4.1 परिचय

पिछले अध्याय में हम एक कण के अंतरिक्ष में गति का वैज्ञानिक वर्णन कर रहे थे। हमने देखा कि समान गति के लिए वेग की अवधारणा की आवश्यकता होती है, जबकि असमान गति के लिए त्वरण की अवधारणा के साथ-साथ आवश्यकता होती है। अब तक, हमने वस्तुओं की गति को किस बात के नियंत्रण में होती है इस प्रश्न के बारे में नहीं पूछा है। इस अध्याय में हम इस मूल प्रश्न पर ध्यान केंद्रित करेंगे।

हम पहले अपने सामान्य अनुभव के आधार पर उत्तर का अनुमान लगाएं। एक शांत फुटबॉल को गति देने के लिए किसी को इसे पैदल चलाना पड़ता है। एक पत्थर को ऊपर फेंकने के लिए इसे ऊपर की ओर धकेलना पड़ता है। एक हवा वृक्ष के शाखाओं को झूलते हुए देखाती है; एक मजबूत हवा भारी वस्तुओं को भी गति दे सकती है। एक नाव बहते हुए नदी में बिना किसी के बोट चलाने के बिना भी चलती है। स्पष्ट रूप से, गति देने के लिए किसी बाहरी एजेंसी की आवश्यकता होती है। इसी तरह, गति को धीमा करने या रोकने के लिए भी बाहरी बल की आवश्य की आवश्यकता होती है। आप एक झुके हुए समतल पर चलते हुए गेंद को बंद कर सकते हैं जब आप इसकी गति की दिशा के विपरीत दिशा में बल लगाते हैं।

इन उदाहरणों में, बाहरी बल के बाहरी एजेंसी (हाथ, हवा, धारा आदि) वस्तु के संपर्क में है। यह हमेशा आवश्यक नहीं होता। एक पत्थर एक इमारत के शीर्ष से छोड़े जाने पर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे तेजी से गिरता है। एक लौह चूड़ी को एक दूरी से एक बारम्बार चुंबक आकर्षित कर सकता है। यह दिखाता है कि बाहरी एजेंसियाँ (जैसे गुरुत्वाकर्षण और चुंबकीय बल) एक वस्तु को दूर से भी बल लगा सकती हैं।

संक्षेप में, एक बल की आवश्यकता होती है एक स्थिर वस्तु को गति में लाने या गतिशील वस्तु को रोकने के लिए, और कुछ बाहरी एजेंसी की आवश्यकता होती है जो इस बल को प्रदान करे। बाहरी एजेंसी वस्तु के संपर्क में हो सकती है या नहीं।

अब तक सब कुछ ठीक है। लेकिन यदि एक वस्तु एकसमान गति में चल रही है (जैसे कि एक स्केटर एक क्षैतिज बर्फ के टुकड़े पर सीधे एक स्थिर गति से चल रहा है) तो क्या एक बाहरी बल की आवश्यकता होती है एक वस्तु को एकसमान गति में रखे रहने के लिए?

4.2 अरिस्टॉटल की गलती

ऊपर उठाए गए प्रश्न के अंतर्गत लगता है कि यह एक सरल प्रश्न है। हालांकि, इसका उत्तर देने में बहुत लंबा समय लगा। वास्तव में, गैलीलियो द्वारा सत्रहवीं शताब्दी में दिया गया इस प्रश्न का सही उत्तर न्यूटनीय भौतिकी के आधार बन गया, जो आधुनिक विज्ञान के जन्म के संकेत थे।

ग्रीक चिंतक, अरस्तू (384 ई.पू. – 322 ई.पू.) के विचार में, यदि कोई वस्तु गति में है, तो उसे गति के रखने के लिए कोई बाह्य बल आवश्यक होता है। इस विचार के अनुसार, उदाहरण के लिए, एक बाँझ से छोड़े गए बाण के बाद भी उसकी गति जारी रहती है क्योंकि बाण के पीछे वाली हवा इसे धकेलती रहती है। यह विचार अरस्तू द्वारा ब्रह्मांड में वस्तुओं की गति के लिए विकसित किए गए एक विस्तृत विचारों के ढांचे का हिस्सा था। अरस्तू के गति संबंधी अधिकांश विचार अब गलत जाने लगे हैं और हमें उनकी बात करने की आवश्यकता नहीं है। हमारे इस उद्देश्य के लिए, अरस्तू के गति के नियम को इस तरह बयान किया जा सकता है: एक वस्तु को गति में रखने के लिए बाह्य बल की आवश्यकता होती है।

अरस्तू के गति के नियम में त्रुटि है, जैसा कि हम देखेंगे। हालांकि, यह एक सामान्य अनुभव से लोगों द्वारा धारण किया जाने वाला प्राकृतिक विचार है। एक छोटा बच्चा एक सरल (अग्रिम बिजली वाला नहीं) खिलौना कार के साथ फर्श पर खेलते हुए भी बिना किसी बल के खिलौना कार को चलाए रखने के लिए तार को खींचते हुए अनुभव करता है। यदि वह तार को छोड़ देता है, तो खिलौना कार शांति में आ जाता है। यह अनुभव अधिकांश भूमिगत गति के लिए सामान्य है। बाह्य बल की आवश्यकता लगती है ताकि वस्तुएं गति में रह सकें। अपने आप छोड़ देने पर सभी वस्तुएं अंततः शांति में आ जाती हैं।

किस तरह अरस्तू के तर्क में त्रुटि है? उत्तर यह है: गतिशील खिलौना कार विराम में आ जाती है क्योंकि फर्श द्वारा कार पर लगने वाला बाहरी बल घर्षण उसकी गति के विरुद्ध होता है। इस बल के विरुद्ध बल को विरोध करने के लिए बच्चे को कार के गति की दिशा में बाहरी बल लगाना पड़ता है। जब कार समान गति में होती है, तो उस पर कोई शुद्ध बाहरी बल नहीं लगता है: बच्चे द्वारा लगाया गया बल फर्श द्वारा लगाए गए बल (घर्षण) को विरोध करता है। इसका निम्नलिखित निष्कर्ष है: यदि घर्षण न होता, तो बच्चे को कार को समान गति में रखने के लिए कोई बल लगाने की आवश्यकता नहीं होती।

घर्षण (ठोस) और श्यान बल (प्रवाही) जैसे विरोधी बल सदैव प्रकृति के दुनिया में उपस्थित होते हैं। इसके कारण बाहरी एजेंसियों द्वारा लगाए गए बलों की आवश्यकता होती है ताकि घर्षण बलों को पार करके वस्तुओं को समान गति में रखा जा सके। अब हम जानते हैं कि अरस्तू कहां गलत थे। वह इस व्यावहारिक अनुभव को एक मूल तर्क के रूप में कोड कर दिया था। बल और गति के वास्तविक नियम के लिए पहुंचने के लिए, एक ऐसे दुनिया की कल्पना करनी पड़ती है जहां घर्षण बल के बिना समान गति संभव हो। यह गैलिलियो ने किया।

4.3 अपरिवर्ती गति का नियम

गैलीलियो ने झुके तल पर वस्तुओं की गति के अध्ययन किया। वस्तुएं (i) झुके तल पर नीचे गिरते समय त्वरित होती हैं, जबकि वे (ii) ऊपर चढ़ते समय धीमी होती हैं। (iii) समतल तल पर गति की स्थिति एक मध्य अवस्था है। गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला कि एक वस्तु घर्षण रहित समतल तल पर गति करते समय न तो त्वरित होगी और न ही धीमी होगी, अर्थात इसकी गति नियत वेग से होगी (चित्र 4.1(a))।

चित्र 4.1(a)

गैलीलियो द्वारा एक अन्य प्रयोग जो इसी निष्कर्ष को दर्शाता है, एक द्वितल झुके तल का है। एक तल पर विराम से छोड़ी गई गेंद दूसरे तल पर चढ़ती है। यदि तल स्मूथ हों, तो गेंद के अंतिम ऊंचाई के लगभग आरंभिक ऊंचाई के बराबर होती है (एक थोड़ा कम लेकिन कभी अधिक नहीं)। आदर्श स्थिति में, जब घर्षण न हो, तो गेंद के अंतिम ऊंचाई के आरंभिक ऊंचाई के बराबर होती है।

अगर दूसरे समतल के ढलान को कम कर दिया जाए और प्रयोग दोहराया जाए, तो गेंद फिर भी एक ही ऊंचाई तक पहुंचेगी, लेकिन इसके लिए यह एक लंबी दूरी तय करेगी। सीमांत स्थिति में, जब दूसरे समतल का ढलान शून्य हो जाए (अर्थात एक क्षैतिज समतल हो) तो गेंद अपरिमित दूरी तय करती है। अन्य शब्दों में, इसकी गति कभी बंद नहीं होती। यह, बेशक, एक आदर्श स्थिति है (चित्र 4.1 (b))।

चित्र 4.1(b) गैलीलियो ने एक गेंद के एक द्विसमतल पर गति के अवलोकन से जड़त्व के नियम की अवधारणा की।

अभ्यास में, गेंद क्षैतिज समतल पर एक निश्चित दूरी तय करने के बाद रुक जाती है, क्योंकि घर्षण के विरोधी बल के कारण जो कभी भी पूरी तरह से दूर नहीं किया जा सकता। हालांकि, यदि घर्षण न होता, तो गेंद क्षैतिज समतल पर एक स्थिर वेग के साथ गतिशील रहती।

गैलीलियो इस प्रकार गति के एक नए दृष्टिकोण पर पहुँच गए जो अरस्तु और उनके अनुयायियों के लिए अज्ञात रह गया था। विराम की अवस्था और समान रेखीय गति (स्थिर वेग के साथ गति) की अवस्था समान है। दोनों में वस्तु पर कोई शुद्ध बल कार्य नहीं कर रहा है। यह गलत है धारणा करना कि समान रेखीय गति के लिए एक शुद्ध बल की आवश्यकता होती है। समान रेखीय गति के लिए वस्ज को बनाए रखने के लिए हमें बाह्य बल के विरुद्ध घर्षण बल को रोकने के लिए बाह्य बल लगाना पड़ता है, ताकि दोनों बलों का योग शुद्ध बाह्य बल के रूप में शून्य हो जाए।

सारांश के रूप में, यदि शुद्ध बाह्य बल शून्य है, तो विराम में वस्तु विराम में बनी रहती है और गति में वस्तु समान वेग के साथ गति करती रहती है। इस गुण को जड़ता कहते हैं। जड़ता का अर्थ है ‘परिवर्तन के विरुद्ध रोक’। एक वस्तु अपने विराम या समान रेखीय गति की अवस्था में परिवर्तन नहीं करती जब तक बाह्य बल इसे बदलने के लिए बाध्य नहीं करता।

प्राचीन भारतीय विज्ञान में गति के विचार

प्राचीन भारतीय चिंतकों ने गति के विचारों के एक विस्तृत तंत्र पर पहुँच गए थे। गति के कारण बल, विभिन्न प्रकार के माने जाते थे: निरंतर दबाव के कारण बल (नोदन), जैसे बालू के जहाज पर हवा का बल; टक्कर (अभिघात), जैसे एक बर्तन बनाने वाले छड़ी के बर्तन पर टक्कर; अस्थायी प्रवृत्ति (संस्कर) एक सीधी रेखा में गति करने के लिए (वेग) या एक लचीले शरीर में आकार के पुनर्स्थापन के लिए; एक तार, छड़, आदि द्वारा संचारित बल। वैयासिक गति सिद्धांत में (वेग) के विचार जड़ता के अवधारणा के सबसे करीब आते हैं। वेग, एक सीधी रेखा में गति के प्रवृत्ति के रूप में, वस्तुओं के संपर्क के विरुद्ध बात लेने के लिए समझा जाता था, जो घर्षण और हवा के प्रतिरोध के विचारों के समान है। यह ठीक रूप से सारांशित किया गया था कि एक विस्तारित वस्तु के विभिन्न प्रकार की गति (अनुवाही, घूर्णन और झूला गति) केवल इसके संघटक कणों की अनुवाही गति से उत्पन्न होती है। हवा में गिरती हुई पत्ती के लिए एक पूरे रूप में नीचे की गति (पतन) हो सकती है और घूर्णन और झूला गति (भ्रमन, स्पंदन) भी हो सकती है, लेकिन पत्ती के प्रत्येक कण के एक क्षण में केवल एक निश्चित (छोटा) विस्थापन होता है। भारतीय चिंतन में गति के माप और लंबाई और समय के इकाइयों के माप के बारे में बहुत ध्यान दिया गया था। यह ज्ञात था कि एक कण के अंतरिक अंतर को तीन अक्षों के अनुदिश दूरी के माप द्वारा इंगित किया जा सकता है। भास्कर (1150 ई.) ने ‘समय बिंदु गति’ (तत्कालिक गति) की अवधारणा परिचय दिया जो आधुनिक अवधारणा के रूप में अवकलन गणित के उपयोग के आगे बढ़ गया था। एक लहर और एक धारा (पानी की) के बीच अंतर स्पष्ट रूप से समझा गया था; एक धारा गुरुत्व और तरलता के अंतर तह तल में पानी के कणों की गति होती है जबकि एक लहर पानी के कणों के झूले के संचार के परिणामस्वरूप होती है।

4.4 गति का न्यूटन का प्रथम नियम

गैलीलियो के सरल, लेकिन क्रांतिकारी विचार अरिस्टॉटल के यांत्रिक नियमों को उखाड़ फेंक दिए। एक नया यांत्रिक नियम विकसित करने के लिए आवश्यक था। इस कार्य को लगभग एक ही व्यक्ति द्वारा पूरा किया गया, जो इतिहास के सबसे बड़े वैज्ञानिकों में से एक थे।

न्यूटन ने गैलीलियो के विचारों पर आधार रखते हुए गति के तीन नियमों के माध्यम से यांत्रिकी की आधार रखा। गति के नियम के रूप में इन नियमों को उनके नाम से जाना जाता है। गैलीलियो के जड़त्व के नियम उनके आरंभिक बिंदु थे, जिसे वे अपने गति के प्रथम नियम के रूप में स्थापित करते हैं:

कोई वस्तु अपने विराम की अवस्था या सीधी रेखा में समान गति में बनी रहती है जब तक कि कोई बाह्य बल इसे अपनी अवस्था से बाहर न ले जाए।

विराम या समान रेखीय गति दोनों शून्य त्वरण को दर्शाते हैं। अतः गति के प्रथम नियम को इस प्रकार सरल रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

यदि किसी वस्तु पर बाह्य बल का नेट योग शून्य हो, तो उसका त्वरण शून्य होता है। त्वरण शून्य न हो सकता है अगर वस्तु पर बाह्य बल का नेट योग शून्य न हो।

इस नियम के अनुप्रयोग में दो प्रकार की स्थितियाँ आम तौर पर पाई जाती हैं। कुछ उदाहरणों में हम जानते हैं कि वस्तु पर बाह्य बल का नेट योग शून्य है। ऐसे मामले में हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि वस्तु का त्वरण शून्य है। उदाहरण के लिए, एक अंतरग्रही अंतरिक्ष में एक अंतरिक्ष यान जो अन्य सभी वस्तुओं से दूर हो और अपने सभी रॉकेट बंद हो गए हों, उस पर कोई बाह्य बल नहीं लग रहा है। अतः इसका त्वरण, प्रथम नियम के अनुसार, शून्य होना चाहिए। यदि यह गतिशील है, तो यह एक समान वेग के साथ गति जारी रखता है।

अधिकांशतः, हम शुरू में सभी बलों के बारे में नहीं जानते हैं। ऐसे मामले में, यदि हम जानते हैं कि एक वस्तु त्वरित नहीं है (अर्थात यह या तो विराम में है या एकसमान रेखीय गति में है), तो हम पहले कानून से निष्कर्ष ले सकते हैं कि वस्तु पर कार्य कर रहे शुद्ध बाह्य बल शून्य होना चाहिए। गुरुत्वाकर्षण हर जगह होता है। विशेष रूप से भूमि पर घटनाओं के लिए, प्रत्येक वस्तु पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करती है। गतिमान वस्तुएं आमतौर पर घर्षण, श्यान बल, आदि का अनुभव करती हैं। अतः, यदि भूमि पर एक वस्तु विराम में है या एकसमान रेखीय गति में है, तो इसका कारण वहां कोई बल नहीं होना है, बल्कि विभिन्न बाह्य बल एक दूसरे को बरकरार रखते हैं अर्थात शुद्ध बाह्य बल शून्य होता है।

