5.1 परिचय

‘कार्य’, ‘ऊर्जा’ और ‘शक्ति’ शब्द दैनिक भाषा में अक्सर प्रयोग किए जाते हैं। एक किसान खेत जोत रहा है, एक निर्माण श्रमिक ईंट ले जा रहा है, एक छात्र प्रतियोगिता परीक्षा की तैयारी कर रहा है, एक कलाकार एक सुंदर प्राकृतिक दृश्य चित्रित कर रहा है, सभी कहे जाते हैं कि वे कार्य कर रहे हैं। भौतिकी में हालांकि, ‘कार्य’ शब्द का एक निश्चित और सटीक अर्थ होता है। वह जो 14-16 घंटे प्रतिदिन कार्य कर सकता है, उसे बड़ी शक्ति या ऊर्जा कहा जाता है। हम एक लंबी दूरी तक दौड़ने वाली एथलीट की शक्ति या ऊरजा की तारीफ करते हैं। ऊर्जा इस प्रकार हमारी कार्य करने की क्षमता होती है। भौतिकी में भी, ‘ऊर्जा’ शब्द का अर्थ इस अर्थ में कार्य से संबंधित होता है, लेकिन ऊपर बताया गया है कि ‘कार्य’ शब्द का अर्थ बहुत अधिक सटीक रूप से परिभाषित किया गया है। ‘शक्ति’ शब्द को दैनिक जीवन में विभिन्न अर्थों में प्रयोग किया जाता है। कराटे या बॉक्सिंग में हम ‘शक्तिशाली’ प्रहारों के बारे में बात करते हैं। ये बहुत तेज गति से दिए जाते हैं। इस अर्थ के समान भौतिकी में ‘शक्ति’ शब्द के अर्थ के समीप है। हम देखेंगे कि भौतिक परिभाषा और इन शब्दों द्वारा हमारे मन में उत्पन्न शारीरिक चित्र के बीच अधिकतम एक बेहद धुंधला संबंध हो सकता है। इस अध्याय का उद्देश्य इन तीन भौतिक राशियों के बारे में एक समझ के विकास का है। इस कार्य के लिए हमें पहले एक गणितीय आवश्यकता के विकास करना होगा, अर्थात दो सदिशों के अदिश गुणन।

5.1.1 सदिश गुणन

हमने सदिशों और उनके उपयोग के बारे में अध्याय 3 में सीखा है। विस्थापन, वेग, त्वरण, बल आदि ऐसी भौतिक राशियाँ हैं जो सदिश होती हैं। हमने भी सदिशों के जोड़ और घटाव के बारे में सीखा है। अब हमें ज्ञात करना होगा कि सदिश कैसे गुणा किए जाते हैं। सदिशों के गुणा के दो तरीके होते हैं जिन्हें हम आगे देखेंगे : एक तरीका जिसे सदिश गुणन कहा जाता है, दो सदिशों से एक सदिश प्राप्त करता है और दूसरा तरीका जिसे अदिश गुणन कहा जाता है, दो सदिशों से एक अदिश प्राप्त करता है। हम अगले अध्याय 6 में सदिश गुणन के बारे में बात करेंगे। यहाँ हम दो सदिशों के अदिश गुणन के बारे में चर्चा करेंगे। किसी भी दो सदिशों A और B के अदिश गुणन, जिसे A•B (पढ़ें $\mathbf{A} \operatorname{dot} \mathbf{B}$) से नोट किया जाता है, को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता है :

$$ \begin{equation*} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta \tag{5.1a} \end{equation*} $$

जहाँ $\theta$ दो सदिशों के बीच का कोण है जैसा कि चित्र 5.1(a) में दिखाया गया है। क्योंकि $A, B$ और $\cos \theta$ अदिश हैं, तो $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के अदिश गुणन एक अदिश राशि होती है। प्रत्येक सदिश, $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$, एक दिशा रखती है लेकिन उनके अदिश गुणन के लिए दिशा नहीं होती।

समीकरण (5.1a) से, हम लिख सकते हैं

$$ \begin{aligned} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} & =A(B \cos \theta) \ & =B(A \cos \theta) \end{aligned} $$

ज्यामितीय रूप से, $B \cos \theta$ चित्र 5.1 (b) में $\mathbf{B}$ के $\mathbf{A}$ पर प्रक्षेपण है और $A \cos \theta$ चित्र 5.1 (c) में $\mathbf{A}$ के $\mathbf{B}$ पर प्रक्षेपण है। अतः, $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}$ वह गुणनफल है जो $\mathbf{A}$ के परिमाण और $\mathbf{B}$ के A के अनुदिश घटक के बीच होता है। वैकल्पिक रूप से, यह $\mathbf{B}$ के परिमाण और $\mathbf{A}$ के $\mathbf{B}$ के अनुदिश घटक के गुणनफल है।

समीकरण (5.1a) दर्शाता है कि अदिश गुणन के लिए संवृत्तीय नियम लागू होता है:

$$ \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\mathbf{B} \cdot \mathbf{A} $$

अदिश गुणन वितरण नियम का पालन करता है:

$$ \mathbf{A} \cdot(\mathbf{B}+\mathbf{C})=\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}+\mathbf{A} \cdot \mathbf{C} $$

इसके अतिरिक्त, $\quad \mathbf{A} \cdot(\lambda \mathbf{B})=\lambda(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B})$

जहाँ $\lambda$ एक वास्तविक संख्या है।

उपरोक्त समीकरणों के साबित करने के लिए आपको अभ्यास के रूप में छोड़ दिया गया है।

यूनिट वेक्टर $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ के लिए हम निम्नलिखित रखते हैं

$$ \begin{aligned} & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \ & \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 \end{aligned} $$

दो वेक्टरों के लिए

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A}=A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}+A_z \hat{\mathbf{k}} \ & \mathbf{B}=B_x \hat{\mathbf{i}}+B_y \hat{\mathbf{j}}+B_z \hat{\mathbf{k}} \end{aligned} $$

उनका सदिश गुणनफल है

$$ \begin{aligned} & \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=\left(A_x \hat{\mathbf{i}}+A_y \hat{\mathbf{j}}+A_z \hat{\mathbf{k}}\right) \cdot\left(B_x \hat{\mathbf{i}}+B_y \hat{\mathbf{j}}+B_z \hat{\mathbf{k}}\right) \ & =A_x B_x+A_y B_y+A_z B_z \tag{5.1b} \end{aligned} $$

सदिश गुणनफल के परिभाषा और (समीकरण 5.1b) से हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं :

(i) A. $\mathbf{A}=A_x A_x+A_y A_y+A_z A_z$

या, $\quad A^2=A_x^2+A_y^2+A_z^2$

से $\mathbf{A} \cdot \mathbf{A}=|\mathbf{A}||\mathbf{A}| \cos 0=A^2$. (ii) $\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=0$, यदि $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ लम्बवत हों।

उदाहरण 5. बल $\mathbf{F}=(3 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}-5 \hat{\mathbf{k}})$ इकाई और विस्थापन $\mathbf{d}=(5 \hat{\mathbf{i}}+4 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}})$ इकाई के बीच कोण ज्ञात कीजिए। इसके अलावा $\mathbf{F}$ के $\mathbf{d}$ पर प्रक्षेप भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर $$ \begin{aligned}

\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} & =F_x d_x+F_y d_y+F_z d_z \ & =3(5)+4(4)+(-5)(3) \ & =16 \text { इकाई } \ \text { अतः } \mathbf{F} \cdot \mathbf{d} & =F d \cos \theta=16 \text { इकाई } \ \text { अब } \mathbf{F} \cdot \mathbf{F} & =F^2=F_x^2+F_y^2+F_z^2 \ & =9+16+25 \ & =50 \text { इकाई } \ \text { और } \mathbf{d} \cdot \mathbf{d} \quad & =d^2=d_x^2+d_y^2+d_z^2 \ & =25+16+9 \ & =50 \text { इकाई } \ \therefore \cos \theta & =\frac{16}{\sqrt{50} \sqrt{50}}=\frac{16}{50}=0.32 \ & \theta=\cos ^{-1} 0.32 \end{aligned}

$$

चित्र 5.1 (a) दो सदिश A और B के सदिश गुणनफल एक सदिश होता है : A.B = A B cos θ। (b) B cos θ, B के A पर प्रक्षेपण होता है। (c) A cos θ, A के B पर प्रक्षेपण होता है।

5.2 कार्य और गतिज ऊर्जा के अवधारणा: कार्य-ऊर्जा प्रमेय

स्थिर त्वरण $a$ के अधीन सीधी रेखा में गति के लिए निम्नलिखित संबंध के अध्ययन के दौरान अध्याय 3 में आए थे,

$$ \begin{equation*} v^{2}-u^{2}=2 a s \tag{5.2} \end{equation*} $$

जहाँ $u$ और $v$ आरंभिक और अंतिम चाल हैं और $s$ तय की गई दूरी है। दोनों ओर $m / 2$ से गुणा करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m a s=F s \tag{5.2a} \end{equation*} $$

जहाँ अंतिम चरण न्यूटन के द्वितीय नियम से आता है। हम निम्नलिखित समीकरण (5.2) को तीन आयामों में सदिशों के प्रयोग द्वारा सामान्यीकृत कर सकते हैं

$$ v^{2}-u^{2}=2 \text { a.d } $$

यहाँ $\mathbf{a}$ और $\mathbf{d}$ क्रमशः वस्तु के त्वरण और विस्थापन सदिश हैं। फिर से दोनों ओर $\mathrm{m} / 2$ से गुणा करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} \frac{1}{2} m v^{2}-\frac{1}{2} m u^{2}=m \mathbf{a} \cdot \mathbf{d}=\mathbf{F} . \mathbf{d} \tag{5.2b} \end{equation*} $$

उपरोक्त समीकरण कार्य और गतिज ऊर्जा के परिभाषाओं के लिए प्रेरणा प्रदान करता है। समीकरण के बायीं ओर ‘द्रव्यमान के आधा गुना गति के वर्ग’ की मात्रा के आरंभिक मान से अंतिम मान तक के अंतर है। हम इन मात्राओं को ‘गतिज ऊर्जा’ कहते हैं, जिसे $K$ से नोट करते हैं। समीकरण के दायीं ओर विस्थापन और विस्थापन के अनुदिश बल के घटक के गुणनफल है। इस मात्रा को ‘कार्य’ कहते हैं और इसे $W$ से नोट करते हैं। तब समीकरण (5.2b) होता है

$$ \begin{equation*} K_{f}-K_{i}=W \tag{5.3} \end{equation*} $$

जहाँ $K_{i}$ और $K_{f}$ क्रमशः वस्तु की आरंभिक और अंतिम गतिज ऊर्जा है। कार्य बल और उसके कार्य करने वाले विस्थापन पर संदर्भित होता है। कार्य एक बल द्वारा एक वस्तु पर एक निश्चित विस्थापन पर किया जाता है।

समीकरण (5.2) भी कार्य-ऊर्जा (WE) प्रमेय का एक विशिष्ट मामला है : कण की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन उस पर लगने वाले शुद्ध बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है। हम बाद में एक बदलते बल के लिए उपरोक्त व्युत्पन्न को सामान्यीकृत करेंगे।

उदाहरण 5.2 यह बहुत जाना जाता है कि बरसात के एक बूंद गुरुत्वाकर्षण बल और विपरीत प्रतिरोधक बल के प्रभाव से गिरती है। दूसरा बल बूंद के वेग के समानुपाती होता है लेकिन अन्यथा अज्ञात होता है। मान लीजिए एक बूंद जिसका द्रव्यमान $1.00 \mathrm{~g}$ है, एक ऊँचाई $1.00 \mathrm{~km}$ से गिरती है। यह जमीन पर $50.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के वेग से टकराती है। (a) गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य क्या है? अज्ञात प्रतिरोधक बल द्वारा किया गया कार्य क्या है?

उत्तर (a) बूंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन है

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m v^{2}-0 \\ & =\frac{1}{2} \times 10^{-3} \times 50 \times 50 \\ & =1.25 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

जहाँ हम मान लेते हैं कि बूंद आरंभ में विराम में है।

मान लीजिए कि $g$ एक नियतांक है जिसका मान $10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}$ है, तो गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य है,

$$ \begin{aligned} W_{g} & =m g h \\ & =10^{-3} \times 10 \times 10^{3} \\ & =10.0 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

(b) कार्य-ऊर्जा प्रमेय से

$$ \Delta K=W_{g}+W_{r} $$

जहाँ $W_{r}$ वर्षा के बूंद पर घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य है। इसलिए

$$ \begin{aligned} W_{r} & =\Delta K-W_{g} \\ & =1.25-10 \\ & =-8.75 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

ऋणात्मक है।

5.3 कार्य

जैसा कि पहले देखा गया है, कार्य बल और उस विस्थापन के साथ संबंधित होता है जिस पर यह बल कार्य करता है। एक नियत बल $\mathbf{F}$ एक द्रव्यमान $m$ के वस्तु पर कार्य करता है। वस्तु चित्र 5.2 में दिखाए गए धनात्मक $x$-दिशा में विस्थापन $\mathbf{d}$ अनुभव करती है।

चित्र 5.2 एक वस्तु बल F के प्रभाव में विस्थापन d अधिकार करती है।

बल द्वारा किया गया कार्य विस्थापन की दिशा में बल के घटक और इस विस्थापन के परिमाण के गुणनफल के बराबर होता है। इसलिए

$$ W=(F \cos \theta) d=\mathbf{F} \cdot \mathbf{d} $$

हम देखते हैं कि यदि कोई विस्थापन नहीं होता है, तो बल भले ही बहुत बड़ा हो, कार्य नहीं होता। इसलिए, जब आप एक कठिन ईंट के दीवार के खिलाफ तेजी से दबाव डालते हैं, तो आप दीवार पर लगाए गए बल द्वारा कोई कार्य नहीं होता। हालांकि, आपके मांसपेशियाँ एक बार फैलती हैं और दूसरे बार संकुचित होती हैं और आंतरिक ऊर्जा का उपयोग होता है और आप थक जाते हैं। इसलिए, भौतिकी में कार्य के अर्थ दैनिक भाषा में उपयोग के अर्थ से अलग होता है।

कोई कार्य नहीं होता यदि :

(i) विस्थापन शून्य हो जैसा कि ऊपर के उदाहरण में देखा जा सकता है। एक वजन बर्तनवाला अपने खंड में 150 किग्रा के भार को 30 सेकंड तक स्थिर रखता है, तो इस अवधि के दौरान भार पर कोई कार्य नहीं करता।

(ii) बल शून्य हो। एक ब्लॉक चिंगारी रहित क्षैतिज मेज पर गति कर रहा है, इस पर कोई क्षैतिज बल लगाया जाता है (क्योंकि घर्षण नहीं होता), लेकिन इसका एक बड़ा विस्थापन हो सकता है।

(iii) बल और विस्थापन एक दूसरे के लंबवत होते हैं। इसका कारण यह है कि, $\theta=\pi / 2 \mathrm{rad}$ $\left(=90^{\circ}\right)$ के लिए, $\cos (\pi / 2)=0$ होता है। एक चिकने क्षैतिज मेज पर गतिशील ब्लॉक के लिए, गुरुत्वाकर्षण बल $m g$ कार्य नहीं करता क्योंकि यह विस्थापन के लंबवत कार्य करता है। यदि हम मान लें कि चंद्रमा पृथ्वी के चारों ओर पूर्णतः वृत्ताकार कक्षा में घूमता है, तो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा कोई कार्य नहीं किया जाता। चंद्रमा के तात्कालिक विस्थापन स्पर्शरेखीय होता है जबकि पृथ्वी का बल अक्षीय आंतरिक दिशा में होता है और $\theta=\pi / 2$ होता है।

कार्य धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है। यदि $\theta$ $0^{\circ}$ और $90^{\circ}$ के बीच हो, तो समीकरण (5.4) में $\cos \theta$ धनात्मक होता है। यदि $\theta$ $90^{\circ}$ और $180^{\circ}$ के बीच हो, तो $\cos \theta$ ऋणात्मक होता है। कई उदाहरणों में घर्षण बल विस्थापन के विरुद्ध होता है और $\theta=180^{\circ}$ होता है। तब घर्षण द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है $\left(\cos 180^{\circ}=-1\right)$।

समीकरण (5.4) से स्पष्ट है कि कार्य और ऊर्जा के आयाम समान होते हैं, $\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}\right]$। इनका SI इकाई जूल $(J)$ होती है, जिसे प्रसिद्ध ब्रिटिश भौतिकी वैज्ञानिक जेम्स प्रेस्कॉट जूल (1811-1869) के नाम पर रखा गया है। कार्य और ऊर्जा ऐसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले भौतिक संस्करण हैं कि विकल्प इकाइयाँ भी अधिक हैं और इनमें से कुछ तालिका 5.1 में सूचीबद्ध हैं।

तालिका 5.1 $\mathrm{J}$ में कार्य/ऊर्जा के अन्य इकाइयाँ

उदाहरण 5.3 एक साइकिल चालक 10 मीटर की दूरी तक ब्रेक लगाकर रुक जाता है। इस प्रक्रिया के दौरान, सड़क द्वारा साइकिल पर बल 200 न्यूटन है और गति के विपरीत दिशा में है। (a) सड़क द्वारा साइकिल पर कितना कार्य किया जाता है? (b) साइकिल द्वारा सड़क पर कितना कार्य किया जाता है?

