7.1 परिचय

हमारे जीवन के शुरूआती दिनों में हम वस्तुओं के जमीन की ओर आकर्षित होने की प्रवृत्ति के बारे में जागरूक हो जाते हैं। कोई भी ऊपर फेंकी गई वस्तु जमीन की ओर गिरती है, ऊपर जाना नीचे जाने की तुलना में बहुत अधिक थकाऊ होता है, बादलों से गिरने वाले बरसात के बूंद जमीन की ओर गिरते हैं और इस तरह के कई अन्य घटनाएं हैं। ऐतिहासिक रूप से यह इतालवी भौतिकज्ञ गैलिलियो (1564-1642) थे जिन्होंने यह जानकारी दी कि सभी वस्च्चों के द्रव्यमान के बावजूद जमीन की ओर एक स्थिर त्वरण के साथ त्वरित होते हैं। यह कहा जाता है कि वह इस तथ्य के बारे में एक जनसभा में एक दिखावट कर चुके हैं। जानकारी के लिए उन्होंने वस्तुओं के झुके हुए सतहों पर लुढ़कते हुए अनुभागों के साथ प्रयोग किए और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के मूल्य के लगभग सटीक मूल्य के बराबर मूल्य प्राप्त किया।

एक लगभग संबंध नहीं रखने वाली घटना, तारों, ग्रहों और उनके गति के अवलोकन के बारे में अत्यंत प्राचीन काल से कई देशों में ध्यान आकर्षित किया गया है। अत्यंत प्राचीन काल से अवलोकन ने तारों के बारे में जानकारी दी है जो वर्ष बर्ष अपनी स्थिति को बदले बिना आकाश में दिखाई देते हैं। अधिक रुचि वाले वस्तुएं ग्रह हैं जो तारों के पृष्ठभूमि के खिलाफ नियमित गति करते हैं। लगभग 2000 वर्ष पहले प्टोलमी द्वारा प्रस्तुत किए गए ग्रहों के गति के सबसे पहले रिकॉर्ड किए गए मॉडल के लिए एक ‘पृथ्वी केंद्रित’ मॉडल था जिसमें सभी आकाशगंगा वस्तुएं, तारे, सूर्य और ग्रह सभी पृथ्वी के चारों ओर घूमते थे। आकाशगंगा वस्तुओं के लिए संभव गति केवल एक वृत्त में गति होती थी। प्टोलमी ने ग्रहों के अवलोकित गति के वर्णन के लिए जटिल गति के मॉडल प्रस्तुत किए। ग्रहों को वृत्त में गति करते हुए दिखाया गया था जिसके केंद्र अपने बड़े वृत्त में गति करते हैं। कुछ समय बाद भारतीय खगोल विज्ञानियों द्वारा भी ऐसे समान सिद्धांत प्रस्तुत किए गए। हालांकि एक अधिक सुंदर मॉडल जिसमें सूर्य ग्रहों के चारों ओर घूमने के केंद्र थे - ‘सूर्य केंद्रित’ मॉडल - आर्यभट्ट (5 वीं शताब्दी ई. स.) द्वारा अपने लेख में पहले से ही उल्लेख किया गया था। एक हजार वर्ष बाद, एक पोलिश विहारी नामक निकोलस कोपरनिकस (1473-1543) ने एक निर्णायक मॉडल प्रस्तुत किया जिसमें ग्रह एक स्थिर केंद्रीय सूर्य के चारों ओर वृत्त में घूमते थे। उनका सिद्धांत के धर्म के द्वारा अस्वीकृत कर दिया गया था, लेकिन उनके समर्थकों में से एक गैलिलियो थे जिन्हें अपने विश्वास के कारण राज्य द्वारा अनुसंधान का सामना करना पड़ा।

यह लगभग गैलीलियो के उसी समय हुआ था, जब एक वीर व्यक्ति टाइको ब्राहे (1546-1601) डेनमार्क से आए थे, जिन्होंने अपने जीवन के सभी समय नक्षत्रों के अवलोकन को नग्न आंखों से रिकॉर्ड किया। उनके संकलित डेटा के बाद उनके सहायक जोहान्स एकेलर (1571-1640) द्वारा विश्लेषित किया गया। उन्होंने डेटा से तीन सुंदर नियम निकाल सके जो अब केपलर के नियमों के नाम से जाने जाते हैं। ये नियम न्यूटन के लिए जाने गए थे जिन्होंने अपने सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के प्रस्तावना में एक बड़ा वैज्ञानिक कूद कर दिया।

7.2 केपलर के नियम

केपलर के तीन नियम निम्नलिखित रूप में कहे जा सकते हैं:

1. कक्षा का नियम : सभी ग्रह अतिपरवलयी कक्षाओं में गति करते हैं जिनमें सूर्य अतिपरवलय के एक फोकस पर स्थित होता है (चित्र 7.1a)। यह नियम कोपर्निक के मॉडल से विचलित था जिसमें केवल वृत्ताकार कक्षाएं अनुमत थीं। अतिपरवलय, जिसका वृत्त एक विशेष मामला है, एक बंद वक्र है जिसे बहुत सरल रूप से खींचा जा सकता है।

चित्र 7.1(बी) एक वृत्ताकार आकृति खींचना। एक स्ट्रिंग के दो सिरे F1 और F2 पर निश्चित कर दिए गए हैं। एक पेंसिल के छोर से स्ट्रिंग को तना रखते हुए इसे घुमाकर एक वक्र बनाया जाता है।

दो बिंदु $\mathrm{F}_1$ और $\mathrm{F}_2$ चुनें। एक स्ट्रिंग की लंबाई लें और इसके दो सिरे $F_1$ और $F_2$ पर पिन से निश्चित कर दें। एक पेंसिल के छोर से स्ट्रिंग को तना रखते हुए इसे घुमाकर एक वक्र बनाया जाता है। एक वक्र बनाने के लिए पेंसिल को घुमाया जाता है जबकि स्ट्रिंग को तना रखा रहता है (चित्र 7.1(बी))। आप द्वारा प्राप्त बंद वक्र को एक वृत्ताकार आकृति कहा जाता है। स्पष्ट रूप से, वृत्ताकार आकृति के किसी भी बिंदु $\mathrm{T}$ पर, $\mathrm{F}_1$ और $\mathrm{F}_2$ से दूरी का योग एक नियत संख्या होती है। $\mathrm{F}_1, \mathrm{~F}_2$ को फोकस कहा जाता है। $\mathrm{F}_1$ और $\mathrm{F}_2$ को जोड़ें और रेखा को विस्तारित करके चित्र 7.1(बी) में दिखाए गए अनुसार वृत्ताकार आकृति पर बिंदुओं $\mathrm{P}$ और $\mathrm{A}$ पर प्रतिच्छेद कराएं। रेखा PA के मध्य बिंदु वृत्ताकार आकृति के केंद्र $\mathrm{O}$ होता है और लंबाई $\mathrm{PO}=$ AO को वृत्ताकार आकृति के अर्ध बृहदाकार अक्ष कहा जाता है। एक वृत्त के लिए, दोनों फोकस एक बिंदु में मिल जाते हैं और अर्ध बृहदाकार अक्ष वृत्त की त्रिज्या बन जाती है।

2. क्षेत्रफल का नियम : कोई ग्रह सूर्य के जुड़े रेखा के द्वारा किसी समान समय अंतराल में समान क्षेत्रफल के क्षेत्र को तय करती है (चित्र 7.2)। यह नियम उन अवलोकनों से आता है जिनमें ग्रह सूर्य से दूर जाने पर धीमी गति करते हुए दिखाई देते हैं जबकि वे सूर्य के करीब होते हैं।

चित्र 7.2 ग्रह P सूर्य के चारों ओर एक अतिपरवलयी कक्षा में घूमता है। छायांकित क्षेत्र छोटे समय अंतराल ∆t में तय किए गए क्षेत्र ∆A है।

3. आवर्तकाल का नियम : किसी ग्रह के घूर्णन काल के वर्ग को उस अतिपरवलय के अर्ध-मुख्य अक्ष के घन के समानुपात में होता है जो ग्रह द्वारा तय किया जाता है।

सारणिक 7.1 में आठ ग्रहों के सूर्य के चारों ओर घूमने के आवर्तकाल के अनुमानित मान और उनके अर्ध-मुख्य अक्ष के मान दिए गए हैं।

सारणिक 7 एक

ग्रहों के गति के मापन के आंकड़े नीचे दिए गए हैं जो केपलर के आवर्तकाल के नियम की पुष्टि करते हैं

$$ \begin{aligned} & (a \equiv \text{अर्ध-मुख्य अक्ष } 10^{10} \mathrm{~m} \text{ में इकाइयों में}.\ \ & T \equiv \text{ग्रह के वर्षा काल के चक्र के लिए समय अवधि वर्षों में }(y). \\ & Q \equiv \text{भागफल } ( T^{2} / a^{3})\\ & \text{इकाइयों में } 10^{-34} \mathrm{y}^{2} \mathrm{~m}^{-3} \text{ में।}) \end{aligned} $$

क्षेत्रफल के नियम को एक केंद्रीय बल के लिए कोणीय संवेग के संरक्षण के परिणाम के रूप में समझा जा सकता है। यह किसी भी केंद्रीय बल के लिए वैध है। केंद्रीय बल वह बल है जो ग्रह पर लगाता है और उसके सूर्य और ग्रह के बीच वेक्टर के अनुदिश होता है। मान लीजिए सूर्य मूल बिंदु पर है और ग्रह की स्थिति और संवेग क्रमशः $\mathbf{r}$ और $\mathbf{p}$ द्वारा निरूपित किए जाते हैं। तब ग्रह के द्रव्यमान $\mathrm{m}$ द्वारा एक समय अंतराल $\Delta t$ में तय किए गए क्षेत्र के द्वारा विस्थापित क्षेत्रफल $\Delta \mathbf{A}$ द्वारा दिया जाता है (चित्र 7.2)

$$ \begin{equation*} \Delta \mathbf{A}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{v} \Delta t) \tag{7.1} \end{equation*} $$

इसलिए

$$ \Delta \mathbf{A} / \Delta \mathrm{t}=1 / 2(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) / \mathrm{m},(\text { क्योंकि } \mathbf{v}=\mathbf{p} / \mathrm{m}) $$ $$ \begin{equation*} =\mathrm{L} /(2 \mathrm{~m}) \tag{7.2} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathbf{v}$ वेग है, $\mathbf{L}$ कोणीय संवेग है जो $(\mathbf{r} \times \mathbf{p})$ के बराबर है। केंद्रीय बल के लिए, जो $\mathbf{r}$ के अनुदिश दिशा में होता है, $\mathbf{L}$ ग्रह के चारों ओर घूमते समय एक नियतांक होता है। इसलिए, अंतिम समीकरण के अनुसार $\Delta \mathbf{A} / \Delta t$ एक नियतांक होता है। यह क्षेत्र के नियम कहलाता है। गुरुत्वाकर्षण एक केंद्रीय बल है और इसलिए क्षेत्र के नियम के अनुसार होता है।

उदाहरण 7.1 चित्र 7.1(a) में परहेलियन $P$ पर ग्रह की चाल $V_P$ है और सूर्य-ग्रह दूरी SP $r_P$ है। $\{r_P, V_P\}$ को अपहेलियन $\{r_A, V_A\}$ पर संगत मात्राओं के साथ संबंध बताइए। क्या ग्रह $B A C$ और $C P B$ के बीच समान समय लेगा?

