अध्याय 04 जटिल संख्याएँ और द्विघात समीकरण
गणित विज्ञान की राजकुमारी है और अंकगणित गणित की राजकुमारी है। - गॉस
4.1 परिचय
पिछली कक्षाओं में, हमने एक और दो चर वाले रैखिक समीकरण और एक चर वाले द्विघात समीकरण के बारे में अध्ययन किया है। हम देख चुके हैं कि समीकरण $x^{2}+1=0$ का कोई वास्तविक समाधान नहीं है क्योंकि $x^{2}+1=0$ से $x^{2}=-1$ प्राप्त होता है और हर वास्तविक संख्या का वर्ग गैर-ऋणात्मक होता है। इसलिए, हमें वास्तविक संख्या प्रणाली को एक बड़े प्रणाली में विस्तारित करना पड़ेगा ताकि हम समीकरण $x^{2}=-1$ के समाधान की खोज कर सकें। वास्तव में, मुख्य उद्देश्य समीकरण $a x^{2}+b x+c=0$ को हल करना है, जहाँ $D=b^{2}-4 a c<0$ है, जो वास्तविक संख्या प्रणाली में संभव नहीं है।
W. R. Hamilton (1805-1865 A.D.)
4.2 जटिल संख्याएँ
मान लीजिए $\sqrt{-1}$ को संकेत $i$ द्वारा नोट करते हैं। तब, हमें $i^{2}=-1$ प्राप्त होता है। इसका अर्थ है कि $i$ समीकरण $x^{2}+1=0$ का एक हल है।
$ a+i b $ रूप की संख्या, जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हैं, जटिल संख्या कहलाती है। उदाहरण के लिए, $2+i 3, (-1)+i \sqrt{3}, 4+i \left(\dfrac{-1}{11}\right)$ जटिल संख्याएँ हैं।
कम्प्लेक्स संख्या $z=a+i b$ के लिए, $a$ को वास्तविक भाग कहते हैं, जिसे $Re ~z$ से दर्शाया जाता है और $b$ को काल्पनिक भाग कहते हैं, जिसे $Im ~z$ से दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $z=2+i 5$, तो $Re ~z=2$ और $Im ~z=5$ होता है।
दो कम्प्लेक्स संख्याएँ $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ बराबर होती हैं यदि $a=c$ और $b=d$ हो।
उदाहरण 1 यदि $4 x+i(3 x-y)=3+i(-6)$, जहाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $x$ और $y$ के मान ज्ञात कीजिए।
हल हमें दिया गया है:
$ 4 x+i(3 x-y)=3+i(-6) \qquad \text{…..(1)} $
(1) के वास्तविक और काल्पनिक भाग के बराबर करने पर हमें प्राप्त होता है:
$ 4 x=3,3 x-y=-6, $
जिसे एक साथ हल करने पर, हमें $x=\dfrac{3}{4}$ और $y=\dfrac{33}{4}$ प्राप्त होते हैं।
4.3 संख्याओं के बीजगणित
इस अनुच्छेद में, हम संख्याओं के बीजगणित के बारे में विकसित करेंगे।
4.3.1 दो संख्याओं के जोड़
मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ कोई दो संख्याएं हैं। तब, योग $z_1+z_2$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता है:
$z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$, जो फिर एक संख्या है।
उदाहरण के लिए, $(2+i 3)+(-6+i 5)=(2-6)+i(3+5)=-4+i 8$
संख्याओं के जोड़ के निम्नलिखित गुण होते हैं:
(i) संयोजन कानून दो सम复数 के योग एक सम复数 होता है, अर्थात् $z_1+z_2$ सभी सम复数 $z_1$ और $z_2$ के लिए एक सम复数 होता है।
(ii) आदान-प्रदान कानून किसी भी दो सम复数 $z_1$ और $z_2$ के लिए, $z_1+z_2=z_2+z_1$ होता है।
(iii) साहचर्य कानून किसी भी तीन सम复数 $z_1, z_2, z_3$ के लिए, $(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$ होता है।
(iv) योग के अस्तित्व का कानून एक सम复数 $0+i 0$ (जिसे 0 के रूप में लिखा जाता है), जिसे योग का तत्समक या शून्य सम复数 कहा जाता है, के अस्तित्व होता है ताकि प्रत्येक सम复数 $z$ के लिए, $z+0=z$ होता है।
(v) योग के विपर्यय की अस्तित्व यह है कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $z=a+i b$ के लिए, हमें सम्मिश्र संख्या $-a+i(-b)$ (जिसे $-z$ के रूप में लिखा जाता है), जिसे $z$ का योग के विपर्यय या ऋणात्मक कहा जाता है, मिलती है। हम देखते हैं कि $z+(-z)=0$ (योग के तत्समक) होता है।
4.3.2 दो सम्मिश्र संख्याओं का अंतर
किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, अंतर $z_1-z_2$ निम्नलिखित तरह परिभाषित किया गया है:
$$ z_1-z_2=z_1+(-z_2) . $$
उदाहरण के लिए, $ \qquad (6+3 i)-(2-i)=(6+3 i)+(-2+i)=4+4 i$
और $\qquad (2-i)-(6+3 i)=(2-i)+(-6-3 i)=-4-4 i$
4.3.3 दो सम复 संख्याओं का गुणन
मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ कोई दो सम复 संख्याएँ हैं। तब, गुणन $z_1 z_2$ निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता है:
$ z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c) $
उदाहरण के लिए, $(3+i 5)(2+i 6)=(3 \times 2-5 \times 6)+i(3 \times 6+5 \times 2)=-24+i 28$
सम复 संख्याओं के गुणन के निम्नलिखित गुण हैं, जिनके साबित करने के बिना कह दिया जाता है।
(i) संवृत्ति कानून दो सम复 संख्याओं का गुणन एक सम复 संख्या होता है, गुणन $z_1 z_2$ सभी सम复 संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए एक सम复 संख्या होता है।
(ii) संवृत्त नियम किसी भी दो सम复 संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए,
$ z_1 z_2=z_2 z_1 $
(iii) संयोजन नियम किसी भी तीन सम复 संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए,
$ (z_1 z_2) z_3=z_1(z_2 z_3) \text{. } $
(iv) गुणन तत्समक की उपस्थिति एक सम复 संख्या $1+i 0$ (जिसे 1 से नोट किया जाता है), कहलाती है गुणन तत्समक ऐसी कि $z .1=z$, प्रत्येक सम复 संख्या $z$ के लिए।
