधारणा का वर्णन करते समय कण और ठोस वस्तु के बल यांत्रिकी से बदलाव करना आवश्यक है। हम तरल में बिंदु से बिंदु तक बदलती गुणों के बारे में चिंतित हैं।

2. एक तरल के दबाव को केवल ठोस पर लगाए गए बल के रूप में सोचना चाहिए, जैसे कि एक बरतन की दीवार या तरल में डूबे एक ठोस वस्तु के बर्तन की दीवार। तरल में सभी बिंदुओं पर दबाव मौजूद होता है। एक तरल के तत्व (जैसे कि चित्र 9.4 में दिखाए गए तत्व) संतुलन में होते हैं क्योंकि विभिन्न फलकों पर लगाए गए दबाव बराबर होते हैं।

3. दबाव के व्यंजक

$$ P=P+\rho g h $$

यदि द्रव अपसारी नहीं है तो यह सही होता है। व्यावहारिक रूप से यह तरल पदार्थ के लिए सही होता है, जो बहुत अपसारी होते हैं और इसलिए ऊंचाई के साथ एक स्थिर मान होता है।

4. गेज दबाव वास्तविक दबाव और वायुमंडलीय दबाव के अंतर होता है।

$$ P-P_{\mathrm{a}}=P_{\mathrm{g}} $$

कई दबाव मापन यंत्र गेज दबाव मापते हैं। इनमें टायर दबाव मापक और रक्त दबाव मापक (स्फिग्मोमैनोमीटर) शामिल हैं।

5. एक स्ट्रीमलाइन द्रव प्रवाह का एक मानचित्र होता है। स्थिर प्रवाह में दो स्ट्रीमलाइन एक दूसरे को काट नहीं सकती क्योंकि इसका अर्थ होता है कि द्रव के कण किसी बिंदु पर दो संभावित वेग रख सकते हैं।

6. बर्नूली के सिद्धांत का अस्तित्व द्रव पर चिपचिपापन के उपस्थिति में नहीं होता है। इस मामले में इस विस्थापित चिपचिपापन बल द्वारा किया गया कार्य को ध्यान में रखना आवश्यक होता है, और $P_2$ [चित्र 9.9] द्वारा समीकरण (9.12) द्वारा दिए गए मान से कम होता है।

7. तापमान बढ़ने पर तरल के परमाणु अधिक सक्रिय हो जाते हैं और चिपचिपापन गुणांक, $\eta$ घट जाता है। गैस में तापमान बढ़ने से परमाणुओं के अनियमित गति में वृद्धि होती है और $\eta$ बढ़ जाता है।

8. सतह तनाव तब उत्पन्न होता है जब सतह पर अणुओं की ential ऊर्जा आंतरिक अणुओं की तुलना में अधिक होती है। ऐसी सतह ऊर्जा दो वस्तुओं के बीच अंतराल में उपस्थित होती है जिसमें कम से कम एक द्रव होता है। यह एक अकेले द्रव की गुणधर्म नहीं होती है।

अभ्यास

9.1 स्पष्ट करें कि क्यों

(a) मनुष्यों में रक्त दबाव पैरों में दिमाग की तुलना में अधिक होता है

(b) लगभग $6 \mathrm{~km}$ की ऊंचाई पर वायुमंडलीय दबाव समुद्र तल पर इसके मान के लगभग आधा हो जाता है, हालांकि वायुमंडल की ऊंचाई 100 $\mathrm{~km}$ से अधिक है

(c) तरल के हाइड्रोस्टैटिक दबाव एक अदिश राशि होता है, हालांकि दबाव बल के विभाजन द्वारा दबाव के रूप में दिया गया है।

9.2 स्पष्ट करें कि क्यों

(a) जिंक के साथ जल के संपर्क कोण अधिक कोण होता है, जबकि जल के साथ जिंक के संपर्क कोण न्यून कोण होता है।

(b) साफ़ काँच के सतह पर जल फैलता है जबकि जिंक बूंदों के रूप में बनता है। (अलग ढंग से कहें तो जल काँच को लिपट जाता है जबकि जिंक नहीं।)

(c) तरल के सतह तनाव क्षेत्र के क्षेत्र के अनुपात में स्वतंत्र होता है।

(d) जल में डिटरजेंट के घोल के संपर्क कोण छोटे होने चाहिए।

(e) कोई भी तरल के बूंद बाहरी बल के बिना हमेशा गोलाकार आकृति में होती है।

9.3 प्रत्येक कथन के साथ जुड़े शब्द सूची से खाली स्थान भरें:

(a) तरल पदार्थ के सतह तनाव के सामान्य रूप से ______ तापमान के साथ (बढ़ता है / घटता है)

(b) गैसों के श्यानता ______ तापमान के साथ, जबकि तरल पदार्थ के श्यानता ______ तापमान के साथ (बढ़ता है / घटता है)