उत्तर $P$ पर कोणीय संवेग का परिमाण $L_p = m_p r_p V_p$ है, क्योंकि जाँच से हम जानते हैं कि $\mathbf{r}_p$ और $\mathbf{v}_p$ परस्पर लम्ब हैं। इसी तरह, $L_A = m_p r_A V_A$। कोणीय संवेग के संरक्षण से

$$ m_{p} r_{p} v_{p} = m_{p} r_{A} v_{A} $$

या $\frac{v_{p}}{v_{A}} = \frac{r_{A}}{r_{p}}$

क्योंकि $r_{A} > r_{p}$, तो $V_{p} > v_{A}$ है।

चित्र 7.1 में तुलना करें, तो दीर्घवृत्त और त्रिज्या वेक्टर $SB$ और $SC$ द्वारा घिरे क्षेत्र $S B A C$ क्षेत्र $SBPC$ से बड़ा है। केपलर के द्वितीय नियम के अनुसार, समान समय में समान क्षेत्र तय किए जाते हैं। अतः ग्रह $B A C$ के बराबर क्षेत्र को तय करने में अधिक समय लेगा जबकि $C P B$ के बराबर क्षेत्र को तय करने में कम समय लेगा।

7.3 सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण कानून

कहानी कहती है कि एक आम के पेड़ से गिरते हुए देखकर न्यूटन को सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण कानून के अवलोकन के लिए प्रेरित किया गया जो भू-तापीय गुरुत्वाकर्षण की व्याख्या करता है तथा केपलर के नियमों की भी व्याख्या करता है। न्यूटन के तर्क के अनुसार, चंद्रमा के एक वृत्तीय कक्षा में घूमते हुए जिसकी त्रिज्या $R_{m}$ है, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण केंद्रीय त्वरण के मान के कारण उस पर बल लगता है:

$$ \begin{equation*} a_{m}=\frac{V^{2}}{R_{m}}=\frac{4 \pi^{2} R_{m}}{T^{2}} \tag{7.3} \end{equation*} $$

जहाँ $V$ चांद की गति है, जो समय अवधि $T$ के साथ संबंध $V=2 \pi R_{m} / T$ द्वारा संबंधित है। समय अवधि $T$ लगभग 27.3 दिन है और $R_{m}$ तब जाने वाला था लगभग $3.84 \quad 10^{8} \mathrm{~m}$। यदि हम समीकरण (7.3) में इन संख्याओं को बदल दें, तो हमें $a_{m}$ का मान प्राप्त होता है, जो पृथ्वी के सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g$ के मान की तुलना में काफी कम होता है। यह भी ध्यान दें कि पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण भी त्वरण होता है। यह स्पष्ट रूप से दिखाता है कि पृथ्वी के गुरुत्व के कारण बल दूरी के साथ कम होता है। यदि एक माने कि पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है, तो हमें $a_{m} \alpha R_{m}^{-2} ; g \alpha R_{E}^{-2}$ और हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \frac{g}{a_{m}}=\frac{R_{m}^{2}}{R_{E}^{2}} \simeq 3600 \tag{7.4} \end{equation*} $$

जो $g \simeq 9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ के मान और समीकरण (7.3) से प्राप्त $a_{\mathrm{m}}$ के मान के साथ सहमत है। इन अवलोकनों ने न्यूटन को विश्व गुरुत्वाकर्षण के निम्नलिखित सार्वभौमिक नियम को प्रस्तावित करने के लिए प्रेरित किया :

हर वस्तु ब्रह्मांड में दूसरी वस्तु को एक बल आकर्षित करती है जो उनके द्रव्यमान के गुणनफल के सीधे अनुपाती होता है और उनके बीच की दूरी के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

इस उद्धरण के अंतर्गत न्यूटन के प्रसिद्ध ग्रंथ “प्राकृतिक दर्शन के गणितीय सिद्धांत” (Principia के लिए छोटा नाम) से है।

गणितीय रूप में न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण कानून को इस प्रकार लिखा जाता है : एक बिंदु द्रव्यमान $m_{2}$ पर दूसरे बिंदु द्रव्यमान $m_{1}$ के कारण बल $\mathbf{F}$ के माप के लिए

$$ \begin{equation*} |\mathbf{F}|=G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \tag{7.5} \end{equation*} $$

समीकरण (7.5) को सदिश रूप में लिखा जा सकता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

$$ \begin{aligned} \mathbf{F} & =G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}(-\hat{\mathbf{r}})=-G \frac{m_{1} m_{2}}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \\ \\ & =-G \frac{m_{1} m_{2}}{|\mathbf{r}|^{3}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$

जहाँ $\mathrm{G}$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, $\hat{\mathbf{r}}$ $m_1$ से $m_2$ की दिशा में एक एकक सदिश है और $\mathbf{r}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1$ चित्र 7.3 में दिखाया गया है।

चित्र 7.3 म2 के कारण म1 पर गुरुत्वाकर्षण बल r के अनुदिश होता है जहाँ सदिश r है $(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)$

म2 के कारण म1 पर गुरुत्वाकर्षण बल r के अनुदिश होता है जहाँ सदिश r है $(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1)$। गुरुत्वाकर्षण बल आकर्षण प्रकृति का होता है, अर्थात बल $\mathbf{F}$, $-\mathbf{r}$ के अनुदिश होता है। बिंदु द्रव्यमान $m_1$ पर $m_2$ के कारण बल न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार $-\mathbf{F}$ होता है। अतः द्रव्यमान 1 पर 2 के कारण गुरुत्वाकरषण बल F₁₂ तथा द्रव्यमान 2 पर 1 के कारण गुरुत्वाकर्षण बल F₂₁ के बीच संबंध निम्न है:

F₁₂=-F₂₁.

हम अब समीकरण (7.5) को विचार किए जा रहे वस्तुओं पर लागू कर सकते हैं, लेकिन ध्यान रखना आवश्यक है क्योंकि नियम बिंदु द्रव्यमानों पर लागू होता है जबकि हम विस्तारित वस्तुओं के साथ काम कर रहे हैं जो अंतिम आकार के होते हैं। यदि हम बिंदु द्रव्यमानों के संग्रह के साथ काम कर रहे हैं, तो किसी भी बिंदु द्रव्यमान पर बल अन्य बिंदु द्रव्यमानों द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बलों के सदिश योग होता है जैसा कि चित्र 7.4 में दिखाया गया है।

चित्र 7.4 बिंदु द्रव्यमान m1 पर गुरुत्वाकर्षण बल m2, m3 और m4 द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बलों का सदिश योग है।

m1 पर कुल बल है

$ \mathbf{F}1=\frac{G m_2 m_1}{r{21}^2} \hat{\mathbf{r}}{21}+\frac{G m_3 m_1}{r{31}^2} \hat{\mathbf{r}}{31}+\frac{G m_4 m_1}{r{41}^2} \hat{\mathbf{r}}_{41}$

उदाहरण 7.2 तीन बराबर द्रव्यमान $m \mathrm{~kg}$ प्रत्येक को एक समबाहु त्रिभुज $\mathrm{ABC}$ के शीर्षों पर रखा गया है।

(a) एक द्रव्यमान $2 m$ को त्रिभुज के केंद्र $\mathrm{G}$ पर रखने पर बल क्या होगा?

(b) यदि शीर्ष $\mathrm{A}$ पर रखा द्रव्यमान दुगुना कर दिया जाए तो बल क्या होगा?

लें दिया है $\mathrm{AG}=\mathrm{BG}=\mathrm{CG}=1 \mathrm{~m}$ (चित्र 7.5 देखें)

उत्तर (a) GC और धनात्मक $x$-अक्ष के बीच कोण $30^{\circ}$ है और इसी तरह GB और ऋणात्मक $x$-अक्ष के बीच कोण भी $30^{\circ}$ है। सदिश रूप में व्यक्त किए गए व्यक्तिगत बल हैं

चित्र 7.5 ∆ ABC के तीन शीर्षों पर तीन बराबर द्रव्यमान रखे गए हैं। गुरुत्वीय केंद्र G पर 2m का द्रव्यमान रखा गया है।

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F}{\mathrm{GA}}=\frac{G m(2 m)}{1} \hat{\mathbf{j}} \ & \mathbf{F}{\mathrm{GB}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \ & \mathbf{F}_{\mathrm{GC}}=\frac{G m(2 m)}{1}\left(+\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \end{aligned} $$

अधिग्रहण के सिद्धांत और सदिश जोड़ के कानून के आधार पर, (2m) पर परिणामी गुरुत्वीय बल $F_R$ है

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F}{\mathrm{R}}= \mathbf{F}{\mathrm{GA}}+\mathbf{F}{\mathrm{GB}}+\mathbf{F}{\mathrm{GC}} \ & \mathbf{F}_{\mathrm{R}}=2 G m^2 \hat{\mathbf{j}}+2 G m^2\left(-\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right) \ \end{aligned} $$

&+2 G m^2\left(\hat{\mathbf{i}} \cos 30^{\circ}-\hat{\mathbf{j}} \sin 30^{\circ}\right)=0 \end{aligned} $$

अथवा, सममिति के आधार पर अपेक्षा करते हुए, परिणामी बल शून्य होना चाहिए।

(b) अब यदि शीर्ष A पर द्रव्यमान दुगुना कर दिया जाए तो

$$ \begin{aligned} & \mathrm{F}{G A}^{\prime}=\frac{\mathrm{G} 2 m \cdot 2 m}{1} \hat{\mathrm{j}}=4 \mathrm{Gm}^2 \hat{\mathrm{j}} \ & \mathrm{~F}{G B}^{\prime}=\mathrm{F}{G B} \text { और } \mathrm{F}{G C}^{\prime}=\mathrm{F}{G C} \ & \mathrm{~F}R^{' }=\mathrm{F}{G A}^{\prime}+\mathrm{F}{G B}^{\prime}+\mathrm{F}{G C}^{\prime} \ & \mathrm{F}{\mathrm{R}}^{\prime}=2 G m^2 \hat{\mathrm{j}} \end{aligned} $$

एक विस्तारित वस्तु (जैसे पृथ्वी) और एक बिंदु द्रव्यमान के बीच गुरुत्वाकर्षण बल के लिए समीकरण (7.5) व्युत्पन्न रूप से लागू नहीं होता। विस्तारित वस्तु के प्रत्येक बिंदु द्रव्यमान दिए गए बिंदु द्रव्यमान पर बल लगाएगा और ये बल सभी एक ही दिशा में नहीं होंगे। हमें विस्तारित वस्तु के सभी बिंदु द्रव्यमानों के लिए इन बलों को सदिश रूप से जोड़ना पड़ता है ताकि कुल बल प्राप्त किया जा सके। यह कलन के प्रयोग द्वारा आसानी से किया जा सकता है। दो विशेष स्थितियों के लिए, जब आप इसे करते हैं तो एक सरल नियम प्राप्त होता है :

(1) एक एकसमान घनत्व वाले खोखले गोलीय खोल और उसके बाहर स्थित एक बिंदु द्रव्यमान के बीच आकर्षण बल ऐसा लगता है जैसे कि खोल के सम्पूर्ण द्रव्यमान केंद्र पर संकेंद्रित हो।