(v) गुणन व्युत्क्रम की उपस्थिति प्रत्येक गैर-शून्य सम复 संख्या $z=a+i b$ या $a+b i(a \neq 0, b \neq 0)$ के लिए, हमें एक सम复 संख्या $\dfrac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \dfrac{-b}{a^{2}+ b^{2}}($ (जिसे $\dfrac{1}{z}$ या $.z^{-1})$ से नोट किया जाता है), कहलाती है गुणन व्युत्क्रम ऐसी कि
$z \cdot \dfrac{1}{z}=1$ (गुणन पहचान तत्व)।
(vi) वितरण नियम किसी भी तीन सम复 संख्याओं $z_1, z_2, z_3$ के लिए,
(a) $z_1(z_2+z_3)=z_1 z_2+z_1 z_3$
(b) $(z_1+z_2) z_3=z_1 z_3+z_2 z_3$
4.3.4 दो समपद संख्याओं के विभाजन
किसी भी दो समपद संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, जहाँ $z_2 \neq 0$, भागफल $\dfrac{z_1}{z_2}$ निम्नलिखित द्वारा परिभाषित किया गया है
$ \dfrac{z_1}{z_2}=z_1 \dfrac{1}{z_2} $
उदाहरण के लिए, मान लीजिए $\quad z_1=6+3 i$ और $z_2=2-i$
तब $ \dfrac{z_1}{z_2}=\left((6+3 i) \times \dfrac{1}{2-i}\right)=(6+3 i)\left(\dfrac{2}{2^{2}+(-1)^{2}}+i \dfrac{-(-1)}{2^{2}+(-1)^{2}}\right) $
$
$ =(6+3 i)\left(\dfrac{2+i}{5}\right)=\dfrac{1}{5}[12-3+i(6+6)]=\dfrac{1}{5}(9+12 i) $
4.3.5 $i$ की घात
हम जानते हैं कि
$i^{3}=i^{2} i=(-1) i=-i,\qquad i^{4}=(i^{2})^{2}=(-1)^{2}=1$
$i^{5}=(i^{2})^{2} i=(-1)^{2} i=i, \qquad i^{6}=(i^{2})^{3}=(-1)^{3}=-1, \text{ आदि }$
इसके अतिरिक्त, हम जानते हैं कि $\quad i^{-1}=\dfrac{1}{i} \times \dfrac{i}{i}=\dfrac{i}{-1}=-i, \quad i^{-2}=\dfrac{1}{i^{2}}=\dfrac{1}{-1}=-1$,
$ i^{-3}=\dfrac{1}{i^{3}}=\dfrac{1}{-i} \times \dfrac{i}{i}=\dfrac{i}{1}=i, \quad i^{-4}=\dfrac{1}{i^{4}}=\dfrac{1}{1}=1 `
$
सामान्य रूप में, किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए, $i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$
4.3.6 एक नकारात्मक वास्तविक संख्या के वर्ग मूल
ध्यान दें कि $i^{2}=-1$ और $(-i)^{2}=i^{2}=-1$
इसलिए, -1 के वर्ग मूल $i,-i$ हैं। हालांकि, $\sqrt{-1}$ के चिन्ह द्वारा हम केवल $i$ का अर्थ लेंगे।
अब, हम देख सकते हैं कि $i$ और $-i$ दोनों समीकरण $x^{2}+1=0$ या $x^{2}=-1$ के हल हैं।
उसी तरह $\quad \left(\sqrt{3} i \right)^{2}=\left(\sqrt{3}\right)^{2} i^{2}=3(-1)=-3$
$ \left(-\sqrt{3} i \right)^{2}=\left(-\sqrt{3}\right)^{2} i^{2}=-3
$
इसलिए, -3 के वर्गमूल $\sqrt{3} i$ और $-\sqrt{3} i$ हैं।
फिर, $\sqrt{-3}$ का चिन्ह $\sqrt{3} i$ को केवल दर्शाने के लिए है, अर्थात, $\sqrt{-3}=\sqrt{3} i$ है।
आमतौर पर, यदि $a$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो $\sqrt{-a}=\sqrt{a} \sqrt{-1}=\sqrt{a} i$,
हम पहले से ही जानते हैं कि $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ सभी धनात्मक वास्तविक संख्या $a$ और $b$ के लिए सत्य है। यह परिणाम जब भी $a>0, b<0$ या $a<0, b>0$ हो, तो भी सत्य है। यदि $a<0, b<0$ हो तो क्या होता है?
हम इसकी जांच करें।
ध्यान दें कि
$i^{2} =\sqrt{-1} \sqrt{-1}=\sqrt{(-1)(-1)}$ यह मान लेते हुए $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}$ सभी वास्तविक संख्या के लिए सत्य है।
$=\sqrt{1}=1$, जो तथ्य के विरोधाभास है कि $~i^{2}=-1$
इसलिए, $\sqrt{a} \times \sqrt{b} \neq \sqrt{a b}~$ यदि दोनों $a$ और $b$ नकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।
इसके अतिरिक्त, यदि $a$ और $b$ में से कोई एक शून्य है, तो स्पष्ट रूप से $\sqrt{a} \times \sqrt{b}=\sqrt{a b}=0$ होता है।
4.3.7 सरलताएँ
हम निम्नलिखित सरलता को सिद्ध करते हैं
$ (z_1+z_2)^{2}=z_1^{2}+z_2^{2}+2 z_1 z_2 \text{, सभी कम्प्लेक्स संख्याओं } z_1 \text{ और } z_2 \text{ के लिए। } $
सिद्ध करना हम जानते हैं, $(z_1+z_2)^{2}=(z_1+z_2)(z_1+z_2)$,
$ \begin{aligned}
=(z_1+z_2) z_1+(z_1+z_2) z_2 & \text{ (वितरण कानून) } \\ =z_1^{2}+z_2 z_1+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (वितरण कानून) } \\ =z_1^{2}+z_1 z_2+z_1 z_2+z_2^{2} & \text{ (गुणन के समानता कानून) } \\ =z_1^{2}+2 z_1 z_2+z_2^{2} & \end{aligned} $
उसी तरह, हम निम्नलिखित पहचानों को सिद्ध कर सकते हैं:
(i) $(z_1-z_2)^{2}=z_1^{2}-2 z_1 z_2+z_2^{2}$
(ii) $(z_1+z_2)^{3}=z_1^{3}+3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}+z_2^{3}$
(iii) $(z_1-z_2)^{3}=z_1^{3}-3 z_1^{2} z_2+3 z_1 z_2^{2}-z_2^{3}$
(iv) $z_1^{2}-z_2^{2}=(z_1+z_2)(z_1-z_2)$
वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य अनेक अन्य पहचानें हैं, जो सभी सम复 संख्याओं के लिए सत्य सिद्ध की जा सकती हैं।
उदाहरण 2 निम्नलिखित को $a + bi$ के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) $(-5 i)\left(\dfrac{1}{8} i\right)$
(ii) $(-i)(2 i)\left(-\dfrac{1}{8} i\right)^{3}$
हल (i) $(-5 i)\left(\dfrac{1}{8} i\right)=\dfrac{-5}{8} i^{2}=\dfrac{-5}{8}(-1)=\dfrac{5}{8}=\dfrac{5}{8}+i 0$
(ii) $(-i)(2 i)\left(-\dfrac{1}{8} i\right)^{3}=2 \times \dfrac{1}{8 \times 8 \times 8} \times i^{5}=\dfrac{1}{256}(i^{2})^{2} i=\dfrac{1}{256} i$.
