अध्याय 05 रैखिक असमिकाएँ
गणित एक शास्त्र है जिसमें एक ही तरह के बयान कई अलग-अलग तरीकों से कहे जाते हैं। - मैक्सवेल
5.1 परिचय
पिछली कक्षाओं में हमने एक चर और दो चर वाले समीकरणों के अध्ययन किया है और कुछ कथन प्रश्नों को समीकरण के रूप में अनुवाद करके हल किया है। अब एक प्राकृतिक प्रश्न उठता है: ‘क्या हमें हमेशा एक कथन प्रश्न को समीकरण के रूप में अनुवाद करना संभव है? उदाहरण के लिए, आपकी कक्षा में सभी छात्रों की ऊँचाई $160 ~cm$ से कम है। आपकी कक्षा में अधिकतम 60 मेज या कुर्सियाँ या दोनों हो सकती हैं। यहाँ हमें कुछ कथन मिलते हैं जिनमें ’ $<$ ’ (कम से कम) के चिह्न, ‘>’ (अधिक से अधिक), ’ $\leq$ ’ (कम से कम या बराबर) और $\geq$ (अधिक से अधिक या बराबर) के चिह्न शामिल होते हैं जो असमिकाएँ कहलाते हैं।
इस अध्याय में, हम एक और दो चरों में रैखिक असमानताओं के अध्ययन करेंगे। असमानताओं के अध्ययन का अधिकांश विज्ञान, गणित, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, मनोविज्ञान आदि क्षेत्रों में समस्याओं के हल करने में बहुत उपयोग होता है।
5.2 असमानताएँ
निम्नलिखित स्थितियों को ध्यान में रखें:
(i) रावि बाजार जाते हुए ₹ 200 ले जाते हैं चावल खरीदने के लिए, जो $1 किलो$ के पैकेट में उपलब्ध है। एक पैकेट चावल की कीमत ₹ 30 है। यदि $x$ चावल के पैकेटों की संख्या को दर्शाता है, जो वह खरीदता है, तो उसके द्वारा खर्च की गई कुल राशि ₹ $30 x$ होती है। क्योंकि वह केवल पैकेट में चावल खरीद सकता है, इसलिए वह ₹ 200 की पूरी राशि खर्च नहीं कर सकता है। (क्यों?) अतः
$ 30 x < 200 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $
स्पष्ट रूप से कथन (i) एक समीकरण नहीं है क्योंकि इसमें समानता का चिह्न शामिल नहीं है। (ii) रेश्मा के पास ₹ 120 है और वह कुछ पुस्तकें और कलम खरीदना चाहती है। एक पुस्तक की कीमत ₹ 40 है और एक कलम की कीमत ₹ 20 है। इस स्थिति में, यदि $x$ पुस्तकों की संख्या को और $y$, रेश्मा द्वारा खरीदी गई कलमों की संख्या को दर्शाता है, तो उसके द्वारा खर्च की गई कुल राशि ₹ $(40 x+20 y)$ होगी और हमारे पास है
$ 40 x+20 y \leq 120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2)
$
इस मामले में कुल खर्च की गई राशि ₹ 120 तक हो सकती है। ध्यान दें कि कथन (2) में दो कथन हैं
$ \text{ और } \quad \begin{aligned} & 40 x+20 y<120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) \\ & 40 x+20 y=120 \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (4) \end{aligned} $
कथन (3) एक समीकरण नहीं है, अर्थात यह एक असमिका है जबकि कथन (4) एक समीकरण है।
परिभाषा 1 दो वास्तविक संख्याओं या दो बीजगणितीय व्यंजकों के बीच ’ $<$’, ‘>’, ’ $\leq$ ’ या ’ $\geq$ ’ चिह्न द्वारा संबंध बनाने से एक असमिका बनती है।
ऊपर के (1), (2) और (3) जैसे कथन असमानताएँ हैं।
$3<5 ; 7>5$ संख्यात्मक असमानताओं के उदाहरण हैं जबकि
$x < 5 ; y>2 ; x \geq 3, y \leq 4$ वर्णमाला असमानताओं के कुछ उदाहरण हैं।
$3 < 5 < 7$ (5 बराबर 3 से बड़ा और 7 से छोटा है), $3 \leq x < 5$ (x बराबर या 3 से बड़ा है और 5 से छोटा है) और $2 < y \leq 4$ द्विअसमानताओं के उदाहरण हैं। कुछ अधिक असमानताओं के उदाहरण नीचे दिए गए हैं:
$ \begin{aligned} & a x+b < 0 \hspace{5.1cm} \text{(5)}\ `
& a x+b > 0 \hspace{5.1cm} \text{(6)}\\ & a x+b \leq 0 \hspace{5.1cm} \text{(7)}\\ & a x+b \geq 0 \hspace{5.1cm} \text{(8)}\\ & a x+b y < c \hspace{5cm} \text{(9)}\\ & a x+b y > c \hspace{5cm} \text{(10)}\\ & a x+b y \leq c \hspace{5cm} \text{(11)}\\ & a x+b y \geq c \hspace{5cm} \text{(12)}\\ & a x^{2}+b x+c \leq 0 \hspace{4.1cm} \text{(13)}\\ & a x^{2}+b x+c > 0 \hspace{4.1cm} \text{(14)} \end{aligned} $
(5), (6), (9), (10) और (14) ऐसे असमानताएँ हैं जो सख्त असमानताएँ हैं, जबकि (7), (8), (11), (12) और (13) ऐसे असमानताएँ हैं जो कमजोर असमानताएँ हैं। (5) से (8) के असमानताएँ एक चर $x$ के लिए रैखिक असमानताएँ हैं जब $a \neq 0$ हो, जबकि (9) से (12) के असमानताएँ दो चर $x$ और $y$ के लिए रैखिक असमानताएँ हैं जब $a \neq 0, b \neq 0$ हो। (13) और (14) रैखिक नहीं हैं (इसके बजाय, ये एक चर $x$ के लिए द्विघात असमानताएँ हैं जब $a \neq 0)$।
इस अध्याय में हम एक और दो चर वाले रैखिक असमिकाओं के अध्ययन के लिए सीमित रहेंगे।
5.3 एक चर वाली रैखिक असमिकाओं के बीजगणितीय समाधान और उनका आलेखीय प्रतिनिधित्व
हम अनुच्छेद 6.2 में दी गई असमिका (1), अर्थात $30 x < 200$ का अध्ययन करें। ध्यान दें कि यहाँ $x$ चावल के पैकेटों की संख्या को दर्शाता है।
स्पष्ट रूप से, $x$ एक नकारात्मक पूर्णांक या भिन्न नहीं हो सकता। इस असमिका के बायां पक्ष (L.H.S.) $30 x$ है और दायां पक्ष (RHS) 200 है। अतः हमें प्राप्त होता है
$ \begin{aligned} & \text{ जब } x=0 \text{, बाईं ओर }=30(0)=0<200(\text{ दाईं ओर }) \text{, जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=1 \text{, बाईं ओर }=30(1)=30<200 \text{ (दाईं ओर), जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=2 \text{, बाईं ओर }=30(2)=60<200 \text{, जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=3 \text{, बाईं ओर }=30(3)=90<200 \text{, जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=4 \text{, बाईं ओर }=30(4)=120<200 \text{, जो सही है। } \\ & \text{ जब } x=5 \text{, बाईं ओर }=30(5)=150<200 \text{, जो सही है। } \\
& \text{ जब } x=6 \text{, बाईं ओर का मान }=30(6)=180<200 \text{, जो सत्य है। } \\ & \text{ जब } x=7 \text{, बाईं ओर का मान }=30(7)=210<200 \text{, जो असत्य है। } \end{aligned} $