उत्तर सड़क द्वारा साइकिल पर किया गया कार्य ब्रेकिंग (अपसारी) बल द्वारा साइकिल पर किया गया कार्य है।

(a) ब्रेकिंग बल और विस्थापन एक दूसरे से $180^{\circ}$ ( $\pi \mathrm{rad}$ ) का कोण बनाते हैं। इसलिए, सड़क द्वारा किया गया कार्य,

$$ \begin{aligned} W_r & =F d \cos \theta \ & =200 \times 10 \times \cos \pi \ & =-2000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

इस नकारात्मक कार्य के कारण साइकिल ब्रेक के अनुसार रुक जाती है।

(b) न्यूटन के तीसरे नियम से चक्का के कारण रास्ता पर बराबर और विपरीत बल कार्य करता है। इसका परिमाण 200 एन है। हालांकि, रास्ता कोई विस्थापन नहीं होता। इसलिए, चक्का द्वारा रास्ता पर किया गया कार्य शून्य होता है।

उदाहरण 5.3 के शिक्षा यह है कि यद्यपि वस्तु B द्वारा वस्तु A पर लगाए गए बल वस्तु A द्वारा वस्तु B पर लगाए गए बल के बराबर और विपरीत होता है (न्यूटन के तीसरे नियम); वस्तु B द्वारा वस्तु A पर किया गया कार्य आवश्यक रूप से वस्तु A द्वारा वस्तु B पर किए गए कार्य के बराबर और विपरीत नहीं होता।

5.4 गतिज ऊर्जा

जैसा कि पहले बताया गया है, एक वस्तु जिसका द्रव्यमान m है और वेग $v$ है, तो इसकी गतिज ऊर्जा K होती है:

$$ K=\frac{1}{2} m v \cdot v=\frac{1}{2} m v^2 $$

सारणी 5.2 सामान्य गतिज ऊर्जा (K)

| हवा के अणु | $\simeq 10^{-26}$ | 500 | $\simeq 10^{-21}$ |

काइनेटिक ऊर्जा एक अदिश राशि है। किसी वस्तु की काइनेटिक ऊर्जा उसके गति के कारण अन्य वस्तुओं पर किए गए कार्य की माप होती है। इस धारणा को लंबे समय से अंतर्ज्ञान रूप से जाना जाता रहा है। एक तेज बहते धारा की काइनेटिक ऊर्जा का उपयोग गेहूँ के रूई करने में किया गया है। बंदरगाह जहाज बात ऊर्जा के उपयोग पर निर्भर करते हैं। तालिका 5.2 विभिन्न वस्तुओं की काइनेटिक ऊरजा को सूचित करती है।

उदाहरण 5.4 बैलिस्टिक दर्शन में एक पुलिस अधिकारी 2.00 सेमी मोटाई के मृदु पॉलीवीन के ऊपर एक 50.0 ग्राम भार की गोली को $200 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ की गति से चलाता है (तालिका 5.2 देखें)। गोली केवल अपनी प्रारंभिक काइनेटिक ऊर्जा के 10% के साथ बाहर निकलती है। गोली की बाहर निकलने वाली गति क्या है?

उत्तर गोली की प्रारंभिक काइनेटिक ऊर्जा $m v^2 / 2=1000 \mathrm{~J}$ है। इसकी अंतिम काइनेटिक ऊर्जा $0.1 \times 1000=100 \mathrm{~J}$ है। यदि $v_f$ गोली की बाहर निकलने वाली गति है,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v_f^2=100 \mathrm{~J} \

$$ \begin{aligned} v_f & =\sqrt{\frac{2 \times 100 \mathrm{~J}}{0.05 \mathrm{~kg}}} \ & =63.2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \end{aligned} $$ $$

गति लगभग $68 %$ कम हो जाती है (नहीं 90%)।

5.5 चर बल द्वारा किया गया कार्य

स्थिर बल बहुत दुर्लभ होता है। यह चर बल ही अधिक आम होता है। चित्र 5.3 एक आयाम में बदलते बल का आरेख है।

यदि विस्थापन $\Delta x$ छोटा हो, तो हम बल $F(x)$ को लगभग स्थिर मान सकते हैं और किया गया कार्य तब होगा

$$ \Delta W=F(x) \Delta x $$

इसका चित्र 5.3(a) में दर्शाया गया है। चित्र 5.3(a) में क्रमागत आयताकार क्षेत्रों को जोड़ने पर कुल कार्य निम्नलिखित होगा

$$ W \equiv \sum_{x_i}^{x_f} F(x) \Delta x \tag{5.6} $$

जहाँ योग करना आरंभिक स्थिति $x_i$ से अंतिम स्थिति $x_f$ तक होता है

यदि विस्थापन शून्य के निकट आ जाए, तो योग में पदों की संख्या असीमित तक बढ़ जाती है, लेकिन योग चित्र 5.3(b) में वक्र के तल के नीचे क्षेत्रफल के बराबर एक निश्चित मान के रूप में एक निश्चित मान के रूप में पहुंच जाता है। तब किया गया कार्य होगा

$$ \begin{aligned} W & =\lim {\Delta x \rightarrow 0} \sum{x_i}^{x_f} F(x) \Delta x \ & =\int_{x_i}^{x_y} F(x) \mathrm{d} x \tag{5.7}\end{aligned} $$

जहाँ ’lim’ उस योग की सीमा को दर्शाता है जब $\Delta x$ शून्य की ओर बढ़ता है। इस प्रकार, एक बदलते बल के लिए किया गया कार्य विस्थापन पर बल के निश्चित समाकल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (देखें अनुबंध 3.1 भी)।

$\hspace{34mm}$चित्र 5.3(a)

चित्र 5.3 (a) छायांकित आयत बदलते बल F(x) द्वारा छोटे विस्थापन ∆x पर किए गए कार्य को दर्शाती है, ∆W = F(x) ∆x। (b) सभी आयतों के क्षेत्रफल को जोड़ने पर हम देखते हैं कि जब ∆x → 0, वक्र के तल के नीचे क्षेत्रफल बल F(x) द्वारा किए गए कार्य के ठीक बराबर होता है।

उदाहरण 5.5 एक महिला रेलवे प्लेटफॉर्म पर एक बॉक्स को धकेलती है जिसकी सतह खराब है। वह 10 मीटर की दूरी तक 100 न्यूटन के बल का उपयोग करती है। उसके बाद, उसकी थकान होती जाती है और उसका बल दूरी के साथ रेखीय रूप से 50 न्यूटन तक घटता जाता है। बॉक्स को गति के लिए कुल दूरी 20 मीटर है। बल के आरेख को दूरी के साथ आरेखित करें जो महिला द्वारा लगाया गया है और घर्षण बल जो 50 न्यूटन है। 20 मीटर के लिए दोनों बलों द्वारा किया गया कार्य गणना करें।

उत्तर

चित्र 5.4 महिला द्वारा लगाए गए बल F और विरोधी घर्षण बल f के आरेख।

आरेखित बल के आरेख को चित्र 5.4 में दिखाया गया है। $x=20 \mathrm{~m}$ पर, $F=50 \mathrm{~N}(\neq 0)$। हमें दिया गया है कि घर्षण बल $f$ का मान $|\mathbf{f}|=5 न्यूटन है। यह गति के विरुद्ध होता है और $\mathbf{F}$ के विपरीत दिशा में कार्य करता है। इसलिए, बल अक्ष के नकारात्मक तरफ दिखाया गया है।

कार्य द्वारा महिला द्वारा किया गया कार्य है

$W_{F} \rightarrow$ आयत $\mathrm{ABCD}$ का क्षेत्रफल + चतुर्भुज CEID का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} & W_{F}=100 \times 10+\frac{1}{2}(100+50) \times 10 \\ & =1000+750 \\ & \quad=1750 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

अपसारी बल द्वारा किया गया कार्य है

$W_{f} \rightarrow$ आयत AGHI का क्षेत्रफल

$$ \begin{aligned} W_{f} & =(-50) \times 20 \\ & =-1000 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

बल अक्ष के नकारात्मक ओर के क्षेत्रफल के लिए नकारात्मक चिह्न होता है।

5.6 चर बल के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय

अब हम कार्य और गतिज ऊर्जा के अवधारणा से परिचित हैं ताकि चर बल के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय की साबित कर सकें। हम एक विमान में सीमित हैं। गतिज ऊर्जा के समय दर परिवर्तन है

$$ \begin{aligned} \frac{\mathrm{d} K}{\mathrm{~d} t} & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t}\left(\frac{1}{2} m v^2\right) \ & =m \frac{\mathrm{~d} v}{\mathrm{~d} t} v \ & =F v \text { (न्यूटन के द्वितीय नियम से) } \ & =F \frac{\mathrm{~d} x}{\mathrm{~d} t}

\end{aligned} $$

इसलिए

$$ \mathrm{d} K=F \mathrm{~d} x $$

प्रारंभिक स्थिति $\left(x_i\right)$ से अंतिम स्थिति ( $x_f$ ) तक समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है

$$ \int_{K_i}^{K_f} \mathrm{~d} K=\int_{x_i}^{x_C} F \mathrm{~d} x $$

जहाँ, $K_i$ और $K_f$ क्रमशः $x_i$ और $x_{\mathrm{f}}$ के संगत प्रारंभिक और अंतिम गतिज ऊर्जा हैं। या

$$ K_f-K_i=\int_{x_i}^{x_f} F \mathrm{~d} x \tag{5.8a } $$

समीकरण (5.7) से यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ K_f-K_i=W \tag{5.8b } $$

इस प्रकार, वर्चुअल ऊर्जा प्रमेय एक चर बल के लिए सिद्ध हो गई है।

हालांकि वर्चुअल ऊर्जा प्रमेय विभिन्न समस्याओं में उपयोगी है, लेकिन आमतौर पर इसमें न्यूटन के द्वितीय नियम की पूर्ण गतिशील जानकारी शामिल नहीं होती। यह न्यूटन के द्वितीय नियम का एक समाकल रूप है। न्यूट नियम एक आवेग और बल के बीच संबंध होता है जो किसी भी क्षण पर लागू होता है। कार्य-ऊर्जा प्रमेय में एक समय अंतराल पर समाकलन शामिल होता है। इस अर्थ में, न्यूटन के द्वितीय नियम के कथन में समय (तारीख) की जानकारी “समाकलन के तहत” ले ली जाती है और यह

निर्माण नहीं किया जा सकता। एक अन्य अवलोकन यह है कि न्यूटन के दूसरे नियम दो या तीन आयामों में सदिश रूप में होता है जबकि कार्य-ऊर्जा प्रमेय सदिश रूप में नहीं होता। सदिश रूप में, न्यूटन के दूसरे नियम में दिशाओं के संबंध में जानकारी उपलब्ध नहीं होती।

उदाहरण 5.6 एक ब्लॉक जिसका द्रव्यमान $m=1 \mathrm{~kg}$ है, एक क्षैतिज सतह पर चल रहा है और इसकी गति की चाल $v_j=2 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ है। यह एक खराब जमीन के एक क्षेत्र में प्रवेश करता है जो $x=0.10 \mathrm{~m}$ से $x=2.01 \mathrm{~m}$ तक फैला हुआ है। इस क्षेत्र में ब्लॉक पर विपरीत बल $F_r$ इस प्रकार है:

$$ \begin{aligned} & F_r=\frac{-k}{x} \text { for } 0.1<x<2.01 \mathrm{~m} \ & =0 \text { for } x<0.1 \mathrm{~m} \text { and } x>2.01 \mathrm{~m} \end{aligned} $$

$$ \text { जहाँ } k=0.5 \mathrm{~J} \text {. ब्लॉक के इस क्षेत्र के पार जाने पर अंतिम गतिज ऊर्जा और चाल } V_f \text { क्या होगी ?} $$

उत्तर समीकरण (5.8a) से

$$ \begin{aligned} & K_f=K_i+\int_{0.1}^{2.01} \frac{(-k)}{x} \mathrm{~d} x \

$$ \begin{aligned} & =\frac{1}{2} m v_i^2-\left.k \ln (x)\right|_{0.1} ^{2.01} \ & =\frac{1}{2} m v_i^2-k \ln (2.01 / 0.1) \ & =2-0.5 \ln (20.1) \ & =2-1.5=0.5 \mathrm{~J} \ & v_f=\sqrt{2 K_f / m}=1 \mathrm{~ms}^{-1} \end{aligned} $$

यहाँ ध्यान दें कि $\ln$ एक प्राकृतिक लघुगणक के लिए चिह्न है, जो e के आधार पर होता है और न कि 10 के आधार पर लघुगणक के लिए [ $\ln X = \log X = 2.303 \log _{10} X$ ]।

5.7 संभावना ऊर्जा की अवधारणा

“संभावना” शब्द असंभवता या कार्य के लिए क्षमता को संकेत करता है। “संभावना ऊर्जा” शब्द आपके मन में “संचित” ऊर्जा को बुलाता है। एक खींचे गए बाँझ की तार में संभावना ऊर्जा होती है। जब यह छोड़ दिया जाता है, तो तीर उच्च गति से उड़ जाता है। पृथ्वी की भूपर्पटी असमान होती है, लेकिन इसमें त्रुटियाँ और विस्थापन जो भूकम्प रेखाएँ कहलाते हैं, उनके कारण भूकम्प होते हैं। इन भूकम्प रेखाओं के कारण भूपर्पटी में एक बड़ी मात्रा में संभावना ऊर्जा होती है। जब ये भूकम्प रेखाएँ फिर से समायोजित होती हैं, तो भूकम्प होते हैं। इस प्रकार, संभावना ऊर्जा एक वस्तु के स्थिति या विन्यास के कारण उसके द्वारा “संचित ऊर्जा” होती है। वस्तु को अपने आप छोड़ देने पर यह संचित ऊर्जा गतिज ऊर्जा के रूप में विस्तारित हो जाती है। अब हम संभावना ऊर्जा की अवधारणा को अधिक स्पष्ट बनाएं।

गुरुत्वाकर्षण बल एक द्रव्यमान $m$ के गेंद पर $m g . g$ के रूप में होता है। $g$ को पृथ्वी के सतह के पास एक स्थिरांक के रूप में ले सकते हैं। ‘पास’ के अर्थ में हम यह अर्थ देते हैं कि गेंद के पृथ्वी के सतह से ऊंचाई $h$ बहुत कम है पृथ्वी की त्रिज्या $R_E\left(h \ll R_E\right)$ की तुलना में ताकि हम $g$ के पृथ्वी के सतह के पास विविधता को नगण्य मान सकें ${ }^*$. इसके बाद हमने ऊपर की दिशा को धनात्मक मान लिया है। चलो हम गेंद को ऊंचाई $h$ तक उठाएं। बाहरी एजेंसी द्वारा गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध किए गए कार्य $m g h$ होता है। यह कार्य संभावना ऊर्जा के रूप में संग्रहीत हो जाता है। एक वस्तु की गुरुत्वाकर्षण संभावना ऊर्जा, ऊंचाई $h$ के फ़ंक्शन के रूप में $V(h)$ द्वारा नोट की जाती है और यह वस्तु को उस ऊंचाई तक उठाने में गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य के ऋणात्मक होती है।

$$ V(h)=m g h $$

यदि $h$ एक चर लिया जाता है, तो आसानी से देखा जा सकता है कि गुरुत्वाकर्षण बल $F$ विविधता $V(h)$ के संबंध में $h$ के संबंध में ऋणात्मक होता है। इसलिए,

$$ F=-\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} h} V(h)=-m g

$$

ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण बल नीचे की ओर होता है। जब गेंद छोड़ दी जाती है, तो वह नीचे आते समय बढ़ती गति के साथ आती है। जब यह जमीन पर टकराने वाली होती है, तो इसकी गति को गतिक संबंध द्वारा दिया जाता है,

$$ v^2=2 g h $$

इस समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है,

$$ \frac{1}{2} m v^2=m g h $$

जो दर्शाता है कि ऊंचाई $h$ पर वस्तु के गुरुत्वीय संभावित ऊर्जा को जब वस्तु को छोड़ दिया जाता है, तो जमीन पर पहुंचने पर वस्तु की गतिज ऊर्जा के रूप में व्यक्त किया जाता है।