उदाहरण 3 $ (5-3 i)^{3} $ को $ a+i b $ के रूप में व्यक्त करें।
हल हम जानते हैं, $ (5-3 i)^{3}=5^{3}-3 \times 5^{2} \times(3 i)+3 \times 5(3 i)^{2}-(3 i)^{3} $
$ =125-225 i-135+27 i=-10-198 i . $
उदाहरण 4 $ \left(-\sqrt{3}+\sqrt{-2}\right)\left(2 \sqrt{3}-i \right) $ को $ a+i b $ के रूप में व्यक्त करें।
हल हम जानते हैं, $ \left(-\sqrt{3}+\sqrt{-2}\right)\left(2 \sqrt{3}-i \right)=\left(-\sqrt{3}+\sqrt{2} i \right)\left(2 \sqrt{3}-i \right) $
$ =-6+\sqrt{3} i+2 \sqrt{6} i-\sqrt{2} i^{2}=\left(-6+\sqrt{2}\right)+\sqrt{3}\left(1+2 \sqrt{2}\right) i $
$
4.4 जटिल संख्या का मापांक और संयुग्मी
मान लीजिए $z=a+i b$ एक जटिल संख्या है। तब, $z$ का मापांक, $|z|$ से नोट किया जाता है, जो एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या $\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ होती है, अर्थात $|z|=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ और $z$ का संयुग्मी, $\bar{z}$ से नोट किया जाता है, जो जटिल संख्या $a-i b$ होती है, अर्थात $\bar{z}=a-i b$।
उदाहरण के लिए, $\quad|3+i|=\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10},|2-5 i|=\sqrt{2^{2}+(-5)^{2}}=\sqrt{29}$,
और $ ~~\overline{3+i}=3-i, \overline{2-5 i}=2+5 i, \overline{-3 i-5}=3 i-5
$
ध्यान दें कि गैर-शून्य जटिल संख्या $z$ के गुणन के व्युत्क्रम को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
$ \begin{aligned} & \quad z^{-1}=\dfrac{1}{a+i b}=\dfrac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \dfrac{-b}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{a-i b}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{\bar{z}}{|z|^{2}} \\ & \text{ या } \quad z \bar{z}=|z|^{2} \end{aligned} $
इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित परिणाम आसानी से निकाले जा सकते हैं।
कोई भी दो जटिल संख्याओं $z_1$ और $z_2$ के लिए, हम निम्नलिखित के लिए रखते हैं
(i) $|z_1 z_2|=|z_1||z_2|$
(ii) $|\dfrac{z_1}{z_2}|=\dfrac{|z_1|}{|z_2|}$ जबकि $|z_2| \neq 0$
(iii) $\overline{z_1 z_2}=\overline{z_1} \overline{z_2}$
(iv) $\overline{z_1 \pm z_2}=\overline{z_1} \pm \overline{z_2} $
(v) $\overline{\left(\dfrac{z_1}{z_2}\right)} = \dfrac{\overline{z_1}}{\overline{z_2}}$ जबकि $z_2\neq0 $।
उदाहरण 5 $2-3 i$ का गुणनात्मक व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
हल मान लीजिए $z=2-3 i$
तब $\quad \bar{z}=2+3 i \quad$ और $\quad|z|^{2}=2^{2}+(-3)^{2}=13$
इसलिए, $2-3 i$ का गुणनात्मक व्युत्क्रम निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
$ z^{-1}=\dfrac{\bar{z}}{|z|^{2}}=\dfrac{2+3 i}{13}=\dfrac{2}{13}+\dfrac{3}{13} i $
$
उपरोक्त कार्य निम्नलिखित तरह से भी पुनर्प्राप्त किया जा सकता है,
$ \begin{aligned} z^{-1} & =\dfrac{1}{2-3 i}=\dfrac{2+3 i}{(2-3 i)(2+3 i)} \\ & =\dfrac{2+3 i}{2^{2}-(3 i)^{2}}=\dfrac{2+3 i}{13}=\dfrac{2}{13}+\dfrac{3}{13} i \end{aligned} $
उदाहरण 6 निम्नलिखित को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए
(i) $\dfrac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}$
(ii) $i^{-35}$
हल (i) हमें, $\dfrac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i}=\dfrac{5+\sqrt{2} i}{1-\sqrt{2} i} \times \dfrac{1+\sqrt{2} i}{1+\sqrt{2} i}=\dfrac{5+5 \sqrt{2} i+\sqrt{2} i-2}{1-(\sqrt{2} i)^{2}}$
$ =\dfrac{3+6 \sqrt{2} i}{1+2}=\dfrac{3(1+2 \sqrt{2} i)}{3}=1+2 \sqrt{2} i $
(ii) $i^{-35}=\dfrac{1}{i^{3} =\dfrac{1}{(i^{2})^{17} i}=\dfrac{1}{-i} \times \dfrac{i}{i}=\dfrac{i}{-i^{2}}=i$
अभ्यास 4.1
प्रश्न 1 से 10 तक दी गई जटिल संख्याओं को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए।
1. $\left(5 i\right)\left(-\dfrac{3}{5} i\right)$
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उत्तर :
$ \begin{aligned} \left(5 i\right)\left(\dfrac{-3}{5} i\right) & =-5 \times \dfrac{3}{5} \times i \times i & \\ \\ & =-3 i^{2} \\ \\ & =-3\left(-1\right) \qquad {\left[\because \ \ i^{2}=-1\right]} \\ \\ & =3 & \end{aligned} $
2. $i^{9}+i^{19}$
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उत्तर :
$\large{ \begin{aligned} i^{9}+i^{19} & =i^{4 \times 2+1}+i^{4 \times 4+3} \\ \\ & =\left(i^{4}\right)^{2} \cdot i+\left(i^{4}\right)^{4} \cdot i^{3} \\ \\ & =1 \times i+1 \times\left(-i\right) \quad\left[\because \ \ i^{4}=1, i^{3}=-i\right] \\ \\ & =i+\left(-i\right) \\ \\ & =0 \end{aligned}} $
3. $i^{-39}$
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उत्तर :
$\large{ \begin{aligned} i^{-39} & =i^{-4 \times 9-3}=\left(i^{4}\right)^{-9} \cdot i^{-3} \\ \\ & =\left(1\right)^{-9} \cdot i^{-3} \qquad {\left[\because \ \ i^{4}=1\right]} \\ \\ & =\dfrac{1}{i^{3}}=\dfrac{1}{-i} \qquad {\left[\because \ \ i^{3}=-i\right]} \\ \\ & =\dfrac{-1}{i} \times \dfrac{i}{i} & \\ \\ & =\dfrac{-i}{i^{2}}=\dfrac{-i}{-1}=i \qquad {\left[\because \ \ i^{2}=-1\right]} \end{aligned}} $
4. $3\left(7+i 7\right)+i\left(7+i 7\right)$
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उत्तर :
$\large{ \begin{aligned} 3\left(7+i 7\right)+i\left(7+i 7\right) & =21+21 i+7 i+7 i^{2} & \\ \\ & =21+28 i+7 \times\left(-1\right) & \\ \\ & =14+28 i & \end{aligned}} $
5. $\left(1-i\right)-\left(-1+i 6\right)$
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उत्तर :
$\large{ \begin{aligned} \left(1-i\right)-\left(-1+i 6\right) & =1-i+1-6 i \\ \\ & =2-7 i \end{aligned}} $
6. $\left(\dfrac{1}{5}+i \dfrac{2}{5}\right)-\left(4+i \dfrac{5}{2}\right)$
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Answer :