ऊपर की स्थिति में, हम देखते हैं कि उन मानों के लिए, जो ऊपर के असमिका को सत्य कथन बनाते हैं, $x$ के मान $0,1,2,3,4,5,6$ हैं। इन मानों के लिए, जो ऊपर के असमिका को सत्य कथन बनाते हैं, इन्हें असमिका के हल कहते हैं और समुच्चय ${0,1,2,3,4,5,6}$ इसका हल समुच्चय कहलाता है।
इसलिए, एक चर वाली असमिका के कोई भी हल एक चर के मान होते हैं जो इसे एक सत्य कथन बनाते हैं।
हमने ऊपर दिए गए असमिका के समाधान के लिए प्रयास और त्रुटि विधि का उपयोग किया है जो बहुत कम कुशल विधि है। स्पष्ट रूप से, यह विधि समय लेती है और कभी-कभी असंभव हो सकती है। हमें असमिका के समाधान के लिए कुछ बेहतर या प्रणालित तकनीकों की आवश्यकता होती है। इससे पहले कि हम असमिका के समाधान के लिए ऐसी तकनीकें बनाएं, हमें नंबरिक असमिकाओं के कुछ अतिरिक्त गुणों के बारे में जानना चाहिए और असमिका के समाधान के दौरान इन गुणों को नियम के रूप में अपनाना चाहिए।
आप याद करेंगे कि रैखिक समीकरणों के समाधान के दौरान हमने निम्नलिखित नियमों का पालन किया:
नियम 1 समीकरण के दोनों ओर बराबर संख्या जोड़ी जा सकती है (या घटाई जा सकती है)।
नियम 2 समीकरण के दोनों ओर किसी भी गैर-शून्य संख्या से गुणा (या भाग) किया जा सकता है।
असमानता को हल करते समय, हम फिर से इसी नियम का पालन करते हैं, लेकिन एक अंतर के साथ: जब हम असमानता के दोनों ओर एक नकारात्मक संख्या से गुणा (या भाग) करते हैं, तो असमानता के चिह्न को उलट देना पड़ता है (अर्थात, ‘<’ को ‘>’ में बदल देते हैं, $\leq$ को $\geq$ में बदल देते हैं आदि)। यह तथ्यों से स्पष्ट है कि
$$ \begin{aligned} & 3>2 \text{ जबकि }-3<-2 \\ & -8<-7 \text{ जबकि }(-8)(-2)>(-7)(3), \text{ अर्थात } 16>14 . $$
\end{aligned} $
इसलिए, हम एक असमिका को हल करने के लिए निम्नलिखित नियम बता सकते हैं:
नियम 1 असमिका के दोनों ओर समान संख्या जोड़ी जा सकती है (या घटाई जा सकती है) बिना असमिका के चिह्न के प्रभाव के।
नियम 2 असमिका के दोनों ओर एक ही धनात्मक संख्या से गुणा (या विभाजन) किया जा सकता है। लेकिन जब दोनों ओर एक ही नकारात्मक संख्या से गुणा (या विभाजन) किया जाता है, तो असमिका के चिह्न के विपरीत हो जाता है।
अब, हम कुछ उदाहरणों को ध्यान में रखते हुए देखें।
उदाहरण 1 $30 x < 2 जब
(i) $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, $\qquad$ (ii) $x$ एक पूर्णांक है।
हल हमें $30 x < 200$ दिया गया है
या $\quad \dfrac{30 x}{30}<\dfrac{200}{30}$ (नियम 2), अर्थात $x < 20 / 3$।
(i) जब $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, इस स्थिति में निम्नलिखित $x$ के मान बयान के सत्य होते हैं।
$ x=1,2,3,4,5,6 $
असमिका के समाधान समुच्चय ${1,2,3,4,5,6}$ है।
(ii) जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दी गई असमिका के समाधान निम्नलिखित हैं
$ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 $
असमिका के समाधान समुच्चय $ { \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6 } $ है।
उदाहरण 2 $5 x-3<3 x+1$ को हल करें जब
(i) $x$ एक पूर्णांक है, $\qquad$ (ii) $x$ एक वास्तविक संख्या है।
हल हमें, $5 x-3<3 x+1$ दिया है
या $\quad \quad$ $5 x-3+3<3 x+1+3$ $\quad \quad \quad$ (नियम 1)
या $\quad \quad$ $5 x < 3 x+4$
या $\quad \quad$ $5 x-3 x < 3 x+4-3 x$ $\quad \quad \quad \quad$ (नियम 2)
या $\quad \quad$ $2 x < 4$
या $\quad \quad$ $x < 2$ $\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad$ (नियम 3)
(i) जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दिए गए असमिका के समाधान हैं
$ \ldots,-4,-3,-2,-1,0,1 $
(ii) जब $x$ एक वास्तविक संख्या हो, तो असमिका के हल $x < 2$ होते हैं, अर्थात् सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जो 2 से कम हों। अतः असमिका के हल समुच्चय $x \in(-\infty, 2)$ होता है।
हमने असमिकाओं के हलों को प्राकृत संख्याओं के समुच्चय, पूर्णांकों के समुच्चय और वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में विचार किया है। अब आगे अनुच्छेद में असमिकाओं के हल वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में हल किए जाएँगे, अतिरिक्त बताए बिना।
उदाहरण 3 $4 x+3<6 x+7$ को हल कीजिए।
हल हमें, $\quad 4 x+3<6 x+7$
या $\quad 4 x-6 x < 6 x+4-6 x$
या $\quad-2 x < 4 \quad$ या $x>-2$
अर्थात, सभी वास्तविक संख्याएँ जो -2 से बड़ी हैं, दी गई असमिका के हल हैं। अतः, हल समुच्चय $(-2, \infty)$ है।
उदाहरण 4 $\dfrac{5-2 x}{3} \leq \dfrac{x}{6}-5$ को हल कीजिए।
हल हमें
$\quad \quad \quad \quad$ $\dfrac{5-2 x}{3} \leq \dfrac{x}{6}-5$
या $\quad \quad \quad \quad$ $2(5-2 x) \leq x-30 \text {. }$
या $\quad \quad \quad \quad$ $10-4 x \leq x-30$
or $\quad \quad \quad \quad$ $-5 x \leq-40 \text {, i.e., } x \geq 8$
अतः, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$ जो 8 या उससे अधिक हों, दी गई असमिका के हल हैं, अर्थात, $x \in[8, \infty)$.
उदाहरण 5 $7 x+3<5 x+9$ को हल कीजिए। हल के ग्राफ को संख्या रेखा पर दिखाइए।
हल हमें $7 x+3<5 x+9$ मिलता है या $2 x < 6$ या $x < 3$
हल के ग्राफ को चित्र 5.1 में दिखाया गया है।
चित्र 5.1
उदाहरण 6 $\dfrac{3 x-4}{2} \geq \dfrac{x+1}{4}-1$ को हल करें। संख्या रेखा पर हल के आलोक में आरेख बनाएं।
हल हमारे पास है
$ \dfrac{3 x-4}{2}\geq\dfrac{x+1}{4}-1$
$ \text{या} \quad \dfrac{3 x-4}{2} \geq \dfrac{x-3}{4} $
$ \text{या} \quad 2(3 x-4) \geq(x-3) $
या $\quad \quad \quad \quad$ $6 x-8 \geq x-3$
या $\quad \quad \quad \quad$ $5 x \geq 5$
या $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 1$
हल के आलोक में आरेख चित्र 5.2 में दिया गया है।
चित्र 5.2
उदाहरण 7 कक्षा XI के एक छात्र द्वारा पहले और दूसरे टर्मिनल परीक्षा में प्राप्त अंक क्रमशः 62 और 48 हैं। उसे वार्षिक परीक्षा में कम से कम कितने अंक प्राप्त करने होंगे ताकि औसत अंक कम से कम 60 हो जाए?
