उत्तर :

$a_n=n(n+2)$

$ n=1,2,3,4 $ और $5$ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$a_1=1(1+2)=3$

$a_2=2(2+2)=8$

$a_3=3(3+2)=15$

$a_4=4(4+2)=24$

$a_5=5(5+2)=35$

इसलिए, आवश्यक पद $3,8,15,24,$ और $35$ हैं।

उत्तर :

$a_n=\dfrac{n}{n+1}$

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$ a_1=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}, \ \ a_2=\dfrac{2}{2+1}=\dfrac{2}{3}, \ \ a_3=\dfrac{3}{3+1}=\dfrac{3}{4}, \ \ a_4=\dfrac{4}{4+1}=\dfrac{4}{5}, \ \ a_5=\dfrac{5}{5+1}=\dfrac{5}{6}$

इसलिए, आवश्यक पद $\dfrac{1}{2}, \dfrac{2}{3}, \dfrac{3}{4}, \dfrac{4}{5}$, और $\dfrac{5}{6}$ हैं।

उत्तर :

$a_n=2^{n}$

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$a_1=2^{1}=2$

$a_2=2^{2}=4$

$a_3=2^{3}=8$

$a_4=2^{4}=16$

$a_5=2^{5}=32$

इसलिए, आवश्यक पद $2, 4, 8, 16,$ और $32$ हैं।

उत्तर :

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$a_1=\dfrac{2 \times 1-3}{6}=\dfrac{-1}{6}$

$a_2=\dfrac{2 \times 2-3}{6}=\dfrac{1}{6}$

$a_3=\dfrac{2 \times 3-3}{6}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

$a_4=\dfrac{2 \times 4-3}{6}=\dfrac{5}{6}$

$a_5=\dfrac{2 \times 5-3}{6}=\dfrac{7}{6}$

इसलिए, आवश्यक पद $\dfrac{-1}{6}, \dfrac{1}{6}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{5}{6}$, और $\dfrac{7}{6}$ हैं।

उत्तर :

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

$a_1=(-1)^{1-1} 5^{1+1}=5^{2}=25$

$a_2=(-1)^{2-1} 5^{2+1}=-5^{3}=-125$

$a_3=(-1)^{3-1} 5^{3+1}=5^{4}=625$

$a_4=(-1)^{4-1} 5^{4+1}=-5^{5}=-3125$

$a^{5}=(-1)^{5-1} 5^{5+1}=5^{6}=15625$

इसलिए, आवश्यक पद $25, -125, 625, -3125,$ और $15625$ हैं।

Answer :

$ n=1,2,3,4,5 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & a_1=1 \cdot \dfrac{1^{2}+5}{4}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2} \\ \\ & a_2=2 \cdot \dfrac{2^{2}+5}{4}=2 \cdot \dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{2} \\ \\ & a_3=3 \cdot \dfrac{3^{2}+5}{4}=3 \cdot \dfrac{14}{4}=\dfrac{21}{2} \\ \\ & a_4=4 \cdot \dfrac{4^{2}+5}{4}=21 \\ \\ & a_5=5 \cdot \dfrac{5^{2}+5}{4}=5 \cdot \dfrac{30}{4}=\dfrac{75}{2} \end{aligned} $

इसलिए, आवश्यक पद $ \dfrac{3}{2}, \dfrac{9}{2}, \dfrac{21}{2}, 21 $, और $ \dfrac{75}{2} $ हैं।

Answer :

$ n=17 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a _{17}=4(17)-3=68-3=65$

$ n=24 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a _{24}=4(24)-3=96-3=93$

Answer :

$ n=7 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a_7=\dfrac{7^{2}}{2^7}=\dfrac{49}{128}$

Answer :

$ n=9 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a_9=(-1)^{9-1}(9)^{3}=(9)^{3}=729$

Answer :

$ n=20 $ के लिए प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$a _{20}=\dfrac{20(20-2)}{20+3}=\dfrac{20(18)}{23}=\dfrac{360}{23}$

Answer :

$a_1=3, a_n=3 a _{n-1}+2$ सभी $n>1$ के लिए

$ a_2=3 a_1+2=3(3)+2=11$

$a_3=3 a_2+2=3(11)+2=35$

$a_4=3 a_3+2=3(35)+2=107$

$a_5=3 a_4+2=3(107)+2=323$

अतः, अनुक्रम के पहले पांच पद $3,11,35,107$, और $323$ हैं।

संगत श्रेणी $3+11+35+107+323+\ldots$ है।

Answer :

$a_1=-1, a_n=\dfrac{a _{n-1}}{n}, n \geq 2$

$a_2=\dfrac{a_1}{2}=\dfrac{-1}{2}$

$a_3=\dfrac{a_2}{3}=\dfrac{-1}{6}$

$a_4=\dfrac{a_3}{4}=\dfrac{-1}{24}$

$a_5=\dfrac{a_4}{4}=\dfrac{-1}{120}$

अतः, अनुक्रम के पहले पांच पद $-1, \dfrac{-1}{2}, \dfrac{-1}{6}, \dfrac{-1}{24} \text{, और } \dfrac{-1}{120}$ हैं

संगत श्रेणी $\left(-1\right)+\left(\dfrac{-1}{2}\right)+\left(\dfrac{-1}{6}\right)+\left(\dfrac{-1}{24}\right)+\left(\dfrac{-1}{120}\right)+\ldots$ है।

Answer :

$a_1=a_2=2, a_n=a _{n-1}-1, n>2$

$ a_3=a_2-1=2-1=1$

$a_4=a_3-1=1-1=0$

$a_5=a_4-1=0-1=-1$

अतः, अनुक्रम के पहले पांच पद $2, 2, 1, 0 ,$ और $-1.$ हैं

संगत श्रेणी $(2+2+1+0- 1)+\ldots$ है।

Answer :

$1=a_1=a_2$

$a_n=a _{n-1}+a _{n-2}, n>2$

$\therefore \ \ a_3=a_2+a_1=1+1=2$

$a_4=a_3+a_2=2+1=3$

$a_5=a_4+a_3=3+2=5$

$a_6=a_5+a_4=5+3=8$

$\therefore \ \ $ $n=1$ के लिए $\dfrac{a_{n+1}}{a_n}=\dfrac{a_2}{a_1}=\dfrac{1}{1}=1$

$n=2$ के लिए $\dfrac{a _ {n+1}}{a_n}=\dfrac{a_3}{a_2}=\dfrac{2}{1}=2$

$n=3$ के लिए $\dfrac{a _ {n+1}}{a_n}=\dfrac{a_4}{a_3}=\dfrac{3}{2}$

$n=4$ के लिए $\dfrac{a _ {n+1}}{a_n}=\dfrac{a_5}{a_4}=\dfrac{5}{3}$

$n=5$ के लिए $\dfrac{a _ {n+1}}{a_n}=\dfrac{a_6}{a_5}=\dfrac{8}{5}$

उत्तर :

दिया गया $G.P.$ है $\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{4}, \dfrac{5}{8}, \ldots$

यहाँ, $a=$ पहला पद $=\dfrac{5}{2}$

$r=\text{ सार्व अनुपात }=\dfrac{\dfrac{5}{4}}{\dfrac{5}{2}}=\dfrac{1}{2} $

$a _ {20}=a r^{20-1}=\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{19}=\dfrac{5}{\left(2\right)\left(2\right)^{19}}=\dfrac{5}{\left(2\right)^{20}} $

$a_n=a r^{n-1}=\dfrac{5}{2}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}=\dfrac{5}{\left(2\right)\left(2\right)^{n-1}}=\dfrac{5}{\left(2\right)^{n}}$

उत्तर :

सार्व अनुपात, $r=2$

मान लीजिए $a$ एक $G.P.$ का पहला पद है।

$ \begin{aligned} & a r^{8.1} \ \Rightarrow a r^{7}=192 \\ \\ & a\left(2\right)^{7}=192 \\ \\ & a\left(2\right)^{7}=\left(2\right)^{6}\left(3\right) \\ \\ & \Rightarrow a=\dfrac{\left(2\right)^{6} \times 3}{\left(2\right)^{7}}=\dfrac{3}{2} \\ \\ & \therefore \ \ a _ {12}=a r^{12-1}=\left(\dfrac{3}{2}\right)\left(2\right)^{11}=\left(3\right)\left(2\right)^{10}=3072 \end{aligned} $

उत्तर :

मान लीजिए $a$ एक $G.P.$ का पहला पद और $r$ इसका सार्व अनुपात है।

दिए गए शर्त के अनुसार,

$a_5=a r^{5 - 1}=a r^{4}=p\qquad \ldots(1)$

$a_8=a r^{8 - 1}=a r^{7}=q \qquad \ldots(2)$

$a_{11}=a r^{11 -1}=a r^{10}=s \qquad \ldots(3)$

समीकरण $\left(2\right)$ को समीकरण $\left(1\right)$ से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{a r^{7}}{a r^{4}}=\dfrac{q}{p}$

$r^{3}=\dfrac{q}{p}\qquad \ldots(4)$

समीकरण $\left(3\right)$ को $\left(2\right)$ से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{a r^{10}}{a r^{7}}=\dfrac{s}{q}$

$\Rightarrow r^{3}=\dfrac{s}{q}\qquad \ldots(5)$

$\left(4\right)$ और $\left(5\right)$ में प्राप्त $r^{3}$ के मान की तुलना करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{q}{p}=\dfrac{s}{q}$

