6.1 परिचय

पिछले अध्यायों में हम मुख्य रूप से एक कण की गति की चर्चा करते आए हैं। (एक कण को आदर्श रूप से एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में प्रस्तुत किया जाता है जिसका आकार नहीं होता।) हम अपने अध्ययन के परिणामों को आकार रहित वस्तुओं की गति के लिए भी लागू करते हैं, जिसकी गति को एक कण की गति के आधार पर वर्णित कर लिया जाता है।

हम दैनिक जीवन में प्राप्त कोई भी वास्तविक वस्तु आकार रहित नहीं होती। विस्तारित वस्तुओं (आकार रहित वस्तुओं) की गति के संबंध में अक्सर आदर्श कण के मॉडल के उपयोग के लिए अपर्याप्त होता है। इस अध्याय में हम इस अपर्याप्तता के बाहर जाने की कोशिश करेंगे। हम विस्तारित वस्तुओं की गति के बारे में एक समझ के निर्माण की कोशिश करेंगे। पहले एक विस्तारित वस्तु एक कणों के तंत्र के रूप में होती है। हम तंत्र के समग्र गति के अध्ययन से शुरू करेंगे। कणों के तंत्र के द्रव्यमान केंद्र यहां एक महत्वपूर्ण अवधारणा होगी। हम कणों के तंत्र के द्रव्यमान केंद्र की गति के बारे में चर्चा करेंगे और इस अवधारणा के विस्तारित वस्तुओं की गति के अध्ययन में किस प्रकार उपयोगी होने के बारे में बात करेंगे।

एक विस्तारित शरीरों वाली समस्याओं के एक बड़े वर्ग को उन्हें ठोस शरीर मानकर हल किया जा सकता है। आदर्श रूप से एक ठोस शरीर एक ऐसा शरीर है जिसका आकार पूर्णतः निश्चित और अपरिवर्तनीय होता है। ऐसे शरीर के कणों के बीच दूरी बदलती नहीं होती। इस ठोस शरीर के परिभाषा से यह स्पष्ट है कि कोई वास्तविक शरीर वास्तव में ठोस नहीं हो सकता, क्योंकि वास्तविक शरीर बल के प्रभाव के अधीन विकृत हो जाते हैं। लेकिन कई स्थितियों में विकृतियाँ नगण्य होती हैं। कई स्थितियों में जहाँ शरीरों के बारे में बात की जाती है, जैसे कि चाकुओं, टॉप्स, स्टील बीम, अणु और ग्रहों के बारे में, हम उनके विकृत होने (आकार से बाहर घुम जाना), मोड़ या झूलन की बात नगण्य मान सकते हैं और उन्हें ठोस मान सकते हैं।

6.1.1 ठोस शरीर किस प्रकार के गति कर सकता है?

हम इस प्रश्न की खोज करने की कोशिश करते हैं ठोस शरीर के गति के कुछ उदाहरण लेकर। हम एक आयताकार ब्लॉक के गति के उदाहरण से शुरू करते हैं जो एक झुके हुए समतल पर लेटे बिना किसी ओर की गति के साथ नीचे खिसक रहा है। ब्लॉक को एक ठोस शरीर माना जाता है। इस शरीर के नीचे खिसकने की गति ऐसी होती है कि शरीर के सभी कण एक साथ गति करते हैं, अर्थात उनकी कोई भी समय के किसी भी बिंदु पर वेग समान होता है। यहाँ ठोस शरीर शुद्ध अनुसरण गति में है (चित्र 6.1)।

चित्र 6.1 एक ढलान पर एक ब्लॉक के गति के दौरान अनुसरण (स्लाइडिंग) गति (किसी भी समय किसी बिंदु जैसे P1 या P2 के ब्लॉक के समान वेग होता है।)

शुद्ध अनुसरण गति में किसी भी समय के सभी कणों के वेग समान होते हैं।

अब हम एक ठोस धातु या लकड़ी के सिलेंडर के ढलान पर गिरते हुए घूर्णन गति के बारे में सोचें (चित्र 6.2)। इस समस्या में ठोस वस्तु, जो सिलेंडर है, ढलान के शीर्ष से नीचे तक विस्थापित होती है और इसलिए इसे अनुसरण गति के रूप में देखा जा सकता है। लेकिन चित्र 6.2 दिखाता है कि किसी भी समय सभी कण एक ही वेग से गति नहीं कर रहे हैं। इसलिए, यह शुद्ध अनुसरण गति में नहीं है। इसकी गति अनुसरण गति प्लस ‘कुछ अन्य चीज’ है।

चित्र 6.2 एक बेलन के घूर्णन गति। यह शुद्ध अनुसूचक गति नहीं है। किसी भी समय बिंदु P1, P2, P3 और P4 के वेग अलग-अलग होते हैं (चार तीरों द्वारा दिखाया गया है)। वास्तव में, यदि बेलन फिसले बिना घूमता है, तो किसी भी समय बिंदु P3 के वेग शून्य होता है।

इस ‘कुछ अतिरिक्त’ के बारे में समझने के लिए, हम एक ऐसा ठोस शरीर ले लें जो अनुसूचक गति न कर सके। एक ठोस शरीर को अनुसूचक गति न कर सके इस तरह संकर्षित करने का सबसे आम तरीका उसे एक सीधी रेखा पर बांध देना होता है। ऐसे ठोस शरीर की एकमात्र संभावित गति घूर्णन होती है। शरीर के घूमने के बारे में रेखा या निश्चित अक्ष इसकी घूर्णन अक्ष होती है। अगर आप अपने आसपास देखते हैं, तो आप अक्ष के चारों ओर घूर्णन के कई उदाहरण देख सकते हैं, जैसे कि छत के फैन, एक बर्तन घुमाने वाले बालक या बाजार में एक बड़ा घूमने वाला वृत्त, एक मेर्री-गो-राउंड आदि (चित्र 6.3 (ए) और (ब))।

चित्र 6.3 निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन (a) सीलिंग फैन (b) एक बर्तन बनाने वाले चक्रवात का चक्र

चित्र 6.4 एक ठोस शरीर के निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन (शरीर के प्रत्येक बिंदु जैसे कि P1 या P2 घूर्णन अक्ष के केंद्र (C1 या C2) के चारों ओर एक वृत्त बनाता है। वृत्त की त्रिज्या (r1 या r2) बिंदु (P1 या P2) की घूर्णन अक्ष से लंब दूरी होती है। अक्ष पर बिंदु जैसे कि P3 स्थिर रहता है।)

हम घूर्णन के बारे में क्या समझ सकते हैं, घूर्णन के कौन से गुण अहम हैं। आप ध्यान दें कि एक ठोस शरीर के निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन में शरीर के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है, जो अक्ष के लंबवत तल में स्थित होता है और अक्ष पर अपना केंद्र रखता है। चित्र 6.4 में एक ठोस शरीर के निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति दिखाई गई है (संदर्भ फ्रेम के $z$-अक्ष)। मान लीजिए $P_1$ एक ठोस शरीर का एक कण है, जो अच्छी तरह से चुना गया है और निश्चित अक्ष से दूरी $r$ पर है। कण $P_1$ निश्चित अक्ष पर अपने केंद्र $C_1$ के चारों ओर त्रिज्या $r_1$ के वृत्त का घूर्णन करता है। वृत्त अक्ष के लंबवत तल में स्थित होता है। चित्र में एक अन्य कण $P_2$ भी दिखाया गया है, जो निश्चित अक्ष से दूरी $r_2$ पर है। कण $P_2$ अक्ष पर अपने केंद्र $C_2$ के चारों ओर त्रिज्या $r_2$ के वृत्त में गति करता है। यह वृत्त भी अक्ष के लंबवत तल में स्थित होता है। ध्यान दें कि $P_1$ और $P_2$ द्वारा बनाए गए वृत्त अलग-अलग तल में हो सकते हैं; हालांकि, दोनों तल निश्चित अक्ष के लंबवत होते हैं। अक्ष पर किसी भी कण जैसे कि $P_3$ के लिए $r=0$ होता है। ऐसे कण जब शरीर घूर्णन करता है तो स्थिर रहते हैं। यह अपेक्षित है क्योंकि घूर्णन अक्ष निश्चित है।

हालांकि, कुछ घूर्णन के उदाहरणों में अक्ष निश्चित नहीं हो सकता। ऐसे प्रकार के घूर्णन का एक प्रमुख उदाहरण एक स्थान पर घूमते टॉप है [चित्र 6.5(a)]। (हम मान लेते हैं कि टॉप स्थान से स्थान तक फिसले बिना घूमता है और इसलिए इसकी चालनी गति नहीं होती।) हम अपने अनुभव से जानते हैं कि इस प्रकार के घूमते टॉप के अक्ष इसके जमीन के संपर्क बिंदु से ऊर्ध्वाधर रेखा के चारों ओर घूमता है और चित्र 6.5(a) में दिखाए गए तरह एक शंकु बनाता है। (इस टॉप के अक्ष के ऊर्ध्वाधर रेखा के चारों ओर घूमने के इस गति को प्रेसेशन कहा जाता है।) ध्यान दें, टॉप के जमीन के संपर्क बिंदु निश्चित है। किसी भी समय टॉप के घूर्णन अक्ष इस संपर्क बिंदु से गुजरता है। इस प्रकार के घूर्णन के एक अन्य सरल उदाहरण झूलता हुआ मेज फैन या एक पैडेस्टल फैन है [चित्र 6.5(b)]। आप देख सकते हैं कि इस प्रकार के फैन के घूर्णन अक्ज के ऊर्ध्वाधर रेखा के चारों ओर एक क्षैतिज तल में एक ओर-से-दूसरी ओर झूलती हुई गति करता है (चित्र 6.5(b) में अक्ष के पिन के बिंदु O पर)।

चित्र 6.5 (a) एक घूमता खिलौना (खिलौने के बाहरी बिंदु O, जमीन के संपर्क बिंदु है, इसके बाहरी बिंदु O निश्चित है।)

चित्र 6.5 (b) एक आवर्ती टेबल फैन जिसके ब्लेड घूम रहे हैं। फैन के अक्ष के बिंदु O निश्चित है। फैन के ब्लेड घूर्णन गति में हैं, जबकि फैन के ब्लेड के घूर्णन अक्ष आवर्ती गति में हैं।

जब फैन घूमता है और अक्ष एक ओर खिसकता है, तब यह बिंदु निश्चित रहता है। इसलिए, घूर्णन के अधिक सामान्य मामलों में, जैसे कि एक खिलौने या एक पैडस्टल फैन के घूर्णन में, एक बिंदु और नहीं एक रेखा, ठोस वस्तु के निश्चित होता है। इस मामले में अक्ष निश्चित नहीं है, हालांकि यह हमेशा निश्चित बिंदु से गुजरता है। हमारे अध्ययन में, हालांकि, हम अधिक सरल और विशेष मामलों के घूर्णन के अध्ययन में लगभग लगातार लगातार घूर्णन के अक्ष के अध्ययन करते हैं।

**चित्र 6.6 (ए) **एक ठोस वस्तु के शुद्ध प्रसार गति के गति

चित्र 6.6 (ब) एक ठोस वस्तु के प्रसार एवं घूर्णन के संयोजन के गति

चित्र 6.6 (ए) एवं (ब) एक ही वस्तु के विभिन्न गतियों को दर्शाते हैं। ध्यान दें कि $P$ वस्तु के एक अस्थिर बिंदु है; $O$ वस्तु के द्रव्यमान केंद्र है, जो अगले अनुच्छेद में परिभाषित किया गया है। यहाँ यह कहना पर्याप्त है कि $O$ के पथ $ \mathrm{Tr_1} $ और $ \mathrm{Tr_2} $ वस्तु के प्रसार पथ हैं। दोनों चित्रों 6.6 (ए) एवं (ब) में तीन अलग-अलग समय के बिंदुओं पर $O$ और $P$ के स्थितियाँ $O_{1}, O_{2}$, और $O_{3}$, और $P_{1}, P_{2}$ और $P_{3}$ के रूप में दिखाई गई हैं। चित्र 6.6 (ए) से देखा जा सकता है कि किसी भी समय वस्तु के कोई भी कण जैसे $O$ और $P$ के वेग शुद्ध प्रसार में समान होते हैं। ध्यान दें कि इस मामले में $OP$ के घूर्णन कोण, अर्थात एक निश्चित दिशा, जैसे कि क्षैतिज दिशा, के साथ बनाया गया कोण, स्थिर रहता है, अर्थात $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}$. चित्र 6.6 (ब) एक प्रसार एवं घूर्णन के संयोजन के मामले को दर्शाता है। इस मामले में, किसी भी समय $O$ और $P$ के वेग अलग होते हैं। इसके अलावा, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ और $\alpha_{3}$ सभी अलग-अलग हो सकते हैं।

इसलिए, हमें घूर्णन केवल एक निश्चित अक्ष के चारों ओर होगा अगर अन्यथा न कहा गया हो।

एक सिलेंडर के झुके हुए समतल पर नीचे लुढ़कने की गति एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन और गति के संयोजन होती है। इसलिए, हमने पहले संदर्भ में घूर्णन गति के बारे में जिक्र किया था जो यहाँ “कुछ अन्य” है। आप इस दृष्टिकोण से आकृति 6.6 (a) और (b) के अध्ययन से लाभ उठा सकते हैं। दोनों आकृतियाँ एक ही वस्तु के एक समान परिवर्ती पथ के गति को दर्शाती हैं। एक मामले में, आकृति 6.6 (a) में, गति शुद्ध परिवर्तन है; दूसरे मामले में [आकृति 6.6 (b)] गति परिवर्तन और घूर्णन के संयोजन है। (आप एक भारी किताब जैसे एक ठोस वस्तु का उपयोग करके इन दो प्रकार की गतियों को पुनर्निर्मित करने का प्रयत्न कर सकते हैं।)

हम अब इस अनुच्छेद के सबसे महत्वपूर्ण अवलोकनों की समीक्षा करते हैं: एक ठोस वस्तु की गति जो किसी तरह निकाली या निश्चित नहीं है, या तो शुद्ध परिवर्तन होती है या परिवर्तन और घूर्णन के संयोजन होती है। एक ठोस वस्तु की गति जो किसी तरह निकाली या निश्चित है, घूर्णन होती है। घूर्णन एक निश्चित अक्ष के चारों ओर हो सकती है (उदाहरण के लिए, छत के फैन) या गतिशील अक्ष के चारों ओर हो सकती है (उदाहरण के लिए, एक झूलता फैन [आकृति 6.5 (b)]). इस अध्याय में हम केवल एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति के बारे में चर्चा करेंगे।

6.2 द्रव्यमान केंद्र

हम सबसे पहले एक कण सिस्टम के द्रव्यमान केंद्र के बारे में देखेंगे और फिर इसके महत्व के बारे में चर्चा करेंगे। सरलता के लिए हम एक दो कण सिस्टम से शुरू करेंगे। हम दो कणों को जोड़ने वाली रेखा को $x$ - अक्ष मान लेंगे।

चित्र 6.7

मान लीजिए दो कणों की क्रमशः $x_{1}$ और $x_{2}$ की दूरी को किसी भी मूल बिंदु $\mathrm{O}$ से क्रमशः दूरी ली जाती है। मान लीजिए दो कणों के क्रमशः द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं। सिस्टम के द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु $\mathrm{C}$ है जो मूल बिंदु $\mathrm{O}$ से दूरी $X$ पर है, जहाँ $X$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{3}}{m_{1}+m_{2}} \tag{6.1} \end{equation*} $$

समीकरण (6.1) में, $X$ को $x_{1}$ और $x_{2}$ के द्रव्यमान वितरित औसत के रूप में देखा जा सकता है। यदि दो कणों के द्रव्यमान समान हो $m_{1}=m_{2}=m$ तो

$$ X=\frac{m x_{1}+m x_{2}}{2 m}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} $$

इसलिए, समान द्रव्यमान के दो कणों के लिए द्रव्यमान केंद्र उनके बीच के मध्य बिंदु पर ठीक से स्थित होता है।

यदि हम एक सीधी रेखा पर $n$ कणों के द्रव्यमान $m_{1}, m_{2}$, … $m_{n}$ के साथ एक तल में लें, जिसे $x$-अक्ष के रूप में लिया जाता है, तो प्रणाली के कणों के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति को परिभाषित करते हैं।

$$X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+\ldots+m_{n} x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}=\frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}} \tag {6.2}$$

जहाँ $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ कणों की मूल बिंदु से दूरी है; $X$ भी उतनी ही मूल बिंदु से मापी जाती है। $\sum$ (ग्रीक अक्षर सिग्मा) यहाँ योग को निरूपित करता है, जो $n$ कणों पर लागू होता है। योग कुल द्रव्यमान के बराबर होता है।

$$ \sum m_{i}=M $$

मान लीजिए कि हम तीन कणों के साथ हैं, जो एक सीधी रेखा में नहीं हैं। हम तल में कणों के बर्ताव के तल में $x$ - और $y-$ अक्ष परिभाषित कर सकते हैं और तीन कणों के स्थान को निम्नलिखित निर्देशांक द्वारा निरूपित कर सकते हैं $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ और $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ क्रमशः। मान लीजिए कि तीन कणों के द्रव्यमान $m_{1}, m_{2}$ और $m_{3}$ हैं क्रमशः। तीन कणों के प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र $\mathrm{C}$ को निर्देशांक $(X, Y)$ द्वारा परिभाषित और स्थित किया जाता है, जो निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{align*} & X=\frac{m _{1} x _{1}+m _{2} x _{2}+m _{3} x _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3a} \\ & Y=\frac{m _{1} y _{1}+m _{2} y _{2}+m _{3} y _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3b} \end{align*} $$

समान द्रव्यमान के कणों के लिए $m=m_{1}=m_{2} =m_{3}$

$$ \begin{aligned} & X=\frac{m\left(x _{1}+x _{2}+x _{3}\right)}{3 m}=\frac{x _{1}+x _{2}+x _{3}}{3} \\ & Y=\frac{m\left(y _{1}+y _{2}+y _{3}\right)}{3 m}=\frac{y _{1}+y _{2}+y _{3}}{3} \end{aligned} $$

इस प्रकार, समान द्रव्यमान के तीन कणों के लिए, द्रव्यमान केंद्र उन कणों द्वारा बनाए गए त्रिभुज के केंद्रक के साथ समान होता है।

समीकरण (6.3a) और (6.3b) के परिणाम को आसानी से $n$ कणों के एक प्रणाली में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो एक तल में नहीं बल्कि अंतरिक्ष में वितरित हो सकते हैं। ऐसे एक प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र $(X, Y, Z)$ पर होता है, जहाँ

$$ \begin{align*} & X=\frac{\sum m _{i} x _{i}}{M} \tag{6.4a} \\ & Y=\frac{\sum m _{i} y _{i}}{M} \tag{6.4b} \end{align*} $$

और $$Z=\frac{\sum m _{i} Z _{i}}{M} \tag{6.4c}$$

यहाँ $M=\sum m_{i}$ प्रणाली का कुल द्रव्यमान है। सूचकांक $i$ 1 से $n$ तक चलता है; $m_{i}$ वें $i^{\text {th }}$ कण का द्रव्यमान है और $i^{\text {th }}$ कण की स्थिति $\left(x_{\mathrm{i}}, y_{\mathrm{i}}, z_{\mathrm{i}}\right)$ द्वारा दी गई है।

समीकरण (6.4a), (6.4b) और (6.4c) को स्थिति सदिशों के नोटेशन का उपयोग करके एक समीकरण में संयोजित किया जा सकता है। मान लीजिए $\mathbf{r_i}$ वस्तु के $i^{\text {th }}$ कण के स्थिति सदिश है और $\mathbf{R}$ द्रव्यमान केंद्र के स्थिति सदिश है:

$$ \mathbf{r}_i=x_i \hat{\mathbf{i}}+y_i \hat{\mathbf{j}}+z_i \hat{\mathbf{k}} $$

$$\text{और} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=X \hat{\mathbf{i}}+Y \hat{\mathbf{j}}+Z \hat{\mathbf{k}}$$

$$\text{तब} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=\frac{\sum m_{i} \mathbf{r_i}}{M} \tag{6.4d}$$

दाएं ओर के योग एक सदिश योग है। ध्यान दें कि हम वेक्टर के उपयोग द्वारा व्यक्त करने वाले व्यंजकों की अधिक दक्षता कैसे प्राप्त करते हैं। यदि संदर्भ फ्रेम (निर्देश तंत्र) के मूल बिंदु को द्रव्यमान केंद्र बनाया जाए तो दिए गए कण प्रणाली के लिए $\sum m_{i} \mathbf{r_i}=0$ होता है।

एक ठोस वस्तु, जैसे कि मीटर छड़ या फाइल वेल, काछ बर्फ के कणों के प्रणाली के रूप में है; इसलिए समीकरण (6.4a), (6.4b), (6.4c) और (6.4d) एक ठोस वस्तु के लिए लागू होते हैं। ऐसी वस्तु में कणों (परमाणु या अणु) की संख्या इतनी बड़ी होती है कि इन समीकरणों में व्यक्तिगत कणों पर योग करना संभव नहीं होता। कणों के अंतर के कारण

छोटे आकार के शरीर के लिए, हम शरीर को द्रव्यमान के एक निरंतर वितरण के रूप में ले सकते हैं। हम शरीर को $n$ छोटे द्रव्यमान के तत्वों में विभाजित करते हैं; $\Delta m_{1}, \Delta m_{2} \ldots \Delta m_{n}$; तत्व $\Delta m_{i}$ को बिंदु $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$ के आसपास स्थित माना जाता है। द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक निम्नलिखित रूप में अंदाजा लगाए जा सकते हैं:

$$ X=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) x_{i}}{\sum \Delta m_{i}}, Y=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) y_{i}}{(\sum \Delta m_{i}}, Z=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) z_{i}}{\sum \Delta m_{i}} $$

जैसे हम $n$ को बड़ा बड़ा बनाते जाएं और प्रत्येक $\Delta m_{i}$ को छोटा छोटा बनाते जाएं, इन व्यंजकों के अंतिम रूप में बदल जाते हैं। इस स्थिति में, हम $i$ पर योग को अभिसारी के रूप में दर्शाते हैं। इस प्रकार,

$$ \begin{aligned} & \sum \Delta m_{i} \rightarrow \int \mathrm{d} m=M, \\ & \sum\left(\Delta m_{i}\right) x_{i} \rightarrow \int x \mathrm{~d} m, \\ & \sum\left(\Delta m_{i}\right) y_{i} \rightarrow \int y \mathrm{~d} m, \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text{and } \quad\quad& \sum\left(\Delta m_{i}\right) z_{i} \rightarrow \int z \mathrm{~d} m

\end{aligned} $$

यहाँ $M$ वस्तु के कुल द्रव्यमान को दर्शाता है। द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक अब निम्नलिखित हैं

$X=\frac{1}{M} \int x \mathrm{~d} m, Y=\frac{1}{M} \int y \mathrm{~d} m$ और $Z=\frac{1}{3}{M} \int z \mathrm{~d} m$ $\quad \quad \quad \text{6.5a}$

इन तीन अदिश व्यंजकों के तुलनात्मक सदिश व्यंजक है

$$ \begin{equation*} \mathbf{R}=\frac{1}{M} \int \mathbf{r} \mathrm{d} m \tag{6.5b} \end{equation*} $$

यदि हम अपने निर्देशांक प्रणाली के मूल बिंदु के रूप में द्रव्यमान केंद्र का चयन करते हैं,

$$ \begin{align*} & \mathbf{R}=\mathbf{0} \\ & \text { अर्थात, } \int \mathbf{r} \mathrm{d} m=\mathbf{0} \\ & \text { या } \int x \mathrm{~d} m=\int y \mathrm{~d} m=\int z \mathrm{~d} m=0 \tag{6.6} \end{align*} $$

अक्सर हमें समान घनत्व वाले नियमित आकार के वस्तुओं (जैसे अंगूठी, डिस्क, गोले, छड़ आदि) के द्रव्यमान केंद्र की गणना करनी पड़ती है। (एक समान घनत्व वाली वस्तु के अर्थ में एक ऐसी वस्तु को शामिल करते हैं जिसका द्रव्यमान समान रूप से वितरित होता है।) सममिति के अवलोकन के उपयोग द्वारा हम आसानी से दिखा सकते हैं कि इन वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्र उनके ज्यामितीय केंद्रों पर स्थित होते हैं।

चित्र 6.8 एक पतले छड़ के द्रव्यमान केंद्र का निर्धारण

एक पतले छड़ को विचार करें, जिसकी चौड़ाई और ऊँचाई (यदि छड़ का परिच्छेद आयताकार है) या त्रिज्या (यदि छड़ का परिच्छेद बेलनाकार है) इसकी लंबाई की तुलना में बहुत कम है। मान लीजिए कि उत्पत्ति छड़ के ज्यामितीय केंद्र पर है और $x$-अक्ष छड़ की लंबाई के अनुदिश है। इसलिए, परावर्तन सममिति के कारण, छड़ के किसी भी बिंदु $x$ पर $dm$ के तत्व के लिए, $-x$ पर समान द्रव्यमान $dm$ के तत्व की उपस्थिति होती है (चित्र 6.8)। इस प्रकार के प्रत्येक जोड़े के योगदान के कारण, समाकलन के लिए और इसलिए समाकलन $\int x \mathrm{~d} m$ के लिए कुल योगदान शून्य होता है। समीकरण (6.6) के अनुसार, जहां इस समाकलन के मान शून्य होता है, वह द्रव्यमान केंद्र होता है। अतः, एक समान पतले छड़ के द्रव्यमान केंद्र इसके ज्यामितीय केंद्र के साथ समान होता है। इसकी व्याख्या परावर्तन सममिति के आधार पर की जा सकती है।

हमें एक समान सममिति के तर्क के लिए एक समान वलय, डिस्क, गोले, या आयताकार या वृत्ताकार काट वाले मोटे छड़ के लिए भी एक ऐसा समान तर्क लागू होगा। आप इन सभी वस्तुओं के लिए अपने अपने बिंदु $(x, y, z)$ पर एक तत्व $d m$ के लिए एक ऐसा तत्व भी ले सकते हैं जो बिंदु $(-x,-y,-z)$ पर एक ही द्रव्यमान का हो। (अर्थात, इन वस्तुओं के लिए मूल बिंदु एक प्रतिबिंब सममिति के बिंदु है।) इस परिणाम के रूप में, समीकरण (6.5 a) में सभी समाकलन शून्य होंगे। इसका अर्थ है कि उपरोक्त सभी वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्र उनके ज्यामितीय केंद्र के साथ समान होंगे।

उदाहरण 6.1 एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कणों के द्रव्यमान केंद्र को ज्ञात कीजिए। कणों के द्रव्यमान क्रमशः $100 \mathrm{~g}, 150 \mathrm{~g}$ और $200 \mathrm{~g}$ हैं। समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा $0.5 \mathrm{~m}$ लंबी है।

उत्तर

चित्र 6.9

चित्र 6.9 में दिखाए गए $x$- और $y$- अक्ष के साथ, त्रिभुज बनाने वाले बिंदुओं $\mathrm{O}, \mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ के निर्देशांक क्रमशः $(0,0)$, $(0.5,0)$, $(0.25,0.25 \sqrt{3})$ हैं। मान लीजिए कि $100 \mathrm{~g}$, $150 \mathrm{~g}$ और $2,00 \mathrm{~g}$ के द्रव्यमान क्रमशः O, A और B पर स्थित हैं। तब,

$$ \begin{aligned} & X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+m_{3} x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \\ \\ & =\frac{100(0)+150(0.5)+200(0.25) \mathrm{g} \mathrm{m}}{(100+150+200) \mathrm{g}} \\ \\ & \quad=\frac{75+50}{450} \mathrm{~m}=\frac{125}{450} \mathrm{~m}=\frac{5}{18} \mathrm{~m} \\ \\ & Y=\frac{100(0)+150(0)+200(0.25 \sqrt{3}) \mathrm{g} \mathrm{m}}{450 \mathrm{~g}} \\ \\ & =\frac{50 \sqrt{3}}{450} \mathrm{~m}=\frac{\sqrt{3}}{9} \mathrm{~m}=\frac{1}{3 \sqrt{3}} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

द्रव्यमान केंद्र $\mathrm{C}$ चित्र में दिखाए गए हैं। ध्यान दें कि यह त्रिभुज OAB के ज्यामितीय केंद्र नहीं है। क्यों?

उदाहरण 6.2 एक त्रिभुजीय पटल के द्रव्यमान केंद्र ज्ञात कीजिए

उत्तर लमिना (∆LMN) को आधार (MN) के समानांतर चौड़ी बेलनों में विभाजित किया जा सकता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

$\hspace{50mm}$ चित्र 6.10

सममिति के कारण प्रत्येक बेलन के गुरुत्व केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है। यदि हम सभी बेलनों के मध्य बिंदुओं को मिलाएं तो हमें मध्य रेखा LP प्राप्त होती है। त्रिभुज के समग्र गुरुत्व केंद्र के लिए अतः यह मध्य रेखा LP पर होना चाहिए। इसी तरह, हम यह भी कह सकते हैं कि यह मध्य रेखा MQ और NR पर भी होता है। इसका अर्थ है कि गुरुत्व केंद्र तीन मध्य रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु पर होता है, अर्थात त्रिभुज के केंद्रक $\mathrm{G}$ पर।

उदाहरण 6.3 एक समान L-आकार की लमिना (एक पतली तल वाली पट्टी) के गुरुत्व केंद्र की गणना कीजिए जिसके आयाम चित्र में दिखाए गए हैं। लमिना का द्रव्यमान $3 \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर चित्र 6.11 में दिखाए गए अक्ष $X$ और $Y$ को चुनते हुए, L-आकार की लमिना के शीर्षों के निर्देशांक चित्र में दिए गए हैं। हम एल-आकार को 3 वर्गों के रूप में सोच सकते हैं जिनकी लंबाई $1 \mathrm{~m}$ है। प्रत्येक वर्ग का द्रव्यमान $1 \mathrm{~kg}$ है, क्योंकि लमिना समान है। वर्गों के गुरुत्व केंद्र $C_{1}, C_{2}$ और $\mathrm{C_3}$, सममिति के कारण उनके ज्यामितीय केंद्र होते हैं और उनके निर्देशांक क्रमशः $(1 / 2,1 / 2)$, $(3 / 2,1 / 2),(1 / 2,3 / 2)$ होते हैं। हम इन बिंदुओं पर द्रव्यमान केंद्र लेते हैं। पूरे L-आकार के गुरुत्व केंद्र $(X, Y)$ इन द्रव्यमान बिंदुओं के गुरुत्व केंद्र होता है।

$\hspace{50mm}$ चित्र 6.11

अतः

$$ \begin{aligned} & X=\frac{[1(1 / 2)+1(3 / 2)+1(1 / 2)] \mathrm{kg} \mathrm{m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}}=\frac{5}{6} \mathrm{~m} \\ \\ & Y=\frac{[1(1 / 2)+1(1 / 2)+1(3 / 2)] \mathrm{kg} \mathrm{m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}}=\frac{5}{6} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

L-आकार के वस्तु के द्रव्यमान केंद्र रेखा OD पर स्थित है। हम गणना किए बिना इसका अनुमान लगा सकते थे। आप बता सकते हैं कि क्यों? मान लीजिए, चित्र 6.11 में दिखाए गए L-आकार के तल के तीन वर्गों के द्रव्यमान अलग-अलग हो। तब आप इस तल के द्रव्यमान केंद्र कैसे निर्धारित करेंगे? 4

6.3 द्रव्यमान केंद्र की गति

द्रव्यमान केंद्र की परिभाषा के साथ अब हम एक $n$ कणों के निकाय के भौतिक महत्व के बारे में चर्चा कर सकते हैं। हम समीकरण (6.4d) को इस रूप में लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*} M R=\sum m_i r_i=m_1 r_1+m_2 r_2+\ldots+m_n r_n \tag{6.7} \end{equation*} $$

समीकरण के दोनों ओर समय के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ M \frac{d R}{d t}=m_1 \frac{d r_1}{d t}+m_2 \frac{d r_2}{d t}+\ldots+m_n \frac{\mathrm{d} \mathbf{r_n}}{\mathrm{dt}} $$

या

$$ \begin{equation*} M VS=m_1 v_1+m_2 v_2+\ldots+m_n v_n \tag{6.8} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathbf {v_1}\left(=d \mathbf{r_1 }/ d t\right)$ पहले कण की चाल है, $\mathbf{v_2}\left(=d\mathbf{ r_2 }/ d t\right)$ दूसरे कण की चाल है आदि और $\mathbf{V}=d \mathbf{R} / d t$ द्रव्यमान केंद्र की चाल है। ध्यान दें कि हमने मान लिया है कि द्रव्यमान $m_1, m_2, \ldots$ आदि समय के साथ बदलते नहीं हैं। अतः हमने इन्हें समय के सापेक्ष अवकलन करते हुए अचर मान लिये हैं।

समीकरण (6.8) को समय के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{align*} & M \frac{d \mathbf{V}}{d t}=m_1 \frac{d \mathbf{v_1}}{d t}+m_2 \frac{d \mathbf{v_2}}{d t}+\ldots+m_n \frac{d\mathbf{v_n}}{d t} \\

$$ \begin{align*} & \text { या } \\ & M \mathbf {A}=m_1 \mathbf{a_1}+m_2 \mathbf{a_2}+\ldots+m_n \mathbf{a_n} \tag{6.9} \end{align*} $$

जहाँ $\mathbf{a_1}\left(=d \mathbf{v_1} / d t\right)$ पहले कण के त्वरण, $\mathbf{a_2}\left(=d \mathbf{v_2} / d t\right)$ दूसरे कण के त्वरण आदि हैं और $\mathbf{A}(=d \mathbf{V} / d t)$ कणों के तंत्र के द्रव्यमान केंद्र के त्वरण है।

अब, न्यूटन के द्वितीय नियम से, पहले कण पर लगने वाले बल को $\mathbf{F_1}=m_1 \mathbf{a_1}$ द्वारा दिया जाता है। दूसरे कण पर लगने वाले बल को $\mathbf{F_2}=m_2 \mathbf{a_2}$ द्वारा दिया जाता है आदि। समीकरण (6.9) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \begin{equation*} M \mathbf{A}=F_1+\mathbf{F_2}+\ldots+\mathbf{F_n} \tag{6.10} \end{equation*} $$

इस प्रकार, कणों के तंत्र के कुल द्रव्यमान के द्रव्यमान केंद्र के त्वरण के गुणनफल को तंत्र पर लगने वाले सभी बलों के सदिश योग के बराबर होता है।

ध्यान रखें जब हम पहले कण पर बल $\mathbf{F_1}$ के बारे में बात करते हैं, तो यह एक अकेला बल नहीं है, बल्कि पहले कण पर लगने वाले सभी बलों के सदिश योग है; इसी तरह दूसरे कण आदि के लिए भी। इन बलों में से प्रत्येक कण पर बाहरी बल जो तंत्र के बाहर के वस्तुओं द्वारा लगाए जाते हैं और तंत्र के भीतर बल जो कणों द्वारा एक दूसरे पर लगाए जाते हैं शामिल हैं। हम जानते हैं कि न्यूटन के तृतीय नियम के अनुसार इन बाहरी बलों के युग्म बराबर और विपरीत होते हैं और समीकरण (6.10) में बलों के योग में इनका योग शून्य होता है। केवल बाहरी बल ही समीकरण के योग में योगदान देते हैं। इसलिए हम समीकरण (6.10) को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*} M \mathbf{A}=\mathbf{F_\text {ext }} \tag{6.11} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathbf{F_\text {ext }}$ प्रणाली के कणों पर कार्य कर रहे सभी बाह्य बलों के योग को निरूपित करता है।

समीकरण (6.11) बताता है कि प्रणाली के कणों के द्रव्यमान केंद्र ऐसे चलता है जैसे प्रणाली का सभी द्रव्यमान द्रव्यमान केंद्र पर केंद्रित हो और सभी बाह्य बल उस बिंदु पर लगे हों।

ध्यान दें, प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र के गति के निर्धारण के लिए प्रणाली के कणों के आंतरिक बलों के बारे में कोई ज्ञान आवश्यक नहीं होता; इसके लिए हमें केवल बाह्य बलों के बारे में ज्ञान होना आवश्यक होता है।

समीकरण (6.11) प्राप्त करने के लिए हमें प्रणाली के प्रकृति के बारे में निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं थी। प्रणाली एक कणों के संग्रह हो सकती है जहाँ आंतरिक गतियों के सभी प्रकार हो सकते हैं, या यह एक ठोस वस्तु हो सकती है जो शुद्ध चलन गति या चलन एवं घूर्णन गति के संयोजन के अंतर्गत हो सकती है। चाहे प्रणाली कैसी हो और इसके व्यक्तिगत कणों की गति कैसी हो, द्रव्यमान केंद्र एक बार फिर समीकरण (6.11) के अनुसार चलता है।

अब हम पहले अध्यायों में किए गए तरीके के बजाय, विस्तारित वस्तुओं को एकल कण के रूप में नहीं, बल्कि कणों के एक तंत्र के रूप में ले सकते हैं। हम इस तंत्र के केंद्र गुरुत्व के गति, अर्थात तंत्र के केंद्र गुरुत्व के गति को प्राप्त कर सकते हैं, जिसमें पूरे तंत्र के द्रव्यमान को केंद्र गुरुत्व पर केंद्रित मान लिया जाता है और सभी बाह्य बल तंत्र के केंद्र गुरुत्व पर कार्य करते हैं।

इस प्रक्रिया को हम पहले वस्तुओं पर बलों के विश्लेषण और समस्याओं के हल करते समय अपनाए थे, जिसमें हम इस प्रक्रिया को विस्तार से वर्णन और तर्क देखे बिना अपनाए थे। अब हम जानते हैं कि पहले अध्ययन में हम बिना कहे अपने आप यह मान लेते रहे हैं कि कणों के घूर्णन गति और/या आंतरिक गति या तो अस्तित्व में नहीं है या उपेक्षनीय है। हम अब इसकी आवश्यकता नहीं करते हैं। हम न केवल पहले अपनाए गए तरीके के तर्क को खोज निकाले हैं, बल्कि हम ने भी जान लिया है कि कैसे वर्णित और अलग कर सकते हैं (1) एक ठोस वस्तु के गति जो घूर्णन कर सकती है या (2) एक तंत्र के कणों के गति जो कि विभिन्न प्रकार की आंतरिक गति के साथ हो सकती है।

चित्र 6.12 प्रक्षेप्य के टुकड़ों के द्रव्यमान केंद्र उसी परबोलिक पथ पर आगे बढ़ता रहता है जो वह विस्फोट के बिना अपना अपना पथ अपनाता।

चित्र 6.12, समीकरण (6.11) के एक अच्छा उदाहरण है। एक प्रक्षेप्य, आम परबोलिक पथ के अनुसार चलते हुए, हवा में मध्य में विस्फोट हो जाता है। विस्फोट के कारण बने बल आंतरिक बल होते हैं। ये द्रव्यमान केंद्र के गति के लिए कुछ नहीं डालते। बाहरी बल के कुल बल, अर्थात शरीर पर गुरुत्वाकर्षण बल, विस्फोट से पहले और बाद में समान होता है। बाहरी बल के प्रभाव में द्रव्यमान केंद्र अतः विस्फोट के बिना अपना पथ अपनाता हुआ उसी परबोलिक पथ पर आगे बढ़ता रहता है।

6.4 कणों के एक तंत्र के रैखिक संवेग

हम याद कर सकते हैं कि एक कण के रैखिक संवेग को परिभाषित करते हैं

$$ \begin{equation*} \mathbf{p}=m \mathbf{v} \tag{6.12} \end{equation*} $$

हम यह भी याद करते हैं कि एक अकेले कण के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम के संकेताक्षर रूप में लिखा गया है

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t} \tag{6.13} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathbf{F}$ कण पर बल है। हम एक न केवल कणों के निकाय के बारे में विचार करते हैं जिनके द्रव्यमान $m_1$, $m_2, \ldots m_{\mathrm{n}}$ हैं और वेग $\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots \ldots . . \mathbf{v_n}$ हैं। कण एक दूसरे के साथ अंतरक्रिया कर सकते हैं और उन पर बाहरी बल कार्य कर सकते हैं। पहले कण के रैखिक संवेग $m_{1} \mathbf{v_1}$ है, दूसरे कण के रैखिक संवेग $m_{2} \mathbf{v_2}$ है और इतने ही।

$ n $ कणों के निकाय के लिए, निकाय के रैखिक संवेग को निकाय के सभी व्यक्तिगत कणों के सदिश योग के रूप में परिभाषित किया गया है,

$$ \begin{align*} & \mathbf{P}=\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+\ldots+\mathbf{p_n} \\ & =m_{1} \mathbf{v_1}+m_{2} \mathbf{v_2}+\ldots+m_{n} \mathbf{v_n} \tag{6.14}\\

& \text { इसे समीकरण (6.8) के साथ तुलना करें } \\ & \mathbf{P}=M \mathbf{V} \tag{6.15} \end{align*} $$

इसलिए, कणों के एक निकाय के कुल संवेग को निकाय के कुल द्रव्यमान और उसके गुरुत्व केंद्र के वेग के गुणनफल के बराबर माना जाता है। समीकरण (6.15) के संदर्भ में समय के सापेक्ष अवकलन करें,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=M \frac{\mathrm{d} \mathbf{V}}{\mathrm{d} t}=M \mathbf{A} \tag{6.16} \end{equation*} $$

समीकरण (6.16) और समीकरण (6.11) की तुलना करें,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{F_{e x t}} \tag{6.17} \end{equation*} $$

यह न्यूटन के गति के द्वितीय नियम का विस्तारित रूप है जो एक कणों के निकाय के लिए है।

अब मान लीजिए कि कणों के एक निकाय पर कार्य कर रहे बाह्य बलों का योग शून्य है। तो समीकरण (6.17) से,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=0 \quad \text { या } \quad \mathbf{P}=\text { स्थिर } \tag{6.18a} \end{equation*} $$

इसलिए, जब कणों के एक निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य होते हैं, तो निकाय के कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है। यह एक निकाय के कुल रैखिक संवेग के संरक्षण के नियम है। समीकरण (6.15) के कारण, इसका अर्थ यह है कि जब निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य होते हैं, तो गुरुत्व केंद्र के वेग स्थिर रहता है। (इस अध्याय में निकायों के बारे में चर्चा के समय हम मान लेते हैं कि निकाय का कुल द्रव्यमान स्थिर रहता है।)

ध्यान दें कि आंतरिक बलों के कारण, अर्थात एक दूसरे पर बल लगाने वाले कणों के कारण, व्यक्तिगत कणों के जटिल पथ हो सकते हैं। हालांकि, यदि प्रणाली पर कार्य कर रहे कुल बाह्य बल शून्य हैं, तो द्रव्यमान केंद्र एक स्थिर वेग के साथ चलता है, अर्थात एक मुक्त कण की तरह सीधी रेखा में समान वेग से चलता है।

सदिश समीकरण (6.18a) तीन अदिश समीकरणों के तुलनीय है,

$$ \begin{equation*} P_{x}=c_{1}, P_{y}=c_{2} \text { और } P_{z}=c_{3} \tag{6.18b} \end{equation*} $$

यहाँ $P_{x}, P_{y}$ और $P_{z}$ कुल रैखिक द्रव्यमान सदिश $\mathbf{P}$ के $x-, y-$ और $z$-अक्ष के अनुदिश घटक हैं; $c_{1}, c_{2}$ और $c_{3}$ स्थिरांक हैं।

चित्र 6.13 (a) एक भारी नाभिक रेडियम (Ra) एक हल्के नाभिक रेडॉन (Rn) और एक एल्फा कण (हीलियम परमाणु का नाभिक) में विखंडित हो जाता है। प्रणाली का द्रव्यमान केंद्र समान वेग से चलता है। (b) भारी नाभिक रेडियम (Ra) के विखंडन के साथ द्रव्यमान केंद्र विराम में है। दो उत्पाद कण एक दूसरे के विपरीत चलते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, हम एक गतिशील अस्थायी कण के रेडियोएक्टिव विघटन को विचार कर सकते हैं, जैसे कि रेडियम के नाभिक। एक रेडियम नाभिक विघटित होकर रेडोन के नाभिक और एक अल्फा कण में बदल जाता है। विघटन के लिए जिम्मेदार बल तंत्र के अंतर्निहित होते हैं और तंत्र पर बाहरी बल नगण्य होते हैं। इसलिए तंत्र के कुल रेखीय संवेग विघटन से पहले और बाद में समान होता है। विघटन में उत्पन्न दो कण, रेडोन नाभिक और अल्फा कण, ऐसे गति करते हैं कि उनके द्रव्यमान केंद्र विघटित होने वाले मूल रेडियम नाभिक के गति के एक ही पथ के अनुदिश गति करता है [चित्र 6.13 (a)]।