$\large{ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{5}+i \dfrac{2}{5}\right)-\left(4+i \dfrac{5}{2}\right) & =\dfrac{1}{5}+\dfrac{2}{5} i-4-\dfrac{5}{2} i \\ \\ & =\left(\dfrac{1}{5}-4\right)+i\left(\dfrac{2}{5}-\dfrac{5}{2}\right) \\ \\ & =\dfrac{-19}{5}+i\left(\dfrac{-21}{10}\right) \\ \\ & =\dfrac{-19}{5}-\dfrac{21}{10} i \end{aligned}} $
7. $\left[ \left(\dfrac{1}{3}+i \dfrac{7}{3}\right)+\left(4+i \dfrac{1}{3}\right)\right]-\left(-\dfrac{4}{3}+i\right)$
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Answer :
$\left[\left(\dfrac{1}{3}+i \dfrac{7}{3}\right)+\left(4+i \dfrac{1}{3}\right)\right]-\left(\dfrac{-4}{3}+i\right)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{7}{3} i+4+\dfrac{1}{3} i+\dfrac{4}{3}-i$
$\hspace{6.1cm}=\left(\dfrac{1}{3}+4+\dfrac{4}{3}\right)+i\left(\dfrac{7}{3}+\dfrac{1}{3}-1\right)$
$\hspace{6.1cm}=\dfrac{17}{3}+i \dfrac{5}{3}$
8. $\left(1-i\right)^{4}$
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Answer :
$\large{ \begin{aligned} \left(1-i\right)^{4} & =\left[ \left(1-i\right)^{2}\right]^{2} \\ \\ & =\left[ 1^{2}+i^{2}-2 i\right]^{2} \\ \\ & =\left[ 1-1-2 i\right]^{2} \\ \\ & =\left(-2 i\right)^{2} \\ \\ & =\left(-2 i\right) \times\left(-2 i\right) \\ \\ & =4 i^{2}=-4 \quad\left[\because \ \ i^{2}=-1\right] \end{aligned}} $
9. $\left(\dfrac{1}{3}+3 i\right)^{3}$
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Answer :
$ \begin{aligned} \left(\dfrac{1}{3}+3 i\right)^{3} & =\left(\dfrac{1}{3}\right)^{3}+\left(3 i\right)^{3}+3\left(\dfrac{1}{3}\right)\left(3 i\right)\left(\dfrac{1}{3}+3 i\right) \\ \\ & =\dfrac{1}{27}+27 i^{3}+3 i\left(\dfrac{1}{3}+3 i\right) & \\ \\ & =\dfrac{1}{27}+27\left(-i\right)+i+9 i^{2} \qquad {\left[\because \ \ i^{3}=-i\right]} \\ \\ & =\dfrac{1}{27}-27 i+i-9 & \\ \\ & =\left(\dfrac{1}{27}-9\right)+i\left(-27+1\right) & \\ \\ & =\dfrac{-242}{27}-26 i &
\end{aligned} $
10. $\left(-2-\dfrac{1}{3} i\right)^{3}$
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उत्तर :
$ \begin{aligned} \left(-2-\dfrac{1}{3} i\right)^{3} & =\left(-1\right)^{3}\left(2+\dfrac{1}{3} i\right)^{3} & \\ \\ & =-\left[ 2^{3}+\left(\dfrac{i}{3}\right)^{3}+3\left(2\right)\left(\dfrac{i}{3}\right)\left(2+\dfrac{i}{3}\right)\right] \\ \\ & =-\left[8+\dfrac{i^{3}}{27}+2 i\left(2+\dfrac{i}{3}\right)\right] \qquad {\left[\because \ \ i^{3}=-i\right]} \\ \\ & =-\left[ 8-\dfrac{i}{27}+4 i+\dfrac{2 i^{2}}{3}\right] \qquad {\left[\because \ \ i^{2}=-1\right]} \\ \\ & =-\left[ 8-\dfrac{i}{27}+4 i-\dfrac{2}{3}\right] & \\ \\ & =-\left[ \dfrac{22}{3}+\dfrac{107 i}{27}\right] & \end{aligned} $
निम्नलिखित प्रश्न 11 से 13 में दिए गए समिश्र संख्याओं के गुणनात्मक व्युत्क्रम ज्ञात कीजिए।
11. $4-3 i$
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उत्तर :
मान लीजिए $z=4 -{3 i}$
तब, $\bar{{}z}=4+3 i$ और $|z|^{2}=4^{2}+\left(-3\right)^{2}=16+9=25$
इसलिए, $4- 3 i$ का गुणनात्मक व्युत्क्रम निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
$ z^{-1}=\dfrac{\bar{{}z}}{|z|^{2}}=\dfrac{4+3 i}{25}=\dfrac{4}{25}+\dfrac{3}{25} i $
12. $\sqrt{5}+3 i$
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मान लीजिए $z=\sqrt{5}+3 i$
तब, $\bar{{}z}=\sqrt{5}-3 i$ और $|z|^{2}=\left(\sqrt{5}\right)^{2}+3^{2}=5+9=14$
इसलिए, $\sqrt{5}+3 i$ का गुणनात्मक व्युत्क्रम निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
$z^{-1}=\dfrac{\bar{{}z}}{|z|^{2}}=\dfrac{\sqrt{5}-3 i}{14}=\dfrac{\sqrt{5}}{14}-\dfrac{3 i}{14}$
13. $-i$
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उत्तर :
मान लीजिए $z=- i$
तब, $\bar{{}z}=i$ और $|z|^{2}=1^{2}=1$
इसलिए, $- i$ का गुणनात्मक व्युत्क्रम निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है
$z^{-1}=\dfrac{\bar{{}z}}{|z|^{2}}=\dfrac{i}{1}=i$
14. निम्नलिखित व्यंजक को $a+i b$ के रूप में व्यक्त कीजिए
$\dfrac{\left(3+i \sqrt{5}\right)\left(3-i \sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2} i\right)-\left(\sqrt{3}-i \sqrt{2}\right)}$
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उत्तर :
$ \dfrac{\left(3+i \sqrt{5}\right)\left(3-i \sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2} i\right)-\left(\sqrt{3}-i \sqrt{2}\right)} =\dfrac{\left(3\right)^{2}-\left(i \sqrt{5}\right)^{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2} i-\sqrt{3}+\sqrt{2} i} \quad\left[\because \ \ \left(a+b\right)\left(a-b\right)=a^{2}-b^{2}\right]$
$\hspace{4.2cm}=\dfrac{9-5 i^{2}}{2 \sqrt{2} i}=\dfrac{9-5\left(-1\right)}{2 \sqrt{2} i} \quad\left[\because \ \ i^{2}=-1\right]$
$\hspace{4.2cm}=\dfrac{9+5}{2 \sqrt{2} i} \times \dfrac{i}{i}=\dfrac{14 i}{2 \sqrt{2} i^{2}}$
$\hspace{4.2cm}=\dfrac{14 i}{2 \sqrt{2}\left(-1\right)}=\dfrac{-7 i}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$\hspace{4.2cm}=\dfrac{-7 \sqrt{2} i}{2}$
4.5 आर्गंड तल एवं ध्रुवीय प्रस्तुति
हम पहले ही जानते हैं कि किसी भी क्रमित युग्म के वास्तविक संख्याओं $(x, y)$ के लिए, हमें XY-तल में एक अद्वितीय बिंदु प्राप्त होता है और विपरीत रूप से, एक सेट के परस्पर लंब रेखाओं के संदर्भ में, जिन्हें $x$-अक्ष और $y$-अक्ष कहा जाता है, एक अद्वितीय बिंदु प्राप्त होता है। क्रमित युग्म $(x, y)$ के संगत समिश्र संख्या $x+i y$ को ज्यामितीय रूप से XY-तल में अद्वितीय बिंदु $P(x, y)$ के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है और विपरीत रूप से।
कुछ जटिल संख्याएँ जैसे $2+4 i,-2+3 i, 0+1 i, 2+0 i,-5-2 i$ और $1-2 i$ जो क्रमशः क्रमित युग्म $(2,4),(-2,3),(0,1),(2,0),(-5,-2)$, और $(1,-2)$ के संगत हैं, क्रमशः आकृति 4.1 में बिंदुओं $A, B, C, D, E$ और $F$ द्वारा ज्यामितीय रूप से प्रस्तुत की गई हैं।
