14.1 परिचय

पिछले अध्याय में हम वस्तुओं के अलग-अलग गति के अध्ययन कर चुके हैं। एक ऐसे प्रणाली में क्या होता है, जो ऐसी वस्तुओं के संग्रह के रूप में होता है? एक पदार्थ माध्यम इसका एक उदाहरण है। यहां, तार बल घटकों को एक दूसरे से बांधे रखते हैं और इसलिए एक के गति का प्रभाव दूसरे के गति पर पड़ता है। यदि आप एक छोटे से पत्थर को एक शांत जल के तालाब में गिराएं, तो जल सतह अस्थिर हो जाती है। अस्थिरता एक स्थान पर सीमित नहीं रहती, बल्कि बाहर की ओर एक वृत्त के रूप में फैलती जाती है। यदि आप तालाब में लगातार पत्थर गिराते रहें, तो आप देख सकते हैं कि वृत्त तेजी से अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर चले जाते हैं। यह ऐसा अहसास देता है जैसे जल अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर बह रहा हो। यदि आप अस्थिरता के सतह पर कुछ कॉर्क के टुकड़े रख दें, तो आप देख सकते हैं कि कॉर्क के टुकड़े ऊपर नीचे गति करते हैं लेकिन अस्थिरता के केंद्र से दूर नहीं जाते हैं। यह दिखाता है कि जल के द्रव्य बाहर की ओर नहीं बहता है बल्कि एक गति करती हुई अस्थिरता के रूप में बनती है। इसी तरह, जब हम बोलते हैं, तो ध्वनि हम से बाहर की ओर चलती है, बिना किसी भी भाग में वायु के प्रवाह के। हवा में उत्पन्न अस्थिरताएं बहुत कम स्पष्ट होती हैं और केवल हमारे कान या एक माइक्रोफोन उन्हें खोज सकते हैं। ये पैटर्न, जो एक पूरे माध्यम के द्रव्य के वास्तविक भौतिक परिवहन या प्रवाह के बिना चलते हैं, तरंगें कहलाते हैं। इस अध्याय में हम ऐसी तरंगों के अध्ययन करेंगे।

तरंगें ऊर्जा का परिवहन करती हैं और विक्षोभ के पैटर्न के ज्ञान के रूप में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलते हैं। हमारी सभी संचार प्रणालियाँ मूल रूप से तरंगों के माध्यम से संकेतों के प्रसार पर निर्भर करती हैं। बोलना हवा में ध्वनि तरंगों के उत्पादन को कहते हैं और सुनना उनके पता लगाने को कहते हैं। अक्सर, संचार विभिन्न प्रकार की तरंगों के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें पहले एक विद्युत धारा संकेत में बदल जाती हैं जो फिर एक विद्युत चुंबकीय तरंग में बदल जाती हैं जो एक ऑप्टिकल केबल या एक उपग्रह के माध्यम से प्रसारित की जा सकती हैं। मूल संकेत के पता लगाने में आमतौर पर इन कदमों के विपरीत क्रम में शामिल होते हैं।

सभी तरंगों के लिए माध्यम की आवश्यकता नहीं होती। हम जानते हैं कि प्रकाश तरंगें वैक्यूम में यात्रा कर सकती हैं। तारों द्वारा उत्सर्जित प्रकाश, जो सौर मीटर के बराबर दूरी पर होते हैं, आकाशीय अंतरिक्ष के माध्यम से हम तक पहुंचते हैं, जो वास्तव में एक वैक्यूम होता है।

सबसे परिचित प्रकार की तरंज जैसे कि स्ट्रिंग पर तरंगें, पानी की तरंगें, ध्वनि तरंगें, सैलिसमिक तरंगें आदि विशेष रूप से यांत्रिक तरंगें कहलाती हैं। ये तरंगें प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है, वे वैक्यूम में प्रसार नहीं कर सकती हैं। ये तरंगें माध्यम के संघटक कणों के दोलनों के साथ संबंधित होती हैं और माध्यम के अतिरिक्त गुणों पर निर्भर करती हैं। आप द्वारा कक्षा XII में सीखे जाने वाले विद्युत चुंबकीय तरंगें एक अलग प्रकार की तरंग हैं। विद्युत चुंबकीय तरंगें माध्यम की आवश्यकता नहीं होती - वे वैक्यूम में यात्रा कर सकती हैं। प्रकाश, रेडियो तरंगें, X-किरणें, सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें हैं। वैक्यूम में सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें एक ही गति $\mathrm{c}$ के साथ यात्रा करती हैं, जिसका मान है :

$$c=299,792,458 \mathrm{~ms}^{-1} \tag{14.1}$$

एक तीसरा प्रकार की तरंग वह है जिसे बार-बार “मात्रा तरंग” कहा जाता है। वे पदार्थ के घटकों से संबंधित होती हैं : इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, परमाणु और अणु। वे आपके आगे अध्ययन के दौरान आपको सीखने वाले प्रकृति के क्वांटम भौतिकीय वर्णन में उत्पन्न होती हैं। हालांकि ये यांत्रिक या विद्युत-चुंबकीय तरंगों की तुलना में अधिक अमूर्त अवधारणा हैं, लेकिन वे आधुनिक तकनीक के कई उपकरणों में पहले से ही उपयोग में हैं; इलेक्ट्रॉनों के संगत मात्रा तरंग इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप में उपयोग की जाती हैं।

इस अध्याय में हम मैकेनिकल तरंगों के अध्ययन करेंगे, जिनके प्रसार के लिए एक पदार्थी माध्यम की आवश्यकता होती है।

तरंगों के आलोचनात्मक प्रभाव कला और साहित्य पर बहुत प्राचीन काल से देखा जाता है; हालांकि, तरंग गति के पहले वैज्ञानिक विश्लेषण के इतिहास सातवीं सदी के दौरान लौटता है। तरंग गति के भौतिकी के कुछ प्रसिद्ध वैज्ञानिकों में क्रिस्टियान ह्यूगेन्स (1629-1695), रॉबर्ट हूक और आइज़ैक न्यूटन शामिल हैं। तरंग भौतिकी के समझ के विकास में दोलन के द्रव्यमानों के भौतिकी और सरल लोलक के भौतिकी के अध्ययन के बाद आया। विस्तारित तार, घुमावदार स्प्रिंग, हवा, आदि तरंगों के विस्तार के लिए अनुमति देने वाले अनुत्कृष्ट माध्यम के उदाहरण हैं।

हम इस संबंध को सरल उदाहरणों के माध्यम से स्पष्ट करेंगे।

एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंगों के एक संग्रह को चित्र 14.1 में दिखाया गया है। यदि एक सिरे पर स्प्रिंग को अचानक खींचकर छोड़ दिया जाए, तो अव्यवहार दूसरे सिरे तक पहुंच जाता है। यह क्या हुआ? पहला स्प्रिंग अपनी संतुलन लंबाई से असंतुलित हो जाता है। चूंकि दूसरा स्प्रिंग पहले से जुड़ा हुआ है, इसलिए यह भी खिंच जाता है या संपीड़ित हो जाता है, आदि। अव्यवहार एक सिरे से दूसरे सिरे तक चलता है; लेकिन प्रत्येक स्प्रिंग अपनी संतुलन स्थिति के आसपास केवल छोटे झूले बनता है। इस स्थिति के एक व्यावहारिक उदाहरण के रूप में, एक रेलवे स्टेशन पर स्थिर ट्रेन को लें। ट्रेन के विभिन्न भाग (बोगी) एक दूसरे के साथ एक स्प्रिंग के माध्यम से जुड़े होते हैं। जब एक इंजन एक सिरे पर जुड़ जाता है, तो इसके आसपास बोगी को धकेल देता है; यह धक्का एक बोगी से दूसरे बोगी तक बिना पूरी ट्रेन के एक साथ विस्थापित होने के बिना पहुंच जाता है।

चित्र 14.1 एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंग के संग्रह। छोर A पर अचानक खींचा जाता है जिसके कारण एक अस्थिरता उत्पन्न होती है, जो फिर दूसरे छोर तक फैलती है।

अब हम हवा में ध्वनि तरंगों के प्रसार के बारे में विचार करते हैं। जैसे ही तरंग हवा में गुजरती है, वह हवा के एक छोटे क्षेत्र को संपीड़ित या विस्तारित करती है। इसके कारण उस क्षेत्र में घनत्व में एक परिवर्तन होता है, जैसे कि $\delta \rho$। इस परिवर्तन के कारण उस क्षेत्र में दबाव में एक परिवर्तन, $\delta p$, उत्पन्न होता है। दबाव एक इकाई क्षेत्र पर बल होता है, इसलिए अस्थिरता के साथ एक पुनः स्थापित बल होता है, जैसे कि एक स्प्रिंग में। इस मामले में, स्प्रिंग के विस्तार या संपीड़न के समान राशि घनत्व में परिवर्तन होता है। यदि क्षेत्र संपीड़ित होता है, तो उस क्षेत्र में अणु एक दूसरे के करीब बंद हो जाते हैं और वे आसपास के क्षेत्र में बाहर जाने की ओर झुकते हैं, जिसके कारण घनत्व बढ़ जाता है या आसपास के क्षेत्र में संपीड़न उत्पन्न होता है। इस प्रकार, पहले क्षेत्र में हवा के विरलन होता है। यदि क्षेत्र तुलनात्मक रूप से विरल होता है, तो आसपास की हवा उसमें प्रवेश करती है जिसके कारण विरलन आसपास के क्षेत्र में बढ़ जाता है। इस प्रकार, संपीड़न या विरलन एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में चलता है, जिससे हवा में अस्थिरता के प्रसार की संभावना उत्पन्न होती है।

ठोस में, इसी तरह के तर्क किए जा सकते हैं। एक क्रिस्टलीय ठोस में, परमाणु या परमाणुओं के समूह एक आवर्ती जालक में व्यवस्थित होते हैं। इनमें, प्रत्येक परमाणु या परमाणुओं के समूह आसपास के परमाणुओं के बलों के कारण संतुलन में होते हैं। एक परमाणु को विस्थापित करके अन्य सभी को स्थिर रखे रहने पर, वापसी बल उत्पन्न होते हैं, ठीक वैसे जैसे कि एक स्प्रिंग में। इसलिए हम एक जालक में परमाणुओं को एंड पॉइंट्स के रूप में सोच सकते हैं, जिनके बीच स्प्रिंग होते हैं।

इस पाठ के अगले अनुभागों में हम तरंगों के विभिन्न विशिष्ट गुणों के बारे में चर्चा करेंगे।

14.2 अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें

हम देख चुके हैं कि यांत्रिक तरंगों की गति माध्यम के घटकों के दोलनों की शामिल होती है। यदि माध्यम के घटक तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं, तो तरंग को अनुप्रस्थ तरंग कहा जाता है। यदि वे तरंग प्रसार की दिशा के समानुपात में दोलन करते हैं, तो तरं ग को अनुदिश तरंग कहा जाता है।

चित्र 14.2 जब एक पल्स तनाव वाली स्ट्रिंग के लंबाई के अनुदिश (x-दिशा) चलता है, तो स्ट्रिंग के तत्व ऊपर और नीचे (y-दिशा) झूलते हैं।

चित्र 14.2 में एक अकेले पल्स के स्ट्रिंग के अनुदिश प्रसार को दिखाया गया है, जो एक अकेले ऊपर और नीचे के झटके के कारण होता है। यदि स्ट्रिंग की लंबाई पल्स के आकार की तुलना में बहुत लंबी हो, तो पल्स दूसरे सिरे तक पहुँचने से पहले धीमा हो जाएगा और उस सिरे से परावर्तन को नगण्य माना जा सकता है। चित्र 14.3 में एक समान स्थिति दिखाई गई है, लेकिन इस बार बाहरी एजेंट स्ट्रिंग के एक सिरे पर एक निरंतर आवर्ती वृत्तीय ऊपर और नीचे के झटके देता है। इसके परिणामस्वरूप स्ट्रिंग पर उत्पन्न अवांछित घटना एक वृत्तीय तरंग होती है। दोनों मामलों में स्ट्रिंग के तत्व तरंग या पल्स के माध्यम से गुजरते हुए अपने संतुलन औसत स्थिति के आसपास झूलते हैं। झूलन तरंग की गति के लंबवत दिशा में होती है, इसलिए यह एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.3 एक तार में एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) तरंग एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है। तरंग के क्षेत्र में तार के एक तत्व के संतुलन स्थिति के लंबवत दिशा में अपने संतुलन स्थिति के आसपास दोलन करता है।

हम एक तरंग को दो तरीकों से देख सकते हैं। हम एक समय क्षण निश्चित कर सकते हैं और तरंग को अपने आसपास अंतरिक अवलोकन कर सकते हैं। इससे हम एक निश्चित समय पर तरंग के संपूर्ण आकार को अंतरिक में देख सकते हैं। दूसरा तरीका एक स्थान निश्चित करना है, अर्थात हम तार के एक विशिष्ट तत्व पर ध्यान केंद्रित करते हैं और इसके समय के दोलन गति को देखते हैं।

चित्र 14.4 ध्वनि तरंगों के प्रसार के सबसे परिचित उदाहरण में अनुप्रस्थ तरंगों की स्थिति का वर्णन करता है। एक लंबा पाइप वायु से भरा होता है जिसके एक सिरे पर एक पिस्टन होता है। पिस्टन के एक अचानक आगे के धक्का और पीछे के खींचे के कारण माध्यम (वायु) में एक तरंग के रूप में संघनन (उच्च घनत्व) और विरलन (निम्न घनत्व) के एक पल्स का उत्पादन होता है। यदि पिस्टन के धक्का-खींचे क्रमबद्ध और आवर्ती (साइनसॉइडल) होते हैं, तो वायु में एक साइनसॉइडल तरंग के रूप में तरंग के प्रसार के लिए एक तरंग उत्पन्न होती है। यह स्पष्ट रूप से एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.4 एक हवा भरे पाइप में ऊपर और नीचे खंडन द्वारा उत्पन्न अनुप्रस्थ तरंगें (ध्वनि)। हवा के एक आयतनीय तत्व के अनुप्रस्थ दिशा में तरंग के प्रसार के साथ आवर्ती गति होती है।

उपरोक्त तरंगें, अनुप्रस्थ या अनुदिश, यात्रा या प्रगति तरंगें हैं क्योंकि वे एक माध्यम के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक चलती हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम के समग्र रूप से गति नहीं होती। उदाहरण के लिए, एक नदी जल के समग्र गति को दर्शाती है। एक जल तरंग में, यह विक्षोभ ही गति करता है, न कि जल के समग्र। इसी तरह एक हवा के समग्र गति (हवा के गति के रूप में) को एक ध्वनि तरंग से भ्रम नहीं होना चाहिए, जो हवा में दबाव घनत्व में विक्षोभ के प्रसार को दर्शाती है, जिसमें हवा के माध्यम के समग्र गति नहीं होती।

अनुप्रस्थ तरंगों में, कणों की गति तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत होती है। अतः, जैसे तरंग प्रसार होती है, माध्यम के प्रत्येक तत्व एक छेदन तनाव के अन्तर्गत रहते हैं। अतः, अनुप्रस्थ तरंगें केवल उन माध्यमों में प्रसार हो सकती हैं जो छेदन तनाव को संभाल सकते हैं, जैसे कि ठोस और तरल नहीं। तरल और ठोस दोनों दबाव तनाव को संभाल सकते हैं; अतः, अनुदिश तरंगें सभी तार्किक माध्यमों में प्रसार हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, तांबे जैसे माध्यम में, अनुप्रस्थ और अनुदिश दोनों तरंगें प्रसार हो सकती हैं, जबकि हवा केवल अनुदिश तरंगें प्रसार कर सकती है। जल के सतह पर तरंगें दो प्रकार की होती हैं: सतह तनाव तरंगें और गुरुत्व तरंगें। पहली तरंगें बहुत छोटी तरंग लंबाई की होती हैं-केवल कई सेंटीमीटर तक नहीं अधिक- और इनका उत्पादन करने वाला पुनर्स्थापन बल जल के सतह तनाव होता है। गुरुत्व तरंगें की तरंग लंबाई आमतौर पर कई मीटर से कई सौ मीटर तक होती है। इन तरंगों के उत्पादन करने वाला पुनर्स्थापन बल गुरुत्वाकर्षण होता है, जो जल के सतह को अपने निम्न स्तर पर बनाए रखने की कोशिश करता है। इन तरंगों में कणों के आवर्तन आवर्ती गति केवल सतह पर ही सीमित नहीं होती, बल्कि धीरे-धीरे आमाप के साथ जल के तल तक फैलती है। जल तरंगों में कणों की गति एक जटिल गति होती है- वे न केवल ऊपर और नीचे गति करते हैं बल्कि आगे और पीछे भी गति करते हैं। खाड़ी में तरंगें अनुदिश और अनुप्रस्थ दोनों तरंगों के संयोजन होती हैं।

यह ज्ञात हुआ है कि, सामान्यतः, अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें एक ही माध्यम में अलग-अलग गति के साथ चलती हैं।

उदाहरण 14.1 नीचे दिए गए कुछ तरंग गति के उदाहरण हैं। प्रत्येक स्थिति में तरंग गति को अनुप्रस्थ, अनुदिश या दोनों के संयोजन के रूप में बताइए:

(a) एक अनुदिश स्प्रिंग के एक सिरे को ओर ओर विस्थापित करके उत्पन्न एक किंक की गति।

(b) एक सिलेंडर में तरल के एक पिस्टन के आगे-पीछे गति द्वारा उत्पन्न तरंगें।

(c) एक मोटरबोट के जल में चलते हुए उत्पन्न तरंगें।

(d) एक क्वार्टज क्रिस्टल के द्वारा हवा में उत्पन्न अल्ट्रासोनिक तरंगें।

उत्तर

(a) अनुप्रस्थ और अनुदिश

(b) अनुदिश

(c) अनुप्रस्थ और अनुदिश

(d) अनुदिश

14.3 एक प्रगति तरंग में विस्थापन संबंध

एक चलती हुई तरंग के गणितीय वर्णन के लिए, हमें स्थिति $x$ और समय $t$ दोनों के फलन की आवश्यकता होती है। ऐसा फलन प्रत्येक क्षण में उस क्षण के तरंग के आकार को देना चाहिए। इसके अलावा, किसी भी दिए गए स्थान पर, यह उस स्थान पर माध्यम के घटक की गति का वर्णन भी करना चाहिए। यदि हम एक वृत्तीय चलती हुई तरंग का वर्णन करना चाहते हैं (जैसा कि चित्र 14.3 में दिखाया गया है), तो संगत फलन भी वृत्तीय होना चाहिए। सुविधा के लिए, हम तरंग को अनुप्रस्थ मान लेंगे ताकि यदि माध्यम के घटक की स्थिति को $x$ द्वारा दर्शाया जाए, तो संतुलन स्थिति से विस्थापन को $y$ द्वारा दर्शाया जा सके। तब एक वृत्तीय चलती हुई तरंग का वर्णन निम्नलिखित होता है:

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)\tag{14.2}$$

साइन फलन के तर्क में $\phi$ शब्द का तात्पर्य यह है कि हम एक लीनियर संयोजन के रूप में साइन और कोसाइन फलनों के बारे में सोच रहे हैं:

$$y(x, t)=A \sin (k x-\omega t)+B \cos (k x-\omega t) \tag {14.3}$$

समीकरण (14.2) और (14.3) से,

$$ a=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \quad\text { और} \quad\phi=\tan ^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) $$

समीकरण (14.2) को एक साइनसॉइडल चल तरंग के रूप में क्यों प्रस्तुत करता है, इसकी समझ लेते हैं, एक निश्चित क्षण, जैसे $t=t_{0}$ लें। तब, समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्क केवल $k x+$ नियतांक होता है। इसलिए, तरंग के आकार (किसी भी निश्चित क्षण पर) $x$ के फलन के रूप में एक साइन तरंग होती है। इसी तरह, एक निश्चित स्थान, जैसे $x=x_{0}$ लें। तब, समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्क नियतांक $-\omega t$ होता है। इसलिए, एक निश्चित स्थान पर विस्थापन $y$, समय के साथ साइनसॉइडल रूप से बदलता है। अर्थात, विभिन्न स्थानों पर माध्यम के घटक सरल वैकल्पिक गति करते हैं। अंत में, जब $t$ बढ़ता है, तो $x$ को धनात्मक दिशा में बढ़ाना पड़ता है ताकि $k x-\omega t+\phi$ नियत रहे। इसलिए, समीकरण (14.2) धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चल रही साइनसॉइडल (हार्मोनिक) तरंग को प्रस्तुत करता है। दूसरी ओर, एक फलन एक नकारात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चल रही तरंग को प्रस्तुत करता है। चित्र (14.5) में समीकरण (14.2) में उपस्थित विभिन्न भौतिक राशियों के नाम दिए गए हैं जिन्हें हम अब व्याख्या कर रहे हैं।

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x+\omega t+\phi) \tag{14.4} \end{equation*} $$

चित्र 14.5 समीकरण (14.2) में मानक चिन्हों का अर्थ

चित्र 14.6 में समीकरण (14 बराबर 2) के लिए विभिन्न समय मानों के लिए आरेख दिखाए गए हैं, जो समान समय अंतरों वाले अलग-अलग समय मानों के लिए हैं। एक तरंग में, शिखर अधिकतम धनात्मक विस्थापन के बिंदु होता है, गर्त अधिकतम ऋणात्मक विस्थापन के बिंदु होता है। एक तरंग कैसे चलती है, इसको देखने के लिए हम एक शिखर पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह समय के साथ कैसे बढ़ता है। चित्र में, इसे शिखर पर एक क्रॉस ( ) द्वारा दिखाया गया है। इसी तरह, हम एक निश्चित स्थान पर, उदाहरण के लिए x-अक्ष के मूल बिंदु पर, माध्यम के एक विशिष्ट घटक की गति देख सकते हैं। इसे एक ठोस बिंदु (•) द्वारा दिखाया गया है। चित्र 14.6 के आरेख दिखाते हैं कि समय के साथ ठोस बिंदु (•) मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से गति करता है, अर्थात तरंग के बढ़ते हुए बिंदु मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से अपने माध्य स्थिति के चारों ओर झूलता है। यह कोई अन्य स्थान के लिए भी सत्य है। हम देखते हैं कि ठोस बिंदु (•) द्वारा एक पूर्ण दोलन पूरा करने के दौरान, शिखर एक निश्चित दूरी तक आगे बढ़ गया है।

चित्र 14.6 एक हार्मोनिक तरंग धनात्मक x-अक्ष की दिशा में विभिन्न समय पर चल रही है।

चित्र 14.6 के आलोक में, हम अब समीकरण (14.2) में विभिन्न राशियों को परिभाषित करते हैं।

14.3.1 आयाम और कला

समीकरण (14.2) में, क्योंकि साइन फलन 1 और -1 के बीच बदलता है, विस्थापन $y(x, t)$ $a$ और $-a$ के बीच बदलता है। हम $a$ को एक धनात्मक नियतांक मान सकते हैं, बिना कोई अप्रासंगिकता के। तब, $a$ माध्यम के घटकों के संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन को दर्शाता है। ध्यान दें कि विस्थापन $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, लेकिन $a$ धनात्मक होता है। इसे आयाम कहते हैं।

समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्ग के रूप में उपस्थित $(k x-\omega t+\phi)$ राशि को तरंग की कला कहते हैं। दिया गया आयाम $a$, कला कोई भी स्थिति और कोई भी समय पर तरंग के विस्थापन को निर्धारित करती है। स्पष्ट रूप से $\phi$ $x=0$ और $t=0$ पर कला होती है। इसलिए, $\phi$ को आरंभिक कला कोण कहते हैं। यह संभव है कि $x$-अक्ष पर मूल बिंदु और आरंभिक समय के चयन के द्वारा $\phi=0$ हो। इसलिए, $\phi$ को छोड़ने में कोई अप्रासंगिकता नहीं होती, अर्थात समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेना अप्रासंगिक नहीं है।

14.3.2 तरंगदैर्ध्य और कोणीय तरंग संख्या

एक तरंग के दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी जिनका अवस्था समान होती है, तरंगदैर्ध्य कहलाती है, जिसे आमतौर पर $\lambda$ से दर्शाया जाता है। सरलता के लिए, हम एक ही अवस्था वाले बिंदुओं को शिखर या घाटी के रूप में चुन सकते हैं। तरंगदैर्ध्य तब तरंग में दो क्रमागत शिखर या घाटियों के बीच की दूरी होती है। समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेने पर, $t=0$ पर विस्थापन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} y(x, 0)=a \sin k x \tag{14.5} \end{equation*} $$

क्योंकि साइन फंक्शन कोण में प्रत्येक $2 \pi$ परिवर्तन के बाद अपने मान को दोहराता है,

$$ \sin k x=\sin (k x+2 n \pi)=\sin k\left(x+\frac{2 n \pi}{k}\right) $$

अर्थात बिंदु $x$ और $ x+\frac{2 n \pi}{k} $

पर विस्थापन समान होता है, जहाँ $n=1,2,3, \ldots$ किसी भी दिए गए समय के लिए समान विस्थापन वाले बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी को $n=1$ लेने पर प्राप्त किया जाता है। तब $\lambda$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 \pi}{k} \quad \text { या } \quad k=\frac{2 \pi}{\lambda} \tag{14.6}

\end{equation*} $$

$ k $ तरंग कोणीय तरंग संख्या या प्रसार नियतांक है; इसका SI इकाई रेडियन प्रति मीटर या रेडियन $ m^{-1} $ है।

14.3.3 आवर्तकाल, कोणीय आवृत्ति और आवृत्ति

चित्र 14.7 फिर से एक ज्यावक्रीय आलेख दिखाता है। यह एक निश्चित समय पर तरंग के आकार का वर्णन नहीं करता है, बल्कि एक माध्यम के एक तत्व (किसी भी निश्चित स्थान पर) के विस्थापन के समय के फलन का वर्णन करता है। सरलता के लिए, हम इकाई (14.2) के साथ $ \phi = 0 $ ले सकते हैं और $ x = 0 $ पर तत्व के गति की निगरानी कर सकते हैं। तब हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{aligned} y(0, t) & =a \sin (-\omega t) \\ & =-a \sin \omega t \end{aligned} $$

चित्र 14.7 एक निश्चित स्थान पर एक स्ट्रिंग के तत्व के आवर्त गति के साथ आयाम $ a $ और आवर्तकाल $ T $ होते हैं, जैसे कि तरंग इस पर गुजरती है।

अब, तरंग के आवर्तकाल वह समय है जिसमें एक तत्व एक पूर्ण आवर्त गति पूरा करता है। अर्थात,

$-a \sin \omega t=-a \sin \omega(t+\mathrm{T})$

$$ =-a \sin (\omega t+\omega T) $$

क्योंकि साइन फ़ंक्शन $2 \pi$ के प्रत्येक पश्चात दोहराता है,

$$ \begin{equation*} \omega T=2 \pi \text { या } \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} \tag{14.7} \end{equation*} $$

$\omega$ को तरंग की कोणीय आवृत्ति कहते हैं। इसका SI इकाई $\mathrm{rad} s^{-1}$ होती है। आवृत्ति $v$ प्रति सेकंड दोलनों की संख्या होती है। इसलिए,

$$ \begin {equation*} v=\frac{1}{\mathrm{~T}}=\frac{\omega}{2 \pi} \tag{14.8} \end{equation*} $$

• यहाँ फिर से, ‘रेडियन’ को छोड़ दिया जा सकता है और इकाइयों को केवल म–1 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, $k$ एक इकाई लंबाई पर 2π गुना तरंगों (या कुल अपवाह अंतर) की संख्या को प्रदर्शित करता है। $v$ को आमतौर पर हर्ट्ज़ में मापा जाता है।

ऊपर के विवरण में सदैव एक तार या अनुप्रस्थ तरंग के अनुदिश चलते हुए तरंग के बारे में उल्लेख किया गया है। एक अनुप्रस्थ तरंग में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन की दिशा तरंग के प्रसार की दिशा के समानांतर होती है। समीकरण (14.2) में, एक अनुप्रस्थ तरंग के विस्थापन फ़ंक्शन को लिखा गया है,

$$ \begin{equation*} s(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.9} \end{equation*} $$

जहाँ $s(x, t)$ तरंग के प्रसार की दिशा में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन को प्रदर्शित करता है, जो स्थिति $x$ और समय $t$ पर होता है। समीकरण (14.9) में, $a$ विस्थापन आयाम है; अन्य राशियाँ एक अनुप्रस्थ तरंग के मामले में वैसे ही अर्थ रखती हैं, बस विस्थापन फलन $y(x, t)$ के स्थान पर फलन $s(x, t)$ का उपयोग करना होता है।[^0]

उदाहरण 14.2 एक तार के अनुदिश चल रही तरंग को निम्नलिखित द्वारा वर्णित किया जाता है,

$y(x, t)=0.005 \sin (80.0 x-3.0 t)$,

जहाँ संख्यात्मक स्थिरांक SI इकाइयों में हैं ($0.005 \mathrm{~m}, 80.0 \mathrm{rad} \mathrm{m}^{-1}$, और $3.0 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$)। (a) आयाम, (b) तरंगदैर्घ्य, और (c) तरंग के आवर्तकाल और आवृत्ति की गणना कीजिए। तरंग के विस्थापन $y$ की गणना भी कीजिए जब दूरी $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर हो।

उत्तर इस विस्थापन समीकरण को समीकरण (14.2) के साथ तुलना करने पर,

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t),

$$

हम पाते हैं

(a) तरंग का आयाम $0.005 \mathrm{~m}=5 \mathrm{~mm}$ है।

(b) कोणीय तरंग संख्या $k$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ हैं

$ k=80.0 \mathrm{~m}^{-1} \text { और } \omega=3.0 \mathrm{~s}^{-1} $

हम फिर से समीकरण (14.6) के माध्यम से तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $k$ से संबंधित करते हैं,

$$ \begin{aligned} \lambda & =2 \pi / k \\ & =\frac{2 \pi}{80.0 \mathrm{~m}^{-1}} \\ & =7.85 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

(c) अब, हम $T$ को $\omega$ से संबंधित करते हैं द्वारा संबंध

$$ \begin{aligned} T & =2 \pi / \omega \ & =\frac{2 \pi}{3.0 \mathrm{~s}^{-1}} \ & =2.09 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

और आवृत्ति, $v=1 / T=0.48 \mathrm{~Hz}$ $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर विस्थापन $y$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (80.0 \times 0.3-3.0 \times 20) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (-36+12 \pi) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (1.699) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin \left(97^{\circ}\right) \simeq 5 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

14.4 गतिशील तरंग की चाल

एक चलते हुए तरंग के प्रसार की गति निर्धारित करने के लिए, हम तरंग पर किसी भी विशिष्ट बिंदु (जिसकी कुछ चर के मान द्वारा विशेषता होती है) पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह बिंदु समय के साथ कैसे गति करता है। यह आसान हो जाता है तरंग के शिखर की गति की ओर ध्यान देना। चित्र 14.8 दो समय के बिंदुओं के लिए तरंग के आकार को दिखाता है, जो एक छोटे समय अंतराल $\Delta t$ के अंतर पर होते हैं। पूरी तरंग पैटर्न देखा जाता है जो दाहिने ओर (x-अक्ष के धनात्मक दिशा में) दूरी $\Delta x$ तक विस्थापित हो जाता है। विशेष रूप से, एक डॉट $(\bullet)$ द्वारा दिखाए गए शिखर दूरी $\Delta x$ के लिए समय $\Delta t$ में गति करता है। तरंग की गति तब $\Delta x / \Delta t$ होती है। हम डॉट $(\bullet)$ को किसी अन्य चर के मान वाले बिंदु पर रख सकते हैं। यह एक ही गति $v$ से गति करेगा (अन्यथा तरंग पैटर्न निश्चित रहेगा नहीं)। तरंग पर एक निश्चित चर के बिंदु की गति द्वारा दी जाती है

चित्र 14.8 समय t से t + ∆t तक एक हार्मोनिक तरंग के प्रगति को दर्शाता है। जहाँ ∆t एक छोटा अंतराल है। सम्पूर्ण तरंग पैटर्न दाहिने ओर विस्थापित होता है। तरंग के शिखर (या किसी निश्चित चरण के बिंदु) दाहिने ओर ∆x दूरी तक चलकर ∆t समय में विस्थापित होते हैं।

$$ \begin{equation*} k x-\omega t=\text { constant } \tag{14.10} \end{equation*} $$

इसलिए, समय $t$ के बदलने के साथ-साथ, निश्चित चरण के बिंदु की स्थिति $x$ इस प्रकार बदलनी चाहिए कि चरण स्थिर रहे। इसलिए,

$$ k x-\omega t=k(x+\Delta x)-\omega(t+\Delta t) $$

या $\quad k \Delta x-\omega \Delta t=0$

$\Delta x, \Delta t$ अत्यंत छोटे होने पर, यह देता है

$$ \begin{equation*} \frac{d x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k}=v \tag{14.11} \end{equation*} $$

$\omega$ को $T$ और $k$ को $\lambda$ से संबंधित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda}=\lambda \nu=\frac{\lambda}{T} \tag{14.12} \end{equation*} $$

समीकरण (14.12), सभी प्रगति तरंगों के लिए एक सामान्य संबंध है, जो यह दर्शाता है कि किसी माध्यम के किसी भी घटक के एक पूर्ण दोलन के लिए आवश्यक समय में तरंग पैटर्न तरंग की तरंगदैर्घ्य के बराबर दूरी तक चलता है। ध्यान देने योग्य है कि एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम के अपसारी (लंबाई द्रव्यमान घनत्व तारों के लिए, सामान्य द्रव्यमान घनत्व) और अनुत्कृष्ट गुणों (रेखीय माध्यमों के लिए यांग के मापांक/ विक्षेपण मापांक, आयतन मापांक) द्वारा निर्धारित होती है। माध्यम निर्धारित करता है

गति; समीकरण (14.12) दी गई गति के लिए तरंगदैर्ध्य को आवृत्ति से संबंधित करता है। निश्चित रूप से, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम एक ही माध्यम में दोनों अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगों को समर्थन दे सकता है, जो उसी माध्यम में अलग-अलग गति करेंगी। इस कृति के बाद, हम कुछ माध्यमों में यांत्रिक तरंगों की गति के विशिष्ट व्यंजक प्राप्त करेंगे।

14.4.1 तनी हुई स्ट्रिंग पर अनुप्रस्थ तरंग की गति

एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम में विक्षेपित होने पर बहाव बल के द्वारा निर्धारित की जाती है और माध्यम के अनुभागी गुणों (द्रव्यमान घनत्व) द्वारा। गति की अपेक्षा बहाव बल के साथ अप्रत्यक्ष रूप से संबंधित होने की उम्मीद होती है। स्ट्रिंग पर तरंगों के लिए, बहाव बल स्ट्रिंग में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है। इस मामले में अनुभागी गुण रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ होगा, जो स्ट्रिंग के द्रव्यमान $m$ को इसकी लंबाई $L$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। न्यूटन के गति के नियमों का उपयोग करके, एक सटीक सूत्र तरंग की गति के लिए निर्मित किया जा सकता है, लेकिन इस निर्माण के बारे में इस किताब के बाहर बात की जाएगी। इसलिए, हम विमान विश्लेषण का उपयोग करेंगे। हम पहले से ही जानते हैं कि विमान विश्लेषण अकेले एक सटीक सूत्र नहीं प्रदान कर सकता है। विमान विश्लेषण द्वारा समग्र विमानहीन स्थिरांक हमेशा अनिर्धारित रहता है।

The dimension of $\mu$ is $\left[M L^{-1}\right]$ and that of $T$ is like force, namely $\left[M L T^{2}\right]$. We need to combine these dimensions to get the dimension of speed $v\left[L T^{-1}\right]$. Simple inspection shows that the quantity $\mathrm{T} / \mu$ has the relevant dimension

$$ \frac{\left[M L T^{-2}\right]}{[M L]}=\left[L^{2} T^{-2}\right] $$

Thus if $T$ and $\mu$ are assumed to be the only relevant physical quantities,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.13} \end{equation*} $$

where $C$ is the undetermined constant of dimensional analysis. In the exact formula, it turms out, $\mathrm{C}=1$. The speed of transverse waves on a stretched string is given by

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.14} \end{equation*} $$

Note the important point that the speed $V$ depends only on the properties of the medium $T$ and $\mu$ ( $T$ is a property of the stretched string arising due to an external force). It does not depend on wavelength or frequency of the wave itself. In higher studies, you will come across waves whose speed is not independent of frequency of the wave. Of the two parameters $\lambda$ and $v$ the source of disturbance determines the frequency of the wave generated. Given the speed of the wave in the medium and the frequency Eq. (14.12) then fixes the wavelength

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{v}{v} \tag{14.15} \end{equation*} $$

उदाहरण 14.3 एक तांबे के तार की लंबाई $0.72 \mathrm{~m}$ है और इसका द्रव्यमान $5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है। यदि तार पर $60 \mathrm{~N}$ का तनाव है, तो तार पर अनुप्रस्थ तरंगों की चाल क्या होगी?

उत्तर तार के इकाई लंबाई पर द्रव्यमान,

$$ \begin{aligned} \mu & =\frac{5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{0.72 \mathrm{~m}} \\ & =6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \end{aligned} $$

तनाव, $T=60 \mathrm{~N}$

तार पर तरंग की चाल द्वारा दी गई है

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{60 \mathrm{~N}}{6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1}}}=93 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

14.4.2 अनुप्रस्थ तरंग की चाल (ध्वनि की चाल)

एक अनुप्रस्थ तरंग में माध्यम के घटक तरंग के प्रसार की दिशा में आगे और पीछे झूलते हैं। हम पहले ही देख चुके हैं कि ध्वनि तरंग वायु के छोटे आयतन के तत्वों के संपीड़न और विरलन के रूप में चलती है। संपीड़न तनाव के तहत तनाव को निर्धारित करने वाली श्रेणी विस्तार गुणांक होती है जो माध्यम द्वारा परिभाषित की जाती है (अध्याय 8 देखें)

$$ \begin{equation*} B=-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \tag{14.16} \end{equation*} $$

यहाँ, दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ आयतनी विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ उत्पन्न करता है। $B$ के आयाम दबाव के समान होते हैं और SI इकाइयों में पास्कल $(\mathrm{Pa})$ में दिए जाते हैं। तरंग के प्रसार के लिए संबंधित अविच्छिन्न गुण द्रव्यमान घनत्व $\rho$ होता है, जिसके आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ होते हैं। सरल देखने से स्पष्ट होता है कि मात्रा $B / \rho$ के आयाम हैं:

$$ \begin{equation*} \frac{\left[M L^{-2} T^{-2}\right]}{\left[M L^{-3}\right]}=\left[L^{2} T^{-3}\right] \tag{14.17} \end{equation*} $$

इसलिए, यदि $B$ और $\rho$ को एकमात्र संबंधित भौतिक मात्राओं के रूप में लिया जाता है,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.18} \end{equation*} $$

जहाँ, जैसा कि पहले था, $C$ आयाम विश्लेषण से प्राप्त अनिर्धारित नियतांक होता है। सटीक व्युत्पन्न दिखाता है कि $C=1$। इसलिए, माध्यम में अनुप्रस्थ तरंगों के सामान्य सूत्र है:

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.19} \end{equation*} $$

\end{equation*} $$

एक रैखिक माध्यम, जैसे एक ठोस बार, में लंबवत विस्तार नegligible होता है और हम इसे केवल अक्षीय तनाव के अंतर्गत ले सकते हैं। ऐसे मामले में संबंधित तन्यता मापांक यंग के मापांक होता है, जिसका आयाम आयतनिक मापांक के समान होता है। इस मामले के आयाम विश्लेषण पहले के जैसा होता है और एक समीकरण जैसे समीकरण (14.18) के समान परिणाम देता है, जिसमें एक अनिर्धारित $C$ होता है, जिसे सटीक व्युत्पन्न एकता के रूप में सिद्ध करता है। इसलिए, एक ठोस बार में अक्षीय तरंगों की गति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} \tag{14.20} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{Y}$ बार के पदार्थ के यंग के मापांक है। सारणी 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति की गति देती है।

सारणी 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति

| तरल पदार्थ | | | जल $\left(0^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1402 | | जल $\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1482 | | समुद्री जल | 1522 | | ठोस पदार्थ | | | एल्यूमिनियम | 6420 | | तांबा | 3560 | | इस्पात | 5941 | | ग्रैनाइट | 6000 | | वुल्कैनाइज़ड | | | रबर | 54 |

तरल पदार्थ और ठोस पदार्थ आमतौर पर गैसों की तुलना में ध्वनि की गति के अधिक मूल्य रखते हैं। [ठोस के लिए ध्वनि की गति के संदर्भ में ध्वनि के अनुप्रस्थ तरंगों की गति के बारे में बताया गया है]। यह इसलिए होता है कि वे गैसों की तुलना में बहुत कठिन होते हैं और इसलिए उनके बुल्क मॉड्यूलस के मूल्य बहुत अधिक होते हैं। अब, समीकरण (14.19) को देखें। ठोस और तरल पदार्थ गैसों की तुलना में अधिक द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ रखते हैं। लेकिन ठोस और तरल पदार्थ के बुल्क मॉड्यूलस $(B)$ में वृद्धि बहुत अधिक होती है। इस कारण ध्वनि तरंगें ठोस और तरल पदार्थ में तेजी से चलती हैं।

हम आदर्श गैस के अनुमान के आधार पर एक गैस में ध्वनि की गति का अनुमान लगा सकते हैं। एक आदर्श गैस में दबाव $P$, आयतन $V$ और तापमान $T$ द्वारा संबंधित होते हैं (अध्याय 10 देखें)।

$$

\begin{equation*} \mathrm{P} V=N k_{B} T \tag{14.21} \end{equation*} $$

जहाँ $N$ आयतन $V$ में अणुओं की संख्या है, $k_{B}$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ गैस का तापमान (केल्विन में) है। अतः, एक समतापी परिवर्तन के लिए समीकरण (14.21) से यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ \begin{array}{r} V \Delta P+P \Delta V=0 \\ \text { या }-\frac{\Delta P}{\Delta V / V}=P \end{array} $$

इसलिए, समीकरण (14.16) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$$ B=P $$

अतः, समीकरण (14.19) से एक आदर्श गैस में एक अनुप्रस्थ तरंग की चाल निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{P}{\rho}} \tag{14.22} \end{equation*} $$

इस संबंध को पहले न्यूटन द्वारा दिया गया था और इसे न्यूटन के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण 14.4 मानक ताप और दबाव पर हवा में ध्वनि की चाल का अनुमान लगाएं। 1 मोल हवा के द्रव्यमान $29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर हम जानते हैं कि किसी भी गैस के 1 मोल का आयतन मानक ताप और दबाव (STP) पर 22.4 लीटर होता है। अतः, STP पर हवा का घनत्व निम्नलिखित होता है:

$\rho_{o}=$ (एक मोल हवा के द्रव्यमान) / (एक मोल हवा का आयतन STP पर)

$$ \begin{aligned} & =\frac{29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{22.4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}} \\ & =1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \end{aligned} $$

न्यूटन के ध्वनि के वेग के लिए सूत्र के अनुसार, हम वायु में ध्वनि के वेग के लिए प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} v=\left[\frac{1.01 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}}{1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}}\right]^{1 / 2}=280 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \tag{14.23} \end{equation*} $$

समीकरण (14.23) में दिखाए गए परिणाम को तालिका 14.1 में दिए गए $331 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के प्रयोगात्मक मान से लगभग 15% कम माना जाता है। हम गलत कहां कर रहे हैं? यदि हम न्यूटन द्वारा ध्वनि के प्रसार के दौरान माध्यम में दबाव परिवर्तन के लिए अनुमान लगाए गए आधारभूत मान की जांच करें, तो हम देखते हैं कि यह सही नहीं है। लैप्लास द्वारा इस बात की ओर इशारा किया गया था कि ध्वनि तरंगों के प्रसार के दौरान दबाव परिवर्तन इतनी तेज होते हैं कि ताप विनिमय के लिए निरंतर तापमान के बरकरार रखने के लिए कम समय रहता है। इन परिवर्तनों के कारण, अत: यह अनुतापीय (adiabatic) होते हैं और नहीं तापीय (isothermal) होते हैं। अत: अनुतापीय प्रक्रियाओं के लिए आदर्श गैस अनुमान लगाए गए अनुसार संतुलन को संतुष्ट करती है (अनुच्छेद 11.8 देखें),

$$ P V^{\gamma}=\text { constant } $$

अर्थात $\quad\quad \Delta\left(P V^{\prime}\right)=0$

$$ P \gamma V^{\gamma-1} \Delta V+V^{\gamma} \Delta P=0 $$

जहाँ $\gamma$ दो विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात है, $\mathrm{C_{\mathrm{p}}} / \mathrm{C_{\mathrm{v}}}$।

इस प्रकार, आदर्श गैस के लिए अनुवर्ती आयतन बल गुणांक निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{aligned} B_{a d} & =-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \\ & =\gamma P \end{aligned} $$

इसलिए, समीकरण (14.19) से ध्वनि की गति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} \tag{14.24} \end{equation*} $$

न्यूटन के सूत्र के इस संशोधन को लैप्लेस संशोधन के रूप में संदर्भित किया जाता है। हवा के लिए $\gamma=7 / 5$ होता है। अब समीकरण (14.24) का उपयोग करके हवा के लिए एसटीपी पर ध्वनि की गति का अनुमान लगाने पर हमें मान 331.3 $\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ प्राप्त होता है, जो मापित गति के साथ सहमत है।

14.5 तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत

जब दो तरंग उद्गम विपरीत दिशाओं में गति करते हुए एक दूसरे को पार करते हैं (चित्र 14.9), तो क्या होता है? यह जांच करने पर पाया जाता है कि तरंग उद्गम एक दूसरे को पार करने के बाद अपनी पहचान को बरकरार रखते हैं। हालांकि, उनके अधिकार के समय तरंग पैटर्न दोनों तरंग उद्गमों में से किसी एक के बराबर नहीं होता। चित्र 14.9 में दो समान आकार और विपरीत आकृति के तरंग उद्गम एक दूसरे की ओर गति करते हुए दिखाया गया है। जब तरंग उद्गम अधिकार करते हैं, तो परिणामी विस्थापन प्रत्येक तरंग उद्गम के कारण विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक तरंग उद्गम अन्य तरंग उद्गमों की उपस्थिति के बिना गति करती है। माध्यम के घटक दोनों तरंग उद्गमों के कारण विस्थापन अनुभव करते हैं और क्योंकि विस्थापन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं, इसलिए शुद्ध विस्थापन दोनों के बीजगणितीय योग होता है। चित्र 14.9 में विभिन्न समय पर तरंग आकृति के ग्राफ दिखाए गए हैं। ध्यान दें ग्राफ (c) में दिखाए गए उल्लेखनीय प्रभाव; दोनों तरंग उद्गमों के कारण विस्थापन एक दूसरे को बरकरार रखते हैं और विस्थापन शून्य हो जाता है।

चित्र 14.9 दो तरंगें जिनके विस्थापन समान लेकिन विपरीत हैं और वे विपरीत दिशाओं में चल रही हैं। विपरीत तरंगों के अधिकांश विस्थापन वक्र (c) में शून्य विस्थापन द्वारा जोड़ देते हैं।

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत को गणितीय रूप से लिखने के लिए, मान लीजिए $y_{1}(x, t)$ और $y_{2}(x, t)$ दो तरंग विक्षोभ के कारण माध्यम में विस्थापन हैं। यदि तरंगें एक क्षेत्र में एक साथ पहुँचती हैं और अतः आपस में घुल मिलती हैं, तो शुद्ध विस्थापन $y(x, t)$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) \tag{14.25} \end{equation*} $$

यदि हम दो या अधिक तरंगें माध्यम में चल रही हों, तो परिणामी तरंग विक्षोभ व्यक्तिगत तरंगों के तरंग फलनों के योग के बराबर होती है। अर्थात, चल रही तरंगों के तरंग फलन निम्नलिखित होंगे:

$$ \begin{aligned} & y_{1}=f_{1}(x-v t), \\ & y_{2}=f_{2}(\text{x}-v t), \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ & \cdots \cdots \cdots . . \\ $$

$$ \begin{aligned} & y_{n}=f_{n}(x-v t) \end{aligned} $$

तो माध्यम में अव्यवहार के वर्णन करने वाले तरंग फलन के लिए

$$ \begin{align*} y & =f_{1}(x-v t)+f_{2}(x-v t)+\ldots+f_{n}(x-v t) \\ & =\sum_{i=1}^{n} f_{i}(x-v t) \tag{14.26} \end{align*} $$

अधिरोधन के घटना के लिए अधिरोधन के सिद्धांत के आधार पर आधार है।

सरलता के लिए, एक तनी हुई रस्सा पर दो अनुप्रस्थ तरंगों को विचार करें, जिनके एक ही $\omega$ (कोणीय आवृत्ति) और $k$ (तरंग संख्या) है, और इसलिए एक ही तरंग दैर्ध्य $\lambda$ है। उनकी तरंग गति एक ही होगी। हम यह भी मान सकते हैं कि उनके आम्प्लीटूड बराबर हैं और वे दोनों $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में चल रहे हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक कोण में अलग हैं। समीकरण (14.2) के अनुसार, दो तरंगों को फलनों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

$$ \begin{equation*} y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \tag{14.27} \end{equation*} $$

$$ \text{और} \quad \quad y_{2}(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.28}$$

अधिरोधन के सिद्धांत के अनुसार, तो कुल विस्थापन इस प्रकार दिया जाता है:

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t)+a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.29} $$

$$ \begin{equation*} \alpha\left[2 \sin \left[\frac{(k x-\omega t)+(k x-\omega t+\phi)}{2}\right] \cos \frac{\phi}{2}\right] \tag{14.30} \end{equation*} $$

जहाँ हम निर्भर त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं $\sin A+\sin B$। फिर हम लिख सकते हैं:

$$y(x, t)=2 a \cos \frac{\phi}{2} \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) \tag{14.31}$$

चित्र 14. सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार बराबर आम्प्लीट्यूड और तरंगदैर्ध्य के दो हार्मोनिक तरंगों के परिणामी। परिणामी तरंग के आम्प्लीट्यूड के अनुसार फेज अंतर $\phi$ पर निर्भर करता है, जो (a) के लिए शून्य और (b) के लिए $\pi$ होता है।

समीकरण (14.31) भी $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में चलती हार्मोनिक तरंग है, जिसकी आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य एक ही है। हालांकि, इसका प्रारंभिक फेज कोण $\frac{\phi}{2}$ है। महत्वपूर्ण बात यह है कि इसका आम्प्लीट्यूड घटक दो तरंगों के बीच फेज अंतर $\phi$ के फलन है:

$$ \begin{equation*} A(\phi)=2 a \cos 1 / 2 \phi \tag{14.32} \end{equation*} $$

$\phi=0$ के लिए, जब तरंगें समान चरण में होती हैं,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin (k x-\omega t) \tag{14.33} \end{equation*} $$

अर्थात, परिणामी तरंग का आयाम $2 \mathrm{a}$ होता है, जो $A$ के संभव सबसे बड़े मान है। $\phi=\pi$ के लिए, तरंगें पूरी तरह से असमान चरण में होती हैं और परिणामी तरंग के सभी समय और सभी स्थान पर विस्थापन शून्य होता है

$$ \begin{equation*} y(x, t)=0 \tag{14.34} \end{equation*} $$

समीकरण (14.33) दो तरंगों के ऐसे संरचनात्मक प्रतिस्पर्धा को संदर्भित करता है जहां परिणामी तरंग में आयाम जोड़ देते हैं। समीकरण (14.34) परिणामी तरंग में आयाम घट जाने के मामले को दर्शाता है। आकृति 14.10 इन दोनों प्रकार के तरंग प्रतिस्पर्धा को अधिग्रहण के सिद्धांत के आधार पर दिखाती है।

14.6 तरंगों के प्रतिबिंब

अब तक हम असीमित माध्यम में चल रही तरंगों के बारे में विचार कर चुके हैं। यदि एक पल्स या तरंग सीमा के सामने आता है तो क्या होता है? यदि सीमा कठिन होती है, तो पल्स या तरंग प्रतिबिंबित हो जाता है। तरंग या पल्स द्वारा सीमा के आगे आने पर इसका प्रतिबिंब होता है।

फेनोमेनोन ऑफ़ ईचो एक उदाहरण है एक ठोस सीमा द्वारा परावर्तन के। यदि सीमा पूर्ण रूप से ठोस नहीं है या दो अलग-अलग इलास्टिक माध्यमों के बीच एक सीमा है, तो स्थिति कुछ जटिल हो जाती है। एक भाग आपतित तरंग के रूप में परावर्तित हो जाता है और एक भाग दूसरे माध्यम में प्रसारित हो जाता है। यदि एक तरंग दो अलग-अलग माध्यमों के बीच एक सीमा पर झुके हुए आपतित होती है, तो प्रसारित तरंग को अपवर्तित तरंग कहा जाता है। आपतित और अपवर्तित तरंगें अपवर्तन के न्यूटन के नियम का पालन करती हैं, और आपतित और परावर्तित तरंगें परावर्तन के सामान्य नियमों का पालन करती हैं।

चित्र 14.11 एक तरंग जो एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के अलावा चल रही है और एक सीमा द्वारा परावर्तित हो रही है दिखाता है। मान लीजिए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का कोई अवशोषण नहीं होता है, तो परावर्तित तरंग आपतित तरंग के एक ही आकार की होती है लेकिन इसके परावर्तन पर एक चरण परिवर्तन $\pi$ या $18 डिग्री$ होता है। इसका कारण यह है कि सीमा ठोस है और अवांछित विक्षोभ के सभी समय बिंदुओं पर शून्य विस्थापन होना आवश्यक है। अध्यापन के सिद्धांत के अनुसार, इसके लिए परावर्तित और आपतित तरंगों में $\pi$ के चरण के अंतर होना आवश्यक है ताकि परिणामी विस्थापन शून्य हो। इस तर्क के आधार पर एक ठोस दीवार पर सीमा शर्त है। हम एक गतिशील तर्क के माध्यम से भी इसी निष्कर्ष तक पहुंच सकते हैं। जैसे तरंग दीवार पर पहुंचती है, तो यह दीवार पर एक बल लगाती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, दीवार तार पर बराबर और विपरीत बल लगाती है जो एक परावर्तित तरंग के रूप में उत्पन्न होता है जो $\pi$ के चरण के अंतर के साथ होता है।

चित्र 14.11 एक तरंग के एक कठिन सीमा के साथ मिलने पर परावर्तित तरंग।

अगर दूसरी ओर, सीमा बिंदु कठिन नहीं है लेकिन पूरी तरह से गति करने में मुक्त है (जैसे कि एक स्ट्रिंग के एक छोर पर एक छोर बर्बाद चल रहे वलय के एक छोर पर बांधा गया हो), तो परावर्तित तरंग के एक ही चरण और आयाम होते हैं (ऊर्जा के कोई नुकसान न होने की अवधारणा के अंतर्गत) आपतित तरंग के जैसे। तब सीमा पर अधिकतम विस्थापन दो गुना हो जाता है। एक उदाहरण अकेले छोर वाले एक वाद्य यंत्र के खुले छोर के लिए है।

सारांश करें, एक चलती तरंग या तरंग एक कठिन सीमा पर परावर्तन के दौरान $\pi$ के चरण परिवर्तन का अनुभव करती है और एक खुले सीमा पर परावर्तन के दौरान कोई चरण परिवर्तन नहीं होता। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है, आपतित चलती तरंग को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$$ y_2(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

एक कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग को निम्नलिखित रूप में दिया जाता है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+\pi) . \ & =-a \sin (k x-\omega t)\tag{14.35} \end{aligned} $$

एक खुले सीमा पर, परावर्तित तरंग के द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+0) . \ & =a \sin (k x-\omega t)\tag{14.36} \end{aligned} $$

स्पष्ट रूप से, कठिन सीमा पर, $y=y_2+y_r=0$

14.6.1 खड़ी तरंगें और नॉर्मल मोड

हमने ऊपर एक सीमा पर परावर्तन के बारे में चर्चा की। लेकिन कुछ परिचित स्थितियाँ (एक ओर बाँधे गए स्ट्रिंग या एक पाइप में एक ओर बंद वायु स्तंभ) हैं जहाँ परावर्तन दो या अधिक सीमाओं पर होता है। उदाहरण के लिए, स्ट्रिंग में, एक दिशा में चल रही तरंग एक सिरे पर परावर्तित हो जाती है, जो फिर दूसरे सिरे से टकराकर परावर्तित हो जाती है। इसके बाद तक तरंग के एक स्थायी पैटर्न के निर्माण के लिए जारी रहता है। ऐसे तरंग पैटर्न को खड़ी तरंग या स्थिर तरंग कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चल रही एक तरंग और उसी आयाम और तरंगदैर्ध्य के एक परावर्तित तरंग के ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलते हुए विचार करें। समीकरण (14.2) और (14.4) के साथ $\phi=0$ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \\ & y_{2}(x, t)=a \sin (k x+\omega t) \end{aligned} $$

स्ट्रिंग पर उत्पन्न तरंग के परिणामस्वरूप, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार:

$$ y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) $$

$$ =a[\sin (k x-\omega t)+\sin (k x+\omega t)] $$

परिचित त्रिकोणमितीय पहचान

$\operatorname{Sin}(A+B)+\operatorname{Sin}(A-B)=2 \sin A \cos B$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin k x \cos \omega t \tag{14.37} \end{equation*} $$

समीकरण (14.37) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न में एक महत्वपूर्ण अंतर ध्यान दें जो समीकरण (14.2) या समीकरण (14.4) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न से है। शब्द $\mathrm{kx}$ और $\omega t$ अलग-अलग उपस्थित होते हैं, न कि $k x-\omega t$ के संयोजन में। इस तरंग का आयाम $2 a \sin k x$ है। इस तरंग पैटर्न में, आयाम बिंदु से बिंदु तक बदलता है, लेकिन स्ट्रिंग के प्रत्येक तत्व एक ही कोणीय आवृत्ति $\omega$ या समय अवधि के साथ दोलन करते हैं। तरंग के विभिन्न तत्वों के दोलनों में कोई भी चरण अंतर नहीं होता। तरंग के रूप में स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं पर अलग-अलग आयामों के साथ एक साथ दोलन करती है। तरंग पैटर्न बाएं या दाएं नहीं चल रही है। इसलिए, वे स्थिर या स्थायी तरंग कहलाते हैं। एक निश्चित स्थान पर आयाम निश्चित होता है, लेकिन, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, विभिन्न स्थानों पर आयाम अलग-अलग होता है। जहां आयाम शून्य होता है (अर्थात जहां कोई भी गति नहीं होती है), वे नोड्स कहलाते हैं; जहां आयाम सबसे अधिक होता है, वे एंटीनॉड्स कहलाते हैं। चित्र 14.12 में दो विपरीत दिशाओं में चल रही तरंगों के सुपरपोजिशन से उत्पन्न स्थायी तरंग पैटर्न दिखाया गया है।

स्थायी तरंगों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि सीमा स्थितियाँ प्रणोदन के संभावित तरंगदैर्घ्य या आवृत्तियों को सीमित करती हैं। प्रणोदन के लिए प्रणोदन की कोई भी असंगत आवृत्ति नहीं हो सकती (इसे एक हार्मोनिक गतिशील तरंग के साथ तुलना करें), बल्कि एक प्रणोदन के समूह या सामान्य आवृत्तियों के द्वारा विशिष्ट किया जाता है। चलो एक खींचे गए स्ट्रिंग के लिए इन सामान्य आवृत्तियों की निर्धारण करें जो दोनों सिरों पर निश्चित हैं।

पहले, समीकरण (14.37) से, नोड्स के स्थान (जहाँ आयाम शून्य होता है) द्वारा दिया गया है

$$ \sin kx = 0 $$

जो इसके तात्पर्य करता है $$ k x = n \pi ; \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots $$

क्योंकि $k = 2\pi/\lambda$, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} x = \frac{n \lambda}{2} ; n = 0, 1, 2, 3, \ldots \tag{14.38} \end{equation*} $$

चित्र 14.12 दो अवतल तरंगों के अध्यावेशण से उत्पन्न स्थायी तरंगें। ध्यान दें कि शून्य विस्थापन (नोड्स) के स्थान समय के साथ निश्चित रहते हैं।

स्पष्ट रूप से, किसी भी दो क्रमागत नोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। इसी तरह, अन्तर्नोड के स्थान (जहाँ आयाम सबसे अधिक होता है) निम्नलिखित अधिकतम मान के द्वारा दिया जाता है:

$|\sin k x|=1$

जो कहता है:

$ k x=(n+1 / 2) \pi ; n=0,1,2,3, \ldots $

$ k=2 \pi / \lambda $ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} x=(n+1 / 2) \frac{\lambda}{2} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.39} \end{equation*} $$

फिर भी, किसी भी दो क्रमागत अन्तर्नोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। समीकरण (14.38) को एक तनी हुई स्ट्रिंग के मामले में लागू किया जा सकता है, जिसकी लंबाई $L$ है और दोनों सिरों पर निश्चित है। एक सिरे को $X=0$ मानते हुए, सीमा स्थितियाँ यह है कि $x=0$ और $x=L$ नोड के स्थान हैं। $x=0$ की स्थिति पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। $x=L$ नोड की स्थिति की आवश्यकता है कि लंबाई $L$ निम्नलिखित द्वारा $\lambda$ से संबंधित हो:

$$ \begin{equation*} L=n \frac{\lambda}{2} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.40} \end{equation*} $$

इस प्रकार, स्थैतिक तरंगों के संभावित तरंगदैर्घ्य निम्नलिखित संबंध द्वारा सीमित होते हैं:

$$ \lambda=\frac{2 L}{n} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.41} $$

संगत आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{n v}{2 \mathrm{~L}}, \text { for } n=1,2,3 \tag{14.42} \end{equation*} $$

हम इस प्रकार एक प्राकृतिक आवृत्ति प्राप्त कर चुके हैं - व्यवस्थित विस्थापन के अनुपातिक आवृत्तियाँ। एक प्रणाली की सबसे कम संभव प्राकृतिक आवृत्ति को इसका मूल आवृत्ति या प्रथम हार्मोनिक कहा जाता है। एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर निश्चित होने पर इसके द्वारा दिया गया व्यंजक $v=\frac{v}{2 L}$ है, जो समीकरण (14.42) के $n=1$ के संगत है। यहाँ $\mathrm{v}$ माध्यम के गुणों द्वारा निर्धारित तरंग वेग है। $n=2$ के लिए आवृत्ति को द्वितीय हार्मोनिक कहा जाता है; $n=3$ के लिए तृतीय हार्मोनिक और इसी तरह आगे। हम विभिन्न हार्मोनिक को $v_{n}(n=1,2, \ldots)$ द्वारा चिह्नित कर सकते हैं।

चित्र 14.13 एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के पहले छह हार्मोनिक को दिखाता है। एक स्ट्रिंग के विस्थापन केवल इन मोड में होना आवश्यक नहीं है। सामान्यतः, एक स्ट्रिंग के विस्थापन विभिन्न मोड के अधिग्रहण के योग होता है; कुछ मोड अधिक तीव्रता से उत्प्रेरित हो सकते हैं और कुछ कम। सितार या वियोलिन जैसे वाद्य यंत्र इस सिद्धांत पर आधारित होते हैं। जहाँ स्ट्रिंग को खींचा या बाँधा जाता है, वहाँ विभिन्न मोड में किसकी तीव्रता अधिक होती है।

