12.1 परिचय

बॉयल ने 1661 में उनके नाम के बाद नामित नियम की खोज की। बॉयल, न्यूटन और कई अन्य विज्ञानी गैसों के व्यवहार को समझने के लिए गैसों के छोटे-छोटे परमाणु कणों से बने होने के विचार को अपनाया। वास्तविक परमाणु सिद्धांत लगभग 150 साल बाद स्थापित हुआ। गतिक सिद्धांत गैसों के व्यवहार को गैस में तेजी से गति करते परमाणुओं या अणुओं के विचार पर आधारित बताता है। यह संभव है क्योंकि ठोस और द्रवों के लिए महत्वपूर्ण छोटी दूरी के बलों के बीच बल गैसों के लिए नगण्य माने जा सकते हैं। गतिक सिद्धांत निश्चित रूप से नौवीं शताब्दी में मैक्सवेल, बोल्ट्जमैन आदि द्वारा विकसित किया गया था। यह बहुत सफल रहा है। यह गैस के दबाव और तापमान के अणुक व्याख्या प्रदान करता है और गैस के नियमों तथा अवोगाड्रो के अनुमान के साथ संगत है। यह कई गैसों के विशिष्ट ऊष्माधारिता की सही व्याख्या करता है। यह गैस के माप्य गुणों जैसे चिकनाई, चालन और विसरण को अणुक पैरामीटरों से जोड़ता है, जिससे अणुओं के आकार और द्रव्यमान के अनुमान लगाए जा सकते हैं। इस अध्याय में गतिक सिद्धांत का परिचय दिया गया है।

12.2 पदार्थ की अणुक गुणात्मक प्रकृति

20 वीं शताब्दी के बड़े भौतिकविदों में से एक रिचर्ड फेनमैन के अनुसार, “पदार्थ अणुओं से बना होता है” इस खोज को बहुत महत्वपूर्ण माना जाता है। यदि हम बुद्धिमान रूप से कार्य न करें, तो मानवता नाश (परमाणु आपदा के कारण) या विलुप्ति (पर्यावरणीय आपदा के कारण) के शिकार हो सकती है। यदि ऐसा हो जाए और सभी वैज्ञानिक ज्ञान नष्ट हो जाए, तो फेनमैन अगली पीढ़ी के ब्रह्मांड के जीवों के लिए “अणु अनुमान” को संचारित करना चाहेंगे। अणु अनुमान: सभी वस्तुएं छोटे अणुओं से बनी होती हैं जो अपरिवर्ती गति में घूमते रहते हैं, जब वे एक छोटी दूरी पर होते हैं तो एक दूसरे को आकर्षित करते हैं, लेकिन जब वे एक दूसरे के बीच दबाए जाते हैं तो वे एक दूसरे को बहिष्कृत करते हैं।

पदार्थ के असतत होने के अनुमान के बारे में विचार अनेक स्थानों और संस्कृतियों में मौजूद रहे हैं। भारत में कानाड़ा और ग्रीक में डेमोक्रेटस ने अपरिवर्तनीय घटकों से बना होने के अनुमान का प्रस्ताव रखा था। वैज्ञानिक “अणु सिद्धांत” आमतौर पर जॉन डाल्टन को दिया जाता है। उन्होंने अणु सिद्धांत का प्रस्ताव रखा था जिससे तत्वों के संयोजन के द्वारा पालन किए जाने वाले निश्चित अनुपात और अनेक अनुपात के कानूनों की व्याख्या की जा सके। पहला कानून कहता है कि कोई भी दिया गया यौगिक अपने घटकों के द्रव्यमान के निश्चित अनुपात के साथ होता है। दूसरा कानून कहता है कि जब दो तत्व एक से अधिक यौगिक बनाते हैं, तो एक तत्व के निश्चित द्रव्यमान के लिए, दूसरे तत्वों के द्रव्यमान छोटे पूर्णांकों के अनुपात में होते हैं।

पिछले लगभग 200 वर्ष पहले डाल्टन द्वारा सुझाए गए कानूनों की व्याख्या करते हुए, एक तत्व के सबसे छोटे घटकों को परमाणु कहा जाता है। एक तत्व के परमाणु एक दूसरे से एक जैसे होते हैं लेकिन अन्य तत्वों के परमाणुओं से भिन्न होते हैं। प्रत्येक तत्व के एक छोटी संख्या के परमाणु एक संयोजन के अणु के रूप में संयोग करते हैं। गैय लूसैक के कानून, जो 19 वीं सदी के प्रारंभ में दिया गया था, कहता है: जब गैसें रासायनिक रूप से संयोग करके एक अन्य गैस बनाती हैं, तो उनके आयतन छोटे पूर्णांकों के अनुपात में होते हैं। अवोगाड्रो के कानून (या अनुमान) कहता है: समान तापमान और दबाव पर सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है। अवोगाड्रो के कानूं, डाल्टन के सिद्धांत के संयोजन से गैय लूसैक के कानून की व्याख्या करते हैं। चूंकि तत्व अक्सर अणु के रूप में होते हैं, डाल्टन के परमाणु सिद्धांत को द्रव्य के अणु सिद्धांत के रूप में भी संदर्भित किया जा सकता है। यह सिद्धांत अब वैज्ञानिकों द्वारा बहुत अच्छी तरह स्वीकृत है। हालांकि, 19 वीं सदी के अंत तक कुछ प्रसिद्ध वैज्ञानिक अणु सिद्धांत में विश्वास नहीं करते थे!

अनेक अवलोकनों से, हाल के समय में हम जानते हैं कि अणु (जो एक या एक से अधिक परमाणुओं से बने होते हैं) द्रव्य का निर्माण करते हैं। इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप और स्कैनिंग टनेलिंग माइक्रोस्कोप हमें इन अणुओं को भी देखने की अनुमति देते हैं। एक परमाणु के आकार लगभग एंगस्ट्रॉम $\left(10^{-10} \mathrm{~m}\right)$ होता है। ठोस में, जो घन रूप से बंद होते हैं, परमाणुओं के बीच दूरी लगभग कई एंगस्ट्रॉम $(2 \mathring{A})$ होती है। तरल में अणुओं के बीच अंतर भी लगभग समान होता है। तरल में अणु ठोस में जितने अधिक ठोस रूप से निश्चित नहीं होते हैं और वे चारों ओर गति कर सकते हैं। इसके कारण तरल बह सकता है। गैस में अंतर परमाणु दूरी दहाड़ों के एंगस्ट्रॉम होती है। एक अणु के द्वारा टकराव तक तय करने वाली दूरी को औसत रिक्त बर्तन कहा जाता है। गैस में औसत रिक्त बर्तन, हजारों एंगस्ट्रॉम के क्रम में होता है। गैस में परमाणु बहुत अधिक स्वतंत्र होते हैं और टकराव के बिना लंबी दूरी तय कर सकते हैं। यदि वे बंद नहीं हों, तो गैस फैल जाती है। ठोस और तरल में निकटता अंतर परमाणु बल के महत्वपूर्ण होता है। बल के लंब दूरी आकर्षण और छोटी दूरी प्रतिकर्षण होता है। जब वे कई एंगस्ट्रॉम के आसपास होते हैं तो अणु आकर्षित होते हैं लेकिन जब वे अधिक करीब आ जाते हैं तो वे प्रतिकर्षित होते हैं। गैस के स्थैतिक दिखाव के आधार पर गलत अनुमान लगाया जा सकता है। गैस बहुत गतिशील होती है और संतुलन एक गतिशील संतुलन होता है। गतिशील संतुलन में अणु टकराते हैं और टकराव के दौरान अपनी गति बदलते हैं। केवल औसत गुण निरंतर होते हैं।

Atomic theory विज्ञान के अध्ययन के अंत नहीं है, बल्कि शुरुआत है। अब हम जानते हैं कि परमाणु अक्षय या तत्वों से बने नहीं होते हैं। वे एक नाभिक और इलेक्ट्रॉन से बने होते हैं। नाभिक खुद एक नाभिक और न्यूट्रॉन से बने होते हैं। न्यूट्रॉन और प्रोटॉन फिर भी क्वार्क से बने होते हैं। यह भी संभव है कि क्वार्क भी अंत नहीं हो सकते हैं। एक तार जैसे तत्वों के बारे में भी बात की जा सकती है। प्रकृति हमें हमेशा आश्चर्य के साथ खेलती रहती है, लेकिन विज्ञान की खोज आमतौर पर मनोरंजन देती है और खोजें अद्भुत होती हैं। इस अध्याय में हम गैसों (और थोड़ा ठोसों) के व्यवहार को समझने की कोशिश करेंगे, जो अस्थायी गति में चलते हुए अणुओं के संग्रह के रूप में होते हैं।

प्राचीन भारत और ग्रीक में परमाणु अवधारणा

हालांकि जॉन डाल्टन को आधुनिक विज्ञान में परमाणु दृष्टिकोण के प्रमुख व्यक्ति के रूप में जाना जाता है, प्राचीन भारत और ग्रीक के विद्वानों ने परमाणु और अणु के अस्तित्व के बारे में लंबे समय पहले अनुमान लगाया था। भारत में वैशेषिक विचारधारा, जो कन्द द्वारा छठी शताब्दी ईसापूर्व में स्थापित किया गया था, में परमाणु के चित्रण को बहुत विस्तार से विकसित किया गया था। परमाणु को अक्षय, विभाजन योग्य नहीं, अत्यंत छोटे और पदार्थ के अंतिम भाग के रूप में समझा गया था। यह तर्क दिया गया था कि यदि पदार्िना अंत के विभाजित किया जा सके, तो एक चना और मेरु पर्वत के बीच कोई अंतर नहीं होगा। चार प्रकार के परमाणु (Paramanu - संस्कृत शब्द जो सबसे छोटे कण के लिए है) के अनुमान लगाए गए थे: भूमि (पृथ्वी), अप (जल), तेजस (आग) और वायु (हवा) जो विशिष्ट द्रव्यमान और अन्य गुणों के साथ होते हैं। अकाश (अंतरिक्ष) के बारे में यह अनुमान लगाया गया था कि इसमें परमाणु संरचना नहीं होती है और यह असंतत और अक्रिय होता है। परमाणु अलग-अलग अणुओं के निर्माण में भाग लेते हैं (उदाहरण के लिए, दो परमाणु एक द्विपरमाणु अणु (dvyanuka) बनाते हैं, तीन परमाणु एक त्रिपरमाणु अणु (tryanuka) बनाते हैं), जिनके गुण घटक परमाणुओं के प्रकृति और अनुपात पर निर्भर करते हैं। परमाणु के आकार का अनुमान भी अनुमान या विधियों द्वारा लगाया गया था, जिनके बारे में हम अज्ञात हैं। अनुमान भिन्न-भिन्न हैं। ललितविस्तार, बुद्ध के प्रसिद्ध जीवन पर लिखित एक प्रसिद्ध कथा, जो मुख्य रूप से द्वितीय शताब्दी ईसापूर्व में लिखी गई थी, में अनुमान आधुनिक अणु आकार के अनुमान के आसपास है, जो $10^{-10} \mathrm{~m}$ के क्रम में है।