एक किताब को एक क्षैतिज सतह पर विराम में रखा गया है चित्र (4.2(a))। यह दो बाह्य बलों के अंतर्गत है: गुरुत्वाकर्षण बल (अर्थात इसका भार $W$) नीचे की ओर कार्य करता है और किताब पर टेबल द्वारा ऊपर की ओर लगने वाला बल, अभिलम्ब बल $R$। $R$ एक स्व-समायोजित बल है। यह उपरोक्त प्रकार की स्थिति का एक उदाहरण है। बल अभी तक पूरी तरह से ज्ञात नहीं हैं लेकिन गति की स्थिति ज्ञात है। हम देखते हैं कि किताब विराम में है। अतः, हम पहले कानून से निष्कर्ष लेते हैं कि $R$ का परिमाण $W$ के बराबर होता है। एक आम बयान यह होता है: “क्योंकि $W=R$, बल विपरीत एक दूसरे को बरकरार रखते हैं और अतः किताब विराम में है।” यह गलत तर्क है। सही बयान यह है: “क्योंकि हम देखते हैं कि किताब विराम में है, तो इसके पर शुद्ध बाह्य बल शून्य होना चाहिए, जो पहले कानून के अनुसार है। इससे अभिलम्ब बल $R$ का परिमाण भार $W$ के बराबर होना चाहिए और विपरीत दिशा में होना चाहिए।”

चित्र 4.2 (a) मेज पर विराम में किताब, और (b) एक कार जो समान वेग से गति कर रही है। प्रत्येक स्थिति में शुद्ध बल शून्य है।

एक कार के गति के अध्ययन करें जो विराम से शुरू होती है, वेग बढ़ाती है और फिर एक सुगम सीधी सड़क पर समान वेग से गति करती है (चित्र 4.2(b))। जब कार स्थिर होती है, तो इस पर कोई शुद्ध बल कार्य कर रहा नहीं होता। वेग बढ़ाने के दौरान, यह त्वरित होती है। इसके होने के कारण एक शुद्ध बाह्य बल होना आवश्यक है। ध्यान दें, यह बाह्य बल होना आवश्यक है। कार के त्वरण को कोई आंतरिक बल द्वारा नहीं समझा जा सकता। यह आश्चर्यजनक लग सकता है, लेकिन यह सच है। सड़क के अनुदिश एकमात्र संभव बाह्य बल घर्षण बल है। यह घर्षण बल ही कार के समग्र त्वरण के कारण है। (आप 4.9 अनुच्छेद में घर्षण के बारे में सीखेंगे)। जब कार स्थिर वेग से गति करती है, तो कोई शुद्ध बाह्य बल नहीं होता।

ईंधन के गुण के पहले नियम में निहित गुण अनेक स्थितियों में स्पष्ट रूप से दिखाई देता है। मान लीजिए हम एक स्थिर बस में खड़े हैं और ड्राइवर अचानक बस को चलाना शुरू कर देता है। हम अचानक बस के पीछे झुक जाते हैं। क्यों? हमारे पैर फर्श के संपर्क में हैं। यदि घर्षण नहीं होता तो हम अपने स्थान पर रहेंगे, जबकि बस के फर्श के नीचे हमारे पैर अचानक आगे बढ़ जाएंगे और बस के पीछे भाग आ जाएगा जो हमें टकराएगा। हालांकि, भाग्यवश फर्श और पैर के बीच कुछ घर्षण होता है। यदि शुरूआत बहुत अचानक नहीं होती, अर्थात यदि त्वरण शांतिपूर्वक होता है, तो घर्षण बल हमारे पैरों को बस के साथ त्वरित करने में पर्याप्त हो सकता है। लेकिन हमारा शरीर एक ठोस शरीर नहीं होता। यह विकृत हो सकता है, अर्थात इसमें विभिन्न भागों के बीच कुछ संबंधी विस्थापन की अनुमति होती है। इसका अर्थ यह है कि जब हमारे पैर बस के साथ चलते हैं, तो शरीर के बाकी हिस्सा घर्षण के कारण अपने स्थान पर रहता है। बस के संदर्भ में, इसलिए हम अपने पीछे झुक जाते हैं। जैसे ही यह हो जाता है, हालांकि, शरीर के बाकी हिस्से पर बल लगते हैं जो शरीर को बस के साथ चलाने में सहायता करते हैं। बस अचानक रूप से रुक जाने पर भी ऐसा ही घटना होती है। हमारे पैर बस के फर्श के संपर्क में घर्षण के कारण रुक जाते हैं जो पैर और फर्श के बीच संबं्धी गति को रोकता है। लेकिन शरीर के बाकी हिस्सा घर्षण के कारण आगे बढ़ता रहता है। हम आगे झुक जाते हैं। फिर भी, बाकी शरीर के लिए बल लगते हैं जो शरीर को शांति में लाते हैं।

उदाहरण 4.1 एक अंतरिक्ष यात्री अपने छोटे अंतरिक्ष यान से अचानक अलग हो जाता है, जो अंतरग्रहीय अंतरिक्ष में 100 मी/से² की नियत दर से त्वरित हो रहा है। जब वह अंतरिक्ष यान से बाहर हो जाता है, तब उसके त्वरण क्या होगा? (मान लीजिए कि उसके पास कोई पास के तारे नहीं हैं जो उस पर गुरुत्वाकर्षण बल डाल सकें।)

उत्तर चूंकि उसके पास कोई पास के तारे नहीं हैं जो उस पर गुरुत्वाकर्षण बल डाल सकें और छोटे अंतरिक्ष यान द्वारा उस पर गुरुत्वाकर्षण आकर्षण नगण्य है, तो जब वह अंतरिक्ष यान से बाहर हो जाता है, तब उस पर कार्य करने वाला शुद्ध बल शून्य होता है। गति के प्रथम नियम के अनुसार अंतरिक्ष यात्री का त्वरण शून्य होता है।

4.5 गति का न्यूटन का द्वितीय नियम

प्रथम नियम वह सरल स्थिति के बारे में होता है जब किसी वस्तु पर कार्य करने वाला शुद्ध बाह्य बल शून्य होता है। गति का द्वितीय नियम वह सामान्य स्थिति के बारे में होता है जब किसी वस्तु पर शुद्ध बाह्य बल कार्य करता है। यह वस्तु के त्वरण को वस्तु पर कार्य करने वाले शुद्ध बाह्य बल से संबंधित बताता है।

संवेग

किसी वस्तु के संवेग को उसके द्रव्यमान $m$ और वेग $\mathbf{v}$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है, और इसे $\mathbf{p}$ से नोट किया जाता है:

$$ \mathbf{p}=m \mathbf{v} \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad(4.1) $$

स्पष्ट रूप से संवेग एक सदिश राशि है। निम्नलिखित सामान्य अनुभव इस राशि के गति पर बल के प्रभाव के महत्व को दर्शाते हैं।

• मान लीजिए एक हल्का वाहन (मान लीजिए एक छोटी कार) और एक भारी वाहन (मान लीजिए एक भरा ट्रक) एक सीधी सड़क पर खड़ा है। हम सभी जानते हैं कि एक ही समय में दोनों को समान गति तक पहुँचाने के लिए ट्रक को धकेलने के लिए बहुत अधिक बल की आवश्यकता होती है जबकि कार के लिए नहीं। इसी तरह, एक ही समय में एक ही गति से गतिमान अधिक भारी वस्तु को रोकने के लिए अधिक विरोधी बल की आवश्य की आवश्यकता होती है जबकि एक हल्की वस्तु के लिए नहीं।

• एक इमारत के शीर्ष से दो पत्थर, एक हल्का और दूसरा भारी, गिराए जाते हैं। जमीन पर एक व्यक्ति जानता है कि हल्के पत्थर को पकड़ना आसान होता है जबकि भारी पत्थर को नहीं। इस प्रकार एक वस्तु के द्रव्यमान गति पर बल के प्रभाव को निर्धारित करने के लिए एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है।

• गति भी गति पर बल के प्रभाव को निर्धारित करने के लिए एक महत्वपूर्ण पैरामीटर है। एक बन्दूक से छोड़े गए बॉम्ब के बल से मानव ऊतक को आसानी से छेदा जा सकता है जिससे घातक परिणाम हो सकते हैं। इसी बॉम्ब को मध्यम गति से छोड़ने पर इतना नुकसान नहीं होता। इस प्रकार, एक दिए गए द्रव्यमान के लिए, एक निश्चित समय में वस्तु को रोकने के लिए आवश्यक विरोधी बल उतना अधिक होता है जितना अधिक गति होती है। एक साथ लेकर, द्रव्यमान और वेग के गुणनफल, अर्थात संवेग, गति के एक संबंधित चर है। एक निश्चित समय में संवेग में अधिक परिवर्तन होता है, तो उतना अधिक बल लगाने की आवश्यकता होती है।

• एक अनुभवी क्रिकेटर एक तेज गति से आ रहे क्रिकेट बॉल को आसानी से पकड़ लेता है, जबकि एक नए आए क्रिकेटर के हाथ इस कार्य में चोट लग सकते हैं। एक कारण यह है कि क्रिकेटर अपने हाथों को बॉल को रोकने के लिए लंबा समय देता है। आप यह भी ध्यान में रख सकते हैं कि वह बॉल को पकड़ते समय हाथों को पीछे की ओर खींचता है (चित्र 4.3)। दूसरी ओर, नए आए क्रिकेटर अपने हाथों को निश्चित रखता है और बॉल को लगभग तुरंत पकड़ने की कोशिश करता है। उसे बॉल को तुरंत रोकने के लिए बहुत अधिक बल प्रदान करना पड़ता है, और इसके कारण चोट लगती है। निष्कर्ष स्पष्ट है: बल न केवल गति परिवर्तन पर निर्भर करता है, बल उस परिवर्तन के तेजी से कैसे हो रहा है उस पर भी निर्भर करता है। एक ही गति परिवर्तन छोटे समय में हो रहा है तो उसके लिए अधिक बल की आवश्यकता होती है। शॉर्ट में, गति परिवर्तन की दर जितनी अधिक होती है, बल उतना ही अधिक होता है

 बल न केवल गति परिवर्तन पर निर्भर करता है, बल्कि इस परिवर्तन को कितनी तेजी से लाया जाता है उस पर भी निर्भर करता है। एक अनुभवी क्रिकेटर गेंद कैच करते समय अपने हाथों को अपने करीब खींच लेता है, जिससे गेंद के रूकने के लिए अधिक समय उपलब्ध होता है और इसलिए आवश्यक बल कम होता है।

• अवलोकन यह पुष्टि करते हैं कि द्रव्यमान और वेग के उत्पाद (अर्थात गति मात्रा) बल के गति पर प्रभाव के लिए मूल रूप से महत्वपूर्ण है। मान लीजिए कि दो वस्तुओं पर एक स्थिर बल किसी निश्चित समय अंतराल के लिए लगाया जाता है, जो आरंभ में विराम में होती हैं, तो हल्की वस्तु भारी वस्तु की तुलना में अधिक वेग ले लेती है। हालांकि, समय अंतराल के अंत में अवलोकन यह दिखाते हैं कि प्रत्येक वस्तु एक ही गति मात्रा प्राप्त कर लेती है। इसलिए, एक ही बल के लिए एक ही समय अंतराल के कारण विभिन्न वस्तुओं के लिए एक ही गति मात्रा के परिवर्तन होता है। यह गति के द्वितीय नियम के लिए एक महत्वपूर्ण संकेत है।

• पूर्वोक्त अवलोकन में गति मात्रा के सदिश प्रकृति के बारे में स्पष्ट नहीं है। अब तक के उदाहरणों में गति मात्रा और इसके परिवर्तन दोनों एक ही दिशा में होते हैं। लेकिन यह हमेशा ऐसा नहीं होता। मान लीजिए कि एक पत्थर को एक क्षैतिज समतल में एक स्ट्रिंग के माध्यम से एक समान गति से घूमाया जाता है, तो गति मात्रा के परिमाण निश्चित रहता है, लेकिन इसकी दिशा बदल जाती है (चित्र 4.4)। गति मात्रा के इस परिवर्तन के कारण एक बल की आवश्यकता होती है। इस बल को हमारे हाथ के माध्यम से स्ट्रिंग के माध्यम से प्रदान किया जाता है। अनुभव सुझाव देता है कि हमारे हाथ को अधिक बल लगाना पड़ता है यदि पत्थर को अधिक गति से घूमाया जाता है या छोटी त्रिज्या के वृत्त में घूमाया जाता है, या दोनों। यह अधिक त्वरण या बराबर अधिक गति मात्रा के सदिश परिवर्तन की दर के बराबर होता है। यह सुझाव देता है कि गति मात्रा के सदिश परिवर्तन की दर अधिक होने पर लगाया गया बल भी अधिक होता है।

चित्र 4.4 संवेग की दिशा को बदलने के लिए बल आवश्यक होता है, भले ही उसका परिमाण स्थिर रहे। हम एक स्थिर गति से एक क्षैतिज वृत्त में एक पत्थर को घुमाते हुए इस बात का अनुभव ले सकते हैं।

इन गुणात्मक अवलोकनों से गति का दूसरा नियम प्राप्त होता है, जिसे न्यूटन ने इस प्रकार व्यक्त किया है :

किसी वस्तु के संवेग के परिवर्तन की दर आवेग के समानुपाती होती है और बल की दिशा में होता है।

इस प्रकार, यदि बल $\mathbf{F}$ के कारण समय अंतराल $\Delta t$ में, द्रव्यमान $m$ के एक वस्तु की गति वेग $\mathbf{v}$ से $\mathbf{v}+\Delta \mathbf{v}$ तक परिवर्तित हो जाती है, अर्थात इसका प्रारंभिक संवेग $\mathbf{p}=m \mathbf{v}$ बदल जाता है $\Delta \mathbf{p}=m \Delta \mathbf{v}$. दूसरे नियम के अनुसार,

\mathbf{F} \propto \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t} \text { या } \mathbf{F}=k \frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t} $$

जहाँ $k$ अनुपातिकता के नियतांक है। सीमा $\Delta t \rightarrow 0$ लेकर, शब्द $\frac{\Delta \mathbf{p}}{\Delta t}$ अवकलज या अवकल गुणक के रूप में बदल जाता है, जो $\mathbf{p}$ के संदर्भ में $t$ के सापेक्ष होता है, जिसे $\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}$ से नोट किया जाता है। इसलिए

$$ \mathbf{F}=k \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{(\mathrm{d} t) \hspace{60mm} \text{(4.2)} $$

स्थिर द्रव्यमान $m$ वाले एक वस्तु के लिए,

$$ \frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}(m \mathbf{v})=m \frac{\mathrm{d} \mathbf{v}}{\mathrm{d} t}=m \mathbf{a} \hspace{32mm} \text{(4.3)} $$

अर्थात दूसरे नियम को इस रूप में भी लिखा जा सकता है

$$ \mathbf{F}=k m \mathbf{a} \hspace{62mm} \text{(4.4)} $$

जो बताता है कि बल द्रव्यमान $m$ और त्वरण $\mathbf{a}$ के गुणनफल के अनुपाती होता है।

बल की इकाई अब तक परिभाषित नहीं की गई है। वास्तव में, हम इकाई के लिए समीकरण (4.4) का उपयोग करते हैं। इसलिए, हमें $k$ के लिए कोई भी नियत मान चुनने की स्वतंत्रता है। सरलता के लिए, हम $k=1$ चुनते हैं। तब दूसरा नियम इस रूप में होता है

$$ \mathbf{F}=\frac{\mathrm{d} \mathbf{p}}{\mathrm{d} t}=m \mathbf{a} \hspace{55mm}\text{(4.5)} $$

