उत्तर :

मान लीजिए $ABCD$ दिए गए चतुर्भुज के शीर्ष हैं, जहाँ $A(-4, 5)$, $B(0,7)$, $C(5, -5)$ और $D(-4, -2)$ हैं।

तब, $A, B, C$ और $D$ को कार्तीय तल पर आलेखित करके $AB$, $BC$, $CD$ और $DA$ को मिलाकर दिया गया चतुर्भुज खींचा जा सकता है।

चतुर्भुज $ABCD$ के क्षेत्रफल के लिए हम एक विकर्ण, मान लीजिए $AC$ खींचते हैं।

इस प्रकार, क्षेत्रफल $(ABCD)=क्षेत्रफल(\triangle ABC)+क्षेत्रफल(\triangle ACD)$

हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1),(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर इसका क्षेत्रफल होता है

$\dfrac{1}{2}\bigg|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)\bigg|$

इसलिए, $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}\bigg|-4(7+5)+0(-5-5)+5(5-7)\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-4(12)+5(-2)\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-48-10\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-58\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=\dfrac{1}{2} \times 58$ वर्ग इकाई

$\hspace{3.6cm}=29$ वर्ग इकाई

$\triangle ACD$ का क्षेत्रफल $=\dfrac{1}{2}\bigg|-4(-5+2)+5(-2-5)+(-4)(5+5)\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-4(-3)+5(-7)-4(10)\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|12-35-40\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{2}\bigg|-63\bigg|$ वर्ग इकाई

$\hspace{2.2cm}=\dfrac{63}{2}$ वर्ग इकाई

इसलिए, क्षेत्रफल (ABCD) $=\left(29+\dfrac{63}{2}\right) \text{ इकाई }^{2}=\dfrac{58+63}{2} \text{ इकाई }^{2}=\dfrac{121}{2} \text{ इकाई }^{2}$

उत्तर :

मान लीजिए $ABC$ दिया गया समबाहु त्रिभुज है जिसकी भुजा $2a$ है।

इसलिए, $AB = BC = CA = 2a$

मान लीजिए आधार $BC$ $y$-अक्ष के अनुदिश है ताकि $BC$ का मध्य बिंदु मूल बिंदु पर है।

अर्थात, $BO = OC = a$, जहाँ $O$ मूल बिंदु है।

अब, स्पष्ट है कि बिंदु $C$ के निर्देशांक $(0, a)$ हैं, जबकि बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, -a)$ हैं।

ज्ञात है कि समबाहु त्रिभुज के एक शीर्ष बिंदु और विपरीत भुजा के मध्य बिंदु को जोड़ने वाली रेखा लंब होती है।

इसलिए, शीर्ष $A$ $y$-अक्ष पर है।

$\triangle AOC$ पर पिथागोरस प्रमेय के अनुसार, हम प्राप्त करते हैं:

$ \begin{aligned} & \quad \ (AC)^{2} =(OA)^{2}+(OC)^{2} \\ \\ & \Rightarrow(2 a)^{2}=(OA)^{2}+a^{2} \\ \\ & \Rightarrow 4 a^{2} - a^{2}=(OA)^{2} \\ \\ & \Rightarrow(OA)^{2}=3 a^{2} \\ \\ & \Rightarrow OA=\sqrt{3} a \end{aligned} $

$\therefore \ \ $ बिंदु $A$ के निर्देशांक $( \pm \sqrt{3} a, 0)$ हैं।

इसलिए, दिए गए समबाहु त्रिभुज के शीर्ष $(0, a),(0, -{ } a)$, और $(\sqrt{3} a, 0)$ या $(0, a),(0, - a)$, और $(-\sqrt{3} a, 0)$ हैं।

उत्तर :

दिए गए बिंदु $P(x_1, y_1)$ और $Q(x_2, y_2)$ हैं।

(i) जब PQ, $y$-अक्ष के समानांतर है, तो $x_1 = x_2$ होता है।

इस स्थिति में, $P$ और $Q$ के बीच दूरी $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$\hspace{5.2cm} = \sqrt{(y_2 - y_1)^2} = |y_2 - y_1|$

(ii) जब PQ, $x$-अक्ष के समानांतर है, तो $y_1 = y_2$ होता है।

इस स्थिति में, $P$ और $Q$ के बीच दूरी $= \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

$\hspace{5.2cm} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2} = |x_2 - x_1|$

उत्तर :

मान लीजिए $(a, 0)$ एक बिंदु है जो $x$ अक्ष पर स्थित है और बिंदुओं $(7,6)$ और $(3,4)$ से समान दूरी पर है।

इसलिए, $\sqrt{(7-a)^{2}+(6-0)^{2}}=\sqrt{(3-a)^{2}+(4-0)^{2}}$

$\Rightarrow\quad \sqrt{49+a^{2}-14 a+36}=\sqrt{9+a^{2}-6 a+16}$

$\Rightarrow\quad \sqrt{a^{2}-14 a+85}=\sqrt{a^{2}-6 a+25}$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हम प्राप्त करते हैं $a^{2} - 14 a+85=a^{2}- 6 a+25$

$\Rightarrow - 14 a+6 a=25 - 85$

$\Rightarrow - 8 a=- 60$

$\Rightarrow a=\dfrac{60}{8}=\dfrac{15}{2}$

इसलिए, $x$-अक्ष पर आवश्यक बिंदु $\left(\dfrac{15}{2}, 0\right)$ है

उत्तर :

बिंदुओं $P(0, - 4)$ और $B(8,0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक $\left(\dfrac{0+8}{2}, \dfrac{-4+0}{2}\right)=(4,-2)$ हैं।

ज्ञात है कि एक ऐसी रेखा की ढलान $(m)$ जो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरती है और ऊर्ध्वाधर नहीं है, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, x_2 \neq x_1$

इसलिए, बिंदुओं $(0,0)$ और $ ( 4,-2) $ से गुजरने वाली रेखा की ढलान $\dfrac{-2-0}{4-0}=\dfrac{-2}{4}=-\dfrac{1}{2}$ है।

इसलिए, आवश्यक रेखा की ढलान $-\dfrac{1}{2}$ है।

उत्तर :

दिए गए त्रिभुज के शीर्ष $A (4,4), B(3,5),$ और $C (-1, -1).$

ज्ञात है कि एक ऐसी रेखा की ढलान $(m)$ जो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरती है और ऊर्ध्वाधर नहीं है, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}, x_2 \neq x_1$

$\therefore \ \ $ $AB$ की ढलान $(m_1)=\dfrac{5-4}{3-4}=-1$

$BC$ की ढलान $(m_2)=\dfrac{-1-5}{-1-3}=\dfrac{-6}{-4}=\dfrac{3}{2}$

$CA$ की ढलान $(m_3)=\dfrac{4+1}{4+1}=\dfrac{5}{5}=1$

यह देखा जा सकता है कि $m_1 m_3= - 1 $

यह दिखाता है कि रेखाखंड $A B$ और $C A$ एक दूसरे के लंब हैं, अर्थात दिया गया त्रिभुज $A(4,4)$ पर समकोण है।

इसलिए, बिंदु $(4,4),(3,5)$, और (1, 1 ) एक समकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं।

उत्तर :

यदि एक रेखा $y$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है और वृहदांतर दिशा में मापी जाती है, तो रेखा द्वारा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ बनाया गया कोण वृहदांतर दिशा में $90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$ होता है।

इसलिए, दी गई रेखा की ढलान $\tan 120^{\circ}=\tan (180^{\circ} - 60^{\circ})=- \tan 60^{\circ}=-\sqrt{3}$ होती है।

उत्तर :

मान लीजिए बिंदु $( - 2, -1), (4,0),(3,3)$, और $( - 3,2 )$ क्रमशः $A, \ B, \ C,$ और $D$ द्वारा निरूपित होते हैं।

$A B$ की ढलान $=\dfrac{0+1}{4+2}=\dfrac{1}{6}$

$CD$ की ढलान $=\dfrac{2-3}{-3-3}=\dfrac{-1}{-6}=\dfrac{1}{6}$

$\Rightarrow$ $A B$ की ढलान $=$ $C D$ की ढलान

$\Rightarrow A B$ और $C D$ एक दूसरे के समांतर हैं।

अब, $BC$ की ढलान $=\dfrac{3-0}{3-4}=\dfrac{3}{-1}=-3$

$AD$ की ढलान $=\dfrac{2+1}{-3+2}=\dfrac{3}{-1}=-3$

$\Rightarrow$ $BC$ की ढलान $=$ $AD$ की ढलान

$\Rightarrow B C$ और $A D$ एक दूसरे के समांतर हैं।

इसलिए, चतुर्भुज $A B C D$ के दोनों जोड़े विपरीत भुजाएँ समांतर हैं। अतः $A B C D$ एक समांतर चतुर्भुज है।

इसलिए, बिंदु (-2, -1), $(4,0),(3,3)$, और (-3,2) एक समांतर चतुर्भुज के शीर्ष हैं।

उत्तर :

बिंदुओं $(3,-1)$ और $(4,-2)$ को मिलाने वाली रेखा की प्रवृत्ति (slope) है

$ m=\dfrac{-2-(-1)}{4-3}=-2+1=-1 $

अब, बिंदुओं $(3, -1 )$ और $(4, -{ } 2)$ को मिलाने वाली रेखा की झुकाव $(\theta)$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है $\tan \theta=- 1$

$\Rightarrow \theta=(90^{\circ}+45^{\circ})=135^{\circ}$

अतः, $x$-अक्ष और बिंदुओं $(3, $ - 1 $)$ और ( $ 4, - $ 2 ) को मिलाने वाली रेखा के बीच कोण $ 135^{\circ} $ है।

उत्तर :

मान लीजिए $m_1$ और $m$ दो दी गई रेखाओं की प्रवृत्तियाँ हैं जैसे कि $m_1=2 m$।

हम जानते हैं कि यदि $\theta$ दो रेखाओं $l_1$ और $l_2$ के बीच कोण है जिनकी प्रवृत्तियाँ $m_1$ और $m_2$ हैं, तो

$ \tan \theta=\bigg|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\bigg| $

दिया गया है कि दो रेखाओं के बीच कोण के तानजेंट का मान $\dfrac{1}{3}$ है।

$\therefore \ \ \dfrac{1}{3}=\bigg|\dfrac{m-2 m}{1+(2 m) \cdot m}\bigg|$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}=\bigg|\dfrac{-m}{1+2 m^{2}}\bigg|$

$\Rightarrow \dfrac{1}{3}=\dfrac{-m}{1+2 m^{2}}$ या $\dfrac{1}{3}=-\left(\dfrac{-m}{1+2 m^{2}}\right)=\dfrac{m}{1+2 m^{2}}$

यदि $m=$ $- 1 ,$ तो रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $- 1$ और $- 2 $ हैं।

यदि $m=-\dfrac{1}{2}$, तो रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $-\dfrac{1}{2}$ और $-1$ हैं।

$\text{केस} ~ \ \text{II}$

$\dfrac{1}{3}=\dfrac{m}{1+2 m^{2}}$

$\Rightarrow 2 m^{2}+1=3 m$

$\Rightarrow 2 m^{2}-3 m+1=0$

$\Rightarrow 2 m^{2}-2 m-m+1=0$

$\Rightarrow 2 m(m-1)-1(m-1)=0$

$\Rightarrow(m-1)(2 m-1)=0$

$\Rightarrow m=1$ या $m=\dfrac{1}{2}$

यदि $m=1$, तो रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $1$ और $2$ हैं।

यदि $m=\dfrac{1}{2}$, तो रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $\dfrac{1}{2}$ और $1$ हैं।

अतः, रेखाओं की प्रवृत्तियाँ $- 1$ और $- 2$ या $-\dfrac{1}{2}$ और - 1 या 1 और 2 या $\dfrac{1}{2}$ और $1$ हैं।

उत्तर :

$(x_1, y_1)$ और $(h, k)$ से गुजरने वाली रेखा का ढलान $\dfrac{k-y_1}{h-x_1}$ है

दिया गया है कि रेखा का ढलान $m$ है।

$\therefore \ \ \dfrac{k-y_1}{h-x_1}=m$

$\Rightarrow k-y_1=m(h-x_1)$

अतः, $k-y_1=m(h-x_1)$

उत्तर :

$x$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का $y$-निर्देशांक $0$ होता है।

इसलिए, $x$-अक्ष का समीकरण $y=0$ है।

$y$-अक्ष पर स्थित किसी भी बिंदु का $x$-निर्देशांक $0$ होता है।

इसलिए, $y$-अक्ष का समीकरण $x=0$ है।

उत्तर :

हम जानते हैं कि बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $m$ है, का समीकरण $(y-y_0)=m(x-x_0)$ होता है।

इसलिए, बिंदु $( -4,3)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $\dfrac{1}{2}$ है, का समीकरण है

$ \begin{aligned} & (y-3)=\dfrac{1}{2}(x+4) \\ \\ & 2(y-3)=x+4 \\ \\ & 2 y-6=x+4 \\ \\ & \text{ अर्थात, } x-2 y+10=0 \end{aligned} $