$\Rightarrow q^{2}=p s$

इस प्रकार, दिया गया परिणाम सिद्ध हो गया।

Answer :

मान लीजिए $a$ एक $G.P.$ का पहला पद और $r$ उसका सार्व अनुपात है।

$\therefore \ \ a=-3$

ज्ञात है कि, $a_n=a r^{n-1}$

$\therefore \ \ a_4=a r^{3}=\left(-3\right) r^{3}$

$\quad \ \ a_2=a r^{1}=\left(-3\right) r$

दिए गए शर्त के अनुसार,

$\left(-3\right) r^{3}=[\left(-3\right) r]^{2}$

$\Rightarrow-3 r^{3}=9 r^{2}$

$\Rightarrow r=-3$

अब, श्रेणी का $7^{\text{th }}$ पद है

$a r^{7-1}=a r^{6}=\left(-3\right)\left(-3\right)^{6}=-\left(3\right)^{7}=-2187$

इस प्रकार, $G.P.$ का सातवाँ पद $-2187$ है।

Answer :

$\left(a\right) \ $ दी गई श्रेणी $2,2 \sqrt{2}, 4, \ldots$ है।

यहाँ, $a=2$ और $r=\dfrac{2 \sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}$

मान लीजिए दी गई श्रेणी का $n^{\text{th }}$ पद $128$ है।

$a_n=a r^{n-1}$

$\Rightarrow\left(2\right)\left(\sqrt{2}\right)^{n-1}=128$

$\Rightarrow\left(2\right)\left(2\right)^{\frac{n-1}{2}}=\left(2\right)^{7}$

$\Rightarrow\left(2\right)^{\frac{n-1}{2}+1}=\left(2\right)^{7}$

दोनों ओर की तुलना करने पर।

$\therefore \ \ \dfrac{n-1}{2}+1=7$

$\Rightarrow \dfrac{n-1}{2}=6$

$\Rightarrow n-1=12$

$\Rightarrow n=13$

इस प्रकार, दी गई श्रेणी का $13^{\text{th }}$ पद $128$ है।

$\left(b\right) \ $ दी गई अनुक्रम $\sqrt{3}, 3,3 \sqrt{3}, \ldots$ है।

यहाँ,

$ a=\sqrt{3} \text{ और } r=\dfrac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3} $

मान लीजिए दिए गए अनुक्रम के $n^{\text{th }}$ पद $729$ है।

$\qquad a_n=a r^{n-1}$

$\therefore \ \ a r^{n-1}=729$

$\Rightarrow\left(\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}\right)^{n-1}=729$

$\Rightarrow\left(3\right)^{\frac{1}{2}}\left(3\right)^{\frac{n-1}{2}}=\left(3\right)^{6}$

$\Rightarrow\left(3\right)^{\frac{1}{2}+\frac{n-1}{2}}=\left(3\right)^{6}$

दोनों ओर की तुलना करें।

$\therefore \ \ \dfrac{1}{2}+\dfrac{n-1}{2}=6$

$\Rightarrow \dfrac{1+n-1}{2}=6$

$\Rightarrow n=12$

इस प्रकार, दिए गए अनुक्रम का $12^{\text{th }}$ पद $729$ है।

$\left(c\right) \ $ दी गई अनुक्रम $\dfrac{1}{3}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{1}{27}, \ldots$ है।

यहाँ, $\quad a=\dfrac{1}{3}$ और $r=\dfrac{1}{9} \div \dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{3}$

मान लीजिए दिए गए अनुक्रम के $n^{\text{th }}$ पद $\dfrac{1}{19683}$ है।

$a_n=a r^{n-1}$

$\therefore \ \ a r^{n-1}=\dfrac{1}{19683}$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}=\dfrac{1}{19683}$

$\Rightarrow\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n}=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{9}$

दोनों ओर की तुलना करें।

$\Rightarrow n=9$

इस प्रकार, दिए गए अनुक्रम का $9^{\text{th }}$ पद $\dfrac{1}{19683}$ है।

उत्तर :

दी गई संख्याएँ $\dfrac{-2}{7}, x, \dfrac{-7}{2}$ हैं।

$ \text { सामान्य अनुपात }=\dfrac{x}{-2 / 7}=\dfrac{-7 x}{2} $

$ \text { भी, सामान्य अनुपात }=\dfrac{-7 / 2}{x}=\dfrac{-7}{2 x} $

$ \begin{aligned} & \therefore \ \ \dfrac{-7 x}{2}=\dfrac{-7}{2 x} \\ & \Rightarrow x^2=\dfrac{-2 \times 7}{-2 \times 7}=1 \\ & \Rightarrow x=\sqrt{1} \\ & \Rightarrow x= \pm 1 \end{aligned} $

इस प्रकार, $x= \pm 1$ के लिए दी गई संख्याएँ G.P. में होंगी।

उत्तर :

दिया गया $G.P.$ है $0.15,0.015,0.00015, \ldots$

यहाँ, $a=0.15$ और

$ r=\dfrac{0.015}{0.15}=0.1 $

$S_n=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\therefore \ \ S _ {20}=\dfrac{0.15[1-\left(0.1\right)^{20}]}{1-0.1}$

$ \qquad\quad=\dfrac{0.15}{0.9}[1-\left(0.1\right)^{20}] $

$ \qquad\quad=\dfrac{15}{90}[1-\left(0.1\right)^{20}] $

$\qquad\quad=\dfrac{1}{6}[1-\left(0.1\right)^{20}]$

उत्तर :

दिया गया G.P. है $\sqrt{7}, \sqrt{21}, 3 \sqrt{7}, \ldots$

यहाँ, $a=\sqrt{7}$

$ \ r=\dfrac{\sqrt{21}}{\sqrt{7}}=\sqrt{3}$

$S _ {n}=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\therefore \ \ S_n=\dfrac{\sqrt{7}[1-\left(\sqrt{3}\right)^{n}]}{1-\sqrt{3}}$

$\qquad \quad =\dfrac{\sqrt{7}[1-\left(\sqrt{3}\right)^{n}]}{1-\sqrt{3}} \times \dfrac{1+\sqrt{3}}{1+\sqrt{3}}$

$($ परिशोधन करके $)$

$\qquad \quad =\dfrac{\sqrt{7}\left(1+\sqrt{3}\right)[1-\left(\sqrt{3}\right)^{n}]}{1-3}$

$\qquad \quad =\dfrac{-\sqrt{7}\left(1+\sqrt{3}\right)}{2}\big[1-\left(3\right)^{\frac{n}{2}}\big]$

$\qquad \quad =\dfrac{\sqrt{7}\left(1+\sqrt{3}\right)}{2}\big[\left(3\right)^{\frac{n}{2}}-1\big]$

उत्तर :

दिया गया $G.P.$ है $1,-a, a^{2},-a^{3}, \ldots n$ पद

यहाँ, पहला पद $=a_1=1$

सामान्य अनुपात $=r=- a$

$ \begin{aligned} & S_n=\dfrac{a_1\left(1-r^{n}\right)}{1-r} \\ \\ & \therefore \ \ S_n=\dfrac{1[1-\left(-a\right)^{n}]}{1-\left(-a\right)}=\dfrac{[1-\left(-a\right)^{n}]}{1+a} \end{aligned} $

उत्तर :

दिया गया $G.P.$ है $x^{3}, x^{5}, x^{7}, \ldots$

यहाँ,

$a=x^{3}$ और $r=x^{2}$

$S_n=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}=\dfrac{x^{3}[1-\left(x^{2}\right)^{n}]}{1-x^{2}}=\dfrac{x^{3}\left(1-x^{2 n}\right)}{1-x^{2}}$

उत्तर :

$\sum _ {k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right)=\sum _ {k=1}^{11}\left(2\right)+\sum _ {k=1}^{11} 3^{k}=2\left(11\right)+\sum _ {k=1}^{11} 3^{k}=22+\sum _ {k=1}^{11} 3^{k}\qquad \ldots(1)$

$\sum _ {k=1}^{11} 3^{k}=3^{1}+3^{2}+3^{3}+\ldots+3^{11}$

इस अनुक्रम के पद $3,3^{2}, 3^{3}, \ldots$ एक $G.P.$ बनाते हैं।

$\quad S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S _ {11}=\dfrac{3[\left(3\right)^{11}-1]}{3-1}$

$\Rightarrow S _ {11}=\dfrac{3}{2}\left(3^{11}-1\right)$

$\therefore \ \ \sum _ {k=1}^{11} 3^{k}=\dfrac{3}{2}\left(3^{11}-1\right)$

समीकरण $\left(1\right)$ में इस मान को रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\sum _ {k=1}^{11}\left(2+3^{k}\right)=22+\dfrac{3}{2}\left(3^{11}-1\right)$

उत्तर :

मान लीजिए $\dfrac{a}{r}, a, a r$ एक $G.P.$ के पहले तीन पद हैं।

$\dfrac{a}{r}+a+a r=\dfrac{39}{10}\qquad \ldots(1)$

$\left(\dfrac{a}{r}\right)\left(a\right)\left(a r\right)=1\qquad \ldots(2)$

समीकरण $\left(2\right)$ से,

हम प्राप्त करते हैं $a^{3}=1$

$\Rightarrow a=1$ (केवल वास्तविक मूलों को ध्यान में रखते हुए)

समीकरण $\left(1\right)$ में $a=1$ को रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{1}{r}+1+r=\dfrac{39}{10}$