SI मात्रक में बल वह होता है जो 1 किग्रा द्रव्यमान के एक वस्तु को $1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ के त्वरण का कारण बनाता है। इस मात्रक को न्यूटन कहते हैं : $1 \mathrm{~N}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$।

इस स्तर पर हम गति के द्वितीय नियम के बारे में कुछ महत्वपूर्ण बिंदु ध्यान में रखें :

1. द्वितीय नियम में $\mathbf{F}=0$ का अर्थ है $\mathbf{a}=0$। द्वितीय नियम पहले नियम के साथ निश्चित रूप से संगत है।

2. गति के द्वितीय नियम एक सदिश नियम है। यह तीन समीकरणों के बराबर है, जो सदिश के प्रत्येक घटक के लिए होते हैं :

$$ \begin{aligned} & F_x=\frac{\mathrm{d} p_x}{\mathrm{~d} t}=m a_x \ & F_y=\frac{\mathrm{d} p_y}{\mathrm{~d} t}=m a_y \ & F_z=\frac{\mathrm{d} p_z}{\mathrm{~d} t}=m a_z \end{aligned} $$

इसका अर्थ यह है कि यदि एक बल वस्तु के वेग के समानांतर नहीं हो, बल इसके साथ कोई कोण बनाता हो, तो वेग केवल बल की दिशा के अनुदिश घटक में परिवर्तन होता है। बल के लंबवत घटक अपरिवर्ित रहता है। उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेप्य के गति के दौरान गुरुत्वाकर्षण बल के कारण वेग के क्षैतिज घटक अपरिवर्तित रहते हैं (चित्र 4.5)।

3. गति के द्वितीय नियम, समीकरण (4.5) द्वारा दिया गया है, एक अकेले कण पर लागू होता है। नियम में बल F अकेले कण पर कार्य कर रहे बाहरी कुल बल को दर्शाता है और a अकेले कण के त्वरण को दर्शाता है। हालांकि, यह नियम समान रूप से एक ठोस वस्तु या, अधिक सामान्य रूप से, कणों के एक तंत्र पर भी लागू होता है। ऐसे मामले में, $\mathbf{F}$ तंत्र पर कार्य कर रहे बाहरी कुल बल को दर्शाता है और a तंत्र के समग्र त्वरण को दर्शाता है। अधिक ठीक तौर पर, $\mathbf{a}$ तंत्र के द्रव्यमान केंद्र के त्वरण को दर्शाता है, जिसके बारे में हम अध्याय 6 में विस्तार से अध्ययन करेंगे। किसी भी आंतरिक बल को F में शामिल नहीं करना चाहिए।

चित्र 4.5 किसी तात्कालिक त्वरण को उस तात्कालिक बल द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक त्वरित ट्रेन से एक पत्थर गिराए जाने के तत्काल बाद, यदि हवा के प्रतिरोध को नगण्य मान लिया जाए, तो इसके तात्कालिक त्वरण या बल नहीं होता। पत्थर ट्रेन के तात्कालिक त्वरण के साथ कोई याद नहीं रखता।

4. गति का दूसरा नियम एक स्थानीय संबंध है, जिसका अर्थ यह है कि एक बिंदु पर बल $ F $ (कण के स्थान पर) एक निश्चित समय क्षण पर उस बिंदु पर त्वरण $ a $ के साथ संबंधित है। यहाँ और अब के त्वरण को यहाँ और अब के बल द्वारा निर्धारित किया जाता है, न कि कण के गति के कोई भी इतिहास द्वारा (देखें चित्र 4.5)।

उदाहरण 4.2 0.04 किग्रा द्रव्यमान की एक कांच की गोली 90 मी/से की गति से चलकर एक भारी लकड़ी के ब्लॉक में प्रवेश करती है और 60 सेंटीमीटर की दूरी के बाद रुक जाती है। ब्लॉक द्वारा कांच की गोली पर औसत विरोधी बल कितना होगा?

उत्तर कांच की गोली की अवमन्दन $ a $ (मान लीजिए नियत) निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ a=\frac{-u^2}{2 s}=\frac{-90 \times 9 या 90}{2 \times 0.6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}=-6750 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} $$

दूसरे गति के नियम के अनुसार, विरोधी बल है:

$$ =0.04 \mathrm{~kg} \quad 6750 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}=270 \mathrm{~N} $$

वास्तविक विरोधी बल, और अतः गोली की अवमन्दन एक समान नहीं हो सकती। अतः उत्तर केवल औसत विरोधी बल को सूचित करता है।

उदाहरण 4.3 द्रव्यमान $m$ के कण के गति का वर्णन $y=u t+\frac{1}{2} g t^2$ द्वारा किया जाता है। कण पर लगने वाले बल को ज्ञात कीजिए।

उत्तर

हम जानते हैं,

$$ y=u t+\frac{1}{3} g t^2 $$

अब,

$$ v=\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} t}=u+g t $$

त्वरण, $$a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t}=g$$
तब बल को समीकरण (4.5) द्वारा दिया जाता है

$$ F=m a=m g $$

इस प्रकार दी गई समीकरण गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरित कण के गति का वर्णन करती है और $y$ गुरुत्वाकर्षण की दिशा में स्थिति निर्देशांक होता है।

आवेग

हम अक्सर उदाहरणों के साथ मिलते हैं जहाँ एक बड़ा बल बहुत छोटे समय के लिए कार्य करता है जो वस्तु के संवेग में एक आवेग उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, जब एक गेंद दीवार से टकराती है और वापस लौट आती है, तो दीवार द्वारा गेंद पर लगने वाला बल उनके संपर्क के दौरान बहुत छोटे समय के लिए कार्य करता है, लेकिन बल इतना बड़ा होता है जो गेंद के संवेग को उलट देता है। इन स्थितियों में, बल और समय के अलग-अलग अनुमान लगाना कठिन होता है। हालांकि, बल और समय के गुणनफल, जो वस्तु के संवेग में परिवर्तन को दर्शाता है, एक माप्य राशि होती है। इस गुणनफल को आवेग कहते हैं:

एक बड़े बल के लंबे समय तक कार्य करने से आवेग के रूप में एक निश्चित परिवर्तन उत्पन्न होता है। वैज्ञानिक इतिहास में, आवेग बल को सामान्य बल से अलग एक अलग श्रेणी में रखा गया था। न्यूटनीय भौतिकी में ऐसा अंतर नहीं होता। आवेग बल कोई अन्य बल नहीं होता बल्कि इसके बल बहुत अधिक होता है और इसका कार्य छोटे समय तक होता है।

उदाहरण 4.4 एक बल्लेबाज एक गेंद को बोलर की ओर सीधे लौटाता है बिना इसकी प्रारंभिक गति $12 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ को बदले बिना। यदि गेंद का द्रव्यमान 0.15 किग्रा है, तो गेंद पर आवेग की गणना करें। (मान लें कि गेंद की गति रेखीय है)

उत्तर $\quad$ संवेग में परिवर्तन

$$ \begin{aligned} & =0.15 \times 12-(-0.15 \times 12) \ & =3.6 \mathrm{~N} \mathrm{~s} \ \text { आवेग } & =3.6 \mathrm{~N} \mathrm{~s} \end{aligned} $$

बल्लेबाज से बोलर की ओर गेंद की दिशा में।

यह एक उदाहरण है जहां बल्लेबाज द्वारा गेंद पर बल और गेंद और बल्ले के संपर्क के समय के बारे में जानकारी कठिन होती है, लेकिन आवेग की गणना आसानी से की जा सकती है।

4.6 गति के न्यूटन के तीसरे नियम

दूसरा नियम एक वस्तु पर बाहरी बल और उसके त्वरण के बीच संबंध बताता है। वस्तु पर बाहरी बल के मूल क्या है? कौन बाहरी बल प्रदान करता है? न्यूटनीय भौतिकी में सरल उत्तर यह है कि किसी वस्तु पर बाहरी बल हमेशा किसी अन्य वस्तु के कारण होता है। मान लीजिए दो वस्तुएँ $A$ और $B$ हैं। $B$ वस्तु $A$ पर बाहरी बल उत्पन्न करती है। एक प्राकृतिक प्रश्न यह है: क्या $A$ वस्तु $B$ पर बाह री बल उत्पन्न करती है? कुछ उदाहरणों में उत्तर स्पष्ट लगता है। यदि आप एक बील को दबाते हैं, तो आपके हाथ के बल के कारण बील संपीड़ित हो जाती है। संपीड़ित बील आपके हाथ पर बल लगाती है और आप इस बल को अनुभव कर सकते हैं। लेकिन यदि वस्तुएँ संपर्क में नहीं हैं तो क्या होता है? गुरुत्वाकर्षण के कारण पत्थर पृथ्वी के नीचे खिसकता है। क्या पत्थर पृथ्वी पर बल लगाता है? इसका उत्तर स्पष्ट नहीं लगता है क्योंकि हम पत्थर के पृथ्वी पर प्रभाव को बहुत कम देखते हैं। न्यूटन के अनुसार उत्तर यह है: हाँ, पत्थर पृथ्वी पर बराबर और विपरीत बल लगाता है। हम इस बल के प्रभाव को नहीं देख पाते क्योंकि पृथ्वी बहुत भारी होती है और छोटे बल के पृथ्वी के गति पर प्रभाव नगण्य होता है।

तदनुसार, न्यूटनीय भौतिकी के अनुसार, बल कभी-कभी प्रकृति में अकेले नहीं आता। बल दो वस्तुओं के बीच परस्पर क्रिया होता है। बल हमेशा जोड़े में आते हैं। इसके अतिरिक्त, दो वस्तुओं के बीच परस्पर बल हमेशा बराबर और विपरीत होते हैं। इस विचार को न्यूटन गति के तीसरे नियम के रूप में व्यक्त किया गया था।

हर क्रिया के लिए हमेशा एक बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।

न्यूटन के तीसरे नियम के विवरण के तरीके इतने साफ और सुंदर हैं कि यह सामान्य भाषा का हिस्सा बन गया है। यही कारण हो सकता है कि तीसरे नियम के बारे में गलत धारणाएं बहुत अधिक हैं। चलो तीसरे नियम के बारे में कुछ महत्वपूर्ण बिंदुओं के बारे में ध्यान आकर्षित करें, विशेष रूप से शब्दों “क्रिया” और “प्रतिक्रिया” के उपयोग के संदर्भ में।

1. तीसरे नियम में “क्रिया” और “प्रतिक्रिया” शब्दों का कोई अन्य अर्थ नहीं होता, बल्कि वे केवल “बल” के अर्थ होते हैं। एक ही भौतिक अवधारणा के लिए अलग-अलग शब्दों का उपयोग कभी-कभी भ्रम का कारण बन सकता है। तीसरे नियम को निम्नलिखित तरीके से सरल और स्पष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है:

बल हमेशा जोड़े में आते हैं। वस्तु A पर वस्तु B द्वारा लगाया गया बल, वस्तु B पर वस तु A द्वारा लगाया गया बल के बराबर और विपरीत होता है।

2. तीसरे कानून में क्रिया और प्रतिक्रिया शब्दों का उपयोग गलत अवधारणा उत्पन्न कर सकता है कि क्रिया प्रतिक्रिया से पहले होती है और क्रिया कारण होती है तथा प्रतिक्रिया परिणाम होती है। तीसरे कानून में कारण-परिणाम के संबंध की कोई अंगीकृत अवधारणा नहीं होती। $A$ पर $B$ द्वारा लगाए गए बल और $B$ पर $A$ द्वारा लगाए गए बल एक ही क्षण में कार्य करते हैं। इसी तरह किसी एक को क्रिया और दूसरे को प्रतिक्रिया कहा जा सकता है।

3. क्रिया और प्रतिक्रिया बल अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं, एक ही वस्तु पर नहीं। एक जोड़े के दो वस्तुओं $A$ और $B$ के बारे में विचार करें। तीसरे कानून के अनुसार:

$$ \mathbf{F}{A B}=-\mathbf{F}{\mathrm{M}}\hspace{80mm}(4.8) $$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad$( $A$ पर $B$ द्वारा बल) $= -($ $B$ पर $A$ द्वारा बल)

इसलिए यदि हम किसी एक वस्तु ( $A$ या $B$ ) के गति के बारे में विचार कर रहे हैं, तो दोनों बलों में से केवल एक ही बल संबंधित होता है। दोनों बलों को जोड़कर शून्य बल कहना एक त्रुटि है।

हालांकि, यदि आप दोनों वस्तुओं के जोड़े के रूप में पूरे प्रणाली के गति के बारे में विचार कर रहे हैं, तो $\mathbf{F}{\text {AB}}$ और $\mathbf{F}{\mathrm{BA}}$ प्रणाली ( $A+B$ ) के आंतरिक बल होते हैं। ये बल शून्य बल देते हैं। एक वस्तु या कई कणों के प्रणाली में आंतरिक बल एक जोड़े के रूप में शून्य हो जाते हैं। यह एक महत्वपूर्ण तथ्य है जो दूसरे कानून के एक वस्तु या कई कणों के प्रणाली पर लागू करने की सुविधा प्रदान करता है (अध्याय 6 देखें)।

उदाहरण 4.5 दो समान बिल्लियर्ड गेंदें एक ठोस दीवार के समान चाल से लेकिन अलग-अलग कोणों पर टकराती हैं और दीवार के बिना किसी चाल के परिवर्तन के साथ प्रतिबिंबित हो जाती हैं, जैसा कि चित्र 4.6 में दिखाया गया है। (i) प्रत्येक गेंद के कारण दीवार पर बल की दिशा क्या है? (ii) दीवार द्वारा गेंदों को दिए गए आवेगों के परिमाणों का अनुपात क्या है?