भौतिक रूप से, संभावित ऊर्जा की अवधारणा केवल उन बलों के वर्ग के लिए लागू होती है जहां बल के खिलाफ किया गया कार्य ऊर्जा के रूप में ‘संग्रहीत’ हो जाता है। जब बाहरी संरचनाओं को हटा दिया जाता है, तो यह गतिज ऊर्जा के रूप में व्यक्त होता है। गणितीय रूप से (एक आयाम में सरलता के लिए), यदि बल $F(x)$ को इस रूप में लिखा जा सकता है,

$$ F(x)=-\frac{\mathrm{d} V}{\mathrm{~d} x} $$

इसका अर्थ है कि

$$ \int_{x_{i}}^{x_{f}} F(x) \mathrm{d} x=-\int_{V_{i}}^{V_{f}} \mathrm{~d} V=V_{i}-V_{f} $$

एक संरक्षित बल जैसे गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य केवल प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर करता है। पिछले पाठ में हम झुके ढलानों से संबंधित उदाहरणों पर काम किया है। यदि एक वस्तु जिसका द्रव्यमान $m$ है, एक चिकने (गतिरोधरहित) झुके ढलान के शीर्ष से शांति से छोड़ दी जाती है, जो ऊंचाई $h$ के ढलान के नीचे बराबर गति $\sqrt{2 g h}$ होती है, जो झुकाव कोण पर निर्भर नहीं करती। इसलिए, झुके ढलान के नीचे वस्तु एक गतिज ऊर्जा, mgh प्राप्त करती है। यदि कार्य किया गया या गतिज ऊर्जा वस्तु की गति या वस्तु द्वारा लिए गए विशिष्ट पथ पर निर्भर करे, तो बल को गैर-संरक्षित बल कहा जाता है।

The dimensions of potential energy are [ $\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-2}$ ] and the unit is joule ( $J$ ), the same as kinetic energy or work. To reiterate, the change in potential energy, for a conservative force, $\Delta V$ is equal to the negative of the work done by the force

$$ \Delta V=-F(x) \Delta x $$

In the example of the falling ball considered in this section we saw how potential energy was converted to kinetic energy. This hints at an important principle of conservation in mechanics, which we now proceed to examine. 5.8 यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण For simplicity we demonstrate this important principle for one-dimensional motion. Suppose that a body undergoes displacement $\Delta x$ under the action of a conservative force $F$. Then from the WE theorem we have,

$$ \Delta K=F(x) \Delta x $$

If the force is conservative, the potential energy function $V(x)$ can be defined such that

$$ -\Delta V=F(x) \Delta x \tag{5.9} $$

The above equations imply that

$$ \begin {aligned}

$$ \begin{aligned} & \Delta K+\Delta V=0 \ & \Delta(K+V)=0 \tag{5.10}\end{aligned} $$

इसका अर्थ है कि $K+V$, वस्तु की गतिज और स्थितिज ऊर्जा के योग एक स्थिरांक है। पूरे पथ पर, $x_i$ से $x_f$ तक, इसका अर्थ है कि

$$ K_i+V\left(x_i\right)=K_f+V\left(x_f\right)\tag{5.11} $$

मात्रा $K+V(x)$, प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा कहलाती है। व्यक्तिगत रूप से गतिज ऊर्जा $K$ और स्थितिज ऊर्जा $V(x)$ बिंदु से बिंदु तक बदल सकती है, लेकिन उनका योग एक स्थिरांक है। अब ‘संरक्षित बल’ शब्द के उपयुक्त होने के अर्थ स्पष्ट हो गए हैं।

हम कुछ संरक्षित बल के परिभाषाओं के बारे में विचार करते हैं।

• एक बल $F(x)$ संरक्षित होता है यदि यह एक अदिश मात्रा $V(x)$ से द्वारा समीकरण (5.9) द्वारा दी गई संबंध के माध्यम से निर्मित किया जा सकता है। तीन आयामी सामान्यीकरण के लिए एक सदिश अवकलज का उपयोग करना आवश्यक होता है, जो इस किताब के बाहर के विषय है।
• संरक्षित बल द्वारा किया गया कार्य केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है। इसको समीकरण से देखा जा सकता है,

$$ W=K_f-K_i=V\left(x_i\right)-V\left(x_f\right)

$$

जो अंत बिंदुओं पर निर्भर करता है।

• एक तीसरी परिभाषा कहती है कि इस बल द्वारा एक बंद पथ में किया गया कार्य शून्य होता है। यह फिर से समीकरण (5.11) से स्पष्ट है क्योंकि $x_i = x_f$ है। इसलिए, कुल यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत को इस प्रकार बताया जा सकता है:

एक तंत्र की कुल यांत्रिक ऊर्जा तब संरक्षित होती है जब इस पर कार्य करने वाले बल संरक्षी होते हैं।

उपरोक्त चर्चा को और व्यावहारिक बनाया जा सकता है दोबारा गुरुत्वाकर्षण बल के उदाहरण को विचार करके और अगले अनुच्छेद में स्प्रिंग बल के उदाहरण को। चित्र 5.5 में एक द्रव्यमान $m$ के गेंद को ऊँचाई $H$ के खंड से गिरते हुए दिखाया गया है।

चित्र 5.5 द्रव्यमान $m$ के गेंद के ऊँचाई $H$ से गिरते हुए ential ऊर्जा के किनेटिक ऊर्जा में परिवर्तन

द्रव्यमान $m$ के गेंद की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E_0, E_h$, और $E_H$ जो कि निर्दिष्ट ऊँचाई शून्य (जमीन स्तर), $h$ और $H$ पर होती है, निम्नलिखित है:

$$ \begin{aligned} & E_H=m g H \hspace{35mm} (5.11a) \ & E_h=m g h+\frac{1}{2} m v_h^2 \hspace{24mm} (5.11b) \ & E_o=(1 / 2) m v_f^2 \hspace{30mm} (5.11c) \end{aligned} $$

एक स्थिर बल, एक अंतरिक बल $F(x)$ के विशिष्ट मामला है। इसलिए, यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है। इसलिए

$$ E_H=E_o $$

या, $\quad m g H=\frac{1}{2} m v_f^2$

$$ v_f=\sqrt{2 g H} $$

एक परिणाम जो अनुच्छेद 5.7 में एक स्वतंत्र गिरते वस्तु के लिए प्राप्त किया गया था। अतः,

$$ E_H=E_h $$

जो कहता है,

$$ v_{\mathrm{h}}^2=2 g(H-h)\tag{5.11c} $$

और यह गति के एक परिचित परिणाम है। ऊंचाई $H$ पर, ऊर्जा शुद्धotential होती है। यह ऊंचाई $h$ पर आंशिक रूप से गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है और जमीन के स्तर पर पूर्ण रूप से गतिज ऊर्जा होती है। यह यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण को दर्शाता है।

उदाहरण 5.7 एक द्रव्यमान $m$ के बल्ब को लंबाई $L$ के हल्के स्ट्रिंग द्वारा लटकाया गया है। इसे निम्नतम बिंदु A पर एक क्षैतिज वेग $v_o$ दिया जाता है जिससे यह ऊर्ध्वाधर तल में एक अर्धवृत्तीय पारिसरिक पथ पूरा करता है और स्ट्रिंग केवल शीर्ष बिंदु, C पर तनी हो जाती है। यह चित्र 5.6 में दिखाया गया है। (i) $v_{o^{\prime}}$ के लिए एक व्यंजक प्राप्त करें, (ii) बिंदु B और C पर वेग, (iii) B और C पर गतिज ऊर्जाओं के अनुपात $\left(K_B / K_C\right)$। बल्ब के बिंदु C के बाद पथ की प्रकृति पर टिप्पणी करें।

चित्र 5.6

उत्तर (i) बोब पर दो बाह्य बल कार्य करते हैं : गुरुत्वाकर्षण बल और स्ट्रिंग में तनाव ( $T$ )। दूसरा बल कार्य नहीं करता क्योंकि बोब का विस्थापन सदैव स्ट्रिंग के लंबवत होता है। इसलिए बोब की संभावित ऊर्जा केवल गुरुत्वाकर्षण बल से संबंधित होती है। प्रणाली की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E$ संरक्षित होती है। हम प्रणाली की संभावित ऊर्जा को निम्नतम बिंदु $A$ पर शून्य मान लेते हैं। इसलिए, $A$ पर :

$$ \begin{gathered} E=\frac{1}{2} m v_0^2 \hspace{40mm}(5.12)\ T_A-m g=\frac{m v_0^2}{L}[\text { न्यूटन का द्वितीय नियम }] \end{gathered} $$

जहाँ $T_A$ बिंदु $A$ पर स्ट्रिंग में तनाव है। उच्चतम बिंदु $C$ पर, स्ट्रिंग ढीली हो जाती है, क्योंकि स्ट्रिंग में तनाव ( $T_c$ ) शून्य हो जाता है। इसलिए, $C$ पर

$$ \begin{aligned} & E=\frac{1}{2} m v_c^2+2 m g L \hspace{40mm}(5.13)\

$$ & m g=\frac{m v_c^2}{L} \quad[\text { Newton’s Second Law] }\hspace{13mm}(5.14) \end{aligned} $$

$$ \end{aligned} $$

जहाँ $v_C$ C पर चाल है। समीकरण (5.13) और (5.14) से,

$$ E=\frac{5}{2} m g L $$

इसे A पर ऊर्जा के बराबर करते हुए,

$$ \frac{5}{2} m g L=\frac{m}{2} v_o^2 $$

या, $\quad v_0=\sqrt{5 g L}$

(ii) समीकरण (5.14) से स्पष्ट है कि

$$ v_C=\sqrt{g L} $$

B पर, ऊर्जा है

$$ E=\frac{1}{2} m v_B^2+m g L $$

इसे A पर ऊर्जा के बराबर करते हुए और (i) से प्राप्त परिणाम का उपयोग करते हुए, अर्थात $v_o^2=5 g L$,

इसे A पर ऊर्जा के बराबर करते हुए,

$$ \frac{5}{2} m g L=\frac{m}{2} v_{o}^{2} $$

या, $v_{0}=\sqrt{5 g L}$

(ii) समीकरण (5.14) से स्पष्ट है कि

$$ v_{C}=\sqrt{g L} $$

B पर, ऊर्जा है

$$ E=\frac{1}{2} m v_{B}^{2}+m g L $$

इसे A पर ऊर्जा के बराबर करते हुए और (i) से प्राप्त परिणाम का उपयोग करते हुए, अर्थात $v_{0}^{2}=5 g L$,

$$ \begin{aligned} & \frac{1}{2} m v_{B}^{2}+m g L=\frac{1}{2} m v_{O}^{2} \ & =\frac{5}{2} m g L \end{aligned} $$

$$ \therefore v_{B}=\sqrt{3 g L} $$

(iii) B और C पर किनेटिक ऊर्जा के अनुपात के लिए :

$$ \frac{K_{B}}{K_{C}}=\frac{\frac{1}{2} m v_{B}^{2}}{\frac{1}{3} m v_{C}^{2}}=\frac{3}{1} $$

बिंदु C पर, स्ट्रिंग ढीली हो जाती है और बोब की गति क्षैतिज दिशा में बाईं ओर होती है। यदि इस क्षण संयोजक स्ट्रिंग काट दी जाए, तो बोब के प्रक्षेप्य गति करने के लिए एक रॉक के एक चट्टान के किनारे से क्षैतिज रूप से फेंके जाने वाले रॉक के समान गति होगी। अन्यथा बोब अपने वृत्तीय पथ के साथ जारी रखेगा और घूर्णन पूरा करेगा।

5.9 स्प्रिंग की संभावना ऊर्जा

स्प्रिंग बल एक चर बल के उदाहरण है जो संरक्षित होता है। चित्र 5.7 में एक ब्लॉक स्प्रिंग से जुड़ा है और एक चिकनी क्षैतिज सतह पर आराम से रखा है। स्प्रिंग के दूसरा सिरा एक कठोर दीवार से जुड़ा है। स्प्रिंग हल्का होता है और द्रव्यमानहीन माना जा सकता है। आदर्श स्प्रिंग में, स्प्रिंग बल $F_s$ विस्थापन $x$ के समानुपाती होता है, जहां $x$ ब्लॉक के संतुलन स्थिति से विस्थापन होता है। विस्थापन धनात्मक [चित्र 5.7 (b)] या नकारात्मक [चित्र 5.7 (c)] हो सकता है। इस स्प्रिंग के बल कानून को हुक कानून कहा जाता है और इसे गणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:

$$ F_s=-k x $$

स्थिरांक $k$ को स्प्रिंग स्थिरांक कहते हैं। इसका मात्रक $\mathrm{N} \mathrm{m}^{-1}$ होता है। यदि $k$ बड़ा हो तो स्प्रिंग को कठिन कहते हैं और यदि $k$ छोटा हो तो इसे नरम कहते हैं।

मान लीजिए कि हम चित्र 5.7 (b) के अनुसार ब्लॉक को बाहर की ओर खींचते हैं। यदि विस्तार $x_m$ हो, तो स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य है

$$ \begin{aligned} W_s & =\int_0^{x_m} F_s \mathrm{~d} x=-\int_o^{x_m} k x \mathrm{~d} x \ & =-\frac{k x_m^3}{2}\hspace{60mm}(5.15) \end{aligned} $$

इस व्यंजक को चित्र 5.7(d) में त्रिभुज के क्षेत्रफल को ध्यान में रखकर भी प्राप्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि बाहरी खींचने वाले बल $F$ द्वारा किया गया कार्य धनात्मक है क्योंकि यह स्प्रिंग बल को पराभूत करता है।

$$ \begin{equation*} W=+\frac{k x_{m}^{2}}{2} \tag{5.16} \end{equation*} $$

चित्र 5.7 स्प्रिंग बल की व्याख्या जिसमें ब्लॉक स्प्रिंग के मुक्त सिरे से जुड़ा है। (a) विस्थापन $x$ संतुलन स्थिति से जब शून्य होता है तो स्प्रिंग बल $F_*$ शून्य होता है। (b) खींचे गए स्प्रिंग के लिए $x>0$ और $F<0$ (c) संपीड़ित स्प्रिंग के लिए $x<0$ और $F_s>0$ (d) $F_3$ और $x$ के बीच ग्राफ। छायांकित त्रिभुज के क्षेत्रफल स्प्रिंग बल द्वारा किये गए कार्य को प्रदर्शित करता है। $F_s$ और $x$ के विरोधाभासी चिह्न के कारण इस कार्य के नकारात्मक होने के कारण, $W_s=-k x_m^2 / 2$ होता है।

स्प्रिंग के संपीड़न के समय भी ऐसा ही होता है जब विस्थापन $x_{c}(<0)$ हो। स्प्रिंग बल द्वारा कार्य $W_{s}=-k x_{c}^{2} / 2$ किया जाता है जबकि बाहरी बल $F$ द्वारा कार्य $+k x_{c}^{2} / 2$ किया जाता है। यदि ब्लॉक को एक आरंभिक विस्थापन $x_{i}$ से अंतिम विस्थापन $x_{f}$ तक ले जाया जाता है, तो स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य $W_{s}$ होता है

$$ W_s=-\int_{x_i}^{x_f} k x \mathrm{~d} x=\frac{k x_i^2}{2}-\frac{k x_f^2}{2}\tag{5.17} $$

इस प्रकार स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य केवल अंतिम बिंदुओं पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, यदि ब्लॉक को $x_i$ से खींचकर फिर से $x_i$ पर लाया जाता है;

$$ \begin{aligned} W_s & =-\int_{x_i}^{x_i} k x \mathrm{~d} x=\frac{k x_i^2}{2}-\frac{k x_i^2}{2} \ & =0 \tag{5.18} \end{aligned} $$

एक चक्रीय प्रक्रिया में स्प्रिंग बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। हम ने स्पष्ट रूप से दिखाया है कि स्प्रिंग बल (i) केवल स्थिति पर निर्भर होता है जैसा कि हॉक द्वारा पहले कहा गया था ( $F_s=-k x$ ); (ii) केवल आरंभिक और अंतिम स्थितियों पर निर्भर कार्य करता है, उदाहरण के लिए समीकरण (5.17)। इसलिए, स्प्रिंग बल एक संरक्षित बल है।

