“विभिन्न तत्वों के विविध रासायनिक व्यवहार के विस्तारपूर्वक अध्ययन के पीछे कारण इन तत्वों के परमाणुओं की आंतरिक संरचना में अंतर है।”

परमाणुओं के अस्तित्व के बारे में अधिकांश शुरुआती भारतीय और ग्रीक दार्शनिकों (ई.पू. 400) के समय से अनुमान लगाया गया है, जिनका मानना था कि परमाणु वस्तु के मूल निर्माण खंड हैं। उनका मानना था कि वस्तु के निरंतर विभाजन के परिणामस्वरूप परमाणु प्राप्त होंगे जो आगे विभाजित नहीं किए जा सकते हैं। ‘परमाणु’ शब्द के उत्पत्ति ग्रीक शब्द ‘a-tomio’ से हुई है, जिसका अर्थ है ‘काट न सके जाए वाला’ या ‘अविभाज्य’। इन प्राचीन विचारों केवल अनुमान थे और इन्हें प्रयोग के माध्यम से परीक्षण करने का कोई तरीका नहीं था। इन विचारों के लंबे समय तक विराम रहे और उन्नीसवीं शताब्दी के वैज्ञानिकों द्वारा फिर से जीवित किए गए।

मात्रा के परमाणु सिद्धांत को पहले से ज्ञात वैज्ञानिक आधार पर जॉन डाल्टन ने 1808 में प्रस्तुत किया गया था। जॉन डाल्टन एक ब्रिटिश शिक्षक थे। उनके सिद्धांत को डाल्टन के परमाणु सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जिसमें परमाणु को मात्रा के अंतिम कण के रूप में देखा जाता है (यूनिट 1)। डाल्टन के परमाणु सिद्धांत ने द्रव्यमान के संरक्षण के नियम, संगठन के स्थिर संघटन के नियम और अनेकानुपात के नियम की बहुत अच्छी व्याख्या कर सके। हालांकि, इस तिरस्कार के कई परीक्षणों के परिणामों की व्याख्या नहीं कर सका, उदाहरण के लिए, यह ज्ञात था कि ग्लास या एबोनाइट जैसी वस्तुएं रेशम या बाल आटे के साथ घर्षित करने पर विद्युत आवेशित हो जाती हैं।

इस इकाई में हम वैज्ञानिकों द्वारा नौंवी शताब्दी के अंत और दसवीं शताब्दी के शुरूआत में किए गए प्रयोगों के आधार पर शुरू करते हैं। इन प्रयोगों ने स्थापित किया कि परमाणु उपपरमाणु कणों, अर्थात इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन से बने होते हैं - एक अवधारणा जो डाल्टन की अवधारणा से बहुत अलग है।

2.1 उपपरमाणु कणों की खोज

परमाणु के संरचना के बारे में जानकारी गैसों के माध्यम से विद्युत धारा के प्रयोगों से प्राप्त की गई। इन परिणामों के बारे में चर्चा करने से पहले हमें आवेशित कणों के व्यवहार के लें एक मूल नियम को ध्यान में रखना आवश्यक है: “समान आवेश एक दूसरे को बर्बाद करते हैं और असमान आवेश एक दूसरे को आकर्षित करते हैं।”

2.1.1 इलेक्ट्रॉन की खोज

1830 में, माइकल फैराडे ने दिखाया कि यदि एक विद्युत अपघट्य के घोल में विद्युत धारा प्रवाहित की जाए, तो इलेक्ट्रोड पर रासायनिक प्रतिक्रियाएँ होती हैं, जिसके परिणामस्वरूप इलेक्ट्रोड पर पदार्थ के विमुक्ति और निकासी होती है। उन्होंने कुछ नियम निर्माण किए जो आप कक्षा XII में अध्ययन करेंगे। इन परिणामों ने विद्युत के कणीय प्रकृति की संकेत दिए।

1850 के मध्य भाग में कई वैज्ञानिक, मुख्य रूप से फैराडे, आंशिक रूप से वातावरण रिमूव किए गए ट्यूब में विद्युत विस्थापन के अध्ययन करने लगे, जिन्हें ऋजु विकिरण ट्यूब के रूप में जाना जाता है। यह चित्र 2.1 में दिखाया गया है। एक ऋजु विकिरण ट्यूब कांच से बना होता है जिसमें दो चादर धातु के पतले टुकड़े होते हैं, जिन्हें इलेक्ट्रोड कहा जाता है, जो इसमें सील किए गए होते हैं। गैसों के माध्यम से विद्युत विस्थापन केवल बहुत कम दबाव और बहुत उच्च वोल्टेज पर ही देखा जा सकता है। गैसों के दबाव को ग्लास ट्यूब के रिमूव करके समायोजित किया जा सकता है। जब इलेक्ट्रोड के बीच उच्च वोल्टेज लगाया जाता है, तो इलेकट्रोड के बीच एक कणों के धारा के बहाव के कारण धारा बहने लगती है, जो ट्यूब में ऋजु इलेक्ट्रोड (ऋजु धनात्मक इलेक्ट्रोड) से धनात्मक इलेक्ट्रोड (धनात्मक इलेक्ट्रोड) की ओर बहती है। इन्हें ऋजु विकिरण या ऋजु विकिरण कण कहा जाता है। इलेक्ट्रोड से धनात्मक इलेक्ट्रोड की ओर धारा के प्रवाह को और जांच करने के लिए धनात्मक इलेक्ट्रोड में एक छेद बनाकर इलेक्ट्रोड के पीछे फॉस्फोरस वाले पदार्थ जिंक सल्फाइड के साथ ट्यूब को ढक दिया जाता है। जब ये विकिरण धनात्मक इलेक्ट्रोड के माध्यम से गुजरकर जिंक सल्फाइड के परत पर प्रहार करते हैं, तो परत पर एक चमकदार बिंदु बनता है [चित्र 2.1 (b)]।

चित्र 2.1 (ब) एक छेदित एनोड के साथ कैथोड किरण विसरण ट्यूब

इन प्रयोगों के परिणाम नीचे सारांशित किए गए हैं।

(i) कैथोड किरणें कैथोड से शुरू होती हैं और एनोड की ओर चलती हैं।

(ii) ये किरणें आंतरिक रूप से दिखाई नहीं देती हैं, लेकिन उनके व्यवहार को विशेष प्रकार के सामग्री (प्रकाश उत्सर्जन या फोस्फोरस उत्सर्जन) की सहायता से देखा जा सकता है, जो इन किरणों से टकराने पर चमकती हैं। टेलीविज़न पिक्चर ट्यूब कैथोड किरण ट्यूब होते हैं और टेलीविज़न पिक्चर टेलीविज़न स्क्रीन पर विशिष्ट प्रकाश उत्सर्जन या फोस्फोरस उत्सर्जन सामग्री के कारण उत्पन्न होते हैं।

(iii) विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में, ये किरणें सीधी रेखा में चलती हैं (चित्र 2.2)।

(iv) विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में, कैथोड किरणों के व्यवहार नकारात्मक आवेशित कणों के व्यवहार के समान होता है, जिससे यह सुझाव देता है कि कैथोड किरणें नकारात्मक आवेशित कणों, जिन्हें इलेक्ट्रॉन कहते हैं, से बनी होती हैं।

(v) कैथोड किरणों (इलेक्ट्रॉनों) की विशिष्टताएँ इलेक्ट्रोड के मात्रा और कैथोड किरण ट्यूब में उपस्थित गैस की प्रकृति पर निर्भर नहीं करती।

इस प्रकार, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इलेक्ट्रॉन सभी परमाणुओं के मूल घटक हैं।

2.1.2 इलेक्ट्रॉन के आवेश और द्रव्यमान का अनुपात

1897 में, ब्रिटिश भौतिकविद् जे. जे. थॉमसन ने इलेक्ट्रॉन के आवेश $(e)$ के द्रव्यमान $\left(m_{e}\right)$ के अनुपात को मापा। इसके लिए उन्होंने एक विद्युत चालक ट्यूब का उपयोग किया और इलेक्ट्रॉन के पथ के लंबवत एक दूसरे के साथ विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के अनुप्रयोग के माध्यम से (चित्र 2.2)। जब केवल विद्युत क्षेत्र लगाया जाता है, तो इलेक्ट्रॉन अपने पथ से विचलित हो जाते हैं और विद्युत चालक ट्यूब के बिंदु A पर टकराते हैं (चित्र 2 बी)। इसी तरह, जब केवल चुंबकीय क्षेत्र लगाया जाता है, तो इलेक्ट्रॉन विद्युत चालक ट्यूब के बिंदु $\mathrm{C}$ पर टकराते हैं। विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के बल को ध्यानपूर्वक संतुलित करके, इलेक्ट्रॉन को विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की अनुपस्थिति में अपने पथ के बराबर पथ पर लाया जा सकता है और वे स्क्रीन पर बिंदु B पर टकराते हैं। थॉमसन ने तर्क दिया कि विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की उपस्थिति में कणों के पथ से विचलन की मात्रा निर्भर करती है:

(i) कण पर नकारात्मक चार्ज के मात्रा - कण पर चार्ज के मात्रा अधिक होने पर, विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र के साथ अंतरक्रिया अधिक होती है और अतः विक्षेपण अधिक होता है।

(ii) कण के द्रव्यमान - कण कम द्रव्यमान वाला हो, विक्षेपण अधिक होता है।

(iii) विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता - इलेक्ट्रॉन के मूल पथ से विक्षेपण की मात्रा इलेक्ट्रोडों के बीच वोल्टेज में वृद्धि या चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता में वृद्धि के साथ बढ़ती है।

थॉमसन द्वारा इलेक्ट्रॉनों द्वारा विद्युत क्षेत्र के बल या चुंबकीय क्षेत्र के बल के कारण अवमुक्त विक्षेपण की ठीक तरह से माप करके, उन्होंने $e / m_{\mathrm{e}}$ के मान को निर्धारित कर सके:

$\dfrac{e}{m_{e}}=1.758820 \times 10^{11} \mathrm{C} \mathrm{kg}^{-1}$

जहाँ $m_{\mathrm{e}}$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान को किलोग्राम (kg) में दर्शाता है और $e$ इलेक्ट्रॉन पर आवेश के मान को कूलॉम (C) में दर्शाता है। क्योंकि इलेक्ट्रॉन नकारात्मक आवेश वाले होते हैं, इलेक्ट्रॉन पर आवेश $-e$ होता है।

2.1.3 इलेक्ट्रॉन पर आवेश

रॉबर्ट ए. मिलिकन (1868-1953) ने एक विधि विकसित की, जिसे तेल के बूंद प्रयोग (1906-14) कहा जाता है, जिसके माध्यम से इलेक्ट्रॉन पर आवेश का निर्धारण किया गया। उन्होंने इलेक्ट्रॉन पर आवेश को $-1.6 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ निर्धारित किया। विद्युत आवेश के वर्तमान स्वीकृत मान $-1.602176 \times 10^{-19} \mathrm{C}$ है। इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $\left(m_{\mathrm{e}}\right)$ को इन परिणामों के साथ थॉमसन के $e / m_{e}$ अनुपात के मान के संयोजन से निर्धारित किया गया है।

$ \begin{aligned} \mathrm{m}_e & =\dfrac{e}{e / \mathrm{m}_e}=\dfrac{1.602176 \times 10^{-19} \mathrm{C}}{1.758820 \times 10^{11} \mathrm{C} \mathrm{~kg}^{-1}} \\

\end{aligned} $

$ \begin{align*} & =9.1094 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} \tag{2.2} \end{align*} $

चित्र 2.2 इलेक्ट्रॉन के आवेश और द्रव्यमान के अनुपात का निर्धारण करने के लिए उपकरण

2.1.4 प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की खोज

परिवर्तित कैथोड किरण ट्यूब में विद्युत विस्थापन के अध्ययन से धनावेशित कणों वाली कैनल किरणों की खोज की गई। इन धनावेशित कणों की विशेषताओं को नीचे सूचीबद्ध किया गया है।

(i) विद्युत ऋणात्मक किरणों के विपरीत, धनात्मक आवेशित कणों के द्रव्यमान का मूल्य विद्युत ऋणात्मक किरण ट्यूब में उपस्थित गैस की प्रकृति पर निर्भर करता है। ये केवल धनात्मक आवेशित गैसीय आयन होते हैं।

(ii) इन कणों के आवेश और द्रव्यमान के अनुपात का मूल्य उन कणों के उत्पति स्थान के गैस पर निर्भर करता है।

(iii) कुछ धनात्मक आवेशित कणों के आवेश मूलक वैद्युत आवेश के मूलक इकाई के गुणक के बराबर होता है।

(iv) इन कणों का व्यवहार चुंबकीय या विद्युत क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन या विद्युत ऋणात्मक किरणों के व्यवहार के विपरीत होता है।

सबसे छोटा और हल्का धनात्मक आयन हाइड्रोजन से प्राप्त किया गया था और इसे प्रोटॉन कहा जाता है। यह धनात्मक आवेशित कण 1919 में चरणित किया गया था। बाद में, परमाणु के एक संघटक के रूप में विद्युत रूप से उदासीन कण की उपस्थिति की आवश्यकता महसूस की गई। इन कणों की खोज चेडविक द्वारा 1932 में की गई थी, जब बेरिलियम की एक पतली शीट को $\alpha$-कणों से बमबार्ड किया गया था। जब विद्युत रूप से उदासीन कण निकले जो प्रोटॉन के द्रव्यमान से थोड़ा भारी थे। उन्होंने इन कणों को न्यूट्रॉन कहा। सभी इन मूल कणों के महत्वपूर्ण गुणों को तालिका 2.1 में दिया गया है।

मिल्लिकन के तेल के बूस्ट विधि

इस विधि में, एटोमाइजर द्वारा उत्पन्न तेल के बूस्ट के रूप में मिस्ट को विद्युत चालक एकलैंप के ऊपरी प्लेट में एक छोटे से छेद के माध्यम से प्रवेश करने की अनुमति दी गई। इन बूस्ट के नीचे की गति को टेलीस्कोप के माध्यम से देखा जाता है, जिसमें माइक्रोमीटर आई एपिसिस लगा होता है। इन बूस्ट के गिरने की दर को मापकर मिल्लिकन ने तेल के बूस्ट के द्रव्यमान को मापने की क्षमता प्राप्त की। कमरे के भीतर वायु को आयनित करने के लिए इसमें एक किरण किरण के बीम को पार कराया जाता है। इन तेल के बूस्ट पर वायु के आयनों के संघटन के कारण विद्युत आवेश हो जाता है। इन आवेशित तेल के बूस्ट के गिरने को धीमा करना, तेज करना या स्थिर करना बूस्ट के आवेश और प्लेट पर लगाए गए वोल्टेज के ध्रुवता और शक्ति के आधार पर निर्भर करता है। विद्युत क्षेत्र के तात्पर्य के प्रभाव को ध्यानपूर्वक मापकर मिल्लिकन ने निष्कर्ष निकाला कि बूस्ट पर विद्युत आवेश, $q$, हमेशा विद्युत आवेश, $\mathrm{e}$, के पूर्ण गुणक होता है, अर्थात, $q=n \mathrm{e}$, जहां $\mathrm{n}=1,2,3 \ldots$।

चित्र 2.3 मिलिकन के तेल के बूंद उपकरण आवेश ’e’ के मापन के लिए। कमरे में तेल के बूंद पर कार्य करने वाले बल हैं: गुरुत्वाकर्षण, विद्युत क्षेत्र के कारण विद्युत बल और जब तेल के बूंद गति करती है तब चिपचिपा बल।

2.2 परमाणु मॉडल

पिछले अनुच्छेदों में उल्लेखित प्रयोगों से प्राप्त अवलोकनों ने सुझाव दिया है कि डाल्टन के अपूर्व अणु के भीतर धनात्मक और नकारात्मक आवेश वाले उप-परमाणु कण होते हैं। उप-परमाणु कण के खोज के बाद वैज्ञानिकों के सामने मुख्य समस्याएं थीं:

• परमाणु के स्थायित्व को ध्यान में रखने के लिए,

• तत्वों के भौतिक और रासायनिक गुणों के आधार पर उनके व्यवहार की तुलना करने के लिए,

• विभिन्न परमाणुओं के संयोजन द्वारा विभिन्न प्रकार के अणुओं के निर्माण की व्याख्या करने के लिए,

• परमाणु द्वारा अवशोषित या उत्सर्जित विद्युत चुंबकीय विकिरण के उत्पत्ति और प्रकृति को समझने के लिए।

सारणी 2.1 मूल कणों के गुण

| नाम | प्रतीक | अमूक आवेश/सी | संपरिवर्ती आवेश | द्रव्यमान/किग्रा | द्रव्यमान/u | अनुमानित द्रव्यमान/u |

| :— | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | :—: | | इलेक्ट्रॉन | $\mathrm{e}$ | $-1.602176 \times 10^{-19}$ | -1 | $9.109382 \times 10^{-31}$ | 0.00054 | 0 | | प्रोटॉन | $\mathrm{p}$ | $+1.602176 \times 10^{-19}$ | +1 | $1.6726216 \times 10^{-27}$ | 1.00727 | 1 | | न्यूट्रॉन | $\mathrm{n}$ | 0 | 0 | $1.674927 \times 10^{-27}$ | 1.00867 | 1 |

इन आवेशित कणों के परमाणु में वितरण के बारे में समझाने के लिए विभिन्न परमाणु मॉडल प्रस्तावित किए गए थे। यद्यपि इन मॉडल में से कुछ परमाणु के स्थिरता के बारे में समझाने में असमर्थ रहे, लेकिन जे. जे. थॉमसन द्वारा प्रस्तावित और एरनेस्ट रदरफोर्ड द्वारा प्रस्तावित दो मॉडलों के बारे में नीचे चर्चा की जाएगी।

2.2.1 परमाणु के थॉमसन मॉडल

जे. जे. थॉमसन, 1898 में प्रस्तावित करते हैं कि एक परमाणु गोलाकार आकृति (त्रिज्या लगभग $10^{-10} \mathrm{~m}$ ) में होता है जहाँ धनात्मक आवेश समान रूप से वितरित होता है। इलेक्ट्रॉन इसमें ऐसी तरह स्थापित होते हैं जो स्थैतिक विद्युत व्यवस्था के सबसे स्थायी रूप को देते हैं (चित्र 2.4)। इस मॉडल के लिए कई अलग-अलग नाम उपलब्ध हैं, उदाहरण के लिए, प्लम पुडिंग, रेजीन पुडिंग या वाटरमेलोन।

चित्र 2.4 थॉमसन के परमाणु मॉडल

इस मॉडल को धनात्मक आवेश के पुडिंग या वाटरमेलोन के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें अम्ल या बीज (इलेक्ट्रॉन) लगे होते हैं। इस मॉडल की एक महत्वपूर्ण विशेषता यह है कि परमाणु के द्रव्यमान को परमाणु के सभी भागों में समान रूप से वितरित माना जाता है। हालांकि, इस मॉडल ने परमाणु की सामान्य उदासीनता की व्याख्या कर सकता था, लेकिन बाद के प्रयोगों के परिणामों के साथ सामंजस्य नहीं रखता था। थॉमसन को 1906 में भौतिक विज्ञान में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था, जिसके लिए उन्हें गैस द्वारा विद्युत के सं conduction के सिद्धांत और प्रयोगों पर अपने अनुसंधान के लिए चुना गया था।

अति उत्तर आधुनिक शताब्दी के द्वितीय आधा भाग में अलग-अलग प्रकार के किरणों की खोज की गई, जो पहले उल्लेखित किरणों के अतिरिक्त थे। विलहल्म रॉन्टजन (1845-1923) ने 1895 में दिखाया कि जब इलेक्ट्रॉन कैथोड किरण ट्यूब में एक वस्तु पर टकराते हैं, तो वे किरणें उत्पन्न होती हैं जो कैथोड किरण ट्यूब के बाहर रखे गए फ्लॉरेसेंट पदार्थ में फ्लॉरेसेंस उत्पन्न कर सकती हैं। क्योंकि रॉन्टजन इन किरणों की प्रकृति के बारे में अज्ञात थे, उन्होंने इन्हें $\mathrm{X}$-किरणें कहा और इस नाम का उपयोग अब भी जारी है। यह ध्यान दिया गया कि जब इलेक्ट्रॉन घन धातु एनोड पर टकराते हैं, तो एक्स-किरणें उत्पन्न होती हैं, जिन्हें लक्ष्य कहा जाता है। ये किरणें विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों द्वारा विक्षेपित नहीं होती हैं और वस्तुओं के माध्यम से बहुत उच्च प्रवेश क्षमता रखती हैं और इस कारण ये किरणें वस्तुओं के आंतरिक भाग के अध्ययन के लिए उपयोग की जाती हैं। ये किरणें बहुत छोटी तरंगदैर्ध्य $(\sim 0.1 \mathrm{~nm})$ वाली होती हैं और विद्युत-चुंबकीय प्रकृति की होती हैं (अनुच्छेद 2.3.1)।

हेन्री बेक्कुएरल (1852-1908) ने देखा कि कुछ तत्व स्वयं विकिरण उत्सर्जित करते हैं और इस घटना को रेडियोएक्टिवता कहा गया। इस क्षेत्र के विकास में मारिये क्यूरी, पियरे क्यूरी, रदरफोर्ड और फ्रेडरिक सॉडी शामिल रहे। यह देखा गया कि तीन प्रकार की किरणें उत्सर्जित होती हैं, अर्थात $\alpha, \beta-$ और $\gamma$-किरणें। रदरफोर्ड ने देखा कि $\alpha$-किरणें उच्च ऊर्जा वाले कणों से बनी होती हैं जो दो इकाइयों के धनात्मक आवेश और चार इकाइयों के परमाणु द्रव्यमान के साथ होते हैं। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि $\alpha$-कण नाभिकीय हीलियम के बराबर होते हैं क्योंकि जब $\alpha$ कण दो इलेक्ट्रॉन के साथ मिल जाते हैं तो हीलियम गैस बनती है। $\beta$-किरणें नकारात्मक आवेश वाली होती हैं

परमाणु के इलेक्ट्रॉन के समान कण होते हैं। $\gamma$-किरणें X-किरणों के समान उच्च ऊर्जा की विकिरण होती हैं, इनकी प्रकृति अकार्बनिक होती है और इनमें कण नहीं होते। लेखन शक्ति के अंतर में, $\alpha$-कण न्यूनतम होते हैं, फिर $\beta$-किरणें (जो $\alpha$-कण के 100 गुना होती हैं) और $\gamma$-किरणें (जो $\alpha$-कण के 1000 गुना होती हैं) होती हैं।

2.2.2 परमाणु के रदरफोर्ड के नाभिकीय मॉडल

रदरफोर्ड और उनके छात्र (हैंस जीगर और एरनस्ट मार्स्डेन) ने बहुत पतली स्वर्ण फोलियों पर $\alpha$-कणों के प्रहार किया। रदरफोर्ड के प्रसिद्ध $\alpha$-कण विक्षेपण प्रयोग को चित्र 2.5 में दर्शाया गया है। एक उच्च ऊर्जा वाले $\alpha$-कणों की धारा एक रेडियोएक्टिव स्रोत से एक पतली स्वर्ण फोलियों (मोटाई $~ 100 \mathrm{~nm}$) पर दिशात्मक की गई। यह पतली स्वर्ण फोलियों के चारों ओर एक वृत्ताकार फ्लॉरेसेंट जिंक सल्फाइड स्क्रीन लगी हुई थी। जब $\alpha$-कण इस स्क्रीन पर टकराते थे, तो उस बिंदु पर एक छोटी सी चमक उत्पन्न हो जाती थी।

चित्र 2.5 रदरफोर्ड के प्रकीर्णन प्रयोग का आरेखीय दृश्य। जब एक एल्फा $(\alpha)$ कणों की किरण एक पतले सोने के टुकड़े पर “निशाना साधा” जाता है, तो अधिकांश कण बिना कम असर के गुजर जाते हैं। कुछ कण, हालांकि, विक्षेपित हो जाते हैं।

प्रकीर्णन प्रयोग के परिणाम अपेक्षित से बहुत असामान्य थे। थॉमसन के परमाणु मॉडल के अनुसार, टुकड़े में प्रत्येक सोने के परमाणु के द्रव्यमान को पूरे परमाणु पर समान रूप से वितरित होना चाहिए था, और $\alpha$-कणों के पास ऐसे समान द्रव्यमान वितरण के माध्यम से सीधे गुजरने के पर्याप्त ऊर्जा होनी चाहिए थी। यह अपेक्षित था कि कण टुकड़े के माध्यम से गुजरते हुए केवल छोटे कोणों पर धीमा हो जाएं और दिशा बदल जाएं। यह प्रेक्षित किया गया कि:

(i) अधिकांश $\alpha$-कण गोल्ड फोइल के माध्यम से अप्रभावित रहकर गुजर गए।

(ii) $\alpha$-कणों के एक छोटा भाग छोटे कोणों पर मुड़ गए।

(iii) बहुत कम $\alpha$-कण $(\sim 1$ में 20,000$)$ वापस लौट आए, अर्थात लगभग $180^{\circ}$ के करीब मुड़ गए।

अवलोकन के आधार पर रदरफोर्ड ने परमाणु के संरचना के बारे में निम्नलिखित निष्कर्ष निकाले:

(i) परमाणु में अधिकांश स्थान खाली है क्योंकि अधिकांश $\alpha$-कण फोइल के माध्यम से अप्रभावित रहकर गुजर गए।

(ii) कुछ धनावेशित $\alpha$-कणों के विक्षेपण के बारे में बताया गया। विक्षेपण के कारण अत्यधिक प्रतिकर्षण बल होना आवश्यक है, जो दर्शाता है कि परमाणु के धनावेश के वितरण के बारे में थॉमसन के अनुमान के विपरीत, परमाणु के धनावेश केंद्रित एक बहुत छोटे आयतन में होता है जो धनावेशित $\alpha$-कणों को प्रतिकर्षित और विक्षेपित करता है।

(iii) रदरफोर्ड के गणनाओं ने दिखाया कि नाभिक द्वारा ठेले गए आयतन कुल परमाणु आयतन की तुलना में बहुत छोटा है। परमाणु की त्रिज्या लगभग $10^{-10} \mathrm{~m}$ है, जबकि नाभिक की त्रिज्या $10^{-15} \mathrm{~m}$ है। आकार में इस अंतर को समझने के लिए यह ध्यान रखें कि यदि

एक क्रिकेट बॉल नाभिक का प्रतिनिधित्व करता है, तो परमाणु की त्रिज्या लगभग $5 \mathrm{~km}$ होगी।

ऊपर के अवलोकन और निष्कर्ष के आधार पर रदरफोर्ड ने परमाणु के नाभिकीय मॉडल की अग्रिम प्रस्तावना की। इस मॉडल के अनुसार:

(i) परमाणु का धनावेश और अधिकांश द्रव्यमान बहुत छोटे क्षेत्र में घनत्वपूर्ण रूप से केंद्रित था। रदरफोर्ड द्वारा इस बहुत छोटे भाग को नाभिक कहा गया।

(ii) नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉन होते हैं जो नाभिक के चारों ओर उच्च गति के साथ वृत्ताकार पथों में घूमते हैं जिन्हें कक्षा कहते हैं। इस प्रकार रदरफोर्ड के परमाणु मॉडल सौर मंडल के समान है जहां नाभिक सूर्य की भूमिका निभाता है और इलेक्ट्रॉन घूमते ग्रहों की भूमिका निभाते हैं।

(iii) इलेक्ट्रॉन और नाभिक विद्युत आकर्षण बलों द्वारा बांधे रहते हैं।

2.2.3 परमाणु संख्या और द्रव्यमान संख्या

नाभिक पर धनावेश की उपस्थिति नाभिक में उपस्थित प्रोटॉन के कारण होती है। जैसा कि पहले स्थापित किया गया है, प्रोटॉन पर आवेश इलेक्ट्रॉन के आवेश के बराबर लेकिन विपरीत होता है। नाभिक में उपस्थित प्रोटॉन की संख्या परमाणु संख्या $(Z)$ के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन नाभिक में प्रोटॉन की संख्या 1 होती है, सोडियम परमाणु में यह 11 होती है, इसलिए उनकी परमाणु संख्या क्रमशः 1 और 11 होती है। विद्युत उदासीनता के रखरखाव के लिए, परमाणु में इलेक्ट्रॉन की संख्या प्रोटॉन की संख्या (परमाणु संख्या, $Z$) के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन परमाणु और सोडियम परमाणु में इलेक्ट्रॉन की संख्या क्रमशः 1 और 11 होती है।

$ \begin{array}{ccc} \text{परमाणु संख्या } (Z) & = & \text{परमाणु के नाभिक में प्रोटॉन की संख्या} \\ & & \text{ }\ & =& \text{ उदासीन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की संख्या} \\ & & \text{ (2.3)} \\ \end{array} $

नाभिक के धनात्मक आवेश के कारण प्रोटॉन होते हैं, जबकि नाभिक के द्रव्यमान प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के कारण होता है। जैसा कि पहले चर्चा की गई है, नाभिक में मौजूद प्रोटॉन और न्यूट्रॉन को एकत्रित रूप से न्यूक्लिऑन कहा जाता है।

परमाणु के कुल न्यूक्लिऑन की संख्या को परमाणु की द्रव्यमान संख्या (A) कहा जाता है।

मास संख्या (A) = प्रोटॉन की संख्या (Z) + न्यूट्रॉन की संख्या (n)

2.2.4 समस्थानिक एवं समस्थानिक

किसी भी परमाणु के संगठन को आम तत्व चिह्न $(\mathrm{X})$ के उपयोग द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसके बाएं ओर ऊपरी घटक के रूप में परमाणु द्रव्यमान संख्या (A) एवं नीचे ओर बाएं ओर परमाणु संख्या (Z) के रूप में दिखाया जाता है (अर्थात ${ }_{Z}^{A} X$)।

समस्थानिक वे परमाणु होते हैं जिनकी मास संख्या समान होती है लेकिन परमाणु संख्या अलग होती है, उदाहरण के लिए, $_6^{14} C$ एवं $_7^{14} ~N$। दूसरी ओर, परमाणु संख्या समान होती है लेकिन मास संख्या अलग होती है वे परमाणु समस्थानिक कहलाते हैं। अन्य शब्दों में (समीकरण 2.4 के अनुसार), स्पष्ट है कि समस्थानिकों के बीच अंतर नाभिक में उपस्थित न्यूट्रॉन की अलग-अलग संख्या के कारण होता है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन परमाणु के बारे में फिर से सोचें, 99.985% हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक प्रोटॉन होता है। इस समस्थानिक को प्रोटियम $\left( _1^1 H\right)$ कहा जाता है। बाकी प्रतिशत हाइड्रोजन परमाणु दो अन्य समस्थानिकों के रूप में होते हैं, जिसमें एक प्रोटॉन एवं एक न्यूट्रॉन वाला परमाणु ड्यूटेरियम $\left( _1^2 D, 0.015 %\right)$ कहलाता है एवं एक प्रोटॉन एवं दो न्यूट्रॉन वाला परमाणु ट्रिटियम $\left( _1^3 T\right)$ कहलाता है। यह बाद का समस्थानिक पृथ्वी पर अत्यंत छोटी मात्रा में पाया जाता है। अन्य आम रूप से पाए जाने वाले समस्थानिकों के उदाहरण हैं: 6 प्रोटॉन के साथ 6, 7 और 8 न्यूट्रॉन वाले कार्बन परमाणु $\left( _6^{12} C, _6^{13} C, _6^{14} C\right)$; 17 प्रोटॉन के साथ 18 और 20 न्यूट्रॉन वाले क्लोरीन परमाणु $\left( _{17}^{35} \mathrm{Cl}, _{17}^{37} Cl\right)$.

अंत में एक महत्वपूर्ण बिंदु बताना चाहिए कि आइसोटोप के संबंध में, परमाणु के रासायनिक गुण इलेक्ट्रॉन की संख्या पर निर्भर करते हैं, जो नाभिक में प्रोटॉन की संख्या द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। नाभिक में न्यूट्रॉन की संख्या एक तत्व के रासायनिक गुण पर बहुत कम प्रभाव डालती है। इसलिए, एक दिए गए तत्व के सभी आइसोटोप उस तत्व के समान रासायनिक व्यवहार दिखाते हैं।

समस्या 2.1

${ }_{35}^{80} \mathrm{Br}$ में प्रोटॉन, न्यूट्रॉन और इलेक्ट्रॉन की संख्या की गणना करें।

हल

इस मामले में, ${ }_{35}^{80} \mathrm{Br}, \mathrm{Z}=35, \mathrm{~A}=80$, विशिष्टता उदासीन है

प्रोटॉन की संख्या $=$ इलेक्ट्रॉन की संख्या $=Z=35$

न्यूट्रॉन की संख्या $=80-35=45$, (समीकरण 2.4)

समस्या 2.2

एक विशिष्टता में इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की संख्या क्रमशः 18, 16 और 16 है। विशिष्टता के उचित प्रतीक का निर्धारण करें।

हल

परमाणु संख्या प्रोटॉन की संख्या के बराबर होती है $=16$। तत्व सल्फर (S) है।

परमाणु द्रव्यमान संख्या $=$ प्रोटॉन की संख्या + न्यूट्रॉन की संख्या

$=16+16=32$

प्रकार उदासीन नहीं है क्योंकि प्रोटॉन की संख्या इलेक्ट्रॉन के बराबर नहीं है। यह एनियन (ऋणावेशित) है जिसका आवेश अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन के बराबर होता है $=18-16=2$। प्रतीक ${ }_{16}^{32} \mathrm{~S}^{2-}$ है।

नोट : प्रतीक ${ }_{\mathrm{Z}}^{\mathrm{A}} \mathrm{X}$ का उपयोग करने से पहले ज्ञात करें कि वस्तु उदासीन परमाणु, धनावेशित आयन (केटियन) या ऋणावेशित आयन (एनियन) है। यदि यह एक उदासीन परमाणु है, तो समीकरण (2.3) लागू होता है, अर्थात प्रोटॉन की संख्या $=$ इलेक्ट्रॉन की संख्या $=$ परमाणु क्रमांक। यदि वस्तु एक आयन है, तो ज्ञात करें कि प्रोटॉन की संख्या इलेक्ट्रॉन की संख्या से अधिक (धनावेशित आयन, धनावेशी) या कम (ऋणावेशित आयन, ऋणावेशी) है। न्यूट्रॉन की संख्या हमेशा $A-Z$ द्वारा दी जाती है, चाहे वस्तु उदासीन हो या आयन हो।

2.2.5 रदरफोर्ड मॉडल के तकलीफ

जैसा कि आप ऊपर सीख चुके हैं, परमाणु के रदरफोर्ड नाभिकीय मॉडल के लिए एक छोटे में खगोलीय प्रणाली के समान होता है, जहां नाभिक सूर्य की भूमिका निभाता है और इलेक्ट्रॉन ग्रहों की भूमिका निभाते हैं। जब कक्षीय भौतिकी को सूर्य प्रणाली पर लागू किया जाता है, तो यह दिखाता है कि ग्रह ग्रहों के सूर्य के चारों ओर निश्चित कक्षाओं में घूमते हैं। ग्रहों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल को व्यक्त करने वाला सूत्र $\left(G .\dfrac{m_{1} m_{2}}{r^{2}}\right)$ होता है, जहां $m_{1}$ और $m_{2}$ द्रव्यमान हैं, $r$ द्रव्यमानों के बीच दूरी है और $\mathrm{G}$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। यह सिद्धांत ग्रहों की कक्षाओं की भी ठीक-ठीक गणना कर सकता है और ये प्रयोगात्मक मापनों के साथ सहमत होती हैं।

सौर प्रणाली और परमाणु मॉडल के बीच समानता यह सुझाव देती है कि इलेक्ट्रॉन परमाणु के चारों ओर निश्चित कक्षाओं में घूमते हैं। इसके अतिरिक्त, इलेक्ट्रॉन और परमाणु के बीच कूलॉम बल $\left(\mathrm{k} q_{1} q_{2} / r^{2}\right.$ जहाँ $q_{1}$ और $q_{2}$ आवेश हैं, $r$ आवेशों के बीच दूरी है और $\mathrm{k}$ अनुपातिक स्थिरांक है) गुरुत्वाकर्षण बल के गणितीय रूप से समान है। हालांकि, जब कोई वस्तु एक कक्षा में गति करती है, तो यह त्वरण के अधीन रहती है चाहे वह एक स्थिर गति से कक्षा में घूम रही हो। इसलिए, परमाणु मॉडल में ग्रह जैसी कक्षाओं में घूमते इलेक्ट्रॉन त्वरित होते हैं। एमेक्सवेल के विद्युत चुंबकीय सिद्धांत के अनुसार, आवेशित कणों के त्वरण के कारण विद्युत चुंबकीय तरंग उत्सर्जित होती है (इस विशेषता ग्रहों के लिए नहीं होती है क्योंकि वे आवेशित नहीं होते)। इसलिए, एक कक्षा में घूमते इलेक्ट्रॉन तरंग उत्सर्जित करते हैं, जिसकी ऊर्जा इलेक्ट्रॉन की गति से आती है। इसलिए, कक्षा धीरे-धीरे छोटी होती जाएगी। गणना दर्शाती है कि इलेक्ट्रॉन को नाभिक में घूमने के लिए केवल $10^{-8} \mathrm{~s}$ का समय लगेगा। लेकिन यह घटना नहीं होती है। इसलिए, रदरफोर्ड मॉडल परमाणु के स्थायित्व को समझने में असमर्थ है। यदि इलेक्ट्रॉन की गति को क्लासिकल भौतिकी और विद्युत चुंबकीय सिद्धांत के आधार पर वर्णित किया जाए, तो आप पूछ सकते हैं कि इलेक्ट्रॉन की कक्षा में गति अपने अस्थिरता के कारण परमाणु के अस्थिरता के कारण हो रही है, तो क्यों इलेक्ट्रॉन को नाभिक के चारों ओर स्थिर रहने के लिए विचार किया जाए। यदि इलेक्ट्रॉन स्थिर रहते, तो घन नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच विद्युत आकर्षण इलेक्ट्रॉन को नाभिक की ओर खींच देता जो थॉमसन के परमाणु मॉडल के छोटे संस्करण के रूप में बनाता।