हल मान लीजिए $x$ छात्र द्वारा वार्षिक परीक्षा में प्राप्त अंक हैं। तो
$ \dfrac{62+48+x}{3} \geq 60 $
या $\quad \quad \quad \quad 110+x \geq 180$
या $\quad \quad \quad \quad$ $x \geq 70$
इस प्रकार, छात्र को औसत अंक कम से कम 60 होने के लिए वार्षिक परीक्षा में कम से कम 70 अंक प्राप्त करने होंगे।
उदाहरण 8 10 से बड़े दो क्रमागत विषम प्राकृतिक संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 40 से कम हो।
हल मान लीजिए $x$ दो क्रमागत विषम प्राकृतिक संख्याओं में से छोटी संख्या है, तो दूसरी संख्या $x+2$ होगी। तब, हमें निम्नलिखित होना चाहिए:
$ \begin{aligned} x > 10 \qquad \text{…..(1)} \end{aligned} $
$ \begin{aligned} \text{ और } x > 10 \qquad \text{…..(2)} \end{aligned} $
(2) को हल करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$ \begin{aligned} 2 x+2 < 40 \end{aligned} $
अर्थात, $x < 19 \qquad \text{…..(3)}$
(1) और (3) से, हम प्राप्त करते हैं
$ 10 < x < 19 $
क्योंकि $x$ एक विषम संख्या है, $x$ के मान 11, 13, 15 और 17 हो सकते हैं। इसलिए, आवश्यक संभावित युग्म $(11,13),(13,15),(15,17),(17,19)$ होंगे
अभ्यास 5.1
1. $24 x < 100$ को हल कीजिए, जब
(i) $x$ एक प्राकृतिक संख्या है।
(ii) $x$ एक पूर्णांक है।
उत्तर दिखाएँ
उत्तर :
दी गई असमिका $24 x < 100$ है।
$24 x < 100$
$\Rightarrow \dfrac{24 x}{24} < \dfrac{100}{24} \quad$ [दोनों ओर एक ही धनात्मक संख्या से विभाजित करने पर]
$\Rightarrow x < \dfrac{25}{6}$
(i) स्पष्ट है कि $1,2,3$, और $4$ ही वे प्राकृतिक संख्याएँ हैं जो $\dfrac{25}{6}$ से कम हैं।
अतः, जब $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, तो दी गई असमिका के हल $1,2,3$, और 4 हैं।
इस स्थिति में, हल समुच्चय $ \lbrace 1,2,3,4 \rbrace $ है।
(ii) $\dfrac{25}{6}$ से कम पूर्णांक $…-3, -2, -1,$ $0,1,2,3,4$ हैं।
अतः, जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दी गई असमिका के हल
$…-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4.$
इस स्थिति में, हल समुच्चय $ \lbrace \ldots - 3 , - 2 , -1, 0,1,2,3,4 \rbrace $ है।
2. $-12 x > 30$ को हल कीजिए, जब
(i) $x$ एक प्राकृतिक संख्या है।
(ii) $x$ एक पूर्णांक है।
उत्तर दिखाएँ
उत्तर :
दी गई असमिका - $12 x > 30$ है।
$\Rightarrow \dfrac{-12 x}{-12} < \dfrac{30}{-12} \quad$ [दोनों ओर एक ही नकारात्मक संख्या से विभाजित करने पर]
$\Rightarrow x < -\dfrac{5}{2}$
(i) $\left (-\dfrac{5}{2} \right )$ से कम कोई प्राकृतिक संख्या नहीं है
अतः, जब $x$ एक प्राकृतिक संख्या है, तो दी गई असमिका के कोई हल नहीं है।
(ii) $\left (-\dfrac{5}{2} \right )$ से कम पूर्णांक $…, -5, -4, -3.$ हैं।
अतः, जब $x$ एक पूर्णांक है, तो दी गई असमिका के हल
$…, -5, -4, -3.$
इस स्थिति में, हल समुच्चय $ \lbrace {-5, -4, -3} \rbrace $ है।
3. $ 5 x-3 < 7 $, जब
(i) $x$ एक पूर्णांक है।
(ii) $x$ एक वास्तविक संख्या है।
उत्तर दिखाएँ
उत्तर :
दी गई असमिका $5 x - 3 < 7$ है।
$5 x-3 < 7$
$\Rightarrow 5 x-3+3 < 7+3$
$\Rightarrow 5 x < 10$
$\Rightarrow \dfrac{5 x}{5} < \dfrac{10}{5}$
$\Rightarrow x < 2$
(i) 2 से कम पूर्णांक $…, -4, -3, -2, -1, 0,1 .$ हैं।
इसलिए, जब x एक पूर्णांक हो, तो दिए गए असमिका के समाधान हैं
$…, -4, -3, -2, -1, 0, 1.$
इसलिए, इस मामले में, समाधान समुच्चय $…, \lbrace -4, - 3 , - 2, - 1,0,1 \rbrace $ है।
(ii) जब $x$ एक वास्तविक संख्या हो, तो दिए गए असमिका के समाधान $x < 2$ हैं, अर्थात सभी वास्तविक संख्याएं $x$ जो 2 से कम हों।
इसलिए, दिए गए असमिका के समाधान समुच्चय $x \in\left (- \infty, 2 \right )$ है।
4. $3 x+8 > 2$ को हल करें, जब
(i) $x$ एक पूर्णांक हो।
(ii) $x$ एक वास्तविक संख्या हो।
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Answer :
दी गई असमिका $3 x+8 > 2$ है।
$3 x+8 > 2$
$\Rightarrow 3 x+8-8 > 2-8$
$\Rightarrow 3 x > -6$
$\Rightarrow \dfrac{3 x}{3} > \dfrac{-6}{3}$
$\Rightarrow x > -2$
(i) $-2$ से बड़े पूर्णांक $-1, 0, 1, 2, ..$ हैं।
इसलिए, जब x एक पूर्णांक हो, तो दिए गए असमिका के समाधान हैं
$-1, 0,1,2 \ldots$
इसलिए, इस मामले में, समाधान समुच्चय $ \lbrace - 1,0,1,2, \ldots \rbrace $ है।
(ii) जब $x$ एक वास्तविक संख्या हो, तो दिए गए असमिका के समाधान सभी वास्तविक संख्याएं हैं जो $- 2$ से बड़ी हों।
इसलिए, इस मामले में, समाधान समुच्चय $\left (- 2, \infty \right ).$ है।
अभ्यास 5 से 16 तक के असमिकाओं को वास्तविक $x$ के लिए हल करें।
5. $4 x+3 < 5 x+7$
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Answer :
$4 x+3 < 5 x+7$
$\Rightarrow 4 x+3-7 < 5 x+7-7$
$\Rightarrow 4 x-4 < 5 x$
$\Rightarrow 4 x-4-4 x < 5 x-4 x$
$\Rightarrow-4 < x$
इसलिए, सभी वास्तविक संख्याएं $x$, जो $-4$ से बड़ी हों, दिए गए असमिका के समाधान हैं।
इसलिए, दिए गए असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-4, \infty \right )$ है।
6. $3 x-7 > 5 x-1$
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Answer :
$ \Rightarrow 3 x-7+7 > 5 x - 1+7$
$\Rightarrow 3 x > 5 x+6$
$\Rightarrow 3 x - 5 x > 5 x+6$- $5 x$
$\Rightarrow - 2 x > 6$
$\Rightarrow \dfrac{-2 x}{-2} < \dfrac{6}{-2}$
$\Rightarrow x < -3$
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $- 3$ से कम हों।
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-\infty, - 3 \right )$ है।
7. $3\left (x-1 \right ) \leq 2\left (x-3 \right )$
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Answer :
$3\left (x-1 \right ) \leq 2\left (x-3 \right )$
$\Rightarrow 3 x-3 \leq 2 x-6$
$\Rightarrow 3 x-3+3 \leq 2 x-6+3$
$\Rightarrow 3 x \leq 2 x-3$
$\Rightarrow 3 x-2 x \leq 2 x-3$ - $2 x$
$\Rightarrow x \leq -3$
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $-3$ से कम या बराबर हों।