$\Rightarrow 1+r+r^{2}=\dfrac{39}{10} r$

$\Rightarrow 10+10 r+10 r^{2}-39 r=0$

$\Rightarrow 10 r^{2}-29 r+10=0$

$\Rightarrow 10 r^{2}-25 r-4 r+10=0$

$\Rightarrow 5 r\left(2 r-5\right)-2\left(2 r-5\right)=0$

$\Rightarrow\left(5 r-2\right)\left(2 r-5\right)=0$

$\Rightarrow r=\dfrac{2}{5}$ या $\dfrac{5}{2}$

इस प्रकार, $G.P.$ के तीन पद $\dfrac{5}{2}, 1$, और $\dfrac{2}{5}$ हैं।

उत्तर :

दिया गया $G.P.$ $3,3^{2}, 3^{3}, \ldots$

$S_7=\dfrac{729\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}\right)}{1-\dfrac{2}{3}}$

$\Rightarrow S_7=\dfrac{729\left(1-\dfrac{128}{2187}\right)}{\dfrac{1}{3}}$

$\Rightarrow S_7=729 \times 3 \times \left(1-\dfrac{128}{2187}\right)$

$\Rightarrow S_7=2187 \times \left(\dfrac{2187-128}{2187}\right)$

$\Rightarrow S_7=2187 \times \dfrac{2059}{2187}$

$\Rightarrow S_7=2059$

Answer :

Here, $a=1$ and $r=\dfrac{1}{2}$

The sum of $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{1\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}{\dfrac{1}{2}}$

$\Rightarrow S_n=2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)$

Answer :

Here, $a=x$ and $r=x$

The sum of $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_n=\dfrac{x\left(x^{n}-1\right)}{x-1}$

Answer :

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r$.

Sum of $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=120\qquad \ldots(1)$

Sum of $2n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}=60\qquad \ldots(2)$

Dividing equation $\left(2\right)$ by $\left(1\right)$, we obtain

$\dfrac{S_{2n}}{S_n}=\dfrac{\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}}{\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}}=\dfrac{r^{2n}-1}{r^{n}-1}=\dfrac{60}{120}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{r^{2n}-1}{r^{n}-1}=\dfrac{1}{2}$

Let $r^{n}=y$, then the above equation becomes

$\dfrac{y^{2}-1}{y-1}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{(y-1)(y+1)}{y-1}=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow y+1=\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow y=-\dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow r^{n}=-\dfrac{1}{2}$

Now, the sum of $3n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_{3n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}=\dfrac{a\left((r^{n})^{3}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}=\dfrac{a\left((- \dfrac{1}{2})^{3}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}=\dfrac{a\left(-\dfrac{1}{8}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}=\dfrac{a\left(-\dfrac{9}{8}\right)}{r-1}$

From equation $\left(1\right)$, we have

$\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=120$

$\Rightarrow \dfrac{a\left(-\dfrac{1}{2}-1\right)}{r-1}=120$

$\Rightarrow \dfrac{a\left(-\dfrac{3}{2}\right)}{r-1}=120$

$\Rightarrow \dfrac{a}{r-1}=-\dfrac{240}{3}=-80$

Substituting this value in the expression for $S_{3n}$, we get

$S_{3n}=-80 \times \left(-\dfrac{9}{8}\right)=90$

Thus, the sum of $3n$ terms is $90$.

Answer :

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r$.

Sum of $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

Sum of $2n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}$

Sum of $3n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_{3n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-1\right)}{r-1}$

Now, $S_{2n}-S_n=\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}-\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{2n}-S_n=\dfrac{a\left(r^{2n}-1-r^{n}+1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{2n}-S_n=\dfrac{a\left(r^{2n}-r^{n}\right)}{r-1}$

Similarly, $S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-1\right)}{r-1}-\dfrac{a\left(r^{2n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-1-r^{2n}+1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-r^{2n}\right)}{r-1}$

Now, $S_{2n}-S_n=\dfrac{a\left(r^{2n}-r^{n}\right)}{r-1}$ and $S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a\left(r^{3n}-r^{2n}\right)}{r-1}$

Let us factor out $r^{n}$ from both expressions:

$S_{2n}-S_n=\dfrac{a r^{n}\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$S_{3n}-S_{2n}=\dfrac{a r^{2n}\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

Now, we can see that $S_{2n}-S_n$ is a multiple of $r^{n}$ and $S_{3n}-S_{2n}$ is a multiple of $r^{2n}$. Since $r^{2n}=r^{n} \cdot r^{n}$, we can write:

$S_{3n}-S_{2n}=r^{n} \cdot \left(S_{2n}-S_n\right)$

Thus, $S_{2n}-S_n=S_{3n}-S_{2n}$ is not generally true. However, if we consider the case where $r=1$, then the $G.P.$ becomes an arithmetic progression with common difference $0$, and the sum of $n$ terms is $n \cdot a$. In this case, $S_{2n}-S_n=n \cdot a$ and $S_{3n}-S_{2n}=n \cdot a$, so $S_{2n}-S_n=S_{3n}-S_{2n}$ is true.

Therefore, the given statement is not generally true, but it is true when $r=1$.

Answer :

Let the first term be $a$ and the common ratio be $r$.

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1}$

This is a geometric series with first term $a$ and common ratio $r$. The sum of a geometric series is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

where $r \ne 1$.

Thus, the sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is $S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$, where $r \ne 1$.

Answer :

Here, $a=1$ and $r=2$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{1\left(1-2^{n}\right)}{1-2}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{1-2^{n}}{-1}$

$\Rightarrow S_n = 2^{n} - 1$

Answer :

Here, $a=1$ and $r=\dfrac{1}{2}$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{1\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}}{\dfrac{1}{2}}$

$\Rightarrow S_n = 2\left(1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n}\right)$

Answer :

Here, $a=x$ and $r=x$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\Rightarrow S_n = \dfrac{x\left(1-x^{n}\right)}{1-x}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{,n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Answer :

Here, $a=a$ and $r=r$

The sum of the first $n$ terms of a $G.P.$ is given by

$S_n = \dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

Final Answer:

$$ \boxed{S_n = a \frac{1 - r^n}{1 - r}} $$

This is the general formula for the sum of the first $ n $ terms of a geometric progression.

\therefore \ \ S_7 & =\dfrac{729\bigg[1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}\bigg]}{1-\dfrac{2}{3}} \\ \\ & =3 \times 729\bigg[1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^{7}\bigg] \\ \\ & =\left(3\right)^{7}\bigg[\dfrac{\left(3\right)^{7}-\left(2\right)^{7}}{\left(3\right)^{7}}\bigg] \\ \\ & =\left(3\right)^{7}-\left(2\right)^{7} \\ \\ & =2187-128 \\ \\ & =2059 \end{aligned} $

उत्तर :

तो $G.P.$ है $a, a r, a r^2,\ldots$

दिया गया है, $T_1+T_2=-4\qquad \ldots(1)$

और $T_5=4 T_3\qquad \ldots(2)$

अब, $(1)$ से,

$ a+a r=-4 \Rightarrow a(1+r)=-4\qquad \ldots(3) $

और $(2)$ से,

$ \begin{aligned} & a r^4=4 a r^2 \\ \\ & \Rightarrow r^4-4 r^2=0 \qquad [\because \ \ a \neq 0] \\ & \Rightarrow r^2\left(r^2-4\right)=0 \\ \\ & \Rightarrow r^2=4 \qquad [\because \ \ r \neq 0] \\ & \Rightarrow r= \pm 2 \Rightarrow r=2 \text { या } r=-2 \end{aligned} $

$ r=2 $ को (3) में सब्स्टिट्यूट करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ a(1+2)=-4 \Rightarrow a=\frac{-4}{3} $

$ r=-2 $ को (3) में सब्स्टिट्यूट करने पर, हम प्राप्त करते हैं

$ a(1-2)=-4 \Rightarrow a=4 $

केस (i): यदि $a=-\frac{4}{3}, r=2$, तो आवश्यक $G.P.$ है

$ \begin{aligned} & \frac{-4}{3}, \frac{-4}{3} \times 2, \frac{-4}{3} \times 2^{2}, \ldots \\ & \text { अर्थात } \frac{-4}{3}, \frac{-8}{3}, \frac{-16}{3}, \cdots \end{aligned} $

केस (ii): यदि $a=4, r=-2$, तो आवश्यक $G.P. \ $ है $ \ 4,4 \times(-2), 4 \times(-2)^2, \cdots \cdots$

अर्थात, $4,-8,16, \cdots \cdots$

उत्तर :

मान लीजिए $a$ एक $G.P.$ का पहला पद और $r$ उसका सार्व अनुपात है।

दिए गए शर्त के अनुसार,

$a_4=a r^{3}=x\qquad \ldots(1)$

$a _ {10}=a r^{9}=y\qquad \ldots(2)$

$a _ {16}=a r^{15}=z\qquad \ldots(3)$

भाग $\left(2\right)$ को $\left(1\right)$ से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{y}{x}=\dfrac{a r^{9}}{a r^{3}} $

$\Rightarrow \dfrac{y}{x}=r^{6}$

भाग $\left(3\right)$ को $\left(2\right)$ से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{z}{y}=\dfrac{a r^{15}}{a r^{9}} $

$\Rightarrow \dfrac{z}{y}=r^{6}$

$\therefore \ \ \dfrac{y}{x}=\dfrac{z}{y}$

इसलिए, $x, y, z$ $G. P.$ में हैं।

Answer :