अन्य गंभीर दोष रदरफोर्ड मॉडल के हैं जो इलेक्ट्रॉनों के नाभिक के चारों ओर वितरण और इन इलेक्ट्रॉनों की ऊर्जा के बारे में कुछ नहीं कहता है।

2.3 परमाणु के बोहर मॉडल के लिए विकास

ऐतिहासिक रूप से, किरणों के पदार्थ के साथ अंतरक्रियाओं के अध्ययन से प्राप्त परिणाम परमाणु और अणुओं के संरचना के बारे में बहुत सारी जानकारी प्रदान करते हैं। नील्स बोहर ने इन परिणामों का उपयोग करके रदरफोर्ड द्वारा प्रस्तावित मॉडल को सुधारने में सक्षम रहे। दो विकास परमाणु के बोहर मॉडल के निर्माण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाए। ये निम्नलिखित थे:

(i) विद्युत चुम्बकीय विकिरण के द्विगुणी गुण, जिसका अर्थ यह है कि विकिरण तरंग जैसे और कण जैसे गुण दोनों रखते हैं, और

(ii) परमाणु स्पेक्ट्रम के संबंध में प्रयोगात्मक परिणाम।

पहले, हम विद्युत चुम्बकीय विकिरण के द्विगुणी प्रकृति पर चर्चा करेंगे। परमाणु स्पेक्ट्रम के संबंध में प्रयोगात्मक परिणाम के बारे में चर्चा अनुभाग 2.4 में होगी।

2.3.1 विद्युत चुम की तरंग प्रकृति

19 वीं सदी के मध्य भाग में, भौतिक विज्ञानियों ने गरम वस्तुओं द्वारा विकिरण के अवशोषण और उत्सर्जन के बारे में गहरी अध्ययन किया। इन्हें थर्मल विकिरण कहा जाता है। वे यह जानने की कोशिश करते रहे कि थर्मल विकिरण किससे बना होता है। अब यह एक बहुत ज्ञात तथ्य है कि थर्मल विकिरण विभिन्न आवृत्ति या तरंगदैर्ध्य के विद्युत चुम्बकीय तरंगों से बना होता है। यह एक संख्या के आधुनिक अवधारणाओं पर आधारित है, जो 19 वीं सदी के मध्य अज्ञात थे। थर्मल विकिरण के कानूनों के पहले सक्रिय अध्ययन 1850 के दशक में हुआ था और विद्युत चुम्बकीय तरंगों के सिद्धांत और तेजी से आवेशित आवेशित कणों द्वारा इन तरंगों के उत्सर्जन के सिद्धांत के विकास 1870 के प्रारंभिक दशक में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा किया गया था, जिसे बाद में हेनरिच हर्ट्ज द्वारा प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि किया गया था। यहां, हम विद्युत चुम्बकीय विकिरण के कुछ तथ्यों के बारे में सीखेंगे।

James Maxwell (1870) पहले चार्ज के शरीरों के बीच अंतरक्रिया और विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के व्यवहार के बारे में एक व्यापक व्याख्या देने वाले थे। उन्होंने सुझाव दिया कि जब विद्युत चार्जित कण त्वरित होते हैं, तो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक दूसरे के बर्बाद होते हैं और विस्तारित किये जाते हैं। ये क्षेत्र तरंगों के रूप में प्रसारित होते हैं जिन्हें विद्युत चुंबकीय तरंग या विद्युत चुंबकीय विकिरण कहा जाता है।

प्रकाश वह रूप है जो प्राचीन दिनों से जाना जाता है और इसकी प्रकृति के बारे में अनुमान दूर तक प्राचीन काल में चल रहे थे। पहले दिनों (न्यूटन) प्रकाश को कणों (कॉर्पसकुल) के बने होने का अनुमान लगाया जाता था। यह केवल 19 वीं शताब्दी में ही प्रकाश के तरंग प्रकृति की स्थापना हुई।

Maxwell एक बार फिर पहले बता दिए कि प्रकाश तरंगें आवेग वाले विद्युत और चुंबकीय गुणों से संबंधित होती हैं (चित्र 2.6)।

चित्र 2.6 एक विद्युतचुंबकीय तरंग के विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र संponent। ये संponent एक ही तरंगदैर्ध्य, आवृत्ति, चाल और आयाम के होते हैं, लेकिन वे दो परस्पर लंब तलों में झूलते हैं।

हालांकि, विद्युत चुम्बकीय तरंग के गति की प्रकृति जटिल है, लेकिन यहां हम केवल कुछ सरल गुणों की चर्चा करेंगे।

(i) आवर्त चार्ज के कारण उत्पन्न आवर्त विद्युत और चुम्बकीय क्षेत्र एक दूसरे के लंबवत होते हैं और दोनों तरंग के प्रसार की दिशा के लंबवत होते हैं। विद्युत चुम तरंग का सरल चित्र चित्र 2.6 में दिखाया गया है।

(ii) विद्युत चुम्बकीय तरंग ध्वनि तरंग या अन्य तरंगों के विपरीत माध्यम की आवश्यकता नहीं होती है और वे निर्वात में भी गति कर सकती हैं।

(iii) अब यह बहुत अच्छी तरह से स्थापित हो गई है कि विद्युत चुम्बकीय विकिरण के कई प्रकार होते हैं, जो एक दूसरे से तरंगदैर्घ्य (या आवृत्ति) में भिन्न होते हैं। ये विद्युत चुम्बकीय विकिरण के विस्तार को बताते हैं (चित्र 2.7)। विस्तार के विभिन्न क्षेत्रों के अलग-अलग नाम होते हैं। कुछ उदाहरण हैं: $10^{6} \mathrm{~Hz}$ के आसपास के रेडियो आवृत्ति क्षेत्र, जो प्रसार के लिए उपयोग किया जाता है; $10^{10} \mathrm{~Hz}$ के आसपास के माइक्रो तरंग क्षेत्र, जो रेडार के लिए उपयोग किया जाता है; $10^{13}$ $\mathrm{Hz}$ के आसपास के अवरक्त क्षेत्र, जो गर्मी के लिए उपयोग किया जाता है; $10^{16}$ $\mathrm{Hz}$ के आसपास के अल्ट्रावायलेट क्षेत्र, जो सूर्य के विकिरण का एक घटक होता है। $10^{15}$ $\mathrm{Hz}$ के आसपास के छोटे भाग को सामान्यतः दृश्य प्रकाश कहा जाता है। यह केवल यह भाग ही हमारी आंखों द्वारा देखा जा सकता है (या पता लगाया जा सकता है)। अदृश्य विकिरण के पता लगाने के लिए विशेष उपकरणों की आवश्यकता होती है। पानी में, विद्युत चुम्बकीय तरंगें

(iv) विभिन्न प्रकार के इकाइयों का उपयोग विद्युत चुंबकीय विकिरण को प्रस्तुत करने के लिए किया जाता है।

इन विकिरणों को आवृत्ति $(v)$ और तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ के गुणों द्वारा विशेषता रखा जाता है।

आवृत्ति (v) के लिए SI इकाई हर्ट्ज $\left(\mathrm{Hz}, \mathrm{s}^{-1}\right)$ है, जिसे हेनरिख हर्ट्ज के नाम पर रखा गया है। यह एक सेकंड में एक दिए गए बिंदु से गुजरने वाली तरंगों की संख्या को परिभाषित करता है।

तरंगदैर्ध्य के इकाइयाँ लंबाई के लिए होनी चाहिए और आप जानते हैं कि लंबाई की SI इकाई मीटर (m) है। चूंकि विद्युत चुंबकीय विकिरण बहुत छोटी तरंगदैर्ध्य वाले विभिन्न प्रकार के तरंगों से बने होते हैं, इसलिए छोटी इकाइयों का उपयोग किया जाता है। चित्र 2.7 में विभिन्न प्रकार के विद्युत चुंबकीय विकिरण दिखाए गए हैं जो एक दूसरे से तरंगदैर्ध्य और आवृत्ति में भिन्न होते हैं।

वैक्यूम में सभी प्रकार के विद्युत चुम्बकीय विकिरण, तरंगदैर्ध्य के अतिरिक्त, समान गति से चलते हैं, अर्थात $3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}(2.997925$ $\times 10^{8} \mathrm{~ms}^{-1}$, ठीक बोले तो)। इसे प्रकाश की गति कहते हैं और इसे ’ $c$ ’ चिन्ह द्वारा दर्शाया जाता है। प्रकाश की आवृत्ति $(v)$, तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ और गति (c) समीकरण (2.5) द्वारा संबंधित होते हैं।

$\text{c} = \nu \lambda$

चित्र 2.7 (a) विद्युत चुम्बकीय विकिरण का स्पेक्ट्रम। (b) दृश्य स्पेक्ट्रम। दृश्य क्षेत्र केवल पूरे स्पेक्ट्रम का एक छोटा हिस्सा है।

स्पेक्ट्रोस्कोपी में विशेष रूप से उपयोग किए जाने वाली अन्य सामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाली मात्रा वैवर्णिक संख्या $(\bar{v})$ है। यह इकाई लंबाई पर तरंगदैर्घ्य की संख्या को दर्शाती है। इसकी इकाइयाँ तरंगदैर्घ्य की इकाई के व्युत्क्रम होती हैं, अर्थात $\mathrm{m}^{-1}$ होती हैं। हालांकि, सामान्य रूप से उपयोग की जाने वाली इकाई $\mathrm{cm}^{-1}$ होती है (SI इकाई नहीं)।

समस्या 2.3

अखिल भारतीय रेडियो के विविध भारती स्टेशन, दिल्ली, 1,368 किलो हर्ट्ज (kHz) की आवृत्ति पर प्रसारण करता है। प्रसारक द्वारा उत्सर्जित विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तरंगदैर्घ्य की गणना कीजिए। यह विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम के किस भाग में स्थित है?

हल

$ \text { तरंगदैर्ध्य } \lambda=\dfrac{c}{v} $

जहाँ $\mathrm{c}$ वैद्युत-चुंबकीय विकिरण की विवेकी अवस्था में गति है और $v$ आवृत्ति है। दिए गए मानों को समावेश करते हुए, हमें प्राप्त होता है

$\lambda=\dfrac{c}{v}$

$=\dfrac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{1368 \mathrm{kHz}}$

$=\dfrac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{1368 \times 10^{3} \mathrm{~s}^{-1}}$

$=219.3 \mathrm{~m}$

यह एक विशिष्ट रेडियो तरंग तरंगदैर्ध्य है।

समस्या 2.4

दृश्य स्पेक्ट्रम की तरंगदैर्ध्य श्रेणी बैंगनी $(400 \mathrm{~nm})$ से लेकर लाल $(750 \mathrm{~nm})$ तक फैली हुई है। इन तरंगदैर्ध्यों को आवृत्ति में व्यक्त कीजिए $(\mathrm{Hz}) .\left(1 \mathrm{~nm}=10^{-9} \mathrm{~m}\right)$

हल

समीकरण 2.5 का उपयोग करके बैंगनी प्रकाश की आवृत्ति

$ \begin{aligned} & v=\dfrac{\mathrm{c}}{\lambda}=\dfrac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{400 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =7.50 \times 10^{14} \mathrm{~Hz} \end{aligned} $

लाल प्रकाश की आवृत्ति

$v=\dfrac{\mathrm{c}}{\lambda}=\dfrac{3.00 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{750 \times 10^{-9} \mathrm{~m}}=4.00 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$

दृश्य स्पेक्ट्रम की श्रेणी आवृत्ति इकाइयों में $4.0 \times 10^{14}$ से $7.5 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ तक है।

समस्या 2.5

5800 Å तरंगदैर्ध्य वाले पीले विकिरण के (a) तरंग संख्या और (b) आवृत्ति की गणना कीजिए।

हल

(a) तरंग संख्या की गणना $(\bar{v})$

$\lambda=5800 \mathring{A}=5800 \times 10^{-8} \mathrm{~cm}$

$ =5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m} $

$\bar{v}=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m}}$

$ =1.724 \times 10^{6} \mathrm{~m}^{-1} $

$ =1.724 \times 10^{4} \mathrm{~cm}^{-1} $

(b) आवृत्ति की गणना $(v)$

$ \bar{v}=\dfrac{\mathrm{c}}{\lambda}=\dfrac{3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{5800 \times 10^{-10} \mathrm{~m}}=5.172 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}

$

2.3.2 विद्युत चुम्बकीय विकिरण की कण प्रकृति: प्लैंक के क्वांटम सिद्धांत

कुछ प्रयोगात्मक घटनाएँ जैसे कि विवर्तन और विस्थापन विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तरंग प्रकृति द्वारा समझाई जा सकती हैं। हालांकि, निम्नलिखित अवलोकन विशेष रूप से 19 वीं सदी के विद्युत चुम के सिद्धांत (जिसे क्लासिकल भौतिकी के रूप में जाना जाता है) के साथ समझाई नहीं जा सकते थे:

(i) गरम वस्तुओं से विकिरण के उत्सर्जन की प्रकृति (काला-शरीर विकिरण)

(ii) विकिरण के आपतन से धातु सतह से इलेक्ट्रॉन के निकलना (फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव)

(iii) ठोसों की ऊष्माधारिता के परिवर्तन तापमान के फलन के रूप में[^1]

(iv) परमाणुओं के रेखीय स्पेक्ट्रम के साथ विशेष रूप से हाइड्रोजन के संदर्भ में।

इन घटनाओं से स्पष्ट होता है कि एक तंत्र केवल विच्छेदित मात्राओं में ऊर्जा ले सकता है। सभी संभावित ऊर्जाएं नहीं ली जा सकती या उत्सर्जित की जा सकती हैं।

ध्यान देने योग्य है कि उपरोक्त काल्पनिक विकिरण घटना के लिए पहली ठोस व्याख्या मैक्स प्लैंक द्वारा 1900 में दी गई थी। हम पहले इस घटना को समझने की कोशिश करेंगे, जो नीचे दिया गया है:

ऊष्मा वाले वस्तुएं विस्तृत तरंगदैर्ध्य के विद्युत चुम्बकीय विकिरण उत्सर्जित करते हैं। उच्च तापमान पर, विकिरण का एक महत्वपूर्ण भाग स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में होता है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है, छोटे तरंगदैर्ध्य (नीले प्रकाश) के विकिरण का अधिक भाग उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, जब लोहे की छड़ को एक उपकेंद्र में गरम किया जाता है, तो यह पहले धुंधला लाल बन जाती है और फिर तापमान बढ़ने के साथ-साथ धीरे-धीरे अधिक लाल बनती जाती है। जब इसे और गरम किया जाता है, तो उत्सर्जित विकिरण सफेद बन जाता है और तापमान बहुत उच्च हो जाने पर नीला बन जाता है। इसका अर्थ है कि एक निश्चित तापमान पर लाल विकिरण सबसे अधिक तीव्र होता है और नीले विकिरण की तीव्रता दूसरे तापमान पर होती है। इसका अर्थ है कि गरम वस्तु द्वारा उत्सर्जित विभिन्न तरंगदैर्ध्य के विकिरण की तीव्रता उसके तापमान पर निर्भर करती है। देर से 1850 के दशक तक यह ज्ञात था कि विभिन्न सामग्री से बने वस्तुएं जो विभिन्न तापमान पर रखे जाते हैं, विभिन्न मात्रा में विकिरण उत्सर्जित करते हैं। इसके अलावा, जब किसी वस्तु की सतह पर प्रकाश (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) आपतित होता है, तो विकिरण ऊर्जा का एक भाग आमतौर पर ऐसे रूप में परावर्तित होता है, एक भाग अवशोषित होता है और एक भाग इसके माध्यम से प्रसारित होता है। अवशोषण के अपूर्ण कारण यह है कि सामान्य वस्तुएं विकिरण के अवशोषक के रूप में अपूर्ण होती हैं। एक आदर्श वस्तु, जो सभी आवृत्तियों के विकिरण को एक समान रूप से उत्सर्जित और अवशोषित करती है, को काला शरीर कहा जाता है और ऐसी वस्तु द्वारा उत्सर्जित विकिरण को काला शरीर विकिरण कहा जाता है। व्यावहारिक रूप से, कोई भी ऐसी वस्तु नहीं मौजूद है। कार्बन ब्लैक काला शरीर के बहुत करीब होता है। काले शरीर की एक अच्छी भौतिक छवि एक छोटे छेद वाला एक कोष के रूप में होती है, जिसका कोई अन्य खोल नहीं होता। कोई भी किरण जो छेद में प्रवेश करती है, वह कोष की दीवारों द्वारा परावर्तित हो जाती है और अंत में दीवारों द्वारा अवशोषित हो जाती है। काला शरीर एक पूर्ण विकिरण उत्सर्जक भी होता है। इसके अलावा, काला शरीर अपने आसपास के वातावरण के साथ ऊष्मीय संतुलन में होता है। यह किसी भी दिए गए समय में अपने आसपास से अवशोषित ऊर्जा के समान मात्रा में ऊर्जा उत्सर्जित करता है। काले शरीर द्वारा उत्सर्जित विकिरण की मात्रा (विकिरण की तीव्रता) और इसकी स्पेक्ट्रल वितरण केवल इसके तापमान पर निर्भर करता है। एक निश्चित तापमान पर, विकिरण की तीव्रता तरंगदैर्ध्य के बढ़ने के साथ बढ़ती है, एक निश्चित तरंगदैर्ध्य पर अधिकतम मान प्राप्त करती है और फिर तरंगदैर्ध्य के बढ़ने के साथ घटती जाती है, जैसा कि चित्र 2.8 में दिखाया गया है। इसके अलावा, जब तापमान बढ़ता है, तो वक्र के अधिकतम बिंदु छोटे तरंगदैर्ध्य की ओर बदल जाते हैं। कई प्रयास किए गए हैं ताकि तरंगदैर्ध्य के फलन के रूप में विकिरण की तीव्रता का अनुमान लगाया जा सके।

चित्र 2.8 तरंगदैर्ध्य-ऊर्जा संबंध

चित्र 2.8 (a) काला शरीर

लेकिन उपरोक्त प्रयोग के परिणाम आपत्ति के आधार पर निरोध कर नहीं सके गए। मैक्स प्लैंक ने एक धारणा के आधार पर एक संतोषजनक संबंध प्राप्त किया कि विकिरण के अवशोषण और उत्सर्जन के उत्पन्न होते हैं जिसमें आवर्तक अवस्था यानी काला शरीर के दीवार के परमाणु होते हैं। उनकी आवर्तक आवृत्ति विद्युत चुंबकीय विकिरण के आवर्तक आवृत्ति से अंतर करते हुए बदल जाती है। प्लैंक ने मान लिया कि विकिरण को ऊर्जा के छोटे छोटे टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है। उन्होंने सुझाव दिया कि परमाणु और अणु केवल छोटे छोटे मात्राओं में ऊर्जा उत्सर्जित या अवशोषित कर सकते हैं और निरंतर रूप से नहीं। उन्होंने विद्युत चुंबकीय विकिरण के रूप में उत्सर्जित या अवशोषित किए जा सकने वाले सबसे छोटे ऊर्जा मात्रा के नाम क्वांटम दिया। विकिरण की ऊर्जा $(E)$ उसकी आवृत्ति $(v)$ के समानुपाती होती है और समीकरण (2.6) द्वारा व्यक्त की जाती है।

$E=h v $

अनुपातिकता स्थिरांक, ’ $h$ ’ को प्लैंक स्थिरांक के रूप में जाना जाता है और इसका मान $6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}$ होता है।

इस सिद्धांत के साथ, प्लैंक ने काल्पनिक शरीर से उत्सर्जित विकिरण के तीव्रता के वितरण को तापमान के अलग-अलग मानों के आवृत्ति या तरंगदैर्ध्य के फलन के रूप में समझाने में सक्षम रहे।

क्वांटीकरण को एक स्टेशन के ऊपर खड़े होने के रूप में तुलना की गई है। एक व्यक्ति को स्टेशन के किसी भी स्टेप पर खड़े होने की अनुमति होती है, लेकिन उसे दो स्टेप के बीच खड़े होने की अनुमति नहीं होती। ऊर्जा केवल निम्नलिखित सेट के किसी एक मान ले सकती है, लेकिन उसके बीच के किसी भी मान को नहीं ले सकती।

$E = 0, hv, 2hv, 3hv….nhv…..$

चित्र 2.9 फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव के अध्ययन के उपकरण। एक निश्चित आवृत्ति के प्रकाश के टूक एक साफ़ धातु सतह पर एक वैक्यूम चैंबर में प्रहार करते हैं। इलेक्ट्रॉन धातु से बाहर निकलते हैं और एक डिटेक्टर द्वारा गिने जाते हैं जो उनकी किणारी ऊर्जा मापता है।

मैक्स प्लैंक (1858-1947)

मैक्स प्लैंक, एक जर्मन भौतिक विज्ञानी, 1879 में म्यूनिख विश्वविद्यालय से सैद्धांतिक भौतिकी में फ़िलॉसोफ़ी डॉक्टर की डिग्री प्राप्त करते हैं। 1888 में वह बर्लिन विश्वविद्यालय के सैद्धांतिक भौतिकी संस्थान के निर्देशक के रूप में नियुक्त किये गए। प्लैंक को 1918 में उनके क्वांटम सिद्धांत के लिए भौतिक विज्ञान में नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया। प्लैंक ने थर्मोडाइनामिक्स और भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में भी महत्वपूर्ण योगदान दिये।

फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव

(i) इलेक्ट्रॉन तत्व के सतह से तत्काल बाहर निकलते हैं जैसे ही प्रकाश की किरण सतह पर प्रहार करती है, अर्थात् प्रकाश की किरण के प्रहार और इलेक्ट्रॉन के तत्व सतह से बाहर निकलने के बीच कोई समय लगातार नहीं होता।

(ii) निकले हुए इलेक्ट्रॉन की संख्या प्रकाश की तीव्रता या चमक के समानुपाती होती है।

(iii) प्रत्येक धातु के लिए एक विशिष्ट न्यूनतम आवृत्ति, $v_{0}$ (जिसे श्वाभिक आवृत्ति के रूप में भी जाना जाता है) होती है, जहां तक कि प्रकाश वैद्युत प्रभाव नहीं दिखाई देता। आवृत्ति $v>v_{0}$ के लिए, निकले हुए इलेक्ट्रॉन कुछ गतिज ऊर्जा के साथ बाहर निकलते हैं। इन इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा प्रकाश की आवृत्ति के बढ़ने के साथ बढ़ती जाती है।

ऊपर के सभी परिणाम के क्लासिकल भौतिकी के नियमों के आधार पर समझा नहीं जा सकता था। अनुसार, प्रकाश के किरण के ऊर्जा सामग्री प्रकाश की चमक पर निर्भर करती है। अन्य शब्दों में, उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की संख्या और उनसे संबंधित किणेटिक ऊर्जा प्रकाश की चमक पर निर्भर करनी चाहिए। यह देखा गया है कि अलबत्ता उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की संख्या प्रकाश की चमक पर निर्भर करती है, लेकिन उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की किणेटिक ऊर्जा नहीं। उदाहरण के लिए, कोई भी चमक (क्षमता) के लाल प्रकाश $\left[v=(4.3\right.$ से 4.6 $\left.) \times 10^{14} \mathrm{~Hz}\right]$ कई घंटे तक पोटैशियम धातु के टुकड़े पर चमक सकता है लेकिन कोई भी फोटोइलेक्ट्रॉन उत्सर्जित नहीं होता। लेकिन, जैसे ही एक बहुत कम शक्ति वाला पीला प्रकाश $\left(v=5.1-5.2 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}\right)$ पोटैशियम धातु पर चमकता है, तो फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव देखा जाता है। पोटैशियम धातु के लिए श्वेत आवृत्ति $\left(v_{0}\right)$ $5.0 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ होती है।

तालिका 2.2 कुछ धातुओं के कार्य फलन के मान $\left(W_{0}\right)$

ईन्स्टीन (1905) ने विद्युत चालकता के प्रकाश विद्युत प्रभाव को समझने में प्लैंक के विद्युत चुंबकीय विकिरण के क्वांटम सिद्धांत को आधार बनाकर सफलता प्राप्त की।

अल्बर्ट ईन्स्टीन (1879–1955)

अल्बर्ट आइंस्टीन, एक जर्मन जनजाति के अमेरिकी भौतिकविद, दुनिया के दो बड़े भौतिकविदों में से एक के रूप में माने जाते हैं (दूसरा आइजैक न्यूटन है)। उनके तीन शोध पेपर (विशेष सापेक्षता, ब्राउनियन गति और फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव) जो वे 1905 में लिखे थे, जब वे स्विट्जरलैंड के बर्न में एक स्विस पेटेंट ऑफिस में तकनीकी सहायक के रूप में काम कर रहे थे, ने भौतिक विज्ञान के विकास में गहरा प्रभाव डाला। उन्हें 1921 में फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव की व्याख्या के लिए भौतिक विज्ञान के नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया था।

एक धातु सतह पर प्रकाश की किरण किरण के रूप में एक बीम को चमकाना, इसलिए, एक बीम के कणों के रूप में एक बीम के फोटॉन के रूप में देखा जा सकता है। जब एक पर्याप्त ऊर्जा वाला फोटॉन धातु के परमाणु के इलेक्ट्रॉन पर प्रहार करता है, तो यह इलेक्ट्रॉन को टकराव के दौरान तत्काल ऊर्जा स्थानांतरित कर देता है और इलेक्ट्रॉन को बिना किसी समय अंतर या देरी के निकाल देता है। फोटॉन द्वारा विशिष्ट ऊर्जा अधिक होने पर, इलेक्ट्रॉन को स्थानांतरित ऊर्जा अधिक होगी और निकाले गए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर अधिक होगी। अन्य शब्दों में, निकाले गए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा विद्युत चुंबकीय विकिरण की आवृत्ति के समानुपाती होती है। चूंकि प्रहार करने वाला फोटॉन ऊर्जा के रूप में $h v$ के बराबर होता है और इलेक्ट्रॉन को निकालने के लिए न्यूनतम ऊर्जा $h v_0$ (जिसे कार्य फंक्शन कहा जाता है, $\mathrm{W}_0$; तालिका 2.2) होती है, तो ऊर्जा के अंतर $\left(h v-h v_0\right)$ फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा के रूप में स्थानांतरित होता है। ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, निकाले गए इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा समीकरण 2.7 द्वारा दी गई है।

$$ h v=h v_{0}+\dfrac{1}{2} m_{\mathrm{e}} \mathrm{v}^{2} $$

जहाँ $m_{\mathrm{e}}$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान तथा $v$ उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन के संगत वेग है। अंत में, एक अधिक तीव्र विकिरण की किरण बहुत सारे फोटॉनों से बनी होती है, अतः इलेक्ट्रॉनों की उत्सर्जन संख्या भी एक कम तीव्रता वाली किरण के उपयोग वाले प्रयोग की तुलना में अधिक होती है।

विद्युत चुंबकीय तरंग का द्विगुणी व्यवहार

प्रकाश के कणीय व्यवहार वैज्ञानिकों के लिए एक समस्या बन गया। एक ओर, यह ब्लैक बॉडी विकिरण तथा फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव को संतुलित रूप से समझ सकता था, लेकिन दूसरी ओर, यह पहले से ज्ञात तरंग व्यवहार के साथ संगत नहीं रहता था जो विस्थापन तथा विवर्तन जैसे घटनाओं को समझ सकता था। समस्या को हल करने का एकमात्र तरीका यह था कि विद्युत चुंबकीय तरंग के दोनों कणीय तथा तरंग विशिष्ट गुण होने की अवधारणा को स्वीकृत कर लें, अर्थात विद्युत चुं बकीय तरंग के द्विगुणी व्यवहार होता है। प्रयोग के अनुसार, हम देखते हैं कि विद्युत चुंबकीय तरंग या तो तरंग के रूप में या कणों के एक प्रवाह के रूप में व्यवहार करती है। जब विकिरण पदार्थ के साथ अंतरक्रिया करती है, तो यह कणीय गुण दिखाती है, जो विस्थापन तथा विवर्तन जैसे घटनाओं के लिए तरंग गुण के विपरीत है जो विकिरण के प्रसार के दौरान दिखाई देते हैं। यह अवधारणा वैज्ञानिकों द्वारा पदार्थ तथा विकिरण के बारे में अपने विचारों के विपरीत थी तथा इसकी वैधता के लिए उन्हें लंबा समय लगा। आपको बाद में देखने के लिए, यह बात यह है कि कुछ माइक्रोस्कोपिक कण जैसे इलेक्ट्रॉन भी इस तरंग-कण द्विगुणी व्यवहार को दिखाते हैं।

समस्या 2.6

आवृत्ति $5 \times 10^{14}$ $\mathrm{Hz}$ के विकिरण के एक मोल फोटॉन की ऊर्जा गणना कीजिए।

हल

एक फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ निम्न व्यंजक द्वारा दी जाती है:

$E=h v$

$h=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}$

$v=5 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}$ (दिया गया)

$E=\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right) \times\left(5 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right)$

$=3.313 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

एक मोल फोटॉन की ऊर्जा

$=\left(3.313 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right) \times\left(6.022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}\right)$

$=199.51 \mathrm{~kJ} \mathrm{~mol}^{-1}$

समस्या 2.7

एक 100 वाट के बल्ब के द्वारा उत्सर्जित एकल रंग वाले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $400 \mathrm{~nm}$ है। बल्ब द्वारा प्रति सेकंड उत्सर्जित फोटॉन की संख्या की गणना करें।

हल

बल्ब की शक्ति $=100$ वाट

$ =100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1} $

एक फोटॉन की ऊर्जा $E=h \nu=h c / \lambda$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{400 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =4.969 \times 10^{-19} \mathrm{~J} `

\end{aligned} $

फोटॉनों की संख्या उत्सर्जित

$ \dfrac{100 \mathrm{~J} \mathrm{~s}^{-1}}{4.969 \times 10^{-19} \mathrm{~J}}=2.012 \times 10^{20} \mathrm{~s}^{-1} $

समस्या 2.8

तरंगदैर्घ्य $300 \mathrm{~nm}$ के विद्युत चुंबकीय विकिरण के ताप नात्रिय के सतह पर पहुंचने पर, सोडियम के इलेक्ट्रॉन उत्सर्जित होते हैं जिनकी गतिज ऊर्जा $1.68 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$ होती है। सोडियम से एक इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए न्यूनतम ऊर्जा क्या है? एक फोटोइलेक्ट्रॉन को उत्सर्जित करने वाली अधिकतम तरंगदैर्घ्य क्या है?

हल

एक $300 \mathrm{~nm}$ फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ निम्नलिखित द्वारा दी गई है

$ \begin{aligned} h n & =h \mathrm{c} / \lambda \\ & =\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{300 \times 10^{-9} \mathrm{~m}} \\ & =6.626 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $

एक मोल फोटॉन की ऊर्जा

$=6.626 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \times 6.022 \times 10^{23} \mathrm{~mol}^{-1}$

$=3.99 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

नैत्रियम से एक मोल इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा

$=(3.99-1.68) 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

$=2.31 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}$

एक इलेक्ट्रॉन के लिए न्यूनतम ऊर्जा

$=\dfrac{2.31 \times 10^{5} \mathrm{~J} \mathrm{~mol}^{-1}}{6.022 \times 10^{23} \text { electrons } \mathrm{mol}^{-1}}$

$=3.84 \times 10^{-19} \mathrm{~J}$

इसके अनुरूप तरंगदैर्ध्य है

$\therefore \lambda=\dfrac{h c}{E}$

$ \begin{aligned} & =\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s} \times 3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{3.84 \times 10^{-19} \mathrm{~J}} \\

& =517 \mathrm{~nm} \end{aligned} $

(यह हरे रंग के प्रकाश के संगत है)

समस्या 2.9

एक धातु के लिए श्वाभिक आवृत्ति $v_{0}$ $7.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}$ है। जब आवृत्ति $v=1.0 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}$ के विकिरण के संपर्क में आता है तो उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की कार्यशक्ति की गणना कीजिए।

हल

ईन्स्टीन के समीकरण के अनुसार

कार्यशक्ति $=1 / 2 m_{\mathrm{e}} \mathrm{v}^{2}=h\left(v-v_{0}\right)$

$ \begin{aligned} & =\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right)\left(1.0 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}-7.0\times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right) \\

$$ \begin{aligned} & =\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right)\left(10.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}-7.0\times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}\right) \times\left(3.0 \times 10^{14} \mathrm{~s}^{-1}\right) \\ & =1.988 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $$

2.3.3 इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्तरों के क्वांटाइज के प्रमाण: परमाणु विपरीत

प्रकाश की गति माध्यम की प्रकृति पर निर्भर करती है। इस कारण, प्रकाश की किरण एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाने पर अपने मूल पथ से विचलित या अपवर्तित हो जाती है। यह देखा गया है कि जब एक सफेद प्रकाश की किरण प्रिज्म में गुजरती है, तो छोटी तरंगदैर्ध्य वाली तरंग लंबी तरंगदैर्ध्य वाली तरंग की तुलना में अधिक विचलित होती है। चूंकि सामान्य सफेद प्रकाश दृश्य सीमा में सभी तरंगदैर्ध्यों के तरंगों से बना होता है, एक सफेद प्रकाश की किरण एक श्रृंखला के रंगीन बैंड में फैल जाती है जिन्हें स्पेक्ट्रम कहते हैं। लाल रंग जो सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य वाला होता है, सबसे कम विचलित होता है जबकि बैंगनी रंग जो सबसे छोटी तरंगदैर्ध्य वाला होता है, सबसे अधिक विचलित होता है। हम देख सकते हैं कि सफेद प्रकाश के स्पेक्ट्रम की श्रेणी $7.50 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ के बैंगनी से लेकर $4 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}$ के लाल तक होती है। ऐसा स्पेक्ट्रम लगातार स्पेक्ट्रम कहलाता है। लगातार क्योंकि बैंगनी नीले में बर्बाद हो जाती है, नीला हरे में बर्बाद हो जाता है आदि। जब आकाश में बारिश के दौरान एक बारिश के बाद एक चमगादड़ बनता है तो एक ऐसा स्पेक्ट्रम उत्पन्न होता है। याद रखें कि दृश्य प्रकाश विद्युत चुंबकीय विकिरण के केवल एक छोटे भाग ही होता है (चित्र 2.7)। जब विद्युत चुंबकीय विकिरण पदार्थ के साथ अंतरक्रिया करता है, तो परमाणु और अणु ऊर्जा अवशोषित कर सकते हैं और उच्च ऊर्जा अवस्था में पहुंच सकते हैं। उच्च ऊर्जा में ये अस्थायी अवस्था में होते हैं। अपनी सामान्य (अधिक स्थायी, कम ऊर्जा अवस्था) अवस्था में वापस आने के लिए परमाणु और अणु विद्युत चुंबकीय स्पेक्ट्रम के विभिन्न क्षेत्रों में विकिरण उत्सर्जित करते हैं।

उत्सर्जन एवं अवशोषण स्पेक्ट्रम

एक पदार्थ द्वारा ऊर्जा अवशोषित करके उत्सर्जित विकिरण के स्पेक्ट्रम को उत्सर्जन स्पेक्ट्रम कहते हैं। परमाणु, अणु या आयन जो विकिरण अवशोषित करते हैं, “उत्सूचित” कहलाते हैं। एक नमूने में ऊर्जा के आपूर्ति के लिए इसे गरम करके या विकिरण द्वारा उत्सर्जित करके उत्सर्जित विकिरण की तरंगदैर्घ्य (या आवृत्ति) को नोट किया जाता है, जब नमूना अवशोषित ऊर्जा को छोड़ देता है।

एक अवशोषण स्पेक्ट्रम एक उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के फोटोग्राफिक नकारात्मक के समान होता है। एक विकिरण के बरकरार अवतरण को एक नमूने के माध्यम से गुजारा जाता है जो कुछ तरंगदैर्घ्यों के विकिरण को अवशोषित करता है। वस्तु द्वारा अवशोषित विकिरण के संगत अंतर्वर्ती तरंगदैर्घ्य के अभाव के कारण चमकदार बरकरार स्पेक्ट्रम में काले अंतर बन जाते हैं।

अवशोषण या उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के अध्ययन को स्पेक्ट्रोस्कोपी कहते हैं। ऊपर चर्चा किए गए दृश्य प्रकाश के स्पेक्ट्रम, एक लगातार वितरण था क्योंकि स्पेक्ट्रम में लाल से बैंगनी तक सभी तरंगदैर्ध्यों का प्रतिनिधित्व होता है। दूसरी ओर, गैस अवस्था में परमाणुओं के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में लाल से बैंगनी तक एक लगातार तरंगदैर्ध्य का वितरण नहीं होता, बल्कि वे केवल विशिष्ट तरंगदैर्ध्यों पर प्रकाश उत्सर्जित करते हैं जिनके बीच काले अंतराल होते हैं। ऐसे स्पेक्ट्रम को रेखा स्पेक्ट्रम या परमाणु स्पेक्ट्रम कहते हैं क्योंकि स्पेक्ट्रम में चमकदार रेखाओं के उपस्थिति द्वारा उत्सर्जित विकिरण की पहचान की जाती है (चित्र 2.10, पृष्ठ 45)।

लाइन उत्सर्जन स्पेक्ट्रम इलेक्ट्रॉनिक संरचना के अध्ययन में बहुत रुचि के कारण है। प्रत्येक तत्व के अपने विशिष्ट लाइन उत्सर्जन स्पेक्ट्रम होते हैं। परमाणु स्पेक्ट्रम में विशिष्ट रेखाएँ रसायनिक विश्लेषण में अज्ञात परमाणुओं की पहचान के लिए उपयोग की जाती हैं, जैसे कि आंखों के अक्षर लोगों की पहचान के लिए उपयोग किए जाते हैं। एक ज्ञात तत्व के परमाणुओं के उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की रेखाओं के सटीक मेल अज्ञात नमूने की रेखाओं से तेजी से उसकी पहचान स्थापित करता है। जर्मन रसायनज्ञ, रॉबर्ट बंसन (1811-1899) लाइन स्पेक्ट्रम के उपयोग से तत्वों की पहचान के लिए पहले अन्वेषकों में से एक थे।

एलिमेंट्स जैसे रबीडियम $(\mathrm{Rb})$, सीजियम ($\mathrm{Cs}$ ) थैलियम (Tl), इंडियम (In), गैलियम (Ga) और स्कैंडियम (Sc) अपने मिनरल के विश्लेषण द्वारा स्पेक्ट्रोस्कोपिक विधियों के द्वारा खोजे गए थे। तत्व हीलियम $(\mathrm{He})$ सूर्य में स्पेक्ट्रोस्कोपिक विधि द्वारा खोजा गया था।

चित्र 2.10 (a) परमाणु उत्सर्जन। उत्साहित हाइड्रोजन परमाणुओं के नमूने (या किसी अन्य) द्वारा उत्सर्जित प्रकाश के द्वारा दिखाया गया है।

एलेमेंट) को प्रिज्म के माध्यम से गुजारा जा सकता है और इसे कुछ विशिष्ट तरंगदैर्ध्यों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए एक उत्सर्जन स्पेक्ट्रम, जो विभाजित तरंगदैर्ध्यों की फोटोग्राफिक रेकॉर्ड होती है, लाइन स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है। कोई भी उपयुक्त आकार के नमूना अत्यधिक संख्या में परमाणुओं को रखता है। एक अकेले परमाणु केवल एक उत्तेजित अवस्था में हो सकता है, लेकिन परमाणुओं के संग्रह सभी संभावित उत्तेजित अवस्थाओं को रखता है। इन परमाणुओं के नीचले ऊर्जा अवस्था में गिरते हुए उत्सर्जित प्रकाश विभिन्न स्पेक्ट्रम के जिम्मेदार होता है।

(b) परमाणु अवशोषण। जब सफेद प्रकाश को अनुत्तेजित हाइड्रोजन परमाणु के माध्यम से गुजारा जाता है और फिर एक दरां और प्रिज्म के माध्यम से गुजारा जाता है, तो अवशोषित प्रकाश उत्सर्जन के तरंगदैर्ध्यों के समान तरंगदैर्ध्यों पर तीव्रता के अभाव में होता है। रिकॉर्ड किया गया अवशोषण स्पेक्ट्रम भी एक लाइन स्पेक्ट्रम होता है और उत्सर्जन स्पेक्ट्रम के फोटोग्राफिक नकारात्मक होता है।

हाइड्रोजन के रेखीय स्पेक्ट्रम

जब विद्युत चालन के माध्यम से गैसीय हाइड्रोजन में बिजली के चालन किया जाता है, तो $\mathrm{H}_{2}$ अणु विघटित हो जाते हैं और ऊर्जा से उत्तेजित हाइड्रोजन परमाणु विशिष्ट आवृत्तियों के विद्युत चुम्बकीय विकिरण को उत्सर्जित करते हैं। हाइड्रोजन के स्पेक्ट्रम में कई श्रेणियाँ होती हैं जिनके नाम उनके खोजकर्ताओं के नाम पर रखे गए हैं। बैमर ने 1885 में प्रयोगात्मक अवलोकनों के आधार पर दिखाया कि यदि स्पेक्ट्रम की रेखाएँ तरंगदैर्ध्य के विपरीत ( $\bar{v}$ ) के रूप में व्यक्त की जाएँ, तो हाइड्रोजन के स्पेक्ट्रम की दृश्य रेखाएँ निम्नलिखित सूत्र का पालन करती हैं:

$\bar{v}=109,677\left(\dfrac{1}{2^{2}}-\dfrac{1}{n^{2}}\right) \mathrm{cm}^{-1}$

जहाँ $n$ एक पूर्णांक है जो 3 या उससे अधिक हो (अर्थात, $n=3,4,5, \ldots$.)

