1.1 परिचय

किसी भौतिक राशि के मापन में एक निश्चित मूल, अस्थायी रूप से चुनी गई, अंतरराष्ट्रीय स्वीकृत संदर्भ मानक के साथ तुलना की जाती है जिसे इकाई कहते हैं। किसी भौतिक राशि के मापन के परिणाम को एक संख्या (या संख्यात्मक माप) के साथ इकाई के साथ व्यक्त किया जाता है। यद्यपि भौतिक राशियों की संख्या बहुत बड़ी लगती है, हमें सभी भौतिक राशियों को व्यक्त करने के लिए केवल एक सीमित संख्या में इकाइयों की आवश्यकता होती है, क्योंकि वे एक दूसरे से संबंधित होती हैं। मूल या आधार राशियों के लिए इकाइयाँ मूल या आधार इकाइयाँ कहलाती हैं। सभी अन्य भौतिक राशियों की इकाइयाँ आधार इकाइयों के संयोजन के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं। ऐसी इकाइयाँ जो अवलोकन योग्य राशियों के लिए प्राप्त की जाती हैं, अवलोकन इकाइयाँ कहलाती हैं। इन सभी इकाइयों के पूर्ण सेट, आधार इकाइयाँ और अवलोकन इकाइयाँ, को इकाइयों के प्रणाली के रूप में जाना जाता है।

1.2 अंतरराष्ट्रीय इकाइयों का प्रणाली

पहले के समय विभिन्न देशों के वैज्ञानिक विभिन्न मापक इकाइयों का उपयोग करते थे। तीन ऐसे मापक इकाइयों का उपयोग अति निकट भी व्यापक रूप से किया जाता रहा है, जैसे CGS, FPS (या ब्रिटिश) प्रणाली और MKS प्रणाली।

इन प्रणालियों में लंबाई, द्रव्यमान और समय के मूल इकाइयाँ निम्नलिखित थीं :

• CGS प्रणाली में वे क्रमशः सेंटीमीटर, ग्राम और सेकंड थीं।
• FPS प्रण ली में वे क्रमशः फुट, पौंड और सेकंड थीं।
• MKS प्रणाली में वे क्रमशः मीटर, किलोग्राम और सेकंड थीं।

वर्तमान में अंतरराष्ट्रीय माप के लिए स्वीकृत मापक इकाइयों की प्रणाली Système Internationale d’ Unites (फ्रांसीसी भाषा में अंतरराष्ट्रीय मापक इकाइयों की प्रणाली) है, जिसे SI के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। SI, ब्यूरो इंटरनेशनल डेस पॉइंड एंड मेजर्स (अंतरराष्ट्रीय वजन और माप के ब्यूरो, BIPM) द्वारा 1971 में विकसित किया गया था, जिसका वर्तमान में नवंबर 2018 में अंतरराष्ट्रीय वजन और माप के सामान्य सम्मेलन द्वारा संशोधन किया गया। यह प्रणाली अब वैज्ञानिक, तकनीकी, औद्योगिक और व्यापारिक कार्यों में अंतरराष्ट्रीय उपयोग के लिए उपलब्ध है। क्योंकि SI इकाइयाँ दशमलव प्रणाली का उपयोग करती हैं, इस प्रणाली में आपसी रूपांतरण बहुत सरल और सुविधाजनक होते हैं। इस किताब में हम इस एस आई इकाइयों का अनुसरण करेंगे

| विद्युत | एम्पियर | A | एम्पियर, $ \mathrm{A}$ संकेत, SI इकाई है विद्युत धारा की। यह निर्धारित किया जाता है
तत्वावाधान आवेश $e$ के निर्धारित संख्यात्मक मान को
$1.60217663410^{-19}$ जब इकाई $C$ में व्यक्त किया जाता है, जो $ \mathrm{A}$ के बराबर है,
जहां सेकंड को $ \Delta V c s$ के अनुसार परिभाषित किया जाता है। | | थर्मो डाइनैमिक
तापमान | केल्विन | K | केल्विन, $ \mathrm{K}$ संकेत, थर्मो डाइनैमिक तापमान की SI इकाई है।
यह निर्धारित किया जाता है
बोल्ट्जमैन नियतांक $ \mathrm{k}$ के निर्धारित संख्यात्मक मान को
$1.38064910^{-23}$ जब इकाई $ \mathrm{J} \mathrm{K}^{-1}$ में व्यक्त किया जाता है, जो
$ \mathrm{kg} \mathrm{m}^{2} \mathrm{~s}^{-2} \mathrm{k}^{-1}$ के बराबर है, जहां किलोग्राम, मीटर और सेकंड को
$h, c$ और $\Delta V c s$ के अनुसार परिभाषित किया जाता है। | | पदार्थ की मात्रा | मोल | mol | मोल, संकेत mol, पदार्थ की मात्रा की SI इकाई है। एक मोल
तथाकथित $6.0221407610^{23}$ मूलक एककों को बराबर होता है। यह संख्या
आवोगाड्रो नियतांक $N_{A}$ के निर्धारित संख्यात्मक मान है, जब इकाई mol $^{-1}$ में व्यक्त किया जाता है और इसे आवोगाड्रो संख्या कहते हैं। पदार्थ की मात्रा,
संकेत $n$, एक प्रणाली के निर्धारित मूलक एककों की संख्या को मापती है। एक मूलक एकक एक परमाणु, एक अणु, एक आयन, एक इलेक्ट्रॉन,
कोई अन्य कण या निर्धारित कणों के समूह हो सकता है। |

| चमकदार
तीव्रता | कैंडेला | $ \mathrm{cd}$ | कैंडेला, चिन्ह cd, दिए गए दिशा में चमकदार तीव्रता के SI इकाई है। इसे एक विशिष्ट संख्या के मूल्य के आधार पर परिभाषित किया जाता है, जो आवृत्ति $54010^{12} \mathrm{~Hz}, \mathrm{~K}_{\mathrm{ed}}$ के एकल रंग विकिरण के चमकदार प्रभावशीलता के लिए 683 होता है, जो इकाई $ \mathrm{lm} \mathrm{W}^{-1}$ में व्यक्त किया जाता है, जो $ \mathrm{cd} \mathrm{sr} \mathrm{W}^{-1}$, या $ \mathrm{cd} \mathrm{sr} \mathrm{kg}^{-1} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^3$ के बराबर होता है, जहां किलोग्राम, मीटर और सेकंड को $h, c$ और $\Delta v c s$ के आधार पर परिभाषित किया जाता है। |