इसे गुणात्मक रूप से इस प्रकार समझा जा सकता है: खोल के विभिन्न क्षेत्रों द्वारा उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण बलों के घटक बिंदु द्रव्यमान और खोल के केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होते हैं तथा एक अन्य दिशा में भी जो इस रेखा के लंबवत होती है। इन घटकों में जो रेखा के लंबवत दिशा में होते हैं, खोल के सभी क्षेत्रों के योग में विपरीत दिशा में बरकरार रहते हैं और इनके योग के बाद केवल रेखा के अनुदिश एक परिणामी बल बचता है। इस बल के मान के बारे में ऊपर बताया गया है।

(2) एक एकसमान घनत्व वाले खोखले गोलीय खोल द्वारा उसके भीतर स्थित एक बिंदु द्रव्यमान पर आकर्षण बल शून्य होता है।

इस परिणाम को फिर से गुणात्मक रूप से समझा जा सकता है। गोलीय खोल के विभिन्न क्षेत्र उसके भीतर स्थित बिंदु द्रव्यमान को विभिन्न दिशाओं में आकर्षित करते हैं। इन बलों के बीच पूर्ण रूप से विपरीत दिशा में विपरीत बल बरकरार रहते हैं और इनके योग शून्य हो जाते हैं।

7.4 गुरुत्वाकर्षण नियतांक

गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$ का मान वैज्ञानिक रूप से निर्धारित किया जा सकता है और इसे पहले ब्रिटिश वैज्ञानिक हेनरी केवेंडिश ने 1798 में किया था। उनके द्वारा उपयोग किए गए उपकरण के आरेखीय चित्र चित्र 7.6 में दिखाए गए हैं।

चित्र 7.6 केवेंडिश के प्रयोग का आरेखीय चित्र है। S1 और S2 बड़े गोले हैं जो बिंदु A और B पर स्थित द्रव्यमान के दोनों ओर (चित्र में छाया में दिखाए गए हैं) रखे गए हैं। जब बड़े गोले द्रव्यमान के दूसरी ओर ले जाए जाते हैं (चित्र में बिंदु वृत्त द्वारा दिखाए गए हैं), तो छड़ AB थोड़ा घूम जाती है क्योंकि बलाघूर्ण की दिशा विपरीत हो जाती है। घूमने के कोण को प्रयोग के माध्यम से मापा जा सकता है।

छड़ $\mathrm{AB}$ के दोनों सिरों पर दो छोटे लेड गोले लगे हैं। छड़ को एक तार से एक ठोस समर्थन से लटकाया गया है। दो बड़े लेड गोले छोटे गोलों के विपरीत ओर ले जाए जाते हैं जैसा कि चित्र में दिखाए गए हैं। बड़े गोले निकटवर्ती छोटे गोलों को बराबर और विपरीत बल से आकर्षित करते हैं जैसा कि चित्र में दिखाए गए हैं। छड़ पर कोई शुद्ध बल नहीं होता लेकिन केवल एक बलाघूर्ण होता है जो स्पष्ट रूप से छड़ की लंबाई के बराबर $\mathrm{F}$ के बराबर होता है, जहाँ $\mathrm{F}$ एक बड़े गोले और उसके पड़ोसी छोटे गोले के बीच आकर्षण बल है। इस बलाघूर्ण के कारण लटकाए गए तार में घूर्णन उत्पन्न होती है जब तक तार के बहाव घूर्णन बल गुरुत्वाकर्षण घूर्णन बल के बराबर नहीं हो जाते। यदि $\theta$ लटकाए गए तार के घूर्णन कोण हो, तो बहाव घूर्णन बल $\theta$ के समानुपाती होता है, जो $\tau \theta$ के बराबर होता है। जहाँ $\tau$ घूर्णन कोण के इकाई पर बहाव घूर्णन के अनुपाती होता है। $\tau$ को स्वतंत्र रूप से मापा जा सकता है, उदाहरण के लिए ज्ञात घूर्णन बल लगाकर घूर्णन कोण को मापकर। गोलियों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल उनके द्रव्यमान के केंद्रों पर संकेंद्रित होने के बराबर होता है। इसलिए यदि $d$ बड़े गोले और उसके पड़ोसी छोटे गोले के केंद्रों के बीच की दूरी हो, $\mathrm{M}$ और $\mathrm{m}$ उनके द्रव्यमान हो, तो बड़े गोले और उसके पड़ोसी छोटे गोले के बीच गुरुत्वाकर्षण बल होता है।

$$ \begin{equation*} F=G \frac{M m}{d^{2}} \tag{7.6} \end{equation*} $$

यदि $L$ छड़ $AB$ की लंबाई है, तो $F$ से उत्पन्न टॉर्क $F$ के गुणा में $L$ होता है। संतुलन के अवस्था में, यह बहाव टॉर्क के बराबर होता है और इसलिए

$$ \begin{equation*} G \frac{M m}{d^{2}} L=\tau \theta \tag{7.7} \end{equation*} $$

इस समीकरण के माध्यम से $\theta$ के अवलोकन से आप $G$ की गणना कर सकते हैं।

केवेंडिश के प्रयोग के बाद, $G$ के मापन में सुधार किया गया है और वर्तमान मान्य मान है

$$ \begin{equation*} G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{kg}^{2} \tag{7.8} \end{equation*} $$

7.5 पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के त्वरण

पृथ्वी को एक गोले के रूप में समझा जा सकता है, जो बहुत सारे संकेंद्रित गोलीय आवरणों से बना होता है, जिनमें सबसे छोटा आवरण केंद्र में होता है और सबसे बड़ा आवरण पृथ्वी के सतह पर होता है। पृथ्वी के बाहर के किसी बिंदु के लिए बेशक सभी आवरणों के बाहर होता है। इसलिए, सभी आवरण बाहरी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण बल लगाते हैं, जैसे कि उनके द्रव्यमान उनके सामान्य केंद्र पर केंद्रित हो। अनुभाग 7.3 में बताए गए परिणाम के अनुसार। सभी आवरणों के संयोजित द्रव्यमान केवल पृथ्वी के द्रव्यमान के बराबर होता है। इसलिए, पृथ्वी के बाहर के किसी बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण बल इसके द्रव्यमान के बराबर होता है, जैसे कि इसका पूरा द्रव्यमान केंद्र पर केंद्रित हो।

एक बिंदु जो पृथ्वी के भीतर हो, ऐसी स्थिति में अलग होती है। इसकी व्याख्या चित्र 7.7 में की गई है।

चित्र 7.7 में, द्रव्यमान $m$ पृथ्वी के भारी द्रव्यमान $M_E$ और त्रिज्या $R_E$ के भू-पृष्ठ से $d$ गहराई पर स्थित खान में है। हम पृथ्वी को गोलाकार सममिति के रूप में लेते हैं।

फिर भी पृथ्वी को पहले जैसे वैसे संकेंद्रित खोलों के समूह में बनाया गया मान लें और एक बिंदु द्रव्यमान $m$ केंद्र से दूरी $r$ पर स्थित हो। बिंदु $P$ त्रिज्या $r$ के गोले के बाहर है। त्रिज्या $r$ से बड़े खोलों के लिए, बिंदु $P$ उनके भीतर है। इसलिए, पिछले अनुच्छेद में दिए गए परिणाम के अनुसार, इन खोलों द्वारा बिंदु $P$ पर रखे द्रव्यमान $m$ पर कोई गुरुत्वाकर्षण बल नहीं लगता। त्रिज्या $r$ से कम या बराबर के खोल एक त्रिज्या $r$ के गोले का बनाते हैं, जिसके बाहर बिंदु $P$ है। इस छोटे गोले द्वारा बिंदु $P$ पर रखे द्रव्यमान $m$ पर बल लगता है जैसे इसका द्रव्यमान $M_r$ केंद्र पर संकेंद्रित हो। इस प्रकार, बिंदु $P$ पर द्रव्यमान $m$ पर बल का परिमाण

$$ \begin{equation*} F=\frac{G m\left(M_{\mathrm{r}}\right)}{r^{2}} \tag{7.9} \end{equation*} $$

हम मान लेते हैं कि पृथ्वी का सम्पूर्ण भार एकसमान घनत्व के है और इसलिए इसका द्रव्यमान $M_{\mathrm{E}}=\frac{4 \pi}{3} R_{E}^{3} \rho$ है जहाँ $M_{\mathrm{E}}$ पृथ्वी का द्रव्यमान है, $R_{\mathrm{E}}$ इसकी त्रिज्या है और $\rho$ घनत्व है। दूसरी ओर, त्रिज्या $r$ के गोले $M_{r}$ का द्रव्यमान $\frac{4 \pi}{3} \rho r^{3}$ है और

इसलिए

$$ \begin{align*} F & =G m\left(\frac{4 p}{3} r\right) \frac{r^{3}}{r^{2}}=G m\left(\frac{M_{E}}{R_{E}^{3}}\right) \frac{r^{3}}{r^{2}} \\ & =\frac{G m M_{\mathrm{E}}}{R_{E}{ }^{3}} r \tag{7.10} \end{align*} $$

यदि द्रव्यमान $m$ पृथ्वी के सतह पर स्थित है, तो $r=R_{E}$ है और इसके पर गुरुत्वाकर्षण बल, समीकरण (7.10) से निम्नलिखित है

$$ \begin{equation*} F=G \frac{M_{E} m}{R_{E}^{2}} \tag{7.11} \end{equation*} $$

द्रव्यमान $\mathrm{m}$ द्वारा अनुभव किया गया त्वरण, जो आमतौर पर $\mathrm{g}$ चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है, न्यूटन के $2^{\text {nd }}$ नियम द्वारा $\mathrm{F}$ से संबंधित है और संबंध $F=m g$ द्वारा दर्शाया जाता है। इसलिए

$$ \begin{equation*} g=\frac{F}{m}=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} \tag{7.12} \end{equation*} $$

गुरुत्वीय त्वरण $g$ आसानी से मापा जा सकता है। $R_{E}$ एक ज्ञात राशि है। केविंडिश के प्रयोग द्वारा $G$ के मापन (या अन्य तरीके से), $g$ और $R_{E}$ के ज्ञान के संयोजन से समीकरण (7.12) के आधार पर $M_{E}$ का अनुमान लगाया जा सकता है। इसी कारण है कि केविंडिश के संबंध में एक लोकप्रिय कथन है: “केविंडिश धरती को तौल लिया।”

7.6 धरती के सतह के ऊपर और नीचे गुरुत्वीय त्वरण

चित्र 7.8(a) में दिखाए गए धरती के सतह से ऊपर $h$ ऊंचाई पर एक बिंदु द्रव्यमान $m$ की अवस्था का विचार करें। धरती की त्रिज्या $R_{E}$ से दर्शाई गई है। चूंकि यह बिंदु धरती के बाहर है, इसकी धरती के केंद्र से दूरी $\left(R_{E}+h\right)$ होती है। यदि $F(h)$ बिंदु द्रव्यमान $m$ पर बल के परिमाण को दर्शाता है, तो हम समीकरण (7.5) से इसे प्राप्त कर सकते हैं :

 g भू-पृथ्वी के सतह से ऊंचाई h पर)

$$ \begin{equation*} F(h)=\frac{G M_{E} m}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} \tag{7.13} \end{equation*} $$