चित्र 14.13 एक खींचे गए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर टिके हुए विपर्ययों के पहले छह अधिस्वर।

अब हम एक छोटे सिरे पर बंद और दूसरे सिरे पर खुले हुए हवा के स्तंभ के सामान्य आवर्त गति के अध्ययन करेंगे। एक कांच के ट्यूब जो आंशिक रूप से पानी से भरा हो इस प्रणाली को दर्शाता है। पानी के संपर्क में आए सिरे पर एक नोड होता है, जबकि खुले सिरे पर एक एंटीनोड होता है। नोड पर दबाव के परिवर्तन सबसे अधिक होते हैं, जबकि विस्थापन न्यूनतम (शून्य) होता है। खुले सिरे पर - एंटीनोड, यहां दबाव के परिवर्तन सबसे कम होते हैं और विस्थापन के अधिकतम आयाम होता है। यदि पानी के संपर्क में आए सिरे को $x=0$ मान लिया जाए, तो नोड की शर्त (समीकरण 14.38) पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। यदि दूसरा सिरा $x=L$ एंटीनोड हो, तो समीकरण (14.39) द्वारा

$L=\quad \left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{2}$, जहां $n=0,1,2,3, \ldots$

संभावित तरंगदैर्घ्य फिर से निम्न संबंध द्वारा सीमित हो जाती है : $$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 L}{(n+1 / 2)}, \text { for } n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.43} \end{equation*} $$

सामान्य रूप (नैचुरल आवृत्तियाँ) - प्रणाली की स्वाभाविक आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{v}{2 L} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.44} \end{equation*} $$

मूल आवृत्ति $n=0$ के लिए होती है, और यह $\frac{v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है। उच्च आवृत्तियाँ विषम हार्मोनिक होती हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के विषम गुणक होती हैं : $3 \frac{v}{4 L}, 5 \frac{v}{4 L}$, आदि। चित्र 14.14 में एक सिरा बंद और दूसरा खुला हवा के स्तंभ के पहले छह विषम हार्मोनिक दिखाए गए हैं। एक दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ के लिए, प्रत्येक सिरा एक अंत्य बिंदु होता है। इसलिए आसानी से देखा जा सकता है कि दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ सभी हार्मोनिक उत्पन्न करते हैं (चित्र 14.15 देखें)।

ऊपर के प्रणाली, तार और हवा के स्तंभ, बल द्वारा उत्पन्न आवर्त गति (अध्याय 13) भी अनुभव कर सकते हैं। यदि बाह्य आवृत्ति कोई एक स्वाभाविक आवृत्ति के पास होती है, तो प्रणाली संहति दिखाती है।

सर्कुलर मेम्ब्रेन के नॉर्मल मोड जो एक टाबला की तरह परिधि पर कठोर रूप से बंधे होते हैं, उनकी सीमा स्थिति द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें मेम्ब्रेन की परिधि पर कोई बिंदु आवर्ती गति नहीं करता है। इस प्रणाली के नॉर्मल मोड की आवृत्तियों का अनुमान लगाना अधिक जटिल होता है। इस समस्या में द्वि-विमीय तरंग प्रसार के बारे में बात की जाती है। हालांकि, आधारभूत भौतिकी एक ही होती है।

उदाहरण 14.5 एक पाइप, $30.0 \mathrm{~cm}$ लंबा है, दोनों सिरों पर खुला है। एक $1.1 \mathrm{kHz}$ उत्सर्जक के साथ कौन सा हार्मोनिक मोड पाइप में अनुनाद करता है? यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए तो एक ही उत्सर्जक के साथ अनुनाद के अवलोकन को देखा जाएगा या नहीं? हवा में ध्वनि की गति को $330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ मान लीजिए।

उत्तर पहले हार्मोनिक आवृत्ति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ v_1=\frac{v}{\lambda_1}=\frac{v}{2 L} \quad \text { (खुला पाइप) } $$

जहाँ $L$ पाइप की लंबाई है। इसके $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति है:

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n v}{2 L}, \text { for } n=1,2,3, \ldots \text { (खुला पाइप) } $$

एक खुले पाइप के पहले कुछ मोड की छवि चित्र 14.15 में दिखाई गई है।

$L=30.0 \mathrm{~cm}, v=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए,

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n \hspace{1mm}330\left(\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{0.6(\mathrm{~m})}=550 \mathrm{n} \mathrm{~s}^{-1} $$

स्पष्ट रूप से, एक आवृत्ति के स्रोत 1.1 किलोहर्ट्ज के लिए $v_2$ पर अनुनाद करेगा, अर्थात द्वितीय अपवर्ती।

अब यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए (चित्र 14.15), तो समीकरण (14.15) से स्पष्ट होता है कि मूल आवृत्ति है

$$ v_{1}=\frac{v}{\lambda_{1}}=\frac{v}{4 L} \text { (एक सिरा बंद पाइप) } $$

चित्र 14.14 एक सिरा खुला और दूसरा सिरा बंद वाले हवा के स्तंभ के सामान्य अपवर्ती। केवल विषम अपवर्ती संभव हैं

और केवल विषम संख्या वाले अपवर्ती उपस्थित होते हैं :

$$ v_{3}=\frac{3 v}{4 L}, v_{5}=\frac{5 v}{\text{4 L}} \text {, and so on. } $$

$L=30 \mathrm{~cm}$ और $V=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए, एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $275 \mathrm{~Hz}$ होती है और स्रोत आवृत्ति इसके चौथे हार्मोनिक के संगत होती है। चूंकि यह हार्मोनिक संभव मोड नहीं है, तो स्रोत के साथ आवर्त तरंग के लिए कोई अनुनाद नहीं देखा जाएगा, जैसे ही एक सिरा बंद कर दिया जाएगा।

14.7 बीट्स (BEATS)

‘बीट्स’ एक दिलचस्प घटना है जो तरंगों के विस्थापन से उत्पन्न होती है। जब दो अलग-अलग आवृत्ति वाले आवृत्ति वाले ध्वनि तरंग एक ही समय में सुने जाते हैं, तो हम एक आवृत्ति वाले ध्वनि को सुनते हैं (दो आवृत्तियों के औसत), लेकिन हम अन्य चीज भी सुनते हैं। हम ध्वनि की तीव्रता के बढ़ते और घटते भाग को सुनते हैं, जिसकी आवृत्ति दो आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है। कलाकार अपने उपकरणों के साथ एक दूसरे के साथ संतुलन करते समय इस घटना का उपयोग अक्सर करते हैं। वे तब तक संतुलन करते रहते हैं जब तक उनके संवेदनशील कान बीट्स का पता नहीं लगाते।

चित्र 14.15 एक खुले पाइप में खड़े तरंग, पहले चार हार्मोनिक दिखाए गए हैं

इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, हम दो अलग-अलग आवृत्ति के हार्मोनिक ध्वनि तरंगों की बात करेंगे, जिनकी लगभग समान कोणीय आवृत्ति $\omega_1$ और $\omega_2$ हैं और सुविधा के लिए स्थिति को $\mathrm{x}=0$ रख देंगे। समीकरण (14.2) के साथ एक उपयुक्त चरण ( $\phi=\pi / 2$ प्रत्येक के लिए) और, समान आयाम मान लेने पर, हमें देता है:

$$ s_1=a \cos \omega_1 t \text { और } s_2=a \cos \omega_2 t $$

यहाँ हमने चर चिह्न y को $s$ से बदल दिया है, क्योंकि हम अनुप्रस्थ नहीं बल्कि अनुदिश विस्थापन के बारे में बात कर रहे हैं। मान लीजिए $\omega_1$ दो आवृत्तियों में से एक थोड़ा अधिक है। सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, परिणामी विस्थापन है:

$$ s=s_1+s_2=a\left(\cos \omega_1 t+\cos \omega_2 t\right) $$

$\cos A+\cos B$ के परिचित त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके, हमें प्राप्त होता है:

$$ =2 a \cos \frac{\left(\omega_1-\omega_2\right) t}{2} \cos \frac{\left(\omega_1+\omega_2\right) t}{2}\tag{14.46} $$

जिसे लिखा जा सकता है:

$$ s=\left[2 a \cos \omega_b t\right] \cos \omega_a t\tag{14.47}

$$

यदि $\left|\omega_1-\omega_2\right| \ll \omega_1, \omega_2, \omega_a \gg \omega_b$, तो जहाँ

$$ \omega_b=\frac{\left(\omega_1-\omega_2\right)}{2} \text { और } \omega_a=\frac{\left(\omega_1+\omega_2\right)}

अब यदि हम मान लें कि $\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right| < < \omega_{1}$, जिसका अर्थ है कि $\omega_{a} > \omega_{b}$, तो हम समीकरण (14.47) को निम्नलिखित तरह समझ सकते हैं। परिणामी तरंग औसत कोणीय आवृत्ति $\omega_{a}$ के साथ झूल रही है; हालांकि, इसके आयाम समय के साथ स्थिर नहीं है, जैसे कि शुद्ध हार्मोनिक तरंग के आयाम होते हैं। आयाम अधिकतम होता है जब $\cos \omega_{b} t$ का मान +1 या -1 होता है। इसके अर्थ में, परिणामी तरंग की तीव्रता एक आवृत्ति के साथ बढ़ती और घटती है जो $2 \omega_{\mathrm{b}}=\omega_{1}-$ $\omega_{2}$ होती है। क्योंकि $\omega=2 \pi v$, तो बीट आवृत्ति $v_{\text {beat }}$, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v_{\text {beat }}=v_{1}-v_{2} \tag{14.48} \end{equation*} $$

चित्र 14.16 में दो हार्मोनिक तरंगों के बीट घटना को दर्शाया गया है जिनकी आवृत्तियाँ 11 $\mathrm{Hz}$ और $9 \mathrm{~Hz}$ है। परिणामी तरंग के आयाम द्वारा बीट की आवृत्ति $2 \mathrm{~Hz}$ होती है।

चित्र 14.16 दो हार्मोनिक तरंगों के सुपरपोजिशन, एक की आवृत्ति 11 Hz (a), और दूसरी की आवृत्ति 9Hz (b), जो 2 Hz की ध्वनि उत्पन्न करती है, जैसा कि (c) में दिखाया गया है।

संगीत के स्तंभ

मंदिर अक्सर कुछ स्तंभों के साथ होते हैं जो मानव आकार के चित्र बनाते हैं जो संगीत वाद्य यंत्र बजाते हैं, लेकिन ये स्तंभ खुद संगीत उत्पन्न नहीं करते हैं। तमिलनाडु के नेल्लाईअप्पर मंदिर में, एक गुच्छे स्तंभों पर धीमी छोटी आवाजों के साथ टकराने से भारतीय क्लासिकल संगीत के मूल नोट उत्पन्न होते हैं, अर्थात् सा, रे, गा, मा, पा, धा, नि, सा। इन स्तंभों के झंकार इस्तेमाल किए गए शैल के लचीलापन, घनत्व और आकार पर निर्भर करते हैं।

उदाहरण 14.6 दो सितार के तार A और B, नोट ‘धा’ के उत्पादन के लिए थोड़ा असंगत हैं और 5 हर्ट्ज की आवृत्ति के बीट उत्पन्न करते हैं। तार B के तनाव को थोड़ा बढ़ा दिया जाता है और बीट आवृत्ति 3 हर्ट्ज तक घट जाती है। यदि A की आवृत्ति 427 हर्ट्ज है, तो B की मूल आवृत्ति क्या है?

उत्तर स्ट्रिंग के तनाव में वृद्धि इसकी आवृत्ति में वृद्धि करती है। यदि मूल आवृत्ति $\mathrm{B}\left(v_B\right)$, $\mathrm{A}\left(v_A\right)$ की आवृत्ति से अधिक होती, तो $v_B$ में अतिरिक्त वृद्धि बीट आवृत्ति में वृद्धि करती। लेकिन बीट आवृत्ति कम हो जाती है। इससे स्पष्ट होता है कि $v_B<v_A$। चूंकि $v_A-v_B=5 \mathrm{~Hz}$, और $v_A=427 \mathrm{~Hz}$, हमें $v_B=422 \mathrm{~Hz}$ प्राप्त होता है।

सारांश

1. यांत्रिक तरंगें माध्यम में अस्तित्व में हो सकती हैं और न्यूटन के नियमों द्वारा नियंत्रित होती हैं।

2. अनुप्रस्थ तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।

3. अनुदिश तरंजें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।

4. प्रगतिशील तरंग वह तरंग होती है जो माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलती है।

5. धनात्मक x दिशा में चलने वाली वृत्तीय तरंग में विस्थापन निम्न द्वारा दिया जाता है

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) $$

$$

जहाँ $a$ तरंग का आयाम है, $k$ कोणीय तरंग संख्या है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, $(k x-\omega t+\phi)$ तरंग का कोण है, और $\phi$ कोणीय स्थिरांक या कोण है।

6. एक प्रगतिशील तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ किसी दिए गए समय पर दो क्रमागत बिंदुओं के बीच एक ही कोण के बीच दूरी होती है। एक स्थैतिक तरंग में, यह दो क्रमागत नोड या अनुनादी बिंदुओं के बीच दूरी के दोगुना होती है।

7. एक तरंग के आवर्तकाल $T$ को तरंग के माध्यम के किसी भी तत्व के एक पूर्ण आवर्त गति को पूरा करने में लगे समय के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित है

$$ T=\frac{2 \pi}{\omega} $$

8. एक तरंग की आवृत्ति $v$ को $1 / T$ के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसका कोणीय आवृत्ति से संबंध निम्नलिखित संबंध द्वारा होता है

$$ \nu=\frac{\omega}{2 \pi} $$

9. एक प्रगतिशील तरंग की गति $v=\frac{\omega}{\mathrm{k}}=\frac{\lambda}{\mathrm{T}}=\lambda v$ द्वारा दी जाती है

10. एक तनी गई स्ट्रिंग पर एक अनुप्रस्थ तरंग की गति स्ट्रिंग के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। तनाव $T$ और रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ वाली स्ट्रिंग पर गति के लिए,

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} $$

11. ध्वनि तरंगें लंबवत यांत्रिक तरंगें होती हैं जो ठोस, तरल या गैस में चल सकती हैं। एक तरल में ध्वनि तरंग की गति $v$ बुफ़ बुफ़ मापांक $B$ और घनत्व $\rho$ के अनुसार होती है

$$ v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} $$

एक धातु के बार में लंबवत तरंग की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} $$

गैस के लिए, क्योंकि $B=\gamma P$, ध्वनि की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} $$

12. जब दो या अधिक तरंग एक ही माध्यम में एक साथ चलती हैं, तो माध्यम के किसी भी तत्व के विस्थापन प्रत्येक तरंग द्वारा उत्पन्न विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है

$$ y=\sum_{i=1}^n f_i(x-v t) $$

13. एक ही रस्सी पर दो वैकल्पिक तरंगें एक दूसरे के साथ अवतरण दिखाती हैं, जो सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार एक दूसरे को जोड़ती या खत्म करती हैं। यदि दोनों एक ही दिशा में चल रही हों और एक ही आयाम $a$ और आवृत्ति के हों लेकिन एक फेज स्थिरांक $\phi$ में अलग हों, तो परिणाम एक अकेली तरंग होती है जिसकी आवृत्ति $\omega$ होती है :

$$ y(x, t)=\left[2 a \cos \frac{1}{2} \phi\right] \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) $$

यदि $\phi=0$ या $2 \pi$ के किसी भी पूर्णांक के बराबर हो, तो तरंगें पूर्ण अनुपात में होती हैं और अपवर्जन निर्माण होता है; यदि $\phi=\pi$, तो वे पूर्ण अनुपात में नहीं होती हैं और अपवर्जन नष्ट होता है।

14. एक गतिशील तरंग, एक कठिन सीमा या बंद सिरे पर, अपने चरण के विपरीत दिशा में परावर्तित होती है लेकिन खुले सिरे पर परावर्तन बिना कोई चरण परिवर्तन के होता है। एक आपतित तरंग के लिए

$$ y_i(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग होती है

$$ y_r(x, t)=-a \sin ( k x+\omega t) $$

खुले सिरे पर परावर्तन के लिए

$$ y_r(x, t)=a \sin (k x+\omega t) $$

15. दो समान तरंगों के विपरीत दिशा में चलने से खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं। एक तार के दोनों सिरों पर खड़ी तरंग निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ y(x, t)=[2 a \sin k x] \cos \omega t $$

खड़ी तरंगें शून्य विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में विशिष्ट होती हैं जिन्हें नोड कहते हैं और अधिकतम विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में विशिष्ट होती हैं जिन्हें एंटीनोड कहते हैं। दो क्रमागत नोड या एंटीनोड के बीच दूरी $\lambda / 2$ होती है।

एक लम्बाई $L$ की खिंची गई स्ट्रिंग दोनों सिरों पर बाँधे रहने पर आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=\frac{n v}{2 L}, \quad n=1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दी गई आवृत्तियों के समूह को व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ कहते हैं। सबसे कम आवृत्ति वाले दोलन मोड को मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहते हैं। दूसरा हार्मोनिक वह दोलन मोड है जिसमें $n=2$ होता है और इसी तरह आगे। एक लम्बाई $L$ के नली जिसका एक सिरा बंद हो और दूसरा सिरा खुला हो (जैसे हवा के स्तंभ) आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=(\mathrm{n}+1 / 2) \frac{v}{2 \mathrm{~L}}, \quad n=0,1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दर्शाई गई आवृत्तियों के समूह ऐसे व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ हैं। न्यूनतम आवृत्ति $v / 4 L$ द्वारा दी गई है जो मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहलाती है।

16. एक लम्बाई $L$ की स्ट्रिंग जो दोनों सिरों पर बाँधी गई है या एक ओर बंद और दूसरी ओर खुला हुआ हवा के स्तंभ या दोनों ओर खुला हुआ हवा के स्तं दोलन करते हैं जिन्हें उनके नॉर्मल मोड कहते हैं। इनमें से प्रत्येक आवृत्ति व्यवस्था की एक रेज़ोनेंस आवृत्ति है।

17. टीम्स उत्पन्न होते हैं जब दो तरंगें, जिनकी आवृत्तियाँ $v_1$ और $v_2$ होती हैं, जो एक दूसरे से थोड़ी अलग होती हैं और उनके आयाम लगभग समान होते हैं, एक दूसरे पर अधिकृत होती हैं। टीम आवृत्ति है

$$ v_{\text {beat }}=v_1 \sim v_2 $$

ध्यान देने वाले बिंदु

1. एक तरंग माध्यम में पूरे तत्व के गति के रूप में नहीं होती। हवा के बर्बादी तरंग से अलग होती है। पहला एक स्थान से दूसरे स्थान तक हवा के गति के साथ संबंधित होता है। दूसरा वायु के विभिन्न लेयरों में संपीड़न और विरलन के साथ संबंधित होता है।

2. एक तरंग में, ऊर्जा एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरित होती है, न कि पदार्थ।

3. एक यांत्रिक तरंग में, ऊर्जा स्थानांतरण तंत्र के आसपास विस्थापित भागों के बीच तार बलों के माध्यम से होता है।

4. अनुप्रस्थ तरंगें केवल उन माध्यमों में प्रसारित हो सकती हैं जिनमें अपरूपण प्रतिबल के अवलोकन के लिए आवश्यक होता है। अक्षीय तरंगें आयतन प्रतिबल के अवलोकन के लिए आवश्यक होती हैं और इसलिए सभी माध्यमों में, ठोस, तरल और गैस में संभव होती हैं।

5. एक निश्चित आवृत्ति की समतापी तरंग में, सभी कणों के आयाम समान होते हैं लेकिन एक निश्चित समय पर अलग-अलग चरण होते हैं। एक स्थैतिक तरंग में, दो नोड के बीच सभी कणों के चरण एक निश्चित समय पर समान होते हैं लेकिन उनके आयाम अलग-अलग होते हैं।

6. एक माध्यम में निश्चित वेग के अवलोकन के लिए एक निश्चित माध्यम में यांत्रिक तरंग की गति ( $V$ ) केवल उस माध्यम के तार और अन्य गुणों (जैसे द्रव्यमान घनत्व) पर निर्भर करती है। यह उत्सर्जक के वेग पर निर्भर नहीं करती।

—

14.1 परिचय

पिछले अध्याय में हम वस्तुओं के अलग-अलग दोलन के गति के अध्ययन कर चुके हैं। ऐसे एक तंत्र में क्या होता है, जो ऐसी वस्तुओं के संग्रह होता है? एक विस्तारित माध्यम ऐसा उदाहरण है। यहां, विस्तारी बल घटकों को एक दूसरे से बांधे रखते हैं और इसलिए एक के गति दूसरे के गति पर प्रभाव डालती है। यदि आप एक छोटे से पत्थर को एक शांत जल के तालाब में गिराएं, तो जल सतह अस्थिर हो जाती है। अस्थिरता एक स्थान पर सीमित नहीं रहती, बल्कि एक वृत्त के रूप में बाहर की ओर फैलती जाती है। यदि आप तालाब में लगातार पत्थर गिराते रहें, तो आप देख सकते हैं कि वृत्त तेजी से अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर चले जाते हैं। यह ऐसा अहसास देता है जैसे जल अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर बह रहा हो। यदि आप अस्थिता के सतह पर कुछ कॉर्क के टुकड़े रख दें, तो आप देख सकते हैं कि कॉर्क के टुकड़े ऊपर नीचे गिरते हैं लेकिन अस्थिरता के केंद्र से दूर नहीं जाते हैं। यह दिखाता है कि जल के द्रव्य बाहर की ओर नहीं बहता है बल्कि एक गति करती हुई अस्थिरता के रूप में बनती है। इसी तरह, जब हम बोलते हैं, तो ध्वनि हम से बाहर की ओर चलती है, बिना किसी भी माध्यम के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक हवा के प्रवाह के। हवा में उत्पन्न अस्थिरताएं बहुत कम स्पष्ट होती हैं और केवल हमारे कान या एक माइक्रोफ़ोन उन्हें खोज सकते हैं। ये पैटर्न, जो एक पूरे माध्यम के वास्तविक भौतिक स्थानांतरण या प्रवाह के बिना चलते हैं, तरंगें कहलाते हैं। इस अध्याय में हम ऐसी तरंगों के अध्ययन करेंगे।

तरंगें ऊर्जा का परिवहन करती हैं और विक्षोभ के पैटर्न के ज्ञान के रूप में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलते हैं। हमारी सभी संचार प्रणालियाँ मूल रूप से तरंगों के माध्यम से संकेतों के प्रसार पर निर्भर करती हैं। बोलना हवा में ध्वनि तरंगों के उत्पादन को कहते हैं और सुनना इन तरंगों के पता लगाने को कहते हैं। अक्सर, संचार विभिन्न प्रकार की तरंगों के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें पहले एक विद्युत धारा संकेत में बदल जाती हैं जो फिर एक विद्युत चुंबकीय तरंग में बदल जाती हैं जो एक ऑप्टिकल केबल या एक उपग्रह के माध्यम से प्रसारित की जा सकती हैं। मूल संकेत के पता लगाने में आमतौर पर इन कदमों के विपरीत क्रम में होता है।

सभी तरंगों के लिए माध्यम की आवश्यकता नहीं होती। हम जानते हैं कि प्रकाश तरंगें वैक्यूम में चल सकती हैं। तारों द्वारा उत्सर्जित प्रकाश, जो सौर मेटर के सैकड़ों लाइट वर्ष दूर है, आकाशीय अंतराकाश में हम तक पहुंचता है, जो वास्तव में एक वैक्यूम है।

सबसे परिचित प्रकार की तरंगें जैसे कि एक स्ट्रिंग पर तरंगें, पानी की तरंगें, ध्वनि तरंगें, सैंक्षेमिक तरंगें आदि विशेष रूप से यांत्रिक तरंगें कहलाती हैं। ये तरंगें प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है, वे वैक्यूम में प्रसार नहीं कर सकती हैं। ये तरंगें माध्यम के संघटक कणों के दोलनों पर निर्भर करती हैं और माध्यम के अतिरिक्त गुणों पर निर्भर करती हैं। आप द्वारा कक्षा XII में सीखे जाने वाले विद्युत चुंबकीय तरंगें एक अलग प्रकार की तरंग हैं। विद्युत चुंबकीय तरंगें माध्यम की आवश्यकता नहीं होती - वे वैक्यूम में भी चल सकती हैं। प्रकाश, रेडियो तरंगें, X-किरणें, सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें हैं। वैक्यूम में सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें एक ही गति $\mathrm{c}$ के साथ चलती हैं, जिसका मान है :

$$c=299,792,458 \mathrm{~ms}^{-1} \tag{14.1}$$

एक तीसरा प्रकार की तरंग वह है जिसे बार-बार “मात्रा तरंग” कहा जाता है। वे पदार्थ के घटकों से संबंधित होती हैं: इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, परमाणु और अणु। वे आपके आगे अध्ययन के दौरान आपको सीखने वाले प्रकृति के क्वांटम भौतिकीय वर्णन में उत्पन्न होती हैं। हालांकि ये यांत्रिक या विद्युत-चुंबकीय तरंगों की तुलना में अधिक अमूर्त अवधारणा हैं, लेकिन वे आधुनिक तकनीक के कई उपकरणों में पहले से ही उपयोग में हैं; इलेक्ट्रॉन से संबंधित मात्रा तरंग इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप में उपयोग की जाती हैं।

इस अध्याय में हम मैकेनिकल तरंगों के अध्ययन करेंगे, जिनके प्रसार के लिए एक पदार्थी माध्यम की आवश्यकता होती है।

तरंगों के आलोचनात्मक प्रभाव कला और साहित्य पर बहुत प्राचीन काल से देखा जाता है; हालांकि, तरंग गति के पहले वैज्ञानिक विश्लेषण के इतिहास के चौदहवीं सदी के दौरान वापस जाता है। तरंग गति के भौतिकी के कुछ प्रसिद्ध वैज्ञानिक जो इसके साथ जुड़े हुए हैं, चिस्तियान ह्यूगेंस (1629-1695), रॉबर्ट हूक और आइज़ैक न्यूटन हैं। तरंग भौतिकी के अध्ययन के बाद दोलन के द्रव्यमानों के भौतिकी और सरल लटकी के भौतिकी के अध्ययन के बाद आया। विस्तारित तार, घुमावदार स्प्रिंग, हवा, आदि तरंगों के विस्तारित माध्यम के उदाहरण हैं।

हम इस संबंध को सरल उदाहरणों के माध्यम से स्पष्ट करेंगे।

एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंगों के एक संग्रह को चित्र 14.1 में दिखाया गया है। यदि एक सिरे पर स्प्रिंग को अचानक खींचकर छोड़ दिया जाए, तो अव्यवहार दूसरे सिरे तक पहुंच जाता है। यह क्या हुआ? पहला स्प्रिंग अपनी संतुलन लंबाई से असंतुलित हो जाता है। चूंकि दूसरा स्प्रिंग पहले से जुड़ा हुआ है, इसलिए यह भी खिंच जाता है या संपीड़ित हो जाता है, आदि। अव्यवहार एक सिरे से दूसरे सिरे तक चलता रहता है; लेकिन प्रत्येक स्प्रिंग अपनी संतुलन स्थिति के आसपास केवल छोटे दोलन करता है। इस स्थिति का एक व्यावहारिक उदाहरण लें, एक रेलवे स्टेशन पर स्थिर ट्रेन। ट्रेन के विभिन्न भाग (बोगी) एक दूसरे के साथ स्प्रिंग के माध्यम से जुड़े होते हैं। जब एक इंजन एक सिरे पर जुड़ जाता है, तो इसके आसपास बोगी को धकेल देता है; यह धक्का एक बोगी से दूसरे बोगी तक बिना पूरी ट्रेन के एक साथ विस्थापित होने के बिना पहुंच जाता है।

चित्र 14.1 एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंग के संग्रह। छोर A पर अचानक खींचा जाता है जिससे एक अस्थिरता उत्पन्न होती है, जो फिर दूसरे छोर तक फैलती है।

अब हम हवा में ध्वनि तरंगों के प्रसार के बारे में विचार करते हैं। जैसे तरंग हवा में गुजरती है, यह हवा के एक छोटे क्षेत्र को संपीड़ित या विस्तारित करती है। इसके परिणामस्वरूप उस क्षेत्र में घनत्व में एक परिवर्तन होता है, जैसे कि $\delta \rho$। इस परिवर्तन के कारण उस क्षेत्र में दबाव में एक परिवर्तन, $\delta p$ उत्पन्न होता है। दबाव एक इकाई क्षेत्र पर बल होता है, इसलिए एक अस्थिरता के साथ एक पुनर्स्थापन बल आनुपातिक होता है, जैसे कि एक स्प्रिंग में। इस मामले में, स्प्रिंग के विस्तार या संपीड़न के समान राशि घनत्व में परिवर्तन होता है। यदि क्षेत्र संपीड़ित होता है, तो उस क्षेत्र में अणु एक साथ बंद हो जाते हैं और वे आसपास के क्षेत्र में बाहर जाने की ओर झुकते हैं, जिसके परिणामस्वरू आसपास के क्षेत्र में घनत्व बढ़ जाता है या उस क्षेत्र में संपीड़न उत्पन्न होता है। इसलिए, पहले क्षेत्र में हवा के विरलन होता है। यदि क्षेत्र तुलनात्मक रूप से विरल होता है, तो आसपास की हवा उस क्षेत्र में आ जाती है जिसके परिणामस्वरूप विरलन आसपास के क्षेत्र में बढ़ जाता है। इस प्रकार, संपीड़न या विरलन एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में चलता है, जिससे हवा में अस्थिरता के प्रसार की संभावना उत्पन्न होती है।

ठोस में, इसी तरह के तर्क किए जा सकते हैं। एक क्रिस्टलीय ठोस में, परमाणु या परमाणुओं के समूह एक आवर्ती जालक में व्यवस्थित होते हैं। इनमें, प्रत्येक परमाणु या परमाणुओं के समूह आसपास के परमाणुओं के बलों के कारण संतुलन में होते हैं। एक परमाणु को विस्थापित करके अन्य सभी को स्थिर रखे रहने पर, वापसी बल उत्पन्न होते हैं, ठीक वैसे जैसे कि एक स्प्रिंग में। इसलिए हम एक जालक में परमाणुओं को एंड पॉइंट्स के रूप में सोच सकते हैं, जिनके बीच स्प्रिंग होते हैं।

इस पाठ के अगले अनुभागों में हम तरंगों के विभिन्न विशिष्ट गुणों के बारे में चर्चा करेंगे।

14.2 अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें

हम देख चुके हैं कि यांत्रिक तरंगों की गति माध्यम के घटकों के दोलनों की शामिल होती है। यदि माध्यम के घटक तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं, तो तरंग को अनुप्रस्थ तरंग कहा जाता है। यदि वे तरंग प्रसार की दिशा के समानुपात में दोलन करते हैं, तो तरं ग को अनुदिश तरंग कहा जाता है।

चित्र 14.2 जब एक पल्स तनाव वाली स्ट्रिंग के लंबाई के अनुदिश (x-दिशा) चलता है, तो स्ट्रिंग के तत्व ऊपर और नीचे (y-दिशा) झूलते हैं।

चित्र 14.2 में एक अकेले पल्स के स्ट्रिंग पर चलन को दिखाया गया है, जो एक अकेले ऊपर और नीचे के झटके के कारण होता है। यदि स्ट्रिंग की लंबाई पल्स के आकार की तुलना में बहुत लंबी हो, तो पल्स दूसरे सिरे तक पहुँचने से पहले धीमा हो जाएगा और उस सिरे से परावर्तन को नगण्य माना जा सकता है। चित्र 14.3 में एक समान विन्यास दिखाया गया है, लेकिन इस बार बाहरी एजेंट स्ट्रिंग के एक सिरे पर एक निरंतर आवर्ती वृत्तीय ऊपर और नीचे के झटके देता है। इसके परिणामस्वरूप स्ट्रिंग पर उत्पन्न अवांछित विक्षोभ एक वृत्तीय तरंग होती है। दोनों मामलों में स्ट्रिंग के तत्व तरंग या पल्स के माध्यम से गुजरते हुए अपने संतुलन औसत स्थिति के चारों ओर झूलते हैं। झूलन तरंग की गति के लंबवत दिशा में होती है, इसलिए यह एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.3 एक तार में एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) तरंग एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है। तरंग के क्षेत्र में तार के एक तत्व के अपने संतुलन स्थिति के लंबवत दिशा में आवर्ती गति करता है।

हम एक तरंग को दो तरीकों से देख सकते हैं। हम एक समय क्षण निश्चित कर सकते हैं और तरंग को अंतरिक्ष में देख सकते हैं। इससे हमें एक निश्चित समय पर तरंग के समग्र आकार को प्राप्त होता है। दूसरा तरीका एक स्थान निश्चित करना होता है, अर्थात हम तार के एक विशिष्ट तत्व पर ध्यान केंद्रित करते हैं और इसकी समय के अनुसार आवर्ती गति को देखते हैं।

चित्र 14.4 ध्वनि तरंगों के प्रसार के सबसे परिचित उदाहरण में अनुप्रस्थ तरंगों की स्थिति को वर्णित करता है। एक लंबा पाइप वायु से भरा होता है जिसके एक सिरे पर एक पिस्टन होता है। पिस्टन के एक अचानक आगे की ओर धकेल और वापस खींचे जाने से माध्यम (वायु) में एक तरंग के रूप में संघनन (उच्च घनत्व) और विरलन (निम्न घनत्व) के एक पल्स का उत्पादन होता है। यदि पिस्टन की धकेल-खींच कार्य निरंतर और आवर्ती (साइनसॉइडल) होती है, तो वायु में एक साइनसॉइडल तरंग उत्पन्न होती है जो पाइप की लंबाई के अनुदिश चलती है। यह स्पष्ट रूप से एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.4 एक हवा भरे पाइप में ऊपर और नीचे खंडन द्वारा उत्पन्न दीर्घ तरंगें (ध्वनि)। हवा के एक आयतनी तत्व के तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दिशा में आवर्ती गति होती है।

उपरोक्त तरंगें, अनुप्रस्थ या दीर्घ, यात्रा या प्रगति तरंगें होती हैं क्योंकि वे एक माध्यम के एक भाग से दूसरे भाग तक चलती हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, पूरा माध्यम गति नहीं करता है। उदाहरण के लिए, एक नदी के बहाव में पानी के पूरे रूप में गति होती है। एक पानी की तरंग में, यह विक्षोभ ही गति करता है, न कि पानी के पूरे रूप में। इसी तरह एक हवा के बहाव (हवा के पूरे रूप में गति) को एक ध्वनि तरंग से भ्रम नहीं होना चाहिए जो हवा में दबाव घनत्व में विक्षोभ के प्रसार को दर्शाती है, जिसमें हवा के पूरे रूप में गति नहीं होती है।

अनुप्रस्थ तरंगों में, कणों की गति तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत होती है। अतः जब तरंग चलती है, तो माध्यम के प्रत्येक तत्व के बीच एक छेदन तनाव होता है। अतः अनुप्रस्थ तरंगें केवल उन माध्यमों में चल सकती हैं जो छेदन तनाव को संभाल सकते हैं, जैसे कि ठोस, न कि द्रव्य। द्रव्य और ठोस दोनों दबाव तनाव को संभाल सकते हैं; अतः दीर्घ तरंगें सभी तार्किक माध्यमों में चल सकती हैं। उदाहरण के लिए, तांबे जैसे माध्यम में अनुप्रस्थ और दीर्घ दोनों तरंगें चल सकती हैं, जबकि हवा केवल दीर्घ तरंगें चला सकती है। पानी के सतह पर तरंगें दो प्रकार की होती हैं: सतह तनाव तरंगें और गुरुत्व तरंगें। पहली तरंगें बहुत छोटी तरंग लंबाई की होती हैं-केवल कई सेंटीमीटर तक नहीं अधिक- और इनका उत्पादन करने वाला पुनर्स्थापक बल पानी के सतह तनाव होता है। गुरुत्व तरंगें की तरंग लंबाई आमतौर पर कई मीटर से कई सौ मीटर तक होती है। इन तरंगों के उत्पादन करने वाला पुनर्स्थापक बल गुरुत्वाकर्षण होता है, जो पानी की सतह को अपने निम्न स्तर पर रखने की ओर ले जाता है। इन तरंगों में कणों के आवर्तन आवर्ती गति केवल सतह पर ही सीमित नहीं होती, बल्कि धीरे-धीरे आमाप के साथ बहुत नीचे तक फैलती है। पानी की तरंगों में कणों की गति एक जटिल गति होती है- वे न केवल ऊपर और नीचे बहते हैं बल्कि आगे और पीछे भी बहते हैं। खाड़ी में तरंगें दीर्घ और अनुप्रस्थ दोनों तरंगों के संयोजन होती हैं।

यह ज्ञात हुआ है कि, सामान्यतः, अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें एक ही माध्यम में अलग-अलग गति के साथ चलती हैं।

उदाहरण 14.1 नीचे दिए गए कुछ तरंग गति के उदाहरण हैं। प्रत्येक स्थिति में तरंग गति को अनुप्रस्थ, अनुदिश या दोनों के संयोजन के रूप में बताइए:

(a) एक अनुदिश स्प्रिंग के एक सिरे को ओर ओर विस्थापित करके उत्पन्न एक किंक की गति।

(b) एक सिलेंडर में तरल के द्वारा एक पिस्टन के आगे-पीछे गति द्वारा उत्पन्न तरंगें।

(c) एक मोटरबोट के जल में चलते हुए उत्पन्न तरंगें।

(d) एक क्वार्टज क्रिस्टल के द्वारा हवा में उत्पन्न अल्ट्रासोनिक तरंगें।

उत्तर

(a) अनुप्रस्थ और अनुदिश

(b) अनुदिश

(c) अनुप्रस्थ और अनुदिश

(d) अनुदिश

14.3 एक प्रगतिशील तरंग में विस्थापन संबंध

एक चलती हुई तरंग के गणितीय वर्णन के लिए, हमें स्थिति $x$ और समय $t$ दोनों के फलन की आवश्यकता होती है। ऐसा फलन प्रत्येक क्षण में उस क्षण के तरंग के आकार को देना चाहिए। इसके अलावा, किसी भी दिए गए स्थान पर, यह उस स्थान पर माध्यम के घटक की गति का वर्णन भी करना चाहिए। यदि हम एक वृत्तीय चलती हुई तरंग का वर्णन करना चाहते हैं (जैसा कि चित्र 14.3 में दिखाया गया है), तो संगत फलन भी वृत्तीय होना चाहिए। सुविधा के लिए, हम तरंग को अनुप्रस्थ मान लेंगे ताकि यदि माध्यम के घटक की स्थिति को $x$ द्वारा नोट किया जाए, तो संतुलन स्थिति से विस्थापन को $y$ द्वारा नोट किया जा सके। तब एक वृत्तीय चलती हुई तरंग का वर्णन निम्नलिखित होता है:

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)\tag{14.2}$$

साइन फलन के तर्क में $\phi$ शब्द का तात्पर्य यह है कि हम एक लाइनर कॉम्बिनेशन ऑफ़ साइन और कोसाइन फलन के बारे में सोच रहे हैं:

$$y(x, t)=A \sin (k x-\omega t)+B \cos (k x--\omega t) \tag {14.3}$$

समीकरण (14.2) और (14.3) से,

$$ a=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \quad\text { और} \quad\phi=\tan ^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) $$

समीकरण (14.2) को एक साइनसॉइडल चल तरंग के रूप में क्यों प्रस्तुत करता है, इसकी समझ लेते हैं, एक निश्चित क्षण ले लीजिए, जैसे $t=t_{0}$. तब, समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्क केवल $k x+$ नियतांक होता है। इसलिए, तरंग के आकार (किसी भी निश्चित क्षण पर) $x$ के फलन के रूप में एक साइन तरंग होती है। इसी तरह, एक निश्चित स्थान ले लीजिए, जैसे $x=x_{0}$. तब, समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्क नियतांक $-\omega t$ होता है। इसलिए, एक निश्चित स्थान पर, विस्थापन $y$, समय के साथ साइनसॉइडल रूप से बदलता है। अर्थात, विभिन्न स्थानों पर माध्यम के घटक सरल वैकल्पिक गति करते हैं। अंत में, जब $t$ बढ़ता है, तो $x$ को धनात्मक दिशा में बढ़ाना पड़ता है ताकि $k x-\omega t+\phi$ नियत रहे। इसलिए, समीकरण (14.2) धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हुई साइनसॉइडल (हार्मोनिक) तरंग को प्रस्तुत करता है। दूसरी ओर, एक फलन एक तरंग को ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में प्रस्तुत करता है। चित्र (14.5) में समीकरण (14.2) में उपस्थित विभिन्न भौतिक राशियों के नाम दिए गए हैं जिन्हें हम अब व्याख्या कर रहे हैं।

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x+\omega t+\phi) \tag{14.4} \end{equation*} $$

चित्र 14.5 समीकरण (14.2) में मानक चिन्हों का अर्थ

चित्र 14.6 में समीकरण (14 बराबर 2) के लिए विभिन्न समय मानों के लिए आरेख दिखाए गए हैं। एक तरंग में, शिखर अधिकतम धनात्मक विस्थापन के बिंदु होता है, गर्त अधिकतम नकारात्मक विस्थापन के बिंदु होता है। एक तरंग कैसे चलती है, इसको देखने के लिए हम एक शिखर पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह समय के साथ कैसे बढ़ता है। चित्र में इसे शिखर पर एक क्रॉस ( ) द्वारा दिखाया गया है। इसी तरह, हम एक निश्चित स्थान पर माध्यम के एक विशिष्ट घटक की गति देख सकते हैं, जैसे कि x-अक्ष के मूल बिंदु पर। इसे एक ठोस बिंदु (•) द्वारा दिखाया गया है। चित्र 14.6 के आरेख दिखाते हैं कि समय के साथ ठोस बिंदु (•) मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से गति करता है, अर्थात तरंग के बढ़ते हुए बिंदु मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से अपने माध्य स्थिति के चारों ओर झूलता है। यह किसी अन्य स्थान के लिए भी सत्य है। हम देखते हैं कि ठोस बिंदु (•) एक पूर्ण दोलन पूरा करते हुए एक निश्चित दूरी तक आगे बढ़ गया है।

चित्र 14.6 एक हार्मोनिक तरंग धनात्मक x-अक्ष की दिशा में विभिन्न समय पर चल रही है।

चित्र 14.6 के आलोक में, अब हम समीकरण (14.2) में विभिन्न मात्राओं को परिभाषित करेंगे।

14.3.1 आयाम और चरण

समीकरण (14.2) में, क्योंकि साइन फलन 1 और -1 के बीच बदलता है, विस्थापन $y(x, t)$ $a$ और $-a$ के बीच बदलता है। हम $a$ को एक धनात्मक नियतांक मान सकते हैं, बिना कोई अप्रासंगिकता के। तब, $a$ माध्यम के घटकों के संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन को दर्शाता है। ध्यान दें कि विस्थापन $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, लेकिन $a$ धनात्मक है। इसे आयाम कहते हैं।

समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्ग के रूप में उपस्थित $(k x-\omega t+\phi)$ राशि को तरंग के चरण कहते हैं। दिया गया आयाम $a$, चरण कोई भी स्थिति और कोई भी समय पर तरंग के विस्थापन को निर्धारित करता है। स्पष्ट रूप से $\phi$ $x=0$ और $t=0$ पर चरण है। इसलिए, $\phi$ को प्रारंभिक चरण कोण कहते हैं। $x$-अक्ष पर मूल बिंदु और प्रारंभिक समय के उपयुक्त चयन से, $\phi=0$ हो सकता है। इसलिए, $\phi$ को छोड़ने में कोई अप्रासंगिकता नहीं है, अर्थात समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेना असंगत नहीं है।

14.3.2 तरंगदैर्ध्य एवं कोणीय तरंग संख्या

एक तरंग के दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी जिनका अवस्था समान होती है, तरंगदैर्ध्य कहलाती है, जिसे आमतौर पर $\lambda$ से दर्शाया जाता है। सरलता के लिए, हम एक ही अवस्था वाले बिंदुओं को शिखर या घाटी के रूप में चुन सकते हैं। तरंगदैर्ध्य तब तरंग में दो क्रमागत शिखर या घाटियों के बीच की दूरी होती है। समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेने पर, $t=0$ पर विस्थापन द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} y(x, 0)=a \sin k x \tag{14.5} \end{equation*} $$

क्योंकि साइन फंक्शन कोण में प्रत्येक $2 \pi$ परिवर्तन के बाद अपने मान को दोहराता है,

$$ \sin k x=\sin (k x+2 n \pi)=\sin k\left(x+\frac{2 n \pi}{k}\right) $$

अर्थात बिंदु $x$ और $ x+\frac{2 n \pi}{k} $

पर विस्थापन समान होता है, जहाँ $n=1,2,3, \ldots$ किसी भी दिए गए समय के लिए समान विस्थापन वाले बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी को $n=1$ लेने पर प्राप्त किया जाता है। तब $\lambda$ द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 \pi}{k} \quad \text { या } \quad k=\frac{2 \pi}{\lambda} \tag{14.6}

\end{equation*} $$

$ k $ तरंग कोणीय तरंग संख्या या प्रसार नियतांक है; इसका SI इकाई रेडियन प्रति मीटर या रेडियन $ m^{-1} $ है।

14.3.3 आवर्तकाल, कोणीय आवृत्ति और आवृत्ति

चित्र 14.7 फिर से एक ज्यावक्रीय आलेख दिखाता है। यह एक निश्चित समय पर तरंग के आकार का वर्णन नहीं करता है, बल्कि एक माध्यम के तत्व (किसी निश्चित स्थान पर) के समय के साथ विस्थापन का वर्णन करता है। सरलता के लिए, हम समीकरण (14.2) को $ \phi = 0 $ के साथ ले सकते हैं और $ x = 0 $ पर तत्व के गति की निगरानी कर सकते हैं। तब हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{aligned} y(0, t) & =a \sin (-\omega t) \\ & =-a \sin \omega t \end{aligned} $$

चित्र 14.7 एक निश्चित स्थान पर एक स्ट्रिंग के तत्व के गति के साथ आवर्तकाल T और आयाम a के साथ तरंग इसके ऊपर गुजरते हुए दोलन करता है।

अब, तरंग के आवर्तकाल वह समय है जिसमें एक तत्व एक पूर्ण दोलन पूरा करता है। अर्थात,

$-a \sin \omega t=-a \sin \omega(t+\mathrm{T})$

$$ =-a \sin (\omega t+\omega T) $$

क्योंकि साइन फ़ंक्शन $2 \pi$ के प्रत्येक पश्चात दोहराता है,

$$ \begin{equation*} \omega T=2 \pi \text { या } \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} \tag{14.7} \end{equation*} $$

$\omega$ को तरंग की कोणीय आवृत्ति कहते हैं। इसका SI इकाई $\mathrm{rad} s^{-1}$ होती है। आवृत्ति $v$ प्रति सेकंड दोलनों की संख्या होती है। इसलिए,

$$ \begin {equation*} v=\frac{1}{\mathrm{~T}}=\frac{\omega}{2 \pi} \tag{14.8} \end{equation*} $$

• यहाँ फिर से, ‘रेडियन’ को छोड़ दिया जा सकता है और इकाइयों को केवल म–1 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, $k$ एक इकाई लंबाई पर तरंगों (या कुल चरण अंतर) की संख्या के 2π गुना को प्रदर्शित करता है, जिसकी SI इकाई म–1 होती है। $v$ आमतौर पर हर्ट्ज़ में मापा जाता है।

ऊपर के चर्चा में हमेशा एक रस्सी या अनुप्रस्थ तरंग के अनुसार चलती तरंग के बारे में उल्लेख किया गया है। एक अनुप्रस्थ तरंग में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन की दिशा तरंग के चलन की दिशा के समानांतर होती है। समीकरण (14.2) में एक अनुप्रस्थ तरंग के विस्थापन फ़ंक्शन को लिखा गया है,

$$ \begin{equation*} s(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.9} \end{equation*} $$

जहाँ $s(x, t)$ तरंग के प्रसार की दिशा में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन को दर्शाता है, जो स्थिति $x$ और समय $t$ पर होता है। समीकरण (14.9) में, $a$ विस्थापन आयाम है; अन्य राशियाँ एक अनुप्रस्थ तरंग के मामले में वैसे ही अर्थ रखती हैं, बस विस्थापन फलन $y(x, t)$ के स्थान पर $s(x, t)$ फलन का उपयोग करना होता है।[^0]

उदाहरण 14.2 एक तार पर चल रही तरंग को निम्नलिखित द्वारा वर्णित किया जाता है,

$y(x, t)=0.005 \sin (80.0 x-3.0 t)$,

जहाँ संख्यात्मक नियतांक SI इकाइयों में हैं ($0.005 \mathrm{~m}, 80.0 \mathrm{rad} \mathrm{m}^{-1}$, और $3.0 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$)। निम्नलिखित की गणना कीजिए (a) आयाम, (b) तरंगदैर्घ्य, और (c) तरंग की आवर्तकाल और आवृत्ति। तरंग के विस्थापन $y$ की गणना भी कीजिए जब दूरी $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर हो।

उत्तर इस विस्थापन समीकरण को समीकरण (14.2) के साथ तुलना करने पर,

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t),

$$

हम पाते हैं

(a) तरंग का आयाम $0.005 \mathrm{~m}=5 \mathrm{~mm}$ है।

(b) कोणीय तरंग संख्या $k$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ हैं

$ k=80.0 \mathrm{~m}^{-1} \text { और } \omega=3.0 \mathrm{~s}^{-1} $

हम फिर से समीकरण (14.6) के माध्यम से तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $k$ से संबंधित करते हैं,

$$ \begin{aligned} \lambda & =2 \pi / k \\ & =\frac{2 \pi}{80.0 \mathrm{~m}^{-1}} \\ & =7.85 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

(c) अब, हम $T$ को $\omega$ से संबंधित करते हैं द्वारा संबंध

$$ \begin{aligned} T & =2 \pi / \omega \ & =\frac{2 \pi}{3.0 \mathrm{~s}^{-1}} \ & =2.09 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

और आवृत्ति, $v=1 / T=0.48 \mathrm{~Hz}$ $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर विस्थापन $y$ द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (80.0 \times 0.3-3.0 \times 20) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (-36+12 \pi) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (1.699) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin \left(97^{\circ}\right) \simeq 5 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

14.4 गतिशील तरंग की चाल

तरंग के चलते चलन की गति को निर्धारित करने के लिए, हम तरंग पर किसी विशिष्ट बिंदु (जिसकी कुछ चर के मान द्वारा विशेषता होती है) पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह बिंदु समय के साथ कैसे गति करता है। यह आसान हो जाता है तरंग के शिखर की गति की ओर ध्यान देना। चित्र 14.8 दो समय के बिंदुओं के लिए तरंग के आकार को दिखाता है, जो एक छोटे समय अंतराल $\Delta t$ के अंतर पर होते हैं। पूरी तरंग पैटर्न देखा जाता है जो दाईं ओर (x-अक्ष के धनात्मक दिशा में) दूरी $\Delta x$ तक बदल जाती है। विशेष रूप से, एक बिंदु $(\bullet)$ द्वारा दिखाए गए शिखर दूरी $\Delta x$ में समय $\Delta t$ में गति करता है। तरंग की गति तब $\Delta x / \Delta t$ होती है। हम बिंदु $(\bullet)$ को किसी अन्य चर के मान वाले बिंदु पर रख सकते हैं। यह एक ही गति $v$ से गति करेगा (अन्यथा तरंग पैटर्न निश्चित रहेगा)। तरंग पर एक निश्चित चर के बिंदु की गति द्वारा दी जाती है

चित्र 14.8 समय t से t + ∆t तक एक हार्मोनिक तरंग के प्रगति को दर्शाता है। जहाँ ∆t एक छोटा अंतराल है। सम्पूर्ण तरंग पैटर्न दाहिने ओर विस्थापित होता है। तरंग के शिखर (या किसी निश्चित चरण के बिंदु) दाहिने ओर ∆x दूरी तक चलकर ∆t समय में विस्थापित होते हैं।

$$ \begin{equation*} k x-\omega t=\text { constant } \tag{14.10} \end{equation*} $$

इसलिए, समय $t$ के बदलने के साथ-साथ, निश्चित चरण के बिंदु की स्थिति $x$ इस प्रकार बदलनी चाहिए कि चरण स्थिर रहे। इसलिए,

$$ k x-\omega t=k(x+\Delta x)-\omega(t+\Delta t) $$

या $\quad k \Delta x-\omega \Delta t=0$

$\Delta x, \Delta t$ अत्यंत छोटे होने पर, यह देता है

$$ \begin{equation*} \frac{d x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k}=v \tag{14.11} \end{equation*} $$

$\omega$ को $T$ और $k$ को $\lambda$ से संबंधित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda}=\lambda \nu=\frac{\lambda}{T} \tag{14.12} \end{equation*} $$

समीकरण (14.12), सभी प्रगति तरंगों के लिए एक सामान्य संबंध है, जो यह दर्शाता है कि माध्यम के किसी भी घटक के एक पूर्ण दोलन के लिए आवश्यक समय में तरंग पैटर्न तरंग की तरंगदैर्घ्य के बराबर दूरी तक चलता है। ध्यान देने योग्य है कि एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम के अविन्मनीय (स्ट्रिंग के लिए रेखीय द्रव्यमान घनत्व, सामान्य लिए द्रव्यमान घनत्व) और अतिरिक्त गुणों (रैखिक माध्यम के लिए यांग के मापांक/ विक्षेपण मापांक, आयतन मापांक) द्वारा निर्धारित होती है। माध्यम निर्धारित करता है

गति; समीकरण (14.12) दी गई गति के लिए तरंग दैर्ध्य आवृत्ति से संबंध बताता है। निश्चित रूप से, जैसा कि पहले बताया गया है, माध्यम एक ही माध्यम में दोनों अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगों को समर्थन दे सकता है, जो उसी माध्यम में अलग-अलग गति करेंगी। इस कृति के बाद, हम कुछ माध्यमों में यांत्रिक तरंगों की गति के विशिष्ट व्यंजक प्राप्त करेंगे।

14.4.1 तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति

एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम में विक्षेपित होने पर बहाव बल के द्वारा निर्धारित की जाती है और माध्यम के अनुशंसा गुणों (द्रव्यमान घनत्व) द्वारा। गति की अपेक्षा बहाव बल के साथ व्युत्क्रम रूप से संबंधित होती है। तार पर तरंगों के लिए, बहाव बल तार में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है। इस मामले में अनुशंसा गुण रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ होगा, जो तार के द्रव्यमान $m$ को उसकी लंबाई $L$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। न्यूटन के गति के नियमों का उपयोग करके तार पर तरंग गति के ठीक व्यंजक का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन इस निर्माण के लिए इस किताब के बाहर बाहर जाना पड़ता है। हम इसलिए विमान विश्लेषण का उपयोग करेंगे। हम पहले ही जानते हैं कि विमान विश्लेषण अकेले ठीक व्यंजक नहीं प्रदान कर सकता है। विमान विश्लेषण द्वारा समग्र विमानहीन स्थिरांक हमेशा अनिर्धारित रहता है।

The dimension of $\mu$ is $\left[M L^{-1}\right]$ and that of $T$ is like force, namely $\left[M L T^{2}\right]$. We need to combine these dimensions to get the dimension of speed $v\left[L T^{-1}\right]$. Simple inspection shows that the quantity $\mathrm{T} / \mu$ has the relevant dimension

$$ \frac{\left[M L T^{-2}\right]}{[M L]}=\left[L^{2} T^{-2}\right] $$

Thus if $T$ and $\mu$ are assumed to be the only relevant physical quantities,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.13} \end{equation*} $$

where $C$ is the undetermined constant of dimensional analysis. In the exact formula, it turms out, $\mathrm{C}=1$. The speed of transverse waves on a stretched string is given by

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.14} \end{equation*} $$

Note the important point that the speed $V$ depends only on the properties of the medium $T$ and $\mu$ ( $T$ is a property of the stretched string arising due to an external force). It does not depend on wavelength or frequency of the wave itself. In higher studies, you will come across waves whose speed is not independent of frequency of the wave. Of the two parameters $\lambda$ and $v$ the source of disturbance determines the frequency of the wave generated. Given the speed of the wave in the medium and the frequency Eq. (14.12) then fixes the wavelength

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{v}{v} \tag{14.15} \end{equation*} $$

उदाहरण 14.3 एक स्टील के तार की लंबाई $0.72 \mathrm{~m}$ है और इसका द्रव्यमान $5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है। यदि तार पर $60 \mathrm{~N}$ का तनाव है, तो तार पर अनुप्रस्थ तरंगों की चाल क्या होगी?