तालिका 1.2 कुछ इकाइयाँ जो सामान्य उपयोग के लिए बरकरार रखी गई हैं (हालांकि SI के बाहर)

| लीटर | $ \mathrm{L}$ | $ \mathrm{I} \mathrm{dm}^{3}=10^{-3} \mathrm{~m}^{3}$ | | टन | $ \mathrm{t}$ | $10^{3} \mathrm{~kg}$ | | कैरेट | $ \mathrm{c}$ | $200 \mathrm{mg}$ | | बार | बार | $0.1 \mathrm{MPa}=10^{5} \mathrm{~Pa}$ | | क्यूरी | $ \mathrm{Ci}$ | $3.7 \times 10^{10} \mathrm{~s}^{-1}$ | | रॉएंटगन | $ \mathrm{R}$ | $2.58 \times 10^{-4} \mathrm{C} / \mathrm{kg}$ | | क्विंटल | $ \mathrm{q}$ | $100 \mathrm{~kg}^{2}$ | | बार्न | $ \mathrm{b}$ | $100 \mathrm{fm}^{2}=10^{-28} \mathrm{~m}^{2}$ | | एर | $ \mathrm{a}$ | $1 \mathrm{dam}^{2}=10^{2} \mathrm{~m}^{2}$ | | हेक्टेयर | ha | $1 \mathrm{hm}^{2}=10^{4} \mathrm{~m}^{2}$ | | मानक वायुमंडलीय दबाव | atm | $101325 \mathrm{~Pa}=1.013 \times 10^{5} \mathrm{~Pa}$ |

ध्यान दें कि मोल के उपयोग के समय, प्राथमिक एककों को निर्दिष्ट करना आवश्यक है। ये एकक अणु, अणु, आयन, इलेक्ट्रॉन, अन्य कण या ऐसे कण के निर्दिष्ट समूह हो सकते हैं।

हम कुछ भौतिक मात्राओं के लिए इकाइयों का उपयोग करते हैं जो सात मूल इकाइयों (Appendix A 6) से निर्वचित किया जा सकता है। कुछ निर्वचित इकाइयाँ SI मूल इकाइयों के अनुसार (Appendix A 6.1) दी गई हैं। कुछ SI निर्वचित इकाइयों के विशेष नाम होते हैं (Appendix A 6.2) और कुछ निर्वचित SI इकाइयाँ इन विशेष नाम वाली इकाइयों और सात मूल इकाइयों का उपयोग करती हैं (Appendix A 6.3)। इन्हें आपकी सुविधा के लिए Appendix A 6.2 और A 6.3 में दिया गया है। अन्य इकाइयाँ जो सामान्य उपयोग के लिए बरकरार रखी गई हैं, तालिका 1.2 में दी गई हैं।

सामान्य SI प्रतीक और गुणक और उपगुणक के लिए प्रतीक अपेंडिक्स A2 में दिए गए हैं। भौतिक मात्राओं, रासायनिक तत्वों और न्यूक्लियों के लिए प्रतीक के उपयोग के लिए सामान्य निर्देश अपेंडिक्स A7 में दिए गए हैं और SI इकाइयों और कुछ अन्य इकाइयों के लिए अपेंडिक्स A8 में दिए गए हैं जिनके लिए आपके लिए निर्देश और सुविधा के लिए दिए गए हैं।

1.3 महत्वपूर्ण अंक

ऊपर चर्चा के अनुसार, प्रत्येक मापन में त्रुटि होती है। इसलिए, मापन के परिणाम को एक तरह से रिपोर्ट करना चाहिए जो मापन की सटीकता को दर्शाए। सामान्य रूप से, मापन के रिपोर्ट किये गए परिणाम एक संख्या होती है जिसमें संख्या में सभी अंक शामिल होते हैं जो निश्चित रूप से जाने वाले होते हैं और अंतिम अंक जो अनिश्चित होता है। निश्चित अंक और अंतिम अनिश्चित अंक के संग्रह को महत्वपूर्ण अंक या महत्वपूर्ण अंक कहा जाता है। यदि हम कहते हैं कि एक सरल सरल दोलन के आवर्तकाल के लिए $1.62 \mathrm{~s}$ है, तो अंक 1 और 6 निश्चित और ज्ञात होते हैं, जबकि अंक 2 अनिश्चित होता है। इसलिए, मापित मान तीन महत्वपूर्ण अंक है। एक वस्तु की लंबाई के मापन के बाद रिपोर्ट किये गए $287.5 \mathrm{~cm}$ के मान में चार महत्वपूर्ण अंक हैं, अंक $2,8,7$ निश्चित हैं जबकि अंक 5 अनिश्चित है। स्पष्ट रूप से, मापन के परिणाम के अंकों की संख्या जो महत्वपूर्ण अंक से अधिक हो वह अतिरिक्त और भ्रम भरने वाला होता है क्योंकि यह मापन की सटीकता के बारे में गलत अवधारणा देता है।

के नियम निर्धारित करने के लिए निम्नलिखित उदाहरणों से समझा जा सकता है। महत्वपूर्ण अंक जैसा पहले उल्लेख किया गया है, मापन की तथ्यता को दर्शाते हैं जो मापन यंत्र के न्यूनतम गिनती पर निर्भर करती है। मापन के अंकों में महत्वपूर्ण अंकों की संख्या या अंकों की संख्या विभिन्न इकाइयों के चयन के बदले नहीं होती। इस महत्वपूर्ण टिप्पणी के कारण निम्नलिखित अधिकांश अवलोकन स्पष्ट हो जाते हैं:

(1) उदाहरण के लिए, लंबाई $2.308 \mathrm{~cm}$ चार महत्वपूर्ण अंक है। लेकिन विभिन्न इकाइयों में, इसी मान को $0.02308 \mathrm{~m}$ या 23.08 $ \mathrm{mm}$ या $23080 \mu \mathrm{m}$ के रूप में लिखा जा सकता है।

इन सभी संख्याओं में महत्वपूर्ण अंकों की संख्या (अंक 2, 3, 0, 8) एक ही है, अर्थात चार है।

यह दिखाता है कि दशमलव बिंदु के स्थान के लिए महत्वपूर्ण अंकों की संख्या के निर्धारण में कोई असर नहीं होता।

उदाहरण निम्नलिखित नियम प्रदान करता है:

• सभी शून्य अंक महत्वपूर्ण होते हैं।

• दो गैर-शून्य अंकों के बीच सभी शून्य अंक महत्वपूर्ण होते हैं, चाहे दशमलव बिंदु कहां हो या नहीं हो।

• यदि संख्या 1 से कम हो, तो दशमलव के दाहिने ओर लेकिन पहले गैर-शून्य अंक के बाद के शून्य अंक महत्वपूर्ण नहीं होते। [ $\underline{0} . \underline{00} 2308$ में, अंतर्गत शून्य अंक महत्वपूर्ण नहीं होते]।

• दशमलव बिंदु के बिना एक संख्या में अंतिम या टैलिंग शून्य अंक महत्वपूर्ण नहीं होते।

[इसलिए $123 \mathrm{~m}=12300 \mathrm{~cm}=1,23000 \mathrm{~mm}$ में तीन महत्वपूर्ण अंक होते हैं, अंतिम शून्य अंक महत्वपूर्ण नहीं होते]। हालांकि, आप अगला अवलोकन भी देख सकते हैं।