प्राचीन ग्रीक देश में, डेमोक्रिटस (पूर्व 4 वीं शताब्दी) के लिए अपने परमाणु अवधारणा के लिए जाना जाता है। शब्द “अपरमाणु” ग्रीक में “अविभाज्य” का अर्थ होता है। उनके अनुसार, अपरमाणु एक दूसरे से भौतिक रूप से अलग होते हैं, आकार, आकृति, आकार और अन्य गुणों में अलग होते हैं और इसके कारण उनके संयोजन द्वारा बने विभिन्न पदार्थों के विभिन्न गुण होते हैं। पानी के अपरमाणु चिकने और गोल थे और एक दूसरे के साथ “होल्ड” नहीं कर सकते थे, जिस कारण तरल / पानी आसानी से बहता है। धरती के अपरमाणु खराब और जंगली थे, इसलिए वे एक दूसरे के साथ बांध लेते थे और कठोर पदार्थ बनाते थे। आग के अपरमाणु जुगाड़ वाले थे जिस कारण वे दर्दनाक जलन का कारण बनते थे। ये दिलचस्प विचार, बावजूद उनकी चतुराई, आगे बहुत कम विकसित हो सके, संभवतः क्योंकि वे अंतर्गत अनुमान और अनुमान थे जो गणितीय प्रयोगों द्वारा परीक्षण और संशोधन नहीं किए गए थे - आधुनिक विज्ञान की चिह्नित विशेषता है।

12.3 गैसों का व्यवहार

गैसों के गुण ठोस और तरल के गुणों की तुलना में आसानी से समझे जा सकते हैं। इसके मुख्य कारण यह है कि गैस में अणु एक दूसरे से बहुत दूर होते हैं और उनके बीच परस्पर क्रियाएं बिना दो अणुओं के टकराने के अलावा नगण्य होती हैं। निम्न दबाव और उच्च तापमान पर गैसें (जिस तापमान पर वे तरल या ठोस हो जाते हैं उससे बहुत ऊपर) अपने दबाव, तापमान और आयतन के बीच एक सरल संबंध के लगभग अनुसरण करती हैं जो दिया गया है (अध्याय 10 देखें)

$$ \begin{equation*} P V=K T \tag{12.1} \end{equation*} $$

एक दिए गए गैस के नमूने के लिए। यहाँ $T$ केल्विन या (अमूल्य) पैमाने में तापमान है। $K$ दिए गए नमूने के लिए एक नियतांक है लेकिन गैस के आयतन के साथ बदलता रहता है। अब हम अणुओं या अणुओं के विचार को लागू करते हैं, तो $K$ नमूने में अणुओं की संख्या (मान लीजिए $N$) के समानुपाती होता है। हम $K=N k$ लिख सकते हैं। अवलोकन बताता है कि यह $k$ सभी गैसों के लिए समान है। इसे बोल्ट्जमैन नियतांक कहते हैं और इसे $k_{\mathrm{B}}$ से नोट किया जाता है।

$\hspace{40mm}\text{ जैसे ,}$

$$ \frac{P_{1} V_{1}}{N_{1} T_{1}}=\frac{P_{2} V_{2}}{N_{2} T_{2}}= \text{constant} =k_{\mathrm{B}} \tag{12.2}$$

यदि $P, V$ और $T$ समान हैं, तो सभी गैसों के लिए $N$ भी समान होता है। यह अवोगाड्रो के अनुमान के अनुसार है कि निश्चित तापमान और दबाव पर सभी गैसों के इकाई आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है। किसी भी गैस के 22.4 लीटर में अणुओं की संख्या $6.02 \times 10^{23}$ होती है। इसे अवोगाड्रो संख्या कहते हैं और इसे $N_{\mathrm{A}}$ से नोट किया जाता है। किसी भी गैस के 22.4 लीटर के द्रव्यमान को इसके अणुभार ग्राम में स्थान देता है जबकि S.T.P (मानक तापमान $273 \mathrm{~K}$ और दबाव $1 \mathrm{~atm}$) पर। इस मात्रा को पदार्थ के मोल कहते हैं (अधिक ठीक परिभाषा के लिए अध्याय 1 देखें)। अवोगाड्रो ने निश्चित तापमान और दबाव पर बराबर आयतन के गैसों में अणुओं की समान संख्या के बराबर होने का अनुमान रखा था रासायनिक अभिक्रियाओं से। किनेटिक सिद्धांत इस अनुमान को वैध बनाता है।

पूर्ण गैस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{equation*} P V=\mu R T \tag{12.3} \end{equation*} $$

जहाँ $\mu$ मोल की संख्या है और $R=N_{\mathrm{A}}$ $k_{\mathrm{B}}$ एक सार्वत्रिक नियतांक है। तापमान $T$ अंतर्मुखी तापमान है। अंतर्मुखी तापमान के लिए केल्विन पैमाना चुने जाने पर, $R=8.314 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$ होता है। यहाँ

$$ \begin{equation*} \mu=\frac{M}{M_{0}}=\frac{N}{N_{A}} \tag{12.4} \end{equation*} $$

जहाँ $M$ गैस के $N$ अणुओं के साथ द्रव्यमान है, $M_{0}$ मोलर द्रव्यमान है और $N_{\mathrm{A}}$ आवोगाड्रो संख्या है। समीकरण (12.4) और (12.3) का उपयोग करके इसे भी लिखा जा सकता है

$$P V=k_{\mathrm{B}} N T \quad \text { या } \quad P=k_{\mathrm{B}} n T$$

चित्र 12.1 वास्तविक गैसें निम्न दबाव और उच्च तापमान पर आदर्श गैस के व्यवहार की ओर बढ़ती हैं

कम दबाव और उच्च तापमान।

जहाँ $n$ संख्या घनत्व है, अर्थात इकाई आयतन में अणुओं की संख्या है। $k_{\mathrm{B}}$ बोल्ट्जमैन नियतांक है जिसे ऊपर लिखा गया है। इसका मान SI इकाइयों में $1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1}$ है।

समीकरण (12.3) के एक अन्य उपयोगी रूप है

$$ \begin{equation*} P=\frac{\rho R T}{M_{0}} \tag{12.5} \end{equation*} $$

जहाँ $\rho$ गैस के द्रव्यमान घनत्व को दर्शाता है।

एक गैस जो समीकरण (12 बी 3) को सभी दबाव और तापमान पर ठीक से संतुष्ट करती है, एक आदर्श गैस कहलाती है। आदर्श गैस एक सरल सिद्धांतिक मॉडल है। कोई वास्तविक गैस वास्तव में आदर्श नहीं होती। चित्र 12.1 एक वास्तविक गैस के तीन अलग-अलग तापमानों पर आदर्श गैस व्यवहार से विचलन को दर्शाता है। ध्यान दें कि सभी वक्र निम्न दबाव और उच्च तापमान के लिए आदर्श गैस व्यवहार की ओर बढ़ते हैं।

निम्न दबाव या उच्च तापमान पर अणु बहुत दूर दूर होते हैं और अणुओं के बीच अंतरक्रियाएं नगण्य होती हैं। बिना अंतरक्रियाओं के गैस आदर्श गैस के व्यवहार के जैसा व्यवहार करती है।

यदि हम समीकरण (12.3) में $\mu$ और $T$ को निश्चित कर दें, तो हम प्राप्त करते हैं

$$ \begin{equation*} P V=\text { constant } \tag{12.6} \end{equation*} $$

अर्थात, तापमान के नियत रहते हुए, गैस के दिए गए द्रव्यमान के दबाव का आयतन के विपरीत विस्थापित होता है। यह प्रसिद्ध बॉयल के नियम को दर्शाता है। चित्र 12.2 में प्रयोगात्मक $P-V$ वक्रों की तुलना बॉयल के नियम द्वारा अनुमानित सिद्धांतिक वक्रों के साथ की गई है। फिर भी आप देख सकते हैं कि उच्च तापमान और निम्न दबाव पर सहमति अच्छी होती है। अगले, यदि आप $P$ को नियत रखते हैं, तो समीकरण (12.1) दर्शाता है कि $V \propto T$ अर्थात, नियत दबाव पर गैस के आयतन उसके अंतराल तापमान $T$ के समानुपाती होता है (चार्ल्स के नियम)। चित्र 12.3 को देखें।

चित्र 12.2 तीन तापमानों पर भाप के प्रयोगात्मक $P-V$ वक्र (ठोस रेखाएँ) बॉयल के नियम (छोटी रेखाएँ) के साथ तुलना। $P$ के इकाई 22 वायुमंडल और $V$ के इकाई 0.09 लीटर हैं।

अंत में, एक अन्योनयन न करने वाले आदर्श गैस के मिश्रण की अवस्था का विचार करें: $\mu_{1}$ मोल गैस 1, $\mu_{2}$ मोल गैस 2, आदि एक बरतन में आयतन $V$ तापमान $T$ और दबाव $P$ पर। तब यह पाया जाता है कि मिश्रण के अवस्था समीकरण है:

$$ \begin{align*} & P V=\left(\mu_{1}+\mu_{2}+\ldots\right) R T \tag{12.7}\\ & \text { अर्थात } P=\mu_{1} \frac{R T}{V}+\mu_{2} \frac{R T}{V}+\ldots \tag{12.8}\\ & =P_{1}+P_{2}+\ldots \tag{12.9} \end{align*} $$

स्पष्ट है $P_{1}=\mu_{1} R T / V$ वह दबाव है जो गैस 1 एक ही आयतन और तापमान के अनुसार अन्य गैसों की अनुपस्थिति में डालती है। इसे गैस के आंशिक दबाव कहते हैं। इस प्रकार, आदर्श गैसों के मिश्रण के कुल दबाव आंशिक दबाव के योग होता है। यह डाल्टन के आंशिक दबाव के नियम कहलाता है।

चित्र 12.3 CO2 के तीन दबावों के लिए प्रयोगात्मक T-V वक्र (ठोस रेखाएँ) चार्ल्स के नियम (अल्पविराम रेखाएँ) के तुलना में। T के इकाई 300 K और V के इकाई 0.13 लीटर हैं।