उत्तर तार के इकाई लंबाई पर द्रव्यमान,

$$ \begin{aligned} \mu & =\frac{5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{0.72 \mathrm{~m}} \\ & =6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \end{aligned} $$

तनाव, $T=60 \mathrm{~N}$

तार पर तरंग की चाल द्वारा दी गई है

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{60 \mathrm{~N}}{6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1}}}=93 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

14.4.2 अनुप्रस्थ तरंग की चाल (ध्वनि की चाल)

एक अनुप्रस्थ तरंग में, माध्यम के घटक तरंग के प्रसार की दिशा में आगे और पीछे दोलन करते हैं। हम पहले ही देख चुके हैं कि ध्वनि तरंग वायु के छोटे आयतन के तत्वों के संपीड़न और विरलन के रूप में चलती है। संपीड़न तनाव के तहत तनाव को निर्धारित करने वाली श्रौलिक गुणधर्म माध्यम के आयतन प्रतिबल है जो अध्याय 8 में परिभाषित है (देखें)

$$ \begin{equation*} B=-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \tag{14.16} \end{equation*} $$

यहाँ, दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ आयतनी विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ उत्पन्न करता है। $B$ के आयाम दबाव के समान होते हैं और SI इकाइयों में पास्कल $(\mathrm{Pa})$ में दिया जाता है। तरंग के प्रसार के लिए संबंधित अविच्छिन्न गुण द्रव्यमान घनत्व $\rho$ होता है, जिसके आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ होते हैं। सरल देखने से पता चलता है कि मात्रा $B / \rho$ के आयाम:

$$ \begin{equation*} \frac{\left[M L^{-2} T^{-2}\right]}{\left[M L^{-3}\right]}=\left[L^{2} T^{-3}\right] \tag{14.17} \end{equation*} $$

इसलिए, यदि $B$ और $\rho$ को एकमात्र संबंधित भौतिक मात्राओं के रूप में लिया जाता है,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.18} \end{equation*} $$

जहाँ, जैसा कि पहले था, $C$ आयाम विश्लेषण से प्राप्त अनिर्धारित नियतांक होता है। सटीक व्युत्पन्न दिखाता है कि $C=1$। इसलिए, माध्यम में अनुप्रस्थ तरंगों के लिए सामान्य सूत्र है:

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.19} \end{equation*} $$

\end{equation*} $$

एक रैखिक माध्यम, जैसे कि एक ठोस बार, में लंबवत विस्तार नegligible होता है और हम इसे केवल अक्षीय तनाव के अंतर्गत ले सकते हैं। ऐसे मामले में संबंधित तन्यता मापांक यंग के मापांक होता है, जिसका आयाम आयतनिक मापांक के समान होता है। इस मामले के आयाम विश्लेषण पहले के जैसा होता है और एक समीकरण जैसे समीकरण (14.18) के साथ एक अनिर्धारित $C$ देता है, जिसे ठीक व्युत्पन्न दिखाता है कि इसका मान एक होता है। इसलिए, एक ठोस बार में अक्षीय तरंगों की गति द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} \tag{14.20} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{Y}$ बार के पदार्थ के यंग के मापांक है। सारणी 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति देती है।

सारणी 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति

| तरल पदार्थ | | | पानी $\left(0^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1402 | | पानी $\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1482 | | समुद्री जल | 1522 | | ठोस पदार्थ | | | एल्यूमिनियम | 6420 | | तांबा | 3560 | | इस्पात | 5941 | | ग्रैनाइट | 6000 | | वुल्कैनाइज़ड | | | रबर | 54 |

तरल पदार्थ और ठोस पदार्थ आमतौर पर गैसों की तुलना में ध्वनि की गति के अधिक मूल्य रखते हैं। [ठोस के लिए ध्वनि की गति के संदर्भ में ध्वनि के अनुप्रस्थ तरंगों की गति के बारे में बताया गया है]। यह इसलिए होता है कि वे गैसों की तुलना में बहुत कठिन होते हैं दबाने के लिए और इसलिए उनके बुल्क मॉड्यूलस के मूल्य बहुत अधिक होते हैं। अब, समीकरण (14.19) को देखें। ठोस और तरल पदार्थ गैसों की तुलना में अधिक द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ रखते हैं। लेकिन ठोस और तरल पदार्थ के बुल्क मॉड्यूलस $(B)$ में वृद्धि बहुत अधिक होती है। इस कारण ध्वनि तरंगें ठोस और तरल पदार्थ में तेजी से चलती हैं।

हम आदर्श गैस के अनुमान के आधार पर एक गैस में ध्वनि की गति का अनुमान लगा सकते हैं। एक आदर्श गैस में, दबाव $P$, आयतन $V$ और तापमान $T$ द्वारा संबंधित होते हैं (अध्याय 10 देखें)।

$$

\begin{equation*} \mathrm{P} V=N k_{B} T \tag{14.21} \end{equation*} $$

जहाँ $N$ आयतन $V$ में अणुओं की संख्या है, $k_{B}$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ गैस का तापमान (केल्विन में) है। अतः, एक समतापी परिवर्तन के लिए समीकरण (14.21) से यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ \begin{array}{r} V \Delta P+P \Delta V=0 \\ \text { या }-\frac{\Delta P}{\Delta V / V}=P \end{array} $$

इसलिए, समीकरण (14.16) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$$ B=P $$

अतः, समीकरण (14.19) से एक आदर्श गैस में एक अनुप्रस्थ तरंग की चाल निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{P}{\rho}} \tag{14.22} \end{equation*} $$

इस संबंध को पहले न्यूटन द्वारा दिया गया था और इसे न्यूटन के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण 14.4 मानक ताप और दबाव पर हवा में ध्वनि की चाल का अनुमान लगाएं। 1 मोल हवा के द्रव्यमान $29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर हम जानते हैं कि किसी भी गैस के 1 मोल का आयतन मानक ताप और दबाव (STP) पर 22.4 लीटर होता है। अतः, STP पर हवा का घनत्व निम्नलिखित होता है:

$\rho_{o}=$ (एक मोल हवा के द्रव्यमान) / (एक मोल हवा का आयतन STP पर)

$$ \begin{aligned} & =\frac{29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{22.4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}} \\ & =1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \end{aligned} $$

न्यूटन के ध्वनि के वेग के लिए सूत्र के अनुसार, हम वायु में ध्वनि के वेग के लिए प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} v=\left[\frac{1.01 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}}{1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}}\right]^{1 / 2}=280 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \tag{14.23} \end{equation*} $$

समीकरण (14.23) में दिखाए गए परिणाम को तालिका 14.1 में दिए गए $331 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के प्रयोगात्मक मान से लगभग 15% कम माना जाता है। हम गलती कहां कर गए? यदि हम न्यूटन द्वारा ध्वनि के प्रसार के दौरान माध्यम में दबाव परिवर्तन के लिए अनुमान लगाए गए आधारभूत मान की जांच करें, तो हम देखते हैं कि यह सही नहीं है। लैप्लेस द्वारा इस बात की ओर इशारा किया गया था कि ध्वनि तरंगों के प्रसार के दौरान दबाव परिवर्तन इतनी तेज होते हैं कि ताप विनिमय के लिए निरंतर तापमान के बरकरार रखने के लिए कम समय रहता है। इन परिवर्तनों के कारण, अत: अनुपाती प्रक्रियाएं होती हैं और नहीं तापमान निरंतर। अत: अनुपाती प्रक्रियाओं के लिए आदर्श गैस अनुमान लगाए गए अनुसार संतुलन को संतुष्ट करता है (अनुच्छेद 11.8 देखें),

$$ P V^{\gamma}=\text { constant } $$

अर्थात $\quad\quad \Delta\left(P V^{\prime}\right)=0$

$$ P \gamma V^{\gamma-1} \Delta V+V^{\gamma} \Delta P=0 $$

जहाँ $\gamma$ दो विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात है, $\mathrm{C_{\mathrm{p}}} / \mathrm{C_{\mathrm{v}}}$।

इस प्रकार, आदर्श गैस के लिए अनुवर्ती आयतन बल गुणांक निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{aligned} B_{a d} & =-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \\ & =\gamma P \end{aligned} $$

इसलिए, समीकरण (14.19) से ध्वनि की गति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} \tag{14.24} \end{equation*} $$

न्यूटन के सूत्र के इस संशोधन को लैप्लेस संशोधन कहा जाता है। हवा के लिए $\gamma=7 / 5$ है। अब समीकरण (14.24) का उपयोग करके हवा के लिए एसटीपी पर ध्वनि की गति का अनुमान लगाने पर हमें मान 331.3 $\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ प्राप्त होता है, जो मापित गति के साथ सहमत है।

14.5 तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत

जब दो तरंग उद्गम विपरीत दिशाओं में गति करते हुए एक दूसरे को पार करते हैं (चित्र 14.9), तो क्या होता है? यह जांच करने पर पाया जाता है कि तरंग उद्गम एक दूसरे को पार करने के बाद अपनी पहचान को बरकरार रखते हैं। हालांकि, उनके अधिकांश समय के दौरान तरंग पैटर्न एक अलग तरंग उद्गम से भिन्न होता है। चित्र 14.9 में दो समान आकार और विपरीत आकृति के तरंग उद्गम एक दूसरे की ओर गति करते हुए दिखाये गए हैं। जब तरंग उद्गम एक दूसरे के ऊपर आते हैं, तो परिणामी विस्थापन प्रत्येक तरंग उद्गम के कारण विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक तरंग उद्गम अन्य तरंग उद्गमों की उपस्थिति के बिना गति करती है। माध्यम के घटक दोनों तरंग उद्गमों के कारण विस्थापन अनुभव करते हैं और क्योंकि विस्थापन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं, इसलिए शुद्ध विस्थापन दोनों के बीजगणितीय योग होता है। चित्र 14.9 में विभिन्न समय पर तरंग आकृति के ग्राफ दिखाए गए हैं। ध्यान दें ग्राफ (c) में दिखाए गए उल्लेखनीय प्रभाव; दोनों तरंग उद्गमों के कारण विस्थापन एक दूसरे को बरकरार रखते हैं और विस्थापन शून्य हो जाता है।

चित्र 14.9 दो तरंगें जिनके विस्थापन समान लेकिन विपरीत हैं और वे विपरीत दिशाओं में गति कर रही हैं। विपरीत तरंगों के अधिकांश भाग एक वक्र (c) में शून्य विस्थापन के योग के रूप में होते हैं।

सुपरपोजिशन के सिद्धांत को गणितीय रूप में व्यक्त करने के लिए, मान लीजिए $y_{1}(x, t)$ और $y_{2}(x, t)$ दो तरंग विक्षोभों के कारण माध्यम में विस्थापन है। यदि तरंगें एक क्षेत्र में एक साथ पहुँचती हैं और अतः आपस में घुल मिलती हैं, तो शुद्ध विस्थापन $y(x, t)$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) \tag{14.25} \end{equation*} $$

यदि हम दो या अधिक तरंगें माध्यम में गति कर रही हैं, तो परिणामी तरंग विक्षोभ व्यक्तिगत तरंगों के तरंग फलनों के योग के रूप में होता है। अर्थात, गतिशील तरंगों के तरंग फलन निम्नलिखित हैं:

$$ \begin{aligned} & y_{1}=f_{1}(x-v t), \\ & y_{2}=f_{2}(\text{x}-v t), \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ & \cdots \cdots \cdots . . \\ $$

$$ \begin{aligned} & y_{n}=f_{n}(x-v t) \end{aligned} $$

तो माध्यम में विक्षोभ का तरंग फलन निम्नलिखित होगा

$$ \begin{align*} y & =f_{1}(x-v t)+f_{2}(x-v t)+\ldots+f_{n}(x-v t) \\ & =\sum_{i=1}^{n} f_{i}(x-v t) \tag{14.26} \end{align*} $$

अधिरोधन के सिद्धांत को व्यतिकरण के घटना के लिए मूलभूत माना जाता है।

सरलता के लिए, एक तनी हुई रस्सा पर दो अप्रत्यक्ष गतिशील तरंगों के बारे में सोचें, जिनके दोनों के समान $\omega$ (कोणीय आवृत्ति) और $k$ (तरंग संख्या) है, और इसलिए, समान तरंग दैर्ध्य $\lambda$ है। उनकी तरंग गति समान होगी। हम यह भी मान सकते हैं कि उनके आम्प्लीटूड समान हैं और वे दोनों $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में गति कर रहे हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक कलन में अलग हैं। समीकरण (14.2) के अनुसार, दो तरंगों को निम्नलिखित फलनों द्वारा वर्णित किया जाता है:

$$ \begin{equation*} y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \tag{14.27} \end{equation*} $$

$$ \text{और} \quad \quad y_{2}(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.28}$$

अतः अधिरोधन के सिद्धांत के अनुसार, कुल विस्थापन निम्नलिखित होगा:

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t)+a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.29} $$

$$ \begin{equation*} \alpha\left[2 \sin \left[\frac{(k x-\omega t)+(k x-\omega t+\phi)}{2}\right] \cos \frac{\phi}{2}\right] \tag{14.30} \end{equation*} $$

जहाँ हम निम्नलिखित परिचित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\sin A+\sin B$. फिर हमें प्राप्त होता है:

$$y(x, t)=2 a \cos \frac{\phi}{2} \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) \tag{14.31}$$

चित्र 14. सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार बराबर आयाम और तरंगदैर्ध्य वाले दो हार्मोनिक तरंगों के परिणामी तरंग। परिणामी तरंग का आयाम अपवाह अंतर $\phi$ पर निर्भर करता है, जो (a) में शून्य और (b) में $\pi$ होता है।

समीकरण (14.31) एक भी धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हार्मोनिक तरंग भी है, जिसकी आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य एक ही है। हालांकि, इसका प्रारंभिक कोण $\frac{\phi}{2}$ है। महत्वपूर्ण बात यह है कि इसका आयाम दो घटक तरंगों के अपवाह अंतर $\phi$ पर निर्भर करता है:

$$ \begin{equation*} A(\phi)=2 a \cos 1 / 2 \phi \tag{14.32} \end{equation*} $$

$\phi=0$ के लिए, जब तरंगें समान चरण में होती हैं,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin (k x-\omega t) \tag{14.33} \end{equation*} $$

अर्थात, परिणामी तरंग का आयाम $2 \mathrm{a}$ होता है, जो $A$ के संभव सबसे बड़े मान है। $\phi=\pi$ के लिए, तरंगें पूरी तरह से असंगत होती हैं और परिणामी तरंग सभी समय और सभी स्थान पर शून्य विस्थापन रखती है

$$ \begin{equation*} y(x, t)=0 \tag{14.34} \end{equation*} $$

समीकरण (14.33) दो तरंगों के ऐसे संरचनात्मक अन्तर्वेब के संदर्भ में है जहां परिणामी तरंग में आयाम जोड़ देते हैं। समीकरण (14.34) ऐसे विनाशकारी अन्तर्वेब के संदर्भ में है जहां परिणामी तरंग में आयाम घट जाते हैं। चित्र 14.10 अन्तर्वेब के इन दोनों मामलों को अधिग्रहण के सिद्धांत के आधार पर दिखाता है।

14.6 तरंगों के प्रतिबिंब

अब तक हम एक असीमित माध्यम में चल रही तरंगों के बारे में विचार कर चुके हैं। यदि एक पल्स या तरंग एक सीमा के सामने आता है तो क्या होता है? यदि सीमा कठिन होती है, तो पल्स या तरंग प्रतिबिंबित हो जाता है। तरंग या पल्स द्वारा सीमा के सामने आने पर इसके प्रतिबिंब के बारे में विचार करते हैं।

फेनोमेनोन ऑफ एको एक उदाहरण है एक ठोस सीमा द्वारा परावर्तन के। यदि सीमा पूर्ण रूप से ठोस नहीं है या दो अलग-अलग इलास्टिक माध्यमों के बीच एक सीमा है, तो स्थिति कुछ जटिल हो जाती है। एक भाग आपतित तरंग के रूप में परावर्तित हो जाता है और एक भाग दूसरे माध्यम में प्रसारित हो जाता है। यदि एक तरंग दो अलग-अलग माध्यमों के बीच सीमा पर झुके रूप में आपतित होती है, तो प्रसारित तरंग को अपवर्तित तरंग कहा जाता है। आपतित और अपवर्तित तरंगें अपवर्तन के न्यूटन के नियम का पालन करती हैं, और आपतित और परावर्तित तरंगें परावर्तन के सामान्य नियमों का पालन करती हैं।

चित्र 14.11 एक तरंग जो एक तनी हुई रस्सी के अलोक में चल रही है और एक सीमा द्वारा परावर्तित हो रही है दिखाता है। मान लीजिए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का कोई अवशोषण नहीं होता है, तो परावर्तित तरंग आपतित तरंग के एक ही आकार की होती है लेकिन इसके परावर्तन पर एक चरण परिवर्तन $\pi$ या $18 डिग्री$ होता है। इसका कारण यह है कि सीमा ठोस है और अवांछित विक्षोभ के सभी समय बिंदुओं पर शून्य विस्थापन होना आवश्यक है। अधिरोधन के सिद्धांत के अनुसार, इसके लिए परावर्तित और आपतित तरंगों में $\pi$ के चरण के अंतर होना आवश्यक है ताकि परिणामी विस्थापन शून्य हो। इस तर्क के आधार एक ठोस दीवार पर सीमा स्थिति है। हम एक गतिशील तर्क के माध्यम से भी इसी निष्कर्ष तक पहुंच सकते हैं। जैसे तरंग दीवार पर पहुंचती है, तो यह दीवार पर एक बल लगाती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, दीवार रस्सी पर बराबर और विपरीत बल लगाती है जो एक परावर्तित तरंग के रूप में उत्पन्न होता है जो $\pi$ के चरण के अंतर के साथ अलग होता है।

चित्र 14.11 एक तरंग के एक कठिन सीमा के साथ मिलने पर परावर्तित तरंग।

अगर दूसरी ओर, सीमा बिंदु कठिन नहीं है लेकिन पूरी तरह से गति करने में मुक्त है (जैसे कि एक स्ट्रिंग के एक छोर पर एक छोर बर्बाद वलय लगा हुआ एक छड़ पर बांधा गया हो), तो परावर्तित तरंग के एक ही चरण और आयाम होते हैं (ऊर्जा के कोई नुकसान न होने की अवधारणा के अंतर्गत) आपतित तरंग के जैसे। तब सीमा पर अधिकतम विस्थापन दो गुना हो जाता है जो प्रत्येक तरंग के आयाम के बराबर होता है। एक अकठिन सीमा का उदाहरण एक ऑर्गन पाइप के खुले सिरे है।

सारांश करें, एक चलती तरंग या तरंग एक कठिन सीमा पर परावर्तन के दौरान $\pi$ के चरण परिवर्तन का अनुभव करती है और एक खुले सीमा पर परावर्तन के दौरान कोई चरण परिवर्तन नहीं होता। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है, आपतित चलती तरंग को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$$ y_2(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

एक कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग को निम्नलिखित रूप में दिया जाता है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+\pi) . \ & =-a \sin (k x-\omega t)\tag{14.35} \end{aligned} $$

एक खुले सीमा पर, परावर्तित तरंग के द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+0) . \ & =a \sin (k x-\omega t)\tag{14.36} \end{aligned} $$

स्पष्ट रूप से, कठिन सीमा पर, $y=y_2+y_r=0$

14.6.1 खड़ी तरंगें और नॉर्मल मोड

हमने ऊपर एक सीमा पर परावर्तन के बारे में विचार किया। लेकिन अक्सर विद्यमान स्थितियाँ (एक छड़ी दोनों सिरों पर बाँध दी गई हो या एक पाइप में हवा के स्तंभ के एक सिरा बंद हो) हैं जहाँ परावर्तन दो या अधिक सीमाओं पर होता है। एक छड़ी में, उदाहरण के लिए, एक दिशा में चल रही तरंग एक सिरे पर परावर्तित हो जाती है, जो फिर दूसरे सिरे से टकराकर परावर्तित हो जाती है। इसके बाद छड़ी पर एक स्थायी तरंग पैटर्न बन जाता है। ऐसे तरंग पैटर्न को खड़ी तरंग या स्थिर तरंग कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चल रही एक तरंग और उसी आयाम और तरंगदैर्ध्य के एक परावर्तित तरंग के ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलते हुए विचार करें। समीकरण (14.2) और (14.4) से, $\phi=0$ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \\ & y_{2}(x, t)=a \sin (k x+\omega t) \end{aligned} $$

स्ट्रिंग पर उत्पन्न तरंग के परिणामस्वरूप, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार:

$$ y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) $$

$$ =a[\sin (k x-\omega t)+\sin (k x+\omega t)] $$

परिचित त्रिकोणमितीय पहचान

$\operatorname{Sin}(A+B)+\operatorname{Sin}(A-B)=2 \sin A \cos B$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin k x \cos \omega t \tag{14.37} \end{equation*} $$

समीकरण (14.37) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न में एक महत्वपूर्ण अंतर ध्यान दें जो समीकरण (14.2) या समीकरण (14.4) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न से है। शब्द $\mathrm{kx}$ और $\omega t$ अलग-अलग उपस्थित होते हैं, न कि $k x-\omega t$ के संयोजन में। इस तरंग का आयाम $2 a \sin k x$ है। इस तरंग पैटर्न में, आयाम बिंदु से बिंदु तक बदलता है, लेकिन स्ट्रिंग के प्रत्येक तत्व एक ही कोणीय आवृत्ति $\omega$ या समय अवधि के साथ दोलन करते हैं। तरंग के विभिन्न तत्वों के दोलन के बीच कोई चरण अंतर नहीं होता। तरंग के रूप में स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं पर अलग-अलग आयामों के साथ एक साथ दोलन करती है। तरंग पैटर्न बाएं या दाएं नहीं चल रही है। इसलिए, वे स्थिर या स्थायी तरंग कहलाते हैं। एक निश्चित स्थान पर आयाम निश्चित होता है, लेकिन, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, अलग-अलग स्थानों पर आयाम अलग होता है। जहां आयाम शून्य होता है (अर्थात जहां कोई भी गति नहीं होती है) वहां नोड्स होते हैं; जहां आयाम सबसे अधिक होता है वहां एंटीनोड्स कहलाते हैं। चित्र 14.12 में दो विपरीत दिशाओं में चलने वाली तरंगों के सुपरपोजिशन से उत्पन्न स्थायी तरंग पैटर्न दिखाया गया है।

स्थायी तरंगों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि सीमा स्थितियाँ प्रणोदन के संभावित तरंगदैर्घ्य या आवृत्तियों को सीमित करती हैं। प्रणोदन के लिए प्रणोदन की कोई भी असंगत आवृत्ति (एक अपसारी तरंग के साथ तुलना करें) नहीं हो सकती है, बल्कि एक प्रणोदन के समूह या सामान्य आवृत्तियों के द्वारा विशिष्ट होता है। चलो एक खींचे गए स्ट्रिंग के लिए इन सामान्य आवृत्तियों का निर्धारण करें जो दोनों सिरों पर निश्चित हैं।

पहले, समीकरण (14.37) से, नोड्स के स्थान (जहाँ आयाम शून्य होता है) द्वारा दिया गया है

$$ \sin kx = 0 $$

जो इसके तात्पर्य करता है $$ k x = n \pi ; \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots $$

क्योंकि $k = 2\pi/\lambda$, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} x = \frac{n \lambda}{2} ; n = 0, 1, 2, 3, \ldots \tag{14.38} \end{equation*} $$

चित्र 14.12 दो अपसारी तरंगों के अध्यावेशन से उत्पन्न स्थायी तरंगें। ध्यान दें कि शून्य विस्थापन (नोड्स) के स्थान समय के साथ निश्चित रहते हैं।

स्पष्ट रूप से, किसी भी दो क्रमागत नोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। इसी तरह, अन्तर्नोड (जहाँ आयाम सबसे अधिक होता है) के स्थान द्वारा दिए गए हैं, जहाँ $\sin kx$ का मान सबसे अधिक होता है:

$|\sin kx| = 1$

जिसका अर्थ है

$ kx = (n + 1/2) \pi ; n = 0, 1, 2, 3, \ldots $

जहाँ $k = 2\pi/\lambda$, हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} x = (n + 1/2) \frac{\lambda}{2} ; n = 0, 1, 2, 3, \ldots \tag{14.39} \end{equation*} $$

फिर भी, किसी भी दो क्रमागत अन्तर्नोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। समीकरण (14.38) को एक तनी हुई रस्सी के मामले में लागू किया जा सकता है, जिसकी लंबाई $L$ है और दोनों सिरों पर निश्चित है। एक सिरे को $X = 0$ मान लें, तो सीमा स्थितियाँ यह होती हैं कि $x = 0$ और $x = L$ नोड के स्थान होते हैं। $x = 0$ की स्थिति पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। $x = L$ की नोड स्थिति की शर्त के अनुसार, लंबाई $L$ तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के साथ निम्नलिखित संबंध में होती है:

$$ \begin{equation*} L = n \frac{\lambda}{2} ; \quad n = 1, 2, 3, \ldots \tag{14.40} \end{equation*} $$

इस प्रकार, स्थैतिक तरंगों की संभावित तरंगदैर्ध्य निम्नलिखित संबंध द्वारा सीमित होती है:

$$ \lambda=\frac{2 L}{n} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.41} $$

संगत आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{n v}{2 \mathrm{~L}}, \text { for } n=1,2,3 \tag{14.42} \end{equation*} $$

हम इस प्रकार एक निश्चित आवृत्तियों को प्राप्त कर चुके हैं - व्यवस्थित विस्थापन के अनुपातिक आवृत्तियाँ। एक निस्तेज व्यवस्था की सबसे कम आवृत्ति को इसका मूल आवृत्ति या प्रथम हार्मोनिक कहा जाता है। एक तार जो दोनों सिरों पर बाँधे गए हों, तो इसकी मूल आवृत्ति $v=\frac{v}{2 L}$ होती है, जो समीकरण (14.42) में $n=1$ के संगत है। यहाँ $\mathrm{v}$ माध्यम के गुणों द्वारा निर्धारित तरंग वेग है। $n=2$ के लिए आवृत्ति को द्वितीय हार्मोनिक कहा जाता है; $n=3$ के लिए तृतीय हार्मोनिक और इसी तरह आगे। हम विभिन्न हार्मोनिक को $v_{n}(n=1,2, \ldots)$ के चिह्न द्वारा चिह्नित कर सकते हैं।

चित्र 14.13 में एक तार के पहले छह हार्मोनिक दिखाए गए हैं। एक तार के विस्थापन के लिए इन मोड में से केवल एक के विस्थापन की आवश्यकता नहीं होती। सामान्यतः, एक तार के विस्थापन कई मोड के अधिक योग होता है; कुछ मोड अधिक तीव्रता से उत्तेजित हो सकते हैं और कुछ कम। सितार या विलन जैसे संगीत वाद्य यंत्र इस सिद्धांत पर आधारित होते हैं। जहाँ तार को खींचा या बाँधा जाता है, वहाँ अन्य मोड के अपेक्षाकृत अधिक तीव्रता से उत्पन्न होते हैं।

चित्र 14.13 एक खिंचे तार के दोनों सिरों पर निश्चित किए गए विस्थापनों के पहले छह अधिस्वर या हार्मोनिक।

अब हम एक छोर बंद और दूसरा खुला होने वाले हवा के स्तंभ के सामान्य आवर्त गति के अध्ययन करेंगे। एक कांच के ट्यूब के आंशिक रूप से पानी से भरे होने वाले निस्यंति इस प्रणाली को दर्शाता है। पानी के संपर्क में छोर एक नोड होता है, जबकि खुला छोर एक एंटीनोड होता है। नोड पर दबाव के परिवर्तन सबसे अधिक होते हैं, जबकि विस्थापन न्यूनतम (शून्य) होता है। खुले छोर पर - एंटीनोड, यहां दबाव के परिवर्तन सबसे कम होते हैं और विस्थापन के अधिकतम आयाम होते हैं। यदि पानी के संपर्क में छोर को $x=0$ मान लिया जाए, तो नोड की शर्त (समीकरण 14.38) पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। यदि दूसरा छोर $x=L$ एंटीनोड हो, तो समीकरण (14.39) द्वारा

$L=\quad \left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{2}$, जहां $n=0,1,2,3, \ldots$

संभावित तरंगदैर्ध्य तदनुसार सीमित हो जाते हैं : $$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 L}{(n+1 / 2)}, \text { for } n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.43} \end{equation*} $$

सामान्य रूप (संस्थानिक आवृत्तियाँ) - प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{v}{2 L} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.44} \end{equation*} $$

मूल आवृत्ति $n=0$ के लिए होती है, और यह $\frac{v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है। उच्च आवृत्तियाँ विषम हार्मोनिक होती हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के विषम गुणक होती हैं : $3 \frac{v}{4 L}, 5 \frac{v}{4 L}$, आदि। चित्र 14.14 में एक सिरा बंद और दूसरा खुला हवा के स्तंभ के पहले छह विषम हार्मोनिक दिखाए गए हैं। एक दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ के लिए, प्रत्येक सिरा एक अनुनाद बिंदु होता है। इसलिए आसानी से देखा जा सकता है कि दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ सभी हार्मोनिक उत्पन्न करते हैं (चित्र 14.15 देखें)।

ऊपर के प्रणाली, तार और हवा के स्तंभ, बल द्वारा उत्प्रेरित आवर्त गति (अध्याय 13) भी अनुभव कर सकते हैं। यदि बाह्य आवृत्ति कोई एक प्राकृतिक आवृत्ति के निकट होती है, तो प्रणाली अनुनाद दिखाती है।

सर्कुलर मेम्ब्रेन के नॉर्मल मोड जो एक टाबला के समान तार पर बांधे गए होते हैं, वे इस बात पर निर्भर करते हैं कि मेम्ब्रेन के परिधि पर कोई बिंदु आवर्ती गति नहीं करता है। इस प्रणाली के नॉर्मल मोड की आवृत्तियों का अनुमान लगाना अधिक जटिल होता है। यह समस्या दो विमाओं में तरंग प्रसार के बारे में है। हालांकि, इसके पीछे भौतिकी एक जैसी होती है।

उदाहरण 14.5 एक पाइप, $30.0 \mathrm{~cm}$ लंबा है, दोनों सिरों खुले हैं। एक $1.1 \mathrm{kHz}$ उत्सर्जक के साथ कौन सा हार्मोनिक मोड पाइप में अनुनाद करता है? यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए तो एक ही उत्सर्जक के साथ अनुनाद के अवलोकन को देखा जाएगा या नहीं? हवा में ध्वनि की गति की गति को $330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ मान लीजिए।

उत्तर पहले हार्मोनिक आवृत्ति निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$$ v_1=\frac{v}{\lambda_1}=\frac{v}{2 L} \quad \text { (खुला पाइप) } $$

जहाँ $L$ पाइप की लंबाई है। इसके $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति निम्नलिखित है:

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n v}{2 L}, \text { for } n=1,2,3, \ldots \text { (खुला पाइप) } $$

एक खुले पाइप के पहले कुछ मोड के चित्र में चित्र 14.15 में दिखाए गए हैं।

$L=30.0 \mathrm{~cm}, v=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए,

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n \hspace{1mm}330\left(\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{0.6(\mathrm{~m})}=550 \mathrm{n} \mathrm{~s}^{-1} $$

स्पष्ट रूप से, एक आवृत्ति के स्रोत 1.1 किलोहर्ट्ज के लिए $v_2$ पर अनुनाद करेगा, अर्थात द्वितीय अपवर्ती।

अब यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए (चित्र 14.15), तो समीकरण (14.15) से स्पष्ट होता है कि मूल आवृत्ति है

$$ v_{1}=\frac{v}{\lambda_{1}}=\frac{v}{4 L} \text { (एक सिरा बंद पाइप) } $$

चित्र 14.14 एक सिरा खुला और दूसरा सिरा बंद एक हवा के स्तंभ के सामान्य अपवर्ती। केवल विषम अपवर्ती संभव हैं

और केवल विषम संख्या वाले अपवर्ती उपस्थित होते हैं :

$$ v_{3}=\frac{3 v}{4 L}, v_{5}=\frac{5 v}{\text{4 L}} \text {, and so on. } $$

$L=30 \mathrm{~cm}$ और $V=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए, एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $275 \mathrm{~Hz}$ होती है और स्रोत आवृत्ति इसके चौथे हार्मोनिक के संगत होती है। चूंकि यह हार्मोनिक संभव मोड नहीं है, तो स्रोत के साथ आवर्त तरंग के लिए कोई अनुनाद नहीं देखा जाएगा, जैसे ही एक सिरा बंद कर दिया जाएगा।

14.7 बीट्स (BEATS)

‘बीट्स’ एक दिलचस्प घटना है जो तरंगों के अपवाह के कारण होती है। जब दो अलग-अलग आवृत्ति वाले अनुनादी ध्वनि तरंग एक ही समय में सुनाई देते हैं, तो हम एक आवृत्ति वाली ध्वनि सुनते हैं (दो निकट आवृत्तियों के औसत), लेकिन हम कुछ अन्य चीज भी सुनते हैं। हम ध्वनि की तीव्रता के बढ़ते और घटते भाग को सुनते हैं, जिसकी आवृत्ति दो निकट आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है। कलाकार अपने उपकरणों के साथ एक दूसरे के साथ संतुलन करते समय इस घटना का उपयोग अक्सर करते हैं। वे तब तक संतुलन करते रहते हैं जब तक उनके संवेदनशील कान बीट्स का पता नहीं लगाते।

चित्र 14.15 एक खुले पाइप में खड़े तरंग, पहले चार हार्मोनिक दिखाए गए हैं

इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, हम दो अलग-अलग आवृत्ति के हार्मोनिक ध्वनि तरंगों के बारे में विचार करेंगे, जिनके लगभग समान कोणीय आवृत्ति $\omega_1$ और $\omega_2$ हैं और सुविधा के लिए स्थिति को $\mathrm{x}=0$ रख दें। उपयुक्त चरण ( $\phi=\pi / 2$ प्रत्येक के लिए) के चयन के साथ समीकरण (14.2) और, समान आयाम माने जाने पर, निम्नलिखित देता है:

$$ s_1=a \cos \omega_1 t \text { और } s_2=a \cos \omega_2 t $$

यहाँ हमने प्रतीक y को $s$ से बदल दिया है, क्योंकि हम अनुप्रस्थ नहीं बल्कि अनुदिश विस्थापन के बारे में बात कर रहे हैं। मान लीजिए $\omega_1$ दो आवृत्तियों में से एक छोटी देर से बड़ी आवृत्ति है। सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, परिणामी विस्थापन है:

$$ s=s_1+s_2=a\left(\cos \omega_1 t+\cos \omega_2 t\right) $$

$\cos A+\cos B$ के परिचित त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ =2 a \cos \frac{\left(\omega_1-\omega_2\right) t}{2} \cos \frac{\left(\omega_1+\omega_2\right) t}{2}\tag{14.46} $$

जो लिखा जा सकता है:

$$ s=\left[2 a \cos \omega_b t\right] \cos \omega_a t\tag{14.47}

$$

यदि $\left|\omega_1-\omega_2\right| \ll \omega_1, \omega_2, \omega_a \gg \omega_b$, तो जहाँ

$$ \omega_b=\frac{\left(\omega_1-\omega_2\right)}{2} \text { और } \omega_a=\frac{\left(\omega_1+\omega_2\right)}

अब यदि हम मान लें कि $\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right| < < \omega_{1}$, जिसका अर्थ है कि $\omega_{a} > \omega_{b}$, तो हम समीकरण (14.47) को निम्नलिखित तरह से समझ सकते हैं। परिणामी तरंग $\omega_{a}$ के औसत कोणीय आवृत्ति के साथ झूल रही है; हालांकि, इसके आयाम समय के साथ स्थिर नहीं है, जैसे कि शुद्ध हार्मोनिक तरंग के आयाम होते हैं। आयाम अधिकतम होता है जब $\cos \omega_{b} t$ का मान +1 या -1 होता है। अन्य शब्दों में, परिणामी तरंग की तीव्रता $2 \omega_{\mathrm{b}}=\omega_{1}-$ $\omega_{2}$ की आवृत्ति के साथ बढ़ती और घटती है। क्योंकि $\omega=2 \pi v$, तो बीट आवृत्ति $v_{\text {beat }}$, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v_{\text {beat }}=v_{1}-v_{2} \tag{14.48} \end{equation*} $$

चित्र 14.16 में दो हार्मोनिक तरंगों के बीट घटना को दर्शाया गया है, जिनकी आवृत्तियाँ 11 $\mathrm{Hz}$ और $9 \mathrm{~Hz}$ है। परिणामी तरंग के आयाम 2 $\mathrm{~Hz}$ की आवृत्ति के साथ बीट दिखाई देता है।

चित्र 14.16 दो हार्मोनिक तरंगों के सुपरपोजिशन, जिनमें से एक की आवृत्ति 11 Hz (a) है और दूसरी की आवृत्ति 9 Hz (b) है, जो चित्र (c) में दिखाए गए तरीके से 2 Hz के बीट उत्पन्न करती हैं।

संगीत के स्तंभ

मंदिर अक्सर कुछ स्तंभों के साथ होते हैं, जो मानव आकार के चित्र बनाते हैं जो संगीत वाद्य यंत्र बजाते हुए दिखाई देते हैं, लेकिन ये स्तंभ खुद संगीत उत्पन्न नहीं करते हैं। तमिल नाडु के नेल्लईअप्पर मंदिर में, एक चौथे स्तंभ के समूह पर धीमी छोटी आवाजों के साथ धक्का देने से भारतीय क्लासिकल संगीत के मूल नोट, अर्थात् सा, रे, गा, मा, पा, धा, नि, सा उत्पन्न होते हैं। इन स्तंभों के झंकार इस्तेमाल किए गए शैल की लचीलापन, घनत्व और आकार पर निर्भर करते हैं।

उदाहरण 14.6 दो सितार के तार A और B, नोट ‘धा’ के उत्पादन के लिए थोड़ा असंगत हैं और 5 हर्ट्ज की आवृत्ति के बीट उत्पन्न करते हैं। तार B के तनाव को थोड़ा बढ़ा दिया जाता है और बीट आवृत्ति 3 हर्ट्ज तक घट जाती है। यदि A की आवृत्ति 427 हर्ट्ज है, तो B की मूल आवृत्ति क्या है?

उत्तर स्ट्रिंग के तनाव में वृद्धि इसकी आवृत्ति में वृद्धि करती है। यदि मूल आवृत्ति $\mathrm{B}\left(v_B\right)$, $\mathrm{A}\left(v_A\right)$ की आवृत्ति से अधिक होती, तो $v_B$ में अतिरिक्त वृद्धि बीट आवृत्ति में वृद्धि करती। लेकिन बीट आवृत्ति कम हो जाती है। इससे स्पष्ट होता है कि $v_B<v_A$। चूंकि $v_A-v_B=5 \mathrm{~Hz}$, और $v_A=427 \mathrm{~Hz}$, हमें $v_B=422 \mathrm{~Hz}$ प्राप्त होता है।

सारांश

1. यांत्रिक तरंगें माध्यम में मौजूद हो सकती हैं और न्यूटन के नियमों द्वारा नियंत्रित होती हैं।

2. अनुप्रस्थ तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।

3. अनुदिश तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।

4. प्रगति तरंग वह तरंग होती है जो माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलती है।

5. एक वृत्तीय तरंग जो धनात्मक x दिशा में चल रही है, के विस्थापन को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)

$$

जहाँ $a$ तरंग का आयाम है, $k$ कोणीय तरंग संख्या है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, $(k x-\omega t+\phi)$ तरंग का कोण है, और $\phi$ कोणीय स्थिरांक या कोण है।

6. एक प्रगतिशील तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ किसी दिए गए समय पर दो क्रमागत बिंदुओं के बीच एक ही कोण के बीच दूरी होती है। एक स्थैतिक तरंग में, यह दो क्रमागत नोड या अनुनादी बिंदुओं के बीच दूरी के दोगुना होती है।

7. एक तरंग के आवर्तकाल $T$ को तरंग के माध्यम के किसी भी तत्व के एक पूर्ण आवर्त गति को पूरा करने में लगे समय के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित है

$$ T=\frac{2 \pi}{\omega} $$

8. एक तरंग की आवृत्ति $v$ को $1 / T$ के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसका कोणीय आवृत्ति से संबंध निम्नलिखित संबंध द्वारा होता है

$$ \nu=\frac{\omega}{2 \pi} $$

9. एक प्रगतिशील तरंग की गति $v=\frac{\omega}{\mathrm{k}}=\frac{\lambda}{\mathrm{T}}=\lambda v$ द्वारा दी जाती है

10. एक तनाव वाली स्ट्रिंग पर एक अनुप्रस्थ तरंग की गति स्ट्रिंग के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। तनाव $T$ और रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ वाली स्ट्रिंग पर गति के लिए,

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} $$

11. ध्वनि तरंगें लंबवत यांत्रिक तरंगें होती हैं जो ठोस, तरल या गैस में चल सकती हैं। एक तरल में ध्वनि तरंग की गति $v$ बुफ़ बुफ़ मॉड्यूलस $B$ और घनत्व $\rho$ के अनुसार होती है

$$ v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} $$

एक धातु के बार में लंबवत तरंग की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} $$

गैस के लिए, क्योंकि $B=\gamma P$, ध्वनि की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} $$

12. जब दो या अधिक तरंग एक ही माध्यम में एक साथ चल रही होती हैं, तो माध्यम के किसी भी तत्व के विस्थापन को प्रत्येक तरंग द्वारा उत्पन्न विस्थापन के बीजगणितीय योग के रूप में लिया जाता है। इसे तरंगों के अध्यावेशन के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है

$$ y=\sum_{i=1}^n f_i(x-v t) $$

13. एक ही रस्सी पर दो वैकल्पिक तरंगें अध्यावेशन के सिद्धांत के अनुसार एक दूसरे को जोड़ या खत्म करती हैं। यदि दोनों एक ही दिशा में चल रही हों और एक ही आयाम $a$ और आवृत्ति के हों लेकिन एक अधिक अवस्था अपेक्षा अवस्था अचर $\phi$ में अलग हों, तो परिणाम एक अकेली तरंग होती है जिसकी आवृत्ति $\omega$ होती है :

$$ y(x, t)=\left[2 a \cos \frac{1}{2} \phi\right] \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) $$

यदि $\phi=0$ या $2 \pi$ के किसी भी पूर्णांक के बराबर हो, तो तरंगें पूर्ण अनुपात में होती हैं और अनुपात निर्माणकारी होता है; यदि $\phi=\pi$, तो वे पूर्ण अनुपात में नहीं होती हैं और अनुपात नष्टकारी होता है।

14. एक गतिशील तरंग, एक कठिन सीमा या बंद सिरे पर, अपने चरण के विपरीत दिशा में परावर्तित होती है लेकिन खुले सिरे पर परावर्तन बिना कोई चरण परिवर्तन के होता है। एक आपतित तरंग के लिए

$$ y_i(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग होती है

$$ y_r(x, t)=-a \sin ( k x+\omega t) $$

खुले सिरे पर परावर्तन के लिए

$$ y_r(x, t)=a \sin (k x+\omega t) $$

15. दो समान तरंगों के विपरीत दिशा में चलने से खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं। एक तार के दोनों सिरों पर खड़ी तरंग निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ y(x, t)=[2 a \sin k x] \cos \omega t $$

खड़ी तरंगें शून्य विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में विशिष्ट होती हैं जिन्हें नोड कहते हैं और अधिकतम विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में विशिष्ट होती हैं जिन्हें एंटीनोड कहते हैं। दो क्रमागत नोड या एंटीनोड के बीच अंतर $\lambda / 2$ होता है।

एक लम्बाई $L$ की खिंची गई स्ट्रिंग दोनों सिरों पर बाँधे रहने पर आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=\frac{n v}{2 L}, \quad n=1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दी गई आवृत्तियों के समूह को व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ कहते हैं। सबसे कम आवृत्ति वाले दोलन मोड को मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहते हैं। द्वितीय हार्मोनिक वह दोलन मोड है जिसमें $n=2$ होता है और इसी तरह आगे चलकर। एक लम्बाई $L$ के नली जिसका एक सिरा बंद हो और दूसरा सिरा खुला हो (जैसे हवा के स्तंभ) आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=(\mathrm{n}+1 / 2) \frac{v}{2 \mathrm{~L}}, \quad n=0,1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दर्शाई गई आवृत्तियों के समूह ऐसे व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ हैं। न्यूनतम आवृत्ति $v / 4 L$ द्वारा दी गई है जो मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहलाती है।

16. एक लम्बाई $L$ की स्ट्रिंग जो दोनों सिरों पर बाँधी गई है या एक ओर बंद और दूसरी ओर खुला हुआ हवा के स्तंभ या दोनों ओर खुला हुआ हवा के स्तं दोलन करते हैं जिन्हें उनके नॉर्मल मोड कहते हैं। इनमें से प्रत्येक आवृत्ति व्यवस्था की एक संहत आवृत्ति है।

17. टीम्स उत्पन्न होते हैं जब दो तरंगें, जिनकी आवृत्तियाँ $v_1$ और $v_2$ होती हैं, जो एक दूसरे से थोड़ी अलग होती हैं और उनके आम्प्लीट्यूड लगभग समान होते हैं, एक दूसरे पर अधिकृत होती हैं। टीम आवृत्ति है

$$ v_{\text {beat }}=v_1 \sim v_2 $$

ध्यान दें

1. एक तरंग माध्यम में पूरे तत्व के गति के रूप में नहीं होती। हवा के बर्बादी तरंग वायु में ध्वनि तरंग से अलग होती है। पहला एक स्थान से दूसरे स्थान तक हवा के गति को शामिल करता है। दूसरा हवा के तलों के संपीड़न और विरलन को शामिल करता है।

2. एक तरंग में, ऊर्जा एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरित होती है, न कि पदार्थ।

3. एक यांत्रिक तरंग में, ऊर्जा स्थानांतरण तंत्र के आसपास विस्थापित भागों के बीच तार बलों के माध्यम से होता है।

4. अनुप्रस्थ तरंगें केवल उन माध्यमों में प्रसारित हो सकती हैं जिनमें कटाव प्रत्यास्थता गुणांक हो। अक्षीय तरंगों के लिए आयतनिक प्रत्यास्थता गुणांक आवश्यक होता है और इसलिए ये सभी माध्यमों में, ठोस, तरल और गैस में संभव होती हैं।

5. एक दिए गए आवृत्ति की समतापी तरंग में, सभी कणों के आयाम समान होते हैं लेकिन एक दिए गए समय क्षण पर उनके अलग-अलग चरण होते हैं। एक स्थैतिक तरंग में, दो नोड के बीच सभी कणों के अलग-अलग आयाम होते हैं लेकिन एक दिए गए समय क्षण पर उनके चरण समान होते हैं।

6. एक माध्यम में विराम में रहे प्रेक्षक के संबंध में, एक यांत्रिक तरंग की गति ( $V$ ) उस माध्यम के तार बल और अन्य गुणों (जैसे द्रव्यमान घनत्व) पर निर्भर करती है। यह उत्सर्जक की गति पर निर्भर नहीं करती।

—

14.1 परिचय

पिछले अध्याय में हम वस्तुओं के अलग-अलग गति के अध्ययन कर चुके हैं। एक ऐसे प्रणाली में क्या होता है, जो ऐसी वस्तुओं के संग्रह के रूप में होता है? एक भौतिक माध्यम इसका एक उदाहरण है। यहां, तार बल घटकों को एक दूसरे से बांधे रखते हैं और इसलिए एक के गति का प्रभाव दूसरे के गति पर पड़ता है। यदि आप एक छोटे से पत्थर को एक शांत जल के तालाब में गिराएं, तो जल सतह अस्थिर हो जाती है। अस्थिरता एक स्थान पर सीमित नहीं रहती, बल्कि एक वृत्त के रूप में बाहर की ओर फैलती जाती है। यदि आप तालाब में लगातार पत्थर गिराते रहें, तो आप देख सकते हैं कि वृत्त तेजी से अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर चले जाते हैं। यह ऐसा अहसास देता है जैसे जल अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर बह रहा हो। यदि आप अस्थिरता के सतह पर कुछ कॉर्क के टुकड़े रख दें, तो आप देख सकते हैं कि कॉर्क के टुकड़े ऊपर नीचे गिरते हैं लेकिन अस्थिरता के केंद्र से दूर नहीं जाते हैं। यह दिखाता है कि जल के द्रव्य बाहर की ओर नहीं बहता है बल्कि एक गति करती हुई अस्थिरता का निर्माण होता है। इसी तरह, जब हम बोलते हैं, तो ध्वनि हम से बाहर की ओर चलती है, बिना किसी भी भाग में वायु के प्रवाह के। हवा में उत्पन्न अस्थिरताएं बहुत कम स्पष्ट होती हैं और केवल हमारे कान या एक माइक्रोफोन उन्हें खोज सकते हैं। ये पैटर्न, जो एक पूरे माध्यम के द्रव्य के वास्तविक आवागमन या प्रवाह के बिना चलते हैं, तरंगें कहलाते हैं। इस अध्याय में हम ऐसी तरंगों के अध्ययन करेंगे।

तरंगें ऊर्जा का परिवहन करती हैं और विक्षोभ के पैटर्न के ज्ञान के रूप में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलता है। हमारी सभी संचार प्रणालियां मूल रूप से तरंगों के माध्यम से संकेतों के प्रसार पर निर्भर करती हैं। बोलना हवा में ध्वनि तरंगों के उत्पादन का अर्थ है और सुनना उनके पता लगाने के बराबर है। अक्सर, संचार विभिन्न प्रकार की तरंगों के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें पहले एक विद्युत धारा संकेत में बदल जाती हैं जो फिर एक विद्युत चुंबकीय तरंग में बदल जाती हैं जो एक ऑप्टिकल केबल या एक उपग्रह के माध्यम से प्रसारित की जा सकती हैं। मूल संकेत के पता लगाने में आमतौर पर इन कदमों के विपरीत क्रम में शामिल होते हैं।

सभी तरंगों के लिए माध्यम की आवश्यकता नहीं होती। हम जानते हैं कि प्रकाश तरंगें वैक्यूम में यात्रा कर सकती हैं। तारों द्वारा उत्सर्जित प्रकाश, जो सौर मीटर के बराबर दूरी पर होते हैं, आकाशीय अंतरिक्ष के माध्यम से हम तक पहुंचता है, जो वास्तव में एक वैक्यूम होता है।

सबसे परिचित प्रकार की तरंज जैसे कि स्ट्रिंग पर तरंगें, पानी की तरंगें, ध्वनि तरंगें, सैलिसमिक तरंगें, आदि विशेष रूप से यांत्रिक तरंगें कहलाती हैं। ये तरंगें प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है, वे वैक्यूम में प्रसार नहीं कर सकती हैं। ये तरंगें माध्यम के संघटक कणों के दोलनों के साथ संबंधित होती हैं और माध्यम के अतिरिक्त गुणों पर निर्भर करती हैं। आप द्वारा कक्षा XII में सीखे जाने वाले विद्युत चुंबकीय तरंगें एक अलग प्रकार की तरंग हैं। विद्युत चुंबकीय तरंगें माध्यम की आवश्यकता नहीं होती - वे वैक्यूम में यात्रा कर सकती हैं। प्रकाश, रेडियो तरंगें, X-किरणें, सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें हैं। वैक्यूम में सभी विद्युत चुंबकीय तरंगों की गति समान होती है $\mathrm{c}$, जिसका मान है :

$$c=299,792,458 \mathrm{~ms}^{-1} \tag{14.1}$$

एक तीसरा प्रकार की तरंग वह है जिसे इतना जाना जाता है कि “मात्रा तरंगें” (Matter waves) कहा जाता है। वे पदार्थ के घटकों से संबंधित होती हैं : इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, परमाणु और अणु। वे आपके आगे के अध्ययन में आपको सीखने वाले प्रकृति के क्वांटम यांत्रिक वर्णन में उत्पन्न होती हैं। हालांकि ये यांत्रिक या विद्युत-चुंबकीय तरंगों की तुलना में अधिक अमूर्त अवधारणा हैं, लेकिन वे आधुनिक तकनीक के कई उपकरणों में पहले से ही उपयोग में हैं; इलेक्ट्रॉनों के संगत मात्रा तरंगें इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप में उपयोग की जाती हैं।

इस अध्याय में हम मैकेनिकल तरंगों के अध्ययन करेंगे, जिनके प्रसार के लिए एक पदार्थी माध्यम की आवश्यकता होती है।

तरंगों के आलोचनात्मक प्रभाव कला और साहित्य पर बहुत प्राचीन काल से देखा जाता है; हालांकि, तरंग गति के पहले वैज्ञानिक विश्लेषण के इतिहास के चौदहवीं सदी के दशक में वापस जाता है। तरंग गति के भौतिकी के कुछ प्रसिद्ध वैज्ञानिकों में क्रिस्टियान ह्यूगेन्स (1629-1695), रॉबर्ट हूक और आइज़ैक न्यूटन शामिल हैं। तरंग भौतिकी के समझ के विकास में दोलन के द्रव्यमानों के भौतिकी और सरल लटकी के भौतिकी के अध्ययन के बाद आया। विस्तारित तार, घुमावदार बर्फ, हवा आदि विस्तारी माध्यम के उदाहरण हैं।

हम इस संबंध को सरल उदाहरणों के माध्यम से स्पष्ट करेंगे।

एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंगों के एक संग्रह को चित्र 14.1 में दिखाया गया है। यदि एक सिरे पर स्प्रिंग को अचानक खींचकर छोड़ दिया जाए, तो अव्यवहार दूसरे सिरे तक पहुंच जाता है। यह क्या हुआ? पहला स्प्रिंग अपनी संतुलन लंबाई से असंतुलित हो जाता है। चूंकि दूसरा स्प्रिंग पहले स्प्रिंग से जुड़ा है, इसलिए यह भी खिंच जाता है या संपीड़ित हो जाता है, आदि। अव्यवहार एक सिरे से दूसरे सिरे तक चलता रहता है; लेकिन प्रत्येक स्प्रिंग अपनी संतुलन स्थिति के आसपास केवल छोटे झूले बनता है। इस स्थिति का एक व्यावहारिक उदाहरण लें, एक रेलवे स्टेशन पर स्थिर ट्रेन। ट्रेन के विभिन्न बोगी एक दूसरे के साथ एक स्प्रिंग के माध्यम से जुड़े होते हैं। जब एक इंजन एक सिरे पर जुड़ जाता है, तो इसके पास बोगी को धकेल देता है; यह धक्का एक बोगी से दूसरे बोगी तक बिना पूरी ट्रेन के एक साथ विस्थापित होने के बिना पहुंच जाता है।

चित्र 14.1 एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंग के संग्रह। अंत A पर अचानक खींचा जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अस्थिरता उत्पन्न होती है, जो दूसरे अंत तक फैल जाती है।

अब हम हवा में ध्वनि तरंगों के प्रसार के बारे में विचार करते हैं। जैसे तरंग हवा में गुजरती है, तो यह हवा के एक छोटे क्षेत्र को संपीड़ित या विस्तारित करती है। इसके परिणामस्वरूप उस क्षेत्र में घनत्व में एक परिवर्तन होता है, जैसे कि $\delta \rho$। इस परिवर्तन के कारण उस क्षेत्र में दबाव में एक परिवर्तन, $\delta p$, उत्पन्न होता है। दबाव एक इकाई क्षेत्र पर बल होता है, इसलिए अस्थिरता के साथ एक पुनर्स्थापन बल आनुपातिक होता है, जैसे कि एक स्प्रिंग में। इस मामले में, स्प्रिंग के विस्तार या संपीड़न के समान राशि घनत्व में परिवर्तन होता है। यदि कोई क्षेत्र संपीड़ित होता है, तो उस क्षेत्र में अणु एक दूसरे के करीब बंद हो जाते हैं और वे आसपास के क्षेत्र में बाहर जाने की ओर झुकते हैं, जिसके परिणामस्वरू आसपास के क्षेत्र में घनत्व बढ़ जाता है या उस क्षेत्र में संपीड़न उत्पन्न होता है। इसलिए, पहले क्षेत्र में हवा के विरलन होता है। यदि कोई क्षेत्र तुलनात्मक रूप से विरल होता है, तो आसपास की हवा उस क्षेत्र में आ जाती है जिसके परिणामस्वरूप विरलन आसपास के क्षेत्र में बढ़ जाता है। इस प्रकार, संपीड़न या विरलन एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में चलता है, जिससे हवा में अस्थिरता के प्रसार की संभावना उत्पन्न होती है।

ठोस में, इसी तरह के तर्क किए जा सकते हैं। एक क्रिस्टलीय ठोस में, परमाणु या परमाणुओं के समूह एक आवर्ती जालक में व्यवस्थित होते हैं। इनमें, प्रत्येक परमाणु या परमाणुओं के समूह आसपास के परमाणुओं के बलों के कारण संतुलन में होते हैं। एक परमाणु को विस्थापित करके अन्य सभी को स्थिर रखे रहने पर, वापसी बल उत्पन्न होते हैं, ठीक वैसे जैसे कि एक स्प्रिंग में। इसलिए हम एक जालक में परमाणुओं को एंड पॉइंट्स के रूप में सोच सकते हैं, जिनके बीच स्प्रिंग होते हैं।

इस पाठ के अगले अनुभागों में हम तरंगों के विभिन्न विशिष्ट गुणों के बारे में चर्चा करेंगे।

14.2 अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें

हम देख चुके हैं कि यांत्रिक तरंगों की गति माध्यम के घटकों के दोलनों की शामिल होती है। यदि माध्यम के घटक तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं, तो तरंग को अनुप्रस्थ तरंग कहा जाता है। यदि वे तरंग प्रसार की दिशा के समानुपात में दोलन करते हैं, तो तरं ग को अनुदिश तरंग कहा जाता है।

चित्र 14.2 जब एक पल्स तनाव वाली स्ट्रिंग के लंबाई के अनुदिश (x-दिशा) चलता है, तो स्ट्रिंग के तत्व ऊपर और नीचे (y-दिशा) झूलते हैं।

चित्र 14.2 में एक अकेले पल्स के स्ट्रिंग पर चलन को दिखाया गया है, जो एक अकेले ऊपर और नीचे के झटके के कारण होता है। यदि स्ट्रिंग की लंबाई पल्स के आकार की तुलना में बहुत लंबी हो, तो पल्स दूसरे सिरे तक पहुंचने से पहले धीमा हो जाएगा और उस सिरे से परावर्तन को नगण्य माना जा सकता है। चित्र 14.3 में एक समान विन्यास दिखाया गया है, लेकिन इस बार बाहरी एजेंट स्ट्रिंग के एक सिरे पर एक सतत आवर्ती वृत्तीय ऊपर और नीचे के झटके देता है। इसके परिणामस्वरूप स्ट्रिंग पर उत्पन्न अवांछित घटना एक वृत्तीय तरंग होती है। दोनों मामलों में स्ट्रिंग के तत्व तरंग या पल्स के माध्यम से गुजरते हुए अपने संतुलन औसत स्थिति के चारों ओर झूलते हैं। झूलन तरंग की गति के लंबवत दिशा में होती है, इसलिए यह एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.3 एक तार में एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) तरंग एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है। तरंग के क्षेत्र में तार के एक तत्व के अपने संतुलन स्थिति के लंबवत दिशा में आवर्ती गति करता है।

हम एक तरंग को दो तरीकों से देख सकते हैं। हम एक समय क्षण निश्चित कर सकते हैं और तरंग को अंतरिक्ष में देख सकते हैं। इससे हमें एक निश्चित समय पर तरंग के समग्र आकार को प्राप्त होता है। दूसरा तरीका एक स्थान निश्चित करना होता है, अर्थात हम तार के एक विशिष्ट तत्व पर ध्यान केंद्रित करते हैं और इसकी समय के अनुसार आवर्ती गति को देखते हैं।

चित्र 14.4 ध्वनि तरंगों के प्रसार के सबसे परिचित उदाहरण में अनुप्रस्थ तरंगों की स्थिति को वर्णित करता है। एक लंबे पाइप में हवा भरी होती है जिसके एक सिरे पर एक पिस्टन होता है। पिस्टन के एक अचानक आगे की ओर धकेल और वापस खींच लेने से माध्यम (हवा) में एक तरंग के रूप में संकुचन (उच्च घनत्व) और विरलता (निम्न घनत्व) के एक पल्स का उत्पादन होता है। यदि पिस्टन की धकेल-खींच क्रमबद्ध और आवर्ती (साइनसॉइडल) हो, तो हवा में एक साइनसॉइडल तरंग उत्पन्न होती है जो पाइप की लंबाई के अनुदिश चलती है। यह स्पष्ट रूप से एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.4 एक हवा भरे पाइप में ऊपर और नीचे खंडन द्वारा उत्पन्न अनुप्रस्थ तरंगें (ध्वनि)। हवा के एक आयतनीय तत्व के अनुप्रस्थ दिशा में तरंग के प्रसार के साथ आवर्ती गति होती है।

उपरोक्त तरंगें, अनुप्रस्थ या अनुदिश, यात्रा या प्रगति तरंगें हैं क्योंकि वे एक माध्यम के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक चलती हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम के समग्र रूप से गति नहीं होती। उदाहरण के लिए, एक नदी के बहाव में पानी के समग्र गति का प्रतिनिधित्व होता है। एक पानी की तरंग में, यह विक्षोभ ही गति करता है, न कि पानी के समग्र। इसी तरह, एक हवा के बहाव (हवा के समग्र गति) को एक ध्वनि तरंग से भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो हवा में दबाव घनत्व में विक्षोभ के प्रसार को दर्शाती है, जिसमें हवा के समग्र गति नहीं होती।

अनुप्रस्थ तरंगों में, कणों की गति तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत होती है। अतः, जैसे तरंग प्रसार होती है, माध्यम के प्रत्येक तत्व एक छेदन तनाव के अन्तर्गत रहते हैं। अतः, अनुप्रस्थ तरंगें केवल उन माध्यमों में प्रसार हो सकती हैं जो छेदन तनाव को संभाल सकें, जैसे कि ठोस, न कि द्रव्य। द्रव्य और ठोस दोनों दबाव तनाव को संभाल सकते हैं; अतः, अनुदिश तरंगें सभी अनुत्क्रमणीय माध्यमों में प्रसार हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, तांबे जैसे माध्यम में अनुप्रस्थ और अनुदिश दोनों तरंगें प्रसार हो सकती हैं, जबकि हवा केवल अनुदिश तरंगें प्रसार कर सकती है। पानी के सतह पर तरंगें दो प्रकार की होती हैं: सतह तनाव तरंगें और गुरुत्व तरंगें। पहली तरंगें बहुत छोटी तरंग लंबाई की होती हैं-केवल कई सेंटीमीटर तक नहीं अधिक- और इनका उत्पादन करने वाला पुनर्स्थापक बल पानी के सतह तनाव होता है। गुरुत्व तरंगें की तरंग लंबाई आमतौर पर कई मीटर से कई सौ मीटर तक होती है। इन तरंगों के उत्पादन करने वाला पुनर्स्थापक बल गुरुत्वाकर्षण होता है, जो पानी की सतह को अपने न्यूनतम स्तर पर रखने की ओर ले जाता है। इन तरंगों में कणों के आवर्तन तेजी से बहुत नीचे तक फैल जाते हैं, लेकिन उनकी तीव्रता कम होती जाती है। पानी की तरंगों में कणों की गति एक जटिल गति होती है- वे न केवल ऊपर और नीचे बहते हैं बल्कि आगे और पीछे भी बहते हैं। खाड़ी में तरंगें अनुदिश और अनुप्रस्थ दोनों तरंगों के संयोजन होती हैं।

यह ज्ञात होता है कि, सामान्यतः, अनुप्रस्थ एवं अनुदिश तरंगें एक ही माध्यम में अलग-अलग चाल से यात्रा करती हैं।

उदाहरण 14.1 नीचे दिए गए कुछ तरंग गति के उदाहरण हैं। प्रत्येक स्थिति में तरंग गति को अनुप्रस्थ, अनुदिश या दोनों के संयोजन के रूप में बताइए:

(a) एक अनुदिश स्प्रिंग के एक सिरे को ओर ओर विस्थापित करके उत्पन्न किंक की गति।

(b) एक सिलेंडर में तरल के द्वारा इसके पिस्टन के आगे-पीछे गति द्वारा उत्पन्न तरंगें।

(c) एक मोटरबोट के जल में चलते हुए उत्पन्न तरंगें।

(d) एक क्वार्ट्ज क्रिस्टल के दोलन द्वारा हवा में उत्पन्न अल्ट्रासोनिक तरंगें।

उत्तर

(a) अनुप्रस्थ एवं अनुदिश

(b) अनुदिश

(c) अनुप्रस्थ एवं अनुदिश

(d) अनुदिश

14.3 एक प्रगति तरंग में विस्थापन संबंध

एक यात्रा कर रही तरंग के गणितीय वर्णन के लिए, हमें स्थिति $x$ और समय $t$ दोनों के फलन की आवश्यकता होती है। ऐसा फलन प्रत्येक क्षण में उस क्षण के तरंग के आकार को देना चाहिए। इसके अतिरिक्त, किसी भी दिए गए स्थान पर यह उस स्थान पर माध्यम के घटक की गति का वर्णन भी करना चाहिए। यदि हम एक वृत्तीय तरंग के यात्रा का वर्णन करना चाहते हैं (जैसा कि चित्र 14.3 में दिखाया गया है), तो संगत फलन भी वृत्तीय होना चाहिए। सुविधा के लिए, हम तरंग को अनुप्रस्थ मान लेंगे ताकि यदि माध्यम के घटक की स्थिति को $x$ से दर्शाया जाए, तो संतुलन स्थिति से विस्थापन को $y$ से दर्शाया जा सके। तब एक वृत्तीय यात्रा कर रही तरंग का वर्णन निम्नलिखित होता है:

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)\tag{14.2}$$

साइन फ़ंक्शन के तर्ग के अंतर्गत $\phi$ शब्द का अर्थ यह है कि हम एक लाइनर कॉम्बिनेशन ऑफ़ साइन और कोसाइन फ़ंक्शन के बारे में सोच रहे हैं:

$$y(x, t)=A \sin (k x-\omega t)+B \cos (k x-\omega t) \tag {14.3}$$

समीकरण (14.2) और (14.3) से,

$$ a=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \quad\text { और} \quad\phi=\tan ^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) $$

समीकरण (14.2) के एक साइनसॉइडल चल तरंग के रूप में प्रतिनिधित्व करने के कारण को समझने के लिए, एक निश्चित क्षण, जैसे $t=t_{0}$ ले लीजिए। तब, समीकरण (14.2) में साइन फ़ंक्शन के तर्ग केवल $k x+$ नियतांक होता है। इसलिए, किसी भी निश्चित क्षण पर तरंग के आकार (x के फ़ंक्शन के रूप में) एक साइन तरंग होती है। इसी तरह, एक निश्चित स्थान, जैसे $x=x_{0}$ ले लीजिए। तब, समीकरण (14.2) में साइन फ़ंक्शन के तर्ग केवल नियतांक $-\omega t$ होता है। इसलिए, एक निश्चित स्थान पर विस्थापन $y$, समय के साथ एक साइनसॉइडल रूप में बदलता है। अर्थात, विभिन्न स्थानों पर माध्यम के घटक सरल वाल्व गति करते हैं। अंत में, जैसे $t$ बढ़ता है, $x$ को धनात्मक दिशा में बढ़ाना पड़ता है ताकि $k x-\omega t+\phi$ नियत रहे। इसलिए, समीकरण (14.2) धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हुई साइनसॉइडल (हार्मोनिक) तरंग को प्रतिनिधित्व करता है। दूसरी ओर, एक फ़ंक्शन एक नकारात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हुई तरंग को प्रतिनिधित्व करता है। चित्र (14.5) में $\mathrm{Eq}$. (14.2) में उपस्थित विभिन्न भौतिक राशियों के नाम दिए गए हैं जिन्हें हम अब व्याख्या कर रहे हैं।

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x+\omega t+\phi) \tag{14.4} \end{equation*} $$

चित्र 14.5 समीकरण (14.2) में मानक चिन्हों का अर्थ

चित्र 14.6 में समीकरण (14 बराबर 2) के लिए विभिन्न समय मानों के लिए आरेख दिखाए गए हैं, जो समान समय अंतरों वाले अलग-अलग समय मानों के लिए हैं। एक तरंग में, शिखर अधिकतम धनात्मक विस्थापन के बिंदु होता है, गर्त अधिकतम नकारात्मक विस्थापन के बिंदु होता है। एक तरंग कैसे चलती है, इसको देखने के लिए हम एक शिखर पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह समय के साथ कैसे बढ़ता है। चित्र में इसे शिखर पर एक क्रॉस ( ) द्वारा दिखाया गया है। इसी तरह, हम एक निश्चित स्थान पर, उदाहरण के लिए x-अक्ष के मूल बिंदु पर, माध्यम के एक विशिष्ट घटक के गति को देख सकते हैं। इसे एक ठोस बिंदु (•) द्वारा दिखाया गया है। चित्र 14.6 के आरेख दिखाते हैं कि समय के साथ ठोस बिंदु (•) मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से गति करता है, अर्थात तरंग के बढ़ते हुए बिंदु मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से अपने माध्य स्थिति के चारों ओर झूलता है। यह कोई अन्य स्थान के लिए भी सत्य है। हम देखते हैं कि ठोस बिंदु (•) द्वारा एक पूर्ण दोलन पूरा करने के दौरान, शिखर एक निश्चित दूरी तक आगे बढ़ जाता है।

चित्र 14.6 एक हार्मोनिक तरंग धनात्मक x-अक्ष की दिशा में विभिन्न समय पर चल रही है।