इस सूत्र द्वारा वर्णित रेखाओं के श्रेणी को बाल्मर श्रेणी कहते हैं। बाल्मर श्रेणी की रेखाएँ हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में विद्युत चुंबकीय स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में दिखाई देने वाली एकमात्र रेखाएँ हैं। स्वीडिश स्पेक्ट्रोस्कोपिस्ट, जोहानेस रिडबर्ग ने यह ध्यान दिया कि हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में सभी रेखा श्रेणियाँ निम्नलिखित सूत्र द्वारा वर्णित की जा सकती हैं :

$\bar{v}=109,677\left(\dfrac{1}{n_{1}^{2}}-\dfrac{1}{n_{2}^{2}}\right) \mathrm{cm}^{-1} $

जहाँ $n_{1}=1,2 \ldots \ldots$.

$n_{2}=n_{1}+1, n_{1}+2 \ldots \ldots$

मान $109,677 \mathrm{~cm}^{-1}$ हाइड्रोजन के रिडबर्ग नियतांक के रूप में जाना जाता है। $n_{1}=1,2,3$, 4, 5 के संगत पहले पांच श्रेणियों के रेखाओं को क्रमशः लिमैन, बैल्मर, पास्चेन, ब्रैकेट और प्फुंड श्रेणियों के रूप में जाना जाता है, तालिका 2.3 हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में इन श्रेणियों के परिवर्तनों को दर्शाती है। चित्र 2.11 (पृष्ठ 46) हाइड्रोजन परमाणु के लिमैन, बैल्मर और पास्चेन श्रेणियों के परिवर्तनों को दर्शाता है।

तालिका 2.3 परमाणु हाइड्रोजन के स्पेक्ट्रल रेखाएँ

चित्र 2.11 हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के परिवर्तन (चित्र में लिमन, बाल्मर और पास्चन श्रेणी के परिवर्तन दिखाए गए हैं)

सभी तत्वों में हाइड्रोजन परमाणु की रेखीय स्पेक्ट्रम सबसे सरल होती है। रेखीय स्पेक्ट्रम भारी परमाणुओं के लिए धीरे-धीरे अधिक जटिल होता जाता है। हालांकि, सभी रेखीय स्पेक्ट्रम के लिए कुछ विशेषताएं सामान्य होती हैं, अर्थात (i) तत्व के रेखीय स्पेक्ट्रम अद्वितीय होते हैं और (ii) प्रत्येक तत्व के रेखीय स्पेक्ट्रम में नियमितता होती है। उत्पन्न प्रश्न यह हैं: इन समानताओं के कारण क्या हैं? क्या यह परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना से संबंधित है? ये प्रश्न उत्तर देने की आवश्यकता है। हम बाद में जानेंगे कि इन प्रश्नों के उत्तर इन तत्वों की इलेक्ट्रॉनिक संरचना को समझने में कुंजी के रूप में काम करते हैं।

2.4 हाइड्रोजन परमाणु के बोहर का मॉडल

नील्स बोहर (1913) ने पहली बार हाइड्रोजन परमाणु के संरचना और उसके स्पेक्ट्रम के सामान्य विशेषताओं की व्याख्या की। उन्होंने एनर्जी के क्वांटीकरण के अवधारणा का उपयोग किया। हालांकि, यह सिद्धांत आधुनिक क्वांटम भौतिकी नहीं है, लेकिन इसका उपयोग परमाणु संरचना और स्पेक्ट्रम के कई बिंदुओं की व्याख्या के लिए किया जा सकता है। हाइड्रोजन परमाणु के बोहर का मॉडल निम्नलिखित प्रतिपादनों पर आधारित है:

i) हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर निश्चित त्रिज्या और ऊर्जा के वृत्ताकार पथ में गति कर सकता है। इन पथों को वृत्त, स्थिर अवस्था या अनुमत ऊर्जा अवस्था के रूप में जाना जाता है। ये वृत्त नाभिक के चारों ओर संकेंद्रित रूप से व्यवस्थित होते हैं।

ii) इलेक्ट्रॉन के कक्ष में ऊर्जा समय के साथ बदलती नहीं रहती। हालांकि, जब इलेक्ट्रॉन को आवश्यक मात्रा में ऊर्जा अवशोषित होती है तो इलेक्ट्रॉन एक निम्न स्थिर अवस्था से एक उच्च स्थिर अवस्था में चला जाता है या जब इलेक्ट्रॉन एक उच्च स्थिर अवस्था से एक निम्न स्थिर अवस्था में चला जाता है तो ऊर्जा उत्सर्जित होती है (समीकरण 2.16)। ऊर्जा के परिवर्तन का निरंतर रूप से होना नहीं होता।

कोणीय संवेग

जैसे कि रैखिक संवेग द्रव्यमान $(m)$ और रैखिक वेग (v) के गुणनफल होता है, कोणीय संवेग जड़त्व आघूर्ण $(I)$ और कोणीय वेग $(\omega)$ के गुणनफल होता है। एक इलेक्ट्रॉन जो नाभिक के चारों ओर त्रिज्या $r$ के वृत्ताकार पथ में गति कर रहा है, जिसका द्रव्यमान $m_{\mathrm{e}}$ है,

$ \text { कोणीय संवेग }=I \times \omega $

चूंकि $I=m_{\mathrm{e}} \mathrm{r}^{2}$, और $\omega=\mathrm{v} / r$ जहाँ $\mathrm{v}$ रैखिक वेग है,

$\therefore$ कोणीय संवेग $=m_{\mathrm{e}} r^{2} \times \mathrm{v} / r=m_{\mathrm{e}} \mathrm{v} r$

iii) दो स्थिर अवस्थाओं के बीच संक्रमण होने पर अवशोषित या उत्सर्जित विकिरण की आवृत्ति जो ऊर्जा के अंतर $\Delta E$ के कारण होती है, निम्नलिखित द्वारा दी जाती है:

$n=\dfrac{\Delta E}{h}=\dfrac{E_{2}-E_{1}}{h}$

जहाँ $E_{1}$ और $E_{2}$ क्रमशः निम्न और उच्च अनुमत ऊर्जा अवस्थाओं की ऊर्जा हैं। इस व्यंजक को सामान्यतः बोर की आवृत्ति नियम के रूप में जाना जाता है।

iv) इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग के मान के अंतर्गत एक निश्चित स्थायी अवस्था में इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग के मान के अंतर्गत एक समीकरण (2.11) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$m_{e} \mathrm{v} r=n \cdot \dfrac{h}{2 \pi} \quad n=1,2,3 \ldots \ldots$

जहाँ $m_{\mathrm{e}}$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान, $v$ वेग और $r$ इलेक्ट्रॉन के घूम रहे कक्षा की त्रिज्या है।

इस प्रकार इलेक्ट्रॉन केवल उन कक्षाओं में गति कर सकता है जिनमें इसका कोणीय संवेग $h / 2 \pi$ के पूर्णांक गुणक हो। इसका अर्थ है कि कोणीय संवेग के मान के अंतर्गत एक निश्चित मान होता है। इलेक्ट्रॉन के एक कोणीय संवेग के निश्चित मान से दूसरे कोणीय संवेग के निश्चित मान तक परिवर्तन के समय केवल तब विकिरण उत्सर्जित या अवशोषित होता है। इसलिए इस स्थिति में मैक्सवेल के विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत के अनुप्रयोग के लिए अनुमति नहीं होती है, इसलिए केवल कुछ निश्चित कक्षाएं ही अनुमत होती हैं।

The details regarding the derivation of energies of the stationary states used by Bohr, are quite complicated and will be discussed in higher classes. However, according to Bohr’s theory for hydrogen atom:

a) The stationary states for electron are numbered $n=1,2,3 \ldots \ldots .$. . These integral numbers (Section 2.6.2) are known as Principal quantum numbers.

b) The radii of the stationary states are expressed as:

$ r_{\mathrm{n}}=n^{2} a_{0} $

where $a_{0}=52.9 \mathrm{pm}$. Thus the radius of the first stationary state, called the Bohr orbit, is 52.9 pm. Normally the electron in the hydrogen atom is found in this orbit (that is $n=1$ ). As $n$ increases the value of $r$ will increase. In other words the electron will be present away from the nucleus.

c) इलेक्ट्रॉन के साथ संबंधित सबसे महत्वपूर्ण गुण इसके स्थिर अवस्था की ऊर्जा है। इसका मान निम्न व्यंजक द्वारा दिया जाता है।

$E_{n}=-\mathrm{R}_{H}\left(\dfrac{1}{n^{2}}\right) \quad n=1,2,3 \ldots$

जहाँ $R_{H}$ राइडबर्ग नियतांक कहलाता है और इसका मान $2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ है। सबसे कम ऊर्जा वाली अवस्था, जिसे भूमि अवस्था के रूप में भी जाना जाता है, की ऊर्जा $E_{1}=-2.18 \times 10^{-18}\left(\dfrac{1}{1^{2}}\right)=-2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ है। $\mathrm{n}=2$ के लिए स्थिर अवस्था की ऊर्जा निम्न होगी : $E_{2}=-2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\left(\dfrac{1}{2^{2}}\right)=-0.545 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$।

Niels Bohr(1885–1962)

Niels Bohr, एक डेनमार्की भौतिक वैज्ञानिक, 1911 में कोपेनहेगन विश्वविद्यालय से अपनी डॉक्टरेट डिग्री प्राप्त करते हैं। फिर वह ब्रिटेन में जे. जे. थॉमसन और एरनस्ट रदरफोर्ड के साथ एक वर्ष बिताते हैं। 1913 में वह कोपेनहेगन वापस लौट आते हैं जहां वह अपने जीवन के बाकी भाग बिताते हैं। 1920 में वह सिद्धांत भौतिकी संस्थान के निदेशक के रूप में नामित हो जाते हैं। पहले विश्व युद्ध के बाद, बोहर परमाणु ऊर्जा के शांतिपूर्ण उपयोग के लिए उत्साहित रूप से काम करते हैं। 1957 में वह पहला “एटम्स फॉर पीस” पुरस्कार प्राप्त करते हैं। बोहर को 1922 में भौतिक विज्ञान के नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया।

चित्र 2.11 अम्लीय परमाणु के विभिन्न स्थायी अवस्थाओं या ऊर्जा स्तरों की ऊर्जा को दर्शाता है। इस प्रस्तुति को ऊर्जा स्तर आरेख कहते हैं।

जब इलेक्ट्रॉन नाभिक के प्रभाव से मुक्त होता है, तो ऊर्जा शून्य मानी जाती है। इस स्थिति में इलेक्ट्रॉन के साथ अधिकांश वर्ण संख्या $=n=\infty$ के स्थायी अवस्था संबंधित होती है और इसे आयनित हाइड्रोजन परमाणु कहते हैं। जब इलेक्ट्रॉन नाभिक के आकर्षण द्वारा बांधा जाता है और वह वृत्त पथ $\mathrm{n}$ पर उपस्थित होता है, तो ऊरजा उत्सर्जित होती है और इसकी ऊर्जा कम हो जाती है। इस कारण समीकरण (2.13) में नकारात्मक चिह्न की उपस्थिति होती है और इसकी संदर्भ अवस्था के संबंध में शून्य ऊर्जा और $n=\infty$ के संबंध में स्थायित्व को दर्शाता है।

d) बोहर के सिद्धांत को एकल इलेक्ट्रॉन वाले आयनों पर भी लागू किया जा सकता है, जो हाइड्रोजन परमाणु में उपस्थित आयन के समान होते हैं। उदाहरण के लिए, $\mathrm{He}^{+} \mathrm{Li}^{2+}, \mathrm{Be}^{3+}$ आदि। इस प्रकार के आयनों (जिन्हें आमतौर पर हाइड्रोजन जैसी वस्तुएं कहा जाता है) के स्थिर अवस्थाओं की ऊर्जा निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है।

$$ \begin{equation*} E_{\mathrm{n}}=-2.18 \times 10^{-18}\left(\dfrac{Z^{2}}{n^{2}}\right) \mathrm{J} \tag{2.14} \end{equation*} $$

और त्रिज्या निम्नलिखित सूत्र द्वारा दी जाती है

$$ \begin{equation*} \mathrm{r}_{\mathrm{n}}=\dfrac{52.9\left(n^{2}\right)}{Z} \mathrm{pm} \tag{2.15} \end{equation*} $$

जहाँ $Z$ परमाणु क्रमांक है और हीलियम तथा लिथियम परमाणु के लिए इसके मान क्रमशः 2 और 3 हैं। उपरोक्त समीकरणों से स्पष्ट है कि ऊर्जा का मान ऋणात्मक रूप से अधिक हो जाता है और त्रिज्या का मान $Z$ के बढ़ने के साथ छोटा हो जाता है। इसका अर्थ यह है कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के करीब बंध जाता है।

e) इलेक्ट्रॉन के इन कक्षाओं में गति कर रहे इलेक्ट्रॉनों की गति की गणना भी की जा सकती है। हालांकि यहाँ सटीक समीकरण नहीं दिया गया है, लेकिन गुणात्मक रूप से यह स्पष्ट है कि नाभिक पर धनात्मक आवेश के बढ़ने के साथ इलेक्ट्रॉन की गति का मान बढ़ता है और मुख्य क्वांटम संख्या के बढ़ने के साथ यह घटता है।

हाइड्रोजन परमाणु के लिए नकारात्मक इलेक्ट्रॉन ऊर्जा $\left(E_{n}\right)$ का क्या अर्थ है?

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा सभी संभावित कक्षाओं के लिए नकारात्मक चिह्न रखती है (समीकरण 2.13)। इस नकारात्मक चिह्न का क्या अर्थ है? इस नकारात्मक चिह्न का अर्थ यह है कि परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा एक शांत अवस्था में रहे अनुच्छेद इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा से कम होती है। एक शांत अवस्था में रहे अनुच्छेद इलेक्ट्रॉन एक नाभिक से अनंत दूरी पर होता है और इसके ऊर्जा मान को शून्य मान लिया जाता है। गणितीय रूप से, इसके लिए समीकरण (2.13) में $\mathrm{n}$ को अनंत तक सेट कर देना होता है ताकि $E_{\infty}=0$ हो। जैसे इलेक्ट्रॉन नाभिक के निकट आता है (जैसे $n$ कम होता जाता है), $E_{n}$ का आकर अधिक बढ़ जाता है और इसका मान अधिक नकारात्मक होता जाता है। सबसे नकारात्मक ऊर्जा मान $n=1$ के लिए दिया जाता है जो सबसे स्थिर कक्षा के संगत होता है। हम इसे मूल अवस्था कहते हैं।

2.4.1 हाइड्रोजन के परमाणु के रेखीय स्पेक्ट्रम की व्याख्या

पैराग्राफ 2.3.3 में उल्लेख किया गया है कि हाइड्रोजन परमाणु के मामले में रेखीय स्पेक्ट्रम की व्याख्या बोहर के मॉडल के उपयोग द्वारा वैज्ञानिक रूप से की जा सकती है। मान्यता 2 के अनुसार, यदि इलेक्ट्रॉन छोटे मुख्य क्वांटम संख्या के कक्ष से बड़े मुख्य क्वांटम संख्या के कक्ष तक चला जाता है, तो विकिरण (ऊर्जा) अवशोषित होता है, जबकि यदि इलेक्ट्रॉन बड़े कक्ष से छोटे कक्ष तक चला जाता है, तो विकिरण (ऊर्जा) उत्सर्जित होता है। दोनों कक्षों के बीच ऊर्जा अंतर समीकरण (2.16) द्वारा दिया गया है।

$$\Delta E=E_{\mathrm{f}}-E_{\mathrm{i}} \tag{2.16} $$

समीकरण (2.13) और (2.16) को संयोजित करने पर

$$ \Delta E=\left (-\dfrac{R_H}{n_f^2}\right)-\left(-\dfrac{R_H}{n_i^2}\right) (\text { जहाँ } n_{\mathrm{i}} \text { और } n_f \text{ प्रारंभिक कक्षा और अंतिम कक्षा के लिए प्रतिनिधित्व करते हैं}) $$

$$\Delta E=R_H\left(\dfrac{1}{n_i^2}-\dfrac{1}{n_f^2}\right)=2.18 \times 10^{-18} ~J\left(\dfrac{1}{n_i^2}-\dfrac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.17}$$

फोटॉन के अवशोषण और उत्सर्जन से संबंधित आवृत्ति (v) का मूल्यांकन समीकरण का उपयोग करके किया जा सकता है

$$ \begin{align*} & v=\dfrac{\Delta E}{h}=\dfrac{\mathrm{R}_H}{h}\left(\dfrac{1}{n_i^2}-\dfrac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.18} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\dfrac{2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}\left(\dfrac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\dfrac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \tag{2.18} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =3.29 \times 10^{15}\left(\dfrac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\dfrac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \mathrm{Hz} \tag{2.19} \end{align*} $$

$$

और तरंग संख्या के संदर्भ में $(\bar{V})$

$$ \begin{align*} & \bar{v}=\dfrac{v}{\mathrm{c}}=\dfrac{\mathrm{R}_H}{h \mathrm{c}}\left(\dfrac{1}{n_i^2}-\dfrac{1}{n_f^2}\right) \tag{2.20} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & =\dfrac{3.29 \times 10^{15} \mathrm{~s}^{-1}}{3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-\mathrm{s}}}\left(\dfrac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\dfrac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \\ & =1.09677 \times 10^{7}\left(\dfrac{1}{n_{\mathrm{i}}^{2}}-\dfrac{1}{n_{\mathrm{f}}^{2}}\right) \mathrm{m}^{-1} \tag{2.21} \end{align*} $$

\end{align*} $$

अवशोषण विपरीत वितरण के मामले में, $n_{\mathrm{f}}>n_{\mathrm{i}}$ और गोष्ठीय चिह्न में शब्द धनात्मक होता है और ऊर्जा अवशोषित होती है। दूसरी ओर, उत्सर्जन विपरीत वितरण के मामले में $n_{\mathrm{i}}>n_{\mathrm{f}}, \Delta E$ नकारात्मक होता है और ऊर्जा उत्सर्जित होती है।

सूत्र (2.17) रिडबर्ग द्वारा उपयोग किए गए सूत्र (2.9) के समान है, जिसे उस समय उपलब्ध प्रयोगात्मक डेटा के आधार पर एम्पिरिकल रूप से निर्मित किया गया था। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक स्पेक्ट्रल रेखा, चाहे वह अवशोषण या उत्सर्जन विपरीत वितरण में हो, हाइड्रोजन परमाणु में एक विशिष्ट परिवर्तन के साथ संबंधित हो सकती है। बड़ी संख्या में हाइड्रोजन परमाणु के मामले में, विभिन्न संभावित परिवर्तन देखे जा सकते हैं और इस प्रकार बड़ी संख्या में स्पेक्ट्रल रेखाएँ उत्पन्न होती हैं। स्पेक्ट्रल रेखाओं की चमक या तीव्रता एक ही तरंगदैर्ध्य या आवृत्ति वाले फोटॉनों की संख्या पर निर्भर करती है जो अवशोषित या उत्सर्जित होते हैं।

समस्या 2.10

हाइड्रोजन परमाणु में $n=5$ से $n=2$ अवस्था में स्थानांतरण के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की आवृत्ति और तरंगदैर्ध्य क्या है?

हल

चूंकि $n_{\mathrm{i}}=5$ और $n_{\mathrm{f}}=2$, इस स्थानांतरण के कारण बैल्मर श्रेणी के दृश्य क्षेत्र में एक स्पेक्ट्रल रेखा उत्पन्न होती है। समीकरण (2.17) से

$ \begin{aligned} \Delta E & =2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\left[\dfrac{1}{5^{2}}-\dfrac{1}{2^{2}}\right] \\ & =-4.58 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $

यह उत्सर्जन ऊर्जा है

फोटॉन की आवृत्ति (ऊर्जा के परिमाण के संदर्भ में) निम्नलिखित द्वारा दी जाती है

$v=\dfrac{\Delta E}{h}$

$=\dfrac{4.58 \times 10^{-19} \mathrm{~J}}{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}$

$=6.91 \times 10^{13} \mathrm{~Hz}$

$\lambda=\dfrac{\mathrm{c}}{v}=\dfrac{3.0 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}}{6.91 \times 10^{14} \mathrm{~Hz}}=434 \mathrm{~nm}$

समस्या 2.11

$\mathrm{He}^{+}$ के पहले कक्ष के साथ संबद्ध ऊर्जा की गणना करें। इस कक्ष की त्रिज्या क्या है?

हल

$E_{\mathrm{n}}=-\dfrac{\left(2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\right) Z^{2}}{n^{2}}$ परमाणु $^{-1}$

$\mathrm{He}^{+}$ के लिए, $n=1, \mathrm{Z}=2$

$ E_{1}=-\dfrac{\left(2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}\right)\left(2^{2}\right)}{1^{2}}=-8.72 \times 10^{-18} \mathrm{~J} $

कक्षा की त्रिज्या समीकरण $(2.15)$ द्वारा दी गई है

$ \mathrm{r}_{n}=\dfrac{(0.0529 \mathrm{~nm}) n^{2}}{Z} $

क्योंकि $n=1$, और $Z=2$

$ \mathrm{r}_{n}=\dfrac{(0.0529 \mathrm{~nm}) 1^{2}}{2}=0.02645 \mathrm{~nm} $

2.4.2 बोहर के मॉडल की सीमाएं

हाइड्रोजन परमाणु के बोहर के मॉडल रदरफोर्ड के नाभिकीय मॉडल की तुलना में निश्चित रूप से सुधार था, क्योंकि यह हाइड्रोजन परमाणु और हाइड्रोजन जैसे आयन (उदाहरण के लिए, $\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}$, $\mathrm{Be}^{3+}$, आदि) के स्थायित्व और रेखीय स्पेक्ट्रम की व्याख्या कर सकता था। हालांकि, बोहर के मॉडल के लिए निम्नलिखित बिंदुओं की व्याख्या करने के लिए बहुत सरल था।

i) यह उन विस्तारित विवरणों (द्विस्पेक्ट्रम, अर्थात दो निकटस्थ रेखाएं) की व्याख्या नहीं कर सकता जो उन्नत स्पेक्ट्रोस्कोपिक तकनीकों का उपयोग करके हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम के रूप में प्रेक्षित किए गए हैं। इस मॉडल के अतिरिक्त, इसके अतिरिक्त अन्य परमाणुओं के स्पेक्ट्रम की व्याख्या भी नहीं कर सकता, उदाहरण के लिए, हीलियम परमाणु जो केवल दो इलेक्ट्रॉन रखता है। इसके अतिरिक्त, बोहर के सिद्धांत चुंबकीय क्षेत्र (ज़ीमैन प्रभाव) या विद्युत क्षेत्र (स्टार्क प्रभाव) की उपस्थिति में स्पेक्ट्रम रेखाओं के विभाजन की व्याख्या भी नहीं कर सकता था।

ii) इसके अतिरिक्त, परमाणुओं के रासायनिक बंधनों द्वारा अणु बनाने की क्षमता को समझाने में असमर्थ रहा।

दूसरे शब्दों में, उपरोक्त बिंदुओं को ध्यान में रखते हुए, एक बेहतर सिद्धांत की आवश्यकता होती है जो जटिल परमाणुओं के संरचना के महत्वपूर्ण विशेषताओं को समझाने में सक्षम हो।

2.5 परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल की ओर

बोहर के मॉडल के कमजोर पक्ष के आधार पर, परमाणुओं के लिए एक अधिक उपयुक्त और सामान्य मॉडल के विकास के प्रयास किए गए। ऐसे मॉडल के विकास में महत्वपूर्ण रूप से योगदान देने वाले दो महत्वपूर्ण विकास हैं:

1. पदार्थ का द्विप्रकृति,

2. हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत।

2.5.1 पदार्थ का द्विप्रकृति

लुई डे ब्रोगलिये (1892–1987)

लुई डे ब्रोगलिये, एक फ्रांसीसी भौतिक वैज्ञानिक, 1910 के शुरू में अपने बैचलर के अध्ययन के दौरान इतिहास के अध्ययन में रुचि रखते थे। विश्व युद्ध I में रेडियो संचार के कार्य में अपनी सेवा के कारण उनकी रुचि वैज्ञानिक विषय में बदल गई। 1924 में उन्हें पेरिस विश्वविद्यालय से डॉक्टर ऑफ साइंस (Dr. Sc.) की उपाधि प्रदान की गई। 1932 से अपने संन्यास तक, जो 1962 में हुआ, तक वे पेरिस विश्वविद्यालय में सैद्धांतिक भौतिक विज्ञान के प्रोफेसर रहे। वे 1929 में भौतिक विज्ञान के नोबेल पुरस्कार के लाभी बने।

फ्रांस के भौतिकविद, डी ब्रोगलिये, 1924 में प्रस्तावित करे कि पदार्थ, विकिरण के समान, द्विप्रकृति का प्रदर्शन करे अर्थात, दोनों कण एवं तरंग गुणों का। इसका अर्थ यह है कि जैसे फोटॉन के पास संवेग एवं तरंगदैर्ध्य दोनों होते हैं, इलेक्ट्रॉन के भी संवेग एवं तरंगदैर्ध्य होने चाहिए। डी ब्रोगलिये, इस संगति से, एक पदार्थिक कण के तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ एवं संवेग (p) के बीच निम्नलिखित संबंध प्रस्तुत करते हैं।

$$ \begin{equation*} \lambda=\dfrac{h}{m v}=\dfrac{h}{p} \tag{2.22} \end{equation*}

$$

जहाँ $m$ कण के द्रव्यमान, $v$ इसके वेग और $p$ इसके संवेग है। डी ब्रोगलिय के अनुमान की पुष्टि तब हुई जब यह पाया गया कि एक इलेक्ट्रॉन किरण विवर्तन अनुभव करती है, जो तरंगों के गुण की एक विशिष्ट घटना है। इस तथ्य का उपयोग इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप बनाने में किया गया है, जो आम माइक्रोस्कोप के तरह इलेक्ट्रॉन के तरंग प्रकृति के आधार पर निर्मित है। एक इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप आधुनिक वैज्ञानिक अनुसंधान में एक शक्तिशाली उपकरण है क्योंकि यह लगभग 15 मिलियन गुना तक आवर्धन कर सकता है।

ध्यान देने योग्य है कि डी ब्रोग्लिय के अनुसार, प्रत्येक गतिशील वस्तु के तरंग गुण होते हैं। सामान्य वस्तुओं के साथ जुड़े तरंग दैर्घ्य इतनी छोटी होती हैं (इनके बड़े द्रव्यमान के कारण) कि इनके तरंग गुण निर्णय करना संभव नहीं होता। इलेक्ट्रॉन और अन्य उप-परमाणु कणों (बहुत छोटे द्रव्यमान वाले) के साथ जुड़े तरंग दैर्घ्य के तरंग गुण तथाकथित प्रयोगों द्वारा निर्णय किए जा सकते हैं। निम्नलिखित समस्याओं से प्राप्त परिणाम इन बिंदुओं को गुणात्मक रूप से साबित करते हैं।

समस्या 2.12

द्रव्यमान $0.1 \mathrm{~kg}$ वाले एक गेंद के वेग $10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ होने पर इसकी तरंग दैर्घ्य क्या होगी?