बिंदु द्रव्यमान द्वारा अनुभव की त्वरण $F(h) / m \equiv g(h)$ है और हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} g(h)=\frac{F(h)}{m}=\frac{G M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} . \tag{7.14} \end{equation*} $$

यह स्पष्ट रूप से पृथ्वी के सतह पर $g$ के मान से कम है : $g=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}$. जब $h \ll R_{E}$, तो हम समीकरण (7.14) के दाहिने पक्ष को विस्तारित कर सकते हैं :

$$ g(h)=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}\left(1+h / R_{E}\right)^{2}}=g\left(1+h / R_{E}\right)^{-2} $$

$\text{जब}\quad\frac{h}{R _{E}} \ll 1$,

बिनॉमियल व्यापकता का उपयोग करते हुए

$$ \begin{equation*} g(h) \cong g \quad 1-\frac{2 h}{R _{E}} \tag{7.15} \end{equation*} $$

इस प्रकार समीकरण (7.15) हमें यह बताता है कि छोटी ऊंचाई $h$ पर $g$ के मान में कमी $ \left(1-2 h / R_{E}\right) $ के गुणक द्वारा होती है।

अब, एक बिंदु द्रव्यमान $m$ को पृथ्वी के सतह से गहराई $d$ पर ले लीजिए (चित्र 7.8(b)), ताकि इसकी पृथ्वी के केंद्र से दूरी $\left(R_{E}-d\right)$ हो जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पृथ्वी को एक छोटे गोले और एक गोलीय कोश के रूप में सोचा जा सकता है, जहां छोटे गोले की त्रिज्या $\left(R_{E}-d\right)$ है और गोलीय कोश की मोटाई $d$ है। बाहरी कोश के कारण $m$ पर बल शून्य होता है क्योंकि पिछले अनुच्छेद में उल्लेख किया गया परिणाम। छोटे गोले के बारे में, जिसकी त्रिज्या $R_{E}-d$ है, बिंदु द्रव्यमान इसके बाहर है और इसलिए इसके कारण बल के बारे में पिछले अनुच्छेद में उल्लेख किया गया परिणाम के अनुसार, इस छोटे गोले के कारण बल बस इस छोटे गोले के सम्पूर्ण द्रव्यमान के केंद्र पर केंद्रित होता है। यदि $M_{s}$ छोटे गोले का द्रव्यमान है, तो,

$$ \begin{equation*} M_{s} / M_{E}=\left(R_{E}-\mathrm{d}\right)^{3} / R_{E}^{3} \tag{7.16} \end{equation*} $$

एक गोले के द्रव्यमान के अपने त्रिज्या के घन अनुपात में होता है।

(b)

चित्र 7.8 (b) गहराई पर गुरुत्वीय त्वरण। इस स्थिति में केवल त्रिज्या (RE –d) के छोटे गोले के योगदान होता है।

इसलिए बिंदु द्रव्यमान पर बल है

$$ \begin{equation*} F(d)=G M_{s} m /\left(R_{E}-d\right)^{2} \tag{7.17} \end{equation*} $$

ऊपर से $\mathrm{M}_{\mathrm{s}}$ के लिए प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} F(d)=G M_{E} m\left(R_{E}-d\right) / R_{E}^{3} \tag{7.18} \end{equation*} $$

इसलिए गहराई $d$ पर गुरुत्वीय त्वरण,

$$ \begin{align*} & g(d)=\frac{F(d)}{m} \text { है } \\ & g(d)=\frac{F(d)}{m}=\frac{G M_{E}}{R_{E}^{3}}\left(R_{E}-d\right) \\

& =g \frac{R_{E}-d}{R_{E}}=g\left(1-d / R_{E}\right) \tag{7.19} \end{align*} $$

इस प्रकार, जब हम पृथ्वी के पृष्ठ से नीचे जाते हैं, तो गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण कम हो जाता है $\left(1-d / R_{E}\right)$ के गुणक से। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण के बारे में अद्भुत बात यह है कि इसका मान इसके पृष्ठ पर अधिकतम होता है और यह आप ऊपर जाओ या नीचे जाओ अपने दोनों दिशाओं में कम होता जाता है।

7.7 गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा

हमने पहले अवधारणा के बारे में चर्चा की थी कि संभावित ऊर्जा एक वस्तु के दिए गए स्थान पर संग्रहीत ऊर्जा होती है। यदि कण के स्थान का बदलाव इस पर कार्य कर रहे बल के कारण होता है, तो इसकी संभावित ऊर्जा में परिवर्तन बल द्वारा वस्तु पर किए गए कार्य के बराबर होता है। जैसा कि हमने पहले चर्चा की थी, जिन बलों के लिए कार्य पथ से स्वतंत्र होता है, वे संरक्षित बल होते हैं।

गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षित बल है और हम इस बल के कारण उत्पन्न वस्तु की संभावित ऊर्जा की गणना कर सकते हैं, जिसे गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा कहा जाता है। मान लीजिए कि धरती के सतह के करीब बिंदु हैं, जो सतह से बहुत कम दूरी पर हैं जो धरती की त्रिज्या की तुलना में बहुत कम है। ऐसे मामलों में, गुरुत्वाकर्षण बल लगभग एक नियतांक होता है जो $\mathrm{mg}$ के बराबर होता है और धरती के केंद्र की ओर दिशा लेता है। यदि हम धरती के सतह से ऊंचाई $h_{1}$ पर एक बिंदु लें और उसके ऊर्ध्वाधर ऊपर एक बिंदु जो धरती के सतह से ऊंचाई $h_{2}$ पर हो, तो द्रव्यमान $m$ के कण को पहले बिंदु से दूसरे बिंदु तक उठाने में किया गया कार्य $W_{12}$ द्वारा नोट किया जाता है।

$$ \begin{align*} W_{12} & =\text { बल } \times \text { विस्थापन } \\ & =m g\left(h_{2}-h_{1}\right) \tag{7.20} \end{align*} $$

यदि हम एक बिंदु पर ऊंचाई $h$ के ऊपर सतह से एक संभावना ऊर्जा $W(h)$ संबंधित करते हैं ताकि

$$ \begin{equation*} W(h)=m g h+W_{o} \tag{7.21} \end{equation*} $$

(जहाँ $W_{\mathrm{o}}=$ स्थिरांक) ;

तो स्पष्ट हो जाता है कि

$$ \begin{equation*} W_{12}=W\left(h_{2}\right)-W\left(h_{1}\right) \tag{7 .22} \end{equation*} $$

कण के विस्थापन में किया गया कार्य इसके अंतिम और प्रारंभिक स्थिति के बीच संभावना ऊर्जा के अंतर के बराबर होता है। ध्यान दें कि समीकरण (7.22) में स्थिरांक $W_{\text {o}}$ बर्बाद हो जाता है। अंतिम समीकरण में $h}$ $=0$ कर दें, हमें $W(h=0)=W_{\text {o }}$ प्राप्त होता है। $h=0$ का अर्थ है पृथ्वी की सतह पर बिंदु। इसलिए, $W_{\mathrm{o}}$ पृथ्वी की सतह पर संभावना ऊर्जा है। यदि हम पृथ्वी की सतह से अस्थायी दूरी पर बिंदुओं को ध्यान में लाते हैं, तो उपरोक्त परिणाम अमान्य हो जाता है क्योंकि गुरुत्वाकर्षण बल $m g$ के अनुमान के अनुसार एक स्थिरांक नहीं होता। हालांकि, हमारे विवरण से हम जानते हैं कि पृथ्वी के बाहर एक बिंदु पर, एक कण पर गुरुत्वाकर्षण बल पृथ्वी के केंद्र की ओर दिशा में होता है:

$$ \begin{equation*} F=\frac{G M_{E} m}{r^{2}} \tag{7.23} \end{equation*} $$

जहाँ $M_{E}=$ पृथ्वी का द्रव्यमान, $m=$ कण का द्रव्यमान और $r$ पृथ्वी के केंद्र से कण की दूरी है। अब यदि हम एक कण को ऊर्ध्वाधर पथ के अनुसार $r=r_{1}$ से $r=r_{2}\left(r_{2}>r_{1}\right)$ तक उठाने में किए गए कार्य की गणना करते हैं, तो हम तत्कालीन समीकरण (7.20) के स्थान पर निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & W_{12}=\int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{G M m}{r^{2}} \mathrm{~d} r \ & =-G M_{\mathrm{E}} m \frac{1}{r_{2}}-\frac{1}{r_{1}} \tag{7.24} \end{align*} $$

इसलिए, समीकरण (7.21) के स्थान पर, हम दूरी $r$ पर एक संभावित ऊर्जा $W(r)$ संबंधित कर सकते हैं, ताकि

$$ \begin{equation*} W(r)=-\frac{G M_{\mathrm{E}} m}{r}+W_{1} \tag{7.25} \end{equation*} $$

जो $r>R$ के लिए वैध है,

ताकि फिर से $W_{12}=W\left(r_{2}\right)-W\left(r_{1}\right)$ हो। अंतिम समीकरण में $r$ = अनंत में सेट करने पर, हमें $\mathrm{W}(r=$ अनंत $)=W_{1}$ प्राप्त होता है। इसलिए, $W_{1}$ अनंत पर संभावित ऊर्जा है। ध्यान देने वाली बात यह है कि केवल दो बिंदुओं के बीच संभावित ऊर्जा के अंतर के अर्थ को समीकरण (7.22) और (7.24) से निश्चित किया जा सकता है। एक प्रमाणिक विधि के अनुसार, $W_{1}$ को शून्य के बराबर मान लिया जाता है, ताकि किसी बिंदु पर संभावित ऊर्जा अनंत से उस बिंदु तक कण को विस्थापित करने में किए गए कार्य के बराबर हो।

हमने एक कण के कारण गुरुत्वाकर्षण बलों के कारण एक बिंदु पर संभावित ऊर्जा की गणना की है और यह कण के द्रव्यमान के समानुपाती है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के कारण गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा को उस बिंदु पर एक इकाई द्रव्यमान वाले कण की संभावित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है। पहले चर्चा से हम जानते हैं कि द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ वाले दो कणों के बीच दूरी $r$ के लिए संबंधित गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ V=-\frac{G m_{1} m_{2}}{r} \text { (यदि हम } V=0 \text { को } r \rightarrow \infty \text { के रूप में चुनते हैं) } $$

ध्यान देने योग्य है कि एक अलग तंत्र के कणों के एक तंत्र के कुल संभावित ऊर्जा के लिए इस तंत्र के सभी संभावित कण युग्मों के ऊर्जा के योग के बराबर होता है। यह सुपरपोजिशन सिद्धांत के अनुप्रयोग का एक उदाहरण है।

उदाहरण 7.3 एक वर्ग के शीर्षों पर रखे चार कणों के तंत्र की संभावित ऊर्जा ज्ञात कीजिए। वर्ग के केंद्र पर संभावित ऊर्जा भी प्राप्त कीजिए।

उत्तर चार द्रव्यमान, प्रत्येक के द्रव्यमान $m$ को एक वर्ग के कोनों पर रखा जाता है, जिसकी भुजा $l$ है; देखें चित्र 7.9। हमारे पास $l$ की दूरी पर चार द्रव्यमान युग्म और $\sqrt{2} l$ की दूरी पर दो विकर्ण युग्म हैं। अतः,

$$ \begin{aligned} & W(r)=-4 \frac{G m^{2}}{l}-2 \frac{G m^{2}}{\sqrt{2} l} \\ & =-\frac{2 G m^{2}}{l} 2+\frac{1}{\sqrt{2}}=-5.41 \frac{G m^{2}}{l} \end{aligned} $$

$\hspace{20mm}$ चित्र 7.9

वर्ग के केंद्र पर गुरुत्वीय संभावना $(r=\sqrt{2} l / 2)$ है

$$ U(r)=-4 \sqrt{2} \frac{\mathrm{Gm}}{l} . $$

7.8 बचाव गति

यदि हम एक पत्थर हाथ से फेंकते हैं, तो हम देखते हैं कि यह पृथ्वी पर वापस आ जाता है। बेशक, मशीनों के उपयोग के साथ हम एक वस्तु को बहुत अधिक गति से फेंक सकते हैं और बढ़ती जाने वाली आरंभिक गति के साथ वस्तु ऊँचाई पर जाती जाती है। हमारे मन में उत्पन्न होने वाला एक प्राकृतिक प्रश्न निम्नलिखित है: “क्या हम एक वस्तु को इतनी उच्च आरंभिक गति से फेंक सकते हैं कि यह पृथ्वी पर वापस न आए?”

ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत हमें इस प्रश्न का उत्तर देन में मदद करता है। मान लीजिए कि वस्तु अनंत तक पहुँच गई और वहाँ इसकी गति की चाल $\mathrm{V}_{f}$ है। एक वस्तु की ऊर्जा संभावित और गतिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है। जैसे ही $W_1$ वस्तु के अनंत बिंदु पर गुरुत्वीय संभावित ऊर्जा को दर्शाता है। तब गोली की कुल ऊर्जा अनंत पर होगी

$$ \begin{equation*} E(\infty)=W_{1}+\frac{m V_{f}^{2}}{2} \tag{7.26} \end{equation*} $$

यदि वस्तु को प्रारंभ में धरती के केंद्र से $\left(h+R_{E}\right)$ दूरी पर एक चाल $V_{i}$ से फेंका गया था $\left(R_{E}=\right.$ धरती की त्रिज्या $)$, तो इसकी प्रारंभिक ऊर्जा थी

$$ \begin{equation*} E\left(h+R_{E}\right)=\frac{1}{2} m V_{i}^{2}-\frac{G m M_{E}}{\left(h+R_{E}\right)}+W_{1} \tag{7.27} \end{equation*} $$

ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार समीकरण (7.26) और (7.27) समान होने चाहिए। अतः

$$ \begin{equation*} \frac{m V_{i}^{2}}{2}-\frac{G m M_{E}}{\left(h+R_{E}\right)}=\frac{m V_{f}^{2}}{2} \tag{7.28} \end{equation*} $$

\end{equation*} $$

R.H.S. एक धनात्मक मान है जिसका न्यूनतम मान शून्य है, इसलिए L.H.S. भी धनात्मक होना चाहिए। इस प्रकार, एक वस्तु अनंत तक पहुँच सकती है जब तक $\mathrm{V}_i$ ऐसा हो कि

$$ \begin{equation*} \frac{m V_{i}^{2}}{2}-\frac{G m M_{E}}{\left(h+R_{E}\right)} \geq 0 \tag{7.29} \end{equation*} $$

$\mathrm{V}_i$ का न्यूनतम मान उस स्थिति के अनुरूप होता है जब समीकरण (7.29) के L.H.S. शून्य के बराबर होता है। इसलिए, एक वस्तु के अनंत तक पहुँचने (अर्थात पृथ्वी से बाहर निकलने) के लिए आवश्यक न्यूनतम वेग निम्नलिखित होता है:

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m(V_i^2)_{\min }=\frac{G m M_E}{h+R_E} \tag{7.30} \end{equation*} $$

यदि वस्तु पृथ्वी के सतह से फेंकी जाती है, $h=0$ होता है, और हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} (V_i)_{\min }=\sqrt{\frac{2 G M_E}{R_E}} \tag{7.31} \end{equation*} $$

संबंध $g=G M_{E} / R_{E}^{2}$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} (V_i)_{\min }=\sqrt{2 g R_E} \tag{7.32} \end{equation*} $$

$g$ और $R_{E}$ के मान का उपयोग करते हुए, संख्यात्मक रूप से $\left(V_{i}\right)_{\min } \approx 1.2 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ होता है। इसे विस्थापन वेग कहा जाता है, जिसे कभी-कभी अस्पष्ट भाषा में विस्थापन वेग कहा जाता है।

समीकरण (7.32) चांद के सतह से फेंके गए वस्तु के लिए भी समान रूप से लागू होता है, जहाँ $g$ के स्थान पर चांद के गुरुत्वाकर्षण के कारण सतह पर त्वरण लगाया जाता है और $r_{E}$ के स्थान पर चांद की त्रिज्या लगाया जाता है। दोनों मान पृथ्वी पर वाले मान से कम होते हैं और चांद के लिए भाप वेग लगभग $2.3 \mathrm{~km} / \mathrm{s}$ होता है, जो पृथ्वी के भाप वेग के लगभग पांच गुना कम होता है। यही कारण है कि चांद के पास वायुमंडल नहीं होता। यदि गैस अणु चांद के सतह पर बने हों और उनके वेग इस वेग से अधिक हों, तो वे चांद के गुरुत्वाकर्षण के खिलाफ भाप जाएंगे।

उदाहरण 7.4 दो समान ठोस गोले, जिनकी त्रिज्या $R$ है, लेकिन द्रव्यमान $M$ और $4 M$ है, के केंद्र के बीच की दूरी $6 R$ है, जैसा कि चित्र 7.10 में दिखाया गया है। दोनों गोले स्थिर रहते हैं। एक प्रक्षुत वस्तु जिसका द्रव्यमान $m$ है, द्रव्यमान $M$ वाले गोले के सतह से दूसरे गोले के केंद्र की ओर फेंकी जाती है। दूसरे गोले के सतह तक पहुँचने के लिए प्रक्षुत वस्तु के न्यूनतम वेग $v$ के व्यंजक को प्राप्त कीजिए।

उत्तर प्रक्षेप्य दो गोलियों के गुरुत्वाकर्षण बलों के अंतर्गत रहता है। उदासीन बिंदु N (चित्र 7.10 देखें) वह स्थिति है जहां दोनों बल एक दूसरे को बराबर रूप से विपरीत कर देते हैं। यदि $\mathrm{ON}=r$, तो हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & \frac{G M m}{r^{2}}=\frac{4 G M m}{(6 R-r)^{2}} \\ & (6 R-r)^{2}=4 r^{2} \\ & 6 R-r= \pm 2 r \\ & r=2 R \text { या }-6 R . \end{aligned} $$

उदासीन बिंदु $r=-6 R$ इस उदाहरण में हमारे लिए नहीं है। इसलिए $\mathrm{ON}=r=2 R$ है। यह पर्याप्त है कि कण को एक वेग से प्रक्षेपित किया जाए जो इसे $\mathrm{N}$ तक पहुंचने की अनुमति दे। उसके बाद $4 M$ के बड़े गुरुत्वाकर्षण बल के लिए पर्याप्त हो जाएगा। $M$ के सतह पर यांत्रिक ऊर्जा है:

$$ E_{i}=\frac{1}{2} m v^{2}-\frac{G M m}{R}-\frac{4 G M m}{5 R} . $$

उदासीन बिंदु $N$ पर वेग शून्य कर देता है। $\mathrm{N}$ पर यांत्रिक ऊर्जा शुद्ध गुरुत्वीय होती है।

$$ E_{N}=-\frac{G M m}{2 R}-\frac{4 G M m}{4 R} $$

यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत से

$$ \frac{1}{2} v^{2}-\frac{G M}{R}-\frac{4 G M}{5 R}=-\frac{G M}{2 R}-\frac{G M}{R} $$

या

$$ \begin{aligned} & v^{2}=\frac{2 G M}{R} \left(\frac{4}{5}-\frac{1}{2}\right)\\ & v=\left(\frac{3 G M}{5 R}\right)^{1 / 2} \end{aligned} $$

एक बात ध्यान देने योग्य है कि प्रक्षेप्य की गति $\mathrm{N}$ पर शून्य होती है, लेकिन जब यह भारी गोले $4 M$ पर टकराता है तब इसकी गति शून्य नहीं होती। इस गति की गणना छात्रों को अभ्यास के रूप में छोड़ दी गई है।

7.9 पृथ्वी के उपग्रह

पृथ्वी के उपग्रह वे वस्तुएं हैं जो पृथ्वी के चारों ओर घूमती हैं। उनकी गति ग्रहों की सूर्य के चारों ओर घूमने की गति के बहुत समान होती है और इसलिए केपलर के ग्रहों के गति के नियम उन पर भी लागू होते हैं। विशेष रूप से, उनके पृथ्वी के चारों ओर की कक्षाएं वृत्ताकार या अतिवृत्तीय होती हैं। चांद पृथ्वी का एकमात्र प्राकृतिक उपग्रह है, जिसकी कक्षा लगभग वृत्ताकार होती है और इसका आवर्तकाल लगभग 27.3 दिन होता है, जो चांद के अपने अक्ष के चारों ओर घूमने के आवर्तकाल के लगभग बराबर होता है। 1957 से तकनीकी प्रगति के कारण कई देशों, भारत सहित, टेलीकम्युनिकेशन, भूवैज्ञानिक और मौसम विज्ञान जैसे क्षेत्रों में व्यावहारिक उपयोग के लिए नैतिक उपग्रह लॉन्च करने में सक्षम हो गए हैं।

हम एक उपग्रह के बारे में विचार करेंगे जो पृथ्वी के केंद्र से $\left(R_E+h\right)$ दूरी पर एक वृत्ताकार कक्षा में है, जहाँ $R_E=$ पृथ्वी की त्रिज्या है। यदि $m$ उपग्रह के द्रव्यमान है और $V$ इसकी गति है, तो इस कक्षा के लिए आवश्यक केंद्रापाश बल है

$$ \begin{equation*} \mathrm{F}(\text { केंद्रापाश })=\frac{m V^{2}}{\left(R_{E}+h\right)} \tag{7.33} \end{equation*} $$

इस बल की दिशा केंद्र की ओर होती है। यह केंद्रापाश बल गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है, जो है

$$ \begin{equation*} \mathrm{F}(\text { गुरुत्वाकर्षण })=\frac{G m M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} \tag{7.34} \end{equation*} $$

जहाँ $M_{E}$ पृथ्वी के द्रव्यमान है।

समीकरण (7.33) और (7.34) के दाहिने पक्ष के बराबर करके और $m$ को विलोपित करके, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} V^{2}=\frac{G M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)} \tag{7.35} \end{equation*} $$

इस प्रकार $V$ जब $h$ बढ़ता है तो घटता है। समीकरण (7.35) से, $h=0$ के लिए गति $V$ है

$$ \begin{equation*} V^{2}(h=0)=G M / R_{E}=g R_{E} \tag{7.36} \end{equation*} $$

जहाँ हम निम्न संबंध $g=G M / R_{E}{ }^{2}$ का उपयोग करते हैं। प्रत्येक कक्षा में, उपग्रह $2 \pi\left(R_{E}+h\right)$ की दूरी को गति $V$ से तय करता है। इसका समय अवधि $T$ अतः है

$$ \begin{equation*} T=\frac{2 \pi\left(R_{E}+h\right)}{V}=\frac{2 \pi\left(R_{E}+h\right)^{3 / 2}}{\sqrt{G M_{E}}} \tag{7.37} \end{equation*} $$