उत्तर :

हम जानते हैं कि बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $m$ है, का समीकरण $(y-y _0)=m(x-x _0)$ होता है।

इसलिए, बिंदु $(0,0)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $m$ है, का समीकरण है

$( y - 0)=m(x - 0 )$

अर्थात, $y=m x$

उत्तर :

जो रेखा $x$-अक्ष के साथ $75^{\circ}$ का कोण बनाती है, उसका ढाल है

$m=\tan 75^{\circ}$

$\Rightarrow m=\tan (45^{\circ}+30^{\circ})=\dfrac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \cdot \dfrac{1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\dfrac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}$

हम जानते हैं कि बिंदु $(x_0, y_0)$ से गुजरती हुई रेखा जिसका ढाल $m$ है, का समीकरण $(y-y_0)=m(x-x_0)$ होता है

इसलिए, यदि एक रेखा $(2,2 \sqrt{3})$ से गुजरती है और $x$-अक्ष के साथ $75^{\circ}$ के कोण पर झुकती है, तो रेखा का समीकरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$$ \begin{aligned} & (y-2 \sqrt{3})=\dfrac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1}(x-2) \\ \\ & (y-2 \sqrt{3})(\sqrt{3}-1)=(\sqrt{3}+1)(x-2) \\ \\ & y(\sqrt{3}-1)-2 \sqrt{3}(\sqrt{3}-1)=x(\sqrt{3}+1)-2(\sqrt{3}+1) \\ \\ & (\sqrt{3}+1) x-(\sqrt{3}-1) y=2 \sqrt{3}+2-6+2 \sqrt{3} \\ \\ & (\sqrt{3}+1) x-(\sqrt{3}-1) y=4 \sqrt{3}-4 \\ \\ & \text{ अर्थात, }(\sqrt{3}+1) x-(\sqrt{3}-1) y=4(\sqrt{3}-1) \end{aligned} $$

उत्तर :

यह ज्ञात है कि यदि एक रेखा का ढलान $m$ है और इसका $x$-अक्ष का अंतः खंड $d$ है, तो रेखा का समीकरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $ ~ y=m(x-d)$

उस रेखा के लिए जो मूल बिंदु के बाईं ओर 3 इकाई की दूरी पर $x$-अक्ष को काटती है, $d=-3$ है।

रेखा का ढलान दिया गया है $m=-2$

इसलिए, दी गई रेखा का आवश्यक समीकरण निम्नलिखित है

$y=-2[x-(-3)]$

$y=-2 x-6$

अर्थात, $ ~ 2 x+y+6=0$

उत्तर :

यह ज्ञात है कि यदि एक रेखा का ढलान $m$ है और इसका $y$-अक्ष का अंतः खंड $c$ है, तो रेखा का समीकरण निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$y=m x+c$

यहाँ, $c=2$ और $m=\tan 30^{\circ}$ $ =\dfrac{1}{\sqrt{3}} $

इसलिए, दी गई रेखा का आवश्यक समीकरण निम्नलिखित है

$$ \begin{aligned} & y=\dfrac{1}{\sqrt{3}} x+2 \\ \\ & y=\dfrac{x+2 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ \\ & \sqrt{3} y=x+2 \sqrt{3} \\ \\ & \text{ अर्थात, } x-\sqrt{3} y+2 \sqrt{3}=0 \end{aligned} $$

उत्तर :

यह ज्ञात है कि बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरती रेखा का समीकरण $(y-y_1)=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}(x-x_1)$ होता है

इसलिए, बिंदुओं $(-1,1)$ और $(2, - 4 )$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

$(y-1)=\left(\dfrac{-4-1}{2+1}\right)(x+1)$

$(y-1)=\dfrac{-5}{3}(x+1)$

$3(y-1)=-5(x+1)$

$3 y-3=-5 x-5$

अर्थात, $5 x+3 y+2=0$

Answer :

दिया गया है कि $\triangle P Q R$ के शीर्ष $P(2,1), Q (-2,3),$ और $R(4,5)$ हैं।

मान लीजिए $RL$ शीर्ष $R$ से जाने वाली माध्यिका है।

इसलिए, $L$ $PQ$ का मध्य बिंदु है।

मध्य बिंदु सूत्र के अनुसार, बिंदु $L$ के निर्देशांक निम्नलिखित हैं $\left(\dfrac{2-2}{2}, \dfrac{1+3}{2}\right)=(0,2)$

ज्ञात है कि बिंदु $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

$(y-y_1)=\left(\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\right)(x-x_1)$

इसलिए, रेखा $RL$ का समीकरण निर्धारित करने के लिए $(x_1, y_1)=(4,5)$ और $(x_2, y_2)=(0,2)$ को समीकरण में समानुपाती करेंगे।

इसलिए,

$y-5=\left(\dfrac{2-5}{0-4}\right)(x-4)$

$\Rightarrow y-5=\left(\dfrac{-3}{-4}\right)(x-4)$

$\Rightarrow 4(y-5)=3(x-4)$

$\Rightarrow 4 y-20=3 x-12$

$\Rightarrow 3 x-4 y+8=0$

इसलिए, शीर्ष $R$ से जाने वाली माध्यिका का अभीष्ट समीकरण $3 x-4 y+8=0$ है।

Answer :

बिंदुओं $(2,5)$ और $(-3,6)$ को जोड़ने वाली रेखा की प्रतिशत दर है $ m=\left(\dfrac{6-5}{-3-2}\right)=\dfrac{1}{-5} $

हम जानते हैं कि दो अनुपाती रेखाएं एक दूसरे के लंबवत होती हैं यदि और केवल यदि उनकी प्रतिशत दर एक दूसरे के ऋणात्मक प्रतिलोम होती हैं।

इसलिए, बिंदुओं $(2,5)$ और $(-3,6 )$ से गुजरने वाली रेखा के लंबवत रेखा की प्रतिशत दर $ =-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{(\frac{-1}{5})}=5 `

$

अब, बिंदु $( - 3,5 ),$ से गुजरने वाली रेखा की समीकरण, जिसका ढलान $5 ,$ है, है

$ \begin{aligned} & (y-5)=5(x+3) \\ \\ & y-5=5 x+15 \\ \\ & \text{ अर्थात, } 5 x-y+20=0 \end{aligned} $

Answer :

अनुपात के अनुसार बिंदु $(1,0)$ और $(2,3)$ को मिलाने वाले रेखाखंड के बिंदु के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

$ \left(\dfrac{n(1)+1(2)}{1+n}, \dfrac{n(0)+1(3)}{1+n}\right)=\left(\dfrac{n+2}{n+1}, \dfrac{3}{n+1}\right) $

बिंदु $(1,0)$ और $(2,3)$ को मिलाने वाली रेखा का ढलान $m=\left(\dfrac{3-0}{2-1}\right)=3$ है

हम जानते हैं कि दो अनुप्रस्थ रेखाएँ एक दूसरे के ऋणात्मक प्रतिलोम होती हैं।

इसलिए, बिंदु $(1,0)$ और $(2,3)$ को मिलाने वाली रेखा के लंब रेखा का ढलान $m = 3$ होता है $ =-\dfrac{1}{m}=-\dfrac{1}{3} $

अब, बिंदु $\left(\dfrac{n+2}{n+1}, \dfrac{3}{n+1}\right)$ से गुजरने वाली रेखा की समीकरण निम्नलिखित है

$ \begin{aligned} & \left(y-\dfrac{3}{n+1}\right)=\dfrac{-1}{3}\left(x-\dfrac{n+2}{n+1}\right) \\ \\ & \Rightarrow 3[(n+1) y-3]=-[x(n+1)-(n+2)] \\ \\ & \Rightarrow 3(n+1) y-9=-(n+1) x+n+2 \\ \\ & \Rightarrow(1+n) x+3(1+n) y=n+11 \end{aligned} $

Answer :

अक्षीय रूप में एक रेखा की समीकरण है

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}=1 \qquad \ …{(i)}$

यहाँ, $a$ और $b$ क्रमशः $x$ और $y$ अक्षों पर अक्षीय प्रतिच्छेद हैं।

दिया गया है कि रेखा दोनों अक्षों पर समान अक्षीय प्रतिच्छेद बनाती है। इसका अर्थ है कि $a=b$।

इसलिए, समीकरण $(i)$ निम्नलिखित रूप में घटती है

$\dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{a}=1 $

$ \Rightarrow x+y=a\qquad \ldots(ii)$

क्योंकि दी गई रेखा बिंदु $(2,3)$ से गुजरती है, समीकरण (ii) निम्नलिखित रूप में घटता है

$2+3=a \Rightarrow a=5$

समीकरण (ii) में $a$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$x+y=5$, जो रेखा की आवश्यक समीकरण है

उत्तर :

अक्षों पर अंतराल के रूप में एक रेखा की समीकरण है

$ \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{b}=1 \qquad \ …{(i)} $

यहाँ, $a$ और $b$ क्रमशः $x$ और $y$ अक्षों पर अंतराल हैं।

दिया गया है कि $a + b = 9 \Rightarrow b = 9 - a \qquad \ldots$ $(ii)$

समीकरण (i) और (ii) से, हम प्राप्त करते हैं

$ \dfrac{x}{a} + \dfrac{y}{9-a}=1 \qquad \ …{(iii)} $

दिया गया है कि रेखा बिंदु $(2,2)$ से गुजरती है।

इसलिए, समीकरण (iii) निम्नलिखित रूप में घटता है

$ \begin{aligned} & \dfrac{2}{a} + \dfrac{2}{9-a}=1 \\ \\ & \Rightarrow 2\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{9-a} \right)=1 \\ \\ & \Rightarrow 2\left(\dfrac{9-a+a}{a(9-a )}\right)=1 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{18}{9 a-a^{2}}=1 \\ \\ & \Rightarrow 18=9 a-a^{2} \\ \\ & \Rightarrow a^{2}-9 a+18=0 \\ \\ & \Rightarrow a^{2}-6 a-3 a+18=0 \\ \\ & \Rightarrow a(a-6)-3(a-6)=0 \\ \\ & \Rightarrow(a-6)(a-3)=0 \\ \\ & \Rightarrow a=6 \text{ या } a=3 \end{aligned} $

यदि $a=6$ और $b=9 - 6=3$, तो रेखा की समीकरण है

$\dfrac{x}{6}+\dfrac{y}{3}=1 $

$\Rightarrow x+2 y-6=0$

यदि $a=3$ और $b=9 - 3=6$, तो रेखा की समीकरण है

$\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{6}=1$

$ \Rightarrow 2 x+y-6=0$

उत्तर :

धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\dfrac{2 \pi}{3}$ का कोण बनाने वाली रेखा की ढलान है $\quad m=\tan \left(\dfrac{2 \pi}{3}\right)=-\sqrt{3}$

अब, बिंदु $(0,2)$ से गुजरती और ढलान $-\sqrt{3}$ वाली रेखा का समीकरण है

$(y-2)=-\sqrt{3}(x-0)$

$y-2=-\sqrt{3} x$

अर्थात, $\sqrt{3} x+y-2=0$

रेखा $\sqrt{3} x+y-2=0$ के समांतर रेखा का ढलान $-\sqrt{3}$ है

दिया गया है कि रेखा $\sqrt{3} x+y-2=0$ के समांतर रेखा $y$-अक्ष के 2 इकाई नीचे मूल बिंदु से गुजरती है अर्थात, यह बिंदु $( 0, - 2 )$ से गुजरती है

अतः, बिंदु $( 0, - 2 )$ से गुजरती और ढलान $-\sqrt{3}$ वाली रेखा का समीकरण है

$y-(-2)=-\sqrt{3}(x-0)$

$y+2=-\sqrt{3} x$

$\sqrt{3} x+y+2=0$

Answer :

मूल बिंदु $(0,0)$ और बिंदु $(-2,9)$ को जोड़ने वाली रेखा का ढलान $m_1=\left(\dfrac{9-0}{-2-0}\right)=-\dfrac{9}{2}$ है

अतः, मूल बिंदु और बिंदु $(- 2,9 )$ को जोड़ने वाली रेखा के लंब रेखा का ढलान है

$m_2=-\dfrac{1}{m_1}=-\dfrac{1}{(-\frac{9}{2})}=\dfrac{2}{9}$

अब, बिंदु $( - 2,9)$ से गुजरती और ढलान $m_2$ वाली रेखा का समीकरण है

$ \begin{aligned} & (y-9)=\dfrac{2}{9}(x+2) \\ \\ & 9 y-81=2 x+4 \\ \\ & \text{ i.e., } 2 x-9 y+85=0 \end{aligned} $

Answer :

दिया गया है कि जब $C=20$, तो $L$ का मान $124.942$ है, जबकि जब $C=110$, तो $L$ का मान $125.134$ है

अतः, बिंदु $(20,124.942)$ और $(110,125.134)$ $L$ और $C$ के रैखिक संबंध को संतुष्ट करते हैं।

अब, मान लीजिए $C$ को $x$-अक्ष पर और $L$ को $y$-अक्ष पर ले लिया जाए, तो हमें दो बिंदु अर्थात, $(20,124.942)$ और $(110,125.134)$ $X Y$ तल में मिलते हैं।

