हल

$\Rightarrow y^{\prime \prime \prime \prime}+\sin (y^{\prime \prime \prime})=0$

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँची कोटि का अवकलज $y^{\prime \prime \prime \prime}$ है। इसलिए, इसका क्रम चार है।

दिए गए अवकल समीकरण के अवकलजों में एक बहुपदीय समीकरण नहीं है। इसलिए, इसकी घात परिभाषित नहीं है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है:

$y^{\prime}+5 y=0$

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँची कोटि का अवकलज $y^{\prime}$ है। इसलिए, इसका क्रम एक है।

यह $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है। $y^{\prime}$ की सबसे ऊँची घात 1 है। इसलिए, इसकी घात एक है।

हल

$(\frac{d s}{d t})^{4}+3 \frac{d^{2} s}{d t^{2}}=0$

दिए गए अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँची कोटि का अवकलज $\frac{d^{2} s}{d t^{2}}$ है। इसलिए, इसका क्रम दो है।

यह $\frac{d^{2} s}{d t^{2}}$ और $\frac{d s}{d t}$ के बहुपदीय समीकरण है। $\frac{d^{2} s}{d t^{2}}$ की घात 1 है। इसलिए, इसकी घात एक है।

हल

$(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{2}+\cos (\frac{d y}{d x})=0$

दिए गए अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँची कोटि का अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है। इसलिए, इसका क्रम 2 है।

दिए गए अवकल समीकरण के अवकलजों में एक बहुपदीय समीकरण नहीं है। इसलिए, इसकी घात परिभाषित नहीं है।

हल

$\frac{d^{2} y}{d x^{2}}=\cos 3 x+\sin 3 x$

$\Rightarrow \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\cos 3 x-\sin 3 x=0$

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड दो है।

इसका एक बहुपदीय समीकरण है $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ और $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के घात 1 है।

इसलिए, इसकी डिग्री एक है।

हल

$(y^{\prime \prime \prime})^{2}+(y^{\prime \prime})^{3}+(y^{\prime})^{4}+y^{5}=0$

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड तीन है।

दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है।

$y^{\prime \prime \prime}$ के घात दो है। इसलिए, इसकी डिग्री दो है।

हल

$y^{\prime \prime \prime}+2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}=0$

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime \prime \prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड तीन है।

इसका बहुपदीय समीकरण $y^{\prime \prime \prime}, y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ में है। $y^{\prime \prime \prime}$ के घात एक है। इसलिए, इसकी डिग्री एक है।

हल

$ \begin{aligned} & y^{\prime}+y=e^{x} \\ & \Rightarrow y^{\prime}+y-e^{x}=0 \end{aligned} $

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड एक है।

दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है और $y^{\prime}$ के घात एक है। इसलिए, इसकी डिग्री एक है।

हल

$y^{\prime \prime}+(y^{\prime})^{2}+2 y=0$

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime \prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड दो है।

दिया गया अवकल समीकरण $y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है और $y^{\prime \prime}$ के सबसे ऊँचा घात एक है।

इसलिए, इसकी डिग्री एक है।

हल

$y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+\sin y=0$

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $y^{\prime \prime}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड दो है।

यह $y^{\prime \prime}$ और $y^{\prime}$ के बहुपदीय समीकरण है और $y^{\prime \prime}$ के सबसे ऊँचा घात एक है। इसलिए, इसकी डिग्री एक है।

हल

$(\frac{d^{2} y}{d x^{2}})^{3}+(\frac{d y}{d x})^{2}+\sin (\frac{d y}{d x})+1=0$

दिया गया अवकल समीकरण अपने अवकलजों में बहुपदीय समीकरण नहीं है। इसलिए, इसकी डिग्री अनिर्धारित है।

इसलिए, सही उत्तर D है।

हल

$2 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}-3 \frac{d y}{d x}+y=0$

दिए गए अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड दो है।

इसलिए, सही उत्तर A है।

हल

$y=e^{x}+1$

इस समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(e^{x}+1)$

$\Rightarrow y^{\prime}=e^{x}$

अब, समीकरण (1) के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\frac{d}{d x}(y^{\prime})=\frac{d}{d x}(e^{x})$

$\Rightarrow y^{\prime \prime}=e^{x}$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ और $y^{\prime \prime}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें बाईं ओर के मान प्राप्त होता है:

$y^{\prime \prime}-y^{\prime}=e^{x}-e^{x}=0=$ दाईं ओर के मान

अतः, दिया गया फलन अभीष्ट अवकल समीकरण का हल है।

हल

$y=x^{2}+2 x+C$

इस समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y^{\prime}=\frac{d}{d x}(x^{2}+2 x+C)$

$\Rightarrow y^{\prime}=2 x+2$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर के मान $=y^{\prime}-2 x-2=2 x+2-2 x-2=0=$ दाईं ओर के मान

अतः, दिया गया फलन अभीष्ट अवकल समीकरण का हल है।

हल

$y=\cos x+C$

इस समीकरण के दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y^{\prime}=\frac{d}{d x}(\cos x+C)$

$\Rightarrow y^{\prime}=-\sin x$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर के मान $=y^{\prime}+\sin x=-\sin x+\sin x=0=$ दाईं ओर के मान

अतः, दिया गया फलन अभीष्ट अवकल समीकरण का हल है।

Solution

$y=\sqrt{1+x^{2}}$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $y^{\prime}=\frac{d}{d x}(\sqrt{1+x^{2}})$

$y^{\prime}=\frac{1}{2 \sqrt{1+x^{2}}} \cdot \frac{d}{d x}(1+x^{2})$

$y^{\prime}=\frac{2 x}{2 \sqrt{1+x^{2}}}$

$y^{\prime}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{x}{1+x^{2}} \times \sqrt{1+x^{2}}$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{x}{1+x^{2}} \cdot y$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{x y}{1+x^{2}}$

$\therefore$ बाईं ओर $=$ दाईं ओर

इसलिए, दी गई फलन अवकल समीकरण के संगत हल है।

Solution

$y=A x$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y^{\prime}=\frac{d}{d x}(A x)$

$\Rightarrow y^{\prime}=A$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को बदल देने पर, हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर $=x y^{\prime}=x \cdot A=A x=y=$ दाईं ओर

इसलिए, दी गई फलन अवकल समीकरण के संगत हल है।

Solution

$y=x \sin x$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y^{\prime}=\frac{d}{d x}(x \sin x)$

$\Rightarrow y^{\prime}=\sin x \cdot \frac{d}{d x}(x)+x \cdot \frac{d}{d x}(\sin x)$

$\Rightarrow y^{\prime}=\sin x+x \cos x$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को बदल देने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} \text{ L.H.S. }=x y^{\prime} & =x(\sin x+x \cos x) \\ & =x \sin x+x^{2} \cos x \\ & =y+x^{2} \cdot \sqrt{1-\sin ^{2}} x \\ & =y+x^{2} \sqrt{1-(\frac{y}{x})^{2}} \\ & =y+x \sqrt{x^{2}-y^{2}} \\ `

& =\text{ R.H.S. } \end{aligned} $

अतः, दी गई फलन उसके संगत अवकल समीकरण का हल है।

हल

$x y=\log y+C$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\frac{d}{d x}(x y)=\frac{d}{d x}(\log y)$

$\Rightarrow y \cdot \frac{d}{d x}(x)+x \cdot \frac{d y}{d x}=\frac{1}{y} \frac{d y}{d x}$

$\Rightarrow y+x y^{\prime}=\frac{1}{y} y^{\prime}$

$\Rightarrow y^{2}+x y y^{\prime}=y^{\prime}$

$\Rightarrow(x y-1) y^{\prime}=-y^{2}$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{y^{2}}{1-x y}$

$\therefore$ बाईं ओर $=$ दाईं ओर

अतः, दी गई फलन उसके संगत अवकल समीकरण का हल है।

हल

$y-\cos y=x$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}-\frac{d}{d x}(\cos y)=\frac{d}{d x}(x) \\ & \Rightarrow y^{\prime}+\sin y \cdot y^{\prime}=1 \\ & \Rightarrow y^{\prime}(1+\sin y)=1 \\ & \Rightarrow y^{\prime}=\frac{1}{1+\sin y} \end{aligned} $

समीकरण (1) में $y^{\prime}$ के मान को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

बाईं ओर $=(y \sin y+\cos y+x) y^{\prime}$

$ \begin{aligned} & =(y \sin y+\cos y+y-\cos y) \times \frac{1}{1+\sin y} \\ & =y(1+\sin y) \cdot \frac{1}{1+\sin y} \\ & =y \\ & =\text{ दाईं ओर } \end{aligned} $

अतः, दी गई फलन उसके संगत अवकल समीकरण का हल है।

हल

$x+y=\tan ^{-1} y$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \frac{d}{d x}(x+y)=\frac{d}{d x}(\tan ^{-1} y) $

$ \Rightarrow 1+y^{\prime}=[\frac{1}{1+y^{2}}] y^{\prime} `

$

$\Rightarrow y^{\prime}[\frac{1}{1+y^{2}}-1]=1$

$\Rightarrow y^{\prime}[\frac{1-(1+y^{2})}{1+y^{2}}]=1$

$\Rightarrow y^{\prime}[\frac{-y^{2}}{1+y^{2}}]=1$

$\Rightarrow y^{\prime}=\frac{-(1+y^{2})}{y^{2}}$

दिए गए अवकल समीकरण में $y^{\prime}$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

एल.एच.एस. $=y^{2} y^{\prime}+y^{2}+1=y^{2}[\frac{-(1+y^{2})}{y^{2}}]+y^{2}+1$

$ \begin{aligned} & =-1-y^{2}+y^{2}+1 \\ & =0 \\ & =\text{ दाहिना हाथ ओर एस. } \end{aligned} $

इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन अवकल समीकरण के संगत हल है।

हल

$y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}$

इस समीकरण के दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \frac{d y}{d x}=\frac{d}{d x}(\sqrt{a^{2}-x^{2}}) \\ & \Rightarrow \frac{d y}{d x}=\frac{1}{2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}} \cdot \frac{d}{d x}(a^{2}-x^{2}) \\ & =\frac{1}{2 \sqrt{a^{2}-x^{2}}}(-2 x) \\ & =\frac{-x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}} \end{aligned} $

$\frac{d y}{d x}$ के मान को दिए गए अवकल समीकरण में बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

एल.एच.एस. $=x+y \frac{d y}{d x}=x+\sqrt{a^{2}-x^{2}} \times \frac{-x}{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

$ \begin{aligned} & =x-x \\ & =0 \\ & =\text{ दाहिना हाथ ओर एस. } \end{aligned} $

इसलिए, दिए गए फ़ंक्शन अवकल समीकरण के संगत हल है।

हल

हम जानते हैं कि एक अवकल समीकरण के सामान्य हल में नियतांकों की संख्या इसके कोटि के बराबर होती है।

इसलिए, चौथे कोटि के अवकल समीकरण के सामान्य हल में चार नियतांक होते हैं।

इसलिए, सही उत्तर D है।

हल

एक विशिष्ट समीकरण के एक विशिष्ट समाधान में कोई अचर अचर नहीं होते हैं।

अतः सही उत्तर D है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{2 \sin ^{2} \dfrac{x}{2}}{2 \cos ^{2} \dfrac{x}{2}}=\tan ^{2} \dfrac{x}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=(\sec ^{2} \dfrac{x}{2}-1)$

चरों को अलग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$d y=(\sec ^{2} \dfrac{x}{2}-1) d x$

अब, इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \int d y=\int(\sec ^{2} \dfrac{x}{2}-1) d x=\int \sec ^{2} \dfrac{x}{2} d x-\int d x \\ & \Rightarrow y=2 \tan \dfrac{x}{2}-x+C \end{aligned} $

इसका आवश्यक सामान्य हल दिया गया अवकल समीकरण के लिए है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है: $\dfrac{d y}{d x}=\sqrt{4-y^{2}}$

चरों को अलग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\Rightarrow \dfrac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}=d x$

अब, इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \int \dfrac{d y}{\sqrt{4-y^{2}}}=\int d x \\ & \Rightarrow \sin ^{-1} \dfrac{y}{2}=x+C \\ & \Rightarrow \dfrac{y}{2}=\sin (x+C) \\ & \Rightarrow y=2 \sin (x+C) \end{aligned} $

इसका आवश्यक सामान्य हल दिया गया अवकल समीकरण के लिए है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}+y=1 \\ & \Rightarrow d y+y d x=d x \\ & \Rightarrow d y=(1-y) d x \end{aligned} $

चरों को अलग करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\Rightarrow \dfrac{d y}{1-y}=d x$

अब, दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $\int \dfrac{d y}{1-y}=\int d x$

$\Rightarrow -\log |(1-y)|=x+\log |(C)|$

$\Rightarrow-\log |C|-\log |(1-y)|=x$

$\Rightarrow \log |C(1-y)|=-x$

$\Rightarrow |C(1-y)|=e^{-x}$

$\Rightarrow 1-y=\pm\dfrac{1}{C} e^{-x}$

$\Rightarrow y=1\mp\dfrac{1}{C} e^{-x}$

$\Rightarrow y=1+A e^{-x}$ (जहाँ $A=\mp\dfrac{1}{C}$ )

दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है:

$\sec ^{2} x \tan y d x+\sec ^{2} y \tan x d y=0$

$\Rightarrow \dfrac{\sec ^{2} x \tan y d x+\sec ^{2} y \tan x d y}{\tan x \tan y}=0$

$\Rightarrow \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x+\dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y=0$

$\Rightarrow \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=-\dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y$

इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{equation*} \int \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=-\int \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y \tag{1}+\log |c| \end{equation*} $$

मान लीजिए $\tan x=t$.

$\therefore \dfrac{d}{d x}(\tan x)=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow \sec ^{2} x=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow \sec ^{2} x d x=d t$

अब, $\int \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d x=\int \dfrac{1}{t} d t$.

$ \begin{aligned} & =\log |t| \\ & =\log |(\tan x)| \end{aligned} $

इसी तरह, $\int \dfrac{\sec ^{2} x}{\tan x} d y=\log |(\tan y)|$.