• दशमलव बिंदु के साथ एक संख्या में अंतिम या टैलिंग शून्य अंक महत्वपूर्ण होते हैं।

[संख्याएँ 3.500 या 0.06900 प्रत्येक में चार महत्वपूर्ण अंक होते हैं।]

(2) अंतिम शून्य अंक के बारे में कुछ अस्पष्टता हो सकती है। मान लीजिए कि एक लंबाई को $4.700 \mathrm{~m}$ के रूप में रिपोर्ट किया गया है। यह स्पष्ट है कि यहाँ शून्य अंक मापन की शुद्धता को दर्शाने के लिए हैं और इसलिए वे महत्वपूर्ण हैं। [यदि ये नहीं होते, तो इन्हें विशेष रूप से लिखने की आवश्यकता नहीं होती, रिपोर्ट की गई मापन शायद केवल $4.7 \mathrm{~m}$ होती]। अब मान लीजिए कि हम इकाई बदल दें, तो

$4.700 \mathrm{~m}=470.0 \mathrm{~cm}=4700 \mathrm{~mm}=0.004700 \mathrm{~km}$

क्योंकि अंतिम संख्या में दशमलव के बिना अंत सुन्दर शून्य (trailing zero) है, इसलिए हम पहले उदाहरण (1) से गलत निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि संख्या में दो सांख्यिकीय अंक हैं, जबकि वास्तव में इसमें चार सांख्यिकीय अंक हैं और इकाई के बदलने से सांख्यिकीय अंक की संख्या बदल नहीं सकती।

(3) सांख्यिकीय अंक की संख्या के निर्धारण में ऐसी अस्पष्टताओं को हटाने के लिए सबसे अच्छा तरीका वैज्ञानिक संकेंद्रण (scientific notation) में प्रत्येक माप की रिपोर्ट करना है। इस संकेंद्रण में, प्रत्येक संख्या को $a \times 10^{b}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां $a$ 1 और 10 के बीच की एक संख्या होती है, और $b$ 10 के कोई भी धनात्मक या नकारात्मक घात (या शक्ति) होती है। एक अंदाज के लिए, हम संख्या $a$ को 1 (जब $a \leq 5$) और 10 (जब $5 < a \leq 10$) के रूप में चौड़ा कर सकते हैं। फिर संख्या को लगभग $10^{\mathrm{b}}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां 10 की घात (या शक्ति) $b$ को मात्रा के क्रम (order of magnitude) कहा जाता है। जब केवल अनुमान आवश्यक हो, तो मात्रा के क्रम $10^{\mathrm{b}}$ के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी का व्यास $\left(1.28 \times 10^{7} \mathrm{~m}\right)$ पृथ्वी के व्यास के क्रम $10^{7} \mathrm{~m}$ के बराबर है, जिसका क्रम 7 है। हाइड्रोजन परमाणु का व्यास $\left(1.06 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\right)$ $10^{-10} \mathrm{~m}$ के क्रम में है, जिसका क्रम -10 है। इस प्रकार, पृथ्वी का व्यास हाइड्रोजन परमाणु के व्यास से 17 क्रम अधिक है।

अक्सर पहले अंक के बाद दशमलव को लिखना सामान्य होता है। अब (a) में उल्लेखित अस्पष्टता निम्नलिखित तरह से दूर हो जाती है :

$$ \begin{aligned} & 4.700 \mathrm{~m}=4.300 \times 10^{2} \mathrm{~cm} \\ = & 4.700 \times 10^{3} \mathrm{~mm}=4.700 \times 10^{-3} \mathrm{~km} \end{aligned} $$

10 की घात के बारे में कोई भी अहमता नहीं होती है जो महत्वपूर्ण अंकों के निर्धारण में आती है। हालांकि, वैज्ञानिक रूप से लिखे गए संख्या में आधार संख्या में आए सभी शून्य महत्वपूर्ण होते हैं। इस मामले में प्रत्येक संख्या में चार महत्वपूर्ण अंक होते हैं।

इसलिए, वैज्ञानिक रूप से लिखे गए अंक में आधार संख्या $a$ में अंतिम शून्य (या शून्यों) के बारे में कोई अस्पष्टता नहीं होती है। वे हमेशा महत्वपूर्ण होते हैं।

(4) वैज्ञानिक रूप से लिखे गए अंक मापन की रिपोर्टिंग के लिए आदर्श होते हैं। लेकिन यदि इस तरह का उपयोग नहीं किया जाता है, तो हम पिछले उदाहरण में अपनाए गए नियमों का उपयोग करते हैं :

• एक संख्या जो 1 से बड़ी हो और दशमलव के बिना हो, तो अंतिम शून्य (या शून्यों) महत्वहीन होते हैं।
• एक संख्या में दशमलव हो तो अंतिम शून्य (या शून्यों) महत्वपूर्ण होते हैं।

(5) एक संख्या जो 1 से कम हो और उसके दशमलव के बाईं ओर रखे गए शून्य (जैसे 0.1250) के रूप में अक्सर रखे गए शून्य कभी भी महत्वहीन होते हैं। हालांकि, ऐसी संख्या के अंत में रखे गए शून्य मापन में महत्वपूर्ण होते हैं।

(6) गुणा या भाग द्वारा गुणा या भाग करने वाले गुणक जो चार्ड नंबर या मापित मानों को निरूपित करने वाले नंबर नहीं हों, वे सटीक होते हैं और अपरिमित संख्या में सांख्यिकीय अंक रखते हैं। उदाहरण के लिए, $r=\frac{d}{2}$ या $ \mathrm{s}=2 \pi r$ में, 2 एक सटीक संख्या है और इसे आवश्यकतानुसार 2.0, 2.00 या 2.0000 के रूप में लिखा जा सकता है। इसी तरह, $T=\frac{t}{n}$ में, n एक सटीक संख्या है।

1.3.1 सांख्यिकीय अंकों के साथ अंकगणितीय संचालन के नियम

किसी गणना के परिणाम में अनुमानित मापित मानों (अर्थात सीमित संख्या में सांख्यिकीय अंक वाले मानों) के अनिश्चितताओं को प्रतिबिम्बित करना आवश्यक होता है। यह परिणाम मूल मापित मानों के अपेक्षक अधिक सटीक नहीं हो सकता। सामान्यतः, अंतिम परिणाम में संख्या में सांख्यिकीय अंक मूल डेटा के संख्या से अधिक नहीं होना चाहिए। इसलिए, यदि किसी वस्तु के द्रव्यमान को $4.237 \mathrm{~g}$ (चार सांख्यिकीय अंक) में मापा जाता है और इसका आयतन $2.51 \mathrm{~cm}^{3}$ में मापा जाता है, तो इसका घनत्व, बस अंकगणितीय भाग के द्वारा, $1.68804780876 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}$ तक 11 दशमलव स्थान तक हो सकता है। लेकिन ऐसा लेखन जिसमें घनत्व के मान को इतनी लक्ष्य तक लिखा जाए, जबकि इसके आधार बने मापन में बहुत कम लक्ष्य हो, तो असंगत और अप्रासंगिक होगा। सांख्यिकीय अंकों के साथ अंकगणितीय संचालन के निम्नलिखित नियम यह सुनिश्चित करते हैं कि गणना के अंतिम परिणाम को इनपुट मापित मानों की लक्ष्य के साथ संगत लक्ष्य में दिखाया जाए :