समीकरण (7.35) में $V$ के मान के प्रतिस्थापन के बाद।

समीकरण (7.37) के दोनों तरफ वर्ग करने पर हम प्राप्त करते हैं

$T^{2}=k\left(R_{E}+h\right)^{3} \quad$ जहाँ $$\left(k=4 \pi^{2} / G M_{E}\right)\tag{7.38}$$

जो कि गैलिलियो के आवर्तकाल के नियम के रूप में उपयोग किया जाता है, जो पृथ्वी के चारों घूमते हुए उपग्रहों के गति के लिए लागू होता है। एक उपग्रह जो पृथ्वी के सतह के बहुत करीब हो तो समीकरण (7.38) में $h$ को $R_{E}$ की तुलना में नगण्य माना जा सकता है। इसलिए, ऐसे उपग्रहों के लिए $T$ को $T_{0}$ के रूप में लिया जा सकता है, जहाँ

$$ \begin{equation*} T_{0}=2 \pi \sqrt{R_{E} / g} \tag{7

उत्तर (i) हम समीकरण (7.38) का उपयोग करते हैं, जहाँ सूर्य के द्रव्यमान को मंगल के द्रव्यमान $M_{m}$ से बदल दिया गया है

$$ \begin{aligned} & T^{2}=\frac{4 \pi^{2}}{G M_{m}} R^{3} \\ \\ & \mathrm{M}_m=\frac{4 \pi^{2}}{G} \frac{R^3}{T^2} \\ \\ & =\frac{4 \times(3.14)^2 \times(9.4)^3 \times 10^{18}}{6.67 \times 10^{-11} \times(459 \times 60)^2} \\ \\ & \mathrm{M}_m=\frac{4 \times(3.14)^2 \times(9.4)^3 \times 10^{18}}{6.67 \times(4.59 \times 6)^2 \times 10^{-5}} \\ \\ & =6.48 \times 10^{23} \mathrm{~kg} . \end{aligned} $$

(ii) फिर से केपलर के तीसरे नियम हमारी मदद करता है,

$$ \frac{T_{M}^{2}}{T_{E}^{2}}=\frac{R_{M S}^{3}}{R_{E S}^{3}} $$

जहाँ $R_{M S}$ मंगल-सूर्य की दूरी है और $R_{E S}$ पृथ्वी-सूर्य की दूरी है।

$$ \therefore \quad T _{M}=(1.52)^{3 / 2} \times 365 $$

$$ =684 \text { दिन } $$

उत्तर समीकरण (7.12) से हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} & M_{E}=\frac{g R_{E}^{2}}{G} \\ \\ & =\frac{9.81 \times\left(6.37 \times 10^{6}\right)^{2}}{6.67 \times 10^{-11}} \\ \\ & =5.97 \times 10^{24} \mathrm{~kg} . \end{aligned} $$

चांद पृथ्वी का एक उपग्रह है। केपलर के तीसरे नियम के व्युत्पन्न से [समीकरण (7.38) देखें]

$$ \begin{aligned} & T^{2}=\frac{4 \pi^{2} R^{3}}{G M_{E}} \\ \\ & M_{E}=\frac{4 \pi^{2} R^{3}}{G T^{2}} \\ \\ & =\frac{4 \times 3.14 \times 3.14 \times(3.84)^{3} \times 10^{24}}{6.67 \times 10^{-11} \times(27.3 \times 24 \times 60 \times 60)^{2}} \\ \\ & =6.02 \times 10^{24} \mathrm{~kg} \end{aligned} $$

दोनों विधियाँ लगभग समान उत्तर देती हैं। उनके बीच का अंतर 1% से कम है।

उदाहरण 7.7 समीकरण (7.38) में नियतांक $k$ को दिन और किलोमीटर में व्यक्त करें। दिया गया है $\mathrm{k}=10^{-13} \mathrm{~s}^{2} \mathrm{~m}^{-3}$। चांद पृथ्वी से $3.84 \times 10^{5} \mathrm{~km}$ की दूरी पर है। इसके कक्षीय आवर्तकाल को दिन में प्राप्त करें।

उत्तर

दिया गया है

$$ \begin{aligned} & k=10^{-13} \mathrm{~s}^{2} \mathrm{~m}^{-3} \\ = & 10^{-13} \left[\frac{1}{(24 \times 60 \times 60)^{2}} \mathrm{~d}^{2} \right]\left[\frac{1}{(1 / 1000)^{3} \mathrm{~km}^{3}}\right] \\ = & 1.33 \times 10^{-14} \mathrm{~d}^{2} \mathrm{~km}^{-3} \end{aligned} $$

समीकरण (7.38) और दिए गए मान के उपयोग से चांद के आवर्तकाल की गणना करने पर

$$ \begin{aligned} & T^{2}=\left(1.33 \times 10^{-14}\right)\left(3.84 \times 10^{5}\right)^{3} \\ & T=27.3 \mathrm{~d} \end{aligned} $$

ध्यान दें कि समीकरण (7.38) यदि हम वृत्तीय कक्षा के स्थान पर दीर्घवृत्तीय कक्षा के अक्ष के अर्ध अक्ष को लें तो भी लागू होता है। इस दीर्घवृत्तीय कक्षा के एक फोकस पर पृथ्वी होगी।

7.10 घूर्णन करते हुए उपग्रह की ऊर्जा

समीकरण (7.35) का उपयोग करके, चाल $v$ के साथ एक वृत्तीय कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा है

$$ K . E=\frac{1}{2} m v^{2} $$

$$ \begin{equation*} =\frac{G m M _{E}}{2\left(R _{E}+h\right)} \tag{7.40} \end{equation*} $$

गुरुत्वीय संभावना अनंत पर शून्य माने जाते हैं, तो पृथ्वी केंद्र से दूरी $(\mathrm{R}+\mathrm{h})$ पर संभावना ऊर्जा है

$$ \begin{equation*} P . E=-\frac{G m M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)} \tag{7.41} \end{equation*} $$

K.E धनात्मक होता है जबकि P.E नकारात्मक होता है। हालांकि, मान के अनुसार K.E P.E के आधा होता है, ताकि कुल ऊर्जा होती है

$$ \begin{equation*} E=K . E+P . E=-\frac{G m M_{E}}{2\left(R_{E}+h\right)} \tag{7.42} \end{equation*} $$

एक वृत्तीय कक्षा में घूमते हुए उपग्रह की कुल ऊर्जा इसलिए नकारात्मक होती है, साथ ही विभव ऊर्जा नकारात्मक होती है लेकिन धनात्मक किनेटिक ऊर्जा के मान के दोगुनी होती है।

जब एक उपग्रह की कक्षा अतिपराबैंगनी बन जाती है, तो उसकी K.E और P.E बिंदु से बिंदु तक बदलती रहती है। कुल ऊर्जा जो स्थिर रहती है वह वृत्तीय कक्षा के मामले में भी नकारात्मक होती है। यह हमें उम्मीद है, क्योंकि जैसे हम पहले चर्चा कर चुके हैं, यदि कुल ऊर्जा धनात्मक या शून्य होती है, तो वस्तु अनंत तक भाग जाती है। उपग्रह हमेशा पृथ्वी से अंतिम दूरी पर होते हैं और इसलिए उनकी ऊर्जा धनात्मक या शून्य नहीं हो सकती।

उदाहरण 7.8 एक $400 \mathrm{~kg}$ उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर $2 R_{E}$ त्रिज्या के वृत्तीय कक्षा में है। इसे $4 R_{E}$ त्रिज्या के वृत्तीय कक्षा में स्थानांतरित करने के लिए कितनी ऊर्जा की आवश्यकता होती है? किनेटिक और विभव ऊर्जा में क्या परिवर्तन होता है?

उत्तर प्रारंभ में,

$$ E_{i}=-\frac{G M_{E} m}{4 R_{E}} $$

अंत में

$$ E_{f}=-\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}} $$

कुल ऊर्जा में परिवर्तन है

$$\Delta E=E_{f}-E_{i}$$

$$ =\frac{G M_{E} m}{8 R_{E}}=\left(\frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}}\right) \frac{m R_{E}}{8} $$

$$ \Delta E=\frac{g m R_{E}}{8}=\frac{9.81 \times 400 \times 6.37 \times 10^{6}}{8}=3.13 \times 10^{9} \mathrm{~J} $$

किनेटिक ऊर्जा कम हो जाती है और यह $\Delta E$ के समान है, अर्थात, $\Delta K=K_{f}-K_{i}=-3.13 \times 10^{9} \mathrm{~J}$।

otential ऊर्जा में परिवर्तन कुल ऊर्जा में परिवर्तन के दोगुना है, अर्थात

$$ \Delta V=V_{f}-V_{i}=-6.25 \times 10^{9} \mathrm{~J} $$

सार

1. न्यूटन के सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, किसी भी दो कणों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल के आकर्षण के मापदंड के बराबर होता है, जिनके द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ है और उनके बीच दूरी $r$ है।

$$ F=G \frac{m_1 m_2}{r^2} $$

जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है, जिसका मान $6.672 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^2 \mathrm{~kg}^{-2}$ है।

2. यदि हम कण m पर एक संख्या में द्रव्यमान $M_1, M_2, \ldots . M_n$ आदि के कारण गुरुत्वाकर्षण बल का परिणामी बल ज्ञात करना पड़े, तो हम सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $F_1, F_2, \ldots . F_n$ क्रमशः $M_1, M_2, \ldots . M_n$ के कारण व्यक्तिगत बल हैं जो गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिए गए हैं। सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक बल अन्य द्रव्यमानों के द्वारा प्रभावित नहीं होता है और स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। परिणामी बल $F_R$ वेक्टर जोड़ के द्वारा ज्ञात किया जाता है

$$ F_R=F_1+F_2+\ldots \ldots+F_n=\sum_{i=1}^n F_i $$

जहाँ ’ $\Sigma$ ’ चिन्ह योग को निरूपित करता है।

3. केपलर के ग्रह गति के नियम यह कहते हैं कि (a) सभी ग्रह अतिपरवलयी कक्षाओं में गति करते हैं जिनमें सूर्य एक फोकल बिंदु पर होता है (b) सूर्य से ग्रह तक खींचे गए त्रिज्या वेक्टर बराबर समय अंतराल में बराबर क्षेत्रफल तय करते हैं। यह तथ्य यह बताता है कि ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय होता है और अतः कोणीय संवेग संरक्षित रहता है। (c) ग्रह की कक्षा काल का वर्ग उसकी अतिपरवलयी कक्षा के अर्ध अक्ष के घन के समानुपाती होता है।

कक्षा में ग्रह के वृत्तीय वृत्त के आवर्तकाल $T$ और त्रिज्या $R$ सूर्य के प्रति संबंधित होते हैं:

$$ T^2=\left(\frac{4 \pi^2}{G M_{\mathrm{s}}}\right) R^3 $$

4. गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण।

(a) पृथ्वी के सतह से $h$ ऊंचाई पर

$$ \begin{aligned} & g(h)=\frac{G M_{E}}{\left(R_{E}+h\right)^{2}} \\ \\ & = \frac{G M_{E}}{R_{E}^{2}} \left(1-\frac{2 h}{R_{E}}\right) \quad \text { for } h < < R_{E} \end{aligned} $$

$$ g(h)=g(0)\left(1-\frac{2 h}{R_E}\right) \text { where } g(0)=\frac{G M_E}{R_E^2} $$

