अध्याय 07 द्विपद प्रमेय
गणित एक सबसे सटीक विज्ञान है और इसके निष्कर्ष पूर्ण उपपत्तियों के योग्य होते हैं। - सी.पी. स्टीनमेट्ज
7.1 परिचय
पिछली कक्षाओं में हमने द्विपद जैसे $a+b$ और $a-b$ के वर्ग और घन खोजने के बारे में सीखा है। इनका उपयोग करके हम ऐसी संख्याओं के संख्यात्मक मानों की गणना कर सकते हैं, जैसे $ (98)^{2} = (100 - 2)^{2}, (999)^{3} = (1000 - 1)^{3} $, आदि। हालांकि, उच्च घातों जैसे $ (98)^{5}, (101)^{6} $, आदि के लिए, बार-बार गुणन के माध्यम से गणना करना कठिन हो जाता है। इस कठिनाई को द्विपद प्रमेय नामक एक प्रमेय द्वारा दूर किया गया था। यह $ (a + b)^{n} $ के विस्तार के लिए एक आसान तरीका प्रदान करता है, जहां $ n $ एक पूर्णांक या परिमेय संख्या हो। इस अध्याय में हम धनात्मक पूर्णांक घातांक के लिए द्विपद प्रमेय के अध्ययन करेंगे।
ब्लैज पास्कल (1623-1662 ई. स.)
7.2 धनात्मक पूर्णांक सूचकांकों के द्विपद प्रमेय
हम निम्नलिखित पहले किए गए पहचानों को देखें:
$ \begin{aligned} & (a+b)^{0}=1 ; a+b \neq 0 \\ & (a+b)^{1}=a+b \\ & (a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \\ & (a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{3}+b^{3} \\ & (a+b)^{4}=(a+b)^{3}(a+b)=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}
\end{aligned} $
इन विस्तारों में हम देख सकते हैं कि
(i) विस्तार में कुल पदों की संख्या सूचकांक से एक अधिक होती है। उदाहरण के लिए, $(a+b)^{2}$ के विस्तार में पदों की संख्या 3 है जबकि $(a+b)^{2}$ के सूचकांक 2 है।
(ii) पहली मात्रा ’ $a$ ’ के घात अगले पद में 1 कम होती जाती है जबकि दूसरी मात्रा ’ $b$ ’ के घात अगले पद में 1 बढ़ती जाती है।
(iii) विस्तार के प्रत्येक पद में $a$ और $b$ के घातों का योग समान होता है और यह $a+b$ के सूचकांक के बराबर होता है।
अब हम इन विस्तारों के गुणांकों को इस प्रकार व्यवस्थित करते हैं (चित्र 7.1):
चित्र 7.1
क्या हम इस तालिका में कोई पैटर्न देख सकते हैं जो हमें अगली पंक्ति लिखने में सहायता कर सकता है? हाँ, हम ऐसा देख सकते हैं। यह देखा जा सकता है कि सूचकांक 1 के पंक्ति में 1 के जोड़ से सूचकांक 2 के पंक्ति में 2 बनता है। सूचकांक 2 के पंक्ति में 1, 2 और 2, 1 के जोड़ से सूचकांक 3 के पंक्ति में 3 और 3 बनते हैं और इसी तरह आगे चलते रहेंगे। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक पंक्ति के शुरुआत और अंत में 1 उपलब्ध होता है। यह कोई भी हमारी रुचि के सूचकांक तक जारी रह सकता है।
हम आकृति 7.2 में दिए गए पैटर्न को और भी विस्तारित कर सकते हैं दो और पंक्तियों को लिखकर।
आकृति 7.2
पास्कल के त्रिकोण
आकृति 7.2 में दिए गए संरचना के आकार में एक त्रिकोण होता है जिसके शीर्ष शीर्ष पर 1 होता है और दोनों झुके हुए भुजाओं पर नीचे बढ़ता है। इस संख्या के आवरण को पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है, जिसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेज पास्कल के नाम पर रखा गया है। इसे भारतीय गणितज्ञ पिंगला द्वारा मेरु प्रस्तार के रूप में भी जाना जाता है।
बाइनोमियल के उच्च घातों के विस्तार भी पास्कल के त्रिकोण का उपयोग करके किए जा सकते हैं। चलो पास्कल के त्रिकोण का उपयोग करके $(2 x+3 y)^{5}$ का विस्तार करें। सूचकांक 5 के लिए पंक्ति है
$ \begin{matrix} 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{matrix} $
इस पंक्ति और हमारे अवलोकन (i), (ii) और (iii) का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} (2 x+3 y)^{5} & =(2 x)^{5}+5(2 x)^{4}(3 y)+10(2 x)^{3}(3 y)^{2}+10(2 x)^{2}(3 y)^{3}+5(2 x)(3 y)^{4}+(3 y)^{5} \\ & =32 x^{5}+240 x^{4} y+720 x^{3} y^{2}+1080 x^{2} y^{3}+810 x y^{4}+243 y^{5}
\end{aligned} $
अब, यदि हम $(2 x+3 y)^{12}$ के विस्तार को खोजना चाहते हैं, तो हमें सबसे पहले सूचकांक 12 के लिए पंक्ति प्राप्त करनी पड़ेगी। इसके लिए हम पैस्कल के त्रिकोण की सभी पंक्तियों को लिख सकते हैं जब तक सूचकांक 12 तक पहुंच जाए। यह एक थोड़ा लंबा प्रक्रिया है। आप देख सकते हैं कि यह प्रक्रिया अधिक कठिन हो जाएगी, यदि हम अधिक शक्ति वाले विस्तारों के लिए खोज रहे हों।
हम इसलिए एक नियम खोजने की कोशिश करते हैं जो हमें किसी भी शक्ति के द्विपदी के विस्तार को खोजने में सहायता करे बिना पैस्कल के त्रिकोण की सभी पंक्तियों को लिखने की आवश्यकता न हो।
इसके लिए हम पिछले अध्याय में अध्ययन किए गए संयोजन की अवधारणा का उपयोग करते हैं ताकि पैस्कल के त्रिकोण में संख्याओं को फिर से लिखा जा सके। हम जानते हैं कि ${ }^{n} C_r=\frac{n !}{r !(n-r) !}, 0 \leq r \leq n$ और $n$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। इसके अतिरिक्त, ${ }^{n} C_0=1={ }^{n} C_n$ होता है।
अब पैस्कल के त्रिकोण को इस प्रकार लिखा जा सकता है (चित्र 7.3)
चित्र 7.3 पैस्कल के त्रिकोण
इस पैटर्न को देखते हुए, अब हम किसी भी सूचकांक के पैस्कल के त्रिकोण की पंक्ति को बिना पहली पंक्तियों को लिखे लिख सकते हैं। उदाहरण के लिए, सूचकांक 7 के लिए पंक्ति होगी
$ { }^{7} C_0 \quad{ }^{7} C_1 \quad{ }^{7} C_2 \quad{ }^{7} C_3 \quad{ }^{7} C_4 \quad{ }^{7} C_5 \quad{ }^{7} C_6 \quad{ }^{7} C_7 $
इस पंक्ति और अवलोकन (i), (ii) और (iii) का उपयोग करते हुए, हम निम्नलिखित प्राप्त कर सकते हैं