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-\infty,-3\right]$ है।
8. $3\left (2-x \right ) \geq 2\left (1-x \right )$
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Answer :
$3\left (2-x \right ) \geq 2\left (1-x \right )$
$\Rightarrow 6-3 x \geq 2-2 x$
$\Rightarrow 6-3 x+2 x \ \geq 2-2 x+2 x$
$\Rightarrow 6-x \geq 2$
$ \begin{aligned} & \Rightarrow 6-x-6 \geq 2-6 \\ \\ & \Rightarrow-x \geq-4 \\ \\ & \Rightarrow x \leq 4 \end{aligned} $
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो 4 से कम या बराबर हों।
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-\infty,4\right]$ है।
9. $x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3} < 11$
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Answer :
$ \begin{aligned} & x+\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{3} < 11 \\ \\ & \Rightarrow x\left (1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3} \right ) < 11 \\ \\ & \Rightarrow x\left (\dfrac{6+3+2}{6} \right ) < 11 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{11 x}{6} < 11 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{11 x}{6 \times 11} < \dfrac{11}{11} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{x}{6} < 1 \\ \\ & \Rightarrow x < 6 \end{aligned} $
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $6$ से कम हों।
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (-\infty, 6 \right )$ है।
10. $\dfrac{x}{3} > \dfrac{x}{2}+1$
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Answer :
$\dfrac{x}{3} > \dfrac{x}{2}+1$
$\Rightarrow \dfrac{x}{3}-\dfrac{x}{2} > 1$
$\Rightarrow \dfrac{2 x-3 x}{6} > 1$
$\Rightarrow-\dfrac{x}{6} > 1$
$\Rightarrow-x > 6$
$\Rightarrow x < -6$
अतः, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$, जो $- 6$ से कम हों, दी गई असमिका के समाधान हैं।
अतः, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय है $\left (-\infty, -6 \right ).$
11. $\dfrac{3\left (x-2 \right )}{5} \leq \dfrac{5\left (2-x \right )}{3}$
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Answer :
$\dfrac{3\left (x-2 \right )}{5} \leq \dfrac{5\left (2-x \right )}{3}$
$\Rightarrow 9\left (x-2 \right ) \leq 25\left (2-x \right )$
$\Rightarrow 9 x-18 \leq 50-25 x$
$\Rightarrow 9 x-18+25 x \leq 50$
$\Rightarrow 34 x-18 \leq 50$
$\Rightarrow 34 x \leq 50+18$
$\Rightarrow 34 x \leq 68$
$\Rightarrow \dfrac{34 x}{34} \leq \dfrac{68}{34}$
$\Rightarrow x \leq 2$
अतः, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$, जो $2$ से कम या बराबर हों, दी गई असमिका के समाधान हैं।
अतः, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय है $ ~ \left ( - \infty, 2\right ].$
12. $\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{3 x}{5}+4 \right ) \geq \dfrac{1}{3}\left (x-6 \right )$
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Answer :
$\dfrac{1}{2}\left (\dfrac{3 x}{5}+4 \right ) \geq \dfrac{1}{3}\left (x-6 \right )$
$\Rightarrow 3\left (\dfrac{3 x}{5}+4 \right ) \geq 2\left (x-6 \right )$
$\Rightarrow \dfrac{9 x}{5}+12 \geq 2 x-12$
$\Rightarrow 12+12 \geq 2 x-\dfrac{9 x}{5}$
$\Rightarrow 24 \geq \dfrac{10 x-9 x}{5}$
$\Rightarrow 24 \geq \dfrac{x}{5}$
$\Rightarrow 120 \geq x$
अतः, सभी वास्तविक संख्याएँ $x$, जो $120$ से कम या बराबर हों, दी गई असमिका के समाधान हैं। अतः, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय है $120$
13. $2\left (2 x+3 \right )-10 < 6\left (x-2 \right )$
Show Answer
Answer :
$ \begin{aligned} & 2\left (2 x+3 \right )-10 < 6\left (x-2 \right ) \\ \\ & \Rightarrow 4 x+6-10 < 6 x-12 \\ \\ & \Rightarrow 4 x-4 < 6 x-12 \\ \\ & \Rightarrow-4+12 < 6 x-4 x \\ \\ & \Rightarrow 8 < 2 x \\ \\ & \Rightarrow 4 < x \end{aligned} $
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $4$ से बड़ी या बराबर हों। इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (4, \infty \right )$ है।
14. $37-\left (3 x+5 \right ) \geq 9 x-8\left (x-3 \right )$
Show Answer
Answer :
$37-\left (3 x+5 \right ) \geq 9 x-8\left (x-3 \right )$
$\Rightarrow 37-3 x-5 \geq 9 x-8 x+24$
$\Rightarrow 32-3 x \geq x+24$
$\Rightarrow 32-24 \geq x+3 x$
$\Rightarrow 8 \geq 4 x$
$\Rightarrow 2 \geq x$
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $2$ से छोटी या बराबर हों।
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (- \infty, 2\right]$ है।
15. $\dfrac{x}{4} < \dfrac{\left (5 x-2 \right )}{3}-\dfrac{\left (7 x-3 \right )}{5}$
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Answer :
$\dfrac{x}{4} < \dfrac{\left (5 x-2 \right )}{3}-\dfrac{\left (7 x-3 \right )}{5}$
$\Rightarrow \dfrac{x}{4} < \dfrac{5\left (5 x-2 \right )-3\left (7 x-3 \right )}{15}$
$\Rightarrow \dfrac{x}{4} < \dfrac{25 x-10-21 x+9}{15}$
$\Rightarrow \dfrac{x}{4} < \dfrac{4 x-1}{15}$
$\Rightarrow 15 x < 4\left (4 x-1 \right )$
$\Rightarrow 15 x < 16 x-4$
$\Rightarrow 4 < 16 x-15 x$
$\Rightarrow 4 < x$
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के होंगे, जो $4$ से बड़ी हों।
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $\left (4, \infty \right )$ है।
16. $\dfrac{\left (2 x-1 \right )}{3} \geq \dfrac{\left (3 x-2 \right )}{4}-\dfrac{\left (2-x \right )}{5}$
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Answer :
$\dfrac{\left (2 x-1 \right )}{3} \geq \dfrac{\left (3 x-2 \right )}{4}-\dfrac{\left (2-x \right )}{5}$