हल

डी ब्रोगली समीकरण (2.22) के अनुसार

$\lambda=\dfrac{h}{m v}=\dfrac{\left(6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}\right)}{(0.1 \mathrm{~kg})\left(10 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}$

$=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~m}\left(\mathrm{~J}=\mathrm{kg} \mathrm{m}{ }^{2} \mathrm{~s}^{-2}\right)$

समस्या 2.13

इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ है। यदि इसकी कार्यशक्ति (K.E.) $3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~J}$ है, तो इसकी तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए।

हल

क्योंकि कार्यशक्ति (K.E.) $=1 / 2 m v^{2}$

$\mathrm{v}=\left(\dfrac{2 \times \text { गतिज ऊर्जा }}{m}\right)^{1 / 2}$

$=\left(\dfrac{2 \times 3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~kg} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-2}}{9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}}\right)^{1 / 2}$

$=812 \mathrm{~ms}^{-1}$

$\lambda=\dfrac{h}{m v}$

$=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{\left(9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}\right)\left(812 \mathrm{~ms}^{-1}\right)}$

$=8967 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

$=896.7 \mathrm{~nm}$

समस्या 2.14

तरंगदैर्ध्य $3.6 \mathring{A}$ वाले फोटॉन के द्रव्यमान की गणना कीजिए।

हल

$\lambda=3.6 \mathring{A}=3.6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}$

फोटॉन की गति $=$ प्रकाश की गति

$ m=\dfrac{h}{\lambda v}=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{\left(3.6 \times 10^{-10} \mathrm{~m}\right)\left(3 \times 10^{8} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)} $

$ = 6.135 \times 10^{-29} \mathrm{~kg} $

2.5.2 हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत

वर्नर हाइजेनबर्ग एक जर्मन भौतिकविशार जिन्होंने 1927 में अनिश्चितता सिद्धांत को प्रस्तुत किया जो पदार्थ और विकिरण के द्विगुणी व्यवहार के परिणाम है। इस सिद्धांत के अनुसार, इलेक्ट्रॉन की ठीक-ठीक स्थिति और ठीक-ठीक संवेग (या वेग) को एक साथ निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

मैथमैटिकल रूप से, इसे समीकरण (2.23) के रूप में दिया जा सकता है।

$$ \begin{align*} & \Delta \mathrm{x} \times \Delta p_{\mathrm{x}} \geq \dfrac{h}{4 \pi} \tag{2.23} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text { या } \Delta \mathrm{x} \times \Delta\left(m \mathrm{v}_{\mathrm{x}}\right) \geq \dfrac{h}{4 \pi} \end{align*} $$

$$ \begin{align*} & \text { या } \Delta \mathrm{x} \times \Delta \mathrm{v}_{\mathrm{x}} \geq \dfrac{h}{4 \pi m} \end{align*} $$

जहाँ $\Delta x$ स्थिति में अनिश्चितता है और $\Delta p_x$ (या $\Delta \mathrm{v}_x$) कण के संवेग (या वेग) में अनिश्चितता है। यदि इलेक्ट्रॉन की स्थिति उच्च डिग्री की सटीकता से ज्ञात हो ( $\Delta x$ छोटा है), तो इलेक्ट्रॉन के वेग के बारे में अनिश्चितता होगी $\left[\Delta\left(\mathrm{v}_x\right)\right.$ बड़ा है $]$. दूसरी ओर, यदि इलेक्ट्रॉन के वेग को सटीक रूप से ज्ञात हो $\left(\Delta\left(\mathrm{v}_x\right)\right.$ छोटा है), तो इलेक्ट्रॉन की स्थिति अनिश्चित होगी ( $\Delta x$ बड़ा होगा)। इस प्रकार, यदि हम इलेक्ट्रॉन की स्थिति या वेग पर कुछ भौतिक मापन करते हैं, तो परिणाम हमेशा बादल या धुंधला चित्र दिखाएगा।

अनिश्चितता सिद्धांत को सबसे बेहतर तरीके से समझने के लिए एक उदाहरण की सहायता लेनी पड़ती है। मान लीजिए आपको एक अचिह्नित मीटरस्टिक की सहायता से कागज की एक शीट की मोटाई मापनी है। आपके द्वारा प्राप्त परिणाम बहुत असटैंडर्ड और अर्थहीन होंगे। किसी भी अस्पष्टता के बिना आपको एक उपकरण की आवश्यकता होगी जो कागज की शीट की मोटाई से छोटी इकाइयों में चिह्नित हो। आगे बढ़ते हुए, इलेक्ट्रॉन की स्थिति का निर्धारण करने के लिए हमें एक मीटरस्टिक की आवश्यकता होगी जो इलेक्ट्रॉन के आयाम से छोटी इकाइयों में चिह्नित हो (ध्यान रखें कि इलेक्ट्रॉन को एक बिंदु आवेश के रूप में माना जाता है और इसलिए इसके आयाम निर्दिष्ट नहीं होते हैं)। एक इलेक्ट्रॉन को देखने के लिए हम इसे “प्रकाश” या विद्युत चुंबकीय विकिरण के साथ प्रकाशित कर सकते हैं। इस “प्रकाश” की तरंगदैर्ध्य इलेक्ट्रॉन के आयाम से छोटी होनी चाहिए। इस प्रकार के प्रकाश के उच्च संवेग वाले फोटॉन $\left(p=\dfrac{h}{\lambda}\right)$ टकराव के कारण इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा को बदल देंगे। इस प्रक्रिया में हम निश्चित रूप से इलेक्ट्रॉन की स्थिति की गणना कर सकते हैं, लेकिन हम टकराव के बाद इलेक्ट्रॉन के वेग के बारे में बहुत कम जानकारी होगी।

अनिश्चितता सिद्धांत के महत्व

हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के महत्वपूर्ण अनुमानों में से एक यह है कि इसके कारण इलेक्ट्रॉन और इस तरह के अन्य कणों के निश्चित पथ या कक्षाओं के अस्तित्व को निरस्त कर दिया जाता है। एक वस्तु के पथ को उसके विभिन्न क्षणों पर स्थिति और वेग द्वारा निर्धारित किया जाता है। यदि हम एक वस्तु के किसी विशेष क्षण पर स्थिति को जानते हैं और उस विशेष क्षण पर उसके वेग और उस पर कार्य कर रहे बलों को भी जानते हैं, तो हम बता सकते हैं कि वस्तु किसी बाद कहाँ होगी। इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि एक वस्तु की स्थिति और वेग उसके पथ को निर्धारित करते हैं। चूंकि एक उप-परमाणुक वस्तु जैसे इलेक्ट्रॉन के लिए किसी भी विशिष्ट क्षण पर उसकी स्थिति और वेग को अत्यधिक निश्चितता के साथ निर्धारित नहीं किया जा सकता, इलेक्ट्रॉन के पथ के बारे में बात करना संभव नहीं है।

वर्नर हाइजेनबर्ग (1901 - 1976)

वर्नर हाइजेनबर्ग (1901-1976) ने 1923 में म्यूनिख विश्वविद्यालय से भौतिक विज्ञान में फिजिक्स में डॉक्टरेट की डिग्री प्राप्त की। फिर उन्होंने गॉटिंगेन में मैक्स बर्न के साथ एक साल और कोपेनहेगन में नील्स बोहर के साथ तीन साल काम किया। 1927 से 1941 तक वे लेप्जिग विश्वविद्यालय के भौतिक विज्ञान के प्रोफेसर रहे। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान हाइजेनबर्ग ने जर्मन विज्ञान के परमाणु बम पर अनुसंधान के जिम्मा संभाला। युद्ध के बाद उन्हें गॉटिंगेन में मैक्स प्लैंक भौतिक विज्ञान संस्थान के निर्देशक के रूप में नामित किया गया। वे एक उत्कृष्ट पर्वतारोही भी थे। हाइजेनबर्ग को 1932 में भौतिक विज्ञान के नोबेल पुरस्कार से सम्मानित किया गया।

हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का प्रभाव माइक्रोस्कोपिक वस्तुओं के गति पर केवल महत्वपूर्ण होता है और मैक्रोस्कोपिक वस्तुओं के लिए नगण्य होता है। इसको निम्नलिखित उदाहरणों से स्पष्ट किया जा सकता है।

यदि अनिश्चितता सिद्धांत को एक वस्तु के द्रव्यमान पर, जैसे एक मिलीग्राम $\left(10^{-6} \mathrm{~kg}\right)$ के लिए लागू किया जाए, तो

$ \Delta \mathrm{v} \cdot \Delta \mathrm{x} =\dfrac{h}{4 \pi \cdot \mathrm{m}} =\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J} \mathrm{~s}}{4 \times 3.1416 \times 10^{-6} \mathrm{~kg}} \approx 10^{-28} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} `

$

प्राप्त $\Delta \mathrm{v} \Delta \mathrm{x}$ का मान बहुत छोटा है और नगण्य है। अतः, एक कह सकते हैं कि मिलीग्राम आकार या उससे भारी वस्तुओं के साथ काम करते समय, संगत अनिश्चितताएँ किसी वास्तविक परिणाम के लिए बहुत कम महत्व रखती हैं।

दूसरी ओर, एक माइक्रोस्कोपिक वस्तु जैसे इलेक्ट्रॉन के मामले में, प्राप्त $\Delta \mathrm{v} . \Delta \mathrm{x}$ बहुत बड़ा होता है और ऐसी अनिश्चितताएँ वास्तविक परिणाम के लिए महत्वपूर्ण होती हैं। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन जिसका द्रव्यमान $9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ है, के लिए, हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार

$ \Delta \mathrm{v} \cdot \Delta \mathrm{x} =\dfrac{h}{4 \pi \mathrm{m}} =\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.1416 \times 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}} =10^{-4} \mathrm{~m}^{-2} \mathrm{~s}^{-1} $

इसलिए, यह बताता है कि यदि कोई इलेक्ट्रॉन के ठीक स्थान को खोजने की कोशिश करे, जैसे कि केवल $10^{-8} \mathrm{~m}$ के अनिश्चितता के साथ, तो वेग में अनिश्चितता $\Delta \mathrm{v}$ होगी

$ \dfrac{10^{-4} \mathrm{~m}^{2} \mathrm{~s}^{-1}}{10^{-8} \mathrm{~m}} \approx 10^{4} \mathrm{~ms}^{-1} $

$

जो इतना बड़ा है कि क्लासिकल चित्र इलेक्ट्रॉन के बोहर के कक्षा में (स्थिर) घूमते होने के लिए नहीं रह जाता। इसलिए, इलेक्ट्रॉन के स्थिति और संवेग के ठीक-ठीक कथनों को इलेक्ट्रॉन के एक निश्चित स्थिति और संवेग के संभावना कथनों से बदल देना पड़ता है। यही अपरिवर्तनीय मॉडल में होता है।

समस्या 2.15

एक माइक्रोस्कोप जो उपयुक्त फोटॉन का उपयोग करता है, एक परमाणु में इलेक्ट्रॉन की स्थिति को $0.1 \mathring{A}$ की दूरी में खोजने के लिए उपयोग किया जाता है। इसके वेग के मापन में अनिश्चितता क्या होती है?

हल

$\Delta x \Delta p=\dfrac{h}{4 \pi}$ या $\Delta x m \Delta v \dfrac{h}{4 \pi}$

$ \begin{aligned} & \Delta \mathrm{v}=\dfrac{h}{4 \pi \Delta \mathrm{xm}} \\ & \Delta \mathrm{v}=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.14 \times 0.1 \times 10^{-10} \mathrm{~m} \times 9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}} \\ & =0.579 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\left(1 \mathrm{~J}=1 \mathrm{~kg} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right) \\ & =5.79 \times 10^{6} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}

\end{aligned} $

समस्या 2.16

एक गोल्फ बॉल की द्रव्यमान $40 \mathrm{~g}$ है, और चाल $45 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ है। यदि चाल को $2 %$ के त्रुटि के साथ मापा जा सकता है, तो स्थिति में अनिश्चितता की गणना कीजिए।

हल

चाल में अनिश्चितता $2 %$ है, अर्थात,

$ 45 \quad \dfrac{2}{100}=0.9 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1} $

समीकरण (2.22) का उपयोग करते हुए

$\Delta \mathrm{x}=\dfrac{h}{4 \pi m \Delta \mathrm{v}}$

$=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \mathrm{Js}}{4 \times 3.14 \times 40 \mathrm{~g} \times 10^{-3} \mathrm{~kg} \mathrm{~g}^{-1}\left(0.9 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\right)}$

$=1.46 \times 10^{-33} \mathrm{~m}$

यह आमतय एक परमाणु नाभिक के व्यास की तुलना में लगभग $\sim 10^{18}$ गुना छोटा है। जैसा कि बड़े कणों के लिए पहले उल्लेख किया गया था, अनिश्चितता सिद्धांत मापन की निश्चितता के लिए कोई व्यावहारिक सीमा नहीं निर्धारित करता।

बोहर मॉडल के विफलता के कारण

अब बोहर मॉडल के विफलता के कारणों को समझा जा सकता है। बोहर मॉडल में, इलेक्ट्रॉन को एक आवेशित कण के रूप में देखा जाता है जो नाभिक के चारों ओर निश्चित वृत्ताकार कक्षाओं में घूमता है। बोहर मॉडल में इलेक्ट्रॉन के तरंग वर्णन को ध्यान में नहीं लिया जाता है। इसके अतिरिक्त, एक कक्षा एक स्पष्ट रूप से परिभाषित पथ होती है और इस पथ को पूरी तरह से परिभाषित करने के लिए इलेक्ट्रॉन की स्थिति और वेग के एक ही समय में ठीक ज्ञात होना आवश्यक होता है। यह हेइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार संभव नहीं है। इसलिए, हाइड्रोजन परमाणु के बोहर मॉडल न केवल पदार्थ के द्विप्रकृति के व्यवहार को नगण्य करता है बल्कि हेइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के विरोधाभास भी बनाता है।

ईर्विन श्रॉडिंगर (1887–1961)

ईर्विन श्रॉडिंगर, एक ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी, 1910 में वियना विश्वविद्यालय से सिद्धांत भौतिक विज्ञान में फ़िलॉसोफ़ी डॉक्टर की डिग्री प्राप्त करते हैं। 1927 में श्रॉडिंगर बर्लिन विश्वविद्यालय में मैक्स प्लैंक के अनुरोध पर उनके स्थान पर नियुक्त हो जाते हैं। 1933 में श्रॉडिंगर नाजी नीतियों के विरोध में बर्लिन छोड़ देते हैं और 1936 में ऑस्ट्रिया लौट आते हैं। ऑस्ट्रिया के जर्मनी द्वारा आक्रमण के बाद, श्रॉडिंगर को अपना प्रोफेसर रूप बलप्रयोग के द्वारा हटा दिया जाता है। फिर वे आयरलैंड के डबलिन चले जाते हैं जहां वे 17 वर्ष तक रहते हैं। श्रॉडिंगर 1933 में पीएएम डायरैक के साथ भौतिक विज्ञान के नोबेल पुरस्कार के साथ शेयर करते हैं।

इन बोहर मॉडल में निहित कमजोरियों के आधार पर, बोहर मॉडल को अन्य परमाणुओं के लिए विस्तारित करना अर्थहीन था। वास्तव में, परमाणु के संरचना के बारे में एक अंतर्दृष्टि की आवश्यकता थी जो पदार्थ के तरंग-कण द्विप्रकृति को समावेश कर सके और हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के साथ सांतर रहे। यह क्वांटम भौतिकी के आगमन के साथ आया।

2.6 परमाणु के क्वांटम भौतिकी मॉडल

क्वांटम भौतिकी, न्यूटन के गति के नियमों पर आधारित क्लासिकल भौतिकी, सभी मैक्रोस्कोपिक वस्तुओं के गति को सफलतापूर्वक वर्णित करती है, जैसे कि गिरता पत्थर, घूमते ग्रह आदि, जो पिछले अनुच्छेद में दिखाए गए अनुसार कण-आचरण के व्यवहार रखते हैं। हालांकि, इसका उपयोग माइक्रोस्कोपिक वस्तुओं जैसे इलेक्ट्रॉन, परमाणु, अणु आदि पर करने पर विफल रहता है। इसका मुख्य कारण यह है कि क्लासिकल भौतिम वस्तु के द्विप्रकृति के अवधारण को नगण्य करती है, विशेष रूप से उप-परमाणु कणों के लिए और अनिश्चितता सिद्धांत के लिए। वह शाखा जो इस द्विप्रकृति को ध्यान में रखती है, क्वांटम भौतिकी कहलाती है।

क्वांटम मेकैनिक्स एक सिद्धांतिक विज्ञान है जो छोटे वस्तुओं के गति के अध्ययन के साथ संबंधित है जो दृश्य तरंग जैसी और कण जैसी गुणों दोनों के साथ होते हैं। यह इन वस्तुओं के गति के नियम निर्धारित करता है। जब क्वांटम मेकैनिक्स मैक्रोस्कोपिक वस्तुओं (जिनके तरंग जैसी गुण नगण्य होते हैं) पर लागू किया जाता है, तो परिणाम क्लासिकल मेकैनिक्स से एक समान होते हैं।

क्वांटम मेकैनिक्स को 1926 में वर्नर हाइजेनबर्ग और एर्विन श्रोडिंगर द्वारा स्वतंत्र रूप से विकसित किया गया था। हालांकि, यहां हम क्वांटम मेकैनिक्स के बारे में चर्चा कर रहे हैं जो तरंग गति के विचारों पर आधारित है। क्वांटम मेकैनिक्स का मूल समीकरण श्रोडिंगर द्वारा विकसित किया गया था और इसके लिए उन्हें 1933 में भौतिक विज्ञान में नोबेल पुरस्कार प्राप्त हुआ था। यह समीकरण जो डी ब्रोग्ली द्वारा प्रस्तावित मानव तरंग-कण द्वित्व को शामिल करता है, बहुत जटिल है और इसे हल करने के लिए उच्च गणित के ज्ञान की आवश्यकता होती है। आप उच्च श्रेणी के विद्यालयों में इसके विभिन्न प्रणालियों के समाधान सीखेंगे।

एक तंत्र (जैसे एक परमाणु या एक अणु जिसकी ऊर्जा समय के साथ नहीं बदलती) के लिए श्रोडिंगर समीकरण $\hat{H} \Psi=E \Psi$ के रूप में लिखा जाता है, जहाँ $\hat{H}$ एक गणितीय ऑपरेटर है जिसे हैमिल्टनियन कहा जाता है। श्रोडिंगर ने इस ऑपरेटर के निर्माण के लिए तंत्र की कुल ऊर्जा के व्यंजक से एक विधि प्रस्तुत की। तंत्र की कुल ऊर्जा सभी उप-परमाणु कणों (इलेक्ट्रॉन, नाभिक) की गतिज ऊर्जा, इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच आकर्षण विभव तथा इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच पारस्परिक विपरीत विभव को ध्यान में रखती है। इस समीकरण के समाधान से $E$ और $\psi$ प्राप्त होते हैं।

हाइड्रोजन परमाणु और श्रॉडिंगर समीकरण

जब श्रॉडिंगर समीकरण को हाइड्रोजन परमाणु के लिए हल किया जाता है, तो हल इलेक्ट्रॉन के द्वारा अधिकृत संभावित ऊर्जा स्तरों और उन ऊर्जा स्तरों से संबंधित तरंग फलन (ψ) को देता है। ये क्वांटाइज़ड ऊर्जा स्तर और संगत तरंग फलन जो तीन क्वांटम संख्याओं (मुख्य क्वांटम संख्या n, ध्रुवीय क्वांटम संख्या l और चुंबकीय क्वांटम संख्या mₗ) के सेट द्वारा विशेषता होते हैं, श्रॉडिंगर समीकरण के हल के एक प्राकृतिक परिणाम के रूप में उत्पन्न होते हैं। जब एक इलेक्ट्रॉन कोई ऊर्जा स्तर में होता है, तो तरंग फलन

उस ऊर्जा अवस्था के संगत तथा इलेक्ट्रॉन के बारे में सभी जानकारी शामिल होती है। तरंग फलन एक गणितीय फलन होता है जिसका मान परमाणु में इलेक्ट्रॉन के निर्देशांक पर निर्भर करता है और इसमें कोई भौतिक अर्थ नहीं होता। हाइड्रोजन या हाइड्रोजन जैसे विषम प्रकार के एक इलेक्ट्रॉन वाले तरंग फलन अणुओं के कक्षक कहलाते हैं। एक इलेक्ट्रॉन वाले प्रकार के तरंग फलन एक इलेक्ट्रॉन प्रणाली कहलाते हैं। परमाणु में एक बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता उस बिंदु पर $|\psi|^{2}$ के समानुपाती होती है। हाइड्रोजन परमाणु के क्वांटम यांत्रिक परिणाम हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम के सभी पहलुओं की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करते हैं, जिसमें कुछ घटनाएं बोहर मॉडल द्वारा समझी नहीं जा सकती थी।

स्क्रॉडिंगर समीकरण के बहुइलेक्ट्रॉन परमाणुओं पर अनुप्रयोग एक कठिनाई के साथ संबंधित है: बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु के लिए स्क्रॉडिंगर समीकरण का सटीक हल नहीं किया जा सकता। इस कठिनाई को अनुमानित विधियों के प्रयोग द्वारा दूर किया जा सकता है। आधुनिक कंप्यूटरों की सहायता से ऐसे गणना दिखाती है कि अन्य परमाणुओं में ऑर्बिटल ऊपर चर्चा किए गए हाइड्रोजन ऑर्बिटल से कोई बड़ा अंतर नहीं है। मुख्य अंतर बढ़े हुए नाभिकीय आवेश के परिणाम में है। इस कारण सभी ऑर्बिटल कुछ हद तक संकुचित हो जाते हैं। इसके अतिरिक्त, आप बाद में देखेंगे (अनुभाग 2.6.3 और 2.6.4 में), हाइड्रोजन या हाइड्रोजन जैसी वस्तुओं के ऑर्बिटल के विपरीत, जिनकी ऊर्जा केवल क्वांटम संख्या $n$ पर निर्भर करती है, बहुइलेक्ट्रॉन परमाणुओं में ऑर्बिटल की ऊर्जा क्वांटम संख्या $n$ और $l$ दोनों पर निर्भर करती है।

परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल के महत्वपूर्ण विशेषताएं

परमाणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल वह चित्र है जो परमाणु की संरचना के बारे में उत्पन्न होता है, जो श्रोडिंगर समीकरण के अनुप्रयोग से प्राप्त होता है। निम्नलिखित क्वांटम-यांत्रिक मॉडल के महत्वपूर्ण विशेषताएं हैं:

1. परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा क्वांटाइज़्ड होती है (अर्थात, केवल कुछ विशिष्ट मान हो सकते हैं), उदाहरण के लिए जब इलेक्ट्रॉन परमाणु के नाभिक से बंधे होते हैं।

2. क्वांटाइज़्ड इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा स्तर के अस्तित्व के एक वास्तविक परिणाम है इलेक्ट्रॉन के तरंग गुणों और श्रोडिंगर तरंग समीकरण के अनुमत हल हैं।

3. परमाणु में इलेक्ट्रॉन की सटीक स्थिति और सटीक वेग एक साथ निर्धारित नहीं किए जा सकते (हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत)। अतः परमाणु में इलेक्ट्रॉन के पथ कभी भी सटीक रूप से निर्धारित या ज्ञात नहीं किया जा सकता। इस कारण, आपको बाद में देखने के लिए, एक बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की केवल प्रायिकता बताई जाती है।

4. परमाणु कक्षक एक इलेक्ट्रॉन के परमाणु में तरंग फलन $\psi$ होता है। जब इलेक्ट्रॉन को एक तरंग फलन द्वारा वर्णित किया जाता है, तो हम कहते हैं कि इलेक्ट्रॉन उस कक्षक में उपस्थित है। इलेक्ट्रॉन के लिए कई ऐसे तरंग फलन संभव हो सकते हैं, अतः परमाणु में कई परमाणु कक्षक होते हैं। इन “एक इलेक्ट्रॉन कक्षक तरंग फलन” या कक्षकों के आधार पर परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना का निर्माण किया जाता है। प्रत्येक कक्षक में इलेक्ट्रॉन की निश्चित ऊर्जा होती है। एक कक्षक में अधिक से अधिक दो इलेक्ट्रॉन हो सकते हैं। एक बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु में, इलेक्ट्रॉन ऊर्जा के बढ़ते क्रम में विभिन्न कक्षकों में भरे जाते हैं। अतः बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु के प्रत्येक इलेक्ट्रॉन के लिए, उस इलेक्ट्रॉन द्वारा अधिकृत कक्षक के विशिष्ट तरंग फलन होता है। परमाणु में इलेक्ट्रॉन के सभी जानकारी के बारे में उसके कक्षक तरंग फलन $\psi$ में संग्रहीत होती है और क्वांटम भौतिकी के कारण इस जानकारी को $\psi$ से निकाला जा सकता है।

5. परमाणु के बिंदु पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता उस बिंदु पर कक्षक तरंग फलन के वर्ग के समानुपाती होती है, अर्थात $|\psi|^{2}$. $|\psi|^{2}$ को प्रायिकता घनत्व के रूप में जाना जाता है और यह हमेशा धनात्मक होता है। परमाणु के भिन्न-भिन्न बिंदुओं पर $|\psi|^{2}$ के मान से यह अनुमान लगाया जा सकता है कि नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉन के सबसे संभावित क्षेत्र कहां होगा।

2.6.1 कक्षक और क्वांटम संख्या

एक परमाणु में एक बड़ी संख्या में कक्षक संभव हो सकते हैं। गुणात्मक रूप से ये कक्षक

परमाणु कक्षक अपने आकार, आकृति और उनकी दिशा द्वारा अलग होते हैं। एक छोटे आकार के कक्षक में इलेक्ट्रॉन के नाभिक के पास पाए जाने की संभावना अधिक होती है। आकृति और दिशा के कारण इलेक्ट्रॉन के कुछ दिशाओं में पाए जाने की संभावना अन्य दिशाओं की तुलना में अधिक होती है। परमाणु कक्षक को ठीक तौर पर उन तीन अवस्थाओं द्वारा अलग किया जाता है जिन्हें क्वांटम संख्या कहा जाता है। प्रत्येक कक्षक को तीन क्वांटम संख्याओं $n, l$ और $m_{l}$ द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है।

मुख्य क्वांटम संख्या ’ $n$ ’ एक धनात्मक पूर्णांक होती है जिसका मान $n=1,2,3$ होता है। मुख्य क्वांटम संख्या कक्षक के आकार और बहुत बड़े अंश तक ऊर्जा को निर्धारित करती है। हाइड्रोजन परमाणु और हाइड्रोजन जैसे विषम प्रकार $\left(\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}, \ldots\right.$. आदि) में कक्षक की ऊर्जा और आकार केवल ’ $n$ ’ पर निर्भर करते हैं।

मुख्य क्वांटम संख्या एक साथ भी चिह्नित करती है। मुख्य क्वांटम संख्या ’ $n$ ’ के मान में वृद्धि के साथ, अनुमत ऑर्बिटल की संख्या बढ़ती जाती है और वे ’ $n$ ’ द्वारा दिए जाते हैं। एक दिए गए मान के लिए ’ $n$ ’ के सभी ऑर्बिटल एक परमाणु के एक शेल का निर्माण करते हैं और निम्नलिखित अक्षरों द्वारा प्रस्तुत किए जाते हैं

$ \begin{array}{rlrlll} n & =1 & 2 & 3 & 4 \\ \text { Shell } & =\mathrm{K} & \mathrm{L} & \mathrm{M} & \mathrm{N} \end{array} $

ऑर्बिटल के आकार मुख्य क्वांटम संख्या ’ $n$ ’ के बढ़ने के साथ बढ़ता है। अन्य शब्दों में, इलेक्ट्रॉन नाभिक से दूर रहेगा। चूंकि नकारात्मक आवेश वाले इलेक्ट्रॉन को धनात्मक आवेश वाले नाभिक से दूर ले जाने में ऊर्जा की आवश्यकता होती है, इसलिए ऑर्बिटल की ऊर्जा $n$ के बढ़ने के साथ बढ़ती जाएगी।

अक्षीय क्वांटम संख्या। ’ $l$ ’ को आवर्ती कोणीय संवेग या सहायक क्वांटम संख्या के रूप में भी जाना जाता है। यह ऑर्बिटल के तीन-विमीय आकार को परिभाषित करता है। एक दिए गए मान के $n$ के लिए, $l$ के मान $n$ के बराबर हो सकते हैं जो 0 से $n-1$ तक बढ़ते हैं, अर्थात, एक दिए गए मान के $n$ के लिए $l$ के संभावित मान हैं: $l=0,1,2$, $(n-1)$

उदाहरण के लिए, जब $n=1$ होता है, तो $l$ का मान केवल 0 होता है। $n=2$ के लिए, $l$ के संभावित मान 0 और 1 हो सकते हैं। $n=3$ के लिए, $l$ के संभावित मान 0, 1 और 2 हो सकते हैं।

प्रत्येक शेल में एक या अधिक उप-शेल या उप-स्तर होते हैं। मुख्य शेल में उप-शेल की संख्या $n$ के मान के बराबर होती है। उदाहरण के लिए, पहले शेल $(n=1)$ में केवल एक उप-शेल होता है जो $l=0$ के संगत होता है। दूसरे शेल $(n=2)$ में दो उप-शेल $(l=0,1)$ होते हैं, तीसरे शेल $(n=3)$ में तीन $(l=0,1,2)$ उप-शेल होते हैं और इसी तरह आगे। प्रत्येक उप-शेल को एक अक्षीय क्वांटम संख्या ( $l$ ) निर्धारित किया जाता है। विभिन्न मान के $l$ के लिए उप-शेल को निम्नलिखित चिह्नों द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है।

$ \begin{array}{lcccccccccc} \text{Value of l} :& 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & ….. \\ \text{notation for sub shell} &s & p & d & f & g & h & ….. \end{array} $

तालिका 2.4 में दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या के लिए ’ $l$ ’ के अनुमत मान और संगत उप-शेल नोटेशन दिखाए गए हैं।

तालिका 2.4 उप-शेल नोटेशन

| 4 | 0 | $4 s$ | | 4 | 1 | $4 p$ | | 4 | 2 | $4 d$ | | 4 | 3 | $4 f$ |

चुंबकीय कक्षक क्वांटम संख्या। ’ $m_{l}$ ’ कक्षक के स्थानिक दिशा के संदर्भ में मानक सह-अक्ष के संबंध में जानकारी प्रदान करता है। किसी भी उप-कक्षक (जो ’ $l$ ’ के मान द्वारा परिभाषित होता है) के लिए $2 l+1$ मानों के $\mathrm{m}_l$ संभव होते हैं और ये मान इस प्रकार होते हैं: $m_l=-l,-(l-1),-(l-2) \ldots 0,1 \ldots(l-2),(l-1), l$

इसलिए $l=0$ के लिए $m_{l}=0$ केवल अनुमत मान है, [2(0)+1=1, एक $\mathrm{s}$ कक्षक]। $l=1$ के लिए $m_{l}$ के मान $-1, 0$ और $+1$ हो सकते हैं [2(1)+1=3, तीन $\mathrm{p}$ कक्षक]। $l=2$ के लिए $m_{l}=-2,-1,0,+1$ और +2 हो सकते हैं, [2(2)+1=5, पांच $\mathrm{d}$ कक्षक]। ध्यान दें कि $m_{l}$ के मान $l$ से निर्मित होते हैं और $l$ के मान $n$ से निर्मित होते हैं।

प्रत्येक परमाणु में ऑर्बिटल, इसलिए, $n, l$ और $m_{l}$ के एक सेट के मान द्वारा परिभाषित किया जाता है। एक ऑर्बिटल जो कि क्वांटम संख्या $n=2, l=1, m_{l}=0$ द्वारा वर्णित होता है, दूसरे कोश के $p$ उपकोश में ऑर्बिटल होता है। नीचे दिया गया चार्ट उपकोश और इसके संगत ऑर्बिटल की संख्या के बीच संबंध दिखाता है।

इलेक्ट्रॉन चुंबकीय बर्न ’ $s$ ’ : एक परमाणु कक्षक के तीन क्वांटम संख्या जो इसकी ऊर्जा, आकृति और विन्यास को परिभाषित कर सकते हैं, इसके ऊर्जा, आकृति और विन्यास को बराबर रूप से परिभाषित कर सकते हैं। लेकिन इन तीन क्वांटम संख्याओं के अतिरिक्त एक बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु के मामले में देखे गए रेखा स्पेक्ट्रम को समझने के लिए पर्याप्त नहीं है, अर्थात, कुछ रेखाएं वास्तव में द्विस्पेक्ट्रम (दो करीब-करीब रेखाएं), त्रिस्पेक्ट्रम (तीन करीब-करीब रेखाएं) आदि के रूप में दिखाई देती हैं। यह तीन क्वांटम संख्याओं द्वारा अनुमानित ऊर्जा स्तरों से अधिक कुछ अतिरिक्त ऊर्जा स्तरों की उपस्थिति की संभावना बताता है।

1925 में, जॉर्ज युहलेनबेक और सैमुएल गौड्समिट ने चौथे क्वांटम संख्या की उपस्थिति की घोषणा की, जिसे इलेक्ट्रॉन चुंबकीय संख्या के रूप में जाना जाता है $\left(\boldsymbol{m}_s\right)$. एक इलेक्ट्रॉन अपने अक्ष के चारों ओर घूमता है, जिसके अतिरिक्त पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमते हुए अपने अक्ष के चारों ओर घूमती है। अन्य शब्दों में, एक इलेक्ट्रॉन के अलावा आवेश और द्रव्यमान के अतिरि्त, अंतर्निहित चुंबकीय घूर्णन क्वांटम संख्या भी होती है। इलेक्ट्रॉन के घूर्णन आवेश वेक्टर राशि होती है, जो चुने गए अक्ष के संबंध में दो विन्यास रख सकती है। इन दो विन्यासों को $m_s$ चुंबकीय संख्या द्वारा अलग किया जाता है, जो $+1 / 2$ या $-1 / 2$ के मान ले सकते हैं। इन्हें इलेक्ट्रॉन के दो चुंबकीय अवस्थाओं के रूप में जाना जाता है और आमतौर पर दो बार्र द्वारा $\uparrow$ (चुंबकीय ऊपर) और $\downarrow$ (चुंबकीय नीचे) द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है। दो इलेक्ट्रॉन जिनके $m_s$ मान अलग होते हैं (एक $+1 / 2$ और दूसरा $-1 / 2$) विपरीत चुंबकीय अवस्थाओं के कहे जाते हैं। एक कक्षक में अधिक दो इलेक्ट्रॉन नहीं रह सकते और इन दो इलेक्ट्रॉनों के विपरीत चुंबकीय अवस्थाएं होनी चाहिए।

संक्षिप्त रूप में, चार क्वांटम संख्याएँ निम्नलिखित जानकारी प्रदान करती हैं :

i) $\quad \boldsymbol{n}$ शेल को परिभाषित करता है, ऑर्बिटल के आकार को निर्धारित करता है और ऑर्बिटल की ऊर्जा को बहुत बड़े अंश तक निर्धारित करता है।

ii) $n^{\text {th }}$ शेल में $n$ सबशेल होते हैं। $l$ सबशेल को पहचानता है और ऑर्बिटल के आकार को निर्धारित करता है (अनुच्छेद 2.6.2 देखें)। एक सबशेल में प्रत्येक प्रकार के $(2 l+1)$ ऑर्बिटल होते हैं, अर्थात, एक $s$ ऑर्बिटल $(l=0)$, तीन $p$ ऑर्बिटल $(l=1)$ और पांच $d$ ऑर्बिटल $(l=2)$ प्रत्येक सबशेल में होते हैं। एक बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु में ऑर्बिटल की ऊर्जा को बहुत बड़े अंश तक $l$ भी निर्धारित करता है।

iii) $\boldsymbol{m}_l$ ऑर्बिटल के उत्पादन के अनुरूपता को दर्शाता है। एक निश्चित $l$ के मान के लिए $m_l$ के $(2 l+1)$ मान होते हैं, जो उप-कोश में ऑर्बिटल की संख्या के समान होते हैं। इसका अर्थ यह है कि ऑर्बिटल की संख्या उनके अनुरूपता के तरीकों की संख्या के बराबर होती है।

iv) $\boldsymbol{m}_{\mathrm{s}}$ इलेक्ट्रॉन के घूर्णन के अनुरूपता को दर्शाता है।

ऑर्बिट, ऑर्बिटल और इसका महत्व

ऑर्बिट और ऑर्बिटल एक दूसरे के बराबर नहीं होते। बोहर द्वारा प्रस्तावित ऑर्बिट, एक इलेक्ट्रॉन के नाभिक के चारों ओर घूमने वाली वृत्ताकार पथ को दर्शाता है। हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, इलेक्ट्रॉन के इस पथ का एक सटीक विवरण संभव नहीं है। इसलिए बोहर ऑर्बिट के कोई वास्तविक अर्थ नहीं होते और उनकी वास्तविकता कभी भी प्रयोगात्मक रूप से साबित नहीं की जा सकती। विपरीत, एक परमाणु ऑर्बिटल एक क्वांटम भौतिकी की अवधारणा है और एक परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन तरंग फलन $\psi$ को संदर्भित करता है। यह तीन क्वांटम संख्याओं $(n, l$ और $m_{l}$) द्वारा विशिष्ट होता है और इसका मान इलेक्ट्रॉन के निर्देशांक पर निर्भर करता है। $\psi$ अपने आप में कोई भौतिक अर्थ नहीं रखता। इसके वर्ग के अर्थ भौतिक होता है, अर्थात $|\psi|^{2}$। किसी भी बिंदु पर $|\psi|^{2}$ उस बिंदु पर बर्तन घनत्व का मान देता है। बर्तन घनत्व $\left(|\psi|^{ द्वारा इलेक्ट्रॉन के बर्तन में उपस्थिति की प्रायिकता देता है। बर्तन घनत्व $\left(|\psi|^{2}\right)$ इकाई आयतन पर प्रायिकता होती है और $|\psi|^{2}$ और छोटे आयतन (जिसे आयतन अवयव कहा जाता है) के गुणनफल से इलेक्ट्रॉन के उस आयतन में उपस्थिति की प्रायिकता प्राप्त होती है (छोटे आयतन अवयव के निर्देशन के कारण $|\psi|^{2}$ अंतरिक विस्तार में एक जगह से दूसरी जगह बदल जाता है लेकिन छोटे आयतन अवयव के भीतर इसका मान एक स्थिर मान के रूप में मान लिया जा सकता है)। एक दिए गए आयतन में इलेक्ट्रॉन के बर्तन की कुल प्रायिकता की गणना करने के लिए, $|\psi|^{2}$ और संगत आयतन अवयव के सभी गुणनफल के योग का उपयोग किया जा सकता है। इस प्रकार एक ऑर्बिटल में इलेक्ट्रॉन के संभावित वितरण की गणना की जा सकती है।

समस्या 2.17

$ n=3 $ के मुख्य क्वांटम संख्या के साथ कुल कक्षकों की संख्या कितनी होती है?

