SATHEE: अध्याय 3 मैट्रिक्स

अध्याय 3 मैट्रिक्स

गणित की आधारशिला उसकी स्वतंत्रता में है। - कैंटर

3.1 परिचय

मैट्रिक्स के ज्ञान की आवश्यकता गणित के विभिन्न शाखाओं में होती है। मैट्रिक्स गणित के सबसे सामर्थ्यपूर्ण उपकरणों में से एक है। इस गणितीय उपकरण के उपयोग अन्य सीधे विधियों की तुलना में हमारे काम को बहुत अधिक सरल बनाते हैं। मैट्रिक्स के अवधारणा के विकास रैखिक समीकरणों के निर्देशों के लिए संक्षिप्त और सरल विधियों के प्राप्त करने के प्रयास के परिणाम है। मैट्रिक्स केवल रैखिक समीकरणों के गुणांक के रूप में उपयोग किए जाते हैं, लेकिन मैट्रिक्स के उपयोग इस उपयोग से बहुत अधिक है। मैट्रिक्स नोटेशन और संचालन व्यक्तिगत कंप्यूटर के इलेक्ट्रॉनिक स्प्रेडशीट प्रोग्राम में उपयोग किए जाते हैं, जो विभिन्न क्षेत्रों में व्यवसाय और विज्ञान में उपयोग किए जाते हैं, जैसे बजट तैयारी, बिक्री प्रोजेक्ट, लागत अनुमान, प्रयोग के परिणामों के विश्लेषण आदि। इसके अलावा, कई भौतिक संचालन, जैसे विस्तार, घूर्णन और एक तल में प्रतिबिम्ब, मैट्रिक्स द्वारा गणितीय रूप से प्रस्तुत किए जा सकते हैं। मैट्रिक्स क्रिप्टोग्राफी में भी उपयोग किए जाते हैं। यह गणितीय उपकरण विज्ञान के कुछ शाखाओं में न केवल उपयोग किए जाते हैं, बल्कि आनुवंशिकता, अर्थशास्त्र, समाजशास्त्र, आधुनिक मनोविज्ञान और औद्योगिक प्रबंधन में भी उपयोग किए जाते हैं।

इस अध्याय में, हम अपने अध्ययन के आधार पर मैट्रिक्स और मैट्रिक्स बीजगणित के मूलभूत बातों के साथ परिचित होने में रुचि लेंगे।

3.2 मैट्रिक्स

मान लीजिए हम यह जानना चाहते हैं कि राधा के 15 नोटबुक हैं। हम इसे [15] के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहां समझ लें कि [ ] के अंदर की संख्या राधा के नोटबुक की संख्या है। अब, यदि हम यह व्यक्त करना चाहते हैं कि राधा के 15 नोटबुक और 6 पेन हैं। हम इसे $\begin{bmatrix}15 & 6\end{bmatrix}$ के रूप में व्यक्त कर सकते हैं, जहां समझ लें कि [ ] के अंदर पहली संख्या राधा के नोटबुक की संख्या है जबकि दूसरी संख्या राधा के पेन की संख्या है। अब हम मान लें कि हम राधा और उसके दो दोस्त फैज़ा और सिमरन के नोटबुक और पेन के संपत्ति के जानकारी को व्यक्त करना चाहते हैं, जो निम्नलिखित है:

$ \begin{array}{llllll} \text { राधा } & \text { के } & 15 & \text { नोटबुक } & \text { और } & 6 \text { कलम, } \\ \text { फैज़िया } & \text { के } & 10 & \text { नोटबुक } & \text { और } & 2 \text { कलम, } \\ \text { सिमरन } & \text { के } & 13 & \text { नोटबुक } & \text { और } & 5 \text { कलम। } \end{array} $

अब यह निम्नलिखित तालिका के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है:

$ \begin{array}{lcc} & \text { नोटबुक } & \text { कलम } \\ \text { राधा } & 15 & 6 \\ \text { फैज़िया } & 10 & 2 \\ \text { सिमरन } & 13 & 5 \end{array} $

या

$ \begin{array}{} & \text { राधा } & \text { फैज़िया } & \text { सिमरन } \\ \text { नोटबुक } & 15 & 10 & 13 \\ \text { कलम } & 6 & 2 & 5 \\ \end{array} $

जो निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

पहली व्यवस्था में पहले स्तम्भ के प्रविष्टियाँ राधा, फैज़िया और सिमरन के नोटबुक की संख्या को प्रदर्शित करती हैं, और दूसरे स्तम्भ के प्रविष्टियाँ राधा, फैज़िया और सिमरन के कलम की संख्या को प्रदर्शित करती हैं। इसी तरह, दूसरी व्यवस्था में, पहले पंक्ति के प्रविष्टियाँ राधा, फैज़िया और सिमरन के नोटबुक की संख्या को प्रदर्शित करती हैं। दूसरी पंक्ति के प्रविष्टियाँ राधा, फैज़िया और सिमरन के कलम की संख्या को प्रदर्शित करती हैं। इस तरह की व्यवस्था या प्रदर्शन को आमतौर पर एक मैट्रिक्स कहा जाता है। रूपांतरण रूप से, हम मैट्रिक्स को निम्नलिखित तरह परिभाषित करते हैं:

परिभाषा 1 मैट्रिक्स एक क्रमिक आयताकार आव्यूह होता है जिसमें संख्याएँ या फलन होते हैं। संख्याएँ या फलन मैट्रिक्स के तत्व या प्रविष्टियाँ कहलाते हैं।

हम मैट्रिक्स को बड़े अक्षरों द्वारा नोट करते हैं। निम्नलिखित कुछ मैट्रिक्स के उदाहरण हैं:

$ A=\begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 0 & \sqrt{5} \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 2+i & 3 & -\frac{1}{2} \\ 3.5 & -1 & 2 \\ \sqrt{3} & 5 & \frac{5}{7} \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 1+x & x^{3} & 3 \\ \cos x & \sin x+2 & \tan x \end{bmatrix} $

ऊपर दिए गए उदाहरण में, तत्वों की क्षैतिज रेखाएँ मैट्रिक्स के पंक्तियों को बनाती हैं और तत्वों की ऊर्ध्वाधर रेखाएँ मैट्रिक्स के स्तंभों को बनाती हैं। इसलिए $A$ में 3 पंक्तियाँ और 2 स्तंभ हैं, $B$ में 3 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं जबकि $C$ में 2 पंक्तियाँ और 3 स्तंभ हैं।