अतः, $L$ और $C$ के बीच रैखिक संबंध $L$ और $C$ के बीच रेखा के समीकरण के बराबर है, जो बिंदु $(20,124.942)$ और $(110,125.134)$ से गुजरती है

$(L - 124.942)=\left(\dfrac{125.134-124.942}{110-20}\right)(C-20)$

$(L-124.942)=\left(\dfrac{0.192}{90}\right)(C-20)$

अर्थात, $L=\left(\dfrac{0.192}{90}\right)(C-20)+124.942$, जो आवश्यक रेखीय संबंध है

Answer :

बिक्री मूल्य और मांग के बीच संबंध रेखीय है।

मान लीजिए बिक्री मूल्य प्रति लीटर को $x$-अक्ष पर और मांग को $y$-अक्ष पर लिया गया है, तो हमें दो बिंदु जो बिक्री मूल्य और मांग के बीच रेखीय संबंध को संतुष्ट करते हैं, अर्थात, $(14,980)$ और $(16,1220)$ जो एक द्विविमीय तल में स्थित हैं।

इसलिए, बिक्री मूल्य प्रति लीटर और मांग के बीच रेखीय संबंध बिंदुओं $(14,980)$ और $(16,1220)$ से गुजरने वाली रेखा के समीकरण है।

$ \begin{aligned} & y-980=\dfrac{1220-980}{16-14}(x-14) \\ \\ & y-980=\dfrac{240}{2}(x-14) \\ \\ & y-980=120(x-14) \\ \\ & \text{ अर्थात, } y=120(x-14)+980 \end{aligned} $

जब $x=$ 17 रुपये प्रति लीटर,

$ \begin{aligned} & y=120(17-14)+980 \\ \\ & \Rightarrow y=120 \times 3+980=360+980=1340 \end{aligned} $

इसलिए, दूध के दुकान के मालिक को प्रति सप्ताह 17 रुपये प्रति लीटर की कीमत पर 1340 लीटर दूध बेच सकता है।

Answer :

मान लीजिए $AB$ अक्षों के बीच एक रेखा खंड है और $P(a, b)$ इसका मध्य बिंदु है।

मान लीजिए $A$ और $B$ के निर्देशांक क्रमशः $(0, y)$ और $(x, 0)$ हैं,

क्योंकि $P(a, b)$ रेखा खंड $AB$ का मध्य बिंदु है,

$\left(\dfrac{0+x}{2}, \dfrac{y+0}{2}\right)=(a, b)$

$\Rightarrow\left(\dfrac{x}{2}, \dfrac{y}{2}\right)=(a, b)$

$\Rightarrow \dfrac{x}{2}=a$ और $\dfrac{y}{2}=b$

$\therefore x=2 a$ और $y=2 b$

इस प्रकार, बिंदु A और B के क्रमशः निर्देशांक $(0,2 b)$ और $(2 a, 0)$ हैं

बिंदुओं $(0,2 b)$ और $(2 a, 0)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

$(y-2 b)=\left(\dfrac{0-2 b}{2 a-0}\right)(x-0)$

$y-2 b=\left(\dfrac{-2 b}{2 a}\right)x$

$a(y-2 b)=-b x$

$a y-2 a b=-b x$

अर्थात, $b x+a y=2 a b$

दोनों ओर $a b$ से विभाजित करने पर, हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{b x}{a b}+\dfrac{a y}{a b}=\dfrac{2 a b}{a b}$

$\Rightarrow \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=2$

इस प्रकार, रेखा का समीकरण $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=2$ है

Answer :

मान लीजिए $AB$ अक्षों के बीच एक रेखा खंड है जैसे कि बिंदु $R(h, k)$ रेखा खंड $AB$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है

मान लीजिए $A$ और $B$ के क्रमशः निर्देशांक $(x, 0)$ और $(0, y)$ हैं।

चूंकि बिंदु $R\left(h, k\right)$ रेखा खंड $AB$ को $1: 2$ के अनुपात में विभाजित करता है, अनुपात के सूत्र के अनुसार,

$\left(h, k\right)=\left(\dfrac{1 \times 0+2 \times x}{1+2}, \dfrac{1 \times y+2 \times 0}{1+2}\right)$

$\Rightarrow\left(h, k\right)=\left(\dfrac{2 x}{3}, \dfrac{y}{3}\right)$

$\Rightarrow h=\dfrac{2 x}{3}$ और $k=\dfrac{y}{3}$

$\Rightarrow x=\dfrac{3 h}{2}$ और $y=3 k$

इसलिए, बिंदु $A$ और $B$ के क्रमशः निर्देशांक $\left(\dfrac{3 h}{2}, 0\right)$ और $\left(0,3 k\right)$ हैं।

अब, बिंदुओं $\left(\dfrac{3 h}{2}, 0\right)$ और $\left(0,3 k\right)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण है

$\left(y-0\right)=\dfrac{3 k-0}{0-\frac{3 h}{2}}\left(x-\dfrac{3 h}{2}\right)$

$y=-\dfrac{2 k}{h}\left(x-\dfrac{3 h}{2}\right)$

$h y=-2 k x+3 h k$

अर्थात, $2 k x+h y=3 h k$

इसलिए, रेखा का अभीष्ट समीकरण $2 k x+h y=3 h k$ है

उत्तर :

बिंदुओं $(3,0)$, $(-2,-2)$ और $(8,2)$ के संरेख होने को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है कि बिंदुओं $(3,0)$ और $(-2,-2)$ से गुजरने वाली रेखा बिंदु $(8,2)$ से भी गुजरती हो।

बिंदुओं $(3,0)$ और $(-2,-2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित है

$ \begin{aligned} & (y-0)=\left(\dfrac{-2-0}{-2-3}\right)(x-3) \\ \\ & y=\left(\dfrac{-2}{-5}\right)(x-3) \\ \\ & 5 y=2 x-6 \\ \\ & \text{ अर्थात, } 2 x-5 y=6 \end{aligned} $

यह देखा जाता है कि जब $x=8$ और $y=2$ हों, तो

अपरिवर्तित ओर दायें हाथ के मूल्य (L.H.S.) $=2 \times 8 $ $ - 5 \times 2=16$ - $10=6=$ दायें हाथ के मूल्य (R.H.S.)

इसलिए, बिंदुओं $(3,0)$ और $(-2,-2)$ से गुजरने वाली रेखा बिंदु $(8,2)$ से भी गुजरती है।

इसलिए, बिंदु $(3, 0),$ $(-2, -2),$ और $(8, 2)$ संरेख हैं।

उत्तर :

(i): दी गई समीकरण $x+7 y=0$ है

इसे लिखा जा सकता है

$y=-\dfrac{1}{7} x+0\qquad\ldots (1)$

इस समीकरण के रूप $y=m x+c$ है, जहाँ

$ m=-\dfrac{1}{7} \text{ और } c=0 $

इसलिए, समीकरण $(1)$ ढलान-अपवार्ति रूप में है, जहाँ ढलान और $y$-अपवार्ति क्रमशः $-\dfrac{1}{7}$ और $0$ हैं।

(ii): दी गई समीकरण $6 x+3 y -5=0$ है

इसे लिखा जा सकता है

$y=\dfrac{1}{3}(-6 x+5)$

$y=-2 x+\dfrac{5}{3}\qquad\ldots (2)$

इस समीकरण के रूप $y=m x+c$ है, जहाँ $m=-2$ और $c=\dfrac{5}{3}$

इसलिए, समीकरण $(2)$ ढलान-अपवार्ति रूप में है, जहाँ ढलान और $y$-अपवार्ति क्रमशः $-2$ और $\dfrac{5}{3}$ हैं।

(iii): दी गई समीकरण $y=0$ है।

इसे लिखा जा सकता है

$y=0 . x+0 \qquad\ldots (3)$

इस समीकरण के रूप $y=m x+c$ है, जहाँ $m=0$ और $c=0$।

इसलिए, समीकरण $(3)$ ढलान-अपवार्ति रूप में है, जहाँ ढलान और $y$-अपवार्ति क्रमशः $0$ और $0$ हैं।

उत्तर :

(i): दी गई समीकरण $3 x+2 y- 12=0$ है

इसे लिखा जा सकता है

$3 x+2 y=12$

$\dfrac{3 x}{12}+\dfrac{2 y}{12}=1$

अर्थात, $ \quad \dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{6}=1\qquad\ldots (1)$

इस समीकरण के रूप $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ है, जहाँ $a=4$ और $b=6$।

इसलिए, समीकरण $(1)$ अपवार्ति रूप में है, जहाँ $x$ और $y$ अक्षों पर अपवार्ति क्रमशः $4$ और $6$ हैं।

(ii): दी गई समीकरण $4 x - 3 y=6$ है।

यह लिखा जा सकता है

$\dfrac{4 x}{6}-\dfrac{3 y}{6}=1$

$\dfrac{2 x}{3}-\dfrac{y}{2}=1$

अर्थात, $ \quad \dfrac{x}{(\frac{3}{2})}+\dfrac{y}{(-2)}=1\qquad\ldots (2)$

इस समीकरण के रूप $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ है, जहाँ $a=\dfrac{3}{2}$ और $b=-2$ है।

इसलिए, समीकरण $(2)$ कटाव रूप में है, जहाँ $x$ और $y$ अक्षों पर कटाव क्रमशः $\dfrac{3}{2}$ और $-2$ हैं।

(iii): दिया गया समीकरण $3 y+2=0$ है।

इसे लिखा जा सकता है $3 y=-2$

अर्थात, $\dfrac{y}{\left(-\dfrac{2}{3}\right)}=1\qquad\ldots (3)$

इस समीकरण के रूप $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ है, जहाँ $a=0$ और $b=-\dfrac{2}{3}$ है।

इसलिए, समीकरण $(3)$ कटाव रूप में है, जहाँ $y$-अक्ष पर कटाव $-\dfrac{2}{3}$ है और इसका $x$-अक्ष पर कटाव नहीं है।

Answer :

रेखा का दिया गया समीकरण $12(x+6)=5(y - 2)$ है

$\Rightarrow 12 x+72=5 y - 10$

$\Rightarrow 12 x - 5 y+82=0$

समीकरण $(1)$ को रूप $A x+B y+C=0$ के सामान्य रूप से तुलना करने पर, हमें $A=12, B= - 5$ , और $C=82$ प्राप्त होते हैं।

ज्ञात है कि रेखा $A x+B y+C=0$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ से लंब दूरी $( d )$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$d=\dfrac{\big|A x_1+B y_1+C\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$.

दिया गया बिंदु $(x_1, y_1)=(- 1,1)$ है।

इसलिए, बिंदु $( - 1,1 )$ की दी गई रेखा से दूरी

$=\dfrac{\big|12(-1)+(-5)(1)+82\big|}{\sqrt{(12)^{2}+(-5)^{2}}}$ इकाई $=\dfrac{\big|-12-5+82\big|}{\sqrt{169}}$ इकाई $=\dfrac{\big|65\big|}{13}$ इकाई $=5$ इकाई

Answer :

दिया गया रेखा का समीकरण $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1$

या, $4 x+3 y-12=0$

समीकरण $(1)$ को रूप $A x+B y+C=0$ के सामान्य रूप से तुलना करने पर, हमें $A=4, \ B=3$, और $C= - 12$ प्राप्त होते हैं

मान लीजिए $(a, 0)$ वह बिंदु है जो $x$-अक्ष पर स्थित है जिसकी दी गई रेखा से दूरी 4 इकाई है।

ज्ञात है कि एक रेखा $A x+B y+C=0$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ से लंब दूरी $(d)$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$d=\dfrac{\big|A x_1+B y_1+C\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

इसलिए,

$ \quad 4=\dfrac{\big|4 a+3 \times 0-12\big|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}$

$\Rightarrow 4=\dfrac{\big|4 a-12\big|}{5}$

$\Rightarrow\big|4 a-12\big|=20$

$\Rightarrow \pm(4 a-12)=20$

$\Rightarrow(4 a-12)=20$ या $-(4 a-12)=20$

$\Rightarrow 4 a=20+12$ या $4 a=-20+12$

$\Rightarrow a=8$ या $-2$

इसलिए, $x$-अक्ष पर आवश्यक बिंदु $(-2,0)$ और $(8,0)$ हैं।

उत्तर :

ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं $A x+B y+C_1=0$ और $A x+B y+C_2=0$ के बीच की दूरी $(d)$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $d=\dfrac{\big|C_1-C_2\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

(i): दी गई समानांतर रेखाएँ $15 x+8 y - 34=0$ और $15 x+8 y+31=0$ हैं

यहाँ, $A=15, \ B=8, \ C_1= - 34 ,$ और $C_2=31$ हैं।

इसलिए, समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी है $d=\dfrac{\big|C_1-C_2\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\dfrac{\big|-34-31\big|}{\sqrt{(15)^{2}+(8)^{2}}}$ $=\dfrac{\big|-65\big|}{17}$ $=\dfrac{65}{17}$ इकाई