हल

$ n=3 $ के लिए $ l $ के संभावित मान 0, 1 और 2 हैं। इसलिए, एक $ 3s $ कक्षक होता है ($ n=3, l=0 $ और $ m_l=0 $); तीन $ 3p $ कक्षक होते हैं ($ n=3, l=1 $ और $ m_l=-1, 0, +1 $); पांच $ 3d $ कक्षक होते हैं ($ n=3, l=2 $ और $ m_l=-2, -1, 0, +1, +2 $)।

इसलिए, कुल कक्षकों की संख्या $ 1+3+5=9 $ होती है।

इसी मान को संख्या कक्षक $ = n^{2} $ के संबंध का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात $ 3^{2}=9 $।

समस्या 2.18

$ s, p, d $, $\mathrm{f}$ नोटेशन का उपयोग करके निम्नलिखित क्वांटम संख्याओं वाले ऑर्बिटल का वर्णन करें

(a) $ n=2, l=1 $, (b) $ n=4, l=0 $, (c) $ n=5 $, $ l=3 $, (d) $ n=3, l=2 $

हल

2.6.2 परमाणु ऑर्बिटल के आकार

एक परमाणु में इलेक्ट्रॉन के ऑर्बिटल तरंग फलन या $\psi$ कोई भौतिक अर्थ नहीं रखता है। यह केवल इलेक्ट्रॉन के निर्देशांक के एक गणितीय फलन है। हालांकि, विभिन्न ऑर्बिटल के अनुप्रस्थ तरंग फलन के आलेख $ r $ (माइक्रोस्कोपिक नाभिक से दूरी) के फलन के रूप में अलग-अलग होते हैं। चित्र 2.12(a) में $ 1s (n=1, l=0) $ और $ 2s $ $(n=2, l=0)$ ऑर्बिटल के ऐसे आलेख दिए गए हैं।

चित्र 2.12 (a) ऑर्बिटल तरंग फलन ψ(r) के आलेख; (b) इलेक्ट्रॉन के नाभिक से दूरी r के फलन के रूप में प्रायिकता घनत्व ψ (r) के आलेख जो 1s और 2s ऑर्बिटल के लिए हैं।

जर्मन भौतिकविद, मैक्स बोर्न के अनुसार, एक बिंदु पर तरंग फलन का वर्ग (अर्थात, $\psi^{2}$) उस बिंदु पर इलेक्ट्रॉन की प्रायिकता घनत्व देता है। 1s और 2s ऑर्बिटल के लिए $\psi^{2}$ के r के फलन के आलेख चित्र 2.12(b) में दिए गए हैं। यहाँ फिर से आप ध्यान दे सकते हैं कि 1s और 2s ऑर्बिटल के आलेख अलग-अलग हैं।

ध्यान दिया जा सकता है कि $1 \mathrm{~s}$ ऑर्बिटल के लिए प्रायिकता घनत्व नाभिक पर अधिकतम होता है और इसके बाहर जैसे ही हम दूर जाते हैं, वह तीव्र गति से घटता जाता है। दूसरी ओर, $2 s$ ऑर्बिटल के लिए प्रायिकता घनत्व पहले तीव्र गति से शून्य तक घटता है और फिर बढ़ने लगता है। जब यह छोटे अधिकतम तक पहुँचता है तो फिर से घटता जाता है और जैसे ही $r$ का मान अधिक होता जाता है, वह शून्य के निकट आ जाता है। इस प्रायिकता घनत्व फलन के जहाँ शून्य हो जाता है उस क्षेत्र को नोडल सतह या सरलता से नोड कहा जाता है। सामान्य रूप से यह पाया गया है कि $n s$-ऑर्बिटल में $(n-1)$ नोड होते हैं, अर्थात, मुख्य क्वांटम संख्या $n$ के बढ़ने के साथ-साथ नोड की संख्या बढ़ती जाती है। अन्य शब्दों में, $2 s$ ऑर्बिटल के लिए नोड की संख्या एक होती है, $3 s$ के लिए दो और इसी तरह आगे चलकर।

इन प्रायिकता घनत्व के विवरण को चार्ज क्लाउड आरेखों के माध्यम से [चित्र 2.13(a)] देखा जा सकता है। इन आरेखों में, क्षेत्र में बिंदुओं की घनत्व उस क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन की प्रायिकता घनत्व को प्रदर्शित करता है।

सीमा सतह आरेख विभिन्न ऑर्बिटल के लिए निरंतर प्रायिकता घनत्व के लिए ऑर्बिटल के आकार का एक अच्छा प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं। इस प्रतिनिधित्व में, एक ऑर्बिटल के लिए एक सीमा सतह या सीमा सतह खींची जाती है जहां प्रायिकता घनत्व $|\psi|^{2}$ का मान निरंतर होता है। सिद्धांत रूप से कई ऐसी सीमा सतह भी संभव हो सकती हैं। हालांकि, एक दिए गए ऑर्बिटल के लिए केवल उस सीमा सतह के आरेख को ले लिया जाता है जो एक ऐसे क्षेत्र या आयतन को घेरता है जहां इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता बहुत उच्च होती है, जैसे कि $90 %$। $1 s$ और $2 s$ ऑर्बिटल के सीमा सतह आरेख चित्र 2.13(b) में दिए गए हैं। एक प्रश्न उठाया जा सकता है: क्यों हम एक ऐसे सीमा सतह आरेख का बनाने के लिए नहीं जा रहे हैं जो एक क्षेत्र को घेरता हो जहां इलेकट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $100 %$ होती है? इस प्रश्न का उत्तर यह है कि प्रायिकता घनत्व $|\psi|^{2}$ कभी भी नाभिक से किसी आवश्यक दूरी पर कम से कम किसी मान के साथ होता है। इसलिए, एक ऐसे सीमा सतह आरेख के बनाना संभव नहीं है जहां इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता $100 %$ होती है। एक $s$ ऑर्बिटल के सीमा सतह आरेख वास्तव में नाभिक के केंद्रित एक गोला होता है। दो आयाम में, यह गोला एक वृत्त के रूप में दिखाई देता है। यह एक क्षेत्र को घेरता है जहां इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता लगभग $90 %$ होती है।

इस प्रकार हम देखते हैं कि $1 s$ और $2 s$ कक्षक स्फेरिक आकार के होते हैं। वास्तविकता में सभी s-कक्षक स्फेरिक सममिति के होते हैं, अर्थात, एक निश्चित दूरी पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता सभी दिशाओं में समान होती है। यह भी देखा गया है कि $s$ कक्षक के आकार में वृद्धि $n$ में वृद्धि के साथ होती है, अर्थात, $4 s>3 s>2 s>1 s$ और इलेक्ट्रॉन परमाणु के केंद्र से दूर जैसे-जैसे मुख्य क्वांटम संख्या बढ़ती जाती है, उसकी स्थिति भी दूर तक होती जाती है।

चित्र 2.14 तीन 2p कक्षकों के सीमा सतह चित्र

तीन $2 p$ कक्षकों $(l=1)$ के सीमा सतह चित्र चित्र 2.14 में दिखाए गए हैं। (a) में इन चित्रों में, नाभिक मूल बिंदु पर है। यहाँ, s-कक्षकों के विपरीत, सीमा सतह चित्र गोल नहीं होते। बजाय इसके, प्रत्येक $p$ कक्षक दो भागों, जिन्हें लोब कहा जाता है, से मिलकर बना होता है जो नाभिक के माध्यम से गुजरने वाले तल के दोनों ओर स्थित होते हैं। दोनों लोबों के बीच तल पर इलेक्ट्रॉन के पाए जाने की प्रायिकता घनत्व[^3] शून्य होती है। तीन कक्षकों के आकार, आकृति और ऊर्जा समान हैं। हालांकि, लोबों के उन्नत दिशाओं में अंतर होता है। चूंकि लोबों को x, y या z अक्ष के अनुदिश माना जा सकता है, इन्हें $2 p_{x}, 2 p_{y}$ और $2 p_{z}$ के रूप में नामित किया जाता है। हालांकि, $m_{l}(-1,0$ और +1$)$ के मानों और x, y और z दिशाओं के बीच कोई सरल संबंध नहीं होता।

चित्र 2.15 पांच 3d ऑर्बिटल के सीमा सतह आरेख।

हमारे उद्देश्य के लिए पर्याप्त है कि याद रखें कि, क्योंकि $m_{l}$ के तीन संभावित मान हो सकते हैं, इसलिए तीन $p$ ऑर्बिटल होते हैं जिनके अक्ष एक दूसरे से लंबवत होते हैं। $s$ ऑर्बिटल के जैसे, $p$ ऑर्बिटल भी मुख्य क्वांटम संख्या के बढ़ने के साथ आकार और ऊर्जा में बढ़ते हैं और इसलिए विभिन्न $p$ ऑर्बिटल के ऊर्जा और आकार के क्रम $4p > 3p > 2p$ होता है। इसके अतिरिक्त, $s$ ऑर्बिटल के जैसे, $p$-ऑर्बिटल के प्रायिकता घनत्व फलन भी नाभिक से दूरी के बढ़ने के साथ शून्य मान पार करते हैं, तथा शून्य और अनंत दूरी पर भी शून्य मान पार करते हैं। नोड की संख्या $n-2$ द्वारा दी जाती है, अर्थात 3p ऑर्बिटल के लिए त्रिज्या नोड की संख्या 1 होती है, 4p ऑर्बिटल के लिए 2 होती है और इसी तरह आगे चलकर।

$ l = 2 $ के लिए, ऑर्बिटल को $ d $-ऑर्बिटल के रूप में जाना जाता है और मुख्य क्वांटम संख्या $ (n) $ का न्यूनतम मान 3 होना आवश्यक है, क्योंकि $ l $ का मान $ n-1 $ से अधिक नहीं हो सकता। $ l = 2 $ के लिए पांच $ m_{l} $ मान $(-2, -1, 0, +1$ और +2$)$ होते हैं और इसलिए पांच $ d $ ऑर्बिटल होते हैं। $ d $ ऑर्बिटल के सीमा सतह आरेख चित्र 2.15 में दिखाए गए हैं।

पांच $ d $-ऑर्बिटल को $ d_{\mathrm{xy}} $, $ d_{\mathrm{yz}} $, $ d_{\mathrm{xz}} $, $ d_{\mathrm{x}^{2}-\mathrm{y}^{2}} $ और $ d_{\mathrm{z}^{2}} $ के रूप में निर्धारित किया जाता है। पहले चार $ d $-ऑर्बिटल के आकार एक दूसरे से समान होते हैं, जबकि पांचवें $ d_{z^{2}} $ के आकार अन्य से भिन्न होता है, लेकिन सभी पांच $ 3d $ ऑर्बिटल ऊर्जा के अनुसार समान होते हैं। जहां $ n $ का मान 3 से अधिक होता है (जैसे 4d, 5d…) वहां ऑर्बिटल के आकार $ 3d $ ऑर्बिटल के समान होते हैं, लेकिन ऊर्जा और आकार में अंतर होता है।

साथ ही, त्रिज्या नोड्स (अर्थात, प्रायिकता घनत्व फलन शून्य होता है) के अलावा, $\mathrm{n} p$ और $\mathrm{nd}$ कक्षकों के प्रायिकता घनत्व फलन नाभिक (मूल बिंदु) से गुजरने वाले समतल (s) पर शून्य होते हैं। उदाहरण के लिए, $p_{z}$ कक्षक के लिए xy-समतल एक नोडल समतल होता है, जबकि $d_{\mathrm{xy}}$ कक्षक के लिए दो नोडल समतल नाभिक (मूल बिंदु) से गुजरते हैं और xy-समतल को बराबर बांटते हैं, जिसमें z-अक्ष समाहित होता है। इन्हें कोणीय नोड्स कहा जाता है और कोणीय नोड्स की संख्या ’ $l$ ’ द्वारा दी जाती है, अर्थात, $p$ कक्षक के लिए एक कोणीय नोड, $d$ कक्षक के लिए दो कोणीय नोड आदि। कुल नोड्स की संख्या ( $n-1$ ) द्वारा दी जाती है, अर्थात, $l$ कोणीय नोड और $(n-l-1)$ त्रिज्या नोड के योग।

2.6.3 कक्षाओं की ऊर्जा

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा मुख्य क्वांटम संख्या द्वारा ही निर्धारित की जाती है। इसलिए हाइड्रोजन परमाणु में कक्षाओं की ऊर्जा निम्नलिखित क्रम में बढ़ती है:

$1 s<2 s=2 p<3 s=3 p=3 d<4 s=4 p=4 d$ $=4 f<$ और इसे चित्र 2.16 में दर्शाया गया है। हालांकि $2 s$ और $2 p$ कक्षाओं के आकार अलग-अलग हैं, लेकिन जब इलेक्ट्रॉन $2 s$ कक्षा में होता है तो उसकी ऊरजा $2 p$ कक्षा में होने पर बराबर होती है। ऐसी कक्षाओं जिनकी ऊर्जा समान होती है, अपस्थिति अवस्था कहलाती हैं। जैसा कि पहले कह चुके हैं, हाइड्रोजन परमाणु में $1 s$ कक्षा सबसे स्थायी अवस्था को दर्शाती है और इसे आधार अवस्था कहते हैं और इस कक्षा में रहने वाला इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा सबसे अधिक बंधित होता है। हाइड्रोजन परमाणु में $2 s, 2 p$ या उच्चतर कक्षाओं में रहने वाला इलेक्ट्रॉन उत्तेजित अवस्था में होता है।

चित्र 2.16 ऊर्जा स्तर आरेख एक इलेक्ट्रॉन वाले परमाणु (a) हाइड्रोजन परमाणु और (b) बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु के कुछ इलेक्ट्रॉनिक शेल के लिए। ध्यान दें कि हाइड्रोजन परमाणु के लिए मुख्य क्वांटम संख्या के समान मान वाले ऑर्बिटल, भले ही अक्षांशीय क्वांटम संख्या अलग हो, भी समान ऊर्जा रखते हैं। बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु के मामले में, मुख्य क्वांटम संख्या के समान ऑर्बिटल अलग-अलग ऊर्जा रखते हैं।

अक्षीय क्वांटम संख्या

एक बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा, जैसा कि हाइड्रोजन परमाणु में नहीं, अपने मुख्य क्वांटम संख्या (शेल) केवल नहीं, बल्कि अक्षीय क्वांटम संख्या (उपशेल) पर भी निर्भर करती है। अर्थात, एक दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या के लिए, $s$, $p, d, f \ldots$ सभी अलग-अलग ऊर्जा के होते हैं। एक दिए गए मुख्य क्वांटम संख्या के भीतर, ऑर्बिटल की ऊर्जा $s < p < d < f$ के क्रम में बढ़ती है। उच्च ऊर्जा स्तरों के लिए, इन अंतर अत्यधिक स्पष्ट और ऑर्बिटल ऊर्जा के विक्षेपण के परिणामस्वरूप हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, $4s < 3d$ और $6s < 5d ; 4f < 6p$। उपशेल के अलग-अलग ऊर्जा के मुख्य कारण बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु में इलेक्ट्रॉनों के बीच एक दूसरे के साथ प्रतिकर्षण है। हाइड्रोजन परमाणु में एकमात्र विद्युतीय संबंध इलेक्ट्रॉन के नकारात्मक आवेश और धनात्मक आवेश वाले नाभिक के बीच आकर्षण है। बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु में, इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच आकर्षण के अलावा, परमाणु में उपस्थित हर इलेक्ट्रॉन और अन्य इलेक्ट्रॉन के बीच प्रतिकर्षण पद के अतिरिक्त भी होते हैं। इसलिए, बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन की स्थिरता वह है कि कुल आकर्षण परिस्थितियाँ प्रतिकर्षण परिस्थितियों से अधिक होती हैं। सामान्यतः, बाहरी शेल के इलेक्ट्रॉनों के बीच आंतरिक शेल के इलेक्ट्रॉनों के साथ प्रतिकर्षण अधिक महत्वपूर्ण होता है। दूसरी ओर, एक इलेक्ट्रॉन के आकर्षण परिस्थितियाँ नाभिक के धनात्मक आवेश $(Z e)$ के बढ़ने के साथ बढ़ती हैं। आंतरिक शेल में इलेक्ट्रॉनों की उपस्थिति के कारण, बाहरी शेल के इलेक्ट्रॉन नाभिक के पूर्ण धनात्मक आवेश $(Z e)$ का अनुभव नहीं करेंगे। आंतरिक शेल के इलेक्ट्रॉन द्वारा नाभिक के धनात्मक आवेश के आंशिक छाया डालने के कारण इस प्रभाव को कम कर देंगे। इसे नाभिक से बाहरी शेल के इलेक्ट्रॉन के छाया करने के रूप में जाना जाता है, और बाहरी इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किए गए नेट धनात्मक आवेश को प्रभावी नाभिक आवेश $\left(Z_{\text {eff }} e\right.)$ के रूप में जाना जाता है। आंतरिक शेल के इलेक्ट्रॉन द्वारा बाहरी इलेक्ट्रॉन के नाभिक से छाया करने के बावजूद, बाहरी शेल के इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किए गए आकर्षण बल नाभिक आवेश के बढ़ने के साथ बढ़ता है। अन्य शब्दों में, नाभिक और इलेक्ट्रॉन के बीच अंतरक्रिया की ऊर्जा

(यानि कक्षीय ऊर्जा) कम होती जाती है (यानि अधिक नकारात्मक) परमाणु क्रमांक $(\boldsymbol{Z})$ के बढ़ने के साथ।

दोनों आकर्षण और प्रतिकर्षण संबंध उस कक्षा और आकृति के आधार पर निर्भर करते हैं जिसमें इलेक्ट्रॉन उपस्थित होते हैं। उदाहरण के लिए, गोलीय आकृति वाले, $s$ कक्षा में उपस्थित इलेक्ट्रॉन, $p$ कक्षा में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की तुलना में नाभिक से बाहरी इलेक्ट्रॉनों को अधिक प्रभावपूर्वक छिपाते हैं। इसी तरह, $p$ कक्षा में उपस्थित इलेक्ट्रॉन, $d$ कक्षा में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की तुलना में नाभिक से बाहरी इलेक्ट्रॉनों को अधिक छिपाते हैं, हालांकि सभी ये कक्षा एक ही कक्षा में उपस्थित होते हैं। एक ही कक्षा के भीतर, $s$ कक्षा के गोलीय आकृति के कारण, $s$ कक्षा के इलेक्ट्रॉन नाभिक के पास अधिक समय बिताते हैं, जो $p$ कक्षा के इलेक्ट्रॉन की तुलना में होता है, जो फिर $d$ कक्षा के इलेक्ट्रॉन की तुलना में नाभिक के पास अधिक समय बिताते हैं। अन्य शब्दों में, एक ही कक्षा (मुख्य क्वांटम संख्या) के लिए, इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया $Z_{\text {eff }}$ कम होता जाता है जब अक्षीय क्वांटम संख्या $( l)$ बढ़ती जाती है, अर्थात, $s$ कक्षा के इलेक्ट्रॉन नाभिक के अधिक घनिष्ठ रूप से बंधे होते हैं जो $p$ कक्षा के इलेक्ट्रॉन की तुलना में होते हैं, जो फिर $d$ कक्षा के इलेक्ट्रॉन की तुलना में अधिक घनिष्ठ रूप से बंधे होते हैं। $s$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $p$ कक्षा के इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा की तुलना में कम (अधिक नकारात्मक) होती है, जो $d$ कक्षा के इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा की तुलना में कम होती है और इतने आगे। क्योंकि विभिन्न कक्षा में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों के नाभिक से छिपाव की मात्रा अलग-अलग होती है, इसलिए एक ही कक्षा (या मुख्य क्वांटम संख्या) में ऊर्जा स्तरों के विभाजन होता है, अर्थात, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, एक कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $n$ और $l$ के मानों पर निर्भर करती है। गणितीय रूप से, कक्षा की ऊर्जा $n$ और $l$ पर निर्भरता बहुत जटिल होती है, लेकिन एक सरल नियम यह है कि, एक कक्षा के लिए $(n+l)$ के मान कम होने पर उसकी ऊर्जा भी कम होती है। यदि दो कक्षाओं के $(n+l)$ के मान समान हों, तो उस कक्षा के जिसका $n$ का मान कम हो उसकी ऊर्जा कम होती है। तालिका 2.5 $(n+l)$ नियम को दर्शाती है और आकृति 2.16 बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु के ऊर्जा स्तरों को दर्शाती है। ध्यान देने योग्य है कि बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु में एक ही कक्षा के विभिन्न उपकक्षा अलग-अलग ऊर्जा के रूप में होते हैं। हालांकि, हाइड्रोजन परमाणु में ये समान ऊर्जा के रूप में होते हैं। अंत में यह ध्यान देने योग्य है कि एक ही उपकक्षा में उपस्थित कक्षा के इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा परमाणु क्रमांक $\left(\boldsymbol{Z}_{\text {eff }}\right)$ के बढ़ने के साथ कम होती जाती है।

तालिका 2.5 (n + l) नियम के आधार पर ऊर्जा के बढ़ते क्रम में ऑर्बिटल के व्यवस्था

उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन परमाणु के $2 s$ ऑर्बिटल की ऊर्जा, लिथियम के $2 s$ ऑर्बिटल की ऊर्जा से अधिक होती है और लिथियम की ऊर्जा सोडियम की ऊर्जा से अधिक होती है और इसी तरह आगे, अर्थात, $E_{2 s}(\mathrm{H})>E_{2 एस}(\mathrm{Li})>E_{2 s}(\mathrm{Na})>E_{2 s}(\mathrm{~K})$।

2.6.4 परमाणु में कक्षकों की भरपूरता

अलग-अलग परमाणुओं के कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की भरपूरता अफ़्बाउ प्रमुखता के अनुसार होती है, जो पॉली के अपवाद सिद्धांत, हंड के अधिकतम गुणप्रमुखता नियम और कक्षकों की संबंधित ऊर्जा पर आधारित होता है।

अफ़्बाउ सिद्धांत

जर्मन शब्द ‘अफ़्बाउ’ का अर्थ ‘निर्माण’ होता है। कक्षकों के निर्माण का अर्थ कक्षकों में इलेक्ट्रॉनों की भरपूरता होती है। यह सिद्धांत कहता है कि परमाणु के आधार अवस्था में, कक्षक उनकी बढ़ती ऊर्जा के क्रम में भरे जाते हैं। अन्य शब्दों में, इलेक्ट्रॉन सबसे कम ऊर्जा वाले उपलब्ध कक्षक में पहले भरे जाते हैं और कम ऊर्जा वाले कक्षक भर जाने के बाद उच्च ऊर्जा वाले कक्षक में प्रवेश करते हैं। जैसा कि आप ऊपर सीख चुके हैं, एक निश्चित कक्षक की ऊर्जा परमाणु के प्रभावी नाभिकीय आवेश और विभिन्न प्रकार के कक्षकों के विभिन्न मात्रा में प्रभावित होती है। इसलिए, सभी परमाणुओं के लिए एक सामान्य ऊर्जा क्रम के लिए कोई एकल क्रम नहीं होता है।

हालांकि, ऑर्बिटल के ऊर्जा क्रम बहुत उपयोगी होता है:

$1 s, 2 s, 2 p, 3 s, 3 p, 4 s, 3 d, 4 p, 5 s, 4 d, 5 p, 4 f$, $5 d, 6 p, 7 s \ldots$

इस क्रम को याद रखने के लिए चित्र 2.17 में दिए गए विधि का उपयोग किया जा सकता है।

चित्र 2.17 ऑर्बिटल भरने का क्रम

ऊपर से शुरू करते हुए, बीम की दिशा ऑर्बिटल भरने के क्रम को दर्शाती है, अर्थात दाईं ओर से बाईं ओर नीचे की ओर। बाहरी सबसे अधिक वैलेंस इलेक्ट्रॉन के संबंध में, यह सभी परमाणुओं के लिए अद्वितीय रूप से सही होता है। उदाहरण के लिए, पोटेशियम के वैलेंस इलेक्ट्रॉन के बीच $3 d$ और $4 s$ ऑर्बिटल के बीच चुनाव करना पड़ता है और इस अनुक्रम के अनुसार, यह $4 s$ ऑर्बिटल में पाया जाता है। उपरोक्त क्रम को ऊर्जा स्तरों के भरने के लिए एक लगभग गैर-सटीक दिशा माना जाना चाहिए। कई मामलों में, ऑर्बिटल एक दूसरे के समान ऊर्जा के होते हैं और परमाणु संरचना में छोटे परिवर्तन ऑर्बिटल भरने के क्रम में परिवर्तन के कारण हो सकते हैं। फिर भी, उपरोक्त श्रृंखला एक परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक संरचना के निर्माण के लिए एक उपयोगी दिशा होती है, जब यह याद रखा जाए कि अपवाद हो सकते हैं।

पॉली अपवाद सिद्धांत

विभिन्न कक्षकों में भरे जाने वाले इलेक्ट्रॉन की संख्या को अपवाद सिद्धांत द्वारा सीमित किया जाता है, जो ऑस्ट्रियाई वैज्ञानिक वोल्फ़गैंग पॉली (1926) द्वारा दिया गया है। इस सिद्धांत के अनुसार : परमाणु में कोई दो इलेक्ट्रॉन चार क्वांटम संख्याओं के एक ही सेट के साथ नहीं हो सकते। पॉली अपवाद सिद्धांत को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है : “केवल दो इलेक्ट्रॉन एक ही कक्षक में उपस्थित हो सकते हैं और इन इलेक्ट्रॉनों के घूर्णन क्वांटम संख्या विपरीत होनी चाहिए।” इसका अर्थ यह है कि दो इलेक्ट्रॉन के $n, l$ और $m_{l}$ के मान एक ही हो सकते हैं, लेकिन घूर्णन क्वांटम संख्या विपरीत होनी चाहिए। पॉली के अपवाद सिद्धांत द्वारा कक्षक में इलेक्ट्रॉन की संख्या के लिए लगाए गए सीमा के कारण किसी भी उप-कक्षक में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की क्षमता की गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए, 1s उप-कक्षक में एक कक्षक होता है और इसलिए $1s$ उप-कक्षक में उपस्थित अधिकतम इलेक्ट्रॉन की संख्या दो हो सकती है, $p$ और $d$ उप-कक्षक में अधिकतम इलेक्ट्रॉन की संख्या क्रमशः 6 और 10 हो सकती है आदि। इसे सारांशित करें तो : मुख्य क्वांटम संख्या $\boldsymbol{n}$ वाले शेल में अधिकतम इलेक्ट्रॉन की संख्या $2 \boldsymbol{n}^{2}$ के बराबर होती है।

हंड के अधिकतम गुणपरिमाण नियम

इस नियम के बारे में बात कर रहे हैं जो एक ही उप-कोश (जिसे समान ऊर्जा के कोश कहा जाता है, जिन्हें अपसामान कोश कहा जाता है) के कोशों में इलेक्ट्रॉनों के भरने के बारे में है। यह कहता है कि एक ही उप-कोश ( $p, d$ या $f$ ) के कोशों में इलेक्ट्रॉनों के युग्मन के लिए पहले उस उप-कोश के प्रत्येक कोश में एक इलेक्ट्रॉन हो जाए जिसे एकल रूप से भरा गया हो।

क्योंकि तीन $p$, पांच $d$ और सात $f$ कोश होते हैं, इसलिए इलेक्ट्रॉनों के युग्मन क्रमशः 4 वें, 6 वें और आठवें इलेक्ट्रॉन के प्रवेश के बाद $p, d$ और $f$ कोशों में शुरू होता है। यह देखा गया है कि अपसामान कोशों के आधे भरे हुए और पूरी तरह से भरे हुए सेट अपने सममिति के कारण अतिरिक्त स्थिरता प्राप्त करते हैं (अनुच्छेद 2.6.7 देखें)।

2.6.5 परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास

एक परमाणु के ऑर्बिटल में इलेक्ट्रॉन के वितरण को उसकी इलेक्ट्रॉनिक विन्यास कहते हैं। यदि एक व्यक्ति विभिन्न परमाणु ऑर्बिटल के भरने के नियमों को ध्यान में रखे रहे, तो विभिन्न परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को बहुत आसानी से लिखा जा सकता है।

विभिन्न परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को दो तरीकों से प्रस्तुत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए :

(i) $s^{\mathrm{a}} p^{\mathrm{b}} d^{\mathrm{c}} \ldots .$. नोटेशन

(ii) ऑर्बिटल आरेख

पहले नोटेशन में, सबशेल को संगत अक्षर चिह्न द्वारा और सबशेल में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की संख्या को उपर्युक्त रूप में दर्शाया जाता है, जैसे a, b, c, … आदि। विभिन्न कोशों के लिए समान सबशेल को अलग करने के लिए मुख्य क्वांटम संख्या को संगत सबशेल के पहले लिखा जाता है। दूसरे नोटेशन में, सबशेल के प्रत्येक ऑर्बिटल को एक बॉक्स द्वारा और इलेक्ट्रॉन को एक तीर $(\uparrow)$ धनात्मक चक्रण या एक तीर $(\downarrow)$ नकारात्मक चक्रण के रूप में दर्शाया जाता है। दूसरे नोटेशन के पहले नोटेशन के तुलना में फायदा यह है कि यह सभी चार क्वांटम संख्याओं को दर्शाता है।

हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है जो न्यूनतम ऊर्जा वाले ऑर्बिटल में जाता है, अर्थात $1 \mathrm{~s}$. हाइड्रोजन परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 \mathrm{~s}^{1}$ होती है, जिसका अर्थ है कि इसमें $1 \mathrm{~s}$ ऑर्बिटल में एक इलेक्ट्रॉन होता है। हीलियम (He) में दूसरा इलेक्ट्रॉन भी $1 s$ ऑर्बिटल में बस सकता है। इसलिए इसकी विन्यास $1 s^{2}$ होती है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, दो इलेक्ट्रॉन एक दूसरे से विपरीत चुंबकीय घूर्णन के कारण भिन्न होते हैं, जिसे ऑर्बिटल आरेख से देखा जा सकता है।

तृतीय इलेक्ट्रॉन लिथियम (Li) के लिए $1 \mathrm{~s}$ ऑर्बिटल में नहीं रह सकता कारण पॉली अपवाहन सिद्धांत के कारण। इसलिए, यह अगले उपलब्ध विकल्प का चयन करता है, अर्थात $2 s$ ऑर्बिटल। लिथियम की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{2} 2 s^{1}$ होता है। $2 s$ ऑर्बिटल में एक अतिरिक्त इलेक्ट्रॉन रह सकता है। इसलिए, बेरिलियम (Be) परमाणु की विन्यास $1 s^{2} 2 s^{2}$ होता है (तालिका 2.6, पृष्ठ 66 देखें तत्वों के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास के लिए)।

अगले छह तत्वों-बोरॉन $\left(\mathrm{B}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{1}\right)$, कार्बन (C, $\left.1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{2}\right)$, नाइट्रोजन $\left(\mathrm{N}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{3}\right)$, ऑक्सीजन $\left(\mathrm{O}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{4}\right)$, फ्लूओरीन $\left(\mathrm{F}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{5}\right.$ ) और नियॉन (Ne, $\left.1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6}\right)$ में $2 p$ ऑर्बिटल धीरे-धीरे भरते जाते हैं। यह प्रक्रिया नियॉन परमाणु के साथ पूर्ण हो जाती है। इन तत्वों के ऑर्बिटल चित्र निम्नलिखित रूप में प्रस्तुत किए जा सकते हैं :

सोडियम ( $\mathrm{Na}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{1}$ ) से आर्गन ( $\left.\mathrm{Ar}, 1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6}\right)$ तक तत्वों की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास लिथियम से नीऑन तक तत्वों के विन्यास के ठीक अनुरूप होता है, अंतर यह है कि अब $3 s$ और $3 p$ कक्षक भर रहे हैं। यह प्रक्रिया यदि हम तत्व नीऑन (Ne) के नाम से पहले दो कोशों में इलेक्ट्रॉन के कुल संख्या को दर्शाएं तो सरल हो जाती है। सोडियम से आर्गन तक तत्वों की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को $\left(\mathrm{Na},[\mathrm{Ne}] 3 s^{1}\right)$ से (Ar, $\left.[\mathrm{Ne}] 3 s^{2} 3 p^{6}\right)$ लिखा जा सकता है। पूरी तरह से भरे कोश में उपस्थित इलेक्ट्रॉन को कोर इलेक्ट्रॉन कहा जाता है और उच्चतम मुख्य क्वांटम संख्या वाले कोश में जोड़े गए इलेक्ट्रॉन को मूल्य इलेक्ट्रॉन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, नीऑन (Ne) में इलेक्ट्रॉन कोर इलेक्ट्रॉन हैं और सोडियम (Na) से आर्गन (Ar) तक इलेक्ट्रॉन मूल्य इलेक्ट्रॉन हैं। पोटेशियम (K) और कैल्शियम (Ca) में, $4 s$ कक्षक $3 d$ कक्षक की तुलना में कम ऊर्जा वाला होता है, इसलिए इसमें एक और दो इलेक्ट्रॉन क्रमशः उपस्थित होते हैं।

एक नया पैटर्न स्कैंडियम (Sc) से शुरू होता है। $3 d$ ऑर्बिटल, $4 p$ ऑर्बिटल की तुलना में कम ऊर्जा वाला होता है, इसलिए इसे पहले भरा जाता है। फलस्वरूप, अगले दस तत्वों, स्कैंडियम (Sc), टिटैनियम (Ti), वैनेडियम (V), क्रोमियम $(\mathrm{Cr})$, मैंगनीज $(\mathrm{Mn})$, लोहा $(\mathrm{Fe})$, कोबाल्ट (Co), निकल (Ni), तांबा $(\mathrm{Cu})$ और जिंक $(\mathrm{Zn})$ में, पांच $3 d$ ऑर्बिटल धीरे-धीरे भरे जाते हैं। हम यह देखकर चौंक सकते हैं कि क्रोमियम और तांबा के $3 d$ ऑर्बिटल में पांच और दस इलेक्ट्रॉन होते हैं, जबकि उनके स्थान के अनुसार चार और नौ इलेक्ट्रॉन होने चाहिए थे, जबकि $4 \mathrm{~s}$ ऑर्बिटल में दो इलेक्ट्रॉन होते हैं। कारण यह है कि पूरी तरह से भरे हुए ऑर्बिटल और आधा भरे हुए ऑर्बिटल अतिरिक्त स्थायित्व (अर्थात कम ऊर्जा) रखते हैं। इसलिए $p^{3}, p^{6}, d^{5}, d^{10}, f^{7}, f^{14}$ आदि व्यवस्थाएं, जो आधा भरे हुए या पूरी तरह से भरे हुए होते हैं, अधिक स्थायी होती हैं। इसलिए क्रोमियम और तांबा $d^{5}$ और $d^{10}$ व्यवस्था को अपनाते हैं (अनुच्छेद 2.6.7)[चेतावनी: अपवाद भी मौजूद हैं]

$3 d$ ऑर्बिटल के संतृप्त हो जाने के बाद, $4 p$ ऑर्बिटल की भरती गैलियम (Ga) से शुरू होती है और क्रिप्टोन ( $\mathrm{Kr}$ ) तक पूर्ण हो जाती है। अगले आठ तत्वों से लेकर रबीडियम $(R b)$ से जेनोन $(\mathrm{Xe})$ तक, $5 \mathrm{~s}$, $4 d$ और $5 p$ ऑर्बिटल की भरती का पैटर्न $4 s$, $3 d$ और $4 p$ ऑर्बिटल के जैसा होता है जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है। फिर $6 \mathrm{~s}$ ऑर्बिटल का बार आता है। सीजियम $(\mathrm{Cs})$ में इस ऑर्बिटल में एक इलेक्ट्रॉन होता है और बेरिलियम $(\mathrm{Ba})$ में दो इलेक्ट्रॉन होते हैं। फिर लैंथेनम $(\mathrm{La})$ से मर्करी $(\mathrm{Hg})$ तक, इलेक्ट्रॉन की भरती $4 f$ और $5 d$ ऑर्बिटल में होती है।

इसके बाद $6 p$, फिर $7 s$ और अंत में $5 f$ और $6 d$ कक्षकों की भरने की प्रक्रिया होती है। यूरेनियम (U) के बाद के तत्व सभी अल्पाु तत्व हैं और उनमें से सभी का निर्माण कृत्रिम रूप से किया जाता है। ज्ञात तत्वों के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास (जैसा कि स्पेक्ट्रोस्कोपिक विधियों द्वारा निर्धारित किया गया है) को तालिका 2.6 (पृष्ठ 66) में सारांशित किया गया है।

एक व्यक्ति पूछ सकता है कि इलेक्ट्रॉनिक विन्यास के ज्ञान के क्या उपयोग हैं? वर्तमान रसायन विज्ञान की विधि, वास्तव में, इलेक्ट्रॉनिक वितरण पर लगभग पूर्ण आधार रखती है ताकि रासायनिक व्यवहार को समझ और समझाने में सहायता मिल सके। उदाहरण के लिए, दो या अधिक परमाणु क्यों अणु बनाते हैं, कुछ तत्व क्यों धातु होते हैं जबकि अन्य अधातु होते हैं, हीलियम और आर्गन जैसे तत्व क्यों अभिक्रियाशील नहीं होते हैं जबकि हैलोजन जैसे तत्व अभिक्रियाशील होते हैं, इन सवालों के लिए इलेक्ट्रॉनिक विन्यास से आसान समाधान मिलता है। इन सवालों के जवाब डॉल्टन के परमाणु मॉडल में नहीं मिलते। अतः, परमाणु के इलेक्ट्रॉनिक संरचना के विस्तारपूर्वक ज्ञान के लिए आधुनिक रसायन ज्ञान के विभिन्न पहलुओं के बारे में ध्यान आकर्षित करना बहुत आवश्यक है।

2.6.6 पूर्ण भरे हुए और आधा भरे हुए उप-ऊर्जा कक्षकों की स्थायित्व

किसी तत्व के परमाणु की आधार अवस्था इलेक्ट्रॉनिक विन्यास हमेशा कुल इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा के न्यूनतम अवस्था के संगत होता है। अधिकांश परमाणुओं के इलेक्ट्रॉनिक विन्यास अनुच्छेद 2.6.5 में दिए गए मूल नियमों का पालन करते हैं। हालांकि, कुछ तत्वों जैसे $\mathrm{Cu}$ या $\mathrm{Cr}$ में, जहां $4 \mathrm{~s}$ और $3 d$ उप-ऊर्जा कक्षकों के ऊर्जा थोड़ा अलग होते हैं, एक इलेक्ट्रॉन निम्न ऊर्जा वाले उप-ऊर्जा कक्षक (4s) से उच्च ऊर्जा वाले उप-ऊर्जा कक्षक (3d) में विस्थापित हो जाता है, जब ऐसा विस्थापन उच्च ऊर्जा वाले उप-ऊर्जा कक्षक के सभी ऑर्बिटल पूर्णतः भरे हुए या आधा भरे हुए हो जाए। इसलिए, $\mathrm{Cr}$ और $\mathrm{Cu}$ के मूल्यांकन इलेक्ट्रॉनिक विन्यास क्रमशः $3 d^{5} 4 s^{1}$ और $3 d^{10} 4 s^{1}$ होते हैं और नहीं $3 d^{4} 4 s^{2}$ और $3 d^{9} 4 s^{2}$. यह पाया गया है कि इन इलेक्ट्रॉनिक विन्यासों के साथ अतिरिक्त स्थायित्व होता है।

पूर्ण भरे और आधा भरे उप-शेल के स्थायित्व के कारण

पूर्ण भरे और पूर्ण आधा भरे उप-शेल स्थायी होते हैं क्योंकि निम्नलिखित कारणों से:

1. इलेक्ट्रॉनों के सममित वितरण: यह ज्ञात है कि सममिति स्थायित्व के कारण होती है। पूर्ण भरे या आधा भरे उप-शेल में इलेक्ट्रॉनों का सममित वितरण होता है और इसलिए वे अधिक स्थायी होते हैं। एक ही उप-शेल (यहाँ $3 d$ ) में इलेक्ट्रॉनों की समान ऊर्जा होती है लेकिन अलग-अलग अंतरिक्ष वितरण होता है। इसलिए, एक दूसरे के प्रति उनका छायांकन लगभग छोटा होता है और इलेक्ट्रॉन नाभिक द्वारा अधिक बलपूर्वक आकर्षित होते हैं।**