हम वस्तु और स्प्रिंग के प्रणाली के साम्यावस्था स्थिति में स्प्रिंग की संभावना ऊर्जा $V(x)$ को शून्य मानते हैं। एक विस्तार (या संपीड़न) $x$ के लिए उपरोक्त विश्लेषण से यह सुझाव देता है कि

$$ V(x)=\frac{k x^2}{2}\tag{5.19} $$

आप आसानी से जांच कर सकते हैं कि $-\mathrm{d} V / \mathrm{d} x=-k x$, स्प्रिंग बल है। यदि चित्र 5.7 में द्रव्यमान $m$ के ब्लॉक को $x_{m}$ तक विस्तारित करके शांति से छोड़ दिया जाए, तो किसी भी अस्पष्ट बिंदु $x$ पर, जहां $x$ के बीच $-x_{m}$ और $+x_{m}$ होता है, इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी जाएगी:

$$ \frac{1}{2} k x_{m}^{2}=\frac{1}{2} k x^{2}+\frac{1}{2} m v^{2} $$

जहां हम यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के नियम का उपयोग करते हैं। यह सुझाव देता है कि गति और गतिज ऊर्जा साम्यावस्था स्थिति, $x=0$ पर अधिकतम होती है, अर्थात,

$$ \frac{1}{2} m v_{m}^{2}=\frac{1}{2} k x_{m}^{2} $$

जहां $v_{m}$ अधिकतम गति है।

या $\quad v_{m}=\sqrt{\frac{k}{m}} x_{m}$

ध्यान दें कि $k / m$ के आयाम $\left[\mathrm{T}^{-2}\right]$ होते हैं और हमारा समीकरण आयाम दृढ़ता से सही है। गतिज ऊर्जा को संभावना ऊर्जा में बदल दिया जाता है और विपरीत, हालांकि कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है। यह चित्र 5.8 में ग्राफिकल रूप से दिखाया गया है।

चित्र 5.8 प्रतिस्थापन ऊर्जा V और गतिज ऊर्जा K के परबोलिक आलेख एक स्प्रिंग से जुड़े एक ब्लॉक के लिए हैं, जो हूक के नियम का पालन करता है। दोनों आलेख पूरक हैं, एक बढ़ते समय दूसरा घटता जाता है। कुल यांत्रिक ऊर्जा E = K + V स्थिर रहती है।

उदाहरण 5.8 कार दुर्घटनाओं के सिमुलेशन के लिए, ऑटोमोबाइल निर्माता गतिशील कारों के अलग-अलग स्प्रिंग नियतांक वाले स्प्रिंगों के टकराव के अध्ययन करते हैं। एक सामान्य सिमुलेशन में, 1000 किग्रा द्रव्यमान की एक कार 18.0 किमी/घंटा की गति से एक चौराहे पर गतिशील रहती है और एक क्षैतिज रूप से स्थापित स्प्रिंग के संघटन के साथ टकराती है, जिसका स्प्रिंग नियतांक 5.25 × 10³ एन/मी⁻¹ है। स्प्रिंग के अधिकतम संपीड़न की गणना करें।

उत्तर अधिकतम संपीड़न पर कार की गतिज ऊर्जा पूरी तरह से स्प्रिंग की संभावना ऊर्जा में बदल जाती है।

कार के गतिशील गतिज ऊर्जा है

$$ \begin{aligned} & K=\frac{1}{2} m v^2 \ & =\frac{1}{3} \times 10^3 \times 5 \times 5 \ & K=1.25 \times 10^4 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

जहाँ हमने $18 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ को $5 \mathrm{~m} \mathrm{s}^{-1}$ में बदल दिया है **[यह ध्यान रखना उपयोगी होता है कि $\mathbf{3 6} \mathbf{k m ~ h}^{\mathbf{- 1}}=\mathbf{1 0} \mathbf{ m ~ s}^{-1}$ ]** अधिकतम संपीड़न $x_m$ पर, स्प्रिंग की संभावित ऊर्जा $V$ गतिशील कार की गतिज ऊर्जा $K$ के बराबर होती है यह यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत से।

$$ \begin{aligned} V=\frac{1}{2} k x_m^2

& \ =1.25 \times 10^{4} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

हम प्राप्त करते हैं $X_m=2.00 m$

हम ध्यान रखते हैं कि हमने स्थिति को आदर्शीकृत कर दिया है। स्प्रिंग को द्रव्यमानहीन माना गया है। सतह को नगण्य घर्षण के साथ माना गया है।

हम इस अनुच्छेद को समाप्त करते हैं द्वारा कुछ टिप्पणियाँ करते हैं संरक्षित बलों पर।

(i) उपरोक्त चर्चा में समय के बारे में कोई जानकारी नहीं है। उपरोक्त उदाहरण में हम संपीड़न की गणना कर सकते हैं, लेकिन संपीड़न के लिए समय की गणना नहीं कर सकते। इस प्रणाली के लिए न्यूटन के द्वितीय नियम के समाधान के लिए समय संबंधी जानकारी की आवश्यकता होती है।

(ii) सभी बल संतर्क नहीं होते। उदाहरण के लिए, घर्षण एक असंतर्क बल है। ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत को इस स्थिति में संशोधित करना पड़ेगा। इसका उदाहरण उदाहरण 5.9 में दिया गया है।

(iii) संभावना ऊर्जा के शून्य अनुवाद आरंभिक बिंदु पर निर्धारित किया जाता है। यह सुविधा के अनुसार निर्धारित किया जाता है। वसंत बल के लिए हमने $V(x)=0$, $x=0$ पर लिया, अर्थात असंपीड़ित वसंत के लिए शून्य संभावना ऊर्जा है। नियत गुरुत्वाकर्षण बल mg के लिए हमने पृथ्वी के सतह पर $V=0$ लिया। एक बाद के अध्याय में हम देखेंगे कि वैश्विक गुरुत्वाकर्षण कानून के कारण बल के लिए शून्य अनुवाद गुरुत्वाकर्षण स्रोत से अनंत दूरी पर सर्वोत्तम रूप से परिभाषित होता है। हालांकि, एक दिए गए विवरण में संभावना ऊर्जा के शून्य को निर्धारित कर देने के बाद, इसे विवरण के सभी भागों में सावधानीपूर्वक ध्यान रखना आवश्यक है। आप मध्य में घोड़ा बदल नहीं सकते!

उदाहरण 5.9 उदाहरण 5.8 को लेकर विचार करें, जहां घर्षण गुणांक, $\mu$, 0.5 हो और वसंत के अधिकतम संपीड़न की गणना करें।

उत्तर घर्षण की उपस्थिति में, वसंत बल और घर्षण बल दोनों वसंत के संपीड़न के विरुद्ध कार्य करते हैं, जैसा कि चित्र 5.9 में दिखाया गया है।

चित्र 5.9 कार पर लगने वाले बल।

हम यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के बजाय कार्य-ऊर्जा प्रमेय का उपयोग करते हैं।

किण्विक ऊर्जा में परिवर्तन है

$$ \Delta K=K_f-K_{\mathrm{i}}=0-\frac{1}{2} m v^2 $$

समतल बल द्वारा कार्य है

$$ W=-\frac{1}{2} k x_m^2-\mu m g x_m $$

समान करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \frac{1}{2} m v^2=\frac{1}{2} k x_m^2+\mu m g x_m $$

अब $\mu \mathrm{mg}=0.5 \times 10^3 \times 10=5 \times 10^3 \mathrm{~N}$ (गुरुत्वीय त्वरण $g=10.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ के साथ लेते हैं)। उपरोक्त समीकरण को पुन: व्यवस्थित करने पर अज्ञात $x_m$ के लिए निम्नलिखित द्विघात समीकरण प्राप्त होता है।

$$ \begin{aligned} & k x_m^2+2 \mu m g x_m-m v^2=0 \ & x_m=\frac{-\mu m g+\left[\mu^2 m^2 g^2+m k v^2\right]^{1 / 2}}{k} \end{aligned} $$

हम $x_m$ धनात्मक होने के कारण धनात्मक वर्गमूल लेते हैं। संख्यात्मक मान रखने पर हमें प्राप्त होता है

$$ x_m=1.35 \mathrm{~m} $$

जिसे, अपेक्षित रूप से, उदाहरण 5.8 के परिणाम से कम होता है।

यदि वस्तु पर दो बल $F_c$ और $F_{n c}$ हों, तो यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण सूत्र को संशोधित करना पड़ेगा। वी थीरम के अनुसार

$$ \begin{gathered} \left(F_c+F_{n c}\right) \Delta x=\Delta K \ F_c \Delta x=-\Delta V \ \Delta(K+V)=F_{n c} \Delta x \ \Delta E=F_{n c} \Delta x \end{gathered} $$

लेकिन अतः, जहाँ $E$ कुल यांत्रिक ऊर्जा है। इस पथ पर यह निम्न रूप में लिखा जा सकता है

$$ E_f-E_i=W_{n c} $$

जहाँ $W_{n c}$ नॉन-कांसर्वेटिव बल द्वारा पथ पर कुल कार्य है। ध्यान दें कि विपरीत कांसर्वेटिव बल के विपरीत, $W_{n c}$ विशिष्ट पथ $i$ से $f$ पर निर्भर करता है।

5.10 शक्ति

अक्सर यह रोचक होता है कि एक वस्तु पर किया गया कार्य जानने के अलावा, इस कार्य के कार्य की दर भी जानना होता है। हम कहते हैं कि एक व्यक्ति शारीरिक रूप से तैयार है यदि वह एक इमारत के चार तल न केवल चढ़े बल्कि तेजी से चढ़े। शक्ति को कार्य के कार्य की दर या ऊर्जा के स्थानांतरण की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।

The average power of a force is defined as the ratio of the work, $W$, to the total time $t$ taken

$$ P_{a v}=\frac{W}{t}\hspace{35mm}(5.20) $$

The instantaneous power is defined as the limiting value of the average power as time interval approaches zero,

$$ P=\frac{\mathrm{d} W}{\mathrm{~d} t} $$

The work $d W$ done by a force F for a displacement $d \mathbf{r}$ is $\mathrm{d} W=\mathbf{F} . d \mathbf{r}$. The instantaneous power can also be expressed as

$$ \begin{aligned} & P=\mathbf{F} \cdot \frac{\mathrm{d} \boldsymbol{r}}{\mathrm{~d} t} \ & =\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}\hspace{50mm}(5.21) \end{aligned} $$

where $\mathbf{v}$ is the instantaneous velocity when the force is $\mathbf{F}$.

Power, like work and energy, is a scalar quantity. Its dimensions are $\left[\mathrm{ML}^2 \mathrm{~T}^{-3}\right]$. In the SI, its unit is called a watt (W). The watt is $1 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1}$. The unit of power is named after James Watt, one of the innovators of the steam engine in the eighteenth century.

एक अन्य शक्ति की इकाई है, जिसे घोड़ा शक्ति (hp) कहा जाता है

$$ 1 \mathrm{hp}=746 \mathrm{~W} $$

इकाई अभी भी ऑटोमोबाइल, मोटरबाइक आदि के आउटपुट को वर्णित करने के लिए उपयोग की जाती है।

हम बिजली के उत्पादों, जैसे बल्ब, हीटर और रेफ्रिजरेटर खरीदते समय वॉट की इकाई को देखते हैं। एक 100 वॉट के बल्ब को 10 घंटे तक चालू रखने पर 1 किलोवॉट घंटा (kWh) ऊर्जा का उपयोग होता है।

$$ \begin{aligned} & 100(\text { watt }) \times 10 \text { (hour) } \ & =1000 \text { watt hour } \ & =1 \text { kilowatt hour }(\mathrm{kWh}) \ & =10^3(\mathrm{~W}) \times 3600(\mathrm{~s}) \ & =3.6 \times 10^6 \mathrm{~J} \end{aligned} $$

हमारे बिजली बिल में ऊर्जा उपभोग को $\mathrm{kWh}$ के इकाई में दिखाया जाता है। ध्यान दें कि $\mathrm{kWh}$ ऊर्जा की इकाई है और शक्ति की नहीं।

उदाहरण 5.10 एक लिफ्ट के अधिकतम भार 1800 किग्रा (लिफ्ट + यात्री) है जो 2 मी/से की नियत गति से ऊपर चल रही है। गति के विरुद्ध घर्षण बल 4000 न्यूटन है। निर्धारित करें कि मोटर द्वारा लिफ्ट को दिए गए न्यूनतम शक्ति किलोवॉट में और घोड़ा शक्ति में कितनी है।

उत्तर लिफ्ट पर नीचे की ओर बल है

$$ F=m g+F_{f}=(1800 \times 10)+4000=22000 \mathrm{~N} $$

मोटर को इस बल के संतुलन के लिए पर्याप्त शक्ति प्रदान करनी होगी। अतः,

$$ P=\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}=22000 \times 2=44000 \mathrm{~W}=59 \mathrm{hp} $$

5.11 टकराव

भौतिकी में हम गति (स्थिति में परिवर्तन) के अध्ययन करते हैं। एक साथ, हम ऐसे भौतिक राशियों की खोज करते हैं जो भौतिक प्रक्रिया में बदल नहीं जाते हैं। संवेग और ऊर्जा संरक्षण के कानून इस प्रकार के उदाहरण हैं। इस अनुच्छेद में हम इन कानूनों को एक सामान्य रूप से पाए जाने वाले घटना, अर्थात टकराव के अनुप्रयोग करेंगे। कई खेल जैसे कि बिलियर्ड्स, मार्बल्स या कैरोम में टकराव शामिल होता है। हम एक सरलीकृत रूप में दो द्रव्यमानों के टकराव के अध्ययन करेंगे।

दो द्रव्यमान $m_1$ और $m_2$ की बात करें। द्रव्यमान $m_1$ की गति $v_{1 i}$ है, जहाँ अंतर्गत ‘i’ शुरूआती को दर्शाता है। हम $m_2$ को विराम में होने वाले द्रव्यमान के रूप में ले सकते हैं। ऐसा चयन करने में कोई अप्राप्त तथ्य नहीं होता। इस स्थिति में द्रव्यमान $m_1$ स्थिर द्रव्यमान $m_2$ के साथ टकराता है और यह चित्र 5.10 में दर्शाया गया है।

मात्राएँ $m_{1}$ और $m_{2}$ अलग-अलग दिशाओं में उड़ जाती हैं। हम देखेंगे कि इन मात्राओं, वेगों और कोणों के बीच एक रिश्ता होता है।

चित्र 5.10 मात्रा $m_1$ के एक स्थिर मात्रा $m_2$ के साथ टकराव।

5.11.1 अतिरिक्त टकराव और अतिरिक्त नहीं टकराव

सभी टकरावों में कुल रेखीय संवेग संरक्षित रहता है; प्रणाली का आरंभिक संवेग प्रणाली के अंतिम संवेग के बराबर होता है। इसे इस तरह समझा जा सकता है। जब दो वस्तुएँ टकराती हैं, तो टकराव के समय $\Delta t$ के दौरान एक दूसरे पर लगने वाले बल उनके संवेग में परिवर्तन करते हैं :

$$ \begin{aligned} & \Delta \mathbf{p}1=\mathbf{F}{12} \Delta t \ & \Delta \mathbf{p}2=\mathbf{F}{21} \Delta t \end{aligned} $$

जहाँ $F_{12}$ दूसरे कण द्वारा पहले कण पर लगाए गए बल है। $F_{21}$ भी पहले कण द्वारा दूसरे कण पर लगाए गए बल है। अब न्यूटन के तीसरे नियम से, $\mathbf{F}{12}=-\mathbf{F}{21}$. इसका अर्थ है

$$ \Delta \mathbf{p}_1+\Delta \mathbf{p}_2=\mathbf{0} $$

ऊपर का निष्कर्ष यह भी सत्य है, हालांकि टकराव के समय $\Delta t$ के दौरान बल जटिल रूप से बदलते रहते हैं। क्योंकि तीसरे कानून का अस्तित्व हर क्षण में होता है, पहले वस्तु पर कुल आवेग पहले वस्तु पर कुल आवेग के बराबर और विपरीत होता है।

दूसरी ओर, प्रणाली की कुल कार्यशक्ति आवश्यक रूप से संरक्षित नहीं रहती। टकराव के दौरान असर और विकृति गर्मी और ध्वनि के रूप में ऊष्मा उत्पन्न कर सकते हैं। प्रारंभिक कार्यशक्ति का एक भाग अन्य रूपों में बदल जाता है। टकराव के दौरान विकृति को दृष्टि से देखने के लिए एक ‘संपीड़ित स्प्रिंग’ के रूप में देखना एक उपयोगी तरीका है। यदि ‘स्प्रिंग’ जो दो द्रव्यमानों को जोड़ता है, ऊर्जा की कोई हानि बिना अपनी मूल आकृति में वापस आ जाए, तो प्रारंभिक कार्यशक्ति अंतिम कार्यशक्ति के बराबर होती है, लेकिन टकराव के समय $\Delta t$ के दौरान कार्यशक्ति निरंतर नहीं रहती। ऐसी टकराव को संतृप्त टकराव कहा जाता है। दूसरी ओर, विकृति बर्बाद नहीं हो सकती और टकराव के बाद दो वस्क साथ गति कर सकते हैं। टकराव के बाद दो कण एक साथ गति करते हैं ऐसी टकराव को पूर्ण असंतृप्त टकराव कहा जाता है। बीच के मामले में जहां विकृति के कुछ हिस्से बर्बाद हो जाते हैं और प्रारंभिक कार्यशक्ति का कुछ हिस्सा खो जाता है, यह अधिक सामान्य होता है और इसे उपयुक्त रूप से असंतृप्त टकराव कहा जाता है।