3.2.1 मैट्रिक्स का क्रम

एक मैट्रिक्स जो $m$ पंक्तियों और $n$ स्तंभों का हो इसे $m \times n$ के क्रम की मैट्रिक्स या बस $m \times n$ मैट्रिक्स (पढ़ें $m$ बाय $n$ मैट्रिक्स) कहा जाता है। इसलिए ऊपर दिए गए मैट्रिक्स के उदाहरण के संदर्भ में, हम $A$ को $3 \times 2$ मैट्रिक्स, $B$ को $3 \times 3$ मैट्रिक्स और $C$ को $2 \times 3$ मैट्रिक्स कहेंगे। हम देख सकते हैं कि $A$ में $3 \times 2=6$ तत्व हैं, $B$ और $C$ क्रमशः 9 और 6 तत्व हैं।

सामान्य रूप से, एक $m \times n$ मैट्रिक्स के निम्नलिखित आयताकार बमैट्रिक्स होता है:

$ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} & \cdots & a_{ij} & \cdots & a_{in} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & a_{m3} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn} \end{bmatrix} _{m \times n} $

या $ A=[a_{i j}]_{m \times n}, 1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n \quad i, j \in N $

इसलिए $i^{\text {th }}$ पंक्ति में तत्व $a_{i 1}, a_{i 2}, a_{i 3}, \ldots, a_{i n}$ होते हैं, जबकि $j^{\text {th }}$ स्तंभ में तत्व $a_{1 j}, a_{2 j}, a_{3 j}, \ldots, a_{m j}$ होते हैं,

सामान्य रूप से $a_{i j}$, वह तत्व होता है जो $i^{\text {th }}$ पंक्ति और $j^{\text {th }}$ स्तंभ में स्थित होता है। हम इसे $A$ के $(i, j)^{\text {th }}$ तत्व के रूप में भी कह सकते हैं। एक $m \times n$ मैट्रिक्स में तत्वों की संख्या $m n$ के बराबर होती है।

नोट इस पाठ्यक्रम में

1. हम $A=[a_{i j}]_{m \times n}$ के रूप में नोटेशन का अनुसरण करेंगे ताकि $A$ के आकार $m \times n$ की आव्यूह हो।

2. हम केवल उन आव्यूहों को ध्यान में रखेंगे जिनके तत्व वास्तविक संख्याएँ या वास्तविक मान लेने वाले फलन हों।

हम एक तल में किसी बिंदु $(x, y)$ को एक आव्यूह (स्तंभ या पंक्ति) के रूप में भी प्रस्तुत कर सकते हैं, जैसे $\begin{bmatrix}x \\ y\end{bmatrix}$ (या $.[x, y]$)। उदाहरण के लिए बिंदु $P(0,1)$ को आव्यूह के रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

$ \mathbf{P}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \text { या } \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix} $

ध्यान दें कि इस तरह से हम एक बंद आयताकार आकृति के शीर्षों को आव्यूह के रूप में भी प्रस्तुत कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक चतुर्भुज $ABCD$ के शीर्ष $A (1,0), B(3,2), C(1,3), D(-1,2)$ हैं।

अब, चतुर्भुज $ABCD$ को आव्यूह रूप में प्रस्तुत कर सकते हैं:

इस प्रकार, आव्यूह का उपयोग तल में ज्यामितीय आकृतियों के शीर्षों को प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है।

अब, हम कुछ उदाहरणों की ओर ध्यान दें।

उदाहरण 1 तीन कारखानों I, II और III में पुरुष और महिला कार्यकर्ताओं की संख्या के संबंध में निम्नलिखित जानकारी दी गई है:

$ \begin{array}{} & \text { पुरुष कार्यकर्ता } & \text { महिला कार्यकर्ता } \\ \text { I } & 30 & 25 \\ \text { II } & 25 & 31 \\ \text { III } & 27 & 26 \\ \end{array} $

उपरोक्त जानकारी को $3 \times 2$ आव्यूह के रूप में प्रस्तुत करें। तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तम्भ में तत्व क्या प्रस्तुत करता है?

हल जानकारी को $3 \times 2$ आव्यूह के रूप में निम्नलिखित तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है:

$ A=\begin{bmatrix} 30 & 25 \\ 25 & 31 \\ 27 & 26 \end{bmatrix} $

तीसरी पंक्ति और दूसरे स्तम्भ में तत्व कारखाना $III$ में महिला कार्यकर्ताओं की संख्या को प्रस्तुत करता है।

उदाहरण 2 यदि एक आव्यूह में 8 तत्व हैं, तो इसके संभावित क्रम क्या हो सकते हैं?

हल हम जानते हैं कि यदि एक आव्यूह का क्रम $m \times n$ है, तो इसमें $m n$ तत्व होते हैं। इसलिए, 8 तत्व वाले आव्यूह के सभी संभावित क्रम के लिए हम विभिन्न प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्म खोजेंगे, जिनका गुणनफल 8 हो।

इसलिए, सभी संभावित क्रमित युग्म $(1,8),(8,1),(4,2),(2,4)$ हैं

इसलिए, संभावित क्रम $1 \times 8,8 \times 1,4 \times 2,2 \times 4$ हैं

उदाहरण 3 एक $3 \times 2$ मैट्रिक्स बनाएं जिसके तत्व $a_{i j}=\dfrac{1}{2}|i-3 j|$ द्वारा दिए गए हों।

हल सामान्य रूप से एक $3 \times 2$ मैट्रिक्स $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32}\end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।

$\text{अब }\qquad \quad$ $a_{i j}=\dfrac{1}{2}|i-3 j|, i=1,2,3 \text { और } j=1,2$

$\text{इसलिए }\quad a_{11}=\dfrac{1}{2}|1-3 \times 1|=1 \quad a_{12}=\dfrac{1}{2}|1-3 \times 2|=\dfrac{5}{2}$

$ \qquad \qquad \quad \text{ \ } \begin{matrix} a_{21}= \dfrac{1}{2}|2-3 \times 1|=\dfrac{1}{2} & a_{22}=\dfrac{1}{2}|2-3 \times 2|=2 \\ a_{31} =\dfrac{1}{2}|3-3 \times 1|=0 & a_{32} =\dfrac{1}{2}|3-3 \times 2|=\dfrac{3}{2} \end{matrix} $

इसलिए आवश्यक मैट्रिक्स $A=\begin{bmatrix}1 & \dfrac{5}{2} \\ \dfrac{1}{2} & 2 \\ 0 & \dfrac{3}{2}\end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।

3.3 मैट्रिक्स के प्रकार

इस अनुच्छेद में, हम विभिन्न प्रकार के मैट्रिक्स के बारे में चर्चा करेंगे।

(i) स्तंभ मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स को स्तंभ मैट्रिक्स कहा जाता है यदि इसमें केवल एक स्तंभ हो।

उदाहरण के लिए, $A=\begin{bmatrix}{0} \\ \sqrt{3} \\ -1 \\ 1 / 2\end{bmatrix}$ एक $4 \times 1$ के क्रम का स्तंभ मैट्रिक्स है।