(1) गुणन या विभाजन में, अंतिम परिणाम में उन संख्याओं के अनुसार अपरिवर्तित सांख्यिकीय अंकों की संख्या रखी जानी चाहिए जिनमें सबसे कम सांख्यिकीय अंक हों।

इसलिए, उपरोक्त उदाहरण में, घनत्व को तीन सांख्यिकीय अंकों तक रिपोर्ट करना चाहिए।

$$ \text { घनत्व }=\frac{4.237 \mathrm{~g}}{2.51 \mathrm{~cm}^{3}}=1.69 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} $$

उसी तरह, यदि प्रकाश की गति $3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ (तीन सांख्यिकीय अंक) के रूप में दी गई है और एक वर्ष ( $1 \mathrm{y}=365.25 \mathrm{~d}$ ) में $3.1557 \times 10^{7} \mathrm{~s}$ (पांच सांख्यिकीय अंक) होते हैं, तो प्रकाश वर्ष $9.47 \times 10^{15} \mathrm{~m}$ (तीन सांख्यिकीय अंक) होता है।

(2) जोड़ या घटाव में, अंतिम परिणाम में उन संख्याओं के अनुसार अपरिवर्तित दशमलव स्थानों की संख्या रखी जानी चाहिए जिनमें सबसे कम दशमलव स्थान हों।

उदाहरण के लिए, संख्याओं $436.32 \mathrm{~g}, 227.2 \mathrm{~g}$ और $0.301 \mathrm{~g}$ के बस अंकगणितीय जोड़ से प्राप्त योग $663.821 \mathrm{~g}$ होता है। लेकिन सबसे कम दशमलव स्थान वाली माप $(227.2 \mathrm{~g})$ केवल एक दशमलव स्थान तक सही है। अतः अंतिम परिणाम को $663.8 \mathrm{~g}$ तक करीब कर देना चाहिए।

अत: लंबाई में अंतर को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है :

$0.307 \mathrm{~m}-0.304 \mathrm{~m}=0.003 \mathrm{~m}=3 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$.

ध्यान दें कि हम गुणन और विभाजन के लिए नियम (1) का उपयोग नहीं करना चाहिए और जोड़ के उदाहरण में $664 \mathrm{~g}$ के रूप में और घटाव के उदाहरण में $3.00 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$ के रूप में परिणाम लिखें। ये मापन की सटीकता को सही तरीके से व्यक्त नहीं करते हैं। जोड़ और घटाव के लिए नियम दशमलव स्थानों के आधार पर होता है।

1.3.2 अस्थिर अंकों को चौड़ा करना

असटीक अंकों के साथ गणना के परिणाम, जो एक से अधिक अस्थिर अंक रखते हैं, को चौड़ा कर दिया जाना चाहिए। संख्याओं को उपयुक्त महत्वपूर्ण अंकों तक चौड़ा करने के नियम अधिकांश मामलों में स्पष्ट होते हैं। संख्या $2.74 \underline{6}$ को तीन महत्वपूर्ण अंकों तक चौड़ा करने पर 1.75 हो जाता है, जबकि संख्या 1.743 के लिए 1.74 हो जाता है। परंपरा के अनुसार, यदि हटाए जाने वाले अस्थिर अंक (इस मामले में तल लिखे गए अंक) 5 से अधिक हो, तो पूर्ववर्ती अंक में 1 जोड़ दिया जाता है, और यदि वह 5 से कम हो, तो उसे बदल नहीं किया जाता है। लेकिन यदि संख्या 2.745 हो और अस्थिर अंक 5 हो, तो परंपरा के अनुसार, यदि पूर्ववर्ती अंक सम हो, तो अस्थिर अंक को बस हटा दिया जाता है, और यदि वह विषम हो, तो पूर्ववर्ती अंक में 1 जोड़ दिया जाता है। तब, संख्या 2.745 को तीन महत्वपूर्ण अंकों तक चौड़ा करने पर 1.74 हो जाता है। दूसरी ओर, संख्या 2.735 को तीन महत्वपूर्ण अंकों तक चौड़ा करने पर 1.74 हो जाता है क्योंकि पूर्ववर्ती अंक विषम है।

किसी भी जटिल या बहुत कदमों वाली गणना में, आप अंतराल चरणों में महत्वपूर्ण अंकों से एक अंक अधिक बरकरार रखें और गणना के अंत में सही महत्वपूर्ण अंकों तक को चोकर दें। इसी तरह, एक संख्या जो कई महत्वपूर्ण अंकों के भीतर जानी जाती है, जैसे कि निर्वात में प्रकाश की गति $1.99792458 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ है, इसे एक अनुमानित मान $3 \times 10^{8} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ में चोकर दिया जाता है, जो गणनाओं में अक्सर उपयोग किया जाता है। अंत में, याद रखें कि सूत्रों में आने वाले सटीक संख्याएँ जैसे $T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ में $2 \pi$ के रूप में, बहुत अधिक (अपरिमित) महत्वपूर्ण अंकों के लिए होते हैं। $\pi=$ $3.1415926 \ldots$ के मान को बहुत सारे महत्वपूर्ण अंकों तक जाना जाता है। आप विशिष्ट मामलों में आवश्यक महत्वपूर्ण अंकों के अनुसार $\pi$ के मान को 3.142 या 3.14 ले सकते हैं।

उदाहरण 1.1 एक घन की प्रत्येक भुजा को $7.203 \mathrm{~m}$ मापा गया है। घन के कुल सतह क्षेत्रफल और आयतन को उचित महत्वपूर्ण अंकों तक बताएं।

उत्तर मापे गए लंबाई में महत्वपूर्ण अंकों की संख्या 4 है। अतः गणना किए गए क्षेत्रफल और आयतन को 4 महत्वपूर्ण अंकों तक कम कर देना चाहिए।

$$ \begin{aligned} \text{क्षेत्रफल के घन के लिए} & =6(7.203)^{2} \mathrm{~m}^{2} \\ & =311.299254 \mathrm{~m}^{2} \\ & =311.3 \mathrm{~m}^{2} \\ \text{घन के आयतन } \quad & =(7.203)^{3} \mathrm{~m}^{3} \\ & =373.714754 \mathrm{~m}^{3} \\ & =373.7 \mathrm{~m}^{3} \end{aligned} $$