2. आदान-प्रदान ऊर्जा : जब किसी उप-ऊर्जा स्तर के देगन ऑर्बिटल में दो या अधिक इलेक्ट्रॉन एक ही चुंबकीय घूमन (स्पिन) के होते हैं, तो एक स्थायित्व के प्रभाव उत्पन्न होता है। इन इलेक्ट्रॉनों के स्थान बदलने की प्रवृत्ति होती है और इस आदान-प्रदान के कारण मुक्त होने वाली ऊर्जा को आदान-प्रदान ऊर्जा कहते हैं। आदान-प्रदान की संख्या उप-ऊर्जा स्तर आधा भरा हो या पूर्ण रूप से भरा हो तब अधिकतम होती है (चित्र 2.18)। इस कारण आदान-प्रदान ऊर्जा अधिकतम होती है और इसलिए स्थायित्व भी अधिकतम होता है।

आप ध्यान दें कि आदान-प्रदान ऊर्जा हंड के नियम के आधार है, जिसके अनुसार समान ऊर्जा वाले ऑर्बिटल में प्रवेश करने वाले इलेक्ट्रॉन जितना संभव हो उतना समान चुंबकीय घूमन (स्पिन) के होते हैं। अन्य शब्दों में, आधा भरे या पूर्ण रूप से भरे उप-ऊर्जा स्तर के अतिरिक्त स्थायित्व के कारण हैं: (i) अपेक्षाकृत छोटा छिपाना, (ii) छोटी कोलॉमिक प्रतिकर्षण ऊर्जा और (iii) बड़ी आदान-प्रदान ऊर्जा। आदान-प्रदान ऊर्जा के बारे में विस्तार से जानकारी उच्च श्रेणी के विद्यालयों में दी जाएगी।

चित्र 2.18 $d^{5}$ व्यवस्था के लिए संभावित आदान-प्रदान

तालिका 2.6 तत्वों की इलेक्ट्रॉनिक व्यवस्था

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चित्र 2.18 $d^{5}$ व्यवस्था के लिए संभावित आदान-प्रदान

तालिका 2.6 तत्वों की इलेक्ट्रॉनिक व्यवस्था

• परमाणु संख्या 112 और उससे ऊपर वाले तत्वों के बारे में रिपोर्ट की गई हैं लेकिन अभी तक पूरी तौर पर सत्यापित और नामित नहीं किए गए हैं।

सार

परमाणु तत्वों के निर्माण के बुनियादी इकाई हैं। वे एक तत्व के रासायनिक अभिक्रिया के सबसे छोटे हिस्से होते हैं। पहला परमाणु सिद्धांत, 1808 में जॉन डाल्टन द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिसमें परमाणु को पदार्थ के अंतिम अक्षय कण के रूप में देखा जाता था। उत्तराधिकार के अंत में, यह प्रयोगात्मक रूप से सिद्ध हो गया कि परमाणु विभाजित हो सकते हैं और तीन मूलभूत कणों से बने होते हैं: इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन। उपपरमाणु कणों के खोज के कारण परमाणु के संरचना की व्याख्या के लिए विभिन्न परमाणु मॉडल के प्रस्तावित किए गए।

थॉमसन 1898 में प्रस्तावित करते हैं कि एक परमाणु एक समान गोला होता है जिसमें धनात्मक विद्युत बराबर बराबर होती है और इलेक्ट्रॉन इसमें गहराई से लगे होते हैं। इस मॉडल में परमाणु के द्रव्यमान को परमाणु के सभी भागों में बराबर बराबर फैला होता है, जिसे रदरफोर्ड के प्रसिद्ध अल्फा कण विक्षेपण प्रयोग द्वारा 1909 में सही ठहराया गया। रदरफोर्ड ने निष्कर्ष निकाला कि परमाणु केंद्र में एक छोटे से धनात्मक आवेशित नाभिक से बना होता है और इलेक्ट्रॉन इसके चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं। रदरफोर्ड के मॉडल, जो सौर मंडल के समान होता है, थॉमसन के मॉडल की तुलना में निश्चित रूप से सुधार था, लेकिन इसके द्वारा परमाणु के स्थिरता के बारे में बताया नहीं गया था, अर्थात इलेक्ट्रॉन किस कारण नाभिक में नहीं गिरता है। इसके अतिरिक्त, इस मॉडल इलेक्ट्रॉन की संरचना के बारे में चुप रहता है, अर्थात नाभिक के चारों ओर इलेक्ट्रॉन के वितरण और संबंधित ऊर्जा के बारे में। रदरफोर्ड मॉडल के कठिनाइयों को नील्स बोर ने 1913 में अपने हाइड्रोजन परमाणु के मॉडल में दूर कर दिया। बोर ने प्रस्तावित किया कि इलेक्ट्रॉन नाभिक के चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं में घूमते हैं। केवल कुछ कक्षाएं मौजूद हो सकती हैं और प्रत्येक कक्षा एक विशिष्ट ऊर्जा के साथ संबंधित होती है। बोर ने विभिन्न कक्षाओं में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा की गणना की और प्रत्येक कक्षा के लिए इलेक्ट्रॉन और नाभिक के बीच दूरी का अनुमान लगाया। बोर के मॉडल, हाइड्रोजन परमाणु के स्पेक्ट्रम की व्याख्या के लिए एक संतुलित मॉडल प्रस्तुत करता है, लेकिन इसके द्वारा बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणु के स्पेक्ट्रम की व्याख्या नहीं की जा सकती। इस कारण के लिए जल्द ही खोज कर लिया गया। बोर के मॉडल में इलेक्ट्रॉन को एक आवेशित कण के रूप में देखा जाता है जो नाभिक के चारों ओर एक निश्चित वृत्ताकार कक्षा में घूमता है। बोर के सिद्धांत में इलेक्ट्रॉन के तरंग वर्णन को नगण्य कर दिया गया है। एक कक्षा एक स्पष्ट पथ होती है और इस पथ को केवल जब इलेक्ट्रॉन के ठीक समय पर स्थिति और ठीक वेग के बारे में जाना जाता है, तभी पूरी तरह से परिभाषित किया जा सकता है। यह एचेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार संभव नहीं है। इसलिए हाइड्रोजन परमाणु के बोर मॉडल न केवल इलेक्ट्रॉन के द्विगुण वर्तन को नगण्य करता है बल्कि एचेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत के विरोध करता है।

अणु के क्वांटम यांत्रिक मॉडल के अनुसार, एक इलेक्ट्रॉन युक्त अणु के इलेक्ट्रॉन वितरण को शेल में विभाजित किया जाता है। इन शेल, इसके विपरीत, एक या एक से अधिक उपशेल में समाहित होते हैं और उपशेल माने जाते हैं एक या एक से अधिक ऑर्बिटल से बने होते हैं, जिनमें इलेक्ट्रॉन बसते हैं। जबकि हाइड्रोजन और हाइड्रोजन जैसे प्रणाली (जैसे $\mathrm{He}^{+}, \mathrm{Li}^{2+}$ आदि) के लिए एक दिए गए शेल में सभी ऑर्बिटल के ऊर्जा समान होती है, एक बहु-इलेक्ट्रॉन अणु में ऑर्बिटल के ऊर्जा मान $n$ और $l$ के मान पर निर्भर करती है: एक ऑर्बिटल के लिए $(n+l)$ के मान के नीचे होने पर उसकी ऊर्जा भी नीचे होती है। यदि दो ऑर्बिटल के $(n+l)$ मान समान हों, तो उस ऑर्बिटल की ऊर जिसका $n$ मान कम हो उसकी ऊर्जा कम होती है। एक अणु में ऐसे कई ऑर्बिटल होते हैं।

संभव है और इलेक्ट्रॉन ऊर्जा के बढ़ते क्रम में उन ऑर्बिटल में भरे जाते हैं, पौली अपवाद के सिद्धांत के अनुसार (कोई दो इलेक्ट्रॉन एक परमाणु में चार क्वांटम संख्याओं के समान सेट के साथ नहीं हो सकते) और हंड के अधिकतम गुणप्रसरण के नियम (एक ही उप-कोश के ऑर्बिटल में इलेक्ट्रॉन के युग्मन केवल तब होता है जब उस उप-कोश के प्रत्येक ऑर्बिटल में एक इलेक्ट्रॉन हो जाए, अर्थात एकल रूप से ठहरे हो जाएं)। यह परमाणुओं की इलेक्ट्रॉनिक संरचना के आधार बनता है।

अभ्यास

2.1 (i) एक ग्राम के भार के बराबर इलेक्ट्रॉन की संख्या की गणना कीजिए।

(ii) एक मोल इलेक्ट्रॉन के भार और आवेश की गणना कीजिए।

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उत्तर

(i) एक इलेक्ट्रॉन का भार $=9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} $

$ \hspace{0.3cm}\text { अर्थात } 9 \cdot 11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}=1 \text { इलेक्ट्रॉन } $

$ \therefore 1 \text { ग्राम अर्थात } 10^{-3} \mathrm{~kg} =\dfrac{1}{9.11 \times 10^{-31}} \times 10^{-3} \text { इलेक्ट्रॉन } $

$ \hspace{3.2cm} =1.098 \times 10^{27} \text { इलेक्ट्रॉन। }$

(ii) एक इलेक्ट्रॉन का भार $ =9.11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg} $

$\therefore$ एक मोल इलेक्ट्रॉन का भार $=\left(9.11 \times 10^{-31}\right) \times\left(6.022 \times 10^{23}\right) $

$\hspace{5.6cm}=5.486 \times 10^{-7} \mathrm{~kg}$

एक इलेक्ट्रॉन का आवेश $=1.602 \times 10^{-19} \text { कूलॉम } $

$\therefore$ एक मोल इलेक्ट्रॉन का आवेश $ =\left(1.602 \times 10^{-19}\right) \times\left(6.022 \times 10^{23}\right)$

$\hspace{6cm}=9.65 \times 10^4 \text { कूलॉम }$

2.2 (i) एक मोल मेथेन में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की कुल संख्या की गणना कीजिए।

(ii) $7 \hspace{0.8mm}\mathrm{mg}$ के $ \mathrm{C^{14}}$ में (a) कुल संख्या और (b) कुल न्यूट्रॉन के भार की गणना कीजिए। (मान लीजिए कि न्यूट्रॉन का भार $=1.675 \times 10^{-27 }\mathrm{~kg}$ )

(iii) $34 \hspace{0.8mm}\mathrm{mg}$ के $\mathrm{NH}_{3}$ में (a) कुल संख्या और (b) कुल प्रोटॉन के भार की गणना कीजिए। यदि तापमान और दबाव बदल दिए जाएँ तो उत्तर में कोई परिवर्तन होगा या नहीं?

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उत्तर

(i) 1 मेथेन अणु में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की कुल संख्या $=6+4=10$।

1 मोल मेथेन में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की कुल संख्या $=10 \times 6.023 \times 10^{23}$

$\hspace{9.3cm}=6.023 \times 10^{24} \text { इलेक्ट्रॉन। } $

न्यूट्रॉन की संख्या परमाणु क्रमांक और द्रव्यमान संख्या के अंतर के बराबर होती है।

यह $14-6=8$ के बराबर होता है।

(ii) (a) $7 \mathrm{mg}$ के $\mathrm{C^{14}}$ में न्यूट्रॉन की संख्या है $ \dfrac{6.023 \times 10^{23} \times 8}{14} \times 7 \times 10^{-3}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=2.4088 \times 10^{21} \text { न्यूट्रॉन। } $

(b) $7 \mathrm{mg}$ के $\mathrm{C^{14}}$ में न्यूट्रॉन के कुल द्रव्यमान है $2.4088 \times 10^{21} \times 1.675 \times 10^{-27}$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad= 4.035 \times 10^{-6} \mathrm{~kg} \text {. } $

(iii) (a) 1 मोल के $\mathrm{NH}_3=17 \mathrm{~g} \mathrm{~NH}_3$

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =6.022 \times 10^{23} \text { अणुओं के } \mathrm{NH}_3 $

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =\left(6.022 \times 10^{23}\right) \times(7+3) \text { प्रोटॉन } $

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad =6.022 \times 10^{24} \text { प्रोटॉन } $

$ \therefore 34 \mathrm{~mg} \text { अर्थात } 0.034 \mathrm{~g} \mathrm{~NH}_3 $ $=\dfrac{6.022 \times 10^{24}}{17} \times 0.034 $

$ \quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad=1.2044 \times 10^{22} \text { प्रोटॉन। }$

(b) एक प्रोटॉन का द्रव्यमान $ \quad=1.6726 \times 10^{-27} \mathrm{~kg} $

$ \therefore \text { } 1.2044 \times 10^{22} \text { प्रोटॉन का द्रव्यमान } =\left(1.6726 \times 10^{-27}\right) \times\left(1.2044 \times 10^{22}\right) \mathrm{kg} $

$ \hspace{6.2cm}=2.0145 \times 10^{-5} \mathrm{~kg}$

तापमान और दबाव के कोई प्रभाव नहीं होता।

2.3 निम्नलिखित नाभिकों में कितने न्यूट्रॉन और प्रोटॉन होते हैं?

$ _{6}^{13} C\hspace{1mm}, _{8}^{16} O\hspace{1mm}, _{12}^{24} Mg\hspace{1mm}, _{26}^{56}Fe\hspace{1mm},{ } _{38}^{88} Sr $

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उत्तर

${ }_6^{13} \mathrm{C}:$

परमाणु द्रव्यमान $=13$

परमाणु संख्या $=$ प्रोटॉन की संख्या $=6$

न्यूट्रॉन की संख्या $=$ (परमाणु द्रव्यमान) $-($ परमाणु संख्या $)$ $=13-6=7$

${ }_{\mathrm{8}}^{16} \mathrm{O}:$

परमाणु द्रव्यमान $=16$

परमाणु संख्या $=8$

Number of protons $=8$

Number of neutrons $=($ Atomic mass $)-($ Atomic number $)$ $=16-8=8$

${ }_{12}^{24} \mathrm{Mg}$ :

Atomic mass $=24$

Atomic number $=$ Number of protons $=12$

Number of neutrons $=($ Atomic mass $)-($ Atomic number $)$ $ =24-12=12 $

${ }_{26}^{56} \mathrm{Fe}:$

Atomic mass $=56$

Atomic number $=$ Number of protons $=26$

Number of neutrons $=$ (Atomic mass) - (Atomic number) $ =56-26=30 $

${ }_{38}^{88} \mathrm{Sr}:$

Atomic mass $=88$

Atomic number $=$ Number of protons $=38$

Number of neutrons $=($ Atomic mass $)-($ Atomic number $)$ $ =88-38=50 $

2.4 दिए गए परमाणु संख्या $(Z)$ और परमाणु द्रव्यमान (A) के लिए पूर्ण प्रतीक लिखें

(i) $\mathrm{Z}=17, \mathrm{~A}=35$.

(ii) $\mathrm{Z}=92, \mathrm{~A}=233$.

(iii) $\mathrm{Z}=4,\hspace{1mm} \mathrm{~A}=9$.

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Answer

(i) $ _{17}^{35} C$

(ii) $ _{92}^{233} U$

(iii) $ _{4}^{9} Be$

2.5 सोडियम लैंप से उत्सर्जित पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ $580 \mathrm{~nm}$ है। पीले प्रकाश की आवृत्ति $(\nu)$ और तरंग संख्या $(\bar{v})$ की गणना करें।

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समीकरण से,

$\lambda=\dfrac{c}{\nu}$

हम प्राप्त करते हैं,

$\nu=\dfrac{c}{\lambda} \quad\quad\quad\quad\quad(i)$

जहाँ,

$\nu$ = पीले प्रकाश की आवृत्ति

$c=$ निर्वात में प्रकाश की चाल $=3 \times 10^{8} \hspace{0.5mm} m / s$

$ \lambda$ = पीले प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $=580 \hspace{0.5mm} nm=580 \times 10^{-9} \hspace{0.5mm} m$

समीकरण (i) में मान रखने पर :

$\nu=\dfrac{3 \times 10^{8}}{580 \times 10^{-9}}=5.17 \times 10^{14} \hspace{0.5mm}s^{-1}$

अतः सोडियम लैंप से उत्सर्जित पीले प्रकाश की आवृत्ति $=5.17 \times 10^{14} \hspace{0.5mm}s^{-1}$

पीले प्रकाश की तरंग संख्या, $ \bar{{}\nu}=\dfrac{1}{\lambda} $

$\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\bar{{}\nu} =\dfrac{1}{580 \times 10^{-9}}=1.72 \times 10^{6}\hspace{0.5mm} m^{-1} $

2.6 प्रत्येक फोटॉन की ऊर्जा ज्ञात कीजिए जो

(i) आवृत्ति $3 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$ के प्रकाश के संगत हो।

(ii) 0.50 $\mathring{A}$ तरंगदैर्ध्य के हो।

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उत्तर

(i) एक फोटॉन की ऊर्जा (E) निम्न व्यंजक द्वारा दी जाती है, $ \mathrm{E}=\mathrm{h\nu} $

जहाँ, $\mathrm{h}=$ प्लैंक नियतांक $=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{J \hspace{0.8mm}s}$

$\quad\quad\quad\nu=$ प्रकाश की आवृत्ति $=3 \times 10^{15} \mathrm{~Hz}$

दिए गए $\mathrm{E}$ के व्यंजक में मान रखने पर :

$ \mathrm{E}=\left(6.626 \times 10^{-34}\right)\left(3 \times 10^{15}\right) $

$\mathrm{E}=1.988 \times 10^{-18} \mathrm{~J} $

(ii) तरंगदैर्ध्य $(\lambda)$ वाले फोटॉन की ऊर्जा (E) निम्न व्यंजक द्वारा दी जाती है :

$ \begin{aligned} & E=\frac{h c}{\lambda} \\ & h=\text { प्लैंक नियतांक }=6.626 \times 10^{-34} \mathrm{~J \hspace{0.8mm}s} \\ & c=\text { निर्वात में प्रकाश की चाल }=3 \times 10^8 \mathrm{~m} / \mathrm{s} \end{aligned} $

दिए गए $\mathrm{E}$ के व्यंजक में मान रखने पर :

$ \begin{aligned} & E=\frac{\left(6.626 \times 10^{-34}\right)\left(3 \times 10^8\right)}{0.50 \times 10^{-10}} =3.976 \times 10^{-15} \mathrm{~J} \\ & \therefore \hspace{0.5mm}E=3.98 \times 10^{-15} \mathrm{~J} \end{aligned} $

2.7 एक प्रकाश तरंग की तरंगदैर्ध्य, आवृत्ति एवं तरंग संख्या की गणना कीजिए जिसका आवर्तकाल $2.0 \times 10^{-10} \mathrm{~s}$ है।

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उत्तर

(i) प्रकाश तरंग की आवृत्ति है $ \dfrac{1}{\text { आवर्तकाल }}=\dfrac{1}{2.0 \times 10^{-10} \mathrm{~s}}=5 \times 10^9 \hspace{0.5mm} \mathrm{s^{-1}} $

(ii) प्रकाश तरंग की तरंगदैर्ध्य है $ \dfrac{\mathrm{c}}{\mathrm{\nu}}=\dfrac{3 \times 10^8 \mathrm{~m} \hspace{0.5mm}\mathrm{s^{-1}}}{5 \times 10^9 \hspace{0.5mm} \mathrm{s^{-1}}}=6.0 \times 10^{-2} \mathrm{~m} $

(iii) प्रकाश तरंग की तरंग संख्या है $ \bar{\nu}=\dfrac{1}{\lambda}=\dfrac{1}{6.0 \times 10^{-2}}=16.66 \hspace{0.8mm}\mathrm{m^{-1}} $

2.8 4000 पिकोमीटर तरंगदैर्ध्य वाले प्रकाश के कितने फोटॉन 1 जूल ऊर्जा प्रदान करते हैं?

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उत्तर

ऊर्जा $(E_n)$ के ’n’ फोटॉन $=n h \nu$

$\hspace{4cm} \Rightarrow n=\dfrac{E_n \lambda}{\text{ hc }}$

जहाँ,

$ \lambda = \text{ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य } = 4000\hspace{0.8mm}pm = 4000 \times 10^{-12}\hspace{0.8mm}m $

$c=$ निर्वात में प्रकाश की चाल $=3 \times 10^{8}\hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1}$

दिए गए $n$ के सूत्र में मान रखने पर :

$n=\dfrac{(1) \times(4000 \times 10^{-12})}{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}=2.012 \times 10^{16} \hspace{0.5mm} फोटॉन$

अतः, 4000 पिकोमीटर तरंगदैर्ध्य वाले प्रकाश और 1 जूल ऊर्जा वाले फोटॉन की संख्या $2.012 \times 10^{16}$ है।

2.9 4 × 10⁻⁷ मीटर तरंगदैर्ध्य वाला एक फोटॉन धातु के सतह पर प्रहार करता है, धातु के कार्य फलन 2.13 इलेक्ट्रॉन वोल्ट है। निम्नलिखित की गणना करें (i) फोटॉन की ऊर्जा (इलेक्ट्रॉन वोल्ट में), (ii) उत्सर्जन की गतिज ऊर्जा, और (iii) फोटोइलेक्ट्रॉन की गति $\left(1 \hspace{0.8mm}\mathrm{eV}=1.6020 \times 10^{-19} \mathrm{~J}\right)$।

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उत्तर

(i) फोटॉन की ऊर्जा (E) $= h\nu =\dfrac{h c}{\lambda}$

जहाँ,

$h=$ प्लैंक नियतांक $=6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.8mm}s$

$c=$ निर्वात में प्रकाश की चाल $=3 \times 10^{8} \hspace{0.5mm} m s^{-1}$

$\lambda=$ फोटॉन की तरंगदैर्ध्य $=4 \times 10^{- 7} \hspace{0.5mm}m$

दिए गए $E$ के सूत्र में मान रखने पर :

$E=\dfrac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}{4 \times 10^{-7}}=4.9695 \times 10^{-19} J$

अतः, फोटॉन की ऊर्जा $4.97 \times 10^{-19}J$ है।

(ii) उत्सर्जन की गतिज ऊर्जा $E_k$ निम्नलिखित द्वारा दी गई है :

$ \begin{aligned} & E_k =h \nu-h \nu _o \\ & E_k =\left(\dfrac{4.9695 \times 10^{-19}}{1.6020 \times 10^{-19}}\right) eV-2.13 \hspace{0.8mm} eV \\ `

&E_k =(3.1020 - 2.13)\hspace{0.8mm} eV \\ & E_k =0.9720\hspace{0.8mm} eV \end{aligned} $

इसलिए, उत्सर्जन की कार्यशक्ति $0.97 \hspace{0.5mm}eV$ है।

(iii) फोटोइलेक्ट्रॉन की चाल $\left( \dfrac{1}{2} \right)$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा गणना की जा सकती है,

$\dfrac{1}{2} m \nu^{2}=h \nu -h \nu _o$

$\Rightarrow \nu =\sqrt{\dfrac{2(h \nu -h v_o)}{m}}$

जहाँ, $(h \nu -h \nu _o)$ उत्सर्जन की कार्यशक्ति जूल में है और ’ $m$ ’ फोटोइलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान है। दिए गए $\nu$ के सूत्र में मान उपस्थित करने पर :

$ \begin{aligned} & \nu=\sqrt{\dfrac{2 \times(0.9720 \times 1.6020 \times 10^{-19}) J}{9.10939 \times 10^{-31} kg}} \\ & \nu=\sqrt{0.3418 \times 10^{12} m^{2} \hspace{0.5mm} \hspace{0.5mm} s^{-2}} \\ & \nu =5.84 \times 10^{5} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1} \end{aligned} $

इसलिए, फोटोइलेक्ट्रॉन की चाल $5.84 \times 10^{5} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{- 1}$ है।

2.10 तरंगदैर्ध्य $242 {~nm}$ के विद्युत चुम्बकीय विकिरण के लिए सोडियम परमाणु के आयनीकरण के लिए ठीक आवश्यक है। सोडियम की आयनीकरण ऊर्जा की गणना करें ${kJ} \hspace{0.8mm} {mol}^{-1}$ में।

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Answer

$ \text{सोडियम की ऊर्जा (E)} =\dfrac{N_A \hspace{0.5mm} h\hspace{0.5mm}c}{\lambda}$

$\hspace{4.1cm}=\dfrac{(6.023 \times 10^{23} \hspace{0.8mm} mol^{-1})(6.626 \times 10^{-34} J \hspace{0.8mm}s)(3 \times 10^{8} \hspace{0.8mm} m \hspace{0.8mm} s^{-1})}{242 \times 10^{-9} \hspace{0.8mm} m}$

$\hspace{4.1cm}=4.947 \times 10^{5} \hspace{0.8mm} J \hspace{0.8mm} mol^{-1}$

$\hspace{4.1cm}=494.5 \hspace{0.8mm} kJ \hspace{0.8mm} mol ^{-1}$

2.11 एक 25 वाट के बल्ब के उत्सर्जन के एकल फोटोन की ऊर्जा $0.57 \hspace{0.8mm} \mu \mathrm{m}$ तरंगदैर्ध्य के एकल रंग लाल प्रकाश के उत्सर्जन की दर की गणना करें।

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Answer

बल्ब की शक्ति, $P=25 \hspace{0.8mm} watt=25 \hspace{0.8mm} J \hspace{0.8mm}s^{-1}$

एक फोटोन की ऊर्जा, $ E= h\nu = \dfrac{hc}{\lambda} $

दिए गए $E$ के सूत्र में मान उपस्थित करने पर :

$E=\dfrac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}{(0.57 \times 10^{-6})}$

$E=34.87 \times 10^{-20} \hspace{0.5mm} J$

क्वांटा के उत्सर्जन की दर प्रति सेकंड $ =\dfrac{25}{34.87 \times 10^{-20}}=7.18 \times 10^{19}\hspace{0.5mm} s^{-1} $

2.12 धातु सतह से विकिरण के प्रकाश के उपलब्ध होने पर इलेक्ट्रॉन शून्य वेग से उत्सर्जित होते हैं, जब तरंगदैर्ध्य $6800 \hspace{0.8mm} \mathring{A}$ हो। धातु की श्वेत आवृत्ति $\left(\nu_{0}\right)$ और कार्यफलन $\left(\mathrm{W}_{0}\right)$ की गणना कीजिए।

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उत्तर

तरंगदैर्ध्य की श्वेत तरंग $(\lambda_o)=6800 \hspace{0.5mm} \mathring{A}=6800 \times 10^{-10} \hspace{0.5mm} m$

धातु की श्वेत आवृत्ति $(\nu_o)$ $=\dfrac{c}{\lambda_o}=\dfrac{3 \times 10^{8} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1}}{6.8 \times 10^{-7} \hspace{0.5mm} m}=4.41 \times 10^{14} \hspace{0.5mm} s^{- 1}$

इसलिए, धातु की श्वेत आवृत्ति $(\nu_o)$ $4.41 \times 10^{14} \hspace{0.5mm} s^{-1}$ है।

इसलिए, धातु का कार्यफलन $(W_o)$ $=h \nu_o$

$\hspace{6.9cm}=(6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.5mm}s)(4.41 \times 10^{14} \hspace{0.5mm} s^{-1})$

$\hspace{6.9cm}=2.922 \times 10^{-19} J$

2.13 जब हाइड्रोजन परमाणु के इलेक्ट्रॉन के ऊर्जा स्तर में $n=4$ से $n=2$ तक परिवर्तन होता है, तो उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य क्या होती है?

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उत्तर

$n_i=4$ से $n_f=2$ के परिवर्तन के कारण बैल्मर श्रेणी की एक स्पेक्ट्रल रेखा उत्पन्न होती है। परिवर्तन में शामिल ऊर्जा को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है,

$E=2.18 \times 10^{-18}\left[\dfrac{1}{n_i^{2}}-\dfrac{1}{n_f^{2}}\right]$

दिए गए $E$ के संबंध में मान बदल दें:

$ \begin{aligned} E & =2.18 \times 10^{-18}\left[\dfrac{1}{4^{2}}-\dfrac{1}{2^{2}}\right] \\ & =2.18 \times 10^{-18}\left[\dfrac{1-4}{16}\right] \\ & =2.18 \times 10^{-18} \times\left(-\dfrac{3}{16}\right) \end{aligned} $

$\quad=-(4.0875 \times 10^{- 19} ) \hspace{0.5mm} J$

ऋणात्मक चिह्न उत्सर्जन की ऊर्जा को दर्शाता है।

उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य $ (\lambda)=\dfrac{hc}{E} $ $\quad \left(\text{ क्योंकि } E=\dfrac{hc}{\lambda}\right) $

$ \text{दिए गए } \hspace{0.5mm}\lambda \text{ के व्यंजक में मान रखने पर}$

$ \begin{aligned} \lambda & =\dfrac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}{4.0875 \times 10^{-19}} \\ \lambda & =4.8631 \times 10^{-7} m \\ & =486.3 \times 10^{-9} m \\ & =486 \hspace{0.8mm} nm \end{aligned} $

2.14 एक हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन $n=5$ कक्षा में हो रहा है, तो इस परमाणु के आयनन के लिए कितनी ऊर्जा की आवश्यकता होगी? अपने उत्तर को $n=1$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन को हटाने के लिए आयनन एंथैल्पी के साथ तुलना करें।

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Answer

ऊर्जा के व्यंजक को निम्न द्वारा दिया गया है,

$\mathrm{E}_n=-\dfrac{21.8 \times 10^{-19}}{n^2} \mathrm{~J} \hspace{0.5mm} \mathrm{atom}^{-1}$

$5^{th}$ कक्षा से आयनन के लिए, $n_1=5, n_2=\infty$

$ \Delta \mathrm{E}=\mathrm{E}_2-\mathrm{E}_1=-21.8 \times 10^{-19}\left(\dfrac{1}{n_2^2}-\dfrac{1}{n_1^2}\right) $

$ \hspace{2.7cm} \begin{aligned} & =21.8 \times 10^{-19}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right) \ & =21.8 \times 10^{-19}\left(\dfrac{1}{5^2}-\dfrac{1}{\infty}\right) \ & =8.72 \times 10^{-20} \mathrm{~J}\end{aligned}$

$1^{st}$ कक्षा से आयनन के लिए, $n_1=1, n_2=\infty$

$ \begin{aligned} \Delta \mathrm{E} & =21.8 \times 10^{-19}\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{\infty}\right) \ & =21.8 \times 10^{-19} \mathrm{~J} \end{aligned} $

2.15 जब हाइड्रोजन परमाणु के उत्तेजित इलेक्ट्रॉन $n=6$ से भूमि अवस्था में गिरता है, तो उत्सर्जन रेखाओं की अधिकतम संख्या क्या होगी?

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Answer

जब हाइड्रोजन परमाणु के उत्तेजित इलेक्ट्रॉन $n=6$ से भूमि अवस्था में गिरता है, तो निम्नलिखित परिवर्तन संभव हो सकते हैं:

इसलिए, उत्सर्जन स्पेक्ट्रम में कुल $(5+4+3+2+1)= 15$ रेखाएँ प्राप्त होंगी।

जब एक इलेक्ट्रॉन $n^{\text{th }}$ स्तर से आध्यात्मिक स्तर तक गिरता है, तो उत्पन्न स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $\dfrac{n(n-1)}{2}$ द्वारा दी जाती है।

दिया गया है, $n=6$

स्पेक्ट्रल रेखाओं की संख्या $=\dfrac{6(6-1)}{2}=15$

2.16 (i) हाइड्रोजन परमाणु के प्रथम कक्षा से संबंधित ऊर्जा $-2.18 \times 10^{-18} \hspace{0.8mm}\mathrm{~J} \hspace{0.8mm} \mathrm{atom}^{-1}$ है। पांचवें कक्षा से संबंधित ऊर्जा क्या है?

(ii) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर के पांचवें कक्षा की त्रिज्या की गणना कीजिए।

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उत्तर

(i) हाइड्रोजन परमाणु के पांचवें कक्षा से संबंधित ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा गणना की जाती है :

$E_5=\dfrac{-(2.18 \times 10^{-18})}{(5)^{2}}=\dfrac{-2.18 \times 10^{-18}}{25}$

$E_5=- 8.72 \times 10^{- 20} \hspace{0.5mm} J$

(ii) हाइड्रोजन परमाणु के बोहर के $n^{\text{th }}$ कक्षा की त्रिज्या निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$r_n=\dfrac{0.0529 \times n^2}{Z} \hspace{0.5mm} nm $

जबकि, $n=5$

$ \hspace{0.7cm} Z=1$

$r_5=(0.0529 )(5)^{2}$

$r_5=1.3225 \hspace{0.8mm} nm$

2.17 परमाणु हाइड्रोजन के बाल्मर श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य परिवर्तन के लिए तरंग संख्या की गणना कीजिए।

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उत्तर

बाल्मर श्रेणी के लिए, $n_i=2$।

इसलिए, तरंग संख्या $(\bar{{}\nu})$ के व्यंजक निम्नलिखित द्वारा दिया गया है,

$\bar{\nu}=109,677\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right) \mathrm{cm}$

तरंग संख्या $(\bar{{}\nu})$ तरंगदैर्ध्य के व्युत्क्रमानुपाती होती है। इसलिए, सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य परिवर्तन के लिए $\bar{{}\nu}$ सबसे कम होना चाहिए।

$\bar{{}\nu}$ के न्यूनतम होने के लिए $n_f$ कम से कम होना चाहिए। बाल्मर श्रेणी में, $n_i=2$ से $n_f=3$ के लिए परिवर्तन अनुमत है। इसलिए, $n_f=3$ लेकर हम प्राप्त करते हैं:

$\bar{{}\nu} =(1.097 \times 10^{7})\left[\dfrac{1}{2^{2}}-\dfrac{1}{3^{2}}\right] $

$\quad=(1.097 \times 10^{7})\left[\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{9}\right] $

$\quad=(1.097 \times 10^{7})\left(\dfrac{9-4}{36}\right) $

$\quad=(1.097 \times 10^{7})\left(\dfrac{5}{36}\right) $

$\quad=1.5236 \times 10^{6} \hspace{0.5mm}m^{-1}$

2.18 हाइड्रोजन परमाणु के इलेक्ट्रॉन को पहले बोहर कक्ष से पांचवें बोहर कक्ष तक ले जाने के लिए आवश्यक ऊर्जा जूल में क्या है और जब इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था में वापस आता है तो उत्सर्जित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य क्या है? मूल अवस्था में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $-2.18 \times 10^{-11}$ एर्ग है।

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Answer

$\Delta \mathrm{E}=\mathrm{E}_5-\mathrm{E}_1$

$\quad\quad=2.18 \times 10^{-11}\left(\dfrac{1}{1^2}-\dfrac{1}{5^2}\right)$

$\quad\quad=2.18 \times 10^{-11}\left(\dfrac{24}{25}\right)$

$\quad\quad=2.09 \times 10^{-11} \hspace{0.8mm} \mathrm{ergs}$

जब इलेक्ट्रॉन मूल अवस्था (अर्थात $n=1$) में वापस आता है, तो उत्सर्जित ऊर्जा $=2.09 \times 10^{-11} \hspace{0.8mm} \mathrm{ergs}$ है।

क्योंकि, E $=h v=h \dfrac{c}{\lambda}$

या $\lambda=\dfrac{h c}{E}$

$\quad\quad =\dfrac{\left(6.626 \times 10^{-27}\hspace{0.8mm} \mathrm{erg} \hspace{0.8mm}\mathrm{sec}\right)\left(3 \times 10^{10} \mathrm{~cm} \mathrm{~s}^{-1}\right)}{2.09 \times 10^{-11} \hspace{0.8mm}\mathrm{ergs}} $

$\quad\quad=9.51 \times 10^{-6} \mathrm{~cm}$

$\quad\quad=951 \times 10^{-8} \mathrm{~cm}$

$\quad\quad=951 \overset{ \ \ \ {\circ}}{A}$

2.19 हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा $E_{n}=\left(-2.18 \times 10^{-18}\right) / n^{2} \mathrm{~J}$ द्वारा दी गई है। $n=2$ कक्ष से इलेक्ट्रॉन को पूरी तरह से हटाने के लिए आवश्यक ऊर्जा की गणना करें। इस परिवर्तन के लिए उपयोग किए जा सकने वाले प्रकाश की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य (सेंटीमीटर में) क्या है?

