11.1 परिचय

पिछले अध्याय में हमने पदार्थ के थर्मल गुणों के बारे में अध्ययन किया था। इस अध्याय में हम ऊष्मीय ऊर्जा के नियमों के बारे में अध्ययन करेंगे। हम वह प्रक्रियाएं अध्ययन करेंगे जहां कार्य ऊष्मा में बदल जाता है और विपरीत रूप से ऊष्मा कार्य में बदल जाती है। सर्दियों में जब हम अपने हाथों को एक दूसरे के साथ घुमाते हैं, तो हम गर्म महसूस करते हैं; यहां घुमाने में किया गया कार्य ऊष्मा के रूप में उत्पन्न होता है। विपरीत रूप से, एक भाप इंजन में, भाप की ‘ऊष्मा’ इंजन के पिस्टन को गति देने में उपयोगी कार्य करने के लिए उपयोग की जाती है, जो फिर ट्रेन के व्हील को घुमाने में सहायता करती है।

भौतिकी में, हमें ऊष्मा, तापमान, कार्य आदि के अवधारणाओं को अधिक ध्यान से परिभाषित करने की आवश्यकता होती है। ऐतिहासिक रूप से, ऊष्मा के सही अवधारणा के लिए लंबा समय लगा। आधुनिक चित्र से पहले, ऊष्मा को एक छोटे से दृश्य रहित तरल के रूप में देखा जाता था जो एक पदार्थ के छिद्रों में भरा होता था। एक गर्म वस्तु और एक ठंडी वस्तु के संपर्क में आने पर, यह तरल (जिसे कैलोरिक कहा जाता है) ठंडी वस्तु से गर्म वस्तु की ओर बहता रहता था! यह एक क्षैतिज पाइप के माध्यम से दो टैंकों में जो अलग-अलग ऊँचाई तक पानी भरे होते हैं, जैसा कि होता है। प्रवाह तब तक जारी रहता है जब तक दोनों टैंकों में पानी के स्तर समान नहीं हो जाते। इसी तरह, ऊष्मा के ‘कैलोरिक’ चित्र में, ऊष्मा तब तक प्रवाहित होती रहती है जब तक ‘कैलोरिक स्तर’ (अर्थात तापमान) समान नहीं हो जाते।

समय के साथ, ऊष्मा के रूप में एक तरल के चित्र को आधुनिक ऊष्मा के रूप में ऊर्जा के रूप के संस्करण के लिए छोड़ दिया गया। इस संबंध में एक महत्वपूर्ण प्रयोग बेनजामिन थॉमसन (जिसे रूमफोर्ड काउंट के रूप में भी जाना जाता है) द्वारा 1798 में किया गया था। उन्होंने अपने ब्रास कैनन के बोरिंग के दौरान बहुत अधिक ऊष्मा उत्पन्न होती है देखा, वास्तव में पानी के उबलने के लिए पर्याप्त ऊष्मा उत्पन्न होती है। अधिक महत्वपूर्ण बात यह थी कि उत्पन्न ऊष्मा की मात्रा कार्य के अनुपात में निर्भर करती है (जो बर्न द्वारा बोरिंग करने के लिए उपयोग किए गए घोड़ों के द्वारा किया गया था) लेकिन बोर की तीखाई पर नहीं। ऊष्मा के कैलोरिक चित्र में, एक तीखा बोर बर्न के पोर्स से अधिक ऊष्मा तरल निकाल सकता है; लेकिन यह नहीं देखा गया। अवलोकन के सबसे प्राकृतिक स्पष्टीकरण यह था कि ऊष्मा ऊर्जा के एक रूप है और यह प्रयोग ऊर्जा के एक रूप से दूसरे रूप में रूपांतरण को दिखाता है-कार्य से ऊष्मा में।

ऊष्मागतिकी वह भौतिकी की शाखा है जो ऊष्मा और तापमान के अवधारणा और ऊष्मा और अन्य ऊर्जा रूपों के बीच अंतर्गत रूपांतरण के बारे में अध्ययन करती है। ऊष्मागतिकी एक मैक्रोस्कोपिक विज्ञान है। यह बड़े पैमाने पर प्रणालियों के साथ काम करती है और पदार्थ के अणुस्तरीय संगठन के बारे में नहीं जानकारी देती है। वास्तव में, इसके अवधारणा और नियम उन्नीसवीं शताब्दी में निर्मित किए गए थे जब पदार्थ के अणुस्तरीय चित्र को ठीक से स्थापित किया गया था। ऊष्मागतिकीय विवरण में प्रणाली के लिए बहुत कम मैक्रोस्कोपिक चर शामिल होते हैं, जो सामान्य ज्ञान द्वारा सुझाए जाते हैं और आमतौर पर प्रत्यक्ष रूप से मापे जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, गैस के माइक्रोस्कोपिक विवरण में गैस के बनाने वाले बहुत बड़ी संख्या में अणुओं के निर्देशांक और वेग के निर्देशांक के निर्धारण के लिए आवश्यक होते हैं। गैस के किनेटिक सिद्धांत के विवरण इतना विस्तारपूर्वक नहीं होता लेकिन यह अणुओं के वेग के वितरण के बारे में बताता है। दूसरी ओर, ऊष्मागतिकीय विवरण गैस के अणुस्तरीय विवरण को बिलकुल छोड़ देता है। बजाय इसके, ऊष्मागतिकी में गैस की स्थिति को दबाव, आयतन, तापमान, द्रव्यमान और संगठन जैसे मैक्रोस्कोपिक चर द्वारा निर्धारित किया जाता है जो हमारे अनुभव द्वारा अनुभव किए जा सकते हैं और जो मापनीय होते हैं।

अंतर यांत्रिकी और ऊष्मागतिकी के बीच ध्यान रखने के लायक है। यांत्रिकी में हम बल और बलाघूर्ण के कारण कणों या वस्तुओं के गति के अध्ययन में रुचि रखते हैं। ऊष्मागतिकी वस्तु के समग्र गति के अध्ययन में नहीं रुचि रखती है। यह वस्तु के आंतरिक मैक्रोस्कोपिक अवस्था के अध्ययन में रुचि रखती है। जब बन्दूक से एक बॉम्ब चलाया जाता है, तो बॉम्ब के यांत्रिक अवस्था में परिवर्तन होता है (विशेषकर इसकी किणेटिक ऊर्जा), नहीं इसके तापमान में। जब बॉम्ब लकड़ी के माध्यम से गुजरता है और रुक जाता है, तो बॉम्ब की किणेटिक ऊर्जा गर्मी में बदल जाती है, जिसके कारण बॉम्ब और लकड़ी के आसपास की परतों के तापमान में परिवर्तन होता है। तापमान बॉम्ब के आंतरिक (अक्रमिक) गति की ऊर्जा से संबंधित होता है, न कि बॉम्ब के समग्र गति से।

11.2 थर्मल संतुलन

यांत्रिकी में संतुलन का अर्थ एक तंत्र पर कार्य करने वाले शुद्ध बाह्य बल और बलाघूर्ण शून्य होना होता है। ऊष्मागतिकी में ‘संतुलन’ शब्द का अर्थ अलग अर्थ में आता है: हम एक तंत्र की अवस्था को संतुलन अवस्था कहते हैं यदि तंत्र के विशिष्ट चर जो तंत्र की विशेषता बताते हैं, समय के साथ बदलते नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक बंद अटैच किए गए रिगिड कंटेनर में गैस, जो अपने आसपास के वातावरण से पूरी तरह से अनुपलब्ध है, जिसके दबाव, आयतन, तापमान, द्रव्यमान और संघटन के मूल्य निश्चित हो और समय के साथ बदलते नहीं हैं, तो यह एक थर्मल संतुलन की अवस्था में होता है।

चित्र 11.1 (a) प्रणाली A और B (दो गैसें) एक अनुवाहक दीवार द्वारा अलग की गई हैं – एक ऊष्मा के प्रवाह को रोकने वाली एक आइसोलेटिंग दीवार (चलने वाली हो सकती है)। (b) वही प्रणाली A और B एक थर्मल चालक दीवार द्वारा अलग की गई हैं – एक ऊष्मा के प्रवाह को अनुमति देने वाली दीवार। इस स्थिति में, ऊष्मीय संतुलन अंततः प्राप्त हो जाता है।

सामान्यतः, एक प्रणाली के संतुलन की स्थिति में किसी भी अवस्था में रहने की बात उसके परिवेश और उस परिवेश से अलग करने वाली दीवार की प्रकृति पर निर्भर करती है। मान लीजिए दो गैसें $A$ और $B$ दो अलग-अलग बरतन में हैं। हम व्यावहारिक रूप से जानते हैं कि एक दी गई गैस के द्रव्यमान के दबाव और आयतन को उसके दो स्वतंत्र चर बताया जा सकता है। मान लीजिए गैसों के दबाव और आयतन क्रमशः $\left(P_A, V_A\right)$ और $\left(P_B, V_B\right)$ हैं। पहले मान लीजिए कि दो प्रणालियां एक दूसरे के पास हैं लेकिन एक अनुवाहक दीवार द्वारा अलग की गई हैं – एक ऊष्मा के प्रवाह को रोकने वाली दीवार (चलने वाली हो सकती है)। प्रणालियां अन्य भागों से भी अनुवाहक दीवारों द्वारा आइसोलेट की गई हैं। यह स्थिति चित्र 11.1 (a) में आरेखित रूप में दिखाई गई है। इस स्थिति में, यह पाया जाता है कि कोई भी संभावित युग्म $\left(P_{A}, V_{A}\right)$ कोई भी संभावित युग्म $\left(P_{B}, V_{B}\right)$ के साथ संतुलन में होता है। अब, मान लीजिए कि अनुवाहक दीवार को एक थर्मल चालक दीवार से बदल दिया जाता है – एक ऊष जो ऊष्मा के प्रवाह को अनुमति देती है। तब यह पाया जाता है कि प्रणालियों $A$ और $B$ के मैक्रोस्कोपिक चर अपने आप बदल जाते हैं तक कि दोनों प्रणालियां संतुलन अवस्था में पहुंच जाएं। इसके बाद उनकी अवस्थाओं में कोई परिवर्तन नहीं होता। यह स्थिति चित्र 11.1 (b) में दिखाई गई है। दो गैसों के दबाव और आयतन चर बदल जाते हैं $\left(P_{B}{ }^{\prime}, V_{B}{ }^{\prime}\right)$ और $\left(P_{A}{ }^{\prime}, V_{A}{ }^{\prime}\right)$ ताकि नए अवस्था $A$ और $B$ एक दूसरे के साथ संतुलन में हों। एक दूसरे से ऊष्मा का प्रवाह अब नहीं होता। तब हम कहते हैं कि प्रणाली $A$ प्रणाली $B$ के साथ ऊष्मीय संतुलन में है।

किस विशेषता द्वारा दो प्रणालियों के ऊष्मीय संतुलन की स्थिति को चिह्नित किया जाता है? आप अपने अनुभव से उत्तर को अनुमान लगा सकते हैं। ऊष्मीय संतुलन में, दो प्रणालियों के तापमान समान होते हैं। हम देखेंगे कि ऊष्मागतिकी में तापमान के अवधारणा के लिए कैसे पहुँचा जाता है? ऊष्मागतिकी के शून्यवां नियम इस बात की संकेत देता है।