सामान्य रूप से, $A=[a_{i j}]_{m \times 1}$ एक $m \times 1$ के क्रम का स्तंभ मैट्रिक्स है।

(ii) पंक्ति मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स को पंक्ति मैट्रिक्स कहा जाता है यदि इसमें केवल एक पंक्ति हो।

उदाहरण के लिए, $B=[\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} & \sqrt{5} & 2 & 3\end{bmatrix}]_{1 \times 4}$ एक पंक्ति मैट्रिक्स है।

सामान्य रूप से, $B=[b_{i j}]_{1 \times n}$ एक $1 \times n$ के क्रम का पंक्ति मैट्रिक्स है।

(iii) वर्ग मैट्रिक्स

एक मैट्रिक्स जिसमें पंक्तियों की संख्या स्तंभों की संख्या के बराबर हो, एक वर्ग मैट्रिक्स कहलाता है। इसलिए, एक $m \times n$ मैट्रिक्स को वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता है यदि $m=n$ और इसे ’n’ के क्रम का वर्ग मैट्रिक्स कहा जाता है।

उदाहरण के लिए $A=\begin{bmatrix}3 & -1 & 0 \\ \dfrac{3}{2} & 3 \sqrt{2} & 1 \\ 4 & 3 & -1\end{bmatrix}$ एक 3 के क्रम का वर्ग मैट्रिक्स है।

सामान्य रूप से, $A=[a_{i j}]_{m \times m}$ एक वर्ग आव्यूह होता है जिसका क्रम $m$ होता है।

नोट यदि $A=[a_{i j}]$ एक वर्ग आव्यूह हो जिसका क्रम $n$ हो, तो तत्व (एंट्री) $a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{n n}$ कहलाते हैं आव्यूह A के विकर्ण के घटक।

इसलिए, यदि $A=\begin{bmatrix}1 & -3 & 1 \\ 2 & 4 & -1 \\ 3 & 5 & 6\end{bmatrix}$.

तो आव्यूह A के विकर्ण के तत्व 1, 4, 6 हैं।

(iv) विकर्ण आव्यूह

एक वर्ग आव्यूह $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ विकर्ण आव्यूह कहलाता है यदि इसके सभी विकर्ण के बाहर के तत्व शून्य हों, अर्थात एक आव्यूह $B=[b_{ij}]_ {m\times m} $ विकर्ण आव्यूह कहलाता है यदि $b_{i j}=0$, जब $i \neq j$ हो।

उदाहरण के लिए, $A=[4], B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & 2\end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix}-1.1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}$, क्रमशः क्रम 1, 2, 3 के विकर्ण आव्यूह हैं।

(v) अदिश आव्यूह

एक विकर्ण आव्यूह अदिश आव्यूह कहलाता है यदि इसके विकर्ण के तत्व समान हों, अर्थात एक वर्ग आव्यूह $B=[b_{i j}]_{n \times n}$ अदिश आव्यूह कहलाता है यदि

$ \begin{aligned} & b_{i j}=0, \quad \text { जब } i \neq j \\ & b_{i j}=k, \quad \text { जब } i=j, \text { किसी नियत संख्या } k \text { के लिए }. \end{aligned} $

उदाहरण के लिए

$A=[3], \quad B=\begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix}, \quad C=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 0 & 0 \\ 0 & \sqrt{3} & 0 \\ 0 & 0 & \sqrt{3}\end{bmatrix}$

क्रमशः क्रम 1, 2 और 3 के अदिश आव्यूह हैं।

(vi) एकक आव्यूह

एक वर्ग आव्यूह जिसमें विकर्ण के तत्व सभी 1 होते हैं और बाकी सभी तत्व शून्य होते हैं, एकक आव्यूह कहलाता है। अन्य शब्दों में, वर्ग आव्यूह $A=[a_{i j}]{n \times n}$ एकक आव्यूह होता है, यदि $a{ij}=\begin{cases}1 & \text { जब } & i=j \\ 0 & \text { जब } & i \neq j\end{cases}.$.

हम आव्यूह के क्रम $n$ के एकक आव्यूह को $I_{n}$ से दर्शाते हैं। जब क्रम संदर्भ से स्पष्ट हो जाता है, तो हम इसे सिर्फ $I$ से दर्शाते हैं।

उदाहरण के लिए [1], $\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$ क्रमशः क्रम 1, 2 और 3 के एकक आव्यूह हैं।

ध्यान दें कि एक अदिश आव्यूह जब $k=1$ होता है तो एक तत्सम आव्यूह होता है। लेकिन प्रत्येक तत्सम आव्यूह एक अदिश आव्यूह होता है।

(vii) शून्य आव्यूह

एक आव्यूह शून्य आव्यूह या शून्य आव्यूह कहलाता है यदि इसके सभी तत्व शून्य हों।

उदाहरण के लिए, $[0],\begin{bmatrix}0 & 0 \\ 0 & 0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix},[0,0]$ सभी शून्य आव्यूह हैं। हम शून्य आव्यूह को $O$ से दर्शाते हैं। इसका क्रम संदर्भ से स्पष्ट हो जाएगा।

3.3.1 आव्यूहों के समानता

परिभाषा 2 दो आव्यूह $A=[a_{i j}]$ और $B=[b_{i j}]$ कहलाते हैं यदि

(i) वे समान क्रम के हों

(ii) $A$ के प्रत्येक तत्व $B$ के संगत तत्व के बराबर हो, अर्थात $a_{i j}=b_{i j}$ सभी $i$ और $j$ के लिए।

उदाहरण के लिए, $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ समान आव्यूह हैं लेकिन $\begin{bmatrix}3 & 2 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ और $\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$ असमान आव्यूह हैं। संकेतात्मक रूप से, यदि दो आव्यूह $A$ और $B$ समान हैं, तो हम $A=B$ लिखते हैं।

$ \text { यदि }\begin{bmatrix} x & y \\ z & a \\ b & c \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1.5 & 0 \\ 2 & \sqrt{6} \\ 3 & 2 \end{bmatrix} \text {, तो }$ $x=-1.5, y=0, z=2, a=\sqrt{6}, b=3, c=2 $

उदाहरण 4 यदि $\begin{bmatrix}x+3 & z+4 & 2 y-7 \\ -6 & a-1 & 0 \\ b-3 & -21 & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & 6 & 3 y-2 \\ -6 & -3 & 2 c+2 \\ 2 b+4 & -21 & 0\end{bmatrix}$

$a, b, c, x, y$ और $z$ के मान ज्ञात कीजिए।

हल चूंकि दिए गए आव्यूह समान हैं, इसलिए उनके संगत तत्व बराबर होने चाहिए। संगत तत्वों की तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है