(c) दृढ़ता के लचीला मॉड्यूल के लिए ठोसों के लिए, छेदन बल ______ के समानुपाती होता है, जबकि द्रवों के लिए यह ______ के समानुपाती होता है (छेदन विकृति / छेदन विकृति की दर)

(d) एक द्रव के स्थिर प्रवाह में, एक संकीर्णता पर प्रवाह वेग के वृद्धि के लिए (द्रव के द्रव्यमान के संरक्षण / बर्नूली के सिद्धांत)

(e) वायु चैनल में विमान के मॉडल के लिए, तूफान एक ______ गति के साथ होता है जो वास्तविक विमान के लिए तूफान के लिए होता है (अधिक / कम)

9.4 बताइए कि क्यों

(a) एक कागज को समतल रखने के लिए आप इसके नीचे हवा बुहाएं, न कि इसके ऊपर

(b) जब हम अपने इंगर द्वारा एक पानी के वाल्व को बंद करने की कोशिश करते हैं, तो हमारे इंगर के बीच छोटे छेदों से तेज धारा में पानी निकलता है

(c) एक सीरम के नोजल के आकार के बजाय डॉक्टर द्वारा इंजेक्शन देते समय अंगूठे के दबाव के बारे में बहतर बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह रहे बह जाता है

(d) एक बर्तन के छोटे छेद से बह रहे तरल के कारण बर्तन पर पीछे की धक्का लगता है

(e) हवा में घूमते हुए क्रिकेट गेंद का पारबॉलिक पथ नहीं बर्तन पर पीछे की धक्का लगता है

9.5 एक 50 किग्रा की लड़की उच्च डाल के जूतों पहने हुए एक एकल डाल पर संतुलित होती है। डाल एक वृत्ताकार है जिसका व्यास 1.0 सेमी है। डाल द्वारा आधार पर आरोपित दबाव क्या होगा?

9.6 टॉरिकेली के बारोमीटर में जिंक उपयोग किया जाता है। पास्कल ने फ्रांसीसी शराब के उपयोग के साथ इसे दोहराया जो घनत्व $984 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ होता है। सामान्य वायुमंडलीय दबाव के लिए शराब के स्तंभ की ऊंचाई की गणना कीजिए।

9.7 एक ऊर्ध्वाधर उपसागरीय संरचना का निर्माण अधिकतम तनाव के $10^{9} \mathrm{~Pa}$ के विरूद्ध टिकाऊ रहने के लिए किया गया है। क्या यह संरचना एक तेल के कुएं के ऊपर रखे जाने के लिए उपयुक्त है? महासागर की गहराई को लगभग $3 \mathrm{~km}$ मान लीजिए और महासागरीय धाराओं को नगण्य मान लीजिए।

9.8 एक हाइड्रोलिक कार लिफ्ट का डिज़ाइन कारों को उठाने के लिए है जिनका अधिकतम द्रव्यमान 3000 $\mathrm{kg}$ है। भार वहन करने वाले पिस्टन के परिच्छेद क्षेत्रफल $425 \mathrm{~cm}^{2}$ है। छोटे पिस्टन को अधिकतम कितना दबाव सहन करना पड़ेगा?

9.9 एक U-नलिका में पानी और मेथिलेटेड स्पिरिट के बीच रक्त द्वारा अलग किया गया है। दोनों भुजाओं में रक्त के स्तंभ 10.0 सेमी पानी के एक भुजा में और 12.5 सेमी स्पिरिट के दूसरे भुजा में हैं। स्पिरिट के विशिष्ट गुरुत्व क्या है?

उत्तर दिखाएं

उत्तर

दिए गए पानी, रक्त और मेथिलेटेड स्पिरिट के प्रणाली को नीचे दिखाया गया है:

स्पिरिट के स्तंभ की ऊंचाई, $h_1=12.5 \mathrm{~cm}=0.125 \mathrm{~m}$

पानी के स्तंभ की ऊंचाई, $h_2=10 \mathrm{~cm}=0.1 \mathrm{~m}$

$P_0=$ वायुमंडलीय दबाव

$\rho_1=$ स्पिरिट का घनत्व

$\rho_2=$ पानी का घनत्व

बिंदु $B$ पर दबाव $=P_0+h_1 \rho_1 g$

बिंदु $D$ पर दबाव $=P_0+h_2 \rho_2 g$

बिंदु B और D पर दबाव समान है।

$ \begin{gathered} P_0+h_1 \rho_1 g=h_2 \rho_2 g \\ \frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{h_2}{h_1} \\ =\frac{10}{12.5}=0.8 \end{gathered} $