$(a+b)^{7}={ }^{7} C_0 a^{7}+7 C_1 a^{6} b+{ }^{7} C_2 a^{5} b^{2}+{ }^{7} C_3 a^{4} b^{3}+7 C_4 a^{3} b^{4}+{ }^{7} C_5 a^{2} b^{5}+{ }^{7} C_6 a b^{6}+{ }^{7} C_7 b^{7}$
एक द्विपद के कोई भी धनात्मक पूर्णांक घात तक विस्तार को अब इन अवलोकनों के माध्यम से देखा जा सकता है। अब हम एक द्विपद के कोई भी धनात्मक पूर्णांक घात तक विस्तार लिखने के लिए तैयार हैं।
7.2.1 कोई भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए द्विपद प्रमेय,
$ (a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{ n} C_n b^{n} $
उपपत्ति उपपत्ति के लिए गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुप्रयोग करके प्राप्त की जाती है।
मान लीजिए दिया गया कथन है
$ P(n):(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} $
$ n=1 $ के लिए, हमारे पास है
$ P(1):(a+b)^{1}={ }^{1} C_0 a^{1}+{ }^{1} C_1 b^{1}=a+b $
इसलिए, $ P(1) $ सत्य है।
मान लीजिए $ P(k) $ के लिए कुछ धनात्मक पूर्णांक $ k $ के लिए सत्य है, अर्थात
$ (a+b)^{k}={ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_k b^{k} \qquad …….(1) $
हम दिखाएंगे कि $ P(k+1) $ भी सत्य है, अर्थात
$ (a+b)^{k+1}={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_{k+1} b^{k+1}
$
अब, $(a+b)^{k+1}=(a+b)(a+b)^{k}$
$ =(a+b)({ }^{k} C_0 a^{k}+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b+{ }^{k} C_2 a^{k-2} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C_{k-1} a b^{k-1}+{ }^{k} C_k b^{k}) \quad [\text{समीकरण}(1) से] $
$={ }^{k} C_0 a^{k+1}+{ }^{k} C_1 a^{k} b+{ }^{k} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k} C _{k-1} a^{2} b^{k-1}+{ }^{k} C_k a b^{k}+{ }^{k} C_0 a^{k} b$ $+{ }^{k} C_1 a^{k-1} b^{2}+{
[वास्तविक गुणा द्वारा]
$={ }^{k} C_0 a^{k+1}+({ }^{k} C_1+{ }^{k} C_0) a^{k} b+({ }^{k} C_2+{ }^{k} C_1) a^{k-1} b^{2}+\ldots$
$+({ }^{k} C_k+{ }^{k} C _{k-1}) a b^{k}+{ }^{k} C_k b^{k+1} \quad$ [समान पदों का समूहन]
$={ }^{k+1} C_0 a^{k+1}+{ }^{k+1} C_1 a^{k} b+{ }^{k+1} C_2 a^{k-1} b^{2}+\ldots+{ }^{k+1} C_k a b^{k}+{ }^{k+1} C _{k+1} b^{k+1}$
(उपयोग करके ${ }^{k+1} C_0=1,{ }^{k} C_r+{ }^{k} C _{r-1}={ }^{k+1} C_r \quad$ और $\quad{ }^{k} C_k=1={ }^{k+1} C _{k+1}$ )
इसलिए, जब $P(k)$ सत्य होता है तब $P(k+1)$ भी सत्य होता है। अतः, गणितीय आगमन के सिद्धांत के अनुसार, प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $P(n)$ सत्य होता है।
हम इस प्रमेय को समझाने के लिए $(x+2)^{6}$ को विस्तारित करते हैं:
$ \begin{aligned} (x+2)^{6} & ={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5} \cdot 2+{ }^{6} C_2 x^{4} 2^{2}+{ }^{6} C_3 x^{3} \cdot 2^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2} \cdot 2^{4}+{ }^{6} C_5 x \cdot 2^{5}+{ }^{6} C_6 \cdot 2^{6} . \\ & =x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64 \end{aligned} $
इसलिए $(x+2)^{6}=x^{6}+12 x^{5}+60 x^{4}+160 x^{3}+240 x^{2}+192 x+64$.
अवलोकन
1. संकेतन $\sum_{k=0}^{n}{ }^{n} C_k a^{n-k} b^{k}$ के लिए
/ no_think
${ }^{n} C_0 a^{n} b^{0}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b^{1}+\ldots+{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n-n} b^{n}$, जहाँ $b^{0}=1=a^{n-n}$।
इसलिए प्रमेय को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है
$ (a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{ }^{n} \mathrm{C} _{k} a^{n-k} b^{k} $
2. द्विपद प्रमेय में आने वाले ${ }^{n} C_r$ गुणांकों को द्विपद गुणांक कहते हैं।
3. $(a+b)^{n}$ के विस्तार में $(n+1)$ पद होते हैं, अर्थात इंडेक्स से एक अधिक।
4. विस्तार के क्रमागत पदों में $a$ का घात एक-एक करके घटती जाती है। पहले पद में यह $n$ होती है, दूसरे पद में $(n-1)$ होती है, और इसी तरह अंतिम पद में यह शून्य होती है। इसी समय $b$ का घात एक-एक करके बढ़ती जाती है, पहले पद में यह शून्य होती है, दूसरे पद में 1 होती है और इसी तरह अंतिम पद में यह $n$ होती है।
5. $(a+b)^{n}$ के विस्तार में, पहले पद में $a$ और $b$ के घातों का योग $n+0=n$ होता है, दूसरे पद में $(n-1)+1=n$ होता है और इसी तरह अंतिम पद में $0+n=n$ होता है। इस प्रकार, विस्तार के प्रत्येक पद में $a$ और $b$ के घातों का योग $n$ होता है।
7.2.2 कुछ विशेष मामले
$(a+b)^{n}$ के विस्तार में,
(i) $a=x$ और $b=-y$ लेकर, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} (x-y)^{n} & =[x+(-y)]^{n} \\ & ={ }^{n} C_0 x^{n}+{ }^{n} C_1 x^{n-1}(-y)+{ }^{n} C_2 x^{n-2}(-y)^{2}+{ }^{n} C_3 x^{n-3}(-y)^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n(-y)^{n} \\
& ={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}-{ }^{n} C_3 x^{n-3} y^{3}+\ldots+(-1)^{n}~{ }^{n} C_n y^{n} \end{aligned} $
अतः $(x-y)^{n}={ }^{n} C_0 x^{n}-{ }^{n} C_1 x^{n-1} y+{ }^{n} C_2 x^{n-2} y^{2}+\ldots+(-1)^{n}~{ }^{n} C_n y^{n}$
इसका उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $\quad(x-2 y)^{5}={ }^{5} C_0 x^{5}-{ }^{5} C_1 x^{4}(2 y)+{ }^{5} C_2 x^{3}(2 y)^{2}-{ }^{5} C_3 x^{2}(2 y)^{3}+{ }^{5} C_4 x(2 y)^{4}-{ }^{5} C_5(2 y)^{5}$
$ \begin{aligned} = & x^{5}-10 x^{4} y+40 x^{3} y^{2}-80 x^{2} y^{3}+80 x y^{4}-32 y^{5} .