$\Rightarrow \dfrac{\left (2 x-1 \right )}{3} \geq \dfrac{5\left (3 x-2 \right )-4\left (2-x \right )}{20}$
$\Rightarrow \dfrac{\left (2 x-1 \right )}{3} \geq \dfrac{15 x-10-8+4 x}{20}$
$\Rightarrow \dfrac{\left (2 x-1 \right )}{3} \geq \dfrac{19 x-18}{20}$
$\Rightarrow 20\left (2 x-1 \right ) \geq 3\left (19 x-18 \right )$
$\Rightarrow 40 x-20 \geq 57 x-54$
$\Rightarrow-20+54 \geq 57 x-40 x$
$\Rightarrow 34 \geq 17 x$
$\Rightarrow 2 \geq x$
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान उन सभी वास्तविक संख्याओं $x$ के हैं, जो $2$ के बराबर या कम हों।
इसलिए, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $2$ है।
अभ्यास 17 से 20 तक की असमिकाओं को हल करें और प्रत्येक मामले में संख्या रेखा पर समाधान के आरेख को दिखाएं
17. $3 x-2 < 2 x+1$
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उत्तर :
$3 x-2 < 2 x+1$
$\Rightarrow 3 x-2 x < 1+2$
$\Rightarrow x < 3$
दी गई असमिका के समाधान के आरेख निम्नलिखित हैं।
18. $3\left (1-x \right ) < 2\left (x+4 \right )$
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उत्तर :
$3\left (1-x \right ) < 2\left (x+4 \right )$
$\Rightarrow 3-3 x < 2 x+8$
$\Rightarrow 3-8 < 2 x+3 x$
$\Rightarrow-5 < 5 x$
$\Rightarrow \dfrac{-5}{5} < \dfrac{5 x}{5}$
$\Rightarrow-1 < x$
दी गई असमिका के समाधान के आरेख निम्नलिखित हैं।
19. $5 x-3 \geq 3 x-5$
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उत्तर :
$5 x-3 \geq 3 x-5$
$\Rightarrow 5 x-3 x \geq-5+3$
$\Rightarrow 2 x \geq-2$
$\Rightarrow \dfrac{2 x}{2} \geq \dfrac{-2}{2}$
$\Rightarrow x \geq-1$
दी गई असमिका के समाधान के आरेख निम्नलिखित हैं।
20. $\dfrac{x}{2} \geq \dfrac{\left (5 x-2 \right )}{3}-\dfrac{\left (7 x-3 \right )}{5}$
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Answer :
$\dfrac{x}{2} \geq \dfrac{\left (5 x-2 \right )}{3}-\dfrac{\left (7 x-3 \right )}{5}$
$\Rightarrow \dfrac{x}{2} \geq \dfrac{5\left (5 x-2 \right )-3\left (7 x-3 \right )}{15}$
$\Rightarrow \dfrac{x}{2} \geq \dfrac{25 x-10-21 x+9}{15}$
$\Rightarrow \dfrac{x}{2} \geq \dfrac{4 x-1}{15}$
$\Rightarrow 15 x \geq 2\left (4 x-1 \right )$
$\Rightarrow 15 x \geq 8 x-2$
$\Rightarrow 15 x-8 x \geq 8 x-2-8 x$
$\Rightarrow 7 x \geq-2$
$\Rightarrow x \geq-\dfrac{2}{7}$
दिए गए असमानता के समाधान के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व निम्नलिखित है।
21. रावि ने पहले दो इकाई परीक्षा में 70 और 75 अंक प्राप्त किए। तीसरी परीक्षा में रावि को कम से कम कितने अंक प्राप्त करने होंगे ताकि औसत कम से कम 60 अंक हो जाए?
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Answer :
मान लीजिए $x$ रावि द्वारा तीसरी इकाई परीक्षा में प्राप्त अंक हैं।
क्योंकि छात्र को कम से कम 60 अंक के औसत की आवश्यकता है,
$\dfrac{70+75+x}{3} \geq 60$
$\Rightarrow 145+x \geq 180$
$\Rightarrow x \geq 180-145$
$\Rightarrow x \geq 35$
इस प्रकार, छात्र को कम से कम 35 अंक प्राप्त करने होंगे ताकि औसत कम से कम 60 अंक हो जाए।
22. एक कोर्स में ग्रेड $\mathbf{A}$ प्राप्त करने के लिए, पांच परीक्षा में कम से कम 90 अंक के औसत की आवश्यकता होती है \left (प्रत्येक परीक्षा में 100 अंक होते हैं \right ). यदि सुनीता के पहले चार परीक्षा में अंक 87, 92, 94 और 95 हैं, तो कोर्स में ग्रेड $\mathbf{A}$ प्राप्त करने के लिए सुनीता को पांचवी परीक्षा में कम से कम कितने अंक प्राप्त करने होंगे?
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उत्तर :
मान लीजिए $x$ सुनीता के पांचवें परीक्षा में प्राप्त अंक हैं।
कोर्स में ग्रेड $\mathbf{A}$ प्राप्त करने के लिए, उसे पांच परीक्षाओं में औसत अंक $90$ या अधिक प्राप्त करने होंगे।
इसलिए,
$ \begin{aligned} & \dfrac{87+92+94+95+x}{5} \geq 90 \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{368+x}{5} \geq 90 \\ \\ & \Rightarrow 368+x \geq 450 \\ \\ & \Rightarrow x \geq 450-368 \\ \\ & \Rightarrow x \geq 82 \end{aligned} $
इसलिए, सुनीता के पांचवें परीक्षा में $82$ या उससे अधिक अंक प्राप्त करने होंगे।
23. ज्ञात कीजिए सभी क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांक युग्म जो दोनों $10$ से छोटे हों और उनका योग $11$ से अधिक हो।
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उत्तर :
मान लीजिए $x$ दो क्रमागत विषम धनात्मक पूर्णांकों में से छोटा पूर्णांक है। तब, दूसरा पूर्णांक $x+2$ होगा।
चूंकि दोनों पूर्णांक $10$ से छोटे हैं,
$x+2 < 10$
$\Rightarrow x < 10 - 2$
$\Rightarrow x < 8 \qquad\ldots \left (i \right )$
इसके अतिरिक्त, दोनों पूर्णांकों का योग $11$ से अधिक है।
$\therefore \ \ x+\left (x+2 \right ) > 11$
$\Rightarrow 2 x+2 > 11$
$\Rightarrow 2 x > 11 - 2$
$\Rightarrow 2 x > 9$
$\Rightarrow x > \dfrac{9}{2}$
$\Rightarrow x > 4.5\qquad … \left (ii \right )$
समीकरण \left (i \right ) और \left (ii \right ) से, हम प्राप्त करते हैं
क्योंकि $x$ एक विषम संख्या है, $x$ के मान $5$ और $7$ हो सकते हैं।
इसलिए, आवश्यक संभावित युग्म $(5,7)$ और $(7,9)$ हैं।
24. ज्ञात कीजिए सभी क्रमागत सम धनात्मक पूर्णांक युग्म जो दोनों $5$ से बड़े हों और उनका योग $23$ से कम हो।
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उत्तर
मान लीजिए $x$ छोटा सम पूर्णांक है। क्योंकि क्रमागत सम संख्या अगली क्रम में आती है, इसलिए दूसरी संख्या $x + 2$ होगी।
हम जानते हैं कि
दोनों संख्याएँ $5$ से बड़ी होंगी: $x > 5$ और $x > 3$
उनका योग $23$ से कम होगा: $x + \left (x + 2 \right ) < 23$ \left (इसमें $x$ और $x + 2$ को मिलाया गया है क्योंकि वे क्रमागत सम संख्याएँ हैं \right ).