आकृति 4.1
जिस तल में इसके प्रत्येक बिंदु के लिए एक जटिल संख्या निर्धारित की गई हो, उसे जटिल तल या आर्गंड तल कहते हैं।
स्पष्ट रूप से, आर्गंड तल में, सम्मिश्र संख्या $x+i y=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ के मापांक, बिंदु $P(x, y)$ और मूल बिंदु $O(0,0)$ के बीच की दूरी होती है (चित्र 4.2)। $x$-अक्ष पर बिंदु $a+i 0$ के रूप की सम्मिश्र संख्याओं को प्रतिनिधित्व करते हैं और $y$-अक्ष पर बिंदु $0+i b$ के रूप की सम्मिश्र संख्याओं को प्रतिनिधित्व करते हैं। आर्गंड तल में $x$-अक्ष और $y$-अक्ष क्रमशः वास्तविक अक्ष और काल्पनिक अक्ष कहलाते हैं।
एक सम्मिश्र संख्या $z=x+i y$ और उसके सांत्मान $z=x-i y$ का आर्गंड तल में प्रतिनिधित्व क्रमशः बिंदु $P(x, y)$ और $Q(x,-y)$ होते हैं। ज्यामितीय रूप से, बिंदु $(x,-y)$ वास्तविक अक्ष पर बिंदु $(x, y)$ के दर्पण प्रतिबिम्ब होता है (चित्र 4.3)।
चित्र 4.3
विविध उदाहरण
उदाहरण 7 $\dfrac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ का संयुग्मी ज्ञात कीजिए।
हल हमें, $\dfrac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$
$ \begin{aligned} & =\dfrac{6+9 i-4 i+6}{2-i+4 i+2}=\dfrac{12+5 i}{4+3 i} \times \dfrac{4-3 i}{4-3 i} \\ & =\dfrac{48-36 i+20 i+15}{16+9}=\dfrac{63-16 i}{25}=\dfrac{63}{25}-\dfrac{16}{25} i \end{aligned} $
इसलिए, $\dfrac{(3-2 i)(2+3 i)}{(1+2 i)(2-i)}$ का संयुग्मी $\dfrac{63}{25}+\dfrac{16}{25} i$ है।
उदाहरण 8 यदि $x+i y=\dfrac{a+i b}{a-i b}$, सिद्ध कीजिए कि $x^{2}+y^{2}=1$।
हल हमारे पास,
$ x+i y=\dfrac{(a+i b)(a+i b)}{(a-i b)(a+i b)}=\dfrac{a^{2}-b^{2}+2 a b i}{a^{2}+b^{2}}=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\dfrac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i $
तो, $x-i y=\dfrac{a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}-\dfrac{2 a b}{a^{2}+b^{2}} i$
इसलिए,
$ \begin{aligned} x^{2}+y^{2}=(x+i y)(x-i y) & =\dfrac{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}+\dfrac{4 a^{2} b^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=\dfrac{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}\right)^{2}}=1
\end{aligned} $
अध्याय 4 पर अतिरिक्त अभ्यास
1. मूल्यांकन करें: $\left[i^{18}+\left(\dfrac{1}{i}\right)^{25}\right]^{3}$
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उत्तर :
$\left[i^{18}+\left(\dfrac{1}{i}\right)^{25}\right]^{3}$ $=\left[i^{4 \times 4+2}+\dfrac{1}{i^{4 \times 6+1}}\right]^{3}$
$\hspace{2.5cm} =\left[\left(i^{4}\right)^{4} \cdot i^{2}+\dfrac{1}{\left(i^{4}\right)^{6} \cdot i}\right]^{3}$
$\hspace{2.5cm} =\left[i^{2}+\dfrac{1}{i}\right]^{3} \qquad\left[\because \ \ i^{4}=1\right]$
$\hspace{2.5cm} =\left[-1+\dfrac{1}{i} \times \dfrac{i}{i}\right]^{3} \qquad\left[\because \ \ i^{2}=-1\right]$
$\hspace{2.5cm} =\left[-1+\dfrac{i}{i^{2}}\right]^{3}$
$\hspace{2.5cm} =\left[-1-i\right]^{3}$
$\hspace{2.5cm} =\left(-1\right)^{3}\left[1+i\right]^{3}$
$\hspace{2.5cm} =-\left[1^{3}+i^{3}+3 \cdot 1 \cdot i\left(1+i\right)\right]$
$\hspace{2.5cm} =-\left[1+i^{3}+3 i+3 i^{2}\right]$
$\hspace{2.5cm} =-\left[1-i+3 i-3\right]$
$\hspace{2.5cm} =-\left[-2+2 i\right]$
$\hspace{2.5cm} =2-2 i$
2. कोई दो जटिल संख्याएँ $z_1$ और $z_2$ हो, तो सिद्ध करें कि $Re\left(z_1 z_2\right)=Re z_1 Re z_2-Im z_1 Im z_2$
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उत्तर :
मान लीजिए $z_1=x_1+i y_1$ और $z_2=x_2+i y_2$
$\therefore \ \ z_1 z_2=\left(x_1+i y_1\right)\left(x_2+i y_2\right)$
$\hspace{1.2cm}=x_1\left(x_2+i y_2\right)+i y_1\left(x_2+i y_2\right)$
$\hspace{1.2cm}=x_1 x_2+i x_1 y_2+i y_1 x_2+i^{2} y_1 y_2$
$\hspace{1.2cm}=x_1 x_2+i x_1 y_2+i y_1 x_2-y_1 y_2 \qquad\left[\because \ \ i^{2}=-1\right]$
$\hspace{1.2cm}=\left(x_1 x_2-y_1 y_2\right)+i\left(x_1 y_2+y_1 x_2\right)$
$\Rightarrow Re\left(z_1 z_2\right)=x_1 x_2-y_1 y_2$
$\Rightarrow Re\left(z_1 z_2\right)=Re z_1 Re z_2-Im z_1 Im z_2$
इसलिए, सिद्ध कर दिया।
3. $\left(\dfrac{1}{1-4 i}-\dfrac{2}{1+i}\right)\left(\dfrac{3-4 i}{5+i}\right)$ को मानक रूप में लाएँ।
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उत्तर :
$\left(\dfrac{1}{1-4 i}-\dfrac{2}{1+i}\right)\left(\dfrac{3-4 i}{5+i}\right) =\left[\dfrac{\left(1+i\right)-2\left(1-4 i\right)}{\left(1-4 i\right)\left(1+i\right)}\right]\left[\dfrac{3-4 i}{5+i}\right]$
$\hspace{4.4cm} =\left[\dfrac{1+i-2+8 i}{1+i-4 i-4 i^{2}}\right]\left[\dfrac{3-4 i}{5+i}\right]$
$\hspace{4.4cm} =\left[\dfrac{-1+9 i}{5-3 i}\right]\left[\dfrac{3-4 i}{5+i}\right]$
$\hspace{4.4cm} =\left[\dfrac{-3+4 i+27 i-36 i^{2}}{25+5 i-15 i-3 i^{2}}\right]$
$\hspace{4.4cm} =\dfrac{33+31 i}{28-10 i}=\dfrac{33+31 i}{2\left(14-5 i\right)}$
$\hspace{4.4cm} =\dfrac{\left(33+31 i\right)}{2\left(14-5 i\right)} \times \dfrac{\left(14+5 i\right)}{\left(14+5 i\right)} \quad \big[ $ On multiplying numerator and denominator by $\left(14+5 i\right)\big]$
$\hspace{4.4cm} =\dfrac{462+165 i+434 i+155 i^{2}}{2\left[\left(14\right)^{2}-\left(5 i\right)^{2}\right]}$
$\hspace{4.4cm} =\dfrac{307+599 i}{2\left(196-25 i^{2}\right)}$
$\hspace{4.4cm} =\dfrac{307+599 i}{2\left(221\right)}$
$\hspace{4.4cm} =\dfrac{307+599 i}{442}$
$\hspace{4.4cm} =\dfrac{307}{442}+\dfrac{599 i}{442}$
इस प्रकार आवश्यक मानक रूप प्राप्त होता है।
4. यदि $x-i y=\sqrt{\dfrac{a-i b}{c-i d}}$ सिद्ध कीजिए कि $\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=\dfrac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}$.
