अध्याय 8 ठोसों के यांत्रिक गुण
8.1 परिचय
अध्याय 6 में, हम वस्तुओं के घूर्णन के बारे में अध्ययन कर चुके हैं और फिर यह जान गए कि एक वस्तु के गति के आधार वस्तु के भीतर द्रव्यमान कैसे वितरित होता है। हम अपने ध्यान को ठोस वस्तुओं के सरल स्थितियों पर सीमित कर लिया। एक ठोस वस्तु आमतौर पर एक कठोर ठोस वस्तु को दर्शाती है जिसका निश्चित आकार और आकृति होती है। लेकिन वास्तविकता में, वस्तुएं खींची जा सकती हैं, संपीड़ित की जा सकती हैं और मोड़ी जा सकती हैं। भले ही एक बड़ी मात्रा में बाहरी बल लगाया जाए, तो भी एक स्पष्ट रूप से कठोर इस्पात की छड़ को विकृत किया जा सकता है। इसका अर्थ है कि ठोस वस्परिवर्तनीय रूप से कठोर नहीं होते हैं।
एक ठोस के निश्चित आकार और आकृति होते हैं। एक वस्तु के आकार या आकृति को बदलने (या विकृत करने) के लिए एक बल की आवश्यकता होती है। यदि आप एक घुमावदार स्प्रिंग के अंतों को धीरे-धीरे खींचकर खींचते हैं, तो स्प्रिंग की लंबाई थोड़ी बढ़ जाती है। जब आप स्प्रिंग के अंतों को छोड़ देते हैं, तो यह अपने मूल आकार और आकृति में वापस आ जाता है। एक वस्तु के गुण, जिसके कारण यह बाहरी बल हटाने के बाद अपने मूल आकार और आकृति में वापस आ जाती है, को तन्यता कहते हैं और इस विकृति को तन्य विकृति कहते हैं। हालांकि, यदि आप एक गोंद या मुद के गुच्छे पर बल लगाते हैं, तो वे अपने पहले आकार में वापस आने की कोई बड़ी बात नहीं करते हैं और वे स्थायी रूप से विकृत हो जाते हैं। ऐसे पदार्थों को प्लास्टिक कहते हैं और इस गुण को प्लास्टिकता कहते हैं। गोंद और मुद आदर्श प्लास्टिक के निकट होते हैं।
सामग्री के लचीला व्यवहार इंजीनियरिंग डिज़ाइन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, एक इमारत डिज़ाइन करते समय, लोहा, सीमेंट आदि जैसी सामग्री के लचीले गुणों के ज्ञान के लिए आवश्यकता होती है। ब्रिज, ऑटोमोबाइल, रॉपवे आदि के डिज़ाइन में भी यही वैसी ही सच है। एक व्यक्ति भी पूछ सकता है कि क्या हम एक ऐसे विमान के डिज़ाइन कर सकते हैं जो बहुत हल्का हो लेकिन पर्याप्त मजबूत हो? क्या हम एक ऐसे निर्माण अंग के डिज़ाइन कर सकते हैं जो बहुत हल्का हो लेकिन पर्याप्त मजबूत हो? क्यों रेलवे ट्रैक के आकार के विशेष रूप से I के आकार के होते हैं? क्यों कांच टूटने वाला होता है जबकि ब्रास नहीं? इस प्रकार के प्रश्नों के उत्तर देने के लिए आपको जानना होगा कि आसान प्रकार के भार या बल कैसे विभिन्न ठोस शरीरों को बदल देते हैं। इस अध्याय में हम ठोस के लचीला व्यवहार और यांत्रिक गुणों के अध्ययन करेंगे जो इन प्रश्नों के अधिकांश उत्तर देंगे।
8.2 तनाव और विकृति
जब कोई शरीर ऐसे बलों के अनुसार लगाया जाता है कि शरीर अभी भी स्थैतिक संतुलन में रहता है, तो शरीर के आकार में छोटी या बड़ी मात्रा में विकृति हो सकती है, जो शरीर के सामग्री के प्रकार और विकृति बल के मात्रा पर निर्भर करती है। कई सामग्रियों में यह विकृति आंतरिक रूप से होती है लेकिन आंखों से देखने में नहीं। जब कोई शरीर विकृति बल के अधीन होता है, तो शरीर में एक पुनर्स्थापन बल विकसित होता है। यह पुनर्स्थापन बल आवेग बल के बराबर होता है लेकिन दिशा में विपरीत होता है। इस पुनर्स्थापन बल के इकाई क्षेत्र पर आधारित बल को तनाव कहा जाता है। यदि $F$ एक शरीर के परिसीमा के लंब दिशा में लगाया गया बल है और $A$ शरीर के परिसीमा क्षेत्रफल है, तो
$$ \text{तनाव का परिमाण} =F / A \tag{8.1}$$
तनाव की SI इकाई $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ या पास्कल $(\mathrm{Pa})$ है और इसका विमीय सूत्र $\left[\mathrm{ML}^{-1} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ है।
एक ठोस बाह्य बल के कारण अपने आकार में बदले जाने के तीन तरीके हो सकते हैं। ये चित्र 8.1 में दिखाए गए हैं। चित्र 8.1(a) में, एक सिलेंडर को अपने क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के लंब दिशा में लगाए गए दो बराबर बलों द्वारा खींचा जाता है। इस स्थिति में इकाई क्षेत्र पर बल के पुनर्प्राप्ति बल को काँच तनाव कहते हैं। यदि सिलेंडर को लगाए गए बलों के कारण संपीड़ित किया जाता है, तो इकाई क्षेत्र पर बल के पुनर्प्राप्ति बल को संपीड़न तनाव कहते हैं। काँच या संपीड़न तनाव को लंबवत तनाव के रूप में भी वर्गीकृत किया जा सकता है।
दोनों स्थितियों में सिलेंडर की लंबाई में परिवर्तन होता है। शरीर (इस मामले में सिलेंडर) की मूल लंबाई $L$ के संबंध में लंबाई में परिवर्तन $\Delta L$ को लंबवत विकृति कहते हैं।
$$ \begin{equation*} \text { लंबवत विकृति }=\frac{\Delta L}{L} \tag{8.2}
\end{equation*} $$
एक किताब को हाथ से दबाकर क्षैतिज दिशा में धकेला जाता है, जैसा कि चित्र 8.2 (c) में दिखाया गया है, इसे भी देखा जा सकता है।
$$\text{इस प्रकार, काटने वाली विकृति } =\tan \theta \approx \theta \tag{8.4}$$
चित्र 8.1 (d) में, एक ठोस गोला उच्च दबाव के तहत तरल में रखा गया है और इसके सभी ओर एकसमान दबाव लगाया जाता है। तरल द्वारा लगाया गया बल सतह के प्रत्येक बिंदु पर लंबवत दिशा में कार्य करता है और शरीर को जल दबाव द्वारा दबाए जाने कहा जाता है। इसके परिणामस्वरूप इसका आयतन कम हो जाता है बिना इसके ज्यामितीय आकार में कोई परिवर्तन नहीं होता।
चित्र 8.1 (a) एक बेलनाकार शरीर जो तनाव द्वारा दबाए जाने पर ∆L द्वारा लंबाई में बढ़ जाता है (b) एक बेलन पर काटने वाले तनाव द्वारा इसे कोण θ द्वारा विकृत कर देता है (c) एक शरीर पर काटने वाले तनाव (d) एक ठोस शरीर पर सतह के प्रत्येक बिंदु पर लंबवत तनाव (जल तनाव)। आयतन विकृति ∆V/V है, लेकिन आकार में कोई परिवर्तन नहीं होता।
शरीर में आंतरिक बहाव बल विकसित होते हैं जो द्रव द्वारा लगाए गए बल के बराबर और विपरीत होते हैं (शरीर को द्रव से बाहर निकाले जाने पर इसका मूल आकार और आकृति बहाव लगाए जाने पर वापस लौट जाता है)। इस स्थिति में इन आंतरिक बहाव बलों के प्रति क्षेत्र के बल को हाइड्रोलॉजिक तनाव कहा जाता है और इसके मान के बराबर होता है द्रव द्वारा लगाए गए बल के प्रति क्षेत्र (लगाए गए बल के प्रति क्षेत्र)।
हाइड्रोलॉजिक तनाव द्वारा उत्पन्न विकृति को आयतन विकृति कहा जाता है और इसे मूल आयतन $(V)$ के बदले आयतन के परिवर्तन $(\Delta V)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$$ \begin {equation*} \text { आयतन विकृति }=\frac{\Delta V}{V} \tag{8.5} \end{equation*} $$
क्योंकि विकृति विमान के परिवर्तन के अनुपात के रूप में होती है, इसके इकाई या विमानीय सूत्र नहीं होते हैं।
8.3 हूक के नियम
चित्र (8.1) में दिखाए गए स्थितियों में तनाव और विकृति विभिन्न रूप में होते हैं। छोटे विकृतियों के लिए तनाव और विकृति एक दूसरे के समानुपाती होते हैं। इसे हूक के नियम कहा जाता है।
इसलिए,
तनाव $\propto$ विकृति
$$ \begin{equation*}
\text { stress }=k \times \text { strain } \tag{8.6} \end{equation*} $$
जहाँ $k$ समानुपाति नियतांक है और इसे लचीलापन गुणांक के रूप में जाना जाता है।