\end{aligned} $
(ii) $a=1, b=x$ लेकर, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{gathered} (1+x)^{n}={ }^{n} C_0(1)^{n}+{ }^{n} C_1(1)^{n-1} x+{ }^{n} C_2(1)^{n-2} x^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \\ ={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n} \end{gathered} $
इसलिए $\quad(1+x)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}+{ }^{n} C_3 x^{3}+\ldots+{ }^{n} C_n x^{n}$
विशेष रूप से, $x=1$ के लिए, हम प्राप्त करते हैं
$ 2^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2+\ldots+{ }^{n} C_n $
(iii) $a=1, b=-x$ लेकर, हम प्राप्त करते हैं
$ (1-x)^{n}={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1 x+{ }^{n} C_2 x^{2}-\ldots+(-1)^{n}~{ }^{n} C_n x^{n} $
विशेष रूप से, $x=1$ के लिए, हम प्राप्त करते हैं
$ 0={ }^{n} C_0-{ }^{n} C_1+{ }^{n} C_2-\ldots+(-1)^{n}~{ }^{n} C_n $
उदाहरण 1 $(x^{2}+\frac{3}{x})^{4}, x \neq 0$ को विस्तार करें
हल द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} x^{2}+\frac{3}{x} & ={ }^{4} C_0(x^{2})^{4}+{ }^{4} C_1(x^{2})^{3}(\frac{3}{x})+{ }^{4} C_2(x^{2})^{2}(\frac{3}{x})^{2}+{ }^{3} C_4(x^{2})(\frac{3}{x})^{3}+{ }^{4} C_4(\frac{3}{x})^{4} \\
& =x^{8}+4 \cdot x^{6} \cdot \frac{3}{x}+6 \cdot x^{4} \cdot \frac{9}{x^{2}}+4 \cdot x^{2} \cdot \frac{27}{x^{3}}+\frac{81}{x^{4}} \\ & =x^{8}+12 x^{5}+54 x^{2}+\frac{108}{x}+\frac{83}{x^{4}} . \end{aligned} $
उदाहरण 2 $ (98)^{5} $ की गणना करें।
हल हम 98 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में लिखते हैं, जिनके घातों की गणना आसान हो, फिर द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हैं।
लिखें $ 98 = 100 - 2 $
इसलिए, $ (98)^{5} = (100 - 2)^{5} $
$ \begin{aligned} = & { }^{5} C_0(100)^{5}-{ }^{5} C_1(100)^{4} .2+{ }^{5} C_2(100)^{3} 2^{2}
-{ }^{5} C_3(100)^{2}(2)^{3}+{ }^{5} C_4(100)(2)^{4}-{ }^{5} C_5(2)^{5} \\ = & 10000000000-5 \times 100000000 \times 2+10 \times 1000000 \times 4-10 \times 10000\times 8+5 \times 100 \times 16-32 \\ = & 10040008000-1000800032=9039207968 . \end{aligned} $
उदाहरण 3 (1.01) ${ }^{1000000}$ या 10,000 में से कौन बड़ा है?
हल 1.01 को विभाजित करके और द्विपद प्रमेय का उपयोग करके पहले कुछ शब्दों को लिखने पर हमें प्राप्त होता है
$ \begin{aligned} (1.01)^{1000000} & =(1+0.01)^{1000000} \\ & ={ }^{1000000} C_0+{ }^{1000000} C_1(0.01)+\text{ अन्य धनात्मक शब्द } \\
$$ \begin{aligned} & =1+1000000 \times 0.01+\text{ अन्य धनात्मक पद } \\ & =1+10000+\text{ अन्य धनात्मक पद } \\ & > 10000 \end{aligned} $$
अतः $\quad(1.01)^{1000000} > 10000$
उदाहरण 4 द्विपद प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध कीजिए कि $6^{n}-5 n$ 25 से विभाजित करने पर शेषफल 1 होता है।
हल दो संख्याओं $a$ और $b$ के लिए यदि हम $a = b q + r$ के रूप में संख्याओं $q$ और $r$ ज्ञात कर सकते हैं, तो हम कहते हैं कि $b$ निश्चित रूप से $a$ को विभाजित करता है जहाँ $q$ भागफल और $r$ शेषफल होता है। अतः $6^{n}-5 n$ को 25 से विभाजित करने पर शेषफल 1 होता है इसको सिद्ध करने के लिए हम सिद्ध करते हैं कि $6^{n}-5 n=25 k+1$, जहाँ $k$ कोई धनात्मक पूर्णांक होता है।
हमारे पास
$ (1+a)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 a+{ }^{n} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n a^{n} $
जब $a=5$ हो, तो हमें प्राप्त होता है
$ (1+5)^{n}={ }^{n} C_0+{ }^{n} C_1 5+{ }^{n} C_2 5^{2}+\ldots+{ }^{n} C_n 5^{n} $
अर्थात $ \quad (6)^{n}=1+5 n+5^{2} \cdot{ }^{n} C_2+5^{3} \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n} $
अर्थात $\quad 6^{n}-5 n=1+5^{2}({ }^{n} C_2+{ }^{n} C_3 5+\ldots+5^{n-2})$
या $\quad 6^{n}-5 n=1+25({ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2})$
या $ \quad 6^{n}-5 n=25 k+1 \quad \text{ where } k={ }^{n} C_2+5 \cdot{ }^{n} C_3+\ldots+5^{n-2} $
यह दिखाता है कि जब $25$ से विभाजित किया जाता है, तो $6^{n}-5 n$ शेष 1 छोड़ता है ।
EXERCISE 7.1
अभ्यास प्रश्न $1$ से $5$ तक के प्रत्येक व्यंजक को विस्तारित कीजिए।
1. $\left(1-2 x\right)^{5}$
उत्तर दिखाएँ
उत्तर :
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(1- 2 x\right)^{5}$ को विस्तारित कर सकते हैं
$\left(1-2 x\right)^{5}$ $={ }^{5} C_0\left(1\right)^{5}-{ }^{5} C_1\left(1\right)^{4}\left(2 x\right)+{ }^{5} C_2\left(1\right)^{3}\left(2 x\right)^{2}-{ }^{5} C_3\left(1\right)^{2}\left(2 x\right)^{3}+{ }^{5} C_4\left(1\right)^{1}\left(2 x\right)^{4}-{ }^{5} C_5\left(2 x\right)^{5}$
$\qquad \ \qquad=1-5\left(2 x\right)+10\left(4 x^{2}\right)-10\left(8 x^{3}\right)+5\left(16 x^{4}\right)-\left(32 x^{5}\right)$
$\qquad \ \qquad=1-10 x+40 x^{2}-80 x^{3}+80 x^{4}-32 x^{5}$
2. $\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2}\right)^{5}$
उत्तर दिखाएँ
उत्तर :
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2}\right)^{5}$ को विस्तारित कर सकते हैं