समीकरण (1) में इन मानों को रखने पर हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \log |(\tan x)|=-\log |(\tan y)|+\log |c| \\ & \Rightarrow \log |(\tan x)|=\log |(\dfrac{c}{\tan y})| \\ & \Rightarrow |\tan x|=|\dfrac{c}{\tan y}| \\ & \Rightarrow |\tan x \tan y|=|c| \\ & \Rightarrow \tan x \tan y=\pm c\\ & \Rightarrow \tan x \tan y=C \ (जहाँ \ C =\pm c) \end{aligned} $

दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है:

$ \begin{aligned} & (e^{x}+e^{-x}) d y-(e^{x}-e^{-x}) d x=0 \\ & \Rightarrow(e^{x}+e^{-x}) d y=(e^{x}-e^{-x}) d x \\ & \Rightarrow d y=[\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}] d x

\end{aligned} $

इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $\int d y=\int[\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}] d x+C $

$\Rightarrow y=\int[\dfrac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}] d x+C …….(1)$

मान लीजिए $(e^{x}+e^{-x})=t$।

$ x $ के सापेक्ष दोनों ओर अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{d}{d x}(e^{x}+e^{-x})=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow e^{x}-e^{-x}=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow(e^{x}-e^{-x}) d x=d t$

समीकरण (1) में इस मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & y=\int \dfrac{1}{t} d t+C \\ & \Rightarrow y=\log |(t)|+C \\ & \Rightarrow y=\log |(e^{x}+e^{-x})|+C \\ & \Rightarrow y=\log (e^{x}+e^{-x})+C \ (\because (e^{x}+e^{-x}) \ हमेशा \ धनात्मक \ होता \ है) \end{aligned} $

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}=(1+x^{2})(1+y^{2}) \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{1+y^{2}}=(1+x^{2}) d x \end{aligned} $

इस समीकरण के दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $\int \dfrac{d y}{1+y^{2}}=\int(1+x^{2}) d x$

$\Rightarrow \tan ^{-1} y=\int d x+\int x^{2} d x$

$\Rightarrow \tan ^{-1} y=x+\dfrac{x^{3}}{3}+C$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$y \log y d x-x d y=0$

$\Rightarrow y \log y d x=x d y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{y \log y}=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\int \dfrac{d y}{y \log y}=\int \dfrac{d x}{x}$

मान लीजिए $\log y=t$।

$\therefore \dfrac{d}{d y}(\log y)=\dfrac{d t}{d y}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{y}=\dfrac{d t}{d y}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{y} d y=d t$

समीकरण (1) में इस मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \int \dfrac{d t}{t}=\int \dfrac{d x}{x} \\ & \Rightarrow \log |t|=\log |x|+\log |C| \\ & \Rightarrow \log |(\log y)|=\log |C x |\\

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\dfrac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{t}+C \\ & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\sqrt{t}+C \\ & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\sqrt{1-x^{2}}+C \end{aligned} $$

Solution

दिया गया अंतर समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{1+\sin x}$

$\Rightarrow d y=\dfrac{1}{1+\sin x} d x$

दोनों पक्षों को एकीकृत करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int d y=\int \dfrac{1}{1+\sin x} d x \\ & \Rightarrow y=\int \dfrac{1}{1+\sin x} d x \end{align*} $$

अंश और हर को $1-\sin x$ से गुणा करें

$$ \begin{align*} & \Rightarrow y=\int \dfrac{1-\sin x}{(1+\sin x)(1-\sin x)} d x \\ & \Rightarrow y=\int \dfrac{1-\sin x}{1-\sin^{2} x} d x \\ & \Rightarrow y=\int \dfrac{1-\sin x}{\cos^{2} x} d x \\ & \Rightarrow y=\int \left( \dfrac{1}{\cos^{2} x} - \dfrac{\sin x}{\cos^{2} x} \right) d x \\ & \Rightarrow y=\int \sec^{2} x d x - \int \sec x \tan x d x \\ & \Rightarrow y=\tan x - \sec x + C \end{align*} $$

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\sqrt{t}+C \\ & \Rightarrow y=x \sin ^{-1} x+\sqrt{1-x^{2}}+C \end{aligned} $$

इस प्रकार, दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$e^{x} \tan y d x+(1-e^{x}) \sec ^{2} y d y=0$

$(1-e^{x}) \sec ^{2} y d y=-e^{x} \tan y d x$

चरों को अलग करने पर हमें प्राप्त होता है:

$ \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y=\dfrac{-e^{x}}{1-e^{x}} d x $

दोनों ओर समाकलन करने पर हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{equation*} \int \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y=\int \dfrac{-e^{x}}{1-e^{x}} d x \tag{1} +\log |C| \end{equation*} $$

मान लीजिए $\tan y=u$।

$ \begin{aligned} & \Rightarrow \dfrac{d}{d y}(\tan y)=\dfrac{d u}{d y} \\ & \Rightarrow \sec ^{2} y=\dfrac{d u}{d y} \\ & \Rightarrow \sec ^{2} y d y=d u \\ & \therefore \int \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y=\int \dfrac{d u}{u}=\log |u|=\log |(\tan y)| \end{aligned} $

अब, मान लीजिए $1-e^{x}=t$।

$\therefore \dfrac{d}{d x}(1-e^{x})=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow-e^{x}=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow-e^{x} d x=d t$

$\Rightarrow \int \dfrac{-e^{x}}{1-e^{x}} d x=\int \dfrac{d t}{t}=\log |t|=\log |(1-e^{x})|$

समीकरण (1) में $\int \dfrac{\sec ^{2} y}{\tan y} d y$ और $\int \dfrac{-e^{x}}{1-e^{x}} d x$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है:

$\Rightarrow \log |(\tan y)|=\log |(1-e^{x})|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |(\tan y)|=\log |[C(1-e^{x})]|$

$\Rightarrow \tan y=\pm C(1-e^{x})$

$\Rightarrow \tan y=c(1-e^{x}) \quad \text (जहाँ \pm C =c)$

इस प्रकार, दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

अभ्यास 11 से 14 के प्रत्येक अवकल समीकरण के लिए, दिए गए शर्त को संतुष्ट करने वाला विशिष्ट हल ज्ञात कीजिए:

हल

दिए गए अवकल समीकरण को निम्नलिखित दिया गया है:

$$ \begin{aligned} & (x^{3}+x^{2}+x+1) \dfrac{d y}{d x}=2 x^{2}+x \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{2 x^{2}+x}{(x^{3}+x^{2}+x+1)} \\ & \Rightarrow d y=\dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)} d x \end{aligned} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \int d y=\int \dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)} d x \tag{1}\\ & \text{ मान लीजिए } \dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B x+C}{x^{2}+1} . \tag{2}\\ & \Rightarrow \dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)}=\dfrac{A x^{2}+A+(B x+C)(x+1)}{(x+1)(x^{2}+1)} \\ & \Rightarrow 2 x^{2}+x=A x^{2}+A+B x^{2}+B x+C x+C \\ & \Rightarrow 2 x^{2}+x=(A+B) x^{2}+(B+C) x+(A+C) \end{align*} $$

$ x^{2} $ और $ x $ के गुणांकों की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ A+B=2 $

$ B+C=1 $

$ A+C=0 $

इन समीकरणों को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ A=\dfrac{1}{2}, B=\dfrac{3}{2} \text{ और } C=\dfrac{-1}{2} $

$ A, B $ और $ C $ के मान को समीकरण (2) में समान्य करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \dfrac{2 x^{2}+x}{(x+1)(x^{2}+1)}=\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{(x+1)}+\dfrac{1}{2} \dfrac{(3 x-1)}{(x^{2}+1)} $

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$$ \begin{align*} & \int d y=\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x+1} d x+\dfrac{1}{2} \int \dfrac{3 x-1}{x^{2}+1} d x \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log |(x+1)|+\dfrac{3}{2} \int \dfrac{x}{x^{2}+1} d x-\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x^{2}+1} d x \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log |(x+1)|+\dfrac{3}{4} \cdot \int \dfrac{2 x}{x^{2}+1} d x-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log |(x+1)|+\dfrac{3}{4} \log |(x^{2}+1)|-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \quad (\because (x^{2}+1) \text{ हमेशा धनात्मक होता है} \Rightarrow & \therefore |(x^{2}+1)|= (x^2+1)) \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{4}[2 \log |(x+1)|+3 \log (x^{2}+1)]-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{4}\log |(x+1)|^{2}(x^{2}+1)^{3}]-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \quad (\because |x|^2=x^2) \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{4}\log (x+1)^{2}(x^{2}+1)^{3}]-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+C \tag{3} \end{align*} $$

$$

अब, $y=1$ जब $x=0$ हो।

$\Rightarrow 1=\dfrac{1}{4} \log (1)-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} 0+C$

$\Rightarrow 1=\dfrac{1}{4} \times 0-\dfrac{1}{2} \times 0+C$

$\Rightarrow C=1$

समीकरण (3) में $C=1$ को समावेश करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$y=\dfrac{1}{4}[\log (x+1)^{2}(x^{2}+1)^{3}]-\dfrac{1}{2} \tan ^{-1} x+1$

हल

$ \begin{aligned} & x(x^{2}-1) \dfrac{d y}{d x}=1 \\ & \Rightarrow d y=\dfrac{d x}{x(x^{2}-1)} \\ & \Rightarrow d y=\dfrac{1}{x(x-1)(x+1)} d x \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \int d y=\int \dfrac{1}{x(x-1)(x+1)} d x \tag{1}\\ & \text{ मान लीजिए } \dfrac{1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+1} . \tag{2}\\ & \Rightarrow \dfrac{1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{A(x-1)(x+1)+B x(x+1)+C x(x-1)}{x(x-1)(x+1)} \\ & =\dfrac{(A+B+C) x^{2}+(B-C) x-A}{x(x-1)(x+1)} \end{align*} $$

$x^{2}, x$ और अचर पद के गुणांक की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$A=-1$

$B-C=0$

$A+B+C=0$

इन समीकरणों को हल करने पर, हम $B=\dfrac{1}{2}$ और $C=\dfrac{1}{2}$ प्राप्त करते हैं।

$A, B$ और $C$ के मान को समीकरण (2) में समावेश करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \dfrac{1}{x(x-1)(x+1)}=\dfrac{-1}{x}+\dfrac{1}{2(x-1)}+\dfrac{1}{2(x+1)} $

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$$ \begin{align*} & \int d y=-\int \dfrac{1}{x} d x+\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x-1} d x+\dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{x+1} d x \\ & \Rightarrow y=-\log |x|+\dfrac{1}{2} \log |(x-1)|+\dfrac{1}{2} \log |(x+1)|+\log |k| \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log |[\dfrac{k^{2}(x-1)(x+1)}{x^{2}}]| \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{\pm k^{2}(x-1)(x+1)}{x^{2}}] \\ & \Rightarrow y=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{C(x-1)(x+1)}{x^{2}}] \quad (जहाँ \ C=\pm k^2) \tag{3} \end{align*} $$

अब, $y=0$ जब $x=2$ हो।

$\Rightarrow 0=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{C(2-1)(2+1)}{4}]$

$\Rightarrow \log (\dfrac{3 C}{4})=0$

$\Rightarrow \dfrac{3 C}{4}=1$

$\Rightarrow 3 C=4$

$\Rightarrow C=\dfrac{4}{3}$

समीकरण (3) में $C$ के मान को समावेश करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$y=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{4(x-1)(x+1)}{3 x^{2}}]$

$y=\dfrac{1}{2} \log [\dfrac{4(x^{2}-1)}{3 x^{2}}]$

Solution

$\cos (\dfrac{d y}{d x})=a$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\cos ^{-1} a$

$\Rightarrow d y=\cos ^{-1} a d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int d y=\cos ^{-1} a \int d x \\ & \Rightarrow y=\cos ^{-1} a \cdot x+C \\ & \Rightarrow y=x \cos ^{-1} a+C \tag{1} \end{align*} $$

अब, $y=1$ जब $x=0$ होता है।

$\Rightarrow 1=0 \cdot \cos ^{-1} a+C$

$\Rightarrow C=1$

समीकरण (1) में $C=1$ को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y=x \cos ^{-1} a+1$ $\Rightarrow \dfrac{y-1}{x}=\cos ^{-1} a$ $\Rightarrow \cos (\dfrac{y-1}{x})=a$

Solution

$\dfrac{d y}{d x}=y \tan x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{y}=\tan x d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int \dfrac{d y}{y}=\int \tan x d x \\ & \Rightarrow \log |y|=\log |(\sec x)|+\log |C| \\ & \Rightarrow \log |y|=\log |(C \sec x)| \\ & \Rightarrow |y|=|C \sec x | \\ & \Rightarrow y=\pm C \sec x \\ & \Rightarrow y=c \sec x \tag{1} \end{align*} $$

अब, $y=1$ जब $x=0$ होता है।

$\Rightarrow 1=c \times \sec 0$

$\Rightarrow 1=c \times 1$

$\Rightarrow c=1$

समीकरण (1) में $c=1$ को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y=\sec x$

Solution

वक्र का अवकल समीकरण निम्नलिखित है:

$$ \begin{aligned} & y^{\prime}=e^{x} \sin x \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=e^{x} \sin x \\ & \Rightarrow d y=e^{x} \sin x \end{aligned} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{equation*} \int d y=\int e^{x} \sin x d x
\end{equation*} $$

$$ \begin{equation*} y=I+C \tag{1} \end{equation*} $$

मान लीजिए $I=\int e^{x} \sin x d x$।

$\Rightarrow I=\sin x \int e^{x} d x-\int(\dfrac{d}{d x}(\sin x) \cdot \int e^{x} d x) d x$
$\Rightarrow I=\sin x \cdot e^{x}-\int \cos x \cdot e^{x} d x$

$\Rightarrow I=\sin x \cdot e^{x}-[\cos x \cdot \int e^{\text{x}} d x-\int(\dfrac{d}{d x}(\cos x) \cdot \int e^{x} d x) d x]$

$\Rightarrow I=\sin x \cdot e^{x}-[\cos x \cdot e^{x}-\int(-\sin x) \cdot e^{x} d x]$

$\Rightarrow I=e^{x} \sin x-e^{x} \cos x-I$

$\Rightarrow 2 I=e^{x}(\sin x-\cos x)$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}$

इस मान को समीकरण (1) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{equation*} y=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+C \tag{2} \end{equation*} $$

अब, वक्र बिंदु $(0,0)$ से गुजरता है।

$\therefore 0=\dfrac{e^{0}(\sin 0-\cos 0)}{2}+C$

$\Rightarrow 0=\dfrac{1(0-1)}{2}+C$

$\Rightarrow C=\dfrac{1}{2}$

मान $C=\dfrac{1}{2}$ को समीकरण (2) में रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y=\dfrac{e^{x}(\sin x-\cos x)}{2}+\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow 2 y=e^{x}(\sin x-\cos x)+1$

$\Rightarrow 2 y-1=e^{x}(\sin x-\cos x)$

इसलिए, वक्र का अभीष्ट समीकरण $2 y-1=e^{x}(\sin x-\cos x)$ है।

हल

दिए गए वक्र के अवकल समीकरण है:

$x y \dfrac{d y}{d x}=(x+2)(y+2)$

$\Rightarrow(\dfrac{y}{y+2}) d y=(\dfrac{x+2}{x}) d x$

$\Rightarrow(1-\dfrac{2}{y+2}) d y=(1+\dfrac{2}{x}) d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int(1-\dfrac{2}{y+2}) d y=\int(1+\dfrac{2}{x}) d x \\ & \Rightarrow \int d y-2 \int \dfrac{1}{y+2} d y=\int d x+2 \int \dfrac{1}{x} d x \\ & \Rightarrow y-2 \log |(y+2)|=x+2 \log |x|+C \\ & \Rightarrow y-x-C=\log |x|^{2}+\log |(y+2)|^{2} \\ & \Rightarrow y-x-C=\log x^{2}+\log (y+2)^{2} \\ & \Rightarrow y-x-C=\log [x^{2}(y+2)^{2}] \tag{1} \end{align*} $$

अब, वक्र बिंदु $(1,-1)$ से गुजरता है।

$ \begin{aligned} & \Rightarrow-1-1-C=\log [(1)^{2}(-1+2)^{2}] \\ & \Rightarrow-2-C=\log 1=0 \\ `

$$ \begin{align*} & \Rightarrow \log |(y+3)|= \log |(x+4)^2|+\log |C| \\ & \Rightarrow \log |(y+3)|= \log |C(x+4)^2| \\ & \Rightarrow |y+3|=|C(x+4)^2| \\ & \Rightarrow y+3=C(x+4)^2 \\ \end{align*} $$

It is given that the curve passes through $(-2,1)$.