हम अब कुछ उदाहरणों के बारे में विचार करते हैं जो हमें अणुओं द्वारा अधिकृत आयतन और एक अणु के आयतन के बारे में जानकारी देते हैं।

उदाहरण 12.1 पानी का घनत्व 1000 $\mathrm{kg} \mathrm{m}^{-3}$ है। 100$^{\circ} \mathrm{C}$ तापमान और 1 $\mathrm{~atm}$ दबाव पर पानी के वाष्प का घनत्व 0.6 $\mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$ है। अणु के आयतन को कुल अणुओं के संख्या से गुणा करने पर, जो अणुक आयतन कहलाता है। ऊपर दिए गए ताप और दबाव के अंतर्गत पानी के वाष्प के अणुक आयतन के कुल आयतन के अनुपात (या भिन्न) का अनुमान लगाएं।

उत्तर एक निश्चित द्रव्यमान के पानी के अणुओं के लिए, आयतन बड़ा होने पर घनत्व कम होता है। इसलिए वाष्प के आयतन के अनुपात 1000 / 0.6 = 1 / (6 × 10⁻⁴) गुना बड़ा है। यदि घन जल और जल के अणुओं के घनत्व समान हों, तो तरल अवस्था में अणुक आयतन के कुल आयतन के अनुपात 1 होता है। वाष्प अवस्था में आयतन बढ़ गया है, इसलिए अनुपात उतना ही कम होता है, अर्थात 6 × 10⁻⁴ है।

उदाहरण 12.2 उदाहरण 12.1 में दिए गए डेटा का उपयोग करके एक जल अणु के आयतन का अनुमान लगाएं।

उत्तर तरल (या ठोस) अवस्था में, जल के अणु बहुत घने ढकले होते हैं। इसलिए जल के अणु के घनत्व को बulk जल के घनत्व के लगभग समान माना जा सकता है = 1000 $\mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}$। एक जल अणु के आयतन का अनुमान लगाने के लिए हमें एक जल अणु के द्रव्यमान को जानना होता है। हम जानते हैं कि 1 मोल जल का द्रव्यमान लगभग बराबर होता है

$(2+16) \mathrm{g}=18 \mathrm{~g}=0.018 \mathrm{~kg}$.

क्योंकि 1 मोल में लगभग $6 \times 10^{23}$ अणु (आवोगाड्रो संख्या) होते हैं, तो पानी के एक अणु के द्रव्यमान है $(0.018) /\left(6 \times 10^{23}\right) \mathrm{kg}=$ $3 \times 10^{-26} \mathrm{~kg}$. इसलिए, पानी के अणु के आयतन का लगभग अनुमान इस प्रकार है :

पानी के अणु का आयतन

$$ \begin{aligned} & =\left(3 \times 10^{-26} \mathrm{~kg}\right) /\left(1000 \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{-3}\right) \\ & =3 \times 10^{-29} \mathrm{~m}^{3} \\ & =(4 / 3) \pi \text { (त्रिज्या) }^{3} \end{aligned} $$

इसलिए, त्रिज्या $\approx 2 \times 10^{-10} \mathrm{~m}=2 \mathring{A}$

उदाहरण 12.3 पानी में परमाणुओं के बीच औसत दूरी (अंतराणु दूरी) क्या है? उदाहरण 12.1 और 12.2 में दिए गए डेटा का उपयोग करें।

उत्तर वाष्प अवस्था में दिए गए द्रव्यमान के पानी के आयतन के लिए तरल अवस्था में उसी द्रव्यमान के पानी के आयतन की तुलना में $1.67 \times 10^{3}$ गुना होता है (उदाहरण 12.1)। यह वृद्धि पानी के प्रत्येक अणु के लिए उपलब्ध आयतन की मात्रा में भी होती है। जब आयतन $10^{3}$ गुना बढ़ जाता है तो त्रिज्या $V^{1 / 3}$ या 10 गुना बढ़ जाती है, अर्थात $10 \times 2 \mathring{A}=20 \mathring{A}$. इसलिए, औसत दूरी $2 \times 20=40 \mathring{A}$ है।

उदाहरण 12.4 एक बर्तन में दो अतिरिक्त गैसें हैं : नियॉन (एकल परमाणुक) और ऑक्सीजन (द्विपरमाणुक)। इनके आंशिक दबाव का अनुपात 3:2 है। बर्तन में नियॉन और ऑक्सीजन के (i) अणुओं की संख्या और (ii) द्रव्यमान घनत्व के अनुपात का अनुमान लगाएं। नियॉन का परमाणु द्रव्यमान $\mathrm{Ne}=20.2 \mathrm{u}$, ऑक्सीजन के अणु द्रव्यमान $\mathrm{O}_{2}$ $=32.0 \mathrm{u}$ है।

उत्तर मिश्रण में एक गैस का आंशिक दबाव वह दबाव होता है जो वह बर्तन में अकेले रहते हुए उसी आयतन और तापमान के लिए बनाती है। (अतिरिक्त गैसों के मिश्रण का कुल दबाव इसके संघटक गैसों के आंशिक दबाव के योग के बराबर होता है।) प्रत्येक गैस (मानक आदर्श गैस मानकर) गैस के नियम का पालन करती है। चूंकि $V$ और $T$ दोनों गैसों के लिए सामान्य हैं, हमें $P_{1} V=\mu_{1} R T$ और $P_{2} V=$ $\mu_{2} R T$ मिलता है, अर्थात $\left(P_{1} / P_{2}\right)=\left(\mu_{1} / \mu_{2}\right)$. यहाँ 1 और 2 क्रमशः नियॉन और ऑक्सीजन को संकेतित करते हैं। चूंकि

$$ \left(P _{1} / P _{2}\right)=(3 / 2) \text { (दिया गया है), }\left(\mu _{1} / \mu _{2}\right)=3 / 2 $$

(i) परिभाषा के अनुसार $\mu_{1}=\left(N_{1} / N_{\mathrm{A}}\right)$ और $\mu_{2}=\left(N_{2} / N_{\mathrm{A}}\right)$ जहाँ $N_{1}$ और $N_{2}$ क्रमशः 1 और 2 के अणुओं की संख्या है, और $N_{\mathrm{A}}$ अवोगाड्रो संख्या है। अतः,

$\left(N_{1} / N_{2}\right)=\left(\mu_{1} / \mu_{2}\right)=3 / 2$.

(ii) हम इसे भी लिख सकते हैं $\mu_{1}=\left(m_{1} / M_{1}\right)$ और $\mu_{2}=$ $\left(m_{2} / M_{2}\right)$ जहाँ $m_{1}$ और $m_{2}$ क्रमशः 1 और 2 के द्रव्यमान हैं; और $M_{1}$ और $M_{2}$ उनके अणुभार हैं। (दोनों $m_{1}$ और $M_{1}$; तथा $m_{2}$ और $M_{2}$ को एक ही इकाई में व्यक्त करना चाहिए)। यदि $\rho_{1}$ और $\rho_{2}$ क्रमशः 1 और 2 के द्रव्यमान घनत्व हैं, तो हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$$ \begin{aligned} & \frac{\rho_{1}}{\rho_{2}}=\frac{m_{1} / V}{m_{2} / V}=\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\mu_{1}}{\mu_{2}} \times \frac{M_{1}}{M_{2}} \\ & =\frac{3}{2} \times \frac{20.2}{32.0}=0.947 \end{aligned} $$

12.4 आदर्श गैस के गति सिद्धांत

गैसों के गति सिद्धांत के आधार द्रव्य के अणुक चित्र पर होता है। एक निश्चित मात्रा के गैस के अणुओं के संग्रह होता है (आमतौर पर अवोगाड्रो संख्या के क्रम के अणुओं के) जो अस्थिर यांत्रिक गति में होते हैं। सामान्य दबाव और तापमान पर, अणुओं के बीच औसत दूरी अणु के आकार के तुलना में 10 गुना या उससे अधिक होती है ( $2 \mathring{A}$ )। इसलिए, अणुओं के बीच अंतराणुक परस्पर क्रिया नगण्य होती है और हम यह मान सकते हैं कि वे न्यूटन के पहले नियम के अनुसार सीधी रेखा में मुक्त रूप से गति करते हैं। हालांकि, अक्सर वे एक दूसरे के पास आ जाते हैं, अंतराणुक बल का अनुभव करते हैं और उनके वेग बदल जाते हैं। इन अंतराणुक परस्पर क्रियाओं को टक्कर कहते हैं। अणु एक दूसरे या दीवारों के साथ अस्थिर रूप से टकराते हैं और बदल देते हैं

उनके वेग। टक्कर के अवलोकन तापीय अस्थायी होते हैं। हम गैस के दबाव के एक व्यंजक के लिए गतिमेंद्रिक सिद्धांत के आधार पर एक व्यंजक निर्माण कर सकते हैं।

हम इस विचार से शुरू करते हैं कि एक गैस के अणु अनिश्चित रूप से यादृच्छिक गति में होते हैं, एक दूसरे के साथ और बर्तन के दीवारों के साथ टकराते हैं। अणुओं के बीच या अणु और दीवारों के बीच सभी टकराव अस्थायी होते हैं। इसका अर्थ है कि कुल गतिज ऊर्जा संरक्षित रहती है। कुल संवेग आम तौर पर संरक्षित रहता है।

12.4.1 आदर्श गैस का दबाव

एक घन के भीतर बंद एक गैस की अवधारणा करें। अक्षों को घन के भुजाओं के समानांतर ले लीजिए, जैसा कि चित्र 12.4 में दिखाया गया है। एक अणु जिसका वेग $\left(V_{x}, V_{y}, V_{z}\right)$ है, $y z^{-}$ तल के समानांतर एक तलीय दीवार पर टकराता है जिसका क्षेत्रफल $A\left(=I^{2}\right)$ है। क्योंकि टकराव अस्थायी है, अणु उसी वेग के साथ वापस लौटता है; इसके वेग के $y$ और $z$ घटक टकराव में बदले नहीं होते लेकिन $x$-घटक के चिह्न उलट जाते हैं। अर्थात, टकराव के बाद वेग $\left(-V_{x}, V_{y}, V_{z}\right)$ हो जाता है। अणु के संवेग में परिवर्तन इस प्रकार है: $-m v_{x}-\left(m v_{x}\right)=-2 m v_{x}$. संवेग संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, टकराव में दीवार को संवेग दिया गया है $=2 m v_{x}$.