दिया गया अनुक्रम $8,88,888,8888 \ldots$ है।

इस अनुक्रम के गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) नहीं है। हालांकि, इसे गुणोत्तर श्रेणी में बदला जा सकता है द्वारा पदों को लिखा जा सकता है

$S_n=8+88+888+8888+$ लेकर $n$ पदों तक

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[9+99+999+9999+….$ लेकर $n$ पदों तक $\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[\left(10-1\right)+\left(10^{2}-1\right)+\left(10^{3}-1\right)+\left(10^{4}-1\right)+\ldots \ldots $ लेकर $n$ पदों तक $\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[(10+10^{2}+\ldots . . n..$ पदों लेकर $)-(1+1+1+\ldots . n$ पदों लेकर $.)\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[\dfrac{10\left(10^{n}-1\right)}{10-1}-n\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{8}{9}\bigg[\dfrac{10\left(10^{n}-1\right)}{9}-n\bigg]$

$\quad \ =\dfrac{80}{81}\left(10^{n}-1\right)-\dfrac{8}{9} n$

Answer :

आवश्यक योग $=2 \times 128+4 \times 32+8 \times 8+16 \times 2+32 \times \dfrac{1}{2}$

$\hspace{1.9cm}=64\bigg[4+2+1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2^{2}}\bigg]$

यहाँ, $4,2,1, \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2^{2}} \ $ एक $G.P.$ है।

पहला पद, $a=4$

सार्व अनुपात, $r=\dfrac{1}{2}$

ज्ञात है कि, $S_n=\dfrac{a\left(1-r^{n}\right)}{1-r}$

$\therefore \ \ S_5=\dfrac{4\bigg[1-\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}\bigg]}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{4\bigg[1-\dfrac{1}{32}\bigg]}{\dfrac{1}{2}}=8\left(\dfrac{32-1}{32}\right)=\dfrac{31}{4}$

$\therefore \ \ $ आवश्यक योग $=$ $ 64\left(\dfrac{31}{4}\right)=\left(16\right)\left(31\right)=496 `

$

उत्तर :

सिद्ध करना है कि अनुक्रम, $a A, \ a r A R, \ a r^{2} A R^{2}, \ldots a r^{n -1} A R^{n - 1}$, एक $G.P.$ बनाता है।

$$ \begin{aligned} & \dfrac{\text{ दूसरा पद }}{\text{ पहला पद }}=\dfrac{a r A R}{a A}=r R \\ \\ & \dfrac{\text{ तीसरा पद }}{\text{ दूसरा पद }}=\dfrac{a r^{2} A R^{2}}{a r A R}=r R \end{aligned} $$

इस प्रकार, उपरोक्त अनुक्रम एक $G.P.$ बनाता है और सामान्य अनुपात $r R$ है।

उत्तर :

मान लीजिए $a$ पहला पद है और $r$ गुणोत्तर श्रेणी का सामान्य अनुपात है।

$a_1=a, a_2=a r, a_3=a r^{2}, a_4=a r^{3}$

दिए गए शर्त के अनुसार,

$a_3=a_1+9$

$\Rightarrow a r^{2}=a+9\qquad \ldots(1)$

$a_2=a_4+18$

$\Rightarrow a r=a r^{3}+18\qquad \ldots(2)$

समीकरण (1) और (2) से,

हम प्राप्त करते हैं

$a\left(r^{2}- 1\right)=9\qquad \ldots(3)$

$ar\left(1-r^{2}\right)=18\qquad \ldots(4)$

समीकरण (4) को समीकरण (3) से विभाजित करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\dfrac{a r\left(1-r^{2}\right)}{a\left(r^{2}-1\right)}=\dfrac{18}{9}$

$\Rightarrow-r=2$

$\Rightarrow r=-2$

समीकरण (1) में $r$ का मान रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $4 a=a+9$

$\Rightarrow 3 a=9$

$\therefore \ \ a=3$

इस प्रकार, गुणोत्तर श्रेणी के पहले चार पद $3,-6,12,-24$ हैं।

उत्तर :

मान लीजिए $A$ गुणोत्तर श्रेणी का पहला पद है और $R$ इसका सामान्य अनुपात है।

दिए गए जानकारी के अनुसार,

Let $A$ be the first term and $R$ be the common ratio of the $G.P.$

According to the given information,

a = A \cdot R^{p-1}, \quad b = A \cdot R^{q-1}, \quad c = A \cdot R^{r-1}

Taking the logarithm of both sides of the equation $a^{q-r} b^{r-p} c^{p-q}=1$, we get:

$$ (q - r) \log a + (r - p) \log b + (p - q) \log c = 0 $$

Substituting the values of $a, b,$ and $c$ in terms of $A$ and $R$, we get:

$$ (q - r) \log (A \cdot R^{p-1}) + (r - p) \log (A \cdot R^{q-1}) + (p - q) \log (A \cdot R^{r-1}) = 0 $$

Simplifying the logarithmic expressions:

$$ (q - r)(\log A + (p - 1)\log R) + (r - p)(\log A + (q - 1)\log R) + (p - q)(\log A + (r - 1)\log R) = 0 $$

Expanding and simplifying:

$$ (q - r)\log A + (q - r)(p - 1)\log R + (r - p)\log A + (r - p)(q - 1)\log R + (p - q)\log A + (p - q)(r - 1)\log R = 0 $$

Grouping the terms involving $\log A$ and $\log R$:

$$ [(q - r) + (r - p) + (p - q)]\log A + [(q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1)]\log R = 0 $$

Simplifying the coefficients:

$$ 0 \cdot \log A + [(q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1)]\log R = 0 $$

Since the coefficient of $\log A$ is zero, the equation reduces to:

$$ [(q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1)]\log R = 0 $$

This implies that the coefficient of $\log R$ must be zero:

$$ (q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1) = 0 $$

Expanding and simplifying:

$$ (q - r)(p - 1) + (r - p)(q - 1) + (p - q)(r - 1) = 0 $$

$$ (q - r)(p - 1) + (r - p)(q

$A R^{p-1}=a$

$A R^{q-1}=b$

$A R^{r-1}=c$

$a^{q-r} b^{r-p} C^{p-q}$ $=A^{q-r} \times R^{\left(p-1\right)\left(q-r\right)} \times A^{r-p} \times R^{\left(q-1\right)\left(r-p\right)} \times A^{p-q} \times R^{\left(r-1\right)\left(p-q\right)}$

$\hspace{2cm}=A ^{(q-r+r-p+p-q)} \times R^{\left( p q-p r-q+r\right)+\left(r q-r+p-p q\right)+\left(p r-p-q r+q\right)}$

$\hspace{2cm}=A^{0} \times R^{0}=1$

इसलिए, दिया गया परिणाम सिद्ध हो गया।

उत्तर :

G.P. का पहला पद $a$ है और अंतिम पद $b$ है।

इसलिए, G.P. है $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1}$, जहाँ $r$ सार्व अनुपात है।

$b=ar^{n-1}$

$P=$ $n$ पदों का गुणनफल

$\quad=\left(a\right)\left(a r\right)\left(a r^{2}\right) \ldots\left(a r^{n-1}\right)$

$\quad=\left(a \times a \times \ldots a\right)\left(r \times r^{2} \times \ldots r^{{n-1}}\right)$

$\quad=a^{n} r^{1+2+3\ldots \left(n-1\right) }$

यहाँ, $1,2,\ldots\left(n-1\right)$ एक A.P. है।

$\therefore \ \ 1+2+\ldots \ldots \ldots+\left(n- 1\right)=\dfrac{n-1}{2}\big[2+\left(n-1-1\right) \times 1\big]=\dfrac{n-1}{2}\big[2+n-2\big]=\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}$

$\qquad P=a^{n} r^{\frac{n\left(n-1\right)}{2}}$

$\therefore \ \ P^{2}=a^{2 n} r^{n\left(n-1\right)}$

$\quad\qquad=\big[a^{2} r^{\left(n-1\right)}\big]^{n}$

$\quad\qquad=\big[a \times ar^{n-1}\big]^{n}$

$\quad\qquad=\left(ab\right)^{n}$

इसलिए, दिया गया परिणाम सिद्ध हो गया।

उत्तर :

पहले $n$ पदों के योग,

$ S_{\mathrm{n}}=\dfrac{\mathrm{a}\left(1-\mathrm{r}^{\mathrm{n}}\right)}{1-\mathrm{r}} $

Sum $n+1$ से $2n$ वें पद तक के पदों का योग है,

$ \begin{aligned} S_{2 n}-S_n & =\dfrac{a\left(1-r^{2 n}\right)}{1-r}-\dfrac{a\left(1-r^n\right)}{1-r} \\ \\ & =\dfrac{a\left(r^n-r^{2 n}\right)}{1-r} \end{aligned} $

अनुपात,

$\hspace{1.1cm} \begin{aligned} & =\dfrac{\dfrac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}}{\dfrac{a\left(r^n-r^{2 n}\right)}{1-r}} =\dfrac{1-r^n}{r^n-r^{2 n}} \\ \\ & =\dfrac{1-r^n}{r^n\left(1-r^n\right)} =\dfrac{1}{r^n} \end{aligned} $

इसलिए सिद्ध कर दिया गया है।

Answer :