$\therefore 1+3=C(-2+4)^2$

$\Rightarrow 4=C(2)^2$

$\Rightarrow 4=4 C$

$\Rightarrow C=1$

Substituting $C=1$ in the equation $y+3=C(x+4)^2$, we get:

$y+3=(x+4)^2$

$\Rightarrow y=(x+4)^2-3$

This is the required equation of the curve.

$$ \begin{align*} & \Rightarrow \log |(y+3)| \log |C(x+4)^{2}| \\ & \Rightarrow |y+3|=|C(x+4)^{2}| \\ & \Rightarrow y+3=\pm C(x+4)^{2} \\ & \Rightarrow y+3=c(x+4)^{2} \tag{1} \end{align*} $$

यह वक्र के सामान्य समीकरण है।

दिया गया है कि यह बिंदु $(-2,1)$ से गुजरता है।

$ \begin{aligned} & \Rightarrow 1+3=c(-2+4)^{2} \\ & \Rightarrow 4=4 c \\ & \Rightarrow c=1 \end{aligned} $

समीकरण (1) में $c=1$ को समायोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$y+3=(x+4)^{2}$

यह वक्र का अभीष्ट समीकरण है।

हल

मान लीजिए बैलून के आयतन के परिवर्तन की दर $k$ है (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।

$\Rightarrow \dfrac{d v}{d t}=k$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d t}(\dfrac{4}{3} \pi r^{3})=k$

$[.$ गोले का आयतन $.=\dfrac{4}{3} \pi r^{3}]$

$\Rightarrow \dfrac{4}{3} \pi \cdot 3 r^{2} \cdot \dfrac{d r}{d t}=k$

$\Rightarrow 4 \pi r^{2} d r=k d t$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$4 \pi \int r^{2} d r=k \int d t$

$\Rightarrow 4 \pi \cdot \dfrac{r^{3}}{3}=k t+C$

$$\begin{equation*} \hspace{-14cm} \Rightarrow 4 \pi r^{3}=3(k t+C) \tag{1} \end{equation*}$$

अब, $t=0, r=3$:

$\Rightarrow 4 \pi \times 3^{3}=3(k \times 0+C)$

$\Rightarrow 108 \pi=3 C$

$\Rightarrow C=36 \pi $

$ t=3, r=6:$

$\Rightarrow 4 \pi \times 6^{3}=3(k \times 3+C)$

$\Rightarrow 864 \pi=3(3 k+36 \pi)$

$\Rightarrow 3 k=288 \pi-36 \pi=252 \pi$

$\Rightarrow k=84 \pi$

समीकरण (1) में $k$ और $C$ के मान को समायोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & 4 \pi r^{3}=3[84 \pi t+36 \pi] \\ & \Rightarrow 4 \pi r^{3}=4 \pi(63 t+27) \\ & \Rightarrow r^{3}=63 t+27 \\ & \Rightarrow r=(63 t+27)^{\dfrac{1}{3}} \end{aligned} $

इस प्रकार, $t$ सेकंड के बाद बैलून की त्रिज्या $(63 t+27)^{\dfrac{1}{3}}$ है।

हल

मान लीजिए $p, t$, और $r$ क्रमशः मूलधन, समय और ब्याज की दर को प्रतिनिधित्व करते हैं।

दिया गया है कि मूलधन वार्षिक दर $r %$ के अनुसार निरंतर बढ़ रहा है।

$\Rightarrow \dfrac{d p}{d t}=(\dfrac{r}{100}) p$

$\Rightarrow \dfrac{d p}{p}=(\dfrac{r}{100}) d t$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\int \dfrac{d p}{p}=\dfrac{r}{100} \int d t$

$\Rightarrow \log p=\dfrac{r t}{100}+k$

$\Rightarrow p=e^{\dfrac{r t}{100}+k}$

दिया गया है कि जब $t=0, p=100$।

$\Rightarrow 100=e^{k}$

अब, यदि $t=10$, तो $p=2 \times 100=200$।

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$ \begin{aligned} & 200=e^{\dfrac{r}{10}+k} \\ & \Rightarrow 200=e^{\dfrac{r}{10}} \cdot e^{k} \\ & \Rightarrow 200=e^{\dfrac{r}{10}} \cdot 100 \\ & \Rightarrow e^{\dfrac{r}{10}}=2 \\ & \Rightarrow \dfrac{r}{10}=\log _{e} 2 \\ & \Rightarrow \dfrac{r}{10}=0.6931 \\ & \Rightarrow r=6.931 \end{aligned} $

इसलिए, $r$ का मान $6.93 %$ है।

हल

मान लीजिए $p$ और $t$ क्रमशः मूलधन और समय को प्रतिनिधित्व करते हैं।

दिया गया है कि मूलधन वार्षिक दर 5% के अनुसार निरंतर बढ़ रहा है।

$\Rightarrow \dfrac{d p}{d t}=(\dfrac{5}{100}) p$

$\Rightarrow \dfrac{d p}{d t}=\dfrac{p}{20}$

$\Rightarrow \dfrac{d p}{p}=\dfrac{d t}{20}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int \dfrac{d p}{p}=\dfrac{1}{20} \int d t \\ & \Rightarrow \log |p|=\dfrac{t}{20}+C \quad ( \because p \ is \ principal \ rate) \\ & \Rightarrow \log p=\dfrac{t}{20}+C \\ & \Rightarrow p=e^{\dfrac{1}{20}+C} \tag{1} \end{align*} $$

अब, जब $t=0, p=1000$।

$\Rightarrow 1000=e^{C}$

जब $t=10$, समीकरण (1) बन जाता है:

$ \begin{aligned} & p=e^{\dfrac{1}{2}+C} \\ & \Rightarrow p=e^{0.5} \times e^{C} \\ & \Rightarrow p=1.648 \times 1000 \\

$ & \Rightarrow p=1648 \end{aligned} $

अतः, 10 वर्ष बाद राशि का मूल्य 1648 रुपये होगा।

हल

मान लीजिए $y$ कोई भी समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या है।

दिया गया है कि बैक्टीरिया के विकास की दर संख्या के समानुपाती है।

$\therefore \dfrac{d y}{d t} \propto y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d t}=k y$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)

$\Rightarrow \dfrac{d y}{y}=k d t$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\int \dfrac{d y}{y}=k \int d t$

$\Rightarrow \log |y|=k t+C$ ($\because $ $y$ कोई भी समय $t$ पर बैक्टीरिया की संख्या है। )

$$ \Rightarrow \log y=k t+C \tag{1}$$

मान लीजिए $y_0$ वह संख्या है जो $t=0$ पर बैक्टीरिया की है।

$\Rightarrow \log y_0=C$

समीकरण (1) में $C$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \log y=k t+\log y_0 \\ & \Rightarrow \log y-\log y_0=k t \\ & \Rightarrow \log (\dfrac{y}{y_0})=k t \\ & \Rightarrow k t=\log (\dfrac{y}{y_0}) \tag{2} \end{align*} $$

इसके अतिरिक्त, दिया गया है कि 2 घंटे में बैक्टीरिया की संख्या $10 %$ बढ़ जाती है। $\Rightarrow y=\dfrac{110}{100} y_0$

$\Rightarrow \dfrac{y}{y_0}=\dfrac{11}{10}$

समीकरण (2) में इस मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{aligned} & k \cdot 2=\log (\dfrac{11}{10}) \\ & \Rightarrow k=\dfrac{1}{2} \log (\dfrac{11}{10}) \end{aligned} $$

इसलिए, समीकरण (2) बन जाता है:

$$ \begin{align*} & \dfrac{1}{2} \log (\dfrac{11}{10}) \cdot t=\log (\dfrac{y}{y_0}) \\ & \Rightarrow t=\dfrac{2 \log (\dfrac{y}{y_0})}{\log (\dfrac{11}{10})} \tag{4} \end{align*} $$

अब, मान लीजिए बैक्टीरिया की संख्या 100000 से 200000 तक बढ़ने में लगा समय $t_1$ है।

$\Rightarrow y=2 y_0$ जब $t=t_1$

समीकरण (4) से, हम प्राप्त करते हैं:

$t_1=\dfrac{2 \log (\dfrac{y}{y_0})}{\log (\dfrac{11}{10})}=\dfrac{2 \log 2}{\log (\dfrac{11}{10})}$

अतः, $\dfrac{2 \log 2}{\log (\dfrac{11}{10})}$ घंटे में बैक्टीरिया की संख्या 100000 से 200000 हो जाती है।

हल

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}=e^{x+y}=e^{x} \cdot e^{y} \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{e^{y}}=e^{x} d x \\ & \Rightarrow e^{-y} d y=e^{x} d x \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \int e^{-y} d y=\int e^{x} d x \\ & \Rightarrow-e^{-y}=e^{x}+k \\ & \Rightarrow e^{x}+e^{-y}=-k \\ & \Rightarrow e^{x}+e^{-y}=C \end{aligned} $

अतः, सही उत्तर A है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण अर्थात, $(x^{2}+x y) d y=(x^{2}+y^{2}) d x$ इसे लिखा जा सकता है:

$$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+x y} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+x y}$.

अब, $F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}}{(\lambda x)^{2}+(\lambda x)(\lambda y)}=\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}+x y}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

यह दिखाता है कि समीकरण (1) एक हमोजीनस समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

दोनों ओर के संबंध के संबंध में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $v$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{x^{2}+(v x)^{2}}{x^{2}+x(v x)} \\ & \Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v^{2}}{1+v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v^{2}}{1+v}-v=\dfrac{(1+v^{2})-v(1+v)}{1+v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1-v}{1+v} \\ & \Rightarrow(\dfrac{1+v}{1-v})d v=\dfrac{d x}{x} \\ & \Rightarrow(\dfrac{2-1+v}{1-v}) d v=\dfrac{d x}{x} \\ & \Rightarrow(\dfrac{2}{1-v}-1) d v=\dfrac{d x}{x} \end{aligned} $

दोनों ओर का समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & -2 \log (1-v)-v=\log x-\log k \\ & \Rightarrow v=-2 \log (1-v)-\log x+\log k \\ & \Rightarrow v=\log [\dfrac{k}{x(1-v)^{2}}] \\ & \Rightarrow \dfrac{y}{x}=\log [\dfrac{k}{x(1-\dfrac{y}{x})^{2}}] \\ & \Rightarrow \dfrac{y}{x}=\log [\dfrac{k x}{(x-y)^{2}}] \\ & \Rightarrow \dfrac{k x}{(x-y)^{2}}=e^{\dfrac{y}{x}} \\ & \Rightarrow(x-y)^{2}=k x e^{-\dfrac{y}{x}} \end{aligned} $

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है:

$y^{\prime}=\dfrac{x+y}{x}$

$$ \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x+y}{x} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{x+y}{x}$.

अब, $F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x}=\dfrac{x+y}{x}=\lambda^{0} F(x, y)$

इसलिए, दिया गया समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{x+v x}{x}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=1+v$

$x \dfrac{d v}{d x}=1$

$\Rightarrow d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$v=\log |x|+C$

$\Rightarrow \dfrac{y}{x}=\log |x|+C$

$\Rightarrow y=x \log |x|+C x$

इस प्रकार, दिए गए अवकल समीकरण का आवश्यक हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है:

$(x-y) d y-(x+y) d x=0$

$$ \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x+y}{x-y} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{x+y}{x-y}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda x+\lambda y}{\lambda x-\lambda y}=\dfrac{x+y}{x-y}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{x+v x}{x-v x}=\dfrac{1+v}{1-v}$

$x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v}{1-v}-v=\dfrac{1+v-v(1-v)}{1-v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1+v^{2}}{1-v}$

$\Rightarrow \dfrac{1-v}{(1+v^{2})} d v=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow(\dfrac{1}{1+v^{2}}-\dfrac{v}{1+v^{2}}) d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \tan ^{-1} v-\dfrac{1}{2} \log |(1+v^{2})|=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})-\dfrac{1}{2} \log |[1+(\dfrac{y}{x})^{2}]|=\log |x|+C \\ `

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})-\dfrac{1}{2} \log |(\dfrac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}})|=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})-\dfrac{1}{2}[\log |(x^{2}+y^{2})|-\log |x|^{2}]=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})=\dfrac{1}{2} \log |(x^{2}+y^{2})|+C \quad (\because x^2+ y^2 \ is \ always \ possitive )\\ & \Rightarrow \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})=\dfrac{1}{2} \log (x^{2}+y^{2})+C \end{aligned} $$

दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

दी गई अवकल समीकरण है:

$(x^{2}-y^{2}) d x+2 x y d y=0$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-(x^{2}-y^{2})}{2 x y} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{-(x^{2}-y^{2})}{2 x y}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=[\dfrac{(\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2}}{2(\lambda x)(\lambda y)}]=\dfrac{-(x^{2}-y^{2})}{2 x y}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$ $\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=-[\dfrac{x^{2}-(v x)^{2}}{2 x \cdot(v x)}]$

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v^{2}-1}{2 v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v^{2}-1}{2 v}-v=\dfrac{v^{2}-1-2 v^{2}}{2 v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=-\dfrac{(1+v^{2})}{2 v}$

$\Rightarrow \dfrac{2 v}{1+v^{2}} d v=-\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$\log |(1+v^{2})|=-\log |x|+\log |C|=\log |\dfrac{C}{x}|$