$\hspace{70mm}$ चित्र 4.6

उत्तर (i) के लिए एक अंतर्निहित उत्तर यह हो सकता है कि दीवार पर बल दिशा (a) में दीवार के लंबवत होता है, जबकि दिशा (b) में लंब के 30° के कोण पर होता है। यह उत्तर गलत है। दोनों मामलों में दीवार पर बल दीवार के लंबवत होता है।

दीवार पर बल कैसे ज्ञात करें? तकनीक यह है कि दीवार के कारण गेंद पर बल (या आवेग) को दूसरे नियम का उपयोग करके ज्ञात करें और फिर तीसरे नियम का उपयोग करके (i) का उत्तर दें। मान लीजिए कि प्रत्येक गेंद के टकराव से पहले और बाद में चाल u है और प्रत्येक गेंद के द्रव्यमान m है। चित्र में दिखाए गए अक्षों को चुनें और प्रत्येक मामले में गेंद के संवेग में परिवर्तन को विचार करें:

केस (a)

$$ \begin{aligned} & \left(p _{x}\right) _{\text {initial } }=m u \quad\left(p _{y}\right) _{\text {initial }}=0 \\ & \left(p _{x}\right) _{\text {final }}=-m u \quad\left(p _{y}\right) _{\text {final }}=0 \end{aligned} $$

आवेग गति वेक्टर में परिवर्तन होता है।

इसलिए,

$ \begin{aligned} & x \text {-आवेग का घटक }=-2 m u \\ \end{aligned} $

$ \begin{aligned} & y \text {-आवेग का घटक }=0 \end{aligned} $

आवेग और बल समान दिशा में होते हैं। स्पष्ट रूप से, ऊपर से, गेंद पर दीवार द्वारा लगाया गया बल दीवार के लंब दिशा में होता है, ऋणात्मक x-दिशा में। न्यूटन के तीसरे गति के नियम के अनुसार, दीवार पर गेंद द्वारा लगाया गया बल दीवार के लंब दिशा में होता है, धनात्मक x-दिशा में। बल के मान को निर्धारित नहीं किया जा सकता क्योंकि समस्या में टक्कर के लिए लिया गया छोटा समय निर्दिष्ट नहीं किया गया है।

केस (b)

$\begin{aligned} & \left(p _x\right) _{\text {initial }}=m u \cos 30^{\circ},\left(p _y\right) _{\text {final }}=-m u \sin 30^{\circ} \end{aligned} $

$\begin{aligned} &\left(p _x\right) _{\text {initial }}=-m u \cos 30^{\circ},\left(p _y\right) _{\text {final }}=-m u \sin 30^{\circ}\end{aligned}$

ध्यान दें, टक्कर के बाद $p_x$ का चिह्न बदल जाता है, लेकिन $p_y$ का नहीं।

इसलिए,

आवेग का $x$-अवयव $=-2 m u \cos 30$

आवेग का $y$-अवयव $=0$

आवेग की दिशा (और बल) (a) में वैसी ही है और दीवार के लंब दिशा में ऋणात्मक $x$ दिशा में है। जैसा कि पहले बताया गया है, न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, गेंद के कारण दीवार पर बल दीवार के लंब दिशा में धनात्मक $x$ दिशा में होता है।

(a) और (b) में गेंदों को दिये गए आवेगों के परिमाणों का अनुपात है

$$ 2 m u /\left(2 m u \cos 30^{\circ}\right)=\frac{2}{\sqrt{3}}=1.2 $$

4.7 संवेग के संरक्षण

गति के दूसरे और तीसरे नियम से एक महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त होता है: संवेग के संरक्षण के नियम। एक परिचित उदाहरण लें। एक बैलिस्टिक बुलेट एक बंदूक से चलाया जाता है। यदि बंदूक द्वारा बुलेट पर बल $F$ है, तो बुलेट द्वारा बंदूक पर बल $-F$ होता है, तीसरे नियम के अनुसार। दोनों बल एक ही समय अंतराल $\Delta t$ के लिए कार्य करते हैं। दूसरे नियम के अनुसार, $\mathrm{F} \Delta t$ बुलेट के संवेग में परिवर्तन होता है और $-\mathrm{F} \Delta t$ बंदूक के संवेग में परिवर्तन होता है। शुरू में, दोनों विराम में होते हैं, इसलिए परिवर्तन संवेग के अंतिम मान के बराबर होता है। इसलिए यदि $\mathbf{p}_b$ बुलेट के चलाने के बाद संवेग है और $\mathbf{p}_g$ बंदूक के प्रतिकूल संवेग है, तो $\mathbf{p}_g=-\mathbf{p}_b$ अर्थात $\mathbf{p}_b+\mathbf{p}_g$ $=0$ होता है। अर्थात, (बुलेट + बंदूक) प्रणाली के कुल संवेग संरक्षित होता है।

इस प्रकार, एक अलग तंत्र में (अर्थात एक तंत्र जिसमें कोई बाहरी बल नहीं हो) तंत्र के कणों के युग्म के बीच परस्पर बल व्यक्तिगत कणों में संवेग परिवर्तन का कारण बन सकते हैं, लेकिन क्योंकि प्रत्येक युग्म के लिए बल बराबर और विपरीत होते हैं, इसलिए परस्पर बलों के कारण संवेग परिवर्तन युग्म के रूप में विपरीत हो जाते हैं और कुल संवेग अपरिवर्तित रहता है। इस तथ्य को संवेग संरक्षण का नियम कहा जाता है:

एक परस्पर कार्य करने वाले कणों के एक अलग तंत्र के कुल संवेग संरक्षित रहता है।

संवेग संरक्षण के नियम के अनुप्रयोग का एक महत्वपूर्ण उदाहरण दो वस्तुओं के टकराव है। मान लीजिए दो वस्तुएं A और B, जिनके प्रारंभिक संवेग क्रमशः $\mathbf{p}_A$ और $\mathbf{p}_B$ हैं। वस्तुएं टकराती हैं, फिर अलग हो जाती हैं, और अंतिम संवेग क्रमशः $\mathbf{p}_A^{\prime}$ और $\mathbf{p}_B^{\prime}$ हो जाते हैं। दूसरे नियम के अनुसार

$$ \begin{aligned} & \mathbf{F}_{A B} \Delta t=\mathbf{p}_A^{\prime}-\mathbf{p}A \text { और } \ & \mathbf{F}{B A} \Delta t=\mathbf{p}_B^{\prime}-\mathbf{p}_B \end{aligned} $$

(जहाँ हमने दोनों बलों के लिए एक सामान समय अंतराल लिया है, अर्थात दोनों वस्तुओं के संपर्क के लिए समय।)

क्योंकि $\mathbf{F}{A B}=-\mathbf{F}{B A}$ तीसरे कानून के अनुसार,

$$ \begin{array}{ll} & \mathbf{p}_A^{\prime}-\mathbf{p}_A=-\left(\mathbf{p}_B^{\prime}-\mathbf{p}_B\right) \ \text { अर्थात } & \mathbf{p}_A^{\prime}+\mathbf{p}_B^{\prime}=\mathbf{p}_A+\mathbf{p}_B \hspace{60mm}(4.9) \end{array} $$

जो दिखाता है कि अप्रभावित प्रणाली के कुल अंतिम संवेग के बराबर उसके प्रारंभिक संवेग होता है। ध्यान दें कि यह यह बात बर्बाद होने वाले या अप्रभावित टक्कर के लिए भी सत्य है। बर्बाद होने वाले टक्कर में, प्रणाली के कुल प्रारंभिक कार्य ऊर्जा के बराबर कुल अंतिम कार्य ऊर्जा होती है (अध्याय 5 देखें)।

4.8 कण के संतुलन

मैकेनिक्स में एक कण के संतुलन को उस स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है जब कण पर कार्य करने वाले बाहरी बल का नेट शून्य होता है*। पहले कानून के अनुसार, इसका अर्थ है कि कण या विराम में होता है या समान गति में होता है।

यदि दो बल $\mathbf{F}_1$ और $\mathbf{F}_2$ एक कण पर कार्य करते हैं, तो संतुलन के लिए आवश्यक होता है

$$ \mathbf{F}_1=-\mathbf{F}_2 \tag{4.10} $$

$$

अर्थात् कण पर दो बल बराबर और विपरीत होने चाहिए। तीन संcurrent बलों $\textbf{F}_1, \textbf{F}_2$ और $\textbf{F}_3$ के अंतर्गत संतुलन के लिए तीन बलों के सदिश योग शून्य होना आवश्यक है।

$$ \textbf{F}_1+\textbf{F}_2+\textbf{F}_3=0 \tag{4.11} $$

$\hspace{20mm}$चित्र 4.7 संcurrent बलों के अंतर्गत संतुलन।

अन्य शब्दों में, किसी भी दो बलों, जैसे $F_1$ और $F_2$ के परिणामी बल, जो बलों के समानांतर चतुर्भुज के नियम द्वारा प्राप्त किया जाता है, तीसरे बल $\mathrm{F}_3$ के बराबर और विपरीत होना चाहिए। चित्र 4.7 में देखा जा सकता है कि संतुलन में तीन बलों को एक त्रिभुज के भुजाओं द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है जिनके सदिश चिह्न एक ही दिशा में होते हैं। इस परिणाम को किसी भी संख्या के बलों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यदि बल $F_1$, $\mathrm{F}2, \ldots \mathrm{~F}{\mathrm{n}}$ के अंतर्गत एक कण संतुलन में है, तो वे एक बंद n-भुजा के भुजाओं द्वारा प्रस्तुत किए जा सकते हैं जिनके सदिश चिह्न एक ही दिशा में होते हैं।

समीकरण (4.11) से यह निर्माण होता है कि

$$ \begin{aligned} & F_{l x}+F_{2 x}+F_{3 x}=0 \ & F_{l y}+F_{2 y}+F_{3 y}=0 \ & F_{I z}+F_{2 z}+F_{3 z}=0 \hspace{49mm} (4.12) \end{aligned} $$

जहाँ $F_{1 x}, F_{1 y}$ और $F_{1 z}$ क्रमशः $x, y$ और $z$ दिशाओं में $F_1$ के घटक हैं।

उदाहरण 4.6 चित्र 4.8 देखें। छत से 2 मीटर लंबी एक रस्सी के माध्यम से 6 किग्रा का द्रव्यमान लटकाया गया है। रस्सी के मध्य बिंदु P पर चित्र में दिखाए गए अनुसार क्षैतिज दिशा में 50 न्यूटन का बल लगाया जाता है। संतुलन में रस्सी के ऊर्ध्वाधर से कितना कोण बनता है? (गुरुत्वीय त्वरण $g=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ लें)। रस्सी के द्रव्यमान को नगण्य मान लें।

$\hspace{40mm}$चित्र 4.8

उत्तर चित्र 4.8(b) और 4.8(c) मुक्त शरीर आरेख के रूप में जाने जाते हैं। चित्र 4.8 (b) W के मुक्त शरीर आरेख है और चित्र 4.8 (c) बिंदु P के मुक्त शरीर आरेख है।

Consider the equilibrium of the weight W . Clearly, $T_2=6 \times 10=60 \mathrm{~N}$.

Consider the equilibrium of the point P under the action of three forces - the tensions $T_1$ and $T_2$, and the horizontal force 50 N . The horizontal and vertical components of the resultant force must vanish separately :

$$ \begin{aligned} & T_1 \cos \theta=T_2=60 \mathrm{~N} \ & T_1 \sin \theta=50 \mathrm{~N} \end{aligned} $$

which gives that

$$ \tan \theta=\frac{5}{6} \text { or } \theta=\tan ^{-1}\left(\frac{5}{6}\right)=40^{\circ} $$

Note the answer does not depend on the length of the rope (assumed massless) nor on the point at which the horizontal force is applied.

4.9 सामान्य बल भौतिकी में

भौतिकी में, हम कई प्रकार के बलों के साथ सामना करते हैं। गुरुत्वाकर्षण बल निश्चित रूप से व्यापक होता है। पृथ्वी पर हर वस्तु पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करती है। गुरुत्वाकर्षण बल आकाशगंगा के गति को भी नियंत्रित करता है। गुरुत्वाकर्षण बल किसी मध्यवर्ती माध्यम के बिना दूर से कार्य कर सकता है।

सभी अन्य बल यांत्रिकी में सामान्य होते हैं।* नाम से स्पष्ट है कि किसी वस्तु पर एक संपर्क बल अन्य वस्तु के संपर्क के कारण उत्पन्न होता है: ठोस या तरल। जब वस्तुएं संपर्क में होती हैं (उदाहरण के लिए, एक किताब टेबल पर रखी होती है, या छड़ों, हिंग और अन्य प्रकार के समर्थनों द्वारा जुड़े एक ठोस वस्तुओं के तंत्र), तो विपरीत वस्क दूसरे पर संपर्क बल लगते हैं (प्रत्येक वस्तु युग्म के लिए) जो तीसरे कानून के अनुरूप होते हैं। संपर्क करने वाली सतहों के लंब दिशा में संपर्क बल के घटक को लंब बल कहते हैं। संपर्क करने वाली सतहों के समानांतर घटक को घर्षण कहते हैं। संपर्क बल भी जब ठोस तरल के संपर्क में होते हैं तब उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, एक ठोस तरल में डूबा होता है, तो उस पर ऊपर की उत्थान बल होती है जो विस्थापित तरल के भार के बराबर होती है। श्यान बल, हवा के प्रतिरोध, आदि भी संपर्क बल के उदाहरण हैं (चित्र 4.9)।

दो अन्य सामान्य बल तार में तनाव और स्प्रिंग के कारण बल होते हैं। जब बाहरी बल द्वारा एक स्प्रिंग कम या बढ़ा दिया जाता है, तो एक पुनर्स्थापन बल उत्पन्न होता है। यह बल आमतौर पर विस्थापन के बराबर अनुपाती होता है (छोटे विस्थापन के लिए)। स्प्रिंग बल $F$ को $F = -k x$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $x$ विस्थापन है और $k$ बल नियतांक है। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि बल अनुत्थान अवस्था से विस्थापन के विपरीत होता है। एक अविस्तार योग्य तार में बल नियतांक बहुत उच्च होता है। तार में पुनर्स्थापन बल को तनाव कहते हैं। यह सामान्य रूप से तार के सभी भाग में एक नियत तनाव $T$ का उपयोग करते हैं। यह धारणा एक नगण्य द्रव्यमान वाले तार के लिए सत्य होती है।

हमने सीखा है कि प्रकृति में चार मूलभूत बल होते हैं। इनमें से, कमजोर और मजबूत बल वे क्षेत्र हैं जो हमारे यहां चिंता के बाहर हैं। केवल गुरुत्वाकर्षण और विद्युत बल मैकेनिक्स के संदर्भ में संबंधित हैं। ऊपर उल्लेखित विभिन्न संपर्क बल मैकेनिक्स में मूल रूप से विद्युत बल से उत्पन्न होते हैं। यह आश्चर्यजनक लग सकता है क्योंकि हम मैकेनिक्स में आवेशहीन और अक्षुक वस्तुओं के बारे में बात कर रहे हैं। माइक्रोस्कोपिक स्तर पर, सभी वस्तुएं आवेशित घटकों (नाभिक और इलेक्ट्रॉन) से बनी होती हैं और विभिन्न संपर्क बल, जो वस्तुओं की लचीलापन, अणुओं के टकराव और टक्कर आदि के कारण उत्पन्न होते हैं, अंततः विभिन्न वस्तुओं के आवेशित घटकों के बीच विद्युत बल से जुड़े होते हैं। इन बलों के विस्तारित माइक्रोस्कोपिक मूल के बारे में हालांकि जटिल है और मैकेनिक्स के मैक्रोस्कोपिक चरम पर समस्याओं के संबंध में उपयोगी नहीं है। इस कारण वे अलग-अलग प्रकार के बलों के रूप में विचार किए जाते हैं जिनके विशिष्ट गुण एम्पिरिकल रूप से निर्धारित किए जाते हैं।

$\hspace{50mm}$ चित्र 4.9 मेकैनिक्स में संपर्क बल के कुछ उदाहरण।

4.9.1 घर्षण

हम एक द्रव्यमान $m$ के वस्तु के उदाहरण पर वापस लौटते हैं जो क्षैतिज मेज पर विराम में है। गुरुत्वाकर्षण बल (mg) को मेज के अभिलम्ब प्रतिक्रिया बल $(N)$ द्वारा रोक दिया जाता है। अब मान लीजिए कि वस्तु पर एक बल $F$ क्षैतिज दिशा में लगाया जाता है। अनुभव से हम जानते हैं कि एक छोटा बल वस्तु को गति करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकता। लेकिन यदि बल $F$ वस्तु पर एकमात्र बाह्य बल होता, तो वस्तु त्वरण $F / m$ के साथ गति करती। चूंकि वस्तु विराम में बनी रहती है, इसलिए कुछ अन्य बल क्षैतिज दिशा में लगता है और लगाए गए बल $F$ के विरुद्ध कार्य करता है, जिसके कारण वस्तु पर शुद्ध बल शून्य हो जाता है। इस बल $f_s$ को जो वस्तु के संपर्क में तल के सतह के समानांतर होता है, घर्षण बल, या सरलता के लिए घर्षण कहा जाता है (चित्र 4.10(a))। उपस्थिति के लिए उपस्थित शब्द घर्षण के लिए स्थैतिक घर्षण के रूप में अलग करता है जो हम बाद में गतिशील घर्जन $f_k$ के रूप में विचार करेंगे (चित्र 4.10(b))। ध्यान दें कि स्थैतिक घर्षण अकेले नहीं मौजूद होता। जब कोई बल लगाया जाता है, तो स्थैतिक घर्षण नहीं होता। जैसे ही बल $F$ लगाया जाता है, $f_{s}$ भी बढ़ जाता है, लेकिन लगाए गए बल के बराबर और विपरीत रहता है (एक निश्चित सीमा तक), जिससे वस्तु विराम में बनी रहती है। इसलिए इसे स्थैतिक घर्षण कहा जाता है। स्थैतिक घर्षण विराम में गति के विरुद्ध होता है। शब्द “आगंतुक गति” का अर्थ है जो लगाए गए बल के अंतर्गत होती है (लेकिन वास्तव में नहीं होती) यदि घर्षण न होता।