उदाहरण 1.2 एक पदार्थ के 5.74 ग्राम के द्रव्यमान के लिए 1.2 घन सेंटीमीटर के आयतन ले लिया गया है। महत्वपूर्ण अंकों को ध्यान में रखते हुए इसका घनत्व ज्ञात कीजिए।

उत्तर मापे गए द्रव्यमान में 3 महत्वपूर्ण अंक हैं जबकि मापे गए आयतन में केवल 2 महत्वपूर्ण अंक हैं। अतः घनत्व को केवल 2 महत्वपूर्ण अंकों तक व्यक्त करना चाहिए।

$$ \begin{aligned} \text { घनत्व } & =\frac{5.74}{1.2} \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} \\ & =4.8 \mathrm{~g} \mathrm{~cm}^{-3} \end{aligned} $$

1.3.3 अंकगणितीय गणनाओं के परिणामों में अनिश्चितता की निर्धारण के नियम

किसी संख्या/मापित मात्रा में अनिश्चितता या त्रुटि के निर्धारण के नियमों को निम्नलिखित उदाहरणों से समझा जा सकता है।

(1) एक पतली आयताकार चादर की लंबाई और चौड़ाई को मीटर लेट के उपयोग से $16.2 \mathrm{~cm}$ और $10.1 \mathrm{~cm}$ क्रमशः मापा जाता है, जिसमें प्रत्येक मापन में तीन सांख्यिकीय अंक होते हैं। इसका अर्थ है कि लंबाई $l$ को लिखा जा सकता है

$$ l=16.2 \pm 0.1 \mathrm{~cm} $$

$$ =16.2 \mathrm{~cm} \pm 0.6 \% $$

इसी तरह, चौड़ाई $b$ को लिखा जा सकता है

$$ \begin{aligned} b & =10.1 \pm 0.1 \mathrm{~cm} \\ & =10.1 \mathrm{~cm} \pm 1 \% \end{aligned} $$

तो, दो (या अधिक) प्रयोगात्मक मानों के उत्पाद की त्रुटि के लिए त्रुटि के संयोजन के नियम का उपयोग करते हुए त्रुटि होगी

$$ \begin{aligned} 1 b & =163.62 \mathrm{~cm}^{2} \pm 1.6 \% \\ & =163.62 \pm 2.6 \mathrm{~cm}^{2} \end{aligned} $$

इससे हम अंतिम परिणाम को इस रूप में दर्ज कर सकते हैं

$$ 1 b=164 \pm 3 \mathrm{~cm}^{2} $$

यहाँ $3 \mathrm{~cm}^{2}$ आयताकार चादर के क्षेत्रफल की अनिश्चितता या त्रुटि है।

(2) यदि कोई प्रयोगात्मक डेटा $\mathbf{n}$ सांख्यिक अंकों के साथ दिया गया है, तो डेटा के संयोजन द्वारा प्राप्त परिणाम भी $n$ सांख्यिक अंकों के साथ वैध होगा।

हालांकि, यदि डेटा घटाया जाता है, तो सांख्यिक अंकों की संख्या कम हो सकती है।

उदाहरण के लिए, $12.9 \mathrm{~g}-7.06 \mathrm{~g}$, दोनों तीन सांख्यिक अंकों के साथ दिए गए हैं, जिसे ठीक तौर पर $5.84 \mathrm{~g}$ के रूप में नहीं माना जा सकता, बल्कि केवल $5.8 \mathrm{~g}$ के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि घटाव या जोड़ में अनिश्चितता के संयोजन अलग तरीके से होते हैं (संख्या में सबसे कम दशमलव स्थान बजाय जोड़े या घटाए गए संख्याओं में सांख्यिक अंकों की संख्या)।

(3) एक संख्या के मान के संबंधी त्रुटि न केवल $\mathbf{n}$ पर निर्भर करती है, बल्कि उस संख्या पर भी निर्भर करती है।

उदाहरण के लिए, द्रव्यमान $1.02 \mathrm{~g}$ के मापन में त्रुटि $\pm 0.01 \mathrm{~g}$ है, जबकि एक अन्य मापन $9.89 \mathrm{~g}$ भी $\pm 0.01 \mathrm{~g}$ के साथ सटीक है।

$1.02 \mathrm{~g}$ में संबंधी त्रुटि है

$$ \begin{aligned} & =( \pm 0.01 / 1.02) \times 100 % \\ & = \pm 1 % \end{aligned} $$

उतना ही, $9.89 \mathrm{~g}$ में संबंधी त्रुटि है

$$ \begin{aligned} & =( \pm 0.01 / 9.89) \times 100 % \\ & = \pm 0.1 % \end{aligned} $$

अंत में, याद रखें कि एक बहु-चरण गणना में अंतर्में नतीजे के प्रत्येक मापन में न्यूनतम सटीक मापन के अंकों की संख्या से एक अधिक सटीक अंकों तक गणना की जानी चाहिए। इनकी व्याख्या डेटा द्वारा की जानी चाहिए और फिर गणितीय संचालन किए जा सकते हैं; अन्यथा चूक के कारण त्रुटियाँ बढ़ सकती हैं। उदाहरण के लिए, 9.58 के व्युत्क्रम, चार अंकों के साथ गोल करके (तीन अंकों के साथ) 0.104 होता है, लेकिन 0.104 के व्युत्क्रम, तीन अंकों के साथ गोल करके 9.62 होता है। हालांकि, यदि हम $1 / 9.58 = 0.1044$ लिख दें और फिर तीन अंकों के साथ व्युत्क्रम लें, तो हम वास्तविक मान 9.58 प्राप्त कर सकते हैं।

इस उदाहरण ने बहु-चरण गणना के अंतर्में चरणों में न्यूनतम सटीक मापन के अंकों की संख्या से एक अधिक अंक रखने की आवश्यकता को बताया है, ताकि संख्याओं के गोल करने की प्रक्रिया में अतिरिक्त त्रुटियों से बचा जा सके।

1.4 भौतिक राशियों के आयाम

किसी भौतिक राशि की प्रकृति उसके आयाम द्वारा वर्णित होती है। सभी अवतल इकाइयों द्वारा प्रस्तुत भौतिक राशियों को सात मूल या आधार राशियों के कुछ संयोजन द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। हम इन आधार राशियों को भौतिक दुनिया के सात आयाम कहेंगे, जिन्हें वर्ग ब्रैकेट [ ] द्वारा नोट किया जाता है। इस प्रकार, लंबाई का आयाम $[\mathrm{L}]$, द्रव्यमान $[\mathrm{M}]$, समय [T], विद्युत धारा $[\mathrm{A}]$, थर्मोडाइनामिक तापमान $[\mathrm{K}]$, प्रकाश तीव्रता [cd], और पदार्थ की मात्रा [mol] होती है। किसी भौतिक राशि के आयाम वह घात (या घातांक) होते हैं जिनमें आधार राशियों को उस राशि को प्रस्तुत करने के लिए उठाया जाता है। ध्यान दें कि किसी राशि के वर्ग ब्रैकेट [ ] में उपयोग करना यह बताता है कि हम ‘राशि के आयाम’ के साथ काम कर रहे हैं।