5.11.2 एक आयाम में टकराव

पहले एक आयाम में पूर्ण अस्थायी टकराव को विचार करें। तब, चित्र 5.10 में,

$$ \begin{align*} & \theta_{1}=\theta_{2}=0 \\ & m_{1} v_{1 i}=\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{f} \text { (गति संरक्षण) } \\ & v_{f}=\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}} v_{1 i} \tag{5.22} \end{align*} $$

टकराव के दौरान किण्वत ऊर्जा की हानि है

$$ \begin{aligned} & \Delta K=\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2}-\frac{1}{2}\left(m_{1}+m_{2}\right) v_{f}^{2} \\ & =\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2}-\frac{1}{2} \frac{m_{1}^{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1 i}^{2} \quad \text { [समीकरण (5.22) का उपयोग करते हुए] } \\ & =\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} \left(1-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\right) \\ & =\frac{1}{2} \frac{m_{1} m_{2}}{m_{1}+m_{2}} v_{1 i}^{2} \end{aligned} $$

जो अपेक्षित रूप से एक धनात्मक मात्रा है।

अब एक अस्थायी टकराव के बारे में विचार करें। $\theta_{1}=\theta_{2}=0$ के साथ उपरोक्त नामांकन का उपयोग करते हुए, संवेग और किण्वत ऊर्जा संरक्षण समीकरण हैं

$$ \begin{align*} & m_{1} v_{1 i}=m_{1} v_{1 f}+m_{2} v_{2 f} \tag{5.23}\\

& m_{1} v_{1 i}^{2}=m_{1} v_{1 f}^{2}+m_{2} v_{2 f}^{2} \tag{5.24} \end{align*} $$

समीकरण (5.23) और (5.24) से यह निष्कर्ष निकलता है कि,

$$ m_{1} v_{1 i}\left(v_{2 f}-v_{1 i}\right)=m_{1} v_{1 f}\left(v_{2 f}-v_{1 f}\right) $$

या,

$$ \begin{align*} v _{2 f}\left(v _{1 i}-v _{1 f}\right) & =v _{1 i}^{2}-v _{1 f}^{2} \\ & =\left(v _{1 i}-v _{1 f}\right)\left(v _{1 i}+v _{1 f}\right) \tag{5.25} \end{align*} $$

इसे समीकरण (5.23) में समान्य करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{align*} v_{1 f} & =\frac{\left(m_{1}-m_{2}\right)}{m_{1}+m_{2}} v_{1 i} \tag{5.26}\\ \text { और } \quad v_{2 f} & =\frac{2 m_{1} v_{1 i}}{m_{1}+m_{2}} \tag{5.27} \end{align*} $$

इस प्रकार, ‘अज्ञात’ {$V_{1f} \quad V_{2f}$} को ‘ज्ञात’ {$ m_1, m_2, v_1 i $} के अनुसार प्राप्त किया जा सकता है। हमारे विश्लेषण के विशेष मामले दिलचस्प हैं।

केस I : यदि दोनों द्रव्यमान समान हों

$$ \begin{aligned} & V_{1 f}=0 \\ & V_{2 f}=V_{1 i} \end{aligned} $$

पहले द्रव्यमान विराम में आ जाता है और टक्कर के दौरान अपनी प्रारंभिक गति के साथ दूसरे द्रव्यमान पर धकेल देता है।

केस II : यदि एक द्रव्यमान दूसरे से बहुत अधिक हो, उदाहरण के लिए $m_{2} > > m_{1}$

$$ V_{1 f} \simeq-V_{1 i} \quad V_{2 f} \simeq 0 $$

भारी द्रव्यमान अपरिवर्तित रहता है जबकि हल्का द्रव्यमान अपनी गति की दिशा बदल देता है।

उदाहरण 5.11 न्यूट्रॉन के धीमा होना: एक परमाणु रिएक्टर में एक उच्च गति वाला न्यूट्रॉन (आमतौर पर $10^7 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ ) को $10^3 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ तक धीमा कर देना आवश्यक होता है ताकि यह $^{235}_{92}\mathrm{U}$ आइसोटोप के साथ उच्च संभावना से अंतरक्रिया कर सके और इसे विखंडन कर सके। दिखाएं कि एक न्यूट्रॉन एक हल्के नाभिक (जैसे ड्यूटेरियम या कार्बन) के साथ एक अप्रत्यासत टक्कर में अपनी अधिकांश किनेटिक ऊर्जा खो सकता है, जिसका द्रव्यमान न्यूट्रॉन द्रव्यमान के केवल कुछ गुना होता है। इस हल्के नाभिक के बने अवयव को आमतौर पर भारी पानी ($\mathrm{D}_2 \mathrm{O}$) या ग्राफाइट के रूप में जाना जाता है, जिसे मॉडरेटर कहा जाता है।

उत्तर न्यूट्रॉन की प्रारंभिक किनेटिक ऊर्जा है

$$ K_{1 i}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1 i}^{2} $$

जबकि इसकी अंतिम किनेटिक ऊर्जा समीकरण (5.26) से

$$ K_{1 f}=\frac{1}{2} m_{1} v_{1 f}^{2}=\frac{1}{2} m_{1} \left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \right)^{2} v_{1 i}^{2} $$

$$

अंशात्मक गतिज ऊर्जा का नुकसान है

$$ f_{1}=\frac{K_{1 f}}{K_{1 i}}=\left(\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2} \right)^{2} $$

जबकि मध्यावस्था के नाभिकों द्वारा अंशात्मक गतिज ऊर्जा $K_{2 f} / K_{l i}$ के रूप में प्राप्त की जाती है

$$ \begin{aligned} f_{2}=1 & -f_{1} \text { (गैर-तापीय टकराव) } \\ = & \frac{4 m_{1} m_{2}}{\left(m_{1}+m_{2}\right)^{2}} \end{aligned} $$

इस परिणाम को एक्सप्रेशन (5.27) के उपयोग द्वारा भी सत्यापित किया जा सकता है।

ड्यूटेरियम के लिए $m_2=2 m_1$ और हमें $f_1=1 / 9$ प्राप्त होता है जबकि $f_2=8 / 9$ होता है। न्यूट्रॉन की ऊर्जा के लगभग 90% ड्यूटेरियम में स्थानांतरित हो जाती है। कार्बन के लिए $f_1=71.6 %$ और $f_2=28.4 %$ होता है। व्यावहारिक रूप से, हालांकि, यह संख्या छोटी होती है क्योंकि सीधे टकराव बहुत दुर्लभ होते हैं।

यदि दोनों वस्तुओं के प्रारंभिक वेग और अंतिम वेग एक ही सीधी रेखा में हों, तो इसे एक-विमीय टकराव, या सीधा टकराव कहा जाता है। छोटे गोलाकार वस्तुओं के मामले में, यह संभव होता है यदि वस्तु 1 की यात्रा की दिशा वस्तु 2 के केंद्र से गुजरे जाए जो विराम में हो। सामान्य रूप से, टकराव द्वि-विमीय होता है, जहां प्रारंभिक वेग और अंतिम वेग एक तल में होते हैं।

5.11.3 दो विमाओं में टकराव

चित्र 5.10 में गतिशील द्रव्यमान $m_1$ के स्थायी द्रव्यमान $m_2$ के साथ टकराव को भी दर्शाया गया है। ऐसे टकराव में रैखिक संवेग संरक्षित रहता है। क्योंकि संवेग एक सदिश है, इसका तीन दिशाओं ${x, y, z}$ के लिए तीन समीकरण बनते हैं। $m_1$ और $m_2$ के अंतिम वेग दिशाओं द्वारा निर्धारित तल को चुनें और इसे $x-y$ तल मान लें। रैखिक संवेग के $z$-अक्ष के घटक के संरक्षण के कारण टकराव का पूरा अंतर्भूत होता है $x-y$ तल में। $x$ और $y$ घटक समीकरण निम्नलिखित हैं:

$$ \begin{aligned} & m_1 v_{1 f}=m_1 v_{1 f} \cos \theta_1+m_2 v_{2 f} \cos \theta_2 \hspace{40mm}(5.28)\ & 0=m_1 v_{1 f} \sin \theta_1-m_2 v_{2 f} \sin \theta_2 \hspace{48mm}(5.29) \end{aligned} $$

अधिकांश स्थितियों में एक जानते हैं $\left{m_1, m_2, v_{11}\right}$. इसलिए चार अज्ञात $\left{v_{1 r}, v_{2 f}, \theta_1\right.$ और $\left.\theta_2\right}$ हैं, और केवल दो समीकरण हैं। यदि $\theta_1=\theta_2=0$, तो हम एक विमाओं में टकराव के लिए समीकरण (5.23) को पुनः प्राप्त करते हैं।

अगर, इसके अतिरिक्त, टक्कर अप्रत्यागामी है,

$$ \frac{1}{2} m_1 v_{1 i}^2=\frac{1}{3} m_1 v_{1 f}^2+\frac{1}{2} m_2 v_{2 f}^2 \hspace{48mm}(5.30) $$

हमें एक अतिरिक्त समीकरण मिलता है। इसके बावजूद हमें एक समीकरण कम रह जाता है। कम से कम चार अज्ञात राशियों में से, कहीं $\theta_1$ ज्ञात कर दिया जाना चाहिए ताकि समस्या हल करने योग्य हो। उदाहरण के लिए, $\theta_1$ को $x$ अक्ष से $y$ अक्ष तक कोणीय रूप से एक डिटेक्टर ले जाकर निर्धारित किया जा सकता है। दिया गया $\left{m_1, m_2, v_{I I}, \theta_1\right}$ हो तो हम एक बार फिर समीकरण (5.28)-(5.30) से $\left{v_{I f}, v_{2 f}, \theta_2\right}$ निर्धारित कर सकते हैं।

उदाहरण 5.12 चित्र 5.10 में दिखाए गए टक्कर को दो बिल्लियर्ड गेंदों के बीच मान लीजिए, जिनके बराबर द्रव्यमान $m_{1}=m_{2}$ है। पहली गेंद को बोल कहते हैं जबकि दूसरी गेंद को लक्ष्य कहते हैं। बिल्लियर्ड खिलाड़ी लक्ष्य गेंद को कोने के खाने में ‘सिंक’ करना चाहता है, जो कोण $\theta_{2}=37$ पर है। मान लीजिए कि टक्कर अप्रत्यागामी है और घर्षण तथा घूर्णन गति के प्रभाव नगण्य हैं। $\theta_{1}$ का मान प्राप्त कीजिए।

उत्तर संवेग संरक्षण के आधार पर, क्योंकि द्रव्यमान समान हैं

$$ \mathbf{v} _{1 i}=\mathbf{v} _{1 \mathrm{f}}+\mathbf{v} _{2 \mathrm{f}} $$ $\hspace{40mm}$ या,

$$ \begin{aligned} & v_{1 i}^2=\left(\mathbf{v}{1 f}+\mathbf{v}{2 f}\right) \cdot\left(\mathbf{v}{1 f}+\mathbf{v}{2 f}\right) \ & =v_{1 f}^2+v_{2 f}^2+2 \mathbf{v}{1 f} \cdot \mathbf{v}{2 f} \end{aligned}$$

$$ =\left{v_{1 f}^2+v_{2 f}^2+2 v_{1 f} v_{2 f} \cos \left(\theta_1+37^{\circ}\right)\right}\tag{5.31}$$

क्योंकि टक्कर अप्रत्यागमी है और $m_{1}=m_{2}$, गतिज ऊर्जा के संरक्षण के कारण हम पाते हैं कि

$$ \begin{equation*} v_{1 i}^{2}=v_{1 f}^{2}+v_{2 f}^{2} \tag{5.32} \end{equation*} $$

समीकरण (5.31) और (5.32) की तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं

$$ \cos \left(\theta_{1}+37^{\circ}\right)=0 $$

$$ \text{या} \quad \quad \quad \theta_{1}+37^{\circ}=90^{\circ} $$

इस प्रकार, $\theta_{1}=53^{\circ}$

यह सिद्ध करता है कि जब दो समान द्रव्यमान एक दूसरे के साथ एक झुके हुए अप्रत्यागमी टक्कर करते हैं और एक द्रव्यमान शांत होता है, तो टक्कर के बाद वे एक दूसरे के साथ एक लंब कोण पर गति करेंगे।

समस्या बहुत आसान हो जाती है यदि हम गोलाकार द्रव्यमानों के साथ चिकनी सतहों वाले वस्तुओं को लें और बर्बादी केवल तभी होती है जब वस्तुएं एक दूसरे के संपर्क में आती हैं। यह खेलों में घटता है, जैसे कि मार्बल, कैरोम और बिलियर्ड्स के खेल में।

हमारे दैनिक जीवन में, बर्बादी केवल तभी होती है जब दो वस्तुएं एक दूसरे के संपर्क में आती हैं। लेकिन एक कॉमेट जो दूर के दूर तक सूर्य की ओर आता है, या एल्फा कण जो एक नाभिक की ओर जाता है और किसी दिशा में जाकर दूर जाता है, ऐसे मामलों में हम दूर से क्रिया करने वाले बलों के साथ लड़ रहे होते हैं। ऐसे घटनाओं को विक्षेपण कहा जाता है। दो कणों के दूर जाने की गति और दिशा उनकी प्रारंभिक गति, उनके बीच के संपर्क के प्रकार, उनके द्रव्यमान, आकार और आकृति पर निर्भर करती है।

सारांश

1. कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहता है कि किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन वस्तु पर कार्य करने वाले शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य होता है।

$$ K_f-K_i=W_{\text {net }} $$

2. एक बल संरक्षित होता है यदि (i) इस बल द्वारा किसी वस्तु पर किया गया कार्य पथ अपरिवर्तनीय हो और केवल शुरुआती और अंतिम बिंदु ${x, x}$ पर निर्भर करता हो, या (ii) वस्तु अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाए तो बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।

3. एक आकर्षण बल के लिए एक आयाम में हम एक संभावना ऊर्जा फलन $V(x)$ परिभाषित कर सकते हैं जैसे कि या

$$ \begin{aligned} & F(x)=-\frac{\mathrm{d} V(x)}{\mathrm{d} x} \ & V_i-V_f=\int_{x_i}^{x_f} F(x) \mathrm{d} x \end{aligned} $$

4. यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, यदि केवल संरक्षित बल एक वस्तु पर कार्य करते हैं, तो एक वस्तु की कुल यांत्रिक ऊर्जा स्थिर रहती है।

5. पृथ्वी के सतह से ऊंचाई $x$ पर द्रव्यमान $m$ के कण की गुरुत्वीय संभावना ऊर्जा है

$$ V(x)=m g x $$

जहाँ $g$ के ऊंचाई के साथ परिवर्तन को नगण्य मान लिया गया है। 6. एक बल नियतांक $k$ और विस्तार $x$ वाले स्प्रिंग की आसंभव ऊर्जा है

$$ V(x)=\frac{1}{2} k x^2 $$

7. दो सदिश $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के अदिश या डॉट गुणनफल को $\mathbf{A} . \mathbf{B}$ के रूप में लिखा जाता है और यह एक अदिश मात्रा है जो $: \mathbf{A} \cdot \mathbf{B}=A B \cos \theta$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $\theta$ दोनों सदिशों $\mathbf{A}$ और $\mathbf{B}$ के बीच कोण है। यह धनात्मक, ऋणात्मक या शून्य हो सकता है, जो $\theta$ के मान पर निर्भर करता है। दो सदिशों के अदिश गुणनफल को एक सदिश के परिमाण और दूसरे सदिश के पहले सदिश के अनुदिश घटक के गुणनफल के रूप में समझा जा सकता है। इकाई सदिश के लिए :

$$ \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=1 \text { and } \hat{\mathbf{i}} \cdot \hat{\mathbf{j}}=\hat{\mathbf{j}} \cdot \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{k}} \cdot \hat{\mathbf{i}}=0 $$

सदिश गुणन अद्वितीय और वितरण नियमों का पालन करता है।

| शक्ति | P | $\left[\mathrm{ML}^{2} \mathrm{T}^{-3} \right]$ | W | $\mathrm{P}=\mathbf{F} \cdot \mathbf{v}$
$\mathrm{P} W$ |