11.3 ऊष्मागतिकी का शून्यवां नियम

दो प्रणालियों $A$ और $B$ की कल्पना करें, जो एक अनुवाहक दीवार के माध्यम से एक तीसरी प्रणाली $C$ से संपर्क में हैं [चित्र 11.2(a)]। प्रणालियों के अवस्था (अर्थात उनके मैक्रोस्कोपिक चर) तक बदल जाएंगी जब तक कि $A$ और $B$ दोनों $C$ के साथ ऊष्मीय संतुलन में नहीं आ जाएं। इसके बाद, मान लीजिए कि $A$ और $B$ के बीच अनुवाहक दीवार के स्थान पर एक अनुवाहक दीवार रख दी जाती है और $C$ को $A$ और $B$ से एक अनुवाहक दीवार द्वारा अलग कर दिया जाता है [चित्र 13.2(b)]। यह पाया गया है कि $A$ और $B$ के अवस्था आगे बदलती नहीं है, अर्थात वे परस्पर ऊष्मीय संतुलन में पाए जाते हैं। इस प्रेक्षण के आधार पर ऊष्मागतिकी के शून्यवां नियम की घोषणा की जाती है, जो कहता है कि ‘एक तीसरी प्रणाली के साथ ऊष्मीय संतुलन में अलग-अलग रहे दो प्रणालियाँ परस्पर ऊष्मीय संतुलन में होती हैं। R.H. Fowler ने 1931 में ऊष्मागतिकी के पहले और दूसरे नियमों के घोषित हो जाने के कई वर्ष बाद इस नियम को स्थापित किया गया था।

The Zeroth Law निर्धारित करता है कि जब दो प्रणालियाँ $A$ और $B$, ऊष्मागतिक संतुलन में होती हैं, तो दोनों के लिए एक भौतिक राशि का मान समान होना चाहिए। यह ऊष्मागतिक चर जिसका मान दो ऊष्मागतिक संतुलन में संतुलन में रहे प्रणालियों के लिए समान होता है, तापमान $(T)$ कहलाता है। इसलिए, यदि $A$ और $B$ क्रमशः $C$ के साथ संतुलन में हों, तो $T_{A}=T_{C}$ और $T_{B}=T_{C}$. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $T_{A}=T_{B}$ अर्थात प्रणालियाँ $A$ और $B$ भी ऊष्मागतिक संतुलन में हैं।

हम शून्य नियम के माध्यम से तापमान की अवधारणा के रूप में पहुँच गए हैं। अगला प्रश्न यह है: विभिन्न वस्तुओं के तापमान के लिए संख्यात्मक मान कैसे निर्धारित किए जाएं? अन्य शब्दों में, हम तापमान के एक मापदंड कैसे बनाएं? थर्मोमेट्री इस मूल प्रश्न के साथ संबंधित है जिसके बारे में हम अगले अनुच्छेद में चर्चा करेंगे।

चित्र 11.2 (a) प्रणालियाँ A और B एक अनुवाही दीवार द्वारा अलग हैं, जबकि प्रत्येक एक तीसरी प्रणाली C के संपर्क में एक चालक दीवार के माध्यम से है। (b) A और B के बीच अनुवाही दीवार को एक चालक दीवार से बदल दिया गया है, जबकि C, A और B से अनुवाही दीवार के माध्यम से अलग किया गया है।

11.4 ऊष्मा, आंतरिक ऊर्जा और कार्य

ऊष्मागतिकी के शून्यवां नियम हमें तापमान के अवधारणा को लाया जो हमारे सामान्य ज्ञान से सहमत है। तापमान एक शरीर के ‘गरमी’ के संकेतक होता है। यह दो शरीरों के थर्मल संपर्क में रखे जाने पर ऊष्मा के प्रवाह की दिशा को निर्धारित करता है। ऊष्मा उस शरीर से बहती है जो उच्च तापमान पर होता है और एक शरीर जो निम्न तापमान पर होता है। जब तापमान समान हो जाता है तो ऊष्मा का प्रवाह बंद हो जाता है; तब दो शरीर थर्मल संतुलन में होते हैं। हम ने कुछ विस्तार से देखा है कि कैसे तापमान के मापदंडों का निर्माण किया जाता है ताकि विभिन्न शरीरों को तापमान निर्धारित किया जा सके। अब हम ऊष्मा और अन्य संबंधित मात्राओं जैसे आंतरिक ऊर्जा और कार्य के अवधारणा का वर्णन करते हैं।

एक तंत्र के आंतरिक ऊर्जा के अवधारणा को समझना आसान है। हम जानते हैं कि प्रत्येक बड़े तंत्र में बहुत सारे अणु होते हैं। आंतरिक ऊर्जा बस इन अणुओं की गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के योग होती है। हमने पहले बताया था कि ऊष्मागतिकी में तंत्र के समग्र गतिज ऊर्जा के बारे में नहीं बताया जाता। आंतरिक ऊर्जा इसलिए तंत्र के द्रव्यमान केंद्र के संदर्भ में विराम में होने वाले अणुओं की गतिज और स्थितिज ऊर्जा के योग होती है। इसलिए, इसमें केवल अणुओं के यादृच्छिक गति से संबंधित (अक्रमित) ऊर्जा शामिल होती है। हम एक तंत्र की आंतरिक ऊर्जा को $U$ से नोट करते हैं।

हालांकि हमने अणुओं के चित्र को आंतरिक ऊर्जा के अर्थ को समझने के लिए आमंत्रित किया है, लेकिन ताप विज्ञान के लिहाज से, $U$ केवल एक प्रणाली के मैक्रोस्कोपिक चर है। आंतरिक ऊर्जा के महत्वपूर्ण बात यह है कि यह प्रणाली के अवस्था पर निर्भर करती है, न कि उस अवस्था को कैसे प्राप्त किया गया है। एक प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा $U$ एक ताप विज्ञान के ‘अवस्था चर’ का उदाहरण है - इसका मूल्य केवल प्रणाली के दिए गए अवस्था पर निर्भर करता है, न कि इतिहास अर्थात न कि उस अवस्था तक पहुंचने के लिए लिए गए ‘पथ’ पर। इसलिए, एक दिए गए गैस के द्रव्यमान की आंतरिक ऊर, इसकी अवस्था पर निर्भर करती है, जो दबाव, आयतन और तापमान के विशिष्ट मानों द्वारा वर्णित होती है। यह इस गैस की अवस्था कैसे बनी है इस पर निर्भर नहीं करती। दबाव, आयतन, तापमान और आंतरिक ऊर्जा प्रणाली (गैस) के ताप विज्ञान अवस्था चर हैं (अनुच्छेद 11.7 देखें)। यदि हम गैस में छोटे अंतराणुक बल को नगण्य मान दें, तो गैस की आंतरिक ऊर्जा इसके अणुओं के विभिन्न यादृच्छिक गतियों से संबंधित किनेटिक ऊर्जाओं के योग के बराबर होती है। हम अगले अध्याय में देखेंगे कि गैस में यह गति तकनीकी रूप से न केवल एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक आयतन के भीतर गति (अर्थात एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक गति) होती है; इसमें अणुओं के घूर्णन और विपतलन गति भी शामिल होती है (चित्र 11.3)।

चित्र 11.3 (a) गैस की आंतरिक ऊर्जा U, जब बॉक्स स्थिर होता है, उसके अणुओं की गतिज और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है। गतिज ऊर्जा के विभिन्न प्रकारों (अंतर्गत गति, घूर्णन गति, दोलन गति) को U में शामिल कर लिया जाता है। (b) यदि वही बॉक्स कुछ वेग के साथ एक साथ गति कर रहा हो, तो बॉक्स की गतिज ऊर जाने को U में शामिल नहीं किया जाता।

चित्र 11.4 ऊष्मा और कार्य एक प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के लिए दो भिन्न तरीके होते हैं। (a) ऊष्मा प्रणाली और वातावरण के बीच तापमान अंतर के कारण होने वाली ऊर्जा परिवर्तन होती है। (b) कार्य वह ऊर्जा परिवर्तन होता है जिसे कुछ तरीकों (जैसे कि एक वस्तु को उठाकर या उतारकर पिस्टन को गति देना) द्वारा लाया जाता है जो ऐसे तापमान अंतर के बिना होता है।

एक निकाय के आंतरिक ऊर्जा को कैसे बदला जा सकता है? सरलता के लिए, फिर से विचार करें कि निकाय एक निश्चित मात्रा के गैस के रूप में है जो एक सिलेंडर में एक गतिशील पिस्टन के साथ बंद है जैसा कि चित्र 11.4 में दिखाया गया है। अनुभव दर्शाता है कि गैस के अवस्था (और इसलिए इसके आंतरिक ऊर्जा) को बदलने के दो तरीके हो सकते हैं। एक तरीका है जिसमें सिलेंडर को गैस के तापमान से अधिक तापमान वाले एक शरीर के संपर्क में रखा जाता है। तापमान के अंतर के कारण ऊर्जा (ऊष्मा) गर्म शरीर से गैस में प्रवाहित होती है, जिसके परिणामस्वरूप गैस के आंतरिक ऊरजा में वृद्धि होती है। दूसरा तरीका है गैस पर कार्य करना, अर्थात पिस्टन को नीचे धकेलना, जो फिर से गैस के आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि के लिए अगाड़ ले जाता है। बेशक, इन दोनों चीज़ों के विपरीत दिशा में भी हो सकता है। वातावरण के तापमान निम्न होने पर, ऊष्मा गैस से वातावरण में प्रवाहित होती है। इसी तरह, गैस पिस्टन को ऊपर धकेल सकती है और वातावरण पर कार्य कर सकती है। शॉर्ट में, ऊष्मा और कार्य दो अलग-अलग तरीके हैं जिनके माध्यम से एक थर्मोडायनामिक निकाय की अवस्था बदली जा सकती है और इसके आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन हो सकता है।

ऊष्मा के अवधारणा को आंतरिक ऊर्जा के अवधारणा से ध्यानपूर्वक अलग कर लेना चाहिए। ऊष्मा निश्चित रूप से ऊर्जा होती है, लेकिन यह ऊर्जा के प्रवाह के रूप में होती है। यह केवल शब्दों का खेल नहीं है। यह अंतर मूलभूत रूप से महत्वपूर्ण है। एक थर्मोडायनामिक प्रणाली की स्थिति इसकी आंतरिक ऊर्जा द्वारा चिह्नित होती है, न कि ऊष्मा। एक कथन जैसे ‘एक गैस एक निश्चित स्थिति में एक निश्चित मात्रा में ऊष्मा के साथ होती है’ ऐसा अर्थहीन कथन है जैसे कि ‘एक गैस एक निश्चित स्थिति में एक निश्चित मात्रा में कार्य के साथ होती है’। विपरीत, ‘एक गैस एक निश्चित स्थिति में एक निश तरह की आंतरिक ऊर्जा के साथ होती है’ एक पूर्ण अर्थपूर्ण कथन है। इसी तरह, कथन ‘एक निश्चित मात्रा में ऊष्मा प्रणाली को प्रदान की गई है’ या ‘एक निश्चित मात्रा में कार्य प्रणाली द्वारा किया गया है’ भी पूर्ण अर्थपूर्ण हैं।

सारांशित करें, थर्मोडायनामिक्स में ऊष्मा और कार्य अवस्था चर नहीं होते। वे प्रणाली में आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के कारण प्रणाली में ऊर्जा प्रवाह के रूप में होते हैं, जो पहले से ही उल्लेख किए गए हैं, एक अवस्था चर है।

सामान्य भाषा में, हम ऊष्मा को आंतरिक ऊर्जा से गलतफहमी से जुड़े होते हैं। इनके बीच अंतर कभी-कभी बुनियादी भौतिकी किताबों में नगण्य रूप से अवहेलित कर दिया जाता है। लेकिन थर्मोडायनामिक्स के सही समझ के लिए, यह अंतर महत्वपूर्ण है।