(b) पृथ्वी के सतह से $d$ गहराई पर

$ g(d)=\frac{G M_E}{R_E^2}\left(1-\frac{d}{R_E}\right)=g(0)\left(1-\frac{d}{R_E}\right) $

5. गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षित बल होता है, इसलिए एक संभावना ऊर्जा फ़ंक्शन परिभाषित किया जा सकता है। दो कणों के बीच दूरी $r$ पर संबंधित गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$$ V=-\frac{G m_1 m_2}{r} $$

जहाँ $V$ को $r \rightarrow \infty$ पर शून्य माना जाता है। कणों के एक प्रणाली के कुल संभावना ऊर्जा को सभी कण युग्मों के ऊर्जा के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहाँ प्रत्येक युग्म को उपरोक्त समीकरण के रूप में एक शब्द द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है। यह निर्देश अधिरोधन के सिद्धांत से अपनाया जाता है।

6. यदि एक अनुपस्थित निकाय में, द्रव्यमान $M$ के एक भारी वस्तु के पास द्रव्यमान $m$ के एक कण $v$ वेग से गति कर रहा है, तो कण की कुल यांत्रिक ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ E=\frac{1}{2} m v^2-\frac{G M m}{r} $$

अर्थात, कुल यांत्रिक ऊर्जा गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है। कुल ऊर्जा गति के एक नियतांक होती है।

7. यदि $m$ द्रव्यमान $M$ के एक वृत्तीय कक्षा में गति करता है जिसकी त्रिज्या $a$ है और $M \gg m$ है, तो निकाय की कुल ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ E=-\frac{G M m}{2 a} $$

जहां ऊर्जा के संभाव्य विभेद के अनुपाती नियतांक के चयन को उपरोक्त बिंदु 5 में दिया गया है। कुल ऊर्जा कोई बंध निकाय के लिए नकारात्मक होती है, अर्थात, जिसमें कक्षा बंद होती है, जैसे कि अतिपराबैंगनी कक्षा। गतिज और स्थितिज ऊर्जा निम्नलिखित हैं

$$ \begin{aligned} & K=\frac{G M m}{2 a} \ & V=-\frac{G M m}{a} \end{aligned} $$

8. पृथ्वी के सतह से भाग निकलने की गति है

$$ v_e=\sqrt{\frac{2 G M_E}{R_E}}=\sqrt{2 g R_E} $$

और इसका मान $11.2 \mathrm{~km} \mathrm{~s}^{-1}$ होता है।

9. यदि एक कण एक समान गोलीय खोल या ठोस गोले के बाहर हो जहां आंतरिक द्रव्यमान वितरण गोलीय सममिति के रूप में हो, तो गोला या खोल उस कण को गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा आकर्षित करता है जैसे कि गोले या खोल का द्रव्यमान केंद्र में संकेंद्रित हो।

10. यदि एक कण एक समान गोलीय खोल के भीतर हो, तो उस कण पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है। यदि एक कण एक समान ठोस गोले के भीतर हो, तो उस कण पर बल केंद्र की ओर कार्य करता है। यह बल उस कण के भीतर स्थित गोलीय द्रव्यमान द्वारा लगाया जाता है।

| गुरुत्वाकर्षण
तीव्रता | $\mathbf{E}$
या $\mathbf{g}$ | $\left[\mathrm{LT}^{-2}\right]$ | $\mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ | $\frac{G M}{r^{2}} \hat{\mathrm{r}}$
(सदिश) |

सोचने वाले बिंदु

1. एक वस्तु के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के अंतर्गत गति के अध्ययन में निम्नलिखित राशियाँ संरक्षित रहती हैं: (a) कोणीय संवेग (b) कुल यांत्रिक ऊर्जा

रैखिक संवेग संरक्षित नहीं रहता

2. कोणीय संवेग के संरक्षण के कारण केप्लर का दूसरा नियम उत्पन्न होता है। हालांकि, यह गुरुत्वाकर्षण के व्युत्क्रम वर्ग नियम के विशिष्ट नहीं है। यह किसी भी केंद्रीय बल के लिए लागू होता है।

3. केप्लर के तीसरे नियम (देखें समीकरण 7.1) और $T^2=K_{\mathrm{s}} R^3$। नियतांक $K_{\mathrm{s}}$ सभी वृत्तीय कक्षाओं में घूमते ग्रहों के लिए समान होता है। यह पृथ्वी के चारों घूमते उपग्रहों के लिए भी लागू होता है [समीकरण (7.38)]।

4. एक अंतरिक्ष अभियानी अंतरिक्ष उपग्रह में भारहीनता का अनुभव करता है। इसका कारण इस स्थान पर गुरुत्वाकर्षण बल कम होना नहीं है। यह इसलिए है क्योंकि अंतरिक्ष अभियानी और उपग्रह दोनों पृथ्वी की ओर “मुक्त गिरावट” में हैं।

5. दो कणों के बीच की दूरी $r$ होने पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के संबंध में निम्नलिखित सूत्र दिया जाता है

$$ V=-\frac{G m_1 m_2}{r}+\text { constant } $$

इस नियतांक को किसी भी मान दिया जा सकता है। सरलतम चयन इस नियतांक को शून्य लेना है। इस चयन के साथ

$$ V=-\frac{G m_1 m 2}{r} $$

इस चयन का अर्थ यह है कि $V \rightarrow 0$ जब $r \rightarrow \infty$ हो। गुरुत्वीय ऊर्जा के शून्य बिंदु के चयन करना संभावित ऊर्जा में अनिश्चित नियतांक के चयन के समान है। ध्यान दें कि गुरुत्वीय बल के चयन द्वारा इस नियतांक के चयन द्वारा बल बदल नहीं होता।

6. एक वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा इसकी गतिज ऊर्जा (जो हमेशा धनात्मक होती है) और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है। अनंत (अर्थात यदि हम मान लें कि वस्तु की अनंत पर स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है) के संदर्भ में, एक वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा नकारात्मक होती है। उपग्रह की कुल ऊर्जा नकारात्मक होती है।

7. सामान्य रूप से पाए जाने वाले $m g h$ के व्यंजक विन्यास बिंदु 6 में चर्चा की गई गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के अंतर के एक अनुमान है।

8. यद्यपि दो कणों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय होता है, दो असीमित ठोस वस्तुओं के बीच बल आवश्यक रूप से उनके द्रव्यमान केंद्र को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश नहीं होता। हालांकि, एक गोलाकार सममिति वाले वस्तु के बाहर एक कण पर बल जैसे ही वह द्रव्यमान केंद्र पर केंद्रित हो रहा होता है और इसलिए यह बल केंद्रीय होता है।

9. एक गोलीय कोश के भीतर एक कण पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होता है। हालांकि, (एक धातु के कोश जो विद्युत बलों को छाँट देता है के विपरीत) यह कोश बाहरी वस्तुओं के बल को भीतर के कण पर गुरुत्वाकर्षण बल डालने से रोक नहीं सकता। गुरुत्वाकर्षण छाँटना संभव नहीं है।

अभ्यास

7.1 निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

(a) आप एक खाली चालक के भीतर रखकर एक आवेश को विद्युत बलों से बचा सकते हैं। क्या आप एक खाली गोलीय खोल में रखकर एक वस्तु को पास के पदार्थ के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचा सकते हैं या कोई अन्य तरीका हो सकता है?

(b) एक अंतरिक्ष यात्री जो पृथ्वी के चारों ओर घूमते हुए छोटे अंतरिक्ष यान में है, गुरुत्व का अनुभव नहीं कर सकता। यदि पृथ्वी के चारों ओर घूमते हुए अंतरिक्ज यान का आकार बहुत बड़ा हो, तो क्या वह गुरुत्व का अनुभव कर सकता है?

(c) यदि आप सूर्य के कारण पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण बल को चांद के कारण गुरुत्वाकर्षण बल के साथ तुलना करें, तो आप देख सकते हैं कि सूर्य का आकर्षण चांद के आकर्षण से अधिक होता है। (आप अगले अभ्यास में उपलब्ध डेटा का उपयोग करके इसे स्वयं जांच सकते हैं)। हालांकि, चांद के आकर्षण का ज्वारीय प्रभाव सूर्य के आकर्षण के ज्वारीय प्रभाव से अधिक होता है। क्यों?

7.2 सही विकल्प का चयन करें :

(a) ऊंचाई बढ़ने के साथ-साथ गुरुत्व त्वरण बढ़ता/घटता होता है।

(b) गहराई बढ़ने के साथ-साथ गुरुत्व त्वरण बढ़ता/घटता होता है (मान लीजिए कि पृथ्वी एक समान घनत्व वाले गोले के रूप में है)।

(c) गुरुत्व त्वरण पृथ्वी के द्रव्यमान/वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता।

(d) सूत्र $-\operatorname{Mm}\left(1 / r_{2}-1 / r_{1}\right)$, पृथ्वी के केंद्र से $r_{2}$ और $r_{1}$ दूरी पर दो बिंदुओं के विभव ऊर्जा के अंतर के लिए सूत्र $m g\left(r_{2}-r_{1}\right)$ की तुलना में अधिक/कम सटीक है।

7.3 मान लीजिए कि एक ग्रह है जो सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की तुलना में दुगुनी तेजी से घूमता है। पृथ्वी के तुलना में इस ग्रह के कक्षीय आकार कैसा होगा?

7.4 जूपिटर के उपग्रहों में से एक, आईओ, के कक्षीय अवधि 1.769 दिन है और कक्षा की त्रिज्या $4.22 \times 10^{8} \mathrm{~m}$ है। दिखाएं कि जूपिटर का द्रव्यमान सूर्य के द्रव्यमान के लगभग एक हजारवें हिस्सा है।

7.5 मान लीजिए कि हमारा गैलेक्सी $2.5 \times 10^{11}$ सौर द्रव्यमान वाले तारों से बना है। एक तार के गैलेक्सी केंद्र से 50,000 लाइट वर्ष की दूरी पर एक चक्र पूरा करने में कितना समय लगेगा? मिल्की वे के व्यास को $10^{5} \mathrm{ly}$ मान लीजिए।

7.6 सही विकल्प का चयन करें:

(a) यदि संभावना ऊर्जा के शून्य अनंत पर है, तो एक घूमते हुए उपग्रह की कुल ऊर्जा इसकी गतिज ऊर्जा/संभावना ऊर्जा के ऋणात्मक होती है।

(b) एक घूमते हुए उपग्रह को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा, एक स्थिर वस्तु को उसी ऊँचाई पर (उपग्रह के समान) पृथ्वी के प्रभाव से बाहर निकालने के लिए आवश्यक ऊर्जा के अधिक/कम होती है।

7.7 क्या एक वस्तु के पृथ्वी से भाग निकलने की गति निम्न पर निर्भर करती है?

(a) वस्तु के द्रव्यमान पर,

(b) इसके प्रक्षेपण के स्थान पर,

(c) प्रक्षेपण की दिशा पर,

(d) वस्तु के प्रक्षेपण के स्थान की ऊंचाई पर?