चित्र 12.4 गैस अणु के बरतार वाले बरतार के साथ अस्थायी संघट्ट

वाल पर बल (और दबाव) की गणना करने के लिए, हमें इकाई समय में वाल को स्थानांतरित किए गए संवेग की गणना करनी होगी। छोटे समय अंतराल $\Delta t$ में, वेग के $x$-अवयव $v_{x}$ वाले अणु वाल के संपर्क में आएंगे यदि वे वाल से $v_{x} \Delta t$ की दूरी पर हों। अर्थात, समय $\Delta t$ में वाल के संपर्क में आएंगे वे अणु जो आयतन $A v_{x} \Delta t$ के भीतर हों। लेकिन औसतन, इनमें आधे अणु वाल की ओर गति कर रहे होंगे और आधे अणु वाल से दूर गति कर रहे होंगे। अतः, समय $\Delta t$ में वेग $\left(v_{x}, V_{y}, V_{Z}\right)$ वाले अणुओं द्वारा वाल को स्थानांतरित किए गए कुल संवेग की मात्रा है :

$$Q=\left(2 m v_x\right)\left(1 / 2 n A v_x \Delta t\right) \tag{12.10}$$

दीवार पर बल आवेग के स्थानांतरण की दर $Q / \Delta t$ होती है और दबाव इकाई क्षेत्रफल पर बल होता है :

$$ \begin{equation*} P=Q /(A \Delta t)=n m v_{x}^{2} \tag{12.11} \end{equation*} $$

वास्तव में, गैस के सभी अणु एक ही वेग नहीं रखते हैं; वेग में वितरण होता है। इसलिए, ऊपर दी गई समीकरण वेग $V_{X}$ के अणुओं के समूह के कारण दबाव को दर्शाती है और $\mathrm{n}$ उस समूह के अणुओं की संख्या घनत्व को दर्शाता है। कुल दबाव सभी समूहों के योग द्वारा प्राप्त किया जाता है:

$$ \begin{equation*} P=n m \overline{v_{x}^{2}} \tag{12.12} \end{equation*} $$

जहाँ $\overline{v_{x}^{2}}$ $v_{x}^{2}$ का औसत है। अब गैस एकसमान (isotropic) है, अर्थात् बरतन में अणुओं के वेग के लिए कोई विशेष दिशा नहीं होती। इसलिए सममिति के कारण,

$$ \begin{align*} & \overline{v_{x}^{2}}=\overline{v_{y}^{2}}=\overline{v_{z}^{2}} \\

$$ \begin{align*} &\frac{1}{3}\left[\overline{v_{x}^{2}}+\overline{v_{y}^{2}}+\overline{v_{z}^{2}}\right]=\frac{1}{3} \overline{v^{2}} \tag{12.13} \end{align*} $$

जहाँ $v$ वेग है और $\overline{v^{2}}$ वेग के वर्ग के माध्य को दर्शाता है। इसलिए

$$ \begin{equation*} P=\frac{1}{3} n m \overline{v^{2}} \tag{12.14} \end{equation*} $$

इस व्युत्पन्न के बारे में कुछ टिप्पणियाँ। पहले, हालांकि हम एक घन के बर्तन का चयन करते हैं, बर्तन के आकार के वास्तव में कोई महत्व नहीं है। किसी भी आकार के बर्तन के लिए हमें हमेशा एक छोटे अपरिमित (समतल) क्षेत्र का चयन करके ऊपर के चरणों को दोहरा सकते हैं। ध्यान दें कि A और $\Delta t$ अंतिम परिणाम में नहीं आते हैं। पास्कल के नियम के अनुसार, जो अध्याय 9 में दिया गया है, संतुलन में गैस के किसी भी हिस्से में दबाव अन्य किसी भी स्थान पर समान होता है। दूसरे, हमने व्युत्पन्न में कोई भी टकराव को नगण्य मान लिया है। हालांकि इस धारणा की वैज्ञानिक रूप से व्याख्या करना कठिन है, हम गुणात्मक रूप से देख सकते हैं कि यह गलत परिणाम नहीं देगी। समय $\Delta t$ में दीवार पर टकराने वाले अणुओं की संख्या $1 / 2 n A v_{x} \Delta t$ पाई गई है। अब टकराव यादृच्छिक हैं और गैस एक स्थिर अवस्था में है। इसलिए, यदि एक अणु के वेग $\left(v_{x}, v_{y}, v_{z}\right)$ के कारण किसी अणु के संघटन के कारण अलग वेग प्राप्त कर ले तो हमेशा कुछ अन्य अणु जिनके वेग के आरंभिक मान अलग हैं, जिनके बाद टकराव के बाद वेग $\left(V_{X}, V_{y}, V_{z}\right)$ प्राप्त कर लेंगे। यदि ऐसा नहीं होता तो वेग के वितरण स्थिर नहीं रहेंगे। किसी भी परिस्थिति में हम $\overline{v_{x}^{2}}$ खोज रहे हैं। इसलिए, समग्र रूप से, अणुओं के टकराव (यदि वे बहुत आवर्त नहीं हों और टकराव के बीच के समय की तुलना में टकराव के दौरान बिताया गया समय नगण्य हो) ऊपर के गणना को प्रभावित नहीं करेंगे।

12.4.2 तापमान की गतिशील व्याख्या

समीकरण (13.14) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \begin{align*} & P V=(1 / 3) n V m \overline{v^{2}} \tag{12.15a}\\ & P V=(2 / 3) N X^{1 / 2} m \overline{v^{2}} \tag{12.15b} \end{align*} $$

जहाँ $N(=n V)$ नमूने में अणुओं की संख्या है।

ब्रैकेट में राशि गैस के अणुओं की औसत अनुवाहक गतिज ऊर्जा है। क्योंकि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $E$ शुद्ध गतिज होती है*,

$$ \begin{equation*} E=N(1 / 2) m \overline{v^{2}} \tag{12.16} \end{equation*} $$

तब समीकरण (12.15) द्वारा दिया जाता है :

$$P V=(2 / 3) E \tag{12.17}$$

अब हम तापमान की गतिशील व्याख्या के लिए तैयार हैं। समीकरण (12.17) को आदर्श गैस समीकरण (12.3) के साथ संयोजित करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ \begin{equation*} E=(3 / 2) \quad k_{B} N T \tag{12.18} \end{equation*} $$

$$ \text{या} \quad E / N=1 / 2 m \overline{v^{2}}=(3 / 2) k_{B} T\tag{12.19}$$

अर्थात, अणु की औसत गतिज ऊर्जा गैस के अमूर्त तापमान के समानुपाती होती है; यह दबाव, आयतन या आदर्श गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती। यह तापमान, एक गैस के मैक्रोस्कोपिक माप्य पैरामीटर (एक थर्मोडाइनैमिक चर के रूप में जाना जाता है) को अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा जैसे एक अणुक राशि से संबंधित एक मूल नतीजा है। दोनों क्षेत्रों को बोल्ट्जमैन स्थिरांक द्वारा जोड़ा गया है। हम ध्यान देते हुए बता दें कि समीकरण (12.18) हमें बताता है कि आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है, दबाव या आयतन पर नहीं। इस तापमान की व्याख्या के साथ, आदर्श गैस के गतिशील सिद्धांत आदर्श गैस समीकरण और इस पर आधारित विभिन्न गैस के नियमों के साथ पूर्ण रूप से संगत होता है।

एक अनुप्रस्थ आदर्श गैस के मिश्रण के लिए, कुल दबाव मिश्रण में प्रत्येक गैस के योगदान से प्राप्त होता है। समीकरण (12.14) निम्नलिखित रूप में बदल जाता है

$$ \begin{equation*} P=(1 / 3)\left[n_{1} m_{1} \overline{v_{1}^{2}}+n_{2} m_{2} \overline{v_{2}^{2}}+\ldots\right] \tag{12.20} \end{equation*} $$

संतुलन में, विभिन्न गैसों के अणुओं की औसत किनेटिक ऊर्जा समान होती है। अर्थात,

$1 / 2 m_{1} \overline{v_{1}^{2}}=1 / 2 m_{2} \overline{v_{2}^{2}}=(3 / 2) k_{B} T$

इस प्रकार,

$$ \begin{equation*} P=\left(n_{1}+n_{2}+\ldots\right) k_{B} T \tag{12.21} \end{equation*} $$

जो डाल्टन के आंशिक दबाव के नियम को दर्शाता है।

समीकरण (12.19) से हम गैस में अणुओं की सामान्य गति के बारे में एक अंदाज ले सकते हैं। तापमान $T=300 \mathrm{~K}$ पर, नाइट्रोजन गैस में एक अणु की माध्य वर्ग गति है:

$ \begin{gathered} m=\frac{M_{N_{2}}}{N_{A}}=\frac{28}{6.02 \times 10^{26}}=4.65 \times 10^{-26} \mathrm{~kg} .\end{gathered} $

$ \begin{gathered} \overline{v^{2}}=3 k_{B} T / \mathrm{m}=(516)^{2} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}

\end{gathered} $

$\overline{v^{2}}$ के वर्ग मूल को माध्य वर्ग मूल (rms) वेग कहते हैं और इसे $V_{\text {rms }}$ से नोट करते हैं,

(हम $\overline{v^{2}}$ को $ < v^{2}>$ के रूप में भी लिख सकते हैं।)

$V_{\text {rms }}=516 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

वेग वायु में ध्वनि के वेग के क्रम में होता है। समीकरण (12.19) से यह निर्धारित होता है कि समान तापमान पर, हल्के अणुओं के बड़े rms वेग होते हैं।

उदाहरण 12.5 एक फ्लास्क में आर्गन और क्लोरीन के द्रव्यमान के अनुपात 2:1 है। मिश्रण का तापमान $27 \mathrm{C}$ है। दो गैसों के अणुओं के (i) औसत गतिज ऊर्जा प्रति अणु और (ii) माध्य वर्ग मूल वेग $v_{\text {rms }}$ के अनुपात की गणना कीजिए। आर्गन का परमाणु द्रव्यमान $=39.9 \mathrm{u}$; क्लोरीन का अणु द्रव्यमान $=70.9 \mathrm{u}$।

उत्तर कोई भी (आदर्श) गैस (एक परमाणुक जैसे आर्गन, द्विपरमाणुक जैसे क्लोरीन या बहुपरमाणुक) के औसत गतिज ऊर्जा (प्रति अणु) के लिए महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि यह हमेशा $(3 / 2) k_{B} T$ के बराबर होती है। यह तापमान पर निर्भर करती है और गैस के प्रकृति पर निर्भर नहीं करती।