हूक के नियम एक प्रयोगात्मक नियम है और अधिकांश विधियों के लिए वैध पाया गया है। हालांकि, कुछ विधियाँ जो इस रैखिक संबंध को प्रदर्शित नहीं करती हैं।
8.4 तनाव-ऊतक वक्र
एक दिए गए विधि के लिए तनाव और ऊतक के बीच संबंध को प्रयोग के माध्यम से ज्ञात किया जा सकता है। एक मानक तनाव गुणों के परीक्षण में, एक परीक्षण बेलन या तार एक आवेग द्वारा खींचा जाता है। लंबाई में आंशिक परिवर्तन (ऊतक) और आवेग के आवेग के लिए आवश्यक बल के रूप में रिकॉर्ड किया जाता है। आवेग धीरे-धीरे चरणों में बढ़ाया जाता है और लंबाई में परिवर्तन नोट किया जाता है। तनाव (जो आवेग के इकाई क्षेत्र पर बराबर मात्रा में बल के बराबर होता है) और उत्पन्न ऊतक के बीच एक ग्राफ खींचा जाता है। एक धातु के लिए एक सामान्य ग्राफ चित्र 8.2 में दिखाया गया है। संपीड़न और झुकाव तनाव के लिए भी ऐसे ग्राफ प्राप्त किए जा सकते हैं। तनाव-ऊतक वक्र विधि से विधि तक भिन्न होते हैं। ये वक्र हमें बताते हैं कि एक दिए गए विधि कैसे बढ़ते भार के साथ विकृत होता है। ग्राफ से हम देख सकते हैं कि $\mathrm{O}$ से $\mathrm{A}$ के बीच क्षेत्र में वक्र रैखिक है। इस क्षेत्र में हूक के नियम का पालन किया जाता है। जब आवेग दूर कर दिया जाता है तो वस्तु अपने मूल आयामों को पुनः प्राप्त कर लेती है। इस क्षेत्र में, ठोस एक लचीला वस्तु के रूप में व्यवहार करती है।
चित्र 8.2 धातु के लिए एक सामान्य तनाव-ऊतक वक्र।
$A$ से $B$ के क्षेत्र में, तनाव और ऊतक आपसी अनुपाती नहीं होते। फिर भी, जब भार हटा दिया जाता है तो शरीर अपने मूल आयाम में वापस आ जाता है। वक्र में बिंदु B को उत्पादन बिंदु (जिसे भी तार बिंदु कहा जाता है) के रूप में जाना जाता है और इसके संगत तनाव को वस्तु के उत्पादन शक्ति ( $\sigma_y$ ) के रूप में जाना जाता है।
यदि भार और बढ़ाया जाता है, तो विकसित तनाव उत्पादन शक्ति से अधिक हो जाता है और तनाव तनाव में छोटी बदलाव के लिए तेजी से बढ़ जाता है। वक्र के B और D के बीच के हिस्सा इसका दर्शाता है। जब भार हटा दिया जाता है, जैसे कि B और D के बीच के किसी बिंदु C पर, शरीर अपने मूल आयाम में वापस नहीं आता है। इस मामले में, तनाव शून्य होने पर भी तनाव शून्य नहीं होता। वस्तु को स्थायी विकृति कहा जाता है। विकृति को प्लास्टिक विकृति कहा जाता है। ग्राफ में बिंदु D वस्तु के अंतिम तनाव शक्ति ( $\sigma_u$ ) के रूप में जाना जाता है। इस बिंदु के बाद, एक कम आवेग द्वारा अतिरिक्त विकृति उत्पन्न होती है और विकृति बिंदु E पर टूट जाती है। यदि अंतिम शक्ति और टूटने के बिंदु D और E निकट हों, तो वस्तु को क्रिस्टलीय कहा जाता है। यदि वे दूर हों, तो वस्तु को प्रतिरोधी कहा जाता है।
चित्र 8.3 अॉर्टा के लचीले ऊतक के तनाव-ऊतक वक्र, जो दिल से रक्त के वहन के लिए बड़े ट्यूब (वस्तु) को दर्शाता है।
जैसा कि पहले बताया गया है, तनाव-ऊतक व्यवहार सामग्री से सामग्री पर आधारित होता है। उदाहरण के लिए, रबर को अपने मूल लंबाई के कई गुना तक खींचा जा सकता है और फिर भी अपनी मूल आकृति में वापस आ जाता है। चित्र 8.3 अॉर्टा के लचीले ऊतक के तनाव-ऊतक वक्र को दर्शाता है, जो दिल में मौजूद होता है। ध्यान दें कि यद्यपि लचीला क्षेत्र बहुत बड़ा होता है, लेकिन सामग्री के अधिकांश क्षेत्र में ए हॉक के नियम का पालन नहीं करता है। दूसरे, कोई स्पष्ट विकृति क्षेत्र नहीं होता है। अॉर्टा के ऊतक, रबर आदि जैसी सामग्रियाँ जिन्हें बड़ी विकृतियों के कारण खींचा जा सकता है, एलास्टोमर कहलाती हैं।
8.5 तारक विशिष्टताएँ
तनाव-ऊतक वक्र के तारक सीमा के भीतर आनुपातिक क्षेत्र (चित्र 8.2 में क्षेत्र OA) संरचनात्मक और निर्माण अभियांत्रिकी डिज़ाइन में बहुत महत्वपूर्ण होता है। तनाव और ऊतक के अनुपात, जिसे तारक विशिष्टता कहा जाता है, अपनी सामग्री की विशिष्टता होती है।
8.5.1 यांग का मापांक
प्रयोगात्मक अवलोकन दर्शाता है कि एक दिए गए पदार्थ के लिए, तनाव तन्य या संपीड़न हो जाए तो उत्पन्न विकृति के मापदंड के मान समान होते हैं। तन्य (या संपीड़न) तनाव $(\sigma)$ के लंबवत विकृति $(\varepsilon)$ के अनुपात को यांग का मापांक कहते हैं और इसे $Y$ से नोट करते हैं।
$$ \begin{equation*} Y=\frac{\sigma}{\v $$
समीकरण (8.1) और (8.2) से, हम लिख सकते हैं:
$$ \begin{align*} Y & =(F / A) /(\Delta L / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta L) \tag{8.8} \end{align*} $$
क्योंकि विकृति एक विमाही राशि है, यांग के मापांक की इकाई तनाव के समान होती है, अर्थात $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ या पास्कल (Pa)। तालिका 8.1 कुछ पदार्थों के यांग के मापांक और विघटन शक्ति के मान देती है।
तालिका 8.1 में दी गई डेटा से यह देखा जा सकता है कि धातुओं के लिए यांग के मापांक बड़े होते हैं।
तालिका 8.1 कुछ पदार्थों के यांग के मापांक और विघटन शक्ति
| पदार्थ | घनत्व $\rho$
$\left(\mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3}\right)$ | यांग का मापांक
$\mathrm{Y}\left(10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)$ | अंतिम
शक्ति,
$\sigma_{\mathrm{u}}\left(10^{6} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)$ | विघटन शक्ति
$\sigma_{\mathrm{y}}\left(10^{6} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)$ |
| :— | :— | :—: | :—: | :—: | | एल्यूमिनियम | 2710 | 70 | 110 | 95 | | तांबा | 8890 | 110 | 400 | 200 | | लोहा (पिघला) | 7800-7900 | 190 | 330 | 170 | | इस्पात | 7860 | 200 | 400 | 250 | | काँच | 2190 | 65 | 50 | - | | सीमेंट | 2320 | 30 | 40 | - | | लकड़ी | 525 | 13 | 50 | - | | हड्डी | 1900 | 9.4 | 170 | - | | पॉलीस्टाइरीन | 1050 | 3 | 48 | - |
दबाव के अधीन परीक्षण किया गया वस्तु
इसलिए, इन वस्तुओं को लंबाई में छोटा परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए बहुत बड़ा बल की आवश्यकता होती है। एक तंग इस्पात के तार की लंबाई को $0.1 \mathrm{~cm}^{2}$ क्षेत्रफल के अनुप्रस्थ परिच्छेद के साथ $0.1 \%$ बढ़ाने के लिए $2000 \mathrm{~N}$ का बल आवश्यक होता है। एक ही क्षेत्रफल वाले एल्यूमिनियम, ब्रास और तांबे के तार में एक ही विकृति उत्पन्न करने के लिए क्रमशः $690 \mathrm{~N}$, $900 \mathrm{~N}$ और $1100 \mathrm{~N}$ के बल की आवश्यकता होती है। इसका अर्थ है कि इस्पात तांबे, ब्रास और एल्यूमिनियम की तुलना में अधिक लचीला होता है। इस कारण से इस्पात भारी कार्य करने वाले मशीनों और संरचनात्मक डिज़ाइन में प्राथमिकता दी जाती है। लकड़ी, हड्डी, सीमेंट और काँच के यूंग के मॉड्यूल बहुत कम होते हैं।
उदाहरण 8.1 एक संरचनात्मक स्टील के छड़ की त्रिज्या $10 \mathrm{~mm}$ है और लंबाई $1.0 \mathrm{~m}$ है। एक $100 \mathrm{kN}$ बल छड़ की लंबाई के अनुदिश इसे खींचता है। छड़ पर (a) तनाव, (b) विस्तार और (c) तनन गुणांक की गणना कीजिए। संरचनात्मक स्टील के यंग प्रतिबल $2.0 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$ है।