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Answer

दिया गया है,

$E_n=-\dfrac{2.18 \times 10^{-18}}{n^{2}} J$

$n=2$ से आयनीकरण के लिए आवश्यक ऊर्जा निम्नलिखित है,

$ \Delta E=E _{\infty}-E_2 $

$\quad\quad=\left[\left(\dfrac{-2.18 \times 10^{-18}}{(\infty)^{2}}\right)-\left(\dfrac{-2.18 \times 10^{-18}}{(2)^{2}}\right)\right] J $

$\quad\quad=\left[\dfrac{2.18 \times 10^{-18}}{4}-0\right] J $

$\quad\quad=0.545 \times 10^{-18} ~J $

$ \Delta E=5.45 \times 10^{-19} ~J $

$\quad \lambda=\dfrac{hc}{\Delta E}$

यहाँ, $\lambda$ अनुप्रेषण के लिए सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य है

$ \lambda=\dfrac{(6.626 \times 10^{-34})(3 \times 10^{8})}{5.45 \times 10^{-19}}=3.647 \times 10^{-7} \hspace{0.5mm} m $

$\hspace{5.7cm}=3647 \times 10^{- 5} \hspace{0.5mm} cm$

2.20 $2.05 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ वेग से गतिशील इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए।

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उत्तर

द ब्रोग्ली के समीकरण के अनुसार, $\lambda=\dfrac{h}{m v}$

जहाँ,

$\lambda$ = गतिशील कण की तरंगदैर्ध्य

$m=$ कण का द्रव्यमान

$v=$ कण का वेग

$h=$ प्लैंक के स्थिरांक

$\lambda$ के सूत्र में मान रखने पर

$\lambda=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} J \hspace{0.8mm}s}{(9.10939 \times 10^{-31} \hspace{0.5mm} kg)(2.05 \times 10^{7} \hspace{0.5mm} m\hspace{0.5mm}s^{-1})}$

$\lambda=3.548 \times 10^{-11} \hspace{0.5mm} m$

अतः, $2.05 \times 10^{7} \hspace{0.5mm} m\hspace{0.5mm}s^{-1}$ वेग से गतिशील इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $3.548 \times 10^{-11} \hspace{0.5mm} m$ है।

2.21 इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $9.1 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}$ है। यदि इसकी कार्यशक्ति (K.E.) $3.0 \times 10^{-25} \mathrm{~J}$ है, तो इसकी तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए।

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उत्तर

इलेक्ट्रॉन की कार्यशक्ति (K.E.) $=3.0 \times 10^{-25} \hspace{0.5mm}J$

कार्यशक्ति $=\dfrac{1}{2} \hspace{0.5mm} m v^{2}$

$\therefore$ वेग $(v)=\sqrt{\dfrac{2 K . E}{m}}$

$ \hspace{2.5cm}=\sqrt{\dfrac{2(3.0 \times 10^{-25} J)}{9.10939 \times 10^{-31} kg}} $

$ \hspace{2.5cm} =\sqrt{6.5866 \times 10^{4}} $

$ \hspace{2.5cm} =812 \hspace{0.8mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1} $

द ब्रोग्ली समीकरण के अनुसार; $\lambda=\dfrac{h}{m v}$

$ \hspace{4.1cm} \lambda=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.8mm}s}{(9.10939 \times 10^{-31} \hspace{0.5mm} kg)(811.579 \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1})} $

$ \hspace{4.1cm} \lambda=8.9625 \times 10^{-7} \hspace{0.5mm} m$

अतः, इलेक्ट्रॉन की तरंगदैर्ध्य $ 8.9625 \times 10^{-7} \hspace{0.5mm} m $ है

2.22 निम्नलिखित में से कौन-कौन समवेब्बी विशिष्टता (i.e., उनके समान इलेक्ट्रॉन संख्या वाले) हैं?

$ \mathrm{Na}^{+}, \mathrm{K}^{+}, \mathrm{Mg}^{2+}, \mathrm{Ca}^{2+}, \mathrm{S}^{2-}, \mathrm{Ar} $

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उत्तर

समवेब्बी विशिष्टता वाले अणु उनके समान इलेक्ट्रॉन संख्या वाले होते हैं।

इलेक्ट्रॉन की संख्या है :

$\mathrm{Na}^{+}=11-1=10, $

$\mathrm{~K}^{+}=19-1=18, $

$\mathrm{Mg}^{2+}=12-2=10$,

$\mathrm{Ca}^{2+}=20-2=18, $

$\mathrm{~S}^{2-}=16+2=18, $

$\mathrm{Ar}=18$.

अतः समवेब्बी विशिष्टता वाले अणु $\mathrm{Na}^{+}$ और $\mathrm{Mg}^{2+}$; $\mathrm{K}^{+}, \mathrm{Ca}^{2+}, \mathrm{S}^{2-}$ और $Ar$ हैं।

2.23 (i) निम्नलिखित आयनों की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास लिखिए: (a) $\mathrm{H}^-$ (b) $\mathrm{Na}^+$ (c) $\mathrm{O} ^{2-}$ (d) $\mathrm{F}^-$

(ii) वे तत्वों की परमाणु संख्या क्या हैं जिनके बाहरी इलेक्ट्रॉन $3s^{1}$ (b) $2p^{3}$ और (c) $3p^{5}$ हैं?

(iii) निम्नलिखित विन्यास द्वारा कौन-कौन से परमाणु संकेतित होते हैं? (a) $[\mathrm{He}] 2 s^{1}$ (b) $[\mathrm{Ne}] 3 s^{2} 3 p^{3}$ (c) $[\mathrm{Ar}] 4 s^{2} 3 d^{1}$.

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उत्तर

(i) (a) $H^{-}$ आयन

$H$ परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{1}$ है।

एक नकारात्मक आवेश वाले अणु का अर्थ है कि इसके द्वारा एक इलेक्ट्रॉन ग्रहण किया गया है।

$\therefore$ $H^{-}$ की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{2}$ है।

(b) $Na^{+}$ आयन

$Na$ परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{1}$ है।

एक धनात्मक आवेश वाले अणु का अर्थ है कि इसके द्वारा एक इलेक्ट्रॉन खो दिया गया है।

$\therefore$ $Na^{+}$ की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{0}$ या $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6}$ है।

(c) $O^{2-}$ आयन

$O$ परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{4}$ है।

एक द्विनकारात्मक आवेश वाले अणु का अर्थ है कि इसके द्वारा दो इलेक्ट्रॉन ग्रहण किये गए हैं।

$\therefore$ $O^{2-}$ आयन की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{2} 2 s^{2} p^{6}$ है।

(d) $F^{-}$ आयन

$F$ परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{5}$ है।

एक वस्तु पर नकारात्मक आवेश इसके द्वारा एक इलेक्ट्रॉन के ग्रहण करने को दर्शाता है।

$\therefore$ $F^{-}$ आयन की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $=1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6}$

(ii) (a) $3 s^{1}$

तत्व की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को पूरा करते हुए: $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{1}$.

$\therefore$ तत्व के परमाणु में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $=2+2+6+1=11$

$\therefore$ तत्व की परमाणु संख्या $=11$

(b) $2 p^{3}$

तत्व की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को पूरा करते हुए: $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{3}$.

$\therefore$ तत्व के परमाणु में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $=2+2+3=7$

$\therefore$ तत्व की परमाणु संख्या $=7$

(c) $3 p^{5}$

तत्व की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास को पूरा करते हुए: $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{5}$.

$\therefore$ तत्व के परमाणु में उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या $=2+2+5=9$

$\therefore$ तत्व की परमाणु संख्या $=9$

(iii) (a) $[He] 2 s^{1}$

तत्व की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[He] 2 s^{1}=1 s^{2} 2 s^{1}$ है।

$\therefore$ तत्व की परमाणु संख्या $=3$

इसलिए, इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[He] 2 s^{1}$ वाला तत्व लिथियम ( $Li$ ) है।

(b) $[Ne] 3 s^{2} 3 p^{3}$

तत्व की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ne] 3 s^{2} 3 p^{3}=1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{3}$ है।

$\therefore$ तत्व की परमाणु संख्या $=15$

इसलिए, इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ne] 3 s^{2} 3 p^{3}$ वाला तत्व फॉस्फोरस $(P)$ है।

(c) $[Ar] 4 s^{2} 3 d^{1}$

तत्व की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 4 s^{2} 3 d^{1}=1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{1}$ है।

$\therefore$ तत्व की परमाणु संख्या $=21$

इसलिए, इलेक्ट्रॉनिक विन्यास $[Ar] 4 s^{2} 3 d^{1}$ वाला तत्व स्कैंडियम (Sc) है।

2.24 $g$ ऑर्बिटल के अस्तित्व की अनुमति देने वाला $n$ का सबसे कम मान क्या है?

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उत्तर

$g$-ऑर्बिटल के लिए, $l=4$ है।

किसी भी मुख्य क्वांटम संख्या ’ $n$ ’ के मान के लिए, क्षैतिज क्वांटम संख्या $(l)$ शून्य से $(n-1)$ तक के मान ले सकती है।

$l=n-1$

$\therefore$ $l=4$ के लिए $n$ का न्यूनतम मान $5$ है

2.25 एक इलेक्ट्रॉन $3 d$ कक्षक में है। इस इलेक्ट्रॉन के $n, l$ और $m_{l}$ के संभावित मान बताइए।

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उत्तर

$3 d$ कक्षक के लिए:

मुख्य क्वांटम संख्या $(n)=3$

कोणीय क्वांटम संख्या $(l)=2$

चुंबकीय क्वांटम संख्या $(m_l)=-2,-1,0,1,2$

2.26 एक तत्व के परमाणु में 29 इलेक्ट्रॉन और 35 न्यूट्रॉन हैं। निर्धारित कीजिए (i) प्रोटॉन की संख्या और (ii) तत्व की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास।

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उत्तर

(i) एक परमाणु के लिए न्यूट्रल होने के लिए प्रोटॉन की संख्या इलेक्ट्रॉन की संख्या के बराबर होती है।

$\therefore$ दिए गए तत्व के परमाणु में प्रोटॉन की संख्या $=29$

(ii) तत्व के परमाणु की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास है $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 3 d^{10} 4 s^{1} $।

2.27 विशिष्टा $\mathrm{H}_2^+, \mathrm{H}_2$ और $\mathrm{O}_2^+$ में इलेक्ट्रॉन की संख्या बताइए।

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उत्तर

$H_2^{+}$:

हाइड्रोजन अणु $(H_2)$ में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की संख्या $(H_2)=1+1=2 \hspace{0.5mm} e^{-}$

$\therefore$ $H_2^{+}$ में इलेक्ट्रॉन की संख्या $=2-1=1 \hspace{0.5mm}e^{-} $

$H_2$ :

$H_2$ में इलेक्ट्रॉन की संख्या $=1+1=2 \hspace{0.5mm} e^{-}$

$O_2^{+}$:

ऑक्सीजन अणु $(O_2)$ में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की संख्या $(O_2)=8+8=16 \hspace{0.5mm}e^{-} $

$\therefore$ $O_2^{+}$ में इलेक्ट्रॉन की संख्या $=16-1=15 \hspace{0.5mm}e^{-} $

2.28 (i) एक परमाणु कक्षक में $\mathrm{n}=3$ है। $l$ और $\mathrm{m_l}$ के संभावित मान क्या हैं?

(ii) $3 d$ कक्षक के इलेक्ट्रॉन के क्वांटम संख्या $(m_l$ और $l)$ की सूची बनाइए।

(iii) निम्नलिखित कक्षक संभव हैं?

$ 1 p, 2 s, 2 p \text { और } 3 f $

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उत्तर

(i) $n=3$ (दिया गया)

एक दिए गए $n$ के मान के लिए $l$ के मान 0 से $(n-1)$ तक हो सकते हैं।

$\therefore$ $n=3$ के लिए

$l=0,1,2$

एक दिए गए $l$ के मान के लिए $m_l$ के मान $(2 l+1)$ हो सकते हैं।

$l=0, m=0$

$l=1, m=-1,0,1$

$l=2, m=-2,-1,0,1,2$

(ii) $3 d$ ऑर्बिटल के लिए, $l=2$ होता है।

किसी दिए गए $l$ के मान के लिए, $m_l$ के $(2 l+1)$ मान हो सकते हैं, अर्थात $5$ मान हो सकते हैं।

$\therefore$ $l=2$ के लिए

$m_l=-2,-1,0,1,2$

(iii) दिए गए ऑर्बिटल में से केवल $2 s$ और $2 p$ संभव हैं। $1 p$ और $3 f$ अस्तित्व नहीं रख सकते।

$p$-ऑर्बिटल के लिए, $l=1$ होता है।

किसी दिए गए $n$ के मान के लिए, $l$ के मान शून्य से $(n-1)$ तक हो सकते हैं।

$\therefore$ $l$ के मान 1 के बराबर होने पर, $n$ का न्यूनतम मान $2$ होता है।

उसी तरह,

$f$-ऑर्बिटल के लिए, $l=4$ होता है।

$ l=4 $ के लिए, $n$ का न्यूनतम मान $5$ होता है।

इसलिए, $1 p$ और $3 f$ अस्तित्व नहीं रख सकते।

2.29 $s, p, d$ नोटेशन का उपयोग करके निम्नलिखित क्वांटम संख्या के साथ ऑर्बिटल का वर्णन कीजिए। (a) $n=1; l=0$; (b) $n=3 ; l=1$; (c) $n=4 ; l=2$; (d) $n=4 ; l=3$;

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Answer

(a) $n=1, l=0$

ऑर्बिटल $1 s$ है।

(b) $n=3$ और $l=1$ के लिए

ऑर्बिटल $3 p$ है।

(c) $n=4$ और $l=2$ के लिए

ऑर्बिटल $4 d$ है।

(d) $n=4$ और $l=3$ के लिए

ऑर्बिटल $4 f$ है।

2.30 कारण देते हुए बताइए कि निम्नलिखित क्वांटम संख्या के सेट कौन से संभव नहीं हैं।

(a) $n=0$, $l=0$, $m_{l}=0$, $m_{s}=+1 / 2$

(b) ${n}=1$, ${m_{l}}=0$, ${m_s}=-1 / 2$

(c) ${n}=1$, $m_{l}=0$, $m_{s}=+1 / 2$

(d) $n=2$, $l=1$, $m_{l}=0$, $m_{s}=-1 / 2$

(e) ${n}=3$, $1=3$, ${m_l}=-3$, ${m_s}=+1 / 2$

(f) ${n}=3$, $l=1$, $m_{l}=0$, $m_{s}=+1 / 2$

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Answer

(a) दिए गए क्वांटम संख्या के सेट संभव नहीं हैं क्योंकि मुख्य क्वांटम संख्या $(n)$ का मान शून्य नहीं हो सकता।

(b) दिए गए क्वांटम संख्या के सेट संभव हैं।

(c) दिए गए क्वांटम संख्या के सेट संभव नहीं हैं।

किसी दिए गए $n$ के मान के लिए, ’l’ के मान शून्य से $(n-1)$ तक हो सकते हैं।

$n=1$ के लिए, $l=0$ और नहीं 1 हो सकता।

(d) दिए गए क्वांटम संख्या के सेट संभव हैं।

(e) दिए गए क्वांटम संख्या के सेट संभव नहीं हैं।

$n=3$ के लिए,

$ \hspace{0.8cm} l=0$ से $(3-1)$

$ \hspace{0.8cm} l=0$ से 2 अर्थात $0,1,2$

(f) दिए गए क्वांटम संख्या के सेट संभव हैं।

2.31 एक परमाणु में कितने इलेक्ट्रॉन निम्नलिखित क्वांटम संख्या के साथ हो सकते हैं?

(a) $n=4, m_{s}=-1 / 2$

(b) $n=3, l=0$

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Answer

(a) एक परमाणु में $n=2 n^{2}$ के मान के लिए इलेक्ट्रॉन की कुल संख्या

$\therefore$ $n=4$ के लिए,

कुल इलेक्ट्रॉन संख्या $=2(4)^{2}$

$\hspace{4.5cm}=32$

$\therefore$ इलेक्ट्रॉन की संख्या (जो $n=4$ और $m_s=-\frac{1}{2}$ के लिए है) $=16$

(b) $n=3, l=0$ इंगित करता है कि इलेक्ट्रॉन $3 s$ ऑर्बिटल में उपस्थित हैं। अतः $n= 3$ और $l=0$ के लिए इलेक्ट्रॉन की संख्या $2$ है ।

2.32 सिद्ध करें कि हाइड्रोजन परमाणु के बोहर ऑर्बिट की परिधि उस इलेक्ट्रॉन के संगत डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणक होती है जो ऑर्बिट के चारों ओर घूम रहा है।

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Answer

क्योंकि हाइड्रोजन परमाणु में केवल एक इलेक्ट्रॉन होता है, बोहर के प्रतिपादन के अनुसार, उस इलेक्ट्रॉन के कोणीय संवेग को निम्न द्वारा दिया जाता है:

$m v r=n \dfrac{h}{2 \pi} \ldots \ldots \ldots (1)$

जहाँ,

$n=1,2,3, \ldots$

डी ब्रोगली के समीकरण के अनुसार: $\lambda=\dfrac{h}{m v}$

या $m v=\dfrac{h}{\lambda} \ldots \ldots \ldots (2)$

समीकरण (2) में ’ $m v$ ’ के मान को समीकरण (1) में समान्य करते हैं:

$\dfrac{h r}{\lambda}=n \dfrac{h}{2 \pi}$

या $2 \pi r=n \lambda \ldots \ldots \ldots (3) $

क्योंकि $2 \pi r$ बोहर ऑर्बिट $(r)$ की परिधि को दर्शाता है, समीकरण (3) द्वारा सिद्ध होता है कि हाइड्रोजन परमाणु के बोहर ऑर्बिट की परिधि उस इलेक्ट्रॉन के संगत डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य का एक पूर्णांक गुणक होती है जो ऑर्बिट के चारों ओर घूम रहा है।

2.33 हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम में कौन सा संक्रमण बल्मर संक्रमण $n=4$ से $n=2$ के लिए $\mathrm{He}^{+}$ स्पेक्ट्रम के तरंगदैर्ध्य के समान होगा?

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Answer

समाधान। सामान्य रूप से H-समान कणों के लिए

$ \bar{\nu}=\mathrm{R} {Z}^2\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right) $

$\therefore$ $\mathrm{He}^{+}$ स्पेक्ट्रम के लिए, बल्मर संक्रमण के लिए,

$\begin{aligned} n & =4 \text { to } n=2 . \ \bar{\nu} & =\dfrac{1}{\lambda}=R Z^2\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{4^2}\right) \ & =R \times 4 \times \dfrac{3}{16}=\dfrac{3 R}{4}\end{aligned}$

हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के लिए :

$ \bar{\nu}=\dfrac{1}{\lambda}=\mathrm{R}\left(\dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}\right)=\dfrac{3}{4} \mathrm{R} $

या $\quad \dfrac{1}{n_1^2}-\dfrac{1}{n_2^2}=\dfrac{3}{4}$ जो $n_1=1$ और $n_2=2$ के लिए संभव हो सकता है

अर्थात् परिवर्तन $ \mathrm{n}=2 $ से $ \mathrm{n}=1 $ होता है

2.34 प्रक्रिया के लिए आवश्यक ऊर्जा की गणना करें :

$\mathrm{He}^{+}(\mathrm{g}) \rightarrow \mathrm{He}^{2+}(\mathrm{g})+\mathrm{e}^{-}$

मूल अवस्था में हाइड्रोजन परमाणु के आयनन ऊर्जा का मान $2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ परमाणु $^{-1}$ है

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उत्तर

H-समान वस्तुओं के $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा है :

$ \mathrm{E}_n=-\dfrac{2 \pi^2 m e^4 \mathrm{Z}^2}{n^2 h^2}=-\mathrm{K} \times \dfrac{\mathrm{Z}^2}{n^2}(\mathrm{~K}=\text { constant }) $

$\text{ I. }\mathrm{E.}{\mathrm{H}}=\mathrm{E}{\infty}-\mathrm{E}_1=0-\left(-\dfrac{\mathrm{K} \times 1^2}{1^2}\right)=+\mathrm{K} \ldots\ldots (i) $

दिए गए प्रक्रिया के लिए आवश्यक ऊर्जा $ \mathrm{He}^{+} $ के आयनन ऊर्जा है जहां $Z=2$ है।

क्योंकि $ \mathrm{He}^{+} $ हाइड्रोजन-समान वस्तु है

$\therefore$ $I.E.{{He}^{+}}=\mathrm{E}{\infty}-\mathrm{E}_1$

$ \hspace{2cm} =0-\left(-\dfrac{K \times 2^2}{1^2}\right)=+4 \mathrm{~K} \ldots\ldots (ii) $

समीकरण (i) और (ii) से, $\dfrac{\text { I.E. }{\mathrm{He}^{+}}}{\text {I.E. }{\mathrm{H}}}=4$

अर्थात् $I.E._{{He}^{+}} =4 \times$ I.E. ${ }_H$

$\quad\quad\quad\quad\quad =4 \times 2.18 \times 10^{-18} \mathrm{~J} $

$\quad\quad\quad\quad\quad =8.72 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$

2.35 यदि कार्बन परमाणु का व्यास $0.15 \mathrm{~nm}$ है, तो एक सीधी रेखा में 20 सेमी लंबाई के माप के अनुसार कितने कार्बन परमाणु एक साथ रखे जा सकते हैं?

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उत्तर

$1 {~m}=100 {~cm}$

$1 {~cm}=10^{-2} {~m}$

माप की लंबाई $=20 {~cm} $ $=20 \times 10^{-2} {~m}$

कार्बन परमाणु का व्यास $=0.15 {~nm}=0.15 \times 10^{{-9}} m$

एक कार्बन परमाणु $0.15 \times 10^{- 9} {~m} $ के अधिकार में आता है।

$\therefore$ सीधी रेखा में रखे जा सकने वाले कार्बन परमाणुओं की संख्या $=\dfrac{20 \times 10^{-2} m}{0.15 \times 10^{-9} {~m}}$

$ \hspace{10.7cm} =133.33 \times 10^{7}$

$ \hspace{10.7cm} =1.33 \times 10^{9}$

2.36 $2 \times 10^{8}$ कार्बन परमाणुओं को एक दूसरे के आसपास व्यवस्थित किया गया है। यदि इस व्यवस्था की लंबाई $2.4 \mathrm{~cm}$ है, तो कार्बन परमाणु की त्रिज्या की गणना कीजिए।

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Answer

दी गई व्यवस्था की लंबाई $=2.4 \hspace{0.8mm} cm$

उपस्थित कार्बन परमाणुओं की संख्या $=2 \times 10^{8} \hspace{0.8mm} atoms$

$\therefore$ कार्बन परमाणु का व्यास $=\dfrac{2.4 \times 10^{-2}\hspace{0.8mm} m}{2 \times 10^{8}}$

$ \hspace{4.7cm} =1.2 \times 10^{-10}\hspace{0.8mm} m$

$\therefore$ कार्बन परमाणु की त्रिज्या $=\dfrac{\text{ व्यास }}{2}$

$ \hspace{4.3cm} =\dfrac{1.2 \times 10^{-10}\hspace{0.8mm} m}{2} $

$ \hspace{4.3cm} =6.0 \times 10^{-11}\hspace{0.8mm} m $

2.37 जिंक परमाणु का व्यास $2.6 \hspace{0.5mm}\mathring{A}$ है। गणना कीजिए (a) जिंक परमाणु की त्रिज्या पिकोमीटर (pm) में और (b) यदि जिंक परमाणुओं को एक दूसरे के आसपास लंबाई के अनुदिश व्यवस्थित किया जाता है, तो $1.6 \mathrm{~cm}$ की लंबाई में उपस्थित जिंक परमाणुओं की संख्या।

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Answer

(a) जिंक परमाणु की त्रिज्या $ =\dfrac{\text{ व्यास }}{2} $

$ \hspace{4.1cm} =\dfrac{2.6 \mathring{A}}{2} $

$ \hspace{4.1cm} =1.3 \times 10^{-10} \hspace{0.8mm} m $

$ \hspace{4.1cm} =130 \times 10^{-12} \hspace{0.8mm} m $

$ \hspace{4.1cm} =130 \hspace{0.8mm} pm$

(b) व्यवस्था की लंबाई $=1.6 \hspace{0.8mm} cm=1.6 \times 10^{-{2}} \hspace{0.8mm} m$

जिंक परमाणु का व्यास $=2.6 \times 10^{- 10} \hspace{0.8mm} m$

$\therefore$ व्यवस्था में उपस्थित जिंक परमाणुओं की संख्या $=\dfrac{1.6 \times 10^{-2} \hspace{0.8mm} m}{2.6 \times 10^{-10} \hspace{0.8mm}m}$

$\hspace{8.9cm}=0.6153 \times 10^{8} $

$\hspace{8.9cm}=6.153 \times 10^{7} $

2.38 एक निश्चित कण पर $2.5 \times 10^{-16} \mathrm{C}$ का स्थैतिक विद्युत आवेश है। इसमें उपस्थित इलेक्ट्रॉनों की संख्या की गणना कीजिए।

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उत्तर

एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश = $1.6022 \times 10^{-19} \hspace{0.5mm} C$

$\Rightarrow 1.6022 \times 10^{-{19} C} C$ आवेश 1 इलेक्ट्रॉन द्वारा वहन किया जाता है।

$\therefore$ $2.5 \times 10^{-16} C$ आवेश वहन करने वाले इलेक्ट्रॉन की संख्या $=\dfrac{2.5 \times 10^{-16} }{1.6022 \times 10^{-19} }$

$\hspace{10cm}=1560 \hspace{0.5mm}e^-$

2.39 मिलिकन के प्रयोग में, तेल के बूंदों पर स्थैतिक विद्युत आवेश को X-किरणों के प्रकाशन द्वारा प्राप्त किया जाता है। यदि तेल की बूंद पर स्थैतिक विद्युत आवेश $-1.282 \times 10^{-18} \mathrm{C}$ है, तो इस पर मौजूद इलेक्ट्रॉन की संख्या की गणना कीजिए।

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उत्तर

तेल की बूंद पर आवेश $=1.282 \times 10^{-{18}} \hspace{0.5mm} C$

एक इलेक्ट्रॉन पर आवेश $=1.6022 \times 10^{{-19}} \hspace{0.5mm} C$

$\therefore$ तेल की बूंद पर मौजूद इलेक्ट्रॉन की संख्या $ =\dfrac{1.282 \times 10^{-18} }{1.6022 \times 10^{-19} } $

$ \hspace{7.9cm} =8.0$

2.40 रदरफोर्ड के प्रयोग में, आमतौर पर भारी परमाणुओं, जैसे कि सोना, प्लैटिनम आदि के ऊनी धातु की फोल्ड का उपयोग अल्फा कणों के टकराव के लिए किया जाता है। यदि हल्के परमाणुओं, जैसे कि एल्यूमीनियम आदि की ऊनी धातु का उपयोग किया जाए, तो ऊपर के परिणामों से क्या अंतर देखा जाएगा?

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उत्तर

हल्के परमाणुओं की ऊनी धातु भारी परमाणुओं की धातु के परिणामों के बराबर नहीं होगी।

हल्के परमाणु बहुत कम धनावेश वहन कर सकते हैं। इसलिए, वे अल्फा कणों (धनावेशित) के प्रति पर्याप्त विक्षेपण नहीं कर सकते।

2.41 चिह्न $ _{35}^{79} \mathrm{Br}$ और $ _{}^{79} \mathrm{Br}$ के रूप में लिखा जा सकता है, जबकि चिह्न $ _{79}^{35} \mathrm{Br}$ और $ _{ }^{35} \mathrm{Br}$ अस्वीकृत हैं। ब्रीफ उत्तर दीजिए।

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उत्तर

एक तत्व के साथ इसके परमाणु द्रव्यमान $(A)$ और परमाणु संख्या $(Z)$ को दर्शाने की सामान्य प्रथा $ _Z^{A} X$ होती है।

इसलिए, ${ }^{79} Br$ स्वीकृत है लेकिन ${ }^{35} Br$ स्वीकृत नहीं है।

${ }^{79} Br$ लिखा जा सकता है, लेकिन ${ }^{35} Br$ लिखा नहीं जा सकता है क्योंकि एक तत्व की परमाणु संख्या स्थिर होती है, लेकिन एक तत्व की परमाणु द्रव्यमान उसके समस्थानिकों के सापेक्ष अभिलक्षण पर निर्भर करती है। अतः, एक तत्व की परमाणु द्रव्यमान को उल्लेख करना आवश्यक होता है।

2.42 एक तत्व की परमाणु संख्या 81 है और इसमें प्रोटॉन की तुलना में न्यूट्रॉन 31.7% अधिक हैं। परमाणु चिह्न निर्धारित करें।

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उत्तर

मान लीजिए तत्व में प्रोटॉन की संख्या $x$ है।

$\therefore$ तत्व में न्यूट्रॉन की संख्या $=x+31.7 \%$ के $x$

$\hspace{6.4cm}=x+0.317 x$

$\hspace{6.4cm}=1.317 x$

प्रश्न के अनुसार,

तत्व की परमाणु संख्या $=81$

$\therefore$ प्रोटॉन की संख्या + न्यूट्रॉन की संख्या $=81$

$ \Rightarrow x+1.317 x=81$

$\Rightarrow 2.317 x=81$

$\Rightarrow x=\dfrac{81}{2.317}$

$\Rightarrow x=34.95$

$\therefore x=35$

अतः, तत्व में प्रोटॉन की संख्या अर्थात $x$ 35 है।

क्योंकि परमाणु संख्या को एक परमाणु के नाभिक में उपस्थित प्रोटॉन की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, दिए गए तत्व की परमाणु संख्या 35 है।

$\therefore$ तत्व का परमाणु चिह्न $_{35}^{81} Br$ है।

2.43 एक आयन की परमाणु संख्या 37 है और इसमें एक इकाई का नकारात्मक आवेश है। यदि आयन में इलेक्ट्रॉन की तुलना में न्यूट्रॉन 11.1% अधिक हैं, तो आयन का चिह्न ज्ञात करें।

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उत्तर

मान लीजिए इलेक्ट्रॉन की संख्या $x$ है।

न्यूट्रॉन की संख्या $ x+ 0.111 x= 1.111 x $ है।

प्रोटॉन की संख्या $x−1$ है।

परमाणु संख्या 37 है।

यह प्रोटॉन की संख्या और न्यूट्रॉन की संख्या के योग के बराबर होती है।

$\Rightarrow x−1+1.111x= 37$

$\Rightarrow 2.111x=38$

$\Rightarrow x=18$

इलेक्ट्रॉन की संख्या 18 है।

प्रोटॉन की संख्या 17 है।

न्यूट्रॉन की संख्या $ = 37 - 17 = 20 $ है।

अतः, आयन का चिह्न $ _{17}^{37} {Cl}^−$ है।

2.44 एक आयन की परमाणु संख्या 56 है और इसमें 3 इकाई का धनात्मक आवेश है और इलेक्ट्रॉन की तुलना में न्यूट्रॉन 30.4% अधिक हैं। इस आयन का चिह्न निर्धारित करें।

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उत्तर

मान लीजिए आयन $A^{3+}$ में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की संख्या $x$ है।

$\therefore$ आयन में न्यूट्रॉन की संख्या $=x + 30.4%$ ऑफ $x = 1.304 ~x$

क्योंकि आयन त्रिधनात्मक है,

$\Rightarrow$ उदासीन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की संख्या $=x + 3$

$\therefore$ उदासीन परमाणु में प्रोटॉन की संख्या $=x + 3$

दिया गया है,

आयन की द्रव्यमान संख्या $=56$

$ \begin{aligned} \therefore(x+3)+(1.304 x) & =56 \\ 2.304 x & =53 \\ x & =\frac{53}{2.304} \\ x & =23 \end{aligned} $

$\therefore$ प्रोटॉन की संख्या $=x+3=23+3=26$

$\therefore$ आयन का प्रतीक $_{26}^{56} Fe^{3+}$ है।

2.45 निम्नलिखित प्रकार के विकिरणों को आवृत्ति के बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें: (a) माइक्रोवेव ओवन से विकिरण (b) ट्रैफिक संकेतक से अम्बर प्रकाश (c) एफ़एम रेडियो से विकिरण (d) बाहरी अंतरिक्ष से कोस्मिक किरणें और (e) एक्स-रे।

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उत्तर

आवृत्ति के बढ़ते क्रम में विकिरण की व्यवस्था निम्नलिखित है:

एफ़एम रेडियो से विकिरण $<$ माइक्रोवेव ओवन से विकिरण $<$ अम्बर प्रकाश $<$ एक्स-रे $<$ कोस्मिक किरणें

2.46 नाइट्रोजन लेजर $337.1 \mathrm{~nm}$ की तरंगदैर्ध्य पर विकिरण उत्पन्न करता है। यदि उत्पन्न फोटॉन की संख्या $5.6 \times 10^{24}$ है, तो इस लेजर की शक्ति की गणना करें।

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उत्तर

लेजर की शक्ति = इसके फोटॉन उत्सर्जन के साथ ऊर्जा $ E =\dfrac{N h c}{\lambda} $

जहाँ,

$N=$ उत्सर्जित फोटॉन की संख्या

$h=$ प्लैंक नियतांक

$c=$ विकिरण की चाल

$ \lambda =$ विकिरण की तरंगदैर्ध्य

ऊर्जा $(E)$ के दिए गए सूत्र में मान उपस्थित करते हुए:

$ E =\dfrac{(5.6 \times 10^{24})(6.626 \times 10^{-34} J \hspace{0.8mm}s)(3 \times 10^{8} m \hspace{0.5mm} s^{-1})}{(337.1 \times 10^{-9} m)} $

$ E = 0.3302 \times 10^7 J$

$ E = 3.33 \times 10^6 J $

अतः, लेजर की शक्ति $3.33 \times 10^{6} \hspace{0.8mm} W $ है।

2.47 नीऑन गैस आमतौर पर संकेत बोर्ड में उपयोग किया जाता है। यदि यह $616 \mathrm{~nm}$ पर तीव्र रूप से उत्सर्जित करता है, तो गणना करें (a) उत्सर्जन की आवृत्ति, (b) इस विकिरण के द्वारा $30 \mathrm{~s}$ में तय की गई दूरी (c) क्वांटम की ऊर्जा और (d) यदि यह $2 \mathrm{~J}$ ऊर्जा उत्पन्न करता है तो उपस्थित क्वांटम की संख्या।

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उत्तर

प्रकाश तरंग की लंबाई $ 616 \hspace{0.5mm} nm=616 \times 10^{-9} $ (दिया गया)

(a) उत्सर्जन की आवृत्ति $(\nu)$ ; $ \nu=\dfrac{c}{\lambda} $

जहाँ, $c=$ प्रकाश की चाल

दिए गए $(\nu)$ के व्यंजक में मान रखने पर :

$\nu=\dfrac{3.0 \times 10^{8} \hspace{0.5mm} m / s}{616 \times 10^{-9} \hspace{0.5mm} m}$

$\nu=4.87 \times 10^{17} \times 10^{{-3}} \hspace{0.5mm } s^{-1}$

$\nu= 4.87 \times 10^{14} \hspace{0.5mm } s^{- 1} $

उत्सर्जन की आवृत्ति $(\nu) = 4.87 \times 10^{14} \hspace{0.5mm } s^{- 1}$

(b) प्रकाश की चाल, $(c)=3.0 \times 10^{8} \hspace{0.5mm } m \hspace{0.5mm } s^{-1}$

इस प्रकाश के द्वारा $30 \hspace{0.5mm } s$ में तय की गई दूरी $=(3.0 \times 10^{8} \hspace{0.5mm } m \hspace{0.5mm } s^{{-1}})(30 \hspace{0.5mm } s)$

$\hspace{7.3cm }=9.0 \times 10^{9} \hspace{0.5mm } m$

(c) क्वांटम की ऊर्जा $( E )$ $=h\nu$

$ \hspace{4.7cm }=(6.626 \times 10^{-3 4} \hspace{0.5mm } J \hspace{0.8mm}s)(4.87 \times 10^{14} \hspace{0.5mm } s^{-1})$

$ \hspace{4.7cm }=32.27 \times 10^{-{20}} \hspace{0.5mm } J$

(d) एक फोटॉन की ऊर्जा (क्वांटम) $=32.27 \times 10^{-20} \hspace{0.5mm } J$

इसलिए, $32.27 \times 10^{-20} \hspace{0.5mm } J$ ऊर्जा 1 क्वांटम में उपलब्ध है।

$2 \hspace{0.5mm } J$ ऊर्जा में क्वांटम की संख्या $=\dfrac{2 \hspace{0.5mm } J}{32.27 \times 10^{-20} \hspace{0.5mm } J}$

$ \hspace{6cm} = 6.19 \times 10^{18}$

$ \hspace{6cm} =6.2 \times 10^{18}$

2.48 खगोखगी अवलोकनों में, दूर के तारों से प्राप्त संकेत आमतौर पर कमजोर होते हैं। यदि फोटॉन डिटेक्टर $600 \mathrm{~nm}$ के विकिरण से $3.15 \times 10^{-18} \mathrm{~J}$ की कुल ऊर्जा प्राप्त करता है, तो डिटेक्टर द्वारा प्राप्त फोटॉन की संख्या की गणना कीजिए।

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उत्तर

एक फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ के व्यंजक से, $E=\dfrac{hc}{\lambda}$

जहाँ,

$\lambda = $ विकिरण की तरंगदैर्ध्य

$h=$ प्लैंक नियतांक

$c=$ विकिरण की चाल

दिए गए $E$ के व्यंजक में मान रखने पर :

markdown /no

$ E=\dfrac{(6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.8mm} J \hspace{0.8mm}s)(3 \times 10^{8} \hspace{0.8mm} m \hspace{0.8mm} s^{-1})}{(600 \times 10^{-9} \hspace{0.8mm} m)} $

$E=3.313 \times 10^{-19} \hspace{0.8mm} J$

एक फोटॉन की ऊर्जा $=3.313 \times 10^{-19} \hspace{0.8mm} J$

$3.15 \times 10^{{-18}} \hspace{0.8mm} J$ ऊर्जा के साथ प्राप्त फोटॉन की संख्या $=\dfrac{3.15 \times 10^{-18} \hspace{0.8mm} J}{3.313 \times 10^{-19} \hspace{0.8mm} J}$

$\hspace{9.8cm}=9.5$

2.49 उत्तेजित अवस्थाओं में अणुओं के जीवनकाल को आमतौर पर नैनोसेकंड के क्षेत्र में अवधि वाले पल्स विकिरण स्रोत का उपयोग करके मापा जाता है। यदि विकिरण स्रोत की अवधि $2 \mathrm{~ns}$ है और पल्स स्रोत के दौरान उत्सर्जित फोटॉन की संख्या $2.5 \times 10^{15}$ है, तो स्रोत की ऊर्जा की गणना कीजिए।

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उत्तर

विकिरण की आवृत्ति ( $ \nu $ ) $=\dfrac{1}{2.0 \times 10^{-9} s}$

$ \hspace{4.4cm} \nu=5.0 \times 10^8 s^{-1} $

स्रोत की ऊर्जा (E) $=N \hspace{0.5mm} h \hspace{0.5mm} \nu$

जहाँ,

$N=$ उत्सर्जित फोटॉन की संख्या

$h=$ प्लैंक के स्थिरांक

$\nu$ = विकिरण की आवृत्ति

दिए गए व्यंजक में मान उपस्थित करने पर:

$E=2.5 \times 10^{15} \times 6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.5mm} s \times 5 \times 10^8 \hspace{0.5mm} s^{-1}$

$E=8.282 \times 10^{- 10} J$

अतः, स्रोत की ऊर्जा $(E)$ है $8.282 \times 10^{{-10}} \hspace{0.5mm} J$.

2.50 सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य द्विस्थ संग्रहण परिवर्तन 589 और 589.6 $\mathrm{nm}$ पर देखा जाता है। प्रत्येक परिवर्तन की आवृत्ति गणना कीजिए और दो उत्तेजित अवस्थाओं के बीच ऊर्जा अंतर की गणना कीजिए।

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उत्तर

$ \lambda_1 =589 \hspace{0.8mm} nm $ के लिए

परिवर्तन की आवृत्ति $ (\nu_1)=\dfrac{c}{\lambda_1} $

$\hspace{4.8cm}=\dfrac{3.0 \times 10^{8} \hspace{0.8mm} m \hspace{0.8mm} s^{-1}}{589 \times 10^{-9} \hspace{0.8mm} \hspace{0.8mm} m}$

परिवर्तन की आवृत्ति $(\nu_1)=5.093 \times 10^{14} \hspace{0.5mm} s^{{-1}}$

अतः, $\lambda_2=589.6 \hspace{0.8mm} nm$ के लिए

परिवर्तन की आवृत्ति $ (\nu_2)=\dfrac{c}{\lambda_2} $

$\hspace{4.8cm}=\dfrac{3.0 \times 10^{8} \hspace{0.8mm} m \hspace{0.8mm} s^{-1}}{589.6 \times 10^{-9} \hspace{0.8mm} m}$

परिवर्तन की आवृत्ति $(\nu_2)=5.088 \times 10^{14} \hspace{0.5mm} s^{-1}$

उत्तेजित अवस्थाओं के बीच ऊर्जा अंतर $(\Delta E)$ :

$ \Delta E = h(v_2-v_1)$

$ \Delta E = (6.626 \times 10^{-34}J \hspace{0.8mm}s)(5.093 \times 10^{14} - 5.088 \times 10 ^{14}) \hspace{0.5mm} s^{-1} $

$ \Delta E= (6.626 \times 10^{-34} J)(5.093 - 5.088)(10^{14}) \hspace{0.5mm} J $

$ \Delta E =3.31 \times 10^{-22 }\hspace{0.5mm} J $

2.51 सीजियम परमाणु के लिए कार्य फलन $1.9 \hspace{0.5mm} \mathrm{eV}$ है। गणना करें (a) द्रव्यमान तरंगदैर्ध्य और (b) द्रव्यमान आवृत्ति के विकिरण की। यदि सीजियम तत्व को $500 \mathrm{~nm}$ तरंगदैर्ध्य के विकिरण से प्रकाशित किया जाता है, तो निष्कासित फोटोइलेक्ट्रॉन की कार्य ऊर्जा और वेग की गणना करें।

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उत्तर

दिया गया है कि सीजियम परमाणु के लिए कार्य फलन $(W_o)$ $1.9 \hspace{0.8mm} eV$ है।

(a) समीकरण से,

$ W_o=\dfrac{hc}{\lambda_o} \text{, हम प्राप्त करते हैं : } $ $ \lambda_ 0=\dfrac{h c}{W_o}$

जहाँ,

$\lambda=$ द्रव्यमान तरंगदैर्ध्य

$h=$ प्लैंक के नियतांक

$c=$ विकिरण की चाल

दिए गए समीकरण में मान उपस्थित करते हुए $(\lambda)$ के लिए

$ \begin{aligned} & \lambda_o=\frac{(6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.8mm}s)(3.0 \times 10^{8} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1})}{1.9 \times 1.602 \times 10^{-19} \hspace{0.5mm} J} \\ & \lambda_o=6.53 \times 10^{-7} \hspace{0.5mm} m \end{aligned} $

अतः, द्रव्यमान तरंगदैर्ध्य $\lambda_o$ $653 \hspace{0.8mm} nm$ है।

(b) समीकरण से, $W_o=h \nu_o$ , हम प्राप्त करते हैं:

$\nu_o=\dfrac{W_o}{h}$

जहाँ,

$\nu_o=$ द्रव्यमान आवृत्ति

$h=$ प्लैंक के नियतांक

दिए गए समीकरण में मान उपस्थित करते हुए $\nu_o$ के लिए :

$\nu_o=\dfrac{1.9 \times 1.602 \times 10^{-19} J}{6.626 \times 10^{-34} J \hspace{0.8mm}s} \hspace{2cm}(\because 1 eV=1.602 \times 10^{-19} \hspace{0.5mm} J)$

$\quad=4.593 \times 10^{14} s^{{-1}}$

इसलिए, विकिरण की सीमा आवृत्ति $\nu_o$ है $ 4.593 \times 10^{14}\hspace{0.5mm} s^{-1} $

अब, केसियम को $ (\lambda)=500 \hspace{0.5mm} n \hspace{0.5mm} m$ तरंगदैर्ध्य के साथ बर्बाद किया जाता है

किनेटिक ऊर्जा = $h(v- v_o)$ $=hc\left(\dfrac{1}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda_o}\right)$

$\hspace{5.2 cm}=(6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.8mm}J \hspace{0.8mm}s)(3.0 \times 10^{8} \hspace{0.8mm} m \hspace{0.8mm} s^{-1})\left(\dfrac{\lambda_o-\lambda}{\lambda \hspace{0.8mm} \lambda_o}\right)$

$\hspace{5.2 cm}=(1.9878 \times 10^{-26} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.5mm} m)\left[\dfrac{(653-500) 10^{-9} m}{(653)(500) 10^{-18} m^{2}}\right]$

$\hspace{5.2 cm}=\dfrac{(1.9878 \times 10^{-26})(153 \times 10^{9})}{(653)(500)} J$

$\hspace{5.2 cm}=9.3149 \times 10^{20} J$

बर्बाद किए गए फोटोइलेक्ट्रॉन की किनेटिक ऊर्जा $=9.3149 \times 10^{-20} J$

क्योंकि K.E $ =\dfrac{1}{2} m v^{2} $

$9.3149 \times 10^{-20} =\dfrac{1}{2} m v^{2} $

$v=\sqrt{\dfrac{2(9.3149 \times 10^{-20} \hspace{0.5mm} J)}{9.10939 \times 10^{-31}\hspace{0.5mm} kg}}$

$v=\sqrt{2.0451 \times 10^{11} \hspace{0.5mm}m^{2}\hspace{0.5mm} s^{-2}}$

$v=4.52 \times 10^{5} \hspace{0.5mm}m \hspace{0.5mm} s^{-1}$

इसलिए, बर्बाद किए गए फोटोइलेक्ट्रॉन की गति $(v)$ है $4.52 \times 10^{5} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{{-1}}$.

2.52 जब सोडियम धातु को विभिन्न तरंगदैर्ध्यों के साथ बर्बाद किया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम देखे जाते हैं। गणना करें (a) सीमा तरंगदैर्ध्य और, (b) प्लैंक के स्थिरांक।

$ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline \lambda (\text{nm}) & 500 & 450 & 400 \ \hline v \times 10^{-5} (\text{cm s}^{-1}) & 2.55 & 4.35 & 5.35 \ \hline \end{array} $

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Answer

(a) मान लीजिए सीमा तरंगदैर्ध्य को $\lambda_o \hspace{0.5mm} nm=\lambda_o \times 10^{-9} \hspace{0.5mm} m $ है, तो विकिरण की किनेटिक ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा दी गई है:

$h(v-v_o)=\dfrac{1}{2} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} v^{2}$

दिए गए मान के आधार पर तीन अलग-अलग समानताएं बनाई जा सकती हैं:

$h c \left(\dfrac{1}{\lambda}-\dfrac{1}{\lambda_o}\right)=\dfrac{1}{2} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} v^{2}$

$h c \left(\dfrac{1}{500 \times 10^{-9}}-\dfrac{1}{\lambda_o \times 10^{-9} \hspace{0.5mm} m}\right)=\dfrac{1}{2} \hspace{0.5mm} m(2.55 \times 10^{+5} \times 10^{-2} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1})^2$

$\dfrac{h c}{10^{-9} \hspace{0.5mm} m}\left[\dfrac{1}{500}-\dfrac{1}{\lambda_o}\right]=\dfrac{1}{2} m(2.55 \times 10^{+3} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1})^{2} \cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(1)$

इसी तरह,

$\dfrac{hc}{10^{-9} \hspace{0.5mm} m}\left[\dfrac{1}{450}-\dfrac{1}{\lambda_o}\right]=\dfrac{1}{2} m(4.35 \times 10^{+3} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1})^{2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(2)$

$\dfrac{h c}{10^{-9} \hspace{0.5mm} m}\left[\dfrac{1}{400}-\dfrac{1}{\lambda_o}\right]=\dfrac{1}{2} m(5.35 \times 10^{+3} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1})^{2}\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot\cdot(3)$

समीकरण (3) को समीकरण (1) से विभाजित करने पर :

$ \left[ \dfrac{\left[\dfrac{\lambda_o - 400}{400 \hspace{0.5mm}\lambda_o}\right]}{\left[\dfrac{\lambda_o - 500}{500 \hspace{0.5mm}\lambda_o}\right]} = \dfrac{(5.35 \times 10^{3} , \text{m s}^{-1})^{2}}{(2.55 \times 10^{3} , \text{m s}^{-1})^{2}} \right] $

$\dfrac{5 \hspace{0.5mm}\lambda_o-2000}{4 \hspace{0.5mm}\lambda_o-2000}=\left(\dfrac{5.35}{2.55}\right)^{2}=\dfrac{28.6225}{6.5025}$

$\dfrac{5 \hspace{0.5mm}\lambda_o-2000}{4 \hspace{0.5mm}\lambda_o-2000}=4.40177$

$17.6070 \hspace{0.5mm}\lambda_o-5 \hspace{0.5mm}\lambda_o=8803.537-2000$

$\lambda_o=\dfrac{6805.537}{12.607}$

$\lambda_o=539.8 \hspace{0.5mm} n \hspace{0.5mm} m$

$\lambda_o \simeq 540 \hspace{0.5mm} n \hspace{0.5mm} m$

$\therefore$ प्रारंभिक तरंगदैर्घ्य $(\lambda_o)=540 \hspace{0.5mm} n \hspace{0.5mm} m$

$\dfrac{5 \hspace{0.5mm}\lambda_o-2000}{4 \hspace{0.5mm}\lambda_o-2000}=\left(\dfrac{5.35}{2.55}\right)^{2}=\dfrac{28.6225}{6.5025}$

$\dfrac{5 \hspace{0.5mm}\lambda_o-2000}{4 \hspace{0.5mm}\lambda_o-2000}=4.40177$

$17.6070 \hspace{0.5mm}\lambda_o-5 \hspace{0.5mm}\lambda_o=8803.537-2000$

$\lambda_o=\dfrac{6805.537}{12.607}$

$\lambda_o=539.8 \hspace{0.5mm} nm$

$\lambda_o \simeq 540 \hspace{0.5mm} nm$

(ब) वेग का मान गलत दिया गया है। अतः प्लैंक के नियतांक का सही मान निकाला नहीं जा सकता।

2.53 फोटोइलेक्ट्रॉन के चांदी के धातु से उत्सर्जन को फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव प्रयोग में 256.7 नैनोमीटर के विकिरण के उपयोग पर 0.35 वोल्ट के विभव के अनुप्रयोग से रोका जा सकता है। चांदी के धातु के कार्य फलन की गणना कीजिए।

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उत्तर

ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार, आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ विकिरण के कार्य फलन $(W_o$) और इसकी गतिज ऊर्जा (K.E) के योग के बराबर होती है, अर्थात,

$E=W_o+K . E$

$ W_o=E-K . E$

आपतित फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ $ =\dfrac{hc}{\lambda} $

जहाँ, $c=$ विकिरण की चाल

$h=$ प्लैंक के नियतांक

$\lambda = $ विकिरण की तरंगदैर्ध्य

ऊर्जा के दिए गए व्यंजक में मान रखने पर:

$E =\dfrac{(6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.8mm}s)(3.0 \times 10^{8} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm}s^{-1})}{256.7 \times 10^{-9} \hspace{0.5mm} m} $

$ \quad=7.744 \times 10^{-19} \hspace{0.5 mm} J $

$ \quad=\dfrac{7.744 \times 10^{-19}}{1.602 \times 10^{-19}} \hspace{0.8mm} eV$

$ \quad=4.83 \hspace{0.8mm} eV$

चांदी के धातु पर लगाए गए विभव के फोटोइलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा (K.E) में परिवर्तित हो जाता है। अतः, $ K . E=0.35 \hspace{0.8mm} eV $

$\therefore$ कार्य फलन, $W_o=E - K.E $

$ \hspace{3.7cm} =4.83\hspace{0.8mm} eV-0.35\hspace{0.8mm} eV$

$ \hspace{3.7cm} =4.48 \hspace{0.8mm} eV$

2.54 तरंगदैर्ध्य $150 \hspace{0.5mm}\mathrm{pm}$ के फोटॉन एक परमाणु पर आक्रमण करता है और इसके आंतरिक बंधे इलेक्ट्रॉन में से एक को $1.5 \times 10^{7} \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ के वेग से निकाल देता है, तो इलेक्ट्रॉन को नाभिक से बंधे ऊर्जा की गणना कीजिए।

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उत्तर

प्रकाश फोटॉन की ऊर्जा $(E)$ दी गई है, $E=\dfrac{h c}{\lambda}$

$ \hspace{7.8cm}=\dfrac{(6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.8mm}s)(3.0 \times 10^{8} \hspace{0.5mm}m \hspace{0.5mm} s^{-1})}{(150 \times 10^{-12} \hspace{0.5mm} m)} $

$ \hspace{7.8cm}=1.3252 \times 10^{-15} \hspace{0.5mm} J $

$ \hspace{7.8cm} \simeq 13.252 \times 10^{-16} \hspace{0.5mm} J $

उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा (K.E) $=\dfrac{1}{2} m_e v^{2}$

$ \hspace{6.2cm}=\dfrac{1}{2}(9.10939 \times 10^{-31} \hspace{0.5mm} kg)(1.5 \times 10^{7} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1})^{2}$

$ \hspace{6.2cm} =10.2480 \times 10^{- 17} \hspace{0.5mm} J$

$ \hspace{6.2cm} =1.025 \times 10^{{-11}} \hspace{0.5mm} J$

इसलिए, इलेक्ट्रॉन को नाभिक से बांधे रखने वाली ऊर्जा निम्नलिखित द्वारा प्राप्त की जा सकती है :

$ \hspace{6.2cm} \Rightarrow \text{ फोटॉन की ऊर्जा - इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा}$

$ \hspace{6.2cm} =13.252 \times 10 ^{-16} J - 1.025 \times 10^{-16} \hspace{0.5mm} J $

$ \hspace{6.2cm} =12.227 \times 10^{- 16} J$

$ \hspace{6.2cm} =\dfrac{12.227 \times 10^{-16}}{1.602 \times 10^{-19}} \hspace{0.8mm} eV$

$ \hspace{6.2cm} =7.6 \times 10^{3} \hspace{0.8mm} eV$

2.55 पास्चन श्रेणी में उत्सर्जन परिवर्तन नाभिक के $\mathrm{n}=3$ वें कक्षा में समाप्त होते हैं और $\mathrm{n}$ वें कक्षा से शुरू होते हैं और इन्हें $v=3.29 \times 10^{15}(\mathrm{~Hz})\left[1 / 3^{2}-1 / \mathrm{n}^{2}\right]$ के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है

यदि परिवर्तन $1285 \mathrm{~nm}$ पर देखा जाता है, तो $\mathrm{n}$ का मान ज्ञात कीजिए। विवरण के तरंगदैर्ध्य के क्षेत्र को ज्ञात कीजिए।

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उत्तर

परिवर्तन की तरंगदैर्ध्य $=1285 \hspace{0.5mm} nm$

$\hspace{4.3cm} =1285 \times 10^{-9 } \hspace{0.5mm} m$

$\nu=3.29 \times 10^{15}\left(\dfrac{1}{3^{2}}-\dfrac{1}{n^{2}}\right)$

क्योंकि $\nu=\dfrac{c}{\lambda}$

$\hspace{1.4cm}=\dfrac{3.0 \times 10^{8} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1}}{1285 \times 10^{-9} \hspace{0.5mm} m}$

$\hspace{1cm}\nu=2.33 \times 10^{14} \hspace{0.5mm} s^{-1} $

दिए गए सूत्र में $v$ के मान को प्रतिस्थापित करने पर,

$3.29 \times 10^{15}\left(\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{n^{2}}\right)=2.33 \times 10^{14}$

$\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{n^{2}}=\dfrac{2.33 \times 10^{14}}{3.29 \times 10^{15}}$

$\dfrac{1}{9}-0.7082 \times 10^{-1}=\dfrac{1}{n^{2}}$

$\Rightarrow \dfrac{1}{n^{2}}=0.111 - 0.071 $

$\Rightarrow\dfrac{1}{n^{2}}=0.04$

$\Rightarrow n=5$

इसलिए, यदि अनुमान लगाया जाता है $1285 \hspace{0.7mm} nm$ पर, $n=5$ है।

स्पेक्ट्रम अवरक्त क्षेत्र में है।

2.56 यदि उत्सर्जन परिवर्तन त्रिज्या $1.3225 \mathrm{~nm}$ वाले कक्ष से शुरू होता है और $211.6 \mathrm{~pm}$ वाले कक्ष में समाप्त होता है, तो तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए। इस परिवर्तन के लिए श्रेणी का नाम बताइए और इस स्पेक्ट्रम के क्षेत्र का नाम बताइए।

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उत्तर

हाइड्रोजन-समान कणों के $n^{\text{th }}$ कक्ष की त्रिज्या निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$ r=\dfrac{0.529 \hspace{0.5mm} n^{2}}{Z} \mathring{A} $

$ r=\dfrac{52.9 \hspace{0.5mm} n^{2}}{Z} \hspace{0.5mm} pm $

त्रिज्या $(r_1)=1.3225 \hspace{0.5mm} nm$

$\hspace{2.6cm}=1.32225 \times 10^{- 9} \hspace{0.5mm} m$

$\hspace{2.6cm}=1322.25 \times 10^{-12} \hspace{0.5mm} m$

$\hspace{2.6cm}=1322.25 \hspace{0.5mm} pm$

$n_1^{2}=\dfrac{r_1 Z}{52.9}$

$n_1^{2}=\dfrac{1322.25 Z}{52.9}$

समान रूप से, $n_2^{2}=\dfrac{211.6 Z}{52.9}$

$\dfrac{n_1^{2}}{n_2^{2}}=\dfrac{1322.5}{211.6}$

$\dfrac{n_1^{2}}{n_2^{2}}=6.25$

$\dfrac{n_1}{n_2}=2.5$

$\dfrac{n_1}{n_2}=\dfrac{25}{10}=\dfrac{5}{2}$

$\Rightarrow n_1=5$ और $n_2=2$

इसलिए, परिवर्तन $5^{\text{th }}$ कक्ष से $2^{\text{nd }}$ कक्ष तक होता है। यह बाल्मर श्रेणी में आता है।

परिवर्तन के लिए तरंग संख्या $(\bar{{}\nu})$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$=1.097 \times 10^{7} \left(\dfrac{1}{2^{2}}-\dfrac{1}{5^{2}}\right)$

$=1.097 \times 10^{7} \hspace{0.5mm} m^{-1}\left(\dfrac{21}{100}\right)$

$=2.303 \times 10^{6} \hspace{0.5mm} m^{-1}$

$\therefore$ उत्सर्जन परिवर्तन के साथ संबंधित तरंगदैर्ध्य $\lambda$ निम्नलिखित द्वारा दी जाती है,

$\lambda=\dfrac{1}{\bar{{}\nu}}$

$ \lambda=\dfrac{1}{2.303 \times 10^{6} \hspace{0.5mm} m^{-1}} `

$

$ \lambda=0.434 \times 10 ^{-6} \hspace{0.5mm}m$

$\lambda=434 \hspace{0.8mm} nm$

इस प्रक्रमण के लिए बैल्मर श्रेणी के अंतर्गत आता है और इसके स्पेक्ट्रम के दृश्य क्षेत्र में आता है।

2.57 डी ब्रोग्ली द्वारा प्रस्तावित पदार्थ के द्विप्रकृति के कारण इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप की खोज की गई है जो जैविक अणुओं और अन्य प्रकार के वस्तुओं के उच्च आवर्धित चित्रों के लिए अक्सर उपयोग किया जाता है। यदि इस माइक्रोस्कोप में इलेक्ट्रॉन की गति $1.6 \times 10^{6}$ $\mathrm{ms}^{-1}$ है, तो इस इलेक्ट्रॉन के साथ जुड़े डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए।

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Answer

डी ब्रोग्ली के समीकरण से,

$ \lambda=\dfrac{h}{m v} $

$\lambda=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.8mm} J \hspace{0.8mm}s}{(9.10939 \times 10^{-31} \hspace{0.5mm} kg)(1.6 \times 10^{6} \hspace{0.5mm} m\hspace{0.5mm}s^{-1})}$

$\lambda=4.55 \times 10^{-10} \hspace{0.5mm} m$

$\lambda=455 \hspace{0.5mm} pm$

$\therefore$ इलेक्ट्रॉन के साथ जुड़े डी ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $455 \hspace{0.5mm} pm$ है।

2.58 इलेक्ट्रॉन विवर्तन के समान, न्यूट्रॉन विवर्तन माइक्रोस्कोप का उपयोग अणुओं के संरचना की निर्धारण के लिए भी किया जाता है। यदि यहाँ उपयोग की गई तरंगदैर्ध्य $800 \hspace{0.5mm}\mathrm{pm}$ है, तो न्यूट्रॉन के साथ जुड़े विशिष्ट वेग की गणना कीजिए।

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Answer

डी ब्रोग्ली के समीकरण से,

$ \begin{aligned} & \lambda=\frac{h}{m v} \\ & v=\frac{h}{m \lambda} \end{aligned} $

जहाँ,

$v=$ कण (न्यूट्रॉन) की गति,

$h=$ प्लैंक नियतांक,

$m=$ कण (न्यूट्रॉन) के द्रव्यमान,

$\lambda$ = तरंगदैर्ध्य

वेग $(v)$ के व्यंजक में मान उपस्थित करते हुए,

$ v=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.5mm} s}{(1.67493 \times 10^{-27} \hspace{0.5mm} kg)(800 \times 10^{-12} \hspace{0.5mm} m)} $

$ v=4.94 \times 10^{2} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1}$

$v=494 \hspace{0.8mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1}$

$\therefore$ न्यूट्रॉन के साथ जुड़े वेग $=494 \hspace{0.8mm} m \hspace{0.5mm} s^{{-1}}$

2.59 यदि बोहर के पहले कक्षा में इलेक्ट्रॉन की चाल $2.19 \times 10^{6} \mathrm{~m\hspace{0.5mm}s}^{-1}$ है, तो इसके साथ संबंधित डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए।

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उत्तर

डी ब्रोगली के समीकरण के अनुसार,

$ \lambda=\dfrac{h}{m v} $

जहाँ,

$ \lambda$ = इलेक्ट्रॉन के साथ संबंधित तरंगदैर्ध्य,

$h=$ प्लैंक नियतांक,

$m=$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान,

$v=$ इलेक्ट्रॉन की चाल

$ \lambda =\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.8mm}s}{(9.10939 \times 10^{-31} \hspace{0.5mm} kg)(2.19 \times 10^{6} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1})} $

$ \quad=3.32 \times 10^{-10} \hspace{0.5mm} m $

$ \quad=3.32 \times 10^{-10} \hspace{0.5mm} m \times \dfrac{100}{100} $

$ \quad=332 \times 10^{-12} \hspace{0.5mm} m$

$ \quad=332 \hspace{0.5mm} pm$

$ \therefore$ इलेक्ट्रॉन के साथ संबंधित तरंगदैर्ध्य $=332 \hspace{0.5mm} pm$

2.60 एक प्रोटॉन की चाल जो $1000 \mathrm{~V}$ के संभावना अंतर के अंतर में चल रही है, $4.37 \times 10^{5} \mathrm{~m\hspace{0.5mm}s}^{-1}$ है। यदि एक हॉकी गेंद के द्रव्यमान $0.1 \mathrm{~kg}$ है और यह इस चाल से गति कर रही है, तो इस चाल के साथ संबंधित तरंगदैर्ध्य की गणना कीजिए।

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उत्तर

डी ब्रोगली के समीकरण के अनुसार,

$\lambda=\dfrac{h}{m v}$

समीकरण में मान रखने पर,

$ \lambda=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.8mm}s}{(0.1 \hspace{0.5mm} kg)(4.37 \times 10^{5} \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1})} $

$ \lambda=1.516 \times 10^{-38} \hspace{0.6mm} m $

2.61 यदि इलेक्ट्रॉन की स्थिति $ \pm\hspace{0.5mm} 0.002 \mathrm{~nm}$ के अनुमान में मापी जाती है, तो इलेक्ट्रॉन के संवेग में अनिश्चितता की गणना कीजिए। मान लीजिए इलेक्ट्रॉन के संवेग $h / 4 \pi{m} \times 0.05 \mathrm{~nm}$ है, इस मान को परिभाषित करने में कोई समस्या है अथवा नहीं?

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उत्तर

हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार,

$ \Delta x \times \Delta p=\dfrac{h}{4 \pi} \Rightarrow \Delta p=\dfrac{1}{\Delta x} \cdot \dfrac{h}{4 \pi} `

$

जहाँ,

$\Delta x=$ इलेक्ट्रॉन की स्थिति में अनिश्चितता

$\Delta p=$ इलेक्ट्रॉन के संवेग में अनिश्चितता

$\Delta p$ के व्यंजक में मान रखने पर :

$ \begin{aligned} & \Delta p=\dfrac{1}{0.002 \hspace{0.5mm} nm} \times \dfrac{6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.8mm}s}{4 \times(3.14)} \\ & \hspace{4.5mm}=\dfrac{1}{2 \times 10^{-12} \hspace{0.5mm} m} \times \dfrac{6.626 \times 10^{-34} J \hspace{0.8mm}s}{4 \times 3.14} \\ & \hspace{4.5mm} =2.637 \times 10^{- 2} J \hspace{0.8mm}s \hspace{0.5mm} m^{- 1} \\ & \Delta p=2.637 \times 10^{-23} \hspace{0.5mm} kg \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{-1} \end{aligned} $

$\therefore$ इलेक्ट्रॉन के संवेग में अनिश्चितता $=2.637 \times 10^{-23} \hspace{0.5mm} kg \hspace{0.5mm} m \hspace{0.5mm} s^{- 1}$ ।

वास्तविक संवेग $ =\dfrac{h}{4 \pi m \times 0.05 \hspace{0.5mm} nm} $

$ \begin{aligned} & \hspace{3.1 cm}=\dfrac{6.626 \times 10^{-34} \hspace{0.5mm} J \hspace{0.8mm}s}{4 \times 3.14 \times 5.0 \times 10^{-11} \hspace{0.5mm} m} \\ & \hspace{3.1 cm}=1.055 \times 10^{-24} \hspace{0.5mm} \hspace{0.5mm}kg \hspace{0.5mm}m\hspace{0.5mm}s^{{-1}} \end{aligned} $

क्योंकि वास्तविक संवेग के परिमाण के मान कम है अनिश्चितता के मान से, इसका मान परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

2.62 छह इलेक्ट्रॉन के क्वांटम संख्या नीचे दिए गए हैं। उन्हें ऊर्जा के बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करें। यदि इन संयोजनों में से कोई भी संयोजन एक ही ऊर्जा के साथ हो तो उन्हें सूचीबद्ध करें :

1. $n=4, l=2, m_{l}=-2, m_{\mathrm{s}}=-1 / 2$

2. $n=3, l=2, m_{l}=1, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$

3. $n=4, l=1, m_{l}=0, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$

4. $n=3, l=2, m_{l}=-2, m_{\mathrm{s}}=-1 / 2$

5. $n=3, l=1, m_{l}=-1, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$

6. $n=4, l=1, m_{l}=0, m_{\mathrm{s}}=+1 / 2$

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उत्तर

$ n=4 $ और $ l=2 $ के लिए, ऑर्बिटल जो उपस्थित है $ 4d $ है।

$ n=3 $ और $ l=2 $ के लिए, ऑर्बिटल जो उपस्थित है $ 3d $ है।

$ n=4 $ और $ l=1 $ के लिए, ऑर्बिटल जो उपस्थित है $ 4p $ है।

$ n=3 $ और $ l=2 $ के लिए, ऑर्बिटल जो उपस्थित है $ 3d $ है।

For $n=3$ and $l=1$, the orbital occupied is $3 p$.

For $n=4$ and $l=1$, the orbital occupied is $4 p$.

Hence, the six electrons i.e., $1,2,3,4,5$, and 6 are present in the $4 d, 3 d, 4 p, 3 d, 3 p$, and $4 p$ orbitals respectively.

Therefore, the increasing order of energies is $3 p<3 d=3 d<4 p=4 p<4 d \hspace{1mm}(5<2=4<6=3<1) $.

2.63 ब्रोमीन परमाणु में 35 इलेक्ट्रॉन होते हैं। इसमें $2 p$ ऑर्बिटल में 6 इलेक्ट्रॉन, $3 p$ ऑर्बिटल में 6 इलेक्ट्रॉन और $4 p$ ऑर्बिटल में 5 इलेक्ट्रॉन होते हैं। इन इलेक्ट्रॉन में से कौन-सा न्यूक्लियस के द्वारा अधिक कम तीव्र न्यूक्लियर चार्ज का अनुभव करेगा?

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Answer

एक इलेक्ट्रॉन (एक बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु में उपस्थित) द्वारा अनुभव किया गया न्यूक्लियर चार्ज उस ऑर्बिटल की दूरी पर निर्भर करता है, जिसमें इलेक्ट्रॉन उपस्थित होता है। जैसे दूरी बढ़ती जाती है, उतना ही न्यूक्लियर चार्ज कम होता जाता है।

$ p $-ऑर्बिटल में, $4 p$ ऑर्बिटल ब्रोमीन परमाणु के न्यूक्लियस से सबसे दूर होता है। अतः $4 p$ ऑर्बिटल में उपस्थित इलेक्ट्रॉन न्यूक्लियर चार्ज के सबसे कम अनुभव करेंगे। इन इलेक्ट्रॉनों को $2p$ और $3p$ ऑर्बिटल में उपस्थित इलेक्ट्रॉन द्वारा छाया डाला जाता है, जिसके कारण वे न्यूक्लियस के द्वारा सबसे कम चार्ज का अनुभव करेंगे।

2.64 निम्नलिखित ऑर्बिटल युग्मों में से कौन-सा ऑर्बिटल अधिक तीव्र न्यूक्लियर चार्ज का अनुभव करेगा? (i) $2 s$ और $3 s$, (ii) $4 d$ और $4 f$, (iii) $3 d$ और $3 p$.

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Answer

एक बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु के ऑर्बिटल में उपस्थित एक इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किया गया न्यूक्लियर चार्ज उस ऑर्बिटल की दूरी पर निर्भर करता है। जैसे ऑर्बिटल न्यूक्लियस के निकट होता है, उतना ही न्यूक्लियर चार्ज अधिक होता है।

(i) $2 s$ ऑर्बिटल में उपस्थित इलेक्ट्रॉन $3 s$ ऑर्बिटल में उपस्थित इलेक्ट्रॉन की तुलना में न्यूक्लियस के निकट होते हैं, अतः इन इलेक्ट्रॉनों द्वारा अधिक न्यूक्लियर चार्ज का अनुभव किया जाता है।

(ii) $4 d$ ऑर्बिटल $4 f$ ऑर्बिटल की तुलना में न्यूक्लियस के निकट होता है, अतः $4 d$ ऑर्बिटल में उपस्थित इलेक्ट्रॉन अधिक न्यूक्लियर चार्ज का अनुभव करेंगे।

(iii) $3 p$ ऑर्बिटल $3 d$ ऑर्बिटल की तुलना में न्यूक्लियस के निकट होता है, अतः $3 p$ ऑर्बिटल में उपस्थित इलेक्ट्रॉन अधिक न्यूक्लियर चार्ज का अनुभव करेंगे।

2.65 $\mathrm{Al}$ और $\mathrm{Si}$ में असुमेलित इलेक्ट्रॉन $3 p$ ऑर्बिटल में होते हैं। नाभिक से किस इलेक्ट्रॉन को अधिक प्रभावी नाभिकीय आवेश अनुभव होगा?

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उत्तर

नाभिकीय आवेश को एक बहुइलेक्ट्रॉन परमाणु में एक इलेक्ट्रॉन द्वारा अनुभव किए गए शुद्ध धनावेश के रूप में परिभाषित किया गया है।

परमाणु क्रमांक जितना अधिक होगा, नाभिकीय आवेश उतना ही अधिक होगा। सिलिकॉन में 14 प्रोटॉन होते हैं जबकि एल्यूमीनियम में 13 प्रोटॉन होते हैं। इसलिए, सिलिकॉन में एल्यूमीनियम की तुलना में अधिक नाभिकीय आवेश होता है। इसलिए, सिलिकॉन के $3 p$ ऑर्बिटल में इलेक्ट्रॉन सिलिकॉन के तुलना में एल्यूमीनियम के इलेक्ट्रॉन की तुलना में अधिक प्रभावी नाभिकीय आवेश अनुभव करेंगे।

2.66 इनमें से प्रत्येक के असुमेलित इलेक्ट्रॉन की संख्या बताइए : (a) $\mathrm{P}$, (b) $\mathrm{Si}$, (c) $\mathrm{Cr}$, (d) $\mathrm{Fe}$ और (e) $\mathrm{Kr}$।

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उत्तर

(a) फॉस्फोरस (P) :

परमाणु क्रमांक $=15$

P की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास : $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{3}$

P के ऑर्बिटल चित्र को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है :

ऑर्बिटल चित्र से, फॉस्फोरस में तीन असुमेलित इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(b) सिलिकॉन (Si) : परमाणु क्रमांक $=14$

Si की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास : $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{2}$

Si के ऑर्बिटल चित्र को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

ऑर्बिटल चित्र से, सिलिकॉन में दो असुमेलित इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(c) क्रोमियम (Cr) : परमाणु क्रमांक $=24$

Cr की इलेक्ट्रॉनिक विन्यास : $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{1} 3 d^{5}$

क्रोमियम के ऑर्बिटल चित्र को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

ऑर्बिटल चित्र से, क्रोमियम में छह असुम्पन इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(d) लोहा (Fe) : परमाणु संख्या $=26$

इलेक्ट्रॉनिक विन्यास : $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{6}$

क्रोमियम के ऑर्बिटल चित्र :

ऑर्बिटल चित्र से, लोहा में चार असुम्पन इलेक्ट्रॉन होते हैं।

(e) क्रिप्टॉन (Kr) : परमाणु संख्या $=36$

इलेक्ट्रॉनिक विन्यास : $1 s^{2} 2 s^{2} 2 p^{6} 3 s^{2} 3 p^{6} 4 s^{2} 3 d^{10} 4 p^{6}$

क्रिप्टॉन के ऑर्बिटल चित्र :

क्योंकि सभी ऑर्बिटल पूर्ण रूप से भरे हुए हैं, क्रिप्टॉन में कोई असुम्पन इलेक्ट्रॉन नहीं होते।

2.67 (a) $n=4$ के साथ कितने सबशेल संबंधित होते हैं ?

(b) $n=4$ के उन सबशेलों में कितने इलेक्ट्रॉन होते हैं जिनके $m_s$ मान $-1/2$ होता है ?

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उत्तर

(a) $n=4$ (दिया गया)

किसी भी ’n’ के मान के लिए, ’l’ के मान शून्य से $(n-1)$ तक हो सकते हैं।

$\therefore l=0,1,2,3$

इस प्रकार, $n=4$ के साथ चार सबशेल संबंधित होते हैं, जो $s, p, d$ और $f$ होते हैं।

(b) $n^{\text{th}}$ शेल में ऑर्बिटल की संख्या $=n^{2}$

$ n=4 $ के लिए

ऑर्बिटल की संख्या $=16$

यदि प्रत्येक ऑर्बिटल पूर्ण रूप से भरे हुए हों, तो इसमें $m_s$ मान $-\dfrac{1}{2}$ के साथ 1 इलेक्ट्रॉन होता है।

$\therefore$ $m_s$ मान $-\dfrac{1}{2}$ के साथ इलेक्ट्रॉन की संख्या 16 होती है।