$ \begin{aligned} \left(\dfrac{2}{x}-\dfrac{x}{2}\right)^{5} \ = \ & { }^{5} C_0\left(\dfrac{2}{x}\right)^{5}-{ }^{5} C_1\left(\dfrac{2}{x}\right)^{4}\left(\dfrac{x}{2}\right)+{ }^{5} C_2\left(\dfrac{2}{x}\right)^{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2} -{ }^{5} C_3\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{3}+{ }^{5} C_4\left(\dfrac{2}{x}\right)\left(\dfrac{x}{2}\right)^{4}-{ }^{5} C_5\left(\dfrac{x}{2}\right)^{5} \\ \\ \ = \ & \dfrac{32}{x^{5}}-5\left(\dfrac{16}{x^{4}}\right)\left(\dfrac{x}{2}\right)+10\left(\dfrac{8}{x^{3}}\right)\left(\dfrac{x^{2}}{4}\right)-10\left(\dfrac{4}{x^{2}}\right)\left(\dfrac{x^{3}}{8}\right)+5\left(\dfrac{2}{x}\right)\left(\dfrac{x^{4}}{16}\right)-\dfrac{x^{5}}{32} \\ \\ \ = \ & \dfrac{32}{x^{5}}-\dfrac{40}{x^{3}}+\dfrac{20}{x}-5 x+\dfrac{5}{8} x^{3}-\dfrac{x^{5}}{32} \end{aligned} $
3. $\left(2 x-3\right)^{6}$
उत्तर दिखाएँ
उत्तर :
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(2x- 3\right)^{6}$ को विस्तारित कर सकते हैं
$ \begin{aligned} \left(2 x-3\right)^{6} \ = \ & { }^{6} C_0\left(2 x\right)^{6}-{ }^{6} C_1\left(2 x\right)^{5}\left(3\right)+{ }^{6} C_2\left(2 x\right)^{4}\left(3\right)^{2}-{ }^{6} C_3\left(2 x\right)^{3}\left(3\right)^{3} +{ }^{6} C_4\left(2 x\right)^{2}\left(3\right)^{4}-{ }^{6} C_5\left(2 x\right)\left(3\right)^{5}+{ }^{6} C_6\left(3\right)^{6} \\ \\ \ = \ & 64 x^{6}-6\left(32 x^{5}\right)\left(3\right)+15\left(16 x^{4}\right)\left(9\right)-20\left(8 x^{3}\right)\left(27\right) +15\left(4 x^{2}\right)\left(81\right)-6\left(2 x\right)\left(243\right)+729 \\ \\ \ = \ & 64 x^{6}-576 x^{5}+2160 x^{4}-4320 x^{3}+4860 x^{2}-2916 x+729 \end{aligned} $
4. $\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x}\right)^{5}$
उत्तर दिखाएं
उत्तर :
बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x}\right)^{5}$ को विस्तारित कर सकते हैं
$ \begin{aligned} \left(\dfrac{x}{3}+\dfrac{1}{x}\right)^{5} \ = \ & { }^{5} C_0\left(\dfrac{x}{3}\right)^{5}+{ }^{5} C_1\left(\dfrac{x}{3}\right)^{4}\left(\dfrac{1}{x}\right)+{ }^{5} C_2\left(\dfrac{x}{3}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2} +{ }^{5} C_3\left(\dfrac{x}{3}\right)^{2}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{3}+{ }^{5} C_4\left(\dfrac{x}{3}\right)\left(\dfrac{1}{x}\right)^{4}+{ }^{5} C_5\left(\dfrac{1}{x}\right)^{5} \\ \\ \ = \ & \dfrac{x^{5}}{243}+5\left(\dfrac{x^{4}}{81}\right)\left(\dfrac{1}{x}\right)+10\left(\dfrac{x^{3}}{27}\right)\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)+10\left(\dfrac{x^{2}}{9}\right)\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)+5\left(\dfrac{x}{3}\right)\left(\dfrac{1}{x^{4}}\right)+\dfrac{1}{x^{5}} \\ \\ \ = \ & \dfrac{x^{5}}{243}+\dfrac{5 x^{3}}{81}+\dfrac{10 x}{27}+\dfrac{10}{9 x}+\dfrac{5}{3 x^{3}}+\dfrac{1}{x^{5}} \end{aligned} $
5. $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{6}$
उत्तर दिखाएं
उत्तर :
बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके व्यंजक $\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{6}$ को विस्तारित कर सकते हैं
$ \begin{aligned} \left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{6} \ = \ & { }^{6} C_0\left(x\right)^{6}+{ }^{6} C_1\left(x\right)^{5}\left(\dfrac{1}{x}\right)+{ }^{6} C_2\left(x\right)^{4}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{2} +{ }^{6} C_3\left(x\right)^{3}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{3}+{ }^{6} C_4\left(x\right)^{2}\left(\dfrac{1}{x}\right)^{4}+{ }^{6} C_5\left(x\right)\left(\dfrac{1}{x}\right)^{5}+{ }^{6} C_6\left(\dfrac{1}{x}\right)^{6} \\ \\
\ = \ & x^{6}+6\left(x\right)^{5}\left(\dfrac{1}{x}\right)+15\left(x\right)^{4}\left(\dfrac{1}{x^{2}}\right)+20\left(x\right)^{3}\left(\dfrac{1}{x^{3}}\right)+15\left(x\right)^{2}\left(\dfrac{1}{x^{4}}\right)+6\left(x\right)\left(\dfrac{1}{x^{5}}\right)+\dfrac{1}{x^{6}} \\ \\ \ = \ & x^{6}+6 x^{4}+15 x^{2}+20+\dfrac{15}{x^{2}}+\dfrac{6}{x^{4}}+\dfrac{1}{x^{6}} \end{aligned} $
बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करके निम्नलिखित में से प्रत्येक का मूल्यांकन करें:
6. $\left(96\right)^{3}$
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Answer :
96 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनके घातों को आसानी से गणना किया जा सकता है और फिर, बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।
इसे लिखा जा सकता है, $96=100- 4$
$ \begin{aligned} \therefore \ \ \left(96\right)^{3} & =\left(100-4\right)^{3} \\ \\ & ={ }^{3} C_0\left(100\right)^{3}-{ }^{3} C_1\left(100\right)^{2}\left(4\right)+{ }^{3} C_2\left(100\right)\left(4\right)^{2}-{ }^{3} C_3\left(4\right)^{3} \\ \\ & =\left(100\right)^{3}-3\left(100\right)^{2}\left(4\right)+3\left(100\right)\left(4\right)^{2}-\left(4\right)^{3} \\ \\ & =1000000-120000+4800-64 \\ \\ & =884736 \end{aligned} $
7. $\left(102\right)^{5}$
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Answer :
$102$ को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनके घातों को आसानी से गणना किया जा सकता है और फिर, बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।
इसे लिखा जा सकता है, $102=100+2$