चित्र 4.10 स्थैतिक एवं स्लाइडिंग घर्षण: (a) वस्तु के गति के अग्रगामी होने के विरुद्ध स्थैतिक घर्षण बल कार्य करता है। जब बाह्य बल स्थैतिक घर्षण के अधिकतम सीमा के बाहर जाता है, तो वस्तु गति आरंभ करती है। (b) जब वस्तु गति में होती है, तो इस पर स्लाइडिंग या गतिज घर्षण कार्य करता है जो दो संपर्क करने वाली सतहों के आपसी गति के विरुद्ध कार्य करता है। गतिज घर्षण आमतौर पर स्थैतिक घर्षण के अधिकतम मान से कम होता है।

हम अपना अनुभव जानते हैं कि जब आरोपित बल एक निश्चित सीमा के बाहर जाता है, तो वस्तु गति आरंभ करती है। प्रयोग के आधार पर पाया गया है कि स्थैतिक घर्षण के सीमांत मान $\left(f_s\right)_{\max }$ संपर्क क्षेत्र के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है और लम्ब बल ( $N$ ) के साथ लगभग निम्न प्रकार से बदलता है :

$$ \left(f_{\mathrm{s}}\right){\max }=\mu{\mathrm{s}} N $$

जहाँ $\mu_s$ एक समानुपातिक नियतांक है जो केवल संपर्क करने वाली सतहों की प्रकृति पर निर्भर करता है। नियतांक $\mu_s$ को स्थैतिक घर्षण का गुणांक कहते हैं। इस प्रकार स्थैतिक घर्षण के नियम को लिखा जा सकता है:

$$ f_s \leq \mu_s N $$

यदि आरोपित बल $F$ अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $\left(f_s\right){\max }$ के बराबर या अधिक हो जाता है, तो वस्तु सतह पर फिसलन शुरू कर देती है। प्रयोगों द्वारा पाया गया है कि जब संपर्क वाली सतहों के बीच संपर्क के सापेक्ष गति शुरू हो जाती है, तो घर्षण बल स्थैतिक अधिकतम मान $\left(f_s\right){\max }$ से कम हो जाता है। घर्षण बल जो संपर्क वाली सतहों के बीच संपर्क के सापेक्ष गति के विरुद्ध कार्य करता है, उसे गतिशील या फिसलन घर्षण कहा जाता है और इसे $\mathbf{f}_{\mathrm{k}}$ से नोट किया जाता है। गतिशील घर्षण, स्थैतिक घर्षण के जैसे ही, संपर्क क्षेत्र के क्षेत्रफल से स्वतंत्र रूप से पाया जाता है। इसके अतिरिक्त, यह वेग के लगभग स्वतंत्र रूप से भी पाया जाता है। यह एक नियम के अनुरूप होता है जो स्थैतिक घर्षण के लिए लागू होता है:

$$ \mathbf{f}{\mathrm{k}}=\mu{\mathrm{k}} \mathbf{N} $$

जहाँ $\mu_{k^{\prime}}$ गतिशील घर्षण का गुणांक है, जो केवल संपर्क में वाली सतहों पर निर्भर करता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रयोगों द्वारा पाया गया है कि $\mu_k$ $\mu_s$ से कम होता है। जब संपर्क के सापेक्ष गति शुरू हो जाती है, तो दूसरे नियम के अनुसार वस्तु के त्वरण के लिए $\left(F-f_k\right) / m$ होता है। एक वस्तु जो नियत वेग के साथ गति कर रही है, $F=f_{k^{\prime}}$ होता है। यदि वस्तु पर आरोपित बल हटा दिया जाए, तो उसका त्वरण $-f_k / m$ होता है और अंततः यह रुक जाती है।

ऊपर दिए गए घर्षण के नियम गुरुत्वाकर्षण, विद्युत और चुंबकीय बलों के नियम जैसे मूल नियमों के दर्जे तक नहीं हैं। वे केवल लगभग सही होते हैं, लेकिन ये यांत्रिकी में व्यावहारिक गणनाओं में बहुत उपयोगी होते हैं।

इसलिए, जब दो वस्तुएं संपर्क में होती हैं, तो प्रत्येक दूसरे द्वारा संपर्क बल का अनुभव करती है। घर्षण, परिभाषा के अनुसार, उन तलों के समान्तर घटक होता है जो संपर्क में होते हैं, जो दो तलों के बीच अपेक्षित या वास्तविक संपर्क के विरुद्ध होता है। ध्यान दें कि यह गति नहीं है, बल्कि अपेक्षित गति है जिसके विरुद्ध घर्षण बल कार्य करता है। एक ट्रेन के कमरे में रखी एक बॉक्स की अवस्था की गणना करें जो ट्रेन तेजी से चल रही है। यदि बॉक्स ट्रेन के संपर्क में स्थिर है, तो वास्तव में यह ट्रेन के साथ तेजी से चल रहा है। बॉक्स के तेजी से चलने के कारण क्या बल हैं? स्पष्ट रूप से, केवल क्षैतिज दिशा में संभव बल घर्षण बल है। यदि घर्षण नहीं होता, तो ट्रेन के फर्श फिसल जाएगा और बॉक्स अपनी प्रारंभिक स्थिति में रहेगा जड़त्व के कारण (और ट्रेन के पीछे टकराएगा)। इस अपेक्षित संपर्क के विरुद्ध स्थैतिक घर्षण $f_{s}$ कार्य करता है। स्थैतिक घर्षण बॉक्स को ट्रेन के समान तेजी देता है, जिससे यह ट्रेन के संपर्क में स्थिर रहता है।

उदाहरण 4.7 एक ट्रेन के अधिकतम त्वरण का निर्धारण करें जिसमें एक बॉक्स अपने फर्श पर लटका हुआ हो और गतिशील घर्षण के कारण बॉक्स गतिशील न रहे, दिया गया है कि बॉक्स और ट्रेन के फर्श के बीच गतिशील घर्षण का गुणांक 0.15 है।

उत्तर चूंकि बॉक्स के त्वरण का कारण गतिशील घर्षण है,

$$ \begin{aligned} \quad m a & =f_{s} \leq \mu_{s} N=\mu_{s} m g \\ \text { अर्थात } \quad a & \leq \mu_{s} g \\ \therefore a_{\text {max }} & =\mu_{s} g=0.15 \times 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \\ & =1.5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} \end{aligned} $$

उदाहरण 4.8 चित्र 4.11 देखें। 4 किग्रा का एक द्रव्यमान एक क्षैतिज सतह पर रखा है। सतह धीरे-धीरे झुकाई जाती है तक जब झुकाव कोण $\theta=15^{\circ}$ हो जाता है तो द्रव्यमान गति शुरू करता है। ब्लॉक और सतह के बीच गतिशील घर्षण का गुणांक क्या है?

उत्तर एक द्रव्यमान $m$ के ब्लॉक पर झुके ढलान पर लग रहे बल निम्नलिखित हैं: (i) भार $\mathrm{mg}$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है, (ii) ढलान द्वारा ब्लॉक पर लगने वाला अभिलम्ब बल $N$, और (iii) स्थैतिक घर्षण बल $f_{s}$ जो आगंतुक गति के विरुद्ध कार्य करता है। संतुलन में, इन बलों का परिणामी शून्य होना चाहिए। भार $\mathrm{mg}$ को दिखाए गए दो दिशाओं में वियोजित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$ m g \sin \theta=f_{s}, \quad m g \cos \theta=N $$

जब $\theta$ बढ़ता है, तो स्व-समायोजित घर्षण बल $f_{s}$ बढ़ता जाता है तक कि $\theta=\theta_{\max }$ पर $f_{s}$ अपने अधिकतम मान तक पहुँच जाए, जो $\left(f _{s}\right) _{\max }=\mu _{s} N$ होता है।

इसलिए,

$$ \tan \theta_{\max }=\mu_{\mathrm{s}} \text { या } \theta_{\max }=\tan ^{-1} \mu_{\mathrm{s}} $$

जब $\theta$ थोड़ा अधिक $\theta_{\max }$ हो जाता है, तो ब्लॉक पर एक छोटा सा नेट बल लगता है और ब्लॉक गिरना शुरू हो जाता है। ध्यान दें कि $\theta_{\max }$ केवल $\mu_{s}$ पर निर्भर करता है और ब्लॉक के द्रव्यमान से स्वतंत्र होता है।

$$ \begin{aligned}

\text { For } & \theta _{\text {max }}=15^{\circ} \\ & \begin{aligned} & \mu _{\mathrm{s}}=\tan 15^{\circ} \\ &=0.27 \end{aligned} \end{aligned} $$

उदाहरण 4.9 चित्र 4.12(a) में दिखाए गए ब्लॉक और ट्रॉली प्रणाली के त्वरण क्या होगा, यदि ट्रॉली और सतह के बीच गतिज घर्षण गुणांक 0.04 है? स्ट्रिंग में तनाव क्या होगा? (ग्राविटेशन त्वरण $\mathrm{g}=$ $10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ लें)। स्ट्रिंग के द्रव्यमान को नगण्य मान लें।

$\hspace{35mm}$ चित्र 4.12

उत्तर चूंकि स्ट्रिंग बिना विस्तार के है और पल्ली चिकनी है, इसलिए 3 किग्रा के ब्लॉक और 20 किग्रा के ट्रॉली दोनों के त्वरण के परिमाण समान हैं। ब्लॉक के गति के लिए दूसरे नियम के अनुसार लगाएं (चित्र 4.12(b)),

$$ 30-T=3 a $$

ट्रॉली के गति के लिए दूसरे नियम के अनुसार लगाएं (चित्र 4.12(c)),

अब

$$ \begin{aligned} & T-f_{\mathrm{k}}=20 a \text {. } \

$$ \begin{aligned} & \mu_k=0.04 \text {, } \ & N=20 \times 10 \ & =200 \mathrm{~N} \text {. } \end{aligned} $$

इसलिए ट्रॉली के गति के समीकरण है

$$ T-0.04 \times 200=20 a \quad \text { या } T-8=20 a $$

इन समीकरणों से $a=\frac{22}{23} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}=0.96 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ और $T=27.1 \mathrm{~N}$ प्राप्त होता है।

घूर्णन घर्षण

एक वस्तु जैसे एक वलय या गोला एक क्षैतिज सतह पर घूर्णन के बिना फिसले बिना घूम रही है, तो सिद्धांत रूप में घर्षण का अनुभव नहीं होता। हर क्षण वस्तु और सतह के बीच केवल एक बिंदु संपर्क में होता है और इस बिंदु की गति सतह के संपर्क में नहीं होती। इस आदर्श स्थिति में, गतिशील या स्थैतिक घर्षण शून्य होता है और वस्तु निरंतर एक स्थिर वेग के साथ घूमती रहती है। हम व्यवहार में जानते हैं कि ऐसा नहीं होगा और कुछ गति के प्रतिरोध (घूर्णन घर्षण) होता है, अर्थात वस्तु को घूमाए रखने के लिए कुछ आवेग बल की आवश्यकता होती है। समान भार के लिए, घूर्णन घर्षण स्थैतिक या स्लाइडिंग घर्षण की तुलना में बहुत कम होता है (कम से कम 2 या 3 आदेश के अंतर के साथ)। यही कारण है कि चक्र की खोज इतिहास में मानव जाति के लिए एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर बन गई है।

गोलाकार घर्षण के उत्पति के लिए फिर एक जटिल विवरण है, हालांकि यह स्थैतिक और स्लाइडिंग घर्षण के उत्पति से थोड़ा अलग है। गोलाकार गति के दौरान, संपर्क में आने वाले सतहों के थोड़ा सा अस्थायी विकृति होती है, और इसके परिणामस्वरूप वस्तु के एक आविष्कृत क्षेत्र (एक बिंदु नहीं) सतह के संपर्क में रहता है। नेट प्रभाव यह होता है कि सतह के समानांतर संपर्क बल का घटक गति के विरुद्ध होता है।

हम अक्सर घर्षण को कुछ अच्छा नहीं चीज मानते हैं। कई स्थितियों में, जैसे कि एक मशीन में विभिन्न गतिशील भागों के साथ, घर्षण के नकारात्मक भूमिका हो सकती है। यह आपसी गति के विरुद्ध होता है और इस प्रकार ऊर्जा के रूप में गर्मी आदि के रूप में विकसित करता है। तेल एक तरह के घर्षण को कम करने का तरीका है। एक अन्य तरीका दो गतिशील भागों के बीच गोले के संपर्क का उपयोग करना है [चित्र 4.13(a)]। चूंकि गोले के संपर्क में आने वाली सतहों के बीच घर्षण बहुत कम होता है, इसलिए ऊर्जा के विकसित करने की दर कम हो जाती है। ठोस सतहों के बीच आपसी गति के दौरान एक पतली हवा के बफर के रूप में घर्षण को कम करने के एक अन्य प्रभावी तरीका है (चित्र 4.13(a))।

हालांकि, कई व्यावहारिक स्थितियों में घर्षण की आवश्यकता बहुत अधिक होती है। गतिशील घर्षण जो शक्ति को विस्थापित करता है, तेजी से आपेक्षिक गति को रोकने में बहुत महत्वपूर्ण होता है। मशीनों और ऑटोमोबाइल में ब्रेक इस घर्षण का उपयोग करते हैं। इसी तरह, स्थैतिक घर्जन दैनिक जीवन में भी महत्वपूर्ण होती है। हम घर्षण के कारण चल सकते हैं। एक कार बहुत चिपचिपी सड़क पर चलना असंभव होता है। सामान्य सड़क पर, टायर और सड़क के बीच घर्षण टायर को त्वरित करने के आवश्यक बाह्य बल के रूप में कार्य करता है।

चित्र 4.13 घर्षण को कम करने के कुछ तरीके। (a) एक मशीन के गतिशील भागों के बीच बॉल बिंडिंग। (b) आपेक्षिक गति के सतहों के बीच संपीड़ित हवा के बफर।

4.10 वृत्तीय गति

हम अध्याय 4 में देख चुके हैं कि एक वस्तु जो त्रिज्या $R$ के एक वृत्त में एकसमान वेग $v$ के साथ गति कर रही है, उसका त्वरण $v^2 / R$ होता है और इस त्वरण की दिशा केंद्र की ओर होती है। द्वितीय नियम के अनुसार, इस त्वरण को प्रदान करने वाला बल $f$ होता है :

$$ f_c=\frac{m v^2}{R} \tag{4.16} $$

जहाँ $m$ वस्तु के द्रव्यमान को दर्शाता है। इस बल को केंद्र की ओर बल कहते हैं। एक स्ट्रिंग के द्वारा एक पत्थर को एक वृत्त में घुमाने पर, इस बल को स्ट्रिंग में तनाव द्वारा प्रदान किया जाता है। एक ग्रह के सूर्य के चारों ओर वृत्ताकार गति के लिए, इस बल को गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है, जो सूर्य द्वारा ग्रह पर लगाया जाता है। एक कार के एक समतल रास्ते पर वृत्ताकार घूमने पर, इस बल को घर्षण बल द्वारा प्रदान किया जाता है।

एक कार के समतल और झुके रास्ते पर वृत्ताकार गति के अनुप्रयोग गति के नियमों के रोचक अनुप्रयोग होते हैं।

चित्र 4.14 कार की वृत्ताकार गति (a) एक समतल रास्ते पर, (b) एक झुके रास्ते पर।

समतल रास्ते पर कार की गति

कार पर तीन बल कार्य करते हैं (चित्र 4.14(a)):

(i) कार का भार, $m g$

(ii) सामान्य प्रतिक्रिया, $N$

(iii) घर्षण बल, $f$

क्योंकि कोई ऊर्ध्वाधर त्वरण नहीं है

$$ \begin{align*} N - m g & = 0 \\ N & = m g \tag{4.17} \end{align*} $$

वृत्तीय गति के लिए आवश्यक केंद्राप्रसार बल रोड के सतह के अनुदिश होता है और यह रोड और कार के टायर के बीच संपर्क बल के घटक द्वारा प्रदान किया जाता है। इसे परिभाषा के अनुसार घर्षण बल कहा जाता है। ध्यान दें कि यह स्थैतिक घर्षण ही केंद्राप्रसार त्वरण प्रदान करता है। स्थैतिक घर्षण कार के वृत्त के बाहर जाने के उद्भव गति के विरुद्ध होता है। समीकरण (4.14) और (4.16) का उपयोग करके हम निम्नलिखित परिणाम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} & f = \frac{m v^{2}}{R} \leq \mu_{s} N \\ & v^{2} \leq \frac{\mu_{s} R N}{m} = \mu_{s} R g \quad \quad [\because N = m g] \end{aligned} $$