11.5 ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम

हम देख चुके हैं कि एक तंत्र की आंतरिक ऊर्जा $U$ दो ऊर्जा परिवहन के माध्यमों के माध्यम से बदल सकती है: ऊष्मा और कार्य। मान लीजिए

$\Delta Q=$ तंत्र द्वारा परिवेश द्वारा आपूर्ति की गई ऊष्मा

$\Delta W=$ तंत्र द्वारा परिवेश पर किया गया कार्य

$\Delta U=$ तंत्र की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन

ऊर्जा संरक्षण के सामान्य सिद्धांत के अनुसार यह निम्नलिखित होता है

$$\Delta Q=\Delta U+\Delta W \tag{11.1}$$

अर्थात ऊर्जा $(\Delta Q)$ तंत्र को आपूर्ति करती है, जो आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि $(\Delta U)$ के लिए आंशिक रूप से और बाकी भाग परिवेश पर कार्य $(\Delta W)$ के लिए जाती है। समीकरण (11.1) को ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम कहा जाता है। यह केवल तंत्र के लिए ऊर्जा संरक्षण के सामान्य नियम का एक सामान्य रूप है, जिसमें ऊर्जा परिवेश से या तंत्र के लिए आपूर्ति या निकास को ध्यान में लिया जाता है।

हम एक अलग रूप में समीकरण (11.1) को लिख सकते हैं

$$ \begin{equation*} \Delta Q-\Delta W=\Delta U \tag{11.2} \end{equation*} $$

अब, तंत्र एक आरंभिक अवस्था से अंतिम अवस्था तक कई तरीकों से जा सकता है। उदाहरण के लिए, गैस की अवस्था $(P_{1}, V_{1})$ से $(P_{2}, V_{2})$ तक बदलने के लिए, हम सबसे पहले गैस के आयतन को $V_{1}$ से $V_{2}$ तक बदल सकते हैं, जबकि दबाव स्थिर रहे, अर्थात हम सबसे पहले अवस्था $(P_{1}, V_{2})$ तक जा सकते हैं और फिर गैस के दबाव को $P_{1}$ से $P_{2}$ तक बदल सकते हैं, जबकि आयतन स्थिर रहे, ताकि गैस $(P_{2}, V_{2})$ तक पहुंच जाए। वैकल्पिक रूप से, हम सबसे पहले आयतन को स्थिर रखकर फिर दबाव को स्थिर रखकर जा सकते हैं। क्योंकि $U$ एक अवस्था चर है, $\Delta U$ केवल आरंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है और गैस के एक अवस्था से दूसरी अवस्था तक जाने के पथ पर नहीं। हालांकि, $\Delta Q$ और $\Delta W$ आमतौर पर आरंभिक अवस्था से अंतिम अवस्था तक जाने के पथ पर निर्भर करते हैं। ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम से, समीकरण (11.2) के अनुसार, $\Delta Q-\Delta W$ का संयोजन हालांकि पथ अनुपालन रहित है। यह दिखाता है कि यदि एक तंत्र को एक प्रक्रिया के माध्यम से ले जाया जाता है जहां $\Delta U=0$ (उदाहरण के लिए, आदर्श गैस के तापीय समान विस्तार, अनुच्छेद 11.8 देखें),

$$ \Delta Q=\Delta W $$

अर्थात, प्रणाली में आई ऊष्मा प्रणाली द्वारा पर्यावरण पर कार्य करने में पूरी तरह से उपयोग कर दी जाती है।

यदि प्रणाली एक सिलेंडर में गैस है जिसमें एक गतिशील पिस्टन है, तो गैस पिस्टन को विस्थापित करके कार्य करती है। चूंकि बल दबाव और क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है, और क्षेत्रफल और विस्थापन के गुणनफल आयतन के बराबर होता है, एक स्थिर दबाव $P$ के खिलाफ प्रणाली द्वारा किया गया कार्य है

$$ \Delta W=P \Delta V $$

जहाँ $\Delta V$ गैस के आयतन में परिवर्तन है। इसलिए, इस स्थिति में समीकरण (11.1) द्वारा

$$ \begin{equation*} \Delta Q=\Delta U+P \Delta V \tag{11.3} \end{equation*} $$

दिया जाता है।

समीकरण (11.3) के एक अनुप्रयोग के रूप में, जब 1 ग्राम पानी के द्रव अवस्था से वाष्प अवस्था में परिवर्तन होता है, तो आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की गणना करें। पानी के मापित छिपी ऊष्मा का मान $2256 \mathrm{~J}/$g है। अर्थात, 1 ग्राम पानी के लिए $\Delta Q=2256 \mathrm{~J}$ होता है। वायुमंडलीय दबाव पर, 1 ग्राम पानी के द्रव अवस्था में आयतन $1 \mathrm{~cm}^{3}$ होता है और वाष्प अवस्था में $1671 \mathrm{~cm}^{3}$ होता है।

इसलिए,

$\Delta W=P\left(V_{\mathrm{g}}-V_{1}\right)=1.013 \times 10^{5} \times\left(1671 \times 10^{-6}\right)=169.2 \mathrm{~J}$

समीकरण (11.3) तब देता है

$\Delta U=2256-169.2=2086.8 \mathrm{~J}$

हम देखते हैं कि अधिकांश ऊष्मा तरल से वाष्प अवस्था में परिवर्तन के लिए पानी के आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि के लिए जाती है।

11.6 विशिष्ट ऊष्माधारिता

मान लीजिए कि एक ताप अंतर $\Delta T$ के लिए एक पदार्थ को ऊष्मा $\Delta Q$ प्रदान की जाती है जिसके कारण तापमान $T$ से $T+\Delta T$ तक बदल जाता है। हम एक पदार्थ की ऊष्माधारिता (अध्याय 10 देखें) को परिभाषित करते हैं:

$$ \begin{equation*} S=\frac{\Delta Q}{\Delta T} \tag{11.4} \end{equation*} $$

हम अपेक्षा करते हैं कि $\Delta Q$ और इसलिए ऊष्माधारिता $S$ पदार्थ के द्रव्यमान के समानुपाती होगी। इसके अतिरिक्त, यह तापमान पर भी निर्भर कर सकती है, अर्थात विभिन्न तापमानों पर एक इकाई तापमान वृद्धि के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा भिन्न हो सकती है। एक निश्चित विशिष्ट गुण और पदार्थ के मात्रा से स्वतंत्र चर को परिभाषित करने के लिए, हम ऊष्माधारिता $S$ को पदार्थ के द्रव्यमान $m$ (किग्रा में) से विभाजित करते हैं:

$$ \begin{equation*} s=\frac{S}{m}=\left(\frac{1}{m} \right)\frac{\Delta Q}{\Delta T} \tag{11.5} \end{equation*} $$

$$

$ s $ को पदार्थ की विशिष्ट ऊष्माधारिता के रूप में जाना जाता है। यह पदार्थ की प्रकृति और उसके तापमान पर निर्भर करता है। विशिष्ट ऊष्माधारिता की इकाई $ \mathrm{J}^{-1} \mathrm{~Kg}^{-1}{K}^{-1} $ होती है। यदि पदार्थ की मात्रा मोलों $ \mu $ के रूप में दी गई हो (जबकि $ m $ किग्रा में होता है), तो हम पदार्थ के प्रति मोल ऊष्माधारिता को परिभाषित कर सकते हैं:

$$ \begin{equation*} C=\frac{S}{\mu}=\frac{1}{\mu} \frac{\Delta Q}{\Delta T} \tag{11.6} \end{equ $$

$ C $ को पदार्थ की मोलर विशिष्ट ऊष्माधारिता के रूप में जाना जाता है। जैसे $ s $, $ C $ भी पदार्थ की मात्रा से स्वतंत्र होता है। $ C $ पदार्थ की प्रकृति, उसके तापमान और ऊष्मा प्रदान करने की स्थितियों पर निर्भर करता है। $ C $ की इकाई $ \mathrm{J} \mathrm{mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1} $ होती है। बाद में हम गैसों की विशिष्ट ऊष्माधारिता के संबंध में देखेंगे (जो कि विशिष्ट ऊष्माधारिता के संबंध में होता है), तो आगे के अध्ययन में $ C $ या $ s $ को परिभाषित करने के लिए अतिरिक्त स्थितियाँ आवश्यक हो सकती हैं। $ C $ की परिभाषा के विचार के पीछे यह बात है कि मोलर विशिष्ट ऊष्माधारिता के संबंध में सरल अनुमान लगाए जा सकते हैं।

सांख्यिकीय तालिका 11.1 में वायुमंडलीय दबाव और सामान्य कमरे के तापमान पर ठोस के मापित विशिष्ट और मोलर ऊष्माधारिता की सूची दी गई है।

हम अध्याय 12 में देखेंगे कि गैसों के विशिष्ट ऊष्माधारिता के अनुमान आमतौर पर प्रयोग के साथ सहमत होते हैं। हम वही ऊर्जा के समान वितरण के कानून का उपयोग कर सकते हैं जिसे वहां उपयोग किया जाता है ताकि ठोस के मोलर विशिष्ट ऊष्माधारिता के अनुमान लगाए जा सकें (अनुच्छेद 12.5 और 12.6 देखें)। मान लीजिए कि एक ठोस में $N$ परमाणु हैं, जो अपने माध्य स्थिति के चारों ओर झूलते हैं। एक आवर्ती निर्माण के एक आयाम में औसत ऊर्जा $2 \times 1 / 2 k_{B} T = k_{B} T$ होती है। तीन आयाम में औसत ऊर्जा $3 k_{B} T$ होती है। एक मोल ठोस के कुल ऊर्जा है

$$ U = 3 k_{B} T \times N_{A} = 3 R T \left( \because k_{B} T \times N_{A} = R \right) $$

अब, नियत दबाव पर, $\Delta Q = \Delta U + P \Delta V \cong$ $\Delta U$, क्योंकि ठोस के लिए $\Delta V$ नगण्य होता है। अतः,

$$ \begin{equation*} C = \frac{\Delta Q}{\Delta T} = \frac{\Delta U}{\Delta T} = 3 R \tag{11.7} \end{equation*} $$

तालिका 11.1 कमरे के तापमान और वायुमंडलीय दबाव पर कुछ ठोसों के विशिष्ट और मोलर ऊष्माधारिता

आकृति 11.1 के अनुसार, सामान्य तापमान पर प्रयोग के मापन मूल्य आमतौर पर अनुमानित मूल्य $3 \mathrm{R}$ के साथ सहमत होते हैं। (कार्बन एक अपवाद है।) यह सहमति निम्न तापमान पर टूट जाती है।

पानी की विशिष्ट ऊष्मा

ऊष्मा के पुराने मात्रक कैलोरी था। एक कैलोरी को पहले $1 \mathrm{~g}$ पानी के तापमान को $1^{\circ} \mathrm{C}$ बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा के बराबर माना जाता था। अधिक सटीक मापनों के बाद पाया गया कि पानी की विशिष्ट ऊष्मा तापमान के साथ थोड़ा बदलती है। आकृति 11.5 में 0 से $100^{\circ} \mathrm{C}$ के तापमान रेंज में इस विचलन को दिखाया गया है।