$a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं।

इसलिए,

$b c=a d\qquad \ldots(1)$

$b^{2}=a c\qquad \ldots(2)$

$c^{2}=b d\qquad \ldots(3)$

इसको सिद्ध करना है, $\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=\left(a b+b c \text{ - } c d\right)^{2}$

$\text{R.H.S.}=\left(a b+b c+c d\right)^{2}$

$\hspace{1.2cm}=\left(a b+a d+c d\right)^{2}\quad[$ उपयोग करते हुए $\left(1\right)]$

$\hspace{1.2cm}=[a b+d\left(a+c\right)]^{2}$

$\hspace{1cm} \begin{aligned} & =a^{2} b^{2}+2 a b d\left(a+c\right)+d^{2}\left(a+c\right)^{2} \\ \\ & =a^{2} b^{2}+2 a^{2} b d+2 a c b d+d^{2}\left(a^{2}+2 a c+c^{2}\right) \\ \\ & =a^{2} b^{2}+2 a^{2} c^{2}+2 b^{2} c^{2}+d^{2} a^{2}+2 d^{2} b^{2}+d^{2} c^{2}\quad[\text{ उपयोग करते हुए (1) और (2)}] \\ \\ & =a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} c^{2}+d^{2} a^{2}+d^{2} b^{2}+d^{2} b^{2}+d^{2} c^{2} \\ \\ & =a^{2} b^{2}+a^{2} c^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} \times b^{2}+b^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+c^{2} b^{2}+c^{2} \times c^{2}+c^{2} d^{2} \end{aligned} $

$[$ उपयोग करते हुए $\left(2\right)$ और $\left(3\right)$ और वर्गों को व्यवस्थित करते हुए $]$

$\hspace{1.1cm}=a^{2}\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)+b^{2}\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)+c^{2}\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)$

$\hspace{1.1cm}=\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)$

$\hspace{1.1cm}=\text{L.H.S.}$

$\therefore \ \ \text{L.H.S.} =\text{R.H.S.}$

$\therefore \ \ \left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)\left(b^{2}+c^{2}+d^{2}\right)=\left(a b+b c+c d\right)^{2}$

Answer :

मान लीजिए $G_1$ और $G_2$ दो संख्याएँ हैं जो $3$ और $81$ के बीच हैं ताकि अनुक्रम $3, G_1, G_2, 81,$ एक $G.P.$ बने।

मान लीजिए $a$ अनुक्रम का पहला पद और $r$ सार्व अनुपात है।

$\therefore \ \ 81=\left(3\right)\left(r\right)^{3}$

$\Rightarrow r^{3}=27$

$\therefore \ \ r=3$ (केवल वास्तविक मूल को लेते हुए)

$ r=3 $ के लिए,

$G_1=a r=\left(3\right)\left(3\right)=9$

$G_2=a r^{2}=\left(3\right)\left(3\right)^{2}=27$

इसलिए, आवश्यक दो संख्याएँ $9$ और $27$ हैं।

Answer :

$a$ और $b$ का गुणोत्तर माध्य $\sqrt{a b}$ होता है।

दिए गए शर्त के अनुसार, $\dfrac{a^{n+1}+b^{n+1}}{a^{n}+b^{n}}=\sqrt{a b}$

दोनों ओर वर्ग करने पर,

हम प्राप्त करते हैं $ \dfrac{\left(a^{n+1}+b^{n+1}\right)^{2}}{\left(a^{n}+b^{n}\right)^{2}}=a b $

$\Rightarrow a^{2 n+2}+2 a^{n+1} b^{n+1}+b^{2 n+2}=\left(a b\right)\left(a^{2 n}+2 a^{n} b^{n}+b^{2 n}\right)$

$\Rightarrow a^{2 n+2}+2 a^{n+1} b^{n+1}+b^{2 n+2}=a^{2 n+1} b+2 a^{n+1} b^{n+1}+a b^{2 n+1}$

$\Rightarrow a^{2 n+2}+b^{2 n+2}=a^{2 n+1} b+a b^{2 n+1}$

$\Rightarrow a^{2 n+2}-a^{2 n+1} b=a b^{2 n+1}-b^{2 n+2}$

$\Rightarrow a^{2 n+1}\left(a-b\right)=b^{2 n+1}\left(a-b\right)$

$\Rightarrow\left(\dfrac{a}{b}\right)^{2 n+1}=1=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{0}$

दोनों ओर तुलना करने पर।

$\Rightarrow 2 n+1=0$

$\Rightarrow n=\dfrac{-1}{2}$

Answer :

मान लीजिए दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।

G.M. $=\sqrt{a b}$

दिए गए शर्त के अनुसार,

$a+b=6 \sqrt{a b}\qquad \ldots(1)$

$\Rightarrow\left(a+b\right)^{2}=36\left(a b\right)$

भी,

$\left(a-b\right)^{2}=\left(a+b\right)^{2}-4 a b=36 a b-4 a b=32 a b$

$\Rightarrow a-b=\sqrt{32} \sqrt{a b}$

$\Rightarrow a-b=4 \sqrt{2} \sqrt{a b}\qquad \ldots(2)$

(1) और (2) को जोड़ने पर,

हम प्राप्त करते हैं $2 a=\left(6+4 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}$

$\Rightarrow a=\left(3+2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}$

(1) में $a$ के मान को रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $b=6 \sqrt{a b}-\left(3+2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}$

$\Rightarrow b=\left(3-2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}$

$\dfrac{a}{b}=\dfrac{\left(3+2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}}{\left(3-2 \sqrt{2}\right) \sqrt{a b}}=\dfrac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}}$

इसलिए, अभीष्ट अनुपात $\left(3+2 \sqrt{2}\right):\left(3-2 \sqrt{2}\right)$ है।

Answer :

दिया गया है कि $A$ और $G$ दो धनात्मक संख्याओं के क्रमशः समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य हैं। मान लीजिए कि ये दो धनात्मक संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।

$\therefore \ \ AM=A=\dfrac{a+b}{2}\qquad \ldots(1)$

$GM=G=\sqrt{ab}\qquad \ldots(2)$

(1) और (2) से,

हम प्राप्त करते हैं $a+b=2 A\qquad \ldots(3)$

$a b=G^{2}\qquad \ldots(4)$

(3) और (4) से $a$ और $b$ के मान को पहचानते हुए सर्वसमिका $\left(a - b\right)^{2}=\left(a+b\right)^{2}- 4 a b$ में रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $\left(a- b\right)^{2}=4 A^{2}- 4 G^{2}=4\left(A^{2} -G^{2}\right)$

$\left(a - b\right)^{2}=4\left(A+G\right)\left(A- G\right)$

$\left(a-b\right)=2 \sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)}\qquad \ldots(5)$

(3) और (5) से, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & 2 a=2 A+2 \sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)} \\ \\ & \Rightarrow a=A+\sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)} \end{aligned} $

(3) में $a$ के मान को रखने पर,

हम प्राप्त करते हैं $b=2 A-A-\sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)}=A-\sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)}$

इसलिए, दो संख्याएँ हैं $ A \pm \sqrt{\left(A+G\right)\left(A-G\right)} $

Answer :

दिया गया है कि बैक्टीरिया की संख्या प्रति घंटे दोगुनी हो जाती है।

इसलिए, प्रति घंटे बैक्टीरिया की संख्या एक $G.P.$ बनाएगी।

पहला पद $(a=30)$ और सार्व अनुपात $(r=2)$ है

$ \therefore \ a_3=a^2=(30)(2)^2=120 $

इसलिए, $2nd$ घंटे के अंत में बैक्टीरिया की संख्या $480 $ होगी।

$a_5=a r^4=(30)(2)^4=480 \ $ और $ \ a_{n+1}=a r^n=(30)(2)^n$

इसलिए, $n$th घंटे के अंत में बैक्टीरिया की संख्या $(30)(2)^n$ होगी।

Answer :

मूलधन रुपये है $500 $

इसलिए, इस मूलधन के लिए एक वर्ष के ब्याज $500\left(\dfrac{10}{100}\right)=50$ है।

इसलिए, दूसरे वर्ष के मूलधन $=$ पहले वर्ष के मूलधन + ब्याज

$ \hspace{4.6cm}=500+500\left(\dfrac{10}{100}\right)=500\left(1+\dfrac{10}{100}\right) $

अब, दूसरे वर्ष के ब्याज $=\left(500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)\right)\left(1+\dfrac{10}{100}\right)$

इसलिए, तीसरे वर्ष के मूलधन $=500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)+500\left(1+\dfrac{10}{100}\right) \dfrac{10}{100}$

$ \hspace{4.4cm}=500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^2 $

इस तरह जारी रखते हुए हम देखते हैं कि $n^{\text {th }}$ वर्ष के मूलधन $ =500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^{\mathrm{n}-1} $

$(n-1)^{\text {th }}$ वर्ष के अंत में राशि $=$ $n^{\text {th }}$ वर्ष के मूलधन।

अतः, $\mathrm{n}^{\text {th }}$ वर्ष के अंत में खाता में राशि।

$ =500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^{\mathrm{n}-1} $ $=500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^{\mathrm{n}-1}\left(\dfrac{10}{100}\right) $ $=500\left(\dfrac{11}{10}\right)^{\mathrm{n}} $

$\mathrm{10^{\text {th }}}$ वर्ष के अंत में खाता में राशि

$ =\text { रु. } 500\left(1+\dfrac{10}{100}\right)^{10} $

$=\operatorname{रु.} 500\left(\dfrac{11}{10}\right)^{10} $

उत्तर :