(ii): दी गई समानांतर रेखाएँ $l(x+y)+p=0$ और $l(x+y) - r=0$ हैं।

$l x+l y+p=0$ और $l x+l y - r=0$

यहाँ,

$A=l, \ B=l, \ C_1=p$, और $C_2=- r$ हैं।

इसलिए, समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी है

$d=\dfrac{\big|C_1-C_2\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\dfrac{\big|p+r\big|}{\sqrt{l^{2}+l^{2}}}$ $=\dfrac{\big|p+r\big|}{\sqrt{2 l^{2}}}$ $=\dfrac{\big|p+r\big|}{l \sqrt{2}}$ $=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\big|\dfrac{p+r}{l}\big|$ इकाई

उत्तर :

दी गई रेखा का समीकरण है

$3 x-4 y+2=0$

या $y=\dfrac{3 x}{4}+\dfrac{2}{4}$

या $y=\dfrac{3}{4} x+\dfrac{1}{2}$, जो $y=m x+c$ के रूप में है

$\therefore \ \ $ दी गई रेखा की ढलान $ =\dfrac{3}{4} $

ज्ञात है कि समानांतर रेखाओं की ढलान समान होती है।

$\therefore$ दूसरी रेखा की ढलान $ m=\dfrac{3}{4} $

अब, ढलान $\dfrac{3}{4}$ वाली रेखा का समीकरण जो बिंदु $(-2,3)$ से गुजरती है, है

$ \begin{aligned} & (y-3)=\dfrac{3}{4}\lbrace x-(-2) \rbrace \\ \\ & 4 y-12=3 x+6 \\ \\ & \text{ अर्थात, } 3 x-4 y+18=0 \end{aligned} $

उत्तर :

दी गई रेखा का समीकरण $x-7 y+5=0$

या, $ \ y=\dfrac{1}{7} x+\dfrac{5}{7}$, जो $y=m x+c$ के रूप में है

$\therefore \ \ $ दी गई रेखा की ढलान $ =\dfrac{1}{7} $

ढलान $\dfrac{1}{7}$ वाली रेखा के लम्ब रेखा की ढलान $m=-\dfrac{1}{\left(\frac{1}{7}\right)}=-7$ है

ढलान $- 7$ वाली रेखा का समीकरण जो $x$-अक्ष प्रतिच्छेदन 3 हो है

$\quad y=m(x - d)$

$\Rightarrow y=- 7(x - 3)$

$\Rightarrow y=- 7 x+21$

$\Rightarrow 7 x+y=21$

उत्तर :

दी गई रेखाएँ $\sqrt{3} x+y=1$ और $x+\sqrt{3} y=1$ हैं।

$y=-\sqrt{3} x+1 \qquad \ldots(1) \quad$

और $y=-\dfrac{1}{\sqrt{3}} x+\dfrac{1}{\sqrt{3}}\qquad\ldots\mathrm{(2)}$

रेखा $(1)$ की ढलान $m_1=-\sqrt{3}$ है, जबकि रेखा $(2)$ की ढलान $m_2=-\dfrac{1}{\sqrt{3}}$ है

दोनों रेखाओं के बीच न्यून कोण अर्थात, $\theta$ द्वारा दिया गया है $\tan \theta=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right|$

$\tan \theta=\left|\dfrac{-\sqrt{3}+\dfrac{1}{\sqrt{3}}}{1+(-\sqrt{3})(-\dfrac{1}{\sqrt{3}})}\right|$

$\tan \theta=\left|\dfrac{\dfrac{-3+1}{\sqrt{3}}}{1+1}\right|=\left|\dfrac{-2}{2 \times \sqrt{3}}\right|$

$\tan \theta=\dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\quad \ \theta=30^{\circ}$

इसलिए, दी गई रेखाओं के बीच कोण या तो $30^{\circ}$ है या $180^{\circ} - 30^{\circ}=150^{\circ}$

उत्तर :

बिंदुओं $(h, 3)$ और $(4,1)$ से गुजरने वाली रेखा की ढलान $m_1=\dfrac{1-3}{4-h}=\dfrac{-2}{4-h}$ है।

रेखा $7 x$ - $9 y$ - $19=0$ या $y=\dfrac{7}{9} x-\dfrac{19}{9}$ की ढलान $m_2=\dfrac{7}{9}$ है।

दिया गया है कि दोनों रेखाएँ लंबवत हैं।

$\therefore \ m_1 \times m_2=-1$

$\Rightarrow \left(\dfrac{-2}{4-h}\right) \times\left(\dfrac{7}{9}\right)=-1$

$\Rightarrow \dfrac{-14}{36-9 h}=-1$

$\Rightarrow 14=36-9 h$

$\Rightarrow 9 h=36-14$

$\Rightarrow h=\dfrac{22}{9}$

अतः, $h$ का मान $\dfrac{22}{9}$ है।

उत्तर :

रेखा $A x+B y+C=0$ या $y=\left(\dfrac{-A}{B}\right) x+\left(\dfrac{-C}{B}\right)$ की ढलान $\quad m=-\dfrac{A}{B}$ है।

ज्ञात है कि समांतर रेखाओं की ढलान समान होती है।

$\therefore \ \ $ दूसरी रेखा की ढलान $ ~ m=-\dfrac{A}{B}$ है।

बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा के लिए जिसकी ढलान $m=-\dfrac{A}{B}$ है, उसका समीकरण है:

$y-y_1=m(x-x_1)$

$y-y_1=-\dfrac{A}{B}(x-x_1)$

$B(y-y_1)=-A(x-x_1)$

$A(x-x_1)+B(y-y_1)=0$

अतः, बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली रेखा जो रेखा $A x+B y+C=0$ के समांतर है, उसका समीकरण है:

$A(x - x_1)+B(y - y_1)=0$

उत्तर :

दिया गया है कि पहली रेखा की ढलान, $m_1=2$ है।

मान लीजिए दूसरी रेखा की ढलान $m_2$ है।

दोनों रेखाओं के बीच कोण $60^{\circ}$ है।

$\therefore \ \tan 60^{\circ}=\left|\dfrac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right|$

$\Rightarrow \sqrt{3}=\left|\dfrac{2-m_2}{1+2 m_2}\right|$

$\Rightarrow \sqrt{3}= \pm\left(\dfrac{2-m_2}{1+2 m_2}\right)$

$\Rightarrow \sqrt{3}=\dfrac{2-m_2}{1+2 m_2}$ या $\sqrt{3}=-\left(\dfrac{2-m_2}{1+2 m_2}\right)$

$\Rightarrow \sqrt{3}(1+2 m_2)=2-m_2$ या $\sqrt{3}(1+2 m_2)=-(2-m_2)$

$\Rightarrow \sqrt{3}+2 \sqrt{3} m_2+m_2=2$ या $\sqrt{3}+2 \sqrt{3} m_2-m_2=-2$

$\Rightarrow \sqrt{3}+(2 \sqrt{3}+1) m_2=2$ या $\sqrt{3}+(2 \sqrt{3}-1) m_2=-2$

$\Rightarrow m_2=\dfrac{2-\sqrt{3}}{(2 \sqrt{3}+1)}$ या $m_2=\dfrac{-(2+\sqrt{3})}{(2 \sqrt{3}-1)}$

केस I: $\quad m_2=\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}+1}\right)$

बिंदु $(2,3)$ से गुजरने वाली रेखा के ढलान के $\left(\dfrac{2-\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}+1}\right)$ के साथ समीकरण है

$(y-3)=\dfrac{2-\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}+1}(x-2)$

$(2 \sqrt{3}+1) y-3(2 \sqrt{3}+1)=(2-\sqrt{3}) x-2(2-\sqrt{3})$

$(\sqrt{3}-2) x+(2 \sqrt{3}+1) y=-4+2 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}+3$

$(\sqrt{3}-2) x+(2 \sqrt{3}+1) y=-1+8 \sqrt{3}$

इस मामले में, दूसरी रेखा का समीकरण $(\sqrt{3}-2) x+(2 \sqrt{3}+1) y=-1+8 \sqrt{3}$ है।

केस II : $\quad m_2= -\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}-1}\right)$

बिंदु $(2,3)$ से गुजरने वाली रेखा के ढलान के $-\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}-1}\right)$ के साथ समीकरण है

$ \begin{aligned} & (y-3)=-\left(\dfrac{2+\sqrt{3}}{2 \sqrt{3}-1}\right)(x-2) \\ \\ & (2 \sqrt{3}-1) y-3(2 \sqrt{3}-1)=-(2+\sqrt{3}) x+2(2+\sqrt{3}) \\ \\ & (2 \sqrt{3}-1) y+(2+\sqrt{3}) x=4+2 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}-3 \\ \\ & (2+\sqrt{3}) x+(2 \sqrt{3}-1) y=1+8 \sqrt{3} \end{aligned} $

इस मामले में, दूसरी रेखा का समीकरण $(2+\sqrt{3}) x+(2 \sqrt{3}-1) y=1+8 \sqrt{3}$ है।

इसलिए, दूसरी रेखा का अभीष्ट समीकरण $(\sqrt{3}-2) x+(2 \sqrt{3}+1) y=-1+8 \sqrt{3}$

या $(2+\sqrt{3}) x+(2 \sqrt{3}-1) y=1+8 \sqrt{3}$ है।

उत्तर :

एक रेखाखंड के दाईं ओर लंब रेखा रेखाखंड को $90^{\circ}$ पर बराबर विभाजित करती है।

रेखाखंड के सिरे बिंदु $A (3,4)$ और $B(-{ } 1,2)$ दिए गए हैं।

इसलिए, $A B$ के मध्य बिंदु $ =\left(\dfrac{3-1}{2}, \dfrac{4+2}{2}\right)=(1,3) $

$A B$ की ढलान $=\left(\dfrac{2-4}{-1-3}\right)=\left(\dfrac{-2}{-4}\right)=\dfrac{1}{2}$

$\therefore \ $ $A B$ के लंब रेखा की ढलान $ =-\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{2}\right)}=-2 $

बिंदु $(1,3)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण जो ढलान $- 2$ है निम्नलिखित है

$(y - 3)= -2 (x - 1)$

$y - 3=- 2 x+2$

$2 x+y=5$

इसलिए, अभीष्ट रेखा का समीकरण $2 x+y=5$ है।

उत्तर :

मान लीजिए $(a, b)$ बिंदु $(- 1,3)$ से रेखा $3 x - 4 y - 16=0$ पर लंब के पाद के निर्देशांक हैं।

बिंदुओं $(- 1,3)$ और $(a, b)$ को जोड़ने वाली रेखा की ढलान, $m_1=\dfrac{b-3}{a+1}$

रेखा $3 x$- $4 y$- $16=0$ या $y=\dfrac{3}{4} x-4$ की ढलान, $m_2=\dfrac{3}{4}$

चूंकि ये दोनों रेखाएँ लंब हैं, $m_1 m_2= - 1$

$\therefore\left(\dfrac{b-3}{a+1}\right) \times\left(\dfrac{3}{4}\right)=-1$

$\Rightarrow \dfrac{3 b-9}{4 a+4}=-1$

$\Rightarrow 3 b-9=-4 a-4$

$\Rightarrow 4 a+3 b=5\qquad\ldots\mathrm{(1)}$

बिंदु $(a, b)$ रेखा $3 x$ - $4 y=16$ पर स्थित है।

$\therefore \ \ 3 a$ - $4 b=16\qquad\ldots\mathrm{(2)}$

समीकरण (1) और (2) को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$a=\dfrac{68}{25}$ और $b=-\dfrac{49}{25}$

इसलिए, अभीष्ट लंब के पाद के निर्देशांक $\left(\dfrac{68}{25},-\dfrac{49}{25}\right)$ हैं।

उत्तर :

दी गई रेखा का समीकरण $y=m x+c$ है।

दिया गया है कि मूल बिंदु से लंब रेखा दी गई रेखा को बिंदु $(-1,2)$ पर मिलती है।

इसलिए, बिंदुओं $(0,0)$ और $(- 1,2)$ को मिलाने वाली रेखा दी गई रेखा के लंबवत है।

$\therefore \ $ बिंदुओं $(0,0)$ और $( - 1,2)$ को मिलाने वाली रेखा की ढलान $ =\dfrac{2}{-1}=-2 $

दी गई रेखा की ढलान $m$ है।

$\therefore \ \ m \times -2=-1 \qquad $ [दोनों रेखाएँ लंबवत हैं]

$\Rightarrow m=\dfrac{1}{2}$

क्योंकि बिंदु $( - 1,2)$ दी गई रेखा पर स्थित है, इसलिए यह समीकरण $y=m x+c$ को संतुष्ट करता है।

$\therefore 2=m(-1)+c$

$\Rightarrow 2=\dfrac{1}{2}(-1)+c$

$\Rightarrow c=2+\dfrac{1}{2}=\dfrac{5}{2}$

इसलिए, $m$ और $c$ के संगत मान $\dfrac{1}{2}$ और $\dfrac{5}{2}$ हैं।

Answer :

दी गई रेखाओं के समीकरण हैं

$x \cos \theta - y \sin \theta=k \cos 2 \theta \qquad\ldots\mathrm{(1)}$

$x \sec \theta+y cosec \theta=k$.