चित्र 11.5 तापमान के साथ पानी की विशिष्ट ऊष्मीय क्षमता के परिवर्तन।

ऊष्मा के सटीक परिभाषा के लिए, इसलिए इकाई तापमान अंतर को निर्दिष्ट करना आवश्यक था। एक कैलोरी को परिभाषित किया गया है जो $1 \mathrm{~g}$ पानी के तापमान को $14.5{ }^{\circ} \mathrm{C}$ से $15.5^{\circ} \mathrm{C}$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा है। क्योंकि ऊष्मा ऊर्जा के एक रूप है, इसलिए इकाई जूल, $J$ का उपयोग करना बेहतर है। SI इकाइयों में, पानी की विशिष्ट ऊष्मीय क्षमता $4186 \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$ है अर्थात $4.186 \mathrm{~J} \mathrm{~g}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$। ऊष्मा के इस तरह कहे जाने वाले यांत्रिक समतुल्य के रूप में परिभाषित किया गया है जो 1 कैलोरी ऊष्मा उत्पन्न करने के लिए आवश्यक कार्य की मात्रा है, वास्तव में यह केवल ऊर्जा के दो अलग-अलग इकाइयों (कैलोरी से जूल) के बीच एक रूपांतरण गुणक है। क्योंकि SI इकाइयों में हम ऊष्मा, कार्य या ऊर्जा के किसी भी रूप के लिए जूल इकाई का उपयोग करते हैं, इसलिए “यांत्रिक समतुल्य” शब्द अब अतिरिक्त हो गया है और उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है।

अति पहले बताया गया है कि विशिष्ट ऊष्माधारिता प्रक्रिया या ऊष्मा संचरण के अंतर्गत शर्तों पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, गैसों के लिए हम दो विशिष्ट ऊष्माधारिताएं परिभाषित कर सकते हैं: स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्माधारिता और स्थिर दबाव पर विशिष्ट ऊष्माधारिता। आदर्श गैस के लिए हमें एक सरल संबंध होता है।

$$ \begin{equation*} C_{p}-C_{V}=R \tag{11.8} \end{equation*} $$

जहाँ $C_{p}$ और $C_{v}$ क्रमशः स्थिर दबाव और आयतन पर आदर्श गैस की मोलर विशिष्ट ऊष्माधारिता है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है। संबंध की साबिती के लिए, हम गैस के 1 मोल के लिए समीकरण (11.3) से शुरू करते हैं:

$$ \Delta Q=\Delta U+P \Delta V $$

यदि $\Delta Q$ स्थिर आयतन पर अवशोषित होता है, तो $\Delta V=0$

$$ \begin{equation*} C_\mathrm{v}=\left({\frac{\Delta Q}{\Delta T}}\right)_\mathrm{v}=\left(\frac{\Delta U}{\Delta T}\right)_v=\left(\frac{\Delta U}{\Delta T}\right) \tag{11 $$

जहाँ अंतिम चरण में उपस्थित घटक $\mathrm{v}$ को छोड़ दिया गया है, क्योंकि आदर्श गैस के ऊर्जा $U$ केवल तापमान पर निर्भर करती है। (उपस्थित घटक वह राशि है जिसे निर्धारित रखा जाता है।) दूसरी ओर, यदि $\Delta Q$ स्थिर दबाव पर अवशोषित होता है,

$$C_p=\left(\frac{\Delta Q}{\Delta T}\right)_p=\left(\frac{\Delta U}{\Delta T}\right)_p+P\left(\frac{\Delta V}{\Delta T}\right)_p \tag{11.10}$$

पहले पद में $p$ अंतर्गत छोड़ दिया जा सकता है क्योंकि आदर्श गैस के $U$ केवल $T$ पर निर्भर करता है। अब, एक मोल आदर्श गैस के लिए

$$ P V=R T $$

जो देता है

$$ \begin{equation*} P \frac{\Delta V}{\Delta T_{\mathrm{p}}}=R \tag{11.11} \end{equation*} $$

समीकरण (11.9) से (11.11) अभीष्ट संबंध, समीकरण (11.8) को देते हैं।

11.7 ताप भौतिकी अवस्था चर और अवस्था समीकरण

ताप भौतिकी निकाय के प्रत्येक संतुलन अवस्था को कुछ मैक्रोस्कोपिक चरों के विशिष्ट मानों द्वारा पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है, जिन्हें अवस्था चर भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, गैस की संतुलन अवस्था दबाव, आयतन, तापमान और द्रव्यमान (और यदि गैसों के मिश्रण हो तो संघटन) के मानों द्वारा पूरी तरह से निर्धारित की जा सकती है। एक ताप भौतिकी निकाय हमेशा संतुलन में नहीं होता। उदाहरण के लिए, एक गैस जो निर्वात के खिलाफ मुक्त रूप से विस्तार करती है, एक संतुलन अवस्था नहीं है [चित्र 11.6(a)]। विस्तार के दौरान गैस के दबाव के वितरण असमान हो सकते हैं। इसी तरह, एक विस्फोटक रासायनिक अभिक्रिया कर रहे गैसों के मिश्रण (जैसे कि एक पेट्रोल वाष्प और हवा के मिश्रण को चमकदार चिमटे से जलाया जाए) एक संतुलन अवस्था नहीं होते हैं; फिर भी उनके तापमान और दबाव असमान होते हैं [चित्र 11.6(b)]। अंत में, गैस एक समान तापमान और दबाव प्राप्त करती है और अपने आसपास के साथ ऊष्मागतीय और यांत्रिक संतुलन में आ जाती है।

चित्र 11.6 (a) बॉक्स में विभाजन अचानक हटा दिया जाता है जिसके कारण गैस के मुक्त विस्तार के लिए जाता है। (b) एक गैस के मिश्रण में उत्प्रेरक रासायनिक प्रतिक्रिया के अधीन एक मिश्रण। दोनों स्थितियों में, गैस संतुलन में नहीं होती है और अवस्था चर द्वारा वर्णित नहीं की जा सकती है।

संक्षेप में, ऊष्मागतिक अवस्था चर प्रणालियों के संतुलन अवस्था का वर्णन करते हैं। विभिन्न अवस्था चर आवश्यक रूप से स्वतंत्र नहीं होते हैं। अवस्था चर के बीच संबंध को अवस्था समीकरण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आदर्श गैस के लिए अवस्था समीकरण आदर्श गैस संबंध होता है

$$ P V=\mu R T $$

एक निश्चित मात्रा के गैस के लिए अर्थात दिया गया $\mu$, तो इसलिए केवल दो स्वतंत्र चर होते हैं, कहें $P$ और $V$ या $T$ और $V$। निश्चित तापमान के लिए दबाव-आयतन वक्र को समतापी कहा जाता है। वास्तविक गैसों के अवस्था समीकरण अधिक जटिल हो सकते हैं।

ऊष्मागतिक अवस्था चर दो प्रकार के होते हैं: विस्तारित और सघनता। विस्तारित चर तंत्र के “आकार” को दर्शाते हैं। दबाव और तापमान जैसे सघनता चर ऐसे नहीं होते। एक विस्तारित और एक सघनता चर के बारे में निर्णय लेने के लिए, संतुलन में एक संबंधित तंत्र को देखें और इसे दो बराबर भागों में विभाजित कर दें। प्रत्येक भाग के लिए अपरिवर्तित रहने वाले चर सघनता होते हैं। जिन चरों के मान प्रत्येक भाग में आधा हो जाते हैं, वे विस्टारित होते हैं। उदाहरण के लिए, आंतरिक ऊर्जा $U$, आयतन $V$, कुल द्रव्यमान $M$ विस्तारित चर हैं। दबाव $P$, तापमान $T$, और घनत्व $\rho$ सघनता चर हैं। इस चर के वर्गीकरण का उपयोग ऊष्मागतिक समीकरणों की सांतत्य की जांच करने के लिए एक अच्छा अभ्यास होता है। उदाहरण के लिए, समीकरण में

$$ \Delta Q=\Delta U+P \Delta V $$

दोनों ओर की मात्राएँ विस्तारित होती हैं* (एक सघनता चर जैसे $P$ और एक विस्तारित मात्रा $\Delta V$ के गुणनफल विस्तारित होता है।)

11.8 ऊष्मागतिक प्रक्रम

11.8.1 अपसारी प्रक्रम

एक गैस के तापीय एवं यांत्रिक संतुलन में अपने परिवेश के साथ विचार करें। इस स्थिति में गैस का दबाव बाह्य दबाव के बराबर होता है और इसका तापमान अपने परिवेश के तापमान के समान होता है। मान लीजिए कि बाह्य दबाव अचानक कम हो जाता है (उदाहरण के लिए एक चलते हुए पिस्टन वाले बरतन में भार हटाकर)। पिस्टन बाहर की ओर तेजी से गति करेगा। प्रक्रम के दौरान, गैस ऐसे संतुलन अवस्था नहीं वाले अवस्थाओं से गुजरती है। इन असंतुलन अवस्थाओं में दबाव और तापमान के अच्छी तरह से परिभाषित मान नहीं होते। इसी तरह, यदि गैस और इसके परिवेश के बीच एक असीमित तापमान अंतर होता है, तो गैस में तेजी से ऊष्मा का आदान-प्रदान होता है जिसके दौरान गैस असंतुलन अवस्थाओं से गुजरती है। अंत में, गैस अपने परिवेश के तापमान और दबाव के बराबर तापमान और दबाव के साथ एक संतुलन अवस्था में पहुंच जाती है। अनुच्छेद 11.7 में उल्लेख किए गए एक गैस के वैक्यूम में मुक्त विस्तार और एक गैस मिश्रण के विस्फोटक रासायनिक अभिक्रिया भी ऐसे उदाहरण हैं जहां प्रणाली असंतुलन अवस्थाओं से गुजरती है।

एक तंत्र के असंतुलित अवस्थाएँ संभालना कठिन होता है। इसलिए, एक आदर्शीकृत प्रक्रिया के बारे में कल्पना करना सुविधाजनक होता है, जहाँ प्रत्येक चरण में तंत्र एक संतुलित अवस्था होता है। ऐसी[^2] प्रक्रिया सिद्धांत रूप से अनंत धीरे धीरे होती है, इसलिए इसे अर्द्धस्थैतिक (अर्थात लगभग स्थैतिक) कहा जाता है। तंत्र के चर विशिष्टता $(P, T, V)$ इतनी धीरे बदलती है कि यह अपने आसपास के वातावरण के साथ तापीय और यांत्रिक संतुलन में रहता है। एक अर्द्धस्थैतिक प्रक्रिया में, प्रत्येक चरण में तंत्र और बाहरी दबाव के बीच अंतर अत्यंत छोटा होता है। तापमान के बीच अंतर के लिए भी ऐसा ही होता है (चित्र 11.7)। एक गैस को अवस्था $(P, T)$ से दूसरी अवस्था $\left(P^{\prime}, T^{\prime}\right)$ तक एक अर्द्धस्थैतिक प्रक्रिया के माध्यम से ले जाने के लिए, हम बाहरी दबाव को बहुत छोटी मात्रा में बदलते हैं, तंत्र को अपने आसपास के वातावरण के साथ दबाव के संतुलन के लिए अनुमति देते हैं और प्रक्रिया को अनंत धीरे धीरे चलाते रहते हैं जब तक तंत्र दबाव $P^{\prime}$ को प्राप्त कर ले। इसी तरह, तापमान को बदलने के लिए हम तंत्र और आसपास के तापमान भंडार के बीच अत्यंत छोटा अंतर प्रस्तुत करते हैं और धीरे धीरे विभिन्न तापमान $T$ से $T^{\prime}$ तक चुने गए भंडारों के साथ तंत्र को तापमान $T^{\prime}$ तक पहुँचाते हैं।

चित्र 11.7 एक अप्रायोजित प्रक्रम में, परिवेश के तापमान और बाहरी दबाव केवल तापमान और दबाव के तंत्र के साथ अपरिमित अंतर होते हैं।