मान लीजिए द्विघात समीकरण के मूल $a$ और $b$ हैं।

दिए गए शर्त के अनुसार,

उत्तर :

दिया गया है,

$f\left(x+y\right)=f\left(x\right) \times f\left(y\right)$ सभी $x, y \in N\qquad \ldots\left(1\right)$

$f\left(1\right)=3$

समीकरण (1) में $x=y=1$ लेने पर, हम प्राप्त करते हैं

$f\left(1+1\right)=f\left(2\right)=f\left(1\right)\times f\left(1\right)=3 \times 3=9$

इसी तरह,

$f\left(1+1+1\right)=f\left(3\right)=f\left(1+2\right)=f\left(1\right) f\left(2\right)=3 \times 9=27$

$f\left(4\right)=f\left(1+3\right)=f\left(1\right) f\left(3\right)=3 \times 27=81$

$\therefore \ \ f\left(1\right), f\left(2\right), f\left(3\right), \ldots$, अर्थात $3,9,27, \ldots$, एक $G.P.$ बनाते हैं जिसका पहला पद और सार्व अनुपात दोनों $3$ के बराबर हैं।

ज्ञात है कि,

$ S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} $

दिया गया है कि, $\sum _ {x=1}^{n} f\left(x\right)=120$

$\therefore \ \ 120=\dfrac{3\left(3^{n}-1\right)}{3-1}$

$\Rightarrow 120=\dfrac{3}{2}\left(3^{n}-1\right)$

$\Rightarrow 3^{n}-1=80$

$\Rightarrow 3^{n}=81=3^{4}$

$\therefore \ \ n=4$

इस प्रकार, $n$ का मान $4$ है।

उत्तर :

मान लीजिए $n$ पदों के योग $315$ है।

ज्ञात है कि, $S_n=\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

दिया गया है कि पहला पद $a$ $5$ है और सार्व अनुपात $r$ $2$ है।

$\therefore \ \ 315=\dfrac{5\left(2^{n}-1\right)}{2-1}$

$\Rightarrow 2^{n}-1=63$

$\Rightarrow 2^{n}=64=\left(2\right)^{6}$

$\Rightarrow n=6$

$\therefore \ \ $ G.P के अंतिम पद $=6^{\text{वां }}$ पद $=a r^{6 - 1}=\left(5\right)\left(2\right)^{5}=\left(5\right)\left(32\right)=160$

इसलिए, G.P के अंतिम पद $160$ है।

उत्तर :

मान लीजिए $a$ और $r$ क्रमशः G.P के पहला पद और सार्व अनुपात हैं।

$\therefore \quad a_{1}=1$

$a_3=a r^{2}=r^{2}$

$a_5=a r^{4}=r^{4}$

$\therefore \ \ r^{2}+r^{4}=90$

$\Rightarrow r^{4}+r^{2}- 90=0$

समीकरण को हल करने पर

$\Rightarrow r^{2}=\dfrac{-1+\sqrt{1+360}}{2}=\dfrac{-1 \pm \sqrt{361}}{2}$

$\Rightarrow \dfrac{-1 \pm 19}{2}=-10$ या $9$

$\therefore \ \ r= \pm 3 \ \ $ (वास्तविक मूलों को लेते हुए)

इसलिए, G.P का सार्व अनुपात $\pm 3$ है।

उत्तर :

मान लीजिए G.P में तीन संख्याएं $a$, $a r$, और $a r^{2}$ हैं।

दिए गए शर्त के अनुसार, $a+a r+a r^{2}=56$

$\Rightarrow a\left(1+r+r^{2}\right)=56$

$\Rightarrow a=\dfrac{56}{1+r+r^{2}}\qquad \ldots\left(1\right)$

$a - 1 , ar -$ $7, a r^{2} - 21$ एक $A.P.$ बनाते हैं।

$ \therefore \ \ \left(ar - 7\right)-\left(a-1\right) = \left(ar^2 - 21\right) - \left(ar - 7\right) $

$\Rightarrow ar - a - 6=a r^{2} - ar - 14$

$\Rightarrow a r^{2} - 2 a r+a=8$

$\Rightarrow a r^{2}- a r- a r+a=8$

$\Rightarrow a\left(r^{2}+1 - 2 r\right)=8$

$\Rightarrow a\left(r- 1\right)^{2}=8$

$\Rightarrow \dfrac{56}{1+r+r^{2}}\left(r-1\right)^{2}=8$

[समीकरण (1) का उपयोग करते हुए]

$\Rightarrow 7\left(r^{2} - 2 r+1\right)=1+r+r^{2}$

$\Rightarrow 7 r^{2} - 14 r + 7 - 1 - r - r^{2}=0$

$\Rightarrow 6 r^{2} - 15 r+6=0$

$\Rightarrow 6 r^{2} - 12 r - 3 r+6=0$

$ \therefore \ \ {6r\left(r-2\right)-3\left(r-2\right)} $

$\Rightarrow\left(6 r- 3\right)\left(r- 2\right)=0$

$\therefore \ \ r=2, \dfrac{1}{2}$

$\left(1\right)$ से

जब $r=2, a=8$

जब $r=\dfrac{1}{2}, a=32$

इसलिए, जब $r=2$, $G.P.$ में तीन संख्याएँ $8, 16,$ और $32$ हैं।

जब $r=\dfrac{1}{2}$, $G.P.$ में तीन संख्याएँ $32, 16,$ और $8$ हैं।

इसलिए, किसी भी स्थिति में, तीन आवश्यक संख्याएँ $8,16 ,$ और $32$ हैं।

Answer :

मान लीजिए $G.P.$ $T_1, T_2, T_3, T_4, \ldots T _ {2 n}$ है।

शब्दों की संख्या $=2 n$

दिए गए शर्त के अनुसार,

$T_1+T_2+T_3+\ldots+T _ {2 n}=5[T_1+T_3+\ldots+T _ {2_n{-1}}]$

$\Rightarrow T_1+T_2+T_3+ \ldots +T_{2 n}- 5[T_1+T_3+\ldots + T_{2n-1}] =0$

$\Rightarrow T_2+T_4+\ldots+T _ {2 n}=4[T_1+T_3+\ldots+T _ {2 n {-1}}]$

मान लीजिए $G.P.$ $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots$ है।

$\therefore \ \ \dfrac{ar\left(r^{n}-1\right)}{r-1}=\dfrac{4 \times a\left(r^{n}-1\right)}{r-1}$

$\Rightarrow a r=4 a$

$\Rightarrow r=4$

इसलिए, $G.P.$ का सामान्य अनुपात $4$ है।

Answer:

दिया गया है,

$ \dfrac{a+b x}{a-b x}=\dfrac{b+c x}{b-c x} $

$ \Rightarrow\left(a+b x\right)\left(b-c x\right)=\left(b+c x\right)\left(a-b x\right) $

$ \Rightarrow a b-a c x+b^{2} x-b c x^{2}=a b-b^{2} x+a c x-b c x^{2} $

$ \Rightarrow 2 b^{2} x=2 a c x $

$ \Rightarrow b^{2}=a c $

$ \Rightarrow \dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b} \qquad \ldots{\left(1\right)}$

इसके अलावा, $\dfrac{b+c x}{b-c x}=\dfrac{c+d x}{c-d x}$

$\Rightarrow\left(b+c x\right)\left(c-d x\right)=\left(b-c x\right)\left(c+d x\right)$

$\Rightarrow b c-b d x+c^{2} x-c d x^{2}=b c+b d x-c^{2} x-c d x^{2}$

$\Rightarrow 2 c^{2} x=2 b d x$

$\Rightarrow c^{2}=b d$

$\Rightarrow \dfrac{c}{b}=\dfrac{d}{c}\qquad \ldots\left(2\right)$

From $\left(1\right)$ and $\left(2\right),$ we obtain

$ \dfrac{b}{a}=\dfrac{c}{b}=\dfrac{d}{c} $

Thus, $a, b, c$, and $d$ are in $G.P.$

Answer :

Let the $G.P.$ be $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, \ldots a r^{n-1} \ldots$

According to the given information,

$ \begin{aligned} & S =\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{r-1} \\ \\ & P=a^{n} \times r^{1+2+\ldots+n-1} \\ \\ & \quad =a^{n} r^{\dfrac{n\left(n-1\right)}{2}} \qquad {[\because \text{ Sum of first } n \text{ natural numbers is } n \dfrac{\left(n+1\right)}{2}]} \\ \\ &\therefore \ \ P^2=a^{2n}r^{n\left(n-1\right)} \\ \\ & R=\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{a r}+\ldots+\dfrac{1}{a r^{n-1}} \\ \\ & \quad =\dfrac{r^{n-1}+r^{n-2}+\ldots r+1}{a r^{n-1}} \\ \\ & \quad =\dfrac{1\left(r^{n}-1\right)}{\left(r-1\right)} \times \dfrac{1}{a r^{n-1}} \quad[\because 1, r, \ldots r^{n-1} \text{ forms a G.P }] \\ \\ & \quad =\dfrac{r^{n}-1}{a r^{n-1}\left(r-1\right)} \\ \\ & \therefore \ \ P^{2} R^{n}=a^{2 n} r^{n\left(n-1\right)} \dfrac{\left(r^{n}-1\right)^{n}}{a^{n} r^{n\left(n-1\right)}\left(r-1\right)^{n}} \\ \\ & \qquad\qquad=\dfrac{a^{n}\left(r^{n}-1\right)^{n}}{\left(r-1\right)^{n}} \\ \\ &\qquad\qquad =[\dfrac{a\left(r^{n}-1\right)}{\left(r-1\right)}]^{n} =S^{n} \end{aligned} $