यदि हम विघटन को द्रव्यमान केंद्र विराम में होने वाले दृश्य अंग के अंग के अंग से देखते हैं, तो विघटन में शामिल कणों की गति बहुत सरल दिखाई देती है; उत्पाद कण अपने द्रव्यमान केंद्र के विराम में एक दूसरे के विपरीत गति करते हैं जैसा कि चित्र 6.13 (b) में दिखाया गया है।

चित्र 6.14 दो तारों, S (छल्ले रेखा) और S (ठोस रेखा) के पथ, जो अपने द्रव्यमान केंद्र C के चारों ओर एक द्वितार प्रणाली बनाते हैं, एकसमान गति (b) एक ही द्वितार प्रणाली, जिसके द्रव्यमान केंद्र C स्थिर रहता है

कई समस्याओं में, जैसे कि ऊपर दिए गए रेडियोएक्टिव विघटन समस्या में, कणों के तंत्र के लिए केंद्र द्रव्यमान फ्रेम में काम करना लाभप्रद होता है, जबकि प्रयोगशाला अध्ययन फ्रेम के बजाए।

खगोल विज्ञान में, द्वितार (दो तारों) एक सामान्य घटना है। यदि कोई बाह्य बल नहीं हो, तो द्वितार तारों के द्रव्यमान केंद्र एक मुक्त कण की तरह गति करता है, जैसा कि चित्र 6.14 (a) में दिखाया गया है। चित्र में दो समान द्रव्यमान वाले तारों के पथ भी दिखाए गए हैं; वे जटिल दिखाई देते हैं। यदि हम द्रव्यमान केंद्र फ्रेम में जाएं, तो हम देखते हैं कि दोनों तार द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ पर गति करते हैं, जो स्थिर रहता है। ध्यान दें कि तारों के स्थान एक दूसरे के व्यास के विपरीत होना आवश्यक है [चित्र 6.14 (b)]। इस प्रकार हमारे अध्ययन फ्रेम में, तारों के पथ दो भागों के संयोजन होते हैं: (i) द्रव्यमान केंद्र के सीधी रेखा में एकसमान गति और (ii) तारों के द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर वृत्तीय पथ।

देखा जा सकता है कि दो उदाहरणों से, एक तंत्र के विभिन्न भागों के गति को इसके द्रव्यमान केंद्र के गति और द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर गति में विभाजित करना एक बहुत उपयोगी तकनीक है जो तंत्र के गति को समझन में मदद करती है।

6.5 दो वेक्टरों का सदिश गुणन

हम पहले से ही वेक्टर और उनके भौतिकी में उपयोग के साथ परिचित हैं। अध्याय 5 (कार्य, ऊर्जा, शक्ति) में हमने दो वेक्टरों के सदिश गुणन की परिभाषा दी थी। एक महत्वपूर्ण भौतिक राशि, कार्य, दो सदिश राशियों, बल और विस्थापन के सदिश गुणन के रूप में परिभाषित की गई है।

हम अब दो वेक्टरों के एक अन्य गुणन की परिभाषा करेंगे। यह गुणन एक वेक्टर होता है। घूर्णन गति के अध्ययन में दो महत्वपूर्ण राशियों, बल का आघूर्ण और कोणीय वेग, के रूप में वेक्टर गुणन के रूप में परिभाषित की गई हैं।

वेक्टर गुणन की परिभाषा

दो वेक्टर $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के वेक्टर गुणन एक वेक्टर $\mathbf{c}$ होता है जैसे कि

(i) $\mathbf{c}$ के परिमाण $c = ab \sin \theta$ होता है, जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के परिमाण हैं और $\theta$ दो वेक्टरों के बीच कोण है।

(ii) c, $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के तल के लम्बवत है

(iii) यदि हम एक दाहिने हाथ के बोल्ट को लेते हैं जिसका सिरा $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के तल में हो और बोल्ट इस तल के लम्बवत हो, तथा हम इसके सिरे को $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर घुमाते हैं, तो बोल्ट के छोर की ओर बोल्ट आगे बढ़ता है। इस दाहिने हाथ के बोल्ट के नियम को चित्र 6.15a में दिखाया गया है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम एक रेखा के चारों ओर अपने दाहिने हाथ के अंगूठे को घुमाते हैं जो $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के तल के लम्बवत हो और अंगूठे को $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर घुमाते हैं, तो तर्जन अंगूठा $\mathbf{c}$ की दिशा में बढ़ता है, जैसा कि चित्र 6.15b में दिखाया गया है।

चित्र 6.15 (a) दो वेक्टरों के वेक्टर गुणन की दिशा को परिभाषित करने के लिए दाहिने हाथ के बोल्ट के नियम। (b) दो वेक्टरों के वेक्टर गुणन की दिशा को परिभाषित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम।

एक सरल रूप निम्नलिखित है : अपने दाहिने हाथ के तल को खोलें और अंगुलियों को $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर घुमाएं। आपका खींचा हुआ अंगूठा $\mathbf{c}$ की दिशा में इंगित करता है। यह याद रखें कि किसी भी दो सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच दो कोण हो सकते हैं। आकृति 6.15 (a) या (b) में वे $\theta$ (जैसा दिखाया गया है) और $\left(360^{\circ}-\theta\right)$ के रूप में संबंधित होते हैं। उपरोक्त किसी भी नियम के अनुप्रयोग में, $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच के छोटे कोण $\left(<180^{\circ}\right)$ के माध्यम से घुमाना चाहिए। यहाँ यह $\theta$ है।

क्रॉस $(x)$ के उपयोग से वेक्टर गुणन को दर्शाया जाता है, इसलिए इसे भी क्रॉस गुणन कहा जाता है।

• ध्यान दें कि दो सदिशों के स्केलर गुणन के लिए जैसा कि पहले कहा गया है, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ होता है वेक्टर गुणन के लिए, हालांकि, यह आवाज नहीं होता, अर्थात $\mathbf{a} \times \mathbf{b} \neq \mathbf{b} \times \mathbf{a}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ और $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ दोनों के मापदंड एक समान होते हैं $(a b \sin \theta)$; इसके अलावा, दोनों एक दूसरे के लम्बवत होते हैं। लेकिन $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के मामले में दाहिने हाथ के बोल्ट के घुमाव $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर होता है, जबकि $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ के मामले में यह $\mathbf{b}$ से $\mathbf{a}$ की ओर होता है। इसका अर्थ है कि दोनों सदिश विपरीत दिशा में होते हैं। हमारे पास

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b}=-\mathbf{b} \times \mathbf{a} $$

• एक वेक्टर गुणन के एक अन्य दिलचस्प गुण इसका प्रतिबिम्बन के तहत व्यवहार है। प्रतिबिम्बन के तहत (अर्थात एक तल दर्पण छवि लेने पर) हमें $x \rightarrow -x, y \rightarrow -y$ और $z \rightarrow -z$ मिलता है। इसके परिणामस्वरूप एक वेक्टर के सभी घटक परिवर्तित हो जाते हैं और इसलिए $a \rightarrow -a, b \rightarrow -b$ हो जाते हैं। प्रतिबिम्बन के तहत $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के साथ क्या होता है?

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} \rightarrow(-\mathbf{a}) \times(-\mathbf{b})=\mathbf{a} \times \mathbf{b} $$

इसलिए, $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ प्रतिबिम्बन के तहत चिह्न में परिवर्तन नहीं होता।

• दोनों सदिश और अदिश गुणन सदिश योग के सापेक्ष वितरण के गुण रखते हैं। इसलिए,

$$ \begin{gathered} \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \\ \mathbf{a} \times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \times \mathbf{b}+\mathbf{a} \times \mathbf{c} \end{gathered} $$

• हम वेक्टर गुणन के घटक रूप में $\mathbf{c}=\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ लिख सकते हैं। इसके लिए हमें कुछ मूलभूत क्रॉस गुणन प्राप्त करने की आवश्यकता होती है:

(i) $\mathbf{a} \times \mathbf{a}=\mathbf{0}$ (0 एक शून्य सदिश है, अर्थात एक ऐसा सदिश जिसका परिमाण शून्य हो)

इसका अनुसरण करता है कि $\mathbf{a} \times \mathbf{a}$ के परिमाण $a^{2} \sin 0^{\circ}=0$ है।

इससे निम्नलिखित परिणाम निकलते हैं

(i) $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}=\mathbf{0}, \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{j}}=\mathbf{0}, \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{0}$

(ii) $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}$

ध्यान दें कि $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}$ के परिमाण $\sin 90^{\circ}$ या 1 है, क्योंकि $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ दोनों एक इकाई परिमाण के होते हैं और उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है। इसलिए, $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}$ एक इकाई सदिश है। $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ के तल के लंबवत एक इकाई सदिश जो दाहिने हाथ के घुमाव के नियम से उनसे संबंधित होता है, $\hat{\mathbf{k}}$ है। इसलिए, उपरोक्त परिणाम। आप इसी तरह सत्यापित कर सकते हैं,

$$ \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} \text { और } \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} $$

$$

क्रॉस उत्परिवर्तन के नियम से यह निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है:

$$ \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{k}}, \quad \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{-\mathbf{i}}, \quad \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{j}} $$

ध्यान दें कि यदि उपरोक्त सदिश गुणन के संबंध में $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ चक्रीय क्रम में आते हैं, तो सदिश गुणन धनात्मक होता है। यदि $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ चक्रीय क्रम में नहीं आते हैं, तो सदिश गुणन ऋणात्मक होता है।

अब,

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left(a_{x} \hat{\mathbf{i}}+a_{y} \hat{\mathbf{j}}+a_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \times\left(b_{x} \hat{\mathbf{i}}+b_{y} \hat{\mathbf{j}}+b_{z} \hat{\mathbf{k}}\right)$

$=a_{x} b_{y} \hat{\mathbf{k}}-a_{x} b_{z} \hat{\mathbf{j}}-a_{y} b_{x} \hat{\mathbf{k}}+a_{y} b_{z} \hat{\mathbf{i}}+a_{z} b_{x} \hat{\mathbf{j}}-a_{z} b_{y} \hat{\mathbf{i}}$

$=\left(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y}\right) \mathbf{i}+\left(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}\right) \mathbf{j}+\left(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}\right) \mathbf{k}$

हमने ऊपरी संबंध के लिए साधारण क्रॉस उत्पाद का उपयोग किया है। $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के व्यंजक को आसानी से याद रखने के लिए एक सारणिक के रूप में लिखा जा सकता है।

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array}\right| $$

उदाहरण 6.4 दो वेक्टरों के अदिश और सदिश गुणन की गणना करें। $\mathbf{a}=(3 \hat{\mathbf{i}}-4 \hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}})$ और $\mathbf{b}=(-2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$

उत्तर

$$ \begin{aligned} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & =(3 \hat{\mathbf{i}}-4 \hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}}) \cdot(-2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-3 \hat{\mathbf{k}}) \\ & =-6-4-15 \\ & =-25 \end{aligned} $$

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & -4 & 5 \\ -2 & 1 & -3 \end{array}\right|=7 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}} $$

$$

नोट $\mathbf{b} \times \mathbf{a}=-7 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}}$

6.6 कोणीय वेग एवं इसका रैखिक वेग से संबंध

इस अनुच्छेद में हम जानेंगे कि कोणीय वेग क्या होता है एवं घूर्णन गति में इसकी भूमिका क्या होती है। हम देख चुके हैं कि घूर्णन गति में एक ठोस वस्तु के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है। कण का रैखिक वेग कोणीय वेग से संबंधित होता है। इन दोनों मात्राओं के बीच संबंध एक सदिश गुणन के रूप में होता है जिसके बारे में हम पिछले अनुच्छेद में सीख चुके हैं।

चित्र 6.16 एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन। (एक ठोस वस्तु के कण (P) निश्चित (z-) अक्ष के चारों ओर घूर्णन करता है और एक वृत्त में गति करता है जिसका केंद्र (C) अक्ष पर होता है।)

हम फिर से चित्र 6.4 पर वापस जाएं। जैसा कि ऊपर कहा गया है, एक ठोस वस्तु के घूर्णन गति में, वस्तु के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है, जो अक्ष के लंबवत तल में स्थित होता है और अक्ष पर अपना केंद्र रखता है। चित्र 6.16 में हम चित्र 6.4 को फिर से बनाते हैं, जो एक ठोस वस्तु के एक सामान्य कण (बिंदु $\mathrm{P}$ पर) को दिखाता है जो एक निश्चित अक्ष (जिसे $z$-अक्ष के रूप में लिया गया है) के चारों ओर घूर्णन करता है। कण वृत्त का वर्णन करता है

एक वृत्त जिसका केंद्र $\mathrm{C}$ अक्ष पर है। वृत्त की त्रिज्या $r$ है, जो बिंदु $\mathrm{P}$ से अक्ष की लम्बवत दूरी है। हम बिंदु $P$ पर कण के रेखीय वेग वेक्टर $\mathbf{v}$ को भी दिखाते हैं। यह वृत्त के बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है।

मान लीजिए $\mathrm{P}^{\prime}$ एक समय अंतराल $\Delta t$ के बाद कण की स्थिति है (चित्र 6.16)। कोण $\mathrm{PCP}^{\prime}$ बिंदु के द्वारा समय $\Delta t$ में घूमे गए कोणीय विस्थापन $\Delta \theta$ को व्यक्त करता है। समय अंतराल $\Delta t$ में कण की औसत कोणीय वेग $\Delta \theta / \Delta t$ होती है। जब $\Delta t$ शून्य की ओर बढ़ता जाता है (अर्थात छोटा और छोटा मान लेते जाते हैं), तो $\Delta \theta / \Delta t$ का अनुपात एक सीमा के रूप में पहुँचता है जो कण के स्थिति $\mathrm{P}$ पर क्षणिक कोणीय वेग $\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$ होता है। हम क्षणिक कोणीय वेग को $\omega$ (ग्रीक अक्षर ओमेगा) से दर्शाते हैं। हम वृत्तीय गति के अध्ययन से जानते हैं कि एक कण जो वृत्त में गति कर रहा है, उसके रेखीय वेग $v$ के परिमाण को कोणीय वेग $\omega$ द्वारा संबंधित किया जाता है और इसका सरल संबंध $v = \omega r$ होता है, जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।

हम देखते हैं कि किसी भी समय बिंदु पर ठोस वस्तु के सभी कणों के लिए संबंध $v=\omega r$ लागू होता है। इसलिए, एक निश्चित समय पर एक कण के लिए, जो निश्चित अक्ष से लंबवत दूरी $r_{i}$ पर हो, उसकी रैखिक वेग $v_{i}$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} v_{i}=\omega r_{i} \tag{6.19} \end{equation*} $$

इंडेक्स $i$ 1 से $n$ तक चलता है, जहाँ $n$ वस्तु के कुल कणों की संख्या है।

अक्ष पर स्थित कणों के लिए $r=0$ होता है, और इसलिए $v=\omega r=0$ होता है। इसलिए, अक्ष पर स्थित कण स्थिर रहते हैं। यह सत्यापित करता है कि अक्ष निश्चित है।

ध्यान दें कि हम सभी कणों के लिए समान कोणीय वेग $\omega$ का उपयोग करते हैं। इसलिए, हम $\omega$ को वस्तु के समग्र कोणीय वेग के रूप में संदर्भित करते हैं।

हम एक वस्तु के शुद्ध परिवर्तन को वस्तु के सभी भागों के एक ही वेग के रूप में वर्णित करते हैं। इसी तरह, हम शुद्ध घूर्णन को वस्तु के सभी भागों के एक ही कोणीय वेग के रूप में वर्णित कर सकते हैं। ध्यान दें कि एक ठोस वस्तु के एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के इस वर्णन को केवल एक अन्य तरीका कहा जा सकता है, जैसा कि अनुच्छेद 6.1 में कहा गया है कि वस्तु के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है, जो अक्ष के लंबवत तल में स्थित होता है और अक्ष पर केंद्र होता है।

हमारे अब तक के विवाद में कोणीय वेग के रूप में एक अदिश लगता है। वास्तव में, यह एक सदिश है। हम इस तथ्य की पुष्टि नहीं करेंगे, लेकिन हम इसकी स्वीकृति करेंगे। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए, कोणीय वेग सदिश घूर्णन अक्ष के अक्ष के अनुदिश होता है और एक दाहिने हाथ के बोल्ट के शीर्ष को शरीर के साथ घुमाने पर बोल्ट किस दिशा में आगे बढ़ेगा उस दिशा में बिंदु करता है। (चित्र 6.17a देखें)।

इस सदिश के परिमाण को $\omega = d \theta / d t$ के रूप में उल्लेख किया गया है।

चित्र 6.17 (a) यदि एक दाहिने हाथ के बोल्ट के शीर्ष को शरीर के साथ घुमाया जाता है, तो बोल्ट कोणीय वेग ω की दिशा में आगे बढ़ता है। यदि शरीर के घूर्णन की दिशा (घड़ी की दिशा या घड़ी की दिशा के विपरीत) बदल जाती है, तो ω की दिशा भी बदल जाती है।

चित्र 6.17 (b) आघूर्ण वेग वेक्टर ω चित्र में दिखाए गए रूप में निश्चित अक्ष के अनुदिश दिशा में है। P बिंदु पर कण का रेखीय वेग $\mathbf{v}$ =$\mathbf {ω}$ × $\mathbf {r}$ है। यह $\mathbf{ω}$ और $\mathbf{r}$ दोनों के लंबवत है और कण द्वारा बनाए गए वृत्त के स्पर्शरेखा के अनुदिश दिशा में है।

अब हम वेक्टर गुणन $\omega \times \mathbf{r}$ के संबंध में देखेंगे। चित्र 6.17(b) को देखें जो चित्र 6.16 के एक हिस्सा को पुनर्प्रस्तुत करता है ताकि कण $P$ के पथ को दिखाया जा सके। चित्र में $\omega$ निश्चित $\left(z^{-}\right)$ अक्ष के अनुदिश दिशा में दिखाए गए वेक्टर को दिखाया गया है और एक और वेक्टर $\mathbf{r}=\mathbf{O P}$ को दिखाया गया है जो कण के स्थिति वेक्टर को दिखाता है जो ठोस वस्तु के बिंदु $P$ के संबंध में मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के संबंध में है। ध्यान दें कि मूल बिंदु घूर्णन अक्ष पर चुना गया है।

अब

$$ \omega \quad \mathrm{r}=\omega \quad \mathrm{OP}=\boldsymbol{\omega} \quad(\mathrm{OC}+\mathrm{CP}) $$

लेकिन $ \hspace{54mm}\boldsymbol{\omega} \times \mathrm{OC}=0$ क्योंकि $\omega$ निश्चित $\boldsymbol{\omega} \mathrm{OC}$ के अनुदिश है।

अतः $$: \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}=\boldsymbol{\omega} \times \mathrm{CP}$$

सदिश $\omega \times \mathbf{C P}$, $\omega$ के लंबवत है, अर्थात इसके $z$-अक्ष और $\mathbf{C P}$, जो कण के $P$ बिंदु पर वृत्त के वृत्तीय पथ के त्रिज्या को निरूपित करता है, के लंबवत है। इसलिए, यह $P$ बिंदु पर वृत्त के स्पर्शरेखा के अनुदिश है। इसके अतिरिक्त, $\omega \times \mathbf{C P}$ के परिमाण $\omega$ (CP) है क्योंकि $\omega$ और $\mathbf{C P}$ एक दूसरे के लंबवत हैं। हम $\mathbf{C P}$ को $\mathbf{r_\perp}$ से नोट करेंगे और नहीं $\mathbf{r}$, जैसा कि हम पहले किया था।

इसलिए, $\omega \times \mathbf{r}$ एक ऐसा सदिश है जिसका परिमाण $\omega r_{\perp}$ है और यह $P$ बिंदु पर कण के वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखा के अनुदिश है। $P$ बिंदु पर रैखिक वेग सदिश $\mathbf{v}$ के परिमाण और दिशा भी इतने ही हैं। इसलिए,

$$ \begin{equation*} \mathbf{v}=\omega \times \mathbf{r} \tag{6.20} \end{equation*} $$

वास्तव में, समीकरण (6.20) के संबंध एक निश्चित बिंदु के संबंध में एक ठोस वस्तु के घूर्णन के लिए भी लागू होता है, जैसे कि एक टॉप का घूर्णन [चित्र 6.6(a)]। इस स्थिति में $\mathbf{r}$, निश्चित बिंदु के संबंध में कण के स्थिति सदिश को निरूपित करता है जिसे मूल बिंदु के रूप में लिया गया है।

हम ध्यान देते हैं कि एक निश्चित अक्ष के चारों घूर्णन के लिए, $\omega$ वेक्टर की दिशा समय के साथ बदलती नहीं है। इसके मापांक के बारे में, हालांकि, क्षण से क्षण बदल सकता है। अधिक सामान्य घूर्णन के लिए, $\omega$ के मापांक और दिशा दोनों क्षण से क्षण बदल सकते हैं।

6.6.1 कोणीय त्वरण

आप ध्यान देने के लिए यह ध्यान दे सकते हैं कि हम घूर्णन गति के अध्ययन को रेखीय गति के अध्ययन के रूप में विकसित कर रहे हैं, जिसके साथ हम पहले से परिचित हैं। रेखीय गति में विस्थापन (s) और वेग (v) के गति चर विशिष्ट रूप से, हम घूर्णन गति में कोणीय विस्थापन $(\theta)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के अनुरूप चर विशिष्ट रूप से अनुभव करते हैं। इसलिए, घूर्णन गति में रेखीय त्वरण के अनुरूप कोणीय त्वरण की अवधारणा परिभाषित करना प्राकृतिक है, जिसे रेखीय गति में वेग के समय के दर के रूप में परिभाषित किया गया है। हम कोणीय त्वरण $\alpha$ को घूर्णन वेग के समय के दर के रूप में परिभाषित करते हैं। इसलिए,

\alpha=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \tag{6.21} \end{equation*} $$

यदि घूर्णन के अक्ष निश्चित है, तो $\omega$ की दिशा और इसलिए, $\boldsymbol{\alpha}$ की दिशा भी निश्चित है। इस स्थिति में सदिश समीकरण एक अदिश समीकरण में रूपांतरित हो जाता है

$$ \begin{equation*} \alpha=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \tag{6.22} \end{equation*} $$

6.7 बल आघूर्ण और कोणीय संवेग

इस अनुच्छेद में, हम दो भौतिक राशियों (बल आघूर्ण और कोणीय संवेग) के बारे में अवगत कराएंगे जो दो सदिशों के सदिश गुणन के रूप में परिभाषित होते हैं। जैसा कि हम देखेंगे, ये विशेष रूप से कणों के एक तंत्र के गति के विवरण में महत्वपूर्ण होते हैं, विशेषकर ठोस वस्तुओं के।

6.7.1 बल का आघूर्ण (Torque)

हम जानते हैं कि एक ठोस वस्तु की गति, सामान्यतः, घूर्णन और गति के संयोजन होती है। यदि वस्तु एक बिंदु या एक रेखा पर निश्चित है, तो इसकी गति केवल घूर्णन ही होती है। हम जानते हैं कि एक वस्तु के गतिपथ के अवस्था को बदलने के लिए बल की आवश्यकता होती है, अर्थात रेखीय त्वरण उत्पन्न करने के लिए। तब हम पूछ सकते हैं, घूर्णन गति के मामले में बल के तुलनीय क्या होता है? इस प्रश्न की जांच करने के लिए एक वास्तविक स्थिति में एक दरवाजा खोलने या बंद करने के उदाहरण का उपयोग करें। एक दरवाजा एक ठोस वस्तु है जो हुकों के माध्यम से गुजरने वाली एक निश्चित क्षैतिज अक्ष के चारों ओर घूम सकता है। दरवाजा को घूमने के लिए क्या कारण होता है? स्पष्ट रूप से, बिना बल के दरवाजा घूमता नहीं है। लेकिन कोई भी बल इस कार्य को करने में सक्षम नहीं होता। हुक की रेखा पर लगाया गया बल कोई भी घूर्णन उत्पन्न नहीं कर सकता, जबकि दरवाजे के बाहरी किनारे पर दरवाजे के लंब दिशा में लगाया गया बल घूर्णन के लिए सबसे प्रभावी होता है। यह बल ही नहीं, बल के कैसे और कहां लगाने के तरीका घूर्णन गति में महत्वपूर्ण होता है।

घूर्णन गति में रैखिक गति में बल के घूर्णन अनुरूप है बल का आघूर्ण। इसे भी टॉर्क या कपल कहा जाता है। (हम इस शब्द के अर्थ में बल का आघूर्ण और टॉर्क को बराबर लेंगे।) हम सबसे पहले एक अकेले कण के लिए बल के आघूर्ण को परिभाषित करेंगे। बाद में हम इस अवधारणा को कणों के तंत्र तक विस्तारित करेंगे, जिसमें कठोर शरीर भी शामिल होंगे। हम इसे घूर्णन गति के अवस्था में परिवर्तन के साथ भी संबंधित करेंगे, अर्थात एक कठोर शरीर के कोणीय त्वरण के साथ।

चित्र 6.18 τ = r × F, τ बल r और F के तल के लंबवत है, और इसकी दिशा दाहिने हाथ के बोलते वाले बोलते नियम द्वारा दी गई है।

एक बल एक अकेले कण पर बिंदु $\mathrm{P}$ पर कार्य करता है, जिसकी स्थिति मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के संबंध में स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ द्वारा दी गई है (चित्र 6.18), तो बल के आघूर्ण को मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के संबंध में निम्नलिखित सदिश गुणन के रूप में परिभाषित किया जाता है

$$ \begin{equation*} \tau=\mathbf{r} \times \mathbf{F} \tag{6.23} \end{equation*} $$

बल का आघूर्ण (या बल-आघूर्ण) एक सदिश राशि है। $\tau$ ग्रीक अक्षर टॉउ के लिए प्रतीक है। $\tau$ के परिमाण के लिए

$$ \begin{equation*} \tau=r F \sin \theta \tag{6.24a} \end{equation*} $$

जहाँ $r$ स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ के परिमाण है, अर्थात लंबाई $\mathrm{OP}$, $F$ बल $\mathbf{F}$ के परिमाण है और $\theta$ दिए गए चित्र में $\mathbf{r}$ और $\mathbf{F}$ के बीच कोण है।

बल के आघूर्ण के आयाम $\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}$ हैं। इसके आयाम कार्य या ऊर्जा के आयाम के समान हैं। हालांकि, यह कार्य से एक बिलकुल अलग भौतिक राशि है। बल का आघूर्ण एक सदिश है, जबकि कार्य एक अदिश है। बल के आघूर्ण की SI इकाई न्यूटन-मीटर $(\mathrm{N} \mathrm{m})$ है। बल के आघूर्ण के परिमाण को लिखा जा सकता है

$$ \begin{align*} & \tau=(r \sin \theta) F=r _{\perp} F \tag{6.24b} \\ & \text { या } \quad \tau=r F \sin \theta=r F _{\perp} \tag{6.4c} \end{align*} $$

\end{align*} $$

जहाँ $r_{\perp}=r \sin \theta$ बल $\mathbf{F}$ के कार्य रेखा के उत्प्रेरक दूरी है जो मूल बिंदु से लम्बवत है और $F_{\perp}(=F \sin \theta)$ बल $\mathbf{F}$ के लम्बवत दिशा में घटक है। ध्यान दें कि $\tau=0$ यदि $r=0, F=0$ या $\theta=0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ हो। इसलिए, यदि बल के मान शून्य हो या बल के कार्य रेखा मूल बिंदु से गुजरे तो बल का आघूर्ण शून्य हो जाता है।

एक ध्यान दें कि क्योंकि $\mathbf{r} \times \mathbf{F}$ एक सदिश गुणन है, इसके गुण दो सदिशों के सदिश गुणन के गुणों के अनुरूप होते हैं। यदि $\mathbf{F}$ की दिशा उलट जाए तो बल के आघूर्ण की दिशा भी उलट जाती है। यदि $\mathbf{r}$ और $\mathbf{F}$ दोनों की दिशा उलट जाए तो बल के आघूर्ण की दिशा बरकरार रहती है।

6.7.2 कण के आवर्त गति के संगत राशि

जैसे बल के आघूर्ण रेखीय गति में बल के घूर्णी अनुरूप होता है, आवर्त गति में आवर्त गति के रूप में आवर्त गति की मात्रा होती है। हम सबसे पहले एक कण के लिए आवर्त गति को परिभाषित करेंगे और एक कण की गति के संदर्भ में इसके उपयोग की जांच करेंगे। फिर हम बहुकण प्रणाली और ठोस वस्तुओं के लिए आवर्त गति की परिभाषा को विस्तारित करेंगे।

क्षेत्रफल के आघूर्ण के जैसे, कोणीय संवेग भी एक सदिश गुणन है। इसे लीनियर संवेग के आघूर्ण के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है। इस शब्द से आप अपनी भाषा में कोणीय संवेग की परिभाषा कैसे बनाएं उसका अनुमान लगाए सकते हैं।

एक कण के द्रव्यमान $m$ और लीनियर संवेग $\mathbf{p}$ वाले एक कण को मूल बिंदु 0 के संबंध में स्थिति $\mathbf{r}$ पर विचार करें। कण के संबंध में मूल बिंदु O के संबंध में कोणीय संवेग $l$ को परिभाषित किया जाता है:

$$l=\mathbf{r} \times \mathbf{p}\tag{6.25a}$$

कोणीय संवेग सदिश के मापदंड के आकार के लिए:

$$ l=r p \sin \theta \tag{6.26a} $$

जहाँ $p$ के मापदंड के आकार है और $\theta$ बिंदु $\mathbf{r}$ और $\mathbf{p}$ के बीच कोण है। हम लिख सकते हैं:

$$ l=r p_{\perp} \text { या } r_{\perp} p\tag{6.26b} $$

जहाँ $r_{\perp}(=r \sin \theta)$ बिंदु $\mathbf{p}$ के दिशा रेखा के लिए मूल के संबंध में लंबवत दूरी है और $p_{\perp}(=p \sin \theta)$ बिंदु $\mathbf{p}$ के लंबवत दिशा में $\mathbf{r}$ के संबंध में $\mathbf{p}$ के घटक है। हम अपेक्षा करते हैं कि कोणीय संवेग शून्य होगा ( $1=0$ ), यदि लीनियर संवेग शून्य हो ( $p=0$ ), यदि कण मूल बिंदु पर हो ( $r=0$ ), या यदि $\mathbf{p}$ के दिशा रेखा मूल के माध्यम से गुजरे $\theta=0^{\circ}$ या $180^{\circ}$।

फिजिक्स में, बल का आघूर्ण और कोणीय संवेग के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध होता है। यह बल और रैखिक संवेग के बीच संबंध का घूर्णन अनुरूप है। एक अकेले कण के संदर्भ में इस संबंध के उत्पादन के लिए, हम $\boldsymbol{l}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ के संबंध के संबंध में समय के संबंध में अवकलज लेते हैं,

$$ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{~d} t}=\frac{\mathbf{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) $$

दाहिने ओर व्यंजक के लिए अवकलन के गुणन नियम के अनुसार,

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p})=\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{~d} t} \times \mathbf{p}+\mathbf{r} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{~d} t} $$

अब, कण के वेग को $\mathbf{v}=d \mathbf{r} / d t$ और $\mathbf{p}=m \mathbf{v}$ के रूप में दर्शाया जाता है

इस कारण $\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} \times \mathbf{p}=\mathbf{v} \times m \mathbf{v}=0$, क्योंकि दो समानांतर सदिशों के सदिश गुणन के रूप में शून्य हो जाता है। इसके अतिरिक्त, क्योंकि $\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=\mathbf{F}$,

$$ \begin{aligned} & \quad\quad\quad\quad\mathbf{r} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{~d} t}=\mathbf{r} \times \mathbf{F}=\mathbf{t} \ & \text { अतः }\quad\quad\quad\quad \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p})=\tau \end{aligned} $$ $$ या \quad\quad\quad\quad \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{~d} t}=\boldsymbol{\tau}\tag{6.27}$$

अतः, कण के कोणीय संवेग के समय दर परिवर्तन को उस पर कार्य कर रहे बलांतर के बराबर होता है। यह एक कण के आयामी गति के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम के घूर्णन तुलनात्मक समीकरण है $\mathbf{F}=\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t$ जो एक कण के आयामी गति के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम को व्यक्त करता है।

कणों के एक निकाय के बलांतर और कोणीय संवेग

एक निश्चित बिंदु के संबंध में एक कणों के निकाय के कुल कोणीय संवेग को प्राप्त करने के लिए, व्यक्तिगत कणों के कोणीय संवेग को सदिश रूप से जोड़ना होता है। अतः, $n$ कणों के एक निकाय के लिए,

$$ \mathbf{L}=\boldsymbol{l_1}+\boldsymbol{l_2}+\ldots+\bold

$$

$ t^{\text {th }} $ कण के कोणीय संवेग को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ l_{i}=\mathbf{r_i} \mathbf{p_i} $$

जहाँ $\mathbf{r_i}$ दिए गए मूल बिंदु के संबंध में $i^{\text {th }}$ कण के स्थिति सदिश है और $\mathbf{p}=\left(m_{i} \mathbf{v}\right)$ कण के रैखिक संवेग है। (कण के द्रव्यमान $m_{i}$ और वेग $\mathbf{v_i}$ है) हम एक कण निकाय के कुल कोणीय संवेग को इस प्रकार लिख सकते हैं :

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}=\sum \boldsymbol{l_i}=\sum_{i} \mathbf{r_i} \times \mathbf{p_i} \tag{6.25b} \end{equation*} $$

यह एक कण के लिए कोणीय संवेग के परिभाषा (समीकरण 6.25a) के एक सामान्यीकरण है जो कई कणों के निकाय के लिए है।

समीकरण (6.23) और (6.25b) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

$$\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sum \boldsymbol{l}_{i}\right)=\sum_i \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{d} t}=\sum_i \tau_i \tag{6.28a}$$

जहाँ $\tau_{i}$ $i^{\text {th }}$ कण पर लगने वाले बलाघूर्ण है;

$$ \tau_{i}=\mathbf{r_i} \times \mathbf{F_i} $$

$ i^{\text {th }} $ कण पर बल $\mathbf{F_i}$, कण पर कार्य कर रहे बाह्य बल $\mathbf{F_i}^{\text {ext }}$ और अन्य कणों द्वारा लगाए गए आंतरिक बल $\mathbf{F_i}^{\text {int }}$ के सदिश योग होता है। इसलिए हम बाह्य और आंतरिक बलों के कुल बल आघूर्ण के योग को अलग कर सकते हैं

$$ \begin{aligned} &\quad\quad\quad\quad\quad\quad \tau=\sum _{i} \tau _{i}=\sum _{i} \mathbf{r} _{i} \times \mathbf{F} _{i} \text { as } \\ & \quad\quad\quad\quad\quad\quad\tau=\tau _{e x t}+\tau _{\text {int }}, \\ & \text { where} \quad\quad\quad\quad\quad \tau _{\text {ext }}=\sum _{i} \mathbf{r} _{i} \times \mathbf{F} _{i}^{e x t} \\ & \text { and} \quad\quad\quad\quad\quad \tau _{\text {int }}=\sum _{i} \mathbf{r} _{i} \times \mathbf{F} _{i}^{\text {int }} \end{aligned} $$

हम न केवल न्यूटन के तीसरे गति के नियम की अवधारणा करेंगे, अर्थात् प्रणाली के किसी भी दो कणों के बीच बल बराबर और विपरीत होते हैं, बल्कि यह भी मान लेंगे कि ये बल दो कणों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश होते हैं। इस स्थिति में प्रणाली पर कुल बल आघूर्ण के लिए आंतरिक बलों के योग शून्य होता है, क्योंकि प्रत्येक क्रिया-प्रतिक्रिया बल युग्म के कारण बल आघूर्ण शून्य होता है। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं, $\tau_{\text {int }}=$ $\mathbf{0}$ और अतः $\tau=\tau_{\text {ext }}$।

क्योंकि $\tau=\sum \tau_{i}$, इसलिए समीकरण (6.28a) से यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\tau_{e x t} \tag{6.28b} \end{equation*} $$

इस प्रकार, किसी कण निकाय के कुल आवेग के समय दर के बारे में एक बिंदु (हमारे दृष्टिकोण के मूल बिंदु के रूप में लिया गया) के बराबर होता है बाहरी बलों के कारण होने वाले बाहरी बलों के बराबर होता है (अर्थात बाहरी बलों के कारण होने वाले बलों के बराबर होता है) एक ही बिंदु के संबंध में निकाय पर कार्य कर रहे बाहरी बलों के बराबर होता है। समीकरण (6.28b) एक कण के मामले के समीकरण (6.23) के विस्तारित रूप है जो एक कण निकाय के लिए है। ध्यान दें कि जब हमें केवल एक कण हो, तो आंतरिक बल या बल आघूर्ण नहीं होते हैं। समीकरण (6.28b) निम्नलिखित समीकरण के घूर्णी तुलनात्मक है:

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{F}_{e x t} \tag{6.17} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि जैसे समीकरण (6.17) के लिए, समीकरण (6.28b) कोई भी कण निकाय के लिए लागू होता है, चाहे वह एक ठोस वस्तु हो या इसके व्यक्तिगत कणों में सभी प्रकार की आंतरिक गति हो।

आवेग के संरक्षण

अगर $\boldsymbol{\tau}_{\text {ext }}=\mathbf{0}$, तो समीकरण (6.28b) निम्नलिखित रूप में संकुचित हो जाता है:

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=0 \end{equation*} $$

$$\text{या}\quad \mathbf{L}= \text{ स्थिरांक।} \tag{6.29a}$$

इसलिए, यदि कणों के एक प्रणाली पर कुल बाह्य बल-आघूर्ण शून्य हो, तो प्रणाली का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है, अर्थात निरंतर रहता है। समीकरण (6.29a) तीन अदिश समीकरणों के तुल्य है,

$$ \begin{equation*} L_{x}=K_{1}, L_{y}=K_{2} \text { और } L_{z}=K_{3} \tag{6.29b} \end{equation*} $$

यहाँ $K_{1}, K_{2}$ और $K_{3}$ स्थिरांक हैं; $L_{x}, L_{y}$ और $L_{z}$ कुल कोणीय संवेग सदिश $\mathbf{L}$ के $x, y$ और $z$ अक्षों के अनुदिश घटक हैं। कुल कोणीय संवेग के संरक्षण के कथन का अर्थ यह है कि इन तीन घटकों में से प्रत्येक संरक्षित रहता है। समीकरण (6.29a) समीकरण (6.18a) के घूर्णन अनुरूप है, अर्थात एक प्रणाली के कणों के कुल रैखिक संवेग के संरक्षण कानून। समीकरण (6.18a) के जैसे, यह कई व्यावहारिक स्थितियों में अनुप्रयोग भी है। इस अध्याय में बाद में हम कुछ रोचक अनुप्रयोगों की ओर ध्यान आकर्षित करेंगे।

उदाहरण 6.5 मूल बिंदु के संबंध में बल $7 \tilde{\mathbf{i}}$ $+3 \tilde{\mathbf{j}}-5 \tilde{\mathbf{k}}$ का बलाघूर्ण ज्ञात कीजिए। बल एक कण पर कार्य करता है जिसका स्थिति सदिश $\tilde{\mathbf{i}}-\tilde{\mathbf{j}}+\tilde{\mathbf{k}}$ है।

उत्तर यहाँ

$$\quad\quad \mathbf{r}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}$$

$$ and \quad\quad\quad\quad \mathbf{F}=7 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}} $$

हम बलाघूर्ण $\tau=\mathrm{r} \times \mathrm{F}$ ज्ञात करने के लिए निर्धारक नियम का उपयोग करेंगे

$$ \begin{aligned} \tau= & \left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 3 & -5 \end{array}\right|=(5-3) \hat{\mathbf{i}}-(-5-7) \hat{\mathbf{j}}+(3-(-7)) \hat{\mathbf{k}} \\ & \quad \text { or } \tau=2 \hat{\mathbf{i}}+12 \hat{\mathbf{j}}+10 \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

उदाहरण 6.6 एक कण के नियत वेग से गति करते हुए किसी बिंदु के संबंध में कोणीय संवेग सदैव नियत रहता है इसको सिद्ध कीजिए।

उत्तर कोई कण वेग $\mathbf{v}$ के साथ किसी समय $t$ पर बिंदु $\mathrm{P}$ पर हो सकता है। हम एक अस्थायी बिंदु $\mathrm{O}$ के संबंध में कण के कोणीय संवेग की गणना करना चाहते हैं।

$\hspace{60mm}$चित्र 6.19

कोणीय संवेग $\mathbf{1}=\mathbf{r} \times m \mathbf{v}$ होता है। इसके मान का आयाम $m v r \sin \theta$ होता है, जहाँ $\theta$ चित्र 6.19 में $\mathbf{r}$ और $\mathbf{v}$ के बीच कोण है। हालांकि कण समय के साथ स्थान बदलता रहता है, $\mathbf{v}$ की दिशा की रेखा एक ही रहती है और इसलिए $\mathrm{OM}=r \sin \theta$ एक स्थिर राशि है। इसके अतिरिक्त, $\mathbf{1}$ की दिशा $\mathbf{r}$ और $\mathbf{v}$ के तल के लंबवत होती है। यह चित्र के पृष्ठ के अंदर जाती है। यह दिशा समय के साथ बदलती नहीं है।

इसलिए, 1 का मान और दिशा समय के साथ बदलती नहीं है और इसलिए संरक्षित रहता है। क्या कण पर कोई बाह्य बल-आघूर्ण कार्य करता है?