$\Rightarrow |1+v^{2}|=|\dfrac{C}{x}|$

$\Rightarrow[1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}]=\pm \dfrac{C}{x}$

$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=c x $ (जहाँ $c=\pm C$)

दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

दी गई अवकल समीकरण है:

x^{2} \dfrac{d y}{d x}=x^{2}-2 y^{2}+x y

इसे निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है:

$$ \dfrac{d y}{d x} = 1 - \dfrac{2 y^{2}}{x^{2}} + \dfrac{y}{x} $$

यह एक एकरूपता समीकरण है, जिसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y = v x$

इसलिए,

$$ \dfrac{d y}{d x} = v + x \dfrac{d v}{d x} $$

उपरोक्त समीकरण में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$$ v + x \dfrac{d v}{d x} = 1 - 2 v^{2} + v $$

$$ x \dfrac{d v}{d x} = 1 - 2 v^{2} + v - v = 1 - 2 v^{2} $$

$$ \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{1 - 2 v^{2}}{x} $$

इसे अलग करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$$ \dfrac{d v}{1 - 2 v^{2}} = \dfrac{d x}{x} $$

दोनों ओर समाकलन करने पर हम प्राप्त करते हैं:

$$ -\dfrac{1}{2} \log |1 - 2 v^{2}| = \log |x| + \log |C| $$

$$ \log |1 - 2 v^{2}| = -2 \log |x| - 2 \log |C| = \log \left| \dfrac{1}{C^{2} x^{2}} \right| $$

$$ |1 - 2 v^{2}| = \left| \dfrac{1}{C^{2} x^{2}} \right| $$

$$ 1 - 2 v^{2} = \pm \dfrac{1}{C^{2} x^{2}} $$

$$ 2 v^{2} = 1 \mp \dfrac{1}{C^{2} x^{2}} $$

$$ v^{2} = \dfrac{1}{2} \mp \dfrac{1}{2 C^{2} x^{2}} $$

$$ v = \pm \sqrt{ \dfrac{1}{2} \mp \dfrac{1}{2 C^{2} x^{2}} } $$

अंत में, $y = v x$ का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$$ y = \pm x \sqrt{ \dfrac{1}{2} \mp \dfrac{1}{2 C^{2} x^{2}} } $$

दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

$x^{2} \dfrac{d y}{d x}=x^{2}-2 y^{2}+x y$

$$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x^{2}-2 y^{2}+x y}{x^{2}} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{x^{2}-2 y^{2}+x y}{x^{2}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{(\lambda x)^{2}-2(\lambda y)^{2}+(\lambda x)(\lambda y)}{(\lambda x)^{2}}=\dfrac{x^{2}-2 y^{2}+x y}{x^{2}}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{x^{2}-2(v x)^{2}+x \cdot(v x)}{x^{2}}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=1-2 v^{2}+v$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=1-2 v^{2}$

$\Rightarrow \dfrac{d v}{1-2 v^{2}}=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{d v}{\dfrac{1}{2}-v^{2}}=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{2} \cdot[\dfrac{d v}{(\dfrac{1}{\sqrt{2}})^{2}-v^{2}}]=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2 \times \dfrac{1}{\sqrt{2}}} \log |\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}+v}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}-v}|=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} \log |\dfrac{\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{y}{x}}{\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{y}{x}}|=\log |x|+C \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2 \sqrt{2}} \log |\dfrac{x+\sqrt{2} y}{x-\sqrt{2} y}|=\log |x|+C \end{aligned} $

इसके अतिरिक्त, दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक हल है।

हल

$x d y-y d x=\sqrt{x^{2}+y^{2}} d x$

$\Rightarrow x d y=[y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}] d x$

$$\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x^{2}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda x+\sqrt{(\lambda x)^{2}+(\lambda y)^{2}}}{\lambda x}=\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्न प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $v$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v x+\sqrt{x^{2}+(v x)^{2}}}{x}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=v+\sqrt{1+v^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{d v}{\sqrt{1+v^{2}}}=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |v+\sqrt{1+v^{2}}|=\log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |\dfrac{y}{x}+\sqrt{1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}}|=\log |C x|$

$\Rightarrow \log |\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}|=\log |C x|$

$\Rightarrow |\dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}|=|C x|$

$\Rightarrow \dfrac{y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}=\pm C x$

$\Rightarrow y+\sqrt{x^{2}+y^{2}}=c x^{2}$ (जहाँ $c = \pm C$)

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

${x \cos (\dfrac{y}{x})+y \sin (\dfrac{y}{x})} y d x={y \sin (\dfrac{y}{x})-x \cos (\dfrac{y}{x})} x d y$

$$ \Rightarrow \dfrac{dy}{dx}=(\dfrac{y}{x}) \dfrac{{x \cos(\dfrac{y}{x})}+{y \sin(\dfrac{y}{x})}}{y \sin(\dfrac{y}{x})-x \cos(\dfrac{y}{x})} \tag{1}$$

$$ \text{Let} \ F(x, y)=(\dfrac{y}{x}) \dfrac{{x \cos(\dfrac{y}{x})}+{y \sin(\dfrac{y}{x})}}{y \sin(\dfrac{y}{x})-x \cos(\dfrac{y}{x})} $$

$ \therefore F(\lambda x, \lambda y)=(\dfrac{\lambda y}{\lambda x}) \dfrac{{\lambda x \cos(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}+{\lambda y \sin(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}}{\lambda y \sin(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})-\lambda x \cos(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}=(\dfrac{y}{x}) \dfrac{{x \cos(\dfrac{y}{x})}+{y \sin(\dfrac{y}{x})}}{y \sin(\dfrac{y}{x})-x \cos(\dfrac{y}{x})}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्न प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x=\dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{(x \cos v+v x \sin v) \cdot v x}{(v x \sin v-x \cos v) \cdot x} \\ & \Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v}-v \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v-v^{2} \sin v+v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow[\dfrac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}] d v=\dfrac{2 d x}{x} \\ & \Rightarrow(\tan v-\dfrac{1}{v}) d v=\dfrac{2 d x}{x} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |(\sec v)|-\log |v|=2 \log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |(\dfrac{\sec v}{v})|=\log |(C x^{2})|$

$\Rightarrow |(\dfrac{\sec v}{v})|=|C x^{2}|$

$\Rightarrow(\dfrac{\sec v}{v})=\pm C x^{2} $

$\Rightarrow \sec v=c x^{2} v \quad (c=\pm C)$

$\Rightarrow \sec (\dfrac{y}{x})=c \cdot x^{2} \cdot \dfrac{y}{x}$

$\Rightarrow \sec (\dfrac{y}{x})= cx y$

$\Rightarrow \cos (\dfrac{y}{x})=\dfrac{1}{c x y}=\dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{1}{x y}$

$\Rightarrow x y \cos (\dfrac{y}{x})=k \quad(k=\dfrac{1}{c})$

दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट समाधान है।

Solution

$x \dfrac{d y}{d x}-y+x \sin (\dfrac{y}{x})=0$

$\Rightarrow x \dfrac{d y}{d x}=y-x \sin (\dfrac{y}{x})$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda y-\lambda x \sin (\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}{\lambda x}=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x=\dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{(x \cos v+v x \sin v) \cdot v x}{(v x \sin v-x \cos v) \cdot x} \\ & \Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v}{v \sin v-\cos v}-v \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \cos v+v^{2} \sin v-v^{2} \sin v+v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{2 v \cos v}{v \sin v-\cos v} \\ & \Rightarrow[\dfrac{v \sin v-\cos v}{v \cos v}] d v=\dfrac{2 d x}{x} \\ & \Rightarrow(\tan v-\dfrac{1}{v}) d v=\dfrac{2 d x}{x} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |(\sec v)|-\log |v|=2 \log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |(\dfrac{\sec v}{v})|=\log |(C x^{2})|$

$\Rightarrow |(\dfrac{\sec v}{v})|=|C x^{2}|$

$\Rightarrow(\dfrac{\sec v}{v})=\pm C x^{2} $

$\Rightarrow \sec v=c x^{2} v \quad (c=\pm C)$

$\Rightarrow \sec (\dfrac{y}{x})=c \cdot x^{2} \cdot \dfrac{y}{x}$

$\Rightarrow \sec (\dfrac{y}{x})= cx y$

$\Rightarrow \cos (\dfrac{y}{x})=\dfrac{1}{c x y}=\dfrac{1}{c} \cdot \dfrac{1}{x y}$

$\Rightarrow x y \cos (\dfrac{y}{x})=k \quad(k=\dfrac{1}{c})$

दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट समाधान है।

Solution

$x \dfrac{d y}{d x}-y+x \sin (\dfrac{y}{x})=0$

$\Rightarrow x \dfrac{d y}{d x}=y-x \sin (\dfrac{y}{x})$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda y-\lambda x \sin (\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}{\lambda x}=\dfrac{y-x \sin (\dfrac{y}{x})}{x}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v x-x \sin v}{x}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=v-\sin v$

$\Rightarrow-\dfrac{d v}{\sin v}=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow cosec \ v d v=-\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |cosec \ v-\cot v|=-\log ||x+\log |C|=\log |\dfrac{C}{x}|$

$\Rightarrow cosec \ (\dfrac{y}{x})-\cot (\dfrac{y}{x})=\pm \dfrac{C}{x} \quad (c=\pm C)$

$\Rightarrow cosec \ (\dfrac{y}{x})-\cot (\dfrac{y}{x})=\dfrac{c}{x}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{\sin (\dfrac{y}{x})}-\dfrac{\cos (\dfrac{y}{x})}{\sin (\dfrac{y}{x})}=\dfrac{c}{x}$

$\Rightarrow x[1-\cos (\dfrac{y}{x})]=c \ \sin (\dfrac{y}{x})$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

$y d x+x \log (\dfrac{y}{x}) d y-2 x d y=0$

$\Rightarrow y d x=[2 x-x \log (\dfrac{y}{x})] d y$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{2 x-x \log (\dfrac{y}{x})}\tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y}{2 x-x \log (\dfrac{y}{x})}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda y}{2(\lambda x)-(\lambda x) \log (\dfrac{\lambda y}{\lambda x})}=\dfrac{y}{2 x-x\log (\dfrac{y}{x})}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक समान समीकरण है।

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$ $\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को बदलकर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v x}{2 x-x \log v}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v}{2-\log v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v}{2-\log v}-v$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v-2 v+v \log v}{2-\log v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{v \log v-v}{2-\log v}$

$\Rightarrow \dfrac{2-\log v}{v(\log v-1)} d v=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow[\dfrac{1+(1-\log v)}{v(\log v-1)}] d v=\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow[\dfrac{1}{v(\log v-1)}-\dfrac{1}{v}] d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int \dfrac{1}{v(\log v-1)} d v-\int \dfrac{1}{v} d v=\int \dfrac{1}{x} d x \\ & \Rightarrow \int \dfrac{d v}{v(\log v-1)}-\log |v|=\log |x|+\log |C| \tag{2} \end{align*} $$

$\Rightarrow$ मान लीजिए $\log v-1=t$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d v}(\log v-1)=\dfrac{d t}{d v}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{v}=\dfrac{d t}{d v}$

$\Rightarrow \dfrac{d v}{v}=d t$

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$\Rightarrow \int \dfrac{d t}{t}-\log |v|=\log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \log |t|-\log |\dfrac{y}{x}|=\log |(C x)|$

$\Rightarrow \log [\log |\dfrac{y}{x}|-1]-\log |\dfrac{y}{x}|=\log |(C x)|$

$\Rightarrow \log |[\dfrac{\log |\dfrac{y}{x}|-1}{\dfrac{y}{x}}]|=\log |(C x)|$

$\Rightarrow |[\dfrac{ \log| \dfrac{y}{x}|-1}{\dfrac{y}{x}}]|= |(C x)|$

$\Rightarrow [\dfrac{\log | \dfrac{y}{x}|-1}{\dfrac{y}{x}}]=\pm C x$

$\Rightarrow \dfrac{x}{y}[\log|\dfrac{y}{x}|-1]=c x \quad (c=\pm C)$

$\Rightarrow \log |\dfrac{y}{x}|-1=c y$

यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट हल है।

हल

$(1+e^{\dfrac{x}{y}}) d x+e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y}) d y=0$

$\Rightarrow(1+e^{\dfrac{x}{y}}) d x=-e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y}) d y$

$$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}=\dfrac{-e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y})}{1+e^{\dfrac{x}{y}}} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{-e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y})}{1+e^{\dfrac{x}{y}}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{-e^{\dfrac{\lambda x}{\lambda y}}(1-\dfrac{\lambda x}{\lambda y})}{1+e^{\dfrac{\lambda x}{\lambda y}}}=\dfrac{-e^{\dfrac{x}{y}}(1-\dfrac{x}{y})}{1+e^{\dfrac{x}{y}}}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

उसे हल करने के लिए हम निम्न प्रतिस्थापन करते हैं:

$x = v y$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d y}(x) = \dfrac{d}{d y}(v y)$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y} = v + y \dfrac{d v}{d y}$

समीकरण (1) में $x$ और $\dfrac{d x}{d y}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v + y \dfrac{d v}{d y} = \dfrac{-e^{v}(1 - v)}{1 + e^{v}}$

$\Rightarrow y \dfrac{d v}{d y} = \dfrac{-e^{v} + v e^{v}}{1 + e^{v}} - v$

$\Rightarrow y \dfrac{d v}{d y} = \dfrac{-e^{v} + v e^{v} - v - v e^{v}}{1 + e^{v}}$

$\Rightarrow y \dfrac{d v}{d y} = -[\dfrac{v + e^{v}}{1 + e^{v}}]$

$\Rightarrow [\dfrac{1 + e^{v}}{v + e^{v}}] d v = -\dfrac{d y}{y}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\Rightarrow \log |(v + e^{v})| = -\log |y| + \log |C| = \log |\dfrac{C}{y}|$

$\Rightarrow |[\dfrac{x}{y} + e^{\dfrac{x}{y}}]| = |\dfrac{C}{y}|$

$\Rightarrow [\dfrac{x}{y} + e^{\dfrac{x}{y}}] = \pm \dfrac{C}{y}$

$\Rightarrow x + y e^{\dfrac{x}{y}} = c \quad (c = \pm C)$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक हल है।

हल

$(x + y) d y + (x - y) d x = 0$

$\Rightarrow (x + y) d y = -(x - y) d x$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x} = \dfrac{-(x - y)}{x + y} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y) = \dfrac{-(x - y)}{x + y}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y) = \dfrac{-(\lambda x - \lambda y)}{\lambda x + \lambda y} = \dfrac{-(x - y)}{x + y} = \lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्न प्रतिस्थापन करते हैं:

$y = v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y) = \dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x} = v + x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v + x \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{-(x - v x)}{x + v x}$