(i) क्योंकि आर्गन और क्लोरीन दोनों के फ्लास्क में समान तापमान है, दोनों गैसों के औसत गतिज ऊर्जा (प्रति अणु) के अनुपात $1: 1$ है।

(ii) अब $1 / 2 m v_{\text {rms }}^{2}=$ प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $=(3 / 2) k_{\mathrm{B}} T$ जहाँ $m$ गैस के अणु के द्रव्यमान को दर्शाता है। अतः,

$$\frac{\left(\mathbf{v}{r m s}^2\right){\mathrm{Ar}}}{\left(\mathbf{v}{r m s}^2\right){\mathrm{C} 1}}=\frac{(m){\mathrm{C} 1}}{(m){\mathrm{Ar}}}=\frac{(M){\mathrm{Cl}}}{(M){\mathrm{Ar}}}=\frac{70.9}{39.9}=1.77$$

जहाँ $M$ गैस के अणुभार को दर्शाता है। (आर्गन के लिए, एक अणु आर्गन के एक परमाणु के बराबर है।) दोनों ओर के वर्गमूल लेने पर,

$$\frac{\left(\mathbf{v}{r m s}\right){Ar}} {\left(\mathbf{v}{rms }\right){Cl}}=1.33$$

आप ध्यान दें कि मिश्रण के द्रव्यमान अनुपात के लिए उपरोक्त गणना में कोई भी महत्व नहीं है। आर्गन और क्लोरीन के कोई भी द्रव्यमान अनुपात दिए गए (i) और (ii) के उत्तरों को समान देगा, जब तक तापमान अपरिवर्तित रहे।

उदाहरण 12.6 यूरेनियम के दो समस्थानिक हैं जिनके द्रव्यमान 235 और 238 इकाई हैं। यदि दोनों समस्थानिक यूरेनियम हेक्साफ्लुओराइड गैस में उपस्थित हैं, तो कौन सा औसत गति के लिए बड़ा होगा? यदि फ्लुओरीन के परमाणु द्रव्यमान 19 इकाई है, तो किसी भी तापमान पर गति में प्रतिशत अंतर का अनुमान लगाएं।

उत्तर निश्चित तापमान पर औसत ऊर्जा $=1 / 2 m\left\langle v^{2}\right\rangle$ स्थिर होती है। इसलिए, अणु के द्रव्यमान कम होने पर गति तेज होती है। गति के अनुपात के विपरीत अनुपात के द्रव्यमान के वर्गमूल के अनुपाती होता है। द्रव्यमान 349 और 352 इकाई हैं। इसलिए

$V_{349} / V_{352}=(352 / 349)^{1 / 2}=1.0044$

अतः अंतर $\frac{\Delta V}{V}=0.44 %$ होता है।

[${ }^{235} \mathrm{U}$ नाभिकीय विखंडन के लिए आवश्यक समस्थानिक है। इसे अधिक प्रचुर मात्रा में उपलब्ध समस्थानिक ${ }^{238} \mathrm{U}$ से अलग करने के लिए, मिश्रण को एक छेददार सिलेंडर के आसपास घेर लिया जाता है। छेददार सिलेंडर मोटा और संकीर्ण होना चाहिए ताकि अणु एक अलग-अलग रूप से गुजर सकें और लंबे छेद के दीवारों से टकराएं। तेज गति वाला अणु धीमा अणु की तुलना में अधिक बाहर निकल जाएगा और इसलिए छेददार सिलेंडर के बाहर लहर के अणु (एनरिचमेंट) की अधिक मात्रा होगी (चित्र 12.5)। यह विधि बहुत कम कार्यक्षम है और पर्याप्त एनरिचमेंट के लिए कई बार दोहराना पड़ता है।]

जब गैसें विसरित होती हैं, तो उनके विसरण की दर द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है (देखें अभ्यास 12.12)। आप ऊपर दिए गए उत्तर से व्याख्या का अनुमान लगा सकते हैं?

चित्र 12.5 एक रिक्त दीवार के माध्यम से अणुओं का गति।

उदाहरण 12.7 (a) जब एक अणु (या एक अत्यधिक द्रव्यमान वाली गेंद) एक दीवार पर टकराता है, तो यह उसी चाल से वापस लौट जाता है। जब एक गेंद एक ठोस रखे गए बल के साथ टकराती है, तो वही घटना होती है। हालांकि, जब बल गेंद की ओर गति करता है, तो गेंद अलग चाल से वापस लौटती है। गेंद तेज या धीमी गति से लौटती है? (अध्याय 5 आपको बर्फीले संघटन के बारे में याद दिलाएगा।)

(b) जब एक सिलेंडर में गैस को एक पिस्टन के द्वारा संपीड़ित किया जाता है, तो इसका तापमान बढ़ जाता है। आपको इसकी व्याख्या किस प्रकार करनी चाहिए, जो (a) के आधार पर किया जाए।

(c) जब एक संपीड़ित गैस पिस्टन को बाहर धकेलती है और विस्तारित होती है, तो क्या होता है? आप क्या देखेंगे?

(d) सचिन तेंदुलकर क्रिकेट बॉल के खेलते समय भारी बॉल का उपयोग करते थे। क्या इसने उन्हें किसी तरह मदद की?

उत्तर (a) मान लीजिए कि गेंद की गति $u$ विकिट के पीछे तुलना के संबंध में है। यदि बॉल के खिलाफ बॉल चल रही है तो बॉल की गति $V$ विकिट के संबंध में है, तो बॉल के संबंध में बॉल की गति $V+u$ बॉल की ओर है। जब गेंद बॉल के बाद विपरीत दिशा में बॉल के बर्बाद हो जाती है तो बॉल की गति बॉल के संबंध में $V+u$ होती है। इसलिए विकिट के संबंध में बर्बाद हो जाने वाली गेंद की गति $V+(V+u)=2 V+u$ होती है, जो विकिट के बर्बाद हो जाने की दिशा में होती है। इसलिए बॉल के बॉल के संघर्ष के बाद गति बढ़ जाती है। यदि बॉल भारी नहीं है तो बर्बाद हो जाने वाली गति $u$ से कम होती है। एक अणु के लिए इसका अर्थ है तापमान में वृद्धि होती है।

आप (b) (c) और (d) के उत्तर दे सकते हैं (a) के उत्तर पर आधारित।

(संकेत: ध्यान दें कि संबंध, पिस्टन $\rightarrow$ बॉल, सिलेंडर $\rightarrow$ विकिट, अणु $\rightarrow$ गेंद।)

12.5 ऊर्जा के समान विभाजन कानून

एक अणु की गतिज ऊर्जा

$$ \begin{equation*} \varepsilon_{t}=\frac{1}{2} m v_{x}^{2}+\frac{1}{2} m v_{y}^{2}+\frac{1}{2} m v_{z}^{2} \tag{12.22} \end{equation*} $$

एक गैस तापमान $T$ पर ऊष्मागतिक संतुलन में होने पर ऊर्जा के औसत मान को $<\varepsilon_{t}>$ से दर्शाया जाता है:

$$\left\langle\varepsilon_{t}\right\rangle=\left\langle\frac{1}{2} m v_{x}^{2}\right\rangle+\left\langle\frac{1}{2} m v_{y}^{2}\right\rangle+\left\langle\frac{1}{2} m v_{z}^{2}\right\rangle=\frac{3}{2} k_{B} T \tag{12.23}$$

क्योंकि कोई विशेष दिशा नहीं है, समीकरण (12.23) निम्नलिखित को दर्शाता है: $$ \begin{aligned} & \left\langle\frac{1}{2} m v_x^2\right\rangle=\frac{1}{2} k_B T,\left\langle\frac{1}{2} m v_y^2\right\rangle=\frac{1}{2} k_B T, \

& \left\langle\frac{1}{2} m v_z^2\right\rangle=\frac{1}{2} k_B T \end{aligned}\tag{12.24}$$

अंतरिक्ष में गति कर सकने वाले अणु के स्थिति को निर्धारित करने के लिए तीन निर्देशांक की आवश्यकता होती है। यदि यह एक तल में गति करता है तो इसके लिए दो निर्देशांक की आवश्यकता होती है; और यदि यह एक रेखा के अनुदिश गति करता है तो इसके लिए केवल एक निर्देशांक की आवश्यकता होती है। इसे एक अन्य तरीके से भी व्यक्त किया जा सकता है। हम कहते हैं कि एक रेखा में गति के लिए इसके एक डिग्री आंतरिक रूप से स्वतंत्रता होती है, तल में गति के लिए दो डिग्री आंतरिक रूप से स्वतंत्रता होती है और अंतरिक्ष में गति के लिए तीन डिग्री आंतरिक रूप से स्वतंत्रता होती है। एक वस्तु के एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक गति को गतिशीलता कहते हैं। इस प्रकार, अंतरिक्ष में गति कर सकने वाले अणु के तीन गतिशीलता डिग्री होती है। प्रत्येक गतिशीलता डिग्री एक गति चर के वर्ग को शामिल करने वाला एक शब्द योगदान देती है, जैसे $1 / 2 m v_{x}^{2}$ और $v_{y}$ और $v_{z}$ में समान शब्द। समीकरण (12.24) में हम देख सकते हैं कि ऊष्मागतिक संतुलन में, प्रत्येक ऐसे शब्द का औसत मान $1 / 2 k_{B} T$ होता है।

मोनोअटॉमिक गैस के अणु जैसे आर्गन केवल अनुवाहक अंशों के लिए उपलब्ध होते हैं। लेकिन एक डाइएटोमिक गैस जैसे $\mathrm{O}_2$ या $\mathrm{N}_2$ के बारे में क्या होता है? $\mathrm{O}_2$ के अणु के तीन अनुवाहक अंश होते हैं। लेकिन इसके अलावा इसके अपने गुरुत्व केंद्र के चारों ओर घूम सकता है। चित्र 12.6 में दो स्वतंत्र घूर्णन अक्ष 1 और 2 को दिखाया गया है, जो दो ऑक्सीजन परमाणुओं को जोड़ने वाली अक्ष के लंबवत हैं जिसके चारों ओर अणु घूम सकता है। अणु इस प्रकार दो घूर्णन अंशों के लिए उपलब्ध होता है, जिनमें से प्रत्येक कुल ऊर्जा में अनुवाहक ऊर्जा $\varepsilon_t$ और घूर्णन ऊर्जा $\varepsilon_r$ के एक पद के रूप में योगदान देता है।

$$ \begin{equation*} \varepsilon_{t}+\varepsilon_{r}=\frac{1}{2} m v_{x}^{2}+\frac{1}{2} m v_{y}^{2}+\frac{1}{2} m v_{z}^{2}+\frac{1}{2} I_{1} \omega_{1}^{2}+\frac{1}{2} I_{2} \omega_{2}^{2} \tag{12.25} \end{equation*} $$