6.8 ठोस वस्तु के साम्यावस्था

अब हम ठोस वस्तुओं के गति पर ध्यान केंद्रित करेंगे, न कि सामान्य कण प्रणाली के गति पर।

हम बाह्य बलों के एक ठोस वस्तु पर क्या प्रभाव होता है इसकी दोहराना चाहिए। (अब आगे चलकर हम ‘बाह्य’ शब्द को छोड़ देंगे क्योंकि अन्यथा न कहे जाए तो हम केवल बाह्य बलों और बल-आघूर्णों के साथ काम करेंगे।) बल ठोस वस्तु के गति के रैखिक अवस्था को बदलते हैं, अर्थात वे इसके कुल रैखिक संवेग को समीकरण (6.17) के अनुसार बदलते हैं। लेकिन यह बलों का एकमात्र प्रभाव नहीं है। वस्तु पर कुल बल-आघूर्ण शून्य नहीं हो सकता। ऐसा बल-आघूर्ण ठोस वस्तु के घूर्णन अवस्था को बदलता है, अर्थात वह इसके कुल कोणीय संवेग को समीकरण (6.28b) के अनुसार बदलता है।

एक ठोस वस्तु को यांत्रिक साम्यावस्था में कहा जाता है, यदि इसका रैखिक संवेग और कोणीय संवेग समय के साथ बदल रहे हों, या बराबर रूप से, वस्तु के रैखिक त्वरण या कोणीय त्वरण नहीं हो। इसका अर्थ है

(1) ठोस वस्तु पर कुल बल, अर्थात बलों के सदिश योग, शून्य होता है;

$$ \begin{equation*} \mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}+\ldots+\mathbf{F_n}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{F_i}=\math bf{0} \tag{6.30a} \end{equation*} $$

यदि वस्तु पर कुल बल शून्य होता है, तो वस्तु का कुल रैखिक संवेग समय के साथ बदलता नहीं होता। समीकरण (6.30a) वस्तु के गतिपथ असंतुलन की शर्त देता है।

(2) कुल बलाघूर्ण, अर्थात ठोस वस्तु पर बलाघूर्णों के सदिश योग शून्य होता है,

$$ \begin{equation*} \tau_{1}+\tau_{2}+\cdots+\tau_{n}=\sum_{i=1}^{n} \tau_{i}=\mathbf{0} \tag{6.30b} \end{equation*} $$

यदि ठोस वस्तु पर कुल बलाघूर्ण शून्य होता है, तो वस्तु का कुल कोणीय संवेग समय के साथ बदलता नहीं होता। समीकरण (6.30b) वस्तु के घूर्णन असंतुलन की शर्त देता है। एक प्रश्न उठाया जा सकता है कि यदि बलाघूर्ण लिए गए मूल बिंदु को बदल दिया जाए, तो घूर्णन असंतुलन की शर्त [समीकरण 6.30(b)] अपरिवर्तित रहेगी या नहीं। यह दिखाया जा सकता है कि यदि ठोस वस्तु के रैखिक असंतुलन की शर्त [समीकरण 6.30(a)] सत्य हो, तो मूल बिंदु के बदले लेने पर कोई अंतर नहीं होता, अर्थात घूर्णन असंतुलन की शर्त मूल बिंदु के स्थान पर निर्भर नहीं करती। उदाहरण 6.7 इस परिणाम के एक विशिष्ट मामले, अर्थात एक संतुलित ठोस वस्तु पर लगे दो बलों के मामले में, इस परिणाम की प्रमाणिकरण देता है। इस परिणाम को $n$ बलों के मामले में सामान्यीकरण के रूप में छोड़ दिया गया है।

समीकरण (6.30a) और समीकरण (6.30b), दोनों, सदिश समीकरण हैं। ये प्रत्येक तीन अदिश समीकरणों के तुल्य हैं। समीकरण (6.30a) के संगत हैं

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} F_{i x}=0, \sum_{i=1}^{n} F_{i y}=0 \text { और } \sum_{i=1}^{n} F_{i z}=0 \tag{6.31a} \end{equation*} $$

जहाँ $F_{i x}, F_{i y}$ और $F_{i z}$ क्रमशः बल $\mathbf{F}_{\text {. }}$ के $x, y$ और $z$ घटक हैं। इसी तरह, समीकरण (6.30b) तीन अदिश समीकरणों के तुल्य हैं

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} \tau_{i x}=0, \sum_{i=1}^{n} \tau_{i y}=0 \text { और } \sum_{i=1}^{n} \tau_{i z}=0 \tag{6.31b} \end{equation*} $$

जहाँ $\tau_{i x}, \tau_{i \bar{y}}$ और $\tau_{i z}$ क्रमशः बल आघूर्ण $\tau_{i}$ के $x, y$ और $z$ घटक हैं।

समीकरण (6.31a) और (6.31b) एक ठोस वस्तु के यांत्रिक संतुलन के लिए संतुष्ट करने वाले छह स्वतंत्र शर्तें प्रदान करते हैं। कई समस्याओं में वस्तु पर कार्य कर रहे सभी बल समतल में होते हैं। तब यांत्रिक संतुलन के लिए केवल तीन शर्तों की आवश्यकता होती है। इन तीन शर्तों में से दो गतीय संतुलन के संगत हैं; किसी भी दो लम्बवत अक्षों में बलों के घटकों के योग शून्य होना चाहिए। तीसरी शर्त घूर्णन संतुलन के संगत है। बलों के समतल के लम्बवत अक्ष के अनुदिश आघूर्णों के घटकों के योग शून्य होना चाहिए।

स्थैतिक संतुलन की अवस्थाएँ एक ठोस वस्तु के लिए एक कण के लिए अवस्थाओं के साथ तुलना की जा सकती है, जिसके बारे में हम पहले अध्यायों में चर्चा कर चुके हैं। चूंकि एक कण के लिए घूर्णन गति की अवधारणा लागू नहीं होती, इसलिए केवल अनुसरण गति के संतुलन की शर्तें (समीकरण 6.30 a) एक कण के लिए लागू होती हैं। अतः, एक कण के संतुलन के लिए उस पर लगने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। चूंकि इन सभी बलों केवल एक ही कण पर कार्य करते हैं, इन्हें संगत होना चाहिए। संगत बलों के अंतर्गत संतुलन के बारे में चर्चा पहले अध्यायों में की गई थी।

एक वस्तु आंशिक संतुलन में हो सकती है, अर्थात, यह अनुसरण गति में संतुलन में हो सकती है और घूर्णन गति में नहीं, या वह घूर्णन गति में संतुलन में हो सकती है और अनुसरण गति में नहीं।

एक हल्की (अर्थात, नगण्य द्रव्यमान वाली) छड़ $(A B)$ को चित्र 6.20(a) में दिखाया गया है। जिसके दो सिरों (A और B) पर दो समान परिमाण के समानांतर बल लगाए गए हैं जो छड़ के लंब दिशा में कार्य करते हैं।

$\hspace{30mm}$चित्र 6.20 (a)

मान लीजिए $\mathrm{C}$, $\mathrm{AB}$ का मध्य बिंदु है, $\mathrm{CA}=\mathrm{CB}=a$। $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ पर बलों के आघूर्ण दोनों के मान समान $(a F)$ होंगे, लेकिन दिशा में विपरीत होंगे, जैसा चित्र में दिखाया गया है। छड़ पर कुल आघूर्ण शून्य होगा। वस्तु घूर्णन संतुलन में होगी, लेकिन यह गतिपथ संतुलन में नहीं होगी; $\sum \mathbf{F} \neq \mathbf{0}$

$\hspace{30mm}$चित्र 6.20 (b)

चित्र 6.20(a) में $\mathrm{B}$ पर बल चित्र 6.20(b) में विपरीत दिशा में है। इस प्रकार, हमें एक ही छड़ के साथ दो बल दिखाई देते हैं, जिनके मान समान हैं लेकिन छड़ के लंब दिशा में विपरीत दिशा में लगे हैं, एक $\mathrm{A}$ के सिरे पर और दूसरा $\mathrm{B}$ के सिरे पर। यहाँ दोनों बलों के आघूर्ण समान हैं, लेकिन वे विपरीत नहीं हैं; वे एक ही दिशा में कार्य करते हैं और छड़ के विपरीत दिशा में घूर्णन कराते हैं। वस्तु पर कुल बल शून्य है; इसलिए वस्तु गतिपथ संतुलन में है; लेकिन यह घूर्णन संतुलन में नहीं है। छड़ को कोई भी तरह से निश्चित नहीं किया गया है, लेकिन यह शुद्ध घूर्णन (अर्थात गति के बिना घूर्णन) करती है।

एक बल युग्म जिसके बल के परिमाण बराबर होते हैं लेकिन विपरीत दिशा में कार्य करते हैं और अलग-अलग रेखा में कार्य करते हैं, कपल या टॉर्क कहलाता है। एक कपल घूर्णन उत्पन्न करता है बिना गति के।

जब हम एक बोतल के कवर को खोलते हैं तो हम अपने अंगूठों के द्वारा कवर पर एक कपल लगाते हैं [चित्र 6.21(a)]। एक अन्य जाना जाने वाला उदाहरण धरातल के चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय सुई है जैसा कि चित्र 6.21(b) में दिखाया गया है। धरातल के चुंबकीय क्षेत्र चुंबकीय सुई के उत्तर और दक्षिण ध्रुवों पर समान बल लगाता है। उत्तर ध्रुव पर बल उत्तर दिशा में होता है और दक्षिण ध्रुव पर बल दक्षिण दिशा में होता है। जब सुई उत्तर-दक्षिण दिशा में नहीं बर्ताने वाली होती है तो दोनों बलों की रेखा अलग-अलग होती है। इसलिए धरातल के चुंबकीय क्षेत्र के कारण सुई पर एक कपल कार्य करता है।

चित्र 6.21(ए) हमारे अंगुली ढक्कन को घुमाने के लिए एक जोड़ लगाते हैं।

चित्र 6.21(ब) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र एक सूई के ध्रुवों पर बराबर और विपरीत बल लगाता है। इन दो बलों के एक जोड़ बनता है।

उदाहरण 6.7 दिखाइए कि एक जोड़ के बल आघूर्ण किस बिंदु पर आघूर्ण लेने पर निर्भर नहीं करता।

उत्तर

$\hspace{60mm}$चित्र 6.22

चित्र 6.22 में दिखाए गए एक जोड़ को एक ठोस वस्तु पर कार्य करते हुए विचार करें। बल $\mathbf{F}$ और $-\mathbf{F}$ क्रमशः बिंदु $\mathrm{B}$ और $\mathrm{A}$ पर कार्य करते हैं। ये बिंदु उत्सर्जन $\mathrm{O}$ के संबंध में स्थिति सदिश $\mathbf{r_1}$ और $\mathbf{r_2}$ के संबंध में हैं। मूल बिंदु के संबंध में बलों के आघूर्ण लें।

The moment of the couple $=$ sum of the moments of the two forces making the couple

$$ \begin{aligned} & =\mathbf{r}_1 \times(-\mathbf{F})+\mathbf{r}_2 \times \mathbf{F} \\ & =\mathbf{r}_2 \times \mathbf{F}-\mathbf{r}_1 \times \mathbf{F} \\ & =\left(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\right) \times \mathbf{F} \end{aligned} $$ But $\mathbf{r}_1+\mathbf{A B}=\mathbf{r}_2$, and hence $\mathbf{A B}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r} 1$. The moment of the couple, therefore, is $\mathbf{A B} \times \mathbf{F}$

स्पष्ट रूप से यह मूल बिंदु पर निर्भर नहीं करता, जिसके संबंध में हम बलों के आघूर्ण लेते हैं।

6.8.1 आघूर्ण के सिद्धांत

एक आदर्श लेवर आमतौर पर एक हल्के (अर्थात नगण्य द्रव्यमान वाले) छड़ को अपनी लंबाई के एक बिंदु पर घूमने के लिए बांधा गया होता है। इस बिंदु को फलक्रम कहते हैं। बच्चों के खेल के एक दृष्टि बर्ड लेवर का एक सामान्य उदाहरण है। दो बल $F_{1}$ और $F_{2}$, जो एक दूसरे के समांतर और आमतौर पर लेवर के लंबवत होते हैं, जैसा कि यहां दिखाया गया है, लेवर पर क्रमशः फलक्रम से $d_{1}$ और $d_{2}$ की दूरी पर कार्य करते हैं, जैसा कि चित्र 6.23 में दिखाया गया है।

$\hspace{30mm}$चित्र 6.23

लेवर एक यांत्रिक संतुलन के तंत्र है। मान लीजिए $\mathbf{R}$ फलक्रम पर समर्थन के प्रतिक्रिया है; $\mathbf{R}$, $F_{1}$ और $F_{2}$ बलों के विपरीत दिशा में दिया गया है। अनुसूची संतुलन के लिए,

$$ \begin{equation*} R-F_{1}-F_{2}=0 \tag{i} \end{equ $$

स्थानांतरण संतुलन के लिए हम फलक्रम के संबंध में आघूर्ण लेते हैं; आघूर्ण के योग शून्य होना चाहिए,

$$d_{1} F_{1}-d_{2} F_{2}=0 \tag{ii}$$

आमतौर पर विपरीत घूर्णन (घड़ी की ओर घूमने वाले) आघूर्ण धनात्मक (ऋणात्मक) माने जाते हैं। ध्यान दें $R$ फलक्रम पर ही कार्य करता है और इसका आघूर्ण फलक्रम के संबंध में शून्य होता है।

लेवर के मामले में बल $F_{1}$ आमतौर पर उठाने के लिए कुछ भार होता है। इसे भार कहा जाता है और इसकी फलक्रम से दूरी $d_{1}$ को भार अक्ष कहा जाता है। बल $F_{2}$ भार उठाने के लिए लगाया गया प्रयत्न होता है; प्रयत्न की फलक्रम से दूरी $d_{2}$ को प्रयत्न अक्ष कहा जाता है।

समीकरण (ii) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$d_{1} F_1=\mathrm{d}_{2} F_2\tag{6.32a}$$

या भार का आरंभिक अंश $\times$ भार $=$ प्रयत्न का आरंभिक अंश $\times$ प्रयत्न

उपरोक्त समीकरण एक लेवर के आघूर्ण के सिद्धांत को व्यक्त करता है। अतिरिक्त रूप से, $F_{1} / F_{2}$ के अनुपात को यांत्रिक लाभ (M.A.) कहा जाता है;

$$ \begin {equation*} \text { M.A. }=\frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{d_{2}}{d_{1}} \tag{6.32b} \end{equation*} $$

यदि प्रयत्न का आरंभिक अंश $d_{2}$ भार के आरंभिक अंश से बड़ा होता है, तो यांत्रिक लाभ एक से अधिक होता है। यांत्रिक लाभ एक से अधिक होना यह दर्शाता है कि एक छोटे प्रयत्न के द्वारा एक बड़े भार को उठाया जा सकता है। आपके आसपास देखे जाने वाले लेवर के कई उदाहरण हैं जो स्कूल के बैलैंस के बीम के अतिरिक्त हैं। आप अधिक ऐसे उदाहरण खोजने की कोशिश कर सकते हैं और प्रत्येक मामले में लेवर के फलक, प्रयत्न और प्रयत्न का आरंभिक अंश, भार और भार का आरंभिक अंश की पहचान कर सकते हैं।

आप आसानी से दिखा सकते हैं कि आघूर्ण के सिद्धांत तब भी लागू होता है जब समानांतर बल $F_{1}$ और $F_{2}$ लेवर के लंबवत नहीं होते, बल्कि किसी कोण पर कार्य करते हैं।

6.8.2 गुरुत्व केंद्र

आपके कई लोगों को अपने नोटबुक को अंगुली के छोर पर संतुलित करने का अनुभव हो सकता है। चित्र 6.24 एक ऐसे प्रयोग को दर्शाता है जिसे आप आसानी से कर सकते हैं। एक असममित आकार के कार्डबोर्ड को लें जिसका द्रव्यमान $M$ हो और एक संकीर्ण छोर वाला वस्तु जैसे कलम लें। आप अपने प्रयोग द्वारा एक बिंदु $G$ पर पहुँच सकते हैं जहां कार्डबोर्ड को कलम के छोर पर संतुलित किया जा सकता है। (इस स्थिति में कार्डबोर्ड समतल रहता है।) इस संतुलन बिंदु को कार्डबोर्ड के गुरुत्व केंद्र (CG) कहा जाता है। कलम के छोर से ऊपर की ओर एक बल लगता है जिसके कारण कार्डबोर्ड यांत्रिक संतुलन में होता है। चित्र 6.24 में दिखाया गया है कि कलम के छोर के बल कार्डबोर्ड के गुरुत्व बल $\boldsymbol{M g}$ के बराबर और विपरीत होता है और इसलिए कार्डबोर आयाती संतुलन में होता है। यह घूर्णन संतुलन में भी होता है; अगर नहीं होता तो असंतुलित बल आघूर्ण के कारण यह झुक जाएगा और गिर जाएगा। कार्डबोर्ड पर गुरुत्व बल जैसे $m_{1} \mathbf{g}, m_{2} \mathbf{g} \ldots$ आदि द्वारा उत्पन्न आघूर्ण भी होते हैं जो कार्डबोर्ड के बनाने वाले विभिन्न कणों पर कार्य करते हैं।

चित्र 6.24 पेन्सिल के छोर पर कार्डबोर्ड के संतुलन करते हुए। समर्थन बिंदु, G, गुरुत्व केंद्र है। कार्डबोर्ड का गुरुत्व केंद्र इस प्रकार स्थित है कि इस पर m1 g, m2 g … आदि बलों के कारण कुल बलाघूर्ण शून्य होता है।

यदि $\mathbf{r}_i$ एक विस्तारित वस्तु के इसके $\mathrm{CG}$ के संबंध में i वें कण के स्थिति सदिश हो, तो कण पर गुरुत्वाकर्षण बल के कारण इसके संबंध में बलाघूर्ण $\tau_i=\mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{g}$ होता है। इसके गुरुत्वाकर्षण बलाघूर्ण कुल शून्य होता है, अर्थात

$$ \begin{equation*} \boldsymbol{\tau}_g=\sum \boldsymbol{\tau}_i=\sum \mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{g}=\mathbf{0} \tag{6.33} \end{equation*} $$

हम इसलिए एक वस्तु के गुरुत्व केंद्र को वह बिंदु पर परिभाषित कर सकते हैं जहां वस्तु पर कुल गुरुत्वाकर्षण बलाघूर्ण शून्य होता है।

हम देखते हैं कि समीकरण (6.33) में, $\mathbf{g}$ सभी कणों के लिए समान है, और इसलिए योग के बाहर आ जाता है। इसके कारण, क्योंकि $\mathbf{g}$ शून्य नहीं है, $\sum m_i \mathbf{r}_i=\mathbf{0}$ होता है। याद रखें कि स्थिति सदिश $\left(\mathbf{r}_i\right)$ केंद्र गुरुत्व (CG) के संदर्भ में लिए गए हैं। अब, अनुच्छेद 6.2 में समीकरण (6.4a) के नीचे दिए गए तर्क के अनुसार, यदि योग शून्य है, तो मूल बिंदु वस्तु के द्रव्यमान केंद्र होना चाहिए। इसलिए, एक वस्तु के गुरुत्व केंद्र एकसमान गुरुत्व या गुरुत्व रहित अंतराल में द्रव्यमान केंद्र के साथ समान होता है।

हम ध्यान रखते हैं कि यह सत्य है क्योंकि वस्तु छोटी होती है, इसलिए $g$ वस्तु के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक बदलता नहीं है। यदि वस्तु इतनी विस्तारित हो कि $\mathbf{g}$ वस्तु के भाग से भाग तक बदलता है, तो गुरुत्व केंद्र और द्रव्यमान केंद्र समान नहीं होंगे। मूल रूप से, ये दो अलग-अलग अवधारणाएं हैं। द्रव्यमान केंद्र गुरुत्व से कुछ नहीं संबंधित है। यह वस्तु के द्रव्यमान वितरण के आधार पर ही निर्भर करता है।

चित्र 6.25 असममित आकार के एक वस्तु के गुरुत्व केंद्र का निर्धारण। वस्तु के लटकाए जाने वाले बिंदु A के माध्यम से लंब AA₁ पर गुरुत्व केंद्र G स्थित होता है।

अनुच्छेद 6.2 में हमने कई समान आकार वाली, समान घनत्व वाली वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति ज्ञात की थी। स्पष्ट रूप से उस विधि का उपयोग इन वस्तुओं के गुरुत्व केंद्र का निर्धारण भी कर सकती है, यदि वे पर्याप्त छोटी हों।

चित्र 6.25 एक असममित आकार के वस्तु (जैसे कार्डबोर्ड) के गुरुत्व केंद्र का निर्धारण करने के एक अन्य तरीके को दर्शाता है। यदि आप किसी बिंदु जैसे A से वस्तु को लटकाएं, तो A के माध्यम से लंब गुरुत्व केंद्र $\mathrm{CG}$ के माध्यम से गुजरता है। हम लंब $\mathrm{AA}_{1}$ को चिह्नित करते हैं। फिर हम अन्य बिंदुओं जैसे $B$ और $C$ से वस्तु को लटकाकर लंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु गुरुत्व केंद्र को दर्शाता है। विधि के कारण को समझाइए। चूंकि वस्तु पर्याप्त छोटी है, विधि के माध्यम से हम इसके द्रव्यमान केंद्र का निर्धारण भी कर सकते हैं।

उदाहरण 6.8 एक धातु की छड़ $70 \mathrm{~cm}$ लंबी और $4.00 \mathrm{~kg}$ द्रव्यमान की है जो दो कटाव चाकूओं पर रखी है जो प्रत्येक सिरे से $10 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर हैं। एक बर्तन $30 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर एक सिरे से लटकाया गया है जिसका द्रव्यमान $6.00 \mathrm{~kg}$ है। कटाव चाकूओं पर प्रतिक्रिया ज्ञात कीजिए। (मान लीजिए कि छड़ के परिच्छेद क्षेत्र एकसमान है और समान घनत्व वाली है।)

उत्तर

$\hspace{30mm}$चित्र 6.26

चित्र 6.26 में छड़ $\mathrm{AB}$, कटाव के कटाव बिंदु $K_{1}$ और $K_{2}$, छड़ के गुरुत्व केंद्र $\mathrm{G}$ और लटके हुए भार $\mathrm{P}$ के स्थान दिखाए गए हैं।

ध्यान दें कि छड़ $\mathrm{W}$ का भार इसके गुरुत्व केंद्र $\mathrm{G}$ पर कार्य करता है। छड़ काट के अनुप्रस्थ काट एकसमान है और एकसमान है; इसलिए $G$ छड़ के केंद्र पर है; $\mathrm{AB}=70 \mathrm{~cm} . \mathrm{AG}=35 \mathrm{~cm}, \mathrm{AP}$ $=30 \mathrm{~cm}, \mathrm{PG}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{AK}_1=\mathrm{BK}_2=10 \mathrm{~cm}$ और $\mathrm{K}_1 \mathrm{G}=$ $\mathrm{K}_2 \mathrm{G}=25 \mathrm{~cm}$. इसके अलावा, $W=$ छड़ का भार $=4.00$ $\mathrm{kg}$ और $W_1=$ लटके हुए भार $=6.00 \mathrm{~kg}$; $R_1$ और $R_2$ कटाव के कटाव बिंदुओं पर समान बल के प्रतिक्रिया हैं।

For translational equilibrium of the rod,

$$R_{1}+R_{2}-W_{1}-W=0 \tag{i}$$

Note $W_{1}$ and $W$ act vertically down and $\mathrm{R}_1$ and $\mathrm{R}_2$ act vertically up.

For considering rotational equilibrium, we take moments of the forces. A convenient point to take moments about is G. The moments of $\mathrm{R}_2$ and $\mathrm{W}_1$ are anticlockwise (+ve), whereas the moment of $R_1$ is clockwise (-ve).

For rotational equilibrium,

$$-R_1\left(\mathrm{~K}_1 \mathrm{G}\right)+W_1(\mathrm{PG})+R_2\left(\mathrm{~K}_2 \mathrm{G}\right)=0 \tag{ii}$$

It is given that $W=4.00 \mathrm{~g} \mathrm{~N}$ and $W_{1}=6.00 \mathrm{~g}$ $\mathrm{N}$, where $g=$ acceleration due to gravity. We take $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$.

With numerical values inserted, from (i)

$$ \begin{gather*} R _{1}+R _{2}-4.00 g-6.00 g=0 \\ \text { या } R _{1}+R _{2}=10.00 g \mathrm{~N} \tag{iii} \\ =98.00 \mathrm{~N} \end{gather*} $$

From (ii), $-0.25 R_{1}+0.05 W_{1}+0.25 R_{2}=0$

or $$R_{1}-R_{2}=1.2 \mathrm{~g} \mathrm{~N}=11.76 \mathrm{~N} \tag{iv}$$

From (iii) and (iv), $R_{1}=54.88 \mathrm{~N}$,

$$ \begin{equation*} R_{2}=43.12 \mathrm{~N} \end{equation*} $$

अतः समर्थन के प्रतिक्रियाएँ लगभग $55 \mathrm{~N}$ बिंदु $\mathrm{K}_1$ पर और $43 \mathrm{~N}$ बिंदु $\mathrm{K_2}$ पर हैं।

उदाहरण 6.9 एक 3 मीटर लंबा सीढ़ी 20 किग्रा वजन का एक फ्रिक्शन रहित दीवार पर झुका हुआ है। इसके पैर दीवार से 1 मीटर की दूरी पर फर्श पर रखे हुए हैं जैसा कि चित्र 6.27 में दिखाया गया है। दीवार और फर्श के प्रतिक्रिया बलों की गणना कीजिए।

उत्तर

$\hspace{15mm}$चित्र 6.27

सीढ़ी $\mathrm{AB}$ 3 मीटर लंबी है, इसके पैर $\mathrm{A}$ दीवार से $AC=1 \mathrm{~m}$ की दूरी पर है। पाइथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{BC}=2 \sqrt{2} \mathrm{~m}$ है। सीढ़ी पर बल इसके भार $\mathrm{W}$ जो इसके गुरुत्व केंद्र D पर कार्य करता है, दीवार और फर्श के प्रतिक्रिया बल $F_1$ और $F_2$ हैं। बल $F_1$ दीवार के लंबवत है, क्योंकि दीवार फ्रिक्शन रहित है। बल $F_2$ दो घटकों में विभाजित होता है, अभिलम्ब प्रतिक्रिया $N$ और घर्षण बल $F$। ध्यान दें कि $F$ सीढ़ी के दीवार से खिसकने से रोकता है और इसलिए दीवार की ओर बल लगाता है।

तरल संतुलन के लिए, ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों को लेते हुए,

$$ \begin{equation*} N-W=0 \tag{i} \end{equation*} $$

स्थिर दिशा में बलों को लेते हुए,

$$F-F_{1}=0\tag{ii}$$

घूर्णन संतुलन के लिए, बलों के आघूर्ण को A के संदर्भ में लेते हुए,

$$ \begin{equation*} 2 \sqrt{2} F_{1}-(1 / 2) W=0 \tag{iii} \end{equation*} $$

अब $\quad W=20 \mathrm{~g}=20 \quad 9.8 \mathrm{~N}=196.0 \mathrm{~N}$

(i) से $N=196.0 \mathrm{~N}$

(iii) से $F_{1}=W / 4 \sqrt{2}=196.0 / 4 \sqrt{2}=34.6 \mathrm{~N}$

(ii) से $F=F_{1}=34.6 \mathrm{~N}$

$$ F_{2}=\sqrt{F^{2}+N^{2}}=199.0 \mathrm{~N} $$

बल $F_{2}$ को क्षैतिज दिशा के साथ कोण $\alpha$ बनाता है,

$$ \tan \alpha=N / F=4 \sqrt{2}, \quad \alpha=\tan ^{-1}(4 \sqrt{2}) \approx 80^{\circ} $$

6.9 घूर्णन के जड़त्व आघूर्ण

हम पहले ही बता चुके हैं कि हम घूर्णन गति के अध्ययन को स्थानांतरण गति के अध्ययन के साथ-साथ विकसित कर रहे हैं जिसके साथ हम परिचित हैं। इस संबंध में हमें एक महत्वपूर्ण प्रश्न अभी तक उत्तर नहीं दे सके हैं। घूर्णन गति में द्रव्यमान के एनालॉग क्या है? हम इस प्रश्न के उत्तर को इस अनुच्छेद में प्रयास करेंगे। चर्चा को सरल रखने के लिए, हम केवल एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन के बारे में विचार करेंगे। चलो एक वस्तु के घूर्णन की किणेटिक ऊर्जा के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने की कोशिश करें। हम जानते हैं कि एक वस्तु के एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए, वस्तु के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है जिसकी रैखिक वेग समीकरण (6.19) द्वारा दिया गया है। (चित्र 6.16 को देखें)। एक कण के अक्ष से दूरी पर, रैखिक वेग $v_{i}=r_{i} \omega$ होता है। इस कण के गति की किणेटिक ऊर्जा है

$$ k_{i}=\frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2} $$

जहाँ $m_{i}$ कण के द्रव्यमान है। शरीर की कुल कार्यशक्ति $K$ व्यक्तिगत कणों की कार्यशक्ति के योग द्वारा दी जाती है,

$$ K=\sum_{i=1}^{n} k_{i}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2}\right) $$

यहाँ $n$ शरीर में कणों की संख्या है। ध्यान दें $\omega$ सभी कणों के लिए समान है। अतः, योग में $\omega$ को बाहर लेने पर,

$$ K=\frac{1}{2} \omega^{2}\left(\sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}\right) $$

हम एक नए पैरामीटर को परिभाषित करते हैं जो ठोस वस्तु को चरितार्थ करता है, जिसे जड़त्व आघूर्ण $I$ कहते हैं, जो निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{equation*} I=\sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^{2} \tag{6.34} \end{equation*} $$

इस परिभाषा के साथ,

$$ \begin{equation*} K=\frac{1}{2} I \omega^{2} \tag{6.35} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि पैरामीटर $I$ कोणीय वेग के मान से स्वतंत्र है। यह ठोस वस्तु और इसके घूमने के अक्ष के गुण द्वारा निर्धारित होता है।

तुलना करें गतिज ऊर्जा के समीकरण (6.35) के एक घूमते शरीर के साथ एक शरीर के रूप में रैखिक (अनुसरण) गति के लिए व्यंजक, $K=\frac{1}{2} m v^{2}$ यहाँ, $m$ शरीर के द्रव्यमान है और $v$ इसकी गति है। हम पहले ही रैखिक गति के लिए रैखिक वेग $v$ और घूर्णन गति के लिए कोणीय वेग $\omega$ के बीच समानता के बारे में ध्यान रख चुके हैं। इसलिए स्पष्ट है कि पैरामीटर, जड़त्व आघूर्ण $I$, रैखिक गति में द्रव्यमान के अनुरूप वांछित घूर्णन अनुरूप है। घूर्णन (एक निश्चित अक्ष के चारों ओर) में, जड़त्व आघूर्ण रैखिक गति में द्रव्यमान के भूमिका के समान भूमिका निभाता है।

हम अब समीकरण (6.34) को परिभाषा के रूप में दो सरल मामलों में जड़त्व आघूर्ण की गणना करने के लिए लागू करते हैं।

(a) एक तार के वलय के बारे में विचार करें जिसकी त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान $M$ है, जो अपने स्वयं के तल में अपने केंद्र के चारों ओर घूम रहा है और कोणीय वेग $\omega$ के साथ। वलय के प्रत्येक द्रव्यमान तत्व अक्ष से दूरी $\mathrm{R}$ पर है और गति करता है गति की गति $R \omega$ के साथ। इसलिए गतिज ऊर्जा है,

$$ K=\frac{1}{2} M v^{2}=\frac{1}{3} M R^{2} \omega^{2} $$

समीकरण (6.35) के साथ तुलना करने पर हमें वलय के लिए $I=M R^{2}$ प्राप्त होता है।

चित्र 6.28 एक लंबाई $l$ के हल्के छड़ के साथ दो द्रव्यमान जो एक द्रव्यमान केंद्र से गुजरते हुए छड़ के लंब अक्ष के चारों ओर घूम रहे हैं। पूरे प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M$ है।

(b) अब, एक लंबाई $1$ के नगण्य द्रव्यमान के कठोर छड़ के साथ दो छोटे द्रव्यमान लें जो एक द्रव्यमान केंद्र से गुजरते हुए छड़ के लंब अक्ष के चारों ओर घूम रहे हैं (चित्र 6.28)। प्रत्येक द्रव्यमान $M / 2$ अक्ष से $1 / 2$ की दूरी पर है। द्रव्यमान के जड़त्व आघूर्ण को इस प्रकार दिया जाता है:

$$ (M / 2)(1 / 2)^{2}+(M / 2)(1 / 2)^{2} $$

इस प्रकार, दो द्रव्यमान के लिए द्रव्यमान केंद्र से गुजरते हुए छड़ के लंब अक्ष के चारों ओर घूमते हुए जड़त्व आघूर्ण के लिए

$$

I=M l^{2} / 4 $$

तालिका 6.1 केवल विभिन्न परिचित नियमित आकार के वस्तुओं के विशिष्ट अक्षों के संबंध में जड़त्व आघूर्ण को देती है। (इन व्यंजकों के उत्पादन इस पाठ्यपुस्तक के सीमा के बाहर हैं और आप उन्नत वर्गों में उन्हें अध्ययन करेंगे।)

जैसे वस्तु के द्रव्यमान इसके रेखीय गति के अवस्था में परिवर्तन के विरोध करता है, इसे रेखीय गति में जड़त्व का मापदंड माना जा सकता है। इसी तरह, दिए गए घूर्णन अक्ष के विषय में जड़त्व आघूर्ण घूर्णन गति में परिवर्तन के विरोध करता है, इसलिए इसे वस्तु के घूर्णन जड़त्व का मापदंड माना जा सकता है; यह वस्तु के विभिन्न भागों के अक्ष से विभिन्न दूरियों पर वितरण के तरीके का मापदंड है। वस्तु के द्रव्यमान के विपरीत, जड़त्व आघूर्ण एक निश्चित मात्रा नहीं होता बल्कि घूर्णन अक्ष के संबंध में द्रव्यमान के वितरण, अक्ष के संबंध में वस्तु के संपूर्ण आकार के संबंध में अक्ष की दिशा और स्थिति पर निर्भर करता है। घूर्णन ठोस वस्तु के द्रव्यमान के अक्ष के संबंध में वितरण के तरीके के मापदंड के रूप में हम एक नए पैरामीटर, गैरेशन त्रिज्या को परिभाषित कर सकते हैं। यह जड़त्व आघूर्ण और वस्तु के कुल द्रव्यमान के साथ संबंधित है।

सारणी 6.1 कुछ नियमित आकार के वस्तुओं के घूर्णन आघूर्ण के विशेष अक्षों के संदर्भ में

सारणी 6.1 से ध्यान दें कि सभी मामलों में, हम लिख सकते हैं $\mathrm{I}=M k^{2}$, जहाँ $k$ के आयाम लंबाई के होते हैं। एक छड़ के बारे में इसके मध्य बिंदु पर लंब अक्ष के संदर्भ में, $k^{2}=L^{2} / 12$, अर्थात $k=L / \sqrt{12}$. इसी तरह, एक वृत्ताकार डिस्क के अपने व्यास के संदर्भ में $k=R / 2$ होता है। लंबाई $k$ एक वस्तु और घूर्णन अक्ष के ज्यामितीय गुण होती है। इसे घूर्णन त्रिज्या कहते हैं। एक वस्तु के बारे में एक अक्ष के संदर्भ में घूर्णन त्रिज्या को एक दूरी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके द्रव्यमान के बराबर एक बिंदु के द्रव्यमान के बराबर होता है और जिसका घूर्णन आघूर्ण वस्तु के बारे में उस अक्ष के घूर्णन आघूई के बराबर होता है।

इस प्रकार, एक ठोस वस्तु के घूर्णन आघूर्ण के निर्भर करता है वस्तु के द्रव्यमान, इसके आकार और आकृति, घूर्णन अक्ष के संदर्भ में द्रव्यमान के वितरण, और घूर्णन अक्ष की स्थिति और दिशा पर। परिभाषा से, समीकरण (6.34) से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि घूर्णन आघूर्ण के आयाम $\mathrm{ML}^{2}$ होते हैं और इसके SI इकाई $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{2}$ होती है।

इस बहुत महत्वपूर्ण मात्रा $I$ की गुणधर्म, जो शरीर के घूर्णन अविन्यास के माप के रूप में है, एक बड़ी व्यावहारिक उपयोग के लिए उपलब्ध कराया गया है। जैसे भाप इंजन और ऑटोमोबाइल इंजन जैसे मशीनों, जो घूर्णन गति उत्पन्न करते हैं, एक बड़े घूर्णन आघूर्ण के साथ एक डिस्क के साथ लैस होते हैं, जिसे एक फाइल व्हील कहा जाता है। इसके बड़े घूर्णन आघूर्ण के कारण, फाइल व्हील वाहन की गति के अचानक वृद्धि या कमी के विरोध करता है। यह गति के धीमे बदले की अनुमति देता है और अचानक गति के विरोध करता है, जिससे वाहन में यात्रियों के लिए धीमी यात्रा की गारंटी देता है।

6.10 घूर्णन गति के किनेमेटिक्स एक निश्चित अक्ष के चारों ओर

हमने पहले ही घूर्णन गति और रैखिक गति के बीच संगति के बारे में संकेत दिया है। उदाहरण के लिए, कोणीय वेग $\omega$ घूर्णन में रैखिक वेग $\mathbf{v}$ की तुलना में एक ही भूमिका निभाता है। हम इस संगति को आगे बढ़ाना चाहते हैं। इसके लिए हम चर्चा को केवल एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के बारे में सीमित कर देंगे। इस गति के मामले में केवल एक डिग्री ऑफ़ फ्रीडम होता है, अर्थात गति का वर्णन करने के लिए केवल एक स्वतंत्र चर की आवश्यकता होती है। यह रैखिक गति के तुलना में अनुरूप होता है। इस अनुभाग केवल किनेमेटिक्स के बारे में है। हम बाद में विद्युत विज्ञान के बारे में चर्चा करेंगे।

हम याद करते हैं कि घूर्णन करते वस्तु के कोणीय विस्थापन को निर्धारित करने के लिए हम वस्तु के किसी कण जैसे P (चित्र 6.29) को लेते हैं। इस कण के तल में कोणीय विस्थापन $\theta$ वस्तु के समग्र कोणीय विस्थापन होता है; $\theta$ को गति के तल में P के एक निश्चित दिशा से मापा जाता है, जिसे हम $x^{\prime}$-अक्ष के रूप में लेते हैं, जो $x$-अक्ष के समानांतर होता है। ध्यान दें, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, घूर्णन अक्ष $z$-अक्ष है और कण के गति के तल $x-y$ तल है। चित्र 6.29 में भी $t=0$ पर कोणीय विस्थापन $\theta_{0}$ दिखाया गया है।

हम याद करते हैं कि कोणीय वेग घूर्णन विस्थापन के समय के सापेक्ष दर होता है, $\omega = \mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$। ध्यान दें कि घूर्णन अक्ष निश्चित है, इसलिए कोणीय वेग को सदिश के रूप में विचार करने की आवश्यकता नहीं होती। इसके अतिरिक्त, कोणी त्वरण, $\alpha = \mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t$ होता है।

घूर्णन गति में गति के राशियाँ, कोणीय विस्थापन $(\theta)$, कोणीय वेग $(\omega)$ और कोणीय त्वरण $(\alpha)$ क्रमशः रेखीय गति में गति के राशियों, विस्थापन $(x)$, वेग $(v)$ और त्वरण $(a)$ के समान होते हैं। हम जानते हैं कि एकसमान (अर्थात स्थिर) त्वरण के लिए रेखीय गति के गति समीकरण हैं:

$$ \begin{align*} & v=v_{0}+a t \tag{a}\\ & x=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \tag{b}\\ & v^{2}=v_{0}^{2}+2 a x \tag{c} \end{align*} $$

जहाँ $x_{0}=$ प्रारंभिक विस्थापन और $v_{0}=$ प्रारंभिक वेग है। शब्द “प्रारंभिक” के लिए संबंधित मानों को $t=0$ पर दर्शाया जाता है।

समान एकांतर त्वरण वाले घूर्णन गति के लिए संगत गति समीकरण हैं:

$$ \begin{align*} & \omega=\omega_{0}+\alpha t \tag{6.36}\\ & \theta=\theta_{0}+\omega_{0} t+\frac{1}{2} \alpha t^{2} \tag{6.37}\\ & \text { और } \omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2 \alpha\left(\theta-\theta_{0}\right) \tag{6.38} \end{align*} $$

जहाँ $\theta_{0}=$ घूमते शरीर के प्रारंभिक कोणीय विस्थापन और $\omega_{0}=$ शरीर के प्रारंभिक कोणीय वेग है।

चित्र 6.29 एक ठोस शरीर के कोणीय स्थिति के निर्धारण।

उदाहरण 6.10 पहले सिद्धांत से समीकरण (6.36) प्राप्त करें।

उत्तर कोणीय त्वरण समान है, इसलिए

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=\alpha=\text { स्थिरांक } \tag{i} \end{equation*} $$

इस समीकरण का समाकलन करने पर,

$$ \begin{aligned} \omega & =\int \alpha \mathrm{d} t+c \\ & =\alpha t+c \quad(\text { क्योंकि } \alpha \text { स्थिरांक है }) \end{aligned} $$

जब $t=O, \omega=\omega_{0}$ (दिया गया)

समीकरण (i) से $t=0$ पर, $\omega=c=\omega_{0}$ प्राप्त होता है

इसलिए, $\omega=\alpha t+\omega_{0}$ जैसा कि आवश्यक है।

$\omega=\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$ के परिभाषा के साथ हम समीकरण (6.36) के समाकलन करके समीकरण (6.37) प्राप्त कर सकते हैं। इस अवलोकन और समीकरण (6.38) के अवलोकन के अवलोकन को एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया गया है।

उदाहरण 6.11 एक मोटर के वलय की कोणीय चाल 16 सेकंड में 1200 एरपीएम से 3120 एरपीएम तक बढ़ जाती है। (i) इसकी कोणीय त्वरण क्या है, यदि त्वरण समान मान लिया जाए? (ii) इस समय दौरान इंजन कितने चक्र पूरा करता है?