उत्तर हम मानते हैं कि छड़ एक सिरे पर क्लैम्प द्वारा रखी गई है और दूसरे सिरे पर बल $F$ लंबाई के समानांतर लगाया जाता है। तब छड़ पर तनाव द्वारा दिया गया है
$$ \begin{aligned} \text { तनाव } & =\frac{F}{A}=\frac{F}{\pi r^2} \ & =\frac{100 \times 10^3 \mathrm{~N}}{3.14 \times\left(10^{-2} \mathrm{~m}\right)^2} \ & =3.18 \times 10^8 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \end{aligned} $$
विस्तार,
$$ \begin{aligned} \Delta L & =\frac{(F / A) L}{Y} \ & =\frac{\left(3.18 \times 10^8 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)(1 \mathrm{~m})}{2 \times 10^{11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}} \ & =1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m} \ & =1.59 \mathrm{~mm}
\end{aligned} $$
तनाव के मान को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है
$$ \begin{aligned} \text { तनाव } & =\Delta L / L \ & =\left(1.59 \times 10^{-3} \mathrm{~m}\right) /(1 \mathrm{~m}) \ & =1.59 \times 10^{-3} \ & =0.16 % \end{aligned} $$
उदाहरण 8.2 एक तांबे के तार जिसकी लंबाई $2.2 \mathrm{~m}$ है और एक स्टील के तार जिसकी लंबाई $1.6 \mathrm{~m}$ है, दोनों के व्यास $3.0 \mathrm{~mm}$ है, एक दूसरे के संयोजन में जुड़े हैं। जब एक भार द्वारा खिंचे जाने पर, कुल लंबाई में वृद्धि $0.70 \mathrm{~mm}$ पाए गए। आवेश लगाए गए भार को ज्ञात कीजिए।
उत्तर तांबे और स्टील के तार एक ही तनाव के अंतर्गत हैं क्योंकि वे एक ही तनाव (भार $W$ के बराबर) और एक ही क्रॉस-सेक्शन क्षेत्रफल $A$ के अंतर्गत हैं।
समीकरण (8.7) से हम तनाव $=$ तन्यता $\times$ यंग के मापांक के बराबर होता है। अतः
$$ W / A=Y_c \times\left(\Delta L_c / L_c\right)=Y_s \times\left(\Delta L_s / L_s\right) $$
जहाँ उपस्थिति $c$ और $s$ क्रमशः तांबे और स्टील के लिए है।
या,
$$ \Delta L_c / \Delta L_s=\left(Y_s / Y\right) \times\left(L_c / L_s\right)
$$
दिया गया है
$L_c=2.2 \mathrm{~m}, L_s=1.6 \mathrm{~m}$,
तालिका 9.1 से $Y_c=1.1 \times 10^{11} \mathrm{~N} . \mathrm{m}^{-2}$, और
$$ Y_s^c=2.0 \times 10^{11}{\mathrm{~N} . \mathrm{m}^{-2}} $$
$\Delta L_c / \Delta L_s=\left(2.0 \times 10^{11} / 1.1 \times 10^{11}\right) \times(2.2 / 1.6)=2.5$. कुल खिंचाव दिया गया है
$$ \Delta L_c+\Delta L_s=7.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$
उपरोक्त समीकरणों को हल करने पर,
$$ \Delta L_c=5.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m}, \text { और } \Delta L_s=2.0 \times 10^{-4} \mathrm{~m} $$
इसलिए
$$ \begin{aligned} W & =\left(A \times Y_c \times \Delta L\right) / L_c \ & =\pi\left(1.5 \times 10^{-3}\right)^2 \times\left[\left(5.0 \times 10^{-4} \times 1.1 \times 10^{11}\right) / 2.2\right] \ = & 1.8 \times 10^2 \mathrm{~N} \end{aligned} $$
उदाहरण 8.3 एक संगीत शो में मानव पिरामिड में, संतुलित समूह का पूरा भार एक नाचते हुए कलाकार के पैरों द्वारा समर्थित होता है (जैसा कि चित्र 8.4 में दिखाया गया है)। सभी व्यक्तियों और टेबल, प्लेट आदि के संयुक्त द्रव्यमान $280 \mathrm{~kg}$ है। पिरामिड के नीचे लेटे हुए कलाकार का द्रव्यमान $60 \mathrm{~kg}$ है। इस कलाकार के प्रत्येक जांघ (फीमर) की लंबाई $50 \mathrm{~cm}$ है और प्रभावी त्रिज्या $2.0 \mathrm{~cm}$ है। अतिरिक्त भार के तहत प्रत्येक जांघ कितना खिंच जाता है, निर्धारित कीजिए।
चित्र 8.4 एक चर्च में मानव पिरामिड।
उत्तर सभी कलाकारों, मेजों, पदकों आदि का कुल द्रव्यमान $=280 \mathrm{~kg}$
कलाकार का द्रव्यमान $=60 \mathrm{~kg}$ पिरामिड के नीचे वाले कलाकार के टांगों द्वारा समर्थित द्रव्यमान
$$ =280-60=220 \mathrm{~kg} $$
इस समर्थित द्रव्यमान का भार
$$ =220 \mathrm{~kg} w \mathrm{t} .=220 \times 9.8 \mathrm{~N}=2156 \mathrm{~N} $$
कलाकार के प्रत्येक टांग के द्वारा समर्थित भार $=1 / 2(2156) \mathrm{~N}=1078 \mathrm{~N}$।
तालिका 9.1 से, अस्थि के यंग के मापांक द्वारा दिया गया है
$$ Y=9.4 \times 10^9 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} $$
प्रत्येक टांग की लंबाई $L=0.5 \mathrm{~m}$ टांग की त्रिज्या $=2.0 \mathrm{~cm}$ इसलिए टांग का काट क्षेत्रफल
$$ A=\pi \times\left(2 \times 10^{-2}\right)^2 \mathrm{~m}^2=1.26 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^2 $$
$$
समीकरण (9.8) का उपयोग करके, प्रत्येक ऊपरी अंग के खिंचाव ( $\Delta L$ ) की गणना की जा सकती है
$$ \begin{aligned} \Delta L & =[(F \times L) /(Y \times A)] \ & =\left[(1078 \times 0.5) /\left(9.4 \times 10^9 \times 1.26 \times 10^{-3}\right)\right] \ & =4.55 \times 10^{-5} \mathrm{~m} \text { या } 4.55 \times 10^{-3} \mathrm{~cm} \end{aligned} $$
यह एक बहुत ही छोटा परिवर्तन है! ऊपरी अंग में भिन्नता के अनुपात के रूप में $\Delta L / L=0.000091$ या 0.0091% है।
8.5.2 खिंचाव अपसार गुणांक
खिंचाव तनाव के संगत खिंचाव अपसार के अनुपात को वस्तु के खिंचाव अपसार गुणांक कहते हैं और इसे $G$ से प्रस्तुत किया जाता है। इसे अपसार गुणांक के रूप में भी जाना जाता है।
$$ \begin{align*} G & =\text { खिंचाव तनाव }(\sigma_{\mathrm{s}}) / \text { खिंचाव अपसार } \\ G & =(F / A) /(\Delta x / L) \\ & =(F \times L) /(A \times \Delta x) \tag{8.10} \end{align*} $$
उसी तरह, समीकरण (9.4) से
$$ \begin{align*} G & =(F / A) / \theta \\ & =F /(A \times \theta) \tag{8.11} \end{align*} $$
The shearing stress $\sigma_{\mathrm{s}}$ can also be expressed as
$$ \begin{equation*} \sigma_{\mathrm{s}}=G \times \theta \tag{8.12} \end{equation*} $$
SI unit of shear modulus is $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ or $\mathrm{Pa}$. The shear moduli of a few common materials are given in Table 9.2. It can be seen that shear modulus (or modulus of rigidity) is generally less than Young’s modulus (from Table 9.1). For most materials $G \approx Y / 3$.
Table 8.2 Shear moduli (G) of some common materials
| Material | G $(10^{9} \mathbf{N m}^{-2}$ or $\mathbf{~ G P a})$ |
|---|---|
| Aluminium | 25 |
| Brass | 36 |
| Copper | 42 |
| Glass | 23 |
| Iron | 70 |
| Lead | 5.6 |
| Nickel | 77 |
| Steel | 84 |
| Tungsten | 150 |
| Wood | 10 |
Example 8.4 A square lead slab of side 50 $\mathrm{cm}$ and thickness $10 \mathrm{~cm}$ is subject to a shearing force (on its narrow face) of $9.0 \times$ $10^{4} \mathrm{~N}$. The lower edge is riveted to the floor. How much will the upper edge be displaced?