चित्र 12.6 एक द्विपरमाणु अणु के दो स्वतंत्र घूर्णन अक्ष

जहाँ $\omega_{1}$ और $\omega_{2}$ अक्ष 1 और 2 के चारों ओर कोणीय चाल हैं और $I_{1}, I_{2}$ उनके संगत घूर्णन जड़त्व आघूर्ण हैं। ध्यान दें कि प्रत्येक घूर्णन स्वतंत्रता के डिग्री ऊर्जा में गति के घूर्णन चर के वर्ग के साथ एक शब्द योगदान देते हैं।

हम ऊपर यह मान लिया है कि $\mathrm{O}_2$ अणु एक ‘स्थैतिक घूर्णक’ है, अर्थात् अणु कोई विपर्यय नहीं करता। यह मान्यता, आंतरिक तापमान पर यह सत्य ज्ञात हो गई है, लेकिन हमेशा सही नहीं होती। अणु, जैसे $\mathrm{CO}$, आंतरिक तापमान पर भी एक विपर्यय के मोड के साथ हो सकते हैं, अर्थात् इनके परमाणु अंतराणु अक्ष के अनुदिश एक एक-विमीय दोलनक की तरह दोलन करते हैं और कुल ऊर्जा में एक विपर्यय ऊर्जा शब्द $\varepsilon_V$ के योगदान देते हैं:

$$ \begin{align*} & \varepsilon_{v}=\frac{1}{2} m \frac{\mathrm{d} y^{2}}{\mathrm{~d} t}+\frac{1}{2} k y^{2} \\ & \varepsilon=\varepsilon_{t}+\varepsilon_{r}+\varepsilon_{v} \tag{12.26} $$

\end{align*} $$

जहाँ $\mathrm{k}$ दोलन करते हुए वस्तु के बल नियतांक है और y दोलन निर्देशांक है।

एक बार फिर, समीकरण (12.26) में दोलन ऊर्जा पदों में गति के दोलन चर $y$ और $\mathrm{d} y / \mathrm{d} t$ के वर्ग पद हैं।

इस बिंदु पर, समीकरण (12 बर्तन 26) में एक महत्वपूर्ण विशेषता का ध्यान रखें। जबकि प्रत्येक गतिशील और घूर्णन डिग्री आंतरिक एक अलग ‘वर्ग पद’ के योगदान करते हैं, एक दोलन चर दो ‘वर्ग पद’ के योगदान करता है: गतिज और स्थितिज ऊर्जा।

ऊर्जा के व्यंजक में होने वाले प्रत्येक द्विघात पद अणु द्वारा ऊर्जा के अवशोषण के एक तरीका है। हम देख चुके हैं कि शून्य तापमान $\mathrm{T}$ पर तापीय संतुलन में, प्रत्येक गतिशील चर के औसत ऊर्जा $1 / 2 k_{B} T$ होती है। क्लासिकल सांख्यिकीय भौतिकी के सबसे सुंदर सिद्धांत (जिसे मैक्सवेल द्वारा पहले सिद्ध किया गया था) कहता है कि यह ऊर्जा के प्रत्येक तरीके के लिए इस तरह होता है: गतिशील, घूर्णन और दोलन। अर्थात, संतुलन में, कुल ऊर्जा सभी संभावित ऊर्जा तरीकों में समान रूप से वितरित होती है, जहाँ प्रत्येक तरीके के औसत ऊर्जा $1 / 2 k_{B} T$ होती है। इसे ऊर्जा के समान वितरण के नियम के रूप में जाना जाता है। इस आधार पर, अणु के प्रत्येक गतिशील और घूर्णन डिग्री आंतरिक ऊर्जा में $1 / 2 k_{B} T$ का योगदान करते हैं, जबकि प्रत्येक दोलन आवृत्ति $2 \times 1 / 2 k_{B} T = k_{B} T$ का योगदान करती है, क्योंकि एक दोलन तरीका गतिज और स्थितिज ऊर्जा दोनों के तरीके होते हैं।

कानून के ऊर्जा समान विभाजन के प्रमाण की गणना इस किताब के बाहर है। यहाँ, हम इस कानून के उपयोग करके गैसों के विशिष्ट ऊष्माएँ के सिद्धांतिक अनुमान लगाएँगे। बाद में, हम ठोस के विशिष्ट ऊष्मा के अनुप्रयोग के बारे में ब्रेफ चर्चा करेंगे।

12.6 विशिष्ट ऊष्मा क्षमता

12.6.1 एकलाक्षणीय गैसें

एकलाक्षणीय गैस के अणु केवल तीन परिवहनी स्वतंत्रता के अधिकारी होते हैं। अतः, तापमान $T$ पर अणु की औसत ऊर्जा $(3 / 2) k_{\mathrm{B}} T$ होती है। ऐसी गैस के एक मोल की कुल आंतरिक ऊर्जा है

$$ \begin{equation*} U=\frac{3}{2} k_{B} T \times N_{A}=\frac{3}{2} R T \tag{12.27} \end{equation*} $$

स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा, $C_{v}$, है

$$ \begin{equation*} C_{V}(\text { एकलाक्षणीय गैस })=\frac{\mathrm{d} U}{\mathrm{~d} T}=\frac{3}{2} R T \tag{12.28} \end{equation*} $$

एक आदर्श गैस के लिए,

$$ \begin{equation*} C_{p}-C_{V}=R \tag{12.29} \end{equation*} $$

जहाँ $C_{p}$ स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है। अतः,

$$ \begin{equation*}

C_{p}=\frac{5}{2} R \tag{12.30} \end{equation*} $$

विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात

$$\gamma=\frac{C_{\mathrm{p}}}{C_{\mathrm{v}}}=\frac{5}{3}\tag{12.31}$$

12.6.2 द्विपरमाणुक गैसें

जैसा कि पहले समझाया गया है, एक द्विपरमाणुक अणु को एक ठोस घूर्णक के रूप में लेने पर, जैसे कि एक बेलन, 5 अंतर्राष्ट्रीय स्वतंत्रता डिग्री होती है: 3 परिवहन और 2 घूर्णन। ऊर्जा के समान वितरण के नियम का उपयोग करते हुए, ऐसी गैस के एक मोल की कुल आंतरिक ऊर्जा होती है

$$ \begin{equation*} U=\frac{5}{2} k_{B} T \times N_{A}=\frac{5}{2} R T \tag{12.32} \end{equation*} $$

तब मोलर विशिष्ट ऊष्माएं निम्नलिखित द्वारा दी जाती हैं

$$ \begin{align*} & C_{V}(\text { rigid diatomic })=\frac{5}{2} R, C_{p}=\frac{7}{2} R \tag{12.33} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \gamma(\text { rigid diatomic })=\frac{7}{5} \tag{12.34} \end{align*} $$

यदि द्विपरमाणुक अणु ठोस नहीं होता लेकिन एक अतिरिक्त विपादन मोड के साथ होता है

$$ \begin{align*} & U=\left(\frac{5}{2} k_{B} T+k_{B} T\right) N_{A}=\frac{7}{2} R T \\ & C_{v}=\frac{7}{2} R, C_{p}=\frac{9}{2} R, \quad \gamma=\frac{9}{7} R \tag{12.35}

\end{align*} $$

12.6.3 बहुपरमाणुक गैसें

सामान्य रूप से एक बहुपरमाणुक अणु के लिए 3 गतिज, 3 घूर्णन ऊर्जा के मान और एक निश्चित संख्या ( $f$ ) के विपाटन मोड होते हैं। ऊर्जा के समान वितरण के नियम के अनुसार, यह स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है कि ऐसी गैस के एक मोल के लिए

$$ \begin{align*} & U=\left(\frac{3}{2} k_{B} T+\frac{3}{2} k_{B} T+f k_{B} T\right) N_{A}

\

& \text { अर्थात, } C_{V}=(3+f) R, C_{p}=(4+f) R \end{align*} $$

$$ \begin{equation*} \gamma=\frac{(4+f)}{(3+f)} \tag{12.36} \end{equation*} $$

ध्यान दें कि $C_{p}-C_{v}=R$ कोई भी आदर्श गैस के लिए सत्य होता है, चाहे वह एकपरमाणुक, द्विपरमाणुक या बहुपरमाणुक हो।

तालिका 12.1 गैसों के विशिष्ट ऊष्माओं के सिद्धांतात्मक अनुमान को सारांशित करती है, जहां कोई भी विपाटन गति को नगण्य मान लिया गया है। मूल्य अनेक गैसों के विशिष्ट ऊष्माओं के प्रयोगात्मक मूल्यों के साथ अच्छी तरह से सहमत हैं जो तालिका 12.2 में दिए गए हैं। बेशक, कई अन्य गैसों के विशिष्ट ऊष्माओं के अनुमानित और वास्तविक मूल्यों के बीच असंगतियाँ होती हैं (तालिका में नहीं दिखाई गई हैं), जैसे कि $\mathrm{Cl}_2, \mathrm{C}_2 \mathrm{H}_6$ और कई अन्य बहुपरमाणुक गैसें। आम तौर पर, इन गैसों के विशिष्ट ऊष्माओं के प्रयोगात्मक मूल्य तालिका 12.1 में दिए गए मूल्यों से अधिक होते हैं, जिससे यह सुझाव देता है कि विपाटन गतियों को गणना में शामिल करके सहमति को सुधारा जा सकता है। ऊर्जा के समान वितरण के नियम के अनुसार, आम तौर पर सामान्य तापमान पर प्रयोगों द्वारा यह अच्छी तरह से सत्यापित किया गया है।

तालिका 12.1 गैसों के विशिष्ट ऊष्माधारिता के अनुमानित मान (विपाटन तरंगों को नगण्य मानकर)

तालिका12.2 कुछ गैसों के विशिष्ट ऊष्माधारिता के मापित मान

| एक-परमाणुक | $\mathrm{He}$ | 12.5 | 20.8 | 8.30 | 1.66 | | एक-परमाणुक | $\mathrm{Ne}$ | 12.7 | 20.8 | 8.12 | 1.64 | | एक-परमाणुक | $\mathrm{Ar}$ | 12.5 | 20.8 | 8.30 | 1.67 | | द्वि-परमाणुक | $\mathrm{H}{2}$ | 20.4 | 28.8 | 8.45 | 1.41 | | द्वि-परमाणुक | $\mathrm{O}{2}$ | 21.0 | 29.3 | 8.32 | 1.40 | | द्वि-परमाणुक | $\mathrm{N}{2}$ | 20.8 | 29.1 | 8.32 | 1.40 | | त्रि-परमाणुक | $\mathrm{H}{2} \mathrm{O}$ | 27.0 | 35.4 | 8.35 | 1.31 | | बहु-परमाणुक | $\mathbf{C H}_{4}$ | $\mathbf{2 7 . 1}$ | $\mathbf{3 5 . 4}$ | $\mathbf{8 . 3 6}$ | $\mathbf{1 . 3 1}$ |