$ \begin{aligned} \therefore \ \ \left(102\right)^{5} \ = \ & \left(100+2\right)^{5} \\ \\ \ = \ & { }^{5} C_0\left(100\right)^{5}+{ }^{5} C_1\left(100\right)^{4}\left(2\right)+{ }^{5} C_2\left(100\right)^{3}\left(2\right)^{2}+{ }^{5} C_3\left(100\right)^{2}\left(2\right)^{3} +{ }^{5} C_4\left(100\right)\left(2\right)^{4}+{ }^{5} C_5\left(2\right)^{5} \\ \\ \ = \ & \left(100\right)^{5}+5\left(100\right)^{4}\left(2\right)+10\left(100\right)^{3}\left(2\right)^{2}+10\left(100\right)^{2}\left(2\right)^{3}+5\left(100\right)\left(2\right)^{4}+\left(2\right)^{5} \\ \\
\ = \ & 10000000000+1000000000+40000000+800000+8000+32 \\ \\ \ = \ & 11040808032 \end{aligned} $
8. $\left(101\right)^{4}$
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Answer :
$101$ को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में लिखा जा सकता है, जिनके घातों की गणना आसान होती है और फिर, द्विपद प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।
इसे लिखा जा सकता है, $101=100+1$
$ \begin{aligned} \therefore \ \ \left(101\right)^{4} & =\left(100+1\right)^{4} \\ \\ & ={ }^{4} C_0\left(100\right)^{4}+{ }^{4} C_1\left(100\right)^{3}\left(1\right)+{ }^{4} C_2\left(100\right)^{2}\left(1\right)^{2}+{ }^{4} C_3\left(100\right)\left(1\right)^{3}+{ }^{4} C_4\left(1\right)^{4} \\ \\ & =\left(100\right)^{4}+4\left(100\right)^{3}+6\left(100\right)^{2}+4\left(100\right)+\left(1\right)^{4} \\ \\ & =100000000+4000000+60000+400+1 \\ \\ & =104060401 \end{aligned} $
9. $\left(99\right)^{5}$
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Answer :
99 को दो संख्याओं के योग या अंतर के रूप में लिखा जा सकता है, जिनके घातों की गणना आसान होती है और फिर, द्विपद प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है।
इसे लिखा जा सकता है, $99=100- 1$
$ \begin{aligned} \therefore \ \ \left(99\right)^{5} \ = \ & \left(100-1\right)^{5} \\ \\ \ = \ & { }^{5} C_0\left(100\right)^{5}-{ }^{5} C_1\left(100\right)^{4}\left(1\right)+{ }^{5} C_2\left(100\right)^{3}\left(1\right)^{2}-{ }^{5} C_3\left(100\right)^{2}\left(1\right)^{3} +{ }^{5} C_4\left(100\right)\left(1\right)^{4}-{ }^{5} C_5\left(1\right)^{5} \\ \\ \ = \ & \left(100\right)^{5}-5\left(100\right)^{4}+10\left(100\right)^{3}-10\left(100\right)^{2}+5\left(100\right)-1 \\ \\ \ = \ & 10000000000-500000000+10000000-100000+500-1 \\ \\ \ = \ & 10010000500-500100001 \\ \\ \ = \ & 9509900499 \end{aligned} $
10. द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, बताइए कि $\left(1.1\right)^{10000}$ या 1000 में से कौन संख्या बड़ी है।
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Answer :
$1.1$ को विभाजित करके फिर द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, $\left(1.1\right)^{10000}$ के पहले कुछ पद निम्नलिखित रूप में प्राप्त किए जा सकते हैं
$ \begin{aligned} \left(1.1\right)^{10000} & =\left(1+0.1\right)^{10000} \\ \\ & ={ }^{10000} C_0+{ }^{10000} C_1\left(1.1\right)+\text{ Other positive terms } \\ \\ & =1+10000 \times 1.1+\text{ Other positive terms } \\ \\ & =1+11000+\text{ Other positive terms } \ >1000 \end{aligned} $
अतः, $\left(1.1\right)^{10000}>1000$
11. $\left(a+b\right)^{4}-\left(a-b\right)^{4}$ ज्ञात कीजिए। इसके आधार पर, $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{4}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{4}$ का मूल्यांकन कीजिए।
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Answer :
बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए, व्यंजक, $\left(a+b\right)^{4}$ और $\left(a-b\right)^{4}$, निम्नलिखित रूप में विस्तारित किए जा सकते हैं
$ \begin{aligned} & \left(a+b\right)^{4}={ }^{4} C_0 a^{4}+{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}+{ }^{4} C_3 ab^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4} \\ \\ & \left(a-b\right)^{4}={ }^{4} C_0 a^{4}-{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}-{ }^{4} C_3 a b^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4} \\ \\ & \begin{aligned} \therefore \ \ \left(a+b\right)^{4}-\left(a-b\right)^{4} \ = \ & { }^{4} C_0 a^{4}+{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}+{ }^{4} C_3 a b^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4} -\big[{ }^{4} C_0 a^{4}-{ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_2 a^{2} b^{2}-{ }^{4} C_3 a b^{3}+{ }^{4} C_4 b^{4}\big] \\ \\ \ = \ & 2\left({ }^{4} C_1 a^{3} b+{ }^{4} C_3 a b^{3}\right)=2\left(4 a^{3} b+4 a b^{3}\right) \\ \\ \ = \ & 8 ab\left(a^{2}+b^{2}\right) \end{aligned} \end{aligned} $
$ a=\sqrt{3} $ और $ b=\sqrt{2} $ के लिए, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{4}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{4} & =8\left(\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}\right)\left\{\left(\sqrt{3}\right)^{2}+\left(\sqrt{2}\right)^{2}\right\} \\ \\ & =8\left(\sqrt{6}\right)\{3+2\}=40 \sqrt{6} \end{aligned} $
12. $\left(x+1\right)^{6}+\left(x-1\right)^{6}$ ज्ञात कीजिए। इसके आधार पर या अन्य विधि से $\left(\sqrt{2}+1\right)^{6}+\left(\sqrt{2}-1\right)^{6}$ का मूल्यांकन कीजिए।
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Answer :
बाइनोमियल प्रमेय का उपयोग करते हुए, व्यंजक, $\left(x+1\right)^{6}$ और $\left(x - 1\right)^{6}$, निम्नलिखित रूप में विस्तारित किए जा सकते हैं