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उत्तर :
$x-i y=\sqrt{\dfrac{a-ib}{c-id}}$
$\qquad\quad =\sqrt{\dfrac{a-ib}{c-id} \times \dfrac{c+id}{c+id}}\qquad \big[$ अंश और हर को $\left(c+id\right)$ से गुणा करके $\big]$
$\qquad\quad =\sqrt{\dfrac{\left(ac+bd\right)+i\left(ad-bc\right)}{c^{2}+d^{2}}}$
$\therefore \ \ \left(x-i y\right)^{2}=\dfrac{\left(a c+b d\right)+i\left(a d-b c\right)}{c^{2}+d^{2}}$
$\Rightarrow x^{2}-y^{2}-2 ixy=\dfrac{\left(ac+bd\right)+i\left(ad-bc\right)}{c^{2}+d^{2}}$
अंतर्मुखी और काल्पनिक भाग की तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं
$ \ \ x^{2}-y^{2}=\dfrac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}},$ $\quad-2 x y=\dfrac{a d-b c}{c^{2}+d^{2}}$
$\left(x^{2}+y^{2}\right)^{2}=\left(x^{2}-y^{2}\right)^{2}+4 x^{2} y^{2}$
$\hspace{1.7cm} =\left(\dfrac{a c+b d}{c^{2}+d^{2}}\right)^{2}+\left(\dfrac{a d-b c}{c^{2}+d^{2}}\right)^{2} \quad\left[\text{उपयोग करते हुए} \ \left(1\right)\right]$
$\hspace{1.7cm} =\dfrac{a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+2 a c b d+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}-2 a d b c}{\left(c^{2}+d^{2}\right)^{2}}$
$\hspace{1.7cm} =\dfrac{a^{2} c^{2}+b^{2} d^{2}+a^{2} d^{2}+b^{2} c^{2}}{\left(c^{2}+d^{2}\right)^{2}}$
$\hspace{1.7cm} =\dfrac{a^{2}\left(c^{2}+d^{2}\right)+b^{2}\left(c^{2}+d^{2}\right)}{\left(c^{2}+d^{2}\right)^{2}}$
$\hspace{1.7cm} =\dfrac{\left(c^{2}+d^{2}\right)\left(a^{2}+b^{2}\right)}{\left(c^{2}+d^{2}\right)^{2}}$
$\hspace{1.7cm} =\dfrac{a^{2}+b^{2}}{c^{2}+d^{2}}$
इसलिए, सिद्ध कर दिया गया।
5. यदि $z_1=2-i, z_2=1+i$, तो $\bigg|\dfrac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}\bigg|$ का मान ज्ञात कीजिए।
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उत्तर :
$ \begin{aligned} & z_1=2-i, z_2=1+i \\ \\ & \therefore \ \ \bigg|\dfrac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}\bigg|=\bigg|\dfrac{\left(2-i\right)+\left(1+i\right)+1}{\left(2-i\right)-\left(1+i\right)+1}\bigg| \\ \\ & \hspace{2.5cm} =\bigg|\dfrac{4}{2-2 i}\bigg| =\bigg|\dfrac{4}{2\left(1-i\right)}\bigg| \\ \\ & \hspace{2.5cm} =\bigg|\dfrac{2}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i}\bigg| =\bigg|\dfrac{2\left(1+i\right)}{1^{2}-i^{2}}\bigg| \\ \\ & \hspace{2.5cm} =\bigg|\dfrac{2\left(1+i\right)}{1+1}\bigg| \qquad\left[\because \ \ i^{2} =-1\right] \\ \\ & \hspace{2.5cm} =\bigg|\dfrac{2\left(1+i\right)}{2}\bigg| =|1+i|=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2} \end{aligned} $
इसलिए, $\bigg|\dfrac{z_1+z_2+1}{z_1-z_2+1}\bigg|$ का मान $\sqrt{2}$ है।
6. यदि $a+i b=\dfrac{\left(x+i\right)^{2}}{2 x^{2}+1}$, तो सिद्ध कीजिए कि $a^{2}+b^{2}=\dfrac{\left(x^{2}+1\right)^{2}}{\left(2 x^{2}+1\right)^{2}}$।
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उत्तर :
$ \begin{aligned} a+i b & =\dfrac{\left(x+i\right)^2}{2 x^2+1} \\ \\ & =\dfrac{x^2+i^2+2 x i}{2 x^2+1} =\dfrac{x^2-1+i 2 x}{2 x^2+1} \\ \\ & =\dfrac{x^2-1}{2 x^2+1}+i\left(\dfrac{2 x}{2 x^2+1}\right) \end{aligned} `
$
वास्तविक और काल्पनिक भाग की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} & a=\dfrac{x^{2}-1}{2 x^{2}+1} \quad \text{ और } \quad b=\dfrac{2 x}{2 x^{2}+1} \\ \\ & \begin{aligned} \therefore \ \ a^{2}+b^{2} & =\left(\dfrac{x^{2}-1}{2 x^{2}+1}\right)^{2}+\left(\dfrac{2 x}{2 x^{2}+1}\right)^{2} \\ \\ & = \dfrac{x^{4}+1-2 x^{2}+4 x^{2}}{\left(2 x+1\right)^{2}} \\ \\ & =\dfrac{x^{4}+1+2 x^{2}}{\left(2 x^{2}+1\right)^{2}} =\dfrac{\left(x^{2}+1\right)^{2}}{\left(2 x^{2}+1\right)^{2}} \\ \\ \therefore \ \ a^{2}+b^{2} \ & =\dfrac{\left(x^{2}+1\right)^{2}}{\left(2 x^{2}+1\right)^{2}} \end{aligned} \end{aligned} $
इसलिए, सिद्ध किया गया।
7. मान लीजिए $z_1=2-i, z_2=-2+i$. ज्ञात कीजिए
(i) $\quad Re\left(\dfrac{z _1 z _2}{\bar z _1}\right) $
(ii) $\quad Im\left(\dfrac{1}{z _1 \bar z _1}\right) $
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उत्तर :
$z_1=2-i, z_2=-2+i$
(i) $\quad z_1 z_2=\left(2-i\right)\left(-2+i\right)=-4+2 i+2 i-i^{2}=-4+4 i-\left(-1\right)=-3+4 i$
$ \qquad\quad\overline{z}_1=2+i $
$\therefore \ \ \dfrac{z_1 z_2}{\overline{z}_1}=\dfrac{-3+4 i}{2+i}$
अंश और हर को $\left( 2 - i\right)$ से गुणा करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} \dfrac{z_1 z_2}{\bar{z}_1} & =\dfrac{\left(-3+4 i\right)\left(2-i\right)}{\left(2+i\right)\left(2-i\right)} \\ \\ & =\dfrac{-6+3 i+8 i-4 i^{2}}{2^{2}+1^{2}} \\ \\ & =\dfrac{-6+11 i-4\left(-1\right)}{2^{2}+1^{2}} \\ \\ & =\dfrac{-2+11 i}{5}=\dfrac{-2}{5}+\dfrac{11}{5} i \end{aligned} $
वास्तविक भाग की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$Re\left(\dfrac{z_1 z_2}{\bar{z}_1}\right)=\dfrac{-2}{5}$