एक अप्रायोजित प्रक्रम निश्चित रूप से एक अपेक्षाकृत रचना है। व्यावहारिक रूप से, ऐसे प्रक्रम जो बहुत धीमे होते हैं और पिस्टन के तेज गति के बिना होते हैं, बड़े तापमान अंतर आदि नहीं होते, एक आदर्श अप्रायोजित प्रक्रम के अच्छे समान होते हैं। अब से हम केवल अप्रायोजित प्रक्रमों के बारे में बात करेंगे, अपवाद के अतिरिक्त।

एक प्रक्रम जिसमें तंत्र के तापमान को समय के साथ नियत रखा जाता है, एक समतापी प्रक्रम कहलाता है। एक गैस के एक धातु के सिलेंडर में विस्तार जो एक बड़े तापमान के भंडार में रखा गया है, एक समतापी प्रक्रम का उदाहरण है। (तापमान के भंडार से तंत्र में ऊष्मा के स्थानांतरण के कारण भंडार के तापमान में कोई महत्वपूर्ण प्रभाव नहीं होता, क्योंकि इसकी बहुत बड़ी ऊष्माधारी क्षमता होती है।) समदाबी प्रक्रमों में दबाव नियत रहता है जबकि समआयतनिक प्रक्रमों में आयतन नियत रहता है। अंत में, यदि तंत्र परिवेश से अलग हो जाता है और तंत्र और परिवेश के बीच कोई ऊष्मा प्रवाह नहीं होता, तो प्रक्रम अदिएबिक कहलाता है। इन विशेष प्रक्रमों के परिभाषाओं को तालिका 11.2 में सारांशित किया गया है।

सारणी 11.2 कुछ विशेष ऊष्मागतिक प्रक्रम

हम अब इन प्रक्रमों को विस्तार से विचार करते हैं :

11.8.2 एकांत प्रक्रम

एकांत प्रक्रम ( $T$ निश्चित) के लिए, आदर्श गैस समीकरण द्वारा

$$ P V=\text { अचर } $$

अर्थात, एक निश्चित द्रव्यमान के गैस के दबाव उसके आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है। यह केवल बॉयल के नियम के बराबर है।

मान लीजिए एक आदर्श गैस एकांत रूप से (तापमान $T$ पर) अपने प्रारंभिक अवस्था $\left(P_{1}, V_{1}\right)$ से अंतिम अवस्था $\left(P_{2}, V_{2}\right)$ तक जाती है। किसी भी मध्यवर्ती चरण में दबाव $P$ और आयतन $V$ से $V+\Delta V(\Delta V$ छोटा होता है)

$$ \Delta W=P \Delta V $$

$(\Delta V \rightarrow 0)$ लेकर पूरे प्रक्रम में राशि $\Delta W$ को जोड़ते हुए,

$$ \begin{align*}

$$ W & =\int_{V_{1}}^{V_{2}} P \mathrm{~d} V & =\mu R T \int_{V_{1}}^{V_{2}} \frac{\mathrm{~d} V}{V}=\mu R T \quad \operatorname{In} \frac{V_{2}}{V_{1}} \tag{11.12} \end{align*} $$

जहाँ दूसरे कदम में हम आदर्श गैस के समीकरण $P V=\mu R T$ का उपयोग करते हैं और स्थिरांक को समाकल से बाहर ले लेते हैं। आदर्श गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है। अतः, आदर्श गैस के लिए एक समतापी प्रक्रम में आंतरिक ऊर्जा में कोई परिवर्तन नहीं होता। ताप विज्ञान का प्रथम कानून तब यह बताता है कि गैस को दिया गया ताप गैस द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है : $Q=W$। समीकरण (11.12) से ध्यान दें कि $V_{2}>V_{1}$ के लिए $W>0$; और $V_{2}<V_{1}$ के लिए $W<0$। अर्थात, एक समतापी विस्तार में गैस ताप अवशोषित करती है और कार्य करती है, जबकि एक समतापी संपीड़न में वातावरण द्वारा गैस पर कार्य किया जाता है और ताप विस्फोटित किया जाता है।

11.8.3 अनुवाहनी प्रक्रम

एक अनुवाहनी प्रक्रम में, प्रणाली आसपास के वातावरण से अनुवाहनी होती है और अवशोषित या विस्फोटित ताप शून्य होता है। समीकरण (11.1) से हम देख सकते हैं कि गैस द्वारा किया गया कार्य इसकी आंतरिक ऊर्जा में कमी के लिए जिम्मेदार होता है (और इसलिए आदर्श गैस के लिए इसके तापमान में कमी होती है)। हम बिना साबित किए इस तथ्य का उल्लेख करते हैं (जो आप उच्च शिक्षा के कोर्स में सीखेंगे) कि आदर्श गैस के अनुवाहनी प्रक्रम के लिए।

$$ \begin{equation*} P V^{\gamma}=\text { const } \tag{11.13} \end{equation*} $$

जहाँ $\gamma$ दाब के स्थिर रहते हुए और आयतन के स्थिर रहते हुए विशिष्ट ऊष्माओं के अनुपात (सामान्य या मोलर) होता है।

$$ \gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}} $$

इसलिए, यदि एक आदर्श गैस अपने अवस्था के अपरिवर्तनीय रूप से बदलती है तो $\left(P_{1}, V_{1}\right)$ से $\left(P_{2}, V_{2}\right)$ तक:

$$ \begin{equation*} P_{1} V_{1}^{\gamma}=P_{2} V_{2}^{\gamma} \tag{11.14} \end{equation*} $$

चित्र 11.8 एक आदर्श गैस के दो अपरिवर्तनीय प्रक्रमों के लिए $P$ - $V$ वक्रों को दर्शाता है जो दो समतापी प्रक्रमों को जोड़ते हैं।

हम जैसे पहले, एक आदर्श गैस के अवस्था के बदले जाने वाले कार्य की गणना कर सकते हैं जो अवस्था $\left(P_{1}, V_{1}, T_{1}\right)$ से अवस्था $\left(P_{2}, V_{2}, T_{2}\right)$ तक होती है।

$$ \begin{aligned}

W=\int_{V_1}^{V_2} P \mathrm{~d} V \end{aligned} $$

$$ \begin{aligned} =\text { constant } \times \int_{V_1}^{V_2} \frac{\mathrm{d} V}{V^{\gamma}}=\text { constant } \times\left.\frac{V^{-\gamma+1}}{1-\gamma}\right|_2 \end{aligned} $$

$$ \begin{align*} \frac{\text { constant }}{(1-\gamma)} \times\left[\frac{1}{V_2^{\gamma-1}}-\frac{1}{V_1^{\gamma-1}}\right] \tag{11.15} \end{align*} $$

समीकरण (11.14) से, स्थिरांक $P_{1} V_{1}^{\gamma}$ या $P_{2} V_{2}^{\gamma}$ होता है

$$ \begin{align*} W & =\frac{1}{1-\gamma} \frac{P_{2} V_{2}^{\gamma}}{V_{2}^{\gamma-1}}-\frac{P_{1} V_{1}^{\gamma}}{V_{1}^{\gamma-1}} \\ & =\frac{1}{1-\gamma}\left[P_{2} V_{2}-P_{1} V_{1}\right]=\frac{\mu R\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\gamma-1} \tag{11.16} \end{align*} $$

अपेक्षित रूप से, यदि गैस एक अनुवर्ती प्रक्रम में कार्य करती है $(W>0)$, समीकरण (11.16) से $T_{2}<T_{1}$. दूसरी ओर, यदि गैस पर कार्य किया जाता है $(W<0)$, तो हमें $T_{2}>T_{1}$ प्राप्त होता है, अर्थात गैस के तापमान में वृद्धि होती है।

11.8.4 आयतन अचर प्रक्रम

एक आइसोकोरिक प्रक्रम में, $V$ स्थिर रहता है। कोई कार्य गैस पर या गैस द्वारा नहीं किया जाता। समीकरण (11.1) से, गैस द्वारा अवशोषित ऊष्मा पूरी तरह से उसकी आंतरिक ऊर्जा और तापमान में परिवर्तन के लिए जाती है। एक निश्चित मात्रा की ऊष्मा के लिए तापमान में परिवर्तन गैस के निश्चित आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा द्वारा निर्धारित किया जाता है।

11.8.5 निश्चित दबाव प्रक्रम

एक निश्चित दबाव प्रक्रम में, $P$ स्थिर रहता है। गैस द्वारा किया गया कार्य है

$$ \begin{equation*} W=P\left(V_{2}-V_{1}\right)=\mu R\left(T_{2}-T_{1}\right) \tag{11.17} \end{equation*} $$

क्योंकि तापमान बदलता है, आंतरिक ऊर्जा भी बदलती है। अवशोषित ऊष्मा का एक भाग आंतरिक ऊर्जा में वृद्धि के लिए और एक भाग कार्य करने के लिए जाता है। एक निश्चित मात्रा की ऊष्मा के लिए तापमान में परिवर्तन गैस के निश्चित दबाव पर विशिष्ट ऊष्मा द्वारा निर्धारित किया जाता है।

11.8.6 चक्रीय प्रक्रम

एक चक्रीय प्रक्रम में, प्रणाली अपने प्रारंभिक अवस्था में वापस आ जाती है। क्योंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था चर है, चक्रीय प्रक्रम में $\Delta U=0$ होता है। समीकरण (11.1) से, कुल अवशोषित ऊष्मा प्रणाली द्वारा किए गए कार्य के बराबर होती है।

11.9 ऊष्मागतिकी का द्वितीय नियम

ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को दर्शाता है। सामान्य अनुभव यह दिखाता है कि कई संभावित प्रक्रम जो प्रथम नियम के अनुसार पूर्णतः संभव हो सकते हैं, लेकिन वास्तव में कभी नहीं देखे गए हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी व्यक्ति एक मेज पर रखे गए किताब के अपने आप ऊपर उछल जाने को नहीं देखा है। लेकिन ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अतिरिक्त केवल एक सीमा होने पर ऐसा घटना संभव हो सकती है। मेज अपने आप शीतल हो सकती है और अपनी आंतरिक ऊर्जा के कुछ हिस्से को किताब के यांत्रिक ऊर्जा में बदल सकती है, जिसके कारण किताब ऊपर उछल सकती है और अपनी ऊर्जा के बराबर गुरुत्वीय ऊर्जा प्राप्त कर सकती है। लेकिन ऐसा कभी नहीं होता है। स्पष्ट रूप से, कुछ अतिरिक्त मूल सिद्धांत प्रकृति के इस घटना को रोकता है, जो ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुरूप होता है। यह सिद्धांत, जो प्रथम ऊष्मागतिकी नियम के अनुरूप घटनाओं को रोकता है, ऊष्मागतिकी का द्वितीय नियम कहलाता है।

ऊष्मागतिकी का द्वितीय नियम एक ऊष्मीय इंजन की दक्षता और एक रेफ्रिजरेटर के प्रदर्शन गुणांक के मूलभूत सीमा को दर्शाता है। सरल शब्दों में, यह कहता है कि एक ऊष्मीय इंजन की दक्षता कभी एक नहीं हो सकती। एक रेफ्रिजरेटर के लिए, द्वितीय नियम कहता है कि प्रदर्शन गुणांक कभी अपरिमित नहीं हो सकता। निम्नलिखित दो कथन, जो केल्विन और प्लैंक द्वारा एक पूर्ण ऊष्मीय इंजन की संभावना को नकारात्मक करते हुए और क्लाउजियस द्वारा एक पूर्ण रेफ्रिजरेटर या ऊष्मीय पंप की संभावना को नकारात्मक करते हुए, इन अवलोकनों का संक्षिप्त सार हैं।

Kelvin-Planck कथन

कोई प्रक्रिया नहीं हो सकती जिसका एकमात्र परिणाम एक भंडार से ऊष्मा के अवशोषण और ऊष्मा के पूर्ण रूप से कार्य में परिवर्तन हो।