मेकैनिक्स में, सभी भौतिक राशियों को [L], [M] और $[\mathrm{T}]$ के आयामों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी वस्तु द्वारा घेरे गए आयतन को लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो तीन लंबाइयों के गुणनफल होता है। इसलिए, आयतन के आयाम $[\mathrm{L}] \times[\mathrm{L}] \times[\mathrm{L}]=[\mathrm{L}]^{3}=\left[\mathrm{L}^{3}\right]$ होते हैं। चूंकि आयतन द्रव्यमान और समय पर निर्भर नहीं होता, इसे द्रव्यमान में शून्य आयाम $\left[\mathrm{M}^{\circ}\right]$, समय में शून्य आयाम $\left[\mathrm{T}^{\circ}\right]$ और लंबाई में तीन आयाम कहा जाता है।

अत: बल, द्रव्यमान और त्वरण के गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है

बल $=$ द्रव्यमान $\times$ त्वरण

$=$ द्रव्यमान $\times$ (लंबाई) $/(\text { समय })^{2}$

बल के आयाम $[\mathrm{M}][\mathrm{L}] /[\mathrm{T}]^{2}=$ $\left[\mathrm{M} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}\right]$ हैं। इसलिए, बल में द्रव्यमान के एक आयाम, लंबाई के एक आयाम और समय के -2 आयाम होते हैं। अन्य सभी मूल राशियों के आयाम शून्य होते हैं।

ध्यान दें कि इस प्रकार के प्रतिनिधित्व में मापदंड नहीं लिए जाते हैं। यहां भौतिक राशि के प्रकार की गुणवत्ता शामिल होती है। इसलिए, वेग में परिवर्तन, प्रारंभिक वेग, औसत वेग, अंतिम वेग और चाल सभी इस संदर्भ में समान होते हैं। क्योंकि इन सभी राशियों को लंबाई/समय के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इनके आयाम $[\mathrm{L}] /[\mathrm{T}]$ या $\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-1}\right]$ होते हैं।

1.5 आयामी सूत्र और आयामी समीकरण

एक भौतिक राशि के आयाम को कैसे और किस आधार राशि के द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, इसका व्यक्तिगत व्यंजक दिए गए भौतिक राशि के आयामी सूत्र कहलाता है। उदाहरण के लिए, आयतन का आयामी सूत्र $\left[\mathrm{M}^{\circ} \mathrm{L}^{3} \mathrm{~T}^{\circ}\right]$ होता है, और वेग या चाल का आयामी सूत्र $\left[\mathrm{M}^{\circ} \mathrm{LT}^{-1}\right]$ होता है। इसी तरह, $\left[\mathrm{M}^{\circ} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}\right]$ त्वरण का आयामी सूत्र होता है और $\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{-3} \mathrm{~T}^{\circ}\right]$ द्रव्यमान घनत्व का आयामी सूत्र होता है।

एक भौतिक राशि के आयामी सूत्र के साथ तुलना करके प्राप्त की गई समीकरण को उस भौतिक राशि की आयामी समीकरण कहते हैं। इस प्रकार, आयामी समीकरण वे समीकरण होते हैं, जो एक भौतिक राशि के आयाम को मूल राशियों के आधार पर प्रदर्शित करते हैं। उदाहरण के लिए, आयतन $[V]$ , चाल $[v]$ , बल $[F]$ और द्रव्यमान घनत्व $[\rho]$ के आयामी समीकरण निम्नलिखित रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं:

$$ \begin{aligned} & {[V]=\left[\mathrm{M}^{0} \mathrm{~L}^{3} \mathrm{~T}^{0}\right]} \\ & {[v]=\left[\mathrm{M}^{0} \mathrm{~L} \mathrm{~T}^{-1}\right]} \\ & {[F]=\left[\mathrm{M} \mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}\right]} \\ & {[\rho]=\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{-3} \mathrm{~T}^{0}\right]} \end{aligned} $$

1.6 आयामी विश्लेषण एवं उसके अनुप्रयोग

आयामों के अवधारणाओं के पहचान के महत्वपूर्णतम होने के कारण हमें भौतिक व्यवहार के वर्णन के लिए आयामों के आधार पर चलना आवश्यक होता है। केवल उन भौतिक राशियों को जो एक ही आयाम रखती हैं, जोड़ या घटा सकती हैं। आयामी विश्लेषण के गहरे अध्ययन से हम विभिन्न भौतिक राशियों के बीच कुछ संबंधों को निकाल सकते हैं और विभिन्न गणितीय व्यंजकों के व्युत्पन्न, सटिकता एवं आयामी समानता या समानता की जांच कर सकते हैं। जब दो या अधिक भौतिक राशियों के मानों को गुणा किया जाता है, तो उनके इकाइयों को सामान्य बीजगणितीय चिह्नों के तरह व्यवहार करना चाहिए। हम अंश एवं हर में एक ही इकाइयों को विलोपित कर सकते हैं। भौतिक राशियों के आयामों के लिए भी यही लागू होता है। इसी तरह, गणितीय समीकरण के दोनों ओर चिह्नों द्वारा प्रकटित भौतिक राशियां एक ही आयाम रखनी चाहिए।

1.6.1 समीकरण की आयामी समानता की जांच

भौतिक राशियों के मानों को केवल उनके आयाम समान होने पर एक दूसरे से जोड़ा या घटाया जा सकता है। इसके अर्थ में, हम एक दूसरे के समान भौतिक राशियों को जोड़ या घटा सकते हैं। इसलिए, वेग को बल के साथ जोड़ा नहीं जा सकता है, या विद्युत धारा को ताप विज्ञानी तापमान से घटाया नहीं जा सकता है। इस आसान नियम को आयामों की समानता के सिद्धांत कहा जाता है जो एक समीकरण की सही रहता होने की जांच करने में बहुत उपयोगी होता है। यदि समीकरण के सभी पदों के आयाम एक ही नहीं हों, तो समीकरण गलत होता है। इसलिए, यदि हम किसी वस्तु की लंबाई (या दूरी) के व्यंजक का व्युत्पन्न करते हैं, तो चाहे विभिन्न चिह्न वाले गणितीय संबंध में कैसे आएं, जब सभी व्यक्तिगत आयामों को सरल कर दिया जाता है, तो बचे हुए आयाम लंबाई के होना चाहिए। इसी तरह, यदि हम वेग के समीकरण का व्युत्पन्न करते हैं, तो समीकरण के दोनों ओर आयामों को सरल कर देने पर, आयाम लंबाई/समय या $\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-1}\right]$ होना चाहिए।