$\Rightarrow v + x \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{v - 1}{v + 1}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{v - 1}{v + 1} - v = \dfrac{v - 1 - v(v + 1)}{v + 1}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x} = \dfrac{v - 1 - v^{2} - v}{v + 1} = \dfrac{-(1 + v^{2})}{v + 1}$

$\Rightarrow \dfrac{(v+1)}{1+v^{2}} d v=-\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow[\dfrac{v}{1+v^{2}}+\dfrac{1}{1+v^{2}}] d v=-\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{1}{2} \log |(1+v^{2})|+\tan ^{-1} v=-\log |x|+k$

$\Rightarrow \log |(1+v^{2})|+2 \tan ^{-1} v=-2 \log |x|+2 k$

$\Rightarrow \log |(1+v^{2})|+2 \tan ^{-1} v+2 \log |x|=2 k$

$\Rightarrow \log |(1+v^{2})|+2 \tan ^{-1} v+ \log |x^2|=2 k \quad (\because 1+v^2 \ and \ x^2 \ both \ are \ positive )$

$\Rightarrow \log [(1+v^{2}) \cdot x^{2}]+2 \tan ^{-1} v=2 k$

$\Rightarrow \log [(1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}}) \cdot x^{2}]+2 \tan ^{-1} \dfrac{y}{x}=2 k$

$$\Rightarrow \log (x^{2}+y^{2})+2 \tan ^{-1} \dfrac{y}{x}=2 k \tag{2}$$

अब, $y=1$ जब $x=1$ है।

$\Rightarrow \log 2+2 \tan ^{-1} 1=2 k$

$\Rightarrow \log 2+2 \times \dfrac{\pi}{4}=2 k$

$\Rightarrow \dfrac{\pi}{2}+\log 2=2 k$

समीकरण (2) में $2 k$ के मान को बदलते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

$\log (x^{2}+y^{2})+2 \tan ^{-1}(\dfrac{y}{x})=\dfrac{\pi}{2}+\log 2$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

$x^{2} d y+(x y+y^{2}) d x=0$

$\Rightarrow x^{2} d y=-(x y+y^{2}) d x$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-(x y+y^{2})}{x^{2}} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{-(x y+y^{2})}{x^{2}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{-[\lambda x \cdot \lambda y+(\lambda y)^{2}]}{(\lambda x)^{2}}=\dfrac{-(x y+y^{2})}{x^{2}}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिया गया अवकल समीकरण एक समान समीकरण है।

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{-[x \cdot v x+(v x)^{2}]}{x^{2}}=-v-v^{2} \\ & \Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=-v^{2}-2 v=-v(v+2) \\ & \Rightarrow \dfrac{d v}{v(v+2)}=-\dfrac{d x}{x} \\ `

$$ \begin{aligned} & \Rightarrow \dfrac{1}{2}[\dfrac{(v+2)-v}{v(v+2)}] d v=-\dfrac{d x}{x} \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2}[\dfrac{1}{v}-\dfrac{1}{v+2}] d v=-\dfrac{d x}{x} \end{aligned} $$

अब, दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & \dfrac{1}{2}[\log |v|-\log |(v+2)|]=-\log |x|+\log |C| \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2} \log |(\dfrac{v}{v+2})|=\log |\dfrac{C}{x}| \\ & \Rightarrow \left |\dfrac{v}{v+2} \right |=\left|\dfrac{C^{2}}{x^{2}} \right| \\ & \Rightarrow \dfrac{v}{v+2}=\pm \dfrac{C^{2}}{x^{2}} \\ & \Rightarrow \dfrac{\dfrac{y}{x}}{\dfrac{y}{x}+2}=\dfrac{c}{x^{2}} \\ & \Rightarrow \dfrac{y}{y+2 x}=\dfrac{c}{x^{2}} \\ & \Rightarrow \dfrac{x^{2} y}{y+2 x}=c \tag{2} \end{align*} $$

अब, $y=1$ जब $x=1$ है।

$\Rightarrow \dfrac{1}{1+2}=c$

$\Rightarrow c=\dfrac{1}{3}$

समीकरण (2) में $c=\dfrac{1}{3}$ को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \dfrac{x^{2} y}{y+2 x}=\dfrac{1}{3} \\ & \Rightarrow y+2 x=3 x^{2} y \end{aligned} $

यह दी गई अवकल समीकरण के आवश्यक समाधान है।

हल

$[x \sin ^{2}(\dfrac{y}{x})-y] d x+x d y=0$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-[x \sin ^{2}(\dfrac{y}{x})-y]}{x} \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{-[x \sin ^{2}(\dfrac{y}{x})-y]}{x}$।

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{-[\lambda x \cdot \sin ^{2}(\dfrac{\lambda x}{\lambda y})-\lambda y]}{\lambda x}=\dfrac{-[x \sin ^{2}(\dfrac{y}{x})-y]}{x}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इस अवकल समीकरण को हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x\dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{-[x \sin ^{2} v-v x]}{x}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=-[\sin ^{2} v-v]=v-\sin ^{2} v$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=-\sin ^{2} v$

$\Rightarrow \dfrac{d v}{\sin ^{2} v}=-\dfrac{d x}{d x}$

$\Rightarrow cosec^{2} v d v=-\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है: $-\cot v=-\log |x|-\log |C|$

$\Rightarrow \cot v=\log |x|+\log |C|$

$\Rightarrow \cot (\dfrac{y}{x})=\log |x|+\log |C|$

$$\Rightarrow \cot (\dfrac{y}{x})=\log |Cx| \tag{2}$$

अब, $y=\dfrac{\pi}{4}$ जब $x=1$

तब, हमें प्राप्त होता है

$ C=e$

समीकरण (2) में $C=e$ को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\cot (\dfrac{y}{x})=\log |e x|$

दिए गए अवकल समीकरण के अभीष्ट समाधान है।

हल

$\dfrac{d y}{d x}-\dfrac{y}{x}+cosec(\dfrac{y}{x})=0$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{x}-cosec(\dfrac{y}{x}) \tag{1}$$

मान लीजिए $F(x, y)=\dfrac{y}{x}-cosec(\dfrac{y}{x})$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{\lambda y}{\lambda x}-cosec(\dfrac{\lambda y}{\lambda x})$

$\Rightarrow F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{y}{x}-cosec(\dfrac{y}{x})=F(x, y)=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण एक एकरूप समीकरण है।

इसे हल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=v-cosec v$

$\Rightarrow-\dfrac{d v}{cosec v}=-\dfrac{d x}{x}$

$\Rightarrow-\sin v d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\cos v=\log |x|+\log |C|=\log |C x|$

$$\Rightarrow \cos (\dfrac{y}{x})=\log |C x| \tag{2}$$

दिए गए अवकल समीकरण के अभीष्ट समाधान है।

अब, $y=0$ जब $x=1$.

तब, हमें प्राप्त होता है

$C =e$

समीकरण (2) में $C=e$ को रखने पर, हमें प्राप्त होता है:

$\cos (\dfrac{y}{x})=\log |(e x)|$

दिए गए अवकल समीकरण के अभीष्ट समाधान है।

हल

$2 x y+y^{2}-2 x^{2} \dfrac{d y}{d x}=0$

$\Rightarrow 2 x^{2} \dfrac{d y}{d x}=2 x y+y^{2}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{2 x y+y^{2}}{2 x^{2}}$

Let $F(x, y)=\dfrac{2 x y+y^{2}}{2 x^{2}}$.

$\therefore F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{2(\lambda x)(\lambda y)+(\lambda y)^{2}}{2(\lambda x)^{2}}=\dfrac{2 x y+y^{2}}{2 x^{2}}=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

इसलिए, दी गई अवकल समीकरण एक एकरूपता समीकरण है।

इसे हल करने के लिए, हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करते हैं:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{2 x(v x)+(v x)^{2}}{2 x^{2}}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{2 v+v^{2}}{2}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=v+\dfrac{v^{2}}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{2}{v^{2}} d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & 2 \cdot \dfrac{v^{-2+1}}{-2+1}=\log |x|+C \\ & \Rightarrow-\dfrac{2}{v}=\log |x|+C \\ & \Rightarrow-\dfrac{2}{\dfrac{y}{x}}=\log |x|+C \\ & \Rightarrow-\dfrac{2 x}{y}=\log |x|+C \tag{2} \\ & \text{ अब, } y=2 \text{ जब } x=1 . \\ & \Rightarrow-1=\log (1)+C \\ & \Rightarrow C=-1 \end{align*} $$

समीकरण (2) में $C=-1$ को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & -\dfrac{2 x}{y}=\log |x|-1 \\ & \Rightarrow \dfrac{2 x}{y}=1-\log |x| \\ & \Rightarrow y=\dfrac{2 x}{1-\log |x|},(x \neq 0, x \neq e) \end{aligned} $

यह दी गई अवकल समीकरण का आवश्यक हल है।

हल

रूप $\dfrac{d x}{d y}=h(\dfrac{x}{y})$ के एकरूपता समीकरण को हल करने के लिए हमें $x=v y$ के रूप में प्रतिस्थापन करना होता है।

इसलिए, सही उत्तर $C$ है।

हल

एक फलन $F(x, y)$ को $n$ डिग्री के समान फलन कहा जाता है, यदि $F(\lambda x, \lambda y)=\lambda^{n} F(x, y)$ किसी भी गैर-शून्य स्थिरांक $(\lambda)$ के लिए हो।

विकल्प D में दिए गए समीकरण को लें:

$y^{2} d x+(x^{2}-x y-y^{2}) d y=0$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{-y^{2}}{x^{2}-x y-y^{2}}=\dfrac{y^{2}}{y^{2}+x y-x^{2}}$

मान लें $F(x, y)=\dfrac{y^{2}}{y^{2}+x y-x^{2}}$.

$\Rightarrow F(\lambda x, \lambda y)=\dfrac{(\lambda y)^{2}}{(\lambda y)^{2}+(\lambda x)(\lambda y)-(\lambda x)^{2}}$

$=\dfrac{\lambda^{2} y^{2}}{\lambda^{2}(y^{2}+x y-x^{2})}$

$=\lambda^{0}(\dfrac{y^{2}}{y^{2}+x y-x^{2}})$

$=\lambda^{0} \cdot F(x, y)$

अतः, विकल्प $\mathbf{D}$ में दिए गए अवकल समीकरण एक समान समीकरण है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण $\dfrac{d y}{d x}+2 y=\sin x$ है।

इसके रूप में $\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=2$ और $Q=\sin x$) है।

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int 2 d x}=e^{2 x}$ है।

दिए गए अवकल समीकरण के हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{align*} & y(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y e^{2 x}=\int \sin x \cdot e^{2 x} d x+C \tag{1} \end{align*} $$

मान लीजिए $I=\int \sin x \cdot e^{2 x}dx$।

$\Rightarrow I=\sin x \cdot \int e^{2 x} d x-\int(\dfrac{d}{d x}(\sin x) \cdot \int e^{2 x} d x) d x$

$\Rightarrow I=\sin x \cdot \dfrac{e^{2 x}}{2}-\int(\cos x \cdot \dfrac{e^{2 x}}{2}) d x$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x} \sin x}{2}-\dfrac{1}{2}[\cos x \cdot \int e^{2 x}-\int(\dfrac{d}{d x}(\cos x) \cdot \int e^{2 x} d x) d x]$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x} \sin x}{2}-\dfrac{1}{2}[\cos x \cdot \dfrac{e^{2 x}}{2}-\int[(-\sin x) \cdot \dfrac{e^{2 x}}{2}] d x]$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x} \sin x}{2}-\dfrac{e^{2 x} \cos x}{4}-\dfrac{1}{4} \int(\sin x \cdot e^{2 x}) d x$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x}}{4}(2 \sin x-\cos x)-\dfrac{1}{4} I$

$\Rightarrow \dfrac{5}{4} I=\dfrac{e^{2 x}}{4}(2 \sin x-\cos x)$

$\Rightarrow I=\dfrac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x-\cos x)$

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$y e^{2 x}=\dfrac{e^{2 x}}{5}(2 \sin x-\cos x)+C$

$\Rightarrow y=\dfrac{1}{5}(2 \sin x-\cos x)+C e^{-2 x}$

इस प्रकार, दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

$ \dfrac{d y}{d x}+p y=Q(\text{ जहाँ } p=3 \text{ और } Q=e^{-2 x}) \text{. } $

दिया गया अवकल समीकरण है

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int 3 d x}=e^{3 x}$।

दिए गए अवकल समीकरण के हल निम्न संबंध द्वारा दिया गया है,

$ \begin{aligned} & y(I . F .)=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y e^{3 x}=\int(e^{-2 x} \times e^{3 x})+C \\ & \Rightarrow y e^{3 x}=\int e^{x} d x+C \\ & \Rightarrow y e^{3 x}=e^{x}+C \\ & \Rightarrow y=e^{-2 x}+C e^{-3 x} \end{aligned} $

इसका आवश्यक सामान्य हल दिए गए अवकल समीकरण के हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{1}{x}$ और $.Q=x^{2})$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \dfrac{1}{x} d x}=e^{\log |x|}=x, \quad (x>0)$।

दिए गए अवकल समीकरण के हल निम्न संबंध द्वारा दिया गया है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+C$

$\Rightarrow y(x)=\int(x^{2} \cdot x) d x+C$

$\Rightarrow x y=\int x^{3} d x+C$

$\Rightarrow x y=\dfrac{x^{4}}{4}+C$

इसका आवश्यक सामान्य हल दिए गए अवकल समीकरण के हल है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q($ जहाँ $p=\sec x$ और $Q=\tan x)$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \sec x d x}=e^{\log |(\sec x+\tan x)|}=\sec x+\tan x \quad (\because 0 \leq x<\dfrac{\pi}{2})$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल निम्न संबंध द्वारा दिया गया है,

$ y(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C $

$\Rightarrow y(\sec x+\tan x)=\int \tan x(\sec x+\tan x) d x+C$

$\Rightarrow y(\sec x+\tan x)=\int \sec x \tan x d x+\int \tan ^{2} x d x+C$

$\Rightarrow y(\sec x+\tan x)=\sec x+\int(\sec ^{2} x-1) d x+C$

$\Rightarrow y(\sec x+\tan x)=\sec x+\tan x-x+C$

हल

हम लेते हैं,

$\begin{aligned} & \cos ^2 x \dfrac{d y}{d x}+y=\tan x \ & \dfrac{d y}{d x}+\sec ^2 x(y)=\sec ^2 x \tan x \end{aligned} `

\end{aligned}$

हम जानते हैं कि सामान्य समीकरण

$\dfrac{d y}{d x}+P y=Q$

यहाँ,

$P=\sec ^2 x, Q=\sec ^2 x \tan x$

क्योंकि, समाकलन गुणक $I. F=e^{\int P d x}$ $=e^{\int \sec ^2 x d x}$ $=e^{\tan x}$

हम जानते हैं कि सामान्य हल,

$\mathrm{y} \times \mathrm{I} . \mathrm{F}=\int(\mathrm{Q} \times \mathrm{I} . \mathrm{F}) \mathrm{dx}+\mathrm{C}$

इसलिए,

$y \times e^{\tan x}=\int\left(\sec ^2 x \tan x\right) e^{\tan x} d x+C$

मान लीजिए $\mathrm{t}=\tan \mathrm{x}$

$\mathrm{dt}=\sec ^2 \mathrm{x} d \mathrm{x}$

इसलिए,

$\begin{aligned} & y \times e^t=\int t e^t d t+C \\ & y \times e^t=t e^t-\int 1 e^t d t+C \\ & y \times e^t=t e^t-e^t+C \end{aligned}$

$ t $ के मान को रखने पर, हमें प्राप्त होता है

$y e^{\tan x}=\tan x e^{\tan x}-e^{\tan x}+C$

$y =(\tan x -1)+Ce^{-\tan x}$

इसलिए, यह उत्तर है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$x \dfrac{d y}{d x}+2 y=x^{2} \log x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{2}{x} y=x \log x$

इस समीकरण के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{2}{x}$ और $.Q=x \log x)$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \dfrac{2}{x} d x}=e^{2 \log |x|}=e^{\log |x|^{2}}=x^{2} \quad (\because {|x|^{2}}=x^{2})$.