Clausius कथन

कोई प्रक्रिया नहीं हो सकती जिसका एकमात्र परिणाम एक ठंडे वस्तु से गर्म वस्तु की ओर ऊष्मा के परिवहन हो। यह साबित किया जा सकता है कि उपरोक्त दोनों कथन पूरी तरह समान हैं।

11.10 उत्क्रमणीय और अउत्क्रमणीय प्रक्रियाएं

कल्पना करें कि कुछ प्रक्रिया में एक थर्मोडायनामिक प्रणाली एक प्रारंभिक अवस्था $i$ से एक अंतिम अवस्था $f$ तक जाती है। प्रक्रिया के दौरान प्रणाली आसपास के वातावरण से ऊष्मा $Q$ अवशोषित करती है और उस पर कार्य $W$ करती है। क्या हम इस प्रक्रिया को उत्क्रमित कर सकते हैं और प्रणाली और वातावरण को अपने प्रारंभिक अवस्थाओं में ले जा सकते हैं बिना कहीं अन्य प्रभाव हो? अनुभव सुझाव देता है कि अधिकांश प्रक्रियाओं में यह संभव नहीं है। प्रकृति की स्वतंत्र प्रक्रियाएं अउत्क्रमणीय होती हैं। कई उदाहरण दिए जा सकते हैं। ओवन में एक बरतन के आधार का ताप उसके अन्य भागों के ताप से अधिक होता है। जब बरतन हटा लिया जाता है, तो ऊष्मा आधार से अन्य भागों की ओर स्थानांतरित होती है, जिससे बरतन एक समान ताप पर पहुंच जाता है (जो बाद में वातावरण के ताप के समान हो जाता है)। यह प्रक्रिया उत्क्रमित नहीं की जा सकती; बरतन के किसी भाग के ताप आत्मसात नहीं हो सकता है और आधार को गर्म कर सकता है। यह द्वितीय नियम के उल्लंघन होगा यदि ऐसा होता। गैस के मुक्त प्रसार अउत्क्रमणीय होता है। पेट्रोल और हवा के मिश्रण को चमकदार बिंदु द्वारा जलाने के अग्रिम अभिक्रिया को उत्क्रमित नहीं किया जा सकता। रसोई में गैस सिलेंडर से रिस रहे रसोई गैस के अणु पूरे कमरे में फैल जाते हैं। फैलने की प्रक्रिया आत्मसात नहीं हो सकती और गैस को सिलेंडर में वापस ले जा सकती है। एक तरल के ताप असमान वातावरण के साथ थर्मल संपर्क में होने पर उसमें घुमाव देने से कार्य के रूप में ऊष्मा में परिवर्तन होता है जो वातावरण की आंतरिक ऊर्जा को बढ़ा देता है। यह प्रक्रिया ठीक उत्क्रमित नहीं की जा सकती; अन्यथा यह ऊष्मा के पूर्ण रूप से कार्य में परिवर्तन के बराबर होता, जो द्वितीय नियम के उल्लंघन होता। अउत्क्रमणीयता प्रकृति में एक नियम है न कि अपवाद।

अप्रतिस्थापनीयता मुख्य रूप से दो कारणों से उत्पन्न होती है: एक, कई प्रक्रम (जैसे एक मुक्त प्रसार या विस्फोटक रासायनिक प्रतिक्रिया) प्रणाली को असंतुलित अवस्था में ले जाते हैं; दो, अधिकांश प्रक्रम घर्षण, आसंत्राव और अन्य विस्तारी तत्वों (जैसे, गतिशील वस्तु जो रुक जाती है और अपनी यांत्रिक ऊर्जा को फर्श और वस्तु को ऊष्मा के रूप में खो देती है; एक तरल में घूमती हुई चाकु के घूमना आसंत्राव के कारण रुक जाती है और तरल की आंतरिक ऊर्जा में यांत्रिक ऊर्जा के संगत वृद्धि के साथ अपनी यांत्रिक ऊर्जा खो देती है) के कारण होते हैं। क्योंकि विस्तारी प्रभाव सभी जगह मौजूद होते हैं और उन्हें न्यूनतम किया जा सकता है लेकिन पूरी तरह से निष्कर्षित नहीं किया जा सकता है, ज्यादातर प्रक्रम जो हम सामना करते हैं अप्रतिस्थापनीय होते हैं।

एक ऊष्मागतिक प्रक्रम (अवस्था $i \rightarrow$ अवस्था $f$ ) यदि प्रक्रम को वापस ले जाया जा सके तो विपरीत अवस्था में प्रणाली और परिवेश अपनी मूल अवस्थाओं में लौट आएं और बाहर के संसार में कहीं भी अन्य परिवर्तन न हों, तो वह प्रक्रम प्रतिस्थापनीय कहलाता है। पूर्ववर्ती चर्चा से, एक प्रतिस्थापनीय प्रक्रम एक आदर्शी धारणा है। एक प्रक्रम केवल तभी प्रतिस्थापनीय होता है जब यह अपेक्षाकृत स्थैतिक (प्रत्येक चरण में प्रणाली परिवेश के साथ संतुलन में हो) हो और विस्तारी प्रभाव न हों। उदाहरण के लिए, एक आदर्श गैस के अपेक्षाकृत स्थैतिक तापीय विस्तार के रूप में एक सिलेंडर में घर्षण रहित गतिशील पिस्टन के साथ एक प्रक्रम प्रतिस्थापनीय प्रक्रम होता है।

क्यों व्युत्क्रमण ताप भौतिकी में एक मूलभूत अवधारणा है? जैसा कि हम देख चुके हैं, ताप भौतिकी के एक चिंता ताप के ऊर्जा में बदलने की दक्षता है। ताप भौतिकी के द्वितीय नियम एक पूर्ण ऊर्जा इंजन के संभावना को निषेध करता है जिसकी दक्षता $100 %$ हो। लेकिन दो ताप भंडारों $T_{1}$ और $T_{2}$ के बीच काम करने वाले एक ताप इंजन की सबसे उच्च दक्षता क्या हो सकती है? यह बात निकलती है कि एक ताप इंजन जो आदर्श व्युत्क्रमण प्रक्रियाओं पर आधारित होता है, संभव उच्चतम दक्षता प्राप्त करता है। अन्य सभी इंजन जो किसी भी तरह से अव्युत्क्रमण के संबंध में होते हैं (जैसा कि व्यावहारिक इंजन के मामले में होता है) इस सीमा दक्षता से कम होते हैं।

11.11 कार्नो इंजन

मान लीजिए कि हमें एक गरम भंडार $T_{1}$ और एक ठंडा भंडार $T_{2}$ है। दो भंडारों के बीच काम करने वाले एक ताप इंजन की सबसे उच्च दक्षता क्या हो सकती है और उच्चतम दक्षता प्राप्त करने के लिए कौन से प्रक्रिया के चक्र का अपनाना चाहिए? फ्रांसीसी अभियंता सादी कार्नो ने 1824 में इस प्रश्न को पहले विचार किया। दिलचस्प बात यह है कि कार्नो ने सही उत्तर तक पहुंच गए हैं, भले ही ताप और ताप भौतिकी के मूल अवधारणाओं के आधार अभी ठोस रूप से स्थापित नहीं थे।

हम अपेक्षा करते हैं कि दो तापमानों के बीच कार्य करने वाला आदर्श इंजन एक उत्कृत इंजन होगा। अपुनियोग्यता (Irreversibility) पूर्ववर्ती अनुच्छेद में उल्लेख किया गया है, जो ऊष्मीय अपसार (dissipative effects) से संबंधित होती है और दक्षता को कम करती है। एक प्रक्रिया उत्कृत होती है यदि वह अपसारी (quasi-static) और ऊष्मीय अपसार रहित (non-dissipative) हो। हमने देखा है कि एक प्रक्रिया अपसारी नहीं होती यदि तंत्र और भंडार के बीच अंतिम तापमान अंतर हो। इसका अर्थ है कि दो तापमानों के बीच कार्य करने वाले एक उत्कृत ऊष्मीय इंजन में, ऊष्मा को गर्म भंडार से तापमान $T_{1}$ पर समतापीय रूप से अवशोषित किया जाना चाहिए और ठंडे भंडार में समतापीय रूप से विसरित किया जाना चाहिए। हम इस प्रकार एक उत्कृत ऊष्मीय इंजन के दो कदम पहचान लेते हैं: तापमान $T_{1}$ पर एक समतापीय प्रक्रिया जो गर्म भंडार से ऊष्मा $Q_{1}$ अवशोषित करती है, और तापमान $T_{2}$ पर एक अन्य समतापीय प्रक्रिया जो ठंडे भंडार में ऊष्मा $Q_{2}$ विसरित करती है। एक चक्र पूरा करने के लिए, हमें तंत्र को तापमान $T_{1}$ से $T_{2}$ तक ले जाना होगा और फिर तापमान $T_{2}$ से $T_{1}$ तक वापस ले जाना होगा। इस उद्देश्य के लिए हमें कौन सी प्रक्रियाओं का उपयोग करना चाहिए जो उत्कृत हों? थोड़ा विचार करने पर स्पष्ट होता है कि हम इन उद्देश्यों के लिए केवल उत्कृत अदियाबैटिक प्रक्रियाओं का उपयोग कर सकते हैं, जिनमें कोई भी भंडार से ऊष्मा प्रवाह नहीं होता। यदि हम किसी अन्य प्रक्रिया का उपयोग करते हैं जो अदियाबैटिक नहीं है, जैसे कि एक आयोगिक प्रक्रिया (isochoric process), तंत्र को एक तापमान से दूसरे तापमान तक ले जाने के लिए हमें तापमान श्रेणी $T_{2}$ से $T_{1}$ तक के लिए एक श्रृंखला भंडारों की आवश्यकता होगी ताकि प्रत्येक चरण में प्रक्रिया अपसारी हो। (याद रखें कि एक प्रक्रिया के लिए अपसारी और उत्कृत होने के लिए, तंत्र और भंडार के बीच कोई अंतिम तापमान अंतर नहीं होना चाहिए।) लेकिन हम एक उत्कृत इंजन के बारे में विचार कर रहे हैं जो केवल दो तापमानों के बीच कार्य करता है। अतः अदियाबैटिक प्रक्रियाएं इस इंजन में तंत्र के तापमान को $T_{1}$ से $T_{2}$ तक और $T_{2}$ से $T_{1}$ तक बदलने के लिए आवश्यक होंगी।

चित्र 11.9 एक ऊष्मा इंजन के लिए कार्नो चक्र, जिसका कार्य करने वाला पदार्थ आदर्श गैस है।

दो तापमानों के बीच कार्य करने वाला उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन को कार्नो इंजन कहते हैं। हमने ऐसे इंजन के लिए एक चक्र के रूप में निम्नलिखित कदमों के अनुक्रम के लिए तर्क दिया है, जिसे कार्नो चक्र कहते हैं, जो चित्र 11.9 में दिखाया गया है। हमने कार्नो इंजन के कार्य करने वाले पदार्थ को आदर्श गैस मान लिया है।

(a) कदम $1 \rightarrow 2$ गैस का ऊष्माग्राही विस्तार जिसके द्वारा गैस की स्थिति $\left(P_{1}, V_{1}, T_{1}\right)$ से $\left(P_{2}, V_{2}, T_{1}\right)$ तक पहुँचती है।