जो कार के द्रव्यमान से स्वतंत्र है। यह दिखाता है कि दिए गए मान $\mu_{\mathrm{s}}$ और $R$ के लिए कार की वृत्तीय गति के संभावित अधिकतम वेग है, अर्थात

$$v_{\text {max }}=\sqrt{\mu_{s} R g}\tag{4.18}$$

एक कार के बैंक किए रास्ते पर गति

हम एक कार के वृत्तीय गति के लिए घर्षण के योगदान को कम कर सकते हैं यदि रास्ता बैंक किया गया हो (चित्र 4.14(b))। क्योंकि कोई भी ऊर्ध्वाधर दिशा में त्वरण नहीं होता, इस दिशा में नेट बल शून्य होना चाहिए। इसलिए,

$N \cos \theta=m g+f \sin \theta \hspace{80mm}(4.19a)$

केंद्रापाश बल $N$ और $f$ के क्षैतिज घटकों द्वारा प्रदान किया जाता है।

$N \sin ^{\prime} \theta+f \cos \theta=\frac{m v^2}{R}\hspace{80mm}(4.19b)$

लेकिन $f \leq \mu_s N$

इसलिए $v_{\text {max }}$ प्राप्त करने के लिए हम $f=\mu_{\mathrm{s}} N$ लगाते हैं।

तब समीकरण (4.19a) और (4.19b) बन जाते हैं

$N \cos \theta=m g+\mu_{\mathrm{s}} N \sin \theta \hspace{80mm}(4.20a)$

$N \sin \theta+\mu_{\mathrm{s}} N \cos \theta=m v^{2} / R \hspace{75mm}(4.20b)$

समीकरण (4.20a) से हम प्राप्त करते हैं $$ N=\frac{m g}{\cos \theta-\mu_{s} \sin \theta} $$

समीकरण (4.20b) में $N$ के मान को बदल देने पर हम प्राप्त करते हैं

$\frac{m g\left(\sin \theta+\mu_{s} \cos \theta\right)}{\cos \theta-\mu_{s} \sin \theta}=\frac{m v_{\max }^{2}}{R}$

or $v_{\max }={\left( Rg\frac{\mu_{s}+\tan \theta}{1-\mu_{s} \tan \theta}\right)}^{\frac{1}{2}}\hspace{87mm}(4.21)$

इसे समीकरण (4.18) के साथ तुलना करने पर हम देखते हैं कि एक कार की अधिकतम संभावित गति ढलान वाले रास्ते पर एक सीधे रास्ते की तुलना में अधिक होती है।

समीकरण (4.21) में $$\quad \mu_{\mathrm{s}}=O$$ के लिए,

$$ \begin{equation*} v_{\mathrm{o}}=(R g \tan \theta)^{1 / 2} \tag{4.22} \end{equation*} $$

इस गति पर, घर्षण बल की आवश्यकता नहीं होती है जो आवश्यक केंद्रापाती बल प्रदान करता है। एक ढलान वाले रास्ते पर इस गति से चलने पर टायर के कम धुंआ धुआ बनता है। यही समीकरण आपको बताता है कि $v<v_o$ के लिए घर्षण बल ढलान के ऊपर चलता है और कार केवल तब पार्क की जा सकती है जब $\tan \theta \leq \mu_s$ हो।

उदाहरण 4.10 एक साइकिल चालक एक स्तरीय रास्ते पर $18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ की गति से चलते हुए एक तीव्र वृत्ताकार घूमने के लिए 3 मीटर की त्रिज्या वाला घूमने वाला रास्ता लेता है बिना गति कम किए। टायर और रास्ता के बीच स्थैतिक घर्षण गुणांक 0.1 है। घूमते समय साइकिल चालक फिसल जाएगा या नहीं?

Answer एक बैंक नहीं बने रास्ते पर, घर्षण बल अकेले चक्रीय घूमने के लिए आवश्यक केंद्रापाती बल प्रदान कर सकता है जिससे साइकिल चालक घूमते हुए बिना फिसले रह सके। यदि चाल बहुत अधिक हो, या घूमने का वृत्त बहुत छोटा हो (अर्थात त्रिज्या बहुत कम हो), या दोनों, तो घर्षण बल आवश्यक केंद्रापाती बल प्रदान नहीं कर सकता है और साइकिल चालक फिसल जाता है। साइकिल चालक के फिसलने से बचने की शर्त समीकरण (4.18) द्वारा दी गई है :

$$ v^2 \leq \mu_s R g $$

अब, $R=3 \mathrm{~m}, g=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^2, \mu_{\mathrm{s}}=0.1$. अर्थात, $\mu_{\mathrm{s}} R g=2.94 \mathrm{~m}^2 \mathrm{~s}^{-2} . v=18 \mathrm{~km} / \mathrm{h}=5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} ;$ अर्थात, $v^2=25 \mathrm{~m}^2 \mathrm{~s}^2$. शर्त पूरी नहीं होती है। चक्रीय घूमने के दौरान साइकिल चालक फिसल जाएगा।

उदाहरण 4.11 एक वृत्ताकार रेस ट्रैक की त्रिज्या 300 मीटर है और इसे $15^{\circ}$ के कोण पर बैंक किया गया है। यदि रेस कार के पहियों और सड़क के बीच घर्षण गुणांक 0.2 है, तो रेस कार की (a) उत्कृष्ट चाल क्या होगी जिससे इसके टायरों पर बर्बादी न हो, और (b) अधिकतम अनुमत चाल क्या होगी जिससे फिसलन न हो?

उत्तर एक गाड़ी को वृत्ताकार घूमने के दौरान फिसलन बिना रहे चलने के लिए केंद्रापाशक बल प्रदान करता है। अप्तिम गति पर, अभिलम्ब प्रतिक्रिया के घटक के लिए केंद्रापाशक बल के आवश्यक भाग के लिए पर्याप्त होता है, और घर्षण बल की आवश्यकता नहीं होती। अप्तिम गति $v_\phi$ समीकरण (4.22) द्वारा दी गई है:

$$ D_0=(R g \tan \theta)^{1 / 2} $$

यहाँ $R=300 \mathrm{~m}, \theta=15^{\circ}, g=9.8 \mathrm{~ms}$; हमारे पास है

$$ \mathrm{D}_0=28.1 \mathrm{~ms}^{-1} $$

अधिकतम अनुमत गति $v_{\text {eax }}$ समीकरण (4.21) द्वारा दी गई है:

$$ v_{\operatorname{nex}}=\left(R g \frac{\mu_y+\tan \theta}{1-\mu_n \tan \theta}\right)^{k / 3}=38.1 \mathrm{mis}^{-1} $$

4.11 भौतिकी में समस्याओं को हल करना

इस अध्याय में आपको सीखे गए गति के तीन नियम भौतिकी के आधार हैं। अब आप भौतिकी में एक बड़ी श्रृंखला के समस्याओं के साथ निपट सकते हैं। भौतिकी में एक सामान्य समस्या एक अकेले वस्तु के लिए नहीं होती है जो दिए गए बलों के अंतर्गत होती है। अधिकांशतः, हमें एक वस्तुओं के संग्रह के बारे में विचार करना पड़ता है जो एक दूसरे पर बल लगाते हैं। इसके अलावा, संग्रह में प्रत्येक वस्तु गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करती है। ऐसे प्रकार की समस्या को हल करते समय, यह ध्यान रखना उपयोगी होता है कि हम संग्रह के किसी भी हिस्से को चुन सकते हैं और उस पर गति के नियमों को लागू कर सकते हैं, जब हम चुने गए हिस्से पर बाकी हिस्सों के कारण लगे बलों को शामिल करते हैं। हम चुने गए हिस्से को संग्रह के एक तंत्र कह सकते हैं और बाकी हिस्सा (संग्रह के बाहर के कोई भी बल लगाने वाले एजेंसी भी शामिल है) को वातावरण कह सकते हैं। हम उदाहरणों में इसी विधि का अनुसरण कर चुके हैं। भौतिकी में एक सामान्य समस्या को प्रणालीसह ढंग से हल करने के लिए, आप निम्नलिखित कदमों का उपयोग करना चाहिए:

(1) एक चित्र बनाएं जो वस्तुओं के संगठन के विभिन्न भागों, लिंक्स, समर्थन, आदि को आरेखीय रूप से दर्शाए।

(ii) एक वस्तुओं के संगठन के एक आसान भाग को एक प्रणाली के रूप में चुनें।

(iii) एक अलग चित्र बनाएं जो इस प्रणाली और इस प्रणाली पर शेष भाग द्वारा लगने वाले बलों को दर्शाए। अन्य संगठनों द्वारा इस प्रणाली पर लगने वाले बलों को भी शामिल करें। प्रणाली द्वारा वातावरण पर लगने वाले बलों को शामिल न करें। इस प्रकार के चित्र को ‘एक मुक्त वस्तु चित्र’ के रूप में जाना जाता है। (ध्यान दें कि यह इस बात को नहीं बताता कि अध्ययन की जा रही प्रणाली पर कोई नेट बल नहीं है।)

(iv) एक मुक्त वस्तु चित्र में, दिये गए या आप निश्चित रूप से जानते हैं बलों (उनके माप और दिशा) के बारे में जानकारी शामिल करें (उदाहरण के लिए, एक रस्सी के लंबाई के अनुदिश तनाव की दिशा)। बाकी बलों को गति के नियमों का उपयोग करके अज्ञात राशियों के रूप में लें।

(v) आवश्यकता पड़ने पर, एक अन्य प्रणाली के चयन के लिए इसी प्रक्रिया को दोहराएं। इसके लिए न्यूटन के तीसरे नियम का उपयोग करें। अर्थात, यदि A के मुक्त वस्तु चित्र में B द्वारा A पर लगने वाले बल को F के रूप में दिखाया गया है, तो B के मुक्त वस्तु चित्र में A द्वारा B पर लगने वाले बल को -F के रूप में दिखाया जाना चाहिए।

निम्नलिखित उदाहरण उपरोक्त प्रक्रिया को दर्शाता है:

उदाहरण 4.12 देखें चित्र 4.15। एक 2 किग्रा द्रव्यमान का एक ब्लॉक एक नरम क्षैतिज फर्श पर आराम से रखा है। जब इस ब्लॉक पर 25 किग्रा द्रव्यमान का एक सिलेंडर रख दिया जाता है, तो फर्श धीरे-धीरे ढल जाता है और ब्लॉक और सिलेंडर मिलकर 0.1 मी/से² के त्वरण के साथ नीचे जाते हैं। ब्लॉक के फर्श पर बल क्या है (ए) फर्श ढलने से पहले और (ब) फर्श ढल जाने के बाद? गुरुत्वाकर्षण त्वरण $ g = 10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2} $ लें। समस्या में क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म की पहचान करें।

उत्तर

(ए) ब्लॉक फर्श पर आराम से रखा है। इसके मुक्त बल चित्र में ब्लॉक पर दो बल होते हैं, पृथ्वी द्वारा गुरुत्वाकर्षण बल जो $ 2 \times 10 = 20 \mathrm{~N} $ होता है; और फर्श द्वारा ब्लॉक पर लगने वाला अभिलम्ब बल R। पहले कानून के अनुसार, ब्लॉक पर शुद्ध बल शून्य होना चाहिए, अर्थात $ R = 20 \mathrm{~N} $। तीसरे कानून के अनुसार, ब्लॉक की क्रिया (अर्थात ब्लॉक द्वारा फर्श पर लगाया गया बल) $ 20 \mathrm{~N} $ होता है और इसके बल की दिशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होती है।

(b) प्रणाली (ब्लॉक + सिलेंडर) $0.1 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ के बराबर नीचे की ओर त्वरित होती है। प्रणाली के मुक्त शरीर चित्र में प्रणाली पर दो बल होते हैं : पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण बल $(270 \mathrm{~N})$; और फर्श द्वारा प्रणाली पर लगने वाला अभिलम्ब बल $R^{\prime}$। ध्यान दें, प्रणाली के मुक्त शरीर चित्र में ब्लॉक और सिलेंडर के बीच आंतरिक बल नहीं दिखाए गए हैं। प्रणाली पर दूसरे नियम के अनुसार बल लगाने पर,

$$ \begin{gathered} 270-R^{\prime}=27 \quad 0.1 \mathrm{~N} \\ \text { अर्थात } R^\prime=267.3 \mathrm{~N} \end{gathered} $$

$\hspace{37mm}$चित्र 4.15

तीसरे नियम के अनुसार, प्रणाली के फर्श पर कार्य करने वाला बल $267.3 \mathrm{~N}$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होता है।

क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म

(अ) के लिए : (i) पृथ्वी द्वारा ब्लॉक पर गुरुत्वाकर्षण बल (20 एन) (क्रिया कहें); ब्लॉक द्वारा पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण बल (20 एन) ऊपर की ओर दिशा में (चित्र में नहीं दिखाया गया है)।

(ii) ब्लॉक द्वारा फर्श पर बल (क्रिया); फर्श द्वारा ब्लॉक पर बल (प्रतिक्रिया)।

(b) के लिए: (i) पृथ्वी द्वारा प्रणाली पर गुरुत्वाकर्षण बल $(270 \mathrm{~N})$ (क्रिया); प्रणाली द्वारा पृथ्वी पर गुरुत्वाकर्षण बल (प्रतिक्रिया), जो $270 \mathrm{~N}$ के बराबर है, ऊपर की ओर दिशा में (चित्र में नहीं दिखाया गया है)।

(ii) प्रणाली द्वारा फर्श पर बल (क्रिया); फर्श द्वारा प्रणाली पर बल (प्रतिक्रिया)। इसके अलावा, (b) के लिए, ब्लॉक द्वारा सिलिंडर पर बल और सिलिंडर द्वारा ब्लॉक पर बल भी एक क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म के रूप में विचार किए जा सकते हैं।

यह याद रखना महत्वपूर्ण है कि क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म दो वस्तुओं के बीच एक दूसरे के लिए समान और विपरीत बलों के समूह होते हैं। एक ही वस्तु पर लगने वाले बल जो एक दूसरे के बराबर और विपरीत हों, कभी भी क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म नहीं बन सकते। (a) या (b) में द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण बल और फर्श द्वारा द्रव्यमान पर अभिलम्ब बल क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म नहीं हैं। इन बलों के लिए (a) में द्रव्यमान विराम में होने के कारण ये बल एक दूसरे के बराबर और विपरीत होते हैं। लेकिन (b) के मामले में इन बलों के बराबर और विपरीत नहीं होते हैं, जैसा कि पहले ही देखा गया है। प्रणाली का भार $270 \mathrm{~N}$ है, जबकि अभिलम्ब बल $R^{\prime}$ $267.3 \mathrm{~N}$ है।

संतुलन बल चित्र बनाने की विधि भौतिकी में समस्याओं के हल में बहुत सहायक होती है। यह आपको अपने प्रणाली को स्पष्ट रूप से परिभाषित करने और अपने प्रणाली के बाहर के वस्तुओं के कारण लगने वाले सभी बलों को ध्यान में रखने की अनुमति देती है। इस अध्याय और उसके बाद के अध्यायों में कई अभ्यास आपको इस विधि के अभ्यास के लिए सहायता करेंगे।

सारांश

1. आरस्टोटल के विचार कि एक वस्तु को समान गति में रखने के लिए बल की आवश्यकता होती है, गलत है। वास्तविकता में बल की आवश्य केवल घर्षण के विरोधी बल को रोकने के लिए होती है।

2. कैलिटेन ढलान वाले सतहों पर वस्तुओं के गति के सरल अवलोकनों को विस्तारित करते हुए जड़त्व के नियम पर पहुंच गए। न्यूटन के गति के पहले नियम वही नियम है जिसे इस तरह फिर से बयान किया गया है: “सभी वस्तुएं अपने अवस्था शांति या सीधी रेखा में समान गति में बनी रहती हैं, बाहरी बल द्वारा अन्यथा नहीं।” सरल शब्दों में, पहला नियम यह है: “यदि एक वस्तु पर बाहरी बल शून्य हो, तो उसका त्वरण शून्य होता है।”

3. एक वस्तु के संवेग ( $p$ ) उसके द्रव्यमान ( $m$ ) और वेग $(v)$ के गुणनफल होता है:

markdown p = m \times v

$$ p=m v $$

4. नियत के गति के द्वितीय नियम :

किसी वस्तु के संवेग के परिवर्तन की दर, आवेशित बल के समानुपाती होती है और बल के दिशा में होता है। इसलिए

$$ \mathbf{F}=k \frac{\mathrm{~d} p}{\mathrm{~d} t}=k m \mathbf{a} $$

जहाँ $F$ वस्तु पर कार्य करने वाले नेट बाह्य बल है और $a$ उसका त्वरण है। हम समानुपाती नियतांक $k=1$ लेते हैं। तब

$$ F=\frac{d p}{d t}=m a $$

बल की SI इकाई न्यूटन है : $1 \mathrm{~N}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$.