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+$ C

$\Rightarrow y \cdot x^{2}=\int(x \log x \cdot x^{2}) d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\int(x^{3} \log x) d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \int x^{3} d x-\int[\dfrac{d}{d x}(\log x) \cdot \int x^{3} d x] d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\log x \cdot \dfrac{x^{4}}{4}-\int(\dfrac{1}{x} \cdot \dfrac{x^{4}}{4}) d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\dfrac{x^{4} \log x}{4}-\dfrac{1}{4} \int x^{3} d x+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\dfrac{x^{4} \log x}{4}-\dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{x^{4}}{4}+C$

$\Rightarrow x^{2} y=\dfrac{1}{16} x^{4}(4 \log x-1)+C$

$\Rightarrow y=\dfrac{1}{16} x^{2}(4 \log x-1)+C x^{-2}$

हल

दिए गए अवकल समीकरण का अवकल समीकरण है:

$x \log x \dfrac{d y}{d x}+y=\dfrac{2}{x} \log x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{y}{x \log x}=\dfrac{2}{x^{2}}$

इस समीकरण के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{1}{x \log x}$ और $Q=\dfrac{2}{x^{2}}$ )

अब, I.F $=e^{\int \rho d x}=e^{\int \dfrac{1}{x \log x } d x}=e^{\log |(\log x)|}=\log x, \quad (मान लीजिए \ \log x>0 \ और \ x>0 )$.

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{align*} & y(I . F .)=\int(Q \times I \text{.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y \log x=\int(\dfrac{2}{x^{2}} \log x) d x+C \tag{1} \end{align*} $$

अब, $\int(\dfrac{2}{x^{2}} \log x) d x=2 \int(\log x \cdot \dfrac{1}{x^{2}}) d x$.

$ \begin{aligned} & =2[\log x \cdot \int \dfrac{1}{x^{2}} d x-\int{\dfrac{d}{d x}(\log x) \cdot \int \dfrac{1}{x^{2}} d x} d x] \\ & =2[\log x(-\dfrac{1}{x})-\int(\dfrac{1}{x} \cdot(-\dfrac{1}{x})) d x] \\ & =2[-\dfrac{\log x}{x}+\int \dfrac{1}{x^{2}} d x] \\ & =2[-\dfrac{\log x}{x}-\dfrac{1}{x}] \\ & =-\dfrac{2}{x}(1+\log x) \end{aligned} $

समीकरण (1) में $\int(\dfrac{2}{x^{2}} \log x) d x$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$y \log x=-\dfrac{2}{x}(1+\log x)+C$

इसके अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

$(1+x^{2}) d y+2 x y d x=\cot x d x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{2 x y}{1+x^{2}}=\dfrac{\cot x}{1+x^{2}}$

इस समीकरण के रूप में एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{2 x}{1+x^{2}}$ और $.Q=\dfrac{\cot x}{1+x^{2}})$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \dfrac{2 x}{1+x^{2}} d x}=e^{\log |(1+x^{2})|}=1+x^{2} \quad (\because (1+ x^2) \ हमेशा धनात्मक होता है )$.

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\int[\dfrac{\cot x}{1+x^{2}} \times(1+x^{2})] d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\int \cot x d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\log |\sin x|+C$

Solution

$x \dfrac{d y}{d x}+y-x+x y \cot x=0$

$\Rightarrow x \dfrac{d y}{d x}+y(1+x \cot x)=x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+(\dfrac{1}{x}+\cot x) y=1$

This equation is a linear differential equation of the form:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ where $p=\dfrac{1}{x}+\cot x$ and $.Q=1)$

Now, I.F $=e^{\int \rho d x}=e^{\int(\dfrac{1}{x}+\cot x) d x}=e^{\log |x|+\log |(\sin x)|}=e^{\log |(x \sin x)|}=x \sin x \quad ( x \sin x >0)$.

The general solution of the given differential equation is given by the relation,

$ \begin{aligned} & y(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=\int(1 \times x \sin x) d x+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=\int(x \sin x) d x+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=x \int \sin x d x-\int[\dfrac{d}{d x}(x) \cdot \int \sin x d x]+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=x(-\cos x)-\int 1 \cdot(-\cos x) d x+C \\ & \Rightarrow y(x \sin x)=-x \cos x+\sin x+C \\ & \Rightarrow y=\dfrac{-x \cos x}{x \sin x}+\dfrac{\sin x}{x \sin x}+\dfrac{C}{x \sin x} \\ & \Rightarrow y=-\cot \cdot x+\dfrac{1}{x}+\dfrac{C}{x \sin x} \end{aligned} $

Solution

$(x+y) \dfrac{d y}{d x}=1$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1}{x+y}$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}=x+y$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}-x=y$

This is a linear differential equation of the form:

$\dfrac{d x}{d y}+p x=Q($ where $p=-1$ and $Q=y$ )

Now, $I.F =e^{\int p d y}=e^{\int-d y}=e^{-y}$.

The general solution of the given differential equation is given by the relation,

$x($ I.F. $)=\int(Q \times I . F) d y+.C$

$\Rightarrow x e^{-y}=\int(y \cdot e^{-y}) d y+C$

$\Rightarrow x e^{-y}=y \cdot \int e^{-y} d y-\int[\dfrac{d}{d y}(y) \int e^{-y} d y] d y+C$

$\Rightarrow x e^{-y}=y(-e^{-y})-\int(-e^{-y}) d y+C$

$\Rightarrow x e^{-y}=-y e^{-y}+\int e^{-y} d y+C$

$\Rightarrow x e^{-y}=-y e^{-y}-e^{-y}+C$

$\Rightarrow x=-y-1+Ce^{y}$

$\Rightarrow x+y+1=Ce^{y}$

Solution

$y d x+(x-y^{2}) d y=0$

$\Rightarrow y d x=(y^{2}-x) d y$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}=\dfrac{y^{2}-x}{y}=y-\dfrac{x}{y}$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}+\dfrac{x}{y}=y$

इस रूप के एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d x}{d y}+p x=Q(.$ जहाँ $p=\dfrac{1}{y}$ और $.Q=y)$

अब, I.F $=e^{\int \rho d y}=e^{\int \dfrac{1}{y} d y}=e^{\log y}=y$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य समाधान को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है, $x(I . F)=.\int(Q \times I . F) d y+.C$

$\Rightarrow x y=\int(y \cdot y) d y+C$

$\Rightarrow x y=\int y^{2} d y+C$

$\Rightarrow x y=\dfrac{y^{3}}{3}+C$

$\Rightarrow x=\dfrac{y^{2}}{3}+\dfrac{C}{y}$

Solution

$(x+3 y^{2}) \dfrac{d y}{d x}=y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{y}{x+3 y^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}=\dfrac{x+3 y^{2}}{y}=\dfrac{x}{y}+3 y$

$\Rightarrow \dfrac{d x}{d y}-\dfrac{x}{y}=3 y$

इस रूप के एक रैखिक अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d x}{d y}+p x=Q(.$ जहाँ $p=-\dfrac{1}{y}$ और $.Q=3 y)$

अब, I.F $=e^{\int p d y}=e^{-\int \dfrac{d y}{y}}=e^{-\log |y|}=e^{\log (\dfrac{1}{y})}=\dfrac{1}{y} \quad (\because y>0 \Rightarrow |y|=y)$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य समाधान को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है, $x(I . F)=.\int(Q \times I . F) d y+.C$

$\Rightarrow x \times \dfrac{1}{y}=\int(3 y \times \dfrac{1}{y}) d y+C$

$\Rightarrow \dfrac{x}{y}=3 y+C$

$\Rightarrow x=3 y^{2}+C y$

हल

दिया गया अवकल समीकरण है $\dfrac{d y}{d x}+2 y \tan x=\sin x$।

यह एक रैखिक समीकरण के रूप में है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=2 \tan x$ और $Q=\sin x$)

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int 2 \tan x d x}=e^{2 \log |\sec x|}=e^{\log (\sec ^{2} x)}=\sec ^{2} x$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y(I . F)=.\int(Q \times I . F) d x+.C$

$\Rightarrow y(\sec ^{2} x)=\int(\sin x \cdot \sec ^{2} x) d x+C$

$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\int(\sec x \cdot \tan x) d x+C$

$$\Rightarrow y \sec ^{2} x=\sec x+C \tag{1}$$

अब, $y=0$ जब $x=\dfrac{\pi}{3}$ है।

इसलिए,

$0 \times \sec ^{2} \dfrac{\pi}{3}=\sec \dfrac{\pi}{3}+C$

$\Rightarrow 0=2+C$

$\Rightarrow C=-2$

समीकरण (1) में $C=-2$ को समायोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $y \sec ^{2} x=\sec x-2$

$\Rightarrow y=\cos x-2 \cos ^{2} x$

इसलिए, दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक हल है $y=\cos x-2 \cos ^{2} x$।

हल

$(1+x^{2}) \dfrac{d y}{d x}+2 x y=\dfrac{1}{1+x^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{2 x y}{1+x^{2}}=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण के रूप में है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=\dfrac{2 x}{1+x^{2}}$ और $Q=\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}}$)

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \dfrac{2 x d x}{1+x^{2}}}=e^{\log |(1+x^{2})|}=1+x^{2}$ ($\because (1+x^2)$ हमेशा धनात्मक होता है)।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\int[\dfrac{1}{(1+x^{2})^{2}} \cdot(1+x^{2})] d x+C$

$\Rightarrow y(1+x^{2})=\int \dfrac{1}{1+x^{2}} d x+C$

$$\Rightarrow y(1+x^{2})=\tan ^{-1} x+C \tag{1}$$

अब, $y=0$ जब $x=1$ है।

इसलिए,

$0=\tan ^{-1} 1+C$

$\Rightarrow C=-\dfrac{\pi}{4}$

समीकरण (1) में $C=-\dfrac{\pi}{4}$ को समायोजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$y(1+x^{2})=\tan ^{-1} x-\dfrac{\pi}{4}$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक सामान्य हल है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण है $\dfrac{d y}{d x}-3 y \cot x=\sin 2 x$।

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=-3 \cot x$ और $Q=\sin 2 x)$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{-3 \int \cot x d x}=e^{-3 \log |\sin x|}=e^{\log |\dfrac{1}{\sin ^{3} x}|}=\dfrac{1}{\sin ^{3} x}$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+$ C

$\Rightarrow y \cdot \dfrac{1}{\sin ^{3} x}=\int[\sin 2 x \cdot \dfrac{1}{\sin ^{3} x}] d x+C$

$\Rightarrow y cosec^{3} x=2 \int(\cot x cosec x) d x+C$

$\Rightarrow y cosec^{3} x=2 cosec x+C$

$\Rightarrow y=-\dfrac{2}{cosec^{2} x}+\dfrac{3}{cosec^{3} x}$

$$\Rightarrow y=-2 \sin ^{2} x+C \sin ^{3} x \tag{1}$$

अब, $y=2$ जब $x=\dfrac{\pi}{2}$ है।

इसलिए, हमें प्राप्त होता है:

$2=-2+C$

$\Rightarrow C=4$

समीकरण (1) में $C=4$ को रखने पर हमें प्राप्त होता है:

$y=-2 \sin ^{2} x+4 \sin ^{3} x$

$\Rightarrow y=4 \sin ^{3} x-2 \sin ^{2} x$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक विशिष्ट हल है।

हल

मान लीजिए $F(x, y)$ वह वक्र है जो मूल बिंदु से होकर गुजरता है।

बिंदु $(x, y)$ पर वक्र की ढलान $\dfrac{d y}{d x}$ होती है।

दिए गए जानकारी के अनुसार:

$\dfrac{d y}{d x}=x+y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}-y=x$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=-1$ और $Q=x)$

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int(-1) d x}=e^{-x}$।

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्न संबंध द्वारा दिया जाता है,

$$ \begin{align*} & y(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y e^{-x}=\int x e^{-x} d x+C \tag{1} \end{align*} $$

अब, $\int x e^{-x} d x=x \int e^{-x} d x-\int[\dfrac{d}{d x}(x) \cdot \int e^{-x} d x] d x$.

$ =-x e^{-x}-\int-e^{-x} d x $

$ \begin{aligned} & =-x e^{-x}+(-e^{-x}) \\ & =-e^{-x}(x+1) \end{aligned} $

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$ \begin{align*} & y e^{-x}=-e^{-x}(x+1)+C \\ & \Rightarrow y=-(x+1)+C e^{x} \\ & \Rightarrow x+y+1=C e^{x} \tag{2} \end{align*} $$

कक्षा मूल बिंदु से गुजरती है।

इसलिए, समीकरण (2) बन जाता है:

$1=C$

$C=1$ को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\Rightarrow \quad x+y+1=e^{x}$

इसलिए, मूल बिंदु से गुजरती वक्र का अभीष्ट समीकरण $x+y+1=e^{x}$ है।

हल

मान लीजिए $F(x, y)$ वक्र है और $(x, y)$ वक्र पर एक बिंदु है। वक्र के बिंदु $(x, y)$ पर स्पर्श रेखा का ढलान $\dfrac{d y}{d x}$ है।

दिए गए जानकारी के अनुसार:

$\dfrac{d y}{d x}+5=x+y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}-y=x-5$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप में: $\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ (जहाँ $p=-1$ और $Q=x-5$)

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int(-1) d x}=e^{-x}$.