उत्तर

(i) हम $\omega=\omega_{0}+\alpha t$ का उपयोग करेंगे

$\omega_{0}=$ $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$ में आरंभिक कोणीय वेग

$=2 \pi \times$ $\mathrm{rev} / \mathrm{s}$ में कोणीय वेग

$$ =\frac{2 \pi \times \text { कोणीय वेग } \mathrm{rev} / \mathrm{min} में}{60 \mathrm{~s} / \mathrm{min}} $$ $$ \begin{aligned} & =\frac{2 \pi \times 1200}{60} \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ \\ & =40 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

इसी तरह $\omega=$ $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$ में अंतिम कोणीय वेग

$$ \begin{aligned} & =\frac{2 \pi \times 3120}{60} \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ \\ & =2 \pi \times 52 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ \\ & =104 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$ $\therefore$ कोणीय त्वरण $$ \alpha=\frac{\omega-\omega_{0}}{t} \quad=4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} $$

इंजन का कोणीय त्वरण $=4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}$

(ii) समय $t$ में कोणीय विस्थापन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \theta=\omega _{0} t+\frac{1}{2} \alpha t^{2} $$

$=\left(40 \pi \times 16+\frac{1}{2} \times 4 \pi \times 16^{2}\right) \mathrm{rad}$

$=(640 \pi+512 \pi) \mathrm{rad}$

$=1152 \pi \mathrm{rad}$

घूर्णन के चक्र $=\frac{115 \pi}{2 \pi}=576$

6.11 एक स्थिर अक्ष के बारे में घूर्णन गति के बल गति के बारे में

तालिका 6.2 रेखीय गति से संबंधित राशियों और घूर्णन गति में उनके अनुरूप राशियों की सूची देती है। हम पहले ही दोनों गतियों के किनेमेटिक्स की तुलना कर चुके हैं। इसके अलावा, हम जानते हैं कि घूर्णन गति में जड़त्व आघूर्ण और बलाघूर्ण के भूमिका क्रमशः रेखीय गति में द्रव्यमान और बल के समान होती है। इस बात के आधार पर हम तालिका में दिखाए गए अन्य अनुरूप राशियों के बारे में अनुमान लगा सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि रेखीय गति में कार्य किया जाता है $F dx$, घूर्णन गति में एक स्थिर अक्ष के बारे में यह $ \tau d \theta $ होना चाहिए, क्योंकि हम पहले ही जानते हैं कि $\mathrm{d} x \rightarrow \mathrm{d} \theta$ और $F \rightarrow \tau$ के संगत रूप हैं।

हालांकि, इन संगत रूपों को ठोस बल गति के आधार पर स्थापित करना आवश्यक है। यह वह बात है जिस पर हम अब ध्यान केंद्रित करेंगे।

हम शुरू करने से पहले, हम एक घूर्णन गति के बारे में एक सरलीकरण के बारे में ध्यान देते हैं। क्योंकि अक्ष स्थिर है, केवल उन टॉर्क के घटकों को हमारे विवरण में ध्यान में लाना आवश्यक है जो निश्चित अक्ष की दिशा में हों। केवल ये घटक शरीर को अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए कारण बन सकते हैं। घूर्णन अक्ष के लंबवत टॉर्क के घटक अक्ष की स्थिति को बदलने की कोशिश करेंगे। हम विशेष रूप से यह मान लेते हैं कि बाहरी टॉर्क के लंबवत घटकों के प्रभाव को रोकने के लिए आवश्यक बल घटक उपस्थित होंगे, ताकि अक्ष की स्थिर स्थिति बनी रहे। इसलिए, टॉर्क के लंबवत घटकों को ध्यान में नहीं लिया जाना चाहिए। इसका अर्थ है कि हमारी ठोस वस्तु पर टॉर्क की गणना के लिए:

(1) हमें केवल अक्ष के लम्बवत तलों में लगने वाले बलों को मात्रा में लेना होगा। अक्ष के समानांतर बल अक्ष के लम्बवत आघूर्ण उत्पन्न करेंगे और इन्हें ध्यान में नहीं लिया जाना चाहिए।

(2) हमें केवल अक्ष के लम्बवत स्थिति सदिशों के घटकों को मात्रा में लेना होगा। अक्ज के अनुदिश स्थिति सदिशों के घटक अक्ष के लम्बवत आघूर्ण उत्पन्न करेंगे और इन्हें ध्यान में नहीं लिया जाना चाहिए।

आघूर्ण द्वारा किया गया कार्य

चित्र 6.30 एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते एक वस्तु के कण पर लगे बल F1 द्वारा किया गया कार्य; कण अक्ष पर स्थित केंद्र C के चारों ओर वृत्ताकार पथ बनाता है; वृत्ताकार चाप P1 P′ 1 (ds1 ) कण के विस्थापन को दर्शाता है।

सारणी 6.2 रैखिक गति और घूर्णन गति की तुलना

| | रैखिक गति | निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति |

| :— | :— | :— | | 1 | विस्थापन $x$ | कोणीय विस्थापन $\theta$ | | 2 | वेग $v=\mathrm{d} x / \mathrm{d} t$ | कोणीय वेग $\omega=\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$ | | 3 | त्वरण $a=\mathrm{d} v / \mathrm{d} t$ | कोणीय त्वरण $\alpha=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t$ | | 4 | द्रव्यमान $M$ | जड़त्व आघूर्ण $I$ | | 5 | बल $F=M a$ | बल距 $\tau=I \alpha$ | | 6 | कार्य $d W=F \mathrm{~d} s$ | कार्य $W=\tau \mathrm{d} \theta$ | | 7 | गतिज ऊर्जा $K=M v^{2} / 2$ | गतिज ऊर्जा $K=I \omega^{3} / 2$ | | 8 | शक्ति $P=F v$ | शक्ति $P=\tau \omega$ | | 9 | रेखीय संवेग $p=M v$ | कोणीय संवेग $L=I \omega$ |

चित्र 6.30 में एक ठोस वस्तु के एक काट को दिखाया गया है, जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूम रही है, जिसे हम $z$-अक्ष मान रहे हैं (पृष्ठ के तल के लंबवत; चित्र 6.29 देखें)। जैसा कि ऊपर कहा गया है, हमें केवल उन बलों को ध्यान में लेना होगा जो अक्ष के लंबवत तलों में स्थित हों। मान लीजिए $\mathbf{F}_1$ एक ऐसा बल है जो वस्तु के एक कण पर बल कार्य करता है जो बिंदु $\mathrm{P}_1$ पर लगता है और इसकी कार्य रेखा अक्ष के लंबवत तल में होती है। सुविधा के लिए हम इसे $x^{\prime}-y^{\prime}$ तल कहते हैं (पृष्ठ के तल के समान)। बिंदु $\mathrm{P}_1$ पर वस्तु का कण एक वृत्ताकार पथ का वर्णन करता है जिसकी त्रिज्या $r_1$ है और जिसका केंद्र अक्ष पर बिंदु $\mathrm{C}$ है; $\mathrm{CP}_1=r_1$।

समय $\Delta t$ में, बिंदु अब स्थिति $\mathrm{P}_1^{\prime}$ पर हो जाता है। इसलिए कण के विस्थापन $d \mathbf{s}_1$ के परिमाण $\mathrm{d} s_1=r_1 \mathrm{~d} \theta$ होता है और इसकी दिशा $\mathrm{P}_1$ पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यहाँ $d \theta$ कण के कोणीय विस्थापन है, $\mathrm{d} \theta=\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{CP}_1^{\prime}$. बल द्वारा कण पर किया गया कार्य है

$$ \mathrm{d} W_1=\mathbf{F}_1 \cdot \mathrm{d} \mathbf{s}_1=F_1 \mathrm{~d} s_1 \cos \phi_1=F_1\left(r_1 \mathrm{~d} \theta\right) \sin \alpha_1 $$

जहाँ $\phi_1$ बल $\mathbf{F}_1$ और $\mathrm{P}_1$ पर स्पर्शरेखा के बीच कोण है, और $\alpha_1$ बल $\mathbf{F}_1$ और त्रिज्या वेक्टर $\mathbf{O P}_1$ के बीच कोण है; $\phi_1+\alpha_1=90^{\circ}$। $\mathbf{F}_1$ के कारण मूल बिंदु के संबंध में बलाघूर्ण $\mathbf{O P}_1 \times \mathbf{F}_1$ होता है। अब $\mathbf{O} \mathbf{P}_1=\mathbf{O C}+\mathbf{O P}_1$। [चित्र 6.17(b) के लिए संदर्भ देखें।] क्योंकि $\mathbf{O C}$ अक्ष के अनुदिश है, इसके कारण बलाघूर्ण हमारे विचार के बाहर है। $\mathbf{F}_1$ के कारण प्रभावी बलाघूर्ण $\tau_1=\mathbf{C P} \times \mathbf{F}_1$ होता है; यह घूर्णन अक्ष के अनुदिश होता है और इसके परिमाण $\tau_1=r_1 F_1 \sin \alpha$ होता है, इसलिए,

$\mathrm{d} W_{1}=\tau_{1} \mathrm{~d} \theta$

यदि शरीर पर एक से अधिक बल कार्य कर रहे हैं, तो सभी बलों द्वारा किए गए कार्य को जोड़कर शरीर पर कुल कार्य की गणना की जा सकती है। विभिन्न बलों के कारण आघूर्ण के मापदंडों को $\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots$ आदि के रूप में दर्शाए जाने पर,

$$ \mathrm{d} W=\left(\tau_{1}+\tau_{2}+\ldots\right) \mathrm{d} \theta $$

याद रखें, आघूर्ण उत्पन्न करने वाले बल विभिन्न कणों पर कार्य करते हैं, लेकिन सभी कणों के लिए कोणीय विस्थापन $\mathrm{d} \theta$ समान होता है। क्योंकि सभी आघूर्ण स्थिर अक्ष के समानांतर हैं, इसलिए कुल आघूर्ण के मापदंड $\tau$ के मान केवल आघूर्ण के मापदंडों के बीजगणितीय योग होता है, अर्थात, $\tau=\tau_{1}+\tau_{2}+\ldots$। इसलिए हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} \mathrm{d} W=\tau \mathrm{d} \theta \tag{6.39} \end{equation*} $$

इस समीकरण द्वारा एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूमते शरीर पर कार्य करने वाले कुल (बाह्य) आघूर्ण $\tau$ द्वारा किया गया कार्य दिया जाता है। इसकी विशिष्टता उस संगत व्यंजक के साथ एक तुलना है, जो

$$ \mathrm{d} W=F \mathrm{~d} s $$

लिनियर (अनुसूचीकृत) गति के लिए यह स्पष्ट है। समीकरण (6.39) के दोनों ओर $\mathrm{d} t$ से विभाजित करने पर

$$ \begin{equation*} P=\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{~d} t}=\tau \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\tau \omega
\end{equation*} $$

या $$P=\tau \omega \tag{6.40}$$

यह तात्कालिक शक्ति है। घूर्णन गति के मामले में इस शक्ति के व्यंजक को रैखिक गति के मामले में शक्ति के व्यंजक के साथ तुलना करें,

$P=F_{V}$

एक पूर्णतः अकम्पन वस्तु में कोई आंतरिक गति नहीं होती। बाहरी आघूर्ण द्वारा किया गया कार्य अतिक्रमण के बिना वस्तु की गतिज ऊर्जा में वृद्धि करता है। वस्तु पर कार्य करने की दर समीकरण (6.40) द्वारा दी गई है। इसे गतिज ऊर्जा के वृद्धि दर के बराबर कर दें। गतिज ऊर्जा के वृद्धि दर के लिए

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{I \omega^{2}}{2}=I \frac{(2 \omega)}{2} \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} $$

हम मान लेते हैं कि जड़त्व आघूर्ण समय के साथ बदलता नहीं है। इसका अर्थ है कि वस्तु के द्रव्यमान में कोई परिवर्तन नहीं होता, वस्तु अकम्पन बनी रहती है और अक्ष भी वस्तु के सापेक्ष अपनी स्थिति में परिवर्तन नहीं करता।

चूंकि $\alpha=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t$, हम प्राप्त करते हैं

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{I \omega^{2}}{2}=I \omega \alpha $$

कार्य करने की दर और किनेटिक ऊर्जा में वृद्धि की दर के बराबर करने पर,

$$ \begin{align*} & \tau \omega=I \omega \alpha \\ & \tau=I \alpha \tag{6.41} \end{align*} $$

समीकरण (6.41) रैखिक गति के न्यूटन के द्वितीय नियम के समान है, जिसे संकेताक्षर रूप में $F=m a$ के रूप में व्यक्त किया गया है।

जैसे ही बल त्वरण उत्पन्न करता है, बलाघूर्ण एक वस्तु में कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है। कोणीय त्वरण आवेग बलाघूर्ण के सीधे अनुपाती होता है और वस्तु के जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इस दृष्टि से, समीकरण (6.41) को घूर्णन गति के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम कहा जा सकता है।

उदाहरण 6.12 एक नगण्य द्रव्यमान के बाँध को एक फ्लाई व्हील के किनारे के चारों ओर बांधा गया है, जिसका द्रव्यमान $20 \mathrm{~kg}$ और त्रिज्या $2 दशमलव 0 \mathrm{~cm}$ है। चित्र 6.31 में दिखाए गए अनुसार बाँध पर एक स्थिर बल $25 \mathrm{~N}$ लगाया जाता है। फ्लाई व्हील को एक क्षैतिज अक्ष पर लगे घर्षण रहित बुलबुले पर लगाया गया है।

(a) चकती के कोणीय त्वरण की गणना करें।

(b) जब $2 \mathrm{~m}$ तार खुला जाए तो बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करें।

(c) इस बिंदु पर चकती की गतिज ऊर्जा भी ज्ञात करें। मान लीजिए कि चकती शांति से शुरू होती है।

(d) भाग (b) और (c) के उत्तर की तुलना करें।

उत्तर

$\hspace{20mm}$चित्र 6.31

$ \begin{array}{lll} \text{(a)} & \text{ हम }& I \alpha = \tau \\ & \text{टॉर्क} & \tau=F R \\ & & =25 \times 0.20 \mathrm{Nm} (\text{ जैसे } R=0.20 \mathrm{~m})\\ && =5.0 \mathrm{Nm}\\ \end{array} $

$I=$ फाइलव्हील के अक्ष के संबंध में जड़त्व आघूर्ण $=\frac{M R^{2}}{2}$

$=\frac{20.0 \times(0.2)^{2}}{2}=0.4 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}$ $\alpha=$ कोणीय त्वरण

$=5.0 \mathrm{~N} \mathrm{~m} / 0.4 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}=12.5 \mathrm{~s}^{-2}$

(b) 2 मीटर द्रव्यमान के रस्सा के खींचे गए कार्य

$$ =25 \mathrm{~N} \times 2 \mathrm{~m}=50 \mathrm{~J} $$

(c) मान लीजिए $\omega$ अंतिम कोणीय वेग है।

गतिज ऊर्जा के लाभ $=\frac{1}{2} I \omega^{2}$,

क्योंकि वृत्त के आरंभ में विराम में होता है। अब,

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2 \alpha \theta, \quad \omega_{0}=0$

कोणीय विस्थापन $\theta=$ खींचे गए रस्सा की लंबाई / वृत्त की त्रिज्या

$=2 \mathrm{~m} / 0.2 \mathrm{~m}=10 \mathrm{rad}$

$\omega^{2}=2 \times 12.5 \times 10.0=250(\mathrm{rad} / \mathrm{s})^{2}$

$\therefore$ गतिज ऊर्जा के लाभ $=\frac{1}{2} \times 0.4 \times 250=50 \mathrm{~J}$

(d) उत्तर समान है, अर्थात वृत्त के द्वारा लाभ गई गतिज ऊर्जा = बल द्वारा किया गया कार्य। घर्षण के कारण ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती।

6.12 निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के मामले में कोणीय संवेग

हमने अनुच्छेद 6.7 में कणों के एक प्रणाली के कोणीय संवेग के बारे में अध्ययन किया है। हम पहले से जानते हैं कि कोई प्रणाली के कणों के कुल कोणीय संवेग के समय दर उसी बिंदु के संबंध में उस प्रणाली पर कुल बाह्य बल आघूर्ण के बराबर होता है। जब कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य होता है, तो प्रणाली का कुल कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।

अब हम एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के विशेष मामले में कोणीय संवेग के अध्ययन का अध्ययन करना चाहते हैं। $n$ कणों के निकाय के कुल कोणीय संवेग के व्यापक व्यंजक है

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}=\sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \tag{6.25b} \end{equation*} $$

हम सबसे पहले घूर्णन करते ठोस शरीर के एक सामान्य कण के कोणीय संवेग के अध्ययन करते हैं। फिर हम व्यक्तिगत कणों के योगदान को जोड़कर पूरे शरीर के $\mathbf{L}$ को प्राप्त करते हैं।

एक सामान्य कण $\boldsymbol{I}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ होता है। जैसा कि पिछले अनुच्छेद में देखा गया है $\mathbf{r}=\mathbf{O P}=\mathbf{O C}+\mathbf{C P}$ [चित्र 6.17(b)]। $\mathbf{p}=\mathrm{m} \mathbf{v}$ के साथ

$$ \boldsymbol{l}=(\mathbf{O C} \times m \mathbf{v})+(\mathbf{C P} \times m \mathbf{v}) $$

कण $\mathrm{P}$ के रैखिक वेग $\mathbf{v}$ के परिमाण को $v=\omega r$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r$ तीव्रता $\mathrm{CP}$ की लंबाई है या घूर्णन अक्ष से $\mathrm{P}$ की लंबवत दूरी है। इसके अतिरिक्त, $\mathbf{v}$ वृत्त के ताज बिंदु $\mathrm{P}$ पर स्पर्शरेखीय होता है जिसमें कण घूमता है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके जांच किया जा सकता है कि $\mathbf{C P} \times \mathbf{v}$ निश्चित अक्ष के समानांतर है। निश्चित अक्ष के अनुदिश एक एकक वेक्टर (चुना गया अक्ष $z$-अक्ष के रूप में) $\hat{\mathbf{k}}$ है। अतः

$$ \mathbf{C P} \times m \mathbf{v}=r_{\perp}(m v) \hat{\mathbf{k}} $$ $$ =m r_{\perp}^{2} \omega \hat{\mathbf{k}} \quad\left(\text { since } v=\omega r_{\perp}\right) $$

उसी तरह, हम देख सकते हैं कि $\mathbf{O C} \times \mathbf{v}$ निश्चित अक्ष के लंबवत है। मान लीजिए $l$ के निश्चित अक्ष (अर्थात $z$-अक्ष) के अनुदिश भाग को $I_{z}$ द्वारा नोट किया जाता है, तो

$ \boldsymbol{l_z} = \mathbf{CP} \times m \mathbf{v} = mr_{\perp}^2 \omega \hat{k} $

और $\boldsymbol{l}=\boldsymbol{l}_{z}+\mathbf{O C} \times m \mathbf{v}$

हम ध्यान देते हैं कि $\boldsymbol{I}_{z}$ निश्चित अक्ष के समानांतर है, लेकिन $l$ नहीं। सामान्य रूप से, एक कण के लिए आवर्त गति के अक्ष के अनुदिश आवर्त गति $I$ नहीं होती, अर्थात एक कण के लिए $I$ और $\omega$ आवश्यक रूप से समानांतर नहीं होते। इसकी तुलना गति के संगत तथ्य के साथ करें। एक कण के लिए $\mathbf{p}$ और $\mathbf{v}$ हमेशा एक दूसरे के समानांतर होते हैं। पूरे ठोस वस्तु के कुल आवर्त गति की गणना करते समय, हम वस्तु के प्रत्येक कण के योगदान को जोड़ते हैं।

अतः

$$ \mathbf{L}=\sum \boldsymbol{l_i}=\sum \boldsymbol{l}_{i z}+\sum \mathbf{O} \mathbf{c}_i \times m_i \mathbf{v}_i $$

हम $\mathbf{L}_{\perp}$ और $\mathbf{L}_z$ को क्रमशः $z$-अक्ष के लंब और $z$-अक्ष के अनुदिश $\mathbf{L}$ के घटक के रूप में दर्शाते हैं;

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}_{\perp}=\sum \mathbf{O} \mathbf{C}_i \times m_i \mathbf{v}_i \tag{6.42a} \end{equation*} $$

जहाँ $m_i$ और $\mathbf{v}_i$ क्रमशः $i^{\text {th }}$ कण के द्रव्यमान और वेग हैं और $\mathrm{C}_i$ कण द्वारा वर्णित वृत्त के केंद्र है; और

$$ \begin{equation*} \mathbf{L_z}=\sum \boldsymbol{l}_{i z}=\left(\sum_i m_i r_i^2\right) w \mathbf{k} \end{equation*} $$

या $$\quad \mathbf{L}_z=I \omega \hat{\mathbf{k}}\tag{6.42b}$$

अंतिम चरण इसलिए है क्योंकि $i^{\text {th }}$ कण के अक्ष से लंबवत दूरी $r_{\mathrm{i}}$ है; और घूर्णन अक्ष के संबंध में वस्तु के जड़त्व आघूर्ण की परिभाषा के अनुसार $I=\sum m_{i} r_{i}^{2}$ है।

Note $$\mathbf{L}=\mathbf{L_z}+\mathbf{L}_\perp \tag{6.42c}$$

इस अध्याय में हम निम्नलिखित ठोस वस्तुओं के बारे में मुख्य रूप से चर्चा करते रहे हैं जो घूर्णन अक्ष के समानांतर सममिति रखती हैं, अर्थात घूर्णन अक्ष उनकी एक सममिति अक्ष होती है। ऐसी वस्तुओं के लिए, दिए गए $\mathbf{O} \mathbf{C_i}$ के लिए, एक कण जिसका वेग $\mathbf{v_i}$ होता है, एक अन्य कण जिसका वेग $-\mathbf{v_i} $ होता है, वृत्त के केंद्र $C_i$ के व्यास के विपरीत बिंदु पर स्थित होता है जिस पर वह कण घूमता है। ऐसे युग्म एक साथ $\mathbf{L_{\perp}}$ के योग में शून्य योगदान देते हैं और फलनतः सममिति वाली वस्तुओं के लिए $\mathbf{L}_{\perp}$ शून्य होता है, और इसलिए

$$ \begin {equation*} \mathbf{L}=\mathbf{L}_{z}=I \omega \hat{\mathbf{k}} \tag{6.42~d} \end{equation*} $$

उन वस्तुओं के लिए जो घूर्णन अक्ष के समानांतर सममिति रखती नहीं हैं, $\mathbf{L}$ बराबर $\mathbf{L}_{z}$ नहीं होता और इसलिए $\mathbf{L}$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश नहीं होता। तालिका 6.1 के संदर्भ में, आप बता सकते हैं कि किन स्थितियों में $\mathbf{L}=\mathbf{L} _{z}$ लागू नहीं होगा?

Let us differentiate Eq. (6.42b). Since $\hat{\mathbf{k}}$ is a fixed (constant) vector, we get

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\mathbf{L}_{z}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(I \omega) \hat{\mathbf{k}}$

Now, Eq. (6.28b) states

$$ \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\tau $$

As we have seen in the last section, only those components of the external torques which are along the axis of rotation, need to be taken into account, when we discuss rotation about a fixed axis. This means we can take $\tau=\tau \hat{\mathbf{k}}$. Since $\mathbf{L}=\mathbf{L_z}+\mathbf{L_{\perp}}$ and the direction of $\mathbf{L}_z$ (vector $\hat{\mathbf{k}}$ ) is fixed, it follows that for rotation about a fixed axis,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}_{z}}{\mathrm{~d} t}=t \hat{\mathbf{k}} \tag{6.43a} \end{equation*} $$

and $$\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}_{\perp}}{\mathrm{d} t}=0 \tag{6.43b}$$

Thus, for rotation about a fixed axis, the component of angular momentum perpendicular to the fixed axis is constant. As $\mathbf{L}_{z}=I \omega \hat{\mathbf{k}}$, we get from Eq. (6.43a),

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(I \omega)=\tau \tag{6.43c}$$

यदि जड़त्व आघूर्ण $I$ समय के साथ बदलता नहीं है,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(I \omega)=I \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=I \alpha$

और हम तत्कालीन समीकरण (6.43c) से प्राप्त करते हैं,

$$\tau=I \alpha \tag{6.41}$$

हम पहले ही इस समीकरण को कार्य-कार्य ऊर्जा पथ के माध्यम से निर्मित कर चुके हैं।

6.12.1 कोणीय संवेग के संरक्षण का सिद्धांत

अब हम एक स्थिर अक्ष के चारों घूर्णन के संदर्भ में कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत पर वापस जा सकते हैं। समीकरण (6.43c) से, यदि बाह्य बल-आघूर्ण शून्य है,

$$L_{\mathrm{z}}=I \omega= \text{स्थिर } \tag{6.44}$$

सममित वस्तुओं के लिए, समीकरण (6.42d) से $L_{z}$ को $L$ से बदला जा सकता है। $L$ और $L_{z}$ क्रमशः $\mathbf{L}$ और $\mathbf{L}_{z}$ के परिमाण हैं।

इस प्रकार, समीकरण (6.29a) के आवश्यक रूप, जो एक कण के तंत्र के कोणीय संवेग के सामान्य संरक्षण कानून को व्यक्त करता है, एक स्थिर अक्ष के घूर्णन के लिए यह रूप है। समीकरण (6.44) अक्सर हम दैनिक जीवन में आने वाले स्थितियों के लिए लागू होता है। आप अपने दोस्त के साथ इस प्रयोग कर सकते हैं। एक घूर्णन चेयर (एक बैठक जिसका बैठक बर्तन एक अक्ष के चारों घूमने के लिए मुक्त हो) पर बैठें जहां आपके हाथ बंद कर दिए गए हैं और पैर जमीन से दूर हैं। अपने दोस्त को चेयर को तेजी से घुमाने के लिए कहें। जब चेयर तेजी से घूम रही है तो अपने हाथों को क्षैतिज रूप से फैलाएं। क्या होता है? आपकी कोणीय गति कम हो जाती है। अगर आप अपने शरीर के करीब हाथ ले आएं तो कोणीय गति फिर से बढ़ जाती है। यह एक स्थिति है जहां कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत के अनुपालन होता है। यदि घूर्णन यंत्र में घर्षण को नगण्य मान लिया जाए तो घूर्णन अक्ष के संबंध में कोई बाह्य बल-आघूर्ण नहीं होता और इसलिए $I \omega$ स्थिर रहता है। हाथ फैलाने से घूर्णन अक्ष के संबंध में $I$ बढ़ जाता है, जिसके परिणामस्वरूप कोणीय गति $\omega$ कम हो जाती है। शरीर के करीब हाथ ले आने के परिणामस्वरूप इसका विपरीत प्रभाव होता है।

चित्र 6.32 (a) एक आंतरिक आवेग के संरक्षण की दिखावट। एक लड़की एक घूमने वाली कुर्सी पर बैठकर अपने हाथों को फैलाती है/ अपने शरीर के करीब ले आती है।

चित्र 6.32 (b) एक एक्रोबेट जो अपनी प्रदर्शन में आंतरिक आवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करती है।

एक संगीत एक्रोबेट और एक डूबों वाला इस सिद्धांत का लाभ उठाते हैं। इसके अलावा, एक घूमने वाली गति (एक शीर्ष बिंदु के चारों ओर घूमना) पर एक पैर के टॉप पर एक क्लासिकल, भारतीय या पश्चिमी नृत्यकार भी इस सिद्धांत के ‘अधिकार’ को दिखाते हैं। आप इसे समझ सकते हैं?

सारांश

1. आदर्श रूप से, एक ठोस वस्तु वह होती है जिसके विभिन्न कणों के बीच दूरी बदल नहीं जाती है, भले ही उन पर बल कार्य कर रहे हों।

2. एक बिंदु या एक रेखा पर निश्चित रूप से रहे ठोस वस्तु के लिए केवल घूर्णन गति हो सकती है। एक ऐसी वस्तु जो किसी तरह निश्चित नहीं हो, तो या तो शुद्ध गतिमान हो सकती है या गतिमान और घूर्णन गति के संयोजन में हो सकती है।

3. एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के दौरान, ठोस वस्तु के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करते हैं जो अक्ष के लंबवत तल में होता है और अक्ष पर अपना केंद्र रखता है। घूर्णन करते हुए ठोस वस्तु के प्रत्येक बिंदु किसी भी समय के लिए समान कोणीय वेग रखते हैं।

4. शुद्ध गति में, वस्तु के प्रत्येक कण किसी भी समय के लिए समान वेग रखते हैं।

5. कोणीय वेग एक सदिश होता है। इसके परिमाण $\omega = d\theta / dt$ होता है और यह घूर्णन अक्ष के अनुदिश दिशा में होता है। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए, इस सदिश $\omega$ की दिशा निश्चित होती है।

6. दो सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ का सदिश या क्रॉस गुणनफल एक सदिश के रूप में लिखा जाता है $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. इस सदिश के परिमाण $ab \sin \theta$ होता है और इसकी दिशा दाहिने हाथ के नियम या दाहिने हाथ के स्क्रू के द्वारा दी जाती है।

7. एक ठोस वस्तु के कण के रैखिक वेग को निर्धारित करने के लिए $\mathbf{v}=\omega \times \mathbf{r}$ का सूत्र उपयोग किया जाता है, जहाँ $\mathbf{r}$ एक निश्चित अक्ष के अनुदिश मूल बिंदु से एक कण के स्थिति सदिश को दर्शाता है। यह संबंध एक ठोस वस्तु के अधिक सामान्य घूर्णन के लिए भी लागू होता है जहाँ एक बिंदु निश्चित रहता है। ऐसे मामले में $\mathbf{r}$ निश्चित बिंदु के संबंध में एक कण के स्थिति सदिश को दर्शाता है जिसे मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है।

8. $n$ कणों के एक निकाय के द्रव्यमान केंद्र को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका स्थिति सदिश होता है

$$ \mathbf{R}=\frac{\sum m_i \mathbf{r}_i}{M} $$

9. एक कणों के निकाय के द्रव्यमान केंद्र के वेग को $\mathbf{V}=\mathbf{P} / M$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\mathbf{P}$ निकाय के रैखिक संवेग को दर्शाता है। द्रव्यमान केंद्र ऐसे चलता है जैसे कि निकाय का समस्त द्रव्यमान इस बिंदु पर केंद्रित हो और सभी बाह्य बल इस बिंदु पर कार्य करते हों। यदि निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य हो, तो निकाय का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।

10. $n$ कणों के एक निकाय के बारे में मूल बिंदु के संगत कोणीय संवेग है

$$ \mathbf{L}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i $$

$ n $ कणों के एक निकाय के बारे में मूल बिंदु पर बल का बलाघूर्ण या बल का आघूर्ण है

$$ \tau=\sum_1 \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i $$

$ i^{\text {th }} $ कण पर कार्य करने वाला बल $ \mathbf{F}_i $ बाह्य बल तथा आंतरिक बल दोनों को शामिल करता है। न्यूटन के तीसरे गति के नियम की धारणा करते हुए तथा यह मानते हुए कि किसी भी दो कणों के बीच बल उन कणों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है, हम दिखा सकते हैं

$\tau_\text{int}=\mathbf{0}$

और

$ \frac{d \mathbf{L}}{d t}=\tau_{e x t} $

11. एक ठोस वस्तु यांत्रिक संतुलन में होती है यदि

(1) यह अनुसरणीय संतुलन में हो, अर्थात इस पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य हो : $\sum \mathbf{F}_i=\mathbf{0}$, और

(2) यह घूर्णन संतुलन में हो, अर्थात इस पर कार्य करने वाला कुल बाह्य आघूर्ण शून्य हो :

$$ \sum \tau_i=\sum \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i=\mathbf{0} . $$

12. एक विस्तारित वस्तु के गुरुत्व केंद्र वह बिंदु है जहां वस्तु पर कुल गुरुत्वीय आघूर्ण शून्य होता है।

13. एक ठोस वस्तु के एक अक्ष के संबंध में जड़त्व आघूर्ण को सूत्र $I=\sum m_{i} r_{i}^{2}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $r_{\mathrm{i}}$ वस्तु के $i$ वें बिंदु की अक्ष से लंब दूरी है। घूर्णन की कार्यशक्ति $K=\frac{1}{2} I \omega^{2}$ होती है।

विचार करें

1. किसी प्रणाली के केंद्र द्रव्यमान के गति का निर्धारण करने के लिए प्रणाली के आंतरिक बलों के बारे में कोई ज्ञान आवश्यक नहीं होता। इसके लिए हमें वस्तु पर कार्य करने वाले बाह्य बलों के बारे में जानकारी होनी चाहिए।

2. एक कण सिस्टम के गति को इसके द्रव्यमान केंद्र के गति (अर्थात संपूर्ण सिस्टम के अनुवादी गति) और द्रव्यमान केंद्र के संपर्क में गति (अर्थात द्रव्यमान केंद्र के संबंध में गति) के रूप में अलग करना एक कण सिस्टम के गति के विवरण में एक उपयोगी तकनीक है। इस तकनीक का एक उदाहरण एक कण सिस्टम की कार्यशक्ति $K$ को इसके द्रव्यमान केंद्र के संबंध में कार्यशक्ति $K^{\prime}$ और द्रव्यमान केंद्र की कार्यशक्ति $M V^{3}/2$ के रूप में अलग करना है,

$$ K=K^{\prime}+M V^{2}/2 $$

3. एक बड़े आकार के वस्तु (या कण सिस्टम) के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम के लिए आधार न्यूटन के द्वितीय नियम और न्यूटन के तृतीय नियम दोनों हैं।

4. एक कण सिस्टम के कुल आवेग के समय के सापेक्ष परिवर्तन को सिस्टम के कुल बाह्य बल आवेग के रूप में स्थापित करने के लिए हमें न्यूटन के द्वितीय नियम के अलावा न्यूटन के तृतीय नियम की आवश्यकता होती है, जिसके लिए दो कणों के बीच बल उन दो कणों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं।

5. कुल बाह्य बल के विलुप्त होना और कुल बाह्य बलाघूर्ण के विलुप्त होना स्वतंत्र शर्तें हैं। हम एक के बिना दूसरा हो सकता है। एक जोड़ी में कुल बाह्य बल शून्य होता है, लेकिन कुल बलाघूर्ण शून्य नहीं होता।

6. एक प्रणाली पर कुल बलाघूर्ण उस बिंदु के चयन से स्वतंत्र होता है जब कुल बाह्य बल शून्य होता है।

7. एक वस्तु के गुरुत्व केंद्र और द्रव्यमान केंद्र केवल तब समान होते हैं जब गुरुत्वीय क्षेत्र वस्तु के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक बदलता नहीं होता।

8. कोणीय संवेग $\mathbf{L}$ और कोणीय वेग $\omega$ आवश्यक रूप से समानांतर वेक्टर नहीं होते। हालांकि, इस पाठ्यक्रम में चर्चा किए गए सरल स्थितियों में जब घूर्णन एक निश्चित अक्ष के चारों ओर होती है जो ठोस वस्तु के सममिति अक्ष होती है, तो संबंध $\mathbf{L}=I \omega$ सही होता है, जहां $I$ वस्तु के घूर्णन अक्ष के संबंध में जड़त्व आघूर्ण होता है।

6.1.1 कठोर वस्तु किस प्रकार के गति कर सकती है?

हम एक कठोर वस्तु के गति के कुछ उदाहरण लेकर इस प्रश्न की खोज करने की कोशिश करें। हम एक आयताकार ब्लॉक के एक झुके समतल पर नीचे लुढ़कते हुए गति के उदाहरण से शुरू करेंगे। ब्लॉक को एक कठोर वस्तु के रूप में लिया गया है। इस ब्लॉक की गति इस प्रकार है कि वस्तु के सभी कण एक साथ गति कर रहे हैं, अर्थात वे किसी भी समय के बिंदु पर समान वेग रखते हैं। यहाँ कठोर वस्तु शुद्ध अनुसूची गति में है (चित्र 6.1)।

चित्र 6.1 झुके समतल पर ब्लॉक की अनुसूची (लुढ़कती) गति (किसी भी समय के बिंदु पर ब्लॉक के कोई भी बिंदु जैसे P1 या P2 समान वेग से गति करता है।)

शुद्ध अनुसूची गति में किसी भी समय के बिंदु पर वस्तु के सभी कण समान वेग रखते हैं।

Consider now the rolling motion of a solid metallic or wooden cylinder down the same inclined plane (Fig. 6.2). The rigid body in this problem, namely the cylinder, shifts from the top to the bottom of the inclined plane, and thus, seems to have translational motion. But as Fig. 6.2 shows, all its particles are not moving with the same velocity at any instant. The body, therefore, is not in pure translational motion. Its motion is transl,ational plus ‘something else.’

Fig. 6.2 Rolling motion of a cylinder. It is not pure translational motion. Points P1 , P2 , P3 and P4 have different velocities (shown by arrows) at any instant of time. In fact, the velocity of the point of contact P3 is zero at any instant, if the cylinder rolls without slipping.

In order to understand what this ‘something else’ is, let us take a rigid body so constrained that it cannot have translational motion. The most common way to constrain a rigid body so that it does not have translational motion is to fix it along a straight line. The only possible motion of such a rigid body is rotation. The line or fixed axis about which the body is rotating is its axis of rotation. If you look around, you will come across many examples of rotation about an axis, a ceiling fan, a potter’s wheel, a giant wheel in a fair, a merry-go-round and so on (Fig 6.3(a) and (b)).

चित्र 6.3 निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन (a) सीलिंग फैन (b) एक बर्तन बनाने वाले व्यक्ति का बर्तन

चित्र 6.4 एक ठोस वस्तु के z-अक्ष के चारों ओर घूर्णन (वस्तु के प्रत्येक बिंदु जैसे कि P1 या P2, घूर्णन अक्ष के केंद्र (C1 या C2) के चारों ओर एक वृत्त बनाता है। वृत्त की त्रिज्या (r1 या r2) बिंदु (P1 या P2) की घूर्णन अक्ष से लंब दूरी होती है। अक्ष पर स्थित बिंदु जैसे कि P3 स्थिर रहता है।)

हम घूर्णन के बारे में बात करने की कोशिश करते हैं, घूर्णन के कैसे विशिष्ट गुण होते हैं। आप ध्यान दें कि एक ठोस वस्तु के निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन में वस्तु के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है, जो अक्ष के लंबवत तल में होता है और अक्ष पर उसका केंद्र होता है। चित्र 6.4 में एक ठोस वस्तु के निश्चित अक्ष (संदर्भ फ्रेम के z-अक्ष) के चारों ओर घूर्णन की गति दिखाई गई है। मान लीजिए कि P1 एक ठोस वस्तु का एक कण है, जो एक निश्चित अक्ष से r दूरी पर है। कण P1 एक वृत्त का घटक है जिसकी त्रिज्या r1 है और जिसका केंद्र C1 निश्चित अक्ष पर है। वृत्त अक्ष के लंबवत तल में होता है। चित्र में एक अन्य कण P2 भी दिखाया गया है, जो निश्चित अक्ष से r2 दूरी पर है। कण P2 एक वृत्त के घटक है जिसकी त्रिज्या r2 है और जिसका कें निश्चित अक्ष पर है। यह वृत्त भी अक्ष के लंबवत तल में होता है। ध्यान दें कि P1 और P2 द्वारा बनाए गए वृत्त अलग-अलग तल में हो सकते हैं; हालांकि, दोनों तल निश्चित अक्ष के लंबवत होते हैं। अक्ष पर स्थित कोई भी कण जैसे कि P3 के लिए r = 0 होता है। ऐसे कोई भी कण वस्तु के घूर्णन के दौरान स्थिर रहते हैं। यह अपेक्षित है क्योंकि घूर्णन अक्ष निश्चित है।

हालांकि, कुछ घूर्णन के उदाहरणों में अक्ष निश्चित नहीं हो सकता। इस प्रकार के घूर्णन का एक प्रमुख उदाहरण एक चौकोर जो अपने स्थान पर घूम रहा है [चित्र 6.5(a)] है। (हम मान लेते हैं कि चौकोर जगह से जगह बदले बिना फिसल नहीं जाता और इसलिए इसकी चालन गति नहीं होती।) हम अपना अनुभव जानते हैं कि इस प्रकार के घूमते चौकोर के अक्ष इसके जमीन के संपर्क बिंदु से ऊर्ध्वाधर रेखा के चारों ओर घूमता है और चित्र 6.5(a) में दिखाए गए तरह एक शंकु बनाता है। (इस चौकोर के अक्ष के ऊर्ध्वाधर रेखा के चारों ओर घूमने की गति को पूर्व-घूर्णन कहा जाता है।) ध्यान दें, चौकोर के जमीन के संपर्क बिंदु निश्चित है। किसी भी समय चौकोर के घूर्णन अक्ष इस संपर्क बिंदु से गुजरता है। इस प्रकार के घूर्णन के एक और सरल उदाहरण झूलता हुआ मेज फैन या एक पैडस्टल फैन [चित्र 6.5(b)] है। आप देख सकते हैं कि इस प्रकार के फैन के घूर्णन अक्ष के ऊर्ध्वाधर रेखा के चारों ओर एक क्षैतिज तल में झूलती हुई (ओर-बार की ओर) गति होती है।

चित्र 6.5 (a) एक घूमता खिलौना (खिलौने के बाल जमीन के संपर्क बिंदु, इसका शीर्ष O, स्थिर है।)

चित्र 6.5 (b) एक झूलता मेज फैन जिसके ब्लेड घूम रहे हैं। फैन के अक्ष, बिंदु O, स्थिर है। फैन के ब्लेड घूर्णन गति में हैं, जबकि फैन के ब्लेड के अक्ष झूल रहे हैं।

जब फैन घूमता है और अक्ष तरफ बढ़ता है, तब यह बिंदु स्थिर रहता है। इसलिए, घूर्णन के अधिक सामान्य मामलों में, जैसे कि एक खिलौने या एक मेज फैन के घूर्णन में, ठोस वस्तु के एक बिंदु नहीं एक रेखा स्थिर होती है। इस मामले में अक्ष स्थिर नहीं होता, हालांकि यह हमेशा स्थिर बिंदु से गुजरता रहता है। हमारे अध्ययन में, हालांकि, हम अधिक सरल और विशिष्ट घूर्णन के मामलों के साथ लगभग लड़ाई करते हैं जहां एक रेखा (अर्थात अक्ष) स्थिर होती है।

**चित्र 6.6 (ए) **एक ठोस वस्तु के शुद्ध प्रसार गति के गति

चित्र 6.6 (ब) एक ठोस वस्तु के प्रसार एवं घूर्णन के संयोजन के गति

चित्र 6.6 (ए) और (ब) एक ही वस्तु के विभिन्न गतियों को दर्शाते हैं। ध्यान दें कि $P$ वस्तु के एक अस्थिर बिंदु है; $O$ वस्तु के द्रव्यमान केंद्र है, जो अगले अनुच्छेद में परिभाषित किया गया है। यहां यह केवल बताने के लिए पर्याप्त है कि $O$ के पथ $O$ के प्रसार पथ $\mathrm{Tr_1}$ और $\mathrm{Tr_2}$ हैं। दोनों चित्रों 6.6 (ए) और (ब) में तीन अलग-अलग समय के स्थितियों में $O$ और $\mathrm{P}$ के स्थान क्रमशः $O_{1}, O_{2}$, और $O_{3}$, और $P_{1}, P_{2}$ और $P_{3}$ के रूप में दिखाए गए हैं। चित्र 6.6 (ए) से देखा जा सकता है कि किसी भी समय वस्तु के कोई भी कण जैसे $O$ और $P$ के वेग शुद्ध प्रसार में समान होते हैं। ध्यान दें कि इस मामले में $O P$ के घूर्णन कोण, अर्थात एक निश्चित दिशा, जैसे कि क्षैतिज के साथ $OP$ के कोण, स्थिर रहता है, अर्थात $\alpha_{1}=\alpha_{2}=\alpha_{3}$. चित्र 6.6 (ब) एक प्रसार एवं घूर्णन के संयोजन के मामले को दर्शाता है। इस मामले में, किसी भी समय $O$ और $P$ के वेग अलग होते हैं। इसके अलावा, $\alpha_{1}, \alpha_{2}$ और $\alpha_{3}$ सभी अलग-अलग हो सकते हैं।

इसलिए, हमें घूर्णन केवल एक निश्चित अक्ष के चारों ओर होगा अगर अन्यथा न कहा गया हो।

एक सिलेंडर के झुके हुए समतल पर नीचे लुढ़कने की गति एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन और गति के संयोजन होती है। इसलिए, हमने पहले संदर्भ में जिक्र किया गया ‘कुछ अन्य’ घूर्णन गति है। आप इस दृष्टिकोण से आकृति 6.6 (a) और (b) के अध्ययन करेंगे। दोनों आकृतियाँ एक ही शरीर की गति को दर्शाती हैं जो समान परिवर्ती पथ पर है। एक मामले में, आकृति 6.6 (a) में, गति शुद्ध परिवर्ती है; दूसरे मामले में [आकृति 6.6 (b)] गति परिवर्ती और घूर्णन के संयोजन है। (आप एक भारी किताब जैसे एक ठोस वस्तु का उपयोग करके दोनों प्रकार की गति को पुनर्निर्माण करने का प्रयास कर सकते हैं।)

हम अब वर्तमान अनुच्छेद के सबसे महत्वपूर्ण अवलोकनों को फिर से समीक्षा करते हैं: एक ठोस वस्तु की गति जो किसी तरह निश्चित या बांधे नहीं है, या तो शुद्ध परिवर्ती होती है या परिवर्ती और घूर्णन के संयोजन होती है। एक ठोस वस्तु की गति जो किसी तरह बांधे या निश्चित है, घूर्णन होती है। घूर्णन एक निश्चित अक्ष के चारों ओर हो सकती है (उदाहरण के लिए, छत के फैन) या गतिशील अक्ष के चारों ओर हो सकती है (उदाहरण के लिए, एक झूलता फैन [आकृति 6.5 (b)]). वर्तमान अध्याय में हम केवल एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति के बारे में चर्चा करेंगे।

6.2 द्रव्यमान केंद्र

हम सबसे पहले एक कण सिस्टम के द्रव्यमान केंद्र के बारे में देखेंगे और फिर इसके महत्व के बारे में चर्चा करेंगे। सरलता के लिए हम एक दो कण सिस्टम से शुरू करेंगे। हम दो कणों को जोड़ने वाली रेखा को $x$ - अक्ष मान लेंगे।

चित्र 6.7

मान लीजिए दो कणों की क्रमशः कुछ मूल बिंदु $\mathrm{O}$ से दूरी $x_{1}$ और $x_{2}$ है। मान लीजिए दो कणों के क्रमशः द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं। सिस्टम के द्रव्यमान केंद्र वह बिंदु $\mathrm{C}$ है जो मूल बिंदु $\mathrm{O}$ से दूरी $X$ पर है, जहाँ $X$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$$ \begin{equation*} X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{3}}{m_{1}+m_{2}} \tag{6.1} \end{equation*} $$

समीकरण (6.1) में, $X$ को $x_{1}$ और $x_{2}$ के द्रव्यमान वेधित औसत के रूप में देखा जा सकता है। यदि दो कणों के द्रव्यमान समान हो, अर्थात $m_{1}=m_{2}=m$ हो तो

$$ X=\frac{m x_{1}+m x_{2}}{2 m}=\frac{x_{1}+x_{2}}{2} $$

इसलिए, समान द्रव्यमान के दो कणों के लिए द्रव्यमान केंद्र उनके बीच के मध्य बिंदु पर ठीक से स्थित होता है।

यदि हम एक सीधी रेखा पर $n$ कणों के द्रव्यमान $m_{1}, m_{2}$, … $m_{n}$ के साथ एक तल में लें, जिसे $x$-अक्ष के रूप में लिया जाता है, तो प्रणाली के कणों के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति को परिभाषित करते हैं।

$$X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+\ldots+m_{n} x_{n}}{m_{1}+m_{2}+\ldots+m_{n}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_{i} x_{i}}{\sum_{i=1}^{n} m_{i}}=\frac{\sum m_{i} x_{i}}{\sum m_{i}} \tag {6.2}$$

जहाँ $x_{1}, x_{2}, \ldots x_{n}$ कणों की मूल बिंदु से दूरी है; $X$ भी उतनी ही मूल बिंदु से मापी जाती है। $\sum$ (ग्रीक अक्षर सिग्मा) यहाँ योग को निरूपित करता है, जो $n$ कणों पर लागू होता है। योग

$$ \sum m_{i}=M $$

प्रणाली के कुल द्रव्यमान को दर्शाता है।

मान लीजिए कि हम तीन कणों के साथ हैं, जो एक सीधी रेखा में नहीं स्थित हैं। हम तल में कणों के बराबर रहे तल में $x$ - और $y-$ अक्ष परिभाषित कर सकते हैं और तीन कणों के स्थान को निर्देशांक $\left(x_{1}, y_{1}\right),\left(x_{2}, y_{2}\right)$ और $\left(x_{3}, y_{3}\right)$ के रूप में निरूपित कर सकते हैं। मान लीजिए कि तीन कणों के द्रव्यमान $m_{1}, m_{2}$ और $m_{3}$ हैं। तीन कणों के प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र $\mathrm{C}$ को निर्देशांक $(X, Y)$ द्वारा परिभाषित और स्थित किया जाता है, जो द्वारा दिया गया है

$$ \begin{align*} & X=\frac{m _{1} x _{1}+m _{2} x _{2}+m _{3} x _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3a} \\ & Y=\frac{m _{1} y _{1}+m _{2} y _{2}+m _{3} y _{3}}{m _{1}+m _{2}+m _{3}} \tag{6.3b} \end{align*} $$

समान द्रव्यमान के कणों के लिए $m=m_{1}=m_{2} =m_{3}$

$$ \begin{aligned} & X=\frac{m\left(x _{1}+x _{2}+x _{3}\right)}{3 m}=\frac{x _{1}+x _{2}+x _{3}}{3} \\ & Y=\frac{m\left(y _{1}+y _{2}+y _{3}\right)}{3 m}=\frac{y _{1}+y _{2}+y _{3}}{3} \end{aligned} $$

इस प्रकार, समान द्रव्यमान के तीन कणों के लिए, द्रव्यमान केंद्र उन कणों द्वारा बनाए गए त्रिभुज के केंद्रक के साथ समान होता है।

समीकरण (6.3a) और (6.3b) के परिणाम को आसानी से एक $n$ कणों के निकाय के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो एक तल में नहीं बल्कि अंतरिक अंतरिक वितरित हो सकते हैं। ऐसे निकाय के द्रव्यमान केंद्र $(X, Y, Z)$ पर होता है, जहाँ

$$ \begin{align*} & X=\frac{\sum m _{i} x _{i}}{M} \tag{6.4a} \\ & Y=\frac{\sum m _{i} y _{i}}{M} \tag{6.4b} \end{align*} $$

और $Z=\frac{\sum m _{i} Z _{i}}{M}$

यहाँ $M=\sum m_{i}$ निकाय का कुल द्रव्यमान है। सूचकांक $i$ 1 से $n$ तक चलता है; $m_{i}$ वें $i^{\text {th }}$ कण का द्रव्यमान है और $i^{\text {th }}$ कण की स्थिति $\left(x_{\mathrm{i}}, y_{\mathrm{i}}, z_{\mathrm{i}}\right)$ द्वारा दी गई है।