उत्तर नेतृत्व ब्लैक निश्चित है और बल चित्र 8.6 में दिखाए गए तरीके से संकरी तल के समानांतर लागू किया जाता है। जिस तल के समानांतर यह बल लागू किया जाता है उसका क्षेत्रफल है
$$ \begin{aligned} A & =50 \mathrm{~cm} \times 10 \mathrm{~cm} \\ & =0.5 \mathrm{~m} \times 0.1 \mathrm{~m} \\ & =0.05 \mathrm{~m}^{2} \end{aligned} $$
इसलिए, लगाए गए तनाव के बराबर है
$$ \begin{aligned} & =\left(9.4 \times 10^{4} \mathrm{~N} / 0.05 \mathrm{~m}^{2}\right) \\ & =1.80 \times 10^{6} \mathrm{~N} \cdot \mathrm{m}^{-2} \end{aligned} $$
$\hspace{40mm}$ चित्र 8.5
हम जानते हैं कि खिंचाव विकृति $=(\Delta x / L)=$ तनाव $/ G$ है।
इसलिए विस्थापन $\Delta x=($ तनाव $\times L) / G$
$=\left(1.8 \times 10^{6} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \times 0.5 \mathrm{~m}\right) /\left(5.6 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right)$
$=1.6 \times 10^{-4} \mathrm{~m}=0.16 \mathrm{~mm}$
8.5.3 बॉल्ट मॉड्यूलस
अनुच्छेद (8.3) में हम देख चुके हैं कि जब कोई वस्तु एक तरल में डूब जाती है, तो इस पर हाइड्रोलॉजिकल स्ट्रेस (हाइड्रोलॉजिकल दबाव के बराबर मान के साथ) लगता है। इसके परिणामस्वरूप वस्तु के आयतन में कमी होती है जिसे आयतन विकृति कहते हैं [समीकरण (8.5)]। हाइड्रोलॉजिकल स्ट्रेस के संगत हाइड्रोलॉजिकल विकृति के अनुपात को बॉल्ट मॉड्यूलस कहते हैं। इसे $B$ संकेत द्वारा नोट किया जाता है।
$$ \begin{equation*} B=-p /(\Delta V / V) \tag{8.12} \end{equation*} $$
ऋणात्मक चिह्न यह बताता है कि दबाव में वृद्धि के साथ आयतन में कमी होती है। अर्थात, यदि $p$ धनात्मक है, तो $\Delta V$ ऋणात्मक होता है। अतः एक तंत्र के संतुलन में, बॉल्ट मॉड्यूलस $B$ का मान हमेशा धनात्मक होता है। बॉल्ट मॉड्यूलस की SI इकाई दबाव के समान होती है, अर्थात $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-2}$ या $\mathrm{Pa}$। कुछ सामान्य वस्तुओं के बॉल्ट मॉड्यूलस के मान तालिका 8.3 में दिए गए हैं।
बॉल्ट मॉड्यूलस के व्युत्क्रम को संपीड़नशीलता कहते हैं और इसे $k$ संकेत द्वारा नोट किया जाता है। यह दबाव में इकाई वृद्धि के लिए आयतन में भिन्नता के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$$ \begin{equation*} k=(1 / B)=-(1 / \Delta p) \times(\Delta V / V) \tag{8.13} \end{equation*} $$
सारणी 8.3 में दिए गए डेटा से यह देखा जा सकता है कि ठोस के आयतन प्रतिरोधकता (bulk modulus) तरल पदार्थों के आयतन प्रतिरोधकता की तुलना में काफी अधिक होती है, जो फिर गैसों (हवा) के आयतन प्रतिरोधकता की तुलना में काफी अधिक होते हैं।
सारणी 8.3 कुछ सामान्य पदार्थों के आयतन प्रतिरोधकता (B)
| पदार्थ | $\boldsymbol{B}\left(\mathbf{10}^{\mathbf{9}} \mathbf{N} \mathbf{~ m}^{-2}\right.$ या GPa $)$ |
|---|---|
| ठोस | 72 |
| ब्रास | 61 |
| तांबा | 140 |
| कांच | 37 |
| लोहा | 100 |
| निकेल | 260 |
| स्टील | 160 |
| तरल पदार्थ | |
| पानी | 2.2 |
| एथनॉल | 0.9 |
| कार्बन डाइसल्फाइड | 1.56 |
| ग्लिसरीन | 4.76 |
| पारा | 25 |
| गैस | |
| हवा (STP पर) | $1.0 \times 10^{-4}$ |
सारणी 8.4 तनाव, विकृति और विभिन्न तारक प्रतिरोधकताएं
| तनाव का प्रकार (stress) |
तनाव | विकृति | आकार में परिवर्तन | आयतन में परिवर्तन | तारक प्रतिरोधकता का नाम | पदार्थ की स्थिति | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| टेंशिल
या
संपीड़न
$(\sigma=F / A)$ | दो बराबर और
विपरीत बल
विपरीत फलकों पर
लंबवत हों | विस्तार या
संपीड़न
बल की दिशा में
$(\Delta L / L)$
(लंबवत विकृति) | हाँ | नहीं | $Y=(F L) /$
$(A \Delta L)$ | यूंग का
मोड़ूलस | ठोस |
| स्किरिंग
$\left(\sigma_{\mathrm{s}}=F / A\right)$ | दो बराबर और
विपरीत बल
विपरीत सतहों पर
समानांतर बल
जैसे कि पूरे शरीर पर
कुल बल और
कुल बलाघूर्ण शून्य हों | शुद्ध स्किरिंग, $\theta$ | हाँ | नहीं | $G=F /(A \theta)$ | स्किरिंग
मोड़ूलस
या दृढ़ता
मोड़ूलस | ठोस |
| हाइड्रोलिक | सतह के सभी बिंदुओं पर बल लंबवत हों,
इकाई क्षेत्र पर बल (दबाव)
सभी बिंदुओं पर समान हों | आयतन परिवर्तन
(संपीड़न या
विस्तार)
$(\Delta V / V)$ | नहीं | हाँ | $B=-p /(\Delta V / V)$ | आयतन
मोड़ूलस | ठोस, तरल
और गैस |
|
इस प्रकार, ठोस अधिकतम अकम्पनी या अपसम्पीड़न वाले होते हैं, जबकि गैस अधिकतम संपीड़न वाले होते हैं। गैस ठोस की तुलना में लगभग एक मिलियन गुना अधिक संपीड़न योग्य होते हैं! गैस के बड़े संपीड़न गुण दबाव और तापमान के साथ बदलते रहते हैं। ठोस के अकम्पनी गुण मुख्य रूप से पड़ोसी परमाणुओं के बीच कड़े संबंध के कारण होते हैं। तरल के अणु अपने पड़ोसियों के साथ बंधे होते हैं लेकिन ठोस के अणुओं के बंधन के तुलना में कम तीव्रता से। गैस के अणु अपने पड़ोसियों के साथ बहुत कम बंधे होते हैं।
सारणी 8.4 विभिन्न प्रकार के तनाव, विकृति, श्यानता मापदंड, एवं उपयोग के लिए उपलब्ध अवस्था के एक नजर डालने के लिए दिखाती है।
उदाहरण 8.5 भारतीय सागर की औसत गहराई लगभग $3000 \mathrm{~m}$ है। समुद्र के तल पर पानी के आयतन में आंशिक संपीड़न, $\Delta V / V$, की गणना करें, जबकि पानी के आयतन प्रतिरोधकता मापदंड $2.2 \times 10^{9} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$ है। (गुरुत्व त्वरण $g=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ लें)
उत्तर 3000 मीटर ऊंचाई के पानी के स्तंभ द्वारा तल पर लगाए गए दबाव के अंतर्गत
$$ \begin{aligned} p=h \rho g & =3000 \mathrm{~m} \times 1000 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \ & =3 \times 10^7 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \mathrm{~s}^{-2} \ & =3 \times 10^7 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \end{aligned} $$
आयतन में आंशिक संपीड़न $\Delta V / V$, है
$$ \begin{aligned} \Delta V / V=\text { stress } / B & =\left(3 \times 10^7 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right) /\left(2.2 \times 10^9 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right) \ & =1.36 \times 10^{-2} \text { or } 1.36 % \end{aligned} $$
\end{aligned} $$
8.5.4 पॉइसोन का अनुपात
कार्य के लगाए गए बल के लंबवत तनाव को लंबवत तनाव कहते हैं। सिमॉन पॉइसोन ने बताया कि तार के खिंचाव के दौरान तार के लंबवत तनाव लंबवत तनाव के सीधे अनुपात में होता है। खिंचे हुए तार में लंबवत तनाव के लंबवत तनाव के अनुपात को पॉइसोन का अनुपात कहते हैं। यदि तार के मूल व्यास $d$ है और तनाव के अंतर्गत व्यास की कमी $\Delta d$ है, तो लंबवत तनाव $\Delta d / d$ होता है। यदि तार की मूल लंबाई $L$ है और तनाव के अंतर्गत लंबाई में वृद्धि $\Delta L$ है, तो लंबव तनाव $\Delta L / L$ होता है। तब पॉइसोन का अनुपात $(\Delta d / d) / (\Delta L / L)$ या $(\Delta d / \Delta L)$ $(L / d)$ होता है। पॉइसोन का अनुपात दो तनावों के अनुपात होता है; यह एक शुद्ध संख्या है और इकाई या विमा नहीं होती। इसका मान केवल सामग्री की प्रकृति पर निर्भर करता है। लोहे के लिए मान 0.28 और 0.30 के बीच होता है, और एल्यूमीनियम के मिश्र धातुओं के लिए यह लगभग 0.33 होता है।
8.5.5 खिंचे हुए तार में विस्तार ऊर्जा
जब एक तार को तनाव के तनाव में रखा जाता है, तो अंतराणुक बलों के विरुद्ध कार्य किया जाता है। यह कार्य तार में विस्तारित रूप से तार के रूप में अनुत्क्रमणीय संभावना ऊर्जा के रूप में संग्रहीत होता है। जब एक तार की मूल लंबाई $L$ और काट के क्षेत्रफल $A$ हो और तार के लंबाई के अनुदिश एक विकृति बल $F$ लगाया जाता है, तो तार की लंबाई में 1 की वृद्धि होती है। तब समीकरण (8.8) से हमें $F=Y A \times(1 / L)$ प्राप्त होता है। यहाँ $Y$ तार के पदार्थ के यंग के मापांक है। अब एक और अत्यल्प लंबाई की वृद्धि $\mathrm{d} l$ के लिए कार्य किया गया $\mathrm{d} W$ $F$ d $l$ या YAld $l /$ $L$ होता है। इसलिए, तार की लंबाई को $L$ से $L+1$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $(W)$, अर्थात $l=0$ से $l=l$ तक होता है
$$ \begin{aligned} & W=\int_0^l \frac{Y A l}{L} d l=\frac{Y A}{2} \times \frac{l^2}{L} \ & W=\frac{1}{2} \times Y \times\left(\frac{l}{L}\right)^2 \times A L \ &=\frac{1}{2} \times \text { Young’s modulus } \times \text { strain }^2 \times \ & \text { volume of the wire } \ &=\frac{1}{2} \times \text { stress } \times \text { strain } \times \text { volume of the } \ $$
$$ \begin{aligned} & \text { wire } \end{aligned} $$
$$ \begin{align*} & A \geq W / \sigma _{y}=M g / \sigma _{y} \tag{8.15} \\ & =\left(10^{4} \mathrm{~kg} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) /\left(300 \times 10^{6} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}\right) \\ & =3.3 \times 10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \end{align*} $$
एक वृत्ताकार काट के रस्से के लिए लगभग $1 \mathrm{~cm}$ के त्रिज्या के संगत है। सामान्यतः एक बड़े मार्जिन ऑफ़ सेफ्टी (लोड में लगभग दस गुना कारक) के साथ बनाया जाता है। इसलिए लगभग $3 \mathrm{~cm}$ के त्रिज्या वाला एक मोटा रस्सा सिफारिश किया जाता है। इस त्रिज्या के एक एकल तार लगभग एक अटैच बार के बराबर हो जाएगा। इसलिए रस्सा हमेशा कई छोटे तारों के ब्रेडिंग के द्वारा बनाया जाता है, जैसे कि पिगटेल के रूप में, उत्पादन में आसानी, लचीलापन और शक्ति के लिए।