सोचने वाले बिंदु

1. ‘कार्य की गणना करें’ इस वाक्य के अर्थ अधूरा है। हमें एक विशिष्ट बल या बलों के समूह द्वारा एक दिए गए वस्तु पर एक निश्चित विस्थापन के दौरान किए गए कार्य के बारे में स्पष्ट रूप से संदर्भ देना या इसे स्पष्ट रूप से संदर्भ द्वारा बताना चाहिए। 2. कार्य एक अदिश राशि है। यह धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, जबकि द्रव्यमान और गतिज ऊर्जा धनात्मक अदिश राशियाँ होती हैं। गतिमान वस्तु पर घर्षण या श्यान बल द्वारा किया गया कार्य ऋणात्मक होता है। 3. दो वस्तुओं के बीच लगाए गए परस्पर बलों के योग को न्यूटन के तीसरे नियम से शून्य होता है,

$$ \mathbf{F}{12}+\mathbf{F}{21}=0 $$

लेकिन दो बलों द्वारा किए गए कार्य के योग कभी भी आवश्यक रूप से शून्य नहीं होते, अर्थात

$$ W_{12}+W_{21} \neq 0 $$

हालांकि, कभी-कभी यह सत्य हो सकता है।

4. एक बल द्वारा किए गए कार्य की गणना कभी-कभी बल के ठीक प्रकार के बिना भी की जा सकती है। इसका स्पष्टीकरण उदाहरण 5.2 में दिया गया है जहाँ ऐसी स्थिति में WE प्रमेय का उपयोग किया गया है।

5. विशिष्ट ऊर्जा (WE) प्रमेय न्यूटन के द्वितीय नियम से स्वतंत्र नहीं है। विशिष्ट ऊर्जा प्रमेय को द्वितीय नियम के एक सदिश रूप के रूप में देखा जा सकता है। यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत को संरक्षित बलों के लिए विशिष्ट ऊर्जा प्रमेय के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है।

6. विशिष्ट ऊर्जा प्रमेय सभी अभिनत घटकों में लागू होती है। इसे गैर-अभिनत घटकों में भी विस्तारित किया जा सकता है, जब हम विचार कर रहे वस्तु पर कार्य कर रहे बल की गणना में आर्थिक बलों को शामिल करते हैं।

7. एक शारीरिक वस्तु के लिए एक संरक्षित बल के कारण ऊर्जा हमेशा एक नियतांक तक अनिर्धारित होती है। उदाहरण के लिए, ऊर्जा के शून्य बिंदु के चयन के लिए एक विकल्प होता है। गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा $m g h$ के लिए, ऊर्जा के शून्य बिंदु को जमीन के रूप में चुना जाता है। वसंत ऊर्जा $k x^2 / 2$ के लिए, ऊर्जा के शून्य बिंदु को दोलन कर रहे द्रव्यमान के संतुलन स्थिति के रूप में चुना जाता है।

8. यांत्रिक भौतिकी में प्रत्येक बल के लिए एक संगत ऊर्जा नहीं होती। उदाहरण के लिए, एक बंद पथ पर घर्षण द्वारा किया गया कार्य शून्य नहीं होता और घर्षण के लिए कोई ऊर्जा संबंध नहीं होता।

9. टकराव के दौरान : (a) टकराव के प्रत्येक क्षण में कुल रैखिक संवेग संरक्षित रहता है ; (b) कार्य-ऊर्जा और शक्ति के अध्याय के अभ्यास के लिए यह ध्यान दें कि यह टकराव के बाद ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार होता है (हालांकि टकराव आदर्श रूप से अस्थाई हो सकता है) और टकराव के प्रत्येक क्षण में यह लागू नहीं होता। वास्तव में, दो टकराव कर रहे वस्तुएं बदल जाती हैं और एक दूसरे के संबंध में आसानी से रुक सकती हैं।

अभ्यास

5.1 एक बल द्वारा एक वस्तु पर किए गए कार्य के चिह्न को समझना महत्वपूर्ण है। निम्नलिखित मात्राओं के चिह्न के बारे में ध्यान से कहें कि ये धनात्मक या ऋणात्मक हैं:

(a) एक आदमी एक बाल्टी को एक कुएं से बाहर उठाने के लिए बाल्टी के बंधे रस्सी के माध्यम से किए गए कार्य के चिह्न के बारे में।

(b) उपरोक्त मामले में गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किए गए कार्य के चिह्न के बारे में।

(c) एक ढलान पर लुढ़कते वस्तु पर घर्षण द्वारा किए गए कार्य के चिह्न के बारे में।

(d) एक वस्तु एक खुरदुरे क्षैतिज सतह पर एकसमान वेग से गति कर रही है, इस मामले में आवेग बल द्वारा किए गए कार्य के चिह्न के बारे में।

(e) एक दोलन करते सरल लोलक के विरोधी बल द्वारा इसे शांति में लाने में किए गए कार्य के चिह्न के बारे में।

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उत्तर

(a) धनात्मक

दिए गए मामले में, बल और विस्थापन एक ही दिशा में हैं। अतः, किए गए कार्य के चिह्न धनात्मक है। इस मामले में, कार्य बाल्टी पर किया जाता है।

(b) ऋणात्मक

दिए गए मामले में, बल की दिशा (ऊर्ध्वाधर नीचे) और विस्थापन की दिशा (ऊर्ध्वाधर ऊपर) एक दूसरे के विपरीत हैं। अतः, किए गए कार्य के चिह्न ऋणात्मक है।

(c) ऋणात्मक

क्योंकि घर्षण बल की दिशा गति की दिशा के विपरीत है, अतः घर्षण बल द्वारा किए गए कार्य इस मामले में ऋणात्मक है।

(d) धनात्मक

यहाँ वस्तु एक खुरदुरे क्षैतिज सतह पर गति कर रही है। घर्षण बल वस्तु की गति के विपरीत है। अतः, एकसमान वेग के बरकरार रखने के लिए वस्तु पर एकसमान बल लगाया जाना आवश्यक है। चूंकि आवेग बल वस्तु की गति की दिशा में कार्य करता है, अतः किया गया कार्य धनात्मक है।

(e) ऋणात्मक

हवा के विरोधी बल लोलक की गति की दिशा के विपरीत दिशा में कार्य करता है। अतः, इस मामले में किया गया कार्य ऋणात्मक है।

5.2 एक वस्तु जिसका द्रव्यमान $2 \mathrm{~kg}$ है, आरंभिक रूप से विराम में है और एक आवेग बल द्वारा एक टेबल पर गति करती है। टेबल के गतिज घर्षण गुणांक $=0.1$ है। गणना करें:

(a) 10 सेकंड में आवेग बल द्वारा किए गए कार्य,

(b) 10 सेकंड में घर्षण द्वारा किया गया कार्य,

(c) 10 सेकंड में वस्तु पर शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य,

(d) 10 सेकंड में वस्तु की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन, और अपने परिणामों की व्याख्या करें।

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उत्तर

वस्तु का द्रव्यमान, $m=2 , \text{kg}$

आरोपित बल, $F=7 , \text{N}$

गतिशील घर्षण के गुणांक, $\mu=0.1$

प्रारंभिक वेग, $u=0$

समय, $t=10 , \text{s}$

आरोपित बल द्वारा वस्तु में उत्पन्न त्वरण गति के द्वितीय नियम द्वारा दिया गया है:

$a^{\prime}=\dfrac{F}{m}=\dfrac{7}{2}=3.5 , \text{m}/\text{s}^{2}$

घर्षण बल निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:

$ \begin{aligned} & f=\mu m g \\ & =0.1 \times 2 \times 9.8=-1.96 , \text{N} \end{aligned} $

घर्षण बल द्वारा उत्पन्न त्वरण:

$ a^{\prime \prime}=-\dfrac{1.96}{2}=-0.98 , \text{m}/\text{s}^{2} $

वस्तु का कुल त्वरण:

$ \begin{aligned} a & =a^{\prime}+a^{\prime \prime} \\ & =3.5+(-0.98)=2.52 , \text{m}/\text{s}^{2} \end{aligned} $

वस्तु द्वारा तय की गई दूरी गति के समीकरण द्वारा दिया गया है:

$ \begin{aligned} s & =u t+\dfrac{1}{2} a t^{2} \\ & =0+\dfrac{1}{2} \times 2.52 \times(10)^{2}=126 , \text{m} \end{aligned} $

(a) आरोपित बल द्वारा किया गया कार्य, $W_a=F \times s=7 \times 126=882 , \text{J}$

(b) घर्षण बल द्वारा किया गया कार्य, $W_f=F \times s=-1.96 \times 126=-247 , \text{J}$

(c) शुद्ध बल $=7+(-1.96)=5.04 , \text{N}$

शुद्ध बल द्वारा किया गया कार्य, $W_{\text{net}}=5.04 \times 126=635 , \text{J}$

(d) गति के प्रथम समीकरण से, अंतिम वेग निम्नलिखित द्वारा गणना किया जा सकता है:

$v=u+a t$

$=0+2.52 \times 10=25.2 , \text{m}/\text{s}$

गतिज ऊर्जा में परिवर्तन $=\dfrac{1}{2} m v^{2}-\dfrac{1}{2} m u^{2}$

$ =\dfrac{1}{2} \times 2(v^{2}-u^{2})=(25.2)^{2}-0^{2}=635 , \text{J} $

5.3 आकृति 5.11 में एक आयाम में कुछ संभाव्य ऊर्जा फलनों के उदाहरण दिए गए हैं। कण की कुल ऊर्जा अक्ष के लंब अक्ष पर एक क्रॉस द्वारा दिखाई गई है। प्रत्येक मामले में, दी गई ऊर्जा के लिए कण के उपस्थिति के क्षेत्र, यदि कोई हो, को निर्धारित करें। इसके अलावा, प्रत्येक मामले में कण के न्यूनतम कुल ऊर्जा को भी निर्दिष्ट करें। इन संभाव्य ऊर्जा आकृतियों के लिए सरल भौतिक संदर्भों के बारे में सोचें जो इन आकृतियों के संबंधित हों।

चित्र 5.11

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उत्तर

एक प्रणाली की कुल ऊर्जा निम्न संबंध द्वारा दी जाती है:

$E=$ स्थितिज ऊर्जा + गतिज ऊर्जा

$\therefore$ गतिज ऊर्जा $=E-$ स्थितिज ऊर्जा

एक वस्तु की गतिज ऊर्जा एक धनात्मक राशि है। यह नकारात्मक नहीं हो सकती। अतः कण उस क्षेत्र में नहीं विद्यमान रह सकता जहाँ गतिज ऊर्जा नकारात्मक हो जाती है।

(i) $x>a ; 0$ दिए गए मामले में, कण की स्थितिज ऊर्जा $(V_0)$, $x>a$ के लिए कुल ऊर्जा $(E)$ से अधिक हो जाती है। अतः इस क्षेत्र में गतिज ऊर्जा नकारात्मक हो जाती है। अतः कण इस क्षेत्र में विद्यमान नहीं रह सकता। कण की न्यूनतम कुल ऊर्जा शून्य है।

(ii) दिए गए मामले में, स्थितिज ऊर्जा $(V_0)$ सभी क्षेत्रों में कुल ऊर्जा $(E)$ से अधिक होती है। अतः कण इस क्षेत्र में विद्यमान नहीं रह सकता।

(iii) $x>a$ और $x<b ;-V_1$, दिए गए मामले में, गतिज ऊर्जा के धनात्मक होने के संबंध केवल उस क्षेत्र में संतुष्ट होता है जहाँ न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा इस मामले में $-V_1$ है। अतः गतिज ऊर्जा $=E-(-V_1)=E+V_1$। अतः गतिज ऊर्जा के धनात्मक होने के लिए, कण की कुल ऊर्जा $-V_1$ से अधिक होनी चाहिए। अतः कण की न्यूनतम कुल ऊर्जा $-V_1$ होनी चाहिए।

(iv) $-\dfrac{b}{2}<x<\dfrac{a}{2} ; \quad \dfrac{a}{2}<x<\dfrac{b}{2} ;-V_1$ दिए गए मामले में, कण की स्थितिज ऊर्जा $(V_0)$, $-\dfrac{b}{2}<x<\dfrac{b}{2}$ और $-\dfrac{a}{2}<x<\dfrac{a}{2}$ के लिए कुल ऊर्जा (E) से अधिक हो जाती है। अतः कण इन क्षेत्रों में विद्यमान नहीं रह सकता।

इस मामले में न्यूनतम स्थितिज ऊर्जा $-V_1$ है। अतः गतिज ऊर्जा $=E-(-V_1)=E+V_1$। अतः गतिज ऊर्जा के धनात्मक होने के लिए, कण की कुल ऊर्जा $-V_1$ से अधिक होनी चाहिए। अतः कण की न्यूनतम कुल ऊर्जा $-V_1$ होनी चाहिए।

5.4 एक कण के रैखिक सरल आवर्त गति के लिए स्थितिज ऊर्जा फलन $V(x)=$ $k x^{2} / 2$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $k$ आवर्तक के बल नियतांक है। $k=0.5 \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-1}$ के लिए, $V(x)$ और $x$ के बीच ग्राफ चित्र 5.12 में दिखाया गया है। दिखाइए कि कुल ऊर्जा $1 \mathrm{~J}$ वाले कण के इस स्थितिज ऊर्जा के अंतर्गत गति करते हुए जब यह $x= \pm 2 \mathrm{~m}$ पर पहुँचता है तो वह ‘पलट जाता है’।

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Answer

कण की कुल ऊर्जा, $E=1 J$

बल नियतांक, $k=0.5 N m^{-1}$

कण की गतिज ऊर्जा, $K=\dfrac{1}{2} m v^{2}$

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:

$E=V+K$

$1=\dfrac{1}{2} k x^{2}+\dfrac{1}{2} m v^{2}$

“पलटने” के समय, वेग (और इसलिए $K$ ) शून्य हो जाता है।

$ \begin{aligned} & \therefore 1=\dfrac{1}{2} k x^{2} \\ & \dfrac{1}{2} \times 0.5 x^{2}=1 \\ & x^{2}=4 \\ & x= \pm 2 \end{aligned} $

इसलिए, कण $x= \pm 2 m$ पर पहुँचते ही पलट जाता है।

5.5 निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दीजिए :

(a) एक रॉकेट के उड़ान में इसके बर्तन घर्षण के कारण जल जाता है। जलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा किसके खर्च से प्राप्त होती है? रॉकेट या वायुमंडल?

(b) कोमेट सूर्य के आसपास बहुत असमाप्त वृत्तीय कक्षाओं में घूमते हैं। सामान्य रूप से सूर्य के कारण कोमेट पर गुरुत्वाकर्षण बल इसके वेग के लंब नहीं होता। फिर भी कोमेट के प्रत्येक पूर्ण कक्षा के लिए गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है। क्यों?

(c) एक निर्माण उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर बहुत पतले वायुमंडल में घूमता है, जिसके कारण वायुमंडलीय प्रतिरोध के विपरीत विकिरण के कारण इसकी ऊर्जा धीरे-धीरे खो जाती है, हालांकि यह बहुत छोटा हो सकता है। तब भी इसकी गति धीरे-धीरे बढ़ती जाती है जब यह पृथ्वी के निकट आता जाता है। क्यों?

(d) चित्र 5.13 (i) में एक आदमी हाथों में 15 किग्रा के द्रव्यमान को ले कर 2 मीटर चलता है। चित्र 5.13 (ii) में वह एक ही दूरी तक खींचते हुए रस्सी को पीछे ले जाता है। रस्सी एक पल्टन बिंदु से गुजरती है और रस्सी के दूसरे सिरे पर 15 किग्रा का द्रव्यमान लटका होता है। इस स्थिति में कौन-सी स्थिति में किया गया कार्य अधिक होता है?

चित्र 5.13

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उत्तर

(ए) रॉकेट

एक रॉकेट के उड़ान में इसके ढक्कन के जलने के कारण (अपसार के कारण) रॉकेट के द्रव्यमान में कमी आती है।

ऊर्जा संरक्षण के अनुसार:

कुल ऊर्जा (T.E.) = स्थितिज ऊर्जा (P.E.) + गतिज ऊर्जा (K.E.)