$ \text{(ii)}\quad\dfrac{1}{z_1 \bar{z}_1}=\dfrac{1}{\left(2-i\right)\left(2+i\right)}=\dfrac{1}{\left(2\right)^{2}+\left(1\right)^{2}}=\dfrac{1}{5} $
काल्पनिक भाग की तुलना करने पर, हम प्राप्त करते हैं
$Im\left(\dfrac{1}{z_1 \bar{z}_1}\right)=0$
8. यदि $\left(x-i y\right)\left(3+5 i\right)$, $-6-24 i$ का संयुग्मी है, तो वास्तविक संख्याएँ $x$ और $y$ ज्ञात कीजिए।
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उत्तर :
मान लीजिए $z=\left(x-i y\right)\left(3+5 i\right)$
Let $z=\left(x-i y\right)\left(3+5 i\right)$
$$ \begin{aligned} z & = (x - iy)(3 + 5i) \ & = x(3 + 5i) - iy(3 + 5i) \ & = 3x + 5xi - 3iy - 5i^2 y \ & = 3x + 5xi - 3iy + 5y \quad \text{(because } i^2 = -1\text{)} \ & = (3x + 5y) + i(5x - 3y) \end{aligned} $$
It is given that $z$ is the conjugate of $-6 - 24i$, which means:
$$ z = \overline{-6 - 24i} = -6 + 24i $$
Now, equating the real and imaginary parts of both expressions for $z$:
$$ \begin{aligned} \text{Real part:} \quad 3x + 5y &= -6 \ \text{Imaginary part:} \quad 5x - 3y &= 24 \end{aligned} $$
We now solve this system of equations. From the first equation:
$$ 3x + 5y = -6 \quad \text{(1)} $$
From the second equation:
$$ 5x - 3y = 24 \quad \text{(2)} $$
Multiply equation (1) by 3 and equation (2) by 5 to eliminate $y$:
$$ \begin{aligned} 9x + 15y &= -18 \quad \text{(3)} \ 25x - 15y &= 120 \quad \text{(4)} \end{aligned} $$
Now, add equations (3) and (4):
$$ 34x = 102 \Rightarrow x = 3 $$
Substitute $x = 3$ into equation (1):
$$ 3(3) + 5y = -6 \Rightarrow 9 + 5y = -6 \Rightarrow 5y = -15 \Rightarrow y = -3 $$
Thus, the real numbers are $x = 3$ and $y = -3$.
$\quad \ z=3 x+5 x i-3 y i-5 y i^{2}=3 x+5 x i-3 y i+5 y=\left(3 x+5 y\right)+i\left(5 x-3 y\right)$
$\therefore \ \ \bar{{}z}=\left(3 x+5 y\right)-i\left(5 x-3 y\right)$
यह दिया गया है कि, $\bar{{}z}=-6-24 i$
$\therefore \ \ \left(3 x+5 y\right)-i\left(5 x-3 y\right)=-6-24 i$
वास्तविक और काल्पनिक भाग के बराबर करते हुए, हम प्राप्त करते हैं
$3 x+5 y=-6\qquad \ldots(i)$
$5 x-3 y=24\qquad \ldots(ii)$
समीकरण $(i)$ को 3 से गुणा करके और समीकरण $(ii)$ को 5 से गुणा करके फिर उन्हें जोड़ते हैं, हम प्राप्त करते हैं
$
\begin{aligned}
& 9x + 15y = -18 \\
& \underline{25x - 15y = 120} \\
& \qquad\quad 34x = 102 \\ \\
& \quad\therefore \ \ \qquad x = \dfrac{102}{34} = 3
\end{aligned}
$
$x$ के मान को समीकरण $(i)$ में रखते हैं, हम प्राप्त करते हैं
$ \begin{aligned} & 3\left(3\right)+5 y=-6 \\ \\ & \Rightarrow 5 y=-6-9=-15 \\ \\ & \Rightarrow y=-3 \end{aligned} $
इस प्रकार, $x$ और $y$ के मान क्रमशः $3$ और $-3$ हैं।
9. $\dfrac{1+i}{1-i}-\dfrac{1-i}{1+i}$ का मापांक ज्ञात कीजिए
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Answer :
$ \begin{aligned} \dfrac{1+i}{1-i}-\dfrac{1-i}{1+i} & =\dfrac{\left(1+i\right)^{2}-\left(1-i\right)^{2}}{\left(1-i\right)\left(1+i\right)} \\ \\ & =\dfrac{1+i^{2}+2 i-1-i^{2}+2 i}{1^{2}+1^{2}} \\ \\ & =\dfrac{4 i}{2}=2 i \\ \\ \therefore \ \ \bigg|\dfrac{1+i}{1-i}-\dfrac{1-i}{1+i}\bigg| & =|2 i|=\sqrt{2^{2}}=2 \end{aligned} $
10. यदि $\left(x+i y\right)^{3}=u+i v$, तो सिद्ध कीजिए कि $\dfrac{u}{x}+\dfrac{v}{y}=4\left(x^{2}-y^{2}\right)$
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Answer :
$ \begin{aligned} & \left(x+i y\right)^{3}=u+i v \\ \\ & \Rightarrow x^{3}+\left(i y\right)^{3}+3 \cdot x \cdot i y\left(x+i y\right)=u+i v \\ \\ & \Rightarrow x^{3}+i^{3} y^{3}+3 x^{2} y i+3 x y^{2} i^{2}=u+i v \\ \\ & \Rightarrow x^{3}-i y^{3}+3 x^{2} y i-3 x y^{2}=u+i v \\ \\ & \Rightarrow\left(x^{3}-3 x y^{2}\right)+i\left(3 x^{2} y-y^{3}\right)=u+i v \end{aligned} $
वास्तविक और काल्पनिक भाग के बराबर करते हुए, हम प्राप्त करते हैं $u=x^{3}-3 x y^{2}, v=3 x^{2} y-y^{3}$
$ \begin{aligned} \therefore \ \ \ \dfrac{u}{x}+\dfrac{v}{y} & =\dfrac{x^{3}-3 x y^{2}}{x}+\dfrac{3 x^{2} y-y^{3}}{y} \\ \\ & =\dfrac{x\left(x^{2}-3 y^{2}\right)}{x}+\dfrac{y\left(3 x^{2}-y^{2}\right)}{y} \\ \\ & =x^{2}-3 y^{2}+3 x^{2}-y^{2} \\ \\ & =4 x^{2}-4 y^{2} \\ \\ & =4\left(x^{2}-y^{2}\right) \\ \\ \therefore \ \ \dfrac{u}{x}+\dfrac{v}{y} & =4\left(x^{2}-y^{2}\right) \end{aligned} $
इसलिए, सिद्ध कर दिया गया है।
11. यदि $\alpha$ और $\beta$ अलग-अलग समिश्र संख्याएँ हैं जिनका मापांक $\big|\beta\big|=1$ है, तो $\bigg|\dfrac{\beta-\alpha}{1-\bar{\alpha} \beta}\bigg|$ का मापांक ज्ञात कीजिए।
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उत्तर :
मान लीजिए $\alpha=a+i b $ और $ \beta=x+i y $
दिया गया है कि, $\big|\beta\big|=1$
$\therefore \ \ \sqrt{x^{2}+y^{2}}=1$
$\Rightarrow x^{2}+y^{2}=1$