एक पुल को डिज़ाइन करना चाहिए जो गतिशील ट्रैफिक के भार, हवा के बल और अपने आपके भार को सह सके। इसी तरह, इमारतों के डिज़ाइन में बेम और स्तंभों का उपयोग बहुत सामान्य है। दोनों मामलों में, भार के तहत बेम के झुकने की समस्या को दूर करना प्रमुख महत्व रखता है। बेम बहुत अधिक झुक नहीं जाए या टूट नहीं जाए। चलो हम एक बेम के मामले को विचार करें जो केंद्र पर भार लगाया गया है और इसके सिरों के पास समर्थन दिया गया है, जैसा कि चित्र 8.6 में दिखाया गया है। लंबाई $l$, चौड़ाई $b$, और गहराई $d$ वाले एक बार को केंद्र पर एक भार $W$ लगाने पर एक निश्चित मात्रा में झुक जाता है, जो निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:
$$ \begin{equation*} \delta=W l^{3} /\left(4 b d^{3} Y\right) \tag{8.16} \end{equation*} $$
चित्र 8.6 एक बीम के दोनों सिरों पर समर्थित और केंद्र पर लोड किया गया
इस संबंध को आप जो पहले से जानते हैं और थोड़ा सा कलन उपयोग करके निर्मित किया जा सकता है। समीकरण (8.16) से हम देख सकते हैं कि दिए गए भार के लिए विकृति को कम करने के लिए, एक ऐसे पदार्थ का उपयोग करना चाहिए जिसका यंग प्रतिबल $Y$ बहुत अधिक हो। एक दिए गए पदार्थ के लिए, गहराई $d$ को ब्रेडथ $b$ के बजाए बढ़ाना विकृति को कम करने में अधिक प्रभावी होता है, क्योंकि $\delta$ $d^{-3}$ के साथ अनुपातिक होता है और केवल $b^{-1}$ के साथ (निश्चित रूप से लंबाई $l$ को जितना संभव हो उतना कम करना चाहिए)। लेकिन गहराई बढ़ाने पर, यदि भार ठीक जगह पर नहीं हो (एक ब्रिज में गतिशील वाहनों के साथ ऐसा व्यवस्थित करना कठिन होता है), तो गहर बार चित्र 8.7(b) में दिखाए गए तरह झुक सकता है। इसे बकलिंग कहते हैं। इसके बचाव के लिए एक सामान्य समझौता चित्र 8.7(c) में दिखाए गए क्रॉस-सेक्शन के आकार का होता है। यह आकार भार वहन करने के लिए एक बड़ा सतह और झुकाव से बचाव के लिए पर्याप्त गहराई प्रदान करता है। यह आकार बीम के वजन को कम करता है बिना तनाव के बल को खोए बिना और इस प्रकार लागत को कम करता है।
चित्र 8.7 एक बीम के विभिन्न काट के आकार। (a) एक बार के आयताकार काट; (b) एक चौड़ी छड़ और इसके बकलने के तरीका; (c) एक भार वहन करने वाली छड़ के लिए आम रूप से उपयोग किया जाने वाला काट
पिलर या स्तंभ के उपयोग भवनों और पुलों में भी बहुत सामान्य है। चित्र 8.9(a) में दिखाए गए गोल छोरों वाले पिलर कम भार वहन कर सकते हैं जबकि छोरों पर वितरित आकार वाले पिलर [चित्र 8.9(b)] अधिक भार वहन कर सकते हैं। एक पुल या भवन के सटीक डिज़ाइन के लिए इसके कार्य करने के शर्तों, लागत और लंबे समय तक उपयोग के विश्वसनीय सामग्री आदि को ध्यान में रखना आवश्यक होता है।
चित्र 8.8 पिलर या स्तंभ: (a) गोल छोरों वाला एक पिलर
अंत, (b) अंत पर वितरित खड़ा खड़ा।
प्रश्न के उत्तर के रूप में, पृथ्वी पर पहाड़ की अधिकतम ऊंचाई क्यों $\sim 10 \mathrm{~km}$ होती है, इसका उत्तर चट्टानों के अतिरिक्त गुणों को ध्यान में रखकर दिया जा सकता है। एक पहाड़ के आधार पर समान दबाव नहीं होता है और इसके कारण चट्टानों पर कुछ शेयरिंग तनाव उत्पन्न होता है जिसके कारण चट्टानें बह सकती हैं। ऊपर के सभी सामग्री के कारण तनाव के कारण चट्टानों पर तनाव कम होना चाहिए जिसके कारण चट्टानें बह सकती हैं।
ऊंचाई $h$ के एक पहाड़ के नीचे, पहाड़ के भार के कारण इकाई क्षेत्र पर बल $h \rho g$ होता है, जहाँ $\rho$ पहाड़ के पदार्थ का घनत्व है और $g$ गुरुत्वाकर्षण के त्वरण है। पहाड़ के नीचे के पदार्थ पर यह बल ऊर्ध्वाधर दिशा में लगता है, और पहाड़ के तट पर कोई बाधा नहीं होती है। इसलिए, यह दबाव या बुल्क संपीड़न के मामले नहीं है। यहाँ एक शेयरिंग घटक होता है, जो लगभग $h \rho g$ ही होता है। अब एक सामान्य चट्टान के लिए अतिरिक्त सीमा $30 \times 10^{7} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$ होती है। इसे $h \rho g$ के बराबर करते हुए, $\rho=3 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ के साथ दिया जाता है:
$$ \begin{aligned} h \rho g & =30 \times 10^{7} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} \\ h & =30 \times 10^{7} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2} /\left(3 \times 10^{3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) \\ & =10 \mathrm{~km} \end{aligned} $$
जो कि माउंट एवरेस्ट की ऊँचाई से अधिक है!
सारांश
1. तनाव एक इकाई क्षेत्र के लिए पुनःस्थापन बल होता है और विकृति आयाम में भिन्नता के अंशतः होती है। सामान्यतः तनाव के तीन प्रकार होते हैं (a) तनाव तनाव - अक्षीय तनाव (तनाव के साथ संबंधित) या संपीड़न तनाव (संपीड़न के साथ संबंधित), (b) विस्थापन तनाव, और (c) हाइड्रोलिक तनाव।
2. छोटे विकृतियों के लिए, कई सामग्रियों के लिए तनाव विकृति के सीधे अनुपाती होता है। इसे हूक के नियम के रूप में जाना जाता है। अनुपाती नियतांक को लचीलापन मॉड्यूल कहा जाता है। तीन लचीलापन मॉड्यूल, यांग के मॉड्यूल, विस्थापन मॉड्यूल और घनत्व मॉड्यूल, वस्तुओं के लचीला व्यवहार का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाते हैं जो उन पर कार्य करने वाले विकृति बलों के प्रति उत्तर देते हैं।
एक तरह के ठोस, जिन्हें एलास्टोमर कहते हैं, हॉक के नियम का पालन नहीं करते हैं।
3. जब कोई वस्तु तनाव या संपीड़न के अंतर्गत होती है, तो हॉक के नियम के रूप में निम्नलिखित होता है
$$ F / A=Y \Delta L / L $$
जहाँ $\Delta L / L$ वस्तु के तनाव या संपीड़न विकृति होती है, $F$ विकृति के कारण लगाए गए बल के माप को दर्शाता है, $A$ वह क्षेत्रफल होता है जहाँ $F$ लगाया जाता है (जो $A$ के लंबवत होता है) और $Y$ वस्तु के यंग प्रत्यास्थता गुणांक होता है। तनाव $F / A$ होता है।
4. ऊपरी और नीचली सतहों के समानांतर लगाए गए एक जोड़े बल द्वारा ठोस विकृत हो जाता है ताकि ऊपरी सतह नीचली सतह के संबंध में ओर ओर बढ़ जाती है। ऊपरी सतह के क्षैतिज विस्थापन $\Delta L$ ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $L$ के लंबवत होता है। इस प्रकार की विकृति को छेदन कहते हैं और संगत तनाव को छेदन तनाव कहते हैं। इस प्रकार के तनाव केवल ठोस में ही संभव होता है। इस प्रकार की विकृति में हॉक के नियम के रूप में निम्नलिखित होता है
$$ F / A=G \times \Delta L / L $$
जहाँ $\Delta L$ वस्तु के एक सिरे के लगाए गए बल $F$ की दिशा में विस्थापन होता है, और $G$ छेदन प्रत्यास्थता गुणांक होता है।
5. जब कोई वस्तु आसपास के द्रव द्वारा आरोपित तनाव के कारण हाइड्रोलॉजिकल कम्प्रेशन का अनुभव करती है, तो हूक के नियम निम्नलिखित रूप ले लेता है
$$ p=B(\Delta V / V) $$
जहाँ $p$ द्रव के कारण वस्तु पर आरोपित दबाव (हाइड्रोलॉजिकल तनाव) है, $\Delta V / V$ (आयतन विकृति) वस्तु के आयतन में उस दबाव के कारण होने वाले अनुपातित परिवर्तन को दर्शाता है और $B$ वस्तु के आयतन प्रतिरोधकता (बुल्क मॉड्यूलस) है।
ध्यान देने वाले बिंदु
1. एक तार के मामले में, जो छत से लटकाया गया है और दूसरे सिरे से लटकाए गए भार ( $F$ ) के कारण खिंचा जाता है, छत द्वारा तार पर आरोपित बल भार के बराबर और विपरीत होता है। हालांकि, तार के किसी अनुप्रस्थ काट $A$ पर तनाव केवल $F$ ही होता है और नहीं $2F$। अतः तनाव तनाव के इकाई क्षेत्रफल पर आधारित होता है जो $F / A$ के बराबर होता है।
2. हूक के नियम केवल तनाव-विकृति वक्र के रेखीय भाग में मान्य होता है।
3. यंग के मॉड्यूलस और कटाव मॉड्यूलस केवल ठोस वस्तुओं के लिए ही अपेक्षित होते हैं क्योंकि केवल ठोस वस्तुएं लंबाई और आकार के अस्तित्व का अनुभव करती हैं।
4. बुल्क मॉड्यूलस ठोस, तरल और गैस के लिए अपेक्षित होता है। यह वस्तु के पूरे भाग पर एकसमान तनाव के कारण आयतन में होने वाले परिवर्तन को दर्शाता है ताकि वस्तु के आकार अपरिवर्तित रहे।
5. धातुओं के यंग के मापांक के मान एलॉय और एलास्टोमर की तुलना में बड़े होते हैं। एक ऐसे पदार्थ जिसका यंग के मापांक का मान बड़ा होता है, उसकी लंबाई में छोटे परिवर्तन के लिए बड़ा बल आवश्यक होता है।
6. दैनिक जीवन में हम यह महसूस करते हैं कि एक पदार्थ जो अधिक खिंचता है वह अधिक लचीला होता है, लेकिन यह एक गलत धारणा है। वास्तव में, एक दिए गए भार के लिए अधिक कम खिंचने वाले पदार्थ को अधिक लचीला माना जाता है।
7. सामान्यतः, एक दिशा में विकृति बल अन्य दिशाओं में भी विकृति उत्पन्न कर सकता है। ऐसे स्थितियों में तनाव और विकृति के बीच समानुपातिकता को एक ही शान्ति नियतांक द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता। उदाहरण के लिए, एक तार में अक्षीय विकृति के अधीन, त्रिज्या के छोटे परिवर्तन का वर्णन एक अन्य शान्ति नियतांक द्वारा किया जाता है (इसे पॉइज़ुले अनुपात कहा जाता है)।
8. तनाव एक सदिश राशि नहीं है क्योंकि, बल के विपरीत, तनाव के लिए एक विशिष्ट दिशा निर्धारित नहीं की जा सकती। एक शरीर के एक खंड पर एक निर्धारित तल के एक ओर लगने वाले बल की दिशा निश्चित होती है।
अभ्यास
8.1 एक स्टील के तार की लंबाई $4.7 \mathrm{~m}$ तथा काट क्षेत्रफल $3.0 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2}$ है जो किसी दिए गए भार के अंतर्गत एक तांबा तार के समान विस्तार देता है जिसकी लंबाई $3.5 \mathrm{~m}$ तथा काट क्षेत्रफल $4.0 \times 10^{-5} \mathrm{~m}^{2}$ है। स्टील के यंग प्रतिबल के तांबा के यंग प्रतिबल के अनुपात क्या है?