चित्र 14.6 के आलोक में, हम अब समीकरण (14.2) में विभिन्न राशियों को परिभाषित करते हैं।

14.3.1 आयाम और चरण

समीकरण (14.2) में, क्योंकि साइन फलन 1 और -1 के बीच बदलता है, विस्थापन $y(x, t)$ $a$ और $-a$ के बीच बदलता है। हम $a$ को एक धनात्मक नियतांक मान सकते हैं, बिना कोई अप्रासंगिकता के। तब, $a$ माध्यम के घटकों के संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन को प्रदर्शित करता है। ध्यान दें कि विस्थापन $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, लेकिन $a$ धनात्मक होता है। इसे आयाम कहते हैं।

समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्ग के रूप में उपस्थित $(k x-\omega t+\phi)$ राशि को तरंग के चरण कहते हैं। दिया गया आयाम $a$, चरण कोई भी स्थिति और कोई भी समय पर तरंग के विस्थापन को निर्धारित करता है। स्पष्ट रूप से $\phi$ $x=0$ और $t=0$ पर चरण होता है। इसलिए, $\phi$ को आरंभिक चरण कोण कहते हैं। यह संभव है कि $x$-अक्ष पर मूल बिंदु और आरंभिक समय के चयन के द्वारा $\phi=0$ हो। इसलिए, $\phi$ को छोड़ने में कोई अप्रासंगिकता नहीं होती, अर्थात समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेना अप्रासंगिक नहीं है।

14.3.2 तरंगदैर्ध्य और कोणीय तरंग संख्या

एक तरंग के दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी जिनका अवस्था समान होता है, तरंगदैर्ध्य कहलाती है, जिसे आमतौर पर $\lambda$ से दर्शाया जाता है। सरलता के लिए, हम एक ही अवस्था वाले बिंदुओं को शिखर या घटाव के रूप में चुन सकते हैं। तरंगदैर्ध्य तब तरंग में दो क्रमागत शिखर या घटाव के बीच की दूरी होती है। समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेने पर, $t=0$ पर विस्थापन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} y(x, 0)=a \sin k x \tag{14.5} \end{equation*} $$

क्योंकि साइन फंक्शन कोण में प्रत्येक $2 \pi$ परिवर्तन के बाद अपने मान को दोहराता है,

$$ \sin k x=\sin (k x+2 n \pi)=\sin k\left(x+\frac{2 n \pi}{k}\right) $$

अर्थात बिंदु $x$ और $ x+\frac{2 n \pi}{k} $

पर विस्थापन समान होता है, जहाँ $n=1,2,3, \ldots$ किसी भी दिए गए समय के लिए समान विस्थापन वाले बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी को $n=1$ लेने पर प्राप्त किया जाता है। तब $\lambda$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 \pi}{k} \quad \text { या } \quad k=\frac{2 \pi}{\lambda} \tag{14.6}

\end{equation*} $$

$ k $ तरंग कोणीय तरंग संख्या या प्रसार नियतांक है; इसका SI इकाई रेडियन प्रति मीटर या रेडियन $ m^{-1} $ है।

14.3.3 आवर्तकाल, कोणीय आवृत्ति और आवृत्ति

चित्र 14.7 फिर से एक ज्यावक्रीय आलेख दिखाता है। यह एक निश्चित समय पर तरंग के आकार का वर्णन नहीं करता है, बल्कि एक माध्यम के एक तत्व (किसी भी निश्चित स्थान पर) के विस्थापन के समय के फलन का वर्णन करता है। सरलता के लिए, हम समीकरण (14.2) के साथ $ \phi = 0 $ ले सकते हैं और $ x = 0 $ पर तत्व के गति की निगरानी कर सकते हैं। तब हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{aligned} y(0, t) & =a \sin (-\omega t) \\ & =-a \sin \omega t \end{aligned} $$

चित्र 14.7 एक निश्चित स्थान पर एक स्ट्रिंग के तत्व के आवर्त गति के साथ आयाम $ a $ और आवर्तकाल $ T $ होते हैं, जैसे कि तरंग इस पर गुजरती है।

अब, तरंग के आवर्तकाल वह समय है जिसमें एक तत्व एक पूर्ण आवर्त गति पूरा करता है। अर्थात,

$-a \sin \omega t=-a \sin \omega(t+\mathrm{T})$

$$ =-a \sin (\omega t+\omega T) $$

क्योंकि साइन फ़ंक्शन $2 \pi$ के प्रत्येक पश्चात दोहराता है,

$$ \begin{equation*} \omega T=2 \pi \text { या } \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} \tag{14.7} \end{equation*} $$

$\omega$ को तरंग की कोणीय आवृत्ति कहते हैं। इसका SI इकाई $\mathrm{rad} s^{-1}$ होती है। आवृत्ति $v$ प्रति सेकंड दोलनों की संख्या होती है। इसलिए,

$$ \begin {equation*} v=\frac{1}{\mathrm{~T}}=\frac{\omega}{2 \pi} \tag{14.8} \end{equation*} $$

• यहाँ फिर से, ‘रेडियन’ को छोड़ दिया जा सकता है और इकाइयों को केवल म–1 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, $k$ एक इकाई लंबाई पर तरंगों (या कुल चरण अंतर) की संख्या के 2π गुना को प्रदर्शित करता है, जिसकी SI इकाई म–1 होती है। $v$ आमतौर पर हर्ट्ज़ में मापा जाता है।

ऊपर के चर्चा में हमेशा एक रस्सी या अनुप्रस्थ तरंग के अनुसार चलती तरंग के बारे में उल्लेख किया गया है। एक अनुप्रस्थ तरंग में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन की दिशा तरंग के प्रसार की दिशा के समानांतर होती है। समीकरण (14.2) में एक अनुप्रस्थ तरंग के विस्थापन फ़ंक्शन को लिखा गया है,

$$ \begin{equation*} s(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.9} \end{equation*} $$

जहाँ $s(x, t)$ तरंग के प्रसार की दिशा में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन को प्रदर्शित करता है, जो स्थिति $x$ और समय $t$ पर होता है। समीकरण (14.9) में, $a$ विस्थापन आयाम है; अन्य राशियाँ एक अनुप्रस्थ तरंग के मामले में वैसी ही अर्थ रखती हैं, बस विस्थापन फलन $y(x, t)$ के स्थान पर फलन $s(x, t)$ का उपयोग करना होता है।[^0]

उदाहरण 14.2 एक तार के अनुदिश चल रही तरंग को निम्नलिखित द्वारा वर्णित किया जाता है,

$y(x, t)=0.005 \sin (80.0 x-3.0 t)$,

जहाँ संख्यात्मक स्थिरांक SI इकाइयों में हैं ($0.005 \mathrm{~m}, 80.0 \mathrm{rad} \mathrm{m}^{-1}$, और $3.0 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$)। (a) आयाम, (b) तरंगदैर्ध्य, और (c) तरंग की आवर्तकाल और आवृत्ति की गणना कीजिए। तरंग के विस्थापन $y$ की गणना भी कीजिए जब दूरी $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर हो।

उत्तर इस विस्थापन समीकरण को समीकरण (14.2) के साथ तुलना करने पर,

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t),

$$

हम पाते हैं

(a) तरंग का आयाम $0.005 \mathrm{~m}=5 \mathrm{~mm}$ है।

(b) कोणीय तरंग संख्या $k$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ हैं

$ k=80.0 \mathrm{~m}^{-1} \text { और } \omega=3.0 \mathrm{~s}^{-1} $

हम फिर से समीकरण (14.6) के माध्यम से तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $k$ से संबंधित करते हैं,

$$ \begin{aligned} \lambda & =2 \pi / k \\ & =\frac{2 \pi}{80.0 \mathrm{~m}^{-1}} \\ & =7.85 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

(c) अब, हम $T$ को $\omega$ से संबंधित करते हैं द्वारा संबंध

$$ \begin{aligned} T & =2 \pi / \omega \ & =\frac{2 \pi}{3.0 \mathrm{~s}^{-1}} \ & =2.09 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

और आवृत्ति, $v=1 / T=0.48 \mathrm{~Hz}$ $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर विस्थापन $y$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (80.0 \times 0.3-3.0 \times 20) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (-36+12 \pi) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (1.699) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin \left(97^{\circ}\right) \simeq 5 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

14.4 गतिशील तरंग की चाल

एक चलते हुए तरंग के प्रसार की गति निर्धारित करने के लिए, हम तरंग पर किसी भी विशिष्ट बिंदु (जिसकी कुछ चर के मान द्वारा विशेषता हो) पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह बिंदु समय के साथ कैसे गति करता है। यह आसान हो जाता है तरंग के शिखर की गति की ओर ध्यान देना। चित्र 14.8 दो समय के बिंदुओं के लिए तरंग के आकार को दिखाता है, जो एक छोटे समय के अंतर $\Delta t$ के द्वारा अलग होते हैं। पूरी तरंग पैटर्न देखा जाता है जो दाहिने ओर (x-अक्ष के धनात्मक दिशा में) दूरी $\Delta x$ तक विस्थापित हो जाता है। विशेष रूप से, एक डॉट $(\bullet)$ द्वारा दिखाए गए शिखर दूरी $\Delta x$ में समय $\Delta t$ में गति करता है। तरंग की गति तब $\Delta x / \Delta t$ होती है। हम डॉट $(\bullet)$ को किसी अन्य चर के मान वाले बिंदु पर रख सकते हैं। यह एक ही गति $v$ से गति करेगा (अन्यथा तरंग पैटर्न निश्चित रहेगा नहीं)। तरंग पर एक निश्चित चर के बिंदु की गति द्वारा दी जाती है

चित्र 14.8 समय t से t + ∆t तक एक हार्मोनिक तरंग के प्रगति को दर्शाता है। जहाँ ∆t एक छोटा समय अंतर है। सम्पूर्ण तरंग पैटर्न दाईं ओर विस्थापित होता है। तरंग के शिखर (या किसी निश्चित चरण के बिंदु) दाईं ओर ∆x दूरी तक चलकर ∆t समय में विस्थापित होते हैं।

$$ \begin{equation*} k x-\omega t=\text { constant } \tag{14.10} \end{equation*} $$

इसलिए, समय $t$ के बदलने के साथ, निश्चित चरण के बिंदु की स्थिति $x$ इस प्रकार बदलनी चाहिए कि चरण स्थिर रहे। इसलिए,

$$ k x-\omega t=k(x+\Delta x)-\omega(t+\Delta t) $$

या $\quad k \Delta x-\omega \Delta t=0$

जब $\Delta x, \Delta t$ अत्यंत छोटे हों, तो यह देता है

$$ \begin{equation*} \frac{d x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k}=v \tag{14.11} \end{equation*} $$

$\omega$ को $T$ और $k$ को $\lambda$ से संबंधित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda}=\lambda \nu=\frac{\lambda}{T} \tag{14.12} \end{equation*} $$

समीकरण (14.12), सभी प्रगति तरंगों के लिए एक सामान्य संबंध है, जो यह दर्शाता है कि किसी माध्यम के किसी भी घटक के एक पूर्ण दोलन के लिए आवश्यक समय में तरंग पैटर्न तरंग की तरंगदैर्घ्य के बराबर दूरी तक चलता है। ध्यान देने योग्य है कि एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम के अपसारी (लंबाई द्रव्यमान घनत्व तारों के लिए, सामान्य द्रव्यमान घनत्व) और अनुत्कृष्ट गुणों (रेखीय माध्यमों के लिए यांग के मापांक/ विक्षेपण मापांक, आयतन मापांक) द्वारा निर्धारित होती है। माध्यम निर्धारित करता है

गति; समीकरण (14.12) दी गई गति के लिए तरंग दैर्ध्य को आवृत्ति से संबंधित करता है। निश्चित रूप से, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम एक ही माध्यम में दोनों अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों को समर्थन कर सकता है, जो उसी माध्यम में अलग-अलग गति करेंगी। इस कृति के बाद, हम कुछ माध्यमों में यांत्रिक तरंगों की गति के विशिष्ट व्यंजक प्राप्त करेंगे।

14.4.1 तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति

एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम में विक्षेपित होने पर बहाव बल द्वारा निर्धारित की जाती है और माध्यम के अनुशंसा गुणों (द्रव्यमान घनत्व) द्वारा। गति की अपेक्षा बहाव बल के सीधे संबंध और अनुशंसा गुणों के विपरीत संबंध होता है। तार पर तरंगों के लिए, बहाव बल तार में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है। इस मामले में अनुशंसा गुण रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ होगा, जो तार की लंबाई $L$ के बराबर द्रव्यमान $m$ के विभाजन के बराबर होता है। न्यूटन के गति के नियमों का उपयोग करके, तार पर तरंग गति के ठीक व्यंजक का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन इस निर्माण के लिए इस किताब के बाहर बाहर बाहर हो जाएगा। हम इसलिए विमान विश्लेषण का उपयोग करेंगे। हम पहले से ही जानते हैं कि विमान विश्लेषण अकेले ठीक व्यंजक नहीं दे सकता। विमान विश्लेषण द्वारा समग्र विमानहीन स्थिरांक हमेशा अनिर्धारित रहता है।

The dimension of $\mu$ is $\left[M L^{-1}\right]$ and that of $T$ is like force, namely $\left[M L T^{2}\right]$. We need to combine these dimensions to get the dimension of speed $v\left[L T^{-1}\right]$. Simple inspection shows that the quantity $\mathrm{T} / \mu$ has the relevant dimension

$$ \frac{\left[M L T^{-2}\right]}{[M L]}=\left[L^{2} T^{-2}\right] $$

Thus if $T$ and $\mu$ are assumed to be the only relevant physical quantities,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.13} \end{equation*} $$

where $C$ is the undetermined constant of dimensional analysis. In the exact formula, it turms out, $\mathrm{C}=1$. The speed of transverse waves on a stretched string is given by

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.14} \end{equation*} $$

Note the important point that the speed $V$ depends only on the properties of the medium $T$ and $\mu$ ( $T$ is a property of the stretched string arising due to an external force). It does not depend on wavelength or frequency of the wave itself. In higher studies, you will come across waves whose speed is not independent of frequency of the wave. Of the two parameters $\lambda$ and $v$ the source of disturbance determines the frequency of the wave generated. Given the speed of the wave in the medium and the frequency Eq. (14.12) then fixes the wavelength

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{v}{v} \tag{14.15} \end{equation*} $$

उदाहरण 14.3 एक स्टील के तार की लंबाई $0.72 \mathrm{~m}$ है और इसका द्रव्यमान $5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है। यदि तार पर $60 \mathrm{~N}$ का तनाव है, तो तार पर अनुप्रस्थ तरंगों की चाल क्या होगी?

उत्तर तार के इकाई लंबाई पर द्रव्यमान,

$$ \begin{aligned} \mu & =\frac{5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{0.72 \mathrm{~m}} \\ & =6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \end{aligned} $$

तनाव, $T=60 \mathrm{~N}$

तार पर तरंग की चाल द्वारा दी गई है

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{60 \mathrm{~N}}{6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1}}}=93 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

14.4.2 अनुप्रस्थ तरंग की चाल (ध्वनि की चाल)

एक अनुप्रस्थ तरंग में, माध्यम के घटक तरंग के प्रसार की दिशा में आगे और पीछे दोलन करते हैं। हम पहले ही देख चुके हैं कि ध्वनि तरंग वायु के छोटे आयतन के तत्वों के संपीड़न और विरलन के रूप में चलती है। संपीड़न तनाव के तहत तनाव को निर्धारित करने वाली श्रौलिक गुणधर्म माध्यम के आयतन अपसार गुणांक होता है जो अध्याय 8 में दिया गया है।

$$ \begin{equation*} B=-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \tag{14.16} \end{equation*} $$

यहाँ, दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ आयतनी विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ उत्पन्न करता है। $B$ के आयाम दबाव के समान होते हैं और SI इकाइयों में पास्कल $(\mathrm{Pa})$ में दिए जाते हैं। तरंग के प्रसार के लिए संबंधित अविच्छिन्न गुण द्रव्यमान घनत्व $\rho$ होता है, जिसके आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ होते हैं। सरल देखने से पता चलता है कि मात्रा $B / \rho$ के संबंधित आयाम होते हैं:

$$ \begin{equation*} \frac{\left[M L^{-2} T^{-2}\right]}{\left[M L^{-3}\right]}=\left[L^{2} T^{-3}\right] \tag{14.17} \end{equation*} $$

इसलिए, यदि $B$ और $\rho$ को एकमात्र संबंधित भौतिक मात्राओं के रूप में लिया जाता है,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.18} \end{equation*} $$

जहाँ, जैसा कि पहले था, $C$ आयाम विश्लेषण से प्राप्त अनिर्धारित नियतांक होता है। सटीक व्युत्पन्न दिखाता है कि $C=1$। इसलिए, माध्यम में अनुप्रस्थ तरंगों के लिए सामान्य सूत्र है:

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.19} \end{equation*} $$

\end{equation*} $$

एक रैखिक माध्यम, जैसे कि ठोस बार, में लंबवत विस्तार नegligible होता है और हम इसे केवल अक्षीय तनाव के अंतर्गत ले सकते हैं। ऐसे मामले में संबंधित तन्यता मापांक यंग का मापांक होता है, जिसका आयाम आयतनिक मापांक के समान होता है। इस मामले के आयाम विश्लेषण पहले के जैसा होता है और एक समीकरण जैसे समीकरण (14.18) के समान परिणाम देता है, जिसमें एक अनिर्धारित $C$ होता है, जिसे ठीक व्युत्पन्न दिखाता है कि इसका मान एक होता है। इसलिए, ठोस बार में अक्षीय तरंगों की गति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} \tag{14.20} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{Y}$ बार के पदार्थ के यंग का मापांक है। तालिका 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति देती है।

तालिका 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति

| तरल पदार्थ | | | पानी $\left(0^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1402 | | पानी $\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1482 | | समुद्री जल | 1522 | | ठोस पदार्थ | | | एल्यूमिनियम | 6420 | | तांबा | 3560 | | इस्पात | 5941 | | ग्रैनाइट | 6000 | | वुल्कैनाइज़ड | | | रबर | 54 |

तरल पदार्थ और ठोस पदार्थ आमतौर पर गैसों की तुलना में ध्वनि की गति के अधिक मूल्य रखते हैं। [ठोस के लिए ध्वनि की गति के संदर्भ में ध्वनि के अनुप्रस्थ तरंगों की गति के बारे में बताया जाता है]। यह इसलिए होता है कि वे गैसों की तुलना में बहुत कठिन होते हैं और इसलिए उनके बुल्क मॉड्यूलस के मूल्य बहुत अधिक होते हैं। अब, समीकरण (14.19) को देखें। ठोस और तरल पदार्थ गैसों की तुलना में अधिक द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ रखते हैं। लेकिन ठोस और तरल पदार्थ के बुल्क मॉड्यूलस $(B)$ में वृद्धि बहुत अधिक होती है। इस कारण ध्वनि तरंगें ठोस और तरल पदार्थ में तेजी से चलती हैं।

हम आदर्श गैस के अनुमान के आधार पर एक गैस में ध्वनि की गति का अनुमान लगा सकते हैं। एक आदर्श गैस में, दबाव $P$, आयतन $V$ और तापमान $T$ द्वारा संबंधित होते हैं (अध्याय 10 देखें)।

$$

\begin{equation*} \mathrm{P} V=N k_{B} T \tag{14.21} \end{equation*} $$

जहाँ $N$ आयतन $V$ में अणुओं की संख्या है, $k_{B}$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ गैस का तापमान (केल्विन में) है। अतः, एक समतापी परिवर्तन के लिए समीकरण (14.21) से यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ \begin{array}{r} V \Delta P+P \Delta V=0 \\ \text { या }-\frac{\Delta P}{\Delta V / V}=P \end{array} $$

इसलिए, समीकरण (14.16) में प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है,

$$ B=P $$

अतः, समीकरण (14.19) से एक आदर्श गैस में एक अनुप्रस्थ तरंग की चाल निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{P}{\rho}} \tag{14.22} \end{equation*} $$

इस संबंध को पहले न्यूटन द्वारा दिया गया था और इसे न्यूटन के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण 14.4 मानक ताप और दबाव पर हवा में ध्वनि की चाल का अनुमान लगाएं। 1 मोल हवा के द्रव्यमान $29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर हम जानते हैं कि किसी गैस के 1 मोल का आयतन STP पर 22.4 लीटर होता है। अतः, STP पर हवा का घनत्व निम्नलिखित होता है:

$\rho_{o}=$ (एक मोल हवा के द्रव्यमान) / (एक मोल हवा का आयतन STP पर)

$$ \begin{aligned} & =\frac{29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{22.4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}} \\ & =1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \end{aligned} $$

न्यूटन के ध्वनि के वेग के लिए सूत्र के अनुसार, हम वायु में ध्वनि के वेग के लिए प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} v=\left[\frac{1.01 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}}{1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}}\right]^{1 / 2}=280 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \tag{14.23} \end{equation*} $$

समीकरण (14.23) में दिखाए गए परिणाम को तालिका 14.1 में दिए गए $331 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के प्रयोगात्मक मान से लगभग 15% कम माना जाता है। हम गलत कहां कर रहे हैं? यदि हम न्यूटन द्वारा ध्वनि के प्रसार के दौरान माध्यम में दबाव परिवर्तन के लिए अनुमान लगाए गए आधारभूत मान की जांच करें, तो हम देखते हैं कि यह सही नहीं है। लैप्लास द्वारा इस बात की ओर इशारा किया गया था कि ध्वनि तरंगों के प्रसार के दौरान दबाव परिवर्तन इतनी तेज होते हैं कि ताप विनिमय के लिए निरंतर तापमान के बरकरार रखने के लिए कम समय रहता है। इन परिवर्तनों के कारण, अत: यह अनुतापीय (adiabatic) होते हैं और नहीं तापीय (isothermal) होते हैं। अत: अनुतापीय प्रक्रियाओं के लिए आदर्श गैस अनुमान लगाए गए अनुसार संतुलन को संतुष्ट करती है (अनुच्छेद 11.8 देखें),

$$ P V^{\gamma}=\text { constant } $$

अर्थात $\quad\quad \Delta\left(P V^{\prime}\right)=0$

$$ P \gamma V^{\gamma-1} \Delta V+V^{\gamma} \Delta P=0 $$

जहाँ $\gamma$ दो विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात है, $\mathrm{C_{\mathrm{p}}} / \mathrm{C_{\mathrm{v}}}$।

इस प्रकार, आदर्श गैस के लिए अनुवर्ती आयतन बल गुणांक निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{aligned} B_{a d} & =-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \\ & =\gamma P \end{aligned} $$

इसलिए, समीकरण (14.19) से ध्वनि की गति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} \tag{14.24} \end{equation*} $$

न्यूटन के सूत्र के इस संशोधन को लैप्लेस संशोधन कहा जाता है। हवा के लिए $\gamma=7 / 5$ होता है। अब समीकरण (14.24) का उपयोग करके हवा के लिए एसटीपी पर ध्वनि की गति का अनुमान लगाने पर हमें मान 331.3 $\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ प्राप्त होता है, जो मापित गति के साथ सहमत है।

14.5 तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत

जब दो तरंग पल्स विपरीत दिशाओं में गुजरते हैं (चित्र 14.9), तो क्या होता है? यह जांच करने पर पाया जाता है कि तरंग पल्स अपनी पहचान को बरकरार रखते हुए एक दूसरे के ऊपर गुजरने के बाद भी अपनी पहचान को बरकरार रखते हैं। हालांकि, वे एक दूसरे के ऊपर गुजरते हुए अवधि में तरंग पैटर्न दोनों तरंग पल्स से अलग होता है। चित्र 14.9 में दो समान आकार और विपरीत आकृति के तरंग पल्स एक दूसरे की ओर गुजर रहे हैं। जब तरंग पल्स एक दूसरे के ऊपर गुजरते हैं, तो परिणामी विस्थापन प्रत्येक तरंग पल्स के कारण विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक तरंग पल्स अन्य तरंग पल्स की उपस्थिति के बिना गुजरता है। माध्यम के घटक दोनों तरंग पल्स के कारण विस्थापन अनुभव करते हैं और क्योंकि विस्थापन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकता है, इसलिए शुद्ध विस्थापन दोनों विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। चित्र 14.9 में विभिन्न समय पर तरंग आकृति के ग्राफ दिए गए हैं। ध्यान दें ग्राफ (c) में दिखाए गए उल्लेखनीय प्रभाव; दोनों तरंग पल्स के कारण विस्थापन एक दूसरे को बरकरार रखते हुए बर्बाद हो गए हैं और विस्थापन शून्य है।

चित्र 14.9 दो तरंगें जिनके विस्थापन समान लेकिन विपरीत हैं और वे विपरीत दिशाओं में चल रही हैं। विपरीत तरंगों के अधिकांश विस्थापन वक्र (c) में शून्य विस्थापन द्वारा जोड़ देते हैं।

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत को गणितीय रूप से लिखने के लिए, मान लीजिए $y_{1}(x, t)$ और $y_{2}(x, t)$ दो तरंग विक्षोभ के कारण माध्यम में विस्थापन हैं। यदि तरंगें एक क्षेत्र में एक साथ पहुंचती हैं और अतः आपस में घुल मिलती हैं, तो शुद्ध विस्थापन $y(x, t)$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) \tag{14.25} \end{equation*} $$

यदि हम दो या अधिक तरंगें माध्यम में चल रही हों, तो परिणामी तरंग विक्षोभ व्यक्तिगत तरंगों के तरंग फलनों के योग के बराबर होती है। अर्थात, चल रही तरंगों के तरंग फलन निम्नलिखित होंगे:

$$ \begin{aligned} & y_{1}=f_{1}(x-v t), \\ & y_{2}=f_{2}(\text{x}-v t), \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ & \cdots \cdots \cdots . . \\ $$

$$ \begin{aligned} & y_{n}=f_{n}(x-v t) \end{aligned} $$

तो माध्यम में विक्षोभ का तरंग फलन निम्नलिखित होगा

$$ \begin{align*} y & =f_{1}(x-v t)+f_{2}(x-v t)+\ldots+f_{n}(x-v t) \\ & =\sum_{i=1}^{n} f_{i}(x-v t) \tag{14.26} \end{align*} $$

अधिरोधन के सिद्धांत को व्यतिकरण के घटना के लिए मूलभूत माना जाता है।

सरलता के लिए, एक तनी गई रस्सी पर दो अप्रत्यक्ष गतिशील तरंगों के बारे में सोचें, जो दोनों के समान $\omega$ (कोणीय आवृत्ति) और $k$ (तरंग संख्या) हैं, और इसलिए, एक ही तरंग दैर्ध्य $\lambda$ है। उनकी तरंग गति समान होगी। हम यह भी मान सकते हैं कि उनके आम्प्लीट्यूड समान हैं और वे दोनों $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में गति कर रहे हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक कलन में अलग हैं। समीकरण (14.2) के अनुसार, दो तरंगों को निम्नलिखित फलनों द्वारा वर्णित किया जाता है:

$$ \begin{equation*} y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \tag{14.27} \end{equation*} $$

$$ \text{और} \quad \quad y_{2}(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.28}$$

अतः अधिरोधन के सिद्धांत के अनुसार, कुल विस्थापन निम्नलिखित होगा:

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t)+a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.29} $$

$$ \begin{equation*} \alpha\left[2 \sin \left[\frac{(k x-\omega t)+(k x-\omega t+\phi)}{2}\right] \cos \frac{\phi}{2}\right] \tag{14.30} \end{equation*} $$

जहाँ हम निम्नलिखित परिचित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\sin A+\sin B$. फिर हमें प्राप्त होता है:

$$y(x, t)=2 a \cos \frac{\phi}{2} \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) \tag{14.31}$$

चित्र 14. सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार बराबर आम्प्लीट्यूड और तरंगदैर्ध्य वाले दो हार्मोनिक तरंगों के परिणामी तरंग। परिणामी तरंग के आम्प्लीट्यूड का निर्भर करता है फेज अंतर $\phi$ पर, जो (a) के लिए शून्य और (b) के लिए $\pi$ होता है।

समीकरण (14.31) एक भी धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हार्मोनिक तरंग भी है, जिसकी आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य एक ही है। हालांकि, इसका प्रारंभिक फेज कोण $\frac{\phi}{2}$ है। महत्वपूर्ण बात यह है कि इसके आम्प्लीट्यूड का मान घटक दो तरंगों के बीच फेज अंतर $\phi$ पर निर्भर करता है:

$$ \begin{equation*} A(\phi)=2 a \cos 1 / 2 \phi \tag{14.32} \end{equation*} $$

$\phi=0$ के लिए, जब तरंगें एक दूसरे के समान चरण में होती हैं,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin (k x-\omega t) \tag{14.33} \end{equation*} $$

अर्थात, परिणामी तरंग का आयाम $2 \mathrm{a}$ होता है, जो $A$ के संभव सबसे बड़े मान है। $\phi=\pi$ के लिए, तरंगें पूरी तरह से असंगत होती हैं और परिणामी तरंग के सभी समय और सभी स्थान पर विस्थापन शून्य होता है

$$ \begin{equation*} y(x, t)=0 \tag{14.34} \end{equation*} $$

समीकरण (14.33) दो तरंगों के ऐसे संरचनात्मक अन्तराल को संदर्भित करता है जहां परिणामी तरंग में आयाम जोड़ देते हैं। समीकरण (14.34) परिणामी तरंग में आयाम घट जाते हैं ऐसे विनाशक अन्तराल को संदर्भित करता है। आकृति 14.10 इन दोनों अन्तराल को सुपरपोजिशन के सिद्धांत के आधार पर तरंगों के अन्तराल को दर्शाती है।

14.6 तरंगों के प्रतिबिंब

अब तक हम असीमित माध्यम में चल रही तरंगों के बारे में विचार कर चुके हैं। यदि एक पल्स या तरंग सीमा के सामने आता है तो क्या होता है? यदि सीमा कठिन होती है, तो पल्स या तरंग प्रतिबिंबित हो जाता है। तरंग या पल्स द्वारा सीमा के खिलाफ आने पर इसका प्रतिबिंब होता है।

फेनोमेनोन ऑफ़ ईचो एक उदाहरण है एक ठोस सीमा द्वारा परावर्तन के। यदि सीमा पूर्ण रूप से ठोस नहीं है या दो अलग-अलग इलास्टिक माध्यमों के बीच एक सीमा है, तो स्थिति कुछ जटिल हो जाती है। एक भाग आपतित तरंग के रूप में परावर्तित हो जाता है और एक भाग दूसरे माध्यम में प्रसारित हो जाता है। यदि एक तरंग दो अलग-अलग माध्यमों के बीच एक सीमा पर झुके रूप में आपतित होती है, तो प्रसारित तरंग को अपवर्तित तरंग कहा जाता है। आपतित और अपवर्तित तरंगें अपवर्तन के न्यूटन के नियम का पालन करती हैं, और आपतित और परावर्तित तरंगें सामान्य परावर्तन के नियमों का पालन करती हैं।

चित्र 14.11 एक तरंग जो एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के अलावा चल रही है और एक सीमा द्वारा परावर्तित हो रही है दिखाता है। मान लीजिए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का कोई अवशोषण नहीं होता है, तो परावर्तित तरंग आपतित तरंग के समान आकार की होती है लेकिन इसके परावर्तन पर एक चरण परिवर्तन $\pi$ या $18 डिग्री$ होता है। इसका कारण यह है कि सीमा ठोस है और विक्षोभ के सभी समय बिंदुओं पर शून्य विस्थापन होना आवश्यक है। अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार, इसके लिए परावर्तित और आपतित तरंगों में $\pi$ के चरण के अंतर के साथ ही विस्थापन शून्य हो सकता है। इस तर्क के पीछे एक ठोस दीवार पर सीमा स्थिति है। हम एक गतिशील तर्क के माध्यम से भी इसी निष्कर्ष तक पहुंच सकते हैं। जैसे तरंग दीवार पर पहुंचती है, तो यह दीवार पर एक बल लगाती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, दीवार तार पर बराबर और विपरीत बल लगाती है जो एक परावर्तित तरंग के रूप में उत्पन्न होता है जो $\pi$ के चरण के अंतर के साथ होता है।

चित्र 14.11 एक तरंग के एक कठिन सीमा के साथ मिलने पर परावर्तित तरंग।

अगर दूसरी ओर, सीमा बिंदु कठिन नहीं है लेकिन पूरी तरह से गति करने में मुक्त है (जैसे कि एक स्ट्रिंग के एक छोर पर एक छोर बर्बाद चल रहे एक वलय के एक छोर से बांधा गया हो), तो परावर्तित तरंग के एक ही चरण और आयाम होते हैं (ऊर्जा के कोई नुकसान न होने की धारणा के अंतर्गत) आपतित तरंग के जैसे। तब सीमा पर अधिकतम विस्थापन दो गुना हो जाता है। एक उदाहरण गैस नली के खुले सिरे के अकठिन सीमा के रूप में है।

सारांश करते हुए, एक चलती तरंग या तरंग एक कठिन सीमा पर परावर्तन के दौरान $\pi$ के चरण परिवर्तन का अनुभव करती है और एक खुले सीमा पर परावर्तन के दौरान कोई चरण परिवर्तन नहीं होता। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है, आपतित चलती तरंग को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$$ y_2(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

एक कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग को निम्नलिखित रूप में दिया जाता है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+\pi) . \ & =-a \sin (k x-\omega t)\tag{14.35} \end{aligned} $$

एक खुले सीमा पर, परावर्तित तरंग के द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+0) . \ & =a \sin (k x-\omega t)\tag{14.36} \end{aligned} $$

स्पष्ट रूप से, कठिन सीमा पर, $y=y_2+y_r=0$

14.6.1 खड़ी तरंगें और नॉर्मल मोड

हमने ऊपर एक सीमा पर परावर्तन के बारे में विचार किया। लेकिन वास्तविक स्थितियाँ (एक तार दोनों सिरों पर बाँधा गया हो या एक पाइप में हवा के स्तंभ जिसके एक सिरा बंद हो) हैं जहाँ परावर्तन दो या अधिक सीमाओं पर होता है। एक तार में, उदाहरण के लिए, एक दिशा में चल रही तरंग एक सिरे पर परावर्तित हो जाती है, जो फिर दूसरे सिरे से टकराकर परावर्तित हो जाती है। यह तब तक जारी रहता है जब तक तार पर एक स्थिर तरंग पैटर्न बन जाए। ऐसे तरंग पैटर्न को खड़ी तरंग या स्थिर तरंग कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चल रही एक तरंग और उसी आयाम और तरंगदैर्ध्य के एक परावर्तित तरंग के ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलते हुए विचार करें। समीकरण (14.2) और (14.4) के साथ $\phi=0$ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \\ & y_{2}(x, t)=a \sin (k x+\omega t) \end{aligned} $$

स्ट्रिंग पर विस्तारित तरंग के अनुसार, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार:

$$ y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) $$

$$ =a[\sin (k x-\omega t)+\sin (k x+\omega t)] $$

परिचित त्रिकोणमितीय पहचान

$\operatorname{Sin}(A+B)+\operatorname{Sin}(A-B)=2 \sin A \cos B$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin k x \cos \omega t \tag{14.37} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि समीकरण (14.37) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न में महत्वपूर्ण अंतर उस तरंग पैटर्न में है जो समीकरण (14.2) या समीकरण (14.4) द्वारा वर्णित है। शब्द $\mathrm{kx}$ और $\omega t$ अलग-अलग उपस्थित होते हैं, न कि $k x-\omega t$ के संयोजन में। इस तरंग के आम्प्लीट्यूड $2 a \sin k x$ है। इस तरंग पैटर्न में, आम्प्लीट्यूड बिंदु से बिंदु बदलता है, लेकिन स्ट्रिंग के प्रत्येक तत्व एक ही कोणीय आवृत्ति $\omega$ या समय अवधि के साथ दोलन करते हैं। तरंग के विभिन्न तत्वों के दोलन के बीच कोई चरण अंतर नहीं होता। तरंग के रूप में स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं पर अलग-अलग आम्प्लीट्यूड के साथ दोलन करती है। तरंग पैटर्न दाहिने या बाएं नहीं चल रही है। इसलिए, वे स्थिर या स्थायी तरंग कहलाते हैं। आम्प्लीट्यूड एक निश्चित स्थान पर निश्चित होता है, लेकिन, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, अलग-अलग स्थानों पर अलग होता है। जहां आम्प्लीट्यूड शून्य होता है (अर्थात जहां कोई भी गति नहीं होती है) वहां नोड्स होते हैं; जहां आम्प्लीट्यूड सबसे अधिक होता है वहां एंटीनॉड्स कहलाते हैं। चित्र 14.12 में दो विपरीत दिशाओं में चलने वाली तरंगों के सुपरपोजिशन से उत्पन्न स्थायी तरंग पैटर्न दिखाया गया है।

स्थायी तरंगों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि सीमा स्थितियाँ प्रणोदन के संभावित तरंगदैर्घ्य या आवृत्तियों को सीमित करती हैं। प्रणोदन के लिए प्रणोदन की कोई भी असंगत आवृत्ति नहीं हो सकती (इसे एक हार्मोनिक गतिशील तरंग के साथ तुलना करें), बल्कि एक प्रणोदन के समूह या सामान्य आवृत्तियों के द्वारा विशिष्ट किया जाता है। एक खींचे गए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर बंधे होने पर इन सामान्य आवृत्तियों का निर्धारण करें।

पहले, समीकरण (14.37) से, नोड्स के स्थान (जहाँ आयाम शून्य होता है) निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \sin kx = 0 $$

जो इसके तात्पर्य करता है: $$ k x = n \pi ; \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots $$

क्योंकि $k = 2\pi/\lambda$, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} x = \frac{n \lambda}{2} ; n = 0, 1, 2, 3, \ldots \tag{14.38} \end{equation*} $$

चित्र 14.12 दो विपरीत दिशाओं में गतिशील तरंगों के अध्यावेशन से उत्पन्न स्थायी तरंगें। ध्यान दें कि शून्य विस्थापन (नोड्स) के स्थान समय के साथ निरंतर रहते हैं।

स्पष्ट रूप से, किसी भी दो क्रमागत नोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। इसी तरह, एंटीनोड के स्थान (जहाँ आयाम सबसे अधिक होता है) निम्नलिखित सबसे बड़े मान के द्वारा दिया जाता है:

$|\sin k x|=1$

जो कहता है:

$ k x=(n+1 / 2) \pi ; n=0,1,2,3, \ldots $

$ k=2 \pi / \lambda $ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} x=(n+1 / 2) \frac{\lambda}{2} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.39} \end{equation*} $$

फिर भी, किसी भी दो क्रमागत एंटीनोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। समीकरण (14.38) को एक तार के मामले में लागू किया जा सकता है, जो दोनों सिरों पर बाँधा गया है और लंबाई $L$ है। एक सिरे को $X=0$ मानते हुए, सीमा स्थितियाँ यह है कि $x=0$ और $x=L$ नोड के स्थान हैं। $x=0$ की स्थिति पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। $x=L$ नोड की स्थिति की आवश्यकता है कि लंबाई $L$ निम्नलिखित द्वारा $\lambda$ से संबंधित हो:

$$ \begin{equation*} L=n \frac{\lambda}{2} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.40} \end{equation*} $$

इस प्रकार, स्थैतिक तरंगों के संभावित तरंगदैर्घ्य संबंध द्वारा प्रतिबंधित होते हैं:

$$ \lambda=\frac{2 L}{n} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.41} $$

संगत आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{n v}{2 \mathrm{~L}}, \text { for } n=1,2,3 \tag{14.42} \end{equation*} $$

हम इस प्रकार एक प्राकृतिक आवृत्ति प्राप्त कर चुके हैं - व्यवस्थित विस्थापन के अनुपातिक आवृत्तियाँ। एक प्रणाली की सबसे कम संभव प्राकृतिक आवृत्ति को इसका मूल आवृत्ति या प्रथम हार्मोनिक कहा जाता है। एक तार जो दोनों सिरों पर तना हुआ हो तो इसके लिए $v=\frac{v}{2 L}$ होता है, जो समीकरण (14.42) के $n=1$ के संगत है। यहाँ $\mathrm{v}$ माध्यम के गुणों द्वारा निर्धारित तरंग वेग है। $n=2$ के लिए आवृत्ति को द्वितीय हार्मोनिक कहा जाता है; $n=3$ के लिए तृतीय हार्मोनिक और इसी तरह आगे। हम विभिन्न हार्मोनिक को $v_{n}(n=1,2, \ldots)$ द्वारा चिह्नित कर सकते हैं।

चित्र 14.13 में एक तना हुआ तार के पहले छह हार्मोनिक दिखाए गए हैं। एक तार के विस्थापन के लिए इन मोड में से केवल एक आवश्यक नहीं होता। आमतौर पर, एक तार के विस्थापन कई मोड के अधिग्रहण के योग होता है; कुछ मोड अधिक तीव्रता से उत्प्रेरित हो सकते हैं और कुछ कम। सितार या विलन जैसे संगीत वाद्य यंत्र इस सिद्धांत पर आधारित होते हैं। जहाँ तार को खींचा या बाँधा जाता है, वहाँ अन्य मोड के अपेक्षाकृत अधिक तीव्रता से उत्प्रेरित होते हैं।

चित्र 14.13 एक खिंचे तार के दोनों सिरों पर निश्चित किए गए विस्थापनों के पहले छह अधिस्वर या हार्मोनिक।

अब हम एक छोर बंद और दूसरा खुला होने वाले हवा के स्तंभ के सामान्य विपर्यय आवर्तन के बारे में विचार करेंगे। एक कांच के ट्यूब के आंशिक रूप से पानी से भरे होने वाले निस्संदेह इस प्रणाली को दर्शाता है। पानी के संपर्क में आने वाले सिरे पर एक नोड होता है, जबकि खुले सिरे पर एक एंटीनोड होता है। नोड पर दबाव के परिवर्तन सबसे अधिक होते हैं, जबकि विस्थापन न्यूनतम (शून्य) होता है। खुले सिरे - एंटीनोड पर, यह बिलकुल विपरीत होता है - सबसे कम दबाव परिवर्तन और विस्थापन के अधिकतम आयाम होता है। यदि पानी के संपर्क में आने वाले सिरे को $x=0$ मान लिया जाए, तो नोड की स्थिति (समीकरण 14.38) पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। यदि दूसरा सिरा $x=L$ एक एंटीनोड हो, तो समीकरण (14.39) द्वारा

$L=\quad \left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{2}$, जहाँ $n=0,1,2,3, \ldots$

संभावित तरंगदैर्ध्य फिर से निम्न संबंध द्वारा सीमित हो जाती है : $$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 L}{(n+1 / 2)}, \text { for } n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.43} \end{equation*} $$

सामान्य रूप (नैचुरल आवृत्तियाँ) - प्रणाली की स्वाभाविक आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{v}{2 L} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.44} \end{equation*} $$

मूल आवृत्ति $n=0$ के लिए होती है, और यह $\frac{v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है। उच्च आवृत्तियाँ विषम हार्मोनिक होती हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के विषम गुणक होती हैं : $3 \frac{v}{4 L}, 5 \frac{v}{4 L}$, आदि। चित्र 14.14 में एक सिरा बंद और दूसरा खुला हवा के स्तंभ के पहले छह विषम हार्मोनिक दिखाए गए हैं। एक दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ के लिए, प्रत्येक सिरा एक अनुनाद बिंदु होता है। इसलिए आसानी से देखा जा सकता है कि दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ सभी हार्मोनिक उत्पन्न करते हैं (चित्र 14.15 देखें)।

ऊपर के प्रणाली, तार और हवा के स्तंभ, बल द्वारा उत्पन्न आवर्त गति (अध्याय 13) भी अनुभव कर सकते हैं। यदि बाह्य आवृत्ति कोई एक स्वाभाविक आवृत्ति के पास होती है, तो प्रणाली अनुनाद दिखाती है।

सर्कुलर मेम्ब्रेन के सामान्य तरंग विधि जो कि एक टाबला के तरह परिधि पर अटैच किए गए होते हैं, उनकी सीमा शर्त यह होती है कि मेम्ब्रेन की परिधि पर कोई बिंदु आवर्ती गति नहीं करता है। इस प्रणाली के सामान्य तरंग आवृत्तियों का अनुमान लगाना अधिक जटिल होता है। यह समस्या दो आयामों में तरंग प्रसार के बारे में होती है। हालांकि, इसके पीछे भौतिकी एक जैसी होती है।

उदाहरण 14.5 एक पाइप, $30.0 \mathrm{~cm}$ लंबा है, दोनों सिरों पर खुला है। एक $1.1 \mathrm{kHz}$ उत्सर्जक के साथ कौन सा हार्मोनिक मोड पाइप में अनुनाद करता है? यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए तो एक ही उत्सर्जक के साथ अनुनाद के अवलोकन को देखा जाएगा या नहीं? हवा में ध्वनि की गति को $330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ मान लीजिए।

उत्तर पहले हार्मोनिक आवृत्ति निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$$ v_1=\frac{v}{\lambda_1}=\frac{v}{2 L} \quad \text { (खुला पाइप) } $$

जहाँ $L$ पाइप की लंबाई है। इसके $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति निम्नलिखित है:

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n v}{2 L}, \text { for } n=1,2,3, \ldots \text { (खुला पाइप) } $$

एक खुले पाइप के पहले कुछ मोड के चित्र में चित्र 14.15 में दिखाए गए हैं।

$L=30.0 \mathrm{~cm}, v=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए,

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n \hspace{1mm}330\left(\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{0.6(\mathrm{~m})}=550 \mathrm{n} \mathrm{~s}^{-1} $$

स्पष्ट रूप से, एक आवृत्ति के स्रोत 1.1 किलोहर्ट्ज के लिए $v_2$ पर अनुनाद करेगा, अर्थात द्वितीय अपवर्ती।

अब यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए (चित्र 14.15), तो समीकरण (14.15) से स्पष्ट होता है कि मूल आवृत्ति है

$$ v_{1}=\frac{v}{\lambda_{1}}=\frac{v}{4 L} \text { (एक सिरा बंद पाइप) } $$

चित्र 14.14 एक सिरा खुला और दूसरा सिरा बंद वाले हवा के स्तंभ के सामान्य अपवर्ती। केवल विषम अपवर्ती संभव हैं

और केवल विषम संख्या वाले अपवर्ती उपस्थित होते हैं :

$$ v_{3}=\frac{3 v}{4 L}, v_{5}=\frac{5 v}{\text{4 L}} \text {, and so on. } $$

$L=30 \mathrm{~cm}$ और $V=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए, एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $275 \mathrm{~Hz}$ होती है और स्रोत आवृत्ति इसके चौथे हार्मोनिक के संगत होती है। चूंकि यह हार्मोनिक संभव मोड नहीं है, तो स्रोत के साथ एक सिरे को बंद करते ही कोई अनुनाद नहीं देखा जाएगा।

14.7 ध्वनि आवर्तन (बीट्स)

‘बीट्स’ एक दिलचस्प घटना है जो तरंगों के विस्थापन से उत्पन्न होती है। जब दो अलग-अलग आवृत्ति वाले अनुनादी ध्वनि तरंगों को एक ही समय में सुना जाता है, तो हम एक आवृत्ति वाली ध्वनि सुनते हैं (दो आवृत्तियों के औसत), लेकिन हम अन्य चीज भी सुनते हैं। हम ध्वनि की तीव्रता के बढ़ते और घटते भाग को सुनते हैं, जिसकी आवृत्ति दो आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है। कलाकार अपने उपकरणों के साथ एक दूसरे के साथ संतुलन करते समय इस घटना का उपयोग अक्सर करते हैं। वे तब तक संतुलन करते रहते हैं जब तक उनके संवेदनशील कान बीट्स का पता नहीं लगाते।

चित्र 14.15 खुले पाइप में खड़े तरंग, पहले चार हार्मोनिक दिखाए गए हैं

इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, हम दो अलग-अलग आवृत्ति के हार्मोनिक ध्वनि तरंगों के बारे में विचार करेंगे, जिनके लगभग समान कोणीय आवृत्ति $\omega_1$ और $\omega_2$ हैं और सुविधा के लिए स्थिति को $\mathrm{x}=0$ रख दें। उपयुक्त चरण ( $\phi=\pi / 2$ प्रत्येक के लिए) और समान आयाम के साथ, समीकरण (14.2) देता है:

$$ s_1=a \cos \omega_1 t \text { और } s_2=a \cos \omega_2 t $$

यहाँ हमने प्रतीक y को $s$ से बदल दिया है, क्योंकि हम अनुप्रस्थ नहीं बल्कि अनुदिश विस्थापन के बारे में बात कर रहे हैं। मान लीजिए $\omega_1$ दो आवृत्तियों में से एक छोटी देर से बड़ी आवृत्ति है। सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, परिणामी विस्थापन है:

$$ s=s_1+s_2=a\left(\cos \omega_1 t+\cos \omega_2 t\right) $$

$\cos A+\cos B$ के परिचित त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं:

$$ =2 a \cos \frac{\left(\omega_1-\omega_2\right) t}{2} \cos \frac{\left(\omega_1+\omega_2\right) t}{2}\tag{14.46} $$

जिसे लिखा जा सकता है:

$$ s=\left[2 a \cos \omega_b t\right] \cos \omega_a t\tag{14.47}

$$

यदि $\left|\omega_1-\omega_2\right| \ll \omega_1, \omega_2, \omega_a \gg \omega_b$, तो जहाँ

$$ \omega_b=\frac{\left(\omega_1-\omega_2\right)}{2} \text { और } \omega_a=\frac{\left(\omega_1+\omega_2\right)}{2} $$

अब यदि हम मान लें कि $\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right| < < \omega_{1}$, जिसका अर्थ है कि $\omega_{a} > \omega_{b}$, तो हम समीकरण (14.47) को निम्नलिखित तरह से समझ सकते हैं। परिणामी तरंग औसत कोणीय आवृत्ति $\omega_{a}$ के साथ झूल रही है; हालांकि, इसके आयाम समय के साथ स्थिर नहीं है, जैसे कि शुद्ध हार्मोनिक तरंग। आयाम अधिकतम होता है जब $\cos \omega_{b} t$ का मान +1 या -1 होता है। अन्य शब्दों में, परिणामी तरंग की तीव्रता एक आवृत्ति के साथ बढ़ती और घटती है जो $2 \omega_{\mathrm{b}}=\omega_{1}-$ $\omega_{2}$ होती है। क्योंकि $\omega=2 \pi v$, तो बीट आवृत्ति $v_{\text {beat }}$, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v_{\text {beat }}=v_{1}-v_{2} \tag{14.48} \end{equation*} $$

चित्र 14.16 में 11 $\mathrm{Hz}$ और $9 \mathrm{~Hz}$ आवृत्ति वाली दो हार्मोनिक तरंगों के बीट घटना को दर्शाया गया है। परिणामी तरंग के आयाम 2 $\mathrm{~Hz}$ की आवृत्ति के साथ बीट दिखाई देता है।

चित्र 14.16 दो हार्मोनिक तरंगों के सुपरपोजिशन, जिनमें से एक की आवृत्ति 11 Hz (a) है और दूसरी की आवृत्ति 9 Hz (b) है, जो आवृत्ति 2 Hz के बीट्स के उत्पादन के लिए जिम्मेदार है, जैसा कि (c) में दिखाया गया है।

संगीत के स्तंभ

मंदिर अक्सर कुछ स्तंभों के साथ होते हैं, जो मानव आकार के चित्र बनाते हैं जो संगीत वाद्य यंत्र बजाते हुए दिखाई देते हैं, लेकिन ये स्तंभ खुद संगीत उत्पन्न नहीं करते हैं। तमिलनाडु के नेल्लईअप्पर मंदिर में, एक चौथे चित्रित स्तंभों पर धीमी छोटी आवाजों के साथ टकराने से भारतीय क्लासिकल संगीत के मूल नोट, अर्थात् सा, रे, गा, मा, पा, धा, नि, सा उत्पन्न होते हैं। इन स्तंभों के झंकार इस्तेमाल किए गए शैल के लचीलापन, घनत्व और आकार पर निर्भर करते हैं।

उदाहरण 14.6 दो सितार के तार A और B, नोट ‘धा’ के उत्पादन के लिए थोड़ा असंगत हैं और 5 हर्ट्ज की आवृत्ति के बीट उत्पन्न करते हैं। तार B के तनाव को थोड़ा बढ़ा दिया जाता है और बीट आवृत्ति 3 हर्ट्ज तक घट जाती है। यदि A की आवृत्ति 427 हर्ट्ज है, तो B की मूल आवृत्ति क्या है?

उत्तर स्ट्रिंग के तनाव में वृद्धि इसकी आवृत्ति में वृद्धि करती है। यदि मूल आवृत्ति $\mathrm{B}\left(v_B\right)$, $\mathrm{A}\left(v_A\right)$ की आवृत्ति से अधिक होती, तो $v_B$ में अतिरिक्त वृद्धि बीट आवृत्ति में वृद्धि करती। लेकिन बीट आवृत्ति कम हो जाती है। इससे स्पष्ट होता है कि $v_B<v_A$। चूंकि $v_A-v_B=5 \mathrm{~Hz}$, और $v_A=427 \mathrm{~Hz}$, हमें $v_B=422 \mathrm{~Hz}$ प्राप्त होता है।

सारांश

1. यांत्रिक तरंगें माध्यम में मौजूद हो सकती हैं और न्यूटन के नियमों द्वारा नियंत्रित होती हैं।

2. अनुप्रस्थ तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।

3. अनुदिश तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।

4. प्रगति तरंग वह तरंग होती है जो माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलती है।

5. एक वृत्तीय तरंग जो धनात्मक x दिशा में चल रही है, के विस्थापन को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)

$$

जहाँ $a$ तरंग का आयाम है, $k$ कोणीय तरंग संख्या है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, $(k x-\omega t+\phi)$ तरंग का कोण है, और $\phi$ कोणीय स्थिरांक या कोण है।

6. एक प्रगतिशील तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ किसी दिए गए समय पर दो क्रमागत बिंदुओं के बीच एक ही कोण के बीच दूरी होती है। एक स्थैतिक तरंग में, यह दो क्रमागत नोड या अनुनादी बिंदुओं के बीच दूरी के दोगुना होती है।

7. एक तरंग के आवर्तकाल $T$ को किसी माध्यम के किसी भी तत्व के एक पूर्ण दोलन के लिए लिय गए समय के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित है

$$ T=\frac{2 \pi}{\omega} $$

8. एक तरंग की आवृत्ति $v$ को $1 / T$ के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे कोणीय आवृत्ति द्वारा निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित किया जाता है

$$ \nu=\frac{\omega}{2 \pi} $$

9. एक प्रगतिशील तरंग की गति $v=\frac{\omega}{\mathrm{k}}=\frac{\lambda}{\mathrm{T}}=\lambda v$ द्वारा दी जाती है

10. एक तनाव वाली स्ट्रिंग पर एक अनुप्रस्थ तरंग की गति स्ट्रिंग के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। तनाव $T$ और रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ वाली स्ट्रिंग पर गति के लिए,

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} $$

11. ध्वनि तरंगें लंबवत यांत्रिक तरंगें होती हैं जो ठोस, तरल या गैस में चल सकती हैं। एक तरल में ध्वनि तरंग की गति $v$ बुफ़ बुफ़ मापांक $B$ और घनत्व $\rho$ के अनुसार होती है

$$ v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} $$

एक धातु के बार में लंबवत तरंग की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} $$

गैस के लिए, क्योंकि $B=\gamma P$, ध्वनि की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} $$

12. जब दो या अधिक तरंग एक ही माध्यम में एक साथ यात्रा करती हैं, तो माध्यम के किसी भी तत्व के विस्थापन को प्रत्येक तरंग द्वारा उत्पन्न विस्थापन के बीजगणितीय योग के रूप में लिया जाता है। इसे तरंगों के अध्यावेशन के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है

$$ y=\sum_{i=1}^n f_i(x-v t) $$

$$ y(x, t)=\left[2 a \cos \frac{1}{2} \phi\right] \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) $$

यदि $\phi=0$ या $2 \pi$ के किसी भी पूर्णांक के बराबर हो, तो तरंगें पूर्ण अनुपात में होती हैं और अपवर्जन निर्माण होता है; यदि $\phi=\pi$, तो वे पूर्ण अनुपात में नहीं होती हैं और अपवर्जन नष्ट होता है।

14. एक गतिशील तरंग, एक कठिन सीमा या बंद सिरे पर, अपने चरण के विपरीत दिशा में परावर्तित होती है लेकिन खुले सिरे पर परावर्तन बिना कोई चरण परिवर्तन के होता है। एक आपतित तरंग के लिए

$$ y_i(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग होगी

$$ y_r(x, t)=-a \sin (k x+\omega $$

खुले सिरे पर परावर्तन के लिए

$$ y_r(x, t)=a \sin (k x+\omega t) $$

15. दो समान तरंगों के विपरीत दिशा में चलने से खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं। एक तार के दोनों सिरों पर खड़ी तरंग के लिए समीकरण होगा

$$ y(x, t)=[2 a \sin k x] \cos \omega t $$

खड़ी तरंगें शून्य विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में नोड और अधिकतम विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में एंटीनोड द्वारा चिह्नित की जाती हैं। दो क्रमागत नोड या एंटीनोड के बीच दूरी $\lambda / 2$ होती है।

एक लम्बाई $L$ की खिंची गई स्ट्रिंग दोनों सिरों पर बाँधे रहने पर आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है, जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=\frac{n v}{2 L}, \quad n=1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दी गई आवृत्तियों के समूह को व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ कहते हैं। सबसे कम आवृत्ति वाले दोलन मोड को मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहते हैं। दूसरा हार्मोनिक $n=2$ के साथ दोलन मोड होता है और इसी तरह आगे चलकर। एक लम्बाई $L$ के नली जिसका एक सिरा बंद हो और दूसरा सिरा खुला हो (जैसे हवा के स्तंभ) आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है, जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=(\mathrm{n}+1 / 2) \frac{v}{2 \mathrm{~L}}, \quad n=0,1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा प्रदर्शित आवृत्तियों के समूह ऐसे व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ हैं। $v / 4 L$ द्वारा दी गई सबसे कम आवृत्ति मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहलाती है।

16. एक लम्बाई $L$ की स्ट्रिंग दोनों सिरों पर बाँधे रहने पर या एक सिरा बंद और दूसरा सिरा खुला होने वाले हवा के स्तंभ या दोनों सिरे खुले होने वाले व्यवस्था निश्चित आवृत्तियों के द्वारा दोलन करते हैं, जिन्हें उनके नॉर्मल मोड कहते हैं। इनमें से प्रत्येक आवृत्ति व्यवस्था की एक रेज़ोनेंस आवृत्ति होती है।

17. टीन तब उत्पन्न होते हैं जब दो तरंगें, जिनकी आवृत्तियाँ $v_1$ और $v_2$ होती हैं, जो एक दूसरे के बहुत करीब होती हैं और उनके आयाम भी लगभग समान होते हैं, एक दूसरे पर अधिव्यक्ति करती हैं। टीन आवृत्ति है

$$ v_{\text {beat }}=v_1 \sim v_2 $$

सोचने वाले बिंदु

1. एक तरंग माध्यम में पूरे तत्व के गति के रूप में नहीं होती। हवा के बर्बादी तरंग वायु में ध्वनि तरंग से अलग होती है। पहले में हवा के एक स्थान से दूसरे स्थान तक गति होती है। दूसरे में हवा के विभिन्न तहों के संपीड़न और विरलन होते हैं।

2. एक तरंग में, ऊर्जा एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरित होती है, न कि पदार्थ।

3. एक यांत्रिक तरंग में, ऊर्जा स्थानांतरण तंत्र के आसपास विस्थापित भागों के बीच तार बलों के माध्यम से होता है।

4. अनुप्रस्थ तरंगें केवल विकृति गुणांक के माध्यम में प्रसारित हो सकती हैं, अक्षीय तरंगों के लिए आयतन गुणांक की आवश्यकता होती है और इसलिए ये सभी माध्यमों में, ठोस, तरल और गैस में संभव हैं।

5. एक निश्चित आवृत्ति की समतापी तरंग में, सभी कणों के आयाम समान होते हैं लेकिन एक निश्चित समय पर अलग-अलग चरण होते हैं। एक स्थैतिक तरंग में, दो नोड के बीच सभी कणों के चरण एक निश्चित समय पर समान होते हैं लेकिन आयाम अलग-अलग होते हैं।

6. एक माध्यम में विराम अवस्था में अवलोकनकर्ता के संबंध में, एक यांत्रिक तरंग की गति ( $V$ ) उस माध्यम के तार बल और अन्य गुणों (जैसे द्रव्यमान घनत्व) पर निर्भर करती है। यह उत्सर्जक के वेग पर निर्भर नहीं करती।

—

14.1 परिचय

पिछले अध्याय में हम वस्तुओं के अलग-अलग गति के अध्ययन कर चुके हैं। एक ऐसे प्रणाली में क्या होता है, जो ऐसी वस्तुओं के संग्रह होता है? एक विस्तारित माध्यम ऐसा उदाहरण है। यहां, विस्तारित बल घटकों के एक दूसरे से बंधे होते हैं और इसलिए एक के गति का प्रभाव दूसरे के गति पर पड़ता है। यदि आप एक छोटे से पत्थर को एक शांत पानी के तालाब में गिराएं, तो पानी की सतह अस्थिर हो जाती है। अस्थिरता एक स्थान पर सीमित नहीं रहती, बल्कि एक वृत्त के रूप में बाहर की ओर फैलती जाती है। यदि आप तालाब में लगातार पत्थर गिराते रहें, तो आप देख सकते हैं कि वृत्त तेजी से अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर चले जाते हैं। यह ऐसा अहसास देता है जैसे कि पानी अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर बह रहा हो। यदि आप अस्थिता की सतह पर कुछ कॉर्क के टुकड़े रख दें, तो आप देख सकते हैं कि कॉर्क के टुकड़े ऊपर नीचे गिरते हैं लेकिन अस्थिरता के केंद्र से दूर नहीं जाते हैं। यह दिखाता है कि पानी के द्रव्य बाहर की ओर नहीं बहता है बल्कि एक गति करती हुई अस्थिरता का निर्माण होता है। इसी तरह, जब हम बोलते हैं, तो ध्वनि हम से बाहर की ओर चलती है, बिना किसी भी माध्यम के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक हवा के प्रवाह के। हवा में उत्पन्न अस्थिरताएं बहुत कम स्पष्ट होती हैं और केवल हमारे कान या एक माइक्रोफोन उन्हें खोज सकते हैं। ये पैटर्न, जो एक पूरे माध्यम के वास्तविक भौतिक परिवहन या प्रवाह के बिना चलते हैं, तरंगें कहलाते हैं। इस अध्याय में हम ऐसी तरंगों के अध्ययन करेंगे।

तरंगें ऊर्जा का वाहक होती हैं और उनके विक्षोभ के पैटर्न में जानकारी होती है जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलती हैं। हमारी सभी संचार प्रणालियाँ मूल रूप से तरंगों के माध्यम से संकेतों के प्रसार पर निर्भर करती हैं। बोलना हवा में ध्वनि तरंगों के उत्पादन को कहते हैं और सुनना इन तरंगों के पता लगाने को कहते हैं। अक्सर, संचार विभिन्न प्रकार की तरंगों के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें पहले एक विद्युत धारा संकेत में बदल जाती हैं जो फिर एक विद्युत चुंबकीय तरंग में बदल जाती हैं जो एक ऑप्टिकल केबल या एक उपग्रह के माध्यम से प्रसारित की जा सकती हैं। मूल संकेत के पता लगाने में आमतौर पर इन कदमों के विपरीत क्रम में होता है।