$ \begin{matrix} & x+3=0, & z+4=6 & 2 y-7=3 y-2 \\ & a-1=-3, & 0=2 c+2 & b-3=2 b+4 \text {, } \end{matrix} $

सरलीकरण करने पर हमें प्राप्त होता है

$ a=-2, b=-7, c=-1, x=-3, y=-5, z=2 $

उदाहरण 5 निम्न समीकरण से $a, b, c$ और $d$ के मान ज्ञात कीजिए:

$ \begin{bmatrix} 2 a+b & a-2 b \\ 5 c-d & 4 c+3 d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 4 & -3 \\ 11 & 24 \end{bmatrix} $

हल दो आव्यूहों के समानता के आधार पर संगत तत्वों के बराबर होने के कारण हमें प्राप्त होता है

$ \begin{matrix} 2 a+b=4 & 5 c-d=11 \\ a-2 b=-3 & 4 c+3=24 \end{matrix} $

इन समीकरणों को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ a=1, b=2, c=3 \text { और } d=4 $

अभ्यास 3.1

1. मैट्रिक्स $A=\begin{bmatrix}2 & 5 & 19 & -7 \\ 35 & -2 & \frac{5}{2} & 12 \\ \sqrt{3} & 1 & -5 & 17\end{bmatrix}$ में लिखिए:

(i) मैट्रिक्स का क्रम, (ii) तत्वों की संख्या,

(iii) तत्व $a_{13}, a_{21}, a_{33}, a_{24}, a_{23}$ को लिखिए।

उत्तर दिखाएं

हल

(i) दिए गए मैट्रिक्स में पंक्तियों की संख्या 3 और स्तम्भों की संख्या 4 है।

इसलिए, मैट्रिक्स का क्रम $3 \times 4$ है।

(ii) क्योंकि मैट्रिक्स का क्रम $3 \times 4$ है, इसमें $3 \times 4=12$ तत्व हैं।

(iii) $a _{13}=19, a _{21}=35, a _{33}=-5, a _{24}=12, a _{23}=\frac{5}{2}$

2. यदि एक मैट्रिक्स में 24 तत्व हैं, तो इसके संभावित क्रम क्या हो सकते हैं? यदि इसमें 13 तत्व हों, तो क्या हो सकते हैं?

उत्तर दिखाएं

हल

हम जानते हैं कि यदि एक मैट्रिक्स का क्रम $m \times n$ है, तो इसमें $m n$ तत्व होते हैं। इसलिए, 24 तत्व वाले मैट्रिक्स के सभी संभावित क्रम ज्ञात करने के लिए, हमें सभी प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों को खोजना होगा जिनका गुणनफल 24 हो।

क्रमित युग्म हैं: $(1,24),(24,1),(2,12),(12,2),(3,8),(8,3),(4,6)$, और $(6,4)$

इसलिए, 24 तत्व वाले मैट्रिक्स के संभावित क्रम हैं:

$1 \times 24,24 \times 1,2 \times 12,12 \times 2,3 \times 8,8 \times 3,4 \times 6$, और $6 \times 4$

$(1,13)$ और $(13,1)$ वे क्रमित युग्म हैं जिनका गुणनफल 13 है।

इसलिए, 13 तत्व वाले मैट्रिक्स के संभावित क्रम $1 \times 13$ और $13 \times 1$ हैं।

3. यदि एक मैट्रिक्स में 18 तत्व हैं, तो इसके संभावित क्रम क्या हो सकते हैं? यदि इसमें 5 तत्व हों, तो क्या हो सकते हैं?

उत्तर दिखाएं

हल

हम जानते हैं कि यदि एक मैट्रिक्स का क्रम $m \times n$ है, तो इसमें $m n$ तत्व होते हैं। इसलिए, 18 तत्व वाले मैट्रिक्स के सभी संभावित क्रम ज्ञात करने के लिए, हमें सभी प्राकृतिक संख्याओं के क्रमित युग्मों को खोजना होगा जिनका गुणनफल 18 हो।

क्रमित युग्म हैं: $(1,18),(18,1),(2,9),(9,2),(3,6$,$) , और (6,3)$

इसलिए, 18 तत्वों वाले एक आव्यूह के संभावित क्रम हैं:

$1 \times 18,18 \times 1,2 \times 9,9 \times 2,3 \times 6$, और $6 \times 3$

$(1,5)$ और $(5,1)$ वह संक्रमण संख्याओं के क्रमयुक्त युग्म हैं जिनका गुणनफल 5 है।

इसलिए, 5 तत्वों वाले एक आव्यूह के संभावित क्रम $1 \times 5$ और $5 \times 1$ हैं।

4. एक $2 \times 2$ आव्यूह, $A=[a_{i j}]$, बनाएं, जिसके तत्व निम्नलिखित द्वारा दिए गए हैं:

(i) $a_{i j}=\frac{(i+j)^{2}}{2}$

(ii) $a_{i j}=\frac{i}{j}$

(iii) $a_{i j}=\frac{(i+2 j)^{2}}{2}$

उत्तर दिखाएं

हल

(i) क्योंकि यह एक $2 \times 2$ आव्यूह है

इसके 2 पंक्तियाँ और 2 स्तम्भ हैं।

मान लीजिए आव्यूह $\mathrm{A}$ है

जहाँ $A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{bmatrix} $

अब यह दिया गया है कि

$ a_{i j}=\frac{(i+j)^2}{2} $

$ \begin{array}{|c|c|c|} a_{i j} & i=, j= & a_{i j}=\frac{(i+j)^2}{2} \\ a_{11} & i=1, j=1 & a_{11}=\frac{(1+1)^2}{2}=\frac{(2)^2}{2}=\frac{4}{2}=2 \\ a_{12} & i=1, j=2 & a_{12}=\frac{(1+2)^2}{2}=\frac{(3)^2}{2}=\frac{9}{2} \\ a_{21} & i=2, j=1 & a_{21}=\frac{(2+1)^2}{2}=\frac{(3)^2}{2}=\frac{9}{2} \\ a_{22} & i=2, j=2 & a_{22}=\frac{(2+2)^2}{2}=\frac{(4)^2}{2}=\frac{16}{2}=8\\ \end{array} $

इसलिए, आव्यूह $\mathrm{A}$ है $A\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}2 & \frac{9}{2} \ \frac{9}{2} & 8\end{array}\right]$

(ii) क्योंकि यह एक $2 \times 2$ आव्यूह है इसके 2 पंक्तियाँ और 2 स्तम्भ हैं।

मान लीजिए आव्यूह A है

जहाँ $A= \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} $

अब यह दिया गया है कि $\mathrm{a}_{\mathrm{ij}}=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}}$