उत्तर दिखाएं
उत्तर
स्टील तार की लंबाई, $L_1=4.7 , \text{m}$
स्टील तार के काट क्षेत्रफल, $A_1=3.0 \times 10^{-5} , \text{m}^{2}$
तांबा तार की लंबाई, $L_2=3.5 , \text{m}$
तांबा तार के काट क्षेत्रफल, $A_2=4.0 \times 10^{-5} , \text{m}^{2}$
लंबाई में परिवर्तन $=\Delta L_1=\Delta L_2=\Delta L$
दोनों मामलों में लगाए गए बल $=F$
स्टील तार के यंग प्रतिबल:
$$ \begin{align*} & Y_1=\frac{F_1}{A_1} \times \frac{L_1}{\Delta L} \\ & =\frac{F \times 4.7}{3.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{i} \end{align*} $$
तांबा तार के यंग प्रतिबल:
$$ \begin{align*} Y_2 & =\frac{F_2}{A_2} \times \frac{L_2}{\Delta L_2} \\ & =\frac{F \times 3.5}{4.0 \times 10^{-5} \times \Delta L} \tag{ii} \end{align*} $$
(ि) को (ii) से विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है:
$ \frac{Y_1}{Y_2}=\frac{4.7 \times 4.0 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5} \times 3.5}=1.79: 1 $
स्टील के यंग प्रतिबल तांबा के यंग प्रतिबल के अनुपात $1.79: 1$ है।
8.2 चित्र 8.9 एक दिए गए वस्तु के तनन-तनाव वक्र को दर्शाता है। इस वस्तु के (a) यंग प्रतिबल तथा (b) लगभग तनन प्रतिबल क्या हैं?
चित्र 8.9
उत्तर दिखाएं
उत्तर
दिए गए ग्राफ से स्पष्ट है कि तनाव $150 \times 10^{6} , \text{N}/\text{m}^{2}$ के लिए तनन 0.002 है।
$\therefore$ यंग प्रतिबल, $Y=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ तनन }}$
$ =\frac{150 \times 10^{6}}{0.002}=7.5 \times 10^{10} N / m^{2} $
इसलिए, दिए गए पदार्थ के यांग प्रतिबल का मान $7.5 \times 10^{10} N / m^{2}$ है।
एक पदार्थ के विक्षेपण प्रतिबल को वह अधिकतम तनाव कहते हैं जिसे पदार्थ तात्कालिक सीमा के बिना सहन कर सकता है।
दिए गए ग्राफ से स्पष्ट है कि इस पदार्थ का लगभग विक्षेपण प्रतिबल 300 $\times 10^{6} Nm /{ }^{2}$ या $3 \times 10^{8} N / m^{2}$ है।
8.3 पदार्थ $A$ और $B$ के तनाव-विक्षेपण ग्राफ चित्र 8.10 में दिए गए हैं।
चित्र 8.10
ग्राफ एक ही मापदंड पर बनाए गए हैं।
(a) कौन सा पदार्थ अधिक यांग प्रतिबल का अनुभव करता है?
(b) दोनों में से कौन सा पदार्थ बलीदार है?
उत्तर दिखाएं
उत्तर
(a) A
(b) A
एक दिए गए विक्षेपण के लिए, पदार्थ $\mathbf{A}$ के तनाव के मान पदार्थ $\mathbf{B}$ के तनाव के मान से अधिक है, जैसा कि दोनों ग्राफ में दिखाया गया है।
यांग प्रतिबल $=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विक्षेपण }}$
एक दिए गए विक्षेपण के लिए, यदि किसी पदार्थ के तनाव के मान अधिक होते हैं, तो उस पदार्थ के यांग प्रतिबल भी अधिक होता है। इसलिए, पदार्थ A का यांग प्रतिबल पदार्थ $\mathbf{B}$ के यांग प्रतिबल से अधिक है।
एक पदार्थ के टूटने के लिए आवश्यक तनाव की मात्रा, जो उसके टूटने के बिंदु के संगत होती है, उस पदार्थ की बलीदारता को दर्शाती है। टूटने के बिंदु एक तनाव-विक्षेपण वक्र में अंतिम बिंदु होता है। यह देखा जा सकता है कि पदार्थ $\mathbf{A}$ के लिए विक्षेपण की मात्रा पदार्थ $\mathbf{B}$ की तुलना में अधिक है। इसलिए, पदार्थ $\mathbf{A}$ पदार्थ $\mathbf{B}$ से बलीदार है।
8.4 नीचे दिए गए दो कथनों को ध्यान से पढ़ें और तर्क के साथ बताएं कि यह सत्य है या असत्य।
(a) रबर का यांग प्रतिबल स्टील के यांग प्रतिबल से अधिक होता है;
(b) एक कोइल के खिंचाव को इसके शेयर प्रतिबल द्वारा निर्धारित किया जाता है।
उत्तर दिखाएँ
उत्तर
(a) गलत
(b) सही
एक दिए गए तनाव के लिए, रबर में विकृति स्टील में विकृति से अधिक होती है।
यूंग के मॉड्यूलस, $Y=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विकृति }}$
एक स्थिर तनाव के लिए: $Y \propto \frac{1}{\text{ विकृति }}$
अतः, रबर के लिए यूंग के मॉड्यूलस स्टील के लिए यूंग के मॉड्यूलस से कम होता है।
काट के मॉड्यूलस शरीर के आकार में परिवर्तन के अनुपात में आरोपित तनाव होता है। कोइल के खिंचाव के कारण इसका आकार बदल जाता है। अतः, इस प्रक्रिया में शीर्ष के मॉड्यूलस के तनाव की भाग लेता है।
8.5 आकृति 8.11 में दिखाए गए दो तारों के व्यास $0.25 \mathrm{~cm}$ है, एक स्टील का और दूसरा ब्रास का है। अन लोड लंबाई स्टील तार की $1.5 \mathrm{~m}$ और ब्रास तार की $1.0 \mathrm{~m}$ है। स्टील और ब्रास तारों के खिंचाव की गणना करें।
आकृति 8.11
उत्तर दिखाएँ
उत्तर
स्टील तार के खिंचाव $=1.49 \times 10^{-4} m$
ब्रास तार के खिंचाव $=1.3 \times 10^{-4} m$
तारों का व्यास, $d=0.25 m$
अतः, तारों की त्रिज्या, $\quad r=\frac{d}{2}=0.125 cm$
स्टील तार की लंबाई, $L_1=1.5 m$
ब्रास तार की लंबाई, $L_2=1.0 m$
स्टील तार पर कुल बल:
$F_1=(4+6) g=10 \times 9.8=98 N$
स्टील के लिए यूंग के मॉड्यूलस:
$Y_1=\frac{(\frac{F_1}{A_1})}{(\frac{\Delta L_1}{L_1})}$
जहाँ,
$\Delta L_1=$ स्टील तार की लंबाई में परिवर्तन
$A_1=$ स्टील तार के काट क्षेत्रफल $=\pi r_1^{2}$
स्टील के यूंग के मॉड्यूलस, $Y_1=2.0 \times 10^{11} Pa$
$ \begin{aligned} \therefore \Delta L_1 & =\frac{F_1 \times L_1}{A_1 \times Y_1}=\frac{F_1 \times L_1}{\pi r_1^{2} \times Y_1} \\ & =\frac{98 \times 1.5}{\pi(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times 2 \times 10^{11}}=1.49 \times 10^{-4} m \end{aligned} $
ब्रास तार पर कुल बल:
F_2=(6+9) g=15 \times 9.8=147 N
ब्रास के लिए यूंग के मॉड्यूलस:
$Y_2=\frac{(\frac{F_2}{A_2})}{(\frac{\Delta L_2}{L_2})}$
जहाँ,
$\Delta L_2=$ ब्रास तार की लंबाई में परिवर्तन
$A_2=$ ब्रास तार के काट क्षेत्रफल $=\pi r_2^{2}$
ब्रास के यूंग के मॉड्यूलस, $Y_2=0.9 \times 10^{11} Pa$
$ \begin{aligned} \therefore \Delta L_2 & =\frac{F_2 \times L_2}{A_2 \times Y_2}=\frac{F_2 \times L_2}{\pi r_2^{2} \times Y_2} \\ & =\frac{147 \times 1.0}{\pi(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times 0.9 \times 10^{11}}=1.3 \times 10^{-4} m \end{aligned} $
$F_2=6 \times 9.8=58.8 N$
ब्रास के यंग प्रत्यास्थता मापांक:
$Y_2=\frac{(\frac{F_2}{A_2})}{(\frac{\Delta L_2}{L_2})}$
जहाँ,
$\Delta L_2=$ लंबाई में परिवर्तन $A_2=$ ब्रास तार के काट क्षेत्रफल
$\therefore \Delta L_2=\frac{F_2 \times L_2}{A_2 \times Y_2}=\frac{F_2 \times L_2}{\pi r_2^{2} \times Y_2}$
$=\frac{58.8 \times 1.0}{\pi \times(0.125 \times 10^{-2})^{2} \times(0.91 \times 10^{11})}=1.3 \times 10^{-4} m$
स्टील तार के विस्तार $=1.49 \times 10^{-4} m$
ब्रास तार के विस्तार $=1.3 \times 10^{-4} m$
8.6 एक एल्यूमीनियम के घन के किनारे की लंबाई $10 \mathrm{~cm}$ है। घन के एक फलक को एक ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ ठीक कर दिया गया है। फिर घन के विपरीत फलक पर 100 किलोग्राम का द्रव्यमान लगाया जाता है। एल्यूमीनियम के अपरूपण प्रत्यास्थता मापांक $25 \mathrm{GPa}$ है। इस फलक के ऊर्ध्वाधर विस्थापन क्या होगा?