गैस द्वारा $T_{1}$ तापमान के रिजर्वॉयर से अवशोषित ऊष्मा $\left(Q_{1}\right)$ समीकरण (11.12) द्वारा दी गई है। यह गैस द्वारा पर्यावरण पर किए गए कार्य $\left(W_{1 \rightarrow 2}\right)$ के बराबर भी है।

$$ \begin{equation*} W_{1 \rightarrow 2}=Q_{1}=\mu R T_{1} \ln \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) \tag{11.18} \end{equation*} $$

(b) चरण $2 \rightarrow 3$ गैस के ऐडियाबैटिक विस्तार से $\left(P_{2}, V_{2}, T_{1}\right)$ से $\left(P_{3}, V_{3}, T_{2}\right)$ तक। गैस द्वारा किया गया कार्य, समीकरण (11.16) का उपयोग करके, निम्नलिखित है:

$$ \begin{equation*} W_{2 \rightarrow 3}=\frac{\mu R\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\gamma-1} \tag{11.19} \end{equation*} $$

(c) चरण $3 \rightarrow 4$ गैस के आइसोथर्मल संपीड़न से $\left(P_{3}, V_{3}, T_{2}\right)$ से $\left(P_{4}, V_{4}, T_{2}\right)$ तक।

गैस द्वारा $T_{2}$ तापमान के ताप भंडार में छोड़े गए ऊष्मा $\left(Q_{2}\right)$ समीकरण (11.12) द्वारा दिया गया है। यह उसी कार्य $\left(W_{3 \rightarrow 4}\right)$ के बराबर है जो वातावरण द्वारा गैस पर किया गया है।

$$ \begin{equation*} W_{3 \rightarrow 4}=Q_{2}=\mu R T_{2} \ln \left(\frac{V_{3}}{V_{4}} \right)\tag{11.20} \end{equation*} $$

(d) चरण $4 \rightarrow 1$ गैस के ऐडियाबैटिक संपीड़न से $\left(P_{4}, V_{4}, T_{2}\right)$ से $\left(P_{1}, V_{1}, T_{1}\right)$ तक।

कार्बन इंजन की दक्षता $\eta$ है

$$ \eta=\frac{W}{Q_{1}}=1-\frac{Q_{2}}{Q_{1}} $$

$$ =1-\left(\frac{T_2}{T_1}\right) \frac{\operatorname{In}\left(\frac{V_3}{V_4}\right)}{\operatorname{In}\left(\frac{V_2}{V_1}\right)}$$

अब कार्य के चरण $2 \rightarrow 3$ एक अनुप्रस्थ प्रक्रम है,

$$ T_{1} V_{2}^{\gamma-1}=T_{2} V_{3}^{\gamma-1} $$

$$\text { अर्थात } \frac{V_2}{V_3}=\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^{1 /(\gamma-1) } \tag{11.24}$$

उसी तरह, कार्य के चरण $4 \rightarrow 1$ एक अनुप्रस्थ प्रक्रम है

$$ \begin{align*}

$$ & T_{2} V_{4}^{\gamma-1}=T_{1} V_{1}^{\gamma-1} \ & \text { अर्थात } \frac{V_{1}}{V_{4}}={\left(\frac{T}{T_{1}}\right)}^{1 / \gamma-1} \tag{11.25} \end{align*} $$

समीकरण (11.24) और (11.25) से,

$$ \begin{equation*} \frac{V_{3}}{V_{4}}=\frac{V_{2}}{V_{1}} \tag{11.26} \end{equation*} $$

समीकरण (11.26) को समीकरण (11.23) में उपयोग करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$$ \begin{equation*} \eta=1-\frac{T_{2}}{T_{1}} \text { (कर्नोट इंजन) } \tag{11.27} \end{equation*} $$

हम पहले ही देख चुके हैं कि कर्नोट इंजन एक उत्कृत इंजन होता है। वास्तव में, यह दो अलग-अलग तापमान वाले ताप भंडारों के बीच कार्य करने वाले एकमात्र उत्कृत इंजन है। चित्र 11.9 में दिए गए कर्नोट चक्र के प्रत्येक चरण को उलट सकते हैं। इसका अर्थ है कि हम $T_{2}$ तापमान वाले ठंडे ताप भंडार से $Q_{2}$ ऊष्मा लेंगे, प्रणाली पर कार्य $W$ करेंगे और $Q_{1}$ ऊष्मा गर्म ताप भंडार में स्थानांतरित करेंगे। यह एक उत्कृत रेफ्रिजरेटर होगा।

हम अब एक महत्वपूर्ण परिणाम (कभी-कभी कर्नोट के प्रमेय के रूप में जाना जाता है) स्थापित करते हैं कि (a) दो दिए गए तापमान $T_{1}$ और $T_{2}$ वाले गर्म और ठंडे ताप भंडार के बीच कार्य करते हुए, कोई इंजन कर्नोट इंजन के दक्षता से अधिक दक्षता नहीं रख सकता और (b) कर्नोट इंजन की दक्षता कार्य करने वाले पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती।

To prove the result (a), imagine a reversible (Carnot) engine $R$ and an irreversible engine $I$ working between the same source (hot reservoir) and sink (cold reservoir). Let us couple the engines, $I$ and $R$, in such a way so that $I$ acts like a heat engine and $R$ acts as a refrigerator. Let $I$ absorb heat $Q_{1}$ from the source, deliver work $W^{\prime}$ and release the heat $Q_{1}-W^{\prime}$ to the sink. We arrange so that $R$ returns the same heat $Q_{1}$ to the source, taking heat $Q_{2}$ from the sink and requiring work $W=Q_{1}-Q_{2}$ to be done on it. Now suppose $\eta_{\mathrm{R}}<\eta_{\mathrm{I}}$ i.e. if $R$ were to act as an engine it would give less work output than that of $I$ i.e. $W<W^{\prime}$ for a given $Q_{1}$. With $R$ acting like a refrigerator, this would mean $Q_{2}=Q_{1}-W>Q_{1}-W^{\prime}$. Thus, on the whole, the coupled $I-R$ system extracts heat $\left(Q_{1}-W\right)-\left(Q_{1}-W^{\prime}\right)=\left(W^{\prime}-W\right)$ from the cold reservoir and delivers the same amount of work in one cycle, without any change in the source or anywhere else. This is clearly against the Kelvin-Planck statement of the Second Law of Thermodynamics. Hence the assertion $\eta_{\mathrm{I}}>\eta_{\mathrm{R}}$ is wrong. No engine can have efficiency greater than that of the Carnot engine. A similar argument can be constructed to show that a reversible engine with one particular substance cannot be more efficient than the one using another substance. The maximum efficiency of a Carnot engine given by Eq. (11.27) is independent of the nature of the system performing the Carnot cycle of operations. Thus we are justified in using an ideal gas as a system in the calculation of efficiency $\eta$ of a Carnot engine. The ideal gas has a simple equation of state, which allows us to readily calculate $\eta$, but the final result for $\eta$, [Eq. (11.27)], is true for any Carnot engine.

चित्र 11.10 एक अव्यापारी इंजन (I) एक व्यापारी रेफ्रिजरेटर (R) के साथ जुड़ा हुआ है। यदि W ′ > W, तो यह अंतर W′ – W के रूप में ठंडे स्रोत से ऊष्मा के निकाले और इसके पूर्ण रूप से कार्य में परिवर्तन के बराबर होगा, जो द्वितीय नियम के विरोधाभास होगा।

इस अंतिम टिप्पणी से स्पष्ट होता है कि कर्नोट चक्र में,

$$ \begin{equation*} \frac{Q_{1}}{Q_{2}}=\frac{T_{1}}{T_{2}} \tag{11.28} \end{equation*} $$

एक सार्वभौमिक संबंध है जो प्रणाली के प्रकार से स्वतंत्र है। यहाँ $Q_{1}$ और $Q_{2}$ क्रमशः गर्म ताप जमाव और ठंडे ताप छोड़ने के दौरान एक कर्नोट इंजन में अवशोषित और उत्सर्जित ऊष्मा है। अतः समीकरण (11.28) को एक सार्वभौमिक तापमाप अनुपात को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है जो कर्नोट चक्र में उपयोग किए गए प्रणाली के कोई भी विशिष्ट गुणों से स्वतंत्र हो। बेशक, आदर्श गैस के रूप में कार्य करने वाले पदार्थ के लिए, यह सार्वभौमिक तापमाप अनुपात 11.9 अनुच्छेद में परिचित आदर्श गैस तापमाप के समान होता है।

सारांश

1. ऊष्मागतिकी के शून्यवां नियम कहता है कि ‘एक तीसरे तंत्र से ऊष्मागतीय संतुलन में दो तंत्र एक दूसरे से भी ऊष्मागतीय संतुलन में होते हैं।’ शून्यवां नियम तापमान की अवधारणा के लिए आधार प्रदान करता है।

2. एक तंत्र की आंतरिक ऊर्जा तंत्र के अणुओं की गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा के योग के बराबर होती है। इसमें तंत्र की समग्र गतिज ऊर्जा को शामिल नहीं किया जाता है। ऊष्मा और कार्य तंत्र में ऊर्जा परिवर्तन के दो तरीके होते हैं। ऊष्मा तंत्र और परिवेश के बीच तापमान के अंतर के कारण होने वाले ऊर्जा परिवर्तन को दर्शाती है। कार्य तंत्र में ऊर्जा परिवर्तन के अन्य तरीकों, जैसे कि गैस वाले सिलेंडर के पिस्टन को गति देने या इससे जुड़े किसी भार को उठाने या उतारने के कारण होता है।

3. ऊष्मागतिकी का प्रथम नियम ऊर्जा संरक्षण के सामान्य नियम को एक तंत्र में लागू करता है, जहां ऊर्जा परिवर्तन को परिवेश के साथ ऊष्मा और कार्य के माध्यम से गिना जाता है। यह कहता है कि

$$ \Delta Q=\Delta U+\Delta W $$

$$

जहाँ $\Delta Q$ प्रणाली में उपलब्ध ऊष्मा है, $\Delta W$ प्रणाली द्वारा किया गया कार्य है और $\Delta U$ प्रणाली के आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन है।

4. किसी पदार्थ की विशिष्ट ऊष्माधारिता निम्नलिखित द्वारा परिभाषित की जाती है

$$ s=\frac{1}{m} \frac{\Delta Q}{\Delta T} $$

जहाँ $m$ पदार्थ के द्रव्यमान है और $\Delta Q$ उसके तापमान को $\Delta T$ द्वारा बदलने के लिए आवश्यक ऊष्मा है। किसी पदार्थ की मोलर विशिष्ट ऊष्माधारिता निम्नलिखित द्वारा परिभाषित की जाती है

$$ C=\frac{1}{\mu} \frac{\Delta Q}{\Delta T} $$

जहाँ $\mu$ पदार्थ के मोलों की संख्या है। एक ठोस के लिए, ऊर्जा के समान विभाजन के नियम के अनुसार

$$ C=3 R $$

जो सामान्य तापमानों पर प्रयोग के साथ सामान्यतः सहमत होता है।

कैलोरी ऊष्मा के पुरानी इकाई है। 1 कैलोरी वह मात्रा है जो $1 \mathrm{~g}$ पानी के तापमान को $14.5^{\circ} \mathrm{C}$ से $15.5^{\circ} \mathrm{C}$ तक बढ़ाने के लिए आवश्यक होती है। $1 \mathrm{cal}=4.186 \mathrm{~J}$ होता है।