$ \begin{array}{|c|c|c|} \mathrm{a} _{\mathrm{ij}} & \mathrm{i}=, \mathrm{j}= & \mathrm{a} _{\mathrm{ij}}=\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{j}} \\ \mathrm{a} _{11} & \mathrm{i}=1, \mathrm{j}=1 & \mathrm{a} _{11}=\frac{1}{1}=1 \\ \mathrm{a} _{12} & \mathrm{i}=1, \mathrm{j}=2 & \mathrm{a} _{12}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{a} _{21} & \mathrm{i}=2, \mathrm{j}=1 & \mathrm{a} _{21}=\frac{2}{1}=2 \\ `

\mathrm{a} _{22} & \mathrm{i}=2, \mathrm{j}=2 & \mathrm{a} _{22}=\frac{2}{2}=1 \\ \end{array} $

इसलिए, आवश्यक मैट्रिक्स $\mathrm{A}$ है

$ A\left[\begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll} 1 & \frac{1}{2} \\ 2 & 1 \\ \end{array}\right] $

(iii) क्योंकि यह एक $2 \times 2$ मैट्रिक्स है

इसके 2 पंक्तियाँ और 2 स्तम्भ हैं।

मान लीजिए मैट्रिक्स $\mathrm{A}$ है

जहाँ $A=\left[\begin{array}{ll}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22}\end{array}\right]$

अब यह दिया गया है कि

$ a_{i j}=\frac{(i+2 j)^2}{2} $

$ \begin{array}{|c|c|c|} a_{i j} & i=, j= & a_{i j}=\frac{(i+2 j)^2}{2} \\ a_{11} & i=1, j=1 & a_{11}=\frac{(1+2(1))^2}{2}=\frac{(1+2)^2}{2}=\frac{(3)^2}{2}=\frac{9}{2} \\ a_{12} & i=1, j=2 & a_{12}=\frac{(1+2(2))^2}{2}=\frac{(1+4)^2}{2}=\frac{(5)^2}{2}=\frac{25}{2} \\ a_{21} & i=2, j=1 & a_{21}=\frac{(2+2(1))^2}{2}=\frac{(2+2)^2}{2}=\frac{(4)^2}{2}=\frac{16}{2}=8 \\ a_{22} & i=2, j=2 & a_{22}=\frac{(2+2(2))^2}{2}=\frac{(2+4)^2}{2}=\frac{(6)^2}{2}=\frac{36}{2}=18 \\ \end{array} $

इसलिए, आवश्यक मैट्रिक्स $\mathrm{A}$ है

$ A = \begin{bmatrix} \mathrm{a} _{11} & \mathrm{a} _{12} \\ \mathrm{a} _{21} & \mathrm{a} _{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{9}{2} & \frac{25}{2} \\ 8 & 18 \end{bmatrix} $

5. एक $3 \times 4$ मैट्रिक्स का निर्माण कीजिए, जिसके तत्व निम्नलिखित द्वारा दिए गए हैं:

$\begin{matrix} \text { (i) } a_{i j}=\frac{1}{2}|-3 i+j| & \text { (ii) } a_{i j}=2 i-j\end{matrix}$

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हल

सामान्य रूप से, एक $3 \times 4$ मैट्रिक्स $A= \begin{bmatrix} a _{11} & a _{12} & a _{13} & a _{14} \\ a _{21} & a _{22} & a _{23} & a _{24} \\ a _{31} & a _{32} & a _{33} & a _{34} \end{bmatrix}$ द्वारा दिया गया है

(i) $a _{i j}=\frac{1}{2}|-3 i+j|, i=1,2,3$ और $j=1,2,3,4$

$ \begin{aligned} & \therefore a _{11}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+1|=\frac{1}{2}|-3+1|=\frac{1}{2}|-2|=\frac{2}{2}=1 \\ & a _{21}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+1|=\frac{1}{2}|-6+1|=\frac{1}{2}|-5|=\frac{5}{2} \\

& a _{31}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+1|=\frac{1}{2}|-9+1|=\frac{1}{2}|-8|=\frac{8}{2}=4 \\ & a _{12}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+2|=\frac{1}{2}|-3+2|=\frac{1}{2}|-1|=\frac{1}{2} \\ & a _{22}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+2|=\frac{1}{2}|-6+2|=\frac{1}{2}|-4|=\frac{4}{2}=2 \\ & a _{32}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+2|=\frac{1}{2}|-9+2|=\frac{1}{2}|-7|=\frac{7}{2} \\ & a _{13}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+3|=\frac{1}{2}|-3+3|=0 \\ & a _{23}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+3|=\frac{1}{2}|-6+3|=\frac{1}{2}|-3|=\frac{3}{2} \\ & a _{33}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+3|=\frac{1}{2}|-9+3|=\frac{1}{2}|-6|=\frac{6}{2}=3 \\ & a _{14}=\frac{1}{2}|-3 \times 1+4|=\frac{1}{2}|-3+4|=\frac{1}{2}|1|=\frac{1}{2} \\ & a _{24}=\frac{1}{2}|-3 \times 2+4|=\frac{1}{2}|-6+4|=\frac{1}{2}|-2|=\frac{2}{2}=1 \\ & a _{34}=\frac{1}{2}|-3 \times 3+4|=\frac{1}{2}|-9+4|=\frac{1}{2}|-5|=\frac{5}{2} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक मैट्रिक्स है $A= \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ \frac{5}{2} & 2 & \frac{3}{2} & 1 \\ 4 & \frac{7}{2} & 3 & \frac{5}{2} \end{bmatrix} $

(ii) $a _{i j}=2 i-j, i=1,2,3$ और $j=1,2,3,4$

$ \begin{aligned} & \therefore a _{11}=2 \times 1-1=2-1=1 \\ & a _{21}=2 \times 2-1=4-1=3 \\ & a _{31}=2 \times 3-1=6-1=5 \\ & a _{12}=2 \times 1-2=2-2=0 \\ & a _{22}=2 \times 2-2=4-2=2 \\ & a _{32}=2 \times 3-2=6-2=4 \\ & a _{13}=2 \times 1-3=2-3=-1 \\ & a _{23}=2 \times 2-3=4-3=1 \\ & a _{33}=2 \times 3-3=6-3=3 \\ & a _{14}=2 \times 1-4=2-4=-2 \\ & a _{24}=2 \times 2-4=4-4=0 \\ & a _{34}=2 \times 3-4=6-4=2 \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक मैट्रिक्स है $A= \begin{bmatrix} 1 & 0 & -1 & -2 \\ 3 & 2 & 1 & 0 \\ 5 & 4 & 3 & 2 \end{bmatrix} $

6. निम्न समीकरणों से $x, y$ और $z$ के मान ज्ञात कीजिए:

(i) $\begin{bmatrix}4 & 3 \\ x & 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y & z \\ 1 & 5\end{bmatrix}$