वक्र के सामान्य समीकरण को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+$ C

$\Rightarrow y \cdot e^{-x}=\int(x-5) e^{-x} d x+C$

अब, $\int(x-5) e^{-x} d x=(x-5) \int e^{-x} d x-\int[\dfrac{d}{d x}(x-5) \cdot \int e^{-x} d x] d x$.

$ \begin{aligned} & =(x-5)(-e^{-x})-\int(-e^{-x}) d x \\ & =(5-x) e^{-x}+(-e^{-x}) \\ & =(4-x) e^{-x} \end{aligned} $

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$$ \begin{align*} & y e^{-x}=(4-x) e^{-x}+C \\ & \Rightarrow y=4-x+C e^{x} \\ & \Rightarrow x+y-4=C e^{x} \tag{2} \end{align*} $$

$$

कक्षा बिंदु $(0,2)$ से गुजरती है।

इसलिए, समीकरण (2) बन जाती है:

$0+2-4=Ce^{0}$

$\Rightarrow-2=C$

$\Rightarrow C=-2$

समीकरण (2) में $C=-2$ को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & x+y-4=-2 e^{x} \\ & \Rightarrow y=4-x-2 e^{x} \end{aligned} $

यह वक्र के अभीष्ट समीकरण है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$x \dfrac{d y}{d x}-y=2 x^{2}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}-\dfrac{y}{x}=2 x$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप में है:

$\dfrac{d y}{d x}+p y=Q(.$ जहाँ $p=-\dfrac{1}{x}$ और $.Q=2 x)$

समाकलन गुणक (I.F) निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है,

$e^{\int p d x}$

$\therefore$ I.F $=e^{\int \dfrac{1}{x} d x}=e^{-\log |x|}=e^{\log |(x^{-1})|}=x^{-1}=\dfrac{1}{x}, \quad ( x>0)$

अतः सही उत्तर है $C$।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$(1-y^{2}) \dfrac{d x}{d y}+y x=a y$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{y x}{1-y^{2}}=\dfrac{a y}{1-y^{2}}$

यह एक रैखिक अवकल समीकरण है जिसके रूप में है:

$\dfrac{d x}{d y}+p y=Q($ जहाँ $p=\dfrac{y}{1-y^{2}}$ और $Q=\dfrac{a y}{1-y^{2}}$ )

समाकलन गुणक (I.F) निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया गया है,

$e^{\int p d x}$

$\therefore I . F=e^{\int p d y}=e^{\int \dfrac{y}{1-y^{2}} d y}=e^{-\dfrac{1}{2} \log |(1-y^{2})|}=e^{\log |[\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}]|}=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}, \quad (\because \sqrt{1-y^{2}} >0 )$

अतः सही उत्तर है D.

हल

(i) अवकल समीकरण निम्नलिखित दिया गया है:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 x(\dfrac{d y}{d x})^{2}-6 y=\log x \\ & \Rightarrow \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+5 x(\dfrac{d y}{d x})^{2}-6 y-\log x=0 \end{aligned} $

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड दो है। $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के सबसे ऊँचा घात एक है। इसलिए, इसकी डिग्री एक है।

(ii) अवकल समीकरण निम्नलिखित दिया गया है:

$ \begin{aligned} & (\dfrac{d y}{d x})^{3}-4(\dfrac{d y}{d x})^{2}+7 y=\sin x \\ & \Rightarrow(\dfrac{d y}{d x})^{3}-4(\dfrac{d y}{d x})^{2}+7 y-\sin x=0 \end{aligned} $

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $\dfrac{d y}{d x}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड एक है। $\dfrac{d y}{d x}$ के सबसे ऊँचा घात तीन है। इसलिए, इसकी डिग्री तीन है।

(iii) अवकल समीकरण निम्नलिखित दिया गया है:

$\dfrac{d^{4} y}{d x^{4}}-\sin (\dfrac{d^{3} y}{d x^{3}})=0$

अवकल समीकरण में उपस्थित सबसे ऊँचा अवकलज $\dfrac{d^{4} y}{d x^{4}}$ है। इसलिए, इसका कोर्ड चार है।

हालांकि, दिया गया अवकल समीकरण एक बहुपदीय समीकरण नहीं है। इसलिए, इसकी डिग्री परिभाषित नहीं है।

हल

(i) $y=a e^{x}+b e^{-x}+x^{2}$

$y$ के दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{d y}{d x}=a \dfrac{d}{d x}(e^{x})+b \dfrac{d}{d x}(e^{-x})+\dfrac{d}{d x}(x^{2})$ $\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=a e^{x}-b e^{-x}+2 x$

फिर, दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=a e^{x}+b e^{-x}+2$

अब, अवकलन समीकरण में $\dfrac{d y}{d x}$ और $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

एल.एच.एस.

$x \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \dfrac{d y}{d x}-x y+x^{2}-2$

$=x(a e^{x}+b e^{-x}+2)+2(a e^{x}-b e^{-x}+2 x)-x(a e^{x}+b e^{-x}+x^{2})+x^{2}-2$

$=(a x e^{x}+b x e^{-x}+2 x)+(2 a e^{x}-2 b e^{-x}+4 x)-(a x e^{x}+b x e^{-x}+x^{3})+x^{2}-2$

$=2 a e^{x}-2 b e^{-x}-x^3+x^{2}+6 x-2$

$\neq 0$

$\Rightarrow$ एल.एच.एस. $\neq$ आर.एच.एस.

अतः, दी गई फलन अवकलन समीकरण का हल नहीं है।

(ii) $y=e^{x}(a \cos x+b \sin x)=a e^{x} \cos x+b e^{x} \sin x$

$y$ के दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}=a \cdot \dfrac{d}{d x}(e^{x} \cos x)+b \cdot \dfrac{d}{d x}(e^{x} \sin x) \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=a(e^{x} \cos x-e^{x} \sin x)+b \cdot(e^{x} \sin x+e^{x} \cos x) \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=(a+b) e^{x} \cos x+(b-a) e^{x} \sin x \end{aligned} $

फिर, दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=(a+b) \cdot \dfrac{d}{d x}(e^{x} \cos x)+(b-a) \dfrac{d}{d x}(e^{x} \sin x) \\ & \Rightarrow \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=(a+b) \cdot[e^{x} \cos x-e^{x} \sin x]+(b-a)[e^{x} \sin x+e^{x} \cos x] \\ & \Rightarrow \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x}[(a+b)(\cos x-\sin x)+(b-a)(\sin x+\cos x)] \\ $

& \Rightarrow \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=e^{x}[a \cos x-a \sin x+b \cos x-b \sin x+b \sin x+b \cos x-a \sin x-a \cos x] \\ & \Rightarrow \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=[2 e^{x}(b \cos x-a \sin x)] \end{aligned} $

अब, दिए गए अवकल समीकरण के बाईं ओर वाली ओर (L.H.S.) में $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 \dfrac{d y}{d x}+2 y \\ & =2 e^{x}(b \cos x-a \sin x)-2 e^{x}[(a+b) \cos x+(b-a) \sin x]+2 e^{x}(a \cos x+b \sin x) \\ & =e^{x} \begin{bmatrix} (2 b \cos x-2 a \sin x)-(2 a \cos x+2 b \cos x) \\ -(2 b \sin x-2 a \sin x)+(2 a \cos x+2 b \sin x) \end{bmatrix} \\ & =e^{x}[(2 b-2 a-2 b+2 a) \cos x]+e^{x}[(-2 a-2 b+2 a+2 b) \sin x] \\ & =0 \end{aligned} $

इसलिए, दी गई फ़ंक्शन अवकल समीकरण के संगत हल है।

(iii) $y=x \sin 3 x$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d}{d x}(x \sin 3 x)=\sin 3 x+x \cdot \cos 3 x \cdot 3 \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\sin 3 x+3 x \cos 3 x \end{aligned} $

फिर, दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=\dfrac{d}{d x}(\sin 3 x)+3 \dfrac{d}{d x}(x \cos 3 x)$

$\Rightarrow \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=3 \cos 3 x+3[\cos 3 x+x(-\sin 3 x) \cdot 3]$

$\Rightarrow \dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}=6 \cos 3 x-9 x \sin 3 x$

दिए गए अवकल समीकरण के बाईं ओर वाली ओर (L.H.S.) में $\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}$ के मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{d^{2} y}{d x^{2}}+9 y-6 \cos 3 x$

$=(6 \cdot \cos 3 x-9 x \sin 3 x)+9 x \sin 3 x-6 \cos 3 x$

$=0$

इसलिए, दी गई फ़ंक्शन अवकल समीकरण के संगत हल है।

(iv) $x^{2}=2 y^{2} \log y$

दोनों ओर $x$ के संदर्भ में अवकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$2 x=2 \cdot \dfrac{d}{d x}[y^{2} \log y]$

$\Rightarrow x=[2 y \cdot \log y \cdot \dfrac{d y}{d x}+y^{2} \cdot \dfrac{1}{y} \cdot \dfrac{d y}{d x}]$

$\Rightarrow x=\dfrac{d y}{d x}(2 y \log y+y)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x}{y(1+2 \log y)}$

समीकरण के दिए गए अवकल समीकरण के बायां पक्ष (L.H.S.) में $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं: $(x^{2}+y^{2}) \dfrac{d y}{d x}-x y$

$=(2 y^{2} \log y+y^{2}) \cdot \dfrac{x}{y(1+2 \log y)}-x y$

$=y^{2}(1+2 \log y) \cdot \dfrac{x}{y(1+2 \log y)}-x y$

$=x y-x y$

$=0$

अतः, दिया गया फलन अवकल समीकरण के संगत समाधान है।

हल

$(x^{3}-3 x y^{2}) d x=(y^{3}-3 x^{2} y) d y$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{x^{3}-3 x y^{2}}{y^{3}-3 x^{2} y} \tag{1}$$

यह एक एकरूप समीकरण है। इसे सरल करने के लिए हम निम्नलिखित प्रतिस्थापन करेंगे:

$y=v x$

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(y)=\dfrac{d}{d x}(v x)$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=v+x \dfrac{d v}{d x}$

समीकरण (1) में $y$ और $\dfrac{d v}{d x}$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{x^{3}-3 x(v x)^{2}}{(v x)^{3}-3 x^{2}(v x)}$

$\Rightarrow v+x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1-3 v^{2}}{v^{3}-3 v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1-3 v^{2}}{v^{3}-3 v}-v$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1-3 v^{2}-v(v^{3}-3 v)}{v^{3}-3 v}$

$\Rightarrow x \dfrac{d v}{d x}=\dfrac{1-v^{4}}{v^{3}-3 v}$

$\Rightarrow(\dfrac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}) d v=\dfrac{d x}{x}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$\int(\dfrac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}) d v=\log |x|+\log |C^{\prime}| \tag{2}$$

अब, $\int(\dfrac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}) d v=\int \dfrac{v^{3} d v}{1-v^{4}}-3 \int \dfrac{v d v}{1-v^{4}}$

$$\Rightarrow \int(\dfrac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}) d v=I_1-3 I_2 \tag{3}$$

जहाँ $I_1=\int \dfrac{v^{3} d v}{1-v^{4}}$ और $I_2=\int \dfrac{v d v}{1-v^{4}}$

मान लीजिए $1-v^{4}=t$.

$\therefore \dfrac{d}{d v}(1-v^{4})=\dfrac{d t}{d v}$

$\Rightarrow-4 v^{3}=\dfrac{d t}{d v}$

$\Rightarrow v^{3} d v=-\dfrac{d t}{4}$

अब, $I_1=\int \dfrac{-d t}{4 t}=-\dfrac{1}{4} \log |t|=-\dfrac{1}{4} \log |(1-v^{4})|$

और, $I_2=\int \dfrac{v d v}{1-v^{4}}=\int \dfrac{v d v}{1-(v^{2})^{2}}$

मान लीजिए $v^{2}=p$.

$\therefore \dfrac{d}{d v}(v^{2})=\dfrac{d p}{d v}$

$\Rightarrow 2 v=\dfrac{d p}{d v}$

$\Rightarrow v d v=\dfrac{d p}{2}$

$\Rightarrow I_2=\dfrac{1}{2} \int \dfrac{d p}{1-p^{2}}=\dfrac{1}{2 \times 2} \log |\dfrac{1+p}{1-p}|=\dfrac{1}{4} \log |\dfrac{1+v^{2}}{1-v^{2}}|$

समीकरण (3) में $I_1$ और $I_2$ के मान को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\int(\dfrac{v^{3}-3 v}{1-v^{4}}) d v=-\dfrac{1}{4} \log (1-v^{4})-\dfrac{3}{4} \log |\dfrac{1-v^{2}}{1+v^{2}}|$

इसलिए, समीकरण (2) बन जाता है:

$ \begin{aligned} & \dfrac{1}{4} \log |(1-v^{4})|-\dfrac{3}{4} \log |\dfrac{1+v^{2}}{1-v^{2}}|=\log |x|+\log |C^{\prime}| \\ & \Rightarrow-\dfrac{1}{4} \log |[(1-v^{4})(\dfrac{1+v^{2}}{1-v^{2}})^{3}]|=\log |C^{\prime} x| \\ & \Rightarrow \dfrac{(1+v^{2})^{4}}{(1-v^{2})^{2}}=(C^{\prime} x)^{-4} \\ & \Rightarrow \dfrac{(1+\dfrac{y^{2}}{x^{2}})^{4}}{(1-\dfrac{y^{2}}{x^{2}})^{2}}=\dfrac{1}{C^{\prime 4} x^{4}} \\ & \Rightarrow \dfrac{(x^{2}+y^{2})^{4}}{x^{4}(x^{2}-y^{2})^{2}}=\dfrac{1}{C^{\prime 4} x^{4}} \\ & \Rightarrow(x^{2}-y^{2})^{2}=C^{\prime 4}(x^{2}+y^{2})^{4} \\ & \Rightarrow(x^{2}-y^{2})=C^{\prime 2}(x^{2}+y^{2})^{2} \\ & \Rightarrow x^{2}-y^{2}=C(x^{2}+y^{2})^{2}, \text{ जहाँ } C=C^{\prime 2} \end{aligned} $

इसलिए, दिए गए परिणाम की साबित कर दिया गया है।

हल

$\dfrac{d y}{d x}+\sqrt{\dfrac{1-y^{2}}{1-x^{2}}}=0$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{\sqrt{1-y^{2}}}{\sqrt{1-x^{2}}}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{\sqrt{1-y^{2}}}=\dfrac{-d x}{\sqrt{1-x^{2}}}$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\sin ^{-1} y=-\sin ^{-1} x+C$