उदाहरण 12.8 एक निश्चित क्षमता वाले सिलिंडर में 44.8 लीटर के आयतन में हीलियम गैस के रूप में मानक ताप और दबाव पर भरा हुआ है। गैस के ताप को सिलिंडर में $15.0^{\circ} \mathrm{C}$ बढ़ाने के लिए कितनी ऊष्मा की आवश्यकता होगी? $\left(R=8.31 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\right)$।

उत्तर गैस के नियम $P V=\mu R T$ का उपयोग करके आसानी से दिखाया जा सकता है कि मानक ताप $(273 \mathrm{~K})$ और दबाव ( $1 \mathrm{~atm}=1.01 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$ ) पर कोई (आदर्श) गैस के 1 मोल के आयतन 22.4 लीटर होता है। इस वैश्विक आयतन को मोलर आयतन कहते हैं। इस प्रकार इस उदाहरण में सिलिंडर में 2 मोल हीलियम है। इतना ही, हीलियम एक-परमाणुक होता है, इसलिए इसके अनुमानित (और अवलोकनित) नियत आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा, $C_{V}=(3 / 2) R$, और नियत दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा, $C_{p}=(3 / 2) R+R=(5 / 2) R$ होती है। चूंकि सिलिंडर का आयतन निश्चित है, इसलिए ऊष्मा की आवश्यकता $C_{v}$ द्वारा निर्धारित होती है। इसलिए,

ऊष्मा आवश्यकता $=$ मोल की संख्या $\times$ मोलर विशिष्ट ऊष्मा तापमान में वृद्धि

$$ \begin{aligned} & =2 \times 1.5 R \times 15.0=45 R \\ & =45 \times 8.31=374 \mathrm{~J} . \end{aligned} $$

12.6.4 ठोस की विशिष्ट ऊष्माधारिता

हम ऊर्जा के समान विभाजन के नियम का उपयोग करके ठोस की विशिष्ट ऊष्माधारिता निर्धारित कर सकते हैं। मान लीजिए कि एक ठोस में $N$ परमाणु हैं, जो अपने माध्य स्थिति के चारों ओर दोलन करते हैं। एक विमा में दोलन की औसत ऊर्जा $2 \times 1 / 2 k_{B} T=k_{B} T$ होती है। तीन विमाओं में औसत ऊर्जा $3 k_{B} T$ होती है। एक मोल ठोस के लिए, $N=N_{A}$, और कुल ऊर्जा होती है

$$ U=3 k_{B} T \times N_{A}=3 R T $$

अब नियत दबाव पर $\Delta Q=\Delta U+P \Delta V$ $=\Delta U$, क्योंकि ठोस के लिए $\Delta V$ नगण्य होता है। अतः,

$$ \begin{equation*} C=\frac{\Delta Q}{\Delta T}=\frac{\Delta U}{\Delta T}=3 R \tag{12.37} \end{equation*} $$

तालिका 12.3 कुछ ठोसों की विशिष्ट ऊष्माधारिता कमरे के तापमान और वायुमंडलीय दबाव पर

| पदार्थ | विशिष्ट ऊष्माधारिता
$\left(\mathbf{J} \mathbf{k g}^{-1} \mathbf{k}^{-1}\right)$ | मोलर विशिष्ट
ऊष्माधारिता $\left(\mathbf{J } \mathbf{ m}^{-1} \mathbf{k}^{-1}\right)$ |

| :— | :—: | :—: | | एल्यूमीनियम | 900.0 | 24.4 | | कार्बन | 506.5 | 6.1 | | तांबा | 386.4 | 24.5 | | लेड | 127.7 | 26.5 | | चांदी | 236.1 | 25.5 | | टंगस्टन | 134.4 | 24.9 |

अक्सर तापमान के सामान्य अवस्था पर अनुमान वास्तविक मानों से सहमत होता है (कार्बन एक अपवाद है)।

12.7 माध्य रूप से मुक्त पथ

एक गैस के अणुओं के वेग ध्वनि के वेग के क्रम में बहुत बड़े होते हैं। फिर भी एक रसायन बर्तन से बाहर निकलने वाली गैस कमरे के अन्य कोनों तक फैलने में लंबा समय लेती है। धुंआ के एक बादल के शीर्ष घंटों तक एक साथ रहता है। यह घटना इसलिए होती है कि गैस के अणुओं का आकार छोटा लेकिन अंततः बर्बाद नहीं होता है, इसलिए वे टकराव करना बाध्य होते हैं। इसके परिणामस्वरूप, वे सीधे गति नहीं कर सकते हैं; उनके पथ निरंतर विक्षेपित होते रहते हैं।

चित्र 12.7 समय ∆t में एक अणु द्वारा स्वीकृत आयतन जिसमें कोई भी अणु इसके साथ टकराएगा।

मान लीजिए गैस के अणु व्यास $d$ के गोले हैं। एक अलग अणु पर ध्यान केंद्रित करें जिसकी औसत गति $< v> $ है। इस अणु के साथ कोई अणु जो इसके केंद्र के बीच $d$ की दूरी पर आ जाएगा उसके साथ टकराएगा। समय $\Delta t$ में, यह अणु एक आयतन $\pi d^2 < v > \Delta t$ स्वीकृत करता है जहां कोई अन्य अणु इसके साथ टकराएगा (चित्र 12.7 देखें)। यदि $n$ इकाई आयतन में अणुओं की संख्या है, तो समय $\Delta t$ में अणु के टकराव की संख्या $n \pi d^2 < v > \Delta t$ होती है। इस प्रकार टकराव की दर $n \pi d^2 < v >$ होती है या दो क्रमागत टकराव के बीच औसत समय,

$$ \begin{equation*} \tau=1 /\left(n \pi < v > d^2\right) \tag{12.38} \end{equation*} $$

दो क्रमागत टकराव के बीच औसत दूरी, जिसे माध्य रिक्त दूरी 1 कहा जाता है, निम्नलिखित है :

$$ \begin{equation*} 1= < v > =1 /\left(n \pi d^2\right) \tag{12.39} \end{equation*} $$

इस निगमन में, हमने अन्य अणुओं को स्थिर माना। लेकिन वास्तव में सभी अणु गतिशील होते हैं और टकराव की दर अणुओं की औसत सापेक्ष गति द्वारा निर्धारित होती है। इसलिए हमें समीकरण (12.38) में $\langle v\rangle$ को $\langle V\rangle$ से बदलना पड़ेगा। एक अधिक सटीक विवेचन देता है

$$ \begin{equation*} l=1 /\left(\sqrt{2} n \pi d^{2}\right) \tag{12.40} \end{equation*} $$

हम $l$ और $\tau$ का अनुमान लगाएंगे वायु अणुओं के लिए औसत गति $\langle v\rangle=(485 \mathrm{~m} / \mathrm{s})$ के साथ। STP पर

$$ \begin{align*} & n=\frac{\left(0.02 \times 10^{23}\right)}{\left(22.4 \times 10^{-3}\right)} \\ & =2.7 \times 10^{25} \mathrm{~m}^{-3} . \\ & \text { मान लें, } d=2 \times 10^{-10} \mathrm{~m}, \\ & \tau=6.1 \times 10^{-10} \mathrm{~s} \\ & \text { और } l=2.9 \times 10^{-7} \mathrm{~m} \approx 1500 d \tag{12.41} \end{align*} $$

अपेक्षित रूप से, समीकरण (12.40) द्वारा दिए गए औसत मुक्त पथ अणुओं की संख्या घनत्व और अणुओं के आकार पर विपरीत आधार पर निर्भर करता है। एक उच्च रिक्त नली में $n$ बहुत छोटा होता है और औसत मुक्त पथ नली की लंबाई जितना बड़ा हो सकता है।

उदाहरण 12.9 373 K पर जल वाष्प में एक जल अणु के औसत मुक्त पथ का अनुमान लगाएं। उपरोक्त अभ्यास 12.1 और समीकरण (12.41) के ज्ञान का उपयोग करें।

उत्तर जल वाष्प के लिए $d$ हवा के लिए वही होता है। संख्या घनत्व के अंतराल तापमान के विपरीत आनुपातिक होता है।

$$n=2.7 \times 10^{25} \times \frac{273}{373}=2 \times 10^{25} \mathrm{~m}^{-3}$$

इसलिए, औसत मुक्त पथ $l=4 \times 10^{-7} \mathrm{~m}$

ध्यान दें कि औसत मुक्त पथ अंतराणुक दूरी $\sim 40 \mathring{A}=4 \times 10^{-9} \mathrm{~m}$ के लगभग 100 गुना है, जो पहले गणना किया गया था। यह बड़ा मूल्य औसत मुक्त पथ ही गैसीय व्यवहार के सामान्य विशेषताओं के कारण है। गैसों को बिना कंटेनर के सीमित नहीं किया जा सकता है।

गैसों के गतिमान सिद्धांत का उपयोग करके, चिकित्सा, ऊष्मा चालकता और विस्थापन जैसे बड़े पैमाने पर माप्य गुणों को अणुक आकार जैसे माइक्रोस्कोपिक पैरामीटर से संबंधित किया जा सकता है। यह ऐसे संबंधों के माध्यम से अणुक आकार के पहले अनुमान लगाए गए थे।

सारांश

1. दबाव $(P)$, आयतन $(V)$ और अंतराल तापमान $(T)$ के बीच आदर्श गैस समीकरण है

$$ P V=\mu R T=k_B N T $$

जहाँ $\mu$ मोल की संख्या है और $N$ अणुओं की संख्या है। $R$ और $k_B$ सार्वत्रिक नियतांक हैं।

$$ R=8.314 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}, \quad k_B=\frac{R}{N_A}=1.38 \times 10^{-23} \mathrm{~J} \mathrm{~K}^{-1} $$

$$

अम्लीय गैसें आदर्श गैस समीकरण केवल अनुमानित रूप से संतुष्ट करती हैं, विशेष रूप से निम्न दबाव और उच्च तापमान पर अधिक।