सभी तरंगों के लिए माध्यम की आवश्यकता नहीं होती। हम जानते हैं कि प्रकाश तरंगें वैक्यूम में भी चल सकती हैं। तारों द्वारा उत्सर्जित प्रकाश, जो सौ लाख वर्ष के दूर तक होते हैं, आकाशीय अंतराकाश में हम तक पहुंचते हैं, जो वास्तव में एक वैक्यूम होता है।

सबसे परिचित प्रकार की तरंगें जैसे कि स्ट्रिंग पर तरंगें, पानी की तरंगें, ध्वनि तरंगें, भूकंपीय तरंगें आदि विशेष रूप से यांत्रिक तरंगें कहलाती हैं। ये तरंगें प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है, वे वैक्यूम में प्रसार नहीं कर सकती हैं। ये तरंगें माध्यम के संघटक कणों के दोलन पर निर्भर करती हैं और माध्यम के अतिरिक्त गुणों पर निर्भर करती हैं। आप द्वारा कक्षा XII में सीखे जाने वाले विद्युत चुंबकीय तरंगें एक अलग प्रकार की तरंग हैं। विद्युत चुंबकीय तरंगें माध्यम की आवश्यकता नहीं होती - वे वैक्यूम में भी चल सकती हैं। प्रकाश, रेडियो तरंगें, X-किरणें, सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें हैं। वैक्यूम में सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें एक ही गति $\mathrm{c}$ के साथ चलती हैं, जिसका मान है :

$$c=299,792,458 \mathrm{~ms}^{-1} \tag{14.1}$$

एक तीसरा प्रकार की तरंग वह है जिसे बार-बार “मात्रा तरंग” कहा जाता है। वे पदार्थ के घटकों से संबंधित होती हैं: इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, परमाणु और अणु। वे आपके आगे अध्ययन के दौरान आपको सीखने वाले प्रकृति के क्वांटम भौतिकीय वर्णन में उत्पन्न होती हैं। हालांकि ये यांत्रिक या विद्युत-चुंबकीय तरंगों की तुलना में अधिक अमूर्त अवधारणा हैं, लेकिन वे आधुनिक तकनीक के कई उपकरणों में पहले से ही उपयोग में हैं; इलेक्ट्रॉनों के संगत मात्रा तरंग इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप में उपयोग की जाती हैं।

इस अध्याय में हम मैकेनिकल तरंगों के अध्ययन करेंगे, जिनके प्रसार के लिए एक पदार्थी माध्यम की आवश्यकता होती है।

तरंगों के आलोचनात्मक प्रभाव कला और साहित्य पर बहुत प्राचीन काल से देखा जाता है; हालांकि, तरंग गति के पहले वैज्ञानिक विश्लेषण के इतिहास सातवीं सदी तक वापस जाता है। तरंग गति के भौतिकी के कुछ प्रसिद्ध वैज्ञानिकों में क्रिस्टियान ह्यूगेन्स (1629-1695), रॉबर्ट हूक और आइज़ैक न्यूटन शामिल हैं। तरंग भौतिकी के समझ के विकास में दोलन के द्रव्यमानों के भौतिकी और सरल लोलक के भौतिकी के अध्ययन के बाद आया। विस्तारित तार, घुमावदार स्प्रिंग, हवा, आदि तरंगों के विस्तार के लिए उदाहरण हैं।

हम इस संबंध को सरल उदाहरणों के माध्यम से स्पष्ट करेंगे।

एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंगों के एक संग्रह को चित्र 14.1 में दिखाया गया है। यदि एक सिरे पर स्प्रिंग को अचानक खींचकर छोड़ दिया जाए, तो अव्यवहार दूसरे सिरे तक पहुंच जाता है। यह क्या हुआ? पहला स्प्रिंग अपनी संतुलन लंबाई से असंतुलित हो जाता है। चूंकि दूसरा स्प्रिंग पहले से जुड़ा हुआ है, इसलिए यह भी खिंच जाता है या संपीड़ित हो जाता है, आदि। अव्यवहार एक सिरे से दूसरे सिरे तक चलता रहता है, लेकिन प्रत्येक स्प्रिंग अपनी संतुलन स्थिति के आसपास केवल छोटे झूले बनता है। इस स्थिति का एक व्यावहारिक उदाहरण लें, एक रेलवे स्टेशन पर स्थिर ट्रेन। ट्रेन के विभिन्न भाग (बोगी) एक दूसरे के साथ एक स्प्रिंग के माध्यम से जुड़े होते हैं। जब एक इंजन एक सिरे पर जुड़ जाता है, तो इसके आसपास बोगी को धकेल देता है; यह धक्का एक बोगी से दूसरे बोगी तक बिना पूरी ट्रेन के एक साथ विस्थापित होने के बिना अग्रसर होता रहता है।

चित्र 14.1 एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंग के संग्रह। छोर A पर अचानक खींचा जाता है जिससे एक अस्थिरता उत्पन्न होती है, जो फिर दूसरे छोर तक फैलती है।

अब हम हवा में ध्वनि तरंगों के प्रसार के बारे में विचार करते हैं। जैसे ही तरंग हवा में गुजरती है, वह हवा के एक छोटे क्षेत्र को संपीड़ित या विस्तारित करती है। इसके परिणामस्वरूप उस क्षेत्र में घनत्व में एक परिवर्तन होता है, जैसे कि $\delta \rho$। इस परिवर्तन के कारण उस क्षेत्र में दबाव में एक परिवर्तन, $\delta p$ उत्पन्न होता है। दबाव एक इकाई क्षेत्र पर बल होता है, इसलिए अस्थिरता के साथ एक पुनर्स्थापन बल आनुपातिक होता है, जैसे कि एक स्प्रिंग में। इस मामले में, स्प्रिंग के विस्तार या संपीड़न के समान राशि घनत्व में परिवर्तन होता है। यदि कोई क्षेत्र संपीड़ित होता है, तो उस क्षेत्र में अणु एक दूसरे के पास बंद हो जाते हैं और वे आसपास के क्षेत्र में बाहर जाने की ओर झुकते हैं, जिसके परिणामस्वरू आसपास के क्षेत्र में घनत्व बढ़ जाता है या उस क्षेत्र में संपीड़न उत्पन्न होता है। इसलिए, पहले क्षेत्र में हवा के विरलन होता है। यदि कोई क्षेत्र तुलनात्मक रूप से विरल होता है, तो आसपास की हवा उस क्षेत्र में आ जाती है जिसके परिणामस्वरूप विरलन आसपास के क्षेत्र में बढ़ जाता है। इस प्रकार, संपीड़न या विरलन एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में चलता है, जिससे हवा में अस्थिरता के प्रसार की संभावना उत्पन्न होती है।

ठोस में, इसी तरह के तर्क किए जा सकते हैं। एक क्रिस्टलीय ठोस में, परमाणु या परमाणुओं के समूह एक आवर्ती जालक में व्यवस्थित होते हैं। इनमें, प्रत्येक परमाणु या परमाणुओं के समूह आसपास के परमाणुओं के बलों के कारण संतुलन में होते हैं। एक परमाणु को विस्थापित करके अन्य सभी को स्थिर रखे रहने पर, वापसी बल उत्पन्न होते हैं, ठीक वैसे जैसे कि एक स्प्रिंग में। इसलिए हम एक जालक में परमाणुओं को सिर बिंदुओं के रूप में सोच सकते हैं, जिनके बीच स्प्रिंग होते हैं।

इस पाठ के अगले अनुभागों में हम तरंगों के विभिन्न विशिष्ट गुणों के बारे में चर्चा करेंगे।

14.2 अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें

हम देख चुके हैं कि यांत्रिक तरंगों के गति में माध्यम के घटकों के दोलन शामिल होते हैं। यदि माध्यम के घटक तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं, तो तरंग को अनुप्रस्थ तरंग कहा जाता है। यदि वे तरंग प्रसार की दिशा के समानुपाती दोलन करते हैं, तो तरं ग को अनुदिश तरंग कहा जाता है।

चित्र 14.2 जब एक पल्स तनाव वाली स्ट्रिंग के लंबाई के अनुदिश (x-दिशा) चलता है, तो स्ट्रिंग के तत्व ऊपर और नीचे (y-दिशा) झूलते हैं।

चित्र 14.2 में एक अकेले पल्स के स्ट्रिंग पर चलन को दिखाया गया है, जो एक अकेले ऊपर और नीचे के झटके के कारण होता है। यदि स्ट्रिंग की लंबाई पल्स के आकार की तुलना में बहुत लंबी हो, तो पल्स दूसरे सिरे तक पहुँचने से पहले धीमा हो जाएगा और उस सिरे से परावर्तन को नगण्य माना जा सकता है। चित्र 14.3 में एक समान विन्यास दिखाया गया है, लेकिन इस बार बाहरी एजेंट स्ट्रिंग के एक सिरे पर एक निरंतर आवर्ती वृत्तीय ऊपर और नीचे के झटके देता है। इसके परिणामस्वरूप स्ट्रिंग पर उत्पन्न अवांछित घटना एक वृत्तीय तरंग होती है। दोनों मामलों में स्ट्रिंग के तत्व तरंग या पल्स के माध्यम से गुजरते हुए अपने संतुलन औसत स्थिति के आसपास झूलते हैं। झूलन तरंग की गति की दिशा के लंबवत होती है, इसलिए यह एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.3 एक तार में एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) तरंग एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है। तरंग के क्षेत्र में तार के एक तत्व के अपने संतुलन स्थिति के लंबवत दिशा में आवर्ती गति करता है।

हम एक तरंग को दो तरीकों से देख सकते हैं। हम एक समय क्षण निश्चित कर सकते हैं और तरंग को अंतरिक्ष में देख सकते हैं। इससे हमें एक निश्चित समय पर तरंग के समग्र आकार को प्राप्त होता है। दूसरा तरीका एक स्थान निश्चित करना है, अर्थात हम तार के एक विशिष्ट तत्व पर ध्यान केंद्रित करते हैं और इसकी समय के अनुसार आवर्ती गति को देखते हैं।

चित्र 14.4 ध्वनि तरंगों के प्रसार के सबसे परिचित उदाहरण में अनुप्रस्थ तरंगों की स्थिति को वर्णित करता है। एक लंबा पाइप वायु से भरा होता है जिसके एक सिरे पर एक पिस्टन होता है। पिस्टन के एक अचानक आगे की ओर धकेल और वापस खींचे जाने से माध्यम (वायु) में एक तरंग के रूप में संकुचन (उच्च घनत्व) और विरलता (निम्न घनत्व) के एक पल्स का उत्पादन होता है। यदि पिस्टन की धकेल-खींच कार्य निरंतर और आवर्ती (साइनसॉइडल) होती है, तो वायु में एक साइनसॉइडल तरंग के रूप में प्रसार होता है। यह स्पष्ट रूप से एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.4 एक हवा भरे पाइप में ऊपर और नीचे खंडन द्वारा उत्पन्न अनुप्रस्थ तरंगें (ध्वनि)। हवा के एक आयतनीय तत्व के अनुप्रस्थ दिशा में तरंग के प्रसार के साथ आवर्ती गति होती है।

उपरोक्त तरंगें, अनुप्रस्थ या अनुदिश, यात्रा या प्रगति तरंगें हैं क्योंकि वे माध्यम के एक भाग से दूसरे भाग तक चलती हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम के समग्र रूप से गति नहीं होती। उदाहरण के रूप में, एक नदी के बहाव में पानी के समग्र गति का अंतर होता है। एक पानी की तरंग में, यह विक्षोभ ही गति करता है, न कि पानी के समग्र। इसी तरह, एक हवा के बहाव (हवा के समग्र गति) को एक ध्वनि तरंग से भ्रम नहीं होना चाहिए, जो हवा में दबाव घनत्व में विक्षोभ के प्रसार को दर्शाती है, जिसमें हवा के समग्र गति नहीं होती।

अनुप्रस्थ तरंगों में, कणों की गति तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत होती है। अतः, जैसे तरंग प्रसार होती है, माध्यम के प्रत्येक तत्व के एक छेदन तनाव का अनुभव होता है। अतः, अनुप्रस्थ तरंगें केवल उन माध्यमों में प्रसार हो सकती हैं जो छेदन तनाव को संभाल सकते हैं, जैसे कि ठोस नहीं तरल। तरल और ठोस दोनों दबाव तनाव को संभाल सकते हैं; अतः, अनुदिश तरंगें सभी तार्किक माध्यमों में प्रसार हो सकती हैं। उदाहरण के रूप में, तांबे जैसे माध्यम में अनुप्रस्थ और अनुदिश दोनों तरंगें प्रसार हो सकती हैं, जबकि हवा केवल अनुदिश तरंगें प्रसार कर सकती है। पानी के सतह पर तरंगें दो प्रकार की होती हैं: सतह तनाव तरंगें और गुरुत्व तरंगें। पहली तरंगें बहुत छोटी तरंग लंबाई की होती हैं-केवल कई सेंटीमीटर तक नहीं अधिक- और इनका पुनर्स्थापन बल पानी के सतह तनाव होता है। गुरुत्व तरंगें की तरंग लंबाई आमतौर पर कई मीटर से कई सौ मीटर तक होती है। इन तरंगों के उत्पन्न करने वाला पुनर्स्थापन बल गुरुत्वाकर्षण होता है, जो पानी के सतह को अपने निम्न स्तर पर बनाए रखने की कोशिश करता है। इन तरंगों में कणों के आवर्तन आवर्ती गति केवल सतह पर नहीं होती, बल्कि धीरे-धीरे आमोचन के साथ बहुत नीचे तक फैलती है। पानी की तरंगों में कणों की गति एक जटिल गति होती है- वे न केवल ऊपर और नीचे बहते हैं बल्कि आगे और पीछे भी बहते हैं। खाड़ी में तरंगें अनुदिश और अनुप्रस्थ दोनों तरंगों के संयोजन होती हैं।

यह ज्ञात होता है कि, सामान्यतः, अनुप्रस्थ एवं अनुदिश तरंगें एक ही माध्यम में अलग-अलग चाल से यात्रा करती हैं।

उदाहरण 14.1 नीचे दिए गए कुछ तरंग गति के उदाहरण हैं। प्रत्येक स्थिति में तरंग गति को अनुप्रस्थ, अनुदिश या दोनों के संयोजन के रूप में बताइए:

(a) एक अनुदिश स्प्रिंग के एक सिरे को ओर ओर विस्थापित करके उत्पन्न किंक की गति।

(b) एक सिलेंडर में तरल के द्वारा इसके पिस्टन के आगे-पीछे गति द्वारा उत्पन्न तरंगें।

(c) एक मोटर बोट के जल में चलते हुए उत्पन्न तरंगें।

(d) एक क्वार्टज क्रिस्टल के द्वारा हवा में उत्पन्न अल्ट्रासोनिक तरंगें।

उत्तर

(a) अनुप्रस्थ एवं अनुदिश

(b) अनुदिश

(c) अनुप्रस्थ एवं अनुदिश

(d) अनुदिश

14.3 एक प्रगति तरंग में विस्थापन संबंध

एक यात्रा करती हुई तरंग के गणितीय वर्णन के लिए, हमें स्थिति $x$ और समय $t$ दोनों के फलन की आवश्यकता होती है। ऐसा फलन प्रत्येक क्षण में उस क्षण के तरंग के आकार को देना चाहिए। इसके अलावा, किसी भी दिए गए स्थान पर, यह उस स्थान पर माध्यम के घटक की गति का वर्णन भी करना चाहिए। यदि हम एक वृत्तीय यात्रा करती हुई तरंग (जैसे चित्र 14.3 में दिखाए गए तरंग) का वर्णन करना चाहते हैं, तो संगत फलन भी वृत्तीय होना चाहिए। सुविधा के लिए, हम तरंग को अनुप्रस्थ मान लेंगे ताकि यदि माध्यम के घटक की स्थिति को $x$ से दर्शाया जाए, तो संतुलन स्थिति से विस्थापन को $y$ से दर्शाया जा सके। तब एक वृत्तीय यात्रा करती हुई तरंग का वर्णन निम्नलिखित होता है:

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)\tag{14.2}$$

साइन फलन के तर्क में $\phi$ शब्द का तात्पर्य यह है कि हम एक लीनियर संयोजन के रूप में साइन और कोसाइन फलनों को ध्यान में रख रहे हैं:

$$y(x, t)=A \sin (k x-\omega t)+B \cos (k x-\omega t) \tag {14.3}$$

समीकरण (14.2) और (14.3) से,

$$ a=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \quad\text { और} \quad\phi=\tan ^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) $$

समीकरण (14.2) को एक साइनसॉइडल चल तरंग के रूप में क्यों प्रस्तुत करता है, इसकी समझ लेते हुए, एक निश्चित क्षण, जैसे $t=t_{0}$ लें। तब, समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्क केवल $k x+$ नियतांक होता है। इसलिए, तरंग के आकार (किसी भी निश्चित क्षण पर) $x$ के फलन के रूप में एक साइन तरंग होती है। इसी तरह, एक निश्चित स्थान, जैसे $x=x_{0}$ लें। तब, समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्क नियतांक $-\omega t$ होता है। इसलिए, एक निश्चित स्थान पर विस्थापन $y$, समय के साथ साइनसॉइडल रूप से बदलता है। अर्थात, विभिन्न स्थानों पर माध्यम के घटक सरल वैकल्पिक गति करते हैं। अंत में, जब $t$ बढ़ता है, तो $x$ को धनात्मक दिशा में बढ़ाना पड़ता है ताकि $k x-\omega t+\phi$ नियत रहे। इसलिए, समीकरण (14.2) धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हुई साइनसॉइडल (हार्मोनिक) तरंग को प्रस्तुत करता है। दूसरी ओर, एक फलन एक नकारात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हुई तरंग को प्रस्तुत करता है। चित्र (14.5) में समीकरण (14.2) में उपस्थित विभिन्न भौतिक राशियों के नाम दिए गए हैं जिन्हें हम अब व्याख्या कर रहे हैं।

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x+\omega t+\phi) \tag{14.4} \end{equation*} $$

चित्र 14.5 समीकरण (14.2) में मानक चिन्हों का अर्थ

चित्र 14.6 में समीकरण (14 बराबर 2) के लिए विभिन्न समय मानों के लिए आरेख दिखाए गए हैं। एक तरंग में, शिखर अधिकतम धनात्मक विस्थापन के बिंदु होता है, गर्त अधिकतम नकारात्मक विस्थापन के बिंदु होता है। एक तरंग कैसे चलती है, इसको देखने के लिए हम एक शिखर पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह समय के साथ कैसे बढ़ता है। चित्र में, इसे शिखर पर एक क्रॉस ( ) द्वारा दिखाया गया है। इसी तरह, हम एक निश्चित स्थान पर माध्यम के एक विशिष्ट घटक की गति देख सकते हैं, जैसे कि x-अक्ष के मूल बिंदु पर। इसे एक ठोस बिंदु (•) द्वारा दिखाया गया है। चित्र 14.6 के आरेख दिखाते हैं कि समय के साथ ठोस बिंदु (•) मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से गति करता है, अर्थात तरंग के बढ़ते हुए बिंदु मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से अपने माध्य स्थिति के चारों ओर झूलता है। यह किसी अन्य स्थान के लिए भी सत्य है। हम देखते हैं कि ठोस बिंदु (•) एक पूर्ण दोलन पूरा करते हुए एक निश्चित दूरी तक आगे बढ़ गया है।

चित्र 14.6 एक हार्मोनिक तरंग धनात्मक x-अक्ष की दिशा में विभिन्न समय पर चल रही है।

चित्र 14.6 के आलोक में, हम अब समीकरण (14.2) में विभिन्न राशियों को परिभाषित करते हैं।

14.3.1 आयाम और चरण

समीकरण (14.2) में, क्योंकि साइन फलन 1 और -1 के बीच बदलता है, विस्थापन $y(x, t)$ $a$ और $-a$ के बीच बदलता है। हम $a$ को एक धनात्मक नियतांक मान सकते हैं, बिना कोई अप्रासंगिकता के। तब, $a$ माध्यम के घटकों के संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन को प्रदर्शित करता है। ध्यान दें कि विस्थापन $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, लेकिन $a$ धनात्मक होता है। इसे आयाम कहते हैं।

समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्ग के रूप में उपस्थित $(k x-\omega t+\phi)$ राशि को तरंग के चरण कहते हैं। दिया गया आयाम $a$, चरण कोई भी स्थिति और कोई भी समय पर तरंग के विस्थापन को निर्धारित करता है। स्पष्ट रूप से $\phi$ $x=0$ और $t=0$ पर चरण होता है। इसलिए, $\phi$ को प्रारंभिक चरण कोण कहते हैं। उपयुक्त विधि से $x$-अक्ष पर मूल बिंदु और प्रारंभिक समय का चयन करके, $\phi=0$ हो सकता है। इसलिए, $\phi$ को छोड़ने में कोई अप्रासंगिकता नहीं होती है, अर्थात समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेना असंगत नहीं है।

14.3.2 तरंगदैर्ध्य एवं कोणीय तरंग संख्या

एक तरंग के दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी जिसके दोनों बिंदुओं के अवस्था समान हो, तरंगदैर्ध्य कहलाती है, जिसे आमतौर पर $\lambda$ से दर्शाया जाता है। सरलता के लिए, हम एक ही अवस्था वाले बिंदुओं को शिखर या घाटी के रूप में चुन सकते हैं। तरंगदैर्ध्य तब तरंग में दो क्रमागत शिखर या घाटियों के बीच दूरी होती है। समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेने पर, $t=0$ पर विस्थापन द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} y(x, 0)=a \sin k x \tag{14.5} \end{equation*} $$

क्योंकि साइन फंक्शन कोण में प्रत्येक $2 \pi$ परिवर्तन के बाद अपने मान को दोहराता है,

$$ \sin k x=\sin (k x+2 n \pi)=\sin k\left(x+\frac{2 n \pi}{k}\right) $$

अर्थात बिंदु $x$ और $ x+\frac{2 n \pi}{k} $

पर विस्थापन समान होता है, जहाँ $n=1,2,3, \ldots$ किसी भी दिए गए समय के लिए समान विस्थापन वाले बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी को $n=1$ लेने पर प्राप्त किया जाता है। तब $\lambda$ द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 \pi}{k} \quad \text { या } \quad k=\frac{2 \pi}{\lambda} \tag{14.6}

\end{equation*} $$

$ k $ तरंग कोणीय तरंग संख्या या प्रसार नियतांक है; इसका SI इकाई रेडियन प्रति मीटर या रेडियन $ m^{-1} $ है।

14.3.3 आवर्तकाल, कोणीय आवृत्ति और आवृत्ति

चित्र 14.7 फिर से एक ज्यावक्रीय आलेख दिखाता है। यह एक निश्चित समय पर तरंग के आकार का वर्णन नहीं करता है, बल्कि एक माध्यम के तत्व (किसी भी निश्चित स्थान पर) के विस्थापन के समय के फलन का वर्णन करता है। सरलता के लिए, हम समीकरण (14.2) को $ \phi = 0 $ के साथ ले सकते हैं और $ x = 0 $ पर तत्व के गति की निगरानी कर सकते हैं। तब हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{aligned} y(0, t) & =a \sin (-\omega t) \\ & =-a \sin \omega t \end{aligned} $$

चित्र 14.7 एक निश्चित स्थान पर एक स्ट्रिंग के तत्व के आवर्त गति के साथ आयाम $ a $ और आवर्तकाल $ T $ होते हैं, जैसे कि तरंग इस पर गुजरती है।

अब, तरंग के आवर्तकाल वह समय है जिसमें एक तत्व एक पूर्ण आवर्त गति पूरा करता है। अर्थात,

$-a \sin \omega t=-a \sin \omega(t+\mathrm{T})$

$$ =-a \sin (\omega t+\omega T) $$

क्योंकि साइन फ़ंक्शन $2 \pi$ के प्रत्येक पश्चात दोहराता है,

$$ \begin{equation*} \omega T=2 \pi \text { या } \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} \tag{14.7} \end{equation*} $$

$\omega$ को तरंग की कोणीय आवृत्ति कहते हैं। इसका SI इकाई $\mathrm{rad} s^{-1}$ होती है। आवृत्ति $v$ प्रति सेकंड दोलनों की संख्या होती है। इसलिए,

$$ \begin {equation*} v=\frac{1}{\mathrm{~T}}=\frac{\omega}{2 \pi} \tag{14.8} \end{equation*} $$

• यहाँ फिर से, ‘रेडियन’ को छोड़ दिया जा सकता है और इकाइयों को केवल म–1 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, $k$ एक इकाई लंबाई पर 2π गुना तरंगों (या कुल चरण अंतर) की संख्या को प्रदर्शित करता है। $v$ को आमतौर पर हर्ट्ज़ में मापा जाता है।

ऊपर के विवरण में सदैव एक रस्सी या अनुप्रस्थ तरंग के अनुसार चलती तरंग के बारे में संदर्भ दिया गया है। एक अनुप्रस्थ तरंग में, माध्यम के एक तत्व के विस्थापन की दिशा तरंग के प्रसार की दिशा के समानांतर होती है। समीकरण (14.2) में, एक अनुप्रस्थ तरंग के विस्थापन फ़ंक्शन को लिखा गया है,

$$ \begin{equation*} s(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.9} \end{equation*} $$

जहाँ $s(x, t)$ तरंग के प्रसार की दिशा में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन को प्रदर्शित करता है, जो स्थिति $x$ और समय $t$ पर होता है। समीकरण (14.9) में, $a$ विस्थापन आयाम है; अन्य राशियाँ एक अनुप्रस्थ तरंग के मामले में वैसे ही अर्थ रखती हैं, बस विस्थापन फलन $y(x, t)$ के स्थान पर फलन $s(x, t)$ का उपयोग करना होता है।[^0]

उदाहरण 14.2 एक तार के अनुदिश चल रही तरंग का वर्णन निम्नलिखित द्वारा किया जाता है,

$y(x, t)=0.005 \sin (80.0 x-3.0 t)$,

जहाँ संख्यात्मक स्थिरांक SI इकाइयों में हैं ($0.005 \mathrm{~m}, 80.0 \mathrm{rad} \mathrm{m}^{-1}$, और $3.0 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$)। (a) आयाम, (b) तरंगदैर्ध्य, और (c) तरंग के आवर्तकाल और आवृत्ति की गणना कीजिए। तरंग के विस्थापन $y$ की गणना भी कीजिए जब दूरी $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर हो।

उत्तर इस विस्थापन समीकरण को समीकरण (14.2) के साथ तुलना करने पर,

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t),

$$

हम पाते हैं

(a) तरंग का आयाम $0.005 \mathrm{~m}=5 \mathrm{~mm}$ है।

(b) कोणीय तरंग संख्या $k$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ निम्नलिखित हैं

$ k=80.0 \mathrm{~m}^{-1} \text { और } \omega=3.0 \mathrm{~s}^{-1} $

हम फिर से समीकरण (14.6) के माध्यम से तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $k$ से संबंधित करते हैं,

$$ \begin{aligned} \lambda & =2 \pi / k \\ & =\frac{2 \pi}{80.0 \mathrm{~m}^{-1}} \\ & =7.85 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

(c) अब, हम $T$ को $\omega$ से संबंधित करते हैं द्वारा संबंध

$$ \begin{aligned} T & =2 \pi / \omega \ & =\frac{2 \pi}{3.0 \mathrm{~s}^{-1}} \ & =2.09 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

और आवृत्ति, $v=1 / T=0.48 \mathrm{~Hz}$ $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर विस्थापन $y$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (80.0 \times 0.3-3.0 \times 20) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (-36+12 \pi) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (1.699) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin \left(97^{\circ}\right) \simeq 5 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

14.4 गतिशील तरंग की चाल

एक चलते हुए तरंग के प्रसार की गति निर्धारित करने के लिए, हम तरंग पर किसी भी विशिष्ट बिंदु (जिसकी कुछ चर के मान द्वारा विशेषता हो) पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह बिंदु समय के साथ कैसे गति करता है। यह आसान हो जाता है तरंग के शिखर की गति की ओर ध्यान देना। चित्र 14.8 दो समय के बिंदुओं के लिए तरंग के आकार को दिखाता है, जो एक छोटे समय अंतराल $\Delta t$ के द्वारा अलग होते हैं। पूरी तरंग पैटर्न देखा जाता है जो दाहिने (x-अक्ष के धनात्मक दिशा) ओर दूरी $\Delta x$ तक विस्थापित हो जाता है। विशेष रूप से, एक डॉट $(\bullet)$ द्वारा दिखाए गए शिखर दूरी $\Delta x$ के लिए समय $\Delta t$ में गति करता है। तरंग की गति तब $\Delta x / \Delta t$ होती है। हम डॉट $(\bullet)$ को किसी अन्य चर के मान वाले बिंदु पर रख सकते हैं। यह एक ही गति $v$ से गति करेगा (अन्यथा तरंग पैटर्न निश्चित रहेगा नहीं)। तरंग पर एक निश्चित चर के बिंदु की गति द्वारा दी जाती है

चित्र 14.8 समय t से t + ∆t तक एक हार्मोनिक तरंग के प्रगति को दर्शाता है। जहाँ ∆t एक छोटा अंतराल है। सम्पूर्ण तरंग पैटर्न दाहिने ओर विस्थापित होता है। तरंग के शिखर (या किसी निश्चित चरण के बिंदु) दाहिने ओर ∆x दूरी तक चलकर ∆t समय में विस्थापित होता है।

$$ \begin{equation*} k x-\omega t=\text { constant } \tag{14.10} \end{equation*} $$

इसलिए, समय $t$ के बदलने के साथ-साथ, निश्चित चरण के बिंदु की स्थिति $x$ इस प्रकार बदलनी चाहिए कि चरण स्थिर रहे। इसलिए,

$$ k x-\omega t=k(x+\Delta x)-\omega(t+\Delta t) $$

या $\quad k \Delta x-\omega \Delta t=0$

जब $\Delta x, \Delta t$ अत्यंत छोटे हों, तो यह देता है

$$ \begin{equation*} \frac{d x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k}=v \tag{14.11} \end{equation*} $$

$\omega$ को $T$ और $k$ को $\lambda$ से संबंधित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda}=\lambda \nu=\frac{\lambda}{T} \tag{14.12} \end{equation*} $$

समीकरण (14.12), सभी प्रगति तरंगों के लिए एक सामान्य संबंध है, जो यह दर्शाता है कि किसी माध्यम के किसी भी घटक के एक पूर्ण दोलन के लिए आवश्यक समय में तरंग पैटर्न तरंग की तरंगदैर्घ्य के बराबर दूरी तक चलता है। ध्यान देने योग्य है कि एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम के अपसारी (लंबाई द्रव्यमान घनत्व तारों के लिए, सामान्य द्रव्यमान घनत्व) और अनुत्कृष्ट गुणों (रेखीय माध्यमों के लिए यांग के मापांक/ विक्षेपण मापांक, आयतन मापांक) द्वारा निर्धारित होती है। माध्यम निर्धारित करता है

गति; समीकरण (14.12) दी गई गति के लिए तरंग दैर्ध्य को आवृत्ति से संबंधित करता है। निश्चित रूप से, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम एक ही माध्यम में दोनों अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों को समर्थन कर सकता है, जो उसी माध्यम में अलग-अलग गति करेंगी। इस कृति के बाद, हम कुछ माध्यमों में यांत्रिक तरंगों की गति के विशिष्ट व्यंजक प्राप्त करेंगे।

14.4.1 तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति

एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम में विक्षेपित होने पर बहाव बल द्वारा निर्धारित की जाती है और माध्यम के अनुशंसा गुणों (द्रव्यमान घनत्व) द्वारा। गति की अपेक्षा बहाव बल के सीधे संबंध और अनुशंसा गुणों के विपरीत संबंध होता है। तार पर तरंगों के लिए, बहाव बल तार में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है। इस मामले में अनुशंसा गुण रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ होगा, जो तार की लंबाई $L$ के बराबर द्रव्यमान $m$ के विभाजन के बराबर होता है। न्यूटन के गति के नियमों का उपयोग करके, तार पर तरंग गति के ठीक व्यंजक का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन इस निर्माण के बारे में इस किताब के बाहर बात की जाएगी। हम इसलिए विमान विश्लेषण का उपयोग करेंगे। हम पहले से ही जानते हैं कि विमान विश्लेषण अकेले ठीक व्यंजक नहीं प्रदान कर सकता है। विमान विश्लेषण द्वारा समग्र विमानहीन स्थिरांक हमेशा अनिर्धारित रहता है।

The dimension of $\mu$ is $\left[M L^{-1}\right]$ and that of $T$ is like force, namely $\left[M L T^{2}\right]$. We need to combine these dimensions to get the dimension of speed $v\left[L T^{-1}\right]$. Simple inspection shows that the quantity $\mathrm{T} / \mu$ has the relevant dimension

$$ \frac{\left[M L T^{-2}\right]}{[M L]}=\left[L^{2} T^{-2}\right] $$

Thus if $T$ and $\mu$ are assumed to be the only relevant physical quantities,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.13} \end{equation*} $$

where $C$ is the undetermined constant of dimensional analysis. In the exact formula, it turms out, $\mathrm{C}=1$. The speed of transverse waves on a stretched string is given by

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.14} \end{equation*} $$

Note the important point that the speed $V$ depends only on the properties of the medium $T$ and $\mu$ ( $T$ is a property of the stretched string arising due to an external force). It does not depend on wavelength or frequency of the wave itself. In higher studies, you will come across waves whose speed is not independent of frequency of the wave. Of the two parameters $\lambda$ and $v$ the source of disturbance determines the frequency of the wave generated. Given the speed of the wave in the medium and the frequency Eq. (14.12) then fixes the wavelength

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{v}{v} \tag{14.15} \end{equation*} $$

उदाहरण 14.3 एक स्टील के तार की लंबाई $0.72 \mathrm{~m}$ है और इसका द्रव्यमान $5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है। यदि तार पर $60 \mathrm{~N}$ का तनाव है, तो तार पर अनुप्रस्थ तरंगों की चाल क्या होगी?

उत्तर तार के इकाई लंबाई पर द्रव्यमान,

$$ \begin{aligned} \mu & =\frac{5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{0.72 \mathrm{~m}} \\ & =6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \end{aligned} $$

तनाव, $T=60 \mathrm{~N}$

तार पर तरंग की चाल द्वारा दी गई है

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{60 \mathrm{~N}}{6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1}}}=93 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

14.4.2 अनुप्रस्थ तरंग की चाल (ध्वनि की चाल)

एक अनुप्रस्थ तरंग में, माध्यम के घटक तरंग के प्रसार की दिशा में आगे और पीछे झूलते हैं। हम पहले ही देख चुके हैं कि ध्वनि तरंग वायु के छोटे आयतन के तत्वों के संपीड़न और विरलन के रूप में चलती है। संपीड़न तनाव के तहत तनाव को निर्धारित करने वाली श्रेणी विस्तार गुणांक होती है जो माध्यम द्वारा परिभाषित की जाती है (अध्याय 8 देखें)

$$ \begin{equation*} B=-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \tag{14.16} \end{equation*} $$

यहाँ, दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ आयतनी विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ उत्पन्न करता है। $B$ के आयाम दबाव के समान होते हैं और SI इकाइयों में पास्कल $(\mathrm{Pa})$ में दिया जाता है। तरंग के प्रसार के लिए संबंधित अविच्छिन्न गुण द्रव्यमान घनत्व $\rho$ होता है, जिसके आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ होते हैं। सरल देखने से पता चलता है कि मात्रा $B / \rho$ के आयाम के लिए:

$$ \begin{equation*} \frac{\left[M L^{-2} T^{-2}\right]}{\left[M L^{-3}\right]}=\left[L^{2} T^{-3}\right] \tag{14.17} \end{equation*} $$

इसलिए, यदि $B$ और $\rho$ को एकमात्र संबंधित भौतिक मात्राओं के रूप में लिया जाता है,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.18} \end{equation*} $$

जहाँ, जैसा कि पहले था, $C$ आयाम विश्लेषण से प्राप्त अनिर्धारित नियतांक होता है। सटीक व्युत्पन्न दिखाता है कि $C=1$। इसलिए, माध्यम में अनुप्रस्थ तरंगों के लिए सामान्य सूत्र है:

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.19} \end{equation*} $$

\end{equation*} $$

एक रैखिक माध्यम, जैसे कि एक ठोस बार, में लंबवत विस्तार नegligible होता है और हम इसे केवल अक्षीय तनाव के अंतर्गत ले सकते हैं। ऐसे मामले में संबंधित तन्यता मापांक यंग का मापांक होता है, जिसका आयाम आयतनिक मापांक के समान होता है। इस मामले के आयाम विश्लेषण पहले के जैसा होता है और एक समीकरण जैसे समीकरण (14.18) के साथ एक अनिर्धारित $C$ देता है, जिसे सटीक व्युत्पन्न एकता के रूप में दिखाता है। इसलिए, एक ठोस बार में अक्षीय तरंगों की गति द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} \tag{14.20} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{Y}$ बार के पदार्थ के यंग का मापांक है। सामग्री में ध्वनि की गति की गति तालिका 14.1 में दी गई है।

तालिका 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति

| तरल पदार्थ | | | पानी $\left(0^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1402 | | पानी $\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1482 | | समुद्री जल | 1522 | | ठोस पदार्थ | | | एल्यूमिनियम | 6420 | | तांबा | 3560 | | इस्पात | 5941 | | ग्रैनाइट | 6000 | | वुल्कैनाइज़ड | | | रबर | 54 |

तरल पदार्थ और ठोस पदार्थ आमतौर पर गैसों की तुलना में ध्वनि की गति के अधिक मूल्य रखते हैं। [ठोस के लिए ध्वनि की गति के संदर्भ में ध्वनि के अनुप्रस्थ तरंगों की गति के बारे में बात की जा रही है]। यह इसलिए होता है कि वे गैसों की तुलना में बहुत कठिन होते हैं और इसलिए उनके बुल्क मॉड्यूलस के मूल्य बहुत अधिक होते हैं। अब, समीकरण (14.19) को देखें। ठोस और तरल पदार्थ के घनत्व $(\rho)$ गैसों की तुलना में अधिक होता है। लेकिन ठोस और तरल पदार्थ के बुल्क मॉड्यूलस $(B)$ में वृद्धि बहुत अधिक होती है। इस कारण ध्वनि तरंगें ठोस और तरल पदार्थ में तेजी से चलती हैं।

हम आदर्श गैस के अनुमान के आधार पर एक गैस में ध्वनि की गति का अनुमान लगा सकते हैं। एक आदर्श गैस में, दबाव $P$, आयतन $V$ और तापमान $T$ द्वारा संबंधित होते हैं (अध्याय 10 देखें)।

$$

\begin{equation*} \mathrm{P} V=N k_{B} T \tag{14.21} \end{equation*} $$

जहाँ $N$ आयतन $V$ में अणुओं की संख्या है, $k_{B}$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ गैस का तापमान (केल्विन में) है। अतः, एक समतापी परिवर्तन के लिए समीकरण (14.21) से यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ \begin{array}{r} V \Delta P+P \Delta V=0 \\ \text { या }-\frac{\Delta P}{\Delta V / V}=P \end{array} $$

इसलिए, समीकरण (14.16) में प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$$ B=P $$

अतः, समीकरण (14.19) से एक आदर्श गैस में एक अनुप्रस्थ तरंग की चाल दी जाती है,

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{P}{\rho}} \tag{14.22} \end{equation*} $$

इस संबंध को पहले न्यूटन ने दिया था और इसे न्यूटन के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण 14.4 मानक ताप और दबाव पर हवा में ध्वनि की चाल का अनुमान लगाएं। 1 मोल हवा के द्रव्यमान $29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर हम जानते हैं कि किसी गैस के 1 मोल का आयतन STP पर 22.4 लीटर होता है। अतः, STP पर हवा का घनत्व है:

$\rho_{o}=$ (एक मोल हवा के द्रव्यमान) / (एक मोल हवा का आयतन STP पर)

$$ \begin{aligned} & =\frac{29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{22.4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}} \\ & =1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \end{aligned} $$

न्यूटन के ध्वनि के वेग के लिए सूत्र के अनुसार, हम वायु में ध्वनि के वेग के लिए प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} v=\left[\frac{1.01 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}}{1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}}\right]^{1 / 2}=280 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \tag{14.23} \end{equation*} $$

समीकरण (14.23) में दिखाए गए परिणाम को तालिका 14.1 में दिए गए $331 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के प्रयोगात्मक मान से लगभग 15% कम माना जाता है। हम गलत कहां कर रहे हैं? यदि हम न्यूटन द्वारा ध्वनि के प्रसार के दौरान माध्यम में दबाव परिवर्तन के लिए अनुमान लगाए गए आधारभूत मान की जांच करें, तो हम देखते हैं कि यह सही नहीं है। लैप्लास द्वारा इस बात की ओर इशारा किया गया था कि ध्वनि तरंगों के प्रसार के दौरान दबाव परिवर्तन इतनी तेज होते हैं कि ताप विनिमय के लिए निरंतर तापमान के बरकरार रखने के लिए कम समय रहता है। इन परिवर्तनों के कारण, अत: यह अनुतापीय (adiabatic) होते हैं और नहीं तापीय (isothermal) होते हैं। अत: अनुतापीय प्रक्रियाओं के लिए आदर्श गैस अनुमान लगाए गए अनुसार संतुलन को संतुष्ट करती है (अनुच्छेद 11.8 देखें),

$$ P V^{\gamma}=\text { constant } $$

अर्थात $\quad\quad \Delta\left(P V^{\prime}\right)=0$

$$ P \gamma V^{\gamma-1} \Delta V+V^{\gamma} \Delta P=0 $$

जहाँ $\gamma$ दो विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात है, $\mathrm{C_{\mathrm{p}}} / \mathrm{C_{\mathrm{v}}}$।

इस प्रकार, आदर्श गैस के लिए अनुवर्ती आयतन बल गुणांक निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{aligned} B_{a d} & =-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \\ & =\gamma P \end{aligned} $$

इसलिए, समीकरण (14.19) से ध्वनि की गति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} \tag{14.24} \end{equation*} $$

न्यूटन के सूत्र के इस संशोधन को लैप्लेस संशोधन के रूप में संदर्भित किया जाता है। हवा के लिए $\gamma=7 / 5$ है। अब समीकरण (14.24) का उपयोग करके हवा के लिए एसटीपी पर ध्वनि की गति का अनुमान लगाने पर हमें मान 331.3 $\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ प्राप्त होता है, जो मापित गति के साथ सहमत है।

14.5 तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत

जब दो तरंग उद्गम विपरीत दिशाओं में गति करते हुए एक दूसरे को पार करते हैं (चित्र 14.9), तो क्या होता है? यह जांच करने पर पाया जाता है कि तरंग उद्गम एक दूसरे को पार करने के बाद अपनी पहचान को बरकरार रखते हैं। हालांकि, उनके अधिकार के समय तरंग पैटर्न दोनों तरंग उद्गमों में से किसी एक के बराबर नहीं होता। चित्र 14.9 में दो समान आकार और विपरीत आकृति के तरंग उद्गम एक दूसरे की ओर गति करते हुए दिखाया गया है। जब तरंग उद्गम अधिकार करते हैं, तो परिणामी विस्थापन प्रत्येक तरंग उद्गम के कारण विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक तरंग उद्गम अन्य तरंग उद्गमों की उपस्थिति के बिना गति करती है। माध्यम के घटक दोनों तरंग उद्गमों के कारण विस्थापन अनुभव करते हैं और क्योंकि विस्थापन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं, इसलिए शुद्ध विस्थापन दोनों के बीजगणितीय योग होता है। चित्र 14.9 में विभिन्न समय पर तरंग आकृति के ग्राफ दिखाए गए हैं। ध्यान दें ग्राफ (c) में दिखाए गए उल्लेखनीय प्रभाव; दोनों तरंग उद्गमों के कारण विस्थापन एक दूसरे को बरकरार रखते हैं और विस्थापन शून्य हो जाता है।

चित्र 14.9 दो तरंगें जिनके विस्थापन समान लेकिन विपरीत हैं और वे विपरीत दिशाओं में चल रही हैं। विपरीत तरंगों के अधिकांश विस्थापन वक्र (c) में शून्य विस्थापन द्वारा जोड़ देते हैं।

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत को गणितीय रूप से व्यक्त करने के लिए, मान लीजिए $y_{1}(x, t)$ और $y_{2}(x, t)$ दो तरंग विक्षोभों के कारण माध्यम में विस्थापन है। यदि तरंगें एक क्षेत्र में एक साथ पहुंचती हैं और अतः आपस में घुल मिलती हैं, तो शुद्ध विस्थापन $y(x, t)$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) \tag{14.25} \end{equation*} $$

यदि हम दो या अधिक तरंगें माध्यम में चल रही हों, तो परिणामी तरंग विक्षोभ व्यक्तिगत तरंगों के तरंग फलनों के योग के बराबर होता है। अर्थात, चल रही तरंगों के तरंग फलन निम्नलिखित होंगे:

$$ \begin{aligned} & y_{1}=f_{1}(x-v t), \\ & y_{2}=f_{2}(\text{x}-v t), \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ & \cdots \cdots \cdots . . \\ $$

$$ \begin{aligned} & y_{n}=f_{n}(x-v t) \end{aligned} $$

तो माध्यम में विक्षोभ का तरंग फलन निम्नलिखित होगा

$$ \begin{align*} y & =f_{1}(x-v t)+f_{2}(x-v t)+\ldots+f_{n}(x-v t) \\ & =\sum_{i=1}^{n} f_{i}(x-v t) \tag{14.26} \end{align*} $$

सुपरपोजिशन के सिद्धांत को विरोध के घटना के लिए मूलभूत माना जाता है।

सरलता के लिए, एक तनी हुई रस्सी पर दो अनुप्रस्थ तरंगों के बारे में सोचें, जो दोनों के समान $\omega$ (कोणीय आवृत्ति) और $k$ (तरंग संख्या) हैं, और इसलिए एक ही तरंगदैर्घ्य $\lambda$ है। उनकी तरंग चाल एक ही होगी। हम यह अतिरिक्त मान लें कि उनके आम्प्लीट्यूड बराबर हैं और वे दोनों $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में चल रहे हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक कलन में अलग हैं। समीकरण (14.2) के अनुसार, दो तरंगों को निम्नलिखित फलनों द्वारा वर्णित किया जाता है:

$$ \begin{equation*} y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \tag{14.27} \end{equation*} $$

$$ \text{और} \quad \quad y_{2}(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.28}$$

तब सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, कुल विस्थापन निम्नलिखित होगा,

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t)+a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.29} $$

$$ \begin{equation*} \alpha\left[2 \sin \left[\frac{(k x-\omega t)+(k x-\omega t+\phi)}{2}\right] \cos \frac{\phi}{2}\right] \tag{14.30} \end{equation*} $$

जहाँ हम निर्दिष्ट त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin A+\sin B$ का उपयोग करते हैं। फिर हमें प्राप्त होता है:

$$y(x, t)=2 a \cos \frac{\phi}{2} \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) \tag{14.31}$$

चित्र 14. सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार बराबर आयाम और तरंगदैर्ध्य वाले दो हार्मोनिक तरंगों के परिणामी। परिणामी तरंग के आयाम अपवाह अंतर $\phi$ पर निर्भर करता है, जो (a) में शून्य और (b) में $\pi$ होता है।

समीकरण (14.31) एक अग्रगामी तरंग भी है, जो $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में चलती है, जिसकी आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य एक ही है। हालांकि, इसका प्रारंभिक अंतर अंतर $\frac{\phi}{2}$ है। महत्वपूर्ण बात यह है कि इसका आयाम दो घटक तरंगों के अंतर $\phi$ पर निर्भर करता है:

$$ \begin{equation*} A(\phi)=2 a \cos 1 / 2 \phi \tag{14.32} \end{equation*} $$

$\phi=0$ के लिए, जब तरंगें समान चरण में होती हैं,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin (k x-\omega t) \tag{14.33} \end{equation*} $$

अर्थात, परिणामी तरंग का आयाम $2 \mathrm{a}$ होता है, जो $A$ के संभव सबसे बड़े मान है। $\phi=\pi$ के लिए, तरंगें पूरी तरह से असमान चरण में होती हैं और परिणामी तरंग सभी समय और सभी स्थानों पर शून्य विस्थापन रखती है

$$ \begin{equation*} y(x, t)=0 \tag{14.34} \end{equation*} $$

समीकरण (14.33) दो तरंगों के ऐसे संरचनात्मक अन्तराल को संदर्भित करता है जहां परिणामी तरंग में आयाम जोड़ देते हैं। समीकरण (14.34) परिणामी तरंग में आयाम घट जाने के मामले को संदर्भित करता है। आकृति 14.10 इन दोनों अन्तराल के मामलों को अधिक विस्तार से दर्शाती है जो अधिक विस्तार के सिद्धांत के आधार पर उत्पन्न होते हैं।

14.6 तरंगों के प्रतिबिंब

अब तक हम असीमित माध्यम में चल रही तरंगों के बारे में विचार कर चुके हैं। यदि एक पल्स या तरंग सीमा के सामने आता है तो क्या होता है? यदि सीमा कठिन होती है, तो पल्स या तरंग प्रतिबिंबित हो जाते हैं। तरंग या पल्स द्वारा सीमा के सामने आने पर इसके प्रतिबिंब के बारे में विचार करते हैं।

फेनोमेनोन ऑफ़ ईचो एक उदाहरण है एक ठोस सीमा द्वारा परावर्तन के। यदि सीमा पूर्ण रूप से ठोस नहीं है या दो अलग-अलग इलास्टिक माध्यमों के बीच एक सीमा है, तो स्थिति कुछ जटिल हो जाती है। एक भाग आपतित तरंग के रूप में परावर्तित हो जाता है और एक भाग दूसरे माध्यम में प्रसारित हो जाता है। यदि एक तरंग दो अलग-अलग माध्यमों के बीच एक सीमा पर झुके रूप में आपतित होती है, तो प्रसारित तरंग को अपवर्तित तरंग कहा जाता है। आपतित और अपवर्तित तरंगें अपवर्तन के न्यूटन के नियम का पालन करती हैं, और आपतित और परावर्तित तरंगें सामान्य परावर्तन के नियमों का पालन करती हैं।

चित्र 14.11 एक तरंग जो एक तनी हुई रस्सी के अलोक बिंदु पर चल रही है और एक सीमा द्वारा परावर्तित हो रही है। मान लीजिए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का कोई अवशोषण नहीं होता है, तो परावर्तित तरंग आपतित तरंग के एक ही आकार की होती है लेकिन इसके परावर्तन पर एक चरण परिवर्तन $\pi$ या $18 डिग्री$ होता है। इसका कारण यह है कि सीमा ठोस है और विक्षोभ के सभी समय बिंदु पर शून्य विस्थापन होना आवश्यक है। अध्यारोपण के सिद्धांत के अनुसार, इसके लिए परावर्तित और आपतित तरंगों में $\pi$ के चरण के अंतर के साथ ही विस्थापन शून्य हो सकता है। इस तर्क के आधार पर एक ठोस दीवार पर सीमा स्थिति है। हम एक गतिशील तर्क के माध्यम से भी इसी निष्कर्ष तक पहुंच सकते हैं। जैसे तरंग दीवार पर पहुंचती है, तो यह दीवार पर एक बल लगाती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, दीवार रस्सी पर बराबर और विपरीत बल लगाती है जो एक परावर्तित तरंग के रूप में उत्पन्न होता है जिसमें $\pi$ के चरण के अंतर होता है।

चित्र 14.11 एक तरंग के एक कठिन सीमा के साथ मिलने पर परावर्तित तरंग।

अगर दूसरी ओर, सीमा बिंदु कठिन नहीं है लेकिन पूरी तरह से गति करने में मुक्त है (जैसे कि एक स्ट्रिंग के एक छोर पर एक छोर बर्फ के एक वलय पर बंधी हो जाती है), तो परावर्तित तरंग के एक ही चरण और आयाम होते हैं (ऊर्जा के कोई नुकसान न होने की अवधारणा के अंतर्गत) जैसे कि आपतित तरंग। तब सीमा पर अधिकतम विस्थापन दो गुना हो जाता है जितना कि प्रत्येक तरंग के आयाम होता है। एक अकेले वाद्य यंत्र के खुले सिरे का एक उदाहरण अकेले बंद सीमा का है।

सारांश करें, एक चलती तरंग या तरंग एक कठिन सीमा पर परावर्तन के दौरान $\pi$ के चरण परिवर्तन का अनुभव करती है और एक खुले सीमा पर परावर्तन के दौरान कोई चरण परिवर्तन नहीं होता। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है, आपतित चलती तरंग को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$$ y_2(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

एक कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग को निम्नलिखित रूप में दिया जाता है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+\pi) . \ & =-a \sin (k x-\omega t)\tag{14.35} \end{aligned} $$

एक खुले सीमा पर, परावर्तित तरंग के द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+0) . \ & =a \sin (k x-\omega t)\tag{14.36} \end{aligned} $$

स्पष्ट रूप से, कठिन सीमा पर, $y=y_2+y_r=0$

14.6.1 खड़ी तरंगें और नॉर्मल मोड

हमने ऊपर एक सीमा पर परावर्तन के बारे में विचार किया। लेकिन वास्तव में अवस्थाएं (एक तार दोनों सिरों पर बाँधा गया है या एक पाइप में हवा का स्तंभ जिसका एक सिरा बंद है) हैं जहां परावर्तन दो या अधिक सीमाओं पर होता है। एक तार में, उदाहरण के लिए, एक दिशा में चल रही तरंग एक सिरे पर परावर्तित हो जाती है, जो फिर दूसरे सिरे से टकराकर परावर्तित हो जाती है। यह तब तक चलता रहता है जब तक तार पर एक स्थिर तरंग पैटर्न बन जाए। ऐसे तरंग पैटर्न को खड़ी तरंग या स्थिर तरंग कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चल रही एक तरंग और उसी आयाम और तरंगदैर्ध्य के एक परावर्तित तरंग के ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती है। समीकरण (14.2) और (14.4) के साथ $\phi=0$ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \\ & y_{2}(x, t)=a \sin (k x+\omega t) \end{aligned} $$

स्ट्रिंग पर विस्तारित तरंग के अनुसार, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार:

$$ y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) $$

$$ =a[\sin (k x-\omega t)+\sin (k x+\omega t)] $$

परिचित त्रिकोणमितीय पहचान

$\operatorname{Sin}(A+B)+\operatorname{Sin}(A-B)=2 \sin A \cos B$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin k x \cos \omega t \tag{14.37} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि समीकरण (14.37) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न में महत्वपूर्ण अंतर उस समीकरण (14.2) या समीकरण (14.4) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न से है। शब्द $\mathrm{kx}$ और $\omega t$ अलग-अलग उपस्थित होते हैं, न कि $k x-\omega t$ के संयोजन में। इस तरंग का आयाम $2 a \sin k x$ है। इस तरंग पैटर्न में, आयाम बिंदु से बिंदु तक बदलता है, लेकिन स्ट्रिंग के प्रत्येक तत्व एक ही कोणीय आवृत्ति $\omega$ या समय अवधि के साथ दोलन करते हैं। तरंग के विभिन्न तत्वों के दोलनों के बीच कोई चरण अंतर नहीं होता। तरंग के रूप में स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं पर अलग-अलग आयामों के साथ दोलन करती है। तरंग पैटर्न बाएं या दाएं नहीं चल रही है। इसलिए, वे स्थिर या स्थायी तरंग कहलाते हैं। एक निश्चित स्थान पर आयाम निश्चित होता है, लेकिन, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, अलग-अलग स्थानों पर आयाम अलग होता है। आयाम शून्य होते हैं (अर्थात, जहां कोई भी गति नहीं होती है) वे नोड्स; आयाम सबसे अधिक होते हैं वे एंटीनॉड्स कहलाते हैं। चित्र 14.12 दो विपरीत दिशाओं में चलने वाली तरंगों के सुपरपोजिशन से उत्पन्न स्थायी तरंग पैटर्न को दर्शाता है।

स्थायी तरंगों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि सीमा स्थितियाँ प्रणोदन के संभावित तरंगदैर्घ्य या आवृत्तियों को सीमित करती हैं। प्रणोदन के लिए प्रणोदन की कोई भी असंगत आवृत्ति नहीं हो सकती (इसे एक हार्मोनिक गतिशील तरंग के साथ तुलना करें), बल्कि एक प्रणोदन के समूह या सामान्य आवृत्तियों के द्वारा विशिष्ट किया जाता है। एक खींचे गए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर बंधे होने पर इन सामान्य आवृत्तियों का निर्धारण करें।

पहले, समीकरण (14.37) से, नोड्स के स्थान (जहाँ आयाम शून्य होता है) निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \sin kx = 0 $$

जो इसके तात्पर्य करता है: $$ k x = n \pi ; \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots $$

चूंकि $k = 2\pi/\lambda$, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} x = \frac{n \lambda}{2} ; n = 0, 1, 2, 3, \ldots \tag{14.38} \end{equation*} $$

चित्र 14.12 दो अलग-अलग हार्मोनिक तरंगों के विपरीत दिशाओं में गति करते हुए अधिक तरंगों के अध्ययन से उत्पन्न स्थायी तरंगें। ध्यान दें कि शून्य विस्थापन (नोड्स) के स्थान समय के साथ निरंतर रहते हैं।

स्पष्ट रूप से, किसी भी दो क्रमागत नोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। इसी तरह, अन्तर्नोड (जहाँ आयाम सबसे अधिक होता है) के स्थान द्वारा दिए गए हैं, जहाँ $\sin kx$ का मान सबसे अधिक होता है:

$|\sin kx| = 1$

जिससे निम्नलिखित परिणाम आते हैं:

$$ kx = (n + 1/2) \pi ; \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots $$

$ k = 2\pi/\lambda $ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} x = (n + 1/2) \frac{\lambda}{2} ; \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots \tag{14.39} \end{equation*} $$

फिर भी, किसी भी दो क्रमागत अन्तर्नोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। समीकरण (14.38) को एक तनी हुई रस्सी के मामले में लागू किया जा सकता है, जिसकी लंबाई $L$ है और दोनों सिरों पर निश्चित है। एक सिरे को $X = 0$ मानते हुए, सीमा स्थितियाँ यह हैं कि $x = 0$ और $x = L$ नोड के स्थान हैं। $x = 0$ की स्थिति पहले से ही संतुष्ट है। $x = L$ की नोड स्थिति की आवश्यकता है कि लंबाई $L$ तरंगदैर्घ्य $\lambda$ के साथ निम्नलिखित संबंध में हो:

$$ \begin{equation*} L = n \frac{\lambda}{2} ; \quad n = 1, 2, 3, \ldots \tag{14.40} \end{equation*} $$

इस प्रकार, स्थैतिक तरंगों की संभावित तरंगदैर्घ्य निम्नलिखित संबंध द्वारा सीमित होती है:

$$ \lambda=\frac{2 L}{n} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.41} $$

संगत आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{n v}{2 \mathrm{~L}}, \text { for } n=1,2,3 \tag{14.42} \end{equation*} $$

हम इस प्रकार एक प्राकृतिक आवृत्ति प्राप्त कर चुके हैं - वस्तु के दोलन के सामान्य रूप। एक वस्तु की सबसे कम संभव प्राकृतिक आवृत्ति को उसका मूल रूप या प्रथम हार्मोनिक कहते हैं। एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर निश्चित होने पर इसके द्वारा दिया गया व्यंजक $v=\frac{v}{2 L}$ है, जो समीकरण (14.42) के $n=1$ के संगत है। यहाँ $\mathrm{v}$ तरंग की गति है जो माध्यम के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। $n=2$ के लिए आवृत्ति को द्वितीय हार्मोनिक कहते हैं; $n=3$ के लिए तृतीय हार्मोनिक और इसी तरह आगे। हम विभिन्न हार्मोनिक को $v_{n}(n=1,2, \ldots)$ के चिन्ह द्वारा चिह्नित कर सकते हैं।

चित्र 14.13 एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के पहले छह हार्मोनिक को दिखाता है। एक स्ट्रिंग के दोलन केवल इन मोड में होना आवश्यक नहीं है। सामान्यतः, एक स्ट्रिंग के दोलन कई विभिन्न मोड के अधिग्रहण के योग होते हैं; कुछ मोड अधिक तीव्रता से उत्तेजित हो सकते हैं और कुछ कम। सितार या विलन जैसे संगीत वाद्य यंत्र इस सिद्धांत पर आधारित होते हैं। जहाँ स्ट्रिंग को खींचा या बाँधा जाता है, वहाँ अन्य मोड की तुलना में कुछ मोड अधिक प्रमुख होते हैं।

चित्र 14.13 एक खींचे गए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर टिके हुए विस्थापन के पहले छह अधिस्वर या हार्मोनिक।

अब हम एक छोर बंद और दूसरा खुला हुआ हवा के स्तंभ के नॉर्मल मोड आवर्तन के बारे में विचार करेंगे। एक कांच के ट्यूब जो आंशिक रूप से पानी से भरा हो इस प्रणाली को दर्शाता है। पानी के संपर्क में छोर एक नोड होता है, जबकि खुला छोर एक एंटीनोड होता है। नोड पर दबाव के परिवर्तन सबसे अधिक होते हैं, जबकि विस्थापन न्यूनतम (शून्य) होता है। खुले छोर पर - एंटीनोड, यहां दबाव के परिवर्तन सबसे कम होते हैं और विस्थापन के अधिकतम आयाम होते हैं। यदि पानी के संपर्क में छोर को $x=0$ मान लिया जाए, तो नोड की स्थिति (समीकरण 14.38) पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। यदि दूसरा छोर $x=L$ एक एंटीनोड हो, तो समीकरण (14.39) द्वारा

$L=\quad \left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{2}$, जहां $n=0,1,2,3, \ldots$

संभावित तरंगदैर्घ्य निम्न संबंध द्वारा सीमित हो जाती है : $$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 L}{(n+1 / 2)}, \text { for } n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.43} \end{equation*} $$

सामान्य रूप (संस्थानिक आवृत्तियाँ) - प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{v}{2 L} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.44} \end{equation*} $$

मूल आवृत्ति $n=0$ के लिए होती है, और यह $\frac{v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है। उच्च आवृत्तियाँ विषम हार्मोनिक होती हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के विषम गुणक होती हैं : $3 \frac{v}{4 L}, 5 \frac{v}{4 L}$, आदि। चित्र 14.14 में एक सिरा बंद और दूसरा खुला हवा के स्तंभ के पहले छह विषम हार्मोनिक दिखाए गए हैं। एक दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ के लिए, प्रत्येक सिरा एक अनुनाद बिंदु होता है। इसलिए आसानी से देखा जा सकता है कि दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ सभी हार्मोनिक उत्पन्न करते हैं (चित्र 14.15 देखें)।

ऊपर के प्रणाली, तार और हवा के स्तंभ, बल द्वारा उत्प्रेरित आवर्त गति (अध्याय 13) भी अनुभव कर सकते हैं। यदि बाह्य आवृत्ति कोई एक प्राकृतिक आवृत्ति के पास होती है, तो प्रणाली अनुनाद दिखाती है।

सर्कुलर मेम्ब्रेन के सामान्य आवर्त गति के अनुसार, जैसे कि टबला में वृत्ताकार परिधि पर निर्धारित किया गया है, वह बाहरी सीमा पर कोई भी बिंदु आवर्त गति नहीं करता है। इस प्रणाली के सामान्य आवर्त गति की आवृत्ति का अनुमान लगाना अधिक जटिल है। यह समस्या दो आयामों में तरंग प्रसार के बारे में है। हालांकि, आधारभूत भौतिकी एक ही है।

उदाहरण 14.5 एक पाइप, $30.0 \mathrm{~cm}$ लंबा है, दोनों सिरों पर खुला है। एक $1.1 \mathrm{kHz}$ स्रोत के साथ कौन सा हार्मोनिक मोड पाइप में अनुनाद करता है? यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए तो एक ही स्रोत के साथ अनुनाद के अवलोकन को देखा जाएगा या नहीं? हवा में ध्वनि की गति की गति को $330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ मान लीजिए।

उत्तर पहले हार्मोनिक आवृत्ति द्वारा दी गई है

$$ v_1=\frac{v}{\lambda_1}=\frac{v}{2 L} \quad \text { (खुला पाइप) } $$

जहाँ $L$ पाइप की लंबाई है। इसके $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति है:

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n v}{2 L}, \text { for } n=1,2,3, \ldots \text { (खुला पाइप) } $$

एक खुले पाइप के पहले कुछ मोड के चित्र में चित्र 14.15 में दिखाए गए हैं।

$L=30.0 \mathrm{~cm}, v=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए,

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n \hspace{1mm}330\left(\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{0.6(\mathrm{~m})}=550 \mathrm{n} \mathrm{~s}^{-1} $$

स्पष्ट रूप से, एक आवृत्ति के स्रोत 1.1 किलोहर्ट्ज के लिए $v_2$ पर अनुनाद करेगा, अर्थात द्वितीय अपवर्ती।

अब यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए (चित्र 14.15), तो समीकरण (14.15) से स्पष्ट होता है कि मूल आवृत्ति है

$$ v_{1}=\frac{v}{\lambda_{1}}=\frac{v}{4 L} \text { (एक सिरा बंद पाइप) } $$

चित्र 14.14 एक सिरा खुला और दूसरा सिरा बंद वाले हवा के स्तंभ के सामान्य अपवर्ती। केवल विषम अपवर्ती संभव हैं

और केवल विषम संख्या वाले अपवर्ती उपस्थित होते हैं :

$$ v_{3}=\frac{3 v}{4 L}, v_{5}=\frac{5 v}{\text{4 L}} \text {, and so on. } $$

$L=30 \mathrm{~cm}$ और $V=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए, एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $275 \mathrm{~Hz}$ होती है और स्रोत आवृत्ति इसके चौथे हार्मोनिक के संगत होती है। चूंकि यह हार्मोनिक संभव मोड नहीं है, तो स्रोत के साथ एक सिरे को बंद करते ही कोई अनुनाद नहीं देखा जाएगा।

14.7 बीट्स (BEATS)

‘बीट्स’ एक दिलचस्प घटना है जो तरंगों के विस्थापन से उत्पन्न होती है। जब दो अलग-अलग आवृत्ति वाले अनुनादी ध्वनि तरंगों को एक ही समय में सुना जाता है, तो हम एक आवृत्ति वाली ध्वनि सुनते हैं (दो निकट आवृत्तियों के औसत), लेकिन हम अन्य चीज भी सुनते हैं। हम ध्वनि की तीव्रता के बढ़ते और घटते भाग को सुनते हैं, जिसकी आवृत्ति दो निकट आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है। कलाकार अपने उपकरणों के बीच संतुलन करते समय इस घटना का उपयोग अक्सर करते हैं। वे तब तक संतुलन करते रहते हैं जब तक उनके संवेदनशील कान बीट्स का पता नहीं लगाते।

चित्र 14.15 एक खुले नली में खड़े तरंग, पहले चार हार्मोनिक दिखाए गए हैं

इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, हम दो अलग-अलग आवृत्ति के हार्मोनिक ध्वनि तरंगों के बारे में विचार करेंगे, जिनके लगभग समान कोणीय आवृत्ति $\omega_1$ और $\omega_2$ हैं और सुविधा के लिए स्थिति को $\mathrm{x}=0$ रख दें। उपयुक्त चरण ( $\phi=\pi / 2$ प्रत्येक के लिए) के चयन के साथ समीकरण (14.2) और, समान आयाम माने जाने पर, निम्नलिखित देता है:

$$ s_1=a \cos \omega_1 t \text { और } s_2=a \cos \omega_2 t $$

यहाँ हमने प्रतीक y को $s$ से बदल दिया है, क्योंकि हम अनुप्रस्थ नहीं बल्कि अनुदिश विस्थापन के बारे में बात कर रहे हैं। मान लीजिए $\omega_1$ दो आवृत्तियों में से एक छोटी देर से बड़ी है। अधिक विस्थापन के परिणाम के रूप में, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार,

$$ s=s_1+s_2=a\left(\cos \omega_1 t+\cos \omega_2 t\right) $$

$\cos A+\cos B$ के परिचित त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ =2 a \cos \frac{\left(\omega_1-\omega_2\right) t}{2} \cos \frac{\left(\omega_1+\omega_2\right) t}{2}\tag{14.46} $$

जो लिखा जा सकता है:

$$ s=\left[2 a \cos \omega_b t\right] \cos \omega_a t\tag{14.47}

$$

यदि $\left|\omega_1-\omega_2\right| \ll \omega_1, \omega_2, \omega_a \gg \omega_b$, तो जहाँ

$$ \omega_b=\frac{\left(\omega_1-\omega_2\right)}{2} \text { और } \omega_a=\frac{\left(\omega_1+\omega_2\right)}{2} $$

अब यदि हम मान लें कि $\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right| < < \omega_{1}$, जिसका अर्थ है कि $\omega_{a} > \omega_{b}$, तो हम समीकरण (14.47) को निम्नलिखित तरह से समझ सकते हैं। परिणामी तरंग औसत कोणीय आवृत्ति $\omega_{a}$ के साथ झूल रही है; हालांकि, इसके आयाम समय के साथ स्थिर नहीं है, जैसे कि शुद्ध हार्मोनिक तरंग के आयाम होते हैं। आयाम अधिकतम होता है जब $\cos \omega_{b} t$ का मान +1 या -1 होता है। अन्य शब्दों में, परिणामी तरंग की तीव्रता एक आवृत्ति के साथ बढ़ती और घटती है जो $2 \omega_{\mathrm{b}}=\omega_{1}-$ $\omega_{2}$ होती है। क्योंकि $\omega=2 \pi v$, तो बीट आवृत्ति $v_{\text {beat }}$, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v_{\text {beat }}=v_{1}-v_{2} \tag{14.48} \end{equation*} $$

चित्र 14.16 में 11 $\mathrm{Hz}$ और $9 \mathrm{~Hz}$ आवृत्ति वाली दो हार्मोनिक तरंगों के बीट घटना को दर्शाया गया है। परिणामी तरंग के आयाम 2 $\mathrm{~Hz}$ की आवृत्ति के साथ बीट दिखाई देते हैं।

चित्र 14.16 दो हार्मोनिक तरंगों के सुपरपोजिशन, जिनमें से एक की आवृत्ति 11 Hz (a) है और दूसरी की आवृत्ति 9 Hz (b) है, जो आवृत्ति 2 Hz के बीट्स के उत्पन्न करती है, जैसा कि (c) में दिखाया गया है।

संगीत के स्तंभ

मंदिर अक्सर कुछ स्तंभों के साथ होते हैं, जो मानव आकार के चित्र बनाते हैं जो संगीत वाद्य यंत्र बजाते हुए दिखाई देते हैं, लेकिन ये स्तंभ खुद संगीत उत्पन्न नहीं करते हैं। तमिलनाडु के नेलाईअप्पर मंदिर में, एक गुच्छे स्तंभों पर धीमी छोटी आवाजों के साथ टकराने से भारतीय क्लासिकल संगीत के मूल नोट बनते हैं, जैसे कि सा, रे, गा, मा, पा, धा, नि, सा। इन स्तंभों के झंकार इस्तेमाल किए गए शैल की लचीलापन, घनत्व और आकार पर निर्भर करते हैं।

उदाहरण 14.6 दो सितार के तार A और B, नोट ‘धा’ के उत्पादन के लिए थोड़ा असंगत हैं और 5 हर्ट्ज की आवृत्ति के बीट उत्पन्न करते हैं। तार B के तनाव को थोड़ा बढ़ा दिया जाता है और बीट आवृत्ति 3 हर्ट्ज तक घट जाती है। यदि A की आवृत्ति 427 हर्ट्ज है, तो B की मूल आवृत्ति क्या है?