$ \begin{aligned} & \left(x+1\right)^{6}={ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_1 x^{5}+{ }^{6} C_2 x^{4}+{ }^{6} C_3 x^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2}+{ }^{6} C_5 x+{ }^{6} C_6 \\ \\ & \left(x-1\right)^{6}={ }^{6} C_0 x^{6}-{ }^{6} C_1 x^{5}+{ }^{6} C_2 x^{4}-{ }^{6} C_3 x^{3}+{ }^{6} C_4 x^{2}-{ }^{6} C_5 x+{ }^{6} C_6 \\ \\ & \therefore \ \ \left(x+1\right)^{6}+\left(x-1\right)^{6}=2\big[{ }^{6} C_0 x^{6}+{ }^{6} C_2 x^{4}+{ }^{6} C_4 x^{2}+{ }^{6} C_6\big] =2\big[x^{6}+15 x^{4}+15 x^{2}+1\big] \end{aligned} $
$ x = \sqrt{2} $ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} \left(\sqrt{2}+1\right)^{6}+\left(\sqrt{2}-1\right)^{6} & =2\big[\left(\sqrt{2}\right)^{6}+15\left(\sqrt{2}\right)^{4}+15\left(\sqrt{2}\right)^{2}+1\big] \\ \\ & =2\left(8+15 \times 4+15 \times 2+1\right) \\ \\ & =2\left(8+60+30+1\right) \\ \\ & =2\left(99\right)=198 \end{aligned} $
13. सिद्ध करें कि $9^{n+1}-8 n-9$ एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $64$ से विभाज्य होता है।
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Answer :
$9^{n+1}-8 n-9$ के $64$ से विभाज्य होने को सिद्ध करने के लिए, यह सिद्ध करना होगा कि,
$9^{n+1}-8 n-9=64 k$, जहाँ $k$ कोई धनात्मक पूर्णांक है
द्विपद प्रमेय के अनुसार,
$\left(1+a\right)^{m}={ }^{m} C_0+{ }^{m} C_1 a+{ }^{m} C_2 a^{2}+\ldots+{ }^{m} C_m a^{m}$
जब $a=8$ और $m=n+1$ हो, तो हम प्राप्त करते हैं
$\left(1+8\right)^{n+1}={ }^{n+1} C_0+{ }^{n+1} C_1\left(8\right)+{ }^{n+1} C_2\left(8\right)^{2}+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}\left(8\right)^{n+1}$
$\Rightarrow \quad 9^{n+1}=1+\left(n+1\right)\left(8\right)+8^{2}\big[{ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 \times 8+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}\left(8\right)^{n-1}\big]$
$\Rightarrow \quad 9^{n+1}=9+8 n+64\big[{ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 \times 8+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}\left(8\right)^{n-1}\big]$
$\Rightarrow \quad 9^{n+1}-8 n-9=64 k$, जहाँ $k={ }^{n+1} C_2+{ }^{n+1} C_3 \times 8+\ldots+{ }^{n+1} C _{n+1}\left(8\right)^{n-1}$ एक धनात्मक पूर्णांक है
इसलिए, $9^{n+1}-8 n-9$ एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $64$ से विभाज्य होता है।
14. सिद्ध करें कि $\sum _{r=0}^{n} 3^{r}{ \ }^{n} C_r=4^{n}$
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उत्तर :
बाइनोमियल प्रमेय के अनुसार,
$ \sum _{r=0}^{n}{ }^{n} C_r a^{n-r} b^{r}=\left(a+b\right)^{n} $
उपरोक्त समीकरण में $b=3$ और $a=1$ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} & \sum _{r=0}^{n}{ }^{n} C_r\left(1\right)^{n-r}\left(3\right)^{r}=\left(1+3\right)^{n} \\ \\ & \Rightarrow \sum _{r=0}^{n} 3^{r}{ \ }^{n} C_r=4^{n} \end{aligned} $
अतः सिद्ध हुआ।
अध्याय 7 पर अतिरिक्त अभ्यास
1. यदि $a$ और $b$ भिन्न अपरिमेय संख्याएँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि $a-b$ एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $a^{n}-b^{n}$ का एक गुणक है।
$\big[$ संकेत: $a^{n}=\left(a-b+b\right)^{n}$ लिखें और विस्तार करें $\big]$
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उत्तर :
$ \left(a-b\right) $ के $ \left(a^{n} - b^{n}\right) $ का गुणक होने को सिद्ध करने के लिए, सिद्ध करना होगा कि $a^{n} - b^{n}=k\left(a - b\right)$,
जहाँ $k$ कोई धनात्मक पूर्णांक है। इसे लिखा जा सकता है, $a=a - b+b$
$ \begin{aligned} \therefore \ \ a^{n} & =\left(a-b+b\right)^{n}=\left[\left(a-b\right)+b\right]^{n} \\ \\ & ={ }^{n} C_0\left(a-b\right)^{n}+{ }^{n} C_1\left(a-b\right)^{n-1} b+\ldots+{ }^{n} C _{n-1}\left(a-b\right) b^{n-1}+{ }^{n} C_n b^{n} \\ \\ & =\left(a-b\right)^{n}+{ }^{n} C_1\left(a-b\right)^{n-1} b+\ldots+{ }^{n} C _{n-1}\left(a-b\right) b^{n-1}+b^{n} \\ \\ \Rightarrow \ \ & a^{n}-b^{n}=\left(a-b\right)\left[\left(a-b\right)^{n-1}+{ }^{n} C_1\left(a-b\right)^{n-2} b+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} b^{n-1}\right] \\ \\ \Rightarrow \ \ & a^{n}-b^{n}=k\left(a-b\right) \end{aligned} $
जहाँ, $k=\left[\left(a-b\right)^{n-1}+{ }^{n} C_1\left(a-b\right)^{n-2} b+\ldots+{ }^{n} C _{n-1} b^{n-1}\right]$ एक धनात्मक पूर्णांक है
इससे सिद्ध होता है कि $\left(a-b \right)$ एक धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए $\left(a^{n} - b^{n}\right)$ का एक गुणक है।
2. $\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{6}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{6}$ का मान ज्ञात कीजिए
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उत्तर :
पहले, व्यंजक $\left(a+b\right)^{6} -\left(a - b\right)^{6}$ को द्विपद प्रमेय का उपयोग करके सरल किया जाता है।
इसे इस प्रकार किया जा सकता है
$ \begin{aligned} \left(a+b\right)^{6} & ={ }^{6} C_0 a^{6}+{ }^{6} C_1 a^{5} b+{ }^{6} C_2 a^{4} b^{2}+{ }^{6} C_3 a^{3} b^{3}+{ }^{6} C_4 a^{2} b^{4}+{ }^{6} C_5 a^{1} b^{5}+{ }^{6} C_6 b^{6} \\ \\ & =a^{6}+6 a^{5} b+15 a^{4} b^{2}+20 a^{3} b^{3}+15 a^{2} b^{4}+6 a b^{5}+b^{6} \\ \\