$ =m g h+\dfrac{1}{2} m v^{2} $

रॉकेट के द्रव्यमान में कमी के कारण कुल ऊर्जा में कमी होती है। अतः जलने के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा रॉकेट से प्राप्त होती है।

(ब) गुरुत्वाकर्षण बल एक संरक्षित बल है। चूंकि संरक्षित बल के द्वारा बंद पथ पर किया गया कार्य शून्य होता है, अतः कमेट के प्रत्येक पूर्ण कक्षा के लिए गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य शून्य होता है।

(स) जब एक निर्मित उपग्रह पृथ्वी के चारों ओर घूमता है और पृथ्वी के करीब जाता है, तो इसकी स्थितिज ऊर्जा कम हो जाती है क्योंकि ऊंचाई में कमी होती है। चूंकि प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है, अतः स्थितिज ऊर्जा में कमी के कारण गतिज ऊर्जा में वृद्धि होती है। अतः उपग्रह की गति बढ़ जाती है। हालांकि, वायुमंडलीय घर्षण के कारण उपग्रह की कुल ऊर्जा थोड़ी ही कम हो जाती है।

(द)

केस (i)

द्रव्यमान, $m=15 kg$

स्थानांतरण, $s=2 m$

कार्य किया, $W=F s \cos \theta$

जहाँ, $\theta=$ बल और स्थानांतरण के बीच कोण

$=m g s \cos \theta=15 \times 2 \times 9.8 \cos 90^{\circ}$

$=0 $

केस (ii)

द्रव्यमान, $m=15 kg$

स्थानांतरण, $s=2 m$

यहाँ, रस्सी पर लगाए गए बल की दिशा और रस्सी के स्थानांतरण की दिशा समान है।

अतः उनके बीच कोण, $\theta=0^{\circ}$

चूंकि $\cos 0^{\circ}=1$

कार्य किया, $W=F s \cos \theta=m g s$

$=15 \times 9.8 \times 2=294 J$

अतः दूसरे मामले में अधिक कार्य किया जाता है।

5.6 सही विकल्प को तल लिखें :

(a) जब एक संरक्षित बल एक वस्तु पर धनात्मक कार्य करता है, तो वस्तु की संभावना ऊर्जा बढ़ती/कम होती/अपरिवर्तित रहती है।

(b) एक वस्तु द्वारा घर्षण के खिलाफ किया गया कार्य हमेशा इसकी गतिज/संभावना ऊर्जा की हानि के कारण होता है।

(c) एक अनेक-कण प्रणाली के कुल संवेग के परिवर्तन की दर प्रणाली पर बाहरी बल/प्रणाली पर आंतरिक बलों के योग के अनुपाती होती है।

(d) दो वस्तुओं के अतिरिक्त टक्कर में, टक्कर के बाद निम्नलिखित में से कौन-सी राशि नहीं बदलती है: दो वस्तुओं के निकाय की कुल कार्यशक्ति/कुल रैखिक संवेग/निकाय की कुल ऊर्जा।

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उत्तर

(a) कम हो जाता है

(b) कार्यशक्ति

(c) बाह्य बल

(d) कुल रैखिक संवेग

स्पष्टीकरण:

(a) एक संरक्षित बल एक वस्तु के बल की दिशा में विस्थापन करते समय एक वस्तु पर धनात्मक कार्य करता है। इसके परिणामस्वरूप, वस्तु बल केंद्र की ओर बढ़ती जाती है। इसके परिणामस्वरूज, दोनों के बीच दूरी कम हो जाती है, जिसके कारण वस्तु की संभावित ऊर्जा कम हो जाती है।

(b) घर्षण की दिशा के विपरीत दिशा में कार्य करने से एक वस्तु की चाल कम हो जाती है। इसलिए, वस्तु की कार्यशक्ति का नुकसान होता है।

(c) आंतरिक बल, चाहे वे किस दिशा में हों, एक वस्तु के कुल संवेग में कोई परिवर्तन नहीं कर सकते। इसलिए, एक बहु-कण निकाय के कुल संवेग को निकाय पर कार्य कर रहे बाह्य बलों के अनुपात में होता है।

(d) यह अतिरिक्त टक्कर या अतिरिक्त टक्कर में भी कुल रैखिक संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।

5.7 प्रत्येक निम्नलिखित कथन के सत्य या असत्य कहें। अपने उत्तर के लिए कारण दें।

(a) दो वस्तुओं के अतिरिक्त टक्कर में, प्रत्येक वस्तु के संवेग और ऊर्जा संरक्षित रहते हैं।

(b) एक निकाय की कुल ऊर्जा हमेशा संरक्षित रहती है, चाहे वस्तु पर कितने आंतरिक और बाह्य बल लग रहे हों।

(c) एक बंद लूप में एक वस्तु के गति के दौरान कार्य निर्वाह करने के लिए प्रत्येक बल के लिए शून्य होता है।

(d) अतिरिक्त टक्कर में, अंतिम कार्यशक्ति हमेशा निकाय की प्रारंभिक कार्यशक्ति से कम होती है।

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उत्तर

(a) गलत

(b) गलत

(c) गलत

(d) सत्य

स्पष्टीकरण:

(a) अतिरिक्त टक्कर में, दोनों वस्तुओं की कुल ऊर्जा और संवेग, न कि प्रत्येक विशिष्ट वस्तु की, संरक्षित रहते हैं।

(b) हालांकि आंतरिक बल संतुलित होते हैं, लेकिन वे एक वस्तु पर कार्य करने के लिए कारण नहीं बनते। यह बाह्य बल ही कार्य करने में सक्षम होते हैं। इसलिए, बाह्य बल एक निकाय की ऊर्जा को बदल सकते हैं।

(c) किसी वस्तु के बंद लूप के गति में किया गया कार्य केवल संरक्षित बल के लिए शून्य होता है।

(d) असंरक्षित टक्कर में, प्रणाली के अंतिम कार्यशक्ति हमेशा प्रारंभिक कार्यशक्ति से कम होती है। इसके कारण ऐसी टक्करों में ऊष्मा, ध्वनि आदि के रूप में ऊर्जा की हानि हमेशा होती है।

5.8 अपने उत्तर के लिए अपने तर्क के साथ ध्यानपूर्वक उत्तर दें :

(a) दो बिल्लियर्ड गेंदों के एक असंरक्षित टक्कर में, गेंदों के संपर्क के छोटे समय के दौरान कुल कार्यशक्ति संरक्षित रहती है (अर्थात जब वे एक दूसरे के संपर्क में हों) ?

(b) दो गेंदों के एक असंरक्षित टक्कर के छोटे समय के दौरान कुल रेखीय संवेग संरक्षित रहता है?

(c) असंरक्षित टक्कर के लिए (a) और (b) के उत्तर क्या होंगे?

(d) यदि दो बिल्लियर्ड गेंदों की संभावित ऊर्जा उनके केंद्रों के बीच अलगाव की दूरी पर निर्भर करती है, तो टक्कर असंरक्जित है या असंरक्षित? (ध्यान दें कि यहां हम टक्कर के दौरान बल के संगत संभावित ऊर्जा के बारे में बात कर रहे हैं, न कि गुरुत्वीय संभावित ऊर्जा।)

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उत्तर

(a) नहीं

एक असंरक्षित टक्कर में, गेंदों की कुल प्रारंभिक कार्यशक्ति गेंदों की कुल अंतिम कार्यशक्ति के बराबर होती है। इस कार्यशक्ति को गेंदों के एक दूसरे के संपर्क में होने के समय निर्माण नहीं रहता है। वास्तव में, टक्कर के समय गेंदों की कार्यशक्ति संभावित ऊर्जा में बदल जाती है।

(b) हाँ

एक असंरक्षित टक्कर में, प्रणाली के कुल रेखीय संवेग हमेशा संरक्षित रहता है।

(c) नहीं; हाँ

एक असंरक्षित टक्कर में, कार्यशक्ति की हानि हमेशा होती है, अर्थात बिल्लियर्ड गेंदों की टक्कर से पहले कुल कार्यशक्ति हमेशा टक्कर के बाद की कार्यशक्ति से अधिक होती है।

बिल्लियर्ड गेंदों की प्रणाली के कुल रेखीय संवेग हमेशा संरक्षित रहता है, भले ही टक्कर असंरक्षित हो।

(d) असंरक्षित

दिए गए मामले में, शामिल बल संरक्षित होते हैं। इसके कारण यह बिल्लियर्ड गेंदों के केंद्रों के बीच अलगाव पर निर्भर करते हैं। इसलिए, टक्कर असंरक्षित है।

5.9 एक वस्तु प्रारंभ में विराम में है। यह एक-विमांक गति करती है जिसमें स्थिर त्वरण होता है। समय $t$ पर इस वस्तु के लिए आविष्कृत शक्ति निम्नलिखित में से किसके समानुपाती होती है?

(i) $t^{1 / 2}$

(ii) $t$

(iii) $t^{3 / 2}$

(iv) $t^{2}$

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उत्तर

उत्तर: (ii) $t$

वस्तु का द्रव्यमान $=m$

वस्तु का त्वरण $=a$

न्यूटन के द्वितीय गति के नियम के अनुसार, वस्तु द्वारा अनुभव की गई बल को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:

$F=m a$

$ m $ और $ a $ दोनों नियतांक हैं। अतः बल $ F $ भी एक नियतांक होगा।

$F=m a=$ नियतांक $\ldots(i)$

गति के वेग $v$ के लिए, त्वरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$a=\dfrac{d v}{d t}=$ नियतांक

$d v=$ नियतांक $\times d t$

$v=\alpha t \quad \quad \quad \ldots(ii)$

जहाँ, $\alpha$ एक अन्य नियतांक है

$v \propto t \quad \quad \quad \ldots(iii)$

शक्ति को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

$P=F . v$

समीकरण ( $i$ ) और (iii) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$P \propto t$

अतः शक्ति समय के सीधे समानुपाती होती है।

5.10 एक वस्तु एक स्थिर शक्ति के स्रोत के प्रभाव में एक दिशा में गति कर रही है। इसका समय $t$ में विस्थापन निम्नलिखित में से किसके समानुपाती होता है?

(i) $t^{1 / 2}$

(ii) $t$

(iii) $t^{3 / 2}$

(iv) $t^{2}$

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उत्तर

(iii) $t^{\dfrac{3}{2}}$

शक्ति को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:

$P=F v$

$=m a v$

$=m v \dfrac{d v}{d t}=$ $k$

$\therefore v d v=\dfrac{k}{m} d t$

दोनों ओर समाकलन करते हुए:

$\dfrac{v^{2}}{2}=\dfrac{k}{m} t$

$v=\sqrt{\dfrac{2 k t}{m}}$

वस्तु के विस्थापन $x$ के लिए, हम प्राप्त करते हैं:

$v=\dfrac{d x}{d t}=\sqrt{\dfrac{2 k}{m}} t^{\dfrac{1}{2}}$

$d x=k^{\prime} t^{\dfrac{1}{2}} d t$

जहाँ $k^{\prime}=\sqrt{\dfrac{2 k}{3}}=$ नया नियतांक

दोनों ओर समाकलन करते हुए, हम प्राप्त करते हैं: $x=\dfrac{2}{3} k^{\prime} t^{\dfrac{3}{2}}$

$\therefore x \propto t^{\dfrac{3}{2}}$

5.11 एक वस्तु को एक निर्देश तंत्र के z-अक्ष के अनुदिश गति करने के लिए बाधित किया जाता है। इस वस्तु पर लगाया गया एक नियत बल $\mathbf{F}$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \mathbf{F}=-\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}} \mathrm{N}

$$

जहाँ $\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$ क्रमशः $x$-, $y$- और $z$-अक्ष के अनुदिश एक इकाई सदिश हैं। इस बल द्वारा एक वस्तु को $z$-अक्ष के अनुदिश $4 \mathrm{~m}$ की दूरी तक गति कराने में किया गया कार्य कितना होगा?

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उत्तर

वस्तु पर लगाया गया बल, $\mathbf{F}=-\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}} N$

स्थानांतरण, $s=4 \hat{\mathbf{k}} {~m}$

कार्य किया गया, $W=$ F. $s$

$ \begin{aligned} & =(-\hat{\mathbf{i}}+2 \hat{\mathbf{j}}+3 \hat{\mathbf{k}}) \cdot(4 \hat{\mathbf{k}}) \\ & =0+0-3 \times 4 \\ & =12 \mathbf{J} \end{aligned} $

अतः, बल द्वारा वस्तु पर $12 J$ कार्य किया गया है।

5.12 एक इलेक्ट्रॉन और एक प्रोटॉन के एक कॉस्मिक किरण प्रयोग में अलग-अलग पहचाने गए हैं, पहले के किणवत ऊर्जा $10 \mathrm{keV}$ है, और दूसरे के $100 \mathrm{keV}$ है। इलेक्ट्रॉन या प्रोटॉन में से कौन तेज गति से चल रहा है? उनकी गति के अनुपात की गणना कीजिए। (इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $=9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$, प्रोटॉन का द्रव्यमान $=1.67 \times 10^{-27} \mathrm{~kg}, 1 \mathrm{eV}=1.60 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$।

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उत्तर

इलेक्ट्रॉन तेज गति से चल रहा है; गति के अनुपात $13.54: 1$ है।

इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान, $m_e=9.11 \times 10^{-31} kg$

प्रोटॉन का द्रव्यमान, $m_p=1.67 \times 10^{-27} kg$

इलेक्ट्रॉन की किणवत ऊर्जा, $KE _{e}=10 keV=10^{4} eV$

$=10^{4} \times 1.60 \times 10^{-19}=1.60 \times 10^{-15} J$

प्रोटॉन की किणवत ऊर्जा, $E _{Kp}=100 keV=10^{5} eV=1.60 \times 10^{-14} J$

इलेक्ट्रॉन की गति $v_e$ के लिए इसकी किणवत ऊर्जा के संबंध में निम्नलिखित संबंध होता है:

$KE _{e}=\dfrac{1}{2} m v_c^{2}$

$\therefore v_e=\sqrt{\dfrac{2 \times KE _{e}}{m}}$

$=\sqrt{\dfrac{2 \times 1.60 \times 10^{-15}}{9.11 \times 10^{-31}}}=5.93 \times 10^{7} m / s$

प्रोटॉन की गति $v_p$ के लिए इसकी किणवत ऊर्जा के संबंध में निम्नलिखित संबंध होता है:

$KE _{p}=\dfrac{1}{2} m v_p^{2}$

$v_p=\sqrt{\dfrac{2 \times E _{Kp}}{m}}$

$\therefore v_p=\sqrt{\dfrac{2 \times 1.6 \times 10^{-14}}{1.67 \times 10^{-27}}}=4.38 \times 10^{6} m / s$

इसलिए, इलेक्ट्रॉन प्रोटॉन से तेजी से गति कर रहा है।

उनकी गति के अनुपात:

$\dfrac{v_e}{v_p}=\dfrac{5.93 \times 10^{7}}{4.38 \times 10^{6}}=13.54: 1$

5.13 एक बरसात की बूंद जिसकी त्रिज्या $2 \mathrm{~mm}$ है, जमीन से $500 \mathrm{~m}$ की ऊँचाई पर गिरती है। वायु के शिथिलता प्रतिरोध के कारण यह गिरते हुए धीमी तेजी से गति करती है तक कि अपनी मूल ऊँचाई के आधे बिंदु पर यह अपनी अधिकतम (समाप्ति) गति प्राप्त कर लेती है और उसके बाद एक समान गति से गिरती है। बूंद के पहले और दूसरे आधे यात्रा के दौरान गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य क्या होगा? यदि जमीन पर पहुँचते समय इसकी गति $10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ है, तो पूरी यात्रा में प्रतिरोधी बल द्वारा किया गया कार्य क्या होगा?

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उत्तर

बरसात की बूंद की त्रिज्या, $r=2 mm=2 \times 10^{-3} m$

बरसात की बूंद का आयतन, $\quad V=\dfrac{4}{3} \pi r^{3}$

$ =\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} m^{-3} $

पानी का घनत्व, $\rho=10^{3} kg m^{-3}$

बरसात की बूंद का द्रव्यमान, $m=\rho V$

$=\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} kg$

गुरुत्वाकर्षण बल, $F=m g$

$=\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} \times 9.8 N$

बूंद के पहले आधे यात्रा में गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किया गया कार्य:

$W_I=F s$

$=\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} \times 9.8 \times 250$

$=0.082 J$

इस मात्रा का कार्य बूंद के दूसरे आधे यात्रा में गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा किये गए कार्य के बराबर है, अर्थात $W_{II}=0.082 J$

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, यदि कोई प्रतिरोधी बल नहीं होता, तो बूंद की कुल ऊर्जा समान रहती।

$\therefore$ शीर्ष पर कुल ऊर्जा:

$E_T=m g h+0$

$=\dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} \times 9.8 \times 500 \times 10^{-5}$

$=0.164 J$

प्रतिरोधी बल के उपस्थिति के कारण, बूंद जमीन पर $10 m / s$ की गति से पहुँचती है।

$\therefore$ जमीन पर कुल ऊर्जा:

$E_G=\dfrac{1}{2} m v^{2}+0$

$=\dfrac{1}{2} \times \dfrac{4}{3} \times 3.14 \times(2 \times 10^{-3})^{3} \times 10^{3} \times 9.8 \times(10)^{2}$

$=1.675 \times 10^{-3} J$

$\therefore$ प्रतिरोधक बल $=E_G-E_T=-0.162 J$

5.14 एक गैस के अणु एक बर्तन की क्षैतिज दीवार पर $200 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ की गति से और अभिलम्ब के साथ $30^{\circ}$ कोण पर टकराता है और उसी गति से प्रतिदान करता है। टकराव में संवेग संरक्षित है? टकराव अप्रतिस्थापित या प्रतिस्थापित है?