उत्तर स्ट्रिंग के तनाव में वृद्धि इसकी आवृत्ति में वृद्धि करती है। यदि मूल आवृत्ति $\mathrm{B}\left(v_B\right)$, $\mathrm{A}\left(v_A\right)$ की आवृत्ति से अधिक होती, तो $v_B$ में अतिरिक्त वृद्धि बीट आवृत्ति में वृद्धि करती। लेकिन बीट आवृत्ति कम हो जाती है। इससे स्पष्ट होता है कि $v_B<v_A$। चूंकि $v_A-v_B=5 \mathrm{~Hz}$, और $v_A=427 \mathrm{~Hz}$, हमें $v_B=422 \mathrm{~Hz}$ प्राप्त होता है।

सारांश

1. यांत्रिक तरंगें माध्यम में अस्तित्व में हो सकती हैं और न्यूटन के नियमों द्वारा नियंत्रित होती हैं।

2. अनुप्रस्थ तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।

3. अनुदिश तरंजें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।

4. प्रगति तरंग वह तरंग होती है जो माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलती है।

5. धनात्मक x दिशा में चलने वाली वृत्तीय तरंग में विस्थापन निम्न द्वारा दिया जाता है

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) $$

$$

जहाँ $a$ तरंग का आयाम है, $k$ कोणीय तरंग संख्या है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, $(k x-\omega t+\phi)$ तरंग का कोण है, और $\phi$ कोणीय स्थिरांक या कोण है।

6. एक प्रगतिशील तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ किसी दिए गए समय पर एक ही कोण के दो क्रमागत बिंदुओं के बीच की दूरी होती है। एक स्थैतिक तरंग में, यह दो क्रमागत नोड या अनुनादी बिंदुओं के बीच दूरी के दोगुना होती है।

7. एक तरंग के दोलन काल $T$ को किसी माध्यम के किसी भी तत्व के एक पूर्ण दोलन के लिए लिय गए समय के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित है

$$ T=\frac{2 \pi}{\omega} $$

8. एक तरंग की आवृत्ति $v$ को $1 / T$ के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसका कोणीय आवृत्ति से संबंध निम्नलिखित संबंध द्वारा होता है

$$ \nu=\frac{\omega}{2 \pi} $$

9. एक प्रगतिशील तरंग की चाल $v=\frac{\omega}{\mathrm{k}}=\frac{\lambda}{\mathrm{T}}=\lambda v$ द्वारा दी जाती है

10. एक तनी गई स्ट्रिंग पर एक अनुप्रस्थ तरंग की चाल स्ट्रिंग के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। तनाव $T$ और रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ वाली स्ट्रिंग पर चाल निम्नलिखित होती है

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} $$

11. ध्वनि तरंगें लंबवत यांत्रिक तरंगें होती हैं जो ठोस, तरल या गैस में चल सकती हैं। एक तरल में ध्वनि तरंग की गति $v$ बुफ़ बुफ़ मापांक $B$ और घनत्व $\rho$ के अनुसार होती है

$$ v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} $$

एक धातु के बार में लंबवत तरंग की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} $$

गैस के लिए, क्योंकि $B=\gamma P$, ध्वनि की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} $$

12. जब दो या अधिक तरंग एक ही माध्यम में एक साथ यात्रा करती हैं, तो माध्यम के किसी भी तत्व के विस्थापन को प्रत्येक तरंग द्वारा उत्पन्न विस्थापन के बीजगणितीय योग के रूप में लिया जाता है। इसे तरंगों के अध्यावेशन के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है

$$ y=\sum_{i=1}^n f_i(x-v t) $$

13. एक ही रस्सी पर दो वैकल्पिक तरंगें अध्यावेशन के सिद्धांत के अनुसार एक दूसरे को जोड़ या विस्थापित कर सकती हैं। यदि दोनों एक ही दिशा में यात्रा कर रही हैं और एक ही आयाम $a$ और आवृत्ति के रूप में हैं लेकिन एक अधिक तार के बीच अंतर फेज अचर $\phi$ है, तो परिणाम एक ही आवृत्ति $\omega$ के एकल तरंग के रूप में होता है:

$$ y(x, t)=\left[2 a \cos \frac{1}{2} \phi\right] \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) $$

यदि $\phi=0$ या $2 \pi$ के किसी भी पूर्णांक के बराबर हो, तो तरंगें पूर्ण अनुपात में होती हैं और अनुपात निर्माणकारी होता है; यदि $\phi=\pi$, तो वे पूर्ण अनुपात में नहीं होती हैं और अनुपात नष्टकारी होता है।

14. एक गतिशील तरंग, एक कठिन सीमा या बंद सिरे पर, अपने चरण के विपरीत दिशा में परावर्तित होती है लेकिन खुले सिरे पर परावर्तन बिना कोई चरण परिवर्तन के होता है। एक आपतित तरंग के लिए

$$ y_i(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग होती है

$$ y_r(x, t)=-a \sin ( k x+\omega t) $$

खुले सिरे पर परावर्तन के लिए

$$ y_r(x, t)=a \sin (k x+\omega t) $$

15. दो समान तरंगों के विपरीत दिशा में चलने से खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं। एक तार के दोनों सिरों पर खड़ी तरंग निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ y(x, t)=[2 a \sin k x] \cos \omega t $$

खड़ी तरंगें शून्य विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में विशिष्ट होती हैं जिन्हें नोड कहते हैं और अधिकतम विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में विशिष्ट होती हैं जिन्हें एंटीनोड कहते हैं। दो क्रमागत नोड या एंटीनोड के बीच अंतर $\lambda / 2$ होता है।

एक लम्बाई $L$ की खिंची गई स्ट्रिंग दोनों सिरों पर बाँधे रहने पर आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=\frac{n v}{2 L}, \quad n=1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दी गई आवृत्तियों के समूह को व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ कहते हैं। सबसे कम आवृत्ति वाले दोलन मोड को मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहते हैं। दूसरा हार्मोनिक $n=2$ के साथ दोलन मोड होता है और इसी तरह आगे चलकर। एक लम्बाई $L$ के नली जिसका एक सिरा बंद हो और दूसरा सिरा खुला हो (जैसे हवा के स्तंभ) आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=(\mathrm{n}+1 / 2) \frac{v}{2 \mathrm{~L}}, \quad n=0,1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा प्रदर्शित आवृत्तियों के समूह ऐसे व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ हैं। $v / 4 L$ द्वारा दी गई सबसे कम आवृत्ति मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहलाती है।

16. एक लम्बाई $L$ की स्ट्रिंग जो दोनों सिरों पर बाँधी गई हो या एक छोर बंद और दूसरा खुला हो वाला हवा के स्तंभ या दोनों सिरे खुले हो वाला हवा के स्तंभ अपने नॉर्मल मोड कहलाने वाली आवृत्तियों के द्वारा दोलन करते हैं। इन आवृत्तियों में से प्रत्येक व्यवस्था की रेजोनेंस आवृत्ति होती है।

17. टीन तब उत्पन्न होते हैं जब दो तरंगें, जिनकी आवृत्तियाँ $v_1$ और $v_2$ होती हैं, जो एक दूसरे के बहुत करीब होती हैं, और उनके आयाम लगभग समान होते हैं, एक दूसरे पर अधिव्यक्ति करती हैं। टीन आवृत्ति है

$$ v_{\text {beat }}=v_1 \sim v_2 $$

ध्यान देने वाले बिंदु

1. एक तरंग माध्यम में पूरे तत्व के गति के रूप में नहीं होती। हवा के बर्बादी तरंग के साथ अलग होती है। पहले में हवा के एक स्थान से दूसरे स्थान तक गति होती है। दूसरे में हवा के विभिन्न तहों के संपीड़न और विरलन होते हैं।

2. एक तरंग में, ऊर्जा एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरित होती है, न कि पदार्थ।

3. एक यांत्रिक तरंग में, ऊर्जा स्थानांतरण तंत्र के आसपास विस्थापित भागों के बीच तार बलों के माध्यम से होता है।

4. अनुप्रस्थ तरंगें केवल विकृति गुणांक के माध्यम में प्रसारित हो सकती हैं, अक्षीय तरंगों के लिए आयतन गुणांक की आवश्यकता होती है और इसलिए वे सभी माध्यमों में, ठोस, तरल और गैस में संभव हैं।

5. एक दिए गए आवृत्ति की समतापी तरंग में, सभी कणों के आयाम समान होते हैं लेकिन एक दिए गए समय क्षण पर उनके अलग-अलग चरण होते हैं। एक स्थैतिक तरंग में, दो नोड के बीच सभी कणों के चरण एक दिए गए समय क्षण पर समान होते हैं लेकिन उनके आयाम अलग-अलग होते हैं।

6. एक माध्यम में विराम में रहे प्रेक्षक के संबंध में, एक यांत्रिक तरंग की गति ( $V$ ) उस माध्यम के तार बल और अन्य गुणों (जैसे द्रव्यमान घनत्व) पर निर्भर करती है। यह उत्सर्जक की गति पर निर्भर नहीं करती।

—

14.1 परिचय

पिछले अध्याय में हम वस्तुओं के अलग-अलग गति के अध्ययन कर चुके हैं। एक ऐसे तंत्र में क्या होता है, जो ऐसी वस्तुओं के संग्रह के बराबर होता है? एक विस्तारित माध्यम ऐसा उदाहरण प्रदान करता है। यहां, विस्तारी बल घटकों को एक दूसरे से बांधे रखते हैं और इसलिए एक के गति का प्रभाव दूसरे के गति पर पड़ता है। यदि आप एक छोटे से पत्थर को एक शांत जल के तालाब में गिराएं, तो जल सतह अस्थिर हो जाती है। अस्थिरता एक स्थान पर सीमित नहीं रहती, बल्कि बाहर की ओर एक वृत्त के अनुसार फैलती जाती है। यदि आप तालाब में लगातार पत्थर गिराते रहें, तो आप देख सकते हैं कि वृत्त तेजी से अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर चले जाते हैं। यह आपको जैसे लगता है कि जल अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर बह रहा है। यदि आप अस्थिरता वाली सतह पर कुछ कॉर्क के टुकड़े रख दें, तो आप देख सकते हैं कि कॉर्क के टुकड़े ऊपर नीचे गिरते हैं लेकिन अस्थिरता के केंद्र से दूर नहीं जाते हैं। यह दिखाता है कि जल के द्रव्य बाहर की ओर नहीं बहता है बल्कि एक गति करती हुई अस्थिरता बनती है। इसी तरह, जब हम बोलते हैं, तो ध्वनि हम से बाहर की ओर चलती है, बिना किसी भी माध्यम के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक हवा के प्रवाह के। हवा में उत्पन्न अस्थिरताएं बहुत कम स्पष्ट होती हैं और केवल हमारे कान या एक माइक्रोफोन उन्हें खोज सकते हैं। ये पैटर्न, जो एक पूरे माध्यम के वास्तविक भौतिक प्रस्थान या प्रवाह के बिना चलते हैं, तरंगें कहलाते हैं। इस अध्याय में हम ऐसी तरंगों के अध्ययन करेंगे।

तरंगें ऊर्जा का प्रसार करती हैं और विक्षोभ के पैटर्न में जानकारी होती है जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलती हैं। हमारी सभी संचार प्रणालियाँ मूल रूप से तरंगों के माध्यम से संकेतों के प्रसार पर निर्भर करती हैं। बोलना हवा में ध्वनि तरंगों के उत्पादन को कहते हैं और सुनना इन तरंगों के पता लगाना होता है। अक्सर, संचार विभिन्न प्रकार की तरंगों के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें पहले एक विद्युत धारा संकेत में बदल जाती हैं जो फिर एक विद्युत चुंबकीय तरंग में बदल जाती हैं जो एक ऑप्टिकल केबल या एक उपग्रह के माध्यम से प्रसारित की जा सकती हैं। मूल संकेत के पता लगाने में आमतौर पर इन कदमों के विपरीत क्रम में होता है।

सभी तरंगों के लिए माध्यम की आवश्यकता नहीं होती। हम जानते हैं कि प्रकाश तरंगें वैक्यूम में भी चल सकती हैं। तारों द्वारा उत्सर्जित प्रकाश, जो सौर मीटर के बराबर दूरी पर होते हैं, आकाशीय अंतरिक्ष के माध्यम से हम तक पहुंचते हैं, जो वास्तव में एक वैक्यूम होता है।

सबसे परिचित प्रकार की तरं जैसे कि स्ट्रिंग पर तरंगें, पानी की तरंगें, ध्वनि तरंगें, भूकंपीय तरंगें आदि विशेष रूप से यांत्रिक तरंगें कहलाती हैं। ये तरंगें प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है, वे वैक्यूम में प्रसार नहीं कर सकती हैं। ये तरंगें माध्यम के संघटक कणों के दोलनों पर निर्भर करती हैं और माध्यम के अतिरिक्त गुणों पर निर्भर करती हैं। आप द्वारा कक्षा XII में सीखे जाने वाले विद्युत चुंबकीय तरंगें एक अलग प्रकार की तरंग हैं। विद्युत चुंबकीय तरंगें माध्यम की आवश्यकता नहीं होती - वे वैक्यूम में भी चल सकती हैं। प्रकाश, रेडियो तरंगें, X-किरणें, सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें हैं। वैक्यूम में सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें एक ही गति $\mathrm{c}$ के साथ चलती हैं, जिसका मान है :

$$c=299,792,458 \mathrm{~ms}^{-1} \tag{14.1}$$

एक तीसरा प्रकार की तरंग वह है जिसे अक्सर “मात्रा तरंग” (Matter waves) कहा जाता है। ये वस्तुओं के घटकों से संबंधित होती हैं: इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, परमाणु और अणु। ये तरंग आपके आगे के अध्ययन में आपको सीखने वाले प्रकृति के क्वांटम भौतिकीय वर्णन में उत्पन्न होती हैं। हालांकि ये यांत्रिक या विद्युत-चुंबकीय तरंगों की तुलना में अधिक अमूर्त अवधारणा हैं, लेकिन वे आधुनिक तकनीक के कई उपकरणों में पहले से ही उपयोग में हैं; इलेक्ट्रॉनों के संगत मात्रा तरंग इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप में उपयोग की जाती हैं।

इस अध्याय में हम मैकेनिकल तरंगों के अध्ययन करेंगे, जिनके प्रसार के लिए एक विस्तारित माध्यम की आवश्यकता होती है।

तरंगों के आलोचनात्मक प्रभाव कला और साहित्य में बहुत प्राचीन काल से देखे जाते हैं; हालांकि, तरंग गति के पहले वैज्ञानिक विश्लेषण के इतिहास के चौदहवीं सदी के दौरान वापस जाता है। तरंग गति के भौतिकी के कुछ प्रसिद्ध वैज्ञानिकों में क्रिस्टियान ह्यूगेन्स (1629-1695), रॉबर्ट हूक और आइजैक न्यूटन शामिल हैं। तरंग भौतिकी के समझ के विकास में दोलन के द्रव्यमानों के भौतिकी और सरल लटकी के भौतिकी के अध्ययन के बाद आया। विस्तारित माध्यम में तरंगें अपने साथ अपने अनुनादी दोलनों से गहरी रूप से जुड़ी होती हैं। (तार, बेलनाकार बर्फ, हवा आदि विस्तारित माध्यम के उदाहरण हैं।)

हम इस संबंध को सरल उदाहरणों के माध्यम से स्पष्ट करेंगे।

एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंगों के एक संग्रह को चित्र 14.1 में दिखाया गया है। यदि एक सिरे पर स्प्रिंग को अचानक खींचकर छोड़ दिया जाए, तो अव्यवहार दूसरे सिरे तक पहुंच जाता है। यह क्या हुआ? पहला स्प्रिंग अपनी संतुलन लंबाई से असंतुलित हो जाता है। चूंकि दूसरा स्प्रिंग पहले स्प्रिंग से जुड़ा है, इसलिए यह भी खिंच जाता है या संपीड़ित हो जाता है, आदि। अव्यवहार एक सिरे से दूसरे सिरे तक चलता रहता है; लेकिन प्रत्येक स्प्रिंग अपनी संतुलन स्थिति के आसपास केवल छोटे झूले बनता है। इस स्थिति का एक व्यावहारिक उदाहरण लें, एक रेलवे स्टेशन पर स्थिर ट्रेन। ट्रेन के विभिन्न बोगी एक दूसरे के साथ एक स्प्रिंग के माध्यम से जुड़े होते हैं। जब एक इंजन एक सिरे पर जुड़ जाता है, तो इसके पास बोगी को धकेल देता है; यह धक्का एक बोगी से दूसरे बोगी तक बिना पूरी ट्रेन के एक साथ विस्थापित होने के बिना अग्रसर होता रहता है।

चित्र 14.1 एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंग के संग्रह। छोर A पर अचानक खींचा जाता है जिससे एक अस्थिरता उत्पन्न होती है, जो फिर दूसरे छोर तक फैलती है।

अब हम हवा में ध्वनि तरंगों के प्रसार के बारे में विचार करते हैं। जैसे तरंग हवा में गुजरती है, यह हवा के एक छोटे क्षेत्र को संपीड़ित या विस्तारित करती है। इसके परिणामस्वरूप उस क्षेत्र में घनत्व में एक परिवर्तन होता है, जैसे कि $\delta \rho$। इस परिवर्तन के कारण उस क्षेत्र में दबाव में एक परिवर्तन, $\delta p$ उत्पन्न होता है। दबाव एक इकाई क्षेत्र पर बल होता है, इसलिए एक अस्थिरता के साथ एक पुनर्स्थापन बल आनुपातिक होता है, जैसे कि एक स्प्रिंग में। इस मामले में, स्प्रिंग के विस्तार या संपीड़न के समान राशि घनत्व में परिवर्तन होता है। यदि कोई क्षेत्र संपीड़ित होता है, तो उस क्षेत्र में अणु एक दूसरे के करीब बंद हो जाते हैं और वे आसपास के क्षेत्र में बाहर जाने की ओर झुकते हैं, जिसके परिणामस्वरू आसपास के क्षेत्र में घनत्व बढ़ जाता है या उस क्षेत्र में संपीड़न उत्पन्न होता है। इसलिए, पहले क्षेत्र में हवा के विरलन होता है। यदि कोई क्षेत्र तुलनात्मक रूप से विरल होता है, तो आसपास की हवा उस क्षेत्र में आ जाती है जिसके परिणामस्वरूप विरलन आसपास के क्षेत्र में बढ़ जाता है। इस प्रकार, संपीड़न या विरलन एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में चलता है, जिससे हवा में अस्थिरता के प्रसार की संभावना उत्पन्न होती है।

ठोस में, इसी तरह के तर्क किए जा सकते हैं। एक क्रिस्टलीय ठोस में, परमाणु या परमाणुओं के समूह एक आवर्ती जालक में व्यवस्थित होते हैं। इनमें, प्रत्येक परमाणु या परमाणुओं के समूह आसपास के परमाणुओं के बलों के कारण संतुलन में होते हैं। एक परमाणु को विस्थापित करके अन्य सभी को स्थिर रखे रहने पर, वापसी बल उत्पन्न होते हैं, ठीक वैसे जैसे कि एक स्प्रिंग में। इसलिए हम एक जालक में परमाणुओं को एंड पॉइंट के रूप में सोच सकते हैं, जिनके बीच स्प्रिंग होते हैं।

इस पाठ के अगले अनुभागों में हम तरंगों के विभिन्न विशिष्ट गुणों के बारे में चर्चा करेंगे।

14.2 अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें

हम देख चुके हैं कि यांत्रिक तरंगों की गति माध्यम के घटकों के दोलनों की शामिल होती है। यदि माध्यम के घटक तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं, तो हम तरंग को अनुप्रस्थ तरंग कहते हैं। यदि वे तरंग प्रसार की दिशा के समानुपाती दोलन करते हैं, तो हम तरं ग को अनुदिश तरंग कहते हैं।

चित्र 14.2 जब एक पल्स तनाव वाली स्ट्रिंग के लंबाई के अनुदिश (x-दिशा) चलता है, तो स्ट्रिंग के तत्व ऊपर और नीचे (y-दिशा) झूलते हैं।

चित्र 14.2 में एक एकल पल्स के स्ट्रिंग के अनुदिश प्रसार को दिखाया गया है, जो एकल ऊपर और नीचे के झटके के कारण होता है। यदि स्ट्रिंग की लंबाई पल्स के आकार की तुलना में बहुत लंबी हो, तो पल्स दूसरे सिरे तक पहुँचने से पहले धीमा हो जाएगा और उस सिरे से परावर्तन को नगण्य माना जा सकता है। चित्र 14.3 में एक समान विन्यास दिखाया गया है, लेकिन इस बार बाहरी एजेंट स्ट्रिंग के एक सिरे पर एक निरंतर आवर्ती वृत्तीय ऊपर और नीचे के झटके देता है। इसके परिणामस्वरूप स्ट्रिंग पर उत्पन्न अवांछित घटना एक वृत्तीय तरंग होती है। दोनों मामलों में स्ट्रिंग के तत्व तरंग या पल्स के माध्यम से गुजरते हुए अपने संतुलन औसत स्थिति के चारों ओर झूलते हैं। झूलन तरंग की गति के लंबवत दिशा में होती है, इसलिए यह एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.3 एक तार में एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) तरंग एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है। तरंग के क्षेत्र में तार के एक तत्व के अपने संतुलन स्थिति के लंबवत दिशा में आवर्ती गति करता है।

हम एक तरंग को दो तरीकों से देख सकते हैं। हम एक समय क्षण निश्चित कर सकते हैं और तरंग को अंतरिक अवस्था में देख सकते हैं। इससे हमें एक निश्चित समय पर तरंग के संपूर्ण आकार के बारे में जानकारी मिलती है। दूसरा तरीका एक स्थान निश्चित करना है, अर्थात हम तार के एक विशिष्ट तत्व पर ध्यान केंद्रित करते हैं और इसकी समय के अनुसार आवर्ती गति को देखते हैं।

चित्र 14.4 ध्वनि तरंगों के प्रसार के सबसे परिचित उदाहरण में अनुप्रस्थ तरंगों की स्थिति को वर्णित करता है। एक लंबा पाइप वायु से भरा होता है जिसके एक सिरे पर एक पिस्टन होता है। पिस्टन के एक अचानक आगे की ओर धकेल और वापस खींच लेने से माध्यम (वायु) में एक तरंग के रूप में संघनन (उच्च घनत्व) और विरलन (निम्न घनत्व) के एक पल्स का उत्पादन होता है। यदि पिस्टन की धकेल-खींच कार्य निरंतर और आवर्ती (साइनसॉइडल) होती है, तो वायु में एक साइनसॉइडल तरंग उत्पन्न होती है जो पाइप की लंबाई के अनुदिश चलती है। यह स्पष्ट रूप से एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.4 एक हवा भरे पाइप में ऊपर और नीचे खंडन द्वारा उत्पन्न अनुप्रस्थ तरंगें (ध्वनि)। हवा के एक आयतनीय तत्व के अनुप्रस्थ दिशा में तरंग के प्रसार के साथ आवर्ती गति होती है।

उपरोक्त तरंगें, अनुप्रस्थ या अनुदिश, यात्रा या प्रगति तरंगें हैं क्योंकि वे माध्यम के एक भाग से दूसरे भाग तक चलती हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम के समग्र रूप से गति नहीं होती। उदाहरण के रूप में, एक नदी के बहाव में पानी के समग्र गति का अंतर होता है। एक पानी की तरंग में, यह विक्षोभ ही गति करता है, न कि पानी के समग्र। इसी तरह एक हवा के बहाव (हवा के समग्र गति) को एक ध्वनि तरंग से भ्रम नहीं होना चाहिए, जो हवा में दबाव घनत्व में विक्षोभ के प्रसार को दर्शाती है, जहां हवा के माध्यम के समग्र गति नहीं होती।

अनुप्रस्थ तरंगों में, कणों की गति तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत होती है। अतः, जैसे तरंग चलती है, माध्यम के प्रत्येक तत्व एक छेदन तनाव के अन्तर्गत रहते हैं। अतः, अनुप्रस्थ तरंगें केवल उन माध्यमों में चल सकती हैं जो छेदन तनाव को संभाल सकते हैं, जैसे कि ठोस, न कि द्रव्य। द्रव्य और ठोस दोनों दबाव तनाव को संभाल सकते हैं, अतः अनुदिश तरंगें सभी तार्किक माध्यमों में चल सकती हैं। उदाहरण के रूप में, तांबे जैसे माध्यम में अनुप्रस्थ और अनुदिश दोनों तरंगें चल सकती हैं, जबकि हवा केवल अनुदिश तरंगें चला सकती है। पानी के सतह पर तरंगें दो प्रकार की होती हैं: सतह तनाव तरंगें और गुरुत्व तरंगें। पहली तरंगें बहुत छोटी तरंग लंबाई की होती हैं-केवल कई सेंटीमीटर तक नहीं अधिक- और इनका उत्पादन करने वाला पुनर्स्थापक बल पानी के सतह तनाव होता है। गुरुत्व तरंगें की तरंग लंबाई आमतौर पर कई मीटर से कई सौ मीटर तक होती है। इन तरंगों के उत्पादन करने वाला पुनर्स्थापक बल गुरुत्वाकर्षण होता है, जो पानी के सतह को अपने निम्न स्तर पर रखने की ओर ले जाता है। इन तरंगों में कणों के आवर्तन तेजी से बहुत नीचे तक फैलते हैं, लेकिन उनकी तीव्रता कम होती जाती है। पानी की तरंगों में कणों की गति एक जटिल गति होती है- वे न केवल ऊपर और नीचे बहते हैं बल्कि आगे और पीछे भी बहते हैं। अंतर्राष्ट्रीय समुद्र में तरंगें अनुदिश और अनुप्रस्थ दोनों तरंगों के संयोजन होती हैं।

यह ज्ञात हुआ है कि, सामान्यतः, अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें एक ही माध्यम में अलग-अलग गति के साथ यात्रा करती हैं।

उदाहरण 14.1 नीचे दिए गए कुछ तरंग गति के उदाहरण हैं। प्रत्येक स्थिति में तरंग गति को अनुप्रस्थ, अनुदिश या दोनों के संयोजन के रूप में बताइए:

(a) एक अनुदिश स्प्रिंग के एक सिरे को ओर ओर विस्थापित करके उत्पन्न एक किंक की गति।

(b) एक सिलेंडर में तरल के द्वारा एक पिस्टन के आगे-पीछे गति द्वारा उत्पन्न तरंगें।

(c) एक मोटरबोट जल में चलते हुए उत्पन्न तरंगें।

(d) एक क्वार्टज क्रिस्टल के द्वारा हवा में उत्पन्न अल्ट्रासोनिक तरंगें।

उत्तर

(a) अनुप्रस्थ और अनुदिश

(b) अनुदिश

(c) अनुप्रस्थ और अनुदिश

(d) अनुदिश

14.3 एक प्रगति तरंग में विस्थापन संबंध

एक यात्रा कर रही तरंग के गणितीय वर्णन के लिए, हमें स्थिति $x$ और समय $t$ दोनों के फलन की आवश्यकता होती है। ऐसा फलन प्रत्येक क्षण में उस क्षण के तरंग के आकार को देना चाहिए। इसके अतिरिक्त, किसी भी दिए गए स्थान पर, यह उस स्थान पर माध्यम के घटक की गति का वर्णन भी करना चाहिए। यदि हम एक वृत्तीय तरंग के वर्णन करना चाहते हैं (जैसा कि चित्र 14.3 में दिखाया गया है), तो संगत फलन भी वृत्तीय होना चाहिए। सुविधा के लिए, हम तरंग को अनुप्रस्थ मान लेंगे ताकि यदि माध्यम के घटक की स्थिति को $x$ द्वारा नोट किया जाए, तो संतुलन स्थिति से विस्थापन को $y$ द्वारा नोट किया जा सके। तब एक वृत्तीय यात्रा कर रही तरंग का वर्णन निम्नलिखित होता है:

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)\tag{14.2}$$

साइन फ़ंक्शन के तर्ग के अंतर्गत $\phi$ शब्द का अर्थ यह है कि हम एक लाइनर कॉम्बिनेशन ऑफ़ साइन और कोसाइन फ़ंक्शन के बारे में सोच रहे हैं:

$$y(x, t)=A \sin (k x-\omega t)+B \cos (k x-\omega t) \tag {14.3}$$

समीकरण (14.2) और (14.3) से,

$$ a=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \quad\text { और} \quad\phi=\tan ^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) $$

समीकरण (14.2) के एक साइनसॉइडल चल तरंग के रूप में प्रतिनिधित्व करने के कारण को समझने के लिए, एक निश्चित क्षण, जैसे $t=t_{0}$ ले लीजिए। तब, समीकरण (14.2) में साइन फ़ंक्शन के तर्ग केवल $k x+$ नियतांक होगा। इसलिए, किसी भी निश्चित क्षण पर तरंग के आकार (x के फ़ंक्शन के रूप में) एक साइन तरंग होगी। इसी तरह, एक निश्चित स्थान, जैसे $x=x_{0}$ ले लीजिए। तब, समीकरण (14.2) में साइन फ़ंक्शन के तर्ग केवल नियतांक $-\omega t$ होगा। इसलिए, एक निश्चित स्थान पर विस्थापन $y$, समय के साथ एक साइनसॉइडल रूप में बदलता है। अर्थात, विभिन्न स्थानों पर माध्यम के घटक सरल वैकल्पिक गति करते हैं। अंत में, जैसे $t$ बढ़ता है, $x$ को धनात्मक दिशा में बढ़ाना पड़ेगा ताकि $k x-\omega t+\phi$ नियत रहे। इसलिए, समीकरण (14.2) एक साइनसॉइडल (हार्मोनिक) तरंग का प्रतिनिधित्व करता है जो x-अक्ष के धनात्मक दिशा में चल रही है। दूसरी ओर, एक फ़ंक्शन एक तरंग का प्रतिनिधित्व करता है जो x-अक्ष के नकारात्मक दिशा में चल रही है। आकृति (14.5) में समीकरण (14.2) में उपस्थित विभिन्न भौतिक राशियों के नाम दिए गए हैं जिन्हें हम अब व्याख्या कर रहे हैं।

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x+\omega t+\phi) \tag{14.4} \end{equation*} $$

चित्र 14.5 समीकरण (14.2) में मानक चिन्हों का अर्थ

चित्र 14.6 में समीकरण (14 बराबर 2) के लिए विभिन्न समय मानों के लिए आरेख दिखाए गए हैं, जो समान समय अंतरों वाले अलग-अलग समय मानों के लिए हैं। एक तरंग में, शिखर अधिकतम धनात्मक विस्थापन के बिंदु होता है, गर्त अधिकतम नकारात्मक विस्थापन के बिंदु होता है। एक तरंग कैसे चलती है, इसको देखने के लिए हम एक शिखर पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह समय के साथ कैसे बढ़ता है। चित्र में इसे शिखर पर एक क्रॉस ( ) द्वारा दिखाया गया है। इसी तरह, हम एक निश्चित स्थान पर, उदाहरण के लिए x-अक्ष के मूल बिंदु पर, माध्यम के एक विशिष्ट घटक की गति देख सकते हैं। इसे एक ठोस बिंदु (•) द्वारा दिखाया गया है। चित्र 14.6 के आरेख दिखाते हैं कि समय के साथ ठोस बिंदु (•) मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से गति करता है, अर्थात तरंग के बढ़ते हुए बिंदु मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से अपने माध्य स्थिति के चारों ओर झूलता है। यह कोई अन्य स्थान के लिए भी सत्य है। हम देखते हैं कि ठोस बिंदु (•) द्वारा एक पूर्ण दोलन पूरा करने के दौरान शिखर एक निश्चित दूरी तक आगे बढ़ गया है।

चित्र 14.6 एक हार्मोनिक तरंग धनात्मक x-अक्ष की दिशा में विभिन्न समय पर चल रही है।

चित्र 14.6 के आलोक में, हम अब समीकरण (14.2) में विभिन्न राशियों को परिभाषित करते हैं।

14 टी. 3.1 आयाम और चरण

समीकरण (14.2) में, क्योंकि साइन फलन 1 और -1 के बीच बदलता है, तो विस्थापन $y(x, t)$ $a$ और $-a$ के बीच बदलता है। हम $a$ को एक धनात्मक नियतांक मान सकते हैं, बिना कोई अप्रासंगिकता के। तब, $a$ माध्यम के घटकों के साम्यावस्था स्थिति से अधिकतम विस्थापन को प्रदर्शित करता है। ध्यान दें कि विस्थापन $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, लेकिन $a$ धनात्मक होता है। इसे आयाम कहते हैं।

समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्ग के रूप में उपस्थित $(k x - \omega t + \phi)$ राशि को तरंग के चरण कहते हैं। दिया गया आयाम $a$, चरण कोई भी स्थिति और कोई भी समय पर तरंग के विस्थापन को निर्धारित करता है। स्पष्ट रूप से $\phi$ $x=0$ और $t=0$ पर चरण होता है। इसलिए, $\phi$ को प्रारंभिक चरण कोण कहते हैं। यह संभव है कि $x$-अक्ष पर मूल बिंदु और प्रारंभिक समय के उपयुक्त चयन से $\phi=0$ हो। इसलिए, $\phi$ को छोड़ने में कोई अप्रासंगिकता नहीं होती, अर्थात समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेना अप्रासंगिकता के बिना हो सकता है।

14.3.2 तरंगदैर्ध्य एवं कोणीय तरंग संख्या

एक तरंग के दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी जिसके दोनों बिंदुओं के अवस्था समान हो, तरंगदैर्ध्य कहलाती है, जिसे आमतौर पर $\lambda$ से नोट किया जाता है। सरलता के लिए, हम एक ही अवस्था वाले बिंदुओं को शिखर या घाटी के रूप में चुन सकते हैं। तरंगदैर्ध्य तब तरंग में दो क्रमागत शिखर या घाटियों के बीच दूरी होती है। समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेने पर, $t=0$ पर विस्थापन द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} y(x, 0)=a \sin k x \tag{14.5} \end{equation*} $$

क्योंकि साइन फंक्शन कोण में प्रत्येक $2 \pi$ परिवर्तन के बाद अपने मान को दोहराता है,

$$ \sin k x=\sin (k x+2 n \pi)=\sin k\left(x+\frac{2 n \pi}{k}\right) $$

अर्थात बिंदु $x$ और $ x+\frac{2 n \pi}{k} $

पर विस्थापन समान होता है, जहां $n=1,2,3, \ldots$ किसी भी दिए गए समय के लिए समान विस्थापन वाले बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी को $n=1$ लेने पर प्राप्त किया जाता है। तब $\lambda$ द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 \pi}{k} \quad \text { या } \quad k=\frac{2 \pi}{\lambda} \tag{14.6}

\end{equation*} $$

$ k $ तरंग कोणीय तरंग संख्या या प्रसार नियतांक है; इसका SI इकाई रेडियन प्रति मीटर या रेडियन $ m^{-1} $ है।

14.3.3 आवर्तकाल, कोणीय आवृत्ति और आवृत्ति

चित्र 14.7 फिर से एक ज्यावक्रीय आलेख दिखाता है। यह एक निश्चित समय पर तरंग के आकार का वर्णन नहीं करता है, बल्कि एक माध्यम के तत्व (किसी भी निश्चित स्थान पर) के विस्थापन के समय के फलन का वर्णन करता है। सरलता के लिए, हम इसके लिए समीकरण (14.2) को $ \phi = 0 $ के साथ ले सकते हैं और तत्व के गति की निगरानी कर सकते हैं, मान लीजिए $ x = 0 $ पर। तब हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{aligned} y(0, t) & =a \sin (-\omega t) \\ & =-a \sin \omega t \end{aligned} $$

चित्र 14.7 एक निश्चित स्थान पर एक स्ट्रिंग के तत्व के आवर्त गति के साथ आयाम $ a $ और आवर्तकाल $ T $ होता है, जैसे कि तरंग इस पर गुजरती है।

अब, तरंग के आवर्तकाल वह समय है जिसमें एक तत्व एक पूर्ण आवर्त गति पूरा करता है। अर्थात,

$-a \sin \omega t=-a \sin \omega(t+\mathrm{T})$

$$ =-a \sin (\omega t+\omega T) $$

क्योंकि साइन फ़ंक्शन $2 \pi$ के प्रत्येक पश्चात दोहराता है,

$$ \begin{equation*} \omega T=2 \pi \text { या } \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} \tag{14.7} \end{equation*} $$

$\omega$ को तरंग की कोणीय आवृत्ति कहते हैं। इसका SI इकाई $\mathrm{rad} s^{-1}$ होती है। आवृत्ति $v$ प्रति सेकंड दोलनों की संख्या होती है। इसलिए,

$$ \begin {equation*} v=\frac{1}{\mathrm{~T}}=\frac{\omega}{2 \pi} \tag{14.8} \end{equation*} $$

• यहाँ फिर से, ‘रेडियन’ को छोड़ दिया जा सकता है और इकाइयों को केवल म–1 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, $k$ एक इकाई लंबाई पर तरंगों (या कुल चरण अंतर) की संख्या के 2π गुना को प्रदर्शित करता है, जिसकी SI इकाई म–1 होती है। $v$ आमतौर पर हर्ट्ज़ में मापा जाता है।

ऊपर के चर्चा में हमेशा एक रस्सी या अनुप्रस्थ तरंग के अनुसार चलती एक तरंग के बारे में उल्लेख किया गया है। एक अनुप्रस्थ तरंग में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन की दिशा तरंग के चलन की दिशा के समानांतर होती है। समीकरण (14.2) में, एक अनुप्रस्थ तरंग के विस्थापन फ़ंक्शन को लिखा गया है,

$$ \begin{equation*} s(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.9} \end{equation*} $$

जहाँ $s(x, t)$ तरंग के प्रसार की दिशा में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन को प्रदर्शित करता है, जो स्थिति $x$ और समय $t$ पर होता है। समीकरण (14.9) में, $a$ विस्थापन आयाम है; अन्य राशियाँ एक अनुप्रस्थ तरंग के मामले में वैसे ही अर्थ रखती हैं, बस विस्थापन फलन $y(x, t)$ के स्थान पर फलन $s(x, t)$ का उपयोग करना होता है।[^0]

उदाहरण 14.2 एक तार के अनुदिश चलने वाली तरंग का विवरण निम्नलिखित है,

$y(x, t)=0.005 \sin (80.0 x-3.0 t)$,

जहाँ संख्यात्मक नियतांक SI इकाइयों में हैं ($0.005 \mathrm{~m}, 80.0 \mathrm{rad} \mathrm{m}^{-1}$, और $3.0 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$)। निम्नलिखित की गणना कीजिए (a) आयाम, (b) तरंगदैर्घ्य, और (c) तरंग की आवर्तकाल और आवृत्ति। तरंग के विस्थापन $y$ की गणना भी कीजिए जब दूरी $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर हो।

उत्तर इस विस्थापन समीकरण को समीकरण (14.2) के साथ तुलना करने पर,

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t),

$$

हम जाते हैं

(a) तरंग का आयाम $0.005 \mathrm{~m}=5 \mathrm{~mm}$ है।

(b) कोणीय तरंग संख्या $k$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ हैं

$ k=80.0 \mathrm{~m}^{-1} \text { और } \omega=3.0 \mathrm{~s}^{-1} $

हम फिर से समीकरण (14.6) के माध्यम से तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $k$ से संबंधित करते हैं,

$$ \begin{aligned} \lambda & =2 \pi / k \\ & =\frac{2 \pi}{80.0 \mathrm{~m}^{-1}} \\ & =7.85 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

(c) अब, हम $T$ को $\omega$ से संबंधित करते हैं द्वारा संबंध

$$ \begin{aligned} T & =2 \pi / \omega \ & =\frac{2 \pi}{3.0 \mathrm{~s}^{-1}} \ & =2.09 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

और आवृत्ति, $v=1 / T=0.48 \mathrm{~Hz}$ $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर विस्थापन $y$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (80.0 \times 0.3-3.0 \times 20) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (-36+12 \pi) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (1.699) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin \left(97^{\circ}\right) \simeq 5 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

14.4 गतिशील तरंग की चाल

एक चलते हुए तरंग के प्रसार की गति को निर्धारित करने के लिए, हम तरंग पर किसी भी विशिष्ट बिंदु (जिसकी कुछ अवस्था के मूल्य के द्वारा विशेषता होती है) पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह बिंदु समय के साथ कैसे गति करता है। यह आसान हो जाता है तरंग के शिखर की गति की ओर ध्यान देना। आकृति 14.8 दो समय के बिंदुओं के लिए तरंग के आकार को दिखाती है, जो एक छोटे समय अंतराल $\Delta t$ के द्वारा अलग होते हैं। पूरी तरंग पैटर्न देखा जाता है जो दाहिने ओर (x-अक्ष के धनात्मक दिशा में) दूरी $\Delta x$ तक विस्थापित हो जाता है। विशेष रूप से, एक डॉट $(\bullet)$ द्वारा दिखाए गए शिखर दूरी $\Delta x$ के लिए समय $\Delta t$ में गति करता है। तरंग की गति तब $\Delta x / \Delta t$ होती है। हम डॉट $(\bullet)$ को किसी अन्य अवस्था वाले बिंदु पर रख सकते हैं। यह एक ही गति $v$ से गति करेगा (अन्यथा तरंग पैटर्न निश्चित रहेगा नहीं)। तरंग पर एक निश्चित अवस्था वाले बिंदु की गति द्वारा दी जाती है

चित्र 14.8 समय t से t + ∆t तक एक हार्मोनिक तरंग के प्रगति को दर्शाता है। जहाँ ∆t एक छोटा अंतराल है। सम्पूर्ण तरंग पैटर्न दाईं ओर विस्थापित होता है। तरंग के शिखर (या किसी निश्चित चरण के बिंदु) दाईं ओर ∆x दूरी तक चलकर ∆t समय में विस्थापित होते हैं।

$$ \begin{equation*} k x-\omega t=\text { constant } \tag{14.10} \end{equation*} $$

इसलिए, समय $t$ के बदलने के साथ, निश्चित चरण के बिंदु की स्थिति $x$ इस प्रकार बदलनी चाहिए कि चरण स्थिर रहे। इसलिए,

$$ k x-\omega t=k(x+\Delta x)-\omega(t+\Delta t) $$

या $\quad k \Delta x-\omega \Delta t=0$

जब $\Delta x, \Delta t$ अत्यंत छोटे हों, तो यह देता है

$$ \begin{equation*} \frac{d x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k}=v \tag{14.11} \end{equation*} $$

$\omega$ को $T$ और $k$ को $\lambda$ से संबंधित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda}=\lambda \nu=\frac{\lambda}{T} \tag{14.12} \end{equation*} $$

समीकरण (14.12), सभी प्रगति तरंगों के लिए एक सामान्य संबंध है, जो यह दर्शाता है कि किसी माध्यम के किसी भी घटक के एक पूर्ण दोलन के लिए आवश्यक समय में तरंग पैटर्न तरंग की तरंगदैर्घ्य के बराबर दूरी तक चलता है। ध्यान देने योग्य है कि एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम के अभिसरण (लंबाई द्रव्यमान घनत्व तारों के लिए, सामान्य द्रव्यमान घनत्व) और अनुत्तराली गुणों (रेखीय माध्यमों के लिए यांग के मापांक/ विक्षेपण मापांक, आयतन मापांक) द्वारा निर्धारित होती है। माध्यम निर्धारित करता है

गति; समीकरण (14.12) दी गई गति के लिए तरंग दैर्ध्य को आवृत्ति से संबंधित करता है। निश्चित रूप से, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम एक ही माध्यम में दोनों अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों को समर्थन कर सकता है, जो उसी माध्यम में अलग-अलग गति करेंगी। इस कृति के बाद, हम कुछ माध्यमों में यांत्रिक तरंगों की गति के विशिष्ट व्यंजक प्राप्त करेंगे।

14.4.1 तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति

एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम में विक्षेप के समय बहाव बल के द्वारा निर्धारित की जाती है और माध्यम के अनुशंसा गुण (द्रव्यमान घनत्व) द्वारा। गति की अपेक्षा बहाव बल के सीधे संबंध और अनुशंसा गुण के विपरीत संबंध होता है। तार पर तरंगों के लिए, बहाव बल तार में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है। इस मामले में अनुशंसा गुण रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ होगा, जो तार के द्रव्यमान $m$ को उसकी लंबाई $L$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। न्यूटन के गति के नियमों का उपयोग करके, तार पर तरंग गति के ठीक व्यंजक का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन इस निर्माण के बारे में इस किताब के बाहर बात की जाएगी। हम इसलिए विमानुसार विश्लेषण का उपयोग करेंगे। हम पहले से ही जानते हैं कि विमानुसार विश्लेषण अकेले ठीक व्यंजक नहीं दे सकता। विमानुसार विश्लेषण द्वारा सामान्य विमल नियतांक हमेशा निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

The dimension of $\mu$ is $\left[M L^{-1}\right]$ and that of $T$ is like force, namely $\left[M L T^{2}\right]$. We need to combine these dimensions to get the dimension of speed $v\left[L T^{-1}\right]$. Simple inspection shows that the quantity $\mathrm{T} / \mu$ has the relevant dimension

$$ \frac{\left[M L T^{-2}\right]}{[M L]}=\left[L^{2} T^{-2}\right] $$

Thus if $T$ and $\mu$ are assumed to be the only relevant physical quantities,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.13} \end{equation*} $$

where $C$ is the undetermined constant of dimensional analysis. In the exact formula, it turms out, $\mathrm{C}=1$. The speed of transverse waves on a stretched string is given by

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.14} \end{equation*} $$

Note the important point that the speed $V$ depends only on the properties of the medium $T$ and $\mu$ ( $T$ is a property of the stretched string arising due to an external force). It does not depend on wavelength or frequency of the wave itself. In higher studies, you will come across waves whose speed is not independent of frequency of the wave. Of the two parameters $\lambda$ and $v$ the source of disturbance determines the frequency of the wave generated. Given the speed of the wave in the medium and the frequency Eq. (14.12) then fixes the wavelength

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{v}{v} \tag{14.15} \end{equation*} $$

उदाहरण 14.3 एक तांबे के तार की लंबाई $0.72 \mathrm{~m}$ है और इसका द्रव्यमान $5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है। यदि तार पर $60 \mathrm{~N}$ का तनाव है, तो तार पर अनुप्रस्थ तरंगों की चाल क्या होगी?