7.8 एक कमेट एक बहुत अवतल ऑर्बिट में सूर्य के चारों ओर घूमता है। कमेट के ऑर्बिट में इसके घूमने के दौरान (a) रेखीय गति, (b) कोणीय गति, (c) कोणीय संवेग, (d) गतिज ऊर्जा, (e) स्थितिज ऊर्जा, (f) कुल ऊर्जा स्थिर रहती है? सूर्य के बहुत करीब आने पर कमेट के कोई द्रव्यमान क्षय नगण्य मान लें।

7.9 अंतरिक्ष में एक अंतरिक्ष यात्री के निम्नलिखित किस लक्षण के कारण पीड़ित हो सकता है (a) फूले हुए पैर, (b) फूले हुए चेहरा, (c) सिरदर्द, (d) ओरिएंटेशन समस्या।

7.10 निम्नलिखित दो अभ्यासों में से सही उत्तर को दिए गए विकल्पों में से चुनें: एक समान द्रव्यमान घनत्व वाले अर्धगोलीय शेल के केंद्र पर गुरुत्वीय तीव्रता की दिशा आरेख द्वारा दिखाई गई है (देखें चित्र 7.11) (i) a, (ii) b, (iii) c, (iv) 0.

चित्र 7.11

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उत्तर

(iii)

गुरुत्वीय संभावना $(V)$ एक गोलीय शेल के सभी बिंदुओं पर स्थिर होती है। अतः गुरुत्वीय संभावना घटक $(\frac{d V}{d r})$ गोलीय शेल के अंदर सभी बिंदुओं पर शून्य होता है। गुरुत्वीय संभावना घटक गुरुत्वीय तीव्रता के नकारात्मक होता है। अतः गोलीय शेल के अंदर सभी बिंदुओं पर तीव्रता भी शून्य होती है। इसका अर्थ है कि गोलीय शेल के एक बिंदु पर कार्य करने वाले गुरुत्वीय बल सममित होते हैं।

अगर एक गोलीय शेल के ऊपरी आधा हिस्सा काट दिया जाए (जैसा कि दिए गए चित्र में दिखाया गया है), तो केंद्र $O$ पर स्थित कण पर कार्य करने वाला नेट गुरुत्वीय बल नीचे की दिशा में होगा।

किसी बिंदु पर गुरुत्वीय तीव्रता को उस बिंदु पर इकाई द्रव्यमान पर लगने वाले गुरुत्वीय बल के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए यह भी नीचे की ओर कार्य करेगी। इसलिए, दिए गए अर्धगोलीय खोल के केंद्र $O$ पर गुरुत्वीय तीव्रता की दिशा $\to \mathbf{c}$ के रूप में दिखाई गई है।

7.11 उपरोक्त समस्या के लिए, किसी अस्थिर बिंदु $\mathrm{P}$ पर गुरुत्वीय तीव्रता की दिशा दिखाई गई है (i) $\mathrm{d}$, (ii) e, (iii) $\mathrm{f}$, (iv) $\mathrm{g}$।

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Answer

(ii)

गुरुत्वीय संभावना $(V)$ एक गोलीय खोल के सभी बिंदुओं पर स्थिर होती है। इसलिए, गुरुत्वीय संभावना ग्रेडिएंट $(\frac{d V}{d r})$ गोलीय खोल के भीतर सभी बिंदुओं पर शून्य होता है। गुरुत्वीय संभावना ग्रेडिएंट गुरुत्वीय तीव्रता के ऋणात्मक बराबर होता है। इसलिए, गोलीय खोल के भीतर सभी बिंदुओं पर तीव्रता भी शून्य होती है। इससे गोलीय खोल के भीतर किसी बिंदु पर कार्य करने वाले गुरुत्वीय बल सममित होते हैं।

यदि एक गोलीय खोल के ऊपरी भाग को काट दिया जाए (जैसा कि दिए गए चित्र में दिखाया गया है), तो किसी अस्थिर बिंदु $P$ पर कार्य करने वाला शुद्ध गुरुत्वीय बल नीचे की ओर होगा।

किसी बिंदु पर गुरुत्वीय तीव्रता को उस बिंदु पर इकाई द्रव्यमान पर लगने वाले गुरुत्वीय बल के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए यह भी नीचे की ओर कार्य करेगी। इसलिए, अर्धगोलीय खोल के किसी अस्थिर बिंदु $P$ पर गुरुत्वीय तीव्रता की दिशा $\to \mathbf{e}$ के रूप में दिखाई गई है।

7.12 एक रॉकेट पृथ्वी से सूर्य की ओर छोड़ा जाता है। पृथ्वी के केंद्र से किस दूरी पर रॉकेट पर गुरुत्वीय बल शून्य होगा? सूर्य का द्रव्यमान $=2 \times 10^{30} \mathrm{~kg}$, पृथ्वी का द्रव्यमान $=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$. अन्य ग्रहों आदि के प्रभाव को नगण्य मान लें (कक्षीय त्रिज्या $=1.5 \times 10^{11} \mathrm{~m}$)।

उत्तर दिखाएं

उत्तर

सूर्य का द्रव्यमान, $M_s=2 \times 10^{30} kg$

पृथ्वी का द्रव्यमान, $M_e=6 \times 10^{24} kg$

कक्षीय त्रिज्या, $r=1.5 \times 10^{11} m$

रॉकेट का द्रव्यमान $=m$

मान लीजिए $x$ पृथ्वी के केंद्र से वह दूरी है जहां उपग्रह $P$ पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य हो जाता है।

न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार, हम उपग्रह $P$ पर सूर्य और पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर कर सकते हैं:

$\frac{G m M_s}{(r-x)^{2}}=G m \frac{M_e}{x^{2}}$

$(\frac{r-x}{x})^{2}=\frac{M_s}{M_e}$

$\frac{r-x}{x}=(\frac{2 \times 10^{30}}{60 \times 10^{24}})^{\frac{1}{2}}=577.35$

$1.5 \times 10^{11}-x=577.35 x$

$578.35 x=1.5 \times 10^{11}$

$x=\frac{1.5 \times 10^{11}}{578.35}=2.59 \times 10^{8} m$

7.13 आप कैसे ‘सूर्य के भार की गणना करेंगे’, अर्थात इसके द्रव्यमान का अनुमान लगाएंगे? पृथ्वी के सूर्य के चारों ओर कक्षीय औसत त्रिज्या $1.5 \times 10^{8} \mathrm{~km}$ है।

7.14 सैटुर्न का वर्ष पृथ्वी के वर्ष के 29.5 गुना है। यदि पृथ्वी सूर्य से $1.50 \times 10^{8} \mathrm{~km}$ दूर है, तो सैटुर्न सूर्य से कितनी दूर है?

7.15 पृथ्वी की सतह पर एक वस्तु का भार $63 \mathrm{~N}$ है। यदि उस वस्तु के भार की गुरुत्वाकर्षण बल की गणना एक त्रिज्या के आधे ऊंचाई पर की जाए तो वह कितना होगा?

7.16 मान लीजिए पृथ्वी एक एकसमान द्रव्यमान घनत्व वाले गोले के रूप में है, तो यदि एक वस्तु पृथ्वी के केंद्र तक आधे गहराई पर हो तो वह वस्तु का भार कितना होगा यदि उसका पृथ्वी की सतह पर भार $250 \mathrm{~N}$ हो?

उत्प्रेरक भूमि से एक चाल द्वारा $5 \mathrm{~km} \mathrm{~s}^{-1}$ के वेग से ऊपर छोड़ा जाता है। भूमि से कितनी दूर उत्प्रेरक भूमि तक वापस आने से पहले जाता है? भूमि के द्रव्यमान $=6.0 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$; भूमि की औसत त्रिज्या $=6.4 \times 10^{6} \mathrm{~m}$; $G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg}^{-2}$।

7.18 पृथ्वी के सतह पर एक प्रक्षेप्य के भाग वेग के विस्फोट वेग के लिए $11.2 \mathrm{~km} \mathrm{~s}^{-1}$ है। एक वस्तु को इस वेग के तीन गुना वेग से प्रक्षेपित किया जाता है। जब वस्तु पृथ्वी से बहुत दूर जाती है तो वस्तु की गति क्या होगी? सूर्य और अन्य ग्रहों की उपस्थिति को नगण्य मान लें।

7.19 एक उपग्रह पृथ्वी के सतह से $400 \mathrm{~km}$ की ऊंचाई पर घूमता है। पृथ्वी के गुरुत्वीय प्रभाव से बाहर ले जाने के लिए कितनी ऊर्जा के विस्फोट करनी पड़ेगी? उपग्रह के द्रव्यमान $=200 \mathrm{~kg}$; पृथ्वी के द्रव्यमान $=6.0 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$; पृथ्वी की त्रिज्या $=6.4 \times 10^{6} \mathrm{~m} ; G=6.67 \times 10^{-11} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~kg}^{-2}$.

7.20 दो तारे, जिनमें से प्रत्येक का द्रव्यमान एक सौर द्रव्यमान $\left(=2 \times 10^{30} \mathrm{~kg}\right)$ है, एक दूसरे के लक्ष्य की ओर आ रहे हैं। जब वे $10^{9} \mathrm{~km}$ की दूरी पर होते हैं, तो उनकी गति नगण्य होती है। उनके टकराने की गति क्या होगी? प्रत्येक तारे की त्रिज्या $10^{4} \mathrm{~km}$ है। मान लीजिए कि तारे तकराने तक अविकृत रहते हैं। (ज्ञात मान का उपयोग करें $G$ )।

7.21 दो भारी गोले, प्रत्येक के द्रव्यमान $100 \mathrm{~kg}$ और त्रिज्या $0.10 \mathrm{~m}$ है, एक क्षैतिज मेज पर $1.0 \mathrm{~m}$ की दूरी पर रखे गए हैं। गुरुत्वाकर्षण बल और संभावना केंद्रों के बीच रेखा के मध्य बिंदु पर क्या होगी? यदि बिंदु पर एक वस्तु रखी जाए तो वह संतुलन में होगी या नहीं? यदि संतुलन में हो तो यह स्थायी या अस्थायी होगा?

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Answer

0 ;

$-2.7 \times 10^{-8} J / kg$;

हाँ;

अस्थायी

Explanation:

दिए गए चित्र में स्थिति को दर्शाया गया है:

प्रत्येक गोले का द्रव्यमान, $M=100 kg$

गोलों के बीच अलगाव, $r=1 m$

$X$ गोलों के बीच का मध्य बिंदु है। बिंदु $X$ पर गुरुत्वाकर्षण बल शून्य होगा। इसका कारण यह है कि प्रत्येक गोले द्वारा लगाए गए गुरुत्वाकर्षण बल विपरीत दिशा में कार्य करेंगे।

बिंदु $X$ पर गुरुत्वाकर्षण संभावना:

$ \begin{aligned} & =\frac{-G M}{(\frac{r}{2})}-\frac{G M}{(\frac{r}{2})}=-4 \frac{G M}{r} \\ & =\frac{4 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 100}{1} \\ & =-2.67 \times 10^{-8} J / kg \end{aligned} $

किसी वस्तु को बिंदु $X$ पर रखने पर वह संतुलन में होगी, लेकिन यह अस्थायी संतुलन है। इसका कारण यह है कि वस्तु के स्थिति में कोई परिवर्तन उस दिशा में प्रभावी बल को बदल देगा।