एक रेखा $A x+B y+C=0$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ से लंबवत दूरी $(d)$ निम्नलिखित होती है

$ d=\dfrac{\big|A x_1+B y_1+C\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} \qquad \ldots {(2)} $

समीकरण $(1)$ को एक व्यापक रेखा समीकरण $A x+B y+C=0$ के रूप में तुलना करने पर, हमें $A=\cos \theta, \ B= -\sin \theta$, और $C=- k \cos 2 \theta$ प्राप्त होते हैं।

दिया गया है कि $p$ बिंदु $(0,0)$ से रेखा $(1)$ पर लंबवत दूरी है।

$\therefore \ \ p=\dfrac{\big|A(0)+B(0)+C\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\dfrac{\big|C\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\dfrac{\big|-k \cos 2 \theta\big|}{\sqrt{\cos ^{2} \theta+\sin ^{2} \theta}}=\big|-k \cos 2 \theta\big|$

समीकरण $(2)$ को एक व्यापक रेखा समीकरण $A x+B y+C=0$ के रूप में तुलना करने पर, हमें $A=\sec \theta, \ B=cosec \theta$, और $C= -k.$ प्राप्त होते हैं।

दिया गया है कि $q$ बिंदु $(0,0)$ से रेखा $(2)$ पर लंबवत दूरी है।

$\therefore \quad q=\dfrac{\big|A(0)+B(0)+C\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\dfrac{\big|C\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}=\dfrac{\big|-k\big|}{\sqrt{\sec ^{2} \theta+cosec^{2} \theta}}$

$(3)$ और $(4)$ से, हमें प्राप्त है

$ \begin{aligned} p^{2}+4 q^{2} & =(-k \cos 2 \theta)^{2}+4\left(\dfrac{\big|-k\big|}{\sqrt{\sec ^{2} \theta+cosec^{2} \theta}}\right)^{2} \\ \\ & =k^{2} \cos ^{2} 2 \theta+\dfrac{4 k^{2}}{(\sec ^{2} \theta+cosec^{2} \theta)} \\ \\ & =k^{2} \cos ^{2} 2 \theta+\dfrac{4 k^{2}}{\left(\dfrac{1}{\cos ^{2} \theta}+\dfrac{1}{\sin ^{2} \theta}\right)} \\ \\ & =k^{2} \cos ^{2} 2 \theta+\dfrac{4 k^{2}}{\left(\dfrac{\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}\right)} \\ \\ & =k^{2} \cos ^{2} 2 \theta+\dfrac{4 k^{2}}{\left(\dfrac{1}{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}\right)} \\ \\ & =k^{2} \cos ^{2} 2 \theta+4 k^{2} \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta \\ \\ & =k^{2} \cos ^{2} 2 \theta+k^{2}(2 \sin \theta \cos \theta)^{2} \\ \\ & =k^{2} \cos ^{2} 2 \theta+k^{2} \sin ^{2} 2 \theta \\ \\ & =k^{2}(\cos ^{2} 2 \theta+\sin ^{2} 2 \theta) \\ \\ & =k^{2} \end{aligned} $

इसलिए, हमने सिद्ध कर दिया कि $p^{2}+4 q^{2}=k^{2}$।

उत्तर :

मान लीजिए $AD$ त्रिभुज $ABC$ की शीर्ष $A$ से लंब है।

इसलिए, $AD \perp BC$

बिंदु $(2,3)$ से गुजरने वाली रेखा की ढलान 1 होने वाली समीकरण है

$(y - 3)=1(x -2 )$

$\Rightarrow x - y+1=0$

$\Rightarrow y - x=1$

इसलिए, शीर्ष $A$ से लंब की समीकरण

$y - x=1$

$AD$ की लंबाई = बिंदु $A(2,3)$ से रेखा $BC$ पर लंब की लंबाई है

रेखा $BC$ की समीकरण है

$(y+1)=\left(\dfrac{2+1}{1-4}\right)(x-4)$

$\Rightarrow(y+1)=-1(x-4)$

$\Rightarrow y+1=-x+4$

$\Rightarrow x+y-3=0$

एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ की लंब दूरी $(d)$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $\sqrt{A^{2}+B^{2}}$।

समीकरण $(1)$ को रेखा के सामान्य समीकरण $A x+B y+C=0$ के साथ तुलना करने पर, हमें $A=1, B=1$, और $C= - 3$ प्राप्त होता है।

$\therefore \ \ $ $A D$ की लंबाई $ =\dfrac{\big|1 \times 2+1 \times 3-3\big|}{\sqrt{1^{2}+1^{2}}} =\dfrac{\big|2\big|}{\sqrt{2}} =\dfrac{2}{\sqrt{2}} =\sqrt{2} \text{ इकाई } $

इस प्रकार, शीर्ष $A$ से लंब की समीकरण और लंबाई क्रमशः $y - x=1$ और $\sqrt{2}$ इकाई है।

उत्तर :

यह ज्ञात है कि एक रेखा के अक्षों पर अपवाह $a$ और $b$ होने पर रेखा का समीकरण $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 $ होता है।

$\text{ या } ~ b x+a y-a b=0 \qquad \ldots {(1)}$

एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $A x+B y+C=0$ की लंबवत दूरी $(d)$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$ d=\dfrac{\big|A x_1+B y_1+C\big|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}} $

समीकरण $(1)$ को रेखा के सामान्य समीकरण $A x+B y+C=0$ के साथ तुलना करने पर, हमें $A=b, \ B=a$, और $C=a -a b$ प्राप्त होता है।

इसलिए, यदि $p$ बिंदु $(x_1, y_1)=(0,0)$ से रेखा $(1)$ की लंबवत दूरी है, तो हमें प्राप्त होता है

$p=\dfrac{\big|A(0)+B(0)-a b\big|}{\sqrt{b^{2}+a^{2}}}$

$\Rightarrow p=\dfrac{\big|-a b\big|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}$

दोनों ओर वर्ग करने पर, हमें प्राप्त होता है

$p^{2}=\dfrac{(-a b)^{2}}{a^{2}+b^{2}}$

$\Rightarrow p^{2}(a^{2}+b^{2})=a^{2} b^{2}$

$\Rightarrow \dfrac{a^{2}+b^{2}}{a^{2} b^{2}}=\dfrac{1}{p^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{p^{2}}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}$

इस प्रकार, हम दिखाए हैं कि $\dfrac{1}{p^{2}}=\dfrac{1}{a^{2}}+\dfrac{1}{b^{2}}$

उत्तर :

दी गई रेखा का समीकरण $(k - 3) x - (4 - k^{2}) y+k^{2} - 7 k+6=0$ है

(a): यदि दी गई रेखा $x$-अक्ष के समानांतर है, तो

दी गई रेखा का ढलान $=$ $x$-अक्ष का ढलान

दी गई रेखा को लिखा जा सकता है $( 4 - k^{2}) y=(k -3 ) x+k^{2}- 7 k+6=0$

$y=\dfrac{(k-3)}{(4-k^{2})} x+\dfrac{k^{2}-7 k+6}{(4-k^{2})}$ , जो $y=m x+c$ के रूप में है।

$\therefore \quad $ दी गई रेखा का ढलान $=\dfrac{(k-3)}{(4-k^{2})}$

$x$-अक्ष का ढलान $=0$

$\therefore \quad \dfrac{(k-3)}{(4-k^{2})}=0$

$\Rightarrow k-3=0$

$\Rightarrow k=3$

इसलिए, यदि दी गई रेखा $x$-अक्ष के समानांतर है, तो $k$ का मान $3$ है।

(b): यदि दी गई रेखा $y$-अक्ष के समानांतर है, तो यह ऊर्ध्वाधर है। इसलिए, इसका ढलान अनिर्धारित होगा।

दी गई रेखा का ढलान $\dfrac{(k-3)}{(4-k^{2})}$ है।

अब, $\dfrac{(k-3)}{(4-k^{2})}$ तब अनिर्धारित होता है जब $k^{2}=4$

$\Rightarrow k^{2}=4$

$\Rightarrow k= \pm 2$

इसलिए, यदि दी गई रेखा $y$-अक्ष के समानांतर है, तो $k$ का मान $\pm 2$ है।

(c): यदि दी गई रेखा मूल बिंदु से गुजरती है, तो बिंदु $(0,0)$ दी गई रेखा के समीकरण को संतुष्ट करता है।

$(k-3)(0)-(4-k^{2})(0)+k^{2}-7 k+6=0$

$k^{2}-7 k+6=0$

$k^{2}-6 k-k+6=0$

$(k-6)(k-1)=0$

$k=1$ या 6

इसलिए, यदि दी गई रेखा मूल बिंदु से गुजरती है, तो $k$ का मान या तो $1$ या $6$ है।

उत्तर :

मान लीजिए दी गई रेखाओं द्वारा अक्षों पर काटे गए अंत: खंड $a$ और $b$ हैं।

दिया गया है

$a+b=1 \qquad\ldots(1)$

$a b=- 6 \qquad\ldots(2)$

समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a=3$ और $b= - 2$ या $a=-2$ और $b=3$

यह ज्ञात है कि एक रेखा का समीकरण जिसके अक्षों पर अपवाह बिंदु $a$ और $b$ हों, होता है

$\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1$ या $b x+a y-a b=0$

केस I:

$a=3$ और $b= - 2$

इस स्थिति में, रेखा का समीकरण $3 x - 2 y-6=0$, अर्थात $3 x-2 y=6$ है।

केस II:

$a= - 2$ और $b=3$

इस स्थिति में, रेखा का समीकरण $-2 x+3 y-6=0$, अर्थात $2 x - 3 y=6$ है।

इस प्रकार, आवश्यक रेखाओं के समीकरण $2 x - 3 y=6$ और $3 x-2 y=6$ हैं।

उत्तर :

मान लीजिए $(0, b)$ वह बिंदु है जो $y$-अक्ष पर स्थित है और जिसकी दूरी रेखा $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1$ से 4 इकाई है।

दी गई रेखा को $4 x+3 y- 12=0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

समीकरण (1) को रेखा के सामान्य समीकरण $A x+B y+C=0$ के साथ तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं $A=4, B=3$, और $C= -12$।

यह ज्ञात है कि बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $A x+B y+C=0$ की लम्ब दूरी $(d)$ द्वारा दी गई है

$d=\dfrac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$।

इसलिए, यदि $(0, b)$ वह बिंदु है जो $y$-अक्ष पर स्थित है और जिसकी दूरी रेखा $\dfrac{x}{3}+\dfrac{y}{4}=1$ से 4 इकाई है, तो:

$\quad 4=\dfrac{|4(0)+3(b)-12|}{\sqrt{4^{2}+3^{2}}}$

$\Rightarrow 4=\dfrac{|3 b-12|}{5}$

$\Rightarrow 20=|3 b-12|$

$\Rightarrow 20= \pm(3 b-12)$

$\Rightarrow 20=(3 b-12)$ या $20=-(3 b-12)$

$\Rightarrow 3 b=20+12$ या $3 b=-20+12$

$\Rightarrow b=\dfrac{32}{3}$ या $b=-\dfrac{8}{3}$

इस प्रकार, आवश्यक बिंदु $\left(0, \dfrac{32}{3}\right)$ और $\left(0,-\dfrac{8}{3}\right)$ हैं।

उत्तर :

बिंदुओं $(\cos \theta, \sin \theta)$ और $(\cos \phi, \sin \phi)$ को मिलाने वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित है

$$ \frac{x}{\cos \theta} + \frac{y}{\sin \theta} = 1 $$

इस रेखा के मूल बिंदु से लम्ब दूरी निम्नलिखित है:

$$ \frac{|0 \cdot \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta - 1|}{\sqrt{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1}} = 1 $$

इस प्रकार, मूल बिंदु से रेखा की लम्ब दूरी 1 इकाई है।

$ \begin{aligned} & y-\sin \theta=\left(\dfrac{\sin \phi-\sin \theta}{\cos \phi-\cos \theta}\right)(x-\cos \theta) \\ \\ & y(\cos \phi-\cos \theta)-\sin \theta(\cos \phi-\cos \theta)=x(\sin \phi-\sin \theta)-\cos \theta(\sin \phi-\sin \theta) \\ \\ & x(\sin \theta-\sin \phi)+y(\cos \phi-\cos \theta)+\cos \theta \sin \phi-\cos \theta \sin \theta-\sin \theta \cos \phi+\sin \theta \cos \theta=0 \\ \\ & x(\sin \theta-\sin \phi)+y(\cos \phi-\cos \theta)+\sin (\phi-\theta)=0 \\ \\ & A x+B y+C=0, \text{ where } A=\sin \theta-\sin \phi, B=\cos \phi-\cos \theta, \text{ and } C=\sin (\phi-\theta) \end{aligned} $

यह ज्ञात है कि एक रेखा $A x+B y+C=0$ के बिंदु $(x_1, y_1)$ से लंब दूरी $(d)$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है $d=\dfrac{|A x_1+B y_1+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$.