इसलिए, असमानता में समान पदों को जोड़ें
$2x + 2 < 23$ दोनों तरफ से $2$ घटाएं: $2x < 21$ दोनों तरफ से $2$ से विभाजित करें \left (क्योंकि हम एक सम संख्या के साथ काम कर रहे हैं \right ) $x < 10.5$
हम निर्धारित कर लेते हैं कि $x$ कम से कम $10.5$ से कम होना चाहिए। हालांकि, $x$ भी $5$ से अधिक होना चाहिए और एक पूर्णांक होना चाहिए \left (क्योंकि यह एक सम संख्या का प्रतिनिधित्व करता है \right ). इसलिए, $x$ के वैध मान $6, 8,$ और $10$ हैं।
अब हम उन संगत सम संख्याओं को खोजते हैं
यदि $x = 6,$ तो अगली सम संख्या $x + 2 = 8$ है
यदि $x = 8,$ तो अगली सम संख्या $x + 2 = 10$ है
यदि $x = 10,$ तो अगली सम संख्या $x + 2 = 12$ है
इसलिए, वैध युग्मों के सम धनात्मक पूर्णांक हैं: $\left (6, 8 \right ), \left (8, 10 \right )$ और $\left (10,12 \right ).$
25. एक त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा $3$ गुना छोटी भुजा के बराबर है और तीसरी भुजा सबसे लंबी भुजा से $2$ सेमी छोटी है। यदि त्रिभुज का परिमाप कम से कम $61$ सेमी है, तो सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम लंबाई ज्ञात कीजिए।
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उत्तर :
मान लीजिए त्रिभुज की सबसे छोटी भुजा की लंबाई $x$ सेमी है।
तो, सबसे लंबी भुजा की लंबाई $=3 x$ सेमी
तीसरी भुजा की लंबाई $=\left (3 x - 2 \right )$ सेमी
क्योंकि त्रिभुज का परिमाप कम से कम $61$ सेमी है,
$x +3 x +\left (3 x-2 \right ) \geq 61 $
$\Rightarrow 7 x-2 \geq 61$
$\Rightarrow 7 x \geq 61+2$
$\Rightarrow 7 x \geq 63$
$\Rightarrow \dfrac{7 x}{7} \geq \dfrac{63}{7}$
$\Rightarrow x \geq 9$
इसलिए, सबसे छोटी भुजा की न्यूनतम लंबाई $9$ सेमी है।
26. एक आदमी एक बोर्ड के एक टुकड़े से तीन लंबाई काटना चाहता है जिसकी लंबाई $91$ सेमी है। दूसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई से $3$ सेमी लंबी होनी चाहिए और तीसरी लंबाई सबसे छोटी लंबाई के दुगुनी होनी चाहिए। यदि तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम $5$ सेमी लंबा होना चाहिए, तो सबसे छोटी लंबाई के संभावित मान क्या हैं?
[संकेत: यदि $x$ सबसे छोटी बोर्ड की लंबाई है, तो $x,\left (x+3 \right )$ और $2 x$ दूसरे और तीसरे टुकड़े की लंबाई हैं, क्रमशः। इसलिए, $x+\left (x+3 \right )+2 x \leq 91$ और $2 x \geq\left (x+3 \right )+5$]।
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उत्तर :
मान लीजिए सबसे छोटे टुकड़े की लंबाई $x cm$ है। तब, दूसरे और तीसरे टुकड़े की लंबाई क्रमशः $\left (x+3 \right ) cm$ और $2 x cm$ होगी।
क्योंकि तीनों लंबाइयों को एक ही बोर्ड के $91 cm$ लंबाई के टुकड़े से काटा जाना है,
$x +\left (x+3 \right ) +2 x \leq 91 $
$\Rightarrow 4 x+3 \leq 91$
$\Rightarrow 4 x \leq 91 - 3$
$\Rightarrow 4 x \leq 88$
$\Rightarrow \dfrac{4 x}{4} \leq \dfrac{88}{4}$
$\Rightarrow x \leq 22\qquad … \left (i \right ) $
इसके अतिरिक्त, तीसरा टुकड़ा दूसरे टुकड़े से कम से कम $5 cm$ लंबा होना चाहिए।
$\therefore \ \ 2 x \geq\left (x+3 \right )+5$
$\Rightarrow 2 x \geq x+8$
$\Rightarrow x \geq 8 \qquad\ldots\left (ii \right )$
समीकरण $\left (i \right )$ और $\left (ii \right )$ से हम प्राप्त करते हैं
$8 \leq x \leq 22$
इस प्रकार, सबसे छोटे बोर्ड की संभावित लंबाई $8 cm$ से अधिक या बराबर हो सकती है लेकिन $22 cm$ से कम या बराबर हो सकती है।
अलग-अलग उदाहरण
उदाहरण 9 $-8 \leq 5 x-3<7$ को हल कीजिए।
हल इस मामले में, हमें दो असमानताएँ, $-8 \leq 5 x-3$ और $5 x-3<7$ हैं, जिन्हें हम एक साथ हल करेंगे। हमें $-8 \leq 5 x-3<7$ मिलता है
or $\quad-5 \leq 5 x < 10 \qquad$ $ \text{ or } \quad-1 \leq x < 2 $
उदाहरण 10 $-5 \leq \dfrac{5-3 x}{2} \leq 8$ को हल करें।
हल हमें $\quad-5 \leq \dfrac{5-3 x}{2} \leq 8$ मिलता है
या $\quad-10 \leq 5-3 x \leq 16 \quad$ या $\quad-15 \leq-3 x \leq 11$
या $\quad 5 \geq x \geq-\dfrac{11}{3}$
जो $\dfrac{-11}{3} \leq x \leq 5$ के रूप में लिखा जा सकता है
उदाहरण 11 असमिकाओं के तंत्र को हल करें:
$ \begin{aligned} & 3 x-7<5+x \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(1) \\ & 11-5 x \leq 1 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(2)
\end{aligned} $
और संख्या रेखा पर हल को प्रस्तुत करें।
हल असमिका (1) से, हमें प्राप्त होता है
$ 3 x - 7 < 5 + x $
या $ \quad x < 6 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(3)$
साथ ही, असमिका (2) से, हमें प्राप्त होता है
$ 11-5 x \leq 1 $
या $ \quad - 5 x \leq-10 \quad \text{ अर्थात } x \geq 2 \quad\quad\quad\quad\quad\quad\ldots(4)$
अगर हम असमिकाओं (3) और (4) के ग्राफ को संख्या रेखा पर खींचते हैं, तो हम देखते हैं कि दोनों के सामान्य मान $x$ को चित्र 5.3 में बोल्ड रेखा द्वारा दर्शाया गया है।
चित्र 5.3
इस प्रकार, समीकरण प्रणाली के हल वास्तविक संख्याएँ $x$ हैं जो 2 और 6 के बीच हैं, अर्थात, $2 \leq x < 6$
उदाहरण 12 एक प्रयोग में, हाइड्रोक्लोरिक अम्ल के एक विलयन को $30^{\circ}$ और $35^{\circ}$ सेल्सियस के बीच बनाए रखना है। डिग्री फ़ेहरेनहाइट में तापमान की श्रेणी क्या होगी, यदि परिवर्तन सूत्र $C=\dfrac{5}{9} \quad(F-32)$ द्वारा दिया गया है, जहाँ $C$ और $F$ क्रमशः डिग्री सेल्सियस और डिग्री फ़ेहरेनहाइट में तापमान को प्रस्तुत करते हैं।
हल यह दिया गया है कि $30 < C < 35$।
दिए गए $ C=\dfrac{5}{9}(F-32), \text{ हम प्राप्त करते हैं } $ $ 30<\dfrac{5}{3}(F-32)<35 $
या $\quad\quad\quad$ $ \dfrac{9}{5} \times(30) < (F-32) < \dfrac{9}{5} \times(35) $
$ \begin{matrix} \text{ या } & 54 < (F-32) < 63 \\ \text{ या } & 86 < F < 95 . \end{matrix} $
इस प्रकार, तापमान की आवश्यक श्रेणी $86^{\circ} F$ और $95^{\circ} F$ के बीच है।
उदाहरण 13 एक निर्माता के पास 600 लीटर के एक $12%$ अम्ल के घोल के बराबर है। इसमें कितने लीटर के $30%$ अम्ल के घोल को मिलाया जाए ताकि परिणामी मिश्रण में अम्ल की मात्रा $15%$ से अधिक लेकिन $18%$ से कम हो जाए?