इसलिए, स्पिरिट का विशिष्ट गुरुत्व 0.8 है।

9.10 पिछली समस्या में, यदि नलिका के दोनों भुजाओं में क्रमशः 15.0 सेमी पानी और स्पिरिट और भी डाल दिया जाए, तो दोनों भुजाओं में रक्त के स्तर के बीच क्या अंतर होगा? (रक्त का विशिष्ट गुरुत्व = 13.6)

9.11 क्या बर्नूली के समीकरण का उपयोग एक नदी के तेज बहाव में पानी के बहाव को वर्णित करने के लिए किया जा सकता है? स्पष्ट करें।

9.12 क्या बर्नूली के समीकरण के अनुप्रयोग में गेज दबाव के बजाए अभिलक्षणी दबाव का उपयोग करने पर कोई अंतर होता है? स्पष्ट करें।

9.13 ग्लिसरीन एक स्थिर बहाव में एक क्षैतिज नली के माध्यम से बहता है, जिसकी लंबाई $1.5 \mathrm{~m}$ और त्रिज्या $1.0 \mathrm{~cm}$ है। यदि एक छोर पर प्रति सेकंड एकत्र किए गए ग्लिसरीन की मात्रा $4.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1}$ है, तो नली के दोनों छोरों के बीच दबाव का अंतर क्या है? (ग्लिसरीन का घनत्व $=1.3 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ और ग्लिसरीन के श्यानता गुणांक $=0.83 \mathrm{~Pa} \mathrm{~s}$)। [आप यह भी जांच सकते हैं कि नली में लैमिनर बहाव की धारणा सही है या नहीं]।

9.14 एक मॉडल विमान के एक प्रयोग में एक हवाई गैस टनल में, विमान के पंख के ऊपरी और निचले सतहों पर वेग क्रमशः $70 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ और $63 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ है। यदि पंख का क्षेत्रफल $2.5 \mathrm{~m}^{2}$ है, तो पंख पर उत्थान बल कितना होगा? हवा के घनत्व को $1.3 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ मान लें।

9.15 आकृति 9.20(a) और (b) एक गैस के स्थायी प्रवाह के बारे में संदर्भित हैं (गैस अपसरणरहित है)। दोनों आकृतियों में से कौन सी गलत है? क्यों?

आकृति 9.20

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उत्तर

(a)

आकृति (b) में दिए गए मामले को लें।

जहाँ,

$A_1=$ पाइप 1 का क्षेत्रफल

$A_2=$ पाइप 2 का क्षेत्रफल

$V_1=$ पाइप 1 में द्रव की गति

$V_2=$ पाइप 2 में द्रव की गति

तत्वों के निरंतरता के नियम से हमें प्राप्त होता है:

$ A_1 V_1=A_2 V_2 $

वेंटुरीमीटर के मध्य अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल छोटा होने पर, इस भाग से द्रव के प्रवाह की गति अधिक होती है। बर्नूली के सिद्धांत के अनुसार, यदि गति अधिक होती है, तो दबाव कम होता है।

दबाव ऊंचाई के सीधे अनुपात में होता है। अतः, पाइप 2 में पानी के स्तर कम होता है।

इसलिए, आकृति (a) संभव नहीं है।

9.16 एक स्प्रे पंप के सिलिंडर ट्यूब का अनुप्रस्थ काट क्षेत्र $8.0 \mathrm{~cm}^{2}$ है जिसके एक सिरे पर 40 छोटे छेद हैं, जिनमें से प्रत्येक का व्यास $1.0 \mathrm{~mm}$ है। यदि ट्यूब के भीतर द्रव का प्रवाह $1.5 \mathrm{~m} \mathrm{~min}^{-1}$ है, तो छेदों के माध्यम से द्रव के निर्गमन की गति क्या है?

9.17 एक U आकार के तार को साबुन के घोल में डुबोया जाता है और निकाल लिया जाता है। तार और प्रकाश फ्लैटर के बीच बने तंतु के बीच बने पतले साबुन के फिल्म द्वारा एक वजन $1.5 \times 10^{-2} \mathrm{~N}$ (जो फ्लैटर के छोटे वजन को भी शामिल करता है) को समर्थन देता है। फ्लैटर की लंबाई $30 \mathrm{~cm}$ है। फिल्म के सतह तनाव क्या है?

9.18 चित्र 9.21 (a) में एक छोटे वजन $=4.5 \times 10^{-2} \mathrm{~N}$ को समर्थन देने वाला एक पतला तरल फिल्म है। चित्र (b) और (c) में एक ऐसे तरल के फिल्म द्वारा समर्थित वजन क्या होगा? अपने उत्तर को भौतिक रूप से समझाइए।

चित्र 9.21

9.19 कमरे के तापमान पर एक पारे के बूंद के भीतर दबाव क्या है? तापमान $\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)$ पर पारे के सतह तनाव $4.65 \times 10^{-1} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$ है। वायुमंडलीय दबाव $1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$ है। बूंद के भीतर अतिरिक्त दबाव भी दीजिए।