वेक्टर बीजगणित प्रश्न 13
प्रश्न 13 - 2024 (31 जनवरी शिफ्ट 1)
मान लीजिए $\vec{a}=3 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}, \quad \vec{b}=4 \hat{i}+\hat{j}+7 \hat{k} \quad$ और $\overrightarrow{c}=\hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k}$ तीन वेक्टर हैं। यदि एक वेक्टर $\overrightarrow{p}$ इस प्रकार है कि $\vec{p} \times \vec{b}=\vec{c} \times \vec{b}$ और $\vec{p} \cdot \vec{a}=0$, तो $\vec{p} \cdot(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$ किसके बराबर है?
(1) 24
(2) 33
(3) 28
(4) 32
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उत्तर (4)
समाधान
$\overrightarrow{p} \times \overrightarrow{b}-\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$
$(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}) \times \overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$
$\overrightarrow{p}-\overrightarrow{c}=\lambda \overrightarrow{b} \Rightarrow \overrightarrow{p}=\overrightarrow{c}+\lambda \overrightarrow{b}$
अब, $\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{a}=0$ (दिया गया)
इसलिए, $\overrightarrow{c} \cdot \overrightarrow{a}+\lambda \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=0$
$(3-3-8)+\lambda(12+1-14)=0$
$\lambda=-8$
$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{c}-8 \overrightarrow{b}$
$\vec{p}=-31 \hat{i}-11 \hat{j}-52 \hat{k}$
इसलिए, $\vec{p} \cdot(\hat{i}-\hat{j}-\hat{k})$
$=-31+11+52$
$=32$
बीटा