$\Rightarrow \sin ^{-1} x+\sin ^{-1} y=C$

हल

$ \begin{aligned} & \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{y^{2}+y+1}{x^{2}+x+1}=0 \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=-\dfrac{(y^{2}+y+1)}{x^{2}+x+1} \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{y^{2}+y+1}=\dfrac{-d x}{x^{2}+x+1} \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{y^{2}+y+1}+\dfrac{d x}{x^{2}+x+1}=0 \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & \int \dfrac{d y}{y^{2}+y+1}+\int \dfrac{d x}{x^{2}+x+1}=C \\ & \Rightarrow \int \dfrac{d y}{(y+\dfrac{1}{2})^{2}+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}+\int \dfrac{d x}{(x+\dfrac{1}{2})^{2}+(\dfrac{\sqrt{3}}{2})^{2}}=C \\ & \Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}[\dfrac{y+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}]+\dfrac{2}{\sqrt{3}} \tan ^{-1}[\dfrac{x+\dfrac{1}{2}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}]=C \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}[\dfrac{2 y+1}{\sqrt{3}}]+\tan ^{-1}[\dfrac{2 x+1}{\sqrt{3}}]=\dfrac{\sqrt{3} C}{2} \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}[\dfrac{\dfrac{2 y+1}{\sqrt{3}}+\dfrac{2 x+1}{\sqrt{3}}}{1-\dfrac{(2 y+1)}{\sqrt{3}} \cdot \dfrac{(2 x+1)}{\sqrt{3}}}]=\dfrac{\sqrt{3} C}{2} \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}[\dfrac{\dfrac{2 x+2 y+2}{\sqrt{3}}}{1-(\dfrac{4 x y+2 x+2 y+1}{3})}]=\dfrac{\sqrt{3} C}{2} \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}[\dfrac{2 \sqrt{3}(x+y+1)}{3-4 x y-2 x-2 y-1}]=\dfrac{\sqrt{3} C}{2} \\ & \Rightarrow \tan ^{-1}[\dfrac{\sqrt{3}(x+y+1)}{2(1-x-y-2 x y)}]=\dfrac{\sqrt{3} C}{2} \\ & \Rightarrow \dfrac{\sqrt{3}(x+y+1)}{2(1-x-y-2 x y)}=\tan (\dfrac{\sqrt{3} C}{2})=B, \text{ जहाँ } B=\tan (\dfrac{\sqrt{3} C}{2}) \\ & \Rightarrow x+y+1=\dfrac{2 B}{\sqrt{3}}(1-x- y-2 x y) \\ & \Rightarrow x+y+1=A(1-x-y-2 x y) \text{, जहाँ } A=\dfrac{2 B}{\sqrt{3}} \end{aligned} $

इस प्रकार, दिए गए परिणाम की सत्यता सिद्ध कर दी गई है।

हल

दिए गए वक्र का अवकल समीकरण है:

$\sin x \cos y d x+\cos x \sin y d y=0$

$\Rightarrow \dfrac{\sin x \cos y d x+\cos x \sin y d y}{\cos x \cos y}=0$

$\Rightarrow \tan x d x+\tan y d y=0$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |(\sec x)|+\log |(\sec y)|=\log |C|$

$\log |(\sec x \cdot \sec y)|=\log |C|$

$\Rightarrow |\sec x \cdot \sec y|=|C|$

$\Rightarrow \sec x \cdot \sec y=\pm C$

$$\Rightarrow \sec x \cdot \sec y= c , (where \ c= \pm C) \tag{1}$$

कक्षा बिंदु $(0, \dfrac{\pi}{4})$ से गुजरती है।

$\therefore 1 \times \sqrt{2}=c$

$\Rightarrow c=\sqrt{2}$

समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\sec x \cdot \sec y=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \sec x \cdot \dfrac{1}{\cos y}=\sqrt{2}$

$\Rightarrow \cos y=\dfrac{\sec x}{\sqrt{2}}$

इसलिए, वक्र का अभीष्ट समीकरण $\cos y=\dfrac{\sec x}{\sqrt{2}}$ है।

हल

$(1+e^{2 x}) d y+(1+y^{2}) e^{x} d x=0$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{1+y^{2}}+\dfrac{e^{x} d x}{1+e^{2 x}}=0$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$$\tan ^{-1} y+\int \dfrac{e^{x} d x}{1+e^{2 x}}=C \tag{1}$$

मान लीजिए $e^{x}=t \Rightarrow e^{2 x}=t^{2}$.

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(e^{x})=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow e^{x}=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow e^{x} d x=d t$

समीकरण (1) में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\tan ^{-1} y+\int \dfrac{d t}{1+t^{2}}=C$

$\Rightarrow \tan ^{-1} y+\tan ^{-1} t=C$

$$\Rightarrow \tan ^{-1} y+\tan ^{-1}(e^{x})=C \tag{2}$$

अब, $y=1$ जब $x=0$ है।

इसलिए, समीकरण (2) बन जाता है:

$\tan ^{-1} 1+\tan ^{-1} 1=C$

$\Rightarrow \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{\pi}{4}=C$

$\Rightarrow C=\dfrac{\pi}{2}$

$C=\dfrac{\pi}{2}$ को समीकरण (2) में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\tan ^{-1} y+\tan ^{-1}(e^{x})=\dfrac{\pi}{2}$

यह दिए गए अवकल समीकरण का अभीष्ट विशिष्ट हल है।

हल

$y e^{\dfrac{x}{y}} d x=(x e^{\dfrac{x}{y}}+y^{2}) d y$

$\Rightarrow y e^{\dfrac{x}{y}} \dfrac{d x}{d y}=x e^{\dfrac{x}{y}}+y^{2}$

$\Rightarrow e^{\dfrac{x}{y}}[y \cdot \dfrac{d x}{d y}-x]=y^{2}$

$\Rightarrow e^{\dfrac{x}{y}} \dfrac{[y \cdot \dfrac{d x}{d y}-x]}{y^{2}}=1$

मान लीजिए $e^{\dfrac{x}{y}}=z$.

इसे $y$ के संदर्भ में अवकलज लेने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{d}{d y}(e^{\dfrac{x}{y}})=\dfrac{d z}{d y}$

$\Rightarrow e^{\dfrac{x}{y}} \cdot \dfrac{d}{d y}(\dfrac{x}{y})=\dfrac{d z}{d y}$

$\Rightarrow e^{\dfrac{x}{y}} \cdot[\dfrac{y \cdot \dfrac{d x}{d y}-x}{y^{2}}]=\dfrac{d z}{d y}$

समीकरण (1) और समीकरण (2) से, हम प्राप्त करते हैं:

$\dfrac{d z}{d y}=1$

$\Rightarrow d z=d y$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं: $z=y+C$

$\Rightarrow e^{\dfrac{x}{y}}=y+C$

हल

$(x-y)(d x+d y)=d x-d y$

$\Rightarrow(x-y+1) d y=(1-x+y) d x$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1-x+y}{x-y+1}$

$$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{1-(x-y)}{1+(x-y)} \tag{1}$$

मान लीजिए $x-y=t$.

$\Rightarrow \dfrac{d}{d x}(x-y)=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow 1-\dfrac{d y}{d x}=\dfrac{d t}{d x}$

$\Rightarrow 1-\dfrac{d t}{d x}=\dfrac{d y}{d x}$

समीकरण (1) में $x-y$ और $\dfrac{d y}{d x}$ के मान को बदल देने पर, हम प्राप्त करते हैं: $1-\dfrac{d t}{d x}=\dfrac{1-t}{1+t}$

$\Rightarrow \dfrac{d t}{d x}=1-(\dfrac{1-t}{1+t})$

$\Rightarrow \dfrac{d t}{d x}=\dfrac{(1+t)-(1-t)}{1+t}$

$\Rightarrow \dfrac{d t}{d x}=\dfrac{2 t}{1+t}$

$\Rightarrow(\dfrac{1+t}{t}) d t=2 d x$

$\Rightarrow(1+\dfrac{1}{t}) d t=2 d x$

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$t+\log |t|=2 x+C$

$\Rightarrow(x-y)+\log |x-y|=2 x+C$

$$\Rightarrow \log |x-y|=x+y+C \tag{2}$$

अब, $x=0$ पर $y=-1$ है।

इसलिए, समीकरण (2) बन जाता है:

$\log 1=0-1+C$

$\Rightarrow C=1$

समीकरण (2) में $C=1$ को रखने पर हम प्राप्त करते हैं:

$\log |x-y|=x+y+1$

दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक विशिष्ट हल है।

हल

$[\dfrac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\dfrac{y}{\sqrt{x}}] \dfrac{d x}{d y}=1$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}=\dfrac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}-\dfrac{y}{\sqrt{x}}$

$\Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+\dfrac{y}{\sqrt{x}}=\dfrac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$

इस समीकरण को रूप $\dfrac{d y}{d x}+P y=Q$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $P=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$ और $Q=\dfrac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$ है।

अब, I.F $=e^{\int P d x}=e^{\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} d x}=e^{2 \sqrt{x}}$

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+C$

$\Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}}=\int(\dfrac{e^{-2 \sqrt{x}}}{\sqrt{x}} \times e^{2 \sqrt{x}}) d x+C$

$\Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}}=\int \dfrac{1}{\sqrt{x}} d x+C$

$\Rightarrow y e^{2 \sqrt{x}}=2 \sqrt{x}+C$

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$\dfrac{d y}{d x}+y \cot x=4 x cosec x$

इस समीकरण को रूप $\dfrac{d y}{d x}+p y=Q$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $p=\cot x$ और $Q=4 x cosec x$ है।

अब, I.F $=e^{\int p d x}=e^{\int \cot x d x}=e^{\log |\sin x|}=\sin x ,\quad (\sin x >0)$

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है,

$y($ I.F. $)=\int(Q \times$ I.F. $) d x+C$

$\Rightarrow y \sin x=\int(4 x cosec x \cdot \sin x) d x+C$

$\Rightarrow y \sin x=4 \int x d x+C$

$\Rightarrow y \sin x=4 \cdot \dfrac{x^{2}}{2}+C$

$$\Rightarrow y \sin x=2 x^{2}+C \tag{1}$$

अब, $y=0$ जब $x=\dfrac{\pi}{2}$ है।

इसलिए, समीकरण (1) बन जाता है:

$0=2 \times \dfrac{\pi^{2}}{4}+C$

$\Rightarrow C=-\dfrac{\pi^{2}}{2}$

समीकरण (1) में $C=-\dfrac{\pi^{2}}{2}$ को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$y \sin x=2 x^{2}-\dfrac{\pi^{2}}{2} , \quad (\sin x \neq 0)$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक विशिष्ट समाधान है।

हल

$ \begin{aligned} & (x+1) \dfrac{d y}{d x}=2 e^{-y}-1 \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{2 e^{-y}-1}=\dfrac{d x}{x+1} \\ & \Rightarrow \dfrac{e^{y} d y}{2-e^{y}}=\dfrac{d x}{x+1} \end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{equation*} \int \dfrac{e^{y} d y}{2-e^{y}}=\log |x+1|+\log |C| \tag{1} \end{equation*} $$

मान लीजिए $2-e^{y}=t$।

$\therefore \dfrac{d}{d y}(2-e^{y})=\dfrac{d t}{d y}$

$\Rightarrow-e^{y}=\dfrac{d t}{d y}$

$\Rightarrow e^{y} d t=-d t$

समीकरण (1) में इस मान को बदल दें, हमें प्राप्त होता है:

$$ \begin{align*} & \int \dfrac{-d t}{t}=\log |x+1|+\log |C| \\ & \Rightarrow-\log |t|=\log |C(x+1)| \\ & \Rightarrow-\log |2-e^{y}|=\log |C(x+1)| \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2-e^{y}}=\pm C(x+1) \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{2-e^{y}}=c(x+1) , (where \ c=\pm C)\\ & \Rightarrow 2-e^{y}=\dfrac{1}{c(x+1)} \tag{2} \end{align*} $$

अब, $x=0$ और $y=0$ के लिए, समीकरण (2) बनता है:

$\Rightarrow 2-1=\dfrac{1}{c}$

$\Rightarrow c=1$

समीकरण (2) में $c=1$ को बदल दें, हमें प्राप्त होता है: $2-e^{y}=\dfrac{1}{x+1}$

$\Rightarrow e^{y}=2-\dfrac{1}{x+1}$

$\Rightarrow e^{y}=\dfrac{2 x+2-1}{x+1}$

$\Rightarrow e^{y}=\dfrac{2 x+1}{x+1}$

$\Rightarrow y=\log |\dfrac{2 x+1}{x+1}|,(x \neq-1)$

यह दिए गए अवकल समीकरण के आवश्यक विशिष्ट समाधान है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$ \begin{aligned} & \dfrac{y d x-x d y}{y}=0 \\ & \Rightarrow \dfrac{y d x-x d y}{x y}=0 \\ & \Rightarrow \dfrac{1}{x} d x-\dfrac{1}{y} d y=0

\end{aligned} $

दोनों ओर समाकलन करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$\log |x|-\log |y|=\log |k|$

$\Rightarrow \log |\dfrac{x}{y}|=\log |k|$

$\Rightarrow |\dfrac{x}{y}|=|k|$

$\Rightarrow y=\pm \dfrac{1}{k} x$

$\Rightarrow y=C x$ जहाँ $C=\pm \dfrac{1}{k}$

इसलिए, सही उत्तर C है।

हल

दिए गए अवकल समीकरण $\dfrac{d x}{d y}+P_1 x=Q_1$ का समाकलन गुणक $e^{\int P_1 d y}$ है।

अवकल समीकरण के सामान्य हल निम्नलिखित है,

$ \begin{aligned} & x(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d y+C \\ & \Rightarrow x \cdot e^{\int P_1 d y}=\int(Q_1 e^{\int P_1 d y}) d y+C \end{aligned} $

इसलिए, सही उत्तर C है।

हल

दिया गया अवकल समीकरण है:

$ \begin{aligned} & e^{x} d y+(y e^{x}+2 x) d x=0 \\ & \Rightarrow e^{x} \dfrac{d y}{d x}+y e^{x}+2 x=0 \\ & \Rightarrow \dfrac{d y}{d x}+y=-2 x e^{-x} \end{aligned} $

यह एक रैखिक अवकल समीकरण के रूप $\dfrac{d y}{d x}+P y=Q$ में है, जहाँ $P=1$ और $Q=-2 x e^{-x}$ है।

अब, I.F $=e^{\int P d t}=e^{\int d x}=e^{x}$

दिए गए अवकल समीकरण के सामान्य हल निम्नलिखित है,

$ \begin{aligned} & y(\text{ I.F. })=\int(Q \times \text{ I.F. }) d x+C \\ & \Rightarrow y e^{x}=\int(-2 x e^{-x} \cdot e^{x}) d x+C \\ & \Rightarrow y e^{x}=-\int 2 x d x+C \\

अतः, सही उत्तर $C$ है।