समीकरण (6.4a), (6.4b) और (6.4c) को स्थिति सदिशों के नोटेशन का उपयोग करके एक समीकरण में संयोजित किया जा सकता है। मान लीजिए $\mathbf{r_i}$ वस्तु के $i^{\text {th }}$ कण के स्थिति सदिश है और $\mathbf{R}$ द्रव्यमान केंद्र के स्थिति सदिश है:

$$ \mathbf{r}_i=x_i \hat{\mathbf{i}}+y_i \hat{\mathbf{j}}+z_i \hat{\mathbf{k}} $$

$$\text{और} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=X \hat{\mathbf{i}}+Y \hat{\mathbf{j}}+Z \hat{\mathbf{k}}$$

$$\text{तब} \quad \quad \quad\quad \quad \mathbf{R}=\frac{\sum m_{i} \mathbf{r_i}}{M} \tag{6.4d}$$

दाहिने ओर के योग एक सदिश योग है। सदिशों के उपयोग द्वारा हम व्यक्त करने में व्यक्तिगत व्यंजकों के उपयोग की बचत करते हैं। यदि संदर्भ फ्रेम (निर्देश तंत्र) के मूल बिंदु को द्रव्यमान केंद्र बनाया जाए तो दिए गए कण प्रणाली के लिए $\sum m_{i} \mathbf{r_i}=0$ होता है।

एक ठोस वस्तु, जैसे कि मीटर छड़ या फाइल वेल, घनी भरी वस्तुओं के प्रणाली होती है; इसलिए समीकरण (6.4a), (6.4b), (6.4c) और (6.4d) एक ठोस वस्तु के लिए लागू होते हैं। ऐसी वस्तु में कणों (परमाणु या अणुओं) की संख्या इतनी बड़ी होती है कि इन समीकरणों में व्यक्तिगत कणों पर योग करना संभव नहीं होता। कणों के अंतर के कारण

छोटे आकार के लिए, हम शरीर को एक सतत द्रव्यमान वितरण के रूप में ले सकते हैं। हम शरीर को $n$ छोटे द्रव्यमान के तत्वों में विभाजित करते हैं; $\Delta m_{1}, \Delta m_{2} \ldots \Delta m_{n}$; तत्व $\Delta m_{i}$ को बिंदु $\left(x_{i}, y_{i}, z_{i}\right)$ के आसपास स्थित माना जाता है। द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक निम्नलिखित तरह से अनुमानित होते हैं:

$$ X=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) x_{i}}{\sum \Delta m_{i}}, Y=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) y_{i}}{(\sum \Delta m_{i}}, Z=\frac{\sum\left(\Delta m_{i}\right) z_{i}}{\sum \Delta m_{i}} $$

जैसे हम $n$ को बड़ा बड़ा बनाते जाएं और प्रत्येक $\Delta m_{i}$ को छोटा छोटा बनाते जाएं, इन व्यंजकों के अनुमान ठीक हो जाते हैं। इस स्थिति में, हम $i$ पर योग को समाकलन के रूप में दर्शाते हैं। इसलिए,

$$ \begin{aligned} & \sum \Delta m_{i} \rightarrow \int \mathrm{d} m=M, \\ & \sum\left(\Delta m_{i}\right) x_{i} \rightarrow \int x \mathrm{~d} m, \\ & \sum\left(\Delta m_{i}\right) y_{i} \rightarrow \int y \mathrm{~d} m, \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} \text{and } \quad\quad& \sum\left(\Delta m_{i}\right) z_{i} \rightarrow \int z \mathrm{~d} m

\end{aligned} $$

यहाँ $M$ वस्तु के कुल द्रव्यमान को दर्शाता है। द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक अब हैं

$X=\frac{1}{M} \int x \mathrm{~d} m, Y=\frac{1}{M} \int y \mathrm{~d} m$ और $Z=\frac{1}{ M} \int z \mathrm{~d} m$ $\quad \quad \quad \text{6.5a}$

इन तीन अदिश व्यंजकों के तुलनात्मक सदिश व्यंजक है

$$ \begin{equation*} \mathbf{R}=\frac{1}{M} \int \mathbf{r} \mathrm{d} m \tag{6.5b} \end{equation*} $$

यदि हम अपने निर्देशांक प्रणाली के मूल बिंदु के रूप में द्रव्यमान केंद्र का चयन करते हैं,

$$ \begin{align*} & \mathbf{R}=\mathbf{0} \\ & \text { अर्थात, } \int \mathbf{r} \mathrm{d} m=\mathbf{0} \\ & \text { या } \int x \mathrm{~d} m=\int y \mathrm{~d} m=\int z \mathrm{~d} m=0 \tag{6.6} \end{align*} $$

अक्सर हमें समान घनत्व वाले नियमित आकार के वस्तुओं (जैसे वलय, डिस्क, गोले, छड़ आदि) के द्रव्यमान केंद्र की गणना करनी पड़ती है। (एक समान घनत्व वाली वस्तु के अर्थ में एक ऐसी वस्तु को ले लीजिए जिसका द्रव्यमान एकसमान रूप से वितरित हो।) सममिति के अवलोकन के द्वारा हम आसानी से दिखा सकते हैं कि इन वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्र उनके ज्यामितीय केंद्रों पर स्थित होते हैं।

चित्र 6.8 एक पतले छड़ के केंद्र द्रव्यमान की गणना

एक पतले छड़ को विचार करें, जिसकी चौड़ाई और ऊँचाई (यदि छड़ का परिच्छेद आयताकार है) या त्रिज्या (यदि छड़ का परिच्छेद बेलनाकार है) इसकी लंबाई की तुलना में बहुत कम है। मान लीजिए कि छड़ के ज्यामितीय केंद्र को मूल बिंदु माना जाता है और $x$-अक्ष छड़ की लंबाई के अनुदिश है। इसलिए, परावर्तन सममिति के कारण, छड़ के किसी भी बिंदु $x$ पर $dm$ के तत्व के लिए छड़ के $-x$ पर समान द्रव्यमान $dm$ के तत्व की उपस्थिति होती है (चित्र 6.8)। इस प्रकार के प्रत्येक जोड़े के योगदान के कारण समाकलन और इसलिए समाकलन $\int x \mathrm{~d} m$ भी शून्य होता है। समीकरण (6.6) के अनुसार, जहां समाकलन शून्य होता है, वह द्रव्यमान केंद्र होता है। अतः, एक समान घनत्व वाले पतले छड़ का द्रव्यमान केंद्र इसके ज्यामितीय केंद्र के साथ संगत होता है। इसकी व्याख्या परावर्तन सममिति के आधार पर की जा सकती है।

हमें एक समान सममिति के तर्क के लिए एक समान वलय, डिस्क, गोले, या वृत्तीय या आयताकार क्रॉस सेक्शन वाले मोटे छड़ के लिए भी एक ऐसा तर्क लागू होगा। आप इन सभी वस्तुओं के लिए अपने आपको यह अहसास करेंगे कि किसी बिंदु $(x, y, z)$ पर $d m$ के एक तत्व के लिए हमेशा एक ऐसा तत्व ले सकते हैं जो बिंदु $(-x,-y,-z)$ पर हो और उसके द्रव्यमान भी समान हो। (अन्य शब्दों में, इन वस्तुओं के लिए मूल बिंदु एक प्रतिबिंब सममिति के बिंदु है।) इस परिणाम के रूप में, समीकरण (6.5 a) में सभी समाकलन शून्य होंगे। इसका अर्थ है कि उपरोक्त सभी वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्र उनके ज्यामितीय केंद्र के साथ एक बिंदु पर स्थित होंगे।

उदाहरण 6.1 एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर तीन कणों के द्रव्यमान केंद्र को ज्ञात कीजिए। कणों के द्रव्यमान क्रमशः $100 \mathrm{~g}, 150 \mathrm{~g}$ और $200 \mathrm{~g}$ हैं। समबाहु त्रिभुज की प्रत्येक भुजा $0.5 \mathrm{~m}$ लंबी है।

उत्तर

चित्र 6.9

चित्र 6.9 में दिखाए गए $x$- और $y$- अक्ष के साथ, बराबर त्रिभुज बनाने वाले बिंदुओं $\mathrm{O}, \mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ के निर्देशांक क्रमशः $(0,0)$, $(0.5,0)$, $(0.25, 0.25 \sqrt{3})$ हैं। मान लीजिए कि $100 \mathrm{~g}$, $150 \mathrm{~g}$ और $2,00 \mathrm{~g}$ के द्रव्यमान क्रमशः O, A और B पर स्थित हैं। तब,

$$ \begin{aligned} & X=\frac{m_{1} x_{1}+m_{2} x_{2}+m_{3} x_{3}}{m_{1}+m_{2}+m_{3}} \\ \\ & =\frac{100(0)+150(0.5)+200(0.25) \mathrm{g} \mathrm{m}}{(100+150+200) \mathrm{g}} \\ \\ & \quad=\frac{75+50}{450} \mathrm{~m}=\frac{125}{450} \mathrm{~m}=\frac{5}{18} \mathrm{~m} \\ \\ & Y=\frac{100(0)+150(0)+200(0.25 \sqrt{3}) \mathrm{g} \mathrm{m}}{450 \mathrm{~g}} \\ \\ & =\frac{50 \sqrt{3}}{450} \mathrm{~m}=\frac{\sqrt{3}}{9} \mathrm{~m}=\frac{1}{3 \sqrt{3}} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

द्रव्यमान केंद्र $\mathrm{C}$ चित्र में दिखाए गए हैं। ध्यान दें कि यह त्रिभुज OAB के ज्यामितीय केंद्र नहीं है। क्यों?

उदाहरण 6.2 एक त्रिभुजीय पटल के द्रव्यमान केंद्र ज्ञात कीजिए

उत्तर लमिना (∆LMN) को आधार (MN) के समानांतर चौड़ी बेलनों में विभाजित किया जा सकता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है

चित्र 6.10

सममिति के कारण प्रत्येक बेलन के द्रव्यमान केंद्र उसके मध्य बिंदु पर होता है। यदि हम सभी बेलनों के मध्य बिंदुओं को मिलाएं तो हमें माध्यिका LP प्राप्त होती है। त्रिभुज के समग्र द्रव्यमान केंद्र के लिए अतः यह माध्यिका LP पर होना चाहिए। इसी तरह, हम यह भी कह सकते हैं कि यह माध्यिका MQ और NR पर भी होता है। इसका अर्थ है कि त्रिभुज का द्रव्यमान केंद्र माध्यिकाओं के संगत बिंदु पर होता है, अर्थात त्रिभुज के केंद्रक $\mathrm{G}$ पर।

उदाहरण 6.3 एक समान L-आकार की लमिना (एक पतली चादर) के द्रव्यमान केंद्र को खोजें जिसके आयाम चित्र में दिखाए गए हैं। लमिना का द्रव्यमान $3 \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर चित्र 6.11 में दिखाए गए एक्स और वाई अक्षों को चुनते हुए, L-आकार की लमिना के शीर्षों के निर्देशांक चित्र में दिए गए हैं। हम एल-आकार को 3 वर्गों के रूप में सोच सकते हैं जिनकी लंबाई $1 \mathrm{~m}$ है। प्रत्येक वर्ग का द्रव्यमान $1 \mathrm{~kg}$ है, क्योंकि लमिना समान है। वर्गों के द्रव्यमान केंद्र $C_{1}, C_{2}$ और $\mathrm{C_3}$, सममिति के कारण उनके ज्यामितीय केंद्र होते हैं और उनके निर्देशांक क्रमशः $(1 / 2,1 / 2)$, $(3 / 2,1 / 2),(1 / 2,3 / 2)$ होते हैं। हम इन बिंदुओं पर द्रव्यमान को केंद्रित मानते हैं। पूरे L-आकार के द्रव्यमान केंद्र $(X, Y)$ इन द्रव्यमान बिंदुओं के द्रव्यमान केंद्र होता है।

चित्र 6.11

इसलिए

$$ \begin{aligned} & X=\frac{[1(1 / 2)+1(3 / 2)+1(1 / 2)] \mathrm{kg} \mathrm{m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}}=\frac{5}{6} \mathrm{~m} \\ \\ & Y=\frac{[1(1 / 2)+1(1 / 2)+1(3 / 2)] \mathrm{kg} \mathrm{m}}{(1+1+1) \mathrm{kg}}=\frac{5}{6} \mathrm{~m} \end{aligned} $$

L-आकार के वस्तु के द्रव्यमान केंद्र रेखा OD पर स्थित है। हम गणना किए बिना इसका अनुमान लगा सकते थे। आप बता सकते हैं कि क्यों? मान लीजिए, चित्र 6.11 में दिखाए गए L-आकार के तल के तीन वर्गों के द्रव्यमान अलग-अलग हो। तब आप इस तल के द्रव्यमान केंद्र को कैसे निर्धारित करेंगे? 4

6.3 द्रव्यमान केंद्र की गति

द्रव्यमान केंद्र के परिभाषा के साथ अब हम एक $n$ कणों के निकाय के भौतिक महत्व के बारे में चर्चा कर सकते हैं। हम इसे समीकरण (6.4d) के रूप में लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*}

M R=\sum m_i r_i=m_1 r_1+m_2 r_2+\ldots+m_n r_n \tag{6.7} \end{equation*} $$

समीकरण के दोनों ओर समय के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ M \frac{d R}{d t}=m_1 \frac{d r_1}{d t}+m_2 \frac{d r_2}{d t}+\ldots+m_n \frac{\mathrm{d} \mathbf{r_n}}{\mathrm{dt}} $$

या

$$ \begin{equation*} M v=m_1 v_1+m_2 v_2+\ldots+m_n v_n \tag{6.8} \end{equation*} $$

जहाँ $v_1\left(=d r_1 / d t\right)$ पहले कण के वेग, $v_2\left(=d r_2 / d t\right)$ दूसरे कण के वेग आदि हैं और $V=d R / d t$ केंद्र द्रव्यमान के वेग है। ध्यान दें कि हमने मान लिया है कि द्रव्यमान $m_1, m_2, \ldots$ आदि समय के साथ बदलते नहीं हैं। इसलिए हमने इन्हें समय के सापेक्ष अवकलन करते हुए अचर मान लिया है।

समीकरण (6.8) के समय के सापेक्ष अवकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{align*} & M \frac{d v}{d t}=m_1 \frac{d v_1}{d t}+m_2 \frac{d v_2}{d t}+\ldots+m_n \frac{dv_n}{d t} \\ & \text { या } \\ & M A=m_1 a_1+m_2 a_2+\ldots+m_n a_n \tag{6.9} \end{align*}

$$

जहाँ $a_1\left(=d v_1 / d t\right)$ पहले कण के त्वरण, $a_2\left(=d v_2 / d t\right)$ दूसरे कण के त्वरण आदि हैं और $A(=d V / d t)$ कणों के तंत्र के द्रव्यमान केंद्र के त्वरण है।

अब, न्यूटन के द्वितीय नियम से, पहले कण पर लगने वाले बल को $F_1=m_1 a_1$ द्वारा दिया जाता है। दूसरे कण पर लगने वाले बल को $F_2=m_2 a_2$ द्वारा दिया जाता है आदि। समीकरण (6.9) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$ \begin{equation*} M A=F_1+F_2+\ldots+F_n \tag{6.10} \end{equation*} $$

इस प्रकार, कणों के तंत्र के कुल द्रव्यमान और उसके द्रव्यमान केंद्र के त्वरण के गुणनफल तंत्र पर लगने वाले सभी बलों के सदिश योग के बराबर होता है।

ध्यान रखें जब हम पहले कण पर बल $\mathbf{F_1}$ के बारे में बात करते हैं, तो यह एक अकेला बल नहीं है, बल्कि पहले कण पर लगने वाले सभी बलों का सदिश योग है; इसी तरह दूसरे कण आदि के लिए भी। इन बलों में से प्रत्येक कण पर बाहरी बल जो तंत्र के बाहर के वस्तुओं द्वारा लगाए जाते हैं और तंत्र के भीतर कणों द्वारा एक दूसरे पर लगाए जाने वाले आंतरिक बल शामिल होते हैं। हम जानते हैं कि न्यूटन के तृतीय नियम के अनुसार इन आंतरिक बलों में बराबर और विपरीत जोड़े बनते हैं और समीकरण (6.10) में बलों के योग में इनका योग शून्य होता है। केवल बाहरी बल ही समीकरण के योग में योगदान देते हैं। इसलिए हम समीकरण (6.10) को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$$ \begin{equation*} M \mathbf{A}=\mathbf{F_\text {ext }} \tag{6.11} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathbf{F_\text {ext }}$ प्रणाली के कणों पर कार्य कर रहे सभी बाह्य बलों के योग को निरूपित करता है।

समीकरण (6.11) बताता है कि प्रणाली के कणों के गुरुत्व केंद्र ऐसे चलता है जैसे कि प्रणाली के सभी द्रव्यमान केंद्र गुरुत्व के बिंदु पर केंद्रित हो और सभी बाह्य बल उस बिंदु पर लगे हों।

ध्यान दें, प्रणाली के गुरुत्व केंद्र के गति के निर्धारण के लिए प्रणाली के बाह्य बलों के बारे में केवल ज्ञान ही आवश्यक होता है; इसके लिए हमें आवश्यकता नहीं होती है कि प्रणाली के आंतरिक बलों के बारे में ज्ञान हो।

समीकरण (6.11) के प्राप्त करने के लिए हमें प्रणाली के प्रकृति के बारे में निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं थी। प्रणाली एक कणों के संग्रह हो सकती है जहाँ आंतरिक गतियों के सभी प्रकार हो सकते हैं, या यह एक ठोस वस्तु हो सकती है जिसमें शुद्ध चलन गति या चलन और घूर्णन गति के संयोजन हो सकता है। चाहे प्रणाली कैसी हो और इसके व्यक्तिगत कणों की गति कैसी हो, गुरुत्व केंद्र एक बार फिर समीकरण (6.11) के अनुसार चलता है।

अब हम पहले अध्यायों में किए गए तरीके के बजाय, विस्तारित वस्तुओं को एकल कण के रूप में नहीं, बल्कि कणों के एक प्रणाली के रूप में ले सकते हैं। हम इस प्रणाली के केंद्र गति के गति के परिमाण को प्राप्त कर सकते हैं, अर्थात प्रणाली के केंद्र द्रव्यमान के चारों ओर द्रव्यमान के सम्पूर्ण प्रणाली को केंद्र द्रव्यमान पर केंद्रित कर दें और सभी बाह्य बल इस केंद्र द्रव्यमान पर कार्य करते हैं।

इस प्रक्रिया को हम पहले बलों के अध्ययन और समस्याओं के हल करते समय अपनाए गए थे, जिसे हम अपने विशिष्ट रूप से विवरण और योजना के बिना अपनाए थे। अब हम जानते हैं कि पहले अध्ययन में हम बिना कहे अपने आप यह मान लिए थे कि कणों के घूर्णन गति और/या आंतरिक गति या तो अस्तित्व में नहीं है या नगण्य है। हम अब इसे नहीं करने की आवश्यकता है। हम न केवल पहले अपनी प्रक्रिया के योजना को खोज निकाले हैं, बल्कि हम जानते हैं कि कैसे वर्णित और अलग कर सकते हैं (1) एक ठोस वस्तु जो घूम सकती है या नहीं, या (2) एक प्रणाली जिसमें सभी प्रकार के आंतरिक गति हो सकती है।

चित्र 6.12 प्रक्षेप्य के टुकड़ों के द्रव्यमान केंद्र उसी परबोलिक पथ पर आगे बढ़ता रहता है जो वह विस्फोट के बिना अपना अपना पथ अपनाता।

चित्र 6.12 एक अच्छा उदाहरण है समीकरण (6.11) के। एक प्रक्षेप्य, आम परबोलिक पथ के अनुसार चल रहा होता है, वायु में आधी दूरी पर विस्फोट कर देता है। विस्फोट के कारण उत्पन्न बल आंतरिक बल होते हैं। ये द्रव्यमान केंद्र के गति के लिए कुछ नहीं डालते। बाहरी बल के कुल बल, अर्थात शरीर पर गुरुत्वाकर्षण बल, विस्फोट से पहले और बाद में एक समान होता है। बाहरी बल के प्रभाव में द्रव्यमान केंद्र अतः विस्फोट के बिना अपना अपना परबोलिक पथ अपनाता रहता है।

6.4 कणों के एक तंत्र के रैखिक संवेग

हम याद कर सकते हैं कि एक कण के रैखिक संवेग को परिभाषित करते हैं

$$ \begin{equation*} \mathbf{p}=m \mathbf{v} \tag{6.12} \end{equation*} $$

हम यह भी याद करते हैं कि एक अकेले कण के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम के संकेताक्षर रूप में लिखा गया है

$$ \begin{equation*} \mathbf{F}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t} \tag{6.13} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathbf{F}$ कण पर बल है। हम एक न केवल कणों के निकाय के बारे में सोचते हैं जिनके द्रव्यमान $m_1$, $m_2, \ldots m_{\mathrm{n}}$ हैं और वेग $\mathbf{v_1}, \mathbf{v_2}, \ldots \ldots . . \mathbf{v_n}$ हैं। कण एक दूसरे से अंतरक्रिया कर सकते हैं और उन पर बाहरी बल लग सकते हैं। पहले कण के रैखिक संवेग $m_{1} \mathbf{v_1}$ है, दूसरे कण के रैखिक संवेग $m_{2} \mathbf{v_2}$ है और इसी तरह आगे चलते हैं।

$n$ कणों के निकाय के लिए, निकाय के रैखिक संवेग को निकाय के सभी व्यक्तिगत कणों के सदिश योग के रूप में परिभाषित किया जाता है,

$$ \begin{align*} & \mathbf{P}=\mathbf{p_1}+\mathbf{p_2}+\ldots+\mathbf{p_n} \\ & =m_{1} \mathbf{v_1}+m_{2} \mathbf{v_2}+\ldots+m_{n} \mathbf{v_n} \tag{6.14}\\

$$ \begin{align*} & \text{इसे समीकरण (6.8) के साथ तुलना करें} \\ & \mathbf{P}=M \mathbf{V} \tag{6.15} \end{align*} $$

इसलिए, कणों के एक निकाय के कुल संवेग को निकाय के कुल द्रव्यमान और उसके गुरुत्व केंद्र के वेग के गुणनफल के बराबर माना जाता है। समीकरण (6.15) के संदर्भ में समय के सापेक्ष अवकलन करें,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=M \frac{\mathrm{d} \mathbf{V}}{\mathrm{d} t}=M \mathbf{A} \tag{6.16} \end{equation*} $$

समीकरण (6.16) और समीकरण (6.11) की तुलना करें,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{F_{e x t}} \tag{6.17} \end{equation*} $$

यह न्यूटन के द्वितीय गति के नियम का एक विस्तारित रूप है जो कणों के एक निकाय के लिए है।

अब मान लीजिए कि कणों के एक निकाय पर कार्य कर रहे बाह्य बलों का योग शून्य है। तब समीकरण (6.17) से,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=0 \quad \text { या } \quad \mathbf{P}=\text { स्थिरांक } \tag{6.18a} \end{equation*} $$

इसलिए, जब कणों के एक निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य होते हैं, तो निकाय के कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है। यह एक निकाय के कुल रैखिक संवेग के संरक्षण के नियम है। समीकरण (6.15) के कारण, इसका अर्थ यह है कि जब निकाय पर कुल बाह्य बल शून्य होते हैं, तो गुरुत्व केंद्र के वेग स्थिर रहता है। (इस अध्याय में निकायों के बारे में चर्चा के समय हम मान लेते हैं कि निकाय का कुल द्रव्यमान स्थिर रहता है।)

ध्यान दें कि आंतरिक बलों के कारण, अर्थात एक दूसरे पर बल लगाने वाले कणों के कारण, व्यक्तिगत कणों के जटिल पथ हो सकते हैं। हालांकि, यदि प्रणाली पर कार्य कर रहे कुल बाह्य बल शून्य हैं, तो द्रव्यमान केंद्र एक स्थिर वेग के साथ चलता है, अर्थात एक मुक्त कण की तरह सीधी रेखा में समान वेग से चलता है।

सदिश समीकरण (6.18a) तीन अदिश समीकरणों के तुलनीय है,

$$ \begin{equation*} P_{x}=c_{1}, P_{y}=c_{2} \text { और } P_{z}=c_{3} \tag{6.18b} \end{equation*} $$

यहाँ $P_{x}, P_{y}$ और $P_{z}$ कुल रैखिक द्रव्यमान सदिश $\mathbf{P}$ के $x-, y-$ और $z$-अक्ष के अनुदिश घटक हैं; $c_{1}, c_{2}$ और $c_{3}$ स्थिरांक हैं।

चित्र 6.13 (a) भारी नाभिक रेडियम (Ra) एक हल्के नाभिक रेडॉन (Rn) और एक एल्फा कण (हीलियम परमाणु के नाभिक) में विखंडित हो जाता है। प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र समान वेग से चलता है। (b) भारी नाभिक रेडियम (Ra) के विखंडन के साथ द्रव्यमान केंद्र विराम में है। दो उत्पाद कण एक दूसरे के विपरीत चलते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, हम एक गतिशील अस्थायी कण के रेडियोएक्टिव विघटन को विचार कर सकते हैं, जैसे कि रेडियम के नाभिक। एक रेडियम नाभिक विघटित होकर रेडोन के नाभिक और एक एल्फा कण में बदल जाता है। विघटन के लिए जिम्मेदार बल तंत्र के अंतर्निहित होते हैं और तंत्र पर बाहरी बल नगण्य होते हैं। इसलिए तंत्र के कुल रेखीय संवेग विघटन से पहले और बाद में समान होता है। विघटन में उत्पन्न दो कण, रेडोन नाभिक और एल्फा कण, ऐसे गति करते हैं कि उनके गुरुत्व केंद्र विघटित रेडियम नाभिक के गति के एक ही पथ के अनुदिश गति करता है [चित्र 6.13 (a)]।

यदि हम विघटन को गुरुत्व केंद्र विराम में होने वाले दृश्य अंग के अंतर्गत देखते हैं, तो विघटन में शामिल कणों की गति बहुत सरल दिखाई देती है; उत्पाद कण अपने गुरुत्व केंद्र के विराम में एक-दूसरे के विपरीत गति करते हैं, जैसा कि चित्र 6.13 (b) में दिखाया गया है।

चित्र 6.14 दो तारों, S (छल्ले रेखा) और S (ठोस रेखा) के पारस्परिक गति के पथ, जो अपने द्रव्यमान केंद्र C के चारों ओर एक द्वितार प्रणाली बनाते हैं, एकसमान गति (ब) एक ही द्वितार प्रणाली, जिसका द्रव्यमान केंद्र C स्थिर रहता है

कई समस्याओं में कणों के तंत्र के बारे में, जैसे कि ऊपर दिए गए रेडियोएक्टिव विघटन समस्या में, लैबोरेटरी फ्रेम ऑफ़ रेफ़रेंस के बजाय द्रव्यमान केंद्र फ्रेम में काम करना आसान होता है।

खगोल विज्ञान में, द्वितार (दो तारों) के घटना आम होती है। यदि कोई बाह्य बल नहीं हो, तो द्वितार तारों के द्रव्यमान केंद्र एक मुक्त कण की तरह गति करता है, जैसा कि चित्र 6.14 (ए) में दिखाया गया है। चित्र में दो बराबर द्रव्यमान वाले तारों के पथ भी दिखाए गए हैं; वे जटिल दिखाई देते हैं। यदि हम द्रव्यमान केंद्र फ्रेम में जाएं, तो हम देखेंगे कि दोनों तार द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ पर गति कर रहे हैं, जो स्थिर रहता है। ध्यान दें कि तारों के स्थान एक दूसरे के व्यास के विपरीत होना आवश्यक है [चित्र 6.14 (ब)]। इसलिए हमारे फ्रेम ऑफ़ रेफ़रेंस में तारों के पथ दो भागों के संयोजन होते हैं: (i) द्रव्यमान केंद्र के सीधी रेखा में एकसमान गति और (ii) तारों के द्रव्यमान केंद्र के चारों ओर वृत्तीय पथ।

देखा जा सकता है कि दो उदाहरणों से, एक तंत्र के विभिन्न भागों के गति को गति केंद्र के गति और केंद्र के आसपास के गति में विभाजित करना एक बहुत उपयोगी तकनीक है जो तंत्र के गति के बारे में समझन में मदद करती है।

6.5 दो वेक्टरों का सदिश गुणन

हम पहले से ही वेक्टर और उनके भौतिकी में उपयोग के साथ परिचित हैं। अध्याय 5 (कार्य, ऊर्जा, शक्ति) में हमने दो वेक्टरों के सदिश गुणन की परिभाषा दी थी। एक महत्वपूर्ण भौतिक राशि, कार्य, दो सदिश राशियों, बल और विस्थापन के सदिश गुणन के रूप में परिभाषित किया गया है।

हम अब दो वेक्टरों के एक अन्य गुणन की परिभाषा देंगे। यह गुणन एक वेक्टर होता है। घूर्णन गति के अध्ययन में दो महत्वपूर्ण राशियों, बल का आघूर्ण और कोणीय गतिज ऊर्जा, वेक्टर गुणन के रूप में परिभाषित किया गया है।

सदिश गुणन की परिभाषा

दो वेक्टर $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के सदिश गुणन एक वेक्टर $\mathbf{c}$ होता है जहाँ

(i) $\mathbf{c}$ के परिमाण $c = ab \sin \theta$ होता है, जहाँ $a$ और $b$ क्रमशः $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के परिमाण हैं और $\theta$ दो वेक्टरों के बीच कोण है।

(ii) c, $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के तल के लम्बवत है

(iii) यदि हम एक दाहिने हाथ के स्क्रू को लेते हैं जिसका सिरा $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के तल में हो और स्क्रू इस तल के लम्बवत हो, तथा हम $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर घुमाते हैं, तो स्क्रू के छोर का छोर c की ओर बढ़ता है। यह दाहिने हाथ के स्क्रू का नियम चित्र 6.15a में दिखाया गया है। वैकल्पिक रूप से, यदि हम एक रेखा के चारों ओर अपने दाहिने हाथ के अंगूठे को घुमाते हैं जो $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के तल के लम्बवत हो और अंगूठे को $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर घुमाते हैं, तो तर्जन अंगूठा c की ओर इंगित करता है, जैसा कि चित्र 6.15b में दिखाया गया है।

चित्र 6.15 (a) दो वेक्टरों के वेक्टर गुणन की दिशा को परिभाषित करने के लिए दाहिने हाथ के स्क्रू का नियम। (b) दो वेक्टरों के वेक्टर गुणन की दिशा को परिभाषित करने के लिए दाहिने हाथ का नियम।

एक सरल रूप निम्नलिखित है : अपने दाहिने हाथ के तल को खोलें और अंगुलियों को $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर घुमाएं। आपका खींचा हुआ अंगूठा $\mathbf{c}$ की दिशा में इंगित करता है। यह याद रखें कि किसी भी दो सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच दो कोण होते हैं। आकृति 6.15 (a) या (b) में वे $\theta$ (जैसा दिखाया गया है) और $\left(360^{\circ}-\theta\right)$ के रूप में संबंधित होते हैं। उपरोक्त नियमों के अनुपालन के दौरान, $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच के छोटे कोण $\left(<180^{\circ}\right)$ के माध्यम से घुमाना चाहिए। यहाँ यह $\theta$ है।

क्रॉस $(x)$ के उपयोग से वेक्टर गुणन को भी क्रॉस गुणन कहा जाता है।

• ध्यान दें कि दो सदिशों के स्केलर गुणन के अगले बराबर होता है, $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=\mathbf{b} \cdot \mathbf{a}$ वेक्टर गुणन के अगले बराबर नहीं होता है, अर्थात $\mathbf{a} \times \mathbf{b} \neq \mathbf{b} \times \mathbf{a}$

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ और $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ के दोनों के माप के बराबर होते हैं $(a b \sin \theta)$; इसके अलावा, दोनों एक दूसरे के लम्बवत होते हैं। लेकिन $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के मामले में दाहिने हाथ के बोल्ट के घुमाने की दिशा $\mathbf{a}$ से $\mathbf{b}$ की ओर होती है, जबकि $\mathbf{b} \times \mathbf{a}$ के मामले में यह $\mathbf{b}$ से $\mathbf{a}$ की ओर होती है। इसका अर्थ है कि दोनों सदिश विपरीत दिशा में होते हैं। हमारे पास

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b}=-\mathbf{b} \times \mathbf{a} $$

• एक वेक्टर गुणन के एक अन्य दिलचस्प गुण इसका प्रतिबिम्बन के तहत व्यवहार है। प्रतिबिम्बन के तहत (अर्थात एक तल दर्पण छवि लेने पर) हमें $x \rightarrow -x, y \rightarrow -y$ और $z \rightarrow -z$ मिलता है। इसके परिणामस्वरूप एक वेक्टर के सभी घटक परिवर्तित हो जाते हैं और इसलिए $a \rightarrow -a, b \rightarrow -b$ हो जाते हैं। प्रतिबिम्बन के तहत $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के साथ क्या होता है?

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b} \rightarrow(-\mathbf{a}) \times(-\mathbf{b})=\mathbf{a} \times \mathbf{b} $$

इसलिए, $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ प्रतिबिम्बन के तहत अपने चिह्न को बदलता नहीं है।

• दोनों सदिश और अदिश गुणन सदिश जोड़ के संबंध में वितरण के गुण रखते हैं। इसलिए,

$$ \begin{gathered} \mathbf{a} \cdot(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}+\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} \\ \mathbf{a} \times(\mathbf{b}+\mathbf{c})=\mathbf{a} \times \mathbf{b}+\mathbf{a} \times \mathbf{c} \end{gathered} $$

• हम $\mathbf{c}=\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के घटक रूप में लिख सकते हैं। इसके लिए हमें कुछ मूलभूत क्रॉस गुणन प्राप्त करने की आवश्यकता होती है:

(i) $\mathbf{a} \times \mathbf{a}=\mathbf{0}$ (0 एक शून्य सदिश है, अर्थात एक ऐसा सदिश जिसका परिमाण शून्य हो)

इसका अनुसरण करता है कि $\mathbf{a} \times \mathbf{a}$ के परिमाण $a^{2} \sin 0^{\circ}=0$ है।

इससे निम्नलिखित परिणाम निकलते हैं

(i) $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{i}}=\mathbf{0}, \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{j}}=\mathbf{0}, \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{k}}=\mathbf{0}$

(ii) $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}}$

ध्यान दें कि $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}$ के परिमाण $\sin 90^{\circ}$ या 1 है, क्योंकि $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ दोनों एक इकाई परिमाण के होते हैं और उनके बीच का कोण $90^{\circ}$ होता है। इसलिए, $\hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{j}}$ एक इकाई सदिश होता है। एक इकाई सदिश जो $\hat{\mathbf{i}}$ और $\hat{\mathbf{j}}$ के तल के लंबवत होता है और दाहिने हाथ के घुमाव नियम से संबंधित होता है, $\hat{\mathbf{k}}$ होता है। इसलिए, उपरोक्त परिणाम। आप इसी तरह सत्यापित कर सकते हैं,

$$ \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}} \text { और } \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} $$

$$

क्रॉस उत्परिवर्तन के नियम से यह निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है:

$$ \hat{\mathbf{j}} \times \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{k}}, \quad \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{j}}=\hat{-\mathbf{i}}, \quad \hat{\mathbf{i}} \times \hat{\mathbf{k}}=-\hat{\mathbf{j}} $$

ध्यान दें कि यदि $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ उपरोक्त सदिश गुणन के संबंध में चक्रीय क्रम में आते हैं, तो सदिश गुणन धनात्मक होता है। यदि $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ चक्रीय क्रम में नहीं आते हैं, तो सदिश गुणन ऋणात्मक होता है।

अब,

$\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left(a_{x} \hat{\mathbf{i}}+a_{y} \hat{\mathbf{j}}+a_{z} \hat{\mathbf{k}}\right) \times\left(b_{x} \hat{\mathbf{i}}+b_{y} \hat{\mathbf{j}}+b_{z} \hat{\mathbf{k}}\right)$

$=a_{x} b_{y} \hat{\mathbf{k}}-a_{x} b_{z} \hat{\mathbf{j}}-a_{y} b_{x} \hat{\mathbf{k}}+a_{y} b_{z} \hat{\mathbf{i}}+a_{z} b_{x} \hat{\mathbf{j}}-a_{z} b_{y} \hat{\mathbf{i}}$

$=\left(a_{y} b_{z}-a_{z} b_{y}\right) \mathbf{i}+\left(a_{z} b_{x}-a_{x} b_{z}\right) \mathbf{j}+\left(a_{x} b_{y}-a_{y} b_{x}\right) \mathbf{k}$

हमने ऊपरी संबंध के लिए साधारण क्रॉस उत्पाद का उपयोग किया है। $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के व्यंजक को आसान याद रखने के लिए एक सारणिक के रूप में लिखा जा सकता है।

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ a_{x} & a_{y} & a_{z} \\ b_{x} & b_{y} & b_{z} \end{array}\right| $$

उदाहरण 6.4 दो वेक्टरों के अदिश और सदिश गुणन की गणना करें। $\mathbf{a}=(3 \hat{\mathbf{i}}-4 \hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}})$ और $\mathbf{b}=(-2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$

उत्तर

$$ \begin{aligned} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} & =(3 \hat{\mathbf{i}}-4 \hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}}) \cdot(-2 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}-3 \hat{\mathbf{k}}) \\ & =-6-4-15 \\ & =-25 \end{aligned} $$

$$ \mathbf{a} \times \mathbf{b}=\left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 3 & -4 & 5 \\ -2 & 1 & -3 \end{array}\right|=7 \hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}} $$

$$

नोट $\mathbf{b} \times \mathbf{a}=-7 \hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}+5 \hat{\mathbf{k}}$

6.6 कोणीय वेग एवं इसका रेखीय वेग के साथ संबंध

इस अनुच्छेद में हम जानेंगे कि कोणीय वेग क्या होता है और इसकी घूर्णन गति में भूमिका क्या होती है। हम देख चुके हैं कि घूर्णन गति में एक ठोस वस्तु के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है। कण का रेखीय वेग कोणीय वेग के साथ संबंधित होता है। इन दोनों मात्राओं के बीच संबंध एक सदिश गुणन के रूप में होता है जिसके बारे में हम पिछले अनुच्छेद में सीख चुके हैं।

चित्र 6.16 एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन। (एक ठोस वस्तु के कण (P) निश्चित (z-) अक्ष के चारों ओर घूर्णन करता है और एक वृत्त में गति करता है जिसका केंद्र (C) अक्ष पर होता है।)

हम फिर से चित्र 6.4 पर वापस जाएं। जैसा कि ऊपर कहा गया है, एक ठोस वस्तु के घूर्णन गति में, वस्तु के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करता है, जो अक्ष के लंबवत तल में स्थित होता है और अक्ष पर अपना केंद्र रखता है। चित्र 6.16 में हम चित्र 6.4 को फिर से बनाते हैं, जो एक ठोस वस्तु के एक सामान्य कण (बिंदु $\mathrm{P}$ पर) को दिखाता है जो एक निश्चित अक्ष (जिसे $z$-अक्ष के रूप में लिया गया है) के चारों ओर घूर्णन करता है। कण वृत्त का वर्णन करता है

एक वृत्त जिसके केंद्र $\mathrm{C}$ अक्ष पर स्थित है। वृत्त की त्रिज्या $r$ है, जो बिंदु $\mathrm{P}$ से अक्ष की लम्बवत दूरी है। हम बिंदु $P$ पर कण के रैखिक वेग वेक्टर $\mathbf{v}$ को भी दिखाते हैं। यह वृत्त के बिंदु $P$ पर स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है।

मान लीजिए $\mathrm{P}^{\prime}$ एक समय अंतराल $\Delta t$ के बाद कण की स्थिति है (चित्र 6.16)। कोण $\mathrm{PCP}^{\prime}$ बिंदु के द्वारा समय $\Delta t$ में घूमे गए कोणीय विस्थापन $\Delta \theta$ को व्यक्त करता है। समय अंतराल $\Delta t$ में कण की औसत कोणीय वेग $\Delta \theta / \Delta t$ होती है। जब $\Delta t$ शून्य की ओर बढ़ता जाता है (अर्थात छोटा और छोटा मान लेते जाते हैं), तो $\Delta \theta / \Delta t$ का अनुपात एक सीमा के रूप में पहुँचता है जो कण के स्थिति $\mathrm{P}$ पर क्षणिक कोणीय वेग $\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$ होता है। हम इस क्षणिक कोणीय वेग को $\omega$ (ग्रीक अक्षर ओमेगा) से निरूपित करते हैं। हम वृत्तीय गति के अध्ययन से जानते हैं कि एक कण के वृत्त के अंदर गति करते हुए रैखिक वेग $v$ के परिमाण को कोणीय वेग $\omega$ द्वारा संबंधित किया जा सकता है, जो सरल संबंध $v = \omega r$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r$ वृत्त की त्रिज्या है।

हम देखते हैं कि किसी भी समय वस्तु के सभी कणों के लिए संबंध $v=\omega r$ लागू होता है। अतः एक निश्चित अक्ष से एक लंब दूरी $r_{i}$ पर स्थित कण के लिए, किसी दिए गए समय पर रेखीय वेग $v_{i}$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} v_{i}=\omega r_{i} \tag{6.19} \end{equation*} $$

इंडेक्स $i$ 1 से $n$ तक चलता है, जहाँ $n$ वस्तु के कुल कणों की संख्या है।

अक्ष पर स्थित कणों के लिए $r=0$ होता है, और अतः $v=\omega r=0$ होता है। इस प्रकार, अक्ष पर स्थित कण स्थिर रहते हैं। यह सत्यापित करता है कि अक्ष निश्चित है।

ध्यान दें कि हम सभी कणों के लिए समान कोणीय वेग $\omega$ का उपयोग करते हैं। इसलिए, हम $\omega$ को वस्तु के समग्र कोणीय वेग के रूप में संदर्भित करते हैं।

हमने एक वस्तु के शुद्ध प्रसार को वस्तु के सभी भागों के लिए किसी भी समय के लिए समान वेग वाले रूप में वर्णित किया है। इसी तरह, हम शुद्ध घूर्णन को वस्तु के सभी भागों के लिए किसी भी समय के लिए समान कोणीय वेग वाले रूप में वर्णित कर सकते हैं। ध्यान दें कि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक ठोस वस्तु के घूर्णन के इस वर्णन को अनुभाग 6.1 में बताए गए तरह बोले बिना वस्तु के प्रत्येक कण के एक वृत्त में घूमने के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, जो अक्ष के लंबवत तल में स्थित होता है और अक्ष पर केंद्र होता है।

हमारे अब तक के विवाद में कोणीय वेग के रूप में एक अदिश लगता है। वास्तव में, यह एक सदिश है। हम इस तथ्य की व्याख्या नहीं करेंगे, लेकिन हम इसकी स्वीकृति करेंगे। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए, कोणीय वेग सदिश घूर्णन अक्ष के अक्ष के अनुदिश होता है और एक दाहिने हाथ के बोल्ट के शीर्ष को शरीर के साथ घुमाने पर बोल्ट किस दिशा में आगे बढ़ेगा उस दिशा में बिंदु करता है। (चित्र 6.17a देखें)।

इस सदिश के परिमाण को $\omega = d \theta / dt$ के रूप में उल्लेख किया गया है।

चित्र 6.17 (a) यदि एक दाहिने हाथ के बोल्ट के शीर्ष को शरीर के साथ घुमाया जाता है, तो बोल्ट कोणीय वेग ω की दिशा में आगे बढ़ता है। यदि शरीर के घूर्णन की दिशा (घड़ी की दिशा या घड़ी की दिशा के विपरीत) बदल जाती है, तो उसी तरह उसकी दिशा भी बदल जाती है।

चित्र 6.17 (b) कोणीय वेग वेक्टर ω चित्र में दिखाए गए रूप में निश्चित अक्ष के अनुदिश दिशा में है। P पर कण के रैखिक वेग v = ω × r है। यह ω और r दोनों के लंबवत है और कण द्वारा वर्णित वृत्त के स्पर्शरेखा के अनुदिश दिशा में है।

अब हम वेक्टर गुणन $\omega \times \mathbf{r}$ के संबंध में देखेंगे। चित्र 6.17(b) को देखें जो चित्र 6.16 के एक हिस्सा को पुनर्प्रस्तुत करता है ताकि कण $P$ के पथ को दिखाया जा सके। चित्र में $\omega$ निश्चित $\left(z^{-}\right)$ अक्ष के अनुदिश दिशा में दिखाए गए वेक्टर को दिखाया गया है और एक और वेक्टर $\mathbf{r}=\mathbf{O P}$ को दिखाया गया है जो कण के स्थिति वेक्टर को दिखाता है जो ठोस वस्तु के कण $P$ के संबंध में मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के संबंध में है। ध्यान दें कि मूल बिंदु घूर्णन अक्ष पर चुना गया है।