इसलिए, दिए गए रेखा से बिंदु $(x_1, y_1)=(0,0)$ की लंब दूरी $(d)$ है

$ \begin{aligned} d & =\dfrac{|(\sin \theta-\sin \phi)(0)+(\cos \phi-\cos \theta)(0)+\sin (\phi-\theta)|}{\sqrt{(\sin \theta-\sin \phi)^{2}+(\cos \phi-\cos \theta)^{2}}} \\ \\ & =\dfrac{|\sin (\phi-\theta)|}{\sqrt{\sin ^{2} \theta+\sin ^{2} \phi-2 \sin \theta \sin \phi+\cos ^{2} \phi+\cos ^{2} \theta-2 \cos \phi \cos \theta}} \\ \\ & =\dfrac{|\sin (\phi-\theta)|}{\sqrt{(\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta)+(\sin ^{2} \phi+\cos ^{2} \phi)-2(\sin \theta \sin \phi+\cos \theta \cos \phi)}} \\ \\ & =\dfrac{|\sin (\phi-\theta)|}{\sqrt{1+1-2(\cos (\phi-\theta))}} \\ \\ & =\dfrac{|\sin (\phi-\theta)|}{\sqrt{2(1-\cos (\phi-\theta))}} \\ \\ & =\dfrac{|\sin (\phi-\theta)|}{\sqrt{2(2 \sin ^{2}(\dfrac{\phi-\theta}{2}))}} \\ \\ & =\dfrac{|\sin (\phi-\theta)|}{|2 \sin (\dfrac{\phi-\theta}{2})|} \end{aligned} $

उत्तर :

किसी भी रेखा का समीकरण जो $y$-अक्ष के समानांतर होती है, निम्नलिखित रूप में होता है

$x=a\qquad \ldots(1)$

दी गई दो रेखाएँ हैं

x - 7y + 5 = 0 \qquad \ldots(2) 3x + y = 0 \qquad \ldots(3)

अब, दोनों रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु को ज्ञात करने के लिए समीकरण (2) और (3) को हल करें।

समीकरण (3) से $y = -3x$ लें और इसे समीकरण (2) में बदल दें:

$$ x - 7(-3x) + 5 = 0 $$

$$ x + 21x + 5 = 0 $$

$$ 22x + 5 = 0 $$

$$ x = -\dfrac{5}{22} $$

अब, $x = -\dfrac{5}{22}$ को समीकरण (3) में बदलें:

$$ y = -3\left(-\dfrac{5}{22}\right) = \dfrac{15}{22} $$

अतः, प्रतिच्छेद बिंदु है: $\left(-\dfrac{5}{22}, \dfrac{15}{22}\right)$

अब, इस बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करें जो $y$-अक्ष के समानांतर हो। रेखा का समीकरण निम्नलिखित रूप में होता है:

$$ x = a $$

इस रेखा के लिए, बिंदु $\left(-\dfrac{5}{22}, \dfrac{15}{22}\right)$ से गुजरती है, इसलिए:

$$ x = -\dfrac{5}{22} $$

अतः, अभीष्ट रेखा का समीकरण है:

$$ x = -\dfrac{5}{22} $$

$x- 7 y+5=0\qquad \ldots(2)$

$3 x+y=0\qquad \ldots(3)$

समीकरण $(2)$ और $(3)$ को हल करने पर, हमें $x=-\dfrac{5}{22}$ और $y=\dfrac{15}{22}$ प्राप्त होते हैं।

इसलिए, $\left(-\dfrac{5}{22}, \dfrac{15}{22}\right)$ रेखाओं $\left(2\right)$ और $\left(3\right)$ के प्रतिच्छेद बिंदु है।

क्योंकि रेखा $x=a$ बिंदु $\left(-\dfrac{5}{22}, \dfrac{15}{22}\right)$ से गुजरती है, इसलिए $a=-\dfrac{5}{22}$

इसलिए, अभीष्ट रेखा का समीकरण $x=-\dfrac{5}{22}$ है।

Answer :

दी गई रेखा का समीकरण $\dfrac{x}{4}+\dfrac{y}{6}=1$ है।

इस समीकरण को भी लिखा जा सकता है $3 x+2 y - 12=0$

$y=\dfrac{-3}{2} x+6$, जो $y=m x+c$ के रूप में है।

$\therefore \quad $ दी गई रेखा की प्रतिलोम ढलान $=-\dfrac{3}{2}$

$\therefore \quad $ दी गई रेखा के लंब रेखा की ढलान $ =-\dfrac{1}{\left(-\dfrac{3}{2}\right)}=\dfrac{2}{3} $

मान लीजिए दी गई रेखा $y$-अक्ष के बिंदु $\left(0, y\right)$ पर प्रतिच्छेद करती है।

दी गई रेखा के समीकरण में $x$ को 0 से बदल देने पर, हमें $\dfrac{y}{6}=1 \Rightarrow y=6$ प्राप्त होता है।

$\therefore \quad $ दी गई रेखा $y$-अक्ष के बिंदु $\left(0,6\right)$ पर प्रतिच्छेद करती है।

ढलान $\dfrac{2}{3}$ और बिंदु $\left(0,6\right)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण है

$\left(y-6\right)=\dfrac{2}{3}\left(x-0\right)$

$3 y-18=2 x$

$2 x-3 y+18=0$

इसलिए, अभीष्ट रेखा का समीकरण $2 x-3 y+18=0$ है।

Answer :

दी गई रेखाओं के समीकरण हैं

$y- x=0\qquad \ldots(1)$

$x+y=0\qquad \ldots(2)$

$x- k=0\qquad \ldots(3)$

रेखाओं $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

$x=0$ और $y=0$

रेखाओं $\left(2\right)$ और $\left(3\right)$ के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

$x=k$ और $y= -k$

बिंदुओं $\left(3\right)$ और $\left(1\right)$ के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

$x=k$ और $y=k$

इसलिए, तीन दिए गए रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज के शीर्ष $\left(0,0\right),\left(k, -k\right) $, और $\left(k, k\right)$ हैं।

हम जानते हैं कि एक त्रिभुज के शीर्ष $\left(x_1, y_1\right),\left(x_2, y_2\right)$, और $\left(x_3, y_3\right)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल है

$\dfrac{1}{2}|x_1\left(y_2-y_3\right)+x_2\left(y_3-y_1\right)+x_3\left(y_1-y_2\right)|$

इसलिए, तीन दिए गए रेखाओं द्वारा बने त्रिभुज का क्षेत्रफल

$=\dfrac{1}{2}|0\left(-k-k\right)+k\left(k-0\right)+k\left(0+k\right)|$ वर्ग इकाई

$=\dfrac{1}{2}|k^{2}+k^{2}|$ वर्ग इकाई

$=\dfrac{1}{2}|2 k^{2}|$ वर्ग इकाई

$=k^{2}$ वर्ग इकाई

Answer :

दिए गए रेखाओं के समीकरण हैं

$3 x+y-2=0\qquad \ldots(1)$

$p x+2 y-3=0\qquad \ldots(2)$

$2 x-y-3=0\qquad \ldots(3)$

समीकरण $\left(1\right)$ और $\left(3\right)$ को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$x=1$ और $y=-1$

चूंकि ये तीन रेखाएँ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद कर सकती हैं, रेखाओं $\left(1\right)$ और $\left(3\right)$ के प्रतिच्छेद बिंदु रेखा $\left(2\right)$ को भी संतुष्ट करेंगे

$p\left(1\right)+2\left(-1\right)-3=0$

$p-2-3=0$

$p=5$

इसलिए, आवश्यक $p$ का मान 5 है

Answer :

दिए गए रेखाओं के समीकरण हैं

$y=m_1 x+c_1 \qquad \ldots(1)$

$y=m_2 x+c_2 \qquad \ldots(2)$

$y=m_3 x+c_3\qquad \ldots(3)$

समीकरण $\left(1\right)$ को $\left(2\right)$ से घटाने पर, हम प्राप्त करते हैं

$0=\left(m_2-m_1\right) x+\left(c_2-c_1\right)$

$\Rightarrow\left(m_1-m_2\right) x=c_2-c_1$

$\Rightarrow x=\dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}$

उपरोक्त मान के $x$ को समीकरण $\left(1\right)$ में बदल देने पर हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & y=m_1\left(\dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}\right)+c_1 \\ \\ & y=\dfrac{m_1 c_2-m_1 c_1}{m_1-m_2}+c_1 \\ \\ & y=\dfrac{m_1 c_2-m_1 c_1+m_1 c_1-m_2 c_1}{m_1-m_2} \\ \\ & y=\dfrac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2} \end{aligned} $

$ \therefore \quad \left(\dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}, \dfrac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2}\right) \text{ रेखाओं (1) और (2) के प्रतिच्छेद बिंदु है। } $

दिया गया है कि रेखाएँ $\left(1\right), \left(2\right),$ और $\left(3\right)$ संगत हैं। अतः, रेखाओं $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ के प्रतिच्छेद बिंदु समीकरण $\left(3\right)$ को भी संतुष्ट करेगा।

$ \begin{aligned} & \dfrac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2}=m_3\left(\dfrac{c_2-c_1}{m_1-m_2}\right)+c_3 \\ \\ & \dfrac{m_1 c_2-m_2 c_1}{m_1-m_2}=\dfrac{m_3 c_2-m_3 c_1+c_3 m_1-c_3 m_2}{m_1-m_2} \\ \\ & m_1 c_2-m_2 c_1-m_3 c_2+m_3 c_1-c_3 m_1+c_3 m_2=0 \\ \\ & m_1\left(c_2-c_3\right)+m_2\left(c_3-c_1\right)+m_3\left(c_1-c_2\right)=0 \\ \\ & \text{ अतः, } m_1\left(c_2-c_3\right)+m_2\left(c_3-c_1\right)+m_3\left(c_1-c_2\right)=0 \end{aligned} $

Answer :

अभीष्ट रेखा की ढलान $m_1$ हो।

दी गई रेखा को $y=\dfrac{1}{2} x-\dfrac{3}{2}$ लिखा जा सकता है, जो $y=m x+c$ के रूप में है।

$\therefore \quad $ दी गई रेखा की ढलान $=m_2=\dfrac{1}{2}$

दिया गया है कि अभीष्ट रेखा और रेखा $x - 2 y=3$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।

हम जानते हैं कि यदि $\theta$ रेखाओं $I_1$ और $I_2$ के बीच न्यून कोण हो जिनकी ढलान क्रमशः $m_1$ और $m_2$ हो, तो

$\tan \theta=\left|\dfrac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\right|$

$\therefore \quad \tan 45^{\circ}=\dfrac{\big|m_1-m_2\big|}{1+m_1 m_2}$

$\Rightarrow 1=\left|\dfrac{\dfrac{1}{2}-m_1}{1+\dfrac{m_1}{2}}\right|\Rightarrow 1 =\left|\dfrac{\left(\dfrac{1-2 m_1}{2}\right)}{\dfrac{2+m_1}{2}}\right|$

$\Rightarrow 1 =\left|\dfrac{1-2 m_1}{2+m_1}\right|\Rightarrow 1 = \pm\left(\dfrac{1-2 m_1}{2+m_1}\right)$

$\Rightarrow 1 =\dfrac{1-2 m_1}{2+m_1}$ or $1=-\left(\dfrac{1-2 m_1}{2+m_1}\right)$

$\Rightarrow 2+m_1=1-2 m_1$ or $2+m_1=-1+2 m_1$

$\Rightarrow m_1=-\dfrac{1}{3}$ or $m_1=3$

केस I:

$m_1=3$

उस रेखा का समीकरण जो बिंदु $\left(3,2\right)$ से गुजरती है और ढलान $3$ के साथ होती है:

$y - 2 = 3\left(x - 3 \right)$

$y - 2=3 x - 9$

$3 x -y=7$

केस II:

$m_1=-\dfrac{1}{3}$

उस रेखा का समीकरण जो बिंदु $\left(3,2\right)$ से गुजरती है और ढलान $-\dfrac{1}{3}$ के साथ होती है:

$y-2=-\dfrac{1}{3}\left(x-3\right)$

$3 y-6=-x+3$

$x+3 y=9$

इस प्रकार, रेखाओं के समीकरण $3 x - y=7$ और $x+3 y=9$ हैं

उत्तर :

मान लीजिए अक्षों पर समान प्रतिच्छेद बिंदु बनाने वाली रेखा का समीकरण $\dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{a}=1$ है

या $ ~ x+y=a\qquad \ldots(1)$

समीकरण $4 x+7 y - 3=0$ और $2 x - 3 y+1=0$ को हल करने पर, हमें $x=\dfrac{1}{13}$ और $y=\dfrac{5}{13}$ प्राप्त होता है

$\therefore \quad \left(\dfrac{1}{13}, \dfrac{5}{13}\right)$ दो दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेद बिंदु है।

क्योंकि समीकरण $\left(1\right)$ बिंदु $\left(\dfrac{1}{13}, \dfrac{5}{13}\right)$ से गुजरता है, $\dfrac{1}{13}+\dfrac{5}{13}=a$