2. आदर्श गैस के गतिमान सिद्धांत के अनुसार निम्न संबंध होता है

$$ P=\frac{1}{3} n m \overline{v^2} $$

जहाँ $n$ अणुओं का संख्या घनत्व है, $m$ अणु के द्रव्यमान है और $\overline{v^2}$ वेग के वर्ग का औसत है। आदर्श गैस समीकरण के साथ मिलाकर यह तापमान की गतिशील ऊर्जा के अनुसार व्याख्या करता है।

$$ \frac{1}{2} m \overline{v^2}=\frac{3}{2} k_B T, \quad v_{r m s}=\left(\overline{v^2}\right)^{1 / 2}=\sqrt{\frac{3 k_B T}{m}} $$

यह हमें बताता है कि गैस का तापमान अणु की औसत गतिशील ऊर्जा का माप है, गैस या अणु के प्रकृति के अधिकार बिना। निश्चित तापमान पर गैस के मिश्रण में भारी अणु कम औसत वेग के साथ होते हैं।

3. गतिशील ऊर्जा

$$ E=\frac{3}{2} k_B N T $$

इससे एक संबंध निकलता है

$$ P V=\frac{2}{3} E $$

4. ऊर्जा के समान वितरण के नियम कहते हैं कि यदि एक तंत्र शून्य तापमान $T$ पर संतुलन में है, तो कुल ऊर्जा अवशोषण के विभिन्न ऊर्जा मोड में समान रूप से वितरित होती है, जहाँ प्रत्येक मोड में ऊर्जा $1 / 2 k_{B} T$ के बराबर होती है। प्रत्येक गतिशील और घूर्णन डिग्री आजादी एक ऊर्जा मोड के रूप में विचार की जाती है और ऊर्जा $1 / 2 k_{B} T$ के बराबर होती है। प्रत्येक विप्राण आवृत्ति के दो ऊर्जा मोड (गतिशील और स्थितिज ऊर्जा) होते हैं जिनके संगत ऊर्जा के बराबर होती है।

$2 \times 1 / 2 k_{B} T=k_{B} T$.

5. ऊर्जा के समान विभाजन के नियम का उपयोग करके, गैसों के मोलर विशिष्ट ऊष्माएँ निर्धारित की जा सकती हैं और इनके मान कई गैसों के विशिष्ट ऊष्माओं के प्रयोगात्मक मानों के साथ सहमत होते हैं। विशिष्ट ऊष्माओं के मानों के सहमत होने को सुधारा जा सकता है विभवन गति के मोड़ को शामिल करके।

6. माध्य मुक्त पथ $l$ एक अणु के दो क्रमागत टकराव के बीच तय की गई औसत दूरी होती है :

$$ l=\frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^{2}} $$

जहाँ $n$ संख्या घनत्व है और $d$ अणु के व्यास है।

विचार करने वाले बिंदु

1. द्रव के दबाव केवल दीवार पर लगता है। दबाव द्रव के सभी स्थानों में मौजूद होता है। कंटेनर के आयतन के भीतर किसी भी गैस के तल के दोनों ओर दबाव समान होता है क्योंकि तल आपस में संतुलन में होता है।

2. हमें गैस में अंतराणुक दूरी के बारे में अत्यधिक विचार नहीं करना चाहिए। सामान्य दबाव और तापमान पर, यह केवल ठोस और द्रव में अंतराणुक दूरी के लगभग 10 गुना होती है। अलग होने वाला बात विशिष्ट मुक्त पथ है जो गैस में 100 गुना अंतराणुक दूरी और 1000 गुना अणु के आकार के बराबर होता है।

3. ऊर्जा के समान वितरण के नियम के बारे में इस प्रकार कहा गया है: तापीय संतुलन में प्रत्येक स्वतंत्रता के लिए ऊर्जा $1 / 2 k_{B} T$ होती है। अणु की कुल ऊर्जा व्यंजक में प्रत्येक वर्गीय पद को स्वतंत्रता के रूप में गिना जाना चाहिए। इसलिए, प्रत्येक विपतलन तंत्र 2 (नहीं 1) स्वतंत्रता देता है (गतिज और स्थितिज ऊर्जा तंत्र), जो ऊर्जा $2 \times 1 / 2 k_{B} T = k_{B} T$ के रूप में संबंधित होता है।

4. कमरे में हवा के अणु सभी नीचे गिरकर जमीन पर बैठ नहीं जाते हैं (गुरुत्वाकर्षण के कारण) क्योंकि उनकी उच्च गति और अविराम टकराव होते हैं। संतुलन में, नीचले ऊंचाइयों पर (जैसे वायुमंडल में) घनत्व में बहुत हल्का वृद्धि होती है। इस प्रभाव का असल में अधिक छोटा होता है क्योंकि सामान्य ऊंचाइयों पर संभावित ऊर्जा ( $m g h)$ अणुओं के औसत गतिज ऊर्जा $1 / 2 m v^{2}$ की तुलना में बहुत कम होती है।

5. $< v^{2} >$ हमेशा $(< v > )^{2}$ के बराबर नहीं होता। एक राशि के वर्ग का औसत आवश्यक रूप से औसत के वर्ग के बराबर नहीं होता। आप इस कथन के लिए उदाहरण खोज सकते हैं।

अभ्यास

12.1 ऑक्सीजन गैस के असली आयतन के संबंध में अणुओं के आयतन के अनुपात का अंदाज़ लगाएं। ऑक्सीजन अणु के व्यास को $3 \mathring{A}$ मान लें।

12.2 मोलर आयतन किसी (आदर्श) गैस के 1 मोल द्वारा आवश्यक आयतन होता है, जो मानक ताप और दबाव (STP : 1 वायुमंडलीय दबाव, $0^{\circ} \mathrm{C}$ ) पर होता है। दिखाएं कि यह 22.4 लीटर होता है।

12.3 चित्र 12.8 में $1.00 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ ऑक्सीजन गैस के दो अलग-अलग तापों पर $P V / T$ के विरुद्ध $P$ के आरेख को दिखाया गया है।

(a) बिंदीद्वारा खींचे गए ग्राफ में बिंदीद्वारा खींचे गए ग्राफ का अर्थ क्या है?

(b) यह कौन सा सत्य है: $T_{1}>T_{2}$ या $T_{1}<T_{2}$ ?

(c) वक्र जहां $y$-अक्ष पर मिलते हैं वहां $P V / T$ का मान क्या होगा?

(d) यदि हम $1.00 \times 10^{-3} \mathrm{~kg}$ हाइड्रोजन के लिए ऐसे ग्राफ प्राप्त करते हैं, तो क्या हमें $y$-अक्ष पर वक्रों के मिलन बिंदु पर $P V / T$ का समान मान प्राप्त होगा? यदि नहीं, तो ग्राफ के निम्न दबाव और उच्च तापमान क्षेत्र में $P V / T$ के समान मान के लिए कितने द्रव्यमान के हाइड्रोजन की आवश्यकता होगी? ( $\mathrm{H}_2$ के अणुभार $=2.02 \mathrm{u}$, $\mathrm{O}_2$ के अणुभार $=32.0 \mathrm{u}$, $R=8.31 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$।)

12.4 30 लीटर के ऑक्सीजन सिलेंडर के आरंभिक गेज दबाव $15 \mathrm{~atm}$ और तापमान $27^{\circ} \mathrm{C}$ है। कुछ ऑक्सीजन निकाले जाने के बाद, गेज दबाव $11 \mathrm{~atm}$ तक गिर जाता है और तापमान $17^{\circ} \mathrm{C}$ तक गिर जाता है। सिलेंडर से निकाले गए ऑक्सीजन के द्रव्यमान का अनुमान लगाएं $\left(R=8.31 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}\right.$, $\left.\mathrm{O}_{2}$ के अणुभार $=32 \mathrm{u}\right)$।

12.5 एक हवा के बुलबुला के आयतन $1.0 \mathrm{~cm}^{3}$ है जो एक तापमान $12{ }^{\circ} \mathrm{C}$ पर $40 \mathrm{~m}$ गहराई वाले झील के तल से ऊपर उठता है। जब यह तापमान $35^{\circ} \mathrm{C}$ वाले सतह पर पहुँचता है, तो इसका आयतन कितना हो जाता है?

12.6 27°C तापमान और 1 atm दबाव पर 25.0 मीटर³ क्षमता वाले कमरे में हवा के अणुओं की कुल संख्या (ऑक्सीजन, नाइट्रोजन, जल वाष्प और अन्य संघटकों के समावेश) का अंदाज़ लगाएं।

12.7 कमरे के तापमान पर हीलियम अणु की औसत ऊष्मीय ऊर्जा का अनुमान लगाएं (i) कमरे के तापमान $\left(27^{\circ} \mathrm{C}\right)$, (ii) सूर्य के सतह के तापमान ($6000 \mathrm{~K}$), (iii) 10 मिलियन केल्विन के तापमान (एक तारे के नाभिक के तापमान के लिए सामान्य तापमान) पर।

12.8 तीन बर्तन बराबर क्षमता के हैं जिनमें एक ही तापमान और दबाव है। पहले बर्तन में नीऑन (एक-परमाणुक) है, दूसरे में क्लोरीन (द्वि-परमाणुक) है, और तीसरे में यूरेनियम हेक्साफ्लूओराइड (बहु-परमाणुक) है। क्या बर्तन में अनुसार अणुओं की संख्या बराबर है? अणुओं की वर्ग माध्य गति की गति तीनों में समान है या नहीं? यदि नहीं, तो तीनों में से किस मामले में $V_{\mathrm{rms}}$ सबसे बड़ा है?

12.9 तापमान कितना होगा जिस पर एरोन गैस सिलेंडर में एक अणु का वर्ग माध्य मूल वेग हेलियम गैस के अणु के वर्ग माध्य मूल वेग के बराबर होगा जब तापमान $-20^{\circ} \mathrm{C}$ होगा? (एरोन का परमाणु द्रव्यमान $=39.9 \mathrm{u}$, हेलियम का परमाणु द्रव्यमान $=4.0 \mathrm{u}$)।

12.10 एक नाइट्रोजन अणु के औसत मुक्त पथ और टक्कर आवृत्ति का अनुमान लगाएं जो नाइट्रोजन वाले सिलिंडर में $2.0 \mathrm{~atm}$ दबाव और $17^{\circ} \mathrm{C}$ तापमान पर हो। नाइट्रोजन अणु की त्रिज्या को लगभग $1.0 \mathring{A}$ मान लें। टक्कर समय को अगले दो टक्कर के बीच अणु के मुक्त गति के समय के साथ तुलना करें (एन एन२ के अणुभार $28.0 \mathrm{u}$ है)।