अब

$$ \omega \quad \mathrm{r}=\omega \quad \mathrm{OP}=\boldsymbol{\omega} \quad(\mathrm{OC}+\mathrm{CP}) $$

लेकिन $\bold,omega \times \mathrm{OC}=0$ क्योंकि $\omega$ निश्चित $\boldsymbol{\omega} \mathrm{OC}$ के अनुदिश है

अतः $: \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}=\boldsymbol{\omega} \times \mathrm{CP}$

सदिश $\omega \times \mathbf{C P}$, $\omega$ के लंबवत है, अर्थात यह $z$-अक्ष और $\mathbf{C P}$ के लंबवत है, जो कण के $P$ बिंदु पर वृत्त के त्रिज्या को दर्शाता है। इसलिए, यह $P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा के अनुदिश है। इसके अतिरिक्त, $\omega \times \mathbf{C P}$ के परिमाण $\omega$ (CP) है क्योंकि $\omega$ और $\mathbf{C P}$ एक दूसरे के लंबवत हैं। हम $\mathbf{C P}$ को $\mathbf{r_\perp}$ से नोट करेंगे और नहीं $\mathbf{r}$, जैसा कि हम पहले किया था।

इसलिए, $\omega \times \mathbf{r}$ एक सदिश है जिसका परिमाण $\omega r_{\perp}$ है और यह $P$ पर वृत्त की स्पर्श रेखा के अनुदिश है। कण के $P$ बिंदु पर रैखिक वेग सदिश $\mathbf{v}$ के परिमाण और दिशा भी इतने ही हैं। इसलिए,

$$ \begin{equation*} \mathbf{v}=\omega \times \mathbf{r} \tag{6.20} \end{equation*} $$

वास्तव में, संबंध, समीकरण (6.20), एक ठोस वस्तु के घूर्णन के लिए भी लागू होता है जिसका एक बिंदु निश्चित हो, जैसे चरखे के घूर्णन [चित्र 6.6(a)]। इस स्थिति में $\mathbf{r}$, निश्चित बिंदु (मूल बिंदु के रूप में लिया गया) के संबंध में कण के स्थिति सदिश को दर्शाता है।

हम ध्यान देते हैं कि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए, सदिश $\omega$ की दिशा समय के साथ बदलती नहीं है। इसके मान हालांकि, क्षण से क्षण तक बदल सकता है। अधिक सामान्य घूर्णन के लिए, $\omega$ के मान और दिशा दोनों क्षण से क्षण तक बदल सकते हैं।

6.6.1 कोणीय त्वरण

आप ध्यान देने के लिए यह ध्यान दे सकते हैं कि हम घूर्णन गति के अध्ययन को रेखीय गति के अध्ययन के रूप में विकसित कर रहे हैं, जिसके साथ हम पहले से परिचित हैं। रेखीय गति में विस्थापन (s) और वेग (v) के गति चरों के आकार में, हम घूर्णन गति में कोणीय विस्थापन $(\theta)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के आकार में आकार लेते हैं। इसलिए घूर्णन गति में रेखीय त्वरण के आकार में कोणीय त्वरण की अवधारणा को परिभाषित करना प्राकृतिक है। हम घूर्णन गति में कोणीय त्वरण $\alpha$ को वेग के समय के दर के रूप में परिभाषित करते हैं। इसलिए,

$$ \begin{equation*} \alpha=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \tag{6.21}

\end{equation*} $$

यदि घूर्णन के अक्ष निश्चित है, तो $\omega$ की दिशा और इसलिए, $\boldsymbol{\alpha}$ की दिशा भी निश्चित है। इस स्थिति में सदिश समीकरण एक अदिश समीकरण में रूपांतरित हो जाता है

$$ \begin{equation*} \alpha=\frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} \tag{6.22} \end{equation*} $$

6.7 बल आघूर्ण और कोणीय संवेग

इस अनुच्छेद में, हम दो भौतिक राशियों (बल आघूर्ण और कोणीय संवेग) के बारे में अवगत कराएंगे जो दो सदिशों के सदिश गुणन के रूप में परिभाषित होते हैं। जैसा कि हम देखेंगे, ये विशेष रूप से कणों के एक तंत्र के गति के विवरण में महत्वपूर्ण होते हैं, विशेषकर ठोस वस्तुओं के।

6.7.1 बल का आघूर्ण (बल आघूर्ण)

हम जानते हैं कि एक ठोस वस्तु की गति, सामान्यतः, घूर्णन और गति के संयोजन होती है। यदि वस्तु एक बिंदु या एक रेखा पर निश्चित है, तो इसकी केवल घूर्णन गति होती है। हम जानते हैं कि एक वस्तु के गतिज अवस्था को बदलने के लिए बल की आवश्यकता होती है, अर्थात रेखीय त्वरण उत्पन्न करने के लिए। तब हम पूछ सकते हैं कि घूर्णन गति के मामले में बल के तुलनीय क्या होता है? एक वास्तविक स्थिति में इस प्रश्न की जांच करने के लिए, हम दरवाजे के खोलने या बंद करने के उदाहरण का उपयोग करेंगे। एक दरवाजा एक ठोस वस्तु होता है जो हुकों के माध्यम से गुजरने वाली एक निश्चित क्षैतिज अक्ष के चारों ओर घूम सकता है। दरवाजा को घूमने के लिए क्या कारण होता है? स्पष्ट रूप से, बिना बल के दरवाजा घूमता नहीं है। लेकिन कोई भी बल इस कार्य को करने में सक्षम नहीं होता। हुक की रेखा पर लगाया गया बल कोई भी घूर्णन उत्पन्न नहीं कर सकता, जबकि दरवाजे के बाहरी किनारे पर दरवाजे के लंब दिशा में लगाया गया एक निश्चित मात्रा का बल घूर्णन उत्पन्न करने में सबसे प्रभावी होता है। घूर्णन गति में बल के अलावा, बल कहां और कैसे लगाया गया है, इसका महत्व होता है।

घूर्णन गति में रैखिक गति में बल के घूर्णन अनुरूप है। इसे बल का आघूर्ण या कपल के रूप में भी संदर्भित किया जाता है। (हम इसके लिए शब्द “बल का आघूर्ण” और “टॉर्क” को बराबर रूप से उपयोग करेंगे।) हम सबसे पहले एक अकेले कण के लिए बल के आघूर्ण को परिभाषित करेंगे। बाद में हम इस अवधारणा को कणों के तंत्र तक विस्तारित करेंगे, जिसमें कठोर शरीर भी शामिल हैं। हम इसे घूर्णन गति के अवस्था में परिवर्तन के साथ भी संबंधित करेंगे, अर्थात एक कठोर शरीर के कोणीय त्वरण के साथ।

चित्र 6.18 τ = r × F, τ, r और F के तल के लम्बवत है, और इसकी दिशा दाहिने हाथ के बोलते स्क्रू नियम द्वारा दी गई है।

यदि एक बल एक अकेले कण पर बिंदु $\mathrm{P}$ पर कार्य करता है जिसकी स्थिति मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के संबंध में स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ द्वारा दी गई है (चित्र 6.18), तो बल के आघूर्ण को मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के संबंध में बल के आघूर्ण को निम्नलिखित सदिश गुणन के रूप में परिभाषित किया जाता है

$$ \begin{equation*} \tau=\mathbf{r} \times \mathbf{F} \tag{6.23} \end{equation*} $$

बल का आघूर्ण (या बल-आघूर्ण) एक सदिश राशि होता है। $\tau$ ग्रीक अक्षर टॉउ के लिए प्रतीक होता है। $\tau$ के परिमाण के लिए

$$ \begin{equation*} \tau=r F \sin \theta \tag{6.24a} \end{equation*} $$

जहाँ $r$ स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ के परिमाण होता है, अर्थात लंबाई $\mathrm{OP}$, $F$ बल $\mathbf{F}$ के परिमाण होता है और $\theta$ दो सदिश $\mathbf{r}$ और $\mathbf{F}$ के बीच का कोण होता है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।

बल के आघूर्ण के विमान $\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}$ होते हैं। इसके विमान आघूर्ण या ऊर्जा के विमान के समान होते हैं। हालांकि, यह आघूर्ण एक बिलकुल अलग भौतिक राशि होती है। बल का आघूर्ण एक सदिश होता है, जबकि कार्य एक अदिश होता है। बल के आघूर्ण की SI इकाई न्यूटन-मीटर $(\mathrm{N} \mathrm{m})$ होती है। बल के आघूर्ण के परिमाण को लिखा जा सकता है

$$ \begin{align*} & \tau=(r \sin \theta) F=r _{\perp} F \tag{6.24b} \\ & \text { या } \quad \tau=r F \sin \theta=r F _{\perp} \tag{6.24c} \end{align*} $$

\end{align*} $$

जहाँ $r_{\perp}=r \sin \theta$ बल $\mathbf{F}$ के कार्य रेखा के उत्प्रेरक दूरी है जो मूल बिंदु से दूरी है और $F_{\perp}(=F \sin \theta)$ बल $\mathbf{F}$ के तल के लंबवत दिशा में घटक है। ध्यान दें कि $\tau=0$ यदि $r=0, F=0$ या $\theta=0^{\circ}$ या $180^{\circ}$ हो। इसलिए, बल के आघूर्ण शून्य होगा यदि बल के परिमाण शून्य हो या बल के कार्य रेखा मूल बिंदु से गुजरे।

एक ध्यान दें कि क्योंकि $\mathbf{r} \times \mathbf{F}$ एक सदिश गुणन है, दो सदिशों के सदिश गुणन के गुण इस पर लागू होते हैं। यदि $\mathbf{F}$ की दिशा उलट जाती है, तो बल के आघूर्ण की दिशा भी उलट जाती है। यदि $\mathbf{r}$ और $\mathbf{F}$ दोनों की दिशा उलट जाती है, तो बल के आघूर्ण की दिशा बरकरार रहती है।

6.7.2 कण के कोणीय संवेग

जैसे बल के आघूर्ण रेखीय गति में बल के घूर्णन अनुरूप होता है, कोणीय संवेग रेखीय गति में रेखीय संवेग के घूर्णन अनुरूप होता है। हम सबसे पहले एक कण के विशेष मामले के लिए कोणीय संवेग की परिभाषा देंगे और एक कण की गति के संदर्भ में इसके उपयोग की जांच करेंगे। फिर हम बहुकण प्रणाली और ठोस वस्तुओं के लिए कोणीय संवेग की परिभाषा को विस्तारित करेंगे।

क्षेत्रफल के आघूर्ण के समान, कोणीय संवेग भी एक सदिश गुणन है। इसे लीनियर संवेग के आघूर्ण के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है। इस शब्द से आप अपनी आंतरिक बुद्धि से कोणीय संवेग की परिभाषा कैसे हो सकती है, इसका अनुमान लगाया जा सकता है।

एक कण के द्रव्यमान $m$ और लीनियर संवेग $\mathbf{p}$ वाले एक कण को मूल बिंदु $\mathrm{O}$ से स्थिति $\mathbf{r}$ पर विचार करें। कण के संबंध में मूल बिंदु $\mathrm{O}$ के संबंध में कोणीय संवेग $I$ को परिभाषित किया जाता है

$$l=\mathbf{r} \times \mathbf{p} \tag{6.25a}$$

कोणीय संवेग सदिश के मापदंड के आयाम है

$$ \begin{equation*} l=r p \sin \theta \tag{6.26a} \end{equation*} $$

जहाँ $p$ के आयाम $\mathbf{p}$ के और $\theta$ $\mathbf{r}$ और $\mathbf{p}$ के बीच कोण है। हम लिख सकते हैं

$$ \begin{equation*} l=r p_{\perp} \text { या } r_{\perp} p \tag{6.26b} \end{equation*} $$

जहाँ $r_{\perp}(=r \sin \theta)$ $\mathbf{p}$ के दिशा रेखा के लिए मूल के संबंध में लंबवत दूरी है और $p_{\perp}(=p \sin \theta)$ $\mathbf{p}$ के लंबवत दिशा में $\mathbf{r}$ के घटक है। हम अपेक्षा करते हैं कि कोणीय संवेग शून्य होगा $(1=0)$, यदि लीनियर संवेग शून्य हो $(p=0)$, यदि कण मूल बिंदु पर हो $(r=0)$, या यदि $\mathbf{p}$ की दिशा रेखा मूल के माध्यम से गुजरे $\theta=0^{\circ}$ या $180^{\circ}$।

फिजिक्स में, बल का आघूर्ण और कोणीय संवेग के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध होता है। यह बल और रैखिक संवेग के बीच संबंध का घूर्णन अनुरूप होता है। एक अकेले कण के संदर्भ में इस संबंध के उत्पादन के लिए, हम $\boldsymbol{l}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$ के संदर्भ में समय के सापेक्ष अवकलज लेते हैं,

$$ \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p}) $$

दाहिने ओर के अवकलज के लिए गुणन के नियम के अनुसार,

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p})=\frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} \times \mathbf{p}+\mathbf{r} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t} $$

अब, कण के वेग को $\mathbf{v}=d \mathbf{r} / d t$ और $\mathbf{p}=m \mathbf{v}$ के रूप में दर्शाया जाता है

$$ \text { इस कारण } \frac{\mathrm{d} \mathbf{r}}{\mathrm{d} t} \times \mathbf{p}=\mathbf{v} \times m \mathbf{v}=0 \text {, } $$

क्योंकि दो समानांतर सदिशों के सदिश गुणन के रूप में शून्य हो जाता है। इसके अतिरिक्त, क्योंकि $\mathrm{d} \mathbf{p} / \mathrm{d} t=\mathbf{F}$,

$$ \begin{align*} & \mathbf{r} \times \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{r} \times \mathbf{F}=\mathbf{t} \\ & \text { इसलिए } \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(\mathbf{r} \times \mathbf{p})=\tau \\ & \text { या } \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{d} t}=\tau \tag{6.27} \end{align*} $$

इस प्रकार, किसी कण के कोणीय संवेग के समय दर परिवर्तन को उस पर कार्य कर रहे बलांतर के बराबर होता है। यह एक कण के संकेन्द्री गति के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम के घूर्णन अनुरूप है।

कणों के एक तंत्र के लिए बलांतर और कोणीय संवेग

किसी दिए गए बिंदु के संबंध में एक कण तंत्र के कुल कोणीय संवेग को प्राप्त करने के लिए, व्यक्तिगत कणों के कोणीय संवेग को सदिश रूप से जोड़ना होता है। इसलिए, $n$ कणों के एक तंत्र के लिए,

$$ \mathbf{L}=\boldsymbol{l_1}+\boldsymbol{l_2}+\ldots+\boldsymbol{l_n}=\sum_{i=1}^{n} \boldsymbol{l_i} $$

$ t^{\text {th }} $ कण के कोणीय संवेग को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ l_{i}=\mathbf{r_i} \mathbf{p_i} $$

जहाँ $\mathbf{r_i}$ दिए गए मूल बिंदु के संबंध में $i^{\text {th }}$ कण के स्थिति सदिश है और $\mathbf{p}=\left(m_{i} \mathbf{v}\right)$ कण के रैखिक संवेग है। (कण के द्रव्यमान $m_{i}$ और वेग $\mathbf{v_i}$ है) हम एक कण व्यवस्था के कुल कोणीय संवेग को इस प्रकार लिख सकते हैं :

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}=\sum \boldsymbol{l_i}=\sum_{i} \mathbf{r_i} \times \mathbf{p_i} \tag{6.25b} \end{equation*} $$

यह एक कण के लिए कोणीय संवेग के परिभाषा (समीकरण 6.25a) के एक सामान्यीकरण है जो कई कणों के एक व्यवस्था के लिए है।

समीकरण (6.23) और (6.25b) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं :

$$\frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\sum \boldsymbol{l}_{i}\right)=\sum_i \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{l}}{\mathrm{d} t}=\sum_i \tau_i \tag{6.28a}$$

जहाँ $\tau_{i}$ $i^{\text {th }}$ कण पर लगने वाले बलाघूर्ण है;

$$ \tau_{i}=\mathbf{r_i} \times \mathbf{F_i} $$

$ i^{\text {th }} $ कण पर बल $\mathbf{F_i}$ बाह्य बलों $\mathbf{F_i}^{\text {ext }}$ के सदिश योग और अंतर्मुखी बलों $\mathbf{F_i}^{\text {int }}$ के द्वारा लगे होते हैं जो व्यवस्था के अन्य कणों द्वारा लगाए जाते हैं। इसलिए हम बाह्य और अंतर्मुखी बलों के कुल बलाघूर्ण के योग को अलग कर सकते हैं।

$$ \begin{aligned} & \tau=\sum _{i} \tau _{i}=\sum _{i} \mathbf{r} _{i} \times \mathbf{F} _{i} \text { अर्थात् } \\ & \tau=\tau _{e x t}+\tau _{\text {int }}, \\ & \text { जहाँ} \quad \tau _{\text {ext }}=\sum _{i} \mathbf{r} _{i} \times \mathbf{F} _{i}^{e x t} \\ & \text { और} \quad \tau _{\text {int }}=\sum _{i} \mathbf{r} _{i} \times \mathbf{F} _{i}^{\text {int }} \end{aligned} $$

हम न केवल न्यूटन के तीसरे गति के नियम की अवधारणा करेंगे, अर्थात् प्रणाली के किसी भी दो कणों के बीच बल बराबर और विपरीत होते हैं, बल्कि यह भी मान लेंगे कि ये बल दो कणों के बीच जुड़ी रेखा के अनुदिश होते हैं। इस स्थिति में प्रणाली पर कुल बल-आघूर्ण के लिए आंतरिक बलों के योगदान शून्य होता है, क्योंकि प्रत्येक क्रिया-प्रतिक्रिया बल युग्म के कारण आघूर्ण शून्य होता है। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि, $\tau_{\text {int }}=$ $\mathbf{0}$ और अतः $\tau=\tau_{\text {ext }}$।

चूंकि $\tau=\sum \tau_{i}$, इसलिए समीकरण (6.28a) से निम्नलिखित परिणाम आता है:

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\tau_{e x t} \tag{6.28b} \end{equation*} $$

\end{equation*} $$

इस प्रकार, कोई बिंदु (हमारे अंतर्दृष्टि के उत्सर्जन के बिंदु के रूप में लिया गया) के संबंध में कणों के एक प्रणाली के कुल आवर्त द्रव्यमान के समय दर के बराबर बाह्य बलों के कारण बाह्य बलों के बाह्य बलों के योग (अर्थात बाह्य बलों के कारण बलों) के बराबर होता है। समीकरण (6.28b) समीकरण (6.23) के एक कण के मामले के सामान्यीकरण है जो कणों के एक प्रणाली के लिए है। ध्यान दें कि जब हमें केवल एक कण हो, तो कोई आंतरिक बल या बल नहीं होते हैं। समीकरण (6.28b) निम्नलिखित के घूर्णी तुलना है

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{P}}{\mathrm{d} t}=\mathbf{F}_{e x t} \tag{6.17} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि समीकरण (6.17) के जैसे, समीकरण (6.28b) कोई भी कणों के प्रणाली के लिए लागू होता है, चाहे वह एक ठोस वस्तु हो या इसके व्यक्तिगत कणों में सभी प्रकार की आंतरिक गति हो।

आवर्त द्रव्यमान के संरक्षण

यदि $\boldsymbol{\tau}_{\text {ext }}=\mathbf{0}$, तो समीकरण (6.28b) निम्नलिखित रूप में घटता है

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=0 \end{equation*}

$$

$$\text{या}\quad \mathbf{L}= \text{ स्थिरांक।} \tag{6.29a}$$

इसलिए, यदि कणों के एक निकाय पर कुल बाह्य बल-आघूर्ण शून्य है, तो निकाय का कुल कोणीय संवेग संरक्षित होता है, अर्थात निरंतर रहता है। समीकरण (6.29a) तीन अदिश समीकरणों के तुल्य है,

$$ \begin{equation*} L_{x}=K_{1}, L_{y}=K_{2} \text { और } L_{z}=K_{3} \tag{6.29b} \end{equation*} $$

यहाँ $K_{1}, K_{2}$ और $K_{3}$ स्थिरांक हैं; $L_{x}, L_{y}$ और $L_{z}$ कुल कोणीय संवेग सदिश $\mathbf{L}$ के $x, y$ और $z$ अक्षों के अनुदिश घटक हैं। कुल कोणीय संवेग के संरक्षण के कथन का अर्थ यह है कि इन तीन घटकों में से प्रत्येक संरक्षित होता है। समीकरण (6.29a) समीकरण (6.18a) के घूर्णन अनुरूप है, अर्थात एक निकाय के कणों के कुल रैखिक संवेग के संरक्षण कानून। समीकरण (6.18a) के जैसे, यह कई व्यावहारिक स्थितियों में लागू होता है। इस कापित्र में बाद में हम कुछ रोचक अनुप्रयोगों की ओर देखेंगे।

उदाहरण 6.5 एक बल $7 \tilde{\mathbf{i}}$ $+3 \tilde{\mathbf{j}}-5 \tilde{\mathbf{k}}$ के बारे में बल-आघूर्ण ज्ञात कीजिए। यह बल एक कण पर कार्य करता है जिसका स्थिति सदिश $\tilde{\mathbf{i}}-\tilde{\mathbf{j}}+\tilde{\mathbf{k}}$ है।

उत्तर यहाँ

$$\mathbf{r}=\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}+\hat{\mathbf{k}}$$

$$ \text { और } \mathbf{F}=7 \hat{\mathbf{i}}+3 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}} $$

हम आवेग $\tau=\mathrm{r} \times \mathrm{F}$ निकालने के लिए निर्णय नियम का उपयोग करेंगे

$$ \begin{aligned} \tau= & \left|\begin{array}{ccc} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ 1 & -1 & 1 \\ 7 & 3 & -5 \end{array}\right|=(5-3) \hat{\mathbf{i}}-(-5-7) \hat{\mathbf{j}}+(3-(-7)) \hat{\mathbf{k}} \\ & \quad \text { या } \tau=2 \hat{\mathbf{i}}+12 \hat{\mathbf{j}}+10 \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

उदाहरण 6.6 दिखाइए कि एकल कण के नियत वेग से गतिमान होने पर कोई बिंदु के संबंध में आवेग गति के दौरान स्थिर रहता है।

उत्तर मान लीजिए कि वेग $\mathbf{v}$ के साथ गतिमान कण किसी समय $t$ पर बिंदु $\mathrm{P}$ पर है। हम बिंदु $\mathrm{O}$ के संबंध में कण के आवेग की गणना करना चाहते हैं।

चित्र 6.19

कोणीय संवेग $\mathbf{1}=\mathbf{r} \times m \mathbf{v}$ है। इसका परिमाण $m v r \sin \theta$ है, जहाँ $\theta$ चित्र 6.19 में $\mathbf{r}$ और $\mathbf{v}$ के बीच कोण है। यद्यपि कण समय के साथ स्थिति बदलता रहता है, $\mathbf{v}$ की दिशा की रेखा एक ही रहती है और इसलिए $\mathrm{OM}=r \sin \theta$ एक नियतांक है। अतः, $\mathbf{1}$ की दिशा $\mathbf{r}$ और $\mathbf{v}$ के तल के लंबवत होती है। यह चित्र के पृष्ठ के अंदर बर्बाद होती है। इस दिशा में समय के साथ कोई परिवर्तन नहीं होता।

इसलिए, $\mathbf{1}$ का परिमाण और दिशा दोनों एक ही रहते हैं और इसलिए यह संरक्षित रहता है। कण पर कोई बाह्य बलाघूर्ण लग रहा है कि नहीं?

6.8 ठोस वस्तु की संतुलन

अब हम एक सामान्य कण निकाय के गति के बजाय ठोस वस्तु के गति पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

हम बाह्य बलों के एक ठोस वस्तु पर क्या प्रभाव होता है इसकी दोहराना करेंगे। (अब आगे चलकर हम ‘बाह्य’ शब्द को छोड़ देंगे क्योंकि अन्यथा न कहे जाए तो हम केवल बाह्य बलों और बलाघूर्णों के साथ काम करेंगे।) बल ठोस वस्तु के गति के परिवर्ती अवस्था को बदलते हैं, अर्थात वे इसके कुल रैखिक संवेग को समीकरण (6.17) के अनुसार बदलते हैं। लेकिन यह बलों का एकमात्र प्रभाव नहीं है। वस्तु पर कुल बलाघूर्ण शून्य नहीं हो सकता। ऐसा बलाघूर्ण ठोस वस्तु के घूर्णन अवस्था को बदलता है, अर्थात वह इसके कुल कोणीय संवेग को समीकरण (6.28b) के अनुसार बदलता है।

एक ठोस वस्तु को मैकेनिकल संतुलन में कहा जाता है, यदि इसका रैखिक संवेग और कोणीय संवेग समय के साथ बदल रहे नहीं हों, या बराबर रूप से, वस्तु के रैखिक त्वरण या कोणीय त्वरण नहीं हो। इसका अर्थ है

(1) वस्तु पर कुल बल, अर्थात बलों के सदिश योग, शून्य होता है;

$$ \begin{equation*} \mathbf{F_1}+\mathbf{F_2}+\ldots+\mathbf{F_n}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{F_i}=\mathbf{0} \tag{6.30a} \end{equation*} $$

यदि वस्तु पर कुल बल शून्य हो, तो वस्तु का कुल रैखिक संवेग समय के साथ बदल नहीं होता। समीकरण (6.30a) वस्तु के चलती अवस्था के संतुलन की शर्त देता है।

(2) कुल बलाघूर्ण, अर्थात वस्तु पर बलाघूर्णों के सदिश योग शून्य होता है,

$$ \begin{equation*} \tau_{1}+\tau_{2}+\cdots+\tau_{n}=\sum_{i=1}^{n} \tau_{i}=\mathbf{0} \tag{6.30b} \end{equation*} $$

यदि वस्तु पर कुल बलाघूर्ण शून्य हो, तो वस्तु का कुल कोणीय संवेग समय के साथ बदल नहीं होता। समीकरण (6.30b) वस्तु के घूर्णन संतुलन की शर्त देता है। एक प्रश्न उठाया जा सकता है, कि यदि बलाघूर्ण लिए गए मूल बिंदु को बदल दिया जाए, तो घूर्णन संतुलन की शर्त [समीकरण 6.30(b)] अपरिवर्तित रहेगी या नहीं। यह दिखाया जा सकता है कि यदि एक ठोस वस्तु के लिए रैखिक संतुलन की शर्त [समीकरण 6.30(a)] सत्य हो, तो ऐसे मूल बिंदु के परिवर्तन के लिए कोई अंतर नहीं होता, अर्थात घूर्णन संतुलन की शर्त मूल बिंदु के स्थान पर निर्भर नहीं होती। उदाहरण 6.7 एक द्विबल युग्म के विशेष मामले में इस परिणाम की प्रमाणिकरण देता है, अर्थात एक ठोस वस्तु पर रैखिक संतुलन में लगे दो बलों के लिए। इस परिणाम को $n$ बलों के लिए सामान्यीकरण अभ्यास के रूप में छोड़ दिया गया है।

समीकरण (6.30a) और समीकरण (6.30b), दोनों, सदिश समीकरण हैं। ये प्रत्येक तीन अदिश समीकरणों के बराबर हैं। समीकरण (6.30a) के लिए

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} F_{i x}=0, \sum_{i=1}^{n} F_{i y}=0 \text { और } \sum_{i=1}^{n} F_{i z}=0 \tag{6.31a} \end{equation*} $$

जहाँ $F_{i x}, F_{i y}$ और $F_{i z}$ क्रमशः बल $\mathbf{F}_{\text {. }}$ के $x, y$ और $z$ घटक हैं। इसी तरह, समीकरण (6.30b) तीन अदिश समीकरणों के बराबर है

$$ \begin{equation*} \sum_{i=1}^{n} \tau_{i x}=0, \sum_{i=1}^{n} \tau_{i y}=0 \text { और } \sum_{i=1}^{n} \tau_{i z}=0 \tag{6.31b} \end{equation*} $$

जहाँ $\tau_{i x}, \tau_{i \bar{y}}$ और $\tau_{i z}$ क्रमशः बल $\tau_{i}$ के $x, y$ और $z$ घटक हैं।

समीकरण (6.31a) और (6.31b) एक ठोस वस्तु के यांत्रिक संतुलन के लिए छह स्वतंत्र शर्तें प्रदान करते हैं। कई समस्याओं में वस्तु पर कार्य कर रहे सभी बल समतल में होते हैं। तब यांत्रिक संतुलन के लिए केवल तीन शर्तों की आवश्यकता होती है। इन तीन शर्तों में से दो गतीय संतुलन के लिए होती हैं; किसी भी दो लंबवत अक्षों में बलों के घटकों के योग शून्य होना चाहिए। तीसरी शर्त घूर्णन संतुलन के लिए होती है। बलों के समतल के लंबवत अक्ष में टॉर्क के घटकों के योग शून्य होना चाहिए।

स्थैतिक संतुलन की स्थितियाँ एक ठोस वस्तु के लिए एक कण के लिए जिनके बारे में हम पहले अध्यायों में चर्चा कर चुके हैं, के साथ तुलना की जा सकती है। कण के लिए घूर्णन गति की चर्चा नहीं की जाती है, इसलिए केवल अनुसरण गति के संतुलन की शर्तें (समीकरण 6.30 a) कण पर लागू होती हैं। इसलिए, एक कण के संतुलन के लिए इस पर लगने वाले सभी बलों का सदिश योग शून्य होना चाहिए। चूंकि इन सभी बलों के एक ही कण पर क्रिया करते हैं, इन्हें संगत होना चाहिए। संगत बलों के अंतर्गत संतुलन के बारे में चर्चा पहले अध्यायों में की गई थी।

एक वस्तु आंशिक संतुलन में हो सकती है, अर्थात, यह अनुसरण गति में संतुलन में हो सकती है और घूर्णन गति में नहीं, या घूर्णन गति में संतुलन में हो सकती है और अनुसरण गति में नहीं।

एक हल्की (अर्थात, नगण्य द्रव्यमान वाली) छड़ $(A B)$ को चित्र 6.20(a) में दिखाया गया है। जिसके दो सिरों (A और B) पर दो समान परिमाण के समानांतर बल लगाए गए हैं जो छड़ के लंब दिशा में कार्य करते हैं।

चित्र 6.20 (a)

मान लीजिए $\mathrm{C}$, $\mathrm{AB}$ का मध्य बिंदु है, $\mathrm{CA} = \mathrm{CB} = a$। $\mathrm{A}$ और $\mathrm{B}$ पर बलों के आघूर्ण दोनों के मान समान $(a F)$ होंगे, लेकिन दिशा में विपरीत होंगे, जैसा चित्र में दिखाया गया है। छड़ पर कुल आघूर्ण शून्य होगा। वस्तु घूर्णन संतुलन में होगी, लेकिन यह गतिपथ संतुलन में नहीं होगी; $\sum \mathbf{F} \neq \mathbf{0}$

चित्र 6.20 (b)

चित्र 6.20(a) में $\mathrm{B}$ पर बल को चित्र 6.20(b) में विपरीत दिशा में बदल दिया गया है। इस प्रकार, हमें एक ही छड़ के साथ दो बलों के सामने आए जो बराबर मान के हैं लेकिन विपरीत दिशा में लगे हैं और छड़ के लंब दिशा में लगे हैं, एक $\mathrm{A}$ के सिरे पर और दूसरा $\mathrm{B}$ के सिरे पर। यहाँ दोनों बलों के आघूर्ण समान हैं, लेकिन वे विपरीत नहीं हैं; वे एक ही दिशा में कार्य करते हैं और छड़ के विपरीत दिशा में घूमने के कारण उत्पन्न होते हैं। वस्तु पर कुल बल शून्य है; इसलिए वस्तु गतिपथ संतुलन में है; लेकिन यह घूर्णन संतुलन में नहीं है। छड़ को कोई भी तरह से निश्चित नहीं किया गया है, लेकिन यह शुद्ध घूर्णन (अर्थात गति के बिना घूमना) करती है।

एक बल युग्म जिसमें बराबर मात्रा के दो बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं और अलग-अलग कार्य रेखाओं पर कार्य करते हैं, एक जोड़ी या बल युग्म कहलाता है। एक जोड़ी घूर्णन उत्पन्न करती है बिना गति के।

जब हम एक बोतल के कवर को खोलते हैं तो हम अपने अंगुलियों के माध्यम से एक जोड़ी को कवर पर लगाते हैं [चित्र 6.21(a)]। एक अन्य जाना जाने वाला उदाहरण धरातल के चुंबकीय क्षेत्र में चुंबकीय सुई है जैसा कि चित्र 6.21(b) में दिखाया गया है। धरातल के चुंबकीय क्षेत्र चुंबकीय सुई के उत्तर और दक्षिण ध्रुवों पर समान बल लगाता है। उत्तर ध्रुव पर बल उत्तर दिशा में होता है और दक्षिण ध्रुव पर बल दक्षिण दिशा में होता है। जब सुई उत्तर-दक्षिण दिशा में नहीं बर्ताने तो दोनों बलों की कार्य रेखा अलग-अलग होती है। इसलिए धरातल के चुंबकीय क्षेत्र के कारण सुई पर एक जोड़ी कार्य करती है।

चित्र 6.21(ए) हमारे अंगुली ढक्कन को घुमाने के लिए एक जोड़ लगाते हैं।

चित्र 6.21(ब) पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र एक सूई के ध्रुवों पर बराबर और विपरीत बल लगाता है। इन दो बलों के एक जोड़ बनता है।

उदाहरण 6.7 दिखाइए कि एक जोड़ के बल आघूर्ण किस बिंदु के संदर्भ में आप आघूर्ण लें उस पर निर्भर नहीं करता है।

उत्तर

चित्र 6.22

एक चित्र में दिखाए गए चित्र 6.22 में एक ठोस शरीर पर एक जोड़ कार्य करता है। बल $\mathbf{F}$ और $-\mathbf{F}$ क्रमशः बिंदु $\mathrm{B}$ और $\mathrm{A}$ पर कार्य करते हैं। ये बिंदु उत्सर्जन $\mathrm{O}$ के संदर्भ में स्थिति सदिश $\mathbf{r_1}$ और $\mathbf{r_2}$ के संदर्भ में होते हैं। मूल बिंदु के संदर्भ में बलों के आघूर्ण लें।

The moment of the couple $=$ sum of the moments of the two forces making the couple

$$ \begin{aligned} & =\mathbf{r}_1 \times(-\mathbf{F})+\mathbf{r}_2 \times \mathbf{F} \\ & =\mathbf{r}_2 \times \mathbf{F}-\mathbf{r}_1 \times \mathbf{F} \\ & =\left(\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_1\right) \times \mathbf{F} \end{aligned} $$ But $\mathbf{r}_1+\mathbf{A B}=\mathbf{r}_2$, and hence $\mathbf{A B}=\mathbf{r}_2-\mathbf{r}{1}$. The moment of the couple, therefore, is $\mathbf{A B} \times \mathbf{F}$

स्पष्ट रूप से यह मूल बिंदु पर निर्भर नहीं करता, जिसके संदर्भ में हम बलों के आघूर्ण निकालते हैं।

6.8.1 आघूर्ण के सिद्धांत

एक आदर्श लेवर वास्तव में एक हल्का (अर्थात नगण्य द्रव्यमान वाला) छड़ होती है जो अपनी लंबाई के एक बिंदु पर घूमने के लिए बांधी गई होती है। इस बिंदु को फलक्रम कहते हैं। बच्चों के खेल के क्षेत्र में एक देखो वाला बर्तन लेवर का एक सामान्य उदाहरण है। दो बल $F_{1}$ और $F_{2}$, जो एक दूसरे के समांतर होते हैं और आमतौर पर लेवर के लंबवत होते हैं, जैसा कि यहां दिखाया गया है, लेवर पर क्रमशः फलक्रम से $d_{1}$ और $d_{2}$ की दूरी पर कार्य करते हैं, जैसा कि चित्र 6.23 में दिखाया गया है।

चित्र 6.23

लेवर एक यांत्रिक संतुलन के तंत्र है। मान लीजिए $\mathbf{R}$ फलक्रम पर समर्थन के प्रतिक्रिया है; $\mathbf{R}$, $F_{1}$ और $F_{2}$ बलों के विपरीत दिशा में दिया गया है। अनुसूची संतुलन के लिए,

$$ \begin{equation*} R-F_{1}-F_{2}=0 \tag{i} \end{equation*} $$

घूर्णन संतुलन के लिए हम फलक्रम के संबंध में आघूर्ण लेते हैं; आघूर्ण के योग शून्य होना चाहिए,

$$d_{1} F_{1}-d_{2} F_{2}=0 \tag{ii}$$

आमतौर पर विपरीत घूर्णन (घड़ी की ओर घूमने वाले) आघूर्ण धनात्मक (ऋणात्मक) माने जाते हैं। ध्यान दें $R$ फलक्रम पर ही कार्य करता है और इसका आघूर्ण फलक्रम के संबंध में शून्य होता है।

लेवर के मामले में बल $F_{1}$ आमतौर पर उठाने के लिए कुछ भार होता है। इसे भार कहा जाता है और इसकी फलक्रम से दूरी $d_{1}$ को भार अक्ष कहा जाता है। बल $F_{2}$ भार उठाने के लिए लगाया गया प्रयत्न होता है; प्रयत्न की फलक्रम से दूरी $d_{2}$ को प्रयत्न अक्ष कहा जाता है।

समीकरण (ii) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$d_{1} F_1=\mathrm{d}_{2} F_2\tag{6.32a}$$

या भार का आरंभिक अंश $\times$ भार $=$ प्रयत्न का आरंभिक अंश $\times$ प्रयत्न

उपरोक्त समीकरण एक लेवर के आघूर्ण के सिद्धांत को व्यक्त करता है। अतिरिक्त रूप से, $F_{1} / F_{2}$ के अनुपात को यांत्रिक लाभ (M.A.) कहा जाता है;

$$ \begin {equation*} \text { M.A. }=\frac{F_{1}}{F_{2}}=\frac{d_{2}}{d_{1}} \tag{6.32b} \end{equation*} $$

यदि प्रयत्न का आरंभिक अंश $d_{2}$ भार के आरंभिक अंश से बड़ा होता है, तो यांत्रिक लाभ एक से अधिक होता है। यांत्रिक लाभ एक से अधिक होना यह दर्शाता है कि एक छोटे प्रयत्न का उपयोग एक बड़े भार को उठाने के लिए किया जा सकता है। आपके आसपास देखे गए लेवर के कई उदाहरण होते हैं, जैसे कि दोबाज़ी के अलावा। तुला के बार का भी एक लेवर होता है। अधिक ऐसे उदाहरण खोजने की कोशिश करें और प्रत्येक मामले में लेवर के फलक, प्रयत्न और प्रयत्न का आरंभिक अंश, भार और भार का आरंभिक अंश की पहचान करें।

आप आसानी से दिखा सकते हैं कि आघूर्ण के सिद्धांत तब भी लागू होता है जब समानांतर बल $F_{1}$ और $F_{2}$ लेवर के लंबवत नहीं होते, बल्कि किसी कोण पर कार्य करते हैं।

6.8.2 गुरुत्व केंद्र

आपके कई लोगों को अपने नोटबुक को अंगुली के शीर्ष पर संतुलित करने का अनुभव हो सकता है। चित्र 6.24 एक ऐसा समान अनुभव दिखाता है जिसे आप आसानी से कर सकते हैं। एक असममित आकार के कार्डबोर्ड लें जिसका द्रव्यमान $M$ हो और एक संकीर्ण अंगुली वाला वस्तु जैसे कलम लें। आप अनुमान लगाकर एक बिंदु $G$ तले ढूंढ सकते हैं जहां आप इसे कलम के शीर्ष पर संतुलित कर सकते हैं। (इस स्थिति में कार्डबोर्ड स्थिर रहता है।) इस संतुलन बिंदु को कार्डबोर्ड के गुरुत्व केंद्र (CG) कहा जाता है। कलम के शीर्ष द्वारा ऊर्ध्वाधर ऊपर की बल लगता है जिसके कारण कार्डबोर्ड यांत्रिक संतुलन में होता है। चित्र 6.24 में दिखाया गया है कि कलम के शीर्ष के प्रतिक्रिया $ \boldsymbol{M g} $ के बराबर और विपरीत होती है और इसलिए कार्डबोर्ड आयाती संतुलन में होता है। यह घूर्णन संतुलन में भी होता है; अगर नहीं होता तो असंतुलित बलआघूर्ण के कारण यह झुक जाएगा और गिर जाएगा। कार्डबोर्ड पर गुरुत्व बल जैसे $m_{1} \mathbf{g}, m_{2} \mathbf{g} \ldots$ आदि द्वारा बलआघूर्ण लगते हैं जो कार्डबोर्ड के अवयवों पर कार्य करते हैं।

चित्र 6.24 पेन्सिल के छोर पर कार्डबोर्ड के संतुलन करते हुए। समर्थन बिंदु, G, गुरुत्व केंद्र है। कार्डबोर्ड का गुरुत्व केंद्र इस तरह स्थित है कि इस पर m1 g, m2 g … आदि बलों के कारण कुल बलाघूर्ण शून्य होता है।

यदि $\mathbf{r}_i$ एक विस्तारित वस्तु के इसके $\mathrm{CG}$ के संबंध में इसके i वें कण के स्थिति सदिश हो, तो इस कण पर गुरुत्वाकर्षण बल के कारण इसके बारे में बलाघूर्ण $\tau_i=\mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{g}$ होता है। इसके बारे में कुल गुरुत्वाकर्षण बलाघूर्ण शून्य होता है, अर्थात

$$ \begin{equation*} \boldsymbol{\tau}_g=\sum \boldsymbol{\tau}_i=\sum \mathbf{r}_i \times m_i \mathbf{g}=\mathbf{0} \tag{6.33} \end{equation*} $$

हम इसलिए एक वस्तु के गुरुत्व केंद्र को वह बिंदु पर परिभाषित कर सकते हैं जहां वस्तु पर कुल गुरुत्वाकर्षण बलाघूर्ण शून्य होता है।

हम देखते हैं कि समीकरण (6.33) में, $\mathbf{g}$ सभी कणों के लिए समान है, और इसलिए योग के बाहर आ जाता है। इसके कारण, क्योंकि $\mathbf{g}$ शून्य नहीं है, $\sum m_i \mathbf{r}_i=\mathbf{0}$ होता है। याद रखें कि स्थिति सदिश $\left(\mathbf{r}_i\right)$ केंद्र गुरुत्व (CG) के संबंध में लिए गए हैं। अब, अनुच्छेद 6.2 में समीकरण (6.4a) के नीचे दिए गए तर्क के अनुसार, यदि योग शून्य होता है, तो मूल बिंदु वस्तु के द्रव्यमान केंद्र होना चाहिए। इसलिए, एक वस्तु के गुरुत्व केंद्र एकसमान गुरुत्व या गुरुत्व रहित अंतराल में द्रव्यमान केंद्र के साथ समान होता है।

हम ध्यान रखते हैं कि यह सत्य है क्योंकि वस्तु छोटी होती है, $g$ वस्तु के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक बदलता नहीं है। यदि वस्तु इतनी विस्तारित होती है कि $\mathbf{g}$ वस्तु के भाग से भाग तक बदलता है, तो गुरुत्व केंद्र और द्रव्यमान केंद्र समान नहीं होंगे। मूल रूप से, ये दो अलग-अलग अवधारणाएं हैं। द्रव्यमान केंद्र गुरुत्व से कुछ नहीं संबंधित है। यह वस्तु के द्रव्यमान के वितरण के आधार पर ही निर्भर करता है।

चित्र 6.25 असममित आकार के एक वस्तु के गुरुत्व केंद्र का निर्धारण। वस्तु के लटकाए जाने वाले बिंदु A के माध्यम से लंब AA₁ पर गुरुत्व केंद्र G स्थित होता है।

अनुच्छेद 6.2 में हमने कई समान आकृति वाले, समान घनत्व वाले वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्र की स्थिति ज्ञात की। स्पष्ट रूप से उस विधि का उपयोग करके हम इन वस्तुओं के गुरुत्व केंद्र को भी ज्ञात कर सकते हैं, यदि वे छोटी हों।

चित्र 6.25 एक असममित आकार के वस्तु (जैसे कार्डबोर्ड) के गुरुत्व केंद्र का निर्धारण करने के एक अन्य तरीके को दर्शाता है। यदि आप किसी बिंदु जैसे A से वस्तु को लटकाएं, तो A के माध्यम से लंब गुरुत्व केंद्र $\mathrm{CG}$ के माध्यम से गुजरता है। हम लंब $\mathrm{AA}_{1}$ को चिह्नित करते हैं। फिर हम अन्य बिंदुओं जैसे $B$ और $C$ से वस्तु को लटकाकर लंबों के प्रतिच्छेदन बिंदु गुरुत्व केंद्र को दर्शाता है। विधि के कारण को समझाइए। चूंकि वस्तु छोटी है, इस विधि का उपयोग इसके द्रव्यमान केंद्र को भी निर्धारित करने में सक्षम है।