आयाम आमतौर पर एक समीकरण के सही होने के संदेह में उसकी सांतत्यता का प्रारंभिक परीक्षण के रूप में उपयोग किए जाते हैं। हालांकि, आयामी सांतत्यता सही समीकरणों की गारंटी नहीं देती है। यह विमाही राशियों या फलनों के संदर्भ में अनिश्चित हो सकती है। विशेष फलनों के तर्क, जैसे कि त्रिकोणमितीय, लघुगणक और घातांकीय फलन, आवश्यक रूप से विमाही होने चाहिए। शुद्ध संख्या, एक समान भौतिक राशियों के अनुपात, जैसे कोण के रूप में (लंबाई/लंबाई), अपवर्तनांक के रूप में (शून्यक वातावरण में प्रकाश की गति/माध्यम में प्रकाश की गति) आदि, आयाम नहीं होते हैं।

अब हम इस समीकरण की आयामी सांतत्यता या समानता का परीक्षण कर सकते हैं

$$ x = x_{0} + v_{0} t + (1 / 2) a t^{2} $$

जिसके द्वारा एक कण या वस्तु द्वारा समय $t$ में तय की गई दूरी $x$ होती है, जो समय $t=0$ पर स्थिति $x_{0}$ से शुरू होती है, जहां आरंभिक वेग $v_{0}$ होता है और गति की दिशा में समान त्वरण $a$ होता है।

प्रत्येक शब्द के आयाम लिखे जा सकते हैं

$$ \begin{gathered} {[x]=[\mathrm{L}]} \\ {\left[x_{0}\right]=[\mathrm{L}]} \\ {\left[v_{0} t\right]=\left[\mathrm{L}\mathrm{T}^{-1}\right][\mathrm{T}]} \\ =[\mathrm{L}] \\ {\left[(1 / 2) a t^{2}\right]=\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}\right]\left[\mathrm{T}^{2}\right]} \\ =[\mathrm{L}] \end{gathered} $$

इस समीकरण के दाहिने ओर के प्रत्येक पद के विमान के एक ही होते हैं, अर्थात लंबाई के विमान, जो समीकरण के बाईं ओर के पद के विमान के समान है, इसलिए यह समीकरण विमान दृष्टि से सही समीकरण है।

ध्यान दें कि विमाओं के सांतत्य के परीक्षण से हमें इकाइयों के सांतत्य के परीक्षण के बराबर और केवल उतना ही जानकारी मिलती है, लेकिन इसका एक लाभ यह है कि हमें किसी विशिष्ट इकाई के चयन पर आवश्यकता नहीं होती है और हमें इकाइयों के गुणज और उपगुणज के बीच परिवर्तनों के बारे में चिंता नहीं करनी पड़ती है। ध्यान रखें कि यदि कोई समीकरण इस सांतत्य परीक्षण में विफल रहता है, तो यह सही नहीं हो सकता, लेकिन यदि यह परीक्षण के बाद सही रहता है, तो यह अवश्य सही नहीं हो सकता। इसलिए, एक विमान दृष्टि से सही समीकरण वास्तव में एक सही (सही) समीकरण नहीं हो सकता, लेकिन एक विमान दृष्टि से गलत (गलत) या असांतत्य समीकरण निश्चित रूप से गलत होता है।

उदाहरण 1.3 एक समीकरण को बराबर करें

$$ \frac{1}{2} m v^{2}=m g h $$

जहाँ $m$ वस्तु के द्रव्यमान है, $v$ इसका वेग है, $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है और $h$ ऊंचाई है। इस समीकरण की आयामी सही होना चेक करें।

उत्तर बायां ओर वाले पद के आयाम हैं

$$ \begin{gathered} {[\mathrm{M}]\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-1}\right]^{2}=[\mathrm{M}]\left[\mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]} \\ =\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right] \end{gathered} $$

दायां ओर वाले पद के आयाम हैं

$$ \begin{aligned} {[\mathrm{M}]\left[\mathrm{L} \mathrm{T}^{-2}\right][\mathrm{L}] } & =[\mathrm{M}]\left[\mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right] \\ & =\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right] \end{aligned} $$

बायां ओर वाले पद और दायां ओर वाले पद के आयाम समान हैं और इसलिए यह समीकरण आयामी रूप से सही है।

उदाहरण 1.4 ऊर्जा की SI इकाई $ \mathrm{J}=\mathrm{kg} \mathrm{m}^2 \mathrm{~s}^{-2}$ है; वेग $v$ की इकाई $ \mathrm{m} \mathrm{s}^{-1}$ है और त्वरण $a$ की इकाई $ \mathrm{m} \mathrm{s}^{-2}$ है। आयामी तर्क के आधार पर निम्नलिखित गतिज ऊर्जा $(K)$ के सूत्रों में से कौन से सूत्र आप असंभव घोषित कर सकते हैं ( $m$ वस्तु के द्रव्यमान को दर्शाता है) :

(a) $K=m^2 v^3$

(b) $K=(1 / 2) m v^2$

(c) $K=m a$

(d) $K=(3 / 16) m v^2$

(e) $K=(1 / 2) m v^2+m a$

उत्तर प्रत्येक सही सूत्र या समीकरण के दोनों ओर एक ही विमाएँ होनी चाहिए। इसके अलावा, केवल एक ही भौतिक विमाओं वाली राशियों को जोड़ा या घटाया जा सकता है। (a) के दाईं ओर राशि की विमा $\left[\mathrm{M}^{2} \mathrm{~L}^{3} \mathrm{~T}^{-3}\right]$ है; (b) और (d) के दाईं ओर राशि की विमा $\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ है; (c) के दाईं ओर राशि की विमा [M L T ${ }^{-2}$ ] है। (e) के दाईं ओर राशि की विमा गलत है क्योंकि विभिन्न विमाओं वाली दो राशियों को जोड़ दिया गया है। क्योंकि गतिज ऊर्जा $K$ की विमा $\left[\mathrm{M} \mathrm{L}^{2} \mathrm{~T}^{-2}\right]$ होती है, इसलिए सूत्र (a), (c) और (e) अस्वीकृत कर दिए जाते हैं। ध्यान दें कि विमीय तर्क दोनों सूत्रों (b) और (d) में से किसकी सही विमा है यह निर्धारित नहीं कर सकते। इसके लिए गतिज ऊर्जा के वास्तविक परिभाषा का संदर्भ ले लेना आवश्यक है (देखें अध्याय 5)। गतिज ऊर्जा का सही सूत्र (b) द्वारा दिया गया है।

1.6.2 भौतिक राशियों में संबंध का निर्णय

आयाम विधि कभी-कभी भौतिक राशियों में संबंध का निर्णय करने में सहायता कर सकती है। इसके लिए हमें जानना आवश्यक होता है कि एक भौतिक राशि अन्य राशियों पर किस प्रकार निर्भर करती है (तीन भौतिक राशियों या रैखिक रूप से स्वतंत्र चरों तक) और इसे उत्पाद के रूप में निर्भरता के रूप में लेना चाहिए। एक उदाहरण लेते हैं।