$$ \left(a-b\right)^{6} & ={ }^{6} C_0 a^{6}-{ }^{6} C_1 a^{5} b+{ }^{6} C_2 a^{4} b^{2}-{ }^{6} C_3 a^{3} b^{3}+{ }^{6} C_4 a^{2} b^{4}-{ }^{6} C_5 a^{1} b^{5}+{ }^{6} C_6 b^{6} \\ \\ & =a^{6}-6 a^{5} b+15 a^{4} b^{2}-20 a^{3} b^{3}+15 a^{2} b^{4}-6 a b^{5}+b^{6} \\ \\ \therefore\quad & \left(a+b\right)^{6}-\left(a-b\right)^{6} =2\left[6 a^{5} b+20 a^{3} b^{3}+6 a b^{5}\right] \end{aligned} $$
$ a=\sqrt{3} $ और $ b=\sqrt{2} $ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$$ \begin{aligned} \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^{6}-\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)^{6} & =2\left[6\left(\sqrt{3}\right)^{5}\left(\sqrt{2}\right)+20\left(\sqrt{3}\right)^{3}\left(\sqrt{2}\right)^{3}+6\left(\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{2}\right)^{5}\right] \\ \\ & =2\left[54 \sqrt{6}+120 \sqrt{6}+24 \sqrt{6}\right] \\ \\ & =2 \times 198 \sqrt{6} \\ \\ & =396 \sqrt{6} \end{aligned} $$
3. $ \left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4} $ का मान ज्ञात कीजिए
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Answer :
पहले, $ \left(x+y\right)^{4}+\left(x - y\right)^{4} $ व्यंजक को द्विपद प्रमेय का उपयोग करके सरल करते हैं।
इसे इस प्रकार कर सकते हैं
$$ \begin{aligned} \left(x+y\right)^{4} & ={ }^{4} C_0 x^{4}+{ }^{4} C_1 x^{3} y+{ }^{4} C_2 x^{2} y^{2}+{ }^{4} C_3 x^{3}+{ }^{4} C_4 y^{4} \\ \\ & =x^{4}+4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}+4 x y^{3}+y^{4} \\ \\ \left(x-y\right)^{4} & ={ }^{4} C_0 x^{4}-{ }^{4} C_1 x^{3} y+{ }^{4} C_2 x^{2} y^{2}-{ }^{4} C_3 x^{3}+{ }^{4} C_4 y^{4} \\ \\ & =x^{4}-4 x^{3} y+6 x^{2} y^{2}-4 x y^{3}+y^{4} \\ \\ \therefore \quad & \left(x+y\right)^{4}+\left(x-y\right)^{4}=2\left(x^{4}+6 x^{2} y^{2}+y^{4}\right) \end{aligned} $$
$ x=a^{2} $ और $ y=\sqrt{a^{2}-1} $ रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$$ \begin{aligned} \left(a^{2}+\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}+\left(a^{2}-\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4} & =2\left[\left(a^{2}\right)^{4}+6\left(a^{2}\right)^{2}\left(\sqrt{a^{2}-1}\right)^{2}+\left(\sqrt{a^{2}-1}\right)^{4}\right] \\ \\ & =2\left[a^{8}+6 a^{4}\left(a^{2}-1\right)+\left(a^{2}-1\right)^{2}\right] \\ \\
& =2\left[a^{8}+6 a^{6}-6 a^{4}+a^{4}-2 a^{2}+1\right] \\ \\ & =2\left[a^{8}+6 a^{6}-5 a^{4}-2 a^{2}+1\right] \\ \\ & =2 a^{8}+12 a^{6}-10 a^{4}-4 a^{2}+2 \end{aligned} $
4. इसके विस्तार के पहले तीन पदों का उपयोग करके $\left(0.99\right)^{5}$ का एक अनुमान लगाएं।
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उत्तर :
$0.99=1-0.01$
$ \begin{aligned} \therefore \ \ \left(0.99\right)^{5} & =\left(1-0.01\right)^{5} \\ \\ & ={ }^{5} C_0\left(1\right)^{5}-{ }^{5} C_1\left(1\right)^{4}\left(0.01\right)+{ }^{5} C_2\left(1\right)^{3}\left(0.01\right)^{2} \\ \\ & =1-5\left(0.01\right)+10\left(0.01\right)^{2} \\ \\ & =1-0.05+0.001 \\ \\ & =1.001-0.05 \\ \\ & =0.951 \end{aligned} $
(अनुमानित)
इसलिए, $\left(0.99\right)^{5}$ का मान लगभग $0.951$ है।
5. द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $\left(1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\right)^{4}, x \neq 0$ का विस्तार करें।
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उत्तर :
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके दी गई अभिव्यक्ति $\left(1+\dfrac{x}{2}-\dfrac{2}{x}\right)^{4}$ का विस्तार निम्नलिखित हो सकता है
$ \begin{aligned} & {\left[\left(1+\dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{2}{x}\right]^{4}} ={ }^{4} C_0\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4}-{ }^{4} C_1\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)+{ }^{4} C_2\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{2}\left(\dfrac{2}{x}\right)^{2}-{ }^{4} C_3\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\left(\dfrac{2}{x}\right)^{3}+{ }^{4} C_4\left(\dfrac{2}{x}\right)^{4} \\ \\ & \hspace{2.6cm} =\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4}-4\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3}\left(\dfrac{2}{x}\right)+6\left(1+x+\dfrac{x^{2}}{4}\right)\left(\dfrac{4}{x^{2}}\right)-4\left(1+\dfrac{x}{2}\right)\left(\dfrac{8}{x^{3}}\right)+\dfrac{16}{x^{4}} \\ \\ & \hspace{2.6cm} =\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4}-\dfrac{8}{x}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3}+\dfrac{24}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}-\dfrac{16}{x^{2}}+\dfrac{16}{x^{4}} \\ \\ & \hspace{2.6cm} =\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4}-\dfrac{8}{x}\left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3}+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}} \qquad \ldots {\left(1\right)}
\end{aligned} $