हल मान लीजिए $x$ लीटर $30 %$ अम्ल के घोल को मिलाना होगा। तब कुल मिश्रण $=(x+600)$ लीटर होगा
$\begin{array}{ll} \text { इसलिए } & 30 % x+12 % \text { के } 600 \text { का } > 15 % \text { के } (x+600) \ \text { और } & 30 % x+12 % \text { के } 600 <18 % \text { के } (x+600) \end{array}$
$ \begin{array}{ll} \text{या} & \dfrac{30 x}{100}+\dfrac{12}{100}(600) > \dfrac{15}{100}(x+600) \\ \\ \text{और} & \dfrac{30 x}{100}+\dfrac{12}{100}(600) < \dfrac{18}{100}(x+600) \\ \\ \text{या}& 30 x+7200 > 15 x+9000 \\
\text{and} & 30 x+7200 < 18 x+10800 \\ \text{or} & 15 x>1800 \text{ and } 12 x < 3600 \\ \text{or} & x>120 \text{ and } x < 300, \\ \text{i.e.} & 120 < x < 300 \end{array} $
अतः, अम्ल के $30 %$ समाधान के लीटर की संख्या 120 लीटर से अधिक होगी लेकिन 300 लीटर से कम होगी।
अध्याय 5 पर अतिरिक्त अभ्यास
अभ्यास 1 से 6 तक असमिकाओं को हल कीजिए।
1. $2 \leq 3 x-4 \leq 5$
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उत्तर :
$2 \leq 3 x-4 \leq 5$
$\Rightarrow 2+4 \leq 3 x-4+4 \leq 5+4$
$\Rightarrow 6 \leq 3 x \leq 9$
$\Rightarrow 2 \leq x \leq 3$
इस प्रकार, दी गई असमिका के समाधान वाले सभी वास्तविक संख्याएँ, $x$, जो $2$ के बराबर या उससे अधिक हों लेकिन $3$ के बराबर या उससे कम हों, हैं। दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $[2,3]$ है।
2. $6 \leq-3(2 x-4) < 12$
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उत्तर :
$6 \leq -3(2 x-4) < 12$
$\Rightarrow 2 \leq -(2 x-4) < 4$
$\Rightarrow-2 \geq 2 x-4 > -4$
$\Rightarrow 4 - 2 \geq 2 x > 4 - 4$
$\Rightarrow 2 \geq 2 x > 0$
$\Rightarrow 1 \geq x > 0$
इस प्रकार, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $(0,1]$ है।
3. $-3 \leq 4-\dfrac{7 x}{2} \leq 18$
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उत्तर :
$-3 \leq 4-\dfrac{7 x}{2} \leq 18$
$\Rightarrow-3-4 \leq-\dfrac{7 x}{2} \leq 18-4$
$\Rightarrow-7 \leq-\dfrac{7 x}{2} \leq 14$
$\Rightarrow 7 \geq \dfrac{7 x}{2} \geq-14$
$\Rightarrow 1 \geq \dfrac{x}{2} \geq-2$
$\Rightarrow 2 \geq x \geq-4$
इस प्रकार, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $[-4, 2]$ है।
4. $-15 < \dfrac{3(x-2)}{5} \leq 0$
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उत्तर :
$-15 < \dfrac{3(x-2)}{5} \leq 0$
$\Rightarrow - 75 < 3(x - 2) \leq 0$
$\Rightarrow - 25 < x - ~ 2 \leq 0$
$\Rightarrow - 25+2 < x \leq 2$
$\Rightarrow -23 < x \leq 2$
इस प्रकार, दी गई असमिका के समाधान समुच्चय $(-23, 2]$ है।
5. $-12 < 4-\dfrac{3 x}{-5} \leq 2$
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उत्तर :
$-12 < 4-\dfrac{3 x}{-5} \leq 2$
$\Rightarrow-12-4 < \dfrac{-3 x}{-5} \leq 2-4$
$\Rightarrow-16 < \dfrac{3 x}{5} \leq-2$
$\Rightarrow-80 < 3 x \leq-10$
$\Rightarrow \dfrac{-80}{3} < x \leq \dfrac{-10}{3}$
इसलिए, दिए गए असमिका के समाधान समुच्चय है $\bigg(\dfrac{-80}{3}, \dfrac{-10}{3}\bigg]$।
6. $7 \leq \dfrac{(3 x+11)}{2} \leq 11$.
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Answer :
$7 \leq \dfrac{(3 x+11)}{2} \leq 11$
$\Rightarrow 14 \leq 3 x+11 \leq 22$
$\Rightarrow 14-11 \leq 3 x \leq 22-11$
$\Rightarrow 3 \leq 3 x \leq 11$
$\Rightarrow 1 \leq x \leq \dfrac{11}{3}$
इसलिए, दिए गए असमिका के समाधान समुच्चय है $\bigg[1, \dfrac{11}{3}\bigg]$।
7 से 10 अभ्यास के असमिकाओं को हल करें और संख्या रेखा पर समाधान को ग्राफ़िकल रूप से प्रस्तुत करें।
7. $5 x+1 > -24,5 x-1 < 24$
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Answer :
$5 x+1 > -24$
$\Rightarrow 5 x > -25$
$\Rightarrow x > -5$
$5 x-1 < 24\qquad …(1) $
$\Rightarrow 5 x < 25$
$\Rightarrow x < 5\qquad …(2) $
(1) और (2) से, यह निष्कर्ष निकलता है कि दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान समुच्चय $(-5,5)$ है। दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान को संख्या रेखा पर इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है
8. $2(x-1) < x+5,3(x+2) > 2-x$
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Answer :
$2(x-1) < x+5$
$\Rightarrow 2 x-2 < x+5$
$\Rightarrow 2 x-x < 5+2$
$\Rightarrow x < 7 \qquad \ldots$ $(1)$
$3(x+2) > 2-x$
$\Rightarrow 3 x+6 > 2-x$
$\Rightarrow 3 x+x > 2-6$
$\Rightarrow 4 x > -4$
$\Rightarrow x > -1 \qquad\ldots$ $(2)$
(1) और (2) से, यह निष्कर्ष निकलता है कि दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान समुच्चय $(-1, 7).$ दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान को संख्या रेखा पर इस प्रकार प्रस्तुत किया जा सकता है
9. $3 x-7 > 2(x-6), 6-x > 11-2 x$
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उत्तर :
$3 x - 7 > 2 (x - 6 ) $
$\Rightarrow 3 x - 7 > 2 x - 12$
$\Rightarrow 3 x - 2 x > - 12+7$
$\Rightarrow x > - 5\qquad … $ $(1)$
$\Rightarrow 6 - x > 11 - 2 x$
$\Rightarrow - x+2 x > 11- 6$
$\Rightarrow x > 5 \qquad …$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से, दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान समुच्चय $(5, \infty)$ है। दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान को संख्या रेखा पर निम्नलिखित तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है
10. $5(2 x-7)-3(2 x+3) \leq 0,2 x+19 \leq 6 x+47$.