Hence, $ \ \ P^{2} R^{n}=S^{n}$

Answer :

It is given that $a, b, c$, and $d$ are in $G.P.$

$\therefore \ \ b^{2}=a c\qquad \ldots\left(1\right)$

$c^{2}=b d\qquad \ldots\left(2\right)$

$a d=b c\qquad \ldots\left(3\right)$

It has to be proved that $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right),\left(c^{n}+d^{n}\right)$ are in $G.P.$ i.e.,

$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)$

समझें $\text{L.H.S.}$

$\left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=b^{2 n}+2 b^{n} c^{n}+c^{2 n}$

$\qquad\qquad \ =\left(b^{2}\right)^{n}+2 b^{n} c^{n}+\left(c^{2}\right)^{n}$

$\qquad\qquad \ =\left(a c\right)^{n}+2 b^{n} c^{n}+\left(b d\right)^{n}[ $ उपयोग करते हुए $\left(1\right)$ और $\left(2\right)]$

$\qquad\qquad \ =a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+b^{n} d^{n}$

$\qquad\qquad \ =a^{n} c^{n}+b^{n} c^{n}+a^{n} d^{n}+b^{n} d^{n}$ $[$ उपयोग करते हुए $\left(3\right)]$

$\qquad\qquad \ =c^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)+d^{n}\left(a^{n}+b^{n}\right)$

$\qquad\qquad \ =\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)$

$\qquad\qquad \ = \text{R.H.S.}$

$\therefore \ \ \left(b^{n}+c^{n}\right)^{2}=\left(a^{n}+b^{n}\right)\left(c^{n}+d^{n}\right)$

इसलिए, $\left(a^{n}+b^{n}\right),\left(b^{n}+c^{n}\right)$, और $\left(c^{n}+d^{n}\right)$ $G.P.$ में हैं।

Answer :

दिया गया है कि $a$ और $b$ समीकरण $x^2-3 x+p=0$ के मूल हैं

$\therefore \ \ a+b=3$ और $a b=p\qquad \ldots \left(1\right)$

इसके अतिरिक्त, $c$ और $d$ समीकरण $x^{2}-12 x+q=0$ के मूल हैं

$\therefore \ \ c+d=12$ और $c d=q\qquad \ldots\left(2\right)$

दिया गया है कि $a, b, c, d$ $G.P.$ में हैं

मान लीजिए $a=x, b=x r, c=x r^{2}, d=x r^{3}$

$\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ से, हम प्राप्त करते हैं

$x+x r=3$

$\Rightarrow x\left(1+r\right)=3$

$x r^{2}+x r^{3}=12$

$\Rightarrow x r^{2}\left(1+r\right)=12$

भाग देने पर, हम प्राप्त करते हैं

$\dfrac{x r^{2}\left(1+r\right)}{x\left(1+r\right)}=\dfrac{12}{3}$

$\Rightarrow r^{2}=4$

$\Rightarrow r= \pm 2$

जब $r=2, x=\dfrac{3}{1+2}=\dfrac{3}{3}=1$

जब $r=-2, x=\dfrac{3}{1-2}=\dfrac{3}{-1}=-3$

केस I:

जब $r=2$ और $x=1$,

$a b=x^{2} r=2$

$c d=x^{2} r^{5}=32$

$\therefore \ \ \dfrac{q+p}{q-p}=\dfrac{32+2}{32-2}=\dfrac{34}{30}=\dfrac{17}{15}$

अर्थात, $\left(q+p\right):\left(q-p\right)=17: 15$

केस II:

जब $r=-2, x=1,$

$a b=x^{2} r=-18$

$c d=x^{2} r^{5}=- 288$

$\therefore \ \ \dfrac{q+p}{q-p}=\dfrac{-288-18}{-288+18}=\dfrac{-306}{-270}=\dfrac{17}{15}$

अर्थात, $\left(q+p\right):\left(q-p\right)=17: 15$

इस प्रकार, दोनों स्थितियों में हमें $(q+p):(q - p)=17: 15$ प्राप्त होता है

उत्तर :

मान लीजिए दो संख्याएँ $a$ और $b$ हैं।

समांतर माध्य $=\dfrac{a+b}{2}$ और गुणोत्तर माध्य $=\sqrt{a b}$

दिए गए शर्त के अनुसार,

$\dfrac{a+b}{2 \sqrt{a b}}=\dfrac{m}{n}$

$\Rightarrow \dfrac{\left(a+b\right)^{2}}{4\left(a b\right)}=\dfrac{m^{2}}{n^{2}}$

$\Rightarrow\left(a+b\right)^{2}=\dfrac{4 a b m^{2}}{n^{2}}$

$\Rightarrow\left(a+b\right)=\dfrac{2 \sqrt{a b} m}{n}\qquad \ldots\left(1\right)$

इसका उपयोग तत्समक $\left(a \text{ - } b\right)^{2}=\left(a+b\right)^{2} - 4 a b$ में करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \left(a-b\right)^{2}=\dfrac{4 a b m^{2}}{n^{2}}-4 a b=\dfrac{4 a b\left(m^{2}-n^{2}\right)}{n^{2}}$

$ \Rightarrow\left(a-b\right)=\dfrac{2 \sqrt{a b} \sqrt{m^{2}-n^{2}}}{n} \qquad \ldots{\left(2\right)}$

(1) और (2) को जोड़ते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & 2 a=\dfrac{2 \sqrt{a b}}{n}\left(m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right) \\ \\ & \Rightarrow a=\dfrac{\sqrt{a b}}{n}\left(m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right) \end{aligned} $

(1) में $a$ के मान को बदलते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} & b=\dfrac{2 \sqrt{a b}}{n} m-\dfrac{\sqrt{a b}}{n}\left(m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right) \\ \\ & \ =\dfrac{\sqrt{a b}}{n} m-\dfrac{\sqrt{a b}}{n} \sqrt{m^{2}-n^{2}} \\ \\ & \ =\dfrac{\sqrt{a b}}{n}\left(m-\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right) \\ \\ & \therefore \ \ a: b=\dfrac{a}{b}=\dfrac{\dfrac{\sqrt{a b}}{n}\left(m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right)}{\dfrac{\sqrt{a b}}{n}\left(m-\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right)}=\dfrac{\left(m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right)}{\left(m-\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right)}

\end{aligned} $

अतः, $a: b=\left(m+\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right):\left(m-\sqrt{m^{2}-n^{2}}\right)$

Answer :

$\left(i\right) \ \ $ $5+55+555+\ldots$

मान लीजिए $S_n=5+55+555+\ldots$. $n$ पदों तक

$ \begin{aligned} &\qquad =\dfrac{5}{9}\bigg[9+99+999+\ldots \text{ to } n \text{ terms }\bigg] \\ \\ &\qquad =\dfrac{5}{9}\bigg[\left(10-1\right)+\left(10^{2}-1\right)+\left(10^{3}-1\right)+\ldots \text{ to } n \text{ terms }\bigg] \\ \\ &\qquad =\dfrac{5}{9}\bigg[\left(10+10^{2}+10^{3}+\ldots \text{ n terms }\right)-\left(1+1+\ldots n \text{ terms }\right)\bigg] \\ \\ &\qquad =\dfrac{5}{9}\bigg[\dfrac{10\left(10^{n}-1\right)}{10-1}-n\bigg] \\ \\ &\qquad =\dfrac{5}{9}\bigg[\dfrac{10\left(10^{n}-1\right)}{9}-n\bigg] \\ \\ &\qquad =\dfrac{50}{81}\left(10^{n}-1\right)-\dfrac{5 n}{9} \end{aligned} $

$\left(ii\right) \ \ $ $0.6+0.66+0.666+\ldots$

मान लीजिए $S_n=0.6+0.66+0.666+\ldots$ $n$ पदों तक

$\quad\qquad=6\bigg[0.1+0.11+0.111+\ldots$ $n$ पदों तक $\bigg]$

$\quad\qquad=\dfrac{6}{9}\bigg[0.9+0.99+0.999+\ldots$ $n$ पदों तक $\bigg]$

$\quad\qquad=\dfrac{6}{9}\bigg[\left(1-\dfrac{1}{10}\right)+\left(1-\dfrac{1}{10^{2}}\right)+\left(1-\dfrac{1}{10^{3}}\right)+\ldots.$ $n$ पदों तक $\bigg]$

$\quad\qquad=\dfrac{2}{3}\bigg[\left(1+1+\ldots n. \ \text{terms}\right)-\dfrac{1}{10}\left(1+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10^{2}}+\ldots n. \ \text{terms}\right)\bigg]$

$\quad\qquad=\dfrac{2}{3}\left[n-\dfrac{1}{10}\left(\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{10}\right)^{n}}{1-\dfrac{1}{10}}\right)\right]$

$\quad\qquad=\dfrac{2}{3} n-\dfrac{2}{30} \times \dfrac{10}{9}\left(1-10^{-n}\right)$

$\quad\qquad=\dfrac{2}{3} n-\dfrac{2}{27}\left(1-10^{-n}\right)$

उत्तर :

दी गई श्रेणी $2 \times 4+4 \times 6+6 \times 8+\ldots n$ पद है

$\therefore \ \ n^{\text{th }}$ पद $=a_n=2 n \times\left(2 n+2\right)=4 n^{2}+4 n$