उदाहरण 6.8 एक धातु की छड़ $70 \mathrm{~cm}$ लंबी और $4.00 \mathrm{~kg}$ द्रव्यमान की है जिसे दो कटाव चाकू द्वारा दोनों सिरों से $10 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर रखा गया है। एक सिरे से $30 \mathrm{~cm}$ की दूरी पर एक $6.00 \mathrm{~kg}$ की भार लटकाया गया है। कटाव चाकू पर बल के प्रतिक्रिया की गणना कीजिए। (मान लीजिए कि छड़ की परिच्छेद एकसमान है और समान घनत्व वाली है।)

उत्तर

चित्र 6.26

चित्र 6.26 में छड़ $\mathrm{AB}$, कटाव के कटाव $\mathrm{K}{1}$ और $\mathrm{K}{2}$ के स्थान, छड़ के गुरुत्व केंद्र $\mathrm{G}$ और लटके हुए भार $\mathrm{P}$ के स्थान को दिखाया गया है।

ध्यान दें कि छड़ $\mathrm{W}$ का भार इसके गुरुत्व केंद्र $\mathrm{G}$ पर कार्य करता है। छड़ काट के अनुप्रस्थ काट एक समान है और एक समान घनत्व वाली है; इसलिए $\mathrm{G}$ छड़ के केंद्र पर है; $\mathrm{AB}=70 \mathrm{~cm} . \mathrm{AG}=35 \mathrm{~cm}, \mathrm{AP}$ $=30 \mathrm{~cm}, \mathrm{PG}=5 \mathrm{~cm}, \mathrm{AK}_1=\mathrm{BK}_2=10 \mathrm{~cm}$ और $\mathrm{K}_1 \mathrm{G}=$ $\mathrm{K}_2 \mathrm{G}=25 \mathrm{~cm}$. इसके अलावा, $W=$ छड़ का भार $=4.00$ $\mathrm{kg}$ और $W_1=$ लटके हुए भार $=6.00 \mathrm{~kg}$; $R_1$ और $R_2$ कटाव के कटाव पर समर्थन के अभिलम्ब बल हैं।

लंब तुल्यांक अवस्था के लिए छड़ के लिए,

$$R_{1}+R_{2}-W_{1}-W=0 \tag{i}$$

ध्यान दें $W_{1}$ और $W$ ऊर्ध्वाधर नीचे कार्य करते हैं और $\mathrm{R}_1$ और $\mathrm{R}_2$ ऊर्ध्वाधर ऊपर कार्य करते हैं।

घूर्णन संतुलन के लिए, हम बलों के आघूर्ण लेते हैं। आघूर्ण लेने के लिए एक सुविधाजनक बिंदु G हो सकता है। $\mathrm{R}_2$ और $\mathrm{W}_1$ के आघूर्ण विपरीत घूर्णन (पॉजिटिव) होते हैं, जबकि $R_1$ के आघूर्ण घूर्णन (नैगेटिव) होता है।

घूर्णन संतुलन के लिए,

$$-R_1\left(\mathrm{~K}_1 \mathrm{G}\right)+W_1(\mathrm{PG})+R_2\left(\mathrm{~K}_2 \mathrm{G}\right)=0 \tag{ii}$$

दिया गया है कि $W=4.00 \mathrm{~g} \mathrm{~N}$ और $W_{1}=6.00 \mathrm{~g}$ $\mathrm{N}$, जहाँ $g=$ गुरुत्व त्वरण है। हम $g=9.8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ लेते हैं।

संख्यात्मक मानों को समीकरण (i) में डालने पर,

$$ \begin{gather*} R _{1}+R _{2}-4.00 g-6.00 g=0 \\ \text { या } R _{1}+R _{2}=10.00 g \mathrm{~N} \tag{iii} \\ =98.00 \mathrm{~N} \end{gather*} $$

समीकरण (ii) से, $-0.25 R_{1}+0.05 W_{1}+0.25 R_{2}=0$

या $$R_{1}-R_{2}=1.2 \mathrm{~g} \mathrm{~N}=11.76 \mathrm{~N} \tag{iv}$$

From (iii) और (iv), $R_{1}=54.88 \mathrm{~N}$,

$$ \begin{equation*} R_{2}=43.12 \mathrm{~N} \end{equation*} $$

इस प्रकार समर्थन के प्रतिक्रियाएँ लगभग $55 \mathrm{~N}$ बिंदु $\mathrm{K}_1$ पर और $43 \mathrm{~N}$ बिंदु $\mathrm{K_2}$ पर हैं।

उदाहरण 6.9 एक 3 मीटर लंबा सीढ़ी 20 किग्रा वजन का एक फर्श पर लगे बिना घर्षण वाली दीवार पर झुका हुआ है। इसके पैर दीवार से 1 मीटर की दूरी पर फर्श पर रखे हुए हैं जैसा कि चित्र 6.27 में दिखाया गया है। दीवार और फर्श के प्रतिक्रिया बलों की गणना कीजिए।

उत्तर

चित्र 6.27

सीढ़ी $\mathrm{AB}$ 3 मीटर लंबी है, इसका पैर $\mathrm{A}$ दीवार से $AC=1 \mathrm{~m}$ की दूरी पर है। पिथागोरस प्रमेय से, $\mathrm{BC}=2 \sqrt{2} \mathrm{~m}$ है। सीढ़ी पर लगने वाले बल इसके भार $\mathrm{W}$ है जो इसके गुरुत्व केंद्र D पर कार्य करता है, दीवार और फर्श के प्रतिक्रिया बल $F_1$ और $F_2$ हैं। बल $F_1$ दीवार के लंब रेखीय है, क्योंकि दीवार घर्षण रहित है। बल $F_2$ को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है, अभिलम्ब प्रतिक्रिया $N$ और घर्षण बल $F$। ध्यान दें कि $F$ सीढ़ी के दीवार से खिसकने से रोकता है और इसलिए दीवार की ओर बल लगाता है।

तरल संतुलन के लिए, ऊर्ध्वाधर दिशा में बलों को लेते हुए,

$$ \begin{equation*} N-W=0 \tag{i} \end{equation*} $$

स्थानांतरण दिशा में बलों को लेते हुए,

$$F-F_{1}=0\tag{ii}$$

घूर्णन संतुलन के लिए, बलों के आघूर्ण को A के संदर्भ में लेते हुए,

$$ \begin{equation*} 2 \sqrt{2} F_{1}-(1 / 2) W=0 \tag{iii} \end{equation*} $$

अब $\quad W=20 \mathrm{~g}=20 \quad 9.8 \mathrm{~N}=196.0 \mathrm{~N}$

(i) से $N=196.0 \mathrm{~N}$

(iii) से $F_{1}=W / 4 \sqrt{2}=196.0 / 4 \sqrt{2}=34.6 \mathrm{~N}$

(ii) से $F=F_{1}=34.6 \mathrm{~N}$

$$ F_{2}=\sqrt{F^{2}+N^{2}}=199.0 \mathrm{~N} $$

बल $F_{2}$ को क्षैतिज दिशा के साथ कोण $\alpha$ बनाता है,

$$ \tan \alpha=N / F=4 \sqrt{2}, \quad \alpha=\tan ^{-1}(4 \sqrt{2}) \approx 80^{\circ} $$

6.9 घूर्णन आघूर्ण

हम पहले ही बता चुके हैं कि हम घूर्णन गति के अध्ययन को स्थानांतरण गति के अध्ययन के साथ-साथ विकसित कर रहे हैं जिसके साथ हम परिचित हैं। हम इस संबंध में एक महत्वपूर्ण प्रश्न के उत्तर देने के लिए अभी तक असमाप्त हैं। घूर्णन गति में द्रव्यमान के अनुरूप क्या है? हम इस प्रश्न के उत्तर देने की कोशिश करेंगे। चर्चा को सरल रखने के लिए, हम केवल एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के बारे में विचार करेंगे। चलो एक घूर्णन करते वस्तु की गतिज ऊर्जा के व्यंजक के लिए एक व्यंजक प्राप्त करने की कोशिश करें। हम जानते हैं कि एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन करते वस्तु के प्रत्येक कण के लिए, वस्तु के कण एक वृत्त में गति करते हैं जिसकी रैखिक वेग समीकरण (6.19) द्वारा दिया गया है। (चित्र 6.16 के लिए संदर्भ करें)। एक कण के लिए अक्ष से दूरी पर रैखिक वेग $v_{i}=r_{i} \omega$ होता है। इस कण की गतिज ऊर्जा है:

$$ k_{i}=\frac{1}{2} m_{i} v_{i}^{2}=\frac{1}{2} m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2} $$

जहाँ $m_{i}$ कण के द्रव्यमान है। शरीर की कुल कार्यशक्ति $K$ व्यक्तिगत कणों की कार्यशक्ति के योग द्वारा दी जाती है,

$$ K=\sum_{i=1}^{n} k_{i}=\frac{1}{2} \sum_{i=1}^{n}\left(m_{i} r_{i}^{2} \omega^{2}\right) $$

यहाँ $n$ शरीर में कणों की संख्या है। ध्यान दें $\omega$ सभी कणों के लिए समान है। अतः, योग में $\omega$ को बाहर लेने पर,

$$ K=\frac{1}{2} \omega^{2}\left(\sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^{2}\right) $$

हम एक नए पैरामीटर को परिभाषित करते हैं जो ठोस वस्तु को चरितार्थ करता है, जिसे जड़त्व आघूर्ण $I$ कहते हैं, जो निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{equation*} I=\sum_{i=1}^{n} m_{i} r_{i}^{2} \tag{6.34} \end{equation*} $$

इस परिभाषा के साथ,

$$ \begin{equation*} K=\frac{1}{2} I \omega^{2} \tag{6.35} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि पैरामीटर $I$ कोणीय वेग के मान से स्वतंत्र है। यह ठोस वस्तु और इसके घूमने के अक्ष के गुण द्वारा निर्धारित होता है।

तुलना करें गतिज ऊर्जा के समीकरण (6.35) के एक घूमते शरीर के साथ एक शरीर के रूप में रैखिक (अनुसरण) गति के लिए व्यंजक, $K=\frac{1}{2} m v^{2}$ यहाँ, $m$ शरीर के द्रव्यमान है और $v$ इसकी गति है। हम पहले ही रैखिक गति के लिए रैखिक वेग $v$ और घूर्णन गति के लिए कोणीय वेग $\omega$ के बीच समानता के बारे में ध्यान रख चुके हैं। तब यह स्पष्ट हो जाता है कि पैरामीटर, जड़त्व आघूर्ण $I$, रैखिक गति में द्रव्यमान के अनुरूप वांछित घूर्णन अनुरूप है। घूर्णन (एक निश्चित अक्ष के चारों ओर) में, जड़त्व आघूर्ण रैखिक गति में द्रव्यमान के भूमिका के समान भूमिका निभाता है।

हम अब समीकरण (6.34) को परिभाषा के रूप में दो सरल मामलों में जड़त्व आघूर्ण की गणना करने के लिए लागू करते हैं।

(a) एक तार के वलय के बारे में विचार करें जिसकी त्रिज्या $R$ और द्रव्यमान $M$ है, जो अपने स्वयं के तल में अपने केंद्र के चारों ओर घूम रहा है और कोणीय वेग $\omega$ के साथ। वलय के प्रत्येक द्रव्यमान तत्व अक्ष से दूरी $\mathrm{R}$ पर है और गति करता है गति की गति $R \omega$ के साथ। अतः गतिज ऊर्जा है,

$$ K=\frac{1}{2} M v^{2}=\frac{1}{3} M R^{2} \omega^{2} $$

समीकरण (6.35) के साथ तुलना करने पर हमें वलय के लिए $I=M R^{2}$ प्राप्त होता है।

चित्र 6.28 एक लंबाई $l$ के हल्के छड़ के साथ दो द्रव्यमान जो एक द्रव्यमान केंद्र से गुजरते हुए छड़ के लंब अक्ष के चारों ओर घूम रहे हैं। पूरे प्रणाली का कुल द्रव्यमान $M$ है।

(b) अब, एक नगण्य द्रव्यमान के लंबाई $1$ के कठोर छड़ के साथ दो छोटे द्रव्यमान लें जो एक द्रव्यमान केंद्र से गुजरते हुए छड़ के लंब अक्ष के चारों ओर घूम रहे हैं (चित्र 6.28)। प्रत्येक द्रव्यमान $M / 2$ अक्ष से $1 / 2$ की दूरी पर है। इसलिए द्रव्यमानों के जड़त्व आघूर्ण के द्वारा दिया गया है

$$ (M / 2)(1 / 2)^{2}+(M / 2)(1 / 2)^{2} $$

इसलिए, दो द्रव्यमानों के लिए छड़ के द्रव्यमान केंद्र से गुजरते हुए लंब अक्ष के चारों ओर घूमने पर

$$

I=M l^{2} / 4 $$

तालिका 6.1 केवल विभिन्न परिचित नियमित आकार के वस्तुओं के विशिष्ट अक्षों के संबंध में जड़त्व आघूर्ण को देती है। (इन व्यंजकों के उत्पादन इस पाठ्यपुस्तक के सीमा के बाहर हैं और आप उच्च श्रेणी के वर्गों में उन्हें अध्ययन करेंगे।)

जैसे वस्तु के द्रव्यमान इसके रेखीय गति के अवस्था में परिवर्तन के विरोध करता है, इसे रेखीय गति में जड़त्व का मापदंड माना जा सकता है। इसी तरह, दिए गए घूर्णन अक्ष के विषय में जड़त्व आघूर्ण घूर्णन गति में परिवर्तन के विरोध करता है, इसे वस्तु के घूर्णन जड़त्व का मापदंड माना जा सकता है; यह वस्ंत्र के विभिन्न भागों के अक्ष से विभिन्न दूरियों पर वितरण के तरीके का मापदंड है। वस्तु के द्रव्यमान के विपरीत, जड़त्व आघूर्ण एक निश्चित मात्रा नहीं होता बल्कि घूर्णन अक्ष के संबंध में द्रव्यमान के वितरण, अक्ष के संबंध में वस्तु के संपूर्ण आकार के संबंध में अक्ष की दिशा और स्थिति पर निर्भर करता है। घूर्णन करते हुए ठोस वस्तु के द्रव्यमान के अक्ष के संबंध में वितरण के तरीके के मापदंड के रूप में हम एक नए पैरामीटर, घूर्णन त्रिज्या को परिभाषित कर सकते हैं। यह जड़त्व आघूर्ण और वस्तु के कुल द्रव्यमान के साथ संबंधित है।

सारणी 6.1 कुछ नियमित आकार के वस्तुओं के कुछ विशिष्ट अक्षों के संबंध में जड़त्व आघूर्ण

सारणी 6.1 से ध्यान दें कि सभी मामलों में हम लिख सकते हैं $\mathrm{I}=M k^{2}$, जहाँ $k$ की विमा लंबाई की होती है। एक छड़ के बारे में इसके मध्य बिंदु पर लंब अक्ष के संबंध में, $k^{2}=L^{2} / 12$, अर्थात $k=L / \sqrt{12}$. इसी तरह, एक वृत्ताकार डिस्क के बारे में इसके व्यास के संबंध में $k=R / 2$ होता है। लंबाई $k$ एक वस्तु और घूर्णन अक्ष के ज्यामितीय गुण होती है। इसे घूर्णन त्रिज्या कहते हैं। एक वस्तु के बारे में एक अक्ष के संबंध में घूर्णन त्रिज्या को एक दूरी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके द्रव्यमान के बराबर एक बिंदु के द्रव्यमान के बराबर होता है और जिसका जड़त्व आघूर्ण वस्तु के बारे में अक्ष के संबंध में जड़त्व आघूई के बराबर होता है।

इस प्रकार, एक ठोस वस्तु के जड़त्व आघूर्ण उस वस्तु के द्रव्यमान, उसके आकार और आकृति, घूर्णन अक्ष के संबंध में द्रव्यमान के वितरण और घूर्णन अक्ष की स्थिति और दिशा पर निर्भर करता है। परिभाषा से, समीकरण (6.34) से हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि जड़त्व आघूर्ण की विमा $\mathrm{ML}^{2}$ होती है और इसके SI इकाई $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{2}$ होती है।

इस बहुत महत्वपूर्ण मात्रा $I$ की गुणधर्म, जो शरीर के घूर्णन अविन्यास के माप के रूप में है, एक बड़ी व्यावहारिक उपयोग के लिए ले जाया गया है। जैसे भाप इंजन और ऑटोमोबाइल इंजन जैसे मशीनों, जो घूर्णन गति उत्पन्न करते हैं, एक बड़े आवर्त आघूर्ण के डिस्क के साथ होते हैं, जिसे फाइल व्हील कहते हैं। इसके बड़े आवर्त आघूर्ण के कारण, फाइल व्हील वाहन की गति के अचानक वृद्धि या कमी के विरोध करता है। यह गति के धीमे बदले की अनुमति देता है और अचानक गति के विरोध करता है, जिससे वाहन में यात्री के लिए धीमी यात्रा सुनिश्चित होती है।

6.10 घूर्णन गति के बारे में निश्चित अक्ष के बारे में किनेमेटिक्स

हम पहले ही घूर्णन गति और रैखिक गति के बीच संगति के बारे में इंगित कर चुके हैं। उदाहरण के लिए, कोणीय वेग $\omega$ घूर्णन में रैखिक वेग $\mathbf{v}$ की तरह भूमिका निभाता है। हम इस संगति को आगे बढ़ाना चाहते हैं। इसके लिए हम चर अक्ष के घूर्णन के बारे में बात करेंगे। इस गति के मामले में केवल एक डिग्री ऑफ़ फ्रीडम होता है, अर्थात गति का वर्णन करने के लिए केवल एक स्वतंत्र चर की आवश्यकता होती है। यह रैखिक गति के रूप में अनुवादित होता है। इस अनुभाग केवल किनेमेटिक्स के बारे में है। हम बाद में डायनेमिक्स के बारे में बात करेंगे।

हम याद करते हैं कि घूर्णन करते शरीर के कोणीय विस्थापन को निर्धारित करने के लिए हम शरीर के किसी कण के बारे में सोचते हैं, जैसे P (चित्र 6.29)। इस कण के कोणीय विस्थापन $\theta$ जो इसके गति के तल में होता है, पूरे शरीर के कोणीय विस्थापन होता है; $\theta$ को गति के तल में P के लिए एक निश्चित दिशा से मापा जाता है, जिसे हम $x^{\prime}$-अक्ष के रूप में ले लेते हैं, जो $x$-अक्ष के समानांतर होता है। ध्यान दें, जैसा कि दिखाया गया है, घूर्णन अक्ष $z$-अक्ष है और कण के गति के तल $x-y$ तल है। चित्र 6.29 में भी $t=0$ पर कोणीय विस्थापन $\theta_{0}$ दिखाया गया है।

हम याद करते हैं कि कोणीय वेग विस्थापन के समय के दर के बराबर होता है, $\omega = \mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$। ध्यान दें कि घूर्णन अक्ष निश्चित है, इसलिए कोणीय वेग को सदिश के रूप में विचार करने की आवश्यकता नहीं होती। इसके अतिरिक्त, कोणीय त्वरण, $\alpha = \mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t$ होता है।

घूर्णन गति में गति के राशियों, कोणीय विस्थापन $(\theta)$, कोणीय वेग $(\omega)$ और कोणीय त्वरण $(\alpha)$ क्रमशः रेखीय गति में गति के राशियों, विस्थापन $(x)$, वेग $(v)$ और त्वरण $(a)$ के समान होते हैं। हम जानते हैं कि एकसमान (अर्थात स्थिर) त्वरण के लिए रेखीय गति के गति समीकरण हैं:

$$ \begin{align*} & v=v_{0}+a t \tag{a}\\ & x=x_{0}+v_{0} t+\frac{1}{2} a t^{2} \tag{b}\\ & v^{2}=v_{0}^{2}+2 a x \tag{c} \end{align*} $$

जहाँ $x_{0}=$ प्रारंभिक विस्थापन और $v_{0}=$ प्रारंभिक वेग है। शब्द “प्रारंभिक” तीव्रता के मानों को संदर्भित करता है जब $t=0$ हो।

समान शीतलता त्वरण के साथ घूर्णन गति के लिए संगत गति समीकरण हैं:

$$ \begin{align*} & \omega=\omega_{0}+\alpha t \tag{6.36}\\ & \theta=\theta_{0}+\omega_{0} t+\frac{1}{2} \alpha t^{2} \tag{6.37}\\ & \text { और } \omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2 \alpha\left(\theta-\theta_{0}\right) \tag{6.38} \end{align*} $$

जहाँ $\theta_{0}=$ घूमते शरीर के प्रारंभिक कोणीय विस्थापन और $\omega_{0}=$ शरीर के प्रारंभिक कोणीय वेग है।

चित्र 6.29 एक ठोस शरीर के कोणीय स्थिति को निर्धारित करना।

उदाहरण 6.10 पहले सिद्धांत से समीकरण (6.36) प्राप्त कीजिए।

उत्तर कोणीय त्वरण समान है, इसलिए

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=\alpha=\text { स्थिरांक } \tag{i} \end{equation*} $$

इस समीकरण का समाकलन करने पर,

$$ \begin{aligned} \omega & =\int \alpha \mathrm{d} t+c \\ & =\alpha t+c \quad(\text { जबकि } \alpha \text { स्थिरांक है }) \end{aligned} $$

जब $t=O, \omega=\omega_{0}$ (दिया गया)

समीकरण (i) से $t=0$ पर, $\omega=c=\omega_{0}$ प्राप्त होता है

इसलिए, $\omega=\alpha t+\omega_{0}$ जैसा कि आवश्यक है।

$\omega=\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$ के परिभाषा के साथ, हम समीकरण (6.36) के समाकलन करके समीकरण (6.37) प्राप्त कर सकते हैं। इस अवलोकन और समीकरण (6.38) के अवलोकन के व्युत्पन्न करना एक अभ्यास के रूप में छोड़ दिया गया है।

उदाहरण 6.11 एक मोटर के वलय की कोणीय चाल 16 सेकंड में 1200 आरपीएम से 3120 आरपीएम तक बढ़ जाती है। (i) इसकी कोणीय त्वरण क्या है, यदि त्वरण समान मान लिया जाए? (ii) इस समय दौरान इंजन कितने चक्र पूरा करता है?

उत्तर

(i) हम $\omega=\omega_{0}+\alpha t$ का उपयोग करेंगे $\omega_{0}=$ आरम्भिक कोणीय चाल $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$ में

$=2 \pi \times$ कोणीय चाल $\mathrm{rev} / \mathrm{s}$ में

$$ =\frac{2 \pi \times \text { कोणीय चाल } \mathrm{rev} / \mathrm{min}}{60 \mathrm{~s} / \mathrm{min}} $$ $$ \begin{aligned} & =\frac{2 \pi \times 1200}{60} \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ \\ & =40 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$

उसी तरह $\omega=$ अंतिम कोणीय चाल $\mathrm{rad} / \mathrm{s}$ में

$$ \begin{aligned} & =\frac{2 \pi \times 3120}{60} \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ \\ & =2 \pi \times 52 \mathrm{rad} / \mathrm{s} \\ \\ & =104 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s} \end{aligned} $$ $\therefore$ कोणीय त्वरण $$ \alpha=\frac{\omega-\omega_{0}}{t} \quad=4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2} $$

इंजन का कोणीय त्वरण $=4 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}^{2}$

(ii) समय $t$ में कोणीय विस्थापन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \theta=\omega _{0} t+\frac{1}{2} \alpha t^{2} $$

$=\left(40 \pi \times 16+\frac{1}{2} \times 4 \pi \times 16^{2}\right) \mathrm{rad}$

$=(640 \pi+512 \pi) \mathrm{rad}$

$=1152 \pi \mathrm{rad}$

संख्या चक्र $=\frac{1152 \pi}{2 \pi}=576$

6.11 निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति के बल गति के बारे में

तालिका 6.2 रेखीय गति से संबंधित राशियों और घूर्णन गति में उनके अनुरूपों की सूची देती है। हम पहले ही दोनों गतियों के किनेमेटिक्स की तुलना कर चुके हैं। इसके अतिरिक्त, हम जानते हैं कि घूर्णन गति में जड़त्व आघूर्ण और बलाघूर्ण के भूमिका रेखीय गति में द्रव्यमान और बल के समान होती है। इस बात के आधार पर हम तालिका में दिखाए गए अन्य अनुरूपों के बारे में अनुमान लगा सकते हैं। उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि रेखीय गति में कार्य $F dx$ द्वारा दिया जाता है, घूर्णन गति में निश्चित अक्ष के चारों ओर यह $ \tau d \theta $ होना चाहिए, क्योंकि हम पहले ही जानते हैं कि $ \mathrm{d} x \rightarrow \mathrm{d} \theta $ और $ F \rightarrow \tau $ के संगत अनुसार है।

हालांकि, इन संगति के आधार पर यह आवश्यक है कि ये संगति ठोस भौतिक विचारों पर आधारित हों। यह वह बात है जिस पर हम अब ध्यान केंद्रित करते हैं।

हम शुरू करने से पहले, घूर्णन गति के मामले में एक सरलीकरण के बारे में ध्यान देते हैं। क्योंकि अक्ष निश्चित है, हमारे विवरण में केवल उन टॉर्क के घटकों को ध्यान में लेना पड़ेगा जो निश्चित अक्ष की दिशा में हों। केवल ये घटक शरीर को अक्ष के चारों ओर घुमाने में सक्षम हो सकते हैं। घूर्णन अक्ष के लंबवत टॉर्क के घटक अक्ष की स्थिति को बदलने की कोशिश करेंगे। हम विशेष रूप से यह मान लेते हैं कि बाहरी टॉर्क के लंबवत घटकों के प्रभाव को रोकने के लिए आवश्यक बल घटक उपस्थित होंगे, ताकि अक्ष की निश्चित स्थिति बनी रहे। इसलिए, टॉर्क के लंबवत घटकों को ध्यान में नहीं लिया जाना चाहिए। इसका अर्थ है कि हमारे ठोस शरीर पर टॉर्क के गणना के लिए:

(1) हमें केवल अक्ष के लम्बवत तलों में लगने वाले बलों को मात्रा में लेना होगा। अक्ष के समानांतर बल अक्ष के लम्बवत आघूर्ण उत्पन्न करेंगे और इन्हें ध्यान में नहीं लिया जाना चाहिए।

(2) हमें केवल अक्ष के लम्बवत स्थिति सदिशों के घटकों को मात्रा में लेना होगा। अक्ज के अक्ष के अनुदिश स्थिति सदिशों के घटक अक्ष के लम्बवत आघूर्ण उत्पन्न करेंगे और इन्हें ध्यान में नहीं लिया जाना चाहिए।

आघूर्ण द्वारा किया गया कार्य

चित्र 6.30 एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमते एक वस्तु के कण पर बल F1 लग रहा है; कण अक्ष पर स्थित केंद्र C के चारों ओर वृत्ताकार पथ बनाता है; वृत्ताकार चाप P1 P′ 1 (ds1 ) कण के विस्थापन को दर्शाता है।

सारणी 6.2 रैखिक गति और निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति की तुलना

| | रैखिक गति | निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति |

| :— | :— | :— | | 1 | विस्थापन $x$ | कोणीय विस्थापन $\theta$ | | 2 | वेग $v=\mathrm{d} x / \mathrm{d} t$ | कोणीय वेग $\omega=\mathrm{d} \theta / \mathrm{d} t$ | | 3 | त्वरण $a=\mathrm{d} v / \mathrm{d} t$ | कोणीय त्वरण $\alpha=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t$ | | 4 | द्रव्यमान $M$ | जड़त्व आघूर्ण $I$ | | 5 | बल $F=M a$ | बल距 $\tau=I \alpha$ | | 6 | कार्य $d W=F \mathrm{~d} s$ | कार्य $W=\tau \mathrm{d} \theta$ | | 7 | गतिज ऊर्जा $K=M v^{2} / 2$ | गतिज ऊर्जा $K=I \omega^{3} / 2$ | | 8 | शक्ति $P=F v$ | शक्ति $P=\tau \omega$ | | 9 | रेखीय संवेग $p=M v$ | कोणीय संवेग $L=I \omega$ |

चित्र 6.30 में एक ठोस वस्तु के एक काट को दिखाया गया है जो एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूम रही है, जिसे हम $z$-अक्ष (पृष्ठ के तल के लंब अक्ष; चित्र 6.29 देखें) के रूप में ले लेते हैं। जैसा कि ऊपर कहा गया है, हमें केवल उन बलों को ध्यान में लेना पड़ता है जो अक्ष के लंबवत तलों में होते हैं। मान लीजिए $\mathbf{F}_1$ एक ऐसा बल है जो वस्तु के एक कण पर बल कार्य करता है जो बिंदु $\mathrm{P}_1$ पर लगता है और इसकी कार्य रेखा अक्ष के लंबवत तल में होती है। सुविधा के लिए हम इसे $x^{\prime}-y^{\prime}$ तल के रूप में बोलते हैं (पृष्ठ के तल के साथ एकरूपता में)। बिंदु $\mathrm{P}_1$ पर वस्तु का कण एक वृत्ताकार पथ का वर्णन करता है जिसकी त्रिज्या $r_1$ है और जिसका केंद्र अक्ष पर बिंदु $\mathrm{C}$ है; $\mathrm{CP}_1=r_1$।

समय $\Delta t$ में, बिंदु स्थिति $\mathrm{P}_1^{\prime}$ पर पहुँच जाता है। इसलिए कण के विस्थापन $d \mathbf{s}_1$ के परिमाण $\mathrm{d} s_1=r_1 \mathrm{~d} \theta$ होता है और इसकी दिशा $\mathrm{P}_1$ पर वृत्तीय पथ के स्पर्शरेखीय होती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। यहाँ $d \theta$ कण के कोणीय विस्थापन है, $\mathrm{d} \theta=\angle \mathrm{P}_1 \mathrm{CP}_1^{\prime}$. बल द्वारा कण पर किया गया कार्य है

$$ \mathrm{d} W_1=\mathbf{F}_1 \cdot \mathrm{d} \mathbf{s}_1=F_1 \mathrm{~d} s_1 \cos \phi_1=F_1\left(r_1 \mathrm{~d} \theta\right) \sin \alpha_1 $$

जहाँ $\phi_1$ बल $\mathbf{F}_1$ और $\mathrm{P}_1$ पर स्पर्शरेखा के बीच कोण है, और $\alpha_1$ बल $\mathbf{F}_1$ और त्रिज्या वेक्टर $\mathbf{O P}_1$ के बीच कोण है; $\phi_1+\alpha_1=90^{\circ}$। $\mathbf{F}_1$ के कारण मूल बिंदु के संबंध में बलाघूर्ण $\mathbf{O P}_1 \times \mathbf{F}_1$ होता है। अब $\mathbf{O} \mathbf{P}_1=\mathbf{O C}+\mathbf{O P}_1$। [चित्र 6.17(b) के लिए संदर्भ देखें।] क्योंकि $\mathbf{O C}$ अक्ष के अनुदिश है, इसके कारण बलाघूर्ण हमारे अध्ययन के बाहर रह जाता है। $\mathbf{F}_1$ के कारण प्रभावी बलाघूर्ण $\tau_1=\mathbf{C P} \times \mathbf{F}_1$ होता है; यह घूर्णन अक्ष के अनुदिश दिशा में होता है और इसके परिमाण $\tau_1=r_1 F_1 \sin \alpha$ होता है, इसलिए,

$\mathrm{d} W_{1}=\tau_{1} \mathrm{~d} \theta$

यदि शरीर पर एक से अधिक बल कार्य कर रहे हैं, तो सभी बलों द्वारा किए गए कार्य को जोड़कर शरीर पर कुल कार्य की गणना की जा सकती है। विभिन्न बलों के कारण आघूर्ण के मापदंडों को $\tau_{1}, \tau_{2}, \ldots$ आदि के रूप में दर्शाया जाता है,

$$ \mathrm{d} W=\left(\tau_{1}+\tau_{2}+\ldots\right) \mathrm{d} \theta $$

याद रखें, आघूर्ण उत्पन्न करने वाले बल विभिन्न कणों पर कार्य करते हैं, लेकिन सभी कणों के लिए कोणीय विस्थापन $\mathrm{d} \theta$ समान होता है। क्योंकि सभी आघूर्ण स्थिर अक्ष के समानांतर हैं, इसलिए कुल आघूर्ण के मापदंड $\tau$ के मान केवल आघूर्ण के मापदंडों के बीजगणितीय योग होता है, अर्थात, $\tau=\tau_{1}+\tau_{2}+\ldots$। इसलिए हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} \mathrm{d} W=\tau \mathrm{d} \theta \tag{6.39} \end{equation*} $$

इस समीकरण द्वारा एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूमते शरीर पर कार्य करने वाले कुल (बाह्य) आघूर्ण $\tau$ द्वारा किया गया कार्य दिया जाता है। इसकी तुलना उस संगत व्यंजक के साथ की जा सकती है, जो

$$ \mathrm{d} W=F \mathrm{~d} s $$

लीनियर (अनुसूचीकृत) गति के लिए यह स्पष्ट है। समीकरण (6.39) के दोनों ओर $\mathrm{d} t$ से विभाजित करने पर

$$ \begin{equation*} P=\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{~d} t}=\tau \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{d} t}=\tau \omega \tag{6.40} \end{equation*} $$

या $P=\tau \omega \tag{6.40}$$

यह तात्कालिक शक्ति है। घूर्णन गति के मामले में इस शक्ति के व्यंजक को रैखिक गति के मामले में शक्ति के व्यंजक के साथ तुलना करें, $P=F_{V}$

एक पूर्ण ठोस शरीर में कोई आंतरिक गति नहीं होती। इसलिए, बाहरी बलाओं द्वारा किया गया कार्य नष्ट नहीं होता और शरीर की गतिज ऊर्जा में वृद्धि करता है। शरीर पर कार्य करने की दर समीकरण (6.40) द्वारा दी गई है। इसे गतिज ऊर्जा के वृद्धि दर के बराबर कर दें। गतिज ऊर्जा के वृद्धि दर के लिए

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{I \omega^{2}}{2}=I \frac{(2 \omega)}{2} \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t} $$

हम मान लेते हैं कि जड़त्व आघूर्ण समय के साथ बदलता नहीं है। इसका अर्थ है कि शरीर के द्रव्यमान में कोई परिवर्तन नहीं होता, शरीर अपरिवर्तनीय रहता है और अक्ष भी शरीर के संबंध में अपनी स्थिति को बदलता नहीं है।

चूंकि $\alpha=\mathrm{d} \omega / \mathrm{d} t$, हम प्राप्त करते हैं

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t} \frac{I \omega^{2}}{2}=I \omega \alpha $$

कार्य करने की दर और किनेटिक ऊर्जा में वृद्धि की दर के बराबर करने पर,

$$ \begin{align*} & \tau \omega=I \omega \alpha \\ & \tau=I \alpha \tag{6.41} \end{align*} $$

समीकरण (6.41) रैखिक गति के न्यूटन के द्वितीय नियम के समान है, जिसे संकेताक्षर रूप में $F=m a$ के रूप में व्यक्त किया गया है।

जैसे ही बल त्वरण उत्पन्न करता है, बलाघूर्ण एक वस्तु में कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है। कोणीय त्वरण आवेग बलाघूर्ण के सीधे अनुपाती होता है और वस्तु के जड़त्व आघूर्ण के व्युत्क्रमानुपाती होता है। इस दृष्टि से, समीकरण (6.41) को एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन गति के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण 6.12 एक नगण्य द्रव्यमान के बांध को एक फ्लाई व्हील के किनारे के चारों ओर बांधा गया है, जिसका द्रव्यमान $20 \mathrm{~kg}$ और त्रिज्या $2 दशमलव 20 \mathrm{~cm}$ है। चित्र 6.31 में दिखाए गए अनुसार बांध पर 25 न्यूटन का स्थिर बल लगाया जाता है। फ्लाई व्हील एक क्षैतिज अक्ष पर लगे फ्रिक्शन रहित बेयरिंग पर लगाया गया है।

(a) चकती के कोणीय त्वरण की गणना करें।

(b) जब $2 \mathrm{~m}$ तार खुला जाए तो खींचने वाले बल द्वारा किया गया कार्य ज्ञात करें।

(c) इस बिंदु पर चकती की गतिज ऊर्जा भी ज्ञात करें। मान लीजिए कि चकती शांति से शुरू होती है।

(d) भाग (b) और (c) के उत्तर की तुलना करें।

उत्तर

चित्र 6.31

$ \begin{array}{lll} \text{(a)} & \text{ हम }& I \alpha = \tau \\ & \text{टॉर्क} & \tau=F R \\ & & =25 \times 0.20 \mathrm{Nm} (\text{ जब } R=0.20 \mathrm{~m})\\ && =5.0 \mathrm{Nm}\\ \end{array} $

$I=$ फाइलव्हील के अक्ष के संबंध में जड़त्व आघूर्ण $=\frac{M R^{2}}{2}$

$=\frac{20.0 \times(0.2)^{2}}{2}=0.4 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}$ $\alpha=$ कोणीय त्वरण

$=5.0 \mathrm{~N} \mathrm{~m} / 0.4 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}=12.5 \mathrm{~s}^{-2}$

(b) तार के $2 \mathrm{~m}$ खुलने पर खींचने वाले बल द्वारा किया गया कार्य

$$ =25 \mathrm{~N} \times 2 \mathrm{~m}=50 \mathrm{~J} $$

(स) मान लीजिए $\omega$ अंतिम कोणीय वेग है।

गतिज ऊर्जा के अर्जित होने के बराबर $=\frac{1}{2} I \omega^{2}$,

क्योंकि वृत्त शांति से शुरू होता है। अब,

$\omega^{2}=\omega_{0}^{2}+2 \alpha \theta, \quad \omega_{0}=0$

कोणीय विस्थापन $\theta=$ अनुबंध नहीं बर्बाद किए गए स्ट्रिंग की लंबाई / वृत्त की त्रिज्या

$=2 \mathrm{~m} / 0.2 \mathrm{~m}=10 \mathrm{rad}$

$\omega^{2}=2 \times 12.5 \times 10.0=250(\mathrm{rad} / \mathrm{s})^{2}$

$\therefore$ गतिज ऊर्जा के अर्जित होने $=\frac{1}{2} \times 0.4 \times 250=50 \mathrm{~J}$

(द) उत्तर समान है, अर्थात वृत्त के द्वारा अर्जित गतिज ऊर्जा = बल द्वारा किया गया कार्य है। घर्षण के कारण ऊर्जा की कोई हानि नहीं होती है।

6.12 निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के मामले में कोणीय संवेग

हमने अनुच्छाय 6.7 में एक कण प्रण व्यवस्था के कोणीय संवेग के बारे में अध्ययन किया है। हम पहले से जानते हैं कि एक कण प्रण व्यवस्था के कुल कोणीय संवेग के समय दर उस बिंदु के संबंध में व्यवस्था पर कुल बाह्य बल आघूर्ण के बराबर होता है। जब कुल बाह्य बल आघूर्ण शून्य होता है, तो व्यवस्था का कुल कोणीय संवेग संरक्षित होता है।

अब हम एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के विशेष मामले में कोणीय संवेग के अध्ययन का अध्ययन करना चाहते हैं। $n$ कणों के निकाय के कुल कोणीय संवेग के व्यापक व्यंजक है

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}=\sum_{i=1}^{N} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i \tag{6.25b} \end{equation*} $$

हम सबसे पहले घूर्णन करते ठोस शरीर के एक सामान्य कण के कोणीय संवेग के अध्ययन करते हैं। फिर हम व्यक्तिगत कणों के योगदान को जोड़कर पूरे शरीर के $\mathbf{L}$ को प्राप्त करते हैं।

एक सामान्य कण के लिए $\boldsymbol{I}=\mathbf{r} \times \mathbf{p}$. जैसा कि पिछले अनुच्छेद में देखा गया है $\mathbf{r}=\mathbf{O P}=\mathbf{O C}+\mathbf{C P}$ [चित्र 6.17(b)]। $\mathbf{p}=\mathrm{m} \mathbf{v}$ के साथ

$$ \boldsymbol{l}=(\mathbf{O C} \times m \mathbf{v})+(\mathbf{C P} \times m \mathbf{v}) $$

कण $\mathrm{P}$ के रैखिक वेग $\mathbf{v}$ के परिमाण को $v=\omega r$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $r$ तीव्रता $\mathrm{CP}$ की लंबाई या घूर्णन अक्ष से $\mathrm{P}$ की लंबवत दूरी है। इसके अतिरिक्त, $\mathbf{v}$ वृत्त के ताज बिंदु $\mathrm{P}$ पर स्पर्शरेखीय होता है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके जांच किया जा सकता है कि $\mathbf{C P} \times \mathbf{v}$ निश्चित अक्ष के समानांतर है। निश्चित अक्ष के अक्ष के अनुदिश एक एकक सदिश (जो $z$-अक्ष के रूप में चुना गया है) $\hat{\mathbf{k}}$ है। अतः

$$ \mathbf{C P} \times m \mathbf{v}=r_{\perp}(m v) \hat{\mathbf{k}} $$ $$ =m r_{\perp}^{2} \omega \hat{\mathbf{k}} \quad\left(\text { since } v=\omega r_{\perp}\right) $$

इसी तरह, हम देख सकते हैं कि $\mathbf{O C} \times \mathbf{v}$ निश्चित अक्ष के लंबवत है। मान लीजिए $l$ के निश्चित अक्ष (अर्थात $z$-अक्ष) के अनुदिश भाग को $I_{z}$ द्वारा नोट किया जाता है, तो

$ \boldsymbol{l_z} = \mathbf{CP} \times m \mathbf{v} = mr_{\perp}^2 \omega \hat{k} $

और $\boldsymbol{l}=\boldsymbol{l}_{z}+\mathbf{O C} \times m \mathbf{v}$

हम ध्यान देते हैं कि $\boldsymbol{I}_{z}$ निश्चित अक्ष के समानांतर है, लेकिन $l$ नहीं है। सामान्य रूप से, एक कण के लिए आवर्त गति के अक्ष के अनुदिश आवर्त गति $I$ नहीं होती है, अर्थात एक कण के लिए $I$ और $\omega$ आवश्यक रूप से समानांतर नहीं होते हैं। गति के संगत तथ्य के साथ इसकी तुलना करें। एक कण के लिए $\mathbf{p}$ और $\mathbf{v}$ हमेशा एक दूसरे के समानांतर होते हैं। पूरे ठोस वस्तु के कुल आवर्त गति की गणना करते समय, हम वस्तु के प्रत्येक कण के योगदान को जोड़ते हैं।

अतः

$$ \mathbf{L}=\sum \boldsymbol{l_i}=\sum \boldsymbol{l}_{i z}+\sum \mathbf{O} \mathbf{c}_i \times m_i \mathbf{v}_i $$

हम $\mathbf{L}_{\perp}$ और $\mathbf{L}_z$ को क्रमशः $z$-अक्ष के लंब और $z$-अक्ष के अनुदिश $\mathbf{L}$ के घटक के रूप में नोट करते हैं;

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}_{\perp}=\sum \mathbf{O} \mathbf{C}_i \times m_i \mathbf{v}_i \tag{6.42a} \end{equation*} $$

जहाँ $m_i$ और $\mathbf{v}_i$ क्रमशः $i^{\text {th }}$ कण के द्रव्यमान और वेग हैं और $\mathrm{C}_i$ कण द्वारा वर्णित वृत्त के केंद्र है; और

$$ \begin{equation*} \mathbf{L_z}=\sum \boldsymbol{l}_{i z}=\left(\sum_i m_i r_i^2\right) w \mathbf{k} \end{equation*} $$

या $$\quad \mathbf{L}_z=I \omega \hat{\mathbf{k}}\tag{6.42b}$$

अंतिम चरण इसलिए है क्योंकि $i^{\text {th }}$ कण के अक्ष से लंबवत दूरी $r_{\mathrm{i}}$ है; और घूर्णन अक्ष के संबंध में वस्तु के जड़त्व आघूर्ण की परिभाषा के अनुसार $I=\sum m_{i} r_{i}^{2}$ है।

Note $$\mathbf{L}=\mathbf{L_z}+\mathbf{L}_\perp \tag{6.42c}$$

इस अध्याय में हम निम्नलिखित ठोस शरीरों के बारे में मुख्य रूप से चर्चा करते आए हैं जो घूर्णन अक्ष के समानांतर सममिति रखते हैं, अर्थात घूर्णन अक्ष उनकी एक सममिति अक्ष होती है। ऐसे शरीरों के लिए, दिए गए $\mathbf{O} \mathbf{C_i}$ के लिए, एक कण जिसका वेग $\mathbf{v_i}$ होता है, उस कण द्वारा वर्णित वृत्त के केंद्र $C_i$ के व्यास के विपरीत बिंदु पर एक अन्य कण होता है जिसका वेग $-\mathbf{v_i}$ होता है। ऐसे युग्म एक साथ $\mathbf{L_{\perp}}$ के योग में शून्य योगदान देते हैं और फलनतः सममिति शरीरों के लिए $\mathbf{L}_{\perp}$ शून्य होता है, और इसलिए

$$ \begin{equation*} \mathbf{L}=\mathbf{L}_{z}=I \omega \hat{\mathbf{k}} \tag{6.42~d} \end{equation*} $$

उन शरीरों के लिए जो घूर्णन अक्ष के समानांतर सममिति रखते नहीं हैं, $\mathbf{L}$ बराबर $\mathbf{L}_{z}$ नहीं होता और इसलिए $\mathbf{L}$ घूर्णन अक्ष के अनुदिश नहीं होता। तालिका 6.1 के संदर्भ में, आप बता सकते हैं कि किन स्थितियों में $\mathbf{L}=\mathbf{L} _{z}$ लागू नहीं होगा?