(ii) $\begin{bmatrix}x+y & 2 \\ 5+z & x y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 2 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$

(iii)$\begin{bmatrix}x+y+z \\ x+z \\ y+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{l}9 \\ 5 \\ 7\end{bmatrix}$

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Solution

(i) $\begin{bmatrix}4 & 3 \\ x & 5\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y & z \\ 1 & 5\end{bmatrix}$

क्योंकि दिए गए मैट्रिक्स बराबर हैं, इनके संगत तत्व भी बराबर हैं।

संगत तत्वों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है: $x=1, y=4$, और $z=3$

(ii) $\begin{bmatrix}x+y & 2 \\ 5+z & x y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6 & 2 \\ 5 & 8\end{bmatrix}$

क्योंकि दिए गए मैट्रिक्स बराबर हैं, इनके संगत तत्व भी बराबर हैं।

संगत तत्वों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$x+y=6, x y=8,5+z=5$

अब, $5+z=5 \Rightarrow z=0$

हम जानते हैं कि:

$(x-y)^{2}=(x+y)^{2}-4 x y$

$\Rightarrow(x-y)^{2}=36-32=4$

$\Rightarrow x-y= \pm 2$

अब, जब $x-y=2$ और $x+y=6$, हमें $x=4$ और $y=2$ प्राप्त होता है

जब $x-y=-2$ और $x+y=6$, हमें $x=2$ और $y=4$ प्राप्त होता है

$\therefore x=4, y=2$, और $z=0$ या $x=2, y=4$, और $z=0$

(iii) $\begin{bmatrix}x+y+z \\ x+z \\ y+z\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}{l}9 \\ 5 \\ 7\end{bmatrix}$

क्योंकि दोनों मैट्रिक्स बराबर हैं, इनके संगत तत्व भी बराबर हैं।

संगत तत्वों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$x+y+z=9 \quad … \text{(1)}$

$x+z=5 \quad … \text{(2)}$

$y+z=7 \quad … \text{(3)}$

(1) और (2) से, हमें प्राप्त होता है:

$y+5=9$

$\Rightarrow y=4$

फिर, (3) से, हमें प्राप्त होता है:

$4+z=7$

$\Rightarrow z=3$

$\therefore x+z=5$

$\Rightarrow x=2$

$\therefore x=2, y=4$, और $z=3$

7. समीकरण से $a, b, c$ और $d$ के मान ज्ञात कीजिए:

$ \begin{bmatrix} a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} $

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Solution

$ \begin{bmatrix} a-b & 2 a+c \\ 2 a-b & 3 c+d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 5 \\ 0 & 13 \end{bmatrix} $

क्योंकि दोनों मैट्रिक्स बराबर हैं, इनके संगत तत्व भी बराबर हैं।

संगत तत्वों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$a-b=-1 \quad … \text{(1)}$

$2 a-b=0 \quad … \text{(2)}$

$2 a+c=5 \quad … \text{(3)}$

$3 c+d=13 \quad … \text{(4)}$

(2) से, हमें प्राप्त है:

$b=2 a$

फिर, (1) से, हमें प्राप्त है:

$a-2 a=-1$

$\Rightarrow a=1$

$\Rightarrow b=2$

अब, (3) से, हमें प्राप्त है:

$2 \times 1+c=5$

$\Rightarrow c=3$

(4) से, हमें प्राप्त है:

$3 \times 3+d=13$

$\Rightarrow 9+d=13 \Rightarrow d=4$

$\therefore a=1, b=2, c=3$, और $d=4$

8. $A=[a_{i j}]_{m \times n 1}$ एक वर्ग आव्यूह होगा, यदि

(A) $m<n$

(B) $m>n$

(D) इनमें से कोई नहीं

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हल

सही उत्तर $C$ है।

ज्ञात है कि एक दी गई आव्यूह को वर्ग आव्यूह कहा जाता है यदि पंक्तियों की संख्या स्तम्भों की संख्या के बराबर हो।

इसलिए, $A=[a _{i j}] _{m \times n}$ एक वर्ग आव्यूह होगा, यदि $m=n$।

9. निम्नलिखित आव्यूहों के युग्म के बराबर होने के लिए $x$ और $y$ के कौन से मान सही हैं $\begin{bmatrix}3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0 & y-2 \\ 8 & 4\end{bmatrix}$

(A) $x=\frac{-1}{3}, y=7$

(B) मान निर्धारित नहीं किया जा सकता

(D) $x=\frac{1}{3}, y=\frac{2}{3}$

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हल

सही उत्तर B है।

दिया गया है कि $ \begin{bmatrix} 3 x+7 & 5 \\ y+1 & 2-3 x\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & y-2 \\ 8 & 4 \end{bmatrix} $

संगत तत्वों के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है:

$ \begin{aligned} & 3 x+7=0 \Rightarrow x=-\frac{7}{3} \\ & 5=y-2 \Rightarrow y=7 \\ & y+1=8 \Rightarrow y=7 \\ & 2-3 x=4 \Rightarrow x=-\frac{2}{3} \end{aligned} $

हम देखते हैं कि दोनों आव्यूहों के संगत तत्वों के तुलना करने पर, हमें $x$ के दो अलग-अलग मान मिलते हैं, जो संभव नहीं है।

इसलिए, दिए गए आव्यूहों के बराबर होने के लिए $x$ और $y$ के मान निर्धारित नहीं किया जा सकता।

10. क्रम $3 \times 3$ के सभी संभावित आव्यूहों की संख्या जिनमें प्रत्येक प्रविष्टि 0 या 1 हो, है:

(A) 27

(B) 18

(D) 512

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हल

सही उत्तर D है।

दिए गए क्रम $3 \times 3$ के आव्यूह में 9 तत्व होते हैं और इनमें से प्रत्येक तत्व 0 या 1 हो सकता है।

अब, प्रत्येक तीन तत्वों को दो संभावित तरीकों से भरा जा सकता है।

इसलिए, गुणन सिद्धांत के अनुसार, आवश्यक संभावित मैट्रिक्स की संख्या $2^{9}$ $=512$ है।

3.4 मैट्रिक्स पर ऑपरेशन

इस अनुच्छेद में, हम मैट्रिक्स पर कुछ ऑपरेशन, अर्थात, मैट्रिक्स के योग, मैट्रिक्स के एक अदिश गुणन, मैट्रिक्स के अंतर और गुणन को परिचय कराएंगे।

3.4.1 मैट्रिक्स के योग

मान लीजिए फातिमा स्थान A और B पर दो कारखाने हैं। प्रत्येक कारखाना लड़कों और लड़कियों के लिए खेल के जूते तीन अलग-अलग कीमत श्रेणियों में उत्पादित करता है, जिन्हें 1, 2 और 3 के रूप में चिह्नित किया गया है। प्रत्येक कारखाने द्वारा उत्पादित मात्रा नीचे दिए गए मैट्रिक्स के रूप में प्रस्तुत की जाती है:

मान लीजिए फातिमा जानना चाहती है कि प्रत्येक कीमत श्रेणी में कुल उत्पादन क्या है। तब कुल उत्पादन

श्रेणी 1 में: लड़कों के लिए $(80+90)$, लड़कियों के लिए $(60+50)$

श्रेणी 2 में: लड़कों के लिए $(75+70)$, लड़कियों के लिए $(65+55)$

श्रेणी 3 में: लड़कों के लिए $(90+75)$, लड़कियों के लिए $(85+75)$

इसे एक मैट्रिक्स रूप में निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है: $\begin{bmatrix}80+90 & 60+50 \\ 75+70 & 65+55 \\ 90+75 & 85+75\end{bmatrix}$.