5. आदर्श गैस के लिए, नियत दबाव और आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्माधारिता के बीच संबंध निम्नलिखित होता है

$$ C_{p}-C_{V}=R $$

जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।

6. ऊष्मागतिक निकाय के साम्यावस्था अवस्थाएँ अवस्था चर द्वारा वर्णित होती हैं। एक अवस्था चर का मान केवल विशिष्ट अवस्था पर निर्भर करता है, न कि उस अवस्था तक पहुँचने के पथ पर। दबाव $(P)$, आयतन $(V)$, तापमान $(T)$ और द्रव्यमान $(m)$ जैसे अवस्था चर के उदाहरण हैं। ऊष्मा और कार्य अवस्था चर नहीं होते। अवस्था समीकरण (जैसे आदर्श गैस समीकरण $P V=\mu R T$ ) विभिन्न अवस्था चरों को जोड़ने वाले संबंध होते हैं।

7. एक अपसारी प्रक्रम एक ऐसा प्रक्रम है जो बहुत धीरे धीरे होता है ताकि निकाय पूरे समय अपने आसपास के वातावरण के साथ ऊष्मागतिक और यांत्रिक साम्य में रहे। एक अपसारी प्रक्रम में, वातावरण के दबाव और तापमान निकाय के दबाव और तापमान से केवल अपरिमित रूप से भिन्न हो सकते हैं।

8. एक आदर्श गैस के तापमान $T$ पर आयतन $V_{1}$ से $V_{2}$ तक विस्तार के दौरान अवशोषित ऊष्मा $(Q)$ गैस द्वारा किए गए कार्य $(W)$ के बराबर होती है, जो निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$$ Q=W=\mu R T \ln \left(\frac{V_{2}}{V_{1}}\right) $$

$$

9. आदिएबियातिक प्रक्रम में आदर्श गैस के लिए

$$ \begin{aligned} & P V^{\gamma}=\text { स्थिरांक } & \text { जहाँ } \quad \gamma=\frac{C_{p}}{C_{v}} \end{aligned} $$

आदर्श गैस द्वारा आदिएबियातिक परिवर्तन के दौरान $\left(P_{1}, V_{1}, T_{1}\right)$ से $\left(P_{2}, V_{2}, T_{2}\right)$ तक कार्य किया गया है

$$ W=\frac{\mu R\left(T_{1}-T_{2}\right)}{\gamma-1} $$

10. ऊष्मागतांत्रिक द्वितीय नियम वह सभी प्रक्रमों को असंभव बनाता है जो प्रथम नियम के साथ संवेदनशील हों। यह कहता है

केल्विन-प्लैंक कथन

कोई प्रक्रम ऐसा नहीं हो सकता जिसका एकमात्र परिणाम एक भंडार से ऊष्मा के अवशोषण और ऊष्मा के पूर्ण रूप से कार्य में परिवर्तन हो।

क्लैउजियस कथन

कोई प्रक्रम ऐसा नहीं हो सकता जिसका एकमात्र परिणाम एक ठंडे वस्तु से गर्म वस्तु की ओर ऊष्मा के परिवहन हो।

सरल शब्दों में, द्वितीय नियम यह बताता है कि कोई ऊष्माकरी यंत्र के दक्षता $\eta$ 1 के बराबर नहीं हो सकता या कोई ठंडा बर्तन के प्रदर्शन गुणांक $\alpha$ अनंत के बराबर नहीं हो सकता।

11. एक प्रक्रम यदि वापस ले जाया जा सके तो वह उत्क्रमणीय होता है जिसमें प्रणाली और परिवेश अपने मूल अवस्था में वापस आ जाए और बाहर के संसार में कोई अन्य परिवर्तन न हो। प्रकृति के अपस्पर्शी प्रक्रम अनुत्क्रमणीय होते हैं। आदर्श उत्क्रमणीय प्रक्रम एक अपस्पर्शी प्रक्रम होता है जिसमें घर्षण, चिपचिपापन आदि ऐसे विस्तारक अंश नहीं होते।

12. कार्नो इंजन एक उत्कृष्ट इंजन है जो दो तापमान $T_{1}$ (स्रोत) और $T_{2}$ (अंत) के बीच कार्य करता है। कार्नो चक्र दो आइसोथर्मल प्रक्रियाओं द्वारा जुड़े दो अधिवृत्त प्रक्रियाओं से बना होता है। कार्नो इंजन की दक्षता निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$$ \eta=1-\frac{T_{2}}{T_{1}} \quad \text { (कार्नो इंजन) } $$

कोई भी इंजन जो दो तापमानों के बीच कार्य करता है, कार्नो इंजन की दक्षता से अधिक दक्षता नहीं रख सकता।

13. यदि $\mathrm{Q}>0$, तो ताप निकाय में जोड़ा जाता है

यदि $\mathrm{Q}<0$, तो ताप निकाय से बर्बाद किया जाता है

यदि $\mathrm{W}>0$, तो निकाय द्वारा कार्य किया जाता है

यदि $\mathrm{W}<0$, तो निकाय पर कार्य किया जाता है

| विशिष्ट ऊष्मीय धारिता | $S$ | $\left[\mathrm{~L}^{2} \mathrm{~T}^{-2} \mathrm{~K}^{-1}\right]$ | $\mathrm{J} \mathrm{kg}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$ | | | ऊष्मीय चालकता | $K$ | $\left[\mathrm{MLT}^{-3} \mathrm{~K}^{-1}\right]$ | $\mathrm{J} \mathrm{s}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$ | $H=-K A \frac{\mathrm{d} t}{\mathrm{~d} x}$ |

विचार करने वाले बिंदु

1. एक वस्तु के तापमान को उसके औसत आंतरिक ऊर्जा से संबंधित होता है, न कि उसके गुरुत्व केंद्र के गति के कारण ऊर्जा। एक बन्दूक से छोड़े गए बॉम्ब का तापमान उसकी उच्च गति के कारण अधिक नहीं होता।

2. ऊष्मागतिकी में संतुलन एक स्थिति को संदर्भित करता है जब एक प्रणाली के ऊष्मागतिक अवस्था को वर्णित करने वाले मैक्रोस्कोपिक चर तापमान के समय पर निर्भर नहीं होते। यांत्रिकी में एक प्रणाली के संतुलन का अर्थ उस पर कार्य करने वाले बाहरी बल और बलाघूर्ण शून्य होते हैं।

3. एक ऊष्मागतिक संतुलन की स्थिति में, प्रणाली के माइक्रोस्कोपिक घटक अपने आप में संतुलन में नहीं होते हैं (मतलब यांत्रिकी के अर्थ में)।

4. आमतौर पर ऊष्मीय धारिता एक प्रणाली में ऊष्मा के आपूर्ति के दौरान उस प्रणाली के गुजरे प्रक्रम पर निर्भर करती है।

5. आइसोथर्मल अपसारी स्थैतिक प्रक्रमों में, प्रणाली द्वारा ऊष्मा अवशोषित या उत्सर्जित की जाती है, चाहे प्रत्येक चरण में गैस का तापमान आसपास के भंडार के तापमान के समान हो। यह संभव है क्योंकि प्रणाली और भंडार के बीच तापमान में अत्यंत छोटा अंतर होता है।

अभ्यास

11.1 एक गेसियर 3.0 लीटर प्रति मिनट की दर से $27^{\circ} \mathrm{C}$ से $77^{\circ} \mathrm{C}$ तक पानी को गरम करता है। यदि गेसियर गैस बर्नर पर काम करता है, तो ईंधन के उपयोग की दर क्या होगी, यदि ईंधन के उष्मीय अपघटन की ऊर्जा $4.0 \times 10^{4} \mathrm{~J} / \mathrm{g}$ है?

11.2 कमरे के तापमान पर $2.0 \times 10^{-2} \mathrm{~kg}$ नाइट्रोजन के तापमान को $45{ }^{\circ} \mathrm{C}$ बढ़ाने के लिए कितनी ऊष्मा की आवश्यकता होगी, यदि तापमान नियत दबाव पर बढ़ता है? ($\mathrm{N}_{2}$ के अणुभार $=28 ; R=8.3 \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1} \mathrm{~K}^{-1}$।)

11.3 स्पष्ट करें कि

(a) दो वस्तुएं जो अलग-अलग तापमान $T_{1}$ और $T_{2}$ पर होती हैं, यदि थर्मल संपर्क में लाई जाती हैं, तो वे आवश्यक रूप से औसत तापमान $\left(T_{1}+T_{2}\right) / 2$ पर स्थायी नहीं हो जातीं।

(b) रासायनिक या नाभिकीय संयंत्र में एक शीतलक (अर्थात वह द्रव जो संयंत्र के विभिन्न भागों को बहुत गर्म होने से बचाता है) के उच्च विशिष्ट ऊष्मा की आवश्यकता होती है।

(c) गाड़ी के चालन के दौरान टायर में हवा का दबाव बढ़ जाता है।

(d) एक बंदरगाह शहर का मौसम एक ऐसे शहर के मुकाबले अधिक शीतल होता है जो एक रेगिस्तान में हो और दोनों के एक ही अक्षांश पर स्थित हों।

11.4 एक गतिशील पिस्टन वाले बरतन में 3 मोल हाइड्रोजन के तापमान और दबाव के मानक मान पर होता है। बरतन की दीवारें ऊष्मा अवरोधक के बने हैं, और पिस्टन को बरतन के ऊपर रखे गए रेत के ढेर द्वारा ऊष्मा अवरोधक बनाए रखा गया है। यदि गैस को अपने मूल आयतन के आधा कर दिया जाए तो गैस के दबाव में कितने गुना वृद्धि होगी?

11.5 एक गैस के संतुलन अवस्था $A$ से दूसरी संतुलन अवस्था $B$ तक ऊष्मारहित प्रक्रम द्वारा परिवर्तित करने पर प्रणाली पर 22.3 जूल कार्य किया जाता है। यदि गैस को अवस्था $A$ से $B$ तक एक प्रक्रम द्वारा ले जाया जाए जिसमें प्रणाली द्वारा अवशोषित कुल ऊष्मा 9.35 कैलोरी हो, तो द्वितीय स्थिति में प्रणाली द्वारा किया गया कुल कार्य कितना होगा? (1 कैलोरी = 4.19 जूल लें)

11.6 दो सिलेंडर $A$ और $B$ बराबर क्षमता के हैं जो एक बंद द्वार के माध्यम से एक दूसरे से जुड़े हैं। $A$ में एक गैस मानक ताप और दबाव पर है। $B$ पूरी तरह से खाली है। पूरे प्रणाली को ऊष्मारोधी ढका गया है। बंद द्वार अचानक खोल दिया जाता है। निम्नलिखित प्रश्नों के उत्तर दें :

(a) गैस के अंतिम दबाव क्या होगा $A$ और $B$ में ?

(b) गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन क्या होगा?

(c) गैस के तापमान में परिवर्तन क्या होगा ?

(d) प्रणाली के मध्यवर्ती अवस्थाएं (अंतिम संतुलन अवस्था तक पहुंचने से पहले) इसके $P-V$ - $T$ सतह पर स्थित होंगी या नहीं?

11.7 एक विद्युत टॉपल एक प्रणाली को ऊष्मा की आपूर्ति करता है जिसकी दर $100 \mathrm{~W}$ है। यदि प्रणाली 75 जूल प्रति सेकंड की दर से कार्य करती है। आंतरिक ऊर्जा किस दर से बढ़ रही है?

11.8 एक ऊष्मागतिक प्रणाली को एक मूल अवस्था से एक मध्यवर्ती अवस्था तक ले जाया जाता है जैसा कि चित्र (11.13) में दिखाया गया है।

चित्र 11.11

इसके आयतन को फिर से मूल मान से घटाकर $\mathrm{E}$ से $\mathrm{F}$ तक एक समान दबाव प्रक्रम द्वारा किया जाता है। गैस द्वारा $\mathrm{D}$ से $\mathrm{E}$ तक $\mathrm{F}$ तक किए गए कुल कार्य की गणना कीजिए।