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Answer

हाँ; टकराव अप्रतिस्थापित है

गैस अणु के संवेग के संरक्षण के लिए बाहरी बल आवश्यक नहीं होते हैं, इसलिए यह टकराव अप्रतिस्थापित या प्रतिस्थापित हो सकता है।

गैस अणु $200 m / s$ की गति से चलता है और बर्तन की स्थिर दीवार पर टकराता है, जिसके परिणामस्वरूप वह उसी गति से प्रतिदान करता है।

इससे दीवार के प्रतिदान वेग शून्य बने रहते हैं। इसलिए, अणु की कुल कार्य ऊर्जा टकराव के दौरान संरक्षित रहती है। दिया गया टकराव एक अप्रतिस्थापित टकराव का उदाहरण है।

5.15 एक भवन के जमीन तल पर एक पंप एक टैंक को भरने के लिए पानी को ऊपर ले जाता है जिसका आयतन $30 \mathrm{~m}^{3}$ है और इसे $15 \mathrm{~min}$ में भर देता है। यदि टैंक जमीन से $40 \mathrm{~m}$ ऊपर है और पंप की दक्षता $30 \%$ है, तो पंप द्वारा उपयोग किया गया विद्युत शक्ति कितनी है?

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Answer

टैंक का आयतन, $V=30 m^{3}$

कार्य काल, $t=15 min=15 \times 60=900 s$

टैंक की ऊंचाई, $h=40 m$

पंप की दक्षता, $\eta=30 \%$

पानी का घनत्व, $\rho=10^{3} kg / m^{3}$

पानी का द्रव्यमान, $m=\rho V=30 \times 10^{3} kg$

आउटपुट शक्ति निम्नलिखित द्वारा प्राप्त की जा सकती है:

$ \begin{aligned} P_0 & =\dfrac{\text{ कार्य किया गया }}{\text{ समय }}=\dfrac{m g h}{t} \\ & =\dfrac{30 \times 10^{3} \times 9.8 \times 40}{900}=13.067 \times 10^{3} W \end{aligned} $

इनपुट शक्ति $P_i$ के लिए दक्षता $\eta$ के संबंध में निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है:

$ \begin{aligned} \eta & =\dfrac{P_0}{P_i}=30 \% \\ P_i & =\dfrac{13.067}{30} \times 100 \times 10^{3} \\

& =0.436 \times 10^{5} W \\ & =43.6 kW \end{aligned} $

5.16 दो समान गोलियाँ, जो एक दूसरे के संपर्क में हैं और एक घर्षणरहित मेज पर आराम से रखी गई हैं, को एक अन्य गोली द्वारा टकराने के लिए एक गतिशील गोली द्वारा बर्बाद किया जाता है, जो एक ही द्रव्यमान के रूप में आरंभिक गति $V$ के साथ गति कर रही है। यदि टकराव आदर्श हो, तो टकराव के बाद निम्नलिखित में से कौन सा परिणाम संभव हो सकता है (चित्र 5.14)?

चित्र 5.14

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उत्तर

केस (ii)

यह देखा जा सकता है कि प्रत्येक मामले में टकराव से पहले और बाद में कुल संवेग स्थिर रहता है।

एक आदर्श टकराव में, एक प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा टकराव से पहले और बाद में संरक्षित रहती है।

प्रत्येक गोली के द्रव्यमान $m$ के लिए, हम लिख सकते हैं:

टकराव से पहले प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2} m V^{2}+\dfrac{1}{2}(2 m) 0 \\ & =\dfrac{1}{2} m V^{2} \end{aligned} $

केस (i)

टकराव के बाद प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2} m \times 0+\dfrac{1}{2}(2 m)(\dfrac{V}{2})^{2} \\ & =\dfrac{1}{4} m V^{2} \end{aligned} $

इसलिए, केस (i) में प्रणाली की कार्य ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।

केस (ii)

टकराव के बाद प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2}(2 m) \times 0+\dfrac{1}{2} m V^{2} \\ & =\dfrac{1}{2} m V^{2} \end{aligned} $

इसलिए, केस (ii) में प्रणाली की कार्य ऊर्जा संरक्षित रहती है।

केस (iii)

टकराव के बाद प्रणाली की कुल कार्य ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{2}(3 m)(\dfrac{V}{3})^{2} \\ & =\dfrac{1}{6} m V^{2} \end{aligned} $

इसलिए, केस (iii) में प्रणाली की कार्य ऊर्जा संरक्षित नहीं रहती है।

5.17 एक सरल लोलक के बोब A को $30^{\circ}$ के कोण पर ऊर्ध्वाधर से छोड़ा जाता है जो एक दूसरे बोब B के संपर्क में आता है, जो एक ताल मेज पर आराम से रखी गई है, जैसा कि चित्र 5.15 में दिखाया गया है। टकराव के बाद बोब A कितनी ऊँचाई तक उठेगा? बोब के आकार को नगण्य मान लें और टकराव को आदर्श मान लें।

चित्र 5.15

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उत्तर

बॉब A अपने स्थान पर बिलकुल नहीं उठेगा

दो बराबर द्रव्यमानों के बीच एक अस्थायी संघट्ट में, जहां एक वस्तु स्थिर है और दूसरी कुछ वेग के साथ गतिशील है, स्थिर द्रव्यमान गतिशील द्रव्यमान के वेग के समान वेग प्राप्त कर लेता है, जबकि गतिशील द्रव्यमान संघट्ट के बाद तुरंत विराम में आ जाता है। इस मामले में, गतिशील द्रव्यमान से स्थिर द्रव्यमान में संपूर्ण द्रव्यमान परिवर्तन हो जाता है।

इसलिए, द्रव्यमान $m$ के बॉब A, बॉब B के बराबर द्रव्यमान के साथ संघट्ट करने के बाद विराम में आ जाएगा, जबकि बॉब $B$ बॉब A के संघट्ट के समय के वेग के साथ गतिशील होगा।

5.18 एक सरल लोलक के बॉब को क्षैतिज स्थिति से छोड़ा जाता है। यदि लोलक की लंबाई $1.5 \mathrm{~m}$ है, तो बॉब किस वेग से निम्नतम बिंदु पर पहुंचता है, जबकि हवा के प्रतिरोध के विरुद्ध इसकी प्रारंभिक ऊर्जा के 5% व्यय हो जाता है?

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उत्तर

लोलक की लंबाई, $l=1.5 , \text{m}$

बॉब का द्रव्यमान $=m$

ऊर्जा व्यय $=5 %$

ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, प्रणाली की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है।

क्षैतिज स्थिति में:

बॉब की संभावित ऊर्जा, $E_P = m g l$

बॉब की गतिज ऊर्जा, $E_K = 0$

कुल ऊर्जा $= m g l \ldots (i)$

निम्नतम बिंदु (मध्य स्थिति) पर:

बॉब की संभावित ऊर्जा, $E_P = 0$

बॉब की गतिज ऊर्जा, $E_K = \dfrac{1}{2} m v^{2}$

कुल ऊर्जा $E_x = \dfrac{1}{2} m v^{2} \ldots (ii)$

जब बॉब क्षैतिज स्थिति से निम्नतम बिंदु तक गति करता है, तो इसकी 5% ऊर्जा व्यय हो जाती है।

निम्नतम बिंदु पर कुल ऊर्जा क्षैतिज स्थिति पर कुल ऊर्जा के 95% के बराबर होती है, अर्थात,

$ \begin{aligned} & \dfrac{1}{2} m v^{2} = \dfrac{95}{100} \times m g l \\ & \therefore v = \sqrt{\dfrac{2 \times 95 \times 1.5 \times 9.8}{100}} \\

& \quad=5.28 \text{m/s} \end{aligned} $

5.19 एक ट्रॉली जिसका द्रव्यमान $300 \mathrm{~kg}$ है और जिसमें $25 \mathrm{~kg}$ के रेत के बैग लटका है, एक घर्षण रहित पटरी पर $27 \mathrm{~km/h}$ की गति से एकसमान गति से चल रही है। एक समय बाद, ट्रॉली के तल पर एक छेद से रेत बाहर निकलन शुरू हो जाती है जिसकी दर $0.05 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1}$ है। जब पूरा रेत बैग खाली हो जाए तो ट्रॉली की गति क्या होगी?

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Answer

रेत के बैग को एक ट्रॉली पर रखा गया है जो $27 \mathrm{~km/h}$ की एकसमान गति से चल रही है। रेत के बैग और ट्रॉली के प्रणाली पर कार्य करने वाले बाहरी बल शून्य हैं। जब रेत बैग से बाहर निकलन शुरू हो जाए तो ट्रॉली की गति में कोई परिवर्तन नहीं होगा। इसका कारण यह है कि निकलन क्रिया प्रणाली पर कोई बाहरी बल उत्पन्न नहीं करती है। यह न्यूटन के पहले गति के नियम के अनुरूप है। अतः ट्रॉली की गति $27 \mathrm{~km/h}$ बनी रहेगी।

5.20 एक द्रव्यमान $0.5 \mathrm{~kg}$ के बॉडी की गति एक सीधी रेखा में होती है जिसकी वेग $v = a x^{3/2}$ है जहाँ $a = 5 \mathrm{~m^{-1/2}} \mathrm{~s^{-1}}$ है। जब बॉडी $x = 0$ से $x = 2 \mathrm{~m}$ तक विस्थापन करती है तो नेट बल द्वारा किया गया कार्य कितना होगा?

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Answer

बॉडी का द्रव्यमान, $m = 0.5 \mathrm{~kg}$

बॉडी की गति के लिए समीकरण, $v = a x^{\dfrac{3}{2}}$ है जहाँ $a = 5 \mathrm{~m^{\dfrac{-1}{2}}} \mathrm{~s^{-1}}$ है

प्रारंभिक वेग, $u$ (जब $x = 0$) = 0

अंतिम वेग $v$ (जब $x = 2 \mathrm{~m}$) = $10 \sqrt{2} \mathrm{~m/s}$

कार्य किया गया, $W =$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन

$= \dfrac{1}{2} m(v^{2} - u^{2})$

$= \dfrac{1}{2} \times 0.5[(10 \sqrt{2})^{2} - (0)^{2}]$

$= \dfrac{1}{2} \times 0.5 \times 10 \times 10 \times 2$

$= 50 \mathrm{~J}$

5.21 बाती के ब्लेड एक क्षेत्रफल A के वृत्त को तेजी से घेरते हैं। (a) यदि हवा वृत्त के लंबवत वेग $v$ से बहती है, तो समय $t$ में वह वायु जो इसके माध्यम से गुजरती है उसका द्रव्यमान कितना होगा? (b) वायु की गतिज ऊर्जा कितनी होगी? (c) मान लीजिए कि बाती $25 %$ वायु की ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करती है, और $A = 30 \mathrm{~m^{2}}$, $v = 36$ $\mathrm{km/h}$ और हवा का घनत्व $1.2 \mathrm{~kg} \mathrm{~m^{-3}}$ है। विद्युत शक्ति कितनी होगी?

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उत्तर

हवा द्वारा घिरे वृत्त का क्षेत्रफल $=A$

हवा की गति $=v$

हवा का घनत्व $=\rho$

हवा द्वारा विद्युत चक्र में प्रति सेकंड प्रवाहित आयतन $=A v$

हवा द्वारा विद्युत चक्र में प्रति सेकंड प्रवाहित द्रव्यमान $=\rho A v$

समय $t$ में विद्युत चक्र में प्रवाहित द्रव्यमान $m=\rho A v t$

हवा की कार्यशक्ति $=\dfrac{1}{2} m v^{2}$

$=\dfrac{1}{2}(\rho A v t) v^{2}=\dfrac{1}{2} \rho A v^{3} t$

हवा द्वारा घिरे वृत्त का क्षेत्रफल $=A=30 m^{2}$

हवा की गति $=v=36 km / h$

हवा का घनत्व, $\rho=1.2 kg m^{-3}$

उत्पन्न विद्युत ऊर्जा $=25 \%$ विद्युत ऊर्जा का

$ \begin{aligned} & =\dfrac{25}{100} \times \text{ हवा की कार्यशक्ति } \\ & =\dfrac{1}{8} \rho A v^{3} t \end{aligned} $

विद्युत शक्ति $=\dfrac{\text{ विद्युत ऊर्जा }}{\text{ समय }}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{1}{8} \dfrac{\rho A v^{3} t}{t}=\dfrac{1}{8} \rho A v^{3} \\ & =\dfrac{1}{8} \times 1.2 \times 30 \times(10)^{3} \\ & =4.5 \times 10^{3} W=4.5 kW \end{aligned} $

5.22 वजन कम करने की कोशिश करने वाले व्यक्ति (डाइटर) एक बार एक हजार बार एक $10 \mathrm{~kg}$ द्रव्यमान को $0.5 \mathrm{~m}$ की ऊँचाई तक उठाता है। मान लीजिए कि प्रत्येक बार जब वह द्रव्यमान को नीचे ले जाती है तब खोई गई संभावित ऊर्जा व्यर्थ हो जाती है। (a) वह गुरुत्वाकर्षण बल के खिलाफ कितना कार्य करती है? (b) वसा $3.8 \times 10^{7} \mathrm{~J}$ ऊर्जा प्रति किलोग्राम प्रदान करती है जो यांत्रिक ऊर्जा में 20 \% के दक्षता दर से परिवर्तित हो जाती है। डाइटर के द्वारा कितनी वसा उपयोग में लाई जाएगी?

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उत्तर

द्रव्यमान, $m=10 kg$

व्यक्ति द्वारा द्रव्यमान को उठाया गया ऊँचाई, $h=0.5 m$

द्रव्यमान को उठाया गया बारों की संख्या, $n=1000$

$\therefore$ गुरुत्वाकर्षण बल के खिलाफ कार्य किया गया:

$ \begin{aligned} & =n(m g h) \\ & =1000 \times 10 \times 9.8 \times 0.5 \\ & =49 \times 10^{3} J=49 kJ \end{aligned} $

1 किलोग्राम वसा के ऊर्जा तुलनीय मान $=3.8 \times 10^{7} J$

दक्षता दर $=20 \%$

व्यक्ति के शरीर द्वारा प्रदान की गई यांत्रिक ऊर्जा:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{20}{100} \times 3.8 \times 10^{7} J \\ & =\dfrac{1}{5} \times 3.8 \times 10^{7} J \end{aligned} $

डाइटर द्वारा खोए गए वसा के तुलनात्मक द्रव्यमान:

$ \begin{aligned} & =\dfrac{49 \times 10^{3}}{\dfrac{1}{5} \times 3.8 \times 10^{7}} \\ & =\dfrac{245}{3.8} \times 10^{-4} \\ & =6.45 \times 10^{-3} kg \end{aligned} $

5.23 एक परिवार के द्वारा 8 किलोवाट शक्ति का उपयोग किया जाता है। क्षैतिज सतह पर सीधी सौर ऊर्जा के औसत दर प्रति वर्ग मीटर 200 वाट है। यदि इस ऊर्जा के 20% उपयोगी विद्युत ऊर्जा में बदला जा सकता है, (a) 8 किलोवाट आपूर्ति करने के लिए कितना क्षेत्रफल आवश्यक होगा? (b) इस क्षेत्रफल को एक सामान्य घर के छत के क्षेत्रफल के साथ तुलना करें।

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उत्तर

(a) $200 m^{2}$

परिवार द्वारा उपयोग की गई शक्ति, $P=8 kW=8 \times 10^{3} W$

प्रति वर्ग मीटर सौर ऊर्जा प्राप्त होती है $=200 W$

सौर ऊर्जा से विद्युत ऊर्जा में परिवर्तन की दक्षता $=20 \%$

उचित विद्युत उत्पादन के लिए आवश्यक क्षेत्रफल $=A$

प्रश्न में दिए गए जानकारी के अनुसार हम निम्नलिखित रखते हैं:

$ \begin{aligned} & 8 \times 10^{3}=20 \% \times(A \times 200) \\ & =\dfrac{20}{100} \times A \times 200 \\ & \therefore A=\dfrac{8 \times 10^{3}}{40}=200 m^{2} \end{aligned} $

8 किलोवाट विद्युत उत्पादन के लिए आवश्यक सौर प्लेट के क्षेत्रफल के लगभग बराबर होता है जो एक इमारत के छत के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसके आयाम $14 m \times 14 m$ है।