उत्तर दिखाएं
Answer
एल्यूमीनियम के घन के किनारे, $L=10 cm=0.1 m$
घन के द्रव्यमान, $m=100 kg$
एल्यूमीनियम का अपरूपण प्रत्यास्थता मापांक $(\eta)$ $=25 GPa=25 \times 10^{9} Pa$
$ =\frac{\text{ अपरूपण तनाव }}{\text{ अपरूपण विकृति }}=\frac{\frac{F}{A}}{L} $
अपरूपण प्रत्यास्थता मापांक, $\eta$
जहाँ,
$F=$ आरोपित बल $=m g=100 \times 9.8=980 N$
$A=$ घन के एक फलक का क्षेत्रफल $=0.1 \times 0.1=0.01 m^{2}$
$\Delta L=$ घन के ऊर्ध्वाधर विस्थापन
$\therefore \Delta L=\frac{F L}{A \eta}$
$ =\frac{980 \times 0.1}{10^{-2} \times(25 \times 10^{9})} $
$=3.92 \times 10^{-7} m$
इस घन के इस फलक के ऊर्ध्वाधर विस्थापन $3.92 \times 10^{-7} m$ है।
8.7 चार समान खाली बेलनाकार स्तंभ, जो मिल्ड स्टील के बने हैं, एक बड़े संरचना को समर्थन देते हैं, जिसका द्रव्यमान $50,000 \mathrm{~kg}$ है। प्रत्येक स्तंभ के आंतरिक और बाहरी त्रिज्या क्रमशः $30$ और $60 \mathrm{~cm}$ हैं। मान लीजिए कि भार वितरण समान है, तो प्रत्येक स्तंभ के संपीड़न विकृति की गणना कीजिए।
उत्तर दिखाएं
Answer
बड़े संरचना का द्रव्यमान, $M=50,000 kg$
स्तंभ की आंतरिक त्रिज्या, $r=30 cm=0.3 m$
स्तंभ की बाहरी त्रिज्या, $R=60 cm=0.6 m$
यंग के मापांक के लिए इस्पात, $Y=2 \times 10^{11} Pa$
कुल बल, $F=M g=50000 \times 9.8 N$
तनाव $=$ एक खंभे पर लगाया गया बल $=\frac{50000 \times 9.8}{4}=122500 N$
यंग के मापांक, $Y=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विकृति }}$
विकृति $=\frac{\frac{F}{A}}{Y}$
जहाँ,
क्षेत्रफल, $A=\pi(R^{2}-r^{2})=\pi((0.6)^{2}-(0.3)^{2})$
विकृति $=\frac{122500}{\pi[(0.6)^{2}-(0.3)^{2}] \times 2 \times 10^{11}}=7.22 \times 10^{-7}$
अतः, प्रत्येक खंभे के संपीड़न विकृति $7.22 \times 10^{-7}$ है।
8.8 एक तांबे के टुकड़े के आयताकार परिच्छेद के आकार $15.2 \mathrm{~mm} \times 19.1 \mathrm{~mm}$ है जिस पर 44,500 N तनाव लगाकर केवल तार प्रत्यास्थ विकृति उत्पन्न की जाती है। उत्पन्न विकृति की गणना कीजिए?
उत्तर दिखाएं
उत्तर
तांबे के टुकड़े की लंबाई, $l=19.1 mm=19.1 \times 10^{-3} m$
तांबे के टुकड़े की चौड़ाई, $b=15.2 mm=15.2 \times 10^{-3} m$
तांबे के टुकड़े का क्षेत्रफल:
$A=l \times b$
$=19.1 \times 10^{-3} \times 15.2 \times 10^{-3}$ $=2.9 \times 10^{-4} m^{2}$
तांबे के टुकड़े पर लगाया गया तनाव बल, $F=44500 N$
तांबे के तनाव प्रत्यास्थता मापांक, $\eta=42 \times 10^{9} N / m^{2}$
तनाव प्रत्यास्थता मापांक, $\eta=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विकृति }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ विकृति }}$
$\therefore$ विकृति $=\frac{F}{A \eta}$
$ =\frac{44500}{2.9 \times 10^{-4} \times 42 \times 10^{9}} $
$=3.65 \times 10^{-3}$
8.9 एक स्की क्षेत्र में एक इस्पात के तार के तार के त्रिज्या $1.5 \mathrm{~cm}$ है जो एक चॉकली के लिए समर्थन प्रदान करता है। यदि अधिकतम तनाव $10^{8} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}$ तक नहीं बढ़े, तो तार के अधिकतम भार क्या हो सकता है?
उत्तर दिखाएं
उत्तर
इस्पात के तार की त्रिज्या, $r=1.5 cm=0.015 m$
अधिकतम अनुमत तनाव $=10^{8} N m^{-2}$
अधिकतम तनाव $=\frac{\text{ अधिकतम बल }}{\text{ परिच्छेद क्षेत्रफल }}$
$\therefore$ अधिकतम बल $=$ अधिकतम तनाव $\times$ परिच्छेद क्षेत्रफल
$=10^{8} \times \pi(0.015)^{2}$
$=7.065 \times 10^{4} N$
इसलिए, केबल $7.065 \times 10^{4} N$ के अधिकतम भार को समर्थन कर सकती है।
8.10 15 किग्रा द्रव्यमान की एक अकेली छड़ तीन तारों द्वारा सममित रूप से समर्थित है, जो प्रत्येक 2.0 मीटर लंबे हैं। दोनों सिरों पर तार कॉपर के हैं और मध्य तार लोहे का है। यदि प्रत्येक तार में समान तनाव हो, तो उनके व्यास के अनुपात का निर्धारण करें।
उत्तर दिखाएं
उत्तर
प्रत्येक तार पर लगने वाला तनाव बल समान है। इसलिए, प्रत्येक मामले में विस्तार भी समान है। क्योंकि तार समान लंबाई के हैं, तन्यता भी समान होगी।
यूंग के मानल के संबंध को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:
$$ \begin{equation*} Y=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ तन्यता }}=\frac{\frac{F}{A}}{\text{ तन्यता }}=\frac{\frac{4 F}{\pi d^{2}}}{\text{ तन्यता }} \tag{i} \end{equation*} $$
जहाँ,
$F=$ तनाव बल
$A=$ काट क्षेत्रफल
$d=$ तार का व्यास
समीकरण $(i)$ से यह निष्कर्ष लिया जा सकता है कि $Y \propto \frac{1}{d^{2}}$
लोहे के यूंग मानल, $Y_1=190 \times 10^{9} Pa$
लोहे के तार का व्यास $=d_1$
कॉपर के यूंग मानल, $Y_2=110 \times 10^{9} Pa$
कॉपर के तार का व्यास $=d_2$
इसलिए, उनके व्यास के अनुपात को निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:
$\frac{d_2}{d_1}=\sqrt{\frac{Y_1}{Y_2}}=\sqrt{\frac{190 \times 10^{9}}{110 \times 10^{9}}}=\sqrt{\frac{19}{11}}=1.31: 1$
8.11 14.5 किग्रा द्रव्यमान, एक तांबे के तार के अनुभाग बिना खिंचे लंबाई 1.0 मीटर है, एक ऊर्ध्वाधर वृत्त में घूम रहा है जिसकी त्रिज्या 2 चक्र/सेकंड की कोणीय चाल है। तार का काट क्षेत्रफल 0.065 सेमी² है। जब द्रव्यमान अपने पथ के सबसे नीचले बिंदु पर होता है तो तार के खिंचाव की गणना करें।
उत्तर दिखाएं
उत्तर
द्रव्यमान, $m=14.5 kg$
तांबे के तार की लंबाई, $l=1.0 m$
कोणीय चाल, $\omega=2 rev / s$
तार का काट क्षेत्रफल, $a=0.065 cm^{2}$
मान लीजिए $\delta l$ वह खिंचाव है जब द्रव्यमान अपने पथ के सबसे नीचले बिंदु पर होता है।
जब द्रव्यमान ऊर्ध्वाधर वृत्त के स्थान पर रखा जाता है, तो द्रव्यमान पर कुल बल होता है:
$$ F_{\text{total}} = mg + m\omega^2 r $$
जहाँ,
$m = 14.5 , \text{kg}$
$g = 9.8 , \text{m/s}^2$
$\omega = 2 , \text{rev/s} = 4\pi , \text{rad/s}$
$r = 1.0 , \text{m}$
इसलिए,
$$ F_{\text{total}} = 14.5 \times 9.8 + 14.5 \times (4\pi)^2 \times 1.0 $$
$$ F_{\text{total}} = 142.1 + 14.5 \times 16\pi^2 $$
$$ F_{\text{total}} = 142.1 + 14.5 \times 157.91 $$
$$ F_{\text{total}} = 142.1 + 2290.2 $$
$$ F_{\text{total}} = 2432.3 , \text{N} $$
तार के खिंचाव की गणना के लिए, हम निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करते हैं:
$$ \delta l = \frac{F_{\text{total}} \times l}{A \times Y} $$
जहाँ,
$F_{\text{total}} = 2432.3 , \text{N}$
$l = 1.0 , \text{m}$
$A = 0.065 , \text{cm}^2 = 6.5 \times 10^{-6} , \text{m}^2$
$Y = 2.0 \times 10^{11} , \text{Pa}$
इसलिए,