उत्तर तार के इकाई लंबाई पर द्रव्यमान,

$$ \begin{aligned} \mu & =\frac{5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{0.72 \mathrm{~m}} \\ & =6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \end{aligned} $$

तनाव, $T=60 \mathrm{~N}$

तार पर तरंग की चाल द्वारा दी गई है

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{60 \mathrm{~N}}{6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1}}}=93 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

14.4.2 अनुप्रस्थ तरंग की चाल (ध्वनि की चाल)

एक अनुप्रस्थ तरंग में, माध्यम के घटक तरंग के प्रसार की दिशा में आगे और पीछे दोलन करते हैं। हम पहले ही देख चुके हैं कि ध्वनि तरंग वायु के छोटे आयतन के तत्वों के संपीड़न और विरलन के रूप में चलती है। संपीड़न तनाव के तहत तनाव को निर्धारित करने वाली श्रेणी विस्तार गुणांक होती है जो माध्यम द्वारा परिभाषित की जाती है (अध्याय 8 देखें)

$$ \begin{equation*} B=-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \tag{14.16} \end{equation*} $$

यहाँ, दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ आयतन विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ उत्पन्न करता है। $B$ के आयाम दबाव के समान होते हैं और SI इकाइयों में पास्कल $(\mathrm{Pa})$ में दिए जाते हैं। तरंग के प्रसार के लिए संबंधित अविच्छिन्न गुण द्रव्यमान घनत्व $\rho$ होता है, जिसके आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ होते हैं। सरल देखने से पता चलता है कि मात्रा $B / \rho$ के आयाम हैं:

$$ \begin{equation*} \frac{\left[M L^{-2} T^{-2}\right]}{\left[M L^{-3}\right]}=\left[L^{2} T^{-3}\right] \tag{14.17} \end{equation*} $$

इसलिए, यदि $B$ और $\rho$ को एकमात्र संबंधित भौतिक मात्राओं के रूप में लिया जाता है,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.18} \end{equation*} $$

जहाँ, जैसा कि पहले था, $C$ आयाम विश्लेषण से प्राप्त अनिर्धारित नियतांक है। सटीक व्युत्पन्न दिखाता है कि $C=1$। इसलिए, माध्यम में अनुप्रस्थ तरंगों के लिए सामान्य सूत्र है:

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.19} \end{equation*}

\end{equation*} $$

एक रैखिक माध्यम, जैसे कि ठोस बार, में लंबवत विस्तार नegligible होता है और हम इसे केवल अक्षीय तनाव के अंतर्गत ले सकते हैं। ऐसे मामले में संबंधित तन्यता मापांक यंग का मापांक होता है, जिसका आयाम आयतनिक मापांक के समान होता है। इस मामले के आयाम विश्लेषण पहले के जैसा होता है और एक समीकरण जैसे समीकरण (14.18) के साथ एक अनिर्धारित $C$ देता है, जिसे सटीक व्युत्पन्न एकता के रूप में दिखाता है। इसलिए, ठोस बार में अक्षीय तरंगों की गति द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} \tag{14.20} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{Y}$ बार के पदार्थ के यंग का मापांक है। सामग्री में ध्वनि की गति की गति तालिका 14.1 में दी गई है।

तालिका 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति

| तरल पदार्थ | | | पानी $\left(0^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1402 | | पानी $\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1482 | | समुद्री जल | 1522 | | ठोस पदार्थ | | | एल्यूमिनियम | 6420 | | तांबा | 3560 | | इस्पात | 5941 | | ग्रैनाइट | 6000 | | वुल्कैनाइज़ड | | | रबर | 54 |

तरल पदार्थ और ठोस पदार्थ आमतौर पर गैसों की तुलना में ध्वनि की गति के अधिक मूल्य रखते हैं। [ठोस के लिए ध्वनि की गति के संदर्भ में ध्वनि के अनुप्रस्थ तरंगों की गति के बारे में बताया जाता है]। यह इसलिए होता है कि वे गैसों की तुलना में बहुत कठिन होते हैं और इसलिए उनके बुल्क मॉड्यूलस के मूल्य बहुत अधिक होते हैं। अब, समीकरण (14.19) को देखें। ठोस और तरल पदार्थ गैसों की तुलना में अधिक द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ रखते हैं। लेकिन ठोस और तरल पदार्थ के बुल्क मॉड्यूलस $(B)$ में वृद्धि बहुत अधिक होती है। इस कारण ध्वनि तरंगें ठोस और तरल पदार्थ में तेजी से चलती हैं।

हम आदर्श गैस के अनुमान के आधार पर एक गैस में ध्वनि की गति का अनुमान लगा सकते हैं। एक आदर्श गैस में, दबाव $P$, आयतन $V$ और तापमान $T$ द्वारा संबंधित होते हैं (अध्याय 10 देखें)।

$$

\begin{equation*} \mathrm{P} V=N k_{B} T \tag{14.21} \end{equation*} $$

जहाँ $N$ आयतन $V$ में अणुओं की संख्या है, $k_{B}$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ गैस का तापमान (केल्विन में) है। अतः, एक समतापी परिवर्तन के लिए समीकरण (14.21) से यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ \begin{array}{r} V \Delta P+P \Delta V=0 \\ \text { या }-\frac{\Delta P}{\Delta V / V}=P \end{array} $$

इसलिए, समीकरण (14.16) में समानुपाती रूप से बदले जाने पर हमारे पास है:

$$ B=P $$

अतः, समीकरण (14.19) से एक आदर्श गैस में एक अनुप्रस्थ तरंग की चाल दी जाती है,

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{P}{\rho}} \tag{14.22} \end{equation*} $$

इस संबंध को पहले न्यूटन द्वारा दिया गया था और इसे न्यूटन के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण 14.4 मानक ताप और दबाव पर हवा में ध्वनि की चाल का अनुमान लगाएं। 1 मोल हवा के द्रव्यमान $29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर हम जानते हैं कि किसी गैस के 1 मोल का आयतन STP पर 22.4 लीटर होता है। अतः, STP पर हवा का घनत्व है:

$\rho_{o}=$ (एक मोल हवा के द्रव्यमान) / (एक मोल हवा का आयतन STP पर)

$$ \begin{aligned} & =\frac{29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{22.4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}} \\ & =1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \end{aligned} $$

न्यूटन के ध्वनि के वेग के लिए सूत्र के अनुसार, हम वायु में ध्वनि के वेग के लिए प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} v=\left[\frac{1.01 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}}{1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}}\right]^{1 / 2}=280 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \tag{14.23} \end{equation*} $$

समीकरण (14.23) में दिखाए गए परिणाम को तालिका 14.1 में दिए गए $331 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के प्रयोगात्मक मान के तुलना में लगभग 15% कम माना जाता है। हम गलत कहां कर रहे हैं? यदि हम ध्वनि के प्रसार के दौरान माध्यम में दबाव परिवर्तन के बारे में न्यूटन द्वारा किए गए मूल अनुमान की जांच करते हैं, तो हम देखते हैं कि यह सही नहीं है। लैप्लास द्वारा इस बात की ओर इशारा किया गया था कि ध्वनि तरंगों के प्रसार के दौरान दबाव परिवर्तन इतनी तेज होते हैं कि ताप विनिमय के लिए निरंतर तापमान के बरकरार रखने के लिए कम समय रहता है। इन परिवर्तनों के कारण, अत: अनुपलब्ध अवस्था (adiabatic) होती है और नहीं तापमान निरंतर (isothermal)। अत: अनुपलब्ध प्रक्रियाओं के लिए आदर्श गैस अनुपात (Section 11.8 के देखें) के अनुसार संतुलन संतुष्ट करती है,

$$ P V^{\gamma}=\text { constant } $$

अर्थात $\quad\quad \Delta\left(P V^{\prime}\right)=0$

$$ P \gamma V^{\gamma-1} \Delta V+V^{\gamma} \Delta P=0 $$

जहाँ $\gamma$ दो विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात है, $\mathrm{C_{\mathrm{p}}} / \mathrm{C_{\mathrm{v}}}$।

इस प्रकार, आदर्श गैस के लिए अनुवर्ती आयतन बल गुणांक निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{aligned} B_{a d} & =-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \\ & =\gamma P \end{aligned} $$

इसलिए, समीकरण (14.19) से ध्वनि की गति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} \tag{14.24} \end{equation*} $$

न्यूटन के सूत्र के इस संशोधन को लैप्लेस संशोधन कहा जाता है। हवा के लिए $\gamma=7 / 5$ होता है। अब समीकरण (14.24) का उपयोग करके हवा के लिए एसटीपी पर ध्वनि की गति का अनुमान लगाने पर हमें मान 331.3 $\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ प्राप्त होता है, जो मापित गति के साथ सहमत है।

14.5 तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत

जब दो तरंग उद्गम विपरीत दिशाओं में गति करते हुए एक दूसरे को पार करते हैं (चित्र 14.9), तो क्या होता है? यह जांच करने पर पाया जाता है कि तरंग उद्गम एक दूसरे को पार करने के बाद अपनी पहचान को बरकरार रखते हैं। हालांकि, वे एक दूसरे के गुजरने के समय अपने अलग-अलग रूप से नहीं होते। चित्र 14.9 में दो समान आकार और विपरीत आकृति के तरंग उद्गम एक दूसरे की ओर गति करते हुए दिखाये गए हैं। जब तरंग उद्गम एक दूसरे के ऊपर आते हैं, तो परिणामी विस्थापन प्रत्येक तरंग उद्गम के कारण विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत कहा जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक तरंग उद्गम अन्य तरंग उद्गमों की उपस्थिति के बिना गति करती है। माध्यम के अवयव दोनों तरंग उद्गमों के कारण विस्थापन अनुभव करते हैं और क्योंकि विस्थापन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं, इसलिए शुद्ध विस्थापन दोनों के बीजगणितीय योग होता है। चित्र 14.9 में विभिन्न समय पर तरंग आकृति के ग्राफ दिखाए गए हैं। ध्यान दें ग्राफ (c) में दिखाए गए उल्लेखनीय प्रभाव, दोनों तरंग उद्गमों के कारण विस्थापन एक दूसरे को बरकरार रखते हैं और विस्थापन शून्य हो जाता है।

चित्र 14.9 दो तरंगें जिनके विस्थापन समान लेकिन विपरीत हैं और वे विपरीत दिशाओं में चल रही हैं। विपरीत तरंगों के अधिकांश विस्थापन वक्र (c) में शून्य विस्थापन के रूप में जोड़ देते हैं।

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत को गणितीय रूप में लिखने के लिए, मान लीजिए $y_{1}(x, t)$ और $y_{2}(x, t)$ दो तरंग विक्षोभों के कारण माध्यम में विस्थापन है। यदि तरंगें एक क्षेत्र में एक साथ पहुँचती हैं और अतः आपस में घुल मिलती हैं, तो शुद्ध विस्थापन $y(x, t)$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) \tag{14.25} \end{equation*} $$

यदि हम दो या अधिक तरंगें माध्यम में चल रही हों, तो परिणामी तरंग विक्षोभ व्यक्तिगत तरंगों के तरंग फलनों के योग के बराबर होता है। अर्थात, चल रही तरंगों के तरंग फलन निम्नलिखित होंगे:

$$ \begin{aligned} & y_{1}=f_{1}(x-v t), \\ & y_{2}=f_{2}(\text{x}-v t), \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ & \cdots \cdots \cdots . . \\ $$

$$ \begin{aligned} & y_{n}=f_{n}(x-v t) \end{aligned} $$

तो माध्यम में विक्षोभ का तरंग फलन निम्नलिखित होगा

$$ \begin{align*} y & =f_{1}(x-v t)+f_{2}(x-v t)+\ldots+f_{n}(x-v t) \\ & =\sum_{i=1}^{n} f_{i}(x-v t) \tag{14.26} \end{align*} $$

अधिरोधन के सिद्धांत को विरोध के घटना के लिए मूलभूत माना जाता है।

सरलता के लिए, एक तनी गई रस्सी पर दो अप्रत्यक्ष गतिशील तरंगों के बारे में सोचें, जो दोनों के समान $\omega$ (कोणीय आवृत्ति) और $k$ (तरंग संख्या) हैं, और इसलिए एक ही तरंग दैर्ध्य $\lambda$ है। उनकी तरंग गति समान होगी। हम यह भी मान सकते हैं कि उनके आम्प्लीट्यूड समान हैं और वे दोनों $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में चल रही हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक कलन में अलग हैं। समीकरण (14.2) के अनुसार, दो तरंगों को निम्नलिखित फलनों द्वारा वर्णित किया जाता है:

$$ \begin{equation*} y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \tag{14.27} \end{equation*} $$

$$ \text{और} \quad \quad y_{2}(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.28}$$

अतः अधिरोधन के सिद्धांत के अनुसार, कुल विस्थापन निम्नलिखित होगा,

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t)+a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.29} $$

$$ \begin{equation*} \alpha\left[2 \sin \left[\frac{(k x-\omega t)+(k x-\omega t+\phi)}{2}\right] \cos \frac{\phi}{2}\right] \tag{14.30} \end{equation*} $$

जहाँ हम निम्नलिखित परिचित त्रिकोणमितीय सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: $\sin A+\sin B$. फिर हमें प्राप्त होता है:

$$y(x, t)=2 a \cos \frac{\phi}{2} \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) \tag{14.31}$$

चित्र 14. सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार बराबर आम्प्लीट्यूड और तरंगदैर्ध्य वाले दो हार्मोनिक तरंगों के परिणामी तरंग। परिणामी तरंग के आम्प्लीट्यूड के अनुसार फेज़ अंतर $\phi$ पर निर्भर करता है, जो (a) के लिए शून्य और (b) के लिए $\pi$ होता है।

समीकरण (14.31) एक भी धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हार्मोनिक तरंग है, जिसकी आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य दोनों समान हैं। हालांकि, इसका प्रारंभिक फेज़ कोण $\frac{\phi}{2}$ है। महत्वपूर्ण बात यह है कि इसका आम्प्लीट्यूड दो घटक तरंगों के बीच फेज़ अंतर $\phi$ के फलन है:

$$ \begin{equation*} A(\phi)=2 a \cos 1 / 2 \phi \tag{14.32} \end{equation*} $$

$\phi=0$ के लिए, जब तरंगें एक दूसरे के समान चरण में होती हैं,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin (k x-\omega t) \tag{14.33} \end{equation*} $$

अर्थात, परिणामी तरंग का आयाम $2 \mathrm{a}$ होता है, जो $A$ के संभव सबसे बड़े मान है। $\phi=\pi$ के लिए, तरंगें पूरी तरह से असंगत होती हैं और परिणामी तरंग के सभी समय और सभी स्थान पर विस्थापन शून्य होता है

$$ \begin{equation*} y(x, t)=0 \tag{14.34} \end{equation*} $$

समीकरण (14.33) दो तरंगों के ऐसे संयोजन को संदर्भित करता है जिसे निर्माणात्मक अपसार कहा जाता है जहां परिणामी तरंग में आयाम जोड़ दिए जाते हैं। समीकरण (14.34) विनाशक अपसार के मामला है जहां परिणामी तरंग में आयाम घट दिए जाते हैं। चित्र 14.10 अपसार के इन दोनों मामलों को अधिग्रहण के सिद्धांत के आधार पर दिखाता है।

14.6 तरंगों के प्रतिबिंब

अब तक हम असीमित माध्यम में चल रही तरंगों के बारे में विचार कर चुके हैं। यदि एक पल्स या तरंग सीमा के सामने आता है तो क्या होता है? यदि सीमा कठिन होती है, तो पल्स या तरंग प्रतिबिंबित हो जाता है। तरंग या पल्स द्वारा सीमा के आगे आने पर इसका प्रतिबिंब होता है।

फेनोमेनोन ऑफ़ ईचो एक उदाहरण है एक ठोस सीमा द्वारा परावर्तन के। यदि सीमा पूर्ण रूप से ठोस नहीं है या दो अलग-अलग इलास्टिक माध्यमों के बीच एक सीमा है, तो स्थिति कुछ जटिल हो जाती है। एक भाग आपतित तरंग के रूप में परावर्तित हो जाता है और एक भाग दूसरे माध्यम में प्रसारित हो जाता है। यदि एक तरंग दो अलग-अलग माध्यमों के बीच एक सीमा पर झुके हुए आपतित होती है, तो प्रसारित तरंग को अपवर्तित तरंग कहा जाता है। आपतित और अपवर्तित तरंगें अपवर्तन के न्यूटन के नियम का पालन करती हैं, और आपतित और परावर्तित तरंगें परावर्तन के सामान्य नियमों का पालन करती हैं।

चित्र 14.11 एक तरंग जो एक तनी हुई रस्सी के अलोक बिंदु पर चल रही है और एक सीमा द्वारा परावर्तित हो रही है। मान लीजिए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का कोई अवशोषण नहीं होता है, तो परावर्तित तरंग आपतित तरंग के समान आकार की होती है लेकिन इसके परावर्तन पर एक चरण परिवर्तन $\pi$ या $18 डिग्री$ होता है। इसका कारण यह है कि सीमा ठोस है और अवांछित विक्षोभ के सभी समय बिंदु पर शून्य विस्थापन होना आवश्यक है। अधिरोधन के सिद्धांत के अनुसार, इसके लिए परावर्तित और आपतित तरंगों में $\pi$ के चरण के अंतर होना आवश्यक है, ताकि परिणामी विस्थापन शून्य हो। इस तर्क के आधार पर एक ठोस दीवार पर सीमा शर्त है। हम एक गतिशील तर्क के माध्यम से भी इसी निष्कर्ष तक पहुंच सकते हैं। जैसे तरंग दीवार पर पहुंचती है, तो यह दीवार पर एक बल लगाती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, दीवार रस्सी पर बराबर और विपरीत बल लगाती है जो एक परावर्तित तरंग के रूप में उत्पन्न होता है जो $\pi$ के चरण के अंतर के साथ अलग होता है।

चित्र 14.11 एक तरंग के एक कठिन सीमा के साथ मिलने पर परावर्तित तरंग।

अगर दूसरी ओर, सीमा बिंदु कठिन नहीं है लेकिन पूरी तरह से गति करने में मुक्त है (जैसे कि एक स्ट्रिंग के एक छोर पर एक छोर बर्बाद वलय लगा हुआ एक छड़ पर बांधा गया हो), तो परावर्तित तरंग के एक ही चरण और आयाम होते हैं (ऊर्जा के कोई नुकसान न होने की धारणा के अंतर्गत) आपतित तरंग के जैसे। तब सीमा पर अधिकतम विस्थापन दो गुना हो जाता है जो प्रत्येक तरंग के आयाम के बराबर होता है। एक अकठिन सीमा का उदाहरण एक ऑर्गन पाइप के खुले सिरे है।

सारांश करें, एक चलती तरंग या तरंग एक कठिन सीमा पर परावर्तन के दौरान $\pi$ के चरण परिवर्तन का अनुभव करती है और एक खुले सीमा पर परावर्तन के दौरान कोई चरण परिवर्तन नहीं होता। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है, आपतित चलती तरंग को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$$ y_2(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

एक कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग को निम्नलिखित रूप में दिया जाता है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+\pi) . \ & =-a \sin (k x-\omega t)\tag{14.35} \end{aligned} $$

एक खुले सीमा पर, परावर्तित तरंग के द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+0) . \ & =a \sin (k x-\omega t)\tag{14.36} \end{aligned} $$

स्पष्ट रूप से, कठोर सीमा पर, $y=y_2+y_r=0$

14.6.1 खड़ी तरंगें और नॉर्मल मोड

हमने ऊपर एक सीमा पर परावर्तन के बारे में विचार किया। लेकिन कुछ परिचित स्थितियाँ (एक छड़ी दोनों सिरों पर बाँध दी गई हो या एक पाइप में हवा के स्तंभ के एक सिरा बंद हो) हैं जहाँ परावर्तन दो या अधिक सीमाओं पर होता है। एक छड़ी में, उदाहरण के लिए, एक दिशा में चल रही तरंग एक सिरे पर परावर्तित हो जाती है, जो फिर दूसरे सिरे से टकराकर परावर्तित हो जाती है। इसके बाद छड़ी पर एक स्थिर तरंग पैटर्न बन जाता है। ऐसे तरंग पैटर्न को खड़ी तरंग या स्थिर तरंग कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चल रही एक तरंग और उसी आयाम और तरंगदैर्ध्य के एक परावर्तित तरंग के ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलते हुए विचार करें। समीकरण (14.2) और (14.4) से, $\phi=0$ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \\ & y_{2}(x, t)=a \sin (k x+\omega t) \end{aligned} $$

स्ट्रिंग पर विस्तारित तरंग के अनुसार, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार:

$$ y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) $$

$$ =a[\sin (k x-\omega t)+\sin (k x+\omega t)] $$

उपयोग करते हुए परिचित त्रिकोणमितीय पहचान

$\operatorname{Sin}(A+B)+\operatorname{Sin}(A-B)=2 \sin A \cos B$ हमें प्राप्त होता है,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin k x \cos \omega t \tag{14.37} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि समीकरण (14.37) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न में महत्वपूर्ण अंतर उस समीकरण (14.2) या समीकरण (14.4) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न से है। शब्द $\mathrm{kx}$ और $\omega t$ अलग-अलग उपस्थित होते हैं, न कि $k x-\omega t$ के संयोजन में। इस तरंग के आम्प्लीट्यूड $2 a \sin k x$ है। इस तरंग पैटर्न में, आम्प्लीट्यूड बिंदु से बिंदु बदलता है, लेकिन स्ट्रिंग के प्रत्येक तत्व एक ही कोणीय आवृत्ति $\omega$ या समय अवधि के साथ दोलन करते हैं। तरंग के विभिन्न तत्वों के दोलनों में कोई भी चरण अंतर नहीं होता। तरंग के रूप में स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं पर अलग-अलग आम्प्लीट्यूड के साथ दोलन करती है। तरंग पैटर्न दाहिने या बाएं नहीं चल रही है। इसलिए, वे स्थिर या स्थायी तरंग कहलाते हैं। आम्प्लीट्यूड एक निश्चित स्थान पर निश्चित होता है, लेकिन, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, विभिन्न स्थानों पर अलग-अलग होता है। जहां आम्प्लीट्यूड शून्य होता है (अर्थात जहां कोई भी गति नहीं होती है) वहां नोड्स होते हैं; जहां आम्प्लीट्यूड सबसे अधिक होता है वहां एंटीनॉड्स कहलाते हैं। चित्र 14.12 में दो विपरीत दिशाओं में चलने वाली तरंगों के सुपरपोजिशन से उत्पन्न स्थायी तरंग पैटर्न दिखाया गया है।

स्थायी तरंगों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि सीमा स्थितियाँ प्रणोदन के संभावित तरंगदैर्घ्य या आवृत्तियों को सीमित करती हैं। तंतु या प्रणोदन निश्चित आवृत्तियों या सामान्य आवृत्तियों (normal modes) के सेट के साथ आवर्ती रूप से झूल सकता है, जो किसी भी अस्पष्ट आवृत्ति के साथ झूल सकता है (इसे एक हार्मोनिक गतिशील तरंग के साथ तुलना करें)। अब हम एक दोनों सिरों पर बाँधे गए खिंचे तार के लिए इन सामान्य आवृत्तियों का निर्धारण करेंगे।

पहले, समीकरण (14.37) से, नोड्स (जहाँ आयाम शून्य होता है) के स्थान द्वारा दिया गया है:

$$ \sin kx = 0 $$

जो कहता है $$ k x = n \pi ; \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots $$

चूंकि $k = 2\pi/\lambda$, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} x = \frac{n \lambda}{2} ; n = 0, 1, 2, 3, \ldots \tag{14.38} \end{equation*} $$

चित्र 14.12 दो अनुनादी तरंगों के अध्यावेशण से उत्पन्न स्थायी तरंगें। ध्यान दें कि शून्य विस्थापन (नोड्स) के स्थान समय के साथ निश्चित रहते हैं।

स्पष्ट रूप से, किसी भी दो क्रमागत नोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। इसी तरह, एंटीनोड के स्थान (जहाँ आम्प्लीतुड सबसे अधिक होती है) को sin $k x$ के सबसे बड़े मान द्वारा दिया जाता है:

$|\sin k x|=1$

जो कहता है

$ k x=(n+1 / 2) \pi ; n=0,1,2,3, \ldots $

$ k=2 \pi / \lambda $ के साथ, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} x=(n+1 / 2) \frac{\lambda}{2} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.39} \end{equation*} $$

फिर भी, किसी भी दो क्रमागत एंटीनोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। समीकरण (14.38) को एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के मामले में लागू किया जा सकता है, जिसकी लंबाई $L$ है और दोनों सिरों पर निश्चित है। एक सिरे को $X=0$ मानते हुए, सीमा स्थितियाँ यह है कि $x=0$ और $x=L$ नोड के स्थान हैं। $x=0$ की स्थिति पहले से ही संतुष्ट है। $x=L$ नोड की स्थिति की आवश्यकता है कि लंबाई $L$ को $\lambda$ द्वारा संबंधित करती है

$$ \begin{equation*} L=n \frac{\lambda}{2} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.40} \end{equation*} $$

इस प्रकार, स्थैतिक तरंगों के संभावित तरंगदैर्ध्य संबंध द्वारा प्रतिबंधित होते हैं

$$ \lambda=\frac{2 L}{n} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.41} $$

संगत आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{n v}{2 \mathrm{~L}}, \text { for } n=1,2,3 \tag{14.42} \end{equation*} $$

हम इस प्रकार एक निश्चित आवृत्तियों को प्राप्त कर चुके हैं - एक प्रणाली के सामान्य आवृत्तियाँ या आवर्त गति के नॉर्मल मोड। एक प्रणाली की सबसे कम संभव आवृत्ति को इसका मूल आवृत्ति या प्रथम हार्मोनिक कहा जाता है। एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर निश्चित किया गया होने पर यह द्वारा दिया जाता है $v=\frac{v}{2 L}$, जो समीकरण (14.42) के $n=1$ के संगत है। यहाँ $\mathrm{v}$ माध्यम के गुणों द्वारा निर्धारित तरंग वेग है। $n=2$ की आवृत्ति को द्वितीय हार्मोनिक कहा जाता है; $n=3$ की आवृत्ति तृतीय हार्मोनिक है और इसी तरह आगे। हम विभिन्न हार्मोनिक को $v_{n}(n=1,2, \ldots)$ के चिन्ह द्वारा चिह्नित कर सकते हैं।

चित्र 14.13 एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर निश्चित किया गया होने पर पहले छह हार्मोनिक को दर्शाता है। एक स्ट्रिंग के विभाजन केवल इन मोड में होना आवश्यक नहीं है। सामान्यतः, एक स्ट्रिंग के विभाजन कई मोड के अधिग्रहण के योग होता है; कुछ मोड अधिक तीव्र रूप से उत्प्रेरित हो सकते हैं और कुछ कम। सितार या विलन जैसे संगीत वाद्य यंत्र इस सिद्धांत पर आधारित होते हैं। जहाँ स्ट्रिंग को खींचा या बाँधा जाता है, वहाँ एक विशिष्ट मोड अन्य मोड के तुलना में अधिक प्रमुख हो सकता है।

चित्र 14.13 एक खींचे गए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर टिके हुए विस्थापन के पहले छह अधिस्वर या हार्मोनिक।

अब हम एक छोर बंद और दूसरा खुला हुआ हवा के स्तंभ के सामान्य आवर्त गति के अध्ययन करेंगे। एक कांच के ट्यूब के आंशिक रूप से पानी से भरे होने के इस प्रणाली को इसके उदाहरण के रूप में ले सकते हैं। पानी के संपर्क में छोर एक नोड होता है, जबकि खुला छोर एक एंटीनोड होता है। नोड पर दबाव के परिवर्तन सबसे अधिक होते हैं, जबकि विस्थापन न्यूनतम (शून्य) होता है। खुले छोर पर - एंटीनोड, यहां दबाव के परिवर्तन कम होते हैं और विस्थापन के अधिकतम आयाम होता है। यदि पानी के संपर्क में छोर को $x=0$ मान लिया जाए, तो नोड की स्थिति (समीकरण 14.38) पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। यदि दूसरा छोर $x=L$ एंटीनोड हो, तो समीकरण (14.39) द्वारा

$L=\quad \left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{2}$, जहां $n=0,1,2,3, \ldots$

संभावित तरंगदैर्ध्य फिर से निम्न संबंध द्वारा सीमित हो जाती है : $$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 L}{(n+1 / 2)}, \text { for } n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.43} \end{equation*} $$

सामान्य रूप (नैचुरल आवृत्तियाँ) - प्रणाली की स्वाभाविक आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{v}{2 L} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.44} \end{equation*} $$

मूल आवृत्ति $n=0$ के लिए होती है, और यह $\frac{v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है। उच्च आवृत्तियाँ विषम हार्मोनिक होती हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के विषम गुणक होती हैं : $3 \frac{v}{4 L}, 5 \frac{v}{4 L}$, आदि। चित्र 14.14 में एक सिरा बंद और दूसरा खुला हवा के स्तंभ के पहले छह विषम हार्मोनिक दिखाए गए हैं। एक दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ के लिए, प्रत्येक सिरा एक अनुनाद बिंदु होता है। इसलिए आसानी से देखा जा सकता है कि दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ सभी हार्मोनिक उत्पन्न करते हैं (चित्र 14.15 देखें)।

ऊपर के प्रणाली, तार और हवा के स्तंभ, बल द्वारा उत्प्रेरित आवर्त गति (अध्याय 13) भी अनुभव कर सकते हैं। यदि बाह्य आवृत्ति कोई एक स्वाभाविक आवृत्ति के निकट होती है, तो प्रणाली अनुनाद दिखाती है।

सर्कुलर मेम्ब्रेन के नॉर्मल मोड जो कि एक टाबला के समान तार पर बांधे गए हों, उनकी सीमा स्थिति द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें मेम्ब्रेन के वृत्ताकार परिधि पर कोई बिंदु आवर्ती गति नहीं करता है। इस प्रणाली के नॉर्मल मोड की आवृत्तियों का अनुमान लगाना अधिक जटिल होता है। यह समस्या दो आयामों में तरंग प्रसार के बारे में है। हालांकि, इसके पीछे के भौतिक तत्व समान हैं।

उदाहरण 14.5 एक पाइप, $30.0 \mathrm{~cm}$ लंबा है, जो दोनों सिरों पर खुला है। एक $1.1 \mathrm{kHz}$ आवृत्ति वाले स्रोत के साथ कौन सा हार्मोनिक मोड पाइप में अनुनाद करता है? यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए तो एक ही स्रोत के साथ अनुनाद के अवलोकन को देखा जाएगा या नहीं? हवा में ध्वनि की गति को $330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ मान लीजिए।

उत्तर पहले हार्मोनिक आवृत्ति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ v_1=\frac{v}{\lambda_1}=\frac{v}{2 L} \quad \text { (खुला पाइप) } $$

जहाँ $L$ पाइप की लंबाई है। इसके $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति निम्नलिखित है:

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n v}{2 L}, \text { for } n=1,2,3, \ldots \text { (खुला पाइप) } $$

खुले पाइप के पहले कुछ मोड चित्र 14.15 में दिखाए गए हैं।

$L=30.0 \mathrm{~cm}, v=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए,

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n \hspace{1mm}330\left(\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{0.6(\mathrm{~m})}=550 \mathrm{n} \mathrm{~s}^{-1} $$

स्पष्ट रूप से, एक आवृत्ति के स्रोत 1.1 किलोहर्ट्ज के लिए $v_2$ पर अनुनाद करेगा, अर्थात द्वितीय अपवर्ती।

अब यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए (चित्र 14.15), तो समीकरण (14.15) से स्पष्ट होता है कि मूल आवृत्ति है

$$ v_{1}=\frac{v}{\lambda_{1}}=\frac{v}{4 L} \text { (एक सिरा बंद पाइप) } $$

चित्र 14.14 एक सिरा खुला और दूसरा सिरा बंद एक हवा के स्तंभ के सामान्य अपवर्ती। केवल विषम अपवर्ती संभव हैं

और केवल विषम संख्या वाले अपवर्ती उपस्थित होते हैं :

$$ v_{3}=\frac{3 v}{4 L}, v_{5}=\frac{5 v}{\text{4 L}} \text {, and so on. } $$

$L=30 \mathrm{~cm}$ और $V=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए, एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $275 \mathrm{~Hz}$ होती है और स्रोत आवृत्ति इसके चौथे हार्मोनिक के संगत होती है। चूंकि यह हार्मोनिक संभव मोड नहीं है, तो स्रोत के साथ आवर्त तरंग के लिए कोई अनुनाद नहीं देखा जाएगा, जैसे ही एक सिरा बंद कर दिया जाएगा।

14.7 बीट्स (BEATS)

‘बीट्स’ एक दिलचस्प घटना है जो तरंगों के विस्थापन से उत्पन्न होती है। जब दो अलग-अलग आवृत्ति वाले अनुनादी ध्वनि तरंग एक ही समय में सुनाई देते हैं, तो हम एक आवृत्ति वाली ध्वनि सुनते हैं (दो निकट आवृत्तियों के औसत), लेकिन हम अन्य चीज भी सुनते हैं। हम ध्वनि की तीव्रता के बढ़ते और घटते भाग को सुनते हैं, जिसकी आवृत्ति दो निकट आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है। कलाकार अपने उपकरणों के बीच संतुलन करते समय इस घटना का उपयोग अक्सर करते हैं। वे तब तक संतुलन करते रहते हैं जब तक उनके संवेदनशील कान बीट्स का पता नहीं लगाते।

चित्र 14.15 एक खुले पाइप में खड़े तरंग, पहले चार हार्मोनिक दिखाए गए हैं

इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, हम दो अलग-अलग आवृत्ति के हार्मोनिक ध्वनि तरंगों के बारे में विचार करेंगे, जो लगभग समान कोणीय आवृत्ति $\omega_1$ और $\omega_2$ के होंगे और सुविधा के लिए स्थान को $\mathrm{x}=0$ रख देंगे। समीकरण (14.2) के साथ एक उपयुक्त चरण ( $\phi=\pi / 2$ प्रत्येक के लिए) का चयन करते हुए, बराबर आयाम मानकर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ s_1=a \cos \omega_1 t \text { और } s_2=a \cos \omega_2 t $$

यहाँ हमने प्रतीक y को $s$ से बदल दिया है, क्योंकि हम अनुप्रस्थ न किन्तु अनुदिश विस्थापन के बारे में बात कर रहे हैं। मान लीजिए $\omega_1$ दो आवृत्तियों में से एक छोटी बड़ी आवृत्ति है। अधिक विस्थापन के परिणाम के रूप में, अधिरचना के सिद्धांत के अनुसार,

$$ s=s_1+s_2=a\left(\cos \omega_1 t+\cos \omega_2 t\right) $$

$\cos A+\cos B$ के परिचित त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ =2 a \cos \frac{\left(\omega_1-\omega_2\right) t}{2} \cos \frac{\left(\omega_1+\omega_2\right) t}{2}\tag{14.46} $$

जो लिखा जा सकता है:

$$ s=\left[2 a \cos \omega_b t\right] \cos \omega_a t\tag{14.47}

$$

यदि $\left|\omega_1-\omega_2\right| \ll \omega_1, \omega_2, \omega_a \gg \omega_b$, तो जहाँ

$$ \omega_b=\frac{\left(\omega_1-\omega_2\right)}{2} \text { और } \omega_a=\frac{\left(\omega_1+\omega_2\right)}

अब यदि हम मान लें कि $\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right| < < \omega_{1}$, जिसका अर्थ है कि $\omega_{a} > \omega_{b}$, तो हम समीकरण (14.47) को निम्नलिखित तरह से समझ सकते हैं। परिणामी तरंग $\omega_{a}$ के औसत कोणीय आवर्तन आवृत्ति के साथ झूल रही है; हालांकि, इसके आयाम समय के साथ स्थिर नहीं है, जैसे कि शुद्ध हार्मोनिक तरंग के आयाम होते हैं। आयाम अधिकतम होता है जब $\cos \omega_{b} t$ का मान +1 या -1 होता है। अन्य शब्दों में, परिणामी तरंग की तीव्रता $2 \omega_{\mathrm{b}}=\omega_{1}-$ $\omega_{2}$ की आवृत्ति के साथ बढ़ती और घटती है। क्योंकि $\omega=2 \pi v$, तो बीट आवृत्ति $v_{\text {beat }}$, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v_{\text {beat }}=v_{1}-v_{2} \tag{14.48} \end{equation*} $$

चित्र 14.16 में 11 $\mathrm{Hz}$ और $9 \mathrm{~Hz}$ आवृत्ति वाली दो हार्मोनिक तरंगों के बीट घटना को दर्शाया गया है। परिणामी तरंग के आयाम 2 $\mathrm{~Hz}$ की आवृत्ति के साथ बढ़ता और घटता है।

चित्र 14.16 दो हार्मोनिक तरंगों के सुपरपोजिशन, जिनमें से एक की आवृत्ति 11 Hz (a) है और दूसरी की आवृत्ति 9 Hz (b) है, जो आवृत्ति 2 Hz के बीट्स के उत्पन्न करती है, जैसा कि (c) में दिखाया गया है।

संगीत के स्तंभ

मंदिर अक्सर कुछ स्तंभों के साथ होते हैं, जो मानव आकार के चित्र बनाते हैं जो संगीत वाद्य यंत्र बजाते हुए दिखाई देते हैं, लेकिन ये स्तंभ खुद संगीत उत्पन्न नहीं करते हैं। तमिलनाडु के नेलाईअप्पर मंदिर में, एक गुच्छे स्तंभों पर धीमी छोटी आवाजों के साथ टकराने से भारतीय क्लासिकल संगीत के मूल नोट बनते हैं, जैसे कि Sa, Re, Ga, Ma, Pa, Dha, Ni, Sa। इन स्तंभों के झंकार इस्तेमाल किए गए शैल के लचीलापन, घनत्व और आकार पर निर्भर करते हैं।

उदाहरण 14.6 दो सितार के तार A और B, नोट ‘धा’ के उत्पादन के लिए थोड़ा असंगत हैं और 5 हर्ट्ज की आवृत्ति के बीट उत्पन्न करते हैं। तार B के तनाव को थोड़ा बढ़ा दिया जाता है और बीट आवृत्ति 3 हर्ट्ज तक घट जाती है। यदि A की आवृत्ति 427 हर्ट्ज है, तो B की मूल आवृत्ति क्या है?

उत्तर स्ट्रिंग के तनाव में वृद्धि इसकी आवृत्ति में वृद्धि करती है। यदि मूल आवृत्ति $\mathrm{B}\left(v_B\right)$, $\mathrm{A}\left(v_A\right)$ की आवृत्ति से अधिक होती, तो $v_B$ में अतिरिक्त वृद्धि बीट आवृत्ति में वृद्धि करती। लेकिन बीट आवृत्ति कम हो जाती है। इससे स्पष्ट होता है कि $v_B<v_A$। चूंकि $v_A-v_B=5 \mathrm{~Hz}$, और $v_A=427 \mathrm{~Hz}$, हमें $v_B=422 \mathrm{~Hz}$ प्राप्त होता है।

सारांश

1. यांत्रिक तरंगें माध्यम में मौजूद हो सकती हैं और न्यूटन के नियमों द्वारा नियंत्रित होती हैं।

2. अनुप्रस्थ तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।

3. अनुदिश तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।

4. प्रगति तरंग वह तरंग होती है जो माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलती है।

5. धनात्मक x दिशा में चल रही एक वृत्तीय तरंग में विस्थापन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)

$$

जहाँ $a$ तरंग का आयाम है, $k$ कोणीय तरंग संख्या है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, $(k x-\omega t+\phi)$ तरंग का कोण है, और $\phi$ कोणीय स्थिरांक या कोण है।

6. एक प्रगतिशील तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ किसी दिए गए समय पर दो क्रमागत बिंदुओं के बीच एक ही कोण के बीच दूरी होती है। एक स्थैतिक तरंग में, यह दो क्रमागत नोड या अनुनादी बिंदुओं के बीच दूरी के दोगुना होती है।

7. एक तरंग के आवर्तकाल $T$ को विस्पति के किसी भी तत्व के एक पूर्ण आवर्त गति के लिए लिय गए समय के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित है

$$ T=\frac{2 \pi}{\omega} $$

8. एक तरंग की आवृत्ति $v$ को $1 / T$ के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे कोणीय आवृत्ति द्वारा निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित है

$$ \nu=\frac{\omega}{2 \pi} $$

9. एक प्रगतिशील तरंग की चाल $v=\frac{\omega}{\mathrm{k}}=\frac{\lambda}{\mathrm{T}}=\lambda v$ द्वारा दी जाती है

10. एक तनाव वाली स्ट्रिंग पर एक अनुप्रस्थ तरंग की चाल स्ट्रिंग के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। तनाव $T$ और रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ वाली स्ट्रिंग पर चाल

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} $$

11. ध्वनि तरंगें लंबवत यांत्रिक तरंगें होती हैं जो ठोस, तरल या गैस में चल सकती हैं। एक तरल में ध्वनि तरंग की गति $v$ बुफ़ बुफ़ मापांक $B$ और घनत्व $\rho$ के अनुसार होती है

$$ v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} $$

एक धातु के बार में लंबवत तरंग की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} $$

गैस के लिए, क्योंकि $B=\gamma P$, ध्वनि की गति होती है

$$ v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} $$

12. जब दो या अधिक तरंग एक ही माध्यम में एक साथ चलती हैं, तो माध्यम के किसी भी तत्व के विस्थापन प्रत्येक तरंग के कारण विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के अध्यावेशन के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है

$$ y=\sum_{i=1}^n f_i(x-v t) $$

$$ y(x, t)=\left[2 a \cos \frac{1}{2} \phi\right] \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) $$

यदि $\phi=0$ या $2 \pi$ के किसी भी पूर्णांक के बराबर हो, तो तरंगें पूर्ण अनुपात में होती हैं और अनुसरण निर्माणकारी होता है; यदि $\phi=\pi$, तो वे पूर्ण अनुपात में नहीं होती हैं और अनुसरण नष्टकारी होता है।

14. एक गतिशील तरंग, एक कठिन सीमा या बंद सिरे पर, अपने चरण के विपरीत दिशा में परावर्तित होती है लेकिन खुले सिरे पर परावर्तन बिना कोई चरण परिवर्तन के होता है। एक आपतित तरंग के लिए

$$ y_i(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग होती है

$$ y_r(x, t)=-a \sin ( k x+\omega t) $$

खुले सिरे पर परावर्तन के लिए

$$ y_r(x, t)=a \sin (k x+\omega t) $$

15. दो समान तरंगों के विपरीत दिशा में चलने से खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं। एक तार के दोनों सिरों पर खड़ी तरंग निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ y(x, t)=[2 a \sin k x] \cos \omega t $$

खड़ी तरंगें शून्य विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में नोड और अधिकतम विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में एंटीनोड द्वारा चिह्नित की जाती हैं। दो क्रमागत नोड या एंटीनोड के बीच अंतर $\lambda / 2$ होता है।

एक लम्बाई $L$ की खिंची गई स्ट्रिंग दोनों सिरों पर बाँधे रहने पर आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=\frac{n v}{2 L}, \quad n=1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दी गई आवृत्तियों के समूह को व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ कहते हैं। सबसे कम आवृत्ति वाले दोलन मोड को मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहते हैं। द्वितीय हार्मोनिक वह दोलन मोड है जिसमें $n=2$ होता है और इसी तरह आगे चलकर। एक लम्बाई $L$ के नली जिसका एक सिरा बंद हो और दूसरा सिरा खुला हो (जैसे हवा के स्तंभ) आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=(\mathrm{n}+1 / 2) \frac{v}{2 \mathrm{~L}}, \quad n=0,1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा प्रकट की गई आवृत्तियों के समूह ऐसे व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ हैं। न्यूनतम आवृत्ति $v / 4 L$ द्वारा दी गई है जो मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहलाती है।

16. एक लम्बाई $L$ की स्ट्रिंग जो दोनों सिरों पर बाँधी गई हो या एक ओर बंद और दूसरी ओर खुली हुई हवा के स्तंभ या दोनों ओर खुली हुई हो, अपने नॉर्मल मोड कहलाने वाली आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है। इनमें से प्रत्येक आवृत्ति व्यवस्था की एक रेज़ोनेंस आवृत्ति है।

17. टीन तब उत्पन्न होते हैं जब दो तरंगें, जिनकी आवृत्तियाँ $v_1$ और $v_2$ होती हैं, जो एक दूसरे के बहुत करीब होती हैं और उनके आयाम भी लगभग समान होते हैं, एक दूसरे पर अधिव्यक्ति करती हैं। टीन आवृत्ति है

$$ v_{\text {beat }}=v_1 \sim v_2 $$

सोचने वाले बिंदु

1. एक तरंग माध्यम में पूरे तत्व के गति के रूप में नहीं होती। हवा के बर्बादी तरंग वायु में ध्वनि तरंग से अलग होती है। पहला एक स्थान से दूसरे स्थान तक हवा के गति को शामिल करता है। दूसरा हवा के विभिन्न तहों में संपीड़न और विरलन को शामिल करता है।

2. एक तरंग में, ऊर्जा एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक संचरित होती है, न कि पदार्थ।

3. एक यांत्रिक तरंग में, ऊर्जा संचरण तंत्र के आसपास विस्थापित भागों के बीच तार बलों के माध्यम से जुड़े होने के कारण होता है।

4. अनुप्रस्थ तरंगें केवल विकृति गुणांक के साथ माध्यम में संचरित हो सकती हैं, अक्षीय तरंगों के लिए आयतन गुणांक की आवश्यकता होती है और इसलिए ये सभी माध्यमों में, ठोस, तरल और गैस में संभव होती हैं।

5. एक दिए गए आवृत्ति की समानांतर तरंग में, सभी कणों के आयाम समान होते हैं लेकिन एक दिए गए समय के बिंदु पर उनके अलग-अलग चरण होते हैं। एक स्थैतिक तरंग में, दो नोड के बीच सभी कणों के एक दिए गए समय के बिंदु पर एक ही चरण होता है लेकिन उनके आयाम अलग-अलग होते हैं।

6. एक माध्यम में विराम में रहे प्रेक्षक के संबंध में, एक यांत्रिक तरंग की गति ( $V$ ) उस माध्यम के तार बल और अन्य गुणों (जैसे द्रव्यमान घनत्व) पर निर्भर करती है। यह उत्सर्जक की गति पर निर्भर नहीं करती।

—

14.1 परिचय

पिछले अध्याय में हम वस्तुओं के अलग-अलग गति के अध्ययन कर चुके हैं। एक ऐसे प्रणाली में क्या होता है, जो ऐसी वस्तुओं के संग्रह होता है? एक विस्तारित माध्यम ऐसा उदाहरण है। यहां, विस्तारित बल घटकों के एक दूसरे से बंधे होते हैं और इसलिए एक के गति का प्रभाव दूसरे के गति पर पड़ता है। यदि आप एक छोटे से पत्थर को एक शांत पानी के तालाब में गिराएं, तो पानी की सतह अस्थिर हो जाती है। अस्थिरता एक स्थान पर सीमित नहीं रहती, बल्कि एक वृत्त के रूप में बाहर की ओर फैलती जाती है। यदि आप तालाब में लगातार पत्थर गिराते रहें, तो आप देख सकते हैं कि वृत्त तेजी से अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर चले जाते हैं। यह ऐसा अहसास देता है जैसे कि पानी अस्थिरता के बिंदु से बाहर की ओर बह रहा हो। यदि आप अस्थिता की सतह पर कुछ कॉर्क के टुकड़े रख दें, तो आप देख सकते हैं कि कॉर्क के टुकड़े ऊपर नीचे गिरते हैं लेकिन अस्थिरता के केंद्र से दूर नहीं जाते हैं। यह दिखाता है कि पानी के द्रव्य बाहर की ओर नहीं बहता है बल्कि एक गति करती हुई अस्थिरता के रूप में बनती है। इसी तरह, जब हम बोलते हैं, तो ध्वनि हम से बाहर की ओर चलती है, बिना किसी भी माध्यम के एक हिस्से से दूसरे हिस्से तक हवा के प्रवाह के। हवा में उत्पन्न अस्थिरताएं बहुत कम स्पष्ट होती हैं और केवल हमारे कान या एक माइक्रोफोन उन्हें खोज सकते हैं। ये पैटर्न, जो एक पूरे माध्यम के वास्तविक भौतिक परिवहन या प्रवाह के बिना चलते हैं, तरंगें कहलाते हैं। इस अध्याय में हम ऐसी तरंगों के अध्ययन करेंगे।

तरंगें ऊर्जा का परिवहन करती हैं और विक्षोभ के पैटर्न के ज्ञान के रूप में एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलते हैं। हमारी सभी संचार प्रणालियाँ मूल रूप से तरंगों के माध्यम से संकेतों के प्रसार पर निर्भर करती हैं। बोलना हवा में ध्वनि तरंगों के उत्पादन को कहते हैं और सुनना इन तरंगों के पता लगाने को कहते हैं। अक्सर, संचार विभिन्न प्रकार की तरंगों के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें पहले एक विद्युत धारा संकेत में बदल जाती हैं जो फिर एक विद्युत चुंबकीय तरंग में बदल जाती हैं जो एक ऑप्टिकल केबल या एक उपग्रह के माध्यम से प्रसारित की जा सकती हैं। मूल संकेत के पता लगाने में आमतौर पर इन कदमों के विपरीत क्रम में होते हैं।

सभी तरंगों के लिए माध्यम की आवश्यकता नहीं होती। हम जानते हैं कि प्रकाश तरंगें वैक्यूम में यात्रा कर सकती हैं। तारों द्वारा उत्सर्जित प्रकाश, जो सौर मेटर के सैकड़ों लाइट वर्ष दूर है, आकाशीय अंतराकाश में हम तक पहुंचता है, जो वास्तव में एक वैक्यूम है।

सबसे अधिक परिचित प्रकार की तरंगें जैसे कि एक स्ट्रिंग पर तरंगें, पानी की तरंगें, ध्वनि तरंगें, भूकंपीय तरंगें आदि विशेष रूप से यांत्रिक तरंगें कहलाती हैं। ये तरंगें प्रसार के लिए एक माध्यम की आवश्यकता होती है, वे वैक्यूम में प्रसार नहीं कर सकती हैं। ये तरंगें माध्यम के संघटक कणों के दोलनों के साथ संबंधित होती हैं और माध्यम के अतिरिक्त गुणों पर निर्भर करती हैं। आप द्वारा कक्षा XII में सीखे जाने वाले विद्युत चुंबकीय तरंगें एक अलग प्रकार की तरंग हैं। विद्युत चुंबकीय तरंगें माध्यम की आवश्यकता आवश्यक नहीं होती - वे वैक्यूम में यात्रा कर सकती हैं। प्रकाश, रेडियो तरंगें, X-किरणें, सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें हैं। वैक्यूम में सभी विद्युत चुंबकीय तरंगें एक ही गति $\mathrm{c}$ के साथ यात्रा करती हैं, जिसका मान है :

$$c=299,792,458 \mathrm{~ms}^{-1} \tag{14.1}$$

एक तीसरा प्रकार की तरंग वह है जिसे बाद में “मात्रा तरंग” (Matter waves) कहा जाता है। ये वस्तुओं के घटकों से संबंधित होती हैं : इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, परमाणु और अणु। ये आधुनिक अध्ययन में आपके बाद के अध्ययन में आप जानेंगे जो प्रकृति के क्वांटम यांत्रिक वर्णन में उत्पन्न होती हैं। हालांकि ये यांत्रिक या विद्युत-चुंबकीय तरंगों की तुलना में अधिक अमूर्त होती हैं, लेकिन वे आधुनिक तकनीक के कई उपकरणों में इतनी उपयोगी हो चुकी हैं कि इलेक्ट्रॉनों के संगत मात्रा तरंगों का उपयोग इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप में किया जाता है।

इस अध्याय में हम मैकेनिकल तरंगों के अध्ययन करेंगे, जिनके प्रसार के लिए एक विस्तारित माध्यम की आवश्यकता होती है।

तरंगों के सौंदर्य प्रभाव कला और साहित्य पर बहुत प्राचीन काल से देखा जाता है; हालांकि, तरंग गति के पहले वैज्ञानिक विश्लेषण के इतिहास के बारे में सातवीं सदी के बारे में बताया जाता है। तरंग गति के भौतिकी के कुछ प्रसिद्ध वैज्ञानिक जो इस विषय से संबंधित हैं, चिस्तियान ह्यूगेंस (1629-1695), रॉबर्ट हूक और आइज़ैक न्यूटन हैं। तरंग भौतिकी के समझ के विकास में दोलन के द्रव्यमानों के भौतिकी और सरल लोलक के भौतिकी के अध्ययन के बाद आया। विस्तारित माध्यम में तरंगें अपने आप में हार्मोनिक दोलनों से गहरी रूप से संबंधित होती हैं। (तार, बेलनाकार बर्फ, हवा आदि विस्तारित माध्यम के उदाहरण हैं।)

हम इस संबंध को सरल उदाहरणों के माध्यम से स्पष्ट करेंगे।

एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंगों के एक संग्रह को चित्र 14.1 में दिखाया गया है। यदि एक सिरे पर स्प्रिंग को अचानक खींचकर छोड़ दिया जाए, तो अव्यवहार दूसरे सिरे तक पहुंच जाता है। यह क्या हुआ? पहला स्प्रिंग अपनी संतुलन लंबाई से असंतुलित हो जाता है। चूंकि दूसरा स्प्रिंग पहले स्प्रिंग से जुड़ा है, इसलिए यह भी खिंच जाता है या संपीड़ित हो जाता है, आदि। अव्यवहार एक सिरे से दूसरे सिरे तक चलता रहता है; लेकिन प्रत्येक स्प्रिंग अपनी संतुलन स्थिति के आसपास केवल छोटे झूले बनता है। इस स्थिति का एक व्यावहारिक उदाहरण लें, एक रेलवे स्टेशन पर स्थिर ट्रेन। ट्रेन के विभिन्न बोगी एक दूसरे के साथ एक स्प्रिंग के माध्यम से जुड़े होते हैं। जब एक इंजन एक सिरे पर जुड़ जाता है, तो इसके आसपास बोगी को धकेल देता है; यह धक्का एक बोगी से दूसरे बोगी तक बिना पूरी ट्रेन के एक साथ विस्थापित होने के बिना पहुंच जाता है।

चित्र 14.1 एक दूसरे से जुड़े स्प्रिंग के संग्रह। अंत A पर अचानक खींचा जाता है जिससे एक अस्थिरता उत्पन्न होती है, जो फिर दूसरे अंत तक फैल जाती है।

अब हम वायु में ध्वनि तरंगों के प्रसार के बारे में विचार करते हैं। जैसे तरंग वायु में गुजरती है, वह वायु के एक छोटे क्षेत्र को संपीड़ित या विस्तारित करती है। इसके कारण उस क्षेत्र के घनत्व में एक परिवर्तन होता है, जैसे कि $\delta \rho$, इस परिवर्तन के कारण उस क्षेत्र में दबाव में एक परिवर्तन, $\delta p$, होता है। दबाव एक इकाई क्षेत्र पर बल होता है, इसलिए एक पुनर्स्थापन बल जो अस्थिरता के समानुपाती होता है, जैसे कि एक स्प्रिंग में। इस मामले में, स्प्रिंग के विस्तार या संपीड़न के समान राशि घनत्व में परिवर्तन होता है। यदि क्षेत्र संपीड़ित होता है, तो उस क्षेत्र में अणु एक दूसरे के करीब बंद कर दिए जाते हैं और वे आसपास के क्षेत्र में बाहर जाने की ओर झुकते हैं, जिसके कारण घनत्व बढ़ जाता है या आसपास के क्षेत्र में संपीड़न उत्पन्ढ होता है। इसलिए, पहले क्षेत्र में वायु के विरलन हो जाते हैं। यदि क्षेत्र तुलनात्मक रूप से विरलित होता है, तो आसपास की वायु आ जाती है जिससे विरलन आसपास के क्षेत्र में बढ़ जाता है। इस प्रकार, संपीड़न या विरलन एक क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में चले जाते हैं, जिससे वायु में अस्थिरता के प्रसार की संभावना होती है।

ठोस में, इसी तरह के तर्क किए जा सकते हैं। एक क्रिस्टलीय ठोस में, परमाणु या परमाणुओं के समूह एक आवर्ती जालक में व्यवस्थित होते हैं। इनमें, प्रत्येक परमाणु या परमाणुओं के समूह आसपास के परमाणुओं के बलों के कारण संतुलन में होते हैं। एक परमाणु को विस्थापित करके अन्य परमाणुओं को स्थिर रखे रहने के कारण, वापस ले जाने वाले बल उत्पन्न होते हैं, जैसे कि एक स्प्रिंग में। इसलिए हम एक जालक में परमाणुओं को एंड पॉइंट के रूप में सोच सकते हैं, जिनके बीच स्प्रिंग होते हैं।

इस पाठ के अगले अनुभागों में हम तरंगों के विभिन्न विशिष्ट गुणों के बारे में चर्चा करेंगे।

14.2 अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें

हम देख चुके हैं कि यांत्रिक तरंगों की गति माध्यम के घटकों के दोलनों की शामिल होती है। यदि माध्यम के घटक तरंग प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं, तो तरंग को अनुप्रस्थ तरंग कहा जाता है। यदि वे तरंग प्रसार की दिशा के समानुपाती दोलन करते हैं, तो तरं ग को अनुदिश तरंग कहा जाता है।

चित्र 14.2 जब एक पल्स तनाव वाली स्ट्रिंग के लंबाई के अनुदिश (x-दिशा) चलता है, तो स्ट्रिंग के तत्व ऊपर और नीचे (y-दिशा) झूलते हैं।

चित्र 14.2 में एक अकेले पल्स के स्ट्रिंग पर चलन को दिखाया गया है, जो एक अकेले ऊपर और नीचे के झटके के कारण होता है। यदि स्ट्रिंग की लंबाई पल्स के आकार की तुलना में बहुत लंबी हो, तो पल्स दूसरे सिरे तक पहुंचने से पहले धीमा हो जाएगा और उस सिरे से परावर्तन को नगण्य माना जा सकता है। चित्र 14.3 में एक समान विन्यास दिखाया गया है, लेकिन इस बार बाहरी एजेंट स्ट्रिंग के एक सिरे पर एक निरंतर आवर्ती वृत्तीय ऊपर और नीचे के झटके देता है। इसके परिणामस्वरूप स्ट्रिंग पर उत्पन्न अवांछित विक्षोभ एक वृत्तीय तरंग होती है। दोनों मामलों में स्ट्रिंग के तत्व तरंग या पल्स के माध्यम से गुजरते हुए अपने संतुलन औसत स्थिति के चारों ओर झूलते हैं। झूलन तरंग की गति के लंबवत दिशा में होती है, इसलिए यह एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.3 एक तार में एक हार्मोनिक (साइनसॉइडल) तरंग एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है। तरंग के क्षेत्र में तार के एक तत्व के संतुलन स्थिति के लंबवत दिशा में अपने संतुलन स्थिति के आसपास दोलन करता है।

हम एक तरंग को दो तरीकों से देख सकते हैं। हम एक समय क्षण निश्चित कर सकते हैं और तरंग को अपने आसपास अंतरिक अवस्था में देख सकते हैं। इससे हम एक निश्चित समय पर तरंग के समग्र आकार को देख सकते हैं। दूसरा तरीका एक स्थान निश्चित करना है, अर्थात हम तार के एक विशिष्ट तत्व पर ध्यान केंद्रित करते हैं और इसके समय के दोलन गति को देखते हैं।

चित्र 14.4 ध्वनि तरंगों के प्रसार के सबसे परिचित उदाहरण में अनुप्रस्थ तरंगों की स्थिति को वर्णित करता है। एक लंबा पाइप वायु से भरा होता है जिसके एक सिरे पर एक पिस्टन होता है। पिस्टन के एक अचानक आगे की ओर धकेल और वापस खींचे जाने से माध्यम (वायु) में एक धनात्मक घनत्व (उच्च घनत्व) और बाहरी घनत्व (निम्न घनत्व) के एक तरंग के रूप में एक उतार-चढ़ाव उत्पन्न होता है। यदि पिस्टन की धकेल-खींच कार्य निरंतर और आवर्ती (साइनसॉइडल) होती है, तो वायु में एक साइनसॉइडल तरंग उत्पन्न होती है जो पाइप की लंबाई के अनुदिश चलती है। यह स्पष्ट रूप से एक अनुप्रस्थ तरंग का उदाहरण है।

चित्र 14.4 एक हवा भरे पाइप में ऊपर और नीचे खंडन द्वारा उत्पन्न दीर्घ तरंगें (ध्वनि)। हवा के एक आयतनी तत्व के तरंग प्रसार की दिशा के समानांतर दिशा में आवर्ती गति होती है।

उपरोक्त तरंगें, अनुप्रस्थ या दीर्घ, यात्रा या प्रगति तरंगें हैं क्योंकि वे माध्यम के एक भाग से दूसरे भाग तक चलती हैं। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, पूरे माध्यम की गति नहीं होती। उदाहरण के लिए, एक नदी जल के पूरे गति को दर्शाती है। एक जल तरंग में, यह विक्षोभ ही गति करता है, न कि जल के पूरे। इसी तरह एक हवा के गति (जल के पूरे गति) को एक ध्वनि तरंग से भ्रम नहीं होना चाहिए, जो हवा में दबाव घनत्व में विक्षोभ के प्रसार को दर्शाती है, जहां हवा के पूरे माध्यम की गति नहीं होती।

अनुप्रस्थ तरंगों में, कणों की गति तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत होती है। अतः, जैसे तरंग प्रसार होती है, माध्यम के प्रत्येक तत्व के एक छेदन तनाव का अनुभव होता है। अतः, अनुप्रस्थ तरंगें केवल उन माध्यमों में प्रसार हो सकती हैं जो छेदन तनाव को संभाल सकते हैं, जैसे कि ठोस और तरल नहीं। तरल और ठोस दोनों दबाव तनाव को संभाल सकते हैं; अतः, दीर्घ तरंगें सभी अनुत्क्रमणीय माध्यमों में प्रसार हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, तांबे जैसे माध्यम में, अनुप्रस्थ और दीर्घ दोनों तरंगें प्रसार हो सकती हैं, जबकि हवा केवल दीर्घ तरंगें प्रसार कर सकती है। जल के सतह पर तरंगें दो प्रकार की होती हैं: सतह तनाव तरंगें और गुरुत्व तरंगें। पहली तरंगें बहुत छोटी तरंग लंबाई की रिपल होती हैं-केवल कई सेंटीमीटर तक नहीं अधिक- और इनका पुनर्स्थापन बल जल के सतह तनाव के कारण होता है। गुरुत्व तरंगें की तरंग लंबाई आमतौर पर कई मीटर से कई सौ मीटर तक होती है। इन तरंगों के उत्पन्न करने वाला पुनर्स्थापन बल गुरुत्वाकर्षण के खींचाखींच के कारण होता है, जो जल के सतह को अपने निम्न स्तर पर बनाए रखने की कोशिश करता है। इन तरंगों में कणों के आवर्तन आवर्ती गति केवल सतह पर नहीं होती, बल्कि धीरे-धीरे आमाप के साथ जल के तल तक फैलती है। जल तरंगों में कणों की गति एक जटिल गति होती है- वे न केवल ऊपर और नीचे गति करते हैं बल्कि आगे और पीछे भी गति करते हैं। खाड़ी में तरंगें दीर्घ और अनुप्रस्थ दोनों तरंगों के संयोजन होती हैं।

यह ज्ञात होता है कि, सामान्यतः, अनुप्रस्थ और अनुदिश तरंगें एक ही माध्यम में अलग-अलग गति के साथ चलती हैं।

उदाहरण 14.1 नीचे दिए गए कुछ तरंग गति के उदाहरण हैं। प्रत्येक स्थिति में तरंग गति को अनुप्रस्थ, अनुदिश या दोनों के संयोजन के रूप में बताइए:

(a) एक अनुदिश स्प्रिंग के एक सिरे को ओर ओर विस्थापित करके उत्पन्न एक किंक की गति।

(b) एक सिलेंडर में तरल के एक पिस्टन के आगे-पीछे गति द्वारा उत्पन्न तरंगें।

(c) एक मोटरबोट के जल में चलते हुए उत्पन्न तरंगें।

(d) एक क्वार्टज क्रिस्टल के द्वारा विशिष्ट कर बनाई गई अल्ट्रासोनिक तरंगें।

उत्तर

(a) अनुप्रस्थ और अनुदिश

(b) अनुदिश

(c) अनुप्रस्थ और अनुदिश

(d) अनुदिश

14.3 एक प्रगति तरंग में विस्थापन संबंध

एक चलती हुई तरंग के गणितीय वर्णन के लिए, हमें स्थिति $x$ और समय $t$ के फलन की आवश्यकता होती है। ऐसा फलन प्रत्येक क्षण में उस क्षण के तरंग के आकार को देना चाहिए। इसके अलावा, किसी भी दिए गए स्थान पर, यह उस स्थान पर माध्यम के घटक की गति का वर्णन भी करना चाहिए। यदि हम एक वाटिकल चलती हुई तरंग (जैसे कि चित्र 14.3 में दिखाए गए तरंग) का वर्णन करना चाहते हैं, तो संगत फलन भी वाटिकल होना चाहिए। सुविधा के लिए, हम तरंग को अनुप्रस्थ मान लेंगे ताकि यदि माध्यम के घटक की स्थिति को $x$ द्वारा दर्शाया जाए, तो संतुलन स्थिति से विस्थापन को $y$ द्वारा दर्शाया जा सके। तब एक वाटिकल चलती हुई तरंग का वर्णन निम्नलिखित होता है:

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)\tag{14.2}$$

साइन फलन के तर्क में $\phi$ शब्द का तात्पर्य यह है कि हम एक लीनियर संयोजन के रूप में साइन और कोसाइन फलनों को विचार कर रहे हैं:

$$y(x, t)=A \sin (k x-\omega t)+B \cos (k x-\omega t) \tag {14.3}$$

समीकरण (14.2) और (14.3) से,

$$ a=\sqrt{A^{2}+B^{2}} \quad\text { और} \quad\phi=\tan ^{-1}\left(\frac{B}{A}\right) $$

समीकरण (14.2) को एक साइनसॉइडल चल तरंग के रूप में क्यों प्रस्तुत करता है, इसकी समझ लेते हैं, एक निश्चित क्षण, जैसे $t=t_{0}$ लें। तब, समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्क केवल $k x+$ नियतांक होता है। इसलिए, तरंग के आकार (किसी भी निश्चित क्षण पर) के $x$ के फलन के रूप में एक साइन तरंग होती है। इसी तरह, एक निश्चित स्थान, जैसे $x=x_{0}$ लें। तब, समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्क नियतांक $-\omega t$ होता है। इसलिए, एक निश्चित स्थान पर विस्थापन $y$, समय के साथ साइनसॉइडल रूप से बदलता है। अर्थात, विभिन्न स्थानों पर माध्यम के घटक सरल वैकल्पिक गति करते हैं। अंत में, जब $t$ बढ़ता है, तो $x$ को धनात्मक दिशा में बढ़ाना पड़ता है ताकि $k x-\omega t+\phi$ नियत रहे। इसलिए, समीकरण (14.2) धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हुई साइनसॉइडल (हार्मोनिक) तरंग को प्रस्तुत करता है। दूसरी ओर, एक फलन एक नकारात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलती हुई तरंग को प्रस्तुत करता है। चित्र (14.5) में समीकरण (14.2) में उपस्थित विभिन्न भौतिक राशियों के नाम दिए गए हैं जिन्हें हम अब व्याख्या कर रहे हैं।

$$ \begin{equation*} y(x, t)=a \sin (k x+\omega t+\phi) \tag{14.4} \end{equation*} $$

चित्र 14.5 समीकरण (14.2) में मानक चिन्हों का अर्थ

चित्र 14.6 में समीकरण (14 बराबर 2) के लिए विभिन्न समय मानों के लिए आरेख दिखाए गए हैं, जो समान समय अंतरों वाले अलग-अलग समय मानों के लिए हैं। एक तरंग में, शिखर अधिकतम धनात्मक विस्थापन के बिंदु होता है, गर्त अधिकतम नकारात्मक विस्थापन के बिंदु होता है। एक तरंग कैसे चलती है, इसको देखने के लिए हम एक शिखर पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह समय के साथ कैसे बढ़ता है। चित्र में इसे शिखर पर एक क्रॉस ( ) द्वारा दिखाया गया है। इसी तरह, हम एक निश्चित स्थान पर, उदाहरण के लिए x-अक्ष के मूल बिंदु पर, माध्यम के एक विशिष्ट घटक की गति देख सकते हैं। इसे एक ठोस बिंदु (•) द्वारा दिखाया गया है। चित्र 14.6 के आरेख दिखाते हैं कि समय के साथ ठोस बिंदु (•) मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से गति करता है, अर्थात तरंग के बढ़ते हुए बिंदु मूल बिंदु पर आवर्ती रूप से अपने माध्य स्थिति के चारों ओर झूलता है। यह कोई अन्य स्थान के लिए भी सत्य है। हम देखते हैं कि ठोस बिंदु (•) द्वारा एक पूर्ण दोलन पूरा करने के दौरान शिखर एक निश्चित दूरी तक आगे बढ़ गया है।

चित्र 14.6 एक हार्मोनिक तरंग धनात्मक x-अक्ष की दिशा में विभिन्न समय पर चल रही है।

चित्र 14.6 के आलोक में, हम अब समीकरण (14.2) में विभिन्न राशियों को परिभाषित करते हैं।

14 बटा 3.1 आयाम और चरण

समीकरण (14.2) में, क्योंकि साइन फलन 1 और -1 के बीच बदलता है, तो विस्थापन $y(x, t)$ $a$ और $-a$ के बीच बदलता है। हम $a$ को धनात्मक नियतांक मान सकते हैं, बिना कोई अप्रासंगिकता के। तब, $a$ माध्यम के घटकों के संतुलन स्थिति से अधिकतम विस्थापन को प्रदर्शित करता है। ध्यान दें कि विस्थापन $y$ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकता है, लेकिन $a$ धनात्मक होता है। इसे आयाम कहते हैं।

समीकरण (14.2) में साइन फलन के तर्ग के रूप में उपस्थित $(k x-\omega t+\phi)$ राशि को तरंग के चरण कहते हैं। दिया गया आयाम $a$, चरण कोई भी स्थिति और कोई भी समय पर तरंग के विस्थापन को निर्धारित करता है। स्पष्ट रूप से $\phi$ $x=0$ और $t=0$ पर चरण होता है। इसलिए, $\phi$ को आरंभिक चरण कोण कहते हैं। उपयुक्त विधि से x-अक्ष पर मूल बिंदु और आरंभिक समय का चयन करके, $\phi=0$ हो सकता है। इसलिए, $\phi$ को छोड़ने में कोई अप्रासंगिकता नहीं होती, अर्थात समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेना अप्रासंगिक नहीं है।

14.3.2 तरंगदैर्ध्य और कोणीय तरंग संख्या

एक तरंग के दो बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी जिनका अवस्था समान होता है, तरंगदैर्ध्य कहलाती है, जिसे आमतौर पर $\lambda$ से दर्शाया जाता है। सरलता के लिए, हम एक ही अवस्था वाले बिंदुओं को शिखर या घटाव के रूप में चुन सकते हैं। तरंगदैर्ध्य तब तरंग में दो क्रमागत शिखर या घटाव के बीच की दूरी होती है। समीकरण (14.2) में $\phi=0$ लेने पर, $t=0$ पर विस्थापन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} y(x, 0)=a \sin k x \tag{14.5} \end{equation*} $$