इस नए मैट्रिक्स को ऊपर दिए गए दो मैट्रिक्स का योग कहा जाता है। हम देखते हैं कि दो मैट्रिक्स का योग एक मैट्रिक्स होता है जो दिए गए मैट्रिक्स के संगत तत्वों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इसके अतिरिक्त, दोनों मैट्रिक्स के आकार समान होना आवश्यक होता है।

इसलिए, यदि $A=\begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\end{bmatrix}$ एक $2 \times 3$ मैट्रिक्स है और $B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23}\end{bmatrix}$ एक अन्य $2 \times 3$ मैट्रिक्स है। तब, हम $A+B=\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}\end{bmatrix}$ परिभाषित करते हैं।

सामान्य रूप से, यदि $A=[a_{i j}]$ और $B=[b_{i j}]$ दो ऐसी मैट्रिक्स हैं जो एक ही क्रम, कहिए $m \times n$ के हों, तो दोनों मैट्रिक्स A और B के योग को परिभाषित करते हैं एक मैट्रिक्स $= [c _{ij}] _{m \times n} $, जहां $ c _{i j} = a _{ij} + b _{ij} $, सभी संभावित $i$ और $j$ के मान के लिए।

उदाहरण 6 दिया गया है $A=\begin{bmatrix}\sqrt{3} & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 0\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & \sqrt{5} & 1 \\ -2 & 3 & \frac{1}{2}\end{bmatrix}$, $A+B$ ज्ञात कीजिए।

क्योंकि A, B के एक ही क्रम $2 \times 3$ हैं। अतः A और B के योग को परिभाषित किया जा सकता है और इसे निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$ A+B=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 1-1 \\ 2-2 & 3+3 & 0+\dfrac{1}{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2+\sqrt{3} & 1+\sqrt{5} & 0 \\ 0 & 6 & \dfrac{1}{2} \end{bmatrix} $

नोट

1. हम यह बल देते हैं कि यदि A और B के एक ही क्रम नहीं हों, तो A + B परिभाषित नहीं होता। उदाहरण के लिए, यदि $A=\begin{bmatrix}2 & 3 \\ 1 & 0\end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 1\end{bmatrix}$, तो $A+B$ परिभाषित नहीं होता।

2. हम देख सकते हैं कि मैट्रिक्स के योग एक ही क्रम वाले मैट्रिक्स के समुच्चय पर द्विआधारी संक्रिया का एक उदाहरण है।

3.4.2 मैट्रिक्स के एक अदिश के द्वारा गुणन

अब मान लीजिए कि फातिमा ने कारखाना A में सभी श्रेणियों में उत्पादन को दोगुना कर दिया है (3.4.1 के संदर्भ में देखें)।

पहले उत्पादन (मानक इकाइयों में) कारखाना A द्वारा निम्नलिखित था:

संशोधित उत्पादन कारखाना $A$ द्वारा नीचे दिया गया है:

इसे मैट्रिक्स रूप में निम्नलिखित द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है: $\begin{bmatrix}160 & 120 \\ 150 & 130 \\ 180 & 170\end{bmatrix}$. हम देखते हैं कि नई मैट्रिक्स पहली मैट्रिक्स के प्रत्येक तत्व को 2 से गुणा करके प्राप्त की गई है।

सामान्य रूप से, हम एक मैट्रिक्स के एक अदिश के द्वारा गुणन को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित कर सकते हैं: यदि $ A=[a_{ij}]_{m\times n} $ एक मैट्रिक्स है और k एक अदिश है, तो k A एक अन्य मैट्रिक्स है जो प्राप्त किया जाता है जब प्रत्येक तत्व को अदिश k से गुणा कर दिया जाता है।

अन्य शब्दों में, $ kA = k[a_{ij}]_ {m\times n} $ $ =[k(a _{ij})] _{m\times n} $ अर्थात, $ kA $ के $ (i,j)^{th} $ तत्व $ ka _ {ij} $ होता है जहाँ i और j के सभी संभावित मान हैं

उदाहरण के लिए, यदि $A=\begin{bmatrix}3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5\end{bmatrix}$, तो

$\qquad \qquad \quad 3 A=3\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1.5 \\ \sqrt{5} & 7 & -3 \\ 2 & 0 & 5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 9 & 3 & 4.5 \\ 3 \sqrt{5} & 21 & -9 \\ 6 & 0 & 15 \end{bmatrix} $

मैट्रिक्स का नकारात्मक मैट्रिक्स के नकारात्मक को $-A$ से नोट किया जाता है। हम $-A=(-1) A$ के रूप में परिभाषित करते हैं।

$ \begin{aligned} \text{उदाहरण के लिए, मान लीजिए} \quad A & =\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}, \text { तो }-A \text { निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है } \\ -A & =(-1) A=(-1)\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ -5 & x \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ 5 & -x \end{bmatrix} \end{aligned} $

मैट्रिक्स के अंतर यदि $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ एक ही क्रम के दो मैट्रिक्स हैं, कहिए $m \times n$, तो अंतर $A-B$ एक मैट्रिक्स $D=[d_{i j}]$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,

जहाँ $d_{i j}=a_{i j}-b_{i j}$, जहाँ i और j के सभी संभावित मान हैं। अन्य शब्दों में, $D=A-B=A+(-1) B$, अर्थात मैट्रिक्स $A$ और मैट्रिक्स $-B$ के योग।

उदाहरण 7 यदि $A=\begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2\end{bmatrix}$, तो $2 A-B$ ज्ञात कीजिए।

हल हम देखते हैं

$ \begin{aligned} & 2 A-B=2 \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & -1 & 3 \\ -1 & 0 & 2 \end{bmatrix} \\ & =\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -3 & 1 & -3 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix} \\ & = \begin{bmatrix} 2-3 & 4+1 & 6-3 \\ 4+1 & 6+0 & 2-2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -1 & 5 & 3 \\ 5 & 6 & 0 \end{bmatrix} \end{aligned} $