(a) द्वितीय नियम पहले नियम के साथ सांगत है ( $F=0$ तो $\mathbf{a}=0$ )

(b) यह एक सदिश समीकरण है

(c) यह एक कण के लिए लागू होता है, और एक वस्तु या कणों के एक तंत्र के लिए भी लागू होता है, जबकि $F$ तंत्र पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल हो और $a$ तंत्र के समग्र त्वरण हो।

(d) एक निश्चित क्षण पर बिंदु पर $F$ निर्धारित करता है उसी बिंदु पर उसी क्षण के त्वरण को। अर्थात द्वितीय नियम एक स्थानीय नियम है; एक क्षण पर त्वरण गति के इतिहास पर निर्भर नहीं करता।

5. आवेग बल और समय के गुणनफल होता है जो संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।

जब एक बड़े बल के लगने के कारण संवेग में माप्य वृद्धि होती है तो आवेग की अवधारणा उपयोगी होती है। क्योंकि बल के कार्य काल बहुत छोटा होता है, इसलिए मान लीजिए कि आवेग बल के कार्य के दौरान वस्तु की स्थिति में कोई वृद्धि नहीं होती।

6. न्यूटन का गति का तीसरा नियम:

हर क्रिया के लिए हमेशा एक बराबर और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।

सरल शब्दों में, नियम कहा जा सकता है इस प्रकार:

प्रकृति में बल हमेशा दो वस्तुओं के बीच होते हैं। वस्तु $A$ पर वस्तु $B$ द्वारा लगने वाला बल वस्तु $B$ पर वस्तु $A$ द्वारा लगने वाले बल के बराबर और विपरीत होता है।

क्रिया और प्रतिक्रिया बल साथ-साथ लगते हैं। क्रिया और प्रतिक्रिया के बीच कोई कारण-परिणाम संबंध नहीं होता। क्रिया और प्रतिक्रिया में से कोई भी बल क्रिया कहे जा सकते हैं और दूसरा प्रतिक्रिया।

क्रिया और प्रतिक्रिया अलग-अलग वस्तुओं पर लगते हैं और इसलिए वे एक दूसरे को निरस्त नहीं कर सकते। एक वस्तु के विभिन्न भागों के बीच आंतरिक क्रिया और प्रतिक्रिया बल हालांकि शून्य के योग करते हैं।

7. संवेग के संरक्षण का नियम

कणों के एक अलग-अलग तंत्र के कुल संवेग संरक्षित रहता है। यह गति के दूसरे और तीसरे नियमों से निकलता है। 8. घर्षण

घर्षण बल दो सतहों के बीच अपेक्षित या वास्तविक संपर्क में आने वाले संबंधी गति के विरुद्ध होता है। यह संपर्क बल के एक घटक होता है जो संपर्क कर रही सतह के सामान्य स्पर्श रेखा के अनुदिश होता है। स्थैतिक घर्षण $f_s$ अपेक्षित संबंधी गति के विरुद्ध होता है; गतिज घर्षण $f_k$ वास्तविक संबंधी गति के विरुद्ध होता है। ये संपर्क क्षेत्र के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होते हैं और निम्नलिखित अनुमानित नियमों को संतुष्ट करते हैं :

$$ \begin{aligned} & f_{\mathrm{S}} \leq\left(f_{\mathrm{S}}\right){\max }=\mu{\mathrm{S}} R \ & f_{\mathrm{k}}=\mu_k R \end{aligned} $$

$\mu_s$ (स्थैतिक घर्जन के गुणांक) और $\mu_k$ (गतिज घर्षण के गुणांक) उन सतहों के जोड़े के विशिष्ट नियतांक होते हैं। प्रयोग के आधार पर पाया गया है कि $\mu_k$ $\mu_s$ से कम होता है।

| आवेग | $\mathbf{p}$ | $\mathrm{kg} \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}$ या $\mathrm{N} \mathrm{s}$ | $\left[\mathrm{MLT}^{-1}\right]$ | सदिश | | बल | $\mathbf{F}$ | $\mathrm{N}$ | $\left[\mathrm{MLT}^{-2}\right]$ | $\mathbf{F}=m \mathbf{a}$ दूसरा नियम | | आवेग | | $\mathrm{kg} \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}$ या $\mathrm{N} \mathrm{s}$ | $\left[\mathrm{MLT}^{-1}\right]$ | आवेग $=$ बल $\times$ समय
$=$ संवेग में परिवर्तन | | स्थैतिक घर्षण | $\mathbf{f}_{\mathrm{s}}$ | $\mathrm{N}$ | $\left[\mathrm{MLT}^{-2}\right]$ | $\mathbf{f}s \leq \mu_s \mathbf{N}$ | | गतिशील घर्षण | $\mathbf{f}{\mathrm{k}}$ | $\mathrm{N}$ | $\left[\mathrm{MLT}^{-2}\right]$ | $\mathbf{f}_k=\mu_k \mathbf{N}$ |

सोचने वाले बिंदु

सोचने वाले बिंदु 1. बल हमेशा गति की दिशा में नहीं होता। स्थिति के अनुसार, $\mathbf{F}$, $\mathbf{v}$ के समान्तर, $\mathbf{v}$ के विपरीत, $\mathbf{v}$ के लंबवत या $\mathbf{v}$ के साथ कोई अन्य कोण बना सकता है। हर स्थिति में, यह त्वरण के समान्तर होता है।

2. यदि किसी समय $\mathbf{v}=0$ है, अर्थात यदि एक वस्तु आवर्त रूप से विराम में है, तो इसका अर्थ यह नहीं होता कि उस समय बल या त्वरण आवश्यक रूप से शून्य हों। उदाहरण के लिए, जब एक गेंद ऊपर फेंकी जाती है और अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है, तो $\mathbf{v}=0$ होता है लेकिन बल अभी भी उसके भार $m g$ होता है और त्वरण शून्य नहीं होता बल्कि $g$ होता है।

3. किसी वस्तु पर एक निश्चित समय पर बल का निर्धारण उस समय वस्तु के स्थान पर घटना द्वारा होता है। बल वस्तु के पहले गति के इतिहास से वहाँ ले जाया जाता है। एक तेजी से गतिशील ट्रेन से एक पत्थर छोड़े जाने के तुरंत बाद, यदि आसपास के हवा के प्रभाव को नगण्य मान लिया जाए, तो पत्थर पर कोई क्षैतिज बल (या त्वरण) नहीं होता। तब पत्थर केवल गुरुत्वाकर्षण बल के लंबवत बल के अधीन होता है।

4. गति के द्वितीय नियम $\mathbf{F}=m \mathbf{a}$ में, $\mathbf{F}$ वस्तु के बाहरी सामग्री द्वारा लगाए गए सभी बलों के कुल बल का प्रतिनिधित्व करता है। $\mathbf{a}$ बल का प्रभाव है। $ma$ को $\mathbf{F}$ के अतिरिक्त एक अतिरिक्त बल के रूप में देखा नहीं जाना चाहिए।

5. केंद्राप्रसार बल को एक अतिरिक्त बल के रूप में नहीं देखा जाना चाहिए। यह केवल एक शब्द है जिसे एक वस्तु के वृत्तीय गति में अंतर्मुखी त्रिज्या त्वरण प्रदान करने वाले बल के लिए दिया जाता है। हमें किसी भी वृत्तीय गति में केंद्राप्रसार बल के रूप में कुछ विस्तारित बल जैसे तनाव, गुरुत्वाकर्षण बल, विद्युत बल, घर्षण आदि की खोज करनी चाहिए।

6. स्थैतिक घर्षण एक स्व-समायोजित बल है जो अपनी सीमा तक $\mu_s N\left(f_s \leq \mu_s N\right)$ तक होता है। अपनी सुनिश्चितता के बिना $f_s=\mu_s N$ नहीं लिखें।

7. एक वस्तु के टेबल पर $m g=R$ के परिचित समीकरण केवल वस्तु संतुलन में ही सत्य होता है। $m g$ और $R$ बल अलग-अलग हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, एक त्वरित लिफ्ट में वस्तु)। $m g$ और $R$ के बराबर होने के साथ तीसरे नियम के कोई संबंध नहीं होता।

8. गति के तीसरे नियम में ‘क्रिया’ और ‘प्रतिक्रिया’ के शब्द एक दुसरे के साथ एक साथ लगने वाले बलों के लिए बस एक शब्द हैं। इनका अर्थ सामान्य भाषा में अलग है, क्रिया न तो प्रतिक्रिया के पहले होती है और न ही इसका कारण होती है। क्रिया और प्रतिक्रिया अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं।

9. ‘घर्षण’, ‘सामान्य प्रतिक्रिया’, ‘तनाव’, ‘हवा का प्रतिरोध’, ‘गाढ़ा बल’, ‘धक्का’, ‘उत्थान बल’, ‘भार’, ‘केंद्रापाश बल’ जैसे विभिन्न शब्द सभी विभिन्न संदर्भों में ‘बल’ के लिए प्रयुक्त होते हैं। स्पष्टता के लिए, भौतिकी में प्रयोग किए जाने वाले प्रत्येक बल और उसके तुल्य शब्दों को ‘बल $A$ द्वारा $B$ पर’ जैसे वाक्य के रूप में रूपांतरित कर देना चाहिए।

10. गति के द्वितीय नियम के अनुप्रयोग के लिए, अनुच्छेदी और जीवित वस्तुओं के बीच कोई संकल्पनात्मक अंतर नहीं होता। एक जीवित वस्तु जैसे मनुष्य को त्वरित करने के लिए भी बाह्य बल की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, घर्षण के बाह्य बल के बिना हम भूमि पर चल नहीं सकते।

11. भौतिकी में बल के उद्देश्यपूर्वक संकल्पना को ‘बल के अनुभव’ के विषयपूर्वक संकल्पना से भ्रमित नहीं होना चाहिए। एक मेर्री-गो-आउंड पर, हमारे शरीर के सभी भागों पर आंतरिक बल लगता है, लेकिन हम बाहर की ओर धक्का लगे होने का अनुभव करते हैं - यह गति की दिशा में बाहर की ओर बल की ओर इशारा करता है।

अभ्यास

(संख्यात्मक गणना के लिए सरलता के लिए, $g=10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ लें)

4.1 निम्नलिखित पर शुद्ध बल के परिमाण और दिशा बताइए:

(a) एक बरसात की बूंद निरंतर गति के साथ नीचे गिर रही है,

(b) 10 ग्राम द्रव्यमान का एक कॉर्क पानी पर तैर रहा है,

(c) एक टेढ़ी टेढ़ी टिकिया आकाश में स्थिर रूप से रखे गए हैं,

(d) एक कार एक खराब सड़क पर 30 किमी/घंटा के निरंतर वेग से गति कर रही है,

(e) अंतरिक्ष में सभी द्रव्यमान वस्तुओं से दूर एक उच्च गति के इलेक्ट्रॉन जहां विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र निराकरण हैं।

4.2 0.05 किग्रा द्रव्यमान का एक पत्थर ऊपर की ओर फेंका जाता है। निम्नलिखित में पत्थर पर शुद्ध बल की दिशा और परिमाण बताइए,

(a) ऊपर की ओर गति के दौरान,

(b) नीचे की ओर गति के दौरान,

(c) अपनी सबसे ऊँची बिंदु पर जहां यह आवर्जन रूप से विराम में है। यदि पत्थर को 45° के कोण पर क्षैतिज दिशा से फेंका जाता है तो आपके उत्तर में कोई परिवर्तन होगा या नहीं?

हवा के प्रतिरोध को नगण्य मान लें।

4.3 एक द्रव्यमान $0.1 , \text{kg}$ के पत्थर पर कार्य कर रहे नेट बल के परिमाण और दिशा को बताइए,

(a) एक स्थिर ट्रेन के खिड़की से गिरते ही,

(b) एक एकसमान वेग $36 , \text{km/h}$ से चल रहे ट्रेन के खिड़की से गिरते ही,

(c) एक त्वरित ट्रेन के खिड़की से गिरते ही, जिसका त्वरण $1 , \text{m} , \text{s}^{-2}$ है,

(d) एक त्वरित ट्रेन के फर्श पर रखे पत्थर पर, जिसका त्वरण $1 , \text{m} , \text{s}^{-2}$ है, और पत्थर ट्रेन के सापेक्ष विराम में है। हवा के प्रतिरोध को नगण्य मान लें।

4.4 One end of a string of length $l$ is connected to a particle of mass $m$ and the other to a small peg on a smooth horizontal table. If the particle moves in a circle with speed $v$ the net force on the particle (directed towards the centre) is where $T$ is the tension in the string. [Choose the correct alternative].

(i) $T$

(ii) $T-\frac{m v^{2}}{l}$

(iii) $T+\frac{m v^{2}}{l}$

(iv) 0

4.5 A constant retarding force of $50 \mathrm{~N}$ is applied to a body of mass $20 \mathrm{~kg}$ moving initially with a speed of $15 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$. How long does the body take to stop?

4.6 एक द्रव्यमान $3.0 \mathrm{~kg}$ के शरीर पर लगने वाला एक स्थिर बल इसके वेग को $2.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ से $3.5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ तक 25 सेकंड में बदल देता है। शरीर की गति की दिशा बदल नहीं जाती है। बल के परिमाण और दिशा क्या है?

4.7 एक द्रव्यमान $5 \mathrm{~kg}$ के शरीर पर दो लम्बवत बल $8 \mathrm{~N}$ और $6 \mathrm{~N}$ लग रहे हैं। शरीर के त्वरण के परिमाण और दिशा क्या है?