$ \begin{aligned} \bigg|\dfrac{\beta-\alpha}{1-\bar{{}\alpha} \beta}\bigg| & =\bigg|\dfrac{\left(x+i y\right)-\left(a+i b\right)}{1-\left(a-i b\right)\left(x+i y\right)}\bigg| \\ \\ & = \bigg|\dfrac{\left(x-a\right)+i\left(y-b\right)}{1-\left(a x+a i y-i b x+b y\right)}\bigg| \\ \\ & = \bigg|\dfrac{\left(x-a\right)+i\left(y-b\right)}{\left(1-a x-b y\right)+i\left(b x-a y\right)}\bigg| \\ \\ & = \dfrac{\bigg|\left(x-a\right)+i\left(y-b\right)\bigg|}{|\left(1-a x-b y\right)+i\left(b x-a y\right) \mid} \quad\left[\because \ \ \bigg|\dfrac{z_1}{z_2}\bigg|=\dfrac{\big|z_1\big|}{\big|z_2\big|}\right] \\ \\ & = \dfrac{\sqrt{\left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}}}{\sqrt{\left(1-a x-b y\right)^{2}+\left(b x-a y\right)^{2}}} \\ \\ & = \dfrac{\sqrt{x^{2}+a^{2}-2 a x+y^{2}+b^{2}-2 b y}}{\sqrt{1+a^{2} x^{2}+b^{2} y^{2}-2 a x+2 a b x y-2 b y+b^{2} x^{2}+a^{2} y^{2}-2 a b x y}} \\ \\ & = \dfrac{\sqrt{\left(x^{2}+y^{2}\right)+a^{2}+b^{2}-2 a x-2 b y}}{\sqrt{1+a^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right)+b^{2}\left(y^{2}+x^{2}\right)-2 a x-2 b y}} \\ \\ & = \dfrac{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}-2 a x-2 b y}}{\sqrt{1+a^{2}+b^{2}-2 a x-2 b y}} =1 \\ \\ \therefore \quad \bigg|\dfrac{\beta-\alpha}{1-\bar{{}\alpha} \beta}\bigg| & =1
\end{aligned} $
12. समीकरण $\big|1-i\big|^{x}=2^{x}$ के गैर-शून्य पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात कीजिए
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उत्तर :
$ \begin{aligned} & \big|1-i\big|^{x}=2^{x} \\ \\ & \Rightarrow\left(\sqrt{1^{2}+\left(-1\right)^{2}}\right)^{x}=2^{x} \\ \\ & \Rightarrow\left(\sqrt{2}\right)^{x}=2^{x} \\ \\ & \Rightarrow 2^{\frac{x}{2}}=2^{x} \\ \\ & \text{दोनों ओर तुलना करने पर।} \\ \\ & \Rightarrow \dfrac{x}{2}=x \\ \\ & \Rightarrow x=2 x \\ \\ & \Rightarrow 2 x-x=0 \\ \\ & \Rightarrow x=0 \end{aligned} $
इस प्रकार, दी गई समीकरण का $0$ एकमात्र पूर्णांक हल है। अतः दी गई समीकरण के गैर-शून्य पूर्णांक हलों की संख्या $0$ है।
13. यदि $\left(a+i b\right)\left(c+i d\right)\left(e+i f\right)\left(g+i h\right)=A+i B$, तो दिखाइए कि $\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(g^{2}+h^{2}\right)=A^{2}+B^{2}$
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उत्तर :
$\left(a+i b\right)\left(c+i d\right)\left(e+i f\right)\left(g+i h\right)=A+i B$
$\therefore \ \ \big|\left(a+i b\right)\left(c+i d\right)\left(e+i f\right)\left(g+i h\right)\big|=\big|A+i B\big|$
$\Rightarrow\big|\left(a+i b\right)\big| \times\left(c+i d\right)\big|\times\big|\left(e+i f\right)\big|\times\big|\left(g+i h\right)\big|=\big| A+i B \mid \qquad\left[\because \ \ \big|z_1 z_2\big|=\big|z_1\big|\big|z_2\big|\right]$
$\Rightarrow \sqrt{a^{2}+b^{2}} \times \sqrt{c^{2}+d^{2}} \times \sqrt{e^{2}+f^{2}} \times \sqrt{g^{2}+h^{2}}=\sqrt{A^{2}+B^{2}}$
दोनों ओर वर्ग करने पर हम प्राप्त करते हैं
$\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)\left(e^{2}+f^{2}\right)\left(g^{2}+h^{2}\right)=A^{2}+B^{2}$
इस प्रकार, सिद्ध कर दिया।
14. यदि $\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{m}=1$, तो $m$ का न्यूनतम धनात्मक पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए।
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उत्तर :
$ \begin{aligned} \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{m}=1 & \Rightarrow\left(\dfrac{1+i}{1-i} \times \dfrac{1+i}{1+i}\right)^{m}=1 \\ \\
& \Rightarrow\left(\dfrac{\left(1+i\right)^{2}}{1^{2}+1^{2}}\right)^{m}=1 \\ \\ & \Rightarrow\left(\dfrac{1^{2}+i^{2}+2 i}{2}\right)^{m}=1 \\ \\ & \Rightarrow\left(\dfrac{1-1+2 i}{2}\right)^{m}=1 \\ \\ & \Rightarrow\left(\dfrac{2 i}{2}\right)^{m}=1 \\ \\ & \Rightarrow i^{m}=1 \end{aligned} $
$\therefore \ \ m=4 k$, where $k$ is some integer.
Therefore, the least positive integer is $1.$
Thus, the least positive integral value of $m$ is $4\left(=4 \times 1\right)$
सारांश
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वह संख्या जिसके रूप $a+i b$ हो, जहाँ $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएँ हों, को समिश्र संख्या कहते हैं, $a$ को समिश्र संख्या के वास्तविक भाग और $b$ को काल्पकिक भाग कहते हैं।
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मान लीजिए $z_1=a+i b$ और $z_2=c+i d$ हो। तो
(i) $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$
(ii) $z_1 z_2=(a c-b d)+i(a d+b c)$ -
किसी भी अशून्य समिश्र संख्या $z=a+i b(a \neq 0, b \neq 0)$ के लिए, समिश्र संख्या $\dfrac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \dfrac{-b}{a^{2}+b^{2}}$, जिसे $\dfrac{1}{z}$ या $z^{-1}$ से नोट किया जाता है, $z$ का गुणन संतुलित कहलाता है जैसे कि $(a+i b) \dfrac{a}{a^{2}+b^{2}}+i \dfrac{-b}{a^{2}+b^{2}}=1+i 0$ $=1$
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किसी भी पूर्णांक $k$ के लिए, $i^{4 k}=1, i^{4 k+1}=i, i^{4 k+2}=-1, i^{4 k+3}=-i$
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समिश्र संख्या $z=a+i b$ के संयुग्मी, जिसे $\bar{z}$ से नोट किया जाता है, $\bar{z}=a-i b$ द्वारा दिया जाता है।
बीटा