$$ \delta l = \frac{2432.3 \times 1.0}{6.5 \times 10^{-6} \times 2.0 \times 10^{11}} $$
$$ \delta l = \frac{2432.3}{1.3 \times 10^6} $$
$$ \delta l = 1.87 \times 10^{-3} , \text{m} $$
$$ \delta l = 1.87 , \text{mm} $$
इसलिए, तार का खिंचाव 1.87 मिमी है।
$ \begin{aligned} & F=m g+m l \omega^{2} \\ & =14.5 \times 9.8+14.5 \times 1 \times(2)^{2} \\ & =200.1 N \\ & \text{ यंग के मापांक }=\frac{\text{ तनाव }}{\text{ विकृति }} \\ & Y=\frac{\frac{F}{A}}{\frac{\Delta l}{l}}=\frac{F}{A} \frac{l}{\Delta l} \\ & \therefore \Delta l=\frac{F l}{A Y} \end{aligned} $
स्टील के यंग के मापांक $=2 \times 10^{11} Pa$
$ \begin{aligned} \therefore \Delta l & =\frac{200.1 \times 1}{0.065 \times 10^{-4} \times 2 \times 10^{11}}=1539.23 \times 10^{-7} \\ & =1.539 \times 10^{-4} m \end{aligned} $
इसलिए, तार के विस्तार का मान $1.539 \times 10^{-4} m$ है।
8.12 निम्नलिखित डेटा के आधार पर पानी के आयतन प्रतिरोधकता की गणना कीजिए: प्रारंभिक आयतन $=100.0$ लीटर, दबाव में वृद्धि $=100.0 \mathrm{~atm}\left(1 \mathrm{~atm}=1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}\right)$, अंतिम आयतन $=100.5$ लीटर। पानी के आयतन प्रतिरोधकता को हवा के आयतन प्रतिरोधकता से तुलना कीजिए (स्थिर तापमान पर)। सरल शब्दों में समझाइए कि कारण क्यों इतना बड़ा है।
उत्तर दिखाएं
उत्तर
प्रारंभिक आयतन, $V_1=100.01=100.0 \times 10^{-3} m^{3}$
अंतिम आयतन, $V_2=100.51=100.5 \times 10^{-3} m^{3}$
आयतन में वृद्धि, $\Delta V=V_2-V_1=0.5 \times 10^{-3} m^{3}$
दबाव में वृद्धि, $\Delta p=100.0 atm=100 \times 1.013 \times 10^{5} Pa$
आयतन प्रतिरोधकता $=\frac{\Delta p}{\frac{\Delta V}{V_1}}=\frac{\Delta p \times V_1}{\Delta V}$
$ \begin{aligned} & =\frac{100 \times 1.013 \times 10^{5} \times 100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-3}} \\ & =2.026 \times 10^{9} Pa \end{aligned} $
हवा के आयतन प्रतिरोधकता $=1.0 \times 10^{5} Pa$
$\therefore \frac{\text{ पानी के आयतन प्रतिरोधकता }}{\text{ हवा के आयतन प्रतिरोधकता }}=\frac{2.026 \times 10^{9}}{1.0 \times 10^{5}}=2.026 \times 10^{4}$
इस अनुपात काफी अधिक है क्योंकि हवा पानी की तुलना में अधिक संपीड़नीय होती है।
8.13 दबाव $80.0 \mathrm{~atm}$ के गहराई पर पानी का घनत्व क्या होगा, यदि इसका सतह पर घनत्व $1.03 \times 103 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है?
उत्तर दिखाएं
उत्तर
दिए गए गहराई को $h$ के रूप में ले लीजिए।
दिए गए गहराई पर दबाव, $p=80.0 , \text{atm}=80 \times 1.01 \times 10^{5} , \text{Pa}$
सतह पर पानी का घनत्व, $\rho_1=1.03 \times 10^{3} , \text{kg} , \text{m}^{-3}$
मान लीजिए $\rho_2$ दिए गए गहराई $h$ पर पानी का घनत्व है।
मान लीजिए $V_1$ द्रव्यमान $m$ के पानी का आयतन सतह पर।
मान लीजिए $V_2$ द्रव्यमान $m$ के पानी का आयतन गहराई $h$ पर।
मान लीजिए $\Delta V$ आयतन में परिवर्तन है।
$ \begin{aligned} \Delta V & =V_1-V_2 \\ & =m\left(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}\right) \end{aligned} $
$\therefore$ आयतन विकृति $=\frac{\Delta V}{V_1}$
$ =m\left(\frac{1}{\rho_1}-\frac{1}{\rho_2}\right) \times \frac{\rho_1}{m} $
$\therefore \frac{\Delta V}{V_1}=1-\frac{\rho_1}{\rho_2}$
बुक बुलड वर्णन, $B=\frac{p V_1}{\Delta V}$
$ \frac{\Delta V}{V_1}=\frac{p}{B} $
पानी की संपीड़नशीलता $=\frac{1}{B}=45.8 \times 10^{-11} , \text{Pa}^{-1}$
$$ \begin{equation*} \therefore \frac{\Delta V}{V_1}=80 \times 1.013 \times 10^{5} \times 45.8 \times 10^{-11}=3.71 \times 10^{-3} \tag{ii} \end{equation*} $$
समीकरण ( $i$ ) और (ii) के लिए, हम प्राप्त करते हैं:
$ \begin{aligned} & 1-\frac{\rho_1}{\rho_2}=3.71 \times 10^{-3} \\ & \rho_2=\frac{1.03 \times 10^{3}}{1-(3.71 \times 10^{-3})} \\ & \quad=1.034 \times 10^{3} , \text{kg} , \text{m}^{-3} \end{aligned} $
इसलिए, दिए गए गहराई $(h)$ पर पानी का घनत्व $1.034 \times 10^{3} , \text{kg} , \text{m}^{-3}$ है।
8.14 10 एटमस्फियर दबाव के अंतर्गत एक काँच के पट्टी के आयतन में भिन्नता की गणना कीजिए।
उत्तर दिखाएं
उत्तर
काँच के पट्टी पर आरोपित हाइड्रोलिक दबाव, $p=10 , \text{atm}=10 \times 1.013 \times 10^{5} , \text{Pa}$
काँच का बुक बुलड मॉड्यूलस, $B=37 \times 10^{9} , \text{Nm}^{-2}$
बुक बुलड मॉड्यूलस, $B=\frac{p}{\Delta V}$
जहाँ,
$ \begin{aligned} & \frac{\Delta V}{V}=\text{ आयतन में भिन्नता } \\ & \begin{aligned} \therefore \frac{\Delta V}{V} & =\frac{p}{B} \\ & =\frac{10 \times 1.013 \times 10^{5}}{37 \times 10^{9}} \\ & =2.73 \times 10^{-5} \end{aligned} \end{aligned} $
इसलिए, काँच के पट्टी के आयतन में भिन्नता $2.73 \times 10^{-5}$ है।
8.15 एक ठोस तांबे के घन के आयतन के संकुचन की गणना करें, जिसके किनारे $10 \mathrm{~cm}$ है, जब इस पर $7.0 \times 10^{6} \mathrm{~Pa}$ के हाइड्रोलॉजिक दबाव लगाया जाए।
उत्तर दिखाएं
उत्तर
ठोस तांबे के घन के किनारे की लंबाई, $l=10 cm=0.1 m$
हाइड्रोलॉजिक दबाव, $p=7.0 \times 10^{6} Pa$
तांबे का आयतन प्रतिरोधकता, $B=140 \times 10^{9} Pa$
आयतन प्रतिरोधकता, $B=\frac{p}{\frac{\Delta V}{V}}$
जहाँ,
$\frac{\Delta V}{V}=$ आयतन विकृति
$\Delta V=$ आयतन में परिवर्तन
$V=$ मूल आयतन।
$\Delta V=\frac{p V}{B}$
मूल आयतन घन के, $V=l^{3}$
$\therefore \Delta V=\frac{p l^{3}}{B}$
$ \begin{aligned} & =\frac{7 \times 10^{6} \times(0.1)^{3}}{140 \times 10^{9}} \\ & =5 \times 10^{-8} m^{3} \\ & =5 \times 10^{-2} cm^{-3} \end{aligned} $
इसलिए, ठोस तांबे के घन के आयतन का संकुचन $5 \times 10^{-2} cm^{-3}$ है।
8.16 एक लीटर पानी पर दबाव को कितना बदला जाना चाहिए ताकि इसे $0.10 \%$ कम कर दिया जा सके? एक चौथाई भार बर्बाद करे।
उत्तर दिखाएं
उत्तर
पानी का आयतन, $V=1 L$
दिया गया है कि पानी को $0.10 \%$ कम कर दिया जाना है। $\therefore$ भिन्नात्मक परिवर्तन, $\frac{\Delta V}{V}=\frac{0.1}{100 \times 1}=10^{-3}$
आयतन प्रतिरोधकता, $B=\frac{\rho}{\Delta V}$
$p=B \times \frac{\Delta V}{V}$
पानी का आयतन प्रतिरोधकता, $B=2.2 \times 10^{9} Nm^{-2}$
$ \begin{aligned} p & =2.2 \times 10^{9} \times 10^{-3} \\ & =2.2 \times 10^{6} Nm^{-2} \end{aligned} $
इसलिए, पानी पर दबाव $2.2 \times 10^{6} Nm^{-2}$ होना चाहिए।
बीटा