3.4.3 मैट्रिक्स जोड़ के गुणधर्म

मैट्रिक्स के जोड़ के निम्नलिखित गुणधर्म होते हैं:

(i) संवृत्ति कानून यदि $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}]$ एक ही क्रम के दो मैट्रिक्स हैं, कहिए $m \times n$, तो $A+B=B+A$।

$ \begin{aligned} \text{अब} \quad `

A+B & =[a_{i j}]+[b_{i j}]=[a_{i j}+b_{i j}] \\ & =[b_{i j}+a_{i j}] \text { (संख्याओं के जोड़ के साहचारी गुण है) } \\ & =([b_{i j}]+[a_{i j}])=B+A \end{aligned} $

(ii) साहचारी नियम किसी भी तीन आव्यूह $A=[a_{i j}], B=[b_{i j}], C=[c_{i j}]$ के लिए, जिनका क्रम समान हो, कहा जाता है $m \times n,(A+B)+C=A+(B+C)$.

$ \begin{aligned} \text{अब} \quad (A+B)+C & =([a_{i j}]+[b_{i j}])+[c_{i j}] \\ & =[a_{i j}+b_{i j}]+[c_{i j}]=[(a_{i j}+b_{i j})+c_{i j}] \\ & =[a_{i j}+(b_{i j}+c_{i j})] \qquad \qquad \qquad (\text { क्यों? }) \\ & =[a_{i j}]+[(b_{i j}+c_{i j})]=[a_{i j}]+([b_{i j}]+[c_{i j}])=A+(B+C) \end{aligned} $

(iii) एडिटिव पहचान के अस्तित्व मान लीजिए $A=[a_{i j}]$ एक $m \times n$ आव्यूह है और $O$ एक $m \times n$ शून्य आव्यूह है, तो $A+O=O+A=A$. अन्य शब्दों में, $O$ आव्यूह जोड़ के लिए एडिटिव पहचान है।

(iv) एडिटिव विपरीत के अस्तित्व मान लीजिए $A=[a_{ij}]{m \times n}$ कोई भी आव्यूह है, तो हम एक अन्य आव्यूह के रूप में इसका निम्नलिखित है $-A=[-a{ij}]_{m \times n}$ इस प्रकार कि $A+(-A)=(-A)+A=O$. इसलिए $-A$ आव्यूह $A$ का एडिटिव विपरीत है या $A$ का नकारात्मक है।

3.4.4 आव्यूह के अद्वितीय गुणन के गुण

यदि $A=[a_{i j}]$ और $B=[b_{i j}]$ दो आव्यूह हैं, जिनका क्रम समान हो, कहा जाता है $m \times n$, और $k$ और $l$ अद्वितीय हैं, तो

(i) $k(A+B)=k A+k B$, (ii) $(k+l) A=k A+l A$

(iii) $k(A+B)=k([a_{i j}]+[b_{i j}])$

$\qquad \qquad \quad \begin{aligned} & =k[a_{i j}+b_{i j}]=[k(a_{i j}+b_{i j})]=[(k a_{i j})+(k b_{i j})] \\ & =[k a_{i j}]+[k b_{i j}]=k[a_{i j}]+k[b_{i j}]=k A+k B \end{aligned} $

(iv) $(k+l) A=(k+l)[a_{i j}]$

$\qquad \qquad \quad =[(k+l) a_{i j}]+[k a_{i j}]+[l a_{i j}]=k[a_{i j}]+l[a_{i j}]=k A+l A $

उदाहरण 8 यदि $A=\begin{bmatrix}8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6\end{bmatrix}$ और $B=\begin{bmatrix}2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1\end{bmatrix}$, तो आव्यूह $X$ ज्ञात कीजिए जैसे कि $2 A+3 X=5 B$।

हल हम जानते हैं $2 A+3 X=5 B$

या $\hspace{17 mm}$ $ 2 A+3 X-2 A=5 B-2 A $

या $\hspace{17 mm}$ $2 A-2 A+3 X=5 B-2 A$ $\quad \quad$ (आव्यूह जोड़ के साहचारी गुण है)

या $\hspace{17 mm}$ $O+3 X=5 B-2 A$ $\hspace{17 mm}$(– 2A, 2A का योगात्मक विपरीत है)

या $\hspace{17 mm}$ $3 X=5 B-2 A$ $\hspace{25 mm}$(O, योगात्मक तत्व है)

या $\hspace{19 mm}$ $X=\dfrac{1}{3}(5 B-2 A)$

$ X=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}5\begin{bmatrix} 2 & -2 \\ 4 & 2 \\ -5 & 1 \end{bmatrix}-2\begin{bmatrix} 8 & 0 \\ 4 & -2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}\end{pmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}\begin{bmatrix} 10 & -10 \\ 20 & 10 \\ -25 & 5 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -16 & 0 \\ -8 & 4 \\ -6 & -12 \end{bmatrix}\end{pmatrix} $

$ \quad =\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} 10-16 & -10+0 \\ 20-8 & 10+4 \\ -25-6 & 5-12 \end{bmatrix}=\dfrac{1}{3}\begin{bmatrix} -6 & -10 \\ 12 & 14 \\ -31 & -7 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -2 & \dfrac{-10}{3} \\ 4 & \dfrac{14}{3} \\ \dfrac{-31}{3} & \dfrac{-7}{3} \end{bmatrix} $

उदाहरण 9 $X$ और $Y$ ज्ञात कीजिए, यदि $X+Y=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 0 & 9\end{bmatrix}$ और $X-Y=\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$।

हल हमें $(X+Y)+(X-Y)=\begin{bmatrix}5 & 2 \\ 0 & 9\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}3 & 6 \\ 0 & -1\end{bmatrix}$ है।

$ \begin{gathered} \text{या} \hspace{14mm} (X+X)+(Y-Y)=\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} \Rightarrow 2 X=\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}\\ \end{gathered} $

$ \begin{gathered} \text{या} \hspace{14mm} \qquad \qquad \qquad \qquad X=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 8 & 8 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \end{gathered} $

$ \text{इसके अलावा} \hspace{12mm} (X+Y)-(X-Y)=\begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 0 & 9 \end{bmatrix}-\begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} $

$ \text{या} \hspace{17mm} (X-X)+(Y+Y)=\begin{bmatrix} 5-3 & 2-6 \\ 0 & 9+1 \end{bmatrix} \Rightarrow 2 Y=\begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 10 \end{bmatrix} $

$ \text{या} \qquad \qquad \qquad \qquad \hspace{17mm} Y=\dfrac{1}{2}\begin{bmatrix} 2 & -4 \\ 0 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} $

उदाहरण 10 निम्नलिखित समीकरण से $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए: