जहाँ गणितीय तर्क का उपयोग किया जा सकता है, उस स्थिति में किसी अन्य तर्क का उपयोग करना एक बहुत बेवकूफी होती है, जैसे कि जब आपके हाथ में एक बत्ती हो तो अँधेरे में कुछ खोजने की कोशिश करना। - जॉन अर्बथनोट

14.1 घटना

हमने यादृच्छिक प्रयोग एवं उस प्रयोग से संबंधित नमूना अंतरिक्ष के बारे में अध्ययन किया है। नमूना अंतरिक्ष एक प्रयोग से संबंधित सभी प्रश्नों के लिए एक सार्वत्रिक समुच्चय के रूप में कार्य करता है।

दो बार सिक्का उछालने के प्रयोग को विचार करें। एक संबंधित नमूना अंतरिक्ष है

$S={HH, HT, TH, TT}$.

अब मान लीजिए कि हम उन नतीजों पर ध्यान केंद्रित कर रहे हैं जो एकमात्र सिंह के घटने के संगत हैं। हम जानते हैं कि $HT$ और $TH$ एकमात्र तत्व हैं जो $S$ में इस घटना (संख्या) के घटने के संगत हैं। इन दो तत्वों द्वारा बना समुच्चय $E={HT, TH}$ है।

हम जानते हैं कि समुच्चय $E$ नमूना अंतरिक्ष $S$ का एक उपसमुच्चय है। इसी तरह, हम $S$ के उपसमुच्चयों के साथ घटनाओं के निम्नलिखित संगत अनुसार संबंध ज्ञात करते हैं।

$ \begin{array}{|l|l|} \hline \text{घटनाओं का वर्णन} & \text{$S$ के संगत उपसमुच्चय} \\

\hline \text{शीर्षक बराबर 2 है} & \mathrm{A}={\mathrm{TT}} \\ \text{शीर्षक कम से कम एक है} & \mathrm{B}={\mathrm{HT}, \mathrm{TH}, \mathrm{TT}} \\ \text{शीर्षक के संख्या एक से अधिक नहीं है} & \mathrm{C}={\mathrm{HT}, \mathrm{TH}, \mathrm{TT}} \\ \text{दूसरा फेंक शीर्ष नहीं है} & \mathrm{D}={\mathrm{HT}, \mathrm{TT}} \\ \text{शीर्षक के संख्या दो से अधिक नहीं है} & \mathrm{S}={\mathrm{HH}, \mathrm{HT}, \mathrm{TH}, \mathrm{TT}} \\ \text{शीर्षक के संख्या दो से अधिक है} & \phi \\

\hline \end{array} $

ऊपर के विवरण से स्पष्ट है कि नमूना अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय एक घटना से संबंधित होता है और एक घटना नमूना अंतरिक्ष के एक उपसमुच्चय से संबंधित होती है। इस प्रकार हम एक घटना को निम्नलिखित तरह परिभाषित करते हैं।

परिभाषा कोई भी नमूना अंतरिक्ष $S$ का उपसमुच्चय $E$ एक घटना कहलाता है।

14.1.1 घटना के घटने के अवलोकन

एक पासा फेंकने के प्रयोग को विचार करें। मान लीजिए $E$ घटना को दर्शाता है “एक संख्या 4 से कम आए”। यदि वास्तव में पासे पर ‘1’ आए तो हम कहते हैं कि घटना $E$ घटी है। वास्तव में, यदि परिणाम 2 या 3 हों तो हम कहते हैं कि घटना $E$ घटी है।

इस प्रकार, एक नमूना अंतरिक्ष $S$ के घटना $E$ कहा जाता है यदि प्रयोग के परिणाम $\omega$ ऐसा हो कि $\omega \in E$। यदि परिणाम $\omega$ ऐसा हो कि $\omega \notin E$, तो हम कहते हैं कि घटना $E$ नहीं हुई है।

14.1.2 घटनाओं के प्रकार

घटनाओं को उनके तत्वों के आधार पर विभिन्न प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

1. संभव और निश्चित घटनाएँ खाली समुच्चय $\phi$ और नमूना अंतरिक्ष $S$ घटनाओं का वर्णन करते हैं। वास्तव में $\phi$ को असंभव घटना कहा जाता है और $S$, अर्थात पूरा नमूना अंतरिक्ष, निश्चित घटना कहलाता है।

To understand these let us consider the experiment of rolling a die. The associated sample space is $ S={1,2,3,4,5,6} $

Let $E$ be the event " the number appears on the die is a multiple of 7". Can you write the subset associated with the event $E$ ?

Clearly no outcome satisfies the condition given in the event, i.e., no element of the sample space ensures the occurrence of the event $E$. Thus, we say that the empty set only correspond to the event $E$. In other words we can say that it is impossible to have a multiple of 7 on the upper face of the die. Thus, the event $E=\phi$ is an impossible event.

अब हम एक अन्य घटना $F$ “संख्या विषम या सम हो” लेते हैं। स्पष्ट रूप से $F={1,2,3,4,5,6}=,S$, अर्थात् अनुभाग के सभी परिणाम घटना $F$ के घटित होने के निश्चित हैं। इसलिए, घटना $F=S$ एक निश्चित घटना है।

2. सरल घटना यदि एक घटना $E$ एक नमूना अंतरिक्ष के केवल एक नमूना बिंदु के साथ हो, तो इसे सरल (या तत्वाधार) घटना कहते हैं। एक नमूना अंतरिक्ष में $n$ अलग-अलग तत्व हों, तो ठीक $n$ सरल घटनाएं होती हैं।

उदाहरण के लिए, दो सिक्कों के उछालने के प्रयोग में एक नमूना अंतरिक्ष होता है

अब हम एक अन्य घटना $F$ “संख्या विषम या सम हो” लेते हैं। स्पष्ट रूप से $F={1,2,3,4,5,6}=,S$, अर्थात् अनुभाग के सभी परिणाम घटना $F$ के घटित होने के निश्चित हैं। इसलिए, घटना $F=S$ एक निश्चित घटना है।

2. सरल घटना यदि एक घटना $E$ एक नमूना अंतरिक्ष के केवल एक नमूना बिंदु के साथ हो, तो इसे सरल (या तत्वाधार) घटना कहते हैं। एक नमूना अंतरिक्ष में $n$ अलग-अलग तत्व हों, तो ठीक $n$ सरल घटनाएं होती हैं।

उदाहरण के लिए, दो सिक्कों के उछालने के प्रयोग में एक नमूना अंतरिक्ष होता है

$ S={HH, HT, TH, TT} $

इस नमूना अंतरिक्ष के लिए चार सरल घटनाएँ हैं। ये निम्नलिखित हैं

$ E_1={HH}, E_2={HT}, E_3={TH} \text{ और } E_4={TT} $

3. संयुक्त घटना यदि एक घटना कई नमूना बिंदुओं के साथ होती है, तो इसे संयुक्त घटना कहते हैं।

उदाहरण के लिए, “एक सिक्का तीन बार उछालने” के प्रयोग में घटनाएँ

E: ‘एक शीर्ष के ठीक एक बार आया’
F: ‘कम से कम एक शीर्ष के आया’
G: ‘एक शीर्ष या उससे कम आया’ आदि

सभी संयुक्त घटनाएँ हैं। इन घटनाओं के साथ संबंधित $S$ के उपसमुच्चय हैं

$ \begin{aligned} & E={HTT, THT, TTH} \\ & F={HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH} \\ & G={TTT, \text{ THT, HTT, TTH }} \end{aligned} $

ऊपर के सभी उपसमुच्चय में एक से अधिक प्रायिकता बिंदु हैं, इसलिए वे सभी अटूट घटनाएं हैं।

14.1.3 घटनाओं के बीजगणित

समुच्चय अध्याय में, हमने दो या अधिक समुच्चयों को संयोजित करने के विभिन्न तरीकों के बारे में अध्ययन किया है, जैसे कि संयोजन, प्रतिच्छेदन, अंतर और समुच्चय का पूरक आदि। इसी तरह हम दो या अधिक घटनाओं को समान तरीकों से समुच्चय संकेतों का उपयोग करके संयोजित कर सकते हैं।

मान लीजिए A, B, C एक प्रयोग से संबंधित घटनाएँ हैं जिनका नमूना अंतरिक्ष S है।

इस प्रकार घटना A के संपूरक घटना ’not A’ है

$ A^{\prime}={HHH, HTT, THT, TTH, TTT} $

या $ \quad \quad \quad \quad A^{\prime}={\omega: \omega \in S \text{ और } \omega \notin A}=S-A . $

2. घटना ‘A या B’ याद रखें कि दो समुच्चयों A और B के संघ को A $\cup$ B से नोट करते हैं जो उन सभी तत्वों को शामिल करता है जो या तो A में होते हैं या B में होते हैं या दोनों में होते हैं।

जब समुच्चय $A$ और $B$ एक नमूना अंतरिक्ष से संबंधित घटनाएं होती हैं, तो ‘A $\cup B$’ घटना ‘या तो $A$ या $B$ या दोनों’ होती है। इस घटना ‘A $\cup B$’ को भी ‘A या B’ के रूप में जाना जाता है।

इसलिए $ \qquad \text{ घटना }^{\prime} A \text{ या } B^{\prime} =A \cup B$

$\qquad \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad ~~={\omega: \omega \in A \text{ या } \omega \in B}$

3. घटना ‘A और B’ हम जानते हैं कि दो समुच्चयों $A \cap B$ का प्रतिच्छेद उन तत्वों का समुच्चय होता है जो दोनों A और B में सामान्य होते हैं। अर्थात जो दोनों ‘A और B’ में समाहित होते हैं।

यदि $A$ और $B$ दो घटनाएं हैं, तो समुच्चय $A \cap B$ घटना ’ $A$ और $B$ ’ को दर्शाता है।

इसलिए, $ \quad A \cap B={\omega: \omega \in A \text{ और }\omega \in B} $

उदाहरण के लिए, ‘एक पासा दो बार फेंकने’ के प्रयोग में, मान लीजिए $A$ घटना है ‘पहली फेंक में 6 के स्कोर’ और $B$ घटना है ‘दोनों स्कोर का योग कम से कम 11 है’ तो

$ A={(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}, \text{ और } B={(5,6),(6,5),(6,6)} $

इसलिए $\quad A \cap B={(6,5),(6,6)}$

ध्यान दें कि समुच्चय $A \cap B={(6,5),(6,6)}$ घटना ‘पहली फेंक में 6 के स्कोर और दोनों स्कोर का योग कम से कम 11 है’ को प्रकट कर सकता है।

4. घटना ‘A लेकिन नहीं B’ हम जानते हैं कि A-B वह समुच्चय है जो उन तत्वों को शामिल करता है जो A में हैं लेकिन B में नहीं हैं। इसलिए, समुच्चय A-B घटना ‘A लेकिन नहीं B’ को प्रकट कर सकता है। हम जानते हैं कि

$ A-B=A \cap B^{\prime} $

उदाहरण 1 पासा फेंकने के प्रयोग को विचार करें। मान लीजिए A घटना है ‘अभाज्य संख्या प्राप्त करना’, B घटना है ‘विषम संख्या प्राप्त करना’। घटनाओं के प्रतिनिधित्व करने वाले समुच्चय लिखिए (i) A या B (ii) A और B (iii) A लेकिन नहीं B (iv) ‘नहीं A’।

हल यहाँ $\quad S={1,2,3,4,5,6}, A={2,3,5}$ और $B={1,3,5}$

स्पष्ट रूप से

(i) ‘A या $B ‘=A \cup B={1,2,3,5}$

(ii) ’ $A$ और $B ‘=A \cap B={3,5}$

(iii) ‘A लेकिन नहीं $B$ ’ $=A-B={2}$

(iv) ’ नहीं $A^{\prime}=A^{\prime}={1,4,6}$

14.1.4 परस्पर बर्बाद घटनाएँ

पासा फेंकने के प्रयोग में, नमूना अंतरिक्ष $S={1,2,3,4,5,6}$ है। घटनाओं का विचार करें, $A$ ‘एक विषम संख्या आती है’ और $B$ ‘एक सम संख्या आती है’

स्पष्ट रूप से घटना $A$ घटना $B$ को बर्बाद करती है और विपरीत भी। अन्य शब्दों में, कोई भी परिणाम नहीं है जो घटनाओं $A$ और $B$ के एक साथ घटने की गारंटी देता है। यहाँ

$A={1,3,5}$ और $B={2,4,6}$

स्पष्ट रूप से $A \cap B=\phi$, अर्थात् $A$ और $B$ अलग-अलग समुच्चय हैं।

सामान्य रूप से, दो घटनाएँ $A$ और $B$ परस्पर बर्बाद घटनाएँ कहलाती हैं यदि किसी एक के घटने से दूसरी घटना के घटने को बर्बाद कर देता है, अर्थात यदि वे एक साथ घट सकती हैं। इस मामले में समुच्चय $A$ और $B$ अलग-अलग होते हैं।

फिर से पासा फेंकने के प्रयोग में, घटना A ‘एक विषम संख्या आती है’ और घटना $B$ ‘एक संख्या 4 से कम आती है’ को विचार करें।

स्पष्ट रूप से $A={1,3,5}$ और $B={1,2,3}$

अब $3 \in A$ जैसे ही $3 \in B$ है

इसलिए, A और B एक दूसरे से अपवाद रहित घटनाएं नहीं हैं।

टिप्पणी एक नमूना अंतरिक्ष के सरल घटनाएं हमेशा एक दूसरे से अपवाद रहित होती हैं।

14.1.5 पूर्ण घटनाएं

पासा फेंकने के प्रयोग को विचार करें। हमारे पास $S={1,2,3,4,5,6}$ है। अब हम निम्नलिखित घटनाओं को परिभाषित करेंगे

$\qquad \quad$ A: ‘एक संख्या 4 से कम आती है’,

$\qquad \quad$ B: ‘एक संख्या 2 से बड़ी लेकिन 5 से कम आती है’

और $\quad~$ C: ‘एक संख्या 4 से बड़ी आती है’।

तब $A={1,2,3}, B={3,4}$ और $C={5,6}$ है। हम देखते हैं कि

$ \qquad A \cup B \cup C={1,2,3} \cup{3,4} \cup{5,6}=S . $

ऐसे घटनाएँ $A, B$ और $C$ को अनुप्रस्थ घटनाएँ कहते हैं। सामान्यतः, यदि $E_1, E_2, \ldots, E_n$ एक नमूना अंतरिक्ष $S$ की $n$ घटनाएँ हैं और यदि

$ E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup \ldots \cup E_n=\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S $

तो $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को अनुप्रस्थ घटनाएँ कहते हैं। अन्य शब्दों में, घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ अनुप्रस्थ कहलाती हैं यदि जब एक प्रयोग किया जाता है तो उनमें से कम से कम एक घटना निश्चित रूप से होती है।

अतः, यदि $E_i \cap E_j=\phi$ जब $i \neq j$ अर्थात्, घटनाएँ $E_i$ और $E_j$ एक-दूसरे से अलग हैं और $\bigcup\limits_{i=1}^{n} E_i=S$, तो घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ को परस्पर अपवाद वाली और पूरक घटनाएँ कहते हैं।

अब हम कुछ उदाहरणों की चर्चा करते हैं।

उदाहरण 2 दो पासों को फेंका जाता है और पासों पर आने वाली संख्याओं के योग को ध्यान में रखा जाता है। इस प्रयोग से संबंधित निम्नलिखित घटनाओं को विचार करें:

$\qquad$ A: ‘योग सम है’।

$\qquad$ B: ‘योग 3 का गुणज है’।

$\qquad$ C: ‘योग 4 से कम है’।

$\qquad$ D : ‘योग 11 से अधिक है’।

इन घटनाओं के कौन से युग्म परस्पर अपवादी हैं?

हल नमूना अंतरिक्ष में 36 तत्व हैं $S={(x, y): x, y=1,2,3,4,5,6}$।

तब

$A= {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}$

$ B= {(1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(3,3),(2,4),(4,2),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4), (6,6)} $

$ C= {(1,1),(2,1),(1,2)} \text{ and } D={(6,6)} $

हम जांचते हैं कि

$ A \cap B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,6)} \neq \phi $

इसलिए, $A$ और $B$ परस्पर अपवादी घटनाएँ नहीं हैं।

उसी तरह $A \cap C \neq \phi, A \cap D \neq \phi, B \cap C \neq \phi$ और $B \cap D \neq \phi$ है।

इसलिए, घटनाओं के युग्म $(A, C),(A, D),(B, C),(B, D)$ परस्पर अपवादी घटनाएँ नहीं हैं।

इसके अतिरिक्त $C \cap D=\phi$ और इसलिए $C$ और $D$ परस्पर अपवादी घटनाएँ हैं।

उदाहरण 3 एक सिक्का तीन बार उछाला जाता है, निम्नलिखित घटनाओं को ध्यान में रखें।

$\mathrm{A}$ : ‘कोई भी सिर नहीं आता’, $\mathrm{B}$ : ‘एक सिर आता है’ और $\mathrm{C}$ : ‘कम से कम दो सिर आते हैं’

क्या ये परस्पर अपवर्जी और पूर्ण घटनाओं का समुच्चय बनते हैं?

हल प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष है

$S={HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT }$

और $A={TTT}, B={HTT, THT, TTH}, C={HHT, HTH, THH, HHH}$

अब

$\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}={\mathrm{TTT}, \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}, \mathrm{HHH}}=\mathrm{S}$

इसलिए, $A, B$ और $C$ पूर्ण घटनाएं हैं।

इसके अतिरिक्त, $\quad A \cap B=\phi, A \cap C=\phi$ और $B \cap C=\phi$

इसलिए, घटनाएँ एक-दूसरे से अलग हैं, अर्थात वे परस्पर अपवाद हैं।

इसलिए, A, B और C परस्पर अपवाद और पूर्ण घटनाओं के समुच्चय का निर्माण करते हैं।

अभ्यास 14.1

1. एक पासा फेंका जाता है। मान लीजिए $E$ घटना है “पासा 4 दिखाता है” और $F$ घटना है “पासा सम संख्या दिखाता है”। $E$ और $F$ परस्पर अपवादी घटनाएँ हैं?

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उत्तर :

जब एक पासा फेंका जाता है, तो प्रयोग के परिणाम के समुच्चय को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है:

$S=\left \lbrace 1,2,3,4,5,6\right \rbrace $

इसलिए, $E=\left \lbrace 4\right \rbrace $ और $F=\left \lbrace 2,4,6\right \rbrace $

यह देखा जाता है कि $E \cap F=\left \lbrace 4\right \rbrace $

इसलिए, $E$ और $F$ परस्पर अपवादी घटनाएँ नहीं हैं।

2. एक पासा फेंका जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन कीजिए:

(i) $A :$ 7 से कम एक संख्या

(ii) $B :$ 7 से अधिक एक संख्या

(iii) $C :$ 3 का गुणज

(iv) $D:$ 4 से कम एक संख्या

(v) $E :$ 4 से अधिक एक सम संख्या

(vi) $F :$ 3 से अधिक एक संख्या

इसके अतिरिक्त $A \cup B, A \cap B, B \cup C, E \cap F, D \cap E, A-C, D-E, E \cap F^{\prime}, F^{\prime}$ भी ज्ञात कीजिए।

उत्तर दिखाएँ

उत्तर :

जब एक पासा फेंका जाता है, तो प्रयोग के परिणाम के समुच्चय को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है $S=\left \lbrace 1,2,3,4,5,6\right \rbrace $.

इसलिए:

(i) $A=\left \lbrace 1,2,3,4,5,6\right \rbrace $

(ii) $B={\phi}$

(iii) $C=\left \lbrace 3,6\right \rbrace $

(iv) $D=\left \lbrace 1,2,3\right \rbrace $

(v) $E=\left \lbrace 6\right \rbrace $

(vi) $F=\left \lbrace 3,4,5,6\right \rbrace $

इसके अतिरिक्त, हमें $A \cup B, A \cap B, B \cup C, E \cap F, D \cap E, D-E, A-C, E \cap F^{\prime}, F^{\prime}$ भी ज्ञात करना है।

इसलिए,

$\mathrm{A} \cup \mathrm{B} = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace \cup \lbrace \phi \rbrace $

$\qquad\quad = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace $

$ \begin{aligned} \mathrm{A} \cap \mathrm{B} & = \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace \cap \lbrace \phi \rbrace \\ \\ & = \lbrace \phi \rbrace \\ \\ \mathrm{B} \cup \mathrm{C} & = \lbrace \phi \rbrace \cup \lbrace 3,6 \rbrace \\ \\ & = \lbrace 3,6 \rbrace \\ \\

$$ \mathrm{E} \cap \mathrm{F} & = \lbrace 6 \rbrace \cap \lbrace 3,4,5,6 \rbrace \\ \\ & = \lbrace 6 \rbrace \end{aligned} $$

$$ D \cap E=\left \lbrace 1,2,3\right \rbrace \cap \lbrace 6 \rbrace =\phi $$

$$ D-E= \lbrace 1,2,3 \rbrace - \lbrace 6 \rbrace = \lbrace 1,2,3 \rbrace $$

$$ A-C= \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace - \lbrace 3,6 \rbrace $$

$$ \qquad\quad= \lbrace 1,2,4,5 \rbrace $$

$$ F^\prime=S-F $$

$$ \quad= \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace - \lbrace 3,4,5,6 \rbrace $$

$$ \quad= \lbrace 1,2 \rbrace $$

$$ E \cap F^\prime=\left \lbrace 6\right \rbrace \cap \lbrace 1,2 \rbrace =\phi $$

3. एक प्रयोग में एक जोड़ी पासों को फेंका जाता है और उन पर आने वाली संख्याओं को रिकॉर्ड किया जाता है। निम्नलिखित घटनाओं का वर्णन करें:

$A:$ योग आठ से अधिक है,

$B: $ किसी भी पासे पर 2 आता है

$C :$ योग कम से कम 7 है और 3 का गुणज है।

इन घटनाओं के कौन से जोड़े परस्पर अपवादी हैं?

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उत्तर :

जब एक जोड़ी पासों को फेंका जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष इस प्रकार दिया जाता है

$ S=\left \lbrace (x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\right \rbrace =\left\lbrace \begin{matrix} (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) \\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) \\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) \\ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) \\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) \\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \end{matrix}\right\rbrace $

इस प्रकार,

$A=\left \lbrace (3,6),(4,5),(4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)\right \rbrace $

$B=\left \lbrace (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)\right \rbrace $

$C=\left \lbrace (3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(6,6)\right \rbrace $

यह देखा गया है कि

$A \cap B=\phi$

$B \cap C =\phi$

$C \cap A=\left \lbrace (3,6),(4,5),(5,4),(6,3),(6,6)\right \rbrace \neq \phi$

अतः, घटनाएँ $A$ और $B$ और घटनाएँ $B$ और $C$ परस्पर अपवादी हैं।

4. तीन सिक्कों को एक बार फेंका जाता है। मान लीजिए $A$ घटना “तीन चित्त आते हैं”, $B$ घटना “दो चित्त और एक पैसा आते हैं”, $C$ घटना “तीन पैसे आते हैं” और $D$ घटना “पहले सिक्के पर चित्त आता है” है। कौन सी घटनाएँ

(i) परस्पर अपवर्जी?

(ii) सरल?

(iii) संयुक्त?

उत्तर दिखाएं

उत्तर :

जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$S=\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\right \rbrace $

इस प्रकार,

$A=\left \lbrace HHH\right \rbrace $

$B=\left \lbrace HHT, HTH, THH\right \rbrace $

$C=\left \lbrace TTT\right \rbrace $

$D=\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT\right \rbrace $

अब हम देखते हैं कि

$ \begin{aligned} & \mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\left \lbrace HHH\right \rbrace \cap\left \lbrace HHT, HTH, THH\right \rbrace =\phi \\ \\ & \mathrm{A} \cap \mathrm{C}=\left \lbrace HHH\right \rbrace \cap\left \lbrace TTT\right \rbrace =\phi \\ \\ & \mathrm{A} \cap \mathrm{D}=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace \cap\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT\right \rbrace \neq \phi \\ \\ & \mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\left \lbrace HHT, HTH, THH\right \rbrace \cap\left \lbrace TTT\right \rbrace =\phi \\ \\ & \mathrm{B} \cap \mathrm{D}=\left \lbrace HHT, HTH, THH\right \rbrace \cap\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT\right \rbrace \neq \phi \\ \\ & \mathrm{C} \cap \mathrm{D}=\left \lbrace TTT\right \rbrace \cap\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT\right \rbrace =\phi \end{aligned} $

(i) घटना $A$ और $B;$ घटना $A$ और $C;$ घटना $B$ और $C;$ और घटना $C$ और $D$ सभी परस्पर अपवर्जी हैं।

(ii) यदि एक घटना नमूना अंतरिक्ष के केवल एक नमूना बिंदु के बराबर होती है, तो इसे सरल घटना कहते हैं। इसलिए, $A$ और $C$ सरल घटनाएं हैं।

(iii) यदि एक घटना नमूना अंतरिक्ष के एक से अधिक नमूना बिंदुओं के बराबर होती है, तो इसे संयुक्त घटना कहते हैं। इसलिए, $B$ और $D$ संयुक्त घटनाएं हैं।

5. तीन सिक्कों को उछाला जाता है। वर्णन करें

(i) दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी हों।

(ii) तीन घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी और पूरक हों।

(iii) दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी नहीं हों।

(iv) दो घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी हों लेकिन पूरक नहीं हों।

(v) तीन घटनाएं जो परस्पर अपवर्जी हों लेकिन पूरक नहीं हों।

उत्तर दिखाएं

Answer :

जब तीन सिक्कों को उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$S=\left \lbrace HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\right \rbrace $

(i) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवादी हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं

$A :$ सिर के बिना प्राप्त करना और $B :$ पैसे के बिना प्राप्त करना

इसका कारण यह है कि समुच्चय $A=\left \lbrace \mathrm{TTT}\right \rbrace $ और $\mathrm{B}=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace $ अलग-अलग हैं

(ii) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवादी और पूरक हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं

$\mathrm{A}:$ सिर के बिना प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{A}=\left \lbrace \mathrm{TTT}\right \rbrace $

$\mathrm{B} :$ ठीक एक सिर प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{B}=\left \lbrace \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}\right \rbrace $

$\mathrm{C} :$ कम से कम दो सिर प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{C}=\left \lbrace \mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\right \rbrace $

इसका कारण यह है कि $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\mathrm{C} \cap \mathrm{A}=\phi$

और $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C}=\mathrm{S}$

(iii) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवादी नहीं हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं

$A :$ तीन सिर प्राप्त करना $\Rightarrow A=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace $

$B :$ कम से कम $2$ सिर प्राप्त करना $\Rightarrow B=\left \lbrace \mathrm{HHH}, \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\right \rbrace $

इसका कारण यह है कि $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace \neq \phi$

(iv) दो घटनाएँ जो परस्पर अपवादी हो सकती हैं लेकिन पूरक नहीं हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं

$A :$ ठीक एक सिर प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{A}=\left \lbrace \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}\right \rbrace $

$B :$ ठीक एक पैसा प्राप्त करना $\Rightarrow B=\left \lbrace \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\right \rbrace $

इसका कारण यह है कि $A \cap B=\phi$ लेकिन $A \cup B \neq S$

(v) तीन घटनाएँ जो परस्पर अपवादी हो सकती हैं लेकिन पूरक नहीं हो सकती हैं निम्नलिखित हो सकती हैं

$A :$ ठीक तीन सिर प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{A}=\left \lbrace \mathrm{HHH}\right \rbrace $

$\mathrm{B}:$ एक सिर और दो पैसे प्राप्त करना $\Rightarrow \mathrm{B}=\left \lbrace \mathrm{HTT}, \mathrm{THT}, \mathrm{TTH}\right \rbrace $

$\mathrm{C} :$ एक पैसे और दो सिक्कों के चित $\Rightarrow \mathrm{C}=\left \lbrace \mathrm{HHT}, \mathrm{HTH}, \mathrm{THH}\right \rbrace $

इसका कारण यह है कि $\mathrm{A} \cap \mathrm{B}=\mathrm{B} \cap \mathrm{C}=\mathrm{C} \cap \mathrm{A}=\phi$ लेकिन $\mathrm{A} \cup \mathrm{B} \cup \mathrm{C} \neq \mathrm{S}$

6. दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ $A, B$ और $C$ निम्नलिखित हैं:

$A:$ पहले पासे पर सम संख्या आना।

$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या आना।

$C :$ पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ होना।

घटनाओं का वर्णन करें

(i) $A^{\prime}$

(ii) नहीं $B$

(iii) $A$ या $B$

(iv) $A$ और $B$

(v) $A$ लेकिन नहीं $C$

(vi) $B$ या $C$

(vii) $B$ और $C$

(viii) $A \cap B^{\prime} \cap C^{\prime}$

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Answer :

जब दो पासे फेंके जाते हैं, तो नमूना अंतरिक्ष इस प्रकार दिया जाता है

$S=\left \lbrace (x, y): x, y=1,2,3,4,5,6\right \rbrace=\left \lbrace \begin{matrix} (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) \\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) \\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) \\ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) \\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) \\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \end{matrix}\right \rbrace $

इस प्रकार,

$A:$ पहले पासे पर सम संख्या आना

$\quad = $ $ \left \lbrace\begin{matrix} (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3), \\ (4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace $

$B:$ पहले पासे पर विषम संख्या आना

$\quad = $ $ \left \lbrace\begin{matrix} (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3), \\ (3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) \end{matrix}\right \rbrace $

$\quad = $ $\left \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)\right \rbrace $

(i) $ A^{\prime}= \left \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3), \\ \\ (3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) \right \rbrace $

(ii) $ \text{Not } B= \left \lbrace (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3), \\ \\ (4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \right \rbrace =A$

(iii) $ A \text{ or } B= A \cup B =\left \lbrace \begin{matrix} (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6) \\ \\ (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6) \\ \\ (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6) \\ \\ (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6) \\ \\ (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) \\ \\ (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) \end{matrix}\right \rbrace $ $=S$

(iv) $A$ and $B=A \cap B=\phi$

(v) $A$ but not $C=A-C =\left \lbrace \begin{matrix} (2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), \\ \\ (4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace $

(vi) $B$ or $C=B \cup C =\left \lbrace \begin{matrix} (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2), \\ (2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), \\ (4,1),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) \end{matrix} \right \rbrace $

(vii) $B$ and $C = B ∩ C =\left \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(3,1),(3,2)\right \rbrace $

(viii) $ \begin{aligned} & C^{\prime}=\left \lbrace \begin{matrix} (1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,2), \\ (4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), \\ (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace \\ \\ & \therefore \ \ A \cap B^{\prime} \cap C^{\prime}=A \cap A \cap C^{\prime}=A \cap C^{\prime} \\ \\ & =\left \lbrace \begin{matrix} (2,4),(2,5),(2,6),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5), \\ (4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace \end{aligned} $

7. प्रश्न $6$ के अनुसार, सत्य या असत्य कहें: (अपने उत्तर के लिए कारण दें)

(i) $A $ और $B$ परस्पर अपवादी हैं

(ii) $A$ और $B$ परस्पर अपवादी और पूरक हैं

(iii) $A=B^{\prime}$

(iv) $A$ और $C$ परस्पर अपवादी हैं

(v) $A$ और $B^{\prime}$ परस्पर अपवादी हैं।

(vi) $A^{\prime}, B^{\prime}, C$ एक-दूसरे से परस्पर अपवाद रहित और पूर्ण घटनाएँ हैं।

उत्तर दिखाएँ

उत्तर :

$A=$ $\left \lbrace \begin{matrix} (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3), \\ (4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace $

$B=$ $\left \lbrace \begin{matrix} (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(3,1),(3,2),(3,3), \\ (3,4),(3,5),(3,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) \end{matrix} \right \rbrace $

$C=\left \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(4,1)\right \rbrace $

(i) यह देखा गया है कि $A \cap B= \phi $

$\therefore \ \ A$ और $B$ परस्पर अपवाद रहित हैं।

इसलिए, दिए गए कथन सही है।

(ii) यह देखा गया है कि $A \cap B=\phi $ और $A \cup B=S$

$\therefore \ \ A$ और $B$ परस्पर अपवाद रहित और पूर्ण हैं।

इसलिए, दिए गए कथन सही है।

(iii) यह देखा गया है कि

$B^{\prime}=$ $\left \lbrace \begin{matrix} (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(4,1),(4,2),(4,3), \\ (4,4),(4,5),(4,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \end{matrix} \right \rbrace $ $=A$

इसलिए, दिए गए कथन सही है।

(iv) यह देखा गया है कि $A \cap C=\left \lbrace (2,1),(2,2),(2,3),(4,1)\right \rbrace = \phi $

$\therefore \ \ A$ और $C$ परस्पर अपवाद रहित नहीं हैं।

इसलिए, दिए गए कथन गलत है।

(v) $A \cap B^{\prime}=A \cap A=A$

$\therefore \ \ A \cap B^{\prime} \neq \phi$

$\therefore \ \ A$ और $B^{\prime}$ परस्पर अपवाद रहित नहीं हैं।

इसलिए, दिए गए कथन गलत है।

(vi) यह देखा गया है कि $A^{\prime} \cup B^{\prime} \cup C=S;$

हालाँकि,

$ B^{\prime} \cap C=\left \lbrace (2,1),(2,2),(2,3),(4,1)\right \rbrace \neq \phi $

इसलिए, घटनाएँ $A^{\prime}, B^{\prime}$ और $C$ परस्पर अपवाद रहित और पूर्ण नहीं हैं।

इसलिए, दिए गए कथन गलत है।

14.2 प्रायिकता के अक्षिक दृष्टिकोण

पिछले अनुभागों में, हम यादृच्छिक प्रयोग, नमूना अंतरिक्ष और इन प्रयोगों से संबंधित घटनाओं के बारे में चर्चा कर चुके हैं। हमारे दैनिक जीवन में हम घटनाओं के घटने की संभावना के बारे में कई शब्दों का उपयोग करते हैं। प्रायिकता सिद्धांत इन घटनाओं के घटने या न घटने की संभावना को मापने की कोशिश करता है।

पहले कक्षाओं में, हमने कुछ विधियों के अध्ययन किया है जिनके माध्यम से एक प्रयोग के कुल परिणामों के संख्या के ज्ञान के साथ एक घटना के संभावना का निर्धारण किया जा सकता है।

अक्सियोमातिक प्राकृतिक एक घटना के संभावना का एक अन्य तरीका है। इस तरीके में कुछ अक्सियोम या नियमों का वर्णन किया जाता है जिनके माध्यम से संभावना का निर्धारण किया जा सकता है।

मान लीजिए $S$ एक यादृच्छिक प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष है। संभावना $P$ एक वास्तविक मान फलन है जिसका डोमेन $S$ का शक्ति समुच्चय है और रेंज अंतराल $[0,1]$ है जो निम्नलिखित अक्सियोमों के अनुसार संतुष्ट होता है

$\begin{matrix} \text{ (i) किसी भी घटना } E \text{ के लिए, } P(E) \geq 0 \qquad \text{ (ii) } P(S)=1\end{matrix} $

(iii) यदि $E$ और $F$ परस्पर अपवाद घटनाएँ हैं, तो $P(E \cup F)=P(E)+P(F)$।

(iii) से यह निष्कर्ष निकलता है कि $P(\phi)=0$। इसका सिद्ध करने के लिए, हम $F=\phi$ लेते हैं और ध्यान रखते हैं कि $E$ और $\phi$ अलग-अलग घटनाएँ हैं। अतः, अक्षय (iii) से हम प्राप्त करते हैं

$ P(E \cup \phi)=P(E)+P(\phi) \quad \text{ या } \quad P(E)=P(E)+P(\phi) \text{ अर्थात } P(\phi)=0 \text{। } $

मान लीजिए $S$ एक नमूना अंतरिक्ष है जिसमें परिणाम $\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n$ है, अर्थात,

$ S={\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n} $

प्रायिकता के अक्षिक निर्वचन से यह निम्नलिखित निष्कर्ष निकलता है

(i) $0 \leq P(\omega_i) \leq 1$ प्रत्येक $\omega_i \in S$ के लिए

(ii) $P(\omega_1)+P(\omega_2)+\ldots+P(\omega_n)=1$

(iii) किसी भी घटना $A$ के लिए, $P(A)=\sum P(\omega_i), \omega_i \in A$.

नोट - ध्यान दें कि एकल ${\omega_i}$ को तत्व घटना कहा जाता है और नोटेशन के सुविधा के लिए, हम $P(\omega_i)$ के रूप में $P({\omega_i})$ लिखते हैं।

उदाहरण के लिए, ‘मुद्दा उछालना’ प्रयोग में हम परिणाम $H$ और $T$ के लिए संख्या $\dfrac{1}{2}$ निर्धारित कर सकते हैं।

i.e. $ \quad \quad \quad \quad P(H)=\dfrac{1}{2} \text{ ~and } ~P(T)=\dfrac{1}{2} \quad \quad \quad \quad \ldots (1) $

स्पष्ट रूप से यह नियोजन दोनों स्थितियों को संतुष्ट करता है, अर्थात, प्रत्येक संख्या न तो शून्य से कम है और न ही एक से अधिक है और

$ P(H)+P(T)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1 $

इसलिए, इस स्थिति में हम कह सकते हैं कि $H$ की प्रायिकता $ \dfrac{1}{2} $ है, और $T$ की प्रायिकता $ \dfrac{1}{2} $ है

यदि हम $P(H)=\dfrac{1}{4}$ और $P(T)=\dfrac{3}{4}\quad \quad \quad \quad \ldots (2)$ लें

क्या यह नियोजन अक्षियमातिक प्रकृति के शर्तों को संतुष्ट करता है?

हां, इस मामले में, $H=\dfrac{1}{4}$ की प्रायिकता और $T=\dfrac{3}{4}$ की प्रायिकता है।

हम देखते हैं कि दोनों संयोजन (1) और (2) $H$ और $T$ की प्रायिकता के लिए वैध हैं।

वास्तव में, हम दोनों परिणामों के लिए संख्याएँ $p$ और $(1-p)$ निर्धारित कर सकते हैं जैसे कि $0 \leq p \leq 1$ और $P(H)+P(T)=p+(1-p)=1$

इस निर्धारण भी प्रायिकता के अक्षितिक दृष्टिकोण के दोनों स्थितियों को संतुष्ट करता है। इसलिए, हम कह सकते हैं कि एक प्रयोग के परिणामों के लिए प्रायिकता निर्धारित करने के कई तरीके (अधिक तो अपरिमित) हो सकते हैं। अब हम कुछ उदाहरणों की ओर ध्यान आकर्षित करते हैं।

उदाहरण 4 मान लीजिए कि एक नमूना अंतरिक्ष $S={\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_6}$ है। निम्नलिखित में से कौन-से प्रतिद्वंद्वी घटनाओं के संभावनाओं के निर्धारण वैध हैं?

$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{घटनाएँ} & \omega_1 & \omega_2 & \omega_3 & \omega_4 & \omega_5 & \omega_6 \\ \hline (a) & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} \\ (b) & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ (c) & \dfrac{1}{8} & \dfrac{2}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & -\dfrac{1}{4} & -\dfrac{1}{3} \\

(d) & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{12} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{1}{6} & \dfrac{3}{2} \\ (e) & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 \\ \hline \end{array} $

हल (a) स्थिति (i): प्रत्येक संख्या $p(\omega_i)$ धनात्मक है और एक से कम है। स्थिति (ii): प्रायिकताओं का योग

$ =\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=1 $

इसलिए, नियोजन वैध है

(b) स्थिति (i): प्रत्येक संख्या $p(\omega_i)$ या तो 0 है या 1 है।

स्थिति (ii) प्रायिकताओं का योग $=1+0+0+0+0+0=1$

इसलिए, संचयन संभाव्यता के अनुरूप है

(c) स्थिति (i) $p(\omega_5)$ और $p(\omega_6)$ में से दो संभाव्यताएँ नकारात्मक हैं, अतः संचयन अमान्य है

(d) क्योंकि $p(\omega_6)=\dfrac{3}{2}>1$, अतः संचयन अमान्य है

(e) क्योंकि संभाव्यताओं का योग $=0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6=2.1$, अतः संचयन अमान्य है।

14.2.1 घटना की संभाव्यता

मान लीजिए $S$ एक प्रयोग के साथ संबंधित नमूना अंतरिक्ष है, जहाँ प्रयोग ‘एक मशीन द्वारा उत्पादित तीन क्रमागत पेन की जांच करना’ है और इन्हें अच्छा (अनुमानित) और खराब (दोषपूर्ण) के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। इस जांच के परिणाम के रूप में हम 0, 1, 2 या 3 दोषपूर्ण पेन प्राप्त कर सकते हैं।

एक प्रयोग से संबंधित एक नमूना अंतरिक्ष है

$ S={BBB, BBG, BGB, GBB, BGG, GBG, GGB, GGG} $

जहाँ $B$ एक खराब या बुरा कलम को और $G$ एक अच्छा या सही कलम को दर्शाता है।

मान लीजिए कि परिणामों के लिए निम्नलिखित प्रायिकताएँ निर्धारित की गई हैं

$\begin{array}{lllllllll} \text{नमूना बिंदु:} & BBB & BBG & BGB & GBB & BGG & GBG & GGB & GGG \\ \\ \text{प्रायिकता: } & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} & \dfrac{1}{8} \end{array}$

$

मान लीजिए घटना A: एकमात्र खराब पेन है और घटना B: दो या अधिक खराब पेन हैं।

इसलिए $~A={BGG, GBG, GGB}$ और $B={BBG, BGB, GBB, BBB}$

अब $\quad P(A)=\sum P(\omega_i), \forall \omega_i \in A$

$ \qquad=P(BGG)+P(GBG)+P(GGB)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{3}{8} $

और $\qquad \mathrm{P}(\mathrm{B})=\sum \mathrm{P}\left(\omega _{i}\right), \forall \omega _{i} \in \mathrm{B}$

$ \qquad =\mathrm{P}(\mathrm{BBG})+\mathrm{P}(\mathrm{BGB})+\mathrm{P}(\mathrm{GBB})+\mathrm{P}(\mathrm{BBB})=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} $

$

हम एक अन्य प्रयोग की बात करेंगे “मुद्रा के उछालने “दो बार”

इस प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष $S={HH, HT, TH, TT}$ है

निम्नलिखित प्रायिकताओं को परिणामों के लिए निर्धारित करें

$ P(HH)=\dfrac{1}{4}, P(HT)=\dfrac{1}{7}, P(TH)=\dfrac{2}{7}, P(TT)=\dfrac{9}{28} $

स्पष्ट रूप से यह नियमों के अक्षितीय प्रायिकता अग्रिम के शर्तों को संतुष्ट करता है। अब, हम घटना $E$ की प्रायिकता ज्ञात करें: ‘दोनों उछाल एक ही परिणाम देते हैं’।

यहाँ $\quad \quad \quad \quad E={HH, TT}$

अब $\quad \quad \quad \quad P(E)=\Sigma P(w_i)$, सभी $w_i \in E$ के लिए

$ \qquad \qquad=P(HH)+P(TT)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{9}{28}=\dfrac{4}{7} $

संख्या $F$ : ‘दो सिर के ठीक रूप से’, हमारे पास $F={HH}$

और $ \quad \quad \quad \quad P(F)=P(HH)=\dfrac{1}{4} $

14.2.2 समान संभावना वाले परिणामों की संभावना

एक प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष को बराबर संभावना वाले परिणामों के लिए लें

$S={\omega_1, \omega_2, \ldots, \omega_n}.$

मान लीजिए कि सभी परिणाम बराबर संभावना से हों, अर्थात, प्रत्येक सरल घटना के घटने की संभावना समान हो।

अर्थात, $ \quad \quad \quad \quad P(\omega_i)=p, \text{ for all } \omega_i \in S \text{ where } 0 \leq p \leq 1

$

$ \begin{aligned} \text{क्योंकि } \quad \quad \quad \quad & \sum _{i=1}^{n} P(\omega_i)=1 \text{ अर्थात, } p+p+\ldots+p(n \text{ बार })=1 \\ \text{या}\quad \quad \quad \quad & n p=1 \text{ अर्थात, } p=\dfrac{1}{n} \end{aligned} $

मान लीजिए $S$ एक नमूना अंतरिक्ष है और $E$ एक घटना है, जैसे कि $n(S)=n$ और $n(E)=m$। यदि प्रत्येक नतीजा समान संभावना वाला है, तो इसका अर्थ है कि

$ P(E)=\dfrac{m}{n} \quad=\dfrac{\text{ } E \text{ के पक्ष में नतीजों की संख्या}}{\text{ संभावित कुल नतीजों की संख्या}} $

14.2.3 घटना ’ $A$ या $B$ ’ की संभावना

अब हम घटना ‘A या B’ की प्रायिकता, अर्थात $P(A \cup B)$ ज्ञात करेंगे

मान लीजिए $A={HHT, HTH, THH}$ और $B={HTH, THH, HHH}$ तीन बार सिक्का उछालने से संबंधित दो घटनाएँ हैं

स्पष्ट रूप से $A \cup B={HHT, HTH, THH, HHH}$

अब $ \quad \quad \quad \quad P(A \cup B)=P(HHT)+P(HTH)+P(THH)+P(HHH) $

यदि सभी परिणाम समान रूप से संभावित हैं, तो

$ P(A \cup B)=\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{8}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2} $

इसके अलावा $ \quad \quad \quad \quad P(A)=P(HHT)+P(HTH)+P(THH)=\dfrac{3}{8} $

$

और $ \quad \quad \quad \quad P(B)=P(HTH)+P(THH)+P(HHH)=\dfrac{3}{8} $

इसलिए $ \quad \quad \quad \quad P(A)+P(B)=\dfrac{3}{3}{8}+\dfrac{3}{8}=\dfrac{6}{8} $

स्पष्ट है कि $ \quad \quad P(A \cup B) \neq P(A)+P(B)$

A और B दोनों में HTH और THH बिंदु उभयनिष्ठ हैं। $P(A)+P(B)$ की गणना में HTH और THH की प्रायिकताएँ, अर्थात् $A \cap B$ के तत्वों की प्रायिकताएँ दो बार शामिल कर ली गई हैं। इसलिए $P(A \cup B)$ की प्रायिकता प्राप्त करने के लिए हमें $P(A)+P(B)$ से $A \cap B$ में नमूना बिंदुओं की प्रायिकताओं को घटा देना होगा।

i.e. $ \qquad P(A \cup B) =P(A)+P(B)-\sum P(\omega_i),\forall \omega_i \in A \cap B$

$\qquad =P(A)+P(B)-P(A \cap B) $

इस प्रकार हम देखते हैं कि, $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

सामान्य रूप में, यदि $A$ और $B$ कोई भी दो घटनाएँ हैं जो एक यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित हैं, तो किसी घटना की प्रायिकता के परिभाषा के अनुसार, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ P(A \cup B)=\sum p(\omega_i), \forall \omega_i \in A \cup B $

क्योंकि $\quad \quad \quad A\cup B = (A-B) \cup (A \cap B)\cup (B-A)$

हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$P(A \cup B)=[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A-B)]+[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in A \cap B]+[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in B-A]$

(क्योंकि $A-B, A \cap B$ और $B-A$ परस्पर अपवादी हैं)

इसके अतिरिक्त $P(A)+P(B)=\left[\sum p(\omega_i) \forall \omega_i \in A\right]+\left[\sum p(\omega_i) \forall \omega_i \in B\right]$

$ \begin{aligned} = & {\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A-B) \cup(A \cap B)\right]+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(B-A) \cup(A \cap B)\right] } \\ = & {\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A-B)\right]+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A \cap B)\right]+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(B-A)\right]+}\\ & {\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in(A \cap B)\right] } \\

= & P(A \cup B)+\left[\sum P(\omega_i) \forall \omega_i \in A \cap B\right] \quad[\text{using}(1)] \\ = & P(A \cup B)+P(A \cap B) . \end{aligned} $

इसलिए $\quad P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$।

अलग-अलग, इसे निम्नलिखित तरीके से भी सिद्ध किया जा सकता है:

$A \cup B=A \cup(B-A)$, जहाँ $A$ और $B-A$ परस्पर अपवादी हैं,

और $B=(A \cap B) \cup(B-A)$, जहाँ $A \cap B$ और $B-A$ परस्पर अपवादी हैं।

प्रायिकता के अक्षय (iii) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \quad \quad \quad \quad P(A \cup B)=P(A)+P(B-A) \quad \quad \quad \quad \ldots(2)

$

और $ \quad \quad \quad \quad P(B)=P(A \cap B)+P(B-A) \quad \quad \quad \quad \ldots(3) $

(2) से (3) को घटाने पर देते हैं

$P(A \cup B) - P(B) = P(A) - P(A \cap B)$

$ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) $

उपरोक्त परिणाम को वेन आरेख (चित्र 14.1) के माध्यम से भी जाँचा जा सकता है

चित्र 14.1

यदि $A$ और $B$ असंगत समुच्चय हैं, अर्थात वे परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो $A \cap B=\phi$

इसलिए $ \qquad P(A \cap B)=P(\phi)=0 $

इसलिए, परस्पर अपवादी घटनाओं $A$ और $B$ के लिए हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ \qquad \qquad P(A \cup B)=P(A)+P(B) $

जो कि प्रायिकता के अक्षय (iii) है।

14.2.4 घटना ‘नहीं $A$’ की प्रायिकता

मान लीजिए घटना $A={2,4,6,8}$ एक घटना है जो एक डेक के 10 कार्ड से एक कार्ड खींचने के प्रयोग से संबंधित है, जिनमें संख्या 1 से 10 लिखी हुई है। स्पष्ट रूप से नमूना अंतरिक्ष $S={1,2,3, \ldots, 10}$ है

यदि सभी परिणाम $1,2, \ldots, 10$ समान रूप से संभावित माने जाते हैं, तो प्रत्येक परिणाम की प्रायिकता $\dfrac{1}{10}$ होती है

अब $\qquad \qquad P(A) =P(2)+P(4)+P(6)+P(8)$

$\qquad \qquad \qquad=\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{\text{10}}+\dfrac{1}{10}=\dfrac{4}{10}=\dfrac{2}{5} $

इसके अतिरिक्त घटना ’ नहीं $A^{\prime}=A^{\prime}={1,3,5,7,9,10}$

अब $ \quad\quad\quad\quad P(A^{\prime})=P(1)+P(3)+P(5)+P(7)+P(9)+P(10) $

$ \qquad\qquad\qquad\qquad\quad=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5} $

इस प्रकार, $ \quad\quad\quad\quad P(A^{\prime})=\dfrac{3}{5}=1-\dfrac{2}{5}=1-P(A) $

इसके अतिरिक्त, हम जानते हैं कि $A^{\prime}$ और $A$ परस्पर अपवाद रहित और पूरक घटनाएं हैं, अर्थात,

$ \qquad A \cap A^{\prime}=\phi \text{ and } A \cup A^{\prime}=S $

या $\quad P(A \cup A^{\prime})=P(S)$

अब $\quad P(A)+P(A^{\prime})=1, \quad$ अक्षय (ii) और (iii) के द्वारा उपयोग करके।

या $\quad P(A^{\prime})=P(not A)=1-P(A)$

अब हम कुछ उदाहरण और अभ्यास प्रश्नों को विचार करते हैं जिनमें समान संभावना वाले परिणाम होते हैं, अन्यथा अपवाद के रूप में।

उदाहरण 5 52 कार्डों वाले एक अच्छी तरह से फैटे डेक से एक कार्ड निकाला जाता है। यदि प्रत्येक परिणाम समान संभावना वाला हो, तो निम्नलिखित के प्रायिकता की गणना कीजिए:

(i) एक डायमंड

(ii) एक एस नहीं

(iii) एक काला कार्ड (अर्थात, एक क्लब या एक स्पेड)

(iv) एक डायमंड नहीं

(v) एक काला कार्ड नहीं

हल जब एक कार्ड एक अच्छी तरह से मिश्रित 52 कार्ड के डेक से खींचा जाता है, तो संभावित परिणामों की संख्या 52 होती है।

(i) मान लीजिए A घटना है ‘खींचे गए कार्ड का डायमंड है’ स्पष्ट रूप से सेट $A$ में तत्वों की संख्या 13 है।

इसलिए, $\quad P(A)=\dfrac{13}{5 जी 2}=\dfrac{1}{4}$

अर्थात, डायमंड कार्ड की संभावना $=\dfrac{1}{4}$

(ii) हम मान लेते हैं कि घटना ‘खींचे गए कार्ड एक एस नहीं है’ B है

इसलिए ‘खींचे गए कार्ड एक एस नहीं है’ B’ होना चाहिए।

हम जानते हैं कि $\quad P(B^{\prime})=1-P(B)=1-\dfrac{4}{52}=1-\dfrac{1}{13}=\dfrac{12}{13}$

(iii) मान लीजिए $C$ घटना ‘खेले गए कार्ड काला कार्ड है’ को दर्शाता है। इसलिए, समुच्चय $C$ में तत्वों की संख्या $26$ है

अर्थात $\quad \quad P(C)=\dfrac{26}{53}=\dfrac{1}{2}$

इसलिए, काले कार्ड की प्रायिकता $=\dfrac{1}{2}$।

(iv) हम ऊपर (i) में मान लेते हैं कि $A$ घटना ‘खेले गए कार्ड डायमंड है’ है, इसलिए घटना ‘खेले गए कार्ड डायमंड नहीं है’ को $A’$ या ‘नोट ए’ से दर्शाया जा सकता है

अब $P(\text{नोट ए})=1-P(A)=1-\dfrac{1}{4}=\dfrac{3}{4}$

(v) घटना ‘कार्ड लेने पर काला कार्ड नहीं है’ को $C^{\prime}$ या ’not $C$’ के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हम जानते हैं कि $P(\text{not A})=1-P(C)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

इसलिए, काले कार्ड के अलावा कार्ड की प्रायिकता $=\dfrac{1}{2}$

उदाहरण 6 एक बैग में 9 डिस्क हैं, जिनमें 4 लाल, 3 नीली और 2 पीली हैं। डिस्क के आकार और आकार में एक जैसे हैं। बैग से एक डिस्क यादृच्छिक रूप से निकाली जाती है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि यह (i) लाल हो, (ii) पीली हो, (iii) नीली हो, (iv) नीली नहीं हो, (v) या तो लाल या नीली हो।

हल सभी में 9 डिस्क हैं इसलिए संभावित परिणामों की कुल संख्या 9 है।

मान लीजिए घटनाएँ A, B, C इस प्रकार परिभाषित हैं

$\quad A$ : ‘खींची गई डिस्क लाल है’

$\quad B$ : ‘खींची गई डिस्क पीली है’

$\quad C$ : ‘खींची गई डिस्क नीली है’।

(i) लाल डिस्कों की संख्या $=4$, अर्थात $n(A)=4$

इसलिए $ \quad \quad \quad \quad P(A)=\dfrac{4}{9} $

(ii) पीली डिस्कों की संख्या $=2$, अर्थात $n(B)=2$

इसलिए, $\quad P(B)=\dfrac{2}{9}$

(iii) नीली डिस्कों की संख्या $=3$, अर्थात $n(C)=3$

इसलिए, $\quad P(C)=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$

(iv) स्पष्ट रूप से घटना ‘नीला नहीं’ वह है ‘नहीं $C$’। हम जानते हैं कि $P($ नहीं $C)=1-P(C)$

इसलिए $\quad P(\text{नहीं } C)=1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$

(v) घटना ‘लाल या नीला’ को समुच्चय ‘A या C’ द्वारा वर्णित किया जा सकता है

क्योंकि, A और C परस्पर अपवाद घटनाएँ हैं, हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं

$ \qquad P(A \text{ या } C)=P(A \cup C)=P(A)+P(C)=\dfrac{4}{9}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{7}{9} $

उदाहरण 7 दो छात्र अनिल और अश्मा एक परीक्ष में उपस्थित हुए। अनिल के परीक्ष के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.05 है और अश्मा के परीक्ष के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.10 है। दोनों के परीक्ष के उत्तीर्ण होने की प्रायिकता 0.02 है। ज्ञात कीजिए कि

(a) अनिल और अशिमा दोनों परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होंगे।

(b) उनमें से कम से कम एक व्यक्ति परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगा और

(c) उनमें से केवल एक व्यक्ति परीक्षा में उत्तीर्ण होगा।

हल मान लीजिए $E$ और $F$ क्रमशः अनिल और अशिमा के परीक्षा में उत्तीर्ण होने के घटनाओं को दर्शाते हैं। दिया गया है कि

$ \quad P(E)=0.05, P(F)=0.10 \text{ और } P(E \cap F)=0.02 $

तब

(a) घटना ‘अनिल और अशिमा दोनों परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होंगे’ को $E^{\prime} \cap F^{\prime}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

क्योंकि, $E^{\prime}$ ‘नहीं $E$’ है, अर्थात अनिल परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगा और $F^{\prime}$ ‘नहीं $F$’ है, अर्थात अशिमा परीक्षा में उत्तीर्ण नहीं होगी।

Also $\quad E^{\prime} \cap F^{\prime}=(E \cup F)^{\prime}$ (Demorgan के नियम के अनुसार)

अब $\quad P(E \cup F)=P(E)+P(F)-P(E \cap F)$

या $\quad P(E \cup F)=0.05+0.10-0.02=0.13$

इसलिए $\quad P(E^{\prime} \cap F^{\prime})=P(E \cup F)^{\prime}=1-P(E \cup F)=1-0.13=0.87$

(b) $P$ (कम से कम एक उनमें से उत्तीर्ण नहीं होगा)

$\quad=1-P($ दोनों उत्तीर्ण होंगे $)$

$\quad=1-0.02=0.98$

(c) केवल एक उनमें से परीक्षा में उत्तीर्ण होने की घटना उस घटना के समान है जहां (अनिल उत्तीर्ण होगा, और अशिमा उत्तीर्ण नहीं होगी) या (अनिल उत्तीर्ण नहीं होगा और अशिमा उत्तीर्ण होगी)

will qualify) अर्थात, $E \cap F^{\prime}$ या $E^{\prime} \cap F$, जहाँ $E \cap F^{\prime}$ और $E^{\prime} \cap F$ परस्पर अपवादी हैं।

इसलिए, $P($ केवल एक व्यक्ति उत्तीर्ण होगा $) =P(E \cap F^{\prime}.$ या $.E^{\prime} \cap F)$

$ \begin{aligned} & =P(E \cap F^{\prime})+P(E^{\prime} \cap F)=P(E)-P(E \cap F)+P(F)-P(E \cap F) \\ & =0.05-0.02+0.10-0.32=0.11 \end{aligned} $

उदाहरण 8 दो पुरुषों और दो महिलाओं में से दो व्यक्तियों के एक समिति का चयन किया जाता है। समिति में (a) कोई पुरुष नहीं होगा? (b) एक पुरुष होगा? (c) दो पुरुष होंगे?

हल कुल व्यक्तियों की संख्या $=2+2=4$। इन चार व्यक्तियों में से दो को चुना जा सकता है ${ }^{4} C_2$ तरीकों से।

(a) दो व्यक्तियों के समिति में कोई पुरुष नहीं होना संभव है, जिसका अर्थ है कि समिति में दो महिलाएँ होंगी। दो महिलाओं में से दो को चुना जा सकता है ${ }^{2} C_2=1$ तरीकों से।

इसलिए $\quad P($ कोई पुरुष नहीं $)=\dfrac{{ }^{2} C_2}{{ }^{3} C_2}=\dfrac{1 \times 2 \times 1}{4 \times 3}=\dfrac{1}{6}$

(b) समिति में एक पुरुष होना संभव है, जिसका अर्थ है कि एक महिला होगी। 2 पुरुषों में से एक को चुना जा सकता है ${ }^{2} C_1$ तरीकों से और 2 महिलाओं में से एक को चुना जा सकता है ${ }^{2} C_1$ तरीकों से। मिलकर वे ${ }^{2} C_1 \times{ }^{2} C_1$ तरीकों से चुने जा सकते हैं।

इसलिए $\quad P($ एक आदमी $)=\dfrac{{ }^{2} C_1 \times{ }^{2} C_1}{{ }^{4} C_2}=\dfrac{2 \times 2}{2 \times 3}=\dfrac{2}{3}$

(c) दो आदमी को ${ }^{2} C_2$ तरीके से चुना जा सकता है।

इसलिए $ \quad\quad\quad\quad P(\text{ दो आदमी })=\dfrac{{ }^{2} C_2}{{ }^{4} C_2}=\dfrac{1}{{ }^{4} C_2}=\dfrac{1}{6} $

अभ्यास 14.2

1. निम्नलिखित में से कौन-सा प्रायिकता के वैध नियोजन के लिए नहीं हो सकता है $S= \lbrace \omega_1, \omega_2, \omega_3, \omega_4, \omega_5, \omega_6, \omega_7 \rbrace $

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उत्तर :

(a)

$\omega_1$	$\omega_2$	$\omega_3$	$\omega_4$	$\omega_5$	$\omega_6$	$\omega_7$
$0.1$	$0.01$	$0.05$	$0.03$	$0.01$	$0.2$	$0.6$

यहाँ, प्रत्येक संख्या $p(\omega_{i})$ धनात्मक और $1$ से कम है।

प्रायिकताओं का योग $=p(\omega_1)+p(\omega_2)+p(\omega_3)+p(\omega_4)+p(\omega_5)+p(\omega_6)+p(\omega_7)$

$\hspace{2.6cm}=0.1+0.01+0.05+0.03+0.01+0.2+0.6=1$

इसलिए, नियोजन वैध है।

(b)

$\omega_1$	$\omega_2$	$\omega_3$	$\omega_4$	$\omega_5$	$\omega_6$	$\omega_7$
$\dfrac{1}{7}$	$\dfrac{1}{7}$	$\dfrac{1}{7}$	$\dfrac{1}{7}$	$\dfrac{1}{7}$	$\dfrac{1}{7}$	$\dfrac{1}{7}$

यहाँ, प्रत्येक संख्या $p(\omega _{i})$ धनात्मक और $1$ से कम है।

प्रायिकताओं का योग $=p(\omega_1)+p(\omega_2)+p(\omega_3)+p(\omega_4)+p(\omega_5)+p(\omega_6)+p(\omega_7)$

$\hspace{2.7cm}=\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}+\dfrac{1}{7}=7 \times \dfrac{1}{7}=1$

इसलिए, नियुक्ति संभव है।

(c)

$\omega_1$	$\omega_2$	$\omega_3$	$\omega_4$	$\omega_5$	$\omega_6$	$\omega_7$
$0.1$	$0.2$	$0.3$	$0.4$	$0.5$	$0.6$	$0.7$

यहाँ, प्रत्येक संख्या $p(\omega _{i})$ धनात्मक और $1$ से कम है।

संभावना के योग $=p(\omega_1)+p(\omega_2)+p(\omega_3)+p(\omega_4)+p(\omega_5)+p(\omega_6)+p(\omega_7)$

$\hspace{2.7cm}=0.1+0.2+0.3+0.4+0.5+0.6+0.7$

$\hspace{2.7cm}=2.8 \neq 1$

इसलिए, नियुक्ति अमान्य है।

(d)

$\omega_1$	$\omega_2$	$\omega_3$	$\omega_4$	$\omega_5$	$\omega_6$	$\omega_7$
-0.1	0.2	0.3	0.4	-0 0.2	0.1	0.3

यहाँ, $p(\omega_1).$ और $p(\omega_5)$ नकारात्मक हैं।

इसलिए, नियुक्ति अमान्य है।

(e)

$\omega_1$	$\omega_2$	$\omega_3$	$\omega_4$	$\omega_5$	$\omega_6$	$\omega_7$
$\dfrac{1}{14}$	$\dfrac{2}{14}$	$\dfrac{3}{14}$	$\dfrac{4}{14}$	$\dfrac{5}{14}$	$\dfrac{6}{14}$	$\dfrac{15}{14}$

यहाँ,

$ p(\omega_7)=\dfrac{15}{14}>1 $

इसलिए, नियुक्ति अमान्य है।

2. एक सिक्का दो बार उछाला जाता है, कम से कम एक पैसे आने की संभावना क्या है?

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उत्तर :

जब एक सिक्का दो बार उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष इस प्रकार दिया गया है $S= \lbrace HH, HT, TH, TT \rbrace $

मान लीजिए $A$ कम से कम एक पैसे के घटना को दर्शाता है।

इसलिए, $A= \lbrace HT, TH, TT \rbrace $

$ \quad\therefore \quad P(A)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to } A}{\text{ Total number of possible outcomes }}$

$\qquad \quad \ \qquad=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{3}{4}$

3. एक पासा फेंका जाता है, निम्न घटनाओं की संभावना ज्ञात कीजिए:

(i) एक अभाज्य संख्या आएगी,

(ii) एक संख्या $3$ या उसके बराबर आएगी,

(iii) एक संख्या $1$ या उसके बराबर आएगी,

(iv) एक संख्या $6$ से अधिक आएगी,

(v) $6$ से कम एक संख्या आएगी।

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उत्तर :

दिए गए प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष को निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$S= \lbrace 1,2,3,4,5,6 \rbrace $

(i) मान लीजिए $A$ एक अभाज्य संख्या के घटना को दर्शाता है।

इसलिए, $A= \lbrace 2,3,5 \rbrace $

$\therefore \ \ P(A)=\dfrac{\text{ A के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

(ii) मान लीजिए $B$ एक संख्या के घटना को दर्शाता है जो $3$ से अधिक या बराबर हो। इसलिए, $B= \lbrace 3,4,5,6 \rbrace $

$\therefore \ \ P(B)=\dfrac{\text{ B के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$

(iii) मान लीजिए $C$ एक संख्या के घटना को दर्शाता है जो $1$ से कम या बराबर हो। इसलिए, $C= \lbrace 1 \rbrace $

$\therefore \ \ P(C)=\dfrac{\text{ C के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(C)}{n(S)}=\dfrac{1}{6}$

(iv) मान लीजिए $D$ एक संख्या के घटना को दर्शाता है जो $6$ से अधिक हो।

इसलिए, $D=I_1^{1}$

$\therefore \ \ P(D)=\dfrac{\text{ D के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(D)}{n(S)}=\dfrac{0}{6}=0$

(v) मान लीजिए $E$ एक संख्या के घटना को दर्शाता है जो $6$ से कम हो।

इसलिए, $E= \lbrace 1,2,3,4,5 \rbrace $

$\therefore \ \ P(E)=\dfrac{\text{ E के अनुकूल नतीजों की संख्या }}{\text{ संभावित सभी नतीजों की संख्या }}=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{5}{6}$

4. 52 कार्ड के पैक से एक कार्ड चुना जाता है।

(a) नमूना अंतरिक्ष में कितने बिंदु हैं?

(b) कार्ड के एस डब्ल्यू के अस्तित्व की प्रायिकता की गणना करें।

(c) कार्ड के (i) एक एस डब्ल्यू (ii) काला कार्ड की प्रायिकता की गणना करें।

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उत्तर :

(a) जब 52 कार्ड के पैक से एक कार्ड चुना जाता है, तो संभावित नतीजों की संख्या 52 होती है, अर्थात नमूना अंतरिक्ष में 52 तत्व होते हैं।

इसलिए, नमूना अंतरिक्ष में $52$ बिंदु हैं।

(b) मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें खींची गई कार्ड एस ऑफ स्पेड है।

इसलिए, $n(A)=1$

$\therefore \ \ P(A)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to } A}{\text{ Total number of possible outcomes }}=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{1}{52}$

(c) (i) मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें खींची गई कार्ड एस है।

क्योंकि 52 कार्ड के पैक में 4 एस होते हैं, $n(E)=4$

$\therefore \ \ P(E)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to } E}{\text{ Total number of possible outcomes }}=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}$

(ii) मान लीजिए $F$ वह घटना है जिसमें खींची गई कार्ड काला है।

क्योंकि 52 कार्ड के पैक में 26 काले कार्ड होते हैं, $n(F)=26$

$\therefore \ \ P(F)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to } F}{\text{ Total number of possible outcomes }}=\dfrac{n(F)}{n(S)}=\dfrac{26}{52}=\dfrac{1}{2}$

5. एक समान सिक्का जिस पर एक ओर 1 और दूसरी ओर 6 अंकित है और एक समान पासा दोनों फेंके जाते हैं। ज्ञात कीजिए कि उन अंकों के योग के योग की प्रायिकता है

$(i) \ 3 \ \ $

$(ii) \ 12$

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उत्तर :

क्योंकि समान सिक्का एक ओर 1 और दूसरी ओर 6 अंकित है, और पासा छह फलकों वाला है जो 1, 2, 3, 4, 5, और 6 अंकित है, तो नमूना अंतरिक्ष निम्नलिखित द्वारा दिया जाता है

$S= \lbrace (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) \rbrace $

इसलिए, $n(S)=12$

(i) मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें उन अंकों के योग के योग 3 है।

इसलिए, $A= \lbrace (1,2) \rbrace $

$\therefore \ \ P(A)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to A }}{\text{ Total number of possible outcomes }}=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{1}{12}$

(ii) मान लीजिए $B$ वह घटना है जिसमें उन अंकों के योग के योग 12 है।

इसलिए, $B= \lbrace (6,6) \rbrace $

$\therefore \ \ P(B)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to B }}{\text{ Total number of possible outcomes }}=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{1}{12}$

6. शहर के परिषद में चार पुरुष और छह महिलाएं हैं। यदि एक परिषद सदस्य को यादृच्छिक रूप से एक समिति के लिए चुना जाता है, तो इसकी कितनी संभावना है कि वह एक महिला होगी?

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उत्तर :

शहर के परिषद में चार पुरुष और छह महिलाएं हैं।

एक परिषद सदस्य को यादृच्छिक रूप से एक समिति के लिए चुना जाता है, इसलिए नमूना अंतरिक्ष में $10(4+6)$ तत्व होते हैं।

मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चुने गए परिषद सदस्य के एक महिला होना है।

इसलिए, $n(A)=6$

$\therefore \ \ P(A)=\dfrac{\text{ Number of outcomes favourable to } A}{\text{ Total number of possible outcomes }}=\dfrac{n(A)}{n(S)}=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}$

7. एक असमान सिक्का चार बार उछाला जाता है, और एक व्यक्ति प्रत्येक शीर्ष के लिए रुपया $1$ जीतता है और प्रत्येक पैसा के लिए रुपया $1.50$ खो देता है। नमूना अंतरिक्ष से गणना करें कि चार उछालों के बाद आपके पास कितने अलग-अलग धन राशि हो सकती है और इन राशियों के प्रत्येक के लिए संभावना क्या है।

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उत्तर :

क्योंकि सिक्का चार बार उछाला जाता है, तो अधिकतम 4 शीर्ष या पैसा हो सकते हैं।

जब 4 शीर्ष आते हैं, तो $Rs \ 1+Rs \ 1+Rs \ 1+Rs \ 1=Rs \ 4$ लाभ होता है।

जब 3 शीर्ष और 1 पैसा आते हैं, तो $Rs \ 1+Rs \ 1+Rs \ 1- Rs \ 1.50=Rs \ 3 - Rs \ 1.50=Rs \ 1.50$ लाभ होता है।

जब 2 शीर्ष और 2 पैसा आते हैं, तो $Rs \ 1+Rs \ 1 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50= - Rs \ 1, \ i.e., \ Rs \ 1$ का नुकसान होता है।

जब 1 शीर्ष और 3 पैसा आते हैं, तो $Rs \ 1 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50=- Rs \ 3.50, \ i.e., \ Rs \ 3.50$ का नुकसान होता है।

जब 4 पैसा आते हैं, तो $- Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50 - Rs \ 1.50 = - Rs \ 6.00, \ i.e., \ Rs \ 6.00$ का नुकसान होता है।

नमूना अंतरिक्ष $S$ में $2^{4}=16$ तत्व होते हैं, जो निम्नलिखित है:

$S= \lbrace HHHH, HHHT, HHTH, HTHH, THHH, HHTT, HTTH, TTHH, HTHT,$

$\qquad THTH, THHT, HTTT, THTT, TTHT, TTTH, TTTT \rbrace $

$\therefore \ \ n(S)=16$

जब 4 शीर्ष आते हैं, तो व्यक्ति $Rs \ 4.00$ जीतता है, अर्थात घटना $ \lbrace HHHH \rbrace $ होती है।

$\therefore \ \ $ प्रायिकता $($ रु 4.00 जीतने की $) =\dfrac{1}{16}$

जब 3 सिर और एक पैसा आए, तो व्यक्ति रु 1.50 जीतता है, अर्थात जब घटना $ \lbrace HHHT, HHTH, HTHH, THHH \rbrace $ हो।

$\therefore \ \ $ प्रायिकता $($ रु 1.50 जीतने की $) =\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$

जब 2 सिर और 2 पैसा आए, तो व्यक्ति रु 1.00 हारता है, अर्थात जब घटना $ \lbrace HHTT, HTTH, TTHH, HTHT, THTH, THHT \rbrace $ हो।

$\therefore \ \ $ प्रायिकता $($ रु 1.00 हारने की $) =\dfrac{6}{16}=\dfrac{3}{8}$

जब 1 सिर और 3 पैसा आए, तो व्यक्ति रु 3.50 हारता है, अर्थात जब घटना $ \lbrace HTTT, THTT, TTHT, TTTH \rbrace $ हो।

प्रायिकता $($ रु 3.50 हारने की $) =\dfrac{4}{16}=\dfrac{1}{4}$

जब 4 पैसा आए, तो व्यक्ति रु 6.00 हारता है, अर्थात जब घटना $ \lbrace TTTT \rbrace $ हो।

प्रायिकता $($ रु 6.00 हारने की $) =\dfrac{1}{16}$

8. तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है। कम से कम 2 सिर आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

(i) 3 सिर

(ii) 2 सिर

(iii) कम से कम 2 सिर

(iv) अधिकतम 2 सिर

(v) कोई सिर नहीं

(vi) 3 पैसा

(vii) ठीक दो पैसा

(viii) कोई पैसा नहीं

(ix) अधिकतम 2 पैसा

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Answer :

जब तीन सिक्कों को एक बार उछाला जाता है, तो नमूना अंतरिक्ष इस प्रकार दिया गया है

$S= \lbrace HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \rbrace $

$\therefore \ \ $ अतः, $n(S)=8$

ज्ञात है कि घटना $A$ की प्रायिकता इस प्रकार दी गई है

$P(A)=\dfrac{\text{ घटना } A \text{ के पक्ष में आउटकम की संख्या }}{\text{ संभावित सभी आउटकम की संख्या }}=\dfrac{n(A)}{n(S)}$

(i) मान लीजिए $B$ घटना है जब 3 सिर आए। अतः, $B= \lbrace HHH \rbrace $

$\therefore \ \ P(B)=\dfrac{n(B)}{n(S)}=\dfrac{1}{8}$

(ii) मान लीजिए $C$ घटना है जब 2 सिर आए। अतः, $C= \lbrace HHT, HTH, THH \rbrace $

$\therefore \ \ P(C)=\dfrac{n(C)}{n(S)}=\dfrac{3}{8}$

(iii) मान लीजिए $D$ घटना है जब कम से कम 2 सिर आए।

अतः, $D= \lbrace HHH, HHT, HTH, THH \rbrace $

$\therefore \ \ P(D)=\dfrac{n(D)}{n(S)}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}$

(iv) मान लीजिए $E$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें अधिकतम $2$ सिरे होते हैं।

इसलिए, $E= \lbrace HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT \rbrace $

$\therefore \ \ P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{7}{8}$

(v) मान लीजिए $F$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें कोई सिरा नहीं होता है।

इसलिए, $F= \lbrace TTT \rbrace $

$\therefore \ \ P(F)=\dfrac{n(F)}{n(S)}=\dfrac{1}{8}$

(vi) मान लीजिए $G$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें $3$ पैंट होते हैं।

इसलिए, $G= \lbrace TTT \rbrace $

$\therefore \ \ P(G)=\dfrac{n(G)}{n(S)}=\dfrac{1}{8}$

(vii) मान लीजिए $H$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें ठीक $2$ पैंट होते हैं।

इसलिए, $H= \lbrace HTT, THT, TTH \rbrace $

$\therefore \ \ P(H)=\dfrac{n(H)}{n(S)}=\dfrac{3}{8}$

(viii) मान लीजिए I उन घटनाओं की घटना है जिनमें कोई पैंट नहीं होता है।

इसलिए, $I= \lbrace HHH \rbrace $

$\therefore \ \ P(I)=\dfrac{n(I)}{n(S)}=\dfrac{1}{8}$

(ix) मान लीजिए $J$ उन घटनाओं की घटना है जिनमें अधिकतम $2$ पैंट होते हैं।

इसलिए, $I = \lbrace $ HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH $ \rbrace $

$\therefore \ \ P(J)=\dfrac{n(J)}{n(S)}=\dfrac{7}{8}$

9. यदि $\dfrac{2}{11}$ एक घटना की प्रायिकता है, तो घटना ’not A’ की प्रायिकता क्या है।

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Answer :

दिया गया है $P(A)=\dfrac{2}{11}$।

इसलिए, $P( A’)=1 - P(A)=1-\dfrac{2}{11}=\dfrac{9}{11}$

10. शब्द ‘ASSASSINATION’ से एक अक्षर यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। अक्षर की प्रायिकता ज्ञात कीजिए

(i) एक अक्षर

(ii) एक व्यंजन

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Answer :

शब्द ASSASSINATION में $13$ अक्षर हैं।

$\therefore \ \ $ इसलिए, $n(S)=13$

(i) दिए गए शब्द में $6$ अक्षर हैं।

$\therefore \ \ $ अक्षर (अक्षर) की प्रायिकता $=\dfrac{6}{13}$

(ii) दिए गए शब्द में $7$ व्यंजन हैं।

$\therefore \ \ $ अक्षर (व्यंजन) की प्रायिकता $=\dfrac{7}{13}$

11. एक लॉटरी में, एक व्यक्ति $1$ से $20$ तक छह अलग-अलग प्राकृतिक संख्याएं यादृच्छिक रूप से चुनता है, और यदि ये छह संख्याएं लॉटरी समिति द्वारा पहले से निर्धारित छह संख्याओं के साथ मेल खाती हैं, तो वह पुरस्कार जीत जाता है। खेल में जीत की प्रायिकता क्या है? [संकेत: संख्याओं के क्रम का महत्व नहीं है।]

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उत्तर :

20 से 1 तक के 6 अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीकों की संख्या

$ { }^{20}C_6 = \dfrac{\lfloor{20}}{{\lfloor{6}} \lfloor{20-7} } = \dfrac{\lfloor{20}}{{\lfloor{6}} \lfloor{14} }$

$\qquad=\dfrac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6}=38760$

इसलिए, 6 संख्याओं के 38760 संयोजन हैं।

इन संयोजनों में से एक संयोजन लॉटरी समिति द्वारा पहले से ही निर्धारित कर दिया गया है।

$\therefore \ \ $ खेल में विजय की आवश्यक संभावना $=\dfrac{1}{38760}$

12. निम्नलिखित संभावनाएँ $P(A)$ और $P(B)$ सांतुस्थ रूप से परिभाषित हैं या नहीं जांचें

(i) $P(A)=0.5, P(B)=0.7, P(A \cap B)=0.6$

(ii) $P(A)=0.5, P(B)=0.4, P(A \cup B)=0.8$

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उत्तर :

(i) $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0.5, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0.7, \mathrm{P}(\mathrm{A} \cap \mathrm{B})=0.6$

यह ज्ञात है कि यदि $E$ और $F$ दो घटनाएँ हैं जैसे कि $E \subset F$ तो $P(E) \leq P(F)$ होता है। यहाँ $P(A \cap B)>P(A)$ है

इसलिए $P(A)$ और $P(B)$ सांतुस्थ रूप से परिभाषित नहीं हैं

(ii) $\mathrm{P}(\mathrm{A})=0.5, \mathrm{P}(\mathrm{B})=0.4, \mathrm{P}(\mathrm{A} \cup \mathrm{B})=0.8$

यह ज्ञात है कि यदि $E$ और $F$ दो घटनाएँ हैं जैसे कि $E \subset F$ तो $P(E) \leq P(F)$ होता है। यहाँ देखा जाता है कि $P(A \cup B)>P(A)$ और $P(A \cup B)>P(B)$ है

इसलिए $P(A)$ और $P(B)$ सांतुस्थ रूप से परिभाषित हैं

13. निम्नलिखित तालिका में खाली स्थान भरें:

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उत्तर :

(i) यहाँ,

$ P(A)=\dfrac{1}{3}, P(B)=\dfrac{1}{5}, P(A \cap B)=\dfrac{1}{15} $

हम जानते हैं कि $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$\therefore \ \ P(A \cup B)=\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{15}=\dfrac{5+3-1}{15}=\dfrac{7}{15}$

(ii) यहाँ, $P(A)=0.35, P(A \cap B)=0.25, P(A \cup B)=0.6$

हम जानते हैं कि $P(A \cup B)=P(A)+P(B) - P(A \cap B)$

$\therefore \ \ 0.6=0.35+P(B) - 0.25$

$\Rightarrow P(B)=0.6 - 0.35+0.25$

$\Rightarrow P(B)=0.5$

(iii) यहाँ, $P(A)=0.5, P(B)=0.35, P(A \cap B)=0.7$

हम जानते हैं कि $P(A \cup B)=P(A)+P(B) - P(A \cap B)$

$\therefore \ \ 0.7=0.5+0.35 - P(A \cap B)$

$\Rightarrow P(A \cap B)=0.5+0.35 - 0.7$

$\Rightarrow P(A \cap B)=0.15$

14. दिया गया है $P(A)=\dfrac{3}{5}$ और $P(B)=\dfrac{1}{5}$. यदि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं, तो $P(A$ या $B)$ ज्ञात कीजिए।

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Answer :

यहाँ, $P(A)={\dfrac{3}{5}}, P(B)=\dfrac{1}{5}$

परस्पर अपवर्जी घटनाओं $A$ और $B$ के लिए,

$\quad \ P(A$ या $B)=P(A)+P(B)$

$\therefore \ \ P(A$ या $B)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}=\dfrac{3}{5}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$

15. यदि $E$ और $F$ ऐसे घटनाएँ हैं कि $P(E)=\dfrac{1}{4}, P(F)=\dfrac{1}{2}$ और $P(E$ और $F)=\dfrac{1}{8},$ तो ज्ञात कीजिए

(i) $P(E$ या $F)$

(ii) $P(नहीं E$ और नहीं $F)$

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Answer :

यहाँ, $P(E)=\dfrac{1}{4}, P(F)=\dfrac{1}{2},$ और $P(E$ और $F)=\dfrac{1}{8}$

(i) हम जानते हैं कि

$\quad P(E \text{ या } F)=P(E)+P(F) - P(E and F)$

$\therefore \ \ P(E$ या $F)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}=\dfrac{2+4-1}{8}=\dfrac{5}{8}$

(ii) (i) से, $P(E$ या $F)=P(E \cup F)=\dfrac{5}{8}$

हम जानते हैं कि $(E \cup F)^{\prime}=(E^{\prime} \cap F^{\prime}) \quad[$ डी मॉर्गन के नियम द्वारा $]$

$\therefore \ \ P(E^{\prime} \cap F^{\prime})=P(E \cup F)^{\prime}$

अब, $P(E \cup F)^{\prime}=1-P(E \cup F)=1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}$

$\therefore \ \ P(E^{\prime} \cap F^{\prime})=\dfrac{3}{8}$

इसलिए, $P(नहीं E$ और नहीं $F)=\dfrac{3}{8}$

16. घटनाएँ $E$ और $F$ इस प्रकार हैं कि $P(नहीं E$ या नहीं $F)=0.25,$ बताइए कि $E$ और $F$ परस्पर अपवर्जी हैं या नहीं।

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उत्तर :

दिया गया है कि $P ($ नहीं $E$ या नहीं $F)=0.25$

अर्थात, $P(E^{\prime} \cup F^{\prime})=0.25$

$\Rightarrow P(E \cap F)^{\prime}=0.25$

$ [E^{\prime} \cup F^{\prime}=(E \cap F)^{\prime}] $

अब, $P(E \cap F)=1-P(E \cap F)^{\prime}$

$\Rightarrow P(E \cap F)=1-0.25$

$\Rightarrow P(E \cap F)=0.75 \neq 0$

$\Rightarrow E \cap F \neq \phi$

इसलिए, $E$ और $F$ परस्पर अपवादी नहीं हैं।

17. $A$ और $B$ ऐसे घटनाएँ हैं कि $P(A)=0.42, P(B)=0.48$ और $P(A$ और $B)=0.16$. निर्धारित करें (i) $P(not A),$ (ii) $P(not B)$ और (iii) $P(A$ या $B)$

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उत्तर :

दिया गया है कि $P(A)=0.42, P(B)=0.48, P(A$ और $B)=0.16$

(i) $P($ नहीं $A)=1-P(A)=1-0.42=0.58$

(ii) $P($ नहीं $B)=1-P(B)=1-0.48=0.52$

(iii) हम जानते हैं कि $P(A$ या $B)=P(A)+P(B)-P(A$ और $B)$

$ P(A$ या $B)=0.42+0.48-0.16=0.74$

18. एक स्कूल के कक्षा XI में $40 %$ छात्र गणित और $30 %$ जीवविज्ञान के अध्ययन करते हैं। $10 %$ कक्षा के छात्र दोनों गणित और जीवविज्ञान के अध्ययन करते हैं। यदि एक छात्र कक्षा से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो उसके गणित या जीवविज्ञान के अध्ययन कर रहे होने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।

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उत्तर :

मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चुने गए छात्र गणित के अध्ययन करता है और $B$ वह घटना है जिसमें चुने गए छात्र जीवविज्ञान के अध्ययन करता है।

अतः,

$P(A)=40 %=\dfrac{40}{100}=\dfrac{2}{5}$

$P(B)=30 %=\dfrac{30}{100}=\dfrac{3}{10}$

$P(A$ और $B)=10 %=\dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10}$

हम जानते हैं कि $P(A$ या $B)=P(A)+P(B)-P(A$ और $B)$

$\therefore \ \ P(A$ या $B)=\dfrac{2}{5}+\dfrac{3}{10}-\dfrac{1}{10}=\dfrac{6}{10}=0.6$

इसलिए, चुने गए छात्र के गणित या जीवविज्ञान के अध्ययन कर रहे होने की प्रायिकता $0.6$ है।

19. एक प्रवेश परीक्षा में जो दो परीक्षणों के आधार पर अंकित की जाती है, एक यादृच्छिक रूप से चुने गए छात्र के पहले परीक्षण के पास होने की प्रायिकता $0.8$ है और दूसरे परीक्षण के पास होने की प्रायिकता $0.7$ है। कम से कम उनमें से एक के पास होने की प्रायिकता $0.95$ है। दोनों के पास होने की प्रायिकता क्या है?

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उत्तर :

मान लीजिए $A$ और $B$ क्रमशः पहली और दूसरी परीक्षा पास करने के घटनाएं हैं।

इसलिए,

$P(A)=0.8, P(B)=0.7$ और $P(A$ या $B)=0.95$

हम जानते हैं कि

$P(A$ या $B)=P(A)+P(B)-P(A$ और $B)$

$ 0.95=0.8+0.7-P(A$ और $B)$

$P(A$ और $B)=0.8+0.7-0.95=0.55$

इसलिए, दोनों परीक्षा पास करने की प्रायिकता $0.55$ है।

20. एक छात्र के अंग्रेजी और हिंदी दोनों अंतिम परीक्षा पास करने की प्रायिकता $0.5$ है और दोनों परीक्षा पास न करने की प्रायिकता $0.1$ है। यदि अंग्रेजी परीक्षा पास करने की प्रायिकता $0.75$ है, तो हिंदी परीक्षा पास करने की प्रायिकता क्या है?

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उत्तर :

मान लीजिए $A$ और $B$ क्रमशः अंग्रेजी और हिंदी परीक्षा पास करने के घटनाएं हैं।

इसलिए, $P(A$ और $B)=0.5,$ $P($ नहीं $A$ और नहीं $B)=0.1,$ अर्थात $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=0.1$

$P(A)=0.75$

अब, $(A \cup B)^{\prime}=(A^{\prime} \cap B^{\prime}) \quad[De$ मोर्गन के नियम $]$

$\therefore \ \ P(A \cup B)^{\prime}=P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=0.1$

$P(A \cup B)=1-P(A \cup B)^{\prime}=1-0.1=0.9$

हम जानते हैं कि $P(A$ या $B)=P(A)+P(B) - P(A$ और $B)$

$ \begin{aligned} & \therefore \ \ 0.9=0.75+P(B)- 0.5 \\ \\ & \Rightarrow P(B)=0.9 - 0.75+0.5 \end{aligned} $

$\Rightarrow P(B)=0.65$

इसलिए, हिंदी परीक्षा पास करने की प्रायिकता $0.65$ है।

21. 60 छात्रों की एक कक्षा में, 30 छात्र एनसीसी के लिए चुने गए, 32 छात्र एनएसएस के लिए चुने गए और 24 छात्र दोनों एनसीसी और एनएसएस के लिए चुने गए। यदि इन छात्रों में से एक छात्र यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो ज्ञात कीजिए कि

(i) छात्र एनसीसी या एनएसएस के लिए चुना गया है।

(ii) छात्र न तो एनसीसी और न ही एनएसएस के लिए चुना गया है।

(iii) छात्र एनएसएस के लिए चुना गया है लेकिन एनसीसी के लिए नहीं।

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उत्तर :

मान लीजिए $A$ वह घटना है जिसमें चुने गए छात्र एनसीसी के लिए चुने गए हैं और $B$ वह घटना है जिसमें चुने गए छात्र एनएसएस के लिए चुने गए हैं।

कुल छात्रों की संख्या $=60$

एनसीसी के लिए चुने गए छात्रों की संख्या $=30$

$\therefore \ \ P(A)=\dfrac{30}{60}=\dfrac{1}{2}$

NSS के लिए चयन किए गए छात्रों की संख्या $=32$

$\therefore \ \ P(B)=\dfrac{32}{60}=\dfrac{8}{15}$

NCC और NSS दोनों के लिए चयन किए गए छात्रों की संख्या $=24$

$\therefore \ \ P(A$ और $B)=\dfrac{24}{60}=\dfrac{2}{5}$

(i) हम जानते हैं कि $P(A$ या $B)=P(A)+P(B)- P(A$ और $B)$

$\therefore \ \ P(A$ या $B)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{8}{15}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{15+16-12}{30}=\dfrac{19}{30}$

इसलिए, चयन किए गए छात्र के NCC या NSS के लिए चयन करने की प्रायिकता $\dfrac{19}{30}$ है।

(ii) $P($ नहीं $A$ और नहीं $B)$ $=P(A^{\prime}.$ और $.B^{\prime})$

$\hspace{3.2cm}=P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$

$\hspace{3.2cm}=P(A \cup B)^{\prime} \quad[(A^{\prime} \cap B^{\prime})$

$\hspace{3.2cm}=(A \cup B)^{\prime}(.$ डी मॉर्गन के नियम द्वारा $.)]$

$\hspace{3.2cm}=1-P(A \cup B)$

$\hspace{3.2cm}=1-P(A$ या $B)$

$\hspace{3.2cm}=1-\dfrac{19}{30}$

$\hspace{3.2cm}=\dfrac{11}{30}$

इसलिए, चयन किए गए छात्र के NCC और NSS दोनों के लिए चयन नहीं करने की प्रायिकता $\dfrac{11}{30}$ है।

(iii) दिए गए जानकारी को एक वेन आरेख के रूप में निम्नलिखित तरह से प्रस्तुत किया जा सकता है

स्पष्ट रूप से,

NSS के लिए चयन किए गए छात्रों की संख्या लेकिन NCC के लिए नहीं

$=n(B - A)=n(B) - n(A \cap B)=32 - 24=8$

इसलिए, चयन किए गए छात्र के NSS के लिए चयन करने की प्रायिकता लेकिन NCC के लिए नहीं $=\dfrac{8}{60}=\dfrac{2}{15}$

विविध उदाहरण

उदाहरण 9 अपने छुट्टियों पर वीना एक यादृच्छिक क्रम में चार शहरों (A, B, C और D) का दौरा करती है। वह ऐसा करने की क्या प्रायिकता है कि वह

(i) $\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ से पहले?

(ii) $\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ से पहले और $\mathrm{B}$ $\mathrm{C}$ से पहले?

(iii) $\mathrm{A}$ पहले और $\mathrm{B}$ आखिरी?

(iv) $\mathrm{A}$ या तो पहले या दूसरे?

(v) $\mathrm{A}$ $\mathrm{B}$ के ठीक पहले?

हल वीना चार शहरों A, $B, C$, या $D$ के दौरे करने के विन्यास (क्रम) की संख्या 4 ! है, अर्थात 24। अतः, $n(S)=24$। चूंकि प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष में तत्वों की संख्या 24 है, इसलिए सभी इन नतीजों को समान रूप से संभावित माना जाता है। प्रयोग के एक नमूना अंतरिक्ष है

$\begin{aligned} S= & {ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB \\ & BACD, BADC, BDAC, BDCA, BCAD, BCDA \\ & CABD, CADB, CBDA, CBAD, CDAB, CDBA \\ & DABC, DACB, DBCA, DBAC, DCAB, DCBA } \end{aligned}$

(i) मान लीजिए घटना “उसके A के पहले B का दौरा होता है” को E द्वारा निरूपित किया जाता है

$\begin{aligned} \text{ इसलिए, } E= & {ABCD, CABD, DABC, ABDC, CADB, DACB \\ & ACBD, ACDB, ADBC, CDAB, DCAB, ADCB}\end{aligned}$

इसलिए $\quad P(E)=\dfrac{n(E)}{n(S)}=\dfrac{12}{24}=\dfrac{1}{2}$

(ii) मान लीजिए घटना “वीना A के पहले B के पहले C के पहले दौरा करती है” को F द्वारा निरूपित किया जाता है।

यहाँ $F={ABCD, DABC, ABDC, ADBC}$

इसलिए, $P(F)=\dfrac{n(F)}{n(S)}=\dfrac{4}{24}=\dfrac{1}{6}$

छात्रों को (iii), (iv) और (v) के मामले में प्रायिकता खोजने के लिए सलाह दी जाती है।

उदाहरण 10 एक अच्छी ढंग से फैशन किए गए 52 कार्डों के डेक से 7 कार्डों के हाथ खींचे जाने पर, इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए जबकि यह (i) सभी राजकुमार हो (ii) 3 राजकुमार हो (iii) कम से कम 3 राजकुमार हो।

हल कुल संभावित हाथों की संख्या $={ }^{52} C_7$

(i) 4 राजकुमारों वाले हाथों की संख्या $={ }^{4} C_4 \times{ }^{48} C_3$ (अन्य 3 कार्ड शेष 48 कार्डों में से चुने जाएंगे)

इसलिए $\quad P($ एक हाथ में 4 राजा होंगे $)=\dfrac{{ }^{4} C_4 \times{ }^{48} C_3}{{ }^{52} C_7}=\dfrac{1}{7735}$

(ii) 3 राजा और 4 गैर-राजा कार्ड वाले हाथों की संख्या $={ }^{4} C_3 \times{ }^{48} C_4$

इसलिए $\quad P(3$ राजा $)=\dfrac{{ }^{4} C_3 \times{ }^{48} C_4}{{ }^{52} C_7}=\dfrac{9}{1547}$

(iii) $P($ कम से कम 3 राजा $)=P(3$ राजा या 4 राजा $)$

$ \qquad=P(3 \text{ राजा })+P(4 \text{ राजा}) $

$ \qquad=\dfrac{9}{1547}+\dfrac{1}{7735}=\dfrac{46}{7735} $

उदाहरण 11 यदि A, B, C एक यादृच्छिक प्रयोग से संबंधित तीन घटनाएँ हैं, तो सिद्ध कीजिए कि

$ \begin{aligned} P(A \cup B \cup C) & =P(A)+P(B)+P(C)-P(A \cap B)-P(A \cap C) \\ & -P(B \cap C)+P(A \cap B \cap C) \end{aligned} $

हल $E=B \cup C$ लें तो

$ \qquad \begin{aligned} P(A \cup B \cup C) & =P(A \cup E) \\ & =P(A)+P(E)-P(A \cap E) \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (1) \end{aligned} $

अब

$ \qquad \begin{aligned} P(E) & =P(B \cup C) \\ & =P(B)+P(C)-P(B \cap C) \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (2) \end{aligned} $

साथ ही $\quad A \cap E=A \cap(B \cup C)=(A \cap B) \cup(A \cap C)$ [समुच्चयों के प्रतिच्छेदन के संगति योग के गुण का उपयोग करते हुए]।

इसलिए

$ P(A \cap E)=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[(A \cap B) \cap(A \cap C)] $

$ \qquad\qquad\quad=P(A \cap B)+P(A \cap C)-P[A \cap B \cap C] \quad \quad \quad \quad \quad \ldots (3) $

(1) में (2) और (3) का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

$ \begin{aligned} P[A \cup B \cup C]= & P(A)+P(B)+P(C)-P(B \cap C) \\ & -P(A \cap B)-P(A \cap C)+P(A \cap B \cap C) \end{aligned} $

उदाहरण 12 एक रेले रेस में पांच टीम A, B, C, D और E हैं।

(a) A, B और C क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर खत्म हो जाए वाले प्रायिकता क्या है।

(b) A, B और C पहले तीन स्थानों में क्रम अपेक्षाकृत किसी भी क्रम में पहुँचे जाने की प्रायिकता क्या है? (मान लीजिए कि सभी समाप्ति क्रम समान संभावना वाले हैं)

हल यदि हम पहले तीन स्थानों में सभी समाप्ति क्रम के समान बर्बादी अंतर के सामने एक नमूना अंतर को लें, तो हमें ${ }^{5} P_3$, अर्थात $\dfrac{5 !}{(5-3) !}=5 \times 4 \times 3=60$ नमूना बिंदु मिलेंगे, जिनमें से प्रत्येक की प्रायिकता $\dfrac{1}{60}$ होगी।

(a) A, B और C क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर समाप्त होते हैं। इसके लिए केवल एक समाप्ति क्रम होता है, अर्थात $ABC$।

इसलिए $P(A, B$ और $C$ क्रमशः पहले, दूसरे और तीसरे स्थान पर खत्म हों $)=\dfrac{1}{60}$।

(b) A, B और C पहले तीन खत्मकर्ता हैं। $A, B$ और $C$ के लिए 3 ! व्यवस्थाएँ होंगी। इस घटना के संगत नमूना बिंदुओं की संख्या 3 ! होगी।

इसलिए $\quad P(A, B$ और $C$ पहले तीन खत्म हों $)=\dfrac{3 !}{60}=\dfrac{6}{60}=\dfrac{1}{10}$

अध्याय 14 पर अतिरिक्त अभ्यास

1. एक बॉक्स में $10$ लाल गेंद, $20$ नीली गेंद और $30$ हरी गेंद हैं। बॉक्स से $5$ गेंद निकाली जाती है, तो इसकी प्रायिकता क्या होगी

(i): सभी नीली होंगी?

(ii): कम से कम एक हरी होंगी?

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उत्तर :

कुल गेंदों की संख्या $=10+20+30=60$

$60$ गेंदों में से $5$ गेंद निकालने के तरीके $={ }^{60} C_5$

(i): यदि हम $20$ नीली गेंदों में से $5$ गेंद निकालते हैं तो सभी नीली गेंद होंगी।

$20$ नीली गेंदों में से $5$ गेंद निकालने के तरीके $={ }^{20} C_5$ हैं।

$\therefore \ \ $ सभी गेंद नीली होने की प्रायिकता $ =\dfrac{{ }^{20} C_5}{{ }^{60} C_5} $

(ii): निकाली गई गेंद ग्रीन नहीं होंगी इसके तरीके $={ }^{(20+10)} C_5={ }^{30} C_5$

$\therefore \ \ $ कोई भी गेंद ग्रीन नहीं होने की प्रायिकता $=\dfrac{{ }^{30} C_5}{{ }^{60} C_5}$

$\therefore \ \ $ कम से कम एक गेंद ग्रीन होने की प्रायिकता $ =1-\dfrac{{ }^{30} C_5}{{ }^{60} C_5} $

2. एक अच्छी ढंग से फैशन किए गए $52$ कार्ड के डेक से $4$ कार्ड निकाले जाते हैं। $3$ डायमंड और एक स्पेड प्राप्त करने की प्रायिकता क्या होगी?

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उत्तर :

$52$ कार्ड में से $4$ कार्ड निकालने के तरीके $={ }^{52} C_4$

$52$ कार्ड के डेक में $13$ डायमंड और $13$ स्पेड होते हैं।

$\therefore \ \ $ $3$ डायमंड और एक स्पेड निकालने के तरीके $={ }^{13} C_3 \times{ }^{13} C_1$

इसलिए, $3$ डायमंड और एक स्पेड प्राप्त करने की प्रायिकता $ =\dfrac{{ }^{13} C_3 \times{ }^{13} C_1}{{ }^{52} C_4} $

3. एक पासे के दो फलक पर संख्या $\mathbf{1}$ है, तीन फलक पर संख्या $\mathbf{2}$ है और एक फलक पर संख्या $\mathbf{3}$ है। यदि पासा एक बार फेंका जाता है, तो निर्धारित करें

(i): P(2)

(ii): P(1 या 3)

(iii): P( नहीं 3)

उत्तर दिखाएं

उत्तर :

कुल फलकों की संख्या $=6$

(i): संख्या 2 के साथ फेस $=3$

$\therefore \ \ P(2)=\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$

(ii): $P(1$ या 3 $)=P($ नहीं 2 $)=1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{2}$

(iii): संख्या 3 के साथ फेस $=1$

$\therefore \ \ P(3)=\dfrac{1}{6}$

इसलिए, $P(not 3)=1-P(3)=1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}$

4. एक निश्चित लॉटरी में $10,000$ टिकट बेचे जाते हैं और दस समान पुरस्कार दिए जाते हैं। आप खरीदते हैं तो एक पुरस्कार नहीं मिलने की प्रायिकता क्या है

(a) एक टिकट

(b) दो टिकट

(c) $10$ टिकट।

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Answer :

बेचे गए टिकट की कुल संख्या $=10,000$

पुरस्कार दिए गए $=10$

(i): यदि हम एक टिकट खरीदते हैं, तो

$P($ पुरस्कार लेना $)=\dfrac{10}{10000}=\dfrac{1}{1000}$

$\therefore \ \ P($ पुरस्कार नहीं लेना $)=1-\dfrac{1}{1000}=\dfrac{999}{1000}$

(ii): यदि हम दो टिकट खरीदते हैं, तो

निश्चित नहीं दिए गए टिकट की संख्या $=10,000-10=9990$

$P($ पुरस्कार नहीं लेना $)$ $ \dfrac{{ }^{9990} C_2}{{ }^{10000} C_2} $

(iii): यदि हम $10$ टिकट खरीदते हैं, तो

$P($ पुरस्कार नहीं लेना $)$ $ \dfrac{{ }^{9990} C _{10}}{{ }^{100000} C _{10}} $

5. 100 छात्रों में से, दो सेक्शन बनाए गए हैं जिनमें 40 और 60 छात्र हैं। आप और आपके दोस्त भी 100 छात्रों में से हैं, तो आपके दोनों के एक ही सेक्शन में प्रवेश करने की प्रायिकता क्या है?

(b) आपके दोनों के अलग-अलग सेक्शन में प्रवेश करने की प्रायिकता क्या है?

उत्तर दिखाएं

Answer :

मेरे दोस्त और मैं 100 छात्रों में से हैं।

100 छात्रों में से 2 छात्रों के चयन के कुल तरीके $={ }^{100} C_2$

(a) हम दोनों एक ही सेक्शन में प्रवेश करेंगे यदि हम दोनों 40 छात्रों में से हों या 60 छात्रों में से हों।

$\therefore \ \ $ हम दोनों एक ही सेक्शन में प्रवेश करने के तरीके $={ }^{40} C_2+{ }^{60} C_2$

$\therefore \ \ $ हम दोनों एक ही सेक्शन में प्रवेश करने की प्रायिकता

$ = \large\dfrac{{ }^{40}C_2 + { }^{60}C_2}{{ }^{100}C_2}= \large\dfrac{\large\dfrac{\lfloor{40}}{\lfloor{2}\lfloor{38}} + \large\dfrac{\lfloor{60}}{\lfloor{2}\lfloor{58}}}{\large\dfrac{\lfloor{100}}{{\lfloor{2}\lfloor{98}}}} = \dfrac{(39 \times 40 )+ (59 \times 60)}{99 \times 100} = \dfrac{17}{33} $

(ब) $P$ (हम अलग-अलग खंड में प्रवेश करते हैं)

$=1-P$ (हम एक ही खंड में प्रवेश करते हैं)

$ =1-\dfrac{17}{33}=\dfrac{16}{33} $

6. तीन अक्षर तीन व्यक्तियों को निर्देशित किए जाते हैं और उनके लिए एक विशेष विषय लिखा गया है, अक्षर यादृच्छिक रूप से विषयों में डाले जाते हैं ताकि प्रत्येक विषय में एक अक्षर ही हो। ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक अक्षर अपने सही विषय में होने की प्रायिकता।

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उत्तर :

मान लीजिए $L_1, L_2, L_3$ तीन अक्षर हैं और $E_1, E_2$, और $E_3$ उनके संगत विषय हैं।

तीन अक्षरों को तीन विषयों में डालने के 6 तरीके हैं। ये निम्नलिखित हैं:

$ \begin{aligned} & L_1 E_1, L_2 E_3, L_3 E_2 \\ & L_2 E_2, L_1 E_3, L_3 E_1 \\ & L_3 E_3, L_1 E_2, L_2 E_1 \\ & L_1 E_1, L_2 E_2, L_3 E_3 \\ & L_1 E_2, L_2 E_3, L_3 E_1 \\ & L_1 E_3, L_2 E_1, L_3 E_2 \end{aligned} $

कम से कम एक अक्षर के सही विषय में डाले जाने के 4 तरीके हैं।

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता है $\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}$.

7. $A$ और $B$ दो घटनाएं इस प्रकार हैं कि $P(A)=0.54, P(B)=0.69$ और $P(A \cap B)=0.35$। ज्ञात कीजिए

(i): $P(A \cup B)$

(ii): $P(A^{\prime} \cap B^{\prime})$

(iii): $P(A \cap B^{\prime})$

(iv): $P(B \cap A^{\prime})$

उत्तर दिखाएं

उत्तर :

दिया गया है $P(A)=0.54, P(B)=0.69, P(A \cap B)=0.35$

(i): हम जानते हैं कि $P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)$

$\therefore \ \ P(A \cup B)=0.54+0.69-0.35=0.88$

(ii): $A^{\prime} \cap B^{\prime}=(A \cup B)^{\prime}$ [डी मॉर्गन के नियम द्वारा]

$\therefore \ \ P(A^{\prime} \cap B^{\prime})=P(A \cup B)^{\prime}=1-P(A \cup B)=1-0.88=0.12$

(iii): $P(A \cap B^{\prime})=P(A)-P(A \cap B)$ $=0.54-0.35$ $=0.19$

(iv): हम जानते हैं कि $n(B \cap A^{\prime})=n(B)-n(A \cap B)$

$\Rightarrow \dfrac{n(B \cap A^{\prime})}{n(S)}=\dfrac{n(B)}{n(S)}-\dfrac{n(A \cap B)}{n(S)}$

$\therefore \ \ P(B \cap A^{\prime})=P(B)-P(A \cap B)$

$\therefore \ \ P(B \cap A^{\prime})=0.69-0.35=0.34$

8. एक कंपनी के कर्मचारियों में से 5 व्यक्ति चुने जाते हैं जो कंपनी के प्रबंधन समिति में उनका प्रतिनिधित्व करें। पांच व्यक्तियों के विवरण नीचे दिए गए हैं:

इस समूह से एक व्यक्ति यादृच्छिक रूप से चुना जाता है जो एक संबोधक के रूप में कार्य करे। इसकी क्या प्रायिकता है कि संबोधक एक पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होगा?

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उत्तर :

मान लीजिए $E$ वह घटना है जिसमें संबोधक एक पुरुष होगा और $F$ वह घटना है जिसमें संबोधक 35 वर्ष से अधिक आयु का होगा।

इस प्रकार, $P(E)=\dfrac{3}{5}$ और $P(F)=\dfrac{2}{5}$

केवल एक पुरुष जो 35 वर्ष से अधिक आयु का है, इसलिए

$P(E \cap F)=\dfrac{1}{5}$

हम जानते हैं कि $P(E \cup F)=P(E)+P(F)-P(E \cap F)$

$\therefore \ \ P(E \cup F)=\dfrac{3}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{1}{5}=\dfrac{4}{5}$

इसलिए, इसकी प्रायिकता कि संबोधक एक पुरुष या 35 वर्ष से अधिक आयु का होगा $\dfrac{4}{5}$ है।

9. यदि 0, 1, 3, 5 और 7 के अंकों से 4-अंकीय संख्याएँ यादृच्छिक रूप से बनाई जाती हैं जो 5000 से अधिक हों, तो एक संख्या के 5 से विभाज्य होने की क्या प्रायिकता है जब,

(i): अंक दोहराए जाते हैं?

(ii): अंकों का दोहराव नहीं किया जाता है?

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उत्तर :

(i): जब अंक दोहराए जाते हैं

चूंकि 5000 से अधिक 4-अंकीय संख्याएँ बनाई जाती हैं, तो बाएँ से दूसरा अंक 7 या 5 होता है।

शेष 3 स्थान कोई भी अंक 0, 1, 3, 5 या 7 से भरा जा सकता है क्योंकि अंकों का दोहराव अनुमत है।

$\therefore \ \ $ 5000 से अधिक 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या = $2 \times 5 \times 5 \times 5 - 1$ $=250-1=249$

[इस मामले में, 5000 की गणना नहीं की जाती है, इसलिए 1 घटाया जाता है]

एक संख्या 5 से विभाज्य होती है यदि उसके इकाई के स्थान पर अंक 0 या 5 हो।

$\therefore \ \ $ 5000 से अधिक 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या जो 5 से विभाज्य हों = $2 \times 5 \times 5 \times 2-1=100-1=99$

इसलिए, जब अंक दोहराए जाते हैं तो 5 से विभाज्य संख्या बनाने की प्रायिकता है $ =\dfrac{99}{249}=\dfrac{33}{83} $

(ii): जब अंकों की दोहराई नहीं होती

हजार के स्थान पर 5 या 7 दोनों में से कोई एक अंक रखा जा सकता है।

शेष 3 स्थान बचे हुए 4 अंकों में से कोई भी अंक रखे जा सकते हैं।

$\therefore \ \ $ 5000 से बड़ी 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $=2 \times 4 \times 3 \times 2$ $=48$

जब हजार के स्थान पर अंक 5 हो, तो इकाई के स्थान पर केवल 0 रखा जा सकता है और दहाई और सैकड़ा के स्थान पर बचे हुए 3 अंकों में से कोई दो अंक रखे जा सकते हैं।

$\therefore \ \ $ यहाँ, 5 से शुरू होने वाली 4-अंकीय संख्याओं की संख्या जो 5 से विभाज्य हों $=3 \times 2=6$

जब हजार के स्थान पर अंक 7 हो, तो इकाई के स्थान पर 0 या 5 दोनों में से कोई एक अंक रखा जा सकता है और दहाई और सैकड़ा के स्थान पर बचे हुए 3 अंकों में से कोई दो अंक रखे जा सकते हैं।

$\therefore \ \ $ यहाँ, 7 से शुरू होने वाली 4-अंकीय संख्याओं की संख्या जो 5 से विभाज्य हों $=1 \times 2 \times 3 \times 2=12$

$\therefore \ \ $ 5000 से बड़ी 4-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या जो 5 से विभाज्य हों $=6+12=18$

इसलिए, जब अंकों की दोहराई नहीं होती तो 5 से विभाज्य संख्या बनाने की प्रायिकता है $\dfrac{18}{48}=\dfrac{3}{8}$।

10. एक बैग के नंबर लॉक में 4 व्हील होते हैं, जिनमें से प्रत्येक दस अंकों के साथ लेबल किया गया है, अर्थात 0 से 9 तक। लॉक को चार अंकों के अनुक्रम द्वारा खोला जाता है जिनमें दोहराई नहीं होती। बैग को खोलने के अनुक्रम के सही अनुक्रम के बनाने की प्रायिकता क्या है?

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Answer :

नंबर लॉक में 4 व्हील होते हैं, जिनमें से प्रत्येक दस अंकों के साथ लेबल किया गया है, अर्थात 0 से 9 तक।

10 अंकों में से 4 अलग-अलग अंकों के चयन के तरीके $={ }^{10} C_4$

अब, 4 अलग-अलग अंकों के प्रत्येक संयोजन को 4 तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।

$\therefore \ \ $ अनुक्रम बिना दोहराई के 4 अंकों की संख्या $={ }^{10} C_4 \times\lfloor 4=\dfrac{\lfloor 10}{{\lfloor 4} \ {\lfloor{6}}} \times {\lfloor 4}=\dfrac{\lfloor 10}{\lfloor 6} =7 \times 8 \times 9 \times 10=5040.$

केवल एक संख्या है जो बर्तन को खोल सकती है।

इसलिए, आवश्यक प्रायिकता $\dfrac{1}{5040}$ है

सारांश

इस अध्याय में, हम प्रायिकता के अक्षितीय प्रकार के बारे में अध्ययन करते हैं। इस अध्याय के मुख्य विशेषताएँ निम्नलिखित हैं:

• संख्या: प्रयोग के नमूना अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय

• असंभव घटना: खाली समुच्चय

• निश्चित घटना: पूरा नमूना अंतरिक्ष

• संपूरक घटना या ‘नहीं घटना’: समुच्चय $A$ या $S - A$

• घटना $A$ या $B$: समुच्चय $A \cup B$

• घटना $A$ और $B$: समुच य $A \cap B$

• घटना $A$ और नहीं $B$: समुच्चय $A - B$

• परस्पर अपवाद घटना: यदि $A \cap B = \phi$ तो $A$ और $B$ परस्पर अपवाद घटनाएँ हैं

• पूर्ण एवं परस्पर अपवर्जी घटनाएँ: घटनाएँ $E_1, E_2, \ldots, E_n$ परस्पर अपवर्जी एवं पूर्ण कहलाती हैं यदि $E_1 \cup E_2 \cup \ldots \cup E_n=S$ एवं $E_i \cap E_j=\phi \forall i \neq j$

• प्रायिकता: नमूना बिंदु $\omega_i$ के साथ संगत संख्या $P(\omega_i)$ इस प्रकार होती है कि

  (i) $0 \leq P(\omega_i) \leq 1$

  ((ii) $\sum P(\omega_i)$ सभी $\omega_i \in S$ के लिए $=1$

  (iii) $P(A)=\sum P(\omega_i)$ सभी $\omega_i \in A$ के लिए। नंबर $P(\omega_i)$ को घटना $\omega_i$ की प्रायिकता कहते हैं

• समान संभावना वाले परिणाम: सभी परिणाम जिनकी संभावना समान हो

• एक घटना की संभावना: एक समाप्ति अंतरिक्ष के लिए जहां सभी परिणाम समान संभावना वाले हों, घटना की संभावना $P(A)=\dfrac{n(A)}{n(S)}$ होती है, जहां $n(A)=$ सेट $A$ में तत्वों की संख्या, $n(S)=$ सेट $S$ में तत्वों की संख्या है।

• यदि $A$ और $B$ कोई दो घटनाएं हैं, तो

  $ \begin{aligned} & P(A \text{ या } B)=P(A)+P(B)-P(A \text{ और } B) \\ & \text{ बराबरी से, } P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B) \end{aligned}

$

• यदि $A$ और $B$ परस्पर अपवादी हैं, तो $P(A$ या $B)=P(A)+P(B)$

• यदि $A$ कोई भी घटना है, तो

  $ P(\text{not A})=1-P(A) $

ऐतिहासिक टिप्पणी

प्रायिकता सिद्धांत जैसे कि अन्य कई गणित के शाखाओं के समान, व्यावहारिक विचारों से विकसित हुआ। इसकी उत्पत्ति 16 वीं शताब्दी में हुई जब एक इतालवी चिकित्सक और गणितज्ञ जेरोमे कार्डान (1501-1576) ने विषय पर पहली किताब “खेल के अवसरों की किताब” (Biber de Ludo Aleae) लिखी। यह किताब उनकी मृत्यु के बाद 1663 में प्रकाशित की गई।

1654 में, एक खेल के खिलाड़ी चैवलियर डे मेट्रे ने फ्रांस के प्रसिद्ध दार्शनिक और गणितज्ञ ब्लैज पास्कल (1623-1662) के पास एक निश्चित पासा समस्या के बारे में अपनी चिंता व्यक्त की। पास्कल इन समस्याओं में रुचि लेने लगे और उन्होंने प्रसिद्ध फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे डी फर्माट (1601-1665) के साथ चर्चा की। पास्कल और फर्माट दोनों ने समस्या को स्वतंत्र रूप से हल किया। इसके अलावा, पास्कल और फर्माट के अतिरिक्त, क्रिस्टियन ह्यूजेंस (1629-1665), एक डच गणितज्ञ, जे. बर्नूली (1654-1705), डी मोइवर (1667-1754), एक फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे लाप्लास (1749-1827), रूसी पी. एल. चे बिशेव (1821-1897), ए. ए. मार्कोव (1856-1922) और ए. एन. कोलमोगोरोव (1903-1987) ने संभावना सिद्धांत में उल्लेखनीय योगदान दिया। कोलमोगोरोव को संभावना के अक्षारिक सिद्धांत के लिए श्रेय दिया जाता है। उनकी किताब “संभावना के आधार” (1933 में प्रकाशित) में संभावना को एक समुच्चय फलन के रूप में परिचय दिया गया है और इसे एक क्लासिक माना जाता है।