$\Rightarrow a=\dfrac{6}{13}$

$\therefore \quad $ समीकरण $\left(1\right)$ बन जाता है

$ x+y=\dfrac{6}{13} \text{, अर्थात } 13 x+13 y=6 $

इस प्रकार, अभीष्ट रेखा का समीकरण $13 x+13 y=6$ है

उत्तर :

मान लीजिए मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y=m_1 x$ है।

यदि यह रेखा रेखा $y=m x+c$ के साथ कोण $\theta$ बनाती है, तो कोण $\theta$ द्वारा दिया जाता है

$\therefore \quad \tan \theta=\bigg|\dfrac{m_1-m}{1+m_1 m}\bigg|$

$\Rightarrow\quad \tan \theta=\left|\dfrac{\dfrac{y}{x}-m}{1+\dfrac{y}{x} m}\right|$

$\Rightarrow\quad \tan \theta= \pm\left(\dfrac{\dfrac{y}{x}-m}{1+\dfrac{y}{x} m}\right)$

$\Rightarrow\quad \tan \theta=\left(\dfrac{\dfrac{y}{x}-m}{1+\dfrac{y}{x} m}\right) \ $ or $ \ \tan \theta=-\left(\dfrac{\dfrac{y}{x}-m}{1+\dfrac{y}{x} m}\right)$

केस I:

$ \tan \theta=\left(\dfrac{\dfrac{y}{x}-m}{1+\dfrac{y}{x} m}\right)$

$ \tan \theta=\left(\dfrac{\dfrac{y}{x}-m}{1+\dfrac{y}{x} m}\right) $

$\Rightarrow \quad \left(1+\dfrac{y}{x} m\right) \tan \theta=\dfrac{y}{x}-m$

$\Rightarrow \quad\tan \theta + \dfrac{y}{x} \ m \ \tan \theta=\dfrac{y}{x}-m$

$\Rightarrow\quad m+\tan \theta=\dfrac{y}{x}\left(1-m \tan \theta\right)$

$\Rightarrow\quad \dfrac{y}{x}=\dfrac{m+\tan \theta}{1-m \tan \theta}$

केस II:

$ \tan \theta=-\left(\dfrac{\dfrac{y}{x}-m}{1+\dfrac{y}{x} m}\right) $

$\tan \theta=-\left(\dfrac{\dfrac{y}{x}-m}{1+\dfrac{y}{x} m}\right)$

$\Rightarrow\quad \tan \theta+\dfrac{y}{x} m \tan \theta=-\dfrac{y}{x}+m$

$\Rightarrow\quad \dfrac{y}{x}\left(1+m \tan \theta\right)=m-\tan \theta$

$\Rightarrow\quad \dfrac{y}{x}=\dfrac{m-\tan \theta}{1+m \tan \theta}$

इसलिए, आवश्यक रेखा के समीकरण है $\dfrac{y}{x}=\dfrac{m \pm \tan \theta}{1 \mp m \tan \theta}$

उत्तर :

बिंदुओं $\left( -1,1\right)$ और $\left(5,7\right)$ को जोड़ने वाली रेखा का समीकरण निम्नलिखित है

$y-1=\left(\dfrac{7-1}{5+1}\right)\left(x+1\right)$

$y-1=\left(\dfrac{6}{6}\right)\left(x+1\right)$

$x-y+2=0\qquad \ldots(1)$

दी गई रेखा का समीकरण है

$x +y -4 =0\qquad \ldots(2)$

रेखाओं $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ के प्रतिच्छेद बिंदु के निर्देशांक निम्नलिखित हैं

$x=1$ और $y=3$

मान लीजिए बिंदु $\left(1,3\right)$ बिंदुओं $\left(- 1,1\right)$ और $\left(5,7\right)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को अनुपात $1: k$ में विभाजित करता है।

अतः, अनुपात के अनुसार,

$\left(1,3\right)=\left(\dfrac{k\left(-1\right)+1\left(5\right)}{1+k}, \dfrac{k\left(1\right)+1\left(7\right)}{1+k}\right)$

$\Rightarrow\left(1,3\right)=\left(\dfrac{-k+5}{1+k}, \dfrac{k+7}{1+k}\right)$

$\Rightarrow \dfrac{-k+5}{1+k}=1, \dfrac{k+7}{1+k}=3$

$\therefore \quad \dfrac{-k+5}{1+k}=1$

$\Rightarrow-k+5=1+k$

$\Rightarrow 2 k=4$

$\Rightarrow k=2$

अतः, बिंदुओं $\left( -1,1\right)$ और $\left(5,7\right)$ को जोड़ने वाली रेखा रेखा $x+y=4$ द्वारा $1: 2$ के अनुपात में विभाजित होती है।

Answer :

दी गई रेखाएँ हैं

$2 x - y=0\qquad \ldots(1)$

$4 x+7 y+5=0\qquad \ldots(2)$

$A \left(1,2\right)$ रेखा $\left(1\right)$ पर एक बिंदु है

मान लीजिए $B$ रेखाओं $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ के प्रतिच्छेद बिंदु है

समीकरण $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं,

$ x=\dfrac{-5}{18} \text{ और } y=\dfrac{-5}{9} $

$\therefore \quad $ बिंदु $B$ के निर्देशांक $\left(\dfrac{-5}{18}, \dfrac{-5}{9}\right)$ हैं

दूरी सूत्र का उपयोग करके बिंदुओं $A$ और $B$ के बीच की दूरी निम्नलिखित रूप में प्राप्त की जा सकती है

$AB=\sqrt{\left(1+\dfrac{5}{18}\right)^{2}+\left(2+\dfrac{5}{9}\right)^{2}}$ इकाई

$\qquad=\sqrt{\left(\dfrac{23}{18}\right)^{2}+\left(\dfrac{23}{9}\right)^{2}}$ इकाई

$\qquad=\sqrt{\left(\dfrac{23}{2 \times 9}\right)^{2}+\left(\dfrac{23}{9}\right)^{2}}$ इकाई

$\qquad=\sqrt{\left(\dfrac{23}{9}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}+\left(\dfrac{23}{9}\right)^{2}}$ इकाई

$\qquad=\sqrt{\left(\dfrac{23}{9}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{4}+1\right)}$ इकाई $=\dfrac{23}{9} \sqrt{\dfrac{5}{4}}$ इकाई

$\qquad=\dfrac{23}{9} \times \dfrac{\sqrt{5}}{2}$ इकाई $=\dfrac{23 \sqrt{5}}{18}$ इकाई

इसलिए, आवश्यक दूरी है $\dfrac{23 \sqrt{5}}{18}$ इकाई

उत्तर :

मान लीजिए $y=m x+c$ बिंदु $\left(- 1,2\right)$ से गुजरने वाली रेखा है

इसलिए, $2=m\left(- 1\right)+c$.

$\Rightarrow 2=- m+c$

$\Rightarrow c=m+2$

$\therefore \quad y=m x+m+2\qquad \ldots(1)$

दी गई रेखा है $ ~ x+y=4\qquad \ldots(2)$

समीकरण $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ को हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & x=\dfrac{2-m}{m+1} \text{ और } y=\dfrac{5 m+2}{m+1} \\ \\ & \therefore \quad \left(\dfrac{2-m}{m+1}, \dfrac{5 m+2}{m+1}\right) \text{ रेखाओं (1) और (2) के प्रतिच्छेद बिंदु है। } \end{aligned} $

क्योंकि यह बिंदु बिंदु $\left(- 1,2 \right)$ से 3 इकाई की दूरी पर है, दूरी सूत्र के अनुसार,

$ \begin{aligned} & \sqrt{\left(\dfrac{2-m}{m+1}+1\right)^{2}+\left(\dfrac{5 m+2}{m+1}-2\right)^{2}}=3 \\ \\ \Rightarrow & \left(\dfrac{2-m+m+1}{m+1}\right)^{2}+\left(\dfrac{5 m+2-2 m-2}{m+1}\right)^{2}=3^{2} \\ \\ \Rightarrow & \dfrac{9}{\left(m+1\right)^{2}}+\dfrac{9 m^{2}}{\left(m+1\right)^{2}}=9 \\ \\ \Rightarrow & \dfrac{1+m^{2}}{\left(m+1\right)^{2}}=1 \\ \\ \Rightarrow & 1+m^{2}=m^{2}+1+2 m \\ \\ \Rightarrow & 2 m=0 \\ \\ \Rightarrow & m=0 \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक रेखा की ढलान शून्य होनी चाहिए, अर्थात रेखा x-अक्ष के समानांतर होनी चाहिए।

उत्तर :

मान लीजिए $A\left(1,3\right)$ और $B\left(-4,1\right)$ कर्ण के सिरों के निर्देशांक हैं।

अब, बिंदुओं $A\left(1,3\right)$ और $B\left(-4,1\right)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को निर्देशांक तल पर खींचने पर, हमें दो समकोण त्रिभुज मिलते हैं जिनका कर्ण $AB$ है। अब आरेख से स्पष्ट है कि समकोण त्रिभुज के अन्य दो भुजाओं के प्रतिच्छेद बिंदु $P$ या $Q$ हो सकते हैं।

केस 1: जब ∠APB लिया जाता है।

∠APB में लम्ब भुजाएँ AP और PB हैं।

अब, भुजा PB, x-अक्ष के समानांतर है और x-अक्ष से 1 इकाई की दूरी पर है।

इसलिए, PB का समीकरण, y=1 या y-1=0 है।

भुजा AP, y-अक्ष के समानांतर है और y-अक्ष के दाहिने ओर 1 इकाई की दूरी पर है।

इसलिए, AP का समीकरण x=1 या x-1=0 है।

केस 2: जब ∠AQB लिया जाता है।

∠AQB में लम्ब भुजाएँ AQ और QB हैं।

अब, भुजा AQ, x-अक्ष के समानांतर है और x-अक्ष से 3 इकाई की दूरी पर है।

इसलिए, AQ का समीकरण, y=3 या y-3=0 है।

भुजा QB, y-अक्ष के समानांतर है और y-अक्ष के बाईं ओर 4 इकाई की दूरी पर है।

इसलिए, QB का समीकरण x=-4 या x+4=0 है।

इसलिए, भुजाओं के समीकरण हैं:

x=1, y=1 या x=-4, y=3

उत्तर :

दी गई रेखा का समीकरण है

x + 3y = 7 …(1)

मान लीजिए बिंदु B(a, b), बिंदु A(3,8) का प्रतिबिम्ब है।

इसलिए, रेखा (1) AB के लंब समद्विभाजक है।

AB की ढलान = (b-8)/(a-3), जबकि रेखा (1) की ढलान = -1/3

क्योंकि रेखा (1) AB के लंबवत है, (b-8)/(a-3) × (-1/3) = -1

⇒ (b-8)/(3a-9) = 1

⇒ b-8 = 3a-9

⇒ 3a - b = 1 …(2)

AB का मध्य बिंदु = ((a+3)/2, (b+8)/2)

में रेखा $A B$ के मध्य बिंदु रेखा $\left(1\right)$ को भी संतुष्ट करेगा।

इसलिए, समीकरण $\left(1\right)$ से हमें प्राप्त होता है

$\left(\dfrac{a+3}{2}\right)+3\left(\dfrac{b+8}{2}\right)=7$

$\Rightarrow a+3+3 b+24=14$

$\Rightarrow a+3 b=-13\qquad \ldots(3)$

समीकरण $\left(2\right)$ और $\left(3\right)$ को हल करने पर हमें $a=$ $- 1$ और $b=$ $-4$ प्राप्त होते हैं।

इसलिए, दी गई रेखा के संबंध में दिए गए बिंदु के प्रतिबिम्ब के निर्देशांक $\left(-1, -4\right)$ हैं।

Answer :

दी गई रेखाओं के समीकरण हैं

$y=3 x+1 \qquad \ldots(1)$

$2 y=x+3\qquad \ldots(2)$

$y=m x+4 \qquad \ldots(3)$

रेखा $\left(1\right)$ का ढलान, $m_1=3$

रेखा $\left(2\right)$ का ढलान, $m_2=\dfrac{1}{2}$

रेखा $\left(3\right)$ का ढलान, $m_3=m$

दिया गया है कि रेखाएँ $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ रेखा $\left(3\right)$ के समान कोण पर झुकी हुई हैं। इसका अर्थ है कि रेखा $\left(1\right)$ और $\left(3\right)$ के बीच का कोण रेखा $\left(2\right)$ और $\left(3\right)$ के बीच के कोण के बराबर है।

$\therefore \quad \ \ \bigg|\dfrac{m_1-m_3}{1+m_1 m_3}\bigg|=\bigg|\dfrac{m_2-m_3}{1+m_2 m_3}\bigg|$

$\Rightarrow\bigg|\dfrac{3-m}{1+3 m}\bigg|=\bigg|\dfrac{\dfrac{1}{2}-m}{1+\dfrac{1}{2} m}\bigg|$