क्योंकि साइन फंक्शन कोण में प्रत्येक $2 \pi$ परिवर्तन के बाद अपने मान को दोहराता है,

$$ \sin k x=\sin (k x+2 n \pi)=\sin k\left(x+\frac{2 n \pi}{k}\right) $$

अर्थात बिंदु $x$ और $ x+\frac{2 n \pi}{k} $

पर विस्थापन समान होता है, जहाँ $n=1,2,3, \ldots$ किसी भी दिए गए समय के लिए समान विस्थापन वाले बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी को $n=1$ लेने पर प्राप्त किया जाता है। तब $\lambda$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 \pi}{k} \quad \text { या } \quad k=\frac{2 \pi}{\lambda} \tag{14.6}

\end{equation*} $$

$ k $ तरंग कोणीय तरंग संख्या या प्रसार नियतांक है; इसका SI इकाई रेडियन प्रति मीटर या रेडियन $ m^{-1} $ है।

14.3.3 आवर्तकाल, कोणीय आवृत्ति और आवृत्ति

चित्र 14.7 फिर से एक ज्यावक्रीय आलेख दिखाता है। यह एक निश्चित समय पर तरंग के आकार का वर्णन नहीं करता है, बल्कि एक माध्यम के एक तत्व (किसी भी निश्चित स्थान पर) के विस्थापन के समय के फलन का वर्णन करता है। सरलता के लिए, हम इकाई (14.2) के साथ $ \phi = 0 $ ले सकते हैं और तत्व के गति की निगरानी कर सकते हैं, मान लीजिए $ x = 0 $ पर। तब हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{aligned} y(0, t) & =a \sin (-\omega t) \\ & =-a \sin \omega t \end{aligned} $$

चित्र 14.7 एक निश्चित स्थान पर एक रस्सी के तत्व के आवर्त गति के साथ आयाम $ a $ और आवर्तकाल $ T $ होते हैं, जैसे कि तरंग इस पर गुजरती है।

अब, तरंग के आवर्तकाल वह समय है जिसमें एक तत्व एक पूर्ण आवर्त गति पूरा करता है। अर्थात,

$-a \sin \omega t=-a \sin \omega(t+\mathrm{T})$

$$ =-a \sin (\omega t+\omega T) $$

क्योंकि साइन फ़ंक्शन $2 \pi$ के प्रत्येक पश्चात दोहराता है,

$$ \begin{equation*} \omega T=2 \pi \text { या } \omega=\frac{2 \pi}{\mathrm{T}} \tag{14.7} \end{equation*} $$

$\omega$ को तरंग की कोणीय आवृत्ति कहते हैं। इसका SI इकाई $\mathrm{rad} s^{-1}$ होती है। आवृत्ति $v$ प्रति सेकंड दोलनों की संख्या होती है। इसलिए,

$$ \begin {equation*} v=\frac{1}{\mathrm{~T}}=\frac{\omega}{2 \pi} \tag{14.8} \end{equation*} $$

• यहाँ फिर से, ‘रेडियन’ को छोड़ दिया जा सकता है और इकाइयों को केवल म–1 के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, $k$ एक इकाई लंबाई पर तरंगों (या कुल चरण अंतर) की संख्या के 2π गुना को प्रदर्शित करता है, जिसकी SI इकाई म–1 होती है। $v$ आमतौर पर हर्ट्ज़ में मापा जाता है।

ऊपर के चर्चा में हमेशा एक रस्सी या अनुप्रस्थ तरंग के अनुसार चलती एक तरंग के बारे में उल्लेख किया गया है। एक अनुप्रस्थ तरंग में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन की दिशा तरंग के चलन की दिशा के समानांतर होती है। समीकरण (14.2) में एक अनुप्रस्थ तरंग के विस्थापन फ़ंक्शन को लिखा गया है,

$$ \begin{equation*} s(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.9} \end{equation*} $$

जहाँ $s(x, t)$ तरंग के प्रसार की दिशा में माध्यम के एक तत्व के विस्थापन को प्रदर्शित करता है, जो स्थिति $x$ और समय $t$ पर होता है। समीकरण (14.9) में, $a$ विस्थापन आयाम है; अन्य राशियाँ एक अनुप्रस्थ तरंग के मामले में वैसे ही अर्थ रखती हैं, बस विस्थापन फलन $y(x, t)$ के स्थान पर फलन $s(x, t)$ का उपयोग करना होता है।[^0]

उदाहरण 14.2 एक तार के अनुदिश चल रही तरंग को निम्नलिखित द्वारा वर्णित किया जाता है,

$y(x, t)=0.005 \sin (80.0 x-3.0 t)$,

जहाँ संख्यात्मक स्थिरांक SI इकाइयों में हैं ($0.005 \mathrm{~m}, 80.0 \mathrm{rad} \mathrm{m}^{-1}$, और $3.0 \mathrm{rad} \mathrm{s}^{-1}$)। (a) आयाम, (b) तरंगदैर्घ्य, और (c) तरंग के आवर्तकाल और आवृत्ति की गणना कीजिए। तरंग के विस्थापन $y$ की गणना भी कीजिए जब दूरी $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर हो।

उत्तर इस विस्थापन समीकरण को समीकरण (14.2) के साथ तुलना करने पर,

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t),

$$

हम पाते हैं

(a) तरंग का आयाम $0.005 \mathrm{~m}=5 \mathrm{~mm}$ है।

(b) कोणीय तरंग संख्या $k$ और कोणीय आवृत्ति $\omega$ हैं

$ k=80.0 \mathrm{~m}^{-1} \text { और } \omega=3.0 \mathrm{~s}^{-1} $

हम फिर से समीकरण (14.6) के माध्यम से तरंगदैर्ध्य $\lambda$ को $k$ से संबंधित करते हैं,

$$ \begin{aligned} \lambda & =2 \pi / k \\ & =\frac{2 \pi}{80.0 \mathrm{~m}^{-1}} \\ & =7.85 \mathrm{~cm} \end{aligned} $$

(c) अब, हम $T$ को $\omega$ से संबंधित करते हैं द्वारा संबंध

$$ \begin{aligned} T & =2 \pi / \omega \ & =\frac{2 \pi}{3.0 \mathrm{~s}^{-1}} \ & =2.09 \mathrm{~s} \end{aligned} $$

और आवृत्ति, $v=1 / T=0.48 \mathrm{~Hz}$ $x=30.0 \mathrm{~cm}$ और समय $t=20 \mathrm{~s}$ पर विस्थापन $y$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (80.0 \times 0.3-3.0 \times 20) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (-36+12 \pi) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin (1.699) \ & =(0.005 \mathrm{~m}) \sin \left(97^{\circ}\right) \simeq 5 \mathrm{~mm} \end{aligned} $$

14.4 गतिशील तरंग की चाल

एक चलते हुए तरंग के प्रसार की गति निर्धारित करने के लिए, हम तरंग पर किसी भी विशिष्ट बिंदु (जिसकी कुछ अवस्था के मूल्य के द्वारा विशेषता होता है) पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह बिंदु समय के साथ कैसे गति करता है। यह आसान हो जाता है तरंग के शिखर की गति की ओर ध्यान देना। चित्र 14.8 दो समय के बिंदुओं के लिए तरंग के आकार को दिखाता है, जो एक छोटे समय अंतराल $\Delta t$ के द्वारा अलग होते हैं। पूरी तरंग पैटर्न देखा जाता है जो दाहिने ओर (x-अक्ष के धनात्मक दिशा) एक दूरी $\Delta x$ तक विस्थापित हो जाता है। विशेष रूप से, एक बिंदु $(\bullet)$ द्वारा दिखाए गए शिखर दूरी $\Delta x$ के लिए समय $\Delta t$ में गति करता है। तरंग की गति तब $\Delta x / \Delta t$ होती है। हम एक अन्य अवस्था वाले बिंदु पर बिंदु $(\bullet)$ रख सकते हैं। यह एक ही गति $v$ से गति करेगा (अन्यथा तरंग पैटर्न निश्चित रहेगा नहीं)। तरंग पर एक निश्चित अवस्था वाले बिंदु की गति द्वारा दी जाती है

चित्र 14.8 समय t से t + ∆t तक एक हार्मोनिक तरंग के प्रगति को दर्शाता है। जहाँ ∆t एक छोटा समय अंतर है। सम्पूर्ण तरंग पैटर्न दाईं ओर विस्थापित होता है। तरंग के शिखर (या किसी निश्चित चरण के बिंदु) दाईं ओर ∆x दूरी तक चलकर ∆t समय में विस्थापित होते हैं।

$$ \begin{equation*} k x-\omega t=\text { constant } \tag{14.10} \end{equation*} $$

इसलिए, समय $t$ के बदलने के साथ, निश्चित चरण के बिंदु की स्थिति $x$ इस प्रकार बदलनी चाहिए कि चरण स्थिर रहे। इसलिए,

$$ k x-\omega t=k(x+\Delta x)-\omega(t+\Delta t) $$

या $\quad k \Delta x-\omega \Delta t=0$

जब $\Delta x, \Delta t$ अत्यंत छोटे हों, तो यह देता है

$$ \begin{equation*} \frac{d x}{\mathrm{~d} t}=\frac{\omega}{k}=v \tag{14.11} \end{equation*} $$

$\omega$ को $T$ और $k$ को $\lambda$ से संबंधित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{2 \pi \nu}{2 \pi / \lambda}=\lambda \nu=\frac{\lambda}{T} \tag{14.12} \end{equation*} $$

समीकरण (14.12), सभी प्रगति तरंगों के लिए एक सामान्य संबंध है, जो यह दर्शाता है कि किसी माध्यम के किसी भी घटक के एक पूर्ण दोलन के लिए आवश्यक समय में तरंग पैटर्न तरंग की तरंगदैर्घ्य के बराबर दूरी तक चलता है। ध्यान देने योग्य है कि एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम के अभिसरण (लंबाई द्रव्यमान घनत्व तारों के लिए, सामान्य द्रव्यमान घनत्व) और अनुत्कृष्ट गुणों (रेखीय माध्यमों के लिए यांग के मापांक/ विक्षेपण मापांक, आयतन मापांक) द्वारा निर्धारित होती है। माध्यम निर्धारित करता है

गति; समीकरण (14.12) दी गई गति के लिए तरंग दैर्ध्य को आवृत्ति से संबंधित करता है। निश्चित रूप से, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, माध्यम एक ही माध्यम में दोनों अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों को समर्थन कर सकता है, जो उसी माध्यम में अलग-अलग गति करेंगी। इस कृति के बाद, हम कुछ माध्यमों में यांत्रिक तरंगों की गति के विशिष्ट व्यंजक प्राप्त करेंगे।

14.4.1 तार पर अनुप्रस्थ तरंग की गति

एक यांत्रिक तरंग की गति माध्यम में विक्षेपित होने पर बहाव बल द्वारा निर्धारित की जाती है और माध्यम के अनुशंसा गुणों (द्रव्यमान घनत्व) द्वारा। गति की अपेक्षा बहाव बल के सीधे संबंध और अनुशंसा गुणों के विपरीत संबंध होता है। तार पर तरंगों के लिए, बहाव बल तार में तनाव $T$ द्वारा प्रदान किया जाता है। इस मामले में अनुशंसा गुण रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ होगा, जो तार के द्रव्यमान $m$ को उसकी लंबाई $L$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है। न्यूटन के गति के नियमों का उपयोग करके तार पर तरंग गति के ठीक व्यंजक का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन इस निर्माण के बारे में इस किताब के बाहर बात की जाएगी। हम इसलिए विमान विश्लेषण का उपयोग करेंगे। हम पहले ही जानते हैं कि विमान विश्लेषण अकेले ठीक व्यंजक नहीं प्रदान कर सकता है। विमान विश्लेषण द्वारा समग्र विमानहीन स्थिरांक हमेशा अनिर्धारित रहता है।

The dimension of $\mu$ is $\left[M L^{-1}\right]$ and that of $T$ is like force, namely $\left[M L T^{2}\right]$. We need to combine these dimensions to get the dimension of speed $v\left[L T^{-1}\right]$. Simple inspection shows that the quantity $\mathrm{T} / \mu$ has the relevant dimension

$$ \frac{\left[M L T^{-2}\right]}{[M L]}=\left[L^{2} T^{-2}\right] $$

Thus if $T$ and $\mu$ are assumed to be the only relevant physical quantities,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.13} \end{equation*} $$

where $C$ is the undetermined constant of dimensional analysis. In the exact formula, it turms out, $\mathrm{C}=1$. The speed of transverse waves on a stretched string is given by

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{T}{\mu}} \tag{14.14} \end{equation*} $$

Note the important point that the speed $V$ depends only on the properties of the medium $T$ and $\mu$ ( $T$ is a property of the stretched string arising due to an external force). It does not depend on wavelength or frequency of the wave itself. In higher studies, you will come across waves whose speed is not independent of frequency of the wave. Of the two parameters $\lambda$ and $v$ the source of disturbance determines the frequency of the wave generated. Given the speed of the wave in the medium and the frequency Eq. (14.12) then fixes the wavelength

$$ \begin{equation*} \lambda=\frac{v}{v} \tag{14.15} \end{equation*} $$

उदाहरण 14.3 एक स्टील के तार की लंबाई $0.72 \mathrm{~m}$ है और इसका द्रव्यमान $5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है। यदि तार पर $60 \mathrm{~N}$ का तनाव है, तो तार पर अनुप्रस्थ तरंगों की चाल क्या होगी?

उत्तर तार के इकाई लंबाई पर द्रव्यमान,

$$ \begin{aligned} \mu & =\frac{5.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{0.72 \mathrm{~m}} \\ & =6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1} \end{aligned} $$

तनाव, $T=60 \mathrm{~N}$

तार पर तरंग की चाल द्वारा दी गई है

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}}=\sqrt{\frac{60 \mathrm{~N}}{6.9 \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-1}}}=93 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $$

14.4.2 अनुप्रस्थ तरंग की चाल (ध्वनि की चाल)

एक अनुप्रस्थ तरंग में, माध्यम के घटक तरंग के प्रसार की दिशा में आगे और पीछे झूलते हैं। हम पहले ही देख चुके हैं कि ध्वनि तरंग वायु के छोटे आयतन के तत्वों के संपीड़न और विरलन के रूप में चलती है। संपीड़न तनाव के तहत तनाव को निर्धारित करने वाली श्रेणी विस्तार गुणांक होती है जो माध्यम द्वारा परिभाषित की जाती है (अध्याय 8 देखें)

$$ \begin{equation*} B=-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \tag{14.16} \end{equation*} $$

यहाँ, दबाव में परिवर्तन $\Delta P$ आयतनी विकृति $\frac{\Delta V}{V}$ उत्पन्न करता है। $B$ के आयाम दबाव के समान होते हैं और SI इकाइयों में पास्कल $(\mathrm{Pa})$ में दिए जाते हैं। तरंग के प्रसार के लिए संबंधित अविच्छिन्न गुण द्रव्यमान घनत्व $\rho$ होता है, जिसके आयाम $\left[\mathrm{ML}^{-3}\right]$ होते हैं। सरल देखने से पता चलता है कि मात्रा $B / \rho$ के आयाम के लिए:

$$ \begin{equation*} \frac{\left[M L^{-2} T^{-2}\right]}{\left[M L^{-3}\right]}=\left[L^{2} T^{-3}\right] \tag{14.17} \end{equation*} $$

इसलिए, यदि $B$ और $\rho$ को एकमात्र संबंधित भौतिक मात्राओं के रूप में लिया जाता है,

$$ \begin{equation*} V=C \sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.18} \end{equation*} $$

जहाँ, जैसा कि पहले था, $C$ आयाम विश्लेषण से प्राप्त अनिर्धारित नियतांक होता है। सटीक व्युत्पन्न दिखाता है कि $C=1$। इसलिए, माध्यम में अनुप्रस्थ तरंगों के लिए सामान्य सूत्र है:

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{B}{\rho}} \tag{14.19} \end{equation*} $$

\end{equation*} $$

एक रैखिक माध्यम, जैसे कि एक ठोस बार, में लंबवत विस्तार नegligible होता है और हम इसे केवल अक्षीय तनाव के अंतर्गत ले सकते हैं। ऐसे मामले में संबंधित तन्यता मापांक यंग के मापांक होता है, जिसका आयाम आयतनिक मापांक के समान होता है। इस मामले के आयाम विश्लेषण पहले के जैसा होता है और एक समीकरण जैसे समीकरण (14.18) के साथ एक अनिर्धारित $C$ देता है, जिसे सटीक व्युत्पन्न एकता के रूप में दिखाता है। इसलिए, एक ठोस बार में अक्षीय तरंगों की गति द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} \tag{14.20} \end{equation*} $$

जहाँ $\mathrm{Y}$ बार के पदार्थ के यंग के मापांक है। सारणी 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति की गति देती है।

सारणी 14.1 कुछ माध्यमों में ध्वनि की गति

| तरल पदार्थ | | | पानी $\left(0^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1402 | | पानी $\left(20^{\circ} \mathrm{C}\right)$ | 1482 | | समुद्री जल | 1522 | | ठोस पदार्थ | | | एल्यूमिनियम | 6420 | | तांबा | 3560 | | इस्पात | 5941 | | ग्रैनाइट | 6000 | | वुल्कैनाइज़ड | | | रबर | 54 |

तरल पदार्थ और ठोस पदार्थ आमतौर पर गैसों की तुलना में ध्वनि की गति के अधिक मूल्य रखते हैं। [ठोस के लिए ध्वनि की गति के संदर्भ में ध्वनि के अनुप्रस्थ तरंगों की गति के बारे में बताया जाता है]। यह इसलिए होता है कि वे गैसों की तुलना में बहुत कठिन होते हैं और इसलिए उनके बुल्क मॉड्यूलस के मूल्य बहुत अधिक होते हैं। अब, समीकरण (14.19) को देखें। ठोस और तरल पदार्थ गैसों की तुलना में अधिक द्रव्यमान घनत्व $(\rho)$ रखते हैं। लेकिन ठोस और तरल पदार्थ के बुल्क मॉड्यूलस $(B)$ में वृद्धि बहुत अधिक होती है। इस कारण ध्वनि तरंगें ठोस और तरल पदार्थ में तेजी से चलती हैं।

हम आदर्श गैस के अनुमान के आधार पर एक गैस में ध्वनि की गति का अनुमान लगा सकते हैं। एक आदर्श गैस में दबाव $P$, आयतन $V$ और तापमान $T$ द्वारा संबंधित होते हैं (अध्याय 10 देखें)।

$$

\begin{equation*} \mathrm{P} V=N k_{B} T \tag{14.21} \end{equation*} $$

जहाँ $N$ आयतन $V$ में अणुओं की संख्या है, $k_{B}$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ गैस का तापमान (केल्विन में) है। अतः, एक समतापी परिवर्तन के लिए समीकरण (14.21) से यह निष्कर्ष निकलता है कि

$$ \begin{array}{r} V \Delta P+P \Delta V=0 \\ \text { या }-\frac{\Delta P}{\Delta V / V}=P \end{array} $$

इसलिए, समीकरण (14.16) में प्रतिस्थापित करने पर हमारे पास है,

$$ B=P $$

अतः, समीकरण (14.19) से एक आदर्श गैस में एक अनुप्रस्थ तरंग की चाल दी जाती है,

$$ \begin{equation*} V=\sqrt{\frac{P}{\rho}} \tag{14.22} \end{equation*} $$

इस संबंध को पहले न्यूटन ने दिया था और इसे न्यूटन के सूत्र के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण 14.4 मानक ताप और दबाव पर हवा में ध्वनि की चाल का अनुमान लगाएं। 1 मोल हवा के द्रव्यमान $29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ है।

उत्तर हम जानते हैं कि किसी भी गैस के 1 मोल का आयतन STP पर 22.4 लीटर होता है। अतः, STP पर हवा का घनत्व है:

$\rho_{o}=$ (एक मोल हवा के द्रव्यमान) / (एक मोल हवा का आयतन STP पर)

$$ \begin{aligned} & =\frac{29.0 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}}{22.4 \times 10^{-3} \mathrm{~m}^{3}} \\ & =1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3} \end{aligned} $$

न्यूटन के ध्वनि के वेग के लिए सूत्र के अनुसार, हम वायु में ध्वनि के वेग के लिए प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} v=\left[\frac{1.01 \times 10^{5} \mathrm{~N} \mathrm{~m}^{-2}}{1.29 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}}\right]^{1 / 2}=280 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} \tag{14.23} \end{equation*} $$

समीकरण (14.23) में दिखाए गए परिणाम को तालिका 14.1 में दिए गए $331 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के प्रयोगात्मक मान के तुलना में लगभग 15% कम माना जाता है। हम गलत कहां कर रहे हैं? यदि हम ध्वनि के प्रसार के दौरान माध्यम में दबाव परिवर्तन के बारे में न्यूटन द्वारा किए गए मूल अनुमान की जांच करते हैं, तो हम देखते हैं कि यह सही नहीं है। लैप्लेस द्वारा इस बात की ओर इशारा किया गया था कि ध्वनि तरंगों के प्रसार के दौरान दबाव परिवर्तन इतनी तेज होते हैं कि ताप विनिमय के लिए निरंतर तापमान के बरकरार रखने के लिए कम समय रहता है। इन परिवर्तनों के कारण, अत: अनुपलब्ध ताप विनिमय अनुपलब्ध होते हैं और यह अदिएबेटिक होते हैं और नहीं आइसोथर्मल होते हैं। अदिएबेटिक प्रक्रियाओं के लिए आदर्श गैस अनुमान अनुसार संबंध (अनुच्छेद 11.8 देखें),

$$ P V^{\gamma}=\text { constant } $$

अर्थात $\quad\quad \Delta\left(P V^{\prime}\right)=0$

$$ P \gamma V^{\gamma-1} \Delta V+V^{\gamma} \Delta P=0 $$

जहाँ $\gamma$ दो विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात है, $\mathrm{C_{\mathrm{p}}} / \mathrm{C_{\mathrm{v}}}$।

इस प्रकार, आदर्श गैस के लिए अनुवाहक घनत्व निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{aligned} B_{a d} & =-\frac{\Delta P}{\Delta V / V} \\ & =\gamma P \end{aligned} $$

इसलिए, समीकरण (14.19) से ध्वनि की गति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$$ \begin{equation*} v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} \tag{14.24} \end{equation*} $$

न्यूटन के सूत्र के इस संशोधन को लैप्लेस संशोधन कहा जाता है। हवा के लिए $\gamma=7 / 5$ होता है। अब समीकरण (14.24) का उपयोग करके हवा के लिए एसटीपी पर ध्वनि की गति का अनुमान लगाने पर हमें मान 331.3 $\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ प्राप्त होता है, जो मापित गति के साथ सहमत है।

14.5 तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत

जब दो तरंग उत्प्रेरक विपरीत दिशाओं में गति करते हुए एक दूसरे को पार करते हैं (चित्र 14.9), तो क्या होता है? यह जांच करने पर पाया जाता है कि तरंग उत्प्रेरक एक दूसरे को पार करने के बाद अपनी पहचान को बरकरार रखते हैं। हालांकि, वे एक दूसरे के गुजरने के समय अपने अलग-अलग रूप से अलग होते हैं। चित्र 14.9 में दो समान आकार और विपरीत आकृति के तरंग उत्प्रेरक एक दूसरे की ओर गति करते हुए दिखाये गए हैं। जब तरंग उत्प्रेरक एक दूसरे के ऊपर आते हैं, तो परिणामी विस्थापन प्रत्येक तरंग उत्प्रेरक के कारण विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के अध्यारोपण के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक तरंग उत्प्रेरक अन्य तरंग उत्प्रेरकों की उपस्थिति के बिना गति करता है। माध्यम के घटक दोनों तरंग उत्प्रेरकों के कारण विस्थापन अनुभव करते हैं और क्योंकि विस्थापन धनात्मक और ऋणात्मक दोनों हो सकते हैं, इसलिए नेट विस्थापन दोनों के बीजगणितीय योग होता है। चित्र 14.9 में विभिन्न समय पर तरंग आकृति के ग्राफ दिखाए गए हैं। ध्यान दें ग्राफ (c) में दिखाए गए उल्लेखनीय प्रभाव; दोनों तरंग उत्प्रेरक के कारण विस्थापन एक दूसरे को बरकरार रखते हैं और विस्थापन शून्य हो जाता है।

चित्र 14.9 दो तरंगें जिनके विस्थापन समान लेकिन विपरीत हैं और वे विपरीत दिशाओं में चल रही हैं। विपरीत तरंगों के अधिकांश विस्थापन वक्र (c) में शून्य विस्थापन द्वारा जोड़ देते हैं।

सुपरपोज़िशन के सिद्धांत को गणितीय रूप से लिखने के लिए, मान लीजिए $y_{1}(x, t)$ और $y_{2}(x, t)$ दो तरंग विक्षोभ के कारण माध्यम में विस्थापन हैं। यदि तरंगें एक क्षेत्र में एक साथ पहुँचती हैं और अतः आपस में घुल मिलती हैं, तो शुद्ध विस्थापन $y(x, t)$ निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) \tag{14.25} \end{equation*} $$

यदि हम दो या अधिक तरंगें माध्यम में चल रही हों, तो परिणामी तरंग विक्षोभ व्यक्तिगत तरंगों के तरंग फलनों के योग के बराबर होती है। अर्थात, चल रही तरंगों के तरंग फलन निम्नलिखित होंगे:

$$ \begin{aligned} & y_{1}=f_{1}(x-v t), \\ & y_{2}=f_{2}(\text{x}-v t), \\ & \cdots \cdots \cdots \cdots \\ & \cdots \cdots \cdots . . \\ $$

$$ \begin{aligned} & y_{n}=f_{n}(x-v t) \end{aligned} $$

तो माध्यम में विक्षोभ के वर्णन करने वाले तरंग फलन के लिए

$$ \begin{align*} y & =f_{1}(x-v t)+f_{2}(x-v t)+\ldots+f_{n}(x-v t) \\ & =\sum_{i=1}^{n} f_{i}(x-v t) \tag{14.26} \end{align*} $$

सुपरपोजिशन के सिद्धांत विरोध के घटना के लिए मूलभूत है।

सरलता के लिए, एक तनी हुई रस्सी पर दो अनुप्रस्थ तरंगों को विचार करें, जो दोनों के समान $\omega$ (कोणीय आवृत्ति) और $k$ (तरंग संख्या) है, और इसलिए एक ही तरंग दैर्ध्य $\lambda$ है। उनकी तरंग गति समान होगी। हम यह भी मान सकते हैं कि उनके आम्प्लीट्यूड समान हैं और वे दोनों $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में चल रहे हैं। तरंगें केवल अपने प्रारंभिक कलन में अलग हैं। समीकरण (14.2) के अनुसार, दो तरंगों को फलनों द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

$$ \begin{equation*} y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \tag{14.27} \end{equation*} $$

$$ \text{और} \quad \quad y_{2}(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.28}$$

तो सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार, कुल विस्थापन द्वारा दिया जाता है

$$y(x, t)=a \sin (k x-\omega t)+a \sin (k x-\omega t+\phi) \tag{14.29} $$

$$ \begin{equation*} \alpha\left[2 \sin \left[\frac{(k x-\omega t)+(k x-\omega t+\phi)}{2}\right] \cos \frac{\phi}{2}\right] \tag{14.30} \end{equation*} $$

जहाँ हम निम्नलिखित परिचित त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं: $\sin A+\sin B$. फिर हमें प्राप्त होता है:

$$y(x, t)=2 a \cos \frac{\phi}{2} \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) \tag{14.31}$$

चित्र 14. सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार बराबर आयाम और तरंगदैर्ध्य वाले दो हार्मोनिक तरंगों के परिणामी। परिणामी तरंग के आयाम अंतर्भूत दो तरंगों के फेज अंतर $\phi$ पर निर्भर करता है, जो (a) में शून्य और (b) में $\pi$ होता है।

समीकरण (14.31) भी $x$-अक्ष के धनात्मक दिशा में चलती हार्मोनिक तरंग है, जिसकी आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य एक ही है। हालांकि, इसका प्रारंभिक फेज कोण $\frac{\phi}{2}$ है। महत्वपूर्ण बात यह है कि इसका आयाम अंतर्भूत दो तरंगों के फेज अंतर $\phi$ पर निर्भर करता है:

$$ \begin{equation*} A(\phi)=2 a \cos 1 / 2 \phi \tag{14.32} \end{equation*} $$

$\phi=0$ के लिए, जब तरंगें समान चरण में होती हैं,

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin (k x-\omega t) \tag{14.33} \end{equation*} $$

अर्थात, परिणामी तरंग का आयाम $2 \mathrm{a}$ होता है, जो $A$ के संभव सबसे बड़े मान है। $\phi=\pi$ के लिए, तरंगें पूरी तरह से असंगत होती हैं और परिणामी तरंग के सभी समय और सभी स्थान पर विस्थापन शून्य होता है

$$ \begin{equation*} y(x, t)=0 \tag{14.34} \end{equation*} $$

समीकरण (14.33) दो तरंगों के ऐसे संरचनात्मक अन्तर्वेब के संदर्भ में है जहां परिणामी तरंग में आयाम जुड़ जाते हैं। समीकरण (14.34) परिणामी तरंग में आयाम घट जाने के मामले के लिए है। आकृति 14.10 इन दोनों अन्तर्वेब के मामलों को अधिग्रहण के सिद्धांत के आधार पर दर्शाती है।

14.6 तरंगों के प्रतिबिंब

अब तक हम असीमित माध्यम में चल रही तरंगों के बारे में विचार कर चुके हैं। यदि एक पल्स या तरंग सीमा के सामने आता है तो क्या होता है? यदि सीमा कठिन होती है, तो पल्स या तरंग प्रतिबिंबित हो जाता है। तरंग या पल्स द्वारा सीमा के आगे आने पर इसका प्रतिबिंब होता है।

फेनोमेनोन ऑफ़ ईचो एक उदाहरण है एक ठोस सीमा द्वारा परावर्तन के। यदि सीमा पूर्ण रूप से ठोस नहीं है या दो अलग-अलग इलास्टिक माध्यमों के बीच एक सीमा है, तो स्थिति कुछ जटिल हो जाती है। एक भाग आपतित तरंग के रूप में परावर्तित हो जाता है और एक भाग दूसरे माध्यम में प्रसारित हो जाता है। यदि एक तरंग दो अलग-अलग माध्यमों के बीच एक सीमा पर झुके हुए आपतित होती है, तो प्रसारित तरंग को अपवर्तित तरंग कहा जाता है। आपतित और अपवर्तित तरंगें अपवर्तन के न्यूटन के नियम का पालन करती हैं, और आपतित और परावर्तित तरंगें परावर्तन के सामान्य नियमों का पालन करती हैं।

चित्र 14.11 एक तरंग जो एक खिंचे हुए स्ट्रिंग के अलोकित रूप में चल रही है और एक सीमा द्वारा परावर्तित हो रही है दिखाता है। मान लीजिए कि सीमा द्वारा ऊर्जा का कोई अवशोषण नहीं होता है, तो परावर्तित तरंग आपतित तरंग के समान आकार की होती है लेकिन इसके परावर्तन पर एक चरण परिवर्तन $\pi$ या $18 डिग्री$ होता है। इसका कारण यह है कि सीमा ठोस है और अवांछित विक्षोभ के लिए सीमा पर सभी समय शून्य विस्थापन होना आवश्यक है। अधिरोधन के सिद्धांत के अनुसार, इसके लिए परावर्तित और आपतित तरंगों में $\pi$ के चरण के अंतर होना आवश्यक है ताकि परिणामी विस्थापन शून्य हो। इस तर्क के आधार पर एक ठोस दीवार पर सीमा शर्त है। हम एक गतिशील तर्क के माध्यम से भी इसी निष्कर्ष तक पहुंच सकते हैं। जैसे तरंग दीवार पर पहुंचती है, तो यह दीवार पर एक बल लगाती है। न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, दीवार तार पर बराबर और विपरीत बल लगाती है जो एक परावर्तित तरंग के रूप में उत्पन्न होता है जो $\pi$ के चरण के अंतर के साथ होता है।

चित्र 14.11 एक तरंग के एक कठिन सीमा के साथ मिलने पर परावर्तित तरंग।

अगर दूसरी ओर, सीमा बिंदु कठिन नहीं है लेकिन पूरी तरह से गति करने में मुक्त है (जैसे कि एक स्ट्रिंग के एक छोर पर एक छोर बर्बाद चल रहे वलय के एक छोर से बांधा गया हो), तो परावर्तित तरंग के एक ही चरण और आयाम होते हैं (ऊर्जा के कोई नुकसान न होने की अवधारणा के अंतर्गत) आपतित तरंग के जैसे। तब सीमा पर अधिकतम विस्थापन दो गुना हो जाता है, जो प्रत्येक तरंग के आयाम के बराबर होता है। एक अकठिन सीमा का उदाहरण एक ऑर्गन पाइप के खुले सिरे है।

सारांश करें, एक चलती तरंग या तरंग एक कठिन सीमा पर परावर्तन के दौरान $\pi$ के चरण परिवर्तन का अनुभव करती है और एक खुले सीमा पर परावर्तन के दौरान कोई चरण परिवर्तन नहीं होता। इसे गणितीय रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है, मान लीजिए आपतित चलती तरंग है

$$ y_2(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

एक कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग द्वारा दी गई जाती है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+\pi) . \ & =-a \sin (k x-\omega t)\tag{14.35} \end{aligned} $$

एक खुले सीमा पर, परावर्तित तरंग के द्वारा दिया गया है

$$ \begin{aligned} y_r(x, t) & =a \sin (k x-\omega t+0) . \ & =a \sin (k x-\omega t)\tag{14.36} \end{aligned} $$

स्पष्ट रूप से, कठोर सीमा पर, $y=y_2+y_r=0$

14.6.1 खड़ी तरंगें और नॉर्मल मोड

हमने ऊपर एक सीमा पर परावर्तन के बारे में विचार किया। लेकिन वास्तविक स्थितियाँ (एक तार दोनों सिरों पर बाँधा गया हो या एक पाइप में वायु स्तंभ जिसका एक सिरा बंद हो) हैं जहाँ परावर्तन दो या अधिक सीमाओं पर होता है। एक तार में, उदाहरण के लिए, एक दिशा में चल रही तरंग एक सिरे पर परावर्तित हो जाती है, जो फिर दूसरे सिरे से टकराकर परावर्तित हो जाती है। इसके बाद तार पर एक स्थिर तरंग पैटर्न बन जाता है। ऐसे तरंग पैटर्न को खड़ी तरंग या स्थिर तरंग कहा जाता है। इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चल रही एक तरंग और उसी आयाम और तरंगदैर्ध्य के एक परावर्तित तरंग के ऋणात्मक $x$-अक्ष की दिशा में चलते हुए विचार करें। समीकरण (14.2) और (14.4) के साथ $\phi=0$ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & y_{1}(x, t)=a \sin (k x-\omega t) \\ & y_{2}(x, t)=a \sin (k x+\omega t) \end{aligned} $$

स्ट्रिंग पर उत्पन्न तरंग के परिणामस्वरूप, सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार:

$$ y(x, t)=y_{1}(x, t)+y_{2}(x, t) $$

$$ =a[\sin (k x-\omega t)+\sin (k x+\omega t)] $$

परिचित त्रिकोणमितीय पहचान

$\operatorname{Sin}(A+B)+\operatorname{Sin}(A-B)=2 \sin A \cos B$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} y(x, t)=2 a \sin k x \cos \omega t \tag{14.37} \end{equation*} $$

समीकरण (14.37) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न में एक महत्वपूर्ण अंतर ध्यान दें जो समीकरण (14.2) या समीकरण (14.4) द्वारा वर्णित तरंग पैटर्न से है। शब्द $\mathrm{kx}$ और $\omega t$ अलग-अलग उपस्थित होते हैं, न कि $k x-\omega t$ के संयोजन में। इस तरंग का आयाम $2 a \sin k x$ है। इस तरंग पैटर्न में, आयाम बिंदु से बिंदु बदलता है, लेकिन स्ट्रिंग के प्रत्येक तत्व एक ही कोणीय आवृत्ति $\omega$ या समय अवधि के साथ दोलन करते हैं। तरंग के विभिन्न तत्वों के दोलनों में कोई भी चरण अंतर नहीं होता। तरंग के रूप में स्ट्रिंग के सभी बिंदुओं पर अलग-अलग आयामों के साथ एक साथ दोलन करती है। तरंग पैटर्न बाएं या दाएं नहीं चल रही है। इसलिए, वे स्थिर या स्थायी तरंग कहलाते हैं। एक निश्चित स्थान पर आयाम निश्चित होता है, लेकिन, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, अलग-अलग स्थानों पर आयाम अलग होता है। आयाम शून्य होते हैं (अर्थात जहां कोई भी गति नहीं होती है) बिंदुओं को नोड्स कहा जाता है; आयाम सबसे अधिक होते हैं बिंदुओं को एंटीनोड्स कहा जाता है। चित्र 14.12 में दो विपरीत दिशाओं में चलने वाली तरंगों के सुपरपोजिशन से उत्पन्न स्थायी तरंग पैटर्न दिखाया गया है।

स्थायी तरंगों की सबसे महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि सीमा स्थितियाँ प्रणोदन के संभावित तरंगदैर्घ्य या आवृत्तियों को प्रतिबंधित करती हैं। प्रणोदन के लिए प्रणोदन की कोई भी असंगत आवृत्ति नहीं हो सकती (इसे एक हार्मोनिक गतिशील तरंग के साथ तुलना करें), बल्कि एक प्रणोदन की एक सेट आवृत्तियों या सामान्य आवृत्तियों के द्वारा विशिष्ट किया जाता है। चलो एक खींचे गए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर निर्धारित करें इन सामान्य आवृत्तियों को।

पहले, समीकरण (14.37) से, नोड्स के स्थान (जहाँ आयाम शून्य होता है) द्वारा दिया गया है

$$ \sin kx = 0 $$

जो कहता है $$ k x = n \pi ; \quad n = 0, 1, 2, 3, \ldots $$

क्योंकि $k = 2 \pi / \lambda$, हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} x = \frac{n \lambda}{2} ; n = 0, 1, 2, 3, \ldots \tag{14.38} \end{equation*} $$

चित्र 14.12 दो अलग-अलग हार्मोनिक तरंगों के अनुप्रस्थ दिशा में अधिक गति के कारण उत्पन्न स्थायी तरंगें। ध्यान दें कि शून्य विस्थापन (नोड्स) सभी समय निर्धारित रहते हैं।

स्पष्ट रूप से, किसी भी दो क्रमागत नोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। इसी तरह, एंटीनोड के स्थान (जहाँ आयाम सबसे अधिक होता है) निम्नलिखित सबसे बड़े मान के द्वारा दिया जाता है:

$|\sin k x|=1$

जो कहता है:

$ k x=(n+1 / 2) \pi ; n=0,1,2,3, \ldots $

$ k=2 \pi / \lambda $ के साथ, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{equation*} x=(n+1 / 2) \frac{\lambda}{2} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.39} \end{equation*} $$

फिर भी, किसी भी दो क्रमागत एंटीनोड के बीच दूरी $\frac{\lambda}{2}$ होती है। समीकरण (14.38) को एक तनी हुई स्ट्रिंग के मामले में लागू किया जा सकता है, जिसकी लंबाई $L$ है और दोनों सिरों पर तय है। एक सिरे को $X=0$ मान लें, तो सीमा स्थितियाँ यह होती हैं कि $x=0$ और $x=L$ नोड के स्थान हैं। $x=0$ की स्थिति पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। $x=L$ नोड की स्थिति की आवश्यकता है कि लंबाई $L$ निम्नलिखित द्वारा $\lambda$ से संबंधित हो:

$$ \begin{equation*} L=n \frac{\lambda}{2} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.40} \end{equation*} $$

इस प्रकार, स्थैतिक तरंगों के संभावित तरंगदैर्ध्य निम्नलिखित संबंध द्वारा सीमित होते हैं:

$$ \lambda=\frac{2 L}{n} ; \quad n=1,2,3, \ldots \tag{14.41} $$

संगत आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\frac{n v}{2 \mathrm{~L}}, \text { for } n=1,2,3 \tag{14.42} \end{equation*} $$

हम इस प्रकार एक निश्चित आवृत्तियों को प्राप्त कर चुके हैं - व्यवस्थित विस्थापन के अनुपातिक आवृत्तियाँ। एक व्यवस्था की सबसे कम आवृत्ति को उसकी मूल आवृत्ति या प्रथम हार्मोनिक कहते हैं। एक तार के दोनों सिरों पर बाँधे जाने पर यह द्वारा दिया जाता है $v=\frac{v}{2 L}$, जो समीकरण (14.42) के $n=1$ के संगत है। यहाँ $\mathrm{v}$ तरंग की गति है जो माध्यम के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। $n=2$ की आवृत्ति को द्वितीय हार्मोनिक कहते हैं; $n=3$ की आवृत्ति तृतीय हार्मोनिक है और इसी तरह आगे। हम विभिन्न हार्मोनिक को $v_{n}(n=1,2, \ldots)$ के चिह्न द्वारा चिह्नित कर सकते हैं।

चित्र 14.13 एक तार के दोनों सिरों पर बाँधे जाने पर पहले छह हार्मोनिक को दिखाता है। एक तार के एक अकेले इन मोड में झंकरना आवश्यक नहीं है। सामान्यतः एक तार के झंकरना विभिन्न मोड के अधिक या कम उत्प्रेरित हो सकते हैं। सितार या विलन जैसे संगीत वाद्य यंत्र इस सिद्धांत पर आधारित होते हैं। जहाँ तार को खींचा या बाँधा जाता है, वहाँ अन्य मोड के अपेक्षाकृत अधिक प्रमुख हो सकते हैं।

चित्र 14.13 एक खींचे गए स्ट्रिंग के दोनों सिरों पर टिके हुए विपर्ययों के पहले छह अधिस्वर।

अब हम एक छोटे सिरे पर बंद और दूसरे सिरे पर खुले हुए हवा के स्तंभ के सामान्य आवर्त गति के अध्ययन करेंगे। एक कांच के ट्यूब जो आंशिक रूप से पानी से भरा हो इस प्रणाली को दर्शाता है। पानी के संपर्क में आए सिरे पर एक नोड होता है, जबकि खुले सिरे पर एक एंटीनोड होता है। नोड पर दबाव के परिवर्तन सबसे अधिक होते हैं, जबकि विस्थापन न्यूनतम (शून्य) होता है। खुले सिरे पर - एंटीनोड, यहां दबाव के परिवर्तन सबसे कम होते हैं और विस्थापन के अधिकतम आयाम होता है। यदि पानी के संपर्क में आए सिरे को $x=0$ मान लिया जाए, तो नोड की स्थिति (समीकरण 14.38) पहले से ही संतुष्ट हो चुकी है। यदि दूसरा सिरा $x=L$ एंटीनोड हो, तो समीकरण (14.39) द्वारा

$L=\quad \left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{\lambda}{2}$, जहां $n=0,1,2,3, \ldots$

संभावित तरंगदैर्घ्य निम्न संबंध द्वारा सीमित हो जाती है : $$ \begin{equation*} \lambda=\frac{2 L}{(n+1 / 2)}, \text { for } n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.43} \end{equation*} $$

सामान्य रूप (संस्थानिक आवृत्तियाँ) - प्रणाली की प्राकृतिक आवृत्तियाँ हैं

$$ \begin{equation*} v=\left(n+\frac{1}{2}\right) \frac{v}{2 L} ; n=0,1,2,3, \ldots \tag{14.44} \end{equation*} $$

मूल आवृत्ति $n=0$ के लिए होती है, और यह $\frac{v}{4 L}$ द्वारा दी जाती है। उच्च आवृत्तियाँ विषम हार्मोनिक होती हैं, अर्थात मूल आवृत्ति के विषम गुणक होती हैं : $3 \frac{v}{4 L}, 5 \frac{v}{4 L}$, आदि। चित्र 14.14 में एक सिरा बंद और दूसरा खुला हवा के स्तंभ के पहले छह विषम हार्मोनिक दिखाए गए हैं। एक दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ के लिए, प्रत्येक सिरा एक अनुनाद बिंदु होता है। इसलिए आसानी से देखा जा सकता है कि दोनों सिरों खुले हवा के स्तंभ सभी हार्मोनिक उत्पन्न करते हैं (चित्र 14.15 देखें)।

ऊपर के प्रणाली, तार और हवा के स्तंभ, बल द्वारा उत्प्रेरित आवर्त गति (अध्याय 13) भी अनुभव कर सकते हैं। यदि बाह्य आवृत्ति कोई एक प्राकृतिक आवृत्ति के पास होती है, तो प्रणाली अनुनाद दिखाती है।

सर्कुलर मेम्ब्रेन के नॉर्मल मोड जो कि एक टाबला के समान तार पर बांधे गए हों, उनकी सीमा स्थिति द्वारा निर्धारित की जाती है जिसमें मेम्ब्रेन के परिधि पर कोई भी बिंदु दोलन नहीं करता है। इस प्रणाली के नॉर्मल मोड की आवृत्तियों का अनुमान लगाना अधिक जटिल होता है। यह समस्या दो विमाओं में तरंग प्रसार के बारे में है। हालांकि, आधारभूत भौतिकी एक ही होती है।

उदाहरण 14.5 एक पाइप, $30.0 \mathrm{~cm}$ लंबा है, दोनों सिरों खुले हैं। एक $1.1 \mathrm{kHz}$ उत्सर्जक के साथ कौन सा हार्मोनिक मोड पाइप में अनुनाद करता है? यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए तो एक ही उत्सर्जक के साथ अनुनाद के अवलोकन को देखा जाएगा या नहीं? हवा में ध्वनि की गति को $330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ मान लीजिए।

उत्तर पहले हार्मोनिक आवृत्ति निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ v_1=\frac{v}{\lambda_1}=\frac{v}{2 L} \quad \text { (खुला पाइप) } $$

जहाँ $L$ पाइप की लंबाई है। इसके $n$ वें हार्मोनिक की आवृत्ति निम्नलिखित है:

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n v}{2 L}, \text { for } n=1,2,3, \ldots \text { (खुला पाइप) } $$

एक खुले पाइप के पहले कुछ मोड चित्र 14.15 में दिखाए गए हैं।

$L=30.0 \mathrm{~cm}, v=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए,

$$ v_{\mathrm{n}}=\frac{n \hspace{1mm}330\left(\mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{0.6(\mathrm{~m})}=550 \mathrm{n} \mathrm{~s}^{-1} $$

स्पष्ट रूप से, एक आवृत्ति के स्रोत 1.1 किलोहर्ट्ज के लिए $v_2$ पर अनुनाद करेगा, अर्थात द्वितीय अपवर्ती।

अब यदि पाइप के एक सिरा बंद कर दिया जाए (चित्र 14.15), तो समीकरण (14.15) से स्पष्ट होता है कि मूल आवृत्ति है

$$ v_{1}=\frac{v}{\lambda_{1}}=\frac{v}{4 L} \text { (एक सिरा बंद पाइप) } $$

चित्र 14.14 एक सिरा खुला और दूसरा सिरा बंद एक हवा के स्तंभ के सामान्य अपवर्ती। केवल विषम अपवर्ती संभव हैं

और केवल विषम संख्या वाले अपवर्ती उपस्थित होते हैं :

$$ v_{3}=\frac{3 v}{4 L}, v_{5}=\frac{5 v}{\text{4 L}} \text {, and so on. } $$

$L=30 \mathrm{~cm}$ और $V=330 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के लिए, एक सिरे पर बंद पाइप की मूल आवृत्ति $275 \mathrm{~Hz}$ होती है और स्रोत आवृत्ति इसके चौथे हार्मोनिक के संगत होती है। चूंकि यह हार्मोनिक संभव मोड नहीं है, तो स्रोत के साथ कोई अनुनाद नहीं देखा जाएगा, जैसे ही एक सिरा बंद कर दिया जाएगा।

14.7 ध्वनि आवर्तन (बीट्स)

‘बीट्स’ एक दिलचस्प घटना है जो तरंगों के अवरोधन से उत्पन्न होती है। जब दो अलग-अलग आवृत्ति वाले आवृत्ति वाले ध्वनि तरंगों को एक ही समय में सुना जाता है, तो हम एक आवृत्ति वाले ध्वनि को सुनते हैं (दो निकट आवृत्तियों के औसत), लेकिन हम कुछ अन्य चीज भी सुनते हैं। हम ध्वनि की तीव्रता के बढ़ते और घटते भाग को सुनते हैं, जिसकी आवृत्ति दो निकट आवृत्तियों के अंतर के बराबर होती है। कलाकार अपने उपकरणों के बीच संतुलन करते समय इस घटना का उपयोग अक्सर करते हैं। वे तब तक संतुलन करते रहते हैं जब तक उनके संवेदनशील कान बीट्स का पता नहीं लगाते।

चित्र 14.15 एक खुले पाइप में खड़े तरंग, पहले चार हार्मोनिक दिखाए गए हैं

इसे गणितीय रूप से देखने के लिए, हम दो अलग-अलग आवृत्ति के हार्मोनिक ध्वनि तरंगों के बारे में विचार करेंगे, जिनके लगभग समान कोणीय आवृत्ति $\omega_1$ और $\omega_2$ हैं और सुविधा के लिए स्थिति को $\mathrm{x}=0$ रख दें। उपयुक्त चरण ( $\phi=\pi / 2$ प्रत्येक के लिए) के चयन के साथ समीकरण (14.2) और, समान आयाम माने जाने पर, निम्नलिखित देता है:

$$ s_1=a \cos \omega_1 t \text { और } s_2=a \cos \omega_2 t $$

यहाँ हमने प्रतीक y को $s$ से बदल दिया है, क्योंकि हम अनुप्रस्थ नहीं बल्कि अनुदिश विस्थापन के बारे में बात कर रहे हैं। मान लीजिए $\omega_1$ दो आवृत्तियों में से एक छोटी देर से बड़ी है। अधिक विस्थापन के परिणाम के रूप में, अधिरचना के सिद्धांत के अनुसार,

$$ s=s_1+s_2=a\left(\cos \omega_1 t+\cos \omega_2 t\right) $$

$\cos A+\cos B$ के परिचित त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ =2 a \cos \frac{\left(\omega_1-\omega_2\right) t}{2} \cos \frac{\left(\omega_1+\omega_2\right) t}{2}\tag{14.46} $$

जिसे लिखा जा सकता है:

$$ s=\left[2 a \cos \omega_b t\right] \cos \omega_a t\tag{14.47}

$$

यदि $\left|\omega_1-\omega_2\right| \ll \omega_1, \omega_2, \omega_a \gg \omega_b$, तो जहाँ

$$ \omega_b=\frac{\left(\omega_1-\omega_2\right)}{2} \text { और } \omega_a=\frac{\left(\omega_1+\omega_2\right)}

अब यदि हम मान लें कि $\left|\omega_{1}-\omega_{2}\right| < < \omega_{1}$, जिसका अर्थ है कि $\omega_{a} > \omega_{b}$, तो हम समीकरण (14.47) को निम्नलिखित तरह से समझ सकते हैं। परिणामी तरंग $\omega_{a}$ के औसत कोणीय आवर्तन आवृत्ति के साथ झूल रही है; हालांकि, इसका आयाम समय के साथ स्थिर नहीं है, जैसा कि शुद्ध हार्मोनिक तरंग में होता है। आयाम अधिकतम होता है जब $\cos \omega_{b} t$ का पद +1 या -1 के अधिकतम मान लेता है। इसके अर्थ में, परिणामी तरंग की तीव्रता एक आवृत्ति के साथ बढ़ती और घटती है जो $2 \omega_{\mathrm{b}}=\omega_{1}-$ $\omega_{2}$ होती है। क्योंकि $\omega=2 \pi v$, तो बीट आवृत्ति $v_{\text {beat }}$, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} v_{\text {beat }}=v_{1}-v_{2} \tag{14.48} \end{equation*} $$

चित्र 14.16 में दो हार्मोनिक तरंगों के बीट घटना को दर्शाया गया है जिनकी आवृत्तियाँ 11 $\mathrm{Hz}$ और $9 \mathrm{~Hz}$ है। परिणामी तरंग के आयाम द्वारा 2 $\mathrm{~Hz}$ की आवृत्ति पर बीट दिखाई देती है।

चित्र 14.16 दो हार्मोनिक तरंगों के सुपरपोजिशन, जिनमें से एक की आवृत्ति 11 Hz (a) है और दूसरी की आवृत्ति 9 Hz (b) है, जो आवृत्ति 2 Hz के बीट्स के उत्पन्न करती है, जैसा कि (c) में दिखाया गया है।

संगीत के स्तंभ

मंदिर अक्सर कुछ स्तंभों के साथ होते हैं, जो मानव आकार के चित्र बनाते हैं जो संगीत वाद्य यंत्र बजाते हुए दिखाई देते हैं, लेकिन ये स्तंभ खुद संगीत उत्पन्न नहीं करते हैं। तमिलनाडु के नेलाईअप्पर मंदिर में, एक गुच्छे स्तंभों पर धीमी छोटी आवाजों के साथ टकराने से भारतीय क्लासिकल संगीत के मूल नोट बनते हैं, जैसे कि सा, रे, गा, मा, पा, धा, नि, सा। इन स्तंभों के झंकार इस्तेमाल किए गए शैल की लचीलापन, घनत्व और आकार पर निर्भर करते हैं।

उदाहरण 14.6 दो सितार के तार A और B, नोट ‘धा’ के उत्पादन के लिए थोड़ा असंगत हैं और 5 हर्ट्ज की आवृत्ति के बीट उत्पन्न करते हैं। तार B के तनाव को थोड़ा बढ़ा दिया जाता है और बीट आवृत्ति 3 हर्ट्ज तक घट जाती है। यदि A की आवृत्ति 427 हर्ट्ज है, तो B की मूल आवृत्ति क्या है?

उत्तर स्ट्रिंग के तनाव में वृद्धि इसकी आवृत्ति में वृद्धि करती है। यदि मूल आवृत्ति $\mathrm{B}\left(v_B\right)$, $\mathrm{A}\left(v_A\right)$ की आवृत्ति से अधिक होती, तो $v_B$ में अतिरिक्त वृद्धि बीट आवृत्ति में वृद्धि करती। लेकिन बीट आवृत्ति कम हो जाती है। इससे स्पष्ट होता है कि $v_B<v_A$। चूंकि $v_A-v_B=5 \mathrm{~Hz}$, और $v_A=427 \mathrm{~Hz}$, हमें $v_B=422 \mathrm{~Hz}$ प्राप्त होता है।

सारांश

1. यांत्रिक तरंगें माध्यम में मौजूद हो सकती हैं और न्यूटन के नियमों द्वारा नियंत्रित होती हैं।

2. अनुप्रस्थ तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत दोलन करते हैं।

3. अनुदिश तरंगें वे तरंगें होती हैं जिनमें माध्यम के कण तरंग के प्रसार की दिशा में दोलन करते हैं।

4. प्रगति तरंग वह तरंग होती है जो माध्यम के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक चलती है।

5. धनात्मक x दिशा में चल रही एक वृत्तीय तरंग में विस्थापन निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ y(x, t)=a \sin (k x-\omega t+\phi)

$$

जहाँ $a$ तरंग का आयाम है, $k$ कोणीय तरंग संख्या है, $\omega$ कोणीय आवृत्ति है, $(k x-\omega t+\phi)$ तरंग का कोण है, और $\phi$ कोणीय स्थिरांक या कोण है।

6. एक प्रगतिशील तरंग की तरंगदैर्घ्य $\lambda$ किसी दिए गए समय पर दो क्रमागत बिंदुओं के बीच एक ही कोण के बीच की दूरी होती है। एक स्थैतिक तरंग में, यह दो क्रमागत नोड या अनुनादी बिंदुओं के बीच दूरी के दोगुना होती है।

7. एक तरंग के आवर्तकाल $T$ को तरंग के माध्यम के किसी भी तत्व के एक पूर्ण आवर्त गति को पूरा करने में लगे समय के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह कोणीय आवृत्ति $\omega$ के साथ निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित है

$$ T=\frac{2 \pi}{\omega} $$

8. एक तरंग की आवृत्ति $v$ को $1 / T$ के रूप में परिभाषित किया जाता है और इसे कोणीय आवृत्ति द्वारा निम्नलिखित संबंध द्वारा संबंधित किया जाता है

$$ \nu=\frac{\omega}{2 \pi} $$

9. एक प्रगतिशील तरंग की गति $v=\frac{\omega}{\mathrm{k}}=\frac{\lambda}{\mathrm{T}}=\lambda v$ द्वारा दी जाती है

10. एक तनाव वाली स्ट्रिंग पर एक अनुप्रस्थ तरंग की गति स्ट्रिंग के गुणों द्वारा निर्धारित की जाती है। तनाव $T$ और रेखीय द्रव्यमान घनत्व $\mu$ वाली स्ट्रिंग पर गति के लिए,

$$ v=\sqrt{\frac{T}{\mu}} $$

11. ध्वनि तरंगें लंबवत यांत्रिक तरंगें होती हैं जो ठोस, तरल या गैस में चल सकती हैं। एक तरल में ध्वनि तरंग की गति $v$ बुफ़ बुफ़ मॉड्यूलस $B$ और घनत्व $\rho$ के अनुसार होती है:

$$ v=\sqrt{\frac{B}{\rho}} $$

एक धातु के बार में लंबवत तरंग की गति होती है:

$$ v=\sqrt{\frac{Y}{\rho}} $$

गैस के लिए, क्योंकि $B=\gamma P$, ध्वनि की गति होती है:

$$ v=\sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}} $$

12. जब दो या अधिक तरंग एक ही माध्यम में एक साथ चलती हैं, तो माध्यम के किसी भी तत्व के विस्थापन प्रत्येक तरंग के कारण विस्थापन के बीजगणितीय योग होता है। इसे तरंगों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है

$$ y=\sum_{i=1}^n f_i(x-v t) $$

13. एक ही तार पर दो वैकल्पिक तरंगें एक दूसरे के साथ अवतरण दिखाती हैं, जो सुपरपोजिशन के सिद्धांत के अनुसार एक दूसरे को जोड़ती या खत्म करती हैं। यदि दोनों एक ही दिशा में चल रही हैं और एक ही आयाम $a$ और आवृत्ति के रूप में हैं लेकिन एक फ़ेज़ के अंतर द्वारा अलग होती हैं $\phi$, तो परिणाम एक अकेली तरंग होती है जिसकी आवृत्ति $\omega$ होती है:

$$ y(x, t)=\left[2 a \cos \frac{1}{2} \phi\right] \sin \left(k x-\omega t+\frac{1}{2} \phi\right) $$

यदि $\phi=0$ या $2 \pi$ के किसी भी पूर्णांक के बराबर हो, तो तरंगें पूर्ण अनुपात में होती हैं और अपवर्जन निर्माण होता है; यदि $\phi=\pi$, तो वे पूर्ण अनुपात में नहीं होती हैं और अपवर्जन नष्ट होता है।

14. एक गतिशील तरंग, एक कठिन सीमा या बंद सिरे पर, अपने चरण के विपरीत दिशा में परावर्तित होती है लेकिन खुले सिरे पर परावर्तन बिना कोई चरण परिवर्तन के होता है। एक आपतित तरंग के लिए

$$ y_i(x, t)=a \sin (k x-\omega t) $$

कठिन सीमा पर परावर्तित तरंग होती है

$$ y_r(x, t)=-a \sin ( k x+\omega t) $$

खुले सिरे पर परावर्तन के लिए

$$ y_r(x, t)=a \sin (k x+\omega t) $$

15. दो समान तरंगों के विपरीत दिशा में चलने से खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं। एक तार के दोनों सिरों पर खड़ी तरंग निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ y(x, t)=[2 a \sin k x] \cos \omega t $$

खड़ी तरंगें शून्य विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में विशिष्ट होती हैं जिन्हें नोड कहते हैं और अधिकतम विस्थापन के निश्चित स्थानों के रूप में विशिष्ट होती हैं जिन्हें एंटीनोड कहते हैं। दो क्रमागत नोड या एंटीनोड के बीच अंतर $\lambda / 2$ होता है।

एक लम्बाई $L$ की खिंची गई स्ट्रिंग दोनों सिरों पर बाँधे रहने पर आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=\frac{n v}{2 L}, \quad n=1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दी गई आवृत्तियों के समूह को व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ कहते हैं। सबसे कम आवृत्ति वाले दोलन मोड को मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहते हैं। द्वितीय हार्मोनिक वह दोलन मोड है जिसमें $n=2$ होता है और इसी तरह आगे चलकर। एक लम्बाई $L$ के नली जिसका एक सिरा बंद हो और दूसरा सिरा खुला हो (जैसे हवा के स्तंभ) आवृत्तियों के द्वारा दोलन करती है जो निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं:

$$ v=(\mathrm{n}+1 / 2) \frac{v}{2 \mathrm{~L}}, \quad n=0,1,2,3, \ldots $$

उपरोक्त संबंध द्वारा दिखाए गए आवृत्तियों के समूह ऐसे व्यवस्था के नॉर्मल मोड आवृत्तियाँ हैं। न्यूनतम आवृत्ति $v / 4 L$ द्वारा दी गई है जो मूल मोड या पहला हार्मोनिक कहलाती है।

16. एक लम्बाई $L$ की स्ट्रिंग जो दोनों सिरों पर बाँधी गई है या एक ओर बंद और दूसरी ओर खुला हुआ हवा के स्तंभ या दोनों ओर खुला हुआ हवा के स्तं दोलन करते हैं जिनकी आवृत्तियाँ उनके नॉर्मल मोड कहलाती हैं। इनमें से प्रत्येक आवृत्ति व्यवस्था की एक रेजोनेंस आवृत्ति है।

17. टीन तब उत्पन्न होते हैं जब दो तरंगें, जिनकी आवृत्तियाँ $v_1$ और $v_2$ होती हैं, जो एक दूसरे के बहुत करीब होती हैं और उनके आयाम भी लगभग समान होते हैं, एक दूसरे पर अधिव्यक्ति करती हैं। टीन आवृत्ति है

$$ v_{\text {beat }}=v_1 \sim v_2 $$

2. एक तरंग में, ऊर्जा एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक स्थानांतरित होती है, न कि पदार्थ।

3. एक यांत्रिक तरंग में, ऊर्जा स्थानांतरण तंत्र के आसपास विस्थापित भागों के बीच तार बलों के माध्यम से होता है।

4. अनुप्रस्थ तरंगें केवल विस्तार गुणांक के माध्यम में प्रसारित हो सकती हैं, अक्षीय तरंगें घनत्व गुणांक के माध्यम से होती हैं और इसलिए सभी माध्यमों में, ठोस, तरल और गैस में संभव हैं।

5. एक निश्चित आवृत्ति की समतापी तरंग में, सभी कणों के आयाम समान होते हैं लेकिन एक निश्चित समय पर अलग-अलग चरण होते हैं। एक स्थैतिक तरंग में, दो नोड के बीच सभी कणों के चरण एक निश्चित समय पर समान होते हैं लेकिन आयाम अलग-अलग होते हैं।

6. एक माध्यम में विराम अवस्था में एक प्रेक्षक के संबंध में, एक यांत्रिक तरंग की गति ( $V$ ) उस माध्यम के तार और अन्य गुणों (जैसे द्रव्यमान घनत्व) पर निर्भर करती है। यह उत्सर्जक की गति पर निर्भर नहीं करती।