पुनः द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} \left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{4} & ={ }^{4} C_0\left(1\right)^{4}+{ }^{4} C_1\left(1\right)^{3}\left(\dfrac{x}{2}\right)+{ }^{4} C_2\left(1\right)^{2}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}+{ }^{4} C_3\left(1\right)^{1}\left(\dfrac{x}{2}\right)^{3}+{ }^{4} C_4\left(\dfrac{x}{2}\right)^{4} \\ \\ & =1+4 \times \dfrac{x}{2}+6 \times \dfrac{x^{2}}{4}+4 \times \dfrac{x^{3}}{8}+\dfrac{x^{4}}{16} \\ \\ & =1+2 x+\dfrac{3 x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16} \qquad \ldots {\left(2\right)}\\ \\ \left(1+\dfrac{x}{2}\right)^{3} & ={ }^{3} C_0\left(1\right)^{3}+{ }^{3} C_1\left(1\right)^{2}\left(\dfrac{x}{2}\right)+{ }^{3} C_2\left(1\right)\left(\dfrac{x}{2}\right)^{2}+{ }^{3} C_3\left(\dfrac{x}{2}\right)^{3} \\ \\ & =1+\dfrac{3 x}{2}+\dfrac{3 x^{2}}{4}+\dfrac{x^{3}}{8} \qquad \ldots {\left(3\right)} \end{aligned} $
समीकरण (1), (2) और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} & {\left[\left(1+\dfrac{x}{2}\right)-\dfrac{2}{x}\right]^{4}} =1+2 x+\dfrac{3 x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16}-\dfrac{8}{x}\left(1+\dfrac{3 x}{2}+\dfrac{3 x^{2}}{4}+\dfrac{x^{3}}{8}\right)+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}} \\ \\ &\hspace{2.6cm} =1+2 x+\dfrac{3}{2} x^{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16}-\dfrac{8}{x}-12-6 x-x^{2}+\dfrac{8}{x^{2}}+\dfrac{24}{x}+6-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}} \\ \\ &\hspace{2.6cm} =\dfrac{16}{x}+\dfrac{8}{x^{2}}-\dfrac{32}{x^{3}}+\dfrac{16}{x^{4}}-4 x+\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{x^{3}}{2}+\dfrac{x^{4}}{16}-5 \end{aligned} $
6. द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$ का विस्तार ज्ञात कीजिए।
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Answer :
द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, दी गई अभिव्यक्ति $\left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3}$ को विस्तारित कर सकते हैं
$\left[\left(3 x^{2}-2 ax\right)+3 a^{2}\right]^{3}$ $={ }^{3} C_0\left(3 x^{2}-2 ax\right)^{3}+{ }^{3} C_1\left(3 x^{2}-2 ax\right)^{2}\left(3 a^{2}\right)+{ }^{3} C_2\left(3 x^{2}-2 ax\right)\left(3 a^{2}\right)^{2}+{ }^{3} C_3\left(3 a^{2}\right)^{3}$
$\hspace{3.2cm} =\left(3 x^{2}-2 ax\right)^{3}+3\left(9 x^{4}-12 ax^{3}+4 a^{2} x^{2}\right)\left(3 a^{2}\right)+3\left(3 x^{2}-2 ax\right)\left(9 a^{4}\right)+27 a^{6}$
$\hspace{3.2cm} =\left(3 x^{2}-2 ax\right)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+36 a^{4} x^{2}+81 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}$
$\hspace{3.2cm} =\left(3 x^{2}-2 ax\right)^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6}\qquad \ldots(1)$
फिर से द्विपद प्रमेय का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} & \left(3 x^{2}-2 a x\right)^{3} ={ }^{3} C_0\left(3 x^{2}\right)^{3}-{ }^{3} C_1\left(3 x^{2}\right)^{2}\left(2 a x\right)+{ }^{3} C_2\left(3 x^{2}\right)\left(2 a x\right)^{2}-{ }^{3} C_3\left(2 a x\right)^{3} \\ \\ & \hspace{2cm} =27 x^{6}-3\left(9 x^{4}\right)\left(2 a x\right)+3\left(3 x^{2}\right)\left(4 a^{2} x^{2}\right)-8 a^{3} x^{3} \\ \\ & \hspace{2cm} =27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3} \qquad \ldots {\left(2\right)} \end{aligned} $
समीकरण $\left(1\right)$ और $\left(2\right)$ से, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} & \left(3 x^{2}-2 a x+3 a^{2}\right)^{3} =27 x^{6}-54 a x^{5}+36 a^{2} x^{4}-8 a^{3} x^{3}+81 a^{2} x^{4}-108 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6} \\ \\ & \hspace{2.9cm} =27 x^{6}-54 a x^{5}+117 a^{2} x^{4}-116 a^{3} x^{3}+117 a^{4} x^{2}-54 a^{5} x+27 a^{6} \end{aligned} $
सारांश
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किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए द्विपद के विस्तार को बीनोमियल प्रमेय द्वारा दिया जाता है, जो $(a+b)^{n}={ }^{n} C_0 a^{n}+{ }^{n} C_1 a^{n-1} b+{ }^{n} C_2 a^{n-2} b^{2}+\ldots+$ ${ }^{n} C _{n-1} a \cdot b^{n-1}+{ }^{3} C_n b^{n}$ होता है
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विस्तारों के गुणांक एक अपसार में व्यवस्थित होते हैं। इस अपसार को पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है।
ऐतिहासिक टिप्पणी
प्राचीन भारतीय गणितज्ञों ने $(x+y)^{n}, 0 \leq n \leq 7$ के विस्तारों में गुणांकों के बारे में ज्ञान रखा था। इन गुणांकों की व्यवस्था एक आरेख के रूप में थी, जिसे मेरु-प्रस्तार के रूप में जाना जाता है, जिसे पिंगला अपनी कृति छंद शास्त्र (200 ई.पू.) में दिया था। इस त्रिकोणीय व्यवस्था को चीनी गणितज्ञ चु शी कियू द्वारा 1303 में भी पाया गया है। बाइनोमियल गुणांक शब्द के पहले प्रयोग जर्मन गणितज्ञ माइकल स्टीपेल (1486-1567) द्वारा लगभग 1544 में किया गया था। बोमबेली (1572) ने $(a+b)^{n}$ के विस्तार में गुणांकों को $n=1,2 \ldots, 7$ के लिए दिया था और ओर्ट्रेड (1631) ने $n=1,2, \ldots, 10$ के लिए उन्हें दिया था। अंकगणित त्रिकोण, जिसे आमतौर पर पास्कल के त्रिकोण के रूप में जाना जाता है और जो पिंगला के मेरु-प्रस्तार के समान है, फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लैज पास्कल (1623-1662) द्वारा 1665 में बनाया गया था।
बर्ताव के वर्तमान रूप में द्विआधारी प्रमेय के लिए $n$ के पूर्णांक मानों के लिए ट्रेट डु ट्रिएंगल अरिथमेटिक, पास्कल द्वारा लिखित और 1665 में उनकी मृत्यु के बाद प्रकाशित किया गया था।
बीटा