$\Rightarrow\bigg|\dfrac{3-m}{1+3 m}\bigg|=\bigg|\dfrac{1-2 m}{m+2}\bigg|$

$\Rightarrow \dfrac{3-m}{1+3 m}= \pm\left(\dfrac{1-2 m}{m+2}\right)$

$\Rightarrow \dfrac{3-m}{1+3 m}=\dfrac{1-2 m}{m+2}$ या $\dfrac{3-m}{1+3 m}=-\left(\dfrac{1-2 m}{m+2}\right)$

यदि $ ~ \dfrac{3-m}{1+3 m}=\dfrac{1-2 m}{m+2}$, तो

$\left(3-m\right)\left(m+2\right)=\left(1-2 m\right)\left(1+3 m\right)$

$\Rightarrow-m^{2}+m+6=1+m-6 m^{2}$

$\Rightarrow 5 m^{2}+5=0$

$\Rightarrow\left(m^{2}+1\right)=0$

$\Rightarrow m=\sqrt{-1}$, जो वास्तविक नहीं है

इसलिए, यह स्थिति संभव नहीं है।

यदि $\dfrac{3-m}{1+3 m}=-\left(\dfrac{1-2 m}{m+2}\right)$, तो

$\Rightarrow\left(3-m\right)\left(m+2\right)=-\left(1-2 m\right)\left(1+3 m\right)$

$\Rightarrow-m^{2}+m+6=-\left(1+m-6 m^{2}\right)$

$\Rightarrow 7 m^{2}-2 m-7=0$

$\Rightarrow m=\dfrac{2 \pm \sqrt{4-4\left(7\right)\left(-7\right)}}{2\left(7\right)}$

$\Rightarrow m=\dfrac{2 \pm 2 \sqrt{1+49}}{14}$

$\Rightarrow m=\dfrac{1 \pm 5 \sqrt{2}}{7}$

इसलिए, $m$ का अभीष्ट मान $\dfrac{1 \pm 5 \sqrt{2}}{7}$ है।

उत्तर :

दी गई रेखाओं के समीकरण हैं

$x+y - 5=0\qquad \ldots(1)$

$3 x- 2 y+7=0\qquad \ldots(2)$

बिंदु $P\left(x, y\right)$ के रेखाओं $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ से लंब दूरियाँ निम्नलिखित द्वारा दी गई हैं

$ d_1=\dfrac{|x+y-5|}{\sqrt{\left(1\right)^{2}+\left(1\right)^{2}}} \text{ और } d_2=\dfrac{|3 x-2 y+7|}{\sqrt{\left(3\right)^{2}+\left(-2\right)^{2}}} $

अर्थात, $d_1=\dfrac{|x+y-5|}{\sqrt{2}}$ और $d_2=\dfrac{|3 x-2 y+7|}{\sqrt{13}}$

दिया गया है कि $d_1+d_2=10$

$\therefore \quad \dfrac{|x+y-5|}{\sqrt{2}}+\dfrac{|3 x-2 y+7|}{\sqrt{13}}=10$

$\Rightarrow \sqrt{13}|x+y-5|+\sqrt{2}|3 x-2 y+7|-10 \sqrt{26}=0$

$\Rightarrow \sqrt{13}\left(x+y-5\right)+\sqrt{2}\left(3 x-2 y+7\right)-10 \sqrt{26}=0$

$\big[$ मान लीजिए $\left(x+y-5\right)$ और $\left(3 x-2 y+7\right)$ धनात्मक हैं $\big]$

$\Rightarrow \sqrt{13} x+\sqrt{13} y-5 \sqrt{13}+3 \sqrt{2} x-2 \sqrt{2} y+7 \sqrt{2}-10 \sqrt{26}=0$

$\Rightarrow x\left(\sqrt{13}+3 \sqrt{2}\right)+y\left(\sqrt{13}-2 \sqrt{2}\right)+\left(7 \sqrt{2}-5 \sqrt{13}-10 \sqrt{26}\right)=0$

जो कि एक रेखा का समीकरण है।

इसी तरह, हम किसी भी चिन्ह के लिए $\left(x+y-5=0\right)$ और $\left(3 x-2 y+7=0\right)$ के लिए रेखा का समीकरण प्राप्त कर सकते हैं

इसलिए, बिंदु $P$ एक रेखा पर गति करता है।

उत्तर :

दिए गए रेखाओं के समीकरण हैं

$9 x+6 y - 7=0\qquad \ldots(1)$

$3 x+2 y+6=0\qquad \ldots(2)$

मान लीजिए $P\left(h, k\right)$ वह अस्थायी बिंदु है जो रेखाओं $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ से समान दूरी पर है। $P\left(h, k\right)$ की रेखा $\left(1\right)$ से लंब दूरी निम्नलिखित है

$ d_1=\dfrac{|9 h+6 k-7|}{\left(9\right)^{2}+\left(6\right)^{2}}=\dfrac{|9 h+6 k-7|}{\sqrt{117}}=\dfrac{|9 h+6 k-7|}{3 \sqrt{13}} $

$P\left(h, k\right)$ की रेखा $\left(2\right)$ से लंब दूरी निम्नलिखित है

$ d_2=\dfrac{|3 h+2 k+6|}{\sqrt{\left(3\right)^{2}+\left(2\right)^ {2}}}=\dfrac{|3 h+2 k+6|}{\sqrt{13}} $

क्योंकि $P\left(h, k\right)$ रेखाओं $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ से समान दूरी पर है, $d_1=d_2$

$ \begin{aligned} & \therefore \quad \dfrac{|9 h+6 k-7|}{3 \sqrt{13}}=\dfrac{|3 h+2 k+6|}{\sqrt{13}} \\ \\ & \Rightarrow |9 h+6 k-7|=3| 3 h+2 k+6 \mid \\ \\ & \Rightarrow (9 h+6 k-7 )= \pm 3\left(3 h+2 k+6\right) \\ \\ & \Rightarrow 9 h+6 k-7=3\left(3 h+2 k+6\right) \text{ or } 9 h+6 k-7=-3\left(3 h+2 k+6\right) \end{aligned} $

स्थिति $ \ \ 9 h+6 k-7=3\left(3 h+2 k+6\right)$ संभव नहीं है क्योंकि

$9 h+6 k-7=3\left(3 h+2 k+6\right) $

$\Rightarrow-7=18$ (जो असंभव है)

$\therefore \quad h+6 k-7=-3\left(3 h+2 k+6\right)$

$9h + 6k -7 = -9h-6k-18$

$\Rightarrow 18 h+12 k+11=0$

इसलिए, आवश्यक रेखा का समीकरण $18 x+12 y+11=0$ है

Answer :

मान लीजिए बिंदु $A$ के निर्देशांक $\left(a, 0\right)$ हैं

एक रेखा $\left(AL\right)$ खींचिए जो $x$-अक्ष के लंबवत हो।

हम जानते हैं कि प्रतिविम्बन कोण आपतित कोण के बराबर होता है।

इसलिए, बराबर करें $ \ \ \angle BAL=\angle CAL=\varnothing$

मान लें $ \ \ \angle CAX=\theta$

$ \ \therefore \quad \angle OAB=180^{\circ} - \left(\theta+2 \varnothing\right)=180^{\circ} - [\theta+2\left(90^{\circ} - \theta\right)]$

$ \begin{aligned} \therefore \quad \angle OAB & =180^{\circ} - \left(\theta+2 \varnothing\right)=180^{\circ} - \big[\theta+2\left(90^{\circ} - \theta\right)\big] \\ \\ & =180^{\circ} - \theta - 180^{\circ}+2 \theta \\ \\ & =\theta \end{aligned} $

$ \therefore \quad \angle B A X=180^{\circ} - \theta$

अब, रेखा $AC$ की प्रतिशत दर $=\dfrac{3-0}{5-a}$

$\Rightarrow \tan \theta=\dfrac{3}{5-a}\qquad \ldots(1)$

रेखा $AB$ की प्रतिशत दर $=\dfrac{2-0}{1-a}$

$\Rightarrow \tan \left(180^{\circ}-\theta\right)=\dfrac{2}{1-a}$

$\Rightarrow-\tan \theta=\dfrac{2}{1-a}$

$\Rightarrow \tan \theta=\dfrac{2}{a-1}\qquad \ldots(2)$

समीकरण $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ से, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & \dfrac{3}{5-a}=\dfrac{2}{a-1} \\ \\ & \Rightarrow 3 a-3=10-2 a \\ \\ & \Rightarrow a=\dfrac{13}{5} \end{aligned} $

इसलिए, बिंदु $A$ के निर्देशांक $\left(\dfrac{13}{5}, 0\right)$ हैं

उत्तर :

दी गई रेखा का समीकरण है

$\dfrac{x}{a} \cos \theta+\dfrac{y}{b} \sin \theta=1$

या, $b x \cos \theta+a y \sin \theta-a b=0\qquad \ldots(1)$

बिंदु $\left(\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\right)$ से रेखा $\left(1\right)$ पर खींचे गए लम्ब की लंबाई है

$p_1=\dfrac{|b \cos \theta\left(\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)+a \sin \theta\left(0\right)-a b|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}=\dfrac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}-a b|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}\qquad \ldots(2)$

बिंदु $\left(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}, 0\right)$ से रेखा $\left(2\right)$ पर खींचे गए लम्ब की लंबाई है

$p_2=\dfrac{|b \cos \theta\left(-\sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)+a \sin \theta\left(0\right)-a b|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}=\dfrac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}+a b|}{\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}}\qquad \ldots(3)$

समीकरण $\left(2\right)$ और $\left(3\right)$ को गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} p_1 p_2 & =\dfrac{|b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}-a b|\left(b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}+a b\right) \mid}{\left(\sqrt{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta}\right)^{2}} \\ \\ & =\dfrac{|\left(b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}-a b\right)\left(b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}+a b\right)|}{\left(b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta\right)} \\ \\ & =\dfrac{|\left(b \cos \theta \sqrt{a^{2}-b^{2}}\right)^{2}-\left(a b\right)^{2}|}{\left(b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta\right)} \\ \\ & =\dfrac{|b^{2} \cos ^{2} \theta\left(a^{2}-b^{2}\right)-a^{2} b^{2}|}{\left(b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta\right)} \\ \\ & =\dfrac{|a^{2} b^{2} \cos ^{2} \theta-b^{4} \cos ^{2} \theta-a^{2} b^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} \\ \\ & =\dfrac{b^{2}|a^{2} \cos ^{2} \theta-b^{2} \cos ^{2} \theta-a^{2}|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} \\ \\ & =\dfrac{b^{2}|a^{2} \cos ^{2} \theta-b^{2} \cos ^{2} \theta-a^{2} \sin ^{2} \theta-a^{2} \cos ^{2} \theta|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} \qquad\big[\because\sin ^{2} \theta+\cos ^{2} \theta=1\big] \\ \\ & =\dfrac{b^{2}|-\left(b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta\right)|}{b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta} \\ \\ & =\dfrac{b^{2}\left(b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta\right)}{\left(b^{2} \cos ^{2} \theta+a^{2} \sin ^{2} \theta\right)} \\ \\ & =b^{2} \end{aligned} $

इसलिए, सिद्ध किया गया।

}

उत्तर :

दिए गए रेखाओं के समीकरण हैं

$2 x- 3 y+4=0\qquad \ldots(1)$

$3 x+4 y- 5=0\qquad \ldots(2)$

$6 x- 7 y+8=0\qquad \ldots(3)$

व्यक्ति रेखाओं $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ द्वारा प्रतिनिधित्व किए गए मार्गों के संगम पर खड़ा है।

समीकरण $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ को हल करने पर हम प्राप्त करते हैं

$ x=-\dfrac{1}{17} \text{ और } y=\dfrac{22}{17} $

इस प्रकार, व्यक्ति बिंदु $\left(-\dfrac{1}{17}, \dfrac{22}{17}\right)$ पर खड़ा है

व्यक्ति बिंदु $\left(-\dfrac{1}{17}, \dfrac{22}{17}\right)$ से रेखा $\left(3\right)$ के लम्बवत रेखा के अनुदिश चलने पर रेखा $\left(3\right)$ तक सबसे कम समय में पहुँच सकता है

रेखा $\left(3\right)$ की प्रतिलोम ढलान $-\dfrac{7}{6}$ है

$\therefore \quad $ रेखा $\left(3\right)$ के लम्बवत रेखा की ढलान $ =-\dfrac{1}{\left(\dfrac{6}{7}\right)}=-\dfrac{7}{6} $

बिंदु $\left(-\dfrac{1}{17}, \dfrac{22}{17}\right)$ से गुजरने वाली रेखा जिसकी ढलान $-\dfrac{7}{6}$ है, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$ \begin{aligned} & \left(y-\dfrac{22}{17}\right)=-\dfrac{7}{6}\left(x+\dfrac{1}{17}\right) \\ \\ & 6\left(17 y-22\right)=-7\left(17 x+1\right) \\ \\ & 102 y-132=-119 x-7 \\ \\ & 119 x+102 y=125 \end{aligned} $

इस प्रकार, व्यक्ति के अनुसरण करने वाला मार्ग $119 x+102 y=125$ है