हम इक्वेशन (6.42b) के अवकलज लेते हैं। क्योंकि $\hat{\mathbf{k}}$ एक निश्चित (स्थिर) सदिश है, हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left(\mathbf{L}_{z}\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(I \omega) \hat{\mathbf{k}} $$

अब, इक्वेशन (6.28b) कहता है

$$ \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}}{\mathrm{d} t}=\tau $$

हम अंतिम अनुच्छेद में देख चुके हैं कि जब हम एक स्थिर अक्ष के चारों से घूर्णन के बारे में बात करते हैं, तो केवल घूर्णन अक्ष के अनुदिश बाहरी टॉर्क के घटकों को मान लिया जाता है। इसका अर्थ है कि हम $\tau=\tau \hat{\mathbf{k}}$ ले सकते हैं। क्योंकि $\mathbf{L}=\mathbf{L_z}+\mathbf{L_{\perp}}$ और $\mathbf{L}_z$ (सदिश $\hat{\mathbf{k}}$ ) की दिशा स्थिर है, इसलिए एक स्थिर अक्ष के चारों से घूर्णन के लिए,

$$ \begin{equation*} \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}_{z}}{\mathrm{~d} t}=t \hat{\mathbf{k}} \tag{6.43a} \end{equation*} $$

और

$$ \frac{\mathrm{d} \mathbf{L}_{\perp}}{\mathrm{d} t}=0 \tag{6.43b} $$

इस प्रकार, एक स्थिर अक्ष के चारों से घूर्णन के दौरान, घूर्णन आघूर्ण के अक्ष के लंबवत घटक स्थिर होता है। जैसे $\mathbf{L}_{z}=I \omega \hat{\mathbf{k}}$, हम इक्वेशन (6.43a) से प्राप्त करते हैं,

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(I \omega)=\tau \tag{6.43c}$$

यदि जड़त्व आघूर्ण $I$ समय के साथ बदलता नहीं है,

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(I \omega)=I \frac{\mathrm{d} \omega}{\mathrm{d} t}=I \alpha$

और हम तत्कालीन समीकरण (6.43c) से प्राप्त करते हैं,

$$\tau=I \alpha \tag{6.41}$$

हम पहले ही इस समीकरण को कार्य-कार्य ऊर्जा के माध्यम से निर्मित कर चुके हैं।

6.12.1 कोणीय संवेग के संरक्षण का सिद्धांत

अब हम एक स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन के संदर्भ में कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत पर वापस आ सकते हैं। समीकरण (6.43c) से, यदि बाह्य बल-आघूर्ण शून्य है,

$$L_{\mathrm{z}}=I \omega= \text{स्थिर } \tag{6.44}$$

सममित वस्तुओं के लिए, समीकरण (6.42d) से $L_{z}$ को $L$ से बदला जा सकता है। $L$ और $L_{z}$ क्रमशः $\mathbf{L}$ और $\mathbf{L}_{z}$ के परिमाण हैं।

इस प्रकार, समीकरण (6.29a) के आवश्यक रूप, जो एक कणों के निकाय के कोणीय संवेग के सामान्य संरक्षण कानून को व्यक्त करता है, एक स्थिर अक्ष के घूर्णन के लिए यह रूप है। समीकरण (6.44) अक्सर हम दैनिक जीवन में आने वाले स्थितियों के लिए लागू होता है। आप अपने दोस्त के साथ इस प्रयोग कर सकते हैं। एक घूर्णन चेयर (एक बैठक जिसका बैठक बर्तन एक अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए मुक्त हो) पर बैठें जहां आपके हाथ जुड़े हुए हों और पैर जमीन पर नहीं हों, अर्थात जमीन से दूर हों। अपने दोस्त को चेयर को तेजी से घुमाने के लिए कहें। जब चेयर तेजी से घूम रहा हो तो अपने हाथों को क्षैतिज रूप से फैलाएं। क्या होता है? आपकी कोणीय गति कम हो जाती है। अगर आप अपने शरीर के करीब हाथ ले आएं तो कोणीय गति फिर से बढ़ जाती है। यह एक स्थिति है जहां कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत के अनुपालन होता है। यदि घूर्णन यंत्र में घर्षण को नगण्य मान लिया जाए तो घूर्णन अक्ष के संबंध में कोई बाह्य बल-आघूर्ण नहीं होता और इसलिए $I \omega$ स्थिर रहता है। हाथ फैलाने से घूर्णन अक्ष के संबंध में $I$ बढ़ जाता है, जिसके परिणामस्वरूप कोणीय गति $\omega$ कम हो जाती है। हाथ शरीर के करीब ले आने के परिणामस्वरूप विपरीत प्रभाव होता है।

चित्र 6.32 (a) एक आंतरिक आवेग के संरक्षण की दिखावट। एक लड़की एक घूमने वाली कुर्सी पर बैठकर अपने हाथों को दूर ले जाती है/ अपने शरीर के करीब ले आती है।

चित्र 6.32 (b) एक एक्रोबेट जो अपनी प्रदर्शन में आंतरिक आवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करती है।

एक सर्कस एक्रोबेट और एक डूबों वाला इस सिद्धांत के लाभ उठाते हैं। इसके अलावा, एक घूमने वाली गति (एक शीर्ष पर घूमना) के दौरान एक पैर के टोंटी पर एक क्लासिकल, भारतीय या पश्चिमी नृत्यकार भी इस सिद्धांत के ‘अधिकार’ को दिखाते हैं। आप इसे समझ सकते हैं?

सारांश

1. आदर्श रूप से, एक ठोस वस्तु वह होती है जिसके विभिन्न कणों के बीच दूरी बदल नहीं पाती है, भले ही उन पर बल कार्य कर रहे हों।

2. एक बिंदु या एक रेखा पर निश्चित रूप से रहे ठोस वस्तु के लिए केवल घूर्णन गति हो सकती है। एक ऐसी वस्तु जो किसी तरह निश्चित नहीं हो, तो या तो शुद्ध गतिमान हो सकती है या गति और घूर्णन के संयोजन में गति कर सकती है।

3. एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के दौरान, ठोस वस्तु के प्रत्येक कण एक वृत्त में गति करते हैं जो अक्ष के लंबवत तल में होता है और अक्ष पर अपना केंद्र रखता है। घूर्णन करते हुए ठोस वस्तु के प्रत्येक बिंदु किसी भी समय के लिए समान कोणीय वेग रखते हैं।

4. शुद्ध गति में, वस्तु के प्रत्येक कण किसी भी समय के लिए समान वेग रखते हैं।

5. कोणीय वेग एक सदिश होता है। इसके परिमाण $\omega = d\theta / dt$ होता है और यह घूर्णन अक्ष के अनुदिश दिशा में होता है। एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूर्णन के लिए, इस सदिश $\omega$ की दिशा निश्चित होती है।

6. दो सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ का सदिश या क्रॉस गुणनफल एक सदिश के रूप में लिखा जाता है $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$. इस सदिश के परिमाण $ab \sin \theta$ होता है और इसकी दिशा दाहिने हाथ के नियम या दाहिने हाथ के स्क्रू के द्वारा दी जाती है।

7. एक ठोस वस्तु के कण के रैखिक वेग को निर्धारित करने के लिए $\mathbf{v}=\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r}$ का सूत्र उपयोग किया जाता है, जहाँ $\mathbf{r}$ एक निश्चित अक्ष के अनुदिश मूल बिंदु से एक कण के स्थिति सदिश को दर्शाता है। यह संबंध एक ठोस वस्तु के अधिक सामान्य घूर्णन के लिए भी लागू होता है जहाँ एक बिंदु निश्चित रहता है। इस मामले में $\mathbf{r}$ निश्चित बिंदु के संबंध में एक कण के स्थिति सदिश को दर्शाता है जिसे मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है।

8. $n$ कणों के एक तंत्र के द्रव्यमान केंद्र को उस बिंदु के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका स्थिति सदिश निम्नलिखित होता है

$\mathbf{R}=\frac{\sum m_{i} \mathbf{r}_{i}}{M}$

9. एक कण तंत्र के द्रव्यमान केंद्र के वेग को $\mathbf{V}=\mathbf{P} / M$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\mathbf{P}$ तंत्र के रैखिक संवेग को दर्शाता है। द्रव्यमान केंद्र ऐसे चलता है जैसे कि तंत्र का समस्त द्रव्यमान इस बिंदु पर केंद्रित हो और सभी बाह्य बल इस बिंदु पर कार्य करते हों। यदि तंत्र पर कुल बाह्य बल शून्य हो, तो तंत्र का कुल रैखिक संवेग स्थिर रहता है।

10. $n$ कणों के एक निकाय के बारे में मूल बिंदु के संगत कोणीय संवेग है

$$ \mathbf{L}=\sum_{i=1}^{n} \mathbf{r}_i \times \mathbf{p}_i $$

$ n $ कणों के एक निकाय के बारे में मूल बिंदु के संगत बल आघूर्ण या बल का आघूर्ण है

$$ \tau=\sum_1 \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i $$

$ i^{\text {th }} $ कण पर कार्य करने वाला बल $ \mathbf{F}_i $ बाह्य बल तथा आंतरिक बल दोनों को शामिल करता है। न्यूटन के तीसरे गति के नियम की धारणा करते हुए तथा यह मानते हुए कि किसी भी दो कणों के बीच बल उन कणों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करता है, हम दिखा सकते हैं

$\tau_\text{int}=\mathbf{0}$

और

$ \frac{d \mathbf{L}}{d t}=\tau_{e x t} $

11. एक ठोस वस्तु यांत्रिक संतुलन में होती है यदि

(1) यह अनुसूची संतुलन में हो, अर्थात इस पर कार्य करने वाला कुल बाह्य बल शून्य हो : $\sum \mathbf{F}_i=\mathbf{0}$, और

(2) यह घूर्णन संतुलन में हो, अर्थात इस पर कार्य करने वाला कुल बाह्य आघूर्ण शून्य हो :

$$ \sum \tau_i=\sum \mathbf{r}_i \times \mathbf{F}_i=\mathbf{0} . $$

12. एक विस्तारित वस्तु के गुरुत्व केंद्र वह बिंदु है जहां वस्तु पर कुल गुरुत्वीय आघूर्ण शून्य होता है।

13. एक ठोस वस्तु के एक अक्ष के संबंध में जड़त्व आघूर्ण को सूत्र $I=\sum m_{i} r_{i}^{2}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $r_{\mathrm{i}}$ वस्तु के $i$ वें बिंदु की अक्ष से लंब दूरी है। घूर्णन की कार्यशक्ति $K=\frac{1}{2} I \omega^{2}$ होती है।

विचार करें

1. किसी प्रणाली के केंद्र द्रव्यमान के गति का निर्धारण करने के लिए प्रणाली के आंतरिक बलों के बारे में कोई ज्ञान आवश्यक नहीं होता। इसके लिए हमें वस्तु पर कार्य करने वाले बाह्य बलों के बारे में जानकारी होनी चाहिए।

2. एक कण सिस्टम के गति को इसके द्रव्यमान केंद्र के गति (अर्थात संपूर्ण सिस्टम के अनुवादी गति) और द्रव्यमान केंद्र के संपर्क में गति (अर्थात द्रव्यमान केंद्र के संबंध में गति) के रूप में अलग करना एक कण सिस्टम के गति के विवरण में एक उपयोगी तकनीक है। इस तकनीक का एक उदाहरण एक कण सिस्टम के कुल कार्य ऊर्जा $K$ को इसके द्रव्यमान केंद्र के संबंध में कार्य ऊर्जा $K^{\prime}$ और द्रव्यमान केंद्र के कार्य ऊरजा $M V^2 / 2$ के रूप में अलग करना है,

$$ K=K^{\prime}+M V^2 / 2 $$

3. एक बड़े आकार के वस्तु (या कण सिस्टम) के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम के आधार पर बनाया गया है और इसके अलावा न्यूटन के तृतीय नियम के लिए भी आधार बनाया गया है।

4. एक कण सिस्टम के कुल आवेग के समय के सापेक्ष परिवर्तन को इस सिस्टम में कुल बाह्य बल आवेग के रूप में स्थापित करने के लिए हमें न्यूटन के द्वितीय नियम के अलावा न्यूटन के तृतीय नियम की आवश्यकता होती है, जिसके लिए दो कणों के बीच बल दोनों कणों को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कार्य करते हैं।

5. कुल बाह्य बल के विलुप्त होना और कुल बाह्य बलाघूर्ण के विलुप्त होना स्वतंत्र शर्तें हैं। हम एक के बिना दूसरा हो सकता है। एक जोड़ी में कुल बाह्य बल शून्य होता है, लेकिन कुल बलाघूर्ण शून्य नहीं होता।

6. एक प्रणाली पर कुल बलाघूर्ण उस बिंदु के चयन से स्वतंत्र होता है यदि कुल बाह्य बल शून्य हो।

7. एक वस्तु के गुरुत्व केंद्र और द्रव्यमान केंद्र केवल तभी समान होते हैं जब गुरुत्वीय क्षेत्र वस्तु के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक बदलता नहीं हो।

8. कोणीय संवेग $\mathbf{L}$ और कोणीय वेग $\omega$ आवश्यक रूप से समानांतर वेक्टर नहीं होते। हालांकि, इस पाठ्यक्रम में चर्चा किए गए सरल स्थितियों में जब घूर्णन एक निश्चित अक्ष के चारों ओर होती है जो ठोस वस्तु के सममिति अक्ष होती है, तो संबंध $\mathbf{L}=I \omega$ सही होता है, जहां $I$ वस्तु के घूर्णन अक्ष के संबंध में जड़त्व आघूर्ण होता है।

अभ्यास

6.1 (i) गोला, (ii) बेलन, (iii) वृत्त, और (iv) घन, प्रत्येक के समान द्रव्यमान घनत्व के केंद्र बिंदु के स्थान को बताइए। क्या एक वस्तु के द्रव्यमान केंद्र के आवश्यक रूप से वस्तु के भीतर होना आवश्यक है?

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उत्तर

ज्यामितीय केंद्र; नहीं

एक वस्तु के द्रव्यमान केंद्र (C.M.) एक ऐसे बिंदु होता है जहां वस्तु का द्रव्यमान माना जाता है। दिए गए ज्यामितीय आकारों के लिए, जिनका समान द्रव्यमान घनत्व होता है, द्रव्यमान केंद्र उनके संगत ज्यामितीय केंद्र पर होता है।

एक वस्तु के द्रव्यमान केंद्र आवश्यक रूप से उसके भीतर होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, वृत्त, खोखला गोला आदि जैसी वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्र वस्तु के बाहर होते हैं।

6.2 $\mathrm{HCl}$ अणु में, दो परमाणुओं के नाभिकों के बीच की दूरी लगभग $1.27 \mathring{A}\left(1 \mathring{A}=10^{-10} \mathrm{~m}\right)$ होती है। दिया गया है कि क्लोरीन परमाणु लगभग हाइड्रोजन परमाणु के 35.5 गुना भारी होता है और एक परमाणु के लगभग सभी द्रव्यमान उसके नाभिक में केंद्रित होता है। अणु के द्रव्यमान केंद्र के अनुमानित स्थान को ज्ञात कीजिए।

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दिए गए स्थिति को निम्नलिखित चित्र द्वारा दर्शाया जा सकता है:

$H$ और $Cl$ परमाणु के बीच दूरी $=1.27 \mathring{A}$

$H$ परमाणु का द्रव्यमान $=m$

$Cl$ परमाणु का द्रव्यमान $=35.5 m$

मान लीजिए कि प्रदत्त अणु के द्रव्यमान केंद्र के निर्देशांक बिंदु के अंतर्गत $x$ की दूरी पर हो।

$H$ परमाणु से द्रव्यमान केंद्र की दूरी $=(1.27-x)$

मान लीजिए कि दिए गए अणु के द्रव्यमान केंद्र बिंदु पर हो। तब हम निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं:

$ \begin{aligned} & \dfrac{m(1.27-x)+35.5 m x}{m+35.5 m}=0 \\ & m(1.27-x)+35.5 m x=0 \\ & 1.27-x=-35.5 x \\ & \therefore x=\dfrac{-1.27}{(35.5-1)}=-0.037 \mathring{A} \end{aligned}

$

यहाँ, नकारात्मक चिह्न इंगित करता है कि द्रव्यमान केंद्र अणु के बाईं ओर स्थित है। अतः, $HCl$ अणु के द्रव्यमान केंद्र $Cl$ परमाणु से $0.037 \mathring{A}$ की दूरी पर स्थित है।

6.3 एक बच्चा एक लंबे ट्रॉली के एक सिरे पर स्थिर रहता है जो एक स्मूथ स्तरीय फर्श पर एक समान चाल $V$ से गति कर रहा है। यदि बच्चा अपने ट्रॉली पर किसी भी तरह से भागता है, तो (ट्रॉली + बच्चा) प्रणाली के द्रव्यमान केंद्र की चाल क्या होगी ?

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कोई परिवर्तन नहीं

बच्चा एक वेग $v$ से गति करते हुए ट्रॉली पर अपने अनुसार भागता है। हालांकि, बच्चे के भागने का कोई प्रभाव ट्रॉली के द्रव्यमान केंद्र के वेग पर नहीं पड़ेगा। इसका कारण यह है कि बच्चे के गति के कारण बल आंतरिक होता है। आंतरिक बल उन वस्तुओं पर कार्य करते हुए उनकी गति पर कोई प्रभाव नहीं डालते हैं। चूंकि बच्चा-ट्रॉली प्रणाली में कोई बाह्य बल नहीं है, इसलिए बच्चे के गति के कारण ट्रॉली के द्रव्यमान केंद्र के वेग में कोई परिवर्तन नहीं होगा।

6.4 सिद्ध कीजिए कि सदिश $\mathbf{a}$ और $\mathbf{b}$ के बीच बने त्रिभुज का क्षेत्रफल $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ के परिमाण के आधा होता है।

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मान लीजिए दो सदिश $\overrightarrow{{}OK}=|\vec{a}|$ और $\overrightarrow{{}OM}=|\vec{b}|$ एक कोण $\theta$ पर झुके हुए हैं, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।

$\triangle OMN$ में, हम निम्नलिखित संबंध लिख सकते हैं:

$ \begin{aligned} & \sin \theta=\dfrac{MN}{OM}=\dfrac{MN}{|\vec{b}|} \\ & MN=|\vec{b}| \sin \theta \\ & |\vec{a} \times \vec{a}|=|\vec{a}||\vec{b}| \sin \theta \end{aligned} $

$ =OK \cdot MN \times \dfrac{2}{2} $

$=2 \times$ त्रिभुज $ \triangle OMK $ का क्षेत्रफल

$\therefore$ त्रिभुज $ \triangle OMK $ का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}|\vec{a} \times \vec{b}|$

6.5 सिद्ध कीजिए कि $\mathbf{a} \cdot(\mathbf{b} \times \mathbf{c})$ के परिमाण के बराबर तीन सदिश $\mathbf{a}, \mathbf{b}$ और $\mathbf{c}$ से बने समांतर चतुर्भुज का आयतन होता है।

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निम्न चित्र में मूल बिंदु $O$ और भुजाओं $a, b$, और $c$ वाले एक समांतर चतुर्भुज को दिखाया गया है।

दिए गए समांतर चतुर्भुज का आयतन $=a b c$

$\overrightarrow{{}OC}=\vec{a}$

$\overrightarrow{{}OB}=\vec{b}$

$\overrightarrow{{}OC}=\vec{c}$

मान लीजिए $\hat{\mathbf{n}}$ एक इकाई सदिश है जो $b$ और $c$ दोनों के लंबवत है। अतः $\hat{\mathbf{n}}$ और $a$ की दिशा समान है।

$ \begin{aligned} & \therefore \vec{b} \times \vec{c}=b c \sin \theta \hat{\mathbf{n}} \\ & =b c \sin 90^{\circ} \hat{\mathbf{n}} \\ & =b c \hat{n} \\ & \vec{a} \cdot(\vec{b} \times \vec{c}) \\ & =a \cdot(b c \hat{\mathbf{n}}) \\ & =a b c \cos \theta \hat{\mathbf{n}} \\ & =a b c \cos 0^{\circ} \\ & =a b c \end{aligned} $

$=$ समांतर चतुर्भुज का आयतन

6.6 एक कण के कोणीय संवेग के $x, y, z$ अक्षों के घटक ज्ञात कीजिए, जिसका स्थिति सदिश $\mathbf{r}$ है जिसके घटक $x, y, z$ हैं और गति के दौरान इसका संवेग $\mathbf{p}$ है जिसके घटक $p_{\mathrm{x}}, p_{\mathrm{y}}$ और $p_{\mathrm{z}}$ हैं। दिखाइए कि यदि कण केवल $x-y$ तल में गति करता है तो कोणीय संवेग केवल $z$-घटक होता है।

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उत्तर

कण का रैखिक संवेग, $\vec{p}=p_x \hat{\mathbf{i}}+p_y \hat{\mathbf{j}}+p_z \hat{\mathbf{k}}$

कण का स्थिति सदिश, $\vec{r}=x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}$

कोणीय संवेग, $\vec{l}=\vec{r} \times \vec{p}$

$$ =(x \hat{\mathbf{i}}+y \hat{\mathbf{j}}+z \hat{\mathbf{k}}) \times(p_x \hat{\mathbf{i}}+p_y \hat{\mathbf{j}}+p_z \hat{\mathbf{k}}) $$

$$= \begin{vmatrix} \hat{\mathbf{i}} & \hat{\mathbf{j}} & \hat{\mathbf{k}} \\ x & y & z \\ p_x & p_y & p_z\end{vmatrix} $$

$$l_x \hat{\mathbf{i}}+l_y \hat{\mathbf{j}}+l_z \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{i}}(y p_z-z p_y)-\hat{\mathbf{j}}(x p_z-z p_x)+\hat{\mathbf{k}}(x p_y-z p_x)$$

समीकरणों $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}$, और $\hat{\mathbf{k}}$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \left. \begin{matrix} l_x=y p_z-z p_y \\ l_y=x p_z-z p_x \tag{i}\\ l_z=x p_y-y p_x \end{matrix} \right\rbrace $$

कण $x-y$ तल में गति करता है। अतः स्थिति सदिश और रैखिक संवेग सदिश के $z$-अवयव शून्य हो जाते हैं, अर्थात,

$z=p_z=0$

इसलिए, समीकरण $(i)$ निम्नलिखित रूप में घटता है:

$ \left.\begin{matrix} l_x=0 \\ l_y=0 \\ l_z=x p_y-y p_x \end{matrix} \right\rbrace $

इसलिए, जब कण $x-y$ तल में सीमित होता है, तो कोणीय संवेग की दिशा $z$-दिशा में होती है।

6.7 दो कण, प्रत्येक के द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ है, जो एक दूसरे के विपरीत दिशा में गति करते हैं और एक दूसरे से $d$ की दूरी पर समानांतर रेखाओं में गति करते हैं। दिखाइए कि दोनों कणों के निकाय के कोणीय संवेग सदिश का मान वही होता है जो भी बिंदु लेने पर।

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उत्तर

एक निश्चित क्षण पर दो कण बिंदु $P$ और $Q$ पर होते हैं, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है।

बिंदु $P$ के संबंध में निकाय का कोणीय संवेग:

$$ \begin{align*} \vec{L} _P & =m v \times 0+m v \times d \\ & =m v d \tag{i} \end{align*} $$

बिंदु $Q$ के संबंध में निकाय का कोणीय संवेग:

$$ \begin{align*} \vec{L} _Q & =m v \times d+m v \times 0 \\ & =m v d \tag{ii} \end{align*} $$

एक बिंदु $R$ लें जो बिंदु $Q$ से $y$ की दूरी पर हो, अर्थात,

$QR=y$

$\therefore PR=d-y$

बिंदु $R$ के संबंध में निकाय का कोणीय संवेग:

$$ \begin{align*} \vec{L} _R & =m v \times(d-y)+m v \times y \\ & =m v d-m v y+m v y \\ & =m v d \tag{iii} \end{align*} $$

समीकरण (i), (ii), और (iii) की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \vec{L} _P= \vec{L} _Q= \vec{L} _R \tag{iv}$$

हम समीकरण (iv) से निष्कर्ष लेते हैं कि एक निकाय के कोणीय संवेग का मान उस बिंदु पर लेने पर भी निर्भर नहीं करता।

6.8 एक असमान छड़ जिसका भार $W$ है, चित्र 6.33 में दिखाए गए दो तारों द्वारा नगण्य भार के तारों द्वारा शांति में लटकाए गए हैं। तारों द्वारा ऊर्ध्वाधर से बनाए गए कोण क्रमशः $36.9^{\circ}$ और $53.1^{\circ}$ हैं। छड़ की लंबाई $2 \mathrm{~m}$ है। छड़ के बाईं ओर से केंद्र गुरुत्व की दूरी $d$ की गणना कीजिए।

चित्र 6.33

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उत्तर

छड़ के मुक्त शरीर आरेख निम्नलिखित चित्र में दिखाए गए हैं।

छड़ की लंबाई, $l=2 \mathrm{~m}$

$T_1$ और $T_2$ क्रमशः बाईं ओर और दाईं ओर तारों में उत्पन्न तनाव हैं।

अनुसूची संतुलन में, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$T_1 \sin 36.9^{\circ}=T_2 \sin 53.1$

$\dfrac{T_1}{T_2}=\dfrac{\sin 53.1^{\circ}}{\sin 36.9}$

$=\dfrac{0.800}{0.600}=\dfrac{4}{3}$

$\Rightarrow T_1=\dfrac{4}{3} T_2$

घूर्णन संतुलन के लिए, केंद्र गुरुत्व के बारे में बल आघूर्ण लेने पर हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & T_1 \cos 36.9 \times d=T_2 \cos 53.1(2-d) \\ \\ & T_1 \times 0.800 d=T_2 0.600(2-d) \\ \\ & \dfrac{4}{3} \times T_2 \times 0.800 d=T_2[0.600 \times 2-0.600 d] \\ \\ & 1.067 d+0.6 d=1.2 \\ \\ & \therefore d=\dfrac{1.2}{1.67} \\ \\ & \quad=0.72 \mathrm{~m} \end{aligned} $

अतः, दी गई छड़ का केंद्र गुरुत्व $0.72 \mathrm{~m}$ बाईं ओर से दूरी पर है।

6.9 एक कार का भार $1800 \mathrm{~kg}$ है। इसके आगे और पीछे अक्ष के बीच दूरी $1.8 \mathrm{~m}$ है। इसका केंद्र गुरुत्व $1.05 \mathrm{~m}$ आगे अक्ष के पीछे है। प्रत्येक आगे चाक के द्वारा तथा प्रत्येक पीछे चाक के द्वारा स्तरीय भूमि द्वारा बल की गणना कीजिए।

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उत्तर

गाड़ी का द्रव्यमान, $m=1800 kg$

आगे और पीछे अक्ष के बीच दूरी, $d=1.8 m$

केंद्रीय गुरुत्वाकर्षण (C.G.) और पीछे अक्ष के बीच दूरी $=1.05 m$

गाड़ी पर कार्य कर रहे विभिन्न बल निम्न चित्र में दिखाए गए हैं।

$R_f$ और $R_b$ क्रमशः आगे और पीछे पहियों पर तल भूमि द्वारा लगाए गए बल हैं।

अनुसूचीय संतुलन के लिए:

$ \begin{aligned} & R_f+R_b=m g \\ = & 1800 \times 9.8 \\ = & 17640 N \ldots(i) \end{aligned} $

घूर्णन संतुलन के लिए, गुरुत्वाकर्षण केंद्र के संदर्भ में बल आघूर्ण के लिए हमारे पास:

$$ \begin{align*} & R_f(1.05)=R_b(1.8-1.05) \\ & R_f \times 1.05=R_b \times 0.75 \\ & \dfrac{R_f}{R_b}=\dfrac{0.75}{1.05}=\dfrac{5}{7} \\ & \dfrac{R_b}{R_f}=\dfrac{7}{5} \\ & R_b=1.4 R_f \tag{ii} \end{align*} $$

समीकरण (i) और (ii) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & 1.4 R_f+R_f=17640 \\ & R_f=\dfrac{17640}{2.4}=7350 N \end{aligned} $

$\therefore R_b=17640-7350=10290 N$

इसलिए, प्रत्येक आगे पहिये पर लगाया गया बल $=\dfrac{7350}{2}=3675 N$, और

प्रत्येक पीछे पहिये पर लगाया गया बल

$ =\dfrac{10290}{2}=5145 N $

6.10 बराबर मात्रा के आघूर्ण एक खोखले बेलन और एक ठोस गोले पर लगाए जाते हैं, जो दोनों के एक ही द्रव्यमान और त्रिज्या होते हैं। बेलन अपने मानक सममिति अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए मुक्त होता है, और गोला अपने केंद्र से गुजरते हुए अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए मुक्त होता है। दिए गए समय के बाद दोनों में से कौन अधिक कोणीय वेग प्राप्त करेगा।

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उत्तर

मान लीजिए $m$ और $r$ क्रमशः खोखले बेलन और ठोस गोले के द्रव्यमान हैं।

खोखले बेलन के मानक अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण, $I_1=m r^{2}$

ठोस गोले के केंद्र से गुजरते हुए अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण, $I_{II}=\dfrac{2}{5} m r^{2}$

हमारे पास संबंध है:

$ \tau=I \alpha $

जहाँ,

$\alpha=$ कोणीय त्वरण

$\tau=$ बलाघूर्ण

$I=$ जड़त्व आघूर्ण

हैलो बेलन के लिए, $ _1=I_1 \alpha_1$

ठोस गोले के लिए, $\tau_{II}=I_{II} \alpha_{II}$

दोनों वस्तुओं पर समान बलाघूर्ण लगाया जाता है, $\tau_1=\tau_2$

$\therefore \dfrac{\alpha_{II}}{\alpha_I}=\dfrac{I_I}{I_{Il}}=\dfrac{m r^{2}}{\dfrac{2}{5} m r^{2}}=\dfrac{2}{5}$

$$\alpha_{\text{II }}>\alpha_{\text{I }}\tag{i} $$

अब, संबंध का उपयोग करते हुए:

$\omega=\omega_0+\alpha t$

जहाँ,

$\omega_0=$ प्रारंभिक कोणीय वेग

$t=$ घूर्णन काल

$\omega=$ अंतिम कोणीय वेग

समान $\omega_0$ और $t$ के लिए, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं:

$\omega \propto \alpha \ldots(ii)$

समीकरण ( $i$ ) और (ii) से, हम लिख सकते हैं:

$\omega_{\text{II }}>\omega _{\text{I }}$

अतः, ठोस गोले का कोणीय वेग हैलो बेलन के कोणीय वेग से अधिक होगा।

6.11 20 किग्रा द्रव्यमान के एक ठोस बेलन अपने अक्ष के चारों ओर 100 रेडियन/सेकंड के कोणीय वेग से घूम रहा है। बेलन की त्रिज्या 0.25 मीटर है। बेलन के घूर्णन से संबंधित किनेटिक ऊर्जा क्या है? बेलन के अक्ष के संबंध में आघूर्ण के परिमाण क्या है?

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उत्तर

बेलन का द्रव्यमान, $m=20 kg$

कोणीय वेग, $\omega=100 rad s^{-1}$

बेलन की त्रिज्या, $r=0.25 m$

ठोस बेलन के जड़त्व आघूर्ण:

$I=\dfrac{m r^{2}}{2}$

$=\dfrac{1}{2} \times 20 \times(0.25)^{2}$

$=0.625 kg m^{2}$

$\therefore$ किनेटिक ऊर्जा $=\dfrac{1}{2} I \omega^{2}$

$=\dfrac{1}{2} \times 6.25 \times(100)^{2}=3125 J$

$\therefore$ आघूर्ण, $L=I \omega$

$=6.25 \times 100$

$=62.5 Js$

6.12 (a) एक बच्चा एक घूर्णन चक्र के केंद्र पर खड़ा है और अपने दोनों हाथ फैले हुए हैं। घूर्णन चक्र को 40 चक्कर/मिनट के कोणीय वेग से घूमना शुरू कर दिया जाता है। यदि बच्चा अपने हाथों को बहाल करके अपने जड़त्व आघूर्ण को प्रारंभिक मूल्य के 2/5 गुना कर देता है, तो बच्चे का कोणीय वेग कितना होगा? मान लीजिए कि घूर्णन चक्र घर्षण बिना घूमता है।

(b) दिखाइए कि बच्चे के घूर्णन के नए गतिज ऊर्जा अधिक है जो प्रारंभिक घूर्णन गतिज ऊर्जा से है। आप इस गतिज ऊर्जा में वृद्धि को कैसे समझ सकते हैं?

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उत्तर

$100 \text{ rev/min }$

प्रारंभिक कोणीय वेग, $\omega_1=40 \text{ rev/min }$

अंतिम कोणीय वेग $=\omega_2$

बच्चे के फैले हाथों के जड़त्व आघूर्ण $=I_1$

बच्चे के मुक्त हाथों के जड़त्व आघूर्ण $=I_2$

दो जड़त्व आघूर्णों के बीच संबंध है:

$I_2=\dfrac{2}{5} I_1$

क्योंकि कोई बाह्य बल बच्चे पर कार्य नहीं करता है, अतः कोणीय संवेग $L$ एक नियतांक है।

इसलिए, दोनों स्थितियों के लिए हम लिख सकते हैं:

$ \begin{aligned} & I_2 \omega_2=I_1 \omega_1 \\ & \omega_2=\dfrac{I_1}{I_2} \omega_1 \\ & =\dfrac{I_1}{\dfrac{2}{5} I_1} \times 40=\dfrac{5}{2} \times 40 \\ & =100 \text{ rev/min } \end{aligned} $

(b) अंतिम K.E. = 2.5 प्रारंभिक K.E.

अंतिम घूर्णन ऊर्जा, $E_F=\dfrac{1}{2} I_2 \omega_2^{2}$

प्रारंभिक घूर्णन ऊर्जा, $E_I=\dfrac{1}{2} I_1 \omega_1^{2}$

$ \begin{aligned} \dfrac{E_F}{E_1} & =\dfrac{\dfrac{1}{2} I_2 \omega_2^{2}}{\dfrac{1}{2} I_1 \omega_1^{2}} \\ \\ & =\dfrac{2}{5} \dfrac{I_1}{I_1} \dfrac{(100)^{2}}{(40)^{2}} \\ \\ & =\dfrac{2}{5} \times \dfrac{100 \times 100}{40 \times 40} \\ \\ & =\dfrac{5}{2}=2.5 \\ \\ \therefore E_F & =2.5 E_1 \end{aligned} $

घूर्णन गतिज ऊर्जा में वृद्धि बच्चे के आंतरिक ऊर्जा के कारण होती है।

6.13 एक नगण्य द्रव्यमान की रस्सी एक खोखले बेलन के चारों ओर लपेटी गई है, जिसका द्रव्यमान $3 \mathrm{~kg}$ और त्रिज्या $40 \mathrm{~cm}$ है। यदि रस्सी को $30 \mathrm{~N}$ के बल से खींचा जाता है, तो बेलन का कोणीय त्वरण क्या होगा? रस्सी के रैखिक त्वरण क्या होगा? मान लीजिए कि घर्षण के बिना फिसलन नहीं होती है।

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उत्तर

खोखले बेलन का द्रव्यमान, $m=3 kg$

खोखले बेलन की त्रिज्या, $r=40 cm=0.4 m$

आवेग बल, $F=30 N$

खोखले बेलन के ज्यामितीय अक्ष के संबंध में जड़त्व आघूर्ण:

$I=m r^{2}$

$=3 \times(0.4)^{2}=0.48 kg m^{2}$

टॉर्क, ${\tau}=F \times r$

$=30 \times 0.4=12 Nm$

कोणीय त्वरण $\alpha$ के लिए, टॉर्क के लिए निम्नलिखित संबंध भी दिया गया है:

$\tau=I \alpha$

$\alpha=\dfrac{\tau}{I}=\dfrac{13}{0.48}$

$=25 rad s^{-2}$

रैखिक त्वरण $=r \alpha=0.4 \times 25=10 m s^{-2}$

6.14 एक रोटर को एकसमान कोणीय वेग $200 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$ के साथ बनाए रखने के लिए, एक इंजन को $180 \mathrm{~N} \mathrm{~m}$ के टॉर्क को संचालित करना पड़ता है। इंजन द्वारा आवश्यक शक्ति क्या है? (नोट: घर्षण के अभाव में एकसमान कोणीय वेग का अर्थ शून्य टॉर्क होता है। व्यावहारिक रूप से, घर्षण टॉर्क के विरुद्ध आवश्यक आवेश टॉर्क की आवश्यकता होती है।) मान लीजिए कि इंजन $100 \%$ कार्यक्षमता वाला है।

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Answer

रोटर का कोणीय वेग, $\omega=200 \text{ rad / s}$

आवश्यक टॉर्क, $\tau=180 Nm$

रोटर की शक्ति $(P)$ टॉर्क और कोणीय वेग के बीच संबंध द्वारा संबंधित है:

$P=\tau \omega$

$=180 \times 200=36 \times 10^{3}$

$=36 kW$

अतः, इंजन द्वारा आवश्यक शक्ति $36 kW$ है।

6.15 एक समान डिस्क के व्यास $R$ के एक वृत्ताकार छेद $R / 2$ के आकार के बराबर काट लिया गया है। छेद केंद्र वाले बिंदु के आकार के बराबर वाले डिस्क के केंद्र से $R / 2$ की दूरी पर है। इस तरह बने फ्लैट शरीर के गुरुत्व केंद्र की स्थिति ज्ञात कीजिए।

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Answer

$R / 6$; वास्तविक शरीर के केंद्र से और काटे गए हिस्से के केंद्र के विपरीत।

मूल डिस्क के इकाई क्षेत्र के द्रव्यमान $=\sigma$

मूल डिस्क की त्रिज्या $=R$

मूल डिस्क का द्रव्यमान, $M=\pi R^{2} \sigma$

काटे गए हिस्से के साथ डिस्क को निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:

छोटे डिस्क की त्रिज्या $=\dfrac{R}{2}$

छोटे डिस्क का द्रव्यमान, $M^{\prime}=\pi(\dfrac{R}{2})^{2} \sigma=\dfrac{1}{4} \pi R^{2} \sigma=\dfrac{M}{4}$

मान लीजिए $O$ और $O^{\prime}$ क्रमशः मूल डिस्क और मूल डिस्क से काटे गए डिस्क के केंद्र हैं। केंद्र द्रव्यमान की परिभाषा के अनुसार, मूल डिस्क के केंद्र द्रव्यमान को $O$ में संकेंद्रित माना जाता है, जबकि छोटे डिस्क के केंद्र द्रव्यमान को $O^{\prime}$ में संकेंद्रित माना जाता है।

दिया गया है: $OO^{\prime}=\dfrac{R}{2}$

छोटे चक्र को मूल चक्र से काट देने के बाद, बचे हुए हिस्से को दो द्रव्यमानों के एक तंत्र के रूप में लिया जाता है। दो द्रव्यमान हैं:

$M$ (जो $O$ पर केंद्रित है), और

$-M^{\prime}(=\dfrac{M}{4}) _{\text{जो } O^{\prime} पर केंद्रित है}$

(ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि यह हिस्सा मूल चक्र से हटा दिया गया है।)

मान लीजिए $x$ वह दूरी है जिसके द्वारा बचे हुए हिस्से के द्रव्यमान केंद्र केंद्र $O$ से बदल जाता है।

दो द्रव्यमानों के केंद्रों के बीच संबंध निम्नलिखित है:

$ x=\dfrac{m_1 r_1+m_2 r_2}{m_1+m_2} $

दिए गए तंत्र के लिए हम लिख सकते हैं:

$ \begin{aligned} x & =\dfrac{M \times 0-M^{\prime} \times(\dfrac{R}{2})}{M+(-M^ {\prime})} \\ \\ & =\dfrac{\dfrac{-M}{4} \times \dfrac{R}{2}}{M-\dfrac{M}{4}}=\dfrac{-M R}{8} \times \dfrac{4}{3 M}=\dfrac{-R}{6} \end{aligned} $

(ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि द्रव्यमान केंद्र बिंदु $O$ के बाईं ओर विस्थापित हो जाता है।)

6.16 एक मीटर छड़ को इसके केंद्र पर एक कटोरी के ऊपर रखकर संतुलन में रखा जाता है। जब दो सिक्के, प्रत्येक के द्रव्यमान $5 \mathrm{~g}$ है, एक दूसरे के ऊपर $12.0 \mathrm{~cm}$ चिह्न पर रखे जाते हैं, तो छड़ को $45.0 \mathrm{~cm}$ चिह्न पर संतुलन में रखा जाता है। मीटर छड़ का द्रव्यमान कितना है?

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उत्तर

मान लीजिए $W$ और $W^{\prime}$ क्रमशः मीटर छड़ और सिक्के के भार हैं।

मीटर छड़ का द्रव्यमान इसके मध्य बिंदु पर केंद्रित होता है, अर्थात $50 ~cm$ चिह्न पर।

मीटर छड़ का द्रव्यमान $=m$

प्रत्येक सिक्के का द्रव्यमान, $m=5 ~g$

जब सिक्के $12 ~cm$ दूरी पर बिंदु $P$ से रखे जाते हैं, तो केंद्र द्रव्यमान बिंदु $R$ से $5 ~cm$ दूर बिंदु $P$ की ओर विस्थापित हो जाता है। केंद्र द्रव्यमान $45 ~cm$ दूरी पर बिंदु $P$ से स्थित होता है।

बिंदु $R$ के संबंध में घूर्णन संतुलन के लिए शुद्ध बलआघूर्ण संरक्षित रहता है।

$ \begin{aligned} & 10 \times g(45-12)-m^{\prime} g(50-45)=0 \\ & \therefore m^{\prime}=\dfrac{10 \times 33}{5}=66 ~g \end{aligned} $

इसलिए, मीटर छड़ का द्रव्यमान $66 g$ है।

6.17 ऑक्सीजन अणु का द्रव्यमान $5.30 \times 10^{-26} \mathrm{~kg}$ है और इसके केंद्र से गुजरती हुई एक अक्ष के संदर्भ में दो परमाणुओं को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत अक्ष के संदर्भ में जड़त्व आघूर्ण $1.94 \times 10^{-46} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2}$ है। मान लीजिए ऐसे अणु की गैस में औसत गति $500 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ है और इसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा इसकी चलन गतिज ऊर्जा के दो तिहाई है। अणु की औसत कोणीय चाल ज्ञात कीजिए।

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उत्तर

ऑक्सीजन अणु का द्रव्यमान, $m=5.30 \times 10^{-26} kg$

जड़त्व आघूर्ण, $I=1.94 \times 10^{-46} kg m^{2}$

ऑक्सीजन अणु की चाल, $v=500 m / s$

ऑक्सीजन अणु के दो परमाणुओं के बीच अंतर $=2 r$

प्रत्येक ऑक्सीजन परमाणु का द्रव्यमान $=\dfrac{m}{2}$

इसलिए, जड़त्व आघूर्ण $I$, इस प्रकार गणना किया जाता है:

$ \begin{aligned} & (\dfrac{m}{2}) r^{2}+(\dfrac{m}{2}) r^{2}=m r^{2} \\ \\ & r=\sqrt{\dfrac{I}{m}} \\ \\ & \sqrt{\dfrac{1.94 \times 10^{-46}}{5.36 \times 10^{-26}}}=0.60 \times 10^{-10} m \end{aligned} $

दिया गया है कि:

$ \begin{aligned} & KE _{\text{rot }}=\dfrac{2}{3} KE _{\text{trans }} \\ \\ & \dfrac{1}{2} I \omega^{2}=\dfrac{2}{3} \times \dfrac{1}{2} \times m v^{2} \\ \\ & m r^{2} \omega^{2}=\dfrac{2}{3} m v^{2} \\ \\ & \omega=\sqrt{\dfrac{2}{3}} \dfrac{v}{r} \\ \\ & =\sqrt{\dfrac{2}{3}} \times \dfrac{500}{0.6 \times 10^{-10}} \\ \\ & =6.80 \times 10^{12} \text{ rad / s} \end{aligned} $