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उत्तर

$2 m / s^{2}$, $8 N$ के बल के साथ $37^{\circ}$ के कोण पर

शरीर का द्रव्यमान, $m=5 kg$

दिए गए स्थिति को निम्नलिखित तरह दर्शाया जा सकता है:

दो बलों का परिणाम निम्नलिखित है:

$R=\sqrt{(8)^{2}+(-6)^{2}}=\sqrt{64+36}=10 N$

$\theta$ वह कोण है जो $R$ बल द्वारा $8 N$ के बल के साथ बनाया जाता है

$\therefore \theta=\tan ^{-1}(\frac{-6}{8})=-36.87^{\circ}$

गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण, $g=10 m / s^{2}$

न्यूटन के द्वितीय गति के नियम के अनुसार, रॉकेट पर कार्य कर रहे शुद्ध बल (थ्रस्ट) के लिए निम्नलिखित संबंध दिया गया है:

$ F-m g=m a $

$F=m(g+a)$

$=20000 \times(10+5)$

$=20000 \times 15=3 \times 10^{5} N$

4.10 उत्तर दिशा में 10 मी/से की नियत गति से गतिमान 0.40 किग्रा द्रव्यमान के एक वस्तु पर 30 सेकंड के लिए दक्षिण दिशा में 8.0 न्यूटन का एक स्थिर बल लगाया जाता है। बल लगाने के समय को $t=0$ ले लीजिए, उस समय वस्तु की स्थिति को $x=0$ मान लीजिए और $t=-5 \mathrm{~s}, 25 \mathrm{~s}, 100 \mathrm{~s}$ पर इसकी स्थिति की भविष्यवाणी कीजिए।

4.11 एक ट्रक शांति से शुरू होकर $2.0 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ के समान त्वरण से त्वरित होता है। $t=10 \mathrm{~s}$ पर, एक व्यक्ति जो ट्रक के शीर्ष पर खड़ा है, जमीन से $6 \mathrm{~m}$ ऊँचे स्थान पर एक पत्थर गिराता है। $t=$ 11 s पर पत्थर की (a) वेग और (b) त्वरण क्या होगा? (हवा के प्रतिरोध को नगण्य मानें।)

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Answer

(a) $22.36 m / s$, ट्रक के गति के साथ $26.57^{\circ}$ के कोण पर

(b) $10 m / s^{2}$

ट्रक के प्रारंभिक वेग, $u=0$

त्वरण, $a=2 m / s^{2}$

समय, $t=10 s$

गति के पहले समीकरण के अनुसार, अंतिम वेग निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$v=u+a t$ $=0+2 \times 10=20 m / s$

ट्रक के अंतिम वेग और इसलिए पत्थर के अंतिम वेग $20 m / s$ है।

$t=11 s$ पर, हवा के प्रतिरोध की अनुपस्थिति में, वेग के क्षैतिज घटक $(v_x)$ अपरिवर्तित रहता है, अर्थात,

$v_x=20 m / s$

पत्थर के वेग के ऊर्ध्वाधर घटक $(v_y)$ गति के पहले समीकरण के अनुसार निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$v_y=u+a_y \delta t$

जहाँ, $\delta t=11-10=1 s$ और $a_y=g=10 m / s^{2}$

$\therefore v_y=0+10 \times 1=10 m / s$

पत्थर के परिणामी वेग $(v)$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$ \begin{aligned} v & =\sqrt{v_x^{2}+v_y^{2}} \\ & =\sqrt{20^{2}+10^{2}}=\sqrt{400+100} \\ & =\sqrt{500}=22.36 m / s \end{aligned} $

मान लीजिए $\theta$ परिणामी वेग के क्षैतिज घटक $v_x$ के साथ बनाया गया कोण है

$\therefore \tan \theta=(\frac{v_y}{v_x})$

$\theta=\tan ^{-1}(\frac{10}{20})$

$=\tan ^{-1}(0.5)$

$=26.57^{\circ}$

जब पत्थर ट्रक से गिराया जाता है, तो इस पर कार्य करने वाला क्षैतिज बल शून्य हो जाता है। हालांकि, पत्थर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के अंतर्गत चलता रहता है। इसलिए, पत्थर का त्वरण $10 m / s^{2}$ होता है और यह ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।

4.12 एक कमरे की छत से 2 मीटर लंबी एक रस्सी से लटके 0.1 किग्रा द्रव्यमान के एक बोब को दोलन करने के लिए लटकाया जाता है। बोब के मध्य स्थिति पर इसकी चाल 1 मीटर प्रति सेकंड है। यदि रस्सी को बोब के (a) एक अतिरिक्त स्थिति पर या (b) मध्य स्थिति पर काट दिया जाए, तो बोब की पारिस्थितिकी क्या होगी?

4.13 एक व्यक्ति जिसका द्रव्यमान $70 \mathrm{~kg}$ है, एक लिफ्ट में एक वजन मापन यंत्र पर खड़ा है जो गति कर रहा है

(a) $10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के समान चाल से ऊपर जा रहा है,

(b) $5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ के समान त्वरण से नीचे जा रहा है,

(c) $5 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$ के समान त्वरण से ऊपर जा रहा है।

प्रत्येक स्थिति में वजन मापन यंत्र पर क्या पढ़ेगा?

(d) यदि लिफ्ट के यंत्र विफल हो जाए और यह गुरुत्वाकर्षण के अधीन गिर जाए, तो वजन मापन यंत्र पर क्या पढ़ेगा?

4.14 चित्र 4.16 में 4 किग्रा द्रव्यमान के कण के स्थिति-समय ग्राफ दिखाया गया है। $t<0, t>4 s, 0<t<4 \mathrm{~s}$ के लिए (a) कण पर बल क्या है? (b) $t=0$ और $t=4 \mathrm{~s}$ पर आवेग क्या है? (केवल एक-विमीय गति को ध्यान में रखें)।

चित्र 4.15

4.15 दो द्रव्यमानों $10 \mathrm{~kg}$ और $20 \mathrm{~kg}$ के दो वस्तुएं एक स्मूथ, क्षैतिज सतह पर रखे गए हैं जो एक हल्के स्ट्रिंग के दो सिरों पर बांधे गए हैं। एक क्षैतिज बल $\mathrm{F}=600 \mathrm{~N}$ को (i) A पर, (ii) B पर स्ट्रिंग की दिशा में लगाया जाता है। प्रत्येक स्थिति में स्ट्रिंग में तनाव क्या होगा?

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Answer

क्षैतिज बल, $F=600 N$

वस्तु A का द्रव्यमान, $m_1=10 kg$

वस्तु B का द्रव्यमान, $m_2=20 kg$

सिस्टम का कुल द्रव्यमान, $m=m_1+m_2=30 kg$

न्यूटन के द्वितीय गति के नियम का उपयोग करके, सिस्टम में उत्पन्न त्वरण (a) की गणना की जा सकती है:

$ \begin{aligned} & F=m a \\ & \therefore a=\frac{F}{m}=\frac{600}{30}=20 m / s^{2} \end{aligned} $

जब बल $F$ वस्तु A पर लगाया जाता है:

गति के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$ F-T=m_1 a $

$\therefore T=F-m_1 a$

$=600-10 \times 20=400 N$

जब बल $F$ वस्तु B पर लगाया जाता है:

गति के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$F-T=m_2 a$

$T=F-m_2 a$

$\therefore T=600-20 \times 20=200 N \ldots$ (ii)

4.16 दो द्रव्यमानों $8 \mathrm{~kg}$ और $12 \mathrm{~kg}$ को एक हल्के अविस्तारी तार के दो सिरों पर बांध दिया गया है जो एक घर्षणरहित मोमेंट के ऊपर गुजरता है। जब द्रव्यमानों को छोड़ दिया जाता है, तो द्रव्यमानों के त्वरण और तार में तनाव ज्ञात कीजिए।

उत्तर दिखाएं

Answer

दो द्रव्यमानों और एक मोमेंट के दिए गए सिस्टम को निम्न चित्र में दर्शाया गया है:

Smaller mass, $m_1=8 kg$

Larger mass, $m_2=12 kg$

Tension in the string $=T$

Mass $m_2$, owing to its weight, moves downward with acceleration $a$, and mass $m_1$ moves upward.

Applying Newton’s second law of motion to the system of each mass:

For mass $m_1$ :

The equation of motion can be written as:

$T-m_1 g=m a \quad \text{(i)}$

For mass $m_2$ :

The equation of motion can be written as:

$m_2 g-T=m_2 a \quad \text{(ii)}$

Adding equations ( $i$ ) and (ii), we get:

$$ \begin{align*} & (m_2-m_1) g=(m_1+m_2) a \\ & \therefore a=(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}) g \tag{iii}\\ & =(\frac{12-8}{12+8}) \times 10=\frac{4}{20} \times 10=2 m / s^{2} \end{align*} $$

Therefore, the acceleration of the masses is $2 m / s^{2}$.

Substituting the value of $a$ in equation (ii), we get:

$$ \begin{aligned} & m_2 g-T=m_2(\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}) g \\ \\ & T=(m_2-\frac{m_2^{2}-m_1 m_2}{m_1+m_2}) g \\ \\ &=(\frac{2 m_1 m_2}{m_1+m_2}) g \\ \\ &=(\frac{2 \times 12 \times 8}{12+8}) \times 10 \\ \\ &=\frac{2 \times 12 \times 8}{20} \times 10=96 N \end{aligned} $$

Therefore, the tension in the string is $96 N$.

4.17 एक नाभिक प्रयोगशाला अंग अनुसार विराम में है। दिखाइए कि यदि यह दो छोटे नाभिकों में विघटित हो जाता है, तो उत्पाद विपरीत दिशाओं में गति करेंगे।

4.18 दो बिलियर्ड के गेंद, प्रत्येक के द्रव्यमान $0.05 \mathrm{~kg}$ है, विपरीत दिशाओं में $6 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ की चाल से गति करते हुए टकराते हैं और एक दूसरे से टकराने के बाद उनकी चाल बरकरार रहती है। प्रत्येक गेंद को दूसरे द्वारा दिया गया आवेग क्या है?

4.19 एक बंदूक के द्रव्यमान $100 \mathrm{~kg}$ है जिसके द्वारा एक गोला जिसका द्रव्यमान $0.020 \mathrm{~kg}$ है चलाया जाता है। यदि गोले की मुख्य चाल $80 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ है, तो बंदूक की प्रतिकूल चाल क्या है?

4.20 एक बल्लेबाज एक गेंद को $54 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ की चाल से अपनी प्रारंभिक चाल के बराबर एक $45^{\circ}$ के कोण पर पलट देता है। गेंद को दिया गया आवेग क्या है? (गेंद का द्रव्यमान $0.15 \mathrm{~kg}$ है।)

उत्तर दिखाएं

उत्तर

दिए गए स्थिति को नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है।

जहाँ,

$AO=$ गेंद के आपतित पथ

$OB=$ गेंद के प्रतिदीप्त पथ के बाद अनुसरण किया गया पथ

$\angle AOB=$ आपतित और प्रतिदीप्त पथ के बीच कोण $=45^{\circ}$

$\angle AOP=\angle BOP=22.5^{\circ}=\theta$

गेंद के प्रारंभिक और अंतिम वेग $=v$

प्रारंभिक वेग के क्षैतिज घटक $=v \cos \theta$ RO के अनुदिश

प्रारंभिक वेग के ऊर्ध्वाधर घटक $=v \sin \theta$ PO के अनुदिश

अंतिम वेग के क्षैतिज घटक $=v \cos \theta$ OS के अनुदिश

अंतिम वेग के ऊर्ध्वाधर घटक $=v \sin \theta$ OP के अनुदिश

वेग के क्षैतिज घटक में कोई परिवर्तन नहीं होता। वेग के ऊर्ध्वाधर घटक विपरीत दिशा में होते हैं।

$\therefore$ गेंद को दिया गया आवेग $=$ गेंद के रैखिक संवेग में परिवर्तन

$=m v \cos \theta-(-m v \cos \theta)$

$=2 m v \cos \theta$

गेंद के द्रव्यमान, $m=0.15 kg$

गेंद के वेग, $v=54 km / h=15 m / s$

$\therefore$ आवेग $=2 \times 0.15 \times 15 \cos 22.5^{\circ}=4.16 kg m / s$

4.21 एक चट्टान के द्रव्यमान $0.25 \mathrm{~kg}$ के बंधे एक स्ट्रिंग के एक सिरे से एक क्षैतिज समतल में 1.5 मीटर त्रिज्या के एक वृत्त में 40 चक्र/मिनट की गति से घूमाया जाता है। स्ट्रिंग में तनाव क्या है? यदि स्ट्रिंग के अधिकतम तनाव 200 न्यूटन हो सकता है, तो चट्टान को कितनी अधिकतम गति से घुमाया जा सकता है?

4.22 यदि, अभ्यास 4.21 में, पत्थर की गति अधिकतम स्वीकृत मान से अधिक कर दी जाए और डोरी अचानक टूट जाए, तो डोरी टूटने के बाद पत्थर के पथ का निम्नलिखित में से कौन सा वर्णन सही है :

(a) पत्थर त्रिज्या के बाहर बढ़ता है,

(b) डोरी टूटने के तत्काल बाद पत्थर तात्कालिक वेग के समांतर उड़ जाता है,

(c) पत्थर तात्कालिक वेग के कोण पर उड़ जाता है जिसका मान कण की गति पर निर्भर करता है?

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Answer

(b)

जब डोरी टूट जाती है, तो पत्थर उस समय के वेग की दिशा में गति करेगा। गति के प्रथम नियम के अनुसार, वेग वेक्टर की दिशा उस समय पत्थर के पथ के स्पर्शरेखीय होती है। इसलिए, डोरी टूटने के तत्काल बाद पत्थर तात्कालिक वेग के समांतर उड़ जाएगा।

4.23 स्पष्ट करें कि

(a) एक घोड़ा खाली स्थान में एक गाड़ी खींच नहीं सकता,

(b) एक तेज बस अचानक रूक जाने पर यात्री अपने सीट से आगे की ओर फेंक देते हैं,

(c) एक लॉन गैर को खींचना पushing करने की तुलना में आसान होता है,

(d) एक क्रिकेटर गेंद कैच करते समय अपने हाथों को पीछे करता है।

Answer

(a) एक गाड़ी खींचने के लिए, घोड़ा कुछ बल के साथ भूमि को पीछे की ओर धकेलता है। भूमि फिर घोड़े के पैरों पर बराबर और विपरीत बल लगाती है। इस बल के कारण घोड़ा आगे बढ़ता है।

खाली स्थान में कोई ऐसा बल नहीं होता। इसलिए, घोड़ा खाली स्थान में एक गाड़ी खींच नहीं सकता और न ही चल सकता है।

(b) जब एक तेज बस अचानक रूक जाती है, तो यात्री के शरीर के निचले हिस्से, जो सीट से संपर्क में होता है, अचानक रूक जाता है। हालांकि, ऊपरी हिस्सा गति के प्रथम नियम के अनुसार गति में बना रहता है। इस कारण, यात्री का ऊपरी शरीर बस के चल रहे दिशा में आगे की ओर फेंक देता है।

(c) घास काटने वाले मोटर को खींचते समय, इस पर कोण $\theta$ पर बल लगाया जाता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

इस लगाए गए बल के ऊर्ध्वाधर घटक ऊपर की ओर कार्य करता है। यह मोटर के प्रभावी भार को कम करता है।

दूसरी ओर, घास काटने वाले मोटर को धकेलते समय, इस पर कोण $\theta$ पर बल लगाया जाता है, जैसा कि नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है।

इस स्थिति में, लगाए गए बल के ऊर्ध्वाधर घटक मोटर के भार की दिशा में कार्य करता है। यह मोटर के प्रभावी भार को बढ़ाता है।

क्योंकि पहली स्थिति में घास काटने वाले मोटर का प्रभावी भार कम होता है, इसलिए घास काटने वाले मोटर को खींचना धकेलने की तुलना में आसान होता है।

न्यूटन के गति के द्वितीय नियम के अनुसार, हम गति के समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं:

$F=m a=m \frac{\Delta v}{\Delta t} \quad \text{(i)}$

जहाँ,

$F=$ बल जो क्रिकेटर गेंद पकड़ते समय अपने हाथों पर अनुभव करता है

$m=$ गेंद का द्रव्यमान

$\Delta t=$ गेंद के हाथ से टकराव के समय

समीकरण (i) से यह निष्कर्ष निकलता है कि टकराव बल टकराव समय के व्युत्क्रमानुपाती होता है, अर्थात,

$F \propto \frac{1}{\Delta t}$

समीकरण (ii) से यह स्पष्ट होता है कि यदि टकराव समय बढ़ जाता है तो क्रिकेटर द्वारा अनुभव किया गया बल कम हो जाता है और विपरीत रूप से यदि टकराव समय कम हो जाता है तो बल बढ़ जाता है।

(d) गेंद पकड़ते समय, क्रिकेटर अपने हाथ को पीछे करके टकराव समय $(\Delta t)$ को बढ़ा देता है। इसके परिणामस्वरूप बंद करने वाले बल में कमी आती है, जिससे क्रिकेटर के हाथ चोट नहीं लगते।