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उत्तर :
$5(2 x-7)-3(2 x+3) \leq 0$
$\Rightarrow 10 x-35-6 x-9 \leq 0$
$\Rightarrow 4 x-44 \leq 0$
$\Rightarrow 4 x \leq 44$
$\Rightarrow x \leq 11 \qquad\ldots$ $(1)$
$\Rightarrow 2 x+19 \leq 6 x+47$
$\Rightarrow 19-47$ $\leq x-2 x$
$\Rightarrow-28 \leq x $
$\Rightarrow-7 \leq x\qquad …$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से, दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान समुच्चय $[-7, 11].$ दिए गए असमिका प्रणाली के समाधान को संख्या रेखा पर निम्नलिखित तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है
11. एक विलयन को $68^{\circ} F$ और $77^{\circ} F$ के बीच रखा जाना है। तापमान की श्रेणी क्या होगी डिग्री सेल्सियस (C) में यदि सेल्सियस / फ़ेहरेनहाइट (F) परिवर्तन सूत्र द्वारा दिया गया है $ F=\dfrac{9}{5} C+32 ? $
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उत्तर :
क्योंकि विलयन को $68^{\circ} F$ और $77^{\circ} F$ के बीच रखा जाना है,
$68 < F < 77$
$F=\dfrac{9}{5} C+32$ को रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$68 < \dfrac{9}{5} C+32 < 77$
$\Rightarrow 68-32 < \dfrac{9}{5} C < 77-32$
$\Rightarrow 36 < \dfrac{9}{5} C < 45$
$\Rightarrow 36 \times \dfrac{5}{9} < C < 45 \times \dfrac{5}{9}$
$\Rightarrow 20 < C < 25$
इसलिए, डिग्री सेल्सियस में तापमान की आवश्यक श्रेणी $20^{\circ} C$ और $25^{\circ} C$ के बीच होगी।
12. 8% बोरिक एसिड के घोल को 2% बोरिक एसिड के घोल के मिश्रण द्वारा तनु करना है। नतीजा मिश्रण में बोरिक एसिड की मात्रा 4% से अधिक लेकिन 6% से कम होनी चाहिए। यदि हमें 640 लीटर के 8% घोल के बराबर है, तो कितने लीटर के 2% घोल को मिश्रित करना पड़ेगा?
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Answer :
मान लीजिए $x$ लीटर के 2% बोरिक एसिड के घोल को मिश्रित करना होगा।
तब, कुल मिश्रण $=(x+640)$ लीटर होगा।
इस नतीजा मिश्रण में बोरिक एसिड की मात्रा 4% से अधिक लेकिन 6% से कम होनी चाहिए।
$\therefore \ \ 2 % x + 8 %$ के 640 > 4% के $(x+640)$
और, $2 % x + 8 %$ के 640 < 6% के $(x+640)$
$2 % x + 8 %$ के 640 > 4% के $(x+640)$
$\Rightarrow \dfrac{2}{100} x+\dfrac{8}{100}(640) > \dfrac{4}{100}(x+640)$
$\Rightarrow 2 x+5120 > 4 x+2560$
$\Rightarrow 5120 - 2560 > 4 x - 2 x$
$\Rightarrow 5120 - 2560 > 2 x$
$\Rightarrow 2560 > 2 x$
$\Rightarrow 1280 > x$
$2 % \ x + 8 %$ के 640 < 6% के $(x+640)$
$\dfrac{2}{100} x+\dfrac{8}{100}(640) < \dfrac{6}{100}(x+640)$
$\Rightarrow 2 x+5120 < 6 x+3840$
$\Rightarrow 5120 - 3840 < 6 x - 2 x$
$\Rightarrow 1280 < 4 x$
$\Rightarrow 320 < x$
$\therefore \ \ 320 < x < 1280$
इसलिए, 2% बोरिक एसिड के घोल के लीटर की संख्या जो मिश्रित करनी होगी, 320 लीटर से अधिक लेकिन 1280 लीटर से कम होगी।
13. 1125 लीटर के 45% एसिड के घोल में कितने लीटर पानी मिलाया जाना चाहिए ताकि परिणामी मिश्रण में एसिड की मात्रा 25% से अधिक लेकिन 30% से कम हो जाए?
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Answer :
मान लीजिए $x$ लीटर पानी को मिलाना होगा।
तब, कुल मिश्रण $=(x+1125)$ लीटर होगा।
स्पष्ट रूप से, परिणामी मिश्रण में एसिड की मात्रा 1125 लीटर के 45% होगी।
इस परिणामी मिश्रण में $25 \%$ से अधिक लेकिन $30 \%$ से कम अम्लीय सामग्री होगी।
$\therefore \ \ 30 \%$ of $(1125+x) > 45 \%$ of 1125
और, $25 \%$ of $(1125+x) < 45 \%$ of 1125
$30 \%$ of $(1125+x) > 45 \%$ of 1125
$\Rightarrow \dfrac{30}{100}(1125+x) > \dfrac{45}{100} \times 1125$
$\Rightarrow 30(1125+x) > 45 \times 1125$
$\Rightarrow 30 \times 1125+30 x > 45 \times 1125$
$\Rightarrow 30 x > 45 \times 1125-30 \times 1125$
$\Rightarrow 30 x > (45-30) \times 1125$
$\Rightarrow x > \dfrac{15 \times 1125}{30}=562.5$
$25 \%$ of $(1125+x) < 45 \%$ of $1125$
$\Rightarrow \dfrac{25}{100}(1125+x) < \dfrac{45}{100} \times 1125$
$\Rightarrow 25(1125+x) > 45 \times 1125$
$\Rightarrow 25 \times 1125+25 x > 45 \times 1125$
$\Rightarrow 25 x > 45 \times 1125-25 \times 1125$
$\Rightarrow 25 x > (45-25) \times 1125$
$\Rightarrow x > \dfrac{20 \times 1125}{25}=900$
$\therefore \ \ 562.5 < x < 900$
इसलिए, जो जल जोड़ा जाना है उसकी आवश्यक संख्या $562.5$ से अधिक लेकिन $900$ से कम होगी।
14. एक व्यक्ति के बुद्धिलब्धि गुणांक (IQ) को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है
$ IQ=\dfrac{MA}{CA} \times 100 $
जहाँ MA बुद्धिमत्ता आयु और CA चरम आयु है। यदि 12 वर्ष के बच्चों के एक समूह के लिए $80 \leq IQ \leq 140$ है, तो उनकी बुद्धिमत्ता आयु की सीमा ज्ञात कीजिए।
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Answer :
दिया गया है कि 12 वर्ष के बच्चों के एक समूह के लिए $80 \leq IQ \leq 140 \ldots (i)$
12 वर्ष के बच्चों के एक समूह के लिए, $CA=12$ वर्ष
$ IQ=\dfrac{MA}{12} \times 100 $
इस बुद्धिलब्धि के मान को (i) में रखने पर, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} & 80 \leq \dfrac{MA}{12} \times 100 \leq 140 \\ \\ & \Rightarrow 80 \times \dfrac{12}{100} \leq MA \leq 140 \times \dfrac{12}{100} \\ \\ & \Rightarrow 9.6 \leq MA \leq 16.8 \end{aligned} $
इसलिए, 12 वर्ष के बच्चों के समूह की बुद्धिमत्ता आयु की सीमा $9.6 \leq MA \leq 16.8$ है।
सारांश
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दो वास्तविक संख्याओं या दो बीजगणितीय व्यंजकों के बीच $<,>, \leq$ या $\geq$ चिह्नों द्वारा संबंध बनाने से असमिका बनती है।
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एक समीकरण के दोनों ओर समान संख्याएँ जोड़ी जा सकती हैं (या घटाई जा सकती हैं)।
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एक असमिका के दोनों ओर एक ही धनात्मक संख्या से गुणा (या विभाजन) किया जा सकता है। लेकिन जब दोनों ओर एक ही नकारात्मक संख्या से गुणा (या विभाजन) किया जाता है, तो असमिका उलट जाती है।
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वे $x$ के मान जो एक असमिका को सत्य बयान बनाते हैं, असमिका के हल कहलाते हैं।
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एक संख्या रेखा पर $x < a$ (या $x > a$) को प्रस्तुत करने के लिए, संख्या $a$ पर एक चकती बनाएं और संख्या $a$ के बाईं ओर (या दाईं ओर) एक गहरा रेखा खींचें।
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संख्या रेखा पर $x \leq a$ (या $x \geq a$) को प्रस्तुत करने के लिए, संख्या $a$ पर एक काला वृत्त बनाएं और संख्या $x$ के बाईं (या दाईं) ओर के रेखा को काला करें।
बीटा