$\qquad\quad \ a _ {20}=4\left(20\right)^{2}+4\left(20\right)=4\left(400\right)+80=1600+80=1680$

इसलिए, श्रेणी का $20^{\text{th }}$ पद 1680 है ।

उत्तर :

दिया गया है कि किसान 6000 रुपये नकद देता है।

इसलिए, अदा नहीं की गई राशि = 12000 रुपये - 6000 रुपये = 6000 रुपये

दिए गए शर्त के अनुसार, वार्षिक ब्याज की राशि 6000 के 12%, 5500 के 12%, 5000 के 12%, …, 500 के 12% है।

इसलिए, कुल ब्याज की राशि = 6000 के 12% + 5500 के 12% + 5000 के 12% + … + 500 के 12%

$\hspace{3.8cm}=12 \%$ of $\left(6000+5500+5000+\ldots+500\right)$

$\hspace{3.8cm}=12 \%$ of $\left(500+1000+1500+\ldots+6000\right)$

अब, श्रेणी $500,1000,1500 \ldots 6000$ एक $A.P.$ है जिसका पहला पद और सार्व अंतर 500 है।

मान लीजिए $A.P.$ के पदों की संख्या $n$ है।

$\therefore \ \ 6000=500+\left(n - 1\right) 500$

$\Rightarrow 1+\left(n- 1\right)=12$

$\Rightarrow n=12$

$\therefore \ \ $ $A.P.$ के पदों का योग = $\dfrac{12}{2}\bigg[2\left(500\right)+\left(12-1\right)\left(500\right)\bigg]=6\big[1000+5500\big]=6\left(6500\right)=39000$

इसलिए, कुल ब्याज की राशि = 12% of $\left(500+1000+1500+\ldots+6000\right)=12%$ of $39000=$ 4680 रुपये

इसलिए, ट्रैक्टर की कीमत = (12000 रुपये + 4680 रुपये) = 16680 रुपये

उत्तर :

दिया गया है कि शमशाद अली एक स्कूटर के लिए 22000 रुपये खरीदता है और 4000 रुपये नकद देता है

$\Rightarrow$ अदा नहीं किया गया राशि $=22000-4000=$ 18000 रुपये।

पहले वर्ष के अंत में ब्याज का भुगतान $=10 \%$ के 18000 रुपये का

पहले वर्ष के अंत में भुगतान की गई राशि $=$ 1000 रुपये।

इसलिए, बचे हुए ऋण की राशि $=18000-1000=$ 17000 रुपये

अब, दूसरे वर्ष के अंत में ब्याज का भुगतान $10 \%$ के 17000 रुपये का

दूसरे वर्ष के अंत में भुगतान की गई राशि $=$ 1000 रुपये

इसलिए, बचे हुए ऋण की राशि $=17000-1000=$ 16000 रुपये

इसलिए, कुल ब्याज की राशि $=10 \%$ के 18000 रुपये का + 10 \% के 17000 रुपये का + 10 \% के 16000 रुपये का + … + 10 \% के 1000 रुपये का।

$\hspace{3.7cm} =10 \% \text { के } (18000+17000+16000+\ldots+1000)$

$\hspace{3.7cm}=10 \% \text { के } (1000+2000+3000+\ldots+18000) \qquad\ldots .(1)$

यहाँ, 1000, 2000, 3000, … 18000 एक $A.P.$ बनाते हैं जिसके पहला पद और सार्व अंतर दोनों 1000 के बराबर हैं।

मान लीजिए $A.P.$ के पदों की संख्या $n$ है।

$\therefore 18000=1000+(\mathrm{n}-1)(1000) $

$\Rightarrow \mathrm{n}=18 $

$\therefore \mathrm{S}_ {18}=1000+2000+\ldots+18000 $

$\qquad\quad=\dfrac{18}{2}\big[2(1000)+(18-1)(1000)\big]$

$\qquad\quad=9\big[2000+17000\big]=171000$

इसलिए, समीकरण (1) से,

$\text { कुल ब्याज }=10 \% \text { के } (18000+17000+16000+\ldots+1000) $

$\hspace{3.1cm}=10 \% \text { के रुपये } 1,71,000$

$\hspace{3.1cm}=\text { रुपये } 17,100$

इसलिए, उसके लिए स्कूटर की कीमत रुपये $22000+17100=39100$ है

उत्तर : प्रश्न के अनुसार, एक व्यक्ति अपने 4 दोस्तों को पत्र लिखता है। अब, इन 4 दोस्तों में से प्रत्येक अपने 4 दोस्तों को पत्र लिखेगा। इसलिए, यहाँ लिखे गए पत्रों की संख्या $4{ }^2$ होगी

इसका जारी रहता है…

इसलिए, लिखे गए अक्षरों की संख्या एक गुणोत्तर श्रेणी (G.P.) बनती है $4,4^2, 4^3, \ldots .4^8$

यहाँ, $a=4, r=4, n=8$

हम जानते हैं कि $n$ पदों के योग के लिए G.P. के योग $=\dfrac{a\left(r^n-1\right)}{r-1}$

इसलिए, 8 पदों के योग के लिए G.P. के योग $=\dfrac{4\left(4^8-1\right)}{4^{-1}}=\dfrac{4(65536-1)}{3}=\dfrac{4 \times 65535}{3}=87380$

इसलिए, 8 वें अक्षर सेट में लिखे गए अक्षरों की संख्या $87380$ है।

एक अक्षर के पता लगाने की लागत $50$ पैसा है

इसलिए, $87380$ अक्षर के पता लगाने की लागत रुपये में $\dfrac{50}{100} \times 8738 0=$ रुपये $43690$ है।

उत्तर :

दिया गया है कि आदमी ने बैंक में रुपये $10000$ की रकम ब्याज की दर $5\%$ साधारण ब्याज के रूप में जमा कर दिया।

$\therefore \ \ $ पहले वर्ष का ब्याज $ =\dfrac{5}{100} \times Rs 10000=Rs 500 $

$\therefore \ \ $ $15^{\text{th }}$ वर्ष में रकम $=Rs$ $ 10000+\underbrace{500+500+\ldots+500} _ {14 \text{ बार }} $

$\hspace{3.3cm}=$ Rs $10000+14 \times$ Rs $500$

$\hspace{3.3cm}=$ Rs $10000+$ Rs $7000$

$\hspace{3.3cm}=$ Rs $17000$

20 वर्ष बाद रकम $=$ Rs $10000+\underbrace{500+500+\ldots+500} _ {20 \text{ बार }} $

$\hspace{3cm}=$ Rs $10000+20 \times$ Rs $500$

$\hspace{3cm}=$ Rs $10000+$ Rs $10000$

$\hspace{3cm}=$ Rs $20000$

उत्तर :

मशीन की लागत $=$ रुपये $15625$

मशीन प्रतिवर्ष 20\% की दर से घटती है।

इसलिए, प्रत्येक वर्ष के बाद इसका मूल्य मूल लागत के 80 \% होता है अर्थात $\dfrac{4}{5}$ मूल लागत के।

$\therefore \ \ $ 5 वर्ष के अंत में मूल्य $=15625 \times \underbrace{\dfrac{4}{5} \times \dfrac{4}{5} \times \ldots \times \dfrac{4}{5}} _ {5 \text{ बार }}=5 \times 1024=5120$

इसलिए, 5 वर्ष के अंत में मशीन का मूल्य Rs $5120$ है।

Answer :

मान लीजिए $x$ वह संख्या है जिसमें $150$ कर्मचारी काम पूरा करते हैं।

दिए गए जानकारी के अनुसार,

$150 x=150+146+142+\ldots .\left(x+8\right)$ पद

संख्या श्रेणी $150+146+142+\ldots .\left(x+8\right)$ पद एक $A.P.$ है जिसका पहला पद $146$, सार्व अंतर $- 4$ और पदों की संख्या $\left(x+8\right)$ है

$ \begin{aligned} & \Rightarrow 150 x=\dfrac{\left(x+8\right)}{2}[2\left(150\right)+\left(x+8-1\right)\left(-4\right)] \\ \\ & \Rightarrow 150 x=\left(x+8\right)[150+\left(x+7\right)\left(-2\right)] \\ \\ & \Rightarrow 150 x=\left(x+8\right)\left(150-2 x-14\right) \\ \\ & \Rightarrow 150 x=\left(x+8\right)\left(136-2 x\right) \\ \\ & \Rightarrow 75 x=\left(x+8\right)\left(68-x\right) \\ \\ & \Rightarrow 75 x=68 x-x^{2}+544-8 x \\ \\ & \Rightarrow x^{2}+75 x-60 x-544=0 \\ \\ & \Rightarrow x^{2}+15 x-544=0 \\ \\ & \Rightarrow x^{2}+32 x-17 x-544=0 \\ \\ & \Rightarrow x\left(x+32\right)-17\left(x+32\right)=0 \\ \\ & \Rightarrow\left(x-17\right)\left(x+32\right)=0 \\ \\ & \Rightarrow x=17 \text{ or } x=-32 \end{aligned} $

हालांकि, $x$ नकारात्मक नहीं हो सकता।

$\therefore \ \ x=17$

इसलिए, मूल रूप से, काम कितने दिनों में पूरा हुआ था $17.$

इसलिए, आवश्यक दिनों की संख्या $=\left(17+8\right)=25$