उदाहरण 1.5 एक सरल लोलक के बारे में सोचें, जिसमें एक गोली एक डोरी से लटकाए गए होते हैं, जो गुरुत्वाकर्षण बल के कारण दोलन करता है। मान लीजिए कि सरल लोलक के दोलन काल इसकी लंबाई (I), गोली के द्रव्यमान $(m)$ और गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है। आयाम विधि का उपयोग करके इसके समय अवधि के व्यंजक को निर्माण करें।

उत्तर समय अवधि $T$ के राशियों $l, g$ और $m$ पर निर्भरता को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:

$T = k l^{x} g^{y} m^{z}$

जहाँ $ \mathrm{k} $ आयाम रहित नियतांक है और $x, y$ और $z$ घातांक हैं।

दोनों ओर आयाम को ध्यान में रखते हुए, हमें प्राप्त होता है:

$$ \left[\mathrm{L}^{\mathrm{o}} \mathrm{M}^{\mathrm{o}} \mathrm{T}^{1}\right]=\left[\mathrm{L}^{1}\right]^{x}\left[\mathrm{~L}^{1} \mathrm{~T}^{-2}\right]^{y}\left[\mathrm{M}^{1}\right]^{z} $$

$=\mathrm{L}^{x+y} \mathrm{~T}^{-2 y} \mathrm{M}^{z}$

दोनों ओर के विमाओं की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है

$$ x+y=0 ;-2 y=1 ; \text { और } z=0 $$

इस प्रकार $x=\frac{1}{2}, y=-\frac{1}{2}, z=0$

तब, $T=k l^{1 / 2} g^{-1 / 2}$

या, $T=k \sqrt{\frac{l}{g}}$

ध्यान दें कि नियतांक $k$ का मान विमीय विश्लेषण के द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता। इस सूत्र के दाहिने ओर किसी संख्या के गुणा से असर नहीं पड़ता क्योंकि वह इसकी विमाओं को प्रभावित नहीं करती।

वास्तव में, $k=2 \pi$ ताकि $T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

विमीय विश्लेषण किसी भी समीकरण में आपसी निर्भर भौतिक राशियों के बीच संबंधों को निर्धारित करने में बहुत उपयोगी होता है। हालांकि, विमाहीन नियतांक इस विधि के माध्यम से प्राप्त नहीं किए जा सकते। विमाओं की विधि केवल विमीय वैधता की जांच कर सकती है, लेकिन किसी समीकरण में भौतिक राशियों के बीच सटीक संबंध के बारे में जानकारी नहीं दे सकती। यह विमा वाली भौतिक राशियों के बीच अंतर को भी नहीं अलग कर सकती।

एक अध्याय के अंत में कई अभ्यास प्रश्न होंगे जो आपको विमीय विश्लेषण में कौशल विकसित करने में मदद करेंगे।

सार

1. भौतिकी एक मापन आधारित वैज्ञानिक विषय है, जिसमें भौतिक राशियों के मापन के आधार पर आधार राशियों के चयन किया जाता है (जैसे लंबाई, द्रव्यमान, समय, विद्युत धारा, तापमान, पदार्थ की मात्रा और प्रकाश तीव्रता)।

2. प्रत्येक आधार राशि को एक निर्धारित आधार राशि के आधार पर परिभाषित किया जाता है, जो एक आरंभिक रूप से चुने गए लेकिन ठीक तैयार किए गए संदर्भ मानक कहलाता है (जैसे मीटर, किलोग्राम, सेकंड, एम्पियर, केल्विन, मोल और कैंडेला)। आधार राशियों के इकाइयों को आधार इकाइयाँ कहा जाता है।

3. अन्य भौतिक राशियाँ, जो आधार राशियों से निर्मित होती हैं, आधार इकाइयों के संयोजन के रूप में व्यक्त की जा सकती हैं और इन्हें अपसंगत इकाइयाँ कहा जाता है। आधार और अपसंगत दोनों इकाइयों के पूर्ण सेट को इकाइयों के एक प्रणाली कहा जाता है।

4. अंतरराष्ट्रीय मात्रक प्रणाली (SI) वर्तमान में अंतरराष्ट्रीय रूप से स्वीकृत इकाइयों की प्रणाली है और विश्व के बहुत सारे देशों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

5. सभी भौतिक मापनों में SI इकाइयों का उपयोग किया जाता है, जिसमें मूल राशियों और उनसे प्राप्त अवतल राशियों के लिए भी शामिल हैं। कुछ अवतल इकाइयाँ SI इकाइयों के साथ विशेष नामों के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं (जैसे जूल, न्यूटन, वॉट आदि)।

6. SI इकाइयाँ अंतरराष्ट्रीय रूप से स्वीकृत और स्पष्ट इकाई चिह्नों के साथ होती हैं (जैसे $m$ मीटर के लिए, kg किलोग्राम के लिए, $ \mathrm{s}$ सेकंड के लिए, A एम्पियर के लिए, $ \mathrm{N}$ न्यूटन के लिए आदि)।

7. भौतिक मापन आमतौर पर वैज्ञानिक संकेतन के माध्यम से छोटी और बड़ी मात्राओं के लिए व्यक्त किया जाता है, जिसमें 10 के घात का उपयोग किया जाता है। वैज्ञानिक संकेतन और प्रतीक उपयोग करके मापन के संकेतन और संख्यात्मक गणना को सरल बनाया जाता है, जो संख्याओं की सटीकता के संकेत देता है।

8. भौति्षमता राशियों के लिए नोटेशन के उपयोग और SI इकाइयों के मानक चिह्नों के लिए कुछ विशिष्ट नियम और दिशानिर्देश पालन करने आवश्यक होते हैं, जो भौतिक राशियों और मापनों को सही तरीके से व्यक्त करने के लिए अन्य इकाइयों और SI प्रतीकों के उपयोग के लिए आवश्यक होते हैं।

9. किसी भी भौतिक राशि की गणना करते समय, संबंधों में शामिल अवतल राशियों के इकाइयों को चाहे जैसे बीजगणितीय राशियों के रूप में लिया जाता है तक अभीष्ट इकाइयाँ प्राप्त कर ली जाती हैं।

10. मापित और गणनात्मक मात्राओं में केवल सही सांख्यिकीय अंक बरकरार रखे जाने चाहिए। महत्वपूर्ण अंकों की संख्या के निर्धारण, इनके साथ अंकगणितीय संचालन करने और अनिश्चित अंकों को “कोण देने” के नियम का पालन करना आवश्यक है।

11. मूल मात्राओं के आयाम और इनके संयोजन भौतिक मात्राओं की प्रकृति को वर्णित करते हैं। आयामी विश्लेषण का उपयोग समीकरणों के आयामी संगतता की जांच करने, भौतिक मात्राओं के बीच संबंधों के निर्णय आदि के लिए किया जा सकता है। एक आयामी संगत समीकरण वास्तव में सही (सही) समीकरण नहीं हो सकता है, लेकिन आयामी गलत या असंगत समीकरण निश्चित रूप से गलत होगा।